IUTを読むための用語集資料スレ2

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 18:11:43.01

テンプレは後で

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 18:12:18.05

20200403の記者会見により、望月Inter-universal Teichmuller theory (abbreviated as IUT) （下記）は、新しい局面に入りました。
査読が終り、IUTが正しいことは、99％確定です。
このスレは、IUTを読むための用語集資料集スレとします。
議論は、
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1600350445/
でお願いします

＜過去スレ＞
IUTを読むための用語集資料集スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/

（参考）
https://mainichi.jp/articles/20200403/k00/00m/040/295000c
望月教授「ABC予想」証明　斬新理論で数学界に「革命」　京大数理研「完全な論文」【松本光樹、福富智】毎日新聞2020年4月3日
https://www.youtube.com/watch?v=7BnxK_NMwaQ
数学の難問ABC予想　京大教授が証明　30年以上未解決 2020/04/03 FNNプライムオンライン

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/12/01(火) 18:13:34.46

>>2
つづき
（参考）
関連：望月新一（数理研） http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/papers.html
星裕一郎の論文
(抜粋)
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244783
続・宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2018) （Indexあり） https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244746
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/myworks.html
山下剛サーベイ http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/abc2019Jul5.pdf （Indexが充実しているので、IUT辞書として使える）
A proof of the abc conjecture after Mochizuki.preprint. Go Yamashita last updated on 8/July/2019.

Yourpedia 宇宙際タイヒミュラー理論（URLが通らないので検索たのむ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96　宇宙際タイヒミュラー理論 Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Inter-universal_Teichm%C3%BCller_theory 英Inter-universal Teichmuller theory 英 Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3 ABC予想
https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture 英abc conjecture
https://www.uvm.edu/~tdupuy/papers.html
[ Taylor Dupuy's Homepage]論文集
https://www.math.arizona.edu/~kirti/ から Recent Research へ入る
Kirti Joshi Recent Research論文集

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/12/01(火) 18:14:05.27

>>3
なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ、不遇な「一石」、サイコパス、“鳥なき里のコウモリ”そのままで、“シッタカ”ぶり男で、アホ男です。
なお、IUTスレでは、「維新さん」と呼ばれることもあります。（突然“維新～！”と絶叫したりするからです（＾＾；　）
( https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊）（Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png
おサル、あいつは双曲幾何の修論でも書いたみたいだなｗ（＾＾）

＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
http://kotowaza-allguide.com/to/torinakisatonokoumori.html#:~:text=%E9%B3%A5%E3%81%AA%E3%81%8D%E9%87%8C%E3%81%AE%E8%9D%99%E8%9D%A0%E3%81%A8%E3%81%AF%E3%80%81%E3%81%99%E3%81%90%E3%82%8C%E3%81%9F%E8%80%85,%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%81%A8%E3%81%88%E3%80%82
鳥なき里の蝙蝠故事ことわざ辞典
【読み】とりなきさとのこうもり
【意味】鳥なき里の蝙蝠とは、すぐれた者がいないところでは、つまらぬ者が威張っていることのたとえ。

また
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
低脳で幼稚なカキコ

上記は、お断りです！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/12/01(火) 18:14:42.13

>>4
つづき

守屋悦朗先生のABC予想って？（１）＆(２)が出ました（＾＾

http://www.f.waseda.jp/moriya/PUBLIC_HTML/
旧「早稲田大学教育・総合科学学術院教育学部数学科　守屋悦朗研究室」
http://www.f.waseda.jp/moriya/PUBLIC_HTML/social/M-project.html
ご近所講座守屋悦朗
～数楽すうがくJoy of Mathematics と佳算けいさんSmart Computations の散歩道～

http://www.f.waseda.jp/moriya/PUBLIC_HTML/social/ABCconjecture1.pdf
M-project 守屋悦朗
第34回　『ABC予想って（１）：斬新・難解な証明の検証に8年もかかった！』　（高校生以上）20/04/26
ABC予想って？ (1) ：超々入門
1．唐突な発表で登場したビッグニュース
2．望月新一教授（京都大学）
3．学術誌とは
4．レフェリー制

http://www.f.waseda.jp/moriya/PUBLIC_HTML/social/ABCconjecture2.pdf
ABC予想って？ (２) 守屋悦朗 2020/6/8
500ページの難解論文をパワーポイント50シートで説明できるわけがない！
1．1000ページにも及ぶ長大な論文をそんなに簡単には紹介できません
2～4．数学における予想の作られ方（1）～(4)
5．一元体
6．一元体とABC予想
7．素数について
8．素数が無限個存在することの証明

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/12/01(火) 18:15:06.27

つづき

下記の PDF 数学の超難問「ABC予想」とは？
別冊Newton「数学の世界」増補第3版 168 - 171 2019年11月協力小山信也執筆山田久美
これ分かり易いな
必見ですね（＾＾
https://researchmap.jp/koyama
researchmap 小山信也コヤマシンヤ (Shin'ya Koyama)
https://researchmap.jp/koyama/avatar.JPG
https://researchmap.jp/koyama/misc/21300350/attachment_file.pdf
数学の超難問「ABC予想」とは？別冊Newton「数学の世界」増補第3版 168 - 171 2019年11月協力小山信也執筆山田久美

https://arxiv.org/pdf/2004.13108.pdf
PROBABILISTIC SZPIRO, BABY SZPIRO, AND EXPLICIT SZPIRO FROM MOCHIZUKI’S COROLLARY 3.12
TAYLOR DUPUY AND ANTON HILADO Date: April 30, 2020.
P14
Remark 3.8.3. (1) The assertion of [SS17, pg 10] is that (3.3) is the only relation between
the q-pilot and Θ-pilot degrees. The assertion of [Moc18, C14] is that [SS17, pg 10] is
not what occurs in [Moc15a]. The reasoning of [SS17, pg 10] is something like what
follows:
P15
(2) We would like to point out that the diagram on page 10 of [SS17] is very similar to
the diagram on §8.4 part 7, page 76 of the unpublished manuscript [Tan18] which
Scholze and Stix were reading while preparing [SS17].
References
[SS17] Peter Scholze and Jakob Stix, Why abc is still a conjecture., 2017. 1, 1, 1e, 2, 7.5.3 ( http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUTch-discussions-2018-03.html )
[Tan18] Fucheng Tan, Note on IUT, 2018. 1, 2
つづく

つづき

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/12/01(火) 18:16:34.56

>>6
つづき

なお

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Tan%20---%20Introduction%20to%20inter-universal%20Teichmuller%20theory%20(slides).pdf
Introduction to Inter-universal Teichm¨uller theory
Fucheng Tan RIMS, Kyoto University 2018
To my limited experiences, the following seem to be an option for people who wish to get to
know IUT without spending too much time on all the details.
・ Regard the anabelian results and the general theory of Frobenioids as blackbox.
・ Proceed to read Sections 1, 2 of [EtTh], which is the basis of IUT.
・ Read [IUT-I] and [IUT-II] (briefly), so as to know the basic definitions.
・ Read [IUT-III] carefully. To make sense of the various definitions/constructions in the second half of [IUT-III], one needs all the previous definitions/results.
・ The results in [IUT-IV] were in fact discovered first. Section 1 of [IUT-IV] allows one to
see the construction in [IUT-III] in a rather concrete way, hence can be read together with [IUT-III], or even before.
S. Mochizuki, The ´etale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations.
S. Mochizuki, Inter-universal Teichm¨uller Theory I, II, III, IV.

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/daigakuin/Tan.pdf
教員名: 譚福成（Tan, Fucheng）
P-adic Hodge theory plays an essential role in Mochizuki's proof of Grothendieck's
Anabelian Conjecture. Recently, I have been studying anabeian geometry and
Mochizuki's Inter-universal Teichmuller theory, which is in certain sense a global
simulation of p-adic comparison theorem.

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2020/12/01(火) 18:17:03.64

>>7
つづき

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/documents/RIMS-Lille%20-%20Promenade%20in%20Inter-Universal%20Teichm%C3%BCller%20Theory.pdf
Research Institute for Mathematical Sciences - Kyoto University, Japan
PROMENADE IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY - 復元
Online Seminar - Algebraic & Arithmetic Geometry
Laboratoire Paul Painleve - Universite de Lille, France
Version 1 ? ε - 09/10/2020

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/IUT-references.html
Promenade in Inter-Universal Teichmuller Theory
Org.: Collas (RIMS); Debes, Fresse (Lille).
The Programme of the seminar contains a selection of ~30 references with respect to (1) Diophantine Geometry, (2) IUT Geometry, and (3) Anabelian Geometry. We indicate some links towards the key opuses as well as some complementary notes and proceedings.

テンプレは以上です

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:07:33.01

https://ejje.weblio.jp/content/modular
modularとは
主な意味
基準寸法の
研究社英和コンピューター用語辞典での「modular」の意味
・modular arithmetic 法の代数《ある数を法として同じ数は同じとみなした整数の計算; ⇒mod》

https://www.weblio.jp/content/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC
ウィキペディア
モジュール
(モジュラーから転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/21 04:41 UTC 版)
モジュール（英: module）とは、工学などにおける設計上の概念で、システムを構成する要素となるもの。いくつかの部品的機能を集め、まとまりのある機能を持った部品のこと。モジュールに従っているものをモジュラー（英: modular）という。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:09:00.27

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A
モジュラー曲線
モジュラー曲線（モジュラーきょくせん）とは複素上半平面 H の合同部分群 Γ の作用による商として定義されるリーマン面のことである。合同部分群 Γ とは、整数の 2 × 2 の行列 SL(2, Z) のある部分群のことである。モジュラー曲線はコンパクトとは限らないが、有限個の Γ のカスプと呼ばれる点を加えることでコンパクト化されたモジュラー曲線 X(Γ) を定めることができる。モジュラー曲線の点は、楕円曲線とそれに付随する群 Γ に関係するある構造をもったものの同型類の集合とみなすことができ、モジュラー曲線を代数幾何的に、また有理数体 Q や円分体の上でモジュラー曲線を定義することもできる。このことからモジュラー曲線は整数論で重要な対象である。

目次
1 解析的定義
1.1 コンパクト化されたモジュラー曲線
2 例
3 種数
3.1 種数 0
4 モンスター群との関係

コンパクト化されたモジュラー曲線
Y(Γ) のコンパクト化は、Γ のカスプと呼ばれる有限個の点を加えることにより得られる。特に、このコンパクト化は、拡張された複素上半平面 H* = H ∪ Q ∪ {∞} 上の Γ の作用を考えることにより得られる。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:09:33.83

>>10
つづき

例
モジュラー曲線 X(5) は種数 0 を持ち、正二十面体の頂点に 12個のカスプを持つリーマン球面である。被覆 X(5) → X(1) はリーマン球面上の20面体群（英語版）(icosahedral group)の作用による商である。この群は位数 60 の単純群で、対称群 A5 および PSL(2, 5) とに同型である。

モジュラー曲線 X(7) は、カスプを 24個持つ種数 3 のクライン四次曲線（英語版）(Klein quartic)である。これは3つのハンドルつきの曲面を 24 個の七角形でタイリングし、各々の面の中心にカスプを持っていると解釈することができる。これらのタイリングは、dessins d'enfants[2] やバイリ函数（英語版）(Belyi function)を通して理解することができる。カスプは、無限遠点 ∞ 上にある（赤い点）、一方、頂点と辺の中心にある（黒と白の点）カスプは、0 と 1 にある。被覆 X(7) → X(1) のガロア群は、PSL(2, 7) に同型な位数 168 の単純群である。

X0(N) には、明確な古典モデルである古典モジュラー曲線（英語版）(classical modular curve)が存在し、これを「モジュラー曲線」という場合もある。
これらの曲線は、レベル構造つき楕円曲線のモジュライ空間として解釈される。このため、モジュラー曲線は数論幾何(arithmetic geometry)で重要な役割を果たす。レベル N のモジュラー曲線 X(N) は、楕円曲線とそのN-等分点の基底の組のモジュライ空間である。X0(N) と X1(N) の付加構造は、それぞれ、位数 N の巡回部分群、位数 N の点である。これらの曲線は、非常に詳しく研究されており、特に、X0(N) は有理数体上で定義することができる。

モジュラ曲線を定義する方程式は、モジュラー方程式（英語版）(modular equation)の最も良く知られた例である。この「最良のモデル」は楕円函数論から直接得られる理論とは非常に異なっている。ヘッケ作用素は、二つのモジュラー曲線の間の対応として幾何学的に研究される。

注意: コンパクトな H の商は、モジュラ群の部分群以外に、フックス群（英語版）(Fuchsian group) Γ に対し発生する。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:10:06.62

>>11
つづき

種数
X(5) は種数 0 であり、X(7) は種数 3 であり、X(11) は種数26 であることがわかる。p = 2 あるいは 3 に対しは分岐を考えに入れる、つまり、PSL(2, Z) には位数 p の元が存在し、PSL(2, 2) は位数 3 というよりも位数 6 であることを考慮する必要がある。N を因子として含むレベル N のモジュラー曲線の種数についてのより複雑な公式がある。

種数 0
一般に、モジュラー函数体とは、モジュラー曲線（あるいは既約であるような他のモジュライ空間）の函数体である。種数が 0 であることは、そのような函数体が唯一の超越函数を生成元として持っていることを意味し、たとえば、j-函数は X(1)=PSL(2,Z )＼ H の函数体を生成する。この生成元はメビウス変換で移りあう函数を同一視すると一意となり、適切に正規化することができ、そのような函数を Hauptmodul (あるいは主モジュラー函数(principal modular function)と呼ぶ。

空間 X1(n) は n = 1, ..., 10 と n = 12 に対して、種数 0 である。これらの曲線は、Q 上で定義されているので、そのような曲線上には無限に多くの有理点が存在し、よって、これらの n の値に対し n-捩れを持つ有理数体上定義された楕円曲線が無限に存在する。n がこれらの値のときのみ、逆のステートメントが成り立ち、これがメイザーの捩れ定理である。

モンスター群との関係
詳細は「モンストラス・ムーンシャイン」を参照
種数 0 のモジュラー曲線はモンストラス・ムーンシャイン予想との関係で非常に重要であることが判明した。モジュラー曲線の Hauptmoduln を q-展開した係数の最初のいくつかが、19世紀に既に計算されていたが、最も大きな単純散在モンスター群の表現空間の次元と同じになっていることが、非常に衝撃的である。

もうひとつの関係は、SL(2, R) の Γ0(p) の正規化群 Γ0(p)+ から定まるモジュラー曲線が種数 0 であることと、p が 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 あるいは、71 であることと同値である。さらにこれらの素数はモンスター群の位数の素因子と一致する。この Γ0(p)+ についての結果は、ジャン＝ピエール・セール(Jean-Pierre Serre), アンドレ・オッグ（英語版）(Andrew Ogg)とジョン・トンプソン(John G. Thompson)が1970年代に発見し、モジュラー群とモンスター群の関係を発見したオッグは、この事実を説明したものには、ジャックダニエル（テネシー・ウイスキー）のボトルを進呈すると論文に記載した。

この関係は非常に深く、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により示されたように、一般カッツ・ムーディリー代数とも深く関係する。この分野の仕事は、至るところで正則でカスプを持つモジュラー形式に対し、有理型でありカスプで極を持つことのできるモジュラー函数の重要性を示している。これらの仕事は、20世紀の重要な研究の対象となった。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:10:55.67

https://en.wikipedia.org/wiki/Belyi%27s_theorem#Belyi_functions
Belyi's theorem
In mathematics, Belyi's theorem on algebraic curves states that any non-singular algebraic curve C, defined by algebraic number coefficients, represents a compact Riemann surface which is a ramified covering of the Riemann sphere, ramified at three points only.

