巨大数を語り合うスレ

[0001 １３２人目の素数さん 2022/08/11(木) 18:10:03.67 ID:Y6AO/s8S]

wikiとかに載ってるのは良し❗
オリジナルも良し❗
999999999999999とかは無しで。

[0131 １３２人目の素数さん 2023/09/16(土) 10:24:40.97 ID:Ogt2eEE8]

yahoo知恵袋にも質問したのですが回答がつかなかったので反応してくださると嬉しいです。あと、変な「?」は大体「(1)」などのナンバリングが化けたものです。

[0132 １３２人目の素数さん 2023/12/21(木) 21:10:58.52 ID:rCBdZl80]

https://note.com/eeefff_fffeee/n/n64e20848de78
誰か、ハーディ階層か急増加関数で近似してくれ

[0133 １３２人目の素数さん 2023/12/21(木) 21:33:06.55 ID:waV4YpI2]

巨大数って
計算可能な方から攻めてるけど
無限大の方から攻められないかな

[0134 １３２人目の素数さん 2023/12/22(金) 22:21:57.75 ID:5hG3QtYA]

>>133
やろうと思えばできるだろうけど。
無限自体を巨大数の一部にする、っていうのも面白そうだね。

[0135 １３２人目の素数さん 2023/12/22(金) 22:25:22.12 ID:5hG3QtYA]

無限下関数
∞を、以下により定義する。
（0、1、2…ω…Γ0…）の基本列を持つ記号

k(n)=∞の基本列の最後からn番目の数

[0136 １３２人目の素数さん 2023/12/22(金) 22:26:26.13 ID:uX5npL5W]

>>133
つ順序数崩壊関数

[0137 １３２人目の素数さん 2023/12/25(月) 14:32:18.48 ID:RRj/Av0E]

>>135
定義にもならん

[0138 １３２人目の素数さん 2024/01/16(火) 17:48:17.06 ID:FpcgVfAh]

a,b,c,d,e,n = 非負整数
X=0個以上の非負整数（セパレータは「,」）
Y=0個以上の非負整数（セパレータは「[X]」）
a:n=n個のa
a([X]b):0=a
a([X]b):(n+1)=(a([X]b):n)[X]b

(0([X]0):(n+1))[X]0=(@([X]@):n)[X]@ if @=1
((a+1)([X]0):(n+1))[X]0=(@([X]@):n)[X]@ if @=(a([X]0):(n+1))[X]0
(0([X]0):n)[X](b+1)[X]Y=(@([X]@):n)[X]b[X]Y if @=1
((a+1)([X]0):n)[X](b+1)[X]Y=(@([X]@):n)[X]b[X]Y if @=(a([X]0):n)[X](b+1)[X]Y

0[]0=@+1 if @=1
(a+1)[]0=@+1 if @=a[]0
0[X,0:b+1]0=@([X,0:b]@):@ if @=1
(a+1)[X,0:b+1]0=@([X,0:b]@):@ if @=a[X,0:b+1]0
0[X,(d+1):b+1]0=@([X,(d+1):b,d:@]@):@ if @=1
(a+1)[X,(d+1):b+1]0=@([X,(d+1):b,d:@]@):@ if @=a[X,(d+1):b+1]0
0[X,(d,d+1):b+1]0=@([X,(d,d+1):b,d:@]@):@ if @=1
(a+1)[X,(d,d+1):b+1]0=@([X,(d,d+1):b,d:@]@):@ if @=a[X,(d,d+1):b+1]0
0[X,(d,d+2):b+1]0=@([X,(d,d+2):b,(d:@,d+1):@]@):@ if @=1
(a+1)[X,(d,d+2):b+1]0=@([X,(d,d+2):b,(d:@,d+1):@]@):@ if @=a[X,(d,d+2):b+1]0
0[X,(d+e+1,d+3):b+1]0=@([X,(d+e+1,d+3):b,(0:@,d+3):@]@):@ if @=1 & e+1<d
(a+1)[X,(d+e+1,d+3):b+1]0=@([X,(d+e+1,d+3):b,(0:@,d+3):@]@):@ if @=a[X,(d+e+1,d+3):b+1]0 & e+1<d
0[X,(d:c+2,d+1):b+1]0=@([X,(d:c+2,d+1):b,(d:c+1,d+1):@]@):@ if @=1
(a+1)[X,(d:c+2,d+1):b+1]0=@([X,(d:c+2,d+1):b,(d:c+1,d+1):@]@):@ if @=a[X,(d:c+2,d+1):b+1]0

A(0)=0[]0
A(a+1)=A(a)([A(a):A(a)]A(a)):A(a)
A(100)を「ζ刻を超えて数」とする

[0139 １３２人目の素数さん 2024/01/16(火) 17:57:34.49 ID:K+N24DEr]

数自体をセパレータにして何かしらの条件で相互作用する多重構造ってかなり可能性秘めてないか？

[0140 １３２人目の素数さん 2024/01/16(火) 18:10:08.03 ID:XCqOY0au]

かなり可能性を秘めているけれど、強くなるような規則を文章に書き下すのがむずかしい

[0141 １３２人目の素数さん 2024/01/22(月) 20:38:14.28 ID:PS4YgCbq]

