現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） 大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
以下過去スレより再掲
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/7
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな
再生は無理だろう
そもそも、５ＣＨ（旧２ＣＨ）は、数学に向かない
アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない
複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない）
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを 個人的には、下記は、”知恵袋の人>>> ５ＣＨ（旧２ＣＨ）の人”と思うよ（＾＾
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/494
494 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/17
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部～修士
ライター：amane_ruriさん（最終更新日時:2012/8/6）
ナイス！：5閲覧数：11594
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。（多分皆がそうでしょう。）そして、結果が問われてきます。
ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。（足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ）
2. 2ｃｈ*)の内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞ 2ｃｈ*)や知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈ*)の人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り) (注*)：2ｃｈは、現5ｃｈ) 過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/338
338 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/09(日) 23:46:26.46 ID:Rh9CzQs6
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか
有名な話で、有限単純群の分類
”出来た！”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか
おいおい、競馬じゃないんだよ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。 >>7 補足
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/352
352 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/29(土)
みんな、何に価値をおいているか、それぞれだろうが・・
個人的には、数学板で一番価値を置いているのは、確かな情報 つまり 根拠の明確な情報 つまり コピペ
わけのわからん名無しさん（素数さん）のカキコを真に受けるとか、価値をおく人は少ないだろう
きちんと、大学教員レベルの証明があればともかく、匿名板でそれはない（名無しカキコは基本価値なし） >>8 補足
＜数学ディベート＞について
過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1494038985/50
50 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/06
どこの馬の骨ともしれん連中との、数学ディベートもどきより
URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です（＾＾；
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1494038985/189-190
189 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
いやはや、（文系） High level people たち（ ID:jEMrGWmk さん含め）の、数学ディベートもどきは面白いですね（＾＾；
”手強い？”とは・・、まさに、ディベートですね
私ら、理系の出典（URL)とコピペベース、ロジック（論証）＆証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル（２ＣＨスタイル？）とは、明白に違いますね
私ら、（文系） High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ（＾＾；
190 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
私ら、理系は、一応従来の議論は調べて、その上でしか議論はしません
そうしないと、大概二番煎じですし、車輪の再発明ですから
典拠もなしによく議論しますね～。よく分かりましたよ（＾＾；
私とは、議論がかみ合わないわけだ・・
”他サイトからのコピペでスレを埋め尽くす行為” なんて非難されましたけどね～（＾＾；
ディベートに勝ちたいからそういう発言なんですね～。典拠もなしで、出した典拠も読まない議論か・・。よく分かりましたよ（＾＾； 過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/638
638 名前：現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/07/11(火) 08:40:28.58 ID:+FRiTcES
>>630
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>>まあ、おっちゃんが、上記を理解したら、時枝は終わりにしよう
>マジメに時枝問題のことでスレ主に付き合う気はなく、
>もはやそういうことをする価値もない。
>スレ主自身の主張や考え方が大きく間違っていることを私のせいにするべきではない。
いやいや、おっちゃんよりレベルの低い人と議論するつもりはないんだよ～（＾＾
がまあ、おっちゃんのいう「価値もない」にも一理ある
ということで、皆さん悪いが、時枝は、一時棚上げだ。時々やろう
下記のパロディーで言えば、「数学雑談&ガロア理論 ～おっちゃんとボクと、時々、（時枝 ＆ ￥さん）～」かな（＾＾
まあ、話題を散らしながら、ゆっくりやりましょう（＾＾
おっちゃん！ いま気になっていることを、好きに書いてくれ！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%BF%E3%83%AF%E3%83%BC_%E3%80%9C%E3%82%AA%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%81%A8%E3%83%9C%E3%82%AF%E3%81%A8%E3%80%81%E6%99%82%E3%80%85%E3%80%81%E3%82%AA%E3%83%88%E3%83%B3%E3%80%9C
東京タワー ～オカンとボクと、時々、オトン～ - Wikipedia
(抜粋)
『東京タワー ～オカンとボクと、時々、オトン～』（とうきょうタワー オカンとボクと、ときどき、オトン）は、リリー・フランキーの実体験を基にした長編小説である。
2006年と2007年にテレビドラマ化（単発ドラマと連続ドラマ）、2007年に映画化、舞台化されている。
2005年6月29日、扶桑社より発売された[1]。装丁もリリー本人。初版は3万部だった。2006年1月には100万部を突破。2006年10月31日には200万部（扶桑社発表）を越すベストセラーとなった。
久世光彦が「泣いてしまった…。これは、ひらかなで書かれた聖書である」と評価した。
(引用終り) 「現代数学のもとになった物理工学」の解題：
言わずもがなですが、数学の発展の大きな原動力は、物理です。数学の発展の大きな原動力は、工学です。
別に説明するほどのこともないですが。
古代の幾何学の背景に、実際の土地測量や巨大建築からの要請が原動力にあったことは間違いないでしょう。
ニュートン以来の解析や数論も同様。
で、物理学の背景に、工学に直結する日常のいろいろな事象がある。戦争というのも、大きな要因ではあります。仏エコールポリテクニークなども、ナポレオン戦争遂行のための工学校です。
（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%AF%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%82%AF エコール・ポリテクニーク 1804年にナポレオン・ボナパルトによって軍学校とされる）
工学が物理の進展を促した面は多々あります。有名なプランクの熱と光の放射の理論を研究した背景に、当時の工学的課題であった、高温物体を光学測定により正確な温度を知るため（今の光温度計）であったと言われています。
つまり、工学的課題「高温物体を光学測定により正確な温度を知るための光温度計」→物理的課題「高温物体の光放射理論構築」→プランクの量子仮説→量子力学の誕生→作用素環→非可換幾何（現代数学）ということなのです。
コンヌ先生もおっしゃっているそうですが、物理や工学の課題は、いままでもそうですが、現代数学のエネルギー源なのです。
京大数学科がだめになったのは、「20世紀の古い数学に閉じこもってしまった」というようなことがあるのではないでしょうか？ 新しい数学へのチャレンジが無い？
（参考 過去スレ39 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1503063850/476 (抜粋)「自己顕示欲だけが目的で人生を送り、ほんで他人の邪魔ばっかししてるから筑波とか京大みたいになってアカン様になんのや。」 ） 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）まとめについては
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/11-67
ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です！ ＼（＾＾）／
テンプレ以上です。 前スレ >>621
＞貴方の証明を斜め読みしたが、稠密で無い場合、つまり、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる前提でしか、
＞証明していないように見えるが、どう？
息をするように間違えるゴミクズ。
斜め読みしかしてないからそういう間違いに陥るのである。
例の定理の仮定は「 R－B_f は第一類集合である 」というものである。
もちろん、例の定理の証明は この仮定のもとで進められる。
となれば、お前の今回の発言は次のような意味になってしまう。
「 R－B_f は第一類集合であるという仮定のもとで証明が進められているが、
この仮定では どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる前提になってしまうぞ」
もちろん、お前のこの発言は間違っている。なぜなら、第一類集合 A であって、
A が R の中に稠密に分布しているような例が存在するからだ。 前スレ>>822
＞だが、定理の前提の関数fは自由度が高いので（不連続も可だし）、あなたの定理でいう区間(a, b)に、”反例関数”のx＝0の近傍を切り取って来て、
＞貼り付ければ、区間(a, b)はリプシッツ連続でなくなるよ。（この貼付操作は、全ての区間に適用できるよ）
息をするように間違えるゴミクズ。一体どうやって張り付けるつもりだね？
もし張り付けによって反例を作りたいのなら、x＝0 の近傍が「離散的に分布する」ような貼り付けでは意味が無いんだぞ？
なぜなら、それ以外の開区間を取れば、そこではリプシッツ連続になるからだ。従って、張り付けによって反例を作りたいのなら、
x＝0 の近傍が「 R の中に稠密に分布する」ような貼り付けを考えなければならないんだぞ？
では、一例として、関数 f(x) を有理数 p だけ平行移動した f(x＋p) という関数を考え、これらを単純に足し算した
g(x) ＝ Σ[p∈Q] f(x＋p)
という関数を考えてみよう。この場合、"x＝0 の近傍" の挙動をする点が R の中に稠密に分布するように見えるが、
まず大前提として、上記のように定義した g は「ちゃんと各点で収束しているのか？」という問題が生じる。
もし収束してないなら、この g はそもそも well-defined でないことになるので失敗である。また、
仮に収束しているのだとしても、今度は
「 R－B_g は第一類集合になっているのか？」
という新たな問題が生じる。なぜなら、仮に収束するのだとして、その収束は、直観的には
「 "x＝0 の近傍" が少しずつズレた関数 f(x＋p) の値がひたすら打ち消し合ってギリギリ収束する」
というものであるため、当初考えていた「 x＝0 の近傍 」は、g のグラフにおいては影も形もなくなってしまい、
もはや g(x) がどの点で Ag(x)＜＋∞ や Ag(x)＝＋∞ を満たすのかが全く分からなくなってしまうからだ。
最悪の場合、「むしろ g のグラフは物凄くキレイな形になる」という可能性すらあり得るｗ
[続く] [続き]
そして、R－B_g が第一類集合になってないなら、そもそも例の定理の適用範囲外になるので、反例の構成に失敗する。
また、R－B_g が第一類集合になっているだけでもダメで、
Ag(x)＝＋∞ が成り立つ点が R の中に稠密に存在するようにしなければ反例にならない。
しかし、既に述べたように、当初考えていた「 x＝0 の近傍 」は、g のグラフにおいては影も形もなくなってしまい、
もはや g(x) がどの点で Ag(x)＜＋∞ や Ag(x)＝＋∞ を満たすのかが全く分からなくなってしまうので、
そもそもの話として、
「 Ag(x)＝＋∞ が成り立つ点が R の中に稠密に存在するようにする」
という芸当自体が極めて困難な作業になる。
お前は軽々しく「貼り付け」とか言っているが、そんなに簡単な話じゃないんだよ。
もし「貼り付け」によって反例が構成できると考えているなら、
具体的な貼り付けの例を厳密に構成して、このスレに書いてみろよ。
絶対に反例になってないからｗ >>13
あなたは、力があるね（＾＾
だが、なにか、第一類集合と書けば、それが免罪符になっているように錯覚していないか？
第一類集合に、R中で稠密な場合と、稠密でない場合とあるとする。
場合分けが必要だろう？
補集合R-Bfが、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は(a; b) 上でリプシッツ連続である”を導くのは、なんか変
それこそ、循環論法では？ >>14-16
例えば、補題1.5
”∀y, z ∈ R [x － 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)] が成り立つ”
で、あなたの反例関数を考えるなら、上記は成り立たないんじゃない？
あなたの関数に上記を適用してみて >>19
数学の証明の構成を理解していればそこに書いたようなことは書かないでしょうね おっちゃんです。
>>23
>第一類集合に、R中で稠密な場合と、稠密でない場合とあるとする。
>場合分けが必要だろう？
場合分けをするのは証明においてそれをしたことで結論を導けるときで、
背理法の枠組みの証明で場合分けをするには場合分けの議論のどこかで
R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆出来る
という仮定の条件を完全に使い切らなければいけない。
R－B_f は第一類集合と仮定されていて、第一類集合にはR上で稠密なときと稠密でないときとがあるので、
場合分けをして定理を示すには、
R－B_f はR上で稠密な第一類集合という仮定をして、fが或る開区間の上でリプシッツ連続なことを示し、
その上、R－B_f はR上で稠密ではない第一類集合という仮定をして、fが或る開区間の上でリプシッツ連続なことを示さなければいけなくなる。
1つの定理を示すにあたり、結論が同じのダブル定理を示すことになる。 >>20
成り立つだろバカタレ。その補題は straddle lemma と同種の定理だと言ってるだろうが。
y と z が点 x を「跨いでいる」ことが重要なんだよ。
http://www.math.nus.edu.sg/~graeme/Analysis/Straddle_Lemma.html
このリンク先でも見てみろ。x^{3/2}sin(1/x) ではなく x^2sin(1/x) を考えているが、構造は全く同じだ。
原点を跨いでいる場合、グラフの見た目からも明らかに傾きが有界に収まってるだろ。
「跨いでいたら N の値が有界になる」と言ってるのが補題1.5であり、sttradle lemma なんだよ。
単にリプシッツ連続性を考えるときは、跨いでない場合も考えなくてはいけなくて、
それだと「 N 」の値が有界に収まるとは限らなくなるんだよ。
だから例の関数は原点の近傍でリプシッツ連続に「ならない」わけ。
それでも、y と z が原点を跨いでいるときは、straddle lemma と同じ理由によって、有界に収まるわけ。
いい加減にしろよゴミクズ。
straddle lemma で検索すれば一番上に上記のリンク先が出てくるのに、お前はその程度も調べてないのかよ。
お得意のコピペはどこに行ったんだよ。本当に流し読みしかしてなくて、何かを調べる気も起きなかったってことだろ？
そういうのは問題外なんだよ。数学以前に、一般論として、
「流し読みしかしてないけど、ここはヘンだと思う」
なんてのは門前払いなんだよ。「流し読みしかしてないお前が100％悪い。きちんと読みこんで来い」
という話にしかならないんだよ。たった2ページの証明に、なにを屁理屈を捏ねていつまでも逃げようとしているのだ。 >>19
＞補集合R-Bfが、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は(a; b) 上でリプシッツ連続である”を導くのは、なんか変
キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。「 P → Q 」という形の命題を証明するのに必要なのは、「 P を仮定すれば Q が導ける」ことを
示すことであって、最終的に Q が出てくるなら、途中の場合分けで "何が起きていても"、どこにもヘンなことは無い。
たとえば、「関数 f：R → R が 点 x で微分可能なら、f は点 x で連続である」という当たり前の定理が存在するが、
これは今となっては当たり前なだけであって、本来は厳密な証明が必要である。そこで、全てを忘れて頭を真っ白にして、
「 f が点 x で微分可能であっても、果たして本当に点 x で連続なのかは分からない」
という立場で考えることにする。ゆえに、我々がここで証明すべきは、微分可能という条件を仮定に置いて、そこから
「連続である」という条件を導くことである。ここで、２つのケースに場合分けすることで、f が点 x で連続であることを
導くことにする。より具体的には、次のような場合分けを行う。
ケース１： f が点 x で連続である場合を考え、f が点 x で連続であることを導く。
ケース２： f が点 x で連続でない場合を考え、f が点 x で連続であることを導く。
すると、お前の論法によれば、
「ケース２では、f が点 x で連続でない場合を仮定して置きながら、結論で "f は点 x で連続" を導くのは、なんか変」
と言っていることになる。 すると、お前の論法によれば、「最初から点 x で連続の場合しか考慮してない」と言っていることになる。
[続く] [続き]
しかし、f が点 x で連続であることの "実際の証明" は、ここでは全く書いてないことに注意せよ。
従って、お前が実際に言っていることは、
「如何なる証明を考えようとも、ケース１,２ による場合分けをスレ主の方から改めて持ち出すことによって、
ケース２がなんか変なので、その証明は最初から "点xで連続の場合" しか考慮してないことが露呈する」
と言っていることになる。むろん、このような主張は論理が滅茶苦茶で問題外である。
そして、この滅茶苦茶な論法は、「 P → Q 」の形をした如何なる定理にも適用可能である。
以下、P と Q は何らかの命題であり、「 P → Q 」という形の命題が真であることが証明済みであるとする。
すると、スレ主の滅茶苦茶な言い分によれば、次のように言えてしまう。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
P が成り立つとする。Q が成り立つことを示したい。以下のように場合分けして示す。
ケース１：Q が成り立つ場合に、Q が成り立つことを示す。
ケース２：Q が成り立たない場合に、Q が成り立つことを示す。
しかし、ケース２では、Q が成り立たない場合を仮定しておきながら、結論で「Qが成り立つ」を導くのは、なんか変である。
よって、P→Q の如何なる証明を持ち出そうとも、その証明は「最初から Q が成り立つ場合しか考慮してない」ことが露呈する。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
このように、お前の滅茶苦茶な論法を使えば、「 P → Q 」の形をした命題の如何なる証明も、
ケース１,２による場合分けを持ち出すことによって、「最初から Q の場合しか考慮してない」と
批判することが可能になってしまう。すなわち、お前にとっては、「 P → Q 」の形をした如何なる命題も、
全く受け入れられない命題となってしまう。
実際には、お前の頭がいかにポンコツであるかが露呈しているだけである。
[続く] [続き]
では、ケース１,２を持ち出しながら「 P → Q 」を実際に証明する場合には、どういう形で証明が進むのかを以下で見ていく。
ここでは、冒頭で挙げた「微分可能なら、その点で連続」という命題について考える。証明は３通り用意した。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
証明その１：
f は点 x で微分可能とする。ケース１,２に場合分けすることで、f が点 x で連続であることを導く。先にケース２から見ていく。
ケース２： f は点 x で連続でないと仮定する。一方で、lim[y→x](f(y)－f(x))/(y―x) ＝ f'(x) が存在するのだったから、
lim[y→x](f(y)－f(x)) ＝ lim[y→x](f(y)－f(x))/(y－x) * (y－x) ＝ f'(x) * 0 ＝ 0 となる。
すなわち、lim[y→x] f(y)＝f(x) となる。これは、f が点 x で連続でないという仮定に矛盾する。
よって、このケースは起こらないことが判明した。
よって、ケース１のみを考えればよい。すなわち、「 f は点 x で連続」の場合のみを考えればよい。
しかし、これはまさに導きたい条件そのものであった。よって、題意が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
上記の証明では、ケース２が起こらないことを「きちんと証明コストをかけて判明させている」ところに、
自明でないポイントが存在する。おそらくスレ主は、論点を先取りして定理そのものを無意識のうちに適用してしまったがゆえに、
「全く証明コストをかけずとも、ケース２が実際には起こらないことが最初から分かっているのだから、
この証明は最初からケース１だけを考えているのと同じ(もしくは、この定理は証明の必要がなく、自明な定理である)」
といったバカげた勘違いに陥っているのだと推測される。もちろん、定理そのものを適用してしまったら、
「全く証明コストをかけなくてもケース２が起こらないことが最初から分かる」のは当たり前の話である。
しかし、それでは循環論法なのである。スレ主の頭がいかにポンコツであるかが露呈しているだけである。
[続く] [続き]
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
証明その２：
f は点 x で微分可能とする。ケース１,２に場合分けすることで、f が点 x で連続であることを導く。
ケース１： f は点 x で連続であると仮定する。よって、f は点 x で連続である。
ケース２： f は点 x で連続でないと仮定する。一方で、lim[y→x](f(y)－f(x))/(y―x) ＝ f'(x) が存在するのだったから、
lim[y→x](f(y)－f(x)) ＝ lim[y→x](f(y)－f(x))/(y－x) * (y－x) ＝ f'(x) * 0 ＝ 0 となる。
すなわち、lim[y→x] f(y)＝f(x) となる。よって、f は点 x で連続である。これは、
f が点 x で連続でないという仮定に矛盾する。矛盾した状態からはどんな条件も導けるので、
特に、「 f は点 x で連続である」という条件が導ける。
よって、いずれのケースにおいても、f は点 x で連続であることが言えた。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
上記の証明は、
――――――――――――――――――――――――――――
「 P → Q 」という形の命題を証明するのに必要なのは、
「 P を仮定すれば Q が導ける」ことを示すことだけである
――――――――――――――――――――――――――――
という原則に立ち返った証明である。ただし、各ケースの最中で矛盾が起きた場合には、
「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、特に Q 自体を帰結できる」
という論法を用いて、「このケースでも Q が導ける」という捉え方をしている。
スレ主が「なんかヘン」と言っていた感覚は、実際にはこのような論法で解消可能なのである。
[続く] [続き]
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
証明その３：
f は点 x で微分可能とする。ケース１,２に場合分けすることで、f が点 x で連続であることを導く。
ケース１： f は点 x で連続であると仮定する。よって、f は点 x で連続である。
ケース２： f は点 x で連続でないと仮定する。一方で、lim[y→x](f(y)－f(x))/(y―x) ＝ f'(x) が存在するのだったから、
lim[y→x](f(y)－f(x)) ＝ lim[y→x](f(y)－f(x))/(y－x) * (y－x) ＝ f'(x) * 0 ＝ 0 となる。
すなわち、lim[y→x] f(y)＝f(x) となる。よって、f は点 x で連続である。
よって、いずれのケースにおいても、f は点 x で連続であることが言えた。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
上記の証明は、本質的には「その２」と全く同じであり、
――――――――――――――――――――――――――――
「 P → Q 」という形の命題を証明するのに必要なのは、
「 P を仮定すれば Q が導ける」ことを示すことだけである
――――――――――――――――――――――――――――
という原則に立ち返った証明である。ケース２では やはり矛盾が起きているが、もはや
「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、～～～」
といった言い回しすらない。それもそもはず、その言い回しをするより前に、示したかった条件「 f は点 x で連続である 」が
導けているからだ。上記の原則に立ち返った場合、「 Q 」が導けた時点で、それ以上何も言う必要がないので、
「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、～～～」という言い回しすらしていないのが、この証明である。
このような様々な理由により、スレ主の批判は全く批判になってないのである。 このスレに追いつきたくて教科書（宮島静雄微積分）を読み始めました
早速つまづいてしまいました‥（泣）
すみませんが、次の質問についてヒントをいただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。
あ、ガロア理論の頂を踏む、も今はお休みしています（泣）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12183928827 [1]リーマン予想を測度論で解決する方法
[2]明示公式が意味を持つために必要なリーマンのゼータ関数の非自明零点が可算個であることの証明
[1]と[2],それぞれに興味ある人は、こちらを参照
https://mobile.twitter.com/i/moments/938713348601819136
コレをベースに議論しましょう！！ >>31
間違いを指摘するのは基本とても面倒です
あと例は
f(x)=x^2
と
A={x|x≧0}
B={x|x≦0}
でどうでしょうか >>34
やはり間違いが存在するんですね、もし哀れな子羊を助けてやろうと気が向くようでしたら、よろしくお願いいたします。
私もその例を考えていました
なわち f(A)∩ f(B) ⊂ f(A∩B)が成立しない反例は思いつきました。
すなわち、
A={x|x∈Z, x ≧0} = { 0, 1, 2, 3,‥}
B={x|x∈Z, x < 0} = { -1, -2, -3, ‥}
写像 f: x -> x^2 とする
このとき、f(A)∩f(B) = {1, 4, 9, 16, ‥} である
一方A∩B は明らかに空集合
ゆえにf(A∩B)=Φ
以上より f(A)∩ f(B) ⊂ f(A∩B) ではない反例が存在する >>35
間違いがあるかどうかを指摘するのも基本とても面倒です fとf^-1で非対称なのはfが写像だからです
f(x)の値が複数になるのを許せばf^-1でも等式になりません
f(x)=±√x
でABは前のでどうでしょう >>23-24
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>場合分けをするのは証明においてそれをしたことで結論を導けるときで、
結論が分かれるときも、場合分けすべきだろうね
１）稠密でない場合は、どこかにリプシッツ連続な区間（a,b）がとれる
２）稠密である場合は、仮定を満たす関数は存在しない（空集合）
のようにね（＾＾ >>25
沢山のレスがありがとう
年末は忙しいので、ゆっくり読む暇が無い
だが、あなたのレスはレベルが高いね
助かるよ
勉強になるな～
貴方は力があるね～
だが、あなたくらいレベルの高い友達が・・近くにいないんだね
それが、残念だね >>30
沢山のレスがありがとう
まあ、ゆっくりやろう
まだ、疑問に思っているのは
下記のDifferentiability of the Ruler Functionの記述と貴方の定理との整合性だ
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
つづく >>40 つづく
[13] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at irrationals and discontinuous at rationals", abstract of talk given 2 November 1963 at the annual fall meeting of the Minnesota Section of the MAA, American Mathematical Monthly 71 #3 (March 1964), 349.
The complete text of the abstract follows, with minor editing changes to accommodate ASCII format.
Earlier results of Porter, Fort, and others suggest additional questions about the functions in the title. Differentiability and Lipschitz conditions are considered. Special attention ispaid to the ruler function (f) and its powers.
Sample results:
THEOREM:
If 0 < r < 2, f^r is nowhere Lipschitzian; f^2 is nowhere differentiable, but is Lipschitzian on a dense subset of the reals.
THEOREM:
If r > 0, f^r is continuous but not Lipschitzian at every Liouville number;
if r > 2, f^r is differentiable at every algebraic irrational.
THEOREM:
If g is continuous at the irrationals and not continuous at the rationals, then there exists a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
(引用終り)
つづく >>41 つづき
ああ、いま改めて読むと
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957) Senguptaより
”・・・ f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
なんてありますね。”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、貴方の定理に近いかな？
”Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”か・・
これか、これに近い文献を読まないことには、訳わからんな
えーと、Meagre setか・・
”E is co-meager in R”が、イメージできんな・・（＾＾
前提a)(連続不連続が稠密)を、b)(連続とディニ微分発散が稠密な組み合わせ)に、緩和しても・・
a) f is continuous and discontinuous are each dense in R.
↓
b) f is continuous and the E *) are each dense in R. ( *)the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.)
a)Eは、co-meager
↓
b)Eは、meager
には出来ない？ それとも出来るの？
定理1.7成立なら、「 meager には出来ない」？
これ、やっぱり元論文読まないと、イメージ湧かないな～（＾＾
まあ、ゆっくりやろうや >>42 つづき
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Meagre_set
Meagre set
Examples
Subsets of the reals
The rational numbers are meagre as a subset of the reals and as a space ? that is, they do not form a Baire space.
The Cantor set is meagre as a subset of the reals, but not as a space, since it is a complete metric space and is thus a Baire space, by the Baire category theorem.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%96%8E%E9%9B%86%E5%90%88
疎集合
数学の分野における、位相空間内の疎集合（そしゅうごう、英語: nowhere dense set）[* 1]とは、閉包の内部が空であるような集合のことである。
この言葉の順番が大事で、例えば、R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。
注釈
1^ a b 「疎集合」という名称を meagre set のために用い、nowhere dense には「至る所疎」や「至る所非稠密」などの訳語を充てる流儀もある。
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
例えば 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎
以上 >>30
ところで、証明をつっついて悪いが
補題1.5の証明中で
１）
"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N (y － x)] (1) が成り立つ"
を、条件 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ から導いている
｜y － x｜ <1/M は、そこに書かれているように、ある区間(x-1/M, x+1/M)のことだな
ならば、c = x-1/M 、d = x+1/M として、ある区間（c, d）と書けるだろ？
定理1.7の証明は、それで終りでは？
２）
それから、前スレ>>615で
”「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a, b)が存在する」
という条件からは、
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」という条件は導けない”
というが、それ（”全体で”）を導くことは、定理1.7（「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」）をいうだけなら、不必要では？
（ 上記のある区間（c,d）で、リプシッツ連続を言えば、定理1.7の証明は、そこで終わってないかい？ ）
３）
それから、これは重要だが、補題1.5の証明中で、"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x)] (1) が成り立つ"というけれど
R－Bfが、稠密なら、区間(x-1/M, x+1/M)で、Dini微分が発散している点が、この区間内に多数存在することになるよ
それでも、"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x)] (1) が成り立つ"が言えるのかね？ （言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが）
まあ、年末年始は忙しい
十分レスできないと思うが
貴方も、気張らずにやってください （＾＾
以上 >>40-42
＞まだ、疑問に思っているのは
＞下記のDifferentiability of the Ruler Functionの記述と貴方の定理との整合性だ
悪あがきは やめたまえ。前スレ540 で既に述べたとおり、
スレ主の大好きな f^r と f_w は、例の定理の反例になり得ない。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/540
このレスにより、R－B_{f^r} は第一類集合にならず、R－B_{f_w} も第一類集合にならないので、
f^r と f_w は例の定理の「適用範囲外」ということになり、よって例の定理の反例になり得ない。
また、f^r と f_w が例の定理の「適用範囲外」であるという事実により、Differentiability of the Ruler Function が
どのように記述されていようとも、そのことと例の定理との間の整合性なんか 全 く 考 え る 必 要 が な い 。 忙しい、ゆっくりやろう
で4年間進歩が無いスレ主
未だにεδ論法さえ理解できず >>38
＞１）稠密でない場合は、どこかにリプシッツ連続な区間（a,b）がとれる
＞２）稠密である場合は、仮定を満たす関数は存在しない（空集合）
いつまでそのゴミみたいな場合分けに拘るつもりだ？場合分けせずとも、例の pdf の証明を辿ることで
直接的に結論が出せるのだから、その場合分けは必要ない。仮に場合分けしたところで、
>>26-30で書いたことと全く同じ理屈になるだけから意味が無い。一応やってみようか？
[続く] [続き]
R－B_f は第一類集合とする。f がある開区間の上でリプシッツ連続であることを示したい。(1),(2)で場合分けする。
「その１(>>28)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて
矛盾するので、このケースは起きない。よって、(1)のみ考えればよい。そして(1)の場合は、
例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「その２(>>29)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて矛盾するので、
矛盾した状態からは何でも帰結できることにより、「リプシッツ連続な区間が取れる」ことになる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「その３(>>30)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
このとおり、どの証明の どの場合分けにおいても、「例の pdf の証明そのもの」を
その都度 持ち出せば証明が終わるので、お前の場合分けは実質的には全く機能していない。 >>44
＞ならば、c = x-1/M 、d = x+1/M として、ある区間（c, d）と書けるだろ？
＞定理1.7の証明は、それで終りでは？
息をするように間違えるゴミクズ。ぜんぜん終わらないよ。
なぜなら、その pdf の(1)の部分では「x」が固定されていて、動かせるのは y だけだからだ。
もし、お前が言うように c, d を定義したとしても、(1)で言えているのは
∀y∈(c, d) [ ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜ ]
ということに過ぎず、y しか動かせていない。一方で、f が(c,d)上でリプシッツ連続であるためには、
∀y,z∈(c, d) [ ｜f(y) － f(z)｜ <= N ｜y － z｜ ]
が言えなければならない。しかし、補題1.5の条件だけでは、ここまで強いことは言えない。
あるいは、別の言い方をすると、次のように言ってもよい。まず、
f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という例の関数を考える。すると、｜Af(0)｜＝｜f '(0)｜＝0＜＋∞ だから、この f と x＝0 に対して補題1.5 の議論が使える。
すると、そのまま(1)のところまで来たとき、もしスレ主の言い分が正しいなら、「それで終わり」となり、
この f は原点の近傍でリプシッツ連続ということになるが、実際にはそんなことは無いだろ？
つまり、スレ主の言い分は自動的に間違ってるということ。 >>44
＞というが、それ（”全体で”）を導くことは、定理1.7（「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」）をいうだけなら、不必要では？
＞（ 上記のある区間（c,d）で、リプシッツ連続を言えば、定理1.7の証明は、そこで終わってないかい？ ）
その言い分そのものは正しいが、そのような (c,d) を見つける方法が全く自明ではなく、
ベールのカテゴリ定理を使わなければ そういう (c,d) が出て来ない、という話をしているんだよ。
つまり、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明になってないってこと。
少し詳しく見てみようか？まず前提として、
状況Ａ：
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a, b)が存在する」という条件からは
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」という条件は導けない
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
という「状況Ａ」があるわけだ。すると、次のようになる。
(a,b)⊂B_f が成り立つとする。このとき、状況Ａにより、f は(a,b)全体でリプシッツ連続であるとは断言できない。
しょうがないので、(a,b)内の十分小さな区間(c,d)を取る。当然ながら、(c,d)⊂B_f である。
では、f は(c,d)上でリプシッツ連続なのか？残念ながら、状況Ａを区間(c,d)に対して適用すれば、
f は(c,d)上でリプシッツ連続だとは断言できない。では、(c,d)内の更なる小さな区間(s,t)を考えたらどうか？
当然ながら、(s,t)⊂B_f である。では、f は(s,t)上でリプシッツ連続なのか？
残念ながら、「状況Ａ」を区間(s,t)に対して適用すれば、f は(s,t)上でリプシッツ連続だとは断言できない。
……このように、いくら小さな開区間に限定しても、状況Ａがその開区間に適用できるので、
f がその区間の上でリプシッツ連続であるとは断言できなくなってしまう。
では、どうやって望みの部分区間(c,d)を見つければいいのか？
そのために本当に必要になるのが、ベールのカテゴリ定理である。
結局、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明にならないのである。 >>37
教科書（宮島微積分）では、逆像と逆写像を区別しており、
逆像：写像f: X->Y について、「B⊂Y に対してB に写されるような X の要素の全体 { x ∈X | f(x)∈B} をBのfによる逆像といい、f^(-1)(B) で表す」
逆写像：「写像f:X->Y が単写のときf の値域に属する要素 y に対して f(x) = y となる x ∈ Xが唯一つ存在するので、y∈f(X) にこの x を対応させる f(X) から X への写像が定義され
る。この写像をf^(-1) で表し、f の逆写像という。」
また、
「逆像 f^(-1)(B) に用いた f^(-1) と、逆写像の意味は微妙にずれている」
とも書かれています。教科書では
① f(A∩B)⊂f(A)∩ f(B)
②f^(-1)(A∩B)=f^(-1)(A)∩ f^(-1)(B)
の f^(-1) は逆像の意味で与えられているのですが、これは、 y = f(x) を満たす x が複数あっても①②が成立するように見えます。 >>44
＞それから、これは重要だが、補題1.5の証明中で、"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x)] (1) が成り立つ"というけれど
＞R－Bfが、稠密なら、区間(x-1/M, x+1/M)で、Dini微分が発散している点が、この区間内に多数存在することになるよ
＞それでも、"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x)] (1) が成り立つ"が言えるのかね？ （言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが）
息をするように間違えるゴミクズ。その(1)では「x」が固定されていて、y の方しか動かせないので、
別の点におけるディニ微分が発散していようがいまいが、(1)にとっては何の関係も無いのである。
具体例を１つ挙げておく。
f(x) ＝ x^2 (｜x｜は有理数), －x^2 (｜x｜は無理数)
として f を定義すると、この f は原点以外の各点で不連続なので、特に Af(x)＝＋∞ (x≠0) が成り立つ。
しかし、この f は原点で微分可能であり、f '(0)＝0 である。特に、正整数 N を何でもいいから1つ取れば、
Af(0)＝｜f '(0)｜＝ 0 ＜ N
となるので、M＞0 を十分大きく取れば、
∀y ∈ R [｜y － 0｜ <1/M → ｜f(y) － f(0)｜ <= N｜y － 0｜] (1)
が成り立つことが実際に示せる。この(1)の様子を、グラフを書いて視覚的に確かめてみよ。
(f(y)－f(0)/(y－0))
という、x の方を x＝0 に固定して y の方だけ動かしたときの「傾き」は、y が原点に十分近ければ実際に有界の範囲に
収まっていることが視覚的に容易に確かめられるだろう(x≠0 なる任意の点では Af(x)＝＋∞が成り立っているにも関わらず)。 >>44
＞（言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが）
他の点でのディニ微分の値がどうなっているかなんて、全く考える必要がない。
なぜなら、そのような情報とは無関係に(1)が導けていることが、機械的に容易に確認できるからだ。
実際、(1)を導くのに使ったのは、ほとんど limsup の定義のみである。
お前は証明の読み方が おかしい。
証明の中に盛り込まれてない別の情報Ｐとの整合性が お前にとって気になったのだとしても、
それはお前が自分の頭の中で解決すればいいだけの話であって、
「この証明は情報Ｐについての議論を盛り込むべきである」
なんていうことにはならない。その証明が情報Ｐとは無関係に進むことが機械的に確認できたなら、
その情報Ｐはお前にとっての単なる「杞憂」に過ぎなかったのであり、その証明は情報Ｐを盛り込む必要がどこにも無い。 >>51
その通りです
yに対しy=f(x)を満たすxが複数有り得るからこそ①になり
ｘに対しy=f(x)を満たすyが複数あり得ないからこそ②になります >>54
逆にfが写像(1価)でも単射なら
すなわち
yに対しy=f(x)を満たすxが複数あり得ないのであればf^-1の場合の②同様①は等号になります お兄さん「先生来られました」
おばあさん「先生？」
おじいさん「数学の先生」
俺「まあ…うん…数学やってる」
おばあさん「計算が得意なの？」
俺「計算は…あまり得意じゃない。計算するのが数学じゃなくて計算するための理論を組み立てるのが数学だから」 ここまで酷いとホントにゴミだよ
なんで数学板にいるの？ってレベル ズレ主を表す今年の漢字2017は？
「誤」「乱」「偽」「劣」「愚」 スレ主の反応が無い。
冬休み、うつ、飽きた
どれだ？ 皆さま、どうも。スレ主です。（＾＾
明けまして、おめでとうございます。
新年も、よろしくお願いします。ｍ（＿ ＿）ｍ >>53
ID:gcYWyS10 さん、沢山レスありがとう
貴方のレスは、レベル高いね
あとで、じっくり読むよ（＾＾ で、勝手ながら、年末年始に読んだ関連を貼るよ（＾＾
まず、関連参考：検索でヒットしたので貼る。
BaireCategory.pdfの”3. Pointwise limits of continuous functions.”に、「422に書いた定理」の関連記述
「Theorem. If f : R → R is a pointwise limit of continuous functions,
then Df is Fσ meager (that is, a countable union of closed sets with empty interior).
(In particular, by Baire's theorem, f is continuous on a dense subset of R.)」とあり（当たり前か？ （＾＾ ）
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/m447f16index.html
MATH 447- Advanced Calculus I- Fall 2016- A. FREIRE
(or: ANALYSIS IN R^n)
(抜粋)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/BaireCategory.pdf
Sets of discontinuity and Baire's theorem Baire Category Notes (5 problems) (the problems are HW8, due Friday 11/4)A. FREIRE 2016
(抜粋)
1. Sets of discontinuity. For f : R → R, we define
Df = {x ∈ R; f is not continuous at xg:
3. Pointwise limits of continuous functions.
Theorem. If f : R → R is a pointwise limit of continuous functions,
then Df is Fσ meager (that is, a countable union of closed sets with empty interior).
(In particular, by Baire's theorem, f is continuous on a dense subset of R.)
Proof. We know Df = ∪ n>=1 D1/n (see Section 1), so it suffices to show
that the closed sets Dε have empty interior, for any ε > 0.
By contradiction, suppose Dε contains an open interval I.
We'll find an open interval J ⊂ I disjoint from Dε!
Let fn → f pointwise on R, with each fn : R → R continuous.
For each N >= 1, consider the set:
CN = {x ∈ I; (∀m, n >= N)|fm(x) - fn(x)| <= ε/3}.
Clearly ∪ N>=1 CN = I (by pointwise convergence). QED
(引用終り)
つづく >>67 つづき
（上記の関連参考：出典URL）
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/m447f16topics.html
Math 447 Fall 2016- A. FREIRE
TOPICS
PART I: Topology
Supplementary handouts (for advanced students):
(adapted from more advanced classes and not yet in final form)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/GeneralTopologyReview.pdf
Definitions and Theorems from General Topology
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/BanachSpace.pdf
Locally compact Banach spaces are finite dimensional (includes 4 problems)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/SpacesOfContinuousFunctions.pdf
Spaces of Continuous Functions (outdated)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/StoneWeierstrassNotes.pdf
Stone-Weierstrass theorem-notes (includes 6 problems)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/AscoliArzelaNotes.pdf
Ascoli-Arzela-Notes (final-included 7 exercises with solutions, and 11 extra problems.)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/
Alex Freire
Department of Mathematics
University of Tennessee
（終り）
つづく >>68 つづき
あと、いま、「422に書いた定理」に、似た文献を見つけて読んでいる。（＾＾
”I-DENSITY CONTINUOUS FUNCTIONS Krzysztof Ciesielski他 1994”
これ、出版されていて、アマゾンでもヒットした
疑問が二つ
１）Proposition 1.1.1. の「Given ε > 0 there is a δ > 0 such that {x ∈ (x0 － δ, x0 + δ) : |f(x) － f(x0)| ≧ ε} ∈ J.」で、普通のεδ論法だと、 |f(x) － f(x0)| ＜ ε と不等号の向きが逆になると思うが、誤植か？ σ-ideal を考えているから、これで良いのか？ どうも良いみたいだが
２）Corollary 1.1.6. の「(ii): There exists a residual set K such that f|K is continuous.*2」で、f|Kは、Theorem 1.1.4.の”(ii): There exists a set K ∈ J such that the restricted function f|Kc is continuous.”の記載ぶりとの比較から、f|Kcの誤記かなと思ったり？ 意味が全く違ってくる
これにも、「422に書いた定理」の関連記述あり（後述）
つづく >>69 つづき
http://www.math.wvu.edu/~kcies/prepF/BookIdensity/BookIdensity.pdf
I-DENSITY CONTINUOUS FUNCTIONS Krzysztof Ciesielski他 1994- 被引用数: 84
(抜粋)
CHAPTER 1
The Ordinary Density Topology
1.1. A Simple Category Topology
To gain some insight into what is happening with limits like this, it is useful
to generalize this idea to a topological setting.
A nonempty family J ⊂P(X) of subsets of X is an ideal on X if A ⊂ B and
B ∈ J imply that A ∈ J and if A∪B ∈ J provided A,B ∈ J. An ideal J on X
is said to be a σ-ideal on X if ∪n∈N An ∈ J for every family {An : n ∈ N} ⊂ J.
Let J be an ideal on R and Ｔo be the ordinary topology on R. The set
T (J) = {G ＼ J : G ∈ Ｔo, J ∈ J}
is a topology on R which is finer than Ｔo. The following proposition is evident
from the definitions.
Proposition 1.1.1. Let J be a σ-ideal on R and T (J ) be as above. For
f : (R, T (J )) → (R, Ｔo) and x0 ∈ R the following statements are equivalent to
each other.
(i): f is continuous at x0.
(ii): Given ε > 0 there is a δ > 0 such that
{x ∈ (x0 － δ, x0 + δ) : |f(x) － f(x0)| ≧ ε} ∈ J.
つづく >>70 つづき
Theorem 1.1.4. Let J be a σ-ideal and f : R → R. The following statements
are equivalent.
(i): The function f is J -continuous J -a.e.
(ii): There exists a set K ∈ J such that the restricted function f|Kc is continuous.
Furthermore, if the ideal J contains no interval, then the following statement is
equivalent to (i) and (ii)
(iii): There exists a function g : R → R such that f = g J -a.e. and g is continuous in the ordinary sense J -a.e.
Proof. The fact that (ii) implies (i) is obvious. Suppose (i) is true and let
f be J -continuous on a set M = Jc for J ∈ J. For each n ∈ N and x ∈ M,
by Proposition 1.1.1(ii) there is an open interval I(n, x) and a J(n, x) ∈ J such
that
x ∈ I(n, x) \ J(n, x) ⊂ f－1((f(x) － 1/n, f(x) + 1/n)).
For each fixed n, there must be a countable sequence xn,m ∈ M such that
M ⊂∪m∈N I(n, xn,m).
Let
K = J ∪ ∪ n,m∈N J(n, xn,m) ∈ J.
If x ∈ Kc and ε > 0, then there must exist natural numbers n and m such that
2/n < ε and x ∈ I(n, xn,m). Then |f(x) － f(xn,m)| < 1/n so that
f(x) ∈ (f(xn,m) － 1/n, f(xn,m) + 1/n) ⊂ (f(x) － ε, f(x) + ε)
つづく >>71 つづき
and
I(n, xn,m) ∩ Kc ⊂ f－1((f(x) － ε, f(x) + ε)).
Hence, f|Kc is continuous at x.
To prove the last part of the theorem, note first that (iii) implies (ii) even
without the restriction that J contains no interval. Now suppose that J contains
no interval and that f,K are as in (ii). Define
(1) G(x) = lim sup t→x,t∈Kc f(t)
and
(2) g(x) = G(x) when G(x) is finite,
or = f(x) otherwise.
In particular, it follows from (ii) that f|Kc = g|Kc . Let x ∈ Kc and ε > 0.
According to (ii) there is a δ > 0 such that
(3) |g(y) － g(x)| = |f(y) － f(x)| < ε/2
whenever y ∈ (x － δ, x + δ) ∩Kc. If z ∈ (x － δ, x + δ) ∩K, then the assumption
that K can contain no nonempty open set implies the existence of a sequence
{zn : n ∈ N} ⊂ (x － δ, x + δ) ∩ Kc
such that f(zn) → G(z). Hence, by (3), G(z) is finite, so g(z) = G(z) and
|g(z) － g(x)| ? ε/2 < ε. Therefore, g is continuous at x. QED
つづく >>72 つづき
The following example is interesting in light of the previous theorem.
Example 1.1.5. Let I be the σ-ideal consisting of all first category subsets of
R. I-continuity is often called qualitative continuity [26]. It is well-known in
this case that f is a Baire function if, and only if, f is qualitatively continuous I-a.e.
In particular, combining Example 1.1.5 with Theorem 1.1.4 yields the following
well-known corollary, which will be useful in the sequel.
Corollary 1.1.6. Let f : R → R. The following statements are equivalent.
(i): f is a Baire function.
(ii): There exists a residual set K such that f|K is continuous.*2
(iii): f is qualitatively continuous I-a.e.
In the case of Lebesgue measure, the following is true.
*2 A set is residual if its complement is first category. This is often called comeager.
つづく >>73 つづき
If condition (i) in Theorem 1.1.4 is strengthened to everywhere, the following corollary results.
