大学学部レベル質問スレ 26単位目
しょーもない質問も増えたし
無くてもよかったんじゃね？ 無限次元の線形空間においては
ルベーグ測度が存在しないらしいが
本当か？ これに書いてあるよ
無限次元の測度 山崎
ボレル測度は存在するが平行移動不変性を要求するとどうなるかという話 爺さんに忠告、解析は知識を集めてもどうにもならんよ、地道に勉強するしかないのよ >>10
R^∞のことを>>5は聞いてるんじゃ無いの？ >>11
それなら8に書いてあるよ、お前が答えてもいいんやで この爺さん、質問するけど答えにはレスしない。理解できない、理解する気もないんだと思うよ 752 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/01/15(月) 20:10:13.54 ID:5uzjt4O+
X: 局所コンパクトハウスドルフ空間
μ: X上のラドン測度 i.e.
X上のボレル測度
任意のボレル集合Eは外部正則 i.e.
μ(E) = inf{μ(U); U⊃E 開集合}
任意の開集合Uは内部正則 i.e.
μ(U) = sup{μ(K); K⊂U コンパクト}
任意のコンパクト集合Kに対して、μ(K) < ∞
この時、測度有限の集合の可算和となる集合Eは内部正則
これが示せない 無限次元ユークリッド空間におけるルベーグ測度は、一般的には存在しません。ルベーグ測度は、有限次元のユークリッド空間において、直積測度の極限として定義されます。しかし、無限次元空間では直積測度の極限を一般的には取ることができません。
ただし、無限次元のユークリッド空間においても、特定の条件下ではルベーグ測度を定義することが可能です。たとえば、Hilbert空間など、特定の構造を持つ無限次元空間において、ルベーグ測度を定義する手法が考案されています。しかし、これらの定義は一般的なものとは異なり、厳密な意味でのルベーグ測度としては扱いづらい場合があります。
そのため、無限次元ユークリッド空間における測度論的な議論では、通常は他の測度や積分論の手法が用いられます。 >>21
どうして？
経路ってRとかの像じゃないの？ 物理屋のいう経路積分とはこういうもの
http://www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp/~watamura/kougi/QFT2013_1.pdf 厳密な場の理論は出来てないので無理、できたらミレニアム賞getｗ >>23
ベクトル解析では
v:R→R^n
f:R^n→R
limΣf(v(t))Δv(t)
だろ >>25
>厳密な場の理論
物理はどうでもいいけど
ベクトル解析では
スカラー場は
f:R^n→R
ベクトル場は
f:R^n→R^m
だろ 今のレートだと一億五千万円、税金はかかるのだろうか？ >>27
お前が経路積分をそういうものだというのはお前の勝手だが、18のとは違うと思うよ Path integral formulation
https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation
Expectation valuesの式がファイマン積分 >>30
なるほど
ウィキペディアによると物理の話なんね
ちょっと勉強してみるかな これがお薦め
An Introduction To Quantum Field Theory Peskin ちょっと読んだけどウィキペ
すごく簡単に言うと変分法の逆みたいな？
変分法は関数による微分みたいな感じなので
関数（経路）による積分て感じなのかなと wikiで分かったつもりになれるなんておっちゃんみたいだ ざっくりいうと“確率の足し合わせ方”
例えば
2点を移る動点
毎秒今のところにとどまる確率が2/3、他方に移る確率が1/3
5秒後同じ点にいる確率は？
経路 確率
留留留留留 32/243
留留留移移 8/32
...
で32通りある経路ごとに確率を計算して足し合わせたら答え
同じ事を場の量子論でやりたい
場の変化の経路ごとに確率(密度)を定めてそれを積分したらある状態から別の状態へ移る確率を計算できるようにしたい
できますか？経路の全体のなす空間に“測度”を定義できますか？ 経路 確率
留留留留留 32/243
留留留移移 8/243
...
ね >>41
>経路の全体のなす空間に“測度”を定義できますか？
やっぱそういうことをしたいってことよね
測度定義する必要ないってのがそのファインマンの
なんかよくわからん無理矢理な定義式なんでしょ
綺麗にやるには測度かも知らんが無理かもね
経路に条件つけて減らしたり
何かしらの普遍性を捨てるしかないんじゃないかな 測度は領域に対して非負実数を対応させて
ある種の普遍性があるようなものだけど
関数空間（経路の空間）の可測集合みたいなのに
実数は足りなさすぎじゃないかな しなくていい分けない
しなけりゃいけないけどできないから困ってる
それと君理解がいい加減すぎる >>45
>しなくていい分けない
なにをしないの？ ウィキペディア読んだだけだからね
やりたいことは変分法の逆みたいな
変数の代わりに関数（経路）による
積分みたいなことだろうなぐらいの
表面的な印象なだけ >>47
測度論は知ってるのに汎関数とか超関数とかを知らないような変な認識の人だね。 >>48
それも知ってはいるけど？
経路積分がどう言うことをしようとしているか
表面的なところが分かったって書いただけ
深煎りは自分にはできないのでこのくらい 指数p=7のフェルマー予想の証明について書かれた本またはpdfなどありませんでしょうか。
よろしくお願いします。 不定積分の計算について質問です。
∫ x dx を求めたいとします。
x = sin(t) と置換してこの不定積分を求めます。
t ∈ [-π/2, π/2] で sin(t) は単調増加関数ですので、逆関数が存在します。
被積分関数 x の定義域は I = [-1, 1] で考えます。
