IUTを読むための用語集資料スレ2

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 18:11:43.01

テンプレは後で

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 18:12:18.05

20200403の記者会見により、望月Inter-universal Teichmuller theory (abbreviated as IUT) （下記）は、新しい局面に入りました。
査読が終り、IUTが正しいことは、99％確定です。
このスレは、IUTを読むための用語集資料集スレとします。
議論は、
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/
でお願いします

＜過去スレ＞
IUTを読むための用語集資料集スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/

（参考）
https://mainichi.jp/articles/20200403/k00/00m/040/295000c
望月教授「ABC予想」証明　斬新理論で数学界に「革命」　京大数理研「完全な論文」【松本光樹、福富智】毎日新聞2020年4月3日
https://www.youtube.com/watch?v=7BnxK_NMwaQ
数学の難問ABC予想　京大教授が証明　30年以上未解決 2020/04/03 FNNプライムオンライン

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/12/01(火) 18:13:34.46

>>2
つづき
（参考）
関連：望月新一（数理研） http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/papers.html
星裕一郎の論文
(抜粋)
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244783
続・宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2018) （Indexあり） https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244746
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/myworks.html
山下剛サーベイ http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/abc2019Jul5.pdf （Indexが充実しているので、IUT辞書として使える）
A proof of the abc conjecture after Mochizuki.preprint. Go Yamashita last updated on 8/July/2019.

Yourpedia 宇宙際タイヒミュラー理論（URLが通らないので検索たのむ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96　宇宙際タイヒミュラー理論 Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Inter-universal_Teichm%C3%BCller_theory 英Inter-universal Teichmuller theory 英 Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3 ABC予想
https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture 英abc conjecture
https://www.uvm.edu/~tdupuy/papers.html
[ Taylor Dupuy's Homepage]論文集
https://www.math.arizona.edu/~kirti/ から Recent Research へ入る
Kirti Joshi Recent Research論文集

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/12/01(火) 18:14:05.27

>>3
なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ、不遇な「一石」、サイコパス、“鳥なき里のコウモリ”そのままで、“シッタカ”ぶり男で、アホ男です。
なお、IUTスレでは、「維新さん」と呼ばれることもあります。（突然“維新～！”と絶叫したりするからです（＾＾；　）
( https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊）（Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png
おサル、あいつは双曲幾何の修論でも書いたみたいだなｗ（＾＾）

＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
http://kotowaza-allguide.com/to/torinakisatonokoumori.html#:~:text=%E9%B3%A5%E3%81%AA%E3%81%8D%E9%87%8C%E3%81%AE%E8%9D%99%E8%9D%A0%E3%81%A8%E3%81%AF%E3%80%81%E3%81%99%E3%81%90%E3%82%8C%E3%81%9F%E8%80%85,%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%81%A8%E3%81%88%E3%80%82
鳥なき里の蝙蝠故事ことわざ辞典
【読み】とりなきさとのこうもり
【意味】鳥なき里の蝙蝠とは、すぐれた者がいないところでは、つまらぬ者が威張っていることのたとえ。

また
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
低脳で幼稚なカキコ

上記は、お断りです！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/12/01(火) 18:14:42.13

>>4
つづき

守屋悦朗先生のABC予想って？（１）＆(２)が出ました（＾＾

http://www.f.waseda.jp/moriya/PUBLIC_HTML/
旧「早稲田大学教育・総合科学学術院教育学部数学科　守屋悦朗研究室」
http://www.f.waseda.jp/moriya/PUBLIC_HTML/social/M-project.html
ご近所講座守屋悦朗
～数楽すうがくJoy of Mathematics と佳算けいさんSmart Computations の散歩道～

http://www.f.waseda.jp/moriya/PUBLIC_HTML/social/ABCconjecture1.pdf
M-project 守屋悦朗
第34回　『ABC予想って（１）：斬新・難解な証明の検証に8年もかかった！』　（高校生以上）20/04/26
ABC予想って？ (1) ：超々入門
1．唐突な発表で登場したビッグニュース
2．望月新一教授（京都大学）
3．学術誌とは
4．レフェリー制

http://www.f.waseda.jp/moriya/PUBLIC_HTML/social/ABCconjecture2.pdf
ABC予想って？ (２) 守屋悦朗 2020/6/8
500ページの難解論文をパワーポイント50シートで説明できるわけがない！
1．1000ページにも及ぶ長大な論文をそんなに簡単には紹介できません
2～4．数学における予想の作られ方（1）～(4)
5．一元体
6．一元体とABC予想
7．素数について
8．素数が無限個存在することの証明

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/12/01(火) 18:15:06.27

つづき

下記の PDF 数学の超難問「ABC予想」とは？
別冊Newton「数学の世界」増補第3版 168 - 171 2019年11月協力小山信也執筆山田久美
これ分かり易いな
必見ですね（＾＾
https://researchmap.jp/koyama
researchmap 小山信也コヤマシンヤ (Shin'ya Koyama)
https://researchmap.jp/koyama/avatar.JPG
https://researchmap.jp/koyama/misc/21300350/attachment_file.pdf
数学の超難問「ABC予想」とは？別冊Newton「数学の世界」増補第3版 168 - 171 2019年11月協力小山信也執筆山田久美

https://arxiv.org/pdf/2004.13108.pdf
PROBABILISTIC SZPIRO, BABY SZPIRO, AND EXPLICIT SZPIRO FROM MOCHIZUKI’S COROLLARY 3.12
TAYLOR DUPUY AND ANTON HILADO Date: April 30, 2020.
P14
Remark 3.8.3. (1) The assertion of [SS17, pg 10] is that (3.3) is the only relation between
the q-pilot and Θ-pilot degrees. The assertion of [Moc18, C14] is that [SS17, pg 10] is
not what occurs in [Moc15a]. The reasoning of [SS17, pg 10] is something like what
follows:
P15
(2) We would like to point out that the diagram on page 10 of [SS17] is very similar to
the diagram on §8.4 part 7, page 76 of the unpublished manuscript [Tan18] which
Scholze and Stix were reading while preparing [SS17].
References
[SS17] Peter Scholze and Jakob Stix, Why abc is still a conjecture., 2017. 1, 1, 1e, 2, 7.5.3 ( http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUTch-discussions-2018-03.html )
[Tan18] Fucheng Tan, Note on IUT, 2018. 1, 2
つづく

つづき

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/12/01(火) 18:16:34.56

>>6
つづき

なお

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Tan%20---%20Introduction%20to%20inter-universal%20Teichmuller%20theory%20(slides).pdf
Introduction to Inter-universal Teichm¨uller theory
Fucheng Tan RIMS, Kyoto University 2018
To my limited experiences, the following seem to be an option for people who wish to get to
know IUT without spending too much time on all the details.
・ Regard the anabelian results and the general theory of Frobenioids as blackbox.
・ Proceed to read Sections 1, 2 of [EtTh], which is the basis of IUT.
・ Read [IUT-I] and [IUT-II] (briefly), so as to know the basic definitions.
・ Read [IUT-III] carefully. To make sense of the various definitions/constructions in the second half of [IUT-III], one needs all the previous definitions/results.
・ The results in [IUT-IV] were in fact discovered first. Section 1 of [IUT-IV] allows one to
see the construction in [IUT-III] in a rather concrete way, hence can be read together with [IUT-III], or even before.
S. Mochizuki, The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations.
S. Mochizuki, Inter-universal Teichm¨uller Theory I, II, III, IV.

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/daigakuin/Tan.pdf
教員名: 譚福成（Tan, Fucheng）
P-adic Hodge theory plays an essential role in Mochizuki's proof of Grothendieck's
Anabelian Conjecture. Recently, I have been studying anabeian geometry and
Mochizuki's Inter-universal Teichmuller theory, which is in certain sense a global
simulation of p-adic comparison theorem.

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/12/01(火) 18:17:03.64

>>7
つづき

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/documents/RIMS-Lille%20-%20Promenade%20in%20Inter-Universal%20Teichm%C3%BCller%20Theory.pdf
Research Institute for Mathematical Sciences - Kyoto University, Japan
PROMENADE IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY - 復元
Online Seminar - Algebraic & Arithmetic Geometry
Laboratoire Paul Painleve - Universite de Lille, France
Version 1 ? ε - 09/10/2020

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/IUT-references.html
Promenade in Inter-Universal Teichmuller Theory
Org.: Collas (RIMS); Debes, Fresse (Lille).
The Programme of the seminar contains a selection of ~30 references with respect to (1) Diophantine Geometry, (2) IUT Geometry, and (3) Anabelian Geometry. We indicate some links towards the key opuses as well as some complementary notes and proceedings.

テンプレは以上です

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:07:33.01

https://ejje.weblio.jp/content/modular
modularとは
主な意味
基準寸法の
研究社英和コンピューター用語辞典での「modular」の意味
・modular arithmetic 法の代数《ある数を法として同じ数は同じとみなした整数の計算; ⇒mod》

https://www.weblio.jp/content/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC
ウィキペディア
モジュール
(モジュラーから転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/21 04:41 UTC 版)
モジュール（英: module）とは、工学などにおける設計上の概念で、システムを構成する要素となるもの。いくつかの部品的機能を集め、まとまりのある機能を持った部品のこと。モジュールに従っているものをモジュラー（英: modular）という。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:09:00.27

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A
モジュラー曲線
モジュラー曲線（モジュラーきょくせん）とは複素上半平面 H の合同部分群 Γ の作用による商として定義されるリーマン面のことである。合同部分群 Γ とは、整数の 2 × 2 の行列 SL(2, Z) のある部分群のことである。モジュラー曲線はコンパクトとは限らないが、有限個の Γ のカスプと呼ばれる点を加えることでコンパクト化されたモジュラー曲線 X(Γ) を定めることができる。モジュラー曲線の点は、楕円曲線とそれに付随する群 Γ に関係するある構造をもったものの同型類の集合とみなすことができ、モジュラー曲線を代数幾何的に、また有理数体 Q や円分体の上でモジュラー曲線を定義することもできる。このことからモジュラー曲線は整数論で重要な対象である。

目次
1 解析的定義
1.1 コンパクト化されたモジュラー曲線
2 例
3 種数
3.1 種数 0
4 モンスター群との関係

コンパクト化されたモジュラー曲線
Y(Γ) のコンパクト化は、Γ のカスプと呼ばれる有限個の点を加えることにより得られる。特に、このコンパクト化は、拡張された複素上半平面 H* = H ∪ Q ∪ {∞} 上の Γ の作用を考えることにより得られる。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:09:33.83

>>10
つづき

例
モジュラー曲線 X(5) は種数 0 を持ち、正二十面体の頂点に 12個のカスプを持つリーマン球面である。被覆 X(5) → X(1) はリーマン球面上の20面体群（英語版）(icosahedral group)の作用による商である。この群は位数 60 の単純群で、対称群 A5 および PSL(2, 5) とに同型である。

モジュラー曲線 X(7) は、カスプを 24個持つ種数 3 のクライン四次曲線（英語版）(Klein quartic)である。これは3つのハンドルつきの曲面を 24 個の七角形でタイリングし、各々の面の中心にカスプを持っていると解釈することができる。これらのタイリングは、dessins d'enfants[2] やバイリ函数（英語版）(Belyi function)を通して理解することができる。カスプは、無限遠点 ∞ 上にある（赤い点）、一方、頂点と辺の中心にある（黒と白の点）カスプは、0 と 1 にある。被覆 X(7) → X(1) のガロア群は、PSL(2, 7) に同型な位数 168 の単純群である。

X0(N) には、明確な古典モデルである古典モジュラー曲線（英語版）(classical modular curve)が存在し、これを「モジュラー曲線」という場合もある。
これらの曲線は、レベル構造つき楕円曲線のモジュライ空間として解釈される。このため、モジュラー曲線は数論幾何(arithmetic geometry)で重要な役割を果たす。レベル N のモジュラー曲線 X(N) は、楕円曲線とそのN-等分点の基底の組のモジュライ空間である。X0(N) と X1(N) の付加構造は、それぞれ、位数 N の巡回部分群、位数 N の点である。これらの曲線は、非常に詳しく研究されており、特に、X0(N) は有理数体上で定義することができる。

モジュラ曲線を定義する方程式は、モジュラー方程式（英語版）(modular equation)の最も良く知られた例である。この「最良のモデル」は楕円函数論から直接得られる理論とは非常に異なっている。ヘッケ作用素は、二つのモジュラー曲線の間の対応として幾何学的に研究される。

注意: コンパクトな H の商は、モジュラ群の部分群以外に、フックス群（英語版）(Fuchsian group) Γ に対し発生する。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:10:06.62

>>11
つづき

種数
X(5) は種数 0 であり、X(7) は種数 3 であり、X(11) は種数26 であることがわかる。p = 2 あるいは 3 に対しは分岐を考えに入れる、つまり、PSL(2, Z) には位数 p の元が存在し、PSL(2, 2) は位数 3 というよりも位数 6 であることを考慮する必要がある。N を因子として含むレベル N のモジュラー曲線の種数についてのより複雑な公式がある。

種数 0
一般に、モジュラー函数体とは、モジュラー曲線（あるいは既約であるような他のモジュライ空間）の函数体である。種数が 0 であることは、そのような函数体が唯一の超越函数を生成元として持っていることを意味し、たとえば、j-函数は X(1)=PSL(2,Z )＼ H の函数体を生成する。この生成元はメビウス変換で移りあう函数を同一視すると一意となり、適切に正規化することができ、そのような函数を Hauptmodul (あるいは主モジュラー函数(principal modular function)と呼ぶ。

空間 X1(n) は n = 1, ..., 10 と n = 12 に対して、種数 0 である。これらの曲線は、Q 上で定義されているので、そのような曲線上には無限に多くの有理点が存在し、よって、これらの n の値に対し n-捩れを持つ有理数体上定義された楕円曲線が無限に存在する。n がこれらの値のときのみ、逆のステートメントが成り立ち、これがメイザーの捩れ定理である。

モンスター群との関係
詳細は「モンストラス・ムーンシャイン」を参照
種数 0 のモジュラー曲線はモンストラス・ムーンシャイン予想との関係で非常に重要であることが判明した。モジュラー曲線の Hauptmoduln を q-展開した係数の最初のいくつかが、19世紀に既に計算されていたが、最も大きな単純散在モンスター群の表現空間の次元と同じになっていることが、非常に衝撃的である。

もうひとつの関係は、SL(2, R) の Γ0(p) の正規化群 Γ0(p)+ から定まるモジュラー曲線が種数 0 であることと、p が 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 あるいは、71 であることと同値である。さらにこれらの素数はモンスター群の位数の素因子と一致する。この Γ0(p)+ についての結果は、ジャン＝ピエール・セール(Jean-Pierre Serre), アンドレ・オッグ（英語版）(Andrew Ogg)とジョン・トンプソン(John G. Thompson)が1970年代に発見し、モジュラー群とモンスター群の関係を発見したオッグは、この事実を説明したものには、ジャックダニエル（テネシー・ウイスキー）のボトルを進呈すると論文に記載した。

この関係は非常に深く、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により示されたように、一般カッツ・ムーディリー代数とも深く関係する。この分野の仕事は、至るところで正則でカスプを持つモジュラー形式に対し、有理型でありカスプで極を持つことのできるモジュラー函数の重要性を示している。これらの仕事は、20世紀の重要な研究の対象となった。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:10:55.67

https://en.wikipedia.org/wiki/Belyi%27s_theorem#Belyi_functions
Belyi's theorem
In mathematics, Belyi's theorem on algebraic curves states that any non-singular algebraic curve C, defined by algebraic number coefficients, represents a compact Riemann surface which is a ramified covering of the Riemann sphere, ramified at three points only.

This is a result of G. V. Belyi from 1979. At the time it was considered surprising, and it spurred Grothendieck to develop his theory of dessins d'enfant, which describes nonsingular algebraic curves over the algebraic numbers using combinatorial data.

Contents
1 Quotients of the upper half-plane
2 Belyi functions
3 Applications

Quotients of the upper half-plane
It follows that the Riemann surface in question can be taken to be
H/Γ
with H the upper half-plane and Γ of finite index in the modular group, compactified by cusps. Since the modular group has non-congruence subgroups, it is not the conclusion that any such curve is a modular curve.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:11:19.92

>>13
つづき

Belyi functions
A Belyi function is a holomorphic map from a compact Riemann surface S to the complex projective line P1(C) ramified only over three points, which after a Mobius transformation may be taken to be {\displaystyle \{0,1,\infty \}}\{0,1,\infty \}. Belyi functions may be described combinatorially by dessins d'enfants.

Belyi functions and dessins d'enfants ? but not Belyi's theorem ? date at least to the work of Felix Klein; he used them in his article (Klein 1879) to study an 11-fold cover of the complex projective line with monodromy group PSL(2,11).[1]

Applications
Belyi's theorem is an existence theorem for Belyi functions, and has subsequently been much used in the inverse Galois problem.

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:12:30.85

https://en.wikipedia.org/wiki/Dessin_d%27enfant
Dessin d'enfant

In mathematics, a dessin d'enfant is a type of graph embedding used to study Riemann surfaces and to provide combinatorial invariants for the action of the absolute Galois group of the rational numbers. The name of these embeddings is French for a "child's drawing"; its plural is either dessins d'enfant, "child's drawings", or dessins d'enfants, "children's drawings".
A dessin d'enfant is a graph, with its vertices colored alternately black and white, embedded in an oriented surface that, in many cases, is simply a plane. For the coloring to exist, the graph must be bipartite. The faces of the embedding must be topological disks. The surface and the embedding may be described combinatorially using a rotation system, a cyclic order of the edges surrounding each vertex of the graph that describes the order in which the edges would be crossed by a path that travels clockwise on the surface in a small loop around the vertex.

Any dessin can provide the surface it is embedded in with a structure as a Riemann surface. It is natural to ask which Riemann surfaces arise in this way. The answer is provided by Belyi's theorem, which states that the Riemann surfaces that can be described by dessins are precisely those that can be defined as algebraic curves over the field of algebraic numbers. The absolute Galois group transforms these particular curves into each other, and thereby also transforms the underlying dessins.

For a more detailed treatment of this subject, see Schneps (1994) or Lando & Zvonkin (2004).

Contents
1 History
1.1 19th century
1.2 20th century
2 Riemann surfaces and Belyi pairs

6 The absolute Galois group and its invariants

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:13:25.61

>>15
つづき

History
19th century
Early proto-forms of dessins d'enfants appeared as early as 1856 in the icosian calculus of William Rowan Hamilton;[1] in modern terms, these are Hamiltonian paths on the icosahedral graph.

Recognizable modern dessins d'enfants and Belyi functions were used by Felix Klein (1879). Klein called these diagrams Linienzuge (German, plural of Linienzug "line-track", also used as a term for polygon); he used a white circle for the preimage of 0 and a '+' for the preimage of 1, rather than a black circle for 0 and white circle for 1 as in modern notation.[2] He used these diagrams to construct an 11-fold cover of the Riemann sphere by itself, with monodromy group PSL(2,11), following earlier constructions of a 7-fold cover with monodromy PSL(2,7) connected to the Klein quartic in (Klein 1878?1879a, 1878?1879b). These were all related to his investigations of the geometry of the quintic equation and the group A5 ? PSL(2,5), collected in his famous 1884/88 Lectures on the Icosahedron. The three surfaces constructed in this way from these three groups were much later shown to be closely related through the phenomenon of trinity.

20th century
Dessins d'enfant in their modern form were then rediscovered over a century later and named by Alexander Grothendieck in 1984 in his Esquisse d'un Programme.[3] Zapponi (2003) quotes Grothendieck regarding his discovery of the Galois action on dessins d'enfants:

This discovery, which is technically so simple, made a very strong impression on me, and it represents a decisive turning point in the course of my reflections, a shift in particular of my centre of interest in mathematics, which suddenly found itself strongly focused. I do not believe that a mathematical fact has ever struck me quite so strongly as this one, nor had a comparable psychological impact. This is surely because of the very familiar, non-technical nature of the objects considered, of which any child’s drawing scrawled on a bit of paper (at least if the drawing is made without lifting the pencil) gives a perfectly explicit example. To such a dessin we find associated subtle arithmetic invariants, which are completely turned topsy-turvy as soon as we add one more stroke.

Part of the theory had already been developed independently by Jones & Singerman (1978) some time before Grothendieck. They outline the correspondence between maps on topological surfaces, maps on Riemann surfaces, and groups with certain distinguished generators, but do not consider the Galois action. Their notion of a map corresponds to a particular instance of a dessin d'enfant. Later work by Bryant & Singerman (1985) extends the treatment to surfaces with a boundary.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:13:55.73

>>16
つづき

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/330px-Icosahedral_reflection_domains.png
The triangulation of the sphere with (2,3,5) triangle group, generated by using the regular dodecahedron to construct a clean dessin

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/3-7_kisrhombille.svg/330px-3-7_kisrhombille.svg.png
The triangulation of the hyperbolic plane with (2,3,7) triangle group generated as the universal cover of the Klein quartic

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/08(月) 23:48:10.55

（参考）
http://www.utp.or.jp/book/b498559.html
楕円関数論　増補新装版
楕円曲線の解析学
梅村　浩著
ISBN978-4-13-061314-9発売日:2020年05月21日判型:A5ページ数：392頁
東京大学出版会

梅村楕円関数論の第5章楕円曲線のモジュライ
より、写経する
P250
定理5.4 次の全単射写像が存在する
T/～≡C

定理5.4を次のように言い換えることができる。複素トーラス全体のなす集合と、より正確には複素トーラスの同値類全体のなす集合と
複素平面Cとを自然に同一視することができる。あるいは、次のようにいってもよい。
複素トーラス全体のなす集合に、より正確には複素トーラスの同型類全体のなす集合に、自然な複素多様体の構造を入れて、複素平面Cと同一視することができる。
このように、ある型の幾何学的な対象Z全体のなす集合が、多様体Xの点全体のなす集合と自然に同一視されるとき、多様体Xは対象Zのモジュライ（moduli）空間であるという。
上の場合Zは複素トーラスであり、Xは複素平面である。
モジュライ空間は代数幾何学によく出現し、代数幾何学の最も重要な研究対象の一つである。
(引用終り)

https://eow.alc.co.jp/search?q=moduli
英辞郎 on the WEB
moduli
名
modulusの複数形
発音m??d??la?i、カナモジュライ

https://eow.alc.co.jp/search?q=modulus
modulus
名
《物理》係数、率
《数学》法、対数係数、絶対値◆【略】mod.
発音[US] m??d??l?s ｜ [UK] m??djul?s、カナ[US]モジュラス、[UK]モデュラス、

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 13:20:18.51

https://en.wikipedia.org/wiki/Belyi%27s_theorem
Belyi's theorem
Contents
1 Quotients of the upper half-plane
2 Belyi functions
3 Applications
Applications
Belyi's theorem is an existence theorem for Belyi functions, and has subsequently been much used in the inverse Galois problem.

https://en.wikipedia.org/wiki/Dessin_d%27enfant
Dessin d'enfant
Contents
1 History
1.1 19th century
1.2 20th century
2 Riemann surfaces and Belyi pairs
3 Maps and hypermaps
4 Regular maps and triangle groups
5 Trees and Shabat polynomials
6 The absolute Galois group and its invariants

https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_Galois_group
Absolute Galois group

Contents
1 Examples
2 Problems
3 Some general results

Problems
No direct description is known for the absolute Galois group of the rational numbers. In this case, it follows from Belyi's theorem that the absolute Galois group has a faithful action on the dessins d'enfants of Grothendieck (maps on surfaces), enabling us to "see" the Galois theory of algebraic number fields.

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 13:41:13.38

コピペは続くよどこまでも

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 14:11:15.66

どうせなら、翻訳しよう

ベリイの定理

数学では、代数曲線に関するBelyiの定理は、
代数的数係数上で定義された任意の非特異代数曲線Cは、
3点のみで分岐したリーマン球面の分岐被覆である
コンパクトなリーマン面を表すと述べている。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 14:12:55.50

>>21
これは1979年のG. V. Belyiの結果である。
当時は驚くべきことだと思われていたが、
それがGrothendieckを駆り立て、
組み合わせデータを用いて代数上の非特異代数曲線を記述する
dessins d'enfantの理論を発展させた。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 14:24:11.15

上半平面の商

問題のリーマン曲面はH/Γ
Hを上半平面、Γをカスプで圧縮されたモジュラー群の有限指数の部分群とする。
モジュラー群には非一致部分群があるので、
そのような曲線があればモジュラー曲線である
という結論にはならない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 14:24:40.17

Belyi関数

Belyi関数は，コンパクトなリーマン曲面Sから
3点上にある複素射影線P1(C)への正則写像であり，
(3点は)メビウス変換後に{0,1,∞}とできる
Belyi関数は，dessins d'enfantsによって組み合わせ的に記述できる

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 08:22:24.94

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
射有限群
射有限群（しゃゆうげんぐん、英語: pro-finite group）あるいは副有限群（ふくゆうげんぐん）は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。

射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。

目次
1 例
2 性質および事実
3 射有限完備化
4 入射有限群
5 関連項目
6 参考文献

・p-進整数全体の成す加法群 Zp は射有限である（実際にはさらに射巡回的である）。この群は、n を全ての自然数を亘って動かすとき、有限群 Z/pnZ とそれらの間の自然な射影 Z/pnZ → Z/pmZ (n ? m) が成す射影系の射影極限になっており、この群の射有限群としての位相はZp 上の p-進付値から定まる位相と一致する。
・体の無限次拡大のガロア理論では、射有限なガロア群が自然に現れる。具体的に、L/K を（無限次元の）ガロア拡大とし、K の元を動かさない L 上の体自己同型全体の成す群 G = Gal(L/K) を考える。この無限ガロア群は、F が F/K が有限次ガロア拡大であるような L/K の中間体すべてを亘るとき、有限ガロア群 Gal(F/K) が成す射影系の逆極限である。この射影系における射は、F2 ⊆ F1 なるとき、制限準同型 Gal(F1/K) → Gal(F2/K) で与えられる。得られる Gal(L/K) の位相はヴォルフガンク・クルルに因んでクルル位相 (Krull topology) として知られる。ウォーターハウスは「任意の」射有限群が、「ある」体 K 上のガロア群に同型なる群として得られることを示した[1]が、このとき具体的にどのような体 K を選べばよいか決定する方法はいまだ知られていない。事実、多くの体 K で、どのような有限群が体 K 上のガロア群として得られるかということは一般にははっきりしない。このような問題は体 K に対するガロアの逆問題と呼ばれる（複素一変数の有理函数体のように、ガロアの逆問題が解決されている体もある）。
・代数幾何学において考察される基本群もまた射有限である。これは大雑把に言って、代数的には代数多様体の有限被覆だけしか「見る」ことができないということを反映するものであり、代数的位相幾何学における基本群は一般には射有限ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 08:23:25.08

Pro-p 群

https://en.wikipedia.org/wiki/Pro-p_group
Pro-p group

In mathematics, a pro-p group (for some prime number p) is a profinite group {\displaystyle G}G such that for any open normal subgroup {\displaystyle N\triangleleft G}N\triangleleft G the quotient group {\displaystyle G/N}G/N is a p-group. Note that, as profinite groups are compact, the open subgroups are exactly the closed subgroups of finite index, so that the discrete quotient group is always finite.

Alternatively, one can define a pro-p group to be the inverse limit of an inverse system of discrete finite p-groups.

The best-understood (and historically most important) class of pro-p groups is the p-adic analytic groups: groups with the structure of an analytic manifold over {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}\mathbb {Q} _{p} such that group multiplication and inversion are both analytic functions. The work of Lubotzky and Mann, combined with Michel Lazard's solution to Hilbert's fifth problem over the p-adic numbers, shows that a pro-p group is p-adic analytic if and only if it has finite rank, i.e. there exists a positive integer {\displaystyle r}r such that any closed subgroup has a topological generating set with no more than {\displaystyle r}r elements. More generally it was shown that a finitely generated profinite group is a compact p-adic Lie group if and only if it has an open subgroup that is a uniformly powerful pro-p-group.

The Coclass Theorems have been proved in 1994 by A. Shalev and independently by C. R. Leedham-Green. Theorem D is one of these theorems and asserts that, for any prime number p and any positive integer r, there exist only finitely many pro-p groups of coclass r. This finiteness result is fundamental for the classification of finite p-groups by means of directed coclass graphs.