Corollary 1.1.8. Let J be a σ-ideal which contains no nonempty open set.
A function f : R → R is continuous everywhere if, and only if, it is J -continuous everywhere.
Proof. If f is continuous, then it is clearly J -continuous. So, suppose f is
J -continuous everywhere, x0 ∈ R and ε > 0. Using Proposition 1.1.1(ii), there
must be an ordinary open neighborhood G0 of x0 such that
F0 = {x ∈ G0 : |f(x) － f(x0)| > ε} ∈ J.
Suppose there is an x1 ∈ F0. Choose δ > 0 such that
δ < |f(x1) － f(x0)| － ε.
As before, there exists an ordinary open neighborhood G1 ⊂ G0 of x1 such that
F1 = {x ∈ G1 : |f(x1) － f(x)| > δ} ∈ J.
It is clear that G1 ⊂ F0 ∪ F1 ∈ J, because |f(x1) － f(x0)| > ε + δ. But, this
implies J contains a nonempty open set, which contradicts the condition placed
on J in the statement of the corollary. This contradiction shows that F0 = Φ.
The preceding corollary demonstrates that global J -continuity may not be a
very useful concept. In particular, it is worthwhile noting for future reference
that global I-continuity and global N-continuity are no different than ordinary continuity.
(引用終り)
つづく >>74 つづき
（上記の関連参考：出典URL）
http://www.math.wvu.edu/~kcies/
Krzysztof Chris Ciesielski, Ph.D. Professor of Mathematics at Department of Mathematics, West Virginia University and Adjunct Professor at Medical Image Processing Group, Dept. of Radiology, Univ. of Pennsylvania.
(抜粋)
Books:
(with L. Larson and K. Ostaszewski) I-density continuous functions, Memoirs of the AMS vol. 107 no 515, 1994; MR 94f:54035.
(引用終り)
https://www.amazon.co.jp/I-Density-Continuous-Functions-American-Mathematical/dp/0821825798
I-Density Continuous Functions (Memoirs of the American Mathematical Society) (英語) Krzysztof Ciesielski (著),? Lee Larson (著),? Krzysztof Ostaszewski (著) 1994/1/1
http://www.jstor.org/stable/44151978?seq=1#page_scan_tab_contents
JOURNAL ARTICLE I-density Continuous Functions Krzysztof Ciesielski, Lee Larson and Krzysztof Ostaszewski Real Analysis Exchange Vol. 15, No. 1 (1989-90), pp. 13-15 Published by: Michigan State University Press
（終り）
つづく >>76 つづき
（参考：用語解説）
https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_(set_theory)
Ideal (set theory)
(抜粋)
In the mathematical field of set theory, an ideal is a collection of sets that are considered to be "small" or "negligible". Every subset of an element of the ideal must also be in the ideal (this codifies the idea that an ideal is a notion of smallness), and the union of any two elements of the ideal must also be in the ideal.
More formally, given a set X, an ideal I on X is a nonempty subset of the powerset of X, such that:
1. Φ ∈ I
2.if A∈ I and B⊆ A, then B∈ I, and
3.if A,B∈ I, then A ∪ B∈ I
Some authors add a third condition that X itself is not in I; ideals with this extra property are called proper ideals.
Ideals in the set-theoretic sense are exactly ideals in the order-theoretic sense, where the relevant order is set inclusion. Also, they are exactly ideals in the ring-theoretic sense on the Boolean ring formed by the powerset of the underlying set.
Contents
1 Terminology
2 Examples of ideals
2.1 General examples
2.2 Ideals on the natural numbers
2.3 Ideals on the real numbers
2.4 Ideals on other sets
3 Operations on ideals
4 Relationships among ideals
5 See also
6 References
(引用終り)
つづく >>77 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Sigma-ideal
σ-ideal Sigma-ideal (Redirected from Σ-ideal)
(抜粋)
In mathematics, particularly measure theory, a σ-ideal of a sigma-algebra (σ, read "sigma," means countable in this context) is a subset with certain desirable closure properties. It is a special type of ideal. Its most frequent application is perhaps in probability theory.
Let (X,Σ) be a measurable space (meaning Σ is a σ-algebra of subsets of X). A subset N of Σ is a σ-ideal if the following properties are satisfied:
(i) O ∈ N;
(ii) When A ∈ N and B ∈ Σ , B ⊆ A ⇒ B ∈ N;
(iii) {A_n}_{n∈N }⊆ N→ ∪ _{n∈N }A_n∈ N.
Briefly, a sigma-ideal must contain the empty set and contain subsets and countable unions of its elements. The concept of σ-ideal is dual to that of a countably complete (σ-) filter.
If a measure μ is given on (X,Σ), the set of μ-negligible sets (S ∈ Σ such that μ(S) = 0) is a σ-ideal.
The notion can be generalized to preorders (P,?,0) with a bottom element 0 as follows: I is a σ-ideal of P just when
(i') 0 ∈ I,
(ii') x ? y & y ∈ I ⇒ x ∈ I, and
(iii') given a family xn ∈ I (n ∈ N), there is y ∈ I such that xn ? y for each n
Thus I contains the bottom element, is downward closed, and is closed under countable suprema (which must exist). It is natural in this context to ask that P itself have countable suprema.
A σ-ideal of a set X is a σ-ideal of the power set of X. That is, when no σ-algebra is specified, then one simply takes the full power set of the underlying set. For example, the meager subsets of a topological space are those in the σ-ideal generated by the collection of closed subsets with empty interior.
(引用終り)
つづく >>78 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal
Ideal
(抜粋)
Mathematics
Ideal (ring theory), special subsets of a ring considered in abstract algebra
Ideal, special subsets of a semigroup
Ideal (order theory), special kind of lower sets of an order
Ideal (set theory), a collection of sets regarded as "small" or "negligible"
Ideal (Lie algebra), a particular subset in a Lie algebra
Ideal point, a boundary point in hyperbolic geometry
Ideal triangle, a triangle in hyperbolic geometry whose vertices are ideal points
(引用終り)
つづく >>79 つづき
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_abstract.pdf
典型的連続関数のDini微分（著者最終稿）斎藤新悟 実解析学シンポジウム2009報告集，pp. 25-33.
（上記の関連参考：出典URL）
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/papers.html
斎藤新悟 出版物
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/
斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授 1981年大阪府生まれ 東京大学理学部数学科卒業
つづく >>80 つづき
（以前のスレから関連抜粋）
スレ46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/398
＜引用＞
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.
(抜粋)
So, in this paper we
are going to analyze the dierentiability of the real function
fν(x) =0 if x ∈ R ＼ Q,
or =1/q^ν if x = p/q ∈ Q, irreducible,
for various values of ν ∈ R.
Theorem 1. For ν > 2, the function fν is discontinuous (and consequently
not dierentiable) at the rationals, and continuous at the irrationals. With
respect the dierentiability, we have:
(a) For every irrational number x with bounded elements in its continued fraction expansion, fν is differentiable at x.
(b) There exist infinitely many irrational numbers x such that fν is not differentiable at x.
Moreover, the sets of numbers that fulfill (a) and (b) are both of them uncountable.
Theorem 2. For ν > 2, let us denote
Cν = { x ∈ R : fν is continuous at x },
Dν = { x ∈ R : fν is dierentiable at x }.
Then, the Lebesgue measure of the sets R ＼ Cν and R ＼ Dν is 0, but the four sets Cν, R ＼ Cν, Dν, and R ＼ Dν are dense in R.
(引用終り)
つづく >>81 つづき
で、”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）が、結構重要キーワードじゃないかな？
R中のQのように稠密分散で、
R＼Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども
（似た状況は、上記の「the Lebesgue measure of the sets R ＼ Cν and R ＼ Dν is 0, but the four sets Cν, R ＼ Cν, Dν, and R ＼ Dν are dense in R.」とある通りで）
「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えるかどうかだ？
以上 >>82
>R中のQのように稠密分散で、
>R＼Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども
？ おっちゃんです。
今日は午前4時に散歩したら、新聞配達のお姉ちゃんが自転車で配達していた。
今は意識もうろうとしていて、もうお寝んねタイム。 まあ、深夜に散歩するのも案外日常とは違う面白い光景が見られる。
深夜にコンビニに行く人も時々見かける。
昼間の車の排気ガスで汚れた空気とは違い、昼間程汚れていない新鮮な空気は吸えるな。
それじゃ、おっちゃん寝る。 Thomae（「ポップコーン」）関数の絵が面白いので、ご紹介。
https://arxiv.org/abs/1702.06757
https://arxiv.org/pdf/1702.06757
Number-theoretic aspects of 1D localization: "popcorn function" with Lifshitz tails and its continuous approximation by the Dedekind eta S. Nechaev, K. Polovnikov (Submitted on 22 Feb 2017 (v1), last revised 26 Feb 2017 (this version, v2))
(抜粋)
We discuss the number-theoretic properties of distributions appearing in physical systems when an observable is a quotient of two independent exponentially weighted integers.
The spectral density of ensemble of linear polymer chains distributed with the law ?fL (0<f<1),
where L is the chain length, serves as a particular example.
At f→1, the spectral density can be expressed through the discontinuous at all rational points, Thomae ("popcorn") function.
We suggest a continuous approximation of the popcorn function, based on the Dedekind η-function near the real axis.
Moreover, we provide simple arguments, based on the "Euclid orchard" construction, that demonstrate the presence of Lifshitz tails, typical for the 1D Anderson localization, at the spectral edges.
We emphasize that the ultrametric structure of the spectral density is ultimately connected with number-theoretic relations on asymptotic modular functions.
We also pay attention to connection of the Dedekind η-function near the real axis to invariant measures of some continued fractions studied by Borwein and Borwein in 1993.
(引用終り) >>86
Figure 5: Plots of everywhere continuous f1(x) = -ln |η(x + iε)| (blue) and discrete f2(x) = Π/(12ε) g^2(x) (red) for ε = 10^-6 at rational points in 0 < x < 1.
が面白いね >>84-85
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
今年もよろしく（＾＾ （追加貼付）
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/245
245 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/02
ちょっと、ピエロの過去レス46に戻る
スレ46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/181
（ピエロ）
181 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/15(水) 19:42:29.78 ID:fz0TcIh0 [2/3]
(抜粋)
さらにいえば、1/q^nを1/e^(-q)に置き換えても
リュービル数では微分不可能https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
(引用終り)
これ、結構面白ね（＾＾
要するに、Proposition 3.1で、無理数で０で有理数でプラス（T(x)＞０ xは有理数）となるどんな関数も、必ずどこか微分不可能な無理数があり、それは稠密だというのだ（下記PDF）
https://kbeanland.wordpress.com/research-articles/
Kevin Beanland ASSOCIATE PROFESSOR OF MATHEMATICS in the Department of Mathematics at Washington and Lee University.
Research Articles
My main research area is Banach space theory but, I have some work in real analysis and know some descriptive set theory as it applies to Banach space theory.
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n2) is differentiable on the irrationals,
we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following
proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals
will always be non-differentiable on a rather large set.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on
the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not
differentiable.
(引用終り) >>51
C++さん、どうも。スレ主です。
年末は、ばたばたして、お相手できませんでしたが
新年おめでとうございます
今年もよろしくお願いします。ｍ（＿ ＿）ｍ Liouville Numbers について、調べていたら、下記ヒット
http://www.mathematik.uni -wuerzburg.de/~steuding/elaz2014.pdf
On Liouville Numbers - Yet Another Application of Functional Analysis To Number Theory Vortrag auf der ELAZ 2014 in Hildesheim: Jorn Steuding
(抜粋)
P21/42
Category vs. Measure
The set
L = (R ＼ Q) ∩ n>=1 (∪q>=2 ∪p (p/q -1/q^n ,p/q+1/q^n ))
of Liouville numbers is
・ big in the sense of category
(residual, dense Gδ),
・ small in the sense of measure
(Lebesgue measure zero, Hausdorff measure zero).
For the set of normal numbers it is the other way around.
(引用終り)
http://www.mathematik.uni -wuerzburg.de/~steuding/
Prof. Dr. Jorn Steuding Universitat Wurzburg Institut fur Mathematik （参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
リウヴィル数
https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number
(抜粋)
Structure of the set of Liouville numbers[edit]
For each positive integer n, set
U_n=∪_q=2～∞ ∪_p= -∞ ～∞ {x∈ R :0<|x - p/q|< 1/q^n｝ =∪_q=2～∞ ∪_p= -∞～∞ ( p/q - 1/q^n, p/q+ 1/q^n)＼ { p/q}
The set of all Liouville numbers can thus be written as
L=∩_n=1～∞ U_n.
Each Un is an open set; as its closure contains all rationals (the p/q's from each punctured interval), it is also a dense subset of real line. Since it is the intersection of countably many such open dense sets, L is comeagre, that is to say, it is a dense Gδ set.
Along with the above remarks about measure, it shows that the set of Liouville numbers and its complement decompose the reals into two sets, one of which is meagre, and the other of Lebesgue measure zero.
つづく >>93 つづき
Irrationality measure
The irrationality measure (or irrationality exponent or approximation exponent or Liouville?Roth constant) of a real number x is a measure of how "closely" it can be approximated by rationals. Generalizing the definition of Liouville numbers, instead of allowing any n in the power of q, we find the least upper bound of the set of real numbers μ such that
0<|x - p/q|< {1/q^μ
is satisfied by an infinite number of integer pairs (p, q) with q > 0. This least upper bound is defined to be the irrationality measure of x.[3]:246 For any value μ less than this upper bound, the infinite set of all rationals p/q satisfying the above inequality yield an approximation of x.
Conversely, if μ is greater than the upper bound, then there are at most finitely many (p, q) with q > 0 that satisfy the inequality; thus, the opposite inequality holds for all larger values of q. In other words, given the irrationality measure μ of a real number x, whenever a rational approximation x ? p/q, p,q ∈ N yields n + 1 exact decimal digits, we have
1/10^n >= |x - p/q| >= {1/q^(μ +ε)
for any ε>0, except for at most a finite number of "lucky" pairs (p, q).
For a rational number α the irrationality measure is μ(α) = 1.[3]:246 The Thue?Siegel?Roth theorem states that if α is an algebraic number, real but not rational, then μ(α) = 2.[3]:248
Almost all numbers have an irrationality measure equal to 2.[3]:246
Transcendental numbers have irrationality measure 2 or greater. For example, the transcendental number e has μ(e) = 2.[3]:185 The irrationality measure of π is at most 7.60630853: μ(log 2)<3.57455391 and μ(log 3)<5.125.[4]
The Liouville numbers are precisely those numbers having infinite irrationality measure.[3]:248
(引用終り) >>83
>>R中のQのように稠密分散で、
>>R＼Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども
>？
リウヴィル数をイメージしてもらえば、良いのでは？ 稠密分散で、”a nonempty open set”の集まり
例えば
Structure of the set of Liouville numbers より
”Each Un is an open set; as its closure contains all rationals (the p/q's from each punctured interval), it is also a dense subset of real line. Since it is the intersection of countably many such open dense sets, L is comeagre, that is to say, it is a dense Gδ set.” >>95
>リウヴィル数をイメージしてもらえば、良いのでは？ 稠密分散で、”a nonempty open set”の集まり
R＼Qは？ >>95
>Since it is the intersection of countably many such open dense sets >>96-97
>R＼Qは？
(>>82より再録)
"で、”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）が、結構重要キーワードじゃないかな？
R中のQのように稠密分散で、
R＼Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども
（似た状況は、上記の「the Lebesgue measure of the sets R ＼ Cν and R ＼ Dν is 0, but the four sets Cν, R ＼ Cν, Dν, and R ＼ Dν are dense in R.」とある通りで）
「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えるかどうかだ？"
R＼Qも、リウヴィル数に同じ
つまり、屋上屋の説明だが、RからQを抜く（Qは、孤立点の集合（内点を持たない閉区間の集合））
Rは至る所開（”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）の集合）
R＼Qの各”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）は、ここにはq∈Qは含まれない
故に、このような場合には、「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えないのでは？ >>98 訂正
Rは至る所開（”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）の集合）
↓
R＼Qは至る所開（”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）の集合） >>98
>R＼Qも、リウヴィル数に同じ
まずリュービル数全体は
>Since it is the intersection of countably many such open dense sets
のようですので
開集合とは言えませんし実際開集合ではありません
内点を持たないからです
内点を持つなら有理数の稠密性によりリュービル数である有理数がそんざいしてしまいますよ
次に
R＼Qですが
Qは孤立点の集合ではありません
どの有理数の近傍にも必ず有理数が存在するからです
また閉集合でもありません
閉包がRだからです
ですのでR＼Qもまた開集合にはならないのです >>87
どうも。スレ主です。
ID:9ORABeV3くんは、ピエロかな？
まあ、今年もよろしくね（＾＾
（参考）
https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl
サイコパスのピエロ（＝不遇な「一石」 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」） >>100
ID:okX91MtSさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
なるほど、”Since it is the intersection of countably many such open dense sets”からは、開集合は言えないのか？
でも、”「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えかどうか”については、どうですか？ >>100
ID:okX91MtSさん、あなたはレベルが高いね～（＾＾
ひょっとして、「ぷふ」さん？（＾＾ >>102
>でも、”「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えかどうか”については、どうですか？
前にも書きましたが
無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能ではない
という証明の流れですよ >>104
やっぱ、「ぷふ」さんか（＾＾
あなたと、例の「422に書いた定理」の人は、本当にレベル高いね
（書かれた証明にいちゃもんを付けるのは、数十分の一の能力できる。作曲や演奏はできないのに、音楽の批評ができるみたいにね（＾＾ （当然、数学の証明はそれで良いのだが・・。敬意を表して一言））
>無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能ではない
>という証明の流れですよ
ところで、いままでも散々出ているし、>>90などにもあるけど
トマエ関数の改良版が実例としてあって、
有理数の1/q^n で、n>2 で、nを十分大きく取ると、無理数の殆どで微分可能になる。リュービル数だけは、微分不能で残る
この場合、有理数の1/q^nで不連続点は、稠密分散のまま
だから、”無理数で微分可能→開区間（a, b）で連続”のところが、厳密な証明になっていないのでは？ と思っています >>100
ところで、追加質問で悪いが
>まずリュービル数全体は
>Since it is the intersection of countably many such open dense sets
>のようですので
>開集合とは言えませんし実際開集合ではありません
>内点を持たないからです
とすると、リュービル数全体は
「422に書いた定理」中の
「S は内点を持たない閉集合で被覆できる」（非可算に緩和してだが）に当てはまりますか？ >>105
それも散々指摘されていたと思いますが
微分可能点全体の補集合が非可算であり
可算この疎な閉集合で覆えませんので
件の定理は使えないのです >>107
いや、定理を離れて、数学として考えて
１．リュービル数全体は、「S は内点を持たない閉集合で被覆できる」
２．ただし、非可算を要する
ということでいいですね？ >>106
非可算に緩和したら証明の根幹が崩れますよ >>108 追加
それで、
１．Qは、「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」
２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。（「内点を持つ開集合の高々可算和で被覆できる」？ 当たり前か・・）
ですかね？ >>91
いえいえ、遥か後方から追いかけていくつもりですので、お気が向かわれるようでしたら、相手してやってください‥ >>111
>１．Qは、「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」
はい
>２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。
高々可算個ではできそうにありませんね
>（「内点を持つ開集合の高々可算和で被覆できる」？ 当たり前か・・）
それはムリです >>109-110
レスありがとう
数学的イメージをはっきりさせたかったので・・（＾＾ >>113
ご丁寧にレスありがとうございます。ちょっと、考えてみます（＾＾
お手間を取らせて悪いが
で、「422に書いた定理」中の定理1.7の証明中で
「系1.4 により， あるi に対してAiは内点を持つか， もし
くは， あるN，M >= 1 に対してB_N，M は内点を持つかのいずれかである. 各Aiは内点を持たないの
だったから， あるN，M >= 1 に対してB_N，M が内点を持つことになる.
特に， (a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.」
の
B_N，M が内点を持つことになる.
↓
(a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.
にギャップないですか？
つまり、R－BfがQのような稠密分散集合で、よって、BfがR＼Qのような集合になりますと
このような場合、「内点を持つから、開区間(a， b) が取れる」と言えますか？ >>112
C++さん、レスありがとう
深謝！（＾＾ >>115
>にギャップないですか？
内点を持つことの定義です
>つまり、R－BfがQのような稠密分散集合で、よって、BfがR＼Qのような集合になりますと
>このような場合、「内点を持つから、開区間(a， b) が取れる」と言えますか？
もしかすると
背理法による証明を理解していないのかも知れませんね
Aを仮定して矛盾が起こるためAが否定されるのですよ
この場合の矛盾とは「開区間が取れるはずなのにそれはあり得ない」ということです スレ主が何を分かってないかを当てるクイズスレかここは 新年からみっともないなスレ主は
わからないなら勉強しろよ
人に一から十まで聞くなよ >>113
>>２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。
>高々可算個ではできそうにありませんね
ベールのカテゴリー定理より高々可算個では無理と分かりますね >>117
あなたは、「ぷふ」さんではなさそうですね
前スレ 592で、「件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ」と書いた人ですね
>背理法による証明を理解していないのかも知れませんね
定理1.7 (422 に書いた定理)の段階では、背理法はまだ使っていませんよね
背理法は、系1.8の証明からですよ
で、>>115に戻ると
”B_N，M が内点を持つことになる.
↓
(a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.”
の”反例が、R＼Qではないか”と思っています
つまり、R＼Qは、内点を持つが、
系1.8の背理法に使えるような開区間(a， b) を取ると、そこにはR－Bfの点が入ることになる（∵R－Bfが稠密だから）
もう少し説明をすると
定理1.7のターゲットは、「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R」だ
だから、Q vs R＼Q（＝無理数点）の集合としての性質が問題になる
この場合、Qは、内点を持たない有理数点の加算和。なので、R＼Q（無理数）は、内点を持つ集合になる（ベールの範疇定理の典型例）
上記の定理1.7との対応で、QがR－Bfに対応しリプシッツ不連続。R＼QがBfに対応しリプシッツ連続だ。
ところで、R＼Q（無理数）は、上記の通りで、内点を持つ集合だが、ある開区間(a， b) を取ると、そこには必ずQの点が入る
この性質は、リプシッツだとか微分だとか、関数の性質とは無関係だ
よって、ベールの範疇定理だけでは、
Qの補集合であるR＼Q（＝無理数点の集合）は、内点を持つ集合までは言えるが、
ある開区間(a， b) を取れるとまでは言えないことがわかる
繰返すが、
”B_N，M が内点を持つことになる.
↓
(a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.”
は、言えない >>120
>>>２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。
>>高々可算個ではできそうにありませんね
>ベールのカテゴリー定理より高々可算個では無理と分かりますね
正しい引用は（>>111より）
２．R＼Qは、「内点を持たない閉集合」では、被覆できない。（「内点を持つ開集合の高々可算和で被覆できる」？ 当たり前か・・）
(引用終り)
ですね。
ああ、非可算まで広げると、”被覆”の意味が訳分からなくなるので、”可算しばりを入れろ！”ということか・・・（＾＾
なお、「内点を持つ開集合の高々可算和で被覆できる」は、通常の距離を入れたRが、第二可算的空間あるいは、第一可算的空間ですから・・、当然
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E5%8F%AF%E7%AE%97%E7%9A%84%E7%A9%BA%E9%96%93
第二可算的空間
(抜粋)
数学の位相空間論おける第二可算空間（だいにかさんくうかん、英: second-countable space）とは、第二可算公理を満たす位相空間のことである。空間が第二可算公理を満たすとは「その位相が可算な開基を持つ」ということを言う。
「素性のよい」空間のほとんどは第二可算的である。例えば、普通の位相を入れたユークリッド空間 (Rn) がそうである。全ての開球体を考える通常の開基をとるとこれは可算ではないけれども、半径が有理数で中心が有理点であるような開球体全体のなす集合を考えると、これは可算であり、開基も成す。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%8F%AF%E7%AE%97%E7%9A%84%E7%A9%BA%E9%96%93
第一可算的空間
(抜粋)
数学の位相空間論において、第一可算空間（だいいちかさんくうかん、英: first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を指す。
普通に使われる空間のほとんどは第一可算的である。特に、距離空間はすべて第一可算的である。というのは、各点 x に対し、それを中心とする半径 1/n (n は正の整数) の開球の系列は x の可算な基本近傍系となっている。 >>121
>前スレ 592で、「件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ」と書いた人ですね
そうですよ？
そしてあなたに「ぷふ」と呼ばれている者のようですね
>”B_N，M が内点を持つことになる.
> ↓
>(a， b) ⊆ B_N，M なる開区間(a， b) が取れる.”
内点とは何かを学ぶべきです
といいますか
それを理解していないのであれば
これまでのすべての話は正しく理解することは出来ないのでは？
>>122
>ああ、非可算まで広げると、”被覆”の意味が訳分からなくなるので、”可算しばりを入れろ！”ということか・・・（＾＾
そうではありません
ベールのカテゴリー定理を使うためです
それとRの部分集合なのですから
非可算に広げると何でも内点を持たない閉集合（1点）の合併になってしまい
条件を付けることになりませんよ？ >>121
>この場合、Qは、内点を持たない有理数点の加算和。なので、R＼Q（無理数）は、内点を持つ集合になる（ベールの範疇定理の典型例）
その定理を使うためには
疎な閉集合の可算和でRを表す必要がありますが
R＼Qはどうするのですか？
使えない状況で定理を使った気になってはいけません スレ主よ
いい加減にわかった気になるのはやめろ
お前は一年一学期の内容すらわかってない それを自覚しろ ＞内点とは何かを学ぶべきです
と言われることがどれほど低レベルで恥ずかしいことか自覚しろ
お前に必要なのは 自 覚 力 だ >>123-124
「ぷふ」さんと、「件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ」と書いた人とが、
同一人物か？ 衝撃の事実だな～！（＾＾
あなたは、前スレ >>571のID:84+rbTu3さんですね。８つレス付けてくれた（＾＾
黄色い救急車ならぬ黄金の救急車で、黄色いクスリを処方してくれましたね。
どうもありがとう。あのクスリで、悪いなりに私の頭がかなりすっきりしましたよ（＾＾
つづく >>127 つづき
>R＼Qはどうするのですか？
>使えない状況で定理を使った気になってはいけません
そこは、調べて、分りました！（＾＾
Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R.
R ＼ Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
(R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R.
つまりは、R内に稠密分散するQは、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
同様に、RからQを除いたR ＼ Qも、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
（資料は後述ご参照）
これは、実に面白いですね
面白すぎて、理解がついていかないが・・。
まあ、無限集合で、自身と同じ濃度の真部分集合を含むというヒルベルトのホテルのパラドックスを思わせますね（＾＾
まあ、有理点の集合Qと無理点R ＼ Qが、互いに稠密に入り交じっているからですね・・（＾＾
（参考）
http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/edu2/st/
龍谷大学> 理工学部> 数理情報学科> 国府> > 11 回め 講義（集合・位相）☆ 配布: 2009-07-01Thu 更新: 2009-07-02
11.4.2
1 次元ユークリッド空間R1 で, 有理数全体Q, 無理数全体R \ Q の内部, 外部, 境界,閉包を求めよう.
講義（集合・位相）☆ 11 回めの問題(2009-07-01Thu)
(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)
Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R.
(R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R.
http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/
Welcome to Hiroe's Home Page! Hiroe Oka professor Department of Applied Mathematics and Informatics Faculty of Science and Technology Ryukoku University
（龍谷大 岡先生？）
http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/teaching.html
講義(2009年度)
学部 集合と位相および・演習II 2年前期 http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/edu2/st/index.html
つづく >>128 つづき
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11168182641
(抜粋)
katakana121225さん2016/12/19 yahoo
1次元のユークリッド空間Rでの有理数Qの内部、外部、境界はどうなるのですか？
解説も出来ればお願いします
ベストアンサーに選ばれた回答 clicky_clicky_clicky_clickyさん 2016/12/19
一般に, 内点・外点・境界点の定義 (近傍による定義) から, 距離空間 X の点は X の部分集合 A にたいして内点または外点または境界点のいずれかです. (※排他的 : 同時に2種類以上は無い)
有理数 Q の任意の点の近傍 (ε-近傍) には, 無理数の点, すなわち, 有理数 Q の補集合 R-Q の点が含まれます. したがって, Q の任意の点は Q の境界点 (同時に R-Q の境界点) です.
無理数 R-Q の任意の点の近傍 (ε-近傍) には, 有理数の点, すなわち, 無理数の補集合 Q の点が含まれます. したがって, 無理数 R-Q の任意の点は R-Q の境界点 (同時に Q の境界点) です.
以上, 先に述べたとおり, R=Q∪(R-Q) の任意の点は, Q の境界点であり, (排他的な内点・外点・境界点の定義から) Q の内点も外点も存在しません. すなわち
Q の内部 (内点全体) = 空集合
Q の外部 (外点全体) = 空集合
Q の境界 (境界点全体) = R
(引用終り)
つづく >>129 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%83%E7%95%8C_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
境界 (位相空間論)
(抜粋)
一般位相において位相空間 X の部分集合 S の境界（きょうかい、英語: boundary, frontier）とは、S の中からも外からも近づくことのできる点の全体の成す X の部分集合のことである。
もうすこし形式的に言えば、S の触点（閉包に属する点）のうち、S の内点（開核に属する点）ではないものの全体の成す集合のことである。S の境界に属する点のことを、S の境界点(boundary point) と呼ぶ。S が境界を持たない (boundaryless) とは、S が自身の境界を包含しないこと、あるいは同じことだが境界点がひとつも S に属さないことをいう[1]。
集合 S の境界を表すのに、bd(S), fr(S), ∂S[2] のような記法がしばしば用いられる。代数的位相幾何学における境界 (boundary) の概念との区別のため、ここでいう境界に対応する語として "boundary" の代わりに "frontier" を用いることがある（たとえば松坂『集合・位相入門』[3]）。
集合 S の境界の連結成分のことを、S の境界成分 (boundary component) という。
例
実数直線 R に通常の位相（つまり、開区間を開基とする位相）を考えると、たとえば
・∂Q = R
・∂(Q ∩ [0,1]) = [0,1]
などが成立する。最後のふたつの例は、内点を持たない稠密集合の境界はその集合の閉包に一致するという一般的な事実を説明するものになっている。
有理数全体の集合に通常の位相（R の部分位相空間としての位相）を考えた位相空間の中では、a が無理数であるときの区間 (?∞, a) の境界は空集合である。
集合の境界というのは位相的な概念であり、集合に入れる位相を変えれば（同じ集合であっても）何が境界であるかが変わってくる。
つづく >>130 つづき
性質
・集合の境界は閉である。
・集合の境界は補集合の境界に等しい： ∂S = ∂(Sc)。
これらのことから以下のようなことが従う。
・p が集合の境界点となる必要十分条件は、p の任意の近傍が少なくとも一つその集合の点を含みかつ少なくとも一つその集合の補集合の点を含むことである。
・集合が閉であることの必要十分条件は、その集合が自身の境界を包含することであり、開であることの必要十分条件はその集合が自身の境界と交わりを持たないことである。
・集合の閉包はその集合自身とその境界との和に等しい：Cl(S) = S ∪ ∂S。
・集合の境界が空であることの必要十分条件は、その集合が開かつ閉 (clopen) であることである。
・Rn における任意の閉集合は、適当な集合の境界になっている。
S の各点は内点であるか境界点であるかのいずれかである。また、S の各点は集積点であるか孤立点であるかのいずれかである。同様に、S の各境界点は集積点であるか孤立点であるかのいずれかである。Rnの部分集合の孤立点は常に境界点である。
つづく >>131 つづき
境界の境界
如何なる集合 S についても ∂S ⊇ ∂∂S が成立する。ここで等号は S の境界が内点を持たないとき、かつそのときに限り成り立つ。
これは S が開または閉であるときにも正しい。任意の集合の境界が閉となることから、∂∂S = ∂∂∂S は如何なる集合 S についても成り立つ。したがって、境界をとる操作は弱い意味で冪等である。特に、集合の境界の境界はふつう空でない。
多様体や単体および単体的複体の境界に関する議論では、しばしば境界の境界はつねに空であるという主張を目にすることもあるだろう。
実際、特異ホモロジーの構成はこの事実に決定的に基づいている。この明らかな不整合に対する説明としては、この項目の主題となる位相的な境界と、多様体や単体的複体の境界とは少し異なる概念であるからということになる。
例えば閉円板をそれ自身位相空間とみなしたときの位相的な境界は空集合だが、円板自身を多様体と見なしたときの境界は円板自身の円周である。
(引用終り)
以上 >>131 補足
>・集合の境界は補集合の境界に等しい： ∂S = ∂(Sc)。
Qの境界がR。
故に、Qの補集合のR ＼ Qの境界も、R。
だが、Rは、全体集合でもある！（＾＾ >>124
甘えて悪いが、もう一つ二つ黄色いクスリ（あなたの見解の開陳で結構だが）を
処方してもらえるとありがたい（＾＾
１）
定理1.7 (422 に書いた定理)で、BfとR－Bfで、
前者Bfが無理数（R ＼ Q）を想定した集合で、後者R－Bfが有理数（Q）を想定した集合だ
もし、R－Bfが有理数（Q）のように、R中に稠密に分散していたら
例え、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるとして（実際Qがそうだが）も
補集合のBfは、ベールのカテゴリーで２類だが、それは内点を持たず、従って、Bfに区間(a, b)をとれば、そこにR－Bfが含まれる
（ちょうど、QとR ＼ Qとの関係に同じ）
つまり、Bf内には、定理1.7の結論のBfの点のみから成る区間(a, b)は取れないことになる
２）
上記とほぼ同じだが、従来のRuler Functionやトマエ関数とその類似の研究で、
”f(x) = 0 if x is irrational, f(x) = 1/q^2 if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.”(n > 2)
のとき、nが大きくなると、ほとんどの無理数で微分可能になるという。
ただ、リュービル数だかけが、リュービル数では微分不可能で残るという
リュービル数もまた、R中で稠密だという
で、当たり前だが、Ruler Functionは、Qでは不連続ゆえ、これら微分可能な点の集合は、内点を持ち得ない。（そして境界がRだろう）
この事実と、定理1.7の証明での、内点を持つこととか、Bfの点のみから成る区間(a, b)が取れるということが、いかにも上記と不整合だと思う次第
（ある一箇所、区間(a, b)が取れるということは、それはどこにでも、いたるところ区間(a, b)が取れるということにもなるし・・）
上記の１）２）などが、自分の中ですっきり納得できない限り、定理1.7 は、手放しでは首肯できない
なので、いま、いろいろ、先行研究との対比検討をしているところです
なにか、ヒントなり、あなたの見解の開陳をしてもらえると、ありがたい（＾＾
なお、念押しだが、あなたは、定理1.7が成立すると思っているのですね？ お前は教科書に普通に書いてあることがわかってないんだから
黙って教科書を勉強しろ >>134
> 上記の１）２）などが、自分の中ですっきり納得できない限り、定理1.7 は、手放しでは首肯できない
> なので、いま、いろいろ、先行研究との対比検討をしているところです
それよりも証明を読めるように基礎から勉強した方が良いというのが私の意見です
> なにか、ヒントなり、あなたの見解の開陳をしてもらえると、ありがたい（＾＾
> なお、念押しだが、あなたは、定理1.7が成立すると思っているのですね？
見事な証明であるとあなたにわからないのが残念です 12に関してはすでに私も説明しましたから繰り返しません
また
証明を書いた人もそれぞれについてとても詳しい解説をつけてくれてますよ 数学的な指摘もせずにチャチャを入れるだけの無能な人もいるようですが
それは無視して基礎から勉強してみてください 昨日のTVだが、「イップス」、スポーツ用語らしいが、精神的な原因が関係しているなら、スポーツ以外の分野でもあるかも・・
http://www.tbs.co.jp/kietatensai/
消えた天才 TBS 20180103
(抜粋)
水谷隼 が絶対に勝てないと思った 怪物Ｓ
卓球界でオリンピック史上初の男子メダリストとなった天才・水谷隼。
そんな水谷がかつて、「絶対に勝てない」と思った怪物卓球選手がいたという。
その人物は185ｃｍの身長で卓球選手とは思えない屈強な肉体の持ち主。
誰もが恐れる天才だったという。
さらに独自の技を次々に開発し、「卓球界のパイオニア」とも言われた。
しかし、ある時を境に、突然第一線の表舞台から姿を消したという…
怪物Ｓに降りかかったある“悲劇”とはいったい？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%83%E3%83%97%E3%82%B9
イップス
(抜粋)
イップス (yips) は、精神的な原因などによりスポーツの動作に支障をきたし、突然自分の思い通りのプレー（動き）や意識が出来なくなる症状のことである。本来はゴルフの分野で用いられ始めた言葉だが、現在ではスポーツ全般で使われるようになっている。
目次 [非表示]
1 概説
2 治療
3 ゴルフ以外のスポーツでのイップス
4 イップスを扱った作品
5 脚注
6 外部リンク
治療
明確な治療法は無く、克服出来るかはその人間次第である。最終的に克服出来たとしてもイップス発症から数年・数十年経過しているケースも珍しくない。
よく行われる治療法としては、最初は原因を発見して失敗した場面を直視することから始まり、無意識に身体が拒否反応しているので小さい部分から徐々に成功体験させて自信を体感させる行為がある。
しかしこれは精神的に覚悟や開き直りを求める行為でもあるので新たに精神に負荷をかけてしまう恐れもある。また別に、単なるスランプや緊張からくるあがり、あるいは精神的な病気が原因ではなく、運動障害であるジストニアが疑われる場合には、職業性ジストニアの治療に準じた治療が少数の医療機関にて行われつつある。 >>139 関連
https://www.counselingservice.jp/lecture/16555/
やりたい事ができない 基礎講座 大谷 常緑 Counseling Service 20140919
(抜粋)
「やりたい事ができない！」
そんな行動をとる時はその結果で自分を責める気持ちを感じたくない時です。
自分が満足する結果ではないのではないか、と自信がない時です。意識していなくてもできない時は、強大な力を持つ無意識が行動を支配している時です。
結果に自信が無い時、多くの場合、高い完成度を求めています。完成度を高く設定する傾向にある人を、完璧主義者と言います。
完璧主義者は日常生活でも○か×の判断をする傾向にあり、不十分さを認めません。人間は、何かを認めたくない時、「自分はその認めたくない状態にある」と責めています。「不十分だと思っているのに、不十分さを感じる事なんかしたくない」と感じています。
完璧主義の下側には、不十分な自分が隠れているのです。
この問題から抜け出るには、出来ていない部分に着目するのではなく、出来ている部分に目を移す事、また、「どうせ嫌な気分を感じるのであれば、やった方がまし」と開き直ってみることです。
◎リクエストを頂きました。
とてもわかりやすく毎回楽しみにしています。
リクエストなのですが、私は、「やらなくてもいいこと」に労力を払ってしまいます。
最近はその傾向が酷くなってきて肝心なことが手につかなくなっています。
例えば、学校の勉強でわからないことを調べ始めたら永遠終わらなくて課題が仕上がらなくなっても、どんどんドツボに嵌って結局何一つわからなくなってしまったり、
気分転換に荷物の整理をはじめたら、最初整理しようと思ってた範囲を越えて家の隅々までひっくりかえしてしまいます。馬鹿なことをやってると思いながら止められません。
何かアドバイスがありましたら簡単でもいいのでお願いしたいです。
何かをやろうとしても、その途中でひっかかった何かに時間を費やしてしまって終わらなかったり、ここまでやろうと決めた範囲を超えてやってしまって終わらなかったり、あるいは、やらなければと思いつつも最初から関係のないことばかりをやって結局は手をつけられなくなってしまったり
ではなぜ、やらなければならない事を、しないような行動をとってしまうのでしょうか？
(引用終り) >>136-138
どうも。スレ主です。
了解。まあ、ゆっくりやりましょう（＾＾
細かいレスは、後ほど（＾＾ おっちゃんです。
>無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能
について。概ねの証明という感じにはなるが、
殆ど大学1年レベルの数学によるこの流れの論法による証明は以前私がここに書いた。
この証明では、ベールの範疇定理は用いていない。だが、スレ主はその証明も読めない。
そうなると、スレ主は ε-δ や ε-N から始めろとなってしまう。 ぶっちゃけ、
>無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能
という流れの証明にあたり、リウビル数にこだわっても、
その数論的な性質は全く用いていないから、それにこだわる意味は何もない。 >>142-143
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おめでとうございます！
今年もよろしくお願いいたします。（＾＾ ＜引用＞
579 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/26(火) 20:15:47.76 ID:IBTJ7HPw [4/13]
>>577
>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
なるほど
それは興味深いですね
出典がありますか？ あれば読んでみたい
おっと、このスレには書かないで下さい。
このスレでアスキー文字制限で書かれた数学の証明は、
読みにくくてしかたないのでね（＾＾
580 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/26(火) 20:17:19.39 ID:IBTJ7HPw [5/13]
>>579 訂正
おっと、このスレには書かないで下さい。
↓
おっと、このスレに直に証明は書かないで下さい。
581 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/26(火) 20:23:06.49 ID:IBTJ7HPw [6/13]
>>579-580 補足
いまの定理の証明も、無理を言って、PDFにしてもらって、ダウンロードで読めるようにしてもらいました（下記URL）
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>513）
(引用終わり) 実数直線R上におけるルベ－グ測度0の稠密な非可算集合として考えても結果は同じになる。
リウビル数全体の集合の性質に合致する。 >>146
リプシッツ連続な開区間（a, b）が取れると？
リウビル数の集合は、R中に稠密に存在するというけど？
（リウビル数では、リプシッツ連続は満たされない前提としてだが） >>145
そのサイトをクリックすると、
>2分以内にダウンロードしてください
とか、注意喚起として
>コンピュータウイルスによる被害が発生しています．必ずセキュリティソフトウェアを有効にし，
>信頼の出来ないファイルの実行は避けるよう十分注意頂きますようお願い致します．
と書いてあって、何やらウイルスによるセキュリティー上の問題が発生しているサイトのようだが。 >>148
>リプシッツ連続な開区間（a, b）が取れると？
これはリウビル数の集合が持つ性質であるルベーグ測度が0の非可算稠密集合に反する。
a、b はどっちもリウビル数としているのだろう。通常のRの位相で考える。
リウビル数の全体に対して開区間 （a, b） が取れたら、リウビル数はRで稠密だから
（a, b） に対して a＜c＜d＜b なるリウビル数 c, dを取ると （a, b） の中に開区間 (c, d) が取れる。
同様な操作を行うことは無限回出来る。なので、リウビル数の全体のルベーグ測度は0より大きくなって、矛盾が生じる。 >>148
>>150においても、やはり、リウビル数の数論的な性質は全く用いていない。 >>145 補足
１．私は、このスレに書かれた証明は読まない主義。読みにくくてしようがないし、PDFなど公開資料があれば、それを読みたいのでね
２．今回も、PDFにしてもらってよかった。このスレに直書きでは、何スレにもわたって読めたものじゃない
３．素人証明に、うっかり乗らないというのも、私の主義でね
４．この定理1.7 (422 に書いた定理)の証明を書いた人の実力は認めるけれども
「無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けます」と
定理1.7 の系として
そして、この命題は、ネット検索ではまだ見つからないので、初出かもしれない
（系1.8の「無理数で可微分、有理数で不連続な関数は存在しない」は、既出だが）
ならば、ますます、うっかり乗れないと（すらーと読んで正しいと言ったとたんに、うっちゃりになりかねない）
５．なので、パブリックコメントを募集します。特に、大学教員レベルの情報（成立・不成立）があれば、ありがたい（＾＾ >>149
PDFをダウンロードするだけなら、問題なし。他の操作は、しないこと。他の操作は保証の限りではない >>150-151
PDF（>>145の）を見ずに、論じているのか？（＾＾ >>148
>>150の訂正：
(a, b) の中に開区間 (c, d) が取れる。 → （a, b） の中に閉区間 [c, d] が取れる。 >>152 補足
証明についてでなくとも
「無理数で可微分、有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論」について
正しいかどうかと、既出か初出か
そういう情報を、希望します（＾＾ >>154
ああ、何か危なっかしいサイトのようだから、ダウンロードは止めている。
>１．私は、このスレに書かれた証明は読まない主義。
あと、>>150(や>>155)位の証明は読めな。pdf の証明に比べたら相当短い証明だろう。 >>156
多分既出だよ。
どこかの大学の数学科のテストやレポートの問題として出てもおかしくない命題の証明だろうし、
pdf の証明全体を大学一年レベルの数学による証明に置き換えた証明も出来るしな。 >>157
>ああ、何か危なっかしいサイトのようだから、ダウンロードは止めている。
じゃ、抜粋下記な
前スレ 489より
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
”系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”
(引用終わり) >>157
>あと、>>150(や>>155)位の証明は読めな。pdf の証明に比べたら相当短い証明だろう。
その程度は、証明というより、説明だろう。それ拒否したら、会話にならん
読まないのは、コテコテ証明だよ（＾＾
特に、本来なら、上付き添え字、下付き添え字になるところを、むりむりアスキーとか
分数で３行以上に書き分けるところを、むりむりアスキー １行とか
視認性が悪いから、下記ても十分チェックできず、あちこちにバグがある。なので、読む方はバグ取りしながら読むことになる
なんで、証明のバグ取りをしながら読む？ 公開PDFでバグ取り終わったテキストの証明を出せ！（＾＾ >>158
>多分既出だよ。
>どこかの大学の数学科のテストやレポートの問題として出てもおかしくない命題の証明だろうし、
>pdf の証明全体を大学一年レベルの数学による証明に置き換えた証明も出来るしな。
そういうのは、基本命題とか基本定理とかでね
かならず、教科書にあるべきなんだよ
あるいは、論文とかで
かつ、応用範囲が広ければ、いろんなところで使われているはず
で、そうでないなら、
あやしい定理ってことだろ？ >>159
系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない
を否定したら、つまりいい換えれば
有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在する
としたら、定理の証明の中身はともかく、定理1.7 (422 に書いた定理)が否定されることになる。
だが、このように 系1.8 を否定したら矛盾が導かれる。だから、背理法により 系1.8 の否定は出来ない。
だから、命題の証明の中身はともかく、対偶を取って論理的に考えると、流れとしては
定理1.7 (422 に書いた定理)が肯定されて 系1.8 も肯定されることになる。
リプシッツ連続は杉浦 解析入門に書かれているようだから、大学1年で習うことがあるようだな。 ＞３．素人証明に、うっかり乗らないというのも、私の主義でね
一年生向け教科書にも乗らない主義？ 何をかっこつけてるのか？
お前は 勉 強 し な い 主 義 だろうが >かならず、教科書にあるべきなんだよ
そういう結論を全部書いてある教科書はない。
全部書こうとしても、数冊だけではそれらの中には書き切れない。 バカは黙って勉強しろ
２ちゃんでかっこつけても全く進歩しないことはお前の4年間が証明しているではないか
教科書に普通に書いてることがわからないのにコピペも数学談義も無用と気付け 教科書を勉強して「ここはこう思うがどうか？」とか「この問題が解けないので教えて欲しい」
とかなら意味がある。だが全く教科書を読んでもいないお前がコピペと数学談義しても何の意味も無い。
いつになったらそれに気付くのか？4年間も進歩ゼロなんだからそろそろ気付け。 834名無しさん＠お腹いっぱい。2018/01/03(水) 23:27:05.00ID:OwRfM25O
https://www.youtube.com/watch?v=TZE7hl4FzDY
お母様。ぼくは高校の時そう1年か2年の始め宇宙が無から始まったと思っていました。
中学の時、あるところに行く道が幾通りかある時自分が選んだ道筋は後から見たら当然実現したことになってる。
と思った。で、宇宙が無から出来たらこの宇宙の法則では当然この宇宙が生まれこうなった。という理屈があるだろう。
と言う事で、これを解明する理論が万有理論である●●論なのだ。そしてその研究をやって来たのだ。で、これは
集合論では無限が実現出来れはその結果からさらに無限が生まれさらに・・・と続く。これは不完全性理論が成り立つ
理由であるが、宇宙膨張の理由だろう。集合論ではその要素である元はまず数えられる存在であり、まず 0 がある。
その集合である｛０｝とする。これを1と数える。それらの集合を｛０、｛０｝｝を2と数え又｛０、｛０｝｛０、｛０｝｝を3と数え・・・・。
こうして何も無いと言う概念の 0 から数の概念を生み出していく。これは集合論の数の創造だが。
数学をやった者なら酔っ払ってもわかるよな。
835名無しさん＠お腹いっぱい。2018/01/04(木) 00:07:18.97ID:nZUhCplw
しかし思うと確かゲーデルの不完全定理ではその体系が正しいとはその体系の内部では決定できない。
とか言うのもあって、バイトする暇もないくらいなんだが、酒は飲みたいのう。 ＞そうなると、スレ主は ε-δ や ε-N から始めろとなってしまう。
だから以前から繰り返し言ってきた
それは解析の根幹であり、それがわからないということは解析が全滅であるに等しいと >>162-169
おまいら、なにを言っているのか、支離滅裂だな～（＾＾ >>165
>>かならず、教科書にあるべきなんだよ
>そういう結論を全部書いてある教科書はない。
>全部書こうとしても、数冊だけではそれらの中には書き切れない。
数学は体系を成しているものだから、大体基礎的な話（定理）などは、大定理の簡単な系として導かれるはず
定理1.7 (422 に書いた定理)も、本来そうあるべきだと思うよ
木に竹を接いだような話には、本来ならんだろうと言っているのだ 学生：先生、こんな定理があります
教官：ほう、どうしたんだ？
学生：証明を読みました。正しいです
教官：それは、どの本に載っているのだ？
学生：５CHにありました
教官：・・・。・・・５CHでは引用文献として使えないよ（＾＾ >>170
支離滅裂に読めるのはお前の国語力が足りないからだ
数学の前に国語を勉強せよ ＞教官：・・・。・・・５CHでは引用文献として使えないよ（＾＾
誰が２ｃｈを引用すると？
お前は国語から ＞教官：・・・。・・・５CHでは引用文献として使えないよ（＾＾
生徒 嘘を嘘と見抜ける人たちですから >>162
不連続と、各点でリプシッツ連続でないことと
この二つの区別ついているかい
ついているとして、「系1.8 有理数の点で不連続、無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」は、既存の論文ですでにある
が、系1.8の”リプシッツ連続でない版”で「有理数の点でリプシッツ連続でなく、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」は、見つからない
見つからない理由は、１）不成立だから、２）成立するがいままで知られていなかった
の２択しかないだろ？ （まあ、探し方が悪いというのもあるかも知れないが）
あんたら、完璧に証明したから２）だと。そう単純に、言って委員会？
この定理は、成り立つなら面白いと思うし、また、成り立つなら将来教科書に載ってもおかしくないと思うけどね～・・・？
おれは、もっと、この線を調べるよ
その過程で、成否もはっきりしてくるだろう >>145 主義に反するが、おっちゃんのために、PDFから証明をアスキー化して、全文を貼るよ（＾＾
（文字化けと誤記はご容赦。読みにくいだろうが、そう思ったら右のURLのPDFを嫁め。（＾＾ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明 ）
＜422 に書いた定理の証明＞
定義1.1 一般に, g : R → R とx ∈ R に対して,
lim sup y→x g(y) := inf δ>0 sup 0<｜y－x｜<δ g(y)
と定義される.