This is a result of G. V. Belyi from 1979. At the time it was considered surprising, and it spurred Grothendieck to develop his theory of dessins d'enfant, which describes nonsingular algebraic curves over the algebraic numbers using combinatorial data.

Contents
1 Quotients of the upper half-plane
2 Belyi functions
3 Applications

Quotients of the upper half-plane
It follows that the Riemann surface in question can be taken to be
H/Γ
with H the upper half-plane and Γ of finite index in the modular group, compactified by cusps. Since the modular group has non-congruence subgroups, it is not the conclusion that any such curve is a modular curve.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:11:19.92

>>13
つづき

Belyi functions
A Belyi function is a holomorphic map from a compact Riemann surface S to the complex projective line P1(C) ramified only over three points, which after a Mobius transformation may be taken to be {\displaystyle \{0,1,\infty \}}\{0,1,\infty \}. Belyi functions may be described combinatorially by dessins d'enfants.

Belyi functions and dessins d'enfants ? but not Belyi's theorem ? date at least to the work of Felix Klein; he used them in his article (Klein 1879) to study an 11-fold cover of the complex projective line with monodromy group PSL(2,11).[1]

Applications
Belyi's theorem is an existence theorem for Belyi functions, and has subsequently been much used in the inverse Galois problem.

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:12:30.85

https://en.wikipedia.org/wiki/Dessin_d%27enfant
Dessin d'enfant

In mathematics, a dessin d'enfant is a type of graph embedding used to study Riemann surfaces and to provide combinatorial invariants for the action of the absolute Galois group of the rational numbers. The name of these embeddings is French for a "child's drawing"; its plural is either dessins d'enfant, "child's drawings", or dessins d'enfants, "children's drawings".
A dessin d'enfant is a graph, with its vertices colored alternately black and white, embedded in an oriented surface that, in many cases, is simply a plane. For the coloring to exist, the graph must be bipartite. The faces of the embedding must be topological disks. The surface and the embedding may be described combinatorially using a rotation system, a cyclic order of the edges surrounding each vertex of the graph that describes the order in which the edges would be crossed by a path that travels clockwise on the surface in a small loop around the vertex.

Any dessin can provide the surface it is embedded in with a structure as a Riemann surface. It is natural to ask which Riemann surfaces arise in this way. The answer is provided by Belyi's theorem, which states that the Riemann surfaces that can be described by dessins are precisely those that can be defined as algebraic curves over the field of algebraic numbers. The absolute Galois group transforms these particular curves into each other, and thereby also transforms the underlying dessins.

For a more detailed treatment of this subject, see Schneps (1994) or Lando & Zvonkin (2004).

Contents
1 History
1.1 19th century
1.2 20th century
2 Riemann surfaces and Belyi pairs

6 The absolute Galois group and its invariants

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:13:25.61

>>15
つづき

History
19th century
Early proto-forms of dessins d'enfants appeared as early as 1856 in the icosian calculus of William Rowan Hamilton;[1] in modern terms, these are Hamiltonian paths on the icosahedral graph.

Recognizable modern dessins d'enfants and Belyi functions were used by Felix Klein (1879). Klein called these diagrams Linienzuge (German, plural of Linienzug "line-track", also used as a term for polygon); he used a white circle for the preimage of 0 and a '+' for the preimage of 1, rather than a black circle for 0 and white circle for 1 as in modern notation.[2] He used these diagrams to construct an 11-fold cover of the Riemann sphere by itself, with monodromy group PSL(2,11), following earlier constructions of a 7-fold cover with monodromy PSL(2,7) connected to the Klein quartic in (Klein 1878?1879a, 1878?1879b). These were all related to his investigations of the geometry of the quintic equation and the group A5 ? PSL(2,5), collected in his famous 1884/88 Lectures on the Icosahedron. The three surfaces constructed in this way from these three groups were much later shown to be closely related through the phenomenon of trinity.

20th century
Dessins d'enfant in their modern form were then rediscovered over a century later and named by Alexander Grothendieck in 1984 in his Esquisse d'un Programme.[3] Zapponi (2003) quotes Grothendieck regarding his discovery of the Galois action on dessins d'enfants:

This discovery, which is technically so simple, made a very strong impression on me, and it represents a decisive turning point in the course of my reflections, a shift in particular of my centre of interest in mathematics, which suddenly found itself strongly focused. I do not believe that a mathematical fact has ever struck me quite so strongly as this one, nor had a comparable psychological impact. This is surely because of the very familiar, non-technical nature of the objects considered, of which any child’s drawing scrawled on a bit of paper (at least if the drawing is made without lifting the pencil) gives a perfectly explicit example. To such a dessin we find associated subtle arithmetic invariants, which are completely turned topsy-turvy as soon as we add one more stroke.

Part of the theory had already been developed independently by Jones & Singerman (1978) some time before Grothendieck. They outline the correspondence between maps on topological surfaces, maps on Riemann surfaces, and groups with certain distinguished generators, but do not consider the Galois action. Their notion of a map corresponds to a particular instance of a dessin d'enfant. Later work by Bryant & Singerman (1985) extends the treatment to surfaces with a boundary.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/07(日) 23:13:55.73

>>16
つづき

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/330px-Icosahedral_reflection_domains.png
The triangulation of the sphere with (2,3,5) triangle group, generated by using the regular dodecahedron to construct a clean dessin

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/3-7_kisrhombille.svg/330px-3-7_kisrhombille.svg.png
The triangulation of the hyperbolic plane with (2,3,7) triangle group generated as the universal cover of the Klein quartic

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/08(月) 23:48:10.55

（参考）
http://www.utp.or.jp/book/b498559.html
楕円関数論　増補新装版
楕円曲線の解析学
梅村　浩著
ISBN978-4-13-061314-9発売日:2020年05月21日判型:A5ページ数：392頁
東京大学出版会

梅村楕円関数論の第5章楕円曲線のモジュライ
より、写経する
P250
定理5.4 次の全単射写像が存在する
T/～≡C

定理5.4を次のように言い換えることができる。複素トーラス全体のなす集合と、より正確には複素トーラスの同値類全体のなす集合と
複素平面Cとを自然に同一視することができる。あるいは、次のようにいってもよい。
複素トーラス全体のなす集合に、より正確には複素トーラスの同型類全体のなす集合に、自然な複素多様体の構造を入れて、複素平面Cと同一視することができる。
このように、ある型の幾何学的な対象Z全体のなす集合が、多様体Xの点全体のなす集合と自然に同一視されるとき、多様体Xは対象Zのモジュライ（moduli）空間であるという。
上の場合Zは複素トーラスであり、Xは複素平面である。
モジュライ空間は代数幾何学によく出現し、代数幾何学の最も重要な研究対象の一つである。
(引用終り)

https://eow.alc.co.jp/search?q=moduli
英辞郎 on the WEB
moduli
名
modulusの複数形
発音m??d??la?i、カナモジュライ

https://eow.alc.co.jp/search?q=modulus
modulus
名
《物理》係数、率
《数学》法、対数係数、絶対値◆【略】mod.
発音[US] m??d??l?s ｜ [UK] m??djul?s、カナ[US]モジュラス、[UK]モデュラス、

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 13:20:18.51

https://en.wikipedia.org/wiki/Belyi%27s_theorem
Belyi's theorem
Contents
1 Quotients of the upper half-plane
2 Belyi functions
3 Applications
Applications
Belyi's theorem is an existence theorem for Belyi functions, and has subsequently been much used in the inverse Galois problem.

https://en.wikipedia.org/wiki/Dessin_d%27enfant
Dessin d'enfant
Contents
1 History
1.1 19th century
1.2 20th century
2 Riemann surfaces and Belyi pairs
3 Maps and hypermaps
4 Regular maps and triangle groups
5 Trees and Shabat polynomials
6 The absolute Galois group and its invariants

https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_Galois_group
Absolute Galois group

Contents
1 Examples
2 Problems
3 Some general results

Problems
No direct description is known for the absolute Galois group of the rational numbers. In this case, it follows from Belyi's theorem that the absolute Galois group has a faithful action on the dessins d'enfants of Grothendieck (maps on surfaces), enabling us to "see" the Galois theory of algebraic number fields.

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 13:41:13.38

コピペは続くよどこまでも

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 14:11:15.66

どうせなら、翻訳しよう

ベリイの定理

数学では、代数曲線に関するBelyiの定理は、
代数的数係数上で定義された任意の非特異代数曲線Cは、
3点のみで分岐したリーマン球面の分岐被覆である
コンパクトなリーマン面を表すと述べている。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 14:12:55.50

>>21
これは1979年のG. V. Belyiの結果である。
当時は驚くべきことだと思われていたが、
それがGrothendieckを駆り立て、
組み合わせデータを用いて代数上の非特異代数曲線を記述する
dessins d'enfantの理論を発展させた。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 14:24:11.15

上半平面の商

問題のリーマン曲面はH/Γ
Hを上半平面、Γをカスプで圧縮されたモジュラー群の有限指数の部分群とする。
モジュラー群には非一致部分群があるので、
そのような曲線があればモジュラー曲線である
という結論にはならない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/13(土) 14:24:40.17

Belyi関数

Belyi関数は，コンパクトなリーマン曲面Sから
3点上にある複素射影線P1(C)への正則写像であり，
(3点は)メビウス変換後に{0,1,∞}とできる
Belyi関数は，dessins d'enfantsによって組み合わせ的に記述できる

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 08:22:24.94

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
射有限群
射有限群（しゃゆうげんぐん、英語: pro-finite group）あるいは副有限群（ふくゆうげんぐん）は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。

射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。

目次
1 例
2 性質および事実
3 射有限完備化
4 入射有限群
5 関連項目
6 参考文献

・p-進整数全体の成す加法群 Zp は射有限である（実際にはさらに射巡回的である）。この群は、n を全ての自然数を亘って動かすとき、有限群 Z/pnZ とそれらの間の自然な射影 Z/pnZ → Z/pmZ (n ? m) が成す射影系の射影極限になっており、この群の射有限群としての位相はZp 上の p-進付値から定まる位相と一致する。
・体の無限次拡大のガロア理論では、射有限なガロア群が自然に現れる。具体的に、L/K を（無限次元の）ガロア拡大とし、K の元を動かさない L 上の体自己同型全体の成す群 G = Gal(L/K) を考える。この無限ガロア群は、F が F/K が有限次ガロア拡大であるような L/K の中間体すべてを亘るとき、有限ガロア群 Gal(F/K) が成す射影系の逆極限である。この射影系における射は、F2 ⊆ F1 なるとき、制限準同型 Gal(F1/K) → Gal(F2/K) で与えられる。得られる Gal(L/K) の位相はヴォルフガンク・クルルに因んでクルル位相 (Krull topology) として知られる。ウォーターハウスは「任意の」射有限群が、「ある」体 K 上のガロア群に同型なる群として得られることを示した[1]が、このとき具体的にどのような体 K を選べばよいか決定する方法はいまだ知られていない。事実、多くの体 K で、どのような有限群が体 K 上のガロア群として得られるかということは一般にははっきりしない。このような問題は体 K に対するガロアの逆問題と呼ばれる（複素一変数の有理函数体のように、ガロアの逆問題が解決されている体もある）。
・代数幾何学において考察される基本群もまた射有限である。これは大雑把に言って、代数的には代数多様体の有限被覆だけしか「見る」ことができないということを反映するものであり、代数的位相幾何学における基本群は一般には射有限ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 08:23:25.08

Pro-p 群

https://en.wikipedia.org/wiki/Pro-p_group
Pro-p group

In mathematics, a pro-p group (for some prime number p) is a profinite group {\displaystyle G}G such that for any open normal subgroup {\displaystyle N\triangleleft G}N\triangleleft G the quotient group {\displaystyle G/N}G/N is a p-group. Note that, as profinite groups are compact, the open subgroups are exactly the closed subgroups of finite index, so that the discrete quotient group is always finite.

Alternatively, one can define a pro-p group to be the inverse limit of an inverse system of discrete finite p-groups.

The best-understood (and historically most important) class of pro-p groups is the p-adic analytic groups: groups with the structure of an analytic manifold over {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}\mathbb {Q} _{p} such that group multiplication and inversion are both analytic functions. The work of Lubotzky and Mann, combined with Michel Lazard's solution to Hilbert's fifth problem over the p-adic numbers, shows that a pro-p group is p-adic analytic if and only if it has finite rank, i.e. there exists a positive integer {\displaystyle r}r such that any closed subgroup has a topological generating set with no more than {\displaystyle r}r elements. More generally it was shown that a finitely generated profinite group is a compact p-adic Lie group if and only if it has an open subgroup that is a uniformly powerful pro-p-group.

The Coclass Theorems have been proved in 1994 by A. Shalev and independently by C. R. Leedham-Green. Theorem D is one of these theorems and asserts that, for any prime number p and any positive integer r, there exist only finitely many pro-p groups of coclass r. This finiteness result is fundamental for the classification of finite p-groups by means of directed coclass graphs.

