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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ6
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0001132人目の素数さん
垢版 |
2024/01/08(月) 09:09:43.45ID:OXe7qSh4
このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです(現代ガロア理論&乗数イデアル関連他文学論まで)

前スレ
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1687778456/

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 (2018.1.28)
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

<乗数イデアル関連>
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

<層について>
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく
0952132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 11:52:48.01ID:TckfqamF
>>951
>非零因子行列は逆行列が存在し、正則と呼ばれる
>その常識をさらりと述べた だけなのです
常識じゃないけど

行列の成分が体であればその通りだが
行列の成分が環ならそうならない

さらりと間違うね 素人って

これ 笑えないよ
0953132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 11:54:52.16ID:TckfqamF
>変化球を投げた
 で、すっぽ抜けてスタンドにブチこまれたって感じか
0955132人目の素数さん
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2024/05/13(月) 12:00:11.55ID:TckfqamF
逆行列の公式 余因子行列/行列式

環の場合 1/行列式が環の要素でないなら、逆行列が存在し得ない
0956132人目の素数さん
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2024/05/13(月) 12:01:11.76ID:Ug9jJCvB
>>912
>>>906 ガロア第一論文と乗数イデアルって関係あるの?

・直接の関係はないでしょ
 風が吹けば桶屋が儲かる式でいえば
・ガロア第一論文の講義を、デデキントがした
 デデキントは、イデアルという概念と用語を発明した
・なので、ガロア第一論文と乗数イデアルの関係は
 風と桶屋の儲けくらいの関係だね
0957132人目の素数さん
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2024/05/13(月) 12:10:54.44ID:DbbXyeL7
>>951
>そして、非零因子行列は逆行列が存在し、正則と呼ばれる
反例 零行列
0958132人目の素数さん
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2024/05/13(月) 12:11:47.51ID:TckfqamF
>>ガロア第一論文と乗数イデアルって関係あるの?
>直接の関係はないでしょ
マジ つまんね
0959132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 12:15:33.25ID:TckfqamF
>>957 素人君がどう返すか拝見させてもらおうか(ニヤニヤ)
0960132人目の素数さん
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2024/05/13(月) 12:35:51.57ID:lp/j1C3S
直球投げたほうがいいよ 変化球とかいってすっぽ抜けたらまたホームランだから
0971132人目の素数さん
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2024/05/13(月) 13:28:44.52ID:hYCBsdwx
・の使用は内容の整理でなく中身からっぽをごまかす詐欺用法
0972132人目の素数さん
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2024/05/13(月) 13:37:46.82ID:Ug9jJCvB
>>952
>>非零因子行列は逆行列が存在し、正則と呼ばれる
>>その常識をさらりと述べた だけなのです
>常識じゃないけど
>行列の成分が体であればその通りだが
>行列の成分が環ならそうならない

以前に 下記 広大 松本眞先生 代数学II:環と加群 を紹介したけど、読んでないの?
ちゃんと読んだら?
"A∈Mn(R)がGLn(R)に入る必要十分条件は、AB=En=BAなるBが存在することになる。
このような行列を可逆行列という。
命題1.4.1. A∈Mn(R)が可逆である必要十分条件は、detA∈Rx (ここでRxはRの乗法についての可逆元のなす群)"
を百回音読願います ;p)

(参考)
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/TEACH/kan-kagun7.pdf
代数学II:環と加群(注:5/28版:38ページ以降大幅書き直し予定)松本 眞1 2020 年5 月28 日
1広島大学理学部数学科

第1章環上の加群
1.4単因子論 19

P4
1.1 環上の加群
1.1.1 環、単位環、整域、体
環(R,+,0,x)とは、(R,+,0)が加法群であって、(R,x)が半群であり、左分配法則(a+b)xc=axc+bxc
と右分配法則cx(a+b)=cxa+cxbを満たすもの。
axbをしばしばa・bまたはabと書く。可換環とは、積が可換な環のこと。そうでないものを非可換環という。

単位環(R,+,0,x,1)とは、環であって、(R,x,1)がモノイドであるもの。
零環={0}も単位環である。
特に単位環であることが重要であるとき、つい「単位的環」と書くことがある。
整域とは、可換環であって、R-{0}が積についてモノイド(単位元を持つ半群)となるものを指す。
体とは、さらにR-{0}が群となるものを指す。
従って、零環は整域でも体でもない。
準同型、同型の「型」の字は「形」にはしないほうがいいかも知れないが、字の区別が僕には難しいので混用する。