定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
定理1.3 (X, d) は空でない完備距離空間とする. 高々可算無限個のFi ⊆ X は,
・ 各Fiは閉集合,
・ X ⊆∪i Fi
を満たすとする. このとき, あるi に対して, Fiは内点を持つ. 証明はベールのカテゴリ定理から即
座に出る.
系1.4 高々可算無限個のFi ⊆ R は,
・ 各Fiは閉集合,
・ R ⊆∪i Fi
を満たすとする. このとき, あるi に対して, Fiは内点を持つ. 証明は前定理からすぐに従う.
補題1.5 f : R → R とx ∈ R は
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
を満たすとする. このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [x － 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)]が成り立つ.
つづく >>178 つづき
証明
仮定により,
lim sup y→x ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
を満たす正整数N が取れる.
lim sup y→x ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜= inf δ>0 sup 0<｜y－x｜<δ ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜
に注意して,
inf δ>0 sup 0<｜y－x｜<δ ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
ということになるので, あるδ > 0 に対して
sup 0<｜y－x｜<δ ｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
である. 以下, δ > 1/M を満たす正整数M を1 つ取っておく. このとき,
∀y ∈ R [ ｜y － x｜ < 1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜] ・・・(1)
が成り立つことを示す. ｜y － x｜ < 1/M を満たすy ∈ R を任意に取る. もしy = x ならば, 明らか
に｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜ が成り立つ. 以下では, y ≠ x としてよい. よって,
0 < ｜y － x｜ < 1/M < δ
となるので, δの定義から,
｜(f(y) － f(x))/(y － x)｜< N
となる. 特に, ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜ となる. 以上より, (1) が成り立つ. 以上の準備のもとで,
題意を示す. y, z ∈ R であって
x － 1/M < y < x < z < x +1/M
を満たすものを任意に取る. このとき, (1) により
｜f(z) － f(y)｜ <= ｜f(z) － f(x)｜ + ｜f(x) － f(y)｜ <= N｜z － x｜ + N｜x － y｜ = N(z － y)
が成り立つ(絶対値が外れてN(z － y) になっているのは, y < x < z から出る). よって, 題意が成
り立つ.
つづく >>179 つづき
補題1.6 x ∈ R とxi ∈ R (i >= 1) はxi → x (i → +∞) を満たすとする. このとき, 次が成り立つ.
・ ∀y > x, ∃i0 >= 1, ∀i >= i0 [ y > xi ] .
・ ∀y < x, ∃i0 >= 1, ∀i >= i0 [ y < xi ] .
証明は単なる"-δ論法なので省略する.
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
つづく >>180 つづき
証明
仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR－Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1) 次に, 天下り的だが, N,M >= 1 に対して
BN,M :={x ∈ R ｜ ∀y, z ∈ R [x － 1/M < y < x < z < x +1/M) ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)] }
と置く. このとき, Bf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M が成り立つことを示す. x ∈ Bf を任意に取る. このと
き, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である. よって, 確か
にBf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M である. (1) と合わせて, R = Bf [ (R－Bf ) ⊆ (∪N ,M>=1BN,M ) [ (∪i Ai) と
なる. すなわち,
R ⊆ (∪N ,M>=1BN,M ) [ (∪i Ai) ・・・ (2)
となる. 次に, 各BN,M は閉集合であることを示す. x ∈ R とxi ∈ BN,M (i >= 1) はxi → x (i →
+∞) を満たすとする. このとき, x ∈ BN,M が成り立つことを示せばよい. そのためには,
∀y, z ∈ R[x － 1/M < y < x < z < x +1/M ) ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)]
を示せばよい. さて,
x － 1/M < y < x < z < x +1/M
が成り立つようなy, z ∈ R を任意に取る. xi → x と補題1.6 により, i が十分大きければ
xi － 1/M < y < xi < z < xi +1/M
つづく >>181 つづき
が成り立つ. そのようなi を何でもいいから1 つ取ると, xi ∈ BN,M に注意して, BN,M の定義か
ら｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y) が成り立つ. よって, 確かに
∀y, z ∈ R[x － 1/M< y < x < z < x +1/M) ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)]
が言えた. よって, x ∈ BN,M である. よって, BN,M は閉集合である. すると, (2) の右辺は可算無
限個の閉集合の和ということになるので, 系1.4 により, あるi に対してAiは内点を持つか, もし
くは, あるN,M >= 1 に対してBN,M は内点を持つかのいずれかである. 各Aiは内点を持たないの
だったから, あるN,M >= 1 に対してBN,M が内点を持つことになる. 特に, (a, b) ⊆ BN,M なる開
区間(a, b) が取れる. f は(a, b) 上でリプシッツ連続であることを示す. x, y ∈ (a, b) を任意に取る.
｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜ が成り立つことを示す. 対称性から, x <= y としてよい. よって, 示すべ
きは｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x) である. もしx = y ならば, 明らかに成り立つ. 以下では, x < y と
してよい. M(y －x)/2 < L を満たす正整数L を何でもいいから1 つ取る. [x, y] をL 等分に分割し
て, 等分点をx からy に向かってx = z0 < z1 < < zL = y とする. より詳しくは,
zi＝ x ＋(y － x)i/L (0 <= i <= L)
である. 各i ∈ [0,L － 1] に対してci = (zi + zi+1)/2 と置くと, 各i ∈ [0,L － 1] に対して
ci － 1/M < zi < ci < zi+1 < ci +1/M ・・・(3)
つづく >>182 つづき
が成り立つことが簡単に確認できる(L の取り方に注意する). ここで,
ci ∈ [zi, zi+1] ⊆ [x, y] ⊆ (a, b) ⊆ BN,M
すなわちci ∈ BN,M であるから, これと(3) 及びBN,M の定義から,
｜f(zi+1) － f(zi)｜ <= N(zi+1 － zi)
が成り立つ. よって,
｜f(y) － f(x)｜ = ｜f(zL) － f(z0)｜ =｜Σi=0～L－1 (f(zi+1) － f(zi))｜
<= Σi=0～L－1 ｜f(zi+1) － f(zi)｜ <= Σi=0～L－1 N(zi+1 － zi) = N(y － x)
となる. よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．
つづく >>183 つづき
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
存在すると仮定する. 定理1.7 のBf について,
R － Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf
が成り立つので,
R － Bf ⊆ Q = ∪p ∈Q ｛p｝ ・・・(1)
である. ここで, 1 点集合｛p｝ (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各｛p｝ は内点を持たない閉集合であ
るから, (1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. よって, 定理1.7 が使えて, f はある開
区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である (2) さて, Q はR 上
で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る. (2) より,
f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛
盾. よって, 題意が成り立つ.
つづく >>184 つづき
補足定理1.7 の証明のポイントはもちろん, BN,M の作り方にある. x ∈ Bf を任意に取る. このと
き, 補題1.5 の途中計算により, ある正整数N,M >= 1 が存在して
∀y ∈ R [ ｜y － x｜ < 1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜]
が成り立つのだった. よって,
BN,M := {x ∈ R ｜ ∀y ∈ R [｜y － x｜ < 1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜] }
と置いても, Bf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M は成立する. ただし, これだとBN,M が閉集合になるとは限らな
くなる. 以下でこのことを見る. BN,M が閉集合になることを示したい. x ∈ R とxi ∈ BN,M (i >=
1) はxi → x を満たすとする. このとき, x ∈ BN,M が成り立つことを示せばよい. そのためには,
∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜]
を示せばよい. さて,
｜y － x｜ <1/M
が成り立つようなy ∈ R を任意に取る. xi → x に注意して, i が十分大きければ
｜y － xi｜ <1/M
である. そのようなi を任意に取ると, xi ∈ BN,M に注意して, BN,M の定義から｜f(y) － f(xi)｜ <=
N｜y －xi｜ が成り立つ. i → +∞とすると, もしf が点x で連続ならば, f(xi) → f(x) となるので,
｜f(y)－f(x)｜ <= N｜y －x｜ となる. しかし, f が点x で連続でない場合は, f(xi) → f(x) が成り立つ
とは限らないので, ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜ が出て来ない(工夫すれば出るかもしれないが, 自分
は出せなかった). この時点で, BN,M が閉であることの証明に失敗する. ではどうするかというと,
f(xi) が出現しないようにすればよい. そのためには, そもそもf(x) が出現しないようにすればよ
い. そのためには,
x － 1/M < y < x < z < x +1/M
つづく >>185 つづき
が成り立つようなy, z ∈ R に対して
｜f(z) － f(y)｜ <= ｜f(z) － f(x)｜ + ｜f(x) － f(y)｜ <= N｜z － x｜ + N｜x － y｜ = N(z － y) (＊)
という計算を行えばよい. これはつまり, 補題1.5 そのものである. これでf(x) が出現しなくなる
ので,
BN,M :={x ∈ R ｜ ∀y, z ∈ R[x － 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)] }
と置けば希望が見えてくる. そして, これで実際に上手く行くのだった. ちなみに, 自分が(＊) の計
算に辿り着いたのは元ネタがある. それは, 次のような補題である.
補題(straddle lemma)
f : R → R は点x ∈ R で微分可能とする. このとき, 次が成り立つ.
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀y, z ∈ R
[ x － δ <= y <= x <= z <= x + δ)→ ｜f(z) － f(y) － f’(x)(z － y)｜ <= ε(z － y) ] .
この補題がstraddle (またぐ・またがる) と呼ばれているのは, y とz を「x をまたぐように取る」
からである. そして, (＊) の計算は, この補題の証明と同じ考え方を適用したに過ぎない.
結局, 全体としては, 極めてオーソドックスかつ簡単な議論で定理1.7 が証明できたことになる.
QED
以上 まあ、読みにくいこと、このうえない
はるかにPDFの方が視認性がよい おっちゃんです。
>>177
スレ主がコピペした、pdfの証明に則って話を進める。
実際は出来ないが、仮に系1.8 を否定して
有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R が存在する
とすると、
(1)：f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
か
(2)：一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である.
のどちらか1つは否定されることになる。
勿論、実際には系1.8 の否定は出来ず、論理的には(1)も(2)も正しい。
話は元に戻し、(2)を否定したとする。すると、xは有理点であって、かつfがxで連続となる。
これはfについての元の仮定に反し矛盾する。よって、(2)を否定することは不可能。
従って、(1)に限り否定される。その結果、
(1)：f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない.
となる。ここに、この開区間(a, b) とfはどちらも定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 同じである。
定理1.7 (422 に書いた定理) の証明と、その中で使っている補題1.5、補題1.6、系1.4の各証明では背理法は全く用いてなく、直接的に証明をしている。
そして、定理1.7 (422 に書いた定理) の証明の中では直接的にfが開区間(a, b) 上でリプシッツ連続なことを導いている。
この証明の中では開区間(a, b) は適当に選んで取っている。もし定理1.7 (422 に書いた定理) を否定すると、
他にも準備が必要になるが、その証明は大体結論から仮定へと順々に否定されて行き、
やがてfは開区間(a, b) 上でリプシッツ連続ではないことが示される。この結果は(1)に反することになる。
だから、定理1.7 (422 に書いた定理) の否定は出来ない。 >>188
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾
（>>180より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間(a, b) の
上でリプシッツ連続である．”
この定理1.7の面白さは
”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”（>>184）
を著しく拡張しているところだ
つまり、系1.8において、
１）不連続→リプシッツ連続でない
２）微分可能→リプシッツ連続
３）稠密：有理数と無理の稠密性→もっと一般な稠密性（但し、片方は可算無限濃度限定）
の３つの特性で、系1.8を拡張したものが定理1.7になっているってこと
これに匹敵する結果は、>>41-42に書いたが
”Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. ”
つまり、一般な稠密性（但し、H. M. Sengupta and B. K. Lahiriは、可算非可算に関係なく）
”the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.”なのだが
しかし、この discontinuous →リプシッツ連続でないという、上記１）の特性で、定理1.7は拡張されているのだ
そこが、この定理1.7の面白さであり、斬新さだ
成り立てばだがね（＾＾ >>189 補足
>３）稠密：有理数と無理の稠密性→もっと一般な稠密性
で、この定理1.7で首肯できないものの一つが、この拡張です
下記にあるようにP532
T(ai)(x) = 0 if x 無理数, a_n if x = m/n 互いに素な有理数
で、a_n =n^k として、kを大きくする
すると、k＞２で、どんどん微分可能な領域が増える。最後は、Liouville numbersのみが微分不可で残るという
この結果と、定理1.7の一般な稠密性とが、果たして整合するのかどうか？
現実のQと無理数（R ＼ Q）とでは、具体的なQと無理数との相性のような絡み合いがあって
Liouville numbersのように、有理数でよく近似できる数（それは微分不可）で
一方、”Diophantine approximation of algebraic irrationals, called Roth’s Theorem”のように、近似限界のある数（代数的数の性質）（それは微分可能）で
無理数にも個性があるんです（下記「Modifications of Thomae’s function」）
だが、そういうことを全部抽象化した結果が、定理1.7なんですよね
まあ、定理1.7はものすごい強い結果だと・・・本当に成立しているのか？
（（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriも、そういう結果なんですけどね（＾＾ ）
（>>90より）
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
P534
We finish by remarking on some obvious consequences of the previous propositions.
First, for k <= 2, T(1/n^k ) is nowhere differentiable. By Roth’s Theorem, if
α(an) > 2, T(ai ) is differentiable on the set of algebraic irrational numbers. T(1/n^9) is
differentiable at all the algebraic irrationals, e, π, π^2, ln(2), and ζ(3), and not differentiable
on the set of Liouville numbers. Finally, if α(ai ) = ∞, T(ai ) is differentiable on
the set of all non-Liouville numbers. Since the set of Liouville numbers has measure
zero, T(ai ) is differentiable almost everywhere.
(引用終り) 時枝を分からない男は定理1.7も分からないという分かりやすい結果でした おっちゃんからもらったスレ主への連絡がある。>>188の
>従って、(1)に限り否定される。その結果、
>(1)：f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない.
>となる。ここに、この開区間(a, b) とfはどちらも定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 同じである。
の部分は
>従って、(1)に限り否定される。その結果、
>「(3)」：f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない.
>となる。ここに、この開区間(a, b) とfは「それぞれ」定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 「に一致させることが出来る」。
と訂正して読んでほしいとのことである。
これは>>188で分からなかったスレ主の読解力を考慮した訂正とのことである。
by 魔人プー >>192
どうも。スレ主です。レスありがとう。訂正を適用すると
（>>188 訂正し引用）
スレ主がコピペした、pdfの証明に則って話を進める。
実際は出来ないが、仮に系1.8 を否定して
有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R が存在する
とすると、
(1)：f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
か
(2)：一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である.
のどちらか1つは否定されることになる。
勿論、実際には系1.8 の否定は出来ず、論理的には(1)も(2)も正しい。
話は元に戻し、(2)を否定したとする。すると、xは有理点であって、かつfがxで連続となる。
これはfについての元の仮定に反し矛盾する。よって、(2)を否定することは不可能。
従って、(1)に限り否定される。その結果、
「(3)」：f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない.
となる。ここに、この開区間(a, b) とfは「それぞれ」定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 「に一致させることが出来る」。
定理1.7 (422 に書いた定理) の証明と、その中で使っている補題1.5、補題1.6、系1.4の各証明では背理法は全く用いてなく、直接的に証明をしている。
そして、定理1.7 (422 に書いた定理) の証明の中では直接的にfが開区間(a, b) 上でリプシッツ連続なことを導いている。
この証明の中では開区間(a, b) は適当に選んで取っている。もし定理1.7 (422 に書いた定理) を否定すると、
他にも準備が必要になるが、その証明は大体結論から仮定へと順々に否定されて行き、
やがてfは開区間(a, b) 上でリプシッツ連続ではないことが示される。この結果は(1)に反することになる。
だから、定理1.7 (422 に書いた定理) の否定は出来ない。
(引用終り)
つづく >>193 つづき
１）（>>190 PDFより）”有理数の点で不連続, 無理数の点で、the set of all non-Liouville numbersで微分可能、the set of Liouville numbersで微分不可（勿論リプシッツ連続ではないが連続）となるf : R → R が存在する”は正しい
２）これは”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”の別証明になっている
３）ところで、スレ主は頭が悪いので、定理1.7を場合分けして、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”けれども、R－Bf がR中で稠密な場合を考える。
４）これはQを想定した場合。この場合は、「f : R → R は存在しない！」が、定理1.7の直接の帰結である。
５）R－Bf がR中で稠密な場合を更に、４つに細分する
ａ）R－Bfが不連続、Bfが可微分（これが系1.8に当たる）
ｂ）R－Bfが不連続、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
ｃ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが可微分
ｄ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
（注＊）一般のリプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞を満たすこと、一般の不リプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜＝ +∞を満たすこと）
６）系1.8は、定理1.7中の上記ａ）のみ。ａ）のみが、既存の別証明がある。しかし、ｂ）からｄ）の３ケースは、既存の証明は見つかっていない
７）で、系1.8が正しいからといって、定理1.7が正しいことの証明の代用にはならない。だから、系1.8を出発点に論じるのは如何なものかという気がするよ
以上 >>194 訂正
６）系1.8は、定理1.7中の上記ａ）のみ。ａ）のみが、既存の別証明がある。しかし、ｂ）からｄ）の３ケースは、既存の証明は見つかっていない
↓
６）系1.8は、定理1.7中の上記ａ）のみ。ａ）ｂ）のみが、既存の別証明がある＊）。しかし、ｃ）ｄ）の２ケースは、既存の証明は見つかっていない
＊）ｂ）は、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).” おっちゃんです。
先は魔人プーが私の代わりに書いてくれた。
私からスレ主へ。
何でもいいから大学の微分積分の本を読んで ε-N や ε-δ を身に付けること。
あと、何でもかんでも文献引用してその結果を鵜呑みにする考え方を改めること。
取り敢えず、その2点を遂行しないことには、幾らやっても話にならん。 >>195 補足
R－Bfを拡張して、Ｑ＋the set of Liouville numbers（これは、非可算だが、内点を持たない閉集合の和）を含むように、可算→非可算 まで考える
すると、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
だから
ｃ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが可微分
ｄ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
の２ケースとも、そのような「f : R → R は存在する！」（ ｃ）の具体例が>>190の PDF
"α(ai ) = ∞, T(ai ) is differentiable on the set of all non-Liouville numbers. "だ ）
だから、R－Bfを縮小して、非可算→可算に落としたときに、
「f : R → R は存在しない！」になる数学的な背景があるや否やだが >>196
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとうよ
だが、おっちゃん
おれの挙げたＰＤＦの専門論文からっきし読めないのか？ >>196
>あと、何でもかんでも文献引用してその結果を鵜呑みにする考え方を改めること。
話は逆で、数学のその道の専門家が、投稿論文にして、それを他の人が、引用して・・
その引用のPDFも、まったくゼロから成り立つわけではなく、それ以前の結果を発展させたものになっている。投稿論文で年月が経ったものは、折り紙付きだよ
例えば、（>>90より）
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Ｐ535
5. CONCLUDING REMARKS.で
”After the submission of the current manuscript,
the authors were informed that a slightly less general version of Proposition 4.2 can be
found in [9, p. 232].”
とあるよ
つまり、これが逆で、”that a slightly more general version of Proposition 4.2”だったら、この論文は掲載拒否もあったろうし、
掲載されても、将来引用されるべきは、[9, p. 232]の方。つまり、”Kevin Beanland, JamesW. Roberts, and Craig Stevenson”の価値は、圧倒的に低い
でな、定理1.7なども同じで
本来、成立するなら類似の定理があるだろうと思う（>>197などに書いた通りだ）
学生までは、自分の独自証明の定理が、先行する論文の再証明であっても褒められるだろう
だが、院から上は、他者からの評価は、不勉強と言われるだろう
それでも、再証明なり別証明は、証明の当人としては無価値ではないけどね
だが、証明できたと思った定理が成立していないとしたら？
そのためにも、先行研究の調査はしっかり行うべきだと思うぞ
そこは、よく考えた方がいいぜ（＾＾ εδさえ理解してないお前が読んでも分かった気になるだけ 実際は全く理解できてない >>199 補足
>>あと、何でもかんでも文献引用してその結果を鵜呑みにする考え方を改めること。
>
>話は逆で、数学のその道の専門家が、投稿論文にして、それを他の人が、引用して・・
>その引用のPDFも、まったくゼロから成り立つわけではなく、それ以前の結果を発展させたものになっている。投稿論文で年月が経ったものは、折り紙付きだよ
おっちゃんの論法だと
投稿論文で、定理1.7に反する結果が見つかっても、「定理1.7は証明されているから正しい」とか言いそうだな（＾＾
おれは逆だがね
もちろん、定理1.7を支持する結果が見つかれば、「定理1.7は正しい」（だろう）と言って、証明を読むけどね >>200
それは多分正しいが、論文の結論は読めるよ
現段階では、それで十分だろ？（＾＾ >>202
開集合閉集合内点孤立点
正しく理解しないままに読んでも
無駄ですよ >>202 補足
おれがいまいち、定理1.7の証明で理解できないのは
（引用）
”仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai⊆Rが存在して, 各Aiは内点を持たず,
しかもR－Bf ⊆ ∪iAiが成り立つ・・・ (1)”
”Bf ⊆ ∪_N,M>=1 BN,M が成り立つ”
”BN,M は閉集合である. すると, (2) の右辺は可算無限個の閉集合の和ということになるので,
系1.4 により, あるi に対してAiは内点を持つか, もしくは, あるN,M >= 1 に対して
BN,M は内点を持つかのいずれかである. 各Aiは内点を持たないの
だったから, あるN,M >= 1 に対してBN,M が内点を持つことになる. 特に, (a, b)⊆BN,M なる開
区間(a, b) が取れる. f は(a, b) 上でリプシッツ連続であることを示す.”
(引用終り)
で、「特に, (a, b)⊆BN,M なる開区間(a, b) が取れる」の部分
開区間(a, b) が取れるのは、被覆する側の集合のBN,Mだろ？
で、R－BfがQのようにR中に稠密に分散している場合を考えると、Bf自身は内点を持たないし、区間(a, b) も取れないことは自明（参考>>128より）
で、被覆する方の集合のBN,Mにおいて、それが内点を持ち、そこに区間(a, b) が取れるとしても、
”それにより被覆される側のBfが同じ性質を持ち、区間(a, b) が取れる”とする証明がね～、いまいち納得できないんだ（＾＾
被覆する方の集合のBN,Mは、もともと内点を持つ閉集合。それは、ベールのカテゴリ定理からすぐ出る
だが、それと、被覆される側の集合の性質とは無関係
但し、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の場合に限っては
S側も、「内点を持たない閉集合の高々可算和」でなければならないという強い縛りができる
が、”内点を持つ閉集合閉集合の高々可算和で被覆できる”と緩和するならば、
被覆されるS側は、なんの制約も受けないように思えてきたが（第一可算的空間などから（>>122））・・、どう？ 内点がわかってないとかどんなバカだよｗ 一年生に教われｗ >>204 訂正
が、”内点を持つ閉集合閉集合の高々可算和で被覆できる”と緩和するならば、
↓
が、”内点を持つ閉集合の高々可算和で被覆できる”と緩和するならば、 >>205
いやー、おっしゃる通り
おれスレ主は、そうとうバカで不勉強だな（＾＾
（>>128より）
”Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R.
R ＼ Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
(R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R.
つまりは、R内に稠密分散するQは、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
同様に、RからQを除いたR ＼ Qも、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
（>>130より）
”内点を持たない稠密集合の境界はその集合の閉包に一致する”
（>>131より）
”p が集合の境界点となる必要十分条件は、p の任意の近傍が少なくとも一つその集合の点を含みかつ少なくとも一つその集合の補集合の点を含むことである。”
(引用終り)
外しているかも知れないが、これを、日常の例えで言えば
光学顕微鏡の分解能では、原子レベルの入り組んだ構造は、見えないってことかな
ε近傍という内点を持つ分解能で、内点を持たない稠密集合の境界を探しても、
ε近傍の分解能ではある集合Sの点とその補集合S￣の点と、常に両方が見える
そういう理解で当たらずとも遠からずかな？（＾＾ ま、やっぱりスレ主は引用ばかりするが内容は全然理解していないな。
考える力が全くないようだ。 >>204
被覆（ひふく）か・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A2%AB%E8%A6%86
被覆
被覆（ひふく）
数学
・集合の被覆、和集合が集合全体となるような部分集合の集合
・良い被覆 (代数的位相幾何学)（英語版）、開被覆であって、被覆のすべての開集合や有限個の開集合のすべての交叉が可縮
・被覆 (代数学)（英語版）、代数的構造の、構造を保つように別の構造の上へと写る概念
・半順序集合の被覆関係（英語版）の対、あるいはそのような対の大きい方の元
・被覆空間、リーマン面と位相幾何学の理論
・（普遍／二重）被覆群（英語版）、群構造を持った被覆空間、理論物理学でも
・Cover, an equivalent set of constraints（英語版） in database theory（英語版） >>210 つづき
「正確性に疑問」とあるが、和文では、冒頭説明と図が不一致（文「位相空間 C から X への連続全射 p」だが、図はP：Y→X）。この点、英文はしっかりしている
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A2%AB%E8%A6%86%E7%A9%BA%E9%96%93
被覆空間
(抜粋)
？原文と比べた結果、この記事には多数（少なくとも 5 個以上）の誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な語句に改訳できる方を求めています。
数学、特に代数トポロジーにおいて、被覆写像(covering map)あるいは被覆射影(covering projection)とは、位相空間 C から X への連続全射 p のうち、 X の各点が p により「均一に被覆される」開近傍をもつものをいう。厳密な定義は追って与える。このとき C を被覆空間(covering space)、X を底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。
被覆空間はホモトピー論、調和解析、リーマン幾何学、微分幾何学で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、分岐は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像はホモトピー群、特に基本群の研究とも深く関係する： X が十分によい位相空間であれば、X の被覆の同値類の集合と 基本群 π1(X) の共役な部分群の類全体との間に全単射が存在する（被覆の分類定理）[1]。
目次
1 定義
1.1 他の定義
2 具体例
3 性質
3.1 共通な局所的性質
3.2 ファイバーの準同型
3.3 持ち上げ
3.4 同値性
3.5 多様体の被覆
4 普遍被覆
5 G-被覆
6 被覆変換
7 モノドロミー作用
8 分類空間や群コホモロジーとの関係
9 一般化
定義
位相空間 C から X への連続全射 p : C → X が被覆写像であるとは、すべての点 x ∈ X に対し x の開近傍 U が存在し、逆像 p^?1(U) が共通部分をもたない C の開集合の和集合で表され、各開集合が p の制限写像により U と同相であることをいう[2]。このとき C を被覆空間、 X を底空間という。被覆写像や被覆空間のことを単に被覆と呼ぶこともある。
(引用終り)
英 https://en.wikipedia.org/wiki/Covering_space Covering space >>210-211 つづき
代数トポロジーでの被覆には、被覆する空間と被覆される側の空間との間に、連続全射 p : C → X の存在を条件としている（>>211）
しかし、単に 「集合の被覆」では、”和集合が集合全体となるような部分集合の集合”というだけで、被覆する集合と被覆される側の集合との間には、連続全射は要求されていない
そこが大きな違いだろうね >>207 参考補足
>つまりは、R内に稠密分散するQは、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
>同様に、RからQを除いたR ＼ Qも、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
>
>外しているかも知れないが、これを、日常の例えで言えば
>光学顕微鏡の分解能では、原子レベルの入り組んだ構造は、見えないってことかな
>
>ε近傍という内点を持つ分解能で、内点を持たない稠密集合の境界を探しても、
>ε近傍の分解能ではある集合Sの点とその補集合S￣の点と、常に両方が見える
この見方（内部、外部、と境界）では、Qも無理数（R ＼ Q）も、区別がつかない
そこで、ハウスドルフ次元などの、別の見方が必要になる（下記）
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu13.htm
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/3269_t8.htm
６０３．実数のハウスドルフ次元 ikuro_kotaro (13/05/24)
(抜粋)
【１】実数のｍ進展開の分布とハウスドルフ次元
０と１の間の数のうち，ほとんどの実数はｍ進展開したとき，各桁に現れる数字の出現確率が均等であることが知られています（正規数）．
また，Ｆ（ｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1）を［０，１）上の実数で，各桁に現れる数字（０～ｍー１）の出現確率がｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1であるような実数の集合とすると，Ｆのハウスドルフ次元ｄｉｍＦは
ｄｉｍＦ＝ーΣｐkｌｏｇｐk／ｌｏｇｍ
で定義されます．正規数の集合Ｆ（１／ｍ，・・・，１／ｍ）のルベーグ測度１であり，したがって，その次元も１となります．
３分割カントル集合は最も有名なフラクタル集合の１例です．３分割カントル集合は３進展開の各桁に１の現れない数の集合Ｆ（１／２，０，１／２）ですが，そのハウスドルフ次元は
ｌｏｇ２／ｌｏｇ３＝０．６３０９・・・
となります．
つづく >>213 つづき
【２】連分数展開
一般に，２次の無理数（整数係数の２次方程式の解）は周期的な連分数展開をもちます（ラグランジュの定理）．
正の実数が無限連分数展開され，そのすべての部分商が１または２であるような実数の集合のハウスドルフ次元は０．５３１２８０５０６・・・であることが計算されています．
３次以上の方程式の解，たとえば3√２の連分数展開を求めると，
3√２＝［１：３，１，５，１，１，４，１，１，８，１，１４，１，１０，２，１，４，・・・］
の一般項は求めることができません．この展開に現れる整数に最大値があることも示すこともできないのです．
なお，ヒンチンは，一般の連分数
［ａ0：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn，・・・］
の大多数についてあてはまる法則を発見しています．ヒンチンの定理とは，幾何平均（ａ1ａ2・・・ａn）^1/nの値がｎ→∞のとき，ある無限乗積から定まる定数
（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001･･･
に収束するというものです．ただし，分母に明確なパターンのある代数的数やｅをはじめとするいくつかの超越数は例外になります．
つづく >>214 つづき
【３】ディオファントス近似と位数
実数ｘが無限に多くのｑに対して
||ｑｘ||＜ｑ^(1-α)
となるとき，位数αまで近似可能といいます．そして，α＞２となる実数は存在し，そのような実数全体のハウスドルフ次元は２／αであることが証明されています（Jarnikの定理）．
(引用終り)
つづく >>215 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E6%AC%A1%E5%85%83
(抜粋)
ハウスドルフ次元
フラクタル幾何学におけるハウスドルフ次元は、1918年に数学者フェリックス・ハウスドルフが導入した、ハウスドルフ測度が有限な値をとり消えていないという条件に適合する次元の概念の非整数値をとる一般化である。
すなわち、きちんとした数学的定式化のもと、点のハウスドルフ次元は 0、線分のハウスドルフ次元は 1、正方形のハウスドルフ次元は 2、立方体のハウスドルフ次元は 3 である。
つまり、旧来の幾何学で扱われるような、滑らかあるいは有限個の頂点を持つ点集合として定義される図形のハウスドルフ次元は、その位相的な次元に一致する整数である。
しかし同じ定式化のもとで、フラクタルを含めたやや単純さの少ない図形に対してもハウスドルフ次元を計算することが許されるが、その次元は非整数値を取りうる。
大幅な技術的進展がエイブラム・サモイロヴィッチ・ベシコヴィッチによりもたらされて高度に不規則な集合に対する次元の計算が可能となったことから、この次元の概念はハウスドルフ?ベシコヴィッチ次元としても広く知られている。
例
・可算集合のハウスドルフ次元は 0
・ユークリッド空間 Rn のハウスドルフ次元は n、円 S1 のハウスドルフ次元は1
・フラクタル図形はルベーグ被覆次元を超える。例えば、カントール集合のルベーグ被覆次元は 0 であるが、ハウスドルフ次元は log(2)/log(3) ? 0.63[4]
・シェルピンスキーのギャスケットのハウスドルフ次元は log(3)/log(2) ? 1.58
・ペアノ曲線のような空間充填曲線やシェルピンスキー曲線は充填される空間と同じハウスドルフ次元を持つ
・2次元以上の空間におけるブラウン運動のハウスドルフ次元はほとんど確実に（つまり確率 1 で）2 である[5]
関連項目
・ハウスドルフ次元別フラクタルの一覧: 決定論的フラクタル、確率フラクタル、自然フラクタル…
・アスワド次元: ハウスドルフ次元同様に（球体被覆を用いて）定義されたフラクタル次元
・内在次元
・パッキング次元: ハウスドルフ次元と双対的に、球体充填の定める内測度から定義されたフラクタル次元
・フラクタル次元
(引用終り)
以上 >>214 ついでに
http://www.suri-joshi.jp/enjoy/rational_point_of_the_quadratic_curve/
（ 数理女子 さん、日付入れた方が良いと思う）
２次曲線の有理点 数理女子 （多分2017）
(抜粋)
有理点が無い場合
実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る曲線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない２次曲線も、実はいっぱい存在するのです。例えば、次の結果が知られています。
命題
x^2+y^2=3 をみたす有理数 x,y∈Qは存在しない。
【証明】背理法で証明します。有理数解 x,y が存在すると仮定します。
(引用終り)
参考 http://www.suri-joshi.jp/ 数理女子のページへようこそ！ 理解していないものをコピペしても何の意味も無いと何度言えば >>204 戻る
>で、「特に, (a, b)⊆BN,M なる開区間(a, b) が取れる」の部分
>開区間(a, b) が取れるのは、被覆する側の集合のBN,Mだろ？
>で、R－BfがQのようにR中に稠密に分散している場合を考えると、Bf自身は内点を持たないし、区間(a, b) も取れないことは自明（参考>>128より）
>
>で、被覆する方の集合のBN,Mにおいて、それが内点を持ち、そこに区間(a, b) が取れるとしても、
>”それにより被覆される側のBfが同じ性質を持ち、区間(a, b) が取れる”とする証明がね～、いまいち納得できないんだ（＾＾
(>>212より)"代数トポロジーでの被覆には、被覆する空間と被覆される側の空間との間に、連続全射 p : C → X の存在を条件としている（>>211）
しかし、単に 「集合の被覆」では、”和集合が集合全体となるような部分集合の集合”というだけで、被覆する集合と被覆される側の集合との間には、連続全射は要求されていない
そこが大きな違いだろうね"
この意識がすっかり抜けているように思う
被覆する方の集合BN,Mで証明されれば、即被覆される側の集合Bfでの証明が終わっていると勘違いしているのでは？
それと、被覆について、”稠密（dense）”の意識が希薄だと思う
例えば、定理1.7の証明中で
「補題1:5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
よって, 確かに
Bf ⊆ ∪N,M>=1 BN,M である.
(1) と合わせて, R = Bf ∪ (R－Bf ) ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) ∪ (∪iAi) と
なる. すなわち,
R ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) ∪ (∪iAi) ・・・(2)
となる.」
としているけれども、Bfを無理数（R＼Q）、R－Bfを有理数（Q）と考えて
Bf 無理数を、（内点を持つ）閉集合で被覆できているならば
R ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) (2’)
だけで終わっている。 ”∪ (∪iAi) ”の部分は、蛇足では？
つづく >>219 つづき
・・？ えーと・・・
R－Bfが、”稠密（dense）”でなくとも、
「高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR－Bf ⊆∪iAiが成り立つ・・・ (1)」
だから、”稠密（dense）”かどうかにも無関係（ 常に、R ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) ・・・(2’)成立 ）かな？
とすると、「集合の被覆」についても、ちょっと不可解な記述があるね。そこから、勘違いが始まっているのかも・・
・・・？ BN,Mが閉区間であることを認めるとして、それを[c,d]と書くと、c,d ∈ R－Bf を想定しているのかな？
にしても、次の閉区間は、[d,e]であるべきだからな～、[c,d]∪[d,e]＝[c,e]になるよ・・
以上 >>196
”ε-δ論法”にコンプレックスのある方へ（＾＾
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/ep_del_2017_10_02.pdf
実数の連続性とε-δ論法 嶺 幸太郎 神奈川大 2017/10/02版
目次
第１部：数列の極限と実数の連続性
第１章 集合概念の基礎
第２章 実数における大小関係
第３章 数列の極限とその性質
第４章 数列の極限と実数の連続性
第２部：写像の基礎とε-δ論法
第５章 写像概念の基礎
第６章 実数値関数
第７章 関数の極限
第８章 連続関数
第９章 指数法則
第３部：距離空間の幾何学
第１０章 点列と写像の極限
第１１章 位相
第１２章 距離空間に関する諸概念
第１３章 連結空間と中間値の定理
第１４章 点列コンパクト空間
第４部：付録
第１５章 より厳密な微分積分法へ
第１６章 命題と論理式
予告：近いうちに、もう一度更新する予定です。
つづく >>221 つづき
新バージョン（2017/10/02版）についての指摘および誤植（最終更新日：2017/10/16）
３章
・p.30 1行目： 「定義を与える」の後にピリオドが抜けている（ピリオドがなくても奇跡的に正しい文として成立しているが）
・p.35 1行目： 命題3.4.8「の」証明は
５章
・p.55 2行目： それらの違い「を」通して判断する
７章
・p.81 -8行目： f2(x)= を f2(x):= にしたほうが適切か。
・p.81 -2行目： 「点列」を「数列」にしたほうが適切か。
・p.85 練習7.5.2： 「点列」を「数列」にしたほうが適切か。
・p.85 練習7.5.3 証明 3行目： 二つ目のδは1/nにしたほうが適切か。
・p.85 練習7.5.4 証明 1行目： 誤：M 正：ε
・p.86 2行目： 誤：M 正：n
・p.86 練習7.5.5 証明 3行目： 誤：M 正：n
８章
・p.91 8.4節 6行目： 誤：|b-f(x)| 正：|f(a)-f(x)|
１０章
・p.114 -5行目： f,g はそれぞれ f1, f2 の間違い（２ヵ所あり）
１５章
・p.175 -1行目： f(x)=x^2 は f(x):=x^2 のほうが親切ではないか.
・p.178 ４つめの中央揃えの式： 誤：(1/b) 正：(1/b)^h
・p,178 命題15.4.2： (3)が抜けている
・p.179 命題15.4.3： (3)が抜けている cosとtanに ^-1 が抜けている
・p.181 定理15.6.3証明 -3行目： 右辺の第1項の分母はg(x)
・p.182 -5行目： g(x)= は g(x):= のほうが親切ではないか.