T関数というものをつくった
https://note.com/eeefff_fffeee/n/ndcb55cc0e377
できればこの関数の証明論的順序数とT数を急増加関数で近似したものを教えてほしい

[0142 １３２人目の素数さん 2024/01/25(木) 17:09:03.66 ID:9e1uuOOK]

クヌースの拡張ハイパー演算子というものを考えてみた

a,b は非負整数
n,m は自然数

まずは、クヌースの矢印を括弧に置き換える

a[]b = a↑b = a^b
a[][]b = a[]a[]a[]a...{b個}...a[]a = a↑↑b = a↑a↑a↑a...{b個}...a↑a
a[][][]b = a[][]a[][]a[][]a...{b個}...a[][]a = a↑↑↑b = a↑↑a↑↑a↑↑a...{b個}...a↑↑a
a[][][][]b = a[][][]a[][][]a[][][]a...{b個}...a[][][]a = a↑↑↑↑b = a↑↑↑a↑↑↑a↑↑↑a...{b個}...a↑↑↑a
a[][][]...{n個}...[]b = a↑↑↑...{n個}...↑b

これを一般化すると

a[][][]...{n個}...[]0 = 1
a[](b+1) = a^(a[]b)
a[][][]...{n+1個}...[](b+1) = a[][][]...{n個}...[](a[][][]...{n+1個}...[]b)

[0143 １３２人目の素数さん 2024/01/25(木) 17:10:08.04 ID:9e1uuOOK]

次にクヌースの矢印を拡張する

a[[]]0 = 1
a[[]](b+1) = a[][][]...{a[[]]b個}...[]a

これで a[[]]a は F[ω](a) くらいの大きさになる
次にωの継続順序数の大きさになるように定義する

a[[]][][][]...{n個}...[]0 = 1
a[[]][](b+1) = a[[]](a[[]][]b)
a[[]][][][]...{n+1個}...[](b+1) = a[[]][][][]...{n個}...[](a[[]][][][]...{n+1個}...[]b)

これで a[[]][]a は F[ω+1](a)、a[[]][][]a は F[ω+2](a)、a[[]][][][]a は F[ω+3](a) ... という大きさになる
次にω×2の大きさになるように定義する

a[[]][][[]]0 = 1
a[[]][][[]](b+1) = a[[]][][][]...{a[[]][][[]]b個}...[]a

これで a[[]][][[]]a は F[ω+ω](a) = F[ω×2](a) くらいの大きさになる

[0144 １３２人目の素数さん 2024/01/25(木) 17:11:19.31 ID:9e1uuOOK]

次にω×2の継続順序数の大きさになるように定義する

a[[]][][[]][][][]...{n個}...[]0 = 1
a[[]][][[]][](b+1) = a[[]][][[]](a[[]][][[]][]b)
a[[]][][[]][][][]...{n+1個}...[](b+1) = a[[]][][[]][][][]...{n個}...[](a[[]][][[]][][][]...{n+1個}...[]b)

これで a[[]][][[]][]a は F[ω×2+1](a)、a[[]][][[]][][]a は F[ω×2+2](a)、a[[]][][[]][][][]a は F[ω×2+3](a) ... という大きさになる
次にω×3の大きさになるように定義する

a[[]][][[]][][[]]0 = 1
a[[]][][[]][][[]](b+1) = a[[]][][[]][][][]...{a[[]][][[]][][[]]b個}...[]a

これで a[[]][][[]][][[]]a は F[ω+ω+ω](a) = F[ω×3](a) くらいの大きさになる
ここまで定義すると演算子の形と順序数の大きさに相関が見えてくる

a[[]][][[]][][[]][][[]]a だと F[ω+ω+ω+ω](a) = F[ω×4](a)
a[[]][][[]][][[]][][[]][][[]]a だと F[ω+ω+ω+ω+ω](a) = F[ω×5](a)
a[[]][][[]][][[]][][[]][][[]][][[]]a だと F[ω+ω+ω+ω+ω+ω](a) = F[ω×6](a)
......

急増化関数の順序数の演算+が [[]][][[]] の [] に相当している

[0145 １３２人目の素数さん 2024/01/25(木) 17:12:20.59 ID:9e1uuOOK]

これを踏まえてω^2の大きさになるような次の定義ができる

a[[]][][][[]]0 = 1
a[[]][][][[]](b+1) = a[[]][][[]][][[]][][[]]...{a[[]][][][[]]b個}...[[]][][[]]a

ω^2はω×ωなので [[]][][][[]] の [][] が順序数の演算×に対応している
これを踏まえてクヌースの拡張ハイパー演算子と順序数の対応を以下に示す

[[]][][][[]][] = ω^2+1
[[]][][][[]][][[]] = ω^2+ω
[[]][][][[]][][[]][][[]] = ω^2+ω×2
[[]][][][[]][][[]][][][[]] = ω^2+ω^2 = ω^2×2
[[]][][][[]][][[]][][][[]][][[]][][][[]] = ω^2+ω^2+ω^2 = ω^2×3

[[]][][][[]] をω個 [] で連結したものを [[]][][][[]][][][[]] と表現する

[[]][][][[]][][][[]] = ω^3

[[]][][][[]][][][[]] をω個 [] で連結したものを [[]][][][[]][][][[]][][][[]] と表現する

[[]][][][[]][][][[]][][][[]] = ω^4

[[]][][][[]][][][[]][][][[]] をω個 [] で連結したものを [[]][][][[]][][][[]][][][[]][][][[]] と表現する

