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面白い数学の問題おしえて~な 43問目
0001132人目の素数さん
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2023/10/07(土) 09:50:19.52ID:nSO5chgO
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨

前スレ
面白い数学の問題おしえて~な 42問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1672331826/

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/
0383132人目の素数さん
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2024/04/05(金) 22:42:51.38ID:CjLldbW4
(i) n+1が素数のとき

(n-1)! ≡ 1 ( mod n+1 ) (∵Wilson)

(ii) n+1が合成数のとき

n+1 = qm, qが素数べき, (q,m) = 1, pをqの素因子とすると m>1 or q>p
前者なら

n-1 = qm-2 ≧ q ∴ q|(n-1)!

後者なら

n-1 = q-2 > q/p > p ∴ q|(n-1)!
0384132人目の素数さん
垢版 |
2024/04/05(金) 23:11:25.16ID:wgN05YfG
>>383
後者に見落としがあるね
0387132人目の素数さん
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2024/04/06(土) 18:01:40.78ID:B7IWglt2
x_1,x_2,…,x_nを実数とする

Σ[i,j=1〜n]|x_i-x_j|≦Σ[i,j=1〜n]|x_i+x_j|

を示せ
0388132人目の素数さん
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2024/04/07(日) 11:32:00.30ID:Sbq5+Z7q
変数の範囲は[-1,1]に制限して良い
f(x) = Σ[i,j=1〜n]|x_i-x_j|
g(x) = Σ[i,j=1〜n]|x_i+x_j
h(x) = g(x), k(x) = #{ i | |x_i|<1 }
とする
(x_i)を(h(x),k(x))に関する極小元とする
このときm=max{|xi| ; |xi|<1}とすればm=0である
そうでないとしてx(t)を
xi(t) = t (if xi = m)
= -t(if xi = -m)
= xi (otherwise)
とするとh(x(t))は十分小さいεで[m-ε,1]で連続な一次関数だから仮定に反する
a=♯{xi=1},b=♯{xi=-1},c=♯{xi=0}
とすれば
f(x) = 2a^2+2b^2+c(a+b)
g(x) = 4ab+c(a+b)
0389132人目の素数さん
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2024/04/13(土) 19:21:44.55ID:3ggcr+eh
>>388
(h(x),k(x))に関する極小元てのは順序対の極小なのかな
なぜh極小で示せばいいの?
(g-fではなく、しかもkに関する条件付きで)

あとh(x(t))は|t-1|+|t+1|の0近傍のように局所的に1次でなく0次(定数)の可能性もあるから、後半の論法もダメなのでは?
0390132人目の素数さん
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2024/04/13(土) 23:46:02.94ID:52uWL3yu
辞書式順序の最小
0次式になるとh(x)の値をそのままにしてk(x)の値が真に小さくできる
0391132人目の素数さん
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2024/04/13(土) 23:59:20.07ID:3ggcr+eh
kが真に小さく出来るのはなぜ?
それと再度聞くけど、なぜh(=g)を最小にした場合に示せば良いの?
fも連動しているから不等式を破るx_iはgを最小にするものとは限らないのでは?
0392132人目の素数さん
垢版 |
2024/04/14(日) 00:32:02.97ID:CqnVU4YK
|xi|= mであるxiを微小にずらしてh(x)の値が変化しないならその近傍でtについて定数
どこまで定数かというと|xi±xj|の形の項は|2t|か|t-xi|のいずれかの形に置き換わるのでt∈(m-ε,1)で微分可能
特にt∈[m,1]で定数だからh(x(m)) = h(x(1)), k(x(m)) < k(x(1))
0394132人目の素数さん
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2024/04/16(火) 17:42:31.41ID:s76bQEPt
任意の整数nに対し
abc+abd+acd+bcd=1
を満たす0でない整数の組(a,b,c,d)が無限に存在することを示せ
0395132人目の素数さん
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2024/04/16(火) 17:46:15.70ID:dXN7qL0u
>>394
>=1
0399132人目の素数さん
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2024/04/17(水) 07:00:30.74ID:84acKaEu
実数係数、値域は非負
に限れば成立するんじゃないの

実際に解こうとすると
高次方程式を解くことになるから
原理的に無理、というだけ
0401132人目の素数さん
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2024/04/17(水) 08:12:07.64ID:84acKaEu
それは2変数の例であって
1変数に限れば、片方は定数に吸収されて
うまく行きそうに見える

別の識者と出題者にも訊いてみたい
0402132人目の素数さん
垢版 |
2024/04/17(水) 08:40:01.07ID:FnAnuYqp
x^4+2x^3+2x^2+2x+1
=(x+1)^2(x^2+1)
=((x+1)(x+i))((x+1)(x-i))
=((x^2+x)+i(x+1))((x^2+x)-i(x+1))
=(x^2+x)^2+(x+1)^2.
0403132人目の素数さん
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2024/04/17(水) 08:59:35.31ID:/+kMqt7h
>>400
残念ね
0404132人目の素数さん
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2024/04/17(水) 09:22:43.46ID:lwglMa0M
p(x,y) = Σ f(x,y)^2
である多項式f(x,y)は存在しないけど
p(x,y) = Σ g(x,y,z)^2
である多項式g(x,y,z)は存在するかも....
へぇ....
0406132人目の素数さん
垢版 |
2024/04/17(水) 09:33:51.04ID:lwglMa0M
1変数ならHilbertの定理やな

