現代数学の系譜11 ガロア理論を読む29 [無断転載禁止]©2ch.net
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さて
（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>2 再録
１．時枝問題（「箱入り無数目」数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」
２．続けて時枝はいう
私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
～は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/～の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd(実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字 ３．つづき
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列S^1,S^2，・・・，S^lOOを成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
第1列～第(k-1) 列，第(k+1)列～第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， S^1～S^(k-l),S^(k+l)～SlOOの決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・.いま
D >= d(S^k)
を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってS^k(d)が決められるのであった.
おさらいすると，仮定のもと， s^k(D+1)，s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・を見て代表r＝r(s~k) が取り出せるので
列r のD番目の実数r(D)を見て， 「第k列のD番目の箱に入った実数はS^k(D)＝r(D)と賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる.
確率1-ε で勝てることも明らかであろう.
(補足)
S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・：ここで^kは上付き添え字、(D+l)などは下付添え字 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>614 再録
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
さらに、前スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」
（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>176 より 再録
数学セミナー201511月号P37 時枝記事より
「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」 >>4
補足
（引用開始）
「(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
・・・
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
（引用終了）
これは、(1)無限を直接扱う を否定している。だから、残る選択肢は、(2)有限の極限として間接に扱う だ
ところが、上記で見たように、(2)有限の極限として間接に扱う と、無限数列のしっぽによる同値類分類は、相性がよくない
果たして、(2)有限の極限として間接に扱う で、無限数列のしっぽによる同値類分類が完遂できるのか？ 大きな問題だろう >>5
前スレより
651 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/03(土) 18:40:32.23 ID:6Rgz8i9T [39/39]
時枝記事の問題点>>114-115 を、まとめておく
１．そもそも、可算無限の数列のしっぽなんて、「同値から推移律確認！ はいおわり」 それですむ話じゃないだろう
２．コーシー列はヒルベルト空間内だが、時枝記事のR^Nはヒルベルト空間外。ヒルベルト空間外の数列は扱いが難しい。ま、そこらがトリックのネタだろう
３．”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない（絵に描いた餅だ。数列の最初から見て行っては終わらない）
４．決定番号があやしい。特に、決定番号の確率分布がすそが重い（超ヘビー）確率分布になるから、99/100が言えない（∵大数の法則も中心極限定理も不成立だから）
５．さらに、確率分布の変数として、決定番号を見たときに、定義域は[1, ∞)となる。だから、∞まで考える必要がある。この点からも、99/100は簡単に言えない
６．０～９の数を箱に入れる極簡単なミニモデルでも、可算無限数列のしっぽは、現代数学では扱えない
（このミニモデルでは、実数の無限小数展開と平行して論じられるので、便利なのだが）
まして、任意の実数が箱に入る場合（つまり１つの箱に連続無限大の自由度があるモデル）においておや （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
674 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 23:02:43.81 ID:MokdApDK [41/44]
>>654
>無限級数に対してよくある誤解
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
(抜粋)
新たな客は1人どころか、複数でも、（可算）無限でもよい。例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。
さらに次のようなこともできる。それぞれに無限の乗客が乗った無限台の車がホテルに乗りつけたとする。この場合、まず奇数号室を上のようにして空け、1台目の乗客を 3n（n = 1, 2, 3, …）号室に、2台目の乗客を 5n（n = 1, 2, 3, …）号室に、…というふうに入れる。i 台目の乗客は pn（ここで p は i + 1 番目の素数）に入れればよい。
現実にある（2室以上ある）有限ホテルでは、当然奇数号室の数は全室数より少ないが、無限ホテルではそうではない。数学的には、全室からなる集合の基数（有限集合における要素の個数に当たる）は、その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい。これは無限集合の特徴である。この可算無限集合の基数は アレフ 0 と表される。
（引用おわり） （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
675 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 23:11:52.43 ID:MokdApDK [42/44]
>>654
>無限級数に対してよくある誤解
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
デデキント無限
デデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。それはつまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。
選択公理との関係
整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。
ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
507 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/10(土) 14:08:29.04 ID:q7Skbg74 [7/14]
>>506 つづき
上記のように解析においては、有限と無限はあまり混乱しないが
代数においては、有限と無限の言葉使いがよく混乱する
例えば、有限単純群の理論がある https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4 単純群 - Wikipedia
有限単純群の中に、いくつかの無限系列の族がある。簡単な例では、Zp ? 素数位数の巡回群。素数pは考えている範囲では有限だが、取り得るp値の範囲としては無限だ
有限と無限の言葉使いの混乱の例はさておいて
いま確率が問題になっているのだから、決定番号d(s)の値域dom(d(s))がどうなっていて、dom(d(s))の範囲がどうかとか、d(s)の平均値や分散、標準偏差・・・
そういう確率分布を特徴づける値がどうかと
その場合には、dom(d(s))の範囲は無限大まで考えるべし、正規分布同様にだ 26より
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1416621784
量子系について - 量子系はなぜヒルベルト空間で記述されるのでしょう... - Yahoo!知恵袋: 2008/5/19
量子系はなぜヒルベルト空間で記述されるのでしょうか？
ヒルベルト空間は内積(ノルム)が定義され要素の列がコーシー列となる空間のことだと思いますがなぜこれらの性質が必要となるのですか？
ベストアンサーに選ばれた回答 phd_ninoさん 2008/5/20
なぜ、ヒルベルト空間が必要かはお答えできませんが、
少なくとも交換関係を導くためにはヒルベルト空間が必要です。
ノルムが定義されないと、交換関係が導かれません。
完備性が物理的になぜ必要かは、私ははっきりは知りませんが、
量子力学の固有値をヒルベルト空間内のベクトルとして扱うことと関連しているのではないでしょうか？ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/494
494 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/14(土) 20:31:56.00 ID:co7dEEx8 [36/45]
あまり引用されていないかも、ベイラー大学 Department of Philosophy、Bulletin of the Polish Academy of Sciences - Mathematics 61 (2013)
https://arxiv.org/abs/1208.3187
"On the Law of Large Numbers for Nonmeasurable Identically Distributed Random Variables"
著者
http://alexanderpruss.com/cv.html
(抜粋)
Curriculum Vitae
Alexander R. Pruss September, 2016 Department of Philosophy Baylor University
Publications in Mathematics and Related Fields
Peer-reviewed articles
“On the Law of Large Numbers for nonmeasurable identically distributed random variables”, Bulletin of the Polish Academy of Sciences - Mathematics 61 (2013) 161?168
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%A4%A7%E5%AD%A6
ベイラー大学（Baylor University）は、アメリカ合衆国テキサス州ウェイコにあるミッション系私立大学。
概要
キリスト教プロテスタントの一派である南部バプテスト派により設立された私立大学であり、キリスト教精神に基づいた教育を特色としている。米国で大いに利用されているUS News Ranking 2008年度で一般大学のランキングではtier2と見なされる75位にランクインしている。
日本の西南学院大学とは姉妹校の関係で、梅光学院大学大学院、法政大学とは交換留学制度を締結している。
スポーツではビッグ12カンファレンスに所属している。 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/505
505 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/15(日) 08:12:28.51 ID:3YFHDxHU [1/8]
>>494 補足
題名 "On the Law of Large Numbers for Nonmeasurable Identically Distributed Random Variables" google訳「測定不能な同一分布乱数の大数の法則について」
この題名に、”Random Variables”とあるから、この論文で時枝記事>>2-4を正当化することはできないと解せられるよ
つまり、上記論文は”Random Variables”が大前提
対して、時枝記事>>2-4によれば、ある箱について、他の箱を開けることで、1-εの確率で当てられるという(>>3)から、つまりはその箱の”Random”を否定しているので、上記論文の主旨と時枝>>2-3とは合わないだろう
実際、上記論文のAbstract 後半に
”We ask if anything more precise can be said about the limit points of Sn/n in the non-trivial case where E_[X1] < E-[X1], and obtain several negative answers.
For instance, the set of points of where Sn/n converges is maximally nonmeasurable: it has inner measure zero and outer measure one.”
とある
google訳は下記
”E_ [X1] <E- [X1]の非自明な場合にSn / nの限界点についてより正確なことが言えるかどうかを尋ね、いくつかの否定的な回答を得る。
例えば、Sn / nが収束する点の集合は、最大で測定不能であり、内部測度ゼロと外部測度1を有する。”
「例えば、Sn / nが収束する点の集合は、最大で測定不能であり、内部測度ゼロと外部測度1を有する」とあるでしょ
それ、時枝>>2-3のケースが相当するんじゃないか（そもそもSn / nは収束しない場合も、時枝>>2-3は含んでいるかも知れない・・） 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/509
509 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/15(日) 09:32:54.93 ID:3YFHDxHU [5/8]
>>505
>対して、時枝記事>>2-4によれば、ある箱について、他の箱を開けることで、1-εの確率で当てられるという(>>3)から、つまりはその箱の”Random”を否定しているので、上記論文の主旨と時枝>>2-3とは合わないだろう
まあ、ここらは、時枝も既存の”Random”を扱う数理とのアンマッチは意識しているみたいで、それで時枝>>4の言い訳をしているのだが
数学的には、言い訳になってない>>328 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/328
328 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/07(土) 08:53:45.09 ID:3+lYjsf1 [11/55]
過去スレより引用（ID:f9oaWn8Aさんは、私が確率の専門家と呼ばせて貰っている人だ。「うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな」なんて、時枝と同じ大学教員クラスでないと言えないから）
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/538
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20
538 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:54:57.90 ID:f9oaWn8A
うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな
>>6
>確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
の認識が少しまずい．
任意有限部分族が独立とは
P(∀i=1,…n,X_i∈A_i)=Π[i=1,n]P(X_i∈A_i)ということだけど
これからP(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ
(引用終り) 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/326
326 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/07(土) 08:31:58.11 ID:3+lYjsf1 [9/55]
まず、みなさんが、裾の重い分布をよく理解することだ（下記）
裾の重い分布とは：裾が減衰する（例えば時間が経つと確率が小さくなるなど）場合で、軽い場合は早く減衰するが、重いと緩やかにしか減衰しない。その場合、突然大きなイベントが起きるようなことで、大数の法則や中心極限定理が不成立。期待値（平均値）や分散（標準偏差も）が存在しない分布だ
（下記参照）
http://www.wikiwand.com/ja/%E8%A3%BE%E3%81%AE%E9%87%8D%E3%81%84%E5%88%86%E5%B8%83
裾の重い分布 - Wikiwand:
(抜粋)
裾の重い分布あるいはヘヴィーテイルとは、確率分布の裾がガウス分布のように指数関数的には減衰せず[1]、それよりも緩やかに減衰する分布の総称。 また類似の用語に、ファットテイル、裾の厚い分布、ロングテール、劣指数的(subexponential)などがある。
http://www.orsj.or.jp/queue/
日本オペレーションズ・リサーチ学会 待ち行列研究部会:待ち行列チュートリアル講演資料
http://www.orsj.or.jp/queue/contents/14tu_masuyama.pdf
■ 第8回学生・初学者のための待ち行列チュートリアル
（2014年6月21日, 於東京工業大学）
「Big Queues －裾の重い分布と希少事象確率－」 増山 博之 (京都大学)
(抜粋)
分布族Lは, Hより数学的に良い性質を持っているが, まだ不十分
→ 劣指数分布族の導入
3.3 劣指数分布族
裾の加法性から数学的に美しい結果を生み出される!! 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/47
47 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/31(土) 08:34:32.94 ID:VK/jj9Lp [9/83]
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
PUZZLES ”Choice Games”Sergiu Hart November 4, 2013
48 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/31(土) 09:07:02.14 ID:VK/jj9Lp [10/83]
>>47
Sergiu Hart氏のPDFと時枝>>2-3との決定的違いは、
Sergiu Hart氏のGAME1,2とも、数列の並べ変えはしないってこと
時枝>>2-3は、数列の並べ変えをするので、その分複雑になる
（Sergiu Hart氏の場合、問題の数列には触れずに、問題の数列の箱とは別に問題の数列と同じような（同値な）数列を作ることにしている）
49 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/31(土) 09:26:11.33 ID:VK/jj9Lp [11/83]
時枝>>2-3は、数列の並べ変えをするので、数列の並べ変えの定義をはっきりさせておかないと、>>34のキマイラ数列みたいなことが起きる
もともと１列だった箱の列から、同じ長さ（可算無限）の100列を作るのだから、それは>>7のヒルベルトの無限ホテルのパラドックスそのもので、よほど上手く定義しないと、ヒルベルトの無限ホテルのパラドックスを成立させかつ時枝の決定番号の確率99/100に悪影響がないようにというのは、結構難しい決定だと思う 27
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/50
50 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/31(土)
（前スレより再録）
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480758460/330
330 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/17(土) 10:12:20.83 ID:sIK9xcpB [16/68]
キマイラ数列について補足しておくと、簡単な話で、自然数を辞書式順序集合と見るというだけのこと
＜参考＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合
(抜粋)
直積集合上の順序
ふたつの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類が考えられる。
・辞書式順序: ( a , b ) ≦ ( c , d ) ←→ a < c ∨ ( a = c １∧ b ≦ d )
(引用終り)
で、( a , b )で２列
a1,a2,a3,・・・,an,・・・
b1,b2,b3,・・・,bn,・・・
の辞書式順序を考える
a1<b1<a2<b2<a3<b3<・・・<an<bn<・・・
この順序は、まず1<2<3<・・・<n<・・・を考えて、同じ1の中なら次にa<bという順序を考えるということ
対して、a1,a2,a3,・・・,an,・・・、b1,b2,b3,・・・,bn,・・・
この順序は、まずa<bを考えて、同じaの中なら次に1<2<3<・・・<n<・・・という順序を考えるということ
直積( a , b )に対するこの二つの順序の入れ方は、現代数学では普通だ
ところで、人間の集合で、男女を考えて
男性は、a1,a2,a3,・・・,an,・・・という番号を付ける
女性は、b1,b2,b3,・・・,bn,・・・という番号を付ける
似たようなことは、現代数学でなくとも日常茶飯事だ
が、現代数学で考えると、無限集合の扱いで間違いをすることが少ない
奇数偶数で
奇数に、a1,a2,a3,・・・,an,・・・という番号を付ける
偶数に、b1,b2,b3,・・・,bn,・・・という番号を付ける
大学以上の数学では、添え字集合の自由度が高いから、これは可能だ
奇数の集合∪偶数の集合＝自然数の集合
a1,a2,a3,・・・,an,・・・、b1,b2,b3,・・・,bn,・・・を、キマイラ数列と商業宣伝風に名付けただけで、特別なことはしていない 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/39
39 返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/31(土) 06:12:20.46 ID:VK/jj9Lp [1/83]
こういう話だったよね（前スレより再録）
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480758460/334
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26
334 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/17(土) 11:39:43.39 ID:sIK9xcpB
>>183-184 にもどる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0
循環小数
ロバートソン(J.Robertson,1712-1776）の方法
循環小数
a + b ( 10^ n /(10^ n - 1) )
b ( 10^ n /(10^ n - 1) )が、循環節
aが、冒頭の循環していない有限小数部分
(引用終り)
時枝>>2の数列しっぽ同値類で、ロバートソンの方法類似の表現が考えられるね
代表r= r(s)= (s1，s2，s3 ，・・・，sn ，・・・)
ここで、同じ類の元を一つ取る
r'= r(s')= (s'1，s'2，s'3 ，・・・，s'm ，・・・)
しっぽの”・・・)”の部分は、同値類なので同じ（後述の差を取ると、なくなる部分）
いま、簡単に n<mとしよう
そうして、数列の差を考える
r'-r = (s'1-s1，s'2-s2，s'3-s3 ，・・・，s'n-sn ，・・・，s'm-sm ，0,0,0・・・)
しっぽの”0,0,0・・・)”の部分は、しっぽの同値類なので、差を取ると0になる。そこで、これをなくなると見なす
Δr= r'-r = (s'1-s1，s'2-s2，s'3-s3 ，・・・，s'n-sn ，・・・，s'm-sm ) として
Δrは、個別には、有限の長さの数列になり、ロバートソンの方法類似の表現で
r'= Δr +r
とできる
Δrは、個別には有限の数列の長さだが、確率を考えるときは、集合としては、数列の有限の数列の長さに上限はなく、無限大の極限を考える必要がある
それは>>188と同じだ
かつ、大きな違いは、
循環小数では、箱の数字は０～９の１０通りだが、時枝やSergiu Hart氏では、箱の中は任意の実数だから、card(R)つまり（非加算）無限大通りになる 27
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/42
42 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/31(土) 07:11:49.92
（前スレより再録）
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480758460/380
26
380 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/17(土)
再録
３．Aは、係数a1,a2,・・・,anの組み合わせで、場合の数を考える
４．n=3 の場合、A= a1/10+a2/10^2+a3/10^3
ここで、A= a1/10+a2/10^2と少数2位までの数になる場合は、a1、a2とも０～９のどれかで、10^2=100通り
一方、a3が１～９のどれかのとき、A= a1/10+a2/10^2+a3/10^3 少数3位の場合の数は、9*10^2=900通り。両者の計10^3=1000通り
確率は、少数2位までの数になる場合1/10、少数3位の場合9/10
５．これを一般化すると、少数n位のA= a1/10+a2/10^2+a3/10^3+・・・・+an/10^nで
少数n-1位までの数になる場合は10^(n-1)通り、少数n位までの数になる場合は9*10^(n-1)、両者の計10^n通り
(引用終り)
>>368の一様分布のアナロジーで言えば
宝くじの発行で、本来各番号１枚のところ、game2の決定番号では、複数枚発行するようなもの
１番10枚、2番10^2枚、3番10^3枚、・・・100番10^100枚、・・・1000番10^1000枚、・・・n番10^n枚
みてお分かりのように、100番ですでに100億（=10^10）どころじゃない、100億の10乗（=(10^10)^10）です
1000番では10^1000枚なので、100億の10乗（=10^100）のさらに10乗・・・
ところで、面白いのは、Hart氏のgame2では、先に問題の数列を固定してしまう。だから、同値類と決定番号も最初から決まっているんだ
そこで、問題の数列の同値類がどうなるかを考えてみると・・・
game2の同値類で、循環節以外の頭の側で、問題の数列と代表の数列との比較で、決定番号は、循環節以外の頭の側の長い方で決まる
ロバートソンの方法>>334で、aの部分で、長さが長い部分だが、ここの場合の数（組み合わせ）上記のように、宝くじと同じ
１番10通、2番10^2通、3番10^3通、・・・100番10^100通、・・・1000番10^1000通、・・・n番10^n通・・・
だから、小さい数は出ない
というか、ｎ→無限大を考えると、一様分布とは比べられないくらい、裾が重いことがわかる >>504 補足
>司法試験の勉強では40回は読みました。勉強というより精神修養ですね。一日に19時間半勉強しましたから。睡眠は3時間。食事は一回20分が3回で、入浴が30分。洗面器に水を張っておいて、眠くなると足を入れて眠気を吹き飛ばすんです。幻聴を経験したのもそのころでした。努力では誰にも負けません」
まあ、そのまままねしない方がいいだろう
＜理由＞
１．向き不向きがある。個性がある。合う合わないがある
２．しばしば、誇張が入る。自分の自慢と、ジャーナリズム特有のと。（ジャーナリズムは事件は大きい方が良いということ。客観的な測定（睡眠時間や休日の取り方など）がないので要注意）
３．「睡眠は3時間」は、医学的に疑問。特に、試験直前（近づくにつれ）は、肉体的コンディション作りも重要だし。睡眠で記憶の定着が良くなるというデータもある
４．”洗面器に水を張っておいて、眠くなると足を入れて眠気を吹き飛ばすんです”：バイオリズム（体内時計）を狂わせるのは問題だろう。起床と就寝時間を規則正しく
http://勉強方法.biz/nou/suimin-kioku.html
睡眠は記憶の整理・定着に不可欠！ | 勉強方法と受験の対策サイト:
http://www.sleep-medical.com/column/index.html
第8回
(続) 睡眠不足は遺伝子破壊のリスク？
第7回
夜勤は乳がん発症リスク高める？
第6回
6人中4人が睡眠障害に？！
第5回
美容にノンアルコール！？
第4回
概日リズム障害？
第3回
死亡原因は不眠症？
第２回
がん成長抑える物質発見＝免疫細胞が分泌―東大など
第１回
人間の体内時計は２５時間
日々多くの方から睡眠に関する悩みや疑問をたくさんいただきます。
そこで安眠ドクター大谷は、最新の話題や皆様からのご質問にお答え
しながら、安眠の大切さをこのコラムでお伝え出来ればと思います
http://www.sleep-medical.com/column/col01.html
日本睡眠医学協会:日本睡眠医学研究会:安眠ドクター：大谷憲: http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/507
> Ａ１
変数kも決定番号dも上限のない有限値だから同じ定義域になる
> Ａ２
> (2) のステップは不要だろ
ここが問題になる点であってある自然数kより大きな自然数は必ず存在するので単純にkの値を増やして
いっても無限数列にはできない
a1, a2, ... , ak, (空), (空), ... , (空), ...
a1, a2, ... , ak, a(k+1), (空), ... , (空), ...
であるから数学的帰納法より(空)はなくせない
時枝解法ではkの値を増やしていくのではなくて代表元のシッポを用いてある番号から先の
(空)の部分をまとめて全て数字に置き換えてることによって無限数列の数字を全て決定している
この過程が時枝記事では極限をとることに相当していることはスレ主にとっても自明でしょう？
> Ａ５
1つずつ数字を入れていけば独立であるとみなせるがまとめて置き換えた場所は独立で
あるとはみなせない >>22
>> Ａ２
>> (2) のステップは不要だろ
>ここが問題になる点であってある自然数kより大きな自然数は必ず存在するので単純にkの値を増やして
>いっても無限数列にはできない
>
>a1, a2, ... , ak, (空), (空), ... , (空), ...
>a1, a2, ... , ak, a(k+1), (空), ... , (空), ...
>であるから数学的帰納法より(空)はなくせない
High level people にしては、なかなか良い着眼だね
下記 Accademia Nutsさんの記事と同じだね
http://ameblo.jp/accade/entry-11058185597.html
帰納法は、無限大のときには使えない。｜Accademia Nuts: 2011-10-24 21:38:38
(引用終り)
だが、それは19世紀数学だ
現代数学は、”ある自然数kより大きな自然数は必ず存在するので単純にkの値を増やしていって、無限数列にできる”を公理として、加えるのを普通とする
これは、ふつうペアノの公理系で説明したり、ＺＦ公理系で説明したりするんだよ
ペアノの公理系 又は ＺＦ公理系、勉強してください
「(2) のステップは不要」が、合意できれば、あとの議論は不要だな
ＺＦ公理系は、現代数学の通常の数学論理であり、それは時枝記事>>2-4でも暗黙の了解事項だよ
（附言すれば、時枝記事>>4で”選択公理”（Ｃ）に言及しているから、いわゆる普通にＺＦＣ公理系を採用いるってことだよ）
追伸
High level people は、早く 28へどうぞ >>23 訂正
いわゆる普通にＺＦＣ公理系を採用いるってことだよ）
↓
いわゆる普通にＺＦＣ公理系を採用しているってことだよ） >>23 補足
下記 戸松玲治先生の 数学IB演習 No.6 問題ＰＤＦの「8 選択公理」を見て下さい
ここでは、ＺＦＣで、帰納法成立を選択公理に帰結させている
が、選択公理以外にもう少し弱い可算選択公理などもあるんだ
帰納法成立は、「無限の公理＋無限の公理を扱う例えば選択公理との合わせ技」ってとこかな
（因みに、ペアノの公理では、選択公理は登場しない。ここらは説明し出すときりがないので、自分で調べてね）
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/
東京理科大 TopPage - Noda MA:
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/m1b/m1b.html
数学IB演習
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/m1b/M1B6.pdf
数学IB演習 No.6 問題 戸松玲治 東京理科大 2009冬学期
(抜粋)
8.3 超絶技巧選択公理
「論法」の数学的帰納法が示しているのは, 各n に対してxn < xn+1 となるxn+1 があることだ
けである. 問題はすべてのn に対して同時にx1 < x2 < < xn < となる元を取り出せるか, と
いうことにある(これができなければ, 有限時間に生きる我々には議論を終えることができない). 言
い換えるなら, 上記(8.1) を満たすような唯1 つに定まる写像f : N ! X (n 7! xn) が我々にとれる
のであろうか？このように,「無限列を作る」という操作は一見簡単に見えて, 実は難しい.
選択公理とは, このような無限回の操作が可能であることを認める公理であるといえる. 我々には
不可能であるが, 当然のことのように思えるものだから, 公理として認めようというものである. つ
まり選択公理は超絶技巧なのであり, その武器を使用することを許したのである＊
注）＊いわば, 「平行線は絶対に交わらない」を公理に認めるようなものである. 当然, 認めない立場もあるし, 歴史的にも導入には強い批判が
起こった. しかし, 感覚的には受け入れやすいものであるし, 導入した方が数学体系としては豊富で広がりをもつものになると多くの人が考え
ている. = N の場合の選択公理ぐらいは認めないと, まともな数学にならないであろう. まあ, これからもっと出遭うであろう無限に関する
不思議さの一端だと思っておいてほしい.
(引用終り)
戸松玲治先生はいま北大
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~tomatsu/ 戸松 北大 >>23
> ある自然数kより大きな自然数は必ず存在するので単純にkの値を増やしていって
可算無限を表すのに順序数を使って自然数全体の集合の順序数をωで表すと
全ての自然数nについて n < ω であることを用いれば数列の長さが可算無限であることが
定義できる
言い換えるとω以上の自然数nが存在しないことで可算無限であることを表せる
「ある自然数kより大きな自然数は必ず存在する」ということはkをどれだけ増やしてk'に
してもk'より大きな自然数が必ず存在して k = ω には決してできないので
可算無限(数列でいえば無限数列)にはならない >>26
はいはい
>>25の戸松玲治先生読んでください おっちゃんです。
少なくとも、
Σ_{k=0,1,…,+∞}(1/(k!+1))∈R/Q。
これはもっと一般化出来そうだな。
あと、e^e は超越数。
ところで、スレ主が買った吉永正彦氏の本の中身はどう？
私とほぼ同年代の人なのだけど。 >>27
> 現代数学は、”ある自然数kより大きな自然数は必ず存在するので単純にkの値を増やしていって、
> 無限数列にできる”を公理として、加えるのを普通とする
有限小数の小数点以下の桁数を増やしていって桁数を無限大にできることを認めて
有理数全体の濃度を求めると非可算無限になってしまうのだが >>25
順序数 ω お勉強したんだね
だが、下記のように、「数の概念の様々な拡張法」の一つにすぎない
順序数 ωが全てと思わないことだ
かつ、いま、我々は確率を扱う。関数や変数も扱う
その場合、解析学と相性が良いのは、下記”超実数”（ロビンソンの超準解析）だな
下記”1960年代にロビンソンは、超実数体が論理的に無矛盾であることと実数体が論理的に無矛盾であることが同値であることを示した。これは、ロビンソンが描いた論理的な規則に従って操作されなかったならば、あらゆる無限小を含む証明が不健全になる恐れが残ることを示している。”
というから、今回は”超実数”（ロビンソンの超準解析）を使うのが良いだろうね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0
数の概念
様々な拡張法
これらを更に別の観点から拡張した体系が存在する。例えば、ものの個数の概念である自然数を拡張して基数が、ものの順番を表す意味での自然数の拡張として順序数が定義される。複素数を更に拡張したものとして、四元数、八元数・十六元数などの体系がある。あるいは、実数に加えて無限小や無限大を含む超実数などの体系もある。
自然数 → 基数
基数 - 有限基数（= 自然数）、無限基数
自然数 → 順序数
順序数 - 有限順序数（= 自然数）、超限順序数
実数 → 複素数 → 四元数 → 八元数 → 十六元数
有理数 → p-進数 （+ 実数 → アデール）
実数 → 超実数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
超実数
1960年代にロビンソンは、超実数体が論理的に無矛盾であることと実数体が論理的に無矛盾であることが同値であることを示した。これは、ロビンソンが描いた論理的な規則に従って操作されなかったならば、あらゆる無限小を含む証明が不健全になる恐れが残ることを示している。 >>29
そうなんだ
正確には
”有理数の可算無限数列全体の濃度を求めると非可算無限になってしまうのだが”ということ
だから、集合を数列 100列とその同値類に限定したらどうかな？ それなら、可算無限で収まらないかな？ 証明は得ていないが・・（この場合に選択公理でなく可算選択公理で間に合えば、非可測を回避できるだろう）
ともかく、”有理数の可算無限数列全体の濃度を求めると非可算無限になってしまうのだが”というときは、非加算無限を扱うふつうの選択公理で間に合うよ >>28
おっちゃん、どうも。スレ主です。
吉永正彦氏ね、前すれ７回読みの１回目は終わった。まあ、面白かったね
梅村浩先生の数学が使われていて、「おお」と思ったね
取りあえず、書棚の肥やしだな。こっちは、数学研究者じゃないし、院試があるわけでもないから、それで十分だ
>私とほぼ同年代の人なのだけど。
おっちゃん、意外に若いね
おっちゃんレベルだと、数学セミナーや数理科学読んだ方がいいぞ
岩波の数学もたまに読むが、ほとんど歯が立たない
が、最近あれ日本数学会のページで過去分読めるね（＾＾ 良さそうな資料
特に「1 Sheaves(層）」
http://www.u.dendai.ac.jp/
東京電機大学 自然科学系列:
【 教職員紹介 】
越智 禎宏
http://www.u.dendai.ac.jp/~ochi/sheaf_and_cohomology.pdf
1 Sheaves(層）
http://www.u.dendai.ac.jp/~ochi/weierstrass_points.pdf
1 因子に関する有用な補題 >>32
微分代数関係の数学か。
これは大学の講義では出来ないだろうから、
余程速い講義をしない限り院試とは無縁だな。
私が聞いたのは、その本の内容の書き方のこと。
周期環のテキストとして使えるのかな～っと思ってね、スレ主に聞いたの。
あと、目次からして、7回読みが通用するような本ではないぞ。 参考はりつけ
http://mathtrain.jp/probspace
確率空間の定義と具体例（サイコロ，コイン） | 高校数学の美しい物語: 2015/11/06
(抜粋)
確率を厳密に扱うためには「測度論的確率論」を学ぶ必要があります。この記事では測度論的確率論の超入門として，確率を考える舞台となる「確率空間」の定義，意味，具体例について解説します。
確率空間とは
確率空間とは(Ω,F,P)
の三つ組のことを言います。
ただし，
Ωは 集合
Fは Ω の部分集合族（σ-加法族）
Pは F から実数への非負関数（確率測度）
これだけだとよく分からないと思うので，以下で一つずつ解説していきます。
とりあえず「測度論的確率論では，確率を議論するときには確率空間というものの上で考える。そして，確率空間は3つの物のセットのことを表す」と覚えておいて下さい。
(引用終り) >>34
下記、「p進表現入門 (中村健太郎) 」なんか良さそうだよ
もっとも、「周期環」でどこまでなにを扱うのかだが
そもそも、テキストって相手のレベルと、何を教えるのかだが
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009proceeding.html
「l進ガロア表現とガロア変形の整数論」
報告集の原稿ページ
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/SummerSchool-0201-2.pdf
6. エタールコホモロジーとl進表現 (三枝洋一)
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/nakamura4.pdf
7. p進表現入門 (中村健太郎)
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/summer.pdf
8. 無限個の素数で分岐する既約なp進表現の構成について (冨山恭敬) >>36
スレ主は前書きや目次読まなかったのか？
あの本は、大学1、2年相手の講義をしたとか書いてあるから、
多分基本方針としては標数0で考えているよ。
微分方程式のガロア理論や、複素代数幾何、
ホッジ予想とか、基本は標数0の話だよ。 >>36
簡単にいうと、あの本は実数を周期環を用いて
考えましょうっていう話だろうよ。 >>31
> 正確には
> ”有理数の可算無限数列全体の濃度を求めると非可算無限になってしまうのだが”ということ
いやそれは自分に都合の良いように勝手に改変しているわけだが
たとえば[0, 1]に含まれる有限小数の小数点以下の数字を一桁ごとに分けて長さkの有限数列を作り
その濃度を#{長さkの有限数列}=card(k)で表すことにしてkについての和をとると
全体の濃度 Σ_k card(k) は 可算無限になる
> 現代数学は、”ある自然数kより大きな自然数は必ず存在するので単純にkの値を増やしていって、
> 無限数列にできる”を公理として、加えるのを普通とする
スレ主の挙げた公理では上の和 Σ_k card(k) は 非可算無限になることになる コメントありがとうございます。
>>60
> Eの起こる"確率"を直接扱うことはできくても、間接的には扱える、という意見です。
間接的にということですね。それについては理解しました。
> 確率のセマンティクスを頻度で与えるという普通の確率論の立場でもって、
> (ⅰ) Ｅ⊃Ｆなので、事象Ｆが起こったなら事象Ｅが起こったことになる。
> (ⅱ) よって、ｎ回試行をしたとき、事象Ｅが起こる頻度は事象Ｆが起こる頻度以上である。
> (ⅲ) ｎ→∞としたとき、事象Ｆが起こる頻度はほとんど確実に収束し99/100(これが事象Ｆが起こる確率)であり、
> 事象Ｅが起こる頻度は収束しないかもしれないが下極限は(事象Ｆが起こる確率である)99/100以上である。
> となります。別段新しい仮定や法則を取り入れてはないでしょう。
私の"普通"はレベルが低いので、"事象E"と言ったら"(普通の)確率事象E"のことで、
Eが可測であることを仮定として含んでいます。
（"普通"とは何かを不毛に争いたいわけではないです。）
そういうわけで私の感覚では下記のコメントに？？となってしまいました。
私の感覚ではEは"普通"の事象ではないからです。
> >>57
> > こう言い切れるのは>>25の裏づけがあってこそ、ですよね。
>
> いえ、それは逆で、>>25が成り立つ論理が
> > > 事象ＦはGAME1の積分順序で確率99/100がきちんと言え、Ｅ⊃Ｆなのだから事象Ｅが起こるのはそれ以上。
> だと思ってます。
Eを拡張的な事象として扱う裏づけが必要であると考えています。
それが>>25だと私は考えたのでした。 どうも、おっちゃんです。
今週はスレ主が留守のようなので、私が書きます。>>28の
>あと、e^e は超越数。
は取り消しておく。eに関する位相的性質を使わない証明なので、
間違っていると確信した。eの級数表示 e＝Σ_{k=0,1,…,+∞}(1/(k!)) を
用いた証明もしてはみたが、恐らく間違っていると思われる。
取り下げておいた方が無難。 >>28の
Σ_{k=0,1,…,+∞}(1/(k!+1))∈R/Q
は、取り敢えず確実だろうね。
幾つかの段階を踏んだ面倒な証明で、合っているだろう。 実関数 f(x)＝x^x x＞0 と超越的性質との性質を考える。
xが正の有理数のときは x^x は正の代数的数である。
xが正の代数的無理数のときは、ゲルフォント・シュナイダーの定理より、x^x は超越数。
f(x) x＞0 は確かに連続である。x＞1 のとき f(x) x＞0 は単調増加で、
f(1)＝1、f(2)＝2^2＝4 だから、f(a)＝2 を満たす正の実数aが存在し、a＞1。
ゲルフォント・シュナイダーの定理に注意すると、aは有理数か超越数である。
aが有理数とする。aが既約分数として a＝q/p p,qは互いに素、と表されているとする。
すると、a^a＝2 だから、(q/p)^{q/p}＝2 であり (q/p)^q＝2^p から q^q＝2^p・p^q。
従って、qは偶数で、1≦m＜q を満たすような整数mを用いて q＝2m と表せる。
(2m)^{2m}＝2^p・p^{2m} から 2^{2m}・m^{2m}＝2^p・p^{2m} であり、2^{2m-p}・m^{2m}＝p^{2m}。
ここで、確かに a＞1 だから、確かに q＞p つまり 2m＞p であり、2m-p は正の整数である。
従って、p^{2m} は偶数であり、pは偶数である。しかし、p,q は互いに素だから、
p,q が両方偶数となることはあり得ない。この矛盾はaを有理数としたことから生じたから、
背理法が適用出来る。そこで、背理法を適用すると、a^a＝2 を満たすような正の実数aは超越数である。
この結果から、xが正の超越数のときは、f(x)＝x^x x＞0 が有理数となることがある。 >>44の下半分の証明の部分は2を任意の素数pにして a^a＝2 を
a^a＝p として考えても大体同じようにして書ける。
素数は無限個あるから、可算無限個の超越数aに対して、
或る素数pが存在して、a^a＝p。逆に、f(x)＝x^x x＞0
は x＞1 のとき単調増加だから、任意の素数pに対して、
或る a＞1 なる超越数aが一意に定まり、a^a＝p となる。 依然として、今日はスレ主ここに書かないな。
珍しいこともあるんだな。この後書くのかな。まあ、いいや。
今日は、今のところは、おっちゃんがスレ主に代わり
ここに書くことになったようです。
じゃ、おっちゃん寝る。 >>37-38
>あの本は、大学1、2年相手の講義をしたとか書いてあるから、
意味わからん
”周期環のテキストとして使えるのかな～っと思ってね、スレ主に聞いたの。”という話は、おっちゃんがだれかに講義するという意味に取った
だから、「そもそも、テキストって相手のレベルと、何を教えるのかだが」>>36 と書いたけど？
まさか、おっちゃん自分で勉強する話か？
それなら、”周期環のテキストとして使えるのかな～”とか言っているひまあれば、とっとと大人買いすべきだよ（＾＾ >>39
どうも。スレ主です。
そう。言いたいことは、同じ意味だよ
>いやそれは自分に都合の良いように勝手に改変しているわけだが
で、じゃあ聞くが「有限小数の小数点以下の桁数を増やしていって桁数を無限大にできることを認めて
有理数全体の濃度を求めると非可算無限になってしまうのだが」の文で言いたい趣旨はなんだったんだ こんなのが見つかった
http://vixra.org/
An alternative archive of 17442 e-prints in Science and Mathematics serving the whole scientific community
http://vixra.org/why 漢字を発想だけを頼りに一人で研究しているものです。
漢字とルーン文字を組み合わせると完成系に近づくようです。
ただ、それが最善かはわかりません。
ルーン文字（昔西洋の魔女が使っていたといわれる）には数学的な意味があるようです。
イス（l）という文字には、ゼータ関数ζの意味があります。あと、０という意味もあります。
ラーグという文字には素数の意味があります。
ウルは何かの演算子です。
イングまたはオセルはどちらもπですが、微妙に違うようです。
ダエグは無限大を表しています。
こういった、ルーン文字を漢字と組み合わせることで、文字に数学的な意味合いを持たせることができます。 >>48
箱に入れるのは0から9までの自然数であると限定して無限数列(a1, a2, ... , ak, 0, 0, ... )
を考えるとすると数当てはk+1番目以降の0を当てることになる
この場合上の無限数列と有限小数0.a1a2 ... akを対応づけることができる
>>2
> 私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
(a1, a2, a3, ... , ak, 0, 0, ... )のシッポの0を代表元のシッポの数字と入れ替えるということは
有限小数(0.a1a2 ... ak)から実数(0.a1a2 ... ak ... )を構成することに対応している
>>23
> 現代数学は、”ある自然数kより大きな自然数は必ず存在するので単純にkの値を増やしていって、
> 無限数列にできる”を公理として、加えるのを普通とする
スレ主は上の過程も考えなくても有限小数(0.a1a2 ... ak)から「単純にkの値を増やして」いけば
実数(0.a1a2 ... ak ... )になってそれに対応する無限数列を使えば時枝戦略は不成立であると
主張している
有限小数あるいは有理数全体の集合に時枝戦略が成立しない数列に対応する有限小数あるいは有理数
が含まれていることになるがそのような数は実際は無理数であるので有理数全体の濃度が非可算無限
になってしまう >>42-46
おっちゃん、どうも。スレ主です。
スレ主代行ありがとう >>43
>Σ_{k=0,1,…,+∞}(1/(k!+1))∈R/Q
∈R/Q は、RのQによる商かね？ はて？
>>44
ゲルフォント・シュナイダーの定理か
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%88%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%83%80%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲルフォント＝シュナイダーの定理
ゲルフォント＝シュナイダーの定理 (ゲルフォント＝シュナイダーのていり、英: Gel'fond-Schneider's theorem) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。1934年に、アレクサンダー・ゲルフォント (en) とテオドール・シュナイダー (en) によって、それぞれ独立に証明された。
>>44-45
よく分からんがご苦労さん >>51
言いたいことがわからない
> 現代数学は、”ある自然数kより大きな自然数は必ず存在するので単純にkの値を増やしていって、
> 無限数列にできる”を公理として、加えるのを普通とする
ペアノの公理ですよ。普通ですよ、数学では
だが、あなたは数学ではなく、下記に引用した、アリストテレスの哲学をしているように思える
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理とは、自然数全体を公理化したものである。1891年に、ジュゼッペ・ペアノによって定義された。
(抜粋)
５． 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。
(引用終り)
https://revolutionofmathematics.wordpress.com/2015/08/02/%E7%84%A1%E9%99%90%E3%81%A8%E3%81%AF%E4%BD%95%E3%81%8B/
無限とは何か | 数学革命 20150802
(抜粋)
無限という言葉は、人間にとっては神秘的な言葉です。この言葉を聞くと人間は思考停止に陥る傾向があります。
５． 集合s が二条件「(i) 1 は s に含まれる, (ii) 自然数 a が s に含まれるならば a+ も s に含まれる」を満たすならば、あらゆる自然数は s に含まれる。
ペアノの公理の５番は数学的帰納法の正当性を保証します。ペアノの公理を認めてしまえば、無限の大きさの自然数がないことは、数学的帰納法で簡単に証明できます。
数学的帰納法によって、無限の大きさの自然数が存在しないことは明らかです。
しかし、ペアノの公理によれば、いくらでも大きな有限の自然数は存在することになります。これをアリストテレスは可能無限と呼びました。これはいくらでも大きな自然数が存在し得るということであって、現実にいくらでも大きな自然数が存在するという意味ではありません。
自然数には無限に存在する可能性があるということであって、現実に自然数が無限に存在するわけではありません。このようにアリストテレスによれば、ペアノの公理が保証するのは、存在する可能性であって、存在そのものではないのです。
(引用終り) >>47 補足
ここ英文だが、よんどけよ
PDFもあるよ
https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_of_periods
Ring of periods
From Wikipedia, the free encyclopedia
(Redirected from Periods (ring))
For a more frequently used sense of the word "period" in mathematics, see Periodic function.
In mathematics, a period is a number that can be expressed as an integral of an algebraic function over an algebraic domain. Sums and products of periods remain periods, so the periods form a ring.
Maxim Kontsevich and Don Zagier (2001) gave a survey of periods and introduced some conjectures about them.
References
Belkale, Prakash; Brosnan, Patrick (2003), "Periods and Igusa local zeta functions", International Mathematics Research Notices (49): 2655?2670, doi:10.1155/S107379280313142X, ISSN 1073-7928, MR 2012522
Waldschmidt, Michel (2006), "Transcendence of periods: the state of the art" (PDF), Pure and Applied Mathematics Quarterly, 2 (2): 435?463, doi:10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3, ISSN 1558-8599, MR 2251476
Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2010), "Computable functions of reals" (PDF), Munster Journal of Mathematics, 3: 43?66 > ペアノの公理ですよ。普通ですよ、数学では
箱の中身の数字を考えなければそれで良いですよ
> a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき
であるからペアノの公理では任意の無限数列の全ての数字を指定できない
(もちろんa1, ... , akの有限個の数字は自由に決めて良いが)
an=0, a(n+1)=0, ... ならan=a(n+1)なので数学的帰納法(ペアノの公理)でOK(有限小数に対応) おっちゃんです。
>>43(>>28)の
>Σ_{k=0,1,…,+∞}(1/(k!+1))∈R/Q
の部分について訂正:
R/Q → R＼Q
少なくとも、無理数ってこと。 >>58
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>少なくとも、無理数ってこと。
了解
R＼Qは、普通に無理数でいいんじゃないかな？ その方が分かりやすいし、記載ミスもすくないよ（＾＾ >>56-57
ID:zru0gIauさん、どうも。スレ主です。
（文系）High level people は、早く 28へどうぞ
Tさんもそうだったが、「無限」に対する理解が、１９世紀レベル以下だと思う
簡単に言えば、クロネッカー
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%9D%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC
(抜粋)
レオポルト・クロネッカー（Leopold Kronecker, 1823年12月7日 - 1891年12月29日）はドイツの数学者である。リーグニッツ(現在のポーランド・レグニツァ Legnica)生まれ。ユダヤ系。
ゲオルグ・カントールの集合論を攻撃したことで知られている。彼の、
「整数は神の作ったものだが、他は人間の作ったものである」(Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.)という言葉は有名である。
(引用終り)
つづく つづき
あるいは、ブラウワー
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A8%E3%83%92%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%82%A5%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A4%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%83%AF%E3%83%BC
(抜粋)
ライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワー（Luitzen Egbertus Jan Brouwer、1881年2月27日 - 1966年12月2日）はオランダの数学者。ブラウエル、ブローウェルなどとも表記される。トポロジーにおいて不動点定理をはじめとする多大な業績を残し、また数学基礎論においては直観主義数学の創始者として知られる。
(引用終り)
あるいは、フレーゲ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%97%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B2
(抜粋)
ゴットロープ・フレーゲ（Friedrich Ludwig Gottlob Frege[2], 1848年11月8日 - 1925年7月26日）は、ドイツの哲学者、数学者、論理学者であり、現代の数理論理学、分析哲学の祖と呼ばれる。
フレーゲは数学は論理に帰着しうるとする論理主義の最初の主要な論客でもあり、彼の『算術の基本法則』(Grundgesetze der Arithmetik) は自然数論および実数論を論理から導こうとする企てであった。
しかしラッセルが『算術の基本法則』の公理系が矛盾を引き起こすこと（いわゆるラッセルの逆理）を発見して指摘したため、2巻の補遺にこの矛盾について認める文言が付されている。フレーゲ自身はなんとか矛盾を回避する方法を模索したが、フレーゲの修正案にも欠陥があることが、1938年にスタニスワフ・レシニェフスキによって示された。
フレーゲの体系に矛盾が生じた原因は、ながらく彼の第5法則に帰されてきた。しかし後にチャールズ・パーソンズ、ジョージ・ブーロス、リチャード・ヘックらによって、第5法則に訴えずとも、いわゆる「ヒュームの原理」から自然数論が導出可能であることが示された。これにより、近年ではフレーゲの論理主義を再評価する動きが強まっている。
(引用終り)
つづく つづき
あるいは、ブラウワー
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A8%E3%83%92%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%82%A5%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A4%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%83%AF%E3%83%BC
(抜粋)
ライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワー（Luitzen Egbertus Jan Brouwer、1881年2月27日 - 1966年12月2日）はオランダの数学者。ブラウエル、ブローウェルなどとも表記される。トポロジーにおいて不動点定理をはじめとする多大な業績を残し、また数学基礎論においては直観主義数学の創始者として知られる。
(引用終り)
あるいは、フレーゲ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%97%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B2
(抜粋)
ゴットロープ・フレーゲ（Friedrich Ludwig Gottlob Frege[2], 1848年11月8日 - 1925年7月26日）は、ドイツの哲学者、数学者、論理学者であり、現代の数理論理学、分析哲学の祖と呼ばれる。
フレーゲは数学は論理に帰着しうるとする論理主義の最初の主要な論客でもあり、彼の『算術の基本法則』(Grundgesetze der Arithmetik) は自然数論および実数論を論理から導こうとする企てであった。
しかしラッセルが『算術の基本法則』の公理系が矛盾を引き起こすこと（いわゆるラッセルの逆理）を発見して指摘したため、2巻の補遺にこの矛盾について認める文言が付されている。フレーゲ自身はなんとか矛盾を回避する方法を模索したが、フレーゲの修正案にも欠陥があることが、1938年にスタニスワフ・レシニェフスキによって示された。
フレーゲの体系に矛盾が生じた原因は、ながらく彼の第5法則に帰されてきた。しかし後にチャールズ・パーソンズ、ジョージ・ブーロス、リチャード・ヘックらによって、第5法則に訴えずとも、いわゆる「ヒュームの原理」から自然数論が導出可能であることが示された。これにより、近年ではフレーゲの論理主義を再評価する動きが強まっている。
(引用終り)
つづく >>59
そのあたりはどっちでもいいけどさ。
で、
>>47
意味わからん
>”周期環のテキストとして使えるのかな～っと思ってね、スレ主に聞いたの。”という話は、
>おっちゃんがだれかに講義するという意味に取った
私が講義するという意味に受け取ったって、おめでたいな～。大学教員でも何でもないよ。
周期環の標準的なテキストというのは、知らず聞いたことがない。
そもそも、周期といったら、多くの人は、周期関数などに出て来る周期
としての意味合いでの周期の方を連想するだろう。
ページ数や目次を見る限り、講義に使うテキストではなく、独学するためのテキストなんだろうな。
あの本と同じ位のページ数なら、独学に適する本は、周期環に限らずわんさかある。
>まさか、おっちゃん自分で勉強する話か？
最初はそのつもりで聞いた。
>>53
>よく分からんがご苦労さん
実関数 f(x)＝x^x x＞0 は微分積分では殆ど扱っていないよ。
x＜0 のときを考えるには一変数複素解析が必要になる。
高校でも関数 y＝x^x＝e^{xlogx} x＞0 を微分しなさい
のような問題は出て来なかっただろ。
その関数について書かれている本は、知らないね。 つづき （ >>61-62 ダブった。一つ無視してください ）
こばなし
http://blog.goo.ne.jp/osan3/e/7ccfb44091c51a919bc53adac3ea6ac8
無限からの復讐 - 言いたい放題:2005-01-26
(抜粋)
落語の『浮世根問』に出てくる「その先をドンドン行ったら、どうなります？」というのは、無限ではなく「無際限」「無限定」といって、アリストテレスの「無限」の考え方であったらしい。
近代は、この新しい無限の観念故に・・正確に言うと「無限を実数として扱った」故に・・現代数学は基礎を失ってしまった。数学は普遍的・・つまり何時の時代にも何処へ行っても正しい基礎を持った学問であるという信仰は、２０世紀の初めの数学の危機と呼ばれた時代にぐらつき始めた。
それまで夢物語とされていた（「無限遠点」で平行線は「交わる」という）非ユーックリッド幾何学がアインシュタインの相対性理論の登場で現実のものとなり、最早否定できないものとなってきたからだ。
ラッセルやフレーゲといった数学者が懸命に基礎付けようと努力したが、１９３１年にゲーデルという数学者が「不完全性定理」というのを発明（発見ではない）して、「数学に基礎がある」とする立場をとるとパラドックスに陥ることを証明した。今では数学に基礎があるという考え方は成り立たないことになってしまった（公理主義）。
前述のフレーゲなどは無限を実数として扱う「実無限」に取り組んだ為に、「有限集合」と「無限集合」の矛盾に悩まされ、気の毒にもとうとう発狂してしまったそうだ。人びとは「無限からの復讐」と囁き合ったそうだ。
今夜は「寝らンなくなる噺」でした。
(引用終り)
つづく つづき
無限は、数学の哲学の大テーマだろう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6
(抜粋)
数学の哲学（すうがくのてつがく、英: philosophy of mathematics）は、哲学（科学哲学）の一分野で、数学を条件付けている哲学的前提や哲学的基礎、そして数学の哲学的意味を研究するものである。数理哲学とも言われる。
数学の哲学の歴史概略
西洋の数学の哲学は、数学的対象の存在論的地位を研究したプラトンと、論理学や無限（実無限と可能無限）に関する諸問題を研究したアリストテレスにまで遡る。
20世紀における数学の哲学
20世紀の中ごろ、圏論として知られる新たな数学理論が、自然言語による数学的思考に対する新たな競争者として登場した（Mac Lane 1998）。しかしながら、20世紀が進むにつれ、まさに当初提起された基礎付けに関する疑問自体が如何によく基礎付けられるのか、というところへ哲学的関心は広がっていった。
ヒラリー・パトナムは、20世紀後半の35年間の状況についての一つの共通見解を、次のように要約した。
哲学が科学における誤りを発見したときは、しばしば、科学は変わらざるを得ない。例えばラッセルのパラドックスがあるし、バークリーの現実的無限小への批判も思い浮かぶ。しかし、それよりも変らなければならないのは哲学であることのほうが多い。
私には、哲学が今日の古典的数学に見出している困難が、真の困難とは思えない。そして、私は、我々が四方八方から提案されている数学についての数々の哲学的解釈は誤っており、「哲学的解釈」はまさに数学が必要としていないものだ、と考えている。
??Putnam, 169-170.
