現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net
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できの悪い小学生が、わけのわからん質問をしてくる（＾＾； こらこら、新スレで逃げようとするなｗ 逃げられないように貼っておこうｗ
540 : 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2016/10/23(日) 09:35:01.91 ID:MjfWcywG
>>537-538
ぼくちゃん、>>2に「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.・・
πとかeわかる
π＝3.14159 26535 89793 ・・・ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
ｅ＝2.71828 18284 59045 ・・・ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0
で、こいつらは、無限小数なんだ。大学では、コーシー列かな https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
で、各小数位のところを、箱があると見ると、まさに箱に数が入っていると思えば良いんだわ
つまり、πは3 14159 26535 89793 ・・・という可算無限個ある箱に数の入った数列と見ることができる。小数点は抜いた
ｅも同じようにできる
で、小数点を戻すと、可算無限個ある箱に数の入った無限数列だけど、２項演算が定義できるんだわ。分かる？ まあ、普通の数の積と和だ
π・ｅ（積）とか、π＋ｅ（和）とか、分かる？ 可算無限個の箱の数列だよ？
で、>>532のモノイドで考えて、 {0, 1, ..., 9} として、箱に0〜9の数字を入れると、数列ができたとして、小数点は抜いて
モノイドの２項演算で、文字や語の「連接」を＊で表すと
π＊ｅを、考えることができる （小数点を文字に含めれば、小数点を含む数列としても良いが、抜いてシンプルな方がイメージしやすいだろう）
「考えてどうなるか？」は別として、普通の実数の演算として、無限の数列を使って、π・ｅ（積）とか、π＋ｅ（和）を考えているんだから
モノイドの２項演算 「連接」 π＊ｅも考えることができるよと
それだけのことが難しい？
542 : １３２人目の素数さん2016/10/23(日) 09:58:50.54 ID:SlySeNFm
eの整数部分は小数第何位にくるんだ 訳の分からん質問？何言ってるんだお前は？
eとπの連結を言い出したのはお前だぞ？ 層とトポスと直観論理と強制法で連続体仮説
https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/home
筑波大学 数理物質系数学域助教竹内耕太
https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/announcement/category_seminar_3
category_seminar_3 企画 「圏論への招待」2012
https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/announcement/category_seminar_3/sato
3日目 「トポスとは何か：圏論的視点での強制法」：佐藤桂 - Kota Takeuchi:
(抜粋)
例えば、ある圏Cから集合の圏Setへの（反変）関手圏C＾は（関数環が値域の構造を反映するのと同じく）集合の圏の構造（これは古典論理）を反映しつつも似て非なるトポス（これ直観論理）となります。
ところで、この圏を位相空間Xの開集合系のなす圏O(X)とすれば、この関手圏はその位相空間X上の前層の圏O(X)＾になりますが、幾何学ではこの圏を“絞り込んだ”圏である層の圏Sh（X）を使います。
ちょっと不思議なのは、この絞り込んだ圏Sh(X)にもトポスの構造が入るところです。
「じゃあ、一般の圏にも位相入れたら、層の圏Sh(C)的なの作れて、トポスになんじゃね？」
というわけで圏Cにグロタンディーク位相なるものを入れて作ったトポスがグロタンディーク・トポスです！！
こんなアナロジーがとれてしまうのは驚きですが、これが何の役に立つんでしょうか。
強制法で連続体仮説の成り立たない反例を作るには、そもそもそのモデルがZFC公理系を満たしていなければ意味がありません。
ところが、ZFC公理系は当然ながら古典論理の範疇にあるので、先の集合の圏への関手圏は集合の圏に似てはいても、そのままでは直観論理状態で使い物になりません。
ところがところが、この直観論理状態のトポスには「二重否定が元に戻らない」ことを利用して“二重否定位相”なるものを作ることができて、これを使って圏を“絞り込む”（層の圏を切り出す）と
なんと、古典論理状態のトポス（しかも集合の圏とは違うもの、コーエン・トポス）になります！！
これでめでたくZFC公理系を満たす新しいモデルが作れ、しかもこのモデルが連続体仮説をダメにすることがわかるのです。
本講義では、いちばん面白いと思われる、この層への絞り込み（特に二重否定位相を使った絞り込み）を詳しめに紹介したいと思っています。
(引用終り) 桁数と数の存在とは無関係って分からんのかね？（＾＾； 桁数が分からないから、その数が存在しないとね？（＾＾； √２をコーシー列で定義するのに何桁まで展開すれば良いですか？ ちぇんちぇー！ 数が、無限小数になるから、ぼく扱えませんか・・、おいおい √２って、有限桁か？ そうなん？ だから√２＋√３は存在しませんと？ 幼稚園で習いましたか？ （＾＾； √２＋√３という２項演算は存在しないとね？（＾＾； 新レスでは、早く３０レスくらいまでいかないと、DAT落ちのところもあるからね（＾＾； πの桁が無限だから、２項演算が定義できないと考えるのもバカ こらこら誤魔化すなｗ 誰がe+πが存在しないなんて言った？ｗ
十進少数で表した時の各位を項とする数列を”連結”する話（前スレ>>540）だろ？
お前自分で言ったことすら捻じ曲げてんじゃんｗ 逃げたいがあまりにブザマな醜態晒してんなよ（＾＾； もう一度前スレ>>540を読み直せ お前が書いたレスをなｗｗｗ >>8 関連
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/35/1/35_1_50/_pdf
トポスの基礎Part Ｉ 論理からみたトポス 倉田令二朗 SUGAKU Vol. 35 (1983) No. 1 Released: December 25, 2008
(抜粋)
§0.序論
(1) トポスの登場.トポスはGrothendieck Topos, Lawvereの圏論的集合論と論理の圏論的解
釈の研究1),および伝統的なcHa(complete Heyting algebra)上の直観主義論理の結合としてLaw
vereとTierneyによって生み出された(1970[27]).最初のスロー一ガンは層の理論のinternaliza
tion,すなわちGrothendieck toposの圏論にとっての狸雑な部分2)=集合論的部分をelementary
toposの有限図式で書きかえることであった(本文3.1がそのはじまりである)([10],[ 20],[48]).こ
の方向はinterna1 category論に関するDiaconescu等の精緻な研究([3])を経て徹底して推進され
た([16]2,3,4章)。
(2) トポスによる統合.
(6)層の圏. §3の例はいずれも集合論的に定義されるものであるが参考書をあげるにとどめる.
とくにV(H)は竹内外史氏が来日中(1979)にひろめた数々のスローガン, ‘アーベル群(環)の直観
主義化はアーベル群(環)の層である.一変数関数論の直観主義化は多変数関数論である' (5)等を具現
するモデルであり,実例研究のたえざる出発点である([43]) .§4はAC(選択公理)やB(ブール的)
等の制限をもつトポスを扱うが伝統的な基礎論の課題の多くが関係する部分の一つである.§5は
集合論のモデルをトポスの中で構成することであり(林[54]),これでPart Ｉの課題は一段落つくこ
とになる.なおFourman [8］がhierarchy的なやり方でGr-トポスにおいて集合論のモデルを作っ
たが林のそれと同値であることが林自身によって示されている.
(引用終り) あれだけ教えてやって、質問のバカさ加減わからずか？（＾＾； 自分で立派な質問した気になっているとろが、かわいいが、所詮あほ 結局、質問に答えても分からんだろうし、そもそも小学生の学力レベルにどう答えろと？ どう答えても、理解のレベル超えているだろ？ （＾＾ https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/36/2/36_2_179/_pdf
書評 竹内外史:直観主義的集合論 (倉田令二朗) Vol. 36 (1984) No. 2
(抜粋)
直観主義化=位相化=層化.cHaのもっとも典型的な,
もっとも重要な例は位相空間Xの開集合の全体0(X)の
作るcHaである.古典的なVが集合を基礎とした所に
位相がとって変る,V(Ω)はVの位相化といえる.とこ
ろで現代数学の轡つの指標が位相化にあるとすれば直観
主義的数学は数理論理学と現代数学が交叉する豊かなフ
ロンティアであると著者はいう.ここからして著者が
79年来日中にあちこちで唱えたスローガン‘アーベル群
や環の直観主義化はアーベル群の層,環の層である',`一
変数関数論の直観主義化は多変数関数に導く'等が生じ
る.
ところで逆にΩ 上の層A∈Sh(Ω)に対しV(Ω)の元
Aを対応させる関手S:Sh(Ω)→V(Ω)が作れ,このSは,
2つの圏の同値を与える.下田守がこれを示した(Part I
文献[56])。この関手が直観主義化＝層化ということの
理論的根拠なのである.
(引用終り) あほ、プロ固定をおちょくるのは楽しいね。ばか晒しているよ（＾＾； ぼく、無限桁がわかりませんか・・・、ああ小学生レベルだね 3.14 という有限小数と 2.71 という有限小数を「連接」するなら、
小数点を抜くことで 314 及び 271 を連接することになるから
314271
になることは分かる。しかし、π＝3.14159265359… という無限小数と
e＝2.71828182846… という無限小数を「連接」するにはどうすればいいのか？
小数点を抜くことで、314159265359… と 271828182846… を連接することになるが、
これに自然な連接を定義することは 不 可 能 である。
まさか、連接した結果は
314159265359…271828182846…
になると言いたいわけではあるまいな。この場合、「271828182846…」の部分は
どれも無限桁目に並ぶことになるので、R^N の中の数列と見なすことができないのだ。 https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/40/4/40_4_365/_pdf
書評 Gaisi Takeuti:Proof Theory, Second Edition, North-Holland,1987年,496ページ ,25,000円(日本販売権,丸善). (倉田令二朗)
SUGAKU Vol. 40 (1988) No. 4 Released: December 25, 2008
(抜粋)
この本の初版は10年以上前の1975年だったが,たち
まち証明論の古典と称せられるようになった.当然なが
ら竹内さんの影響の強いわが国であるのに本誌で一度も
書評されなかったのは不思議である.某先生が書評を引
き受けておきながらおさぼりになったままになったらし
い.
第2版では多くのことが追加された.
1.Chap 1.直観主義論理の完全性について. Heyting
値モデルとそれに関するRasiowa-Sikorskiの完全
性定理の証明,Kripke解釈との関係,完全性の概念そ
のものの精密化と問題提起.
(引用終り) ためしに、[0,9]^N の数列として、3つの数列 x,y,z ∈ [0,9]^N を
以下のように定義してみよう。
x ＝ 314159265359…
y ＝ 271828182846…
z ＝ 314159265359…271828182846…
もちろん、数列の解釈の仕方は
x_1＝3, x_2＝1, x_3＝4, x_4＝1, x_5＝5, x_6＝9, x_7＝2, x_8＝6, x_9＝5, x_10＝3, x_11＝5, x_12＝9
y_1＝2, y_2＝7, y_3＝1, y_4＝8, y_5＝2, y_6＝8, y_7＝1, y_8＝8, y_9＝2, y_10＝8, y_11＝4, y_12＝6
と解釈するのが自然である。では、z の方はどうなるのか？もちろん、
z_1＝3, z_2＝1, z_3＝4, z_4＝1, z_5＝5, z_6＝9, z_7＝2, z_8＝6, z_9＝5, z_10＝3, z_11＝5, z_12＝9
と解釈するべきであるが、この解釈の仕方では、「 271828182846… 」の部分が
数列 z_1, z_2, z_3, … のどの項にも出現しないのである。もし出現するとしたら、
z_∞ とでも表現されるべき無限桁目には出現し得るわけだが、[0,9]^N に無限桁目は存在しない。
従って、314159265359…271828182846… を [0,9]^N の数列と見なすことはできない。
では、π＝3.14159265359… という無限小数と e＝2.71828182846… という無限小数を
「連接」するにはどうすればいいのか？ 俺は知らない。 >>40
ふーん
では問う
１．R^Nの制約を外したらどうだ？
２．そもそもの問題の仮定 ”箱がたくさん，可算無限個ある”は、R^Nに含まれるのか？
Y/Nで結構だ 時枝記事で
「問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.」だった
１．１００列はすべて可算無限個か？
２．100列に並べた箱を、１列に並べ直す事は可能か？
Y/Nで結構だ ていうかその答えは既に書いたぞ、お前が読んでないだけだ
せっかく教えてやっても聞く耳持たないからお前は永久に馬鹿ｗ >>43
＞１．R^Nの制約を外したらどうだ？
＞２．そもそもの問題の仮定 ”箱がたくさん，可算無限個ある”は、R^Nに含まれるのか？
時枝記事では、R^N と同一視するのが標準的な定式化の方法である。
それ以外の、非標準的な方法で「可算無限個の箱」というものを定式化したいのなら、
それは ID:S5Jl1CaY 本人が自発的に提唱すべきことであり、他人に質問するようなことではない。
君は「可算無限個の箱」というものをどのように定式化したいのだね？
それは他人に聞くことではなくて、君自身が自発的に発信すべきことだろう？ ちなみに、俺は R^N もしくは [0, 9]^N のままでいいと思っている。
もちろん、それでは π＊e を自然に定義することが不可能になってしまうわけだが(>>40, >>42)、
そもそも π＊e などという頭の悪い概念を定義する必要性が全くないので、
俺にとっては R^N もしくは [0, 9]^N のままでも何の問題もないのである。
しかし、ID:S5Jl1CaY にとっては非常に問題がある。
なぜなら、π＊e を持ち出したのは君自身だからだ。
π＊e を自然に定義するためには、R^N もしくは [0, 9]^N のままでは
非常にマズイのである(あくまでも、君にとっては)。
では、そんな君に対して質問をする。
君は、「可算無限個の箱」というものをどのように定式化したいのだね？
π＊e の定義が上手く行くような定式化とは、どのようなものなんだ？
それは他人に聞くことではなくて、君自身が自発的に解決すべき、君自身の課題だろう？
π＊e を持ち出したのは君自身なんだからね。 √2もπも小数第n位の数は？と問えばその値は確かに定まる
π＊eなる文字列のn番目の文字にeの数字が来ることはあるの？ >>49
eの数字が来ることはない。>>40,>>42で既に指摘済み。
しかし、それでは ID:S5Jl1CaY 本人が困るので、
R^N 以外の非標準的な方法で「可算無限個の箱」というものを
定式化しなければならない。
もちろん、我々には定式化の義務はない。
π＊e なる概念を言い出したのは ID:S5Jl1CaY だけだから、
困っているのは ID:S5Jl1CaY だけであり、
その問題を解決すべきなのも ID:S5Jl1CaY 本人だけ。
要するにこいつは自爆してるわけだ。 >>46はプロ固定のageおじさん、>>50はTさんかな？
どっちも、カントールとヒルベルトの無限ホテル勉強してね
別におれが新しい無限集合の理論を作る気は無いからね。既存の集合論のテキストを勉強したら分かる話だ(いわゆる普通にある無限のパラドックスだよ（＝不思議だがそれが可算無限）)
１．モノイドの文字の連接に関する演算は、時枝問題とは別に、厳然と数学の理論がある。これは、時枝問題と無関係だ。だからR^Nなどの制約は受けない。これをはっきり宣言しておく
２．さてまず、カントールの有理数の可算無限の濃度証明（特に有理数について）を見て下さい（既知と思うが・・・）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1229311902
yamineko20032003さん 2009/8/11
次の集合が可算であることを示せ。(1) 整数(2) 有理数(3) x-y平面上の有理点
ベストアンサーに選ばれた回答 mamanii32さん 2009/8/11 （略）
http://www.math.chs.nihon-u.ac.jp/~ichihara/Labo/Notes/2011/3rd/0519.pdf
可算無限集合 平原 健太 日大 平成23 年6 月9 日 (抜粋) 定理1.9 証明すべきことは、正の有理数の集合Q+が可算無限集合
３．次にヒルベルトの無限ホテル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
(抜粋)
例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。
(引用終り) >>51 つづき
さて、上記を踏まえて
１．当然現代数学は、無限集合を扱う。２項演算の対象も無限集合であっていい。例えば、集合Xと集合Yの和X∪Yは普通に定義される
２．二つの集合
X＝{x_1＝3, x_2＝1, x_3＝4, x_4＝1, x_5＝5, x_6＝9, x_7＝2, x_8＝6, x_9＝5, x_10＝3, x_11＝5, x_12＝9,・・・}
Y＝{y_1＝2, y_2＝7, y_3＝1, y_4＝8, y_5＝2, y_6＝8, y_7＝1, y_8＝8, y_9＝2, y_10＝8, y_11＝4, y_12＝6,・・・}
Z＝X∪Yとでもしようか？ （ここで、x_7＝2とy_9＝2となどは、区別して統合しないものとする）
３．集合Zの元をどう並べるかだけの話でしょ？ それを連結と考える
Z＝{x_1＝3, x_2＝1, x_3＝4, x_4＝1, x_5＝5, x_6＝9, x_7＝2, x_8＝6, x_9＝5, x_10＝3, x_11＝5, x_12＝9,・・・
y_1＝2, y_2＝7, y_3＝1, y_4＝8, y_5＝2, y_6＝8, y_7＝1, y_8＝8, y_9＝2, y_10＝8, y_11＝4, y_12＝6,・・・}
でなんの不都合もない
４．ならべ変えると
Z＝{x_1＝3, y_1＝2,x_2＝1, y_2＝7,x_3＝4, y_3＝1,x_4＝1, y_4＝8,x_5＝5,y_5＝2, x_6＝9,y_6＝8, x_7＝2,y_7＝1, x_8＝6y_8＝8, x_9＝5,,y_9＝2, x_10＝3, y_10＝8,x_11＝5,y_11＝4, x_12＝9, y_12＝6,・・・・・・}
５．ところで、奇数列と偶数列とを利用すれば、下記にできる
Z'＝{z_1＝3, z_3＝1, z_5＝4, z_7＝1, z_9＝5, z_11＝9, z_13＝2, z_15＝6, z_17＝5, z_19＝3, z_21＝5, z_23＝9,・・・
z_2＝2, z_4＝7, z_6＝1, z_8＝8, z_10＝2, z_12＝8, z_14＝1, z_16＝8, z_18＝2, z_20＝8, z_22＝4, z_24＝6,・・・}
６．Z'→X'∪Y'とみて二つの集合に分ける
X'＝{z_1＝3, z_3＝1, z_5＝4, z_7＝1, z_9＝5, z_11＝9, z_13＝2, z_15＝6, z_17＝5, z_19＝3, z_21＝5, z_23＝9,・・・}
Y'＝{z_2＝2, z_4＝7, z_6＝1, z_8＝8, z_10＝2, z_12＝8, z_14＝1, z_16＝8, z_18＝2, z_20＝8, z_22＝4, z_24＝6,・・・}
７．番号をつけ直して
X'＝{x'_1＝3, x'_2＝1, x'_3＝4, x'_4＝1, x'_5＝5, x'_6＝9, x'_7＝2, x'_8＝6, x'_9＝5, x'_10＝3, x'_11＝5, x'_12＝9,・・・}
Y'＝{y'_1＝2, y'_2＝7, y'_3＝1, y'_4＝8, y'_5＝2, y'_6＝8, y'_7＝1, y'_8＝8, y'_9＝2, y'_10＝8, y'_11＝4, y'_12＝6,・・・}
つづく >>52 つづき
８．これら操作は、ZFCの中で可能ということは認めて貰うとして、二つの集合X'＝X、Y'＝Y も（集合として合同）認めていいだろう。
そこで、y_1＝2の動きについて見ると、y_1＝2→ z_2＝2→ y'_1＝2と変わったわけだ。それが、数学理論で禁止されているわけでも、数学理論に矛盾するわけでもない
むしろ、カントールの有理数の可算無限の濃度証明や、ヒルベルトの無限ホテルでの操作の範疇だ
こで分からなければ、カントールとヒルベルトの無限ホテルをじっくり勉強してくれ。大学の集合論で役に立つよ >>53 訂正
こで分からなければ、カントールとヒルベルトの無限ホテルをじっくり勉強してくれ。大学の集合論で役に立つよ
↓
これで分からなければ、カントールとヒルベルトの無限ホテルをじっくり勉強してくれ。大学の集合論で役に立つよ >>52
＞Z＝{x_1＝3, x_2＝1, x_3＝4, x_4＝1, x_5＝5, x_6＝9, x_7＝2, x_8＝6, x_9＝5, x_10＝3, x_11＝5, x_12＝9,・・・
＞ y_1＝2, y_2＝7, y_3＝1, y_4＝8, y_5＝2, y_6＝8, y_7＝1, y_8＝8, y_9＝2, y_10＝8, y_11＝4, y_12＝6,・・・}
＞でなんの不都合もない
不都合ありまくり。その定式化の場合、π＊e と e＊π が同じ集合で
表されることになり、π＊e ＝ e＊π と解釈されてしまうので、
文字列の「連接」の定義としては不完全ｗｗ
＞５．ところで、奇数列と偶数列とを利用すれば、下記にできる
＞Z'＝{z_1＝3, z_3＝1, z_5＝4, z_7＝1, z_9＝5, z_11＝9, z_13＝2, z_15＝6, z_17＝5, z_19＝3, z_21＝5, z_23＝9,・・・
＞ z_2＝2, z_4＝7, z_6＝1, z_8＝8, z_10＝2, z_12＝8, z_14＝1, z_16＝8, z_18＝2, z_20＝8, z_22＝4, z_24＝6,・・・}
これはもっとダメ。奇数列と偶数列を利用する場合、
(a＊b)＊c と a＊(b＊c) が全く違う番号づけになってしまい、
Z' という集合で考えてもイコールにならず、結果として
(a＊b)＊c ＝ a＊(b＊c) が全く成り立たなくなるので、
モノイドが満たすべき性質を持っていないｗｗｗ 高校生に笑われるぞスレ主
お前は中学からやり直しだ >>55
Tさん、モノイドもっと勉強してよ
>文字列の「連接」の定義としては不完全
文字列の「連接」の定義は、おれが定義するんじゃなくて、もうすでに世の中に存在するよ
それが、>>51の１項”モノイドの文字の連接に関する演算は、時枝問題とは別に、厳然と数学の理論がある。これは、時枝問題と無関係だ。だからR^Nなどの制約は受けない。これをはっきり宣言しておく”だよ。
単なるあなたの勉強不足
>(a＊b)＊c と a＊(b＊c) が全く違う番号づけになってしまい
それは単に途中経過だけの話でしょ
最終的には、番号づけは外すよ
そもそも、自由モノイドでは番号付けはない単なる文字列だからね
但し、「eの整数部分は小数第何位にくるんだ」>>6などというから、別にそんなことで、上記数学で世間で定義されているモノイドの連接の定義は揺るぎもしないけど
一つの可能性として、こう考えられるとしたわけだ（なお、可能性は一つで十分だよ）
繰り返すが、番号付けができないから、モノイドの連接ができないなんて話は、数学じゃないよ
そもそも、番号付けなんて、時枝記事の決定番号から来ている個別の事情でさ、モノイド理論と無関係だよ
繰り返すが、”モノイドの文字の連接に関する演算は、時枝問題とは別に、厳然と数学の理論がある” 番号付けとや時枝の決定番号とは無関係
Tさん、モノイドもっと勉強してよ お前はモノイド以前なんだよ、わからんか？
わからんならさっさと中一の教科書買ってこい 調子のいい男だな。
決定番号が無限大になる例として連結を持ち出したのは自分だろう。 いいかい
>>52-53で示したこと、なにも新しい理論ではない
単に世間にあるモノイドの文字の連接が、可算無限数列においても可能だということを示しただけ
それも、わざわざ示すほどでもない、自明かつトリビアな話だ
「eの整数部分は小数第何位にくるんだ」というから、こう考えられると一つの可能性を示しただけ
ところで、>>51で引用した２項のカントールの可算無限集合論によれば、Nから（N,N）への全単射が存在する
だから、番号付けを、
集合Xについては、(1,1),(1,2),・・・・(1,n),・・・
集合Xについては、(2,1),(2,2),・・・・(2,n),・・・
とでも２次元の添え字を使えば、そういうやり方もある。２つ添え字ijを使うなど、大学数学では頻出テクでありまして
「eの整数部分は小数第何位にくるんだ」と悩む話でもないでしょ、大学数学では >>59
＞文字列の「連接」の定義は、おれが定義するんじゃなくて、もうすでに世の中に存在するよ
そのような、世の中に既に存在する文字列の「連接」の定義において、
a＊b＝b＊a は一般的には成り立たないのだよ。
しかし、君の定義では常に a＊b＝b＊a になってしまうので、
連接の定義としては不完全なんだよ。
＞それは単に途中経過だけの話でしょ
＞最終的には、番号づけは外すよ
それもアウト。番号づけの外し方は統一的にしなければならない。
すると、a＊(b＊c) の番号づけで Z' を得たあとに a,b,c を復元すると、
もともとの a,b,c が復元されなくなるｗｗｗ
このような現象は結局のところ、
＞(a＊b)＊c と a＊(b＊c) が全く違う番号づけになってしまい、
という性質が原因で起こる。つまり、奇数列と偶数列のやり方は
根本的に採用不可能なんだよ。 >>62
＞単に世間にあるモノイドの文字の連接が、可算無限数列においても可能だということを示しただけ
そのような連接が可能であることは俺も分かっている。
しかし、君のやり方では不完全であり、かつ間違っており、
ちっとも可能であることが示されていない、ということを
俺は指摘しているだけ。
そもそも、モノイドを構成するのにカントールの話が出てくること自体がおかしい。
カントールの話は、集合の濃度だけを問題にしているので、
それらの集合がどのような構造を備えているかは無視される。
一方で、モノイドを定義しようと思ったら、モノイドが満たすべき
代数的な性質がきちんと再現できるように、うまい定義を模索しなければならない。
カントール的な考え方で安易に番号づけをしても、モノイドの構造は再現できない。
実際に君は失敗している。特にマズイのは奇数列と偶数列のやり方。
これは根本的にアウト。 >>62 訂正
集合Xについては、(2,1),(2,2),・・・・(2,n),・・・
↓
集合Yについては、(2,1),(2,2),・・・・(2,n),・・・ あの単純なモノイドの定義をここまで分かってないのもスゴい >>63-64
あのさ、時枝記事の決定番号の都合でモノイド理論にけちつけるのを止めて欲しいね
無関係だよ、番号付けとかさ。モノイドに番号付けは不要だ
>a＊b＝b＊a は一般的には成り立たないのだよ。
>しかし、君の定義では常に a＊b＝b＊a になってしまうので、
>連接の定義としては不完全なんだよ。
意味分からん
おれはなんら定義していない。こう考えられると説明しただけ
そもそも、勝手に理屈こねるなよ
>それもアウト。番号づけの外し方は統一的にしなければならない。
それもへりくつ。>>62の２つ添え字ijを使うなど、大学数学では頻出テクも可
>一方で、モノイドを定義しようと思ったら、モノイドが満たすべき
>代数的な性質がきちんと再現できるように、うまい定義を模索しなければならない。
おれは別に新しいモノイド理論を作ったつもりはないよ
モノイド理論勉強してね
言いたいことはそれだけだよ >>67
＞こう考えられると説明しただけ
その説明では常に a＊b＝b＊a になってしまうので、
説明になってないってこと。
＞それもへりくつ。>>62の２つ添え字ijを使うなど、大学数学では頻出テクも可
2重の添え字のやり方なら望みはあるが、何度も言うように、
奇数列と偶数列のやり方は根本的に採用不可能。
へりくつでもなんでもない。
＞おれは別に新しいモノイド理論を作ったつもりはないよ
＞モノイド理論勉強してね
君は可算無限列に対するモノイドの連接を well-defined に再現できてないし、
説明することもできていない、という話をしている。アホらし。 > 君は可算無限列に対するモノイドの連接を well-defined に再現できてないし、
> 説明することもできていない、という話をしている。アホらし。
仕方あるまい。
証明は読まない、書かない、書かせない、の3原則だからなこのスレはw
2chは不都合なんだとよ。
アスキーがなんとかかんとか。
と思いきや>>52-53で長大な馬鹿をやらかしたりわけからんけどな。 >>67
誰もモノイドの理論にケチをつけていない
「お前が間違っている」と言っているだけ
無限数列の連接がトリビアルと言ってしまうところに
お前の分かって無さが現れている 笑いを取りたいのはわかるが、これはさすがに引くわ
もう少し加減を覚えないと笑いは取れないぞ？スレ主 哲也へのメッセージ↓
そうだよ哲也
過疎っている
哲也とわたしの多年にわたる努力の成果だよw 前スレのこれには結局答えられないのか
>>584
> 確率分布は使うよ
> 使わなければ、１００列で確率99/100は言えない
勝つ確率は別にして、時枝の戦略自体を行えるのは認めるのか？
何の確率分布をどう使うんだ？
勝つ確率を求める式を書いてみろよ
ああ、お前は式が書けないんだったな
でも、言葉で言えるだろ
何の確率分布をどう使うんだ？ それで、>>8-11に書いたように、決定番号が有限に収まらない数列の実例が構成できる
もちろん、こうして構成した（決定番号が有限に収まらない）数列の実例が、R^Nが収まらないとか言いたいのかもね（＾＾
別にかまわん。それが、数学的に”fully rigorous”に証明できるならね
だが、出来ないだろう
区間（０，２）の連結した１本の数列
1+1/2,1+1/3,1+1/4,1+4/5,・・・,1+1/n,1+1/(n+1),・・・＞ 1/2,1/3,1/4,4/5,・・・,1/n,1/(n+1),・・・ の存在
自然な順序で整列したこの可算無限の数列の存在は、否定できまい
この数列の存在が否定できない以上、この数列をベースした箱の列が存在し、箱に入る数でなにかある数列が構成できる。その数列による同値類分類が存在するはず（完全代表系なんだろ？）
その数列の代表番号がどうなるのか？
それを考えて見ろ これは、時枝問題と無関係だ。だからR^Nなどの制約は受けない。これをはっきり宣言しておく”だよ >>74-75
自己矛盾だらけだな
スレ主には数学無理 馬鹿にも二種類ある
自覚のある馬鹿は救い様がある
スレ主は救い様が無い おっちゃんです。
eπとかが無理数であることは証明出来た。eπとかは確実に無理数だ。
或る種の与えられた実数が有理数か無理数かを判定する方法は見つけた。
第４の発見ですな。
ここにeπの無理性の証明を書いてもいいが、このスレは学会でも何でもなく、
更にその先があるので、取り敢えずやめておく。
どうせ発表しても、やがては葬り去られる結果だろうし。
やはり、解析的な経験が役に立つね。それにしても、あの問題は難しいわ。
あの問題は鬼畜。難しい。 自分が馬鹿だと自覚できない馬鹿には、ソクラテスの産婆術はうまくいかない
ということの良い実例になってるよね 自覚できないだけならマシ。
自覚させてやればいいんだから。
手に負えないのは非誠実で悪意のある馬鹿（＝スレ主）。
>>75-76の変わり身はどう考えても非誠実と悪意のカタマリだろ。 スレ主の思考パターン
1. その問題について、俺は感覚的にこう思う
2. しかし俺には証明する力が無い、力を付ける努力もしたくない
3. だから誰か俺の思いが正しいことを証明してくれ
4. 証明してくれる奴が現れるのを待つ間、俺は高学歴を気取りたいからコピペに勤しむよ
5. 俺に異を唱える奴は徹底的に叩く、但し数学じゃ敵わないから誹謗中傷でな
6. \は元プロ研究者らしいからこいつにだけは媚売っとこうっと >>81
>自分が馬鹿だと自覚できない馬鹿には、ソクラテスの産婆術はうまくいかない
>ということの良い実例になってるよね
おっちゃんです。
はて？ >>81-82の流れを見ると、私に対していっているのかな。
確かに、私はスレ主と同じく、証明せず感覚的に予想を述べただけのことをしたこともあった。
しかし、eπの無理性は、定義から e＝Σ_[k=0,1,…,∞](1/(k！)) であり、
3.14＜π＜22/7 なのだから、eπの無理性の証明はeの無理性のときと同様に、
eπ＝m/n m/nは既約分数 と仮定して、
A＝n！(eπ)−3(n！)・Σ_[k=0,1,…,∞](1/(k！)) が自然数なることをいい、
Aを上から評価して、Aが1か2か3のどれかに等しくなることをいって、
矛盾を導く手法で証明出来るのだが。
私自身は学会には所属していないから、もし書いてほしいのなら、ここにその証明を書いてもいい。
私が考えているのは、収束ベキ級数 f(X)＝Σ_[k=0,1,…,∞](a_k・X^k) について、
a_0, a_1, a_2, …, とAの収束値bが予め与えられているとして、
f(X)＝b としたときのXの具体的値を求める、という問題だよ。 >>81
>>84の訂正：
A＝n！(eπ)−3(n！)・Σ_[k=0,1,…,∞](1/(k！)) → A＝n！(eπ)−3(n！)・Σ_[k=0,1,…,「n」](1/(k！)) >>84,86
おそらくデタラメ。そんなに簡単に示せるわけがない。
eπが無理数であるか有理数であるかは未解決問題。
なお、>84 がデタラメであることは以下のようにして分かる。
まず、>84 では、πに関する性質が 3.14＜π＜22/7 しか使われてないことに注意する。
よって、3.14＜α＜22/7 を満たす実数αを任意に取れば、>84 の手法によって、
eα は無理数になることが証明できるはずである … (★)
一方で、3.14*e ＜ p ＜ (22/7)*e を満たす有理数 p を1つ取れば、
α＝p/e と置くことで 3.14＜α＜22/7 が成り立つので、(★)より、
eα は無理数となる。しかし、今の場合は eα＝p であるから、
eα は有理数である。よって、>84 の手法はデタラメ。
「π」に関する何らかの深い性質まで一緒に考慮して計算しているのなら、
>84 はデタラメではない可能性も残されているが、>84を見る限り、
πに関する性質は 3.14＜π＜22/7 という幼稚な性質しか考慮されてないように見える。
もしそうなら、>84 は完全にデタラメ。
なによりも、このような未解決問題が、よくある普通の方法で示せるわけがない。 >>86 Aの第２項にπに関するものが無いから、正しいわけがない おっちゃんです。
>>87
なるほど。証明法が間違っていた訳か。
ということは、ディオファンタス近似の理論が正しい以上は、
>>85がいうように、eπの超越性まで一気に証明出来ることになるな。
>>88
>Aの第２項にπに関するものが無いから
っていうが、[π]＝3 []はガウス記号 がAの第2項に書いてあるから、指摘にならない。
>>89
少なくとも、「＝おっちゃんにマジレス 」の部分は余計。 >>91
ｅπと３ｅを比較してなんになるんだよ
そこでの「関する」は「収束する」の意味だろ >>92
そういう意味か。
ということは、πのベキ級数表示の部分和か何かを書かないとダメなのか。
それじゃ、>>84、>>86は完全に間違いだな。 といっても、まあ、>>91の
＞ディオファンタス近似の理論が正しい以上は、
＞>>85がいうように、eπの超越性まで一気に証明出来ることになるな。
の部分は変わりがない訳だが。ディオファンタス近似の理論の有名な定理に、
与えられた有理数xに対して |x−p/q|＜1/p^2 となる
既約分数p/qは高々有限個しか存在しない、
というのがあるが、よく考えると、有理数の稠密性を認める限りは、
この定理が偽であることが構成的に証明出来る。
従来の証明が正しいのか私の考え方が正しいか、
一体どっちが正しいのかは全く分からんが。 >>94の訂正：
|x−p/q|＜1/p^2 → |x−p/q|＜1/q^2
と、「1/p^2」の部分を「1/q^2」に変更。 >>94
このように、誤答おじさんのポンコツな頭では、
既存の定理が間違っていることが証明できてしまうのである。
しかも、誤答おじさんがこのような発言をするのは
これが初めてではなく、過去に何度も
「わたしは既存の定理に矛盾を発見した」
と発言をしている。もちろん、その全てがこいつの勘違いであった。
これで数学やってるつもりなんだから呆れるばかりである。
というか、誤答おじさんの数学的な営みはこれが全てであり、
実質的には全く「数学をやっていない」。
こいつの頭では、いかなる数学も高等的すぎて、全く扱えるものではない。
こいつには、数学ではなく赤ちゃん用のオモチャの方が
お似合いなのではなかろうか。
誤答おじさんには是非とも、数学ではなく
赤ちゃん用のオモチャで遊んでいて欲しい。バブー！
そして、二度と数学には戻ってこないで欲しい。バブー！ >>96
おっちゃんです。
>既存の定理が間違っていることが証明できてしまうのである。
余り書きたくはなかったが、T大の教授の中に、
このような有理数の稠密性を認める限りは構成的に>>94で挙げた定理が偽になる
ことを証明する方法の一部分が分かる人はいるよ。
何も返信はなかったが、この教授だけにメールで伝えたことはある。
まあ、具体的にここに構成法のヒントを書いてもいい。
xを実変数として、0＜x＜π/4 とすると、sin(x)＜x。
更にyも実変数として、X＝(1/2)(sin(x)＋x) とおき、X＜y＜x とすると、
sin(x)＜X＜x であり、sin(y)＜sin(x) だから、
sin(y)＜sin(x)＜X＜y＜x を得る。そして、x−y＜y−X＜y−sin(y) も得る。
あとは「xを与えられた有理数」とし、「yを X＜y＜x なる有理数変数(Xは上と同様におく)」
としたときどうなるか、自分で考えてみることだな。 >>96
>>97の訂正：
このような有理数の稠密性を認める限りは → このよう「に」有理数の稠密性を認める限りは
些細な国語の問題だが、訂正した。 不等式の扱いが小学生未満。てことは幼児以下。
>>96の指摘は大げさじゃなく、本当に、不等式すら分かってない赤ちゃん。
こんな奴が教授にメールして迷惑かける典型なんだと思った次第。 >>97
＞としたときどうなるか、自分で考えてみることだな。
このキチガイは何かを履き違えているｗｗｗ
正しいことが分かっている定理に反例を与えるという常軌を逸した暴挙に出ているくせに、
反例を中途半端にチラつかせるだけで完全な反例を与えないｗｗｗ
お前はそういう尊大な態度を取れる立場に無いんだけど、分かってる？
何を履き違えているんだ？
件のディオファンタス近似の定理は正しいのだから、こちらが何もしなくとも、
自動的におじさんが間違っているのだよ。「あとは自分で考えろ」とか言われても、
「 内容の如何を考察するに値しない。おじさんは自動的に間違ってる 」
としか言いようがないし、もしおじさんの意図に沿って
何かを考えることがあるとしても、それは
「 >>97をヒントにして、おじさんがどのように間違えたのかをエスパーする 」
という行為にしかならない。誰がそんな無駄な労力を費やすんだ。
ほんとバカだなこいつ。 >>99-100
あ〜、「x−y＜y−X＜y−sin(y)」の部分は「x−y＜X−sin(x)＜X−sin(y)＜y−sin(y)」の間違いだな。
「x−y＜X−sin(x)」が成り立つことは、直線R上の4点を A(x)、B(y)、C(X)、D(sin(x)) としたとき、
2点A、B間の距離 AB＝x−y が2点C、D間の距離 CD＝X−sin(x) より小さいこと
つまり AB＜CD なることを用いて幾何的に示せる。ここに、X＝(1/2)(sin(x)＋x)、X＜y＜x。 しかしこんな馬鹿でもスレ主よりよっぽどマシ。
おっちゃんは単なる馬鹿。悪意は感じない。 なんかageで書くやつがいる
ID:BAF7Cd2p おまえだ
おまえ、プロ固定だろう？（＾＾；
このスレに、プロ固定は不要だよ！
次回から、sageで書くように！ >>87
おっちゃん、また難しいことを考えたね（＾＾；
しかし、ID:oIF6CyORさんは、メンターさんだと思うが、こんな板に書かれた読みにくい証明をよく読むね。感心するよ
メンターさんの努力に深謝！ｍ（＿＿）ｍ
おれは、スルーだな（＾＾；
>eπが無理数であるか有理数であるかは未解決問題。
これだね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
(抜粋)
超越数かどうかが未解決の例
ｅπ・・・ などの円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
(引用終り)
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~wkbysh/indexj.html
若林 誠一郎 筑波大学名誉教授
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~wkbysh/e_transc.pdf
e も π も超越数 (2008年度数学特別講義 I) 若林誠一郎 筑波大 pdf ところで
>>63
Ｔさん、難しく考えすぎ
というか、決定番号を守ろうという意識が強すぎるだろう
>そのような、世の中に既に存在する文字列の「連接」の定義において、
>a＊b＝b＊a は一般的には成り立たないのだよ。
>しかし、君の定義では常に a＊b＝b＊a になってしまうので、
>連接の定義としては不完全なんだよ。
>>62で示した、２つ添え字ijを使う頻出テクを使えば簡単だろ。可算集合は、可付番集合ともいう（下記）
a＊bという数列に、頭から(1,1),(1,2),・・・・(1,n),・・・、(2,1),(2,2),・・・・(2,n),・・・ と連番を付ける。これ可付番集合で可算集合だ
同様に、数列b＊aにも、頭から(1,1),(1,2),・・・・(1,n),・・・、(2,1),(2,2),・・・・(2,n),・・・ と連番を付ける。
a＊b≠b＊a だろ？
それは、>>64で、”そのような連接が可能であることは俺も分かっている”と認めているのかな・・・？ 次にそれを示そう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
(抜粋)
可算集合（かさんしゅうごう、countable set 又は denumerable set）もしくは可付番集合とは、おおまかには、自然数全体と同じ程度多くの元を持つ集合のことである。各々の元に 1, 2, 3, … と番号を付けることのできる、すなわち元を全て数え上げることのできる無限集合と表現してもよい。
(引用終り) >>64
>＞単に世間にあるモノイドの文字の連接が、可算無限数列においても可能だということを示しただけ
>そのような連接が可能であることは俺も分かっている。
>しかし、君のやり方では不完全であり、かつ間違っており、
えーと、>>51-54だったね.