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 08:23:53.43

>>24
ありがとう
ご苦労様

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 09:26:21.86

>>25
そもそも射影系が分かってないんじゃ意味ないぞ

射影極限
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E6%A5%B5%E9%99%90

Ai を長さiの有限数列全体からなる集合、
fij (i≤j) を数列をi項に切り詰める写像とすると、
その射影極限は、数列全体の集合となる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/19(金) 21:09:22.78

>>28
ありがとう
ご苦労様

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/22(月) 06:56:24.93

望月出張講演の下記数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）が、素朴な形でIUTの構想が語れていて、必読ですね
談話会のURLだけコピペしていますが、月～金の資料も結構参考になります
IUTの最終版では、変わっている部分もあると思いますが、全体構想を知る上で、大変参考になります

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
望月出張講演

[11] 数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）.　　月　火　水　木　金　概要　
　　　レポート問題　談話会　アブストラクト

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/2008-05%20danwakai-ohp-jpg.pdf
談話会数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 23:08:44.99

スキーム、前スキーム、マンフォードの「Red Book」
”概型/スキームという用語で前スキームのうちで特に点の分離性を満たすものをさしているものもある。”

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E5%9E%8B
概型あるいはスキーム (英: scheme) とは、可換環に対して双対的に構成される局所環付き空間である。二十世紀半ばにアレクサンドル・グロタンディークによって導入され、以降の代数幾何学において任意標数の代数多様体を包摂し、係数の拡大や図形の「連続的」な変形を統一的に取り扱えるような図形の概念として取り扱われている。さらに、今まで純代数的な対象として研究されてきた環についてもそのアフィンスキームを考えることである種の幾何的対象として、多様体との類推にもとづく研究手法を持ち込むことが可能になる。このため特に数論の分野ではスキームが強力な枠組みとして定着している。

スキームを通じて圏論的に定義される様々な概念は、大きな威力を発揮するが、その一方で、古典的な代数幾何においては点とみなされなかった既約部分多様体のようなものまでがスペクトルの「点」になってしまう。

スキーム
アフィンスキームの張り合わせとしてえられるような局所環付き空間は前スキームまたは概型（スキーム）とよばれる。グロタンディークのEGAやマンフォードの「Red Book」など初期の文献には概型/スキームという用語で前スキームのうちで特に点の分離性を満たすものをさしているものもある。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/23(火) 23:29:48.30

局所は、局所化：環に乗法逆元を機械的に添加する
局所環：In practice, a commutative local ring often arises as the result of the localization of a ring at a prime ideal. The English term local ring is due to Zariski.[2]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%B1%80%E6%89%80%E5%8C%96
環の局所化（きょくしょか、英: localization）あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient)[注 1] は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 R とその部分集合 S が与えられたとき、環 R' と R から R' への環準同型を構成して、S の準同型像が R' における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、R' が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 R の部分集合 S による局所化は S－1R で表され、あるいは S が素イデアル {p} の補集合であるときには R_ {p}} で表される。S－1R のことを RS と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。

局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある。

用語について
「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。R はある幾何学的対象（代数多様体）の上で定義された函数環とする。この多様体を点 p の近傍で「局所的に」調べようとするならば、p の近傍で 0 でないような函数全体の成す集合 S を考えることになる。その意味で、R を S に関して局所化して得られる環 S－1R は p の近傍における V の挙動についての情報のみをふくんでいる（局所環も参照）。

例
整数環を Z, 有理数体を Q と表す。

R = Z のとき、積閉集合 S = Z － {0} による局所化は S－1R = Q である。

https://en.wikipedia.org/wiki/Local_ring
In abstract algebra, more specifically ring theory, local rings are certain rings that are comparatively simple, and serve to describe what is called "local behaviour", in the sense of functions defined on varieties or manifolds, or of algebraic number fields examined at a particular place, or prime. Local algebra is the branch of commutative algebra that studies commutative local rings and their modules.

In practice, a commutative local ring often arises as the result of the localization of a ring at a prime ideal.

The concept of local rings was introduced by Wolfgang Krull in 1938 under the name Stellenringe.[1] The English term local ring is due to Zariski.[2]

Examples
All fields (and skew fields) are local rings, since {0} is the only maximal ideal in these rings.
A nonzero ring in which every element is either a unit or nilpotent is a local ring.

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 10:41:04.06

田口雄一郎先生、結構面白い

http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/fermat-JSA.pdf
Fermat の最終定理を巡る数論
田口雄一郎
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/bunsho.html
Fermat の最終定理を巡る数論
( 『日本の科学者』 vol.40, no.3 )
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/
Yuichiro TAGUCHI
http://www.jsa.gr.jp/04pub/0401jjs/summary05-09.htm
『日本の科学者』総目次2005年～2009年
2005年3月号　Vol.40No.3　通巻446号
・Fermatの最終定理を巡る数論　　田口雄一郎

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/26(金) 11:00:51.46

>>33
田口雄一郎先生、
これ以前にも別のスレで取り上げたけど
IUT以前の話と思う（細かい時期は不明）

http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/abc.html
abc予想の話
( 昔、北大理学部ＨＰの「サイエンストピックス」に掲載されたもの )
田口雄一郎
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/bunsho.html
Yuichiro TAGUCHI

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 23:24:57.49

>>34
メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_quartic
Klein quartic
In hyperbolic geometry, the Klein quartic, named after Felix Klein, is a compact Riemann surface of genus 3 with the highest possible order automorphism group for this genus, namely order 168 orientation-preserving automorphisms, and 336 automorphisms if orientation may be reversed. As such, the Klein quartic is the Hurwitz surface of lowest possible genus; see Hurwitz's automorphisms theorem. Its (orientation-preserving) automorphism group is isomorphic to PSL(2, 7), the second-smallest non-abelian simple group. The quartic was first described in (Klein 1878b).

Closed and open forms
It is important to distinguish two different forms of the quartic. The closed quartic is what is generally meant in geometry; topologically it has genus 3 and is a compact space. The open or "punctured" quartic is of interest in number theory; topologically it is a genus 3 surface with 24 punctures, and geometrically these punctures are cusps. The open quartic may be obtained (topologically) from the closed quartic by puncturing at the 24 centers of the tiling by regular heptagons, as discussed below. The open and closed quartics have different metrics, though they are both hyperbolic and complete[1] – geometrically, the cusps are "points at infinity", not holes, hence the open quartic is still complete.

Affine quartic
The above is a tiling of the projective quartic (a closed manifold); the affine quartic has 24 cusps (topologically, punctures), which correspond to the 24 vertices of the regular triangular tiling, or equivalently the centers of the 24 heptagons in the heptagonal tiling, and can be realized as follows.

続く

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 23:25:40.22

>>35
続き

Considering the action of SL(2, R) on the upper half-plane model H2 of the hyperbolic plane by Möbius transformations, the affine Klein quartic can be realized as the quotient Γ(7)\H2. (Here Γ(7) is the congruence subgroup of SL(2, Z) consisting of matrices that are congruent to the identity matrix when all entries are taken modulo 7.)

Fundamental domain and pants decomposition

3-dimensional models
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/KleinDualInsideOutDivided.gif/330px-KleinDualInsideOutDivided.gif
An animation by Greg Egan showing an embedding of Klein’s Quartic Curve in three dimensions, starting in a form that has the symmetries of a tetrahedron, and turning inside out to demonstrate a further symmetry.

Dessin d'enfants
The dessin d'enfant on the Klein quartic associated with the quotient map by its automorphism group (with quotient the Riemann sphere) is precisely the 1-skeleton of the order-3 heptagonal tiling.[10] That is, the quotient map is ramified over the points 0, 1728, and ∞; dividing by 1728 yields a Belyi function (ramified at 0, 1, and ∞), where the 56 vertices (black points in dessin) lie over 0, the midpoints of the 84 edges (white points in dessin) lie over 1, and the centers of the 24 heptagons lie over infinity. The resulting dessin is a "platonic" dessin, meaning edge-transitive and "clean" (each white point has valence 2).

続く

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 23:26:39.15

>>36
続き

https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_quadric
Klein quadric
In mathematics, the lines of a 3-dimensional projective space, S, can be viewed as points of a 5-dimensional projective space, T. In that 5-space, the points that represent each line in S lie on a quadric, Q known as the Klein quadric.

If the underlying vector space of S is the 4-dimensional vector space V, then T has as the underlying vector space the 6-dimensional exterior square Λ2V of V. The line coordinates obtained this way are known as Plücker coordinates.
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/27(土) 23:36:36.38

>>37

”Punctured spheres”
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface
Riemann surface

Contents

5 Classification of Riemann surfaces
5.1 Elliptic Riemann surfaces
5.2 Parabolic Riemann surfaces
5.3 Hyperbolic Riemann surfaces
6 Maps between Riemann surfaces
6.1 Punctured spheres
6.2 Ramified covering spaces
7 Isometries of Riemann surfaces

Punctured spheres
These statements are clarified by considering the type of a Riemann sphere {\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}}\widehat{\mathbf{C}} with a number of punctures. With no punctures, it is the Riemann sphere, which is elliptic. With one puncture, which can be placed at infinity, it is the complex plane, which is parabolic. With two punctures, it is the punctured plane or alternatively annulus or cylinder, which is parabolic. With three or more punctures, it is hyperbolic – compare pair of pants. One can map from one puncture to two, via the exponential map (which is entire and has an essential singularity at infinity, so not defined at infinity, and misses zero and infinity), but all maps from zero punctures to one or more, or one or two punctures to three or more are constant.

Isometries of Riemann surfaces
The isometry group of a uniformized Riemann surface (equivalently, the conformal automorphism group) reflects its geometry:
・the isometry group of the plane is the subgroup fixing infinity, and of the punctured plane is the subgroup leaving invariant the set containing only infinity and zero: either fixing them both, or interchanging them (1/z).

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 08:21:52.42

>>24
ありがとう
（追加）
https://en.wikipedia.org/wiki/Dessin_d%27enfant
Dessin d'enfant
Contents
1 History
1.1 19th century
1.2 20th century
2 Riemann surfaces and Belyi pairs
3 Maps and hypermaps
4 Regular maps and triangle groups
5 Trees and Shabat polynomials
6 The absolute Galois group and its invariants

Riemann surfaces and Belyi pairs
Each triangle in the triangulation has three vertices labeled 0 (for the black points), 1 (for the white points), or ∞. For each triangle, substitute a half-plane, either the upper half-plane for a triangle that has 0, 1, and ∞ in counterclockwise order or the lower half-plane for a triangle that has them in clockwise order, and for every adjacent pair of triangles glue the corresponding half-planes together along the portion of their boundaries indicated by the vertex labels. The resulting Riemann surface can be mapped to the Riemann sphere by using the identity map within each half-plane. Thus, the dessin d'enfant formed from f is sufficient to describe f itself up to biholomorphism. However, this construction identifies the Riemann surface only as a manifold with complex structure; it does not construct an embedding of this manifold as an algebraic curve in the complex projective plane, although such an embedding always exists.

続く

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 08:22:53.69

>>39
続き

The same construction applies more generally when X is any Riemann surface and f is a Belyi function; that is, a holomorphic function f from X to the Riemann sphere having only 0, 1, and ∞ as critical values. A pair (X, f) of this type is known as a Belyi pair. From any Belyi pair (X, f) one can form a dessin d'enfant, drawn on the surface X, that has its black points at the preimages f-1(0) of 0, its white points at the preimages f-1(1) of 1, and its edges placed along the preimages f-1([0, 1]) of the line segment [0, 1]. Conversely, any dessin d'enfant on any surface X can be used to define gluing instructions for a collection of halfspaces that together form a Riemann surface homeomorphic to X; mapping each halfspace by the identity to the Riemann sphere produces a Belyi function f on X, and therefore leads to a Belyi pair (X, f). Any two Belyi pairs (X, f) that lead to combinatorially equivalent dessins d'enfants are biholomorphic, and Belyi's theorem implies that, for any compact Riemann surface X defined over the algebraic numbers, there are a Belyi function f and a dessin d'enfant that provides a combinatorial description of both X and f.

Maps and hypermaps
A vertex in a dessin has a graph-theoretic degree, the number of incident edges, that equals its degree as a critical point of the Belyi function.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/330px-Icosahedral_reflection_domains.png

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/3-7_kisrhombille.svg/330px-3-7_kisrhombille.svg.png

Thus, any embedding of a graph in a surface in which each face is a disk (that is, a topological map) gives rise to a dessin by treating the graph vertices as black points of a dessin, and placing white points at the midpoint of each embedded graph edge. If a map corresponds to a Belyi function f, its dual map (the dessin formed from the preimages of the line segment [1, ∞]) corresponds to the multiplicative inverse 1/f.[5]

A dessin that is not clean can be transformed into a clean dessin in the same surface, by recoloring all of its points as black and adding new white points on each of its edges. The corresponding transformation of Belyi pairs is to replace a Belyi function β by the pure Belyi function γ = 4β(1 - β).

続く

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 08:23:48.50

>>40
続き

The absolute Galois group and its invariants
The two choices of a lead to two Belyi functions f1 and f2. These functions, though closely related to each other, are not equivalent, as they are described by the two nonisomorphic trees shown in the figure.

However, as these polynomials are defined over the algebraic number field Q(√21), they may be transformed by the action of the absolute Galois group Γ of the rational numbers. An element of Γ that transforms √21 to -√21 will transform f1 into f2 and vice versa, and thus can also be said to transform each of the two trees shown in the figure into the other tree.

More generally, due to the fact that the critical values of any Belyi function are the pure rationals 0, 1, and ∞, these critical values are unchanged by the Galois action, so this action takes Belyi pairs to other Belyi pairs. One may define an action of Γ on any dessin d'enfant by the corresponding action on Belyi pairs; this action, for instance, permutes the two trees shown in the figure.

Due to Belyi's theorem, the action of Γ on dessins is faithful (that is, every two elements of Γ define different permutations on the set of dessins),[10] so the study of dessins d'enfants can tell us much about Γ itself.