P19
1.4単因子論
行列について。Rを可換環とする。Mn,m(R)でnxmの成分の行列の集合をあらわす。
成分ごとの和とスカラー倍により、ランクnmの自由加群Rとなる。
n=mのとき、Mn,m(R)をMn(R)で表す。積が入り、単位環となる。
その積に関する(モノイドの)可逆元の集合Mn(R)xは群をなす。
これをGLn(R)で表す。
A∈Mn(R)がGLn(R)に入る必要十分条件は、AB=En=BAなるBが存在することになる。
このような行列を可逆行列という。

命題1.4.1. A∈Mn(R)が可逆である必要十分条件は、detA∈Rx (ここでRxはRの乗法についての可逆元のなす群)。
証明. A˜をAの余因子行列とする。線形代数でならったようにAA˜=det(A)・En=AA˜である。
従って、det(A)がRの可逆元ならば1/det(A) ˜がAの逆元を与える。
逆に、Aが可逆ならばAB=Enのdeterminantをとってdet(A)det(B)=1、すなわちdet(A)∈Rx。

単項イデアル整域をPID*と書く。(注* 英: principal ideal domain; PID 主イデアル整域とも)

つづく
0973132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 13:38:09.94ID:Ug9jJCvB
つづき

定理1.4.3. (単因子形)をPIDとする。任意のA∈Mn,m(R)に対し、あるP∈GLm(R)とQ∈GLn(R)が存在して、PAQが次の形になる。
 略す (1.9)
ここに、空白は0をあらわし、e1|e2, e2|e3,・・・, es-1|es, s≠0である。Aに対してe1,・・・,esは単元(すなわちRxの元)倍を除いて一意に決まる。(1.9)をAの単因子形という。(不変因子形という書物もある。)

P20
上の形だと正方行列っぽく見えるが実はmxn行列であることと、右下の0は存在しないかもしれないこと、
またs=0(すなわち0行列)のこともあることを注意しておく。
Rが体のときには、線形代数でならっていると思う: eiは全て1にとることができ、sが行列のランクとなる。
まず、定理の前半(P,Qの存在)を証明する。
RがEuclid整域の場合証明から計算方法がわかるので、一般のPIDでなくがEuclid整域の場合をまずやる。
R=ZやK[t](Kは体)が代表的である。これらの環における互除法については既知とする。
3種の基本変形行列を用いる。
略す
(引用終り)
以上
0974132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 13:49:16.02ID:Ug9jJCvB
>>969-970
>5chでは一文書き込みを心掛けたい

・下記”最近の中高生について、鳥屋尾史郎校長は「SNS(交流サイト)の短文など好きな情報ばかりに接する機会が増えているのでは」と懸念。「精度が高い文章を読まなければ読解力は上がらない」と語る。学校教育の課題は多い。”
 な
・一行は金
 二行以上は長文かい?w
・やれやれ ;p)

(参考)
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO53115890Z01C19A2KNTP00/
日本の15歳、デジタル読解力不足に3つの背景
社会・くらし
2019年12月10日 2:00 日経 (中丸亮夫、佐藤淳一郎)

最近の中高生について、鳥屋尾史郎校長は「SNS(交流サイト)の短文など好きな情報ばかりに接する機会が増えているのでは」と懸念。「精度が高い文章を読まなければ読解力は上がらない」と語る。学校教育の課題は多い。
0975132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 13:52:02.40ID:GF4pM50o
>>972
>以前に ・・・ を紹介したけど、読んでないの?ちゃんと読んだら?
という自分はちゃんと読めてないありさま

>(Rを可換環とする。Mn(R)でnxnの成分の行列の集合をあらわす。)
>A∈Mn(R)がGLn(R)に入る必要十分条件は、AB=En=BAなるBが存在することになる。
>このような行列を可逆行列という。
その通り 間違いないよ

>命題1.4.1. A∈Mn(R)が可逆である必要十分条件は、detA∈Rx (ここでRxはRの乗法についての可逆元のなす群)
その通り 間違いないよ

さて、質問
detA∈Rxでない⇒Aが零因子
(あるいはAが零因子でない⇒detA∈Rx)
といえるか?
0976132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 13:55:45.38ID:GF4pM50o
>>975
>det(A)がRの可逆元ならば1/det(A) ˜がAの逆元を与える。
その通り 間違いないよ