問題は、 I 上で x の原始関数を求めよという問題になります。
∫ x dx = ∫ sin(t) * cos(t) dt = ∫ (1/2) * sin(2*t) dt
= -(1/4) * cos(2*t) = -(1/4) * (1 - 2 * sin^2(t))
= (1/2) * x^2 - 1/4
と I 上で不定積分（原始関数）が求まりました。
(1/2) * x^2 - 1/4 は自然に R へ拡張可能です。
この関数を R 上で微分してみると x になります。
I 上での原始関数を求めたのですが、それから容易に R 上での原始関数が求まってしまいました。
不思議なのですが、これはどうしてでしょうか？ >>55
ありがとうございます。
有理関数の分母の多項式が沢山の零点を持つにも関わらず、ある閉区間 I 上での不定積分を求めると、有理関数の分母の多項式の零点以外の点の集合上の不定積分に自動的になるのも同じ理由ですか？ あ、 ∫ 1/x dx を閉区間 I ⊂ (0, ∞) 上で求めると、 log(x) になりますが、閉区間 I ⊂ (-∞, 0) 上で求めると log(-x) になりますので、自動的とまでは言えませんね。
log(|x|) とまとめて書くことはできますが。 >>57
x>0のlogxを解析接続するとx<0でlog(-x)±iπになるよ
積分定数は任意だからx<0で実数関数にするならlog(-x) >>54
変数変換できる条件は？R全体で変数変換できれば不定積分は一致するだろ ◆当選確率1/10000000 の宝くじ
10枚を1日で購入するのと
1枚づつ10日に分けて購入するのとで
当選確率に差はありますか？ 何が違うの？
>10枚を1日で購入するのと
>1枚づつ10日に分けて購入するのとで >>60
ああそうね考えてみたら
x=sintの変数変換が-1≦x≦1に限定というのも実関数の場合で
不定積分は別に実関数限定ではないのでxの範囲が限定されているわけでもないのか
x=(e^it-e^-it)/2i
e^2it-2ixe^it-1=0
e^it=ix±√(1-x^2)=i(x±√(x^2-1))
x>1 ⇔ t=π/2+is (s:0→∞)
x<-1 ⇔ t=-π/2+is (s:0→-∞) >>64
>x>1 ⇔ t=π/2+is (s:0→∞)
>x<-1 ⇔ t=-π/2+is (s:0→-∞)
sの向き上下逆だった ヤコビアンdx/dt=cost=0の点が離散的なのでたまたま繋がるという話だと思うけど
どうでもいいけど >>67
別に繋げなくてもいいよ
でも繋げた方がRからRって感じ 関数は定義域込みで関数だろ、定義域変えたら別の関数だろ 不定積分は発見的解法なので細かいことに拘ってもしょうがないｗ >>70
別の関数でも同じsint
定義も同じ
sint=(e^it-e^-it)/2i
実数関数としても定義行きは
[-π/2,π/2]でも[π/2,3π/2]でもどうでもいい
Cの部分集合としての定義域はちぎれてても
どうせC→S^1×Rで繋がるし >>54
これも決めてるか、微小区間[-δδ]でいいんだろ、何が問題なんだろ やっぱりただ繋がる、拡張可能という話
この場合そもそも変数変換出来ない点が離散的なのでうまくつながる 変数変換ができなくても元の関数は連続なので定積分は連続 訂正
定積分はF(x)=F(a)+∫(a,x)f(t)dtの事ね
不定積分はF(x)+C 定積分を拡大解釈して線積分だと思えばf(x)=1/xの場合も扱える。
線積分による解析接続を考える。x=0が特異点なのでx<=0に切断を入れてlog(x)のリーマン面を考えて・・・ 構成可能宇宙LがZFCのモデルになるとWikipediaに書かれているけど
モデルって集合じゃなくてクラスでもいいの？大丈夫？ そもそもだけど
集合の全体VはZFCのモデルってことにならない？
ならモデルがあれば無矛盾とか意味なくね？ >>87
どれを？
・モデルって集合じゃなくてクラスでもいいの？大丈夫？
・集合の全体VはZFCのモデルってことにならない？
・モデルがあれば無矛盾とか意味なくね？
どれも？ n ≤ mとする
R^mのn本のベクトルv1, ..., vnによって作られる平行2n面体の体積を求めたい
<, >はR^mの標準内積とする
n = 1の場合
|v1| = √<v1, v1>
n = 2の場合
|v1| |v2| sinθ
= |v1| |v2| √(1 - cosθ^2)
= √((|v1| |v2|)^2 - <v1, v2>^2)
n = mの場合
det(v1, ..., vm)
n = 3, 4, ..., m - 1 の場合も表せますか？ v_1, v_2, ..., v_kで作られる平行2k面体の体積をV_kとして、
V_{k+1} = V_k * |v_{k+1}| sinθ
θは、v_{k+1}とspan(v_1, v_2, ..., v_k)のなす角 >>89
√det(vi・vj)の定数倍で求められたはず いや定数倍は必要ないか
V=√det(vi・vj) orthogonalize |span<u1,...,uk>|=|span<v1,...,vk>|=Π|vi|, vi⊥vj >>89
>n = mの場合
>det(v1, ..., vm)
|det(v1, ..., vm)| 位相空間Xから距離区間Yへの連続写像のなす空間C(X,Y)での基本近傍系の定義で
Un(f)＝{g∈C(X,Y)|sup{d(f(x),g(x)|x∈X)}≦cである0≦c＜1/nが存在する}
と本に書かれているのですが、これを単に
{g∈C(X,Y)|sup{d(f(x),g(x)|x∈X)}＜1/n}
書いても同じように見えます
何か差があるんでしょうか >>97
supは単なる実数か∞なのでそれがc<1/n以下である事と1/nより小さい事は同値
で良いと思うんですが、わざわざ複雑にこう書いてあると不安で 