(引用終り)
つづく >>59
>>63の訂正：
＞で、
＞>>47
＞意味わからん
＞>”周期環のテキストとして使えるのかな～っと思ってね、スレ主に聞いたの。”という話は、
＞>おっちゃんがだれかに講義するという意味に取った
の部分は、
＞で、
＞>>47
＞>意味わからん
＞>”周期環のテキストとして使えるのかな～っと思ってね、スレ主に聞いたの。”という話は、
＞>おっちゃんがだれかに講義するという意味に取った
に訂正。「意味わからん」はスレ主が>>47で書いた文だった。 >>60-65 つづき
（文系）High level people には分からないかも知れないが
理系大学では、普通一変数複素関数をやるから、極（無限大に発散する特異点）や留数定理（無限大で囲んだ経路で積分する定積分の計算法）
あと、量子力学だとヒルベルト空間（無限次元ベクトル空間）は、おそらく必ず教程に入ると思う
そこらを勉強すると、理系大学卒は、１９世紀レベルの上、２０世紀（ヒルベルトやノイマン）レベルにいく >>67 つづき
20世紀後半に、モデル理論が発展して、超準解析や超実数の数学理論が整備された
その意味するところは、完全に１９世紀の無限認識を超えたところに、現代数学は到達したと
だから、可能無限と実無限という１９世紀までの無限認識は、20世紀後半には統合されていると理解している
まあ、この認識を共有するには、下記の「超準解析とはどういうものか 齋藤正彦」あたりを読んで理解してもらえれば可だ
なので、ともかく（文系）High level people は、早く 28へどうぞ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
https://www.jstage.jst.go.jp/result?item1=4&;word1=%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%A8%E3%81%AF%E3%81%A9%E3%81%86%E3%81%84%E3%81%86%E3%82%82%E3%81%AE%E3%81%8B
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/38/2/38_2_133/_pdf
超準解析とはどういうものか 齋藤正彦 SUGAKU Vol. 38 (1986) No. 2
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
超実数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB%E7%90%86%E8%AB%96
(抜粋)
モデル理論（英語: model theory）は、数理論理学による手法を用いて数学的構造（例えば、群、体、グラフ：集合論の宇宙）を研究（分類）する数学の分野である。
この記事では、無限構造の有限一階モデル理論に焦点を絞っている。
モデル理論が体へ応用された初期の結果の例は、タルスキの実閉体についての量化記号消去法、疑有限体 (pseudo finite field) 上のAxの定理、そしてロビンソンの超準解析の開発がある。
(引用終り) >>68 つづき
だから、>>56-57にもどれば
>箱の中身の数字を考えなければそれで良いですよ
例えば
１式 y0=f0(x)=x
２式 y1=f1(x)=x+1
という二つの関数を考えてみると
１式は原点(0,0)と通る直線で、２式 y1=f1(x)=x+1 は１式 をｙ軸方向に平行移動した直線だ
開区間(-∞,∞)で交わることはない
天才リーマンは考えた
リーマン球を考える
複素平面で
１式 y0=f0(z)=z
２式 y1=f1(z)=z+1
これを、リーマン球上では、１式 、２式 とも、無限遠点つまり北極に１位の極を持つと考えることができる。
そう考えると、一変数複素関数論の正則関数の理論は、すっきりするんだ
天才としか言いようのない、思考の飛躍
リーマン球での無限のとらえ方が、数学の無限論に与えたインパクトは限りないと思うよ
そこらは、一変数複素関数論を未履修の（文系）High level people には分からないかも知れないが
あ、そうそう、それで脱線したが
リーマン球上では、１式 、２式 とも、無限遠点(-∞,∞)で交わると考えることもできる。ここ、数学から離れて、哲学になろうが
（この説明では分からないと思うので、自分で学習たのむ）
ともかく、平行線が必ず交点を持つという場合を、リーマン幾何とかいうんだ
そこらは、一般相対性理論を理系では、少しやる（記憶では、教程では深入りしなかったから、自分で本読んだけど）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
(抜粋)
リーマン幾何学とは、リーマン計量や擬リーマン計量と呼ばれる距離の概念を一般化した構造を持つ図形を研究する微分幾何学の分野である。
楕円・放物・双曲の各幾何学は、リーマン幾何学では、曲率がそれぞれ正、0、負の一定値をとる空間（それぞれ球面、ユークリッド空間、双曲空間）上の幾何学と考えられる。なお、楕円幾何学のことをリーマン幾何と呼ぶことがあるが、本稿で述べるリーマン幾何学はそれとは異なるものである。
アルベルト・アインシュタインは、重力、即ち、一様ではなく湾曲した時空を記述するのに擬リーマン多様体の枠組みが有効であることを見いだし、リーマン幾何学を数学的核心とした一般相対性理論を構築した
(引用終り) >>69 補足
> １式 y0=f0(x)=x
> ２式 y1=f1(x)=x+1
あたりまえだが、（文系）High level people向けに説明すると
xを自然数nと考えることができる
１式 y0=f0(n)=n
２式 y1=f1(n)=n+1
ここで、n→∞の極限を考えることができる
lim (n→∞) y0 = ∞、lim (n→∞) y1 = ∞
これでなんの数学的矛盾もないよ
つまり、nが開区間(-∞,∞)では１式と２式の二つは決して交わることはない。だが、無限遠点つまり北極で交わると考えることも可能だ
解析学の上では、これが普通の考えだよ
（文系）High level peopleには分からないかも知れないがね
なお、距離を問題にしない位相空間論では、無限遠点を特別視しない考えもある
これも、２０世紀から２１世紀の数学の考え方だよ
（文系）High level peopleには分からないかも知れないがね
なので、（文系）High level people は、早く 28へどうぞ >>70 蛇足
１式 y0=f0(n)=n
２式 ya=f1(n)=n+a
として、aは任意の固定された有限の数（自然数）と考えても同じ
つまり、固定された有限の数（自然数） a をしっぽと考えて、 a個分だけしっぽが長いと考えても、１式と２式の極限には影響を与えない！
（文系）High level peopleに理解してもらえるかどうか不明だが
ともかく、（文系）High level people は、早く 28へどうぞ おっちゃん、どうも。スレ主です。
>>63
>私が講義するという意味に受け取ったって、おめでたいな～。大学教員でも何でもないよ。
いや、まー、同好会的な数学の集まりで、話をするとかさ
＞実関数 f(x)＝x^x
これは、いろいろなところで見るね。大学の範囲だろうが、確か、反例か病的な例で出てくるように記憶している
lim (x→0） f(x)
を考えたときに、0^0 になるので、どうなるかみたいな >>67
留数定理は下記
（文系）High level peopleでも分かるかな？
http://eman-physics.net/math/imaginary11.html
ＥＭＡＮの物理学・物理数学・留数定理:
(抜粋)
要するに複数の特異点を含むコースでの積分を計算したければ、それぞれの特異点の周りについて求めた留数を合計すればいいということである。
この簡単な話が「留数定理」と呼ばれるものだ。
以上で複素積分をする上で必要になることをほとんど説明し終えたと思う。何か説明しないままになっている問題が残っていなかっただろうか？
そう言えば、以前、不定積分のような計算方法がいつでも使えるかどうかについて議論したことがある。ここまで理解すればそれについての事情も分かってもらえるのではないだろうか。ローラン展開した時に留数が 0 にならないような特異点がある場合、始点と終点を固定しただけでは積分値が決まらないのである。
なぜなら積分経路が特異点の周りを一周するたびに値が変わるからである。その辺りを把握して気を付けながら使うなら、不定積分のような計算を利用することもできるだろう。
あとは、ワイエルシュトラスの定理というものを軽く説明しておいた方が良いかも知れない。これは、真性特異点ならばそこに近付くやり方によって関数の値をどんな値にでも収束させられる、あるいは発散させることさえもできるというものである。その証明には、ローラン展開した時の主要部の項が無限にあることを使う。
以前に真性特異点の説明をした時には「近付く方向によって収束する関数の値が異なる」ものだと定義し、今回は「ローラン展開した時の主要部の項が無限に続く」のが真性特異点だと説明したが、二つの異なる説明が実は同じものを指しているのだと保証してくれているのがこの定理である。
実用上はこれくらいの知識で十分なので、この定理の証明は他の教科書に任せることにしよう。
(引用終り) >>75
もう一度言っておくが、
時枝>>4
素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
対して、私が確率の専門家と呼ばせて貰っている人（大学教員クラス）>>14 抜粋
「うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな」
「P(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」
なのだ >>76
さて、二つの理論AとBとがあって、二つの理論が矛盾するとする
そして、理論Bは100年近い歴史があるなら、確立されたと考えて良いだろう
一方、Aはまだ正式論文として投稿され出版されてはいない
とすれば、普通Bが正しく、Aはおかしいと思うべき。たとえ、Aが時枝先生が数学セミナーに書いた記事であったとしてもだ >>77 つづき
だから、理論Aは不成立だけれども、「なぜ、不成立にもかかわらず、成立するように見えるのか？」そこに興味がうつる
時枝>>4 は、「選択公理や非可測集合を経由したから」を言い訳にしているが、それだけでは正しい数学理論として裏付けされるには不足だ
結局、我々の日常では、確率分布が裾の軽い分布が主で、大数の法則や中心極限定理が成り立つ世界。
「100列ならある列が１番になる確率は1/100であり、余事象の１番でない確率は99/100」が、常識としてすり込まれ過ぎていて、それ以外の世界に思い至らないからだろう
あたかも、普通の人は、ユークリッド幾何空間（平行線が交わらない第5公準）以外の世界を考えられないと同じように
「100列なのに、１番でない確率は99/100」が不成立という世界を、多くの人は無意識に排除しているからだろうと、私は考えている
まあ、ここら（文系）High level people には理解しがたいと思うがね >>72
>これは、いろいろなところで見るね。
>大学の範囲だろうが、確か、反例か病的な例で出てくるように記憶している
>lim (x→0） f(x)
>を考えたときに、0^0 になるので、どうなるかみたいな
多変数の微分積分のところで2変数実関数 x^y＝e^{ylogx} x,y＞0 を考えて
x,y→+0 としたときの話か。0^0の値は一意には定まらず、
0^0＝1 と定義しても 0^0＝0 と定義してもよいっていう話か。
だが、x^y＝e^{ylogx} x,y＞0 はx,yで同時には偏微分出来ず、
実関数 x^x x＞0 とは話が微妙に異なる。x^x x＞0 を微分するときはxでのみ
微分することになる。これを2変数実関数 x^y＝e^{ylogx} x,y＞0 の話
に当てはめると、x,yの両方で偏微分することになるが、これは出来ない。
2変数で単純に x^y＝e^{ylogx} x,y＞0 として考えてはいけない。 >>70 補足
２１世紀の数学の無限のとらえ方は・・・
”到達不能基数”－渕野先生の世界だろう（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
到達不能基数
https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal
Inaccessible cardinal 英語版
(抜粋)
Existence of a proper class of inaccessibles
There are many important axioms in set theory which assert the existence of a proper class of cardinals which satisfy a predicate of interest.
In the case of inaccessibility, the corresponding axiom is the assertion that for every cardinal μ, there is an inaccessible cardinal κ which is strictly larger, μ < κ.
Thus this axiom guarantees the existence of an infinite tower of inaccessible cardinals (and may occasionally be referred to as the inaccessible cardinal axiom).
As is the case for the existence of any inaccessible cardinal, the inaccessible cardinal axiom is unprovable from the axioms of ZFC. Assuming ZFC, the inaccessible cardinal axiom is equivalent to the universe axiom of Grothendieck and Verdier: every set is contained in a Grothendieck universe.
The axioms of ZFC along with the universe axiom (or equivalently the inaccessible cardinal axiom) are denoted ZFCU (which could be confused with ZFC with urelements). This axiomatic system is useful to prove for example that every category has an appropriate Yoneda embedding.
This is a relatively weak large cardinal axiom since it amounts to saying that ∞ is 1-inaccessible in the language of the next section, where ∞ denotes the least ordinal not in V, i.e. the class of all ordinals in your model.
(引用終り) >>79
おっちゃんの話は、下記にある
また、>>72 で "lim (x→+0） f(x) =1 "だって （下記 ”実解析における扱い”より）（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97
0の0乗
実解析における扱い >>81
そういうことを自分で考えるのが面白いことだろう。
普通(殆ど？)の本には載っていないことなんだからさ。
ちなみに、素数pが或る1より大きい超越数aにより p＝a^a と表せるということは、
無意識のうちにxが超越数のときの x^x の値を扱っていることになる。
2つの1より大きい超越数x,yにより有理数を x^x/y^y と表せることになる。 >>98 補足
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/38/2/38_2_133/_pdf
超準解析とはどういうものか 齋藤正彦 SUGAKU Vol. 38 (1986) No. 2
(抜粋)
P145
P.ローブ[15]は,*Uでの内的な有限加法的測度空間から出発して外的な可算加法
的測度空間を構成し,確率論に新しい道を開いた.現在の超準確率論の隆盛はここに端を発する.
(引用終り)
（補足の補足）つまり、”超準確率論の隆盛”とあるから、”超準確率論”なるものがあるみたいだね（下記参考）
http://phasetr.com/blog/2013/11/01/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%AE%E3%83%97%E3%83%AD%E3%81%A7%E3%81%82%E3%82%8B%E9%AD%94%E6%B3%95%E5%B0%91%E5%A5%B3%E3%81%AB%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%A7%E8%B6%85%E9%96%A2/
超準解析のプロである魔法少女に超準解析で超関数がどうなるかについて聞いてみた | 相転移プロダクション: 2013 11.01
(抜粋)
@functional_yy ふと思ったのですが超準解析でδ関数はどういう扱いになるのでしょうか. 超準解析的には普通の関数と思えるのか的なアレです
@phasetr この辺り詳しくはないのでよく知りませんが, 例えば幅無限小高さ無限大で掛け合わすと 1 のパルスを考えれば望みの性質は得らます. http://planetmath.org/constructionofdiracdeltafunction
(抜粋)
construction of Dirac delta function
The Dirac delta function is notorious in mathematical circles for having no actual realization as a function. However, a little known secret is that in the domain of nonstandard analysis, the Dirac delta function admits a completely legitimate construction as an actual function. We give this construction here.
(引用終り)
場の量子論で赤外発散という現象があるが, その数学的解決には「場の量子論版の超関数」が必要だと思っている. 作用素環上の状態の空間でとりあえず定義はできるのだが, それを確率論 (経路積分) でいうとどうなるか, 最近は特に表現論的にもう少し突っ込むとどうなるかというあたりをスピン-ボソンモデルで計算している.
代数解析的なアプローチではどうなるかというのは考えていたが, 超準解析的にどう見えるか考えてもいいかもしれない
(引用終り) >>82
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>そういうことを自分で考えるのが面白いことだろう。
>普通(殆ど？)の本には載っていないことなんだからさ。
ああ、そうなんか？ それでおっちゃんの発言の意味が分かったよ
レベル低い発言も多かったから
でも、自分で考えると
それはそれで良いけど・・、遊びならね
だが、プロは定理の再発見の繰り返しでは、論文かけないし
まあ、応用の立場にしても、すでに出来上がった理論が、例えば微分方程式の数値解析の、有限要素法にしろ、境界要素法にしろ、差分法にしろ
多くの先達が、何十年もかけて作ってくれた理論とプログラムがあるとしましょうか？
自分が最初から作る必要はないだろ？
子供のレゴのブロック遊びならそれで良いが
大人の仕事にはならんよ だから、いま２１世紀なら、先人がなにか文献を残していないかどうか
そのサーチが第一だろうな >>79
ここらも、大部分は https://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97 ”0の0乗”
に出ている気がするよ（＾＾
>>82
>2つの1より大きい超越数x,yにより有理数を x^x/y^y と表せることになる。
任意の有理数を表せるってこと？ それは可能なのかね？ 証明は？ >>1 訂正 リンク間違い
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28(High level people が時枝問題を論じるスレ) http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480758460/
↓
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28(High level people が時枝問題を論じるスレ) http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/ >>86
厳密な書き方ではなく、任意の有理数のときのこと
まで証明した訳ではないが、その証明がスレ主が
>よく分からんがご苦労さん
と書いた>>44-45だよ。
2つの素数p,qを用いて表わした正の有理数 p/q であれば、このようなことは出来る。 >>70-71
そのようなことは問題にしていなくて一般的な無限数列a1(=?), a2(=?), ... , an(=?), ...
を考えるのは問題ない
> 箱の中身の数字を考えなければそれで良いですよ
問題にしているのは上の無限数列の?にどうやって具体的な数字を入れるかということ
たとえば√2＝1.41421356... の小数表示を数列として出題するならば
a1=1, a2=4, a3=1, a4=1, a5=2, a6=1, ... となるわけで数学的帰納法(ペアノの公理)
を使うのならばanの数字を見てa(n+1)の数字を求められないといけないわけだが
√2の小数表示の全ての数字をそのような方法でスレ主は指定できるの？
数学的帰納法(ペアノの公理)を使えばシッポが全て0である数列は構成できるので
a1=1, a2=4, a3=1, a4=1, a5=2, a6=0, a7=0, ... , an=0, 0, ...
のような数列であれば全ての数字を指定できる
この場合は√2の小数表示を有限桁で打ちきったものである(もちろん数列としては無限数列) >>90
> 90個近くしかないのに、もう新スレ立てるのか？
いや、準備だよ
いま書いておかないと、また直し忘れて、そのままになりそうだからね
>>88 のようなことをしておくと、覚えている確率が上がっているとおもう >>89
>>44 「この結果から、xが正の超越数のときは、f(x)＝x^x x＞0 が有理数となることがある。」
y=f(x)＝x^x x＞0 が、y有理数の場合があるってことね
あまり証明を追う気が無いけど
まあ、そういう場合もあるかもね >>91
>問題にしているのは上の無限数列の?にどうやって具体的な数字を入れるかということ
選択公理と選択関数で可能だろ？それ（”無限数列の?にどうやって具体的な数字を入れる”）を可能にするのが選択公理と選択関数で、 よく勉強してね
>√2の小数表示の全ての数字をそのような方法でスレ主は指定できるの？
できる！ そのための選択公理だよ。この場合、可算選択公理で可だろうが
級数展開でパソコンで計算できるよ （下記）
そして、必要な桁まで、時間さえあれば
それを数理的には無限に可能とする
ともかく、選択公理を勉強してくれ！
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた。 実際、有限個の集合からなる集合族であれば、そのそれぞれの集合の中から順に1つずつ元を選び出し、それらを併せて集合とすればよいのであるから、このような操作ができることは自明である。
しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ＝ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理であることが認識されるようになった。
確かに、無限個の集合からなる集合族の場合、上のような操作を想定しても「順に選び出す」操作は有限回で終了することはないのだから、このような操作を行えるかどうかは必ずしも明らかではない。
選択公理は、それ自身もまたその否定もほかの公理からは証明できないものであること、すなわち独立であることが示された（クルト・ゲーデル、ポール・コーエン）が、これは公理的集合論における大きな成果であろう。
但し、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）に一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できる[2]。従って、一般連続体仮説と選択公理は何れもZFとは独立だが、前者の方がより強い主張であると言える。ZFに選択公理を加えた公理系をZFCと呼ぶ。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/8705221.html
√２のテイラー展開？ - 数学 解決済 | 教えて！goo: 2014/08/05 >>92
あっそう。まあ、いいけど。
>>93
任意の整数は有理数な。
じゃ、おっちゃん寝る。 >>93
おっと、書き忘れたが、
>>95で書いた>>93へのレスの文は、標数0のときのことね。
標数0で考えたとき、任意の整数は有理数。
有理数や実数は標数0で考えることになる。
じゃ、おっちゃん寝る。 >>94
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/397
> Sergiu Hart氏>>47のgame2においては、選択公理を使わないバージョンだから
>>51
> 箱に入れるのは0から9までの自然数であると限定して無限数列(a1, a2, ... , ak, 0, 0, ... )
> を考えるとすると数当てはk+1番目以降の0を当てることになる
> この場合上の無限数列と有限小数0.a1a2 ... akを対応づけることができる
これはgame2をさらに限定した数当てを考えていることになる
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/399
> Sergiu Hart氏>>47のgame2（循環小数モデル 選択公理不要版） ＜＜ Sergiu Hart氏game1 (可算無限 箱に任意の実数 最初に問題の数列並べておく）
にならって書くとgame2の限定版(有限小数モデル 選択公理不要版) >>94
スレ主は問題点を見落としていそうなので補足すると
>>22
> (2) のステップは不要だろ
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/507
> Ａ２ (2) のステップは不要だろ。(1) で、a1, a2, ... , ak, (空), (空), ... , (空), ... で、akを数列のしっぽと定義して、有限数列の長さkの同値類分類をすることだけで完結できる
> それでこそ、”有限の極限を介して無限を扱う”を貫徹していることになる
(たとえば√2の小数表示の)全ての数字をまるごと指定するしか方法がないのならスレ主が書いた方法で
極限をとることはできないので時枝戦略が不成立であるというスレ主の主張は成り立たないですよ
>>97のgame2の限定版でシッポの0の数当てが失敗するのはスレ主の主張ではたとえば√2の小数表示を
有限桁で打ちきったものの桁数を増やした極限になるが全ての数字をまるごと指定するしか方法がないのなら
(決定番号に相当する)シッポの0の開始位置も指定しなければならない
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/506
> 自分が持ち込んだ仮定の部分と、もともとの問題とを混同したりは許されないし、日常そこは厳格に区別して議論するよ
こちらはちゃんと時枝記事中の極限を区別して扱っています >>97-98
おいおい、選択公理の変種があるぜ。わかってないね（下記）
選択公理は１種類じゃない
早く、（文系）High level people は、28へ行けよ
うんざりだ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理の変種
選択公理には様々な変種が存在する。
可算選択公理
詳細は「可算選択公理」を参照
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[3]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
有限集合の族に対する選択公理
集合族の要素を特定の有限集合に制限した公理も研究されている[4]。即ち、
ACn : n元集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ。
という形の公理である。
この種の公理について以下のようなことが知られている（すべてZF公理系を仮定）。
ZFでは AC2 を証明できない。 >>100
シッポが0である数列のみを出題して決定番号を用いて0を当てる場合に
可算選択公理でもシッポが0でない√2の小数表示の全ての数字をまるごと出題は
数当てのルール上できないですよ
スレ主は極限をとることでシッポが0である(２つの数列が同値である)として数当て戦略が
不成立と言っていたわけで(可算)選択公理を使う場合は(決定番号に相当する)シッポの0の開始位置も
具体的に指定しなければならない >>102
（文系）High level people にも困ったもんだ
数学はディベートじゃない
ディベートは論争して優劣を競うが
数学は論争じゃない
私の問題点を指摘するのは結構だが
自分の側の主張の立証が一番大事なんだよ
それを忘れているんじゃないか？
端的にいって、>>102は何を言いたいのはさっぱりわからん。早く28へどうぞ >>103 訂正
何を言いたいのはさっぱりわからん。早く28へどうぞ
↓
何を言いたいのかさっぱりわからん。早く28へどうぞ >>102
さきに、>>76-77に書いたように、時枝記事>>2-5は、既存の確率変数の無限族の理論で、
X1，X2，X3，… が独立変数であるにもかかわらず
例えば、「n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，」
既存の確率変数の無限族の理論では、「当てられっこない・・・他の箱から情報は一切もらえないのだから」
となるべきところ、”「確率は99/100」で可能だ。「確率1-ε で勝てることも明らかであろう」”という
つまり、A:時枝解法理論>>2-3と、B:コルモゴロフ流 確率変数の無限族の理論 Xn とが真っ向対立する
理論Aと理論Bが矛盾するとき
もし同じ公理系内なら、少なくともどちらかが間違っている（両立はありえない）
時枝は、>>4でZFC公理系を宣言している。勿論、コルモゴロフ流 確率変数の無限族の理論もZFC公理系
どちらが間違っているかは自明だろう
ここまでは、少し考えればすぐ分かることだ
なので、>>78”理論Aは不成立だけれども、「なぜ、不成立にもかかわらず、成立するように見えるのか？」そこに興味がうつる”
この理屈が分からない （文系）High level people は、28へどうぞ
あそこは、完全に煮詰まっているから歓迎されるだろう 再録
これ（下記）をどう思っているのか？ 存念を聞きたい
>>76 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/22(日) 14:16:18.33 ID:aSVenMI/
>>75
もう一度言っておくが、
時枝>>4
素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
対して、私が確率の専門家と呼ばせて貰っている人（大学教員クラス）>>14 抜粋
「うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな」
「P(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」
なのだ http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis1.htm
超準解析１:
(抜粋)
～ダーツを一点に当てる確率～
さて、ここに昔からありがちな問題がある。君がダーツを投げるとき、ある一点に厳密に当たる確率は一体どれくらいか?そして、この種の問題には、非常にありがちな一つの答えがいつも与えられる。その確率は、ゼロであると。なぜならば、各点における確率がもし有限の値なら、ダーツ板の全体における積分が発散してしまうから だ。
これ(確率がゼロであること)は、いわゆる必要条件だというわけである。
高校のころからこうした答えは、常に私を悩ませてきた。その確率は、aとdxdyをかけたものではなぜいけないのだろうか?
人は言う。そうした無限小の取り扱い方は、厳密ではないと。なぜなら、実数体はアルキメデス的だからだ、と。そう、われわれはアルキメデスと戦わなければならない。 いきなり妙な言葉が出てきたので読者を困惑させてしまったかもしれないが
ライプニッツやオイラーが気ままに使ってきた微小量～adxdyという記号～は、明らかに実数体に関するアルキメデスの公理を満たさない。なぜなら、もしアルキメデスの公理を満足してしまったとすると、adxdyはn倍すればどんな数よりも、例えば1よりも大きくなる。それならば、この量はn分の1よりも大きい。
しかし、微小量の定義はあらゆる数より0に近い数のことだから、ここで行き詰ってしまう。お前の言っている微小量には、実体は無いではないかと。
実体が無い。それはどういうことか。それは、無限小の論理が矛盾を含まない論理体系になっていないということである。
この問題は、幾多の苦しみを経て(いや、本人にとってはいかにも楽な仕事だったかもしれないが。)、フランスの大数学者コーシー(Augustin Louis Cauchy,1789-1857)により解決された。微小量ではなく、その比だけを扱えばうまく行くことが分かったのである。彼の定式化した方法を、ε－δ論法という のは皆さんおなじみであろう。
(引用終り) http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis2.htm
超準解析２:
(抜粋)
簡単に言ってしまえば、これがε－δ論法であり、最も本質的な点である。最も本質的な点とは、この議論には微小量が出て来ないということである。もちろん、εは微小量なのだが、建前上は"任意の数"ということになっている。任意だから、いくらでも小さくてよい。すると、収束円はいくらでも小さくなり、ついに一つの実数まで縮んでしまう。
こうして厳密な極限の方法を我々は得た。そして関数の極限が定義され、導関数の極限が定義され、リーマン和の極限も定義される。これら全ての概念にコーシー列が密接に関わっている。コーシーは、極限というあいまいな実体を点列の運動という概念によって 一挙に捉え、ヴィジュアル化したのであった。
～なにか問題が？～
簡単に言えば、ε－δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。導関数は定義されてももはやそれはdfとdxの比ではなく、単なる一つの関数を表す記号なのである。dfやdxは単なる記号であり、単独では意味を持たない。
しかし、導関数が微小量の比であるというイメージはとても納得できるし、コーシー流の微分でもこのイメージを避けて通ることは出来ない。頭の中のイメージと紙の上の証明とでは、全く違うことをやっているのである。
私は、数学は視覚的に明らかである方がよいと思う。それは、上に挙げた参考文献を書かれた小平邦彦先生もおっしゃっていることである。 数学とは、心の中で起こる数学的現象を解析する学問なのだ。それでは、感覚的に優れた微小量という存在を厳密に扱うにはどうすれば良いだろうか?
私の答えは、超準解析を学ぶことである。
(引用終り) http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis3.htm
超準解析３:
(抜粋)
超準解析にはその学問的価値に比して、日本語の本が非常に少ない。(ような気がする。)
しかし、H.Jerome.Keisler教授が無料のpdfを自らのホームページでアップロードしている。およそ900ページの超大作である 。(それでいて、freshmanのために執筆したと書いてある!!)ちなみに私は読んでいない。というか読めない。
本章の目的は超準解析を広く流布し、モナドのイメージを掴んでもらうことであるから、公理的な記述は出来るだけ避けようと思う。公理的な記述に飢えたら、このサイトにこだわらず広く本を漁ってほしい。
超準解析が、皆様の多彩なアイディアの助けとなることを祈る。
(引用終り) >>107
>～ダーツを一点に当てる確率～
>君がダーツを投げるとき、ある一点に厳密に当たる確率は一体どれくらいか?そして、この種の問題には、非常にありがちな一つの答えがいつも与えられる。その確率は、ゼロであると。なぜならば、各点における確率がもし有限の値なら、ダーツ板の全体における積分が発散してしまうから だ。
そう
宝くじ
当りは１枚
発行枚数を無限に多くする
一人が当たる確率はゼロ
だが
当たる人は必ず存在する 2017年から振り返ってみると面白い
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/83993/1/0869-12.pdf
ゲージ場/量子確率論/超準解析/・・・再び場の理論へ :
中西襄先生還暦記念シンポジウム : 場の理論の過去・現
在・未来を始めるにあたって(場の理論の基礎的諸問題)
Author(s) 小嶋, 泉
Citation 数理解析研究所講究録 (1994) http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20131217/1387245762
超フィルター（ultrafilter）って何なんだ： 点？ 確率測度？ - 檜山正幸のキマイラ飼育記:2013-12-17 (火)
(抜粋)
超フィルターと極大フィルターは同義語です。ベキ等可換環では、極大イデアルと素イデアルは同じものです。よって、「超フィルターの空間＝スペクトル（素イデアルの空間）」となります。
適当な位相を入れた「超フィルターの空間」はストーン空間と呼ばれ、このときの適当な位相がスペクトルのザリスキー位相でした。ストーン空間＝スペクトルは、コンパクト空間になりますが、これが論理のコンパクト性定理に対応します。このことは次の記事を参照してください。
コンパクト空間と論理／モデル論 http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20051207/1133937746
Xが無限のとき、Spec(A) = Spec(Pow(X)) はXを含みますが、コンパクト化により、もともとXにはなかった点も持っています。つまり、Spec(A) はXの拡張になっています。Xの拡張とみなした Spec(A) をXの超フィルター拡張とも呼びます。手段として超フィルターを使った拡張だからですね（ベタな呼び名）。
超準解析とかは、上記のような非標準で理想的な点をうまく使う方法なんでしょうが、僕はこれ以上のことは知りません。
確率測度としての超フィルター
今まで述べたのは、「点としての超フィルター」です。僕が持っている超フィルターのイメージは点であり、それしかありませんでした。しかし、トム・レンスター（Tom Leinster）の記事 "Where Do Ultrafilters Come From?" に、超フィルターの確率測度としての解釈が書いてあってちょっとビックリしました。
http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/where_do_ultrafilters_come_fro.html
超フィルターに対応する確率測度をベースにして、どんな確率論が展開できるのか僕はよく分かりません。しかし、点概念と確率測度概念、あるいは幾何空間と確率空間は、なにかしらの繋がりがあることの状況証拠であるとは思います。
(引用終り) http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20051207/1133937746
コンパクト空間と論理／モデル論 - 檜山正幸のキマイラ飼育記:2005-12-07 (水)
(抜粋)
論理／モデル論（logic and/or model theory）でコンパクト空間が登場する例で、僕が面白いと思うのはモデル（の同値類）の空間のコンパクト性だ。これは、ずばり「コンパクト性定理」として知られている内容だが、どんな空間がコンパクトになるのかはなぜか言及されないことが多い。で、コンパクト性定理の成立している位相空間を紹介してみたい。
内容：
モデルの空間
論理式が定義する関数
位相空間としてのモデル空間
補足または蛇足 -- 推論の練習
コンパクト性定理
モデル空間のコンパクト性
つづく つづき
●モデルの空間
命題とか主張とかを表現するための人工言語を考えて固定する。この人工言語（論理的な言語）において、文に相当する記号列を論理式（formula）と呼ぶ。論理式の真偽を定めるには、解釈の場となるモデル（領域と構造）が必要。解釈の方法も決めたとして、モデルMに対して論理式fが真なら M |= f と書いて、M satisfies f と読む。
（トリビア： 縦棒とイコールをくっつけた記号はダブルターンスタイル;double turnstile って呼ぶ。）
当該の論理系（言語＋解釈）に対するモデルの全体をModとする。Mがモデルだとは、M∈Mod のこと。Modはとりとめもない集まりで、実際とてつもなく大きな集まりになったりするのだが、次のようにして同値関係を入れれば、十分に小さくなる。
ここで、m, n などを点と考えて、Xは空間だと思いましょう。もともとは、構造を持ったM、さらにMと同値な（区別つかない）構造達をかき集めた対象がmだから、これを“点”とみなすのは心理的に抵抗感があるかもしれないが、集合のメンバーだから、まー“点”だと思ってくださいよ、だまされたと思ってさぁ。
ここで、点とか空間とか呼ぶのは、Xに位相を入れる心づもりがあるから。
まだ位相が入ってないけど、Xのことをモデルの空間と呼んでしまおう。モデルの空間は、正確には“モデルの同値類”を点とする空間であり、論理的言語（論理式の集合）と解釈に対して定義されるものだ。
[蛇足] もし、インスティチューション（institution）を知っているなら、指標（signature）Σを1つ固定してモデル圏Mod=ModΣと文集合Sen=SenΣを考えれば、M、N∈Obj(Mod)に対して同値関係≡を定義できることを確認できるだろう。つまり、空間X=XΣはインスティチューションに対して定義できる。
Σ |→ XΣ は関手に拡張できて、これは指標圏から位相空間の圏への関手になる。（細部をチェックしてないから、まちがっていたらゴメンね。）
つづく つづき
●コンパクト性定理
モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。
Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ
これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。
論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。
Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある
つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。
応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。
コンパクト性定理そのものを示すにもウルトラフィルターを使ったと思う。チコノフの定理も確かウルトラフィルターを使う証明があったような気がする（記憶が曖昧）。コンパクト性はウルトラフィルターで表現するのが自然なのかもしれない。
(引用終り) >>115
ここ面白いと思った
（引用開始）
論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。
Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある
つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。
応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。
コンパクト性定理そのものを示すにもウルトラフィルターを使ったと思う。チコノフの定理も確かウルトラフィルターを使う証明があったような気がする（記憶が曖昧）。コンパクト性はウルトラフィルターで表現するのが自然なのかもしれない。
(引用終り)
逆に言えば、（対偶をとって）Aの有限部分集合で矛盾するものがない ⇔ Aは矛盾しない
かな http://miuse.mie-u.ac.jp/bitstream/10076/6675/1/AA1209733305604.pdf
一般の汎関数空間上のFourier変換 桑原克典 紀要三重大 2005
(抜粋)
Introduction 1960年ごろ、Abraham Robinsonがモデル理論の考えを使うことによって、Leibniz流の無限小解析をそのままの形で合理化することができるのではないか、 という着想を得たのが超準解析
(Nonstandard Analysis)の始まりである。その後、超積の理論とも結びついて超準解析は急速に発展し、応用としてRicmann積分、位相、そして確率過程の議論へのNonstandardバージョンが見られるようになった。
超準解析によれば、たとえば実数体の超準モデルとして、実数体を真に合む全順序体が作られる。そ
こには無限大数、すなわちどんな実数よりも大きい数や無限小数、すなわちその絶対値をとったときに
どんな正の実数をよりも小さく、しかもゼロより大きい数が存在する。これは無限という概念の実体化、
すなわち実無限を数学として厳密かつ具体的に構成したということで特筆すべき業績である。しかも、
ある意味で実数体に関して成り立つ性質はすべて超実数体、すなわち拡大された体でも成り立ち、逆も
また真である。この性質は移行原理と呼ばれ、超準解析においてとても重要な性質の1つである。これ
により無限小解析の議論を展開することができるようになった。また、中でもPeter A.Loebによるロー
ブ測度論は、その後の超準解析の発展に寄与し、本論文はその応用にあたる。
本論文は3つの章から構成されており、第1章では超準解析の議論に必要な事を簡単に述べ、
第2章では超準解析の応用として知られているローブ測度空間とルベーグ測度空間の対応について、結
果のみ述べる。そして最後の第3章では、本論文の題名にもなっている一般の汎関数空間上のFourier
変換、但しdomainが測度空間の場合について述べる。
§2.スタンダードな世界との対応例,区間[0,1]上のルベーグ積分
ルベーグ測度をローブ測度として構成してみる。簡単のため、区間[0,1]で考える。
[2.1定義](ルベーグ積分におけるもちあげ)
第3章 一般の汎関数空間上の無限小Fourier変換
この章では一般の汎関数空間上の無限小Fourier変換について述べるが、特にdomainが測度空間の場
合について考える。
(引用終り) こういう議論についてこれない （文系）High level people は、28へどうぞ
あそこは、完全に煮詰まっているから歓迎されるだろう https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_A._Loeb
Peter Albert Loeb is a mathematician at the University of Illinois at Urbana?Champaign. He co-authored a basic reference text on non-standard analysis (Hurd?Loeb 1985). Reviewer Perry Smith for MathSciNet wrote:
This book is a welcome addition to the literature on nonstandard analysis.[1]
The notion of Loeb measure named after him has become a standard tool in the field.[2]
Loeb, Peter A. "Conversion from nonstandard to standard measure spaces and applications in probability theory". Trans. Amer. Math. Soc. 211 (1975), 113?122.
http://www.math.uiuc.edu/~loeb/
Peter LoebDescription: C:\Users\Peter\Desktop\image002.jpg
Department of Mathematics
University of Illinois at Urbana-Champaign ２８の失敗は、コテ付けなかったことかな
だれの発言かわけわからん
せめて片方がコテつけていれば、かなり分かり易かったろう 結局なんにも証明されていないんじゃない？
議論がよく見えないが >>109
>H.Jerome.Keisler教授が無料のpdfを自らのホームページでアップロードしている。およそ900ページの超大作である 。(それでいて、freshmanのために執筆したと書いてある!!)
https://www.math.wisc.edu/~keisler/
H. Jerome Keisler
Vilas Professor of Mathematics Emeritus
University of Wisconsin
Publications
https://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach
Chapter 1 Real and Hyperreal Numbers https://www.math.wisc.edu/~keisler/chapter_1b.pdf
The whole book in one large file (25 megabytes) https://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc-12-20-15.pdf
Foundations of Infinitesimal Calculus (2007) https://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html
https://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.pdf >>122
＞The whole book in one large file (25 megabytes) https://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc-12-20-15.pdf
これいいわ
図が多い
ビジュアルやね >>122-123
ぱらぱら見たけど
およそ900ページの超大作は、Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach The whole book in one large file (25 megabytes) https://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc-12-20-15.pdf
の方だが、これは普通のElementary Calculusと変わらんが、デルタイプシロンでなく、ノンスタ使いましたという感じだな
Foundations of Infinitesimal Calculus (2007) https://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.pdf
こちらの方が、ノンスタ深入りしているね >>105-106
> X1，X2，X3，… が独立変数であるにもかかわらず
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/40
> 極限を考えても、同値s ～ r は不変だ
極限をとらずに(可算)選択公理を使って無限数列の全ての数字を指定すると
上の同値が不変であることは言えなくて同値類は変化する
>>106
> 「P(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
> (2)から(1)が導かれてしまったので
この極限に相当する部分を箱に入れた数字では示せないから数当てにおいては
全ての箱が独立であるようには扱えない
スレ主の「極限を考えても、同値s ～ r は不変だ」ではk < d < ∞でkの極限をとっている
(要は決定番号がdの時にd以下の項akを用いてはさみうちの原理を使う)
一方時枝記事の極限はk, dを固定してk < d < d+1 < ... < d+k'とした場合に
ad, a(d+1), ... , a(d+k'), ... が共通の性質を持つようにk'の極限を定義していて
常に極限をとることができるので「有限の極限として間接に扱う」に反しない
同値類が変化するから決定番号が無限大であることは考えなくてもよくて
決定番号がdとなるような無限数列に対して別の無限数列(1, 2, ... , d-1, d, 0, 0, ... )
を対応させることが可能でこの数列で決定番号の比較をすればよい
上の数列を集合として考えれば{0, 1, 2, ... , d-1, d}となって有限集合になる
100列の場合は100個の有限集合{0, 1, ... , d_1}, ... , {0, 1, ... , d_100}の
包含関係を全て求めればよく結局決定番号の分布を考えずに単に100個の自然数
d_1, ... , d_100の大小を比較することになって「確率は99/100」 突然ですが、ねこブームというが、人もトキソプラズマによって性格を変えられているのかも・・
http://news.livedoor.com/article/detail/9940433/
体内に寄生して性格をゆがめさせるトキソプラズマの恐怖 ライブドアニュース 2015年3月27日
(抜粋)
人間の体内にも寄生している寄生生物が宿主の行動や性格をゆがめていることが判明 2015年3月27日 GIGAZINE（ギガジン）
ネズミやネコ、人間などあらゆる生き物の脳に寄生し、宿主の行動をねじ曲げたり健康に害を及ぼすという恐るべき寄生生物が「トキソプラズマ」です。どういった生き物でどのような影響を及ぼすのかについて、インディアナ大学医学部にて教授を務めるグスタボ・アリサバラガ氏とビル・サリヴァン氏が明かしています。
ネズミはネコに対して根本的な恐怖心を抱いています。これは、ネズミを「死」から守るための感覚なのですが、不運にもネズミにはもうひとつ、恐るべき敵が存在します。それが単細胞生物の「トキソプラズマ」で、これは寄生したネズミの最も根本的な生存本能である「ネコに対する恐怖心」を感じなくさせてしまうという恐るべき寄生生物です。
トキソプラズマが寄生するのはネズミだけでなく、陸・海・空のあらゆる恒温動物に寄生し、もちろん人間にも寄生します。科学者によれば、世界中でトキソプラズマに寄生されている人間はなんと30億人も存在するとのことです。
アメリカでは5人に1人がトキソプラズマに寄生されていると言われており、国によってはその寄生率が95％に達するところも存在するそう。ただし、ほとんどの人の場合、トキソプラズマに寄生されても何の症状も現れないことも明らかになっています。
しかし、最近の研究ではトキソプラズマは恒温動物の脳内の分子構造を改造していることが明らかになっており、研究者の中にはトキソプラズマが人間の健康状態や性格をゆがめる作用を持っている、と提唱する人も現れています。
◆トキソプラズマがネズミの行動をねじ曲げる
つづく つづき
ウェブスター博士はこの「ネズミがネコにすり寄っていく現象」について調査を行い、これはネズミの体内に寄生するトキソプラズマが終宿主であるネコの体内に移動するためにネズミを操っているのではないか、と推測しました。その後の複数の研究から、トキソプラズマは神経作用と遺伝子発現によりネズミの行動を変えてしまうことが判明しています。
ある実験では、トキソプラズマに感染したネズミと感染していないネズミにネコのニオイをかがせてその反応を調査しています。この実験ではトキソプラズマに感染していないネズミが周囲を警戒し始めたのに対し、感染しているネズミは全く警戒心を示さなかったそうです。
さらに、2011年にスタンフォード大学で行われた研究では、トキソプラズマに感染したネズミがネコのニオイに性的に興奮して引きつけられる、ということも明らかになっています。
(引用終り) 突然ですが、ねこブームというが、人もトキソプラズマによって性格を変えられているのかも・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%82%AD%E3%82%BD%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%BA%E3%83%9E%E7%97%87
トキソプラズマ症
(抜粋)
感染経路
人間への感染経路としては、シストを含んだ食肉やオーシストを含むネコの糞便に由来する経口感染が主である。オーシストは耐久性があるので、直接糞便に接触しなくても、土壌を経由して野菜や水を汚染する場合がある。その他に妊婦から胎児への経胎盤感染がある。
食肉
おそらくほぼ全ての哺乳類・鳥類がトキソプラズマに感染する可能性があり、したがって食肉は種類によらず感染源になりうる。とくに羊肉・豚肉・鹿肉など、高頻度にシストが見付かるものもある。感染動物由来の食肉を生食したり加熱が不十分だったりすると、感染の原因となる[2]。
ネコ
例えばネコの糞便中のオーシストが付着した物質を食餌としてネズミが食べることで感染し、ネズミの体内に形成されたシストはネコがネズミに噛み付くことで取り込まれる、という具合に生活環が成立していると考えられる。人間への感染経路としては、飼い猫のトイレ掃除、園芸、砂場遊びなどで手に付いたオーシストが口に入ることが考えられる。
トキソプラズマの慢性感染が宿主に影響を与えるという研究報告がいくつかある。
疫学的な研究により、トキソプラズマ陽性だと男児が生まれやすいという結果が得られている[3]。
トキソプラズマに感染したマウスはネコを恐れなくなる（猫の尿の匂いに引き寄せられるようになる）。これはネコを終宿主とする原虫にとっては都合がいいと思われる。詳しい機構はわかっていないが、ドーパミン量が多くなっていることと関係があるかもしれない[4]。
トキソプラズマの慢性感染によりヒトの行動や人格にも変化が出るとする研究例はかなりある。男性は反社会的に女性は社交的になる、男性はリスクを恐れなくなる・集中力散漫・規則破り・危険行為・独断的・反社会的・猜疑的・嫉妬深い・女性に好ましくない、逆に女性は社交的・ふしだら・男性に媚びをうる、などなど[5]。
免疫系が正常でも妊娠している場合には別の注意が必要になる。妊婦が虫血症になると、原虫は胎盤に移行し、そこから胎児に伝染する可能性があるためである。
(引用終り) >>125
ねんちゃく（文系）High level people か
何を言っているのか、文系レベルが高すぎて分からない
>極限をとらずに(可算)選択公理を使って無限数列の全ての数字を指定すると
>上の同値が不変であることは言えなくて同値類は変化する
多少は勉強したのか？
極限は取り方が決まれば、その極限（値）は ほぼ一つだが
(可算)選択公理は、自由度があるから、自分がどういう選択するか、それは自分で決めるし決められるんだよ。いいか？
だから、「同値類は変化する」というけれど、それは変化するように自分がしただけのことで、変化しないようにもできるよ
>> 「P(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
>> (2)から(1)が導かれてしまったので
>この極限に相当する部分を箱に入れた数字では示せないから数当てにおいては
>全ての箱が独立であるようには扱えない
"箱に入れた数字では示せない"ということと
”箱が独立”とは全く別概念だよ。定義も違うだろ
>一方時枝記事の極限はk, dを固定してk < d < d+1 < ... < d+k'とした場合に
>ad, a(d+1), ... , a(d+k'), ... が共通の性質を持つようにk'の極限を定義していて
話が文系すぎる
”共通の性質を持つ”とは何か？
>同値類が変化するから決定番号が無限大であることは考えなくてもよくて
話が文系すぎる
なぜ？ なにゆえ同値類が変化する？
>結局決定番号の分布を考えずに単に100個の自然数
>d_1, ... , d_100の大小を比較することになって「確率は99/100」
それで良いと思うなら、２８に書きな
２８は煮詰まっちゃったから、Tさん歓迎してくれるぜ
ただ、その程度で話しが済むなら、さすがのTさんもさっさと証明を得ているだろうさ（＾＾
ともかく、早く２８へどうぞ
粘着は、もはやあなた一人だよ おっちゃんです。
算数の一方的な教育法や一方的な教育論を主張する人物の中には、
スレ主より数学的感覚が悪いと見られるような人物がいることを確信した。
しかも、読解力がなさ過ぎて、証明の概念に欠けていて、書いてあるものを信じて、
数学書を盲信するなどというバカなことをいい出す。
大学以上の話になると途端に付いていけなくなり、悪意に満ちたことをいい出す。
お前ら、算数の一方的な教育法や一方的な教育論を主張している連中な、
そんな下らんことを主張しているならな、もっと大学以上のマトモな数学の話をせいと。
そういうことへの姿勢については、まだスレ主の方がマトモだな。
以上、おっちゃんのスレ主へのボヤキです。 >>130
おっちゃん、どうも。スレ主です。
援護射撃ありがとう
たすかるよ（＾＾
うれしいね（＾＾ >>129
(同じ類に属する2つの数列の差をとるとシッポは0になるので)
シッポが0である数列でシッポの0の数当てをする場合を考える
(ルール上は許されないが)シッポが0でない数列を出題すればシッポの0が存在しないので
数当ては失敗する
たとえば√2の小数表示から無限数列を作ればシッポは0でないのでこれを数当てが失敗する
無限数列とする
> 極限は取り方が決まれば、その極限（値）は ほぼ一つだが
√2の小数表示から作った無限数列が極限値になるようにすると極限をとった場合に
シッポが0である数列のみを出題するルールであれば極限値は出題可能な無限数列の中には存在しない
> なぜ？ なにゆえ同値類が変化する？
2つの数列の差をとった無限数列が√2の小数表示から作った無限数列であればシッポは
0でないので2つの数列の属する類は異なる
その場合は違う類の代表元で差をとりなおしてシッポを0にして決定番号を求めることになる
>「同値類は変化する」というけれど、それは変化するように自分がしただけのことで、変化しないようにもできるよ
> (可算)選択公理は、自由度があるから、自分がどういう選択するか、それは自分で決めるし決められるんだよ。いいか？
決定番号が無限大であるような無限数列を(可算)選択公理で選ぶことはできないから
数列が属する類が変化しないようにするにはシッポの0が開始する位置を自分で具体的な値d(自然数)で指定した
無限数列を(可算)選択公理で選んでそれを極限値にすることになる >>134
ID:EwkKBBRbさん、端的に言って勉強不足だろ？ おっちゃんの>>130「読解力がなさ過ぎて、証明の概念に欠けていて、書いてあるものを信じて」に同意
>決定番号が無限大であるような無限数列を(可算)選択公理で選ぶことはできないから
無限大と無限数列と(可算)選択公理の理解が、ぐしゃぐしゃやね
ここ分かってないね
あのな、丁寧に説明するからね
１．ｙ＝1/x という関数を考える。
２．ｘの定義域として、ｘ＝n ∈N 。つまり、自然数全体 [1,∞)の半開区間。値域ｙは、(0,1]だ。
３．さて、ｘの定義域として、正の実数つまり(0,∞)を考えると、値域ｙは(0,∞)だ。ｙ＝1/xは、ｘとｙの入れ替えで対称だ
４．何が言いたいか？
１）正の実数は個々の集合の元としては、有限だけれども、値域としては∞つまり(0,∞)なのだ。
２）自然数全体 [1,∞)で考えても同じだ。(可算)選択公理でいくらでも大きい数を選ぶことができる。勿論超準で∞の元が存在すれば、それも選択可。
３）いま、勿論超準でなく∞の元は存在しないから、∞を考えるとき、極限を使うんだ
まあ、理系なら常識だがね
これが分かれば、あとは自力で分かるだろう >>135
> 極限を使うんだ
そのときの極限値となる無限数列はどうやって選びますか？
また2つの数列の差の極限値である無限数列を選んだときに2つの数列が同じ類に属すること
をどうやって示しますか?