さて、質問
Rを可換環とする このとき
det(A)がRの可逆元でない⇒det(A)=0
(あるいはdet(A)=0でない⇒det(A)がRの可逆元)
といえるか?
0977132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 13:59:01.71ID:lp/j1C3S
>>974
>精度が高い文章を読まなければ読解力は上がらない

そうだよ 君のように読まずにコピペしても読解力は全く上がらないよ
その証拠が、「可換環R上の行列が、可逆であるときそのときに限り、零因子でない」という嘘発言
証明を正しく読んでいれば、このような誤解は決して起こりえない
0978132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 14:03:38.17ID:lp/j1C3S
やっぱり素人君は代数学が全然分かってないね

指摘した箇所は初歩だから
ここでつまづいてるなら
初歩からわかってないってこと
0979132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 14:08:12.56ID:lp/j1C3S
体の場合はもちろん
detA∈Rxでない⇒Aが零因子
detA∈Rxでない⇒det(A)=0
がなりたつ

なぜなら、体では零元以外は可逆元だから
でも、体でない任意の可換環では、零元でないというだけでは可逆元とはいえない
0980132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 14:10:38.05ID:aminiOsH
僕は元教授の書き込みからこのことに気づいたが
君が元教授にやたら追従してるくせに気づかなかったんだね

追従って数学の理解には全然結びつかないね 当たり前だけど
0981132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 15:35:12.70ID:Ug9jJCvB
>>977 >>979
>「可換環R上の行列が、可逆であるときそのときに限り、零因子でない」という嘘発言

・君はバカだね。いま、このスレの全発言に対して、キーワード”可逆であるとき”
 の検索をしたら、それ一つしかヒットなしだよ。つまり、他には発言無しで君の妄想か捏造だったねw

>体の場合はもちろん
>detA∈Rxでない⇒Aが零因子
>detA∈Rxでない⇒det(A)=0
>がなりたつ
>なぜなら、体では零元以外は可逆元だから
>でも、体でない任意の可換環では、零元でないというだけでは可逆元とはいえない

やれやれ
・だから、”零因子の定義”を確認しろよ(下記だよw)
・「環の零因子でない元は正則である(regular)または非零因子(non-zero-divisor)と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子(nonzero zero divisor)または非自明な零因子(nontrivial zero divisor)と呼ばれる」
 そして、下記零因子の引用冒頭「環の零因子(英: zero divisor)とは、環の乗法において、零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在するような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である」
 ってこと
・だから>>951での”正方行列は二つに分けられる 零因子行列と非零因子行列とに そして、非零因子行列は逆行列が存在し、正則と呼ばれる”
 ここまではいいだろ?
・次の”零因子行列は、行列式が0(ゼロ)で、逆行列が存在せず、正則と呼ばれる”で、行列式が0(ゼロ)の部分を突っ込みたかったのかい?w
 普通は、行列の成分は実又は複素数だけど(デフォルトだね)、
 成分を、環Rにとった場合には
 ”零因子行列は、行列式が0(ゼロ)又は零因子になり、逆行列が存在せず、正則と呼ばれる”とでもすれがいいかな?w

君が、何年か前の>>904のときよりも
少し進歩したことは認めてあげるよ。うれしいだろう?w ;p)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子
環の零因子(英: zero divisor)とは、環の乗法において、
零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在する
ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。

定義
環 R の元 a は、ax=0 となる
x≠ 0 が存在するとき、すなわち
∃x∈R∖{0}:ax=0
を満たすときに左零因子(英: left zero divisor)と呼ばれる。
この定義では非零元の存在を要求するから、自明な環における0は零因子ではないが、自明な環以外では、0は必ず零因子となる。

同様に、環の元 a が右零因子とは、ある y ≠ 0 が存在して ya = 0 となることである。
左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる[2]。左かつ右零因子である元 a は両側零因子(two-sided zero divisor)と呼ばれる(ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない)。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。

環の零因子でない元は正則である(regular)または非零因子(non-zero-divisor)と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子(nonzero zero divisor)または非自明な零因子(nontrivial zero divisor)と呼ばれる。
0982132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 15:52:20.66ID:Ug9jJCvB
>>919
>数学板読者の声
>「何がいいたいのかわからん、どこぞのHPの長文コピペがなくなってほしい」