The two Belyi functions f1 and f2 of this example are defined over the field of moduli, but there exist dessins for which the field of definition of the Belyi function must be larger than the field of moduli.[11]
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 16:01:49.39

メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_stack
Algebraic stack

In mathematics, an algebraic stack is a vast generalization of algebraic spaces, or schemes, which are foundational for studying moduli theory. Many moduli spaces are constructed using techniques specific to algebraic stacks, such as Artin's representability theorem, which is used to construct the moduli space of pointed algebraic curves {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}{\mathcal {M}}_{{g,n}} and the moduli stack of elliptic curves. Originally, they were introduced by Grothendieck[1] to keep track of automorphisms on moduli spaces, a technique which allows for treating these moduli spaces as if their underlying schemes or algebraic spaces are smooth. But, through many generalizations the notion of algebraic stacks was finally discovered by Michael Artin.[2]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%83%E3%82%AF
代数的スタック

代数スタックとは、モジュライ理論の研究の基礎となる代数空間またはスキームの一般化である。多くのモジュライ空間は、アルチンの表現可能定理など、代数スタック固有の手法を駆使して構築される。これは、尖った代数曲線のモジュライ空間の構築に使用される。 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}{\mathcal {M}}_{{g,n}}は楕円曲線のモジュラススタックで、それらはモジュライ空間の自己同型を追跡するためにグロタン [1]により導入された。これは、モジュライ空間を基礎とするスキームや代数空間が滑らかであるかのように扱うことを可能とする。多くの一般化を通じ、代数スタックの概念がついにアルチンにより発見された。 [2]

定義
代数スタックの動機付けの例の1つは、亜郡スキームをである。 {\displaystyle (R,U,s,t,m)}{\displaystyle (R,U,s,t,m)}固定スキーム上{\displaystyle S}S 。たとえば、 {\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}{\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}} （{\displaystyle \mu _{n}}\mu _{n}は、1を根とする群スキーム）、 {\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}}{\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}} 、 {\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}{\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}射影、 {\displaystyle t}tは群作用である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 16:42:24.13

>>42

下記分かりやすい
ご推奨です

https://shitijyou-a.github.io/
七条彰紀のノート 2020 shitijyou-a
(PDFダウンロード可)
https://shitijyou-a.github.io/math/alg-geo/intro-to-artin-stacks/
Artin スタック入門
七条彰紀
2020 年 2 月 16 日

概要
スキーム論と圏論（2 圏の初歩を含む）まで学んだ者の為にArtin スタック（代数的スタック）への入
門を書いた．面白みや詳細な議論よりも，Artin スタックへの短い入門を旨としている．ほとんどの部分で
命題の証明はしない．命題(8.10) と節(7) 全体は適切な参考文献が見当たらなかったので，独自に定義・
証明している．

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/28(日) 16:45:46.05

>>43
追加ご参考

https://shitijyou-a.github.io/
七条彰紀のノート 2020 shitijyou-a
https://shitijyou-a.github.io/math/alg-geo/#/math/
代数幾何学つい
代数幾何学とは，代数学と幾何学を行き来する数学の一分野です．

代数学と幾何学の結びつき
多項式で定まる図形はアフィン代数多様体 (affine algebraic variety) と呼ばれます．

スキームへ，更なる一般化へ
アフィン代数多様体は数学の歴史の中でも古くから扱われていました．現代的には，スキーム (scheme)が代数幾何学の中心的研究対象です．スキームは可換環 (commutative ring) と呼ばれる純粋な代数的対象から出発して構成されます．可換環からアフィンスキームというものが構成され，これを貼り合わせて一般のスキームが作られます．アフィン代数多様体はアフィンスキームの理想的に扱いやすい場合として扱われるように成りました．

スキームの誕生には Weil予想というものが深く関わっています．「この予想を解決するには（アフィン）代数多様体では手狭だ，足りない」という理由で代数多様体が一般化されたのです．さらに「スキームでは手狭だ，足りない」というわけで代数的空間 (algebraic space)などが生まれ，「まだ足りない」とArtin スタック (Artin stack)というものも生まれています．

スキームの一般化は他にもいっぱいあります．私が知る限りのものを列挙してみます（順番は適当です）．

Formal schemes,
Schemes over ,
Blue schemes,
Rigid spaces,
Adic spaces,
Non-commutative schemes,
Higher stack.
いずれも何かの問題を解決するために，あるいは興味深いために生まれ，研究されています．

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 07:46:32.13

メモ
http://www.math.chuo-u.ac.jp/morita.htm
森田茂之氏による特別講演（ENCOUNTERwithMATHEMATICS番外編）中央大学
http://www.math.chuo-u.ac.jp/lecture_notes_almostwhole.pdf
特性類と不変量
森田茂之
ver. 2013 年 3 月

目次
7 モジュライ空間 142
8 モジュライ空間のサイクル，コサイクルの作り方 158
9 低次元トポロジーの謎 161
10 夢

P187
第 19 回 (2012 年 11 月 28 日)
10 夢
9 章まで行って，低次元トポロジーの謎，という事で幾つかの問題についてお話をしました．今日は新しい
章，どういうタイトルをつけようかと思いました. 本当は夢に向かってとかいろいろ考えたり，予想とか書こ
うとも思ったのですが，それにはあまりになんというか，理論的というか実験的なので，「夢」としました．

P195
4. 絶対 Galois 群

http://www.math.chuo-u.ac.jp/morita_newser.htm
森田茂之氏による特別講演：新シリーズ（ENCOUNTERwithMATHEMATICS番外編）中央大学
2013年秋から、全体を仕切りなおして新シリーズを開始します．
http://www.math.chuo-u.ac.jp/LN_in_Chuo_v11.pdf
トポロジーの課題探訪
　―特性類と不変量を中心として―
森田茂之
2013 年 10 月 9 日-

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/21(日) 06:55:19.90

メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Perverse_sheaf
Perverse sheaf
The mathematical term perverse sheaves refers to a certain abelian category associated to a topological space X, which may be a real or complex manifold, or a more general topologically stratified space, usually singular. This concept was introduced in the thesis of Zoghman Mebkhout, gaining more popularity after the (independent) work of Joseph Bernstein, Alexander Beilinson, and Pierre Deligne (1982) as a formalisation of the Riemann-Hilbert correspondence, which related the topology of singular spaces (intersection homology of Mark Goresky and Robert MacPherson) and the algebraic theory of differential equations (microlocal calculus and holonomic D-modules of Joseph Bernstein, Masaki Kashiwara and Takahiro Kawai). It was clear from the outset that perverse sheaves are fundamental mathematical objects at the crossroads of algebraic geometry, topology, analysis and differential equations. They also play an important role in number theory, algebra, and representation theory. The properties characterizing perverse sheaves already appeared in the 75's paper of Kashiwara on the constructibility of solutions of holonomic D-modules.

Contents
1 Preliminary remarks
2 Definition and examples
3 Properties
4 Applications
5 String Theory

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/21(日) 06:56:16.02

>>46
つづき

String Theory
Massless fields in superstring compactifications have been identified with cohomology classes on the target space (i.e. four-dimensional Minkowski space with a six-dimensional Calabi-Yau (CY) manifold). The determination of the matter and interaction content requires a detailed analysis of the (co)homology of these spaces: nearly all massless fields in the effective physics model are represented by certain (co)homology elements. However, a troubling consequence occurs when the target space is singular. A singular target space means that only the CY manifold is singular as Minkowski space is smooth. Such a singular CY manifold is called a conifold as it is a CY manifold that admits conical singularities. Andrew Strominger observed (A. Strominger, 1995) that conifolds correspond to massless blackholes.

These singular target spaces, i.e. conifolds, correspond to certain mild degenerations of algebraic varieties which appear in a large class of supersymmetric theories, including superstring theory (E. Witten, 1982).

In the winter of 2002, T. Hubsch and A. Rahman met with R.M. Goresky to discuss this obstruction and in discussions between R.M. Goresky and R. MacPherson, R. MacPherson made the observation that there was such a perverse sheaf that could have the cohomology that satisfied Hubsch's conjecture and resolved the obstruction. R.M. Goresky and T. Hubsch advised A. Rahman's Ph.D. dissertation on the construction of a self-dual perverse sheaf (A. Rahman, 2009) using the zig-zag construction of MacPherson-Vilonen (R. MacPherson & K. Vilonen, 1986). This perverse sheaf proved the Hübsch conjecture for isolated conic singularities, satisfied Poincarè duality, and aligned with some of the properties of the Kähler package.

Satisfaction of all of the Kähler package by this Perverse sheaf for higher codimension strata is still an open problem.

See also
Mixed Hodge module
Mixed perverse sheaf
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/22(月) 12:13:03.70

メモ
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/index.html
田口雄一郎
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/bunsho.html
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.pdf
類体論1
田口雄一郎

1「整数論札幌夏の学校」に於ける講義 (2006 年 8 月 28 日) のノート。
2これらは 1 次元の体で、それを高次元の体 (或いは scheme) に一般化したものが
「高次元類体論」である。古典的な類体論について、予備知識を仮定せず、約 180分で概説した。

序. この講演では古典的類体論について、その概略を解説する。類体
論とは
特別な体のアーベル拡大についてはよくわかる
といふ話である。「特別な体」とは、大域体 (有限次代数体、有限体上
の一変数代数関数体) 及び局所体 (R, C, Qp の有限次拡大、Fp((t)) の
有限次拡大) の事2である。「よくわかる」とは、主に
・ Abel 拡大 L/K の Galois 群の構造が K の言葉で書ける
(わかり易い群で近似できる)、
・ Abel 拡大 L/K に於いて、K の素イデアルがどう分解するかが
よくわかる、
といふ事を指す。
1. 古典的定式化.

さらに詳しくは [7], [2], [3] や岩波の『数
学辞典』第 4 版の「類体論」の項を参照されたい。
References

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/26(金) 07:23:45.20

メモ
https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+fibration
Grothendieck fibration Last revised on January 13, 2021
Contents
1. Idea
2. Definition
3. Fibrations versus pseudofunctors
4. Fibrations versus presheaves of categories

https://ncatlab.org/joyalscatlab/published/Grothendieck+fibrations
Joyal's CatLab
Grothendieck fibrations Revised on November 20, 2020

https://arxiv.org/pdf/1806.06129.pdf
CATEGORICAL NOTIONS OF FIBRATION
FOSCO LOREGIAN AND EMILY RIEHL
Date: Original version December 20, 2010; revised version February 19, 2019.

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibred_category
Fibred categories (or fibered categories) are abstract entities in mathematics used to provide a general framework for descent theory.
Similar setups appear in various guises in mathematics, in particular in algebraic geometry, which is the context in which fibred categories originally appeared. Fibered categories are used to define stacks, which are fibered categories (over a site) with "descent". Fibrations also play an important role in categorical semantics of type theory, and in particular that of dependent type theories.
Fibred categories were introduced by Alexander Grothendieck (1959, 1971), and developed in more detail by Jean Giraud (1964, 1971).

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/26(金) 07:30:20.63

>>49
>Fibred categories (or fibered categories) are abstract entities in mathematics used to provide a general framework for descent theory.

追加
https://en.wikipedia.org/wiki/Descent_(mathematics)
Descent (mathematics)
In mathematics, the idea of descent extends the intuitive idea of 'gluing' in topology. Since the topologists' glue is the use of equivalence relations on topological spaces, the theory starts with some ideas on identification.

Contents
1 Descent of vector bundles
2 History
3 Fully faithful descent

Descent of vector bundles

Therefore, by going to a more abstract level one can eliminate the combinatorial side (that is, leave out the indices) and get something that makes sense for p not of the special form of covering with which we began. This then allows a category theory approach: what remains to do is to re-express the gluing conditions.

History
The ideas were developed in the period 1955–1965 (which was roughly the time at which the requirements of algebraic topology were met but those of algebraic geometry were not). From the point of view of abstract category theory the work of comonads of Beck was a summation of those ideas; see Beck's monadicity theorem.

The difficulties of algebraic geometry with passage to the quotient are acute. The urgency (to put it that way) of the problem for the geometers accounts for the title of the 1959 Grothendieck seminar TDTE on theorems of descent and techniques of existence (see FGA) connecting the descent question with the representable functor question in algebraic geometry in general, and the moduli problem in particular.

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/29(月) 23:34:59.52

「ライプニッツは間違っていたのか?」
「ラインハートは間違っていたのか?」

”数学の歴史を見渡してみると，paradigm shift とかquantum leap などという言
葉でしかよべないような大きな変革の前後では，何が正しいのかが一見して判断できないよ
うな状況が生れていて，一部の例外的な数学力を持った人達だけが，その状況での研究の最
先端で，後で整理してみると正しいことが厳密に説明できるようになる種類の結論を導いて
ゆく，というパターンが見られることがあります．”

（参考）
https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902282/
渕野昌
フチノサカエ (Sakaé FUCHINO)
2018年9月
間違いと真理: 解析学と集合論の場合
数学セミナー
https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902282/attachment_file.pdf

1. ライプニッツは間違っていたのか?

　数学の歴史を見渡してみると，paradigm shift とかquantum leap などという言
葉でしかよべないような大きな変革の前後では，何が正しいのかが一見して判断できないよ
うな状況が生れていて，一部の例外的な数学力を持った人達だけが，その状況での研究の最
先端で，後で整理してみると正しいことが厳密に説明できるようになる種類の結論を導いて
ゆく，というパターンが見られることがあります．そのようなとき，最先端で仕事をしてい
る人には何が正しいかについての確固とした直観があって，後から見て大きな間違いと判定
できるようなミスをすることはほとんどないとしても，研究の前線で何が起っているかを見
定めるだけの力のない人には，正しい議論と間違った議論がほとんど区別できない，という
ような混沌とした状況になってしまうことも少なくありません．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/29(月) 23:35:30.19

>>51
つづき

近代になってからの数学の歴史でも，何が本当に正しいのかが判然としないような枠組
で，何世紀にもわたって，数学理論の研究が進展してゆくという流れが一度ならず起ってい
ます．
17 世紀，18 世紀における解析学(「微分積分学」というような題で大学で講義される科
目の内容を含む数学分野) は，そのような状況の典型的なものの一つ，と言うことができるで
しょう．

例えば，ライプニッツの(1670 年代くらいの頃の) \微分係数" の理解は，変量x を無限
小量1) dx だけ変化させたときの，x の関数(ライプニッツの理解ではx の式として書ける
変量) であるところのy の変化としての無限小量をdy とするとき，それらの比dy
dx のことで
ある，というようなものだったと思われますが2) ，ライプニッツ以降，一世紀以上の間，こ
の「無限小」が数学的に厳密化されることはなく，その直観的な理解だけに頼って解析学が
発展してゆくことになります．このような展開を可能にしたのは，ひとつには，解析学の物
理での応用の華々しい成功がその裏にあって，解析学が，当時の「理論物理学」という\実
験科学" として発展し得たことで，厳密化を先送りすることができたのだろうと思うのです

このような歴史的な発展を経た後では，無限小の概念は，解析学の誕生の際のエピソード
にすぎず，教育的に，「無限小」に言及することがあれば，それは，極限の厳密な扱いについ
て来られるだけの能力のない人のための，poor man's math にすぎない，というような位置
付けがなされることになって現在に至っている，というように理解されることも多いかもし
れません．

この見方で言うと，「ライプニッツの解析学の基礎付けは間違っていた」ということになっ
て，この「間違いから発展した数学」という企画にドンピシャリな記事が書けてしまうこと
になり，私は，あと数ページかけて結末を書けばいいことになるはずですが，真実はそんな
『数セミ』記事の筆者の目論見より奇なり．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/29(月) 23:35:57.24

>>52
つづき

というのは，1960 年代の初めに，アブラハム・ロビンソン(Abraham Robinson, 1918{
1974) が，20 世紀の前半に得られた数理論理学での研究成果を用いると，ライプニッツの無
限小の，厳密な数学的定式化が可能になることを示しているからです．ロビンソンは，彼の
手法をNon-standard Analysis とよびましたが，これは，齋藤正彦先生によって「超準解析」
と日本語訳されています[齋藤1976]．

超準解析を用いると，この全微分可能性が一変数の関数の微分可能性の自然な拡張になっているこ
とが，容易に理解できます．

5. ラインハートは間違っていたのか?