[[]][][][[]][][][[]][][][[]][][][[]] = ω^5

[[]] をω個 [][]で連結したものを [[]][][][][[]] と表現する

[[]][][][][[]] = ω^ω

[0146 １３２人目の素数さん 2024/01/25(木) 17:13:34.67 ID:9e1uuOOK]

同様の拡張を行なっていけば

[[]][][][][[]][] = ω^ω+1
[[]][][][][[]][][[]] = ω^ω+ω
[[]][][][][[]][][[]][][[]] = ω^ω+ω×2
[[]][][][][[]][][[]][][][[]] = ω^ω+ω^2
[[]][][][][[]][][[]][][][][[]] = ω^ω×2
[[]][][][][[]][][][[]] = ω^(ω+1)
[[]][][][][[]][][][[]][][][[]] = ω^(ω+2)
[[]][][][][[]][][][[]][][][][[]] = ω^(ω×2)
[[]][][][][[]][][][][[]] = ω^ω^2
[[]][][][][[]][][][][[]][][][][[]] = ω^ω^3
[[]][][][][][[]] = ω^ω^ω
[[]][][][][][][[]] = ω^ω^ω^ω
[[]][][][][][][][[]] = ω^ω^ω^ω^ω

このように表現できる
そして [[]] と [[]] の間をω個の [] で敷き詰めるものを [[]][[]] と表現する

[[]][[]] = ε_0

同様の拡張を行なっていけば

[[]][[]][] = ε_0+1
[[]][[]][][[]] = ε_0+ω
[[]][[]][][[]][][[]] = ε_0+ω×2
[[]][[]][][[]][][][[]] = ε_0+ω^2
[[]][[]][][[]][][][][[]] = ε_0+ω^ω
[[]][[]][][[]][][][][][[]] = ε_0+ω^ω^ω
[[]][[]][][[]][][][][][][[]] = ε_0+ω^ω^ω^ω
[[]][[]][][[]][[]] = ε_0×2
[[]][[]][][][[]] = ε_0×ω
[[]][[]][][][[]][[]] = ε_0^2
[[]][[]][][][][[]] = ε_0^ω
[[]][[]][][][][[]][[]] = ε_0^ε_0
[[]][[]][][][][][[]] = ε_0^ε_0^ω
[[]][[]][][][][][[]][[]] = ε_0^ε_0^ε_0
[[]][[]][][][][][][[]] = ε_0^ε_0^ε_0^ω
[[]][[]][][][][][][[]][[]] = ε_0^ε_0^ε_0^ε_0

このように表現できる

[0147 １３２人目の素数さん 2024/01/25(木) 17:14:20.22 ID:9e1uuOOK]

そして [[]][[]] と [[]][[]] の間をω個の [] で敷き詰めるものを [[]][[]][[]] と表現する

[[]][[]][[]] = ε_1

パターンから次にように表現できることがわかる

[[]][[]][[]][[]] = ε_2
[[]][[]][[]][[]][[]] = ε_3
[[]][[]][[]][[]][[]][[]] = ε_4

[[]] をω個並べたものを [[][]] と表現する

[[][]] = ε_ω

そして次のように拡張できる

[[][]][[]] = ε_(ω+1)
[[][]][[]][[]] = ε_(ω+2)
[[][]][[]][[][]] = ε_(ω×2)
[[][]][[]][[]][[][]] = ε_(ω^2)
[[][]][[]][[]][[]][[][]] = ε_(ω^ω)
[[][]][[]][[]][[]][[]][[][]] = ε_(ω^ω^ω)
[[][]][[]][[]][[]][[]][[]][[][]] = ε_(ω^ω^ω^ω)
[[][]][[][]] = ε_ε_0
[[][]][[][]][[][]] = ε_ε_1
[[][]][[][]][[][]][[][]] = ε_ε_2
[[][][]] = ε_ε_ω
[[][][][]] = ε_ε_ε_ω
[[][][][][]] = ε_ε_ε_ε_ω

[] の中に [] をω個並べたものを [[[]]] と表現する

[[[]]] = ζ_0

そして

[[[[]]]] = φ(ω,0)
[[[[[]]]]] = φ(ζ_0,0)
[[[[[[]]]]]] = φ(φ(ω,0),0)
[[[[[[[]]]]]]] = φ(φ(ζ_0,0),0)
[[[[[[[[]]]]]]]] = φ(φ(φ(ω,0),0),0)
[[[[[[[[[]]]]]]]]] = φ(φ(φ(ζ_0,0),0),0)

[[[[[...]]]]] という風に [] がω個入れ子になったものはΓ_0の大きさになる

[0148 １３２人目の素数さん 2024/01/26(金) 20:26:55.45 ID:D3vSnxYw]

チルダ表記
a,b,c,...　2以上の整数
X　0個以上の1以上の整数

X~n~1=n
X~n~n=＝X~n-1~(n~n-1)
n~~n=n-1~(n~(...(n~n-1)...)
　　　　　↑n-1個のn~
n~...~n=n-1~...~(n~...~(...(n〜n-1)...)
　↑n個　　↑n-1個

