現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48
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“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） 大学新入生もいると思うが、間違っても２ＣＨで数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
以下過去スレより再掲
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/7
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな
再生は無理だろう
そもそも、２ＣＨは、数学に向かない
アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない
複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない）
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを 個人的には、下記は、”知恵袋の人>>> 2ｃｈの人”と思うよ（＾＾
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/494
494 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/17(月) ID:mNM7pqkU
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部～修士
ライター：amane_ruriさん（最終更新日時:2012/8/6）
ナイス！：5閲覧数：11594
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。（多分皆がそうでしょう。）そして、結果が問われてきます。
ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。（足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ）
2.2ｃｈの内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞ 2ｃｈや知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈの人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り) 過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/338
338 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/09(日) 23:46:26.46 ID:Rh9CzQs6
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか
有名な話で、有限単純群の分類
”出来た！”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか
おいおい、競馬じゃないんだよ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。 >>7 補足
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/352
352 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/29(土)
みんな、何に価値をおいているか、それぞれだろうが・・
個人的には、数学板で一番価値を置いているのは、確かな情報 つまり 根拠の明確な情報 つまり コピペ
わけのわからん名無しさん（素数さん）のカキコを真に受けるとか、価値をおく人は少ないだろう
きちんと、大学教員レベルの証明があればともかく、匿名板でそれはない（名無しカキコは基本価値なし） >>8 補足
＜数学ディベート＞について
過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1494038985/50
50 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/06
どこの馬の骨ともしれん連中との、数学ディベートもどきより
URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です（＾＾；
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1494038985/189-190
189 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
いやはや、（文系） High level people たち（ ID:jEMrGWmk さん含め）の、数学ディベートもどきは面白いですね（＾＾；
”手強い？”とは・・、まさに、ディベートですね
私ら、理系の出典（URL)とコピペベース、ロジック（論証）＆証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル（２ＣＨスタイル？）とは、明白に違いますね
私ら、（文系） High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ（＾＾；
190 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
私ら、理系は、一応従来の議論は調べて、その上でしか議論はしません
そうしないと、大概二番煎じですし、車輪の再発明ですから
典拠もなしによく議論しますね～。よく分かりましたよ（＾＾；
私とは、議論がかみ合わないわけだ・・
”他サイトからのコピペでスレを埋め尽くす行為” なんて非難されましたけどね～（＾＾；
ディベートに勝ちたいからそういう発言なんですね～。典拠もなしで、出した典拠も読まない議論か・・。よく分かりましたよ（＾＾； 過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/638
638 名前：現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/07/11(火) 08:40:28.58 ID:+FRiTcES
>>630
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>>まあ、おっちゃんが、上記を理解したら、時枝は終わりにしよう
>マジメに時枝問題のことでスレ主に付き合う気はなく、
>もはやそういうことをする価値もない。
>スレ主自身の主張や考え方が大きく間違っていることを私のせいにするべきではない。
いやいや、おっちゃんよりレベルの低い人と議論するつもりはないんだよ～（＾＾
がまあ、おっちゃんのいう「価値もない」にも一理ある
ということで、皆さん悪いが、時枝は、一時棚上げだ。時々やろう
下記のパロディーで言えば、「数学雑談&ガロア理論 ～おっちゃんとボクと、時々、（時枝 ＆ ￥さん）～」かな（＾＾
まあ、話題を散らしながら、ゆっくりやりましょう（＾＾
おっちゃん！ いま気になっていることを、好きに書いてくれ！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%BF%E3%83%AF%E3%83%BC_%E3%80%9C%E3%82%AA%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%81%A8%E3%83%9C%E3%82%AF%E3%81%A8%E3%80%81%E6%99%82%E3%80%85%E3%80%81%E3%82%AA%E3%83%88%E3%83%B3%E3%80%9C
東京タワー ～オカンとボクと、時々、オトン～ - Wikipedia
(抜粋)
『東京タワー ～オカンとボクと、時々、オトン～』（とうきょうタワー オカンとボクと、ときどき、オトン）は、リリー・フランキーの実体験を基にした長編小説である。
2006年と2007年にテレビドラマ化（単発ドラマと連続ドラマ）、2007年に映画化、舞台化されている。
2005年6月29日、扶桑社より発売された[1]。装丁もリリー本人。初版は3万部だった。2006年1月には100万部を突破。2006年10月31日には200万部（扶桑社発表）を越すベストセラーとなった。
久世光彦が「泣いてしまった…。これは、ひらかなで書かれた聖書である」と評価した。
(引用終り) 「現代数学のもとになった物理工学」の解題：
言わずもがなですが、数学の発展の大きな原動力は、物理です。数学の発展の大きな原動力は、工学です。
別に説明するほどのこともないですが。
古代の幾何学の背景に、実際の土地測量や巨大建築からの要請が原動力にあったことは間違いないでしょう。
ニュートン以来の解析や数論も同様。
で、物理学の背景に、工学に直結する日常のいろいろな事象がある。戦争というのも、大きな要因ではあります。仏エコールポリテクニークなども、ナポレオン戦争遂行のための工学校です。
（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%AF%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%82%AF エコール・ポリテクニーク 1804年にナポレオン・ボナパルトによって軍学校とされる）
工学が物理の進展を促した面は多々あります。有名なプランクの熱と光の放射の理論を研究した背景に、当時の工学的課題であった、高温物体を光学測定により正確な温度を知るため（今の光温度計）であったと言われています。
つまり、工学的課題「高温物体を光学測定により正確な温度を知るための光温度計」→物理的課題「高温物体の光放射理論構築」→プランクの量子仮説→量子力学の誕生→作用素環→非可換幾何（現代数学）ということなのです。
コンヌ先生もおっしゃっているそうですが、物理や工学の課題は、いままでもそうですが、現代数学のエネルギー源なのです。
京大数学科がだめになったのは、「20世紀の古い数学に閉じこもってしまった」というようなことがあるのではないでしょうか？ 新しい数学へのチャレンジが無い？
（参考 過去スレ39 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1503063850/476 (抜粋)「自己顕示欲だけが目的で人生を送り、ほんで他人の邪魔ばっかししてるから筑波とか京大みたいになってアカン様になんのや。」 ） 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）まとめについては
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/11-67
ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です！ ＼（＾＾）／
テンプレ以上です。 （前スレから）
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/605
(抜粋)
”――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
R－B_f ＝ (リプシッツ不連続な点全体の集合) が可算無限集合であり、
しかもこれが R の中で稠密であるとすると、「そういう関数は数学的に存在しえない！」
という理解の仕方でいいのか？
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ということになるが、その理解の仕方で問題ない。”
(引用終り)
となってね
これの成否や如何に？
いや～、楽しい話です（＾＾
リプシッツ連続の勉強になるわ～
いままで、不勉強でしたからね～
どなたか詳しい人、おしえてね～
（＾＾ >>12
＞ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です！ ＼（＾＾）／
一言も見解を語れないぷのおかげで完全終了とは？ 頭大丈夫か？ ＞リプシッツ連続の勉強になるわ～
＞いままで、不勉強でしたからね～
お前の不勉強はレベルが違うわｗ
εδすら理解してないのに何がリプシッツ連続だバカｗ L^1においてu∈L^1に対し
Cu(x)
＝∫_[－1/3, 1/3]cos(xy)u(y)dy
で作用素Cを定めるとL^1からL^1への縮小写像になりルベーグの収束定理と縮小写像の原理により不動点の存在が言える
という例を考えたが意味はない ルベーグ積分によってノルムとノルムから定まる距離
による距離空間を定めてルベーグの収束定理と縮小写
像の原理を使えば見た目では分からない不動点の存在
が示せるというだけ >>15-16
ぶ
最下位の腰巾着、必死だな（＾＾
あんたには、”成りすまし疑惑”を言い立てるしか、救いがないんだろ。がんばれよ（＾＾ >>14 関連
えーと
スレ46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/422
422 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bK [2/4]
>>421のリンク先の証明は個人的には すんなり頭に入ってこないので、
微分可能な点の方から攻める方針でやってみたら、次の定理が得られた。
定理：f：R → R に対して、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ } と置く。
もし R－B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で
リプシッツ連続である。
この定理を使うと、f：R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」
となるものは存在しないことが即座に分かる。一応やってみると、そのような関数 f が存在したとすると、
R－Q ＝ 無理数全体 ＝ (fの微分可能点全体) ⊂ B_f
となるので、
R－B_f ⊂ Q ＝ ∪[p∈Q] { p } …(1)
となる。(1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上で
リプシッツ連続になる。特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。
仮定から、fは点xで不連続であるが、しかしx∈(a,b)より、fは点xで連続であり、矛盾する。
(引用終り) >>20 つづき
それで
命題A
f：R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」
となるものは存在しない
↓
命題B
f：R → R であって、「xがリプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し、xがそれ以外でリプシッツ連続な」
となるものは存在しない
つまり、命題A→命題Bの言い換え
・有理数→加算で稠密に存在する点
・不連続→リプシッツ”不”連続
・微分可能→リプシッツ連続
ここまで、命題Aを一般化した命題Bを証明したことになる
>>20の定理が成立するならば・・
いや～、面白ね（＾＾ おっちゃんです。
もっと簡単に ε-δ で示せそうですな。
[第１段]：区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在するとする。
Iの有理数aを任意に取る。実関数 f(x) は x＝a で不連続だから、或るεが存在して、εに対して正の実数 δ(ε) が定まって、
|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|≧ε を満たすようなIの点bが存在する。
S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c－a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c－b|＜δ(ε) } とおく。
すると、区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、
max(|c－a|, |c－b|)＜δ(ε) なるIの無理数cが存在し、(S_1)∩(S_2)≠Φ。
有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。 [第２段]：i＝1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
実関数 f(x) はIの無理数cで連続だから、Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、
M＝δ'(A) とおくと、|c－x|＜M のとき |f(c)－f(x)|＜A となる。
|c－x_{i,1}|＜M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c－x_{i,n}|＜M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,1} を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。
同様に、|c－x_{i,n+1}|＜M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,n+1})|＜ε_{i,n+1}＜ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する：
ⅰ)：|c－x_{i,n}|＜M、|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,(n-1)}、
ⅱ)：|c－x_{i,(n+1)}|＜M、|f(c)－f(x_{i,(n+1)})|＜ε_{i,(n+1)}＜ε_{i,n}。
ここに、|c－x_{i,1}|＜M、|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A。
このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。{ ε_{i,n} } は下に有界で、
任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点 c が任意に取れて、i＝1,2 は任意だったから、各 i＝1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c－x_{i,n}|＜M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A＝d/2 となる。 [第３段]：無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。A＝d/2 となって |f(a)－f(b)|≧ε＞d＝2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1－x_{1,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}＝a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)－f(x_{1,n})|＜ε_{1,n}＜A となる。
同様に、無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2－x_{2,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}＝b であり、すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、
{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)－f(x_{2,n})|＜ε_{2,n}＜A となる。
[第４段]：従って、c_1＝c_2 として、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{1,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_1 に対して x_{1, m_1}＝a であり、すべての n≠m_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるような
Iの点列 { x_{1,n} } が取れる。更に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{2,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_2 に対して x_{2, m_2}＝b であり、すべての n≠m_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、各 i＝1,2 に対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A となる。 >>23-24
おっちゃん、どうも、スレ主です。
いつも、レスありがとう（＾＾
注文つけて悪いが
証明しようとしている命題も書いてほしい。よろしくね（＾＾ [第５段]：＝1,n＝m_1 とすると、x_{1,m_1}＝a から |c－a|＜M であって、|f(c)－f(a)|＜A＝d/2。
同様に、i＝2,n＝m_2 とすると、x_{2,m_2}＝b から |c－b|＜M であって、|f(c)－f(b)|＜A＝d/2。
従って、三角不等式から、|a－b|≦|a－c|＋|c－b|＜M＋M＝2M、|f(a)－f(b)|≦|f(a)－f(c)|＋|f(c)－f(b)|＜d/2＋d/2＝d。
d/2 に対して定まる正の実数 δ(d/2) を δ(d/2)＝2M とおけば、|a－b|＜δ(d/2) であって |f(a)－f(b)|＜d＜ε、
故に、εに対して定まる正の実数 δ(ε) を δ(ε)＝δ(d/2) とおけば、|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|＜ε。
しかし、これは |f(a)－f(b)|≧ε なることに反し矛盾する。
背理法が適用出来るから、区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) は存在しない。 >>27は>>25の続き。
>>26
そもそも、区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在しない。 前スレ>>631
>>621 ID: p08hLjSN
> >>594
> >ttps://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz
> >なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
>
> 確かに有理数で不連続無理数で微分可能な関数は存在しないですね
> どうでもいいですが定理の証明の最後で(a,b)をさらに2/M幅ぐらいに制限しておけば
> そのあとの分割って要らないのでは？（L=1）
>>630 ID: p08hLjSN
> >>629
> 違うよ >>19
＞あんたには、”成りすまし疑惑”を言い立てるしか、救いがないんだろ。がんばれよ（＾＾
相変わらず錯乱してるな
俺は
・ぷは一言も見解を述べていない
・お前の不勉強はレベルが違う
と言ってるのに、まるでトンチンカンなレス（成りすまし疑惑）を付けて、これが錯乱でなくて何あらん しかも成りすましは事実
何をしれっと疑惑にしようとしてるのか？ｗ この恥知らずがｗ ID一致を指摘されて慌てて ぷ と言い出した恥知らずｗ ”Lipschitz functions”関連で、下記、Hunter先生のテキストがヒットしたので貼る
https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/pdes/ch3A.pdf
Appendix: Functions of one variable Lecture Notes on PDEs
http://www.math.ucdavis.edu/~hunter/pdes/pde_notes.pdf
Functions of one variable Lecture Notes on PDEs Full set of notes
https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/index.html
John K. Hunter
Department of Mathematics
University of California
Professor of Mathematics
付録
https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/intro_analysis_pdf/intro_analysis.html
Introduction to Analysis
These lecture notes are an introduction to undergraduate real analysis. They cover the real numbers and one-variable calculus.
https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/intro_analysis_pdf/intro_analysis.pdf >>28
>そもそも、区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在しない。
おっちゃん、「トマエ関数」って知っているかい？
（下記より）”定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．”
http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24
(抜粋)
トマエ関数の性質
トマエ関数にとても惹かれる理由は何といっても次の性質です。
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．
有理数で不連続なのはポツンと浮いているので明らかだと思います。しかし、無理数で連続なのは意外だったのではと思います。私が大学1年生のとき、微分積分の教科書の演習問題の中でこの関数にはじめて出会いました。話を聞いてみると無理数で連続であることを知って今までの連続のイメージとは違う所に心を奪われました。
(引用終り) >>29
どうも。スレ主です。
ご指摘レスありがとう
ところで、どういう意味かな？
「ぷふ」さんの「確かに有理数で不連続無理数で微分可能な関数は存在しないですね」というのは
>>21に書いてある命題Aのことでしょ
でそれは、前スレ284-285 に有るとおり、上記>>20の証明の前（2006以前）に、プロ数学者が命題Aは得ているよ
（再度引用しておく）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
(引用終り) >>35 つづき
で、問題は、>>20の2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bKさんは、
命題Aの別証明を得ようとして
>>20の
”定理：f：R → R に対して、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ } と置く。
もし R－B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で
リプシッツ連続である。”
を考えたが、この定理はすごく強力でね
この定理を、仮に”開区間上リプシッツ連続定理”と名付けると
>>21に書いたように
”開区間上リプシッツ連続定理”→系：命題B→系：命題A
ということで、元の命題Aより遙かに強い命題Bをその系として証明できるのだった
つまり、”確かに有理数で不連続無理数で微分可能な関数は存在しないですね”というコメントと、”証明が正しい”というコメントとは、異なると理解しているけど？
「ぷふ」さん、如何ですか？
で、繰返すが、命題Bは、まだプロ数学者は論文として発表していないようで、私の探している範囲で見つかっていない
いま、リプシッツ連続の勉強を兼ねて、命題Bの成否について、テキストや論文がないか、探しているところです（＾＾
（参考）>>21より
命題B
f：R → R であって、「xがリプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し、xがそれ以外でリプシッツ連続」
となるものは存在しない
(引用終り)
以上 高校生です
3+i2 と 4-i3 の相関を求めたいです
内積は実部と虚部それぞれで考えるのですか？ >>36 関連
いま、>>34で紹介した「トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示」を読み返していたが
この話自身もすごく面白いが、関連リンクがあって、それを辿ると、下記
Baire(ベール)関数 ”定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。”が
上記”開区間上リプシッツ連続定理”と似てるな～と
証明で、(Baireのcategory定理の一種)を使うところも似てるな～と
似てるけど、微妙に違う
ここらが、”開区間上リプシッツ連続定理”の反例にならないかな～（＾＾
といま、考えているところです
（下記は、単純にコピペでアスキー表示にしたので、原文の方が圧倒的に見やすいよ）
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/05/20/235438
二回目のディリクレ関数 INTEGERS 2016-05-20
(抜粋)
Baire(ベール)関数
Baire関数 関数f:R→RがBaire-1級関数であるとは、各n∈N毎に連続関数fn:R→Rが存在して、任意のx∈に対して
f(x)=limn→∞fn(x)
が成り立つときにいう（つまりfnがfに各点収束する）。一般に非負整数kに対してBaire-k級関数が次のように帰納的に定義される: Baire-0級関数を連続関数として定義し、Baire-(k?1)級関数までが定義されたとき、Baire-(k?1)級関数達の各点収束関数としてBaire-k級関数を定義する。これらの関数を総称してBaire関数とよぶ。
目標は次の定理を証明することです：
定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。
つづく >>40 つづき
定義 関数 f:R→Rを一つとる。集合A⊂Rに対してω(A)を
ω(A):=sup{|f(x)?f(y)|?x,y∈A}∈R?0∪{∞}
と定義する（関数fを明記する場合はω(A,f)という記号を用いる）。また、x∈Rに対し、ω(x)を
ω(x):=limε→+0ω(Bε(x))
と定める。ここで、Bε(x):=(x?ε,x+ε)。
補題 関数 f:R→Rが点x∈Rで連続であるための必要十分条件はω(x)=0となることである。
証明. 定義の書き換えに過ぎない。 Q.E.D.
命題 (Baireのcategory定理の一種) 数直線上の閉区間が加算個の閉集合の和集合として表されているならば、それらの閉集合のうち少なくとも一つはある閉区間を含む。
これは有名なBaireのcategory定理(の帰結)なので、ここでは証明を省略します。
定理の証明. fに各点収束するような連続関数列{fn}をとって固定する(fはBaire-1級関数なのでこのような関数列は必ずとれる)。まず、次の主張を示す：
以下略
(引用終り) >>39
高校生かい
その話なら、こちらの方（下記）が良いよ
もっと良いのは、学校の先生に聞くことだな
５CH数学板は、高校生の勉強には向かないよ（＾＾
分からない問題はここに書いてね438
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511609929/ >>41 補足
ああ、これ文字化けしているな～
まあ、原文を見て下さい >>40 補足
そうそう、大事な引用を抜かしていたね（＾＾
”系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”（下記）
逆に言えば、不連続点は、稠密でも可だと
これが、リプシッツ’不’連続だとどうなるかだけど・・
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/05/20/235438
二回目のディリクレ関数 INTEGERS 2016-05-20
(抜粋)
Baire(ベール)関数
系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。
まとめ
Baire-0級関数は連続関数なので、Baire関数はある種の連続関数を一般化した概念であり、一般に級が大きくなればなるほど連続関数から遠ざかることが分かります。
そして、定理の言っていることは、「Baire-1級関数はもはや連続関数ではないかもしれないが、連続の心は残っている」ということを示しています。一方、ディリクレ関数は全く連続ではなく、連続の心が喪失されています。
こうして、ディリクレ関数は一つの極限では表示できないという不可能定理が証明できてしまうという寸法でした。
(引用終り) >>44 追加引用
よって、もっちょさんの記事によってディリクレ関数はBaire-2級関数であることが示されていますが、
至る所不連続であることと上記系は両立しないのでBaire-1級関数ではない、
すなわちディリクレ関数は一重極限表示をもたないことが証明されました。
以上 いつものようにコピペで理解した気になり興に入ってるスレ主
コピペと勉強は違うぞと何度言えば スレ主はεδを理解していないだけでなくそれが致命的であることも理解していない
教科書を一度もまともに勉強したことはバレバレだ おっちゃんです。
>>23-25、>>27は取り消し。
最初は ε-δ だけで示せると思ったが、落とし穴があった。
Iを開区間とする。連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意の正の実数εに対し、
任意のIの有理点aと任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数aとなるような、
連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a,y) が完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
証明) [第１段]：開区間Iで定義され、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) が
存在するとする。Iの有理点aを任意に取る。実関数 f(x) は点aで不連続だから、或る正の実数εに対して
正の実数 δ(ε) が定まって、|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|≧ε を満たすようなIの有理点bが存在する。
S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c－a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c－b|＜δ(ε) } とおく。すると、
区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、max(|c－a|, |c－b|)＜δ(ε) なるIの無理点cが存在し、
(S_1)∩(S_2)≠Φ。有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。 (>>49の続き)
[第２段]：i＝1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。実関数 f(x) はIの無理点cで連続だから、
Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、M＝δ'(A) とおくと、|c－x|＜M のとき |f(c)－f(x)|＜A となる。
|c－x_{i,1}|＜M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c－x_{i,n}|＜M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,1}
を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。同様に、|c－x_{i,n+1}|＜M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,n+1})|＜ε_{i,n+1}＜ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する：
ⅰ)：|c－x_{i,n}|＜M、|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,(n-1)}、
ⅱ)：|c－x_{i,(n+1)}|＜M、|f(c)－f(x_{i,(n+1)})|＜ε_{i,(n+1)}＜ε_{i,n}。
ここに、|c－x_{i,1}|＜M、|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A。このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。
{ ε_{i,n} } は下に有界で、任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点cが任意に取れて、i＝1,2 は任意だったから、各 i＝1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c－x_{i,n}|＜M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A＝d/2 となる。 >>40-41 >>44 補足
(抜粋)
・「トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示」
・定理 f:R→RをBaire-1級関数とする。このとき、任意の閉区間I⊂Rは fが連続であるような点を含む。
・”系 与えられたBaire-1級関数に対し、その関数が連続であるような点のなす集合はRに稠密に分布している。”（下記）
・ここらが、”開区間上リプシッツ連続定理”の反例にならないかな～（＾＾
(引用終わり)
（補足）
・まあ、要するに、トマエ関数（有理点たる不連続点が稠密に分散するが無理数点では連続）を、連続関数の１回の極限（Baire-1級関数）として、実現できる！
・ならば、”変形”トマエ関数（リプシッツ不連続点が稠密に分散するが他の数点ではリプシッツ連続）を、連続関数の１回の極限（Baire-1級関数）として、実現できないのか？
こういう問題設定なのだが・・
どなたか、ご存知ないですかね？
もし、出来て、いままでに論文になっていなければ、
Baire-1級関数の研究として面白んじゃないかな？（＾＾ >>49-50
おっちゃん、どうも、スレ主です。
いつも、ご苦労さまです。
証明投稿の途中で、じゃまかな？（＾＾
そうそう、最初に証明すべき命題をきちんと書いてくれると助かるよ（＾＾ (>>50の続き)
[第３段]：正の実数εと実数 f(a) とに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、x-座標が有理点aとなる
連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) を完全集合とする。無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R^2 から誘導された位相について、連結距離空間 R^2 の点 (a,f(a)) の R^2 の
ε-近傍 U_ε(a,f(a)) 上にx-座標が有理数なる R^2 の点は稠密に存在し、(a,f(a)) は孤立点ではない。
従って、A＝d/2 となって |f(a)－f(b)|≧ε＞d＝2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1－x_{1,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}＝a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)－f(x_{1,n})|＜ε_{1,n}＜A となる。
同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、x-座標が有理点bとなる
連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) を完全集合とする。無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R^2 から誘導された位相について、連結距離空間 R^2 の点 (b,f(b)) の R^2 の
ε-近傍 U_ε(b,f(b)) 上にx-座標が有理数なる R^2 の点は稠密に存在し、(b,f(b)) は孤立点ではない。
従って同様に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2－x_{2,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}＝b であり、
すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるようなIの点列 { x_{2,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)－f(x_{2,n})|＜ε_{2,n}＜A となる。 >>51 補足
リプシッツ不連続点は、可算無限が元だが、まずは非可算でも面白そうだよ（＾＾ (>>53の続き)
[第４段]：故に c_1＝c_2 として点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{1,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_1 に対して x_{1, m_1}＝a であり、すべての n≠m_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるような
Iの点列 { x_{1,n} } が取れる。このとき更に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{2,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_2 に対して x_{2, m_2}＝b であり、すべての n≠m_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、各 i＝1,2 に対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A となる。
[第５段]：i＝1,n＝m_1 とすると、x_{1,m_1}＝a から |c－a|＜M であって、|f(c)－f(a)|＜A＝d/2。
同様に、i＝2,n＝m_2 とすると、x_{2,m_2}＝b から |c－b|＜M であって、|f(c)－f(b)|＜A＝d/2。
従って、三角不等式から、|a－b|≦|a－c|＋|c－b|＜M＋M＝2M、|f(a)－f(b)|≦|f(a)－f(c)|＋|f(c)－f(b)|＜d/2＋d/2＝d。
d/2 に対して定まる正の実数 δ(d/2) を δ(d/2)＝2M とおけば、|a－b|＜δ(d/2) であって |f(a)－f(b)|＜d＜ε、
故に、εに対して定まる正の実数 δ(ε) を δ(ε)＝δ(d/2) とおけば、|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|＜ε。
しかし、これは |f(a)－f(b)|≧ε であったことに反し矛盾する。背理法が適用出来るから、任意の正の実数εに対して、
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意のIの有理点a'と任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数a'となるような、
連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a',y) を完全集合とすると、区間Iで定義された
すべてのIの有理点で不連続、すべてのIの無理点で連続な実関数 f(x) は存在しないことになる。 開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第６段]：Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
正の実数εを任意に取る。I上の無理点aを任意に取る。点aで微分可能な f(x) はaで連続だから、有理数の稠密性から、
通常の位相について、任意のI上のaを含む開区間上に有理数は稠密に存在し、aは孤立点ではない。
従って、或るIの有理点bが存在して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) に点 (b,f(b)) は存在し、(b,f(b)) は孤立点ではない。
0＜ε'＜ε なる実数ε'を任意に取る。ε'に対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε'-近傍 U_ε'(b,f(b)) 上において、x-座標のy、及びy-座標のy'が任意の実数
なるような連結距離空間 R^2 の点 (y,y') は稠密に存在し、(y,y') は孤立点ではない。開区間IはRの連結部分空間だから、
連結な距離空間 R^2 のε'-近傍 U_ε'(b,f(b)) 上において、yが任意のIの有理数、y'が任意の実数なるような
連結距離空間 R^2 の点 (y,y') は稠密に存在し、(y,y') は孤立点ではない。
0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、正の実数εを走らせつつ、ε'を条件 0＜ε'＜ε の下で走らせれば、
或る正の実数εに対して、或るIの有理数yと或る実数y'が両方共に存在して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (y,y') の R^2 のε-近傍 U_ε(y,y') は完全集合となる。従って、yが属しかつIに含まれるような
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。 あっ、>>56は>>55の続きで、新たな命題の証明。 スマン
新スレだから、トリップとコテハンが抜けた（＾＾ >>49の訂正：
示す命題の仮定
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意の正の実数εに対し、
>任意のIの有理点aと任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数aとなるような、
>連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a,y) が完全集合とする。
は
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
に変更。
>>53の訂正：>>53のはじめの文
>…連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) を完全集合とする。
と途中の文
>同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、…連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) を完全集合とする。
は、それぞれ
>…連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) 「の閉包」を完全集合とする。
>同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、…連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) 「の閉包」を完全集合とする。
に訂正。「の閉包」を加える。 >>55の第５段の
>背理法が適用出来るから、任意の正の実数εに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
>任意のIの有理点a'と任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数a'となるような、
>連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a',y) を完全集合とすると、
の部分は
>背理法が適用出来るから、任意の正の実数εに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
>高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とすると、
に変更。 >>56の訂正：
或る正の実数εに対して、或るIの有理数yと或る実数y'が両方共に存在して、…
→ 或る正の実数εについて、或るIの有理数yに対して実数 f(y) が定まって、…
つまり、
>0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、
以降の「y'」は全部(或るyに対して定まる)「f(y)」に変更。
>0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、正の実数εを走らせつつ、ε'を条件 0＜ε'＜ε の下で走らせれば、
>或る正の実数εについて、或るIの有理数yと或る実数 f(y) が定まって、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
>連結距離空間 R^2 上の点 (y,f(y)) の R^2 のε-近傍 U_ε(y,f(y)) は完全集合となる。従って、…
の部分の「ε-近傍 U_ε(y,f(y)) は完全集合となる。」は「ε-近傍 U_ε(y,f(y)) の閉包は完全集合となる。」に訂正。
あと、下から4行目の「従って、…」とその直前の文「…「U_ε(y,f(y)) の閉包」は完全集合となる。」との間に、次の一文を挿入。
>同様にして考えると、或る正の実数ε'に対して、或るyとは異なるIの有理数y'に対して実数 f(y') が定まって、連結な距離空間 R^2 から
>誘導される位相について、連結距離空間 R^2 上の点 (y',f(y')) の R^2 のε'-近傍 U_ε'(y',f(y')) の閉包は完全集合となる。
>従って、δ＝min(ε,ε') とおけば、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、連結距離空間 R^2 上の2点 (y,f(y))、(y',f(y')) の
>各 R^2 のδ-近傍 U_δ(y,f(y))、U_δ(y',f(y')) の各閉包は両方共に完全集合となる。 >>62
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね～（＾＾ >>52
まず
＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
Iを開区間とする。
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
＜おわり＞
申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
１）普通の開区間Iと何が違う？
２）”普通の１変数関数 （x,y）∈R^2 ｙ＝f(x) で、通常のユークリッド距離空間（√（x^2+y^2））”と何が違う？
３）”トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24”
http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
これ読んだか？
読んだ上で、なお、「任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない」だと？
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね～（＾＾ >>56
(抜粋)
（命題）
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第６段]
（中略）
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(引用終り)
ああ、ここで、上記 >>64 ＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。」を使っているのか？
だが、＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞には、反例として、>>64のトマエ関数が挙げられると思うよ
おれの>>34を全然読んでない～（＾＾
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね～（＾＾
このスレには、必須の人やね～（＾＾ >>36 補足
話は飛びますが、みなさん、”どっきりカメラ”（下記）をご存知でしょう（＾＾
で、「こんな簡単な証明がなぜ分らないのだ！！ こら～！」と言われ、「はい、分りました」と言った後で
大学院DRコースの人とかが来て、「それ成り立たないよ」とかね。
あるいは、「この前の院の関数論講義で、成り立たないと言っていた」とか。そんな、「ドッキリ」が出てこないとも限らない
自分が、「確かにこの定理は成立するだろう」というかなりの確信が持てるまで、うっかり証明論争に巻き込まれないようにしたいねと
自分が、この証明を読んで、証明の成否を判断できるほど、私のレベルは高くない
で、いまのところ、一人だけ「正しいと思います」と言ったが
しかし、それ以外に賛否を明らかにした人は、まだいない
なので、しばらく、リプシッツ連続の勉強を兼ねて、
反例探しを、続けますよ（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%83%E7%A5%96%E3%81%A9%E3%81%A3%E3%81%8D%E3%82%8A%E3%82%AB%E3%83%A1%E3%83%A9
元祖どっきりカメラ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AD%E3%83%AA
ドッキリ
ドッキリとはバラエティ番組の表現手法のひとつ。番組進行を知らない、または虚偽の進行だけ知らされている出演者をだましたりイタズラを仕掛けたりして、出演者の反応を楽しむという手法。
語源は「ドッキリする」という心臓の鼓動が高まるほど驚く様子を表す言葉である（後述の元祖どっきりカメラの影響）。最後にネタばらしを行うが、ネタばらしは仕掛け人と呼ばれる進行役が番組名や「ドッキリ」と書かれたプラカードを持って登場する方式が多い。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%86%E3%82%8F%E3%81%A3!%E3%83%80%E3%83%9E%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%E5%A4%A7%E8%B3%9E
うわっ!ダマされた大賞 >>40 補足
反例の一つの可能性は、連続関数の１回の極限としてのBaire-1級関数で、
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散している関数
そういう関数が、反例として構成できる可能性がないか？
私には、どうすれば良いか
さっぱり浮かびませんがね～（＾＾ >>67 訂正
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散している関数
↓
可算無限個のリプシッツ”不”連続点（＝内点を持たない）が、稠密に分散していて、それらリプシッツ”不”連続点以外ではリプシッツ連続な関数 >>66 補足
いや、当然、あの定理を考えた人は、真剣に定理が成り立つと思っているのでしょう
が、証明が公開されたあとの、他の人の反応がね・・・
静か過ぎる（＾＾
ひょっとすると、皆さん正しい答えを知っていて、私が間違うのを待っている可能性もあるかなと（＾＾
なので、自分で定理の正否について、
ある程度の確信が持てない限り、「証明論争には、うっかり乗れません」ということです（＾＾ >>35 関連
”Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)”
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベール空間
定義
ベール空間の詳しい定義は、主にその時々に支配的だった需要と観点に起因して、時代とともに少しずつ変化してきた。まずは、よくある現代的定義を述べ、そのあとベールが与えたオリジナルの定義により近い歴史的定義を挙げる。
現代的定義
位相空間がベール空間であるとは、内部が空であるような閉集合からなる任意の可算族の合併は必ず内部が空になるときに言う。
この定義は以下のように同値な条件で言い換えることもできる。
・可算個の稠密開集合の交わりは必ず稠密になる。
・可算個の疎閉集合の合併の内部は必ず空になる。
・X の可算個の閉集合の合併が内点を持つ限り常に、それら閉集合の中に内点を持つものがある。
つづく >>71 つづき
歴史的定義
詳細は「第一類集合」を参照
ベールのオリジナルの定義では、範疇の概念が以下のように定義された。
位相空間 X の部分集合が、
X において疎あるいは至る所疎 (nowhere dense) であるとは、その閉包の内部が空であることを言う。
X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。
X において第二類 (second category) または痩せていない (nonmeagre) とは、それが X において第一類でないことを言う。
これらの言葉でベール空間の定義を述べると次のようになる：「位相空間 X がベール空間となるのは、任意の空でない開集合が X において第二類であるときである」。この定義は先述の現代的定義と同値である。
X の部分集合 A が残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X ? A が痩せていることを言う。位相空間 X がベール空間であるための必要十分条件は、X の任意の残留的部分空間が稠密になることである。
例
・実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。
・カントル集合 C はベール空間であり、したがって自分自身において第二類だが、C は単位閉区間 [0,?1] に通常の位相を入れたものにおいて第一類である。
・有理数の全体 Q に R からくる通常の位相を入れた空間はベール空間でない。これは Q が可算個ある各点 q に対応する一元集合 {q}（これは内点を持たない閉集合になっている）の合併として書けることによる。
(引用終り)
以上 >>72 関連
https://ejje.weblio.jp/content/meagre
研究社 新英和中辞典での「meagre」の意味
meager
表記meager(米国英語), meagre(英国英語)
1貧弱な，乏しい，不十分な; 豊かでない. >>5 関連
>大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを
”A Pointwise Lipschitz Selection Theorem Article Miek Messerschmidt”
”Acknowledgement. The author would like to thank the MathOverflow community”だと
MathOverflow communityね
https://www.researchgate.net/publication/310953191_A_Pointwise_Lipschitz_Selection_Theorem
https://www.researchgate.net/profile/Miek_Messerschmidt/publication/310953191_A_Pointwise_Lipschitz_Selection_Theorem/links/59ccb3af45851556e9878d25/A-Pointwise-Lipschitz-Selection-Theorem.pdf?origin=publication_detail Full-text (PDF)
A Pointwise Lipschitz Selection Theorem Article Miek Messerschmidt Institution University of Pretoria Department of Mathematics and Applied
Abstract
We prove that any correspondence (multi-function) mapping a metric space into a Banach space that satisfies a certain pointwise Lipschitz condition, always has a continuous selection that is pointwise Lipschitz on a dense set of its domain.
We apply our selection theorem to demonstrate a slight improvement to a well-known version of the classical Bartle-Graves Theorem: Any continuous linear surjection between infinite dimensional Banach spaces has a positively homogeneous continuous right inverse that is pointwise Lipschitz on a dense meager set of its domain.
An example devised by Aharoni and Lindenstrauss shows that our pointwise Lipschitz selection theorem is in some sense optimal: It is impossible to improve our pointwise Lipschitz selection theorem to one that yields a selection that is pointwise Lipschitz on the whole of its domain in general.
A Pointwise Lipschitz Selection Theorem (PDF Download Available). Available from: https://www.researchgate.net/publication/310953191_A_Pointwise_Lipschitz_Selection_Theorem [accessed Dec 16 2017].
つづく >>76 つづき
Acknowledgement. The author would like to thank the MathOverflow community
(Nate Eldredge in particular, for pointing out the example in Remark 3.5 to the
author), and the anonymous referees of the paper for their constructive comments
and suggestions.