・p.182 -1行目： 誤：b 正：a
・p.183 例15.7.4 cos x の冪級数展開の「…」の間はーではなく＋
・p.183 -2行目： 誤：(0,1)^3 正：(0.1)^3
・p.184 ３つめの中央揃えの式： 6!の分母のiは左側に移動させたほうがよいのではないか
・p.185 2行目： 誤：A= 正：Ai=
・p.185 6行目： s(f,⊿) 「と」しよう
・p.185 -7行目： 差「し」つえない
・p.186 3, 4行目： それぞ「れ」
・p.186 命題15.9.4証明： 備考2.6.3は用いない（関係ない）。
・p.187 1行目： 誤：x 正：z
つづく >>222 つづき
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/
嶺 幸太郎 (みね こうたろう)
所属：神奈川大学工学部数学教室
略歴：
2008年4月～2011年3月 筑波大学 数理物質科学研究科 準研究員
2011年4月～2012年3月 筑波大学 数理物質科学研究科 非常勤研究員
2011年4月～ 横浜国立大学 理工学部 非常勤講師
2012年4月～2014年3月 高崎経済大学 経済学部 非常勤講師
2012年7月～2016年3月 東京大学 数理科学研究科 特任研究員
2015年4月～ 早稲田大学 基幹理工学部 非常勤講師
2016年4月～ 神奈川大学 工学部数学教室 特任助教
以上 >>216 追加
http://www.math.shimane-u.ac.jp/~tosihiro/agora.pdf
図形の大きさや複雑さを測る 公開講座数学アゴラ 中西敏浩 島根大 2001年12月
(抜粋)
ハウスドルフ(Hausdorff)次元というのは図形の複雑さを測る一つの量です。
マンデルブロート集合の境
界はすごく複雑な形状を呈しているので、そのハウスドルフ次元は2 ではないかと予想され、それを証明す
ることが長年の懸案だったのですが、1998年に宍倉光広氏(現・広島大学)によってついに解かれました。
定理. マンデルブロート集合の境界のハウスドルフ次元は2 である。
さらに宍倉氏は、マンデルブロート集合の境界上にあるほとんどの点c についてfc(z) = z^2 + c の
ジュリア集合のハウスドルフ次元が2 であることも示しています。
面積を測るという問題に戻ると、マンデルブロート集合の境界の面積が0 であるかどうかはまだわ
かっていないようです。また特別な場合を除いて有理関数のジュリア集合の面積が(もしそれがリーマン球
面と一致していなければ）0 であるかどうかという問題も未解決のままです。
数値計算で入力されるのはその近似値1.7320508... です。そ
して反復合成の際に入力するデータも実際の値の近似値に過ぎません。だから反復合成列が、初期値や途中
で入力されるデータについて非安定的ならば、数値実験の結果への信頼度は低くなります。非安定的な点の
存在は避けられないとしても、それらがなす集合はほとんど無視できるぐらい非常に小さいものであってほ
しいという希望があります。なぜなら、もしそうなら数多くの初期条件の下での実験を繰り返せば、それら
の結果のほとんどのものはある程度信頼できるものとなるからです。ジュリア集合の面積が0 であること
をしめすことに意義がこうした点にあります。
複素関数の反復合成の性質を研究する分野を「複素力学系」と呼ぶということでしたが、ここでは有理
関数の場合しか扱いませんでした。現在ではもっと広いクラスの関数（（多変数も含めて）超越整関数や有
理形関数）の複素力学系が研究されています。本格的に勉強したい方のために[9] をあげておきます。
(引用終り)
つづく >>224 つづき
http://www.math.shimane-u.ac.jp/~tosihiro/
中西敏浩のホームページへ
2015年12月28日お笑い日記追記
目次
● 自己紹介
名前 中西敏浩(なかにしとしひろ)
職種 島根大学大学院総合理工学研究科・数理科学領域・教授
専門 数学・複素解析学（とくにタイヒミュラー空間論)
● 研究業績（科学研究費補助金申請用）と履歴
● 講義ノートの案内
● 読書記録
● 写真集
● リンク
お便りは tosihiro@の後に math.shimane-u.ac.jp まで
(引用終り)
以上 ＞”ε-δ論法”にコンプレックスのある方へ（＾＾
おまえやんｗ わたしら、”ε-δ論法”なんか、超越してまんがな～（＾＾
”ε-δ論法”が、わたしを、超越しているかもしらんが～（＾＾ 前スレより再録
376 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/21(木) 10:22:00.72 ID:xTe57EH6 [2/4]
>>371
>例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
これを踏まえて
１．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。
２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう
３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ。
既知・既存の定理であれば、既存の理論体系の中のどこに位置するのかの確認をすべき
４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。
であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。
５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
それ無くしては、その定理の応用もできまい。
また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。
（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう）
(引用終り) >>217 補足
>有理点が無い場合
>実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る曲線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない２次曲線も、実はいっぱい存在するのです。
トリビアだが、係数を無理数まで許せば、有理点を持たない直線（１次曲線）も、実はいっぱい存在する
例えば、y=ax で、aを無理数にすれば、良い！
（有理数p,qに対し、常にq≠ap （∵ aは無理数なので、a≠q/p ）（＾＾ ） >>229
トリビアだがy=axは原点(0, 0)を通る おっちゃんです。
数学の定理はプロやシロート関係なく、発見されていること位認識せい。 どうしてこうも簡単に間違えるんですかね
しかも自信満々に >>230>>232-234
まあ、有理数点 p、q ≠ 0 とでもしますかね？（＾＾ >>231
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ああ、おっちゃん、シロートの新定理発見者やったね（＾＾
論文まっているよ～（＾＾ >>235
係数を無理数に拡大した時点で元の話題から完全に逸れてる
さらには小学生でも分かる自明な間違いを冒しているにも関わらず
自信満々にドヤ顔で！マークまで付けちゃってるところにスレ主の「どうしようもなさ」がヒシヒシと伝わってくる >>236
いっておくけど、系 1.8 の結果は
有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
まで拡張出来る。 >>236
しかし、
>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
のfの定義域を閉区間にすると成り立たない。
ま、つまり、fの定義域がRであれば、
>有理数の点で不連続, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R は存在しない
どころか
>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
までいえる。 >>237
>係数を無理数に拡大した時点で元の話題から完全に逸れてる
原点を通らない直線なら、トリビアだが、例えば、y=ax+b で、aを有理数,bを無理数にすれば、良い！ドヤ！（＾＾ >>242-243
係数が有理数の一次関数で、有理点を通らない関数は存在しない！！
それが大前提・・・だよ？ だろ？ 当然、係数の範囲を拡張しないと >>238
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>いっておくけど、系 1.8 の結果は
>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
>まで拡張出来る。
ああ、下記だな”g fails to satisfy・・even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”＆
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
繰返すが、
”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”
だから（特に後者Dini微分）、どこかの無理数の点で一様連続も破綻するだろうな
（>>40より）http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points.
In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
（>>41より）
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
(引用終り) >>229
> トリビアだが、係数を無理数まで許せば、有理点を持たない直線（１次曲線）も、実はいっぱい存在する
> 例えば、y=ax で、aを無理数にすれば、良い！
（有理数p,qに対し、常にq≠ap （∵ aは無理数なので、a≠q/p ）（＾＾ ）
君の>>229の「実はいっぱい存在する」というドヤ発言に対して
>>237
>係数を無理数に拡大した時点で元の話題から完全に逸れてる
とコメントしているのであって
>>241
> 原点を通らない直線なら、トリビアだが、例えば、y=ax+b で、aを有理数,bを無理数にすれば、良い！ドヤ！（＾＾
>>247
> 係数が有理数の一次関数で、有理点を通らない関数は存在しない！！
> それが大前提・・・だよ？ だろ？ 当然、係数の範囲を拡張しないと
では支離滅裂だろうがよ
「実はいっぱい存在する」が全員の大前提ならば
「実は」なんて勿体ぶった言い方にはならんだろうが。
大丈夫かキミは 頭イカれてるぞここのスレ主は
みんな分かってここにいるのか？ >>239
>しかし、
>>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
>のfの定義域を閉区間にすると成り立たない。
そんなことはないだろう
the Ruler Functionとかトマエ関数の変形版は
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
で、閉区間[0,1]で論じれば、あとは各整数区間[n,n+1](nは整数)
で同じ繰り返しだよ（例えば下記）
https://www.desmos.com/calculator/jp4cbjfjpe
トマエ関数 - Desmos >>246-247
最初から、係数は無理数まで拡張しているよ 係数や解の範囲を、どう定めたら（定義したら）、面白い・良い結果が得られるか？
それは、問題ごとに考えるべし
範囲を複素数にとったり
代数的整数に取ることもあるだろう
二次式なら、有理数係数で良いが
一次式なら、有理数係数では足りないってことだ >>251
> 係数や解の範囲を、どう定めたら（定義したら）、面白い・良い結果が得られるか？
> それは、問題ごとに考えるべし
一次式の係数を無理数にとったら値が有理数にならないことがある、ということのどこが面白いの？
肝心の>>237のレスとは噛み合わないままだし、キミは本当に頭大丈夫なヒト？
>>237
>係数を無理数に拡大した時点で元の話題から完全に逸れてる >>252
>一次式の係数を無理数にとったら値が有理数にならないことがある、ということのどこが面白いの？
数理女子(>>217)にならって言えば
"有理点が無い場合
実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る直線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない直線（１次関数）も、実はいっぱい存在するのです。"
ってこと
なお、下記「この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された」みたいな話は、数学では至る所ある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ファルティングスの定理
(抜粋)
数論では、モーデル予想(Mordell conjecture)は、Mordell (1922) で提出された予想で、有理数体 Q 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たないであろうという予想である。
後日、この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された。この予想は Gerd Faltings (1983) により証明されたので、ファルティングスの定理(Faltings' theorem)として知られている。
目次
1 背景
2 証明
3 結論
4 一般化
背景
C を Q 上の種数 g の非特異代数曲線とすると、C の有理点の集合は次のように決定することができる。
g = 0 の場合：全く点が存在しないか、もしくは無限個： C は円錐の断面（英語版）である。
g = 1 の場合：全く点が存在しないか、もしくは C が楕円曲線で、有理点が有限生成アーベル群である。（モーデル定理(Mordell's Theorem)は、後日、モーデル・ヴェイユの定理(Mordell?Weil theorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理[1]は捩れ部分群の構造を制限している。）
g > 1 の場合：モーデル予想、現在はファルティングスの定理である。C は有限個の有理点しか持たない。
つづく >253 つづき
証明
ファルティングスの元々の証明は、テイト予想の既知の場合へ帰着させることと、ネロンモデルの理論を含む代数幾何学の多くのツールを使う方法であった。ディオファントス近似を基礎とする全く異なる証明は、ポール・ヴォイタ（英語版）(Paul Vojta)により得られている。さらにヴォイタの証明の初等的な証明はエンリコ・ボンビエリ(Enrico Bombieri)が与えた。
一般化
モーデル・ヴェイユの定理により、ファルテングスの定理はアーベル多様体 A の有限生成部分群 Γ を持つ曲線 C の交点理論についてのステートメントとして再定式化することができる。
C を A の任意の部分多様体に置き換え、Γ を任意の A の有限ランクの部分群へ置き換えることで、モーデル・ラング予想（英語版）(Mordell?Lang conjecture)[2]を証明することになる。
ファルテングスの定理の別の項次元への一般化は、ラング・ボンビエリ予想（英語版）(Bombieri?Lang conjecture)であり、X が数体 k 上の準標準多様体（英語版）(pseudo-canonical variety)（すなわち、一般型の多様体）であれば、X(k) は X でザリスキー稠密ではない。さらに一般的な予想がポール・ヴォイタ（英語版）(Paul Vojta)により提示されている。
函数体のモーデル予想は、Manin (1963) と Grauert (1965) により証明された。Coleman (1990) はマーニンの証明のギャップを見つけ修正した。
(引用終り) スレ主へ
実力が伴って無いのに色々なトピックに手をだすのはあまり良くない。まずは落ち着いて微積分と線形代数を理解するところから始めるべき。 > 実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る直線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない直線（１次関数）も、実はいっぱい存在するのです。"
> ってこと
だーかーらー、「気がしてしまう」のは係数がQだからでしょうが。
キミの例のように係数を無理数にしてしまったら不思議でもなんでもないだろ？
どこまで馬鹿なんだよまったく
>>253
> なお、下記「この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された」みたいな話は、数学では至る所ある
話をごっちゃにすな阿呆
お前の無理数の例は一般化になっとらんわ >>255-257
(>>217)
http://www.suri-joshi.jp/enjoy/rational_point_of_the_quadratic_curve/
２次曲線の有理点 数理女子さん （多分2017）
で、冒頭の節は
「2次曲線とは一般的な方程式で
f(x,y)=a1x^2+a2xy+a3y^2+a4x+a5y+a6=0,(a1,・・・,a6∈R)
という形で表される曲線です。」
と始まっている
で、途中から
「以下では２次曲線がQ上定義された場合、すなわち a, b, c∈Qの場合のみ考えます。」
と変わった
だから、もともとは、(a1,・・・,a6∈R)だったでしょ >>255
"実力が伴って無い"は、全く正しい（＾＾
が、https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>145）とその証明不成立を主張したのは
私スレ主と、前スレで
401 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/22(金) 13:35:59.80 ID:zkh22JUH [1/2]
どっちもどっち
ID:KNjgsEZnはただの基地外
(引用終り)
と言った人の二人だけ
（>>180-183）の「定理1.7 (422 に書いた定理)」のどこがまずいかというと、
Bf自身と、Bfを被覆するBN,Mとの区別がついていないってことだ
Bfを被覆するBN,Mについて論じて、それが、即Bf自身についても成り立つと思ってしまった
この場合はそうじゃない。
補集合 R－Bf が、有理数Qのように稠密分散されている場合は、Bf自身も内点を持たないし開区間(a, b)など取れない（言われて見れば当たり前）
他の理論の被覆と混同したんだろう
集合の被覆では、被覆する集合と被覆される集合との関係は、他の理論の被覆とは違う（>>212）
ただ、間違いは間違いだから、そこははっきりさせないと数学じゃないが
この証明を書いた人は、おれより大分レベル上で、実力あるよ
また、証明は天才大数学者でも間違うことがあるから、ドンマイだ
>色々なトピックに手をだすのはあまり良くない
ここは、”雑談スレ”という定義だよ ”実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る直線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。
しかし、有理点を持たない直線（１次関数）も、実はいっぱい存在するのです。"
なんで、不思議じゃないのかね？
有理点が、稠密に、びっしりと詰まっているんだよ？ 母なる科学の懐に
我ら人の子の喜びはある
科学を愛せよ
科学に生きる人の子ら理科に感謝せよ
美麗な科学を
偉大な科学を
科学をほめよ
讃えよ理科を
我ら人の子の
我ら人の子の
科学をほめよ
ほめよ讃えよ
母なる科学を
母なる科学を
讃えよ
ほめよ
讃えよ理科を
母なる科学を ああ
讃えよ科学を 要するにスレ主は基礎がわかってないんだよ
基礎もわからず数学板にのさばってるのをアホと言えばアホだがね >>262
ちがうよ
アホバカだ
アホ＆バカです（＾＾ >>259 追加
追加を書いておく
「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」（>>184）
このような”f : R → R は存在しない”という理由は、
無理数側にあって、 無理数側に微分不可のみならず、>>245にあるように
”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”
なる集合Eがあって、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”となってしまうこと
だから、微分不可の集合は、「高々可算ではおさまらず、非可算濃度になる」と。それが”系1.8 の関数f : R → Rが存在しない”理由なのだ（決して”開区間(a, b)”が存在するからではない ）
つづく >>267 つづき
だから、（>>180）
「定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」
で、有理数Qを想定して、仮定の”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”としたところは、うなづけるが
結論は、（>>245より）集合E：”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”
が出来て、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”を、導くべしってことじゃないかな？
だから、証明の大きな方向が間違っている。
「ある開区間の上でリプシッツ連続である」を導くのではなく
「R－Bfは、非可算集合（co-meager in R (i.e. the complement of a first category set)）を含む」を証明すべきだと
例えば、（>>90より）下記のProposition 3.1.の証明の方向を目指すべき
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.
(引用終り)
つづく >>268 つづき
だから、定理1.7は、二つに分けて
１．R－Bfが稠密でなく、Bfがある開区間(a, b) を含む場合
２．R－Bfが稠密で、Bfが全く開区間(a, b) を含まない場合
とすべき
１．の場合、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”は自明。ほとんど、証明の必要もない
２．の場合、「非可算無限の集合E：”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、存在することになるので、そのようなｆは存在しえない」のような方向を目指すべき
２．の場合をさらに細分化する（>>194を一部修正）
R－Bf がR中で稠密な場合を更に、４つに細分する
ａ）R－Bfが不連続、Bfが可微分（これが系1.8に当たる）
ｂ）R－Bfが不連続、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
ｃ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが可微分
ｄ）R－Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊）
（注＊）一般のリプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞を満たすこと、一般の不リプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜＝ +∞を満たすこと）
系1.8は、定理1.7中の上記ａ）の場合。ｂ）は下記。よって、ａ）ｂ）のみが、既存の別証明がある＊）。しかし、ｃ）ｄ）の２ケースは、既存の証明は見つかっていない
＊）ｂ）は、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”が成り立つことが分っている
繰返すが、ｃ）ｄ）の２ケースで、有理数Qを想定して、R－Bf がR中で稠密かつ可算濃度の集合の場合に、ケースｃ）ｄ）のような関数f : R → Rが存在するか否か
そこが、まだ不明。
以上 おっちゃんです。
自説にこだわってばかりでは意味ない。
間違いの連発を繰り返すだけ。 >271に語呂を付けて書こうとしたがすぐに思い付かなかった。
それじゃ、おっちゃん寝る。 >>270-272
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
>自説にこだわってばかりでは意味ない。
>間違いの連発を繰り返すだけ。
おっちゃんらしいな
おれは、極力主張の裏付け文献を付けているので、ほとんど自説ではない
間違いは連発したが、
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>145）とその証明不成立の主張だけは、間違いなかったろ？ スレチだが、豊島将之八段が、第1局勝利
https://www.youtube.com/watch?v=_o_AaI2mk-w
久保利明王将vs豊島将之八段 第67期王将戦第1局二日目ハイライト 元奨励会員アユムの将棋実況 2018/01/07 >>273
> https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>145）とその証明不成立の主張だけは、間違いなかったろ？
間違いですよ ＞定義1.2 (X,O) は位相空間とする.
これがなんか怪しい εδを理解せざれば自ずと解析は全滅
解析が全滅なれば自ずと位相は全滅 >>274
うーん、久保王将は地元（に近い）なので、谷川九段とともに応援しているのです >>269 追加
突然の引用だが
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
ある関数がその定義域内のある点で連続でないとき、その関数は不連続性 (discontinuity) を有する。関数の不連続点全体の成す集合は離散集合の場合もあるし、稠密集合の場合もある。場合によっては定義域全体と同じとなるかもしれない。
本項目では、最も単純な実一変数で実数を値にとる函数の場合における不連続性の分類を述べる。
不連続性の分類
１．可除不連続点: L? と L+ が有限確定（存在して有限）で相等しいが f(x0) ≠ L であるとき、f(x) は x = x0 に除去可能な不連続点 (removable discontinuity) を持つという。f(x0) の値を変更して「x = x0 においても連続であるようにする」ことができるという意味でこの不連続性は除きうる。
関数の不連続点の集合
・函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。
・単調関数の不連続点は高々可算である。これをフローダの定理（英語版）という。
・トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。
・ディリクレ函数として知られる、有理数全体の集合の指示函数は至る所不連続である。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E7%A4%BA%E9%96%A2%E6%95%B0
指示関数
(抜粋)
数学において指示関数（しじかんすう、英: indicator function）、集合の定義関数[1]、特性関数（とくせいかんすう、英: characteristic function）は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。
(引用終り)
つづく >>280 つづき
ところで、下記は、指示関数そのものではないが、R中の部分集合Bfとその補集合R－Bfに分けて、関数値を決めていると考えることができる
(>>268)
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
の記載より(抜粋)
2. MODIFIED THOMAE FUNCTION.
Let (ai) be a sequence of reals decreasing to zero. Define the modified Thomae
function with respect to (ai) as follows:
T(ai)(x)
= 0 if x ∈ R ＼ Q,
= an if x = m/n where m and n are coprime,
= 1 if x = 0.
Since limn an = 0, T(an) is continuous on the irrationals. The faster the sequence (ai)
tends to zero, the larger the set of irrationals on which T(ai) will be differentiable.
3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n^2) is differentiable on the irrationals,
we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following
proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals
will always be non-differentiable on a rather large set.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.
(引用終り)
つづく >>281 つづき
この”function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. ”で考えてみると
「0 on the irrationals」の部分は、不変というか動かせない。
動かせるのは、「positive on the rationals」の方のみで、「= an if x = m/n where m and n are coprime,」の部分のみ。
でさらに考えてみると、
「= an if x = m/n where m and n are coprime,」で、an：positive or an=0 の二択問題。(一般性を失わず負数は除外するとして)
an=0の場合、この点（有理点）では連続になる。
が、an：positiveの場合、この点（有理点）では不連続であって、それ以外の選択肢例えば、「連続であるがリプシッツ連続ではない」ということは、あり得ない
繰返すが、Proposition 3.1. のような、「a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. 」という規定では、
an：positive or an=0 の二択で、それぞれ不連続か連続かの二択で、それ以外の選択肢は、あり得ない
ところで、上記で、T(ai)(x) = F(x) if x ∈ R ＼ Q において、ここに、F(x)が解析関数なり、微分可能関数を取ったとしよう
そのときは、
=F(x)＋ an if x = m/n where m and n are coprime,
=F(x)＋ 1 if x = 0.
と考えれば、いままでの議論がそのまま踏襲できる。（つまり、"F(x)＝0 if x ∈ R ＼ Q "の場合だけで、 微分や連続についての議論は尽くされていることになる）
（なお、このような、有理数と無理数とに分けて、それぞれ異なる方式で値を決める関数は、上記、”不連続性の分類（wikipedia）”の「可除不連続点」（除きうる不連続点）しかなりえない）
なので、結局、ｃ）ｄ）の２ケースのR－Bfが”一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）”の場合は、考える余地がないように思う
以上 >>279
C++さん、どうも。スレ主です。
久保王将は、加古川でしたね
年末のNHKラジオ（全国放送？）で、聞きましたよ
（下記youtube）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%85%E4%BF%9D%E5%88%A9%E6%98%8E
久保利明
(抜粋)
久保 利明（くぼ としあき、1975年8月27日 - ）は、将棋棋士。棋士番号は207。淡路仁茂九段門下。兵庫県加古川市出身。県立加古川南高校中退[1]。棋王と王将のタイトルを獲得。竜王戦1組通算5期、名人戦A級通算9期。日本将棋連盟棋士会副会長（2015年6月 - ）。
(引用終り)
https://www.youtube.com/watch?v=5y3WE1lfyzs
2017年11月11日放送 NHKラジオ第1「かんさい土曜ほっとタイム」ほっと人物ファイル 将棋棋士 久保利明 >>268
>だから、証明の大きな方向が間違っている。
間違ってません
B_N,Mについて言うだけで十分ですよ？ >>276-277
"定義1.2 (X,O) は位相空間とする."の部分は、なにかのテキストから引いていると思いました。（それを、いじる必要もないだろうし）
で、Xとしては、この「定理1.7 (422 に書いた定理)」では、R及びその部分集合のことでしょう
位相Oも、この場合、通常のアルキメデス距離から決まる位相でいいんでしょう >>285
Ｘはある空でない集合として固定されてなければならないはず >>278
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>Ｘはある空でない集合として固定されてなければならないはず
うーんと、下記で
・定義1.2 (X,O) は、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の定義のために使った
・定理1.7で、”もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”とあるので、X＝R、位相Oは通常のアルキメデス距離から決まる位相と解せられる
・この後、”証明 仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR－Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1) ”としている
・なので、この証明中では、”X＝R、位相Oは通常のアルキメデス距離から決まる位相”で、完結していると思いますが。
（引用）
(>>178)
定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
(>>180)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
(>>181)
証明
仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR－Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1)
(引用終り)
以上 >>284
>B_N,Mについて言うだけで十分ですよ？
不十分でしょ？
R－Bf側の検討が是非必要でしょう？
R－Bfが、QのようにR中に稠密分散しているとき、Bfは決して、開区間(a, b) を持つことはありません
Bfの被覆空間として、B_N,Mを作って、この中に開区間(a, b) を作った
まあ、この論理を認めるとして
それなら、「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R 」（>>184）で
その証明中の
R － Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf
R － Bf ⊆ Q = ∪p ∈Q ｛p｝ ・・・(1)
で、同じように、Bf(無理数全体)の被覆空間として、B_N,Mを作って、この中に開区間(a, b) を作れば良い
この論理を認めるなら、矛盾は導けない >>288
＞・定義1.2 (X,O) は、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の定義のために使った
定義になっていないと思われる。「もしかするとこういうＳを含むＸがあるかもよ」と言っている以上の意味を持たない。 おっちゃんです。
プ君はスレ主かい？ それとも別人かい？
まあ、何れにしろスレ主の実力からすると ε-N や ε-δ からなんだが。 >>293
おっちゃん、どうも、スレ主です。
プ君二人、ID:2VVPqXn0 さんと、ID:7+QSYxb9 さんと
別人ですよ
ID:2VVPqXn0 さんが、旧来の「ぷふ」さんで、
ID:7+QSYxb9 さんは、>>276 で、”定義1.2 (X,O) は位相空間とする”に対し、「これがなんか怪しい」と書いた人だろう >>293
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>まあ、何れにしろスレ主の実力からすると ε-N や ε-δ からなんだが。
ああ、おっちゃんは偉いね～
素人ながら、新定理を証明して、論文を投稿するんだって？（＾＾
実現したら、実力を認めてやるよ（＾＾
しっかり、論文をしあげてくれ～！ >>296
>実現したら、実力を認めてやるよ（＾＾
>しっかり、論文をしあげてくれ～！
おめーにいわれる筋合いはないw >>291
>＞・定義1.2 (X,O) は、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の定義のために使った
>定義になっていないと思われる。「もしかするとこういうＳを含むＸがあるかもよ」と言っている以上の意味を持たない。
いやいや
そもそも、定義とは？
まあ、平たく言えば、繰り返し使われる概念を、ある言葉や記号に置き換えて
表現を簡素にするために、用いられるもの
とでもしますか？
で、
（>>178より）
定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
(引用終わり)
”「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする”で
直前４行の表現を、一言にまとめたわけだ
＜逐条解説＞
(いまの問題では）
X=R,
O：通常の距離空間の位相
閉集合：閉区間（内点を持つ）又は１点（内点を持たない）
高々可算和：１個から加算無限までの和
例
１点ａ：１点（内点を持たない）で被覆できる
Q(有理数)：Q = ∪p ∈Q ｛p｝ ・・・(1)（詳細>>184の通り）
(終わり)
「もしかするとこういうＳを含むＸがあるかもよ」でなく・・、
「こういうSがあって、それを定義して、以下”ｘｙｚ・・”と表現することにして、証明を簡潔にしますよ」ということでしょう >>290
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
この人は、レベル高いからな～
いろいろ教えてもらおう
いま職場なので、帰ってからね（＾＾ 余談だが
Ruler Function とか、Thomae functionとか、その変形関数は
奥が深くて、いろんな分野と関連している
例えば、位相、連続、リプシッツ、微分、Dini微分、極限、稠密、ハウスドルフ、ルベーグ測度、リュービル数、Diophantine approximation ・・
だれか、学部４年の卒業研究のテーマにして、まとめPDFを作って公開してくれると助かるけどね（＾＾
2018年のその時点までの研究をまとめてもらえると（そのときは、「ここにアップした」と知らせてくれ）
ひょっとして、（>>180）”定理1.7 (422 に書いた定理)”もどきの、新定理なり、あるいは既存定理の別証明が
できる可能性もあるよ >>298
＞そもそも、定義とは？
＞まあ、平たく言えば、繰り返し使われる概念を、ある言葉や記号に置き換えて
＞表現を簡素にするために、用いられるもの
＞とでもしますか？
よく誤解されるが、Ｃ言語の#define Ａ Ｂは「ＡをＢと定義する」じゃなくて、
「ＡをＢと対応させるマクロを定義する」なんだよね。 >>304
「A を B と書き換える」というのが正確なところ ＞この人は、レベル高いからな～
バカがバレないよう「ぷ」しか言わないぷをどうやったらそう認識できるのやら
バカの考えはわからん >>306
「ぷふ」さんは、時枝不成立を見抜いたし
また、今回のRuler Function とか、Thomae functionとかでも、いろいろ教えてくれたからな～（＾＾ >>307 補足
定義で、こんなのがヒットしたな～（＾＾
数学もレベルが上がると、まったく新概念を定義したり、従来の定義を改良・拡張して、新理論を作ったりしますねどね・・（＾＾
http://trenabi.seesaa.net/article/383407310.html
数学：中学2年生、定義と定理の違いについての教え方のコツ なるほど！塾講師が教える教え方のコツ 2013年12月23日
(抜粋)
＜数学：中学2年生、定義と定理の違いについての教え方のコツ＞
本日は、数学：中学2年生、定義と定理の違いについての教え方のコツについて書いていきます。
丸暗記すれば、定義と定理の違いについて触れなくてすみますが、頭の良い生徒ほど「定義」と「定理」の違いについて気になる傾向があります。
では、その違いをどう教えたらよいのか？
私は、このように教えています。
数学の教え方のコツ！
・「定義」：辞書としての意味。
・「定理」：性質・その図形の特徴・個性・キャラクター。
特に、定義の意味を重要視して教えています。
定義は、簡単に言えば辞書に載っているような説明。
定理は、その辞書の言葉を噛み砕いて説明しているもの。
よって、定義だけ覚えておいて、それ以外の説明が出てくればそれは定理だと生徒に認識させています。
また、性質というフレーズが出てくれば、定理で確定。とも教えています。
定義と定理の違いを理解させなければならないのが難しいところですねあせあせ（飛び散る汗）
この説明で、私が教えている生徒は定義と定理の違いについてなんとなくではありますが理解しています。
＜以上、数学：中学2年生、定義と定理の違いについての教え方のコツでした。
中学2年生の数学の教え方のコツについて質問・疑問がありましたら、コメントお待ちしております。＞
(引用終り) >>291
Xを定義しようとしているわけでは無いということを認識してないのが致命傷 >>289 自己レス
R－Bf側の検討が是非必要と思うんだよね～（＾＾
ちょっと自分の頭の整理を兼ねて書くと・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%A8%E9%96%A2%E6%95%B0 トマエ関数
で、（>>81より）
fν(x) =0 if x ∈ R ＼ Q,
or =1/q^ν if x = p/q ∈ Q, irreducible,
for various values of ν ∈ R.
ここで、ν＝１が、トマエ関数。ν＝0で ”=1 if x = p/q ∈ Q”で、ディリクレの関数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E9%96%A2%E6%95%B0
トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。ディリクレ函数として知られる、有理数全体の集合の指示函数は至る所不連続である。
（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E 関数の不連続点の集合 より）
で、無理数側 ”=0 if x ∈ R ＼ Q”は、トマエ、ディリクレ、両関数で不変
さらに、ν＞２になると、多くの無理数点で微分可能になる。これも、無理数側は不変で、有理数側のみが変化している（詳細は下記）
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
つづく >>312 つづき
で、
”Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.”
”As a corollary, no matter how quickly the sequence (ai) converges to zero (e.g., ai = 1/i^(i^i) ), there is always an uncountable dense subset on which T(ai ) is not differentiable.”
この論文の証明で論じているのは、Bf（無理数）に関係するB_N,Mではなく（∵つねに”0 on the irrationals”ですから、論じる必要もない）
Bf－R(有理数)に関する部分（”positive on the rationals ”）。
もっと言えば、Bf－R(有理数)側で、無理数ａに収束する閉区間 In+1 ｜ ”f (xn+1) >= |xn+1 ? x| ”∈ In+1 ですよ
f (xn+1)は、”positive on the rationals”側で、つまり、Bf－R(有理数)側
Bf－R(有理数)側のf (xn+1)が、早く減衰する場合でも、”uncountable dense subset”が、” not differentiable”
T（1/n^k）=1/n^k on the rationals, if x = m/n where m and n are coprime,
で、k<=2ではどこも微分不可、k > 2で、代数的数の集合で微分可、k=9でπなどほとんどの超越数で微分可。
但し、リュービル数は、ずっと微分不可で残る。
これらの議論中、Bf（無理数）での関数は、常に”0 on the irrationals”で、全く変化しないにも関わらず
指数ｋによって、Bf（無理数）側で、微分不可（各点リプシッツ連続でもない）から、至る所微分可になり、最後、リュービル数は、ずっと微分不可で残る。
これら、すべてBf－R(有理数)側の関数値ｆの変化が、Bf（無理数）側に影響を与えた結果ですよ
なので、論ずべきは、Bf－R(有理数)側の関数値ｆの変化であるべきでは？
以上 ＞「ぷふ」さんは、時枝不成立を見抜いたし
理由を一言も語れないようじゃスレ主と同レベル >>314
十分説明してますよ
理解できないんですね
ぷ というか↓この低能な煽りを見ただけでスレ主レベルとわかるわ
＞理解できないんですね
＞ぷ ん？どうした？
十分説明はしたけど、そのレス番号は答えられないと？
さすがにレベル高いわ >>318
> ID:iQNHclg3
数学的に何も言えずに煽るしか能がないのですね >>319
＞数学的に何も言えずに煽るしか能がないのですね
何か言おうにもお前がレス番号示さなきゃ言えないだろ
言語障害？ >>320
あそこで定義しているのはXではありませんが？ >>322
定義しなければいけないのは飽くまでＸだよ。 定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
ここで定義しているのは
「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」
ということ
そしてそれはSに関する命題
Xを定義とかアホですか >>94
"Irrationality measure"について
https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number
Liouville number
(抜粋)
6 Irrationality measure
The irrationality measure (or irrationality exponent or approximation exponent or Liouville?Roth constant) of a real number x is a measure of how "closely" it can be approximated by rationals. Generalizing the definition of Liouville numbers, instead of allowing any n in the power of q, we find the least upper bound of the set of real numbers μ such that
0< |x-p/q|< 1/q^μ
is satisfied by an infinite number of integer pairs (p, q) with q > 0. This least upper bound is defined to be the irrationality measure of x.[3]:246
(引用終り)
http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html
Irrationality Measure MathWorld Wolfram Research, Inc.
http://planetmath.org/irrationalitymeasure
irrationality measure planetmath.org Owner: mathcam Added: 2004-02-27 - 13:34 Author(s): mathcam Versions (v8) by mathcam 2013-03-22
(畑 政義先生)
https://projecteuclid.org/euclid.pja/1195511637
https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.pja/1195511637
Improvement in the irrationality measures of π and π^2 Masayoshi Hata Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. Volume 68, Number 9 (1992), 283-286.
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/ja/people/profile/hata
畑 政義 京都大学 理学研究科／理学部 数学教室 >>327
本気で分かってないとは
あんまりレベル低すぎて >>328
ホントに何も理解できてないんですね
ぷ >>330
おい言語障害君、会話が噛み合ってないぞ、大丈夫か？ >>318
>十分説明はしたけど、そのレス番号は答えられないと？
>さすがにレベル高いわ
代返すると
前スレでのNo.531以下の幾つかが、彼の数学的発言だな
主要なやりとりは、No.531～609辺りかな
それ以外にもあるかも知れないが・・ まあ、おれと彼との違いは、例の”定理1.7 (422 に書いた定理)”が成立しているかどうかってところでね
それ以外の点では、いろいろ教えて貰っているんだ（＾＾ 答えて貰えないのは自分がどこかおかしいと思うのが普通ですね >>336
ああ、このスレだと、
>>96-124のID:okX91MtSとID:fOPEnBccとが、彼だな >>323
>定義しなければいけないのは飽くまでＸだよ。
うーんと、相対位相（下記）みたいな話かな？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%83%E7%95%8C_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
境界 (位相空間論)
(抜粋)
例
有理数全体の集合に通常の位相（R の部分位相空間としての位相）を考えた位相空間の中では、a が無理数であるときの区間 (－∞, a) の境界は空集合である。
集合の境界というのは位相的な概念であり、集合に入れる位相を変えれば（同じ集合であっても）何が境界であるかが変わってくる。
(引用終わり)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E4%BD%8D%E7%9B%B8
相対位相
(抜粋)
そのような位相は、部分空間位相 (subspace topology), 相対位相 (relative topology) あるいは誘導位相 (induced topology) やトレース位相 (trace topology) などと呼ばれる。
例
以下、R は実数全体の集合に通常の位相をいれたものとする。
・R の部分空間としての自然数全体の成す集合の位相は離散位相である。
・R の部分空間としての有理数全体の成す集合の位相は離散位相ではない（例えば、点 0 のみから成る部分集合は Q の開集合ではない）。
a, b が有理数ならば、開区間 (a, b) および閉区間 [a, b] はそれぞれ Q の開および閉集合であるが、a, b がともに無理数のとき、a < x < b を満たす有理数 x の全体の成す部分集合は Q の開かつ閉集合となる。
・R の部分空間としての閉区間 [0, 1] は開かつ閉である（R の部分集合としては閉でしかないが）。
・R の部分空間としての互いに素な区間和 [0, 1] ∪ [2, 3] は二つの互いに素な開集合（もちろん閉集合でもある）の和であり、従ってこれは非連結空間となっている。
・R の部分空間としての S = [0, 1) について、[0, ?) は S の開集合だが R では開でない。同様に [?, 1) は S において閉だが、R の閉集合でない。S は自身の部分集合として開かつ閉だが、R の部分集合としては開でも閉でもない。
(引用終わり)
以上 >>312 自己レス追加
それで、ちょっと戻ると
（>>128関連）
”Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R.
R ＼ Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
(R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R.
つまりは、R内に稠密分散するQは、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
同様に、RからQを除いたR ＼ Qも、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
ということで、付け加えると、QとR ＼ Qとも、開集合でも閉集合でもない
（ https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14112228884
有理数の全体は開集合でも閉集合でもないが、自然数は閉集合、というのはよく分かりません。ofurospeakerさん yahoo 2013/8/22 ）
つづく >>341 つづき
（>>180より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．”
上記との対応は、Q：R－Bf 、R ＼ Q：Bf だ
（余談だが、ついでに言うと、>>178の通り (X,O) → (X,d) → (R,d)ってことでしょう ）
で、ある開区間（a, b）があって
いまR－BfがQのように、R中に稠密分散しているとする
（a, b）内のQ：R－Bfと 、R ＼ Q：Bf（無理数）とも、両者”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
R ＼ Q：Bf（無理数）の部分集合であるリュービル数も、同様に”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”（まあ、リュービル数自信R中で稠密で、ルベーグ測度０は知られている）
で、集合としてのリュービル数も、開集合でも閉集合でもないし
非可算集合になるから、１点からなる閉集合では被覆できないことになる
なので、>>313のような”Modifications of Thomae’s function”で、特に急速減少関数では、Qとリュービル数の集合とのみが、” not differentiable”になる
が、ある開区間（a, b）が生じるわけでは、決してない
以上 >>342 訂正
非可算集合になるから、１点からなる閉集合では被覆できないことになる
↓
非可算集合になるから、高々加算の１点からなる閉集合では被覆できないことになる >>253 補足追加
">一次式の係数を無理数にとったら値が有理数にならないことがある、ということのどこが面白いの？
数理女子(>>217)にならって言えば
"有理点が無い場合
実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る直線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない直線（１次関数）も、実はいっぱい存在するのです。"
ってこと"
まあ、代数的に考えたら、なにも面白くないかもしれないが
幾何的に考えたら、無限長の平面直線が、平面上に無数に稠密分散する有理点（p,q）と全く交わらない
そういう直線が存在する
逆は不成立。
無理数点を避けることはできない
そういう幾何学的イメージを持つことが、Qの稠密性を理解する上で、面白いと思った次第 >>344
おっちゃん、どうも、スレ主です。
よほど、ε-Nコンプレックスなんだね（＾＾ >>346-347
>>344は「ローマよりアテネを」というセリフにかけてスレ主へ向けて書いたんだが。 >>342 訂正
（a, b）内のQ：R－Bfと 、R ＼ Q：Bf（無理数）とも、両者”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
↓
（a, b）内のQ：R－Bfと 、R ＼ Q：Bf（無理数）とも、両者”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包は閉区間[a, b]になる”
かな
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%83%E7%95%8C_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
境界 (位相空間論)
(抜粋)
内点を持たない稠密集合の境界はその集合の閉包に一致するという一般的な事実を説明するものになっている。
(引用終わり)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%89%E5%8C%85
閉包
(抜粋)
・位相空間において部分集合の閉包はその部分集合を含む最小の閉集合。クラトフスキの閉包公理（英語版） も参照。
(引用終わり) >>346-347
古代、ローマでは実用性が重視されていて数学が発展したことはなく、ギリシアで数学が発展した。
一方、ギリシアでは数学が発展した。「ローマよりアテネを」というのは大体そういう意味のセリフ。
それと同様に、コピペばかりしても何の発展もありませんと。そういう意味で書いた。 >>348
google先生は、「"ローマよりアテネを"との一致はありません。」だって（＾＾
さすれば、おっちゃんの数学新定理と同じく、新格言か
おっちゃん、数学だけではなく
格言でも才能を発揮したんだね～（＾＾ >>350
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご高説は結構だから
早く論文書いて、実力を証明してくれ～！（＾＾ >>350
＜参考＞
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1462189709
ローマ帝国がキリスト教化しなかったら、人類の科学技術は1000年くらい早く今のレベルに到達していたというのは本当ですか？ rmcgkfさん yahoo 2011/5/13
(抜粋)
ベストアンサーに選ばれた回答 xiaomaoさん 2011/5/14
古代ローマ人の頭が良かったというより、キリスト教が「疑うこと」を悪と見なしたため、古代ローマ時代に獲得した技術が失われ、中世の時代の技術発展が停滞したからです。
例えて言うなら、古代ローマ時代までの人たちが順調に積み重ねていた積み木が崩れて、またゼロからやり直しになったんです。
積み木が崩れることが無く、そのまま順調に積み重ねていたらきっと1000年くらいは早くなっただろう・・・という意味です。
科学技術というのは「あの太陽とはいったい何なのだろう？」と疑うところから出発します。しかし、キリスト教では世界というのは聖書に書いてある通り神が作ったものであり、それを疑い実験しようものなら神を試す行為として糾弾されました。
そのため、技術の発展が止まってしまったんです。
それに加えて、ローマ時代の文献はラテン語で書かれていたのですが、聖職者はラテン語を神学を学ぶ為だけのものとして独占してしまったんです。そのため、古代ローマ人が培った技術を読めるものがいなくなって失われてしまいました。ちなみに、後にそれはおかしいということで、ラテン語で文献を読む人たちが出てきて技術を復興します。それがルネサンスです。
失われてしまった技術の例としては、都市に完備された上下水道網、各都市をつなぐ舗装された幹線道路、
コンスタンティノポリスのような巨大かつ堅固な城壁を築く築城技術、それを破ることが出来るような精度の高い投石器や様々な力学を駆使した攻城兵器、
「アンティキティラ島の機械」を作ることが出来るほどの天文知識と機械技術、現代にも見劣りしない「ミロのヴィーナス」のような美術・・・などなどキリがありません。
なんかこう書くとキリスト教が悪いように見えてしまいますが、この中世の時代を当のキリスト教徒である西洋人たち自身が「暗黒の時代」と呼び、現代では戒めとしています。そういう反省し教訓とする姿勢は見習うべきものであるでしょう。
(引用終わり)
つづく >>353 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2
数学史
(抜粋)
3.5 ギリシアおよびヘレニズム数学（紀元前550年?西暦300年頃）
4 中世以降のヨーロッパ数学の発展
4.1 中世初期（西暦500?1100年頃）
4.2 ヨーロッパ数学の復活（西暦1,100?1,400年頃）
5 近代ヨーロッパ数学（西暦1400?1600年頃）
ピタゴラス学派は無理数の存在を発見した。エウドクソス（紀元前408?355年頃）は、現在の積分法の先駆である、取り尽くし法を開発した。アリストテレス（紀元前384?233年頃）は最初に論理学の法を書いた。
エウクレイデスは今日の数学でも使用される形式である、定義、原理、定理、証明の最も初期の例である。
彼はまた円錐曲線の研究も行った。彼の本、『ユークリッド原論』は、20世紀の中頃まで、西洋で教育を受けたものすべてに知られていた[31]。
ピタゴラスの定理などの幾何学のよく知られた定理に加えて、『ユークリッド原論』には2の平方根が無理数であることや素数が無限に存在することの証明が記述されている。素数の発見にはエラトステネスの篩（紀元前230年頃）が使用された。
ギリシア数学の、あるいは全時代の最も偉大な数学者は、シラクサのアルキメデス（紀元前287?212年）であると言われている。
プルタルコスによると、75歳のとき、地面に数式を書いている最中にローマの軍人に槍で刺されたとされている。古代ローマは純粋数学への関心の証拠をほとんど残していない。
中世以降のヨーロッパ数学の発展
中世ヨーロッパの数学への関心は、現代の数学者と全く異なる動機にもよっていた。
その1つは、数学による自然の記述を通じて宗教的な理解が促進されるという信念であり、プラトンの『ティマイオス』および聖書の『知恵の書』11章20節[33]によって幾度も正当化された。
(引用終わり)
つづく これ（下記）がちょっと面白かったな～（＾＾
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO25038780V21C17A2FBB000/?n_cid=DSTPCS001
ＡＩ的間違い電話 村田沙耶香 プロムナード 日本経済新聞 2018/1/10
(抜粋)
だいぶ前のことだが、アルバイトをその少し前に辞めたエミちゃん（仮名）から突然電話がかかってきたことがあった。
「さやかー！ 久しぶりー！」
「わあー！ エミちゃん、久しぶり！」
私は明るく返事をした。
話の内容は、彼女が今している恋愛の話と、新しいバイト先の愚痴だった。私は、「そっか、そっか」「大変だね」と頷きながら話を聞いていた。
明るく話し続けるエミちゃんに「そっか」「そうだね」と適当に相槌（あいづち）を打ちながら、私はまさか、と思い始めていた。
エミちゃんの話が途切れたときに、私は勇気を出して、「あの……あなたはどなたですか？」と聞いてみた。
エミちゃんは驚いたようで、一瞬無言になった。
「……は？ 何？ え？ 何言ってるの、さやか？」
「いえ、あの……あなたの苗字（みょうじ）は何ですか？ 私は村田というんですが……」
「え？ 村田？ は？」
しばらく話し合った結果、この電話は間違い電話だということがわかった。三十分以上お喋（しゃべ）りをしてしまった手前、いきなり切るのも憚（はばか）られ、気まずい時間が流れた。
つづく >>356 つづき
「……あの、じゃあ、あなたは、○○学校のさやかさんじゃないってことですよね」
「はい、そうです。エミちゃんという友達がいたので、その子からかと思って……」
「え、あなたもエミちゃんって友達がいるんですね……すごい偶然ですね……」
「そうですね、えへへ……」
さっきまであんなに親しく話していたのに、赤の他人と分かった瞬間に敬語でおそるおそる話している自分たちが不思議だった。
私はこの奇妙な間違い電話のことを、なかなか忘れることができなかった。なぜ、赤の他人である私とエミちゃんは、三十分以上も仲良く会話することができたのだろうと何度も思い返した。
先日、ＡＩの番組に出演させていただく機会があった。テーマは「会話」だった。そのとき、ふと思った。私はあのとき、ＡＩだったのではないか。エミちゃんの発した言葉に、いかにもそれらしい相槌を打つ。ただそれだけで、私たちは三十分も親しい友達のように会話をした。
実は私たちも、ＡＩと同じような仕組みで会話をしている瞬間があるのではないか。
観（み）ていない映画を、勘違いして観たかのように話をしていた時、顔はわかるがどこで会ったのかよく覚えていない人と談笑している時、私はきっとＡＩ的に会話をしているのだ。
それは必ずしも不誠実というわけではなく、人間の面白い一部分なのではないか。そう思うと、自分という生きものの新しい一面を発見している気持ちになれる。自分の中の「ＡＩ的部分」を、もっともっと見つけてみたくなるのだ。
（作家）
(引用終わり) この”カレンダー印刷PDF無料ダウンロード | アラクネ”なかなか良いんだよね（＾＾
今年もお世話になります（＾＾
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(抜粋)
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(引用終わり) ＞前スレでのNo.531以下の幾つかが、彼の数学的発言だな
＞主要なやりとりは、No.531～609辺りかな
＞それ以外にもあるかも知れないが・・
さすがに８０ものレス追う気せんわ
そんだけ紛糾するってことはその程度の内容なんだろう。
ぷよ 反論があるなら指摘されたことを踏まえて改めてうｐしてみ？ それともまた逃げる？ >>359
ぷ
その程度の人だって白状したのは褒めてあげましょう >>359
どうも。スレ主です。
>さすがに８０ものレス追う気せんわ
まあ、そうだろうね。論争当事者でなければ、レス追う気せんだろう
で、まあ、下記辺りが、彼の主張の中核だろうね
（前スレ）
「564 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/26(火) 12:39:46.63 ID:bh2BICch [2/4]
もともと取れないからこそ背理法が効くわけです
可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続→矛盾→可算集合の補集合で微分可能ではない
という流れですよ
ある開区間で連続以降の論証に持ち込むのに
可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続
の論証が最も重要です
565 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/26(火) 12:55:35.93 ID:bh2BICch [3/4]
>>562
> 例えば、>>554に示したように、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり”（>>506）で、
> この背理法の論法が正しいならば、「微分可能なある区間(a, b)が取れないから（取れるとすると矛盾するから）、このような関数は存在しない」という結論が、導かれてしまう（本来有理点は稠密であるから、この背理法の論法自身がおかしい）
その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されるということしか言えませんよ
566 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/26(火) 12:57:59.52 ID:bh2BICch [4/4]
許されるは変でした
許されないとは言えない
ですか」
(引用終り)
以上 >>361 補足
で、私の主張は、下記
（前スレより）
「607 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/27(水) 07:13:19.94 ID:JqNELMW3 [2/8]
>>604
>で？そのあとの最終的な結論は？
単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
１）補集合R－Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
２）補集合R－Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
それだけ
608 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/27(水) 07:20:51.76 ID:JqNELMW3 [3/8]
>>607
（補足）
１）の場合
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ が、区間(a, b)で成り立っているとする
区間(a, b)での、lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜の最大値を、Mとする
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜<= Mと書ける
区間(a, b)で、リプシッツ連続である
以上
614 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/27(水) 20:28:08.95 ID:hLkm2n+q [1/4]
>>607
「場合分けしただけ」というのが最終的な結論なのであれば、
「例の定理(もしくは "弱い定理")は自明な定理であって、証明の必要がない」
という当初の主張は撤回するということだな？
だったらそれでいい。場合分けすること自体には別に間違いもクソもないからな。
621 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/27(水) 23:17:07.10 ID:JqNELMW3 [7/8]
>>614
場合分けは、普通は、証明のためだよ
自得するのを、待ったんだが・・（＾＾
貴方の証明を斜め読みしたが、稠密で無い場合、つまり、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる前提でしか、
証明していないように見えるが、どう？」
(引用終り)
以上 >>360
やはり逃げの一手か
かかる見苦しい醜態晒すなら、いっそ消え去れば良いものを >>363
いやいや、彼「ぷふ」さんも、例の「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>178）の証明を書いた方も、明らかに私スレ主より、レベル上だわ（＾＾
私ら、不勉強の、単なるアホバカですからね
但し、この「定理1.7 (422 に書いた定理)」については、Ruler FunctionとかModifications of Thomae’s functionとかの論文を、曲がりなりにも読み込んでいたので、”定理の結論と読み込んだ論文の結論とが合わない”ということが分った
そこが大きな違いです >>363
おやまあ
自分を棚に上げるのがお上手ですね >>364 追加
ちょっと思いついたので、悪いが、忘れないうちに下記を書いておく
（>>40より）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
より
The modefied ruler function f is defined by
f(x) = 0 if x is irrational,
f(0) = 1, and
f(x) = 1/w(q) if x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに
w(q)：an increasing function that eventually majorizes every power function.