２つ添え字ijを使う頻出テクを使って書き直すよ
>>51の修正
５．ところで、２つ添え字ijを使う頻出テクを使えば、下記にできる
Z'＝{z_1,1＝3, z_1,2＝1, z_1,3＝4, z_1,4＝1, z_1,5＝5, z_1,6＝9, z_1,7＝2, z_1,8＝6, z_1,9＝5, z_1,10＝3, z_1,11＝5, z_1,12＝9,・・・
z_2,1＝2, z_2,2＝7, z_2,3＝1, z_2,4＝8, z_2,5＝2, z_2,6＝8, z_2,7＝1, z_2,8＝8, z_2,9＝2, z_2,10＝8, z_2,11＝4, z_2,12＝6,・・・}
６．Z'→X'∪Y'とみて二つの集合に分ける
X'＝{z_1,1＝3, z_1,2＝1, z_1,3＝4, z_1,4＝1, z_1,5＝5, z_1,6＝9, z_1,7＝2, z_1,8＝6, z_1,9＝5, z_1,10＝3, z_1,11＝5, z_1,12＝9,・・・・・・}
Y'＝{z_2,1＝2, z_2,2＝7, z_2,3＝1, z_2,4＝8, z_2,5＝2, z_2,6＝8, z_2,7＝1, z_2,8＝8, z_2,9＝2, z_2,10＝8, z_2,11＝4, z_2,12＝6,・・・}
７．番号をつけ直して
X'＝{x'_1＝3, x'_2＝1, x'_3＝4, x'_4＝1, x'_5＝5, x'_6＝9, x'_7＝2, x'_8＝6, x'_9＝5, x'_10＝3, x'_11＝5, x'_12＝9,・・・}
Y'＝{y'_1＝2, y'_2＝7, y'_3＝1, y'_4＝8, y'_5＝2, y'_6＝8, y'_7＝1, y'_8＝8, y'_9＝2, y'_10＝8, y'_11＝4, y'_12＝6,・・・}
これで、上記５項〜７項は可能だ。 >>107 つづき
そこで、整列可能定理を仮定し、整列集合を考える（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
(抜粋)
数学において、整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。
集合に整列順序が与えられれば、そこでは集合の全ての元に対する命題の超限帰納法を用いた証明を考えることができる。
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。
(引用終り)
整列可能定理を使って、集合Z'を整列集合とする。
簡単に、>>62 で示したように、(1,1)<(1,2)<・・・・<(1,n)<・・・< (2,1)<(2,2)<・・・・<(2,n)<・・・
蛇足だが、i<jのとき、(n,i)<(n,j) で、(i,n)<(j,n) とすれば、上記の整列になる
(1,1)<(1,2)<・・・・<(1,n)<・・・< (2,1)<(2,2)<・・・・<(2,n)<・・・ を、上記の５項に適用して
Z_1,1 <Z_1,2 <・・・・<Z_1,n <・・・< Z_2,1 <Z_2,2 <・・・・<Z_2,n <・・・
これも蛇足だが
Z_1,1 <Z_1,2 <・・・・<Z_1,n <・・・
↓
X_1 <X_2 <・・・・<X_n <・・・
かつ
Z_2,1 <Z_2,2 <・・・・<Z_2,n <・・・
↓
Y_1 <Y_2 <・・・・<Y_n <・・・
と書き直せばいいんでないの？
要は、整列可能定理を使って、整列集合を考える。これも大学数学では頻出テク つづき
戻る
>>55
>これはもっとダメ。奇数列と偶数列を利用する場合、
>(a＊b)＊c と a＊(b＊c) が全く違う番号づけになってしまい、
>Z' という集合で考えてもイコールにならず、結果として
>(a＊b)＊c ＝ a＊(b＊c) が全く成り立たなくなるので、
ここ、３つ添え字ijkを使う頻出テクでｏＫだろ
また、奇数列と偶数列→ mod 3を使えばどう？ これも、頻出テクでしょ
数列の順序は、上記のように添え字を使って、整列集合にすれば良いだろう
まとめると
要は、二つの数列可算無限数列
Ａ＝（a1,a2,・・・an・・・）
Ｂ＝（b1,b2,・・・bn・・・）
があって、２つ添え字ijを使って
(1,1)<(1,2)<・・・・<(1,n)<・・・
(2,1)<(2,2)<・・・・<(2,n)<・・・
で、ＡとＢの数たちに添え字をつけて、整列集合にする
そして、Ａ∪Ｂ＝{a1,a2,・・・an・・・,b1,b2,・・・bn・・・}をつくる
そこから第三の数列
Ｃ＝（a1,a2,・・・an・・・、b1,b2,・・・bn・・・）
ができる
整列可能定理を使って、整列集合を考えれば、前記の通り、これは可能で、番号づけとその外し方は統一的にできるよ
(a＊b)＊cなら、３つ添え字ijkを使う つづき
ところで、数列を頭で分類するのが、コーシー列
>>42にならって
π＝ x ＝ 3.14159265358979…
e/10 ＝ y ＝ 0.2718281828459…
ここで、数列 2718281828459…をπ＝ xの後ろに連結すると
z ＝ 3.14159265358979…2718281828459…
としてみよう
数列を頭で分類するコーシー列なら、x ＝ z
つまり、zはコーシー列として、πに収束する
これは証明できる
proof:
１．πに収束する数列を考える
π＝ 3.14159265358979… ＝a1. a2a3a4a5・・・an・・・
a1=3, a2=1,a3=4,a4=1,a5=5・・・・・ （an＝πの少数第n-1位の数）・・・
２．ここで、e/10 ＝ 0.2718281828459…、e/100 ＝ 0.02718281828459…,・・・,e/10^n=0.0・・・2718281828459…（少数第ｎ位から2718281828459…となる） を考える
３．πに収束する次の数列を考える
π'1=a1+e/10＝3. 2718281828459…
π'2=a1. a2+e/100＝3.1 2718281828459…
・
・
π'n=a1. a2a3a4a5・・・an+e/10^n＝3.14159265358979・・・an +e/10^n＝3.14159265358979・・・an 2718281828459…
ここで、n→∞の極限を取ると
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 2718281828459…
４．ここで、後半のe/10^nの部分は、e/10^n→0に収束する。そして、前半の3.14159265358979・・・an・・・の部分はπに収束する
従って、π'n=a1. a2a3a4a5・・・an+e/10^nは、πに収束する
（ＱＥＤ）
そして、繰り返すが、π'nの数列については、上記のようにπ'1=3. 2718281828459…、π'2=3.1 2718281828459…、・・・、π'n=3.14159265358979・・・an 2718281828459…だったから
n→∞で、lim(n→∞) π'n=3.14159265358979… 2718281828459… と書ける つづき
これを、「尻尾が頭を振り回す」という格言から考えてみよう
「尻尾が頭を振り回す」。ちょっと古い引用だが、昔からこういう表現はある。「本末転倒」とも。時枝記事に同じ
可算無限数列をしっぽで同値類分類するなどと、まさに「尻尾が頭を振り回す」の図だろう
http://tofuka01.blog.f （ｎｇのため強制改行）
c2.com/blog-entry-209.html
尻尾が頭を振り回すようなことがあってはならない - 弁護士深草徹の徒然日記 2014-12-22
(抜粋)
去る１１月２５日、「土井たか子さんお別れの会」において、河野洋平氏は、弔詞の中で、次のように述べた。
「細川護煕さんと２人で最後に政治改革、選挙制度を右にするか、左にするか、決めようという会談の最中、議長公邸にあなたは呼ばれた。直接的な言葉ではなかったけれども、「ここで変なことをしてはいけない。この問題はできるだけ慎重にやらなくてはいけませんよ」と言われた。あなたが小選挙区に対して非常な警戒心を持たれていた。
しかし、社会全体の動きはさまざまな議論をすべて飲み込んで、最終段階になだれ込んだ。私はその流れの中で小選挙区制を選択してしまった。今日の日本の政治、劣化が指摘される、あるいは信用ができるかできないかという議論まである。
そうした一つの原因が小選挙区制にあるかもしれない。そう思った時に、私は議長公邸における土井さんのあの顔つき、あの言葉を忘れることができません。」
１９９４年１月、当時、下野した自民党の総裁だった河野氏は、細川護煕首相とのトップ会談で衆院の小選挙区比例代表並立制の導入に断を下した。そのとき衆議院議長だった土井氏を議長公邸に訪ねた際に、慎重な検討を求められたにもかかわらず強行してしまったことについて、悔恨の思いを表明したのである。
今回の衆院選において、自民党は、小選挙区において、得票率は４８．１０％、対有権者比の得票率（絶対得票率）はわずか２５．３２％に過ぎないのに、小選挙区総議席２９５のうち、２２３、比率にして７５．５９％も獲得している。
小選挙区制は、このように民意とかけ離れた議席を多数党に与えてしまうのであり、不公正極まりないものといわねばならない。
(引用終り) つづき
鵺(ぬえ）やキマイラなど。頭とシッポが異なる怪獣。古代からそういうものが考えられてきた
シッポで分類するなら、両者ともヘビだ
頭で分類するなら、鵺(ぬえ）はサル、キマイラはライオンだ。頭で分類する方が普通だろう？（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%B5%BA
鵺(ぬえ）は、日本で伝承される妖怪あるいは物の怪である。
(抜粋)
『平家物語』などに登場し、サルの顔、タヌキの胴体、トラの手足を持ち、尾はヘビ。文献によっては胴体については何も書かれなかったり、胴が虎で描かれることもある。また、『源平盛衰記』では背が虎で足がタヌキ、尾はキツネになっており、さらに頭がネコで胴はニワトリと書かれた資料もある[1]。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AD%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%A9
キマイラ は、ギリシア神話に登場する怪物である。
(抜粋)
テューポーンとエキドナの娘。ライオンの頭と山羊の胴体、毒蛇の尻尾を持つ。
(引用終り) つづき
要するに、頭で数列を分類するコーシー列ならなんら問題ない
（∵シッポの2718281828459… は、+e/10^nで、n→∞ で0に収束するから、いわゆる「枝葉末節」の問題として無視できる）
ところが、シッポから決定番号を求めるとなると、「本末転倒」「尻尾が頭を振り回す」の図となる。これを数学として扱うには十分なる注意が必要だということ
（コーシー列のように簡単にはいかないよと） つづき
さて
（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>2 再録
１．時枝問題（「箱入り無数目」数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」
２．続けて時枝はいう
私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd(実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字 ３．つづき
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列S^1,S^2，・・・，S^lOOを成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， S^1〜S^(k-l),S^(k+l)〜SlOOの決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・.いま
D >= d(S^k)
を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってS^k(d)が決められるのであった.
おさらいすると，仮定のもと， s^k(D+1)，s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・を見て代表r＝r(s~k) が取り出せるので
列r のD番目の実数r(D)を見て， 「第k列のD番目の箱に入った実数はS^k(D)＝r(D)と賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる.
確率1-ε で勝てることも明らかであろう.
(補足)
S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・：ここで^kは上付き添え字、(D+l)などは下付添え字 つづき
ところで、そもそも
時枝問題は、「箱がたくさん，可算無限個ある」から出発している
つまり、デデキント無限（下記）を前提として、可算無限個の箱を、可算無限個の１００列を形成することができるとしている
だから、途中の「R^N」を自分勝手に都合よく引用して、数列が有限の長さと主張することはおかしいだろうよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
デデキント無限
(抜粋)
デデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。それはつまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。
(引用終り)
>>51に引用したように、ヒルベルトの無限ホテルのパラドックスは、デデキント無限集合であって、その真部分集合が全体と同じ濃度（全単射が存在する）だと
それが、カントールの集合論の結論でもある
可算無限個の箱を、１列にならべることは可能だ。列の長さは、可算無限
そこから、可算無限個の１００列を形成することができる。これデデキント無限の結論であり、カントールの集合論の結論でもある
それを使うのが、時枝記事の解法のキモだ
そこを忘れて、自己都合で、決定番号が有限でなければおかしいとか
決定番号の都合から、キマイラ数列が存在しないとか
勝手な主張をしないでほしい
決定番号が有限になるようにとか、キマイラ数列は排除するようにとか、時枝記事の解法の手直しをするのは、そちら（時枝記事の解法の成立を主張する側）の仕事だ つづき
繰り返すが、
１．出発点は、「箱が可算無限個ある」だ
２．そして、「閉じた箱を100列に並べる」だ。箱が可算無限個だったから、各100列も可算無限個。
３．だから、各100列の可算無限個の数列に対する同値類もまた、可算無限個からなる数列の同値類であるべき。
４．単純に、考えれば、キマイラ数列（上記の例 lim(n→∞) π'n=3.14159265358979… 2718281828459… ）が紛れ込む
５．それを数学的に排除するなら、可算無限個の数列の同値類をどう定義するのか？ もともとは、”まったく自由”とかいって、制約なしだっただろ？
６．単純な扱いでは、「本末転倒」で「尻尾が頭を振り回す」の図となるよ
くどいが>>51-54で 構成した
z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… は、”可算無限個”の数からなる数列と考えられる
つまり、数列のキマイラだ。頭がπでしっぽがｅの数列
頭で分類するコーシー列ならなんら問題ない。πに収束する
だが、時枝記事の解法で、しっぽでの分類とか、ましてや決定番号などという怪しいことをするから、「尻尾が頭を振り回す」ということになる
困るのは、尻尾に振り回される時枝記事の解法を支持する側だろ？
ともかく、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… は、可算無限個の数からなる数列だということを、２つ添え字ijを使う>>62>>65で示したわけだ
だが、世間一般のコーシー列で考えるなら、おれたちなんら困らんよ（＾＾；
時枝記事の解法が成り立たない理由は、主に下記２つ
１）決定番号の確率分布は平均値も標準偏差も存在しない奇妙なものだから、１００列で99/10は導けないこと（大数の法則も、中心極限定理も不成立だよ）
２）しっぽでの分類と決定番号を考えると、単純に考えて、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… のようなキマイラ数列の扱いに困ることになる （可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ） >>110 補足
このproof:の書き方はよくない
院試なら減点だろう
πに収束する数列という結論を、証明の最初に述べている
「πに収束する」は、最後の結論だから
「πに収束する」を先に述べるなら、もっと「結論の予告」ということが明確になるように書くべき
ここは、バカ板できちんと書くのが面倒だから、分かり易さを優先して、厳密な証明スタイルをあえて崩している
良い子はまねしないように・・ >>105 若林誠一郎先生関連
ところで、これが落ちていた
若林先生の下記は、従来からのC∞-distributionの枠組みで、cut-offシンボルをもつ擬微分作用素を用いて,解析函数-佐藤超函数の枠組みと同様のことができるという
繰り返すが、超局所解析は、C∞-distributionの枠組みでも可能だと
いま、こっちが世界の主流かも・・・
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~wkbysh/cma.pdf
佐藤超函数の空間における古典的超局所解析について (数理解析研究所講究録, 1336, 2003年, pp58-72) 若林誠一郎 筑波大 pdf
(抜粋)
解析函数-佐藤超函数の枠組みにおける偏微分方程式の研究においては,代数解析的な取り扱いが主流であって,従来からのC∞-distributionの枠組みにおける方法を適用することは難しいと考えられていた.
C∞-distributionの枠組みにおける最も重要な手法は(微積分学の基本定理の一つの表現である)部分積分であり,これにより得られる種々のエネルギー評価(アプリオリ評価)を用いて,偏微分方程式の研究がなされてきた.
その後,超局所解析的取り扱いにより,偏微分方程式論が大に発展した.C∞-distributionの枠組みにおける超局所解析においては, cut-off函数及びそれをシンボルとする擬微分作用素を用いることができ,これによって問題を容易に超局所化できる.
シンボル・カリキュラス(本質的には部分積分)を適用して,超局所的考察(標準形への帰着等)によりエネルギー評価等を導き,またパラメトリックスを構成することにより,偏微分方程式を研究することが可能になった.
ここで述べたような超局所解析を古典的超局所解析と呼ぶことにする.
解析函数-佐藤超函数の枠組みでの偏微分方程式の研究に古典的超局所解析的手法を用いるために, cut-offシンボルをもつ擬微分作用素を用いて, [4]において古典的超局所解析の基礎を与えた.
すなわち,我々は[4]において, H ?ormander [1]の第IX章及びTreves [3]の第V章の結果を結び付けて,その上に古典的超局所解析を確立した。
(引用終り) >>119 関連
佐藤先生が出てこないので、はてなと思っていたんだ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%B1%80%E6%89%80%E8%A7%A3%E6%9E%90
超局所解析
数学の解析学の分野における超局所解析（ちょうきょくしょかいせき、英: microlocal analysis）とは、変数係数の線型および非線型偏微分方程式の研究に関するフーリエ変換に基づく、1950年代以後に発展した技術を伴う解析のことを言う。
超函数や、擬微分作用素、波面集合（英語版）、フーリエ積分作用素、振動積分作用素、パラ微分作用素の研究などが含まれる。
「超局所」（microlocal）という語は、空間内の位置についての局所化のみならず、ある与えられた点の余接空間方向についての局所化を意味する。このことは、次元が 1 よりも大きい多様体に対して、重要な意味を持つ。
外部リンク
lecture notes by Richard Melrose
newer lecture notes by Richard Melrose
https://en.wikipedia.org/wiki/Microlocal_analysis
Microlocal analysis
From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematical analysis, microlocal analysis comprises techniques developed from the 1950s onwards based on Fourier transforms related to the study of variable-coefficients-linear and nonlinear partial differential equations.
This includes generalized functions, pseudo-differential operators, wave front sets, Fourier integral operators, oscillatory integral operators, and pa radifferential operators.
The term microlocal implies localisation not only with respect to location in the space, but also with respect to cotangent space directions at a given point. This gains in importance on manifolds of dimension greater than one.
External links
lecture notes by Richard Melrose
newer lecture notes by Richard Melrose >>120 補足
pa radifferential operators.
で ”pa ra”がｎｇワードらしい
スペース入れたら通った 余談だが
Categories for the Working Mathematician Mac Lane, Saunders 2nd ed 1998
pdfが落ちていて、ダウンロードできた
著作権問題があるから、ＵＲＬはアップしないが・・・（＾＾； 手元にあると、圏論の歩き方とか、Awodeyを読むときに便利だね Awodeyは確かに、日本語訳で分からないところがあって、原文読むと分かる場合が多い >>83
> 6. \は元プロ研究者らしいからこいつにだけは媚売っとこうっと
媚売ってどうこうなる人でも無いだろ？
つーか、\さんは、いろんなことを深いところまで知っているし
ルネトムと話をしたとか
「トリビアですが、私は田崎氏のお父様から解析力学の単位を（無試験で）貰いました。」ガロア理論スレ23 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1474158471/600
とか
話は面白いし
まあ、住んでいる世界が私とは全く違ったんだねと思う（＾＾；
確率に関する知識も深いものがあるよね
そこらは、正直深すぎてついていけないところもあるが、興味深い
時枝記事の解法も、\さんもそのままじゃ成立しないと思っているだろうが
確率理論を拡張したらどうなるか？という
正直そこらは、当方は全く歯が立たないがね（＾＾； 前スレで層の質問をおっちゃんにした
「任意の前層が表現可能関手の余極限と同型である」は標語だと、どこかに書いてあったね
http://qiita.com/amoO_O/items/f5b1246ca29bc8ff6f69
【圏論メモ】任意の前層が表現可能関手の余極限と同型であることの証明 - Qiita amoO_Oが2016/03/25に投稿(2016/04/10に編集)
(抜粋)
定義
小さい圏
Ob(C),Hom(C)Ob(C),Hom(C) がともに集合であるような圏 CC を 小さい圏 と呼ぶ。
C上の前層
反変関手 P:C→SetP:C→Set を CC 上の前層 と呼ぶ。
※ 米田の補題の記事では関手と同じ FF で表現していたが、他の方の記事を読んでいるとどうも Presheaf（前層）の頭文字をとって PP を使うことが多いようなので、この記事もそれに従う。
→ （追記） 米田の補題の記事内、FF を PP に修正
表現可能関手
X∈Ob(C)X∈Ob(C) に対し 反変関手
HomC(?,X):C→Set
HomC(?,X):C→Set
及び共変関手
HomC(X,?):C→Set
HomC(X,?):C→Set
を XX の表現可能関手と呼ぶ。ここでは反変関手の方のみ取り扱う。
米田の埋め込み定理より、 AA に HomC(?,A)HomC(?,A) を対応させる関手が元の圏 CC の構造を SetCopSetCop の中に埋め込む。このことを表現可能と言う（らしい。これの何が「表現可能」なのかは勉強不足でいまいちつかめていない。あとで補足するかもしれない。）
証明
どの空間での話なのかに注意する。特に、米田の補題 を使って自然変換 α:HomC(?,A)→Pα:HomC(?,A)→P と集合 PAPA の元 aa との同一視を多用する。
(引用終り) 米田函手はY:C→SetsCop
これは位相から前層への写像とみることができます。だと
http://myuon-myon.hatenablog.com/entry/2013/05/30/231549
PSh圏とcolimit - Just $ A sandbox 2013-05-30
位相空間Xに対して、X上の前層Fとは、Xの開集合から集合への写像
F(U)(U∈O(X))
(で、かつ制限写像というものが定められているものの)のことです(詳しくは層 (数学) - Wikipedia等を参照)。
ここで、O(X)
に包含関係で順序を入れてこれを順序集合の圏(Cと表記)とみなします。するとFは、
F:Cop→Sets
なる反変函手であって、この函手を対象、函手の間の自然変換を射とするような函手圏SetsCopが定義できます。
(余談ですが、SetsCopは米田の補題でもおなじみの圏です。米田函手はY:C→SetsCop
という函手だったので、これは位相から前層への写像とみることができます。)
こうしてできたXの上の前層の圏をPSh(X)
とかきます。
さらにX上の前層が層であるとは、Xの全ての開集合U
について、既約性条件と閉条件と呼ばれる2つの条件をみたすようなもののことです。これを圏の言葉で書くと、
対象F(U)と射F(U)→ΠiF(Ui)
が\prod_i F(U_i) \Rightarrow \prod_{(i_0,i_1) \in I \times I} F(U_{i0} \times U_{i1})のequalizerである*1といえます。
前層はただの反変函手に過ぎませんがよい性質を持っています。例として次の命題を挙げます。
Def: 函手F:Cop→Sets
が h_X:=\mathscr{C}(-,X) \quad : \quad \mathscr{C}^{op} \to Setsと自然同型であるとき、この函手を表現可能とよぶ。
Prop: 全ての前層は表現可能な前層のcolimitである。
とても面白い性質です！
前層がlimitを持てばequalizerも持つはずなので上のことから自然に層になります。
(またnLabによるとこのcolimitはcoendを使って書くとすっきり表現できるらしいのですが、まだそこまでは理解が追いついていないです。)
参考文献
Stacks Project ? Tag 006D 前層の定義
Stacks Project ? Tag 0071 層の定義
representable functor in nLab 表現可能函手の定義
presheaf in nLab 最後にあげた命題の証明ものってます
*1:ここで⇒は、2本の平行射を表します >>117
> 可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ
出題者がz ＝ 3.14159265358979…2718281828459…を構成して出題したとしても
解答者は有限長の(例えば)3.1415926からはじめて一度だけ極限をとれば3.14159265358979…を得ることが
できるので新たに規定を加える必要はない
(実際には解答者は箱の中の数字を見るわけではなくて自然数と箱を対応させるわけだが)
解答者が上のzを得るためには3.1415926からはじめたとすると極限をとって3.14159265358979…を得た後に
有限長の(例えば)271828を用いて3.14159265358979…271828を得て再度極限をとって
z ＝ 3.14159265358979…2718281828459…を得ることになる
極限を何度とるかは解答者が自由に決めることができる
(そして解答者が極限を一度しかとらない場合は決定番号は必ず有限の値になる) X上の数列というのは一般的にはNからXへの関数のことです。時枝もそれだけを考えてます。
スレ主は2×NからXへの関数を考えてるので全然違うものです。
Nと2×Nは濃度としては同じですが集合として異なります。 出題された可算個の実数がどんなふうにあっても、解答者が並べなおせばいいだけだ
このことは以前にも誰かが指摘していたが、スレ主は理解していない >>131-133
はい、そういう主張があることは認めます
どうぞ、論文にまとめてＰＤＦにして投稿をお願いします
このスレでは、ここまでで良いでしょ
１．>>131 について：時枝記事では、>>114の２にあるように、事前に、可算無限個の数列のある番号から先のしっぽが一致する場合の同値類を類別します。
そして、事前の同値類と類別と、１００列の数列を比較します。
問題は、キマイラ数列をどう区別し排除するのか？ 時枝記事では、不純数列は排除します。不純数列は入らないようにしますというのですね。どうやって？
いま、ある数列Ａがあるとする。Ａは可算無限個の数列だ。しっぽの同値類分類をするという。Ａが、キマイラ数列でなく、通常の数列だとどうやって見分けるのか？
２．>>132 について：「Nと2×Nは濃度としては同じですが集合として異なります」は是として、では>>115の３にあるように、”閉じた箱を100列に並べる”という。これはN→100×Nでしょ？
では、ビデオの逆回しのように、100×N→Nも可能では？ N→100×Nと100×N→Nと両方可能だとします。この文脈で、ぞうぞ”濃度としては同じですが集合として異なります”を数学にしてください
３．>>133 について：意味がわからない。どうぞ、論文にまとめてＰＤＦにして投稿をお願いします >>135 訂正
事前の同値類と類別と、１００列の数列を比較します。
↓
事前の同値類の類別と、１００列の数列を比較します。 「圏論の歩き方」第８章 座談会
”下鴨：・・圏自身を代数構造として研究しようという話ですよね。この方向でもっとできることがあるし、またやらなければならない・・・”という発言
これに関連して、∞カテゴリーとか、高次圏、quasi category などがある（下記）
圏論の拡張版だね（＾＾；
https://infinitytopos.wordpress.com/2015/01/30/%E2%88%9E%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC/
∞カテゴリー ? はじまりはKan拡張 2015年1月30日 投稿者: infinity_topos
以前の投稿でも書いたように，近年Jacob Lurieによる∞カテゴリー理論の進展が著しい．しかし，いまだにその理論の基礎を解説する日本語の文章は殆ど見受けられないように思われる．そこで，何回かに分けて，以下でその初歩の部分について解説をしてみようと思う．
●高次圏とは何か
まず，高次圏の理論について解説しよう．通常の圏は対象と射を持つが，高次圏とはそれに加え”高次の射”を持つ圏の事である．例えば，2-圏とは対象と射に加え「射の射」である2-射を持つもので，3-圏は「2-射の間の射」である3-射を持つものである．
このようにして，n-圏が定義される．そのようなものの最もシンプルな具体例としては，圏の圏Catが挙げられる．圏の圏Catは対象は圏，射は関手に加え，2-射として自然変換がある．
ここで大切なのが，多くの高次の射を考えるだけではなく，高次の射の同型を考えることだ．例えば，二つの圏が与えられたとき，それらが圏同型である事を要請することは少し強すぎる．通常では圏同値までしか考えない．
二つの圏が圏同値である事は，互いに与えられた関手の合成が恒等関手とならなくとも，恒等関手と自然同値であるという事である．つまり，2-射の同値を無視して同型ということになる．
このように，n射を持つ圏でr射より高次の射が同型なものとなっているものを(n,r)-圏という．例えば，Catは圏，関手，自然同値によって(2,1)-圏とみなせる．ここで注意したいのが，Lurieの理論で用いられているのは(∞,1)-圏である．つまり，無限に高次の射を持つが，2-射以降はすべて同型であるようなものを構築しているという事である．
つづく つづき
●enriched categoryによるアプローチ
さて，ここまで明確な定義を与えず高次圏の概念を説明してきたが，実は高次圏の問題はその定義にあった．というのも，多くの手法によって良い定義を与える努力が為されてきたが，あまり上手く行かなかったのである．例えば，古典的なものとしてはenriched category(豊穣圏)を用いた定式化があった．それを軽く説明しよう．
まず，enriched categoryとは，大雑把にいうとHom集合にある圏Vの対象の構造が入る圏である．例えば，通常の圏はSet-enriched categoryだと考えられる．また，圏の圏CatはHom集合に関手圏としての構造が入る．このことから，次のような定義が与えられた．
Definition.(strict n-category)
0-圏をSetとする．n-圏とは(n-1)Cat-enriched categoryの事である．
しかし，このような定義は技術的に非常に扱いずらい問題があった．その理由としては単純に射が多すぎるため，その可換性の条件などが非常に煩雑になるという訳だ．せいぜい2-圏が限界で，3-圏になるととても扱えたものではなかった．このように，多くの情報を扱う分「その情報をいかに簡略化し扱いやすくするか」という事は付随する大きな問題であった．
●∞カテゴリーの3つのモデル
さて，Lurieの理論に話をもどそう．Higher Topos Theoryにおいて，この”(∞,1)-圏”というアイデアを実現する対象として，ある意味において同値な次の3つのモデルを導入している．
topological category
simplicial category
quasi category
それぞれについて解説しよう．最初の二つはenriched categoryの枠組みを用いる．
Definition.(topological category)
topological categoryとは(コンパクト生成ハウスドルフな)位相空間の圏に関するenriched categoryである．
つづく つづき
これは最も説明しやすい．つまり，Hom集合に”空間”の構造が入っているという事である．通常の圏は，離散位相によりtopological categoryとみなすことができ，逆にtopological categoryが与えられればその”Hom空間”のΠ_0をHom集合として取ることにより”ホモトピー圏”を得ることができる．
異なるtopological categoryでも，”Hom空間”がup to homotopicで同型であれば，同じホモトピー圏を与えることが出来るという事である．次のモデルも本質的には変わらない．
Definition.(simplicial category)
simplicial categoryとはsimplicial setの圏に関するenriched categoryである．
simplicial setについては何も説明していないが，実はこれはある意味で「位相空間と同値な空間概念」とみなすことが出来る．
例えば，位相空間の特異コホモロジーはDold-Kan対応によりsimplicial setのコホモロジー論の一部とみることが出来るし，特筆すべきことは位相空間の基本群，ホモトピー群と同値な理論をsimplicial set内で構成する事が出来る．
これらは，特異単体を取る関手と幾何的実現関手により同値にうつりあう．このことから，simplicial categoryがtopological categoryと「同値な枠組み」である事は感覚的に”納得”は出来るだろう．
以上のモデルは比較的その”意味”について納得しやすいものだろう．しかし，Higher Topos Theoryにおいて中心的に扱われるのは，これらではなく次のquasi categoryと呼ばれるものである．
Definition.(quasi category)
simplicial set Sがquasi categoryであるとはinner horn inclusion
\displaystyle \{ \Lambda^{n}_{k} \to \Delta^{n} | n\in \mathbb{N}, 0<k<n \} に対して(uniqueとは限らない)Extension Propertyを持つ事をいう．
この定義は非常に突拍子のない定義のように思われる．まず，そもそも圏ではなく「ある条件を満たすsimplicial set」が∞カテゴリーだというのだ．
また，なぜこの定義を採用する強みは何なのだろうか？さらに，これらのモデルの”同値性”とは何なのだろうか？これらを説明するにはまたもう少しの準備が必要となるため，次回以降の記事において解説しようと思う．
(引用終り) ”「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．”か。至言かも・・・
https://infinitytopos.wordpress.com/2015/02/10/%e2%88%9e%e3%82%ab%e3%83%86%e3%82%b4%e3%83%aa%e3%83%bciii/
∞カテゴリーIII 投稿日: 2015年2月10日 投稿者: infinity_topos
(抜粋)
前回の二回の投稿で∞カテゴリーの一つのモデルであるquasi categoryについて解説してきた．その話によると，位相空間（の特異単体）や圏はsimplicial setの中でそれぞれ特徴づけを持ち，それらの性質を合わせたものがquasi categoryなのであった．
では，なぜsimplicial setで考える事に意味があるのか，それにはどういった優位性があるのだろうか，と考えるのは自然な疑問だろう．今回はそれに対する一つの答えを与えようと思う．
●Simplicial setの圏論的性質
まずは，圏論的な性質から考察しよう．これに関しては，simplicial setは位相空間と比べ格段に「良い」性質を持つ事が知られている．というのも，位相空間の圏は性質が悪すぎるのだ．
例えば，位相空間の圏はカルテシアン閉ではない．つまり，\displaystyle Hom_{\mathsf{Top}}(X\times Y,Z)\cong Hom_{\mathsf{Top}}(X,Z^Y)は成立しない．また，2つのCW複体\displaystyle X,Yの直積空間\displaystyle X\times YにCW複体の構造が入るとは入らない．
これらの問題は，前者は\displaystyle Yが局所コンパクト，後者は片方の空間が局所コンパクトなら実は成立する．しかし，では局所コンパクト空間のみ考えればよいかといえば，今度は局所コンパクト空間の圏\displaystyle \mathsf{LocCpt}は余極限について閉じない．
このように，何かを求めれば何かを失うといったところで，圏論的にも扱いやすい位相空間のクラスを見つけるという事は半世紀ほど前の一つの問題であった．そこでSteenrodのA convenient category of topological spacesなどで提案されてきたのが，コンパクト生成空間だ．
詳細は述べないが，このクラスにおいては余極限は変わらないが，ケリー化と呼ばれる通常と少し異なる直積位相を用いる．実はそれにより，前の二つの問題はどちらとも解決される．topological categoryの定義でコンパクト生成ハウスドルフ空間を用いるのも，実はこのような圏論的な要請が関連している．
つづく つづき
話をsimplicial setに戻そう．位相空間の圏と異なり，simplicial setの圏は非常に良い圏論的な性質を持つ．それは，この圏が関手圏\displaystyle \mathsf{Set}^{\Delta^{op}}に他ならないため，\displaystyle \mathsf{Set}から多くの良い性質を引き継げる事に多くを起因する．
例えば，\displaystyle \mathsf{Set}_{\Delta}は完備かつ余完備で，カルテシアン閉でもある．また，関手圏なので極限や余極限はsectionwiseに\displaystyle \mathsf{Set}内で求めればよい．更に，これは棚から牡丹餅とも言えるが，前層の圏なので特に(Grothendieck) toposになっている．
そこで，topos理論などの少々高等な圏論を用いる事も出来る．必ずしもこれら全ての性質を使うとは限らないが，なんといっても使える手が多いのだ．
●抽象化の力
しかし，この説明にはかなり不満も多いだろう．というのも，位相空間にはイメージのしやすさという明確な優位性がある．少々simplicial setの圏の性質が良かったところで，少なくとも位相空間に関する事は位相空間内で考えるほうが「分かりやすい」だろう．
これは圏に関してもそうだ．ある程度，圏論のイメージを掴んでいる人なら，Nerveを取らなくとも通常の圏のまま扱う方が分かりやすいに決まっている．
その感覚は正しいだろう．では，わざわざなぜsimplicial setで考えるのか？それを説明するために，一つの例としてgroupoidを値に持つ(co)fibered categoryを挙げてみようと思う．古典的には，これには同値な二つの定義がある．（例えばSGA1を参照されたい．）
Definition1.(cofibered category)
\displaystyle D上のcofibered categoryとは2-関手\displaystyle \phi :D \to \mathsf{Grpd}の事である．
2-関手とは関手性がup to isomorphismでしか成立しないという事を意味する．もう一つの定義はいささか複雑になる．
つづく つづき
Definition2.(cofibered category)
\displaystyle D上のcofibered categoryとは関手\displaystyle F:C\to Dで
(1) すべての\displaystyle c\in ob(C)とすべての射\displaystyle \eta:F(c)\to dに対して，ある射\displaystyle \tilde{\eta}:c\to \tilde{d}が存在して\displaystyle F(\tilde{\eta})=\etaが成立する，
(2) すべての射\displaystyle (\eta:c\to c')\in Mor(C)と対象\displaystyle c''\in ob(C)に対して
\displaystyle Hom_{C}(c',c'')\to Hom_{C}(c,c'')\times_{Hom_{D}(F(c),F(c''))}Hom_{D}(F(c'),F(c''))は全単射，を満たすものをいう．
これらの同値性はGrothendieck構成によって得られる．
Theorem.(Grothendieck construction)
圏同値\displaystyle \int :\mathsf{Fun}(D,\mathsf{Grpd})\cong \mathsf{Cofib}^{\mathsf{Gprd}}(D)が存在する．
圏同値なのならどちらも同じかと思うかもしれないが，そういう訳ではない．前者は一見シンプルで分かりやすいが，2-圏的な対象であるという難しさがある．それに比べ後者は少々複雑な条件が伴うが，2-圏的な要素を排除する事に成功している．このような「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．
(引用終り) >>135
> Ａが、キマイラ数列でなく、通常の数列だとどうやって見分けるのか
R^Nの元である通常の無限数列をN, N1, N2で表してキマイラ数列をN1(+)N2と表すとする
R^Nの元を用いて決定番号を求める
(1)決定番号が有限の値の場合
Aは通常の数列Nである
(2)決定番号が無限大になった場合
決定番号より小さい添字を持つ数列はN1であるから数列A=N1(+)N2から通常の数列N1を得ることができる
N1を用いて決定番号を求めれば有限の値が得られる https://infinitytopos.wordpress.com/2015/02/15/%e2%88%9e%e3%82%ab%e3%83%86%e3%82%b4%e3%83%aa%e3%83%bciv/
∞カテゴリーIV 投稿日: 2015年2月15日 投稿者: infinity_topos
(抜粋)
前回の投稿で予告したように，simplicial setの持つ様々な帰着原理について紹介しよう．
●米田、余完備、Kan拡張
さて，まず比較的一般性の高い事実から始めよう．simplicial setの圏\displaystyle \mathsf{Set}_\Deltaは前層の圏である．そこで，前層に一般的に成立する次の基本的な定理を復習しよう．
Theorem.
任意の前層\displaystyle P\in \mathsf{Set}^{C^{op}}は表現可能関手の余極限\displaystyle \varinjlim_{y\downarrow P} Hom(-,c_i)と同型である．
証明はMacLaneなどを参照されたい．index categoryの定義を述べていないが，とりあえず「任意の前層は表現可能関手の余極限で表される」と標語的に覚えておこう．以下では単に\displaystyle P\cong \varinjlim Hom(-,c_i)と表す．
さて，実はこの定理から次の興味深い事実が成立する．
Theorem.(Adjoint principle)
\displaystyle C,Dを圏とし，関手\displaystyle f:C\to Dが与えられているとする．このとき，\displaystyle Dが余完備ならば，関手fの拡張\displaystyle F:\mathsf{Set}^{C^{op}}\to Dが存在する．また，Fには右随伴関手Gが存在すｂ驕D
これらF,Gはexplicitな構成を持つ．
\displaystyle F(P)=F(\varinjlim Hom(-,c_i)):=\varinjlim f(c_i)
\displaystyle G(d):=Hom_{D}(f(-),d)
これらが互いに随伴になることは容易に示される．実は\displaystyle C=\Deltaの場合に今までに出てきた随伴はこの具体例である。
(引用終り) 東京工業大学 藤田 知未ちゃん、卒業したんやろね
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/seminars/spring_school/2014
代数的トポロジー信州春の学校 第3回 (2014年度)
開催日: 2015年3月3日 (火)〜6日 (金) (4日間)
場所: 信州大学理学部 (講義:第一講義室)
内容: ∞圏の基礎とそのいくつかの応用に関する講義とその準備のための勉強会の2本立て。
Higher category の構造とホモトピーの関係を理解し, ∞圏の定義にホモトピー論の言葉を用いることに納得すること。
3月4日以降の講義で用いられる単体的集合とモデル圏の言葉に慣れること。
これらの内容を7人の人で分担して話してもらいました。
3月3日
13:00〜14:00 勉強会 (1) 単体的集合とそのホモトピー (埼玉大学 飛嶋健司)
14:20〜15:20 勉強会 (2) Nerve functor について (中央大学 狩野 隼輔)
15:40〜16:40 勉強会 (3) 単体的集合と位相空間 (名古屋大学 鈴木 直矢)
17:00〜18:00 勉強会 (4) モデル圏の基本 (東京大学 佐藤 玄基)
3月4日
9:00〜10:00 勉強会 (5) Cofibrantly generated model structures (東京大学 若月 駿)
10:20〜11:20 勉強会 (6) Quillen による単体的集合の圏のモデル構造 (東京工業大学 藤田 知未)
11:40〜12:40 勉強会 (7) Joyal による単体的集合の圏のモデル構造 (東京大学 吉田 純)
講義録: 北海道大学D2 (当時) の劉君が, 取ったノートを送ってくれました。ここからダウンロードできます。
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/downloadables/spring_school/lecture_note3_by_Liu.pdf http://surgery.matrix.jp/math/2008stg/slides/minami_slides.pdf
Lurie's quasi category theory 変換群論シンポジュウム報告集. 南範彦. (名古屋工業大学) 2008 https://en.wikipedia.org/wiki/Quasi-category
Quasi-category
It has been suggested that (∞,1)-category be merged into this article. (Discuss) Proposed since January 2016.
In mathematics, a quasi-category (also called quasicategory, weak Kan complex, inner Kan complex, infinity category, ∞-category, Boardman complex, quategory) is a generalization of the notion of a category. The study of such generalizations is known as higher category theory.
Quasi-categories were introduced by Boardman & Vogt (1973). Andre Joyal has much advanced the study of quasi-categories showing that most of the usual basic category theory and some of the advanced notions and theorems have their analogues for quasi-categories.
An elaborate treatise of the theory of quasi-categories has been expounded by Jacob Lurie (2009).
Quasi-categories are certain simplicial sets. Like ordinary categories, they contain objects (the 0-simplices of the simplicial set) and morphisms between these objects (1-simplices). But unlike categories, the composition of two morphisms need not be uniquely defined.
All the morphisms that can serve as composition of two given morphisms are related to each other by higher order invertible morphisms (2-simplices thought of as "homotopies"). These higher order morphisms can also be composed, but again the composition is well-defined only up to even higher order invertible morphisms, etc.
The idea of higher category theory (at least, higher category theory when higher morphisms are invertible) is that, as opposed to the standard notion of a category, there should be a mapping space (rather than a mapping set) between two objects.
This suggests that a higher category should simply be a topologically enriched category. The model of quasi-categories is, however, better suited to applications than that of topologically enriched categories, though it has been proved by Lurie that the two have natural model structures that are Quillen equivalent. https://en.wikipedia.org/wiki/Simplicial_set
Simplicial set
From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematics, a simplicial set is a construction in categorical homotopy theory that is a pure algebraic model of the notion of a "well-behaved" topological space.
Historically, this model arose from earlier work in combinatorial topology and in particular from the notion of simplicial complexes. Simplicial sets are used to define quasi-categories, a basic notion of higher category theory.