(引用終り)
追記：
これ、本当は最初arXivでヒットしたが、別キーワード検索で、上記researchgateがヒットしたので、このURLを採用した
以上 >>71
戻る
（引用開始）
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/
594 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/12(火) 17:31:09.14 ID:14lo33mI [4/9]
以下の pdf に証明を書いた。
ttps://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz
なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
なお、「疎な閉集合」は「内点を持たない閉集合」と同じことであるから、
pdf の中では「疎な閉集合」という概念を導入せず、必要な個所では その都度
「内点を持たない閉集合」
という言葉に置き換えた。
(引用終り)
つづく >>78 つづき
上記PDFより
(抜粋) （なお、この板では正確に記述できないので、原文PDFをご参照ください）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
証明
略
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
つづく >>79 つづき
で、定理1.7 より、>>21の
命題B
f：R → R であって、「xがリプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し、xがそれ以外でリプシッツ連続」
となるものは存在しない
∵定理1.7より、”f は(a, b) 上でリプシッツ連続である”と、”リプシッツ”不”連続な点が加算無限個で稠密に存在し”とが、両立しないから
で、問題は、
１．命題Bが、いままで誰も発表していない定理なのか？（プロ数学界で）
２．”いままで誰も発表していない定理”だとすると、正しいとすると素晴らしいことだが、一方、命題Bが本当に成立しているのか？ ということが問題になる
いろいろ、”リプシッツ連続”について調べているのは、そういうわけです（＾＾
つづく >>80 つづき
>>71の
”Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)”
が
命題Bに近いか、ほぼ同じ意味なのか？
以上 ［定理］
開集合Ωに含まれる任意のコンパクト集合で値が一致
するふたつ関数はΩ全体で一致する
［証明］
Ωに含まれる任意のコンパクト集合Kに対してΩ＼Kで
値が一致しないとしてもKの取り方は任意だからKよ
り大きいΩに含まれるコンパクト集合K'が存在してK'
で値が一致することになるが(Ω＼K)∩K'では値が一致
せずかつ値が一致するからΩ＼Kで値が一致しないこ
とはなくΩ全体で値が一致する［証明終了］
［解説］
要は任意に与えられたΩに含まれるコンパクト集合K
に属さないΩの点xで値が一致しないとしてもKの取り
方は任意だからxを含むようにKを取り直せばKにおい
て値が一致するからΩの点で値が一致しない点は存在
しないということ 時枝記事を理解できないわけだよ
証明を全然読めないんだから >.>83
> ［証明］
> Ωに含まれる任意のコンパクト集合Kに対してΩ＼Kで
> 値が一致しないとしてもKの取り方は任意だからKよ
> り大きいΩに含まれるコンパクト集合K'が存在してK'
> で値が一致することになるが(Ω＼K)∩K'では値が一致
> せずかつ値が一致するからΩ＼Kで値が一致しないこ
> とはなくΩ全体で値が一致する［証明終了］
読点を使わずにこんなに長い日本文を書いてはいけない >>84-85
笑える
言っている尻からこれか？
おい、>>83の証明を読んでやれ！（＾＾
そうすりゃ、おれが素人証明を読まない気持ちが、分るだろう（＾＾ おれが、素人証明を読む条件としては
１．その命題が、成立すると確信がある場合
２．その命題が、成立する場合でも、成書あるいはPDFなど出版物に証明がある場合は、そちらを主にして読む
３．まず読まないのが、この数学板に書き散らされた素人証明だよ
>>78のPDFは、まだ読めるが
条件１の「成立すると確信がある場合」に該当しないから、真剣に読むつもりなしだ
いま、条件２を探している >>87 補足
正直、>>78のPDFは、ざっと読んだが
どこにギャップがあるか、分らなかったし、ギャップを見つける自信がなかった
なので、反例から攻めることにした
PDFの定理1.7（>>79）の証明を読むより、いろいろ自分で調べた文献を読む方が、面白いしね（＾＾ >>87-88
時枝はさ、明らかに不成立だからね
証明なぞ、読む価値なしだよ ＞１．その命題が、成立すると確信がある場合
＞２．その命題が、成立する場合でも、成書あるいはPDFなど出版物に証明がある場合は、そちらを主にして読む
と広言するからには教科書はバッチリかと思いきや、εδすら理解していないスレ主だったとさ 他のスレでも上がっているが、一応アップする
（いまのところ、朝日のみ）
http://www.asahi.com/articles/ASKDH5VLYKDHPLBJ002.html
望月氏のＡＢＣ予想「証明」、独創的すぎて数学者も苦闘 朝日
嘉幡久敬、阿部彰芳2017年12月16日08時58分
http://www.asahi.com/articles/ASKDD5Q6MKDDPLBJ007.html?iref=com_alist_8_03
数学の超難問・ＡＢＣ予想を「証明」 望月京大教授 朝日
石倉徹也2017年12月16日03時01分 >>81
>>91
その”εδ”な、「スレ主、おまえ”εδ”分ってない。おれ、分っているぞ」と、言った方々
ピエロ、High level people、おっちゃん、”おまえ”（＾＾
みな、証明間違ったろ～（＾＾
>>78のPDFを書いた”ID:14lo33mI”さんとは、未決着だがね（＾＾
>>78のPDFについては、おいおい書いて行く 502 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/08/15(火) 19:14:09.11 ID:MgvDl1uC
【悲報】スレ主がεN論法を全く理解していないことが判明
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/473
＞∀n∈N,∃m∈N,n≦m
＞∃m∈N,∀n∈N,n≦m
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/497
＞命題１は、不成立。理由は、Nに上限はないから
＞命題２は、成立。理由は、第一条件であるｍ∈Nを取って、その範囲で、”第二条件（小前提）∀n∈N, 結論 n≦m”が成り立つようにできる
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/569
逆ですよー ：－）
命題1 は成立するのです。どんな n についても、それぞれの n がそれ以上の自然数を持っていますから。
命題2 は成立しません。すべての自然数nに対して絶対的に n <= m となる特定の自然数mは存在しません。 スレ主は「基本的なε－δ論法」を理解していないので証明を読むのは無理なのであった。
649 １３２人目の素数さん sage 2017/12/13(水) 21:47:45.73 ID:Emn1o5My
>>644
まずは補題1.5から始める。
補題1.5は、実質的には 0.5ページ 程度の分量しかない。その内容も、
limsup の定義に沿って基本的なε－δ論法を展開するだけである。
この程度の内容が読めないわけがないし、この程度の内容に徒労もクソもない。 >>64
おっちゃんです。
>＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
>Iを開区間とする。
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
>このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
>＜おわり＞
>
>申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
その命題の意味？ 開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、
かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しないことを示すための準備。
この場合は完全集合は閉区間と同じ扱いになる。その完全集合つまり閉区間についての
元の仮定が偽で、結論も偽の命題なんだから、対偶を取れば正しい命題になって数学的には正しい命題になる。
今気付いたが、ε-δ だけで示せるだろう。ただ、もっと長くなるとは思う。
>１）普通の開区間Iと何が違う？
この場合も含めて普通は、連結な距離空間 R^2 に定められた距離関数はユークリッド平面 R^2 に
定義された任意の2点に定義された通常の距離の取り方をするが、距離関数の取り方次第では
他の距離関数が定義されたユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うことも出来る。
このときは空間 R^2 を通常のユークリッド平面 R^2 とは異なる扱いをすることになる。
そして、ユークリッド平面 R^2 からその高々有限個の点からなる
離散距離空間を構成することも出来て、通常の距離とは異なる扱いをすることも出来る。
>２）”普通の１変数関数 （x,y）∈R^2 ｙ＝f(x) で、通常のユークリッド距離空間（√（x^2+y^2））”と何が違う？
この場合は普通のユークリッド距離関数と同じと考えて問題はない。
普通はユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うとき、その距離関数は任意の2点間に定義されたような通常の距離関数の取り方をする。 >>79 補足
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
これで、
１．”内点を持たない閉集合”とは、平たく言えば、「ただ１点」ってことだ
２．”被覆できる”とは、平たく言えば、「和集合」ってことだ
３．で、”高々可算”というけれど、有限なら、「 f は(a, b) 上でリプシッツ連続」はトリビアだ
４．もし、”可算無限”でも、どこかに偏在すれば、当然偏在箇所以外では、「 f は(a, b) 上でリプシッツ連続」もトリビアだ
５．だから、この定理1.7のキモは、「”可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは（数学的に）ありえない」ということ
（∵「リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散」ならば、”(a, b) 上でリプシッツ連続”と矛盾するから）
つづく >>97 つづき
６．で、”可算無限”は本質だな
例えば、>>81 THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
" In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)"
ここで、”on a co-meager set”は、dense（稠密）。（∵ 最初の仮定 ”each dense in the reals”だから）
co-meagerは、非可算濃度（∵ >>72より 「残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X ＼ A が痩せていることを言う。」
「X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。」）
（なお>>35 "** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)" も補足しておく。）
７．つまり、かの定理1.7は、ちょうど「”可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは（数学的に）ありえない」という主張に等価
（「”非可算無限”リプシッツ”不”連続な点が稠密に分散していることは（数学的に）可能」であるにも拘わらず）
で、私スレ主が、疑問に思うのは、「本当に、それ成り立つのか？」ということ
それを、いま調べているのだ
以上 >>93
＞その”εδ”な、「スレ主、おまえ”εδ”分ってない。おれ、分っているぞ」と、言った方々
＞ピエロ、High level people、おっちゃん、”おまえ”（＾＾
＞みな、証明間違ったろ～（＾＾
相変わらず錯乱してるｗ 証明？ 間違った？ ちゃんと薬飲めよ？ >>99
では、質問二つ
１．時枝の成立を信じているかい？（＾＾
２．>>78のPDFの証明読んだか？ 正しいと思うかい？（＾＾ >>96
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>>34 http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24
(抜粋)
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．
(引用終り)
を熟読願いたし（＾＾
>元の仮定が偽で、結論も偽の命題なんだから、対偶を取れば正しい命題になって数学的には正しい命題になる。
意味分らん（＾＾ >>102
対偶を取って命題を把握しろってことだよ。
前提をp、結論をqとしたら、命題 p⇒q とその対偶の命題 ￢q ⇒ ￢p とは同値な命題になるだろ。
これは高校で習ったろ。 >>93
しかも日本語が全く読めていない
俺は
-----------------------------------
＞１．その命題が、成立すると確信がある場合
＞２．その命題が、成立する場合でも、成書あるいはPDFなど出版物に証明がある場合は、そちらを主にして読む
と広言するからには教科書はバッチリかと思いきや、εδすら理解していないスレ主だったとさ
-----------------------------------
と言ったにもかかわらず、何故か教科書すら理解していないことには全く触れず
他人の中傷を始める始末。（スレ主がεδを理解していないことは事実なので中傷
ではない。一方俺が証明を間違えたというのは事実ではないので中傷である。）
スレ主に数学は20年早い、国語と道徳からやり直すべき。 >>104
最下位のこしぎんちゃくが、なにを焦っている（＾＾
日本語が全く読めていない
質問二つ
１．時枝の成立を信じているかい？（＾＾
２．>>78のPDFの証明読んだか？ 正しいと思うかい？（＾＾
（>>101より再録） >>103
おっちゃん、どうも、スレ主です。
対偶は、いいわ。些末だから
>>34 http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24
(抜粋)
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．
(引用終り)
を熟読願いたし（＾＾ ＞１．時枝の成立を信じているかい？（＾＾
信じる信じないではない、正しいか正しくないかだ。
時枝記事は正しい。
スレ主は学力が無いから理解できないだけのこと。
＞２．>>78のPDFの証明読んだか？ 正しいと思うかい？（＾＾
読んでない。 ＞なにを焦っている（＾＾
焦って数学なぞに手を出してるのはスレ主
お前が今すべきは国語と道徳の学習だ >>98 関連
（>>35より、いままでと、重複もあるが、”co-meager”関連引用）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker than any power of f gives behavior that one would expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that eventually majorizes every power function.
Define f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points.
In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
つづく >>110 つづき
[13] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at irrationals and discontinuous at rationals", abstract of talk given 2 November 1963 at the annual fall meeting of the Minnesota Section of the MAA, American Mathematical Monthly 71 #3 (March 1964), 349.
The complete text of the abstract follows, with minor editing changes to accommodate ASCII format.
Earlier results of Porter, Fort, and others suggest additional questions about the functions in the title. Differentiability and Lipschitz conditions are considered. Special attention ispaid to the ruler function (f) and its powers.
Sample results:
THEOREM:
If 0 < r < 2, f^r is nowhere Lipschitzian; f^2 is nowhere differentiable, but is Lipschitzian on a dense subset of the reals.
THEOREM:
If r > 0, f^r is continuous but not Lipschitzian at every Liouville number;
if r > 2, f^r is differentiable at every algebraic irrational.
THEOREM:
If g is continuous at the irrationals and not continuous at the rationals, then there exists a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
つづく >>111 つづき
[15] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at the irrationals and discontinuous at the rationals", American Mathematical Monthly 72 #4 (April 1965), 370-373. [MR 31 #3550; Zbl 131.29201]
NOTE: Sengupta/Lahiri had essentially obtained this result in 1957 (the points of discontinuity have to form an F_sigma set, however).
See my remark in [13] above.
This result is also proved in Gerald Arthur Heuer, "A property of functions discontinuous on a dense set", American Mathematical Monthly 73 #4 (April 1966), 378-379 [MR 34 #2791].
Heuer proves that for each 0 < s <= 1 and for each f:R --> R such that {x: f is continuous at x} is dense in R and {x: f is not continuous at x} is dense in R, the set of points where f does not satisfy a pointwise Holder condition of order s is the complement of a first category set (i.e. a co-meager set).
By choosing s < 1, we obtain a stronger version of Sengupta/Lahiri's result.
By intersecting theco-meager sets for s = 1/2, 1/3, 1/4, ..., we get a co-meager set G such that, for each x in G, f doesnot satisfy a pointwise Holder condition at x forany positive Holder exponent.
(Heuer does not explicitly state this last result.)
A metric space version of Heuer's result for an arbitrary given pointwise modulus of continuity condition is essentially given in: Edward Maurice Beesley, Anthony Perry Morse, and Donald Chesley Pfaff, "Lipschitzian points", American Mathematical Monthly 79 #6 (June/July 1972), 603-608 [MR 46 #304; Zbl 239.26004].
See also the last theorem in Norton [17] below.
つづく >>112 つづき
[17] Alec Norton [Kercheval], "Continued fractions and differentiability of functions", American Mathematical Monthly 95 #7 (Aug./Sept. 1988), 639-643. [MR 89j:26009; Zbl 654.26006]
On p. 643, Norton proves the following result.
THEOREM:
Let f:R --> R be discontinuous on a set of points that is dense in R.
Then there exists a co-meager (i.e. residual) set B such that for all x in B and for all s > 0, f fails to satisfy a pointwise Holder condition of order (exponent) s at x.
NOTE: See also the comments I make in Heuer [15] and Nymann [16] above.
(引用終り)
以上 >>108
確かに、あんた、道徳はOKかも（>>114）
うそつきサイコパスのピエロとは、違うね（＾＾ >>110
>(Each co-meager set has c points in every interval.)
"c points"の意味が分らん（＾＾
”critical”か”cotinuous”かな？ ＞正直で良いわ
つまり学力不足で時枝記事を理解できないと認めるわけだな？ >>116
>"c points"の意味が分らん（＾＾
違うかも知れないが、検索ヒットと他にめぼしいヒットがないので下記を貼る
（下記だと、cは連続濃度の意味だね）
https://mathoverflow.net/questions/102386/is-a-random-subset-of-the-real-numbers-non-measurable-is-the-set-of-measurable
(抜粋)
Is a random subset of the real numbers non-measurable? Is the set of measurable sets measurable?
edited Nov 29 '12 at 22:06
19 answered Jul 16 '12
The answer to your second question (assuming the axiom of choice, to dodge Asaf's comment) is that 2^R/Σ has dimension 2^c, where c=2^?0 is the cardinality of the continuum.
The main ingredient of the proof is a partition of [0,1] into c subsets, each of which intersects every uncountable closed subset of [0,1].
To get such a partition,
first note that there are only c closed subsets of [0,1], so you can list them in a sequence of length (the initial ordinal of cardinality) c in such a way that each closed set is listed c times.
Second, recall that every uncountable closed subset of [0,1] has cardinality c.
Finally, do a transfinite inductive construction of c sets in c steps as follows:
At any step, if the closed set at that position in your list is C and if this is its α-th occurrence in the list,
then put an element of C into the α-th of the sets under construction, being careful to use an element of C that hasn't already been put into another of the sets under construction.
You can be this careful, because fewer than c points have been put into any of your sets in the fewer than c preceding stages, while C has c points to choose from. At the end, if some points in [0,1] remain unassigned to any of the sets under construction, put them into some of these sets arbitrarily, to get a partition of [0,1].
つづく >>118 つづき
Once you have this partition, notice that every piece has outer measure 1, because otherwise it would be disjoint from some closed set that has positive measure and is therefore uncountable. This implies that, among the 2c2c sets that you can form as unions of your partition's pieces, only φ and [0,1] can be measurable.
In particular, no finite, nonempty, symmetric difference of these pieces is measurable.
That is, they represent linearly independent elements of 2^R/Σ.
(引用終り) >>117
いやいや、正直は、PDF読んでないの方
時枝の誤読は、君だけじゃない。最下位レベルでは無理ないよ >>111
フルペーパーまではゲットできず（＾＾
まあ、Abstractだけでも
http://www.calmathsoc.org/bulletin/article.php?ID=B.1957.49.31
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society
Article Details
Article ID B.1957.49.31
Title A Note on Derivatives of a Function
Author H.M. Sengupta & B.K. Lahiri
Issue Vol. 49, No. 4, - 1957
Article No. 31, Pages 189-191
Abstract
Recently Prof. Fort Jr. (1951) has proved a striking theorem regarding the differentiability of a function which is discontinuous over an everywhere dense set and continuous over an everywhere dense set.
He has proved that if the set of points where the function is discontinuous be everywhere dense and if there be an everywhere dense set of points where f(x) is continuous, then the set of points (if it exists) where the function is differentiable is a set of the first category.
He proves this by showing that the set of points where f(x) is continuous but not differentiable is a residual set.
In this note it is a proposed to show that in case there is an everywhere dense set of points when f(x) is discontinuous and an everywhere dense set of points where f(x) is continuous, then there always exists a residual set at each point of which at least one of the four derivatives D^+f, D_+f, D^-f is infinite.
In this connection, we refer to an article by W.H. Young (1903) [see Hobson, 1927] where it is proved that for any function f(x) defined in a
Latex Reference [BiBTeX format]
@ARTICLE { [citing tag of your choice],
? ?AUTHOR = {H.M. Sengupta & B.K. Lahiri},
? ?TITLE = {A Note on Derivatives of a Function},
? ?YEAR = {1957},
? ?JOURNAL = "Bulletin of Cal. Math. Soc.",
? ?VOLUME = {49},
? ?NUMBER = {4},
? ?PAGES = {189-191} }
以上 >>123
一言も見解を述べれなかったアホに何ができるって？ >>106
トーメ関数でも何でもいいけど、それとよく似た性質を持つような、
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x)
の存在性によって
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個の開区間Iの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε] 「のみに限り完全集合となるようなことはあり得ない」。
となって、元の仮定が否定がされるから、
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、2個以上の正の実数εに対し、
>3個の開区間Iの相異なる有理点 a,b,c に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε]、[c＋ε, c＋ε] は完全集合となる。
というごく当たり前のことが従う。 >>106
>>125の訂正：
下から6行目： [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε] → [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε]
下から2行目： [a＋ε, a＋ε]、[b＋ε, b＋ε]、[c＋ε, c＋ε] → [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε]、[c－ε, c＋ε] >>97-98
＜いままで読み込んだ調査文献からの暫定結論＞
１．>>110 "Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals."
↓
”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
(Each co-meager set has c points in every interval.)”
なので、”continuous and discontinuous”＆”each dense”は、本質で、これを、”リプシッツ連続とリプシッツ"不"連続”＆”each dense”に緩めることはできない
２．その理由は、”continuous and discontinuous”＆”each dense”の絡みで、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set."
が出るのであって、リプシッツ"不"連続に緩めたら、”a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition”は言えないだろうということ
（１と同じことの言い換えみたいだが・・、うまく書けないね（＾＾ ）
３．あと、まだ分らないのが、無理数と有理数に限定した、ruler-like functionsや下記の変形トマエ関数などで、関数の減衰で、無理数での微分可能点が増減するメカニズム
４．あと、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }と置く:
もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
で、R上R－Bfが稠密になる関数が、反例として本当に構成できるかどうか？（可能と思うが・・）
（R－Bfは、リプシッツ"不"連続であって、通常の不連続とは違うという理解なのだが、それで良いかどうかも、そこがいまいち分らんが・・（＾＾ ）
まあ、もう少し調べるか（＾＾
つづく >>127 つづき
（参考）
スレ46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/398
＜引用＞
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION,
DIOPHANTINE APPROXIMATION,
AND A REFORMULATION
OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM
JUAN LUIS VARONA
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Vol-
ume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.
Received 29 February 2008; accepted for publication 6 October 2009.
(抜粋)
ここに
fν(x)
＝0 if x ∈ R - Q（無理数）
＝1/q^ν if x = p/q ∈ Q, irreducible （有理数で既約分数）
で
Theorem 1. For ν > 2, the function fν is discontinuous (and consequently not differentiable) at the rationals, and continuous at the irrationals.
With respect the differentiability, we have:
(a) For every irrational number x with bounded elements in its continued fraction expansion, fν is differentiable at x.
(b) There exist infinitely many irrational numbers x such that fν is not differentiable at x.
Moreover, the sets of numbers that fulfill (a) and (b) are both of them un-countable.
(引用終り)
以上 >>124
何をして貰えるかって？
「ぷふ」さんに聞いてみな（＾＾ >>125
おっちゃん、どうも、スレ主です。
１．
おっちゃんの定理
（>>96より）
”このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。”
２．
トマエ関数
（>>106より）
定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．
この１と２は、矛盾しないのかと、聞いているのだが？ >>130
私が示したのは
>開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) が存在ならば、
>連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個の開区間Iの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
>連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] を完全集合とする「ことは出来ない」。
の方(の対偶)だよ。トーメ関数及びそれによく似た性質を持つ関数は数学的に存在するから何も問題ないだろ。 >>130
一応、>>131の
>トーメ関数及びそれによく似た性質を持つ関数は数学的に存在するから何も問題ないだろ。
の部分は
>(任意の)閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] は完全集合だから問題ないだろ。
と書くべきだった。 スレ主のヤツ、、、
スレが進むにつれて、どんどん態度がデカくなってる、というか悪くなってるな。
何か勘違いしてるわな。 そもそも
ぷはこれといった数学的発言を一度もしていない
にもかかわらず何故スレ主はぷを手放しで称賛するのか？
不自然極まりないではないか？
潔く白状せよスレ主 >>134
スレ主みたいな性格の悪い人が現実にいると思うと怖いよね >>137-138
これだけで、「ぷふ」さんと分るのか・・？ （おれには分らなかったがね（＾＾ ）
とすると、ID:wsqRW9GAは、High level people かい？ >>131
>>連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] を完全集合とする「ことは出来ない」。
"完全集合"? うーん、意味わからん・・（＾＾
https://kotobank.jp/word/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%9B%86%E5%90%88-49117
完全集合 かんぜんしゅうごうperfect set
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
(抜粋)
位相空間 S の部分集合 A が完全集合であるとは，A が孤立点をもたない閉集合であることをいう。すなわち，A の集積点の全体 A' が A と一致するときである。
世界大百科事典内の完全集合の言及
【集合】より
… 集合Sに対し，Sの集積点全体のなす集合をSの導集合という。それがSと一致するとき，Sは完全集合であるという。
［カントル集合］
次に示すカントル集合は，(1)完全集合であって，(2)内点をもたず，(3)どんな正数εを与えても，長さの和がε以内であるような線分で覆うことができるということから，長さ0と考えられ，(4)濃度は連続体の濃度であるということで有名である。…
※「完全集合」について言及している用語解説の一部を掲載しています。
(引用終り)
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf
12. '16位相空間 川崎 徹郎 教授 学習院数学科
(抜粋)
定義(X，O) を位相空間とする。その部分集合A X に対して：
(i) A の集積点の全体をAd またはA′ で表して，A の導集合という。（触点の全体は閉包である。）
(ii) A の境界点の全体を∂A で表して，A の境界という。
(iii) A の内点の全体をIntA で表して，A の内部という。
(iv) A = Ad を満たすとき，A を完全集合という。
注意距離空間の場合，導集合Ad は閉集合であるが，一般の位相空間においては，閉集合とは限らない。
(引用終り)
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/
ようこそ！ 川崎研究室文庫です。
http://www.math.gakushuin.ac.jp/%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%90%E3%83%BC/%E6%95%99%E6%8E%88/%E5%B7%9D%E5%B4%8E-%E5%BE%B9%E9%83%8E-%E6%95%99%E6%8E%88-2/
川崎 徹郎 教授 学習院数学科 かわさき てつろう KAWASKI, Teturou 専攻分野： 位相幾何学 >>140
>位相空間 S の部分集合 A が完全集合であるとは，A が孤立点をもたない閉集合であることをいう。
関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9
孤立点
(抜粋)
位相空間論において、位相空間 X の点 x が X の部分集合 S の孤立点（こりつてん、英: isolated point）であるとは、x が S に属し、かつ、x の近傍であって x 以外の S の点がひとつも含まれないようなものが存在することをいう。
特に X がユークリッド空間（あるいはもっと一般の距離空間）の場合に即して言えば、x が S の孤立点であるとは、x を中心とする開球体のうち x 以外の S の点を含まないものが存在するということを意味する。
別な言葉で言えば、点 x ∈ S が S において孤立するための必要十分な条件は、x が S の集積点とはならないことである。
孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。
一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値（英語版）を距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。
孤立点を持たない集合は自己稠密（英語版）であるという。孤立点を持たない閉集合を完全集合（英語版）という。
つづく >>141 つづき
直観に反する例
実数直線内の開区間 (0, 1) に属する点 x であって、その二進小数展開の各位の数 (digit) xi が以下のような条件をすべて満足するもの全体の成す集合を F とする。
・xi = 0 または xi = 1 の何れかが成り立つ。
・xi = 1 となる添字 i は有限個しかない。
・m が xm = 1 なる最大の添字ならば xm?1 = 0 が成り立つ。
・xi = 1 かつ i < m ならば xi?1 = 1 または xi+1 = 1 が二者択一で成り立つ。
これは感覚的に言えば、x の二進小数展開の各位の数で 1 に等しいものはどれも連続した 1 の対で現れるが、最後の一つは孤立するということである。
さて F は全く孤立点のみからなる陽に表された集合である[1]一方で、F はその閉包が非可算集合になるという直観に反する性質を持つ[2]。
同様の性質を持つ集合 F の別な例は、単位閉区間 [0, 1] 内のカントール集合の補集合において、その各連結成分から一点（例えば中央点）を選び出すことでも与えられる。この集合の各点は孤立するが、F の閉包は F とカントール集合との合併であり、可算でない。
[1][2] https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9#CITEREFGomez-Ramirez_2007
Gomez-Ramirez, Danny (2007), “An explicit set of isolated points in R with uncountable closure”, Matematicas: Ensenanza universitaria (Escuela Regional de Matematicas. Universidad del Valle, Colombia) 15: 145?147
(引用終り)
以上 >>141 補足
”孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。”
これは、常識として覚えておかねば（＾＾
>一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値（英語版）を距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。
「可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値（英語版）を距離函数とした距離空間）」
か
意味分らん。Qに距離を導入すると、離散的でない集合になるのかな・・（＾＾
>孤立点を持たない集合は自己稠密（英語版）であるという。孤立点を持たない閉集合を完全集合（英語版）という。
なるほど（＾＾ >>143
>一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値（英語版）を距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E7%A9%BA%E9%96%93
数学の位相空間論周辺分野における離散空間（りさんくうかん、英: discrete space）は、その点がすべてある意味で互いに「孤立」しているような空間で、位相空間（またはそれと同様の構造）の非常に単純で極端な例の一つを与える。
性質
離散距離空間上の一様系は離散一様系であり、離散一様空間上の位相は離散位相である。故に、先に離散空間として挙げたいくつかの概念は、互いに両立する。他方、一様空間あるいは距離空間として離散でないものの中に、その位相が離散位相となるものが存在する。
例えば、実数直線における通常の距離からくる距離空間 X := {1/n : n = 1, 2, 3, …} を考えると、これが離散距離空間でないこと、また（完備でないから）一様空間としても離散でないことは明らかである。にもかかわらず、これは離散位相を備えた離散位相空間になる。
すなわち、この X は「位相的に離散」だが、「一様離散」でも「距離的に離散」でもないということになる。
さらに以下のようなことが成り立つ。
・離散空間の位相次元は 0 である。
・位相空間が離散であるための必要十分条件は、その一元集合が必ず開になることであり、あるいはそれが集積点を一切含まないことである。
・任意の離散位相空間は各種の分離公理を全て満たす。特に、任意の離散空間はハウスドルフ空間、つまり分離空間である。
・離散空間がコンパクトであることと、それが有限集合であることとは同値である。
・任意の離散一様空間あるいは離散距離空間は必ず完備空間である。
・上二つの事実をあわせれば、任意の離散一様または距離空間が全有界であるための必要十分条件は、それが有限集合であることである。
・任意の離散距離空間は有界空間である。
・任意の離散空間は第一可算空間であり、さらに第二可算空間であることと可算であることとが同値になる。
・少なくとも二点を含む任意の離散空間は完全不連結である。
つづく >>144 つづき
・任意の空でない離散空間は、ベールの第二類である。
・濃度が同じ二つの離散空間は互いに同相である。
・任意の離散空間は離散距離によって距離化可能である。
・有限空間が距離化可能なのは、それが離散空間であるときに限る。
・X が位相空間で Y が離散位相を備えた集合ならば、X は X × Y 二よって十分に被覆される（射影が所期の被覆になる）。
つづく >>145 つづき
離散位相空間から他の位相空間への任意の写像は連続であり、離散一様空間から他の一様空間への任意の写像は一様連続になる。つまり、離散空間 X は位相空間と連続写像の圏および一様空間と一様連続写像の圏における X 上の自由対象である。これらのことは、離散構造が集合上自由であるというより広い現象の例になっている。
距離空間の場合は、距離空間の圏においては射の取りようによって複数の圏を考えうるから、事態はより複雑になる。射として一様連続写像の全体や連続写像の全体を取れば、確かに離散位相空間は自由だが、これでは一様構造や位相構造について考えただけで、距離構造については何も言っていないに等しい。
距離構造についてより関連のある圏は、射をリプシッツ連続写像や弱縮小写像に限ればよいが、これらの圏は（二元以上を持つ集合上で）自由対象を持たない。それでも、離散距離空間は有界距離空間とリプシッツ連続写像の圏における自由対象であり、1 で押さえられる有界距離空間と弱縮小写像の圏における自由対象となる。
すなわち、離散距離空間からベルの有界距離空間への任意の写像はリプシッツ連続になり、離散距離空間から別の 1 で押さえられる有界距離空間への任意の写像は弱縮小になる。
別な方向で考えると、位相空間 Y から離散空間 X への写像 f が連続になるための必要十分条件は、それが局所定数函数になる（つまり、Y の各点の近傍でその上で f が定数となるようなものが存在する）になることである。
応用例
離散構造は、集合上にほかに自然な位相や一様系、距離が入らないときの「何もしない構造」としてもよく用いられる。また、離散構造は特定の仮定における「極端な」例としても用いられる。
例えば、任意の群は離散位相を与えることにより位相群と考えることができ、それにより位相群に対する結果を任意の群に対して適用することができる。実際、代数学で研究されてきた通常の非位相群について、解析学的に離散群として言及することがある。
これはいくつかの場合において実際に有効に応用されており、例えば、ポントリャーギン双対などが得られている。0-次元位相多様体（あるいは可微分多様体や解析的多様体）は離散位相空間に他ならないから、任意の離散群を 0-次元リー群と見ることもできる。
つづく >>146 つづき
自然数全体の成す離散空間の可算無限個のコピーの直積は、無理数全体の成す空間に同相であり、同相写像は連分数展開によって与えられる。二点から成る離散空間 {0, 1} の可算無限個のコピーの直積はカントール集合に同相であり、この直積に直積一様系を考えれば、実は一様同相になる。この同相写像は三進展開から得られる（カントール空間を参照）。
数学基礎論において、{0, 1} の積のコンパクト性の研究は、（選択公理よりも弱い）超フィルター原理への位相的取り組みにおいて中心的である。
密着位相
詳細は「密着空間」を参照
離散空間の対極にあるのが密着空間である（密着空間の位相は自明位相とも呼ばれる）。これは開集合の数が可能な限り最小（つまり空集合と全体集合のみ）となるような空間である。離散位相が始対象・自由対象であるのに対して、密着位相は終対象・余自由対象になる。つまり、位相空間「から」密着空間「への」任意の写像は連続になる、などの性質がなりたつ。
つづく >>147 つづき
関連項目
円筒集合
https://en.wikipedia.org/wiki/Cylinder_set
Cylinder set
(抜粋)
In mathematics, a cylinder set is the natural open set of a product topology. Cylinder sets are particularly useful in providing the base of the natural topology of the product of a countable number of copies of a set.
If V is a finite set, then each element of V can be represented by a letter, and the countable product can be represented by the collection of strings of letters.
Applications
Cylinder sets over topological vector spaces are the core ingredient in the formal definition of the Feynman path integral or functional integral of quantum field theory, and the partition function of statistical mechanics.
