ケーラー多様体・ホッジ分解

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 08:04:18.51

複素多様体に栄光あれ！

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/15(水) 18:41:13.28

四元数体上の多様体にもホッジ分解定理やホッジ理論があるの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/16(木) 06:44:51.65

quartenionic K\“ahlerというのはある

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/18(土) 06:44:15.07

>>74
非コンパクト多様体にもある。

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/19(日) 00:55:43.60

リーマン面に相当するものを
四元数体で求めるとどうなるの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/04(月) 00:33:58.64

quatenionic Kaehler manifoldというのがある

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/04(月) 09:09:03.77

四元数的リーマン面と1次元の
quatenionic Kaehler manifold
が一致するのかどうか

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/22(金) 06:58:33.09

1994年にESIで開かれた
quatenic Kaehler manifoldのworkshopに出席していた
日本人数学者が
８月に亡くなった

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/19(金) 23:11:37.73

訂正
quatenic--->quartenionic

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/12(火) 02:14:22.84

N田さん？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/13(水) 16:02:11.88

>>78
ハイパーケーラー多様体とどっちが4元数リーマン面に相応しい？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/14(木) 09:28:10.15

N田に訊け

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/14(木) 11:33:40.48

4元ケーラー多様体における
ホッジ分解の類似はどうなるか

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/14(木) 12:53:00.10

ホッジ分解は一般のリーマン多様体で成立する結果だが

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/14(木) 14:40:50.74

そういう意味ではないのだよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/14(木) 16:45:59.52

では正確な意味を述べよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/14(木) 23:16:59.50

正確な意味が述べられるくらいなら
論文にしているだろう

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/15(金) 09:09:16.98

複素多様体はカラテオドリーが1932年頃に研究を推奨し
ホップ多様体の発見と小平の埋め込み定理によって
大きな関心を呼んだ。
それに対し
ハイパーケーラー多様体や四元数的多様体への興味は
限定的なものにとどまっている印象を受ける。

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/15(金) 19:06:46.36

カラビ・ヤウ多様体を知らないのか？
弦理論ではめっちゃ重要だぞ

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/15(金) 20:08:25.55

弦理論は物理で重要だろうが
数学として残るのは
群のような基本概念である。
カラテオドリーはアインシュタインとも親しかったが
彼が推奨した複素多様体論の研究から
連接層という基本概念が生まれた

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/15(金) 23:18:56.03

群論におけるケイリーやクロネッカーの役割を
連接層の理論において果たしたのがカルタンやセールで
群論の創始者たちであるラグランジュ、アーベル、ガロアの役割を
連接層の理論において果たしたのが
ワイエルシュトラス、カルタン、そして岡潔であった。

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/16(土) 18:57:57.26

二次方程式の解が無限個ある四元数で代数多様体って何だろ？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/16(土) 21:51:28.15

方程式論にこだわっていたら
複素多様体論さえ不可能だった

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/16(土) 23:29:34.06

四元数を行列で書けば終わり

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/17(日) 00:31:48.47

>>96
何が？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/17(日) 13:07:03.68

>>96
>>94

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/17(日) 20:12:51.92

>>98
それでは答えになっていないだろう

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/18(月) 11:37:47.34

質問じゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/18(月) 15:16:39.64

4元数は複素2×2行列（実4×4行列）で書けるから、
4元数の代数方程式は、複素2×2行列の方程式、つまり4つの複素連立方程式に帰着される。
後の処理は通常の複素幾何的手法でできる。

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 18:27:56.65

で何ができるの？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/19(火) 18:34:09.88

複素関数論があるように、四元数関数論もある
https://arxiv.org/pdf/math/0209166.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/20(水) 13:29:25.26

サンキュー

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/21(木) 14:36:14.15

>>103
四元数で普通に微分を定義すると、微分可能な関数は1次関数しか無いんだな

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/22(金) 05:30:43.15

2002年にarXivに出たベルギーとロシアの人の
共同研究

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/22(金) 20:41:22.90

あまり有名ではない

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/22(金) 23:35:07.90

四元数関数論自体が有名で無い

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/23(土) 05:54:40.74

8元数関数論ほどではない

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/23(土) 08:38:31.85

多元数関数論は無い
あるのは多変数関数論

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/23(土) 11:44:27.86

そこをなんとかガンガレよって話

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/23(土) 20:27:18.77

Quaternionic analysis
https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternionic_analysis

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/23(土) 21:04:47.32

あまり熱くなれなさそう

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/23(土) 23:58:03.82

複素関数論の真似事をしても、新たな進展は無かったというのが結論

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/24(日) 00:27:50.72

クォータニオンよりもクリフォード代数

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/24(日) 22:22:33.94

クリフォードになるとケーラーから遠くなる

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/27(水) 14:43:13.21

>>105
1次関数で近似するのが微分なのに
あんまりじゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/29(金) 01:36:11.44

複素微分可能なら、コーシー・リーマンを満たし、べき級数展開可能になる。

四元数の意味で微分可能なら、さらに強く1次関数になってしまう。

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/29(金) 01:39:37.04

ただ、流石に微分が1次関数しかないと意味が無いので、
四元数の意味の微分の定義を全微分可能のように書き換えて定義する。

でも結局ほとんど新しい事は出てこなくて、知られた結果の書き換えに過ぎない。

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/29(金) 07:16:44.58

ガウスなら知られた公式を
4元数を使って書いてみるだろう

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/29(金) 07:36:11.19

20年くらい前って物理屋とかも四元数の実用面から色々やってたでしょ
結局CGでしか生き残らなかった

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/03(水) 23:21:53.86

これと言った難問がなかった

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/06(土) 18:13:40.78

>>120
そこで「これは意味なし」と判断して、発表しないのがガウス

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/16(火) 21:18:03.11

ガウスがCRをやったらRumin複体も解明できるだろうか