ラインハート(William Reinhardt, 1939{1998) は1960 年代終り
に，V からV への(自明でない) 初等的埋め込みが存在する，という命題を，究極の巨大基
数公理として提案しました．
ところが，この提案からしばらくして，キューネンにより，そのような初等埋め込みの存在
がZFC と矛盾することが証明されてしまったのです．

ラインハートの矛盾する公理の提案，という\間違い" は，数学に，肯定的な意味でも否
定的な意味でも大きな影響を与えたと言えると思います．否定的な影響の一つは，(主に集合
論をあまりよく知らない人たちの) 巨大基数に対する不信感をあおったことでしょうが，肯定
的な影響の方は，この矛盾を避けて，いかにして大きな巨大基数の理論を展開できるか，とい
う挑戦的問題を提起して，研究の進展を促したことでしょう．実はラインハート基数はZFC
とは矛盾することが知られているものの，選択公理を除いたZF と矛盾するかどうかは分っ
ていません．最近ではZF と矛盾しないなら，そのことから何が導けるか，という観点から
の研究もいくつもなされているほどです42) ．

ZF にラインハート基数の存在公理を
付け加えた体系の妥当性の間接証明のようなものが何らかの形で得られないとは限らないの
で，その意味で，ZF に対しては，ラインハートは実は間違っていなかった，という結論が得
られる，というシナリオの可能性もゼロではないかもしれません．

集合論やそれを含む数理論理学は20 世紀の後半以降に爆発的な発展を遂げた(かつ，さ
らに遂げつつある) ので，間違いとそのフォローアップ，として捉えられるような流れも，こ
こで話したこと以外にもたくさん起っています．しかし私の知っている限りでは，そのよう
な場合の間違いのフォローアップは，それが単に間違いの綻び合せになっているのではなく
て，より積極的に次の創造的なステップへの契機となっていることの方が圧倒的に多い，と
いう印象を受けます．
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/08(木) 16:43:14.26

メモ
http://www.is.nagoya-u.ac.jp/dep-ss/phil/kukita/
久木田水生のページ名古屋大
http://www.is.nagoya-u.ac.jp/dep-ss/phil/kukita/others.html
その他
過去の講義ノート
研究会やゼミなどのために作成した資料
http://www.is.nagoya-u.ac.jp/dep-ss/phil/kukita/others/Yonedas_lemma.pdf
米田埋め込みと米田の補題
久木田水生
Cate 研 2011 年 10 月 20 日

米田埋め込みとは，任意の局所小圏 C を C 上の前層 presheaf（Cop から Set への関手圏）に埋め込む関
手である．本稿では関手のいくつかの性質の定義を導入し，米田埋め込みを定義する．そしてそれが実際に埋
め込みになっていることを確認する．米田埋め込みとは直接関係はないが，第 1 節では圏同値の二つの定義を
紹介し，それらの定義が等しいことを確認する．

1 関手の性質と圏同値

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/08(木) 17:15:41.34

メモ
http://alg-d.com/math/kan_extension/
トップ > 数学 > 圏論
圏論
このページについて
※特に断らない限り、圏はlocally smallであると仮定しています。

http://alg-d.com/math/kan_extension/review.html
トップ > 数学 > 圏論 > レビューを書くページ
2020年07月25日更新
レビューを書くページ

通りすがり | 2020年8月 5日 21:22
通りすがりです。

私はKan拡張は随伴である事を極めて強く用いる派ですが、Lan/RanというNotationはセンスが悪いと感じました。おそらくこれはNotationに対する趣味の問題でしょう。私の選好するNotationはKashiwaraと同じ†を使うものです。同書の他のNotationは苦手なのですが。

あと、凄く個人的な趣味なのですが、私は米田埋め込みを「ユニタリ変換」のようなアナロジーでとらえています。なので、†で書きたいのです。このNotationなら米田の補題は別の形ではy†y=Idと書けます。なんかユニタリ行列みたいじゃないですか。こういうアナロジーが結構インスピレーションを刺激してくれるので、この書き方が好きというだけです。Lan/Ranだとそんな感じにならないですよね。

Cisinskiは同じ本を指していますね。ただ、この本は少し階層が違う本ではないでしょうか。Higher Categoryの教科書ですので、圏論の基礎程度の内容はすべて分かっている方が読むはずの本だと思います。個人的には、比較的モデル圏の使用量がマイルドな(∞,1)-圏の導入書としては注目しています。

「圏論の基礎を辞書的に読む」という方は結構いるのですが、私は謎めいた主張だと思います。何故ならば本当に基礎的な内容しか書いていないからです。これはこの本が書かれた1970年代レベルの圏論と比較しても、かなりElementaryな内容しか書かれていないものです。かといってAbel圏や加法圏の内容が専門的に詳しい訳でもないので、この本を辞書的に用いるユーザー層は正直言って分かりません。

幸いにして具体例が豊富にありますので、それを一つ一つちゃんとフォローしていけば、学部1-2年生でも読めるはずです。

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 09:03:06.97

Galois connectionを、「ガロア接続」と訳しているけど、ガロア関係くらいの方が分かりやすくね？
なんか、ソフトウェア分野では、「随伴（ガロア接続）」なんて使われているのかｗ（＾＾；

https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_connection
Galois connection

Antitone Galois connections
Galois theory
The motivating example comes from Galois theory: suppose L/K is a field extension. Let A be the set of all subfields of L that contain K, ordered by inclusion ⊆. If E is such a subfield, write Gal(L/E) for the group of field automorphisms of L that hold E fixed. Let B be the set of subgroups of Gal(L/K), ordered by inclusion ⊆. For such a subgroup G, define Fix(G) to be the field consisting of all elements of L that are held fixed by all elements of G. Then the maps E → Gal(L/E) and G → Fix(G) form an antitone Galois connection.

7 Connection to category theory
8 Applications in the theory of programming

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E6%8E%A5%E7%B6%9A
ガロア接続

https://www.jstage.jst.go.jp/article/jssstconference/2003/0/2003_0_51/_pdf
日本ソフトウェア科学会第 20 回大会（2003 年度）論文集 1
抽象解釈にみられる圏論的構成について
木下佳樹　　　西澤弘毅
† 東京大学情報理工学系研究科コンピュータ科学専攻
完備束と随伴

本稿は以下のように構成する．第 2 節では完備束
および随伴（ガロア接続）に関する用語を確定し，後
に使う基本的な事実を列挙する．

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 09:07:57.49

「A 'killer application' is etale cohomology.」だって

https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_topos_theory
History of topos theory

Contents
1 In the school of Grothendieck
2 From pure category theory to categorical logic
3 Position of topos theory
4 Summary

In the school of Grothendieck
During the latter part of the 1950s, the foundations of algebraic geometry were being rewritten; and it is here that the origins of the topos concept are to be found. At that time the Weil conjectures were an outstanding motivation to research. As we now know, the route towards their proof, and other advances, lay in the construction of etale cohomology.

Summary
The topos concept arose in algebraic geometry, as a consequence of combining the concept of sheaf and closure under categorical operations. It plays a certain definite role in cohomology theories. A 'killer application' is etale cohomology.

The subsequent developments associated with logic are more interdisciplinary. They include examples drawing on homotopy theory (classifying toposes). They involve links between category theory and mathematical logic, and also (as a high-level, organisational discussion) between category theory and theoretical computer science based on type theory. Granted the general view of Saunders Mac Lane about ubiquity of concepts, this gives them a definite status. The use of toposes as unifying bridges in mathematics has been pioneered by Olivia Caramello in her 2017 book.[1]

References
Caramello, Olivia (2017). Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic `bridges. Oxford University Press. doi:10.1093/oso/9780198758914.001.0001. ISBN 9780198758914.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 09:11:58.29

Category Theory Brief Historical Sketch

https://plato.stanford.edu/entries/category-theory/
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Category Theory
First published Fri Dec 6, 1996; substantive revision Thu Aug 29, 2019

1. General Definitions, Examples and Applications
1.1 Definitions
1.2 Examples
1.3 Fundamental Concepts of the Theory
2. Brief Historical Sketch
3. Philosophical Significance
Bibliography
Academic Tools
Other Internet Resources
Related Entries

2. Brief Historical Sketch
It is difficult to do justice to the short but intricate history of the field. In particular it is not possible to mention all those who have contributed to its rapid development. With this word of caution out of the way, we will look at some of the main historical threads.

Categories, functors, natural transformations, limits and colimits appeared almost out of nowhere in a paper by Eilenberg & Mac?Lane (1945) entitled “General Theory of Natural Equivalences.” We say “almost,” because their earlier paper (1942) contains specific functors and natural transformations at work, limited to groups. A desire to clarify and abstract their 1942 results led Eilenberg & Mac?Lane to devise category theory. The central notion at the time, as their title indicates, was that of natural transformation. In order to give a general definition of the latter, they defined functor, borrowing the term from Carnap, and in order to define functor, they borrowed the word ‘category’ from the philosophy of Aristotle, Kant, and C. S. Peirce, but redefining it mathematically.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 11:36:08.97

メモ下記誘（いざな）い　《拡大版》なかなか良いね
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
望月出張講演
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(kakudaiban).pdf
望月出張講演
[13] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　《拡大版》（東京大学 2013年06月） PDF

P12
実は、先ほどの IUTeich の議論は上半平面上の古典的なテータ関数
θ(t) = Σe^(-πn^2t)
に対するヤコビの変換式
(t) = t^-1/2・θ(1/t)
(=ある意味、先ほど出てきたガウス積分の計算の関数版と見做せる!)と、様々な側面において非常によく似ている(下表を参照)!

{q^j^2} j=1, ...,l テータ関数のガウス分布型展開

Log-link による +,x の回転に対する絶対遠アーベル幾何の適用

回転 ← → t→1/t 即ち ∞→ 0 への解析接続

過去の論文のレベルでいうと、絶対遠アーベル幾何やエタール・テータ関数の様々な剛性性質に関する
・ Semi-graphs of Anabelioids
・ The Etale Theta Function ...
・ The Geometry of Frobenioids I, II
・ Topics in Absolute Anab. Geo. III
の結果や理論を適用することによって主定理を帰結する:
主定理: θ-link の左辺に対して、軽微な不定性を除いて、右辺の「異質」な環構造しか用いない言葉により、明示的なアルゴリズムによる記述を与えることができる。

P14
ポイント:
・Gun OX のコア性(coricity)!
・二種類の数学的対象を関連付ける、様々な形の「Kummer 理論」

(93後半の解説を参照):
抽象的なモノイド = Frobenius 型の対象
数論的基本群・ガロア群 = etale 型の対象
ここで、ガウス積分の計算との類似を思い出そう:

log-, θ-link や対数・テータ格子の定義← → デカルト座標
絶対遠アーベル幾何を用いたアルゴリズムによる記述く→極座標
円分物 ((1)) の確保=剛性が肝心! ← → S' による座標変換
・「log-shell」=「入れ物」log(-)への作用

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 11:58:52.00

>>59
P14（追加引用）
絶対遠アーベル幾何を用いたアルゴリズムによる記述く←→極座標
円分物 (＝～Z(1)) の確保=剛性が肝心! ← → S^1 による座標変換
・「log-shell」=「入れ物」log(-)への作用
log(Oxk) ← {q^j^2} j=1, ...,l
を実現するためには、Log-link の活用が必要不可欠である。
... 一方、対数・テータ格子の非可換性によって様々な困難が生じる。
→ 後の「体積計算」では、(等式ではなく!) 不等式しか出ない!
主定理のアルゴリズムの出力に対して、体積計算を行うと、
§1 で解説したように次のような帰結が得られる。
系:「Szpiro 予想」(←→「ABC 予想」)。
先ほどの議論は、§3 の最後に解説したヤコビの変換式との類似で考えると、様々な類似点が浮かび上がる:
(引用終り)

素人の推定だが
楕円曲線を抽象化して、「log-shell」=「入れ物」log(-)
に入れて、
log(Oxk) ← {q^j^2} j=1, ...,l
を実現するために、Log-link の活用を活用すると
様々なqに対する楕円曲線の特性（コピー）が得られる

それらを集めて（積分）すると
「体積計算」では、(等式ではなく!) 不等式しか出ない
けれど、
”系:「Szpiro 予想」(←→「ABC 予想」)”が得られる
ってことかな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 12:30:39.04

当時のフェルマーが大定理の証明をできてたなんて誰も思ってないけど
大定理を巡って数論が大きく発展したのは事実で、フェルマーはやはり偉大な数学者である
望月先生もその辺りに落ち着くんだろうな

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 12:40:11.57

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/IUT-references.html
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~bcollas/IUT/documents/RIMS-Lille%20-%20Promenade%20in%20Inter-Universal%20Teichm%C3%BCller%20Theory.pdf
PROMENADE IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY - 復元 Version 1 - ε - 03/09/2021
>LCF, coricity & Mono-theta Environments

(多分下記)LCF：by Joshua Lederberg, and extended by H. S. M. Coxeter and Robert Frucht

https://en.wikipedia.org/wiki/LCF_notation
LCF notation

In combinatorial mathematics, LCF notation or LCF code is a notation devised by Joshua Lederberg, and extended by H. S. M. Coxeter and Robert Frucht, for the representation of cubic graphs that contain a Hamiltonian cycle.[2][3] The cycle itself includes two out of the three adjacencies for each vertex, and the LCF notation specifies how far along the cycle each vertex's third neighbor is. A single graph may have multiple different representations in LCF notation.