(引用終り)
以上 >>144
>・位相空間が離散であるための必要十分条件は、その一元集合が必ず開になることであり、あるいはそれが集積点を一切含まないことである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88
単集合 （一元集合から転送）
(抜粋)
数学における単集合（たんしゅうごう、英: singleton; 単元集合、単項集合、一元集合）あるいは単位集合（unit set[1]）は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。
例えば、{0} という集合は単集合である。
性質
ツェルメロ・フレンケル集合論の枠組みの中では正則性の公理が「自身を元とする集合」が存在しないことを保証するから、単元集合とその単元集合を含む集合とは必然的に異なる数学的対象を意味するものとなる[1]。
つまり、1 と {1} とは同じものではないし、空集合のみからなる単項集合 {?} は 空集合 ? ではない。また、例えば、{{1, 2, 3}} のような集合も唯一の集合（それ自体は単集合ではないが）を元として持つ単集合である。
単集合であることと、その集合の濃度が 1 であることは同値である。自然数の集合論的構成において、自然数の 1 とは単集合 {0} のことと定義される。
公理的集合論において、対の公理からの帰結として単元集合の存在が導かれる。
即ち、任意の集合 A に対して、A と A に対して対の公理を適用すれば {A, A} なる集合の存在が保証されるが、これは A のみを元に持ちそれ以外の元は持たないから、単元集合 {A} に他ならない。
ここで A は任意の集合でよい、といっても集合がそもそもまったく存在しない場合には意味がないが、空集合の公理があれば少なくとも空集合 ? は集合になるから、A = ? ととって先の議論は正当化できる。
任意の集合 A と単集合 S に対し、A から S への写像はちょうど一つだけ存在する（それは A の各元を S の唯一の元へ写すものである）。従って任意の単元集合は集合の圏にける終対象である。
つづく >>149 つづき
応用
位相幾何学において、ある空間の全ての単集合が閉集合であることと、その空間が T1-空間であることは同値である。
単集合を台として構築される構造が、様々な圏における終対象や零対象を与えることがしばしばある。例えば
・既に述べたように単集合は集合の圏 Set における終対象にちょうどなっており、他の集合で Set の終対象となるものは存在しない。
・任意の単集合は、唯1通りの（全ての部分集合を開集合とする位相を考える）方法で位相空間にすることができる。このような一元位相空間は位相空間と連続写像の圏 Top における終対象である。他にこの圏 Top の終対象となる位相空間は存在しない。
・任意の単集合は、唯1通りの（唯一の元を単位元とする）方法で群にすることができる。このような一元群（単位群）は、群と群準同形の圏 Grp における零対象である。他にこの圏 Grp の終対象となる群は存在しない。
(引用終り)
以上 >>143
”孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。”
リウヴィル数は、「リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である」から、”孤立点のみから成る離散集合 (discrete set) ではない”ことになるのか・・。なるほど・・（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
リウヴィル数
(抜粋)
リウヴィル数（リウヴィルすう、Liouville number）とは、以下の定義を満たす実数 α のことである：任意の正整数 n に対して、
0<｜α － p／q｜< 1／q^n
を満たす有理数 p/q (q > 1) が少なくとも一つ存在する。
例えば、
l=Σ _{k=1}～{∞ }10^{－k!}=0.110001 000000 000000 000001 000000 000000 000000 ・・・
はリウヴィル数である。この数は、超越数であることが証明された初めての数である(ジョゼフ・リウヴィル、1844年)。特にこの数の場合、1が小数点以下、自然数の階乗の桁数に出現する(1!=1桁目、2!=2桁目、3!=6桁目、4!=24桁目、 ・・・ ・・・)。
有理数 α が 0 < |α| < 1 を満たし、整数からなる単調増加列 {ak}k ? 1 が ak + 1/ak → ∞ (k → ∞) を満たすとき、
Σ _{k=1}～{∞ }α ^{a_{k}
はリウヴィル数である。
性質
・リウヴィル数は超越数である（リウヴィルの定理）。
・リウヴィル数はマーラーの分類で U 数に属する。
・0 でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、および積で表現することができる。
・リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である。
つづく >>151 つづき
上記の性質より、ほとんど全ての超越数はリウヴィル数ではない。リウヴィル数でないことが知られている数としては以下のようなものが挙げられる。
・自然対数の底 e 。
・円周率 π。
・チャンパーノウン定数 0.123456789101112 ・・・ 。
・1 でない任意の有理数 r に対する log r 。
・任意の整数 d ≧ 2 に対する Σ _{n=1}～{∞ }d^{－n^2} 。
(引用終り)
以上 バカを覆い隠すためひたすらコピペで埋め尽くすスレ主であったとさ >>127
＜いままで読み込んだ調査文献からの暫定結論（修正版）＞
１．（>>97より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
ここで、"Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }","R－Bf"において
「< +∞」の解釈が問題となる
２．"R－Bf"が、単純にリプシッツ”不”連続点ではなく、実質的に不連続点の集合と考えるならば、
「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」は、つまり変形トマエ関数などの有理点での不連続点で、それは”孤立点のみから成る離散集合 (discrete set) ”とできる。
（繰返すが、この場合、上記定義のリプシッツ”不”連続は、実質通常の不連続点と解することができる。）
３．そうすると、>>110 の”THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
が適用できて
co-meager setは、リウヴィル数全体からなる集合と同様で、”非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 ”となる
この場合、実数内で稠密であるから、”リプシッツ連続である区間(a, b) を取ること”はできない。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
定義
実多変数の実数値函数に対して、これが成り立つのは、任意の割線の傾きの絶対値が K で抑えられるときであり、かつそのときに限る。函数のグラフ上の一点を通る傾き K の直線全体の成す集合は円錐を成すから、したがって函数がリプシッツ連続であるための必要十分条件は、その函数のグラフが至る所この錐のまったく外側にあることである。
(引用終り) >>153-154
つー、良いタイミングで書いてくれるよ（>>155） （＾＾ >>64 戻る
＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
Iを開区間とする。
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
＜おわり＞
いろいろ調べたが、
やはり、結局は（＾＾
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない」は、言えないように思うよ（＾＾
以上 pdf を投下した者だが、結局スレ主は、
たった2ページの証明から逃げ回って反例モドキの探索に明け暮れた挙句に、
トンチンカンな論法で何かを結論したつもりになっているわけで、
呆れ返るばかりである。
>>155
＞ここで、"Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }","R－Bf"において
＞「< +∞」の解釈が問題となる
ここでの「 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ 」 とは、
「ある実数 R＞0 が存在して lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ < R が成り立つ」
という意味。というか、それ以外の意味に解釈することは不可能。
＞２．"R－Bf"が、単純にリプシッツ”不”連続点ではなく、実質的に不連続点の集合と考えるならば、
R－Bf は「実質的に不連続点の集合」とは全然違う集合なので、
「２」以降のスレ主の考察は意味を成さず、例の定理の反例にもならない。
さっさと pdf の証明をキチンと読んで出直してこい。 >>157 追加
むかしは、”メンター”さんなる導師みたいな人がいてね
おっちゃんの証明を、逐一添削して、赤ペン入れたんだがな～（＾＾
最近見かけないね
卒業していったんだろうね（＾＾ >>158
どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾
また、かんがえるわ >>158
良い機会だから、一つ質問して良いか？
"ここでの「 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ 」 とは、
「ある実数 R＞0 が存在して lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ < R が成り立つ」
という意味。というか、それ以外の意味に解釈することは不可能。"
こういう解釈なら、
「ある実数 R＞0 が存在して lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ < R が成り立つ」以外での孤立点は、考えられないのかね？ そもそも
”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”だったろ？ ”「 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ 」 ”で、+∞は、極限を取らない？ 「ある実数 R＞0 が存在して lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ < R が成り立つ」
という意味。というか、それ以外の意味に解釈することは不可能。"
なら、最初から、 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ < R が成り立つ」と書かないのか？ >>161
＞「ある実数 R＞0 が存在して lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ < R が成り立つ」以外での孤立点は、考えられないのかね？
質問が意味不明で答えられない。孤立点とは「集合」とセットで定義される概念であり、
「 点 x が集合 A の孤立点であるとは、x∈A が成り立ち、かつ、x∈O, O∩A＝φ を満たす開集合 O が取れるときを言う」
…という定義によって「孤立点」というものが定義される。
従って、まずスレ主は「集合A」としてどのような集合を考えているのかを明記しなければ、
質問の体を成さない。
>>162
何が言いたいのか意味不明。だから何？
>>163
「α＜＋∞」という書き方は、「ある実数 R が存在して α＜R が成り立つ」という文章の省略記法である。
あるいは、拡大実数の中での不等式として「α＜＋∞」というものを考えてもよい。この場合も、
「ある実数 R が存在して α＜R が成り立つ」という意味になる。
>>164
そのような書き方も可能。次のように定義すればよい。
B_f：＝{ x∈R｜ある C＞0 が存在して limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜C が成り立つ }
しかし、次のような定義は意味が違ってしまうのでダメ。
・ 特定の C＞0 に対して、B_f：＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜C } >>165
どうも。スレ主です。
回答ありがとう
一晩考えたが、「その定理は正しいし、素晴らしいかも知れない」という考えに変わった（＾＾
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、”（>>155より）
ここで、
１）Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
かつ
２）R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる
の組み合わせだと、それは実は「不連続点」と言えそうかな
（∵Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< K } でKはある有限値に留まる（通常のリプシッツ連続）とすると、
”R－Bf は内点を持たない閉集合では、被覆できない”（広がりを持つ）がおそらく言えて、「< +∞」の場合は結局それは通常の「不連続点」だと）
とすると、>>155に書いた通り、そのような「不連続点」が可算無限個、R中に稠密に分散されている場合、
>>110 の”THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
が適用できて、そういう場合は実は、非可算無限個必要かあるいは内点を持つので、排除されている。
で、一見、>>110 の”THEOREMの言い換え”みたいだが、使い易い形への言い換えは大事なのと、簡単な分り易い別証明もまた大事だ
（>>110 の”THEOREM”みたいな大定理を適用出来るとするのも、これもまた大事だと思うが）
この定理が成り立たないと思って、ご無礼な物言いがあったかも知れないが、お詫びします ｍ（＿ ＿）ｍ
あとは、”上記１）と２）の組み合わせだと、それは実は「不連続点」”が、確かかどうかだな。そこは、もう少し掘り下げて考えてみるよ
証明の成否？ それは、おれよりもっと賢い人がコメントしてくれるだろう
おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない 今日は昼から用事があるので、少しだけ。
>>166
＞の組み合わせだと、それは実は「不連続点」と言えそうかな
ぜんぜん言えない。f：R→R を
f(x)＝xlog|x| (x≠0), 0 (x＝0)
と定義すると、
B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞} ＝ R－{0}
が成り立つことが分かる。すなわち、R－B_f＝{0} が成り立つことが分かる。
{0} は内点を持たない閉集合であり、この集合は1個だから、
R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できている。
よって、スレ主の理屈だと、この f は x＝0 で不連続でなければならないが、
実際には f は任意の点で連続である。
＞で、一見、>>110 の”THEOREMの言い換え”みたいだが、使い易い形への言い換えは大事なのと、簡単な分り易い別証明もまた大事だ
言い換えではない。 突然ですが
検索ヒットしたので貼る
http://izumi-math.jp/F_Wada/fixpoint_theorem.pdf
高校生のための不動点定理 和田 文興 北海道札幌国際情報高等学校 2006
@Author Fumioki.Wada @Version 1.00;17.Mar.2014
第14回北海道高等学校数学コンテストの第5問に、「縮小写像の不動点定理」を題材にした問題を出題しました。問題の背景にあるこの定理の１次元の場合を、高校生の読み物としてプリントにしましたので紹介します。
十年くらい前に北海道算数数学教育会高等学校部会第59回大会で発表したものとは違った方法をとり、証明を工夫して高校生向けにしました。また，高校生が自習用としても学べるように、単に「定義」，「定理」、「証明」の羅列ではなく、例題や練習、問題も取り入れて、理解しやすいようにしたつもりです。
http://izumi-math.jp/F_Wada/F_Wada.html
和田 文興 北海道札幌国際情報高等学校
http://izumi-math.jp/contest/index_j.html
数学コンテスト
第14回北海道高等学校数学コンテスト
平成8年1月12日(金)9時～12時30分 実施
問題、解答、解説、採点を終えてを掲載。
http://izumi-math.jp/
北海道算数数学教育会
高等学校部会研究部
数学のいずみ 成立しそうと思う理屈もトンチンカン、成立しなそうと思う理由もトンチンカン。
そんなふうに右往左往した挙句、未だに2ページの証明すら自分で読んでみようと思う気配なし。
「成り立つという目途が立たないうちは証明を読む気にならない」
とか言ってたやつが、いざ賛成側に傾いても結局は
＞証明の成否？ それは、おれよりもっと賢い人がコメントしてくれるだろう
＞おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない
この有様。しかも、既に指摘したように、成立しそうと思う理由もトンチンカン。
いかに上っ面だけで数学に触れてきたかがよく分かる。
コピペだけして表面的には意味を理解した気になって、その記述から推測される「意味」を
勝手に捏造して別の現象に当てはめようとするも、定理の本質的なところを理解したわけではないので、
推測した「意味」は的外れであり、それゆえに賛成・反対どちらに回っても、その理由は常にトンチンカン。
こいつこそがド素人ではないか。なんでこんなクズが数学板に常駐してるんだ。
そもそも、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ という基本的な対象ですらロクに扱えずに
「大いなる勇気を持って恐る恐る触っている」ような仕草が見られる時点で問題外。
いい加減に相手するのもバカらしくなってきたわ。 >>168
なるほど、あなたは力があるね（＾＾
>＞で、一見、>>110 の”THEOREMの言い換え”みたいだが、使い易い形への言い換えは大事なのと、簡単な分り易い別証明もまた大事だ
>言い換えではない。
もしそうだとすると、本当に素晴らしい定理だと思うが
逆に、本当？という疑念も強くなる
まあ、証明読む前に、定理の成立不成立をもっと考えてみるよ
証明を読むのは、そういう趣味の人がだれかやるでしょう >>170
悪いが、そういう話は、もともとプロ数学者相手にすべきだろ？
なんで、新定理だと思うなら、プロに相談しないの？ 回りを見渡して見ろよ
おれ以外にろくなコメントついてないだろ？
５ＣＨなんて、所詮そういうところだよ
＞おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない (>>166)
＞まあ、証明読む前に、定理の成立不成立をもっと考えてみるよ (>>171)
俺が望んでいるのは「正しいという保証」ではない。俺が望んでいるのは、
「お前が証明を直接的に読んで理解すること(もしくは、明確な間違いを指摘すること)」
である。つまり、「スレ主が2ページの証明と直接的に向き合う」
という行為そのものを望んでいるのである。
・ 反例モドキの探索は俺が望んでいる行為ではない。正しいという保証が欲しいから、
という理由ではなく、2ページの証明をスレ主が直接読むことを望んでいるから。
・ 賛成側に回るも結局証明は読まない、という行為は俺が望んでいる行為ではない。
なぜなら、2ページの証明をスレ主が直接読むことを望んでいるから。
・ 何度も言っているが、そもそもの話として、たった2ページの証明から逃げ回るという
行為そのものが理解不能。今までずっと言うのを控えてたけど、お前はこの程度の証明を読むのにも
「有名な数学者からの太鼓判」と「大いなる勇気・決断」が必要になるくらいに低レベルなクソザコなのかと。
そんなクソザコが、他人の書き込んだ数学的発言について何かを言う権利があると思ってるのか？
・ というか、そんなに やる気のない奴がどうして数学に触ってるんだ？ド素人のゴッコ遊びか？
いい加減にしてくれよ低能め。 まあ、証明読む前に、その新定理の正否をもっと考えてみるよ。その方が、面白いからね >>172
＞悪いが、そういう話は、もともとプロ数学者相手にすべきだろ？
＞なんで、新定理だと思うなら、プロに相談しないの？
また話が逆戻りしてる。
「俺が新定理を発見したと言っていて、その真偽をこのスレで問おうとしている」
という構図に持ち込もうとしても無駄。そういうことではないと何度も言っている。
俺は、自分の書いた定理が「新定理」だなんて一言も言ってない。
「既に発見済みだろう」とさえ言っている。お前もそのことは記憶にあるはずだ。
では何でこんな状況になってるのかというと、お前がイチャモンをつけてきたからだ。
イチャモンをつけてきた以上は、証明が投下されたらその証明を読むのが筋である。
お前はそれをしていない。ずっと逃げ回っている。全てはお前の言動に責任がある。 まあ、そりゃー、プロ数学界の多数が「成立」と保証している定理の証明は別だ。だから、「読め読め」というなら、プロ数学者のお墨付きをどうぞ >>176
＞成立しないと思う定理の証明は読まないよ
詭弁である。ついさっき一瞬だけ賛成側に回ったときも
＞証明の成否？ それは、おれよりもっと賢い人がコメントしてくれるだろう
＞おれみたいな、アホバカが「正しい」と言ったところで、それなんの保証にもならない
この有様だったからだ。お前の言動からして、
仮に有名な数学者からのお墨付きがあったら、今度は
「ほぼ正しいことが明確になったので、わたくしスレ主が証明を読む必要は無くなった」
とでも言うのであろう。そもそも、「2ページの証明」という超手軽な分量の時点で、
その証明「を読まない」という理屈は全く通用しない。 >>178
詭弁である。その理屈が通るのは、そもそもこの定理に何の興味もなくてスルーしたいときだけである。
「わたくしスレ主はその定理の成否に興味がないので、いきなり証明を持って来られても
読む気になりません。どうしてもというならプロのお墨付きをどうぞ」
このような理屈なら、筋が通る。しかし、お前はそうではない。お前は
・ たった2ページの証明は読みたがらないが、反例モドキを探すことには興味がある
のである。つまり、定理の成否そのものには興味があるのである。ならば、
その定理の根拠が明確に書いてある「たった2ページの証明」を避け続けるのは
極めて不自然である(これは数学に限ったことではない)。 >>173
> 回りを見渡して見ろよ
> おれ以外にろくなコメントついてないだろ？
> ５ＣＨなんて、所詮そういうところだよ
ろくなコメントをしないのはお前だろ
他人を巻き込むな >>176
＞成立しないと思う定理の証明は読まないよ
教科書すら読まない口が何をか言わんや 俺は前スレで
> 623 １３２人目の素数さん sage 2017/12/13(水) 00:59:00.08 ID:5ixW3ELF
> 証明を読みました
> 正しいと思います
と発言した者だけど、あのpdfはεδさえ理解できれば誰でも読めるはず
そこまで書くか？っていうくらい丁寧に書かれてる
これを読めないのは本当にザコだと思うよ >>155
> ここで、"Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }","R－Bf"において
> 「< +∞」の解釈が問題となる
スレ主の糞レスを読んでたんだけど、ここでちょっと笑ってしまった
こんな常識的な記法に解釈もクソもないよ >>177
レベルの高い友達いないのか？ (レベル低いのはだめだよ)
いれば、そいつに証明みてもらえよ（＾＾
なんか、あんたこの５ＣＨ数学板が唯一の数学の場に思えてくるね～ >>179-180
>とでも言うのであろう。そもそも、「2ページの証明」という超手軽な分量の時点で、
>その証明「を読まない」という理屈は全く通用しない。
お断りだな
数学史を学べば、過去多くの天才と呼ばれる大数学者が正しいと、周囲も一度は認めた証明に、穴があったという事例は多い
つづく >>186 つづき
あんたが、>>168で示した、原点０で連続だがリプシッツ連続でないという例は面白いとおもうが
では、それが可算無限個で稠密に存在しえない理由はなんだ？
下記で、r=1のときトマエ関数として、すでに全ての無理数で連続は達成されている（>>34より。なお、下記抜粋ご参照）
”r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals.”
しかし、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”だと（>>110）。
だが、これの成立条件は、”g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.”（>>110）であって、リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続ではないよ
リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続でも、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, on a co-meager set.”（ここでco-meager setは非可算濃度）
が言える？ なぜ言える？
あなたは「おれは証明したんだ！」というけれど
私スレ主が言っているのは、クロスチェックという手法でね、別の視点からそれを検証しようということ。クロスチェックに耐えてこそ本物だよ
つづく >>187 つづき
（>>35より）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q^r if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
で、指数rで、関数の特性が類別されているだろ（下記）
で、(抜粋)
１）** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise Lipschitz condition. Heuer [15]
２）** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals. Heuer [15]
３）** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose intersection with every open interval has Hausdorff dimension 1 - 2/r. Frantz [20]
(引用終り)
以上 >>181 >>183 & >>184
じゃ、上記>>186 に答えてくれ
（引用）
”>>168で示した、原点０で連続だがリプシッツ連続でないという例は面白いとおもうが
では、それが可算無限個で稠密に存在しえない理由はなんだ？
下記で、r=1のときトマエ関数として、すでに全ての無理数で連続は達成されている（>>34より。なお、下記抜粋ご参照）
”r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals.”
しかし、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”だと（>>110）。
だが、これの成立条件は、”g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.”（>>110）であって、リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続ではないよ
リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続でも、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, on a co-meager set.”（ここでco-meager setは非可算濃度）
が言える？ なぜ言える？
「証明がある」というけれど
私スレ主が言っているのは、クロスチェックという手法でね、別の視点からそれを検証しようということ。クロスチェックに耐えてこそ本物だよ”
(引用終り) >>177 補足
>「俺が新定理を発見したと言っていて、その真偽をこのスレで問おうとしている」
>という構図に持ち込もうとしても無駄。そういうことではないと何度も言っている。
>俺は、自分の書いた定理が「新定理」だなんて一言も言ってない。
補足しておく
１．このスレに、見慣れぬ定理とその証明が投下された
２．では、この定理が、既存の教科書（テキスト）なり、論文にあるのかどうか？
３．その見極めは、可能な限り必須だと思うよ
４．なぜなら、その見極めなしには、人にも話ができないでしょ？
５．新定理なら、それなりの話をしないといけないし
６．逆に、既存の教科書（テキスト）なり、論文にあるなら、「ここにすでに記載されている定理だが」と
（何かに引用するときも、” ５ＣＨ(422 に書かれた定理)”ではお笑いだろう）
７．さらに言えば、投下された当該の定理が、既存の関数論なりリプシッツ連続の理論のどこに位置付けられるのか？
例えば、類似の定理の有無など。
そこは大事なことじゃないかな？
（まあ、普通は、その過程で、投下された定理の正否が、ほぼ確定してくると思うよ） >>189 訂正スマン（＾＾
じゃ、上記>>186 に答えてくれ
↓
じゃ、上記>>187 に答えてくれ >>183
>これを読めないのは本当にザコだと思うよ
ありがとう（＾＾
「スレ主はザコだ。その定理は正しい」という人が、沢山でてきてくれると、
私の疑問点（>>187）も解消できて、嬉しいね（＾＾ 「反例もどき」は無限個存在する
そんなものをいちいち相手にしてたら日が暮れる
スレ主は数学板から出てけよ
実力不足も甚だしい すまないが、まずスレ主はもっと勉強してから、
書き込んでくれないだろうか？
他の住民とのレベルとの実力に大きなギャップ
を感じる。わざわざ下のレベルに合わせるという点
が無駄に感じることがよくある。 >>185
＞レベルの高い友達いないのか？ (レベル低いのはだめだよ)
＞いれば、そいつに証明みてもらえよ（＾＾
スレ主は国語力が壊滅的
スレ主がイチャモン付けさえしなければ済む話に対して、全く的外れな発言をしている
だから言ってるだろ？ スレ主は国語と道徳からやり直せ、数学など20年早いと ＞他の住民とのレベルとの実力に大きなギャップを感じる。
そりゃそうでしょう
スレ主は大学一年一学期の内容についていけない学力ですから 他スレからだが
Inter-universal geometry と ABC予想 21
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1509378059/588 関連
https://plaza.rakuten.co.jp/shinichi0329/diary/201705060001/
ドラマ「逃げ恥」の感想：社会の貧困と「視野狭窄」新一の「心の一票」 2017.05.06
(抜粋)
昨年秋、放送されていた当時、（恥ずかしながら（？）、私も含め）皆あんなに「熱狂的に」盛り上がっていたのに、いつの間にか忘れ去られ掛けている感のある、ドラマ「逃げ恥」。
以前（＝2017-01-04付けの記事）から予告している通り、このドラマの感想について（本当は感想の「テーマ」が多すぎるので）少しずつ整理しながら書きたいと思います。
今の時代の日本の社会を見渡すと、みんな「身を粉にして」せっせと働いているのに、全体的に余り豊かさを実感できない状況の下で生活している、というような趣旨の「暗い」報道（＝「ブラック企業」や過労死から結婚・出生率の低下、待機児童の問題、子供の貧困、若者の就職難等）が非常に多いように感じます。
一方、そのような「俯瞰的な」、「マクロ」の視点ではなく、個人個人の「ミクロ」のレベルで社会（＝特に自分の普段の生活の中で接する人間）を観察していると、（場合によっては）逆にこの国の人的資源の豊かさに寧ろ感動するような場面がしばしばあるのは私だけではないのではないでしょうか。
そうすると、この「マクロ対ミクロ」の落差は一体どのような原因によってこれほども激しい形で発生してしまうのだろうか、解明したくなります。
この「マクロ対ミクロ落差」はドラマ「逃げ恥」の主要なテーマの一つだったように思います。
大学院卒でありながら就職活動が上手くいかない、しかし様々な面においては本当は眩しい位の優れた「人的資源」ともいえる森山みくり（新垣結衣）がある意味、この「マクロ対ミクロ落差」の「代表格」・「リーダー格」ではないでしょうか。
実際、みくりの数々の妄想シーンの中でも何度か登場するみくりの「政治演説」のようなものも、みくりという登場人物に託されたこのような「指導的な」役割を物語っているように感じます。
つづく >>197 つづき
個人名や他の詳細を書くと問題視されるでしょうから差し控えますが、私は学生に対する評価の際においても、若手研究者の就職・採用に関わる評価の際においても、一般的な基準と大きく異なる基準を適用することによって、一般的な基準では
「間違いなく不適格＝数学界にとっては
事実上、ゴミ」
に等しい烙印を押された人材を拾い上げて育成し、最終的には、
実態からして一般的な基準よりも遥かに
実質的な基準において立派な水準の人材
に育て上げる
ことを何度も経験しており、その人材の目覚ましい成長ぶりに度々感動を覚えさせられたことだけは書かせていただきます。
(引用終り) >>193-196
雑談スレに相応しカキコだな
数学レベルがよく分るよ
ありがとう（＾＾ >>193-196
繰返す
じゃ、上記>>187 に答えてくれ（＾＾
（引用）
”>>168で示した、原点０で連続だがリプシッツ連続でないという例は面白いとおもうが
では、それが可算無限個で稠密に存在しえない理由はなんだ？
下記で、r=1のときトマエ関数として、すでに全ての無理数で連続は達成されている（>>34より。なお、下記抜粋ご参照）
”r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals.”
しかし、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”だと（>>110）。
だが、これの成立条件は、”g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.”（>>110）であって、リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続ではないよ
リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続でも、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, on a co-meager set.”（ここでco-meager setは非可算濃度）
が言える？ なぜ言える？
「証明がある」というけれど
私スレ主が言っているのは、クロスチェックという手法でね、別の視点からそれを検証しようということ。クロスチェックに耐えてこそ本物だよ”
(引用終り) >>200
頭オカシイだろお前
>>168は
「R-B_fでfが不連続」
というお前の馬鹿発言に対する反例だろうが
それに対して>>187じゃまったく会話になってないだろ >>187
> しかし、”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”だと（>>110）。
> だが、これの成立条件は、”g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.”（>>110）であって、リプシッツ連続とリプシッツ”不”連続ではないよ
仮定も結論も違う別の命題を持ってきて何を主張したいんだね君は。 >>190
> １．このスレに、見慣れぬ定理とその証明が投下された
> ２．では、この定理が、既存の教科書（テキスト）なり、論文にあるのかどうか？
> ３．その見極めは、可能な限り必須だと思うよ
> ４．なぜなら、その見極めなしには、人にも話ができないでしょ？
> ５．新定理なら、それなりの話をしないといけないし
> ６．逆に、既存の教科書（テキスト）なり、論文にあるなら、「ここにすでに記載されている定理だが」と
> （何かに引用するときも、” ５ＣＨ(422 に書かれた定理)”ではお笑いだろう）
> ７．さらに言えば、投下された当該の定理が、既存の関数論なりリプシッツ連続の理論のどこに位置付けられるのか？
> 例えば、類似の定理の有無など。
> そこは大事なことじゃないかな？
> （まあ、普通は、その過程で、投下された定理の正否が、ほぼ確定してくると思うよ）
新定理か旧定理か、見慣れているか否か、類似の定理があるかどうか、なんてスレ主以外誰も話題にしていない。
証明を読まない一方で、仮定も結論も違う命題をいつまでもゴニョゴニョいじり、反例もどきを提示しては論破され、の繰り返し。
もう一度言うが、証明がUPされているのだから、それをただ読めばいいのである。
ある命題について他人と話をするのにイチイチすべての教科書や論文をあたる必要はない。
その証明があれば成否を議論できるのであり、その証明はすでにUPされたのだから、それを読めば済むのである。
わざわざお前向けにアホでも分かる丁寧さで書かれたにもかかわらず、
それを読まずに成否に難癖ばかりつけている態度は非誠実極まりない。
『これは反例？あれは矛盾？』という問いかけはお前が証明を理解しないまま難癖をつけようとするかぎりいつまでも終わらない。
反例があるというならきっちりそれを証明してから語れ。>>187のようなくだらない質問で周りを煽るなバカタレ。 ＞証明を読まない一方で、仮定も結論も違う命題をいつまでもゴニョゴニョいじり、反例もどきを提示しては論破され、の繰り返し。
時枝記事に対してと全く同じでわろた >>201-205
笑える
みんな、逃げ口上と言い訳は、上手いね
要は
１．もし、>>168が正しいなら、１点のリプシッツ”不”連続点となる関数は存在して、当然、”ある区間(a, b) 上でリプシッツ連続である”は言える。
２．有限個のリプシッツ”不”連続点となる関数も存在して、これまた、”ある区間(a, b) 上でリプシッツ連続である”は言える。
３．そして、非可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在して、これは>>110-113に記されている。
この場合”ある区間(a, b) 上でリプシッツ連続である”は言えない。∵リプシッツ”不”連続点が、稠密に分散しているから
但し、「非可算無限個のリプシッツ”不”連続点」だから、>>155の”定理1.7 (422 に書いた定理)”の条件「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」に合わないので、存在しても反例にはならない。
４．では、可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在しえるのか？
もし、存在し得るなら、”定理1.7 (422 に書いた定理)”の反例となるが、
”定理1.7 (422 に書いた定理)”が、正しいとすると、”可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在しえない”となる
５．問題は、なぜ、”可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在しえない”のか？
非可算無限個で稠密なら可能なのに。有限個でも可能なのに。
その中間たる”可算無限個”では、なぜ存在しえないのか？
ということ。
だれか、教えて（＾＾ >>183
そうそう、ID:mDHP3omSさんは、数学科生と見た
まだ、来週は大学行くんだろ？
大学の先輩か（４年以上で、リプシッツ連続に詳しい人）、教官に聞いて貰えないかな？
上記>>206 の質問と、それに”定理1.7”の成否について
よろしくね 厚かましさは一流だなｗ
国語の勉強は進んでるか？ｗ >>206
何もかも言ってることが無茶苦茶過ぎる
> ４．では、可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在しえるのか？
> もし、存在し得るなら、”定理1.7 (422 に書いた定理)”の反例となるが、
定理1.7の読み違い リプシッツ”不”連続点なる用語はR－B_fを指しているわけね。
>>209の後段は取り消す。
でもそうなると、なぜ存在しえないのか？に対しては証明を読めば分かるだろ、という答えになるわけだが。 午後からの用事が終わったので復帰。
>>206
スレ主にしてはきちんと状況判断が出来ていて悪くない問い方である。
ただし、その問いに関する答えはハッキリしている。
＞５．問題は、なぜ、”可算無限個のリプシッツ”不”連続点で、実数直線R中にそれが稠密に分散している関数は存在しえない”のか？
なぜ存在し得ないかというと、例の定理が成り立つからだ。なぜ例の定理が成り立つかというと、
その証明は既にアップしてある。全部で5ページだが、実質的には2ページ足らずの証明である。
スレ主が頑なに拒否してるだけ。全てスレ主の自業自得。
＞非可算無限個で稠密なら可能なのに。有限個でも可能なのに。
＞その中間たる”可算無限個”では、なぜ存在しえないのか？
可算・非可算で分類するのは筋違い。例の定理の証明にはベールのカテゴリ定理を使うのだから、
「第一類集合」「第二類集合」で分けた方が見やすい。
集合Aが第一類集合であるとは、Aが内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるときを言う
(これと僅かに異なる定義も存在するが、ここでは本質的な違いではない)。
また、集合Aが第二類集合であるとは、Aが第一類でないときを言う。
・ 有限集合は常に第一類集合である。
・ 可算無限集合も常に第一類集合である。
・ 非可算無限集合は、第一類になったり第二類になったりする。
また、例の定理が言っているのは、
「 R－B_f が第一類集合ならば、f はある開区間の上でリプシッツ連続である」ということ。
[続く] [続き]
以下、件の関数の存在の有無を、「稠密版」と「そうでない版」で条件を場合分けして見ていく。
稠密版
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「R上に稠密に分布する非可算無限個の点でのみリプシッツ不連続」は可能であるが、非可算無限集合は
第二類集合になり得るので、例の定理の適用範囲外になり、そういう例が実在しても おかしくない。
「R上に稠密に分布する可算無限個の点でのみリプシッツ不連続」は不可能であるが、可算無限集合は
常に第一類集合だから、例の定理が適用でき、それゆえに不可能である。
「R上に稠密に分布する有限個の点でのみリプシッツ不連続」も実は不可能である。なぜなら、
有限個の点はそもそもR上で稠密に分布できないから。
★ 従って、稠密版では、「非可算無限集合」のみが "可能になり得る" のであり、
可算無限以下では常に不可能となり、実はキレイに条件が分かれる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
稠密という条件を取り除いた版
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「単に非可算無限個の点でのみリプシッツ不連続」は可能である。なぜなら、
「稠密に分布する」という強い条件の時点で既に存在するからだ。
「単に可算無限個の点でのみリプシッツ不連続」は可能である。なぜなら、
たとえば「整数点」でのみリプシッツ不連続であるようにすればいいからだ
(そのような関数は明らかに構成できる)。
「単に有限個の点でのみリプシッツ不連続」は可能である。
実際、1点でのみリプシッツ不連続な例を既に挙げてある。
★ 従って、稠密という条件を取り除いた版では、可算・非可算に限らず "可能になり得る" 。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
[続く] [続き]
以上の準備のもとで、スレ主が言うところの
「なぜ非可算個と有限個は可能なのに可算無限だけはダメなのか」
という問いに答えると、それは次のようになる。
「スレ主は、稠密版とそうでない版をごっちゃにして考えているのがおかしい。
稠密版に統一すると、非可算無限のみが可能になり得て、可算無限以下は不可能なので、
実はキレイに条件が分かれている。また、稠密という条件が無い版に統一すると、
可算・非可算に関わらず常に可能なので、これまたキレイに条件が整っている。」
「さらに、稠密版に統一した場合に、可算無限以下で不可能になる理由は、例の定理が適用できるから。
あとは例の2ページの証明を読めば全て解決する。さっさと読めや」 [補足]
スレ主が言うところの
「なぜ非可算個と有限個は可能なのに可算無限だけはダメなのか」
という問い方は、
「可算無限だけがダメというのは不自然なので、例の定理は間違っている公算が高い」
という目論見で書いた問いであると思われる。
しかし、既に書いたように、スレ主は稠密版とそうでない版をごっちゃにして考えているのがおかしいのであり、
稠密版に統一すればキレイに条件が分かれるし、稠密という条件が無い版に統一してもキレイに条件が整っている。
この時点で、スレ主の目論見は的外れということになり、スレ主は振り出しに戻ることになる。
馬鹿の考え休むに似たり。
さっさと2ページの証明を読めばいいのに、いつまでこんな不毛な考察を続けるつもりなんだろうな。 >>214
> さっさと2ページの証明を読めばいいのに、いつまでこんな不毛な考察を続けるつもりなんだろうな。
スレを伸ばせば彼の勝ち、なのかもしれないが・・・
いずれにせよ不毛だ よかったなあスレ主
お前がどうバカなのか手取り足取り教えてくれる人がいて
感謝しないと罰が当たるぞ？ スレ主の論理不透明な文章をあそこまで読み解ける明晰さはすごい >>208-218
オハヨー、朝です。
(^o^)
みなさん、ご苦労さん（＾＾ >>206
自己解決しました
１．（>>97より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
２．さて、結論から言えば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”がおかしいと思う
３．それを説明するために、まず階段函数を考える
x<0でf(x)=0, 0=<xでf(x)=1である階段函数で、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は１点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
一方、X=0を、リプシッツ連続という視点でみると、X=0を挟んで左右平等なので、x<0から見てもリプシッツ”不”連続
４．次に、x<0でf(x)=0、x=0でf(x)=1、0<xでf(x)=0 という函数を考える。
（これは、いま問題にしている変形トマエ関数の不連続点の簡単なモデルでもある）
階段函数同様、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は１点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
しかし、上記３と同様の議論で、X=0を挟んで左右平等なので、x<0と0<xと、双方から見てもリプシッツ”不”連続
（この場合、x<0から見たときは正勾配で、0<xから見たときは負勾配で、リプシッツ”不”連続になる）
この場合、リプシッツ”不”連続点は、内点を持たない閉集合では、被覆できないことは明らか（X=0なる内点を持つべし）
５．このような、広がりを持たないけれども、内点を持つ集合の例として、カントール集合がある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88 カントール集合
（カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[18]。）
つづく >>220 つづき
６．それで、リプシッツ”不”連続点が、カントール集合のような、内点を持つ集合（開集合か閉集合かを問わず）で、かつルベーグ測度は 0 なる集合で被覆できる点であるとするならば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とした仮定の置き方がおかしい
７．もっと言えば、上記の定理でいうリプシッツ”不”連続点は、必ず内点を持つなら、仮定の”内点を持たない閉集合被覆できる”が言えなくなる
その場合、論理的には真（仮定が成り立たないときの命題は常に真）だが、現実の函数（変形トマエ関数のような）については、なにも語っていないことになる
以上 >>220
おっちゃんです。
>１．（>>97より）
>”定理1.7 (422 に書いた定理)
>f : R → R とする．
>Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
>と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
>上でリプシッツ連続である．
>（以下証明の文言から）
>よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
>２．さて、結論から言えば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”がおかしいと思う
私はここに投下された pdf を読んでいないので何ともいえず、スレ主はその pdf の内容について
いっているのだろうが、2の「""」の中の文は仮定だから問題ない(であろう)。 >>222
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾ >>220
ぜんぜん自己解決してない。論理が滅茶苦茶。
おそらくスレ主は、「内点」がどういう概念なのか全く理解していない。
なので、先に「内点」の定義から始める。位相空間で定義するのが一般的だが、
スレ主のレベルの低さに合わせて、距離空間でのみ定義する。
定義：(開球の定義)
(X, d) を距離空間とする。x∈X を中心とする半径 r の開球を B_r(x) と書くことにする。
すなわち、B_r(x)：＝{ y∈X｜d(x,y)＜r } である。
定義：(内点の定義)
(X, d) を距離空間とする。A⊂X とする。点 x∈A が集合 A の内点であるとは、B_r(x)⊂A なる r＞0 が
存在するときを言う。特に X＝R の場合を考えると、集合 A⊂R と x∈A について、
「点 x∈A が集合 A の内点であるのは、x∈(a,b)⊂A なる開区間 (a,b) が存在するとき、かつそのときに限る」
ことが確認できる(距離空間に関する初等的な演習問題である)。
補足：
上記の定義により、「内点」という概念は集合 A とセットで定義される概念であることが分かる。
つまり、集合 A を指定せずに「内点」とだけ書いても意味が定まらない。
必ず、「集合 A の内点」という形で、集合 A とセットで用いられる。
従って、同一の点 x が、ある集合 A においては内点になり、別の集合 B においては内点にならないという事態が
容易に起こる。たとえば、点 0 ∈ R は集合 { y∈R｜－1＜y＜1 } の内点であるが、しかし集合 {0} の内点ではない。 以上の準備のもとで、>>220-221 の間違いを指摘する。
どの間違いも、「内点」に対する勘違いが原因であると思われる。
>>220
＞５．このような、広がりを持たないけれども、内点を持つ集合の例として、カントール集合がある
＞（カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[18]。）
大間違い。カントール集合は内点を持たない。以下、カントール集合のことを S と書くことにする。
もし S が内点を持つなら、S の内点の1つを x とすれば、x∈(a,b) ⊂ S なる a,b が取れるので、
S のルベーグ測度は少なくとも (b－a) 以上となり、S の測度が 0 という事実に矛盾してしまう。
よって、S は内点を持たない。
>>221
＞６．それで、リプシッツ”不”連続点が、カントール集合のような、内点を持つ集合（開集合か閉集合かを問わず）で、
＞かつルベーグ測度は 0 なる集合で被覆できる点であるとするなら
大間違い。「内点を持つ集合で、かつルベーグ測度は 0 なる集合」は存在しない。理由は上と同じ。
[続く] [続き]
>>220
＞４．次に、x<0でf(x)=0、x=0でf(x)=1、0<xでf(x)=0 という函数を考える。
＞(中略)
＞この場合、リプシッツ”不”連続点は、内点を持たない閉集合では、被覆できないことは明らか（X=0なる内点を持つべし）
「X=0なる内点を持つべし」という書き方では、意味が定まらない。
x＝0 がどんな集合において内点になるのかを、スレ主は明確に書いていない。
おそらくは、R－Bf という集合の内点を考えているのだろうが、今回の f の場合、R－Bf ＝ {0} となるので、
「 x＝0 は集合 R－Bf の内点ではない 」
ということが分かり、「X=0なる内点を持つべし」というスレ主の発言は間違っていることになる。
[続く] [続き]
さらに、「X=0なる内点を持つべし」の理由も滅茶苦茶である。
＞しかし、上記３と同様の議論で、X=0を挟んで左右平等なので、x<0と0<xと、双方から見てもリプシッツ”不”連続
＞（この場合、x<0から見たときは正勾配で、0<xから見たときは負勾配で、リプシッツ”不”連続になる）
＞この場合、リプシッツ”不”連続点は、内点を持たない閉集合では、被覆できないことは明らか（X=0なる内点を持つべし）
これがスレ主の挙げた理由である。どうやら、「 x＜0 と x＞0 の双方から見てもリプシッツ不連続 」ということから、
「X=0なる内点を持つべし」ということを結論しているようだが、論理的には何も繋がっておらず、
なぜそれで「X=0なる内点を持つべし」が結論されるのか全く不明である。
また、スレ主が一体どういう勘違いをしているのかも不明である。俺が推測するに、おそらくスレ主は
「 x＝0 を含む十分小さな開区間 (－ε, ε) における f の勾配を観察するうちに、いつの間にか (－ε, ε) が
主体になってしまい、x＝0 は (－ε, ε) の内点であると主張するようになってしまった」
のだと推測される。もちろん、x＝0 は (－ε, ε) の内点である。しかし、x＝0 は R－Bf の内点では無い。
なぜなら、R－Bf ＝ {0} だからだ。まとめると、スレ主は
「 x＝0 は (－ε, ε) の内点である」
という、R－Bf の内点とは無関係の主張をした上で、「そもそも どんな集合の内点を考えていたのか」を
全く意識しなかったがゆえに、(－ε, ε) と R－Bf を混同してしまい、
「 x＝0 は R－Bf の内点である」
という間違った結論に達したのだと推測する。当たらずといえども遠からず、といったところだろう。
[続く] [続き]
>>221
＞”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とした仮定の置き方がおかしい
この発言もまた、「内点」に対する不勉強が原因の間違いであると推測されるが、
「内点」を抜きにして考えても、実は間違った発言になっている。
・ R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆「できない」場合は、そもそも例の定理の適用範囲外。
・ R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆「できる」場合は、例の定理が適用できる。
・ R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆「できる」ような具体例は、既に挙げてある。
従って、「 R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」という条件には何の不備も無いのである。
＞７．もっと言えば、上記の定理でいうリプシッツ”不”連続点は、必ず内点を持つなら、仮定の”内点を持たない閉集合被覆できる”が言えなくなる
＞その場合、論理的には真（仮定が成り立たないときの命題は常に真）だが、現実の函数（変形トマエ関数のような）については、なにも語っていないことになる
何も語ってないのはスレ主である。スレ主がここで言っているのは、
「例の定理の適用範囲外となる条件を考えれば、例の定理は適用できない」
という下らない主張である。この下らない主張そのものは論理的には正しいが、
しかし例の定理について何も言ってない。
そもそも、スレ主は「内点」という概念を勘違いして使っているので、
言っていることが最初から滅茶苦茶である。
総合すると、結局今回も、「馬鹿の考え休むに似たり」といったところ。 >>228
どうもスレ主です。
ご丁寧なレスありがとう（＾＾
考えてみるよ
しかし、あなたの証明に完全賛同する人は、ただ一人かい？ なんで、だれも類似のことを証明していなかったんだろうね？ プロ数学者たち？ >>229-230
＞しかし、あなたの証明に完全賛同する人は、ただ一人かい？
＞なんで、だれも類似のことを証明していなかったんだろうね？ プロ数学者たち？
詭弁である。
お前が「プロ数学者」を持ち出す以上、このスレで何人の賛同者が出ても、
お前の口からは同じセリフが出るであろう。つまり、賛同者がたくさんいた場合には、
「このスレでは賛同者がたくさんいるようだが、
プロ数学者が誰も発見してなかったのはなぜだろうね？」
という書き方をするに決まっているのである。そして、お前は もはや
「プロ数学者が見つけてないから間違ってるに決まっている」
という、正真正銘のイチャモンをつけるしか能が無くなったようである。
「馬鹿の考え休むに似たり」とは言ったが、もはや考えることすらやめて、
単なる馬鹿に成り下がったらしい。
ちなみに、我々が文献を発見できてないだけで、絶対に同じ発見が既に成されていると俺は推測する。
誰かの名前がついた定理の形には なってないのかもしれないが、どこぞの大学の講義の演習問題に
全く同じ問題が載ってるとか、そんなレベルでもいいから、とにかく発見済みのはずである。
なんたって、straddle lemma の真似をしたあとでベールのカテゴリ定理に繋げるだけの、
超簡単な証明なんだからな。お前は未だにその2ページの証明から逃げ回ってるがｗ いや、いま職場からだから、簡単にな
単純に、不思議だなと
わずかな分量の超簡単な証明だという
では、なぜ賛同者が一人？
なぜ、過去にその定理と証明が無かったのか？ どうしてそんなに数日に渡る問題になるか？
と思って私も読んでみたけど兼ね問題なく理解できた。
変形切断幕いわゆるポップコーン関数でも成り立つと考えられるからこれは面白い
fを取らない方法で自分の課題も纏められるかもと考えれた そのなぞが解けない限り、うっかり乗せられたら、ビックカメラかも知れないと思っているよ >>234
BLACKXスマホ ◆jPpg5.obl6さん、どうもスレ主です。
良かったら、証明よんであげて
そして、レスしてあげてください（＾＾ >>235 訂正
ビックカメラ
↓
ビックリカメラ
（＾＾ >>233
＞なぜ、過去にその定理と証明が無かったのか？
我々が文献を発見できてないだけで、絶対に同じ発見が
既に成されていると俺は推測する、と何度も述べている。
>>235
＞そのなぞが解けない限り、うっかり乗せられたら、ビックカメラかも知れないと思っているよ
詭弁である。お前が言うところの「うっかり乗せられたら」というのは、
「騙されたと思って証明を読んでみたら、やっぱり間違ってて徒労だった」
という状況を想定しているのだと思われるが、この理屈が通るのは、
そもそもこの定理に何の興味もなくてスルーしたいときだけである。
「わたくしスレ主はその定理の成否に興味がないので、
うっかり乗せられた挙句に徒労に終わったら たまったものではありません。」
このような理屈なら、筋が通る。しかし、お前はそうではない。お前は
・ たった2ページの証明は読みたがらないが、反例モドキを探すことには興味がある
のである。つまり、定理の成否そのものには興味があるのである。ならば、
その定理の根拠が明確に書いてある「たった2ページの証明」を避け続けるのは
極めて不自然である。証明の間違いが直接的に発見できたなら、その時点でスレ主に
軍配が上がることになり、決着がつくのだから、むしろ それはスレ主が望んでいることであろう。
別の言い方をすると、定理の成否に興味がある時点で、「うっかり乗せられる」という発想は
決して出てこないはずなのである。そこがスレ主の詭弁である。 >>236
私は証明PDFを読んだ結果が>>234だけど？ちゃんと私のレス読んだ？ 証明pdfのline2-7に吹いた
スレ主に理解させるにはここまで書かなきゃいけないのかと
そしてそれを読めないスレ主にも吹いた >>241
> 証明pdfのline2-7
ページ2のline2-7ね
どんな易しい本もここまでは書かないよ >>239-242 & >>231
どうも。スレ主です。
BLACKXちゃんの日本語難しいわ
「私も読んでみたけど兼ね問題なく理解できた」は、
何を読んで、何がどう理解できたと？（＾＾