In 1888, Hilbert showed that every non-negative homogeneous polynomial in n variables and degree 2d can be represented as sum of squares of other polynomials if and only if either (a) n = 2 or (b) 2d = 2 or (c) n = 3 and 2d = 4.
0412132人目の素数さん
垢版 |
2024/04/17(水) 18:58:35.79ID:aSdsQF24
=1が=nの間違いなのかと思ったけどね
「0でない」も謎だしテキトーに出したんかな
0413132人目の素数さん
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2024/04/19(金) 19:57:21.72ID:SVQ+clD4
ab(c+d)+cd(a+b)=1

を満たす0でない整数の組(a,b,c,d)が
無限に存在することを示せ
0414132人目の素数さん
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2024/04/19(金) 23:18:11.62ID:0gWkPqXI
 e_0 = n,
 e_1 = n+1,
 e_2 = n(n+1) + 1,
 e_3 = n(n+1){n(n+1)+1} + 1,
とおくと
 1/e_0 − 1/e_1 − 1/e_2 − 1/e_3 = 1/(e_0・e_1・e_2・e_3),

数学セミナー, vol.50, no.3 (2011/Mar)
 NOTE  p.67-68
0415132人目の素数さん
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2024/04/20(土) 00:12:03.34ID:qIDLaiOw
>>413
 a > 0,
 b =−a−1,
 c = ab−1,
 d =−abc +1,
0417132人目の素数さん
垢版 |
2024/04/20(土) 06:34:03.66ID:gciKSLUQ
前のレスの問題をこう解釈したら自明でしょと返したやつにレスつけたんでしょ
0418132人目の素数さん
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2024/04/21(日) 18:24:24.30ID:34PQz0TW
>>414
 e_k = e_0・e_1 …… e_{k-1} + 1,
とおくと
 1/e_0 − 1/e_1 − …… − 1/e_m = 1/(e_0・e_1……e_m),

e_m のところだけ e_m−2 に変えれば
 1/e_0 − 1/e_1 − …… − 1/(e_m−2) =−1/(e_0・e_1……(e_m−2)),
で符号反転できます。 これを使うんですね。
0419132人目の素数さん
垢版 |
2024/04/25(木) 14:37:50.14ID:IIPJu16B
別スレの問題の発展

n ≧ 2 とする。
平面上に平行線 l//m と l 上の2点 A,B が与えられている。
定規のみを用いて A,B の n-1個ある n 分点を作図する方法を与えてください。
0421132人目の素数さん
垢版 |
2024/04/25(木) 22:37:58.53ID:JTmgmSn6
>>420
許されるわけないだろ
0422132人目の素数さん
垢版 |
2024/04/26(金) 00:49:00.00ID:Z49pjEP3
これでいいんかな

2点a,bの中点は以下のように作れる
これは適当に外点pを1つとり半直線apとbpを描く
それらと直線mとの交点をそれぞれa',b'とする
線分ab'とa'bの交点をqとすると半直線pqはab(そしてa'b')を2等分する

この要領でまず直線m側に2^k(>n)等分点を適当に作る
そこから適当にn分区間のn+1点を選び、その両端点をc,dとする
acとbdの交点rとしrを残りの(n-1)個の内点と結べば
それらの(n-1)本の半直線とlの交点はa,bをn等分する
0424132人目の素数さん
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2024/05/13(月) 11:40:54.62ID:MCdwMjrh
(0,1)上の正値可測関数fに対して
fかつexp(f)がルベーグ可積分のとき、f*exp(f)はルベーグ可積分か?
0426132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/13(月) 17:18:38.70ID:TgSoniHb
>>425
f’exp(f)ではなくて
fexp(f)ですね
*は微分ではなく掛け算です
紛れてすみません
0427132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/14(火) 09:13:07.23ID:tQSh3F9o
a(x) = e^{-x}((x+2)log^2(x+2))^{-1} / C,

C = ∫[0,∞] e^{-x}((x+2)log^2(x+2))^{-1} dx

として a:[0,∞) → (0,∞) を定義する。
g(y)=∫[0,y] a(x) dx (y≧0) とすれば、
g(0)=0, g(∞)=1 であり、g は狭義単調増加である。
g の逆関数を f とすれば、f:(0,1) → (0,∞) であり、

∫[0,1]f(x)dx<∞, ∫[0,1]e^{f(x)}dx<∞, ∫[0,1]f(x)e^{f(x)}dx=∞

となることが分かる。
0428132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/14(火) 13:45:52.41ID:Mig0Ipj0
>>427
素晴らしい
お見事です
0429132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/14(火) 15:00:03.51ID:9S0/3Gdv
〔問題142〕
A+B+C=π のとき
 sin(2A) + sin(2C) − 2 sin(2B)
 = 2 cos(A) cos(B) cos(C) {2 tan(B)−tan(A)−tan(C)},
を示せ。

高校数学の質問スレ_Part435 - 142
0430132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/14(火) 15:35:42.26ID:9S0/3Gdv
〔問題153〕
A+B+C=π のとき
 sin(2A) + 2C tan(A) − 2S = 0,
 ここに C = cos(A)cos(B)cos(C), S = sin(A)sin(B)sin(C),
を示せ。

高校数学の質問スレ_Part435 - 153
0431132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/14(火) 15:37:22.58ID:9S0/3Gdv
↑かぶった。
 C ' = cos(A) cos(B) cos(C)
です。
0433132人目の素数さん
垢版 |
2024/05/20(月) 12:30:34.51ID:UPWrtDyC
面積1の三角形に、交わりの無い二つの円板を内部に入れたとき、円板二つの面積の最大値を求めよ.
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