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 08:23:53.43

>>24
ありがとう
ご苦労様

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 09:26:21.86

>>25
そもそも射影系が分かってないんじゃ意味ないぞ

射影極限
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E6%A5%B5%E9%99%90

Ai を長さiの有限数列全体からなる集合、
fij (i≤j) を数列をi項に切り詰める写像とすると、
その射影極限は、数列全体の集合となる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 21:09:22.78

>>28
ありがとう
ご苦労様

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/22(月) 06:56:24.93

望月出張講演の下記数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）が、素朴な形でIUTの構想が語れていて、必読ですね
談話会のURLだけコピペしていますが、月～金の資料も結構参考になります
IUTの最終版では、変わっている部分もあると思いますが、全体構想を知る上で、大変参考になります

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
望月出張講演

[11] 数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）.　　月　火　水　木　金　概要　
　　　レポート問題　談話会　アブストラクト

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/2008-05%20danwakai-ohp-jpg.pdf
談話会数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 23:08:44.99

スキーム、前スキーム、マンフォードの「Red Book」
”概型/スキームという用語で前スキームのうちで特に点の分離性を満たすものをさしているものもある。”

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E5%9E%8B
概型あるいはスキーム (英: scheme) とは、可換環に対して双対的に構成される局所環付き空間である。二十世紀半ばにアレクサンドル・グロタンディークによって導入され、以降の代数幾何学において任意標数の代数多様体を包摂し、係数の拡大や図形の「連続的」な変形を統一的に取り扱えるような図形の概念として取り扱われている。さらに、今まで純代数的な対象として研究されてきた環についてもそのアフィンスキームを考えることである種の幾何的対象として、多様体との類推にもとづく研究手法を持ち込むことが可能になる。このため特に数論の分野ではスキームが強力な枠組みとして定着している。

スキームを通じて圏論的に定義される様々な概念は、大きな威力を発揮するが、その一方で、古典的な代数幾何においては点とみなされなかった既約部分多様体のようなものまでがスペクトルの「点」になってしまう。

スキーム
アフィンスキームの張り合わせとしてえられるような局所環付き空間は前スキームまたは概型（スキーム）とよばれる。グロタンディークのEGAやマンフォードの「Red Book」など初期の文献には概型/スキームという用語で前スキームのうちで特に点の分離性を満たすものをさしているものもある。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 23:29:48.30

局所は、局所化：環に乗法逆元を機械的に添加する
局所環：In practice, a commutative local ring often arises as the result of the localization of a ring at a prime ideal. The English term local ring is due to Zariski.[2]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%B1%80%E6%89%80%E5%8C%96
環の局所化（きょくしょか、英: localization）あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient)[注 1] は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 R とその部分集合 S が与えられたとき、環 R' と R から R' への環準同型を構成して、S の準同型像が R' における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、R' が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 R の部分集合 S による局所化は S－1R で表され、あるいは S が素イデアル {p} の補集合であるときには R_ {p}} で表される。S－1R のことを RS と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。

局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある。

用語について
「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。R はある幾何学的対象（代数多様体）の上で定義された函数環とする。この多様体を点 p の近傍で「局所的に」調べようとするならば、p の近傍で 0 でないような函数全体の成す集合 S を考えることになる。その意味で、R を S に関して局所化して得られる環 S－1R は p の近傍における V の挙動についての情報のみをふくんでいる（局所環も参照）。

例
整数環を Z, 有理数体を Q と表す。

R = Z のとき、積閉集合 S = Z － {0} による局所化は S－1R = Q である。

https://en.wikipedia.org/wiki/Local_ring
In abstract algebra, more specifically ring theory, local rings are certain rings that are comparatively simple, and serve to describe what is called "local behaviour", in the sense of functions defined on varieties or manifolds, or of algebraic number fields examined at a particular place, or prime. Local algebra is the branch of commutative algebra that studies commutative local rings and their modules.

In practice, a commutative local ring often arises as the result of the localization of a ring at a prime ideal.

The concept of local rings was introduced by Wolfgang Krull in 1938 under the name Stellenringe.[1] The English term local ring is due to Zariski.[2]

Examples
All fields (and skew fields) are local rings, since {0} is the only maximal ideal in these rings.
A nonzero ring in which every element is either a unit or nilpotent is a local ring.

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 10:41:04.06

田口雄一郎先生、結構面白い

http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/fermat-JSA.pdf
Fermat の最終定理を巡る数論
田口雄一郎
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/bunsho.html
Fermat の最終定理を巡る数論
( 『日本の科学者』 vol.40, no.3 )
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/
Yuichiro TAGUCHI
http://www.jsa.gr.jp/04pub/0401jjs/summary05-09.htm
『日本の科学者』総目次2005年～2009年
2005年3月号　Vol.40No.3　通巻446号
・Fermatの最終定理を巡る数論　　田口雄一郎

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 11:00:51.46

>>33
田口雄一郎先生、
これ以前にも別のスレで取り上げたけど
IUT以前の話と思う（細かい時期は不明）

http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/abc.html
abc予想の話
( 昔、北大理学部ＨＰの「サイエンストピックス」に掲載されたもの )
田口雄一郎
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/bunsho.html
Yuichiro TAGUCHI

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 23:24:57.49

>>34
メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_quartic
Klein quartic
In hyperbolic geometry, the Klein quartic, named after Felix Klein, is a compact Riemann surface of genus 3 with the highest possible order automorphism group for this genus, namely order 168 orientation-preserving automorphisms, and 336 automorphisms if orientation may be reversed. As such, the Klein quartic is the Hurwitz surface of lowest possible genus; see Hurwitz's automorphisms theorem. Its (orientation-preserving) automorphism group is isomorphic to PSL(2, 7), the second-smallest non-abelian simple group. The quartic was first described in (Klein 1878b).

Closed and open forms
It is important to distinguish two different forms of the quartic. The closed quartic is what is generally meant in geometry; topologically it has genus 3 and is a compact space. The open or "punctured" quartic is of interest in number theory; topologically it is a genus 3 surface with 24 punctures, and geometrically these punctures are cusps. The open quartic may be obtained (topologically) from the closed quartic by puncturing at the 24 centers of the tiling by regular heptagons, as discussed below. The open and closed quartics have different metrics, though they are both hyperbolic and complete[1] – geometrically, the cusps are "points at infinity", not holes, hence the open quartic is still complete.

Affine quartic
The above is a tiling of the projective quartic (a closed manifold); the affine quartic has 24 cusps (topologically, punctures), which correspond to the 24 vertices of the regular triangular tiling, or equivalently the centers of the 24 heptagons in the heptagonal tiling, and can be realized as follows.

続く

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 23:25:40.22

>>35
続き

Considering the action of SL(2, R) on the upper half-plane model H2 of the hyperbolic plane by Möbius transformations, the affine Klein quartic can be realized as the quotient Γ(7)\H2. (Here Γ(7) is the congruence subgroup of SL(2, Z) consisting of matrices that are congruent to the identity matrix when all entries are taken modulo 7.)

Fundamental domain and pants decomposition

3-dimensional models
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/KleinDualInsideOutDivided.gif/330px-KleinDualInsideOutDivided.gif
An animation by Greg Egan showing an embedding of Klein’s Quartic Curve in three dimensions, starting in a form that has the symmetries of a tetrahedron, and turning inside out to demonstrate a further symmetry.

Dessin d'enfants
The dessin d'enfant on the Klein quartic associated with the quotient map by its automorphism group (with quotient the Riemann sphere) is precisely the 1-skeleton of the order-3 heptagonal tiling.[10] That is, the quotient map is ramified over the points 0, 1728, and ∞; dividing by 1728 yields a Belyi function (ramified at 0, 1, and ∞), where the 56 vertices (black points in dessin) lie over 0, the midpoints of the 84 edges (white points in dessin) lie over 1, and the centers of the 24 heptagons lie over infinity. The resulting dessin is a "platonic" dessin, meaning edge-transitive and "clean" (each white point has valence 2).

続く

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 23:26:39.15

>>36
続き

https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_quadric
Klein quadric
In mathematics, the lines of a 3-dimensional projective space, S, can be viewed as points of a 5-dimensional projective space, T. In that 5-space, the points that represent each line in S lie on a quadric, Q known as the Klein quadric.

If the underlying vector space of S is the 4-dimensional vector space V, then T has as the underlying vector space the 6-dimensional exterior square Λ2V of V. The line coordinates obtained this way are known as Plücker coordinates.
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 23:36:36.38

>>37

”Punctured spheres”
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface
Riemann surface

Contents

5 Classification of Riemann surfaces
5.1 Elliptic Riemann surfaces
5.2 Parabolic Riemann surfaces
5.3 Hyperbolic Riemann surfaces
6 Maps between Riemann surfaces
6.1 Punctured spheres
6.2 Ramified covering spaces
7 Isometries of Riemann surfaces

Punctured spheres
These statements are clarified by considering the type of a Riemann sphere {\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}}\widehat{\mathbf{C}} with a number of punctures. With no punctures, it is the Riemann sphere, which is elliptic. With one puncture, which can be placed at infinity, it is the complex plane, which is parabolic. With two punctures, it is the punctured plane or alternatively annulus or cylinder, which is parabolic. With three or more punctures, it is hyperbolic – compare pair of pants. One can map from one puncture to two, via the exponential map (which is entire and has an essential singularity at infinity, so not defined at infinity, and misses zero and infinity), but all maps from zero punctures to one or more, or one or two punctures to three or more are constant.

Isometries of Riemann surfaces
The isometry group of a uniformized Riemann surface (equivalently, the conformal automorphism group) reflects its geometry:
・the isometry group of the plane is the subgroup fixing infinity, and of the punctured plane is the subgroup leaving invariant the set containing only infinity and zero: either fixing them both, or interchanging them (1/z).

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 08:21:52.42

>>24
ありがとう
（追加）
https://en.wikipedia.org/wiki/Dessin_d%27enfant
Dessin d'enfant
Contents
1 History
1.1 19th century
1.2 20th century
2 Riemann surfaces and Belyi pairs
3 Maps and hypermaps
4 Regular maps and triangle groups
5 Trees and Shabat polynomials
6 The absolute Galois group and its invariants

Riemann surfaces and Belyi pairs
Each triangle in the triangulation has three vertices labeled 0 (for the black points), 1 (for the white points), or ∞. For each triangle, substitute a half-plane, either the upper half-plane for a triangle that has 0, 1, and ∞ in counterclockwise order or the lower half-plane for a triangle that has them in clockwise order, and for every adjacent pair of triangles glue the corresponding half-planes together along the portion of their boundaries indicated by the vertex labels. The resulting Riemann surface can be mapped to the Riemann sphere by using the identity map within each half-plane. Thus, the dessin d'enfant formed from f is sufficient to describe f itself up to biholomorphism. However, this construction identifies the Riemann surface only as a manifold with complex structure; it does not construct an embedding of this manifold as an algebraic curve in the complex projective plane, although such an embedding always exists.

続く

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 08:22:53.69

>>39
続き

The same construction applies more generally when X is any Riemann surface and f is a Belyi function; that is, a holomorphic function f from X to the Riemann sphere having only 0, 1, and ∞ as critical values. A pair (X, f) of this type is known as a Belyi pair. From any Belyi pair (X, f) one can form a dessin d'enfant, drawn on the surface X, that has its black points at the preimages f-1(0) of 0, its white points at the preimages f-1(1) of 1, and its edges placed along the preimages f-1([0, 1]) of the line segment [0, 1]. Conversely, any dessin d'enfant on any surface X can be used to define gluing instructions for a collection of halfspaces that together form a Riemann surface homeomorphic to X; mapping each halfspace by the identity to the Riemann sphere produces a Belyi function f on X, and therefore leads to a Belyi pair (X, f). Any two Belyi pairs (X, f) that lead to combinatorially equivalent dessins d'enfants are biholomorphic, and Belyi's theorem implies that, for any compact Riemann surface X defined over the algebraic numbers, there are a Belyi function f and a dessin d'enfant that provides a combinatorial description of both X and f.

Maps and hypermaps
A vertex in a dessin has a graph-theoretic degree, the number of incident edges, that equals its degree as a critical point of the Belyi function.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/330px-Icosahedral_reflection_domains.png

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/3-7_kisrhombille.svg/330px-3-7_kisrhombille.svg.png

Thus, any embedding of a graph in a surface in which each face is a disk (that is, a topological map) gives rise to a dessin by treating the graph vertices as black points of a dessin, and placing white points at the midpoint of each embedded graph edge. If a map corresponds to a Belyi function f, its dual map (the dessin formed from the preimages of the line segment [1, ∞]) corresponds to the multiplicative inverse 1/f.[5]

A dessin that is not clean can be transformed into a clean dessin in the same surface, by recoloring all of its points as black and adding new white points on each of its edges. The corresponding transformation of Belyi pairs is to replace a Belyi function β by the pure Belyi function γ = 4β(1 - β).

続く

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 08:23:48.50

>>40
続き

The absolute Galois group and its invariants
The two choices of a lead to two Belyi functions f1 and f2. These functions, though closely related to each other, are not equivalent, as they are described by the two nonisomorphic trees shown in the figure.

However, as these polynomials are defined over the algebraic number field Q(√21), they may be transformed by the action of the absolute Galois group Γ of the rational numbers. An element of Γ that transforms √21 to -√21 will transform f1 into f2 and vice versa, and thus can also be said to transform each of the two trees shown in the figure into the other tree.

More generally, due to the fact that the critical values of any Belyi function are the pure rationals 0, 1, and ∞, these critical values are unchanged by the Galois action, so this action takes Belyi pairs to other Belyi pairs. One may define an action of Γ on any dessin d'enfant by the corresponding action on Belyi pairs; this action, for instance, permutes the two trees shown in the figure.

Due to Belyi's theorem, the action of Γ on dessins is faithful (that is, every two elements of Γ define different permutations on the set of dessins),[10] so the study of dessins d'enfants can tell us much about Γ itself.

The two Belyi functions f1 and f2 of this example are defined over the field of moduli, but there exist dessins for which the field of definition of the Belyi function must be larger than the field of moduli.[11]
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 16:01:49.39

メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_stack
Algebraic stack

In mathematics, an algebraic stack is a vast generalization of algebraic spaces, or schemes, which are foundational for studying moduli theory. Many moduli spaces are constructed using techniques specific to algebraic stacks, such as Artin's representability theorem, which is used to construct the moduli space of pointed algebraic curves {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}{\mathcal {M}}_{{g,n}} and the moduli stack of elliptic curves. Originally, they were introduced by Grothendieck[1] to keep track of automorphisms on moduli spaces, a technique which allows for treating these moduli spaces as if their underlying schemes or algebraic spaces are smooth. But, through many generalizations the notion of algebraic stacks was finally discovered by Michael Artin.[2]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%83%E3%82%AF
代数的スタック

代数スタックとは、モジュライ理論の研究の基礎となる代数空間またはスキームの一般化である。多くのモジュライ空間は、アルチンの表現可能定理など、代数スタック固有の手法を駆使して構築される。これは、尖った代数曲線のモジュライ空間の構築に使用される。 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}{\mathcal {M}}_{{g,n}}は楕円曲線のモジュラススタックで、それらはモジュライ空間の自己同型を追跡するためにグロタン [1]により導入された。これは、モジュライ空間を基礎とするスキームや代数空間が滑らかであるかのように扱うことを可能とする。多くの一般化を通じ、代数スタックの概念がついにアルチンにより発見された。 [2]

定義
代数スタックの動機付けの例の1つは、亜郡スキームをである。 {\displaystyle (R,U,s,t,m)}{\displaystyle (R,U,s,t,m)}固定スキーム上{\displaystyle S}S 。たとえば、 {\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}{\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}} （{\displaystyle \mu _{n}}\mu _{n}は、1を根とする群スキーム）、 {\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}}{\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}} 、 {\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}{\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}射影、 {\displaystyle t}tは群作用である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 16:42:24.13

>>42

下記分かりやすい
ご推奨です

https://shitijyou-a.github.io/
七条彰紀のノート 2020 shitijyou-a
(PDFダウンロード可)
https://shitijyou-a.github.io/math/alg-geo/intro-to-artin-stacks/
Artin スタック入門
七条彰紀
2020 年 2 月 16 日

概要
スキーム論と圏論（2 圏の初歩を含む）まで学んだ者の為にArtin スタック（代数的スタック）への入
門を書いた．面白みや詳細な議論よりも，Artin スタックへの短い入門を旨としている．ほとんどの部分で
命題の証明はしない．命題(8.10) と節(7) 全体は適切な参考文献が見当たらなかったので，独自に定義・
証明している．

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 16:45:46.05

>>43
追加ご参考

https://shitijyou-a.github.io/
七条彰紀のノート 2020 shitijyou-a
https://shitijyou-a.github.io/math/alg-geo/#/math/
代数幾何学つい
代数幾何学とは，代数学と幾何学を行き来する数学の一分野です．

代数学と幾何学の結びつき
多項式で定まる図形はアフィン代数多様体 (affine algebraic variety) と呼ばれます．

スキームへ，更なる一般化へ
アフィン代数多様体は数学の歴史の中でも古くから扱われていました．現代的には，スキーム (scheme)が代数幾何学の中心的研究対象です．スキームは可換環 (commutative ring) と呼ばれる純粋な代数的対象から出発して構成されます．可換環からアフィンスキームというものが構成され，これを貼り合わせて一般のスキームが作られます．アフィン代数多様体はアフィンスキームの理想的に扱いやすい場合として扱われるように成りました．

スキームの誕生には Weil予想というものが深く関わっています．「この予想を解決するには（アフィン）代数多様体では手狭だ，足りない」という理由で代数多様体が一般化されたのです．さらに「スキームでは手狭だ，足りない」というわけで代数的空間 (algebraic space)などが生まれ，「まだ足りない」とArtin スタック (Artin stack)というものも生まれています．

スキームの一般化は他にもいっぱいあります．私が知る限りのものを列挙してみます（順番は適当です）．

Formal schemes,
Schemes over ,
Blue schemes,
Rigid spaces,
Adic spaces,
Non-commutative schemes,
Higher stack.
いずれも何かの問題を解決するために，あるいは興味深いために生まれ，研究されています．

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 07:46:32.13

メモ
http://www.math.chuo-u.ac.jp/morita.htm
森田茂之氏による特別講演（ENCOUNTERwithMATHEMATICS番外編）中央大学
http://www.math.chuo-u.ac.jp/lecture_notes_almostwhole.pdf
特性類と不変量
森田茂之
ver. 2013 年 3 月

目次
7 モジュライ空間 142
8 モジュライ空間のサイクル，コサイクルの作り方 158
9 低次元トポロジーの謎 161
10 夢

P187
第 19 回 (2012 年 11 月 28 日)
10 夢
9 章まで行って，低次元トポロジーの謎，という事で幾つかの問題についてお話をしました．今日は新しい
章，どういうタイトルをつけようかと思いました. 本当は夢に向かってとかいろいろ考えたり，予想とか書こ
うとも思ったのですが，それにはあまりになんというか，理論的というか実験的なので，「夢」としました．

P195
4. 絶対 Galois 群

http://www.math.chuo-u.ac.jp/morita_newser.htm
森田茂之氏による特別講演：新シリーズ（ENCOUNTERwithMATHEMATICS番外編）中央大学
2013年秋から、全体を仕切りなおして新シリーズを開始します．
http://www.math.chuo-u.ac.jp/LN_in_Chuo_v11.pdf
トポロジーの課題探訪
　―特性類と不変量を中心として―
森田茂之
2013 年 10 月 9 日-

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/21(日) 06:55:19.90

メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Perverse_sheaf
Perverse sheaf
The mathematical term perverse sheaves refers to a certain abelian category associated to a topological space X, which may be a real or complex manifold, or a more general topologically stratified space, usually singular. This concept was introduced in the thesis of Zoghman Mebkhout, gaining more popularity after the (independent) work of Joseph Bernstein, Alexander Beilinson, and Pierre Deligne (1982) as a formalisation of the Riemann-Hilbert correspondence, which related the topology of singular spaces (intersection homology of Mark Goresky and Robert MacPherson) and the algebraic theory of differential equations (microlocal calculus and holonomic D-modules of Joseph Bernstein, Masaki Kashiwara and Takahiro Kawai). It was clear from the outset that perverse sheaves are fundamental mathematical objects at the crossroads of algebraic geometry, topology, analysis and differential equations. They also play an important role in number theory, algebra, and representation theory. The properties characterizing perverse sheaves already appeared in the 75's paper of Kashiwara on the constructibility of solutions of holonomic D-modules.

Contents
1 Preliminary remarks
2 Definition and examples
3 Properties
4 Applications
5 String Theory

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/21(日) 06:56:16.02

>>46
つづき

String Theory
Massless fields in superstring compactifications have been identified with cohomology classes on the target space (i.e. four-dimensional Minkowski space with a six-dimensional Calabi-Yau (CY) manifold). The determination of the matter and interaction content requires a detailed analysis of the (co)homology of these spaces: nearly all massless fields in the effective physics model are represented by certain (co)homology elements. However, a troubling consequence occurs when the target space is singular. A singular target space means that only the CY manifold is singular as Minkowski space is smooth. Such a singular CY manifold is called a conifold as it is a CY manifold that admits conical singularities. Andrew Strominger observed (A. Strominger, 1995) that conifolds correspond to massless blackholes.

These singular target spaces, i.e. conifolds, correspond to certain mild degenerations of algebraic varieties which appear in a large class of supersymmetric theories, including superstring theory (E. Witten, 1982).

In the winter of 2002, T. Hubsch and A. Rahman met with R.M. Goresky to discuss this obstruction and in discussions between R.M. Goresky and R. MacPherson, R. MacPherson made the observation that there was such a perverse sheaf that could have the cohomology that satisfied Hubsch's conjecture and resolved the obstruction. R.M. Goresky and T. Hubsch advised A. Rahman's Ph.D. dissertation on the construction of a self-dual perverse sheaf (A. Rahman, 2009) using the zig-zag construction of MacPherson-Vilonen (R. MacPherson & K. Vilonen, 1986). This perverse sheaf proved the Hübsch conjecture for isolated conic singularities, satisfied Poincarè duality, and aligned with some of the properties of the Kähler package.

Satisfaction of all of the Kähler package by this Perverse sheaf for higher codimension strata is still an open problem.

See also
Mixed Hodge module
Mixed perverse sheaf
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/22(月) 12:13:03.70

メモ
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/index.html
田口雄一郎
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/bunsho.html
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.pdf
類体論1
田口雄一郎

1「整数論札幌夏の学校」に於ける講義 (2006 年 8 月 28 日) のノート。
2これらは 1 次元の体で、それを高次元の体 (或いは scheme) に一般化したものが
「高次元類体論」である。古典的な類体論について、予備知識を仮定せず、約 180分で概説した。

序. この講演では古典的類体論について、その概略を解説する。類体
論とは
特別な体のアーベル拡大についてはよくわかる
といふ話である。「特別な体」とは、大域体 (有限次代数体、有限体上
の一変数代数関数体) 及び局所体 (R, C, Qp の有限次拡大、Fp((t)) の
有限次拡大) の事2である。「よくわかる」とは、主に
・ Abel 拡大 L/K の Galois 群の構造が K の言葉で書ける
(わかり易い群で近似できる)、
・ Abel 拡大 L/K に於いて、K の素イデアルがどう分解するかが
よくわかる、
といふ事を指す。
1. 古典的定式化.

さらに詳しくは [7], [2], [3] や岩波の『数
学辞典』第 4 版の「類体論」の項を参照されたい。
References

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/26(金) 07:23:45.20

メモ
https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+fibration
Grothendieck fibration Last revised on January 13, 2021
Contents
1. Idea
2. Definition
3. Fibrations versus pseudofunctors
4. Fibrations versus presheaves of categories

https://ncatlab.org/joyalscatlab/published/Grothendieck+fibrations
Joyal's CatLab
Grothendieck fibrations Revised on November 20, 2020

https://arxiv.org/pdf/1806.06129.pdf
CATEGORICAL NOTIONS OF FIBRATION
FOSCO LOREGIAN AND EMILY RIEHL
Date: Original version December 20, 2010; revised version February 19, 2019.

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibred_category
Fibred categories (or fibered categories) are abstract entities in mathematics used to provide a general framework for descent theory.
Similar setups appear in various guises in mathematics, in particular in algebraic geometry, which is the context in which fibred categories originally appeared. Fibered categories are used to define stacks, which are fibered categories (over a site) with "descent". Fibrations also play an important role in categorical semantics of type theory, and in particular that of dependent type theories.
Fibred categories were introduced by Alexander Grothendieck (1959, 1971), and developed in more detail by Jean Giraud (1964, 1971).

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/26(金) 07:30:20.63

>>49
>Fibred categories (or fibered categories) are abstract entities in mathematics used to provide a general framework for descent theory.

追加
https://en.wikipedia.org/wiki/Descent_(mathematics)
Descent (mathematics)
In mathematics, the idea of descent extends the intuitive idea of 'gluing' in topology. Since the topologists' glue is the use of equivalence relations on topological spaces, the theory starts with some ideas on identification.

Contents
1 Descent of vector bundles
2 History
3 Fully faithful descent

Descent of vector bundles

Therefore, by going to a more abstract level one can eliminate the combinatorial side (that is, leave out the indices) and get something that makes sense for p not of the special form of covering with which we began. This then allows a category theory approach: what remains to do is to re-express the gluing conditions.

History
The ideas were developed in the period 1955–1965 (which was roughly the time at which the requirements of algebraic topology were met but those of algebraic geometry were not). From the point of view of abstract category theory the work of comonads of Beck was a summation of those ideas; see Beck's monadicity theorem.

The difficulties of algebraic geometry with passage to the quotient are acute. The urgency (to put it that way) of the problem for the geometers accounts for the title of the 1959 Grothendieck seminar TDTE on theorems of descent and techniques of existence (see FGA) connecting the descent question with the representable functor question in algebraic geometry in general, and the moduli problem in particular.

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/29(月) 23:34:59.52

「ライプニッツは間違っていたのか?」
「ラインハートは間違っていたのか?」

”数学の歴史を見渡してみると，paradigm shift とかquantum leap などという言
葉でしかよべないような大きな変革の前後では，何が正しいのかが一見して判断できないよ
うな状況が生れていて，一部の例外的な数学力を持った人達だけが，その状況での研究の最
先端で，後で整理してみると正しいことが厳密に説明できるようになる種類の結論を導いて
ゆく，というパターンが見られることがあります．”

（参考）
https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902282/
渕野昌
フチノサカエ (Sakaé FUCHINO)
2018年9月
間違いと真理: 解析学と集合論の場合
数学セミナー
https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902282/attachment_file.pdf

1. ライプニッツは間違っていたのか?

　数学の歴史を見渡してみると，paradigm shift とかquantum leap などという言
葉でしかよべないような大きな変革の前後では，何が正しいのかが一見して判断できないよ
うな状況が生れていて，一部の例外的な数学力を持った人達だけが，その状況での研究の最
先端で，後で整理してみると正しいことが厳密に説明できるようになる種類の結論を導いて
ゆく，というパターンが見られることがあります．そのようなとき，最先端で仕事をしてい
る人には何が正しいかについての確固とした直観があって，後から見て大きな間違いと判定
できるようなミスをすることはほとんどないとしても，研究の前線で何が起っているかを見
定めるだけの力のない人には，正しい議論と間違った議論がほとんど区別できない，という
ような混沌とした状況になってしまうことも少なくありません．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/29(月) 23:35:30.19

>>51
つづき

近代になってからの数学の歴史でも，何が本当に正しいのかが判然としないような枠組
で，何世紀にもわたって，数学理論の研究が進展してゆくという流れが一度ならず起ってい
ます．
17 世紀，18 世紀における解析学(「微分積分学」というような題で大学で講義される科
目の内容を含む数学分野) は，そのような状況の典型的なものの一つ，と言うことができるで
しょう．

例えば，ライプニッツの(1670 年代くらいの頃の) \微分係数" の理解は，変量x を無限
小量1) dx だけ変化させたときの，x の関数(ライプニッツの理解ではx の式として書ける
変量) であるところのy の変化としての無限小量をdy とするとき，それらの比dy
dx のことで
ある，というようなものだったと思われますが2) ，ライプニッツ以降，一世紀以上の間，こ
の「無限小」が数学的に厳密化されることはなく，その直観的な理解だけに頼って解析学が
発展してゆくことになります．このような展開を可能にしたのは，ひとつには，解析学の物
理での応用の華々しい成功がその裏にあって，解析学が，当時の「理論物理学」という\実
験科学" として発展し得たことで，厳密化を先送りすることができたのだろうと思うのです

このような歴史的な発展を経た後では，無限小の概念は，解析学の誕生の際のエピソード
にすぎず，教育的に，「無限小」に言及することがあれば，それは，極限の厳密な扱いについ
て来られるだけの能力のない人のための，poor man's math にすぎない，というような位置
付けがなされることになって現在に至っている，というように理解されることも多いかもし
れません．

この見方で言うと，「ライプニッツの解析学の基礎付けは間違っていた」ということになっ
て，この「間違いから発展した数学」という企画にドンピシャリな記事が書けてしまうこと
になり，私は，あと数ページかけて結末を書けばいいことになるはずですが，真実はそんな
『数セミ』記事の筆者の目論見より奇なり．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/29(月) 23:35:57.24

>>52
つづき

というのは，1960 年代の初めに，アブラハム・ロビンソン(Abraham Robinson, 1918{
1974) が，20 世紀の前半に得られた数理論理学での研究成果を用いると，ライプニッツの無
限小の，厳密な数学的定式化が可能になることを示しているからです．ロビンソンは，彼の
手法をNon-standard Analysis とよびましたが，これは，齋藤正彦先生によって「超準解析」
と日本語訳されています[齋藤1976]．

超準解析を用いると，この全微分可能性が一変数の関数の微分可能性の自然な拡張になっているこ
とが，容易に理解できます．

5. ラインハートは間違っていたのか?