時枝記事の極限はk'を自然数とすると
a1, a2, ... , a(d-1), a((d-1)+1)(=0), a((d-1)+2)(=0), ... , a((d-1)+k')(=0)
のk'に関して極限をとることと同じなので極限値のシッポはad=0, a(d+1)=0, ... となる
よって2つの数列の差をとった場合は決定番号はdであってシッポは全て0になるので
2つの数列が必ず同じ類に属することが示される >>136
その前に
自然数全体N=[1,∞)で、n∈Nで、ｎは有限だけれども、N=[1,∞)は無限集合
同様に、正の実数R＋=(0,∞)で、0<r∈R＋で、rは有限だけれども、R＋=(0,∞)は無限大まで伸びる数直線の半分の集合
これをまず、よく理解して >>136 つづき
これが理解できたら、決定番号 dも同じだってことを理解すること
つまり、決定番号 dは、集合の元としては有限だけれども、決定番号の集合としては、[1,∞)なのだ
つまり、決定番号の集合としては、可算無限であり、決定番号 dは自然数全体を渡るってこと
ここの理解があやふやだから、議論がかみ合わないし、議論のレベルが低いままなんだよ！ >>138
つまり、時枝>>2「箱がたくさん，可算無限個ある」
だから、決定番号dは、集合の元としては有限だけれども、決定番号の集合としては、[1,∞)なのだ
決定番号の集合としては、可算無限であり、決定番号 dは自然数全体を渡るってこと
ここの理解があやふやだから、議論がかみ合わないし、議論のレベルが低いままなんだよ！ >>139
> 決定番号の集合としては、[1,∞)なのだ
異なる決定番号が可算無限個ある状況を考えれば決定番号の最大値は存在しないので
[d_min, ∞)となるが有限個(100列の箱なら高々100個)なら最大値は必ず存在しますよ >>140
ねんちゃく（文系）High level people
結局、Tさんもそのレベルから脱することができなかった
どうぞ、２８へ。同じレベルで議論してください
>> 決定番号の集合としては、[1,∞)なのだ
>異なる決定番号が可算無限個ある状況を考えれば決定番号の最大値は存在しないので
>[d_min, ∞)となるが有限個(100列の箱なら高々100個)なら最大値は必ず存在しますよ
いいかな
あなたはいま、決定番号dの確率を考えるとき、決定番号dは任意の実数、つまり、d∈Nから任意に取ってくれば良いと考えている
だが、本当はそれでは足りないが、ここではまず、”d∈Nから任意に取ってくれば良い”としてみよう
100個の決定番号d1,d2,・・・,d100 を考えてみよう。d1,d2,・・・,d100の分布は、いわゆる裾の重い分布（下記）さえも超えている＊）
（注 ＊）いわゆる裾の重い分布は、∞で減衰するが、この場合でもd1,d2,・・・,d100の分布は減衰しない！ ）
だから、任意に選んだ決定番号d1,d2,・・・,d100の分布は、平均値も持たないし、分散も持たない
大数の法則も成立しないし、中心極限定理も不成立
ここらは、（文系）High level people ではもうついてこれないだろうが、先に進む
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A3%BE%E3%81%AE%E9%87%8D%E3%81%84%E5%88%86%E5%B8%83
裾の重い分布あるいはヘヴィーテイルとは、確率分布の裾がガウス分布のように指数関数的には減衰せず[1]、それよりも緩やかに減衰する分布の総称。 また類似の用語に、ファットテイル、裾の厚い分布、ロングテール、劣指数的(subexponential)などがある。
(引用終り)
つづく >>141 つづき
ところで、「本当はそれでは足りないが、ここではまず、”d∈Nから任意に取ってくれば良い”としてみよう」と言ったことについて解説する
100個の決定番号d1,d2,・・・,d100の分布は、多項式の集合（多項式環）K[x]から、任意に選んだ多項式の次数と考えることが、もっとも適切な例えになっている
記号を用意しておこう。 m次多項式 p = p m X^m + p (m - 1) X^(m - 1) +・・・+ p 1 X + p 0, mの範囲は[１,∞)とする
イメージをクリアにするために、文字mを使って書き換えると
100個の決定番号m1,m2,・・・,m100の分布を考えることになる
ところで、いま簡単な考察のために、係数は0～9までの10個の数に限定されているとする
１次多項式 p 1 X + p 0は、100通り
２次多項式 p 2 X^2 +p 1 X + p 0は、1000通り
m次多項式 p = p m X^m + p (m - 1) X^(m - 1) +・・・+ p 1 X + p 0 は、10^(m+1)通り
・
・
・
となる。つまり、多項式の集合（多項式環）K[x]から、任意に選んだ多項式の次数は、次数が高い場合が圧倒的に多い。ランダムに選べば、高い次数しか出ない
係数は0～9までの10個の数に限定してさえそれで、係数を0～99とか、自然数全部なら0～99・・・となる
となれば、作為的に選ばない限り、次数の低い多項式を選ぶ確率は、限りなくゼロだ
自然数全部という可算無限の係数でさえそれで、任意の実数だと非加算無限だぜ
だから、（文系）High level people のために、やさしく解説すれば
任意の実数を係数とする３次多項式の集合を考えて、そこから、ランダムに選べば、３次式以外は出ないってこと
つまりは、「多項式の集合（多項式環）K[x]から、任意に選んだ多項式の次数の分布は、裾が減衰しないどころか、発散してしまう分布なのだ」と
ここを、よく反芻して考えて下さい
分からない場合は、２８で（文系）High level people 同士でお願いしますよ
よろしく >>141 訂正 スマソ
あなたはいま、決定番号dの確率を考えるとき、決定番号dは任意の実数、つまり、d∈Nから任意に取ってくれば良いと考えている
↓
あなたはいま、決定番号dの確率を考えるとき、決定番号dは任意の自然数、つまり、d∈Nから任意に取ってくれば良いと考えている >>142
>任意の実数を係数とする３次多項式の集合を考えて、そこから、ランダムに選べば、３次式以外は出ないってこと
＜補足＞
３次多項式 p 3 X^3 +p 2 X^2 +p 1 X + p 0は、10000通りで
p 3 ＝0のときは、２次多項式以下になって、その場合は一桁少ないということを言っている
本当は、細かくは、場合分けが必要だが
ここでは、概算で確率を考えているので、細かい場合分けは無視してよいとしている。あしからずご了承ください。 ＞だから、任意に選んだ決定番号d1,d2,・・・,d100の分布は、平均値も持たないし、分散も持たない
＞大数の法則も成立しないし、中心極限定理も不成立
を仮定すると
＞最大値は必ず存在しますよ
を否定できるのは何故？ >>133
> http://alg-d.com/math/kan_extension/sheaf.pdf
>第0章 圏論入門 例: 位相空間上の層 PDF版
(抜粋)
"例1. U 2 OX に対してP(U) := {f : U → R | f は連続} とする．U, V∈Ox，U⊂V
のとき，f∈P(V ) に対してΡuv (f) := f|U と定義すれば写像Ρuv : P(V ) → P(V ) を
得る．このとき?P, ? は前層である．
例2. 今度はU∈Ox に対してP(U) := {f : U → R | f は定数関数} とするとこれも
例1 と同じ により前層となる．
例3. X がC1 級多様体の時，U∈Ox に対してP(U) := {f : U → R | f はC1 級
関数} とすればこれも例1 と同じΡ により前層となる．"
"例5. 例1 の連続関数がなす前層の場合だと，条件1 は「局所的に値が一致する関数は
同じ関数である」という意味であり，条件2 は「局所的に定義された関数が，共通部分で
値が一致しているならば，それらを貼り合わせて全体で定義された関数を作ることができ
る」という意味である．よって連続関数がなす前層は層であることが分かる．同様に例3
の前層も層である．
例6. 一方，定数関数がなす前層(例2) は層でない場合がある＊）．例えば位相空間X におい
て，開集合U, V∈Ox でU ∩ V = Φ となるものが存在するとする．P を定数関数がなす
前層として，fU∈P(U)，fV∈P(V ) をfU とfV の値が異なるようにとる．U ∩ V = Φ
だから，fU とfV は「U ∩ V 上で値が一致」している．故にP が層だと仮定すると，層
の条件2 よりf∈P(U [ V ) でf|U = fU，f|V = fV となるものが存在しなければなら
ないが，明らかにそのようなf は存在しない．故にP は層ではない．"
(引用終り)
「例6. 一方，定数関数がなす前層(例2) は層でない場合がある」などについて
野口本「多変数解析函数論」では、P26「1.3.3 色々な層」の節で扱っているが
定数関数は、連続関数（もちろん微分可能）でもあるという立場で、扱っている＊）
さらに、書きぶりが微妙に違う
野口本では、完備な前層が得られ、誘導されて層ができると
野口本が正確な記述だろう
つづく つづき
つまり、前層は開集合（位相）によるが、層は開集合（位相）によらないという違いがある
前層は開集合（位相）により複数存在するが、層は一つである
だから、野口本が正確な記述だろう
＊）例6の主張がよくわからないが、「定数関数は、連続関数（もちろん微分可能）でもある」という立場であれば
例6は、不連続関数の例に変えるのが良いだろうと思う
あと、前層と層の違いも、野口本のように、明確にするのが良さそうだ
おわり >>145
そのレベルの議論は、２８でやってほしい
ねんちゃく（文系）High level people 同士で
>＞だから、任意に選んだ決定番号d1,d2,・・・,d100の分布は、平均値も持たないし、分散も持たない
>＞大数の法則も成立しないし、中心極限定理も不成立
>を仮定すると
>＞最大値は必ず存在しますよ
>を否定できるのは何故？
あのね
確率を考えるのだからさ
ある特定の例えば、｛1,2,・・・,100｝という集合を考えるのではなく、
全ての{m1,m2,・・・,m100}という組み合わせを、漏らさず考える必要があるんだよね
分かる？
全ての{m1,m2,・・・,m100}という組み合わせを漏らさず考えるならば、{m1,m2,・・・,m100}の平均値に上限はなく、従って分散も求められない
もちろん、個々の変数m1,m2,・・・,m100にしても、同じことが言えるんだよ
分かる？ 任意に選「び得る」100個の自然数ならそうだが
任意に選「んだ」100個の自然数には最大値が存在するのでは？
＞だから、任意に選んだ決定番号d1,d2,・・・,d100の分布は、平均値も持たないし、分散も持たない
↑をどう読んでも後者に読めるんだが 大栗先生などもよく言及する（下記）”トイモデル”という考えがある
まあ、簡単な模型で考えようと
http://www.jps.or.jp/books/gakkaishi/2016/08/71-08trends.pdf
数え上げ不変量の母関数から見えてくるもの 一方 著 日本物理学会 ?2016
(抜粋)
6. おわりに
位相的場の量子論が提唱されてから，すでに4 半世紀以
上が経過しました．拡大された超対称性ゲージ理論から得
られる位相的ゲージ理論の最近の研究は，超対称ゲージ理
論のインスタントン効果や双対性が共形場理論や可積分系
の理論における量子群対称性のq-変形や楕円型拡張の問題
と深く結びつくことを明らかにしつつあります．7） また位
相的弦理論も量子重力理論のトイモデルとして示唆的な成
果をあげており8）位相的場の量子論の研究は当初の予想以
上の大きな拡がりを見せています．
(引用終り) >>149
そのレベルの議論は、２８でやってほしい
ねんちゃく（文系）High level people 同士で
>任意に選「び得る」100個の自然数ならそうだが
>任意に選「んだ」100個の自然数には最大値が存在するのでは？
>
>＞だから、任意に選んだ決定番号d1,d2,・・・,d100の分布は、平均値も持たないし、分散も持たない
>↑をどう読んでも後者に読めるんだが
トイモデル１
・>>144の３次多項式 p 3 X^3 +p 2 X^2 +p 1 X + p 0は、係数を0～9までの10個の数に限定して、10000通りで
・p 3 ＝0のときは、２次多項式以下になって、その場合は一桁少ない(1/10)
・さて、係数を0～k（k>>10）の自然数とする。同様に考えると、全体でk^4通りで、 p 3 ＝0のときは、２次多項式以下になって、その場合は1/kに過ぎない
・ここで、kを大きくしてk→∞の極限を考えると、２次多項式以下を選ぶ確率はゼロに近づく。つまり、３次多項式のみが選ばれる
・簡単のため、二つ、上記３次多項式の集合からランダムに選ぶとすると、どちらも３次多項式だから、{3,3}という組み合わせになる。この確率はほぼ100%。
・だから、もし裾の軽い例えば正規分布なら、二つに大小があって、片方が最大になる確率は50%になるべきところ、上記例ではそうならないのだよ
トイモデル２
・>>142 m次多項式 p = p m X^m + p (m - 1) X^(m - 1) +・・・+ p 1 X + p 0, mの範囲は[１,∞)とする
・いま、さらに簡単のために、mを有限の値に固定し、例えば1万とする。
・トイモデル１で考えたように、1万次以下の多項式の集合で、係数の集合を（0～9でなく）大きくして考えると、ランダムに選ぶ元（多項式）はほとんどすべて上限の1万次多項式を選ぶことになる
・ここで、mを大きくしてm→∞の極限を考えると、同様にランダムに選ぶ元はほとんどすべて上限のm次多項式を選ぶことになり、次数mは∞に発散してしまう
・だから、同様に簡単のため、二つ、上記m次多項式の集合からランダムに選ぶとして、時枝>>2のように「箱がたくさん，可算無限個」を前提とするなら、m→∞の極限を考えると、二つとも∞に発散して、二つの大小は考えられないよ
つづく つづき
これについては、過去なんども繰り返しTさんに説明したが、理解できなかったようだ
トイモデル１とトイモデル２を反芻して考えて下さい。もし、ここで議論する気があるなら
だが、おそらく貴方にはそれは無理だろうから、どうぞ、そのレベルの議論は、２８でやってほしい
私は、あそこには直接介入はしません。この場所から見ていますので、どうぞよろしく
おわり >>150 訂正
数え上げ不変量の母関数から見えてくるもの 一方 著 日本物理学会 ?2016
↓
数え上げ不変量の母関数から見えてくるもの 菅野浩明〈名古屋大学大学院多元数理科学研究科 著 日本物理学会 2016 MaxN は存在しない
Max{n_i∈N|i∈{1,2,...,100}}は存在する
ここまで同意？ >>154
ID:YRy6neuZ さん、悪いが、あなたはしょせん、（文系）High level people でしかないんだ
レベルが、理系から見て、理系の高校以下だよ
理系の大学教育を受けた人間なら、無限大にたいする感性も、もうちっとはましなセンスを持っているよ
悪いが、そのレベルの議論に時間を費やす趣味はない
今回で打ち切らせて貰う
あと、そのレベルの議論は、２８でやってほしい。（文系）High level people 同士で
> MaxN は存在しない
Yes and Noだ
Yes：通常の自然数、実数の範囲で
No：超実数あるいは拡張実数を考えることは可能だ（例えばリーマン球の北極を∞として、複素球面を実数の数直線に限定するモデル（大小は正の実数限定で定義）でも可）この場合Noだ
２１世紀の現代数学の立場では、必要とされる適切なモデルを選べばいいだけの話だ（下記参照）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0 拡大実数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0 超実数
>Max{n_i∈N|i∈{1,2,...,100}}は存在する
>ここまで同意？
Yes and Noだ
ある有限集合{n_i∈N|i∈{1,2,...,100}}に対しては、Yesだ。
但し、n_i＝n_j ∀ i,j∈{1,2,...,100} となる場合がありうる。>>151のトイモデル１だ
この場合、最大値を取る確率で、 ２列で1/2とか、１００列で1/100という確率計算は不成立
一方、Noの場合として、>>151のトイモデル２で考察したように、ある有限集合{n_i∈N|i∈{1,2,...,100}}についてこれをsi={n_i∈N|i∈{1,2,...,100}}と名前を付けたとして
すべてのsiの組み合わせを元として含む集合Sを考える必要があるよね、時枝>>2-3の確率を考える場合には
繰り返すが、>>151のトイモデル２で考察したように、 m次多項式 モデルで考えると、>>148に示したように、全ての{m1,m2,・・・,m100}という組み合わせを考えると
次数m→∞の極限を考えれば、{m1,m2,・・・,m100}はすべて発散してしまうから、この場合はNoだ
以降、時間の無駄なので、この問題であなたには応答しない
あしからず ＞No：超実数あるいは拡張実数を考えることは可能だ（例えばリーマン球の北極を∞として、複素球面を実数の数直線に限定するモデル（大小は正の実数限定で定義）でも可）この場合Noだ
maxNが存在するという主張ですね？
ではそう仮定してみましょう
maxの定義から
maxN∈N、maxN+1∈/N
一方自然数の公理と maxN∈N から
maxN+1∈N
あなたの主張から矛盾が導かれましたが、これをどう説明しますか？ >>146 補足
>例1. U 2 OX に対してP(U) := {f : U → R | f は連続} とする．U, V∈Ox，U⊂V
>のとき，f∈P(V ) に対してΡuv (f) := f|U と定義すれば写像Ρuv : P(V ) → P(V ) を
>得る．このとき?P, ? は前層である．
>例2. 今度はU∈Ox に対してP(U) := {f : U → R | f は定数関数} とするとこれも
>例1 と同じ により前層となる．
>例6. 一方，定数関数がなす前層(例2) は層でない場合がある＊）．例えば位相空間X におい
>て，開集合U, V∈Ox でU ∩ V = Φ となるものが存在するとする．P を定数関数がなす
>前層として，fU∈P(U)，fV∈P(V ) をfU とfV の値が異なるようにとる．U ∩ V = Φ
>だから，fU とfV は「U ∩ V 上で値が一致」している．
多分、ここどこかのテキストからの引用だとおもうのだが・・
定数関数がなす前層(例2) で、「fU∈P(U)，fV∈P(V ) をfU とfV の値が異なるようにとる」というのが、定数関数だとできないように思うが
実際、野口本には、こんなへんなことは書かれていない
はて？ 山中慎太郎後藤象二郎芦田涼太郎出口伊太郎重田幸太郎赤木圭一郎黒倉健次郎高山陽太郎
若原健太郎橋本龍太郎橋本栄次郎田賀文次郎柏木竜太郎内山賢太郎有吉英太郎杉井慎太郎
小泉孝太郎小林健三郎本田宗一郎笹原信一郎佐野雄太郎桜庭健太郎有働良太郎早川優太郎
藤田浩司郎山田孝太郎山口祐一郎松本健太郎下村遼太郎副島金太郎石原粂三郎小菅正太郎
藤原翔太郎辻内英太郎笹山遼太郎甲斐鉄太郎吉田鋼太郎島田雄二郎丹羽貫太郎徳田耕太郎
大木金太郎薄田雄一郎向井源一郎永井誠一郎正木敬太郎今田甚太郎若槻慎太郎大倉誠二郎 >>146
おっちゃんです。
私は野口本より一松本を薦めるね。或いは今売られていない西野本か。
今話題になっている幾何についてのベルグマン核について載っている。
いわゆる、その話題の基になったフェマーンの定理に出て来るモノね。
一松本はいきなり層を導入するなどということはせず、後回しにしている。
解析が最初にあって、その後に、話題になっている幾何がある。
実解析(ルベーグ積分含む)のお勉強をしながら、層が出て来る意味を理解出来る。
そして、複素多様体が出て来る。このように、読み易い配列になっている。
一松本を読めば、解析(或る程度の楕円型境界値問題)、
確率論や複素幾何(複素多様体論)も勉強出来るような書かれ方になっている。
その後にヘルマンダーですな。但し、ポテンシャル論や代数の補足は必要か。
一変数複素解析の案外マニアックなことも載っている。このように、一松本はいいぞ。 >>146
野口本「多変数解析函数論」は一松本の題名じゃないか。
野口本は「多変数解析関数論」だろ。関数は昔は「函数」と書いたけど
今では「関数」と書くのが標準になっている。
あと、層は必要に応じて使うのが基本だから、層だけを理解しても余り意味はない。
出来る限り岡のやり方に従って書かれた方法で書かれている西野本では、層は一切使っていない。
層が必要になるのは、複素多様体や、シュタイン多様体に入ってからだな。 >>151
> 「箱がたくさん，可算無限個」を前提とするなら、m→∞の極限を考えると、二つとも∞に発散して、
> 二つの大小は考えられないよ
それだと決定番号の大小は数列の添字の大小だから極限を用いたら数列の順番が定まらないことになりますね
スレ主は任意の無限数列を出題することは(分布に関係なく)可能だと仮定しているのでしょう？
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/492
> 「無限数列の構成可能性は、分布とは無関係」なんだぜ・・・、おいおい
>>136の質問をもう一度
> 極限を使うんだ
そのときの極限値となる無限数列はどうやって選びますか？
また2つの数列の差の極限値である無限数列を選んだときに2つの数列が同じ類に属すること
をどうやって示しますか? >>146
>>160の
>野口本「多変数解析函数論」は一松本の題名じゃないか。
の部分について、今売られているのは「多変数解析函数論 復刻版」か。
実質的には、中身は昔の「多変数解析函数論」と殆ど同じなんだけど。 >>159
おっちゃん、どうも。スレ主です。
ベルグマン核ね
それ、あまり知らないんだ
>実解析(ルベーグ積分含む)のお勉強をしながら、層が出て来る意味を理解出来る。
>一変数複素解析の案外マニアックなことも載っている。このように、一松本はいいぞ。
そうなんか
>>160 >>162-163
>野口本は「多変数解析関数論」だろ。関数は昔は「函数」と書いたけど
そうそう、変換がおかしかっただけなんだ
どうもありがとう やあ素人さんお久しぶりです
どうしたのですか？「はじめまして」なんて言って
あとマルチはマナー違反ですよ ほい
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%83%81%E3%83%9D%E3%82%B9%E3%83%88
(抜粋)
マルチポスト（英: multi-post, multiple posting, multiposting）とは、同一の内容の文章を複数のニュースグループや掲示板に別の記事として投稿すること[1]。クロスポストとは区別される。
別の視点
Question book-4.svg この節は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（2016年7月）
Edit-find-replace.svg この節には独自研究が含まれているおそれがあります。問題箇所を検証し出典を追加して、記事の改善にご協力ください。議論はノートを参照してください。（2016年7月）
一方でナレッジマネジメント：「個人の知識を組織的に共有し、より高次の知識を生み出す」的な視点からの意見では、
あるコミュニティーでしかその書き込みを見ないユーザーもいる
コミュニティーごとに全く別の解決方法が提示される可能性がある
※この2つについては、「OKWave」や「Yahoo知恵袋」などのように書き込みに利用者登録が必要なケースが多く、複数のIDを持っていないケースもあることから。
コミュニティーの構成者別に様々な回答を得たいという気持ちがある
ため、マルチポストを容認してもいいと述べる趣旨の意見も挙げられる[要出典]。
その背景にある、インターネット自体が「ネットコミュニティや掲示板に集まる人の集合体」と捉えられていた時代から、「有名無名な人が保有する情報の集合体」というWeb2.0的な捉え方に移行しつつある事象を見逃すことはできない。
マルチポストを1コミュニティだけでなくネット全体のマクロな視点から見ると、回答が複数コミュニティに分散されたとしても、インターネットに集積されることに変わりはない、という主張である。
そして、Google等の検索エンジンを利用すればそうした情報を俯瞰的に見ることが可能なため、情報収集者にとっては知識が集積されたという事実が重要であり、マルチポストか否かは問題ではない。
またマルチポストに対しては否定する指摘や書き込みが同箇所になされる場合も多いが、それ自体本当に必要な情報を覆い隠すことになりかねないと嫌うネットユーザーも存在する[要出典]。 ほい
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/6099289.html
(抜粋)
質問者：UZUKI19
質問日時：2010/08/10 08:30
回答数：16件
マルチポストがネットマナー違反というのは近年では必ずしも該当しないのではという気がします。マルチポストする人がそれぞれのレスポンスをきちんとフォローすれば無問題なのでは？
No.16
回答者： noname#137256 回答日時：2011/07/01 14:41
マルチポストをマナー違反と捉えるのは、運営者側の立場のようですね。
No.15
回答者： nick2000 回答日時：2010/08/17 21:31
個人的な意見ですが、マルチポストはありだと思います。ただここの回答を全て見てみると、禁止な理由も確かに一理あると思いました。この質問も釣りとは全く思いませんね。
No.12
回答者： iwamahico7 回答日時：2010/08/11 18:27
ネット音痴な人間からの回答ですので トンチンカンな部分はあると思いますが、 リアルな世界の人間心理には詳しいので その観点から回答してみます。
マルチポストがマナー違反となってしまった理由が私にもよく解かりません。
No.10
回答者： siremono2496 回答日時：2010/08/10 13:18
少なくとも教えて！gooでは、マルチポストは規約で禁じられています。それに従えないのなら、マナー以前の問題です。
と言うのは一般論ですけど、単一の質問サイトでマルチポストを避けるべき理由は、一人の質問者がより多くの回答者を占有してしまうからじゃないですか？
No.9
回答者： Kules 回答日時：2010/08/10 10:54
現実社会、ネット上に限らず情報の収集源が多いに越したことはないと思います。
例えば現実社会で言うならば、
「ペットが逃げてしまいました。見つけた方は○○まで連絡をお願いします」
みたいなチラシって自分の家の壁にだけ貼っててもあんまり効果がなくって、
駅前の掲示板みたいなものに貼った方がみんなの目に留まって情報は集まりやすいでしょうし、
１つの掲示板だけでなくて近隣の駅の掲示板に貼った方が情報は集まりやすいでしょう。
(引用終り) まとめ
１．今回の>>165は、”数学的”wには「マルチポスト」の定義には、当てはまらない。
理由：単にポストの紹介にすぎないから
２．なお>>166”マルチ”の定義が不明だが(「マルチポスト」の意味だと思うが、数学的wには定義の確認が必要だ)
３．「マルチポスト」が嫌われた理由の個人的見解の解説
１）ユーザー側の理由：インターネット以前、電子掲示板（BBS）時代に、電話回線によるパソコン通信が主で、料金は定額制でなく、従量制だった。「マルチポスト」で無駄なお金が発生するため嫌われた。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%BB%E5%AD%90%E6%8E%B2%E7%A4%BA%E6%9D%BF
(抜粋)
電子掲示板（でんしけいじばん、BBS、英語: Bulletin Board System）とは、コンピュータネットワークを使用した環境で、記事を書き込んだり、閲覧したり、コメント（レス）を付けられるようにした仕組みのことである。単に「掲示板」と呼んだり、英語表記の略語で "BBS" と呼んだりする。
電子掲示板を利用すると、情報交換や会話・議論などを行うことができる。主に、パソコン通信やインターネットのウェブなどの上で実装される。掲示板を電子的に実現したようなものであることから、「電子掲示板」と名付けられた。
(引用終り)
２）運営側の理由：サーバー上の情報の重複、コミュニティー分類の混乱などか。いまや、後者の問題かも
３）公共的には：ネットリソースの無駄があるかも。しかし、テキスト情報だけなら、近年リソースの無駄をいうほどのこともないだろう。 補足
「マルチポスト」は、質問の投稿に限らない
例えば、あるニュースについて、全く同じ内容を（特に同じコミュニティー内に）複数箇所に投稿することは、料金が従量制だった時代には、無駄なお金が発生するため質問と同様に嫌われた >>165
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14169976784
ラグランジュの方程式論についての質問です。今回は三次方程式ax^3+bx... - Yahoo!知恵袋:
musokuzeshikiさん
2017/2/123:53:37
ラグランジュの方程式論についての質問です。今回は三次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0の解をx1,x2,x3とします。
ラグランジュは方程式の根の有理式Ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）の値を変える根の変換（S_3の元）は常に他の有理式G(x1,x2,x3)を変えるときには、ＦはＧの有理式として表されるということを証明しました。
さらにＧがS_nの置換によって取り得る値の個数は、n!の約数であることを示しました。そこでこれを用いてＦ（x1,x2,x3)=x1とし、f(t)をＧのすべてのとりうる値を根とする代数的に解ける補助方程式とします。
（こうするとカルダノの解法で使ったラグランジュ分解式x1+ωx2＋ω^2x3が求めるGであることを導けると書いてあります。）このときfのtに関する次数は6であると矢ヶ部さんの「ガロア理論（アイデアの変遷をめぐって）」p216に書いてあります。
ここには次のようにしめしています。
F(x1,x2,x3)=x1の値を変える置換は(12)と(123)と（132)と(13)の４つある。よってＧの取り得る値の個数は６の約数なので６しかない。なのでf(t)の次数は6と書いてあります。
しかし(12)と(123)は同じ値x2に写すのでこの二つの変換が異なるＧに移るというのはどうしてなのですか？ >>172
（回答）
１．f(t)は、その前の章のP206から出てくる。この第13章では、f(t)自身は出てこないね
２．さてＰ216で（f(t)＝） t^6+p1*t^5+・・・・+p5*t+p6 =0 と表現されている。これは、Ｇを根に持つ補助方程式なのだ
３．矢ヶ部 P218にあるように、三次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0の根 x1,x2,x3 の有理式で、一番簡単なのは１次式 t=Ax1+Bx2+Cx3
４．ガロアの論文にもあるように、根の置換（x1,x2,x3）は６つ。係数A,B,Cを適当に選べば、６つの置換ですべて異なるようにできる
∵６つの置換ですべて異なる値にならない組み合わせは、有限でしかないから。それ（異なる値を取らない場合）以外を選べば良い（ガロアの論文より）
５．係数A,B,Cは、当然全て異なる
∵例えば、A=Bなら置換（x1,x2）で同じ値になるから
６．いま、Ｇ（x1,x2,x3）= t= Ax1+Bx2+Cx3なのだ
置換(12)：Ax1+Bx2+Cx3→Ax2+Bx1+Cx3 ；異なるＧに移る（∵係数A,B,Cは、当然全て異なり、６つの置換ですべて異なるように定めたから）
置換(123)：Ax1+Bx2+Cx3→Ax2+Bx3+Cx1 ；異なるＧに移る（∵係数A,B,Cは、当然全て異なり、６つの置換ですべて異なるように定めたから）
７．「(12)と(123)は同じ値x2に移す」のは、F(x1,x2,x3)=x1の方だな
Ｇ（x1,x2,x3）= t= Ax1+Bx2+Cx3に対しては異なるよ
８．まあ、Ｇ（x1,x2,x3）が一番表現力があるというか、F(x1,x2,x3)より多くの異なる値を取るんだ
そう理解すれば良い >>159
おっちゃん、どうも。スレ主です。
一松本来た。いいね ざっと読んだ
読みやすいね
Ｐ133「層の概説」がいいね
分かり易いわ
”把”という用語が、”は”？？ なんだが（＾＾
独 bund とある。英語で、bundleか？ fiber bundle ？ ああ、底空間、射影、切断、・・・用語が共通だね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC%E6%9D%9F
(抜粋)
ファイバー束（ファイバーそく、fiber bundle、 fibre bundle）とは、位相空間に定義される構造の一つで、局所的に 2 種類の位相空間の直積として表現できる構造の事である。
定義
束（バンドル）
位相空間 E, B と、連続な上への写像
π : E → B
があるとき、E を全空間(total space)、B を底空間(base space)、π を射影(projection)、これらの組 (E,π,B) を束(bundle) という。
(E,B,π) のような順序で書かれる場合もある。
x ∈ B に対し、 Fx = π?1(x) を x 上のファイバー(fibre, fiber) という。
ファイバー束
座標束をここで述べるような同値関係で分類するとファイバー束が得られる。多様体において座標近傍系を極大座標近傍系にし、座標の取り方によらない幾何学を目指したのと同様に、座標束を座標近傍 {Ua} や座標関数 {φa} のとり方によらないように分類したものがファイバー束である。
つまりファイバー束を具体的に調べる際に、特定の開被覆を取って調べたりする場合、そこで調べているものは座標束ということになる。
切断
詳細は「切断 (ファイバー束)」を参照
ファイバー束 ξ = (E, π, B, F, G) に対して、連続写像
s : B → E
が、任意の x ∈ B に対し
π ・ s ( x ) = x
を満たすとき、 s を ξ の切断 (section, cross-section) あるいは、断面という。切断は必ずしも存在しない。
底空間上の点 x に対し s(x) が定まる。例えば多様体上のベクトル場であれば、多様体上の点 x に対しベクトル s(x) が対応する。逆に言えば、ベクトル場の集合がどういう空間に入っているべきかを考えたものがファイバー束（この例では多様体を底空間に持つベクトル束）である。
具体的な計算として座標束を考える時などには、座標近傍 Ua 上での切断が必要になる場合がある。 >>175 つづき
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/1/2/1_2_59/_pdf
多様体の概念について 秋月康夫 科学基礎論研究January Vo1. 1 No. 2 1955
(抜粋)
Ｐ９
そこで R(M) の代りに,各点(のと(x)における解析
的要素 f(x) (局所複素座標 x1 … xn による整級数)との
組( X, f(X)) の全体から成る集合(点 (x) をも M 上に
変えて)を取る.解析的な微分形式についても,また有
理型の微分形式(これは複素直線バンドル上の解析的微
分形式として)についても同様のものを取る.そしてか
かる体系に共通な性質をうまく抽象して得られたのが層
(Faisceau, Scheaf) の概念である.1)この層の概念の把
握により閉じた複素解析的多様体 Kahler 計量を許
すものではあるが一の理論は最近に飛躍的な発展を遂
げたのであり,これを成就した最も主要な人の一人はわ
が小平邦彦君であった.
層の定義を述べよう.
F が多様体 M 上の層とは
1. F は位相空間であり, F から底空間 M への一意
写像π(これを射影という)が存在する.即ち
PεF→ π(P)=xεM.
2. M 上の各点 (x) に対し, π の原像 Fx= π-1 (x)
は加群を作り, Fx の位相は F の位相について
分散的である.
3. PεF の近傍 U と, x= π(P)εM の近傍 π(U) と
は位相合同である.
4. Fx 上の加法は, P の位相について連続写像である.
これが層の定義である. M が複素解析多様体のとき,
解析的要素の集合は層を作るが,それは唯一つの層では
ないC∞ 一多様体上のC∞ 一函数の全体についても層を
考えることができる.そこで `解析的な層' だとか,‘C∞
の層,を考えることができるが,C∞ 一理論は層を要しな
いでも得られるものであるに対し,複素解析的理論は層
によって初めて明かになし得られたものである.
つづく つづく
この層の定義は H. Cartan によるが,それは岡潔君
の不定域イデアルの概念を基に抽象化し公理的に述べた
ものなのである.(尤も他方 Leray が別の立場から層を
考えてはいたが.)かかる不定域イデアルとか,層とかい
うような概念が生み出されざるを得なかった根本的な因
由は,実に n≧2 なることに存する. n=1 ならば問題は
なかった. η=1 ならば,複素直線( 即ちガウス平面)
の完備化(無限遠点を追加して閉じた面とする)は唯一
通りよりなくわれわれの慣れている数球面(即ち射影直
線)を取ることであるに対し, n≧2 の場合には複素ア
フィン空間の完備化は幾通りにも可能である.というよ
うに, n=1 と n≧2 とでは根本的な差があるのである.
n=1 ならば閉じていさえすれば,どんな複素解析的な
Riemann 多様体もすべて射影空間に入って了うが, n≧
2の場合には閉じていても,射影空間(どんなに高次元
にとっても)には入り得ないものが存在するのである
(これは直ぐ円環体で例示される). 即ち n≧2 では最早
や射影空間(といっても複素的射影空間であるが)は絶
対者ではあり得ない.すると射影空間に入るような閉じ
た解析多様体の特性如何という問題が直ちに提出されよ
うが,これに解決を与えたのが小平君である.
(引用終り) >>176 関連
Journal of the Japan Association for Philosophy of Science が、科学基礎論研究Januaryなんですかね？ はて？ まあつっこみはこの程度にしておこう
https://www.jstage.jst.go.jp/result?item1=4&;word1=%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%A6%82%E5%BF%B5%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6
[title in Japanese]
[in Japanese]
Journal of the Japan Association for Philosophy of Science
Vol. 1 (1955) No. 2
Released: September 04, 2009 59-66
Full Text PDF [1534K] まあ、層は、ファイバー束の視点と、圏論的視点と、多様体（位相空間、完全列、コホモロジー）の視点と
いろいろ視点を変えて見ると、面白いってことかな？ >>175 補足
>E を全空間(total space)、B を底空間(base space)、π を射影(projection)、これらの組 (E,π,B) を束(bundle) という。
この「組 (E,π,B) 」という考えは、現代数学だね
いろんなところで、登場する
集合の組みは、現代数学の定義の一つのスタイルだろう
遡れば、デデキントの実数の切断による定義とか、イデアルの集合を使う定義だとか
あるいは、時枝>>4に出てくる確率空間の現代的定義（下記）
モナド (圏論)も三つ組（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%96%93
確率空間（かくりつくうかん、英: probability space）とは、可測空間 (S, M) に確率測度 μ(S) = 1 を入れた測度空間 (S, M, μ) を言う。アンドレイ・コルモゴロフによる確率論の公理的構成から、現代においては、確率論は確率空間における確率測度の理論として展開される。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8A%E3%83%89_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)
モナド (圏論)
数学の一分野である圏論において、モナド（英語: monad）あるいはトリプル（英語: triple）とは（自己）関手と2つの自然変換の三つ組である。モナドは随伴関手の理論で使われ、半順序集合上の閉包作用素を任意の圏の上へ一般化する。
モナドという名前は、対応する圏を一般化するというモナドの動作に注目して、ソーンダース・マックレーンが哲学用語である「モナド」を借用した。[1] （文系）High level people が分かってないのが、無限に対するセンスだろう・・
理系大卒だと、おそらく普通に、解析（複素関数論－リーマン面）と量子力学はやるだろう
そこでは、「無限」は普通なんだよね
また、幾何をやると、非ユークリッドとか射影幾何（遡れば、ギリシャの円錐曲線論に行く）
ここでも、無限が顔を出すよ（位相空間論をやると、さらに高度なセンスを身につけるだろうが）
そこらが、（文系）High level people との決定的な無限に対するセンスの差になっているような気がする
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13159905188
リーマン球面について複素平面Cに、無限遠点｛∞｝をつけ加えることで得られる... - Yahoo!知恵袋:
rtpcr009さん 2016/5/3004:44:11
リーマン球面について
複素平面Cに、無限遠点｛∞｝をつけ加えることで得られる集合は、球面に位相同型なので、コンパクトであると聞きました。
いくつか、参考になりそうな書物など読み、確かに数学的には正しいのだろうということも分かりました。
ただ、とてつもない違和感があり、それは、無限遠点｛∞｝を付け加えているのだから、元の集合Cよりは、確実に大きな集合になっているのに、元の集合Cはコンパクトではないにも関わらず、コンパクトになるということです。
このような違和感を解消したいのですが、何かよい考えなどあれば教えて下さい。
anon_g1さん
2016/5/3012:25:10
昔、付け加える無限遠点は
「無限に広がった風呂敷をまとめるための結び目である」
と聞き、なるほど、と思ったことがあります。
そもそもリーマン球面の話では普通
北極から実際に射影で複素平面上に1:1対応を与える訳で(当然ご存知かと思います)、
球面上で唯一対応する点が複素平面上にはない北極を無限遠点として加えてやれば
コンパクトな球面と同相になる、というもの、
イメージとしてはとてもわかりやすい話だと思います。
1点コンパクト化と言われても何のことやらサッパリわかりませんが、
リーマン球面と拡張複素平面が同相というのは、とってもわかりやすいと思います。 一点コンパクト化：「無限遠点」は１点で足りる。これが理系のセンス
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1362429673
一点コンパクト化とは？ - 定義が理解できません... - 数学 | Yahoo!知恵袋:
tetsu_meitoさん 2011/5/16
ベストアンサーに選ばれた回答
takeboh1004さん 2011/5/1620:56:15
一番簡単な数直線(R;O)の1点コンパクト化について説明しましょう。
数直線に「無限遠点」ωを付け加えて、+∞側と-∞側を貼り合わせることを考えます。うまく位相O'を選べば、(R∪{ω};O')は単位円周S^1と同相になり、コンパクトでなかったはずの(R;O)がコンパクト空間に化けます。あとは位相を構成する方法を説明します。
まず、ωを含まない開集合としては、Rの普通の位相(O)と全く同じものを考えます。次にωを含む開集合としては、例えば
(a,∞)∪{ ω }∪(-∞,b)
のようなものを考えます。数直線の遠方をωの近傍と思うのです。厳密には、ωを含む開集合の族O_1を次のように定めます。
O_1 = { V | V⊂R∪{ω}, ω∈V, Vの補集合は(R;O)の位相の下でコンパクト }
このとき、任意のU∈OとV∈O_1に対してU∪V∈O_1, U∩V∈Oですから、両者をあわせた族O'=O∪O_1はR∪{ω}の位相になっています。得られた位相空間(R∪{ω};O')はコンパクトになっています（確かめてください） 射影による無限遠点の扱いも、理系では普通なんだ（＾＾；
http://mathtrain.jp/projectiveplane
射影平面の３通りの定義 | 高校数学の美しい物語: 2016/05/15
(抜粋)
射影平面とは
1．いつもの平面に無限遠点を加えたもの
2．半球を貼りあわせたもの
3．三次元空間中の原点を通る直線の集合
実射影平面という不思議な空間の3通りの見方を解説し，射影平面への理解を深めます。3つとも姿は違えど本質的には同じものなので，状況に合わせて都合のよいもの，分かりやすいものを使えばOKです。
3つとも同じということ
射影平面の3通りの姿を紹介しましたが，実はどれも「同じ」ということを大雑把に説明します。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%B9%B3%E9%9D%A2
数学における射影平面（しゃえいへいめん、英: projective plane）は、初等的な平面の概念を拡張する幾何学的な構成である。通常の平面においては、二直線は典型的には一つの点で交わるが、特定の直線の組（平行線）については交わりを持たない。
一つの見方として、射影平面は、通常の平面に平行線の交点として「無限遠点」を追加したものになっている。従って、射影平面では任意の相異なる二直線がただ一点において交わる。
射影平面の定義としてよく用いられるものが二種類ある。ひとつは線型代数学から来るもので、この場合の射影平面は、適当な古典群（英語版）に対する等質空間として与えられる。この場合の重要な例として、実射影平面（英語版）[1][2] RP2 および複素射影平面（英語版） CP2 が挙げられる。
後者はもっと一般の公理的幾何学（英語版）および有限幾何学の立場で定義することもできる。これは平面幾何学の接続的性質の研究に適している。
射影平面の概念は、もっと高次元の射影空間の概念に一般化される。射影平面は二次元の射影空間である。 無限遠点を付け加えて、コンパクト化したり
射影を考えたりする
その方が理論がすっきりまとまる
時枝問題>>2-3も同じかもしれない 28(（文系）High level people が時枝問題を論じるスレ)
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480758460/
結局、煮詰まって、どうにもならなくなったってことかよ
一体なにを論じて、何がわかったんだ？ まとめでも書いたらどうだ？ 時枝>>4より
独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…
これがもし、有限でX1，X2，X3，…，Xn なら、各独立な確率変数に真に独立。
他の箱の情報から情報は貰えない
例えば xi | ∀i∈{1，2，3，…，n} で、どの xiも当てられない
だが、独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，… なら、あるxi | ∃i∈{1，2，3，…，n,…}に対して、確率99/100で当てられると時枝はいう
だれが考えても、数学的にはそうはならない
だが、>>2-4では当てられるように見える
だから、正しい数学的定式化は、「時枝>>2-4は当てられないにも関わらず、なぜ当てられるように見えるのか」なのだ
そこが理解できない（文系）High level people たちだった >>178 関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%91%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E8%AB%96%E5%AD%A6%E4%BC%9A
科学基礎論学会（かがくきそろんがっかい、英語名：The Japan Association for Philosophy of Science）は、1954年2月[1]に設立された日本の学会。学会の趣旨は「科学の基礎に関する研究を促進し、海外の学界との連絡をはかり、斯学の向上発展に寄与すること」[1]。
学際的な学会であり、会員の専門分野の構成は、数学、哲学、論理学、物理学、心理学など、 多岐にわたる。2011年3月現在の会員数は一般会員約440名、名誉会員4名。
機関誌
詳細は「科学基礎論研究」を参照
機関誌として雑誌『科学基礎論研究』をおよそ年2回のペースで発行している。『科学基礎論研究』は学会設立と同年の1954年に創刊された[3]。
創刊当時の編集委員は下村寅太郎(哲学)、大江精三(哲学)、丘英通(生物学)、黒田成勝(数学)、末綱恕一(数学)、高木貞二(心理学)、三宅剛一(哲学)、山内恭彦(物理学)、湯川秀樹(物理学)であった[4]。2009年よりJournal@rchiveおよびJ-STAGEにて、雑誌本文がPDF形式で全文無料公開されるようになった（オープンアクセス化）。
http://phsc.jp/
科学基礎論学会: >>186 訂正
これがもし、有限でX1，X2，X3，…，Xn なら、各独立な確率変数に真に独立。
↓
これがもし、有限でX1，X2，X3，…，Xn なら、各独立な確率変数は真に独立。 昔、￥さんが言っていた「確率を複素数の概念で考える数学」
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/4265406.html
確率を複素数の概念で考える数学はありますか - 数学 解決済 | 教えて！goo:
質問者：kaitara1
質問日時：2008/08/20 18:09
量子力学には複素数が不可欠のようですが、普通の推計学でも複素数の概念で確率のことがよくわかるような例はないのでしょうか。
No.2
回答者： zk43 回答日時：2008/08/21 16:34
確率論の分野で複素数が出てくるものといえば、「特性関数」があります。
これは、確率変数Xに対してe^itXの期待値を考え、実数tの複素関数
と考えるものです。
e^tXの期待値を考え、実数tの実関数としての積率母関数があります
が、これは限られた範囲でのtでしか存在しない場合や、存在しない
場合もあるのに対して、特性関数は常に存在するので、取り扱いやすい
という面があります。
特性関数が一致する確率変数は同一の確率分布に従うことや、モーメン
トを計算することなどに使われます。
入門的な確率論の本では、参考程度に書かれていることが多いようです。
通常の、二項分布や正規分布などを考えている範囲では特性関数を
持ちだすまでもなく話が進むようなので、もう少しアドバンストな
方に行った場合に必要になるのではないかと思われます。 https://oshuichi.wordpress.com/2012/02/04/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%80%A4%E3%82%92%E3%81%A8%E3%82%8B%E7%A2%BA%E7%8E%87%E5%A4%89%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%88%86%E6%95%A3/
複素数値をとる確率変数の分散 | 徒然なるメモ:2012年2月4日
複素数値をとる確率変数の分散
学生のレポートを見ていたら，レポート課題の複素数値をとる確率変数の分散がわからないので数学の教授に聞いたら「普通複素数の分散はとらない」と言われたと書いてあった．
(学生の聞き方が下手あるいは理解不足だったことを祈ろう．)
電気を扱う学科では電気信号を複素数で表現することがある．たとえば，無線通信では信号の複素数表現を多用する．なので，複素数値をとる確率変数の分散は普通に定義されているし，頻繁に使用する．
工学では数学は道具ではありその研究が目的ではない．
工学部の学生に数学を教えるのなら，その道具が何故必要でどう使われるのか知っておいたほうが学生のためになる． http://www.ac.auone-net.jp/~nanyaka/belabela.html
リープグラフと複素確率 | Advent Calendar 2016 | DIY Mathematics |:
リープグラフの売りは，複素平面で記述するとき発揮される．複素平面では確率を0から1に限らなくてよいことはご存知だろうか．一般に事象Eが存在する複素確率P(∃E)をr+Iiとする．rが0から1のときはコルモゴロフの意味での確率である．Iはシャノンの情報量である．
ここで注意しておくが，シャノンの情報量も複素数にしてよい．Iは-logP(∃E)と表せるが，P(∃E)が複素数のとき，Iも複素数になる．-log(-x)=-log(-1)-log(x)であるから，実数-log(x)を実部に，純虚数-log(-1)を虚部にとる．なお，log(-1)は2πisと表せる．sは実部が1/2の複素数である． http://qa.itmedia.co.jp/qa1242893.html
質問！ITmedia - 正規分布の確率密度関数と複素数:
正規分布の確率密度関数と複素数
正規分布の確率密度関数f(t)のtを複素数にすると、何か新しいことが起きますか?
投稿日時 - 2005-02-28 13:33:58
ANo.2
grothendieck
正規分布の引数を複素数に変える事はファインマンの経路積分をユークリッド化してWiener積分に変えることに関連しており、非常に重要です。
また物理では質量を複素数にすることはほとんど常套手段です。運動量空間のプロパゲーターを考えるとE=±√(p^2+m^2) の点に極を持っており、そのままでは定義されません。
そこで質量を複素数にして極を避けるようにすると適切な境界条件を持ったプロパゲーターが定義されるのです。この二つのことは完全に標準的なものになっており、広く使われています、これに比べると標準的とは言えないが、確率を複素数にする"extended probability"と言う考えもあります。
Saul Youssef は確率を複素数にすることで従来の量子力学の結果を再現し、EPRのパラドックスやBellの定理に簡単な解釈を与える理論を作りました。
参考URL： http://www.google.com/search?q=cache:tGxlB8mgZnwJ:physics.bu.edu/~youssef/quantum/mpl2.ps+youssef%22extended+probabilit
投稿日時 - 2005-03-03 00:13:35 https://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_probability
Exotic probability
From Wikipedia, the free encyclopedia
Exotic probability is a branch of probability theory that deals with probabilities which are outside the normal range of [0, 1].
The most common author of papers on exotic probability theory is Saul Youssef. According to Youssef, the valid possible alternatives for probability values are the real numbers, the complex numbers and the quaternions.[1]
Youssef also cites the work of Richard Feynman, P. A. M. Dirac, Stanley Gudder and S. K. Srinivasan as relevant to exotic probability theories.
Of the application of such theories to quantum mechanics, Bill Jefferys has said: "Such approaches are also not necessary and in my opinion they confuse more than they illuminate."[2]
See also
Negative probability
Signed measure
Complex measure
References
Saul Youssef, Physics with exotic probability theory,22008
Jefferys (2002) Newsgroup discussion on sci.physics.research accessed 1-Sept-2010 https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_probability
Negative probability
From Wikipedia, the free encyclopedia
The probability of the outcome of an experiment is never negative, but quasiprobability distributions can be defined that allow a negative probability, or quasiprobability for some events. These distributions may apply to unobservable events or conditional probabilities.
Physics and mathematics
In 1942, Paul Dirac wrote a paper "The Physical Interpretation of Quantum Mechanics"[1] where he introduced the concept of negative energies and negative probabilities:
"Negative energies and probabilities should not be considered as nonsense. They are well-defined concepts mathematically, like a negative of money."
The idea of negative probabilities later received increased attention in physics and particularly in quantum mechanics.