続いて、チルダレベルを考える。
ここで、t(a,...,z)のような配列にして考える。
t(0,0,n)=n
t(0,m,n)=n~...~n
　　　　　↑m個
ここでは一番左がレベルなので、これはレベル0。
t(1,m,n)=t(0,t(0,m,n),t(0,m,n))とする。
t(l,m,n)=t(l-1,t(l-2,t(...(0,m,n)...),t(l-1,t(l-2,t(...(0,m,n)...))
　　　　　　　　　↑l重　　　　　　　　↑l重
これを1変数レベルチルダ配列とする。
レベルを多変数化する。
t(X,a,0,m,n)=t(X,a-1,a,m,n)
t(X,l,m,n)については、1変数レベルチルダ配列と同様に計算する。

t(3,3,3,3,3)をチルダ数とする。

[0149 １３２人目の素数さん 2024/01/26(金) 21:52:11.92 ID:DkFDWBUm]

ε₀はα=ω^αである最小の順序数なので、ε₀=ω^ε₀=ω^ω^ε₀=...になる。この式が成り立つような表記の方がわかりやすい。

[0150 １３２人目の素数さん 2024/01/26(金) 22:18:43.78 ID:o7ULrgpX]

>>4
結局+1から帰納的なのよな
神の存在を前提にするような
上から持ってくるような定義は
できないものかね
ほら
到達不能基数の存在を仮定すると
実数の中にℵ1の部分集合を
作れるらしいじゃん（実数はℵ2）
そげな感じで

[0151 １３２人目の素数さん 2024/01/27(土) 06:29:25.21 ID:l3IhlFhD]

>>150

>到達不能基数の存在を仮定すると
>実数の中にℵ1の部分集合を
>作れるらしいじゃん（実数はℵ2）

kwsk!

[0152 １３２人目の素数さん 2024/01/29(月) 20:50:00.88 ID:IEsrQJk3]

ちょっと簡単なチェーンの拡張
Z(n)=n→n→...→n
　　　　　↑Z(n-1)個のチェーン

例
Z(1)=1→1=1
Z(2)=2→2=4
Z(3)=3→3→3→3→3

[0153 １３２人目の素数さん 2024/01/29(月) 23:09:40.17 ID:fhs0ranu]

帰納的に定義できる数列ってもしや可算個？
数列の全体は当然ながら非可算（連続）だから
どんな機能的に定義できる単調増加数列よりも
本質的に急増化する単調増加数列が存在したりしない？

[0154 １３２人目の素数さん 2024/02/21(水) 17:36:15.65 ID:JarRowzG]

aは自然数
b,c,nは非負整数
Xは0個以上の非負整数
Yは1個以上の非負整数
a:nはn個のa

A[0](a)=a↑^[a]a
A[b+1](a)=A[b](A[b](A[b](...{A[b](a)回入れ子}...A[b](a)...)))
A[0:n+2](a)=A[a:n+1](a)
A[0:n+1,b+1](a)=A[0:n+1,b](A[0:n+1,b](A[0:n+1,b](...{A[0:n+1,b](a)回入れ子}...A[0:n+1,b](a)...)))
A[X,c+1,0:n+1](a)=A[X,c,a:n+1](a)
A[X,c+1,0:n,b+1](a)=A[X,c+1,0:n,b](A[X,c+1,0:n,b](A[X,c+1,0:n,b](...{A[X,c+1,0:n,b](a)回入れ子}...A[X,c+1,0:n,b](a)...)))
A[0][0](a)=A[a:a](a)
A[0:n+2][0](a)=A[a:n+1][a:a](a)
A[X,b+1,0:n][0](a)=A[X,b,a:n][a:a](a)
A[Y][b+1](a)=A[Y][b](A[Y][b](A[Y][b](...{A[Y][b](a)回入れ子}...A[Y][b](a)...)))
A[Y][0:n+2](a)=A[Y][a:n+1](a)
A[Y][0:n+1,b+1](a)=A[Y][0:n+1,b](A[Y][0:n+1,b](A[Y][0:n+1,b](...{A[Y][0:n+1,b](a)回入れ子}...A[Y][0:n+1,b](a)...)))
A[Y][X,c+1,0:n+1](a)=A[Y][X,c,a:n+1](a)
A[Y][X,c+1,0:n,b+1](a)=A[Y][X,c+1,0:n,b](A[Y][X,c+1,0:n,b](A[Y][X,c+1,0:n,b](...{A[Y][X,c+1,0:n,b](a)回入れ子}...A[Y][X,c+1,0:n,b](a)...)))
AA(a)=A[a:a][a:a](a)

AA(10^100)をアッー数とする

[0155 １３２人目の素数さん 2024/02/21(水) 19:24:19.19 ID:YxvD7XY7]

昨日的にしか定義できない

[0156 １３２人目の素数さん 2024/03/06(水) 01:00:55.66 ID:Rot0tfTt]

a,b,c,n := 非負整数
X := 0個以上の非負整数
a:n := n個のa
a:n+b := a:(n+b)
a[X]b[X]c := a[X](b[X]c)