で、いま問題にしているのは、「証明が正しいかどうか」であって、「理解できた」では、「証明が正しい」との間には、ギャップがあるけどね（普通の数学の会話では）
「変形切断幕いわゆるポップコーン関数でも成り立つと考えられるから」も意味わからんかったな～（＾＾
まあ、「証明が正しい」と言いたいんだろう
お一人、「証明が正しい」という人が増えて、今二人か
さあさあ、あとは、無いか無いか >>238
>詭弁である。お前が言うところの「うっかり乗せられたら」というのは、
>「騙されたと思って証明を読んでみたら、やっぱり間違ってて徒労だった」
>という状況を想定しているのだと思われるが、
いや、”徒労”も少しあるが、
懸念しているのは、”騙される”ってやつよ
「だんな、この話は儲かりますよ」という類いで、一つ一つのロジックは一見もっともだが、全体としては「なんか可笑しい」ということ。これよくあること
だから、定理の真贋を見極めるのが先だと。そのために、その定理が既存の数学理論の中でどう位置付けられるのかを調べている >>224
いや、講義はありがたいが、下記
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
で、話は通常の実数Rで、f : R → Rは、不連続を許す、１変数一価関数でだと。
そこに、通常のいわゆる自然な（アルキメデス）距離を、入れる。
１次元のユークリッド空間と、(x,y)で２次元までで可だと
だから、難しい位相はちょっと置いておいて
”内点を持たない閉集合”とは、「ある１点から成る集合」と簡単に書けば良いのでは？
それから、”Bf :={x ∈ R・・”なのだから、これは１次元の話で、R－Bf も同様に１次元の話
”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とは、単に、「分散された『ある１点から成る集合』の高々可算和である」と平易に表現して良いのでは？
違ったらそう言ってくれ >>225
>大間違い。カントール集合は内点を持たない。
ああ、そうかも。まあ、”カントール集合は内点を持たない”は、
「孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。」（>>141）
から即断して例示したが、カントール集合は離散集合ではないのか？ >>226-228
えーと、>>220で４項の前に書いた、３項（下記）をスルーした？
”３．それを説明するために、まず階段函数を考える
x<0でf(x)=0, 0=<xでf(x)=1である階段函数で、X=0で不連続で不連続点は0で、不連続点は１点であり、”内点を持たない閉集合被覆できる”
一方、X=0を、リプシッツ連続という視点でみると、X=0を挟んで左右平等なので、x<0から見てもリプシッツ”不”連続”
このリプシッツ”不”連続は、１点で被覆できるのか？ 少なくとも、左右２点が、リプシッツ”不”連続ではないのか？
もし、異なる２点がリプシッツ”不”連続で、その２点間もリプシッツ”不”連続が言えるなら、内点を持つよ
そもそも、”R－Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？ >>246
＞カントール集合は離散集合ではないのか？
レベルが低すぎて お話にならんなｗ
カントール集合は内点を持たない閉集合で、かつ 非 可 算 無 限 集 合 である。
離散集合は自動的に可算なので、カントール集合は離散集合にならない。
>>245
＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とは、単に、
＞「分散された『ある１点から成る集合』の高々可算和である」と平易に表現して良いのでは？
＞違ったらそう言ってくれ
ぜんぜん違う。「内点を持たない閉集合であって非可算無限集合であるもの」が存在する。
従って、「1点から成る集合の高々可算和」に限定すると、定理の主張が弱くなってしまう。 >>247
＞”R－Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？
スレ主が持ってきた「3」と「4」の2つの例では、どちらも被覆「できる」。
なぜなら、どちらの例でも R－Bf ＝ {0} が成り立つからだ。
スレ主は何かを盛大に勘違いしている。何を勘違いしているのかは俺にも分からない。
質問の意図も不明瞭である。一応、以下で回答する。
＞このリプシッツ”不”連続は、１点で被覆できるのか？ 少なくとも、左右２点が、リプシッツ”不”連続ではないのか？
＞もし、異なる２点がリプシッツ”不”連続で、その２点間もリプシッツ”不”連続が言えるなら、内点を持つよ
質問の意味が全く不明。左右2点とはどの2点のことを言っているのか？なぜ具体的な形で答えないのか？
「 x＝π と x＝√2 の２点においてリプシッツ不連続である」
のような、具体的な形で答えよ。また、何度も言うように、「内点を持つよ」という書き方だけでは意味が定まらない。
内点とは集合とセットで用いられる概念である。どのような集合の内点を考えているのか、その「集合」を明示せよ。
ちなみに、「3」の関数でも「4」の関数でも、R－Bf ＝ {0} が成り立つので、リプシッツ不連続点は x＝0 の一点のみである。
特に、R－Bf は内点を持たないし、R－Bf は「内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる」ことになる。
なので、スレ主は何かを盛大に勘違いしている。 補足になるが、一応、「一点でのリプシッツ連続・不連続」を復習しておく。前スレだかこのスレだかに書いたように、
「 limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
「 limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」
……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
「3」の関数でも「4」の関数でも、
・ x≠0 のとき limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0
・ x＝0 のとき limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞
という性質が成り立つことが確かめられるので、それらの関数のリプシッツ不連続点は、どちらの関数でも
「 x＝0 のみ」であり、よって R－Bf ＝ {0} である。一方で、スレ主は何かを盛大に勘違いしつつ
「リプシッツ不連続点は左右２点ある」などと言っているので、繰り返しになるが、どの２点のことを
言っているのか、具体的に答えよ。より明確に解答形式を指定すると、
「 3 の関数は x＝√2 と x＝e^e の２点においてリプシッツ不連続である」
「 4 の関数は x＝－1 と x＝2017 の２点においてリプシッツ不連続である」
のような形で答えよ。 >>155のスレ主の
＞「< +∞」の解釈が問題となる
というアホな発言を思い出したのだが、もしかしたら、
スレ主は R－Bf がどういう集合を意味するのか
理解してないのかもしれない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R → R に対して、
B_f：＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ }
と定義したのだった。このとき、
R－B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ }
が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
これが成り立つことは理解してるだろうな？ >>233
> いや、いま職場からだから、簡単にな
スレ主はさっさと仕事を辞めて、
数学に集中すべし‼ >>251
おれは、「”R－Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？」と聞いたんだけど？
調べた限りでは、無かった
だから、そこから独自理論？
>＞このリプシッツ”不”連続は、１点で被覆できるのか？ 少なくとも、左右２点が、リプシッツ”不”連続ではないのか？
>＞もし、異なる２点がリプシッツ”不”連続で、その２点間もリプシッツ”不”連続が言えるなら、内点を持つよ
>質問の意味が全く不明。左右2点とはどの2点のことを言っているのか？なぜ具体的な形で答えないのか？
リプシッツ連続、リプシッツ”不”連続とも、本来２点を考えた数学概念じゃないのか？
”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”とあるように、異なる２点yとxが有って成り立つのが基本だろう
たしかに、”< +∞ ”と書いてあるところがミソかもしれんが・・
もう一度聞くが、「どこかの標準テキストにあるのか？」 >>252
>補足になるが、一応、「一点でのリプシッツ連続・不連続」を復習しておく。前スレだかこのスレだかに書いたように、
>
>「 limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
>「 limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」
>
>……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
この定義は、「どこかの標準テキストにある？」、それとも、あなたの独自定義？ >>256
> >……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
>
> この定義は、「どこかの標準テキストにある？」、それとも、あなたの独自定義？
（横レスだが言わせてくれ）
おまえが言い出した『一点でのリプシッツ連続・不連続』なる独自用語に
わざわざ付き合ってやってるんだろうが！！！！！！！（呆）
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/603
＞リプシッツ不連続な点（それは内点を持たないとする）が可算無限個あって、それら可算無限個の点が、有理数のようにR中に稠密に分散されているとし、
＞もちろん、リプシッツ不連続な点以外は、全てリプシッツ連続で、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ } を満たすとする。
＞「そういう関数は、数学的に存在しえない！」
R上の関数におけるリプシッツ連続とは、本来は「区間」の上で定義される概念であり、
「一点におけるリプシッツ連続」という言葉遣いは見たことが無い。あえて定義するなら、
「 f が点xにおいて limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ を満たすとき、f は一点xにおいてリプシッツ連続である」
という定義を採用するのが自然だと思われる。 >>255
> おれは、「”R－Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？」と聞いたんだけど？
（もうひとつ横レスだが言わせてくれ）
オマエは
１）定理1.7『A⇒B』が成立するためには『Aが真でなければならない』と思っているのか？（呆）
それとも
２）Rの一点部分集合｛0｝やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか？（呆）
率直に言って、君は数学に向いてないぞ 手取り足取り教えられても理解できないスレ主の頭の悪さは尋常でない >>237 訂正
ビックカメラ
↓
ビックリカメラ
↓
ドッキリカメラ
かな？
（＾＾ >>257-258
どなたかな？
定理の本人じゃないと？
単純に
定理の条件
”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
が１個の閉集合の場合に標準テキストにあるかどうかを問うているのだが？
なんか、ごまかしてないか？ >>258
>率直に言って、君は数学に向いてないぞ
小利口にわけわからん理屈で、簡単に丸め込まれるより、きちんとロジックの筋を通す方が、数学的だと思うけどね
もちろん、大部の本で「取りあえず飲み込んで先に進む」という勉強法も必要だと思うが
いまの場合、飲み込んで先に進んでも何もないだろう
> ２）Rの一点部分集合｛0｝やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか？（呆）
論理のすり替え
単なる一点部分集合ではない
未定義だが、一か所という言葉を使う
一か所リプシッツ不連続点x=0を持つ階段関数とかが、その箇所を『内点を持たない閉集合で被覆できる』と言えるかどうかが、問題だ >>261
> なんか、ごまかしてないか？
ごまかしてないよ
> ２）Rの一点部分集合｛0｝やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか？（呆）
って言ってるじゃん。R-Bfが一点集合｛0｝やQなら被覆できるじゃん。何の文句があるんだよ >>257
>「 f が点xにおいて limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ を満たすとき、f は一点xにおいてリプシッツ連続であ>る」
>という定義を採用するのが自然だと思われる。
その定義なら、補集合は開集合にならないか？ 勘違いだらけのお馬鹿をあそこまで根気良く相手にする>>253氏には心底感心するわ
↓こんな具合に、お馬鹿さんが理解できない理由まで推測してあげてるんだからな。大人と子どもの構図だよまるで。
>>253 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/19(火) 01:08:34.31 ID:eFT4s0P8
> >>155のスレ主の
>
> ＞「< +∞」の解釈が問題となる
>
> というアホな発言を思い出したのだが、もしかしたら、
> スレ主は R－Bf がどういう集合を意味するのか
> 理解してないのかもしれない。 >>263
>R-Bfが一点集合｛0｝やQなら
これの証明が標準テキストにあかどうかだ
それを聞きたい >>266 訂正
これの証明が標準テキストにあかどうかだ
↓
これの証明が標準テキストにあるかどうかだ >>266
> > R-Bfが一点集合｛0｝やQなら
> これの証明が標準テキストにあかどうかだ
> それを聞きたい
R-Bfが一点集合｛0｝になりうるかどうかを聞きたいってこと？
⇒そのようなfの例はすでに出てるじゃん。
Rの一点集合｛0｝が『内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる』かどうかを聞きたい、ってこと？
Rの部分集合｛0｝は内点を持たない閉集合なんだから1個の閉集合で被覆できてるじゃん。
何が聞きたいのか何が分からないのか俺には分からん。 >>268
知りたいことは
下記
”函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。”
とあるけど
単純に、リプシッツ連続とリプシッツ不連続にも、この（Gδ-集合）と（Fσ-集合）の理論を類推適用してないかな？
で、標準テキストでは、「リプシッツ連続とリプシッツ不連続に、類推適用して良いとなっていない」ように思うが・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
関数の不連続点の集合
函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。
(引用終わり) >>269
あのね君、まず>>268の質問に答えろよ
オマエの日本語>>261がまずいから
> ”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
> が１個の閉集合の場合に標準テキストにあるかどうかを問うているのだが？
こちらはオマエの日本語を一生懸命解釈して
> R-Bfが一点集合｛0｝になりうるかどうかを聞きたいってこと？
> Rの一点集合｛0｝が『内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる』かどうかを聞きたい、ってこと？
って聞いてるんだからさ。このどちらでもないならそもそも質問の日本語がおかしいだろ。 >>269
> ”函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。”
> 理論を類推適用してないかな？
なんでリプシッツ連続の話をしてるのに連続の話になるの？
いままでそんな話おまえ以外にしたか？ >>264
> >>257
> >「 f が点xにおいて limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ を満たすとき、f は一点xにおいてリプシッツ連続であ>る」
> >という定義を採用するのが自然だと思われる。
>
> その定義なら、補集合は開集合にならないか？
あるx∈RのみがB_fの要素の場合を考えてるってこと？
そのときR-B_fが開集合で『疎な閉集合の可算和で覆えない』として、いったい何が問題なの？
定理1.7の仮定にmatchしないんだから反例にならないでしょ。 >>262
> 一か所リプシッツ不連続点x=0を持つ階段関数とかが、その箇所を『内点を持たない閉集合で被覆できる』と言えるかどうかが、問題だ
一か所リプシッツ不連続点だろうが微分不可能点だろうがそれがRの一点部分集合｛0｝なら疎な閉集合｛0｝で被覆できるだろ。
一体何が問題なんだよ・・・・・ >>273
>一か所リプシッツ不連続点だろうが微分不可能点だろうがそれがRの一点部分集合｛0｝なら疎な閉集合｛0｝で被覆できるだろ。
>>252に定義があるだろ？
下記
>「 limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
>「 limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」
>
>……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
”limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ が成り立つ”では、
＋∞への発散は、イブシロンデルタを使うのが本当だと思うよ
そうすると、イブシロンデルタの範囲では、決してyとxは、一点に重ならない
だから、一点部分集合｛0｝とは言えないだろう
イブシロンデルタの範囲では、ε近傍（開集合）で被覆できるとすべきじゃないのかね？ だから、標準テキストでは、そこはどうなっているのかと まあ、念のため
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/MetricSpace/neighborhoodR1.htm
R上の近傍概念と、そのバリエーション
(抜粋)
・「R上の点aのε近傍」とは、《点aからの距離がε以内の点》をすべてあつめた《Rの部分集合》のこと。
ただし、εは正ならばどんなに小さくてもよいとする。
・「R上の点aの近傍」とは、点aのあるε近傍を含む《Rの部分集合》のこと。[松坂『解析入門1』3.1-E(p.100)]] 別の人のレスと重複するところもあるが、俺からの返答。
[一点でのリプシッツ連続・不連続という言葉について]
別の人が既に指摘しているし、俺も前スレで書いているように、そもそも俺は
このような言葉を聞いたことが無い。敢えて定義するなら >>252 のように
定義するのが自然だろう、という話を前スレで行った。そして、前スレの
ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/635
で書いたように、「一点でのリプシッツ条件」という言い方をした方がよい、とも書いた。
その後、スレ主は >>252 の定義に異論を唱えることをせず、しかも「一点でのリプシッツ条件」という言葉は
使わずに「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉を使い続けた。従って、スレ主もまた、>>252 の用法で
「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉を使うことに「合意した」のだと俺は解釈しているのだが、
なぜかスレ主は今になって この言葉の定義を蒸し返している。お話にならない。
そして、根本的な話をすると、B_f という集合は、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という
ヘンな用語とは無関係に定義されているのだから、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という
ヘンな言葉を使わなくても、R－B_f が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるかどうかは
機械的に判定可能である。
まとめると、スレ主は、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という全く不必要な言葉を振り回した挙句に、
その言葉が持つ表面的な響きに引きずられて、独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っていることになる。 >>274
> イブシロンデルタの範囲では、ε近傍（開集合）で被覆できるとすべきじゃないのかね？
相当混乱しとるな
何を被覆するの？
リプシッツ不連続点でしょ？
それが一点部分集合｛0｝であれば、それは被覆できる。
それが疎な閉集合の可算和でなければ被覆できない。
ただそれだけじゃん。
それとも君は一点で不連続、という関数は存在しないとでも思っているのか？ 今回の件を踏まえて、これ以降、俺の方からは「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉は
二度と使わないことにする。
B_f ：＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ }
という、数式だけで書かれた明確な定義があるのだから、わざわざヘンな言葉を持ち出さずとも、
この定義だけから機械的に判定していけばよいのである。
・・・という約束のもとで、さらにレスを続ける。
まずは、R－B_f がどういう集合になるのかを明記する。実は
R－B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ }
が成り立つ。おそらくスレ主はこのことを全く理解していない。
なので、次からの３レスで、このことを解説する。 [ 解説１, limsup の定義 ]
g：R → R と x∈R に対して、limsup[y→x] g(y) を定義する方法は主に２つある。
１つ目の定義の仕方：
拡大実数を X と書くことにする。R ⊂ X が成り立つことに注意して、任意の δ＞0 に対して
{ g(y)｜0＜|y－x|＜δ} ⊂ X
が成り立つので、X の中に sup{ g(y)｜0＜|y－x|＜δ} が常に定まる。
よって、X の中に inf[δ＞0] sup{ g(y)｜0＜|y－x|＜δ} が常に定まる。
この値のことを limsup[y→x] g(y) と定義する。すなわち、
limsup[y→x] g(y)：＝ inf[δ＞0] sup{ g(y)｜0＜|y－x|＜δ} (右辺は X の中で定まる値)
と定義する。この定義では、limsup[y→x] g(y) ∈ X が成り立つ。
２つ目の定義の仕方：
拡大実数を持ち出さずに、集合 { g(y)｜0＜|y－x|＜δ} が δ＞0 に応じてどんな挙動を示すかで場合分けし、
ツギハギで定義する方法がある(ツギハギの詳細は面倒くさいので省略)。この方針で定義する利点は、
「拡大実数がいらない」という点だけであり、定義の仕方としては美しくない。しかも、こちらの定義では
「 limsup[y→x] g(y)＝＋∞ 」や「 limsup[y→x] g(y)＝－∞ 」が形式的な表記として導入されるので、
±∞ の取り扱いが形式的なものになる。しかし、大学1年程度の微積分では、この定義が用いられることがある。
ちなみに、得られる limsup の性質は、拡大実数を用いて定義したものと同じになる。
というか、同じになるような定義を、拡大実数を用いずにツギハギで構成しているだけ。 [ 解説２, limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ の意味 ]
１つ目の定義における limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ の意味：
α＝limsup[y→x] g(y) と置くと、これは X の元なのだった。また、＋∞ も X の元である。よって、
limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞
という不等式は、
α＜＋∞, α∈X, ＋∞∈X
という、X の中での普通の不等式を意味する。この時点で意味が定まっているのだから、これで終わり。
ただし、＋∞という記号が出てこない書き方も可能である。実際、拡大実数の性質により、
「 α＜＋∞, α∈X, ＋∞∈X 」という条件から
「ある実数 C＞0 が存在して α＜C が成り立つ」
ことが言える。よって、limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ という記号列は、
「ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x] g(y)＜C が成り立つ」
という意味である、… とも書ける。
２つ目の定義における limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ の意味：
こちらの場合、「 limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ 」という表記法自体がそもそも形式的な表記として導入され、
その意味は そもそも「ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x] g(y)＜C が成り立つ」と定義される。 [ 解説３, R－B_f ＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ } が成り立つ理由 ]
２つの定義それぞれに対して、R－B_f ＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ } が成り立つことを
以下で解説する。まず、１つ目の定義で limsup を定義した場合の
B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ }
について見ていく。１つ目の定義では、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜は拡大実数 X の中の元であるから、
拡大実数の性質により、自動的に
R－B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ }
が成り立つ。これで終わりｗｗ
あるいは、１つ目の定義において、「 α＜＋∞ 」は「ある実数 C＞0 が存在して α＜C が成り立つ」
という意味にもなることが拡大実数の性質により導かれるのだった。よって、
B_f＝{ x∈R｜ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜C が成り立つ } … (1)
とも表せることになるので、この表現を使うと
R－B_f＝{ x∈R｜任意の実数 C＞0 に対して limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜≧C が成り立つ } … (2)
と表せることになる。ここで、「任意の実数 C＞0 に対して α≧C が成り立つ」という性質を満たす α∈X は
α＝＋∞ しかないことが拡大実数の性質により導かれるので、自動的に
R－B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ } … (3)
が導かれる。よって、１つ目の定義では、いずれにしても (3) が成り立つ。
２つ目の定義では、そもそも (1) の意味として出発することになる。この場合、
「ツギハギの定義」と見比べることで、やはり (3) が導出される(詳細は省略)。 以上により、
R－B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ }
となる。このことを前提として、「3」「4」の関数 f に対して R－B_f がどのような集合になるのかを、
ヘンな言葉を使わずに機械的に見ていく。
「3」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ である。
以上より、この f の場合は { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ } ＝ {0} となる。
すなわち、R－B_f ＝ {0} となる。
「4」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ である。
以上より、この f の場合も { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ } ＝ {0} となる。
すなわち、R－B_f ＝ {0} となる。
従って、「3」「4」の関数に対して「 R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか？」という問題を考えることは、
「 {0} は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか？」という問題を考えることに一致する。そして、その問題では
明らかに「被覆できる」。以上により、「3」「4」の f の場合は「被覆できる」ことになる。
取り合えずはここまで。何か疑問があったらどうぞ。 >>284
素晴らしい解説ありがとう（＾＾
すぐには理解できないので、それはじっくり読むよ
ところで、本当に標準テキストにそれはないのか？ 自分で検索した範囲では見つからず。
リプシッツ不連続な点が、１点で被覆できるか、それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
そして、無いとすれば、それやっぱりプロの数学者に見てもらった方が良いのでは？
もし、初出なら勿体ないよ おっちゃんです。
横から割り込む形になり申し訳ないが、
そこまでε-δやε-近傍にこだわりたいなら、以下の証明でどうだい。
[命題] Iを開区間とする。連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
証明) [第１段]：開区間Iで定義され、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
Iの有理点aを任意に取る。実関数 f(x) は点aで不連続だから、或る正の実数εに対して正の実数 δ(ε) が定まって、
|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|≧ε を満たすようなIの有理点bが存在する。
S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c－a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c－b|＜δ(ε) } とおく。
すると、区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、 max(|c－a|, |c－b|)＜δ(ε) なるIの無理数cが存在し、
(S_1)∩(S_2)≠Φ。有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。 (>>286の続き)
[第２段]：i＝1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。実関数 f(x) はIの無理点cで微分可能なことから
cで連続だから、Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、M＝δ'(A) とおくと、|c－x|＜M のとき |f(c)－f(x)|＜A となる。
|c－x_{i,1}|＜M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c－x_{i,n}|＜M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,1}
を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。同様に、|c－x_{i,n+1}|＜M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,n+1})|＜ε_{i,n+1}＜ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する：
ⅰ)：|c－x_{i,n}|＜M、|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,(n-1)}、
ⅱ)：|c－x_{i,(n+1)}|＜M、|f(c)－f(x_{i,(n+1)})|＜ε_{i,(n+1)}＜ε_{i,n}。
ここに、|c－x_{i,1}|＜M、|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A。このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。
{ ε_{i,n} } は下に有界で、任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点cが任意に取れて、i＝1,2 は任意だったから、各 i＝1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c－x_{i,n}|＜M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A＝d/2 となる。 (>>287の続き)
[第３段]：正の実数εと実数aとに対して、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
閉区間 [a－ε, a＋ε] を完全集合とする。無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R から誘導された通常の位相について、連結距離空間 R の点aの R の
ε-近傍の閉包 [a－ε, a＋ε] 上に R の有理点は稠密に存在し、aは [a－ε, a＋ε] の孤立点ではない。
従って、A＝d/2 となって |f(a)－f(b)|≧ε＞d＝2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1－x_{1,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}＝a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)－f(x_{1,n})|＜ε_{1,n}＜A となる。
同様に、正の実数εと実数bとに対して、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
閉区間 [b－ε, b＋ε] を完全集合とする。無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R から誘導された通常の位相について、連結距離空間 R の点b の R の
ε-近傍の閉包 [b－ε, b＋ε] 上に R の有理点は稠密に存在し、bは [b－ε, b＋ε] の孤立点ではない。
従って同様に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2－x_{2,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}＝b であり、
すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるようなIの点列 { x_{2,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)－f(x_{2,n})|＜ε_{2,n}＜A となる。 (>>288の続き)
[第４段]：故に c_1＝c_2 として点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{1,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_1 に対して x_{1, m_1}＝a であり、すべての n≠m_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるような
Iの点列 { x_{1,n} } が取れる。このとき更に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{2,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_2 に対して x_{2, m_2}＝b であり、すべての n≠m_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、各 i＝1,2 に対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A となる。
[第５段]：i＝1,n＝m_1 とすると、x_{1,m_1}＝a から |c－a|＜M であって、|f(c)－f(a)|＜A＝d/2。
同様に、i＝2,n＝m_2 とすると、x_{2,m_2}＝b から |c－b|＜M であって、|f(c)－f(b)|＜A＝d/2。
従って、三角不等式から、|a－b|≦|a－c|＋|c－b|＜M＋M＝2M、|f(a)－f(b)|≦|f(a)－f(c)|＋|f(c)－f(b)|＜d/2＋d/2＝d。
d/2 に対して定まる正の実数 δ(d/2) を δ(d/2)＝2M とおけば、|a－b|＜δ(d/2) であって |f(a)－f(b)|＜d＜ε、
故に、εに対して定まる正の実数 δ(ε) を δ(ε)＝δ(d/2) とおけば、|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|＜ε。
しかし、これは |f(a)－f(b)|≧ε であったことに反し矛盾する。背理法が適用出来るから、
連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] を完全集合とすると、
開区間Iで定義されたすべてのIの有理点で不連続、すべてのIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しないことになる。 (>>289の続き)
[命題] Iを開区間とする。任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
証明) [第６段]：Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
すると、上で示した命題の対偶を取って考えると、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] を完全集合とすることは出来ない。
つまり、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] を完全集合とはならない。
しかし、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、連結距離空間 R 上の閉区間は完全集合である。
従って、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、任意の正の実数εに対し、任意のIの異なる2個の有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a－ε, a＋ε]、[b－ε, b＋ε] は完全集合となる。
これは矛盾である。背理法が適用出来るから、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。 >>285
> そして、無いとすれば、それやっぱりプロの数学者に見てもらった方が良いのでは？
> もし、初出なら勿体ないよ
1223487+12039874=13263361
という計算は君の言う「標準テキスト」には載ってないかもしれないが、プロの数学者に見てもらう必要はない。
それと同じように、ものすごく簡単なことをやっているのだが、
君の頭ではなかなか理解できない。『テキストに載ってない』と『プロに見てもらえ』と駄々をこねる。 >>285
＞リプシッツ不連続な点が、１点で被覆できるか、それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
この件に関して「リプシッツ連続・不連続」という言葉を使うのは やめろ と言っているのだが。
B_f の定義は数式だけで構成されているので、機械的に見ていけばいいだけ。
「リプシッツ連続・不連続」などという言葉は不要。
そして、スレ主のその質問は、limsup に関するスレ主の無理解から来ているトンチンカンな質問に過ぎないので、
まずはスレ主が >>281-284 を理解するのが先決である。一応、スレ主の質問から「リプシッツ不連続」という言葉を
取り除いて数式に変換した、以下の質問に答えることにする。
質問：limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ が成り立つ x が、１点で被覆できるか、
それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？
回答：そのような点 x を、あくまでも単純に一元集合で被覆したい「だけ」なら、そのような点 x の
それぞれに対して、{ x } という一元集合で被覆すれば、明らかに被覆できている。……と、回答としては
これだけで終わりであるが、スレ主はここで何かを盛大に勘違いしている。おそらくスレ主は、
｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜, y∈(x－ε, x＋ε)
という、limsup が無い状態の f の勾配について考え、いつの間にか「点 x 」ではなく
「 y∈(x－ε, x＋ε) 」の方が主体になってしまい、
「 開区間 (x－ε, x＋ε) は、たった１つの一元集合では被覆できないじゃないか 」
とか
「 開区間 (x－ε, x＋ε) の中を動き回る y の全体は、たった１つの一元集合では被覆できないじゃないか 」
という類のトンチンカンな勘違いを起こしているものと推測する。
つまり、スレ主の質問は limsup に関する無理解から来ているのであり、
スレ主の質問そのものが最初からトンチンカンかつ無意味なのである。まずは >>281-284 を理解すべし。 標準テキスト、標準テキストと、一年生用テキストさえ読まないバカが申しております limsupも分からないアフォが偉そうなこと言ってやがったんだなあ >>262
＞>率直に言って、君は数学に向いてないぞ
＞小利口にわけわからん理屈で、簡単に丸め込まれるより、きちんとロジックの筋を通す方が、数学的だと思うけどね
だからそれをお前はできてないって意味で数学に向いてないと言われてるんだよ
スレ主 国語 国語 ＞こんな具合に、お馬鹿さんが理解できない理由まで推測してあげてるんだからな。大人と子どもの構図だよまるで。
スレ主は自分が何をどうわかってないかをまるでわかってないし、わかろうともしない
だから普通の人なら赤っ恥なところを、平然と上から目線していられる
バカも度を超すと手の施しようが無いという好例である >>275
＞だから、標準テキストでは、そこはどうなっているのかと
自分の足で本屋か図書館行って読んでこいｗ どんだけ厚かましいんだよｗ
他人に聞くべきことかの判断もつかん幼稚園児か？ｗ
そもそもεδ（一年生用テキスト）さえ勉強しないお前が、なんでそんなに標準テキストに拘るんだ？ｗ ＞limsupも分からないアフォが偉そうなこと言ってやがったんだなあ
スレ主の場合それどころか sup、inf さえ理解してるか怪しい >>243
証明の前に理解できるかの方が重要であると考えられるが。
理解を示せないと正しいかどうかの判断も出来ない。
なぜなら、例えばだが、単位円を分からないやつに単位円を使って1+1=2を証明せよという証明が出来ない事が分かるから。
十分条件ではなく必要条件を満たさないと数学の筆は止まる
君が教えてくれたことだよ？ >>286-290
おっちゃん、どうも、スレ主です。
いつも、熱心な証明ありがとう（＾＾ >>284
あなたは、あまり危機感を持っていないようだが・・
（で、ちょっと逆らうようで悪いが、おれはリプシッツ連続とリプシッツ不連続を使わせて貰うけど）
それで、”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
において、リプシッツ不連続の箇所が、１点から成る閉集合で被覆かどうかは、この定理の価値を決めるキーポイントだと思うようになってきた
１）もし、あなたのお説のように、リプシッツ不連続の１箇所が、常に１点から成る閉集合で被覆できるとすれば、この定理の適用範囲は広い
２）がしかし、リプシッツ不連続の１箇所が、本来１点から成る閉集合で被覆できない（ε近傍などの開集合での被覆）とすれば、この定理の適用範囲は狭い
（もし、１点から成る閉集合で被覆できる場合が少ないとすれば、適用できない場合が殆どだろ）
３）そして、この定理の目的であった、”系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”について
被覆が１点から成る閉集合でないとすれば、当然ある不連続な有理数の点の近傍の内点の無理数が、リプシッツ不連続になるから、系1.8はそれだけで言えてしまう
４）だから、その”定理1.7 (422 に書いた定理)”の証明文書中に、「リプシッツ不連続の１箇所が、常に１点から成る閉集合で被覆できる」が証明されているべきと思うよ >>292
>1223487+12039874=13263361
>という計算は君の言う「標準テキスト」には載ってないかもしれないが、プロの数学者に見てもらう必要はない。
>それと同じように、ものすごく簡単なことをやっているのだが、
そうなのかね～
あなたのお話だと、
なんで、普通の不連続の場合のように（参考 >>269 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E 不連続性の分類 ）
”函数のリプシッツ連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。またリプシッツ不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。”
というような記述が、論文なり標準テキストにないのかな？
あなたの話が正しければ、そういう記述があると思うけどね >>284
"「3」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ である。
「4」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ である。"
ここ大丈夫か？
「 x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＜0”としてないか？
「 x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＞0”としてないか？
ｙの取り方は、必ずしも、そのよう（”ｙ＜0” or”ｙ＞0”）には限定されないのでは？ >>301
BLACKX ◆jPpg5.obl6 ちゃん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
>>303-305を読んでみてね（＾＾ 1年みっちり勉強してからまた数学板に帰ってきたらどう？
スレ主だけレベルが低すぎるよ。 >>305
＞ここ大丈夫か？
＞「 x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＜0”としてないか？
＞「 x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＞0”としてないか？
＞
＞ｙの取り方は、必ずしも、そのよう（”ｙ＜0” or”ｙ＞0”）には限定されないのでは？
限定してよい。なぜなら、limsup[y→x] g(y) という量は
「 y を x の十分小さな近傍に限定したものとして考えてもよい」
という性質を持つからだ(つまり、lim[y→x] と似た性質を持っている)。
そして、これは limsup の基本的な性質の１つである。標準的な数学書をめくれば、
この性質(もしくは、これと本質的に同じ記述)が必ず書いてある。
ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、
・ 0＜δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)｜0＜|y－x|＜δ_1} ≦ sup{ g(y)｜0＜|y－x|＜δ_2} が成り立つ
という、δ＞0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを
いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。 スレ主は人に標準教科書に書いてあるか聞く前に自分で標準教科書を勉強することだ
数学は人に聞いて「はいそうですか」という訳にはいかない、自分で勉強することが肝要だ
何か小学生に諭してる気分だ >>305
ちなみに、「3」「4」の関数は単純な形をしているので、
俺が >>310 で指摘した「 limsup の基本的な性質 」を経由せずとも、直接的に
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
を導くことが可能である。以下で、「3」の関数の場合を書いておく。
なお、「3」の関数とは、f(x)＝ 0 (x＜0), 1 (x≧0) という関数である。
[ x＜0 の場合 ]
x＜0 なる x を任意に取る。このとき、
sup{ ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ ｜ 0＜|y－x|＜|x|/2 } ＝ 0 … (1)
が成り立つことを示す。0＜｜y－x｜＜|x|/2 なる y を任意に取る。このとき、
y ＜ |x|/2＋x ＜ |x|＋x ＝ (－x)＋x ＝ 0 である。すなわち、y＜0 である。
よって、f(x)＝0 かつ f(y)＝0 となるので、｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
これが 0＜｜y－x｜＜|x|/2 なる限り言えるので、確かに (1) が成り立つ。この (1) により、
inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ ｜ 0＜|y－x|＜δ } ＝ 0
が成り立つことが分かる。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 が成り立つ。
[x＞0 の場合]
x＞0 なる x を任意に取る。上と同じようにして、やはり sup{ ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ ｜ 0＜|y－x|＜|x|/2 } ＝ 0
が成り立つことが分かる。特に、inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ ｜ 0＜|y－x|＜δ } ＝ 0
が成り立つ。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 が成り立つ。 >>310
> ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、
>
> ・ 0＜δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)｜0＜|y－x|＜δ_1} ≦ sup{ g(y)｜0＜|y－x|＜δ_2} が成り立つ
>
> という、δ＞0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを
> いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。
こんな基本のキまで溯ることになるとは。。。
スレ主は難しいことをさも分かってるかのように書いて、実はlimsupを分かってないとか洒落にもならないよ。 スレ主はコンパクトがどうのこうのと言ってたのに実はεδ論法すらわかってなかったという前科あり >>310
基本的な確認だが、下記に図があるよ
この図に、同意しますか？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
図
リプシッツ連続函数に対し、適当な双錐 (白) が存在して、双錐の頂点が函数のグラフ上を移動するように双錐を平行移動するとき、常にそのグラフが双錐の外側 (緑) にあるようにできる。
(引用終り) >>310
>「 y を x の十分小さな近傍に限定したものとして考えてもよい」
基本的な確認だが、
例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？
リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？
（そもそも、”x の十分小さな近傍”は、（x-ε，x+ε）だろ？ x+ε＞0と取れるよ。そうすると、y=0が取れて、f(y)=f(0)=1にできるよ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
近傍 (位相空間論)
(抜粋)
距離空間における近傍
距離空間 (X, d) において、X の部分集合 V が X の点 p の近傍であるとは、p を中心とする半径 r の開球体
B_{r}(p)=B(p;r)={x ∈ X ｜ d(x,p)<r }
で、V に含まれるようなものが存在することをいう。
V が X の部分集合 S の一様近傍であるとは、正の実数 r > 0 が存在して、S の任意の点 p に対して
B_{r}(p)={x ∈ X ｜ d(x,p)<r }
が V に含まれるときにいう。
各 r > 0 に対して、集合 S の r-近傍 Sr とは S からの距離が r より小さいような X の点全体の成す集合をいう。これは S の各点を中心とする半径 r の開球体全体の和集合が Sr であるといっても同じである。
従って直接的に、r-近傍が一様近傍であること、および、ある集合が一様近傍であるための必要十分条件が、その集合が適当な値の r に対する r-近傍を含むことであることなどが分かる。
(引用終り) >>318
> 例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？
> リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？
（横レスだが言わせてくれ）
そもそもオマエの独自用語『1点におけるリプシッツ連続』と通常の『リプシッツ連続』は違うだろうに！！！！
もういい加減にしろよ馬鹿者が おっちゃんです。
リプシッツ連続は高度な概念だと思っていたけど、リプシッツ連続って、
大学一年の微分積分の本である 杉浦 解析入門 に書いてあるみたいだよ。
よく分からないけど、杉浦 解析入門 を読めばいいんじゃないかい。 >>319
>そもそもオマエの独自用語『1点におけるリプシッツ連続』と通常の『リプシッツ連続』は違うだろうに！！！！
当然だろ？
（>>303より）
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」
について（特に”< +∞”の場合）の説明文書は、ほとんどないよ
普通は
「｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< K }」（Kは有限）だよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
(抜粋)
写像 f: X → Y がリプシッツ連続（あるいは単にリプシッツ）であるとは、実定数 K ? 0 が存在して
d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))/d_{X}(x_{1},x_{2}) ＜＝ K (∀ x_{1},x_{2}∈ X)}
を満たすときに言う。
(引用終わり)
ところで
些末だが
「（横レスだが言わせてくれ）」は、括弧（）を外して
横レスだが言わせてくれ、 又は、 横レスだが言わせてくれ！
くらいにしてくれないかな？ 括弧（）の意味（定理の当事者との関係性）をつい考えて引っかかるのでね >>320
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう >>322
今になって面白いサイトを見つけたんだけど、この問題は某大学の演習問題だったみたいだよ。 >>320
リプシッツという言葉を見たのは、多分制御理論だった（下記などご参照）
リプシッツは、なんどか見かけたが、あまり興味が無かったので、概略だけでスルーしていた（＾＾
今回のリプシッツで難しいかったのは、特に”< +∞”の場合を扱っているってところだ
ここは、ほとんど成書では、見かけないからね
（参考下記：このPDFの日付が分からないが、なかの歴史を見ると1997年か）
http://www.stannet.ne.jp/kazumoto/sussmann-willems_j.pdf
最適制御の300年：最速降下から最大値原理まで
ヘクターJ. サスマンとヤンC. ウィレムス
(抜粋)
最適制御は１６９７年に誕生した．３００年前のことである．オランダの北に位置する
グロニンゲンという大学街で１６９５年から１７０５年までその地の大学教授であった，ヨ
ハン・ベルヌーイが，最速降下問題の解法を公表した時であった．その１年前から彼は他の
同時代人たちにその問題を解くように挑戦状を叩き付けていたのである．私たちは，１６９
６年と１６９７年の出来事の物語のいくつか? その解法がヨハン・ベルヌーイやニュート
ン，ライプニッツ，チルンハウス，ロピタル，ヨハンの兄のヤコブ・ベルヌーイのような巨
人たちによって提出された時のこと? についてお伝えするつもりである．
経路が存在するということを妨げない．なぜなら，関数
√| y | はx 軸の近くではリプシッツ
ではないからである．（もしその関数がリプシッツであるのなら，常微分方程式の通常の一意
性定理によって，x 軸上にある１点を通るどの解も定数曲線でなくてはならない．）しかしな
がら，系を制御できるようにする同じリプシッツでない性質はまた，これらのすべてがリプ
シッツ参照ベクトル場を必要とするので，ロジャシヴィクツ表現を含む古典的かつ非平滑表
現において最大値原理を適用不能にするのである．
(引用終わり)
http://www.stannet.ne.jp/kazumoto/libraryj.html
Welcome to Dr. Kazumoto Iguchi's World
「井口和基博士と家族のホームページ」
井口和基 (C)2017 >>324 関連
（参考：これも、ちょっと古いが検索ヒットしたので貼る）
http://www.orsj.or.jp/~archive/pdf/bul/Vol.27_01_035.pdf
最適制御理論の動向(1) 坂本実 オベレーションズ・リサーチ 1982
http://www.orsj.or.jp/~archive/
社団法人 日本オペレーションズ・リサーチ学会 アーカイブ集 >>323
おっちゃん、どうも、スレ主です。
「この問題」とは？
正確にいうと？ >>326
有理点で連続、無理点で不連続な実関数は存在しない。
このことを、某大学の演習で扱っていた。
これに関するサイトを見たときは、意外に思って、こんなことがあるのかって驚いたね。
サイトを挙げるのはよろしくないだろうから、やめておくけど。 >>326
つまり原理的には、スレ主の方法論に則って、
文献を挙げることで真偽を判定して解決出来てしまう状態になっている。
信じられないことが起こっている。 >>326
悪い、悪い。
よく見たら、今扱っている問題とは違った。
だけど、やり方がよく似ている。 >>324
私は、確かα-ヘルダー連続の α＝1 のときがリプシッツ連続にあたる
というような感じで出て来たね。一応、微分積分の副読本に書いてはあったけど。
リプシッツ連続やα-ヘルダー連続って、微分方程式とかでやるような概念だろ。 >>327
>有理点で連続、無理点で不連続な実関数は存在しない。
そのまま
キーワード ：有理点で連続、無理点で不連続な実関数は存在しない。
で検索すると
約 1,560 件 （0.77 秒）
検索結果
関数の連続性 - 問題が解けません。助けてください。お願いしま... - Yahoo ...