ラインハート(William Reinhardt, 1939{1998) は1960 年代終り
に，V からV への(自明でない) 初等的埋め込みが存在する，という命題を，究極の巨大基
数公理として提案しました．
ところが，この提案からしばらくして，キューネンにより，そのような初等埋め込みの存在
がZFC と矛盾することが証明されてしまったのです．

ラインハートの矛盾する公理の提案，という\間違い" は，数学に，肯定的な意味でも否
定的な意味でも大きな影響を与えたと言えると思います．否定的な影響の一つは，(主に集合
論をあまりよく知らない人たちの) 巨大基数に対する不信感をあおったことでしょうが，肯定
的な影響の方は，この矛盾を避けて，いかにして大きな巨大基数の理論を展開できるか，とい
う挑戦的問題を提起して，研究の進展を促したことでしょう．実はラインハート基数はZFC
とは矛盾することが知られているものの，選択公理を除いたZF と矛盾するかどうかは分っ
ていません．最近ではZF と矛盾しないなら，そのことから何が導けるか，という観点から
の研究もいくつもなされているほどです42) ．

ZF にラインハート基数の存在公理を
付け加えた体系の妥当性の間接証明のようなものが何らかの形で得られないとは限らないの
で，その意味で，ZF に対しては，ラインハートは実は間違っていなかった，という結論が得
られる，というシナリオの可能性もゼロではないかもしれません．

集合論やそれを含む数理論理学は20 世紀の後半以降に爆発的な発展を遂げた(かつ，さ
らに遂げつつある) ので，間違いとそのフォローアップ，として捉えられるような流れも，こ
こで話したこと以外にもたくさん起っています．しかし私の知っている限りでは，そのよう
な場合の間違いのフォローアップは，それが単に間違いの綻び合せになっているのではなく
て，より積極的に次の創造的なステップへの契機となっていることの方が圧倒的に多い，と
いう印象を受けます．
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/08(木) 16:43:14.26

メモ
http://www.is.nagoya-u.ac.jp/dep-ss/phil/kukita/
久木田水生のページ名古屋大
http://www.is.nagoya-u.ac.jp/dep-ss/phil/kukita/others.html
その他
過去の講義ノート
研究会やゼミなどのために作成した資料
http://www.is.nagoya-u.ac.jp/dep-ss/phil/kukita/others/Yonedas_lemma.pdf
米田埋め込みと米田の補題
久木田水生
Cate 研 2011 年 10 月 20 日

米田埋め込みとは，任意の局所小圏 C を C 上の前層 presheaf（Cop から Set への関手圏）に埋め込む関
手である．本稿では関手のいくつかの性質の定義を導入し，米田埋め込みを定義する．そしてそれが実際に埋
め込みになっていることを確認する．米田埋め込みとは直接関係はないが，第 1 節では圏同値の二つの定義を
紹介し，それらの定義が等しいことを確認する．

1 関手の性質と圏同値

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/08(木) 17:15:41.34

メモ
http://alg-d.com/math/kan_extension/
トップ > 数学 > 圏論
圏論
このページについて
※特に断らない限り、圏はlocally smallであると仮定しています。

http://alg-d.com/math/kan_extension/review.html
トップ > 数学 > 圏論 > レビューを書くページ
2020年07月25日更新
レビューを書くページ

通りすがり | 2020年8月 5日 21:22
通りすがりです。

私はKan拡張は随伴である事を極めて強く用いる派ですが、Lan/RanというNotationはセンスが悪いと感じました。おそらくこれはNotationに対する趣味の問題でしょう。私の選好するNotationはKashiwaraと同じ†を使うものです。同書の他のNotationは苦手なのですが。

あと、凄く個人的な趣味なのですが、私は米田埋め込みを「ユニタリ変換」のようなアナロジーでとらえています。なので、†で書きたいのです。このNotationなら米田の補題は別の形ではy†y=Idと書けます。なんかユニタリ行列みたいじゃないですか。こういうアナロジーが結構インスピレーションを刺激してくれるので、この書き方が好きというだけです。Lan/Ranだとそんな感じにならないですよね。

Cisinskiは同じ本を指していますね。ただ、この本は少し階層が違う本ではないでしょうか。Higher Categoryの教科書ですので、圏論の基礎程度の内容はすべて分かっている方が読むはずの本だと思います。個人的には、比較的モデル圏の使用量がマイルドな(∞,1)-圏の導入書としては注目しています。

「圏論の基礎を辞書的に読む」という方は結構いるのですが、私は謎めいた主張だと思います。何故ならば本当に基礎的な内容しか書いていないからです。これはこの本が書かれた1970年代レベルの圏論と比較しても、かなりElementaryな内容しか書かれていないものです。かといってAbel圏や加法圏の内容が専門的に詳しい訳でもないので、この本を辞書的に用いるユーザー層は正直言って分かりません。

幸いにして具体例が豊富にありますので、それを一つ一つちゃんとフォローしていけば、学部1-2年生でも読めるはずです。

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 09:03:06.97

Galois connectionを、「ガロア接続」と訳しているけど、ガロア関係くらいの方が分かりやすくね？
なんか、ソフトウェア分野では、「随伴（ガロア接続）」なんて使われているのかｗ（＾＾；

https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_connection
Galois connection

Antitone Galois connections
Galois theory
The motivating example comes from Galois theory: suppose L/K is a field extension. Let A be the set of all subfields of L that contain K, ordered by inclusion ⊆. If E is such a subfield, write Gal(L/E) for the group of field automorphisms of L that hold E fixed. Let B be the set of subgroups of Gal(L/K), ordered by inclusion ⊆. For such a subgroup G, define Fix(G) to be the field consisting of all elements of L that are held fixed by all elements of G. Then the maps E → Gal(L/E) and G → Fix(G) form an antitone Galois connection.

7 Connection to category theory
8 Applications in the theory of programming

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E6%8E%A5%E7%B6%9A
ガロア接続

https://www.jstage.jst.go.jp/article/jssstconference/2003/0/2003_0_51/_pdf
日本ソフトウェア科学会第 20 回大会（2003 年度）論文集 1
抽象解釈にみられる圏論的構成について
木下佳樹　　　西澤弘毅
† 東京大学情報理工学系研究科コンピュータ科学専攻
完備束と随伴

本稿は以下のように構成する．第 2 節では完備束
および随伴（ガロア接続）に関する用語を確定し，後
に使う基本的な事実を列挙する．

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 09:07:57.49

「A 'killer application' is etale cohomology.」だって

https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_topos_theory
History of topos theory

Contents
1 In the school of Grothendieck
2 From pure category theory to categorical logic
3 Position of topos theory
4 Summary

In the school of Grothendieck
During the latter part of the 1950s, the foundations of algebraic geometry were being rewritten; and it is here that the origins of the topos concept are to be found. At that time the Weil conjectures were an outstanding motivation to research. As we now know, the route towards their proof, and other advances, lay in the construction of etale cohomology.

Summary
The topos concept arose in algebraic geometry, as a consequence of combining the concept of sheaf and closure under categorical operations. It plays a certain definite role in cohomology theories. A 'killer application' is etale cohomology.

The subsequent developments associated with logic are more interdisciplinary. They include examples drawing on homotopy theory (classifying toposes). They involve links between category theory and mathematical logic, and also (as a high-level, organisational discussion) between category theory and theoretical computer science based on type theory. Granted the general view of Saunders Mac Lane about ubiquity of concepts, this gives them a definite status. The use of toposes as unifying bridges in mathematics has been pioneered by Olivia Caramello in her 2017 book.[1]

References
Caramello, Olivia (2017). Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic `bridges. Oxford University Press. doi:10.1093/oso/9780198758914.001.0001. ISBN 9780198758914.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 09:11:58.29

Category Theory Brief Historical Sketch

https://plato.stanford.edu/entries/category-theory/
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Category Theory
First published Fri Dec 6, 1996; substantive revision Thu Aug 29, 2019

1. General Definitions, Examples and Applications
1.1 Definitions
1.2 Examples
1.3 Fundamental Concepts of the Theory
2. Brief Historical Sketch
3. Philosophical Significance
Bibliography
Academic Tools
Other Internet Resources
Related Entries

2. Brief Historical Sketch
It is difficult to do justice to the short but intricate history of the field. In particular it is not possible to mention all those who have contributed to its rapid development. With this word of caution out of the way, we will look at some of the main historical threads.

Categories, functors, natural transformations, limits and colimits appeared almost out of nowhere in a paper by Eilenberg & Mac?Lane (1945) entitled “General Theory of Natural Equivalences.” We say “almost,” because their earlier paper (1942) contains specific functors and natural transformations at work, limited to groups. A desire to clarify and abstract their 1942 results led Eilenberg & Mac?Lane to devise category theory. The central notion at the time, as their title indicates, was that of natural transformation. In order to give a general definition of the latter, they defined functor, borrowing the term from Carnap, and in order to define functor, they borrowed the word ‘category’ from the philosophy of Aristotle, Kant, and C. S. Peirce, but redefining it mathematically.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 11:36:08.97

メモ下記誘（いざな）い　《拡大版》なかなか良いね
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
望月出張講演
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(kakudaiban).pdf
望月出張講演
[13] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　《拡大版》（東京大学 2013年06月） PDF

P12
実は、先ほどの IUTeich の議論は上半平面上の古典的なテータ関数
θ(t) = Σe^(-πn^2t)
に対するヤコビの変換式
(t) = t^-1/2・θ(1/t)
(=ある意味、先ほど出てきたガウス積分の計算の関数版と見做せる!)と、様々な側面において非常によく似ている(下表を参照)!

{q^j^2} j=1, ...,l テータ関数のガウス分布型展開

Log-link による +,x の回転に対する絶対遠アーベル幾何の適用

回転 ← → t→1/t 即ち ∞→ 0 への解析接続

過去の論文のレベルでいうと、絶対遠アーベル幾何やエタール・テータ関数の様々な剛性性質に関する
・ Semi-graphs of Anabelioids
・ The Etale Theta Function ...
・ The Geometry of Frobenioids I, II
・ Topics in Absolute Anab. Geo. III
の結果や理論を適用することによって主定理を帰結する:
主定理: θ-link の左辺に対して、軽微な不定性を除いて、右辺の「異質」な環構造しか用いない言葉により、明示的なアルゴリズムによる記述を与えることができる。

P14
ポイント:
・Gun OX のコア性(coricity)!
・二種類の数学的対象を関連付ける、様々な形の「Kummer 理論」

(93後半の解説を参照):
抽象的なモノイド = Frobenius 型の対象
数論的基本群・ガロア群 = etale 型の対象
ここで、ガウス積分の計算との類似を思い出そう:

log-, θ-link や対数・テータ格子の定義← → デカルト座標
絶対遠アーベル幾何を用いたアルゴリズムによる記述く→極座標
円分物 ((1)) の確保=剛性が肝心! ← → S' による座標変換
・「log-shell」=「入れ物」log(-)への作用

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 11:58:52.00

>>59
P14（追加引用）
絶対遠アーベル幾何を用いたアルゴリズムによる記述く←→極座標
円分物 (＝～Z(1)) の確保=剛性が肝心! ← → S^1 による座標変換
・「log-shell」=「入れ物」log(-)への作用
log(Oxk) ← {q^j^2} j=1, ...,l
を実現するためには、Log-link の活用が必要不可欠である。
... 一方、対数・テータ格子の非可換性によって様々な困難が生じる。
→ 後の「体積計算」では、(等式ではなく!) 不等式しか出ない!
主定理のアルゴリズムの出力に対して、体積計算を行うと、
§1 で解説したように次のような帰結が得られる。
系:「Szpiro 予想」(←→「ABC 予想」)。
先ほどの議論は、§3 の最後に解説したヤコビの変換式との類似で考えると、様々な類似点が浮かび上がる:
(引用終り)

素人の推定だが
楕円曲線を抽象化して、「log-shell」=「入れ物」log(-)
に入れて、
log(Oxk) ← {q^j^2} j=1, ...,l
を実現するために、Log-link の活用を活用すると
様々なqに対する楕円曲線の特性（コピー）が得られる

それらを集めて（積分）すると
「体積計算」では、(等式ではなく!) 不等式しか出ない
けれど、
”系:「Szpiro 予想」(←→「ABC 予想」)”が得られる
ってことかな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 12:30:39.04

当時のフェルマーが大定理の証明をできてたなんて誰も思ってないけど
大定理を巡って数論が大きく発展したのは事実で、フェルマーはやはり偉大な数学者である
望月先生もその辺りに落ち着くんだろうな

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 12:40:11.57

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/IUT-references.html
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/documents/RIMS-Lille%20-%20Promenade%20in%20Inter-Universal%20Teichm%C3%BCller%20Theory.pdf
PROMENADE IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY - 復元 Version 1 - ε - 03/09/2021
>LCF, coricity & Mono-theta Environments

(多分下記)LCF：by Joshua Lederberg, and extended by H. S. M. Coxeter and Robert Frucht

https://en.wikipedia.org/wiki/LCF_notation
LCF notation

In combinatorial mathematics, LCF notation or LCF code is a notation devised by Joshua Lederberg, and extended by H. S. M. Coxeter and Robert Frucht, for the representation of cubic graphs that contain a Hamiltonian cycle.[2][3] The cycle itself includes two out of the three adjacencies for each vertex, and the LCF notation specifies how far along the cycle each vertex's third neighbor is. A single graph may have multiple different representations in LCF notation.

Contents
1 Description
2 Applications
3 Examples
4 Extended LCF notation

https://mathworld.wolfram.com/LCFNotation.html
LCF Notation Wolfram

LCF notation is a concise and convenient notation devised by Joshua Lederberg (winner of the 1958 Nobel Prize in Physiology and Medicine) for the representation of cubic Hamiltonian graphs (Lederberg 1965). The notation was subsequently modified by Frucht (1976) and Coxeter et al. (1981), and hence was dubbed "LCF notation" by Frucht (1976). Pegg (2003) used the notation to describe many of the cubic symmetric graphs. The notation only applies to Hamiltonian graphs, since it achieves its symmetry and conciseness by placing a Hamiltonian cycle in a circular embedding and then connecting specified pairs of nodes with edges.

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/FruchtNotation_600.gif

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 16:09:36.13

フェルマーは予想者、もっちーは証明者
証明が正しくなければ何も残らない

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 20:12:32.14

>>61
＞望月先生もその辺りに落ち着くんだろうな

そうですね
そこらは、今年の4回の国際会議を経て
見えてくると思います

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 23:08:22.79

メモ（これ面白い）
https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics
Timeline of category theory and related mathematics

Contents
1 Timeline to 1945: before the definitions
2 1945?1970
3 1971?1980
4 1981?1990
5 1991?2000
6 2001?present
7 See also

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 23:22:16.42

メモ
Categorical logic - higher-order logics
https://en.wikipedia.org/wiki/Categorical_logic
Categorical logic

Internal languages
This can be seen as a formalization and generalization of proof by diagram chasing. One defines a suitable internal language naming relevant constituents of a category, and then applies categorical semantics to turn assertions in a logic over the internal language into corresponding categorical statements. This has been most successful in the theory of toposes, where the internal language of a topos together with the semantics of intuitionistic higher-order logic in a topos enables one to reason about the objects and morphisms of a topos "as if they were sets and functions".

Further reading
Lambek, J. and Scott, P. J., 1986. Introduction to Higher Order Categorical Logic. Fairly accessible introduction, but somewhat dated. The categorical approach to higher-order logics over polymorphic and dependent types was developed largely after this book was published.
Jacobs, Bart (1999). Categorical Logic and Type Theory. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 141. North Holland, Elsevier. ISBN 0-444-50170-3. A comprehensive monograph written by a computer scientist; it covers both first-order and higher-order logics, and also polymorphic and dependent types. The focus is on fibred category as universal tool in categorical logic, which is necessary in dealing with polymorphic and dependent types.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 00:00:34.67

メモ
”He and others went on to show that higher order logic was beautifully captured in the setting of category theory (more specifically toposes).”
https://math.mit.edu/~dspivak/
David Spivak
Research Scientist
Department of Mathematics
MIT
https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/#
Category Theory for Scientists MIT OpenCourseWare, Massachusetts Institute of Technology
https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/textbook/
Category Theory for Scientists
Textbook
https://math.mit.edu/~dspivak/CT4S.pdf
Category Theory for Scientists
(Old Version)
David I. Spivak
September 17, 2013

P10
Bill Lawvere saw category theory as a new foundation for all mathematical thought.
Mathematicians had been searching for foundations in the 19th century and were reasonably satisfied with set theory as the foundation. But Lawvere showed that the category
of sets is simply a category with certain nice properties, not necessarily the center of
the mathematical universe. He explained how whole algebraic theories can be viewed
as examples of a single system. He and others went on to show that higher order logic
was beautifully captured in the setting of category theory (more specifically toposes).
It is here also that Grothendieck and his school worked out major results in algebraic
geometry.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 12:37:55.08

メモ（これ、結構いいかも）

https://twitter.com/math_jin
math_jinさんがリツイート
京大軽音オリエンテーション
@kulmcorient
3月14日
#数理解析研究所
↓
■ 数学入門講座 2012
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」
望月新一（京都大学数理解析研究所）
http://kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H24-mochizuki.pdf
（pdf、全22頁）

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/special-01.back.html
数理研数学入門公開講座　バックナンバー（講義ノート）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H24-mochizuki.pdf
2012年7月30日-8月2日（第34回）演題及び講師
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」望月新一

有理数体Ｑのような「数体」と、複数のドーナツの表面を合体させたような形をしたコンパクトな「位相曲面」は一見して全く異質な数学的対象であり、初等的な可換環論、つまり、「加減乗除」が可能な数学的対象としての構造の理論から見ても直接的に関連付けることは難しい。しかし数体の拡大体の対称性を記述する「絶対ガロア群」と、コンパクトな位相曲面の有限次の被覆の対称性を統制する「副有限基本群」を通して両者を改めて眺めてみると、「二次元的な群論的絡まり合い」という形で大変に興味深い構造的な類似性が浮かび上がってくる。本講義では様々な側面におけるこの種の類似性に焦点を当てながら、数体と位相曲面の基礎的な理論について解説する。
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 14:33:04.05

これ面白い（理解してるとは言ってない）
これ、結構いいかも（理解してるとは言ってない）

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 16:43:03.61

メモ

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talks.html
星裕一郎
講演

宇宙際 Teichmuller 理論入門 I～III
代数的整数論とその周辺 2015,
京都大学数理解析研究所,
2015.11.30-2015.12.4.
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20151201.pdf
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20151201_appendix.pdf
宇宙際 Teichmuller 理論入門 I (講演スライド; 付録),

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20151202.pdf
宇宙際 Teichmuller 理論入門 II (講演スライド),

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20151203.pdf
宇宙際 Teichmuller 理論入門 III (講演スライド),

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 16:46:14.43

>>69
ありがとう
下記10人に入っていないことは、確かだ

https://twitter.com/math_jin
math_jinさんがリツイート
石倉徹也 Tetsuya ISHIKURA
@i_tetsuya137
4月3日
返信先:
@ryomakom
さん
望月さんによると理解者は10人。それ以外は懐疑派と傍観者ですから、記事が否定的になるのは仕方ないですかね

頑張って理解したものだけが理論の凄さをわかるという、信じるものは救われる的な要素がある宇宙際理論ゆえに、理解者が増えないのでしょう

強力な使徒が必要かと
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 16:47:12.66

>>71
補足

もっとも、10人と言っていたのは、何年も前のこと
いま、100人くらいに増えてて居ると思うよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:13:16.93

メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Categorification
Categorification

In mathematics, categorification is the process of replacing set-theoretic theorems with category-theoretic analogues. Categorification, when done successfully, replaces sets with categories, functions with functors, and equations with natural isomorphisms of functors satisfying additional properties. The term was coined by Louis Crane.

The reverse of categorification is the process of decategorification. Decategorification is a systematic process by which isomorphic objects in a category are identified as equal. Whereas decategorification is a straightforward process, categorification is usually much less straightforward. In the representation theory of Lie algebras, modules over specific algebras are the principle objects of study, and there are several frameworks for what a categorification of such a module should be, e.g., so called (weak) abelian categorifications.[1]

Categorification and decategorification are not precise mathematical procedures, but rather a class of possible analogues. They are used in a similar way to the words like 'generalization', and not like 'sheafification'.[2]

Contents
1 Examples of categorification
2 Abelian categorifications
3 See also

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:13:42.66

>>73
つづき

Examples of categorification
One form of categorification takes a structure described in terms of sets, and interprets the sets as isomorphism classes of objects in a category. For example, the set of natural numbers can be seen as the set of cardinalities of finite sets (and any two sets with the same cardinality are isomorphic). In this case, operations on the set of natural numbers, such as addition and multiplication, can be seen as carrying information about products and coproducts of the category of finite sets. Less abstractly, the idea here is that manipulating sets of actual objects, and taking coproducts (combining two sets in a union) or products (building arrays of things to keep track of large numbers of them) came first. Later, the concrete structure of sets was abstracted away - taken "only up to isomorphism", to produce the abstract theory of arithmetic. This is a "decategorification" - categorification reverses this step.

Other examples include homology theories in topology. Emmy Noether gave the modern formulation of homology as the rank of certain free abelian groups by categorifying the notion of a Betti number.[3] See also Khovanov homology as a knot invariant in knot theory.

An example in finite group theory is that the ring of symmetric functions is categorified by the category of representations of the symmetric group. The decategorification map sends the Specht module indexed by partition {\displaystyle \lambda }\lambda to the Schur function indexed by the same partition,
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:25:20.81

メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Gluing_axiom
Gluing axiom

In mathematics, the gluing axiom is introduced to define what a sheaf {F} on a topological space X must satisfy, given that it is a presheaf, which is by definition a contravariant functor
{F}: {O}(X)→ C
to a category C}C which initially one takes to be the category of sets. Here {O}(X) is the partial order of open sets of X ordered by inclusion maps; and considered as a category in the standard way, with a unique morphism
U→ V
if U is a subset of V}V, and none otherwise.

As phrased in the sheaf article, there is a certain axiom that F must satisfy, for any open cover of an open set of X. For example, given open sets U and V with union X and intersection W, the required condition is that
{F}(X) is the subset of {F}(U) ｘ {F}(V) With equal image in {F}(W)
In less formal language, a section s}s of F}F over X}X is equally well given by a pair of sections :(s',s'') on U and V respectively, which 'agree' in the sense that s' and s''have a common image in {F}(W) under the respective restriction maps
{F}(U)→ {F}(W)
and
{F}(V)→ {F}.
The first major hurdle in sheaf theory is to see that this gluing or patching axiom is a correct abstraction from the usual idea in geometric situations. For example, a vector field is a section of a tangent bundle on a smooth manifold; this says that a vector field on the union of two open sets is (no more and no less than) vector fields on the two sets that agree where they overlap.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:25:46.73

>>75
つづき

Given this basic understanding, there are further issues in the theory, and some will be addressed here. A different direction is that of the Grothendieck topology, and yet another is the logical status of 'local existence' (see Kripke?Joyal semantics).

Sheafification
To turn a given presheaf {P} into a sheaf {F}, there is a standard device called sheafification or sheaving. The rough intuition of what one should do, at least for a presheaf of sets, is to introduce an equivalence relation, which makes equivalent data given by different covers on the overlaps by refining the covers. One approach is therefore to go to the stalks and recover the sheaf space of the best possible sheaf {F} produced from {P}.

This use of language strongly suggests that we are dealing here with adjoint functors. Therefore, it makes sense to observe that the sheaves on X form a full subcategory of the presheaves on X. Implicit in that is the statement that a morphism of sheaves is nothing more than a natural transformation of the sheaves, considered as functors. Therefore, we get an abstract characterisation of sheafification as left adjoint to the inclusion. In some applications, naturally, one does need a description.

In more abstract language, the sheaves on X}X form a reflective subcategory of the presheaves (Mac Lane?Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic p. 86). In topos theory, for a Lawvere?Tierney topology and its sheaves, there is an analogous result (ibid. p. 227).
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:33:45.32

>>74
>Other examples include homology theories in topology. Emmy Noether gave the modern formulation of homology as the rank of certain free abelian groups by categorifying the notion of a Betti number.[3] See also Khovanov homology as a knot invariant in knot theory.

追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%90%E3%83%8E%E3%83%95%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
コバノフホモロジー(英: Khovanov homology)は、鎖複体のホモロジーとしてできる向きづけられた結び目の不変量である。コバノフホモロジーはジョーンズ多項式のカテゴリ化（英語版）として考えられる。

コバノフホモロジーは1990年代の終わりに、ミハイル・コバノフ（英語版）(Mikhail Khovanov)により導入された。彼は当時はカリフォルニア大学デービス校に在籍しており、現在はコロンビア大学に所属している。

目次
1 概要
2 定義
3 関連する理論
4 結び目（絡み目）多項式との関係
5 応用

概要
結び目もしくは絡み目 L を表現する図形 D に、コバノフ括弧 [D]、これは次数付きベクトル空間の鎖複体、を割り当てる。すると、ジョーンズ多項式の構成の中でのカウフマン括弧の類似物となる。次に、[D] を（次数付きベクトル空間の中の）一連の次数シフトと（鎖複体の中の）高さシフトにより正規化して、新しい複体 C(D) を得る。この複体のホモロジーは L の不変量であることが分かり、その次数付きオイラー標数は L のジョーンズ多項式であることが分かる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Khovanov_homology
Khovanov homology

Contents
1 Overview
2 Definition
3 Related theories
4 The relation to link (knot) polynomials
5 Applications

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:40:30.82

>>75
追加

https://mathoverflow.net/questions/4841/what-precisely-is-categorification#
mathoverflow
What precisely Is “Categorification”?
asked Nov 10 '09 at 11:22
Gil Kalai

anser 45
One way to think of categorification is that it's a generalization of enumerative combinatorics. When a combinatorialist sees a complicated formula that turns out to be positive they think "aha! this must be counting the size of some set!" and when they see an equality of two different positive formulas they think "aha! there must be a bijection explaining this equality!" This is a special case of categorification, because when you decategorify a set you just get a number and when you decategorify a bijection you just get an equality. As a combinatorialist I'm sure you can come up with some examples that nicely illustrate how this sort of categorification is not totally well-defined. ("What exactly do Catalan numbers count?" has many answers rather than a single right answer.)

A more sophisticated kind of categorification in combinatorics is "Combinatorial Species" which categorify power series with positive coefficients.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:42:49.45

>>78
追加

https://ncatlab.org/nlab/show/vertical+categorification
vertical categorification

Contents
1. Idea
2. Variants
As a section of decategorification
Examples
As internalization in nCat
Examples
As homotopy coherent resolution
Examples
3. Contrast to horizontal categorification
4. Homotopification versus laxification
5. Related entries
6. References

1. Idea

Roughly speaking, vertical categorification is a procedure in which structures are generalized from the context of set theory to category theory or from category theory to higher category theory.

What precisely that means may depend on circumstances and authors, to some extent. The following lists some common procedures that are known as categorification. They are in general different but may in cases lead to the same categorified notions, as discussed in the examples.

See also categorification in representation theory.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 11:28:58.79

>>78
＞One way to think of categorification is that it's a generalization of enumerative combinatorics. When a combinatorialist sees a complicated formula that turns out to be positive they think "aha! this must be counting the size of some set!" and when they see an equality of two different positive formulas they think "aha! there must be a bijection explaining this equality!"
＞A more sophisticated kind of categorification in combinatorics is "Combinatorial Species" which categorify power series with positive coefficients.

・IUTは、何らかの手段で、楕円曲線（又はそれが入っている空間（宇宙））を圏論化する
　anabelioid など？
・そうすると、見えてくるものがあるのです
・特に、enumerative combinatorics、 "Combinatorial Species" を使うのが、スジ（筋）かな
・そして、そこには不定性があり、不等式が出る！！

のかな？？（＾＾
早く、学部ないし修士レベルの解説を書く段階にならないかな？
（今は、プロ研究者用解説の段階でしょうね）

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
望月過去と現在
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20ni%20tsuite%20no%20FAQ.pdf
1 “宇宙際”についてのFAQ.1 (これは今後書く予定のサーベイとは関係ありません.)
注）1(株) 豊田中央研究所　山下剛

Q1. 宇宙を取り替える, って数学基礎論的・論理学的に非自明な操作をしているの？

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 11:29:39.06

>>80
つづき

Q2. じゃあ, 宇宙を取り替えるってどういう意味？
A2. 宇宙際 Teichm¨uller 理論では, 環構造そのものを変形します. スキーム論とは環論だと思う
と, by definition でスキーム論が通用しない局面がしばしば出てくるということです. 一方のス
キーム論での操作や基点などを他方のスキーム論にもちこむことはできません. 一方での恣意
的なラベル付けが他方では通用しない, それは “宇宙を取り替える” ということではないか, と
いう意味で使っています. 厳密な意味での Grothendieck 宇宙を取り替えると考えてもいいです
し, 数学基礎論的に厳密な観点からはあくまで 1 つの Grothendieck 宇宙の中で考えてその中に
別々にスキーム論があって, それを取り替えることを “宇宙を取り替える” という言葉で表現し
ていると考えてもいいです. また, その新しい幾何学ではそこから生じる不定性を統制する・剛
性 (rigidity) で抑える・(1 の冪根の p 進 log をとると 0 になる等の) 適当な操作で消す・(不定性
のため像がはっきりしないがある入れ物には入っていることは分かるなどにより) 見積もること
などや, ある不定性と他の不定性が連動している (synchronize) ことを用いることなどが大事に
なってきます. それにはそもそも不定性の存在に気付かないといけないわけですが, 不定性の存
在を明確に意識するのにも役に立つ考え方です. “その新しい幾何学” と書きましたが, 従来の
幾何学では (多項式写像であれ連続写像であれ可微分写像であれ) 環構造と整合的な射 (環付き
トポスの射) を考えるのが幾何学であるという視点に立つならば, それは幾何学という枠組みす
ら超えているかもしれません.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 11:30:12.15

>>81
つづき

Q3. たくさん宇宙を取り替るとしても, もともとそれらをすべて含むような宇宙をとってきてそ
の宇宙で議論をすれば, 宇宙を取り替える必要はないんじゃないの？

Q4. よく分かんない. 分かりやすいおもちゃ的な例を挙げて欲しい
A4. 別のたとえをしますと, R 上の (適当な) 関数 f(x) とその Fourier 変換 ˆf(ξ) の変数 x, ξ が
住んでいる定義域は同じ R と考えることもできますが, “本当は” その住んでいる場所って違い
ますよね. そういう感覚に近いです. 上半平面の ∞ カスプと 0 カスプと取り替える座標変換
z 7→ －1
z も, どこを基点に座標を考えているのかを替える (ラベル付けを替える)“宇宙替え” の
おもちゃ版とみなせます. この Fourier 変換と座標変換の 2 つの例は, テータ関数 (あるいは一
般に保型性をもつ関数) の関数等式 θ(t) = √1tθ(1t)
の視点では同じことを言っているにすぎませ
ん. また, A3 で “各スキーム論が局所的にあり宇宙を取り替えて別のスキーム論に移ると考え
る方が自然です” と答えました. “座標変換を宇宙替え (のおもちゃ版) と見なす” という上で挙
げた例は, その意味でも (可微分) 多様体を大きな Euclid 空間の部分集合と見るのではなく局所
的なものを座標変換で貼り合せたものと見る見方と類似的です.
同一視はできても本来的起源が違う対象を別のものと思うsensitiveな感覚が宇宙際Teichm¨uller
理論では大事になってきます. R
2 に異なる 2 つの正則構造を入れると, どちらも C で同じもの
です. 正則構造のみしか見えない視点では両者をつなげることはできませんが, 下部構造の R2
を考えると非正則なつながり方が見えてそのズレを計ることができる, ということと類似のこ
とを宇宙際 Teichm¨uller 理論ではします. つまり, 数体の数論的正則構造 (=環構造) を非スキー
ム論的に変形し, 変形前と変形後は環としては同じものですが, スキーム論だけでは見えないそ
のつながり方を mono-analytic な視点を導入して見えるようにしてズレを計算する, ということ
をします. 宇宙際 Teichm¨uller 理論ではそのようにある 1 つの数論的正則構造の視点でのみ意味
をもつ性質を uniradial と呼び, 他の数論的正則構造たちとも共通する性質を coric と呼び, あ
る数論的正則構造の視点で別の数論的正則構造たちを記述できる性質を multiradial と呼んで
います.