スレが終わる前に書くが
1)これは、一つの意見であって
 全体を代表しているとは言えないよね
2)数学の文章は、しょせん その人のレベルに依存するわけで
 その発言者の数学レベルが分からな限り、無意味でしょ?
 つまり、中学か高校レベルの人が、大学レベルのちょっと長い文章を見せられて
 「読めない」って言っているんじゃないの?
3)また、大学以上の数学のテキストは、それなりに厚いよ
 長文うんぬんって、自分の数学のレベルを上げないとね
 そっちが先だよ サイコパスのおサルさんw ;p)
0983132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 15:57:23.64ID:Ug9jJCvB
>>981 タイポ訂正

・次の”零因子行列は、行列式が0(ゼロ)で、逆行列が存在せず、正則と呼ばれる”
  ↓
・次の”零因子行列は、行列式が0(ゼロ)で、逆行列が存在せず、非正則と呼ばれる”


 ”零因子行列は、行列式が0(ゼロ)又は零因子になり、逆行列が存在せず、正則と呼ばれる”
  ↓
 ”零因子行列は、行列式が0(ゼロ)又は零因子になり、逆行列が存在せず、非正則と呼ばれる”


ついでに
>>951 タイポ訂正

零因子行列は、行列式が0(ゼロ)で、逆行列が存在せず、正則と呼ばれる
  ↓
零因子行列は、行列式が0(ゼロ)で、逆行列が存在せず、非正則と呼ばれる
0984132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 16:01:49.47ID:TckfqamF
>>981
>いま、キーワード”可逆であるとき”の検索をしたら、
>それ一つしかヒットなしだよ。
>つまり、他には発言無し・・・

推論できることをわざわざ書かないけどね

>やれやれ だから、”零因子の定義”を確認しろよ
>「環の零因子でない元は正則である(regular)
>または非零因子(non-zero-divisor)と呼ばれる。
>0でない零因子は0でない零因子(nonzero zero divisor)ま
>たは非自明な零因子(nontrivial zero divisor)と呼ばれる」
>そして、下記零因子の引用冒頭「環の零因子(英: zero divisor)とは、
>環の乗法において、零以外の元と掛けたのに零となるような積が、
>少なくとも一つ存在するような元のことである。
>これは環の乗法における因子の特別な場合である」
>ってこと

もしかして「環の零因子でない元は逆元を持つ」と「誤解」してる?

じゃ、聞くけど 整数全体は環だよね

Q1 2は零因子? つまり2とxの積が0となる整数xが存在する? Yes/No
Q2 2の乗法逆元となる整数は存在する? つまり2とxの積が1となる整数xが存在する? Yes/No

君の主張によれば
Q1がNoなら、Q2はYes
Q2がNoなら、Q1はYes
Q1、Q2どっちもNoということはあり得ないが、それでOK?
0985132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 16:04:47.38ID:TckfqamF
>>981
>…だから
>”正方行列は二つに分けられる 零因子行列と非零因子行列とに 
>そして、非零因子行列は逆行列が存在し、正則と呼ばれる”
>ここまではいいだろ?

全然だめだろ

2x=0となる整数xが存在しないなら、2x=1となる整数が存在する?
2x=1となる整数xが存在しないなら、2x=0となる整数が存在する?

君、小学校の算数、理解してる?
0986132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 16:11:30.34ID:TckfqamF
>>981
>”零因子行列は、行列式が0(ゼロ)で、逆行列が存在せず、非正則と呼ばれる”
>で、行列式が0(ゼロ)の部分を突っ込みたかったのかい?

なに意味不明な文章書いてるんだ?君は

環の場合は行列式が0でなくても(つまり零因子行列でなくても)
もし単元でないなら逆行列は存在しないけどね

>普通は、行列の成分は実又は複素数だけど(デフォルトだね)

だめだよいまさらそういう馬鹿な言い訳しても
行列の成分を可換環に一般化したのは君であって僕ではない

体ならもちろん零元以外は逆元がある
でも可換環ではそんなことはいえない
君はそれがわかってなかったから、初歩から間違った
いつもいってるだろう 前提条件を全部記せと
君は肝心な条件を省略するから必ずそこで間違う
0987132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 16:15:13.58ID:TckfqamF
>>981
>成分を、環Rにとった場合には
>”零因子行列は、行列式が0(ゼロ)又は零因子になり、逆行列が存在せず、非正則と呼ばれる”
>とでもすればいいかな?