Contents
1 Description
2 Applications
3 Examples
4 Extended LCF notation

https://mathworld.wolfram.com/LCFNotation.html
LCF Notation Wolfram

LCF notation is a concise and convenient notation devised by Joshua Lederberg (winner of the 1958 Nobel Prize in Physiology and Medicine) for the representation of cubic Hamiltonian graphs (Lederberg 1965). The notation was subsequently modified by Frucht (1976) and Coxeter et al. (1981), and hence was dubbed "LCF notation" by Frucht (1976). Pegg (2003) used the notation to describe many of the cubic symmetric graphs. The notation only applies to Hamiltonian graphs, since it achieves its symmetry and conciseness by placing a Hamiltonian cycle in a circular embedding and then connecting specified pairs of nodes with edges.

https://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/FruchtNotation_600.gif

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 16:09:36.13

フェルマーは予想者、もっちーは証明者
証明が正しくなければ何も残らない

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 20:12:32.14

>>61
＞望月先生もその辺りに落ち着くんだろうな

そうですね
そこらは、今年の4回の国際会議を経て
見えてくると思います

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 23:08:22.79

メモ（これ面白い）
https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics
Timeline of category theory and related mathematics

Contents
1 Timeline to 1945: before the definitions
2 1945?1970
3 1971?1980
4 1981?1990
5 1991?2000
6 2001?present
7 See also

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/10(土) 23:22:16.42

メモ
Categorical logic - higher-order logics
https://en.wikipedia.org/wiki/Categorical_logic
Categorical logic

Internal languages
This can be seen as a formalization and generalization of proof by diagram chasing. One defines a suitable internal language naming relevant constituents of a category, and then applies categorical semantics to turn assertions in a logic over the internal language into corresponding categorical statements. This has been most successful in the theory of toposes, where the internal language of a topos together with the semantics of intuitionistic higher-order logic in a topos enables one to reason about the objects and morphisms of a topos "as if they were sets and functions".

Further reading
Lambek, J. and Scott, P. J., 1986. Introduction to Higher Order Categorical Logic. Fairly accessible introduction, but somewhat dated. The categorical approach to higher-order logics over polymorphic and dependent types was developed largely after this book was published.
Jacobs, Bart (1999). Categorical Logic and Type Theory. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 141. North Holland, Elsevier. ISBN 0-444-50170-3. A comprehensive monograph written by a computer scientist; it covers both first-order and higher-order logics, and also polymorphic and dependent types. The focus is on fibred category as universal tool in categorical logic, which is necessary in dealing with polymorphic and dependent types.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 00:00:34.67

メモ
”He and others went on to show that higher order logic was beautifully captured in the setting of category theory (more specifically toposes).”
https://math.mit.edu/~dspivak/
David Spivak
Research Scientist
Department of Mathematics
MIT
https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/#
Category Theory for Scientists MIT OpenCourseWare, Massachusetts Institute of Technology
https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s996-category-theory-for-scientists-spring-2013/textbook/
Category Theory for Scientists
Textbook
https://math.mit.edu/~dspivak/CT4S.pdf
Category Theory for Scientists
(Old Version)
David I. Spivak
September 17, 2013

P10
Bill Lawvere saw category theory as a new foundation for all mathematical thought.
Mathematicians had been searching for foundations in the 19th century and were reasonably satisfied with set theory as the foundation. But Lawvere showed that the category
of sets is simply a category with certain nice properties, not necessarily the center of
the mathematical universe. He explained how whole algebraic theories can be viewed
as examples of a single system. He and others went on to show that higher order logic
was beautifully captured in the setting of category theory (more specifically toposes).
It is here also that Grothendieck and his school worked out major results in algebraic
geometry.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 12:37:55.08

メモ（これ、結構いいかも）

https://twitter.com/math_jin
math_jinさんがリツイート
京大軽音オリエンテーション
@kulmcorient
3月14日
#数理解析研究所
↓
■ 数学入門講座 2012
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」
望月新一（京都大学数理解析研究所）
http://kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H24-mochizuki.pdf
（pdf、全22頁）

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/special-01.back.html
数理研数学入門公開講座　バックナンバー（講義ノート）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H24-mochizuki.pdf
2012年7月30日-8月2日（第34回）演題及び講師
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」望月新一

有理数体Ｑのような「数体」と、複数のドーナツの表面を合体させたような形をしたコンパクトな「位相曲面」は一見して全く異質な数学的対象であり、初等的な可換環論、つまり、「加減乗除」が可能な数学的対象としての構造の理論から見ても直接的に関連付けることは難しい。しかし数体の拡大体の対称性を記述する「絶対ガロア群」と、コンパクトな位相曲面の有限次の被覆の対称性を統制する「副有限基本群」を通して両者を改めて眺めてみると、「二次元的な群論的絡まり合い」という形で大変に興味深い構造的な類似性が浮かび上がってくる。本講義では様々な側面におけるこの種の類似性に焦点を当てながら、数体と位相曲面の基礎的な理論について解説する。
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 14:33:04.05

これ面白い（理解してるとは言ってない）
これ、結構いいかも（理解してるとは言ってない）

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 16:43:03.61

メモ

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talks.html
星裕一郎
講演

宇宙際 Teichmuller 理論入門 I～III
代数的整数論とその周辺 2015,
京都大学数理解析研究所,
2015.11.30-2015.12.4.
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20151201.pdf
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20151201_appendix.pdf
宇宙際 Teichmuller 理論入門 I (講演スライド; 付録),

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20151202.pdf
宇宙際 Teichmuller 理論入門 II (講演スライド),

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20151203.pdf
宇宙際 Teichmuller 理論入門 III (講演スライド),

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 16:46:14.43

>>69
ありがとう
下記10人に入っていないことは、確かだ

https://twitter.com/math_jin
math_jinさんがリツイート
石倉徹也 Tetsuya ISHIKURA
@i_tetsuya137
4月3日
返信先:
@ryomakom
さん
望月さんによると理解者は10人。それ以外は懐疑派と傍観者ですから、記事が否定的になるのは仕方ないですかね

頑張って理解したものだけが理論の凄さをわかるという、信じるものは救われる的な要素がある宇宙際理論ゆえに、理解者が増えないのでしょう

強力な使徒が必要かと
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/11(日) 16:47:12.66

>>71
補足

もっとも、10人と言っていたのは、何年も前のこと
いま、100人くらいに増えてて居ると思うよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:13:16.93

メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Categorification
Categorification

In mathematics, categorification is the process of replacing set-theoretic theorems with category-theoretic analogues. Categorification, when done successfully, replaces sets with categories, functions with functors, and equations with natural isomorphisms of functors satisfying additional properties. The term was coined by Louis Crane.

The reverse of categorification is the process of decategorification. Decategorification is a systematic process by which isomorphic objects in a category are identified as equal. Whereas decategorification is a straightforward process, categorification is usually much less straightforward. In the representation theory of Lie algebras, modules over specific algebras are the principle objects of study, and there are several frameworks for what a categorification of such a module should be, e.g., so called (weak) abelian categorifications.[1]

Categorification and decategorification are not precise mathematical procedures, but rather a class of possible analogues. They are used in a similar way to the words like 'generalization', and not like 'sheafification'.[2]

Contents
1 Examples of categorification
2 Abelian categorifications
3 See also

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:13:42.66

>>73
つづき

Examples of categorification
One form of categorification takes a structure described in terms of sets, and interprets the sets as isomorphism classes of objects in a category. For example, the set of natural numbers can be seen as the set of cardinalities of finite sets (and any two sets with the same cardinality are isomorphic). In this case, operations on the set of natural numbers, such as addition and multiplication, can be seen as carrying information about products and coproducts of the category of finite sets. Less abstractly, the idea here is that manipulating sets of actual objects, and taking coproducts (combining two sets in a union) or products (building arrays of things to keep track of large numbers of them) came first. Later, the concrete structure of sets was abstracted away - taken "only up to isomorphism", to produce the abstract theory of arithmetic. This is a "decategorification" - categorification reverses this step.

Other examples include homology theories in topology. Emmy Noether gave the modern formulation of homology as the rank of certain free abelian groups by categorifying the notion of a Betti number.[3] See also Khovanov homology as a knot invariant in knot theory.

An example in finite group theory is that the ring of symmetric functions is categorified by the category of representations of the symmetric group. The decategorification map sends the Specht module indexed by partition {\displaystyle \lambda }\lambda to the Schur function indexed by the same partition,
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:25:20.81

メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Gluing_axiom
Gluing axiom

In mathematics, the gluing axiom is introduced to define what a sheaf {F} on a topological space X must satisfy, given that it is a presheaf, which is by definition a contravariant functor
{F}: {O}(X)→ C
to a category C}C which initially one takes to be the category of sets. Here {O}(X) is the partial order of open sets of X ordered by inclusion maps; and considered as a category in the standard way, with a unique morphism
U→ V
if U is a subset of V}V, and none otherwise.

As phrased in the sheaf article, there is a certain axiom that F must satisfy, for any open cover of an open set of X. For example, given open sets U and V with union X and intersection W, the required condition is that
{F}(X) is the subset of {F}(U) ｘ {F}(V) With equal image in {F}(W)
In less formal language, a section s}s of F}F over X}X is equally well given by a pair of sections :(s',s'') on U and V respectively, which 'agree' in the sense that s' and s''have a common image in {F}(W) under the respective restriction maps
{F}(U)→ {F}(W)
and
{F}(V)→ {F}.
The first major hurdle in sheaf theory is to see that this gluing or patching axiom is a correct abstraction from the usual idea in geometric situations. For example, a vector field is a section of a tangent bundle on a smooth manifold; this says that a vector field on the union of two open sets is (no more and no less than) vector fields on the two sets that agree where they overlap.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:25:46.73

>>75
つづき

Given this basic understanding, there are further issues in the theory, and some will be addressed here. A different direction is that of the Grothendieck topology, and yet another is the logical status of 'local existence' (see Kripke?Joyal semantics).

Sheafification
To turn a given presheaf {P} into a sheaf {F}, there is a standard device called sheafification or sheaving. The rough intuition of what one should do, at least for a presheaf of sets, is to introduce an equivalence relation, which makes equivalent data given by different covers on the overlaps by refining the covers. One approach is therefore to go to the stalks and recover the sheaf space of the best possible sheaf {F} produced from {P}.

This use of language strongly suggests that we are dealing here with adjoint functors. Therefore, it makes sense to observe that the sheaves on X form a full subcategory of the presheaves on X. Implicit in that is the statement that a morphism of sheaves is nothing more than a natural transformation of the sheaves, considered as functors. Therefore, we get an abstract characterisation of sheafification as left adjoint to the inclusion. In some applications, naturally, one does need a description.

In more abstract language, the sheaves on X}X form a reflective subcategory of the presheaves (Mac Lane?Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic p. 86). In topos theory, for a Lawvere?Tierney topology and its sheaves, there is an analogous result (ibid. p. 227).
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:33:45.32

>>74
>Other examples include homology theories in topology. Emmy Noether gave the modern formulation of homology as the rank of certain free abelian groups by categorifying the notion of a Betti number.[3] See also Khovanov homology as a knot invariant in knot theory.

追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%90%E3%83%8E%E3%83%95%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
コバノフホモロジー(英: Khovanov homology)は、鎖複体のホモロジーとしてできる向きづけられた結び目の不変量である。コバノフホモロジーはジョーンズ多項式のカテゴリ化（英語版）として考えられる。

コバノフホモロジーは1990年代の終わりに、ミハイル・コバノフ（英語版）(Mikhail Khovanov)により導入された。彼は当時はカリフォルニア大学デービス校に在籍しており、現在はコロンビア大学に所属している。

目次
1 概要
2 定義
3 関連する理論
4 結び目（絡み目）多項式との関係
5 応用

概要
結び目もしくは絡み目 L を表現する図形 D に、コバノフ括弧 [D]、これは次数付きベクトル空間の鎖複体、を割り当てる。すると、ジョーンズ多項式の構成の中でのカウフマン括弧の類似物となる。次に、[D] を（次数付きベクトル空間の中の）一連の次数シフトと（鎖複体の中の）高さシフトにより正規化して、新しい複体 C(D) を得る。この複体のホモロジーは L の不変量であることが分かり、その次数付きオイラー標数は L のジョーンズ多項式であることが分かる。

https://en.wikipedia.org/wiki/Khovanov_homology
Khovanov homology

Contents
1 Overview
2 Definition
3 Related theories
4 The relation to link (knot) polynomials
5 Applications

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:40:30.82

>>75
追加

https://mathoverflow.net/questions/4841/what-precisely-is-categorification#
mathoverflow
What precisely Is “Categorification”?
asked Nov 10 '09 at 11:22
Gil Kalai

anser 45
One way to think of categorification is that it's a generalization of enumerative combinatorics. When a combinatorialist sees a complicated formula that turns out to be positive they think "aha! this must be counting the size of some set!" and when they see an equality of two different positive formulas they think "aha! there must be a bijection explaining this equality!" This is a special case of categorification, because when you decategorify a set you just get a number and when you decategorify a bijection you just get an equality. As a combinatorialist I'm sure you can come up with some examples that nicely illustrate how this sort of categorification is not totally well-defined. ("What exactly do Catalan numbers count?" has many answers rather than a single right answer.)

A more sophisticated kind of categorification in combinatorics is "Combinatorial Species" which categorify power series with positive coefficients.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 07:42:49.45

>>78
追加

https://ncatlab.org/nlab/show/vertical+categorification
vertical categorification

Contents
1. Idea
2. Variants
As a section of decategorification
Examples
As internalization in nCat
Examples
As homotopy coherent resolution
Examples
3. Contrast to horizontal categorification
4. Homotopification versus laxification
5. Related entries
6. References

1. Idea

Roughly speaking, vertical categorification is a procedure in which structures are generalized from the context of set theory to category theory or from category theory to higher category theory.

What precisely that means may depend on circumstances and authors, to some extent. The following lists some common procedures that are known as categorification. They are in general different but may in cases lead to the same categorified notions, as discussed in the examples.