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp ? 教養と学問、サイエンス ? 数学 ? 大学数学
2009/06/22 - 関数の連続性. 問題が解けません。助けてください。お願いします。 f(x)=0 (xが無理数αの時) f(x)=1/q （xがp/qつまり有理数の時） とした時、f(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続であることを証明せよ。
ただし、稠密性(?)は用いてよいこととする。 つまり、Rの中にはある有理数について十分に近い無理数が存在しているということである。 稠密性のあたりの意味が全く分からず手に負えません。 できる方!!お願いします。
補足q_εの間にあるアンダーバーみたいなものの意味って何なんですか？
数学の問題です。次の関数が連 ... 回答（2） 2015年12月10日
有理数上で定義された関 ... 回答（1） 2015年4月15日
関数の連続性を調べよ１． １ ... 回答（2） 2012年3月14日
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp からの検索結果
連続性と微分可能性について - 新潟工科大学
takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic1/data/conti1.pdf
2008/08/26 - 連続性. 3. 0. 1 x y. 図 2: ディリクレ関数 fD(x) のグラフ. これはディリクレ関数と呼ばれるもので正確にグラフに表すことはできないが、
有理. 数、無理数はどんな実数 x の近くにも無数に存在し、よってどの x の近くでも関数は. 0, 1 の値を無限に繰り返し取るので、0 か 1 のどちらか一方の値に x の周りから近づ. くことはなく、
よってすべての x で不連続な関数である。 これを少し作りかえた次のような関数もある。 f1(x) =... 0 (x が無理数のとき). 1 p. (x が有理数でその既約表現が q p. のとき). >>330
おっちゃん、どうも、スレ主です。
私は、制御理論以外ではあまり記憶に残っていないね >>331 関連
これも検索ヒットしたのでご参考まで
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
関数の歴史 - (RIMS), Kyoto University - 京都大学 岡本久
平成20年度(第30回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成20年8月4日～8月7日開催)
詳しいことは
岡本久・長岡亮介 著
関数とは何か
（近代科学者 2014年刊）
で説明してあります．
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
この関数は, 有理数と無理数. でばらばらに関数値を定義しているが, このようなものですら関数と認めていた
Bolzano には大きな先見. 性を認めざるを得ない (いたるところ不連続な関数を関数と認めたのは Dirichlet が最初であり, Bolzano. はそれより後のことではあるが.)
しかし, 彼のような偉大な思想家でも違いをおかすことはある. たと. えば, 彼は多変数の実関数について, 「各々の変数ごとに連続であれば多変数関数として連続である」と. いう定理を書いているが,
これはもちろん正しくはない. 不思議なことに同じ間違い ...
つづく >>333 つづき
(以下抜粋)
このファイルは公開講座の原稿から文献を抜き取ったものです.
昨今の大学では, 最も重要な知識だけをできるだけ短時間に教育することが最優先されていること
が多く, 数学の発展過程において天才数学者たちがいかに右往左往したか, ということにふれている余裕
がなくなっている. 本稿の目的は, 数学と言えどもその発展には多くの挫折が伴っていることを例示す
ることにある. 同時に, 数学上の発見というものをどう評価するか, という問題が非常に難しいことを指
摘したいと思う. ある命題の証明が誰によってなされたのかを特定することはときとして非常に難しい.
証明が完成されたことを100 点であるとしても, その前に99 点くらいまでもってきた人物がいることが
しばしばある. こういったときに, 99 から100 まで持ってきた人物が栄誉を独り占めすることがいいこ
とだとは思えない. こうした業績評価に関するコンセンサスは現在ではまだできているとはいえないが,
いずれ確立する必要がしょうずるであろう.
数学史の書物は多い. 関数の歴史についても多くの良書がある. たとえば, [?, ?, ?] などを読むと関
数に対する数学者のイメージがどういうふうに変遷してきたのかがわかる. 本稿はすでに定評のある文
献に書いてあることのまとめのようなものであり, 数学史としてのオリジナリティーを主張するつもりは
ない. ただ, 数学史の教科書には関数のグラフがほとんどあげられていないので, 関数の直感的なイメー
ジがつかみにくい. そこで, この講義ではできるだけ多くのグラフを提供することによって聴く人の便宜
を図った.
以下に書いてあることはできるだけ疑いの目をもって読んで欲しい. 数学史の書物・論文には正し
くないことが平気でのっていたりすることがある. 私もついうっかりそうした間違いを犯しているかも
しれない. ２次資料・３次資料の間違いを安易に引き写すことはあってはならないことであるが, なかな
かなくならないものである.
(引用終わり)
以上 >>333
この岡本久先生のPDF、今読んでいるが、面白いよ（＾＾ >>333 関連抜粋
"Rigorous thinking can be an obstacle to creativity.
と述べているが, 筆者もその通りであると思う."
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
関数の歴史 - (RIMS), Kyoto University - 京都大学 岡本久
平成20年度(第30回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成20年8月4日～8月7日開催)
(抜粋)
Kline[?, 177 ページ] は
In one respect it was fortunate that Weierstrass’s example 20 came late in the development of the calculus,
for, as Picard said in 1905,
“If Newton and Leibniz had known that continuous functions need not necessarily have a derivative, the differential culculus would never have been created.”
Rigorous thinking can be an obstacle to creativity.
と述べているが, 筆者もその通りであると思う.
Bochner 「関数」という観念は, 数学や科学に対して最高級の重要性をもつ数学的対象である. この
観念を記述するには「対応」という言葉を使うのと「関係」という言葉を使うのと二つの主な道
があって, 両方ともよく意味を明らかにしてはくれる. しかし本当をいうと, 関数の観念は定義可
能なものではなく, 定義のつもりでいるもの(would-be definition) も実際は同語反復であるにすぎ
ない. (ボホナー, 科学史における数学(村田全, 訳), みすず書房(1970), S. Bochner, The Role of
Mathematics in the Rise of Science, Princeton University Press (1966) の和訳.) の164 ページ.
Weyl だれも函数とは何であるかを説明することはできない, しかしこれは数学において真に重大な事
柄である. （ヘルマン・ワイル, 数学と自然科学の哲学, 岩波書店(1959) の9 ページ）
(引用終わり) ”ウェーブレット変換は、これまでフーリエ変換ではとらえられなかった各点でのリプシッツ連続性をとらえることができました（[J], [M], [JM], [HT]）。”ですと（＾＾
http://www.araiweb.matrix.jp/semi208/RiemannWavelet1.html
WEB版 現代数学入門講座 Vol. 2 (2016年11月5日）
リーマン関数とウェーブレット 新井仁之（東京大学）
(抜粋)
§3. 連続ウェーブレット変換
1980年代半ば、数学に新たな道具が加わりました。ウェーブレット変換です。ウェーブレット変換は画像処理、あるいは一般に信号処理の分野に大きな進展をもたらしました。これについては別の機会に講義をすることにします。
ウェーブレット変換は、これまでフーリエ変換ではとらえられなかった各点でのリプシッツ連続性をとらえることができました（[J], [M], [JM], [HT]）。ウェーブレット変換には連続ウェーブレット変換と離散ウェーブレット変換がありますが、ここでは連続ウェーブレット変換を扱うことにします。
連続ウェーブレット変換についてはたとえば [A] を参照して下さい。（本講義の２として、この辺のことを詳しく解説する予定です。）
§5. リーマン関数のカスプ特異点と振動特異点の可視化
メイエ [M] に依れば、リーマン関数 R(x) はカスプ特異点と振動特異点が混在し、たとえば 0 がカスプ特異点、1 が振動特異点になっていて、このことはシミュレーションによって可視化できると書かれています。
このことを実際に確かめてみましょう。以下の計算で使ったのは MATLAB で、ウェーブレットとしてはドブシーのウェーブレット、db4 です。
まずリーマン関数の連続ウェーブレット変換のグラフ（スケログラム）を計算してみます。結果は次のものです。
図2. 上図：リーマン関数（ただし座標軸を見やすいようにスケーリングしてある）。下図：その連続ウェーブレット変換の強度グラフ。
見やすいように 3D 表示します。
6. まとめと次回講義予告
今回の講義ではリーマン関数の歴史と、各点での滑らかさ、カスプ特異点と振動特異点について述べました。さらに特異点の可視化も行ってみました。
次回以降の何れかの回では、さらにリーマン関数の解析、それからカスプ特異点と振動特異点について掘り下げ、最近の話題に結びつけた話をする予定です。
(引用終わり) >>337 関連
https://researchmap.jp/index.php?action=multidatabase_action_main_filedownload&;download_flag=1&upload_id=23237&metadata_id=43425
新井仁之，実解析の発展，応用そして今後の課題，日本数学会年会企画特別講演アブストラクト (2001), 81 - 90.
http://www.araiweb.matrix.jp/kikaku/kikaku.html
実解析の発展，応用そして今後の課題
2001年度日本数学会年会企画特別講演
21世紀の始まりにあたって，日本数学会から「ある程度各分野間の関わりを明らかにし，それによって数学の21世紀の発展の方向を示唆する」ようにと依頼されて行った講演．
しかも学生会員にも興味を持って理解できるものをとのことでした．準備に苦労した講演でした．
講演アブストラクト (pdf) 新井仁之，実解析の発展，応用そして今後の課題，日本数学会年会企画特別講演アブストラクト (2001), 81 - 90.
リーマン関数とその振動特異点・カスプ特異点 ピンスキー現象
ウェーブレットでみるリーマン関数 振動特異点 1 振動特異点 2
カスプ特異点 1 カスプ特異点 2
http://www.araiweb.matrix.jp/kiji/kiji.html
解説記事等一覧 新井仁之
http://www.araiweb.matrix.jp/
新井仁之のホームページ 最終更新日 2017年12月18日 新井仁之先生は、以前錯視の話をこのガロアスレで紹介した記憶があるね（＾＾ https://researchmap.jp/araiH/
新井 仁之 ヒトシ 東京大学 大学院数理科学研究科 教授 理学博士(早稲田大学)
プロフィール
現在の専門は解析学・応用解析学、数理視覚科学。
1959年生まれ。1972年に獨協中学・高等学校のドイツ語組に入学。ドイツ語組は吉田松陰の弟子で松下村塾出身の品川弥二郎らが創った『獨逸学協会学校』の流れを汲み，中学1年からドイツ語を第一外国語として教育するクラスでした。
しかし中学2年の秋に獨協を退学。ドイツのボンにある Nicolaus Cusanus Gymnasium に入学し、約1年そこで教育を受けました。ドイツでは哲学を独学で学び始めました。帰国後、再び獨協に編入学。中学3年のときにカントの『純粋理性批判』を読み取憑かれ、獨協中学・高校では校長でドイツ文学者の小池辰雄先生、名誉校長で哲学者の天野貞祐先生の影響のもとに、哲学・認識論の勉学に専念しました。
1978 年に早稲田大学教育学部に入学。数学者の和田淳藏先生のもとで関数解析学を学びました。
1982 年に早稲田大学大学院理工学研究科数学専攻の修士課程、1984年に同博士課程に進学しました。しかし、翌1985年には教育学部に助手として戻ることになり、同じ大学内で教育学部では教員として、理工学研究科では院生として過ごしました。
1986 年に東北大学理学部の数学科の助手に招かれ、早稲田は中退。仙台に移住し，確率論と微分幾何学と調和解析学の融合領域の研究を行いました。その間、プリンストン大学数学科客員研究員、東北大学理学部講師・助教授を経て、
1996 年に東北大学大学院理学研究科の数学の教授となりました。
1999年に東京大学大学院数理科学研究科の教授に招かれ、再び東京に移住。東大では脳内で行われる視知覚の情報処理のメカニズムや視覚が起こす錯覚（錯視）の研究を始めました。そして視知覚や錯覚を先端的数学、脳科学、神経科学、知覚心理学、コンピュータ・ビジョンなどを使って総合的に研究し，さらにその成果を実用的な技術に結晶化する新分野 『数理視覚科学』 を提唱、以来その研究を進めています。
数理視覚科学の研究により、これまでに世界で初めて
幾何学的錯視の錯視量の自由な制御（新井・新井 2005）
略
ディジタル・フィルタ群の新しい設計方法等（新井・新井，特許取得，2014,）
（他にも国内外で新井・新井による出願中特許あり）
などにも成功しました。 >>317
＞基本的な確認だが、下記に図があるよ
＞この図に、同意しますか？
スレ主がそこで上げている話は、今回の話とは関係がない。なぜなら、今回話題になっているのは
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
という集合であり、この Bf の定義には「リプシッツ」という言葉が出て来ないからだ。
Bf は数式だけで明確に定義されているので、余計な言葉を使わずとも、
機械的に判定していけばよいのである。そして、「3」「4」の場合に
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
が成り立つことを機械的な判定によって導いたレスは >>312 に既にある。
なぜスレ主は >>312 をスルーするのだね？きちんと >>312 を読みたまえ。もはやスレ主は
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
を否定することでしか例の定理に反論することが出来ないのだろうが、スレ主は間違っているので、
その反論は徒労に終わるのである。>>277 で書いたことをもう一度書くが、スレ主は、
「リプシッツ」という不必要な言葉を振り回した挙句に、その言葉が持つ表面的な響きに
引きずられて、独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っているのである。 あるいは、>>312 をどうしてもスルーしたいのであれば、別のやり方も存在する。
まず、lim[y→x] と limsup[y→x] の間には密接な関係があり、次が成り立つことが知られている。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
g：R → R とする。x∈R とする。もし通常の極限 lim[y→x] g(y) が存在するなら、
limsup[y→x] g(y) ＝ lim[y→x] g(y) という等式が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
これは、lim と limsup が持つ基本的な性質であるから、なぜこれが成り立つかは いちいち説明しない。
で、この事実を使うことでも、「3」「4」の関数 f の場合に
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝0 である。
が成り立つことが簡単に示せる。なぜなら、たとえば「3」の関数 f の場合は、明らかに通常の lim として
・ x＜0 なる任意の x に対して、lim[y→x] (f(y)－f(x))/(y－x) ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、lim[y→x] (f(y)－f(x))/(y－x) ＝0 である。
が成り立つので、特に lim の中に絶対値をつけたバージョンの
・ x＜0 なる任意の x に対して、lim[y→x] ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、lim[y→x] ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ ＝0 である。
も成り立ち、そして上に書いた事実により
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ ＝0 である。
が従うのである。このように、色々な手段によってこの等式が示せるのである。
このやり方でもいいし、>>312 でもいいし、別のやり方でもいいので、
とにかくスレ主は、この等式が成り立つことを いい加減に理解せよ。 >>337 関連
キーワード："ウェーブレット" 変換 リプシッツ連続性
で検索したが、63 件 （0.47 秒） で、めぼしいヒットなし
（キーワードを英文などにすると、もっとヒットするだろうが）
その中でも、下記（高木関数とそのウェーブレット展開）は面白そうだが、フルペーパーが未公開みたい
が、博士論文なので、投稿された内容があるように思う
https://tsukuba.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri&;item_id=42822&file_id=17&file_no=1
ウェーブレット展開におけるいくつかの結果 鈴木 俊夫 筑波大学
審査研究科 数理物質科学研究科 学位の種類 博士 （理学） 学位授与年月日 平成 29年 3月 24日
(抜粋)
論 文 の 要 旨
本論文は、離散ウェーブレット展開に関する次の４つの章から成る。
1. ウェーブレット解析
2. ウェーブレット展開の無条件収束性
3. 高木関数とそのウェーブレット展開
4. Distortionの特徴量の抽出
つづく >>338 つづき
1. ウェーブレット解析）時間周波数解析の一つであるウェーブレット解析は、物理、化学、産業界など様々な分野へ応用されている。
1909年に登場したHaarウェーブレットがその起源とされているが、1975年にMorletが石油探査に導入してから様々な発展を遂げてきている。
ウェーブレット解析は三角関数の基底を用いるFourier解析のような手法であるが、基底の台は無限大の幅に限らず、コンパクトな場合も導入できることが応用上大きな魅力である（そのため、小さな波を意味するウェーブレットと呼ばれるようになった）。
3. 高木関数とそのウェーブレット展開）高木関数は、２の冪の係数とLipschitz連続なBスプラインを用いて関数項級数の形で定義され、至るところ微分不可能となる有名な関数である。
また、級数の係数部分をpの冪に変更することにより、一般化された高木関数を考えることもできる。
高木関数において微分不可能な状況とは差分商の極限が無限大となるか振動するかのどちらかであるが、特に無限大となるための必要十分条件がAllaart氏、Kawamura氏、Kruppel氏らにより示された。
彼らの研究によると、場所の点の値を２進法にしたときに１が登場する桁の番号に着目して特徴付けがなされている。
本論文では、一般化された高木関数の微分不可能となる点をp進法にして特徴付けを与えている。特に具体例としてp=3のときにCantor集合上で微分不可能となるような関数を構成できることは興味深いと思われる。
また高木関数とは別に、Baire category定理によっても微分不可能な関数の存在が抽象的に示されることが知られている。
その際用いられる可算個の閉部分集合の族がウェーブレットの理論におけるMRA（多重解像度解析）の階層に対応することに注目し、高木関数に対してもHaarウェーブレット展開を試みたり、超関数の意味での微分を考慮してSobolev空間のノルムの計算なども行っている。
(引用終わり)
関連
https://tsukuba.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&;active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=42822&item_no=1&page_id=13&block_id=83
以上 >>318
＞基本的な確認だが、
＞例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？
＞リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？
Bfという集合では「区間でのリプシッツ連続性」を考えているわけではないので、どこにもマズイところはない。
「リプシッツ」という不必要な言葉を振り回した挙句に、その言葉が持つ表面的な響きに引きずられて、
独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っているのがスレ主である。
いい加減に「リプシッツ」という言葉を使うのをやめたまえ。我々が今やろうとしていることは、
limsup[y→x] ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜
という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。
limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。
そして、この量を計算するときに、なぜスレ主は x と y を両方とも同時に 0 に近づけながら limsup[y→x] を計算しようとしているのか？
そのような行為の一体どこが limsup[y→x] なのか？スレ主は limsup[y→x] を全く理解していない。
x を任意に取ったとき、今とってきた x はその場所に停止したままで、y だけを動かして
y を x に近づけるときのある種の極限値のようなものを limsup[y→x] と書くのである。
このように、x は停止させて計算するのが limsup[y→x] なのだから、スレ主が言っていることは的外れである。
[続く] [続き]
より具体的に計算してみよう。x＞0 なる x として、たとえば x＝0.0001 を取ったとする。「3」の関数 f の場合だと、
limsup[ y → 0.0001 ]｜(f(y)－f(0.0001))/(y－0.0001)｜＝0
が成り立つことが分かる。実際、ε＞0 を十分小さく取って、(0.0001－ε, 0.0001＋ε) の中に 0 が含まれないようにすれば、
任意の y∈(0.0001－ε, 0.0001＋ε) に対して y＞0 が成り立ち、よって f(y)＝0 かつ f(0.0001)＝0 となる。
このことから、上の等式が簡単に出る。
……この例では、x＝0.0001 と置いてしまった時点で、x は常に 0.0001 でしかなく、limsup[ y → 0.0001 ] の計算において
0.0001 の部分を「より 0 に近い別の値に差し替える」ことは不可能であることに注意せよ。
別の x として、たとえば x＝0.0000000000000001 を取ってみる。このとき、
limsup[ y → 0.0000000000000001 ]｜(f(y)－f(0.0000000000000001))/(y－0.0000000000000001)｜＝0
が成り立つことが、同様の計算によって判明する。この例でも、x＝0.0000000000000001 と置いてしまった時点で、
x は常に 0.0000000000000001 でしかないことに注意せよ。
……そして、このような計算を x≠0 以外の任意の x に対して調べ上げることで、
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ ＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x] ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ ＝0 である。
が成り立つことが分かるのである。そして、このような計算の過程において、どこにも「リプシッツ」という言葉は
出て来ないし、そのような言葉は全く必要ない。機械的に計算すればいいだけの話である。 >>341-342
ご苦労さん
どうも、友達がいないみたいだな
かまってもらえるのは、ここ５CHだけかい？
あなたは、力があるのだから、プロ数学者に相談すること、強くお薦めするよ
ところで、定義には、”well difined”というのがあってね
下記は、以前にも紹介したが、”当たり前のように「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく”とある
まあ、いま職場だから、また考えてレスするよ（＾＾
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/welldefined/welldefined.htm
Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ
(抜粋)
高校数学から大学数学へ進化していく過程で、「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」ということが、否応にも
意識され始める。私自身最初のころは、その本質を理解しないまま、見よう見まねでなんと
なく使っていた覚えがある。
「ある概念の定義をする場合、そう決めることによって、何も矛盾なく上手くいく」ということ
が確認されているということを「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」という。今回、次の書籍：
土基善文 著 ＸのＸ乗のはなし （日本評論社）
を読んでいたら、「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」の話があって、改めてその奥の深さを認識させられた。
（コメント） 初めて「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰
々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解
され当たり前のように「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。端から
は、きっと、私が当初感じたように見られているのでしょうね？
（参考文献：横田一郎 著 群論入門 （現代数学社）
土基善文 著 ＸのＸ乗のはなし （日本評論社）)
(引用終わり)
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/reminder.htm
私の備忘録 >>347
＞あなたは、力があるのだから、プロ数学者に相談すること、強くお薦めするよ
詭弁である。その論法が通用するのは、俺の目的が
「俺の証明が正しいことをこのスレで判断してほしい」
という目的のときだけである。しかし、俺はこのような目的でこのスレに居るわけではない。
例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、そのスレ主に対して反論を繰り返しているだけである。
しかも、今回の limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ の話は、スレ主の方から質問してきたことに
俺が返答しているだけである。反論するのが苦しくなったからといって「プロ数学者に見てもらえ」
というのは、正真正銘の詭弁である。 >>345
ご苦労さん（＾＾
>いい加減に「リプシッツ」という言葉を使うのをやめたまえ。我々が今やろうとしていることは、
>limsup[y→x] ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜
>という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。
>limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。
ふーん、自分独自の（>>303より）
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」を
定義しましたか？
￥さんのいうフランス人気質なら、「独創！ すばらしい～！」だろうが
日本的には、「大丈夫？」と、心配されるだろうね・・・
そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え
また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？
既存の理論、リプシッツ連続や、連続関数の理論とは、無関係だというならば・・・
（”well difined”かどうか、そこにも関わってくるよ） >>349
＞ふーん、自分独自の（>>303より）
＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」を
＞定義しましたか？
>>281-283 で丁寧に定義済み。しかも、>>281-283 に書かれていることは、
標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。
より具体的に言う。B_f を定義するのに必要なのは
limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞
という記号列の定義のみである。この記号列の中で、limsup という記号は >>281-283 で
標準的な方法によって定義済みである。残るは「 ＜＋∞ 」という記号の意味であるが、
これもまた、>>281-283 で標準的な方法によって定義済みである。
結局、B_f は標準的な方法で定義済みである。どこにも俺独自の要素は無い。
無論、B_f の定義は well-defined である。
＞そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え
＞また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、
＞その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？
「わたくしスレ主は limsup という概念が理解できてないので、未だに例の証明を読めるレベルに達してません」
と言っているようにしか見えないな。まあ実際、そんなにレベルが低いなら、
きっと「読めない」だろうなとは思う。そして、そんなレベルの低い奴が
例の定理にイチャモンをつける権利は全くない、とも言っておく。 >>350
どっちが詭弁なのかね？
>標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。
そのテキストの書名を書けよ
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？
>例の定理にイチャモンをつける権利は全くない、とも言っておく。
じゃ、どっか行けよ
友達いないあんたにかまってもらえるのは、５CHのここしかないんだろ？（＾＾ >>351
＞そのテキストの書名を書けよ
＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？
何で書名が必要なの？
いくら何でも、そのくらいは自分でキチンと勉強したことあるでしょ？
そのくらいの記述は、標準的なテキストでいくらでも見たことがあるでしょ？
スレ主が自分で勉強してきたテキストを見返せば済む話でしょ？
>>281-283 で書いたことは、スレ主が勉強してきたことの復習用だよ？
まさか、その程度の基礎的な内容すら全く勉強したことが無くて、
「俺は >>281-283 の定義なんぞ全く見たことが無いぞ！一体どんなテキストに載ってるんだ！」
などと憤慨しているのかね？
そんなに何も知らないド素人の状態で、お前は今まで例の定理にイチャモンをつけていたのか？
そんなゴミクズに、例の定理にイチャモンをつける権利は全くないよ。
しかも、標準的なテキストに載ってる内容は >>281-283 と全く同じだよ？
つまり、拡大実数の中で limsup を定義する、という定義だよ？
拡大実数を使った時点で、「 ＜＋∞ 」という記号列は拡大実数の中での普通の不等式を
意味するんだから、その時点で完全に well-defined に意味は定まってるよ？
スレ主はどうしても「 ＜＋∞ 」という記号列に不満を持っているようだけど、
その記号列は拡大実数の中における普通の不等式なんだから、完全に well-defined に意味は定まってるよ？
これ以上なんの説明が必要なの？お前がバカだから理解できないだけだろ？ >>351
＞じゃ、どっか行けよ
ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。ついにボケたかね？
俺は、お前のイチャモンに反論し続けるためにこのスレに居るのである。
すなわち、お前がイチャモンをつけるのをやめれば、俺は自動的に、
このスレには書き込む内容が無くなるのである。
従って、どっか行ってほしければ、お前がイチャモンをつけるのをやめればいいのである。
一番ベストなのは、お前が例の定理の証明を理解することである。
それがスレ主のスキル的に不可能であるならば、別の方法もある。
それは、例の定理の真偽を不問にすることである。すなわち、
「わたくしスレ主はレベルが低すぎて、例の定理の真偽について語れるレベルに全く達してないので、
わたくしが例の定理の真偽についてどう思っているのかは、このスレでは公言しないことにします」
と宣言することである。そうすれば、俺はこのスレに書き込む内容がなくなるのだ。
客観的に見て、スレ主が今現在やっている行為は、
「 limsup すら知らないド素人だけど、例の定理にはイチャモンをつけたい。
2ページの証明は投下されてるみたいだけど、自分のスキルでは理解できない。
でもイチャモンはつけたい。」
という、極めて自分勝手な行為である。
スレ主がこのような行為を続ける限り、俺はこのスレからは消えないであろう。
全てはスレ主の責任である。 >>352
>標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。
>
>＞そのテキストの書名を書けよ
>＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？
>
>何で書名が必要なの？
>いくら何でも、そのくらいは自分でキチンと勉強したことあるでしょ？
詭弁も良いとこだな
"標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。"と宣わったのは、貴方でしょ
ピエロと同じだな
どこに、「書いている？」と聞けば、書名は出せないと
笑えるよ >>353
>スレ主がこのような行為を続ける限り、俺はこのスレからは消えないであろう。
別にかまわん
おれは、とことんつきあうよ
なお、「あなたは、力があるのだから、プロ数学者に相談すること、強くお薦めするよ」は、
詭弁ではなく、心からの忠告だよ（＾＾ まあ、細かいレスは後で（＾＾
（>なお、(>353) おっさんも、それほど若くないと見えるけどね（＾＾ ） >>356 訂正
（>なお、(>353) おっさんも、それほど若くないと見えるけどね（＾＾ ）
↓
（なお、(>>353) おっさんも、それほど若くないと見えるけどね（＾＾ ） ＞「リプシッツ」という不必要な言葉を振り回した挙句に、その言葉が持つ表面的な響きに
＞引きずられて、独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っているのである。
それスレ主のいつものパターンｗ すなわち今回も進歩無しｗ
スレ主はここ4年くらい進歩が無いから当時の中学生に抜かれてると思うｗ
当時の中３は今ではεδ論法を理解してるだろうからｗ >>351
＞じゃ、どっか行けよ
手取り足取り教えてもらっておいて逆ギレかよｗ
やはりスレ主は小学校の道徳からやり直す必要がある ガチで 正直に白状しろよスレ主
「”リプシッツ連続”という言葉の響きに憧れて使ってみたかっただけです」
と >>354
＞どこに、「書いている？」と聞けば、書名は出せないと
limsup は拡大実数の中で定義される。拡大実数を持ち出した時点で、「 ＜＋∞ 」という記号列は
拡大実数の中における普通の不等式であり、well-defined に意味が定まっている。それが理解できないなら、
スレ主が「バカ」だというだけの話。しかし、かわいそうなので、何冊か提示してやろう。
ttps://books.google.co.jp/books?id=DLfxd7StGw8C&pg=PA8&dq=limsup&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwioyeKPrZjYAhWBfrwKHZfQAaIQ6AEIQzAD#v=onepage&q=extended%20real&f=false
(ページ6, 7, 8)
ttps://books.google.co.jp/books?id=WJrfBwAAQBAJ&pg=PA98&dq=%22extended+real%22&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwiI4emqvJjYAhUEJpQKHYoMA2oQ6AEIbzAJ#v=onepage&q=%22limit%20superior%22&f=false
(定義はページ97から, 基本的な性質はページ110から)
limsup を完璧に拡大実数の中で定義している。この時点で、「 ＜＋∞ 」という記号列は
拡大実数の中における普通の不等式となり、well-defined に意味が定まっている。
そもそも普通に「 ＜＋∞ 」という記号が本の中で使われている。
[続く] [続き]
他には
ttps://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22
&source=bl&ots=fQgmSNxSiV&sig=GbK_ENnoXVFjLvnxGtH_1N3xygI&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwiO4P2Pt5jYAhUK5
LwKHZQuApUQ6AEIPzAC#v=onepage&q=limsup%20&f=false
(ページ215, 216, 217)
これも挙げておく(※リンクが長すぎて投稿不可と出たので、リンクは改行してある。コピペするときは手作業で改行をなくすこと)。
書き方が抽象的だが、やっていることは同じ。こちらも、「 ＜＋∞ 」という記号が途中で使わている。
拡大実数の中における普通の不等式なのだから、使われるのは当たり前である。
ちなみに、スレ主が大好きな wikipedia でも、拡大実数の中で limsup を定義している。
ttps://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
何度も言うが、いったん拡大実数の中で limsup を定義したならば、「 ＜＋∞ 」という記号は
拡大実数の中における普通の不等式なので、well-defined に意味が定まる。
これで満足か？俺の独自定義ではなくて残念だったな。
(そもそも、独自定義か否かで何かを批判しようとしている時点でズレているのだが。) 腹減った～😞
カレー🍛とラーメン🍜一丁ずつ、ちょーだい！！ >>321
今はリプシッツ連続を考えていないのに、
>>318
> 例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？
> リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？
などと急にリプシッツ条件に照らし合わせ始めたから、それ関係ないじゃん！！って言ってんだけど。
阿呆は消えろっての >>362、>>360、>>357スレ主
生理中の生娘でもあるまいし、カリカリし過ぎ！！
ステーキ🥩、寿司🍣、スパゲティ🍝、ハンバーガー🍔などなどモリモリ食べて、まずは落ち着こうや。
生理中の生娘が何故、カリカリしてるのか？
この疑問の答えはココに無いので、ネット検索か、妙齢の女性に聞いてみて。 limsupからB_fからリプシッツ連続の定義から何から何まで ことごとく理解できないアホは数学板から消えてほしい
言うことに困るといつもwell-definedでない！と文句をつけてくるアホは数学板から消えてほしい
とにかくスレ主には数学板から消えてほしい
なんか数学を冒涜されてる気がするんだよ
オマエみたいな奴に分かった風に数学を語られると Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
この程度の定義にスレ主は右往左往ｗｗ
みっともないなｗ
低レベルすぎるだけならまだしも、周りに害をふりまきすぎ。
デタラメをネットに垂れ流しすぎ。
数学板から出て行ってくれよ。
オカルト板や詩・ポエム板なら何やってもいいから、そっちでやってくれよ
349 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/20(水) 17:07:00.60 ID:ptKBLDJz
>>345
ご苦労さん（＾＾
>いい加減に「リプシッツ」という言葉を使うのをやめたまえ。我々が今やろうとしていることは、
>limsup[y→x] ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜
>という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。
>limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。
ふーん、自分独自の（>>303より）
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」を
定義しましたか？
￥さんのいうフランス人気質なら、「独創！ すばらしい～！」だろうが
日本的には、「大丈夫？」と、心配されるだろうね・・・
そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え
また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？
既存の理論、リプシッツ連続や、連続関数の理論とは、無関係だというならば・・・
（”well difined”かどうか、そこにも関わってくるよ） 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) >>361-362
ご苦労さん
見た。必死で検索したわけね（＾＾
おれまた、手元の書籍の書名を出すと思ってたんだが・・・（＾＾
そこには無かったと
で、リンクは全部見ました（＾＾
（>>303より）「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ 」は、あなたの手作り定義なわけだ（＾＾
よく分りました（＾＾
まあ、細かい点は、追々やりましょう
あなたは、面白いわ（＾＾
ピエロや、High level peopleより、遙かにレベル高いね（特に応答のレベルが）
時枝は終わったし、このリプシッツの方が時枝より面白いね
だけど、あんた、数学の相談できる友達おらんのやね～（＾＾ >>369 追加
そうそう
・そこ（３冊の書物）には、あなたの新発明の定理は、無かったということね？
・そこ（３冊の書物）には、”R－Bf が内点を持たない閉集合ので被覆できる”の記述も無かったと
見た範囲では無かったので、念押し確認です（＾＾
もし、定理が正しければ、よろしいんじゃないですかね（＾＾ >>369
＞だけど、あんた、数学の相談できる友達おらんのやね～（＾＾
ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。
俺の目的は、例の定理をこのスレで「相談する」ことではない。
例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、
そのスレ主に対して反論を繰り返しているだけである。 >>370
＞・そこ（３冊の書物）には、あなたの新発明の定理は、無かったということね？
この３冊には無かったが、そもそもこの定理は新発明ではないと何度も言っている。
絶対にどこかで既に発見済みである。我々が文献を見つけてないだけ。
＞・そこ（３冊の書物）には、”R－Bf が内点を持たない閉集合ので被覆できる”の記述も無かったと
この３冊には無かったが、「3」「4」の関数 f については「被覆できる」ことを
このスレで何度も繰り返し書いている。
また、一般の写像 f：R → R に対しては、必ずしも被覆可能とは限らないことも何度も書いている。
例の定理は「被覆できるなら○○が成り立つ」という形の定理であり、被覆できない f を持ってきた場合は
そもそも例の定理の適用範囲外である。 ＞ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。
スレ主 国語 国語 >>372
オハヨー、朝です。
(^o^)
>で？w
この極短レスは、「ぷふ」さんかな（＾＾
「ぷふ」さんには、感謝していますｍ（＿ ＿）ｍ
例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾ >>371
>例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
これを踏まえて
１．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。
２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう
３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ。
既知・既存の定理であれば、既存の理論体系の中のどこに位置するのかの確認をすべき
４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。
であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。
５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
それ無くしては、その定理の応用もできまい。
また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。
（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう）
つづく >> つづき
６．”リプシッツ”という言葉を使うなとおっしゃるが、結論命題が「ある開区間の上でリプシッツ連続」であるから
仮定命題の中に、”リプシッツ連続”を導くキーになる要素を探ることも、また数学を学ぶ上で大事なことだ
７．そういう視点でみると、通常の”リプシッツ連続”（下記ご参照）が、｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜<= K (K>0)の形であり
（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ は、K→∞の極限と考えるのが正当だろう
定理を理解する上での数学的プロセスとして、それは否定すべきではないだろう
（参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A リプシッツ連続）
以上 >>373
>一般の写像 f：R → R に対しては、必ずしも被覆可能とは限らないことも何度も書いている。
１．それは、自明も自明。トリビア以下だろう
２．”｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”という表現は、寡聞にして私は初見だ。不勉強かも知れないが
３．”R－Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”も、寡聞にして私は初見だ。不勉強かも知れないが
４．”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”も、寡聞にして私は初見だが、これは新鮮で面白いと思う。成り立てばだが
５．問題は、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”で、”R－Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”がどこまで言えるのか？ （とりあえず、個数（可算、非可算）を別として）
６．そこは徹底的に追及したい。
”R－Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”ということが、まず一般に言えないだろうと思うからだ
７．もし、ほとんどの場合に、”R－Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は低いだろう
８．もし、全く、”R－Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は極めて低いだろう
細かい数学的なコメントは、後ほど >>377
＞６．”リプシッツ”という言葉を使うなとおっしゃるが、結論命題が「ある開区間の上でリプシッツ連続」であるから
＞ 仮定命題の中に、”リプシッツ連続”を導くキーになる要素を探ることも、また数学を学ぶ上で大事なことだ
limsup を理解していない人間が「リプシッツ」という言葉を振り回したところで、
スレ主は >>318 のような間違いに陥るだけである。コピペと類推だけで済ませてきた人間のツケであろう。
既に >>345 で指摘済みだが、我々が今やろうとしていることは、limsup[y→x] ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜
という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。
limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。 >>377
＞７．そういう視点でみると、通常の”リプシッツ連続”（下記ご参照）が、｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜<= K (K>0)の形であり
＞ （f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ は、K→∞の極限と考えるのが正当だろう
ここでの「 ＜＋∞ 」は拡大実数の中での通常の不等式の意味だと >>281-283 で既に書いている。
「 K→∞の極限 」がスレ主にとって何を意味するのは定かではないが、もしそれが
拡大実数の中での通常の不等式とは ぜんぜん違う意味ならば、
「わたくしスレ主は "＜＋∞" の意味を自分勝手に変更して話をしています」
というコミュニケーション不全に陥っていることになるので問題外である。
また、B_f の対象となっているのは
・ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞
という条件であって、
・ limsup が無く、x,y の範囲も明記されてない状態の " ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ "
という条件を B_f で考えているわけではない。
……このように、スレ主は ちょっと目を離した隙に もともとの B_f からは
かけ離れた条件で考えようとしてしまい、ゆえに間違いを連発するのである。
機械的に limsup[y→x] ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ を計算するだけで終わる話なのに、
お前は一体なにをやっているのだ。 >>378
＞５．問題は、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”で、
＞”R－Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”がどこまで言えるのか？ （とりあえず、個数（可算、非可算）を別として）
バカじゃねーの。個数を可算に限定しないなら、任意の集合 A ⊂ R が被覆可能だろ。
たとえば、A が空集合でないときは、
A ⊂ ∪[a∈A] {a}
という自明な包含が成り立ち、右辺の各 {a} は内点を持たない閉集合であるから、
「集合 A は内点を持たない閉集合の和で被覆できる」ことになる。
＞８．もし、全く、”R－Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は極めて低いだろう
その心配は無用である。なぜなら、スレ主が挙げた「3」「4」の関数では「被覆できる」からだ。
また、今現在のスレ主にも完全に理解可能な、オモチャのような例も存在する。
f(x)＝0 (x∈R)
という定数関数を考えてみよ。さすがのスレ主も、B_f のことを正しく理解していようが勘違いしていようが
B_f ＝ R という等式が成り立つことには賛成するだろう。よって、R－B_f ＝ φ となる。
よって、内点を含まない閉集合 K を何でもいいから１つ取れば、φ ⊂ K という自明な包含により
R－B_f ⊂ K となるので、R－Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できているｗ
無論、この例はあまりにもオモチャであって下らない例なのだが、
「被覆できる例が１つも存在しない可能性」を考えているアホにはちょうどいい例であろう。 このアホなやり取りはなんなんだ……
一方は無理解にもほどがあるな…… ミーハーな数学好きが、相手の書き込みのあげ足取ったり、都合良い情報だけを切り貼りして遊んでるだけだしな。
気楽にね。結論は期待しちゃダメ🙅♂🙅♀ ＞例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾
スレ主は煽りも下手だね ここのスレ主は数学板史上最大の鼻つまみ者だな
こんな奴見たことねー スレ主に比べれば 哀れな素人氏 はずいぶんマシだったという驚愕の事実 >>376
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
これ、おっさん>>362引用の下記書籍にある、”the Dini derivates”（ディニ微分）やね
おれも、勉強不足だね。知らなかったな・・（＾＾
で、おっさん重箱の隅だが、拡張実数をいうなら
下記の本のように、”Let B ⊂ R, f : B →R￣”(注：R￣は、拡張実数でRの上付きバーの簡易表現)としとくべきだぜ
https://www.amazon.co.jp/Fundamentals-Analysis-Universitext-Sterling-Berberian/dp/0387984801
Fundamentals of Real Analysis (Universitext) (英語) ペーパーバック ? 2008/6/13 Sterling K. Berberian (著) 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&;pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian
(抜粋)（アスキー表現の文字化けがあるので、元リンクご参照）（検索すると、無料PDFのサイトがあったが、怪しそうだったので、アクセスせず（＾＾； ）
(P220)
5.3.6. Theorem. Let B ⊂ R, f : B →R￣, c ∈ R, and suppose that
B⊃(c - r,c)∪(c,c +r) for some r >O. In order that
(注：R￣は、拡張実数でRの上付きバーの簡易表現)
lim x→c, x≠c f(x)
exist (in the sense of 3.5.5), it is necessary and sufficient that the four numbers,
lim sup x→c+ f(x), lim inf x→c+ f(x),
lim sup x→c- f(x), lim inf x→c- f(x),
be equal, in which case all five number are equal.