History and uses of simplicial sets
Simplicial sets were originally used to give precise and convenient descriptions of classifying spaces of groups. This idea was vastly extended by Grothendieck's idea of considering classifying spaces of categories, and in particular by Quillen's work of algebraic K-theory.
In this work, which earned him a Fields Medal, Quillen developed surprisingly efficient methods for manipulating infinite simplicial sets.
Later these methods were used in other areas on the border between algebraic geometry and topology. For instance, the Andre-Quillen homology of a ring is a "non-abelian homology", defined and studied in this way.
Both the algebraic K-theory and the Andre-Quillen homology are defined using algebraic data to write down a simplicial set, and then taking the homotopy groups of this simplicial set. Sometimes one simply defines the algebraic K {\displaystyle K} K-theory as the space.
In recent years, simplicial sets have been used in higher category theory and derived algebraic geometry. Quasi-categories can be thought of as categories in which the composition of morphisms is defined only up to homotopy, and information about the composition of higher homotopies is also retained.
Quasi-categories are defined as simplicial sets satisfying one additional condition, the weak Kan condition. >>143
R^NのＮの定義と決定番号の集合をどう考えるか？
その定義と、無限定な時枝記事の「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.」>>114
「問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.」>>115
との整合性が求められる
これは、>>135に書いたように、N→100×Nと100×N→Nと両方可能だろうと
この文脈でR^NのＮの定義と決定番号の集合をどう考えるか？
当然、Ｎは>>106引用の可算無限集合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
(抜粋)
定義
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう。
(引用終り)
にあるとおり、Ｎは自然数全体の集合であり、可算無限集合そのもの
それは、>>116に引用したデデキント無限と考えれば、>>51に引用したヒルベルトの無限ホテルのパラドックスが成立するから、話はあう
では、決定番号の集合は？ 決定番号の集合をＫとしよう。
任意のｎ∈Ｎに対し、必ずｎ∈Ｋとできる。
∵ある無限数列、a=(a1,a2,・・・,an-1,an,a+1,*****)に対し、a'=(a1,a2,・・・,bn-1,an,a+1,*****) (つまりan-1≠bn-1で、 *****はしっぽの一致を表す)
aの同値類で、a'を代表とすれば、決定番号はｎで、 ｎ∈Ｋ
なので、Ｎ→Ｋの単射が存在するから、Ｎ⊆Ｋ
つまり、Ｎが可算無限を認めるなら、Ｋは可算無限
決定番号の集合が、可算無限集合を認めるならば、決定番号は必ず有限は言えないだろう
（そう言いたいのは分かるが、それと、N→100×Nとは両立しないよ） >>149
> つまり、Ｎが可算無限を認めるなら、Ｋは可算無限
>
> 決定番号の集合が、可算無限集合を認めるならば、決定番号は必ず有限は言えないだろう
スレ主の脳内：
決定番号の集合Kが上に有界でない→決定番号は有限値とは言えない
だせー間違いだなおいｗ >>149 補足
>>149はそもそも>>143の(1)決定番号が有限の値の場合に対する批判だが
（つまり、（キマイラでない）通常の数列の場合でも、必ず有限とは言えない）
”(2)決定番号が無限大になった場合
決定番号より小さい添字を持つ数列はN1であるから数列A=N1(+)N2から通常の数列N1を得ることができる
N1を用いて決定番号を求めれば有限の値が得られる”
も意味わからん >>150
ああ、そうだね
間違いだね
言い直そう
Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
それで話は合うだろ？ >>152 補足
コンパクト性定理があるから（下記）、超準自然数系を考えても良いが、いまはそれは仮定していないからね
普通の自然数に無限大自然数は含まれないね
http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20051207
2005-12-07 - 檜山正幸のキマイラ飼育記
(抜粋)
●コンパクト性定理
モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。
・Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ
これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。
論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。
・Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある
つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。
応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。
コンパクト性定理そのものを示すにもウルトラフィルターを使ったと思う。チコノフの定理も確かウルトラフィルターを使う証明があったような気がする（記憶が曖昧）。コンパクト性はウルトラフィルターで表現するのが自然なのかもしれない。
(引用終り) >>149
>>151
100列じゃなくて2列で話をするが
自然数全体の集合 N=1, 2, 3, 4, 5, ... があって偶数と奇数の2つに分けた場合
奇数全体 1, 3, 5, 7, ... はNと順序同型
偶数全体 2, 4, 6, 8, ... はNと順序同型
(キマイラ数列) 1, 3, 5, 7, ... , 2, 4, 6, 8, ... はNと順序同型でない (2の直前の項は存在しない)
Nと順序同型ならば決定番号は有限の値をとり(説明は過去スレにある)
> 自然数全体の集合 N との間に全単射が存在する
数列の順序を変えないで固定してアタマから順番に自然数と対応付けていくと
1, 3, 5, 7, ... , 2, 4, 6, 8, ... の場合はNと順序同型である奇数全体1, 3, 5, 7, ... のみ対応付けられる
(1, 1), (2, 3), (3, 5), ... , (n, 2n - 1), ... であるがこれは無限数列 an = 2n - 1であってキマイラ数列ではない
この無限数列an = 2n - 1の決定番号は有限の値をとる >>152
> ああ、そうだね
> 間違いだね
> 言い直そう
>
> Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
> それで話は合うだろ？
合うだろ？って言われても何がなんだか。
結局何を言いたいの？
KはたしかにNと同じく可算無限だよ。それがどうした？ >>149-153
まあ、ここら時枝記事の>>114-116
けっこうはちゃめちゃなことをやっている
可算無限個の箱を、仮に１列にならべる
↓
可算無限個の箱を、仮に１００列にならべかえる
↓
可算無限個の数列を、しっぽで同値類分類
・
・
「しっぽで同値類分類」って、なにそれ？ という感じでね
まあ、puzzleとしては面白いよね
でもまあ、ここらで終わりでいいでしょ はあ？コンパクト性は超フィルタが自然？
分かった風なこと言うなパーチクリン
被覆が自然なのが当たり前 >>156
> けっこうはちゃめちゃなことをやっている
全然はちゃめちゃではない。
R^Nから100個のR^Nを作ることは構成的にできる。
記事の同値関係〜も無矛盾。
> でもまあ、ここらで終わりでいいでしょ
俺もそう思う。お前は時枝問題を語るのをやめたほうがよい。 >>135
ビデオの逆回しが可能だという主張は逆写像が存在するということしか述べておらず、集合としての同等を示しません
集合としての同等を示すには外延性公理からそれぞれの要素が等しいことを示し必要があります
ところが2×N、より正確にはω×2だけどこれはNではあるωとは異なります。
なぜならω∈ω×2ですが、ω∉ωだからです。
以上よりωとω×2は濃度としては同じですが集合としては異なります。 >>155
Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
それで話は合うだろ？
ここ（>>149）で言っていることは、決定番号の集合Ｋは数列の長さＮから影響を受けるということ
例えば、簡単にZ^Nで考えよう （Z^N⊂R^N。(本当は正整数で済むが、N^Nでは混乱するから）)
>>110でしたように、πを少数展開して、可算無限長の数列を考えよう。πから小数点を抜いた数列を作る。それをs(π)とする
s(π)∈Z^Nを認めるとしよう ∵πは超越数だから
>>110でしたように、lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 2718281828459…を示した。e＝ 2.718281828459…だ
ここで、e＝ 2.7に変更とすると、同様にlim(n→∞) π'’n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 27 が得られる。これから得られる数列をAとしよう
e＝ 1.7に変更とすると、同様にlim(n→∞) π'''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 17 が得られる。これから得られる数列をBとしよう
最後の数字７が一致しているから、同値で A〜B。そこで、Aの同値類の代表をBと仮定する
100列のうちの一つの数列として、e＝ 3.7に変更したとして、同様にlim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37 が得られる。これから得られる数列をCとしよう
数列Cと代表Bの比較で、… 37と… 17とで、違いは、3と1のところだけ
とすると、決定番号がどうなるか？ πは超越数で無限桁だということを認めるとどうなる？
なにが言いたいかというと、Z^NにおけるＮの集合の性質が、決定番号の集合Ｋに反映されるということ
だから、決定番号を暴れないように大人しく扱いたいと思ったら、その前の数列Z^Nを規制しないとうまく行かないよと
lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37のような数列は含まれないようにしたい？
どうぞ、お願いします
lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37のような数列は含まれないようにすれば、決定番号は大人しく有限で治まるでしょ
それが可能かも知れないということは否定しないよ
簡単ではない気がするけどね・・
私は面倒だから、逆らわないようにしますよ（＾＾； >>157-159
はいはい、論文書いてね
１００年まっているよ（＾＾； 時枝は「普通の数列」でパラドクスが生じると言っている
「変な数列」を持ち込むまでもなくだ
時枝の戦略がうまくいかないことを言うには「変な数列」でなく「普通の数列」でなくてはいけない
スレ主は、そんなことも分かっていない >>157
おいおい、ageるな！ このプロ固定やろう！ >>162
「普通の数列」と「変な数列」と
うまく定義できれば良いね
論文書いてね
１００年まっているよ（＾＾； 決定番号が「何番か？」という問は順序的な性質であるにも関わらず
濃度レベルの同型を主張するスレ主は数学的な知識とセンスの両方が致命的に欠けている >>164
「普通の数列」とはωからRへの関数のことであり
「変な数列」とはωより大きな可算順序数からRへの関数のことである。 >>160
> だから、決定番号を暴れないように大人しく扱いたいと思ったら、その前の数列Z^Nを規制しないとうまく行かないよと
>
> lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37のような数列は含まれないようにしたい？
> どうぞ、お願いします
Z^Nにそういう数列は含まれない。なぜならZ^Nのindex setはNだから。
"3.14159265358979… 37"の最後の"3","7"の添え字はNでは表せない。
だからこの数列はZ^Nの要素ではない。
つまるところ、スレ主はZ^NやR^Nの定義を再度確認しましょう、という話。
index set Nを勝手に拡大解釈してはいけません。 スレ主以外みんなが分かり切ってることは論文にならない。新規性がないからね
むしろ、スレ主のトンデモなく新規性のある主張を論文にすべき 今日忙しくて全然読めてないんだけど、
＞つまるところ、スレ主はZ^NやR^Nの定義を再度確認しましょう、という話。
これが今日一日の結論？ なら読まなくて正解だった 突然ですが、昨日「世界津波の日」。日本が提案したんだね
http://www.mofa.go.jp/mofaj/press/pr/wakaru/topics/vol140/index.html
外務省: 「世界津波の日」の制定 2016年3月10日
(抜粋)
■「世界津波の日」制定を目指して
第3回国連防災世界会議で，我が国は，11月5日が日本の「津波防災の日」であることに触れ，世界中の防災意識の向上のため「世界津波の日」を制定することを提案しました。
「津波防災の日」とは，江戸時代後期，安政元年（1854年）11月5日に起こった安政南海地震に由来するものです。この大地震により紀伊半島に大津波が襲来した際，現在の和歌山県広川町で，村人が自ら収穫した稲わらに火を付け人々を高台に誘導したという「稲むらの火」という逸話に基づき定められました。
「世界津波の日」についても，過去に大きな被害が発生した日ではなく，早期警報と伝統的知識の活用によって人々の命が救われた成功例にちなんだ日であってほしいとの願いに基づき，「世界津波の日」の制定に向けての活動が始まり，日本が中心となって，各国間への支持要請が重ねられました。
また，日本国内においても有志国会議員が100か国を超える在京大使館を往訪し，働きかけるなど，本件への支持が確実に広がりました。
「稲むらの火」
稲むらの火 現在の和歌山県広川町の村民・梧陵（ごりょう）は，海水のひき方や井戸水の急激な減少により，大津波を予期。村民を避難させるため，自分の田んぼで収穫された稲わらに火を投じ，急を知らせ，村人を救ったとされる。
(引用終り) >>40 戻る
重箱の隅だけど、これπとeの少数展開で最後の桁間違っているね
誤
π＝3.14159265359…
ｅ＝2.71828182846…
正１（少数１５桁 >>6より）
π＝3.14159 26535 89793 ・・・
ｅ＝2.71828 18284 59045 ・・・
正２（少数１１桁に直すと）
π＝3.14159 26535 8…
ｅ＝2.71828 18284 5…
（注：…のない四捨五入の近似値としては、冒頭の数字が正しい。が、…つきの無限小数としての表記なら、上記であるべき） >>169
このくそプロ固定にも困ったものだ。稼ぎのためにすぐageたがる （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>614 再録
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
さらに、前スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」
（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>176 より 再録
数学セミナー201511月号P37 時枝記事より
「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」 >>173
補足
（引用開始）
「(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
・・・
当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
（引用終了）
これは、(1)無限を直接扱う を否定している。だから、残る選択肢は、(2)有限の極限として間接に扱う だ
ところが、上記で見たように、(2)有限の極限として間接に扱う と、無限数列のしっぽによる同値類分類は、相性がよくない
果たして、(2)有限の極限として間接に扱う で、無限数列のしっぽによる同値類分類が完遂できるのか？ 大きな問題だろう >>160 もどる
自画自賛で悪いが
>>110のlim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 2718281828459…を示した。e＝ 2.718281828459…
これ自分で考えた装置だが、結構気に入った
eのところにいろんな数字を入れると、結構遊べる
例えば、e＝10/3=3.3333333…だと
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 33333333…
例えば、e＝10/9=1.1111111…だと
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 11111111…
例えば、e＝100/99=1.01010101010101…だと
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 101010101010101…
100/99→1000/999とかいくらでも変えられる
そして、これらe＝ 2.718281828459…、10/3、10/9、100/99、・・・と変わると、しっぽが変わるから、同じ同値類には属さない
問題は、我々にこの差が見分けられるのか？だ
つまり、我々の日常のコーシー列では、これらe/10^nたちは、lim(n→∞) e/10^n→0。 つまりすべてゼロと見なして、問題ないから、無視できる存在なのだ
ところが、しっぽで同値を見るとなると、問題だ
本来のπ＝3.14159265358979… と、lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n との区別がつくのかどうか？
「式が違う」？ そうだ。式が違うから、式が分かっていれば、見分けがつく。しかし、数列しか見えないとしたら？
上記e/10^nみたいなトリビアな存在が、しっぽにちょこっと付いている。それが見分けがつくのか？
そもそも、我々は、時枝がいうように、lim(n→∞)の極限を考えている
繰り返すが、>>110で示したように、コーシー列として扱うならこのようなトリビアな存在は問題ない。が、しっぽで同値を見るとなると、トリビアな存在が大きな問題になるのだった
だから、無限数列のしっぽで同値類を分類するなど、従来の数学には無かったわけで、これを本当に扱えるかどうか
lim(n→∞)の極限を考えている限り、コーシー列ならlim(n→∞) e/10^n→0で収束するが、しっぽの同値類では収束しないので困るよ >>117 戻る
時枝記事の解法が成り立たない理由は、主に下記３つ
１）決定番号の確率分布は平均値も標準偏差も存在しない奇妙なものだから、１００列で99/10は導けないこと（大数の法則も、中心極限定理も不成立だよ）
２）しっぽでの分類と決定番号を考えると、単純に考えて、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… のようなキマイラ数列の扱いに困ることになる
（可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ）
３）無限数列のしっぽで同値類を分類するなど、従来の数学には無かったわけで、これを本当に扱えるかどうか
lim(n→∞)の極限を考えている限り、コーシー列ならlim(n→∞) e/10^n→0で収束するが、しっぽの同値類では収束しないよ
補足
１）は、おそらく根本的な問題で、解決できないだろう。（１００列で99/10は導けない）
２）は、なんとかなるかもしれないが、結構難しいと思う
３）も、結構致命的かな
なお、lim(n→∞)の極限を考えるという話は、上記時枝記事>>173-174にある通り >>165-156
言っていることが分からないが
>>175で作った
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 33333333…
とか
「普通の数列」でしょ？
だって、lim(n→∞)として、極限を考えただけだから
これがだめなら、そもそも
π＝3.14159 26535 8…から作られる数列 s(π)＝3 14159 26535 8… （>>160） も「普通の数列」でなくなるよ（＾＾； >>167
>"3.14159265358979… 37"の最後の"3","7"の添え字はNでは表せない。
lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37
で、lim(n→∞)として、極限を考えただけだよ
"添え字はNでは表せない"→その数列は扱わない？
だったら、そう定義したら？
それなら、最初の時枝記事（>>114-115）に戻りなさいよ
箱が可算無限個ある→１列に並べる→100列に並べる だった
最初の”可算無限個”の定義に戻るべし。”可算無限個”の定義で、「"添え字はNでは表せない"→その数列は扱わない」としたらどう？
でも、それで、１列（可算無限）に並べる→100列（可算無限）に並べる が実現できるかどうか？ そこをよく考えてね
あと、>>177ご参照 >>110
"数列の連結"なるものが定義できるのか？という問いへの答えの中で、"数列の連結"があたかも定義済みかの如く使っている
馬鹿の極み >>178
＞lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37
このようなおかしな数列を「扱うか扱わないか」という話題と、
このようなおかしな数列が「Z^N の中で扱えるか」という話題とが
ごっちゃになってるな。
「扱うか扱わないか」で言えば、数列の空間を適切に構成すれば扱うことは可能。
ただし、Z^Nという空間の中に構成することはできない(理由は>>167そのもの)。
一方で、>>167がZ^Nにこだわっている理由は、スレ主が
＞なにが言いたいかというと、Z^NにおけるＮの集合の性質が、決定番号の集合Ｋに反映されるということ
＞だから、決定番号を暴れないように大人しく扱いたいと思ったら、その前の数列Z^Nを規制しないとうまく行かないよと
このような発言をしたからだ。この発言は明らかに間違っていて、
Z^Nという空間の中で議論する限りは、スレ主が提唱するおかしな数列は存在しえないのだ。
まとめると、次のようになる。
・ スレ主が提唱するおかしな数列は、数列の空間を適切に構成すれば扱うことは可能。
・ ただし、Z^N の上で議論するなら存在しえない。
・ スレ主は Z^N の上で議論しているので、結局、おかしな数列は扱えない(自滅しているｗｗ)。
・ おかしな数列を扱いたいなら、Z^N ではない、別の空間を適切に構成しなければならない。
・ どのような空間を構成すべきかは、スレ主が自分で考えるしかない。 >>177
通常0.a_1 a_2 a_3…は
lim[n→∞]Σ[k=1,n]a_k/10^k
として意味を持つ。
ところがスレ主の書いてる「3.14…333...」は”…”が二回来てるためまだ意味を持っていない。まずそれを定義しろ
またlim[n→∞](π+e/10^n)=π=3.14…であり、スレ主の謎の記号である3.14…333...は登場しない
さらに14…333...という文字列はω+ωから{0,1,…,9}への関数なので、通常の数列ではない >>178 補足
式を詳しく書くと>>160
e＝ 3.7に変更したとして、同様にlim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37
後半は e＝ 3.7でe/10^n＝0.0・・・037 （ 3は少数第ｎ位で、7は少数第ｎ+1位）。ここで lim(n→∞) を考えるだけ
前半は πn=：a1. a2a3a4a5・・・an （πの少数第ｎ-1位までの近似値）。ここで lim(n→∞) を考えるだけ
πn=：a1. a2a3a4a5・・・anを説明すると
例えば、πに収束する級数で分かり易い ライプニッツの公式を採用して （https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87）
π＝4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1) として、少数第ｎ-1位までの近似値として、エクセルのround関数 を使うと＊）
πn＝round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) と書ける。ここで lim(n→∞) を考えるだけ
だから、もとの級数は
π''''n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) +e/10^n （単純な二つの式の和であることにご注意。ここにe＝ 3.7 ） ここで lim(n→∞) を考えるだけ
「"3.14159265358979… 37"の最後の"3","7"の添え字はNでは表せない」から、その数列は扱わない？？
そう定義するならそれもあり
だが、その定義では、最初の時枝記事で、箱が可算無限個あるとされる数列の中で、いったいどんな数列が生き残るのか？
＊）
エクセルのround関数説明：http://kokoro.kir.jp/excel/round.html 切り上げ・切り捨て・四捨五入：ROUND系関数--Excel・エクセル
なお、いうまでもなく、エクセルのround関数は単なる例で、これに限らない >>179
ageるなって、このプロ固定やろう！ そんなに稼ぎが大事か >>182
> いったいどんな数列が生き残るのか？
答え：全てのR^Nが生き残る >>182
補足もクソもない。そのようなおかしな数列は、R^N の中にも Z^N の中にも存在しえない
(扱うこと自体は可能だが、R^N や Z^N の中では扱えない)。
よって、そのようなおかしな数列が扱えるような適切な空間を構成するのが先。
スレ主はそこをすっ飛ばしているのでポエムにしかなってない。
＞だが、その定義では、最初の時枝記事で、箱が可算無限個あるとされる数列の中で、いったいどんな数列が生き残るのか？
N の元を添え字とする実数列(すなわちR^Nの元)が生き残り、
スレ主が提唱するおかしな数列だけが消滅する。
もともとおかしな数列であって単なるゴミだから、消滅しても全く問題ない。 >>179
>>110は別に難しいことはやってないよ
普通の代数和を使って、無限列は極限 lim(n→∞) で処理しただけ
それは、>>173-174 時枝記事 (2)有限の極限として間接に扱うの方針通り
別のやり方で、下記のような定義も可能だ
π＝ 3.14159 26535 8979… ＝a1. a2a3a4a5・・・an・・・
ｅ＝ 2.71828 18284 5904… ＝b1. b2b3b4b5・・・bn・・・
ここで、πとｅの少数第n-1位までの部分数列を定義する
πn＝ 3 14159 26535 8979・・・an ＝a1a2a3a4a5・・・an
ｅn＝ 2 71828 18284 5904・・・bn ＝b1b2b3b4b5・・・bn
有限のモノイドの文字の連接（演算記号＊とする）を借りると
πn＊ｅn＝a1a2a3a4a5・・・an b1b2b3b4b5・・・bn
可算無限を考えるなら極限 lim(n→∞) を考えて
lim(n→∞) πn＊ｅn＝a1a2a3a4a5・・・an… b1b2b3b4b5・・・bn…
前半がπを表現し、後半がｅを表現する
この極限 lim(n→∞) は、大学数学では頻出テクでしょ
頭から連番が付かないから困る？
２つ添え字ijを使う。大学数学では頻出テク（>>61）
前半を(1,1),(1,2),・・・・(1,n),・・・
後半を(2,1),(2,2),・・・・(2,n),・・・
とする。これで無問題
可付番で、可算無限だから、時枝記事の数列の定義に合う 大前提：時枝やHart氏はR^ωの元を考えている
［R^ωの定義を理解できないスレ主の脳内］
→箱の個数は可算無限。当然ωの濃度も可算無限。
→3.14159...2.71828...も可算無限の箱に入れられるではないか！
→このような数列も考えなければいけないはずだ！
→決定番号は有限値にならない！時枝は間違っている！（したり顔）
［スレ主に対する全員の突っ込み］
・それはR^ωの元ではない。R^(ω2)の元です。
・ωとω2は濃度としては可算無限で等しいですが、集合としては異なるものです。
・R^(ω2）を考えたいの？どうぞ勝手にやってください（・・・こいつ馬鹿じゃねーの？） >>184
>答え：全てのR^Nが生き残る
lim(n→∞) で
πを表現する数列S(π)=3 14159265358979…は生き残る
e＝ 3.7 でe/10^n＝0.0・・・037 （ 3は少数第ｎ位で、7は少数第ｎ+1位）を表現する数列S(e/10^n)=0 0・・・037は生き残る
だから、二つの和
π＋e/10^n＝3 14159265358979…37 を表現する数列S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…37は生き残る
ＱＥＤ >>186
ageるなって、このプロ固定やろう！ そんなに稼ぎが大事か >>185
>もともとおかしな数列であって単なるゴミだから、消滅しても全く問題ない。
おお、消滅定理か！ 論文かけるぞ！ どうぞ
100年まってるよ >>188
>・それはR^ωの元ではない。R^(ω2)の元です。
>・ωとω2は濃度としては可算無限で等しいですが、集合としては異なるものです。
話は逆で、R^ωの元から、R^(ω100)の元を作るのが、時枝記事だよ >>189,191
何いってるんだこいつ。そこは
＞「"3.14159265358979… 37"の最後の"3","7"の添え字はNでは表せない」から、その数列は扱わない？？
＞そう定義するならそれもあり
＞だが、その定義では、最初の時枝記事で、箱が可算無限個あるとされる数列の中で、いったいどんな数列が生き残るのか？
これが話の前提であって、「スレ主が提唱するおかしな数列を扱わない場合には何が生き残るのか」
っていう話なんだから、生き残るのは R^N の数列だけだろ。
だって、そもそも扱わないという前提の話なんだから。
論文が何だって？お前、日本語が読めないのか？ 「扱わない」という前提の話に対して「扱った場合」の結論を持ってくるアホｗ
何の反論にもなってないし、そもそも数学以前に日本語の問題ｗ
消滅定理が何だって？バカじゃねーの。 >>187
全く分かってないようなので具体的に教えてやろう
まず
3.14159265358979… 2718281828459…
なるものが未定義（これが定義できないというのがそもそもの問題）
にもかかわらずお前は
＞ここで、数列 2718281828459…をπ＝ xの後ろに連結すると
＞z ＝ 3.14159265358979…2718281828459…
などと訳の分からないことを言っている
そして仮に
3.14159265358979… 2718281828459…
なる実数（≠π）が定義できたとして
lim[n→∞]π'n=π≠3.14159265358979… 2718281828459…
ゆえにお前は何重にも間違ってる。そもそも基礎が全くわかっていない。 >>192
> 話は逆で、R^ωの元から、R^(ω100)の元を作るのが、時枝記事だよ
あのさぁ。
［時枝の話］
R^ωの元から100個のR^ωを作り、その100個のR^ωを扱う。
［スレ主の話］
R^ωの元から1個のR^(ω100）を作り、1個のR^(ω100）を扱う。
この二つが違うことくらい分かるでしょう？
R^(ω100）の元だって"作る"ことは可能だよ？
だけど時枝の記事はそんな元を"扱わない"って言ってるんだよ。 >>189
スレ主の使ってるSという関数は実数xに対してその10進数無限小数展開を対応させているものだ
nが自然数であるときπとe/10^nは実数として足すことができる。その演算結果を3.14 a_4 a_5 ...とすると
S(π+e/10^n)=3.14… a_4 a_5 …であって
3.14…37ではない
またスレ主はπの10進数小数展開において小数第n-1位で区切ったものをπ_nとしてS(π+e/10^n)=3.14…(n-3個の数字) 37とした。
これ自体は正しいがここから安易にlimというものを考えるには注意が必要となる
単なる10進表記として見る場合3.14…(n-3個の数字) 37のn→∞の極限は3.14…となりπそのものである
しかし3.14…(n-3個の数字) 37を単なる文字列として見た場合はそのn→∞の極限というのはまだ考えられていない
一つの解決策はn+2におけるnをωに取り替えてω+2と思うことだが、こうすると10進表記という元々の意味合いが失われる
スレ主が安易に極限操作なるものが成立し、それが実数の中で保存されると思ったのが間違いである。 >>189,191
もしかしてこのバカは、
・「扱わない」という前提のもとでも「扱える」ことが帰着される
とでも言いたいのだろうか？
だとしたら矛盾が生じるから、スレ主は自滅する。
もし「扱える」ことが帰着されるのなら、最初から R^N の中で考えればいいのであり、
R^N で考えても「扱える」ことが帰着されることになる。
しかし、既に述べたように、R^N の中では「扱えない」ので矛盾する。
スレ主のおかしな数列を扱うには、スレ主自身が>>187で書いているように、
２つ添え字ijを使うなどして、R^Nから はみ出した別の空間を用意しなければならない。
結局、>>189,191 が何を言いたいのか全く意味不明。
「扱わない」という前提の話に対して「扱った場合」の結論を持ってくる、日本語の読めないアホ
としか言いようがない。 >>82で言ったとおり、
・自覚がないが悪意もない馬鹿（＝誤答おじさん）はマシ。
・非誠実で悪意のある馬鹿（＝スレ主）は最悪。
このスレ主の場合、単なる馬鹿ではなく、
スレを伸ばすために役者を演っている可能性もある。
いずれにせよ数学板で論理を解さない人間がデカイ顔をすると
どうにも始末に負えないという典型例。
関わった人間全員が時間を浪費。
儲かるのはad業者とプロ固定のみ。 >>192 追加
>>188
>・それはR^ωの元ではない。R^(ω2)の元です。
そうそう、>>160と>>189に書いたが、e＝ 2.718281828459…の桁数を落として、２桁にした
だから、このモデルではR^(ω2)の元ではない。R^ωの元になるよ
lim(n→∞) で >>160のように
π＋e/10^n＝3 14159265358979…37 を表現する数列S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…37
これは、明らかにR^ωの元 （エクセルのround関数による定義は>>182で説明の通り）
e＝ 1.7に変更とすると
π＋e/10^n＝3 14159265358979…17 を表現する数列S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…17
これも、明らかにR^ωの元 （上記に同じ）
なお、エクセルのround関数による定義は>>182の通り
これで、R^ωの元 だということは、ご納得頂けるだろう
そこで、>>160にも書いているが、
lim(n→∞) で、数列S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…17 を代表として、S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…37 を100列のうちの一つの数列とする
決定番号や如何に？ 二つの比較で、… 17と… 37とで、違いは、1と3のところだけ
とすると、決定番号がどうなるか？ πは超越数で無限桁だということを認めるとどうなる？
決定番号が決められない？ だから、この数列は排除？
これ、R^ωの元だよ。排除して、何が残る？ >>195
混乱している
普通に我々が実数をコーシー列で考えている場合は、自然にユークリッド距離が入る
ユークリッド距離を前提として
3.14159265358979… 2718281828459…はπに収束するよ >>200
＞π＋e/10^n＝3 14159265358979…17 を表現する数列S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…17
＞これも、明らかにR^ωの元 （上記に同じ）
eの方を2桁にしても無駄。これはR^ωの元にならないよ。
なぜなら、「3 14159265358979…17」における末尾の「17」は、
"無限桁目" とでも表現すべき桁にしか出現しえないから。
そのようなシロモノはR^ωの元にならない。 >>196
じゃ、>>200はどうだ
すべて、R^ωの中だ >>203
それは、極限lim(n→∞) を考えないという意味？
意味不明だね
円周率πを表現する数列は？
極限lim(n→∞) を考えない？
極限lim(n→∞) を考えないで
円周率πを表現する数列に関する同値類分類をどうやって実現するんだ？ >>204
＞すべて、R^ωの中だ
間違っている。「3 14159265358979…17」における末尾の「17」は、
"無限桁目" とでも表現すべき桁にしか出現しえないので、
R^ωの元にならない。 >>198
いみ分からん
話が哲学すぎて
論文書いてきくれ
100年待っている
追伸
>>200で、すべてR^Nに収まるモデルを作ったよ
なお>>205も見てね >>205
バーーカ。
普通の10進法展開で普通にπを無限小数展開すると
π＝3 14159265358979…
となり、これに対応する R^N の中の数列を x とすると、これは
x_1＝3, x_2＝1, x_3＝4, x_4＝1, …
などとなり、R^N の中で扱える。一方で、お前が考える
「3 14159265358979…17」を R^N の中の数列として表現しようとすると、
それを y とでも置けば
y_1＝3, y_2＝1, y_3＝4, y_4＝1, …
などとなり、末尾の「17」を表現する y_i が i∈N の範囲では存在しない。
だから、お前の考える 「3 14159265358979…17」は R^N の中では存在し得ない。 >>208
ふーん、>>182で書いた、エクセルのround関数を使った式がわからんと？
lim(n→∞)
π''''n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) +e/10^n （単純な二つの式の和であることにご注意。ここにe＝ 3.7 ） >>182
πがR^N の中で扱える
その通り
同じ理由で、3 14159265358979…17 もR^N の中で扱える
だって、lim(n→∞) しか使ってないから >>210
だからさあ、「3 14159265358979…17」という数列が R^N の元だと
言い張るのなら、具体的にこれを y∈R^N の表記で記述してみろよ。
y_1＝3, y_2＝1, y_3＝4, y_4＝1, …
こうなるしかないんだから、末尾の「17」を表現する y_i が i∈N の範囲では存在しないだろ。
お前の考える 「3 14159265358979…17」は R^N の中では存在し得ないんだよ。
もしかしてお前、
・ π ∈ R
・ (πの10進法展開に対応する数列) ∈ R^N
の2種類を混同してるんじゃないだろうな？
とにかく、お前の考える 「3 14159265358979…17」は
R^N の中では存在し得ないことは明白だぞ。 >>197
＞一つの解決策はn+2におけるnをωに取り替えてω+2と思うことだが、こうすると10進表記という元々の意味合いが失われる
>>182を見てね
エクセルのround関数を使った式で
lim(n→∞)
π''''n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) +e/10^n （単純な二つの式の和であることにご注意。ここにe＝ 3.7 ） >>182
とした
だから、ω+2不要だよ >>210
＞πがR^N の中で扱える
＞その通り
＞同じ理由で、3 14159265358979…17 もR^N の中で扱える
＞だって、lim(n→∞) しか使ってないから
やっぱりお前、
R における極限値の意味での π ∈ R と、
(πの10進法展開に対応する数列) ∈ R^N とを
混同してるんじゃないのか？
ある数列が R^N の元であるか否かは、N から R への写像によって
その数列が表現できるかどうかで決まるんだぞ。
「3 14159265358979…17」という数列が R^N の元だと言い張るのなら、
具体的にこれを y∈R^N の表記で記述してみろよ。
y_1＝3, y_2＝1, y_3＝4, y_4＝1, …
こうなるしかないんだから、末尾の「17」を表現する y_i が i∈N の範囲では存在しないだろ。
お前の考える 「3 14159265358979…17」は R^N の中では存在し得ないんだよ。 >>211
それは決定番号が決められないから、都合悪い
そういう主張と同じだよ >>210
とりあえず極限操作をしたいのであれば位相を入れることから始めよう
通常のユークリッド位相であれば
3.14…(n-3個の数字) 37 →3.14…
となり末尾の37は消え失せる
数列空間にどんな位相を入れ
3.14…(n-3個の数字) 37 →3.14…(ω個の数字)37
を導いたのか、それをまず定義する必要がある >>214-215
何いってるんだこいつ。
都合が悪いんじゃなくて、R^N の定義に照らし合わせると
3 14159265358979…17 ∈ R^N
が「成 り 立 た な い」と言ってるんだよ。もし
3 14159265358979…17 ∈ R^N
が成り立つと言い張るのなら、末尾の「17」を表現する y_i の「i」は
一体いくつなんだよ。i＝∞ とでも表現するしかないだろ。
そのような i は i∈N を満たしてないんだから、
3 14159265358979…17 ∈ R^N は成り立たないだろ。
このような現象は、都合がいいとか悪いとかじゃないだろ。
お前がいうところの
3 14159265358979…17 ∈ R^N
という主張が「間違っている」という話だろ。バーーカ。 >>212
答えになってない
通常ユークリッド位相の極限としてみると末尾の37は消えるから、その意味でR^ωで閉じてる
しかしスレ主は末尾の37を残してしまったがために、よく分からない位相を考えさらにω+2を用意せざるをえなくなった >>217
その理屈だと、無限小数πを表現する無限数列について
同値類ができなくなる
時枝問題は
無限小数πを表現する無限数列の同値類分類との両立が求められている >>204
> じゃ、>>200はどうだ
> すべて、R^ωの中だ
>>200
> π＋e/10^n＝3 14159265358979…37 を表現する数列S(π＋e/10^n)=3 14159265358979…37
> これは、明らかにR^ωの元 （エクセルのround関数による定義は>>182で説明の通り）
スレ主の間違い。314159265358979…37はR^ωの元ではない。
これはR^(ω+2)の元であり、R^ωの元ではない。
ここでindex set ω,ω+2はそれぞれ
・ω＝N＝{1,2,3,...}
・ω+2＝{1,2,3,...,ω,ω+1}である。
314159265358979…37の"3","7"のindexはそれぞれ"ω","ω+1"である。 >>219
>通常ユークリッド位相の極限としてみると末尾の37は消えるから、その意味でR^ωで閉じてる
Yes
>しかしスレ主は末尾の37を残してしまったがために、よく分からない位相を考えさらにω+2を用意せざるをえなくなった
おれは、別に位相や距離は考えていないが
”よく分からない”という批判は時枝のしっぽの同値類分類にこそある
本来、ユークリッド位相の極限としてみると消えるべき末尾で同値類分類をするというのだから
批判はそっくり時枝記事に行くよ >>220
同値類は R^N の中で普通に定義可能だろｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
過去スレに何度も「〜」という記号で具体的な定義つきで貼られてただろｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
お前も最初はヘンな数列を持ち出さずに R^N の中で普通に議論してただろｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ >>221
その批判は成り立たないよ
>>182の式をよく見てね
π''''n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) +e/10^n >>182
これと
π'n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1)
は数式としては、その性質において差はないよ
だから、後者がωなら前者もωだよ >>222
しっぽの同値類はx,y∈R^ωに対して
x~y⇔(def)∃n∈ω,∀m>n,π_m(x)=π_m(y) ただしπ_m:R^ω→Rはm番目の標準射影
としてR^ωの中で完結している
消えるべき末尾での同値類なんて時枝は取っていない >>225
以下の3行は、過去スレから拾ってきたものである。
＞実数列の集合 R^Nを考える.
＞s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう
＞(いわばコーシーのべったり版).
ほらね、R^N の中だけで普通に同値類が定義できてるじゃん。
これでスレ主は完全に論破された。
・ R^N の中だけで普通に同値類は定義できる。
・ 3 14159265358979…17 ∈ R^N は成り立たない。どの理屈を採用するかではなく、これは完全に成り立たない。 >>216
その批判こそ、時枝の>>114-115
に当てはまる
>>114-115で位相は定義されていないよ
そして、無限数列のしっぽで同値類分類をするという
そこから、決定番号を導くところで破綻していると思うよ >>228
時枝は>>114-115でlimなんて持ち出していないから当然位相なんて考える必要ない
しかしスレ主は反例構成においてlimを使ってるのでそのlimは何かと聞いている >>224
> π''''n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) +e/10^n >>182
> これと
> π'n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1)
>
> は数式としては、その性質において差はないよ
>
> だから、後者がωなら前者もωだよ
ほう。
じゃあ自分自身で導いた矛盾を自分自身で何とかしたまえよ。
前者でR^ωの元314159265358979…37が生じるというなら、
"3"と"7"の添え字をindex set ωの元で表してみなさい。 >>228
「 R^N の中だけで普通に同値類が定義できる」という話をしているのに、
「そこでは位相が定義されていない」という返答では意味が通らない。
まさか、同値類を定義するのに位相が不可欠だと勘違いしているのか？
同値類を定義するのに位相は全く必要ないよ。
だから、お前のレスは何の反論にもなってない。 再録＆修正>>176
時枝記事の解法が成り立たない理由は、主に下記３つ
１）決定番号の確率分布は平均値も標準偏差も存在しない奇妙なものだから、１００列で99/10は導けないこと（大数の法則も、中心極限定理も不成立だよ）
２）しっぽでの分類と決定番号を考えると、単純に考えて、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… のようなキマイラ数列の扱いに困ることになる
（可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ）
３）無限数列のしっぽで同値類を分類するなど、従来の数学には無かったわけで、これを本当に扱えるかどうか
lim(n→∞)の極限を考えている限り、コーシー列ならlim(n→∞) e/10^n→0で収束するが、しっぽの同値類では収束しないよ
補足
１）は、おそらく根本的な問題で、解決できないだろう。（１００列で99/10は導けない）
２）は、なんとかなるかもしれないが、結構難しいと思う
３）も、結構致命的かな。同値類を分類と決定番号の有限が両立しないように思う
なお、lim(n→∞)の極限を考えるという話は、上記時枝記事>>173-174にある通り >>233
上記２）と３）ばかり議論されているようだが、１）の問題もあるわけで。
結局、時枝記事の解法は成立しないと思う >>232
>>216の文脈で回答しているよ
位相の話も相手から出た話だよ >>231
それは自己都合の論理だよ
その質問はこちらがする問いだよ
代表番号で困るだろ >>202
＞3.14159265358979… 2718281828459…はπに収束するよ
お前わざとボケてるだろｗ
3.14159265358979… 2718281828459… が未定義、すなわち「存在しないモノ」だと言ってるんだよ
存在しないモノが収束もへったくれもあるかボケ！
反論があるなら先ず 3.14159265358979… 2718281828459… なるモノを定義しなさい
話はそれからだ 先に言っておくが
lim[n→∞]π'n=πだから
3.14159265358979… 2718281828459…:=lim[n→∞]π'n
などという定義は無意味だぞ？ >>230
時枝は、>>173-174で、無限を(2)有限の極限として間接に扱う と言っている
そして、”勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる” （注 (1)無限を直接扱う）
だから、” (1)無限を直接扱う”は否定されているのだから
可算無限個の箱の扱いは、必然(2)有限の極限として間接に扱うとならざるを得ないよ
そして暗に使っているだろ
”いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.”