Richard Feynman argued[2] that no one objects to using negative numbers in calculations: although "minus three apples" is not a valid concept in real life, negative money is valid. Similarly he argued how negative probabilities as well as probabilities above unity possibly could be useful in probability calculations. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%A0%E3%81%AE%E7%A2%BA%E7%8E%87
負の確率
実験結果は負にならないが、負の確率（ふのかくりつ、英: Negative probability）や擬確率（ぎかくりつ、英: Quasiprobability）を許すと擬確率分布（英語版）が定義できる。擬確率分布は観測不能な事象や条件付き確率に応用される。
数理物理
1942年のポール・ディラックの論文「量子力学の物理的解釈」[1]に負のエネルギーや負の確率の概念が登場する。
負のエネルギーや負の確率をナンセンスな概念と考えてはならない。充分に定義された数学の概念であるからだ、負の金額のように。
負の確率の概念は後に物理学や量子力学で関心をひくようになる。リチャード・ファインマンは－３個のリンゴが現実で有効な概念ではないように、負の数を計算で使う物体はない、ただし負の金額は有効だが、と議論した。さらに彼は負の確率が、１以上の確率の計算に有用かもしれないと論じた[2]。
ウィグナー関数
詳細は「ウィグナー関数」を参照
他にも例として、1932年にユージン・ウィグナーが量子誤り訂正の研究[7]で提案した位相空間上の擬確率分布であるウィグナー関数が挙げられる。1945年バートレットはウィグナー分布が負の値をもつことに数理論理的な矛盾がないことを見出した[8]。ウィグナー関数は量子光学分野でよく利用され、位相空間量子化の基礎となっている。
また、量子干渉のある場合に負値となることから、量子干渉があることをわかりやすく示すことができる。ウィグナー関数が負値をとる領域は、量子論の不確定性原理により直接観測することが困難なほど小さいが、可観測量の期待値を求めるときに利用されている。
ファイナンス
最近になって負の確率は数理ファイナンスに応用されるようになった。計量ファイナンスにおいてはほとんどの確率はリスクニュートラル確率として知られる正の確率や擬確率である。
確率論上の一連の仮定の下で、正の確率だけでなく負の確率も許す擬確率を使うと計算を単純にできることを、2004年にエスペン・ガーダー・ハウグが世界で初めて指摘した[9]。負の確率の厳密な数学的定義や数学的性質はバーギンとマイスナーによって2011年に得られた[10]。
その論文では負の確率がオプション評価にどのように応用されているか紹介されている。 ほい
http://ci.nii.ac.jp/naid/10015583037/
トポロジーとその「応用」の可能性 On Topology and the Possibility of its Applications
古田 幹雄 Furuta Mikio
東京大学大学院数理科学研究科
http://ci.nii.ac.jp/lognavi?name=nels&;lang=ja&type=pdf&id=ART0002066284
http://ci.nii.ac.jp/els/10015583037.pdf?id=ART0002066284&;type=pdf&lang=jp&host=cinii&order_no=&ppv_type=0&lang_sw=&no=1486195000&cp=
3 「応用」の可能性
線型代数は数学のあらゆる分野の言葉となって
いる． これと半ば比すことができる意味において，
「位相・トポロジー」という概念は，いまや数論
を含む代数学，微分方程式論を含む解析学にとっ
ても欠かすことができない．
現在では「位相幾何学・トポロジー」と（数学
の）他分野を結ぶ多くの交叉路が存在する．その
少なからざるものは， トポロジーが自ら変容する
とともに限界を広げる過程と理解することもできる．
トポロジーの潜在的可能性が，外の世界（上の例では偏微分方
程式，特異点など）と幸運な出会いをしたとき，
トポロジーの進展を誘発しつつ， もはやトポロジー
の枠を超えた新しい分野が生まれてきたのが歴
史の指し示すところと思われる． この21 世紀に
おける新たな出会いが， 誰も想像しえなかった領
域を切り開くことを期待したい． >>175 関連
これ、前もコピペした気がするが、まあ、大事なことは繰り返しだ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E9%9D%A2_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
断面 (位相幾何学)
(抜粋)
位相幾何学の分野におけるファイバー束の断面（だんめん）あるいは切断（せつだん、英: section）若しくは横断面 (cross-section) とは、底空間をファイバー束の中に実現する写像或いはその像をいう。
導入
切断というのは函数のグラフのある種の一般化である。函数 g: B → Y のグラフは、B と Y の直積 E = B × Y に値を持つ写像
s : B → E ; x → s ( x ) = ( x , g ( x ) ) ∈ E
に同一視することができることに注意しよう。ここで π: E → B を直積の第一成分への射影、つまり π(x,y) = x を満たすものとすれば、「グラフ」は π(s(x)) = x を満たす写像 s の総称と捉えることができる。
E がファイバー束、つまり E が全体として直積の形をしているとは限らないときを考えよう。
(x,g(x)) のような元の組で表示することはできないので、前述のもうひとつの方法、つまりある条件を満たす写像として「g のグラフ」を記述することになる。位相空間 B を底空間とするファイバー束 π: E → B について、その切断とは連続写像 s: B → E であって、B の各点 x において必ず π(s(x)) = x を満たすものをいう。
これは「切断とはすべてのファイバーの各々について点をひとつずつ選ぶことによって定まる写像のことである」といっても同じである（条件 π(s(x)) = x は単に底空間 B の各点 x に対して対応する点 s(x) は x 上のファイバーからとるという意味になることに注意）。
例えば E がベクトル束のとき、E の切断とは B の各点 x で x をそれに付随するベクトル空間 Ex の元に対応させるものである。特に、可微分多様体 M 上のベクトル場というのは M の各点にその点における接ベクトルを選んで対応付けるものであるから、ベクトル場とは M の接束の切断のことであると言うことができる。
同様に M 上の一次微分形式 (1-form) は余接束の切断と言い換えられる。
つづく つづき
局所切断と切断の層
ファイバー束はその底空間全域で定義される切断（大域切断、global section）を一般には持たないが、それゆえ局所的にのみ定義される切断というものを考えることも重要である。
ファイバー束 (E, π, B) の（連続な）局所切断 (local section) とは、U を底空間 B の開集合とするときの連続写像 s: U → E であって、束射影 π について U のすべての元 x に対して π(s(x)) = x をみたすようなものを言う。
(U, φ) が E の局所自明化（つまり F をファイバーとして φ が π?1(U) から U × F への同相写像を与えるもの）とするとき、U 上の局所切断は常に存在して、それは U から F への連続写像と一対一に対応する。
このような局所切断の（U を任意に動かすときの）全体は底空間 B 上の層を成し、ファイバー束 E の切断の層 (sheaf of sections) と呼ばれる。
ファイバー束 E の開集合 U 上の連続（局所）切断全体の成す空間はときに C(U,E) とも表され、また E の大域切断全体の成す空間はしばしば Γ(E) や Γ(B,E) と表される。
(引用終り) >>174
どうも、おっちゃんです。
一松本買ったのか。
導入部分は多変数複素関数の定義から入って
その正則性などを論じることから始まるから、いきなり層は出て来ないんだが。
まあ、層はファイバー束や代数幾何などに限らず、
色々と応用出来る概念で、応用したモノが面白いということだな。
ファイバー束は表現論でも使える。
一松本にも問題か何かでリー群の概念やワイルの積分公式の特別な場合は出て来ると思ったが。
ワイルの積分公式で求まる積分の値もある。 >>199-200
”おっちゃん”、どうも。スレ主です。
レスありがとう
こっちも、年度内は忙しいので、適当に流すよ
ところで、一松本はいいね
楽しめるよ ファイバー
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
ファイバー (数学)
数学において、用語ファイバー (fiber, fibre) は文脈によって次の2つの意味を持つ：
１．素朴集合論において、写像 f : X → Y のもとでの集合 Y の元のファイバーとは、単元集合 {y} の f による逆像のことである。
２．代数幾何学において、スキームの射のファイバーの概念は、一般に全ての点が閉とは限らないから、より注意深く定義されなければならない。
目次
1 定義
1.1 素朴集合論におけるファイバー
1.2 代数幾何学におけるファイバー
定義
素朴集合論におけるファイバー
f : X → Y を写像とする。元 y ∈ Y のファイバーは、一般に f － 1 ( y ) と書かれるが、
f ^-1( { y } ) = { x ∈ X | f ( x ) = y }
と定義される。
様々な応用においてこれはまた次のようにも呼ばれる：
写像 f による { y } の逆像
写像 f による { y } の原像
点 y における関数 f の等位集合
用語等位集合は f が実数値のときしたがって y が単に数であるときにのみ用いられるf が連続関数で y が f の像に入っていれば、f のもとでの y の等位集合は、2次元空間内の曲線、3次元空間内の曲面、より一般に d － 1 次元の超曲面である。
代数幾何学におけるファイバー
代数幾何学において、f : X → Y がスキームの射であれば、Y の点 p のファイバーはファイバー積 X × Y Spec ? k ( p )である、ただし k(p) は p における剰余体。
Terminological variance
用語ファイバー、逆像、原像、等位集合の推奨された使い方は以下のとおりである：
写像 f のもとでの元 y のファイバー
写像 f のもとでの集合 { y } の逆像
写像 f のもとでの集合 { y } の原像
点 y における関数 f の等位集合。
用語の濫用によって、以下のように使われることがあるが、避けるべきである：
略
例
f を実関数 f : R → R , x → x 2 とし、y を実数とする。
y > 0 であれば、y のファイバーは二元集合 { y , － y } である。
y = 0 であれば、y のファイバーは単元集合 { 0 } である。
y < 0 であれば、y のファイバーは空集合 Φ である。 以前も貼ったと思うが
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
(抜粋)
Ringed spaces and locally ringed spaces
Main article: Ringed space
A pair ( X , O X ) consisting of a topological space X and a sheaf of rings on X is called a ringed space. Many types of spaces can be defined as certain types of ringed spaces. The sheaf O X is called the structure sheaf of the space.
A very common situation is when all the stalks of the structure sheaf are local rings, in which case the pair is called a locally ringed space. Here are examples of definitions made in this way:
An n-dimensional Ck manifold M is a locally ringed space whose structure sheaf is an R -algebra and is locally isomorphic to the sheaf of Ck real-valued functions on Rn.
A complex analytic space is a locally ringed space whose structure sheaf is a C -algebra and is locally isomorphic to the vanishing locus of a finite set of holomorphic functions together with the restriction (to the vanishing locus) of the sheaf of holomorphic functions on Cn for some n.
A scheme is a locally ringed space that is locally isomorphic to the spectrum of a ring.
A semialgebraic space is a locally ringed space that is locally isomorphic to a semialgebraic set in Euclidean space together with its sheaf of semialgebraic functions. つづき
Sites and topoi
Main articles: Grothendieck topology and Topos
Alexandre Grothendieck solved this problem by introducing Grothendieck topologies, which axiomatize the notion of covering. Grothendieck's insight was that the definition of a sheaf depends only on the open sets of a topological space, not on the individual points.
Once he had axiomatized the notion of covering, open sets could be replaced by other objects. A presheaf takes each one of these objects to data, just as before, and a sheaf is a presheaf that satisfies the gluing axiom with respect to our new notion of covering.
This allowed Grothendieck to define etale cohomology and l-adic cohomology, which eventually were used to prove the Weil conjectures.
A category with a Grothendieck topology is called a site. A category of sheaves on a site is called a topos or a Grothendieck topos. The notion of a topos was later abstracted by William Lawvere and Miles Tierney to define an elementary topos, which has connections to mathematical logic.
History
1958 Godement's book on sheaf theory is published. At around this time Mikio Sato proposes his hyperfunctions, which will turn out to have sheaf-theoretic nature.
At this point sheaves had become a mainstream part of mathematics, with use by no means restricted to algebraic topology.
It was later discovered that the logic in categories of sheaves is intuitionistic logic (this observation is now often referred to as Kripke?Joyal semantics, but probably should be attributed to a number of authors).
This shows that some of the facets of sheaf theory can also be traced back as far as Leibniz.
(引用終り) 仮訳
この時点で層は数学の主流となり、代数的トポロジーに限定されることは決してありませんでした。
層の圏の論理が直観主義の論理であることが後に発見された（この観察は今ではKripke-Joyalセマンティクスと呼ばれることが多いが、多くの著者の貢献によると思われる）。
これは、層の理論のいくつかの面がライプニッツまでさかのぼることができることを示しています。 A category of sheaves on a site is called a topos or a Grothendieck topos. The notion of a topos was later abstracted by William Lawvere and Miles Tierney to define an elementary topos, which has connections to mathematical logic.
に関連した記述だろう
Awordy の圏論にも、”topos”の記述があったね
圏論と直観主義は、相性がいいのかも >>173 補足
細かいことがまだ分かっていないと思うが、それは勉強してもらうとして
簡単に大まかな話をしよう
１．例えば、３次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0
根 x1,x2,x3、根の有理式 Ｇ（x1,x2,x3）= t= Ax1+Bx2+Cx3で、全ての根の置換で異なる値を取るように、A,B,Cを定める。なお、ここでは、A,B,Cは有理数にしておく＊）
２．すると、６つの置換ですべて異なる値を取るから、6次方程式(t-t1)(t-t2)・・・(t-t5)(t-t6)＝0を考えれば良い
この6次方程式は、一見問題を難しくしているようだが、急がば回れで、６つの置換とt1,t2,・・・,t5,t6 が一対一に対応しているという利点がある
３．また、6次式(t-t1)(t-t2)・・・(t-t5)(t-t6)は、６つの置換で互いに入れ替わるだけだから、対称式なんだ
つまり、その係数は元の３次方程式の係数a,b,c,dで表すことができる（対称式の基本定理）
４．結局、6次方程式(t-t1)(t-t2)・・・(t-t5)(t-t6)＝0を考える方が、方程式の解法と根の置換との関係が見やすいという利点がある
５．さて、5次方程式で同じことを考える。 ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 と根 x1,x2,x3,x4,x5、根の有理式 Ｇ（x1,x2,x3,x4,x5）= t= Ax1+Bx2+Cx3+Dx4+Ex5 を考える
置換の数は120。120次の方程式を考えることになる
６．天才ガロアは、補助方程式の根の添加で、120次の方程式が因数分解できて、それに応じて、５次対称群Ｓ５が正規部分群に分解されるという解法を考えた
７．結論は、ご存知の通り、5次方程式つまり120次の方程式は、ベキ根添加では解けないということが導かれるのだ
８．なぜか？ それが、ガロア理論だ。ベキ根の有理式添加による因数分解と方程式の群Ｇが正規部分群の商群に縮小していくことの対応が取れると、ガロアは見抜いた
９．一方、アルチン先生は、「t= Ax1+Bx2+Cx3+Dx4+Ex5って、ベクトル空間の式に似ている」と見抜いた。「体の拡大と群Ｇの縮小の対応の理論とした方が、数学的センスが良いね」と
＊）解の公式としては、ラグランジュ分解式 t= x1+ωx2+ω^2x3 を取るのが、計算上一番楽なんだが。有理数にしておくのが理論的にすっきりしている
まあ、不正確な記述があるかも知れないが、そんなイメージで、矢ヶ部とかガロア理論を読んでみなさいよ >>203 関連
め
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%8A%BD_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
(抜粋)
芽 (数学)
数学において、位相空間の中／上の対象の芽（め、が、英: germ）の概念は、その対象と、共有する局所的な性質を捉える同じ種類の他の物の、同値類である。
特に、問題の対象はたいていは関数（あるいは写像）と部分集合である。このアイデアの特定の実行において、問題の集合あるいは写像は解析的あるいは滑らかのような同じ性質をもつが、一般にはこれは必要とされない（問題の写像や関数は連続である必要さえない）。
しかしながら、対象の定義されている空間は言葉局所的がなんらかの意味をもつために位相空間である必要がある。
名前は層 (sheaf) のメタファーの続きで cereal germ に由来している。穀物にとってそうであるように芽は（局所的に）関数の「心臓 (heart)」であるからだ。
正式な定義
基本的な定義
位相空間 X の点 x と、2つの写像 f, g: X → Y （ここで Y は任意の集合）が与えられると、f と g は、x のある近傍 U が存在して U に制限したときに f と g が等しいときに、つまりすべての u ∈ U に対して f(u) = g(u) であるときに、x で同じ芽 (germ) を定義する。
同様に、S と T が X の任意の2つの部分集合であれば、再び x のある近傍 U が存在して S ∩ U = T ∩ U であるときに、それらは x で同じ芽を定義する。
x で同じ芽を定義することが（写像や集合の上で）同値関係であることを確かめることは直截であり、その同値類を芽（それぞれ写像の芽あるいは集合の芽）と呼ぶ。同値関係は通常
f ? x g あるいは S ? x T
と書かれる。X 上の写像 f が与えられると、その x での芽は通常 [f]x と表記される。同様に、集合 S の x における芽は [S]x と書かれる。したがって、
[ f ] x = { g : X → Y ? g ? x f } である。
X の点 x と Y の点 y に写す X の x における写像の芽は
f : ( X , x ) → ( Y , y )
と表記される。この表記を用いるとき、f は任意の代表写像と同じ文字 f を使って写像の同値類全体として意図されている。
2つの集合が x おいて芽同値であることと、それらの特性関数が x において芽同値であることは同値である
S ? x T ? 1 S ? x 1 T
ことに注意する。
つづく つづき
より一般に
写像は X 全体で定義されている必要はなく、特に同じ定義域を持つ必要もない。しかしながら、S と T を X の部分集合として f が定義域 S をもち g が定義域 T をもてば、f と g は次のとき X の点 x において同値な芽である。まず S と T は x において同値な芽である。
S ∩ U = T ∩ U としよう。そしてさらに、f|{S ∩ V} = g|{T ∩ V} が x ∈ V ⊂ U なるよりより小さいある近傍 V に対して成り立つ。これは特に2つの設定において意味がある：
１．f は X の部分多様体 V 上定義され、
２．f は x においてある種の極をもち、したがって x において定義さえされていない。例えば有理関数では極が定義域から外される。
基本的な性質
f と g が x において同値な芽であれば、それらは連続性や微分可能性といったすべての局所てな性質を共有し、したがって可微分あるいは解析的芽などについて話すことは意味をなす： 部分集合に対しても同様である。芽の1つの代表が解析的集合であれば、すべての代表は少なくとも x のある近傍上で解析的である。
さらに、終域 Y がベクトル空間であれば、芽を足すことが意味をなす： [f]x + [g]x を定義するために、まず近傍 U と V 上でそれぞれ定義された代表元 f と g を取ると、[f]x + [g]x は写像 f + g（ここで f + g は U ∩ V 上定義されている）の x における芽である。（同様にしてより一般の線型結合を定義できる。）
X から Y への写像の x における芽全体の集合は離散位相を除いて有用な位相を持たない。それゆえ芽の収束列について話すことはほとんどあるいは全く意味がない。しかしながら、X と Y が多様体であれば、ジェット（英語版）の空間 J k
x (X, Y) （写像（-芽）の x における有限項のテイラー級数）は、有限次元ベクトル空間と同一視できるので、確かに位相をもつ。
つづく つづき
層との関係
芽のアイデアは層と前層の背後にある。位相空間 X 上のアーベル群の前層 Fはアーベル群 F ( U )を X の各開集合 U に割り当てる。アーベル群の典型的な例は： U 上の実数値関数、U 上の微分形式、U 上のベクトル場、U 上の正則函数（X が複素平面のとき）、U 上の定数関数、U 上の微分作用素。
V ⊂ U であれば、ある種の協調性条件を満たす制限写像 r e s V U : F ( U ) → F ( V ) が存在する。固定された x に対して、元 f ∈ F ( U ) と g ∈ F ( V )が x において同値であるとは、x の近傍 W ⊂ U ∩ V が存在して resWU(f) = resWV(g) （どちらも F ( W ) の元）ということである。
同値類は前層 F の x における茎（英語版） F xをなす。この同値関係は上で記述された芽同値の抽象化である。
つづく つづき
例
X と Y が付加的な構造を持っていれば、X から Y へのすべての写像の集合の部分集合を、あるいはより一般に与えられた前層 F の部分前層と対応する芽を定義することができる： いくつかの顕著な例が続く：
・X, Y がともに位相空間であれば、連続関数たちの部分集合
C 0 ( X , Y ) ⊂ Hom ? ( X , Y )
は連続関数芽 (germs of continuous functions) を定義する。
・X と Y が両方可微分構造（英語版）をもてば、k 回連続微分可能な関数全体の部分集合
C k ( X , Y ) ⊂ Hom ? ( X , Y )
・滑らかな関数全体の部分集合
C ∞ ( X , Y ) = ? k C k ( X , Y ) ⊂ Hom ? ( X , Y )
・解析関数全体の部分集合
C ω ( X , Y ) ⊂ Hom ( X , Y )
（ここで ω は無限を表す基数である。これは Ck や C∞ とのアナロジーによる記法の濫用である）を定義することができ、すると（有限回）微分可能な ((finitely) differentiable)、滑らかな (smooth)、解析関数芽 (germs of analytic functions) の空間を構成することができる。
・X, Y が複素構造をもてば（たとえば複素ベクトル空間の部分集合であれば）、それらの間の正則関数を定義することができ、したがって正則関数芽 (germs of holomorphic functions) の空間が構成できる。
・X, Y がある代数的構造をもてば、それらの間の正則（および有理）関数を定義することができ、正則関数芽 (germs of regular functions)（および同様に有理 (rational) 関数芽）を定義することができる。
つづく つづき
表記
位相空間 X の点 x における X 上の層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} {\mathcal {F}} の茎（英語版）は一般に F x {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}} {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}} と表記される。したがって芽は、様々な種類の関数の茎であるので、この型の表記ができる：
・C x 0 は x における連続関数芽の空間 (space of germs of continuous functions) である。
・C x k は各自然数 k に対して x において k 回微分可能な関数芽の空間 (space of germs of k-times-differentiable functions) である。
・C x ∞ は x において無限回微分可能な（「滑らかな」）関数芽の空間 (space of germs of infinitely differentiable ("smooth") functions) である。
・C x ω は x において解析関数芽の空間 (space of germs of analytic functions) である。
・O x において（複素幾何において）正則関数芽の空間 (space of germs of holomorphic functions) あるいは（代数幾何学において）正則関数芽の空間 (space of germs of regular functions) である。
(引用終り) >>212 引用追加
応用
応用におけるキーワードは局所性 (locality) である： 点における関数のすべての局所的な性質（英語版）はその芽を解析することで研究できる。それらはテイラー級数の一般化であり、実際（微分可能な関数の）芽のテイラー級数が定義される：導関数を計算するのに局所的な情報しか必要ない。
芽は相空間の選ばれた点の近くの力学系（英語版）の性質を決定する際に有用である： それらは特異点論（英語版）とカタストロフィー理論において主要なツールの1つである。
考えられている位相空間がリーマン面あるいはより一般に解析的多様体（英語版）のとき、それらの上の正則関数の芽を冪級数と見ることができ、したがって芽の集合を解析関数の解析接続と考えることができる。 >>213 関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%8C%8E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
茎 (数学)
層の茎（けい，くき，英: stalk, ストーク）は，与えられた点のまわりでの層の振る舞いを捉える数学的構成である．
目次
1 動機づけと定義
1.1 別の定義
2 注意
3 例
3.1 定数層
3.2 解析関数の層
3.3 滑らかな関数の層
3.4 準連接層
3.5 摩天楼層
4 茎の性質
5 参考文献
動機づけと定義
層は開集合上定義されるが，基礎位相空間 X は点からなる．X の固定された一点 x における層の振る舞いを分離しようとすることは合理的である．概念的に言えば，点の小さい近傍を見ることでこれをする．x の十分小さい近傍を見れば，その小さい近傍上での層 F の振る舞いはその点での F の振る舞いと同じはずである．
もちろん，1つの近傍だけでは十分小さくはなく，ある種の極限を取らなければならない．
つづく つづき
正確な定義は以下のようである： F の x における茎は，通常 F x と書かれ，
F x := lim → U ∋ x ? F ( U )
である．ここで直極限は x を含むすべての開集合で添え字付けられ，順序関係は逆包含から誘導される（ U ⊃ V のとき U < V）．直極限の定義（あるいは普遍性）により，茎の元は元 x U ∈ F ( U ) の同値類である，ただし2つのそのような切断 xU と xV は2つの切断の制限が x のある近傍上で一致するときに同値であると考える．
別の定義
茎を定義するある文脈では有用な別のアプローチがある．X の点 x を選び，i を一点空間 {x} の X への埋め込みとする．すると茎 F x は層 i ? 1 F の逆像（英語版）と同じである．一点空間 {x} の開集合は {x} と Φ しかなく，空集合にはなんのデータもないことに注意．しかしながら，{x} 上，次を得る：
i ? 1 F ( { x } ) = lim → U ⊇ { x } ? F ( U ) = lim → U ∋ x ? F ( U ) = F x .
つづく つづき
注意
ある圏 C に対しては茎を定義するのに使われる直極限が存在しないかもしれない．しかしながら，実際に現れるほとんどの圏に対しては存在する，例えば集合の圏や，アーベル群や環のような代数的対象のほとんどの圏で，それらはすなわち余完備（英語版）である．
x を含む任意の開集合 U に対して自然な射 F(U) → Fx が存在する：それは F(U) における切断 s をその芽 (germ), すなわち直極限におけるその同値類に送る．これは芽の通常の概念の一般化であり，X 上の連続関数の層の茎を見ることで復元できる．
例
芽はある層に対して他の層よりも有用である．
定数層
ある集合あるいは群など S に付随した定数層 S _ は各点において茎として同じ集合あるいは群を持つ：任意の点 x に対して，開連結近傍を選ぶ．連結開上の S _ の切断は S に等しく，制限写像は恒等写像である．したがって直極限はつぶれて茎として S を生み出す．
解析関数の層
例えば，解析的多様体（英語版）上の解析関数の層において，点における関数の芽は点の小さい近傍において関数を決定する．その理由は，芽は関数の冪級数展開を記録し，すべての解析関数は定義によりその冪級数に等しいからである．
解析接続を用いて，点における芽が関数がいたるところ定義できるような任意の連結開集合上関数を決定することが分かる．（これはこの層のすべての制限写像が単射であることを意味しない！）
つづく つづき
滑らかな関数の層
対照的に，滑らかな多様体上の滑らかな関数の層に対しては，芽は局所的な情報を含んではいるが，任意の開近傍上の関数を再構成するには十分ではない．例えば，f: R → R を原点のある近傍で恒等的に 1 で原点から遠く離れたところでは恒等的に 0 である隆起関数とする．
原点を含む任意の十分小さい近傍上 f は恒等的に 1 なので，原点において，値が 1 の定数関数と同じ芽を持つ．f をその芽から再構成したいとしよう．f が隆起関数であると前もって知っていたとしてさえ，芽はその隆起がどのくらい大きいかを教えてくれない．
芽が教えてくれることからは，隆起は無限に広くてもよい，つまり，f は値 1 の定数関数に等しいかもしれない．原点を含む小さい開近傍 U 上で f を再構成することさえできない，なぜならば f の隆起が U におさまっているかどうかとか隆起が大きくて f が U 上恒等的に 1 であるかどうかは分からないからである．
一方で，滑らかな関数の芽は値 1 の定数関数と関数 1 + e － 1 / x 2 を区別することはできる，なぜならば後者の関数は原点のどんな近傍においても恒等的に 1 ではないからである．
この例は芽は関数の冪級数展開よりも多くの情報を含んでいることを示している，なぜならば 1 + e － 1 / x 2 の冪級数は恒等的に 1 だからである．（この追加の情報は原点における滑らかな関数の層の茎はネーター環ではないことと関係している．クルルの交叉定理によりこれはネーター環に対しては起こりえない．）
準連接層
アファインスキーム（英語版） X = Spec A 上，素イデアル p に対応する点 x における A 加群 M に対応する準連接層（英語版） F の茎は単に局所化 Mp である．
摩天楼層
任意の位相空間上，閉点 x と群あるいは環 G に付随した摩天楼層（英語版）は x 以外での茎は 0 で x では G である――名前摩天楼の所以である．
同じ性質は問題の位相空間が T1 空間ならば任意の点 x に対して成り立つ，なぜならば T1 空間のすべての点は閉だからである．この性質は層の関手的移入分解を得るために代数幾何学において例えば使われるゴドマン分解（英語版）の構成の基本である．
つづく つづき
茎の性質
導入部で概説されたように，茎は層の局所的な振る舞いを捉える．層はその局所的な情報から決定されるものなので（貼り合わせの公理（英語版）を参照），茎は層が持っているかなりの情報を捉えることが期待できる．これは実際正しい：
層の射がそれぞれ全単射，全射，単射であることと，すべての茎に誘導される射が同じ性質を持つことは同値である．（しかしながら，茎がすべて同型な2つの層が同型であるということは正しくない，なぜならば問題の層の間に写像が無いかもしれないからである．）
特に：
（群の層を考えているとき）層が 0 であることと層の全ての茎が消えることは同値である．したがって，与えられた関手の完全性は茎上で考えればよく，どんどん小さい近傍に進むことができるためこれの方がしばしば容易である．
いずれの主張も前層に対しては間違いである．しかしながら，層と前層の茎はきつく結ばれている：
前層 P とその層化（英語版） F が与えられると，P と F の茎は一致する．
参考文献
層 (数学)#参考文献を参照．
(引用終り) >>218 関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%82%B6%E3%83%B3%E5%95%8F%E9%A1%8C
クザン問題
Blue question mark.svg
原文と比べた結果、この記事には多数（少なくとも 5 個以上）の誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。
正確な語句に改訳できる方を求めています。
数学では、クザン問題(Cousin problems)とは、多変数複素解析函数での、局所的データにより特定される有理型函数の存在についての（加法的と乗法的の）2つの問題のことを言う。これらの問題は、P. クザン(P. Cousin)により1895年にある特殊な場合に導入された。これらの問題は、現在、任意の複素多様体 M に対して、M 上の条件として解けている。
双方の問題が、集合 Ui により M の開被覆が与えられ、開被覆上での各函数 fi の差、もしくは商が正則函数として与えられているとき、 fi と同一視できる M 上有理型函数 f が存在するか否か、また存在するための条件を求める問題である。
目次
1 第一クザン問題
2 第二クザン問題
3 関連項目
4 参考文献
第一クザン問題
第一クザン問題(the first Cousin problem)、あるいは加法的クザン問題(additive Cousin problem)は、それぞれの函数の差が正則函数
f i － f j
であると定義されているときに、M 上の有理型函数 f で
f － f i
は Ui 上で正則となるかという問題である。言い換えると、f は特異点を与えられた局所函数と共通に持つかという問題である。fi － fj に与えられた条件は、明らかにこのために必要条件であり、従って、問題はこれが充分であるか否かを問うている。
一変数の場合は、M が複素平面内の開部分集合であるとき、極が前もって与えられた場合のミッタク＝レフラーの定理である。リーマン面の理論は、M についての制限条件が必要であることを示している。この問題は、シュタイン多様体上では常に解くことができる。
つづく つづき
第一クザン問題は、次のように層コホモロジーの言葉で理解することができる。K を M 上の有理型函数の層として、O を正則函数の層とする。K の大域切断 ? は、層の商である層 K/O の大域切断 φ(?) へ写像される。
この逆の問題が第一クザン問題である。つまり、K/O の大域切断が与えられたときに、これから作られる K の大域切断が存在するか？という問題である。この問題は、写像
H 0 ( M , K ) → φ H 0 ( M , K / O ) .
の像を特徴つける問題である。ホモロジーの長完全系列により
H 0 ( M , K ) → φ H 0 ( M , K / O ) → H 1 ( M , O )
は完全であるので、第一クザン問題は、第一ホモロジー群 H1(M,O) が 0 となるときは、常に解くことができる。特に、カルタンの定理 Bにより、M がシュタイン多様体であれば第一クザン問題は常に解ける。
第二クザン問題
第二クザン問題(the second Cousin problem)、もしくは乗法的クザン問題(multiplicative Cousin problem)は、各々の比率が、
f i / f j
が 0 でない正則函数として定義され与えられているとき、M 上の有理型函数 f で
f / f i
が 0 とならないような正則函数が存在するかを問うている。第二クザン問題は、前もって与えられた零点を持つ一変数の正則函数の存在についてのヴァイエルシュトラスの定理の多次元への一般化となっている。
つづき つづき
対数をとることで加法的問題へ還元することにより第二クザン問題を解く方法は、第一チャーン類の形の障害へ行き当たる。（指数層系列を参照。）
層の言葉で、O* をどこでも 0 にならない正則函数の層とし、K* を 0 函数ではない有理型函数の層とする。これらの函数は双方ともアーベル群の層であり、商である層 K*/O* もうまく定義できる。加法的クザン問題は商写像 φ
H 0 ( M , K * ) → Φ H 0 ( M , K * / O * )
の像と同一視できる函数を探す。
この商に付帯する層コホモロジーの長完全系列は
H 0 ( M , K * ) → Φ H 0 ( M , K * / O * ) → H 1 ( M , O * )
であるので、第二クザン問題は、H1(M,O*) = 0 のときにはすべて解くことができる。商である層 K*/O* は、M 上のカルティエ因子の芽の層である。従って、すべての大域切断が有理型函数により生成されるか否かとの問いは、M 上のすべてのラインバンドルが自明バンドルであるか否かを決定することと同値である。
O* 上の乗法的構造群について、コホモロジー群 H1(M,O*) は、対数をとることにより、加法的構造をもつコホモロジー群 H1(M,O) と比較することができる。
すなわち、層の完全系列: 0 → 2 π i Z → O → exp O * → 0 が存在する。ここに、最も左の層は、ファイバー 2 π i Z をもつ局所定数層である。H1 の最低次数での対数を定義するための障害は、 H 2 ( M , Z ) の中にあり、コホモロジーの長完全系列
H 1 ( M , O ) → H 1 ( M , O * ) → 2 π i H 2 ( M , Z ) → H 2 ( M , O )
から得られる。M がシュタイン多様体のとき、中央の矢印は同型である。 q > 0 に対して、Hq(M,O) = 0 であるので、従って、第二クザン問題が常に解ける必要かつ充分条件は、 H 2 ( M , Z ) = 0 である。
関連項目
カルタンの定理 A, B
つづく つづき
参考文献
Chirka, E.M. (2001), “Cousin problems”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
Cousin, P. (1895), “Sur les fonctions de n variables”, Acta Math. 19: 1?62, doi:10.1007/BF02402869.
Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice Hall.
潤次郎, 野口 (2013), 多変数解析関数論, 朝倉書店, ISBN 9784254111392.
(引用終り) 数学ではないけれど、会社の人に勧められて、藤沢周平を読んだ
今年が、没後２０年という
http://mainichi.jp/articles/20170121/k00/00e/040/001000c
時代小説
藤沢周平 没後２０年、今なお読まれる理由 毎日新聞2017年1月23日
江戸時代を舞台に、下級武士や市井の人々の悲哀や心の機微を細やかな筆致で描き、「蝉しぐれ」や「隠し剣」シリーズなど数々の名作を残した時代小説作家、藤沢周平（１９２７～９７年）。２６日は藤沢周平の没後２０年の命日にあたる。今なお多くの読者の心をとらえ、読み継がれる藤沢作品の魅力を探った。【小松やしほ】
今年は藤沢の没後２０年であると同時に、生誕９０年でもあり、藤沢作品を刊行している出版社をはじめとして、さまざまなイベントなどが企画されている。
文芸春秋は昨年１２月、没後２０年記念と銘打ち、蓬田やすひろさんの描き下ろしカラー挿絵の入った「愛蔵版 蝉しぐれ」のほか「江戸おんな絵姿十二景」、ムック「藤沢周平のこころ」の３冊を同時刊行した。
また、今月１２日からはＫＡＤＯＫＡＷＡ、講談社、新潮社、中央公論新社との５社合同で「藤沢周平 没後２０年 文庫フェア」を全国５２６の書店で開催している。
映像化の予定も多い。２月にはＢＳフジで「三屋清左衛門残日録」完結編、４月にはＮＨＫＢＳプレミアムで「立花登青春手控え２」が放送される。夏には映画「一茶」も公開予定だ。また、故郷・山形県鶴岡市にある藤沢周平記念館でも、特別企画展「藤沢作品の世界」を１月５日から行っており、１１月２８日まで開催している。
１年を通してのさまざまな企画で、藤沢ブームの再燃も期待される。没後２０年たっても藤沢作品はなぜ支持されるのだろう。
つづく つづき
時代物と純文学が合体した読みやすさ
「藤沢作品は読みやすい。現代小説好きで時代小説は苦手という人でも、藤沢は好きだという人は多い」と早稲田大学の高橋敏夫教授は話す。「それは、藤沢の一番の特徴でもありますが、時代物と純文学が見事に合体しているからです」と。
時代小説は物語文学であり、ストーリー（物語）に起伏があって面白い。藤沢作品にはそのストーリーの面白さに加えて、これまでの時代小説にはなかった細やかな自然描写がある。「季節の移ろいのような時間描写、従来の物語文学ではあまり描かれない人物の内面描写。
小説の核となる大きな物語と、そういう小さな物語。その起伏をマッチさせた最初の時代小説作家が藤沢です」
時代との関係も見逃せない。高橋教授は「藤沢（ブーム）は２回誕生した」と指摘する。１度目は司馬遼太郎の終わり、すなわち高度経済成長期の終わり。２度目はバブル経済崩壊後の９０年代前半。注目すべきは、どちらも上り調子の時代が終わった後だということだ。
つづく つづき
個人が抱える「鬱屈」テーマに
同じ時代小説の市井ものでも、藤沢以前の山本周五郎のテーマは貧困だったと高橋教授。対して、藤沢作品には貧困を核にする小説は一編もないという。藤沢作品のテーマはそれぞれの個人が抱える「鬱屈」だ。
「行け行けどんどんの時代が終わってよく見ると、人はそれぞれ傷つきながら生きている、苦しみの中を生きているということが分かった。藤沢は、その傷をどういうものか見せてくれる。個人の抱える悩みに直面させた作家なんだと思います」
親と子の関係に悩む人もいれば、仲間との行き違いもある。そこには一人一人が抱える「事情」があり、いわば身の回りのありとあらゆるものがテーマとなり得る。「山本が一面体なら、藤沢は多面体。いろいろなものを取り入れ抱え込むので、読者を飽きさせない。ブームが長持ちするのもそこに理由があります」
初心者には「玄鳥」「又蔵の火」「風の果て」
藤沢作品を読んだことがない人に、高橋教授お薦めの作品を三つ挙げてもらった。選ばれたのは、短編、中編、長編から１作ずつ。「玄鳥」、「又蔵の火」、「風の果て」（いずれも文春文庫）だ。
「玄鳥」は剣士として高名だった亡き父の秘伝を受け継いだ娘が、上意討ちに失敗し左遷され周囲の笑いものになっている男に、その秘伝を教えようとする話。「直木賞を取った『暗殺の年輪』ともよく似ていて、武家秩序への嫌悪を内側から炸裂させている作品。青春小説風でもあり、楽しく読めます」
「又蔵の火」は藤沢には珍しく、山形の庄内藩で実際にあった歴史的事実を基にした作品。放蕩（ほうとう）者の兄を殺した親戚に敵討ちを仕掛ける男を描いた。高橋教授が初めて読んだ藤沢作品だという。
「武家秩序の中での兄の理不尽な死に対して、ひと言言おうとする弟の話。斬り合いで相対した時に、お互い『鬱屈の交感』をし合うんです。いい小説だなあと思いました」
「風の果て」は藤沢作品によく出てくる架空の藩、海坂藩のある道場に通う剣術仲間の友情物語。ある者は非業の死を遂げ、ある者は友を斬る。主人公は権力の頂点に上り詰めるが故に、仲間たちと隙間（すきま）ができていく－－。人気作品の上位に入る「蝉しぐれ」の原形とも言える作品であり、藤沢の原風景的作品だという。
つづく つづき
水平的な横の関係で生きる
高橋教授は「藤沢の小説は武家的な垂直的世界の批判で成り立っています。たとえ武士を描いても、縦社会で生きていくのではなく、市井の一人として、水平的な横の関係で臨む生き方を描く。それは戦争を猛省した藤沢の戦後論にもなっている」と分析する。
「小泉純一郎首相が出てきた辺りから、革新的自由論の中で、また司馬的英雄豪傑がもてはやされ出し、ヘイトスピーチなど『垂直的世界』を作り出していくものが増えているこの時代にこそ読むべき作品だし、没後２０年を契機にさらにブームになってほしいと思います」
読まず嫌いせず、淡々としながらも心にじわじわと染み入ってくるような藤沢の世界をぜひ味わってほしい。
(引用終り) 『?しぐれ』を読んだ
http://hon.bunshun.jp/sp/fujisawa20th
没後20年 老若男女問わず愛され続ける藤沢周平の世界 2017年1月で没後20周年を迎えた藤沢周平｜特設サイト｜本の話WEB:
期間限定イラストギャラリー
これまで数多くの藤沢作品のカバーを手がけてきた蓬田やすひろ氏が、「愛蔵版 ?しぐれ」にカラーさし絵数点を描き下ろし。新しく生まれ変った「?しぐれ」の清冽な物語世界を、どうぞお楽しみください。
藤沢周平（ふじさわしゅうへい）
昭和二（一九二七）年、山形県鶴岡市に生れる。
山形師範学校卒。四十八年「暗殺の年輪」で第六十九回直木賞を受賞。
主要な作品として「蝉しぐれ」「三屋清左衛門残日録」「一茶」「隠し剣孤影抄」「隠し剣秋風抄」「用心棒日月抄」「橋ものがたり」「獄医立花登手控え」シリーズ「霧の果て」「海鳴り」「白き瓶 小説 長塚節」（吉川英治文学賞）「漆の実のみのる国」「早春 その他」など多数。
平成元年、菊池寛賞受賞、六年に朝日賞、同年東京都文化賞受賞。七年、紫綬褒章受章。「藤沢周平全集」（全二十六巻 文藝春秋刊）がある。九年一月逝去。歿後、「無用の隠密 未刊行初期短篇」「甘味辛味」（共著）が刊行された。
『?しぐれ』解説
湯川 豊「もう一つの自分の人生のように味わう稀に見る完璧な“青春小説”」 http://hon.bunshun.jp/articles/-/5508
『藤沢周平 父の周辺』インタビュー・対談
松たか子×遠藤展子「ふつうが一番」が一番むずかしい」 http://hon.bunshun.jp/articles/-/4924
インタビュー・対談
『三屋清左衛門残日録』に主演 北大路欣也『竜馬がゆく』から始まった http://hon.bunshun.jp/articles/-/4517
つづく つづき
『回天の門』解説
関川夏央「革命の奔流に巻かれた『孤士』清河八郎――藤沢周平による最長の評伝小説」 http://hon.bunshun.jp/articles/-/4656
『雲奔る小説・雲井龍雄』解説
関川夏央「海坂城下へつつ」 http://hon.bunshun.jp/articles/-/2430
『海鳴り』書評
宇江佐真理「文春文庫40周年記念特別コラム 宇江佐真理 心に残る時代小説」 http://hon.bunshun.jp/articles/-/2349
『海鳴り』解説
後藤正治 「『海鳴り〈新装版〉』解説」 http://hon.bunshun.jp/articles/-/1702
「オール讀物」没後15年 藤沢周平大特集より
葉室 麟「ラスト一行の匂い」 http://hon.bunshun.jp/articles/-/825
文春写真館
「藤沢周平、故郷鶴岡の城に立つ 」 http://hon.bunshun.jp/articles/-/507
『藤沢周平 未刊行初期短篇』書評
上橋 菜穂子「うつくしい後姿が見える本」 http://hon.bunshun.jp/articles/-/3519
(引用終り) >>228 訂正
『?しぐれ』→『蝉しぐれ』（せみしぐれ）
蝉の字が旧字体なので、文字化けしたらしい
『蝉しぐれ』（せみしぐれ）は、良かった
代表作と言われるだけのことはある >>185 関連
案の定、28は煮詰まったか
１．Sergiu Hart氏 GAME2 は、強い選択公理は不要で、非可測集合じゃない。だから、確率99/100は楽々証明できるんじゃなかったか？
２．Sergiu Hart氏 GAME1 は、強い選択公理に代わりゲーム理論を使うことで、確率99/100は証明できるんじゃなかったか？
３．Sergiu Hart氏 GAME1 は、強い選択公理を使って、非可測集合だけれども、外測度と内測度の両方を使って、確率99/100は証明できるんじゃなかったか？
下記引用の通りだが、折角議論してるんだから、もう少し恰好つけろよ
１と２は、可能ならやってほしいね。だめならだめで、はっきりさせろよ
３も中途半端に見える。外測度の評価は、確率の値の上限を与えるだけと思う。内測度の評価は必須だろう
＜引用＞
スレ 27 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/254
(抜粋)
254 ：2017/01/02(月) 11:17:35.17 ID:MUXssChK
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>>165
>証明を何度書いてもスレ主は読まず、スレ主自身では証明を書かない。
>これでは、もはやどうしようもないであろうと悟った。
YES！
証明が”初出”でないなら、書かずに、出典を示してくれ。できれば、WebかPDFか。出版物でも可。その場合、ページと概要くらい書いてくれ。キーワードが分かれば、代用のページが検索できるだろう
証明が初出なら、もし重要な証明なら、こんなところに書くのはもったいない。どこかarXivにもでも投稿してから、そのリンクを示した方がいいぞ
例えば、Sergiu Hart氏>>47や時枝>>2-4にゲーム論的確率理論を適用して、厳密に確率99/100を導くなど
こちらから見れば、証明が初出でないなら、こんな見にくい（視認性の悪い）場所にごちゃごちゃ書いて貰うより、出典を示して貰う方が良い。
自分が書くときは、出典を示すようにしている
もし、証明が初出で、素人が書いたものなら、誤りが含まれている可能性大だ。そんなものを、こんな見にくい（視認性の悪い）場所にごちゃごちゃ書いても、読まされる方はたまらん
赤ペン先生をやらされているごとくだ。なんでおれが、赤ペン先生？ それメンターさんの仕事だ。
それが、おれが証明を読まない
かつ、基本的に書かない理由だ
(引用終り) >>201
おっちゃんです。
な、一松本はいいだろ。
ところで、私はミッションや極秘プロジェクトに専念することにするよ。
もしかしたら、時々来るかも知れないよ。
まあ、年度末は少し忙しいので、多分ここに来る暇はないだろうな。 >>232
”おっちゃん”、どうも。スレ主です。
一松本はいいね
層が大分わかった
あれ、加群とか環もどき（単純な集合ではないが）なんだね
層を単体（元）で捉えようとしていたが、集合もどきなんだね
正確には、アーベル圏とか環圏とか導来圏とか
そこらはまだ正確には分からんけど
まあ、完全列とコホモロジーが取れる道具立て
芽とか茎とか切断とか、単独ではイメージや意味わからんけど
層とかファイバー束とか、全体と合わせて理解しないとわからない
部分が分からんと全体が分からない
全体が分からんと部分が分からない
そこが現代数学の難しいところだな（一歩一歩積み重ねで分かると思わない方がいいかも。分からないからと止まったら、ずっと分からないままかもね）
それをうまく教えてくれるのが本来の大学なんだろうが・・・
日本の大学教員は伝統的に不親切だからね、自分で勉強しろという
だが、数学科なら、学生同士の勉強会とか、研究室に入り浸って、聞けば良いから、その点有利と思う
ともかく、一松本のおかげだ（＾＾ まあ、おれも仕事忙しいから、ここは抑制するわ（＾＾； 面白いから貼っておく
http://www.nikkei.com/article/DGXMZO12156730W7A120C1HF0A00/?dg=1
数学にハマる大人の定理 解けた快感、醍醐味 （1/2ページ） 2017/2/5 日本経済新聞
(抜粋)
数学を今一度学び、楽しむ大人たちが現れている。「子どもの頃からの苦手を克服したい」――。そんな大人の思いを捉えた教室や講座が盛況だ。数学ファンが数学の面白さをプレゼンテーションで紹介する交流会も人気を集めている。大人だから楽しめる数学の世界とはどんなものなのか。
数学の魅力は様々な解法を用いて一つの答えを探し出すところにある、と池田さん。「テストのために勉強していた学生時代とは違い、今は数学をじっくり味わえる」。夜に家のダイニングで長女と向かい合い「私も数学やっていますから」という“ドヤ顔”を長女に見せつけるらしい。
授業とはまた違うアプローチで数学を解説する講座も人気を集める。
■あっという間の２時間
この日のテーマは「方程式物語」。１次から５次までの方程式に数学者が挑み続けてきた歴史的な経緯が、時代背景を交えて解説された。主に30～50代の男女十数人は桜井進講師の話に真剣な顔で耳を傾ける。２時間はあっという間に過ぎた。参加費は２千円。
中学時代に試験によるクラス分けが原因で数学嫌いになった東京都世田谷区の主婦、黒須怜奈さん（31）は２歳の長男に同じ思いをさせまいと参加した。「自己満足ですが、数学が好きと言えるようになれてうれしい」。数学者たちが人生を懸けてきたと知ると方程式が尊く感じられる。
数学を専攻する都内の大学４年の女性（22）は同級生と一緒に参加した。「数学は社会問題からどうでもよさそうな事象まで説明することができる」と話す。マニアックな数学に関する話ができる友人がいないという団体職員の女性（32）は「イベントでは思う存分語り合える」と楽しそう。
子どもの頃からの数学嫌いに共通する理由は、試験のため、公式や定理を頭に詰め込まされていたから。「なぜその答えになるのか」「成立しない場合はないのか」を理解できた時に快感を得られるのが数学の醍醐味だ。学生時代に数学が嫌いになったあなたも、大人になった今だからこそ、その魅力に気付くことができるかもしれない。
（小田浩靖）
［日経ＭＪ2017年１月27日付］
(引用終り) >>172-173、207
本当にありがとうございました。
ここに来るのが恐れ多くて、躊躇しましたが
うけいれてくださってありがとうございます。
さらに、マルチポストについての解説ついてありがとうございました。
これからは、
ネットについてはさらに注意深く学んでいきたいと思います。
矢ヶ部さんもガロア理論も教えていただいたイメージを
参考にしながら学んでいきたいと思います。
今後ともよろしくお願いします。 こちらで教えていただいたので
質問箱の質問は取り下げさせていただきました。
ありがとうございました！ >>236-238
どうも。スレ主です。
お疲れさまです。
「スレ主は嘘八百だから信用しない方が」： ”自己言及のパラドックス” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E8%A8%80%E5%8F%8A%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
(抜粋)
”哲学および論理学における自己言及のパラドックス（じこげんきゅうのパラドックス）または嘘つきのパラドックスとは、「この文は偽である」という構造の文を指し、自己を含めて言及しようとすると発生するパラドックスのことである。この文に古典的な二値の真理値をあてはめようとすると矛盾が生じる（パラドックス参照）。
「この文は偽である」が真なら、それは偽だということになり、偽ならばその内容は真ということになり……というように無限に連鎖する。同様に「この文は偽である」が偽なら、それは真ということになり、真ならば内容から偽ということになり……と、この場合も無限に連鎖する。”
(引用終り)
２ｃｈ用語「おまえもな」という。基本的に、ネット上の情報の真贋は自分で判定すべきものだ
例えば、最近では、ディー・エヌ・エー 「WELQ」に始まるキュレーション（まとめ）サイトの問題 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A8%E3%83%8C%E3%83%BB%E3%82%A8%E3%83%BC
がある
例えば、”「トランプ支持者向けの偽ニュースで700万円稼いだ」マケドニアの若者が証言” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%BD%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%88
>>238 も含めて、スレ主も含めて、他人の情報を簡単に信用するなってことよ
だが、そもそも、ここは数学板だ
自分で判断する能力のある人たちが来ていると思うし、定評ある本を読めば、だれが正しいか判断できるだろう
そう思っているよ >>231
案の定、28は煮詰まったか
何が分かって、何がだめなのか
自分達で後始末をつけろよ
（文系）High level people にも困ったものだ >>241
いつか気付くと思ってたがアホな君にはやはり無理なようで
まあ、これがヒントだ、後は自分で気付きなさい 再録>>106
これ（下記）をどう思っているのか？ 存念を聞きたい
>>76 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/22(日) 14:16:18.33 ID:aSVenMI/
>>75
もう一度言っておくが、
時枝>>4
素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
対して、私が確率の専門家と呼ばせて貰っている人（大学教員クラス）>>14 抜粋
「うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな」
「P(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」
なのだ 気付いているよ
28は、結局（文系）High level people の数学ごっこ
（文系）High level people の数学ごっこは、>>28でやってくれ、文系同士で
こっちに来るな
あそこはまだNo67までしか使っていないよ
残りは十分あるぜ
sand boxとして使えよ １）数学できちんと証明されれば、定理
２）成り立ちそうだが、証明が得られていないものは、予想
３）成り立ちそうで、不成立はパラドックス（不成立に見えて、成立するものもパラドックス）
４）数学のプロの目から一目不成立で、やっぱり不成立なら、話題にならない
時枝記事（>>2-4）は、”４）数学のプロの目から一目不成立で、やっぱり不成立なら、話題にならない”ってことさ >>240
http://d.hatena.ne.jp/wppt/20111216/1324057254
2011-12-16 代数幾何（スキーム前） wpptの日記
(抜粋)
■局所環
点 p∈V で正則な（＝定義された）有理関数全体から成る整域 O_V(p)={g/h | g,h∈k[V],,h(p)≠0}⊂ k(V) を p における V の局所環という
k[V]=∩_{p∈V} O_V(p)
O_V(p) の極大イデアルは M_V(p)={f∈O_V(p) | f(p)=0} 唯一つである。
開集合 U⊂ V に対して、O_V(U)=∩_{p∈U} O_V(p) は U で正則な有理関数から成る環となる。
■層
開集合 U⊂ V に対して局所環 O_V(U) を割り当てる写像 O_V は次の環の前層の定義を満たす。
O_V(Φ)={0}
開集合 U_1⊂ U_2⊂ V に対して、環準同型 r_{U_2,U_1}:O_V(U_2)→ O_V(U_1) を制限写像 r_{U_2,U_1}(f)=f|_{U_1} で定めるとするとき、
r_{U,U} は恒等写像
開集合 U_1⊂ U_2⊂ U_3⊂ V に対して r_{U_2,U_1}＊ r_{U_3,U_2}=r_{U_3,U_1}
さらに次の環の層の定義も満たす。
{U_i | i∈I} を開集合 U⊂ V の開被覆とするとき、f,g∈O_V(U) に対して、∀if|_{U_i}=g|_{U_i} ならば f=g
{U_i | i∈I} を開集合 U⊂ V の開被覆とするとき、f_i∈O_V(U_i),(i∈I) に対して、∀ i,j. f_i|_{U_i∩ U_j}=f_j|_{U_i∩ U_j} ならば ∀ i.f|_{U_i}=f_i となる f∈O_V(U) が一意に存在する
p∈V とし、p の開近傍 U⊂ V と f∈O_V(U) の組 (U,f) に次の同値関係を入れる
(U_1,f_1)sim(U_2,f_2) ⇔ p の開近傍 U_3⊂ U_1∩ U_2 で f_1|_{U_3}=f_2|_{U_3} となるものがある
この同値関係による同値類全体を p における O_V の茎 O_V(p) といい、O_V(p) の元を p における O_V の芽という。
p における O_V の茎 O_V(p) は、p における V の局所環、つまり p で正則な有理関数全体から成る環
層、茎、芽は次のイメージで（私は）捉える。
多様体 V 上の点 p の法線を茎、法線に交わるように書いた（＝p で正則）関数それぞれがを芽（というか枝）
開集合 U⊂ V 内の点 p∈U の分だけ茎を集めて束にしたのが O_V(U)
sheafの一般的訳って「束」だけど、既にlatticeの数学的訳を束としちゃってたのと、sheafが長ネギのような層構造にみえるから、sheafの数学的訳を「層」とした？ >>246 補足
http://yeblog.cocolog-nifty.com/nouse/2008/11/faisceau-be82.html
フランス語 "faisceau" の読み方: nouse 2008年11月18日
(抜粋)
昨夕 (2008/11/17 17:04:21)、キーフレーズ [faisceau 発音] で、このサイトを訪問された方がいらしたようだ。リモートホスト名を見ると、某大学の数学科の関係者ではないかと推察される。まぁ、要するに、「層」の対応フランス語である "faisceau" の読み方をお調べになっていらっしゃたのでしょうね。
で、[fεso] に話を戻すと、これをカタカナにするとしたら「フェソ」ぐらいだろうか。大雑把な意味は「束」ですね。「茎 (stalks)」を束ねたものと云うイメージなのでしょう。因みに、フランス語 "faisceau" の対応イタリア語は "fascio" つまり「ファッショ」で、これも「束」が基本語義。
だから、数学用語としても "faisceau" も「束」と訳した方が素直なのでしょうが、残念ながら「束」は、代数用語のことはさておき、位相の範疇でも "fiber bundle" ("vector bundle" や "principal bundle") の "bundle" の訳語として使われていたので、別の訳語が当てられたのでしょう (これは私の推測)。
"faisceau" に「層」と云う訳語を当てたのは秋月康夫さんらしい。「輓近代数学の展望(続)」の註にご自身で書いていらっしゃる、その理由が奮っていて:
層という訳語の由来は仏語 Faisceau のあとの方の 'ソー' をとったというが一つの根拠である。Faisceau の元来の意味は束 (タバ) である。'群の束' (X 上に配置された) の意である。ところで、これを横に見ると地層のような層になる。
そこで、垂直を水平におきかえて層と訳してみたのである。この訳がよいか、悪いか、わが国で定着しているかどうか知らないが、この訳語の発案者として、その由来を記しておく。
--秋月康夫「輓近代数学の展望」p.176 (1970年)。ダイヤモンド社。東京
こうした事情を知らなかった或る若手数学者が、当事御存命であった秋月先生の面前で、「層」と云う訳語は問題が有ると発言してしまったと云う話を聞いたことがあるが、事実かどうかは私は知らない。だが、とにかく「層」と云う数学用語は、日本に定着している。先生、以って瞑すべし。 '群の束' (X 上に配置された) ＝茎
かな？
「輓近代数学の展望」には、図が書いてあったような気がしたが・・・（＾＾ いやいや、茎が局所環で加群ってことかいな？ はて？（＾＾ ガロア理論とかあったかな？ 輓近「代数学」なんだよね、輓近代「数学」ではなくて。昭和15年の著作か・・
が、層の話は戦後だから、「輓近代数学の展望（続）」の方だな
http://sookibizviz.blog81.fc2.com/blog-entry-1161.html
2012/04/10 「輓近代数学の展望」を読んでいます サラリーマンのすらすらＩＴ日記
(抜粋)
こちらで書いた秋月康夫「輓近代数学の展望」ですが、先日図書館で借りてきて読んでいます。真剣に読むととてもわかりやすい内容です。代数方程式の代数的可解性（要はガロア理論）を述べた章は、とてもすばらしい。
おそらくガロアがこういう風に考えて到達したであろうと思われる論理の流れを、うまく説明しているからです。ある意味、初等的に解説しているとも言えます。
ガロア理論もそうですが、様々な数学理論は時がたつと共に整備されてきて、きれいな形になって現代数学を学ぶ学生に紹介されますが、それが必ずしもわかりやすいとは限りません。なぜそういう考え方に到達したのかという部分がわかりにくいからです。
トポロジー（ホモロジー論）についてこちらでも書いた通りです。この「輓近代数学の展望」の説明がすばらしいのは、整備される前の論理の流れをページを割いて説明していること。
代数方程式の根の置換を実際にやってみせて、なぜ群という考えが必要なのか、なぜ正規部分群という概念が必要なのか、なぜ組成列の考えが必要なのかを具体的に説明しています。詳しい証明を抜きにしていることも読みやすい理由の一つです。厳密な証明がない方が、論理を追いやすい。
この本を読んでいると、他の数学書が、読む人にわかってもらおうとする表現上の努力を欠いているとも感じてしまうといえば、言い過ぎでしょうか？
http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480092540/
筑摩書房 輓近代数学の展望 / 秋月 康夫 著
この本の内容
ガウスの代数的整数論からデデキントのイデアル論、高木類体論までの流れを概観した「輓近代数学の展望」と、調和積分論を主にした複素多様体の解説「輓近代数学の展望（続）」を収録。
この本の目次
輓近代数学の展望
輓近代数学の展望（続） >>250 つづき
http://sookibizviz.blog81.fc2.com/blog-entry-1091.html
2012/01/31 秋月康夫「輓近代数学の展望」 サラリーマンのすらすらＩＴ日記
(抜粋)
初めは代数学の基礎だったり、射影空間の定義だったりして、この辺りは楽に読めるのですが、次第に深い部分に入っていき、複素多様体あたりで流し読みになりました。文庫本サイズでページ数もあり、この内容で￥1,500というのは安い。ただ行間を埋めながら読むにはかなり苦労しそうだと思います。
現代代数学が発展していく過程を知る上で、興味深い内容です。
「輓近」。ばんきんと読みます。ちかごろ、最近といった意味。私のPCでは漢字変換ができませんでした。昭和15年の著作とのことで、タイトルが古めかしい。しかし内容は今読んでもすばらしいものです。 >>247 補足
英語 sheaf
a sheaf of letters ひと束の手紙
当りが雰囲気出ているかも知れん
ひと束の手紙が、層を成しているようにもイメージできる
http://ejje.weblio.jp/content/sheaf
sheafの意味 - 英和辞典 Weblio辞書
(抜粋)
研究社 新英和中辞典での「sheaf」の意味
1〔穀物を刈った〕束，ひと束 〔of〕《★【類語】 ⇒bundle》.
a sheaf of barley ひと束の大麦.