5.3.7. Definition. Let g: [a ,b] → R, a < b, and let c ∈ [a ,b] . Write
B = [a, b] - {c} and define f: B →R￣ by the formula
f(x) = g(x) - g(c)/(x - c).
つづく >>390 つづき
Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the
foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with
f may be infinite.
If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define
(D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
(D +g)(c) = lim inf x→c+ f(x) = lim inf x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
Similarly, if c ∈ (a, b] we define
(D^-g)(c) = lim sup x→c- f(x) = lim sup x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
(D -g)(c) = lim inf x→c- f(x) = lim inf x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
These four numbers are called the Dini derivates of g at c; more precisely
(for example), (D +g)(c) is the lower right-hand derivate of g at c.
（(引用終り)）
つづく >>391 つづき
”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分 - Wikipedia
(抜粋)
注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や ?∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
(引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Dini_derivative
(抜粋)
If f is locally Lipschitz, then f′+ is finite. If f is differentiable at t, then the Dini derivative at t is the usual derivative at t.
・On the extended reals, each of the Dini derivatives always exist; however, they may take on the values +∞ or ?∞ at times (i.e., the Dini derivatives always exist in the extended sense).
(引用終り)
https://ci.nii.ac.jp/els/contentscinii_20171221232301.pdf?id=ART0007541949
Dini導関数とその応用 中井三留，多田俊政 大同工業大学紀要 第39巻（2003）
(抜粋)
§2．Dini の微分係数
実関数論の教科書は国内外古新を問わずすこぶる数多に及ぶ．その中でも易しく書かれているにもかかわらず多くの話題
について相当深く扱っている次の本に注目したい，即ち， 辻正次： 實變數凾數論， 清水書院，1949．この本の第2 章中の第
7 節にDini の微分係数の題で55 頁から58 頁に亘って
一種の平均値の定理とその単調性定理への応用が述べられている．
入手し難い本でもあり， 又とにかく分り易い解説からなっているから，
ここに逐語的ではなく，現代的な語法や記号でおき
かへ内容をはるかにふくらませ，何も削らないでここに再掲する．
(引用終り)
以上 >>362
ご苦労さん
あとの都合上、下記を引用しておく（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
Limit superior and limit inferior
(抜粋)（アスキー表現の文字化けがあるので、元リンクご参照）
Functions from metric spaces to metric spaces
There is a notion of lim sup and lim inf for functions defined on a metric space whose relationship to limits of real-valued functions mirrors that of the relation between the lim sup, lim inf, and the limit of a real sequence.
Take metric spaces X and Y, a subspace E contained in X, and a function f : E → Y. The space Y should also be an ordered set, so that the notions of supremum and infimum make sense. Define, for any limit point a of E,
lim sup _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})
and
lim inf _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( ∈f {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})
where B(a;ε) denotes the metric ball of radius ε about a.
つづく >>393 つづき
Note that as ε shrinks, the supremum of the function over the ball is monotone decreasing, so we have
lim sup _{x→ a}f(x)＝ ∈f _{ε >0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})
and similarly
lim inf _{x→ a}f(x)＝ sup _{ε >0}( ∈f {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}}).
This finally motivates the definitions for general topological spaces. Take X, Y, E and a as before, but now let X and Y both be topological spaces. In this case, we replace metric balls with neighborhoods:
lim sup _{x→ a}f(x)＝ ∈f { sup {f(x):x ∈ E∩ U＼{a}}:U open ,a ∈ U,E∩ U＼{a}≠ Φ }
lim inf _{x→ a}f(x)＝ sup { ∈f {f(x):x ∈ E∩ U＼{a}}:U open ,a ∈ U,E∩ U＼{a}≠ Φ }
(there is a way to write the formula using "lim" using nets and the neighborhood filter).
This version is often useful in discussions of semi-continuity which crop up in analysis quite often.
An interesting note is that this version subsumes the sequential version by considering sequences as functions from the natural numbers as a topological subspace of the extended real line, into the space (the closure of N in [?∞,∞], the extended real number line, is N ∪ {∞}.)
(引用終り)
以上 >>390
B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。
>>392
＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
はい、例の定理とは ぜんぜん別物です。
f：R→R が局所リプシッツ連続であるとは、次の 条件Ａ が成り立つときを言う。
条件Ａ
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
任意の x∈R に対して、x を含むある開区間 (a,b) とある L＞0 が存在して、
∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)－f(y)｜≦ L｜z－y｜] が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
つまり、x∈R を取るごとに、x を含む十分小さな開区間の上で「 f は普通の意味でリプシッツ連続」に
なっているとき、f は局所リプシッツ連続と言うのでる。この場合、x∈R ごとに決まる (a,b) と L について、
f の (a,b) 上でのディニ微分(の絶対値)は常に「 ≦ L 」を満たすことが容易に分かる。
一方で、例の定理では、上記の「条件Ａ」を仮定として考えているわけではないし、
むしろ定理の結論において、"ある x に対して条件Ａの中身の性質が成り立つ" という類の主張を
導いているわけであるから、スレ主が引用している主張は、例の定理とは ぜんぜん違うものである。 >>392
> ”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
だから何やねん！！（＾＾
ってみんな心の中で叫んだはず。
スレ主は何を発見したつもりになっているのか・・・ >>395
おっさん、正気か？
>B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
>｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。
おれは、また、「ディニ微分を独力で再発明・再発見したか。”力あるね～”」と思ったのだが・・
というのは、ディニ微分については、あまり和書がなく、(>>392)中井先生らが1949年の辻正次先生の本から
「ここに逐語的ではなく，現代的な語法や記号でおきかへ内容をはるかにふくらませ，何も削らないでここに再掲する．」
いう状態だった（なお、検索で東大の講義の内容で概要だけディニ微分がヒットしたが）
（まあ、数学の力は認めるよ。だが、周りに相談する人がいないんだろうね～・・・）
”limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ”は、それは無理筋だろ？
>>393引用のLimit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces
下記定義に従わないといけないからね
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
Limit superior and limit inferior
(抜粋)
Take metric spaces X and Y, a subspace E contained in X, and a function f : E → Y. The space Y should also be an ordered set, so that the notions of supremum and infimum make sense. Define, for any limit point a of E,
lim sup _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})
where B(a;ε) denotes the metric ball of radius ε about a.
(引用終わり)
>はい、例の定理とは ぜんぜん別物です。
上記 Limit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces の定義をよく読ん下さいね >>396
>だから何やねん！！（＾＾
>ってみんな心の中で叫んだはず。
おまえとおっさんの二人みたいだな（＾＾ >>392 関連
https://wikimatome.org/wiki/%E8%BE%BB%E6%AD%A3%E6%AC%A1
辻正次 ウィキまとめ このページの最終更新日時 2015年10月30日 (金) 22:51
つじまさつぐ
明治27(1894)年7月21日～昭和35(1960)年3月6日 大正・昭和期の数学者。東京大学教授、立教大学教授。
著書に「近代関数論におけるポテンシャル論」「実変数函数論」など。 どっちもどっち
ID:KNjgsEZnはただの基地外 ID:zkh22JUH
ぷ のようにスレ主の自演と疑われたくないなら、数学的見解も述べた方がいいよ >>397
＞上記 Limit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces の定義をよく読ん下さいね
スレ主自身が「定義をよく読んで下さいね」と言っているように、そこに書いてあるのは単なる「定義」の話である。
より具体的に言うと、そこに書いてあるのは、limsup を一般の距離空間の上で定義している話である。
例の pdf で対応する箇所を探してみると、１ページ目の一番最初の
「 定義1.1 」
の limsup[y→x] g(y) の話に対応しているだけである。今まで limsup の定義にケチをつけていたスレ主にとっては、
もはや定義そのものにはケチをつけられなくなったという話に過ぎない。つまり、スレ主は自分の首を絞めているだけである。
そもそも、スレ主が挙げているそのリンク先は、俺が最初に >>362 で挙げたリンクである。
>>362 はどういう状況だったかというと、「 limsup の定義にケチをつけていたスレ主に対して、いくつか文献を提示していた」
という状況である。そのようなリンクを、後になってスレ主の方から持ち出しても、
「わたくしスレ主は limsup の定義にケチをつけていましたが、もはや定義そのものにはケチをつけられません」
と言っているのと同じことである。
[記法の整備 その１]
さて、せっかくディニ微分が出てきたので、ここからはディニ微分の「Ｄ記法」を拝借して
Af(x)：＝ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜
とでも書くことにする。「Ａ記法」とでも呼ぶべきか。このとき、集合 B_f は
B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ }
と表現できることに注意する。もちろん、
R－B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＝ ＋∞ }
という等式が成り立つ。ディニ微分っぽい捉え方をするようになったスレ主は、
もはや このような等式を勘違いせずに理解できるようになったのではないだろうか。
そもそも何を勘違いしてバカな発言を繰り返していたのかすら不明だが。 おっちゃんです。
スレ主へ：
ジハード！！！！！ ジハード！！！！！ ジハード！！！！！
[記法の整備 その２]
さらに、写像 f：R→R と点 x∈R に関する命題 Lips(x,f) を以下のように定義する。
Lips(x,f)「 写像 f は、x を含む十分小さな開区間の上で、普通の意味でリプシッツ連続である。」
より厳密に書けば、Lips(x,f) を次のように定義する。
―――――――――――――――――――――――――――――――
Lips(x,f)：
x を含むある開区間(a,b)とある L＞0 が存在して、
∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)－f(y)｜≦ L｜z－y｜] が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――
この記法のもとで、「 f：R→R が局所リプシッツ連続である」ことと
「任意の x∈R に対して Lips(x,f) は真である」
が成り立つことは同値であることに注意する。 さて、上記の記法のもとで、スレ主が引用している主張と、例の定理とを比べてみる。
スレ主が引用している主張
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。
このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) は有限値である。
(ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
例の定理
――――――――――――――――――――――――――――――――――
写像 f：R → R に対して B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ } と置く。
もし R－B_f が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
ある x∈R に対して Lips(x,f) は真である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
このとおり、主張している内容が全く違う。
・ スレ主の主張では、「任意の x∈R に対して Af(x) は有限値」という結論を導いているが、
例の定理では、Af(x)＝＋∞ が成り立つ点が存在していても適用可能な別の定理になっているので、
この時点で既に状況が違っている。
・ スレ主の主張では、「任意の x∈R に対して Lips(x,f) は真」という "仮定を置いている" が、
例の定理では、そのような仮定が無い状態で、「ある x∈R に対して Lips(x,f) は真」という性質を
"結論において導いている" ので、これも状況が全く違っている。
……というわけで、スレ主が引用した主張は、例の定理とは全く異なるのだったｗ >>392 関連
ディニ微分が、いつごろ論文か判然としないが、
Ulisse Dini (14 November 1845 ? 28 October 1918)
と、Books by U. Dini 1907?1915 などとあるので
100年以上前は確実だろう
https://en.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini
Ulisse Dini
(抜粋)
Ulisse Dini (14 November 1845 ? 28 October 1918) was an Italian mathematician and politician, born in Pisa. He is known for his contribution to real analysis, partly collected in his book "Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali".[1]
Life and academic career
Dini attended the Scuola Normale Superiore in order to become a teacher. One of his professors was Enrico Betti. In 1865, a scholarship enabled him to visit Paris, where he studied under Charles Hermite as well as Joseph Bertrand, and published several papers.
In 1866, he was appointed to the University of Pisa, where he taught algebra and geodesy. In 1871, he succeeded Betti as professor for analysis and geometry. From 1888 until 1890, Dini was rettore[2] of the Pisa University, and of the Scuola Normale Superiore from 1908 until his death in 1918.
He was also active as a politician: in 1871 he was voted into the Pisa city council, and in 1880, he became a member of the Italian parliament.
Honors
He has been elected honorary member of the London Mathematical Society.[3]
Work
Research activity
Thus, by the year 1877, or seven years from the time he began, he published the treatise, since famous, entitled Foundations for the Theory of Functions of Real Variables (Fondamenti per la teoria delle funzioni di variabili reali).
つづく >>410 つづき
Much of what Dini here sets forth concerning such topics as continuous and discontinuous functions, the derivative and the conditions for its existence, series, definite integrals, the properties of the incremental ratio, etc., was entirely original with himself and has since come to be regarded everywhere as basal in the real variable theory.
??Walter Burton Ford, (Ford 1920, p. 174).
Books by U. Dini
Serie di Fourier e altre rappresentazioni analitiche delle funzioni di una variabile reale (Pisa, T. Nistri, 1880)
Lezioni di analisi infinitesimale. vol. 1 (Pisa, T. Nistri, 1907?1915)
Lezioni di analisi infinitesimale.vol. 2 part 1 (Pisa, T. Nistri, 1907?1915)
Lezioni di analisi infinitesimale.vol. 2 part 2 (Pisa, T. Nistri, 1907?1915)
Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali (Pisa, T. Nistri, 1878)
(引用終り) >>401
>どっちもどっち
>ID:KNjgsEZnはただの基地外
レスありがとう！！
全く同意だ
私スレ主は”あほばか”で、ID:KNjgsEZnは基地外だな（＾＾
だが、時枝より、はるかに面白いよ（＾＾ >>405
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
ジハードでもないんだよね、こちらは・・（＾＾
時枝のときと同じで、「納得できないから、納得できない」と言っているだけのことだよ
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
とあるけれど、
条件”R－Bf が内点を持たない閉集合で被覆できるならば”の吟味抜きで、定理の証明を読んでも、しかたなかんべ
ということ
それと、ディニ微分というキーワードを見つけたので、従来のディニ微分理論との比較や整合性検討も面白そうだし・・（＾＾ >>397 関連
> なお、検索で東大の講義の内容で概要だけディニ微分がヒットしたが
あれ？
東京理科大だったかも・・（東大がどうか不明）（＾＾
ディニの導来数？ これディニ微分のことだろう・・（＾＾
https://letus.ed.tus.ac.jp/2012/course/info.php?id=604
Home / ? コース / ? 東京理科大学 / ? 理学部第一部 / ? 積分論２ (991135S) / ? シラバス
積分論２ (991135S)
(抜粋)
教員名 加藤 圭一
開講年度学期 2012年度 後期
開講学科 理学部第一部 数学科
単位 2.0 学年 ３年
第１回 直線の関数の微分と積分の関係１
ディニの導来数およびヴィタリの被覆定理とその証明を理解する．
(引用終り) >>413
おれだよ
オレオレ
おまえは、オレだよ
おまえは、オレの自演だよ（＾＾ >>403-404 >>406-407
おっさん、ほんま”ただの基地外”やね
・（おっさん）標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。（>>350）
↓
・（私スレ主）そのテキストの書名を書けよ（>>351）
↓
・（おっさん）well-defined に意味が定まっている。かわいそうなので、何冊か提示してやろう。（>>361-362）
↓
・（私スレ主）これ、おっさん>>362引用の下記書籍にある、”the Dini derivates”（ディニ微分）やね（>>390）
↓
・（おっさん）B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。（>>395）
(引用終り)
おっさん、面白いわ
面白すぎるけどな～（＾＾ >>419
「標準的なテキストに載っている」とは limsup の定義のことを指して言っている。
ディニ微分については最初から知っていたが(たとえば、俺の手元のルベーグ積分論の本にはディニ微分が載っている)、
スレ主が「リプシッツ」という余計な言葉を使って議論を引っ掻き回していたので、俺の口からは何も言わなかった。
B_f で扱っている量がディニ微分そのものではない、という点についても特にツッコミどころは無い。
ただし、4つのディニ微分を全て統括して limsup で抑えた形には なっている。
で、そんなことより、>>404-407 への返答が全く無いのだが？ >>401
>どっちもどっち
>ID:KNjgsEZnはただの基地外
このID:zkh22JUH さんについては・・・
”>>372 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/21(木) 00:01:12.69 ID:BdIiQ35o
で？w
>>375 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/21(木) 10:19:17.94 ID:xTe57EH6 [1/4]
>>372
オハヨー、朝です。
(^o^)
>で？w
この極短レスは、「ぷふ」さんかな（＾＾”
というやり取りの人だな多分
それで、おれより、大分レベルが高そうだな（＾＾ >>420
おっさん、書名書名（＾＾
それと、年末は忙しい
あわてるな
ゆっくり遊んでやるから。友達のいない人よ >>420
>「標準的なテキストに載っている」とは limsup の定義のことを指して言っている。
>>419の”・（私スレ主）そのテキストの書名を書けよ（>>351）”を、もう少し長く引用すると
（>>351より）
「>標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。
そのテキストの書名を書けよ
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？」
だったよね
おっさんのウソは、ヘタだな。すぐばれる～（＾＾ >>422
こういう、どうでもいいところばかりは
鬼の首を取ったかのように(しかしトンチンカンな)レスを重ね、
本題となっている議論は間違えに間違えを重ねて
未だに何も理解してないというスレ主の惨状。
＞おっさん、書名書名（＾＾
「実解析と測度論の基礎 盛田建彦」の128ページ目にディニ微分の定義がある。
ここはルベーグ積分に対する「微積分学の基本定理」の節になっており、
そこで自然にディニ微分が扱われるので、俺は既に知っていた。
というか、ルベーグ積分をキチンと勉強した人なら、大抵は知っていると思われる。 >>423
＞そのテキストの書名を書けよ
＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？」
＞だったよね
＞おっさんのウソは、ヘタだな。すぐばれる～（＾＾
お前は何を言ってるんだ？「 ＜＋∞ 」を含めて載ってる例は
その >>361-362 で既に出してるだろ？ちゃんと目を通したのか？ スレ主の人はちょっと権威主義が過ぎるきらいがあるね
それって数学の対極なような気もするけど >>414
> とあるけれど、
> 条件”R－Bf が内点を持たない閉集合で被覆できるならば”の吟味抜きで、定理の証明を読んでも、しかたなかんべ
> ということ
もうそれ反論されてるじゃん。被覆できるものもあれば被覆できないものもある。
この定理は『すべてのfで被覆できる』といってるわけではない。
『被覆できるならば～が成り立つ』という定理でしょ？
で、実際に被覆できる例まで示されてる。
スレ主は言ってることがすごく頓珍漢だよ。 >>414
> それと、ディニ微分というキーワードを見つけたので、従来のディニ微分理論との比較や整合性検討も面白そうだし・・（＾＾
面白がるのは、イチャモンを引っ込めてからにしとけよ
最低限の節度もないなら消えてくれよ、頼むから。 >>424
後出し後出し
おっさのウソ、分り易くていいわ（＾＾
>「実解析と測度論の基礎 盛田建彦」の128ページ目にディニ微分の定義がある。
「じゃ、そう書いておけ」ってことよ
おれの>>416 東京理科大学 加藤 圭一先生 積分論２”第１回 直線の関数の微分と積分の関係１ ディニの導来数およびヴィタリの被覆定理とその証明を理解する．”
との関係を疑われるジャストのタイミングで書くとは・・
つづく >>430 つづき
ディニ微分については、おっさんの紹介した”Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian”(P220)にもあって下記
（>>390-391）
(抜粋)
”5.3.7. Definition. Let g: [a ,b] → R, a < b, and let c ∈ [a ,b] . Write
B = [a, b] - {c} and define f: B →R￣ by the formula
f(x) = g(x) - g(c)/(x - c).
Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the
foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with
f may be infinite.
If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define
(D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the
foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with
f may be infinite.
If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define
(D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
Similarly, if c ∈ (a, b] we define
(D^-g)(c) = lim sup x→c- f(x) = lim sup x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} ,
These four numbers are called the Dini derivates of g at c; more precisely
(for example), (D +g)(c) is the lower right-hand derivate of g at c.”
(引用終り)
ここにある、自分の定理と類似の記述があると、それ書けば、”ウソ”って言われなくてすんだろうに（＾＾
つづく >>431 つづき
で、おっさん
（>>395）
「B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。」
だったろ？ 覚えているかい？
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”
だったろ？ 和文PDFでなく、上記のおっさん紹介の”Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian”(P220)との対比において
おっさんの定義と、ディニ微分の定義との違いを、対比して教えてくれ（＾＾
「絶対値の有無」は不要。自明だから。「limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違い」をきちんと説明してほしい
これは、"B_f の定義は well-defined である"を確認するためだ
（参考>>350）
結局、B_f は標準的な方法で定義済みである。どこにも俺独自の要素は無い。
無論、B_f の定義は well-defined である。
（参考>>347）
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/welldefined/welldefined.htm
Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ
(抜粋)
土基善文 著 ＸのＸ乗のはなし （日本評論社）
を読んでいたら、「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」の話があって、改めてその奥の深さを認識させられた。
（コメント） 初めて「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰
々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解
され当たり前のように「Ｗｅｌｌ Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。端から
は、きっと、私が当初感じたように見られているのでしょうね？
（参考文献：
土基善文 著 ＸのＸ乗のはなし （日本評論社）)
(引用終わり)
つづく >>432 つづき
（参考>>376）
１．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。
２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう
３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ。
既知・既存の定理であれば、既存の理論体系の中のどこに位置するのかの確認をすべき
４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。
であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。
５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
それ無くしては、その定理の応用もできまい。
また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。
（もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう）
以上 突然ですが、思い出したので貼る（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%BB%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC
リチャード・セイラー
(抜粋)
リチャード・H・セイラー（Richard H. Thaler, 1945年9月12日 - ）は、アメリカ合衆国の経済学者。シカゴ大学教授。専門は、行動経済学。
行動科学の理論家として国際的な研究業績を持ち、ダニエル・カーネマンらと協働し研究を牽引してきた。
相田みつをのファン[1]。
2017年ノーベル経済学賞受賞。
(引用終り)
https://www.nhk.or.jp/gendai/articles/4066/
家でも会社でも使えるノーベル賞理論！ 最新経済学の魔法 クローズアップ現代＋ NHK 2017年11月20日(月)
(抜粋)
「つまづいたっていいじゃないか、にんげんだもの」。今年、ノーベル経済学賞を受賞したリチャード・セイラー教授（行動経済学）は相田みつをファン。衝動買い、飲み過ぎ、ギャンブル…分かっちゃいるけどやめられない、だって「にんげんだもの」。
でも、こうした人間心理を逆手にとれば、より良い選択をするように誘導できる。セイラー教授が“ナッジ”と名付けたこうした仕掛けを紹介。 うまく応用すれば家でも会社でも、人生はうまく行く！？
出演者
リチャード・セイラーさん （シカゴ大学教授）
大竹 文雄さん （大阪大学教授）
武田真一・田中泉 （キャスター）
日本の「相田みつを」？
経済学者 リチャード・セイラー教授
「『つまづいたっていいじゃないか にんげんだもの』。私はこの言葉が大好きなんだよ！」
ノーベル賞理論の原点
田中
「相田みつをのファンだそうですね。」
リチャード・セイラー教授
「２００９年に東京に行ったときに、たまたま相田みつを美術館に行ったんだよ。それですっかり魅了されてしまったのさ。
私は研究室のドアに、相田みつをの詩を貼り付けているんだよ。『そのうち そのうち べんかいしながら日がくれる』。いつまでもなまけている場合じゃないっていう、自分への戒めのためにね。」
田中
「著書の中でも、ご自身をなまけ者だとおっしゃっていますね。」
つづく >>434 つづき
リチャード・セイラー教授
「そうなんだよ、若い頃はついついなまけてしまう自分を律するために、ずいぶん苦労したもんだよ。」
セイラーさんは、相田みつをのファンというだけでなく、その言葉が研究テーマそのものになっているといいます。
リチャード・セイラー教授
「相田みつをの『にんげんだもの』という言葉。それはまさに、私が４０年かけて研究してきたことでもあるんだ。学生の頃、経済学の論文をたくさん読んだけれど、そこに書かれている人間は現実に存在している人間とはかけ離れている気がしたんだ。それで私は、それまで経済学者が無視してきた人間のおかしな行動を調べることにしたんだ。」
(引用終り)
以上 ＞５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
と、一年生の授業に着いていけないアホが申しております >>433
> １．いままでの流れを見て分かるように、イチャモンでも何でもない。
いままでの流れを見れば分かるように、イチャモン以外のなにものでもない。
> ２．５CHに見慣れぬ定理と証明が投下された。まず、その定理が自分の知識体系の中でどこに位置するのかを見極めることは、数学をする態度として、正道だろう
見慣れぬ定理と証明が投下されたとき、それがとある一個人の知識体系のどこに位置するかは論点ではない
とりわけlimsupも知らないド素人さんの知識体系など知ったことではない
> ３．数学において、その定理が、新規かそれとも、既知・既存の定理かを見極めることは、極めて大事なことだ
そもそもその定理は新規性を謳っていない。新規か既出かは論点ではない
> ４．新規であったとしても、基本、数学の定理というものは、独立ばらばらに存在するものではなく、理論体系を成すべきもの。
> であれば、新規であったとしても、それは理論体系の中のどこに位置すべきか。また、類似の定理との比較も必要だろう。
２と３に同じ。論点ではない
> ５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
> それ無くしては、その定理の応用もできまい。
> また、その探索の過程で、定理が、既存の理論と矛盾していないかどうかも判明する。
> （もし、既存の理論と矛盾したとしても、修正可能かどうかを見ることも容易だろう）
新規性や理論体系を云々する前にまず定理と証明を理解すべきである
証明を読めないなら読めるように勉強すべきである
limsupが分からない、＜＋∞が分からないなら、さっさと勉強するべきである おっさん、がんばれよ（＾＾
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理
x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点にお
ける Dini 微分を主に考える．
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である：
定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理）
f : [0, 1] ?→ R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成
立する：
(1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能．
(2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞．
(3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞．
(4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞．
注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy,
Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が
任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照．
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述
べる．
系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも
成立しないことから系が従う．
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html
研究集会での講演
36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］
実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集
つづく >>438 貼り直し（＾＾
>>432
キーワード： 微分 dini OR ディニ
で検索すると、いろいろヒットするね（＾＾
下記、斎藤新悟先生のテキストの
”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾
これに較べれば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
おっさん、がんばれよ（＾＾
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理
x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点にお
ける Dini 微分を主に考える．
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である：
定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理）
f : [0, 1] ?→ R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成
立する：
(1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能．
(2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞．
(3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞．
(4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞．
注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy,
Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が
任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照．
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述
べる．
系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも
成立しないことから系が従う．
つづく >>439 つづき
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html
研究集会での講演 斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授
(抜粋)
36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］
実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集
(引用終り)
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/
斎藤新悟のウェブサイトへようこそ！
九州大学基幹教育院准教授。
1981年大阪府生まれ。
東京大学理学部数学科卒業。
University College London, Department of Mathematics博士課程修了。
PhD in Mathematics, University of London.
九州大学学術研究員を経て，2013年4月から現職。
} >>439
追加
（余談だが、下記”ディニ導関数は可測であることが知られている。”は、舌足らずだろうね （＾＾ ）
http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg/syotorubekiho.html
微分積分学の基本定理～ルベーグ積分ｖｅｒ 理系インデックス
(抜粋)
定義 （ ディニ導関数 ）
ｆ：Ｉ→Ｒ を関数とする。
次のように定義する。
略
これらを総称して 『 ディニ導関数 』 という。
参考
ディニ導関数は可測であることが知られている。
Ｐ１５
ｆ：［ａ、ｂ］→Ｒ を絶対連続関数とする。
ｆ’＝０ （ａ．ｅ．） であるとする。
このとき、ｆ は定値関数である。
http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg-index.html
ルベーグ積分インデックス 理系インデックス
第３章（Ｐ） 追加事項
微分積分学の基本定理～ルベーグ積分ｖｅｒ
http://rikei-index.blue.coocan.jp/index.html
理系インデックス
理系インデックスは大学で学ぶ数学と自然科学に関する内容をまとめています。
２０１０年１月ＯＰＥN
※ 管理人 ツエ＆トキ （化学科） >>441 関連
>（余談だが、下記”ディニ導関数は可測であることが知られている。”は、舌足らずだろうね （＾＾ ）
言いたいことは、下記かな
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14161354049
yahoo 知恵袋
aguilder729さん2016/7/702:04:46
ルベーグ可測関数のディニ微分はまたルベーグ可測となりますか？
ベストアンサーに選ばれた回答
usagioqさん 2016/7/918:33:56
なります
一般的に可測関数の limsup などは可測です >>439 追加
下記では”Diniの導来数”
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b48ebd53c2e741330526f5d3ff71586f
ルベグ積分入門(新数学シリーズ23)：吉田洋一 とね日記 20100430
(抜粋)
「最初からこの本で勉強すればよかった。」というのが正直な感想だ。「はじめてのルベーグ積分：寺澤順」や「ルベーグ積分超入門：森真―」など手軽な入門書でおおまかなところを理解してから詳しい教科書に進もうという当初の目論見は失敗した。
僕がこの本になかなか手を出さなかったのは・・、いろいろ研究されているぶん新しい教科書のほうがわかりやすいだろうという先入観が災いしてしまった。
ルベグ積分が難しいのは、同じような定理や証明が延々と続くことと、それらが自明に思えてきてしまうため、細かい証明のひとつひとつが「果たしてこれって証明しなきゃいけないことなの？」と思えてしまうことが多いからだ。
数学のほかの分野の証明で経験するような「あ、なるほど！」とか「こんなふうにして証明できるんだ！」とかいう感動がほとんどない。（僕だけなのかもしれないけれど。）
そんな地味な本ではあったが、僕が面白く読めたのは「付録：反例そのほか」の章だ。自明でない例というのは不思議で興味をそそられるものである。
より専門的に詳しく学びたい方は次の本をお勧めする。こちらも１９６３年に出版されたルベーグ積分の名著。ただ今回の本にも増して忍耐が要求されるので、僕は手を出すかどうか迷い中。
「ルベーグ積分入門：伊藤清三」http://astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4785313048
ネット上の無料教材でルベーグ積分を学んでみたい方には以下をお勧めする。
ときわ台学：ルベーグ積分入門
（とてもわかりやすいので、特にお勧め。）
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/000lebrg.html
ルベーグ積分入門（PDF)：吉川敦
http://www7b.biglobe.ne.jp/~yoshikawa/lebesgue-lecture.pdf
ルベグ積分入門吉田洋一 http://astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4563003239 2015年8月6日にちくま学芸文庫から復刊することになりました
目次
第６章：微分法と積分法
- Diniの導来数
(引用終り) >>433
> これに較べれば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
> おっさん、がんばれよ（＾＾
証明は既に終わっている
スレ主が証明を読めずに難癖つけているだけという状況です スレ主は一年生向け教科書を勉強し終わるまでROMってろ >>439
”デイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡”か・・
おれは、ほんとに勉強不足だな～（＾＾
（引用の文字化けご容赦。PDFからの単純コピペなので）
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/96512/1/KJ00004707401.pdf
カオス脳理論(生命的なものへの動力学アプローチ-変わることで意味をもつものの研究-(北大数学科複雑系数理グループ)) 津田 一郎 物性研究 (1999), 71(4): 694-700
(抜粋)
P696
特異連続でいたるところ微分不可能なアトラクター
連続でいたるところ微分不可能な関数は古くから知られており､代表的なものにワイエルシュ
トラス関数､高木関数(HataandYamaguti,1984)などがある｡最近､カント-ル集合上で連続
でいたるところ微分不可能と呼べるような関数の例が見つかった(R6sslerandR6ssler,1992)0
そこで､まずカント-ル集合上で連続(特異連続と呼ぶ)な関数の定義を与え､カント-ル集合
上で定義された関数の微分可能性をデイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡テンプルの本が物
理学者むけの良書である｡Tit血marshも見よ｡)を使って定義し､上記の関数が実際に特異連続
で微分不可能であることを示した(TsudaandYamaguchi,1998)｡また､特異連続で微分不可能
な関数のグラフがアトラクターになるような力学系の例を構成した(R6ssler,Knudsen,Hudson
andTsuda,1.995)oこれは､スメイルのソレノイドを拡張したものになっているO 構成した系は
公理A力学系と呼ばれる数学的には性質の良い系であるが､応用上はあまり面白くない｡そこで､
神経回路網でこのような特異なアトラクターを生成するものを作り､コンピューターシミュレー
ションを行った(上記TsudaandYamaguchi,1998)｡ここで､カント-ル集合上での情報のコー
ド(符号化)とデコード(復号化)という新しい情報概念が得られた｡また､このような特異なア
トラクターを生成する力学系の構成方法を部分的に明らかにした｡縮小型力学系とカオス力学系
の斜積変換で､カオス力学系が独立変数である場合である｡ここで､斜積変換(SkewProduct)を
2変数の場合に直感的にいうと､一方の変換に依存して他方の変換が決まるものである｡特異連
続でいたるところ微分不可能なアトラクターとカオス的遍歴が関係する可能性も議論されている
(Tsuda,1996)
(引用終り) >>414
おっちゃんです。
>ジハードでもないんだよね、こちらは・・（＾＾
>時枝のときと同じで、「納得できないから、納得できない」と言っているだけのことだよ
ジハードを聖戦や正義のための戦争と解釈しているようだけど、
ジハードって、本来はイスラム教の神(アッラー)を信じる
イスラム教信者(ムスリム)全員がする行いの中の1つで、「努力」って意味だよ。
日本では、いつの間にか、国中に間違った意味の「聖戦」が広く知れ渡っているけど。 >>414
つまりね、ジハードを「聖戦」と解釈するのは大きな間違いで、正しくは「努力」と解釈することになる。 ＞”デイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡”か・・
＞おれは、ほんとに勉強不足だな～（＾＾
かっこつけんな、お前は解析概論の1章からだｗ ￥さんのダチの山上 滋先生より下記
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/integral2007.pdf
ルベーグ積分速講 山上 滋 Ibaraki University 2007 年 5 月 23 日
(抜粋)
とうとうやって来ました「ルベーグ積分」。避けていたわけではないのですが、できればあまりしたくない
というのが本音でした。こういった類の授業を積極的に担当したいと思う人は、きっと良心的な先生なので
しょう。不良教師の一人としては、「教えて身につくものでなし」という繰言をつぶやくだけです。ただささ
やかな救いは、以前から、そういった状況に立ち至った場合に試してみたいと思っていたアイデアがあったこ
とでしょうか。
いわゆるルベーグ積分の構成をPeano-Jordan-Borel 路線の流れのなかでLebesgue が達成したように、
「測度」の概念自体はとても素朴な感じがします。できるだけ沢山の図形に面積を付与したいということなの
で。技術的なレベルの違いはあっても、Archimedes の昔からあった発想の自然な延長線上にあるわけで、あ
る意味正統な方法でもあったと言えるでしょう。
一方で、積分なるものは、Gallilei, Pascal, Torricelli, Fermat 等の錚々たる達人の手を経てNewton・
Leibniz によって最初の集大成がなされました。その後も、微積分の発展に伴って概念の精密化への要求が高
まり、Cauchy によって、今ある微積分の内容がほぼ確立しました。もちろん、その中には、和の極限として
の積分の定義も含まれています。
さて、測度（面積・体積）と積分ですが、「にわとりと卵」の例えにも似て、お互いが他を規定するといっ
た表裏一体の関係にあります。面積を計算しようと思ったら積分に訴えるのが常道ですし、一方、積分は、対
象となる関数のグラフの与える図形の面積とみなせるわけで、どちらがより本質的であるとは一概に言えま
せん。
つづく >>450 つづき
現在広く行われているルベーグ積分の導入方法は、測度論から入り積分の諸性質に至るという、測度優先論
が多数派を占めているようです。これは、ひとつには、現代確率論が、測度論を基礎に据えることで長足の進
歩を遂げた、という事情が反映していることに理由があるのでしょう。実際、世にある積分論の教科書は、確
率論の専門家の手になるものが多いように思われます。
翻って、もうひとつの方向性である「積分から測度」ですが、これも実は、ルベーグ積分論の比較的初期の
段階でDaniell 等によって確立されています。この方法の特色は、積分の諸定理に至る道程をかなり短縮でき
る点にあります。「積分の計算・評価が効率的かつ安全にできれば、測度論はあってもなくても良い」といっ
た利用者には、福音となり得るものでしょう。そこまで功利的にならなくても、関数主体の方法は、測度を導
入する上でも教育的に優れた点があるように思っておりました。この「積分から測度へ」というスローガンの
下、用意したのが以下の講義ノートです。学生の皆さんには、モルモットになって貰うようで、申し訳ない気
もしますが、しばらくお付き合いください。
参考書をいくつか挙げておきます。
つづく >>451 つづき
11 Postscript
もともと、このノートは「数学が不得意な数学科の学生」をイメージして用意したものであるが、いみじく
も過去の授業アンケートで指摘されたように、工夫が空回りしているのかも知れぬ。一般の位相空間ではな
く、敢えて距離空間に限定したのもそういったことの反映である。かつてDieudonne で学んだ際、その構成
に泥縄式の印象を持ったものであるが、今は、深い意図があったのやも知れぬと思っている。
上で数学が不得意云々と書いたのは、皮肉でも何でもなく、本心から同情あるいは共感を覚えるからであ
る。数学が得意というか好きで好きでたまらないような人は、私が相手をするまでもない、勝手にするだけで
ある。
しかし、ここで少し欲を吐き出すと、待てよ得意な学生がこれを読んだって悪くはないのではないか、そう
いう連中は位相空間なんかも好きでたまらないはずであるから、距離空間という限定詞を位相空間に置き換え
て、ついでに証明なんかも好みの形に書き直して読めば、多少は楽しんで貰えるのではないか。測度論の証明
を自ら考え出すこと（そういうとんでもないことを実行してしまう人が必ずいるのです）を思えば、楽勝では
ないかと。ついでにRadon-Nikodym なんかも積分論的に格調高く書き直して貰えると、数学が不得意な数
学教員としては、教師冥利に尽きるというものである。
(引用終り)
以上
（参考）
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/teaching.html
講義ノート 山上 滋
授業のために用意したノートです。
学生の自習用に公開するもので、詳しい目の本と併用するとよいでしょう。
・ルべーグ積分
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/
Shigeru's Scratchy Shelf
This is a webpage on mathematics and related topics maintained by YAMAGAMI Shigeru
under the support of Department of Mathematical Sciences, Ibaraki University.