とある
二つしか方針はないのだから >>235
お前は >>229 において、>>227 に対しても同一の >>228 を押してきただろ。
しかし、>228 は >227 に対する反論になってない、と言っているのだ。
なぜなら、>227 は「 R^N の中だけで普通に同値類が定義できる」という話であり、
一方で >228 は「そこでは位相が定義されていない」という返答だからだ。
これでは意味が通らない。
もう一度言うが、同値類を定義するのに位相は全く必要ない。
そして、>>227 において、R^N の中だけで普通に同値類が定義できている。
この明確な事実に対して、お前は何にも反論できてない。 >>236
> >>231
> それは自己都合の論理だよ
> その質問はこちらがする問いだよ
> 代表番号で困るだろ
意味不明。俺は代表番号など話題してない。
>>224
> π''''n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1) +e/10^n >>182
> これと
> π'n=round(4Σ(n=0, n→∞)(-1)^n/(2n+1), n-1)
>
> は数式としては、その性質において差はないよ
>
> だから、後者がωなら前者もωだよ
と言ったお前に対して、自分自身で導いた矛盾を
自分自身で何とかしたまえ、と言っている。
前者でR^ωの元314159265358979…37が生じるというなら、
"3"と"7"の添え字をindex set ωの元で表してみなさい。 >>237
定義は終わっているだろ
それが２ωだとか言いたいんじゃないの？
で、>>200だよ >>233
＞３）無限数列のしっぽで同値類を分類するなど、従来の数学には無かったわけで、これを本当に扱えるかどうか
＞ lim(n→∞)の極限を考えている限り、コーシー列ならlim(n→∞) e/10^n→0で収束するが、しっぽの同値類では収束しないよ
従来から存在する普通の数学である。
また、R^N の中に lim(n→∞) の話は出てこない。
スレ主は、10進法展開 0.x_1x_2x_3…∈R を数列(x_1,x_2,x_3,…)∈R^N に対応させるところで
R と R^N を混同している。10進法展開 0.x_1x_2x_3… には R の位相が必要だが、
数列(x_1,x_2,x_3,…) に R^N の位相は全く必要ないのだ。
にも関わらず、なぜかスレ主は「 R^N にも位相が必要で、位相がなければ同値類すら定義できない」
と勘違いしている。 >>242
＞で、>>200だよ
その >>200 には間違った主張が含まれている。>>200 では
3 14159265358979…17 ∈ R^N が成り立つ
と言っているが、これは成り立たない。
どの理屈を採用するかではなく、これは完全に成り立たない。
都合がいいとか悪いとかではなく、数学的な事実として、
これは成り立たない。スレ主が間違えている。 >>199
おっちゃんです。
私とスレ主との比較はしないでくれ。
確か、一番はじめに時枝問題の初等的な解法を見つけたのは私だった筈だ。
何で確率の話がモノイドの話になっているんだよ。
私がよく分からないというか自信が持てないのは、無限集合への排中律の使い方だ。 >>241
矛盾でもなんでもないだろ？
"3"と"7"の添え字が具体的数字で示せないから、数列が存在しない？
そんな理屈では、πが有限小数になったりしちゃうだろ？
無限小数わかります？
1/3って、何桁の数？
1/3って、Ｒ＾ωの元じゃないのか？ >>245
おっちゃん、どうも。スレ主です。
時枝問題の初等的な解法って・・・
それで終わりなら、数セミの記事にならんよ >>239
時枝は無限個の確率変数の独立性に極限を用いただけで、同値類においては用いていない >>233
＞２）しっぽでの分類と決定番号を考えると、単純に考えて、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… のようなキマイラ数列の扱いに困ることになる
＞ （可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ）
R^N の中で考えれば全く困らない。
なぜなら、R^N の中にキマイラ数列は全く存在しないからだ。
もちろん、R^N の中で同値類を定義することは普通に可能だし、
そのときに位相は全く必要ない。時枝の記事は R^N の中で
普通に完結している話であり、キマイラ数列などという
ゴミを持ち出す必要性がない。
勘違いのないように補足しておくと、キマイラ数列が存在しない、
といっているのではなく、キマイラ数列というゴミを持ち出す必要性がない、と言っている。
それでも敢えてキマイラ数列を持ち出すことは不可能ではないが、
そんなのスレ主だけが勝手に吠えていればいい、という話。
そんな中でスレ主は、
「いや、キマイラ数列は R~N の中にも存在しているのだ」
という明らかなウソをついているから話がこじれているのだ。 >>247
3 14159265358979…17 ∈ R^N が成り立つと仮定する。
具体的に y∈R^N による表記で記述してみる。とりあえずは
y_1＝3, y_2＝1, y_3＝4, y_4＝1, …
と記述できる。では、末尾の「17」は、一体どの y_i で出現するのか？
明らかに、i∈N の範囲では「17」は出現しない。
しかし、y の添え字は N の元のみである。
よって、この y は
y ＝ 3 14159265358979…
しか表現できておらず、末尾の「17」を表現する手段が存在しない。よって、
3 14159265358979…17 ∈ R^N
は成り立たない。以上により、スレ主は論破された。 >>246
> そんな理屈では、πが有限小数になったりしちゃうだろ？
は？ならないよ。
> 無限小数わかります？
>
> 1/3って、何桁の数？
>
> 1/3って、Ｒ＾ωの元じゃないのか？
R^ωの元とみなせるよ。
お前はいつまで目をそむけ続けるの？
314159265358979…37がR^ωの元だというなら
"3"と"7"の添え字をindex set ωの元で表してみろよ。
お前以外の全員はそれがR^ωの元ではないことを知っている。
R^ωの元だと仮定すれば、"3"のindexはNの元kで表される。
Nの元はすべて有限値なので、kも有限値。
このとき314159265358979…の桁数は有限個となり矛盾が導かれる。
それともお前は314159265358979…を有限個のつもりで書いているのか？ｗ ここ二か月くらい堂々巡りだなｗ
二か月かかって何の進歩も無いスレ主ｗ 結局スレ主は、時枝の記事が R^N の中だけで完結されてしまうと困るんだろうな。
なぜなら、R^N の中には "キマイラ数列" が存在せず、スレ主が提唱するキマイラ数列の
出番がなくなるからだ。
我々の認識としては、
・ 時枝の記事は R^N の中だけで完結している。
・ キマイラ数列を提唱して時枝の記事を再考察したいなら勝手にどうぞ(バカじゃねーの)
という感じだが、これだとスレ主としては、
ハシゴを外された形になって気に食わないのだろう。だから、
・ R^N の中にもキマイラ数列は存在しており、キマイラ数列は時枝の記事に不可欠だ
ということにして存在感をかもし出したいのであろう。
もちろん実際には、R^N の中にキマイラ数列は全く存在しないわけだが。 >>254
とにかくスレが伸びることが重要なんだろうよ。
馬鹿レスで人間を釣るのがこいつの仕事。
度重なる長文コピペの目的を考えてもみろ。
2chは俺のメモ帳だ、とか見え透いてるだろｗ
いずれ埋もれて参照できなくなる2chより
自分の手元のメモ帳のほうがいいに決まってるｗ
とにかくさっさと500kB超えして、
時枝氏でもHart氏でも何でも利用できるものは利用して
スレを伸ばしに伸ばしまくる。それがスレ主の土日の副業。 >>233
> １）決定番号の確率分布は平均値も標準偏差も存在しない奇妙なものだから、１００列で99/10は導けないこと（大数の法則も、中心極限定理も不成立だよ）
何度も言うが「決定番号の確率分布」なんてもの、時枝の戦略とは何の関係もない
何の関係もないものがどうなっていようが、全く時枝の戦略の成否と関係ない
スレ主は「決定番号の確率分布」が時枝の戦略に関係することを示さなければならないのに、それができないでいる >>74 決定番号ってどう決まるんだっけ
代表元を選んでおいて同値類からひとつ取り出したときにそのふたつを見比べて決まるんだっけか http://this.kiji.is/168253962343071745?c=110564226228225532
夜中になると…看護師がわしのチンポしごうきよる。。。
わしは！両手両足拘束されてから、チンポは立ちっぱなしじゃあああ！
そのまま、朝の看護師さんが回って来る。ワシちゃう！ちゃうよ？
拘束されたまま、新しい一日がはじまる。 おっちゃんです。
論理のゲーデルの完全性定理や不完全性定理とかについて書かれている
啓蒙書っぽいモノを読んで少しは分かった。
>>91の
＞>>85がいうように、eπの超越性まで一気に証明出来ることになるな。
の部分は取り消しで、やはりはじめからやり直し。
個別の対象に対して背理法を用いるときは、その対象に依存した性質
を用いないといけないことは分かった。
>>94の
>＞ディオファンタス近似の理論が正しい以上は、
>＞>>85がいうように、eπの超越性まで一気に証明出来ることになるな。
>の部分は変わりがない訳だが。ディオファンタス近似の理論の有名な定理に、
>与えられた有理数xに対して |x−p/q|＜1/p^2 となる
>既約分数p/qは高々有限個しか存在しない、
>というのがあるが、よく考えると、有理数の稠密性を認める限りは、
>この定理が偽であることが構成的に証明出来る。
の話も取り消しで、これはトンデモだった。
やはりあの背理法の論法が正しかった。逆に、ディオファンタス近似
の理論で、何か直観に反する結果が得られたことになる。
だけど、啓蒙書っぽいモノには、数学を学ぶ人は誰でもゲーデルの完全性定理を知っている云々
と書かれていたが、果たしてそんなモノなのかい？ その証明まで分かるのか？ >>261
俺は知らないよ
周りのやつらも知ってるようには見えない レベル合わせをしておこう
現代数学は、無限を扱うことができる
１）無限について
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/
西岡國雄の頁 中央大
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/cardinal_15.pdf
「数学入門」の「無限」西岡國雄 中央大 2015
”現代数学の特徴は, 無限を頻繁に扱う点にあるが, 例題1.1, 1.2 に示されるように, 無限を扱うには特別の注意が必要である.”
”可算無限(アレフゼロ) と呼ぶ( 「N の濃度はアレフゼロ」)”
”1.3 有理数から実数へ “有理数からなる数列”で「基本列」と呼ばれる性質(1.7) を備えたものの極限全体を考え, それを実数R とよぶ.”（いわゆるコーシー列）
２）”無限（むげん、infinity）とは、限りの無いことである。
直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90 より
２'）∞は無限を示す記号である。数字の8を90度回転したような記号である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E2%88%9E
３）公理的集合論：現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
無限公理と選択公理
４）極限 ”無限遠点における挙動 関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。 f ( x ) → ∞ ( x → ∞ ) と表す。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90
５）超限帰納法 ”数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。 任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
つづく >>263 つづき
６）なので、例えば有限集合について定義された２項演算＊を、無限の要素を含む２項演算に拡張することはよく行われる。数学的帰納法や極限を使って
７）集合の和（合併）∪なども、普段意識しないが、その類い。
８）順序集合ならば、合併は連接と見ることもできる。
９）文字集合を台集合とする有限のモノイドについて定義された２項演算＊連接を、無限の要素を含む２項演算に拡張することは、数学的帰納法を使えば容易だろう >>264 つづき
さて、
１）数列とくれば収束という条件反射が、みなさんにも形成されているだろう いわゆるコーシー列
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97 数列
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97 コーシー列
２）>>200や>>233で示したのは、コーシー列との比較で、時枝のしっぽによる無限数列の同値類を考えてみたのだった
３）数列のしっぽによる同値類。数列のしっぽとは、極限すれば最後の数。有限数列なら、最後の数Ａnが異なれば、つまりＡn≠Ａ'nなら、同じ同値類に属さない
４）これを、時枝記事で見ると、>>114「箱が可算無限個ある」から、これは先のレベル合わせでいう、可算無限(アレフゼロ) 。無限大記号∞。ここはしっかり押さえておこう。定義だから
５）可算無限個の箱を、>>115「100列に並べる」。そして、各列のしっぽによる同値を決める。>>114 ”「決定番号」を決める”という
つづく >>265 つづき
６）あきらかに、可算無限における”ヒルベルトの無限ホテル”>>51や”デデキント無限”>>116 の性質を使っている
７）さて、数列のしっぽによる同値類で、有限数列なら、最後の数Ａnが異なれば、つまりＡn≠Ａ'nなら、同じ同値類に属さない。極限 lim n→ ∞ を考えれば、可算無限数列に拡張できる
８）時枝記事の可算無限個ある箱から、先に３つ取っておく。名前を付ける。X,Y,Zと。
９）数列の先頭に、X 後ろにYZを置く。その間に順次残りの箱を入れて行く（数学的帰納法）。X ・・・YZという数列ができる。
１０）Y→Y'に変えて、別にX ・・・Y'Zという数列を考えよう。YとY'には別の数が入っているとする。X とZには同じ数。”・・・”の部分は同じとする。”・・・”の部分は、可算無限。
この場合、X ・・・YZとX ・・・Y'Zとは、同じ同値類に属する。決定番号は、Y（ あるいはY'）の部分で決まる。つまり、 ∞ 。
１１）この二つの数列X ・・・YZとX ・・・Y'Zとは、あきらかにR^N の中
おわり >>265
この程度、２ちゃんねるでは、スレが伸びるとはいわない
稼ぐなら、かそっている数学板などでやらずに他の板へ行けば、話は早い
そもそも、sage進行
ここは、おれ一人で十分という意味
なお、時枝の記事は不成立だよ >>261
おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃんは、このスレに居ていいよ
貴重な住人の一人だよ
ゲーデルの完全性定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
(抜粋)
数理論理学においてゲーデルの完全性定理（ゲーデルのかんぜんせいていり、英: Godel's completeness theorem、独: Godelscher Vollstandigkeitssatz）とは、第一階述語論理の恒真な論理式はその公理系からすべて導出可能であることを示した定理を言う[1]。1929年にクルト・ゲーデルが証明した。
(引用終り) これいいわ
http://mathsoc.jp/publication/tushin/1003/takahashi.pdf
加藤 五郎 著 『コホモロジーのこころ』 岩波書店 2003 年
(抜粋)
専門書としては珍しいが，一般的な数学書で繰り返し登場する「定義」や「定理」
といった単語で始まるパラグラフが，この本にはほとんど見当たらない．「証明」で始まるパ
ラグラフにいたっては，まったく存在しないのである．では，書かれている結果に証明はま
ったく施されていないのか．そうではない．むしろ非常に証明に力が入れられている．証明
は，パラグラフとして独立していないだけで，本文中にしっかり織り込まれているのだ．こ
のような構成になっているのは，読者が著者と同じ意識レベルで読み進められるように著者
が工夫した結果である．
本書を読んで最も印象に残ったことは，著者のコホモロジーに対する思いである．著者は
コホモロジーに心底惚れ込んでいる．コホモロジーが持つ魅力を読者にもわかってほしい，
読者とこの感動を共有したい，という著者の願いが随所に感じられる．実際，その気持ちの
強さは，非常に懇切丁寧な書き方にも反映されている．例えば，右随伴関手の定義をした後
に，普通の本なら「同様に」あるいは「双対的に」といった枕詞に続けて左随伴関手の定義
もできるとだけ言って終わってしまうところを，本書では練習問題にもせずにきちんと説明
してあるのだ．ただ，それゆえにスマートに整理されて書かれているというわけではないの
で，読者はどこに何が書いてあったかを後で振り返る際に多少苦労するかもしれない．しか
し，他の本が省略しているようなところがきちんと説明されているので，読者は自分の理解
が正しいかどうかを自分自身でチェックすることができる．これは特に初学者にとってあり
がたい書き方である．また，数学的に若い人たちにはコホモロジーというものを大きくつか
んでもらい，コホモロジーに対して何らかの違和感を持っている人にはそれを解消してもら
うために本書を書いた，と著者自身が言っているように，本書は‘イメージ’をとても大切
にしている．抽象的な概念は，初学者にとってはイメージが湧きにくくなかなか理解しがた
いものである．その理解を助けるために，著者ならではの独特のイメージが本書全体に散り
ばめられている． ついで
https://www.amazon.co.jp/dp/4007303053
(抜粋)
トップカスタマーレビュー
5つ星のうち 5.0他分野の研究者、学生のための最高の入門書
投稿者 猫先生 投稿日 2011/8/9
形式: 単行本
親しみやすい文体で書かれた異色の数学書である。私は、或る所で著者のコホモロジーの講義を拝聴した経験があるが、まさにこの本の文体そのままの、気さくで気取らない、親切な方であった。実質的には160ページそこそこの分量で、圏と関手の基礎から初めて、ホモロジー代数の現時点での到達点である「三角化カテゴリー」までを説き及んでいる。
Gelfand-Manin の Methods of Homological Algebra などの本格的教科書に取り組むための準備として最高の入門書であろう。 >>268 補足
定理とその帰結
ゲーデルの完全性定理は、一階述語計算の演繹系が、全ての論理的に妥当な論理式の証明に追加の推論規則を必要としないという意味で「完全」であるとしている。完全性の逆は健全性であり、演繹系において論理的に妥当な論理式のみが証明可能だということを意味する。
これらから、論理式が論理的に妥当であることと、それが形式的演繹の帰結であることは同値である。
ゲーデルの完全性定理をより一般化した版もある。すなわち、任意の一階の理論 T とその理論での言語における任意の命題 S について、T における S の形式的演繹が存在することと、S が T のあらゆるモデルで成り立つことは同値である。
この一般化された定理は暗黙のうちに使われており、例えば、命題を群論の公理系で証明可能であることを示すとき、任意の群についてその命題が成り立つことを示すことで証明とする。
異なるモデルでも真となることを扱う数理論理学の一分野をモデル理論と呼ぶ。証明論という一分野では形式体系の証明そのものの構造を研究する。完全性定理は意味論と統語論の間を繋ぐことでこれら2つの分野の基本的な繋がりを確立している。
しかし、完全性定理はこれら2つの概念の差異をなくすものではない。実際、もう1つの成果であるゲーデルの不完全性定理によれば、数学における形式的証明で達成できることには本質的な限界がある。不完全性定理でいう「完全」は別の意味で使われている。
完全性定理は一階の理論の論理的帰結である論理式を扱い、不完全性定理は特定の理論の論理的帰結にはならない論理式を構築する。
完全性定理の重要な帰結の1つとして、一階の理論での論理的帰結の集合が帰納的可算集合であるという事実がある。論理的帰結の定義は特定の言語でのあらゆる構造上で全称化するもので、論理式が論理的に妥当かどうかをアルゴリズム的に検証する直接の手段とはならない。
さらに言えば、ゲーデルの不完全性定理の帰結により、論理的に妥当な論理式の集合は決定可能ではない。しかし完全性定理は、実効的な理論の帰結の集合が枚挙可能であることを示している。
そのアルゴリズムは、まずその理論から全ての形式的演繹を枚挙する方法を構成し、それを使って帰結の枚挙を生み出すことになる。
形式的演繹の有限かつ統語的性質により、それらを枚挙することが可能になっている。 >>272
英語版 （日本語版だけではよくわからん）
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_completeness_theorem
(抜粋)
As a theorem of arithmetic
The Model Existence Theorem and its proof can be formalized in the framework of Peano arithmetic.
Precisely, we can systematically define a model of any consistent effective first-order theory T in Peano arithmetic by interpreting each symbol of T by an arithmetical formula whose free variables are the arguments of the symbol. However, the definition expressed by this formula is not recursive.
Consequences
An important consequence of the completeness theorem is that it is possible to recursively enumerate the semantic consequences of any effective first-order theory, by enumerating all the possible formal deductions from the axioms of the theory, and use this to produce an enumeration of their conclusions.
This comes in contrast with the direct meaning of the notion of semantic consequence, that quantifies over all structures in a particular language, which is clearly not a recursive definition.
Also, it makes the concept of "provability," and thus of "theorem," a clear concept that only depends on the chosen system of axioms of the theory, and not on the choice of a proof system.
つづく >>274 つづき
Relationship to the incompleteness theorem
Godel's incompleteness theorem, another celebrated result, shows that there are inherent limitations in what can be achieved with formal proofs in mathematics. The name for the incompleteness theorem refers to another meaning of complete (see model theory ? Using the compactness and completeness theorems).
It shows that in any consistent effective theory T containing Peano arithmetic (PA), the formula CT expressing the consistency of T cannot be proven within T.
Applying the completeness theorem to this result, gives the existence of a model of T where the formula CT is false. Such a model (precisely, the set of "natural numbers" it contains) is necessarily non-standard, as it contains the code number of a proof of a contradiction of T. But T is consistent when viewed from the outside.
Thus this code number of a proof of contradiction of T must be a non-standard number.
In fact, the model of any theory containing PA obtained by the systematic construction of the arithmetical model existence theorem, is always non-standard with a non-equivalent provability predicate and a non-equivalent way to interpret its own construction, so that this construction is non-recursive (as recursive definitions would be unambiguous).
Also, there is no recursive non-standard model of PA.
(引用終り) ご存知大栗先生
http://ooguri.caltech.edu/japanese
大栗 博司
http://www.theory.caltech.edu/~ooguri/outreach_j.htm
大栗 博司 アウトリーチ
(「IPMU特集」科学 (2009年, 7月) )
http://www.theory.caltech.edu/~ooguri/mathuniverse.pdf
宇宙の数学とは何か - Caltech Particle Theory 特集 宇宙はどんな《言葉》で書かれているか 宇宙の数学とは何か 大栗博司 科学 2009
(抜粋)
なぜいまさら量子論（その1）: 千年紀の問題
1970 年代初頭のゲージ理論のくりこみ可能性の証明と漸近的自
由性＊3の発見によって，場の量子論はようやく素
粒子物理学の基本言語となった．しかし，80 歳
となった今日でも，場の量子論は数学者からは理
論として認知されていない（6）（7）．
2000 年にクレイ数学研究所は千年紀を記念し
て，7 つの“ミレニアム問題” を提起した．その
中の1 問に，「ヤン-ミルズ場の量子論を数学的
に定式化せよ」というものがある（8）．このいわゆ
るヤン-ミルズ問題が，リーマン予想やポアンカ
レ予想と並んでミレニアム問題のひとつに選ばれ
た理由は，場の量子論に数学者にも納得できる定
義を与えることで，この理論を数学の1 分野とし
て確立し，数学の発展に新しい方向が開かれるこ
とを期待するからだという．
場の量子論の正しい定式化を追究することは，
数学者を満足させるためだけではない．物理学者
が場の量子論の計算をするときに，最初に試みる
近似法は，相互作用の強さを表す結合定数につい
てのべき展開，すなわち摂動展開である．過去
60 年以上にわたって，この近似計算にはファイ
ンマン図を使う方法が標準的であった．しかし，
ここ数年の間にこれに代わるまったく新しい方法
が開発されつつあり，ファインマン図の方法では
技術的に困難とされてきた高次の近似計算ができ
るようになってきた（9）．摂動展開のような，もは
や調べ尽くされたと思われていた部分にも新しい
驚きがあり，美しい数学的構造が隠されている．
われわれは，場の量子論とは何なのかをまだ理解
していないのである．
つづく >>275 つづき
一方，量子論に着想を得た数学は，この20 年
ほどの間に大きな進歩を遂げている（10）．これは，
1990 年以来のフィールズ賞受賞数学者の4 割近
くが，量子論に関連する数学の研究に深くかかわ
っていることからもわかる．たとえば，場の量子
論の計算の中でもとくに性質のよいものを数学的
に定式化した“量子不変量” の理論が，幾何学の
理解に大きなインパクトを与えている＊4．場の量
子論の深淵に現代数学の光が差し込もうとしてい
るのである．
(引用終り) ￥
>544 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/10(木) 14:51:03.66 ID:Q64a0U8Q
> 違う貧民の総意
> 貧民は手玉に取られたのだ
>
>545 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/10(木) 18:31:02.97 ID:XWS/rnm/
> メディアの政治操作を許さない民主主義の保全システムが
> 目的通りに完全に機能したのがすごい
>
>546 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/10(木) 18:37:05.74 ID:6c0BrRUL
> メディアとかお上を鵜呑みにするどっかの馬鹿国民とは大違いですわ。
>
> ￥
>
>547 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/10(木) 19:46:32.78 ID:6c0BrRUL
> 貧民の総意を汲んだらアカンのや、なるほどナ。そらァ自民党が喜ぶわサ。
>
> ケケケ￥
>
>548 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/10(木) 19:52:21.65 ID:6c0BrRUL
> しかも貧民を手玉に取ってもアカンのかいな。ほしたら共産党とか、また
> かつての民主党とかはどないしたらエエのや。エライこっちゃwww
>
> コココ￥
>
>549 名前：貧民 ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/10(木) 20:00:41.60 ID:6c0BrRUL
> 貧民
> >>266
・ 可算無限個ある箱には、全て 1 が入っているものとする。
・ Y' のみ、2 が入っているものとする。
・ この場合、X ・・・YZ と X ・・・Y'Z はそれぞれ 1111…11, 1111…21 という列になる。
この状況下で、
＞１１）この二つの数列X ・・・YZとX ・・・Y'Zとは、あきらかにR^N の中
これは成り立たない。なぜなら、1111…21 に対応する R^N の中の数列は存在しないからだ。
「論文にしろ。100年待っている」とか言うなよ？
スレ主が提唱するこの手のおかしな列は、R^N の中では決して扱えない。用語を「箱」に置き換えても無駄。
別の体系を用意すれば扱えるが、そんなのスレ主が勝手にやっていればいい。そこに関しては誰も文句は言わない。
しかし、それが「 R^N の中に存在する 」というスレ主の主張は明確に間違っている。 結局こいつは、R^N の中に存在してくれないと
自分の主張の存在感がなくなるので都合が悪いのだな。
しかし、いくら表現の仕方を変えても、R^N の中では決してその手の列は扱えない。
だって、R^N の中では、末尾の YZ とか Y'Z とかを表現する「桁」が存在しないからね。
先週から皆が言い続けている間違いが今回も繰り返されているだけ。
もちろん、別の体系を用意すれば扱える。また、その体系において
「時枝の記事は間違っている」と主張するのは一向に構わん。
スレ主が勝手に吠えていればいい(バカじゃねーの)。
しかし、R^N の中ではスレ主の議論は決して扱えない。 >>281
これがスレ主の"連結理論"の萌芽。確かに2ヶ月前にさかのぼる。
R^Nとは何なのか、トンと分からないまま時間だけが過ぎてゆくスレ主であった。
-------------
632 :
１３２人目の素数さん
2016/09/17(土) 08:13:09.27 ID:MokdApDK
前スレ32より
時枝問題（数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.」
”可算無限個ある.箱”なので、箱に連番を振れば、自然数全体の集合 N= {0,1,2,3,・・・}であり、これはωだな
さて、ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス（ Hilbert’s paradox of the Grand Hotel ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
で、時枝記事 前スレ32より「どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.もちろんでたらめだって構わない.」だった
まあ、無限ホテルの各部屋が満員で、それぞれ泊まっている人が勝手に数字を書いたと思え
それで可算無限個の数からなる数列ができる。それをS1としよう。数列S1の長さは、ωだ
数列S1のコピーを作って連結し、S2＝S1+S1 (ここで+は数列の連結を意味する)を作る。数列S2の長さは、ω+ωだ(もちろんこれも可算無限)
ここで、後ろの数列+S1を固定し、前半のS1をシャッフルしてS1’を作る。ここで機械を使ってランダムにシャッフルしたとする。S1’がどうなったかだれも知らないとする
ここで、時枝問題の決定番号を考えると、数列S1+S1と数列S1’+S1S2との対比の最大値は明らかにωだ
それはおかしいと、納得できないという人がいるかも知れないが、そういう人は、ヒルベルトの無限ホテルのパラドックスを熟読願いたい 数列の同値を先頭からの有限個を除いて一致すると定めると、実はωに限らず任意の順序数で時枝戦略は成立するから
スレ主の的はずれな抵抗は本当に無駄なんだよね >>266
過去スレより
> 自然数全体の集合の順序数をωと書くことにするとωは可算無限集合の順序数のなかで最小の順序数である
> 任意の有限集合の順序数をnと書くことにすると n < ω であり
> n + ω = ω ≠ ω + ω
> よって自然数全体の集合は必ず「アタマ」=有限数列かつ「シッポ」=無限数列になる
> スレ主は前スレの631に自然数全体の集合には無限大は含まれていないと自分でコピペしているじゃないか
> ω {0, 1, 2, ...} すべての有限な順序数の集合
> ω+1 {0, 1, 2, ..., ω}
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
> 順序数の和は一般には可換でない。例えば、1 + ω = ω ≠ ω + 1 である。
上の最後の式より
1 + (1 + ω) = 2 + ω = ω ≠ (ω + 1) + 1 = ω + 2
左右から1を加えることを有限回行えば任意の有限集合の順序数をnと書くことにすると
n < ω であり n + ω = ω < ω + n < ω + ω
長さωの無限数列があって左から有限数列を加えたものは長さωのままで変わりないので
R^ωの元の決定番号は有限であることを意味する
一方右から有限数列を加えた場合には長さは ω < ω + 1 < ω + 2 < ... < ω + n < ... < ω + ω
となるのでR^ωの元にはならない >>268
ここ数日の間、担当者は席を外しております。
しばらくお待ち下さい。 ネット掲示板で学術を行うのは、とても良い習慣です。なので続けましょう。
￥ おっちゃんです。
>>262
そうだよな〜。
>>268
標準的な確率の考え方では、時枝問題において
確率を用いる部分は高校レベルであり、時枝の答えは1で終わっている。
まあ、サイトのコピペを読んで分かる人がどれ位いるか分からないから、
数理論理学や基礎論のスレのコピペはやめとけ。 日本語が分かる外国人にメールを送ると、>>285のような返事が返って来ることがある。
>>285はジョーダンで書いたつもりだw
今日はスレ主の動向を観察してみた。
まあ、何故今日スレ主がこれまで全く書かなかったのかは分からないが、もう寝る。 >>287の訂正：
時枝の答えは1で終わっている。 → 時枝「問題」の答えは1で終わっている。 外出してかなりの距離を歩いていたし、
今日は暖かかったというか熱い方だったな。
もう、目がまどろんで来て疲れたから寝る。 自分で勉強する時間もたっぷりあったし、住人がいろいろ教えてた
それでもわからないんだから、もう永久にわからないんだろうな >>277-291
>>266のつづき
１）時枝記事で見ると、>>114「箱が可算無限個ある」から、これは先のレベル合わせでいう、可算無限(アレフゼロ) 。無限大記号∞。ここはしっかり押さえておこう。定義だから（重要なので再録）
２）可算無限個の箱を１列に並べる。そして、先頭の箱から順に自然数を１から順に入れていく。これを集合Vとする。数列としては、1,2,3,・・・,n,・・・。この数列は、∈R^N
３）このとき、先頭の箱から順に連番を書くとする。１から順に。箱の番号は、1,2,3,・・・,n,・・・となる
（なお、奇数番の箱は赤、偶数番の箱を青に塗ることにしよう。）
４）選択公理を仮定する（可算選択公理でも可）。
奇数番の赤箱のみを取り出す。その集合をV1としよう。残った、偶数番の青箱の集合をV2としよう。
５）集合V1で箱から数だけを取り出した集合をV1'とする。同様に、V2で箱から数だけを取り出した集合をV2'とする。また、Vで箱から数だけを取り出した集合をV'とする。
６）明らかに、V1'∪V2'＝V'＝N（自然数(0を除く)）
７）集合V1、V2は、箱の番号を使って、順序集合とすることができる。
なので、集合V1から、数列1,3,5,・・・,2n-1,・・・が作れる。同様に、集合V2から、数列2,4,6,・・・,2n,・・・が作れる。両数列とも、∈R^N
８）奇数列1,3,5,・・・,2n-1,・・・と、偶数列2,4,6,・・・,2n,・・・とを連接すると、
自然数を並べ変えた1,3,5,・・・,2n-1,・・・, 2,4,6,・・・,2n,・・・という数列を作ることができる。この数列も、∈R^N ∵自然数Nを並べ変えたに過ぎないから
つづく >>292 つづき
９）なお、連接で 1,3,5,・・・,2n-1,・・・,2,4,6,・・・,2n,・・・という数列を作るには、数学的には
有限数列 Sn＝（1,3,5,・・・,2n-1, 2,4,6,・・・,2n ）で、数学的帰納法を適用するか
極限 lim n→ ∞ Sn＝ lim n→ ∞ （1,3,5,・・・,2n-1, 2,4,6,・・・,2n ）＝1,3,5,・・・,2n-1,・・・, 2,4,6,・・・,2n,・・・ としてもよい
（”1,3,5,・・・,2n-1,・・・,2,4,6,・・・,2n,・・・という数列は作れない”などと言われそうなので、先回り）
10）なお、単純に、赤い箱だけを先に並べ、青い箱をその後ろに並べたと考えれば、分かり易いだろ？ それは、選択公理で可能だ
（自然数を並べ変えた1,3,5,・・・,2n-1,・・・, 2,4,6,・・・,2n,・・・という数列は、not ∈R^N ・・とか、存在しないとかいう声が聞こえてきそうだな・・おい（＾＾； ）
おわり 233 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/11/06(日) 13:30:50.10 ID:ivLdkhn2
再録＆修正>>176
時枝記事の解法が成り立たない理由は、主に下記３つ
１）決定番号の確率分布は平均値も標準偏差も存在しない奇妙なものだから、１００列で99/10は導けないこと（大数の法則も、中心極限定理も不成立だよ）
２）しっぽでの分類と決定番号を考えると、単純に考えて、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… のようなキマイラ数列の扱いに困ることになる
（可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ）
３）無限数列のしっぽで同値類を分類するなど、従来の数学には無かったわけで、これを本当に扱えるかどうか
lim(n→∞)の極限を考えている限り、コーシー列ならlim(n→∞) e/10^n→0で収束するが、しっぽの同値類では収束しないよ
補足
１）は、おそらく根本的な問題で、解決できないだろう。（１００列で99/10は導けない）
２）は、なんとかなるかもしれないが、結構難しいと思う
３）も、結構致命的かな。同値類を分類と決定番号の有限が両立しないように思う
なお、lim(n→∞)の極限を考えるという話は、上記時枝記事>>173-174にある通り ＞10）なお、単純に、赤い箱だけを先に並べ、青い箱をその後ろに並べたと考えれば、分かり易いだろ？ それは、選択公理で可能だ
時枝の記事にある「可算無限個の箱」という設定を
そのように解釈することは確かに可能である。
しかし、その設定は R^N の中で記述できない。
なぜなら、R^N では青い箱に対応する添え字が存在しないからだ。
もちろん、R^N 以外の体系を持ってくれば記述可能だし、
その体系において「時枝の記事は不成立」と主張する分には全く構わない。
そんなのはスレ主が勝手に吠えてればいい(バカじゃねーの)。
しかし、その設定が R^N の中で記述できるとしているスレ主は明確に間違っている。
＞（自然数を並べ変えた1,3,5,・・・,2n-1,・・・, 2,4,6,・・・,2n,・・・という数列は、not ∈R^N ・・とか、存在しないとかいう声が聞こえてきそうだな・・おい（＾＾； ）
察しがいいな。もちろん、そのとおり。
1,3,5,・・・,2n-1,・・・,2,4,6,・・・,2n,・・・
に対応する R^N の数列は存在しない。
もし存在するなら、それを y∈R^N とするとき、
y_1＝1, y_2＝3, y_3＝5, …
とするしかないので、y＝1,3,5,・・・,2n-1,・・・ となってしまい、
y_n＝2 を満たす n が存在しない。だから、R^N の中には存在しない。
並べ替えがどうこうとか、数学的帰納法とか、そういう問題ではない。
どういう屁理屈を経由しようとも、y_n＝2 を満たす n が存在しないのだから、
その時点でアウト。スレ主のキマイラ数列は R^N の中では決して記述できない。 結局は>>280に帰着される。
R^N の中で記述できないとなると、周囲の人間からは
＞もちろん、R^N 以外の体系を持ってくれば記述可能だし、
＞その体系において「時枝の記事は不成立」と主張する分には全く構わない。
＞そんなのはスレ主が勝手に吠えてればいい(バカじゃねーの)。
という評価にしかならず、自分の主張の存在感がなくなってしまう。
だから、何としても「R^N の中で記述できる」ということにしておきたいわけだ。
しかし、実際には R^N の中では記述できない。
選択公理だの数学的帰納法だの赤い箱だのと言って、キマイラ数列の構成の仕方を変更しても無駄。
結局は y_n＝2 を満たす n が存在しないのだから、どんな構成を経由しても同じことで、
R^N の中では決して記述できない。
スレ主はどうも「キマイラ数列の構成の仕方の問題」にすり替えようとしているが、
そういう問題ではないのだ。構成の仕方の如何によらず、結局は y_n＝2 を満たす n が
存在しないのだから、どんな構成を経由しても同じことで、R^N の中では決して記述できない。 >>293-294
> 連接で 1,3,5,・・・,2n-1,・・・,2,4,6,・・・,2n,・・・という数列を作る
出題者がそのような数列Sを出題したとしても解答者は100列の数列をSのアタマから順番に
a1, a101, a201, a301, ... : 数列の長さはω
a2, a102, a202, a302, ... : 数列の長さはω
以下同様にして
a99, a199, a299, a399, ... : 数列の長さはω
a100, a200, a300, a400, ... : 数列の長さはω
と構成すれば an = 2n - 1 となって上の数列Sの後ろの部分 bn = 2n は解法に出現しないので
解答者が行う作業の中にキマイラ数列は一切出現しない ここまで引っ張っといて
R^Nの定義を勘違いしてましたテヘ
じゃすまねーぞおいｗ > y_n＝2 を満たす n が存在しない。だから、R^N の中には存在しない
この説明で分からないのは確信犯のプロとしか考えられんだろｗ
スレ主はR^Nの定義を言ってみろよ。どうせ独自定義なんだろ？ｗ >>292
そもそも4で選択公理使ってねえ
自然数から奇数を取り出すのは分出公理であって選択公理じゃねえよ
自身の論理に権威持たせるために知ったかで知らない数学持ち出すのやめよう スレ主は何処で選択公理が要るのかも分からん馬鹿か
低脳にもほどがあるwww スレ主の主張は、次の2つの条件(1)、(2)を満たすような
2つの単調増加列 {a_n}, {b_n} が存在することはあり得ない
こと(を示すこと)によって、否定される。但し、自然数は正とする。
(1)：任意の自然数nに対して各第n項は a_n＝2n-1, b_n＝2n と表わされる、
(2)：n≧N のとき a_n＜b_1 なるような自然数Nが存在する。
条件(1)、(2)を満たすような2つの単調増加列 {a_n}, {b_n} 及び正の自然数Nが存在するとする。
任意の自然数nに対して第n項を c_n＝1/a_n, d_n＝1/b_n とおくことで、
2つの数列 {c_n}, {d_n} を定義する。条件(1)から、任意の自然数nに対して
c_n＝1/(2n-1), d_n＝1/(2n) だから、
0＜…＜d_{n+1}＜c_{n+1}＜d_n＜c_n＜d_1＜c_1
従って、{c_n}, {d_n} は単調減少列である。
条件(1)の {b_1} についての定義から b_1＝2 だから、条件(2)から、n≧N のとき a_n＜2 であり、
また条件(1)の {a_n} が満たすべき条件と n≧0 とから a_n＞0 なので、1/2＜1/a_n。