2〔書類などの〕束 〔of〕《★【類語】 ⇒bundle》.
a sheaf of letters ひと束の手紙.
Sheaf (mathematics)
層 (数学)
数学における層（そう、英: sheaf, 仏: faisceau）とは、位相空間上で連続的に変化する様々な数学的構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの張り合わせ可能性によって定式化される。 >>248-249
'群の束' (X 上に配置された) ＝茎の束
各茎の上に、群←加群←関数環
底空間Xの各点xに関数環がある＝局所環付き空間ってことかいな
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E7%92%B0%E4%BB%98%E3%81%8D%E7%A9%BA%E9%96%93
局所環付き空間
数学における局所環付き空間（きょくしょかんつきくうかん、locally ringed space）とは、位相構造や正則構造といった数学的構造を反映する「関数のなす可換環」の層（考えている空間の構造層と呼ばれる）を付与された位相空間のことである。関数fが点xで消えていないとき、xのごく近くでは逆数関数 1 / f(x) を考えられることが公理化される。
定義
位相空間 X とその上の環の層 O の対 (X, O) は環付き空間（かんつきくうかん）と呼ばれる。 X 上の環の層 O で、X の各点 x における O の茎 Ox が局所環になっているようなものはX上の局所環の層とよばれ、Oが局所環の層であるような環付き空間 (X, O)は局所環付き空間と呼ばれる。
ここで、局所環の層とは開集合のなす圏から「局所環の圏」への反変関手とは限らないことに注意する必要がある。
二つの局所環付き空間 (X, OX) と (Y, OY) に対し、連続写像f: X → Y と層の射φ: OY → f*OX の対 (f, φ) で、Xの任意の点xについて誘導される準同形OY, f(x) → OX, x が極大イデアルを極大イデアルの中にうつすようなものは(X, OX) から (Y, OY) への射とよばれる。
構成
X を位相空間とする。X の開集合 U に対して U 上の複素数値連続関数環 C(U) を与える対応は X 上の局所環の層（連続関数の層）になる。同様にXが可微分多様体や複素多様体のときはなめらかな関数の層や正則関数の層が局所環の層になる。
これらの空間の間の連続写像や滑らかな写像、正則写像などは対応する局所環付き空間の間の射を自然に導く。
代数学において、可換環に対し自然に構成される局所環付き空間であるアフィンスキームや、それらの張り合わせとして定義される概型（スキーム）は可換環論と幾何学との間の諸概念の対応を与えている。
参考文献
R・ハーツホーン 『代数幾何学』1-3、高橋宣能、松下大介訳、シュプリンガーフェアラーク東京、2004年。 >>253
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E7%92%B0%E4%BB%98%E3%81%8D%E7%A9%BA%E9%96%93
局所環付き空間
(抜粋)
定義
Ox が局所環になっているようなものはX上の局所環の層とよばれ、Oが局所環の層であるような環付き空間 (X, O)は局所環付き空間と呼ばれる。
ここで、局所環の層とは開集合のなす圏から「局所環の圏」への反変関手とは限らないことに注意する必要がある。
(引用終り)
ここ、日本語おかしいね
英語版と仮訳下記
まあ、層は開集合Uに依存しない（∵Uの帰納極限を取っているから）
なので、OX（U）がローカルリングでなくてもかまわん（実際そうならない）ということかいな （上記の日本語wikiでは意味取れないだろう）
https://en.wikipedia.org/wiki/Ringed_space
Ringed space
(抜粋)
Definition[edit]
Formally, a ringed space (X, OX) is a topological space X together with a sheaf of rings OX on X. The sheaf OX is called the structure sheaf of X.
A locally ringed space is a ringed space (X, OX) such that all stalks of OX are local rings (i.e. they have unique maximal ideals).
Note that it is not required that OX(U) be a local ring for every open set U.
In fact, that is almost never going to be the case.
(引用終り)
google翻訳から仮訳
局所環の空間は、環の空間（X、OX）がすべてのOXの茎が局所的な環であるようなものである（すなわち、それらは固有の極大イデアルを有する）。
OX（U）がすべてのオープンセットUのローカルリングである必要はないことに注意してください。
実際、それはほとんど事実ではないでしょう。 >>252 訂正スマソ
当りが雰囲気出ているかも知れん
↓
辺りが雰囲気出ているかも知れん (再録)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 27
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/483
483 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/14(土) 15:54:19.81 ID:co7dEEx8 [27/45]
>>481 関連
http://phasetr.com/blog/2016/11/23/%E5%B1%A4%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%81%A8-riemann-%E9%9D%A2-%E9%BB%92%E6%9C%A8%E3%81%95%E3%82%93%E3%83%84%E3%82%A4%E3%83%BC%E3%83%88%E3%81%BE%E3%81%A8%E3%82%81/
層とコホモロジーと Riemann 面: 黒木さんツイートまとめ | 相転移プロダクション: 2016 11.23
(抜粋)
黒木玄 Gen Kuroki
#数楽 私が大学数学科2?3年生に「層とかコホモロジーとかを勉強したいのですが？」と聞かれたとき、最も易しい教育的な参考文献として紹介するのは
Gunning R. Lectures on Riemann surfaces (Princeton, 1966)
2016年8月8日 23:57
層とかコホモロジーの類は、何の役に立つのか何も理解せず、わけもわからず勉強するのは効率が悪く、Gunningさんのリーマン面の教科書のような易しい応用から入った方が得だと思う。一度勘所がつかめて怖くなくなればそこから先は普通のお勉強。
2016年8月9日 00:16
普通なら「たかがコンパクトRienann面のために層のコホモロジーの理論の準備をするのは重過ぎる」となってしまうと思うのですが、層とコホモロジーの話をタイプ印刷で35頁ほどにまとめるという凄技を見せてくれました！非常に教育的な本だと思います。
2016年8月9日 00:38
この本の存在を知ったのは理論物理学者達が引用していたから。Belavin-Polyakov-Zamolodchikovを初めて読んだときSchwarzian derivativeというのが出て来て「なんじゃこれは」と思ったのですが?続く
続き?、答えはGunningさんの本に書いてあった。現在ではウィキペディアまである→ https://en.m.wikipedia.org/wiki/Schwarzian_derivative …
2016年8月9日 00:50 >>256 関連
>層とかコホモロジーの類は、何の役に立つのか何も理解せず、わけもわからず勉強するのは効率が悪く、Gunningさんのリーマン面の教科書のような易しい応用から入った方が得だと思う。一度勘所がつかめて怖くなくなればそこから先は普通のお勉強。
Gunningさんの本の代役を、一松本>>233がしてくれると思う
一松本、第５章§２．整級数環より
「函数芽」・・・
「定義５．： 一点aにおける正則函数芽の全体の集合Ｏ_aは、自然な意味で環をなす。・・・これを点aにおける整級数環という。
この名は、各函数芽a_fに、自然にaにおける整級数が対応するからである。
(引用終り)
この整級数環なるものが、現在では局所環なんだね
一松本は、層の導入に先立って、芽や整級数環（局所環）を導入してくれているから、おれでも読める（＾＾
Gunningさんの本は知らないが、似た感じなんだろうね（＾＾ >>256 関連
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Schwarzian_derivative
Schwarzian derivative
In mathematics, the Schwarzian derivative, named after the German mathematician Hermann Schwarz, is a certain operator that is invariant under all linear fractional transformations.
Thus, it occurs in the theory of the complex projective line, and in particular, in the theory of modular forms and hypergeometric functions. It plays an important role in the theory of univalent functions, conformal mapping and Teichmuller spaces. >>257
まあ、層というのは、函数をさらに抽象化した考えで
ここの函数を考えるのではなく、函数を局所環で捉えましょうと
で、局所環を集めて秩序を与えて、完全列とコホモロジーに乗せる
函数を、おおまかに、定数だとか、C^nだとかC^∞だとかC^ωだとか佐藤超関数だとかMicro-Local 超関数だとか、函数の種類ごとに、完全列とコホモロジーが変わってくるんだろうね
で、「圏論でまとめられるところは、まとめるよ」ということか
ふーん
なるほどね
で、グロタン先生は、当時まだ整備されていない圏論が彼の脳内宇宙にあって
そっから理論を構築して、神託をお述べになられたんだ。人々が理解できる言葉を作りながら >>259
どうも。スレ主です。
情報ありがとう
おれはyoutu.beかったるいので、見ないようにしているが
検索すると下記だね
2002に話題になっているね
https://www.google.com/search?num=100&;lr=&as_qdr=all&q=%E5%85%A8+%E7%B4%A0%E6%95%B0+%E7%A9%8D+4%CF%80%5E2+%E8%A8%BC%E6%98%8E&oq=%E5%85%A8+%E7%B4%A0%E6%95%B0+%E7%A9%8D+4%CF%80%5E2+%E8%A8%BC%E6%98%8E&gs_l=serp.3...76461.88793.0.89325.4.4.0.0.0.0.111.358.3j1.4.0....0...1c.1.64.serp..0.3.283...30i10k1.l0c2y5vUAFM
全ての素数の積が4π^2になる件についての調査ログ （無限積のゼータ関数 ...
study-guide.hatenablog.jp/entry/20140213/p1
）証明および注意点について に移動 - primeproduct.dvi - sis-2003-264.pdf http://cds.cern.ch/record/630829/file... もとになっている証明が掲載された論文; Munoz Garcia, E. and Perez Marco, R. "The Product Over All Primes is 4pi^2." Preprint ...
全ての素数の積は4π^2と数学科の友人が言っていました。検索をかけると ...
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp ? 教養と学問、サイエンス ? 数学
2004/12/06 - 検索をかけると2chの数学板にこれについて、証 全ての素数の積は4π^2と数学科の友人が言っていました。
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1033486518/
2002/10/02 - ：02/10/02 00:37: この証明についての疑問やら苦情やらは、前ｽﾚの1に聞かないとわからないので、 レスポンスに ... 15 ：コピペ：02/10/04 17:16: すべての素数の積が4π^2 になることの証明 ..... の極 z=1を除く全複素平面への解析接続
【妹に】すべての素数の積は4π^2 II【解析接続】 - 2ちゃんねる
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1119721758/
2005/06/26 - 2 ：132人目の素数さん：2005/06/26(日) 03:03:16: すべての素数の積が4π^2 になることの証明 .....
数学の質問です。 以下の等式について，両辺が等しくなるのはな… - 人力 ...
q.hatena.ne.jp ? 学習・教育
2014/02/26 - すべての素数の超正規化積(super-regularized product)が4π^2に等しい ... また，この証明はWeb上で頻繁にコピペされていますが，もとになってるMunoz(2003)の論文ではMoebius関数を使っており， 2002は下記だね
すべての素数の積は4π^2になるらしい。【新定理】 - 2ちゃんねる
science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1033486518/
2002/10/02 - ：02/10/02 00:37: この証明についての疑問やら苦情やらは、前ｽﾚの1に聞かないとわからないので、 レスポンスに ... 15 ：コピペ：02/10/04 17:16: すべての素数の積が4π^2 になることの証明 ..... の極 z=1を除く全複素平面への解析接続 >>260 訂正と補足
（訂正）
ここの函数を考えるのではなく
↓
個々の函数を考えるのではなく
（補足）
岡先生の不定域イデアル
前層から層を考えるとき、開集合Ｕの帰納極限を考えるやり方と、開集合Ｕの積集合での同値類を考えるやり方とがある
いずれにしても、最後層は、開集合Ｕに依存しないで、一意に決まる
”開集合Ｕに依存しない”ということを、岡先生は”不定域”と表現したのかな？ 単なる推測ですが・・
岡先生の不定域イデアルの論文を読む力も論文を読める環境にもないですが・・（＾＾
それにフランス語だとか・・（＾＾
それはともかく
>>240 第2kame日記 はじめての層係数コホモロジーなどを見ると、層からある開集合Ｕを考えて前層にして、ちょっと演算して、層に戻るのが、定石？
2007-01-05[微分幾何]はじめての層係数コホモロジー(5) http://d.hatena.ne.jp/kame_math/20070105/p1
に、” H^{1}(M, Ｏ^*) というものを見たら、とりあえず M の開被覆 Ｕ= {U_i}_{i ∈ I}を取り、 H^{1}(Ｕ, Ｏ^*) を考えるのが定石のようだ。”とある
そういう意味では、ルレイ式に前層を考えるべしなのかも（一松本P133にルレイ式の説明がある） 新たな枠組み、「日米で新経済対話」
小泉のときの「構造改革の悪夢」（小泉改革＝アメリカいいなり）の再現にならないように、要注意だな
http://www.nikkei.com/article/DGXLASFS11H09_R10C17A2MM8000/
日米で新経済対話 初の首脳会談、通商・金融など合意 日経 2017/2/12 1:15
【ワシントン＝永沢毅】安倍晋三首相は10日午後（日本時間11日未明）、ホワイトハウスでトランプ米大統領と初めて会談した。日米両国で財政・金融政策や貿易・投資などを幅広く議論するため、麻生太郎副総理とペンス副大統領をトップとする経済対話の新設で合意した。
日米が主導した環太平洋経済連携協定（ＴＰＰ）が漂流する中、新たな連携と公正な市場づくりに向けた協議が始まる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E7%B1%B3%E6%A7%8B%E9%80%A0%E5%8D%94%E8%AD%B0
日米構造協議（にちべいこうぞうきょうぎ、英: Structural Impediments Initiative SII）は、アメリカと日本の間で、日米貿易不均衡の是正を目的として1989年から1990年までの間、計5次開催された2国間協議である。1993年に「日米包括経済協議」と名を変え、1994年からはじまる、「年次改革要望書」「日米経済調和対話」への流れを形成した。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B4%E6%AC%A1%E6%94%B9%E9%9D%A9%E8%A6%81%E6%9C%9B%E6%9B%B8
年次改革要望書（ねんじかいかくようぼうしょ）は、日本国政府とアメリカ合衆国連邦政府が、両国の経済発展のために改善が必要と考える相手国の規制や制度の問題点についてまとめた文書で、毎年日米両政府間で交換されていた。
正式には「日米規制改革および競争政策イニシアティブに基づく要望書」（英語: The U.S.-Japan Regulatory Reform and Competition Policy Initiative）と呼ばれた。2009年（平成21年）に自民党から民主党へと政権交代した後、鳩山内閣時代に廃止されている[1]。
アメリカの要望
「小泉さんが考えていることの応援のつもりというのが基本的なスタンス」[7]だとしている。 まあ、安倍訪米は成功だったが、今後の推移しだいか
数学とは関係ないが >>263 関連
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n15792
空間とは何だろう～グロ－タンディーク（Grothendieck）が見た革新的洞察について～ - Yahoo!知恵袋 sedrft1さん（最終更新日時:2013/7/1）投稿日：2011/12/29
古代から多くの数学者たちが空間とは何か、幾何学とは何かについて考えてきましたが、ここではGrothendieckが考えた革命的な空間論をとりあげます。
（ここでは正確さよりは時代的な雰囲気を重視することを了解ください）
リーマンが考えたように、C上の代数関数体（非特異コンパクト代数曲線の関数体）に対し閉リーマン面が一意的に対応し、それら代数曲線が分類されるという考えは、「曲線という個々の空間ではなく、曲線の上の関数たちを見よ」という、新しい視点に基づくものとなりました。
これにより「関数が空間を規定する」という新たな見方が生まれ、近代的な代数幾何学の誕生となりました。
（ちなみに関数体が同じとき、同じ幾何学的対象とみるリーマンの考え方は双有理幾何とよばれ、これにより代数曲線が分類されるが、曲面論など2次元以上ではこれは成り立たず、それが後のイタリア学派と極小モデル理論に大きな影響を与えた。）
位相空間や多様体があって、その上に適当な関数を考え、解析的な議論を持ち込むことで空間を調べようという手法は多様体論として発展し、
(たとえば多様体の上に定義された関数の臨界点を調べることで多様体の形状を調べようというモース理論や、C^∞多様体の微分形式から定まるde Rhamコホモロジーは空間の位相的性質を決めてしまうというde Rhamの定理がある)
後には層の理論という形で多変数関数論や複素多様体論にも大きく発展しました。層という「関数全体」を考えることで空間のことが理解できるだろうという考えは、「空間ではなく関数を見よ」という思想にまた一つの説得性を生んだのです。
つづく >>266 つづき
この流れをさらに進めるのはゲルファントです。彼はコンパクト・ハウスドルフ空間とその上の複素数値の連続関数環（可換C*環）の等価性を示しました(1943)。
驚くべきことに、コンパクトハウスドルフは、その上の関数たちと同じものになったのです。（逆に言うと連続な関数の環が与えられると元のハウスドルフ空間に戻れる、つまり両方とも同じだけ情報量を持っているということになります。）
そうなってくると、「もはや空間はいらない。可換環だけで空間の議論が出来そうではないか」という考えさえ出てくるわけです。
（やや過激に言うならば、「空間とは可換環である」）
そしてGrothendieckはついに次のような革命的視点に至りました。
「したがって、ここに新しい考えがあるのです。その出現は、実際のところほとんど子供じみた次のような観察の結果とみなすことができます。つまり、位相空間において本当に考慮すべきなのは、その「点」や点からなる部分集合や点の間の近さなどの関係ではなく、この空間の上の層と、これらが作るカテゴリーであるということです。」
（A.Grothendieck（著）・辻雄一（訳）『収穫とまいた種と』）
Grothendieckが考えたスキームという考え方は、空間というものを一度忘れ、層という関数全体を考える（つまり環を考える）という革命的な空間論なのです。空間からの執着・粘着を思い切って捨て去ったことが彼の思想だったのです。
（ちょうど０や虚数を認めた勇気と同じように可換環自体を何らかの空間と認める）
あるいは空間は層から取り出せるため、層を中心に考えようということなのです。 >>267 つづき
彼の考えたスキーム理論では、可換環Rの素イデアル全体Spec Rを空間として扱います。ここにZariski位相というものを入れ、各素イデアルpに対応する点の上の茎がRのpに関する局所化R_pであるように、構造層O_Spec R を導入することができることを示しました。（RはSpec R上の関数全体のなす環としてとらえられます）
これをアフィンスキームと言いますが、これらを貼り合わせることで大域的に構成しようというのがスキームの考え方の基本になります。それまでは多項式の零点集合としての代数多様体があり、その研究に可換環を使っていましたが、彼は可換環そのものが空間構造をもつという立場をとったのです。
（このようにZのような可換環で幾何学ができれば、数論においても嬉しいことが多いに違いありません。実際Grothendieckのスキーム論は、後にWeil予想やフェルマーの最終定理などを証明する基礎にもなっている）
ちなみに現在では可換環が空間なら非可換環も何らかの空間に違いないという思想があります。（非可換幾何）
ただこれは可換環のときのように、目に見える空間ではない。
（空間を仮定して関数を考えるのではなく、いきなり非可換環という「関数たち」を考えるから）
空間であって空間でない空間である。
しかし非可換幾何とリーマン予想との関係が分かっているとか？？
いつしかこれはリーマン予想さえ証明する、究極の「空間論」になりうるのでしょうか。
（参考：『シンプレクティック幾何』 深谷（著）、岩波 p.15) >>267 関連 前にも紹介したと思うが
http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20130711/1373548018
2013-07-11 「空間」の作り方 hiroyukikojimaの日記
(抜粋)
今月の後半に、数学者・黒川信重先生との共著『21世紀の新しい数学～絶対数学、リーマン予想、そしてこれからの数学』技術評論社が刊行される
対談にも、図解にも、レクチャーにも登場するのが、「ゲルファント・シロフの定理」というものだ。今回は、これについて、ちょっと前振りをしておこうと思う。
この定理が、この本に収録されることになったそもそものきっかけは、ぼくが黒川先生に「グロタンディークのスキーム理論は、どんなところからアイデアが出てきたのですか？」という愚直な質問をしたことだった。
スキーム理論というのは、整数からイデアルへ - hiroyukikojimaの日記にも書いたけど、環(加減乗が定義されている代数的な集合)から空間を作りだす技術のこと。
ぼくはてっきり、カルタンや岡潔の「層の理論」が源泉なんじゃないか、と思ってたから聞いたんだけど、そこで黒川先生の口から飛び出したのが、この「ゲルファント・シロフの定理」だったのだ。ぼくが子供じみた興味津々の表情をしたせいか、黒川先生は「証明は簡単なので、付録として、本に収録しましょうか」という提案をしてくださった。
それで、これを膨らました「環と空間」というみごとなレクチャーを執筆してくださることになったわけなのだ。瓢箪から駒というか、棚からぼた餅というか、いやあ、何でも恥ずかしがらずに聞いてみるものである。
「ゲルファント・シロフの定理」というのは、位相空間から環を作って、その環から元の位相空間を再現する方法論だ。おおざっぱには、
位相空間→複素数値連続関数の集合→極大イデアルの集合→元の空間
という構造になっている。もうちょっと詳しく説明すると次のようになる。
つづく >>269 つづき
今、位相空間Xがあるとしよう。位相空間というのは、なんらか遠近感が導入された空間のことだと理解すればいい。そして、その空間は有限的な広さで(コンパクト)、その遠近感が「どの2点も遠近感的に離れている」(ハウスドルフ)とする。次に、その空間X上の複素数値連続関数の集合をC(X)と書こう。
(最初のエントリーでは「連続」が抜けてましたので、修正しました)。
C(X)には加減乗が定義できるので環の一つと見なすことができる。そして、この関数たちのなす環C(X)の極大イデアルの集合をYとする(極大イデアルについては、整数からイデアルへ - hiroyukikojimaの日記を参照のこと）。
ちなみに、極大イデアルの集合Yには、(ザリスキー位相という)うまい遠近感を導入することで位相空間に仕立てることができる。
このとき、元の位相空間Xとこの極大イデアルの成す位相空間Yが、遠近感が同じ空間(同相)となる、というのが、「ゲルファント・シロフの定理」の定理なのである。
図形的なイメージが欲しい人は、本書のぼくによる「図解」で(ただし、有限位相空間のみ)、きちんとした証明が知りたい人は、黒川先生のレクチャー「環と空間」で(こっちは一般論)お読みくださいませ。
この定理が面白いのは、空間上の関数があって、それが環の構造を持ってたら、その極大イデアルたちに元の空間がそのまんま映し出される、ということを教えてくれることなのだ。これには、「空間の持つ性質を探るには、その空間上の関数を調べればいい」という現代数学に普遍的に共有されている発想が宿っている。
つづく >>270 つづき
ここからは、ぼくの類推だけど(黒川先生に聞いたわけじゃない、ということ)、グロタンディークは、こう閃いたんじゃないかな、と思ったのだ。
すなわち、空間上の関数の環に元の空間が映し出されるなら、逆に、環が先にあったら、そのイデアルたちを空間化して、その空間上で元の環を関数に仕立てることが可能なんじゃないか、と。
これが可能になれば、「環の要素を、関数と化させることができる」ということになる。例えば、整数の成す環にこれを用いれば、整数は単なる一個の数であるにもかからわず、これをある空間上の関数、つまり、「空間の点をインプットすると、何かがアウトプットする」関数に仕立てることができるのである。
ただし、グロタンディークが空間化したのは、極大イデアルではなく、素イデアルだったのだ。実際、この方法で、スペックZ(各素数の倍数の成すイデアルと0イデアル)を空間化して、各整数をこの空間上の関数と化させることに成功したわけなのである。
いやあ、数学者の想像力というのは、ほんとにすさまじいものがあるわい。
(引用終り) 過去スレ再録
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/495
495 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/14(土) 21:35:28.14 ID:co7dEEx8 [37/45]
>>468
>「ゲルファント・シロフの定理」というのは、1940年くらいの定理だ。
下記のP53辺りにある。なお、下記２つのうち、スキャナーの質は上が良好で読みやすい。下は出典を示す表紙が１枚ついているのが値打ちだ。
http://www.ams.org/journals/tran/1948-064-01/S0002-9947-1948-0026239-9/S0002-9947-1948-0026239-9.pdf
6.1MB rings of real-valued continuous functions. i - American Mathematical Society E Hewitt 著 - ?1948
http://www-math.bgsu.edu/~warrenb/Courses/Research/mtop/hewitt.pdf
1.6MB [PDF]Rings of Real-Valued Continuous Functions. I E HEWITT 著 - ?1948 Transactions a/the American Mathematical Society >>269-271 関連
この2013-07-11 「空間」の作り方 hiroyukikojimaの日記は
スレ27 の471にもコピペした
が、今回は一松本を読んだ後なので、意味がよく分かる
以前のコピペは、訳分からず表面的にしか見ていなかった >>231
案の定、28は煮詰まったか
何が分かって、何がだめなのか
自分達で後始末をつけろよ
（文系）High level people にも困ったものだ >>238
>スレ主は嘘八百だから信用しない方が
１．嘘八百かどうか、見分けがつかないなら、このスレは君には向かない
２．スレ主は、ほとんど自分では書かない。どこかのページの紹介、リンクと内容抜粋だ。そしてそれが、ある意味裏付けだ。注意深く見れば、裏付けの無いカキコはほとんど皆無だ
３．”スレ主は嘘八百だから信用しない方が”というお前が果たして、信用できるのか？ 数学の実力を見せて見ろよ。出来ないだろ？ 大学院入試問題程度は解ける？ 無理だ？ そうだろう。そうだろうね。ま、おれも解けないけどね（＾＾ 「極限論の講義についてⅢ : トポロジー、ホモロジー、そして圏論」が秀逸だね
https://ygu.repo.nii.ac.jp/index.php?active_action=repository_view_main_item_snippet&;page_id=4&block_id=82&pn=1&count=20&order=5&lang=japanese&creator=%E6%9D%89%E7%94%B0%20%E5%8B%9D%E5%AE%9F
極限論の講義について (堀越芳昭教授退職記念号)
杉田 勝実 , 齊藤 実
山梨学院大学経営情報学論集,19,19-23 (2013-02-06)
pdf
極限論の講義について 2 : 連続性
杉田 勝美 , 齊藤 実
山梨学院大学経営情報学論集,第20号,53-59 (2014-02-26)
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極限論の講義についてⅢ : トポロジー、ホモロジー、そして圏論
杉田 勝実 , 齊藤 実
山梨学院大学経営情報学論集,21,37-44 (2015-02-04)
pdf https://www.iwanami.co.jp/book/b265484.html
小平邦彦が拓いた数学 - 岩波書店
複素多様体論の研究で20世紀数学を牽引した小平邦彦．その思考の軌跡を論文や著作をもとに再現する．
著者 上野 健爾 著
ジャンル 書籍 > 単行本 > 数学
書籍 > 自然科学書
刊行日 2015/12/22
立ち読みPDF
https://www.iwanami.co.jp/files/tachiyomi/pdfs/0063160.pdf
(抜粋)
一方，調和積分論の限界も思いもかけない方向から打ち破られることとなる．
1952 年に小平はスペンサー（Donald Clayton Spencer）に出会い，スペンサーの提案によって当時パリでカルタン（Henri Paul Cartan）とセールたちが研究を始めていた層の理論のセミナーを開くこととなった．
最初はほとんど意味のない一般化のように思われた層の理論が思いもかけないほど有用であることが判明してきた．
小平とスペンサーは層の理論と調和積分論を組み合わせるとイタリア学派が導入した代数多様体V の2 つの算術種数pa(V ) とPa(V )が等しいことがあっさり証明できることを見出した[K31]）．
また，コホモロジーのホッジ分解で現れる(p, q) 成分はコンパクトケーラー多様体M の正則p 次型式の芽の層ΩpM のq 次コホモロジー群Hq(M,Ωp M) と解釈できる．
さらに複素直線束に値をとるコホモロジー群の計算に調和積分論を拡張した形で応用できることが判明し，コホモロジー群の有限性やホッジ分解の(p, q) 成分が一般化された調和型式を使って目に見える形に提示された（[K32]）．
また因子と直線束の関係も明らかになってきた（[K34]）．
そして直線束のコホモロジーに関する小平の消滅定理（[K35]），ホッジ多様体は代数多様体であることを示す小平の埋め込み定理（[K37]）が証明され，代数多様体やコンパクト複素多様
体の研究に本質的な進展が始まった．
層の理論とその初期の応用については本書第5 章で，消滅定理と埋め込み定理は極めて重要な結果であるので章を改めて第6 章で論じる． Miller, Haynes (2000). "Leray in Oflag XVIIA: The origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences" (PS)が面白い
そうなんか、そうなんや、層なんや
https://en.wikipedia.org/wiki/Jean_Leray
Jean Leray (French: [l???]; 7 November 1906 ? 10 November 1998)[1] was a French mathematician, who worked on both partial differential equations and algebraic topology.
Leray's work of this period proved seminal to the development of spectral sequences and sheaves.[4] These were subsequently developed by many others,[5]
5. Miller, Haynes (2000). "Leray in Oflag XVIIA: The origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences" (PS).
http://www-math.mit.edu/~hrm/papers/ss.ps これは、外しているかもしれないが
数学の層は我々の身近では、断層写真のアナロジーで考えるのが一番イメージが近いかもしらん。層理論には、断面が出てくくるし（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E9%9D%A2_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
(抜粋)
位相幾何学の分野におけるファイバー束の断面（だんめん）あるいは切断（せつだん、英: section）若しくは横断面 (cross-section) とは、底空間をファイバー束の中に実現する写像或いはその像をいう。
局所切断と切断の層
ファイバー束はその底空間全域で定義される切断（大域切断、global section）を一般には持たないが、それゆえ局所的にのみ定義される切断というものを考えることも重要である。
ファイバー束 (E, π, B) の（連続な）局所切断 (local section) とは、U を底空間 B の開集合とするときの連続写像 s: U → E であって、束射影 π について U のすべての元 x に対して π(s(x)) = x をみたすようなものを言う。
(U, φ) が E の局所自明化（つまり F をファイバーとして φ が π?1(U) から U × F への同相写像を与えるもの）とするとき、U 上の局所切断は常に存在して、それは U から F への連続写像と一対一に対応する。
このような局所切断の（U を任意に動かすときの）全体は底空間 B 上の層を成し、ファイバー束 E の切断の層 (sheaf of sections) と呼ばれる。
ファイバー束 E の開集合 U 上の連続（局所）切断全体の成す空間はときに C(U,E) とも表され、また E の大域切断全体の成す空間はしばしば Γ(E) や Γ(B,E) と表される。 https://en.wikipedia.org/wiki/Section_(fiber_bundle)
Section (fiber bundle)
(抜粋)
Local and global sections
Generalizations
Obstructions to extending local sections may be generalized in the following manner: take a topological space and form a category whose objects are open subsets, and morphisms are inclusions.
Thus we use a category to generalize a topological space. We generalize the notion of a "local section" using sheaves of abelian groups, which assigns to each object an abelian group (analogous to local sections).
There is an important distinction here: intuitively, local sections are like "vector fields" on an open subset of a topological space. So at each point, an element of a fixed vector space is assigned. However, sheaves can "continuously change" the vector space (or more generally abelian group).
This entire process is really the global section functor, which assigns to each sheaf its global section. Then sheaf cohomology enables us to consider a similar extension problem while "continuously varying" the abelian group. The theory of characteristic classes generalizes the idea of obstructions to our extensions.
See also
Fibration https://en.wikipedia.org/wiki/Fibration Google訳
一般化
ローカルセクションを拡張する障害は、トポロジカルな空間をとり、そのオブジェクトがオープンサブセットであり、モチーフが包含物であるカテゴリを形成するように一般化することができる。したがって、トポロジカルな空間を一般化するためにカテゴリを使用します。
アーベル・グループのシーブを使って「ローカル・セクション」の概念を一般化します。アーベル・グループは、各オブジェクトにアーベル・グループを割り当てます（ローカル・セクションに類似しています）。
ここでは重要な違いがあります。直感的に言えば、ローカルセクションは、位相空間の開いたサブセット上の「ベクトルフィールド」のようなものです。したがって、各点で、固定されたベクトル空間の要素が割り当てられます。しかし、シーブは、ベクトル空間（またはより一般的にはアーベル・グループ）を「連続的に」変更することができます。
このプロセス全体は、実際にはグローバルセクションのファンクタであり、各セクションにグローバルセクションを割り当てます。その後、コープロジーを使用することで、私たちは同様の拡張問題を考慮し、アーベルグループを「連続的に変化させる」ことができます。特徴的なクラスの理論は、私たちの拡張に障害の概念を一般化する。 森田真生『数学する身体』小林秀雄賞か、すごい
http://www.shinchosha.co.jp/news/article/179/
第15回 小林秀雄賞・新潮ドキュメント賞 受賞作決定
受賞作品
『数学する身体』（2015年10月 新潮社刊）
数学する身体
森田真生／著
「数学を通して世界をわかりたい」。30歳、若き異能の躍動するデビュー作！
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E6%9E%97%E7%A7%80%E9%9B%84%E8%B3%9E
(抜粋)
小林秀雄賞（こばやしひでおしょう）は、財団法人新潮文芸振興会が主催する学術賞である。元々は新潮学芸賞だったが、2002年（平成14年）にノンフィクションをメインとする新潮ドキュメント賞と分離して創設された。
日本を代表する文芸評論家・批評家の小林秀雄の生誕100年を記念として新たに創設された学術賞である｡日本語表現豊かな著書（評論・エッセイ）に毎年贈られる。ただし､小説・詩・フィクションは対象外である。
第15回 (2016年) - 森田真生『数学する身体』（新潮社） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E6%9E%97%E7%A7%80%E9%9B%84_(%E6%89%B9%E8%A9%95%E5%AE%B6)
小林秀雄 (批評家)
(抜粋)
小林 秀雄（こばやし ひでお、1902年（明治35年）4月11日[1] - 1983年（昭和58年）3月1日）は、日本の文芸評論家、編集者、作家。
人物
近代日本の文芸評論の確立者であり、晩年は保守文化人の代表者であった。アルチュール・ランボーなどフランス象徴派の詩人たち、ドストエフスキー、幸田露伴・泉鏡花・志賀直哉らの作品、ベルクソンやアランの哲学思想に大きな影響を受ける。本居宣長の著作など近代以前の日本文学にも深い造詣と鑑識眼を持っていた。
妹の高見沢潤子は、作家・随筆家、その夫は『のらくろ』で著名な漫画家・田河水泡。
長女の明子は、白洲次郎・正子夫妻の次男・兼正の妻。英文学者の西村孝次、西洋史学者の西村貞二兄弟は従弟にあたる。文藝評論家の平野謙は又従弟。正確には、小林秀雄の母方の祖母の城谷やす（旧姓千葉）と平野謙の母方の祖父の千葉實が兄妹の関係にある。
特徴[編集]
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この節には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。
出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。（2008年12月）
中立的な観点に基づく疑問が提出されています。（2010年5月）
小林の個性的な文体と詩的な表現は、さまざまな分野の批評に強い影響を与えた。文学の批評に留まらず、西洋絵画の評論も数多く手がけ、ランボー、アラン、サント・ブーヴ等の翻訳も行った。
作家三島由紀夫は、『文章読本』（中央公論社）で、「日本における批評の文章を樹立した」と評価している。また、「独創的なスタイル（文体）を作つた作家」として森鴎外、堀辰雄と共に小林秀雄を挙げている[5]。三島は、「文体をもたない批評は文体を批評する資格がなく、文体をもつた批評は（小林秀雄氏のやうに）芸術作品になつてしまふ。
なぜかといふと文体をもつかぎり、批評は創造に無限に近づくからである」[6]と述べ、小林秀雄を単なる批評家ではなく、芸術家とみている[6]。小林から大きな影響を受けた批評家や知識人は枚挙に暇がない[7]。 >>275
どうも。スレ主です。
ご愛読ありがとう
>また今週もスレ主の独り言は続くのであった
独り言というよりは、備忘録ないしメモと思ってもらった方がいいね >>257
>>層とかコホモロジーの類は、何の役に立つのか何も理解せず、わけもわからず勉強するのは効率が悪く、Gunningさんのリーマン面の教科書のような易しい応用から入った方が得だと思う。一度勘所がつかめて怖くなくなればそこから先は普通のお勉強。
>Gunningさんの本の代役を、一松本>>233がしてくれると思う
一松本の第７章§４「解析接続、正則包」がいいね
層理論を解析接続に適用する
解析的多様体Xで、自然に正則関数の層Oが定まり、元fを通る横断面が芽（＝函数要素）fの解析接続だという
逆に、第７章§４「解析接続、正則包」から第７章§３「層の概説」を読み直せば、得るところ大だろう
分かり易い
その後、第９章「層のコホモロジー、連接層」を読むのが良いんじゃないかな 一変数だが、楕円函数論で層を具体的に当てはめてみても面白いかも知れない
イメージがクリアーになるかな（下記「これは代数幾何学において層（この場合は直線束）の切断を考える事に相当する。」）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BD%A2%E5%BC%8F
(抜粋)
モジュラー形式は、モジュラー群という大きな群についての対称性をもつ上半平面上の複素解析的函数である。
モジュラー函数は重さ 0 、つまりモジュラー群の作用に関して不変であるモジュラー形式のことを言う。
そしてそれゆえに、直線束の切断としてではなく、モジュラー領域上の函数として理解することができる。また、「モジュラー函数」はモジュラー群について不変なモジュラー形式であるが、無限遠点で f(z) が正則性を満たすという条件は必要ない。その代わり、モジュラー函数は無限遠点では有理型である。
モジュラー曲線上の函数としての扱い
C の格子 Λ は C 上の楕円曲線 C/Λ を決定する。上で格子の集合上の函数とみなせることを説明したが、同じように楕円曲線の集合の上の函数ともみなすことができる。このようにして、モジュラー形式はモジュラー曲線の上の直線束の切断と考えることができる。たとえば、楕円曲線の j-不変量はモジュラー曲線の有理関数体の生成元である。
直線束の切断としての解釈は次のように説明できる。ベクトル空間 V にたいし射影空間 P(V) 上の函数を考える。V 上の函数 F で V の元 v ≠ 0 の成分の多項式であって、等式 F(cv) = F(v) を 0 でない任意のスカラー c についてみたすようなものを考えると、そのようなものは定数函数しか存在しない。
条件をゆるめて多項式の代わりに分母をつけて有理函数を考えれば、F として同じ次数のふたつの斉次多項式の比とすることができる。
あるいは F は多項式のままにしておいて、定数 c に関する条件を F(cv) = ckF(v) と緩めれば、そのような函数は k 次の斉次多項式である。斉次多項式の全体は実際には P(V) 上の函数ではないのだから、P(V) の函数が記述する幾何学的な内容を、本当に斉次多項式が記述できるのかと考えるのは自然である。
これは代数幾何学において層（この場合は直線束）の切断を考える事に相当する。これは、モジュラー形式についての状況とちょうど対応する話になっている。 ＞２．スレ主は、ほとんど自分では書かない。どこかのページの紹介、リンクと内容抜粋だ。
過去の嘘八百の数々を忘れたと？
アホだと思ってたら痴呆だったのか >>290
>過去の嘘八百の数々を忘れたと？
>アホだと思ってたら痴呆だったのか
（文系）High level people にも困ったものだ
自分が理解できないことを、嘘八百だと（＾＾； 再録>>243
これ（下記）をどう思っているのか？ 存念を聞きたい
>>76 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/01/22(日) 14:16:18.33 ID:aSVenMI/
>>75
もう一度言っておくが、
時枝>>4
素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
対して、私が確率の専門家と呼ばせて貰っている人（大学教員クラス）>>14 抜粋
「うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな」
「P(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ」
なのだ どっちが忘れているのかね？
過去ログ引用
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20
(抜粋)
534 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2016/07/03(日) 23:24:18.32 ID:/kjhINs/ [14/15]
>>532
>>530を読めば明らかだと思うが、俺は
『非可測集合R^N/~を"経由"してよいとする』
という仮定を貴方より拡大解釈している
hは非可測であり、これが問題だというのは俺も同意。記事も同じ
そこに目をつぶり、2個の自然数が与えられたとして確率を計算している
535 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:33:06.50 ID:f9oaWn8A [12/13]
>>534
非可測であることに目をつぶって計算することの意味をあまり感じないな
直感的に1/2とするのは微妙．
むしろ初めの問題にたちもどって，無限列から一個以外を見たとこでその一個は決定できないだろうと考えるのが
直感的にも妥当だろう
537 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:37:15.02 ID:OPeiDw3f [13/13]
非可測が絡むとこんな奇妙な結論が導かれる
ってのが時枝氏が言いたいことじゃないの？
538 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:54:57.90 ID:f9oaWn8A [13/13]
うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな
>>6
>確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
の認識が少しまずい．
任意有限部分族が独立とは
P(∀i=1,…n,X_i∈A_i)=Π[i=1,n]P(X_i∈A_i)ということだけど
これからP(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ >>290
で、下記はあんただろ？
「おそれいりました」って発言しているだろ？
忘れたのか？
(抜粋)
541 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2016/07/04(月) 00:04:35.65 ID:hgUPmIoq [1/10]
>>538
> 可算族に対しては(1)も(2)も同値となる
ありがとう、勉強させてもらった
このスレにはそこまで理解している人間はいなかった
貴方がもっと早く現れていれば無駄な議論を重ねずに済んだのだが おっちゃんです。
>>285に挙げてあるWikipediaのサイトは余り信用しない方がいい。
あのサイトは、事実を事実と認めない人々と
事実を事実と認める人々との間で、荒らしが起きている。
この状態が現状として正しい。保護中依頼とされていることはそのため。
内容として正しいのは、後者の人達が書いたモノである可能性が高いんだが…。 「可算族に対しては(1)も(2)も同値となる」ってことは、可算無限長の”独立な確率変数の無限族”>>4が構成できるってこと
それは、(1)も(2)も同値
で、可算無限長の”独立な確率変数の無限族”>>4が構成できたとしたら、それは他の箱から独立だから、他の箱をいくら開けようとも、当てられない
これが、従来の確率論からの結論だよ
それ以上の話は、隔離スレ28 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/ で、
（文系）High level people 同士でお願いします。 >>295のサイトというのは彼(森田真生)のWikipediaのことね。
このサイトは、>>295のような事情があって、保護中依頼とされているのが現状。 >>285
どうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう
おっちゃんのいうwikipedia は、>>286の小林秀雄 (批評家)に関する方だろうね
小林 秀雄にも毀誉褒貶があるのは分かっているよ
だが、ご指摘はありがたい やはり痴呆だった、人の識別ができなくなってる
糖質も併発か？被害妄想もあるようだ >>295、>>297の訂正：
保護中依頼 → 保護依頼中 >>297
ああ、これ（下記）かいな？
『数学する身体』 新潮社 2015年は、気楽な読み物としえ読めば良いんで無いの？ 森田真生が、不定域イデアルや層をどこまで理解しているかは別として・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A3%AE%E7%94%B0%E7%9C%9F%E7%94%9F
森田真生 >>298
違う。小林秀雄 (批評家)は、昔の人で今とは全く状況が違う。
この人のサイトの方は信用していいと思う。 >>299
？
>やはり痴呆だった、人の識別ができなくなってる
コテ付けずに、「１３２人目の素数さん」状態で投稿している人がいうことかね？
痴呆はどっちがだ
人の識別をできなくしている側の発言として、矛盾してないかい？
あんたの発言が信用できない証拠だね。 かつ、人格としてもどうなんかね？ >>302
ああ、そうなんか
おっちゃん、ありがとう >>298
まあ、それでも、スレ主が>>286で中身を吟味せずに鵜呑みにして挙げた
>この節には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。
>出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。（2008年12月）
>中立的な観点に基づく疑問が提出されています。（2010年5月）
>……(中略)……
というようなことが書いてあるから、小林秀雄(批評家)のWikipediaのサイトの内容も全てが正しいとはいえないな。 >>298
>>305の1番下の行の「全てが正しい」は「全てを信用出来る」とした方が適切だ。 >>299
”みずきよければうおすまず”という（下記）
君程度が、棲んでいるのが、２ちゃんねるスレの環境としては、健全かな（＾＾
http://kotowaza-allguide.com/mi/mizukiyokerebauo.html
(抜粋)
故事ことわざ辞典
水清ければ魚棲まず
【読み】 みずきよければうおすまず
【意味】 水清ければ魚棲まずとは、あまりに清廉すぎる人は、かえって人に親しまれず孤立してしまうことのたとえ。
【水清ければ魚棲まずの解説】
【注釈】 あまりにも水が清く澄んでいると、魚の餌になるプランクトンも繁殖しないし、魚が隠れることができないので棲みつかないことから。
『孔子家語』入官には「水至清即無レ魚、人至察則無レ徒（水が清らかすぎれば魚が住まないし、人が潔白すぎれば仲間ができない）」とある。
「棲まず」は「住まず」とも書く。
【出典】 『孔子家語』入官
【注意】 「魚」を「さかな」と読むのは誤り。
【類義】 商人と屏風は曲がらねば立たぬ／清水に魚棲まず／石上五穀を生ぜず／人至って賢ければ友なし／人と屏風は直ぐには立たず／屏風と商人は直ぐには立たぬもの／曲がらねば世が渡られぬ／水至って清ければ則魚無し／水清ければ大魚なし
【対義】 －
【英語】 A clear stream is avoided by fish.（水清ければ魚棲まず）
【用例】 「水清ければ魚棲まずというもので、彼は高潔な人であるにも関わらず友人がなかなかできないようだ」 コテ付けずに、「１３２人目の素数さん」状態で投稿している人を誰それと決めつけている人がいうことかね？
痴呆はお前だよ
人の識別をできない側の発言として、矛盾してないかい？
あんたの発言が信用できない証拠だね。 かつ、人格としてもどうなんかね？ >>308
なるほど、君はなかなかレベルが高い
屁理屈と、人格とも、私スレ主と同じレベルと認定しよう！！（＾＾
>コテ付けずに、「１３２人目の素数さん」状態で投稿している人を誰それと決めつけている人がいうことかね？
>痴呆はお前だよ
ここは、減点１０点だな
”決めつけている”が、×だ
これはいわゆる「鎌をかける」（あて推量を投げて反応を見る）というテクニックだ
http://gogen-allguide.com/ka/kamawokakeru.html
語源由来辞典
鎌をかける
【意味】 鎌をかけるとは、知りたいことを自然にしゃべらせるよう、それとなく誘導すること。
【鎌をかけるの語源・由来】
鎌をかけるの語源は、以下の通り諸説あり、正確な語源は未詳。
やかましい意味の「囂し（かまし）」に、「ひっかける」の「かける」を加え、相手にやかましくしゃべらせ、うまく聞き出す意味で「かまをかける」になったとする説。
「甑（こしき）」や「桶（おけ）」を作る時に、寸法を計る道具を「かま」と呼び、「かま」で寸法を確認することを「かまをかける」と言っていたため、自分の思い通りにする誘導の意味だけ残り、現在の意味になったとする説などがある。
しかし、「かまをかける」の語源は、上記のような特別な意味を含んだものではなく、単純に、鎌で引っ掛けるようにして、相手を引き寄せる意味からと考えて良いであろう。 >>309
>なるほど、君はなかなかレベルが高い
>屁理屈と、人格とも、私スレ主と同じレベルと認定しよう！！（＾＾
この判断は間違っている。学で証明が大事なことを意識してない
スレ主の方がレベルは低い。マトモな数学で証明は欠かせない。
何せ私が証明しても、スレ主にはムダに終わったからな。 >>309
>>310の訂正：
学で証明が大事 → 数学で証明が大事 今更ながら、デュピュイの「ガロワの生涯」が44年ぶりに復刊されていることを知った
http://www.tokyo-tosho.co.jp/books/978-4-489-02255-5/
書店でパラパラと呼んだが、翻訳者の辻雄一氏については
代表的な翻訳の業績が列記しているだけで、生没年や具体的な経歴は何も書かれていなかった
遺族から許諾を得ているはずで、10年以上前に亡くなっているのは知っていたはずなのに
長年にわたって東京図書に貢献してきた人物なのに、冷たい…… ＞これはいわゆる「鎌をかける」（あて推量を投げて反応を見る）というテクニックだ
それはお前の中の都合だ
客観的に見れば決めつけ以外の何物でもない
中学生からやり直した方がいいんじゃないか？ >>287
If you wanna make a note of something, you ought to do that on your own notepad or so on, not on the public bulletin board system. You get the reason even without my tip, dontcha? スレ主はすっかり性格悪くなったな
まあ化けの皮が剥がれただけかもしれんが 前からだし、皮なんか速攻で剥がれてたよ
その上でみんな遊んでるんじゃん 開集合もわからなかったやつがファイバーバンドルとかセクションとか言い出したのか
面白いな わからないだけなら未だしも、
開 集 合 で あ る こ と に 注 意
などとほざいてたよ、そもそも開集合じゃないのにｗ お久しぶりです。おっちゃんです。
スレ主不在なので、ここに落書きします。以下は下書き。
a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なりかつ1ではないような正の実代数的数とする。
このとき、任意の互いに相異なる代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
証明]：或る互いに相異なる代数的無理数 b_1,b_2,…,b_n に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n}＝c cは代数的数 とする。すると、
a_1,…,a_n＞0 からcは正の実代数的数で、両辺に対して自然対数を取ると、
b_1・log(a_1)＋…＋b_n・log(a_n)＝log(c) となる。
i=1,…,n に対して A_i＝log(a_i) とおき、C＝log(c) とおく。
α＝b_1・A_1＋…＋b_n・A_n－C とおく。すると α＝0 となる。
ところで、0ではない代数的数全体 {Q~}＼{0} は通常の乗法の二項演算について群をなす。
また仮定から、a_1,…,a_n は相異なりかつ1ではないような正の実代数的数である。
仮定から、互いに相異なる代数的無理数 b_1,…,b_n は何れも±1ではない。
従って、ゲルフォント・シュナイダーの定理の系から、A_1,…,A_n は
有理数体Q上線型従属である。故に、何れも或る既約な有理数 p_2,…,p_n に対して
A_1＝p_2・A_2＋…＋p_n・A_n となる。同様にその定理の系から、各 i=2,…,n に対して、
(A_i)/(A_1)＝(log(a_i))/(log(a_1)) は有理数か超越数である。 (>>323の続き)
しかし、或る (A_i)/(A_1) i=2,…,n が有理数とすると、同様の論法に陥り
(A_i)/(A_1) i=2,…,n がすべて有理数となるから矛盾が得られることになる。
従って、各 (A_i)/(A_1) i=2,…,n はすべて超越数として考えてよい。
そう考えて A_1 の右辺をαの A_1 に代入すると、
α＝b_1・(p_2・A_2＋…＋p_n・A_n)＋b_2・A_2＋…＋b_n・A_n－C から
α＝(b_1・p_2＋b_2)・A_2＋…＋(b_1・p_n＋b_n)・A_n－C＝0 を得る。
C＝log(c) についてcは0でも1でもない正の実代数的数で、その定理の系から、
A_2,…,A_n,C は体Q上線型従属である。故に、何れも或る
既約な有理数 q_2,…,q_n に対して C＝q_2・A_2＋…＋q_n・A_n となる。
同様にその定理の系から、各 (A_i)/C＝(log(a_i))/(log(c)) i=2,…,n は
有理数か超越数である。しかし、或る (A_i)/C i=2,…,n が有理数とすると、
同様の論法に陥り (A_i)/C i=2,…,n がすべて有理数となり矛盾が得られる。
従って、各 (A_i)/C i=2,…,n はすべて超越数として考えてよい。
そうすると、α＝(b_1・p_2＋b_2)・A_2＋…＋(b_1・p_n＋b_n)・A_n－C は
α＝(b_1・p_2＋b_2－q_2)・A_2＋…＋(b_1・p_n＋b_n－q_n)・A_n＝0 となる。
上と同様に考えると、各 (A_i)/(A_j)＝(log(a_i))/(log(a_j)) 1≦i＜j≦n を
すべて超越数として考えてよいことになるから、機械的に考えると、
その定理の系からn-1個の超越数 A_2,…,A_n は体Q上線型独立である。
しかし、これは A_2,…,A_n は体Q上線型独立だったことに反し矛盾する。
この矛盾が得られたことで背理法が適用出来るから、それを適用すればよい。 以上は論文の下書き。メモ。
既に示されているんだろうな。
だが、あの定理の解析的な証明が面倒だな…。 >>323の訂正：
i=1,…,n に対して A_i＝log(a_i) とおき → 各 i=1,…,n に対して A_i＝log(a_i) とおき >>323
a_1=2, a_2=4, b_1=-2\sqrt{2}+4, b_2=\sqrt{2}-1が反例。超越数どころか整数になる。 >>328
「メモ」と書いてあるだろう。
あの背理法による証明は与えられた条件を使ってないから間違っていて、
あのような正しくするには何か別の条件が必要になることは薄々気付いた。 >>329の訂正：
あのような正しくする → あのような「証明を」正しくするには あっ、いつもはじめに書く常套句「おっちゃんです。」を書くの忘れた。
以上、おっちゃんのレスでした。 別スレ立ててやれ
面白すぎて糞馬鹿が復活したらどうする どうも。スレ主です。
ようやく私も、年度明けです。
呼ばれたようなので、復帰します。
皆さま、今日からまたよろしく。（＾＾； まあ、ROMっては居たんですが、残務があって、カキコする時間が無かった（＾＾； >>323-331
おっちゃん、どうも。スレ主です。
いつもどうり、お元気そうでなによりです。（＾＾； >>323 辺りはつついてみたい気はするが、後日（＾＾； サクラも咲いて新学期
新１年生も居るんだろうな・・・（＾＾； スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこらの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか
有名な話で、有限単純群の分類
”出来た！”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか
おいおい、競馬じゃないんだよ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。 >>338 補足
ああ、早速やね
”特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。”、の「分類野中」→「分類の中」の誤変換やろね
まあ、wikipediaなど、かなりの数学の基礎力がないと読めません（＾＾； >>339 補足の補足
wikipediaの数学記事ね
英文見といた方が良いよ
あれ、かなり英文記事からの訳が多い
英文の方が改訂が早くて、訳が追いついていない場合が多い
また、和文独自の記事もあるけど、英文の方が充実している場合が多い
かつ、和英対比がベターやね
で、和訳がかなりあやしい場合が多い
えーと、左端のEnglish をクリックすると、英語記事に飛べるよ
私は、たまに独語を参照するときはある
仏は読めないので、私はほとんど行きませんが、ネットgoogle翻訳で、仏→英 を使って読んでこともあります（仏人の記事などはやはり仏語が詳しいから）
以上ご存知と思うが、ご参考まで >>338
英文はこれやね
https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_group
Simple group
Contents
1 Examples
1.1 Finite simple groups
1.2 Infinite simple groups
2 Classification
2.1 Finite simple groups
3 Structure of finite simple groups
4 History for finite simple groups
4.1 Construction
4.2 Classification
5 Tests for nonsimplicity
6 See also
7 References
7.1 Notes
7.2 Textbooks
7.3 Papers
8 External links
History for finite simple groups
Classification
The full classification is generally accepted as starting with the Feit?Thompson theorem of 1962/63, largely lasting until 1983, but only being finished in 2004.
