(参考)>>310より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. (引用終り) 以上
>Jech ”That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A.”は >下記のen.wikipedia の Well-ordering theoremの証明では、省かれているよ 省けると思ってる? どうやって? 論理が分からんサルは「ウィキにそう書いてあるから正しい」とかいうのかい? そもそも並べる前から集合族A-{aξ:ξ<α}だけ取り出せるわけないだろ 脳味噌真空の白●か?
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. 整序しようとする集合をAとし、fをAの空でない部分集合の族に対する選択関数とする。
>>478に対する阪大工学部卒の凡人の返し(予想) 「a choice function for the family of non-empty subsets of A. であって a choice function f for the family S of ”all” nonempty subsets of A. ではない!」
>>472 追加 >>385より再録 要するに ・選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限) ・従属選択公理(可算無限ω以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上だが制限あり)*) ・可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *) ・有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限) 追加の注) *) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする そうすると、可算和定理より 可算の集合の 可算個の族は可算になる なお、可算和定理は選択公理が無ければ導けないが、逆の可算和定理→選択公理は導けないと思われる なので、可算和定理は選択公理より弱い仮定になる(可算和定理→可算選択公理が導けないかどうかは知らず) なお、限られた条件下を前提として、可算選択公理と 可算整列可能定理の類似が、equivalent 例えば下記のHorst Herrlich ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A\{x} that converges to x,”と”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.” ∵A\{x} ∪{x} を 一種の可算無限列構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと (引用終り)
また、下記 Horst Herrlich にあるように ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A\{x} that converges to x,” と ”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.” とが、Equivalent A\{x} ∪{x} を 一種の可算無限列ωの構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと>>385 (”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”ぼ正確な定義が不明だが、最弱の可算選択公理(可算無限ωに制限) を、 さらに ”for countable collections of subsets of R.”に制限している ) なので ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A\{x} that converges to x,” ↓↑ ”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.” 証明は、文献 [15], [29], [30]にあるらしい ;p)
>>154より alg-d.com/math/ac/countable_union.html 可算和定理 壱大整域 命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という.可算和定理は選択公理が無ければ証明できない. 証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする.以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする.以下略
>>84より archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545 Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich 1. In the realm of the reals We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles. Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are: 1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A\{x} that converges to x, 2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x, 4. each subspace of R is separable, 5. R is a Lindel¨ of space, 6. Q is a Lindel¨ of space, 9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R. There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]). (引用終り) 以上
>>477-478 >Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. >(訳)整序しようとする集合をAとし、fをAの空でない部分集合の族に対する選択関数とする。
(参考) http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice Axiom of choice Statement A choice function (also called selector or selection) is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated: Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set.
最新版の extended debug version これも,上と同じ password で閲覧できます.この version にも,出版されたものの本文には入っていない, 第2版にむけての修正/改良や,補足の証明などの additional な細部も書き加えられているものです. こちらの version では,出版後の,printed version のテキストの修正は,dark red の foreground color でマークされて. 見ていただくと,既にいくつかの typos の修正が入っていることが分かると思います.
4)検索:Diederich-Fornaess 2件のみ見繕い貼り付け ADACHI Masanori (足立真訓) — Articles Graduate School of Mathematics, Nagoya University www.math.nagoya-u.ac.jp › articles Levi平坦面の囲む領域におけるDiederich–Fornaess指数の局所的な表示公式 [PDF, ja] ... A summary of [1] with some comments about the Diederich–Fornaess exponent.
Diederich-Fornaess and Steinness indices for abstract CR ... arXiv arxiv.org › math M Adachi 著 · 2020 · 被引用数: 7 — We propose the concept of Diederich--Fornæss and Steinness indices on compact pseudoconvex CR manifolds of hypersurface type in terms of the D'Angelo 1-form.