従って、{b_n}, {c_n}, {d_n} の各定義に注意すると、n≧N のとき c_n＞1/2＝1/b_1＝d_1 となる。
{c_n}, {d_n} は単調減少列で、c_1＞d_1 だから、正の自然数N について N≦1 から N＝1。
従って、任意の自然数nに対して c_n＞d_1 が成り立つ。
しかし、{c_n} は単調減少列で、c_n＞d_1 なる正の自然数nは n＝1 に限られる。
これで矛盾が導けた。
スレ主の「連接」何チャラに関する主張は、
モノイド云々以前に数列(微分積分以前)の問題に帰着して否定出来る。
だから、スレ主の「連接」何チャラの主張は標準的な考え方では正しくないことになる。 >>306の訂正：
n≧0 とから a_n＞0 → n≧1 とから a_n＞0 >>293
>自然数を並べ変えた1,3,5,・・・,2n-1,・・・, 2,4,6,・・・,2n,・・・という数列は、not ∈R^N ・・
このような書き方だと、2つの数列
>1,3,5,・・・,2n-1,・・・、
>2,4,6,・・・,2n,・・・
を書いていることになって、1つの数列を上のようには書けない。
スレ主の書き方には不備がある。 スレ主は数列が何なのかわかってない
つまり大学一年一学期の勉強すらまともにやってない
バカのくせに勉強嫌いｗ >>293
おっちゃん(=>>306-308)です。
>>306の更なる訂正：
>条件(1)の {b_1} についての定義から b_1＝2 だから
の部分の「{b_1}」は「{b_n}」に訂正。ついでに、>>308についてだが、
>1,3,5,・・・,2n-1,・・・∈R^N
のように書くと、「R^N」の部分が「R」の書き間違いだった場合
文脈上曖昧な書き方になる恐れがあるので、そのようには書かずに、
単純に「{a_n}∈R^N」みたいに書いた方がいい。
まあ、>>306は少し端折った部分があるから、数列が分かっていない
といわれたスレ主は、自分の身のためにも再構成して読むことだ。 レベル合わせその2 （>>263関連）
＜無限とは＞
１）（再録>>263）”無限（むげん、infinity）とは、限りの無いことである。
直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90 より
２）無限大は存在しますか？ 2013年7月29日
https://qixil.jp/q/1491
最も支持が多い回答 柳生 三最 Lv.2 2013年7月30日
数学者ではありませんが、高校の数学を思い出して説明しますと
Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/n
という式が発散するのは高校の数学で習いました。
y = 1/x の積分を利用して評価するやつです。詳しい説明は省略します。
nが大きくなればなるほど増加する値は小さくなるのにSnが無限大に発散するのは不思議ですね。
しかしこれはある条件付きです。それは「nを無限に大きくし続ける事」です。
nの値をある場所で止めてしまったとたん、Snは有限値になります。
無限大の説明をしているのに、その説明の中で無限大を使ってしまうのは何ともナンセンスな気もしますが。。。
質問者様の数直線上に還元しての考えですが、
「直線」・・・無限に続く両端のない直線
「線分」・・・任意の点A,B を両端とするまっすぐな線
「半直線」・・・直線のどちらか一端がある
多少表現が間違っているかもしれませんが、ニュアンス的にはこんな感じだったと思います。
つまり、直線で考えている以上、両端は存在せず、無限大の点は置く事が出来ないということになります。
というわけで、私の考えでは、無限大は存在するが、表現する事は出来ない。と思います。
-------追記
あらゆる実数に対する有限回数の四則演算の繰り返しから無限大は導き出されうるかという問いに関しては、「有限回数」と含まれている限り、それは有限値になると思われます。
-------追記
Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/n
An = 1/n
Snはnを大きくすると大きくなり続けます → 発散 → ∞ と表記する
Anはnを大きくすると限りなく0に近づきます → 収束 → 0 と表記する
ではないでしょうか？ >>311つづき
３）ここで強調しておきたいことは、上記２）のように、”「直線」・・・無限に続く両端のない直線”で、この数直線上の整数の点、もっと限定すれば自然数ｎの点を考える。
ｎは確かに有限である。しかし、ｎには限りがないという意味で、無限である。これで直感的に理解できると思うが、「ｎは確かに有限であるが、自然数の集合Nは無限集合」
もっと言えば、ｎの取り得る範囲は、0≦ｎ＜∞ 、”0から∞を考えるべし”というのが正解だ。
”ｎの取り得る範囲は？”と聞かれて、”有限”と答えるのは、ばつ。従って、ｎの最大値も有限ではない！（ここはしっかり区別願いたい） >>312つづき
＜デデキント無限とヒルベルトの無限ホテル＞
１）デデキント無限
https://dspace.wul.waseda.ac.jp/dspace/handle/2065/5203
無限集合の定義について 高瀬礼文 早稲田商学 1982
https://dspace.wul.waseda.ac.jp/dspace/bitstream/2065/5203/1/92460.pdf
(抜粋)
Cantor集合論の基礎に置かれた“無限”の定義は，今日Dedekind無限
と名づげられている次のようなものである。
「全体（自分自身）と1対1に対応するような真部分集合を内部に含む集合。」
(引用終り)
２）ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
パラドックスの内容
客室が無限にあるホテルを考える。現実にある客室が有限のホテルの場合には、「満室である」ということと「もう1人も泊められない」ということは同値である。しかし「無限ホテル」ではそうはならない。
無限ホテルが「満室である」としよう。この場合でも次のようにして新たな客を泊めることができる。客室数は無限とはいえ 1, 2, 3, … と番号を付けられる。客が1人来たら、1号室にいた客を2号室へ、2号室の客を3号室へ、3号室の客を4号室へ、…、n 号室の客を n + 1 号室へ、…と順番に移す。客室は無限にあるのだから誰もあぶれることはない。
新たな客は1号室に泊めればよい。新たな客は1人どころか、複数でも、（可算）無限でもよい。例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。
つづく >>313つづき
さらに次のようなこともできる。それぞれに無限の乗客が乗った無限台の車がホテルに乗りつけたとする。この場合、まず奇数号室を上のようにして空け、1台目の乗客を 3^n（n = 1, 2, 3, …）号室に、2台目の乗客を 5^n（n = 1, 2, 3, …）号室に、…というふうに入れる。i 台目の乗客は p^n（ここで p は i + 1 番目の素数）に入れればよい。
現実にある（2室以上ある）有限ホテルでは、当然奇数号室の数は全室数より少ないが、無限ホテルではそうではない。数学的には、全室からなる集合の基数（有限集合における要素の個数に当たる）は、その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい。
これは無限集合の特徴である。この可算無限集合の基数は aleph _{0}（アレフ・ゼロ、アレフ・ヌル）と表される。
(引用終り) >>314つづき
＜一般のR^ Nについて＞
１）無限列 ( s n ) ∈ R^ N
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
関数 (数学) - Wikipedia:
(抜粋)
一般化
数列
有限集合からの関数は実質的に数の組あるいは数列と呼ばれるものになる（適当な演算をいれてベクトルと見ることもできる）。それはつまり、集合の各元に序列を与えて {1, 2, ..., n} と並べるとき、k = 1, 2, ..., n に対して xk = x(k) を対応付ける関数 x を
( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ R^ n
のかたちに表すのである。これは有限列であるが、無限列
( s n ) n ∈ N ∈ R^ N
を考えれば、それは各自然数 n に対して、数 sn を対応させる
s : N → R ; n → s n
という関数を考えていることに他ならない。もっと一般に数の族を考慮に入れれば、通常の実関数 f = f(x) を x を添字に持つ実数の族
( f x ) x ∈ R ∈ R^ R
と読みかえることができる。
(引用終り)
２）”任意の実数αは有限または無限小数で表わされる”→つまり、無限列は現代数学に必須だよ（実数が存在しなくなる）！ なお、強調しておくが、「R^ N は無限次元！→無限次元だから、次元はデデキント無限！」だと
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1161211256
大学での数学の問題 任意の実数αは有限または無限小数で表わされることを示せ meshigasuki2455さん 2011/4/30 Yahoo!知恵袋
(抜粋)
実数Rを1, 1/10 1/100・・・・とくぎって考えればいいらしいのですが
筋道が全く見当がつきません
示すに至る過程を教えていただけないでしょうか
(引用終り) >>315つづき
さて、本論１
＜時枝記事では、R^ Nは未定義。だから、R^ Nをどう解釈が問題となる＞
１．時枝記事では、R^ Nは未定義：>>114に引用の通り。
２．だから、”可算無限個の箱”から類推解釈するしかない。
が、上記の通り、”R^ N は無限次元！→無限次元だから、次元は当然デデキント無限！”と考えるべし
３．実際、>>115のように時枝記事でも”問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる”としているが、100列を、>>114の実数列の集合 R^Nと比較しているのだから、正にデデキント無限→ヒルベルトの無限ホテルのロジックを使っている！！
つまり、客室が無限にあるホテルで、部屋番をｎ→(1+100*n,2+100*n,・・・,99+100*n,1+100*n) | n=1,2,3,・・・ とできる
それぞれ、可算無限だ >>316つづき
＜時枝記事のR^ Nとヒルベルトの無限ホテル＞
１．ちょっと、順序集合と”直積集合上の順序”とを復習しておこう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合
(抜粋)
数学において順序集合（じゅんじょしゅうごう、英: ordered set）とは「順序」の概念が定義された集合の事で、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元 a, b に順序関係が定まっている（「比較可能」である）必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。
比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合（はんじゅんじょしゅうごう、英: partially ordered set, poset）ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 (totally ordered set) という。（「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。）
直積集合上の順序
ふたつの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類が考えられる。
・辞書式順序: ( a , b ) ? ( c , d ) ? a < c ∨ ( a = c ∧ b ? d )
・積順序: ( a , b ) ? ( c , d ) ? a ? c ∧ b ? d
・ ( a , b ) ? ( c , d ) ? ( a < c ∧ b < d ) ∨ ( a = c ∧ b = d )
最後の順序は対応する狭義全順序の直積の反射閉包である。これらの三種類の順序はいずれもふたつよりも多くの半順序集合の直積に対しても同様に定義される。
体上の順序線型空間に対してこれらの構成を適用すれば、結果として得られる順序集合はいずれもふたたび順序線型空間となる。
(引用終り)
注意：辞書式順序の図が、載ってます。直線で表現されている。つまり、辞書式順序では直積だが１次元で表現できると >>317つづき
２．ところで、上記で奇数偶数で考えて、部屋番をｎ→(1+2*n,2+2*n) | n=1,2,3,・・・ としよう
当然（デデキント無限でもあり）、奇数偶数とも可算無限。
ヒルベルトの無限ホテルが２棟ある。左の棟と右の棟。左の棟に右の棟の奇数番の客を移す。左の棟の奇数番の部屋に入ってもらう。
直積で書くと、左をa,右をbとして、左の棟は（a,2n+1）,右の棟は（b,2n）
ホテル左右の棟の客室の集合は、{（a,1）,（a,2）,・・・,（a,2n+1）,・・・,（b,2）,（b,4）,・・・,（b,2n）,・・・}
辞書式順序を採用して、定義：a < b かつ 数字は普通の大小関係とする
これで、ホテル左右の棟の客室の集合は、順序集合として定義された。
順序集合{（a,1）,（a,2）,・・・,（a,2n+1）,・・・,（b,2）,（b,4）,・・・,（b,2n）,・・・}の部屋に、数を入れると数列になる。
というか、もともとの時枝記事の”可算無限個の箱”から出発して、選択公理などを使えば、上記の順序集合は（現代数学として）構成可能。そして、明らかに∈R^ N
（∵右の棟の奇数番は空き部屋だから、左の棟の客を戻す逆操作も可。だから、集合全体としては、順序を無視すれば、なんら変化していない。）
注：直積を考えるまでもない単純な話だが、反論を封じるために、あえて直積から直積集合上の順序集合を構成した。
なお、”∈R^ N”は、時枝記事の決定番号を考慮しなければ、数学的にはなんら問題とならないことを注意しておく
（”決定番号が有限”と整合しないだけの話） >>318つづき
本論２
＜確率分布＞
１．100列から、決定番号の確率 99/100を導くことについて
もし、決定番号の確率分布が、正規分布のようなすその軽い確率分布なら、大数の法則や中心極限定理から、99/100を導くことができる。だから、決定番号の確率分布が問題となる
http://reference.wolfram.com/language/guide/HeavyTailDistributions.ja.html
裾の重い分布?Wolfram言語ドキュメント:
裾の重い分布は，非常に大きい値を得る確率の方がより高いことを意味する．したがって裾の重い分布は一般に弱いランダム性とは対照的に強いランダム性を表す．
収入の分布，財務収益，保険の支払金，Web上の参照リンク等，結果が裾の重い分布であると見なされる種類は増え続けている．裾の重い分布に含まれる特筆すべきものは，確率密度関数がベキであるベキ乗則である．
技術的に難しいのは，これらの分布にすべてのモーメントが存在する訳ではないということである．代りに分位数等の順序統計量が使われる．また，これは中心極限定理が成り立たないことも意味する．
代りに，平均などの一次結合のための新しい標準極限分布，つまり安定分布を得る．
２．少し考えてみれば、すぐ分かるが、決定番号の確率分布は、すそが重い分布（超ヘビー）なのだ（ｎ→∞では）。だから、通常の確率論では、ｎ→∞の決定番号の確率分布は扱えない 以上をまとめると、つまりは、”可算無限個の箱”から出発して、しっぽの同値類から決定番号を考える限り、その最大値∞は避けられないように思う
最大値∞で、「100列から、決定番号の確率 99/100」がすんなり証明できるのか？？？
再度附言しておくが、R^ Nについては、上記のように、いろんな直積集合上の順序が考えられ、それは現代数学の中
ただし、しっぽの同値類から成る決定番号は、現代数学の外。ここを強調しておく >>317 文字化け訂正
・辞書式順序: ( a , b ) ? ( c , d ) ? a < c ∨ ( a = c ∧ b ? d )
・積順序: ( a , b ) ? ( c , d ) ? a ? c ∧ b ? d
・ ( a , b ) ? ( c , d ) ? ( a < c ∧ b < d ) ∨ ( a = c ∧ b = d )
↓
・辞書式順序: ( a , b ) ≦ ( c , d ) ←→ a < c ∨ ( a = c ∧ b ≦ d )
・積順序: ( a , b ) ≦ ( c , d ) ←→ a ≦ c ∧ b ≦ d
・ ( a , b ) ≦ ( c , d ) ←→ ( a < c ∧ b < d ) ∨ ( a = c ∧ b = d )
（原文サイトを見る方が分かりやすいだろう） >>306-310
どうも。スレ主です。
おっちゃん、お疲れです
おっちゃんが書いてくれると、助かるよ（＾＾；
ありがとう >>293で2は第何項なのか教えてくれよおおおおお ＞時枝記事では、R^ Nは未定義
だから数列を勉強しろとあれほど言ってるのに聞かない奴だなあ
自分の馬鹿を頑固に守って何がしたいのか？ >323
「有限主義」だね
”これでは現代数学が、基礎からもろとも崩れ去ってしまうのではないかと思われるでしょう。そうです。ウィトゲンシュタインは現代数学をまったく認めていません。集合論を基礎におく現代数学など、そもそも誤解から成り立っているものでしかないのだというのです。”
”現代数学の擁護者たちは、あきれ果てて、もはや見解の相違だといって、議論もすることなく去っていってしまうでしょう。ウィトゲンシュタインはそれを承知です。それでもなお、現代数学は間違っているというのがウィトゲンシュタインの主張なのです。”
http://swansong3478.web.fc2.com/index.html
真の哲学体系を求めて Ｖｅｒ.２ 横井直高
http://swansong3478.web.fc2.com/2/001210ver2.html
第２１節 不動の一者から逃れ得たウィトゲンシュタイン
(抜粋)
間違いを正すというところにこそウィトゲンシュタインの哲学者としての正義があります。それは哲学だけでなく、数学にも及びます。
ウィトゲンシュタインは厳格な有限主義の立場をとります。数学における数とは、私たちが日常使っている限りの数字だけで十分だというのです。たとえば私たちはだいたい１２桁程度の電卓を使っています。これを基準にするなら、最高、１２桁までの自然数があれば十分だというのです。
確かに、私たちの日常にとって、電卓の桁を越えてしまうような桁など、めったに扱うことはありません。そうとするなら、それ以上の数などなくても、いったい、どんな不都合があるだろうかとウィトゲンシュタインは問うのです。
このような問いに対して、私たちはすぐに反発したくなります。たとえば、これでは現代数学が、基礎からもろとも崩れ去ってしまうのではないかと思われるでしょう。そうです。ウィトゲンシュタインは現代数学をまったく認めていません。集合論を基礎におく現代数学など、そもそも誤解から成り立っているものでしかないのだというのです。
これでは、現代数学の擁護者たちは、あきれ果てて、もはや見解の相違だといって、議論もすることなく去っていってしまうでしょう。ウィトゲンシュタインはそれを承知です。それでもなお、現代数学は間違っているというのがウィトゲンシュタインの主張なのです。
(引用終り) >>326 つづき
訂正
>323
↓
>>323
”基礎付け主義者の中でも特に有限主義者は無限集合の存在を認めず、有限集合にのみ基づいた数学を提唱した。”
http://yourei.jp/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%B8%BB%E7%BE%A9
ユウゲン シュギ【有限主義】の例文集・使い方辞典 - 用例.jp
(抜粋)
基礎付け主義者の中でも特に有限主義者は無限集合の存在を認めず、有限集合にのみ基づいた数学を提唱した。 多くの数学者は厳密な有限主義は制限しすぎていると見なしたが、その相対的な一貫性は認めていた。
(引用終り) >>327 つづき
http://ask.fm/ytb_at_twt/answers/105450565194
有限主義ってなんですか？直観主義とは違うのですか？ | ask.fm/ytb_at_twt
(抜粋)
有限主義とは「有限的な数学的対象」のみの存在を認める立場です。ベースとなる論理は、古典論理でもかまいません（排中律とかそういうこだわりはありません）。その点で直観主義と大きく異なります。
http://en.wikipedia.org/wiki/Finitism
背景ですが、20世紀、公理的集合論などの無限的理論や無限的手法が広く数学の中で使われるようになりました。無限集合などの無限的対象も広く登場します。しかし一方で、無限的対象は、かつての無限小のように、一部の「数学の基礎」を気にする数学者にとっては、ものすごく胡散臭いものにうつります。
そこで、無限的対象を心置きなく使用できるようにしようと、ヒルベルトらが有限主義を提唱しました。これは二段ロケット方式です。
１）本当に存在する数学的対象は有限的なもの（自然数とか）だけである。疑うヤツには自然数を構成してみせればよい
２）だけど有限的対象だけで数学をやろうとするとえらくメンドイ。だから、略記として無限的対象を導入し、ショートカットをする。
ポイントは（無限小をεδ論法で置き換えた時みたいに）「無限的対象・手法は、やろうと思えばちゃんと有限的なやり方で書ききれるが、しんどいので略記として導入している」というスタンスを貫くことです。
まあ、ホントにどんな有限的対象でも書ききれるのか？とか、逆に「ショートカットをせずにちゃんと書く」ってそもそもどういう事よ、とかいろいろ問題はあるのですが、ともかく、20世紀前半には中心的な立場として広く議論されてきました。直観主義と混同すると、いろいろな人が悲しみますよ？
(引用終り) >>328
http://www.shayashi.jp/
林晋, 京都大学大学院文学研究科 現代文化学専攻 情報・史料学教授
http://www.shayashi.jp/vitae-jp.html#papers
http://www.shayashi.jp/gendaishiso.html
ヒルベルトと２０世紀数学 -公理主義とはなんだったか？- 雑誌「現代思想」、２０００年１０月臨時増刊 (林晋 はやしすすむ・数理論理学)
(抜粋)
現代思想2000年１０月臨時増刊「数学の思考」掲載の「ヒルベルトと２０世紀数学」の完全版です。OCRで読み込んだので、おかしなところがあるかもしれません。気づかれましたら、お教えください。BBSの方で結構です。（これについては、匿名でもかまいません。）
1 はじめに
二〇世紀最後の今年はヒルベルトの「数学の問題」一〇〇周年にあたる。それはまた「公理主義」一〇〇周年でもある。この機会に二〇世紀数学の方向を決定づけたといわれるヒルベルトの数学とは何だったのか、「公理主義」とはなんだったのか、それは二〇世紀数学にとって何をもたらしたかを考えてみたい。
現代の我々が「構造」として捉えるものをヒルベルトは「証明・論理」により捉えようとしたらしい。現代の我々にとって公理とは、集合論や圏論などの言語により、ブルバキ的な「集団としての構造」を記述する条件であるが、ヒルベルトにとっては公理はよりシンククティカルなものであった。
なぜだろうか? 公理論を数学の存在論として捉えるヒルベルトにとっては、「言語のもつ有限性」こそが重要だったからである。「幾何学基礎論」や「数の概念について」の公理系はある種の極大構造を定義している。たとえば「数の概念について」の実数論の公理系が記述しているものは極大アルキメデス順序体である。
我々は当然集合論を前提としてこれを理解する。特に実数の完備性を保証する極大という条件は非常に集合論的である。しかし、奇妙なことに一九〇〇年のヒルベルトは、極めて集合論的なこの極大性条件さえ「有限性」を実現するものとして捉えている。
ヒルベルトは、実数の有限個の公理から・有限ステップの証明だけで考えることにより、カントールのように任意の基本列を考える必要がなくなり、この極大性の公理により一無限の世界が排除されクロネッカーの批判から免れると主張した。
つづく >>329 つづき
現代の数学者ならば、この公理が、他の公理をみたすシステム全体の無限集合の極大元の存在を主張する、極めて無限的な冶だと理解することができる。しかし、公理をブルバキ的な「モデルの集団を記述する条件」として捉えず、「有限的な言葉」としてとらえるヒルベルトには、これはカントールの完備性より、より有限的に見えたのだろう。
4 ヒルベルトの公理論とはなんだったか?
では、ヒルベルトの公理論はなぜ、シンククティカルでなくては ならなかったのか?ヒルベルトが生涯、その影に悩まされたのは クロネッカーであった。そのクロネッカーは彼の代数理論を使うことにより解析学までも代数化・「算術化」することを企てた。
スキーム理論のようなイメージを持っていた可能性もある。そのように して実数論を構築しようとすれば、クロネッカーの意図に反し無限集合が必要となる。クロネッカーはそれを許さないので、逆に無理数を捨てたのである。
集合論を新時代の数学の強力な武器とみなすヒルベルトにとって はクロネッカーの無理数の否認など論外であった。後で説明するように、ヒルベルトは極めてクロネッカー的な世界である不変式論の おいて一集合論的方法がクロネッカー的な有限的方法を越える瞬間 を目撃したからである。
しかし、この不変式論という膨大な手計算 を必要とした極めてアルゴリズミックな代数理論において、そのキャリアを開始したヒルベルトは同時にクロネッカー的精神を自らの 手による計算を通して理解していた人物でもあったはずなのでける。
クロネッカーが対象を有限に限ったところを、ヒルベルトは「無限の対象の有限的記述形式」としての公理系を考えることにより、 「無限の有限化」を成し遂げようとした。彼の公理論実数論はクロネッカーと同じ精神で、しかし、方法を代数に限らず、「言語、論理、 証明」による有限的公理化という別な方法によって有限的実数論を 構築する試みだったのである。
つづく >>330 つづき
この意味で、一九二〇年代の証明論のテーマが、すでにここにある。現在の我々は公理論を数学の方法論として認識し、数学基礎論 の意味での数学の基礎付としての役割を期待することは少ないが一) ヒルベルトの公理論には、このように登場当初から基礎論的色彩が 種めて濃い。
そして、それが後にブルバキが「初期公理論の失敗」 として切って捨てたものだった。
(引用終り)
注：「極大元の存在を主張する、極めて無限的な冶」とは？ 「シンククティカル」とは？ >>331 つづき
スコーレムの有限主義
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/24316/1/Deguchi.pdf
＜特別寄稿＞スコーレムの有限主義( 本文 ) 出口康夫 哲学論叢 (2002)
(抜粋)
１ 序
本論は、この数学の哲学上の空白を埋める、本格的なスコーレム研究
の呼び水となるべく、さしあたって彼の有限主義に焦点を絞り、その哲学的含意を明らか
にし、それを基に数学の哲学におけるその位置付けを目指す。
位置付けの際、特に注目されるのは次の諸点である。
（一）スコーレムの有限主義は、数学における構成主義(constructivism)の一つと目されるが、だとしたら、それはどのような意味で構成主義的なのか。
（二）構成主義の他の立場、特にその哲学的分析が比較的進んでいる直観主義(intuitionism)と有限主義との異同は何か。
（三）有限主義はどのような点で「有限的(finitary)」であると言えるのか。
(引用終り) ウィトゲンシュタイン、ヒルベルト、スコーレムらの有限主義。あなたの悩み！ わかります、哲学ですね！（＾＾；
しかし、現代数学は、有限主義の立場をとらないし、大学でも有限主義の数学は教えないだろう
現代数学は、カントールの無限集合論を認める
集合 A には A の濃度card(A)などが、定義される
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
濃度 (数学)
(抜粋)
数学でいう濃度（のうど、英: cardinality）とは、集合論において無限集合同士のサイズを比較するために、有限集合の要素の個数という概念を無限集合にも拡張させたものである。 一般に集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。有限集合では要素の個数と濃度は等しい。
歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された。
定義
全ての集合が濃度を持つことを言うために選択公理が必要である。選択公理を仮定すればかなる集合X は整列可能であることから、ある順序数αに対して |X| = α なるαが存在する。
選択公理を仮定せず、正則性公理を使って濃度を定義する方法も知られている。それは、集合 A との間に全単射が存在するような集合で階数が最小のものをすべて集めた集合を A の濃度と定義する方法であり、これは発見者の名から「スコットのトリック」と呼ばれている。
(引用終り)
”2は第何項なのか？” ウィトゲンシュタインの厳格な有限主義の立場からの疑問ですね（＾＾；
よく分かりますよ、その悩みは（＾＾；
>>326”現代数学の擁護者たちは、あきれ果てて、もはや見解の相違だといって、議論もすることなく去っていってしまうでしょう。ウィトゲンシュタインはそれを承知です。それでもなお、現代数学は間違っているというのがウィトゲンシュタインの主張なのです。”
はいはい（＾＾； 馬鹿は他人と意見が合わないとき、そいつが馬鹿なんだと勘違いします
そしてどんどん拗らせます >>333
Scottのトリック補足
http://alg-d.com/math/ac/card2.html
本当は怖い濃度の話 : 選択公理 | 壱大整域 2013年10月27日更新
(抜粋)
この定義は明らかに選択公理に依存しています．では選択公理を使わずに濃度が定義できるのかというと，Scottのトリックというものを使い定義することができます．
https://en.wikipedia.org/wiki/Scott%27s_trick
Scott's trick
(抜粋)
In set theory, Scott's trick is a method for giving a definition of equivalence classes for equivalence relations on a proper class (Jech 2003:65). The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice.
It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo?Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott (1955).
Beyond the problem of defining set representatives for ordinal numbers, Scott's trick can be used to obtain representatives for cardinal numbers and more generally for isomorphism types, for example, order types of linearly ordered sets (Jech 2003:65).
It is credited to be indispensable (even in the presence of the axiom of choice) when taking ultrapowers of proper classes in model theory. (Kanamori 1994:47) >>334
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE
双対
(抜粋)
アーベル群の双対
アーベル群 G から、0 を除く複素数全体のなす乗法群 C× への準同型（これは（1 次の）指標 (character) と呼ばれる）全体のなす群 G^ を双対群（または 指標群）という。指標の間の演算は、写像の値の複素数としての積によって入れる。
アーベル群 G が有限のときには、双対群はもとの群と同型になり、双対群の双対群 G^^ には元の群との間に自然な同型がある。アーベル群とその指標群との双対性はポントリャーギン双対の一種である。
なおポントリャーギン双対は、一般には局所コンパクト位相群で考えられる双対性であり、有限アーベル群は離散位相を入れてコンパクト群（したがって局所コンパクト）である。 >>333 補足
数学の哲学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6
数学の哲学
(抜粋)
数学の哲学（すうがくのてつがく、英: philosophy of mathematics）は、哲学（科学哲学）の一分野で、数学を条件付けている哲学的前提や哲学的基礎、そして数学の哲学的意味を研究するものである。数理哲学とも言われる。
20世紀の初めに形式論理学と集合論が驚くべき、そして反直感的な発展を遂げた結果、「数学の基礎」と伝統的に呼ばれてきたものに関係する新たな疑問が生じた。
紀元前300年前後のユークリッドの時代以来、公理に基づく手法は、数学の自然な基点だと受け止められていたが、20世紀が進むにつれ、当初の関心の焦点が拡張され、数学の基礎的な公理に対する制限のない探求へと至るようになった。
公理、命題、そして証明といった観念、そしてまた数学的対象の命題の真理についての観念が、形式化され、数学的に扱うことが許されるようになった。ツェルメロ＝フレンケルの公理系は、多くの数学的議論を解釈する概念的枠組みを提供するものとして集合論を定式化した。
物理学におけるのと同様に数学においても、新しい、予期しないアイデアが登場し、特筆すべき変化が訪れた。ゲーデル数によって、数学理論の無矛盾性の研究が可能となった。
検討されている数学的理論が「それ自体、数学的研究の対象となる」という反省的批判を、ヒルベルトは「超数学」（メタ数学）（英: metamathematics）又は「証明論」（英: proof theory）と呼んだ[3]。
20世紀の中ごろ、圏論として知られる新たな数学理論が、自然言語による数学的思考に対する新たな競争者として登場した（Mac Lane 1998）。
論理主義
論理主義は、数学は論理学に還元可能で、ゆえに数学は論理学の一部以外の何者でもないというテーゼである（Carnap 1931/1883, 41）。
形式主義
詳細は「形式主義 (数学)」を参照
形式主義とは、数学的言明はいくつかの記号列の操作ルールの帰結についての言明とみなしてよいと考えるものである。
構成主義
詳細は「構成主義 (数学)」を参照
直観主義と同様、構成主義もまた、一定のいみで明白に構成することのできる数学的なものだけが数学的言説において認められるべきであるという規制原理を主張する。 >>316 訂正
部屋番をｎ→(1+100*n,2+100*n,・・・,99+100*n,1+100*n) | n=1,2,3,・・・ とできる
↓
部屋番をｎ→(1+100*n,2+100*n,・・・,99+100*n,100+100*n) | n=1,2,3,・・・ とできる >>310
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>>317 順序集合の”直積集合上の順序”の”辞書式順序: 辞書式順序: ( a , b ) ≦ ( c , d ) ←→ a < c ∨ ( a = c ∧ b ≦ d )”
”注意：辞書式順序の図が、載ってます。直線で表現されている。つまり、辞書式順序では直積だが１次元で表現できると”
あたりを見てくれ
おっちゃんにはレベルが高すぎるかもしらんがね >>333 関連
物理でも無限大
http://mitsuno-y.com/file/200808/25_124340.html
特異点｜現代未解決問題取扱所
(抜粋)
ビッグ・バン理論によれば宇宙は膨張していることになっているので、時間を遡ってゆくと宇宙はどんどん小さくなり、百数十億年前の始まりの時には、宇宙の全物質が一点に集まり、密度および温度が無限大になっていたことになる。
この一点のことを特異点という。これは普通のブラック・ホールの特異点が持つ「事象の地平面」で覆われていなかったと予測されるため「裸の特異点」と呼ばれている。事象の地平面で覆われていれば数学的に、すなわち理論的に問題はないが、裸のままでは理論上あってはならないものだという。
現代物理学では密度や温度が無限大というのは許されないことなので、裸の特異点はビッグ・バン理論を揺るがす致命的な問題となっている。にもかかわらず理論物理学者のステｲーブン・ホーキングとロジャー・ペンローズはこの特異点の存在を証明し、その事象においては一般相対性理論が破綻することを示した。
一般相対論は有限の値しか扱えないので、密度無限大が出てくると機能しなくなる。ではいったいどういうことなのか。中には一般相対論が破綻するのは古典物理学を基礎として証明を行なったからであり、量子効果を含めた考察は、かの二人の専門の範囲外にある、とかばう人もいる。
これを打開するためにペンローズは「宇宙検閲官仮説」なるものを持ち出し、自然界には裸の特異点が存在しないようになっていると言い出した。学者が得意とするまやかしの論理だ。 >>269
表現可能関手、HomC(-, X) や HomC(X, -)
これが分からなかった
加藤 五郎ちゃん、ありがとう
Awodey >>126-127 と併読すると、ようやく分かった
表現可能関手、HomC(-, X) や HomC(X, -) は、米田で使うから、結構大事なんだね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%89%8B
関手の概念の萌芽はエヴァリスト・ガロアによる群を用いた代数方程式の研究に見ることができる。20世紀はじめのエミー・ネーターらによる加群の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された。
20世紀半ばの代数的位相幾何学において実際に関手が定義され、図形から様々な「自然な」代数的構造を取り出す操作を定式化するために利用された。ここでは（基本群のような）代数的対象が位相空間から導かれ、位相空間の間の連続写像は基本群の間の代数的準同型を導いている。
その後アレクサンドル・グロタンディークらによる代数幾何学の変革の中でさまざまな数学的対象の関手による定式化が徹底的に追求された。
表現可能関手
圏 C の対象 X について HomC(-, X) や HomC(X, -) の形にかけるような C から Sets （または C の hom-集合の構造を表すしかるべき圏）への関手は表現可能関手（ひょうげんかのうかんしゅ、representable functor）とよばれる。米田の補題によって表現可能関手たちとその間の自然変換はもとの圏の構造を完全に反映していることが知られる。
数学のさまざまな場面で与えられた関手が表現可能であるかどうかやどんな対象によって表現されるか、あるいはその関手が表現可能になるように圏を変形できるかということが問題になる。
特定の形の図式に関する極限は図式圏への対角埋め込み関手に対する右随伴関手として定式化できる。テンソル積や対象積、交代積は多重線形写像の関手を表現するような対象として定式化できる。 >>129
前層が函手なんやね
加藤 五郎ちゃんに丁寧に説明がある
よく分かるわ（＾＾； ”前層はモノイドの集合への作用の一般化” by 「圏論の歩き方」 P253,P31
分かったような、分からんような
でも、なんとなく分かった気になるね〜（＾＾； 前層の圏までいかないと、モノイドと対比できないような気もするが・・ >>339
おっちゃんです。スレ主がトンデモであることは、スレ主が>>316で
>時枝記事では、R^ Nは未定義。だから、R^ Nをどう解釈が問題となる
と書いたところに端的に現れている。
R^N は、実数列全体からなる空間で、数列空間の1つである。
時枝記事を読むにあたり、文脈上 R^N は定義されている。
何も問題はない。 >>339
>>114では
>実数列の集合 R^Nを考える.
と明記されている。>>316で
>１．時枝記事では、R^ Nは未定義：>>114に引用の通り。
>２．だから、”可算無限個の箱”から類推解釈するしかない。
と書き解釈することがスレ主の思い込みである。 >>318
> そして、明らかに∈R^ N
明らかにとごまかさずに数列の順番を変えないで自然数と1対1に対応させてみなさい
> {（a,1）,（a,2）,・・・,（a,2n+1）,・・・,（b,2）,（b,4）,・・・,（b,2n）,・・・}
(上の(a,2)は(a,3)に直す)
{1, (a,1)}, {2, (a,3)}, {3, (a,5)}, ... , {n, (a,2n-1)}, ... の部分は可算無限でありこの部分だけで自然数との対応は終了する
{?, (b,2)}, {?, (b,4)}, ... , {?, (b,2n)}, ... の?の部分に入る自然数は無い
> その最大値∞は避けられないように思う
決定番号を求めるには代表元と同じ長さの数列を比較しなければいけないが解答者はスレ主が挙げた数列から
代表元と同じ長さの可算無限数列{(a,1), (a,3), ... , (a, 2n-1), ... }あるいは{(b,2), (b,4), ... , (b, 2n), ... }
を使って決定番号を求めればよい おいおいまじかｗ
>>302-303の通りじゃねえかｗ
>>302
> ここまで引っ張っといて
>
> R^Nの定義を勘違いしてましたテヘ
>
> じゃすまねーぞおいｗ
>>303
> > y_n＝2 を満たす n が存在しない。だから、R^N の中には存在しない
>
> この説明で分からないのは確信犯のプロとしか考えられんだろｗ
> スレ主はR^Nの定義を言ってみろよ。どうせ独自定義なんだろ？ｗ
まあ逃げを打つとしたらこの線しかないわなｗｗ >>341 関連
「前層 P∈ Set^C_op」が分からなかったんだ
Set^C_opが集合の写像を表すベキ記号のパロディーなんだね（＾＾；
なんか、昔そんな話を聞いた気もしたんだけど・・（＾＾；
https://infinitytopos.wordpress.com/category/%E5%9C%8F%E8%AB%96/
圏論 ? はじまりはKan拡張:
∞カテゴリーIV
投稿日: 2015年2月15日
(抜粋)
・米田、余完備、Kan拡張
任意の前層 P∈ Set^C_opは表現可能関手の余極限 P =? lim_∞ Hom(-,c_i)と同型である． >>349 つづき
集合の写像を表すベキ記号 B^A の説明
http://teenaka.at.webry.info/200608/article_4.html
「べき集合」のおさらい T_NAKAの阿房ブログ/ウェブリブログ:2006/08/04
(抜粋)
さて、このページ
http://aozoragakuen.saku 強制改行
ra.ne.jp/taiwaN/taiwa3/taikaku/node5.html
によると、
「二つの集合AとBに対し，集合Aから集合Bへの写像の集合をべき集合といい B^A と書く．」
とされており、一般的な「べき集合」はこのようなものなんですね。
(引用終り)
ところで、上記aozoragakuenのリンクが切れていて下記なんだ (リンクが変わった)
http://aozoragakuen.sakur 強制改行
a.ne.jp/taiwaN/taiwa3/taikaku/node5.html
集合の概念:2014-05-23
(抜粋)
べき集合
Aの部分集合と集合Aから集合{0, 1}への写像fは一対一に対応している．
これを一般化し，二つの集合AとBに対し，集合Aから集合Bへの写像の集合をべき集合といい
B^A
と書く．先に2^A と書いたのは，この場合 B ={ 0, 1}となり，Bの要素の個数が2だからである．
(引用終り)
京都大学 高崎金久 先生、詳しくていいね
http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/edu/logic/index.html#lectures
数理論理学入門 高崎金久（京都大学）?京都大学での全学共通科目講義に基づく?
http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/edu/logic/logic2.html
講義資料 注意：この講義資料は通年で講義を担当していた2000年?2003年頃のものです．
(抜粋)
II. 数学的準備
2. 写像
2.1 定義と概念
【写像】二つの集合 X, Y を考える． X の各要素 x に対して Y の一つの要素 y = f(x) を 対応させるもの f を X から Y への写像という． f が X から Y への写像であることを記号で f:X -> Y と あらわす．X から Y への写像をすべて集めてできる集合を Map(X,Y), Y^X, などの記号で あらわす．
空欄の埋め方は n ×…× n = n^m = |Y|^|X| あるから，X から Y への写像の 個数について
|Y^X| = |Y|^|X|
という等式が成り立つ．X から Y への写像全体の集合を Y^X という記号で表わすのは一つにはこのため である．
(引用終り) >>345-346
どうも。スレ主です。
おっちゃん、レスありがとう
そうやって、おっちゃんが、時枝記事擁護側にいることが、ありがたい（＾＾；
>時枝記事を読むにあたり、文脈上 R^N は定義されている。
>何も問題はない。
いや、定義の話は、>>114で、「実数列の集合 R^Nを考える」としか書いていないよ
だから、「実数列の集合 R^N」をどう考えるか？ 「何も問題はない」ように解釈する必要があるってこと
それを>>316で書いた
いいかい、「実数列の集合 R^N」は非常に明確だ。但し、”数列のしっぽによる同値類の決定番号”が絡んでこなければ
そして、>>320で書いたように、”数列のしっぽによる同値類の決定番号”は、現代数学の外
そこを忘れないように
「実数列の集合 R^N」を、ベクトル空間と考えよう。x1,x2,x3,・・・,xn,・・・だ
これを、y1,y2,y3,・・・,yn,・・・と書こうが、本質は同じだ。単に座標の表記だけの話だよ
ところが、現代数学の外の”数列のしっぽによる同値類の決定番号”が絡んでくると、単に座標の表記だけの話で済まなくなると
それだけの話でしょ？ >>316 訂正
＜時枝記事では、R^ Nは未定義。だから、R^ Nをどう解釈が問題となる＞
↓
＜時枝記事では、R^ Nは未定義。だから、R^ Nをどう解釈するかが問題となる＞
>>347
カントールの集合論を否定したいのか？
「有限主義」？
>> そして、明らかに∈R^ N
>明らかにとごまかさずに数列の順番を変えないで自然数と1対1に対応させてみなさい
数列の順番を変えないで?