（w(q)は、どんなｐの冪より早く増大する関数
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
などではP532で、” (e.g., ai = 1/i^(i^i) )”などと記されている。qで書けば、= 1/q^(q^q)だ）
簡単のために、区間[0, 1]を考える。（同じことを、区間[n, n+1] (ｎは整数)で考えれば、実数R全体に展開できる）
このような、場合、上記数学者のRenfroさんや、Robertsさんたちは、”Qで不連続、リュービル数（超越数）で微分不可（リプシッツ連続でもない）だが、それ以外の無理数では、微分可だ”という
つづく >>366 つづき
さて、上記と、「定理1.7 (422 に書いた定理)」との間をつなぐために、上記のThe modefied ruler functionのさらなる変形を考えてみた
The modefied ruler function f is defined by
f(x) = 0 if x is irrational,
f(0) = 1, and
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = 0 if q> m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/w(q) if q<=m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
また、他の条件は、すべて上記に同じ
まあ、要するに、分母q がある値ｍ以下の場合のみ、1/w(q)とする。分母q がある値ｍ超えの場合は、値を０に取る
そうすると、不連続点は、分母q がある値ｍ以下の場合のみの有限個になる
この場合、「定理1.7 (422 に書いた定理)」が成り立ち
”R－Bf が内点を持たない閉集合の（有限個の）可算和で被覆でき、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”となる
（細かい証明は略す）
つづく >>367 つづき
ところで、ここの多くの読者が想定内だろうが、ｍ→∞を考えると、まずqは任意のQの元まで拡大される ＊）
この場合、いままで述べたことと同じだが、x = p/q ∈Q は、Q全体になり、
それ（Q）は”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”が、上記の数学論文などの通り、”Qで不連続、リュービル数で微分不可（リプシッツ連続でもない）”が結論になる！
で、（定理1.7 の結論のような）” f はある開区間（a, b）の上でリプシッツ連続である”とは、できない
（ ＊）余談だが、q = ∞ まで広げると、ｘは無理数なのか有理数なのか、訳分からなくなるかも。そういう意味で、ｍ→∞に対しては、可能無限と実無限という言葉が、現実味を帯びるかもしれない。時枝の可算無限個の箱と似ているような気がする・・（＾＾ ）
以上 >>368 訂正
ｍ→∞を考えると、まずqは任意のQの元まで拡大される ＊）
↓
ｍ→∞を考えると、まずp/qは任意のQの元まで拡大される ＊） >>368 補足
>（ ＊）余談だが、q = ∞ まで広げると、ｘは無理数なのか有理数なのか、訳分からなくなるかも。
ここ、いま考えると>>367で
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = 0 if q> m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/w(q) if q<=m, x = p/q ∈Q
↓
f(x) = 0 if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q
とする方が、ｍ→∞のとき、”f(x) = 1/w(q) if q< ∞ ”となるので、形式的には綺麗かも
が、実質は”p/qは任意のQの元まで拡大される”は同じなので、単に形式美だけだが・・ >>342 補足
>（余談だが、ついでに言うと、>>178の通り (X,O) → (X,d) → (R,d)ってことでしょう ）
ここらは、細かいけど、大学の先生の書いたテキスト（教科書）では、きちんと（位相空間について）明示されていることが殆どだね（＾＾
なので、試験（院試）などを考えて、きちんと書くクセを付けた方が良いだろうね
試験の採点では、重要な試験ほど、採点が厳格かつ客観的になり、好意に斟酌してもらえる余地が減るから
（きちんと書いてないと減点対象かも。専門の論文では、スペース（字数制限）の関係で”分るだろう・・”と流している場合も無くはないが） >>365
煽りだけは一人前だね
不成立の根拠を示すことすらできないのに
そんなに自信が無いの？ >>364
＞私ら、不勉強の、単なるアホバカですからね
それは時枝不成立論の敗北宣言と受け取ってよろしいか？
だってそうだろ？不勉強のアホバカに正しい判断ができようはずないではないか >>367 追加コメント
さて、f(x) = 0 if x is irrational→f(x) = F(x) if x is irrationalとする
The modefied ruler function f is defined by
f(x) = F(x) if x is irrational,
f(0) = 1, and
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = F(x) if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = F(x)+ 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに、 F(x) は、簡単のために、解析函数で多くの多項式や初等関数のように、無限大のみに極を持つとする。（有限の範囲に極があっても問題ないが、記述が複雑になる）
また、他の条件は、すべて上記に同じ
ある無理数点zとその近くの有理点x = p/q (q< m)に対して
（f(z) - f(x) ）/(z - x) = (F(z)- F(p/q)- 1/w(q))/(z - p/q ) となる
”F(z)- F(p/q)”の部分は、解析函数なので、p/q→zのとき、”F(z)- F(p/q)”→0 になるので、この場合は、上記のF(x) ≡0 の議論と変わらずそのまま成り立つ
よって、このような、有理数 x = p/q ∈Q の場合のみ、”= F(x)+ 1/w(q)”と定めるような、いわゆる除去可能不連続関数とする場合の議論は、
F(x) ≡0 の議論で尽くされている
つづく >>375 つづき
さらに
1/w(q)→1/q^ν としてみよう
The modefied ruler function f is defined by
f(x) = 0 if x is irrational,
f(0) = 1, and
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = 0 if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/q^ν if q< m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに、ν>=0の実数とする
この場合も、mが有限の値の場合、不連続点は、分母q がある値ｍ以下の場合のみの有限個になる
この場合も、「定理1.7 (422 に書いた定理)」が常に成り立ち
”R－Bf が内点を持たない閉集合の（有限個の）可算和で被覆でき、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”となる
しかし、ｍ→∞を考えると、f(x) = 1/q^νの場合のp/qは、任意のQの元まで拡大される
この場合
１）ν= 0の場合、いわゆるディリクレ関数になり、f(x)は至る所不連続
２）ν= 1の場合、いわゆるトマエ関数になり、f(x)は無理数で連続、有理数で不連続となる
３）ν>= 2の場合、f(x)は無理数の多くで微分可能（微分不可能な無理数点も残る）、有理数で不連続
となる
なにが言いたいかというと、
f(x)の無理数側の決めは不変だが、有理数側の決めが変わることによって、f(x)全体の特性（連続、不連続、微分可否など）が全く変わってしまうということ
これで、「定理1.7 (422 に書いた定理)」の不備が見えるだろう
「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明は、無理数側（定理ではBf側）の関数しか扱っていない。
それで証明が完了としている。が、それは上記数理に反するってことだ
以上 >>369 訂正の訂正
>>368の訂正
ｍ→∞を考えると、まずqは任意のQの元まで拡大される ＊）
↓
ｍ→∞を考えると、まずp/qは任意のQの元まで拡大される ＊）
↓
ｍ→∞を考えると、まずf(x) = 1/w(q) の場合のp/qは、任意のQの元まで拡大される ＊）
かな？（＾＾ （>>376を書いていて気付いたよ） おっちゃんです。
スレ主が導こうとしている結論は元からどのようにしても導けない
(定理 1.7 の反例を挙げてそれを否定することは出来ない)
から、幾らやってもムダ。 どうもスレ主です。
いつものおっちゃんらしいね（＾＾ >>380
話は逆で
（>>376に書いた通りだが）
（>>180）”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．”
で、
１）補集合R－Bfが、”が内点を持たない閉集合の可算”有限”和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”は、正しい
しかし
２）補集合R－Bfが、”が内点を持たない閉集合の”稠密”分散可算無限和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続とはできない．”が、正しい
補足
１）補集合R－Bfが主に有理数Qで、Bfが主に無理数（ R＼Q）を想定したもの
２）有理数Qが稠密である以上、無理数のみからなる開区間（a, b）など取れるはずもない
中学校レベルの話だろう >>375
>さて、f(x) = 0 if x is irrational→f(x) = F(x) if x is irrationalとする
>
>The modefied ruler function f is defined by
>f(x) = F(x) if x is irrational,
>f(0) = 1, and
>(さらに有理数で場合けして)
>f(x) = F(x) if q>= m, x = p/q ∈Q
>f(x) = F(x)+ 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q
>where p and q are relatively prime integers with q > 0.
>
>ここに、 F(x) は、簡単のために、解析函数で多くの多項式や初等関数のように、
>無限大のみに極を持つとする。（有限の範囲に極があっても問題ないが、記述が複雑になる）
>>367の補足としてmを或る値として続けて書いているようだが、
解析関数 F(x) の定義域は複素平面Cの弧状連結で開円盤を含む開集合だから、
虚部が0ではない何らかの複素数xに対しても F(x) は定義されることになる。
だが、f(x)＝F(x) としているのに、そのような複素数に対する F(x) の複素数値の定義がどこにもなされていないので、
その定義は意味をなさない。結局実関数 f(x) を直線R上で定義することになる。 >>381
トマエ関数や modefied ruler function は有理数か無理数かが分かってからその関数値が決まるような関数。
で、有理数全体Qは直線Rの部分空間としてのルベーグ測度が0の可測空間で、無理数の全体 R＼Q はその補集合になる上、
有理数に対して決まるそれらの関数値の決まり方は定義域Rの点としての既約分数 p/q の分母qや分子pの値にもよるから、
そういった関数を持ち出して有理数か無理数かを基準にして考えても何の意味もない。 >>383
>結局実関数 f(x) を直線R上で定義することになる。
無問題。
実関数 f(x) を直線R上で定義し、それが解析関数なら、解析接続でき、一致の定理が適用でき、リーマン球面上の解析関数として一意である
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A
解析接続
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%87%B4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
一致の定理
(抜粋)
一致の定理(いっちのていり、英: Identity theorem)は、複素解析において、通常は可算点列上で局所的に一致する2つの正則関数が大域的に一致することを主張する定理である。重要な定理であり、解析接続の一意性の証明にはこの定理が必要となる。
この定理には名は冠されていないが、1844年頃、リウヴィルが楕円関数に特殊な形で適用したのが最初であり、直後にコーシーが自分が開発した複素解析の中に取り入れて一般化したものである[1]。
(引用終わり) >>384
支離滅裂かつ意味不明
また、そんな考えじゃ、論文を読むこともできまい？
現実に、ディリクレ関数およびトマエ関数や modefied ruler functionなどは、まっとうな数学としての研究対象である
返答として、それだけ言えば十分だろう >>386
>現実に、ディリクレ関数およびトマエ関数や modefied ruler functionなどは、まっとうな数学としての研究対象である
>返答として、それだけ言えば十分だろう
元々は、実解析の問題で、より一般に直線R上で考える問題である。
返答は、これで十分だろう。 >>387
もともとは、病的な関数を考えているので（下記）、複素解析の外
だが、解析関数を使って、”F(x) ≡0 ”（>>375）の話にちょっと、ふくらみをもたせただけなんだよ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%97%85%E7%9A%84%E3%81%AA_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
病的な (数学)
(抜粋)
病的な関数
「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。
微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、ふたたび至る所で連続であるが至る所微分不可能な関数となるため、そのような病的な関数は少なくとも微分可能な関数と同じだけ存在することが分かる。
実は、ベールのカテゴリー定理により、「ほとんどすべての」連続関数は至る所で微分不可能であるということが示される。
平たく言えば、これは考え得る関数が非常にたくさん存在することが原因である。
大部分は至る所微分不可能であり、描いたり研究したりできる関数は比較的稀で、そのうち興味があったり有用であるものは「行儀が良い」関数でもあることが分かる。
病的な例
・ワイエルシュトラス関数: 至る所連続だが至る所微分不能な実関数の例。
・ディリクレ関数（有理数の集合 Q の指示関数）は、有界だがリーマン可積分でない。
・カントール関数は [0, 1] を [0, 1] の上へ写す単調連続関数だが、ほとんど至るところ微分係数は0である。
(引用終わり)
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1388667288
病的な関数の例は？ dolzarkさん yahoo 2012/6/7
(抜粋)
病的な関数の例は？
名前を知っているのはカントール関数、高木関数、ディリクレの関数、ワイエルシュトラス関数ぐらいですが、このうち前3つはどんな関数でどこが病的なのか理解できます。
でもワイエルシュトラス関数は何をやっているのか全然分かりません。分かりやすく説明できる代物なのかも分かりませんが、分かりやすく説明してくれませんか？
またこれ以外に病的とされる関数はありますか？
(引用終わり) >>388
>元々は、実解析の問題で、より一般に直線R上で考える問題である。
(>>390に書いたが） ”F(x) ≡0 ”（>>375）の話にちょっと、ふくらみをもたせるときに
解析関数という言葉で、膨らませた関数に剛性を持たせると同時に、微分可能性の縛りも入れた
それだけのことよ。病的な関数の対比として、解析関数がその対極でもあるしね
それだけのことで、定義域を複素数に拡大する話では、元々ないよ（＾＾ >>391
剛性という言葉は図形は形を変えないというニュアンスのれっきとした数学用語として用いられている、
関数のグラフは図形であるけど、関数自体は図形ではないべ。
剛性という言葉の使い方に注意した方がいい。
まあ、何れにしろ、定理 1.7 を否定することは、
ブルバキが書いた数学原論の中の少なくとも測度(積分)や位相の巻の内容を否定することにつながるし、
その測度や位相の巻はよく出来ている内容の巻らしいから、
スレ主が大好きな権威主義という観点から見てもムリ。 >>391
ブルバキのことは以前>>6の知恵袋の数学の学習法とかいうサイトに書かれていたが、何故か消えていた。 病的関数で検索すると、下記がなぜかヒット。貼っておく。なお、文字化けご容赦（＾＾
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/50/1/50_1_1/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/50/1/50_1_1/_pdf
「やさしい」ゼータ関数について 伊吹山 知義, 齋藤 裕 数学 / 50 巻 (1998) 1 号
(抜粋)
この論説の目的は種々のゼータ関数の中には,易しい表示を持つものが通常信じられているより
もずっと多いことを解説することにある。すなわち概均質ベクトル空間のゼータ関数や保型形式の
ゼータ関数の中には,定義のみではその易しさがわからないが,算術的知識を総動員して計算する
と既知の関数になるものが思いがけず多いと言うことを説明したい。前半では数学的な正確さより
も流れに重点を置いて書く.
1) 2種類のゼータ関数
ちょっと冗談めくが,ゼータ関数には2種類あると思うようになった.1つは「やさしいゼータ
関数」もう1つは「むつかしいゼータ関数」である.とくにこれらの定義を正確に与えようという
わけではないが,その気持ちは徐々に説明していきたい.
数列{an}と複素数sに対し,Σ 一1α。η}8なる級数をDirichlet級数という。{an}のとりかたに
よってはこの級数はかなり良い性質をもつ.たとえばζ(S)= n一､n-Sとおくと次がなりたっ.
(1) ζ(S)はRe(S)>1で絶対収束しsさらに全S平面に有理型に解析接続される。
(2) ζ(S)は関数等式を持つ.すなわちξ(S)=π}8/2F(S/2)ζ(S)とおくとξ(1-S)=ξ(s)をみ
たす。
(3) ζ(S)はEuler積をもつ.すなわちζ(S)=llp(1-p-8)一1(pは素数をわたる。)
このζ(S)をRiemannのゼータ関数という.ζ(S)をモデルとして,上の(1),(2),(3)ないしは
その一部をみたすようなDirichlet級数が数多く考えられてきた。それらは適当な形容詞つきで,
ゼータ関数ないしはL関数の名称で呼ばれる.ここで{an}は当然何らかの算術的に意味のある良
い定義がなされているわけであるが,これは別にan自身が非常に具体的な公式によって記述でき
るということを意味するわけではない.とりあえずanのやさしい具体的な公式があるときに,漠
然と「やさしいゼータ関数」と呼ぶことにしよう。この観点から言えば,Riemannのゼータ関数は
やさしいゼータの典型である.
(引用終わり) >>393
>剛性という言葉は図形は形を変えないというニュアンスのれっきとした数学用語として用いられている、
いま、数学 剛性 で検索すると、冒頭に下記がヒットするよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B9%E3%83%88%E3%82%A6%E3%81%AE%E5%89%9B%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
モストウの剛性定理
(抜粋)
数学において、モストウの剛性定理(Mostow's rigidity theorem)、あるいは強剛性定理(strong rigidity theorem)、モストウ・パラサードの剛性定理(Mostow?Prasad rigidity theorem)は、
次元が 3 以上の有限体積の双曲多様体は、その基本群により決定され、従って一意となるという定理である。
定理は閉多様体に対して Mostow (1968) で証明され、3次元の有限体積の双曲多様体に対しては Marden (1974) で、少くとも次元が 3 以上である多様体に対しては Prasad (1973) で拡張された。Gromov (1981) は、グロモフノルム（英語版）(Gromov norm)を使い、別な証明を与えた。
Weil (1960, 1962) は、密接に関連する定理を証明した。特に、この定理は少くとも次元 3以上の双曲空間のアイソトピック群の余コンパクト離散群は、非自明な変形を持たないことを意味する。
モストウの剛性定理は ( n > 2 に対し) 有限体積を持つ双曲 n-次元多様体の変形空間が、一点であることを示している。
また、種数が g > 1 である双曲曲面に対して、次元 6g ? 6 のモジュライ空間が存在し、（微分同相を同一視した）定曲率な計量をパラメトライズする。
（このことはタイヒミューラー理論（英語版）(Teichmuller theory)において重要な事実である。）
3次元では、双曲デーン手術（英語版）(hyperbolic Dehn surgery)定理と呼ばれるウィリアム・サーストンの「非剛性」定理が存在する。
この定理は、同相写像の型が許される限りの有限体積の多様体上の双曲構造を変形することから帰結する。加えて、「無限」体積の多様体上の双曲構造の変形空間の豊かな理論も存在する。
(引用終わり) >>393
>まあ、何れにしろ、定理 1.7 を否定することは、
>ブルバキが書いた数学原論の中の少なくとも測度(積分)や位相の巻の内容を否定することにつながるし、
おっちゃんの勘違いやろ（＾＾ そもそも、おっちゃん、元のPDF読んだか？
（>>178より 文字化けと誤記はご容赦。読みにくいだろうが、そう思ったら右のURLのPDFを嫁め。（＾＾ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明）
あのアスキーコピペだけで、内容を理解するのはムリ！（＾＾ >>396
他にも剛性定理と呼ばれる定理はあるんだが。
スレ主に分かり易いのはコーシーの剛性定理だろう。
角度を自由に変えられるという条件の下で、
凸多面体は形を変えないという結論の定理になる。
>>397-398
私自身は数学原論を直接読んだことはないが、
以前>>6のサイトでは妙に詳しく数学原論の位相や測度(積分)の巻について
書いてあったようだったから、多分本当なんだろう。
関数解析はフランスでも発達したしな。
他にも、代数や可換代数の巻は書けてはいるらしい。このことは他の人もよくいっている。
集合の巻はポンコツ。 >>399
>スレ主に分かり易いのはコーシーの剛性定理だろう。
おっちゃん、19世紀の人間かい？
ところで、下記にen.wikipediaにいろいろあるが
コーシーは、７番目”7.Cauchy's theorem on geometry of convex polytopes states that a convex polytope is uniquely determined by the geometry of its faces and combinatorial adjacency rules.”
やね
で、１番目と２番目見えるか？（＾＾
”1.Harmonic functions ・・・.”
”2.Holomorphic functions ・・・.”
１番目、２番目とも、１変数解析函数からみよ（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Rigidity_(mathematics)
Rigidity (mathematics)
(抜粋)
In mathematics, a rigid collection C of mathematical objects (for instance sets or functions) is one in which every c ∈ C is uniquely determined by less information about c than one would expect.
The above statement does not define a mathematical property. Instead, it describes in what sense the adjective rigid is typically used in mathematics, by mathematicians.
Some examples include:
1.Harmonic functions on the unit disk are rigid in the sense that they are uniquely determined by their boundary values.
2.Holomorphic functions are determined by the set of all derivatives at a single point.
A smooth function from the real line to the complex plane is not, in general, determined by all its derivatives at a single point, but it is if we require additionally that it be possible to extend the function to one on a neighbourhood of the real line in the complex plane. The Schwarz lemma is an example of such a rigidity theorem.
つづく >>401 つづき
3.By the fundamental theorem of algebra, polynomials in C are rigid in the sense that any polynomial is completely determined by its values on any infinite set, say N, or the unit disk. By the previous example, a polynomial is also determined within the set of holomorphic functions by the finite set of its non-zero derivatives at any single point.
4.Linear maps L(X, Y) between vector spaces X, Y are rigid in the sense that any L ∈ L(X, Y) is completely determined by its values on any set of basis vectors of X.
5.Mostow's rigidity theorem, which states that the geometric structure of negatively curved manifolds is determined by their topological structure.
6.A well-ordered set is rigid in the sense that the only (order-preserving) automorphism on it is the identity function. Consequently, an isomorphism between two given well-ordered sets will be unique.
7.Cauchy's theorem on geometry of convex polytopes states that a convex polytope is uniquely determined by the geometry of its faces and combinatorial adjacency rules.
8.Alexandrov's uniqueness theorem states that a convex polyhedron in three dimensions is uniquely determined by the metric space of geodesics on its surface.
See also
Uniqueness theorem
Structural rigidity, a mathematical theory describing the degrees of freedom of ensembles of rigid physical objects connected together by flexible hinges.
This article incorporates material from rigid on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
(引用終り)
つづく >>402 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function
Harmonic function
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E9%96%A2%E6%95%B0
調和関数
(抜粋)
数学における調和関数（ちょうわかんすう、英: harmonic function）は、ラプラス方程式を満足する二回連続的微分可能な関数のことをいう。
調和関数に関する重要な問題はディリクレ問題である。ディリクレ問題の解決方法にはいくつかあるが、その中でも重要な一般的方法はディリクレの原理である。
20世紀には、ウィリアム・ホッジ（英語版）、ジョルジュ・ド・ラーム（英語版）、小平邦彦らが調和積分論の発展の中心的な役割を果たした。
性質
複素関数と2次元調和関数
複素数 z = x + iy (x, y ∈ R) を変数とする複素 1 変数複素関数 f?(z) について、これを実 2 変数の関数として書き直すことができる。
実 2 変数複素関数 w(x, y) = f(z) を、実部と虚部に分解すると w(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) (u, v ∈ R), 実部と虚部に対応する実 2 変数の実関数として u(x, y) と v(x, y) が得られる。このとき、w が複素微分可能であれば u(x, y), v(x, y) は実 2 変数の調和関数となる。 コーシー・リーマンの関係式より、2 つの関数 u(x, y), v(x, y) は
（略）
を満たすが、これをベクトル解析の言葉で書き直せば grad u(x, y) = (∂y, －∂x)Tv(x, y) となり、この湧き出し div?grad u(x, y) = Δ u(x, y) はゼロなので、関数 u(x, y) は 2 次元のラプラス方程式を満たす調和関数であることが分かる。同様の方法でまた v(x, y) も調和関数であることが導かれる。すなわち、正則な複素関数の実部と虚部は実調和関数となる。
逆に、2 つの実調和関数がコーシー・リーマンの関係式を満たすとき、それらは共役であるといい、共役な実調和関数の対u(x, y), v(x, y) が与えられると、z = x + iy を変数とする正則関数f(z) = u(x, y) + iv(x, y) が得られる。単連結領域上の実調和関数は共役調和関数を持つ（すなわち正則関数の実部あるいは虚部である）。
(引用終り)
つづく >>403 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_function
Holomorphic function
(抜粋)
For Zariski's theory of holomorphic functions on an algebraic variety, see formal holomorphic function.
In mathematics, a holomorphic function is a complex-valued function of one or more complex variables that is complex differentiable in a neighborhood of every point in its domain.
The existence of a complex derivative in a neighborhood is a very strong condition, for it implies that any holomorphic function is actually infinitely differentiable and equal to its own Taylor series (analytic). Holomorphic functions are the central objects of study in complex analysis.
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0
正則関数
複素解析において、正則関数（せいそくかんすう、holomorphic function）とは、ガウス平面あるいはリーマン面上のある領域の全ての点で微分可能であるような複素変数複素数値の関数のことである。
(引用終り)
つづく >>379
不勉強のアホバカであるにもかかわらず数学板に嘘偽りを撒き散らした罪は重いと思わないのか？
少しでも反省の念があるならさっさと数学板から消え去ったらどうだ？ >>404 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Rigidity
Rigidity
(抜粋)
Mathematics and physics
・Stiffness, the property of a solid body to resist deformation, which is sometimes referred to as rigidity
・Structural rigidity, a mathematical theory of the stiffness of ensembles of rigid objects connected by hinges
・Rigidity (electromagnetism), the resistance of a charged particle to deflection by a magnetic field
・Rigidity (mathematics), a property of a collection of mathematical objects (for instance sets or functions)
・Rigid body, in physics, a simplification of the concept of an object to allow for modelling
・Rigid transformation, in mathematics, a rigid transformation preserves distances between every pair of points
Other uses
・Real rigidity, and nominal rigidity, the resistance of prices and wages to marketchanges in macroeconomics
・Ridgid, a brand of tools
(引用終り)
以上 >>405
べつに～（＾＾
あんたには、永遠に時枝は分らないのかもな・・・
まあ、確率過程論かランダム現象の数理の講義の最初の３回か、同テキストの最初の10ページほどを読めば、時枝不成立は分る
普通それで分るんだが・・、数学セミナーは、初心者も読むし・・
まあ、日本の学術風土として、ああいう有名数学者のバカ記事には、いちゃもんを付けないマイルドな（世間的には”おとな”とか）空気が日本にはある
だから、おれみたいな無頼が文句付けたわけよ
間違っているのは、あんたと時枝だよ
分ったら消えな（＾＾ >>407
自分で嘘撒き散らすのは気にならないけど
他人にホモネタ／スカトロネタ／エロネタなど下ネタAA撒き散らされたときは、ご立腹だったよな？
抵抗の仕方がまるでイジメられっ子のそれだった記憶がある
去年の夏頃だったか >>399
>私自身は数学原論を直接読んだことはないが、
なんだ、勘違いと思ったら・・、勘違い以前
妄想だったんだね～（＾＾ >>408
>自分で嘘撒き散らすのは気にならないけど
>他人にホモネタ／スカトロネタ／エロネタなど下ネタAA撒き散らされたときは、ご立腹だったよな？
それほど、”ご立腹”ではなかったが、困ったな～と
まあ、所詮２CH（いま5CHだが）
アラシも”ありあり”だが、あれには参ったよ
まだ、￥さんの野焼きの方がましだと
なだめたり、すかしたり、大変だったのは確かだな
まあ、￥さんの野焼きなら放置だが
あれは、放置だけでは、ちょっとまずいと思ったりしたね（＾＾ >>408
マジレスしておくと
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）。雑誌の発売が、201510月
２．当時→今年（２年経過）：１年→３年、２年→４年、３年→M1年、４年→M2年
３．で、大学では自然と、時枝不成立は分る。講義（確率過程論かランダム現象の数理）を受けたり、教員（院生含む）に教えて貰ったり、先輩に教わったり
４．だから、2016年の前半くらいが、一番論敵が多かった。だが、どんどん減った。
５．いま、理解できずに残っているのは、あんたくらい。（ピエロがどうなったか知らないが、自得したのか撤退したのか・・）
あんたも、もし大学に居れば、「ぷふ」さんみたいな人に、もっと丁寧に教えて貰えたろうに >>377 訂正の訂正の訂正
>>368の訂正
ｍ→∞を考えると、まずqは任意のQの元まで拡大される ＊）
↓
ｍ→∞を考えると、まずp/qは任意のQの元まで拡大される ＊）
↓
ｍ→∞を考えると、まずf(x) = 1/w(q) の場合のp/qは、任意のQの元まで拡大される ＊）
↓
ｍ→∞を考えると、まずf(x) = 1/w(q) の場合のp/qは、区間[0, 1]の任意のQの元まで拡大される ＊）
かな？（＾＾ （>>366で、”簡単のために、区間[0, 1]を考える”と書いたことを忘れていた。まあ、”（同じことを、区間[n, n+1] (ｎは整数)で考えれば、実数R全体に展開できる）”と書いておいたから、全くの間違いではないが） >>407
自分を不勉強のアホバカと認めたと言うことは、自分の発言が間違っていた
ことに気付いたからじゃないのか？ だったらお前の主張である「不成立」
は間違いじゃん。言ってることが矛盾してるぞ？ それとも何？ 不勉強のアホバカというのは批判をかわすための上辺の言葉で、
本心からそう思ってるわけじゃないと？ >>413-414
前にも似たことを書いたが
一般の世の中で、人の評価とは難しいもので、相対評価が基本なのよ
不勉強のアホバカは、プロ数学者比とか、世の秀才天才比だ
別に時枝程度は、アホバカでも不成立は分る
あんなのは、初歩の初歩だよ そもそも、数学セミナーをなんと心得ているのかね？
基本、高校数学に毛の生えた程度だろ？
そういう読者層に、ガセ記事はいかんよな、時枝先生・・ 毛の生えた程度といっても、理系の数学だから、文系比ではかなり難しいだろうがね ＞あんなのは、初歩の初歩だよ
と、εδがわからないアホバカが申しております 「”εδ”コンプレックス」か？（＾＾
数学の本質は、”εδ”を超えたところにあるよ（＾＾
ニュートン、ライプニッツ、オイラー、フェルマー、ラグランジュ、ガウス、アーベル、ガロア、ヤコビ、リーマン、デデキント、カントール・・・などなど
みんな、”εδ”を超えたところにいる（”εδ”を使わずに数学を作ってきたってことよ（＾＾ ） >>418
マジレスすれば、あなたは時枝論争の２年間、なんの進歩も無かったってことだ（＾＾
悪いことは言わん
確率過程論かランダム現象の数理の本を一冊、買っても借りても良いが、一か月このスレを離れて、最初の１０ページを読んでみな
そうすれば、時枝が成立しないことが、自得できるだろう
（数学科の学生は４年間で自然とそれができる）
専門書の最初の１０ページがなかなか読めない
最初の１～２ページは導入部で、簡単だが、すぐ定義から定理に入っていく
おそらく、多くの人は定義でつまづく。定義が分からないと定理が分からない。
が、実は、定理が分からないと定義が分からない（定義の意味するところが分からない）
定理と定義が同時に分かる人だけが、最初から順にページを追って数学書が読める
しかし、そういう人は、天才とか超秀才と言われる人たちだ
凡人は、定義と定理を行ったり来たりを繰り返しながら、徐々に理解を深める
確率過程論かランダム現象の数理の本の最初の１０ページをそうやって読んでみな
分からなかったら、このスレで質問しろ
最初の１０ページくらいなら、おれが解説してやるから
悪いことは言わん
このスレを一か月離れて、専門書を勉強してみな
心からの忠告だ >>416
>そもそも、数学セミナーをなんと心得ているのかね？
>基本、高校数学に毛の生えた程度だろ？
おっちゃん的には～、決して高校数学に毛の生えた程度とはいえないと思うね。 >>421
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>>そもそも、数学セミナーをなんと心得ているのかね？
>>基本、高校数学に毛の生えた程度だろ？
>おっちゃん的には～、決して高校数学に毛の生えた程度とはいえないと思うね。
まあな。だが、高校時代から、「数学セミナー」誌があることは知っていた
大学１年のときに、大学の図書にある過去の「数学セミナー」誌の何年分かを読んだ
最近でも、たまに買うよ
だから、大学１年から社会人まで、読者層は幅広いだろう
ただ、ターゲットは数学科１～４年レベルかな？
あと、非数学科の理系大学の学生および社会人だろうな
連載記事でも、大学１年レベルでも読めるように
基礎から話を始めている場合が多いね
そういうレベルの雑誌に
時枝記事の書き方はまずい
実際、誤解して
２年経っても、それ（誤解していること）が理解できない人がいる >>422
そもそも、数セミに読者層のターゲットは存在しないと思われる。
小学生や幼稚園児以下のお子ちゃまは除いて考えるとして、
もし読者層のターゲットの判断基準があるとすれば、せいぜい数学が好きか嫌いか、という位だろう。
文系も理系も関係なく、数学に興味がある人なら、中学から大学教授までの幅広い層の人が読んでいるよ。
以前の数セミでは、大学教授が、エレガントな解答を求むに解答を送っていて、その正解者の中の1人として名前が載っているのも見たことがある。
エレガントな解答を求むの出題者の中には問題作りがウマいといわれていた人もいた。
そういったようなことから、数セミの読者層のターゲットの判断基準のレベルというのは殆ど存在しないといっていい。
数セミは、読者自身が自らのレベルにあった部分の記事を選んで読むような構成の雑誌になっている。
読者自身が、数セミの中から、自らのレベルにあった部分の記事を選んで読むようになっている。
元々がそのような構成になっている雑誌だから、結果として理解出来ないことになるのは、読者の記事の選び方が悪かったということになる。 >>423
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃんらしいな～（＾＾
下記にあるように、”4月号においては、初学者（大学1年生など）向けの特集が組まれることもある”とあるけど、ここ最近は（記憶の限りでは）
毎年、4月号は、初学者（大学1年生など）向けの特集だよ。それも、数学科大学1年生をターゲットにしていることは明白だ（内容がそういう内容だから）
なお、”フィールズ賞受賞者の講演の解説”ではなく、フィールズ賞受賞者の紹介（その業績も）だな
フィールズ賞受賞者が、複数いるから、２ヶ月から３ヶ月に及ぶときもある
あと、長年の懸案問題が解かれたときも、特集か単独かいろいろあるが、記事が出る
フェルマー予想とかポアンカレとか
で、灘、開成、その他の数オリ出場者なら読めるかも知れないが、普通の中学や高校生では、読むのは無理だろう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%BB%E3%83%9F%E3%83%8A%E3%83%BC
数学セミナー
(抜粋)
数学セミナー（すうがくセミナー）とは、日本評論社から出版される数学雑誌。月刊誌である。略称は数セミ。1962年4月創刊。
主な内容
誌面の前半は特集記事であり、後半に連載記事が掲載される。
特集記事
1つのテーマ（微分や線形代数、トポロジーなど）に沿った著名な数学者達による記事、フィールズ賞受賞者の講演の解説、国際数学者会議の模様などが掲載される。
特集のテーマは毎号変わるが、「数学ライブ」（主に7月号に掲載）のように定期的に取り上げられるテーマもある。
4月号においては、初学者（大学1年生など）向けの特集が組まれることもある。
(引用終り) >>426 追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%91%E5%AD%A6%E9%9B%91%E8%AA%8C
科学雑誌
(抜粋)
科学雑誌（かがくざっし、英語: science magazine）とは、一般の科学に対する興味（好奇心）を満たすことを目的とした雑誌のジャンルである。
3.2 数学
・数理科学（サイエンス社）
・数学セミナー（日本評論社）
・理系への数学（現代数学社）
・大学への数学（東京出版）
(引用終り)
http://www.gensu.co.jp/
現代数学社
http://www.gensu.co.jp/gekkan_print.cgi?date=201801
現代数学 2018年1月号 定価1,000円 第51巻第1号通巻613号
(抜粋)
輝数遇数|数学教室訪問／俣野 博： 東京大学大学院 数理科学研究科 河野裕昭・冨永 星
競技数学への道：著者対談／競技数学と学問全般について 野村建斗・数理哲人
新・数学の盲点とその解明 ∂に泣く／合成函数はややこしい？ 井ノ口順一
A Short Lecture Series 関数論／ホモロジーⅠ 中村英樹
しゃべくり線型代数（9） 西郷甲矢人・能美十三
幾何光学の古典的問題 ―幾何光学の古典的問題 一松 信
院試で習う大学数理／ 2018 年東京工業大学大学院 柳沢良則
４次元から見た現代数学／結び目の橋指数 池田和正
ガロア理論から見た現代数学／ Galois コホモロジー群に関するHasse 原理（2） 尾﨑 学
『解析概論』のこころ ―高木貞治との対話 高瀬正仁
オイラーのゼータ関数論／絶対ゼータ関数論の復旧 黒川信重
こぼれ話（3）／ 1 =1 ?? 大森英樹
歴史から見る数学・数学史から見る歴史／アマチュアとしてのギリシャ数学史研究 三浦伸夫
数学の未来史
／深淵からの来迎（55） アーベルとガウス 山下純一
数学の研究をはじめよう／究極の完全数と超完全数（前編） 飯高 茂
数学戯評／杜の都 藤原耕二
ブックガイド 数理哲人
数学Libre ／ラグランジュに学ぶ 松谷茂樹
俺の数学／東北プロボノ日記（26）? 青森県へ進撃 数理哲人
Dr.Hongo の数理科学ゼミ
精神の帰郷／ y 軸は必要か おぎわらゆうへい
(引用終り) >>427 追加の追加
いま、大書店で見かける数学雑誌は４つくらいか
・数理科学（サイエンス社）
・数学セミナー（日本評論社）
・理系への数学（現代数学社）
・大学への数学（東京出版）
このうち、「大学への数学（東京出版）」が、高校生向けだ
「数理科学（サイエンス社）」が、数学と物理の間を狙った、結構専門的な内容だ。想定読者は、下が大学３年から上はそれこそ研究者クラスだろう
「理系への数学（現代数学社）」は、いま「現代数学」に名前が変わった・・・、というか名前が戻ったような気がするが・・・（＾＾
数学セミナーと同じような読者層だが、もう少し硬派かな？ ”初学者（大学1年生など）向けの特集”なんかやらないで、ガンガン打つ連載ものが売りかもしれない・・・（あまりフォローできていないが） あれ、検索でこんなのがヒット～（＾＾
”数学の研究をはじめよう／高校生の定義した新しい完全数，その衝撃 前編 飯高 茂”
「高校生の定義した新しい完全数，その衝撃」かぁ～
おっちゃんみたいな高校生かな～（＾＾
http://www.gensu.co.jp/gekkan_print.cgi?date=201705
現代数学 2017年5月号 定価1,000円 第50巻第5号通巻605号
輝数遇数-数学教室訪問／千葉逸人： 九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所 河野裕昭・内村直之
しゃべくり線型代数（2） 西郷甲矢人・能美十三
競技数学への道／円と接線 野村建斗・数理哲人
リー群の芽生え／抽象ルート系 井ノ口順一
Responce15 ／ジョルダンの標準形とは？ 中村英樹
ガロア理論から見た現代数学／類体塔の話（1） 尾﨑 学
４次元から見た現代数学／ 3 次方程式のガロア群 池田和正
院試で習う大学数理／ 2017 年度 名古屋大学多元数理科学 柳沢良則
フェルマを読む／シソイド、コンコイド、円積線に接線を引く 高瀬正仁
オイラーのゼータ関数論／オイラー積への入門 黒川信重
微積分の代数／非退化null 曲線の怪 大森英樹
歴史から見る数学 数学史から見る歴史／多角形数の意外な影響 ニコマコスからフェルマまで 三浦伸夫
数学の未来史／深淵からの来迎（48） アーベルの飛翔 山下純一
数学の研究をはじめよう／高校生の定義した新しい完全数，その衝撃 前編 飯高 茂
数学戯評／理想と現実，現実と理想 侘助K.B.