Q5. abc 予想の証明に宇宙を取り替える必要って本当にあるの？

注 3: 2013 年 4 月現在, 宇宙際 Teichm¨uller 理論の論文は詳細の点検中にあります. 上記文章は
2013 年 4 月現在においてその理論の正しさの主張や保証をするものではありません.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 11:32:01.66

>下記10人に入っていないことは、確かだ
自惚れるのもいい加減にしろ
大学1年4月の課程さえちんぷんかんぷんの馬鹿が

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:05:57.77

これ、良くまとまっている
http://blog.livedoor.jp/abc_conjecture/archives/44597227.html
【数学】ABC予想ニュース【最新情報】
2018年01月24日
宇宙際タイヒミュラー理論のまとめWiki
(2018.1.24更新)

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:31:12.16

>>83
ほいよ
お前下記でも読んでみなｗ

John Carlos Baez / Azimuthは、ちょっと大物かも
David Roberts は、三流だと思うが

https://johncarlosbaez.wordpress.com/about/
About
Hello! This is the official blog of the Azimuth Project.
You can read about many things here: from math to physics to earth science and biology, computer science and the technologies of today and tomorrow—but in general, centered around the theme of what scientists, engineers and programmers can do to help save a planet in crisis.

https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/10/13/category-theory-course/
Azimuth
Category Theory Course
I’m teaching a course on category theory at U.C. Riverside, and since my website is still suffering from reduced functionality I’ll put the course notes here for now. I taught an introductory course on category theory in 2016, but this one is a bit more advanced.

David Roberts says:
14 October, 2018 at 10:09 pm
Amusingly, that example on the first page on lecture one about fd vector spaces having skeleton the standard R^ns is one that Mochizuki (and Go Yamashita, acting as a proxy) claim shouldn’t do! See eg the bottom of page 2 in this FAQ by Yamashita http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/FAQ%20on%20IUTeich.pdf namely the dialogue in A4. Odd…

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:32:05.64

>>85
つづき

Reply
Todd Trimble says:
15 October, 2018 at 12:00 am
I’m somewhat sympathetic to the sentiment that working with a skeleton can be occasionally confusing. Mainly because it can cause one to “see” things which are not actually there! One of my favorite examples is the conceptual distinction between linear orderings of the set \{1, 2, \ldots, n\} and permutations thereon. Because it’s hard not to notice the usual ordering there, it’s very tempting to conflate the two — an urge which goes away when one works not with this skeleton of finite sets, but finite sets more generally, where the distinction becomes totally clear. I gather that Mochizuki (or Yamashita) is driving at something similar.

Reply
David Roberts says:
15 October, 2018 at 11:04 am
I agree that blind reduction to the skeleton is not the way to do things, but I have taught first-year linear algebra a number of times, and our course uses exclusively the skeleton :-). Not to mention in physics, where everything is R^3 or R^4, and one just makes sure the not-standard basis is explicit.

https://en.wikipedia.org/wiki/John_C._Baez
John Carlos Baez (/ˈbaɪɛz/; born June 12, 1961) is an American mathematical physicist and a professor of mathematics at the University of California, Riverside (UCR)[2] in Riverside, California. He has worked on spin foams in loop quantum gravity, applications of higher categories to physics, and applied category theory.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/John_Baez%2C_physicist_%282009%29.jpg

Blogs
Baez runs the blog "Azimuth", where he writes about a variety of topics ranging from This Week's Finds in Mathematical Physics to the current focus, combating climate change and various other environmental issues.[11]
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:45:16.37

>>85
>ほいよ
>お前下記でも読んでみなｗ

あんた
読めないんだろ？ｗ（＾＾
だったら、同じじゃんか！！ｗｗ（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:53:22.02

>>85
>http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/FAQ%20on%20IUTeich.pdf namely the dialogue in A4. Odd…
（追加）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/FAQ%20on%20IUTeich.pdf
(上記URLと下記URLは同じ内容だが、下記の方が文字化けがないのでいいね)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/IUfaq_en2.pdf
FAQ on Inter-universal Teichmüller Theory
By Go Yamashita, RIMS, Kyoto University.
September 2018

Q8. Can you give examples of further research or results that arose from inter-universal Teichmüller theory?
A8. I myself am interested in pursuing the possibility of applying various ideas that appear in
inter-universal Teichmüller theory to the study of the Riemann zeta function. At the present

time, I have obtained some interesting observations, but no substantive results. Hoshi is studying an application of inter-universal Teichmüller theory to the birational section conjecture
in birational anabelian geometry, while Porowski and Minamide are studying numerical improvements of certain height inequalities in inter-universal Teichmüller theory. I also hear that
Dimitrov is studying the possibility of applying inter-universal Teichmüller theory to the study
of Siegel-zeroes.
References
[pGC] S. Mochizuki, The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves. Invent. Math. 138 (1999), p.319423.
[EtTh] S. Mochizuki, The Étale Theta Function and its Frobenioid-theoretic Manifestations. Publ. Res.
Inst. Math. Sci. 45 (2009), p.227349.
[AbsTopII] S. Mochizuki, Topics in Absolute Anabelian Geometry II: Decomposition Groups. J. Math. Sci.
Univ. Tokyo 20 (2013), p.171269.
[AbsTopIII] S. Mochizuki, Topics in Absolute Anabelian Geometry III: Global Reconstruction Algorithms. J.
Math. Sci. Univ. Tokyo 22 (2015), p.9391156.
[FAQ] G. Yamashita, FAQ on Inter-Universality, an informal note available at
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-english.html
[Y] G. Yamashita, A proof of the abc conjecture after Mochizuki, preprint available at
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/myworks.html

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/14(水) 21:50:00.36

>>80

圏論化
https://talk.hyuki.net/04/
圏論と学びをめぐる往復書簡
No.04
圏論と通常の数学
土岡俊介→結城浩
2020-01-14

圏論化
三つ目は、やや専門的な話になりますが、通常の数学の対象（集合論的対象）の圏論版を考えることが重要であることが知られていて、圏論化（categorification）と呼ばれています。そして、定理の主張に圏は登場しないものの、圏論化の手法でしか証明が知られていない通常の数学の定理があり、数学の深い結果とされます（ここでは紹介できませんが）。

圏論化の例として、アーベル圏（いくつかの性質や構造をもつ圏のこと）は線型空間の圏論版（の一つ）と思うことができます。

圏論化の文脈では、もはや圏論は「多様な数学的対象や数学的事実に対して抽象度が高く統一的な表現を与える」言語というよりは、「特定の数学の定理の証明を行うための素材」または「特定の数学の定理の本質をあぶり出すための概念装置」となっています。数学では、（フェルマーの定理のような）小学生でもわかる自然数の特定の性質を証明するために、さまざまな概念を導入しますが、それと変わらない営みだと言ってよいでしょう。齋藤恭司さんが、監修者まえがきで「何ゆえに圏という概念を導入する必然性があるのか、当時の私には不明であった」への答えとして挙げられている例も、この視点に通じるものがあると思います。あるいは『連接層の導来圏に関わる諸問題』（戸田幸伸、数学書房）を眺めてみると、さらに雰囲気を垣間見られるかもしれません。

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/14(水) 21:58:09.78

>>85
>John Carlos Baez / Azimuthは、ちょっと大物かも
>David Roberts は、三流だと思うが

John Carlos Baezは、一流ですね（下記）
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics
Timeline of category theory and related mathematics

1995 John Baez-James Dolan Opetopic sets (opetopes) based on operads. Weak n-categories are n-opetopic sets.
1995 John Baez-James Dolan Introduced the periodic table of mathematics which identifies k-tuply monoidal n-categories. It mirrors the table of homotopy groups of the spheres.
1995 John Baez?James Dolan Outlined a program in which n-dimensional TQFTs are described as n-category representations.
1995 John Baez?James Dolan Proposed n-dimensional deformation quantization.
1995 John Baez?James Dolan Tangle hypothesis: The n-category of framed n-tangles in n + k dimensions is (n + k)-equivalent to the free weak k-tuply monoidal n-category with duals on one object.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/14(水) 21:58:39.03

>>90
つづき

1995 John Baez-James Dolan Cobordism hypothesis (Extended TQFT hypothesis I): The n-category of which n-dimensional extended TQFTs are representations, nCob, is the free stable weak n-category with duals on one object.
1995 John Baez-James Dolan Stabilization hypothesis: After suspending a weak n-category n + 2 times, further suspensions have no essential effect. The suspension functor S: nCatk→nCatk+1 is an equivalence of categories for k = n + 2.
1995 John Baez-James Dolan Extended TQFT hypothesis II: An n-dimensional unitary extended TQFT is a weak n-functor, preserving all levels of duality, from the free stable weak n-category with duals on one object to nHilb.

https://en.wikipedia.org/wiki/John_C._Baez
John Carlos Baez (/?ba??z/; born June 12, 1961) is an American mathematical physicist and a professor of mathematics at the University of California, Riverside (UCR)[2] in Riverside, California. He has worked on spin foams in loop quantum gravity, applications of higher categories to physics, and applied category theory.

Baez is also the author of This Week's Finds in Mathematical Physics,[3] an irregular column on the internet featuring mathematical exposition and criticism.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/14(水) 23:28:54.47

>>89
圏論化

https://mathsoc.jp/publication/tushin/bookreview.html
TOP Page > 日本数学会の出版物 > 数学通信 > 総目次「書評」
21 巻(2016 年度)
圏論の歩き方委員会　編：圏論の歩き方
評者:安田　健彦, 掲載巻号:21(1) pp.103-
https://mathsoc.jp/publication/tushin/2101/2101yasuda.pdf
書　　評
圏論の歩き方
圏論の歩き方委員会　編集，日本評論社，2015 年
大阪大学大学院理学研究科
安田　健彦

第 14 章「表現論と圏論化」（著：土岡俊介）は，私の専門分野に少し関連していて個人的に
興味を持った．ここでは表現論における圏論化を論じている．圏論化とは例えば，ある種の
整数をあるベクトル空間の次元と解釈し，二つの整数間の等式をベクトル空間の間の同型射
から導くというぐあいに，ある数学的対象（数や等式）を，より豊かな圏での対応物（ベクト
ル空間や同型射）の「影」と見なすこと，またそのような圏を構成することだ．圏論化のハ
イライトは非負性の証明で，この章で例を用いて説明している．非負性とは，ある数が整数
であることは定義からすぐに従うが，それが実は非負になる非自明な主張のことである．章
の後半はモジュラー表現の最近の話題にまで触れている．その部分は完全な理解が難しかっ
たが，分野の進展の様子が垣間見られて面白い．

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:12:27.17

メモ
圏と論理
ローヴェア理論（等式理論のグラフ図示・圏論化）
圏の大きさ,矛盾の回避
(参考)
https://www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/pdf/teach/LectureNotes-category-theory.pdf
圏と論理へのいざない・レクチャーノート
木原貴行
名古屋大学情報学部・情報学研究科
最終更新日: 2020 年4 月3 日

P29
x 3. 自由代数，等式理論，ローヴェア理論
3.1. 等式理論と自由代数

モノイドの理論に対して自由モノイド，群の理論に対して自由群の概念があるように，
等式理論が与えられれば対応する自由代数がある．これについても，等式理論のモデル理論をグラ
フ図示の文脈で導入した後に自由代数の一般論を議論していく．自由代数の概念は，後の節で説明
するモナドや随伴といった圏論における重要概念とも深く結びついていく．
この前段階のステップとして，まずは数理論理学（あるいは普遍代数）の言葉を用いて，等式理
論の定義を与えよう．ただし，次の等式理論と項モデルの項目は，その後のローヴェア理論（等式
理論のグラフ図示・圏論化）に進むための中間ステップに過ぎないので，あまり理解できなくとも
ローヴェア理論のところまで進んでしまって，等式理論とローヴェア理論を見比べながら読むとい
いかもしれない．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:13:31.34

つづき

■等式理論と項モデル: 等式理論とは，関数記号のみを言語に持ち，項に関する等式s t のみを
公理に持つ理論である．より具体的には，まず，等式理論の言語と項は以下によって定義される．
定義3.1. 言語(language) あるいはシグネチャ(signature) とは，形式的な記号の集合L であ
り，さらに各f P L に対して，引数(arity) と呼ばれる自然数が割り当てられている．各記号
f P L は関数記号と呼ばれ，f の引数がn の場合にはn 変数関数記号と呼ばれる．引数0 の関数
記号はしばしば定数記号と呼ばれる．
言語L が与えられたとき，L の記号以外に，可算個の変数記号を用意する．L の項(term) と
は，以下のように帰納的に定義される．
1. 定数記号c P L および変数記号x は項である．
2. f がn 変数関数記号であり，t1; t2; : : : ; tn が項ならば，fpt1; t2; : : : ; tnq は項である．
変数記号を含まない項は，閉項(closed term) と呼ばれる．

例3.2 (モノイドと群の言語). モノイドの言語LMon は2 項関数記号と定数記号" からなる集合t; "u で
ある．群の言語LGrp は，とe に1 変数関数記号
1 を加えた集合t; ";
1u である．通常，px; yq を
x y と略記し，
1pxq をx1 と略記する．このとき，x; y; z; u; v が変数記号ならば，たとえばpx "q y
はLMon およびLGrp の項であり，pz pu1 vqq " はLGrp の項であるが，LMon の項ではない．また，
これらは閉項ではないが，たとえば" "1 は閉項である．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:14:05.40

つづき

§ 8. 補遺，あとがき，参考文献
8.1. 圏の大きさについて
圏に関するテキストを読んだとき，「大きい」「小さい」「局所的に小さい」などの修飾語を見か
けたことがある人も多いかと思う．これはある種の矛盾の回避のために導入されるものであるが，
初学者はあまり気にしないのがよいと思う．このようなものは実際に矛盾にぶつかってはじめて
有り難みがわかるので，まずは何度か矛盾してみるのがよい．つまり，「『大きさ』に気をつけない
と，矛盾することがある」ということだけ認識しておいて，何かふとしたときに矛盾が発生したら，
「あ，これはきっといわゆる『大きさ』ってやつのせいだな」と意識できるようであればよい．矛
盾に達して初めて，「大きさ」の詳細について学べば十分である．ここでは，圏の大きさに関して，
あまり数学的詳細に立ち入らない概説を与える．

まず，圏とは，多重有向グラフに少し構造の付加されたものであったが，確かに圏の理論に現れ
る多重有向グラフはちょっとだけ大きめである．たとえば，本稿で扱うグラフであれば，そのかな
り多くは無限グラフである．とはいえ，数理論理学に近い分野の人であれば，グラフ理論と聞け
ば，無限グラフ（多くの場合には非可算無限グラフ）に関するグラフ彩色の問題であるとか無限ラ
ムゼー理論などを最初に思い浮かべる人もいるだろう*1．

このように，グラフの研究において無限
グラフを扱うことも珍しくはない．実際のところ，人間には有限はむずかしすぎるし，無限の方が
有限より簡単なことは多いので，とくに無限を恐れる必要はない．

*1 たとえば，筆者の周辺だと有限組合せ論を研究している人よりも無限組合せ論を研究している人の方が多いので，グ
ラフといえばもちろん無限グラフを指す．これをサンプリングバイアスという．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:14:33.91

>>95
つづき

■カントールのパラドックス: しかし，さらに大きいサイズのグラフとなると，少し注意を払う必
要がある．たとえば，例 1.17 で挙げた，集合全体を頂点とし関数を辺とする圏 Set などである．
ところが，
「集合をすべて集めたものは集合ではない」
ということは集合論の創始者カントールが既に気づいていたことであり，カントールのパラドック
スとも言われていた．とはいえ，集合という日常用語に引きずられるとパラドックスに見えるもの
の，「集合」という用語はあくまで数学用語である．つまり，形式的には，特定の数学的概念を「集
合」と読んでいるに過ぎないから，「集合」を「机」「ビール」「X」などの別の名に差し替えてもよ
い．そして，実際には，
「X をすべて集めたものは X ではない」
というパターンがある．

■大きさのスケール: さて，圏のテキストでは，「大きい」「小さい」という二元的な区分けをする
ことが多い．この「大きい」「小さい」という二元的な考え方は，矛盾のひとつの回避法というだけ
であって，絶対的なものではない．矛盾の回避法はいくらでもあり，どれを選択するも自由である．
そして，この二元的な区分けにおいては，集合とクラスの区別等と言った話が出てくるが，その
直感的な意味は理解しにくい．それなら「大きさ」という概念を導入してしまった方が，「大きい」
ものにも大きさのレベルがあり，「どういうものを考えるとどれくらい大きくなるか」などが明確
になって良いだろう．何事もゼロかイチである，というように白黒付けてしまうと，誤解を招きが
ちである．あらゆる概念に対して，白と黒の中間の階層があると認識して，とりあえずグラデー
ションを付けて理解しようと試みることが重要である．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:14:56.98

>>96
つづき

■グロタンディーク宇宙:
一般に，強到達不可能基数 k について，ランク k 未満の集合全体の集合 Vk のことをグロタン
ティーク宇宙 (Grothendieck universe) という．大層な名前が付いているが，かなり初等的な概念
なのであまり恐れる必要はないと思う．この集合 Vk は，いわゆる ZFC 集合論の公理というもの
をすべて満たすので，通常の数学で用いられるありとあらゆる操作で閉じている，というのが良い
ところである．このため，通常の数学に現れる集合はすべて Vk の中に入っていると思ってよい．
集合の大きさについて，U1 “ Vk0 までではなく，無限の系列を考えたい理由についても少し説
明しよう．たとえば，集合と関数の圏 Set や小さい圏の圏 Cat は共に大きさ 2 だが局所的に大き
さ 1 である．大きさ 2 とはいっても，Vk0`2 くらいには属すから，大きさ 2 の中では最も小さい部
類であろう．Set や Cat を頂点に持つ圏を考えたい場合には，たとえばランク k0 ` ω 未満の集
合全体の圏や，ランク k0 ` ω 未満の圏全体の圏などを考えればよいが，このランクはあまり良い
閉包性を持たない．Set や Cat を頂点に持ち，さらに Set と Cat のように良い閉包性を持つ圏
Set1 や Cat1 を考えたい場合は，k0 の次の強到達不可能基数を持ち出せばよい．すると次は Set1
や Cat1 を頂点に持つ圏 Set2 や Cat2 を考えたくなる．これを任意に繰り返すことを認めよう，
というのが無限の系列を扱う理由である．
この系列を具体的に得るためには無限個の強到達不可能基数が必要になるが，とはいえ，最初の
無限個の強到達不可能基数などはたいした大きさにはならないので，そんなに問題ではないだろ
う．たとえばマーロ基数というとても小型の巨大基数概念があるが，これを持ってくれば，その下
にはマーロ基数個の強到達不可能基数があるはずである．
とはいったものの，集合論の人たちにとっては，もっと遥かに大きい巨大基数サイズのグラフの
構造を研究することもまた日常茶飯事である．
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/16(金) 07:19:07.39

>>89 追加

圏論化に関連して
https://talk.hyuki.net/04/
圏論と学びをめぐる往復書簡
No.04
圏論と通常の数学
土岡俊介→結城浩
2020-01-14

「圏論ならでは」について、思い浮かんだことを線型代数に関連させて三つ書いてみます。

自明に自明
一つ目は、通常の数学について、どこが特殊性を使っているところで、どこが一般論から従うところかを切り分ける手段を提供するところでしょう。スローガンで言えば、Jon Peter Mayによる

Perhaps the purpose of categorical algebra is to show that which is formal is formally formal.
や、その元となったPeter John Freydによる

Perhaps the purpose of categorical algebra is to show that which is trivial is trivially trivial.
になるかと思います（これらの出典や意味については、Mathematics Stack Exchangeの「“The purpose of being categorical is to make that which is formal, formally formal” what does it mean?」が参考になります）。

例えば『ベーシック圏論』の例1.2.4 (c)の、忘却関手U:Vectk→Setに対する自由構成関手
F:Set→Vectk
を考えてみます。
略

一般随伴関手定理
二つ目は、圏論の定理から通常の数学の定理を示せることです。今の場合Fの存在を、具体的な線型空間F(S)を構成することなく、一般随伴関手定理（定理6.3.10, GAFT）によって集合の濃度算などから示すことができます。

今の例のFでは「どういう構成法かわからないが存在するだけでありがたい」ということはなさそうですが、通常の数学では（少なくとも私には）思いもよらない構成法で興味深いです。ちなみにS. Langの教科書Algebra（GTM211, Springer, 2002年）では、自由群構成関手F:Set→GrpをGAFTで構成しています（Proposition 12.1. ベーシック圏論では例1.2.4 (a)で通常の構成の面倒さが説明され、GAFTの使い方については演習問題6.3.24で扱われています）。

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/16(金) 07:25:29.68

関係ないけど、思い出したのでメモする

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%83%AA%E3%82%BE%E3%83%BC%E3%83%B3
パベル・ウリゾーン

関連項目
ウリゾーンの距離化定理
ウリゾーンの補題
メンガー・ウリゾーン次元

https://en.wikipedia.org/wiki/Pavel_Urysohn
Pavel Urysohn

Pavel Samuilovich Urysohn (February 3, 1898 ? August 17, 1924) was a Soviet mathematician who is best known for his contributions in dimension theory, and for developing Urysohn's metrization theorem and Urysohn's lemma, both of which are fundamental results in topology. His name is also commemorated in the terms Urysohn universal space, Frechet?Urysohn space, Menger?Urysohn dimension and Urysohn integral equation. He and Pavel Alexandrov formulated the modern definition of compactness in 1923.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 11:59:07.65

メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%89
数論幾何学では、フロベニオイドは、グローバルフィールドの有限拡張のモデルでの線束の理論を一般化する追加の構造を持つ圏である。フロベニオイドは望月新一（2008）によって導入された。「フロベニオイド」という言葉は、フロベニウスとモノイドを合わせたものである。フロベニオイド間の特定のフロベニウス射は、通常のフロベニウス射の類似物であり、フロベニオイドの最も単純な例のいくつかは、本質的にモノイドである。

目次
1 モノイドのフロベニオイド
2 初等フロベニオイド
3 フロベニオイド

モノイドのフロベニオイド
Mが可換モノイドである場合、それは乗算の下で正の整数のモノイドNによって自然に作用され、Nの要素nはMの要素にnを乗算する。Mのフロベニオイドは、MとNの半直接積である。このフロベニオイドの基になる圏は、モノイドの圏であり、1つの対象とモノイドの各要素の射が含まれる。Mが非負整数の加法モノイドである場合、標準のフロベニオイドはこの構造の特殊なケースである。

初等フロベニオイド
初等フロベニオイドは、可換モノイドのフロベニオイドの一般化であり、基本カテゴリD上の可換モノイドのファミリーΦによる正の整数のモノイドの一種の半直接積によって与えられる。アプリケーションでは、カテゴリDはグローバルフィールドの有限分離可能な拡張のモデルのカテゴリである場合があり、Φはこれらのモデルの線束に対応し、Nの正の整数nの作用はaの線束のn乗をとることによって与えられる。

フロベニオイド
フロベニオイドは、圏Cと初等フロベニオイドへの関手で構成され、大域体のモデルの直線束と除数の動作に関連するいくつかの複雑な条件を満たす。望月の基本定理の1つは、さまざまな条件下で圏Cからフロベニオイドを再構築できると述べている。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 11:59:55.62

>>100

つづき

参考文献
望月, 新一 (2008), “The geometry of Frobenioids. I. The general theory”, Kyushu Journal of Mathematics 62 (2): 293?400, doi:10.2206/kyushujm.62.293, ISSN 1340-6116, MR2464528
望月, 新一 (2008), “The geometry of Frobenioids. II. Poly-Frobenioids”, Kyushu Journal of Mathematics 62 (2): 401?460, doi:10.2206/kyushujm.62.401, ISSN 1340-6116, MR2464529
望月, 新一 (2009), “The etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations”, Kyoto University. Research Institute for Mathematical Sciences. Publications 45 (1): 227?349, doi:10.2977/prims/1234361159, ISSN 0034-5318, MR2512782 Mochizuki, Shinichi (2011), Comments

外部リンク
エタール・テータ関数とは何ですか?
https://mathoverflow.net/questions/195841/what-is-an-%c3%a9tale-theta-function
What is an etale theta function?
asked Feb 6 '15 at 14:06
Minhyong Kim
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 12:52:51.59

メモ
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Topics%20in%20Absolute%20Anabelian%20Geometry%20III.pdf
TOPICS IN ABSOLUTE ANABELIAN GEOMETRY III:
GLOBAL RECONSTRUCTION ALGORITHMS
Shinichi Mochizuki
November 2015

Abstract. In the present paper, which forms the third part of a three-part series
on an algorithmic approach to absolute anabelian geometry, we apply the absolute anabelian technique of Belyi cuspidalization developed in the second part,
together with certain ideas contained in an earlier paper of the author concerning the
category-theoretic representation of holomorphic structures via either the topological group SL2(R) or the use of “parallelograms, rectangles, and squares”, to develop
a certain global formalism for certain hyperbolic orbicurves related to a oncepunctured elliptic curve over a number field. This formalism allows one to construct
certain canonical rigid integral structures, which we refer to as log-shells, that
are obtained by applying the logarithm at various primes of a number field. Moreover, although each of these local logarithms is “far from being an isomorphism” both
in the sense that it fails to respect the ring structures involved and in the sense [cf.
Frobenius morphisms in positive characteristic!] that it has the effect of exhibiting
the “mass” represented by its domain as a “somewhat smaller collection of mass”
than the “mass” represented by its codomain, this global formalism allows one to
treat the logarithm operation as a global operation on a number field which satisfies
the property of being an “isomomorphism up to an appropriate renormalization operation”, in a fashion that is reminiscent of the isomorphism induced
on differentials by a Frobenius lifting, once one divides by p.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 12:53:20.91

>>102
つづき

More generally, if one
thinks of number fields as corresponding to positive characteristic hyperbolic curves
and of once-punctured elliptic curves on a number field as corresponding to nilpotent
ordinary indigenous bundles on a positive characteristic hyperbolic curve, then many
aspects of the theory developed in the present paper are reminiscent of [the positive
characteristic portion of] p-adic Teichm¨uller theory.

Contents:
Introduction
§0. Notations and Conventions
§1. Galois-theoretic Reconstruction Algorithms
§2. Archimedean Reconstruction Algorithms
§3. Nonarchimedean Log-Frobenius Compatibility
§4. Archimedean Log-Frobenius Compatibility
§5. Global Log-Frobenius Compatibility
Appendix: Complements on Complex Multiplication

Introduction
§I1. Summary of Main Results
§I2. Fundamental Naive Questions Concerning Anabelian Geometry
§I3. Dismantling the Two Combinatorial Dimensions of a Ring
§I4. Mono-anabelian Log-Frobenius Compatibility
§I5. Analogy with p-adic Teichm¨uller Theory
Acknowledgements
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 15:05:33.76

　
IUTは数学というかグロタン宇宙論になってるな

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 17:29:17.92

>>104
>IUTは数学というかグロタン宇宙論になってるな

どうもありがとう
個人的見解ですが
数学の「宇宙」という用語は、時代により、だんだん大げさな意味になり
21世紀では、「宇宙」とは、例えばZFCの全ての数学が展開できる入れ物か、それ以上の大きさのものを意味するようになった

グロタン宇宙論もその類いで
昔の集合論の”U”（単なる全体集合）とは、意味が違うのです
そこらが、余計に混乱を招いているように思います

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 18:23:51.69

やれやれ
修正だってよｗ

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/news-japanese.html
望月最新情報

2021年04月15日
　・（論文）修正版を更新 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Essential%20Logical%20Structure%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf
　（修正箇所のリスト）： https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/2021-04-15-ess-lgc-iut.txt
・Added an Introduction
・In \S 1.3, added "(UndIg)", as well as a reference to "(Undig)" in \S 2.1
・Rewrote various portions of \S 1.5
・Rewrote Example 2.4.4
・Modified the title of Example 2.4.5
・Added Example 2.4.6
・Slightly modified the paragraph at the beginning of \S 3
・Slightly modified the final portion of \S 3.1 concerning (FxRng), (FxEuc), (FxFld)
・Added Example 3.9.1 and made slight modifications to the surrounding text
・In \S 3.10, rewrote the discussion preceding (Stp1)
・In \S 3.11, slightly modified the discussion following ({\Theta}ORInd)

　　On the Essential Logical Structure of Inter-universal Teichmuller
　　　Theory in Terms of Logical AND "∧"/Logical OR "∨" Relations:
　　　Report on the Occasion of the Publication of the Four Main Papers
　　　on Inter-universal Teichmuller Theory.