Last modified: 2009/10/05 >>447-448
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾ >>450
>http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/integral2007.pdf
>ルベーグ積分速講 山上 滋 Ibaraki University 2007 年 5 月 23 日
ここには、デイニ微分が出てこないようだ（＾＾ >>430
＞後出し後出し
＞おっさのウソ、分り易くていいわ（＾＾
＞「じゃ、そう書いておけ」ってことよ
絶対に書かない。「リプシッツ」という余計な言葉を持ち出して散々トンチンカンな間違いに陥っていたゴミクズに、
そこで新しく「ディニ微分」という余計な言葉を俺の方から差し出すことに何のメリットがあるんだ？
「 limsup を計算するのに余計な言葉は必要ない。定義に沿って機械的に計算するだけ 」
と何度も書いただろ？そういうスタイルで議論してきた俺が、
俺の方から新しく「ディニ微分」という言葉を持ち出すわけがないだろ。
まあ、俺が差し出したリンク先にはウッカリ書いてあったようだがなｗ
そして案の定、お前はディニ微分というキーワードから
＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
とか
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
＞これに較べれば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
などという、例の定理とは全然違う主張を引っ張ってきて、「この主張は例の定理と(ほとんど)同じことを言っている」
などと大きな勘違いを起こしているのである。となると、結局は >>404-407 の話に帰着する。
そして、スレ主はまだ >>404-407 に返答していない。 >>432
＞おっさんの定義と、ディニ微分の定義との違いを、対比して教えてくれ（＾＾
＞「絶対値の有無」は不要。自明だから。「limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違い」をきちんと説明してほしい
R上のディニ微分には４つの種類がある。それは
D^{-}f(x)：＝ limsup[y↑x] (f(y)－f(x))/(y－x)
D^{+}f(x)：＝ limsup[y↓x] (f(y)－f(x))/(y－x)
D_{-}f(x)：＝ liminf[y↑x] (f(y)－f(x))/(y－x)
D_{+}f(x)：＝ liminf[y↓x] (f(y)－f(x))/(y－x)
の４種類である。R上のディニ微分と言えば、あくまでもこの４種類の量のことを指す。この量は明らかに
Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜ (>>404より)
とは完全一致しない。俺が言っている「ディニ微分そのものではない」とはそういう意味
(４つのディニ微分のいずれとも完全一致しない、という意味)である。もはや数学ではなく、国語の問題である。
一方で、「ディニ微分の類似品ではあるが」とも書いた。これは、４つのディニ微分でやろうとしている操作を、
Af(x) においては絶対値つきで統括して いっぺんにlimsup を取ったような形になっていることを指して
「類似品」と書いた。実は
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
が成り立つはずなので、この点からも、Af(x)はディニ微分の類似品であると言える。 >>439
＞下記、斎藤新悟先生のテキストの
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
＞などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾
＞これに較べれば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
ぜんぜん強くない。というか、無関係である。既に書いたことだが、
「集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」とき、
A のことを第一類集合と呼ぶ。よって、スレ主が言っていることは
「 系 1.5 よりも、"R－Bf は第一類集合である" という条件の方が強く見えるぞ」
ということである。一方で、第一類集合とルベーグ測度の間には、
特別な関係性は無いことが知られている。より具体的に言うと、
・ 第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する
ことが知られている。よって、{x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} がゼロ集合であろうとなかろうと、
"R－Bf は第一類集合である" という条件とは無関係である。
結局、お前のようなゴミクズに新しいキーワードを与えると、このように次から次へと無関係な主張を持ち出して、
「同じ主張だろう」とトンチンカンな発言を連発し出すのである。だから俺は、余計な言葉は使わないのである。
お前にとっては、ディニ微分が「後出しのウソ」に見えるのだろうが、俺は実際に既に知っていたし、
手元にある文献の名前と記載ページも >>424 で明記したし、「スレ主の数々のトンチンカンな行為を踏まえて、
余計な言葉は使わなかった」とも言っているのである。
これだけ明確な理由が揃っていてウソつき呼ばわりされる筋合いは全く無い。 ここで、おバカのスレ主にも分かりやすいように、例の定理から即座に従う、
以下の定理を紹介しておく。(ここでは「定理２」と書くことにする)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理２：
f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 )
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、
R－B_f＝φ となり、よって R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、
例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。一方で、スレ主が引用した
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。
このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) は有限値である。
(ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
もしくは
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
という主張からは、定理２は全く出て来ない。もし出てくるというのなら、実際にやってみよ。
スレ主の引用した主張をそのまま適用しても出てこないし、対偶を取っても出てこない。
ついでに言うと、スレ主の引用した主張とは無関係に定理２を直接的に示そうと思っても、
スレ主の力量では それさえも不可能のはず。なぜなら、定理２は「例の定理」と同じく、
ベールのカテゴリ定理を経由するくらいしか証明手段が無い(はず)だからだ。 >>456-459
おっさん、必死で考えた言い訳がそれか？
まあ予想の範囲だよ（＾＾
「Af(x) においては絶対値つきで統括して いっぺんにlimsup を取ったような形になっていることを指して
「類似品」と書いた。実は
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
が成り立つはずなので、この点からも、Af(x)はディニ微分の類似品であると言える。」
それが、実は定義だろ？
おっさんの
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< k }”
これの定義と、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”とが（＾＾ おれ的には、最初から
定義、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”と、書いておけ！
ってことさ（＾＾ >>461
いやいや、ちょっと間違えた（＾＾
Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< k }だから
limsup は、不要だろ？
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜ } で、良いはずだろ？（＾＾ >>462 訂正
limsup は、不要だろ？
↓
liminf は、不要だろ？
（＾＾ >>460
＞それが、実は定義だろ？
息を吐くように間違えるゴミクズ。
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
という等式は定義ではなく、定理である。limsup と liminf の基本的な性質から出る。
＞Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< k }”
Bf(k) などという集合を定義した覚えはない。ただし、その集合を使えば
Bf＝∪[k＝1～∞] Bf(k) と書けるので、Bf(k) を使っても問題はない。
>>461
＞おれ的には、最初から
＞定義、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”と、書いておけ！
＞ってことさ（＾＾
息を吐くように間違えるゴミクズ。
Af(x) の定義はあくまでも Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)－ f(x)) / (y － x)｜ である。
ただし、定理として Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
という等式は成り立つので、こちらを定義として採用しても理論上は問題は起きない。
ただし、こちらを採用した場合、例の pdf の「 補題1.5 」の証明が面倒くさくなるので、
Af(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)－ f(x)) / (y － x)｜ という最初の定義の方が すっきりする。
>>462
＞Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜ } で、良いはずだろ？（＾＾
息を吐くように間違えるゴミクズ。その２種類だけじゃダメだよ。４種類すべてを使って初めて
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
という等号が成り立つ。liminf も必要なんだよ。 以下で、スレ主の２種類だけではイコールにならない具体例を挙げる。
f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), －2x (x＞0, x は無理数)
として f：R→R を定義すると、
f(y) / y ＝ 0 (y＜0), 1 (y＞0, y は有理数), －2 (y＞0, y は無理数)
であるから、
Af(0)＝limsup[y→0]｜(f(y)－f(0))/(y－0)｜＝ 2
となる。また、
D^{-}f(0)＝ limsup[y↑0] (f(y)－f(0))/(y－0) ＝ 0
D^{+}f(0)＝ limsup[y↓0] (f(y)－f(0))/(y－0) ＝ 1
D_{-}f(0)＝ liminf[y↑0] (f(y)－f(0))/(y－0) ＝ 0
D_{+}f(0)＝ liminf[y↓0] (f(y)－f(0))/(y－0) ＝ －2
となる。特に、
max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜ } ＝ 1
max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜, ｜D_{-}f(0)｜, ｜D_{+}f(0)｜} ＝ 2
となるので、この例では
Af(0) ＝ max { ｜D^{-}f(0｜, ｜D^{+}f(0)｜ }
という等号が成り立たない。しかし、
Af(0) ＝ max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜, ｜D_{-}f(0)｜, ｜D_{+}f(0)｜}
という等号は成り立つ。
limsup, liminf の計算すらマトモに出来ない おバカのスレ主には、
この程度ですら難しすぎて全くの想定外だったのだろう。 だから言っただろ？
一年生向け教科書の勉強が終わるまでROMってろと >>464
ああ、了解！
それ、やっぱり、リプシッツ連続類似だね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
写像がリプシッツ連続であることの同値な別定義として、定数 K ? 0 が存在して、
d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))／d_{X}(x_{1},x_{2})}}＜＝ K (∀ x_{1},x_{2}∈ X)
を満たすこととすることもできる。
(引用終り) >>466
ご苦労さん（＾＾
”f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), －2x (x＞0, x は無理数)”か
妙に病的な函数を作ったんだね。えらいね。（＾＾
で、その話は了解したが、
良い機会だから聞くが、
その不連続函数は
お前の定理
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・”
当てはまるのか、当てはまらないのか？
もし、当てはまらないとすれば、なぜか？ 理由を述べよ！
自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾ >>458
>＞これに較べれば、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
>
>ぜんぜん強くない。
バカなおれでも、”ディニ微分”というキーワードでいろいろ調べて文献を読むと・・、
ちょっと智恵がついてきたな～（＾＾
えーと f(x)=1/x という函数は、ｘ＝０で不連続なんだが、これちょっと面白いよ
D^{-}f(x) at x=0 ＝-∞
D^{+}f(x) at x=0 ＝-∞
（これ、f'＝-1/(x^2)より従う）
これは良いだろ？
ところで、 f(x)=1/xは、ｘ＝０でこのままでは定義されない
（∵そもそも1/0は数学としては許されないし、極限でもx→+0とx→-0とで異なる値を取る）
従って、
f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数）
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置くと、R－Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！
正確には、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で被覆されるべき！
同様のことは、函数 f(x)=1/x^n (n>1で成り立つ)
だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな～？（＾＾
そういう気がしてきたよ（＾＾
以上 >>469 追加
””f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), －2x (x＞0, x は無理数)”か”
のx＞0の部分な
「その不連続函数は・・」と聞いているから、子供じみた逃げなしないとおもうが
念のためな（＾＾ >>471 追加の追加
子供じみた逃げをされないように縛っておくわな（＾＾
”f(x)＝ x (x は有理数), －2x (x は無理数)”
この病的な不連続函数が
お前の定理
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・”
に、当てはまるのか、当てはまらないのか？
もし、当てはまらないとすれば、なぜか？ 理由を述べよ！
自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾ >>469
＞その不連続函数は
俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に
(0, ＋∞) ⊂ R－B_f
が成り立つ。よって、R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できない。
>>470
＞従って、
＞f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数）
＞Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
＞と置くと、R－Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！
息を吐くように間違えるゴミクス。f(x)＝1/x という関数は、このままでは x＝0 で値が定義されない。
そして、f(0) の値を定義しないままで居るつもりなら、その関数は f：R → R￣ ではなく
f：R－{0} → R￣
なのであって、例の定理の適用範囲外である。一方で、f(0) の値は何でもいい人工的に設定して f：R → R￣
という写像にした場合には、この f に対して R－B_f は例の被覆が可能である。なぜなら、
・ x＞0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2
・ x＜0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2
が成り立つので、特に R－{0} ⊂ B_f が成り立つ。よって、R－B_f ⊂ {0} が成り立つ。
{0} は内点を持たない閉集合であるから、以上より、「被覆できる」。 >>470
＞だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな～？（＾＾
全くレアではない。>>459 を読み直せ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理２：
f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 )
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、
R－B_f＝φ となり、よって R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、
例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。
・・・という議論の途中の部分を読めば分かるように、f が各点で微分可能なら
B_f＝R
となるので、特に R－B_f＝φ となり、よって R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる。
(丁寧に書くと、内点を持たない閉集合 K を何でもいいから1つ取れば、φ⊂K という自明な包含により
R－B_f ⊂ K が成り立つので、被覆できている)。
さらに、既に述べたように、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x という関数も、原点での値を
何でもいいから人工的に設定して f：R → R￣ とするならば、R－B_f は例の被覆が「できる」。 被覆できる例を量産するために、スレ主が大好きな「可算無限集合」に絡めて
１つ書いてみるか。
・ f：R→R は、微分不可能な点が高々可算無限個しかないとする。
このとき、R－B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる。
これを使うと、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x は一瞬で解決する
(f(0)の値を人工的に設定して f：R → R￣ にする、という前提のもとで)。
なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。 何から何まで人に聞くなよｗ 自分で勉強しろｗ 厚かましい >>473
>俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に
>(0, ＋∞) ⊂ R－B_f
>が成り立つ。
なるほど。あんた力あるね。（まあ、ディリクレ函数に類似の範囲だが・・）
では、追加質問で悪いが、
変形トマエ函数
f(x)＝ 1/q^n (x は既約有理数p/qで、 n ＝ 2), 0 (x は無理数) ではどうやって適用するのか？
各点毎の”内点を持たない閉集合で被覆できる”か否かの判定はどうやるのか？ >>473
なるほど、あんた力あるね
しかし、f : R → R￣ なら
f(x)＝1/x は
lim x→-0 f(X) ＝-∞
lim x→+0 f(X) ＝+∞
と解するべきと思うがね
ならば、その微分f’(x)=-1/x^2で
lim x→-0 f’(x) ＝+∞
lim x→+0 f’(x) ＝+∞
これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
（ここらが、曖昧になるから、イプシロンデルタを使う話になるのだが）
>>475
>なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。
微分可能（滑らか）ということと、微分係数が∞に発散することとは違うだろ
f(x)＝1/x は、双曲線だから、曲線を原点を中心に回転させれば、微分係数は、発散しない >>477
＞f(x)＝ 1/q^n (x は既約有理数p/qで、 n ＝ 2), 0 (x は無理数) ではどうやって適用するのか？
＞各点毎の”内点を持たない閉集合で被覆できる”か否かの判定はどうやるのか？
知らない。
俺は「どんな f に対しても簡単に判定可能なアルゴリズムを見つけた」と主張しているわけではないからな。
>>478
＞lim x→-0 f’(x) ＝+∞
＞lim x→+0 f’(x) ＝+∞
その2つの式は正しい。だが、B_f とは無関係。お前は未だに何かを勘違いしている。
＞これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
＞まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
原点を含む十分小さな開区間 (－ε, ε) の中の任意の点 x で
f'(x)＝＋∞
が成り立つというのであれば、(－ε, ε) ⊂ R－Bf が成り立つので、
R－Bf は例の被覆が「できない」ことになる。しかし、実際には、x≠0 なら常に
f'(x) ＝ －1/x^2
であり、ゆえに
Af(x) ＝ 1/x^2
であり、ゆえに R－{0} ⊂ Bf であり、ゆえに R－Bf ⊂ {0} であり、
ゆえに、R－Bf は例の被覆が「できる」のである。 >>478
＞これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
＞まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
既にレスは書いたが、ここについては、次のような言い方をしてもよい。
まず、お前の主張が正しいとすると、
(－ε, ε) ⊂ R－Bf
が成り立つことになる。R－Bf ＝ { x∈R｜Af(x)＝＋∞ } に注意して、
(－ε, ε) ⊂ { x∈R｜Af(x)＝＋∞ } … (1)
が成り立つことになる。では、x＝ε/2 としてみよう。
このとき、x∈(－ε, ε) だから、(1) により
Af(x)＝＋∞
が成り立つことになる。一方で、f'(x)＝－1/x^2 だから、Af(x)＝｜f'(x)｜＝1/x^2 であり、
Af(x)＝＋∞ に矛盾する。よって、お前の主張は自動的に間違いである。 >>479-480
了解
話は飛ぶが
昔から、数学素人が、「定理を証明しました」というとき
１．従来の数学の範囲の定理の再証明（新しい証明の場合もある）
２．（あるいは）素人の勘違い
このどちらかと、99％相場が決まっている（1％新定理があるかもしれないが）
で、いままでのやり取りから、あんた素人の数学おたくで、相談すべきレベルの高い友達（あるいは指導者）がいないね
だから、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、検証しようという意識が薄いね
一方、プロは自分の証明した定理が、新規かどうか？ そこが命だし、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、きちんと検証するものだ
上記の１かどうかの見極めが、まず先だ。例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、うんぬんとか
そういうことが無ければ、99％は、 ２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが）
そんなものに、うっかり乗せられたら、えらいことだよ～！！（＾＾
まあ、年末で忙しいので、ゆっくりやるよ
が、あんた、ピエロやHigh level peopleと違って、レスポンスのレベルが高いので、遊び相手としては面白いわ（＾＾
まず、”ディニ微分”というキーワードが見つかったので、「１．従来の数学の範囲の定理の再証明」の線を調べつつ
それ（１項関連）が見つからなければ、その過程で「２．（あるいは）素人の勘違い」ってことがはっきりするだろう >>481
新規の定理って言ってないじゃん
まったく話が成り立たねー Ulisse Dini (14 November 1845 ～ 28 October 1918) was an Italian mathematician and politician, born in Pisa.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini
いまさら、ディニ微分使った新定理を
素人が？
その見極めが先だろ >>481
＞例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、
ぜんぜん導かれない。息を吐くように間違えるゴミクズ。その定理は
「 ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して〇〇が成り立つ 」
という書き方の定理である。一方で、>>458 で既に述べたように、
・ 第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する
ことが知られている。よって、「ほとんどすべての x で〇〇が成り立つ」という性質が
言えようが言えまいが、例の定理とは関係が無い。
>>483
ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。「新発見ではない」と何度も言っている。
我々が文献を見つけてないだけ。
strradle lemma ＋ ベールのカテゴリ定理
で終わるような演習問題レベルの定理に、新発見もクソもない。
息を吐くように間違えまくるゴミクズが いつまでも騒ぎ立ててるだけ。 「こんな定理を証明しました。これが実際の証明です」
普通の数学徒の反応：
へえ、正しいですね(ま、演習問題レベルのようだし、こんなもんでしょう)。
スレ主の反応：
ワタクシの直観ではこの定理は成り立たない (←でも反例は提示できない)
これが反例になるのではないか (←ぜんぜん反例になってない)
この定理からすぐに従うのではないか (←ぜんぜん関係のない定理)
こんな定理が新発見の定理なわけがない (←誰も新発見だとは言ってない)
この経過を見ると、最初は「反例」ばかりを考えていたスレ主が、いつの間にか
「この定理からすぐに従うのではないか」という真逆の方向に舵を切りつつあることが分かる。
こんな定理が新発見のわけがないので、探せばいつかはピッタリの定理が見つかるだろうが、
「間違っている」とイチャモンをつけていたスレ主にとっては、ピッタリの定理が見つかった時点で
スレ主の負けである。つまり、スレ主は自分から負ける道を歩きつつあるという皮肉ｗ こんなにも丁寧で理路整然とした説明を長々と受けておきながら、
実質2ページの短い証明すらまともに読めず（limsupすら知らないという笑）、
くだらないイチャモンをつけまくってるスレ主は数学板史上最悪のクズ野郎である >>481
> 99％は、 ２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが）
いままでのところを整理しておこう
・証明を読むだけが数学ではない
・数学は理論体系である
・ある定理が、数学の理論体系の中に、どう位置付けられ、他の定理との関係も理解・把握しておくことが非常に大事だ
つづく >>488 つづき
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
・ディニ微分関連で
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜が、４つのディニ微分を使って
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } と表わされることがはっきりした（>>464）
・と、同時に、リプシッツ連続との関係も明らかになった（>>468）
つづく >>489 つづき
補集合 R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる とは何だろうか？
・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
（参考：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A4%E7%AB%8B%E7%82%B9 孤立点
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88 単集合（一元集合））
・被覆とは、証明のPDFから、「S ⊆ iFi」である（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF ）
・いま、補集合 R－Bfを場合分けすると
１）有限個であれば、Bfが、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」は自明
２）可算無限個であっても、それが、ある区間（c,d）などに偏在していれば、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」も自明
３）この定理で、クリティカルなのは、可算無限個が、（例えば有理数などのように）R中に稠密分散されているとき。
言い換えれば、孤立する１点から成る集合で、R中に稠密分散されている例として、有理数や代数的数があるが、
もし、このような状態があれば、「ある開区間(a, b) 」は取れないから、それは反例となる。
４）つまり、この定理が成立すれば、定理の前提であるディニ微分関連の部分（それはリプシッツ連続とも関係している）で、「”< +∞”を満たさない」部分は
「R中に稠密分散され得ない」ということになる（∵R中に稠密分散される状態が実現すれば、「(a, b) 上でリプシッツ連続である」が言えない）
つづく >>490 つづき
さて、定理1.7 (422 に書いた定理)のそもそもの目的は、変形トマエ函数（Ruler Function）関連で、
「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」を導くことであった
変形トマエ函数（Ruler Function）関連については、過去スレで取り上げているが、いま一度整理すると
（長いが、あとのために抜粋する）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
（注：下記で、f^rなどとして、ｒの指数による類別をしている）
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
It is well-known that f is continuous at each irrational
point and discontinuous at each rational point.
** For each r > 2, f^r is differentiable on a set that
has c many points in every interval.
The results above can be further refined.
** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise
Lipschitz condition. Heuer [15]
** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and
satisfies a pointwise Lipschitz condition on
a set that is dense in the reals. Heuer [15]
** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose
intersection with every open interval has Hausdorff
dimension 1 - 2/r. Frantz [20]
つづく >>491 つづき
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
つづく >>492 つづき
---------------------------------------------------------------
[4] Bohus Jurek, "Sur la derivabilite des fonctions a
variation bornee", Casopis Pro Pestovani Matematiky
a Fysiky 65 (1935), 8-27. [Zbl 13.00704; JFM 61.1115.01]
It appears that Jurek proves some general results
concerning the zero Hausdorff h-measure of
sets of non-differentiability for bounded
variation functions such that the sum of the
h-values of the countably many jump discontinuities
is finite (special case: h(t) = t^r for a fixed
0 < r < 1). General "h-versions" of the ruler
function seem to appear as examples, and V. Jarnik's
more precise results about the Hausdorff dimension
of Liouville-like Diophantine approximation results
are used.
This paper is on the internet at
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D98714.html
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&;did=D98723
つづく >>493 つづき
---------------------------------------------------------------
[15] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at the
irrationals and discontinuous at the rationals",
American Mathematical Monthly 72 #4 (April 1965), 370-373.
[MR 31 #3550; Zbl 131.29201]
Let f(x) = 0 if x is irrational, f(p/q) = |1/q| if
p and q are relatively prime integers, and f(0) = 1.
We say that a function g is Lipschitzian at x if there
exists a neighborhood U of x and a number M > 0 such
that |g(x) - g(y)| <= M*|x - y| for all y in U.
THEOREM 2: The function f^r is: (A) discontinuous at the
rationals for every r > 0; (B) continuous but
not Lipschitzian at the Liouville numbers, for
every r > 0; (C) differentiable at every irrational
algebraic number of degree <= r-1, if r > 3.
THEOREM 3: The function f^r is differentiable at every
algebraic irrational number if r > 2 (and, by
Theorem 1, at none if r <= 2).
THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not
differentiable at the points of the set
{(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer
and there exists an integer n such that
d = m^2 - 4n is positive but not a perfect
square} . [This set is dense in the reals.]
THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the
rationals and continuous at the irrationals,
then there is a dense uncountable subset
of the reals at each point of which g fails
to satisfy a Lipschitz condition.
つづく >>494 つづき
(p. 373) "We omit the proof, because it is rather lengthy,
and one would hope to generalize the theorem by replacing
the rationals by an arbitrary dense set, and possibly to
show that the set of points at which g fails to be
Lipschitzian is a residual set."
NOTE: Sengupta/Lahiri had essentially obtained this result
in 1957 (the points of discontinuity have to form an
F_sigma set, however). See my remark in [13] above.
This result is also proved in Gerald Arthur Heuer,
"A property of functions discontinuous on a dense set",
American Mathematical Monthly 73 #4 (April 1966),
378-379 [MR 34 #2791]. Heuer proves that for each
0 < s <= 1 and for each f:R --> R such that
{x: f is continuous at x} is dense in R and
{x: f is not continuous at x} is dense in R,
the set of points where f does not satisfy a
pointwise Holder condition of order s is the
complement of a first category set (i.e. a co-meager
set). By choosing s < 1, we obtain a stronger version
of Sengupta/Lahiri's result. By intersecting the
co-meager sets for s = 1/2, 1/3, 1/4, ..., we get
a co-meager set G such that, for each x in G, f does
not satisfy a pointwise Holder condition at x for
any positive Holder exponent. (Heuer does not
explicitly state this last result.) A metric space
version of Heuer's result for an arbitrary given
pointwise modulus of continuity condition is essentially
given in: Edward Maurice Beesley, Anthony Perry Morse,
and Donald Chesley Pfaff, "Lipschitzian points",
American Mathematical Monthly 79 #6 (June/July 1972),
603-608 [MR 46 #304; Zbl 239.26004]. See also the last
theorem in Norton [17] below.
つづく >>496 つづき
で、今回の「(a, b) 上でリプシッツ連続である」に関連する部分のみを、さらに抽出すると
[15] Gerald Arthur Heuer先生
THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not
differentiable at the points of the set
{(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer
and there exists an integer n such that
d = m^2 - 4n is positive but not a perfect
square} . [This set is dense in the reals.]
THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the
rationals and continuous at the irrationals,
then there is a dense uncountable subset
of the reals at each point of which g fails
to satisfy a Lipschitz condition.
かな？
特に、THEOREM 5 変形トマエ函数（Ruler Function）のような、有理数で不連続、無理数で連続なる函数では、
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”
だと
だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている
では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？
[15] Gerald Arthur Heuer先生の（A）と、定理1.7 (422 に書いた定理)の（B）との差！
これを見極めない限り、素人の証明を読んでも仕方が無いと思う
まあ、年末は忙しい
ゆっくりやりましょう（＾＾
以上 >>497 補足
1)THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the rationals and continuous at the irrationals, then there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.
2)「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」
この二つの比較で、2)の”無理数の点で微分可能”なら、1)THEOREM 5の”continuous at the irrationals”は、満たされる
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”から、有理点以外で必ず”at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition”なる（無理）点が存在する
その（無理）点は、微分不能
だから、1)THEOREM 5より、2) 系1.8は、導くことができる
以上 不正の件、洗い出し終わった
[正]Air値→ヤング図
[正]Air値→タワー(平面的フェラーズ盤)
[正]ヤング図→母関数導出
[正]タワー→母関数導出
[正]ヤング図母関数→ P(n,m)互換
[不正]タワー母関数→ P(n,m)互換
考えてみれば分かるけど3次元なのに2次元でやろうとしてる所がヤヴァかったです。
pp(n)ｑ^nでやらなきゃ…ねぇ…
なんかもう疲れたからPP(n)q^nやらずに、
ヤング図ポセットでの成長を考えます。
フォースと共にあらんことを。 おっちゃんです。
>>490
>・いま、補集合 R－Bfを場合分けすると
> １）有限個であれば、Bfが、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」は自明
> ２）可算無限個であっても、それが、ある区間（c,d）などに偏在していれば、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」も自明
> ３）この定理で、クリティカルなのは、可算無限個が、（例えば有理数などのように）R中に稠密分散されているとき。
> 言い換えれば、孤立する１点から成る集合で、R中に稠密分散されている例として、有理数や代数的数があるが、
> もし、このような状態があれば、「ある開区間(a, b) 」は取れないから、それは反例となる。
> ４）つまり、この定理が成立すれば、定理の前提であるディニ微分関連の部分（それはリプシッツ連続とも関係している）で、「”< +∞”を満たさない」部分は
> 「R中に稠密分散され得ない」ということになる（∵R中に稠密分散される状態が実現すれば、「(a, b) 上でリプシッツ連続である」が言えない）
>>489の
>(>>303より)
>”定理1.7 (422 に書いた定理)
>f : R → R とする．
の部分から、fは実数直線Rを定義域、かつRの部分集合を値域とする実関数であることが分かる。
実関数 f：R→R が或る開区間 (a,b) でリプシッツ連続になるのは
或る正の実数Kが存在して、任意の (a,b) の2点 x,y について |f(x)－f(y)|≦K|x－y| となるとき
だから、リプシッツ連続の反例になっていない。 >>490
>>501の下から2行目の訂正：
或る正の実数Kが存在して、 → 或る非負実数Kが存在して、 >>490
＞補集合 R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる とは何だろうか？
何度も同じことを書くが、集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるとき、
A のことを「第一類集合」と呼ぶのである。つまり、
質問「補集合 R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる とは何だろうか？ 」
回答「 R―Bf は第一類集合である、ということだ」
ということである。ま、これでは単なる言葉の置き換えに過ぎないのだが、
権威主義のスレ主には、この書き方の方がヘンなイチャモンをつけにくいだろうｗ
>>490
＞・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
今回のスレ主の話の中では本質的ではないが、この発言そのものは間違っているので指摘しておく。
孤立点だけで構成された集合(すなわち離散集合)は高々可算無限集合にしかならないが、
内点を持たない閉集合であって非可算無限集合であるものが存在する。
たとえば、カントール集合は内点を持たない閉集合だが、カントール集合は非可算無限集合である。
また、一点集合 {p} は常に「内点を持たない閉集合」であるが、カントール集合は非可算無限集合なので、
カントール集合を「一点集合の可算無限和で被覆する」という芸当も不可能でる。
よって、「ほかならない」というスレ主の言い方は間違っている。 >>497
＞だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている
＞では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？
＞これを見極めない限り、素人の証明を読んでも仕方が無いと思う
・ なぜ (B) では実現不可能かというと、例の定理に抵触するからだよｗ
・ なぜ例の定理が成り立つかというと、ベールのカテゴリ定理を使ってるからだよ。
・ ベールのカテゴリ定理に帰着させるために、技術的には１つの補題が必要になり、それが「補題1.5」だよ。
・ 例の定理の証明とは無関係に、(B) で実現不可能な理由をスレ主が独自に探っていっても、
結局はベールのカテゴリ定理に帰着させるハメになり、例の定理の証明と同じことをするハメになるだろうｗ
この４項目の見極めで十分だろ。
そろそろ例の証明を読んでみたらどうだね。 >>490
>・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
違うよ
境界点だけということ
境界点が孤立してなくてはいけないわけではない >>497 関連
無理数で微分可能で、有理数のみ微分不可能という
函数の構成があったので、貼っておく（＾＾
http://www.mathcounterexamples.net/a-continuous-function-not-differentiable-at-the-rationals-differentiable-elsewhere/
ANALYSIS A CONTINUOUS FUNCTION NOT DIFFERENTIABLE AT THE RATIONALS BUT DIFFERENTIABLE ELSEWHERE NOVEMBER 30, 2014 JEAN-PIERRE MERX Math Counterexamples
(抜粋)
We build here a continuous function of one real variable whose derivative exists on R?Q and doesn’t have a left or right derivative on each point of Q.
As Q is (infinitely) countable, we can find a bijection n→rn from N to Q. We now reuse the function f defined here.
http://www.mathcounterexamples.net/a-differentiable-function-except-at-point-with-bounded-derivative
Recall f main properties:
略
This proves that hh is differentiable at aa with h′(a)=limn→+∞h′n(a). For a∈Q, we can find p∈N with a=rp.
Following a similar proof than above, the function lp:x→h(x)－up(x) is differentiable at a.
As f does not have left and right derivatives at 00, upup does not have left and right derivatives at a.
finally, the equality h=lp+up implies that hh also does not have left and right derivatives at a.
Conclusion:
the function h is differentiable at all irrational points but does not have left or right derivative at all rational points.
(引用終り) >>504
>そろそろ例の証明を読んでみたらどうだね。
同感です >>505
ID:ndfap2+Cさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾
あなたは
(>>401)
"どっちもどっち
ID:KNjgsEZnはただの基地外"
と書いてくれた人かな？
>>・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
>違うよ
>境界点だけということ
>境界点が孤立してなくてはいけないわけではない
ああ、あなたは、レベル高そうだな（＾＾
ちょっと考えてみるよ ＞ああ、あなたは、レベル高そうだな（＾＾
と、一年生の授業に着いていけない落ちこぼれが申しております >>507
ID:ndfap2+Cさん、あなたはレベル高そうだから、聞くが
（>>497より）
「特に、THEOREM 5 変形トマエ函数（Ruler Function）のような、有理数で不連続、無理数で連続なる函数では、
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”
だと
だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている
では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？
[15] Gerald Arthur Heuer先生の（A）と、定理1.7 (422 に書いた定理)の（B）との差！」
の私の疑問点について、あなたの解釈は？
別に分り易く書いてくれとは言わないが
書いてくれたことに、一定の納得がいって、定理1.7（>>489）が、成り立ちそうということが見えれば、証明を読むことはやぶさかではない
だが、反例がありそうな証明を読むことは、特に必要がある場合は別として、私はしない（教科書に載っている、あるいは投稿論文の定理は別として） >>499-500
BLACKX ◆jPpg5.obl6さん、どうも。スレ主です。
考察進んでいるようで、なによりです（＾＾ >>501-502
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
あの・・、補集合 R－Bf というのは、平たくいうと、リプシッツ連続でなく、” |f(x)－f(y)|≦K|x－y| ”とできない場合だよね
で、これは、R上で稠密であってはならない
なぜならば、下記系1.8の証明で、有理数Qが、 1 点集合{p}の可算和であること、及び、稠密性から連続した区間(a, b) 内に必ず有理点{p}を含むという性質を使う
だから、もし、補集合 R－Bfが、R上で稠密でなら、同じ理屈で、区間(a, b) 内に必ず補集合 R－Bfの要素が存在することになり、定理の結論と矛盾するよ
（参考）
（>>490）
証明のPDFから、（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF ）
系1.8の証明で
「定理1.7 のBf について,
R － Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf
が成り立つので,
R － Bf ⊆ Q = ∪ p∈Q {p} (1)
である. ここで, 1 点集合{p} (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各{p} は内点を持たない閉集合であ
るから, (1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. よって, 定理1.7 が使えて, f はある開
区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である (2)
さて, Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.