ダメだね

成分が、可換環Rの場合
「行列式が0もしくは零因子でなくても、単元でない場合には
 逆行列が存在せず非正則と呼ばれる」
0988132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 16:16:58.39ID:TckfqamF
いっとくけど、
「成分が整数の逆行列は存在しなくても
 成分が有理数の逆行列は存在するだろ」
とかいう🐎🦌反論は無しにしてくれよ
0989132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 16:22:14.81ID:TckfqamF
>>982
>>「何がいいたいのかわからん、どこぞのHPの長文コピペがなくなってほしい」
>これは、一つの意見であって全体を代表しているとは言えないよね
いつもながら見苦しい言い訳だねえ

>数学の文章は、しょせん その人のレベルに依存するわけで
それは君の高卒レベルの文章を見ればわかるよ

>その発言者の数学レベルが分からない限り、無意味でしょ?
大学1年生がわかることを間違ったら、高卒レベルと分かるよ

>つまり、中学か高校レベルの人が、
>大学レベルのちょっと長い文章を見せられて
>「読めない」って言っているんじゃないの?
事実、君読めてなくて間違ってるよね?
「読めない」って認めなくても
間違ったら「読めてない」ってことよ
君の自覚は必要ない

>大学以上の数学のテキストは、それなりに厚いよ
>長文うんぬんって、自分の数学のレベルを上げないとね
>そっちが先だよ サイコパスの・・・

・・・君ね
いい加減自分が大学1年レベルでつまづいてるって気づこうな
だからいってるでしょ マセマの本からやりなおせって
君、数学書正しく読めてないのよ
今回の可換環Rを成分とする行列の件でよくわかったよ
0991132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 16:50:35.66ID:Ug9jJCvB
>>987
(引用開始)
>成分を、環Rにとった場合には
>”零因子行列は、行列式が0(ゼロ)又は零因子になり、逆行列が存在せず、非正則と呼ばれる”
>とでもすればいいかな?
ダメだね
成分が、可換環Rの場合
「行列式が0もしくは零因子でなくても、単元でない場合には
 逆行列が存在せず非正則と呼ばれる」
(引用終り)

やれやれ
・抽象代数学壊滅の君に、下記の「行列環」という言葉を教えてあげるよw
・いま、ある可換環Rを成分とする 正方行列n×n 全体を考えると
 下記にあるように、環を成す
・その「行列環」における零因子を考えればいいだけのこと(それが零因子行列だ)
>>904の話は、「行列環」という専門用語を知っていれば、それで終わりの話だよw ;p)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
抽象代数学において、行列環 (matrix ring) は、行列の加法(英語版)および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ n×n 行列全体の集合や無限次行列環 (infinite matrix ring) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。
R が可換環のとき、行列環 Mn(R) は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、M が行列で r が R の元であれば、行列 Mr は行列 M の各成分に r をかけたものである。

行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 R は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。


・任意の環 R 上のすべての n×n 行列からなる集合。 Mn(R) あるいは Matn(R) や Rn×n と表記される。これは通常「n 次全行列環」(full ring of n by n matrices) と呼ばれる。これらの行列は自由加群 Rn の自己準同型を表す。
・環上のすべての上(あるいは下)三角行列のなす集合。
0992132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 17:00:01.04ID:qeqwL6tC
>>991
>「行列環」という言葉を教えてあげるよ
知ってるけどね
>いま、ある可換環Rを成分とする 正方行列n×n 全体を考えると環を成す
知ってるけどね
>その「行列環」における零因子を考えればいいだけのこと(それが零因子行列だ)
零因子行列でなければ逆行列をもつ、と?ほんとに?
>「行列環」という専門用語を知っていれば、それで終わりの話だよ
終わってるのは、君

整数環Z上の行列環を考える

行列
(1 0)
(0 2)
の整数環Z上の行列環での逆行列は? ないよね?

で、これって零因子行列? 違うよね?