2021年03月06日
　・（論文）宇宙際タイヒミューラー理論に関する論文4篇の出版を記念して、
　　新論文を掲載：
　　On the Essential Logical Structure of Inter-universal Teichmuller
　　　Theory in Terms of Logical AND "∧"/Logical OR "∨" Relations:
　　　Report on the Occasion of the Publication of the Four Main Papers
　　　on Inter-universal Teichmuller Theory.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 20:09:05.72

>>106 追加

重箱の隅ですが
下記の
”2021年01月15日
　・（論文）修正版を更新（修正箇所のリスト）：”が
「2021年04月15日」の修正版を書くときのミスコピー（さらに下の”2021年01月15日”と全く同じ内容）
（多分本当は不要な部分を、思わず知らすコピーしてしまったみたい）

いつ気付いて修正するのかな？（＾＾；

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/news-japanese.html
望月最新情報

2021年04月15日
　・（論文）修正版を更新（修正箇所のリスト）：
　　On the Essential Logical Structure of Inter-universal Teichmuller
　　　Theory in Terms of Logical AND "∧"/Logical OR "∨" Relations:
　　　Report on the Occasion of the Publication of the Four Main Papers
　　　on Inter-universal Teichmuller Theory.
2021年01月15日
　・（論文）修正版を更新（修正箇所のリスト）：
2021年03月06日
　・（論文）宇宙際タイヒミューラー理論に関する論文4篇の出版を記念して、
　　新論文を掲載：
　　On the Essential Logical Structure of Inter-universal Teichmuller
　　　Theory in Terms of Logical AND "∧"/Logical OR "∨" Relations:
　　　Report on the Occasion of the Publication of the Four Main Papers
　　　on Inter-universal Teichmuller Theory.
2021年01月15日
　・（論文）修正版を更新（修正箇所のリスト）：
　　Combinatorial Construction of the Absolute Galois Group of the Field of
　　　　Rational Numbers.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 20:12:36.12

>>105
>グロタン宇宙論もその類いで
>昔の集合論の”U”（単なる全体集合）とは、意味が違うのです
>そこらが、余計に混乱を招いているように思います

(補足)
・グロタン宇宙論を、いくつも作る？
・その複数のグロタン宇宙論の間を行ったり来たり？
・そこまで大袈裟な話でもなさそうに見えるけど（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/25(日) 18:03:40.36

https://www.youtube.com/watch?v=a3nSruakVdw
IUT overview: What papers are involved? Where does it start?
Taylor Dupuy 20151217
In this video I give an overview of what papers are involved in Mochizuki's work on ABC. Hopefully this is useful to get a scope of things.

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/01(土) 08:46:56.11

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617170015/253
https://www.nikkei.com/article/DGXZQOCD251AC0V20C21A4000000/?unlock=1
数学の難問ABC予想　「証明」にも学界は冷ややか
2021年4月30日 11:00 [有料会員限定] 日経（編集委員　青木慎一）
数学の世界では、時間がたってから証明が正しかったとわかることがある。例えば、ドイツのヒーグナーは1952年、史上最高の数学者といわれるガウスが予想した「類数問題」に関する証明を発表した。長い間無視されたが、60年代後半に複数の数学者がそれぞれ検討し、一部に問題があるものの本質的に正しかったと証明された。今は定理として名を残す。
(引用終り)

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%BC%E3%82%B0%E3%83%8A%E3%83%BC%E7%82%B9
ヒーグナー点

ヒーグナー点(ヘーグナー点)（英: Heegner point）とは、モジュラー曲線上の点であって、上半平面の quadratic imaginary point の像となっているようなものである。ブライアン・バーチ (Bryan Birch) により定義され、クルト・ヘーグナー（英語版） (Kurt Heegner) に因んで名づけられた。ヒーグナーは類数 1 の虚二次体上のガウスの予想を証明するために類似のアイデアを用いた。

グロス・ザギエの定理 (Gross & Zagier 1986) は、点 s = 1 における楕円曲線のL関数の微分のことばでヒーグナー点の高さを記述する。とくに楕円曲線の（解析的）階数が 1 であればヒーグナー点は無限位数（したがってモーデル・ヴェイユ群（英語版）の階数は1以上）の曲線上の有理点を構成するのに使うことができる。より一般に、Gross, Kohnen & Zagier (1987) は、ヒーグナー点は各正整数 n に対し曲線上の有理点を構成するのに使うことができこれらの点の高さはウェイト 3/2 のモジュラー形式の係数であることを示した。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/01(土) 08:47:39.05

>>110
つづき

コリヴァギン（英語版）は後にオイラー系（英語版）を構成するためにヒーグナー点を用い、それによって階数 1 の楕円曲線に対するバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想の多くを証明した。?寿武（英語版）はグロス・ザキエの定理を楕円曲線からモジュラーアーベル多様体の場合へと一般化した。ブラウンは正標数の大域体上の階数 1 の楕円曲線の多くに対してバーチ・スウィンナートン＝ダイヤー予想を証明した (Brown 1994)。

ヒーグナー点は階数 1 の楕円曲線上の、単純な方法では見つけることのできなかった、非常に大きい有理点を計算するのに使うことができる（サーベイは (Watkins 2006) を参照）。アルゴリズムの実装は、MagmaやPARI/GPで可能である。

https://sub-asate.ssl-lolipop.jp/wiki/%E9%A1%9E%E6%95%B0%E5%95%8F%E9%A1%8C
miniwiki
類数問題
（虚二次体の）ガウスの類数問題(Gauss class number problem)は、通常に理解されているように、各々の n ? 1 に対し類数が n である虚二次体の完全なリストをもたらした。この問題の命名は偉大な数学者カール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)にちなんでいる。この問題は、また、代数体の判別式の項で記述することもできる。実二次体にも関連した問題があり、その振る舞いは
d→-∞
である。
この問題の困難な点は、限界の有効(effective)な計算である。与えられた判別式に対し、類数を計算することは易しく、類数の非有効(ineffective)な下界を求める方法はいくつかあるが（非有効とは、計算はできないが、定数であるということのみわかることを意味する）、しかし有効な限界を求め（リストの完全な証明）は難しい。
Contents
1 元々のガウスの予想
2 本問題の状況
3 類数 1 の判別式のリストアップ
4 現代の発展
5 実二次体

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/01(土) 08:48:29.31

>>111
つづき

現代の発展
より近年の発展は、n = 1 の場合がクルト・ヒーグナー（English版）(Kurt Heegner)により議論され、モジュラ形式やモジュラ方程式（English版）(modular equation)を使い、そのような体は存在しないことを示した。この仕事は最初は受け入れられなかったが、より最近のハロルド・スターク（English版）(Harold Stark)やブライアン・バーチ（English版）(Bryan Birch)により評価され、ヒーグナーの仕事が理解されるようになった。スターク・ヒーグナーの定理（English版）(Stark?Heegner theorem)やヒーグナー数（English版）(Heegner number)を参照。実際は、同時期にアラン・ベイカー(Alan Baker)は、数体の対数の線型形式上のベイカーの定理として知られていて、完全に異なる方法で解かれている。n = 2 の場合は、少し後でベイカーの仕事の応用として、原理的には解くことが試みられている。（Baker (1990)を参照）

類数 1 の虚二次体の完全リストは、Q(k--√) でこの k は次の中の一つである。

-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.

https://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_problem
Class number problem

Contents
1 Gauss's original conjectures
2 Status
3 Lists of discriminants of class number 1
4 Modern developments
5 Real quadratic fields
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/05/09(日) 16:44:06.23

http://www.uvm.edu/~tdupuy/anabelian/VermontNotes_20.pdf
KUMMER CLASSES AND ANABELIAN GEOMETRY Date: April 29, 2017.
JACKSON S. MORROW

ABSTRACT. These notes comes from the Super QVNTS: Kummer Classes and Anabelian
geometry. Any virtues in the notes are to be credited to the lecturers and not the scribe;
however, all errors and inaccuracies should be attributed to the scribe. That being said,
I apologize in advance for any errors (typo-graphical or mathematical) that I have introduced. Many thanks to Taylor Dupuy, Artur Jackson, and Jeffrey Lagarias for their wonderful insights and remarks during the talks, Christopher Rasmussen, David Zureick-Brown,
and a special thanks to Taylor Dupuy for his immense help with editing these notes. Please
direct any comments to jmorrow4692@gmail.com.
The following topics were not covered during the workshop:
・ mono-theta environments
・ conjugacy synchronization
・ log-shells (4 flavors)
・ combinatorial versions of the Grothendieck conjecture
・ Hodge theaters
・ kappa-coric functions (the number field analog of etale theta) ´
・ log links
・ theta links
・ indeterminacies involved in [Moc15a, Corollary 3.12]
・ elliptic curves in general position
・ explicit log volume computations
CONTENTS
1. On Mochizuki’s approach to Diophantine inequalities
Lecturer: Kiran Kedlaya . . 2
2. Why the ABC Conjecture?
Lecturer: Carl Pomerance . 3
3. Kummer classes, cyclotomes, and reconstructions (I/II)
Lecturer: Kirsten Wickelgren . 3
4. Kummer classes, cyclotomes, and reconstructions (II/II)
Lecturer: David Zureick-Brown . 6
5. Overflow session: Kummer classes
Lecturer: Taylor Dupuy . 8
6. Introduction to model Frobenioids
Lecturer: Andrew Obus . 11
7. Theta functions and evaluations
Lecturer: Emmanuel Lepage . . 13
8. Roadmap of proof
Notes from an email from Taylor Dupuy . . 17

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 06:06:22.96

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B76 (2019), 79?183
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory)
By 星裕一郎 (Yuichiro Hoshi)
P5
§ 1. 円分物
数学円分物とは何でしょうか. それは Tate 捻り “Zb(1)”のことです.
(引用終り)

円分物は、殆ど”円分体”なのでしょう
ただ、「体」ではないかも知れない
だから、「物」なのか。圏論的な「物」かも

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93
円分体

https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field
Cyclotomic field

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 06:28:26.45

>>114
>Tate 捻り

下記Tate twist みたいだね
但し、下記は”an operation on Galois modules”とあるので
星先生の記述とはちょっと違うような
つまり、星先生の記述は、”an operation ”ではなく、それが集まった、例えば群のような集合を意味している気がする

（参考：文字化けは面倒なので修正しませんので、原文ご参照）
https://en.wikipedia.org/wiki/Tate_twist
Tate twist
In number theory and algebraic geometry, the Tate twist,[1] named after John Tate, is an operation on Galois modules.

For example, if K is a field, GK is its absolute Galois group, and ρ : GK → AutQp(V) is a representation of GK on a finite-dimensional vector space V over the field Qp of p-adic numbers, then the Tate twist of V, denoted V(1), is the representation on the tensor product V?Qp(1), where Qp(1) is the p-adic cyclotomic character (i.e. the Tate module of the group of roots of unity in the separable closure Ks of K). More generally, if m is a positive integer, the mth Tate twist of V, denoted V(m), is the tensor product of V with the m-fold tensor product of Qp(1). Denoting by Qp(?1) the dual representation of Qp(1), the -mth Tate twist of V can be defined as
{\displaystyle V\otimes \mathbf {Q} _{p}(-1)^{\otimes m}.}{\displaystyle V\otimes \mathbf {Q} _{p}(-1)^{\otimes m}.}
References
[1] 'The Tate Twist', in Lecture Notes in Mathematics', Vol 1604, 1995, Springer, Berlin p.98-102

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 06:48:13.60

>>115
>Tate twist

下記が参考になりそう
日本語では、圧倒的に情報量が少ない
それと”What is the intuition behind the concept of Tate twists?”と質問する姿勢は見習うべきでしょうね

https://math.stackexchange.com/questions/2923709/about-the-definition-of-l-adic-tate-twist
About the definition of l-adic Tate-twist asked Sep 20 '18 at 6:30 Elvis Torres Perez
(抜粋)
Zl(0)=Zl , Zl(1)=lim←?(μli), Zl(n+1)=Zl(n)?ZlZl(1) for n＞＝0

https://math.stackexchange.com/questions/57750/what-is-the-intuition-behind-the-concept-of-tate-twists/57757
What is the intuition behind the concept of Tate twists? asked Aug 16 '11 at 4:06 Nicole

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 20:32:45.22

>>114つづき
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B76 (2019), 79?183
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory)
By 星裕一郎 (Yuichiro Hoshi)
P9
§ 2. フロベニオイドの円分剛性同型
次に, 位相群作用付きモノイド Gk ? O?k
の同型物 G ? M を考察しましょう. この
データ G ? M は, フロベニオイド (Frobenioid ? cf. [6], Definition 1.3) と呼ばれ
る数学的対象のある一例と等価なデータとなっています. こういったフロベニオイド (の
ある一例と等価なデータ　?　簡単のため, 以下, もうこれをフロベニオイドと言い切っ
てしまいますが) が与えられたとき, その “G” の部分をエタール的 (´etale-like ? cf.,
e.g., [6], Introduction, §I4) 部分と呼び, そして, その上, “M” の部分を Frobenius 的
(Frobenius-like ? cf., e.g., [6], Introduction, §I4) 部分と呼びます. (この場合の) エ
タール的部分は, 位相群で, 出自は Galois 群ですから, つまり, “対称性” であり, 感覚と
しては “質量のない”, “実体のない” (すなわち, “夢のような”, “仮想的な”) 対象です. 一
方, (この場合の) Frobenius 的部分は, 位相モノイドで, 出自は適当な数の集まりですから,
感覚としては “質量のある”, “実体を持つ” (すなわち, “現実に存在する”, “実在する”) 対
象です.
さて, 上のようなフロベニオイド G ? M が与えられますと, さきほど述べたとお
り, (G は Gk の同型物ですので) 単遠アーベル幾何学的に G から G ? Λ(G) という円
分物を復元/構成することができます.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 20:33:07.84

>>117
つづき

一方, M は O?kの同型物ですから, n 倍写像の核M[n]def = Ker(n: M → M) は μn(k) の同型物となり, その n に関する逆極限を取ること
で, Λ(M)def = lim←?nM[n] という Λ(k) の同型物, つまり, 円分物が得られます. G ? Λ(G)
の方はエタール的部分から構成したので “エタール的円分物” と呼び, G ? Λ(M) の方
は Frobenius 的部分から構成したので “Frobenius 的円分物” と呼ぶことにしましょう.
この考察により, 1 つのフロベニオイド G ? M から, エタール的円分物 G ? Λ(G) と
Frobenius 的円分物 G ? Λ(M) という 2 つの円分物が得られました.
この (本来はまったく無関係な) 2 つの円分物に関して, 以下の事実が知られていま
す. ([10], Remark 3.2.1, を参照ください.)
G ? M というデータから, 関手的に, G 同変な同型 Λ(M)?→ Λ(G) ?　つま
り, Frobenius 的円分物とエタール的円分物との間の円分剛性同型　?　を構成
することができる. また, この円分剛性同型は, G ? M が “環論的な設定” から
生じている場合には, 従来の円分物の間の同一視と一致する.
ここに登場する円分剛性同型は, しばしば “局所類体論を用いた円分剛性同型”, あるいは,
“古典的な円分剛性同型” などと呼ばれています.
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 20:47:40.66

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/education/archive/download/abst_2001.pdf
２００１年度講義内容要約
理学部数理学科
多元数理科学研究科
大学院
数論特別講義 II 望月新一（京都大学） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
（11 月 19 日～23 日）「楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論における遠アーベル幾何」

P278
科目名数論特別講義 II 担当教官　望月新一
サブタイトル　楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論における遠アーベル幾何
対象学年大学院２単位選択
教科書なし
参考書後述の「参考文献」参照
予備知識
[Hh] 程度のスキーム論と，[Mn] 等に解説してあるエタール・サイトや代数的基本群の基礎．
[Hh] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Math. 52, Springer-Verlag (1977).
[Mn] J. S. Milne, Etale Cohomology ´ , Princeton Mathematical Series 33, Princeton University Press (1980).

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 20:47:58.33

つづき

講義内容
Grothendieck の「遠アーベル哲学」とは，数体のような数論的な体の上で定義され，かつある幾何的な
条件を満たす代数多様体の幾何は，その「数論的基本群」に忠実に反映されるであろうという考え方を出発
点とした数論幾何に対する新しいアプローチである．この「哲学」は１９８０年代初頭，Grothendieck に
よって提案されたが，実は，そのルーツはそれ以前に代数的整数論の観点から発見されていた Neukirch-内
田の定理にまで遡る．更に，１９９０年代に入ってから，遠アーベル幾何では新しい結果が次々と得られ
(参考文献の [12], [19] を参照)，Grothendieck が立てた主な予想の一部が，かなり強い形で肯定的に解決さ
れた．本講義では，遠アーベル幾何の survey 的な紹介を目標の一つとするが，ただの抽象的な定理群とし
て扱うのではなく，最近になって明らかになった，楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論との関係に注目しなが
ら話を進めていく．この関係が示唆する遠アーベル幾何の新しい解釈によって，当初の Grothendieck の期
待でもあった，Diophantus 幾何への応用の可能性が開けてくるものと思われる．
I：遠アーベル幾何入門 §1. 代数的基本群とは何か？ §2. Grothendieck の anabelian 哲学 §3. 遠アー
ベル幾何の代表的な定理 §4. 局所体の遠アーベル性
II： Hodge-Arakelov 理論入門 §1. 基本定理 §2. 無限遠点での状況 §3. 正標数的手法による証明
III： basepoint, core, commensurator の話 §1. anabelioid というもの §2. core §3. 正則構造 §4. 通
約端末性 §5. global multiplicative subspace へのナイーヴなアプローチ
IV： universe, 同期化 §1. 独立な宇宙の導入 §2. 半楕円 orbicurve の通約端末性 §3. 無限遠点におけ
る通約端末性 §4. 正則局所化の圏 §5. 主結果
講義の感想
講義の最中，教官だけでなく，何回にもわたり，学生の方からも非常に有意義な質問や指摘が出され，講
義全体の質に大きく寄与したことは，印象的でした．
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 23:15:45.59

宇宙、inter-universal

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20to%20Teichmuller%20riron%20(Muroran%202002-08).pdf
Anabelioid の幾何学と Teichmuller 理論望月新一 (京都大学数理解析研究所) 2002年8月
(抜粋)
§1. p進双曲曲線を他宇宙から見る

我々が通常使用している、スキームなどのような集合論的な数学的対象は、実は、議論を開始した際に採用された「集合論」、つまり、ある Grothendieck 宇宙の選択に本質的に依存しているのである。この「1つの集合論」の採用は、もっと具体的にいうと、

「あるラベル(=議論に登場する集合やその元の名前)のリストの選択」

と見ることもできる。すると、次のような問い掛けが生じる:

問: スキームのような集合論的幾何的対象を別の集合論的宇宙から見たら、

つまり、たまたま採用したラベルたちを取り上げてみたら、その幾何的対象はどのように見えるか?

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/05(月) 23:16:04.54

>>121
つづき

このように、宇宙を取り替えたりするような作業を行なう際、別の宇宙にも通じる数学的対象を扱うようにしないと、議論は意味を成さなくなるが、(本稿では省略するが)様々な理由によって、圏は、そのような性質を満たす。一般に、違う宇宙にも通じるものをinter-universal と呼ぶことにするが、「圏」というものは、最も基本的かつ原始的な inter-universal な数学的対象ということになる。

さて、スキームを他宇宙から見たらどんな風に見えるか、という問いに答えるためには、スキームを、inter-universal に表現する必要がある。これには様々な手法があるが、本稿では、次のものを取り上げる(別の手頃な例については、「Mzk7] を参照):

Et(X) {Xの有限次エタール被覆の圏 }

(ただし、X は、連結なネータ・スキームとする。) 副有限群 G に対して B(G) を、G の連続な作用をもつ有限集合の圏、というふうに定義すると、Et(X) という圏は、B(mュ(X)) (ただし、(X) は、Xの代数的基本群とする)と同値になる。

ここでは、B(G) を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioid と呼ぶことにする。実は、B(G) は、「連結な anabelioid」になるが、一般には、複数の連結成分をもつanabelioid を扱うこともある(詳しくは、「Mzk8] を参照)。anabelioid の理論の大きなテーマの一つは、通常スキームに対して行なうような様々な幾何的操作を、(Et(X)のようにスキームから生じたものかどうかとは関係なく) anabelioid のみの世界に

おいていわば“native' に行なうことである。このテーマの最も基本的な例の一つは、有限次エタール被覆の定義である。連結な anabelioid 間の有限次エタール被覆は、

B(H) → B(G)

(ただし、G は副有限群、H はその開部分群。なお「射」は圏の間の関手と逆向きに書く。)と同型な射として定義される。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/06(火) 07:31:37.30

>>122
「ここでは、B(G) を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioid と呼ぶことにする」（下記）

(引用開始)
ここでは、B(G) を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioid と呼ぶことにする。実は、B(G) は、「連結な anabelioid」になるが、一般には、複数の連結成分をもつanabelioid を扱うこともある(詳しくは、「Mzk8] を参照)。anabelioid の理論の大きなテーマの一つは、通常スキームに対して行なうような様々な幾何的操作を、(Et(X)のようにスキームから生じたものかどうかとは関係なく) anabelioid のみの世界に

おいていわば“native' に行なうことである。このテーマの最も基本的な例の一つは、有限次エタール被覆の定義である。連結な anabelioid 間の有限次エタール被覆は、

B(H) → B(G)

(ただし、G は副有限群、H はその開部分群。なお「射」は圏の間の関手と逆向きに書く。)と同型な射として定義される。
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/06(火) 23:41:10.99

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月論文
　講演のアブストラクト・レクチャーノート
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20(Meijidai%202002-03).pdf
Anabelioidの幾何学 2002年3月
Page 1
ここで検証する問題は:前述の ‘局所的な乗法的部分加群’ を、 ‘大域的な乗法的部分加群’ として F 全体に延長することはできないか?といぅことである

この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある? 結論からいぅと、 ‘正しい視点’ は次の内容からなっている:(i) 大域的な乗法的部分群スキ?ムを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等の ?ピ? Ec, Fc, Kc に対する乗法的部分群スキ?ムの構成を目指す?(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の Kc の base-point を parametrize するものと見る?つまり、?言でいぅと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である?動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)c の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、?pK が表している Kc の basepoint から、 LK に対応する (LK)c を眺めてみると、その (LK)c は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる?」といぅ?見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、実は、ある意味では?同義反復的」な状況を実現することができる

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/06(火) 23:41:35.13

>>124
つづき

§2. anabelioid と core

Anabelioid ????望月新? ?京都大学数理解析研究所)2002年3月§1. 新技術導入の動機§2. anabelioid と core§3. 数論的な anabelioid の例§1. 新技術導入の動機F を数体とし、 E をその上の楕円曲線とする?素数 l ? 3 に対し、簡単のため、Spec(F) 上の、 l 等分点による群スキ?ム E[l] から定まるガロア表現GFdef= Gal(F /F) → GL2(Fl)が全射となることを仮定する?次に、 E が bad, multiplicative reduction を持つ?数体 F の)素点 pF を考える? F を pF で完備化して得られる体を FpF と書くとすると、 FpF の上では楕円曲線EFpFdef= E ?F FpFの ‘Tate curve’ としての表示 ‘Gm/qZ’ より定まる、 canonical な‘乗法的な’ 部分群スキ?ムμl ⊆ E[l]|FpFがある?ここで検証する問題は:前述の ‘局所的な乗法的部分加群’ を、 ‘大域的な乗法的部分加群’ として F 全体に延長することはできないか?といぅことである?そのよぅな延長を安直なアプロ?チで作ろぅとすると、直ちに本質的な障害にぶち当たる?例えば、 K def= F(E[l]) を l 等分点たちの、 F 上の最小定義体とし、 K まで上がって作業してみるとする?すると、 E[l]|K の部分群スキ?ムとして、 ‘μl’ を K 全体の上で定義されるものLK ⊆ E[l]|Kに伸ばすことができるが、その LK は、

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/06(火) 23:43:55.67

>>125
つづき

K の殆んどの bad, multiplicative reduction の素点 pK においては、その素点における局所理論から生じる ‘乗法的な部分群スキ?ム’ と ?致しない?この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある? 結論からいぅと、
‘正しい視点’ は次の内容からなっている:
(i) 大域的な乗法的部分群スキ?ムを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等の ?ピ? Ec, Fc, Kc に対する乗法的部分群スキ?ムの構成を目指す?
(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の Kc の base-point を parametrize するものと見る?つまり、?言でいぅと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である?動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)c の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、?pK が表している Kc の basepoint から、 LK に対応する (LK)c を眺めてみると、その (LK)c は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる?」といぅ?見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、
実は、ある意味では?同義反復的」な状況を実現することができる?§2. anabelioid と core以上の議論は哲学的な要素も含んでいるが、これを厳密な数学として処理するためには、新しい技術の導入が必要となる?この場合、中心となる新技術は、 ‘anabelioid’の理論である?‘anabelioid’ とは、§1 の議論を行なぅ際に用いなければならない幾何的な対象のことである?この幾何的対象は、スキ?ムと違い、 topos、即ち　圏　であるため、 an-abelioid 全体の ‘圏’ といぅものは、 2-category になってしまぅ?連結なときは、 anabe-lioid は [SGA1] に登場する ‘Galois category’ といぅ、今では40年以上の歴史を持つ馴染み深いものと同じである?つまり、連結な anabelioid は、∃副有限群 G に対してB(G)def= {G の連続な作用付きの有限集合たちがなす圏と同値な圏のことである?
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/08(木) 20:20:58.92

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月論文
　講演のアブストラクト・レクチャーノート
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suutai%20to%20isoukyoumen%20ni%20kyoutsuusuru%20nijigen%20no%20gunrontekikika.pdf
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」（2012年8月の公開講座）
(抜粋)
要約
有理数体Qのような「数体」と、複数のドーナツの表面を合体させたような形をしたコ
ンパクトな「位相曲面」は-一見して全く異質な数学的対象であり、初等的な可換環諭、つ
まり、「加減乗除」が可能な数学的対象としての構造の理論から見ても直接的に関連付ける
ことは難しい。しかし数体の拡大体の対称性を記述する「絶対ガロア群」と、コンパクト
な位相曲面の有限次の被覆の対称性を統制する「副有限基本群」を通して両者を改めて眺
めてみると、「二次元的な群論的絡まり合い」という形で大変に興味深い構造的な類似性
が浮かび上がってくる。本稿では様々な側面におけるこの種の類似性に焦点を当てながら、
数体と位相曲面の基礎的な理論について解説する。

§4．数と位相曲面の「絡まり合いの現場」数体上の代数曲線
つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/08(木) 20:21:23.67

>>127
つづき

§4.2．副有限基本群への絶対ガロア群の忠実な外作用

同種の「単射性」に関する定理は、「穴が開いている」＝「コンパクトでない」双曲的
代数曲線の場合には、既に(Mtmlで証明されていて、[MtmlもIHMIも、一番最初にBelyi
氏によって発見された、射影直線P1から三点を抜いて得られる双曲的曲線の場合の単射
性に帰着させることによってより一般的な双曲的代数曲線の場合の単射性を証明している。
一方、上記の定理のようにコンパクトな双曲的代数曲線の場合にこの種の単射性を示すこ
との意義は、§3.2及び§3.3で解説したように、
コンパクトな種数9の位相曲面と数体の絶対ガロア群には、
「二次元的な群論的絡まり合い」という
深い構造的類似性があり、そのような類似性を持つ、一見全く異質な
数論的な対象と位相幾何学的な対象を関連付けていることにある。
つまり、上記の定理は、数諭的な方の「二次元的な群論的絡まり合い」が、その自然な外
作用によって位相幾何学的な方の「二次元的な群論的絡まり合い」に忠実に表現されてい
ることを言っているのである。別の言い方をすると、純粋に「可換環論」の視点（＝つま
り、もっと具体的な言葉でいうと、初等的な加減乗除の範晴）で考察すると、数体と双曲的
代数曲線はいずれも次元1の対象であり、しかもその環論的な構造（＝つまり、正に「加
減乗除」の構造）は全く異質であるが、ガロア群や副有限基本群の「二次元的な群論的絡
まり合い」を通して両者を考察することによって、（§3.2及び§3.3で解説したような）深
い構造的な類似性が浮かび上がり、また上記の定型の単射性によってその両者の繋がりを
極めて明示的な形で定式化することが可能になる。
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/10(土) 19:06:23.96