数学Libre ／番外編 ：「 ものづくりの数学のすすめ」のすすめ 松谷茂樹
ブックガイド 高瀬正仁
俺の数学／おきなわ学びのネットワーク（2） 数理哲人
Dr.Hongo の数理科学ゼミ
精神の帰郷／アーベル方程式は変遷する おぎわらゆうへい >>426
おっちゃんです。
>で、灘、開成、その他の数オリ出場者なら読めるかも知れないが、普通の中学や高校生では、読むのは無理だろう
普通の中高生でも、数セミの内容を見て大学数学の雰囲気をつかむことは出来る。
数セミを見れば、普通の中高生にも、大学数学が高校数学とは異なることが雰囲気で伝わって来る筈である。
私は公立の高校出身だが、高校生の時点からそのようなことをして、大学数学と高校数学が全く違うことが分かっていた。
数セミはテキストではなく、読者が如何に雑誌の記事を利用するかという意識を持って読む雑誌である。 >>431
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>数セミはテキストではなく、読者が如何に雑誌の記事を利用するかという意識を持って読む雑誌である。
レスおつ
まあ、既に記したように、数セミは、”初学者（大学1年生など）向けの特集が組まれる”雑誌でね
だから、４月の大学1年生が初学者という定義なわけ
高校生中学生は、初学者未満
でな、おれは、多く大学1年から２年レベルが多くいる読者層に対して、時枝みたいな記事の書き方はいかんだろうと
言っているわけだ
あの記事の書き方では、可算無限数列のしっぽの同値類を使って、ランダム数列のどこかが、確率99/100で的中できることが、まっとうな数学であるかのように読める
だが、そうではない。それは、確率過程論かランダム現象の数理の本の最初の１０ページを読めばすぐ分ることだが
数学科生なら、３年ないし４年で確率過程論かランダム現象の数理を学ぶだろうが
そうでない読者もいる。実際、２年たっても誤解している人がいる
それはまずいだろうと >>432
まあ、このスレの以前の様子からも分かるように、
結果として時枝記事の書き方は読者に誤解を招く書き方になっていたけど、
時枝記事の書き方の悪さについては、時枝本人に直接苦情を出したらどうだ。
数セミは様々な内容の数学的記事が寄せ集められた雑誌であることを踏まえて考えると、
その記事の悪さの責任は、主に記事を直接書いた本人に責任があるだろう。
で、誰が数セミの読者層になるのかは全く決まっていない。
大学1年から2年レベルの読者が多くいるかどうかも分からない。
数セミの記事から、大学3年以上のレベルの人向けのマトモな本が出ることもしばしばある。 >>432
>数学科生なら、３年ないし４年で確率過程論かランダム現象の数理を学ぶだろうが
>そうでない読者もいる。実際、２年たっても誤解している人がいる
普通は3、4年でルベーグ積分を終わらせて、それが終わり次第確率論をする。
そういう流れになる。 >>432
注意事項としていっておくけど、数セミの出版社の日本評論社に迷惑をかけるから、
もし本当に時枝に苦情を出したいなら、日本評論社を通して苦情を出すのではなく、
時枝のEメールのアドレスに直接苦情を出すこと。 >>432
>>435の一番下の行は
>時枝のEメールのアドレス(時枝が使っているEメール)を通して時枝本人に直接苦情を出すこと。
に変更。 >>303 関連
時枝関連も、学部４年の卒業研究のテーマにして、まとめPDFを作って公開してくれると助かるけどね（＾＾
素材は、下記にある
要は、Hat Problemsとか囚人の帽子とか関連でもある。選択公理からみ
( https://www.youtube.com/watch?v=7i8Gdm3UYGQ 無限人の帽子と囚人パズル（選択公理） mathfujinication 2012/07/24 ）
２年たっても時枝記事（数学セミナー at 201511号）が、ガセと分らんやつがいる。これ、５ｃｈのバカ板じゃ説明しきれないんだ
迷える子羊を助けると思って、まとめPDFを卒業研究にして公開してもらえるとありがたい！（＾＾
＜ネタは下記リンク（なお、最新の文献も検索すればヒットするだろう）＞
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/45-49
＜参考＞(Sergiu Hart氏のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf? 関連)
”1Source unknown. I heard it from Benjy Weiss, who heard it
from ..., who heard it from ... . For a related problem, see
http://xorshammer.com/2008/08/23/set-theory-and-weather-prediction/ ”
（上記URLは、関数数当てパズルで
”For some interesting comments on this puzzle, see Greg Muller’s blog post on it here and Chris Hardin and Alan Taylor’s paper An Introduction to Infinite Hat Problems.”とある）
関数数当てパズルの元のAlan D. Taylor さんの２つの論文とそのPDFリンク
１）
http://www.cs.umd.edu/~gasarch/
William Gasarch Professor of Computer Science Affiliate of Mathematics University of Maryland at College Park
http://www.cs.umd.edu/~gasarch/TOPICS/hats/hats.html
Papers on Hat Problems I want to read by William Gasarch
21. An Introduction to Infinite Hat Problems by Christopher Hardin and Alan Taylor. HAT GAME- infinite number of people, need to get all but a finite number of them right. Needs AC. Infinite Hats and AC
つづく >>437 つづき
http://www.cs.umd.edu/~gasarch/TOPICS/hats/infinite-hats-and-ac.pdf
An Introduction to Infinite Hat Problems Chris Hardin and Alan Taylor THE MATHEMATICAL INTELLIGENCER 2008 Springer Science+Business Media, Inc
２）
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.365.7027&;rank=2
A peculiar connection between the Axiom of Choice and predicting the future THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA Monthly February 2008
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.365.7027&;rep=rep1&type=pdf
３）Taylorさん
https://en.wikipedia.org/wiki/Alan_D._Taylor
Alan D. Taylor
Alan Dana Taylor (born October 27, 1947) is an American mathematician who, with Steven Brams, solved the problem of envy-free cake-cutting for an arbitrary number of people with the Brams?Taylor procedure.
Taylor received his Ph.D. in 1975 from Dartmouth College.[2]
He currently is the Marie Louise Bailey professor of mathematics at Union College, in Schenectady, New York.
以上
つづく >>438 つづき
（これはピエロのPDF紹介でGJ！（＾＾ ）
https://pdfs.semanticscholar.org/8514/a9f8b30546ea81739b9409132673276713d3.pdf
The Mathematics of Coordinated Inference: A Study of Generalized Hat Problems (Developments in Mathematics) 2013 edition
by Hardin, Christopher S., Taylor, Alan D. (2013) Hardcover
Springer Verlag
上記の引用文献で
http://www.jointmathematicsmeetings.org/proc/2009-137-09/S0002-9939-09-09877-3/S0002-9939-09-09877-3.pdf
[HT09] Christopher S. Hardin and Alan D. Taylor. Limit-like predictability for discontinuous functions. Proceedings of the AMS, 137:3123-3128, 2009.
つづく >>439 つづき
（繰り返しだが）https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/51
https://xorshammer.com/2008/08/23/set-theory-and-weather-prediction/
SET THEORY AND WEATHER PREDICTION XOR’S HAMMER Some things in mathematical logic that I find interesting WRITTEN BY MKOCONNOR Blog at WordPress.com. AUGUST 23, 2008
＜時枝全体は上記と重複するが下記ご参照＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/11-68
以上 >>433-436
あほか
２年以上経って、そんなことしか言えないのか？
雑誌に記事を投稿した以上、その記事について、公開で議論することに、なんの問題があるのか？
そもそも、その寝ぼけた話は、２年前にいうことだろうさ
雑誌に投稿された記事を公開で議論する
この場のその議論そのものに、価値があるんだよ！（＾＾ >>441
>あほか
>２年以上経って、そんなことしか言えないのか？
時枝記事の確率の問題は、内容的には中学や高校で習う程度のレベルの確率の問題になる。
当初は、記事の内容を正確に把握して理解するのに時間がかかったのは否定出来ないだろ。 >>441
それで、時枝記事では、この確率の問題を述べながら、
ヴィタリ被覆の話だったかと関連させた話を述べている。
確かそういう内容だったろ。 >>441
>>444の訂正：ヴィタリ被覆 → ヴィタリ集合 >>438 補足
pdf：A peculiar connection between the Axiom of Choice and predicting the future THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA Monthly February 2008
については、当時哲学者がいろいろ議論したらしい（下記のpdfご参照）
だが、数学者の投稿は見つからなかった！！（＾＾
そして、過去スレ47にも書いたが、The Mathematics of Coordinated Inference: A Study of Generalized Hat Problems (Developments in Mathematics) 2013 edition by Hardin, Christopher S., Taylor, Alan D. (2013) （>>439）
では、上記の未来予測可能とか、任意の関数の値が予測可能とする論は、全部捨てられている
その話も、ちょろっと、まとめPDFに入れて貰えると面白いと思うよ
で、時枝も同じだよ
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-58507-9_10
Philosophical Aspects of an Alleged Connection Between the Axiom of Choice and Predicting the Future, Pawel Pawlowski First Online: 06 September 2017
Abstract
In 2008 Christopher Hardin and Alan Taylor published an article titled
“Peculiar connection between the axiom of choice and predicting the future” in which they claim that if some system can be described as a function from a set of some instants of time to some set of states,
then there is a way to predict the next value of the function based on its previous input. Using their so-called μμ -strategy one can randomly choose an instant t and the probability that the strategy is correct at t
(i.e. that the output for a strategy for input t is exactly the same as the value of the function) equals 1.
Mathematical aspects of this article are sound, but the background story about the correlation between theorems and philosophical aspects of predicting the future faces certain problems. The goal of my paper is to bring them up.
つづく >>446 つづき
[PDF]A Proof of Induction?
https://quod.lib.umich.edu/cgi/p/pod/dod-idx/proof-of-induction.pdf?c=phimp;idno=3521354.0007.002
philosophers’imprint
A George 著 Department of Philosophy Amherst College- ?2007 - ?被引用数: 10 - ?関連記事
“Hardin-Taylor rule”, I shall call it ? that will, for any arbitrarily chosen function f, correctly predict most values of f on the basis of its past be- havior; that is, for most t the rule will correctly predict f (t) on the basis of f 's values at all s < t.
I shall first sketch the proof's central idea and then turn to assess the result's philosophical significance. We begin by well-ordering R, the set of all functions from R to. R. (Here the Axiom of Choice must be employed, a fact to which we shall return.) That is ...
[PDF]Justifying Induction Mathematically: Strategies and Functions
http://media.philosophy.ox.ac.uk/assets/pdf_file/0003/36651/LogiqueetAnalyseFinal08.pdf
A PASEAU 著 Logique & Analyse 203 (2008), 263?269 - ?被引用数: 2 - ?関連記事
2008/08/27 - page 265 i i i i i i i i. JUSTIFYING INDUCTION MATHEMATICALLY: STRATEGIES AND FUNCTIONS. 265. These objections are answerable to a degree.
The use of the Axiom of. Choice is indeed essential; but these days the ... Hardin-Taylor proof as providing a reliable present-predicting strategy. Once it is appreciated, the Hardin-Taylor proof can no longer plausibly be called a predictive strategy. Because it is so nonconstructive, it fails to yield a strat- egy.
以上 >>443-445
おっちゃん、時枝の元記事をまともに読まずに、言うからな～（＾＾
話にならんよ～（＾＾ >>448
数セミを買ったことはないし、最近読まないモ～ン。 >>442
はいはい
Sergiu Hart氏のPDFで、”1Source unknown. I heard it from Benjy Weiss, who heard it
from ..., who heard it from ... . For a related problem, see
http://xorshammer.com/2008/08/23/set-theory-and-weather-prediction/ ”
を辿って行くと
一つの根拠が、Chris Hardin and Alan Taylor’s paperに行き着く
だが、これが間違いだったと、彼らが自分達が後の論文で訂正しているよ（参考>>446-447）
それは、過去すれ47に書いた >>449
だろ？
だから、言ってることが、あさってなんだ >>451
内容的には中高レベルの確率の問題になるような、
時枝記事で述べられている確率の問題が分からないおめ～の方が明後日だよw >>450 補足
>一つの根拠が、Chris Hardin and Alan Taylor’s paperに行き着く
>だが、これが間違いだったと、彼らが自分達が後の論文で訂正しているよ（参考>>446-447）
>それは、過去すれ47に書いた
これだな
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/171
(抜粋)
スレ46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/483-484
「Taylor氏らは、[HT08b] の結論を否定している。（[HT09] および（成書）The Mathematics of Coordinated Inference: A Study of Generalized Hat Problems ）」
つまりは、”Corollary 3.4 does tell us that the μ-strategy will be correct at t with probability 1.”（>>148）は、「数学的に無価値」でしたということですよ（＾＾
(引用終り) >>454
スレ主が以前ここに時枝記事をコピペした。(このコピペのことを忘れたとはいうべきではない)
それを読むと、時枝記事には曖昧に書かれている部分があって、その部分を理解して把握することに時間がかかった。
時枝の確率の問題についても同じ状況だった。このスレではそのような状況だった。
やがて、正確に時枝記事を理解し把握した後は、標本空間が有限集合であるような確率の問題であることが分かった。
標本空間が有限集合であるような確率の問題は、高校どころか中学の確率の問題だ。 実数の連続性が分からない人って論理だけでは創られ
ていない数学を論理だけで理解しているのだろうか。
距離空間の完備性が分からない人にＲの連続性と本質
的に同じことを説明したら理解されたんだけど中間値
の定理や最大値の定理を何も見ないで証明できるくら
いの人が実数の連続性が分からないって >>457
いや今それで悩んでいるのです
実数の完備のみならず一般の代数系での完備となると、なかなか理解がおよびません
可換な半群 L が演算子ρのもとで完備な順序集合のとき二元 a b ∈L の上限を aρb とすれば L はρについて半束になる…うーん >>455
おっちゃんな、スレ主だけど
原文をきちんと読むべきと思うよ
あれは、雑誌をスキャナーで読んで、OCRかけて、そのテキストをコピーしたが、文字化けや誤読・誤記が沢山あってね
それは、通常のOCRは、数学の上付き下付きの添え字は処理できないし
数学記号（ギリシャ文字とか数学記号）もあまりOCRでは読まない
なので、どうしても、記事をアスキーに落とすのは、限界があるんだ
ピエロがえらいのは、かれはきちんと原文を手に入れていたことだな
それは称賛に値する >>455
でな、おっちゃん
本来、時枝の対象は可算無限個の箱の数当てだ
だから、対象は、有限でなく、R^N (可算無限次元の実ベクトル空間)
でな、R^N (R：実数、N：自然数で、可算無限次元の実ベクトル空間) のしっぽの同値類を考えて、決定番号を考える
決定番号は、自然数N全体だから、これも可算無限
この可算無限の大小を考える・・・
分り易く、二人の人A,Bが、ゲームとして、自然数Nの任意の数で、大きな数を入力した方が、勝ちとする
A,B二人の勝率は各1/2だが、ルールとして、賞金は勝者に10億円で、数字は10進キーボードから時間無制限で入力するとして、これ終わらないでしょ（賞金が勝者に10億円なら負けられないから）
つまり、キーボード入力として１秒１数字入力できるとすると、1分で60、１時間で3600、１日で3600ｘ24・・・
で、99999999・・・・・と、相手より一桁でも多く入力できれば、それで大きな数をインプットできるから、いかに長くキーボードを打つかの時間勝負。相手もキーボード打っているから、勝つためには絶対にやめられない
ことほどさように、無限というのは・・、常識では「A,B二人の勝率は各1/2」だが、実は無限の時間を与えたら、無勝負という結論になる（勝負の決着は、宇宙の寿命より長くなる）
時枝は、無限のパラドックスを、十分考えないといけないんだ
その話は、時枝記事中でも、非可測集合のパラドックスとして、ちょっと触れているだろう？
（なお、”非可測集合のパラドックス”は、私見だが本質ではないと思っているのだが）
そこらが理解できないと、時枝記事の意味する無限の奥深さは、理解できないだろうねー
そこらの面白さが、>>437-440のPDFとか関連URLを読むと、よくわかるよ（＾＾
で、時枝は、確率過程論とかランダム現象の理論に反しているという、数理科学の常識も持てよ（＾＾ >>458
>>458
C++さん、どうも。スレ主です。
有理数と無理数の絡み合い
例の>>366 のPDF
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
などを読むと、実に奥深いですね～（＾＾ >>462
>その話は、時枝記事中でも、非可測集合のパラドックスとして、ちょっと触れているだろう？
>（なお、”非可測集合のパラドックス”は、私見だが本質ではないと思っているのだが）
時枝先生の書いている、「ヴィタリ類似だから、即お手つきか」という話ではないように思うということ
（時枝先生の話）
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/21
(抜粋)
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」
(引用終り)
と、時枝先生は書いている。が、頭の悪いスレ主には、意味が良く取れない
１．ヴィタリ類似を経由したからと言って、具体的に計量を計算するまでは、矛盾はおきないでしょ
２．また、話を、選択公理にすり替えているが、ちょっとおかしい
３．決定番号は、自然数Nの範囲だし、測度論に一気に飛んでも、「なに言ってるの？」と感じる
４．だから、どんな空間の計量を問題にしているかを定義せずに話を飛ばすから、「あれあれ？」と
５．要は、「ｈ：無限次元ベクトル空間R^N→N’(決定番号の集合）」で、x,y∈N’で、P（x>y）=1/2 がきちんと計量を定義して言えるのか？
言えないだろうというのが、下記の話だと理解している
つづく >>468 つづき
＜参考＞
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/31
20 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/519-522
519 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 22:27:11.14 ID:f9oaWn8A [4/13]
>>518
X=(X_1,X_2,…)をR値の独立な確率変数とする．
時枝さんのやっていることは
無限列x=(x_1,x_2,…)から定められた方法によって一つの実数f(x)を求める．
無限列x=(x_1,x_2,…）から定められた方法によって一つの自然数g(x)を求める．
P(f(X)=X_{g(X)})=99/100
ということだが，それの証明ってあるかな？
100個中99個だから99/100としか言ってるようにしか見えないけど．
521 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2016/07/03(日) 22:36:32.49 ID:/kjhINs/ [10/15]
>>519
記事のどこが疑問なのか明確にしてもらえますか？
説明不足でよく分からない
522 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 22:40:29.88 ID:f9oaWn8A [5/13]
面倒だから二列で考えると
Y=(X_1,X_3,X_5,…）とZ=(X_2,X_4,X_6,…)独立同分布
実数列x=(x_1,x_2,…)から最大番号を与える関数をh(x)とすると
P(h(Y)>h(Z))=1/2であれば嬉しい．
hが可測関数ならばこの主張は正しいが，hが可測かどうか分からないのでこの部分が非自明
つづく >>469 つづき
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/34
20 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/528-529
528 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:03:57.29 ID:f9oaWn8A [8/13]
おれが問題視してるのはの可測性
正確にかくために確率空間(Ω,F,P)を設定しよう
Y,Zはそれぞれ(Ω,F)から(R,B(R))の可測関数である．
もしhが(R,B(R))から(N,2^N)への可測関数ならば
h(Y),h(Z)はそれぞれ可測関数となって{ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)}∈FとなりP({ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)})=1/2となるけど
hが(R,B(R))から(N,2^N)への可測関数とは正直思えない
529 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:04:46.18 ID:f9oaWn8A [9/13]
>>528
自己レス
(R,B(R))ではなくすべて(R^N,B(R^N))だな
(引用終り)
つづく >>470 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
(抜粋)
ジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。
(引用終り)
＜ついでに、無限次元ベクトル空間の話＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
(抜粋)
ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。
ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。
(引用終り)
つづく >>471 つづき
http://proofcafe.org/k27c8/math/math/liner_algebraI/page/abstract_vector_space/
抽象ベクトル空間
(抜粋)
無限次元ベクトル空間！？
ところで、多項式のベクトルでは、
{1,x,x2,x3,・・・}
を基底としていることが分かります。
見れば分かるように、基底が無限個あるのです！！！
抽象ベクトル空間では、無限次元のベクトル空間を考えることがあります。
名前だけ聞くと・・・何だかすごいですね。
無限次元のベクトル空間では、
線形代数学の一般論が成り立たない・・・そんなことが時々あります。
この「無限次元ベクトル空間」を扱う分野のことを「関数解析」というのですが・・・
(引用終り)
つづく >>472 つづき
http://eman-physics.net/quantum/hilbert.html
ヒルベルト空間 知らなくてもいいのだが、知らないと恥ずかしい。 EMANの物理学・量子力学・ヒルベルト空間
(抜粋)
量子力学をやっていると「ヒルベルト空間」なんて言葉によく出くわす。実は学ぶ上でどうしても知っていなければいけないという言葉ではない。なぜならこれは数学用語だからだ。
しかし、知らないというのは立場が弱い。学んだばかりの知識をひけらかす友人たちや、生徒を買い被ったフリをして楽しんでいる教授たちの口から「波動関数とはヒルベルト空間内で定義されるベクトルだ」なんて言葉が飛び出してくると、「それは一体何を意味するんだ？知ってなきゃいけないのか？」と不安にさせられてしまう。
もしこんな事態に遭遇しても、
「ああ、そうだね。ついでに言えば、それは『無限次元複素ヒルベルト空間』のことだよね。」
と軽くかわすことが出来れば時間を無駄にしないで済む。
ベクトル空間
内積空間・ノルム空間
完備性
さて「ヒルベルト空間」はまだなのかと待っていることと思うが、ここまでの話にもう一つ条件を加えるだけでいい。
・内積空間が完備性を持つとき、「ヒルベルト空間」という。
・ノルム空間が完備性を持つとき、「バナッハ空間」という。
バナッハ空間については今回の話とは関係ないが、まぁ、数学ではこんな具合に分類されて名前が付いているんだよ、という雰囲気をつかめるように書いておいた。
な。物理学者は「ヒルベルト空間」なんて言葉でカッコつけなくてもいいんだよ。他の数学的空間の性質と区別する必要があるときにだけ使えばいいんだからさ。
で、気になっていることと思うが、「完備性」とは何だろうか。
つづく >>473 つづき
コーシー列が収束する時、完備性を持つのだそうだ。ではコーシー列とは何かと言えば、集合から好きな要素を取り出して並べた時に、あるところより先の要素を見ると必ず、それらの要素間の距離がどんな狭い範囲にでも収まってしまう、そんなところが必ずある、という並びのことらしい。
ああ！数学ってのは七面倒くさい！！！とにかく、どこまでも狭い範囲に収まって行くような並びのことだ。
それで、狭い範囲に収まって行くのなら収束していると言えるのではないか、というと、そういう意味ではない。
数学的な表現はやめて、分かりやすく言い直そう。これはベクトルが連続であることを定義しているのである。この性質は微分などを定義するためには是非とも必要なものだ。そして、それはもっと分かりやすく言えば、このベクトルの要素は実数か複素数の範囲でなければならないという意味である。初めからそう言えよ、って？私もそう思う。
こんなもんなんだよ
なんだ、それだけか？結局、ぶっちゃけて言えば、「取り敢えずの計算に困らないベクトル空間」というくらいの意味だったということだ。実に他愛のない話だ。だからこそ一度知ってしまうと今度は逆に、これくらいは知ってないと恥ずかしいと思えてしまうわけで。
まあ、奥は深いのだが、これだけ知ってるだけでもしばらくは困らない。さあ、立場の弱い友達の所へ行って知ったかぶりをするのだ！（笑
ま、この程度のものは黙ってた方が恥かかなくて済むかとも思うのだが、・・・判断はお任せしよう。
波動関数がどうして無限次元複素ヒルベルト空間内のベクトルなのかを説明しないのかって？それは本文中できっちりやるつもりだ。取り敢えず、こういう本質ではない部分は脇へよけておきたかったのである。
(引用終り)
以上 >>474
その指摘はかなり正しい
EMANさんは、物理屋だからね
でもね、完備とかヒルベルト空間で、「わからん」と立ち止まらずに進むことも大事だと
立ち止まらずに進まないと、分らないことも多い
進めば、分ってくることも多い
そして、また、分らないところへ戻って、そこから理解を深めて行く
そういうやり方が正しいと思うよ >>468 補足
>「ｈ：無限次元ベクトル空間R^N→N’(決定番号の集合）」で、x,y∈N’で、P（x>y）=1/2 がきちんと計量を定義して言えるのか？
ここを細分すると
R^N：無限次元ベクトル空間 s∈R^N s=(s1,s2,s3,・・・）
↓
R^N/～（商射影の切断）（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%95%86%E5%86%99%E5%83%8F 商写像 ）
↓
代表r=r(s) r=(r1,r2,r3,・・・）
↓
N’：決定番号の集合 d∈N’ d=d(s)
↓
N：自然数の集合
となる
（補足）
・しばしば、我々は無意識に、決定番号の集合N’と自然数の集合Nとを同一視してしまう
・だが、決定番号の集合N’は、問題の数列ｓと代表r=r(s)との関係で、多く（非可算無限）の重複を含む集合になっている
（例：決定番号２なら、s=(s1,s2,s3,・・・）とr=(r1,r2,r3,・・・）とで、s2=r2,s3=r3,・・・ の関係があり、s1≠r1だが、この同値類内の決定番号２の元は、R^1の自由度がある。
同様に、決定番号３なら、R^2の自由度。決定番号ｎなら、R^(n-1)の自由度。）
・可算無限長の数列を簡単のために２列で考えると、２列の決定番号の大小比較は自然数の集合Nのレベルで行うが、その背景に決定番号の集合N’があるから、大小の確率を考えるときは、本来、決定番号の集合N’をベースに考える必要がある
・ところで、以前の議論でもあったように、有限な自然数の部分集合（1,2,3,・・・,m）で、あるx（1<= x <=m）を考えると、x <= m/2 （平均以下）である確率は、ｍが十分大きければ1/2だろう
・しかし、ｍ→∞（つまり集合が自然数の集合Nになる）では同じ議論はできない
・そして、考えるベースが、決定番号の集合N’であれば、なおさら、単純に確率1/2とは言えない。ここらが手品のタネだろう
以上 >>477 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%80%A7
完備性
(抜粋)
数学における完備性（かんびせい、英: completeness）は、様々な場面においてそれぞれの対象に関して特定の意味を以って考えられ、またそれぞれの意味において完備（かんび、英: complete）でない対象に対する完備化 (completion) と呼ばれる操作を考えることができる。complete は「完全」と訳されることもある。
・実数の完備性: 実数の完備性は実数を公理的に定義する際に必要とされる性質の一つ。この場合の完備性は、実数全体の成す集合 R を距離空間と見た場合の完備性、あるいは R を半順序集合と見た場合の完備性の何れの意味とも取ることができる。
・完備距離空間: 距離空間が完備であるとは、その空間内の任意のコーシー列が収束するときにいう。
・完備一様空間（英語版）: 一様空間が完備であるとは、その空間内の任意のコーシーネット（コーシー有向点族）が収束するときに言う。あるいは同じことだが、その空間内の任意のコーシーフィルターが収束するときに言う。
・完備測度空間: 測度空間が完備であるとは、その任意の零集合が可測であるときにいう。
・環の完備化: 可換代数学において（イデアルの冪によって定義される位相を考えるとき）イデアルによる可換環の完備化の概念が定義される。
・より一般に、任意の位相群を開部分群の減少列において完備化することができる。
・完備統計量（英語版）: 統計学において統計量が完備であるとは、期待値が0となる不偏評価子が許されないことを言う
・完備圏（英語版）: 圏論において圏 C が完備であるとは、小さい圏から C への任意の図式が極限を持つときに言う。双対的に、そのような図式が余極限を持つとき余完備（英語版）であるという
・順序集合論やそれに関連する束論や領域理論のような分野でいう完備性（英語版）は、一般にある種の順序集合における上限や下限の存在に言及するものである。この意味での完備性を持つ概念として完備ブール代数（英語版）、完備束、完備半順序集合 (cpo) などは著しい。
・完備代数多様体（英語版）: 代数幾何学において代数多様体が完備であるとは、それがある種のコンパクト性に類似の性質を満足することを言う。
(引用終り) ＞・順序集合論やそれに関連する束論や領域理論のような分野でいう完備性（英語版）は、一般にある種の順序集合における上限や下限の存在に言及するものである。
＞この意味での完備性を持つ概念として完備ブール代数（英語版）、完備束、完備半順序集合 (cpo) などは著しい。
おお、これ、知りたい
今取り組んでいるのは、順序が決まっていて、かつ順序演算で構成する元が等しいかどうかわかる元を持つ（全順序な）部分集合を効率的に表現するプログラム おっちゃんです。
高校時代に当時の女子高生達がよく用いていたチョベリバーの意味が分からなかったか。 >>437
英語圏では、時枝記事の前から、取り上げられているので、過去ログから下記リンクを貼っておく
（>>435”数セミの出版社の日本評論社に迷惑をかける”とか”苦情を出す”とかじゃなく、むしろ日本でもきちんと公開で議論して纏めておくべき。ほんと、だれか卒研で纏めてくれると、ひとつの決着がついてありがたいけどね～（＾＾ ）
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1471085771/509-514
509 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/10(土) 14:08:56.13 ID:q7Skbg74 から
１）
http://blog.computationalcomplexity.org/2016/07/solution-to-alice-bob-box-problem.html
Solution to the Alice-Bob-Box problem. July 18, 2016 Posted by GASARCH Computational Complexity
(抜粋)
Peter Winkler told me this problem at the Joel Spencer 70th Bday conference. He got it from Sergui Hart who does not claim to be the inventor of it.
（抜粋おわり）
つづく >>483 つづき
２）
http://math.stackexchange.com/questions/371184/predicting-real-numbers
Predicting Real Numbers edited May 15 '13 Jared Mathematics Stack Exchange
(抜粋)
Here is an astounding riddle that at first seems impossible to solve. I'm certain the axiom of choice is required in any solution, and I have an outline of one possible solution, but would like to see how others might think about it.
３）
100 rooms each contain countably many boxes labeled with the natural numbers. Inside of each box is a real number. For any natural number n, all 100 boxes labeled n (one in each room) contain the same real number.
In other words, the 100 rooms are identical with respect to the boxes and real numbers.
(引用終り)
つづく >>484 つづき
４）
http://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice - MathOverflow: edited Dec 9 '13 Denis
(抜粋)
The question is about a modification of the following riddle (you can think about it before reading the answer if you like riddles, but that's not the point of my question):
The Riddle: We assume there is an infinite sequence of boxes, numbered 0,1,2,…
. Each box contains a real number. No hypothesis is made on how the real numbers are chosen.
You are a team of 100 mathematicians, and the challenge is the following: each mathematician can open as many boxes as he wants, even infinitely many, but then he has to guess the content of a box he has not opened.
(引用終り)
つづく >>485 つづき
５）
http://mathoverflow.net/questions/152787/can-an-infinite-number-of-mathematicians-guess-the-number-in-a-box-with-only-one
Can an infinite number of mathematicians guess the number in a box with only one error? - MathOverflow edited Dec 26 '13 user44653
(抜粋)
In this question＊） the following observation was made:
＊）上記 Probabilities in a riddle involving axiom of choice - MathOverflow: edited Dec 9 '13 Denis mathoverflow にリンクされている
(引用終り)
これは内容的には無視していいかもしれんが、mathoverflowより時期が早いよね
http://brainden.com/forum/topic/16510-100-mathematicians-100-rooms-and-a-sequence-of-real-numbers/
100 mathematicians, 100 rooms, and a sequence of real numbers Asked by Jrthedawg, July 22, 2013 New Logic/Math Puzzles - BrainDen.com - Brain Teasers
(抜粋)
Question
I am a collector of math and logic puzzles, and this must be the best I've ever seen.
100 rooms each contain countably many boxes labeled with the natural numbers. Inside of each box is a real number.
For any natural number n, all 100 boxes labeled n (one in each room) contain the same real number. In other words, the 100 rooms are identical with respect to the boxes and real numbers.
(引用終り)
以上 >>481
何ヶ月か前、分割とか母関数とかについての整数論のようなことしていなかったけ。 >>481
C++さん、どうも。スレ主です。
>おお、これ、知りたい
>今取り組んでいるのは、順序が決まっていて、かつ順序演算で構成する元が等しいかどうかわかる元を持つ（全順序な）部分集合を効率的に表現するプログラム
それ、wikipedia のリンク https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%80%A7 を開いてみな
英文のリンクついているだろ
それを開くと、参考文献とかあったり、また、英文のキーワードが分ると、英文検索ができる
それで、英文 wikipediaから、左のリンクの”日本語”をクリックして、和文も読めるという仕掛けなんだ（＾＾ >>488
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>スレ主君、チョット類体論のコピペも頼むよ。
類体論の何を知りたいのかね？
多分、”類体論”だけで検索かけると、100万以上出るから、適切なコピペできないと思うよ（＾＾ >>488
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>何ヶ月か前、分割とか母関数とかについての整数論のようなことしていなかったけ。
有ったね。
あれ、BLACKX ◆jPpg5.obl6さん（下記LOTO7スレの人）が、確率について質問してきたので、母関数の英文資料のＵＲＬを紹介してやったよ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1451195025/
数学的にLOTO7 >>490
佐藤・テイト予想や非可換類体論の方。
あと、従来の類体論のマトモなテキスト(特に和書)を殆ど知らないから、それも。
現代数学への入門シリーズや現代数学の基礎の数論Ⅰ、Ⅱ以外に何かあるのかな～と思ってね。
ノイキルイヒは分厚いしね。 >>480>>482
>高校時代に当時の女子高生達がよく用いていたチョベリバーの意味が分からなかったか。
それ、女子高生から自分に向けて使われていて、意味わからんかったと～（＾＾
すごく、もてたんだろうね～（＾＾
まあ、おっちゃん、時枝は、数学セミナーの原文見ないと無理だよ～
原文ダメなら、まだ>>483-486の英文と、
Sergiu Hart氏のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf? （>>437）を読む方がましだろう >>490
>>492の訂正：
数論Ⅰ、Ⅱ→ 数論1、2 >>492
>従来の類体論のマトモなテキスト(特に和書)
足立先生の本があったと思った。書棚の肥やしになっとる気がするが（＾＾
https://www.amazon.co.jp/dp/4535601259
類体論講義 (日評数学選書) 単行本 ? 1998/9/1
足立 恒雄 (著),? 三宅 克哉 (著)
(抜粋)
トップカスタマーレビュー
ido
5つ星のうち3.02冊に分けて出版してほしかった本
2015年7月29日
形式: 単行本|Amazonで購入
前半206ページは局所類体論の導入が目標です：
1 代数体の基礎理論
2 局所体の基礎理論
3 イデアルによる類体論
4 イデールによる類体論
5 類体論の証明
6 局所類体論
7 類体論の応用
付録A 代数的予備知識
必要なら[現代代数学](van der Werden)、[可換体論](永田)を参照しながら読むようにとの指示がされています
後半88ページは類体論の歴史に沿った解説です：
1 前史 平方剰余?L関数
2 類体論の源流 クロネッカー
3 "類体"の原型：ウェーバー、ヒルベルト、フルトヴェングラー
4 高木?アルティンの類体論
5 ハッセの原理、イデールの導入と定着
以上の前半部と後半部とが合本になっているメリットは特に見つけられないように思われます。別々の本として出版されていれば、特に2冊目のテキストとして学ぼうとする方にはつごうがよかったのではないでしょうか
今回は古書でゲットしましたが、前に読んでいた方も、前半部だけ読み込んでおられたのに後半は全く手つかずで手放されたようすでした
(引用終り) >>493
チョベリバーは当時の女子高生達がよく用いられていた言葉だよ。
超ベリー・バッド(最低、最悪の意味)で、今の若者言葉と比較すると、ずっと単純な流行語。
テレビでも聞いた覚えがある。
時枝についてはもういい。 >>493
>>496の一番上の行について：
女子高生達がよく用いられていた言葉 → 女子高生達がよく用いていた言葉
あと、>>492の訂正：
ノイキルイヒ → ノイキルヒ >>495 追加
https://www.amazon.co.jp/dp/4535786437
類体論へ至る道―初等数論からの代数入門 単行本 ? 2010/2/1
足立 恒雄 (著)
(抜粋)
トップカスタマーレビュー
まげ店長
5つ星のうち5.0どうして色んな説明の仕方があるのでしょうか...
2014年4月25日
形式: 単行本
この本を買った頃は、整数論もきちんと始めていない時代だったので（今も独学ですが）「類体論」の
事は何も分からずにただ単に高木貞治の学問分野だというとても不純な動機だったような気もします。
群論をやりながら、ある日ふと手に取ったのは「高木貞治 類体論への旅 (双書―大数学者の数学)」でした。
旅という癖に相当に難儀な本で、特にイデアルの所で完全に行き詰まってしまいました...
群論の本とか読んでも、イデアルの説明はとても抽象的でちっとも分からないんです。
特に2次体の説明を探し回りましたがこれは「数論入門―証明を理解しながら学べる (ブルーバックス)」
の最終章でカバーされてました。しかし肝心のイデアルの説明は無し。
もう少し総括的で分かりやすい本は無いかと、ふと書庫に置いてあった本書を手にとってみると
不思議な程に分かりやすい本ですね... 特にイデアルの説明には痺れました。
（素イデアルと極大イデアルのところは秀逸です）
完全独学なのでまだ前半戦を模索中ですが、このペースなら最後まで行けそうな安心感があります。
あと何年かかるか分かりませんが、ひと通り最後まで見届ける覚悟で向き合っています。
コメント| 6人のお客様がこれが役に立ったと考えています.