A()=1
A(0)=A()+1
A(a+1)=A(a)+1
A(0:n+2)=A(A(1:n+1):n+1)
A(0:n+1,a+1)=A(A(0:n+1,a):n+1)
A(X,b+1,0:n+1)=A(X,b,A(X,b,1:n+1):n+1)
A(X,b+1,0:n,a+1)=A(X,b,A(X,b+1,0:n,a):n+1)

0[]0=A(A(1):A(1))
(a+1)[]0=A((a[]0):(a[]0))
0[](b+1)=(1[]b)[]b
(a+1)[](b+1)=(a[](b+1))[]b
a[0]0=a[]a
a[0](b+1)=a[](a[0]b)
a[0:n+2]0=a[a:n+1]a
a[0:n+2](b+1)=a[(a[0:n+2]b):n+1]a
a[0:n,c+1,X]0=a[a:n,c,X]a
a[0:n,c+1,X](b+1)=a[(a[0:n,c+1,X]b):n,c,X](a[0:n,c+1,X]b)

10[10:10]10をテンフォーテンテン数とする

[0157 １３２人目の素数さん 2024/03/07(木) 17:07:05.21 ID:8d4JLJ+t]

クヌースの矢印の拡張
足算や掛算にも対応
チェーン表記よりは大きいと思う

a,b,c,n は、非負整数
X は、0個以上の非負整数
a:n は、n個のa
a:n+b は、a:(n+b)

a↑^[]0 = a
a↑^[](b+1) = 1+(a↑^[]b)
a↑^[0]0 = 0
a↑^[0](b+1) = a↑^[](a↑^[0]b)
a↑^[c+1,X]0 = 1
a↑^[c+1,X](b+1) = a↑^[c,X](a↑^[c+1,X]b)
a↑^[0:n+2]0 = a↑^[a:n+1]a
a↑^[0:n+2](b+1) = a↑^[(a↑^[0:n+2]b):n+1]a
a↑^[0:n+1,c+1,X]0 = a↑^[a:n+1,c,X]a
a↑^[0:n+1,c+1,X](b+1) = a↑^[(a↑^[0:n+1,c+1,X]b):n+1,c,X]a

[0158 １３２人目の素数さん 2024/03/07(木) 21:24:11.01 ID:SzbQfsPE]

どこまで行ってもきのうだもんな

[0159 １３２人目の素数さん 2024/03/07(木) 23:47:04.62 ID:ArODCMGd]

π(a,b)=10進数小数点で表す円周率の部分数字列の位置を探索する関数
a:探索開始位置
b:探索対象の部分数字列

π=3.141592653589793238462643383279502884...
例
π(0,3)=0
π(0,31)=1
π(0,314)=2
π(0,3141)=3
π(2,1)=3
π(10,5)=10
π(20,38)=26

Ack(a,0)=a+1
Ack(0,b+1)=Ack(1,b)
Ack(a+1,b+1)=Ack(Ack(a,b+1),b)

πAck(a)=π(Ack(a,a),Ack(a,a))

[0160 １３２人目の素数さん 2024/03/08(金) 22:20:13.51 ID:cjQoQU7+]

>>151
ℵ1<2^ℵ0 である以上、(単射) ℵ1→実数 が存在するだろ

[0161 １３２人目の素数さん 2024/03/08(金) 22:47:13.45 ID:JIdAAjLk]

>>160
>ℵ1<2^ℵ0 である以上
それ言えないんぢゃ
巨大基数がないとね

[0162 １３２人目の素数さん 2024/03/08(金) 22:48:54.42 ID:JIdAAjLk]

あー
正しくは
巨大基数があれば言える

[0163 １３２人目の素数さん 2024/03/08(金) 22:49:40.54 ID:JIdAAjLk]

で
巨大基数があるとは言えない

[0164 １３２人目の素数さん 2024/03/08(金) 22:51:41.34 ID:JIdAAjLk]

>>160
しかも>>151では（実数はℵ2）が本質よ

[0165 １３２人目の素数さん 2024/03/08(金) 22:54:17.93 ID:JIdAAjLk]

巨大基数の存在を仮定すれば
ℵ0<ℵ1<2^ℵ0=ℵ2
つまり実数の中に実数より濃度が低く有理数より濃度の高い部分集合を具体的に作れる

[0166 １３２人目の素数さん 2024/03/12(火) 19:55:17.62 ID:ugEEIIkh]

>>160
ℵ0<2^ℵ0 でℵ0の次がℵ1だから ℵ1≦2^ℵ0
これで (単射) ℵ1→実数 が存在する

[0167 １３２人目の素数さん 2024/03/12(火) 21:09:41.38 ID:AUe5KDjR]

>>166
それは当たり前
>>165が当たり前でない結果
もっと言うと
ℵ0<ℵ1<ℵ2=2^ℵ0=2^ℵ1
になるさ

[0168 １３２人目の素数さん 2024/03/13(水) 01:26:39.33 ID:kgBt9MBH]

安心した

[0169 １３２人目の素数さん 2024/03/23(土) 00:27:38.97 ID:j12Ybla6]

a,b,c := 非負整数

a{}0=a
a{}(b+1)=1+(a{}b)
a{0}0=0
a{0}(b+1)=a{}(a{0}b)
a{}0=1
a{c+1}(b+1)=a{c}(a{c+1}b)

X := 0個以上の(非負整数∨任意の記号)