それ自分の独自定義か？
>>316 「時枝記事では、R^ Nは未定義。だから、R^ Nをどう解釈するかが問題となる」と書いたろ？
そもそも、はじまりは、「可算無限個の箱」>>114だよ。この時点で順番はない
それを、適当に並べるだったろ？ 数列の順番を変えないでとは? そもそも数列の順番は固定されたものではないだろ
数列の順番が問題なら、自分できちんと定義しな いつどの時点の「順番」なのか
繰り返すが、最初は「可算無限個の箱」で、順番は未定。箱の中は見ないで並べるんだよ。箱には番号も目印もない前提だろう？？
順番にどんな意味を持たせるんだ？ 決定番号の都合よくか？
>> その最大値∞は避けられないように思う
>決定番号を求めるには代表元と同じ長さの数列を比較しなければいけないが解答者はスレ主が挙げた数列から
>代表元と同じ長さの可算無限数列{(a,1), (a,3), ... , (a, 2n-1), ... }あるいは{(b,2), (b,4), ... , (b, 2n), ... }
>を使って決定番号を求めればよい
「決定番号を求めるには代表元と同じ長さの数列を比較しなければいけない」か
その通りだ
だが、>>114の「実数列の集合 R^Nを考える」では、数列の長さは自然数N全体を使っている。この時点で、同値類を決め、代表元を決めているよ
対して、例えば{(b,2), (b,4), ... , (b, 2n), ... }は、明らかに偶数だけを使っているから、自然数N全体の半分しか使っていないよ、だから長さの比を有限からの極限で考えると半分だよ
同じ長さと言えるのか？ ネット掲示板で学術を行うのは、とても良い習慣です。なので続けましょう。
￥ >>349 関連
下記”このような「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．”うーむ、至言だね（＾＾；
https://infinitytopos.wordpress.com/category/%E5%9C%8F%E8%AB%96/
圏論 ? はじまりはKan拡張:
∞カテゴリーIII
投稿日: 2015年2月10日
(抜粋)
・抽象化の力
しかし，この説明にはかなり不満も多いだろう．というのも，位相空間にはイメージのしやすさという明確な優位性がある．少々simplicial setの圏の性質が良かったところで，少なくとも位相空間に関する事は位相空間内で考えるほうが「分かりやすい」だろう．
これは圏に関してもそうだ．ある程度，圏論のイメージを掴んでいる人なら，Nerveを取らなくとも通常の圏のまま扱う方が分かりやすいに決まっている．
その感覚は正しいだろう．では，わざわざなぜsimplicial setで考えるのか？
圏同値なのならどちらも同じかと思うかもしれないが，そういう訳ではない．前者は一見シンプルで分かりやすいが，2-圏的な対象であるという難しさがある．それに比べ後者は少々複雑な条件が伴うが，2-圏的な要素を排除する事に成功している．このような「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．
(引用終り) ￥さん、どうも。
昔、湯川先生がノーベル賞、そのあと朝永先生とつづいた
湯川先生は、朝永先生の繰り込み理論に不満で、晩年まで繰り込み理論の克服を探求された
時代は進んで、超ひも理論で、発散の困難は押さえられるとなったけど、期待したが繰り込み理論の克服まで行っていない
一方で、ビッグバン宇宙論で、量子ゆらぎと宇宙の大規模構造が関連しているとか、びっくりですね
やっと、ここまで分かったんだと
ただ、２１世紀には、繰り込み理論を扱う正統な数学が出来ているだろうと思っていたんですけど
自然の奥行きは深い・・・
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E3%81%AE%E5%A4%A7%E8%A6%8F%E6%A8%A1%E6%A7%8B%E9%80%A0
宇宙の大規模構造
http://www.kyoto-su.ac.jp/project/st/st15_02.html
小さなゆらぎが作り出した宇宙の大規模構造?銀河の分布から見えてくる宇宙の全体像? | サイエンス＆テクノロジー | 研究・社会連携 | 京都産業大学: 理学部 物理科学科 原 哲也 教授
(抜粋)
大規模構造の起源は宇宙誕生まで遡る
追伸
あんまり、学術というほどのことはしていませんが・・・、ま、私の備忘録です
宇宙の大規模構造が、いつ、どのようにして形成されたのか、というのは私の研究対象のひとつです。
そのメカニズムは完全に解明されたわけではありませんが、現在もっとも有力な説は、宇宙が誕生したころの小さな「量子ゆらぎ」が宇宙の膨張に伴って、数億光年という気の遠くなるスケールにまで成長したとするものです。 >>357 訂正
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E3%81%AE%E5%A4%A7%E8%A6%8F%E6%A8%A1%E6%A7%8B%E9%80%A0
宇宙の大規模構造
http://www.kyoto-su.ac.jp/project/st/st15_02.html
小さなゆらぎが作り出した宇宙の大規模構造?銀河の分布から見えてくる宇宙の全体像? | サイエンス＆テクノロジー | 研究・社会連携 | 京都産業大学: 理学部 物理科学科 原 哲也 教授
(抜粋)
大規模構造の起源は宇宙誕生まで遡る
追伸
あんまり、学術というほどのことはしていませんが・・・、ま、私の備忘録です
宇宙の大規模構造が、いつ、どのようにして形成されたのか、というのは私の研究対象のひとつです。
そのメカニズムは完全に解明されたわけではありませんが、現在もっとも有力な説は、宇宙が誕生したころの小さな「量子ゆらぎ」が宇宙の膨張に伴って、数億光年という気の遠くなるスケールにまで成長したとするものです。
↓
追伸
あんまり、学術というほどのことはしていませんが・・・、ま、私の備忘録です
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E3%81%AE%E5%A4%A7%E8%A6%8F%E6%A8%A1%E6%A7%8B%E9%80%A0
宇宙の大規模構造
http://www.kyoto-su.ac.jp/project/st/st15_02.html
小さなゆらぎが作り出した宇宙の大規模構造?銀河の分布から見えてくる宇宙の全体像? | サイエンス＆テクノロジー | 研究・社会連携 | 京都産業大学: 理学部 物理科学科 原 哲也 教授
(抜粋)
大規模構造の起源は宇宙誕生まで遡る
宇宙の大規模構造が、いつ、どのようにして形成されたのか、というのは私の研究対象のひとつです。
そのメカニズムは完全に解明されたわけではありませんが、現在もっとも有力な説は、宇宙が誕生したころの小さな「量子ゆらぎ」が宇宙の膨張に伴って、数億光年という気の遠くなるスケールにまで成長したとするものです。
(引用終り) >>356 関連
http://junology.hatenablog.com/entry/20120526/1338030407
Godement 層の理論ノート0 前層 - junologyのブログ: 2012-05-26
(抜粋)
前層の例
順序集合A
は、順序関係?を射として圏と思えることに注意する。
http://junology.hatenablog.com/entry/20120614/1339691406
junologyのブログ 2012-06-14
Godement 層の理論ノート1 層とetale space
前回、前層（presheaf）の定義をしたけれど、あれは反変関手ならなんでもござれで、あまりにも一般的すぎる。
特に、Xの位相O(X)の意味に一切触れていない。
そこで、位相空間Xの性質について自然になるように、もう少し条件をつけたのが層である。
層の定義
前回の最後に前層の例を3(+1)個挙げた。
しかし、元の個数やら被覆の重複やらというものは、X
の位相の意味を見失っている例であろう。
Xの位相が最も良く表われていると考えられるのが、連続関数の層である。
何故これがXの位相と関係が深いかといえば、いくつか理由はあるが、特に層の定義の根拠になっているものは、空間Xの「局所的」性質と「大域的」性質の関連性を良く受け継いでいることだろう。
この事を定式化して層を次のように定義する。
略
(SH1)は、各点の近傍で一致していれば全体で一致しているということであり、「大域→局所」のつながりを意味し、逆に(SH2)は「貼り合わせ」操作が可能であるということで、「局所→大域」のつながりを意味する。
注意すべき点として、(SH2)で存在を保証されたfUは、(SH1)から唯一つである。
また、?∈O(X)であるが、(SH2)でI=?の場合を考えるとF(?)は一点集合である。
例
連続写像の層
F(U)={f:U→Y : conti.}は層である。
特に、YがRやCなどの位相環の場合が重要である。 >>359 訂正
また、?∈O(X)であるが、(SH2)でI=?の場合を考えるとF(?)は一点集合である。
↓
また、Φ∈O(X)であるが、(SH2)でI=Φの場合を考えるとF(Φ)は一点集合である。
補足：Φは空集合を意味する。正規の空集合記号は文字化けで、ギリシャ文字で代用した >>359 関連
加藤 五郎ちゃんの前層の定義も、開集合とその包含写像をベースにした位相カテゴリーTからの集合Setsやアーベル群のカテゴリーGへの反変函手という説明
Awodeyは、位相カテゴリーTに限らず、一般のカテゴリーCをベースにした説明だ >>353 補足
>> そして、明らかに∈R^ N
>明らかにとごまかさずに数列の順番を変えないで自然数と1対1に対応させてみなさい
大学レベルの数学における添字集合分かりますか？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%BB%E5%AD%97%E9%9B%86%E5%90%88
添字集合
(抜粋)
数学における添字集合（そえじしゅうごう、index set）は、別の集合の元に対して「ラベル」付けを行うときの、「ラベル」の集合を言う[1]。
各「ラベル」は指数、添数、添字 (index) などと呼ばれる。添字となるものは、列の項の番号であったり、媒介変数であったりと様々である。
添字付けられた族のラベル付けや次数付き代数系の次数付けの添字として使うものは、数学的には種類はなんでもよく、適当な集合 Λ を選んで、その元 λ ∈ Λ を添字にすることができる。添字付けの数学的な意味は、添字集合からの写像である。
多くの場合、添字は添字記法と呼ばれる、典型的には記号の上方や下方に置かれ、本文に用いられる文字よりやや小さな文字や数字を用いる記法に従って書かれる。添字が、上方に置かれるとき上付き添字（うえつきそえじ、superscript）、下方に置かれるとき下付き添字（したつきそえじ、subscript）と呼ばれる。
特定の添字集合による添字付けには、特別な呼び方をすることがある。たとえば、I が自然数からなる（つまり I ⊂ N となる）とき、集合 S の元の I による添字付け
I → S ; i →s i
は S の元への賦番、あるいは S の元の数え上げといい、集合 S の元がこのような添字付けによって尽くされるならば、S は可賦番であるという。 >>363 補足
大学レベルでは、超限帰納法で、普通に自然数以外の添字集合使います。整列可能定理により、任意濃度の集合に対して、添字集合として使えますが、なにか
https://kotobank.jp/word/%E8%B6%85%E9%99%90%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95-97776
超限帰納法(ちょうげんきのうほう)とは - コトバンク:
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
超限帰納法
ちょうげんきのうほう
transfinite induction
順序数αで番号づけられた命題 P(α)について，ξ＜αについて P (ξ) が成立すれば，P (ξ) を証明することによって P (α) を証明する方法。自然数についての数学的帰納法を一般化したものである。
本文は出典元の記述の一部を掲載しています。
世界大百科事典 第２版の解説
ちょうげんきのうほう【超限帰納法 transfinite induction】
一般化された数学的帰納法の一種で，次のような証明法である。整列集合Λの各元λに命題Pλが対応しているとき，次のことが証明できれば，すべてのPλは正しい。
〈各λ∈Λに対して，μ＜λならばPμが正しいという仮定のもとで，Pλは正しい〉。
これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。
するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
(抜粋)
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
(引用終り) >>353
> 箱には番号も目印もない前提だろう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
> 順序
> 0, 2, 4, 6, 8, ..., 1, 3, 5, 7, 9, ...
> が挙げられる。この順序に関する整列集合の順序型は ω + ω である。
> 任意の元が直後の元を持つ（したがって最大元は存在しない）が、直前の元を持たない元が 0 と 1 の二つ存在する。
上の整列集合をそのまま数列だと考えたとして1の直前の元が無いことから有限個の箱を並べて
箱の数を増やした極限を一度とり(0, 2, 4, 6, 8, ... の部分)再度新たに有限個の箱を並べて極限を
とる必要がある(1, 3, 5, 7, 9, ... の部分)
有限個の箱をまず並べそこから箱の数を増やして極限を一度とったあとに再度箱を加える操作が行われなければ
箱の中身がキマイラ数列であることはないので解答者はキマイラ数列を排除できる
> 自然数N全体の半分しか使っていないよ、だから長さの比を有限からの極限で考えると半分だよ
> 同じ長さと言えるのか？
2*(1), 2*(2), 2*(3), 2*(4), ... , 2*(n), ... の()の中に見られる 1, 2, 3, 4, ..., n, ...
は何か答えてもらえますか？
>>364
超限帰納法と言っても0, 2, 4, 6, 8, ... の部分と1, 3, 5, 7, 9, ... の部分で分けて考えることは同じ >>364 補足
いま、ここに一つの０〜９までの一桁の数からなるランダムな数列
例えば、9,8,7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,8,7,6,6,5,5,・・・・・
という数列があったとする
どういう添字集合で添え字するかは、数列の本質とは無関係
もし、無限数列なら、まずは可算か非加算かが問題だろう
数列が可算無限なら、任意の可算無限集合で添え字すれば、数学としては、それでなんら問題がないはず
もちろん、前から1,2,3・・・と連番を付与できれば最も単純だろうが・・
逆に考えれば、任意の可算無限集合になんらの方法で順序を入れて、順序集合にすることができれば、その順序集合と自然数の集合とは全単射が可能。だから、任意の可算無限順序集合で順序付けできる数列があれば、それは可算無限個からなる数列そのもの
それが、大学レベルの数学の結論だろ？ スレ主は話のすり替えがうまいねえw
おまいのキマイラ数列がR^Nの元ではないことくらい認めたまえよw >>367
どうも。スレ主です。
面白いことを考えるね（＾＾；
>有限個の箱をまず並べそこから箱の数を増やして極限を一度とったあとに再度箱を加える操作が行われなければ
逆に、有限個の箱をまず並べ、左（A列）と右（B列）に分ける。そうすると、左（A列）＋右（B列）で全体の数列になる
ここで、例えば、A1,A2,・・・・,An,Ae, B1,B2,・・・・,Bn,Be とする
（ここに、Ae,Be の"e"は、end(最後)の意味で、A列とB列の最後の数を表す。つまりは、増やす箱は、Ae,Beの前に入れて行く。まさか、この（Ae,Beの前に入れて行く）操作を否定しないだろうね？ 否定するなら数学的根拠を示せ ）
ここでn→∞の極限を取れば良いだけの話。極限は一度で良い。大学の数学では
そして、明らかに、数列は可算無限個の数から成る！
>> 自然数N全体の半分しか使っていないよ、だから長さの比を有限からの極限で考えると半分だよ
>> 同じ長さと言えるのか？
> 2*(1), 2*(2), 2*(3), 2*(4), ... , 2*(n), ... の()の中に見られる 1, 2, 3, 4, ..., n, ...
>は何か答えてもらえますか？
カントールの集合論の全単射の存在で、可算無限数列の長さを定義したいのか？
それならそれで、「全単射の存在で、可算無限数列の長さを定義する」と一貫しなさいよ、徹頭徹尾
「全単射の存在で、可算無限数列の長さを定義する」→そういう数列が可算無限長の数列だと 可算無限なら自然数と1対1対応がつくから可付番なんじゃないですか！？ >>372
"列"と"集合の濃度"の概念がごっちゃになってないか？ >>370
解答者は数当てを成功させようとしているのだからわざわざスレ主の提示する方法を選ぶ必要はない
スレ主の提示する方法を実行するのは一体誰を想定しているの？
箱の並べ方によって
(1)有限個の箱を並べて極限をとって可算無限個にする
有限個→(極限)→可算無限個 : 数列の長さは自然数全体の集合の順序数 ω に等しい
(2)(1)の後ろに有限個の箱を並べる
{有限個→(極限)→可算無限個} + 有限個 : 数列の長さは ω + n (n < ω)
(3)(2)の後ろの有限個を可算無限個にする
{有限個→(極限)→可算無限個} + {有限個→(極限)→可算無限個} : 数列の長さは ω + ω
など数列の長さは異なるが
> 箱には番号も目印もない前提だろう
だから解答者は(1)の並べ方を選択すれば良い >>375
>解答者は数当てを成功させようとしているのだからわざわざスレ主の提示する方法を選ぶ必要はない
そうだね。だが、それは、>>115の（100列並べ）段階でだね。>>115の段階では解答者が並べるから、並べ方は選択できる
しかし、>>114の同値類を調べるときは、きちんと全数列を調べ上げないといけない
例えば、1列目と2列目の数列で、属する同値類に差がでると、まずい
というか、>>114の同値類を調べるとき、自然に、集合 R^Nのあらゆる数列が類別されるのが理想だな
つづく >>376 つづき
そこで、>>370に戻って、集合 R^Nのあらゆる数列の類別を考えるのだから、次の数列も可だろう
１）A1,A2,・・・・,An-4,Ae',Ae | Ae'は最後から一つ前の箱,Aeは最後の箱、n-4は先頭と最後の４つ分を引いた数
２）この数列の長さはｎだ
３）当然n→∞の極限を取れる
４）箱に0〜9の一桁の数を入れるミニモデルを考える
５）この場合、Aeには0〜9の10通りの数が入る。だから、同値類は10通り。Aeをいま固定しよう
６）Ae'に、8と9を入れた数列を考える
７）A1,A2,・・・・,An-4,8,Ae と A1,A2,・・・・,An-4,9,Ae とだ
８）この二つの数列の比較で、決定番号は>>114の定義より、ｎ番目で一致するからｎになる
９）n→∞の極限を考えると、決定番号の取り得る最大値は∞に発散する！
おわり >>377 補足
１）普通に、A1,A2,・・・・,An という数列を考えてみよう
２）Anには、0〜9の一桁の数が入るとする。そうしても、nを大きくして、Anにどんな数が入るか確定しないと、前記の同値類10通りのどれに属するかが確定しない。
（Anが決まっても、An+1は未定、と考えてもよい）
３）あたかも、通常の実数からなる数列が、収束しないがごとし。 参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90 極限 - Wikipedia:
発散級数では、1-1+1-1+1・・・ などは振動すると言ったりするね 参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3%E7%B4%9A%E6%95%B0 発散級数 - Wikipedia: >>378 補足２
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BA%E6%95%A3%E7%B4%9A%E6%95%B0
発散級数
(抜粋)
発散級数、1-1+1-1+1・・・
に 1/2 を値として割り当てる。チェザロ総和法は平均化法 (averaging method) の一種で、部分和の列の算術平均をとることに基づいている。他の方法としては、関連する級数の解析接続として和を定める方法などがある。物理学では、非常に多種多様な総和法が用いられる（詳細は正則化（英語版）の項を参照）。
発散級数の総和法に関する定理
総和法 M が正則であるとは、収束級数については通常の和と一致することである。総和法 M が正則であることを示す定理は（アーベルの定理が原型的な例であることから）M に対するアーベル型定理という（また、正則であるという代わりに「M についてのアーベル型定理が成り立つ」というように述べることもできる）。
これの「部分的に逆」の結果を与えるタウバー型定理は、より重要で一般にはより捉えにくい（呼称は、原型的な例をアルフレッド・タウバーが与えたことによる）。ここで「部分的に逆」というのは M が級数 Σ を総和し、かつ「ある特定の付加条件を満たす」ならば、Σ はそもそも収束級数であるということを言っている。
「なんらの付加条件をなにも課さない形でタウバー型定理が成立する」ならば M は収束級数だけしか総和できないという意味になる（これでは発散級数の総和法としては役に立たない）。
解析学の領域での発散級数に関する主題としては、もともとはアーベル総和法やチェザロ総和法、ボレル総和法といった明示的で自然な手法およびそれらの関係性に関心がもたれていた。ウィーナーのタウバー型定理（英語版）の出現が時代の契機となって、フーリエ解析におけるバナッハ環の手法との予期せぬ関連がこの主題に導入されることとなる。
発散級数の総和法は数値解法としての外挿法や級数変形法にも関係する。そのような手法として、パデ近似（英語版）、レヴィン型級数変形（英語版）および量子力学の高次摂動論に対する繰り込み手法に関係した次数依存写像 (order-dependent mapping) などが挙げられる。
(引用終り) >>379 つづき
タウバー型定理は良く見るね。”物理学では、非常に多種多様な総和法が用いられる”か
面白いね
A1,A2,・・・・,An という数列だと、普通に極限を取れば、0〜9の一桁の数が入るとして、前記の同値類10通りのどれに属するか、振動状態になる。ここいいだろ？ 反論があるなら言ってくれ
そこで、どうぞ、総和法にならって、無限数列のしっぽの属する同値類の収束法を考案してみては？（＾＾； >>380 補足
タウバー型定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%82%A6%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
タウバーの定理
(抜粋)
解析学において、タウバーの定理（タウバーのていり、英: Tauber's Theorem）は無限級数の収束に関する定理[1]。ある一定の条件の下、無限級数におけるアーベルの定理の逆が成り立つことを述べる。
オーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが1897年に示した[2]。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ[3]。
タウバー型定理
詳細は「タウバー型定理」を参照
タウバーの定理における条件(T0)または(T'0)はアーベル総和可能でアーベル総和の値がlとなる級数が通常の意味でlに収束する条件を与えている。より一般的に、総和法において、値lに総和可能な級数が(T0)や(T'0)のようにlに収束する条件をタウバー型条件と呼び、タウバー型条件を与える定理をタウバー型定理と呼ぶ。
(引用終り) >>381 補足
”量子力学の高次摂動論に対する繰り込み手法に関係した次数依存写像”で検索
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1524-9.pdf
数理物理学研究回顧 中西襄 (京都大学名誉教授) 数理解析研究所講究録 1524 巻2006
google要約
関係した方々の名前はすべて実名で書いたので、あるいは不快と感じら. れる記述がある
... この選集の第 1 論文は、量子力学の経路積分法を提起した Feynman の 1948. 年の論文であっ ...
この選集の最後の論文は、摂動論のすべての次数で QED の繰り込み可能性を ...
サルピーター方程式に関する 1954 年の論文に因んで、 $|\mathrm{r}_{\theta}$ ィツ ....
を 3 次元運動量の平方に依存するものと仮定して、ファインマン積分から直接に. 次数 ......
反例を作るには、かなり高次の非平面的なダイアグラムを考えなければ.
http://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/
Yuji Tachikawa Professor, Kavli IPMU, University of Tokyo.
http://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/lectures/
List of lectures
http://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/lectures/2015-qm2/qmnotes.pdf
量子力学II (2015)
google要約
また、古典力学は日常の直感にあうが、量子力学は不思議だ、とか言われることがあるが、それ ...
II 系に対する観測以外の操作 (時間発展、回転等) は (反) ユニタリ演算子 U であらわされる。 III 系の観測量 ...
これを (時間非依存の) Schrodinger 方程式と呼んで、H を系のハミルトニアンと呼ぶ。 .....
とすると上記の交換関係をみたすことがわかる。σx,y,z の固有値は ±1 だったから、Lx,y,z := h?x,y,z ......
これは等角写像で、運動量空間の線素は単位球面上の線素と ......
6.1.5 高次の摂動: 調和振動子に x4 を足した場合. >>382
立川 裕二さん
ttp://d.hatena.ne.jp/active_galactic/20090410/1239376288
研究者 | カブリ数物連携宇宙研究機構:
立川 裕二
Last Update 2016/07/29 09:22:55
私の研究している超弦理論は、極微の世界を記述する量子力学と、強い重力を記述する一般相対論を同時に扱える数少ない理論のひとつです。また、自然の究極の構成要素を記述できる可能性のある最有力候補でもあります。しかしながら、正直なところ、私が超弦理論に魅かれる第一の理由は、それ自身の豊かな構造にあります。
弦理論の研究には、最先端の数学を使う必要があるだけではなく、その過程から新たな数学の一分野が生まれるということがこれまで何度もありました。例えば、弦理論の超対称な状態の構造を調べますと、代数幾何や表現論と深い関わりがあることが、最近徐々にわかってきています。
IPMU の物理の研究者の一人として、弦理論の鉱脈から何か新しいものを掘り出し、それが同僚の数学者の皆さんによって磨かれてゆく、ということになることが理想です。そうして、「 数物連携宇宙機構」の「数」学と 「物」 理の橋渡しになることができれば良いと思っています。
http://archive.2ch-ranking.net/math/1365812108.html
《数学オリンピック 25》
643： １３２人目の素数さん [] 2013/12/10(火) 00:35:03.74
第37回インド大会(1996)
立川 裕二 灘高校 ２年 銀
[外部リンク] ttp://www.imojp.org/laureler/imo/record_imo.html 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0789be87f514e2f8f220935ad5917779) >>382
中西 襄（のぼる ）さん、この人の本は、何かで買って読んだ気がする。量子力学だったような
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E8%A5%BF%E8%A5%84
中西 襄（なかにし のぼる、1932年 - ）は、日本の物理学者。1955年に京都大学理学部物理学科卒業。京都大学理学博士。プリンストン高等研究所、ブルックヘブン国立研究所研究員を経て、京都大学数理解析研究所教授、現在は京都大学名誉教授。
専門は場の量子論。「場の量子論における散乱振幅の諸性質の分析」により1973年度仁科記念賞を受賞。「QEDの中西-Lautrup 形式と不定計量の場の理論の研究」で2010年度素粒子メダル受賞。
主に数学者の在籍する数理解析研究所の教授であったことからもわかるように一貫して数学的な立場から物理学を研究してきた。
超弦理論に対して批判的なことで知られており、「彼ら（超弦理論の研究者）はあまりにも多くのことを仮定し、あまりにも少ない結果しか出さないのである」（素粒子論研究2000年9月号）と皮肉っている。
文字研究家の中西亮は兄、婦人運動家の中西豊子はいとこ、文筆家の中西秀彦は甥。 中西襄先生の超弦理論批判面白い（下記）（＾＾；
http://kagakucafe.org/nakanishi110115.pdf
4 次元を超える時空は物理として意味があるだろうか
第64回科学カフェ・科学交流セミナー
中西襄（京都大学名誉教授）
2010年1月15日（土）
基礎物理学研究所湯川記念館パナソニックホール
(抜粋)
超弦理論に対して批判的なことで知られており、彼ら（余次元理論の研究者）はあまりにも多くのことを仮定し、あまりにも?ない結果しか出さないのであると皮肉っている
（「素粒子論研究」102(2001)，43のエッセイにこのことが書いてあります）
余次元
数学的に高次元の時空を考えることは極めて容易.
余次元は物理的実在として意味があるのか?
時間が2 次元以上ダメ
因果律の問題が難しい
空間的余次元を考える．
空間の定義
3 次元空間（３）
3 つの独立な方向（縦，横，上下）
4 次元時空（３＋１）
相対性理論により，空間+時間
余次元(d）
余剰次元，異次元
バルク：4 次元時空+余分の次元3+1+d次元（ｄは1以上）
素粒子論研究者が標準理論に満足していない理由
1) 電弱理論と強い力は統一されていない．
2)無限大になる（2次発散）する質量の補正項をプランク質量で切断して計算すると，不自然に巨大になる．
3) 素粒子の質量の大きさのバラツキが大きく、大きさの違い（階層性）が説明できない．
4）パラメータの数が多すぎる．
5) 重力の問題は全く埒外である
これらの問題の解決に向けて
?1) に対しては大統一理論
?2) に対しては超対称性理論
?いずれも実験的支持なし
つづく >>385 つづき
余次元理論批判（１）出発点そのものが自己矛盾した考え方
?余次元空間が通常の4 次元時空と全く異質なものなら，時空とは何の関係もない！
単なる仮想的な（内部自由度の）空間
?4 + d 次元という高次元時空があるのなら、空間の回転に対する対称性が必要，
が・・・・それは明白に現実と矛盾．
余次元理論批判（２）手で余次元空間を差別
?スタートするときには，4 + d 次元対称なもの採用（ラグランジアン密度）．
?しかし作用積分には都合のよいよう勝手に境界条件を課する．
余次元理論は，最初からつぎはぎ理論．
余次元理論批判（３）発散の困難が深刻化
高次元の時空では紫外発散が強烈になる
→すべての相互作用がくりこみ不可能．
その精神的支柱の超弦理論も
非摂動論的定式化なし．
結論
余次元は存在しないと
考えるのが
最も自然である．
(引用終り) ＞３）当然n→∞の極限を取れる
意味不明、どういうこと？ >>387
深い意味は無い
単純に反論に先回りしただけ
つまり、「決定番号は有限」と主張する人たちに対して、「極限は取れる」といわずもがなの注意喚起をしただけだよ >>386 追加
http://ci.nii.ac.jp/naid/110006411533
Extra dimensionは存在しうるのか : 補足(放談室) 中西 襄 京大 素粒子論研究 102(4), 43-44, 2001-01-20
http://ci.nii.ac.jp/els/110006411533.pdf?id=ART0008414876&;type=pdf&lang=jp&host=cinii&order_no=&ppv_type=0&lang_sw=&no=1479602759&cp=
余次元屋は、余次元の空間はR という有限のサイズを持っているものと仮定するようだ。しかし、そのR という長さは
一体どうやって測るつもりなのだろう。重力以外の素粒子が一切使えない所では、長さの尺度は決めようがないで
はないか。余次元屋は、アインシュタインが特殊相対論を考えた時の思考実験
を思い起こしてみるべきである。長さという概念が、先験的に存在するわけで
はないのだ。余次先の空間というのはやはり内部空間で、その尺度はわれわれ
の住む4 次元時空のそれとは論理的に無関係なのである。したがってR に依存
するような結果が得られたら、それは物理的意味はないと考えるべきであろう。
余次元屋は、余次元の導入により、現在の理論では奇蹟と考えるしか仕方が
なさそうな微調整の問題を、自然に解決できると胸をはる。しかしながら、そ
のために支払わなければならない代償は、あまりにも莫大だ。 >>389 追加
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~soken.editorial/
素粒子論研究・電子版:
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~soken.editorial/sokendenshi/vol6/nakanishi.pdf
余次元は物理として意味があるだろうか 中西襄 素粒子論研究・電子版 Volume 6 2010年11月30日
(抜粋)
カルーツァ・クライン型の余次元理論
はすでに明白に観測結果と矛盾していて，実際上すべて排除されたと考えてよいという
最近の報告を紹介する．
4 余次元の存在への反証
アインゴルン・ツークの画期的な論文7);8)
によれば，カルーツァ・クライン型の余次元理論（余次元空間は曲率が0 の空間，すなわちd 次
元トーラス）は，現在すでに確定している観測値によって, 少なくとも重力の源が余次元方向の
広がりを持たないとする場合，*6すべて排除されることが明らかになったのである．
よく知られているように，アインシュタインの一般相対論は，ニュートンの重力理論をその近
似として含んでいるが，いくつかの現象でニュートン理論の値からのずれが予言される．その最
も代表的なものは，水星の近日点移動である．水星の近日点移動はニュートン理論でも起こる
が，その値は観測値とどうしても一致しないことが19 世紀半ばルヴェリエによって指摘されて
いた．第一原理から論理的考察に基づいて構成され，なんらの新しいパラメータも導入しなかっ
た一般相対論が，このずれ（角度にして100 年間に約43′′）をピタリと導出したことは，まさに
驚嘆すべきことであった．
アインゴルン・ツークは，この計算を空間がD = 3 + d 次元の場合について行った．もちろ
ん，余次元は天体観測にはありえないので，3 次元空間の状況に引き戻して観測値と比較するわ
けである．彼らの結論によれば，水星の近日点移動は，余次元空間の体積には無関係であって，
次元数3 + d のみに依存する（d の有理関数）．そして，観測値はd = 0 以外をすべて完全に排
除するのである．具体的数値を挙げると，d = 0（4 次元時空）のとき42:94′′，d = 1（5 次元時
空）のとき28:63′′，d = 6（超弦理論）のとき18:40′′ ということで，d = 0 以外は観測値との不
一致は誤差の範囲を大きく上回る．
(引用終り) >>390 つづき
アインゴルン・ツーク
水星の近日点移動計算
http://kagakucafe.org/nakanishi110115.pdf
4 次元を超える時空は物理として意味があるだろうか 第64回科学カフェ・科学交流セミナー 中西襄（京都大学名誉教授）2010年1月15日（土）
のスライドにもあったね
(抜粋)
余次元の存在への直接的反証
?水星の近日点移動
ニュートン理論の値からのずれが存在（ルヴェリエ，19 世紀半ば）．
ずれは角度にして100 年間に約43 秒角
一般相対性理論は，新しいパラメータの導入なしにピタリと導出．
アインゴルン・ツーク，D + 1 次元（D = 3 + d）アインシュタイン方程式で計算．
結果は余次元空間の体積には無関係で，D/(D-2) に比例．
d = 0（4 次元時空）のとき42.94 秒角
d = 1（5 次元時空）のとき28.63 秒角
d = 6（超弦理論）のとき18.40 秒角
d = 0 以外は観測値との不一致は誤差の範囲を大きく上回る．
(引用終り) アインゴルン・ツークは、古典重力での計算？ ちょっと意味わからんが貼っておく
http://uni.2ch.net/sci/oyster/1285/1285512495.dat
ご冗談でしょう？名無しさん<><>2010/09/26(日) 23:48:15 ID:Jl83Ok2j<> 場の量子論
(抜粋)
ご冗談でしょう？名無しさん<>sage<>2011/02/03(木) 23:46:10
近日点移動の計算の元ネタは結局自分で見つけたよ。
中西さんが最近お気に入りのアインゴルン・ツークか。
これって、あくまで古典重力での計算だから、
コンパクト化のスケールでは重力の量子効果が効いてくるという筋書きの
超弦理論の計算と名乗るのちょっと違うんじゃないかと思うんだが。
(引用終り) >>388
極限とは何の極限？「極限が取れる」とは「極限が存在する」という意味？
俺が糺してるのは、あなたが「言わんとしていること」じゃなく、あなたが「言ってることそのもの」だよ
式で書いたら？嫌いかどうか知らんが、式で書かないと伝わらんよ >>392 関連
https://arxiv.org/pdf/0912.2698.pdf
Problematic aspect of extra dimensions M Eingorn 著 - ?2009 論文
http://theorphys.onu.edu.ua/data/other/cosmology/Eingorn,Zhuk_ClassicalTestsOfMultidimGravity_NegativeResult.pdf
Classical tests of multidimensional gravity - negative result M Eingorn 著 - ?2010 PPTスライド
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.760.9292&;rep=rep1&type=pdf
Classical tests of multidimensional gravity: negative result M Eingorn 著 - ?2010 論文
(抜粋)
Abstract. In Kaluza-Klein model with toroidal extra dimensions, we obtain the
metric coefficients in a weak field approximation for delta-shaped matter sources.
4. Conclusion
In our paper we investigated classical gravitational tests (frequency shift, perihelion
shift, deflection of light and time delay of radar echoes) for multidimensional models
with compact internal spaces in the form of tori.
(引用終り) >>394 つづき
結論から書くと、検索する限り、アインゴルン・ツークとか騒いでいるのは、中西先生だけだね
その理由は、専門家じゃないので外しているかも知れないが、2010 論文 Conclusion の
”for multidimensional models with compact internal spaces in the form of tori.”ってとこかな
つまり、tori（＝トーラス）に対しての結論であって、tori モデル以外は関係ないと
実際、下記のように、アインゴルン・ツークは、別モデルの論文を2010以降に出している。別モデルでの余次元は否定されていないってことみたいだね
https://scirate.com/search?q=au:Zhuk_A+in:gr-qc
au:Zhuk_A in:gr-qc - SciRate Search:
Problematic aspects of Kaluza-Klein excitations in multidimensional models with Einstein internal spaces
Alexey Chopovsky, Maxim Eingorn, Alexander Zhuk
Feb 07 2014 gr-qc astro-ph.HE hep-ph hep-th arXiv:1402.1340v3
Many-body problem in Kaluza-Klein models with toroidal compactification
Alexey Chopovsky, Maxim Eingorn, Alexander Zhuk
Feb 05 2013 gr-qc astro-ph.HE hep-ph hep-th arXiv:1302.0501v3
Kaluza-Klein models with spherical compactification: observational constraints and possible examples
Maxim Eingorn, Seyed Hossein Fakhr, Alexander Zhuk
Sep 21 2012 gr-qc astro-ph.HE hep-ph hep-th arXiv:1209.4501v2 >>393
>式で書いたら？嫌いかどうか知らんが、式で書かないと伝わらんよ
ご要望により、特別に書こうか（＾＾；
質問は、>>377の「３）当然n→∞の極限を取れる」のところだね？ （ >>387 "＞３）当然n→∞の極限を取れる 意味不明、どういうこと？ "だったね）
で、>>377から 引用すると
”そこで、>>370に戻って、集合 R^Nのあらゆる数列の類別を考えるのだから、次の数列も可だろう
１）A1,A2,・・・・,An-4,Ae',Ae | Ae'は最後から一つ前の箱,Aeは最後の箱、n-4は先頭と最後の４つ分を引いた数
２）この数列の長さはｎだ
３）当然n→∞の極限を取れる”
だったね
それで
１）に対応して、数列S_A ：=（ A1,A2,・・・・,An-4,Ae',Ae ）とすると
lim n→∞ S_A :=（ A1,A2,・・・・,An-4,Ae',Ae ）
２）に対応して、数列の長さL(S_A) ：= n （数列の長さを、その数列の箱の数と定める）とすると
lim n→∞ L(S_A) := n
とすることができる。
以上 >>396
つまり有限数列を項とする列の極限を考えていると？
その列が極限を持つにはコーシー列でないといかんのだが、いつそのことを示したんだ？
ていうかそもそも「数列」や「極限」の意味わかってる？ >>398
どうも。スレ主です。
>つまり有限数列を項とする列の極限を考えていると？
Yes！ 有限数列を項とする列の極限を考えるのは数学の基本だろ？
>その列が極限を持つにはコーシー列でないといかんのだが、いつそのことを示したんだ？
１）コーシー列でない数列を考えていることは、時枝記事自身に記載があるよ。
>>114" 私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.但しもっときびしい同値関係を使う."
だから、コーシー列そのものでないことは明白
前提が、コーシー列そのものでないが、極限を考えることは可能だよ。そもそも、極限はコーシー列限定ではない
２）”その列が極限を持つにはコーシー列でないといかんのだが”というのは、収束を言っているのか？ そもそも、”極限を持つ”の定義は？ ”コーシー列”の定義は？ あなたの理解を示してくれ
>ていうかそもそも「数列」や「極限」の意味わかってる？
１）「数列」は、時枝記事の文脈では、任意の実数が可算無限個の箱に入ったものを、並べたものだ。>>114と>>115に記載の通りだよ。理解もくそもないだろ
２）「極限」は、時枝記事で>>173にあるところが、一つのポイントだね。引用しよう
（引用）
”「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.”
(引用終り)
（分かっていると思うが、当然”独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…”とは、>>114 の数列のことだと解釈できる。もし、異論があるなら言ってくれ ）
つづく >>399
だから、上記引用から分かることは、>>114の可算無限個に入った数の列は、そもそも”(2)有限の極限として間接に扱う”という方針に従うべき。それが、記事の趣旨だろ？
>>377は、”(2)有限の極限として間接に扱う”の方針に従ったものだよ 面倒だから、自分で貼っておくよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97
(抜粋)
数学において数列（すうれつ、英: numerical sequence）とは、数が列になったもの (sequence of numbers) を言う。
定義
「列 (数学)」および「族 (数学)」も参照
S を自然数全体の集合 N またはその n における切片 {0, 1, 2, ..., n} とするとき、S から実数（あるいは複素数）への関数 a を数列（すうれつ、英: sequence）と呼び、順序付けられた数の並びとして
a0, a1, a2, ..., an, ...