(引用終り)
追記
余談だが、”完全独学なのでまだ前半戦を模索中ですが、このペースなら最後まで行けそうな安心感があります。
あと何年かかるか分かりませんが、ひと通り最後まで見届ける覚悟で向き合っています。”みたいな読み方は、止めた方が良い
一月以内（できれば１週間くらい）に、ざっと読んで、あと、読む価値のある名著と思えば、繰り返し読むとかの方が良いだろう
（実際、「あと何年かかるか分かりません」的読み方では、学生なら卒業できないし、院生なら論文書けない） >>498
>読む価値のある名著と思えば、繰り返し読むとかの方が良いだろう
”ディリクレは、D. A. を常に携帯していたという[6]。”
プロ数学者でも、そういう例はある
まあ、１回だけでは汲み尽くせない
名著は何度も読むべしかな
https://ja.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae
Disquisitiones Arithmeticae
(抜粋)
ディリクレは、D. A. を常に携帯していたという[6]。
ガウスは D. A. に多くの付記を残し、彼自身のさらなる研究の一助とした。同世代の者には謎めいているものもあったが、一部は例えば、今日ではL関数や虚数乗法と呼ばれるものの萌芽であったと解釈される。
D. A. の内容は、20世紀以降の数学研究においても新鮮さを失っていない。例えば、第5章第303条は虚二次体の類数の具体的な計算についての要約である。
ガウスは、任意の正整数 n に対して類数が n である虚二次体は有限個しか存在しないであろうと予想し、類数の小さな虚二次体は全て決定したと信じた。
この予想は、1934年にハンス・ハイルブロン（英語版）が解決した[7]。類数1の虚二次体を全て決定する問題は、1966年のアラン・ベイカーと1967年のハロルド・ミード・スターク（英語版）によって独立に解かれた[8]。2004年までに、類数が100以下の虚二次体は全て決定されている[9]。
また、第7章第358条は、有限体上の楕円曲線の点の個数に関する、ハッセの定理の評価が非自明に成り立つ（歴史的に）最初の例を与えている[10]。この定理は、ヘルムート・ハッセが1933年に証明し、アンドレ・ヴェイユらによって一般化されるが、適切に言い換えることによって、リーマン予想の類似と見なせることが知られている[11]。
(引用終り) >>499
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さんでした（＾＾ >>492
佐藤・テイト予想か。何年か前に、数学セミナーに解決されたという記事が載ったと思ったな・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E3%83%BB%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%88%E4%BA%88%E6%83%B3
佐藤・テイト予想
(抜粋)
佐藤・テイト予想(Sato?Tate conjecture)とは、楕円曲線 E と素数 p にたいして定まるある実数 θp の分布に関する予想である。もう少し正確には、有理数体上定義された楕円曲線 E を一つ固定したとき、各素数 p での還元 Ep は有限体 Fp 上の楕円曲線となるが、その楕円曲線 Ep の点の数が p を動かしたときある決まった分布になるというものである。
目次 [非表示]
1 予想の記述
2 証明と主張の進展
3 一般化
4 より詳細な問題
5 脚注
6 参考文献
7 外部リンク
つづく >>502 つづき
証明と主張の進展[編集]
2006年3月18日、ハーバード大学のリチャード・テイラー(Richard Taylor)は、ローラン・クローゼル（英語版）(Laurent Clozel)やミカエル・ハリス（英語版）(Michael Harris)やニコラス・シェパード-バロン（英語版）(Nicholas Shepherd-Barron)との共同研究の結果として、
ある条件を満たす総実体上の楕円曲線の佐藤・テイト予想の証明の最終段階を、彼のウェブページに掲載した。[4]
それ以来、3つの論文のうち 2つが出版されている。[5] さらに、結果はアーサー・セルバーグの跡公式（英語版）(Arthur?Selberg trace formula)の形を改善する条件となっている。
ハリスは、そのような予想されている跡公式から従う 2つの楕円曲線（同種ではない）の積から得られる結果の条件付き証明（英語版）(conditional proof)を得ている。[6]
2008年7月8日現在、リチャード・テイラーは、彼のウェブサイトへ論文（トーマス・バーネット-ラム（英語版）(Thomas Barnet-Lamb)、ダヴィッド・ゲラティ（英語版）(David Geraghty)とミカエル・ハリスの共著）を掲載していて、
そこではウェイトが 2 に等しいかまたは大きな任意の非CM正則モジュライ形式についての佐藤・テイト予想へ一般化されたヴァージョンを、直前の論文の本質的にはモジュラ性の結果を改善することで証明したと主張している。[7]
彼らはまた、跡公式に関係するいくつかの問題がミカエル・ハリスの「ブックプロジェクト」[8] と、Sug Woo Shin との共同研究により解決したと主張している。[9][10]
つづく >>503 つづき
一般化[編集]
エタール・コホモロジー上のガロア表現に含まれるガロア群のフロベニウス元の分布が、一般化と考えられる。特に、種数が n > 1 の曲線についての予想がある。
ニック・カッツ（英語版）(Nick Katz)とピーター・サルナック(Peter Sarnak)により開発されたランダム行列モデル[11] では、フロベニウス元の（ユニタリ化された）特性方程式と、コンパクトリー群(compact Lie group) USp(2n) = Sp(n) 上のリー群の共役類との間に対応関係を示した。
従って、USp(2n) 上のハール測度は分布を与えると予想され、古典的な場合は USp(2) = SU(2) である。
より詳細な問題[編集]
さらに精密な予想として、1976年のサージ・ラング(Serge Lang)とハイル・トロッター（ドイツ語版）(Hale Trotter)によるラング・トロッター予想(Lang?Trotter conjecture)は、公式の中に現れるフロベニウス元のトレースである値 ap が、素数 p に対し決まると、漸近的な数が存在すると言う予想である。[12]
典型的な例（虚数乗法を持たず、かつ trace ≠ 0）では、X についての p に対する数値は、ある特別の定数 c が存在して、漸近的に
{\displaystyle c{\sqrt {X}}/\log X\ } {\displaystyle c{\sqrt {X}}/\log X\ }
に近づく。ニール・コブリッツ（英語版）(Neal Koblitz)は、1988年、楕円曲線暗号に動機をもって、素数 q の場合の、Ep 上の点の数についての詳細な予想を提示した。[13]
ラング・トロッター予想は、原始根についてのアルティンの予想（英語版）(Artin's conjecture on primitive roots)の類似であり、1977年に提唱された。
(引用終り) >>
>佐藤・テイト予想か。何年か前に、数学セミナーに解決されたという記事が載ったと思ったな・・
数学のたのしみ 2008最終号が先だったかな？（＾＾
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/3350.html
数学のたのしみ 2008最終号 日本評論社 発刊年月 2008.06
フォーラム＝佐藤-テイト予想の解決と展望
上野 健爾 砂田 利一 新井 仁之 編集
内容紹介
1962年に佐藤幹夫により提出された予想が最近Ｒ・テイラー達により解決された。著名な問題の全体像と展望をめぐる総力特集。
目次
フォーラム：現代数学のひろがり 佐藤-テイト予想の解決と展望
佐藤-テイト予想の歴史／黒川信重
楕円曲線入門／伊藤哲史
ゼータ関数入門／黒川信重
類体論入門／吉田輝義
保型形式入門／加藤和也
ラングランズ対応と志村多様体／吉田輝義
佐藤-テイト予想の証明の方針／伊藤哲史
ガロア表現の変形理論とヘッケ環／伊藤哲史
ガロア表現の整合系とその保型性／吉田輝義
相互法則と密度定理／リチャード・テイラー
数学まなびはじめ／時枝 正
高校生のための数学セミナー／砂田利一
名著発掘／Dunford & Schwartz《Linear Operators》／増田久弥
連載
日本の数学の流れ(9)／上野健爾
数学つれづれ草／上野健爾
村の広場の午後／安野光雅
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5110.html
数学セミナー 日本評論社 2009.09
[速報] 佐藤-テイト予想，ついに完全解決か？！ 伊藤哲史 34
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5214.html
数学セミナー 日本評論社 2010.2
数セミブック・プラザ
『フェルマーの最終定定理・佐藤-テイト予想解決への道』／谷口隆 85 >>505 補足
>相互法則と密度定理／リチャード・テイラー
テイラー先生が寄稿していたのか？（＾＾
>高校生のための数学セミナー／砂田利一
おっちゃんの言う通りやな、高校生も数セミよめと、砂田利一先生・・（＾＾ >>505 つづき
https://www.iwanami.co.jp/book/b260913.html
類体論と非可換類体論 岩波
フェルマーの最終定理・佐藤－テイト予想解決への道
素数の演じるさまざまな実例を通して，類体論や非可換類体論とは何かをわかりやすく丁寧に説明する．
著者 加藤 和也 著
シリーズ 類体論と非可換類体論
刊行日 2009/01/29
この本の内容
目次
著者略歴
素数の演じるさまざまな実例を通して，類体論や非可換類体論とは何かをわかりやすく説明する．
さらに非可換類体論の進展がなぜフェルマーの最終定理や佐藤－テイト予想解決に結びつくのかについて，その背景を丁寧に解説する．類体論から非可換類体論へと大きく転換しようとしている現代整数論の生きた姿を概観できる．
■編集部からのメッセージ
編集という仕事に携わって，二十年以上になりますが，中でも第一級といえる作品です．むろん，著者は作家ではありませんし，流麗な文章を書かれたというわけではありません．しかしながら，著者の素数に対する想い，そして素数のもつ奥深い意味，またその不思議さをなんとか，誰かにわかってもらいたいという気持ちがひしひしと伝わってきます．
幸運にも，前著『数論１』も担当させていただきました．そこでも，著者は従来の岩波講座らしからぬ解説をされ，整数論の紹介に巧みな工夫をされました．本書は，それをはるかに凌駕します．
前著は「フェルマーの最終定理」が解決されたことに触発されての解説であったのに対し，本書は，それを上回る「佐藤-テイト予想」が解決されたことで，よりはっきりと，素数とは何か，整数論の未来はどうなるのかが，著者には見えたからではないかと想像しています．
著者自ら，「類体論と非可換類体論」は《整数論の華》であると主張します．それを象徴するのが，フェルマーの最終定理および佐藤-テイト予想の解決だといいます．そのあたりをゆっくりと自分で計算しながら，味わいつつ読み進めていける本書は素晴らしい本であると確信します．
ただひとつお断りしなければならないのは，本書は全４巻シリーズですが，作品の性格上，続巻はすぐには出版できません．著者には鋭意準備していただいていますが，第２巻は，半年くらいはお待ちくださるようお願い申し上げます． ＞高校生も数セミよめと
と、教科書を読まないスレ主が申しております >>505 補足
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/msj200903_slide （注＊＊
楕円曲線と保型形式, 佐藤‐テイト予想，直角三角形の面積とバーチ‐スイナートン＝ダイヤー予想 伊藤哲史 2009
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/msj200903_abstract.pdf （注＊
佐藤‐テイト予想の解決と展望 ? 非可換類体論の進展 伊藤哲史 2009
（上と同じだが、念のため http://mathsoc.jp/meeting/kikaku/2009haru/2009_haru_ito.pdf 佐藤‐テイト予想の解決と展望 ? 非可換類体論の進展 伊藤哲史 2009 ）
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/workshopj.html
研究集会について 伊藤哲史 京都大学数学教室
2009年3月26日(木) : 東大駒場キャンパスで行われる日本数学会(年会)で企画特別講演「佐藤‐テイト予想の解決と展望」をすることになりました(終了しました)．
講演のアブストラクトはここ(PDFファイル, 日本語, 15ページ)， （注＊：上記ＵＲＬ）
講演に使ったスライド資料はここ(PDFファイル, 日本語, 38ページ)です． （注＊＊：上記ＵＲＬ）
詳しくは日本数学会2009年3月年会のホームページおよび日本数学会のホームページをご覧ください．(追記 : 後日，講演のビデオ映像が日本数学会のホームページから見られるようになるそうです．)
つづく >>509 つづき
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/lecture/indexj.html
講義のページ 伊藤哲史 京都大学数学教室
2009年度の授業
前半（伊藤担当分）のレジュメ：楕円曲線の数論幾何
三次式で定義された曲線を楕円曲線という．楕円曲線は，一次式で定義された直線， 二次式で定義された円・楕円・放物線・双曲線よりもほんの少しだけ複雑な対象だが， その単純な定義からは想像できないほど豊かな性質を持っている．
未解決の問題も多い． この講義では，予備知識を仮定せず， 具体的な計算を通して楕円曲線のさまざまな整数論的性質を論じる． また，保型形式，ガロア表現，佐藤‐テイト予想などの現代数学の深い理論とどのように つながっているかについても紹介したいと思う．
配布物
・4月27日配布プリント(PDF) : 楕円曲線の有理点は(見かけ以上に)難しい，階数28以上の楕円曲線
・6月8日配布プリント(PDF) : 楕円曲線上の離散対数問題，10万ドルの懸賞問題(ECCp-359)
・6月15日配布プリント(PDF) : 楕円曲線と保型形式, 佐藤‐テイト予想，直角三角形の面積とバーチ‐スイナートン＝ダイヤー予想
・レポート問題(6月8日配布) (PDF) : 提出先：数学教室事務室(理学部3号館1階)，締め切り：7月13日(月), 17:00 （この講義の単位を取得するためには，宍倉先生のレポート問題にも解答する必要があるので注意すること．）
以上 >>510 補足
配布プリント(PDF) のリンクは省略した
興味があるなら自分で頼む（＾＾ >>508
あんたは・・・、「読まない」じゃなく・・・、「読めない」・・・だろ？（＾＾ >>492
非可換類体論は、また範囲広すぎだろうな・・（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E9%A1%9E%E4%BD%93%E8%AB%96
非可換類体論
(抜粋)
数学において、非可換類体論（ひかかんるいたいろん、英: non-abelian class field theory）は、類体論の結果、任意の代数体 K のアーベル拡大についての比較的完全で古典的な一連の結果の、一般のガロワ拡大 L/K への拡張を意味するキャッチフレーズである。
類体論は1930年頃には本質的には知られるところとなったが、対応する非可換な理論は確定的で一般的に受け入れられた定式化には未だに至っていない[1]。
つづく >>513 つづき
歴史[編集]
群コホモロジーのことばで類体論を表すことは、主に1940年代に、クロード・シュヴァレー (Claude Chevalley) やエミール・アルティン (Emil Artin)、他の数学者により進められ、イデール類群の群コホモロジーを用いた中心的な結果の定式化に至った。
コホモロジー的アプローチによる定理は、L/K のガロア群 G が可換か否かに依存しない。しかしこの理論は、求められている非可換の理論とは決して見なされていない。
このことの第一の理由は、コホモロジーの理論がガロワ拡大における素イデアルの分解に関して新たな情報をもたらさなかったことである。非可換類体論の目標を説明する一般的な方法は、そのような分解の法則を述べるより明示的な方法を提供するべきであるということである[2]。
したがって、コホモロジー的アプローチは、非可換類体論の定式化においてさえ、あまり役に立たない。歴史的には、ディリクレ級数を使わずに、言い換えると L 関数を使わずに、類体論の証明を書き下すというシュヴァレーの望みがあった。
類体論の主要定理の最初の証明は、2つの「不等式」を要素として構成された（ガロア理論の基本定理の今では与えられた証明と同じ構造であるが、はるかに複雑である）。2つの不等式のうちの1つが、L 関数を用いる議論を含んでいた[3]。
後に、この発展とは逆に、アルティンの相互法則を非可換な場合へ拡張するためには、アルティンの L 関数を表現する新しい方法を探し求めることが実は本質的であるということが認識された。
この大きな志を持つ現在の定式化は、ラングランズ・プログラムによる。その基礎にあるのは、アルティンの L 関数は保型形式の L 関数でもあるという信念である[4]。21世紀初頭の時点では、これが最も広く専門家に受け入れられている非可換類体論の概念の定式化である[5]。
(引用終り)
以上 とりあえずは、こんなところで、お茶を濁しておくよ（＾＾ >>515
ああ、確かに、中身はそれほど熱心に読んで無いが・・・
コピペするときに、一応ざっとは読んで、核心部分をコピペしているんだ
なので、https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>145）のときも、
”この定理は、いままで読んだ「Ruler Function」の話と合わない”ということだけは、すぐ分ったよ（＾＾ >>517
>”この定理は、いままで読んだ「Ruler Function」の話と合わない”ということだけは、すぐ分ったよ（＾＾
ほぼ関係ないので
合わないというのは誤解です
ちゃんと証明を読みましょう >>519
証明成り立ってないでしょ？
それは、>>366-370に書いた通りで
「定理1.7 (422 に書いた定理)」は、有理数Ｑのように補集合R－Bf がＲ中に稠密分散しているときは、守備範囲外
つまり、有理数Ｑのように補集合R－Bf がＲ中に稠密分散しているときは、リプシッツ連続であるような開区間（a, b）は取れない（>>368）
だから、系1.8に対して、「定理1.7 (422 に書いた定理)」を使って、矛盾を導くことはできない
証明は、これからじっくり読む予定です >>481
>今取り組んでいるのは、順序が決まっていて、かつ順序演算で構成する元が等しいかどうかわかる元を持つ（全順序な）部分集合を効率的に表現するプログラム
C++さん、どうも。スレ主です。
これどういう意味かな？
公開して良い範囲で、説明してもらえると、ありがたい（＾＾ >>522 追加
下記などで、全部ソートしておいて、比較するってことじゃ足りないということ？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%83%88
ソート
目次 [非表示]
1 概要
2 ソートアルゴリズムの分類
2.1 安定ソート
2.2 内部ソートと外部ソート
2.3 比較ソート
2.4 計算量
2.5 手法
2.6 再帰
3 ソートアルゴリズムの一覧
4 比較ソートの理論限界
5 メモリ使用パターンとインデックスソート
6 脚注・出典
7 参考文献
8 関連項目
9 外部リンク
9.1 ソートアルゴリズムの視覚化 >>520
長文は、ほぼ引用コピペだから、それを読むより、ＵＲＬを開いて読む方がいいだろう
こちらとしては、引用コピペをしておくと、google検索が使えて便利なんだ >>521
>証明成り立ってないでしょ？
成り立っていますよ
BfがB_N,Mで被覆されますので
あるB_N,Mの中に開区間が存在し
その区間内でリプシッツ連続になります リプシッツ連続な開区間の存在に関しては
Bfにこだわる必要も理由もありませんよ >>524
「証明」とかいういたずら書き込みのことね >>527
"「証明」とかいういたずら書き込み"？？ 人違いですよ
私は、こんな不便なバカ板に書かれたアスキーベースの証明は読まない主義です（>>5の通り）
もちろん、自分自身も基本は書きません！
どうしてもと言われて、過去２回ほど書きましたが、ここ２年ほどはありません
但し、数学的説明はします
が、できるだけ、外部のURLを引いて、”アスキーベースでないまっとうな数学記号の文”（PDFの場合もあり）を参照できるようにしています（そこからのコピペをアスキーに落とすことが多いです）
繰り返しますが、どなたかと人違いですよ～（＾＾ >>525-526
（>>180より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
ここで、「f はある開区間の上でリプシッツ連続」は、
Bf内に、リプシッツ連続なある開区間(a, b)の存在を主張していると読みましたが？
これ、被覆側のB_N,Mの中で、開区間が存在し、その区間内でリプシッツ連続って主張ですか？ >>529 追加
元ＰＤＦを見て貰った方が話は早い
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>145より）
で、（元ＰＤＦを見ている前提で）
（>>525より）「BfがB_N,Mで被覆されますので
あるB_N,Mの中に開区間が存在し
その区間内でリプシッツ連続になります」
と仰るが、B_N,Mは、定理1.7の証明中に出現するだけで、定理1.7の命題以前には出てきませんね
もし、定理1.7の主張で、「f はある開区間の上でリプシッツ連続」が、被覆側のB_N,Mの中で、開区間が存在し、その区間内でリプシッツ連続という主張なら、
被覆側のB_N,Mについての定義は、定理1.7の命題中、又は、その前に置かれるべきだ
また、定理1.7も
「・・・、 f は”B_N,Mの中の”ある開区間の上でリプシッツ連続である．」とでも書くべきでしょう
（”B_N,Mの中の”→”∪N ,M>=1BN,M の中の”と「∪N ,M>=1BN,M 」を使うべきかもしれませんが
（>>181より ”Bf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M が成り立つ”ってことですからね ））
だから、定理1.7は、”Bf内に、リプシッツ連続なある開区間(a, b)の存在”を主張しているってことですね
ところが、仰るように（>>525）「あるB_N,Mの中に開区間が存在しその区間内でリプシッツ連続になります」ということしか証明していないと読みました
なので、定理の主張と証明とが、不一致と思います ＞証明は、これからじっくり読む予定です
証明は読まない主義と豪語するスレ主さんは何故か教科書も読まないのでした ＞但し、数学的説明はします
εδ（大学一年一学期）すら理解できないお前が何を説明するって？ >>530
>と仰るが、B_N,Mは、定理1.7の証明中に出現するだけで、定理1.7の命題以前には出てきませんね
>もし、定理1.7の主張で、「f はある開区間の上でリプシッツ連続」が、被覆側のB_N,Mの中で、開区間が存在し、その区間内でリプシッツ連続という主張なら、
>被覆側のB_N,Mについての定義は、定理1.7の命題中、又は、その前に置かれるべきだ
？
そうすべきという理由になりません
全然 あるいは
あなたが読みやすいように彼の証明を
変形することは出来るでしょうよ
まずは証明より回することから始めましょう >>534-535
意味が分らない
普通、数学では、証明の前に、定理の主張を明確にすべき
明確にするためには、定理に使われる用語は、すべて定義されているべき
なので、
（>>529より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
で、「f はある開区間の上でリプシッツ連続」の意味は、
「Bf内に、リプシッツ連続なある開区間(a, b)の存在を主張している」としか読み得ない
（∵定理の命題中で、R中にBfとその補集合R－Bfしか定理1.7では定義されていないし、R－Bf内に開区間など存在しようがないですから）
ここは良いですか？ >>489 補足
C++さん、どうも。スレ主です。
>おお、これ、知りたい
>今取り組んでいるのは、順序が決まっていて、かつ順序演算で構成する元が等しいかどうかわかる元を持つ（全順序な）部分集合を効率的に表現するプログラム
何を知りたいのか、細かい点が分らないが
関連のリンクなどを読んで、分らない点があれば書いてみて
一緒に考えましょう～！（＾＾ >>536
>ここは良いですか？
まず
特定のfに関して証明をしているわけではありません
それから
証明の要はBfの補集合とB_N,MですBf自体ではありません
それは証明を読めばすぐに分かることですよ >>538
お言葉なれど
数学の原理原則を言っているんだけど？
普通、数学では、証明の前に、定理の主張を明確にすべき
明確にするためには、定理に使われる用語は、すべて定義されているべき（>>536） >>539
お言葉なれど
>特定のfに関して証明をしているわけではありません
当然でしょ
その定理の命題に定義されている、すべてのｆについての証明だ
そして、その定理の命題に定義されている、あるｆで、「ある開区間の上でリプシッツ連続である．」が言えない、
つまりRの全てに渡って、そのような開区間が取れないｆが存在すれば、それは反例になるよ >>540 補足
数学の原理原則として、当たり前だが・・
正しい定理は、その証明とは切り離されて、定理だけが引用されてしかるべき。また、そういう例はいたるところある
だから、定理の主張するところは、明確になっていなければならない
定理の証明で使われた”B_N,M”なるものが、さかのぼって定理の命題に含意されるとするならば、それは定理の命題としてきちんと述べておくべきことだろう >>539
これを踏まえて
（>>529より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
ここで、”f : R → R ”の定義域は、当然R
R－Bfは、Bfの補集合だから、”={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”であってはいけない
即ち
R－Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜＝ +∞ }であるべき
”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”の、「リプシッツ連続なるある開区間」が存在しうるとすれば、Bf内にしかありえない
（∵R－Bfは、リプシッツ連続を満たさない集合であることは明白だから） ムーミンは、トロールなんだよね（＾＾
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO25694760V10C18A1CC1000/
ムーミン舞台のセンター試験設問に疑問 阪大研究室 日経 2018/1/15 18:26 (2018/1/15 19:03更新)
(抜粋)
大学入試センター試験の地理Ｂで人気キャラクターのムーミンを取り上げた問題について、大阪大大学院のスウェーデン語研究室は15日、ムーミン谷がどこにあるかは原作に明示されていないとして「舞台がフィンランドとは断定できない」との見解を明らかにした。正解とされたフィンランドの在日大使館は「皆さんの心の中にある」としている。
ムーミンも登場したセンター試験の地理Ｂの問題
試験問題では「ノルウェーとフィンランドを舞台にしたアニメーション」としてムーミンと「小さなバイキングビッケ」を挙げ、例示した両国の言語との正しい組み合わせを選ぶよう求めた。
古谷大輔准教授（北欧史）は「スウェーデン語系フィンランド人作家がスウェーデン語で書いた一連の物語の舞台は、架空の場所のムーミン谷とされる。フィンランドが舞台だと明示されていない」と指摘。「ビッケもノルウェーが舞台とは断言できない」とし、研究室として、舞台の国を特定した根拠の説明を求める意見書を近く同センターに提出する。
古谷准教授は「センター試験の社会的信用を維持するためにも根拠を示してほしい」と話す。
同センターの担当者は取材に「意見書の内容を見て対応を検討する」としている。在日フィンランド大使館の広報担当者は「ムーミンが注目されることはうれしい。ムーミン谷は物語を愛する皆さんの心の中にある」とコメント。在日スウェーデン大使館の広報担当者は「北欧が取り上げられ、旅行先として周知されるのは喜ばしい」としている。〔共同〕
(引用終わり)
つづく >>544 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%9F%E3%83%B3
ムーミン
(抜粋)
ムーミン（典: Mumin、芬: Muumi、英: Moomin）は、フィンランドの作家トーベ・ヤンソンの『ムーミン・シリーズ』と呼ばれる一連の小説と絵本、
および末弟ラルス・ヤンソンと共に描いた(次弟のペル・ウーロフ・ヤンソンもトーベと写真絵本を製作している。)『ムーミン漫画(コミックス)』作品の総称、あるいはそれらとそれらを原作とする二次著作作品の総称。
または、同作品に登場する架空の生物の種族名であり、同時に主人公(主要な登場生物)の名前でもある「ムーミントロール」の略称あるいは愛称。
概要
設定
トロールは北欧の民間伝承に登場する、広い意味での妖精の一種である。地域や時代によって巨人だったり小人だったりさまざまなバリエーションがあるが、
人間によく似ていながら耳や鼻が大きく醜い外見を持つというイメージが共通している。
しかしムーミンの物語に登場するトロールは、名前こそ借りているもののこれとは異なる、トーベ・ヤンソンが独自に創造した架空のいきものである。
人型の登場人物も人間ではなく、同様に架空の小人の一種である[1]。
なお、原作中で登場するキャラのうち、『ムーミンパパの思い出』に登場するミムラたちが住む丸い丘の国の王様はミムラやムーミントロールたちよりわざわざ圧倒的に大きく描かれているので人間の可能性がある。
(引用終わり) >>542 補足の補足
・例外的に、定理の命題の理解が、証明を読むことで深まるということはある
・が、しかし、多くの場合、定理の意味するところを、きちんと押さえておくことは、定理の証明を読む上でも、重要だろう
・定理の命題は、証明のゴールでもある。
・ゴールが西にあるのか東にあるのか、それも理解せずに証明を読む
・ただただ、証明に引きずり回され、右にうろうろ左にうろうろして、「はいここがゴールです。QED！」だと
・それで、一体何を理解したことになるのでしょうか？
・読んで、「証明は正しい」と思ったとしましょう。しかし、定理の命題の理解が浅ければ、その定理の活用もできまい
そんなことになっては、本末転倒
証明を読むのは結構だが、定理の命題の意味するところが不明確なら、もう一度本来の命題の吟味に戻るべき
「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」（>>543）の意味するところ
ある開区間が、ｆの定義域の一部のBf内に取れるのか？
はたまた、証明のために作った”B_N,M”なる被覆空間の合併集合の中に止まるのか？
それは、定理の命題の意味や適用を考える上で、天と地ほどの違いを生むと思うのだが・・ Inter-universal geometry と ABC予想 23 スレで、リトルウッドの予想が出てたので検索したら、下記ヒット
http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo20/
第20回数学史シンポジウム(2009.10.17?18) 所報 31 2010
http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo20/20_3takahashi.pdf
高橋鋼一 「２つの素数の差が偶数である素数の組の個数に関するハーディ・リトルウッドの予想」について
(抜粋)
1 .はじめに
数学教育協議会発行の「数学教議室」(2006年10月号)に、数教協夏の大会で、数教協のメンバーの国見氏と斉藤氏の両氏
が、「任意の正の偶数2kを固定した場合、pと2k+pが両方とも素数となる組が無限にあるのではないか?」という問題提起が
なされ、野崎明弘氏がその事に言及している。その後、野崎氏は「数学セミナー」く素数定理の威力に学ぶ>(2007年11月
号)にもこの問題提起にふれているが、数教協の仲間違では「国見－斉藤の予懇」（注1)と言っている。しかし、「国見－斉藤の
予想」という予想名は、一般的に通用しているわけではない。国見氏と斉藤氏がハーディ・リトルウッドが予想した同じ問題に、
時を隔てて気がついたということにすぎない。数学史上では次のような経過をたどってきた。
(引用終り) >>546 補足
証明にはしばしば誤りがある
プログラミングで言えば、バグだ
アーベルは、５次方程式の解の公式を見つけたという。だが、誤りだった
ガロアも同じく、最初は、５次方程式の解の公式を見つけたという。だが、誤りだった
時代の天才といえどもそんなもの
プログラミングで、バグはつきものだ。証明も同じ
機械（マシーン）ならすぐ気付くバグ
人は、なかなか気付かないものだよ。人間だもの >>547
おっちゃんです。
あのスレでリトルウッドの予想の話をしたのは私だが、コピペしているサイトが滅茶苦茶。
ハーディー・リトルウッド予想とは全然違う。リトルウッドの予想は無理数の有理近似から生じた。
任意の無理数αに対して、q|qα－p|＜1/√5 を満たす有理数 p/q は可算無限個存在する。
そこで、直線R上で実数xに最も近い整数を ||x|| で表す。
そうすると、上の不等式 q|qα－p|＜1/√5 は q||qα||＜1/√5 で表せる。
任意の無理数α、βに対して、liminf_{q→+∞}(q||qα||・||qβ||)＝0 であろうという予想がリトルウッドの予想。
あのスレには、名前の由来が分からんが jin といかいうのがいるんだな。 >>549
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃんの知識は偏っているが、その分野ではえらく博識やね～（＾＾
おっちゃんのいう”リトルウッドの予想は無理数の有理近似 1/√5 で表せる”は、検索ヒットなしだが、
下記に、ヒットした関連情報を貼っておくよ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%88%E3%83%AB%E3%82%A6%E3%83%83%E3%83%89%E4%BA%88%E6%83%B3
ハーディ・リトルウッド予想
(抜粋)
加法的整数論に大きな進歩をもたらした1920年代の一連の論文“Some problems of partitio numerorum”（「分割の諸問題」）の中のゴールドバッハの問題を扱った第三論文の付録に15個もの予想が載せられているが、
それらを総称してハーディ・リトルウッド予想と呼ぶ。その一つである双子素数の分布公式もまだ証明されていない。またそれらの分布公式中の特別な定数たちはすべてひっくるめてハーディ・リトルウッド定数と呼ばれることが多い。
彼らはこの予想について発見的な議論といくつかの数値的な証拠しか与えなかったが、現在までに得られている数値的証拠とも非常によく一致している。
この予想は最初は解析的に導かれたものだったが、今では初等的に導くことができるいくつかの発見的議論が知られている。しかし、リーマン予想などの素数分布の他の大予想との関連もまだ十分には明かされていない。
(引用終わり)
つづく >>550 つづき
これは、C++さん向け
https://www.ipsj.or.jp/07editj/promenade/4503.pdf
無理数を近似する分数 - 情報処理学会 田中哲朗(東京大学情報基盤センター) 著 -情報処理誌 ?2004
つづく >>551 つづき
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/64/2/64_0642131/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/64/2/64_0642131/_pdf
論説 切断近似をしないボルツマン方程式 森本 芳則, 鵜飼 正二数学 / 64 巻 (2012) 2 号 / 書誌
https://www.jstage.jst.go.jp/article/bjsiam/22/2/22_KJ00008113424/_pdf/-char/en
角切断近似をしな いボルツマ ン方程式 - J-Stage 森本芳則 著 - ?2012
The Boltzmann Equation without Angular Cutoff : The Theory of the Existence and the Regularity of Solutions Yoshinori Morimoto Volume 22 (2012) Issue 2 Pages 142-145
(抜粋)
特異性をもつ衝突積分項については1970年代 のPao ［9］の研究以来t その擬微分作用素的な性質が指摘されてきたが2000 年に入り，C．Villani （2010 年フィールズ賞受賞〉を含む研究者等［1]に
よりその積分作用素としての詳細な性質が明らかになった．
(引用終わり)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BB%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%8B
(抜粋)
セドリック・ヴィラニ（Cedric Villani、1973年10月5日 -）はフランスの数学者。専門分野は偏微分方程式、数理物理学。ボルツマン方程式とランダウ減衰に関する研究の成果により、2010年にフィールズ賞を授与された。
(引用終わり)
以上 >>548 補足
>アーベルは、５次方程式の解の公式を見つけたという。だが、誤りだった
>ガロアも同じく、最初は、５次方程式の解の公式を見つけたという。だが、誤りだった
例え誤りでも、こういうレベルの証明をスラと書けるレベルは、この人は、私より実力はるかに上だな（＾＾
しかし、このスレで話題になった以上、誤りは誤りとすべき。まあ、いわゆる是々非々というやつです。
（批判や評論は、野球でも音楽でも同様、自分が出来なくて実力は伴わなくても、可能。数学としては、それで正なのだ ） >>554
C++さん、どうもスレ主です。
コメントありがとう。
そのページは、高木先生の本ですね
えーと、>>550引用の中に
「三論文の付録に15個もの予想が載せられているが、
それらを総称してハーディ・リトルウッド予想と呼ぶ。」
とあるでしょ？
この15個の予想の中のどれかが、一つは高木先生の書かれている（世間で）一番有名なハーディ・リトルウッド予想ですね。
おっちゃんのいうあまり有名でない、
”リトルウッドの予想は無理数の有理近似 1/√5 で表せる”の方は、和文検索ではヒットしないように思えてきました。
おそらく、英文キーワードで適切なものを見つけないと、難しいかなと思います。（＾＾ >>548
＞機械（マシーン）ならすぐ気付くバグ
マシンでバグが見つかるならこれほど楽なことはなく
全くの見当違いな見解本当に有難うございました あと何日何時間何分苦しめば普通に生きさせてもらえるのか
夢の中でも人生が苦しいと言っていた
まず人権はあるのか？ >>556
?
プログラミングやったことないのか？ >>556
>>543 補足
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
端的に、この定理と証明の問題の結論を言えば・・
１．「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」→「f は”Bf内の”ある開区間の上でリプシッツ連続である．」
という表現にすべきだったろう。”Bf内の”は、私には自明だが、証明を書いた人は、
表現がまずく”証明のために作った”B_N,M”なる被覆空間の合併集合”との区別を忘れてしまった。つまり、”B_N,M”と”Bf”とを混同してしまったのだ
２．集合の被覆（>>210ご参照）だから、被覆される集合と被覆する集合の性質とは、基本的には無関係。単に集合の大小関係にすぎない
つまり、「Bf ⊆ ∪B_N,M」以上のことはなにも言えないから、「∪B_N,M」側について何か証明しても、”Bf”には無関係だということに気付いていない
３．”稠密”についての意識が希薄。集合R－Bfは、R中の有理数Qを念頭に置いたものがだから、集合R－BfもR中に稠密分散している。
ならば、”Bf内”に、”リプシッツ連続である開区間”など取れるはずがない。” ruler function ”を思い浮かべれば、気付くのは容易だったろう
言ってみれば・・、言われて見れば・・、他愛もない話だろ
が、私スレ主は、これに気付くのに、約一月掛った
お恥ずかしい話だ。その道のプロならわずか３分で気付くだろうな（＾＾ >>560 訂正
単に集合の大小関係にすぎない
↓
単に集合の包含関係にすぎない
かな（＾＾ >>560 補足
例えば、下記トマエ関数は、”xが無理数の点でfは連続 xが有理数の点でfは不連続”であるが
どこかに、ｘが連続な開区間が取れるわけではない。（∵開区間内に必ず有理数Qの点が存在し、その点では不連続になるから）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1127539791
関数の連続性 kessyoutouさん yahoo 2009/6/22
(抜粋)
問題が解けません。助けてください。お願いします。
f(x)=0 (xが無理数αの時)
f(x)=1/q （xがp/qつまり有理数の時）
とした時、f(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続であることを証明せよ。
ただし、稠密性(?)は用いてよいこととする。
つまり、Rの中にはある有理数について十分に近い無理数が存在しているということである。
稠密性のあたりの意味が全く分からず手に負えません。
できる方!!お願いします。
ベストアンサーに選ばれた回答 hsmtmk_tさん
xが無理数の点でfは連続
xが有理数の点でfは不連続
ですね。
基礎課程の微分積分の授業でしょうか。ε-δの練習問題ですが、
この問題は大学一年生が解くには割と難しい部類に入ると思います。
さて、それでは証明です。
(引用終わり) >>562 訂正
どこかに、ｘが連続な開区間が取れるわけではない。
↓
どこかに、f(ｘ)が連続な開区間が取れるわけではない。
なか（＾＾ おっちゃんです。
>”リトルウッドの予想は無理数の有理近似 1/√5 で表せる”
スレ主が定理1.7を否定していてもおかしくない状態ということですな。
スレ主は ε-N 或いは実数論から。 スレ主はボケで>>550のようなことを書いたのか本当にコピペ出来なかったのかが分からないが、
代わりにリトルウッドの予想のサイトをコピペする。
https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_conjecture
まあ、wikiの References や Further reading には基本的なテキストが挙げられていないようですな。
あと、>>549の一番下の行の「といかいう」の部分は「とかいう」に訂正。 >>564
おっちゃん、その方面では博識やね～（＾＾
>スレ主が定理1.7を否定していてもおかしくない状態ということですな。
いまどき、定理1.7（>>560）を肯定しているのは、おっちゃんくらいだろ？（＾＾
定理1.7は、居なくなった >>566 訂正
定理1.7は、居なくなった
↓
定理1.7を書いた人は、居なくなった >>565
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃん、ありがとう。その方面では博識やね～（＾＾ >>566
本気で>>550を書いていたのか。
>>550のwikiのサイトからリトルウッドについてのwikiに移って、そのリトルウッドの英語版を見ると、
リトルウッドの予想にリンク出来るようになっていて、それをコピペすれば済むようになっていた。
あとは、それをコピペすればよかっただけ。
>>549の liminf_{q→+∞} の記号が分からないということは、
上極限や下極限が分からないということになる。
定理1.7の記号 lim sup y→x の意味も分からないということになる。 >>569
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>>>550のwikiのサイトからリトルウッドについてのwikiに移って、そのリトルウッドの英語版を見ると、
>リトルウッドの予想にリンク出来るようになっていて、それをコピペすれば済むようになっていた。
ああ、そうだったのか？
さすが、その方面では博識やね～（＾＾
だがな、それ、日本語で”リトルウッドの予想”と叫んでも、多くのひとはポカーンだろうな
実際、https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_conjecture （>>565）を開いて見ても
左のLanguagesで、ポルトガルとかスウェーデンと、もう一つヘブライ語の３つしかページがない
思うに、en.wikipediaだが、リトルウッド先生が英国出身だから、米でなく英国人が作ったのかもね
なので、”リトルウッドの予想”は非常な博識だが、逆にみんなポカーンだろう >>569
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>>>549の liminf_{q→+∞} の記号が分からないということは、
>上極限や下極限が分からないということになる。
>定理1.7の記号 lim sup y→x の意味も分からないということになる。
まあ、そう攻めるな（＾＾
そこも、おいおい突っつくからよ～
ところで、その前に、おっちゃん、稠密（下記）を理解しているかい？
R中のQは稠密だから、無理数のみの開区間や有理数のみの開区間は取れないことを！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%96%A2%E4%BF%82
稠密関係
(抜粋)
数学における稠密関係（ちゅうみつかんけい、英: dense relation）とは、集合 X 上の二項関係 R であって、X の R-関係にある任意の二元 x, y に対し、X の元 z で x とも y とも R-関係にあるようなものが存在するものをいう。
記号で書けば、
∀ x ∀ y xRy → ( ∃ z xRz ∧ zRy)
となる。
任意の反射関係は稠密である。
例えば、二項関係として狭義の半順序 < はそれが関係として稠密であるとき、稠密順序(dense order)であるという。すなわち、集合 X 上の半順序 ? が（あるいは順序集合 (X, ?) が）稠密であるとは、X の任意の二元 x, y で x < y を満たすものに対し、X の元 z で x < z < y を満たすものが必ず存在することを言う。
有理数の全体に通常の大小関係による順序を入れたものは、この意味で稠密である（実数全体のなす順序集合も同様）。他方、整数全体の成す集合に通常の順序を入れたものは稠密でない。
関連項目[編集]
クリプキ意味論
自己稠密
稠密集合
参考文献[編集]
David Harel, Dexter Kozen, Jerzy Tiuryn, Dynamic logic, MIT Press, 2000, ISBN 0262082896, p. 6ff
(引用終り)
なんで、クリプキ意味論とか、「Jerzy Tiuryn, ”Dynamic logic”, MIT Press」に関連しているのかね？（＾＾ 誤爆してきたが、再投下（＾＾
突然ですが
名著」ソラリスね。書店にあったから、つい買ってしまった（＾＾
https://www.nhk.or.jp/meicho/famousbook/71_solaris/index.html
NHKテレビテキスト「100分 de 名著」ソラリス 2017年12月
(抜粋)
惑星ソラリスの探査に赴いた科学者クリス・ケルヴィンは、科学者たちが自殺や鬱病に追い込まれている事実に直面。何が起こっているのか調査に乗り出します。その過程で、死んだはずの人間が次々に出現する現象に遭遇し、自らの狂気を疑うクリス。
やがて惑星ソラリスの海が一つの知的生命体であり、死者の実体化という現象は、海が人類の深層意識をさぐり、コミュニケーションをとろうする試みではないかという可能性に行き当たります。果たして「ソラリスの海」の目的は？
この作品は、人類とは全く異なる文明の接触を描いているだけではありません。ソラリスの海が引き起こす不可解な現象は、人間の深層に潜んでいるおぞましい欲望や人間の理性が実は何も知りえないのではないかという「知の限界」をあぶりだしていきます。
ロシア・東欧文学研究者の沼野充義さんは、レムは、この作品を通して「人間存在の意味」を問うているのだといいます。
さまざまな意味を凝縮した「ソラリス」の物語を【科学や知の限界】【異文明との接触の可能性】【人間の深層に潜む欲望とは？】【人間存在の意味とは？】など多角的なテーマから読み解き、混迷する現代社会を問い直す普遍的なメッセージを引き出します。
(引用終り)
https://hh.pid.nhk.or.jp/pidh07/ProgramIntro/Show.do?pkey=001-20171204-31-16596
１００分ｄｅ名著 レム“ソラリス”［新］ 第１回「未知なるものとのコンタクト」
[Eテレ] 2017年12月4日（月） 午後10:25～午後10:50（25分）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%81%AE%E9%99%BD%E3%81%AE%E3%82%82%E3%81%A8%E3%81%AB
ソラリスの陽のもとに >>572 参考
https://en.wikipedia.org/wiki/Solaris
Solaris
From Wikipedia, the free encyclopedia
Solaris, a Latin word meaning "pertaining to the sun", may refer to:
（Solarisは、「太陽に関するもの」を意味するラテン語で、次のものを参照することがあります。 by google翻訳）
(抜粋)
Literature, television and film[edit]
Solaris (novel), a 1961 science fiction novel by Stanis?aw Lem
Solaris (1968 film), directed by B. Nirenburg
Solaris (1972 film), directed by Andrei Tarkovsky
Solaris (2002 film), directed by Steven Soderbergh
Other uses[edit]
Solaris (operating system)
(引用終り) >>570 補足
Swinnerton-Dyerさんが出てくるね（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_conjecture
Littlewood conjecture
(抜粋)
Connection to further conjectures[edit]
It is known that this would follow from a result in the geometry of numbers, about the minimum on a non-zero lattice point of a product of three linear forms in three real variables: the implication was shown in 1955 by J. W. S. Cassels and Swinnerton-Dyer.[1]
This can be formulated another way, in group-theoretic terms. There is now another conjecture, expected to hold for n ? 3: it is stated in terms of G = SLn(R), Γ = SLn(Z), and the subgroup D of diagonal matrices in G.
Conjecture: for any g in G/Γ such that Dg is relatively compact (in G/Γ), then Dg is closed.
This in turn is a special case of a general conjecture of Margulis on Lie groups.
(引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Swinnerton-Dyer
Peter Swinnerton-Dyer
(抜粋)
Sir Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer, 16th Baronet KBE FRS (born 2 August 1927), commonly known as Peter Swinnerton-Dyer, is an English mathematician specialising in number theory at University of Cambridge.
As a mathematician he is best known for his part in the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture relating algebraic properties of elliptic curves to special values of L-functions, which was developed with Bryan Birch during the first half of the 1960s with the help of machine computation, and for his work on the Titan operating system.
(引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture
Birch and Swinnerton-Dyer conjecture >>574 補足
この文が、だれがいつ書いたのか不明だが・・・
”that contributed to Lindenstrauss' Fields Medal in 2010.”とあってね
へー、「Lindenstrauss' Fields Medal in 2010」なのか～、と思った次第
私も、不勉強だね～。全然ピントこなかったな～（＾＾
https://www.york.ac.uk/
University of York
https://www.york.ac.uk/media/mathematics/documents/Littlewood.pdf
(抜粋)
Littlewood's Conjecture (1930)
Littlewood's Conjecture is at the heart of multiplicative Diophantine approximation and has motivated
many recent breakthrough developments such as the work of Einsiedler, Katok and Lindenstrauss [5]
that contributed to Lindenstrauss' Fields Medal in 2010. The conjecture is well known for its strong
links with dynamical systems and ergodic theory (indeed, the measure rigidity conjecture of Margulis [7]
regarding the dynamics on SL3(R)=SL3(Z) implies Littlewood's Conjecture) and is currently a part of
a major research trend world-wide. It has been in the spotlight at many recent major workshops and
conferences including the 2010 ICM in Hyderabad.
(引用終り) >>571
>おっちゃん、稠密（下記）を理解しているかい？
>R中のQは稠密だから、無理数のみの開区間や有理数のみの開区間は取れないことを！（＾＾
＜文学では＞
「"The Sound of Silence" を"沈黙の音"とそのままに訳すと意味が通じません」
「松尾芭蕉 『古池や蛙飛び込む水のおと』 この俳句では、蛙がケロケロでもなクワックワッでもなく、古池に飛び込ませることで「静けさ」の音が伝わってくる素晴らしい作品です。」
＜数学では＞
文学のような矛盾は許されない。R中のQは稠密。
にも関わらず、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」（>>560）とする。
そういう命題の立て方は、許されない
気付いてみれば、当たり前のこと
系1.8(>>184)の背理法との関係で、脳波を狂わされていたよ～（＾＾
（参考）
http://kiyo-furu.com/silence.html
The Sound of Silence－「沈黙の世界」～訳と解釈 (2011/12/5,12/29,2012/2/6,4/17更新) kifuruの長文系ページ
(抜粋)
１．タイトルの意味
The Sound of Silence 沈黙の世界
"The Sound of Silence" を"沈黙の音"とそのままに訳すと意味が通じません。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A4%E6%B1%A0%E3%82%84%E8%9B%99%E9%A3%9B%E3%81%B3%E3%81%93%E3%82%80%E6%B0%B4%E3%81%AE%E9%9F%B3
古池や蛙飛びこむ水の音
(抜粋)
芭蕉が蕉風俳諧を確立した句とされており[1][2]、芭蕉の作品中でもっとも知られているだけでなく、すでに江戸時代から俳句の代名詞として広く知られていた句である[3]。
(引用終り)
https://nippon.fr/ja/archives/3747
フランス語豆知識 いろんな静けさ NOVEMBER 17, 2010 AKI Le vrai Japon. フランス発見 | Nippon.fr
おもしろいのは擬態語。音を出さないものについて字を当てて表現する。
ポカポカの日だ。
頭がガンガンする。
バラバラに散らかっている。
外国人にこういった日本語を教えると結構面白がってくれます。ツルツル、パンパン、トントン、ピョンピョン、カンカン、ザーザー、テクテク、カサカサ、ドスンドスン、 時に、ボーっと、シーンと、ポワーンと・・・・、なんだこの日本語！？と。
つづく >>576 つづき
もちろん英語やフランス語にもonomatopoeiaやonomatopeeと訳語があるので、こういった表現（擬声語）は存在します。ただ日本語の擬声語の数は比べ物にならないくらい多い。
そうした音に対する人の捉え方をみると、言語の違いだけではなく、文化や習慣の違いも見えてきます。日本人は音に対してとても敏感だと思います。
では、いろんな国の「静けさ」をあらわす表現を見てみましょう。
まず日本代表：松尾芭蕉 『古池や蛙飛び込む水のおと』
この俳句では、蛙がケロケロでもなクワックワッでもなく、古池に飛び込ませることで「静けさ」の音が伝わってくる素晴らしい作品です。蛙の擬音語ではなく、蛙が飛び込んだときに水がポチャッとなるイメージを頭の中に描くので水のはじく擬音語ですね。
その音は俳句の中には文字として記されていませんが、共通の文化を持っている人間ならばそこからジワリと静けさが浮かび上がってくることでしょう。
(引用終り)
以上 おっちゃんです。
フランス語はよく分からないが、日本語でいう「す」に当たる発音がフランス語だと「シュ」という発音になるそうだ。
フランス語の発音には日本語の「す」に当たる発音がなく、
「ムース」という言葉をフランス人は「ムーシュ」と発音してしまうそうだ。 >>578
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃん、仏語もできるのか～（＾＾ >>579
フランス語？
私はフランス語は書けず読めず、話せないし、文法も詳しくは知らない。
フランス語の雑学の知識を書いただけ。 別スレより
私はあそこのスレ主とは違う。
ガロアスレのスレ主は他人に成り済ましたりする癖があって、質が悪い。
私はあそこのスレ主とは違う。
ガロアスレのスレ主は他人に成り済ましたりする癖があって、質が悪い。
だってよ！！
スレ主も有名になったもんだww >>580
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃんは、ある方面については、博識やね～（＾＾ >>576 補足
>＜数学では＞
>文学のような矛盾は許されない。R中のQは稠密。
>にも関わらず、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」（>>560）とする。
>そういう命題の立て方は、許されない
普通の教科書を勉強している限り
定理の命題の立て方に矛盾を含んでいることはありえない・・（＾＾
だが、（>>560より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)”
で、定理1.7の命題の中に矛盾（：R－Bf がR内で稠密な場合でも、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」などと）を含んでいた
こんな例は、初めてだったので、（後の系1.8での背理法も絡み）脳波を狂わされたよ～（＾＾
こんな簡単な話に気付くのに、一ヶ月ほどもかかってしまった・・（＾＾ 今年はICMの年か
http://www.icm2018.org/portal/en/home
(抜粋)
Welcome to the International Congress of Mathematicians 2018 (ICM 2018)
From August 1st to 9th, 2018, Rio de Janeiro will host the International Congress of Mathematicians (ICM) in its largest and most traditional convention center: Riocentro, in the Barra da Tijuca neighborhood.