左辺=a[X](b+1) → @=a[X]b

n0 := 非負整数
X0 := 0個以上の非負整数
X0 が1個以上 → 右端は非負整数
a:b := b個のa
a:b+c := a:(b+c)

a[]0=a{a}a
a[](b+1)=@{@}@
a[0:n0+1]0=a[a:n0]a
a[0:n0+1](b+1)=@[@:n0]@
a[X0,c+1,0:n]0=a[X0,c,a:n0]a
a[X0,c+1,0:n0](b+1)=@[X0,c,@:n0]@

n1 := 非負整数
X0,X1 := 0個以上の(非負整数∨[])
X1 が1個以上 → 右端は[]

a[[]:n1+1]0=a[a:a,([],a:a):n1]a
a[[]:n1+1](b+1)=@[@:@,([],@:@):n1]@
a[X1,0:n0+1,[]:n1]0=a[X1,a:n0,([],a:a):n1]a
a[X1,0:n0+1,[]:n1](b+1)=@[X1,@:n0,([],@:@):n1]@
a[X0,c+1,0:n0,[]:n1]0=a[X0,c,a:n0,([],a:a):n1]a
a[X0,c+1,0:n0,[]:n1](b+1)=@[X0,c,@:n0,([],@:@):n1]@

n2 := 非負整数
X0〜X2 := 0個以上の(非負整数∨[]∨[][])
X2 が1個以上 → 右端は[][]

a[[][]:n2+1]0=a[a:a,([],a:a):a,([][],a:a,([],a:a):a):n2]a
a[[][]:n2+1](b+1)=@[@:@,([],@:@):@,([][],@:@,([],@:@):@):n2]@
a[X2,[]:n1+1,[][]:n2]0=a[a:a,([],a:a):n1,([],a:a):a):n2]a
a[X2,[]:n1+1,[][]:n2](b+1)=@[@:@,([],@:@):n1,([][],@:@,([],@:@):@):n2]@
a[X1,0:n0+1,[]:n1,[][]:n2]0=a[X1,a:n0,([],a:a):n1,([],a:a):a):n2]a
a[X1,0:n0+1,[]:n1,[][]:n2](b+1)=@[X1,@:n0,([],@:@):n1,([][],@:@,([],@:@):@):n2]@
a[X0,c+1,0:n0,[]:n1,[][]:n2]0=a[X0,c,a:n0,([],a:a):n1,([],a:a):a):n2]a
a[X0,c+1,0:n0,[]:n1,[][]:n2](b+1)=@[X0,c,@:n0,([],@:@):n1,([][],@:@,([],@:@):@):n2]@

[0170 １３２人目の素数さん 2024/03/29(金) 17:35:26.73 ID:e6nWm8sb]

a,b,i,j,n,m,m_0〜m_j　非負整数
X,X[],X[j]　0個以上の（非負整数または[]または[非負整数]）
X[]　1個以上の場合、右端は[]
X[j]　1個以上の場合、右端は[j]

${f,0,a}=a
${f,b+1,a}=f(${f,b,a})

a:0=()
a:(b+1)=a:b,a

m_j..j=m_j
m_j..(j+i+1)=m_j..(j+i),m_(j+i+1)

#0(n)=0:n
#0(n,m)=#0(n),[]:m
#0(n,m,m_0)=#0(n,m),[0]:m_0
#0(n,m,m_0..(i+1))=#0(n,m,m_0..i),[i+1]:m_(i+1)

#1(m)=[]:m
#1(m,m_0)=#1(m),[0]:m_0
#1(m,m_0..(i+1))=#1(m,m_0..i),[i+1]:m_(i+1)

#(j+2)(m_j)=[j]:m_j
#(j+2)(m_j..(j+i+1))=#(j+2)(m_j..(j+i)),[j+i+1]:m_(j+i+1)

#(a,n)=a:n
#(a,n,m)=#(a,n),([],#(a,a)):m
#(a,n,m,m_0)=#(a,n,m),([0],#(a,a,a)):m_0
#(a,n,m,m_0..(i+1))=#(a,n,m,m_0..i),([i+1],#(a:(i+4))):m_(i+1)

A[]{0}(a)=a+1
A[X]{b+1}(0)=${A[X]{b},1,1}
A[X]{b+1}(a+1)=${A[X]{b},A[X]{b+1}(a),A[X]{b+1}(a)}
A[X[j+1],[j],#(j+2)(m_j..(j+i))]{0}(a)=A[X,#(a:(j+3),m_j..(j+i))]{a}(a)
A[X[0],[],#1(m,m_0..i)]{0}(a)=A[X,#(a:2,m,m_0..i)]{a}(a)
A[X[],0,#0(n,m,m_0..i)]{0}(a)=A[X,#(a:1,n,m,m_0..i)]{a}(a)
A[X,b+1,#0(n,m,m_0..i)]{0}(a)=A[X,b,#(a,n,m,m_0..i)]{a}(a)

B(a)=A[#(a:(a+2))]{a}(a)

[0171 １３２人目の素数さん 2024/03/29(金) 18:03:35.03 ID:PS0USHOA]