Soon after the construction of the Monster in 1981, a proof, totaling more than 10,000 pages, was supplied that group theorists had successfully listed all finite simple groups, with victory declared in 1983 by Daniel Gorenstein.
This was premature ? some gaps were later discovered, notably in the classification of quasithin groups, which were eventually replaced in 2004 by a 1,300 page classification of quasithin groups, which is now generally accepted as complete. >>341
和：合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ
英：a proof, totaling more than 10,000 pages, was supplied
合計10,000ページ以上やね
それと、「証明が作られ」は誤訳
http://d.hatena.ne.jp/kazu_FGF/20090409/1239310288
Finite Groups Fun 有限群 あるいは ちょこっと計算ファンの日記
2009-04-09 鈴木『群論』の問題を解いてみる－はじめにAdd Star
(抜粋)
しばらく前に岩波から鈴木通夫『群論 上,下』が復刊されている．
実は以前に苦労して古書を手に入れてときおり眺めていたのだが，やっぱりこの本はすごい．上巻は教科書風だが，群論の大抵のことは載っているし，下巻ではFeit-Thompsonの定理や有限単純群の分類についても言及されている．
無論，刊行当時の1977年ではまだ有限単純群の分類は完成していなかったし，本文中にもまだ未完成と記述されている箇所がある
ところが，偶然にFeit-Thompsonの元論文がWebで無料で手に入ることを発見し，また昔の野望がアタマをもたげてきた．
（Wikiページ ”Feit-Thompson theorem”の下のリファレンスを参照） http://en.wikipedia.org/wiki/Feit%E2%80%93Thompson_theorem
Feit-Thompsonの証明はその部分的な解決である『奇数位数の CN群（単位元以外の元の中心化群がnilpotentになる群）は可解である』の証明を雛形としており，難解なFeit-Thompsonの証明を理解するには，そのCN群に対する証明を先に理解すべしというアドバイスが以前紹介したFT定理の解説本 Bender& Glauberman の前書きにも書かれている．
CN群に対する証明の元論文は上にあげたリファレンスにあり，これも無料である．また，Gorensteinの『Finite Groups』（のかなり後半）にも証明が載っているようである．
しかし，さらに遡ると，このCN群に対する証明は，鈴木通夫によるCA群（単位元以外の元の中心化群がAbelianになる群）に対する証明を雛形としているということであるから，CA群に対する証明を読んでみることから始めるのは悪くなさそうである．
そこで鈴木氏の『群論』に何かないかと調べてみたところ，まさにCA群に関する結果そのものずばりが，下巻の651ページあたりに載っているではないか！
もう，これは鈴木『群論』を読むしかない！
つづく >>342 つづき
昔、岩波 鈴木通夫『群論 上,下』を読んだり、また、過去ログでも紹介した記憶があるが、有限単純群の分類の記事を読んだ記憶では
「合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ」たわけではなく、あちらこちらに発表された論文の総計が合計10,000ページ以上ってことだな
ゴレンスタイン→ゴーレンシュタインと和書では書かれる場合が多いと思うが、下記とね日記などもご参照ください
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/f8c531f52d2a788ea6906555dcbfb87c
とね日記
素数の話、解の公式の話（朝日カルチャーセンター）
2014年09月29日 01時16分40秒 |
(抜粋)
9月27日（土）は１年ぶりに大栗博司先生による数学講座を聴講してきた。
素数の話、解の公式の話（朝日カルチャーセンター）
http://www.asahiculture.com/LES/detail.asp?CNO=257160&;userflg=0
コンウェイがまとめあげた「アトラス」の話についてだが、全ての有限単純群の数え上げを証明したのはゴーレンシュタインが率いる研究チームで、半世紀にわたり数百本の論文を発表し、全部合わせると数万ページになるという。
同級生のI君も「これだけ分かりやすい講義は素晴らしい。」と感激していた。
先生にお会いするのは昨年9月の「ブルーバックス創刊５０周年、特別記念講演会」以来である。久しぶりに科学ブログ仲間とも再会できることもあって、この日がくるのを楽しみにしていた。先生の今回の帰国（来日？）の目的のひとつには著書「大栗先生の超弦理論入門」が講談社科学出版賞を受賞されたこともあり、「講談社三賞授賞式」に出席することにあった。
朝日カルチャーセンター新宿教室で開催された大栗先生の講座は重力の話から、強い力と弱い力、そして超弦理論までひととおり完了している。続きはどうなることだろうとずっと思っていた。
ところが今回は物理学ではなく数学だった。昨年11月から半年間「幻冬舎plus」に連載されていた「数学の言葉で世界を見たら」という連載記事から特に人気の高かった「素数の不思議」と「難しさを測る、美しさを測る」の２つをまとめて「素数の話、解の公式の話」として昼食をはさんで合計４時間の講義にまとめたものだった。 >>>336
おっちゃんです。
>>323の
>a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なりかつ1ではないような正の実代数的数とする。
>このとき、任意の互いに相異なる代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
>(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
を
>a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる素数とする。
>このとき、任意の互いに相異なる代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
>(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
に変えると、>>323-324と大体同様にして示せる。相異なる素数なら、
各 (A_i)/(A_j)＝(log(a_i))/(log(a_j)) 1≦i＜j≦n と
各 (A_i)/C＝(log(a_i))/(log(c)) i=2,…,n は、
分母と分子が両方1個の自然対数で表されるような有理数の形を保って
これ以上変形することは出来なくなるから問題はない。
もっと一般化出来るとは思うが。まあ、証明は明日以降かなんかに書くけど。 >>336
>>344の訂正：有理数 → 分数
「分数」というのが正しいようだ。
有理数と分数には微妙な違いがあったんだね。
分数の特別な場合が有理数のようだ。 >>343 補足
http://homepages.math.uic.edu/~smiths/
HomePage of Stephen D. Smith （スミス先生の写真があるね）
https://en.wikipedia.org/wiki/Quasithin_group
Quasithin group
Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004), The classification of quasithin groups. I Structure of Strongly Quasithin K-groups, Mathematical Surveys and Monographs, 111, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3410-7, MR 2097623
Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004b), The classification of quasithin groups. II Main theorems: the classification of simple QTKE-groups., Mathematical Surveys and Monographs, 112, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3411-4, MR 2097624 >>344-345
おっちゃんどうもありがとう
スレ主です。
やっぱりこのスレはおっちゃんがおらんと、盛り上がらんな
よろしくお願いします >>338
数学の犬さま、下記。このスレは、それに輪を掛けて、自己責任で・・・（＾＾；
http://eldesh.yukishigure.com/
数学の犬
(抜粋)
位相幾何学（トポロジー）の基本的情報を掲載。PDFでも順次公開。犬か数学かと問われれば、明らかに数学のコンテンツですのでご注意を。学術的なこともあれば、メモ程度に適当に書いたものもあります。間違いにご注意ください。現在、少しずつ修正中です。
「このホームページに関する注意」
※ 本文中、ＰＤＦ内に間違いが多数あります。お気をつけて。
※ 参考文献として挙げてある本、論文の方が信憑性大です。
※ 学生の頃の練習ノートがそのままのものもありですので、Texの構成やフォントの稚拙さ、スペルミスはご愛嬌。
とにかく信用してはいけません。数学は疑うことからスタートします。もう全部ウソだろという気概で臨んでいただいた方がいいかもしれません。自分の手を動かして証明を後追いしてみる、あるいは自分でよりスマートな証明を考えてみることを強く推奨します。
12/12 Posetのホモトピー
8/9 モデル圏の例
3/26 Cech複体
12/28 応用トポロジー
11/5 GNS表現
9/7 非可換確率論
7/28 2-category
6/13 C^*-代数
5/7 トーリック多様体
4/2 亜群
2/19 ホモトピー極限
1/23 豊穣圏 >>342 補足
この話は、過去
ガロアすれ9 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1408235017/276-282
2014/09/07(日)～にあるね
No27の
http://homepage3.nifty.com/gomiken/math/cfsg.htm
別冊数理科学「群とその応用（サイエンス社，１９９１年１０月）」より 転記に際し誤字・誤表記等を修正
有限単純群の分類 五味健作
は必見だよ
No282に
”数学の分野で、”STAP ”やっちゃったという感じかね？
Masonがいまどうなっているか知らないが、「ほぼ薄い群( quasithin groups )の分類未完成です」と自白していれば救いはあったろう
数学で、”STAP ”やってもどうしようもない。そんなことは、論理に強い数学者なら自明だろうさ”
”自分で分かる大穴放置で、「quasithin groupsの分類証明完成しました」はさすがにないだろうさ
この話を聞いたとき、Masonは精神を病んでいたんだろうと思った次第 ”
と自分で書いていたね（＾＾； >>349 補足
AMSの本の目次に、下記のように、リンクがあって、”The book is suitable for graduate students and researchers interested in the theory of finite groups. ”だと
で、google book状態で、見るだけなら、かなり内容が読める（＾＾
（他の本もそうかも）
http://bookstore.ams.org/surv-111
The Classification of Quasithin Groups: I. Structure of Strongly Quasithin " mathcal-groups
(抜粋)
Around 1980, G. Mason announced the classification of a certain subclass of an important class of finite simple groups known as "quasithin groups". The classification of the finite simple groups depends upon a proof that there are no unexpected groups in this subclass. Unfortunately Mason neither completed nor published his work.
An important corollary of the Main Theorem provides a bridge to the program of Gorenstein, Lyons, and Solomon (Volume 40 in the AMS series, Mathematical Surveys and Monographs) which seeks to give a new, simplified proof of the classification of the finite simple groups.
The book is suitable for graduate students and researchers interested in the theory of finite groups.
Introduction to Volume I 18
http://bookstore.ams.org/surv-111/18
Introduction to Volume I
The treatment of the " quasithin groups of even characteristic" is one of the
major steps in the Classifcation of the Finite Simple Groups. (for short, the
Classifcation). As a part of the original Classifcation program, Geoff Mason
announced a classifcation of a subclass of the quasithin groups in about 1980, but he
never published his work, and the preprint he distributed [Mas] is incomplete in
various ways. In two lengthy volumes, we now treat the quasithin groups of even
characteristic; in particular, we close that gap in the proof of the Classifcation.
[Mas] G. Mason, The classifcation of finite quasithin groups, typescript, U. California Santa
Cruz, about 1981 about 800 pages,. >>351 補足
[Mas] は手書き（仲間内での）という話を、どこかで読んだ記憶があるが、正確には
typescriptで、”the preprint he distributed”とあるから、タイプ原稿が公開はされたんだろう （いまみたいにネット公開ではないだろうが）
が、出版されなかった（”never published his work”）
雰囲気からして、投稿されて拒否ではなく、投稿までいかなかった感じがある
投稿されて拒否なら、そう書かれるだろうからね 下記 40-2～6 Google book状態だね（＾＾
http://www.ams.org/publications/authors/books/postpub/surv-40
The Classification of the Finite Simple Groups
Daniel Gorenstein, Richard Lyons, and Ronald Solomon
Mathematical Surveys and Monographs, vol. 40
The Classification of the Finite Simple Groups, Number 1 （リンク切れ？）
http://bookstore.ams.org/surv-40-2 oogle book状態
The Classification of the Finite Simple Groups, Number 2 - See more at: http://bookstore.ams.org/surv-40-2#sthash.niEITv6T.dpuf
http://bookstore.ams.org/surv-40-3 oogle book状態
The Classification of the Finite Simple Groups, Number 3 - See more at: http://bookstore.ams.org/surv-40-3#sthash.4cOCzjvf.dpuf
http://bookstore.ams.org/surv-40-4 oogle book状態
The Classification of the Finite Simple Groups, Number 4: Part II, Chapters 1?4: Uniqueness Theorems - See more at: http://bookstore.ams.org/surv-40-4#sthash.pTMfQmYS.dpuf
http://bookstore.ams.org/surv-40-5 oogle book状態
The Classification of the Finite Simple Groups, Number 5 - See more at: http://bookstore.ams.org/surv-40-5#sthash.EGW6D5a1.dpuf
http://bookstore.ams.org/surv-40-6 oogle book状態
The Classification of the Finite Simple Groups, Number 6: Part IV: The Special Odd Case - See more at: http://bookstore.ams.org/surv-40-6#sthash.4Gbv8KAk.dpuf 余談だが、ＡＩと世界 第３部
http://www.nikkei.com/article/DGXMZO15112220Q7A410C1SHA000/?dg=1
仕事が消える日 変化に適応可能か 今そこにある未来（１）2017/4/11 日経
(抜粋)
米欧のグローバル企業を顧客にシステム開発やコールセンター業務の受託で成長してきた。ここで昨年、８千人分以上の仕事が消えた。人工知能（ＡＩ）の本格導入がきっかけだ。
今の仕事は続けさせられない――。Ｔシャツにジーパン姿で門から出てきた31歳の男性社員は昨年末、上司から告げられた。大卒後に入社、一貫してシステムに不具合がないか監視してきたが、ＡＩに取って代わられ今は担当業務がない。「人間が数時間かかる仕事を瞬時にできる。ＡＩにはかなわない」と語る。
ＡＩが普及すれば職を失う人はもっと増えるとの試算もある。野村総合研究所と英オックスフォード大学の研究によれば仕事の49％はＡＩで代替可能という。
■新たな職場も生み出す
ただ、負の部分にだけ目を奪われると本質を見失う。ＡＩは職場を奪う一方で新たな職場も生み出す。ＡＩを顧客に合わせて作り替えたりＡＩが分析しやすいようデータを加工したりする仕事の注文が増えている。この男性も社内のＡＩ研修に参加。「認められれば失業は免れＡＩに関する新しい業務に就ける」
米ニューヨークの金融業界で10年近く働いたジャック・ベラスコ氏は今年１月、会社を追われた。2010年ごろからＡＩが職場に入り始め多くのセールストレーダーが辞めていった。
「ショックだった」というベラスコ氏だが今はトレーダーへのこだわりはない。ＡＩなどのＩＴと金融を融合したフィンテック企業が「ニューヨークで続々誕生している」。新興企業専門の転職サイトに登録。面接を重ねるたびに「金融の知識を生かせる仕事は増えている」と実感する。ＡＩが作る新しい仕事に飛び込んでみるつもりだ。
ＡＩは万能ではない。富国生命保険はＡＩ活用で医療保険給付金の査定部署131人を約３割減らした。だが「病名の読み取りなどにＡＩ特有のミスがある。
1980年代、自動化で工場の製造部門が減り、90年代のＩＴ革命で経理や人事の省力化が進んだ。一方でシステム開発やネットサービスといった雇用が生まれた。イノベーションは変化を生んできた。ＡＩもその一つにすぎない。 AIとシンギュラリティ（Singularity）
シンギュラリティ（Singularity）は、数学用語だが
もともとは、複素関数論用語かな
コーシー？ リーマン？
それが、いまや日常用語
AIシンギュラリティ（Singularity）時代に、数学屋さんはどうなるのか？
従来の数学屋は方向転換を迫られるだろうが・・
AIで武装した数学屋と、数学で武装したAI屋とは、新しい分野を切り開いてゆく気がする・・（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%80%E8%A1%93%E7%9A%84%E7%89%B9%E7%95%B0%E7%82%B9
技術的特異点（ぎじゅつてきとくいてん、英語：Technological Singularity）あるいは、シンギュラリティ（Singularity）とは、現在用いられている意味において、この用語を提唱したレイ・カーツワイルによれば、「100兆の極端に遅い結合(シナプス)しかない人間の脳の限界を、人間と機械が統合された文明によって超越する」瞬間の事である[1]。
出典[編集]
[1]^ a b レイ・カーツワイル, ポスト・ヒューマン誕生 ー コンピュータが人類の知性を超えるとき, NHK出版, pp33, 2007. おっちゃんです。
では、特別サービスで証明。だけど、これは示されているよね。
a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
このとき、任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
証明]：或る代数的無理数 b_1, b_2, …, b_n に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} を代数的数とする。
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n}＝c (1)
とおく。すると、仮定から各 i=1,2,…,n に対して a_i は素数だから a_i≧2 である。
また、素数は正の代数的数である。従って、cは正の実代数的数である。
そして、(1)の両辺に対して自然対数を取ると、
b_1・log(a_1)＋…＋b_n・log(a_n)＝log(c) (2)
となる。i=1,…,n に対して A_i＝log(a_i) とおき、C＝log(c) とおく。
α＝b_1・A_1＋…＋b_n・A_n－C (3)
とおく。すると、(2) から α＝0 である。 (>>357の続き)
ところで、0ではない代数的数全体 {Q~}＼{0} は通常の乗法の二項演算について群をなす。
また、仮定から b_1,…,b_n は代数的無理数だから、b_1,…,b_n は何れも±1ではない。
各 i=1,2,…,n に対して a_i≠1 だから、ゲルフォント・シュナイダーの定理
(以降、「ゲルフォント・シュナイダーの定理」を「G-Fの定理」と略記する) の系から、
A_1,…,A_n は有理数体Q上線型従属である。故に、何れも或る既約な有理数 p_2,…,p_n が存在して
A_1＝p_2・A_2＋…＋p_n・A_n (4)
となる。仮定から、a_1 ,…, a_n は相異なる2個以上の素数だから、同様にG-Fの定理の系から、
各 1≦i＜j≦n なる整数 i,j に対して、(A_i)/(A_j)＝(log(a_i))/(log(a_j)) は超越数である。
(4) の右辺を (3) の A_1 に代入すると、
α＝b_1・(p_2・A_2＋…＋p_n・A_n)＋b_2・A_2＋…＋b_n・A_n－C
となり、両辺を整理すると
α＝(b_1・p_2＋b_2)・A_2＋…＋(b_1・p_n＋b_n)・A_n－C
となる。従って、各 i=2,…,n に対して r_i＝b_1・p_i＋b_i とおくと、
α＝r_2・A_2＋…＋r_n・A_n－C (5)
を得る。同様に、G-Fの定理の系から、A_2＝log(a_2), …, A_n＝log(a_n), C＝log(c) は
体Q上線型従属である。故に、何れも或る既約な有理数 q_2,…,q_n が存在して
C＝q_2・A_2＋…＋q_n・A_n となる。ここで、α＝0 なること、
及びG-Fの定理の系から、各 i=2,…,n に対して
(A_i)/C＝(log(a_i))/(log(c)) は有理数か超越数であることに注意する。 (>>358の続き)
Case1)：n＝2 のとき。このとき、(4) は A_1＝p_2・A_2 となる。上の議論と同様に考えると、
G-Fの定理の系から、(A_1)/(A_2)＝(log(a_1))/(log(a_2)) は超越数である。
しかし、これは p_2∈Q なることに反し矛盾する。
Case2)：n≧3 のとき。kを 2≦k＜n なる自然数変数とする。
Case2-1)：各 i=2,…,n に対して (A_i)/C がすべて超越数のとき。
2≦k＜n なる自然数kを任意に取る。A_k＝log(a_k), …, A_n＝log(a_n) は
体Q上線型従属だから、何れも或る既約な有理数 q_{k+1} ,…, q_n が存在して
A_k＝q_{k+1}・A_{k+1}＋…＋q_n・A_n (4')
となる。上の議論と同様に考えれば、G-Fの定理の系から、
各 k≦i＜j≦n なる整数 i,j に対して、(A_i)/(A_j)＝(log(a_i))/(log(a_j)) は超越数である。
2≦k＜n なる自然数kは任意だから、kの小さい値から帰納的に考えて行き、
各 k=2,…,n-1 に対して得られる式 (4') を (5) に帰納的に代入して整理する操作
を繰り返して行くと、或る実代数的数aが存在して、a・(A_n)－C＝0 となる。
従って、a・(A_n)/C＝1 となる。しかし、(A_n)/C は超越数だから、a・(A_n)/C≠1 であり矛盾する。
Case2-2)：或る i=2,…,n に対して (A_i)/C が有理数のとき。
Case2-2-1)：各 i=2,…,n に対して (A_i)/C がすべて有理数のとき。
2≦i＜j≦n なる整数 i,j を任意に取る。すると、iに対して或る既約な有理数 (l_i)/(m_i) が定まって、
(A_i)/C＝(l_i)/(m_i) つまり log(a_i)＝(l_i)/(m_i)×log(c)。
従って、a_i＝c^{(l_i)/(m_i)} であり、c＝(a_i)^{(m_i)/(l_i)}＞0。
同様に、jに対して或る既約な有理数 (l_j)/(m_j) が定まって、a_j＝c^{(l_j)/(m_j)} となり、c＞0。
従って、(a_i)^{(m_i)/(l_i)}＝(a_j)^{(m_j)/(l_j)} から
(a_i)^{(m_i)・(l_j)}＝(a_j)^{(m_j)・(l_i)}。 (6)
ここで、log(a_i)≠0 だから、(l_i)/(m_i)≠0。また、log(a_j)≠0 だから、(l_j)/(m_j)≠0。
従って、(m_i)・(l_j), (m_j)・(l_i) は両方0でない整数である。
しかし、a_i, a_j は相異なる素数だから、(6) は成り立たず矛盾する。 (>>359の続き)
Case2-2-2)：或る i=2,…,n に対して (A_i)/C が超越数のとき。
このとき、(A_2)/C ,…, (A_n)/C について有理数と超越数が両方1個以上存在する。
(A_2)/C ,…, (A_n)/C の中の k'-1(2≦k'≦n) 個を超越数とする。
A_2 ,…, A_n について、Cで割った分数が超越数となるものを B_1,…,B_k' とする。
つまり、(B_2)/C ,…, (B_k')/C を超越数とする。改めて、各 i=2,…,k' に対して A_i＝B_i とおき直す。
すると、A_1＝log(a_1) であり、A_2 ,…, A_k' は log(a_2) ,…, log(a_n) の中の k'-1 個にあたる
から、仮定から、G-Fの定理の系より、A_1, A_2 ,…, A_k' は体Q上線型従属である。
従って、Case2の上の議論と同様に考えて、Case2-1、及びCase2-2-1へとたどる議論
と同様に考えれば、矛盾が導けることになる。
Case2-2-1)、Case2-2-2)から、或る i=2,…,n に対して (A_i)/C が有理数とすると、矛盾する。
Case2-1、Case2-2から、n≧3 のとき矛盾が得られる。
Case1、Case2 から、必ず矛盾が生じる。
この矛盾が導けたことにより背理法が適用出来るから、背理法を適用すればよい。 一応、c＝1 で C＝log(c)＝0 とすると、n＝2 のときは Case1 と同様に考えれば同じ矛盾が生じる。
そして、n≧3 のときは、 Case2のCase2-1 と同様に考えれば c＝(a_i)^{(m_i)/(l_i)}＞0 が
(a_i)^{(m_i)/(l_i)}＝1 になって (a_i)^{m_i}＝1 が得られて矛盾が生じる。
だから、c≠1 つまり C＝log(c)≠0。 いや、違うな。>>361は間違い。
直観的には c≠1 だが、>>357-360では取り敢えず
「(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n}≠1 ならば」という条件付きにする。 つまり、取り敢えず>>357-360は
>a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
>このとき、任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
>(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n}≠1 ならば (a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
という命題の証明にする。直観的には c≠1 だが、c≠1 はまだ示せていない。 >>357-363
おっちゃん、どうも。スレ主です。
ありがとうございます。
やっぱりこのスレはおっちゃんがおらんと、盛り上がらんな
よろしくお願いします >>357-358
どうも。スレ主です。ゲルフォント・シュナイダーの定理か
おっちゃん、面白いことを考えるね
証明はあやしいと思うが（＾＾
もし命題にトリビアルな反例がなく、かつ初出なら、「おっちゃんの予想」とでもいえるかな？（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%88%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%83%80%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲルフォント・シュナイダーの定理
(抜粋)
ゲルフォント＝シュナイダーの定理 (ゲルフォント＝シュナイダーのていり、英: Gel'fond-Schneider's theorem) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。
定理の主張[編集]
α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、 α ~βは、超越数である。
系[編集]
系1
α1,α2を 0, 1 以外の代数的数とする。 log α1/log α2は、有理数であるか超越数である。
系2
α1,α2,β1,β2 を 0 以外の代数的数とする。もし、 log α1,log α2 が有理数体上線形独立であるならば、 β1log α1+β2log α2 not =0である。
歴史[編集]
ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、7番目の問題として、「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、a^b は超越数であるか」を提出した。
1934年に、ゲルフォントとシュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。 この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。 ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。
ゲルフォント＝シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが(系2)、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された(ベイカーの定理を参照)。 >>366 訂正
α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、 α ~βは、超越数である。
↓
α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、 α ^βは、超越数である。 >>357
どうも。スレ主です。
私は、ここら素人以前ですが、ベイカーの定理の系３（下記）が、おっちゃんの命題に近くないか？（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
(抜粋)
ベイカーの定理 (ベイカーのていり、英: Baker's theorem) とは、1966年-1968年にかけて、アラン・ベイカーによって発表された、対数関数の一次形式に対する線形独立性、および下界の評価に関する一連の定理のことである。 下界の評価が計算可能であることから、数論の様々な分野で応用されている。
定理の主張[編集]
定理1 (対数関数の一次形式の線形独立性)
α1,・・・,αnを 0 ではない代数的数とする。もし、 log α1,・・・,log αnが有理数体上線形独立であるならば、1, log α1,・・・,log αn は、代数的数体上線形独立である。
定理からの派生的な結果
系3 α1,・・・,αnを 0 でも 1 でもない代数的数とする。また、 β1,・・・,βnを、 1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数としたとき、
α1^β1・・・,αn^βn
は、超越数である。 >>368 補足
>>357の”素数”は、ベイカーの系３の”0 でも 1 でもない代数的数”だな。だから前段は系３の範囲内
で
>>357の”任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n ” vs ベイカーの系３の”1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数”
の比較だが・・
{任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n} ⊃ {1, β1,・・・,βn が、有理数上線形独立な代数的数}
かな？
”1, βiが、有理数上線形独立な代数的数”(1<=i<=n)なら、βiは代数的無理数が言えると思うから、”β1,・・・,βn”は代数的無理数が言える。だから、任意の代数的無理数で”上線形独立”の制約を外せるから
だが、そんな拡張が簡単にできるのか？という疑念も湧いてくる（”素数”という制約が効いている？）
はてさて？ >>366
意外に c≠1 を示すのが難しい。これさえ示せれば…。 c＝1 とすると >>357の(2)は
b_1・log(a_1)＋…＋b_n・log(a_n)＝0
になるんだが。まあ、少し考えてみる。 突然ですが、Boole値モデル
http://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.html
Boole値モデルと強制法 konn-san.com posted on 2016/07/11 11:00:00 JST
(抜粋)
概要
集合論における無矛盾性証明で用いられる主要な手法である強制法と，密接に関連するBoole 値モデルの手法について，本稿では幾らか証明を省略しつつ概略を採り上げます．また，Hamkins ら [1] の説明に基づいて，超冪と Boole 値モデルの関係についても簡単に解説します．
[PDF版] http://konn-san.com/math/boolean-valued-model-and-forcing.pdf
強制法の基本的な考え方と Boole 値モデル
直観的には，現在の集合の宇宙 VV に新しい元 GG を付加した，新たな宇宙 V[G]V[G] を得たい，というのが強制法のモチヴェーションです． しかし，そうはいっても集合の全体は既に VV で確定しているので，「新しい元」というのはそのままでは意味を成しません．
そこで，強制法では集合概念を拡張することを考えます． どういう事でしょうか？ まず，一般の集合 x∈Vx∈V は，と同一視することで，部分関数 x:V?2x:V?2 と見做すことが出来ます． 22 というのは「各元が xx に属すか？」という真偽値ですから，この真偽値を一般の Boole 代数 BB に一般化しようというというのが強制法の基本的なアイデアです．
このように，所属関係の真偽値を完備 Boole 代数 BB に一般化した集合のことを，BB-nameと呼びます．
＜関連＞
http://konn-san.com/
konn-san.com 建設予定地 konn-san.com posted on 2016/11/01 13:54:45 JST
集合論など数理論理学関連を中心に、数学・関数型プログラミング・ミステリなどに関する情報を集積してあります。 >>372
「層・圏・トポス―現代的集合像を求めて」竹内外史の”前書き”に、”ブール価モデルの理論”が出てきてね（下記）
”層やトポスの理論と相似性とに驚かれるであろう”と竹内先生はいう・・
これが分からなかったんだ。>>372は良いね（＾＾；
http://blog.livedoor.jp/calc/archives/cat_111430.html?p=3
学校では教えてくれない数学 2007年01月13日 今日の一冊？
(抜粋)
集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために
竹内外史ワールド炸裂の一冊です。
・コーエンの業績の中核（Forcing relation & Generic filter)を、Scott＆Solovayが解りやすく整理した、ブール価モデル
・古典論理、直観論理、量子論理の考え方の違い
などの解説は、何回読んでもピカイチの出来だと思います。
読み返して思うのは、こんな難しい（売れないであろう）本よく出版したなー、ということです。
この本の後に、数理論理学や公理的集合論など、数学基礎論の本を読み漁るのもいいですが、たとえば、
層・圏・トポス―現代的集合像を求めて
などの、層・圏から、トポスなどの代数幾何学との関連（がありそう）な本にのめりこむもよし、さまざまに発展できそうです。
そんな私も、「層・圏・トポス」と格闘中ですが、 米田のレンマ がわかりません。しばらく、もやっと したままの日々が続きそうです。すっきり できるのはいつごろか？
補足：数学の各分野で、これだけの内容を書ける人がどれだけいるのだろう。
入門書で、その分野全体を俯瞰し、かつその分野の将来展望の記述にその著者の哲学が強く出ている、３０年以上たっても読める本を書ける人が。 >>373 補足
https://www.amazon.co.jp/dp/4062573326
新装版 集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために (ブルーバックス) 新書 ? 2001/5/18 竹内 外史 (著)
トップカスタマーレビュー
(抜粋)
5つ星のうち 5.0ZF集合論は欠陥商品か？
投稿者 あだちのりお 投稿日 2012/3/5
形式: 新書
本書は「集合論の概説書」あるいは「入門書」というよりは、「集合とは何か」を考える本である。「はじめて学ぶ人のために」という副題はミスリーディングで、読者対象はある程度以上集合論を弁えている数学専攻者、あるいは論理学や哲学の専攻者であろう。ある程度の素養がないと、面白いことは面白いだろうが、本当に味わうことはできないと思う。
記号使用を最少に止め、自然な言葉によって雰囲気をわからせるというのは一流の学者であり、独特の個性を持つ竹内さんだからこそ可能だったと思われる。こうした一般書を書く際には、同業者の目を意識しないでは書けないものだが、本書の場合はそうした配慮は一切なく、自分が思ったように書かれている。そういう意味でも貴重な本である。
実に巧みに、竹内節を交えながら、集合論の（1960年代までの）全貌が書かれていて、同じ物書きの立場から見てとても感心した。とりわけ「第4章 現代集合論」の出来栄えはすばらしく、構成的集合の解説、到達不能数や決定の公理の解説など、ブルーバックスに収めるのはもったいなく、もう少しこういう調子で丁寧な解説をしてほしかったと思う。
何かのまちがい？
投稿者 renqing 投稿日 2008/5/20
形式: 新書 Amazonで購入
本書、p.75 に掲載されている「カントールの対角線論法」証明のための表に、おかしな箇所がある。
いま、中学生と一緒に読んでいて、私も変だと思い、その中学生も指摘している。たんなる数学アマチュアと中学生の勘違いかも知れないが、新しく購入される方、購入済みの方に、一応、情報としてお伝えしておく。当方の思い違いなら幸い。下記トピック欄にでもご指摘いただければ嬉しい。
追記：出版社から誤植の確認を受領した。下記トピック欄に転載。ご参照を乞う。
「08年5月26日
ご指摘の件でございますが、確認したところ、たしかに誤植でございました。申し訳ありません。
次回重版の際には、訂正させていただきます。
略 これ、以前も紹介したが、渕野 昌先生、 12．November 2016 (04:31JST) 版とあるから、改訂されたんやね
が、手元の2014版との違いが分からない
ファイルサイズが大きくなってはいるが
http://fuchino.ddo.jp/misc/cohenx.pdf
“コーエンの強制法” と強制法1) 2)
渕野 昌 12．November 2016 (04:31JST) 版
1) このテキストは，『数理科学』2014 年 10 月号に掲載予定の同名の記事の拡張版です．ペー
ジ数の制限のために記事から削除せざるを得なかった細部や，そこには含めないことにしたリ
マークのいくつかを加えてあります． 以前も紹介したかな？（＾＾；
http://d.hatena.ne.jp/kururu_goedel/20100625/1277444492
(抜粋)
くるるの数学ノート > 2010-06-25 > アメリカのとある大学で数学やっております。
３時間でわかった気になる強制法（その1-1）
その1、その2、その3がそれぞれ１時間ずつでわかった気になって３時間で完成という方針で。Cohenの元々の論文にあるような強制法のことは全く知らずに書いています。Kunenの定式化がやっぱりベースになっているかな。
あなたがスタンフォード大学でSol Fefermanにそそのかされてこの問題を解こうと思い立ったとします。まずなにをやればよいでしょうか？
ZFCが無矛盾*2であると仮定します。証明したいのはすなわちZFC+￢CHが矛盾しないこと*3。論理式の集合が無矛盾であることを証明するときには、以下の定理が役に立ちます。
定理（コンパクト性定理）Γを論理式の集合とする。このとき、
Γが無矛盾であることと、Γの任意の有限部分集合が無矛盾であることは同値である。
定理（(意味論的)完全性と健全性）Γを論理式の集合、φを論理式とする。このとき、
Γからφが証明できることと、Γを満たすようなすべてのモデルがφを満たすことは同値である。
というわけで、方針としては、ZFCの無矛盾性を仮定して、
ZFC+￢CHの有限部分集合Γを任意にとる
完全性定理により、ZFCのモデルVが存在するので、それを固定する
Vの中で、Γのモデルとなるような集合の存在を示す。
コンパクト性定理によりZFC+￢CHの無矛盾性が言える
ウマー
照り焼きにするです*4。
ここで問題になるのは三番目のステップのみですね。どうやって、Γのモデルを構成すればよいのでしょうか？そこがCohenがぶち破った壁なわけです。これから、まず単純にやってみた場合にはうまくいかないことを説明してみようと思います。
*2：本当は整合的と書きたいのですが、まあこの記事は多くの人に読んでもらいたいので普通の言い方にします。
*3：細かい点ですが、この証明を行う体系はZFCでなくても構いません。すなわち、ZFC+Con(ZFC)は仮定しなくても、コンパクト性定理や完全性定理が証明できるような体系上でのZFCの無矛盾性さえあれば大丈夫です。なんか2ちゃんねるで誤解していた人がいたので念のため。 これ面白いわ（＾＾
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/files/ref/ref_07
数学基礎論と消えたパラドックス 仙台ロジック倶楽部 『数学セミナー』1993年8月号より）
パラドックスから数学基礎論の誕生，不完全定理への流れを解説．
■ はじめに
ヒルベルトの提起した２３問題の筆頭である連続体仮説の独立性をコーエンが証明してからちょうど３０年になる．
集合論の研究者たちはよく冗談に“コーエン以前”をB.C. (Before Cohen の意)といい、
ゲーデル (Goedel) を B.C. の神 (God) であるといったりするが、
1960 年代には数学基礎論の各分野でこのような大事件が起きており、
まさに基礎論全体の変革期であった．
６０年代革命の激しさは、その教科書の変化によく現われている．
古き良き時代の教科書（例、文献[1]）にはパラドックスから数学基礎論の誕生に至る歴史が悠然と述べられていたが、
革命後のもの（例、文献[2]）にはパラドックスのパの字の解説もなく、それはもはや禁句になった感すらある．
（残念ながら日本では今もB.C. 時代のイメージが蔓延しているようで、それについては文献[5]の筆者のコメントを参照．）
このような状況を踏まえた上で、なぜまたここでカビ臭いパラドックスの話を持ち出すかというと、
新歴３０年を迎え、そろそろ新・旧基礎論を総括的に見直そうという気運が高まっているように思うからである．
最近次々と基礎論の専門誌の編集方針が変わったのだが、そこにもそういう動きが読み取れる．
以下略 仙台ロジック倶楽部
各資料にURLリンクがあって読める（＾＾
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/files/ref
資料ページ
■ 新入荷
□ゲーデルの定理 あとがき（フランセーン著『ゲーデルの定理 利用と誤用の不完全ガイド』の訳者あとがき）
本書の内容を手っ取り早く理解したい方にオススメ．
■ 入門系
□数学基礎論入門（『数学完全ガイダンス』より抜粋，一部修正）
「数学基礎論」という学問について．基礎論の３大定理．
□逆数学のすすめ（『逆数学と２階算術』(河合出版 1997)より）
「逆数学」とは何か．その目的とあらまし。個人的に超オススメ．
□ラムダ計算ＡＢＣ（『数学セミナー』1992年8月号より）
ラムダ計算入門．ラムダ計算の背景から，判りやすく説明．
□ランダム性と不完全性定理（『数学ってなんだろう』(日本評論社 1997)の抜粋，一部修正）
「ランダム」とは何か．コルモゴルフ・チェイティンの定理の簡単な説明．
■ ヒルベルト系
□ヒルベルトの第１０問題（『ヒルベルトの２３問題』(日本評論社 1997)より）
ヒルベルトの第１０問題の歴史，背景について．
□ヒルベルトのプログラム（『数学セミナー』2000年2月号より）
ヒルベルトのプログラムの背景や関連する話題について．最近の話題である「逆数学」「田中の予想」なども．
■ 読み物系
□数学基礎論と消えたパラドックス（『数学セミナー』1993年8月号より）
パラドックスから数学基礎論の誕生，不完全定理への流れを解説．
□数学の「はだいろ」（『数学セミナー』1999年8月号巻頭言）
「数学」の「数」という言葉について．
□基礎の論争（『数学の基礎をめぐる論争』より）
「数学の基礎をめぐる論争」のダイジェスト版？興味を持った方は，是非とも買いましょう．面白いです． >>377 関連
仙台から京都
Susumu Hayashi 林晋先生は、以前もどこかで引用したと思う
http://www.shayashi.jp/
Susumu Hayashi 林晋 京都大学文学研究科 情報・史料学専修
http://www.shayashi.jp/courses/2016/getu5kouki/20161212.html
論理学の歴史資料 2016.12.12
前回までの資料から （まとめ）
(抜粋)
ラッセルと Term Logic (=名辞論理学・伝統論理学）
10月24日の資料で名前がでてきた、イギリスの哲学者バートランド・ラッセルは、現代的数理論理学の成立に非常に大きな役割をした人である。
数理論理学革命により得られたものと失われたもの
得られたもの
表現力：アリストテレス論理学で表現できる命題は、すべて述語論理で表現できた。さらに、Loves(i,j)などの導入により、表現力が各段に増していることは明らか。
数学的に精密な推論の体系：上の４で説明したもの。
失われたもの
実はアリストテレス論理学にはあり，記号論理学では消えたものがある。それが形而上学。そして、その部分はＩＴが必要としているものだった。
しかし，ラッセルは，この空にも上る様な時期のすぐ後，経験したことがないようなショックを受けることとなる．
それは，ラッセルのパラドックスとして知られるものの発見．自伝の該当部分を見てみよう．
https://books.google.co.jp/books?id=uIKMAgAAQBAJ&;lpg=PA135&dq=the%20congress%20turning%20point%20my%20intellectual%20life%20autobiography&hl=ja&pg=PA138#v=onepage&q=intelectual%20set-back&f=false
ここで，intelectual set-back 知的逆転 とラッセルが書いているものがそれ．
（ラッセルのパラドックス ： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 ）
この章を手がかりに，伝統論理学と記号論理学の比較と，現代のITにおける伝統論理学的側面について説明していく． 林晋先生いいね
イデアル論（下記）
これでつまづく人も多いと思う
ある種の集合を、一つの数とか実体（幾何）と思う
渕野先生の”デーデキントの「切断」”の話を読んで、イデアルのアイデア（しゃれです）がちょっと分かった気がした
http://www.shayashi.jp/courses/2016/moku2kouki/20161215.html
全学共通科目「科学史」メモ 2016.12.15
(抜粋)
揺らぐ数学の基礎 クンマーの理想数の場合
デーデキントのイデアル論
クンマーは、理想数を「王様の衣」のように扱った。つまり、理想数Aがもつ、現実にあると既に数学者が考えたものに対して持つ、「２と１+√５i を割り切るA」の様な関係を使って、それを指定する方法をとった。
一方で、クロネッカーは、それを少し「現実への存在」に近いものにして、不定元という、代入してはいけない「変数」を導入して、それに「理想的な存在」の代役をさせた。つまり、拡張現実のスマホの画面上に現れる、ポケモンの画像のようなものを、導入したといえる。
これらの方法で重要なのは、たとえば、クンマーの理想数の理論では、ある理想数が、他の数を割り切る、たとえば、仮に「現実に存在する数」である、Rの数に限定すれば、上の例のA，B, C，Dが、現実の代数的整数 a+b√５i を割り切る条件を具体的に語ることができることであった。
つまり、「Aは x を割り切る」という理想数宇Aとｘ の関係が成り立つ条件を、ｘ に対して決めることができればよい。ただし、ｘはa+b√５iという形で、a,b が整数であるような代数的整数、つまり、上に定義したRの要素である。
それならば、その「関係」を利用して、Aとは、｛ｘ∈R|Aは x を割り切る}という集合のことだと思えば良い。
何故かと言えば、y∈｛ｘ∈R| Aは x を割り切る} ⇔ Aは y を割り切る （y∈R) となるのだから。
と、考えた人がいた。それが、ドイツの数学者で、クロネッカーのライバルと言えた、リヒャールト・デーデキントという人。
Rの数αを、どうやって集合として考えるかというと、｛ｘ∈R| αは x を割り切る｝とすればよさそうだと解る。これは、要するに、｛ｘ∈R| ｘ＝α＊ｗ （ｗ∈R）｝、つまり、αの倍数の集合である。
これは通常（α）と書く。その代表的な性質を見てみると、次の三つがある：
つづく >>381 つづき
１．ｘ∈R、ｙ∈（α） ならば、ｘ＊ｙ∈（α）
２．ｘ∈（α）、ｙ∈（α） ならば、ｘ＋ｙ∈（α）
３．(α）は空集合ではない。（少なくとも、αが入っている）
要するには、αの倍数に、何かの数を倍すると、やはり倍数。倍数と倍数を足すと倍数、ということ。
それで、デーデキントは、この三つの性質をもつ、Rの集合を、Rの理想数の代わりだと見なして、イデアルと名付けた。
先に
・２と１+√５i を割り切るA
・２と１-√５i を割り切るB
・３と１+√５i を割り切るC
・３と１-√５i を割り切るD
としたA,B,C,Dの特徴づけが、実は、Aならば、２と１+√５iの「最大公約数」にあたるイデアルとして定義できたのである。この「最大公約数」にあたるイデアル<2,１+√５>の定義は、｛2*a+(１+√５i)*b|a,b∈R}だった。
集合であるイデアルを、「実体」と考えれば、これはデーデキントが、クンマーでは単に間接的に語られるもの、クロネッカーでは、不定元という記号であったものに実体を与えることに成功したといえる。
注：普通の整数の場合、正整数 x,y の最大公約数は、実は、x*a+y*b (a,b は負の数も含む普通の整数）という形の正整数の最小のものに一致する。この定義は、それに由来している。
実は、このイデアルの考え方は、彼の若き日の尊敬する先輩であった、リーマン、つまり、リーマン面のアイデアの創始者、ベルンハルト・リーマンから継承したものだった。
実は、このイデアルの考えたかに辿り着く、遥か前に、デーデキントは、「切断」という概念を考え出し、クロネッカーが、その存在を否定した、円周率πなどの無理数の概念を基礎づける理論を考え出していた。
それは、後のイデアル論と同じ傾向を持つものだったが、控え目な人物だったデーデキントは、それを、彼の尊敬する先輩リーマンが考え出したものだとしている。
つづく >>382 つづき
デーデキントは、そのリーマンの考えを、彼流に推し進めて、クロネッカーが社会的な必要性から人間が発明したとする自然数さえ、集合として定義しようとした。
これらは、19世紀の話だが、２０世紀に入ると、ヘルマン・ワイルという人が、実際にリーマン面を集合として定義できることを示すことになる。この話は、この講義では非常に重要な役割を果たす。
しかし、その話を見る前に、デーデキントの切断の話と、それによる解析学の集合による基礎づけの話、そして、ラッセルという人が、すべての数学を、集合で基礎づけようとして、実は、数学の基礎、そのものを危険にさらしてしまったという話をする。
以下略
おわり 林晋先生面白いね（＾＾
下記ブログ、リンクが一杯あるのだが、ぜひ原文を参照ください
http://www.shayashi.jp/xoopsMain/html/modules/wordpress/index.php?cat=33
2015年6月9日(火曜日) 林晋ブログ
Collective noun, 集合名辞
カテゴリー: 特殊講義〔前・後期とも） 京都学派 論理学の歴史講義 - susumuhayashi @ 11時13分04秒
月曜日の特殊講義で、オブジェクト指向におけるクラス概念の誕生を、Hoareさんの Record Handling の論文（レポート）に求めて、説明をしていたとき、科哲史の川西君が、僕の説明に「えっ？」というような顔をしていたので、何か変な事を言ってしまったかと思って調べてみて、この4年ほど「創造的間違い」「創造的勘違い」をしていたことに気が付き驚く。
木曜日後期の「論理学の歴史」で、少なくとも2011年から、尾崎咢堂の文章の非常に稚拙な読み違いをしていた。
それは、アリストテレス論理学の term(名辞） が特称の場合(これの１の意味）に、オブジェクト指向や集合論でいう singleton と解釈する(前者では、singleton pattern で使うインスタンスが一つのクラス, 後者では要素が一つの集合として理解する（すればよい）という立場。
つまり、ソクラテスとは、ソクラテスというオブジェクトのみをインスタンスとして持てるクラス、集合ならば、ソクラテスだけからなる集合。
この見方は、実は、随分昔にATTTという形理論を作ったときに考えたものなのだが、憲政の神様尾崎咢堂行雄が若かりし頃書いた論理学書の11ページの集合名辞の説明を間違えて読んでしまい、すでに明治時代位の伝統論理学の見方では常識だったのだと考えていた。
つづく >>384 つづき
そして、さらにそれに、term の原語 horos, terminus の意味を利用し、また、西田が西洋的論理を分別（ふんべつ）に基づく論理と理解するところを利用して、伝統論理学を term により、個も、集団も、それ以外と分別して、区切り取ってしまい、
塀や壁の中に閉じ込める論理、と理解することにより、ハイデガー流に、論理を拒否する、あるいは、避ける、西谷の回互連関が、実は、一般者、類、種が、上から押さえて来る、あるいは包んでくる「縦の論理」ではなくて、個も類も種も横倒しにして平等にしてしまった「論理構造」として理解して、西田、田辺、西谷に共通の柱を通す、
という昨年度の後期の特殊講義から始めた作業（今年の後期も前年は全く時間不足だった西田の部分をやります。今年夏の西田哲学会でも発表予定。完成したら「日本哲学史研究」に投稿させてもらうよう上原さんにお願いしてある）に発展させた。
で、この term, term logic の見方、伝統的論理学をちゃんと知っている人には常識で、オリジナルとして主張しては駄目なんだろう、それを西谷の空・回互連関に結び付けたところだけがオリジナルだと思っていたのだが、
ポール・ロワイヤル論理学や、19世紀を中心にして、様々な伝統論理学の教科書を見てみると、どうも、それほど明瞭には理解されていなかったように見えて来た。
おそらくボンヤリとは理解されていて、分かっていた人には、当たり前と思われていたのだろう。しかし、明瞭な言葉で図まで使ってハッキリ言いだしたのは、僕が始めたことと思っていいらしいことがわかり驚いた。
で、11ページの集合名辞の説明を、どんな風に読み違えていたかというと、「集合名辞(collective term)は、特称名辞でも、通称名辞でもありえる」、つまり、G7 は集合名辞で、その意味は、the group of G7 でも the nations of G7 でもあり得るというような話なのだが、これを「特称名辞と通称名辞を合わせて集合名辞という」と誤解して読んでいた。
その誤解を元に書いた講義資料が、これ。
つづく >>385 つづき
実は、Hoare さんが、変な言葉の使い方をしていて、Record Handlingの 1.3 節で、The objects of the real world are often conveniently classified into a number of mutually exclusive classes, and each class is named by some collective noun, s.uch as “person”, “bankloan”, “expression”, etc. と書いている。
"people” なら良いのだが、"person” は、集合名詞 collective noun ではない。集合名辞を集合名詞と結び付けて理解していなかった僕は、それに気が付かず、「僕の意味集合名辞」として理解して話してしまい、それで川西君は「えっ？」という顔をしたらしい。
Hoareさんの間違い（ここでわざわざ collective nouns という必要ない。Plural nouns と書けば十分）と、僕の間違いが重層し、それに川西君が否定的に反応し、それに僕が気が付く、という契機が触媒して、見つかった事実。まあ、発見とは、こういうものですね。実に面白い！ :-D
で、それが契機となって、全体が明瞭になった。とはいっても、伝統論理学やらヨーロッパ言語文法における名辞、名詞の分類は、非常に曖昧に見えるし、納得いかないというところがどこかにある。恐らく、多くの日本人には、そうなのでは？この辺りが、西田の出発点の一つではないのかとも思うのだが、
そうなると、結構、良い議論ポイントを探し当てていたといえそう。
いずれにせよ、この誤解は、大々的に言い立てて、修正せねば！まず、来週の特殊講義、その後で、今も出している2014年の月曜日後期の資料を修正。また、今年の月曜日後期では、伝統論理学の教科書をもってお extensive に survey して、その上で、自分の見方として提示する必用あり。
このテキストが役立ちそう。ようするに、僕のATTTのアイデアはラッセルの記述理論から来ているのだな… （昔、Logic of Partial Term というものを考えていたが、その型理論版だった。） :-D
以下略
おわり >>386
重箱の隅ですが
自分の見方として提示する必用あり。
↓
自分の見方として提示する必要あり。
かな
ATTTがよく分からない
ピコ太郎のPPAPみたいなものか（＾＾； >>388-389
書き込み失敗と出るから、修正して投稿したら、被った（＾＾； >>380 もどる
林先生おもしろすぎで脱線したが
言いたかったのは下記
http://www.shayashi.jp/courses/2016/getu5kouki/20161212.html
論理学の歴史資料 2016.12.12
(抜粋)
ラッセルのパラドックス
嘘つきのパラドックス
これは，嘘つきのパラドックスと呼ばれるものと類似したものである．この嘘つきのパラドックスとは，
あるカードに次のように書いてあった．このカードに書いてあることは嘘か本当か？
カード：”このカードに書いてあることは嘘”
Principia Mathematica
ラッセルは，このパラドックスを何か手違いで，少し考えれば何とかなると思ったらしいが，結局は解決できなかった．
(引用終り)
”カード：”このカードに書いてあることは嘘””というのは、二階述語論理かな
まあ、リカーシブコール（再帰呼び出し）とか、再帰関数みたいなもの
自分自身（この場合カード）を、再帰的に呼び出している
だから、矛盾が出た！
だから、「再帰呼び出し禁止！」が、一階述語論理かな？（初期のプログラミング言語はこれ（再帰呼び出し未実装）だった）
でも、プログラミング言語をいろいろ試した人は分かると思うが、リカーシブコール（再帰呼び出し）を実装した言語は表現力が上がる
だから、人は高階述語論理を求めるかなと思った次第
そして、高階述語論理を正当化するのが、圏論とかトポスかな？ >>380 余談
林先生、下記「あるソフトウェア工学者の失敗 -日本のITは何故弱いか」を読んだ。面白いわ（＾＾；
http://www.shayashi.jp/
http://www.shayashi.jp/myfailures.pdf
あるソフトウェア工学者の失敗 -日本のITは何故弱いか-、山口栄一著編、イノベーション政策の科学、東京大学出版会、2015、の情報産業の章の元となった文章（early version)。
『しくじり先生』を連想したよ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%97%E3%81%8F%E3%81%98%E3%82%8A%E5%85%88%E7%94%9F_%E4%BF%BA%E3%81%BF%E3%81%9F%E3%81%84%E3%81%AB%E3%81%AA%E3%82%8B%E3%81%AA!!