のように記す。各数 ai をこの数列の項と言う。すなわち、関数 a の n における値を an と書き、列のn 番目の項と考える。また、(ak)k = 0, 1, 2, ..., n, ... あるいは、慣習的に {ak}k = 0, 1, 2, ..., n, ...（または単に {an}）とも表す[* 1]。
各項を表すために添えられる n を数列 a の添字 (index) という。添字が 0 からでなくてもよいことは既述のとおりであるが、その場合にも（特に n が自然数以外の値をとる場合でも）形式的に「an は n 番目の項である」と言うことがある[要出典]。
任意の添字 n に対応する項 an を一般項 (general term) という。一般項は必ずしも n の明示的な式として定まっているわけではないし、一般にその必要もないが、n を勝手に指定したときに対応する項 an がきちんと定まることが言える必要はある。
関数 a の定義域を整数全体の集合 Z に変え、初項や末項のない両側無限列 (an)n∈Z を考えることもある。両側無限列は実質的に 2 つの片側無限列の合成であり、n = 0 などを基準に番号の付け替えを行えば、1 つの片側無限列に直すことができる。
数列 (an) の各項 an がそれ以前の項 (a0, ..., an) を用いて帰納的に定められるならば、その帰納的関係式をその数列が満たす漸化式 (recurrence relation) と呼び、数列 (an) はその漸化式（と初期値）によって定められるという。
(引用終り) コーシー列
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
(抜粋)
解析学におけるコーシー列（コーシーれつ、Cauchy sequence）は、数列などの列で、十分先のほうで殆ど値が変化しなくなるものをいう。基本列（きほんれつ、fundamental sequence）、正則列（せいそくれつ、regular sequence）[1]、自己漸近列（じこぜんきんれつ）[2]などとも呼ばれる。実数論において最も基本となる重要な概念の一つである。
(引用終り) ”数列の極限”をよく読んでくれよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90
(抜粋)
極限（きょくげん、limit）とは、あるものに限りなく近付くさま。物事の果て。
数学においては、数列など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えたものについての極限がしばしば考察される。数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束するという。
極限を表す記号として、次のような lim (英語：limit、リミット、ラテン語：limes)という記号が一般的に用いられる。
lim n → ∞ Xn
数列の極限
実数の数列が収束する(converge)あるいは有限の極限を持つ若しくは極限が有限確定であるとは、番号が進むにつれてその数列の項がある1つの値に限りなく近づいていくことをいう。
このとき確定する値をその数列の極限値という。
収束しない数列は発散する(diverge)といい、それらはさらに極限を持つものと持たないものに分かれる。
発散する数列のうち極限を持つものには、正の無限大に発散するものと負の無限大に発散するものがあり、極限が確定しないものは振動する(oscillate)という。
(引用終り) >>399
やはり全く分かってない。もし反論があるなら次の問いに答えること。
X を実有限数列全体の集合とする。
{x_n}_1,{x_n}_2,...∈X とする。
実有限数列の列 {X_n}:={{x_n}_1,{x_n}_2,...} が収束する条件を述べよ。 >>404
いみわかんねー（＾＾；
１）反論１：あなたの>>398は、「極限」と「数列の収束」を取り違えていたの？？？
２）反論２：時枝記事では、通常の意味の数列の収束は求められていない。というか、むしろ収束しない数列を積極的に扱うところに記事の価値があると思うよ
（例えば >>114 ”どんな実数を入れるかはまったく自由”,"もちろんでたらめだって構わない"だ。だから、「数列の収束」は求められていない）
３）反論３：その証拠に、引用した時枝記事>>114-115>>173では、”収束”という用語は一切使われていない！
４）反論４：なお、収束しない数列でも極限を考えることは可能だよ。>>403に引用した（下記）
「数列の極限：実数の数列が収束する(converge)あるいは有限の極限を持つ若しくは極限が有限確定であるとは、番号が進むにつれてその数列の項がある1つの値に限りなく近づいていくことをいう。このとき確定する値をその数列の極限値という。
収束しない数列は発散する(diverge)といい、それらはさらに極限を持つものと持たないものに分かれる。
発散する数列のうち極限を持つものには、正の無限大に発散するものと負の無限大に発散するものがあり、極限が確定しないものは振動する(oscillate)という。」ってことだよ
５）反論５：なので、時枝記事に”収束”の概念が関係しているというのは、あんたの勘違いだ（「極限」と「数列の収束」を取り違えていたの？？） >>405
＞「数列の極限：実数の数列が収束する(converge)あるいは有限の極限を持つ若しくは極限が有限確定であるとは、番号が進むにつれてその数列の項がある1つの値に限りなく近づいていくことをいう。このとき確定する値をその数列の極限値という。
＞収束しない数列は発散する(diverge)といい、それらはさらに極限を持つものと持たないものに分かれる。
＞発散する数列のうち極限を持つものには、正の無限大に発散するものと負の無限大に発散するものがあり、極限が確定しないものは振動する(oscillate)という。」ってことだよ
その引用に従うなら、収束条件こそがイの一番に考えられて然るべきでは？
その問い（>>404）を無視した挙句に「いみわかんねー」って、それはお前が全く分かっていないと白状してるも同然だよ
あと
＞１）に対応して、数列S_A ：=（ A1,A2,・・・・,An-4,Ae',Ae ）とすると
＞ lim n→∞ S_A :=（ A1,A2,・・・・,An-4,Ae',Ae ）
お前はこのように極限を書いているのだが、これは収束数列の極限ではないと？ お前は
＞Yes！ 有限数列を項とする列の極限を考えるのは数学の基本だろ？ （>>399）
と言っておきながら、数列に対するお前の引用は実数列と複素数列だけなんだが。
お前の独自説を説明したいなら、有限数列列（列が2つあるのは誤記ではない）
の定義を引用した方が良いんじゃないか？そんなのが存在してればだがｗ そもそも有限数列列などというものは存在しないし、仮にそういう概念を作った
ところで、意味のある理論展開はできない。理由は少し考えればわかる。
お前は存在しもしないものに対し、あれこれ語っているだけ。全くのナンセンス。
お前が>>404に答えられないのも当然だ。存在しないものに対する問いには答えようが無い。 ちょっとは理解できたかな？おバカさん
これだけ噛み砕いてやったんだから、少しは理解してくれよ 倉田令二郎先生の「ガロアを読む」には重大な誤りがありますね。指摘する人がいないのが不思議です。それとも、がいしゅつ、でしょうか？ 「ガロアを読む」の47ページの５. 量を不変にする部分群 のところですが、これは間違いです。証明なしで同様である、としてしまってる。ひどいですね 「ガロアを読む」の114ページの 補題IIIの証明の謎 もおかしい。“補題IIが得られるや否や、基本補題II（ラグランジュの定理）によって補題IIIがただちに導ける”というけど、これも間違い。基本補題IIの証明は有理関数体の場合で、代数体にはすぐに使えない。
倉田令二郎先生て、本当にちゃんとした数学者なの？ V=φ(a, b, c, …) が、a, b, c,… 任意の置換ですべて異なる値になる、と定義されているので、>>412 はたいした問題ではないですね。 129ページの “F=0をどこかで仮定し、上式の最右辺に =0 を付け加えれば正しくなる” これは謎。なんでなのかわからない。
「順列の群」というのは、軌道なわけで、理論的には何の問題もない。わかりやすくなって、すばらしいと思う。 ガロア群が部分群で剰余類分割される様子と、原始元の最小多項式が中間体で分解される様子の対応、というのがガロア対応の最初の形なわけだ。「ガロアを読む」が勉強になった。 「ガロアを読む」にはいくつかの間違いがある。
p110 (3)の証明
p116 さらに奇妙なのは……以下
p129 Ｆ＝０を……以下
p143 １°の……以下
>>410-412
ピミは見込みがある。
ポクの本の「ガロア第一論文のシンプル解説」を参照すべし。
↓アマゾンで非絶賛発売中
「無限小数は数ではない／相対性理論はペテンである」 >>418
ぽまいと、ポクの本の題名を見て、読む価値なしと判断したスレ主は
パカであると確定すますた（爆 「ガロアを読む」47ページの 量を不変にする部分群 は間違いだな。対称群の中で考えてしまうと、値を変えない置換の集合は、群になるとは限らない。ガロア群が対称群なら正しいけど。 今回は、2泊3日石川県一周旅行にご参加頂き、どうもありがとうございます。バスの運転手はおっちゃんです。
おっちゃんといいましても、距離が長いですので、2人のおっちゃんが担当しております。
バスガイドはピッチピッチの久しく美しき子です。ここ石川県は、わたし？？のような女性が大勢暮らしている
加賀八万石の國、加賀藩の前田利家の元城下町として繁栄した場所で有名な県でございます。加賀八万石の國
といいましても、北は能登地方、南は加賀地方と大きく2つに分けられる細長い県です。
東は、倶利伽藍峠を隔て、チューリップやホタルイカで有名な越中の薬売りの越中の國、富山県、
西は広く日本海に面し、道元が悟りを開いた曹同宗大本山永平寺、急な岩場の東尋坊で有名な越前の國、福井県
と隔てています。南は白川郷や飛騨の小京都高山市がある岐阜県と隔てていますが、北アルプスを挟んでいます。 (>>432の続き)
戦國時代は、尾張の國から姉川の戦いで近江の浅井・越中の朝倉同盟を破り、
近江の安土城を拠点とする全国支配の試みに至った織田信長から越中の領土を与えられました。
その後、現在も近江の長浜にその地名が残る賤ヶ岳の戦いで、はじめは主従関係にあった
柴田勝家に付き羽柴秀吉と対峙していましたが、その後羽柴方に付き加賀2郡の領土
を与えられました。そして、信長に仕え勝家に匹敵するような功績を挙げてから
秀吉に仕えた武将佐々成政を破り、更に利家に越中西三郡の領土が与えられ、
3国にまたがり100万石を有する前田家領の原形が形成されました。
これが加賀八万石が加賀百万石と呼ばれるに至った理由です。 (>>433の続き)
しかしながら、現在の石川県はご存知のように南北に細長い県です。
とはいえ、岡山市の後楽園、水戸の偕楽園と並び、日本三名園に挙げられ
名勝に指定されている金沢の兼六園、輪島塗りや輪島の朝市で有名です。
皆さんは冬の石川県と来たら何を思い浮かべますか？
そう、やはり、第一には雪と鰤ですね。しかし、忘れてならないのが、
普段食べられている金沢カレー、そして冬は日本海側からの厳しいブリ起こしです。
他にはマス寿司などもありますね。金沢、東京間に新幹線が開通したことで、
以前は遠く距離を隔てた 2つの都道府県石川県と東京都が結び付きました。
以前の石川県の主な鉄道は北陸本線でしたが、便利になりましたね。
こうしてお話している間にホテルに付きました。
それでは、明日から、本格的な2泊3日石川県一周旅行のスタートです。
皆様、今日はお疲れでしょうからホテルでごゆっくりお休み下さい。 ガロアは、ある多項式を不変にする置換の集合を、今日にいう群、と考えたんだと思う。そう定義すれば、「ガロアを読む」の119ページあたりの証明は簡潔にできる。なぜなら、原始元の多項式の既約因子そのものが、その多項式になるから。これは、ちょっとした発見だ。 >>432-434
おっちゃん、どうも。スレ主です。
運転ご苦労さまです
安全運転でお願いします。（＾＾ >>406-409
ID:rkO54fhGさん、あんた結局、極限と数列の収束を混同していたか、勘違いしていたと
それが落ちかな？
有限数列列かなにか知らないが
話が有限なら、なんだって定義できるし、無問題。どこにも矛盾はおきないだろう
話が可算無限とかなるから、話を慎重にしないといけない
時枝も言っているように、”(2)有限の極限として間接に扱う”>>399べきだと >>370
補足しておく
任意の偶数∈N（=自然数の集合）
これは良いだろ
任意の偶数は、しばしば2nと書かれる。だから
集合{1,2,・・・,n,n+1,n+2,・・・,2n}⊂N（=自然数の集合）
これも良いだろう
そこで2n＋2として
集合{1,2,・・・,n,n+1,n+2,・・・,2n,2n+1,2n+2}⊂N（=自然数の集合）
↓↑(全単射)
集合{A1,A2,・・・・,An,Ae, B1,B2,・・・・,Bn,Be}
が成り立つ
極限をとっても
集合{1,2,・・・,n,n+1,n+2,・・・,2n,2n+1,2n+2}⊂N（=自然数の集合）
lim n→∞ 集合{1,2,・・・,n,n+1,n+2,・・・,2n,2n+1,2n+2}⊂N（=自然数の集合）
が成り立つ
上記の”↓↑(全単射)”は、極限 lim n→∞でも成り立つことは明白
まさか、
lim n→∞ 集合{1,2,・・・,n,n+1,n+2,・・・,2n,2n+1,2n+2}⊂2N（N=自然数の集合）
とか
lim n→∞ 集合{1,2,・・・,n,n+1,n+2,・・・,2n,2n+1,2n+2}⊂2N+2（N=自然数の集合）
などという人はいまい（＾＾； >>406-409 補足
ID:rkO54fhGさん、あんたの話は、ヒルベルト空間と比較すると、よく分かるように思う
まあ、ヒルベルト空間は、正直私もあまり分かっていない
￥さん辺りには、「こいつ分かってない」とお見通しだろうが、まあ書いておくか（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
(抜粋)
数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、英: Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。
これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。
ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。
ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。
ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。
そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リースらによって始められた。
ヒルベルト空間の概念は、偏微分方程式論、量子力学、フーリエ解析（信号処理や熱伝導などへの応用も含む）、熱力学の研究の数学的基礎を成すエルゴード理論などの理論において欠くべからざる道具になっている。
これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、フォン・ノイマンである。ヒルベルト空間を用いる方法の成功は、関数解析学の実りある時代のさきがけとなった。
古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 L2、自乗総和可能数列の空間 ?2、超関数からなるソボレフ空間 Hs、正則関数の成すハーディ空間 H2 などが挙げられる。
つづく >>447
＞有限数列列かなにか知らないが
↓はお前のレスだろが
＞Yes！ 有限数列を項とする列の極限を考えるのは数学の基本だろ？ （>>399）
自分で「有限数列を項とする列」を持ち出し（>>377）ておきながら、どの口がほざいてんだ？
お前脳持ってる？どっかそこらへんに落としてきたんじゃないか？
＞話が可算無限とかなるから、話を慎重にしないといけない
一番有限と無限の区別がついてないのがお前（これは少なくともほとんどの住人の共通認識）
だから数列の連結などというアホなことを口走る（しかも未だにわかってない） しかもこのアホは俺がさんざん噛み砕いてもうほとんど答えを出してやってるも同然
なのに、それすら理解できていない
知恵遅れとの会話は疲れる アホは勉強の一つもせずに、またコピペと独自解釈に明け暮れている
だから永遠にアホのまま >>450
ああ、そうだね
あんまり考えずに、乗せられてコピペしちまったな〜（＾＾；
>>399訂正するわ
（訂正）
Yes！ 有限数列を項とする列の極限を考えるのは数学の基本だろ？
↓
Yes！ 有限数列の極限を考えるのは数学の基本だろ？
（訂正おわり）
ことろで、聞くがコピペ元>>398の”つまり有限数列を項とする列の極限を考えていると？”の「有限数列を項とする列の極限」てどういう意味だ？
説明頼むよ。発言元はおまえだろ？ （＾＾； >>447
＞ID:rkO54fhGさん、あんた結局、極限と数列の収束を混同していたか、勘違いしていたと
＞それが落ちかな？
え？なに？ 極限が∞の数列は収束しないと言いたいの？ へーすごいね
そ れ で ？ >>453
＞Yes！ 有限数列の極限を考えるのは数学の基本だろ？
「有限数列の極限」とやらを定義せよ
話はそれからだよアホ ていうかさ、お前壊滅的に数列をわかってないよ
大学一年生が一学期に習う数列を >>449 つづき
定義
H がヒルベルト空間であるとは、H は実または複素内積空間であって、さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなすことを言う[2]。ここで、H が複素内積空間であるというのは、H は複素線型空間であって、その上に内積、即ち H の元の対 x, y に複素数 ?x,y? を対応させる写像であって、条件
１．?y,x? は ?x,y? の複素共役である：
? y , x ? = ? x , y ? ￣ ..
２．?x,y? は第一引数に関して線型である[3]： 任意の複素数 a, b に対して
? a x 1 + b x 2 , y ? = a ? x 1 , y ? + b ? x 2 , y ?
３． 内積 ??, ?? は正定値である：
? x , x ? ? 0
かつ等号成立は x = 0 と同値。
を満たすものが存在することをいう。
つづく ＞「有限数列の極限」とやらを定義せよ
案1 そんなの難しくない。当たり前のことだよ。
案2 こんな板じゃ数式は書けない。
どちらでもお好きな方で 定義の無い数学などあり得ない、馬鹿はそれがわかっていない
そして自分のバカを板のせいにする >>457
ありゃ、文字化けしたか。不便な板だな（＾＾；
複素共役の上バーもだめかね
これでどうだ
（再掲）
?>>449 つづき
定義
H がヒルベルト空間であるとは、H は実または複素内積空間であって、さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなすことを言う[2]。ここで、H が複素内積空間であるというのは、H は複素線型空間であって、その上に内積、即ち H の元の対 x, y に複素数 <x,y> を対応させる写像であって、条件
１．<y,x> は <x,y> の複素共役である：
< y , x > = 共役（< x , y > ）
２．<x,y> は第一引数に関して線型である[3]： 任意の複素数 a, b に対して
< a x 1 + b x 2 , y > = a < x 1 , y > + b < x 2 , y >
３． 内積 <・, ・> は正定値である：
< x , x > ? 0
かつ等号成立は x = 0 と同値。
を満たすものが存在することをいう。
つづく >>460 つづき
数列空間の場合
自乗総和可能な複素数列の空間 ?2 とは、各項が複素数の無限数列
( c 1 , c 2 , c 3 , ・・・ )
で、条件
| c 1 |^2 + | c 2 |^2 + | c 3 |^2 + ・・・ < ∞
を満たすもの全体からなる集合（に、項ごとの和、スカラー倍、標準内積を入れたもの）である。この空間には標準的な正規直交基底
e 1 = ( 1 , 0 , 0 , ・・・ ) e 2 = ( 0 , 1 , 0 , ・・・ )
が存在する。
このようにすると、この和が有限であるところの L^2(B) の各元は、可算個の例外を除いた全ての項が 0 になることがわかる。
と内積を定めれば、この空間は実際にヒルベルト空間となる。右辺の和は、0 でない項が高々可算個しかないから意味を持ち、またコーシー・シュヴァルツの不等式によって無条件収束であることがわかる。
(引用終り) >>461 補足
おっと、肝心なところの引用が抜けた
＜補足＞
定義 （追加）
このようにして定義される距離関数に関して、任意の内積空間は距離空間となる。内積空間のことを前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ぶこともある[4]。距離空間として完備であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。
完備性は、H 内の列に対するコーシーの判定法（英語版）の形で表すことができる。即ち、前ヒルベルト空間 H が完備となるのは、任意のコーシー列がノルムに関する意味で H 内の元に収束することである。完備性は、次のような条件
ベクトル項級数 k = 0〜 ∞ Σ uk が
k = 0〜 ∞ Σ｜ u k ｜ < ∞
なる意味で絶対収束するならば、もとの級数は（部分和が H の元に収束するという意味で） H において収束する。
によっても特徴付けることができる。
完備なノルム空間であるという点で、定義によりヒルベルト空間はバナッハ空間でもある。これらは位相線型空間であり、開集合や閉集合といった位相的概念を定めることができる。特に重要になるのが、ヒルベルト空間の閉部分空間の概念である。
完備距離空間の閉部分集合は（そこへ距離を制限すれば）それ自身完備距離空間となるから、ヒルベルト空間の閉部分空間は（そこへ内積を制限するとき）それ自身ヒルベルト空間をなす。
(引用終り) >>462
引用した現代数学の典型的な無限次元ベクトル空間であるヒルベルト空間と、時枝記事の実数列の集合 R^Nとを対比すれば明らかと思うが
時枝記事の実数列の集合 R^Nでは、収束は保証されていないし
距離も定義されていない
いいか、ヒルベルト空間では収束が求められる
しかし、時枝記事の数列はそうではないよ
ここはしっかり押さえておくべき >>463
完全代表系を一組用意すればR^Nの任意の数列はある自然数n'が存在して n > n' の時に
ある代表元のn番目以降の項と全て一致する
上のことを使えば数当て戦略が成立するということが時枝記事の内容 >>464
そうだね
だから
（命題A）
（可算無限個の箱の数列で）
完全代表系を一組用意すればR^Nの任意の数列はある自然数n'が存在して n > n' の時に
ある代表元のn番目以降の項と全て一致する
↓
（命題B）
＜時枝記事の内容＞
ある箱の中の数を、99/100の確率で当てられる
だな >>465 つづき
横に書けば
（命題A）→（命題B）
ところで
・（命題A）宝くじが当たって１億円 →（命題B）大金持ちになって、東京都内のマンションか一戸建てを持てる
という命題を考えてみよう
まず、命題Aが問題となる。”東京都内のマンションか一戸建て”で、１億円以下の物件があれば、命題全体としては真だ。
が、”宝くじが当たって１億円”が、多くの人には不成立。だから、例えば、私の場合に限れば、不成立。そもそも、宝くじを買わないし（＾＾；
さて、時枝に戻って、（命題A）の「完全代表系を一組用意すれば」を問題にしてみよう
時枝記事 >>114 で”念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.”
ここで細かく見ると
（命題A）（可算無限数列の）しっぽの先が一致する→（命題B）推移律成立で、〜は R^N を類別する
となる
（命題A）（可算無限数列の）しっぽの先が一致する
が簡単に言えるのか？ （あたかも、「宝くじが当たって１億円」みたいに実現がほとんど不可能では？） >>466 つづき
例えば、>>462で引用したヒルベルト空間内だと、結構いろんなことが整備されていて、まだ、可能かもしれない（実際にヒルベルト空間内の数列のしっぽの先が一致する同値類分類がどうかは別として）
さて、>>448で引用した例を使って考えてみよう
２つの数列SaとSbと
Sa＝A1,A2,・・・・,An,・・・・,Ae
Sb＝B1,B2,・・・・,Bn,・・・・,Be
A1=B1,A2=B2,・・・・,An=Bn,・・・・
但し、”Ae ＝ Be かどうか不明”としよう
普通我々が、やるのは数列の頭から調べて行くことだ
が、それでは、”Ae ＝ Be かどうか” いつまでも”不明”のまま ∵可算無限を調べないといけないから終わらないだろ？
あたかも、昔フェルマーの最終定理が、当時のコンピュータで調べた範囲では成立が言えても、それでは定理の証明にならないのと同じだ
したがって、「数列の頭から調べて行く」という通常の手段では、「しっぽの先が一致する」は言えない！
では、どうやれば「しっぽの先が一致する」が言えるのか？
そこに切り込んで行かないと数学じゃないだろ？
そこが言えない限り、「宝くじが当たって１億円」と同じ状態だ
そこをスルーしているのが、時枝記事の大きな問題だな。
「１億円」をどうやって実現するのか？
そこをスルーして良いなら、「１００億円」でも「１０００億円」でも言いたい放題だろ >>467 つづき
それ以外に
（命題B）>>xx
＜時枝記事の内容＞
ある箱の中の数を、99/100の確率で当てられる
にも疑問がある。”99/100の確率”ってところが、確率分布を少し考えればほぼ自明だが、いわゆるすその重い（実は超ヘビーな）確率分布になるから、大数の法則も中心極限定理も不成立で、”99/100の確率”はあやしい
「”東京都内のマンションか一戸建て”で、１億円以下の物件があれば」>>xx ってところが、バブル再来で「１億円以下の物件なし」の状態なら
命題Bが不成立になるのと同じ >>468 訂正
（命題B）>>xx
↓
（命題B）>>465 >>467 関連（ヒルベルト空間）
>>466の命題Aの”しっぽの先が一致”について補足
下記、超越数かどうかが未解決の例：e+π ”有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない”という
これを、「しっぽの先が一致する」同値類という視点から見ると
もし、有理数なら、「しっぽの先」は循環小数（循環小数である桁の後ろが全て０の場合も含む）になって、有限小数＋循環小数（循環小数である桁の後ろが全て０の場合も含む）と表される
現代数学では、e+πがどうなっているか未解明。”循環小数（循環小数である桁の後ろが全て０の場合も含む）”になるかどうかさえ不明
なお、実数の少数無限展開は、コーシー列と同義で、ヒルベルト空間の中かな(下記ヒルベルト空間ご参照)
まして、e+πが代数的数かどうかなど、夢のまた夢
それが、現代数学の現状だろ？ 「宝くじが当たって１億円」と同じ状態
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
(抜粋)
超越数かどうかが未解決の例
e+π、e-π、・・・など
円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
(抜粋)
距離空間として完備であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。完備性は、H 内の列に対するコーシーの判定法（英語版）の形で表すことができる。即ち、前ヒルベルト空間 H が完備となるのは、任意のコーシー列がノルムに関する意味で H 内の元に収束することである。
(引用終り) >>470 つづき
まあ、命題Aの”しっぽの先が一致”については、まさに”宝くじが当たって１億円”かそれ以前の状態だ
そして、命題Bの"99/100の確率"も、いわゆるすその重い（実は超ヘビーな）確率分布の場合には証明できない
結局、結論として、全くだめってこと >>432の最後の文
>南は白川郷や飛騨の小京都高山市がある岐阜県と隔てていますが、北アルプスを挟んでいます。
の「北アルプス」は「両白山地」の間違えでしたね。これは失礼を致しました。
両白山地、これは白山がある山地のようですね。余り耳に致しませんでした。
皆様もついでに覚えておきましょう。チューリップやホタルイカの越中と飛騨との県境と来たら
蜃気楼や立山黒部アルペンルートで有名な立山連峰の北アルプス、女性全体の部分集合をSとすると
「名前の姓名の名の部分が同じような名前」という関係についての同値類をなす女性全体Sの
部分集合「久美子」の1つの代表元「西岡久美子」や兼六園で有名な加賀百万石の國と来たら、
その南部に伊勢湾に注ぐ長良川の源流があり、越前と岐阜との県境の部分にも岐阜と伊勢の國を流れる
揖斐川の源流がある両白山地。長良川と揖斐川は、どちらも、木曽三川の一つであり、
岐阜県と現在の三重県つまり伊勢の國を流れ伊勢湾に注ぐ、一級河川です。
案外共通した部分があるんですね。私自身、石川県や福井県、飛騨牛で有名な飛騨高山と上高地には
行ったことがありますが、ここまでは知りませんでした。正直申しまして、以前バスで石川県と福井県
に行ったとき、横に立山連峰を見据えながら富山県も通り過ぎたことはありますが、
そのときは疲れて眠くなって車内で寝てしまいましたw おっちゃんです。
スレ主、結果的な形にはなるが、上のように>>473で、バスガイドさん口調の文章で、
かなり分かり易くして文系の人にも分かるように社会的な例を出して、
同値関係や同値類、代表元の具体例を挙げたから、これらの概念を少しは理解せい。
ノルムの定義だのヒルベルト空間だのは時枝問題には関係ない。
話は変わるが、それにしてもバスガイドのマネというのも難しいモノだな。
>>470
あと、結果的な帰結として導かれることだが、そこのwikiに挙げられている
超越数の他にも、現時点で(といってもかなり前の話ではあるが)
私が1つだけ示した超越数はある。だから、そのwikiは単体で挙げてもムダ。
そこの「超越数」のサイトを挙げただけでは意味をなさない。
他には、微分代数とかのサイトも必要だ。微分代数は、有理数体Q上
の超越拡大体の研究や代数的独立性などを示すときに威力を発揮する。 >>470
>>474の後半の部分の訂正：
私が1つだけ示した超越数 → 私が示した超越数
(といっても、特殊関数だから、複素数や実数を考える限り
数としては実質的に同じモノを考えている訳だが)
有理数体Q上の超越拡大体 → 有理数体Qの超越拡大体 「ガロアを読む」は、勉強にったし面白いと思う。しかし、倉田先生独自の見解は受け入れ難いものが多く、ガロア理論入門としてはよくないです。ガロア理論をよく勉強した人が「それは変だよ」と思って読む本です。 「ガロアを読む」もつと整理して書き直すことできなかったかな。証明も解説も、もっと良いものにできたはず。 >>467 訂正
（実際にヒルベルト空間内の数列のしっぽの先が一致する同値類分類がどうかは別として）
↓
（実際にヒルベルト空間内の数列のしっぽの先が一致する同値類分類が可能かどうかは別として） >>396 訂正 (数列の長さn→n-2) 小学生の計算間違っていた（＾＾；
２）この数列の長さはｎだ
↓
２）この数列の長さはｎ-2だ
２）に対応して、数列の長さL(S_A) ：= n （数列の長さを、その数列の箱の数と定める）とすると
lim n→∞ L(S_A) := n
２）に対応して、数列の長さL(S_A) ：= n-2 （数列の長さを、その数列の箱の数と定める）とすると
lim n→∞ L(S_A) := n-2 >>473-475
おっちゃん、どうも。スレ主です。
なんだ、バスの運転のアルバイトしていると思ったぜ（＾＾；
ところで、有限だったら、話は簡単だ
そして、代数では有限の場合も多い
無限数列のしっぽでの同値類分類：数列のしっぽが一致すれば同値＝つまりは、数列の最後の数が一致するかどうか
有限数列であれば、なんの問題もない。だが、可算無限個の箱に入った数列ではどうか？
先頭から数を調べて行っては、終わらない ∵終わらないのが可算無限
では、可算無限個のしっぽの箱とは？ 一つの例が、>>370に示したように、最後の箱を固定して、A1,A2,・・・・,An,Ae （ここでAeは最後の箱で、箱を増やすとき数列の途中に挿入するとする）
こうすれば、数列のしっぽが決まるので、話は簡単だ
だが、数列のしっぽが固定できない数列が考えられる
例えば、1/999=0.001001001001001001・・・
つまり、循環数列で、少数3n位が１、少数3n+1位が0、少数3n+2位が0
123/999=0.123123123123123・・・ など
1234/9999=0.12341234123412341234・・・も可能
などと考えて行くと、数列のしっぽが固定できない循環数列のパターンが無限にあり
一方、0.12341234123412341234・・・と、0.12341234123412341234・・・Aeと、これは別の類だが、前述のように、先頭から数を調べて行っては、終わらないし
どうかおっちゃんの数学センスをみせてくれよ（＾＾；
どうやって、無限数列のしっぽを見分けるのか？
（時枝記事の>>114 推移律チェックは、「無限数列のしっぽが見分けられたら」が前提であることを、再度注意しておくよ） >>474
>私が1つだけ示した超越数はある。だから、そのwikiは単体で挙げてもムダ。
話は逆で、”私が1つだけ示した超越数はある”だけでは不十分だ
その数が、有理数（少数展開のしっぽの循環）か、無理数（少数展開のしっぽの循環がない）か、判別できない数が一つでもあると、数列のしっぽの同値類分類は完成しない >>474
>ノルムの定義だのヒルベルト空間だのは時枝問題には関係ない。
記号の乱用だが
無限小数の展開の空間⊂コーシー列の空間⊂ヒルベルト空間⊂R^Nの空間
を示したつもりなんだ
つまり、無限小数展開の空間を例として、可算無限個の箱に入った数列のしっぽの同値類分類が、きちんとできないなら
R^Nの空間での、可算無限個の箱に入った数列のしっぽの同値類分類も、きちんとできない
そういうことを言いたいのだよ >>482 訂正
無限小数の展開の空間⊂コーシー列の空間⊂ヒルベルト空間⊂R^Nの空間
↓
無限小数展開の空間⊂コーシー列の空間⊂ヒルベルト空間⊂R^Nの空間 >>480-481
今日はもう寝るから細かいことは明日になるだろうが、>>479でスレ主が訂正した
>２）に対応して、数列の長さL(S_A) ：= n-2 （数列の長さを、その数列の箱の数と定める）とすると
> lim n→∞ L(S_A) := n-2
の部分だけについていうが、この式は原理的にあり得ない式である。
訂正後の式「lim n→∞ L(S_A) := n-2」の左辺はnを変数として n→+∞ として極限を取っているから、
右辺の「n-2」の部分にnが現れることはあり得ない。
ジョーダン抜きにして、スレ主は全く数列を分かっていない。 > 「数列の頭から調べて行く」という通常の手段では、「しっぽの先が一致する」は言えない
スレ主は(R^Nの)任意の無限数列が出題可能であると仮定しているのでしょう？
たとえば e = 2.71828... の小数表示を1桁ずつバラバラにした数列an (a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, ... )を
出題しようとしたときにはbn以降の項がbn={eの小数点以下n桁目}であるような代表元bnが存在して
anとbnの「しっぽの先が一致する」が言えないと出題できない >>484
>訂正後の式「lim n→∞ L(S_A) := n-2」の左辺はnを変数として n→+∞ として極限を取っているから、
これは最初から、lim n→∞ ( L(S_A) := n-2 ) という意味で、これで分かるはずだからかっこを省略した
というか、本来の書物ではn→∞は、limの下に添え字で書かれているが、ここでは下に添え字が使えないから横に出した。かっこはもともと（書物での書き方では）不要だ >>485
>スレ主は(R^Nの)任意の無限数列が出題可能であると仮定しているのでしょう？
当然。>>114 「可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる. どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.もちろんでたらめだって構わない.」とあるとおり
その後の記述は意味がわからん >>486 蛇足
L(S_A)→∞ は当然かつ自明。書くまでもないから省略しただけ
というか、lim n→∞ ( L(S_A) := n-2 ) の方が意味が明白だと思った
まあ、この板では、正規の数学の書式は使えないわけで
それで、どうこういうのはお門違いだろ ＞Yes！ 有限数列の極限を考えるのは数学の基本だろ？
とっとと「有限済列の極限」なるものの定義を書けよバカ >>487
> 当然。
> ∵終わらないのが可算無限
全ての箱に数を入れる行為は終わらないということだから矛盾しているじゃないか 案1 そんなの難しくない。当たり前のことだよ。
案2 こんな板じゃ数式は書けない
案3 都合の悪いレスはスルー >>482 補足
これも記号の乱用だが
{R^Nの空間}−{ヒルベルト空間}＝可算無限次元ベクトル空間でヒルベルト空間からはみ出す部分
この部分集合が空集合でないなら（空集合でないことは自明と思うが）
じゃ、この部分を数学として、どう扱うのか？
私は、寡聞にして、知らない
もし、この部分を数学として扱えない（数列を扱えない）なら、時枝の記事はこの部分では成立しないことになる・・
もっとも、ヒルベルト空間内の可算無限数列を収束だとか完備化だとかで扱えるとしても、「しっぽでの同値類」が数学になるかどうか、それはまた別の問題だ（現実にそういう数学論文は存在しない（除くパズル論）） >>490
"全ての箱に数を入れる行為"までは、問題の仮定だからOK
調べるところは、仮定の外だな（＾＾； >>493 補足
マジレスすれば
可算無限数列の存在までは、現代数学の内
可算無限数列のしっぽの同値類分類は、現代数学の外！ 時枝先生が、どこかで、「教えることが自分の勉強」と書いていたように思うが
君たちと付き合っていると、本当に勉強になるわ（＾＾； >>493
> "全ての箱に数を入れる行為"までは、問題の仮定だからOK
たとえば e = 2.71828... の小数表示を1桁ずつバラバラにした数列an (a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, ... )を
出題しようとしたとき
有限個の場合は a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, a4=2, a5=8 の数字を用いて別の数列
b0=2, b1=2.7, b2=2.71, b3=2.718, b4=2.7182, b5=2.71828 は構成できる
有限個ならば項の数をいくつでも増やすことができるが無限個の場合は？
a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, a4=2, a5=8, ... , ???
b0=2, b1=2.7, b2=2.71, b3=2.718, b4=2.7182, b5=2.71828, ... , ???
この場合は bn < e であるからanをeの小数表示と一致させることができない
そこでanの全ての数字とeの小数表示を一致させるために同値類を導入する
> 完全代表系を一組用意すればR^Nの任意の数列はある自然数n'が存在して n > n' の時に
> ある代表元のn番目以降の項と全て一致する
anの全ての数字とeの小数表示が全て一致すれば「全ての箱に数を入れる行為」が終了したと見なせる
ここまでは「問題の仮定だからOK」なのでしょう？
その結果として数当て戦略が成立する
以前にも同様のことを書いたが
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/35 >>493
> "全ての箱に数を入れる行為"までは、問題の仮定だからOK
たとえば e = 2.71828... の小数表示を1桁ずつバラバラにした数列an (a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, ... )を
出題しようとしたとき
有限個の場合は a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, a4=2, a5=8 の数字を用いて別の数列
b0=2, b1=2.7, b2=2.71, b3=2.718, b4=2.7182, b5=2.71828 は構成できる
有限個ならば項の数をいくつでも増やすことができるが無限個の場合は？
a0=2, a1=7, a2=1, a3=8, a4=2, a5=8, ... , ???
b0=2, b1=2.7, b2=2.71, b3=2.718, b4=2.7182, b5=2.71828, ... , ???
この場合は bn < e であるからanをeの小数表示と一致させることができない
そこでanの全ての数字とeの小数表示を一致させるために同値類を導入する
> 完全代表系を一組用意すればR^Nの任意の数列はある自然数n'が存在して n > n' の時に
> ある代表元のn番目以降の項と全て一致する
anの全ての数字とeの小数表示が全て一致すれば「全ての箱に数を入れる行為」が終了したと見なせる
ここまでは「問題の仮定だからOK」なのでしょう？
その結果として数当て戦略が成立する
以前にも同様のことを書いたが
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/35 >>497
アホ
とっとと大学一年生の教科書買いに行ってこい
今すぐ行ってこい、酒なんて飲んでる場合じゃない
お前の学力じゃ一年生の夏休みの宿題さえ解けないはずだ
いくら誤魔化してもバレてるぞ >>492 (ヒルベルト空間の参考)
以前にも引用させてもらった山上 滋先生
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/
Shigeru's Scratchy Shelf
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/teaching.html
講義ノート
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/functional/hilbert2012.pdf
関数解析入門. 山上 滋. 2015 年 5 月 31 日 名古屋大
(抜粋)
4 ヒルベルト空間の幾何学
内積が指定されたベクトル空間を内積空間(inner product space) あるいは前ヒルベルト空間(pre-hilbert space) という。
内積空間はノルム空間でもある。
完備な内積空間をヒルベルト空間(Hilbert space) と呼ぶ。
問39. 内積は、内積から定まるノルムに関して連続である。
Ｐ２３
Remark . ここで取り上げた近似デルタ関数は、Friedrichs のmollifier （柔軟化作用素）として
知られているものでもあるが、Sobolev の方が早くから使っていたこと、それよりも前にDirac が
量子力学の有名な教科書でデルタ関数の解釈として（実質的に）導入してあるのを踏まえて、あえ
て一般的でない名称を使った。最近の教科書では、これをapproximate identity と呼ぶ向きもあ
るが、それと比較してなおapproximate delta function は示唆的であろう。なお、この古典を読め
ば、Dirac がいかに線型代数に通暁していたか、のみならず、関数解析的見方をしていたかが良く
わかる。Gibbs のベクトル解析の本と並ぶ驚異的なものであるが、もったいなくも、数学の学生は
読まぬのだろうなあ。
P.M.A. Dirac, Principles of Quantum Mechanics (1930).
S. Sobolev (1938), K.O. Friedrichs (1944).
(引用終り) >>502 補足
https://ja.wiki
量子力学
(抜粋)
代表的な量子力学の理論として、シュ レーディ ンガーによって創始された、シュ レーディ ンガー方程式を基礎に置く波動力学と、ハイ ゼンベルク、マッ クス・ボ ルン、ヨル ダンらによって構成された、ハイ ゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学がある[5]。
歴史
ディ ラックは1939年にブ ラ-ケ ット記法を導入した。ディ ラックに因み、ブ ラ-ケ ット記法はディラック記法（英: Dirac notation）とも呼ばれている。
ブ ラ-ケ ット記法とは、ヒルベルト空間のようなある空間上の状態ベクトルをケ ット（英: ket）、その双対空間上のベクトルをブ ラ（英: bra）で表す記法のことで、ブ ラとケ ットの自然な積として波動関数の内積などを簡潔かつ視覚的に示す目的で利用される。
ノイ マンらにより、量子力学の数学的に厳密な形式化（基礎）が確立された（『量子力学の数学的基礎』(1932) 他）。
(引用終り) 単独ならとおる？ 不思議だ
>>502 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6
量子力学
(抜粋)
代表的な量子力学の理論として、エルヴィン・シュレーディンガーによって創始された、シュレーディンガー方程式を基礎に置く波動力学と、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マッ クス・ボルン、ヨルダンらによって構成された、ハイゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学がある[5]。
歴史
ディラックは1939年にブラ-ケット記法を導入した。ディラックに因み、ブラ-ケット記法はディラック記法（英: Dirac notation）とも呼ばれている。
ブラ-ケット記法とは、ヒルベルト空間のようなある空間上の状態ベクトルをケット（英: ket）、その双対空間上のベクトルをブラ（英: bra）で表す記法のことで、ブラとケットの自然な積として波動関数の内積などを簡潔かつ視覚的に示す目的で利用される。
ジョン・フォン・ノイマンらにより、量子力学の数学的に厳密な形式化（基礎）が確立された（『量子力学の数学的基礎』(1932) 他）。
(引用終り) マックス・ボルン
↓
マッ クス・ボルン
でとおる？ 組み合わせか
マックス・ボルンのままではだめだった >>506 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%9F%BA%E7%A4%8E
(抜粋)
量子力学の数学的基礎（りょうしりきがくのすうがくてききそ、独: die Mathematische Grundlangen der Quantenmechanik）は、ジョン・フォン・ノイマン(ら)によってなされた、量子力学で扱う物理量や状態といった概念の基礎付け（形式化）の仕事、およびそれについて1932年に刊行した論文および書籍のタイトルである。
これにより、ハイゼンベルク-ボルン-ジョルダンによる行列力学とシュレディンガーによる波動力学を抽象ヒルベルト空間のクラスに帰属する理論として統一が行なわれた。
概要
20世紀に発展した物理学の分野である量子力学は、数学的にはヒルベルト空間とその上の線型有界作用素や非有界な自己共役作用素などを用いて基礎づけた。
この定式化は 1930 年代の初めにポール・ディラックやジョン・フォン・ノイマンらが達成し「量子力学の数学絵的基礎」として出版した。抽象ヒルベルト空間の一般論、量子力学の統計、理論の演繹的構成、熱力学的考察、測定の過程からなる[1]。
第一量子化
ヒルベルト空間のベクトルやそれらの内積を表すのに簡便な記法としてブラ-ケット記法がしばしば用いられる。
状態
量子力学系の状態は、（可分な）複素ヒルベルト空間の単位ベクトル（状態ベクトル）または、有界線形作用素のなす環 B(H) 上の単位的正値線型形式
T → < ξ | T | ξ >
によって表される。
物理量
観測可能な物理量（オブザーバブル）はそのヒルベルト空間の線形エルミート演算子によって表される。
観測される物理量はエルミート作用素の固有値として表されることになる。連続的な値をとる物理量に対しては上の分解の拡張であるスペクトル分解が対応する。
測定値
系が状態 |ψ〉であるとき、上の記号の下で、オブザーバブル A を測定すると測定値 ak が観測される確率は |〈ek | ψ〉|2 となる。これをボルンの規則という。ek たちがヒルベルト空間の正規直交基底であることから、各々の場合の確率の和は =1
となることが保証される[2]。
(引用終り) >>509
まあ、要するに、行列力学とシュレディンガーによる波動力学の両方を入れる入れ物として、ジョン・フォン・ノイマン(ら)によって、無限次元ベクトル空間であるヒルベルト空間を使った
ヒルベルト空間には、内積を入れて、扱いやすくした
じゃ、ヒルベルト空間でない無限次元ベクトル空間は扱いにくい？ 答えはＹｅｓかな（＾＾； 分かった風な口をきく ID:JI0BfLNk さんよ
>>498 を是とするのか非とするのか？
あんたの意見を聞きたい 分かった風な口をきく ID:JI0BfLNk さんよ
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/35
についても、是とするのか非とするのか？
あんたの意見を聞きたい 回答頼むよ（＾＾；
まあ、両方とも答えられんだろうな・・
あんたのレベルじゃ（＾＾； 他人に丸投げはダメですよ
> まあ、両方とも(略) 混沌としてまいりましたｗ
早くスレ主が沈黙してくれるといいな。
おっちゃんのバスガイド秀逸じゃないか。
数学に絡めなければもっと良かったのに。
バスガイドスレに異動されるとのこと。
新天地でのご活躍を心よりお祈り申し上げます。 嗚呼。神よ、何故スレ主は沈黙しないのか。
遠藤周錯『沈黙』 ネット掲示板で学術を行うのは、とても良い習慣です。なので続けましょう。
￥ スイカをたたいて、品質を見分けるに同じ
スイカに限らず、”コンコン”と叩いてどんな音がするか、よくある話
おそらく、ろくな音がでないと予想している
その後、こっちが、それを上回る音を出そうと
そういう作戦ですよ
そういうと余計書けないだろうが、もともと何も書けまいと予想しているから、この方が話は早いだろう
https://www.onosokki.co.jp/HP-WK/c_support/faq/pdf/cf7200_frf_damp.pdf
打撃試験で周波数応答関数を測定する操作手順 (2009.04.19)小野測器
https://www.onosokki.co.jp/HP-WK/products/category/data_FFTrelate2.htm
FFTアナライザの構造と原理 小野測器 - FFTアナライザ 関連機器: 2013/10/29
(抜粋)
FFT とは高速フーリエ変換（Fast Fourier Transform ）のことです。
フーリエ変換を一言でいうなら、時系列信号を周波数軸の信号に変換する計算方法で、FFT はそのフーリエ変換を高速に実行するディジタル演算アルゴリズム（算法）を指します。
振動検出器やマイクロホンなどのセンサから検出される連続的時間信号を、ある一定時間間隔でサンプリングし、A／D（アナログ―ディジタル）変換することにより FFT演算を行なっています。
なお、この際に原信号には存在しない周波数成分が現れるエイリアシング現象を防ぐため、サンプリングの前にエイリアシングを防止するローパスフィルタを使用しています。
FFT処理された信号は、パワースペクトル・周波数応答関数を初めとする各種演算により、時間波形解析では困難な設備の異常箇所の推定、構造物の固有振動数の測定などに有効に使用することが可能になります。
(引用終り) >>518 訂正
スイカをたたいて、品質を見分けるに同じ
スイカに限らず、”コンコン”と叩いてどんな音がするか、よくある話
↓
丸投げなしとらんよ
まあ要は、加振して、周波数応答を見ようと（下記）
スイカをたたいて、品質を見分けるに同じ
スイカに限らず、”コンコン”と叩いてどんな音がするか、よくある話 >>519 関連
ＦＦＴ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E9%80%9F%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B
高速フーリエ変換
(抜粋)
高速フーリエ変換（こうそくフーリエへんかん、英: Fast Fourier Transform、FFT）とは、離散フーリエ変換 (Discrete Fourier Transform、DFT) を計算機上で高速に計算するアルゴリズム。FFTの逆変換をIFFT (Inverse FFT) と呼ぶ。
歴史
高速フーリエ変換といえば一般的には1965年、ジェイムズ・クーリー（英語版） (J. W. Cooley) とジョン・テューキー (J. W. Tukey) が発見した[1]とされているCooley-Tukey型FFTアルゴリズム（英語版）を呼ぶ[2]。しかし、1805年ごろにガウスが同様のアルゴリズムを独自に発見していた[3]。
(引用終り) >>521 関連
英文版 ＦＦＴの歴史が詳しいね
https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform
(抜粋)
History
The development of fast algorithms for DFT can be traced to Gauss's unpublished work in 1805 when he needed it to interpolate the orbit of asteroids Pallas and Juno from sample observations.[5]
His method was very similar to the one published in 1965 by Cooley and Tukey, who are generally credited for the invention of the modern generic FFT algorithm. While Gauss's work predated even Fourier's results in 1822, he did not analyze the computation time and eventually used other methods to achieve his goal.
Between 1805 and 1965, some versions of FFT were published by other authors. Yates in 1932 published his version called interaction algorithm, which provided efficient computation of Hadamard and Walsh transforms.[6]
Yates' algorithm is still used in the field of statistical design and analysis of experiments. In 1942, Danielson and Lanczos published their version to compute DFT for x-ray crystallography, a field where calculation of Fourier transforms presented a formidable bottleneck.[7]
While many methods in the past had focused on reducing the constant factor for O ( n^2 ) computation by taking advantage of symmetries, Danielson and Lanczos realized that one could use the periodicity and apply a "doubling trick" to get O ( n log ? n ) runtime.[8]
つづく >>522 つづき
Cooley and Tukey published a more general version of FFT in 1965 that is applicable when N is composite and not necessarily a power of 2.[9]
Tukey came up with the idea during a meeting of President Kennedy’s Science Advisory Committee where a discussion topic involved detecting nuclear tests by the Soviet Union by setting up sensors to surround the country from outside.
To analyze the output of these sensors, a fast Fourier transform algorithm would be needed.
In discussion with Tukey, Richard Garwin recognized the general applicability of the algorithm not just to national security problems, but also to a wide range of problems including one of immediate interest to him, determining the periodicities of the spin orientations in a 3-D crystal of Helium-3.[10]
Garwin gave Tukey's idea to Cooley (both worked at IBM's Watson labs) for implementation.[11] Cooley and Tukey published the paper in a relatively short six months.[12]
As Tukey didn't work at IBM, the patentability of the idea was doubted and the algorithm went into the public domain, which, through the computing revolution of the next decade, made FFT one of the indispensable algorithms in digital signal processing.