See also categorification in representation theory.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 11:28:58.79

>>78
＞One way to think of categorification is that it's a generalization of enumerative combinatorics. When a combinatorialist sees a complicated formula that turns out to be positive they think "aha! this must be counting the size of some set!" and when they see an equality of two different positive formulas they think "aha! there must be a bijection explaining this equality!"
＞A more sophisticated kind of categorification in combinatorics is "Combinatorial Species" which categorify power series with positive coefficients.

・IUTは、何らかの手段で、楕円曲線（又はそれが入っている空間（宇宙））を圏論化する
　anabelioid など？
・そうすると、見えてくるものがあるのです
・特に、enumerative combinatorics、 "Combinatorial Species" を使うのが、スジ（筋）かな
・そして、そこには不定性があり、不等式が出る！！

のかな？？（＾＾
早く、学部ないし修士レベルの解説を書く段階にならないかな？
（今は、プロ研究者用解説の段階でしょうね）

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-japanese.html
望月過去と現在
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20ni%20tsuite%20no%20FAQ.pdf
1 “宇宙際”についてのFAQ.1 (これは今後書く予定のサーベイとは関係ありません.)
注）1(株) 豊田中央研究所　山下剛

Q1. 宇宙を取り替える, って数学基礎論的・論理学的に非自明な操作をしているの？

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 11:29:39.06

>>80
つづき

Q2. じゃあ, 宇宙を取り替えるってどういう意味？
A2. 宇宙際 Teichm¨uller 理論では, 環構造そのものを変形します. スキーム論とは環論だと思う
と, by definition でスキーム論が通用しない局面がしばしば出てくるということです. 一方のス
キーム論での操作や基点などを他方のスキーム論にもちこむことはできません. 一方での恣意
的なラベル付けが他方では通用しない, それは “宇宙を取り替える” ということではないか, と
いう意味で使っています. 厳密な意味での Grothendieck 宇宙を取り替えると考えてもいいです
し, 数学基礎論的に厳密な観点からはあくまで 1 つの Grothendieck 宇宙の中で考えてその中に
別々にスキーム論があって, それを取り替えることを “宇宙を取り替える” という言葉で表現し
ていると考えてもいいです. また, その新しい幾何学ではそこから生じる不定性を統制する・剛
性 (rigidity) で抑える・(1 の冪根の p 進 log をとると 0 になる等の) 適当な操作で消す・(不定性
のため像がはっきりしないがある入れ物には入っていることは分かるなどにより) 見積もること
などや, ある不定性と他の不定性が連動している (synchronize) ことを用いることなどが大事に
なってきます. それにはそもそも不定性の存在に気付かないといけないわけですが, 不定性の存
在を明確に意識するのにも役に立つ考え方です. “その新しい幾何学” と書きましたが, 従来の
幾何学では (多項式写像であれ連続写像であれ可微分写像であれ) 環構造と整合的な射 (環付き
トポスの射) を考えるのが幾何学であるという視点に立つならば, それは幾何学という枠組みす
ら超えているかもしれません.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 11:30:12.15

>>81
つづき

Q3. たくさん宇宙を取り替るとしても, もともとそれらをすべて含むような宇宙をとってきてそ
の宇宙で議論をすれば, 宇宙を取り替える必要はないんじゃないの？

Q4. よく分かんない. 分かりやすいおもちゃ的な例を挙げて欲しい
A4. 別のたとえをしますと, R 上の (適当な) 関数 f(x) とその Fourier 変換 ˆf(ξ) の変数 x, ξ が
住んでいる定義域は同じ R と考えることもできますが, “本当は” その住んでいる場所って違い
ますよね. そういう感覚に近いです. 上半平面の ∞ カスプと 0 カスプと取り替える座標変換
z 7→ －1
z も, どこを基点に座標を考えているのかを替える (ラベル付けを替える)“宇宙替え” の
おもちゃ版とみなせます. この Fourier 変換と座標変換の 2 つの例は, テータ関数 (あるいは一
般に保型性をもつ関数) の関数等式 θ(t) = √1tθ(1t)
の視点では同じことを言っているにすぎませ
ん. また, A3 で “各スキーム論が局所的にあり宇宙を取り替えて別のスキーム論に移ると考え
る方が自然です” と答えました. “座標変換を宇宙替え (のおもちゃ版) と見なす” という上で挙
げた例は, その意味でも (可微分) 多様体を大きな Euclid 空間の部分集合と見るのではなく局所
的なものを座標変換で貼り合せたものと見る見方と類似的です.
同一視はできても本来的起源が違う対象を別のものと思うsensitiveな感覚が宇宙際Teichm¨uller
理論では大事になってきます. R
2 に異なる 2 つの正則構造を入れると, どちらも C で同じもの
です. 正則構造のみしか見えない視点では両者をつなげることはできませんが, 下部構造の R2
を考えると非正則なつながり方が見えてそのズレを計ることができる, ということと類似のこ
とを宇宙際 Teichm¨uller 理論ではします. つまり, 数体の数論的正則構造 (=環構造) を非スキー
ム論的に変形し, 変形前と変形後は環としては同じものですが, スキーム論だけでは見えないそ
のつながり方を mono-analytic な視点を導入して見えるようにしてズレを計算する, ということ
をします. 宇宙際 Teichm¨uller 理論ではそのようにある 1 つの数論的正則構造の視点でのみ意味
をもつ性質を uniradial と呼び, 他の数論的正則構造たちとも共通する性質を coric と呼び, あ
る数論的正則構造の視点で別の数論的正則構造たちを記述できる性質を multiradial と呼んで
います.

Q5. abc 予想の証明に宇宙を取り替える必要って本当にあるの？

注 3: 2013 年 4 月現在, 宇宙際 Teichm¨uller 理論の論文は詳細の点検中にあります. 上記文章は
2013 年 4 月現在においてその理論の正しさの主張や保証をするものではありません.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 11:32:01.66

>下記10人に入っていないことは、確かだ
自惚れるのもいい加減にしろ
大学1年4月の課程さえちんぷんかんぷんの馬鹿が

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:05:57.77

これ、良くまとまっている
http://blog.livedoor.jp/abc_conjecture/archives/44597227.html
【数学】ABC予想ニュース【最新情報】
2018年01月24日
宇宙際タイヒミュラー理論のまとめWiki
(2018.1.24更新)

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:31:12.16

>>83
ほいよ
お前下記でも読んでみなｗ

John Carlos Baez / Azimuthは、ちょっと大物かも
David Roberts は、三流だと思うが

https://johncarlosbaez.wordpress.com/about/
About
Hello! This is the official blog of the Azimuth Project.
You can read about many things here: from math to physics to earth science and biology, computer science and the technologies of today and tomorrow—but in general, centered around the theme of what scientists, engineers and programmers can do to help save a planet in crisis.

https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/10/13/category-theory-course/
Azimuth
Category Theory Course
I’m teaching a course on category theory at U.C. Riverside, and since my website is still suffering from reduced functionality I’ll put the course notes here for now. I taught an introductory course on category theory in 2016, but this one is a bit more advanced.

David Roberts says:
14 October, 2018 at 10:09 pm
Amusingly, that example on the first page on lecture one about fd vector spaces having skeleton the standard R^ns is one that Mochizuki (and Go Yamashita, acting as a proxy) claim shouldn’t do! See eg the bottom of page 2 in this FAQ by Yamashita http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/FAQ%20on%20IUTeich.pdf namely the dialogue in A4. Odd…

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:32:05.64

>>85
つづき

Reply
Todd Trimble says:
15 October, 2018 at 12:00 am
I’m somewhat sympathetic to the sentiment that working with a skeleton can be occasionally confusing. Mainly because it can cause one to “see” things which are not actually there! One of my favorite examples is the conceptual distinction between linear orderings of the set \{1, 2, \ldots, n\} and permutations thereon. Because it’s hard not to notice the usual ordering there, it’s very tempting to conflate the two — an urge which goes away when one works not with this skeleton of finite sets, but finite sets more generally, where the distinction becomes totally clear. I gather that Mochizuki (or Yamashita) is driving at something similar.

Reply
David Roberts says:
15 October, 2018 at 11:04 am
I agree that blind reduction to the skeleton is not the way to do things, but I have taught first-year linear algebra a number of times, and our course uses exclusively the skeleton :-). Not to mention in physics, where everything is R^3 or R^4, and one just makes sure the not-standard basis is explicit.

https://en.wikipedia.org/wiki/John_C._Baez
John Carlos Baez (/ˈbaɪɛz/; born June 12, 1961) is an American mathematical physicist and a professor of mathematics at the University of California, Riverside (UCR)[2] in Riverside, California. He has worked on spin foams in loop quantum gravity, applications of higher categories to physics, and applied category theory.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/John_Baez%2C_physicist_%282009%29.jpg

Blogs
Baez runs the blog "Azimuth", where he writes about a variety of topics ranging from This Week's Finds in Mathematical Physics to the current focus, combating climate change and various other environmental issues.[11]
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:45:16.37

>>85
>ほいよ
>お前下記でも読んでみなｗ

あんた
読めないんだろ？ｗ（＾＾
だったら、同じじゃんか！！ｗｗ（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/12(月) 17:53:22.02

>>85
>http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/FAQ%20on%20IUTeich.pdf namely the dialogue in A4. Odd…
（追加）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/FAQ%20on%20IUTeich.pdf
(上記URLと下記URLは同じ内容だが、下記の方が文字化けがないのでいいね)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/DOCUMENTS/IUfaq_en2.pdf
FAQ on Inter-universal Teichmüller Theory
By Go Yamashita, RIMS, Kyoto University.
September 2018

Q8. Can you give examples of further research or results that arose from inter-universal Teichmüller theory?
A8. I myself am interested in pursuing the possibility of applying various ideas that appear in
inter-universal Teichmüller theory to the study of the Riemann zeta function. At the present

time, I have obtained some interesting observations, but no substantive results. Hoshi is studying an application of inter-universal Teichmüller theory to the birational section conjecture
in birational anabelian geometry, while Porowski and Minamide are studying numerical improvements of certain height inequalities in inter-universal Teichmüller theory. I also hear that
Dimitrov is studying the possibility of applying inter-universal Teichmüller theory to the study
of Siegel-zeroes.
References
[pGC] S. Mochizuki, The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves. Invent. Math. 138 (1999), p.319423.
[EtTh] S. Mochizuki, The Étale Theta Function and its Frobenioid-theoretic Manifestations. Publ. Res.
Inst. Math. Sci. 45 (2009), p.227349.
[AbsTopII] S. Mochizuki, Topics in Absolute Anabelian Geometry II: Decomposition Groups. J. Math. Sci.
Univ. Tokyo 20 (2013), p.171269.
[AbsTopIII] S. Mochizuki, Topics in Absolute Anabelian Geometry III: Global Reconstruction Algorithms. J.
Math. Sci. Univ. Tokyo 22 (2015), p.9391156.
[FAQ] G. Yamashita, FAQ on Inter-Universality, an informal note available at
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/research-english.html
[Y] G. Yamashita, A proof of the abc conjecture after Mochizuki, preprint available at
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~gokun/myworks.html

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/14(水) 21:50:00.36

>>80

圏論化
https://talk.hyuki.net/04/
圏論と学びをめぐる往復書簡
No.04
圏論と通常の数学
土岡俊介→結城浩
2020-01-14

圏論化
三つ目は、やや専門的な話になりますが、通常の数学の対象（集合論的対象）の圏論版を考えることが重要であることが知られていて、圏論化（categorification）と呼ばれています。そして、定理の主張に圏は登場しないものの、圏論化の手法でしか証明が知られていない通常の数学の定理があり、数学の深い結果とされます（ここでは紹介できませんが）。

圏論化の例として、アーベル圏（いくつかの性質や構造をもつ圏のこと）は線型空間の圏論版（の一つ）と思うことができます。

圏論化の文脈では、もはや圏論は「多様な数学的対象や数学的事実に対して抽象度が高く統一的な表現を与える」言語というよりは、「特定の数学の定理の証明を行うための素材」または「特定の数学の定理の本質をあぶり出すための概念装置」となっています。数学では、（フェルマーの定理のような）小学生でもわかる自然数の特定の性質を証明するために、さまざまな概念を導入しますが、それと変わらない営みだと言ってよいでしょう。齋藤恭司さんが、監修者まえがきで「何ゆえに圏という概念を導入する必然性があるのか、当時の私には不明であった」への答えとして挙げられている例も、この視点に通じるものがあると思います。あるいは『連接層の導来圏に関わる諸問題』（戸田幸伸、数学書房）を眺めてみると、さらに雰囲気を垣間見られるかもしれません。

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/14(水) 21:58:09.78

>>85
>John Carlos Baez / Azimuthは、ちょっと大物かも
>David Roberts は、三流だと思うが

John Carlos Baezは、一流ですね（下記）
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics
Timeline of category theory and related mathematics

1995 John Baez-James Dolan Opetopic sets (opetopes) based on operads. Weak n-categories are n-opetopic sets.
1995 John Baez-James Dolan Introduced the periodic table of mathematics which identifies k-tuply monoidal n-categories. It mirrors the table of homotopy groups of the spheres.
1995 John Baez?James Dolan Outlined a program in which n-dimensional TQFTs are described as n-category representations.
1995 John Baez?James Dolan Proposed n-dimensional deformation quantization.
1995 John Baez?James Dolan Tangle hypothesis: The n-category of framed n-tangles in n + k dimensions is (n + k)-equivalent to the free weak k-tuply monoidal n-category with duals on one object.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/14(水) 21:58:39.03

>>90
つづき

1995 John Baez-James Dolan Cobordism hypothesis (Extended TQFT hypothesis I): The n-category of which n-dimensional extended TQFTs are representations, nCob, is the free stable weak n-category with duals on one object.
1995 John Baez-James Dolan Stabilization hypothesis: After suspending a weak n-category n + 2 times, further suspensions have no essential effect. The suspension functor S: nCatk→nCatk+1 is an equivalence of categories for k = n + 2.
1995 John Baez-James Dolan Extended TQFT hypothesis II: An n-dimensional unitary extended TQFT is a weak n-functor, preserving all levels of duality, from the free stable weak n-category with duals on one object to nHilb.

https://en.wikipedia.org/wiki/John_C._Baez
John Carlos Baez (/?ba??z/; born June 12, 1961) is an American mathematical physicist and a professor of mathematics at the University of California, Riverside (UCR)[2] in Riverside, California. He has worked on spin foams in loop quantum gravity, applications of higher categories to physics, and applied category theory.