5) (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%86%E3%82%AA%E3%83%89%E3%83%AA%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F) 複素解析学において、1913 年にコンスタンティン・カラテオドリ[1]によって証明されたカラテオドリの定理 (Carathéodory's theorem) は、U が複素平面 C の単連結な開部分集合であってその境界がジョルダン曲線であれば(そのような領域をジョルダン領域という)、U から単位(開)円板 D へのリーマン写像(すなわち双正則写像) f: U → D は境界に連続に拡張し、Γ から単位円 S1 への同相写像 F: Γ → S1 が与えられるという定理である。 言い換えると、この定理が述べているのは、ジョルダン領域 U に対し、U の閉包から単位閉円板 cl(D) への同相写像 F: cl(U) → cl(D) であってその内部への制限がリーマン写像であるようなものが存在するということである。 カラテオドリの定理の別の標準的な定式化は、ジョルダン曲線 Γ1 と Γ2 に囲まれた単連結開集合 U と V の任意の対に対して、等角写像 f: U → V は同相写像 F: cl(U) → cl(V) に拡張し、その Γ1 への制限は Γ2 への同相写像になる。 この主張は最初の主張から一方のリーマン写像の逆をもう一方のリーマン写像と合成することによって得られる。 より一般的に述べると以下のようになる。 g: D → U をリーマン写像の逆写像とする、ただし D ⊂ C は単位円板で、U ⊂ C は単連結領域。すると g が連続に G: cl(D) → cl(U) に拡張することと、U の境界が局所連結であることが同値である。この結果は最初 Marie Torhorst によって 1918 年の学位論文[2] において、ハンス・ハーンの指導の下、カラテオドリの prime ends(英語版) の理論を用いて、述べられ証明された。
文脈 直感的には、カラテオドリの定理は、複素平面 C において一般の単連結開集合と比べてジョルダン曲線に囲まれたものはとりわけ well-behaved(英語版) であると言っている。 カラテオドリの定理は複素解析の古典的な部分である等角写像の境界の振る舞いの研究の基本的な結果である。一般には、開集合 U から単位円板 D へのリーマン写像が境界に連続に拡張するかどうかを決定すること、そして、ある点でそれができない様子や理由を決定することは、非常に難しい。 そのような拡張が存在するためにジョルダン曲線の境界を持つことは十分であるが、決して必要ではない。例えば、上半平面 H から、C から非負の実数を除いた開集合 G への写像 f(z) = z2 は正則かつ等角(双正則)であり、実数直線 R から非負の実軸 R+ への連続写像に拡張する。しかしながら、集合 G の境界はジョルダン曲線ではない。
en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory%27s_theorem_(conformal_mapping) Carathéodory's theorem (conformal mapping) Proofs of Carathéodory's theorem 略す Continuous extension and the Carathéodory-Torhorst theorem 略す (引用終り) 以上
参考文献では、下記ですが [16] C. Fefferman and C. R. Graham, Conformal invariants, Astérisque Numero Hors Serie (1985), 95116, The mathematical heritage of Élie Cartan (Lyon, 1984). [17] , The ambient metric, Annals of Mathematics Studies vol. 178, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. [18] C. L. Fefferman, Monge-Ampère equations, the Bergman kernel, and geometry of pseudoconvex domains, Ann. of Math. (2) 103 (1976), no. 2, 395416.
(原著): Over the ages, few thinkers have taken Parmenides seriously, but I shall argue that Heraclitan flux (略) may well be nothing but a well-founded illusion.
Süss accepted a position in Kagoshima, Japan and began his new job in March. It was not really a mathematical job but rather saw Süss using his skills in German language and literature. He certainly did not abandon mathematics despite it not being part of his day to day work, and continued to undertake research which he published. After five years in Japan, Süss corresponded with Karl Reinhardt who was professor at Greifswald. The two had known each other from their childhood and the exchange of letters led to Reinhardt telling Süss that if he submitted his papers to Greifswald he could habilitate there and obtain a position. Süss accepted the idea and returned from Japan to take up the lecturing post at Greifswald.