帰納的に定義できる単調増加数列の全体は可算にならないかな
可算なら並べて
n番目までの数列の第n項の最大をanとしたら
{an}はどの数列よりいずれは大きくなるよね
※帰納的に定義できるてのが曖昧だけど
どうせ演算は全てs（ns=n+1)から帰納的に定義するんだから
なんとかならんかな
任意自然数を容認しなければ可算になりそうだけど
※{an}は帰納的に定義されているんじゃないかと思うかもしれないが
可算個の数列を並べるのは帰納的にはできないはず

[0172 １３２人目の素数さん 2024/04/04(木) 17:22:47.59 ID:rH3WMt07]

この定義で厳密にε_0までの計算ができるよ

a,b,c,d,eは、非負整数

$@0=$
$@1=$@
$@2=$@@
$@3=$@@@
$@(a+1)=$@a@

$#(@(b+1)#)0=$#
$#(@(b+1)#)1=$#@(b+1)#
$#(@(b+1)#)2=$#@(b+1)#@(b+1)#
$#(@(b+1)#)3=$#@(b+1)#@(b+1)#@(b+1)#
$#(@(b+1)#)(a+1)=$#(@(b+1)#)a@(b+1)#

$=1
$@(a+1)=($@a)+1
$#=$@
$#@(a+1)=$#@($#@a)
$#(@(e+1)#)d(@#)(b+1)=$#(@(e+1)#)d(@#)b@
$#(@(e+1)#)d(@#)(b+1)@(a+1)=$#(@(e+1)#)d(@#)b@($#(@(e+1)#)d(@#)(b+1)@a)
$#(@(e+1)#)d(@(c+2)#)(d+1)=$#(@(e+1)#)d(@(c+2)#)d@(c+1)#
$#(@(e+1)#)d(@(c+2)#)(d+1)@(a+1)=$#(@(e+1)#)d(@(c+2)#)d(@(c+1)#)($#(@(e+1)#)d(@(c+2)#)(d+1)@a)

G(a)=$#(@(a+1))#

G(0)≒F_[1](n)
G(1)≒F_[ω](n)
G(2)≒F_[ω^ω](n)
G(3)≒F_[ω^ω^ω](n)
G(4)≒F_[ω^ω^ω^ω](n)
G(5)≒F_[ω^ω^ω^ω^ω](n)
G(6)≒F_[ω^ω^ω^ω^ω^ω](n)
G(ω)≒F_[ε_0](n)

[0173 １３２人目の素数さん 2024/04/05(金) 18:15:38.40 ID:V18NiWPw]

数学はマジで素人だけどちょっと考えた
以下に考えた事書くから不備やどの程度大きいのか指摘して

全ての自然数の集合をNと置く
実数R上の閉区間[0, 1]を取る。これをDと置く
写像N→Dをfと置く。要するに全ての自然数を閉区間[0, 1]上にマップする関数をfと置く

この時fの逆関数をf^ー1として
∫_D f^-1(x) dx
ってのを考えてみた
N上にf^-1がない時は0を返すとする

[0174 １３２人目の素数さん 2024/04/05(金) 20:30:44.30 ID:4Qw2EXb1]

0 にしかならん

[0175 １３２人目の素数さん 2024/04/05(金) 20:56:56.52 ID:V18NiWPw]

>>174
ほんとだ、こんなん基本中の基本じゃん
ごめん

[0176 １３２人目の素数さん 2024/04/05(金) 21:32:57.30 ID:DNKACrxy]

>>172は定義が不完全だった
完全版を定義した

a,b,c,n,a_1〜a_n,b_1〜b_nは、全て非負整数

@0=()
@1=@
@2=@@
@3=@@@
@(a+1)=@a@

#(@(a+1)#)0=#
#(@(a+1)#)1=#@(a+1)#
#(@(a+1)#)2=#@(a+1)#@(a+1)#
#(@(a+1)#)3=#@(a+1)#@(a+1)#@(a+1)#
#(@(a+1)#)(b+1)=#(@(a+1)#)b@(a+1)#

a_1..1=a_1
a_1..2=a_1,a_2
a_1..3=a_1,a_2,a_3
a_1..(n+1)=a_1..n,a_(n+1)

%[a_1..1][b_1..1]=((@1#)a_1)b_1
%[a_1..2][b_1..2]=(%[a_1..1][a_1..1](@2#)a_2)b_2=(((@1#)a_1)b_1(@2#)a_2)b_2
%[a_1..3][b_1..3]=(%[a_1..2][a_1..2](@3#)a_3)b_3=(((@1#)a_1)b_1((@2#)a_2)b_2(@3#)a_3)b_3
%[a_1..(n+2)][b_1..(n+2)]=(%[a_1..(n+1)][a_1..(n+1)](@(n+2)#)a_(n+2))b_(n+2)

$=1
$@(a+1)=($@a)+1
$#=$@
$#@(a+1)=$@($#@a)
$#%[a_1..(n+2)][b_1..(n+2)](@#)(b+1)=$#%[a_1..(n+2)][b_1..(n+2)](@#)b@
$#%[a_1..(n+2)][b_1..(n+2)](@#)(b+1)@(a+1)=$#%[a_1..(n+2)][b_1..(n+2)](@#)b@($#%[a_1..(n+2)][b_1..(n+2)](@#)(b+1)@a)
$#%[a_1..(n+c+3)][b_1..(n+c+3)](@(c+2)#)(b+1)=$#%[a_1..(n+c+3)][b_1..(n+c+3)](@(c+2)#)b(@(c+1)#)
$#%[a_1..(n+c+3)][b_1..(n+c+3)](@(c+2)#)(b+1)@(a+1)=$#%[a_1..(n+c+3)][b_1..(n+c+3)](@(c+2)#)b(@(c+1)#)($#%[a_1..(n+c+3)][b_1..(n+c+3)](@(c+2)#)(b+1)@a)