Baez is also the author of This Week's Finds in Mathematical Physics,[3] an irregular column on the internet featuring mathematical exposition and criticism.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/14(水) 23:28:54.47

>>89
圏論化

https://mathsoc.jp/publication/tushin/bookreview.html
TOP Page > 日本数学会の出版物 > 数学通信 > 総目次「書評」
21 巻(2016 年度)
圏論の歩き方委員会　編：圏論の歩き方
評者:安田　健彦, 掲載巻号:21(1) pp.103-
https://mathsoc.jp/publication/tushin/2101/2101yasuda.pdf
書　　評
圏論の歩き方
圏論の歩き方委員会　編集，日本評論社，2015 年
大阪大学大学院理学研究科
安田　健彦

第 14 章「表現論と圏論化」（著：土岡俊介）は，私の専門分野に少し関連していて個人的に
興味を持った．ここでは表現論における圏論化を論じている．圏論化とは例えば，ある種の
整数をあるベクトル空間の次元と解釈し，二つの整数間の等式をベクトル空間の間の同型射
から導くというぐあいに，ある数学的対象（数や等式）を，より豊かな圏での対応物（ベクト
ル空間や同型射）の「影」と見なすこと，またそのような圏を構成することだ．圏論化のハ
イライトは非負性の証明で，この章で例を用いて説明している．非負性とは，ある数が整数
であることは定義からすぐに従うが，それが実は非負になる非自明な主張のことである．章
の後半はモジュラー表現の最近の話題にまで触れている．その部分は完全な理解が難しかっ
たが，分野の進展の様子が垣間見られて面白い．

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:12:27.17

メモ
圏と論理
ローヴェア理論（等式理論のグラフ図示・圏論化）
圏の大きさ,矛盾の回避
(参考)
https://www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp/~kihara/pdf/teach/LectureNotes-category-theory.pdf
圏と論理へのいざない・レクチャーノート
木原貴行
名古屋大学情報学部・情報学研究科
最終更新日: 2020 年4 月3 日

P29
x 3. 自由代数，等式理論，ローヴェア理論
3.1. 等式理論と自由代数

モノイドの理論に対して自由モノイド，群の理論に対して自由群の概念があるように，
等式理論が与えられれば対応する自由代数がある．これについても，等式理論のモデル理論をグラ
フ図示の文脈で導入した後に自由代数の一般論を議論していく．自由代数の概念は，後の節で説明
するモナドや随伴といった圏論における重要概念とも深く結びついていく．
この前段階のステップとして，まずは数理論理学（あるいは普遍代数）の言葉を用いて，等式理
論の定義を与えよう．ただし，次の等式理論と項モデルの項目は，その後のローヴェア理論（等式
理論のグラフ図示・圏論化）に進むための中間ステップに過ぎないので，あまり理解できなくとも
ローヴェア理論のところまで進んでしまって，等式理論とローヴェア理論を見比べながら読むとい
いかもしれない．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:13:31.34

つづき

■等式理論と項モデル: 等式理論とは，関数記号のみを言語に持ち，項に関する等式s t のみを
公理に持つ理論である．より具体的には，まず，等式理論の言語と項は以下によって定義される．
定義3.1. 言語(language) あるいはシグネチャ(signature) とは，形式的な記号の集合L であ
り，さらに各f P L に対して，引数(arity) と呼ばれる自然数が割り当てられている．各記号
f P L は関数記号と呼ばれ，f の引数がn の場合にはn 変数関数記号と呼ばれる．引数0 の関数
記号はしばしば定数記号と呼ばれる．
言語L が与えられたとき，L の記号以外に，可算個の変数記号を用意する．L の項(term) と
は，以下のように帰納的に定義される．
1. 定数記号c P L および変数記号x は項である．
2. f がn 変数関数記号であり，t1; t2; : : : ; tn が項ならば，fpt1; t2; : : : ; tnq は項である．
変数記号を含まない項は，閉項(closed term) と呼ばれる．

例3.2 (モノイドと群の言語). モノイドの言語LMon は2 項関数記号と定数記号" からなる集合t; "u で
ある．群の言語LGrp は，とe に1 変数関数記号
1 を加えた集合t; ";
1u である．通常，px; yq を
x y と略記し，
1pxq をx1 と略記する．このとき，x; y; z; u; v が変数記号ならば，たとえばpx "q y
はLMon およびLGrp の項であり，pz pu1 vqq " はLGrp の項であるが，LMon の項ではない．また，
これらは閉項ではないが，たとえば" "1 は閉項である．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:14:05.40

つづき

§ 8. 補遺，あとがき，参考文献
8.1. 圏の大きさについて
圏に関するテキストを読んだとき，「大きい」「小さい」「局所的に小さい」などの修飾語を見か
けたことがある人も多いかと思う．これはある種の矛盾の回避のために導入されるものであるが，
初学者はあまり気にしないのがよいと思う．このようなものは実際に矛盾にぶつかってはじめて
有り難みがわかるので，まずは何度か矛盾してみるのがよい．つまり，「『大きさ』に気をつけない
と，矛盾することがある」ということだけ認識しておいて，何かふとしたときに矛盾が発生したら，
「あ，これはきっといわゆる『大きさ』ってやつのせいだな」と意識できるようであればよい．矛
盾に達して初めて，「大きさ」の詳細について学べば十分である．ここでは，圏の大きさに関して，
あまり数学的詳細に立ち入らない概説を与える．

まず，圏とは，多重有向グラフに少し構造の付加されたものであったが，確かに圏の理論に現れ
る多重有向グラフはちょっとだけ大きめである．たとえば，本稿で扱うグラフであれば，そのかな
り多くは無限グラフである．とはいえ，数理論理学に近い分野の人であれば，グラフ理論と聞け
ば，無限グラフ（多くの場合には非可算無限グラフ）に関するグラフ彩色の問題であるとか無限ラ
ムゼー理論などを最初に思い浮かべる人もいるだろう*1．

このように，グラフの研究において無限
グラフを扱うことも珍しくはない．実際のところ，人間には有限はむずかしすぎるし，無限の方が
有限より簡単なことは多いので，とくに無限を恐れる必要はない．

*1 たとえば，筆者の周辺だと有限組合せ論を研究している人よりも無限組合せ論を研究している人の方が多いので，グ
ラフといえばもちろん無限グラフを指す．これをサンプリングバイアスという．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:14:33.91

>>95
つづき

■カントールのパラドックス: しかし，さらに大きいサイズのグラフとなると，少し注意を払う必
要がある．たとえば，例 1.17 で挙げた，集合全体を頂点とし関数を辺とする圏 Set などである．
ところが，
「集合をすべて集めたものは集合ではない」
ということは集合論の創始者カントールが既に気づいていたことであり，カントールのパラドック
スとも言われていた．とはいえ，集合という日常用語に引きずられるとパラドックスに見えるもの
の，「集合」という用語はあくまで数学用語である．つまり，形式的には，特定の数学的概念を「集
合」と読んでいるに過ぎないから，「集合」を「机」「ビール」「X」などの別の名に差し替えてもよ
い．そして，実際には，
「X をすべて集めたものは X ではない」
というパターンがある．

■大きさのスケール: さて，圏のテキストでは，「大きい」「小さい」という二元的な区分けをする
ことが多い．この「大きい」「小さい」という二元的な考え方は，矛盾のひとつの回避法というだけ
であって，絶対的なものではない．矛盾の回避法はいくらでもあり，どれを選択するも自由である．
そして，この二元的な区分けにおいては，集合とクラスの区別等と言った話が出てくるが，その
直感的な意味は理解しにくい．それなら「大きさ」という概念を導入してしまった方が，「大きい」
ものにも大きさのレベルがあり，「どういうものを考えるとどれくらい大きくなるか」などが明確
になって良いだろう．何事もゼロかイチである，というように白黒付けてしまうと，誤解を招きが
ちである．あらゆる概念に対して，白と黒の中間の階層があると認識して，とりあえずグラデー
ションを付けて理解しようと試みることが重要である．

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/15(木) 07:14:56.98

>>96
つづき

■グロタンディーク宇宙:
一般に，強到達不可能基数 k について，ランク k 未満の集合全体の集合 Vk のことをグロタン
ティーク宇宙 (Grothendieck universe) という．大層な名前が付いているが，かなり初等的な概念
なのであまり恐れる必要はないと思う．この集合 Vk は，いわゆる ZFC 集合論の公理というもの
をすべて満たすので，通常の数学で用いられるありとあらゆる操作で閉じている，というのが良い
ところである．このため，通常の数学に現れる集合はすべて Vk の中に入っていると思ってよい．
集合の大きさについて，U1 “ Vk0 までではなく，無限の系列を考えたい理由についても少し説
明しよう．たとえば，集合と関数の圏 Set や小さい圏の圏 Cat は共に大きさ 2 だが局所的に大き
さ 1 である．大きさ 2 とはいっても，Vk0`2 くらいには属すから，大きさ 2 の中では最も小さい部
類であろう．Set や Cat を頂点に持つ圏を考えたい場合には，たとえばランク k0 ` ω 未満の集
合全体の圏や，ランク k0 ` ω 未満の圏全体の圏などを考えればよいが，このランクはあまり良い
閉包性を持たない．Set や Cat を頂点に持ち，さらに Set と Cat のように良い閉包性を持つ圏
Set1 や Cat1 を考えたい場合は，k0 の次の強到達不可能基数を持ち出せばよい．すると次は Set1
や Cat1 を頂点に持つ圏 Set2 や Cat2 を考えたくなる．これを任意に繰り返すことを認めよう，
というのが無限の系列を扱う理由である．
この系列を具体的に得るためには無限個の強到達不可能基数が必要になるが，とはいえ，最初の
無限個の強到達不可能基数などはたいした大きさにはならないので，そんなに問題ではないだろ
う．たとえばマーロ基数というとても小型の巨大基数概念があるが，これを持ってくれば，その下
にはマーロ基数個の強到達不可能基数があるはずである．
とはいったものの，集合論の人たちにとっては，もっと遥かに大きい巨大基数サイズのグラフの
構造を研究することもまた日常茶飯事である．
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/16(金) 07:19:07.39

>>89 追加

圏論化に関連して
https://talk.hyuki.net/04/
圏論と学びをめぐる往復書簡
No.04
圏論と通常の数学
土岡俊介→結城浩
2020-01-14

「圏論ならでは」について、思い浮かんだことを線型代数に関連させて三つ書いてみます。

自明に自明
一つ目は、通常の数学について、どこが特殊性を使っているところで、どこが一般論から従うところかを切り分ける手段を提供するところでしょう。スローガンで言えば、Jon Peter Mayによる

Perhaps the purpose of categorical algebra is to show that which is formal is formally formal.
や、その元となったPeter John Freydによる

Perhaps the purpose of categorical algebra is to show that which is trivial is trivially trivial.
になるかと思います（これらの出典や意味については、Mathematics Stack Exchangeの「“The purpose of being categorical is to make that which is formal, formally formal” what does it mean?」が参考になります）。

例えば『ベーシック圏論』の例1.2.4 (c)の、忘却関手U:Vectk→Setに対する自由構成関手
F:Set→Vectk
を考えてみます。
略

一般随伴関手定理
二つ目は、圏論の定理から通常の数学の定理を示せることです。今の場合Fの存在を、具体的な線型空間F(S)を構成することなく、一般随伴関手定理（定理6.3.10, GAFT）によって集合の濃度算などから示すことができます。

今の例のFでは「どういう構成法かわからないが存在するだけでありがたい」ということはなさそうですが、通常の数学では（少なくとも私には）思いもよらない構成法で興味深いです。ちなみにS. Langの教科書Algebra（GTM211, Springer, 2002年）では、自由群構成関手F:Set→GrpをGAFTで構成しています（Proposition 12.1. ベーシック圏論では例1.2.4 (a)で通常の構成の面倒さが説明され、GAFTの使い方については演習問題6.3.24で扱われています）。

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/16(金) 07:25:29.68

関係ないけど、思い出したのでメモする

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%83%AA%E3%82%BE%E3%83%BC%E3%83%B3
パベル・ウリゾーン

関連項目
ウリゾーンの距離化定理
ウリゾーンの補題
メンガー・ウリゾーン次元

https://en.wikipedia.org/wiki/Pavel_Urysohn
Pavel Urysohn

Pavel Samuilovich Urysohn (February 3, 1898 ? August 17, 1924) was a Soviet mathematician who is best known for his contributions in dimension theory, and for developing Urysohn's metrization theorem and Urysohn's lemma, both of which are fundamental results in topology. His name is also commemorated in the terms Urysohn universal space, Frechet?Urysohn space, Menger?Urysohn dimension and Urysohn integral equation. He and Pavel Alexandrov formulated the modern definition of compactness in 1923.

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/17(土) 11:59:07.65

メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%89
数論幾何学では、フロベニオイドは、グローバルフィールドの有限拡張のモデルでの線束の理論を一般化する追加の構造を持つ圏である。フロベニオイドは望月新一（2008）によって導入された。「フロベニオイド」という言葉は、フロベニウスとモノイドを合わせたものである。フロベニオイド間の特定のフロベニウス射は、通常のフロベニウス射の類似物であり、フロベニオイドの最も単純な例のいくつかは、本質的にモノイドである。

目次
1 モノイドのフロベニオイド
2 初等フロベニオイド
3 フロベニオイド

モノイドのフロベニオイド
Mが可換モノイドである場合、それは乗算の下で正の整数のモノイドNによって自然に作用され、Nの要素nはMの要素にnを乗算する。Mのフロベニオイドは、MとNの半直接積である。このフロベニオイドの基になる圏は、モノイドの圏であり、1つの対象とモノイドの各要素の射が含まれる。Mが非負整数の加法モノイドである場合、標準のフロベニオイドはこの構造の特殊なケースである。

初等フロベニオイド
初等フロベニオイドは、可換モノイドのフロベニオイドの一般化であり、基本カテゴリD上の可換モノイドのファミリーΦによる正の整数のモノイドの一種の半直接積によって与えられる。アプリケーションでは、カテゴリDはグローバルフィールドの有限分離可能な拡張のモデルのカテゴリである場合があり、Φはこれらのモデルの線束に対応し、Nの正の整数nの作用はaの線束のn乗をとることによって与えられる。

フロベニオイド
フロベニオイドは、圏Cと初等フロベニオイドへの関手で構成され、大域体のモデルの直線束と除数の動作に関連するいくつかの複雑な条件を満たす。望月の基本定理の1つは、さまざまな条件下で圏Cからフロベニオイドを再構築できると述べている。

つづく