>>772
どうも
スレ主です
レスありがとう

1．Robertとか、woitとか、間違った人のサイトを見ても、間違った情報しかないと思うよ
2．それよか、IUTを読むための用語集資料スレ2
　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
　に情報を集めているので、そこらも見てちょうだい
3．あと、下記を見る方が良いと思うよ
　望月サイトのhttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
　https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
　望月論文
　　講演のアブストラクト・レクチャーノート
[1] 実複素多様体のセクション予想と測地線の幾何. PDF
[2] p進Teichmuller理論. PDF
[3] Anabelioidの幾何学. PDF
[4] Anabelioidの幾何学とTeichmuller理論. PDF
[5] 離散付値環のalmost etale extensions（学生用のノート）. PDF
[6] 数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」（2012年8月の公開講座）. PDF

　https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
　望月出張講演
[8] 楕円曲線のHodge-Arakelov理論における遠アーベル幾何、数論的微分とは何か？　（名古屋大学
　　　2001年11月）. PDF
[9] 数論的 log scheme の圏論的表示　（九州大学 2003年7月）. 田口さんのノート
[10] 数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論　（北海道大学 2003年11月）. PDF
[11] 数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）.　　月　火　水　木　金　概要　
　　　レポート問題　談話会　アブストラクト
[12] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　（京都大学数理解析研究所 2012年12月） PDF
[13] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　《拡大版》（東京大学 2013年06月） PDF
[14] 数論幾何の風景 ― 数の加減乗除から対称性の幾何まで　（京都大学2013年11月） PDF

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/10(土) 19:07:02.36

>>129
誤爆すまん

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 09:36:20.15

prime-strip
多輻的アルゴリズム

https://nagasm.org/ASL/Max7_part2_3/fig3/intro_iut1.pdf
宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
星裕一郎 (京都大学数理解析研究所)
2015 年 11 月

P19
§6 では v ∈ V(F) を有限素点ということにしていましたが, この対象 D?
v
(または F
?×
v
; F
?×μ
v
; Dv;
Fv) には “無限素点版” もあり, それらを集めることで得られる対象 {D?
v }v∈V(F )
, (または {F?×
v }v∈V(F )
;
{F?×μ
v }v∈V(F )
; {Dv}v∈V(F )
; {Fv}v∈V(F )) の同型物は, D? (または F?×; F?×μ; D; F) 素点縞 (D?-
(respectively, F
?×-; F
?×μ-; D-; F-) prime-strip ? cf. [10], Definition 4.1, (iii) (respectively, [11],
Definition 4.9, (vii); [11], Definition 4.9, (vii); [10], Definition 4.1, (i); [10], Definition 5.2, (i)) と呼ばれ
ます. (正確には, F をその適当な拡大体に取り替えたり, また, より重要なこととして, 添字の “v” の範囲を,
その拡大体のすべての素点とするのではなく, その適当な部分集合に制限する, といった修正を行う必要があ
るのですが　?　これについては §17 で改めて説明します.) 少なくとも有限素点では, “F 系” の対象は (付
加構造付き) フロベニオイドであり, “D 系” の対象は位相群 (と等価なデータ) です. また, “?” という記号
は, 宇宙際 Teichm¨uller 理論では, “単解的” を表す記号となっています4

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 09:36:41.02

>>131
つづき

7 多輻的アルゴリズム
宇宙際 Teichm¨uller 理論では, “多輻的アルゴリズム” という特別な性質を満たすアルゴリズムが重要な役
割を果たします. §8 で行う宇宙際 Teichm¨uller 理論の主定理の “ミニチュア版” の説明のために, この §7
では, その “多輻的アリゴリズム” という概念についての簡単な説明を行います. (詳しくは, 例えば, [11] の
Example 1.7 から Remark 1.9.2 までの部分を参照ください.)
まず最初に, 次のような設定を考察しましょう. 輻的データ (radial data ? cf. [11], Example 1.7, (i))
と呼ばれるある数学的対象が与えられているとします. 次に, その輻的データからアルゴリズム的に構成でき
る (下部的) 対象であるコア的データ (coric data ? cf. [11], Example 1.7, (i)) が与えられているとし
ます. このような設定を輻的環境 (radial environment ? cf. [11], Example 1.7, (ii)) と呼びます. 具体
的には, 例えば, 以下のような輻的環境の例を考えることができます:
(a) “輻的データ” として, 1 次元複素線型空間 C (の同型物) を, “コア的部分” として, 輻的データであ
る C (の同型物) から “その正則構造を忘れる” というアルゴリズムによって得られる下部 2 次元実線型空間
R
?2
(の同型物) を採用する.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 11:26:10.63

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244746/1/B72-16.pdf
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B72 (2018), 209?307
続・宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
星裕一郎

P227
§ 6. 行進

しかしながら, 以下の理由によって, 我々は, この “もっとも安直なアプローチ” を
採用することができません. このアプローチを採用すると, 直前の図が示すように, F
?
l =
{|1|, . . . , |l
?|} の各元に対して, 対応する J の元として, ♯J = l
? 通りの可能性を考慮しな
ければならなくなります. その結果, 全体として, J と F
?
l との関連として, ♯J♯J = (l
?)
l
?
通りの可能性を考慮しなければなりません. 一方, この可能性の個数　?　つまり, 不定
性　?　は, 我々の目標の観点からは多過ぎます. 特に, 楕円曲線の高さの評価の観点か
ら考えますと, この過大な不定性を許容してしまうと, 所望の不等式よりも “弱い不等式”
しか得ることができなくなってしまうのです.
上述の問題を解決するために, 行進 (procession ? cf. [7], Definition 4.10) とい
う概念を導入しましょう.

行進を考えた場合の方が, ただの抽象的な集合と見做した場合よりも, ラベルの
集合に関する不定性が小さくなる

という重要な事実を観察しました. 行進という概念を用いることの別の利点として,
零ラベルの隔離
という点も挙げられます. |T| をただの集合と見做す, つまり, |T| を, |T| の自己全単射全
体のなす群の作用という不定性のもとで扱う場合, 零ラベル 0 ∈ |T| とその他の元 ∈ T
?
を区別することは不可能です. 一方, 行進を考えた場合, (“S
±
1
” というデータによって)
0 ∈ |T| は “特別な元” ということになり, その他の元 ∈ T
? との区別が可能となります.
そして, 実際, 宇宙際 Teichm¨uller 理論において,
零ラベルは単数的/コア的なラベル, 非零ラベルは値群的/輻的なラベル
という観察のとおり, 零ラベルと非零ラベルは, まったく異なる役割を果たします. (§4,
(d), や [2], §21, の前半の議論を参照ください.) この観点から, “零ラベルの隔離可能性”
は重要です. (詳しくは [8], Remark 4.7.3, (iii), を参照ください.)

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 12:35:54.18

Corollary 3.12, の証明関連
不等式の導出

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244746/1/B72-16.pdf
RIMS K?oky?uroku Bessatsu
B72 (2018), 209?307
続・宇宙際 Teichm¨uller 理論入門
星裕一郎

P297
§ 25. Θ
×μ
LGP リンクと両立的な多輻的表示とその帰結

P301
この §25 の最後に, 上述の多輻的 Kummer 離脱を用いた q 標対象の次数の計算に
ついて, 簡単に説明しましょう. (詳しくは, [9], Corollary 3.12, の証明を参照ください.)
この §25 の冒頭の Θ
×μ
LGP リンクが定める同型 † 0
C
?
LGP
?→ ‡ 0
C
?
△ は,
† 0Θ 標対象を ‡ 0
q 標
対象に移します. (§24, (a), を参照ください.) したがって, §14, (e), (i), から, 所望の次数
deg(‡ 0
q 標対象) を,
† 0Θ 標対象の　? “† の側” の正則構造の観点からではなく　?
“‡ の側” の正則構造の観点からの対数体積を用いて計算することが可能です. 一方, 多輻
的 Kummer 離脱によって, 不定性 (Ind1), (Ind2), (Ind3) を認めれば, Θ×μ
LGP リンクが誘
導する同型 † 0F
?×μ
△
?→ ‡ 0F
?×μ
△ (§24, (b), を参照) と両立する同型 † 0RFrob
?→ ‡ 0RFrob
が得られます.
vol(‡ 0Θ) ∈ R ∪ {∞}
を, 不定性 (Ind1), (Ind2), (Ind3) の作用による ‡ 0Θ 標対象の軌道の和集合の (“‡ の側”
の正則構造による) 正則包 (holomorphic hull ? cf. [9], Remark 3.9.5) ([2], §12, の
後半の議論を参照) の行進正規化対数体積として定義しましょう. すると, 両立的同型
† 0RFrob
?→ ‡ 0RFrob の存在から,
† 0Θ 標対象の対数体積は, vol(‡ 0Θ) 以下とならざるを得
ません. したがって, 結論として, 不等式
vol(‡ 0Θ) ≧ deg(‡ 0q 標対象)
が得られます.

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 15:26:20.19

https://www.youtube.com/watch?v=bAODDRU-cBE
宇宙際タイヒミュラー理論(IUT理論)に関する2つのアニメーション
1,213 回視聴2020/04/11

基底状態のセシウムさん
カラー(khara,inc.)制作のIUTeich関係のCG動画楽しみ

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
・動画元URL
Animation 1 - https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT-animation-Thm-A-fukugen-fade-out.wmv
IUTeichに関するアニメーション（＝[IUTchIII], Theorem Aの内容に対応）
　"The Multiradial Representation of Inter-universal Teichmuller Theory"を公開。
石碑版：　「復元」　フェードアウト版　（avi wmv）　

Animation 2 - https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/2020-01%20Computation%20of%20q-pilot%20(animation).mp4
第二の、IUTeichに関するアニメーション（＝[IUTchIII], Theorem Bの内容に対応）
　"Computation of the log-volume of the q-pilot via the multiradial representation"
　を公開。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 23:36:38.51

Legendre form
楕円曲線 “y^2 = x(x - 1)(x - λ)”

https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_form
Legendre form
In mathematics, the Legendre forms of elliptic integrals are a canonical set of three elliptic integrals to which all others may be reduced. Legendre chose the name elliptic integrals because[1] the second kind gives the arc length of an ellipse of unit semi-major axis and eccentricity {\displaystyle \scriptstyle {k}}\scriptstyle {k} (the ellipse being defined parametrically by {\displaystyle \scriptstyle {x={\sqrt {1-k^{2}}}\cos(t)}}\scriptstyle{x = \sqrt{1 - k^{2}} \cos(t)}, {\displaystyle \scriptstyle {y=\sin(t)}}\scriptstyle{y = \sin(t)}).
In modern times the Legendre forms have largely been supplanted by an alternative canonical set, the Carlson symmetric forms. A more detailed treatment of the Legendre forms is given in the main article on elliptic integrals.
The Legendre form of an elliptic curve is given by
y^{2}=x(x-1)(x-λ)

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS
Shinichi Mochizuki April 2020
P41
Corollary 2.2. (Construction of Suitable Initial Θ-Data) Suppose that
X = P1Q is the projective line over Q, and that D ⊆ X is the divisor consisting of
the three points “0”, “1”, and “∞”. We shall regard X as the “λ-line” - i.e.,
we shall regard the standard coordinate on X = P1
Q as the “λ” in the Legendre
form “y2 = x(x-1)(x-λ)” of the Weierstrass equation defining an elliptic curve -
and hence as being equipped with a natural classifying morphism UX → (Mell)Q
[cf. the discussion preceding Proposition 1.8]. Let

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 23:37:17.56

>>136
つづき

続・宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2018) （Indexあり） https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244746
P94
Q は有理数体 Q の代数閉包　-　との間に, 自然な全単射
が存在します. 各元 λ ∈ Q \ {0, 1} に対して, 方程式 “y^2 = x(x - 1)(x - λ)” を考えるこ
とによって, Q(λ) 上の楕円曲線 (Eλ)Q(λ) が得られます. また, 剰余体 Q(λ) の拡大体 Fλ
を Fλdef= Q(λ, √-1,(Eλ)Q(λ)[3 ・ 5](Q)) と定義すると, 良く知られているとおり, Fλ 上の
楕円曲線 Eλ def = (Eλ)Q(λ) ×Q(λ) Fλ は, Fλ のすべての素点において高々分裂乗法的還元
を持ちます. 特に, 各元 λ ∈ Q \ {0, 1} において,
・楕円曲線 Eλ の q パラメータが定める Fλ 上の数論的因子 qλ の次数 deg(qλ),
・数論的因子 qλ が定める Fλ 上の “被約” な数論的因子 fλ の次数 deg(fλ),
・数体 Fλ の絶対共役差積が定める Fλ 上の数論的因子 dλ の次数 deg(dλ),
・剰余体 Q(λ) の有理数体上の拡大次数 dλ def = [Q(λ) : Q]
という 4 つの値を考えることができます. これら 4 つの値は, λ ∈ Q\ {0, 1} をその GQ 共
役に取り替えても変わらないため, 特に, これら 4 つの値を “UP の閉点のなす集合の上の
関数” と考えることができます. この設定のもと, Belyi 写像を用いた議論を適用すること
によって, この §26 の冒頭で述べた “Diophantus 幾何学的不等式” を証明するためには,
以下の主張を証明すれば充分であることがわかります ([5], Theorem 2.1; [10], Corollary
2.2, (i); [10], Corollary 2.3, の証明を参照):
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 16:46:53.77

メモ
http://blog.livedoor.jp/abc_conjecture/archives/44597227.html
【数学】ABC予想ニュース【最新情報】
2018年01月24日
宇宙際タイヒミュラー理論のまとめWiki
(2018.1.24更新)

・F. Tan and K. Chenによるワークショップ資料(2015.7に北京で開催された「Workshop on Inter-Universal Teichmuller Theory」より) (英語)
http://wiutt.csp.escience.cn/dct/page/70004
Note on the theory of Absolute Anabelian Geometry of Mochizuki http://wiutt.csp.escience.cn/dct/attach/Y2xiOmNsYjpwZGY6OTQ2OTA=
・Minhyong Kimによる解説ペーパー(英語)
http://people.maths.ox.ac.uk/kimm/papers/pre-iutt.pdf
・星裕一郎氏によるサーベイ(2015.12開催の研究集会内「宇宙際 Teichmuller 理論入門」での講義資料)(日本語)
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/intro_iut.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 16:51:56.02

本体リンク切れで、キャッシュ貼る
https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:k2PgzayvOKEJ:https://ncatlab.org/nlab/show/anabelioid+&cd=3&hl=ja&ct=clnk&gl=jp
nLab
anabelioid
Contents
1. Introduction
2. Details
3. Associated notions
4. References
Introduction 0.1
An anabelioid is a category intended to play the role of a ‘generalised geometric object’ in algebraic/arithmetic geometry. Its definition is simple: a finite product of Galois categories, or in other words of classifying topoi of profinite groups. The significance comes from the fact that in anabelian geometry, an algebraic variety is essentially determined by its algebraic fundamental group, which arises from a Galois category associated to the algebraic variety. The idea, due to Shinichi Mochizuki, is that one can develop the geometry of these Galois categories themselves, and products of Galois categories in general; thus, develop a form of categorical algebraic geometry.

To quote from Remark 1.1.4.1 of Mochizuki2004:

The introduction of anabelioids allows us to work with both “algebro-geometric anabelioids” (i.e., anabelioids arising from (anabelian) varieties) and “abstract anabelioids” (i.e., those which do not necessarily arise from an (anabelian) variety) as geometric objects on an equal footing.

The reason that it is important to deal with “geometric objects” as opposed to groups, is that:

We wish to study what happens as one varies the basepoint of one of these geometric objects.

Details 0.2
The following definitions follow Mochizuki2004.

Definition 0.3. A connected anabelioid is exactly a Galois category.

Definition 0.4. An anabelioid is a category equivalent to a finite product of connected anabelioids, that is, to a finite product of Galois categories.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 16:52:23.57

>>139
つづき

Remark 0.5. An anabelioid is also known as a multi-Galois category.

Associated notions 0.6
finite etale morphism of anabelioids
References 0.7
The geometry of anabelioids, Shinichi Mochizuki, 2004, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 40, No. 3, 819-881. paper Zentralblatt review
Created on April 17, 2020 at 18:29:54. See the history of this page for a list of all contributions to it.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 17:53:15.48

メモ

「Anabelioid の幾何学」2002年3月
ここに、”(i) 大域的な乗法的部分群スキームを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等のコピー E◎, F◎, K◎ に対する乗法的部分群スキームの構成を目指す。
(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の K◎ の base-point を parametrize するものと見る。”
これが、”宇宙際”の起源みたいだね

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20(Meijidai%202002-03).pdf
Anabelioid の幾何学
望月新一 (京都大学数理解析研究所)2002年3月

§1. 新技術導入の動機§2. anabelioid と core§3. 数論的な anabelioid の例§1. 新技術導入の動機F を数体とし、 E をその上の楕円曲線とする素数 l ≧ 3 に対し、簡単のため、Spec(F) 上の、 l 等分点による群スキーム E[l] から定まるガロア表現

K の殆んどの bad, multiplicative reduction の素点 pK においては、その素点における局所理論から生じる ‘乗法的な部分群スキーム’ と一致しない

この問題を克服するためには、視点を抜本的に変えてみる必要がある。結論からいうと、 ‘正しい視点’ は次の内容からなっている:

(i) 大域的な乗法的部分群スキームを、元々の作業の場としていた集合論的な ‘宇宙’ において構成することをひとまず諦め、全く別の、独立な宇宙における、元の対象たち E, F, K 等のコピー E◎, F◎, K◎ に対する乗法的部分群スキームの構成を目指す。

(ii) 元々の宇宙の K の、 pF の上の素点たち pK を、新しい宇宙の K◎ の base-point を parametrize するものと見る。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 17:53:58.62

>>141
つづき

まり、一言でいうと、 K の basepoint を動かすことが、肝心である。動かすことによって、元の宇宙における LK と新しい宇宙の (LK)◎ の間の、相対的な位置が移動することとなり、旨くその対応する移動を設定することによって、
「pK が表している K◎ の basepoint から、 LK に対応する (LK)◎ を眺めてみると、その (LK)◎ は、?∀ pK に対して) 常に乗法的になる。」

という一見??古典的な理論の常識からして)不思議ながらも、実は、ある意味では「同義反復的」な状況を実現することができる。

§2. anabelioid と core
以上の議論は哲学的な要素も含んでいるが、これを厳密な数学として処理するためには、新しい技術の導入が必要となる。この場合、中心となる新技術は、 ‘anabelioid’の理論である。

‘anabelioid’ とは、§1 の議論を行なう際に用いなければならない幾何的な対象のことである。この幾何的対象は、スキームと違い、 topos、即ち　圏　であるため、 an-abelioid 全体の ‘圏’ というものは、 2-category になってしまう。連結なときは、 anabe-lioid は [SGA1] に登場する ‘Galois category’ という、今では40年以上の歴史を持つ馴染み深いものと同じである。つまり、連結な anabelioid は、∃副有限群 G に対して
B(G)def= {G の連続な作用付きの有限集合たちがなす圏}
と同値な圏のことである。

anabelioid 的な視点が [SGA1] 等に代表される古典的なものと最も本質的に異なるところは、 (有限次)エ夕ール被覆の扱いである。古典的な理論では、個別のエ夕ール被覆や、複数のエ夕ール被覆からなる図式などは、一つの決まった Galois category に所属するものとして扱われる。この Galois category は、当然、扱っているすべてのエ夕ール被覆の下にあるスキーム（＝幾何的対象)に付随するものである。一方、 an-abelioid の理論では、 anabelioid そのものを、幾何的対象とみなすため、（本来、互いに全く関係のない、連結な anabelioid X, Y, Z に対して）
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 13:29:20.21

静かになったな
良かった
論文を学部4年が読めるようにとか
そんな話は、あっちのスレへ行けってこと

ヒルベルトの話もなんだかね
取り違えているよね
ヒルベルト以前の数学論文はデタラメで
ヒルベルトが、「数学論文は証明をちゃんと書こう」運動をしたみたくいう

「数学論文は証明をちゃんと（厳密に）書こう」運動は、ワイエルシュトラスが有名だけど
基本は、「数学論文は証明をちゃんと書こう」という精神は、（ガウスとか近代以降の）いつの時代の数学者の思考の根底にあったろう

望月先生が、その常道を外れたマッドサイエンティストみたく見えるのかね？
ショルツェ氏のzbmathレビューの方が、常軌を逸しているように見えるのは、私だけかね（「cor 3.12まではトリビアで証明は数行、cor 3.12など証明できるはずのない、トンデモ論文だ」とさ）

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 13:32:06.50

>>143
誤爆すまん
再投稿下記（＾＾；

Inter universal geometryとABC予想(応援スレ)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1628778394/117

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/21(土) 07:39:31.66

「集合論とはすべての集合のなす宇宙 V の構造を調べる理論である」

http://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/set-theory-basic-2009.pdf
集合論ベーシック
(2009 年度版)
向井国昭

1 はじめに
集合論とはなにか? 自然数の全体 N を調べる理論を自然数論というのと同じよう
に，集合論とはすべての集合のなす宇宙 V の構造を調べる理論である．この宇宙 V
は代数や微積分などあらゆる数学の展開に十分なほど広大であることが知られてい
る．本ノートは現代数学の標準言語でもある公理的集合論ZFC を紹介する．

ZFC 公理系は第 2 節で説明するが，ZFC をはじめて読む人のために役立つことを願って，
ZFC 公理系のこころを本節にまとめてみた．お役にたてばさいわいである．

高校数学でもおなじみの関係・関数の概念は，数学全般においても基本的かつ必要
不可欠である．数学だけではない．たとえば，数理論理学のモデル論は，述語記号は
関係を表し，関数記号は関数を表すとして構成されるので，関係・関数の概念は必要
不可欠である．本ノートの目標は V の構造の基本を述べることであるが，関係・関
数概念をきちんと定義するために必要な範囲の構造に限定される．したがって V 自
身の構造の深い性質についてはふれない．

https://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/model-theory-basic-2006.pdf
モデル論ベーシック
(2006 年度版)
向井国昭
1 はじめに
一階述語論理式, 数学的構造, 真偽の解釈規則のみっつを説明する．前半は「小さ
な世界」を例にとって説明し, 後半は形式的にモデルの定義を説明する. 例が必要が
なければ, 前半はスキップしてかまわない.

https://researchmap.jp/read0116084
向井国昭ムカイクニアキ (Kuniaki Mukai)更新日: 2011/08/04
https://k-ris.keio.ac.jp/html/100012649_ja.html
慶應義塾研究者情報データベース
向井　国昭 (ムカイ　クニアキ)2019/02/21

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/22(日) 10:10:41.61

メモ

http://www.uvm.edu/~tdupuy/anabelian/VermontNotes_20.pdf
KUMMER CLASSES AND ANABELIAN GEOMETRY Date: April 29, 2017
JACKSON S. MORROW
ABSTRACT. These notes comes from the Super QVNTS: Kummer Classes and Anabelian
geometry. Any virtues in the notes are to be credited to the lecturers and not the scribe;
however, all errors and inaccuracies should be attributed to the scribe. That being said,
I apologize in advance for any errors (typo-graphical or mathematical) that I have introduced. Many thanks to Taylor Dupuy, Artur Jackson, and Jeffrey Lagarias for their wonderful insights and remarks during the talks, Christopher Rasmussen, David Zureick-Brown,
and a special thanks to Taylor Dupuy for his immense help with editing these notes.

The following topics were not covered during the workshop:
・ mono-theta environments
・ conjugacy synchronization
・ log-shells (4 flavors)
・ combinatorial versions of the Grothendieck conjecture
・ Hodge theaters
・ kappa-coric functions (the number field analog of etale theta) ´
・ log links
・ theta links
・ indeterminacies involved in [Moc15a, Corollary 3.12]
・ elliptic curves in general position
・ explicit log volume computations

CONTENTS
1. On Mochizuki’s approach to Diophantine inequalities
Lecturer: Kiran Kedlaya . . . . . . . . . 2
2. Why the ABC Conjecture?
Lecturer: Carl Pomerance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Kummer classes, cyclotomes, and reconstructions (I/II)
Lecturer: Kirsten Wickelgren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Kummer classes, cyclotomes, and reconstructions (II/II)
Lecturer: David Zureick-Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/22(日) 16:56:49.37

メモ
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
望月過去と現在の研究
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(lecture%20note%20ban).pdf
宇宙際タイヒミューラー理論に関するレクチャーノートの最新版（2015年04月更新）

$1. Hodge-Arakelov 理論的動機付け
$2. Teichmiller 理論的な変形
$3. 対数・テータ格子
$4. 宇宙際性と遠アーベル幾何

Ｐ16
$4. 宇宙際性と遠アーベル幾何

log-link 及び Θ-link
は、定義域・値域の環構造と両立しないため、環構造から生じるスキーム論的な「基点」や、ガロア群 ( ⊆ Autfied(k) !! )と、本質的に両立しない! つまり、log-, Θ-link の「向こう側」に移行するとき、
“Πv, " や “Gv"は、抽象的な位相群としてしか、「向こう側」のスキーム論に通用しない!
(体の自己同型によって引き起こされる絶対ガロア群の外部自己同型の場合を参照。)
⇒ 定義域・値域双方の環構造の間の関係を計算するためには、遠アーベル幾何を活用するしかない!過去の論文のレベルでいうと、
絶対遠アーベル幾何やエタール・テータ関数の様々な剛性性質に関する
・Semi-graphs of Anabelioids　　・The Geometry of Frobenioids I, II
・The Etale Theta Function ...　・Topics in Absolute Anab. Geo. III
の結果や理論を適用することによって主定理を帰結する:
主定理: Θ-link の左辺に対して、軽微な不定性を除いて、右辺の「異質」な環構造しか用いない言葉により、明示的なアルゴリズムによる記述を与えることができる。
解釈:「狭いパイプ」でしか繋がっていないような状況(=例えば、宇宙船にいる宇宙飛行士や地下の鉱山で働く作業員等)において、限られた情報を賢く利用することによって「向こう側」の状況を復元し、把握することができる。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/22(日) 16:57:14.60

つづき

Ｐ17
証明のポイント:? Gv ⇒ Oxkのコア性 (coricity)!
・二種類の数学的対象を関連付ける、様々な形の「Kummer 理論」($3後半の解説を参照):抽象的なモノイド = Frobenius 型の対象,数論的基本群
・ガロア群 = etale 型の対象ここで、ガウス積分の計算との類似=「単数群と値群の分離」を思い出そう:
　log-, Θ-link や対数・テータ格子の定義 ← → デカルト座標絶対遠アーベル幾何を用いたアルゴリズムによる記述 →極座標円分物 (～＝Ｚ(1)) の確保=剛性が肝心! ← → S1 n による座標変換

（Bogomolov の証明を参照!)を実現するためには、log-link の活用が必要不可欠である。

一方、対数・テータ格子の非可換性によって様々な困難が生じる。⇒後の「体積計算」では、(等式ではなく!) 不等式しか出ない!

主定理のアルゴリズムの出力に対して、体積計算を行うと、$1 で解説したように次のような帰結が得られる(Faltings による Mordell 予想の証明に出てくる、類体論やp進ホッジ理論、アーベル多様体関連の代数幾何等を参照!)：
系:「(強い形の) Sapiro 予想」 (←→ 「ABC 予想」)。htE = (1 + c)(log-difff + log-conde) + constant

ここで「N・HLHS = ARHS」( = Θ-link!)や「N.h < h+C」(= 主定理+体積計算)の議論 ($1)を思い出そう!