G(a)=$#(@(a+1))#

H(0)=$#@#
H(a+1)=$#(@H(a)#)H(a)

[0177 １３２人目の素数さん 2024/04/29(月) 15:23:45.12 ID:wsprM2kn]

グラハム数の拡張

a,b,c,nは自然数
Xは0個以上の非負整数
a#nはn個のa

G()=4
G(a)=3↑^[G(a-1)]3
G(0#n)=G(64#(n-1))
G(0#n,a)=G(G(0#n,a-1):n)
G(X,b,0#n)=G(X,b-1,64#n)
G(X,b,0#n,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#n,a-1)#(n+1))
G(X,b,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#n,a-1))

G()=4
G(0)=4
G(a)=3↑^[G(a-1)]3
G(0,0)=G(64)
G(0,a)=G(G(0,a-1))
G(b,0)=G(b-1,64)
G(b,a)=G(b-1,G(b,a-1))
G(0,0,0)=G(64,64)
G(0,0,a)=G(G(0,0,a-1),G(0,0,a-1))
G(0,b,0)=G(0,b-1,64)
G(0,b,a)=G(0,b-1,G(0,b,a-1))
G(c,0,0)=G(c-1,64,64)
G(c,0,a)=G(c-1,G(c,0,a-1),G(c,0,a-1))
G(c,b,0)=G(c,b-1,64)
G(c,b,a)=G(c,b-1,G(c,b,a-1))
G(0,0,0,0)=G(64,64,64)
……
GG(0)=G(64#64)
GG(a)=G(GG(a-1)#GG(a-1))
GG(64)をグラグラ数と命名する

[0178 １３２人目の素数さん 2024/04/29(月) 15:29:07.61 ID:wsprM2kn]

>>177
定義間違いがあった

a,b,c,nは自然数
Xは0個以上の非負整数
a#nはn個のa

G()=4
G(a)=3↑^[G(a-1)]3
G(0#n)=G(64#(n-1))
G(0#n,a)=G(G(0#n,a-1):n)
G(X,b,0#n)=G(X,b-1,64#n)
G(X,b,0#n,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#n,a-1)#(n+1))
G(X,b,a)=G(X,b-1,G(X,b,a-1))

これが正しい定義

[0179 １３２人目の素数さん 2024/04/29(月) 15:34:45.42 ID:wsprM2kn]

>>178
いかんまだ誤りがあった

a,b,c,nは自然数
Xは0個以上の非負整数
a#nはn個のa

G()=4
G(a)=3↑^[G(a-1)]3
G(0#n)=G(64#(n-1))
G(0#n,a)=G(G(0#n,a-1)#n)
G(X,b,0#n)=G(X,b-1,64#n)
G(X,b,0#n,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#n,a-1)#(n+1))
G(X,b,a)=G(X,b-1,G(X,b,a-1))

今度こそ大丈夫なはず

[0180 １３２人目の素数さん 2024/04/30(火) 17:58:23.82 ID:I1t0t/NO]

拡張グラハム数はこの定義の方がいいかも

a,b,c,nは自然数
Xは0個以上の非負整数
a#nはn個のa

g()=3
g(0)=4
g(a)=g()↑^[g(a-1)]g()
G()=g(g(0)^g())
G(0)=g(G())
G(a)=g(G(a-1))
G(0#n,0)=G(G()#n)
G(0#n,a)=G(G(0#n,a-1)#n)
G(X,b,0#n)=G(X,b-1,G()#n)
G(X,b,a)=G(X,b-1,G(X,b,a-1))
G(X,b,0#n,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#n,a-1)#(n+1))
GG()=G(G()#G())
GG(0)=G(GG()#GG())
GG(a)=G(GG(a-1)#GG(a-1))
拡張グラハム数=GG(G())

[0181 １３２人目の素数さん 2024/05/02(木) 00:49:28.53 ID:sriXt4uh]

>>180の定義をさらに厳密化

a,b,cは自然数
Xは0個以上の非負整数
a#bはb個のa

a{}0=a
a{}b=1+(a{}(b-1))
a{0}0=0
a{0}b=a{}(a{0}(b-1))
a{c}0=1
a{c}b=a{c-1}(a{c}(b-1))
g()=1{}1{}1
g(0)=g(){}1
g(a)=g(){g(a-1)}g()
G()=g(g(0){1}g())
G(0)=g(G())
G(a)=g(G(a-1))
G(0#c,0)=G(G()#c)
G(0#c,a)=G(G(0#c,a-1)#c)
G(X,b,0#c)=G(X,b-1,G()#c)
G(X,b,a)=G(X,b-1,G(X,b,a-1))
G(X,b,0#c,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#c,a-1)#(c+1))
GG()=G(G()#G())
GG(0)=G(GG()#GG())
GG(a)=G(GG(a-1)#GG(a-1))
拡張グラハム数=GG(GG())