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596コメント190KB
dx dy の意味は?★2
0001132人目の素数さん
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2022/01/15(土) 21:40:30.08ID:so1VKQTS
dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ?

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは?
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ!」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ!」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしw

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/
0546132人目の素数さん
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2024/04/18(木) 20:09:33.02ID:9DQ6O8eP
>>545
T2=[0,1]×[0,1]/<(x,0)〜(x,1),(0,y)〜(1,y)>も?
0547132人目の素数さん
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2024/04/18(木) 22:42:17.71ID:W65yRImT
大域的な問題を局所的に解いて
貼り合わせによって解を構成する
0549132人目の素数さん
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2024/04/19(金) 07:46:36.26ID:p6YqavVz
トーラスも多様体として扱うならそりゃ貼り合わせとして扱うことになるでしょ
0550132人目の素数さん
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2024/04/19(金) 10:04:52.64ID:fnpmo5F/
ユークリッド空間の商空間として扱っても
多様体として扱うことになるだろう
0551132人目の素数さん
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2024/04/19(金) 11:02:11.62ID:ksY4e4ty
円周の直積とみなしても
多様体として扱うことになるだろう
0552132人目の素数さん
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2024/04/19(金) 17:36:52.26ID:p6YqavVz
>>550
ならないでしょ
多様体からテキトーに商空間を作っても一般には多様体にならない
商空間として構成しても、結局貼り合わせであることを確認しない限りただの位相空間じゃん
0553132人目の素数さん
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2024/04/19(金) 18:14:44.31ID:bZSXXXrr
>>552
トーラスのことと思うよ
0554132人目の素数さん
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2024/04/19(金) 18:43:29.48ID:p6YqavVz
>>553
トーラスも商空間として構成しただけでは多様体にはならなくて、座標を貼り合わせて初めて多様体になるわけじゃん
そして多様体として扱って多様体としての構造を見ている間は構成を忘れて座標の貼り合わせとして扱うことになるでしょ
0555132人目の素数さん
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2024/04/19(金) 20:44:31.54ID:bZSXXXrr
>>554
いや別にそこ反論してるわけではなく
R^2→T^2で多様体として扱ってるってことを>>550は言いたいのだろうってこと
もちろん座標も込めてさ
0556132人目の素数さん
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2024/04/20(土) 16:39:11.20ID:lgVZM1FC
>>552
テキトーにではなく適当に作れば多様体になる
0557132人目の素数さん
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2024/04/20(土) 20:30:20.11ID:lgVZM1FC
多様体の商空間が多様体になるための条件
0558132人目の素数さん
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2024/04/21(日) 17:48:58.53ID:WRaJc4pY
可解多様体とか
0561132人目の素数さん
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2024/04/28(日) 09:42:51.86ID:JbWAVbl4
外微分形式の理論 Paperback – November 10, 2017
by 松田 道彦 (著)
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外微分形式の方法は、従来の1階偏微分方程式の解法を一新した。まず、座標系によらず自由に駆使する基礎を与え、特性系の概念のもとに偏微分方程式の古典的求積論を統一する。包合系の理論の最近の発展をも紹介。
0562132人目の素数さん
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2024/04/28(日) 21:36:00.74ID:gjKINs88
>>561
その本は、無限小とか a1dx1+a2dx2+a3dx3 とかの表現を最初から扱っているので>>1の疑問には答えないのかも。
0563132人目の素数さん
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2024/04/29(月) 11:06:45.92ID:or3lrBic
外微分形式の理論―積分不変式 (1964年) Unknown Binding
by エリー・カルタン (著), 矢野 健太郎 (翻訳)
0564132人目の素数さん
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2024/04/29(月) 23:12:35.54ID:Hr3zU5cv
>>563
こっちは微分方程式を元にしていて、なにやら物理学系統の匂いが。
いずれにせよ極小時間とか使っているし。
0565132人目の素数さん
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2024/04/29(月) 23:18:19.27ID:W8AYFE3P
問題なかろ
0568132人目の素数さん
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2024/04/30(火) 11:53:21.45ID:dZrmuZxS
明確な意味を述べると授業の欠席者が増える
0570132人目の素数さん
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2024/04/30(火) 13:25:39.52ID:eeZTB8FP
そもそもこのスレ自体>>1が疑問を解決するために立てたわけではあるまい
前スレならともかく
0571132人目の素数さん
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2024/04/30(火) 20:51:54.70ID:CMtddt7Z
>>568
明確な定義のアイディアの骨子を知りたい!天下り的なものじゃなく。
「~を拡張したもの」程度で良いんだよ。
0574132人目の素数さん
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2024/05/01(水) 09:17:12.88ID:sgJI4piv
100位
0575132人目の素数さん
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2024/05/01(水) 09:18:59.56ID:8OeQUrrJ
>>1
>根底に潜むだろう思想

それってどんなん?
0576132人目の素数さん
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2024/05/01(水) 09:22:23.77ID:8OeQUrrJ
微積分のdxとかdyを微分形式だというのは、説明になってない
dxとかdyって余接空間のただの基底だから
そんでもって∂f/∂xとか∂f/∂yもただの係数だから

関数の線形近似が理解できて初めて微分形式とかも理解できるから
0577132人目の素数さん
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2024/05/01(水) 09:26:45.98ID:8OeQUrrJ
もしかしてdfとかdxが数だったら
単純に割り算してdf/dxが求まるとか思ってる?
それ素人の初歩的妄想的誤解