『しくじり先生 俺みたいになるな!!』（しくじりせんせい おれみたいになるな）は、テレビ朝日で2014年10月3日未明（2日深夜）から放送されている教養バラエティ番組。過去に3回特別番組として放送された。 これ面白いわ（＾＾；
http://researchmap.jp/muizny0v2-21099/
矢田部俊介
資料公開 >> コンテンツ詳細
タイトル ウソツキのパラドックス 傾向と対策
カテゴリ 講義資料
概要 平成25年度京都大学文学部・文学研究科・研究科横断Ｂタイプ集中講義「論理学上級I」（9月26日?27日）のために、ウソツキのパラドックスへの対応を軸に、真理理論の初歩を解説する。
ダウンロード Kyoto_TT_130927.pdf(2976) http://researchmap.jp/muizny0v2-21099/?action=multidatabase_action_main_filedownload&;download_flag=1&upload_id=52929&metadata_id=12105 こんなご意見もあります
もちろん、私は矢田部先生の方がすきですが
http://miya.aki.gs/mblog/?p=189
(抜粋)
四畳半大学 宮国研究室
純粋経験論についてまとめています。2017年のテーマは現象学・分析哲学形成期における心理主義批判の問題点について（哲学という学問分野において「言葉の意味」に関する深刻な誤解が生じている）。本ブログやPDFファイルの内容を引用される場合は、出典を明記してくださるようお願いいたします。
自己言及のパラドックスというものなどない 2014年1月11日
矢田部俊介「循環性を受け入れる : 構成主義における可述性の位置づけの変更とその影響」『科学哲学科学史研究』 (2013), 7: 1-26
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/173335/1/phs_7_1.pdf
からの引用である。 突然ですが、これ分かり易いかも（＾＾
http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/06/112909
美的数学のすすめ 2015-04-06 ガロア理論超入門
(抜粋)
ここまで見てきたガウス周期をガロア理論の立場から見直してみます。ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、完全にガロア理論と同様のことを理解していたと言われています。
ガロアが決闘に行く前日に友人のシュヴァリエに宛て「ヤコビかガウスに、これらの定理の正しさではなく重要性について、公の場で意見を求めてほしい。」と最後の手紙を書きました。（"定理の正しさではなく重要性について"と書いたのは、ガロアにとってガロア理論－後にそう呼ばれることとなった一連の理論－が正しいことは当然だったのでしょう。）
今回はガロア理論の初歩について説明します。ガロア理論をなぜ”ガロアの定理”ではなく”ガロア理論”と呼ぶのか、それは、ガロア理論とは個別の定理を指すのではなく、一連の定理の集合体を指すからです。ガロア理論は、大学１，２年程度（？）の知識で理解できる数学の理論としては、最も美しく、最も有用で、最も示唆に富むものの1つではないかと思います。 メモ
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/special-01.back.html
数学入門公開講座 バックナンバー（講義ノート）
2006年7月31日-8月3日 （第28回）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
ガロア理論とその発展 玉川 安騎男
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、 代数方程式の解の置換に関する理論です。 その基本定理は「体」と「群」という代数学の基本概念を用いて述べることができ、 現在でも整数論の研究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。
この講義では、まず、 ガロア理論の基本定理の感じをつかんでもらうことを目標にしたいと思います。
次に、 ガロア理論の古典的に有名な応用（ギリシャ数学３大難問のうちの角の３等分問題と立方体倍積問題の否定的解決、 あるいは、５次以上の方程式の加減乗除とべき根のみを用いた解の公式の非存在の証明、 など）の中から題材を選んで解説したいと思います。
最後に、 遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロア理論の展開についても紹介したいと思います。 突然話が飛びますが・・・（＾＾；
http://maruyama097.blogspot.jp/2017/04/it-from-qubit.html
It From Qubit 過去・現在・未来 丸山不二夫のblog 2017年4月11日火曜日
物理学は、今、大きな変革期を迎えているようだ。
その特徴は、物質・時空の理論だった物理学が、情報の理論と結びつこうとしていることだと思う。
先月の3月20日から22日にかけて、 "Computational Complexity meets Quantum Gravity." をスローガンに掲げて、Stanford大学で開催された "It-From-Qubit Complexity Workshop" https://goo.gl/1QgloA は、そのことを強く印象付ける、とても刺激的なものだった。
こうした研究の方向を推進している一人が、Susskindである。以前にリンゴをかじって講義している先生として紹介したのだが、本当はエライ人なのだ。
図は、2015年の彼の講演、"Entanglement and Complexity: Gravity and Quantum Mechanics" https://goo.gl/J0wSkf からとったものだが、様々な問題領域の中核に、一般相対論と量子情報理論の二つがあることが強調されている。
量子論と相対論の統一については、String TheoryやQuantum Loop Gravity など、いくつかの取り組みがあるのだが、その枠組みを、量子情報理論を加えて拡大しているのが、ミソである。
Erik Verlindeのエントロピー的重力理論や、日本の笠・高柳のエンタングルメントのエントロピーの定式化も、こうした流れの重要なトピックになる。
Aaronsonのblogを見たら、3月のStanfordでのWorkshop、Googleのセルゲイ・ブリンも聞きに行っていたらしい。 http://www.nikkei-science.com/201704_040.html
日経サイエンス 2017年4月号
量子ビットから生まれる時空
C. モスコウィッツ（SCIENTIFIC AMERICAN編集部） 監修：大栗博司（カリフォルニア工科大学／東京大学）
時空は情報の基本単位からできていて，それらの構成要素は「量子もつれ」という奇妙な現象を介して結びついているのかもしれない。
量子もつれ状態にある2つの粒子は，遠く離れていても，その振る舞いが同期する。量子コンピューターを扱う量子情報の研究者と，一般相対性理論や超弦理論を研究する物理学者が共同で，「It from Qubit」というプロジェクトのもとでこの仮説を追求している。
相性の悪い量子力学と一般相対論を統合する量子重力理論の実現が最終目標だ。監修者の大栗教授による関連記事「量子誤り訂正符号とAdS/CFT対応の関係」も併せて掲載。
著者
Clara Moskowitz ／ 監修：大栗博司
モスコウィッツはSCIENTIFIC AMERICAN編集部に所属。大栗はカリフォルニア工科大学カブリ冠教授，同大学ウォルター・バーク理論物理学研究所長，東京大学カブリ数物連携宇宙研究機構主任研究員，アスペン物理学センター所長。専門は素粒子論，主に超弦理論を研究。
関連記事
「ワームホールと量子もつれ 量子時空の謎」，J. マルダセナ，日経サイエンス2017年1月号。
「ホログラフィー原理を解く エンタングルメント・エントロピーと笠・高柳公式」，中島林彦，協力：大栗博司／高柳匡，日経サイエンス2017年1月号。
原題名
Tangled Up in Spacetime（SCIENTIFIC AMERICAN January 2017） http://planck.exblog.jp/25847250/
大栗博司のブログ 2016年 07月 27日
心のしおり
カナダのトロントの近くにあるペリメータ研究所で開催されている「It from Qubit」と題した夏の学校と研究会に来ています。
http://www.perimeterinstitute.ca/conferences/it-qubit-summer-school
「It from Qubit」は、サイモンズ財団が支援している研究グループです。この数年の間に、超弦理論、量子重力や場の量子論と、量子情報理論との深い関係が明らかになり、そこから実り多い成果があがっているので、その間の風通しをよくしようという試みです。
夏の学校では、量子情報の基礎から、量子回路、誤り訂正符号、量子シャノン理論などの丁寧な講義があって、宿題
http://www.perimeterinstitute.ca/conferences/it-qubit-summer-school?qt-pi_page_blocks_quicktabs=10#qt-pi_page_blocks_quicktabs
も出ているので、私にもとても勉強になります。
講義は、すべてビデオで見ることができるので、この分野に興味のある人にはおすすめです。
http://www.perimeterinstitute.ca/conferences/it-qubit-summer-school?qt-pi_page_blocks_quicktabs=11#qt-pi_page_blocks_quicktabs
私の講演のビデオもリンクしておきます。
⇒ 「情報不等式から重力エネルギー正定値性へ」
中日新聞から、「心のしおり」というエッセイのコーナーに寄稿を依頼されたので、アスペン物理学センターの所長になった感想について書いてみました。
http://planck.exblog.jp/25787044/
７月２７日（水）の朝刊の文化欄に掲載されましたので、よろしければご覧ください。 >>399
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%B8%E5%B1%B1%E4%B8%8D%E4%BA%8C%E5%A4%AB
丸山不二夫（まるやま ふじお、1948年〈昭和23年〉 - ）は、日本のIT教育者。大学院時代の専門は数理哲学。稚内北星学園大学初代学長。元早稲田大学客員教授。IT関連のコミュニティーの組織者としても知られている。日本Javaユーザ会、日本Androidの会初代会長。クラウド研究会代表。
現在はIT技術者の情報共有コミュニティー「マルレク」を主宰。昨今は学生向けのディープラーニングの開発・教育のコミュニティー「MaruLabo」も主宰している。
略歴[編集]
秋田県大館市出身。東京大学教育学部卒業。一橋大学大学院社会学研究科博士課程修了。1987年（昭和62年）稚内北星学園短期大学経営情報学科教授。2000年から2007年まで稚内北星学園大学初代学長。2007年早稲田大学大学院情報生産システム研究科客員教授。
主著[編集]
『情報メディア論』（八千代出版、2000年）
首藤一幸と共著『クラウドの技術 ― 雲の世界の向こうをつかむ』（アスキー・メディアワークス、2009年） おっちゃんです。>>357-360で示した
>a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
>このとき、任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
>(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n}≠1 ならば (a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
の「(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n}≠1 ならば」という条件を取っ払って
>a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
>このとき、任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
>(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
が示せた。>>357-360に似たような手法で、c＝1 のとき、つまり、>>357の(2)が
b_1・log(a_1)＋…＋b_n・log(a_n)＝0
になるときも示せる。n≧3 のときは C＝－log(a_n) とおき
α＝b_1・log(a_1)＋…＋b_{n-1}・log(a_{n-1})－a_n・C＝0
として考えればよい。このときは>>357-360のCを a_n・C におき換えて考えればよい。
n＝3 のときは (4) が A_1＝p_2・A_2 になって矛盾が生じる。
n≧4 のときは似た議論を続けていく。その一方で、
n＝2 のときは b_1・log(a_1)＋b_2・log(a_2)＝0 とすると、(log(a_1))/(log(a_2))＝-b_2/b_1
となって、左辺が超越数、右辺が実代数的数で矛盾が生じる。
>>357-360に似てはいるが微妙な違いが生じる。
まあ、全文がまだ未整理で、今再度全部書くと少し長くなることもあり、ここに全部書くのはやめるけど。
ただ、まだ c≠1 が直接的には示せない。 >>400 関連
http://www.nikkei-science.com/?p=52354
英語で読む日経サイエンス
SCIENTIFIC AMERICAN January 2017
Tangled Up in Spacetime
量子ビットから生まれる時空
By Clara Moskowitz C. モスコウィッツ >>403
おっちゃん、どうも。スレ主です。
ご苦労さまです。
やはり、このスレはおっちゃんが書かないと、盛り上がらないね（＾＾ おっちゃん、どうも、スレ主です。
ここら整数論については、私は全く素人で、小学生以下のレベルだが・・（＾＾；
かつ、あまり証明を読む気が無いというか、２CHみたいに視認性の悪い掲示板の証明は特に読まない主義だが
ちょっと、おっちゃんの予想に興味があって、証明を見たけど・・
疑問あり
>>358
>各 i=1,2,…,n に対して a_i≠1 だから、ゲルフォント・シュナイダーの定理
>(以降、「ゲルフォント・シュナイダーの定理」を「G-Fの定理」と略記する) の系から、
>A_1,…,A_n は有理数体Q上線型従属である。
これ言える？ >>357で、i=1,…,n に対して A_i＝log(a_i) とおきだったね
a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とするだったね
分かり難いので、a_1,a_2 ,…, a_nに替えて、記号を素数で常用されるp1,p2 ,…, pn としましょうか？
log p1, log p2, ・・・, log pn が、任意の2個以上のn個の素数に対して、有理数体Q上線型従属？ 直感的にそんなことは成り立たないように思うけど・・
証明も、反例構成も、すぐに出来るレベルではないですが・・
それから、「ゲルフォント・シュナイダーの定理」は、>>366に引用したけど、
系２ α1,α2,β1,β2 を 0 以外の代数的数とする。もし、 log α1,log α2 が有理数体上線形独立であるならば、 β1log α1+β2log α2 not =0である。
でしょ？ それで直ちに、任意の2個以上のn個の素数に対して、有理数体Q上線型従属って、なんでそれが言える？ >>407 つづき
>>368にベイカーの定理を引用したけど
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
定理1 (対数関数の一次形式の線形独立性)
α1,・・・,αnを 0 ではない代数的数とする。もし、 log α1,・・・,log αnが有理数体上線形独立であるならば、1, log α1,・・・,log αn は、代数的数体上線形独立である。
(引用終り)
で、log p1, log p2, ・・・, log pn （p1,p2 ,…, pn は、任意の相異なる2個以上のn個の素数）で、有理数体Q上線型従属というおっちゃんの主張でしょ？
で、ベイカーの定理とは真逆の主張に見えるけど
さらに初等的考察で、https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0 対数の底の変換 log a (x) = log x / log a (ここに ”log a (x) ”は、aを底とする対数を表す)
任意の二つの素数、例えば３と５で log 3 と log 5 が、有理数体Q上線型従属と仮定すると、log 3 / log 5 ＝q (q ∈Q)なる有理数が存在するが
底を５とすると、log 5 (3) ＝q (q ∈Q)なる有理数が存在することになる
底を５とする対数 log 5 (3) は、直感的には超越数でしょ（すぐに証明できるほどレベル高くないが） 注＊）
だから、任意の二つの素数で、log pi, log pj は、有理数体Q上線型独立だろうと思う
まあ、こんな論法で、任意の二つの素数の対数が有理数体Q上線型独立とすれば、log p1, log p2, ・・・, log pn が有理数体Q上線型従属は、直感的には成り立たないと思うけど？ 少なくとも要証明だろ
注＊）リンデマンの定理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
で、「0 でも 1 でもない代数的数 β に対して、log β は超越数である。」は言えるらしい。
だから、log p1, log p2, ・・・, log pn は、すべて超越数は言える
log 3 と log 5 とは、超越数だが
log 3 / log 5 あるいは、log 5 (3) がどうか
こんな程度はだれでも思いつきそうなんで、どこかに証明が落ちてないか検索したが見つからず。はて？（＾＾； >>355 関連
https://www.skybusiness-jp.com/single-post/2017/03/02/%E5%87%BA%E7%89%88%E8%A8%98%E5%BF%B5%E5%AF%BE%E8%AB%87%EF%BC%88%EF%BC%91%EF%BC%89%E3%80%8C%E4%BA%BA%E9%96%93%E3%82%92%E8%B6%85%E3%81%88%E3%82%8B%E4%BA%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%BC%B7%E3%81%BF%E3%81%A8%E3%81%AF%E3%80%8D
出版記念対談（１）「人工知能を超える人間の強みとは」March 2, 2017
小南仔先生＆奈良潤
いよいよ、技術評論社から奈良潤代表の初の著作『人工知能を超える人間の強みとは』が3月15日に発売されます。
今回から数回にわたって、著者の奈良代表に本書の読みどころやハイライト、ちょっとした裏話などを伺ってみたいと思います。今流行りの人工知能ですが、本当に万能な存在なのでしょうか？将来、私たちの仕事（「私」の仕事も含めて）を奪うのでしょうか？
さっそく、奈良代表から執筆秘話をお伺いしましょう。
K： 奈良代表、お疲れ様です。そもそも、どういう経緯で本書を執筆するに至ったのですか。
N： もともと私は、アメリカの認知心理学者ゲイリー・クライン博士の著作 The Power of Intuition （直観力）というご著作を翻訳して出版するつもりでいたんです。2015年末にクライン博士の『「洞察力」があらゆる問題を解決する』（フォレスト出版 / 原書 Seeing What Others Don't）を翻訳・出版しまして、その続編を世に出したかったのです。
といっても、原書では、直観力の方が洞察力のよりもかなり早く出版されています（2003年）。そこで、企画を引き受けてくださる出版社をまた探さなくてはなりませんでした。何社かに問い合わせたら、幸いにも技術評論社（以下、技評）さんが興味を示してくださったのです。
そこで、新宿区の技評本社で「カリスマ編集者」と名高い傳智之さんとお会いしたのです。ところが、傳さんは「クラインさんの直観力の本はアメリカで2003年に出版されて古いし、翻訳本はお金がかかるから難しいですね」などとあっさり言うんですよ。「ええっ～、人のこと呼び出しといて、それはないでしょう～」なんて思いましたよ（苦笑）。
でも、傳さんが、「いっそうのこと、奈良さんが直観についての本を書いたらどうですか」って言ってくださったんですね。
つづく 抜けた：（以下、小南仔： K、奈良代表： N） 追加よろしく
>>409 つづき
当時、まさか自分自身の著作を出せるチャンスなど夢にも思っていなかったので、うれしいというよりもむしろ驚きましたねえ～。
K： なるほど。でも、奈良代表ははじめから人工知能に詳しかったのですか。どうして、「直観と人工知能」をテーマとした本を執筆することになったのですか。
N: いいえ、人工知能については素人同然でしたよ。ただ、2015年夏に日本認知科学会のサマースクール（夏期合宿研修）があって、そこでのテーマが人工知能だったんですね。
それで、傳さんが「ただ直観についての本はダメで、たとえば、人工知能と比較するとかしないと企画は通らないでしょう」とか言うんですよ。それからですかね、人工知能の文献を読みはじめたのは。
K： そうだったのですか。でも、将棋やチェス、碁などのプロが人工知能との対局で負け、人と会話するようなものまで開発されている現状を考えると、人間が人工知能には勝てないと思ってしまいますが。。。。
N: ふつう、そう思いますよね。でも、私は人工知能のことを調べる前から直観的に「人工知能にも盲点や弱点があるはずだ」と思っていましたね。でも、それを認知心理学的に証明するのができなかった。
ところが、私はクライン博士の指導のもとで直観や洞察力について勉強してきて、それなりの知識をもっているわけです。それで、人工知能のことを勉強していくうちに、人間の直観と人工知能の思考のそれぞれのメカニズムが正反対の性質であることを突きつめたのです。
人工知能の思考のメカニズムや開発技術上の課題がいくつもあり、万能ではないのです。
まして、人間と人工知能では、学習のメカニズムや創造力の発揮の仕方も大きく違います。
K: じゃあ、人工知能が人間の仕事を奪ったり、ドラえもんのような人工知能ロボットが開発されることはないということですか？
N: たしかに、今後も人工知能は進化することで人間の仕事や作業のある部分がオート化されたり、効率化がはかられていくことだと思います。でも、人工知能が人間のすべての仕事や作業の代行をすることは絶対にできないし、
つづく
抜粋引用おわり >>409 補足
『人工知能を超える人間の強みとは』
は、発注かけました。本は、明日来る予定
それはともかく、数学でも、あしたからは、AIと数学の共存時代でしょう
人間の強みである、直観力や洞察力や創造性など、従来日本の数学教育はこれらを軽視して論理の厳密性のみが前面に押し出されていたが
そこらは見直さないと、日本の数学はだめでしょう
いまでも、あやしいけど
従来日本の数学教育は論理の厳密性のみが前面に押し出されていて、内容が１９世紀から２０世紀中期がせいぜい
でも、論理の厳密性というのは、算数で言えば、かけ算割り算の世界でしょ？ そんなところは、コンピュータやAIが人間より遙かに上
コンピュータやAIを使いこなすという視点が欠ければ
あっというまに、世界においていかれる
いまでもそうなりつつ
あるように思います ほい
https://www.skybusiness-jp.com/news/date/2017-03
出版記念対談（４）「人工知能を超える人間の強みとは」（舞台裏編）
March 10, 2017
|
小南仔部長＆奈良潤代表
N： みなさん、やっとサンプル本が手に入りました！応援、ありがとうございます！
K: 奈良代表、よかったね！（チュ?）
N: こにゃんこセンセ、ありがとう...
Read More
出版記念対談（３）「人工知能を超える人間の強みとは」
March 8, 2017
|
小南仔部長＆奈良潤代表
＜小南仔（こにゃんこ）部長（K）と奈良代表（N）の対談の続き＞
K： そういえば、今日、著作のサンプル本ができたそうですね。傳さんによると、表紙は水戸部... >>407
おっちゃんです。
＞疑問あり
＞>>358
＞>各 i=1,2,…,n に対して a_i≠1 だから、ゲルフォント・シュナイダーの定理
＞>(以降、「ゲルフォント・シュナイダーの定理」を「G-Fの定理」と略記する) の系から、
＞>A_1,…,A_n は有理数体Q上線型従属である。
＞
＞これ言える？
そこは「ゲルフォント・シュナイダーの定理」ではなく、「素数と有理数の各定義から」の間違い。
p_1・log(a_1)＋…＋p_n・log(a_n)＝0 p_1,…,p_n はすべてが0ではないよいな有理数
とすると、(a_1)^{p_1}・…・(a_n)^{p_n}＝1 になるが、素数の定義から、a_1,…,a_n は
どの2つも互いに素でそれらの正の最大公約数が1の正整数だから、これは成り立ち得ない。
だから、「A_1,…,A_n は有理数体Q上線型従属である。」はいえる。
もう予想では既に示した。ただ、似たような議論を繰り返して示すことになり
議論が少し長くなって、別の方法で示せないだけ。 普段他人が書いた証明を読まない主義なら、その方針にしてほしい。 有理数体Q上線型「従属」でなく有理数体Q上線型「独立」か。 まあ、>>357-360は改良の余地はあるだろう。 >>414-418
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです
>普段他人が書いた証明を読まない主義なら、その方針にしてほしい。
いやね、ゲルフォント・シュナイダーの定理ってのを詳しく知らなかったので、その周辺を調べて、ちらっと証明みたら、「あれあれ？」ってことだったわけ
>有理数体Q上線型「従属」でなく有理数体Q上線型「独立」か。
そうでしょうね（＾＾
>じゃ、おっちゃん寝る。
ゆっくり休んでください >>414
(>>419に従い、おっちゃんのコメントを、有理数体Q上線型「独立」などに修正すると・・)
>p_1・log(a_1)＋…＋p_n・log(a_n)＝0 、p_1,…,p_n はすべてが0ではないような有理数
>とすると、(a_1)^{p_1}・…・(a_n)^{p_n}＝1 になるが、素数の定義から、a_1,…,a_n は
>どの2つも互いに素でそれらの正の最大公約数が1の正整数だから、これは成り立ち得ない。
>だから、「A_1,…,A_n は有理数体Q上線型独立である。」はいえる。
さーて、>>408 ベイカーの定理より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
定理1 (対数関数の一次形式の線形独立性)
α1,・・・,αnを 0 ではない代数的数とする。もし、 log α1,・・・,log αnが有理数体上線形独立であるならば、1, log α1,・・・,log αn は、代数的数体上線形独立である。
(引用終り)
また、リンデマンの定理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
から、「0 でも 1 でもない代数的数 β に対して、log β は超越数である。」は言える
だから、log p1, log p2, ・・・, log pn は、すべて超越数は言える
整理すると
１）互に異なる２つ以上の素数p1,p2 ,…, pn で、これはあきらかに代数的数
２）リンデマンの定理から、log p1, log p2, ・・・, log pn は、すべて超越数だが、リンデマンの定理だけでは”代数的数体Q~上線形独立”はまだ言えない
３）但し、>>408で考察したように、”任意の二つの素数で、log pi, log pj は、有理数体Q上線型独立”だろうと思う （未証明）
さらに進んで、”log p1, log p2, ・・・, log pn 全体として、有理数体Q上線型独立”が言えるかどうか 注１＊）
４）もし、log p1,・・・,log pnが有理数体上線形独立であるならば、ベイカーの定理より, ”1, log p1,・・・,log pn は、代数的数体上線形独立である”注２＊）は言える。
５）なので、注１＊）が証明できるかどうか。それと、注２＊）のベイカーの定理で、”1”を落として良いかどうか？ **) そこが個人的にはギャップありと思うよ
**) ベイカーの定理で、”1”が付属している数学的な意味がいまいち分かっていないスレ主です（＾＾； >>420
どうも。スレ主です。
しばし考えてみると、３）は簡単に言えそうだね
１．まず、”任意の二つの素数で、log pi, log pj は、有理数体Q上線型独立”は、背理法で命題を否定して、>>408で考察したように
log pi / log pj = m/n (m/nはある有理数で、m,nはある整数 と書けたとする。
log pi = m/n ・ log pj から
pi = pj ^m/n ここで、両辺をn乗して
pi^n = pj^m となるが、pi, pj が異なる素数なら、不成立で矛盾する
２．次に３以上でも、>>414でおっちゃんが書いた筋でOKだな
（m1/n1）・log p1 +(m2/n2)・log p2 + ・・・+(mn/nn)・ log pn =0 が成立するとして
これを積に直して、p1^（m1/n1）・p2^(m2/n2) ・ ・・・・ pn^(mn/nn) =1 が成り立ち
両辺を、n1・n2・・・・・nn乗すると、、p1^（m1）・p2^(m2) ・ ・・・・ pn^(mn) =1 となるが、p1, p2,・・・ , pnが異なる素数なら、不成立で矛盾する
そうすると、残るは、「ベイカーの定理で、”1”を落として良いかどうか？ 」だな
ベイカーの定理はあまり理解できていないので、現状では私スレ主の手に余る
ベイカーの定理（やさしい方だけでも）を勉強してみたい気はするが・・（＾＾ >>421 訂正
両辺を、n1・n2・・・・・nn乗すると、、p1^（m1）・p2^(m2) ・ ・・・・ pn^(mn) =1 となるが
↓
両辺を、n1・n2・・・・・nn乗すると、、p1^（m1・n2・・・・・nn）・p2^(m2・n1・・・・・・nn) ・ ・・・・ pn^(mn・n1・n2・・・・・nn-1) =1 となるが > **) ベイカーの定理で、”1”が付属している数学的な意味がいまいち分かっていないスレ主です（＾＾；
一般に超越数の和が超越数とは限らない
1があるためにより強い結果が言えている >>423
ID:yyQdAFWmさま、どうも。スレ主です。
レスありがとう
>一般に超越数の和が超越数とは限らない
> 1があるためにより強い結果が言えている
きっとそうなんや
しかし、ここまでかみ砕いて言われても、まだすとんと数学的理解に至らないスレ主でした。まあ、ちょっと自分で調べてみます（＾＾；
でもあなたは、きっとおっちゃんじゃないね（＾＾
レベル高そうやね >>421 訂正追加
１．まず、”任意の二つの素数で、log pi, log pj は、
↓
１．まず、”任意の互いに異なる二つの素数で、log pi, log pj は、 >>424 関連
過去スレ15 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/68 より再録
http://d.hatena.ne.jp/language_and_engineering/20141107/TranscendentalNumberTheoryPDFLectureNotes
2014-11-07 数学の「超越数論」を独学するための教科書PDF。
「代数的数論」の発展分野で，未解決問題多し
超越数論を勉強するためのテキストPDF
しっかりした教科書を無料で読める。
日本語のPDF：
日大の平田さんのレポート
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/Data/Hokoku/hirata.pdf
40ページ，日大(公開は理科大)。報告の形式を取っているが，日本語で読める超越数論の教科書PDFとして最良か。
(引用終り)
と書いていたけど、このとき、日大の平田先生を学生かなにかと勘違いしていたわ（＾＾；
調べると、すごいエライ先生やね。論文いっぱいあるし
学位が、パリ第6大学と東北大学と二つか・・、めずらしいね。なんで東北？とは思うけど・・。中学・高校「数学科」 教員免許か。中学・高校も可なんや（＾＾；
http://researchmap.jp/hirata/
研究者氏名 平田典子（河野典子）ヒラタ ノリコ
(抜粋)
http://kenkyu-web.cin.nihon-u.ac.jp/Profiles/40/0003941/profile.html
日本大学 理工学部 数学科 更新日：2017/04/10
教授 河野 平田 典子 コウノ ヒラタ ノリコ HIRATA-Kohno Noriko
(抜粋)
■ 学位 （公開件数：2件）
理学博士(パリ第6大学) パリ第6大学（フランス） 1989/02/16
理学博士(東北大学) 東北大学 1991/01/23
■ 免許・資格 （公開件数：1件）
教育職員免許 1981/03 中学・高校「数学科」 >>426
日大の平田さんのレポート
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/Data/Hokoku/hirata.pdf
より抜粋
Theorem 1.1 (Liouville の定理)
Theorem1.1 の証明では，整数のような「粗に存在している」集合の元に対して，異なる元の
距離が1 以上つまり「ゼロでない整数の絶対値は1 以上」という事実に帰着して考えるところ
が本質的な点である．
ディオファントス問題で我々の興味を持つ対象は，有理点と総称されるような，Q, Z, Q，有
限次代数体などの元であるが，これらはすべて粗なる集合である．この考え方で見ることが必
然である．単に有理数を実数の中で捉えたら，有理数の稠密性という性質があって困る訳だ
が，有理数を分母と分子の整数の組である数と捉えることが重要なのである．異なる有理数と
いうものを，異なる整数の話に帰着させれば良いのである．そうすれば異なる元の距離が1 以
上という断固たる事実から，非自明なる下からの評価が従い，興味のある有理点の考究が可能
となる．
同様に，d 次の代数的数α も，「Z 係数のα の最小多項式fα の係数」を並べたd + 1 次元整
数格子の点と考えられる．整数格子の点は距離が一定以上離れているのだから，異なる代数
的数同士が互いに近いことは不可能であると言うのがLiouville の定理である．すなわち，代
数的数同士は良く近似できないということを表していて，実に自然な定理なのである．なお，
Liouville の定理よりも後述のRoth の定理が（一部の範疇の数を除いて）より良い近似を与え
ている．
(引用終り)
はあ・・、すごいね。目から鱗やわ（＾＾；
Liouville の定理なんて、なんども見たけど、意味分からんし、スルーしてたけど
”異なる元の距離が1 以上つまり「ゼロでない整数の絶対値は1 以上」という事実に帰着して考えるところが本質的な点である．”
”単に有理数を実数の中で捉えたら，有理数の稠密性という性質があって困る訳だが，・・・異なる元の距離が1 以上という断固たる事実から，非自明なる下からの評価が従い，興味のある有理点の考究が可能となる．”
なるほど！ そうなんや！ （＾＾ >>427 関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B9%E8%BF%91%E4%BC%BC#.E3.83.AA.E3.82.A6.E3.83.B4.E3.82.A3.E3.83.AB.E3.81.AE.E5.AE.9A.E7.90.86
ディオファントス近似
(抜粋)
リウヴィルの定理[編集]
詳細は「リウヴィル数」を参照 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
この結果によってジョゼフ・リウヴィルは、超越数であることが初めて証明された例であるリウヴィル数、
を得た。この数は、次数 n をどのようにとっても、リウヴィルの定理を満たさない。
ディオファントス近似と超越数論の間のこのつながりは、今日まで続いている。証明の技術の多くが2つの分野の間で共有されている。
最後のロスによる結果は、以下の様に表現される：ロスの定理(1955年)。
リドゥ (D. Ridout) は、近似分数の分母、分子に現れる素因数を制限することで、ロスの結果が改良されることを示した。ロス?リドゥの定理(1957年)。
c の値の導出
もし、与えられた α に対して、c の値を求めることが可能になれば、不定方程式の整数解に対して、解が有限個しか存在しないだけでなく、整数解の存在範囲を示すことが可能となる。
ベイカーによる対数の1次形式の評価定理を用いて、以下のことが証明されている。
(引用終り) >>427 関連
出典は、これやね。2006 数論サマースクール
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/
2006年度整数論サマースクール 「Diophantine Equations」
1. 平田典子 （日本大学）
(1)「対数一次形式の理論と応用:HermiteからBaker, Matveevまで」
(2)「部分空間定理と単数方程式:SiegelからSchmidt, Faltingsまで」
(3)「最近の新結果の紹介」
(4)「ディオファントス問題における未解決問題」
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/hokoku.html
2006年度整数論サマースクール報告集
平田典子（日本大学）
「対数一次形式の理論と応用:HermiteからBaker, Matveevまで」
「部分空間定理と単数方程式:SiegelからSchmidt, Faltingsまで」
「最近の新結果の紹介」
「ディオファントス問題における未解決問題」
pdfファイル http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/Data/Hokoku/hirata.pdf >>423-424
ああ、スレ主は、線型独立がきちんと理解出来ていなかったんやね(^^
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%8B%AC%E7%AB%8B
線型独立
線型従属[編集]
ベクトル空間 V の部分集合 S が非自明な線型関係を満たすとき
すなわち、ある有限個の相異なるベクトル v1, v2, ..., vn ∈ S とスカラー a1, a2, ..., an が存在して、(a1, a2, ..., an) ≠ (0, 0, ..., 0) かつ
a1v1+a2v2+・・・ +anvn=0
を満たすとき
S は線型従属（一次従属）であるという。言い換えると、集合が線型従属であるとは、集合のベクトルの線型結合によるゼロベクトルの非自明な表示が存在することである。
線型独立[編集]
ベクトル空間 V の部分集合 S は線型従属でないとき S は線型独立 （一次独立）であるという。明示的には、任意の有限個の相異なるベクトル v1, v2, ..., vn ∈ S とスカラー a1, a2, ..., an に対して
a1v1+a2v2+・・・ +anvn=0
ならば (a1, a2, ..., an) = (0, 0, ..., 0) となるとき S は線型独立であるという[1]。言い換えると、集合が線型独立であるとは、集合のベクトルの線型結合によるゼロベクトルの表示が自明なものに限るということである[2]。 >>430 補足
ｎ次元ベクトル空間 V で、v1, v2, ..., vn が線型独立なら、ｎ-1次元 v2, v3, ..., vn も線型独立が言える。
さらに
（補足）
１．線型従属 a1v1+a2v2+・・・ +anvn=0 スカラー a1, a2, ..., an が存在して、(a1, a2, ..., an) ≠ (0, 0, ..., 0)
２．線型独立 a1v1+a2v2+・・・ +anvn=0 スカラー a1, a2, ..., an が存在して、必ず(a1, a2, ..., an) ＝ (0, 0, ..., 0)
３．ｗ＝a2v2+・・・ +anvn と置く。もしｎ-1次元 v2, v3, ..., vn が線型従属として、 (0, 0, ..., 0)以外でｗ=0となったとすると
ｘ＝a1v1+ｗにおいて、a1＝0とするとｘ＝0とできることになり、この場合、必ず(a1, a2, ..., an) ＝ (0, 0, ..., 0)に反する
だから、ｎ-1次元 v2, v3, ..., vn も線型独立でなければならない。つまり、ｎ次元以下でも、すべて線型独立
４．これを>>423 に当てはめると、”ベイカーの定理で、”1”が付属している数学的な意味”は、代数的数体をQ~として
１）log α1,・・・,log αn は、代数的数体Q~上線形独立のみならず
２）”1”即ち代数的数体Q~からも線形独立→log α1,・・・,log αnの線型結合は超越数である
そういうことかいな（＾＾
やっとわかった。ID:yyQdAFWmさま>>423、どうもありがとう >>431 まとめ
ということは、>>420-421で示したように
おっちゃんの命題>>357
a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
このとき、任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
は、>>368 ベイカーの定理1 の 系3 α1,・・・,αnを 0 でも 1 でもない代数的数とする。また、 β1,・・・,βnを、 1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数としたとき、α1^β1・・・,αn^βn は、超越数である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
と、一部重なるね。系3で
「1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数」という条件を落としたらどうなるか？
（おっちゃんは「代数的無理数」と書いたから、「有理数上線形独立な代数的数」とほぼ重なるかな？）
（私は、そもそも系３の「1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数」という条件とベイカーの定理1との関係があまり理解できてないレベルだが・・）
あとは、おっちゃんのレス待ちやね
目が覚めたら頼むよ（＾＾ >>424
＞>一般に超越数の和が超越数とは限らない
＞> 1があるためにより強い結果が言えている
＞
＞きっとそうなんや
おっちゃんです。
「きっと」ではなくて、これは当然のこと。
2つの異なる超越数 x,y に対して x+y を、多項式のように扱って、
計算してより簡単な形にすることが出来るかどうかが分からないから、
一般には超越数の和が超越数といえるかどうかが分からない訳で。
あと、あの人の個人的事情を書いたサイトや pdf とかを挙げるのは止めておいた方がいい。
チンプンカンプンでよく分からんが、超越数というよりむしろ
ディオファンタス幾何とかいう難しい数論幾何の一分野をしている人だ。 そんなことより、聞いて下さい。
久しぶりに散歩がてらに根津っていうところに行って来たんです。
地下鉄の千代田線のホームが2層構造になっていて、
坂道が少しあるけど、ここはレトロな雰囲気が漂っていていい町でした。
お隣の千駄木駅のホームも2層構造になっているんです。
このあたりは谷根千っていわれていて下町情緒溢れるいい町です。
反対の湯島駅は普通のホームになっている。 >>432 補足
>（私は、そもそも系３の「1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数」という条件とベイカーの定理1との関係があまり理解できてないレベルだが・・）
検索したが、日本語では、あまり適切な情報がヒットしなかったな
で、下記英文が相当しているように見えるが、日本語でもすらすらとはいかないのに、英文だからね。もっとも、英文の方が分かりやすいときもあるけど・・（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Baker%27s_theorem
Baker's theorem
(抜粋)
Statement
Just as the Gelfond?Schneider theorem is equivalent to the statement about the transcendence of numbers of the form ab, so too Baker's theorem implies the transcendence of numbers of the form
a1^b1 ・・・ an^bn ,
where the bi are all algebraic, irrational, and 1, b1,…,bn are linearly independent over the rationals, and the ai are all algebraic and not 0 or 1. 根津駅の近くには言問通りが通っていて、弥生っていう町があるんです。
そこを西に行くと比較的静かな住宅が密集している町につながる。
晴れた日の夕方に行くと、3丁目の夕日を思い出させるような景色が見れると思う。 いや～、根津は昔ながらのレトロな雰囲気に溢れていていい町です。 >>435
おっちゃん、どうも、スレ主です。
根津ねー、懐かしいな～
なんで行ったか思い出せないが（＾＾
もちろん、仕事でだったけど
湯島は、よく行きました
研修施設があったから
東京は、古い町はどこでも、なにか歴史がありますよね～（＾＾ >>437
おっちゃん、どうも、スレ主です。
弥生町ねー
ああ、確か根津から、東大工学部へ上がっていった記憶がある
東大工学部で学会があったような
弥生式土器発見の碑かなんかがあってね
弥生町で発見されたから、弥生式土器と名付けたと書いてありました >>440
正門や赤門より、出入りには弥生門の方が近かっただろう。 >>434
どうも。スレ主です。
>2つの異なる超越数 x,y に対して x+y を、多項式のように扱って、
まあ、多項式→ベクトルやね
アルティン先生いうところの体の拡大で、線型空間と見る視点
x,yを不定元（超越数だから）ということなのでしょうが・・
>あと、あの人の個人的事情を書いたサイトや pdf とかを挙げるのは止めておいた方がいい。
あの人とは、平田典子先生かな？
まあ、超越数の日本語の資料が少ないんだ
検索ヒットするのは、あと、西岡 久美子先生、無理数と超越数 | 塩川 宇賢 先生くらい
イエカタと読むのか。読めなかったな・・
http://researchmap.jp/read0164381/
研究者氏名 塩川 宇賢 シオカワ イエカタ
所属慶應義塾大学
部署理工学部 数理科学科 理工学部 理工学部 数理科学科
職名教授
学位理学 (筑波大学) >>442
門の名前は分からなかったが、多分弥生門でしょう
会社が、大手町にあってね。地下鉄などで、一番行きやすい駅を探すと、根津だったと思う。地図を見ながら行った まあ、おっちゃん書いてくれると助かるよ
さっきも、一人で連投９で、”埋めですか”なんてコメントと規制がかかってね
まあ、はたから見れば埋めと言えなくもないが、そういうつもりではない。ウメではなく、メモですから～（＾＾ >>443
文字 x,y を超越数とすると、x,y には
複素数の位相構造か実数の大小関係による位相構造が入って
扱いが難しくなるから、通常の代数的な文字のようには扱えなくなる訳で。
西岡氏は資料をどんどん挙げると喜ぶと思う。
一家で超越数関係のことやっていて、息子には斉次君もいるからな。 >>434
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>あと、あの人の個人的事情を書いたサイトや pdf とかを挙げるのは止めておいた方がいい。
>チンプンカンプンでよく分からんが、超越数というよりむしろ
>ディオファンタス幾何とかいう難しい数論幾何の一分野をしている人だ。
おっちゃんな、ここらになると、Bakerもディオファンタスも平田も塩川も同じなんよ
全部、かなり、チンプンカンプンやから・・（＾＾；
けど、おっちゃんBaker分かるか？ 昔、数学セミナーでBakerのフィールズ賞記事を読んだ記憶があるが、effctive な定量評価ということだけ記憶にあるが、なにがそんなにエライのか分からなかったな
広中とトンプソンも同時か・・
http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/class-numbers-of-imaginary-quadratic-fields
(抜粋)
2017-02-20 ベイカーの定理と類数１の虚二次体の決定 tsujimotterのノートブック 日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート
(抜粋)
*1:ちなみに，アラン・ベイカーは岩澤理論の研究者であるジョン・コーツの師匠です。コーツの有名な弟子として，フェルマーの最終定理を解決したアンドリュー・ワイルズがいます。したがって，ワイルズにとって，アラン・ベイカーは師匠の師匠にあたります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%AB%E3%83%BC
(抜粋)
アラン・ベイカー（Alan Baker、1939年8月19日-）はロンドン出身のイギリスの数学者。王立協会フェロー。数論、特に超越数の理論の研究で知られる。1970年、31歳の時に、ディオファントス方程式に関する功績により、フィールズ賞を受賞した。
彼はユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドンのハロルド・ダベンポート（英語版）の下で数学の研究を始め、後にケンブリッジ大学に移った。専門は他にディオファントス幾何（英語版）などである。教え子にジョン・コーツらがいる。
1970年
アラン・ベイカー / 広中平祐 / セルゲイ・ノヴィコフ / ジョン・G・トンプソン >>446-447
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>文字 x,y を超越数とすると、x,y には
>複素数の位相構造か実数の大小関係による位相構造が入って
>扱いが難しくなるから、通常の代数的な文字のようには扱えなくなる訳で。
解析とか位相の見方はそうかも知らんが
代数的には、Q上の超越拡大やね（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0
超越次数
(抜粋)
例
・n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。
ベクトル空間の次元とのアナロジー[編集]
ベクトル空間の次元の理論との類似がある。代数的に独立な集合は線型独立な集合と対応し、L が K(S) 上代数的であるような集合 S は spanning sets と対応し、超越基底は基底と対応し、そして超越次数は次元と対応する。 >>449
>おっちゃんな、ここらになると、Bakerもディオファンタスも平田も塩川も同じなんよ
>全部、かなり、チンプンカンプンやから・・（＾＾；
>けど、おっちゃんBaker分かるか？
私の考えでは、超越数論にそんな大道具はいらない。1とiは実数体R上線型独立で
複素数は a+bi a,b∈R と表せるんだから、実数の超越性を考えれば十分。
必要な代数は、せいぜい微分体や代数的従属性と実2次体の数論あたりまでで十分。
ゲルフォントシュナイダーの証明にも、代数ではなく一変数複素解析の方が使われている。
むしろ、私の場合、ディオファンタス近似や連分数、普通の解析やリー群の考え方の方が役に立つ。 >>446-447
>西岡氏は資料をどんどん挙げると喜ぶと思う。
>一家で超越数関係のことやっていて、息子には斉次君もいるからな。
へーえ、おっちゃん、えらく数学業界に詳しいね（＾＾；
ああ、微分方程式系をやっているから、おっちゃんの分野に近いのかね？
Nishioka, K., Nishioka, S.は親子共著かな
http://yudb.kj.yamagata-u.ac.jp/html/100000514_ja.html
(抜粋)
山形大学 研究者情報 ニシオカ セイジ 西岡 斉治 理学部 数理科学科 職名 准教授
取得学位 【 表示 ／ 非表示 】
博士（数理科学），東京大学，2010年03月
修士（数理科学），東京大学，2008年03月
学士（理学），東京都立大学，2006年03月
所属学会・委員会 【 表示 ／ 非表示 】
日本応用数理学会
http://sci.kj.yamagata-u.ac.jp/~nishioka/
(抜粋)
Preprints
Nishioka, S., Transcendence of solutions of q-Airy equation.
Published
Nishioka, K., Nishioka, S., Autonomous equations of Mahler type and transcendence, Tsukuba Journal of Mathematics, Vol. 39, No. 2 (2015), 251--257.