君がいってること、全部嘘じゃん
行列環どうした?
0993132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 18:34:18.09ID:op2XpGlV
>>756
「数学」の最新号に書評がある。
p.204-209.
by 田中雄一郎
0994132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 18:48:39.83ID:AG1nQkcA
このまま反論不能でスレ流すつもりみたい

だからだまってればいいのに
0995132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 18:57:53.56ID:Ug9jJCvB
>>992
(引用開始)
整数環Z上の行列環を考える
行列
(1 0)
(0 2)
の整数環Z上の行列環での逆行列は? ないよね?
で、これって零因子行列? 違うよね?
(引用終り)

・なるほど、なかなかいいツッコミだね
・その話は、下記の松本眞 広大
 ”命題1.4.1. A∈Mn(R)が可逆である必要十分条件は、detA∈Rx (ここでRxはRの乗法についての可逆元のなす群)”だね
 つまり、R=Zとすると、Rx={1}つまり 整数環Z中には、1以外は逆元を持たないのです
 したがって、detA∈Rx となるときは、常にdetA=1つまり、行列式が1ってことだね
・上記例示の行列(これ(1 0)と(0 2)とからなる行列(2行にわたるので1行におさめた))は、detA=2で零因子ではないが(有理数体Qでは逆がある)
 逆行列も持たないね

まあ、下記の松本眞 広大 命題1.4.1. の通りってことで、謹んで訂正しますです、はい
ありがとね

(参考)>>972より再録
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/TEACH/kan-kagun7.pdf
代数学II:環と加群(注:5/28版:38ページ以降大幅書き直し予定)松本 眞1 2020 年5 月28 日
1広島大学理学部数学科

第1章環上の加群
1.4単因子論 19

P4
1.1 環上の加群
1.1.1 環、単位環、整域、体
環(R,+,0,x)とは、(R,+,0)が加法群であって、(R,x)が半群であり、左分配法則(a+b)xc=axc+bxc
と右分配法則cx(a+b)=cxa+cxbを満たすもの。
axbをしばしばa・bまたはabと書く。可換環とは、積が可換な環のこと。そうでないものを非可換環という。
単位環(R,+,0,x,1)とは、環であって、(R,x,1)がモノイドであるもの。

P19
1.4単因子論
行列について。Rを可換環とする。Mn,m(R)でnxmの成分の行列の集合をあらわす。
成分ごとの和とスカラー倍により、ランクnmの自由加群Rとなる。
n=mのとき、Mn,m(R)をMn(R)で表す。積が入り、単位環となる。
その積に関する(モノイドの)可逆元の集合Mn(R)xは群をなす。
これをGLn(R)で表す。
A∈Mn(R)がGLn(R)に入る必要十分条件は、AB=En=BAなるBが存在することになる。
このような行列を可逆行列という。

命題1.4.1. A∈Mn(R)が可逆である必要十分条件は、detA∈Rx (ここでRxはRの乗法についての可逆元のなす群)。
証明. A˜をAの余因子行列とする。線形代数でならったようにAA˜=det(A)・En=AA˜である。
従って、det(A)がRの可逆元ならば1/det(A) ˜がAの逆元を与える。
逆に、Aが可逆ならばAB=Enのdeterminantをとってdet(A)det(B)=1、すなわちdet(A)∈Rx。
(引用終り)
0996132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 18:58:20.09ID:f90OOCUQ
野村隆昭はルベーグ積分のテキストを準備中に亡くなった。
名著が一つ失われた。
0997132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 20:28:48.63ID:AG1nQkcA
>なるほど、なかなかいいツッコミだね
誰でも思いつくよこんなの

>R=Zとすると、Rx={1}つまり 整数環Z中には、1以外は逆元を持たないのです
>したがって、detA∈Rx となるときは、常にdetA=1つまり、行列式が1ってことだね
惜しい 1だけでなく-1も逆元を持つ

>例示の行列は、detA=2で零因子ではないが
>(有理数体Qでは逆がある)
>逆行列も持たないね
ああそうだよ
元教授が書き込みしたとき
瞬時にこのことに気づいた

>謹んで訂正しますです、はいありがとね
これにこりて(参考)リンク 長大コピペの
🐎🦌行為は一切やめることだね
みっともないだけだから
0998132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 20:30:24.89ID:AG1nQkcA
なんで馬鹿がコピペしてまで書き込みしたがるかねえ
誰が褒めるかそんな詐欺行為
1000132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 20:32:16.55ID:AG1nQkcA
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