結局差分商の差の部分を小さくしていった場合の極限が微分係数だから
極限が心理的に受け入れられないからって、
極限抜きの方法なんか求めるのは○違いだよ
0578132人目の素数さん
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2024/05/01(水) 09:30:08.70ID:8OeQUrrJ
df=(df/dx)dx って書いたところで、

「df/dxってなんだ?」
「dfをdxで割った値だよ」
とかいってるならそれ無意味なトートロジーだよな

df/dxは先に決まってるんで、それをdfをdxで割ったものとか言っても意味ない
0579132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/01(水) 09:41:44.60ID:8OeQUrrJ
ところで「(多変数写像)変数変換でヤコビアンが出る」のは
線型写像で近似してるからだぞ
その行列がヤコビ行列で、行列式がヤコビアン
線形代数わかってないなら、ヤコビアンわかるわけないからな
陰関数定理、逆関数定理がわからんとかいってるのも
もとをたどるとそもそも線型写像で近似してることが
わかってない場合が多い
対応する線型代数の命題を理解せずして理解できるわけないから
0580132人目の素数さん
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2024/05/01(水) 11:56:43.66ID:tkbookfX
>>571
関数f:R^n→Rが滑らか、任意の点p∈R^nとすると、横ベクトル(∂f/∂x1(p), …, ∂f/∂xn(p))により線形写像df_p: R^n→Rが得られる
これが各点pごとに定義されるので、線形写像の族としてdfを定義できる
これを拡張して、関数f: M→Nが滑らか、任意の点p∈Mとすると、上手いことやれば線形写像df_p: (Mの点pにおける接空間)→(Nの点f(p)における接空間)が得られる
これが各点pごとに定義されるので、線形写像の族としてdfを定義できる
0581132人目の素数さん
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2024/05/01(水) 21:51:51.07ID:fmjEF4yW
>>580
ふむふむ
0582132人目の素数さん
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2024/05/01(水) 22:09:21.11ID:sgJI4piv
Given a connected complex manifold $M$ of dimension $n$, let $\mathcal{O}_M\to M$ be the structure sheaf of $M$, i.e. the sheaf of germs of holomorphic functions on $M$, and let $\frak{m}_x$ be the maximal ideal of $\mathcal{O}_{M,x}$, i.e. the set of germs at $x\in M$ of holomorphic functions vanishing at $x$. Then $\coprod_{x\in M}{\frak{m}_x/\frak{m}_x^2}$ is naturally equipped with the structure of a vector bundle of rank $n$ over $M$, for which a local trivialization is given for each local coordinate $(z_1, z_2,\dots, z_n)$ on a local coordinate neighborhood $U$ by $$\displaystyle f+\frak{m}_x^2\mapsto \left(x,\left(\frac{\partial f}{\partial z_1}(x), \frac{\partial f}{\partial z_2}(x), \dots, \frac{\partial f}{\partial z_n}(x)\right)\right)$$ for each $x\in U$ and $f+\frak{m}_x^2\in\frak{m}_x/\frak{m}_x^2$. The bundle $\coprod_{x\in M}{\frak{m}_x/\frak{m}_x^2}$ is called the cotangent bundle of $M$.
0583132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/04(土) 13:21:56.51ID:myAjc1vp
加算不加算は、ヨーロッパ言語の加算名詞の考えから来てるのかな。
0584132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/05(日) 08:28:58.59ID:IVZzp+jD
denumerable
0585132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/05(日) 10:12:21.66ID:IVZzp+jD
innumerable
0586132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/06(月) 18:51:15.83ID:ZxBZ9IvW
微分形式を計算規則で公理的に定義する立場って存在すんの?
多様体上の関数上の加群であることくらいは記述できても、自由加群であることとか合成(特に制限)に関することを上手く記述できそうだと思えないが
0588 警備員[Lv.10][苗]
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2024/05/07(火) 18:32:24.32ID:9LgougMS
分数になったり分数にならなかったり
約分できたりできなかったり
人を惑わすための記号です
0589132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/07(火) 19:04:20.28ID:5E2dMoXD
>>587
見た感じ、確かに微分形式の集合が満たす代数構造ではあるが、「多様体Mの微分形式とはこういう代数系の元のことである」と定義できる類のものではないな
一応>>505の問いに肯定的に答える方法が存在するかって疑問なんだが
0590132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/14(火) 19:22:23.31ID:P0cKpxiS
単なる微分形式の多元環じゃなく
多様体と関連するならライプニッツ則を含んだ定義しかないだろ
0591132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/15(水) 00:33:41.98ID:EQ3/SQn8
物理学にしろ幾何学にしろ
座標系に依存しない
コーディネートフリーに理論を記述したい。
0593132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/16(木) 13:51:57.87ID:dOg/6qA3
自然現象違って実験のしようがないから、無限とか虚数とか数学概念の一部は結局人間の脳内にあるじゃないの?
0595132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/16(木) 19:45:02.32ID:W3TcXR3J
論理式という文字列によって表現可能なもののみが数学的対象だよ
そして虚数は余裕で論理式で表現できるし、超準解析の無限小は少し特殊な論理体系を使わないと表現できない
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