先ほどの議論は、$3 の最後に解説したヤコビの変換式との類似で考えると、様々な類似点が浮かび上がる:

実は、先ほどの不等式に登場した「ε」は、
(htE)-1/2・log(htＥ)
位のオーダーに抑えることができる。この「1/2」はリーマン予想を連想させられる値であるが、まさしくリーマン予想と同じく、「ウエイト 1/2」(注:「ウェイト」はリーマン・ゼータ ζ(S) の「s」)、つまり(Tate 捻りに対応する)πの整数幕ではなく、πの平方根
∫-∞～∞ e-x2 dx = √π
に関係する現象である。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/22(日) 16:57:53.30

>>148
つづき

実際、先ほどの「ε」の計算では、ガウス積分やテータ関数に現れるような二次形式が出てきて、その量の最少値を求めると、二次形式の根= 平方根 = 「(htE)-2」という式が発生するのである。

P19
最後に、「IU 幾何の心」=「通常のスキーム論が有効ではないような組合せ論的な設定において、通常のスキーム論にヒントを得た構成を行ない、通常のスキーム論をある程度近似することによって非自明な結果を出す」という考え方のもう一つの(より初等的な)例として
組合せ論的遠アーベル幾何 ?GT 群に関する様々な結果という例が存在することを指摘したい。これらの結果の趣旨は、GT群が「GQと同型である」ことを示す代わりに、GT 群が GQと「類似的な性質」を満たすことを示すことにある。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/24(火) 08:01:01.68

下記タイヒミュラー空間論 by 今吉洋一 (著), 谷口雅彦 (著)が良いと
数学セミナー　2021年9月号タイヒミュラー空間／双曲幾何の変形空間……正井秀俊　70
に書いてあった

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html
数学セミナー　2021年9月号
[特集1]
高次元の正多面体

群と幾何をみるーー無限の彼方から
　　タイヒミュラー空間／双曲幾何の変形空間……正井秀俊　70

https://www.アマゾン
タイヒミュラー空間論 Tankobon Hardcover ? November 1, 2004
by 今吉洋一 (著), 谷口雅彦 (著)
日本評論社
内容（「BOOK」データベースより）
初版から15年。タイヒミュラー空間とその商空間であるモデュライ空間は、いまや複素力学系・代数幾何・双曲幾何・低次元トポロジーなどにおける基本概念となった。共形場理論や弦理論との関連から、物理学からの関心もますます増え続けている。本書は可能な限り予備知識を絞って書かれたこの分野のスタンダードな教科書である。
著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
今吉/洋一
1947年岡山県に生まれる。1971年東北大学理学部数学科を卒業。現在、大阪市立大学大学院理学研究科教授

谷口/雅彦
1951年奈良県に生まれる。1974年京都大学理学部数学科を卒業。現在、京都大学大学院理学研究科助教授(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/28(土) 12:47:26.41

>>150
>下記タイヒミュラー空間論 by 今吉洋一 (著), 谷口雅彦 (著)が良いと
>数学セミナー　2021年9月号タイヒミュラー空間／双曲幾何の変形空間……正井秀俊　70
>に書いてあった

本が手元に来た
これから、ざっと眺めて読んでみます

https://researchmap.jp/read0013294
谷口雅彦タニグチマサヒコ (Masahiko Taniguchi) 更新日: 2020/09/02

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/29(日) 17:38:54.41

p進Teichmuller理論 ”An Introduction to p-adic Teichmuller Theory”は、目を通しておくのが良い

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月論文
p進Teichmuller理論
[3] An Introduction to p-adic Teichmuller Theory. PDF （これは、次のAsterisque, tome 278 (2002)と同じですね）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/An%20Introduction%20to%20p-adic%20Teichmuller%20Theory.pdf

（上記と同じ）
http://www.numdam.org/article/AST_2002__278__1_0.pdf
SHINICHI MOCHIZUKI
An introduction to p-adic Teichmuller theory
Asterisque, tome 278 (2002), p. 1-49

講演のアブストラクト・レクチャーノート
[2] p進Teichmuller理論. PDF （Hokudai 2001-01 か）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/p-shin%20Teichmuller%20riron%20no%20kaisetsu%20(Hokudai%202001-01).pdf
An Introduction to p-adic Teichm¨uller Theory 望月新一 TX 近藤智

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/04(土) 19:42:14.74

凄いじゃないかIUT！「IUTは、類体論の拡張」
「フェセンコはIU幾何を遠アーベル幾何から派生した新たな類体論に位置付けている」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96#cite_note-3
宇宙際タイヒミュラー理論
数論的 log Scheme 圏論的表示の構成等に続いた研究であり、「一点抜き楕円曲線付き数体」の「数論的タイヒミューラー変形」を遠アーベル幾何等を用いて「計算」する数論幾何学の理論である
イヴァン・フェセンコはIU幾何を遠アーベル幾何から派生した新たな類体論に位置付けている

https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/232.pdf
[R5] Class field theory, its three main generalisations, and applications pdf, May 2021, EMS Surveys 8(2021) 107-133
https://www.ems-ph.org/journals/show_issue.php?issn=2308-2151&;vol=8&iss=1
EMS SURVEYS Vol8,2021 Class field theory, its three main generalisations, and applications

P16
Here are some relations between the three generalisations of CFT and their further developments:

2dLC?－－ 2dAAG－－－ IUT
　l　　　／　　｜　　　　　｜
　l　／　　　｜　　　　　｜
　l／　　　　｜　　　　　｜
　LC 　　 2dCFT　 anabelian geometry
　＼　　　　　｜　　　　／
　　＼　　　｜　　　／
　　　　＼　　｜　／
　　　　　　 CFT
注）記号：
Class Field Theory (CFT), Langlands correspondences (LC), 2dAAG = 2d adelic analysis and geometry, two-dimensional (2d)
(P8 "These generalisations use fundamental groups: the etale fundamental group in anabelian geometry, representations of the etale fundamental group (thus, forgetting something very essential about the full fundamental group) in Langlands correspondences and the (abelian) motivic A1 fundamental group (i.e. Milnor K2) in two-dimensional (2d) higher class field theory.")

Problem 7. Find more direct relations between the generalisations of CFT. Use them to produce a single unified generalisation of CFT.23

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/16(木) 22:54:21.63

これいいね
https://ncatlab.org/nlab/show/inter-universal+Teichm%C3%BCller+theory
nlab
inter-universal Teichmuller theory
Context
Arithmetic geometry
Contents
1. Idea
2. Details
Pilot objects
3. Related concepts
4. References

3. Related concepts
・anabelian geometry https://ncatlab.org/nlab/show/anabelian+geometry
・etale theta function https://ncatlab.org/nlab/show/%C3%A9tale+theta+function
・Frobenioid https://ncatlab.org/nlab/show/Frobenioid
・initial Θ-data https://ncatlab.org/nlab/show/initial+%CE%98-data
・Mochizuki's corollary 3.12 https://ncatlab.org/nlab/show/Mochizuki%27s+corollary+3.12
・universe polymorphism https://ncatlab.org/nlab/show/universe+polymorphism
・poly-morphism (not to be be confused with polymorphism) https://ncatlab.org/nlab/show/poly-morphism

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/17(金) 07:11:39.83

IUTアニメ資料
https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/files/iut2.html
Inter-universal Teichmuller Theory (IUT) Summit 2021
RIMS workshop, September 7 - September 10 2021

Animations 1 and 2 illustrating IUT
The images on this page are taken from these animations

https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/files/iut.anima.html
Animations related to IUT

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/19(日) 08:39:56.45

メモ
https://www.math.kyushu-u.ac.jp/seminars/view/1373
連続講演会(第1回目)
開催期間
2014-09-16 10:30～2014-09-19 17:30
場所
九州大学伊都キャンパス伊都図書館3階中セミナー室1
受講対象
講師
山下剛 (京大数理研)

タイトル：
「宇宙際Teichmuller理論とそのDiophantus的帰結」

アブストラクト：
2012年8月、望月新一氏(京大数理研)は宇宙際Teichmuller理論の連続論文(I～IV)を発表した。これは、きわめて大雑把に述べると、スキーム論の外に出て数体の「数論的正則構造」を「変形」し、絶対遠Abel幾何的復元アルゴリズムを使うことで一方の「数論的正則構造」から他方の「数論的正則構造」を軽微な不定性を許して復元し、その帰結としてDiophantus不等式を導くというものである。不定性が軽微なもので抑えられることを示すところ(や「変形」の構成など)において、理論中に出てくる数学的部品たちの性質が絶妙にピタリとあてはまっている。

同氏は、その理論の準備の段階の論文を含め、「単遠Abel幾何と双遠Abel幾何」「数論的正則性と単解析性」「エタール的対象とFrobenius的対象」「多輻性と単輻性と核性」「足し算と掛け算を分離する数論的な上半平面」「数論的な解析接続」「Galois評価原理」などの(重要かつ整理された視点を提供する)独創的な数学的概念・視点を導入し、全く新しい地平を切り開いた。これはDiophantus不等式への応用抜きにしてもそれ自身重要かつ有用な概念・視点である(また、これら以外にも多くの興味深い対応関係や対比がある)。

本連続講演は、理論全体の概観の後、理論の思想的源流(Hodge-Arakelov理論やp進Hodge理論など)について簡単に触れ(同氏の導入した概念や理論は単に新奇であるのではなく、よく理解すればGauss積分やテータ関数のJacobiの等式などの古典的な理論と思想的に深く結びついている)、準備の論文の解説(Belyiカスプ化や単テータ環境の３つの剛性など)をして、本体の論文(キーワードだけを並べると、種々のHodge舞台、種々のテータ・リンクとHodge-Arakelov理論的評価、対数的殻と対数的リンク、対数的Kummer対応、多輻的復元アルゴリズム、対数的体積計算など)に進む予定である。計３週間ぐらいになる予定である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/25(土) 11:22:58.37

>>129

下記IUTの発想というか、手探りでIUTを構築しようとしている様子がよく分かる
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
望月講演
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suuronteki%20log%20scheme%20no%20kenrontekihyouji%20kara%20mita%20daen%20kyokusen%20no%20suuron%20(Hokudai%202003-11).pdf
[10] 数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論　（北海道大学 2003年11月）. PDF

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 07:54:28.29

メモ
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/
伊吹山知義　オフィシャルサイト
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/proceedings.html
整数論研究集会報告集のページ
整数論サマースクール
整数論オータムワークショップ
第１２回整数論サマースクール基本群とGalois表現（広島県福山市「ローズイン備後ハイツ」）2004

Belyi の定理、dessins d'enfants 都立大・小松亨 http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/pdf/%E7%AC%AC%EF%BC%91%EF%BC%92%E5%9B%9E/12_7.pdf
Grothendieck-Tiechm"uller 群名古屋大・古庄英和 http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/pdf/%E7%AC%AC%EF%BC%91%EF%BC%92%E5%9B%9E/12_8.pdf
Galois 圏・淡中圏とその基本群の入門京大・玉川安騎男 http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/pdf/%E7%AC%AC%EF%BC%91%EF%BC%92%E5%9B%9E/12_9.pdf
曲線の moduli 空間の基本群への Galois 作用岡山大・中村博昭 http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/pdf/%E7%AC%AC%EF%BC%91%EF%BC%92%E5%9B%9E/12_10.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 07:57:34.27

メモ

http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/NumberTheorySummerSchool.html
Number Theory Summer School
これまでの整数論サマースクール

28 2021 モジュラー曲線と数論
（Zoom）新井啓介（東京電機大学）
千田雅隆（東京電機大学）
吉川祥（学習院大学）準備中 HP

27 2019 構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題
（山形県酒田市「東北公益文科大学公益ホール・かんぽの宿酒田」）小松亨（東京理科大学）
星明考（新潟大学）
北山秀隆（和歌山大学）報告集 HP

26 2018 多重ゼータ値
（愛知県田原市伊良湖町「伊良湖シーパーク＆スパ」）佐久川憲児（京都大学）
田坂浩二（愛知県立大学）
三柴善範（福岡工業大学）報告集 HP

25 2017 楕円曲線とモジュラー形式の計算
（群馬県渋川市伊香保町「伊香保温泉塚越屋七兵衛」）木村巌（富山大学）
横山俊一（九州大学）報告集 HP

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/27(月) 08:06:00.55

メモ

https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:D94dZn4dj2cJ:https://www.ipmu.jp/sites/default/files/webfm/pdfs/news14/J_FEATURE.pdf+&cd=1&hl=ja&ct=clnk&gl=jp
ファイル https://www.ipmu.jp/sites/default/files/webfm/pdfs/news14/J_FEATURE.pdf の HTML 版です。
IPMU主任研究員?アレクセイ・ボンダル
代数から代数多様体へ
グロタンディーク以降の導来圏

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:41:01.32

>>153 類体論補足

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E%E4%BD%93%E8%AB%96
類体論
有限体上の曲線の函数体や数体のアーベル拡大について、およびそのようなアーベル拡大に関する数論的性質について研究する、代数的整数論の一大分野である。理論の対象となる体は、一般に大域体もしくは一次元大域体と呼ばれるものである。

与えられた大域体の有限次アーベル拡大と、その体の適当なイデアル類もしくはその体のイデール類群の開部分群との間に一対一対応が取れるという事実によって、類体論の名がある。例えば、数体の最大不分岐アーベル拡大であるヒルベルト類体は、非常に特別なイデアル類に対応する。類体論は、大域体のイデール類群（即ち、体の乗法群によるイデールの商）によってその大域体の最大アーベル拡大のガロワ群へ作用する相互律準同型 (reciprocity homomorphism) を含む。大域体のイデール類群の各開部分群は、対応する類体拡大からもとの大域体へ落ちるノルム写像の像になっているのである。

標準的な方法論は、1930年代以降発達した局所類体論（英語版）で、これは大域体の完備化である局所体のアーベル拡大を記述するものであり、これを用いて大域類体論が構築される。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:41:26.13

>>161
つづき

現代的な定式化
現代的な言葉で言えば、基礎体 K の最大アーベル拡大 A は存在して、その拡大次数は K 上無限大となり得るから、その時 A に対応するガロワ群 G は副有限群となり、従ってコンパクト位相群かつまたアーベル群になる。類体論の中心定な目的は、この群 G を基礎体 K の言葉で記述することである。特に、K の有限次アーベル拡大と K に対する適当な（有限な剰余体を持つ局所体の場合の乗法群や大域体の場合のイデール類群のような）対象におけるノルム群との間の一対一対応を確立し、それらのノルム群を（例えば、指数有限な開部分群といったように）直截的に記述することである。そのような部分群に対応する有限次アーベル拡大を類体と呼び、これが理論の名称の由来となっている。

類体論の基本的な結果は「最大アーベル拡大のガロワ群 G は、基礎体 K のイデール類群 CK の（基礎体 K の特定の構造に関係して CK に入る自然な位相に関する）副有限完備化に自然同型である」ことを主張する。同じことだが、K の任意の有限次ガロワ拡大 L に対し、この拡大のガロワ群の最大アーベル商（アーベル化）と、K のイデール類群を L のイデール類群のノルム写像による像で割ったものとの間に、同型

Gal(L / K)ab → CK / NL/K CL
が存在する[1]。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:41:44.65

>>162
つづき

幾つかの小さい体、例えば有理数体 Q やその虚二次拡大体については、もっとたくさんの情報が得られる詳細な理論が存在する。例えば、Q のアーベル化絶対ガロワ群 G は、全ての素数に亙って取った p-進整数環の単元群の無限直積（に自然同型）であり、対応する Q の最大アーベル拡大は 1 の冪根全てによって生成された体となる。このことは、もとはレオポルト・クロネッカーの予想であったクロネッカー?ヴェーバーの定理として知られる。この場合の、類体論の相互律同型（あるいはアルティンの相互律写像）も同定理に従って具体的に書くことができる。1 の全ての冪根からなる群を

{\displaystyle \mu _{\infty }(\subset \mathbb {C} ^{\times })}\mu _{\infty }(\subset {\mathbb {C}}^{\times })
と書くことにする（円周群 C× のねじれ部分群）と、アルティンの相互律写像はそれが数論的正規化されているならば

{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{x})}{\hat {{\mathbb {Z}}}}^{\times }\to G_{{{\mathbb {Q}}}}^{{\text{ab}}}={\text{Gal}}({\mathbb {Q}}(\mu _{\infty })/{\mathbb {Q}});\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{x})

によって、あるいはそれが幾何学的正規化されているならば

{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{-x})}{\hat {{\mathbb {Z}}}}^{\times }\to G_{{{\mathbb {Q}}}}^{{\text{ab}}}={\text{Gal}}({\mathbb {Q}}(\mu _{\infty })/{\mathbb {Q}});\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{{-x}})
によって与えられる。しかし、このような小さな代数体に対する詳細理論の主要な構成法は一般の代数体の場合にまで拡張することはできないし、一般類体論で用いられるのはもっと違った概念的原理である。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:42:05.81

>>163
つづき

相互律準同型を構成する標準的な方法は、まず大域体の完備化の乗法群からその最大アーベル拡大のガロワ群への局所相互律同型を構成し（ここまでは局所類体論の範疇でできる）、それからそれらすべての局所相互律写像の積を大域体のイデール群上で定義するとき、その積が大域体の乗法群の像の上で自明となることを示すことで行われる。最後のところのこの性質を大域相互律 (global reciprocity law) と言い、これはガウスの二次の相互律の広汎な一般化になっている。

相互律準同型を構成するのに類構造（英語版）を用いる方法もある。

コホモロジー群（特にブラウアー群）を用いる方法や、コホモロジーを用いずに非常に明示的で応用が利く方法などもある。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:42:29.08

>>164
つづき

素イデアル
G の抽象的な記述だけではなくて、そのアーベル拡大においてどのように素イデアルが分解するかを理解することが数論の目的にとってより本質的である。この記述はフロベニウス元を用いて、二次体における素数の因数分解の様子を完全に与える二次の相互律を非常に広範に一般化するものである。つまり、類体論の内容には、（三次の相互律といったような）より高次の「冪剰余の相互律」についての理論が含まれるのである。

類体論の一般化
数論における一つの自然な展開は、大域体の（アーベルとは限らない）一般のガロワ拡大に対する情報を与える非可換類体論の構成と理解を行うことである。ラングランズ対応が非可換類体論と見做されることが多く、そして実際にラングランズ対応が確立されたときには大域体の非可換ガロワ拡大に関する非常に豊かな理論を含むことになるのだが、しかしラングランズ対応はアーベル拡大の場合の類体論が持っていた有限次ガロワ拡大についての数論的情報のほとんどを含んでいないのである。しかもラングランズ対応は類体論の存在定理に対応するものも含んでいない、即ち、ラングランズ対応における類体の概念は存在しないのである。局所および大域の非可換類体論はいくつか存在し、それらはラングランズ対応の観点に対する別の選択肢を与えてくれる。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:42:44.58

>>165
つづき

もうひとつ、数論幾何における自然な展開は、高次局所体および高次大域体のアーベル拡大を構成及び理解することである。後者の高次大域体は、整数環上の有限型スキームの函数体およびその適当な局所化や完備化として生じる。「高次局所および大域類体論」は代数的 K-理論や、一次元類体論で用いられる K1 の代わりに適当なミルナー K-群を用いる。高次局所および大域類体論は、A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司らの数学者が展開した。代数的 K-理論を用いずに高次大域類体論を展開しようとする試みもある (G. Wiesend) が、このやり方は高次局所類体論を含むものではなく、また局所理論と大域理論との間に互換性がない。

歴史
詳細は「類体論の歴史（英語版）」を参照
類体論の起源はガウスによって与えられた平方剰余の相互律にある。それが一般化されるまでには長きに亙る歴史的な取り組み、たとえば二次形式とその「種の理論」、クンマー・クロネッカー・ヘンゼルなどのイデアルおよび完備化に関する業績、円分体およびクンマー拡大の理論などがあった。

最初の二つの類体論は、非常にはっきりした円分類体論と虚数乗法類体論である。これらは付加的な構造（有理数体の場合には 1 の冪根、有理数体の虚二次拡大体の場合には楕円曲線が虚数乗法を持つことと位数有限であること）が利用できる。随分後になって、志村の理論は代数的数体のクラスに対する非常に明示的な新たな類体論を与えた。これらは基礎体の具体的な構造を非常に陽に用いる理論であって、勝手な数体に対してもうまくいくように拡張することはできない。正標数 p の体に関しては、河田と佐武がヴィット双対性を用いて相互律準同型の p-成分の非常に平易な記述を得ている。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:43:05.25

>>166
つづき

しかし、一般類体論はこういったものとは異なる概念を用い、その構成法が任意の大域体に対してうまく機能するようにしなければならない。

ヒルベルトの有名な問題が更なる発展の刺激となって、高木貞治、フィリップ・フルトヴェングラー、エミール・アルティン、ヘルムート・ハッセほか多数による種々の相互律が導かれることとなった。著しく重要な高木の存在定理が1920年に知られ、全ての主要な結果は1930年ごろまでには出そろっていた。証明されるべき古典的な予想の最後の一つは単項化定理（英語版）であった。類体論の最初の証明には、頑強な解析学的手法が用いられた。1930年代以降は、無限次元拡大とそのガロワ群に関するヴォルフガンク・クルルの理論が有効であることが次第に認められていく。この理論はポントリャーギン双対性と結びついて、中心的な結果であるアルティンの相互律のより抽象的な定式化が分かり易くなった。重要な段階は、1930年代にクロード・シュヴァレーによってイデールが導入されたことである。イデールをイデアル類の代わりに用いることで、大域体のアーベル拡大を記述する構造は本質的に明確化および単純化され、中心的な結果のほとんどが1940年までに証明された。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 16:43:25.67

>>167
つづき

この結果の後には、群コホモロジーの言葉を使った定式化がなされ、それが何世代かの数論学者が類体論を学ぶ際の標準となったが、コホモロジーを用いる方法の難点の一つは、それがあまり具体的でないことである。ベルナルド・ドワーク、ジョン・テイト、ミッシェル・ハゼウィンケルによる局所理論への貢献、およびユルゲン・ノイキルヒによる局所および大域理論の再解釈の結果として、あるいは多くの数学者による明示的な相互公式に関する業績と関連して、1990年代にはコホモロジーを用いない非常に明確な類体論の表現が確立された。このあたりの詳細は、例えばノイキルヒの本を参照せよ。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%9C%A8%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86
類体論の高木の存在定理 (Takagi existence theorem) とは、代数体 K に対してその有限次アーベル拡大と K の一般化されたイデアル類群の間に 1 対 1 の対応が存在するという定理である。
この定理を存在定理と呼ぶ理由は、証明の最も困難な部分が K のアーベル拡大体の存在を示す部分にあるからである。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 17:06:10.64

>>48 補足
>http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.pdf
>類体論田口雄一郎
(引用開始)
P2
類体論の応用として
Kronecker の青春の夢. 虚二次体の任意の有限次アーベル拡大はCM
楕円曲線のj 不変量の値と等分点の座標を添加して得られる。
が解決した(これはKronecker-Weber の定理の虚二次体への拡張である)。
(引用終り)

”CM 楕円曲線”は、虚数乗法（CM）を持つ楕円曲線のことですね
文中に説明がないので、補足です

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_multiplication
In mathematics, complex multiplication (CM) is the theory of elliptic curves E that have an endomorphism ring larger than the integers;[1] and also the theory in higher dimensions of abelian varieties A having enough endomorphisms in a certain precise sense (it roughly means that the action on the tangent space at the identity element of A is a direct sum of one-dimensional modules). Put another way, it contains the theory of elliptic functions with extra symmetries, such as are visible when the period lattice is the Gaussian integer lattice or Eisenstein integer lattice.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 17:06:42.85

>>169
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E4%B9%97%E6%B3%95
虚数乗法(complex multiplication)とは、通常よりも大きな対称性をもつ楕円曲線の理論のことをいう。別のいいかたをすれば、周期格子（英語版）(period lattice)がガウス整数の格子であったり、アイゼンシュタイン整数の格子であったりするような、余剰な対称性を持つ楕円函数の理論である。楕円曲線の高次元化であるアーベル多様体についても同様に大きな対称性をもつ場合があり、これらを扱うのが虚数乗法論である。

特殊関数の理論として、そのような楕円函数や多変数複素解析函数のアーベル函数は、大きな対称性をもつことからその関数が多くの等式をみたすことがいえる。特別な点では具体的に計算可能な特殊値を持つ。また虚数乗法は代数的整数論の中心的なテーマであり、円分体の理論をより広く拡張する事を可能にする。

虚数乗法は、虚二次体の類体における相互法則、主イデアル定理、分岐の様子を、楕円函数や楕円曲線のことばで具体的に書き表すことを可能とする。ダフィット・ヒルベルトは、楕円曲線の虚数乗法論は数学のみならず、すべての科学の中の最も美しい分野であると言っている[1]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/CM-%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%97%E3%81%AE%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
CM-タイプのアーベル多様体

体 K 上定義されたアーベル多様体 A がCM-タイプ(CM-type)であるとは、自己準同型環 End(A) の中で十分に大きな部分可換環を持つことをいう。この用語は虚数乗法 (complex multiplication) 論から来ていて、虚数乗法論は19世紀に楕円曲線の研究のため開発された。20世紀の代数的整数論と代数幾何学の主要な成果のひとつに、アーベル多様体の次元 d > 1 の理論の正しい定式化が発見されたことがある。この問題は、多変数複素函数論を使うことが非常に困難であるため、非常に抽象的である。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 17:07:14.75

>>170

つづき

フォーマルな定義は、有理数体 Q と End(A) のテンソル積

{\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {Q} }(A)}{\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {Q} }(A)}
は Z 上、次元 2d の可換部分環を含んでいることである。d = 1 のとき、このことは二次体以外にはありえなく、End(A) は虚二次体の整環（英語版）(order)である。d > 1 に対しては、総実体の虚二次拡大であるCM体の場合が比較すべきに対象である。A が単純アーベル多様体ではないかもしれない（例えば、楕円曲線のカルテシアン積）ことを反映する他の他の場合もある。CM-タイプのアーベル多様体の別の名称は、十分に多くの虚数乗法を持つアーベル多様体である。

K が複素数体であれば、任意のCM-タイプの A は、実は、数体である定義体（英語版）(field of definition)を持っている。自己準同型環の可能なタイプは、対合（ロサチの対合（英語版）(Rosati involution)）をもつ環として既に分類されていて、CM-タイプのアーベル多様体の分類を導き出す。楕円曲線と同じような方法でCM-タイプの多様体を構成するには、Cd の中の格子 Λ から始め、アーベル多様体のリーマンの関係式を考えに入れる必要がある。

CM-タイプ(CM-type)は、単位元における A の正則接空間上の、EndQ(A) の（極大）可換部分環 L の作用を記述したものである。単純な種類のスペクトル理論が適応され、L が固有ベクトルの基底を通して作用することを示すことができる。言い換えると、L は A の正則ベクトル場の上の対角行列を通した作用を持っている。L 自体が複数の体の積ではなく数体であるという単純な場合には、CM-タイプは L の複素埋め込み(complex embedding)のリストである。複素共役をペアとして、2d 個の複素埋め込みがあり、CM-タイプは各々のペアのから一つを選択する。そのようなCM-タイプの全てが実現されることが知られている。

志村五郎と谷山豊の基本的結果は、CM-タイプとヘッケのL-函数のことばで、A のハッセ・ヴェイユのL-函数を計算することができ、これから導出された無限部分を持つ。これらが、楕円曲線の場合のマックス・ドイリング（英語版）(Max Deuring)の結果を一般化する。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 17:23:08.14

>>169 補足

下記「類体論をこえて」が分かり易かった
「数学セミナー」1967年8月号の記事だそうです

https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5345.html
ドクトル・クーガーの数学講座1 久賀　道郎 1992.08

第2部　類体論をこえて

　　　　有限体の話

　　　　佐藤予想のこと

　　　　類体論をこえて

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%85%E8%B3%80%E9%81%93%E9%83%8E
久賀道郎（くがみちお、1928年 - 1990年2月13日）は、日本出身の数学者である。

1960年に東京大学で博士号を取得した[1]。

彼の研究は、ピエール・ルネ・ドリーニュによるヴェイユ予想の証明(Deligne 1974)から部分的に続くラマヌジャン予想の証明につながった。

1966年、彼は久賀ファイバー多様体（英語版）を導入した[2]。

彼の著書『ガロアの夢―群論と微分方程式』は、ガロア理論の観点から被覆空間やフックス型微分方程式などのトピックを考察した、学部学生のための群論と微分方程式に関する一連の講義である。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/01(金) 17:26:03.83

>>172 関連情報

純粋・応用数学（含むガロア理論）9
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1623019011/166
>ここの類体論の解説が、志村五郎氏の「虚数乗法入門」数学のあゆみ 7巻2号
>（下記で3巻が1955年だから、7巻だと1959年だろう）

これの画像があった（下記）
”志村五郎述（久賀道郎・清水達雄記），「虚数乗法入門」，数学の歩み 5巻1号”1957 が正しそうかな
あるいは、7巻2号に続編があるのか？　下記の野口潤次郎先生のところには、7巻2号は欠号です。残念

（参考）
https://twitpic.com/d6vdoi
画像
志村五郎述（久賀道郎・清水達雄記），「虚数乗法入門」，数学の歩み 5巻1号，新数学人集団（SSS）編集・数学の歩み刊行会，1957，pp.65-73.