Nishioka, K., Nishioka, S., Algebraic theory of difference equations and Mahler functions, Aequationes Mathematicae, Volume 84, Issue 3 (2012), 245--259.
doi:10.1007/s00010-012-0132-3
Nishioka, S., Transcendence of Solutions of $q$-Painleve Equation of Type $A_7^{(1)}$, Aequat. Math., 79 (2010), 1--12.
doi:10.1007/s00010-010-0007-4
Proceedings
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/171257
西岡斉治, 差分Riccati方程式の可解性, 数理解析研究所講究録1765「可積分系数理の多様性」 (2011), 64--71. >>450-451
おっちゃん、どうも、スレ主です。
へーえ、おっちゃんえらいね。見直したわ
証明むちゃくちゃやけど・・（＾＾ >>411
AI本来ました
読んだら、報告します（＾＾ >>452
>へーえ、おっちゃん、えらく数学業界に詳しいね（＾＾；
微分体の理論の序文に、その本では扱っていない「差分体」という言葉が現れることと、
Wikiの「超越数」の日本語のページに西岡啓二氏と久美子氏が揃って出てくることが多いことと、
斉治君が書いたその pdf を読んで、微分代数を研究している西岡啓二氏と似たことをしていると感じたことから、
直観的に、西岡啓二、久美子、斉治は一家なんだな～と思った。
別に学会に属している訳ではない。 西岡 啓二先生
http://researchmap.jp/read0116081/
研究者氏名 西岡 啓二 ニシオカ ケイジ 所属慶應義塾大学 部署環境情報学部環境情報学科
職名教授 学位理学 (大阪大学)
書籍等出版物
微分代数から差分代数へ
西岡 啓二
[藤沢] : 慶應義塾大学湘南藤沢学会 2014年6月
http://web.sfc.keio.ac.jp/~knis/
自己紹介
生まれ 1951年、大阪市浪速区
学んだところ 大阪大学理学研究科博士課程
学んだこと 微分代数
授業関連
数理と社会
まとめ2
まとめ3
まとめ4
まとめ5
まとめ6
まとめ7
まとめ8
まとめ9
まとめ10
まとめ11
補足と文献
変化の理論
授業内容
問題の訂正と解答
模擬問題の解答
数理と現象
フラクタルの理論
数理モデル
暗号と有限幾何
グラフ理論
現代数学
研究会
確率過程
講演、談話
神戸
Painleve I の線形化方程式の Galois 群
Painleve I の解の代数的独立性
数理解析研究所
代数的微分方程式の変分方程式
Memoirs
Brownawell-Kubota の定理について >>455
微分体の理論ねー
東京の丸善で見た記憶がある
名古屋の梅村先生とか
Painleveは神戸大がやっていた記憶がある・・ >>455
>西岡啓二氏と久美子氏が揃って出てくることが多い
なるほど
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1060.html
No.1060 数論とその応用 Number Theory and its Applications 研究集会報告集 1997/11/10～1997/11/14 金光 滋 Shigeru Kanemitsu
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1060-10.pdf
10. Transcendence of Rogers-Ramanujan continued fraction and reciprocal sums of Fibonacci numbers (Number Theory and its Applications)---91
リル大学 / 慶応義塾大学環境情報学部 / 慶応義塾大学経済学部 / 慶応義塾大学理工学部 / 西岡 啓二 / 西岡 久美子 / 塩川 宇賢 (Duverney, Daniel / Nishioka, Keiji / Nishioka, Kumiko / Shiokawa, Iekata) 西岡先生退職か
http://www.jukushin.com/archives/27645
慶應塾生新聞 2016年度定年退職者 発表 2017年2月10日
(抜粋)
西岡啓二（環境情報学部教授）
西岡久美子（経済学部一般教授）
西岡久美子教授は選択定年である。 >>432 補足
>（私は、そもそも系３の「1, β1,・・・,βnが、有理数上線形独立な代数的数」という条件とベイカーの定理1との関係があまり理解できてないレベルだが・・）
ネット検索で良い資料がヒットしない
仕方ないので、「超越数とはなにか」西岡久美子 ブルーバックスを引っ張り出してきた
この本はすごいね。ブルーバックスなのに、読者レベルを大学数学科２年以上を想定しているんじゃないかな
もしこの本を読むのが三日前なら、読めなかったろう
おっちゃんのカキコで、ベイカーだリウヴィルだリンデマだゲルフォント・シュナイダーだと見ていたから
なんとかついて行けるようになったけど・・・
まあ、しかし、和書の数学専門書で、超越数についてこのレベルを書いてある本がほとんどないね。塩川くらいか
超越数とはなにか」西岡久美子 第３章の後半に、代数的数に対する線型独立の記述があったね。これでいいんや（＾＾ >>461 つづき
とすると
>>432より
おっちゃんの命題>>357
「a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
このとき、任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。」
に対して、ベイカーの定理1 の 系3を使えるようにするために、この命題を書き換えると
「a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
（a_1,a_2 ,…, a_n は、0 でも 1 でもない代数的数である）
このとき、1, b_1, b_2,…, b_n が、有理数上線形独立な代数的数に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。」
つまり
b_1, b_2,…, b_n 任意の代数的無理数
vs
1, b_1, b_2,…, b_n が、有理数上線形独立な代数的数
の対比が問題となる
後者でも、b_1, b_2,…, b_n は、代数的無理数なのだ（∵ 1とb_j （ｊ＝1～n）は、有理数上線形独立）
但し、任意ではなく、有理数上線形独立という制約がつく
で、問題は、ベイカーの定理1 の 系3から外れる部分をどうやって証明するのか？
そもそも、有理数体上線形独立という制約を外しても、命題が成立するのだろうか？ それがよく分からない・・（＾＾； >>461
>この本はすごいね。ブルーバックスなのに、読者レベルを大学数学科２年以上を想定しているんじゃないかな
>もしこの本を読むのが三日前なら、読めなかったろう
和書では貴重やね
天才は別として、一般学生は
これは副読本として見ておいた方がいいだろう ブルーバックス 西岡本では
ベイカーの定理 を、wikipedia の対偶の形で示しているんだね
なるほど。この形の方が証明が易しいんだ（＾＾ こんなのが・・（＾＾
http://www.jams.or.jp/kaiho/kaiho-81.pdf
一般社団法人 国際数理科学協会会報 No.81, May 2012(pdf 432kb)
＊寄稿(2)
数学とは何か ― 数学と人間について
群馬大学名誉教授・アヴェイロ大学研究員 齋藤三郎
6 天才少年
10 奇妙な発想
上記少年前出祐亮君については、次のようなことがあり、ブログ記事に書きました: (前
出君の整数に関する予想:2011.2.6.12:00
今前出裕亮君とスカイプをしました。前出君は、次のような予想をしていますが、如何で
しょうか?:
p を7 以上の素数とする。1 をp ?? 1 個並べて得られる、整数はp で割り切れる。
p が、29 まで、筆算で実験して、確認していると言うのです。これは正しそうですが、証
明は簡単でしょうか。) ? これは正しいことを、澤野嘉宏氏とL. P. カストロ教授によっ
て独立に証明されました。
普通は7 まで成り立つので、一般にも成り立つと予想すると思いますが、これは逆で、7
以上では成り立ち、それまでは成り立たないというのですから、発想が天才的としか言い
ようがない。
http://www.jams.or.jp/isms_top_j.html
一般社団法人 国際数理科学協会
http://www.jams.or.jp/Kaiho.html
国際数理科学協会会報 >>462 補足
>で、問題は、ベイカーの定理1 の 系3から外れる部分をどうやって証明するのか？
>そもそも、有理数体上線形独立という制約を外しても、命題が成立するのだろうか？ それがよく分からない・・（＾＾；
１．後者の「有理数体上線形独立という制約を外しても、命題が成立するのだろうか？」について
・予想として、”ｘｘは超越数である”は、超越数同士の積などでは当然だろう。なんの驚きもない
∵実数の集合において、超越数の補集合は、ルベーグ理論では零集合。つまり、有理数や代数的数になる確率を考えると、それは０。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96 測度論 零集合 (null set )
・しかし、”ある二つの超越数同士の積が、超越数である”を、証明する手段をまだ現状の数学は、ほとんど手にしていない
例えば、積ｅπは、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0 超越数
・つまり、個々の(a_j)^{b_j} （ｊ＝1～n）たちはベイカーの定理から超越数になるから、零集合からの予想として、それらの積は超越数だろうと言える。が、完全な証明は難しいかな・・（下記）
２．前者の「ベイカーの定理1 の 系3から外れる部分をどうやって証明するのか？」について
・b_1, b_2,…, b_n たちのベイカーの定理の制約（線形独立に関する）を外して、数学的な証明をしようとすると、積ｅπさえ扱えない数学の現状では、まあ難しいのかなと思う
・a_1,a_2 ,…, a_n たちには、素数というしばりがある。だが、その代数的無理数乗の積を、超越数という視点からどう扱うか？ もし、実現できたら、専門誌に投稿できる論文になるな（＾＾
ということで、後はおっちゃんに任せる～（＾＾； >>465 余談天才少年
余談だが、あまりの天才というのは、その周りに、彼を理解してくれる普通に近い人が、少なくとも一人はいない場合、社会人としてやっていけないだろう
いわゆる”浮いてしまう”という状態になる
グロタン先生なども、親友セレ（社会的に普通に近い人）とか理解者が居たから、やっていけたんだろう
だがそれも1970年代に終わってしまったらしい
「収穫とまいた種」ですか。新装版出たらしいけど（下記 633ページとページ増えているね）・・
https://www.amazon.co.jp/dp/4768704603/ref=pd_lpo_sbs_14_t_2?_encoding=UTF8&;psc=1&refRID=XKTTXARH02TJ5VH6Z014
ある夢と数学の埋葬?陰と陽の鍵 (収穫と蒔いた種と) 単行本（ソフトカバー） ? 2016/10/19
旧版を取り寄せて読んだけど、まあ、個人的には精神を病んでいるという感じでしたね
日本的には、”自己中”とかいうんでしょうか？ ”おれが正しい。おまえら間違い！”と。まあ、数学などにのめり込むとそうなるのかも・・（＾＾
「数学と裸の王様」なんて書かれたり・・（下記）。裸の王様たちが暮らす社会に、なじめれば良いんでしょうけどね
https://www.amazon.co.jp/dp/4768704514/ref=pd_lpo_sbs_14_t_1?_encoding=UTF8&;psc=1&refRID=XKTTXARH02TJ5VH6Z014
数学と裸の王様―ある夢と数学の埋葬 (収穫と蒔いた種と) 単行本 ? 2015/10 327ページ 突然ですが、ENCOUNTERwithMATHEMATICS 面白ね
メモしておく
下記経路積分の数学的基礎などを読むと、まだまだ数学的には確立されていない印象です
なにか、佐藤超関数で、数学的には確立されたという記事もあったのですが、完全ではないらしい（なお、熊ノ郷先生は佐藤超関数の本を出していた気がする）
量子力学の繰り込み理論なども、２１世紀には数学的にきちんと扱えるようになると思っていたのですが、どうもそうではない
それより、量子力学＋重力理論（新しい双対理論）に重点が移ってしまったような。量子力学＋重力理論が完成すれば、繰り込みも正当化されるんでしょうね
http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/
第52回 経路積分の数学的基礎--いつまでも新しい Feynman の発明-- 2010年1月8日(金), 9日(土) http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/ewm52.pdf
大次元空間上での停留位相法の剰余項評価とその経路積分への応用: 藤原 大輔 氏（pdf file） http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/52/ewm52_Fujiwara.pdf
数え上げ母関数としての経路積分: 加藤 晃史 氏（pdf file） http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/52/ewm52_Kato.pdf
Feynman 経路積分--時間分割近似法による経路空間上の解析として: 熊ノ郷 直人 氏（pdf file） http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/52/ewm52_Kumano-go.pdf おっちゃんです。
やっと、夢にまで見たあの定理の代数を使わない解析的な証明が出来た。
そうしたら、代数を使う証明より、とても簡単で役に立ちそうな式が得られた。
うんうん、やはり、超越数論は代数というよりむしろ解析というべきだね。
いっておくけど、あの定理というのは、ベイカーの定理についてのことではないからね。
今度の問題はアレだ。アレを如何にして役立つようにするか。 >>468
>なお、熊ノ郷先生は佐藤超関数の本を出していた気がする
多分、擬微分作用素のことをいっているんだろうけど、
これは佐藤超関数に関する擬微分作用素の本ではない。
フーリエ変換、シュワルツの超関数を駆使するヘルマンダー流
の超局所解析の擬微分作用素についての本。この本のレベルは高い。
よく分からないが、佐藤超関数の擬微分作用素の理論ではラドン変換の考え方を使っていたかな。 >>457 補足
情報、古そうだが、下記”阪大 大山 陽介スレ”をどうぞ
日本語では唯一であるというけれど、西岡ママが、本書いたよね、確か（最後においた）
西岡パパの「微分体入門」はその前においた。”この講演内容の詳細についてはつぎの著書を参照してもらいたい:西岡久美子著「微分体の理論」(共立出版)”P59か、ママをＰＲえらいね（＾＾
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/ref2.html
(抜粋)
微分ガロア理論の講義の後、いろいろ宣伝もして質問を受けましたので、この機会に文献をまとめておきます。
西岡 啓二 代数的微分方程式の一般解--微分代数入門-- 慶応大学セミナーノート 11, 1987.
・日本語では唯一である。慶応や友隣社には残っていない。どなたか TeX にしませんか？
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/
過去の講義・文献（院生以上向け）
微分ガロア理論の全体的な文献 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/ref2.html
ガロアの夢とモノドロミ http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/galois.html
パンルヴェ方程式の全体的な文献 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/text.html
パンルヴェ関係の講義の参考文献 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/ref.html
2002年12月2日～6日 京都大学集中講義 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/kyoto.html
2005年後期 現代数理学概論 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/painleve2.html
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/
大阪大学大学院情報科学研究科 情報基礎数学専攻（離散構造学講座）：大山 陽介
(引用終り)
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1765-05.pdf
微分体入門-付値理論による線形常微分方程式の研究. 西岡啓二 数理研 2011
https://www.amazon.co.jp/dp/4320016998
微分体の理論 共立 2010 西岡ママ
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/app/file/goods_contents/918.pdf
”はじめに” 同上 >>469
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
論文投稿したら、その後でいいから、教えてくれよ。頼むよ（＾＾ >>470
おっちゃん、どうも、スレ主です。
そうなんか
詳しいね
ありがとう（＾＾ >>466
条件付きではあるが、log(a_1) ,…, log(a_n) が有理数体 Q 上線型従属でも
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} の超越性を判定する定理は見出せた。
だが、証明の行数を数えたら110行近くになったから、ここに書くのは止める。
まあ、記号を用いてどこまで簡略化して短く出来るかはまだ分からないが、言葉で書くと110位はかかる。
そのままここに書くと5連投か6連投位になる。
>>471
西岡久美子氏の「微分体の理論」の序文でも、久美子氏は啓二氏を啓二って呼び捨てにして書いていること
からも、西岡啓二氏、久美子氏、斉治君が一家なのは間違いないと思う。 >>474
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>条件付きではあるが、log(a_1) ,…, log(a_n) が有理数体 Q 上線型従属でも
>(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} の超越性を判定する定理は見出せた。
>だが、証明の行数を数えたら110行近くになったから、ここに書くのは止める。
おいおい、こんなところに書くなよ
そもそも、もし万一、証明が正しいともったいないよ（＾＾
せめて、arxivなどに投稿してからにしな >>474
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>西岡久美子氏の「微分体の理論」の序文でも、久美子氏は啓二氏を啓二って呼び捨てにして書いていること
>からも、西岡啓二氏、久美子氏、斉治君が一家なのは間違いないと思う。
ああ、証明は難しいだろう。が
おっちゃんの予想に１票！（＾＾ ＡＩ分野で、数学屋さんが活躍する余地はありそうに思う
http://www.nikkei.com/article/DGXLZO15370140W7A410C1EA4000/?dg=1&;nf=1
IBMのAI「ワトソン」、年1兆円稼ぐ 初期市場で先行 2017/4/16 11:45日本経済新聞 電子版
【ニューヨーク＝稲井創一】米ＩＢＭの人工知能（ＡＩ）型コンピューター「ワトソン」を使ったサービスやソフトウエアの関連売上高が日本円換算で年１兆円に達したもようだ。技術開発で先行し、顧客の業務改善を促すコンサルティングのツールとして使うことでＡＩビジネスの初期市場で圧倒的な存在感を放つ。
ただ競合の追い上げは激しい。先行者利益をどこまで保てるのか。 >>409
「人工知能を超える人間の強みとは」読んだ
面白かった
一読をお勧めする
https://www.amazon.co.jp/dp/477418795X
(抜粋)
人工知能を超える人間の強みとは 単行本（ソフトカバー） ? 2017/3/15 奈良 潤 (著)
トップカスタマーレビュー
5つ星のうち 5.0人間が持つ無限の可能性を確信できました！
投稿者 空青 投稿日 2017/3/27
形式: 単行本（ソフトカバー）
人工知能(AI)についての本は数多くありますが、明らかに本書は他の本とは一線を画す内容だと思います。
多くのAI本は、AIの優秀性や脅威論を強調したものばかりですが、本書ではAIの強みと弱みを人間の直観と比較することで明確にしています。
直観とは何か？をわかりやすく説明した本も殆どなく、認知科学的にきちんと直観を定義した上でAIのディープラーニングと比較検証
しています。
直観とAIの優劣についても、公平な視点で論じられていると思います。
著者は直観の弱みや盲点についてもしっかりと把握しており、AIはそうした直観の欠点を補う存在だというのです。
逆に、AIの欠点を補うのが人間の直観だというのは納得がいきます。 直観が総合的思考で定性的評価な性質を持ち、人工知能が分析的思考で定量的評価な性質を持つという事から著者の指摘は同意できます。 >>478 補足
・職場で、結構いろんなことを知っていて勉強家で、ロジックも数学者のように（＾＾；
・しっかりしていて、話の筋が通っている人がいる
・でも、常識がない
・融通がきかない
・議論ずきで、話が長い
・結論が間違っているのに、気付かない（ガイゴーの典型 *) （後述） ）
・職場の中では、ちょっと変わり者で通っていたが、本人は気付かずに、いろんなところで他人とぶつかっていた >>479 関連
*) ガイゴー
http://www.itmedia.co.jp/im/articles/0609/11/news088.html
GIGO（じーあいじーおー）
garbage in, garbage out / ガイゴー / ギーゴー / ガーベジイン・ガーベジアウト
情報マネジメント用語辞典： ITmedia エンタープライズ
コンピュータによる情報処理において、プログラムに組み込まれたロジックに一切間違いがなくとも、与えられたデータ（入力）が誤っていれば、得られる値（出力）は無効なものにしかならないということを示す警句。直訳すれば「ゴミを入れると、ゴミが出てくる」で、FIFOのもじりと思われる。
内容的には「不正な入力からは不正な出力しか得られない」という、コンピュータ技術者にとっては自明のことがらをいったものにすぎないが、GIGOという表現はコンピュータの歴史のごく初期のころから使われてきた。
これは「コンピュータは頭がいい」「間違った入力も直してくれる」といった過大な幻想を抱いているコンピュータ初心者に、コンピュータの特性を説明する平易な言い回しとして定着したようだ。
その後、不適当な入力を拒絶するチェックプログラムなどが実装されるなどもあって、今日ではプログラミングの分野でGIGOを強調することはほとんどない。
一方、ビジネス・インテリジェンスの分野で、「収集・蓄積したデータが不正だと、分析結果も不正になる」という意味――すなわちデータクレンジングの重要性を示す言葉として使われることが増えてきている。
なお、この分野（特にデータマイニング）ではまれに精度の低いデータから良い結果が得られることがあり、これを“garbage in, gospel out＝ごみを入れたら、福音が得られた”ということがある（ただし、「良い結果が得られた」という判断自体が勘違いであり、検証もせずにコンピュータの出力をむやみに信じることをやゆする意味が強い）。
garbage in, garbage outは語呂がいいこともあってか、英語圏では一般的な慣用句としても広く用いられ、統計・調査、意志決定の分野などでも金言としてよく使われている。 >>480 補足
ガイゴーに関連して思い出すのが、数学のカオス理論
まあ、要するに、いかにロジックが正確でも、インプットデータの正確性が現実の世界では担保できず、常に誤差を含んでいることを、普通の人は知っている
かつ、現実の世界は、時々刻々変化している
その中で、正確に意思決定をするためには、出てきた結論の妥当性をきちんと判断できなければならない
上述の>>479の人は、頭は良いしロジックはしっかりしている、あたかも数学者のように・・（＾＾；
でも、人間社会の常識が欠けている
だから、ガイゴーや、入力した初期値に含まれている誤差に気付かずに、出てきたアウトプットの正当性（＝自分の正しさ）を、とうとうと主張するのだった
「その結論は常識外れ」という忠告に耳を貸さない人なのだ・・（＾＾；
あたかも、ＡＩ（人工知能）と議論しているようだったね・・（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%AA%E3%82%B9%E7%90%86%E8%AB%96
(抜粋)
カオス理論（カオスりろん、英: chaos theory、独: Chaosforschung、仏: Theorie du chaos）は、力学系の一部に見られる、数的誤差により予測できないとされている複雑な様子を示す現象を扱う理論である。
初期値鋭敏性ゆえに、ある時点における無限の精度の情報が必要であるうえ、（コンピューターでは無限桁を扱えないため必然的に発生する）数値解析の過程での誤差によっても、得られる値と真の値とのずれが増幅される。 数学の世界は、極論すれば、数とロジックが全てだろう
しかし、現実の世界は、誤差だらけ、誤謬だらけ
そして、時々刻々変化している
昨日こういったろうと言われても、今日は今日の事情がある
昨日のインプットをもとに、今日を論じても意味が無い
人間の常識がないと、正しい意思決定はできない・・（＾＾ インプットの妥当性とアウトプットの妥当性
人は常にそれを無意識に検証している
昨日の新聞は、ある範囲でしか信用できない（確率論の伊藤理論かな？）
人は経験として常識としてそれを知っている・・、伊藤理論を知らなくてもね（＾＾； >>482
＞しかし、現実の世界は、誤差だらけ、誤謬だらけ
というか，不確実性だね，真値はみつからない場合が多い >>484
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾
>＞しかし、現実の世界は、誤差だらけ、誤謬だらけ
>というか，不確実性だね，真値はみつからない場合が多い
これがもし、人の意思決定の話だとすると、そうだよね。同意です
人の意思決定とは、過去から現在の状況を見て、未来を予測して、どうするかの決定だから
単純な話ならＡＩでも良いでしょうね。例えば、電車で行くとして、東京駅から栃木方面へ行くとする。経路検索で、どう通ればこうなって、乗り換えはどうとか。
しかし、人生はそんな単純なことばかりではないからね
例えば、いま新入生がいると思うけど
数学科以外でも、いろいろ選択肢があったとする。時計を戻して１０月とか１２月とかの時点で、進学先で数学科と数学科以外と
もし、仮にＡＩが、「こっちが良いよ」という答えを出したとしても
正解（真値）は、見つからないよね、絶対に、原理的にも・・（＾＾；
そこは絶対にＡＩが超えられない部分だろうね おや、こんなのが・・（＾＾
http://imakarasuugaku.com/seminar/specialfermat.html
(抜粋)
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この講師陣の一人，石井氏の「頂を踏む」が某所でも熱い ◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾
石井氏の「頂を踏む」か・・
いちおう、買ったけど・・
つん読状態やね
まあ、話題になったり、質問が出たときに読めば良いかと・・（＾＾ しかし、よくそんなところまで見ていますね～（＾＾；
気付かなかったよ >>487
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
情報ありがとう（＾＾
>この講師陣の一人，石井氏の「頂を踏む」が某所でも熱い
キーワード”ガロア 石井 頂を踏む site:http://rio2016.2ch.net/test/”で検索すると
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1487383364/ 数学の本 第69巻 2ch.net で約２０件のレスか。まあ、スレの名前通り、書評ばかりだね。ここはDAT落ちしているが
https://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1486393106/113 分からない問題はここに書いてね424 で、質問が出ているが、1章94ページ ガウス理論（円分等周）のところだね。まともな解答がないけど（＾＾； ここもDAT落ちしているね
数学の本 第69巻は、2017年だけど、数学の本の過去スレ（本が出た直後あたり）にもなにか「頂を踏む」関連が上がっている気がするが・・
なお、当方ガロア過去スレでも
18 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/340-490 2016/03/16(水) ころから ７レス あがっているよ >>490 補足
https://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1486393106/113
分からない問題はここに書いてね424
（引用開始）
113 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/02/10(金) 21:24:50.95 ID:mdV35Rg3
「ガロア理論の頂を踏む」（石井俊全）(https://www.amazon.co.jp/dp/4860643631)
を読んでいます。
1章94ページ
「h を (Z/pZ)* の原始根とします。このとき、h の mod p^n での位数を m とします。
h^m ≡ 1 (mod p^n) より、h^m ≡ 1 (mod p) で、h の mod p での位数が p - 1ですから、m は p - 1 で割り切れます。m = s(p - 1) とします。すると、h^s の mod p^n での位数は p - 1 です。ここで g = h^s をおきます。
1, g, g^2, …, g^(p-2)
は、h で表すと指数がすべて m = s(p -1) 以下ですから、mod p^n でみてすべて異なります。もちろん、mod p で見たときもすべて異なります。」
ここで最後の「もちろん、mod p で見たときもすべて異なります。」にギャップを感じており、すなおに「はい」といえません。「もちろん」というキーワードに驚いています。
この最後の部分はどうしていえるのでしょうか？よろしくお願いいたします。
（引用終り）
石井氏の「頂を踏む」のP94には、この記述はない
はて？ 分からない問題はここに書いてね424の住民はだれもこのことを指摘しない
まあ、語るに落ちたね
しょせん、２ちゃんねるか まあ、同意だな
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11171822026
chの数学板の議論は信用できますか？ dorawii_03さん2017/3/1713:51:41
(抜粋)
2chの数学板の議論は信用できますか？
2chってだけで、今の私は見る気も失せます。
専門家気取りの、所詮オタクという人達がする勝手な論法による議論しかないんだろうなと。
見る前から評価を下し批判的になるのも反メディアリテラシーなことだとは思うのですが。
（凡そ嘘情報であっても芥子粒ほどでも正しい物があると仮定して、正しい物を拾ってやること
こそ知性的な姿勢かと。）
数学板は参考になりますか？
トアンサーに選ばれた回答
fermiumbay2さん 2017/3/1804:22:34
参考になるときもあります。
かっこ内のことはまさにその通りです。
wtakahiro2さん 2017/3/1722:09:54
ポアンカレ予想が解けたときにいち早く現地の情報があったのは2chだった。他にない情報があったりすることもある。参考程度にはなるでしょう。
(引用終り) 前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部～修士
ライター：amane_ruriさん（最終更新日時:2012/8/6）投稿日：2012/8/4
ナイス！：5閲覧数：11594
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。（多分皆がそうでしょう。）そして、結果が問われてきます。ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。（足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ）
2.2ｃｈの内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞2ｃｈや知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈの人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り) 余談だが、amane_ruriさん どうも男性らしい（＾＾ >>492 補足（正しくは）
（引用開始）
1章94ページ
「h を (Z/pZ)* の原始根とします。このとき、h の mod p^n での位数を m とします。
h^m ≡ 1 (mod p^n) より、h^m ≡ 1 (mod p) で、h の mod p での位数が p - 1ですから、m は p - 1 で割り切れます。m = s(p - 1) とします。すると、h^s の mod p^n での位数は p - 1 です。ここで g = h^s をおきます。
1, g, g^2, …, g^(p-2)
は、h で表すと指数がすべて m = s(p -1) 以下ですから、mod p^n でみてすべて異なります。もちろん、mod p で見たときもすべて異なります。」
(引用終り)
石井氏の「頂を踏む」のP94より、それらしい箇所
「gを(Z/pZ)*の原始根とすると，定理1.15(i)より，mod Pで、見て
1，g ，g^2，・・・ ，g^P-2
はすべて異なります。
これはmod P^nで見たときもすべて異なります。
なぜなら，もしもa≡b (mod P^n)であれば，a≡b (mod p)となるからです。」
正しくは、”定理1.15(i)より，mod Pで、見て 1，g ，g^2，・・・ ，g^P-2 はすべて異なります。”と、”定理1.15(i)より”と根拠が書かれている
ところが、
”mod p^n でみてすべて異なります。もちろん、mod p で見たときもすべて異なります。”
”mod p で見たときもすべて異なります。」にギャップを感じており、すなおに「はい」といえません。”とは？
まあ、これが２ちゃんねるの現実（架空の文引用）
質問をする方もそうなら、回答する方もそう（架空の引用をそのままにして回答）（＾＾； >>492
それは第一版と第五版とで大幅に改訂されているからですよ
結論としては，この部分は「お手つき」だったらしい，とされている >>497
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
情報ありがとう（＾＾
>それは第一版と第五版とで大幅に改訂されているからですよ
なるほど。しかし、質問は2017/02/10 付けで、リンク 「ガロア理論の頂を踏む」（石井俊全）(https://www.amazon.co.jp/dp/4860643631)
リンク先は、出版社: ベレ出版 (2013/8/22) だね
私の手元の本では、2013/8/25 初版発行、2013/9/26 第２刷発行だよ？
質問者は、古書を買ったってことかいな？・・・と
https://www.beret.co.jp/errata/book/487 ベレ出版
『ガロア理論の頂を踏む』（初版～4刷）正誤表 誠に申し訳ございませんが、以下の本の記載に誤りがありました。 訂正してお詫び申し上げます。
おお、おお、これかいな。非道いね。P94、95とかが・・
原始根とか、ガウスの世界でしょ。ガロアより論文より30年も前でしょ
そういえば、数学専門書でよくある前書きや後書きで、「ｘｘ先生には貴重なアドバイスを頂いた・・」みたいな謝辞がないね
ということは、出版前に、その道の数学の専門家に見て貰ってない？？
それは、石井先生、自信過剰でしょ？ また、普通大学教員なら、「講義で使ったものを出版することにした・・」なんて書いてあったりもするけど・・、街の塾レベルじゃね・・・
やれやれ（＾＾
>結論としては，この部分は「お手つき」だったらしい，とされている
お手つきじゃなく、公式に”誤”とされていますね～（＾＾；
繰り返すが、◆QZaw55cn4cさん、情報ありがとう！（＾＾ p.355～359は、全面書き直し？ やれやれ （＾＾
第2刷 読まなくて正解だな
発狂していたかもしれん・・・ってそんなはずないか～ （＾＾
https://www.beret.co.jp/errata/book/487
初版・第2刷p.355～359
定理5.21～定理5.22
before 355-359 (PDFファイル）
after 355-359 (PDFファイル） スレ主ならそのまま鵜呑みにして「数学者が書いた本を信用できないのか？」とか言いそう
馬鹿なのに勉強嫌いなスレ主、その勉強嫌いが役に立ったね 「ガロア理論の頂を踏む」
って、題名からして文系オヤジが書いたようなセンスの悪さだなｗ
本屋行っても手に取って見る気さえしないだろう 多分、まともな数学者だったら、「頂を踏む」なんて傲慢な言い方はしないと思う。
ガロアの遺言は、楕円函数や代数函数論まで含んでいるもので、ガロアにとっては
そこまで含めてガロア理論の思想圏に入っていることを数学者なら知ってるし。 >>500-503
どうも。スレ主です。
「運営乙」さんも含め、ようやく以前のガロアスレの雰囲気に近くなったね
たまにはこうやって、ちゃちゃ入れしてるとありがたい（＾＾
一人で書いていると、規制がかかる。「連投だ」「埋め立てだ」と
ちゃちゃ入れがあると、それらは回避できる
おっちゃんも忙しいだろうから、みなさんも頼むよ >>492 もどる
（補足）
（再度抜粋引用開始）
「ガロア理論の頂を踏む」（石井俊全）(https://www.amazon.co.jp/dp/4860643631)1章94ページ
「h を (Z/pZ)* の原始根とします。このとき、h の mod p^n での位数を m とします。
h^m ≡ 1 (mod p^n) より、h^m ≡ 1 (mod p) で、h の mod p での位数が p - 1ですから、m は p - 1 で割り切れます。m = s(p - 1) とします。すると、h^s の mod p^n での位数は p - 1 です。ここで g = h^s をおきます。
1, g, g^2, …, g^(p-2)
は、h で表すと指数がすべて m = s(p -1) 以下ですから、mod p^n でみてすべて異なります。もちろん、mod p で見たときもすべて異なります。」
ここで最後の「もちろん、mod p で見たときもすべて異なります。」にギャップを感じており、すなおに「はい」といえません。「もちろん」というキーワードに驚いています。
この最後の部分はどうしていえるのでしょうか？よろしくお願いいたします。
（引用終り）
１．質問者の気持ち、分かる。初版から４刷までは、>>496引用のように、「gを(Z/pZ)*の原始根とすると，定理1.15(i)より，mod Pで見て 1，g ，g^2，・・・ ，g^(P-2) はすべて異なります。」だった。
２．そして、上記「定理1.15(i)より，・・・ はすべて異なります。」は、正しい。正しくないのは、>>496引用の「mod P^nで見たとき」の「なぜなら・・・」の証明部分の方だ
３．で、言いたいことは、元の流れは、「定理1.15(i)より，・・・ はすべて異なります。」なんだ
４．それを、訂正で流れを変えてしまった。多分スペースの都合。「定理1.15(i)より，・・・ はすべて異なります。」が入らないので、「もちろん」とやったんだ
５．繰り返すが、初版のときは、「定理1.15(i)より，・・・ はすべて異なります。」と書くのが分かり易いと思っていたんだ
６．流れ変えたら分からんという人も出てくるだろうさ。でも、スペース優先になったんだ（＾＾； >>505 補足
筆者 石井俊全の気持ちも分からなくもない
（もちろん）”mod p で見たときもすべて異なります。”について
この、”mod p で見たとき”の話は、Ｐ33辺りから始まって、ずっと通底音で続いている話だ。だから難しいのは”mod p^n でみて”の部分のみだと
つまり、定理1.15 (巡回群の生成)とか、定理1.17( (Z/pZ)*は位数p-1の巡回群に同型)とか、全部”mod Pで見て”なので、ここらが理解できていれば、「もちろん」だろうと
が、>>505に書いたように、初版の流れは、「gを(Z/pZ)*の原始根とすると，定理1.15(i)より，mod Pで見て 1，g ，g^2，・・・ ，g^(P-2) はすべて異なります。」の下から目線
が、第5刷から訂正スペースの都合で、「もちろん、mod p で見たときもすべて異なります。」の上から目線
”ギャップを感じており、すなおに「はい」といえません。「もちろん」というキーワードに驚いています。”という読者の声も理解できる（＾＾ >>498 戻る
>>それは第一版と第五版とで大幅に改訂されているからですよ
１．ベレ出版の正誤表についての対応が不誠実（こそこそ隠している印象あり）
２．版と刷の出版業界の慣行に反しているように思う。大幅改訂なら、刷でなく改訂版だろ？ ゴマカシはいかんぞ！（＾＾ >>507 追加
・出版業界もソフト業界みたく、不誠実な対応になってきたんだろうか？
・だが、ソフト業界では、ソフトのバージョン番号やビルド番号の識別がある。出版物では、改訂版とxx刷がそれに相当するはず。ルールを守れ！
・ホームページなどに、改訂情報をしっかり載せる。また、本の冒頭や後付けに、ＵＲＬと「改訂情報（正誤表）を見て下さい」のお願いを書くようなことをせめてやれよ
・もし、自動車業界なら、リコールですよ、リコール
・だが、ソフト業界は、「このソフトを使ってバグに遭遇しても、おらしらねえ」と書いてある
・が、この本「頂を踏む」は、”本書の特徴：証明がこの本に全部書いてある”なんだよね～（＾＾；
・第５刷ということは、売れたということなんだろうね。マイクロソフトのまねか。宣伝で売って、バグはこっそり修正。まあ、それで世の中進歩する面もあるけど・・
・が、世の中厳しくなっているよ、ブログから炎上とか。本のバグにどう対応するか。ベレ出版さん、しっかり考えた方が良いよ。老婆心ながら忠告しておく（＾＾； おっちゃんです。
普段読む箇所じゃないんだから、そんなとこ刷でも改訂版のどっちでもいいよw
そんなことより、もっと改めさせる部分があるだろう。
「ガロア理論の頂を踏む」って、です・ます調の文体の本だったのかよ。
中学以上だと、です・ます調では書かないのが普通。
そもそも、ガロア理論の本に何で初等整数論のことが書いてあるんだ。
初等整数論だけで一冊の本になる。 >>504 訂正
たまにはこうやって、ちゃちゃ入れしてるとありがたい（＾＾
↓
たまにはこうやって、ちゃちゃ入れしてくれるとありがたい（＾＾ >>509
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ちゃちゃ入れありがとう（＾＾
>「ガロア理論の頂を踏む」って、です・ます調の文体の本だったのかよ。
>中学以上だと、です・ます調では書かないのが普通。
そうだね
石井俊全先生は、塾の講義の気分なんだろうね。大学ではなくてね
>そもそも、ガロア理論の本に何で初等整数論のことが書いてあるんだ。
>初等整数論だけで一冊の本になる。
確かに。
だが、石井俊全先生は、定理1.20について
「この定理は最後のピークの定理を証明するときに大活躍します。」と予告しているんだ
が、ピークの定理の第６章を見ると、定理1.20は定理6.3 "円分体のガロア群"の証明で出てくる
そのための章だろう >>511
円分体って1の原始n乗根を添加した有理数体の有限次代数拡大体のことで、
代数的整数論の範囲になるから、その前に一般的な有限次代数拡大体の理論が必要になるんだが。
その本では、有限次代数拡大体は扱っているのか。 >>512-513
どうも。スレ主です。
>その本では、有限次代数拡大体は扱っているのか。
扱っている
P305 ５章４節「体の次元を捉えよう」だな >>514
無限次代数拡大体や代数的閉包は？
代数拡大体っていっても有限次代数拡大と無限次代数拡大体があるんだが。 >>515-516
おっちゃん、どうも、スレ主です。
代数方程式の古典ガロア理論でなら、有限次代数拡大で十分だろ
そもそも、ガロア原論文では、拡大次数の概念は出てなかった >>508
いや，販促としては最高の対応でしょう
ターゲット層はロジックが改訂されたとなったら，同じ本をまた買う，私のように
５刷まで出た理由だと思いますぅ >>509
高校数学で止まった身としては，
「ですます」「だ，である」の字数の少ない方を採用し，浮いた字数をロジックのギャップを埋める方向で努力していただければありがたいです．
初等整数論の部は歯ごたえばっちりの求めていたものでした
通勤電車の中で没頭しています，気がつくと目的駅だった，という経験を重ねています．
この路線で歯ごたえがあり，でも初学者にやさしい，ギャップの小さいものが求められていると考えています．
プロの皆様，商機です！ >>502
実際に出版社のほうでつけた題だ，とのことです，本のあとがきによると
>>503
いいんです，これこそマーケティングの成果でしょう
プロはそっぽをむき，初学者ホイホイのいいネーミングだと思いました この石井という人は，二匹目の泥鰌を狙ってきました
https://www.amazon.co.jp/dp/4860644980
「2013年8月に出した「ガロア理論の頂を踏む」では，多くの心温かい読者に救われることとなりました．
執筆への感謝のお手紙と一緒に，気がついた誤植を表にして送っていただいた読者の方が
何人もいらっしゃったのです．他の本では考えられないことです．
いまでも，読者の皆さんとこのような機会をいただいた運命に感謝の念が絶えません．」
さあ，今回はどうなるか？！ ちゃちゃ入れと認識してしまうということはスレ主の馬鹿は健在だなｗ
まあこいつの場合死ぬまで治らないでしょう >>518-523
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
私の感じでは、レベル：（上）知恵袋（gooなども）＞＞２CH（下）やね（＾＾；
>ターゲット層はロジックが改訂されたとなったら，同じ本をまた買う，私のように
> ５刷まで出た理由だと思いますぅ
私なら、友人に勧めて、５刷を買わせて、それを見せて貰う
それが、５刷まで出た理由だと
>初等整数論の部は歯ごたえばっちりの求めていたものでした
>通勤電車の中で没頭しています，気がつくと目的駅だった，という経験を重ねています．
◆QZaw55cn4cさん、まじめなんやね。それと、プログラム（ロジック）に強いんだね
多分若い。まだまだ伸びるよ。がんばってね（＾＾
今のスレでは余白が少なくなったが、次のスレで、プログラムの話題も上げるよ
遊んで行ってください
二匹目は、相対論か・・
一般性相対論ね・・
石井先生みたいな人は貴重やね・・（＾＾； >>518 & >>520 補足
ご存知かもしらんが、ここらを見ておくと参考になるよ（＾＾
http://www.epii.jp/articles/note/math/primitive_root
既約剰余類群と原始根 epii Last modified: 2016/05/16 22:31:02
(抜粋)
n がどのようなときに原始根が存在するのだろうか？という疑問に答えるのが本記事のゴールです。
はじめに議論を厳密にするために「既約剰余類群」と呼ばれる群を定義します。 それを用いて原始根の定義を厳密に与え、まずはじめに nn が素数の場合には必ず原始根を持つことを示します (定理 1) 。 最後に原始根を持つような nn の必要十分条件と、その証明を与えることで上の疑問の解答を与えます (定理 2) 。
1用語説明
1.1既約剰余類群
1.2原始根
2n が素数のときには原始根が必ず存在すること
3原始根の存在する必要十分条件
3.1十分であること
3.2必要であること >>526
追加で、ここら美的数学のすすめ id:TSKiさんも分かり易すくて面白いよ（＾＾；
http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/14/135722
既約剰余類群の部分群 - 美的数学のすすめ id:TSKi 2015-04-14
http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/02/28/102350
原始根の存在定理－剰余類の基本的な性質（その3） - 美的数学のすすめ id:TSKi
http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/03/01/202331
原始根の存在定理（その2） - 美的数学のすすめ id:TSKi
http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/17/104038
≪ 円分体のガロア対応- 美的数学のすすめ id:TSKi
http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/11/224758
ガロア対応超入門 ≫- 美的数学のすすめ id:TSKi
「円分体論はガロア理論に吸収されてしまうのでしょうか？そうではありません。上のガロア対応にはガロア理論を超えたさらに驚くべき内容が隠されています。次回は、円分多項式がmodpmodpでどのように因数分解されるか考えてみます。」
http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/21/124949
円分多項式のmod pにおける因数分解 - 美的数学のすすめ id:TSKi ついでに、2004年の卒論だが、ご参考まで
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/STUDENT/KENKYU2003/kobayashi.pdf
平成15年度 卒業論文 m を法とする既約剰余類群の指数を 与えた時の m の上限について
広島大学 理学部 数学科 小林 智一 平成 16 年 2 月 10 日
（概要）
これらの結果を利用すると、p = 2, n = 1 のとき、(Z/pn)× は可約であ
ることが分かる。さらに、2 以上の任意の整数 m に対して m を素因数分
解することで、m を法とする既約剰余類群 (Z/m)× の群構造が分かる。
本論文では、2, 3, 4 節で上に挙げた関係式を導出し、5 節で (Z/m)× の
群構造を考察する。その際、「 (Z/m)× が巡回群になるための m の必要
十分条件 」と「 (Z/m)× の指数 (元の最大位数) 」の 2 つについて考え
た。そして 6, 7 節では、指数に着目し、新しい問題として「(Z/m)× の指
数 n を与えた時の m の上限」について考えた。 さらに追加
ご存知「物理のかぎしっぽ」より
http://hooktail.sub.jp/
http://hooktail.sub.jp/contributions/galoire3.pdf
[2016-12-05] Contribution/響きあうガロアとガウス―正 17 角形の作図問題（第２版）(上野孝司 著)
コラム：やはり、人類の至宝はオイラーなのか
私にとっては、オイラーの関数Φ(n)(n と互いに素な整数の個数）こそが、人類の至宝であるようなような気がする。
オイラーの関数のすごさは、群論、体論、初等整数論、解析、線形代数学のそれぞれの初歩を知らないとわからない。
このようにオイラーの関数が現代数学の重要な箇所で顔を現わすその美しさは優に芸術作品に匹敵する。
オイラーの名を冠する数学・物理用語は多い。このように考えてくると、いずれにしても人類の至宝はオイラーなのかも知れない。
http://hooktail.sub.jp/contributions/galois160912tu.pdf
[2017-01-05] Contribution/置換群に翻弄された方程式の可解性―ガロア理論概論（第２版）(上野孝司 著)
筆者は別稿『響きあうガロアとガウス―正17 角形の作図問題』で、ガロアの理論とガウスの考えたf 項周期
（拡大体の基底）を基に正17 角形が作図できることを示したが、本稿ではガロア理論を再考することによって
代数方程式の可解性について概略を述べる。 ◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
まあ、私は、既約剰余類群や原始根はあまり詳しくないが
上記を読んだ感じでは、石井先生のP94からの既約剰余類群の証明は、バグ取り切れていないように感じる
なので、先に>>526-527の既約剰余類群のところを読むようにお薦めします（＾＾； >>530
>>526 は併行してすでに読んでいました．こっちの原始根の存在定理は背理法ですね
石井は高木貞治のものを噛み砕いていました
今は石井第二章で苦闘しているところです．
再構成できるほどには染み込んでいませんが
もう私は伸びないでしょうが，ひと時の没頭をくれる本を求めています
はごたえはあるほうがいい，でもギャップは少ない方がいい
プロの皆様，商機だと思います >>531
おっちゃんです。
数学をしたいなら、いきなりガロア理論からはじめるより
基本的な線形代数と微分積分からはじめるのがいい。 >>532
ありがとうございます。その方向でやっていきたいです
工科系（電気系）としての素養はあるつもりですが、やっぱり数学はとまってしまった感が強い
線形代数は2次の場合からのアナロジーですまし、解析学系はフーリエ変換ラプラス変換をつまみ食い（だって昔はそんな授業だったし） >>531
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
>石井は高木貞治のものを噛み砕いていました
ああ、そうなん？ それ、持っているかもしれんが・・・、まあ探すのも面倒だし・・・
で、本題
ともかく、石井先生のP94からの既約剰余類群の証明は、石井先生甘く見ていたんだろうね
>>518 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13170327928
「ガロア理論の頂を踏む」（石井俊全） qzaw55cn4cさん yahoo! 知恵袋 2017/2/10
（回答補足）
doahoyasanさん2017-02-10 19:39:10
大変失礼しました。かなり見当違いなコメントだったようです。
(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群なので、ｍはその約数です。ｍ＝s(p-1)とおいてるので、ｓはｐ＾iの形をしてますね。
mod pで考えるとｐ乗するのは何もしないことと同じなので
ｇ＝ｈ＾ｓ≡ｈ(mod p)
です。ｈが原始根であることから0≦k＜ｌ<p-1に対して
g^k≡h^kとg^l≡h^lは合同でないことになります。
質問者qzaw55cn4cさん 2017-02-10
1. (Z/p^nZ)*は位数が{p^(n-1)｝(p-1)の巡回群
2. フェルマーの小定理 a^p ≡ a(mod p)
の二つから h^s ≡ h (mod p) がいえるわけですね．
ただ，この教科書では，この二つとも現在の段階から後に（おそらくは現在の結果を利用して）証明するようですので，循環論法になるような気がします．
(引用終り)
所感：
１．解答者 doahoyasanさん レベル高いね
２．”(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群なので、ｍはその約数です。ｍ＝s(p-1)とおいてるので、ｓはｐ＾iの形をしてますね。
mod pで考えるとｐ乗するのは何もしないことと同じなので ｇ＝ｈ＾ｓ≡ｈ(mod p) です。ｈが原始根であることから0≦k＜ｌ<p-1に対して g^k≡h^kとg^l≡h^lは合同でないことになります。”
は秀逸ですね。納得だな
３．だが、質問者が指摘しているように、”(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群なので、ｍはその約数”は、この命題を証明する過程での議論なので、この結果は証明に使えない。
４．石井先生は、P85でオイラー関数Φを使わない証明を考えたという。だが、P94辺りの証明は甘かったのでは？ そう思うスレ主です。 >>531
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
>もう私は伸びないでしょうが，ひと時の没頭をくれる本を求めています
まあ”伸び”という客観評価指標はないからね～（＾＾；
主観的評価指標で良いんじゃない？（＾＾；
以前分からなかった数学が分かるようになったとか・・
ガロア読んで次の本を読むことになったとかでも・・（＾＾； >>533
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>数学をしたいなら、いきなりガロア理論からはじめるより
>基本的な線形代数と微分積分からはじめるのがいい。
おっちゃん、ほんと代数弱いからな～（＾＾；
古典ガロア（特に５次代数方程式の非可解程度）なんて、初歩の初歩だよ（＾＾； >>533
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。
>工科系（電気系）としての素養はあるつもりですが、やっぱり数学はとまってしまった感が強い
>線形代数は2次の場合からのアナロジーですまし、解析学系はフーリエ変換ラプラス変換をつまみ食い（だって昔はそんな授業だったし）
それで十分だと思う。必要性を感じたときに、すぐ必要な基礎のところに戻って、勉強するのが良いんじゃないかな？
具体的目的や目標もなしに、だらだら読むより、数倍以上のスピードと集中で読めるし頭に入るよ（＾＾；
まあ、大学の講義で教えて貰えて、試験－単位あげるというサイクルに乗っている人は別として・・
>今は石井第二章で苦闘しているところです．
>再構成できるほどには染み込んでいませんが
第二章って”群”かい？
ここは結構やさしく書いてあるよ。大学用テキストなら、１０～１５ページくらいかな？ 高校生向きに100ページ近く、具体例を豊富に入れて丁寧に説明しているね
「再構成できるほどには染み込んで」とかいわず、さっさと先に進んで、分からないところにまた戻った方が良いよ（＾＾；
精読と多読の併用だよ（＾＾； >>537 補足
あれ？ガロア理論の頂きが、第１０章「５次方程式の解の公式はない」？ 正確には違うが、世間一般の説明では、よくこう言われるね（＾＾
「５次方程式の解の公式はない」は、アーベルが到達した”頂き”だよね。ガウスも「そんな証明はすぐ出来そうだ、余白がないので、予言だけ書く」とDAに記したとか
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の奇数次数の代数方程式が可解の場合に線型群（メタ巡回群）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E2%80%93%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
(抜粋)
アーベル?ルフィニの定理（アーベル?ルフィニのていり、英: Abel?Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。
同時期の貢献としては他にガウスのものがある。ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。
代数的に可解な系列として円分方程式論を展開しているが、これはアーベルやガロアの理論のプロトタイプといえるものであり、両者に影響を与えた。なおガウスは後年アーベル、ガロアの論文を受け取っているが、全く関心を示さなかったという。ガウスにとって既に重要な問題とは見えなかったらしい。
(引用終り)
http://yoshiiz.blog129.fc2.com/blog-entry-736.html
よしいずの雑記帳 meta-abelianとmeta-cyclic 2013-06-06 : 代数学
(抜粋)
meta-cyclic
群 GG が meta-cyclic であるとは, GG の正規部分群 NN が存在して, NN と G/NG/N の両方が巡回群であるときにいう. meta-cyclic ならば meta-abelian である.
meta-cyclic な群は超可解群 (supersolvable group) である. >>538 訂正
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の奇数次数・・・
↓
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の素数次数・・・ >>539 追加補足
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の奇数次数の代数方程式が可解の場合に線型群（メタ巡回群）に限るということ
「五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない」というアーベルの結果は、当然ガロアは知っていた（＾＾ >>540 コピペしたらまた同じ間違い ｍ（_ _）ｍ
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の奇数次数の代数方程式が可解の場合に線型群（メタ巡回群）に限るということ
「五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない」というアーベルの結果は、当然ガロアは知っていた（＾＾
↓
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の素数次数の代数方程式が可解の場合に線型群（メタ巡回群）に限るということ
「五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない」というアーベルの結果は、当然ガロアは知っていた（＾＾ 線型群（メタ巡回群）という言い方は、最近はしないと思うが
守屋本（倉田本もか）で使っていたように思う >>536
>おっちゃん、ほんと代数弱いからな～（＾＾；
>古典ガロア（特に５次代数方程式の非可解程度）なんて、初歩の初歩だよ（＾＾；
正規部分群が分からないスレ主にいわれる筋合いはないw
何せ、時枝問題のときはスレ主は極限が分からないことを実証してしまったからな。
現代数学概説Ⅰでもガロア理論は抜けているが、この本の内容は役に立つ。
群環体、多元環、ホモロジー代数、その他位相やカントール流の実数論なども或る程度扱っている。
スレ主が今している既約剰余類の話を論理立ててするにも、本当は他にも
直積や直和位の概念か、イデアルや可換環位の概念は最低限必要になる。 >>537
>大学用テキストなら、１０～１５ページくらいかな？
やはり、スレ主は群論の初歩が分かっていない。
群論のテキストは10～15ページでは終わらないんだが。 新スレ立てました
ここは、いま510KBだ
512KBでパンクでしょう（＾＾
あとは新スレへ
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30 >>543-544
やれやれ、相変わらずのおっちゃんだね
まあ、ガロアスレでは、愛すべきキャラだから、目くじらたてても仕方ないが・・（＾＾
>何せ、時枝問題のときはスレ主は極限が分からないことを実証してしまったからな。
まだ言ってるの？ まだ時枝記事が、ガセだって理解できてないのか？（＾＾； ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