(2) より,f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」 >>512
違うのか！ それは残念だな（＾＾
ところで、>>513 に引用したけど、
” ここで, 1 点集合{p} (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各{p} は内点を持たない閉集合である”は、良いんだろ？
で、1 点集合以外で、R上において「内点を持たない閉集合」としては、どんな例があるのかな？（ >>505より ） >>513
＞あの・・、補集合 R－Bf というのは、平たくいうと、リプシッツ連続でなく、” |f(x)－f(y)|≦K|x－y| ”とできない場合だよね
補集合 R－Bf というのは、Af(x)＝＋∞ が成り立つ x の集合のこと。
” |f(x)－f(y)|≦K|x－y| ”
という曖昧な書き方では色々な誤解が入り込むので、そんな書き方をしてはいけない。
特にスレ主は、そんな書き方をしてはいけない。
繰り返すが、補集合 R－Bf というのは、Af(x)＝＋∞ が成り立つ x の集合のこと。
＞で、これは、R上で稠密であってはならない
＞(中略)
＞補集合 R－Bfが、R上で稠密でなら、同じ理屈で、区間(a, b) 内に必ず補集合 R－Bfの要素が存在することになり、定理の結論と矛盾するよ
息をするように間違えるゴミクズ。
R－Bf が R 上で稠密であり、なおかつ「 R－Bf が第一類集合」が成り立つならば、
例の定理が適用できて、スレ主の指摘と合わせて矛盾が起きるので、その場合は
スレ主の言うとおりのストーリーになる。
しかし、R－Bf が R 上で稠密であっても、「 R－Bf が第一類集合」であるとは限らないので、
その場合は、例の定理がそもそも適用できず、スレ主のストーリーは破綻する。
つまり、今回のスレ主の勘違いは、「稠密なら自動的に第一類集合である」と勘違いしているところ。 これは俺からレスを書くと横レスになってしまうが、一応書いておく。
>>514
＞で、1 点集合以外で、R上において「内点を持たない閉集合」としては、どんな例があるのかな？（ >>505より ）
ご老人よ、「カントール集合が該当する」と既に２,３回も書いているぞ(たとえば>>503)。
・ カントール集合は内点を持たない閉集合である。
・ もしカントール集合が一点集合の可算無限和で表現できるなら、
第一類集合の観点からは一点集合を考えているのと同じことになってしまうが、
実際にはカントール集合は非可算無限集合なので、そのようには表せない。
・ すなわち、カントール集合はスレ主の質問に対する明確な回答である。 >>514
[0,1]-∪[0<i<n](i/n-1/n^3,i/n+1/n^3)
はどうかな >>517 & >>519
定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？
（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF より）
「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
各Fiは内点を持たない,
S ⊆ ∪iFi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」
だったよね？
Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？
そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？
”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？ >>520
> >>517 & >>519
>
> 定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？
>
> （ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF より）
> 「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
> 各Fiは内点を持たない,
> S ⊆ ∪iFi
> が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」
>
> だったよね？
>
> Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？
>
> そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？
>
> ”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
会話が成り立たないにもホドがあるだろｗ >>520
>Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？
当然ですよ
>そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？
どうして？
カントール集合で``1個''です
>”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
当然ですよ >>520
既にレスしてくれている人が居るが、俺からもレスしておく。
＞定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？
拡張ではなく、最初からそういう適用が可能であるような定義になっている。
定義をキチンと読み直せ。もはや数学ではなく国語の問題である。 >>520
あるいは、権威主義のスレ主のために、次のような言い方をしてもよい。
まず、>>503 で書いたことを もう一度書くが、集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で
被覆できるとき、A のことを「第一類集合」と呼ぶのである。従って、例の pdf の
＞ 「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
＞ 各Fiは内点を持たない,
＞ S ⊆ ∪iFi
＞ が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」
この記述は、「 S は第一類集合 」の定義を書いているだけである。
これとスレ主のトンチンカンな主張を組み合わせると、
「定義1.2 の集合 S は、各 F_i が高々可算無限集合でなければ第一類集合とは呼ばない( F_i に連続濃度を許すと、個数が曖昧になる)」
というアホな主張をしていることになる。しかし、第一類集合 S であって、
F_i を可算無限に限定することが出来ないものが ごく普通に存在するので、
この時点でスレ主は間違っていることになる。
ま、いずれにしても本質的には「国語の問題」なので、
スレ主はキチンと定義を読み直すことだ。 >>521-522
>>カントール集合で``1個''です
>”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
>当然ですよ
なんだよ（＾＾
早く言ってくれればよかったのに（＾＾
でな、下記
リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない
リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？
で、いま問題のRuler Functionでは、リウヴィル数が鬼門で
”not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0”なんだよ
つまり、r→∞にしても、リウヴィル数以外の無理数は、Lipschitzianになるが、at the Liouville numbersではだめだと
で、そうすると、定理1.7 (422 に書いた定理)の反例になってないか？
(>>151)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
リウヴィル数
(抜粋)
・リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である。
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(>>494)
(抜粋)
THEOREM 2: The function f^r is: (B) continuous but not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0;
(>>492）
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
つづく >>526 つづき
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
(引用終り)
以上 双方ともWikipediaに書いてあることを力説してるだけかｗ >>529
Yes！
レスありがとう（＾＾
おれの方は特にそうだよ
ここは、学会じゃない
庶民の雑談の場だよ（＾＾
おれは、あほバカで
定理のおっさんは、基地外だ（＾＾ >>526
最初からそういう定義なんです
ところで
その関数の微分可能点が無理数の一部分なのですね？
そしてその補集合の濃度が非可算であると？
実際にどういう集合か分かりませんが
可算集合→可算個の疎な閉集合で覆える
は当たり前ですが同値ではありませんので
``反例''になっている``根拠''としては薄いと思います >>531
「ぷふ」さん、お元気そうでなによりです！＼（＾＾／
「ぷふ」さんには、感謝していますｍ（＿ ＿）ｍ
例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾ >>532
「ぷふ」さん、どうも（＾＾
>最初からそういう定義なんです
ああ、そうなんですか？ 定理を書いた人の話は、最初それに否定的だったように聞いた気がしたが・・。気のせいかな（＾＾
>その関数の微分可能点が無理数の一部分なのですね？
Yes！
(>>526より)
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
(引用終わり)
一つは、この上記ｆ（トマエ関数）をｒ乗した関数を考えているわけです。なのでYes！（それで、ｒはいくらでも大きく取れる）
もう一つは、 f(x) = 1/q^rではなく いかなるq^rよりも早く増大する（つまり、いかなる1/q^rよりも早く減少する）関数
w(q) を取って、f(x) = 1/w(q) としましょうということ。でも、無理数点で”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition”が残ると
ここらは、上記のURLを読んでもらう方が話は早いでしょう
（なお、>>527の”co-meager (residual)”は、ベールの範疇定理の用語と解しています。
”c points”がいまいち分らんですが・・（＾＾ ）
以上 >>526
＞リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない
＞リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？
息をするように間違えるゴミクズ。
リウヴィル数の全体を L と置く。お前の持ち出した例では、L ⊂ R－B_f が言えているに過ぎないので、
このままでは例の定理に帰着できず、全く反例になってない。
では、R－B_f ⊂ L が成り立つと仮定した場合はどうか。ここでは一般的に、
R－B_f ⊂ L が成り立つような任意の写像 f：R→R について考えることにする。
L は内点を持たない集合で、L は非可算無限集合である。
よって、もし L 自体が閉集合なら、L は内点を持たない閉集合「１つ」となるので、
「内点を持たない閉集合 F_i の高々可算無限和」… (1)
として F_1＝L, F_i＝φ (i≧2) を採用すれば、R－B_f ⊂ L という包含は
R－B_f ⊂ F_1
を意味することになる。特に、R－B_f は(1)の被覆ができていることになり、例の定理が適用できる。
しかし、L は R 上で稠密なので、既に議論されたことと同じことをすれば矛盾し、例の定理は間違いとなる。
しかし、実際には、L 自体は全く閉集合ではないので、L そのままでは、R－B_f について(1)の被覆が
出来ていることにならず、スレ主の目論見は失敗に終わる。
[続く] [続き]
ここで、L の各点 p に対して、一元集合 {p} は閉集合であることに注意する。
そこで、各 p∈L を適当に番号づけて F_i＝{p} と置き直して、
L＝∪_i F_i
と表すことを考える。もしこのような芸当が可能ならば、R－B_f ⊂ ∪_i F_i となるので、
やはり例の定理が適用できることになり、そして矛盾するので、例の定理は間違いとなる。
しかし、実際には、L が非可算無限集合であるがゆえ、{p} も非可算無限個となるので、
F_i＝{p} と置く場合の F_i は可算無限個に収まらず、よって、このような F_i の置き方では
L＝∪_i F_i という表現はできない。スレ主の目論見は やはり失敗に終わる。
このように、仮に R－B_f ⊂ L が言えているとしても全く反例にならないのである。
しかも、実際にスレ主が持ち出した例は L ⊂ R－B_f が言えているに過ぎず、余計に反例になってない。
結局、今回のスレ主の間違いは、次の3つである。
・ L ⊂ R－B_f が言えているに過ぎないシロモノを持ち出してきても、ぜんぜん反例になってない。
・ 仮に R－B_f ⊂ L が言えているとしても、R－B_f について(1)の被覆が出来ないので、やはり反例になってない。
・ どうもスレ主は、F_i の置き方をキチンと意識してないがゆえに、いつの間にか可算無限個の F_i で
L＝∪_i F_i と表現できているように勘違いしている節がある。 補足：
リウヴィル数の全体を L と置いたのだったが、この L は第「二類」集合であることが知られている。よって、
L ⊂ R－B_f
が成り立つような任意の f：R→R に対して、R－B_f は例の被覆が絶対に不可能であることが自動的に従い、
よって例の定理の適用範囲外となる。
一方で、スレ主の持ち出した f^r (r＞0, f はトマエ関数) に対して
L ⊂ R－B_{f^r}
が成り立つのだから、結局、これらの f^r は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。 >>535
>実際には、L 自体は全く閉集合ではない
出典は？ >>538
＞出典は？
バカなの？ L は R 上で稠密なんだよ？もし L が閉集合なら、L の稠密性と合わせて
L＝R
になってしまって矛盾するだろうが。だから、L は閉集合では無いんだよバカタレ。 さて、スレ主が >>527 などで たびたび引用している
＞THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
＞of points that are each dense in the reals.
＞Then g fails to have a derivative on a
＞co-meager (residual) set of points. In fact,
＞g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
＞condition, a pointwise Holder condition,
＞or even any specified pointwise modulus of
＞continuity condition on a co-meager set.
についてもコメントしておく。この定理で扱われている g は、
「ある co-meager set の上で、g は全く pointwise Lipschitz condition を満たさない」
と主張されている。そこで、そのような co-meager set を1つ取って A とでも置いておく。
よって、g は A 上で全く pointwise Lipschitz condition を満たさないことになる。すなわち、
A ⊂ R－B_g
が成り立つことになる。A は co-meager set だったから、R－B_g は例の被覆が絶対に不可能であることが
自動的に従う。よって、このような g は自動的に、例の定理の適用範囲外となる。
特に、スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。
これにて、スレ主が反例として疑っていた例は悉く壊滅したｗ
そして、上記の理由は「例の定理を経由しない理由」であるため、スレ主が >>497 で求めていた
「見極め」として十分であろう。これにて、いよいよスレ主は、例の「たった2ページの証明」を
読まなければならなくなった。 >>539
>L は R 上で稠密なんだよ？もし L が閉集合なら、L の稠密性と合わせて
>L＝R
>になってしまって矛盾するだろうが。だから、L は閉集合では無いんだよバカタレ。
それなら、Qも閉集合ではないだろ
ならば、「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）
に適用して良いのか？ >>541
Qも閉集合じゃありません
しかし可算集合なので
可算個の疎な閉集合で覆えるのですよ >>530
＞おれは、あほバカで
お前はあほバカではない
救い様の無いあほバカだ
何故なら自分がどんだけあほバカかの自覚が無いし、人の助言に聞く耳持たない頑固者だからだ >>541
＞それなら、Qも閉集合ではないだろ
お前はどこまでバカなんだ？今まで一体なにを読んでいたのだ？
もし Q 自体が閉集合なら、F_1＝Q, F_i＝φ (i≧2) と置けば終わる話。
しかし、実際には、Q 自体は閉集合ではない。そこはその通り。
ではどうするか？
F_i の作り方を工夫すればいいのである。具体的には、Q の元を適当に番号づけて、
各 q∈Q に対して F_i＝{q} と置けばいいのである。Q は可算無限集合なので、
このように設定した F_i の個数も可算無限個に収まり、しかも
Q＝∪_i F_i, 各 F_i は内点を持たない閉集合
と表せるのだから、例の定理が適用できる形になっているだろうが。
L の場合にこの芸当が不可能なのは、
・ L 自体は閉集合ではないので、F_1＝L, F_i＝φ (i≧2) という置き方は不可能。
・ F_i の作り方を工夫して、F_i＝{q} (q∈L) と置くことにすると、今度は L が
非可算無限集合であるがゆえに、F_i が可算無限個に収まらず、この置き方でも失敗する。
という理由があるからだよ。
結局お前は、F_i を「どのように上手く取ればいいのか」を全然 意識してないから、
そういうトンチンカンな間違いに陥るんだよ。 ＞例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾
見え透いた自演はやめろ
見てるこっちが恥ずかしくなる >>542 >>544
どちらのレスでも良いけど・・
話を、区間[0,1]に取って
Q' = ｛q | 0<q<1 q∈Q} なる集合Q'を考える
Q' は閉集合ではないですか？
もし、Q' が開集合なら、その補集合 [0,1]－Q' （これは区間[0,1]内の無理数の集合と0と1から成る）が閉集合になりますから
どうでしょうか >>546
そのレスが何を意図しているのか全く意味不明。
R の通常の位相をθと書く。A⊂R に対して、θから定まるA上の相対位相を θ|_A と書く。
・・・という記法のもとで回答すると、
・ その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。
・ その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。
・ 例の定理は、位相空間を (R, θ) に固定して記述している定理なので、
( [0,1], θ|_{[0,1]} ) を持ち出したところで意味が無い。
・ そもそも、そのレスが何を意図しているのか全く意味不明。
・ スレ主はわざと無視しているのだろうが、そもそもの話として、>>540 で書いたことにより、
スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが既に確定している。 >>547
Q全体では、開集合だと言われましたね？
部分集合である区間(0,1)の有理数が、なぜ開集合にも閉集合にもなっていないのですか？
距離の取り方は、同じでしょ？ >>548
＞Q全体では、開集合だと言われましたね？
意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。
ついでなので、先に回答しておく。
＞部分集合である区間(0,1)の有理数が、なぜ開集合にも閉集合にもなっていないのですか？
・ その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。
・ その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。
・ その Q' は、位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。
なぜ「ならない」のかを、( (0,1), θ|_{(0,1)} ) の場合に説明する。
[続く] [続き]
Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合だとすると、(R,θ)の開集合 V が存在して、
Q'＝(0,1)∩V
が成り立つことになる(相対位相の定義)。(0,1)∩V は (R,θ) における開集合なので、
Q'＝(0,1)∩V の左辺である Q' も、(R,θ) における開集合ということになるが、これは明らかに矛盾する。
次に、Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において閉集合だとすると、(R,θ)の閉集合 K が存在して、
Q'＝(0,1)∩K
が成り立つことになる(相対位相の定義)。ここで、x＝1/√2 と置き、x_n → x を満たす
(0,1) 内の有理数列 x_n を何でもいいから1つ取る。このとき、x_n∈Q' であるから、
x_n∈(0,1)∩K すなわち x_n∈K となる。x_n→x だったから、K が(R,θ)の閉集合だったことから
x∈K となる。また、明らかに x∈(0,1) である。よって、x∈(0,1)∩K となるので、
x∈Q' となる。しかし、x は無理数なので矛盾する。
以上より、Q' は位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。 ＞意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
＞どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。
スレ主はリアル呆け老人 >>549-550
>以上より、Q' は位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。
了解。下記（yahoo）だね
R中に稠密に分散されている場合は、「開集合にも閉集合にもならない」ってことだね
あなたは力があるね～（＾＾
連続濃度まで許すということだったが（>>522）、
結局は、稠密にR中に分散されている場合は、
「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆」は、”孤立する１点から成る集合”（>>490）の被覆に戻るわけだ！（＾＾
ところで・・・・
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13160534703
(抜粋)
delyunoaloveさん2016/6/1600:35:49
有理数空間Ｑは開かつ閉集合ですか？
ベストアンサーに選ばれた回答
kousaku2038さん 2016/6/1612:21:16
全体が実数Rなら、有理数Qは開でも閉でもない。
普通に考えて開集合でないことは、qを有理数とし、それを含む開区間(q-ε,q+ε)を考えると、この区間には無理数が存在するので、Qに含まれることはない。
閉集合でないことは、√2に収束する有理数列が取れることから、すぐにわかる。
(引用終り)
つづく >>552 つづき
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
・・・「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」・・・”
で、「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」とは、なんだろうかと考えていた・・、連続濃度まで許すということにもからんで
１）「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」で、Rで稠密で無ければ・・、「f はある区間(a, b) 上でリプシッツ連続」は自明
２）「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」で、Rで稠密であれば・・、「f はある区間(a, b) 上でリプシッツ連続」は取れない（このケースは不存在）
だから、定理1.7 (422 に書いた定理)の証明では、１）の場合の証明は、全く不要で
２）の場合を厚く書いて、何か矛盾が起きることをしっかり証明すべきだったのでは？
（例えば、そういう函数が存在しないか、あるいは、「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」での被覆ができないとか）
重ねて言えば、２）の場合について、「定理1.7に抵触するので、不成立」では、循環論法ではないだろうか？
（例えば、証明中で、無造作に区間（y,x）を取ったり、いろんな計算をしているが、R－Bf が”Rで稠密”という条件下では、許されない計算をしていないかどうか・・？）
つづく >>553 つづき
さて、従来の定理との比較で
１）不連続点が、dense（稠密）の場合、http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>526）にあるように、
”g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition,”とある
２）無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり（>>506）
http://www.mathcounterexamples.net/a-continuous-function-not-differentiable-at-the-rationals-differentiable-elsewhere/
３）で、定理1.7 は、上記をリプシッツ連続（あるいはディニ微分）に、拡張した定理と見ることが出来る。
つまり、Bfが、リプシッツ連続（あるいはディニ微分可）で、
補集合たるR－Bfが稠密の場合、そういう函数が存在しないか、あるいは、（ １）のように）「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」での被覆ができないとなるのだろうか？
なお、以前から言っているが、なぜ３）についての研究が、いままで無かったのか？
そのナゾもまだ解けない
（不成立？）
まあ、年末なので、ゆっくりやりましょう
１）の証明と対比して読まないといけないと思うので
（そうしないと、証明にギャップがあっても気付かないだろうね、おれの頭じゃ（＾＾ ）
以上 >>546
> Q' は閉集合ではないですか？
> もし、Q' が開集合なら、その補集合 [0,1]－Q' （これは区間[0,1]内の無理数の集合と0と1から成る）が閉集合になりますから
もしかしたら開でなければ閉と誤解してるかもしれませんが
閉でなくても開とは限りませんし開でなくても閉とは言えませんよ
(0,1]のような単純な例Qのような稠密な例いろいろです >>552
＞結局は、稠密にR中に分散されている場合は、
＞「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆」は、”孤立する１点から成る集合”（>>490）の被覆に戻るわけだ！（＾＾
ぜんぜん戻らない。
例えば、全ての有理数に適当に番号をつけて q_1, q_2, q_3, … と表しておく。また、カントール集合を C としておく。
F_i：＝ C ＋ q_i (i≧1) と置く。ただし、C ＋ q_i は、C を q_i だけ平行移動した集合を表すものとする。
このとき、各 F_i は非可算無限集合である。また、各 F_i は内点を持たない閉集合である。ここで、
A＝∪_i F_i と置くと、この A は R の中に稠密に分布することが分かる。さらに、
「 A ⊂ ∪_i F_i , 各 F_i は内点を持たない閉集合 」
という状況が(明らかに)成り立っている。従って、
(1)「 A は R の中に稠密に分布し、なおかつ、A は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる」
という状況が成り立っている。すると、スレ主の主張によれば、この A は「孤立する１点から成る集合」の可算無限和で
被覆できることになるが、実際にはそれは不可能である。なぜなら、もしそれが可能だったとすると、
別の可算無限個の F ' _i が存在して、
・ 各 F ' _i は一元集合である
・ A ⊂ ∪_i F ' _i が成り立つ
という状況が成り立つことになるが、∪_i F ' _i は高々可算無限集合であり、一方で A は非可算無限集合であるから、
A ⊂ ∪_i F ' _i という包含は矛盾している。よって、この A の場合は、(1)が成り立っているにも関わらず、
A を「孤立する１点から成る集合」の可算無限和で被覆することは不可能である。 >>553
そもそも濃度とは関係ない定義なのですよ
ただし可算なら条件の成立は自明というだけのことです
あと
楽に証明できればそれに越したことはないので
自明の場合をことさらに分別する必要はありません ＞もしかしたら開でなければ閉と誤解してるかもしれませんが
それがわかってないってもう壊滅的レベルだな おいスレ主、きちんとレスをしろよ
他人の発言をでっちあげたのかオマエ？
549 １３２人目の素数さん sage 2017/12/25(月) 21:34:18.06 ID:U1NU7yFp
>>548
＞Q全体では、開集合だと言われましたね？
意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。 >>555
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
レスありがとう
開でなければ閉と誤解してましたね（＾＾
これ>>552ですね >>557
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
レスありがとう
ちょっと質問して良いですか？
（>>303より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
１．ここで場合分けをする
１）補集合R－Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、リプシッツ連続である
２）補集合R－Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
３）上記場合分けにおいて１）２）とも、ほぼ自明。１）２）とも、証明の必要がない。だから、定理1.7は、証明の必要がない自明なことしか言っていない
つづく >>561 つづき
２．で、「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）
（その証明（>>513）より）
「定理1.7 のBf について,
略
(1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である.
略
f は(a, b) の上で連続である (2)
略
(2) より,f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」
この証明中で、そもそも、有理数の点 x ∈ Qは、Rで稠密であるから、”f は(a, b) の上で連続である”の不成立は、当然（リプシッツ連続も含め）（∵稠密な有理点で不連続ゆえ）
なので、定理1.7による必要もなく、もともとこれ（”連続である(a, b)が取れない”）は自明。
そして、この背理法による論法もおかしい。
例えば、>>554に示したように、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり”（>>506）で、
この背理法の論法が正しいならば、「微分可能なある区間(a, b)が取れないから（取れるとすると矛盾するから）、このような関数は存在しない」という結論が、導かれてしまう（本来有理点は稠密であるから、この背理法の論法自身がおかしい）
３．で、要は、定理1.7と系1.8とにおいて、”dense（稠密）”という意識が、あまりに希薄になってしまっているように思うのですが・・？
如何ですかね？
以上 もともと取れないからこそ背理法が効くわけです
可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続→矛盾→可算集合の補集合で微分可能ではない
という流れですよ
ある開区間で連続以降の論証に持ち込むのに
可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続
の論証が最も重要です >>562
> 例えば、>>554に示したように、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり”（>>506）で、
> この背理法の論法が正しいならば、「微分可能なある区間(a, b)が取れないから（取れるとすると矛盾するから）、このような関数は存在しない」という結論が、導かれてしまう（本来有理点は稠密であるから、この背理法の論法自身がおかしい）
その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されるということしか言えませんよ 許されるは変でした
許されないとは言えない
ですか >>564
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
早速のレスありがとう（＾＾
>可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続
ここを詳しく書くと
A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
というわけですね
だが、命題「B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であり（定理1.7 ではリプシッツ不連続だが）かつ稠密であっても））ある開区間で連続」で、
キモは、”例え補集合が不連続であり（定理1.7 ではリプシッツ不連続）かつ稠密であっても”ってところが、証明できちんと言えているかどうかですよね
そういう目で、証明を見て行かないと、すら～と流してしまうと、ギャップがあっても見えない
「ぷふ」さんの目で見て、そこはどうなんですかね？ >>565-566
>その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されないとは言えないということしか言えませんよ
いや、もちろん連続関数です。
”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成可能”
↓
では、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみリプシッツ不連続（あるいはディニ微分不可）の函数は構成可能”か？
例の定理1.7は、これを”構成不能”と証明したということですか？
（なんで、だれもいままで気づかなかった？ 本当に”構成不能”が成り立っている？ 新定理？ どう思いますか？ ） >>568
（なんで、だれもいままで気づかなかった？ 本当に”構成不能”が成り立っている？ 新定理？ どう思いますか？ ）
おーい！！
スレ主が迷走してるぞ。誰か黄色い救急車を呼んでやってくれ！！ >>567
>>可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続
>
>ここを詳しく書くと
>A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
Qで不連続は不要です
（ある条件）とは？ >>568
>”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成可能”
> ↓
>では、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみリプシッツ不連続（あるいはディニ微分不可）の函数は構成可能”か？
>
>例の定理1.7は、これを”構成不能”と証明したということですか？
無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます
ところでリプシッツ不連続とは？ スレ主は知恵遅れ
但し悪知恵だけは人並み以上に発達している >>571
黄金の救急車ですか？（＾＾
ご苦労さまです（＾＾
>Qで不連続は不要です
同意です
なお、”不連続”は、もともとは、>>562の「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）に由来しますよ
>（ある条件）とは？
系1.8の証明のキーになる定理で
>>561の定理1.7 (422 に書いた定理)より
”f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”
が条件です。
なお、定理1.7の結論命題は、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」（>>561）です。
（なお、この定理1.7 については、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです） >>572
>無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます
ええ、その通りです。なお>>526 の
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
に、そのような記述があることは、過去なんども紹介しています
>ところでリプシッツ不連続とは？
上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
に対する補集合 R－Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }が、”リプシッツ連続”であること（これの補集合）に対する呼称です >>574
ならば
>ここを詳しく書くと
>A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
ではなくて
A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続
ですよ
その条件はAによって満たされています >>575
>上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
>
>に対する補集合 R－Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました
つまり
xにおいて``リプシッツ不連続''とは
limsup[y→x] |(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞
ということですか
ならば
無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ >>576
>A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続
えーと、可算集合を本来の目的である有理数Qに取ります。有理数Qの稠密性から、ある開区間（a,b）中に必ず、有理数が存在します。
いま、仮定として、有理数で不連続な関数を考えます。ですので、ある開区間（a,b）で連続は言えません
が、無理数のいたるところで、微分可能な関数は可能です
（しかし、無理数の全てで微分可能な関数は、できない。これらは、>>575のURLの通りです。） >>577
>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
なるほど
それは興味深いですね
出典がありますか？ あれば読んでみたい
おっと、このスレには書かないで下さい。
このスレでアスキー文字制限で書かれた数学の証明は、
読みにくくてしかたないのでね（＾＾ >>579 訂正
おっと、このスレには書かないで下さい。
↓
おっと、このスレに直に証明は書かないで下さい。 >>579-580 補足
いまの定理の証明も、無理を言って、PDFにしてもらって、ダウンロードで読めるようにしてもらいました（下記URL）
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>513） これは俺の方から書くと横レスになってしまうが、一応レスしておく。
>>561
＞１．ここで場合分けをする
＞１）補集合R－Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、リプシッツ連続である
よく読むと微妙に間違っている。「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」
ということは導けないので、これでは例の定理の結論が導けていない。
ただし、「 Bfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件からは、
「 f は(a,b)内の あ る 小 さ な 部 分 区 間 の 上 で リプシッツ連続である」
ということが、例の定理の「開区間版」を考えることにより成り立つので、結局は例の定理の結論が導けることには なる。
ただし、この論法では「例の定理の開区間版」を経由しなければならないので、実質的には例の定理を丸ごと最初から
証明し直すのと同じことになってしまう。すなわち、(1)の手順では、何も証明が始まってないことになる。つまり、
「(1)の場合は自明であり、何も証明する必要がない」
というスレ主の発言は大間違いである。
[続く] [続き]
＞２）補集合R－Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
＞３）上記場合分けにおいて１）２）とも、ほぼ自明。１）２）とも、証明の必要がない。だから、定理1.7は、証明の必要がない自明なことしか言っていない
ここは全てが間違っていて、理屈が滅茶苦茶である。
スレ主の(2),(3)の理屈を成り立たせるためには、例の定理の結論が
「どこにもBfを満たす区間(a, b)は取れない」
という結論になっていなければならない。もしこうなっていたら、(2)の場合は、
スレ主の言うように自明であり、証明の必要が無い。しかし、実際には、例の定理の結論は
「 f は ある(a, b)の上でリプシッツ連続である」
という結論なのだから、「(2)の場合は証明の必要が無い」などというスレ主の理屈は全く成り立っておらず、
何かを致命的に勘違いしている。もしかしたら、スレ主は次のような勘違いをしているのかもしれない。
「 (2)の場合、例の定理と組み合わせると、"そのような f は存在しない" ことになるので、
存在しない f を考えるのは無意味なことであり、ゆえに、この(2)は証明の必要がない。」
これの何が勘違いなのかは明白である。(2)の議論はそもそも、例の定理を「証明する」という前提での議論であるのに、
そこで「例の定理と組み合わせると」などと言って例の定理を適用してしまうなら、
「例の定理を証明するという前提の議論で、例の定理を適用する」
という循環論法に陥っていることになり、これでは何がしたいのか意味不明なのだ。 結局、ここでのスレ主の勘違いを簡潔に述べると、次のようになる。
(1)での勘違い：
「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは、例の定理の結論は導けず、
結局は例の定理を最初から丸ごと証明しなければならないような事態に陥るのに、
「(1)の場合は自明であり、何も証明する必要がない」 などと勘違いした。
(2)での勘違い：
スレ主は例の定理の結論が何なのかを全く把握せずに、勝手にスレ主自身の手で
場合分けした挙句に、その場合分けによって導かれる結論を
「もともとの例の定理の結論である」
と勝手に勘違いしてしまい、
「ゆえに、この場合は証明の必要がない」
などとトンチンカンな間違いに陥った。もしくは、無意識のうちに
例の定理そのものを適用してしまうという循環論法に陥ったがゆえに、
「この場合は証明の必要がない」
などとトンチンカンな間違いに陥った。 >>578
有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
どちらも正しいということです
ところで
「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから >>579
ここで話題の定理の証明を読んでみてください >>585
>>585
>有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
>無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
>どちらも正しいということです
へー、どういうこと？
>「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
>その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
>成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから
同意です
上記のURLにあります >>586
>ここで話題の定理の証明を読んでみてください
それは、お断りしています（＾＾
でも、斜め読みはしました（＾＾ >>582
>よく読むと微妙に間違っている。「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」という条件だけでは
>「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」
>ということは導けないので、これでは例の定理の結論が導けていない
ああ、そうなのかい
それは、失礼した（＾＾
だが、系1.8の証明で「f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である」だった
だから、直に、「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」から、「特に, f は(a, b) の上で連続である」が言えるから、系1.8の証明にはそれで足りているだろ？ >>583
系1.8の証明で、
「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？
補集合R－Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R－Bfの元が取れないのか？ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓
▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ ▓ 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) >>588
こう書くべきでしたか？
件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ >>587
>>有理数で不連続な関数→どの開区間でも連続ではない
>>無理数で微分可能な関数→ある開区間で連続
>>どちらも正しいということです
>
>へー、どういうこと？
どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです
>>「無理数の至る所で微分可能な関数」はその前に書いている条件「有理数で不連続」も満たすのでしょうね？そしてその関数の微分可能な点の補集合は可算ではないということですね？
>>その関数に関しては「ある条件」が成り立たないでしょうね
>>成り立つとすれば矛盾を引き起こしますから
>
>同意です
>上記のURLにあります
つまりその関数は件の定理の扱っている範疇外ということですね >>589
＞だが、系1.8の証明で「f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である」だった
＞だから、直に、「どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる」から、「特に, f は(a, b) の上で連続である」が言えるから、系1.8の証明にはそれで足りているだろ？
論理が滅茶苦茶。スレ主が>>561で主張していることは、あくまでも
「例の定理は証明の必要がない自明な定理だ」
というものである。俺はその主張に対して反論しているのである。
もし系1.8と絡めて「証明の必要がない自明な定理だ」という主張をしたいのであれば、
――――――――――――――――――――――――――
弱い定理：
f：R→R は、R－B_f が第一類集合であるとする。
このとき、f はある開区間の上で連続である。
――――――――――――――――――――――――――
という弱い定理を考えて、
「この "弱い定理" に関してなら、これは証明の必要がない自明な定理だ」
と主張するのが正しい手順である。
そして、スレ主の>>561の発言を "弱い定理" に差し替えて検証し直してみると、
スレ主の(1),(2),(3)のうち、(1)はスレ主の目論見通り、正しいことを言っていることになる。
しかし、(2),(3)が依然として滅茶苦茶であるから、結局、"弱い定理" に差し替えても
もスレ主の>>561の主張は間違っていることになる。 >>590
＞系1.8の証明で、
＞「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？
＞
＞補集合R－Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R－Bfの元が取れないのか？
取れるよ。R－Bf がR中で稠密である場合は、(a, b)の中に、R－Bf の元が取れるよ。
で？その論法を使うことによって、一体どうやって
「 f は ある(a, b)の上でリプシッツ連続である」
という結論を導くのだね？>>561におけるスレ主の最終的な目標は、
「 (2)の場合は自明なので証明の必要がない 」
という主張に持っていくことだろ？より丁寧に書けば、ここでのスレ主の最終的な目標は、
「 (2)の場合は、例の定理の結論が自明に従うので、このケースは証明の必要がない 」
という主張に持っていくことだろ？ そのためには、(2)を使うことで
「 f は ある(a, b)の上でリプシッツ連続である」
という結論が自明に導けなくてはならないだろ？
それで、一体どうやって、(2)からこの結論を自明に導くのだね？
スレ主は(2)から一体何を「結論」しようとしているのだね？
スレ主は何かを盛大に勘違いしまくっているぞ？ >>590
＞系1.8の証明で、
＞「Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.」という流れでしょ？
＞
＞補集合R－Bfが、R中で稠密である場合は、同じ論法で、(a, b)の中に、補集合R－Bfの元が取れないのか？
もしかして、スレ主はこういうことが言いたいのか？
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(2)：稠密の場合は、どんな開区間(a,b)の中にも R－B_f の元が紛れ込んでしまうが、一方で例の定理によれば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続なので矛盾する。よって、このケースはそもそも起こらないので考えなくてよい。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
もし、このような趣旨の発言をしているつもりならば、
それは>>583の後半で指摘したことと全く同じことであり、これでは何も言えてないぞ？
スレ主は、例の定理が自明であることを実証しようとしているのに、
その最中に例の定理そのものを適用してしまったら循環論法だぞ？
別の言い方をすると、上記の２行で言っていることは
「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」
というアホな発言なんだぞ？
スレ主は それで何を言ったつもりになってるんだ？ >>592
>こう書くべきでしたか？
いいえ
>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
それは証明を読まずとも分る
問題は、定理1.7 (422 に書いた定理)の数学的な意味を見極めて、それが数学的に意味があると分った場合にのみ証明を読むと。いま、途中です。そう焦らないで（＾＾
なお、繰返すが、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです
ところで、貴方は博識みたいだから、聞くが
定理1.7 (422 に書いた定理)か、あるいは類似の定理でも良いが、どこか教科書か論文にありませんかね？
あれば、それを見てみたいのだが・・ >>593
>どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです
どこかに出典がありそうですね。
よければ、出典を教えて下さい
（ε近傍の話かな？）
>つまりその関数は件の定理の扱っている範疇外ということですね
そうでしょうね >>596
>スレ主は それで何を言ったつもりになってるんだ？
単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
１）補集合R－Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
２）補集合R－Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
それだけ >>598
>>>593
>>どちらも正しいので無理数で微分可能有理数で不連続な関数が存在しないと結論できるわけです
>どこかに出典がありそうですね。
？ ＞というアホな発言なんだぞ？
アホなスレ主の発言は当然アホです ＞「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」
それにしても、如何にもスレ主らしい発言で微笑ましいな >>597
>>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
>
>それは証明を読まずとも分る
読まずに分かる理由がありません
あなたは
>>579
>>無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
>
>なるほど
>それは興味深いですね
>
>出典がありますか？ あれば読んでみたい
と書いたではありませんか >>597
＞なお、繰返すが、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです
繰り返すが、その>>561は何の批判にもなってないと既に指摘している。
お前がそこで言っていることは循環論法である。特に(2)が壊滅的である。
お前が>>561で言っていることは
「例の定理を適用すれば、例の定理は自明である」
というアホな発言である。これでは何の批判にもなってない。
>>599
＞単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
＞１）補集合R－Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
＞２）補集合R－Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
＞それだけ
で？そのあとの最終的な結論は？
「例の定理(もしくは "弱い定理")は自明な定理であって、証明の必要がない」
ということが言いたいんだろ？それがお前の、このレスにおける最終的な結論だろ？
だが、(2)の場合はどうやって「自明だ」という状況まで持っていくつもりなんだ？
持っていけないだろ？何度も指摘したが、お前の勘違いだろ？
勘違いした部分は「勘違いでした」と公言しろよ。
「 >>561 は何の批判にもなってませんでした」
と公言しろよ。 つまりスレ主は「自明」という言葉の用例を説明したかったと、そういう訳ですな？ >>603
>>>件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ
>>それは証明を読まずとも分る
>読まずに分かる理由がありません
定理が正しいとは言っていない。
どういう結論を導いているのかは、命題の部分を読めば分るよ >>604
>で？そのあとの最終的な結論は？
単純に場合分けをしただけだよ（>>561を 微修正）
１）補集合R－Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、(a, b)で連続である
２）補集合R－Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
それだけ >>607
（補足）
１）の場合
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ が、区間(a, b)で成り立っているとする
区間(a, b)での、｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜の最大値を、Mとする
｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜<= Mと書ける
区間(a, b)で、リプシッツ連続である
以上 >>606
興味深い結果であると思っているのに証明は読まないのですね >>608 訂正
区間(a, b)での、｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜の最大値を、Mとする
｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜<= Mと書ける
↓
区間(a, b)での、lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜の最大値を、Mとする
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜<= Mと書ける
かな（＾＾ >>609
興味深い結果、初出の定理は、学会（あるいはプロの集会（セミプロでも良いが））で発表すべきですよ >>607
「場合分けしただけ」というのが最終的な結論なのであれば、
「例の定理(もしくは "弱い定理")は自明な定理であって、証明の必要がない」
という当初の主張は撤回するということだな？
だったらそれでいい。場合分けすること自体には別に間違いもクソもないからな。 >>608,>>610
＞１）の場合
＞lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ が、区間(a, b)で成り立っているとする
＞区間(a, b)での、｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜の最大値を、Mとする
＞｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜<= Mと書ける
＞区間(a, b)で、リプシッツ連続である
息をするように間違えるゴミクズ。もしそのような M が取れるなら、
確かに f は(a,b)上でリプシッツ連続となるが、既に述べたように、
「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a,b)が存在する」
という条件からは、
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」
という条件は導けないので、お前のレスは自動的に間違っており、
そのような M は実際には必ずしも取れないことになる。以下で具体例を挙げる。
f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2} * sin(1/x) (x≠0)
と置くと、この f：R → R は各点で微分可能なので、特に B_f＝R が成り立つ。特に
(－1, 1) ⊂ B_f
が成り立つ。しかし、Af(x) ≦ M (x∈(－1, 1)) が成り立つような定数 M は
取れないことがすぐに分かる。さらに、
「 f は(－1, 1)上の全体でリプシッツ連続である」
という条件も成り立たないことが確認できる。本当にゴミクズだなお前は。 >>611
＞興味深い結果、初出の定理は、学会（あるいはプロの集会（セミプロでも良いが））で発表すべきですよ
あほくさ。未だにこのような詭弁を繰り返している。
例の定理の真偽をプロに委ねるつもりなら、お前自身が
「この定理には反例がある」
「この定理は別の定理からすぐに従う」
「この定理は自明なことしか言ってない」
などと真偽について口出しし続けているのはダブルスタンダードだろ。
真偽はプロに委ねるんじゃなかったのか？
真偽をプロに委ねるつもりなら、お前自身はもう 黙 れ よ ゴミクズ。 スレ主をゴミ屑扱いしたら
ゴミ屑に失礼だと思います 新スレ立てた
このスレはもうすぐ512KBオーバーになるので、そのt後に行きましょう（＾＾
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/ >>614
場合分けは、普通は、証明のためだよ
自得するのを、待ったんだが・・（＾＾
貴方の証明を斜め読みしたが、稠密で無い場合、つまり、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる前提でしか、
証明していないように見えるが、どう？ >>615
ふーん、貴方は力があるね（＾＾
だが、それ自分で”反例”を見つけたことになっていないか？
あなたは、「f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2} * sin(1/x) (x≠0)」（これを”反例関数”と名付ける）が、(－1, 1) ⊂ B_fだが、”「 f は(－1, 1)上の全体でリプシッツ連続である」という条件も成り立たない”という
おそらく、x＝0の近傍でだね
だが、定理の前提の関数fは自由度が高いので（不連続も可だし）、あなたの定理でいう区間(a, b)に、”反例関数”のx＝0の近傍を切り取って来て、貼り付ければ、区間(a, b)はリプシッツ連続でなくなるよ。（この貼付操作は、全ての区間に適用できるよ） 感動する数学って本持ってる人このスレでID付きでうpしてくれ
今日中なら大丈夫
【年末年始暇な奴来い】安価で指定されたものを全力で探してうｐするスレ
http://hebi.5ch.net/test/read.cgi/news4vip/1514548120/ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