(引用終り) 望月新一先生は、出席するのだろうか？ 招待講演は？ 2012年の夏にIUTTの論文を完成させてニュースになったが、2014年は時期尚早とネコマタギされたのだった・・（＾＾ >>575 関連
>”that contributed to Lindenstrauss' Fields Medal in 2010.”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E8%B3%9E
フィールズ賞
(抜粋)
2002年には、ノーベル賞により性格の近いアーベル賞が設立された。すでにフィールズ賞とアーベル賞のダブル受賞を果たした人物も存在する。
比較項目 ノーベル賞 アーベル賞 フィールズ賞
第1回 1901年 2003年 1936年
実施間隔 1年 1年 4年
年齢制限 なし なし 40歳以下
賞金額 約1億円 約1億円 約200万円
2010年（ハイデラバード）[16]
エロン・リンデンシュトラウス（Elon Lindenstrauss, 1970年 - ） イスラエル
「 For his results on measure rigidity in ergodic theory, and their applications to number theory. 」 >>590 関連
下記、”特にリトルウッド予想の解決と数論的双曲曲面についての量子エルゴード予想の解決で知られる。”とあるね
おっちゃん、えらい～！ おれ知らなかったよ～！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%B9
エロン・リンデンシュトラウス
エロン・リンデンシュトラウス（Elon Lindenstrauss, 1970年8月1日 - )はイスラエル人の数学者。 プリンストン大学教授。イスラエルのエルサレム出身。
1991年にヘブライ大学で物理学の学士号を取得した。Talpiot programの対象となり、イスラエル軍で兵役に就く代わりに大学で研究を継続することで兵役の代替とみなされることになり、ヘブライ大学で研究を継続して1995年に数学の修士号、1999年に博士号を取得した。
その後、ヘブライ大学、スタンフォード大学を経て、2004年に現職であるプリンストン大学教授に就任した。
研究分野はエルゴード理論、力学系、整数論、保型形式、量子カオス、ランダムウォーク、パーコレーション。特にリトルウッド予想の解決と数論的双曲曲面についての量子エルゴード予想の解決で知られる。他にも無限次元幾何学、力学系での貢献がある。
受賞歴
2003年 - サレム賞
2004年 - ヨーロッパ数学会賞
2010年 - フィールズ賞 >>591 関連
おれ、スレ22で下記を書いていたね。だが、”量子エルゴード予想”に注目していて、”リトルウッド予想”はまったく記憶に残っていないね～（＾＾
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1471085771/681
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22
681 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/18(日) 00:49:12.21 ID:9cd3XTDs [2/19]
>>680
> 1990年以来のフィールズ賞受賞者の少なくとも
> ８名が場の量子論に関連する数学の研究をしてきた。
はて？ 浮かぶのは下記５名くらいだが・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E8%B3%9E
フィールズ賞
1990年 エドワード・ウィッテン（Edward Witten, 1951年 - ）
1998年 リチャード・ボーチャーズ （Richard E. Borcherds, 1959年 - ）頂点作用素代数の構成
マキシム・コンツェビッチ ウィッテン予想の証明。つまり量子重力の二つのモデルが等価であることの証明や位相的場の理論における貢献
2002年 アンドレイ・オクンコフ Witten予想の別証明 Gopakumar-Marino-Vafa公式
2010年 エロン・リンデンシュトラウス リトルウッド予想の解決と数論的双曲曲面についての量子エルゴード予想の解決で知られる。 >>591 関連
http://math.stanford.edu/~akshay/research/eklexp.pdf
The work of Einsiedler, Katok and Lindenstrauss on the Littlewood conjecture ,Akshay Venkatesh Bulletin AMS (2007).
http://math.stanford.edu/~akshay/
Akshay Venkatesh I'm a professor in the mathematics department at Stanford. My research is in number theory and related topics.
http://math.stanford.edu/~akshay/research/research.html
Akshay Venkatesh -- Research Interests My research is in number theory and various related topics. I like problems where there is interesting interaction between analysis and algebra. >>593 関連
下記が正式版みたいだ。内容は殆ど同じだが、引用文献が下記の方が増えているから
http://www.ams.org/journals/bull/2008-45-01/S0273-0979-07-01194-9/S0273-0979-07-01194-9.pdf
THE WORK OF EINSIEDLER, KATOK AND LINDENSTRAUSS ON THE LITTLEWOOD CONJECTURE AKSHAY Venkatesh 著 - ?2008
BULLETIN (New Series) OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 45, Number 1, January 2008, Pages 117?134
S 0273-0979(07)01194-9
Article electronically published on October 29, 2007 >>591 関連
http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/survols.html
http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/LittBes1.pdf
Around the Littlewood conjecture in Diophantine approximation. Yann Bugeaud Publ. Math. Besancon, 5-18, 2014.
http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/
Yann Bugeaud Professeur. Directeur de l'IRMA (Institut de recherche mathematique avancee, U.M.R. 7501).
2015
(avec D. Badziahin, M. Einsiedler et D. Kleinbock) On the complexity of a putative counterexample to the p-adic Littlewood conjecture.
Compos. Math. 151 (2015), 1647-1662.
2011
(avec A. Haynes et S. Velani) Metric considerations concerning the mixed Littlewood Conjecture.
Intern. J. Number Theory 7 (2011), 593-609. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/padicLitt9.pdf
(avec N. Moshchevitin) Badly approximable numbers and Littlewood-type problems.
Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 150 (2011), 215--226. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/Vija1.pdf
2008
(avec B. de Mathan) On a mixed Littlewood conjecture in fields of power series.
Diophantine analysis and related fields (DARF 2007/2008), AIP Conf. Proc. 976, Amer. Inst. Phys., Melville, NY, 2008. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/MLSF1.pdf
2007
(avec B. Adamczewski) On the Littlewood conjecture in fields of power series.
Probability and Number Theory, Kanazawa 2005. Adv. Stud. Pure Math. 49 (2007), 1-20. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/LittleSF1.pdf
(avec M. Drmota et B. de Mathan) On a mixed Littlewood conjecture in Diophantine approximation.
Acta Arith. 128 (2007), 107-124. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/BDdMbis1.pdf
2006
(avec B. Adamczewski) On the Littlewood conjecture in simultaneous Diophantine approximation.
J. London Math. Soc. 73 (2006), 355-366. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/Petitbois1.pdf >>595 補足
https://fr.wikipedia.org/wiki/Institut_de_recherche_math%C3%A9matique_avanc%C3%A9e
Institut de recherche mathematique avancee
by google訳
先端数理研究所
高度な数学の研究所（IRMA）は実験室の数学に位置ストラスブール。
歴史
創業100年以上がある[とき？]、IRMAのような有名な数学者開催していハインリッヒウェーバー、モーリスフレシェ、アンドレ・ヴェイユ、チャールズ・エアレスマン、アンリカルタン、アンドレ・リックネロウィックツフィールズメダリスト ルネ・トム、
バーナード・マルグレンジ、ジーン・ルイス・コスズール、ジョルジュ・レーブ、ピエールカルティエ、クロードGodbillonとポール・アンドレ・マイヤー。
それは1966年にCNRSに関連した最初の研究所でした。
UMRになった 研究室には87名の研究者と12名の研究チームに分かれた教員研究者が雇用されています。
(引用終り) >>581-583
マジレスしておくと
１）検索したが、数学板限定ではヒットなし
２）なので、あんたの妄想だろ？（＾＾
３）まあ、”成り済まし”とか宣うのは、論争で不利なときに、それにすがった人が言ったこと。これも単なる妄想だった
４）論争は、私の主張の方が正しかったので、”成り済まし”する必要は、さらさら無かったわけだ（＾＾
以上
”スレ主も有名になったもんだ”のお褒めの言葉は、ありがたく受け取っておくよ（＾＾ >>595 補足
>Probability and Number Theory, Kanazawa 2005. Adv. Stud. Pure Math. 49 (2007)
Kanazawa 2005というのがあったんやね。Yann Bugeaudさんは、トップバッターで発表している
http://mathsoc.jp/publication/ASPM/aspmlist.html
Advanced Studies in Pure Mathematics
Volume 49
Probability and Number Theory --- Kanazawa 2005
Edited by S. Akiyama, K. Matsumoto, L. Murata and H. Sugita
pdf file of contents http://mathsoc.jp/publication/ASPM/contents/CFM49.pdf >>574
Current statusのところに図があって、これなかなか綺麗な図だなと（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture
Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
(抜粋)
Current status
A plot of Π _{p<= X}{{N_{p}}/{p}} for the curve y2 = x3 ? 5x as X varies over the first 100000 primes.
The X-axis is log(log(X)) and Y-axis is in a logarithmic scale so the conjecture predicts that the data should form a line of slope equal to the rank of the curve, which is 1 in this case.
For comparison, a line of slope 1 is drawn in red on the graph.
(引用終り) おっちゃんです。
>>592
>>594の
http://www.ams.org/journals/bull/2008-45-01/S0273-0979-07-01194-9/S0273-0979-07-01194-9.pdf
ではリトルウッドの解決はなされていない。
>>592のwikiの日本語版のサイトの内容はデタラメで、日本語版より正確な内容で最新の更新日が2017年10月27日と現在により近い英語版のwikiのサイトの
https://en.wikipedia.org/wiki/Elon_Lindenstrauss
に書かれている
>Lindenstrauss works in the area of dynamics, particularly in the area of ergodic theory and its applications in number theory.
>With Anatole Katok and Manfred Einsiedler, he made progress on the Littlewood conjecture.
の意味は
>リンデンシュトラウスは力学系特にエルゴード理論とその数論への応用について研究している。
>カトクやアインシードラーと一緒に、リトルウッドの予想が正しいことを確信させつつ、
>その予想の方面におけるより進んだ数学の業績を上げた。
になる。大雑把に訳すとこういうようになる。リトルウッドの予想は、まだ完全な解決には至っていない。 >>592
>>601の訂正：
>>592のwikiの日本語版のサイト → >>591のwikiの日本語版のサイト >>603
誰へのレスだ？
それともスレ主の自演か。 1年でゼロの状態から東京大学に受からせるための個別指導の予備校みたいなのって無いですか？ >>605
塾や予備校のことはよく知らない。
1年でゼロの状態から東大に受かるのは、ほぼムリ。
大学のお受験はつまらないモノと思っていた方がいい。 >>606
3年でゼロの状態から受かるのはどうでしょうか？ >>607
3年間なら出来るとは思うが、学習法による。
知識とかは、チンタラチンタラ長くやっても身に付かず、
集中して身に付けないと身に付かない。
英語、古文、漢文の辞書を引くことについては、
それらの科目に或る程度慣れて単語が分かるようにならないと、
辞書を引くのに時間がかかることには変わりがない。
辞書を引いて調べたようなことが全くないと、
単語を調べるのかに手間がかかり辞書を引くのに時間がかかる。 東大に受かるには小学校からそのつもりで勉強しないと駄目
そして東大出のほとんどは下らない人生を送っている
真に人類に貢献する人はほんの一握り
そしてそういう人は東大出じゃなくてもいる
だから東大コンプレックスは捨てた方がいい、実に下らない >>598
=======
【大学院へ】 30過ぎて、数学の道へ 【挑戦】 第5章
0040 １３２人目の素数さん 2018/01/19 12:00:25
>>39
私はあそこのスレ主とは違う。
ガロアスレのスレ主は他人に成り済ましたりする癖があって、質が悪い。
=======
スレ主の目は節穴のようだ（＾＾ >>610
ID:IrkaiIsqさん、どうも。スレ主です。
>スレ主の目は節穴のようだ（＾＾
本当だね。見えてなかったよ（＾＾
いや、google検索でヒットしなかったんだ。
”【大学院へ】 30過ぎて、数学の道へ”スレは巡回先にはしていたが、あのスレは1/18に新スレに移行したんだね
それ～、知らなかったな～（＾＾
で、多分新しいスレだから、googleで引っかからなかったのかな？
で、【大学院へ】 30過ぎて、数学の道へ 【挑戦】 第5章 0040 １３２人目の素数さん 2018/01/19 12:00:25は
”40 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2018/01/19(金) 12:00:25.64 ID:zLaqQ3FB [8/21]”のID:zLaqQ3FBでしょ？
で、”34 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2018/01/19(金) 10:22:31.70 ID:zLaqQ3FB [5/21]
>おまえ数学板は初めてか？
ガロアスレのおっちゃんです。”だって（＾＾
だったら、それおっちゃんの発言だから、私スレ主は、有名でもなんでもないじゃんか～！（＾＾
おっちゃんとは、腐れ縁というか、旧知の間柄ですよ～！ >>610
ID:IrkaiIsqさん、どうも。スレ主です。
>ガロアスレのスレ主は他人に成り済ましたりする癖があって、質が悪い。
おっちゃんも、しかし、言っていることが意味不明だな
そもそも、ここでは、私スレ主以外に、コテハン付けている人は、C++さんと、￥さんくらい
自分が、”１３２人目の素数さん”のままで発言していて
”他人に成り済まし”とかいう意味が分らん
他人てなんだ？ その定義は？
まあ、たまにコテが外れることがあるが、新スレのときに専用ブラウザの設定を忘れているときがあるけどね。
けど、”１３２人目の素数さん”が基本のバカ板でなにを言っているのかね？（＾＾ >>613
どうも。スレ主です。
その声は、おっちゃんかい？
検索結果は、下記の通りだった。
まだ、googleのボット巡回で、
集めて貰ってないのかも・・（＾＾
（参考：検索キーワードと検索結果）
私はあそこのスレ主とは違う。 site:https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/
25 件 （0.43 秒）
ガロアスレのスレ主は他人に成り済ましたりする癖があって、質が悪い site:https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/
1 件 （0.30 秒） >>614 補足
上記は、書き込み直前に改めて検索した結果だ
だから、googleのデータベースのインデックス内に取り込まれていないと思うよ
そもそも、このスレのカキコもヒットしないしね >>614
IDを見ろよ。
IDを変えてレスしているから区別付かなくなっているだろw >>615
スレ主は論文にしろ検索にしろ
情報を精査することができないのかね？
一手間加えるだけで未然防止できるような
イージーミスが多くないか？ やっぱり脇見恐怖症の人間には東大というか普通の大学自体無理なのでしょうか？
通信制の大学にするしかないですか？ >>616
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう。別人だったか（＾＾ >>617
どうも。スレ主です。
>スレ主は論文にしろ検索にしろ
>情報を精査することができないのかね？
>一手間加えるだけで未然防止できるような
>イージーミスが多くないか？
確かに（＾＾
その指摘は当たっている・・・（＾＾
それはさておき・・・（＾＾
「（参考：検索キーワードと検索結果）
私はあそこのスレ主とは違う。 site:https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/
25 件 （0.43 秒）
ガロアスレのスレ主は他人に成り済ましたりする癖があって、質が悪い site:https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/
1 件 （0.30 秒）」
これでどうやったら、「【大学院へ】 30過ぎて、数学の道へ 【挑戦】 第5章 」のおっちゃんの発言ヒットするんだい？
知ってたら教えてくれよ（＾＾ >>618
突然だけど、”糸井重里、池上彰も絶賛する、80年前の歴史的名著『君たちはどう生きるか』が話題！”
これを一度だまされたと思って読んでみたらどうだ？
実は、NHKとか他のTVでも取り上げられていて、つい先日書店で見かけて、店頭で読んだ来たんだ・・（＾＾
https://ddnavi.com/review/403043/a/
トップ＞レビュー＞糸井重里、池上彰も絶賛する、80年前の歴史的名著『君たちはどう生きるか』が話題！ KADOKAWA CORPORATION 2017/9/27
(抜粋)
「ほぼ日の読書会」で糸井重里さんがこんなことを言っていた。「自分はこれまであまり人に本を勧めてこなかった。何故なら、本を読む人は自分のことをいいと思いすぎている気がする。あいつは本を読まないから、という言い方で、人間の優劣をつけている風潮を、苦々しく思っていた」と。
善悪や優劣にとらわれず本について語り合いたい、という糸井さんが持参していたのが『君たちはどう生きるか』（吉野源三郎：著、羽賀翔一：マンガ/マガジンハウス）。
原作は、戦中に書かれ今なお読まれ継がれる歴史的名著で、著者は岩波少年文庫の創設にも尽力した、編集者であり児童文学者の吉野源三郎。池上彰氏が「子どもたちに向けた哲学書であり、道徳の書」と序文を寄せたことで話題の新装版とともに、80年の時を経てマンガ版が刊行された。
だからこその新装版でありマンガ版なのだ。枠にとらわれずに手にとってみると、生きていくうえでぶつかる悩みや疑問、人間関係で生じる葛藤など、人が乗り越えなくてはならない壁に、世代も性別も関係ないのだと知ることができるのだ。
時代が違うとか、児童書だからとかいう思い込みは捨てて、若者もそうとは呼べなくなった人も、ぜひ手にとってみてほしい。現に、読み終えた読者からはこんなコメントが寄せられている。
【原作読者のコメント】
幾つになっても読んで学ぶことがある。子供向けに書かれているから読みやすいけど、内容については年齢を重ねるとともに深く理解できそう。
現在にも通用する価値観に感銘を受けるとともに、書かれた時代、社会情勢を考えると一層驚きを覚える。ぜひこどもたちにも読ませたい名著。
つづく >>621 つづき
【マンガ読者のコメント】
君ではなく「君たち」であること。「こう生きるべき」という断定ではなく「どう生きるか」という問いかけであること。定期的に読み返し、自分のものにしたい。きっとこの本からはこの先ずっと大切にしたい生き方の指針が見つけられる。
どんなに知識をたくわえても、物事の全体像や正しさを理解したつもりでも、失敗してしまうことはある。とんでもない過ちを犯すこともある。自分のとほうもない弱さに直面したとき、自分を救ってくれるのは、これまでと同じように俯瞰して物事を考える力であり、「抽象化することが生きる武器になる」（糸井）。
生きていくことはその連続であり、自分なりの武器をそなえてどう立ち向かっていくのか。君たちは、私たちは、どう生きていくのか。深く考えさせてくれる、まぎれもない名著なのである。
文＝立花もも
(引用終り)
以上 >>618
「どんなに知識をたくわえても、物事の全体像や正しさを理解したつもりでも、失敗してしまうことはある。とんでもない過ちを犯すこともある。自分のとほうもない弱さに直面したとき、自分を救ってくれるのは、これまでと同じように俯瞰して物事を考える力であり、「抽象化することが生きる武器になる」（糸井）。
生きていくことはその連続であり、自分なりの武器をそなえてどう立ち向かっていくのか。君たちは、私たちは、どう生きていくのか。深く考えさせてくれる、まぎれもない名著なのである。」
てことな！（＾＾ >>618
上記の>>621-623を踏まえて（歴史的名著『君たちはどう生きるか』を読む前提で）
脇見恐怖症とかよく分らないが、精神科医とか、カウンセリングとか
そっちも検討した方が良いだろう
キーワード：カウンセリング 地方自治体
で検索すると
下記ヒットするよ。自分の身近なところで、相談するのが良いと思う
約 781,000 件 （0.53 秒）
検索結果
１）
[PDF]国や地方自治体の相談機関 - 日本臨床心理士会
www.jsccp.jp/near/pdf/gui03.pdf
国や地方自治体の相談窓口・機関. ? 医療機関. ? 学校や企業内の相談窓口. ? 外部EAP機関. ? 大学附属の相談機関. ? 私設心理相談機関. 国や地方自治体の相談機関. 医療・保健領域の機関として保健所や精神保健福祉センター、福祉領域の機関として児. 童相談所、療育センター、女性相談所、教育領域の機関として教育相談所、
司法・法 ... こうした医療機関では、医療の一環として、臨床心理士による心理検査やカウンセリング. を受けることができます。合わせて医師の診察を受けることが必要ですから、医療の対象と ...
２）
メンタルクリニック？カウンセリングルーム？行政機関？心の相談窓口の ...
https://cotree.jp ? コラム ? カウンセリングを受けたい
2014/11/18 - 全国500か所、各地方自治体に設置されています。医師、保健師、精神保健福祉相談員、薬剤師、栄養士などのスタッフがいます。予約なしで相談が可能。電話相談も受け付けています。保健所では地域の医療機関に関する情報を提供してくれるので、
どの医療機関にかかったらいいか、どの診療科にかかったらいいか迷った場合などに、相談にのるとよいでしょう。
以上 >>574 補足
https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_conjecture
Littlewood conjecture
(抜粋)
References
3 M. Einsiedler; A. Katok; E. Lindenstrauss (2006-09-01). "Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture". Annals of Mathematics. 164 (2): 513?560. arXiv:math.DS/0612721?Freely accessible. doi:10.4007/annals.2006.164.513. MR 2247967. Zbl 1109.22004.
(引用終り)
これ、arXiv:mathのリンクから下記に入ると、”Ann. of Math. (2) 164 (2006)”版が公開されているね～（＾＾
https://arxiv.org/abs/math/0612721
https://arxiv.org/pdf/math/0612721.pdf
Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture
Manfred Einsiedler, Anatole Katok, Elon Lindenstrauss
(Submitted on 22 Dec 2006)
We classify the measures on SL (k,R)/SL (k,Z) which are invariant and ergodic under the action of the group A of positive diagonal matrices with positive entropy. We apply this to prove that the set of exceptions to Littlewood's conjecture has Hausdorff dimension zero.
Subjects: Dynamical Systems (math.DS); Number Theory (math.NT)
Journal reference: Ann. of Math. (2) 164 (2006), no. 2, 513--560
(抜粋)
Part 2. Positive entropy and the set of exceptions to Littlewood’s Conjecture
7. Definitions
11. The set of exceptions to Littlewood’s Conjecture
The following well-known proposition
gives the reduction of Littlewood’s conjecture to the dynamical question which
we studied in Section 10; see also [24, §2] and [46, §30.3]. We include the proof
for completeness.
Proposition 11.1. The tuple (u, v) satisfies
(11.1) liminf n→∞ n ||nu|| ||nv|| = 0,
if and only if the orbit A+τu,v is unbounded where A+ is the semigroup
（略）
(引用終り) >>625 補足
このPDFをざっと眺めると・・（＾＾
（細かいところは、全くついて行けず、理解できないが・・）
Positive entropyとか、本当に力学的な（ポアンカレのトポロジーも力学的な課題から発しているというし、ペレリマン先生も”entropy”とか書いていたが）
理論を適用して、
”Proposition 11.1. The tuple (u, v) satisfies
(11.1) liminf n→∞ n ||nu|| ||nv|| = 0,
if and only if the orbit A+τu,v is unbounded where A+ is the semigroup ”
みたいなことを証明したのかな～？（＾＾ >>620
引用した内容からおおよそ数学板であることは分かるはず。あとは数学板の各スレッドにて適当なキーワードでページ内検索を地道にすれば、サクッと見つけられる。別に難しいことでは無い。
スレ主よ
ここまで面倒みてあげないとダメなのか？
数学云々よりも先に身の回りの基本的なツールの有効な活用方法をちゃんと習得することをオススメする。 >>601
Elon_Lindenstrauss 先生は、数オリは、1988（17か18かのとき）に銅目メダルで、17点の102位（全体で62.17％）か
いわゆる、神童とか天才と言われるレベルではないが、その後順調に伸びたんだろう・・（＾＾
だったら、君にも可能性はある・・、可能性は・・（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Elon_Lindenstrauss
Elon Lindenstrauss
(抜粋)
Elon Lindenstrauss ( born August 1, 1970) is an Israeli mathematician, and a winner of the 2010 Fields Medal.[1][2]
Awards[edit]
In 1988, Lindenstrauss represented Israel in the International Mathematical Olympiad and won a bronze medal.
External links
http://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=1672
International Mathematical Olympiad
Elon Lindenstrauss
Year Country P1 P2 P3 P4 P5 P6 Total Rank Abs. Rel. Award
1988 Israel 3 5 1 7 0 1 17 102 62.17% Bronze medal
(引用終り) スレ主へ
数学という点で既に他の住人に引き離されてる自覚はあると思うが
それ以上にＩＴリテラシーなどもっと基本的な素養という点で他の住人にかなり差をつけられていることを自覚できているか？
あと、いつも（＾＾ ←こんな顔文字を使って他人の指摘をごまかしてるつもりなのかも知れないが、何も誤魔化しきれてない。
反感買ってるだけなの分かってる？ >>627
>あとは数学板の各スレッドにて適当なキーワードでページ内検索を地道にすれば、サクッと見つけられる。別に難しいことでは無い。
正気か？ 「別に難しいことでは無い」だろうが、無価値なことに時間を無駄にしていると、思わないか？
おっちゃんのどこかのスレの発言を、そこまでして・・、おれが見つけなければならないと？（＾＾
【大学院へ】 30過ぎて、数学の道へ 【挑戦】 第5章
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1516213849/
いま現在の、google検索結果
１）
”私はあそこのスレ主とは違う。 site:https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1516213849/ に一致する情報は見つかりませんでした。”
２）
”ガロアスレのスレ主は他人に成り済ましたりする癖があって、質が悪い site:https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1516213849/ に一致する情報は見つかりませんでした。”
(引用終り)
（余談だが、５CHに変わってからかどうか分らないが、googleに疎んじられているようだな・・（＾＾ ）
で、>>620に書いたように、バカ板全体 site:https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/ （”30過ぎて”スレでなく）、を対象に検索を掛けてヒットなしだった
で？ おれが、いちいちバカ板の全てのスレを開いて検索して回れと？ おれが、そこまで他人のつまらん発言の面倒をみなけりゃいかんのかい？（＾＾
以上 >>629
>それ以上にＩＴリテラシーなどもっと基本的な素養という点で他の住人にかなり差をつけられていることを自覚できているか？
嫁よ>>630
5CH数学板のバカすれは、googleから疎外されているんじゃないのかね～？（＾＾
なお、（＾＾＝W だよ もっとも、このガロアすれも、googleからバカすれ認定されていると思うがね（＾＾ 新年が明けてまでゴミクズの相手をするのもバカらしいので、正月の三日間くらいは控えようと思っていたら、
ゴミクズ自体のことがどうでもよくなってきて、今日ひさしぶりに閲覧してみた次第である。
そして、ゴミクズのゴミクズ具合は全く変わってないようで何よりである。
以下ではゴミクズに向けて反論を書いていくが、こちらは以前よりやる気がないので、
今後も返答を続けるか否かは気分次第であることを先に注意しておく。 >>560
＞１．「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」→「f は”Bf内の”ある開区間の上でリプシッツ連続である．」
＞ という表現にすべきだったろう。”Bf内の”は、私には自明だが、証明を書いた人は、
＞ 表現がまずく”証明のために作った”B_N,M”なる被覆空間の合併集合”との区別を忘れてしまった。つまり、”B_N,M”と”Bf”とを混同してしまったのだ
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。
「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」という表現のままで完全に正しい。
「Bf内」という余計な条件は全く必要ない。
＞２．集合の被覆（>>210ご参照）だから、被覆される集合と被覆する集合の性質とは、基本的には無関係。単に集合の大小関係にすぎない
＞ つまり、「Bf ⊆ ∪B_N,M」以上のことはなにも言えないから、「∪B_N,M」側について何か証明しても、”Bf”には無関係だということに気付いていない
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。
証明の中では、ベールのカテゴリ定理を経由することで、ある B_{N,M} が内点を持つことが示される。
すなわち、(a,b) ⊂ B_{N,M} を満たす開区間 (a,b) が取れることが示される。
このことから、f は (a,b) 上でリプシッツ連続になることが示される。
お前がいつまでも証明から逃げ回って理解しようとしないだけ。
＞” ruler function ”を思い浮かべれば、気付くのは容易だったろう
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。何度も同じことを言わせるな。
ruler function を f とするとき、R－B_f は第一類集合になってないので、
f は例の定理の「適用範囲外」ということになり、よって例の定理の反例になり得ない(>>45)。 ＞３．”稠密”についての意識が希薄。集合R－Bfは、R中の有理数Qを念頭に置いたものがだから、集合R－BfもR中に稠密分散している。
＞ ならば、”Bf内”に、”リプシッツ連続である開区間”など取れるはずがない。
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。
お前のこの発言のうち、最初の一行目は
「集合R－Bfは、R中の有理数Qを念頭に置いたものがだから、集合R－BfもR中に稠密分散している」
というものであるが、これを簡潔に言い直せば、
「 R－B_f は必ず R の中に稠密に分布する」
というものである。しかし、R－B_f についての仮定は、「 R－B_f は第一類集合とする」という条件だけであるから、
R－B_f は必ずしも R の中に稠密に分布しない。よって、この時点で、お前の言っていることは完全に間違っている。
言い換えれば、お前は例の定理の「仮定」の部分を正しく認識できていない。
というより、お前は「 P ならば Q 」の形をした命題全般について、正しく認識できていない。レベルが低すぎる。問題外。キチガイ。
ちなみに、それでもなお稠密に分布する場合を考えたいなら、それはつまり
「 R－B_f が第一類集合であり、なおかつ、R－B_f が R の中に稠密に分布する」… (*)
というケースを考えることになる。しかし、例の定理により、このようなケースは存在しないことが示される。
すなわち、お前は「存在しないケースを持ち出して反論した気になっている」のである。キチガイ。
なお、(*)が成り立つような具体例として、お前は再び ruler function を持ち出そうとするだろうが、
ruler function に対しては R－B_f が第一類集合にならないので、(*)の具体例になり得ない。
お前はここから全く進歩していない。キチガイ。 ＞>＜数学では＞
＞>文学のような矛盾は許されない。R中のQは稠密。
＞>にも関わらず、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」（>>560）とする。
＞>そういう命題の立て方は、許されない
＞
＞普通の教科書を勉強している限り
＞定理の命題の立て方に矛盾を含んでいることはありえない・・（＾＾
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。
「 R－B_f が第一類集合であり、なおかつ、R－B_f が R の中に稠密に分布する」というケースは存在しない。
そして、そのような存在しないケースを持ち出しているのがお前である。
となれば、矛盾しているのはお前の「頭」の方である。
あるいは、次のような言い方をしてもよい。
まず、例の定理は、「 P ならば Q 」という形の命題になっている。ただし、
P： R－B_f は第一類集合
Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続
である。もうこの時点で、「そういう命題の立て方は許されない」などということはあり得ない。
なぜなら、もしそれが許されないなら、「 P ならば Q 」の形をした如何なる命題も許されないことになるからだ。
つまり、繰り返しになるが、お前は「 P ならば Q 」の形をした命題全般について、正しく認識できていない。
レベルが低すぎる。問題外。キチガイ。 以下、「 P ならば Q 」という形の命題の真偽について。
・ P が偽がならば、「 P ならば Q 」は真であるから、この命題は正しい。
・ P が真かつ Q が真ならば、「 P ならば Q 」は真であるから、この命題は正しい。
・ P が真かつ Q が偽ならば、「 P ならば Q 」は偽であるから、この命題は間違いとなる。
従って、もしこの方針で例の定理にイチャモンをつけたいのなら、
P が真なのに Q が偽になるような具体例を持ち出すしかない。
「 R－B_f が第一類集合であり、なおかつ、R－B_f が R の中に稠密に分布する」… (*)
というケースは、P が真なのに Q が偽になるようなケースの一例であるから、そのようなケースが
もし実在するなら、それを持ち出してもよい。しかし、少なくとも ruler function は(*)に該当しない。
なぜなら、ruler function に対しては R－B_f が第一類集合にならないからだ(>>45)。
お前はここから全く進歩していない。キチガイ。
そして、例の定理により、(*)は起こらないことが示される。
よって、(*)が成り立つような具体例を考えることそのものが無駄である。
素直に証明を読めばいいのに、お前は逆張りをして(*)から攻めようとするから、
論理的に こんがらがって トンチンカンな間違いに陥るのである。キチガイ。 あるいは、お前が持ち出している論法を別の言い方で表現すると、次のようになる。
・ "P ならば Q" という形の命題について考える。
・ ここで、P が真なのに Q が偽になるようなケースを考えてみよう。
・ このとき、"P ならば Q" は偽となる。
・ よって、"P ならば Q" は命題の立て方に矛盾を含んでいる。
これが、お前の持ち出している論法である。
しかし、この論法は、「 P が真なのに Q が偽になる」ようなケースを
実際に持ってこなければ成立しない。
しかし、お前はそのようなケースの実例を提示することなく、「命題の立て方に矛盾を含んでいる」と主張している。
となれば、お前の論法は「 P ならば Q 」の形をした全ての命題に適用できてしまう。
すなわち、お前は「 P ならば Q 」の形の命題を悉く全て否定していることになる。キチガイ。
繰り返しになるが、お前は「 P ならば Q 」の形をした命題全般について、正しく認識できていない。
レベルが低すぎる。問題外。キチガイ。 くどいようだが、以下では2つの例によって、
スレ主とかいうゴミクズの論法のおかしさを改めて指摘しておく。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理A：
f：R→R が各点で微分可能ならば、f は各点で連続である。
スレ主：
「 f：R→R は各点で微分可能だが、f は各点で不連続である 」… (*)
という条件を満たす f を何でもいいから持ってくれば、上記の定理に矛盾する。
よって、上記の定理は、命題の立て方に矛盾を含んでいる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理B：
R－B_f が第一類集合ならば、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
スレ主：
「 R－B_f は第一類集合であり、なおかつ、R－B_f は R の中に稠密に分布する」…(**)
という条件を満たす f を何でもいいから持ってくれば、上記の定理に矛盾する。
よって、上記の定理は、命題の立て方に矛盾を含んでいる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
この2つの例のうち、定理Aの方は、明らかにスレ主の主張が間違っていると分かる。
なぜなら、(*)が成り立つような f は存在しないからだ。
そして、存在しないことはどうやって分かるかというと、
定理Aの証明をきちんと読むことで分かるのである。
証明を読まず、逆張りをして(*)の方から攻めても無駄である。
しかし、そのような愚行に及んでいるのがスレ主である。キチガイ。
同じように、定理Bの方も、スレ主の主張は間違っている。
なぜなら、(**)が成り立つような f は存在しないからだ。
そして、存在しないことはどうやって分かるかというと、
定理Bの証明をきちんと読むことで分かるのである。
証明を読まず、逆張りをして(**)の方から攻めても無駄である。
しかし、そのような愚行に及んでいるのがスレ主である。キチガイ。 >>635-641
寒中お見舞い申し上げます！（＾＾
ご苦労さんです（＾＾
年末年始に自得したのかと思ったが
そうでは無かったのかい？（＾＾
”「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」という表現のままで完全に正しい。
「Bf内」という余計な条件は全く必要ない。”（>>636より）
だから、「Bf内」という解釈でいいだろ？ 別に表現する必要もなく
で、（>>184）
”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
存在すると仮定する. 定理1.7 のBf について,
R － Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf
が成り立つので,
R － Bf ⊆ Q = ∪p ∈Q ｛p｝ ・・・(1)
である. ここで, 1 点集合｛p｝ (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各｛p｝ は内点を持たない閉集合であ
るから, (1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. よって, 定理1.7 が使えて, f はある開
区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である (2) さて, Q はR 上
で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る. (2) より,
f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛
盾. よって, 題意が成り立つ.”
だったろ？ 「有理数の点で不連続」だから、この集合（「有理数の点」）だけを見れば、R内で”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”でしょ？
だが、明らかに、有理数の点はR内で稠密だから、定理1.7の適用外
反例にならないというが、それをいうためには、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”を否定する証明を別にしなければならない
それは、”R－Bf が内点を持たない閉集合の非可算和でしか被覆できない”という方向でしか、証明できない。（「ある開区間の上でリプシッツ連続である」とは証明できない）
”R－Bf が内点を持たない閉集合の非可算和でしか被覆できない”をいう証明は、系1.8の証明そのものでしかない！
以上 >>632
見つけられなかった事実に対する
スレ主の言い訳がくどい。
カッコ悪杉 >>643
＞だから、「Bf内」という解釈でいいだろ？ 別に表現する必要もなく
お前が言っている「Bf内」が
「 (a,b) ⊂ B_f となる(a,b)が取れて、f は (a,b) の上でリプシッツ連続である」
という意味ならば、特に問題は起きないと思われる。
「 (a,b)∩B_f ⊂ B_f となる (a,b) が取れて、f は (a,b)∩B_f の上でリプシッツ連続である」
という意味のつもりならダメ。 >>643
＞「有理数の点で不連続」だから、この集合（「有理数の点」）だけを見れば、
＞R内で”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”でしょ？
＞だが、明らかに、有理数の点はR内で稠密だから、定理1.7の適用
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。レベルが低すぎる。問題外。
定理1.7は「 P ならば Q 」という形の命題になっており、具体的には
P： R－B_f は第一類集合
Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続
である。従って、定理1.7 が適用できるか否かは、考えている関数 f が条件 P を満たすか否かのみで決まる。
すなわち、f が P を満たすなら定理1.7が適用できるし、P を満たさないなら適用範囲外である。
件の関数 f がもし存在するなら、R－B_f ⊆ Q となるので、R－B_f は第一類集合となり、
P が成り立つことになるので、定理1.7 が適用「できる」のである。
そして、そこで矛盾するので、そのような f は存在しないことになる。
この理屈が分からないのは本当に問題外である。キチガイ。レベルが低すぎる。
あるいは、次のように言ってもよい。件の関数 f がもし存在するなら、
「 R－B_f は第一類集合であり、なおかつ、R－B_f は R の中に稠密に分布する 」…(*)
ので、特に、この f に対して
「 P は真だが Q は偽である 」…(1)
という性質が成り立つことになる。しかし、定理1.7により、「 P ならば Q 」が
成り立つことが示されているのだから、(1)は起こり得ないはずであり、矛盾する。
よって、件の関数は存在しない。
結局、お前のイチャモンのつけ方は、俺が>>640で書いた論理そのものである。
繰り返しになるが、お前は「 P ならば Q 」の形をした命題全般について、正しく認識できていない。
レベルが低すぎる。問題外。キチガイ。 >>643
くどいようだが、以下では2つの例によって、
スレ主とかいうゴミクズの論法のおかしさを改めて指摘しておく。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理A：
f：R→R が各点で微分可能ならば、f は各点で連続である。
スレ主：
「 f：R→R は各点で微分可能だが、f は各点で不連続である 」… (*)
という条件を満たす f を何でもいいから持ってくれば、
この f は上記の定理Aの適用範囲外である。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理B：
R－B_f が第一類集合ならば、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
スレ主：
系1.8で考察されている関数 f を考えれば、
「 R－B_f は第一類集合であり、なおかつ、R－B_f は R の中に稠密に分布する」…(**)
が成り立つのだから、この f は上記の定理Bの適用範囲外である。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
[続く] >>645
「 (a,b) ⊂ B_f となる(a,b)が取れて、f は (a,b) の上でリプシッツ連続である」で良いよ
それで、くどいが、いま問題にしている関数f : R → R が、”f は、ある (a,b) の上でリプシッツ連続である”という定理の主張だと（>>180より）
”f は、ある (a,b) の上でリプシッツ連続である”
↓
”R－Bf は、R中で稠密ではない”
が、自明に言える。これは良いよね
だから、定理1.7は、”R－Bf は、R中で稠密ではない”場合のみしか適用できない
これは良いよね
だから、”系1.8 有理数の点で不連続”（>>643）の場合は、適用外 [続き]
上記の2つの例のうち、定理Aの方は、明らかにスレ主は何かを盛大に勘違いしている。
なぜなら、定理Aが適用できるか否かは、「 f：R→R は各点で微分可能」が成り立つか否かだけで決まるからだ。
(*)を満たすような f はこの条件を満たすのだから、定理Aが適用できて矛盾するので、
「(*)を満たす関数 f は存在しない」ということになる。
あるいは、適用可能か否かという観点からではなく、よりシンプルに
「(*)を満たす関数は定理Aに矛盾するので、(*)を満たす関数は存在しない」
とだけ考えてもよい。いずれにせよ、上記の定理Aにおいてスレ主が言っていることは、
明らかに何かを盛大に勘違いしている。
全く同じ理屈により、定理Bの方も、スレ主は何かを盛大に勘違いしている。
なぜなら、定理Bが適用できるか否かは、「 R－B_f は第一類集合」が成り立つか否かだけで決まるからだ。
(**)を満たすような f はこの条件を満たすのだから、定理Bが適用できて矛盾するので、
「(**)を満たす関数 f は存在しない」ということになる。
あるいは、適用可能か否かという観点からではなく、よりシンプルに
「(**)を満たす関数は定理Bに矛盾するので、(**)を満たす関数は存在しない」
とだけ考えてもよい。いずれにせよ、上記の定理Bにおいてスレ主が言っていることは
明らかに何かを盛大に勘違いしている。 >>643
＞反例にならないというが、それをいうためには、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
＞を否定する証明を別にしなければならない
＞それは、”R－Bf が内点を持たない閉集合の非可算和でしか被覆できない”という方向でしか、証明できない。
＞（「ある開区間の上でリプシッツ連続である」とは証明できない）
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。レベルが低すぎる。問題外。
ruler function が例の定理の反例にならないことは既に示してある(>>45)。
実際には、>>45 から引用されている
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/540
において、ruler function が反例にならないことの根拠が書いてある。
大きなポイントは、スレ主がたびたび引用している
＞THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
＞of points that are each dense in the reals.
＞Then g fails to have a derivative on a
＞co-meager (residual) set of points. In fact,
＞g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
＞condition, a pointwise Holder condition,
＞or even any specified pointwise modulus of
＞continuity condition on a co-meager set.
という定理である( co-meager という性質をよく見たまえ)。
この定理により、ruler function に対しては
「 R－Bf は第一類集合にならない 」ことが示されるのである。
既に論破済みの ruler function とかいう関数をいつまでも持ち出すなよゴミクズ。 >>648
＞だから、定理1.7は、”R－Bf は、R中で稠密ではない”場合のみしか適用できない
＞これは良いよね
ぜんぜん良くない。息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。
お前のその理屈は、俺が >>647, >>649 で書いたことそのものである。
お前は何かを盛大に勘違いしている。>647, >649 をよく読め。
＞だから、”系1.8 有理数の点で不連続”（>>643）の場合は、適用外
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。
お前のその理屈は、俺が >647, >649 で書いたことそのものである。
お前は何かを盛大に勘違いしている。>647, >649 をよく読め。
繰り返しになるが、お前は「 P ならば Q 」の形をした命題全般について、正しく認識できていない。
レベルが低すぎる。問題外。キチガイ。 >>644
>見つけられなかった事実に対する
>スレ主の言い訳がくどい。
>カッコ悪杉
１）自分に対する他人の発言を、逐一見つけなければならない義務も必然性もない
２）自分が必要と感じる最小限の労力を投下して、検索ヒットしなかったという単純なる事実を述べた。勿論、「見つけられなかった事実」を否定するつもりはない
３）で、「数学板の各スレッドにて適当なキーワードでページ内検索を地道にすれば」（>>627）が、「ＩＴリテラシー」（>>629）だと？
４）それは違うだろうと言ったまで（>>630）
以上 新スレ立てた
ここは、いま507KBで、あと5KBで容量オーバーで書けなくなる
ここを使い切ったら、新スレで
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む50
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1516499937/ >>649
おれは、>>649で、
難しいことは言っていない。単純な話だよ
「
”f は、ある (a,b) の上でリプシッツ連続である”
↓
”R－Bf は、R中で稠密ではない”
が、自明に言える。これは良いよね」
ってこと
>なぜなら、定理Aが適用できるか否かは、「 f：R→R は各点で微分可能」が成り立つか否かだけで決まるからだ。
で、”f は、ある (a,b) の上でリプシッツ連続である”が言える→”R－Bf は、R中で稠密ではない”が言える→”R－Bf は、R中で稠密”な場合は適用外 >>654
＞で、”f は、ある (a,b) の上でリプシッツ連続である”が言える→
＞”R－Bf は、R中で稠密ではない”が言える→”R－Bf は、R中で稠密”な場合は適用外
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
お前がそこで言っていることを丁寧に書き直すと、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
・ R－B_f は第一類集合であるとする(定理Bの仮定)
・ ”f は、ある (a,b) の上でリプシッツ連続である”が言える(定理Bの結論)
・ 特に、”R－Bf は、R中で稠密である”は成り立たない。
・ 従って、定理Bは、”R－Bf は、R中で稠密”な場合は適用外である。
――――――――――――――――――――――――――――――――
同じ理屈を>>647の定理Aに使えば、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
・ f：R→R が各点で微分可能とする(定理Aの仮定)
・ ”f は各点で連続である”が言える(定理Aの結論)
・ 特に、”f は各点で不連続である”は成り立たない。
・ 従って、定理Aは、”f は各点で不連続である”場合は適用外である。
――――――――――――――――――――――――――――――――
↑もうこの時点で、スレ主が言っていることは おかしいと分かるが、
実際には、さらにおかしなことが導ける。
[続く] >>652
義務も必要も無いなら、何故探した？
最小の労力で確実に成果を出す手段が選べていない時点で甘い。無駄。
「数学板の各スレッドにて適当なキーワードでページ内検索を地道にすれば」
スクリプトにやらせば簡単だろ？
さすがに手動は無いだろ？ [続き]
上記のスレ主の滅茶苦茶な理屈は、「 P ならば Q 」の形をした任意の命題に対しても通用する。
――――――――――――――――――――――――――――――――
・ P が成り立つとする(命題の仮定)
・ Q が成り立つことが言える(命題の結論)
・ 特に、￢Q は成り立たない。
・ 従って、この命題は、￢Q の場合は適用外である。
・ すなわち、Q が成り立つことを予め別経路で確認しておかなければ、
「 P ならば Q 」は適用できない。
――――――――――――――――――――――――――――――――
これが、お前が言っていることである。
「 P ならば Q 」を適用したい場面において、仮定 P の成立だけでは
適用範囲内であるとは言えず、Q の成立を別経路で確認しなければ、
「 P ならば Q 」は適用できないと言っているのがお前である。
しかし、別経路でQの成立が確認できるなら、「 P ならば Q 」の出番は無くなる。
すなわち、お前は「 P ならば Q 」という命題の適用を如何なる場合に対しても
完全否定していることになるのである。
明らかに、お前は「 P ならば Q 」の形をした命題全般について、正しく認識できていない。
レベルが低すぎる。問題外。キチガイ。 1ヶ月前にも同じことを指摘されてるよね
P⇒Qが分からないなら正真正銘の中学レベルだよ
258 １３２人目の素数さん sage 2017/12/19(火) 07:54:14.39 ID:F1UbN7QE
>>255
> おれは、「”R－Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？」と聞いたんだけど？
（もうひとつ横レスだが言わせてくれ）
オマエは
１）定理1.7『A⇒B』が成立するためには『Aが真でなければならない』と思っているのか？（呆）
それとも
２）Rの一点部分集合｛0｝やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか？（呆）
率直に言って、君は数学に向いてないぞ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