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/
野口潤次郎の電網掲示板
(C1) 数学の歩み
この資料は、その昔志賀浩二先生が東工大を退官されるときに、貴重な資料なので捨てるに忍びない、ということで頂いておいたものです。欠号が多く不完全なものですが、興味深いものがあります。
　初めに「目次（表紙集）」を参照することをおすすめします。
連合機関誌・全国数学連絡会機関誌・数学の歩み。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/SugakuAyumi/
数学の歩み
初めに ``目次（表紙集）'' を見ることをお薦めします。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~noguchi/SugakuAyumi/00mokuji.pdf
目次（表紙集）
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 16:46:35.10

×資料展示
○資料剽窃

>>1
はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！はーんざーいしゃ！いつ自首するの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 17:34:07.69

>>174
なんだい、おサルか
学術文献で市販テキストには、価格があって、著作権もある

無料公開学術文献にも、もちろん著作権はあるが
出典を明示している以上、剽窃ではありません（下記）

https://news.yahoo.co.jp/byline/usuimafumi/20140322-00033799
コピペ・代行で済まそうとしている学生さんへ：引用・転載・剽窃とは・その違いとは：著作権法と私文書偽造
碓井真史新潟青陵大学大学院臨床心理学研究科教授（社会心理学）
2014/3/22(土) 15:31

■ 研究論文、研究レポートにおける引用とは
研究論文（研究レポート）において「引用」と呼ばれるものの多くは、研究内容の紹介でしょう。たとえば、「碓井（2022）はオレンジジュースがアンチエイジングに効果があることを示した」といった具合に碓井の研究内容を書いて、最後に「引用文献」として出典を書きますね。

どんどん引用してください。私達は、学問の先輩である巨人の肩に立って研究を進めます。大先生の研究も、最近の新しい研究もたくさん読み、引用してください。引用される方も、名誉なことであり、多く引用されることは評価につながりますので、大歓迎です。

これに対して、世間でよく言われる引用は、相手の言葉や文章をそのまま再掲載することです。たとえば、「碓井は2034年の国連総会において『餃子こそが人類を救う唯一の希望である』と述べている」といった具合です。研究論文でも、誰かの言葉、文章を、そのまま引用することもあるでしょう。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/02(土) 23:08:18.29

残念ながら剽窃です。何故ならお前に自覚はないだろうけれどミスリードに悪用してるから｡

まーた儂をポニョ石と勘違いしたなセンス無いな。頭も悪い、のに講釈垂れる、センス無い、ひ弱か。厚顔無恥じゃのう｡

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/03(日) 06:48:20.41

>>176
＞まーた儂をポニョ石と勘違いしたな

うん？　蕎麦屋のおっさんかい？ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 11:49:16.61

https://books.j-cast.com/2020/03/18011145.html
books.j-cast
「ABC予想」が数学の学会誌に掲載されない理由
2020/3/18 （　森永流）

解決への道筋を示す

　素数の積をめぐっては、こんなことが言えるかもしれない。つまり、自然数の定義だ。1に1を足していって作られたものだとする「ペアノの公理」がよく知られる。足し算による定義だ。一方、かけ算でも定義できる。自然数はすべて素数の積に分解できるので、それをすべて作って小さい順に並べる方法だ（ただし1は素数の0乗）。数をそんなふうに見ると、足し算とかけ算は独立していて分離できるかもしれないと思えてくる。

　加藤さんの説明を掻い摘んでIUT理論を紹介するとこうだ。

　・異なる数学の舞台（IUT理論ではuniverses、加藤さんの比喩では、足し算、かけ算が切り離されてかけ算だけを伸び縮みさせた世界）を設定。現実世界に計算者がいて、そこにテレビがあって画面の中に同じ計算者がいる。ただし２つの計算者は同じだが掛けられる制約が異なっている――というふうに舞台は現実世界も含めて入れ子式になっている
　・計算の群論的対称性（計算方法のレシピ）を、各計算者に計算の対象や計算方法を伝達
　・受信した対称性を基に、それぞれの舞台で元の計算の対象や計算方法を復元。計算を実行する
　・対称性の通信や復元で生じる不定性・ひずみ、つまり計算結果のサイズの違いを定量的に評価して不等式を導く

数学には曖昧さもある
　ではABC予想はどうか。予想の主張である「c ?d＾（1＋ε）」。これのIUT理論での「deg Θ≦deg q＋c」への帰結を目指す。

　評者のような文系出身者に「deg 」は無縁だったが、次数（デグ）を表す記号だ。ここではdeg Θ（デグ・テータ）が現実舞台での計算結果、deg qはかけ算を伸縮させた舞台での計算結果となる。右辺に加えられているcは、ABC予想のcとは別物で、ひずみの定量的評価で求められた小さな値だ。IUT理論によるABC予想は、現実舞台での累乗数が、かけ算伸縮舞台での累乗数よりも小さいことに帰結させたい訳だ。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 11:49:39.98

>>178
つづき

　いよいよ本論。加藤さんはここで、これまで「かけ算を伸び縮みさせた舞台」と呼んでいたものを示す。その舞台とは、現実舞台の「q」を伸縮舞台での「qのｎ乗」に対応させたものだ。これはLogを用いると、「Ｎ Log ｑ≒Log ｑ」（両項を結ぶのは近似であることに注意）と表される。Log（けた数）と先に出てきたdegの違いは、ここでの理解の上では考えなくてよいそうだ。同じようなものと考えていい。

　数式の流れで表すと、こうなる。
Ｎ Log ｑ＜Log ｑ＋c（Ｎ Log ｑ≒Log ｑだから、正の数値を加えると「＜」になる）
→deg Θ≦deg q＋c
→deg qは小さい、つまりc ? d＾（1＋ε）のεは小さい
となって証明は完成する、という。

　2020年4月3日追記　数学の超難問といわれる「ABC予想」を京都大学数理解析研究所の望月新一教授（51）が証明したとされる論文が、ついに国際的な数学誌に掲載されることになった。京都大が2020年4月3日に発表した。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 11:59:08.55

>>178-179 補足

（引用開始）
　・異なる数学の舞台（IUT理論ではuniverses、加藤さんの比喩では、足し算、かけ算が切り離されてかけ算だけを伸び縮みさせた世界）を設定。現実世界に計算者がいて、そこにテレビがあって画面の中に同じ計算者がいる。ただし２つの計算者は同じだが掛けられる制約が異なっている――というふうに舞台は現実世界も含めて入れ子式になっている
　・計算の群論的対称性（計算方法のレシピ）を、各計算者に計算の対象や計算方法を伝達
　・受信した対称性を基に、それぞれの舞台で元の計算の対象や計算方法を復元。計算を実行する
　・対称性の通信や復元で生じる不定性・ひずみ、つまり計算結果のサイズの違いを定量的に評価して不等式を導く
(引用終り)

なるほど
（引用開始）
　ではABC予想はどうか。予想の主張である「c ?d＾（1＋ε）」。これのIUT理論での「deg Θ≦deg q＋c」への帰結を目指す。
ここではdeg Θ（デグ・テータ）が現実舞台での計算結果、deg qはかけ算を伸縮させた舞台での計算結果となる。右辺に加えられているcは、ABC予想のcとは別物で、ひずみの定量的評価で求められた小さな値だ。IUT理論によるABC予想は、現実舞台での累乗数が、かけ算伸縮舞台での累乗数よりも小さいことに帰結させたい訳だ。

　いよいよ本論。加藤さんはここで、これまで「かけ算を伸び縮みさせた舞台」と呼んでいたものを示す。その舞台とは、現実舞台の「q」を伸縮舞台での「qのｎ乗」に対応させたものだ。これはLogを用いると、「Ｎ Log ｑ≒Log ｑ」（両項を結ぶのは近似であることに注意）と表される。Log（けた数）と先に出てきたdegの違いは、ここでの理解の上では考えなくてよいそうだ。同じようなものと考えていい。

　数式の流れで表すと、こうなる。
Ｎ Log ｑ＜Log ｑ＋c（Ｎ Log ｑ≒Log ｑだから、正の数値を加えると「＜」になる）
→deg Θ≦deg q＋c
→deg qは小さい、つまりc ? d＾（1＋ε）のεは小さい
となって証明は完成する、という。
(引用終り)

へー

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 12:07:25.52

これいいね

https://jbpress.ismedia.jp/articles/-/56574
JBpress (ジェイビープレス)
超難解な「宇宙際タイヒミュラー理論」に感動
HONZ特選本『宇宙と宇宙をつなぐ数学』
2019.6.4（火）

歴史上の天才たちをはるかに凌駕

　評者自身が数学の素人なので断言はできないが、望月教授はこれまで歴史上に登場した数々の天才たちをはるかに凌駕している。

「足し算と掛け算を分離する」
「宇宙際タイヒミュラー理論」については、当然、評者に説明できるようなレベルのものではないのだが、非常に簡潔に言うと、「足し算と掛け算を分離する」ということらしい。もう少し長く説明すると、自然数の足し算と掛け算からなる「環」と呼ばれる複雑な構造をした数学的対象に対して、その「二つの自由度＝次元」を引き離して解体し、解体する前の足し算と掛け算の複雑な絡まり合い方の主立った性質を直感的に捉えやすくなるように組み立て直す数学的装置のようなものだそうだ。

　これだけではやはり何のことか分からないと思うので、足し算と掛け算の関係性について少しだけ説明すると、「1を次々に足していく」ことでできる1、2、3・・・という「足し算的な」自然数の捉え方だけでは、自然数の「掛け算的側面」がゴッソリ抜け落ちてしまっているため、例えば、素数というものの性質を把握したり、素数が現れるパターンを記述したりすることはできないらしい。

素数については、それが約数や倍数という概念を用いて定義されることからも分かるように、すぐれて掛け算的な概念であるために、素数がどのようなタイミングで現れるのかといった問題は、足し算と掛け算の強い結びつきを一回断ち切って、その上で今ある数学の世界と再接続しなければ解決できないというのだ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/12(火) 21:05:31.64

これいいね

https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/nov.html
News - Ivan Fesenko
Higher adelic theory, talk at Como school on Unifying Themes in Geometry, September 2021

https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/hat.pdf
Higher adelic theory
Ivan Fesenko
Como School, September 27 2021

1 CFT and its generalisations
2 Back to the root: CFT
3 Back to the root: CFT
4 CFT mechanism
5 CFT mechanism
6 Anabelian geometry
7 ‘Pre-Takagi’ LC
8 2D objects of HAT
9 HCFT
10 Zeta functions
11 Classical 1D theory of Iwasawa and Tate
12 HAT and elliptic curves
13 Measure and integration on 2D local fields
14 Two adelic structures in dimension 2
15 The triangle diagrammes
16 Higher zeta integral
17 HAT and meromorphic continuation and FE of the zeta function
18 HAT and GRH
19 HAT and the Tate?BSD conjecture

P29
Anabelian geometry and IUT

P33
Powerful restoration results in absolute mono-anabelian geometry were established by Mochizuki
and applied in the IUT theory.

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/12(火) 23:04:19.12

これいいね
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talks.html
星裕一郎講演
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20150309.pdf
数体の単遠アーベル的復元 (講演スライド),
宇宙際タイヒミューラー理論の検証と更なる発展,
京都大学数理解析研究所,
2015.3.9-2015.3.20.

Mono-anabelian Reconstruction of
Number Fields
Yuichiro Hoshi
RIMS
2015/03/09

Contents
§1 Main Result
§2 Two Keywords Related to IUT
§3 Review of the Local Theory
§4 Reconstruction of Global Cyclotomes

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/13(土) 23:13:31.45

メモ
http://www.math.titech.ac.jp/~jimu/Syllabus/H25(2013)/Graduate/Special_Lectures_on_Mathematics_B_I.html
講義名数学特別講義Ｂ第一（Special Lectures on Mathematics B I）
開講学期　前学期単位数 2--0--0
担当　星　裕一郎　非常勤講師（京都大学数理解析研究所　講師）

【講義の目的】
　遠アーベル幾何学とは，「遠アーベル多様体というある特別なクラスに属する代数多様体は，
その数論的基本群の純群論的な性質によってその数論幾何学的性質が完全に決定されるであろう」
という予測に基づいて，1980 年代に Grothendieck という数学者によって提唱された数論幾何学の一分野です．
この講義では，その遠アーベル幾何学への入門を目的として，p 進局所体（= p 進数体の有限次拡大体）に対する
ある Grothendieck 予想型の結果（p 進局所体がその絶対 Galois 群とある付加情報から復元できるという結果）の
解説を行います．

【講義計画】
1. 遠アーベル幾何学とは
2. p 進局所体とその絶対 Galois 群
3. 局所類体論・Hodge-Tate 表現
4. 復元 (1)
5. 復元 (2)

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/13(土) 23:13:59.64

>>184
つづき

【教科書・参考書等】
　遠アーベル幾何学の入門的な解説として，

・中村博昭, 玉川安騎男, 望月新一, 代数曲線の基本群に関する Grothendieck 予想, 数学, 50 (1998), 113-129.

を挙げます．局所体，局所類体論，Hodge-Tate 表現についての参考書として，

・J.-P. Serre, Local fields, Translated from the French by Marvin Jay Greenberg. Graduate Texts in Mathematics,
67. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1979.
・J.-P. Serre, Local class field theory, 1967 Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965)
pp. 128-161 Thompson, Washington, D.C.
・J.-P. Serre, Abelian l-adic representations and elliptic curves, McGill University lecture notes written with
the collaboration of Willem Kuyk and John Labute W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1968.

をそれぞれ挙げます．また，この講義でその説明を目標としている定理は，

・望月新一, A version of the Grothendieck conjecture for p-adic local fields, Internat. J. Math. 8 (1997), no. 4, 499-506.
・望月新一, Topics in absolute anabelian geometry I: generalities, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 19 (2012), no. 2, 139-242.
・星裕一郎, A note on the geometricity of open homomorphisms between the absolute Galois groups of p-adic local fields,
to appear in Kodai Math. J.

にあります．

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/26(金) 18:02:35.84

下記”Introducing anabelian geometry, a general talk” IVAN FESENKO
これ、結構いいね

https://ivanfesenko.org/?page_id=126
IVAN FESENKO
Research ? Ivan Fesenko
L Anabelian geometry and IUT theory of Shinichi Mochizuki, and applications
Introducing anabelian geometry, a general talk

https://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/2021/11/ang.pdf
Introducing anabelian geometry
Ivan Fesenko

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/05(日) 18:19:17.01

メモ

https://people.math.rochester.edu/faculty/lubkin/
Saul Lubkin
Professor of Mathematics

https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Louis_Verdier
Jean-Louis Verdier (French: [v??dje]; 2 February 1935 ? 25 August 1989) was a French mathematician who worked, under the guidance of his doctoral advisor Alexander Grothendieck, on derived categories and Verdier duality. He was a close collaborator of Grothendieck, notably contributing to SGA 4 his theory of hypercovers and anticipating the later development of etale homotopy by Michael Artin and Barry Mazur, following a suggestion he attributed to Pierre Cartier. Saul Lubkin's related theory of rigid hypercovers was later taken up by Eric Friedlander in his definition of the etale topological type.

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/10(金) 10:08:46.26

メモ

数論幾何学と代数幾何学の違いってなんですか？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1632397006/104
104 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/10/23(土) 15:02:26.36 ID:bV1+EpOI
いつの間にやら、p進ホッジ理論の日本語版wikipediaが出来ていた
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E3%83%9B%E3%83%83%E3%82%B8%E7%90%86%E8%AB%96
いまや数論幾何に必要不可欠な概念だしありがたいな
(引用終り)

ついで
https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E3%83%9B%E3%83%83%E3%82%B8%E7%90%86%E8%AB%96
p進ホッジ理論

https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_Hodge_theory
p-adic Hodge theory

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/21(火) 14:47:01.98

Inter-universal geometry とABC 予想47
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1635332056/44
44 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2021/12/21(火) 10:31:51.78 ID:ATxzruO4

Fesenkoの動画見たけど、IUTについても話してる
https://m.youtube.com/watch?v=thNMwD4E6sA
RIMSのIUTサミットでの講演内容とほぼ一緒

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:38:15.90

”過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在）”
これは、結構重要な文献だね
ここに、IUTの構想が示されている

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
望月過去と現在の
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Kako%20to%20genzai%20no%20kenkyu.pdf
・過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在）
初期の歩み
学位を取得した 1992 年夏から 2000 年夏までの私の研究の主なテーマは次の三つ
に分類することができます：
(a) p 進 Teichm¨uller 理論：(1993 年～1996 年)
この理論は、複素数体上の双曲的リーマン面に対する Koebe の上半平面に
よる一意化や、そのモジュライに対する Bers の一意化の p 進的な類似と見る
こともでき、また Serre-Tate の通常アーベル多様体に対する標準座標の理論の
双曲曲線版と見ることもできる。詳しくは、
A Theory of Ordinary p-adic Curves
や
An Introduction to p-adic Teichm¨uller Theory
をご参照下さい。　
(b) p 進遠アーベル幾何：(1995 年～1996 年)
この理論の代表的な定理は、「劣 p 進体」（＝ p 進局所体上有限生成な体の部
分体）上の相対的な設定において、双曲的曲線への任意の多様体からの非定数
的な射と、それぞれの数論的基本群の間の開外準同型の間に自然な全単射が存
在するというものである。詳しくは、　
The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves
をご参照下さい。
(c) 楕円曲線の Hodge-Arakelov 理論：(1998 年～2000 年)
この理論の目標は、複素数体や p 進体上で知られている Hodge 理論の類似
を、数体上の楕円曲線に対して Arakelov 理論的な設定で実現することにある。
代表的な定理は、数体上の楕円曲線の普遍拡大上のある種の関数空間と、楕円
曲線の等分点上の関数からなる空間の間の、数体のすべての素点において計量
と（ある誤差を除いて）両立的な全単射を主張するものである。この理論は、
古典的なガウス積分
∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π
の「離散的スキーム論版」と見ることもできる。詳しくは、　
A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I, II
をご参照下さい。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:38:56.87

>>190
つづき

新たな枠組への道
Hodge-Arakelov 理論では、数論的な Kodaira-Spencer 射が構成されるなど、
ABC 予想との関連性を仄めかすような魅力的な側面があるが、そのまま「ABC 予
想の証明」に応用するには、根本的な障害があり不十分である。このような障害を克
服するためには、
通常の数論幾何のスキーム論的な枠組を超越した枠組
が必要であろうとの直感の下、2000 年夏から 2006 年夏に掛けて、そのような枠組を
構築するためには何が必要か模索し始め、またその枠組の土台となる様々な数学的イ
ンフラの整備に着手した。このような研究活動を支えた基本理念は、次のようなも
のである：　
注目すべき対象は、特定の数論幾何的設定に登場する個々のスキーム等ではな
く、それらのスキームを統制する抽象的な組合せ論的パターンないしはそのパ
ターンを記述した組合せ論的アルゴリズムである。　
このような考え方を基にした幾何のことを、「宇宙際（Inter-universal=IU）幾
何」と呼ぶことにした。念頭においていた現象の最も基本的な例として次の三つが
挙げられる：
・ログ・スキームの幾何におけるモノイド
・遠アーベル幾何における数論的基本群＝ガロア圏
・退化な安定曲線の双対グラフ等、抽象的なグラフの構造
この三つの例に出てくる「モノイド」、「ガロア圏」、「グラフ」は、いずれも、「圏」
という概念の特別な場合に当たるものと見ることができる。（例えば、グラフの場合、
グラフ上のパスを考えることによって圏ができる。）従って、IU 幾何の（すべてでは
ないが）重要な側面の一つは、　
「圏の幾何」
で表されるということになる。特に、遠アーベル幾何の場合、この「圏の幾何」に対
応するのは、
絶対遠アーベル幾何
（＝基礎体の絶対ガロア群を、元々与えられたものとして見做さない設定での遠アー
ベル幾何）である。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:41:25.89

>>191
つづき

この 6 年間（＝ 2000 年夏～2006 年夏）の、
「圏の幾何」や絶対遠アーベル幾何
を主テーマとした研究の代表的な例として、次のようなものが挙げられる：
・The geometry of anabelioids （2001 年）
スリム（＝任意の開部分群の中心が自明）な副有限群を幾何的な対象として扱い、
その有限次エタール被覆の圏の性質を調べる。特に、p 進体上の双曲曲線の数論的基
本群として生じる副有限群の場合、この圏は、上半平面の幾何を連想させるような
絶対的かつ標準的な「有界性」等、様々な興味深い性質を満たす。
・The absolute anabelian geometry of canonical curves （2001 年）
p 進 Teichm¨uller 理論に登場する標準曲線に対して、p 進体上のものとして初とな
る絶対遠アーベル幾何型の定理を示す。

・Categorical representation of locally noetherian log schemes （2002 年）
スキームやログ・スキームが、その上の有限型の（ログ）スキームの圏から自然
に復元されるという、1960 年代に発見されてもおかしくない基本的な結果を示す。
・Semi-graphs of anabelioids （2004 年）
古典的な「graph of groups」の延長線上にある「semi-graph of anabelioids」に対
して、様々なスキーム論的な「パターン」が忠実に反映されることや、それに関連し
た「遠アーベル幾何風」の結果を証明する。
・A combinatorial version of the Grothendieck conjecture （2004 年）
退化な安定曲線に付随する「semi-graph of anabelioids」を、スキーム論が明示的
に登場しない、抽象的な組合せ論的枠組で取り上げ、様々な「遠アーベル幾何風」の
「復元定理」を示す。
・Conformal and quasiconformal categorical representation of hyperbolic Riemann surfaces （2004 年）
双曲的リーマン面の幾何を二通りのアプローチで圏論的に記述する。そのうちの
一つは、上半平面による一意化を出発点としたもので、もう一つは、リーマン面上の
「長方形」（＝等角構造に対応）や「平行四辺形」（＝疑等角構造に対応）によるものである。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:44:47.36

>>192
つづき

・Absolute anabelian cuspidalizations of proper hyperbolic curves （2005年）
固有な双曲曲線の数論的基本群から、その開部分スキームの数論的基本群を復元
する理論を展開する。この理論を、有限体や p 進体上の絶対遠アーベル幾何に応用
することによって、様々な未解決予想を解く。

・The geometry of Frobenioids I, II （2005 年）
ガロア圏のような「´etale 系」圏構造と、（ログ・スキームの理論に出てくる）モ
ノイドのような「Frobenius 系」圏論的構造が、どのように作用しあい、またどのように類別できるかを研究する。

数体に対する Teichm¨uller 理論
2006 年の後半から、目指すべき理論の形がようやく固まってきて、その理論を記
述するための執筆活動が本格的に始まった。この理論の「形」とは、一言で言うと、
巾零通常固有束付きの正標数の双曲曲線に対して展開する p 進 Teichm¨uller 理
論と、「パターン的に」類似的な理論を、一点抜き楕円曲線付きの数体に対し
て展開する　
という内容のものである。因みに、ここに出てくる（数体上の）「一点抜き楕円曲線」
の中に、その楕円曲線の上に展開される Hodge-Arakelov 理論が含まれている。こ
の理論のことを、「IU Teichm¨uller 理論」（＝「IU Teich」）と呼ぶことにした。
IUTeich の方は、本質的にスキーム論の枠組の外（＝「IU 的な枠組」）で定式化される
理論であるにも関わらず、調べれば調べるほど p 進 Teichm¨uller 理論（＝「pTeich」）
との構造的、「パターン的」類似性が、意外と細かいところまで及ぶものであること
に幾度となく感動を覚えたものである。　　
2006 年～2008 年春の「IUTeich の準備」関連の論文は次の四篇である：

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:46:23.12

>>193
つづき
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
（2006 年）
p 進局所体上の退化する楕円曲線（＝ Tate curve）のある被覆の上に存在するテー
タ関数に付随する Kummer 類をエタール・テータ関数と呼ぶ。このエタール・テー
タ関数や、テータ自明化に付随する Kummer 理論的な対象は、様々な興味深い絶対
遠アーベル的な性質や剛性性質を満たしている。これらの性質の一部は Frobenioid
の理論との関連で初めて意義を持つものになる。また、このエタール・テータ関数
は、IUTeich では、pTeich における標準的 Frobenius 持ち上げに対応する対象を定
める予定である。この Frobenius 持ち上げの類似物を微分することによって ABC 予
想の不等式が従うと期待している。このようにして不等式を出す議論は、　
「正標数の完全体の Witt 環上の固有で滑らかな種数 g 曲線の上に Frobenius 持
ち上げが定義されていると仮定すると、その持ち上げを微分して微分層の次数
を計算することにより、不等式
g ? 1
が従う」
という古典的な議論の IU 版とも言える。

・Topics in absolute anabelian geometry I: generalities （2008 年）
このシリーズ（＝ I,II,III）の主テーマは、絶対遠アーベル幾何を、「Grothendieck
予想型の充満忠実性」を目標とした視点ではなく、「群論的なアルゴリズム＝ソフト」
の開発に軸足を置いた視点で研究するというものである。この第一論文では、様々な
準備的な考察を行う。代表的な定理では、玉川安騎男氏に伝え聞いた未出版の結果か
ら、（半）絶対 p 進遠アーベル幾何では初となる Grothendieck 予想型の「Hom 版」
を導く。因みに、この定理は IUTeich とは直接関係のない結果である。
・Topics in absolute anabelian geometry II: decomposition groups
（2008 年）
IUTeich のための準備的な考察とともに、IUTeich とは論理的に直接関係のない
配置空間の絶対遠アーベル幾何や、点の分解群から基礎体の加法構造を絶対 p 進遠
アーベル幾何的な設定で復元する理論を展開する。ただ、後者の p 進的な理論では、
上述の「Frobenius 持ち上げの微分から不等式を出す」議論を用いており、哲学的
には IUTeich と関係する側面がある

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:46:54.86

>>194
つづき

・Topics in absolute anabelian geometry III: global reconstruction algorithms （2008 年）
「Grothendieck 予想型の充満忠実性」を目標とする「双遠アーベル幾何」（＝ bianabelian geometry）と一線を画した「単遠アーベル幾何」（＝ mono-anabelian geometry）を数体上の大域的な設定で展開する。
これは正にIUTeich で用いる予定の遠アーベル幾何
である。この理論の内容や「IUTeich 構想」との関連性については、論文の Introduction をご参照下さい。
ここで興味深い事実を思い出しておきたい。そもそも Grothendieck が有名な
「Faltings への手紙」等で「遠アーベル哲学」を提唱した重要な動機の一つは正に diophantus幾何への応用の可能性にあったらしい。
つまり、遠アーベル幾何が（ABC 予想への応用が期待される）IUTeich で中心的な役割を果たすことは、一見して Grothendieck の直感にそぐった展開に見受けられる。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:47:42.29

>>195
つづき

一方、もう少し「解像度を上げて」状況を検証すると、それほど単純な関係にあるわけではないことが分かる。例えば、
Grothendieck が想定していた応用の仕方では、数体上の「セクション予想」によっ
て数体上の有理点の列の極限を扱うことが可能になるという観察が議論の要となる。
これとは対照的に、「IUTeich 構想」では、（数体上のセクション予想ではなく）
数体と p 進体の両方に対して両立的に成立する（絶対遠アーベル幾何の一種で
ある）単遠アーベル的アルゴリズムが主役を演じる
予定である。この「単遠アーベル的アルゴリズム」は、pTeich における MF∇-object
の Frobenius 不変量に対応するものであり、即ち p 進の理論における
Witt 環の Teichm¨uller 代表元や pTeich の標準曲線
の「IU 的類似物」と見ることができる。別の言い方をすれば、この「単遠アーベル的
アルゴリズム」は、一種の標準的持ち上げ・分裂を定義しているものである。また、（単
遠アーベル的な）「ガロア系」の対象が p 進の理論における crystal（＝ MF∇-object
の下部 crystal）に対応しているという状況には、Hodge-Arakelov 理論における「数
論的 Kodaira-Spencer 射」（＝ガロア群の作用による）を連想させるものがある。　
2008 年 4 月から IUTeich 理論の「本体」の執筆に取り掛かる予定である。この作
業は、ごく大雑把に言うと、次の三つの理論を貼り合わせることを主体としたものである：

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 09:48:16.96

>>196
つづき

・The geometry of Frobenioids I, II
・The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations
・Topics in absolute anabelian geometry III
因みに、2000 年夏まで研究していたスキーム論的な Hodge-Arakelov 理論がガウス
積分
∫ ∞ ?∞ e?x2dx = √π
の「離散的スキーム論版」だとすると、IUTeich は、
このガウス積分の「大域的ガロア理論版ないしは IU 版」
と見ることができ、また古典的なガウス積分の計算に出てくる「直交座標」と「極座
標」の間の座標変換は、（IU 版では）ちょうど「The geometry of Frobenioids I, II」
で研究した「Frobenius 系構造」と「´etale 系構造」の間の「比較理論」に対応して
いると見ることができる。この「本体」の理論は、現在のところ二篇の論文に分けて
書く予定である。　
・Inter-universal Teichm¨uller theory I: Hodge-Arakelov-theoretic aspects
（2009 年に完成（？）予定）
p 進 Teichm¨uller 理論における曲線や Frobenius の、「mod pn」までの標準持ち上
げに対応する IU 版を構成する。
・Inter-universal Teichm¨uller theory II: limits and bounds （2010 年に完成（？）予定）
上記の「mod pn」までの変形の n を動かし、p 進的極限に対応する「IU 的な極
限」を構成し、pTeich における Frobenius 持ち上げの微分に対応するものを計算する。
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/03(月) 11:20:28.50

これ良いね
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
平成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，H180731)
ガロア理論とその発展玉川安騎男
§0. はじめに
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、代
数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」と
いう代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研
究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。
この講義では、まず、ガロア理論の基本定理の感じをつかんでもらう
ことを目標にしたいと思います。次に、ガロア理論の古典的に有名な応用
（ギリシャ数学３大難問のうちの角の３等分問題と立方体倍積問題の否定
的解決、あるいは、５次以上の方程式の加減乗除とべき根のみを用いた解
の公式の非存在の証明、など）の中から題材を選んで解説したいと思いま
す。最後に、遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロ
ア理論の展開についても紹介したいと思います。

§5. ガロア理論の発展 - 無限次ガロア理論と遠アーベル幾何
5.1. 無限次ガロア理論

上記の同値な条件のいずれか（したがって全て）が成立する時、L/K
をガロア拡大と言い、このとき、Aut(L/K) を Gal(L/K) と記し、L の
K 上のガロア群と呼びます。一般には Gal(L/K) は有限群になりません
が、「副有限群」という特別な種類の群になり、「位相」が入って「位相
群」となることがわかります。この場合も、次のようなガロア対応が存在
します。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
射有限群（英語: pro-finite group）あるいは副有限群は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。

射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_group
Profinite group
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/01(火) 17:50:40.36

フェセンコ、コーチェル・ビルカー、極小モデル

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B3
イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）
博士課程
指導学生コーチェル・ビルカー

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%81%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%93%E3%83%AB%E3%82%AB%E3%83%BC
コーチェル・ビルカー (Caucher Birkar, 1978年 - )
2016年、AMSジャーナル(2010)における「対数一般型多様体に対する極小モデルの存在」の論文(P. カッシーニ（イタリア語版）、C. ヘコン（英語版）、J. マッカーナン（英語版）との共著、通称頭文字をとって[BCHM]と言われる)に対して、AMSムーア賞（英語版）を授賞した[8]。そして2018年、ビルカーに、「ファノ多様体の境界性の証明と極小モデルプログラムへの貢献」に対して、フィールズ賞が授与された[9]。

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~masayuki/Website/reports.html
Website of Masayuki Kawakita
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~masayuki/Website/Documents/public_text10.pdf
極小モデル理論の発展第32回数学入門公開講座, 31-44 (2010)
川北真之
代数幾何学の扱う対象は，代数多様体と呼ばれる，連立多項式の共通零点集合として定義さ
れる図形です．極小モデル理論とは，変数変換で写り合う代数多様体たちを本質的に同じもの
と捉え，各々の中から代表的な代数多様体を抽出する理論です．抽出の過程で多様体上の余計
な曲線を収縮させるのですが，収縮によって悪い特異点を持つ多様体が生じます．それを回復
させる操作がフリップと呼ばれる変換で，極小モデル理論において中心的な役割を果たします．
3 次元極小モデル理論は森によるフリップの存在を中心として 90 年代に完成しましたが，その
高次元化は暫く模索段階でした．ところが 2006 年，ビルカー，カッシーニ，ヘイコン，マッ
カーナンは一般次元のフリップの存在を証明し，極小モデル理論は大きな前進を遂げました．
講座では，このような極小モデル理論の最近の発展を，わかりやすく紹介します．

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/03(木) 07:10:16.37

「これ良いね」「これ良いね」言って貼ってるけど
それ等の何が具体的にどう良いんだよ摘まみ食い野郎