(引用終り) >>523 関連
John Tukeyさん
"Early in his career Tukey worked on developing statistical methods for computers at Bell Labs where he invented the term "bit"."か。知らなかったね（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/John_Tukey
John Tukey
(抜粋)
John Wilder Tukey ForMemRS[1] (/?tu?ki/;[2] June 16, 1915 ? July 26, 2000) was an American mathematician best known for development of the FFT algorithm and box plot.[3] The Tukey range test, the Tukey lambda distribution, the Tukey test of additivity, and the Teichmuller?Tukey lemma all bear his name.
Scientific contributions
Early in his career Tukey worked on developing statistical methods for computers at Bell Labs where he invented the term "bit".[6]
His statistical interests were many and varied. He is particularly remembered for his development with James Cooley of the Cooley?Tukey FFT algorithm.
(引用終り) >>524 関連
https://en.wikipedia.org/wiki/James_Cooley
James Cooley
(抜粋)
James William Cooley (born 1926, died June 29, 2016)[1] was an American mathematician. Cooley received a B.A. degree in 1949 from Manhattan College, Bronx, NY, an M.A. degree in 1951 from Columbia University, New York, NY, and a Ph.D. degree in 1961 in applied mathematics from Columbia University.
His most significant contribution to the world of mathematics and digital signal processing is the Fast Fourier transform, which he co-developed with John Tukey (see Cooley?Tukey FFT algorithm) while working for the research division of IBM in 1965.
The motivation for it was provided by Dr. Richard L. Garwin at IBM Watson Research who was concerned about verifying a Nuclear arms treaty with the Soviet Union for the SALT talks.
Garwin thought that if he had a very much faster Fourier Transform he could plant sensors in the ground in countries surrounding the Soviet Union. He suggested the idea of how Fourier transforms could be programmed to be much faster to both Cooley and Tukey.
They did the work, the sensors were planted, and he was able to locate nuclear explosions to within 15 kilometers of where they were occurring.
(引用終り) >>515-516
話が難しくて、ついて行けない？（＾＾；
無理しなくていいよ （＾＾； >>515
>数学に絡めなければもっと良かったのに。
>バスガイドスレに異動されるとのこと。
>新天地でのご活躍を心よりお祈り申し上げます。
横レスだが
本人が、「数学に絡めた・・」と思っているところが値打ち
私には、おっちゃんのレスは貴重だ。まあ、料理でいうところのスパイスですよ（＾＾； 「科学的には」と前置きを付ける人は科学者ではない、みたいな話だな。 >>510 補足
ヒルベルト空間の分かり易い説明
http://eman-physics.net/quantum/contents.html
ＥＭＡＮの量子力学
波動関数っていうのは、難しく考えなくても、ただのド・ブロイ波（物質波）だ。
http://eman-physics.net/quantum/hilbert.html
ＥＭＡＮの物理学・量子力学・ヒルベルト空間: 知らなくてもいいのだが、知らないと恥ずかしい。
(抜粋)
量子力学をやっていると「ヒルベルト空間」なんて言葉によく出くわす。実は学ぶ上でどうしても知っていなければいけないという言葉ではない。なぜならこれは数学用語だからだ。
しかし、知らないというのは立場が弱い。学んだばかりの知識をひけらかす友人たちや、生徒を買い被ったフリをして楽しんでいる教授たちの口から「波動関数とはヒルベルト空間内で定義されるベクトルだ」なんて言葉が飛び出してくると、「それは一体何を意味するんだ？知ってなきゃいけないのか？」と不安にさせられてしまう。
もしこんな事態に遭遇しても、
「ああ、そうだね。ついでに言えば、それは『無限次元複素ヒルベルト空間』のことだよね。」
と軽くかわすことが出来れば時間を無駄にしないで済む。
ベクトル空間
内積空間・ノルム空間
完備性
さて「ヒルベルト空間」はまだなのかと待っていることと思うが、ここまでの話にもう一つ条件を加えるだけでいい。
内積空間が完備性を持つとき、「ヒルベルト空間」という。
ノルム空間が完備性を持つとき、「バナッハ空間」という。
バナッハ空間については今回の話とは関係ないが、まぁ、数学ではこんな具合に分類されて名前が付いているんだよ、という雰囲気をつかめるように書いておいた。
な。物理学者は「ヒルベルト空間」なんて言葉でカッコつけなくてもいいんだよ。他の数学的空間の性質と区別する必要があるときにだけ使えばいいんだからさ。
で、気になっていることと思うが、「完備性」とは何だろうか。
つづく >>529 つづき
数学的な表現はやめて、分かりやすく言い直そう。これはベクトルが連続であることを定義しているのである。この性質は微分などを定義するためには是非とも必要なものだ。そして、それはもっと分かりやすく言えば、このベクトルの要素は実数か複素数の範囲でなければならないという意味である。初めからそう言えよ、って？私もそう思う。
こんなもんなんだよ
なんだ、それだけか？結局、ぶっちゃけて言えば、「取り敢えずの計算に困らないベクトル空間」というくらいの意味だったということだ。実に他愛のない話だ。だからこそ一度知ってしまうと今度は逆に、これくらいは知ってないと恥ずかしいと思えてしまうわけで。
まあ、奥は深いのだが、これだけ知ってるだけでもしばらくは困らない。さあ、立場の弱い友達の所へ行って知ったかぶりをするのだ！（笑
ま、この程度のものは黙ってた方が恥かかなくて済むかとも思うのだが、・・・判断はお任せしよう。
波動関数がどうして無限次元複素ヒルベルト空間内のベクトルなのかを説明しないのかって？それは本文中できっちりやるつもりだ。取り敢えず、こういう本質ではない部分は脇へよけておきたかったのである。
(引用終り) >>528
そうそう
私は、「科学的には」と前置きを付ける人ではないが、科学者ではない
だから、ほとんど必ず引用を付ける
引用に語らせる
俗には「コピペ」とかいう（＾＾； （ ”楽”という理由が圧倒的に大だが（＾＾； ）
まあ、「コピペ」にもセンスが要るんだ
引用元は、必ずしも、専門家や科学者ではない
数学なら結構大学教員の「コピペ」ねたが落ちているが
非専門家は非専門家で良い面がある
専門家で分かりすぎる人のＰＤＦなど、普通の人の悩みが分からんのだろう、「自明」とか、同義語の「かんたんな演習にした」とか書いてある
その点、非専門家は同じ目線であることが多いね お前と同じ目線のものはゴキブリかミジンコじゃないか >>530
> 波動関数がどうして無限次元複素ヒルベルト空間内のベクトルなのかを説明しないのかって？それは本文中できっちりやるつもりだ。
全然きっちりしていると見えないが、まあコピペしておこう
http://eman-physics.net/quantum/schrodinger.html
ＥＭＡＮの物理学・量子力学・シュレーディンガー方程式
(抜粋)
ド・ブロイ波と古典力学を直接結びつけた賢い方法とは・・・。
動機「ド・ブロイ波の形が知りたい」
ド・ブロイ波の存在が実験で確かめられるようになると、単なる面白いアイデアだと笑ってはいられなくなる。それは一体どんな形をした波なのだろうという事を真剣に考えざるを得ない。ある運動量を持つ物質のド・ブロイ波の波長はいくつだろうか、とか、あるエネルギーの時は周波数がいくつだというくらいの単純な計算では満足していられない。一体どんな条件の波が存在してどのように伝わっていくのだろうか？
歴史的にはド・ブロイ波の存在が実験で確かめられる以前にシュレーディンガーの方程式が発表されている。やはり世の名声を勝ち得るためには時代を先取りしないとダメだということか。
シュレーディンガーの賢い方法
シュレーディンガーは、裏技とも言える賢いやり方で新しい方程式を作ってしまった。これからその方法を説明しよう。「そんなのありかよー！」と思うかもしれないような方法だ。
そう言えば、微分しても形の変わらない関数があった。それは「指数関数」である。もしcos 関数の代わりに指数関数を使えたら・・・。ここで数学のトリックを使う。オイラーの公式という大変便利な公式があるのだ。
それは、e^ix = cosx + isinx
というもので、複素関数論を学べばすぐに出て来る公式である。
このことを利用して古典力学の関係式 E=p^2/2m+V に当てはめてみよう。p2を取り出すにはψをxで 2 回微分して?ih~
を 2 回かけてやればいい。そのようにして出来たのが「シュレーディンガー方程式」である。
つづく >>533 つづき
ih~∂ψ/∂t = ?(h~^2/2m)(∂^2ψ/∂x^2)+Vψ
これは、「古典力学の関係を満たす運動量とエネルギーの組を同時に取り出すことの出来る波動関数ψはどのような形のものか」という意味の方程式である。
これは微分方程式になっているので、あとは「微分方程式の解き方」とかいう種類の参考書を読めば解を求める方法が解説されていることであろう。また量子力学の教科書もこれを解く部分には十分な解説がしてあるのでわざわざここで解説するまでもないだろう。
本当にこんな小細工でうまく行くのか？
こんなパズルみたいな方法で果たしてうまく行くのか、と思われるかもしれない。実際この方程式が発表された当時もこの数学的意味をめぐって議論がされた。
そして難解ではあったが当時すでに支持を得ていたハイゼンベルクの行列形式と数学的に同等であることが証明されると、シュレーディンガー流の方が直観的に理解しやすくて使いやすいというので多くの人が安心してこの方法を受け入れるようになった。
実数の波動関数に虚数を取り入れて指数関数を導入した部分を少し怪しく思うかもしれないので、ここで確認をしておくことにしよう。
このように虚数部分は、実数の三角関数に微分計算をしたときと結果が同じになるように助けてくれているのである。波動関数の実数部分だけを見ていれば計算結果は実数だけで計算した時と同じなのである。
三角関数の代わりにわざわざ虚数を導入してまで指数関数を用いるのは、微分しても関数の形が変わらないので微分方程式が非常に楽に解けるというメリットのためであると言えるだろう。
ここまで見る限りでは、波動関数に虚数が出てくるのは何か理解できない深い意味があると考えるより、単に数学を使った計算テクニックの結果だと考える方がいいように思える。
しかし、私が言う事を疑ってかかることをお勧めする。
つづく >>535 つづき
なぜなら、シュレーディンガー方程式を作った時の意味に従うのなら指数形式で書ける解のみが許されるべきであって、さらにその実数部分のみがド・ブロイ波としての意味を持つはずである。
しかし指数形式の解のみを認めるという制限をつけると、まったく当たり前すぎて面白みのない答えしか出て来ないことになってしまう。しかも境界条件の関係で解けないことの方が断然多いのだ。そんな応用に使えないようなことではシュレーディンガー方程式がこれほど有名になることもなかったことであろう。
そこで元の意味を離れて指数形式以外の解も解として認めることにしたのであるが、その結果、何とも解釈の難しい複素数の解が出てきてしまうことになってしまった。
では、適用範囲を広げて求められたこの複素数の解はどうやって解釈したらいいのだろう。虚数部分は一体何を表すのだろう？
不思議なことに、求められた波動関数の絶対値の 2 乗が粒子の存在確率を表すと考えると計算結果が事実と合うのである。素直に認めるべきか、うまく行く理由を考え直すべきなのか・・・。多分これが、シュレディンガー方程式が発表された当時の人々の反応だったのではなかろうか。
現在では、教科書を鵜呑みにする限りこのような問題に悩むことがない。これでうまく行くことだけは事実だからだ。
(引用終り) >>536 つづき
http://eman-physics.net/quantum/normalize.html
ＥＭＡＮの物理学・量子力学・波動関数の規格化:
(抜粋)
世にある解説本は量子力学を神秘的にとらえ過ぎだな。
確率解釈を取る理由
前回、波動関数の絶対値の 2 乗が粒子の存在確率を表すと解釈されていることを話したが、これは根拠のないことではない。
もともと波動関数は電磁波からの類推で導かれた概念であった。電磁波の振幅は電場や磁場の強さを表しているが、これらを 2 乗した量はエネルギーを意味している。
電磁波に限らず、多くの場合、波の振幅の 2 乗は波のエネルギーを表すと考えられる状況になっているものだ。
なぜなら正弦波が生じるためには変位に比例した復元力が働いているはずであり、その復元力を振幅の変位分だけ積分すればエネルギーを表すことになるが、この計算が振幅の 2 乗に比例するという結果となるからである。
相対論によればエネルギーはすなわち質量であり、振幅の 2 乗が物体の存在する量を表すと考えるのはごく自然な発想なわけだ。
しかし物質が波のようにあらゆる場所に広がって存在していると考えるのには不都合がある。電子を標的にぶつける実験では、ぶつかった一点のみが光る。ぶつかるまでは多分どこかにあるはずだが、どこで見つかるかは分からない。そして、必ずある一点で見つかるのであり、波のようにぼんやりと全体的に反応するわけではない。
そこでこの「波動関数の絶対値の 2 乗」は「粒子をそこに見出す確率を表すのだ」ということで落ち着いた。
しかし私としてはそんな主流の解釈に反して、物質は「波として」「本当に」「全体的に」存在しているのだと考えたい気持ちがある。
そして他の物質と反応する時にはその拡がった波が一瞬にして消え失せる、というイメージで捉えたいわけだ。
正確に言えば波動関数は消えてしまうのではなく、一瞬にしてデルタ関数に変化するということだが。
このイメージは「波束の収縮」と呼ばれており、その変化の過程を説明することができないという大問題があることから疑問視されている。
位置を観測されるまでの間に拡がりに拡がった粒子が、観測の瞬間、光の速さを越えて一点に集中するなんてことがあるだろうか？ 世捨て人になりたいのでなければ私を見習わない方がいい。
つづく >>537 つづき
しかし確率解釈にしてもこの同じ問題を背負っているのであり、「物理量は観測する前は不定だが、観測した以後はその観測値に確定する」という何とも不安な言い換えをしているに過ぎない。よってこれも「波束の収縮」問題と呼ばれている。同じ穴のムジナだ。
まぁ、実体が消えるよりは確率の波が消えると表現しておいた方が確かに無難だ。この話はまた後でたびたび論じることにしよう。
存在確率の計算
複素数の絶対値の 2 乗を求めるためには、元の複素数と、その複素共役を取ったものとの積を計算すればいい。複素数で表された波動関数ψ(x,t)の絶対値の 2 乗|ψ(x,t)|~2は、
|ψ(x,t)|~2 = ψ^?(x,t)/ψ(x,t)
と表現すればいいわけだ。
すると、位置xの近辺のごく狭い範囲dxに粒子が見出される確率というのは
ψ?ψdx
と表せばいいことになる。ここでdxを付けておくことは極めて大切である。
幅を広げれば確率は高くなるし、狭めれば 0 になってしまう。粒子が厳密に座標xの一点に存在するなんてことは決してないのだからこういう書き方をしなくてはならないのだ。
このことをもう少し詳しく話しておこう。例えばあるクラスに身長 160 cm の人間が存在する確率だってほぼ 0 に等しいと言える。身長が 160.000000 cm の位まで厳密に一致するやつなど決していやしないのだから。こういうことはちゃんと幅を考慮しないといけない。
それで上の式のdx
を除いた部分を「確率密度」と呼ぶ。
(引用終り) >>538 訂正
誤記と文字化けがあるね
|ψ(x,t)|~2
↓
|ψ(x,t)|^2
ψ^?(x,t)/ψ(x,t)
↓
ψ^*(x,t)/ψ(x,t)
ψ?ψdx
↓
ψ^*ψdx >>480
>どうやって、無限数列のしっぽを見分けるのか？
>（時枝記事の>>114 推移律チェックは、「無限数列のしっぽが見分けられたら」
>が前提であることを、再度注意しておくよ）
>>114の記事の
>２．続けて時枝はいう
> 私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別して
>Rを構成するやりかた(の冒頭)に似ている. 但しもっときびしい同値関係を使う.
>実数列の集合 R^Nを考える.
>s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，
>ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき
>同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
の部分をいい換えると、
>実数列の集合 R^Nを考えて、
>s＝(s_1, s_2, s_3, …), s'＝(s'_1, s'_2, s'_3, …)∈R^N が、
>或る番号 n_0 から先のしっぽが一致する ∃n_0：n≧n_0 → s_n＝s'_n とき
>関係〜を s〜s' と定義すること(いわばコーシーのべったり版)をしている。
時枝問題の記事では、このように R^N における関係〜を定義した後、
〜の推移律チェックが行われている。
文脈上、以上のように時枝が行った定義の条件の下で、スレ主がいう
「推移率チェックに注意しつつ、どのように無限数列のしっぽを見分けるのか？」
という問いは、意味をなさない。 とつぜんですが
http://eman-physics.net/greeting.html
ＥＭＡＮのあいさつ 2000年3月10日 広江 克彦
ＥＭＡＮのひとり言
(抜粋)
自分が大学生の時、やる気はあったけど、授業が全然わからなかった。 大学の先生というのは、生徒を過剰評価してくれている。 生徒がどれだけ単純なことでつまづいているのか分かってくれていないようだ。
大学を卒業する頃、自分がそれまでの必死の努力の末、ようやく理解した内容を振り返ってみるに、 誰かが分かり易く教えてくれさえすれば半年で習得できた事じゃないか、と感じた。
自分の４年間はあれは何だったのか、と挫折感を味わったものだ。
恐ろしいことに、それでも私は決して落ちこぼれだったわけではないのだ。
学生時代、私はトイレ、風呂、台所が共同の安アパートに住んでいた。 学期末テストの時期になると、同じアパートの後輩たちが教えてくれと言って 私の部屋の前に並んだものだ。（これは自慢話だ）
そして、「教授が半年かけて言っていた事の意味が、この一時間でやっと分かった。」 と言って彼らが喜んで部屋を出てゆく顔を見るとき、何と嬉しかったことか。
もし、現在同じような境遇にいる学生がこのページを見つけてくれて、 彼らにとって少しでも助けになれば、と思ってこれを作った。
ひょっとしたらすでに大学の教育が改革されてこのような事が必要でなくなって いるかも知れないが、それなら嬉しいことである。
(引用終り) >>480
>>540では、はじめに書き忘れたが、おっちゃんです。
(>>540で書いた文章の続き)
仮に、2つの s＝(s_1, s_2, s_3, …), s'＝(s'_1, s'_2, s'_3, …)∈R^N に対して
スレ主のいう「推移率チェックに注意しつつ、無限数列のしっぽ」が見分けられたとしよう。
nを自然数変数としよう。無限列 s, s'∈R^N のしっぽが見分けられたということは、
関係〜の定義から、2つの無限数列
s＝(s_1, s_2, s_3, …), s' ＝(s'_1, s'_2, s'_3, …)
の対 (s, s')∈R^N×R^N に対して既に或る番号 n_0 が定まって、s, s' の各成分について、
n≧n_0 のとき s_n＝s'_n と判断出来たことを意味する。n≧n_0 のとき s_n＝s'_n＝s''_n とおくと、
s, s' のしっぽは s''_n (n≧n_0) と表わせ見分けられる。
なのだから、推移率チェックをしなくても、s, s'∈R^N に対しては
「無限数列のしっぽを見分けられた」ことになる。
これは、「推移率チェックに注意しつつ、無限数列のしっぽが見分けられた」と
仮定していることに反し矛盾する。なのだから、スレ主がいう「無限数列のしっぽを見分ける」操作
を行うにあたっては、必ずしも「推移率チェックを行う」必要は「ない」ということになる。
従って、推移率チェックに注意しつつ、無限数列のしっぽ」が見分けられる
ような R^N の無限数列が存在することになる。事実、任意の10進表示で表わされた有理数の小数部分
は循環小数になるから、有理数列全体からなる空間 Q^N の或る2点に対しては、
スレ主が行おうとしている操作は出来る。例えば、値が等しくなる10進表示で表わされた2つの有理数
a_1.a_2a_3a_4…a_n…, b_1.b_2b_3b_4…b_n… ∈Q (a_k,b_k∈{0,1,2,…,9}, ∀k∈N＼{0})
に対して2つの Q^N⊂R^N の点つまり2つの有理数列
a＝(a_1, a_2, …, a_n, …), b＝(b_1, b_2, …, b_n, …)∈Q^N
を構成して、a, b に対してスレ主のいう操作を行えばよい。なのだから、
>>480でスレ主が述べているような、推移律の確認の前に無限数列のしっぽを見分ける方法
を見出そうとする問いは、意味をなさない。R^N における関係〜が推移率を満たすことを確認し、
関係〜が同値関係であることを確認する以前の問題になる。 >>480
>>540と>>542の文章に所々ある漢字間違いの訂正：推移率 → 推移律 >>480
>>542の途中の
>従って、推移率チェックに注意しつつ、無限数列のしっぽ」が見分けられる
>ような R^N の無限数列が存在することになる。
の部分は
>従って、推移律チェックに注意「しなくても」、無限数列のしっぽ」が見分けられる
>ような R^N の無限数列が存在することになる。
に訂正。あと、スレ主のオツムのレベルに合わせると、>>542の後半の方の部分について、
>値が等しくなる10進表示で表わされた2つの有理数
>a_1.a_2a_3a_4…a_n…, b_1.b_2b_3b_4…b_n… ∈Q (a_k,b_k∈{0,1,2,…,9}, ∀k∈N＼{0})
>に対して2つの Q^N⊂R^N の点つまり2つの有理数列
>a＝(a_1, a_2, …, a_n, …), b＝(b_1, b_2, …, b_n, …)∈Q^N
を構成するときは、単純に任意の k∈N＼{0} に対して、a_k＝b_k∈{0,1,2,…,9} とすれば、
推移律チェックに注意「しなくても」、簡単に無限数列のしっぽ」が見分けられることに注意な。 >>480
>>544の最後の方の
>簡単に無限数列のしっぽ」が見分けられる
の部分の括弧「」の部分「 」 」は不要。
これ、10進表示された有理数の小数点以下の桁が途中から循環すること
が分かっていれば無意味な問いであることがすぐ分かる。
数列や微分積分が分かっているかどうかの問題だ。 >>540 >>542-545
どうも。スレ主です。
おっちゃんのレスは貴重だな
スパイスですよ、スパイス
ブラックペッパーかな？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%82%A6
(抜粋)
収穫のタイミングや製法の違いにより以下の4種類が存在する。 ピペリン (piperine) という化学物質が胡椒に独特の風味を与える。
黒胡椒
別名『ブラックペッパー』とも呼ばれ、胡椒の木から取れた完全に熟す前の実を長時間かけて乾燥させたものである。世界中のどんな地域を旅しても、塩の隣にブラックペッパーの小瓶が並んでいると言われている。強い独特の風味があり、特に牛肉との相性が良い。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%83%9A%E3%83%AA%E3%83%B3
(抜粋)
ピペリン (英: piperine) は、アルカロイドに分類される有機化合物のひとつで、シス-トランス異性体のカビシン（Z,Z体。シャビシンとも）とともにブラックペッパーの辛みのもととなっている成分である。
この化合物は伝統医学や殺虫剤の用途にも用いられてきた。1819年、ハンス・クリスティアン・エルステッドによって、Piper nigrum（コショウ）の果実から最初に発見された[1]。ヒハツ(Piper Lognum)とヒハツモドキ (Piper officinarum) [2]や、Piper guineense[3]（西アフリカ産コショウ）にも含まれている。
ピペリンやカプサイシンの辛みは、感覚神経に発現している温度受容体TRPV1（TRPVイオンチャネルファミリーのひとつ）の活性化によりもたらされる。
ピペリンはまた、生体異物や代謝産物の代謝・輸送をつかさどるヒトの CYP3A4 や P-グリコプロテイン のはたらきを阻害する[4]。
ピペリンが薬物代謝に重要な他の酵素をも阻害した動物実験の結果が報告されている[5][6]。
薬物の代謝を阻害するはたらきにより、ピペリンはさまざまな化合物の生物学的利用能を向上させる可能性がある。ヒトでクルクミンの生物学的利用能を2000%まで向上させたという報告がある[7]。
一方、薬物との相互作用が報告されており、多量に摂取すると健康被害が発生する可能性を否定できず注意が必要とされる [8] 。
(引用終り) >>540 >>542-545
おっちゃんらしい外し方だな
当方が、>>480で聞いたことは、下記
”どうかおっちゃんの数学センスをみせてくれよ（＾＾；
どうやって、無限数列のしっぽを見分けるのか？
（時枝記事の>>114 推移律チェックは、「無限数列のしっぽが見分けられたら」が前提であることを、再度注意しておくよ）”
これを、時間の順でステップ分けして書くと
１）無限数列のしっぽを見分ける
↓
２）しっぽの一致不一致が分かる
↓
３）同値か否かが分かる
↓
４）同値な関係の３つの数列の推移律の確認ができる
まあ、こういう４段階に分けて、時枝の>>114 「念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.」
は、上記の３）と４）を実行しただけだ、と言ったわけだ
そこで、問題は、１）と２）の実行（ 特に１）の実行）は、だれがどうやってやるのか？
そこは全く時枝記事では触れられていないよと。そこを問題視している
だから、>>542「推移率チェックに注意しつつ、無限数列のしっぽが見分けられた」なんてことは、上記の４段階の流れを全く逆転させた話で、まったく求めていないのだ
従って、”スレ主がいう「無限数列のしっぽを見分ける」操作を行うにあたっては、必ずしも「推移率チェックを行う」必要は「ない」ということになる”という議論は、全くの的外れだな（＾＾； >>548 つづき
おっちゃん、「構成主義的数学」（下記）わかりますか？
http://fomalhautpsa.sak 強制改行
ura.ne.jp/
科学図書館 （2012/06/04 改 訂)
(抜粋)
村田 全の部屋(2008年7月6日逝去)
――透徹した史観と幅広い視野を持つ数学 史家・村田全の著作を収めた部屋――
(引用終り)
http://fomalhautpsa.sak 強制改行
ura.ne.jp/Science/Murata/sugaku-kisoron-rekishi.pdf
数学基礎論の歴史 ――その一つの断面―― 村田 全
(抜粋)
経験主義――E. Borel 達の解析学者の主張に始まる。集合論における「対応」が
どの程度まで具体的であるべきか等を論じた。特に集合論の選択公理の妥当性を
めぐって論争したが，その主旨は今日の「構成主義的数学」，あるいは回帰的関
数(recursive function) の理論などに生かされている。
(引用終り) >>549 補足
構成主義と”自然数の定義における非述定性”、（推移性）を見るだけでは不十分！
http://www.info.human.nagoya-u.ac.jp/lab/phil/kukita/works.html
久木田水生のページ - 人間情報学研究科 - 名古屋大学
http://phsc.jp/dat/rsm/20070617a1.pdf
http://ibrarian.net/navon/paper/Cf__Poincar___La_Science_et_L_Hypoth_se__Flammari.pdf?paperid=14103120
久木田水生「フレーゲの論理主義再考」（科学基礎論学会，鳥取大学，2007年）
(抜粋)
１ フレーゲによる数学的帰納法の導出
フレーゲは概念の間の等数性を、二つの概念に帰属する対象の間に一対一の対応がつけられること、として定義する。概念Fz とGz が等数であるということをFz ≡ Gz によって表すことにする。
つまり任意の概念Fz、Gz、Hz に対して、
（反射性）Fz ≡ Gz
（対称性）Fz ≡ Gz ならば、Gz ≡ Fz
（推移性）Fz ≡ Gz かつGz ≡ Hz ならば、Fz ≡ Hz
が成り立つ。ある集合の上に定義された同値関係は、その集合を同値類によって直和分割することを可能にする。
しかし定義（GZ）によっては、実際に全ての自然数に対応する基数が存在することは保証できていない。というのも、任意の自然数n について、その自然数に対応する基数が定義されるためには、Az (Fz) がn に対応するような概念Fz が、少なくとも一つ存在することが言えなければならないからである。
しかしこれでもまだ十分ではない。上の説明は、個々の自然数n に対応する基数n がどのように与えられるかを説明してはくれるが、しかしこれで自然数全体に対応する有限基数一般が定義されたわけではないのである。
２ 自然数の定義における非述定性
非述定的定義がしばしば問題にされるのは、それが循環的であるということ、またその循環性ゆえに、種々の集合論的パラドクスの原因になったということによる。
ここから明らかなのは、非述定的定義が循環であるとする議論と、循環ではないとする議論の間の対立は、数学的概念についての構成主義的な見解と実在論的な見解との間の対立に還元することができる、ということである。
(引用終り) >>551
要するに、ここで示したのは、「（推移性）を確認しました」→「だからそういう集合が存在します」とは言えないと
話は逆で、「そういう集合（または対象）が存在する」→「（推移性）を確認しました」が話の順序だろうと >>548
> そこで、問題は、１）と２）の実行（ 特に１）の実行）は、だれがどうやってやるのか？
> そこは全く時枝記事では触れられていないよと。そこを問題視している
R^Nが類別可能であることはこの記事の大前提。
その仮定を認めないのはお前の勝手だ。
認めないならお前にとってこの記事は意味をなさない。
この記事を論じるにあたってお前の発言はすべて無意味。
だからひっこんでろ。 >>540 >>542-545
おっちゃん
http://www.ole-b.com/entry/2014/09/19/080456
円周率計算の世界記録は12.1兆桁らしいが、これって本当にあってるの？ - おれブログ: 2014-09-19
(抜粋)
先日新聞で読んだ円周率に関する記事。
計算桁数記録は現在12.1兆桁。日本人の近藤茂さんと米国人のアレクサンダー・Ｊ・イーさんのタッグで生み出された成果らしい。
12.1兆桁という途方もない桁数にも驚いたが、それよりも気になったのは前人未踏の12.1兆桁って誰がどうやって正しいことを証明するんだろうってこと (´・ω・`)
多分この疑問を解消してくれるエピソードが手計算時代にあったみたいです。
1850年頃から1873年にかけてウィリアム・シャンクスという人が段階的に707桁まで計算したんですね。
あれ？ さっき上では「1800年代に527桁」って書いたよね？
実はシャンクスさんは707桁まで計算したんですが、計算結果は527桁までしか合ってなかったんです。なので公式記録は527桁ってことになってます。
その計算ミスを確認したのが、先ほど最後の手計算記録として登場したD.F.ファーガソンなんです。彼が1945年に540桁まで計算したことで約70年前のシャンクスの計算ミスが判明したんです。そしてこの約70年の間はシャンクスの計算ミスした707桁の数値が信用されていたようです。
つまり、最長記録の計算結果が正しいかどうかってのは、記録が塗り替えられるときに初めて分かるってことなのかと。
なので、現在最長の12.1兆桁の結果も現時点では正しいのかどうかは分からないってことなんですかね。なんか微妙だけど、、、まぁ、そういうものなんでしょう。
(引用終り) >>553
>R^Nが類別可能であることはこの記事の大前提。
妄想にすぎない
否定するなら、論文を提示してくれ
と構成主義者ならいうね
いや、具体的手順を示せというかもな（＾＾； >>554 つづき
例えばネイピア数の公式 （πの公式はこの粗末な板で書くには複雑すぎる・・・）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE
ネイピア数の表現
(抜粋)
級数による表現
ネイピア数 e は次のような級数で表される。
１． e = Σ k 0→ ∞ (1/ k !)
２． e = Σ k 0→ ∞ ((k+1)/ k !)/2
(引用終り)
１式−２式＝Δ（誤差）
で、いわゆる無限小数展開（＝コーシー列）では、Δ（誤差）はゼロに収束する
∵ヒルベルト空間では、内積（〜距離）が入り、収束が保証されているから
まあ、大げさに言わなくても、当たり前
だが、時枝のR^N空間では、そうではない。
無限小数展開（＝コーシー列）では、少数のしっぽの方は、ゼロに収束するから、小さな違いは無視していい。だから、１式と２式とは収束先は同じで、ネイピア数 e
だが、時枝のR^N空間では、あたまの箱もしっぽの箱も軽重は付けられていない。だから、しっぽの先の差が大きな問題となる
いわば、１式−２式＝Δ（誤差）のΔが消えない。（ 例えだが、無限小数展開では、Δ＝D/10^n みたいな形で、少数の下位の桁はどんどん小さくなる。が、時枝のR^N空間ではそうではない ）
ところで、上記のように、１式と２式とが明示的に与えれていればともかく、１式や２式が隠されていて（明示なし）、はき出される数列のみを見て、同値か否か
その判断ができるのか？
それ、上記の”円周率計算の世界記録は12.1兆桁らしいが、これって本当にあってるの？ ”ってこと
人類はいまだ円周率πの無限小数展開のしっぽがどうなっているか知らないのだ。知っているのは、12.1兆桁あたりまで
可算無限個の箱の数列のしっぽの同値類なるものは、上記のような胡散臭さがある
人類はいまだどの一つの超越数さえ、無限小数展開のしっぽをしらない
そして、無限小数展開では、箱に入る数はわずか０〜９にすぎないのだ
無限小数展開は、コーシー列と同一視できるから、ヒルベルト空間内。 圧倒的に扱いやすい。時枝のR^N空間よりは圧倒的に扱いやすい
それでもなお、人類はいまだどの一つの超越数さえ、無限小数展開のしっぽを具体的にしらない！ >>555
だから『仮定』と言ってるだろｗアホウ。 それともなに？『仮定』がZF公理系に矛盾するとでも言いたいの？
そういう主張は大歓迎だ。証明しろ。今すぐに。
証明できないなら論文を提示しろｗ
俺はR^Nが類別可能であることの無矛盾性など示す気はない。
（暇ならお前やれば？ｗ）
だから俺は『仮定』と言った。
このR^Nが類別可能であると『仮定』して記事を読んでいる。
仮定を認めないお前は時枝記事を語る資格無し。
（その場合、お前の大好きなヴィタリ集合の存在とどう折り合いをつけるのか知らんがｗ）
外野から『この仮定は成り立たないじゃないかなーー・・・』と孤独につぶやいてれば良しｗ >>556
コンピュータ計算のα線によるソフトエラー をご存知だろうか？
http://toshiba.semicon-storage.com/jp/design-support/reliability/device/failure/1271225.html
Si-SiO2界面 | 東芝 ストレージ＆デバイスソリューション社: 2016年4月現在
(抜粋)
ソフトエラー (参考文献6)
以前より、微細化デバイスではパッケージや配線材料に含まれる微量な放射線元素 (ウランU、トリウムTh) から放射されるα線が問題となっています。
このα線がデバイス内のPN接合近傍に入射された時、その飛程に沿って電子-正孔対を発生させます。
この発生した少数キャリアにより、DRAMやSRAMなどのメモリセル内のデバイス情報が反転してしまう現象をソフトエラーと呼んでいます。
ソフトエラーは、メモリセルモード、ビット線モードに大別されます。
(参考文献6): T.C.May and M.H.Woods: A New Physical Mechanism for Soft Errors in Dynamic Memories 16th annual Proc., Rel., P33 (1987)
(引用終り)
仮に、>>554 の円周率計算の世界記録 12.1兆桁 の先を、二つのコンピュータで、それぞれ別のπの公式で計算させているとする
理想的には、どちらも、πに収束するはず
だが、上記のα線によるソフトエラーがどこかで起こらないとも限らない
というか、起きる可能性は否定できない
その場合、二つのコンピュータから出力される数列たちのしっぽは一致しないことになる
しっぽの不一致がどこで起きるか？ それは神のみぞ知る
可算無限長のしっぽのどこかで起きるかも知れないα線によるソフトエラー
さて、人は、α線によるソフトエラーが起きるかどうか、いや、α線によるソフトエラーが起きたかどうかを知ることができるのか？
数列の先頭から調べることで・・・
数列の長さは可算無限長なのに・・・
（コンピュータが可算無限長だったら止まらないという話もある。まあ、そこは量子コンピュータが使えてクリアできるとでもしましょう ） >>557-558
仮定仮定か
「宝くじが当たって１億円」>>470 と同じだな
仮定が現実離れしていては意味がない
「貯金が１億円あれば」と仮定しても、現実の今日の生活とは無関係
「時枝の記事は正しい」と仮定すれば、議論はすぐ終わる
が、それでは雑誌の記事としては、意味がないだろ
あくまで、既存の数学の枠内でどう解釈できるのか
そして、時枝の示した解法が、どれだけ現実的意味を持つのかの評価
そこが論点だろ？ もう少し補足しよう。
有理数の差をもつ2つの実数を同一視した剰余群R/Qを考える。
たとえば1.234111111...と2.345111111....は同値である。
区間[0,1]で得られる代表系をヴィタリ集合と呼ぶのであった。
スレ主の論法によると、2つのa,b∈Rはいつまでたっても同値性を判定できない。
なぜなら末尾の1111...がいつなんどき2や3に変化するとも知れないからだ。
となると、スレ主にとっては『有理数の差をもつ2つの実数を同一視する』という
同値関係自体が認めがたいものになる。
よってスレ主がたびたび話題に挙げたヴィタリ集合は存在不可、
無意味な仮定に基づいた妄言に過ぎない、となる。
明らかになったのは、お前の論じる数学の立ち位置は
時枝氏やHart氏と異なるどころか、
ヴィタリ集合の存在を認める 全 て の 数 学 者 と異なる
ということだｗ >>541
個人的に下記の記事は結構面白かった
http://eman-physics.net/quantum/linearize.html
非相対論的にスピンを導く シュレーディンガー方程式の線形化。
(抜粋)
動機
ディラック方程式ばかりを使ってスピンの話をしていると、スピンは相対論的な効果の現れだというイメージで考えが固まってしまう惧れがある。今回はディラック方程式を使うことなくスピンの存在を導いて見せて、その辺りの考えを突き崩しておくことにしよう。
基本的な思想は前にクライン・ゴルドン方程式を線形化してディラック方程式を得たのと同じなのだが、途中の計算には少しばかり技巧的なところがあって、一体どうしてこんなことが思いつけるだろうかと感じるかも知れない。
なぜそんな手続きが必要なのか、と問われたら何と答えようか。時間と空間座標は対等であるべきだから・・・などと説明すれば、やはり相対論の思想が根底にあるのではないか、という結論になってしまいそうだ。
しかしディラックの「線形化しないと相対論の要求を満たさないから」という思い付きは現代の視点から見るとそれほど正しいわけではなかったのである。そのままでは使えないと思われたクライン・ゴルドン方程式は、相対論的な場の理論において、スピンを持たない粒子を表すのに活用されている。
そうなると、次のように答えておくより他にないのではないだろうか。「線形化することでスピンが自然に導かれてくることが分かっているからだ」と。
尚、今回の記事の計算は1967年の Levy-Leblond の論文 「Nonrelativistic Particles and Wave Equations」 ( Commun. math. Phys. 6, 286 (1967) ) を頼りにしている。
つづく >>563 つづき
手続きの説明
この展開結果を (2) 式と比較すれば解決しそうである。しかし残念ながら、今回はそれほど単純には答えは出ない。できるものならやってみるといい。私ならこの程度の障害にぶつかった時点で「シュレーディンガー方程式の線形化は不可能である」と結論して早々に諦めてしまうことだろう。
しかし頭のいい人がいるもので、A、B、Cとは全く別の係数A′、B′、C′を導入して、
という式を作り、これを展開したものが (2) 式と同じになるようにすればいいと考えたのである。係数を増やすなんて無茶なことをすればそれだけ面倒な要素が増えてしまう気がする。そういう事は出来るだけ避けたいという思いが新しい思い付きを鈍らせる原因になっているのだが、実はそれほど複雑なことにはならない。
ここで導入したMは正則な行列（つまり逆行列を持つ行列）であるとする。この置き換えを使えば、(4) 式は
という、前に見たことのある式に書き換わってしまう。何と、ディラック方程式の係数を決めた時の条件式と全く同じである！徹底的に簡素化されたこの表現の事を前に「ただの趣味でしかない」と言ってしまった事を大いに反省する。
この時の波動関数ψはディラック方程式の場合と同じく、4 成分のスピノルで表されることになるわけだ。ああ、前に「相対論万歳」と叫んだあの感動は何だったのだろうか。・・・いや、今は別の感動がある。
(引用終り) >>561-562
その声は、Tさんだな
なんど、「さようなら」を言っては戻ってきたことか？
もう、来るなよ（＾＾；
ヴィタリ集合論との違いは
１．ヴィタリ集合論は、ヒルベルト空間の中(内積＝距離が定義され、完備な空間)。時枝解法R^Nは、外
２．さらに、時枝解法は、その後完全同値類分類を達成し、代表元を定めて、決定番号を決めるプロセスに繋げる必要がある
３．さらに、１００列で、確率99/100を導くことのできる良い性質を備えなければならない
いま論じているのは、「時枝解法R^Nは、確率99/100を導くことのできる良い性質を備えてはいない」（解法不成立）という視点からの議論だよ
以前にも書いたが、ヴィタリ集合論、ヒルベルト空間の中では、しっぽ（小数点の下位）の先の些末な差は、距離が定義されているから、小さくなり、ゼロに収束するのだ
だが、距離が定義されていない時枝解法R^Nではそうならないだろう？
また、「代表元を定めて、決定番号を決めるプロセスに繋げる」ってところも曖昧だし
「１００列で、確率99/100を導く」もできない
要するに、１もダメだが、２と３もダメ
そこが、ずっと分かっていなかったね、あなたは >>565 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
(抜粋)
超越数（ちょうえつすう、英: transcendental number）とは、代数的数でない数、すなわちどんな有理係数の代数方程式
の解（英語版）にもならないような複素数のことである。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0
(抜粋)
代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
(引用終り)
いま、実数に限定して
超越数（transcendental number）として、一つ Tran という 数を考えよう
Tranのε近傍に、代数的数（algebraic number）Algn という 数を考えよう
つまり、| Tran - Algn |< ε で、いつものように、εはいくらでも小さく取れるとする
ところで、仮定より 明らかに 「 Tran not = Algn 」が成り立つ。 εをいくら小さくとろうとも
つまり、Tran と Algn とのしっぽは一致しない。εをいくら小さくとろうとも ∵しっぽは一致したら、Tran = Algn となり矛盾
ただ、εはいくらでも小さく取れるから、頭からしっぽの先に近い部分まで、いくらでも一致させることはできる
さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」 → 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える ∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
つまり、命題Aで、超越数や代数的数という情報を与えたから、命題Bが言えたのだ
（ここが、ヴィタリ集合論と類似の議論（有理数、無理数という情報を与えてヴィタリ集合の存在を導く）だ）
問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
εはいくらでも小さく取れるから、頭からしっぽに近い部分まで、いくらでも一致させることはできる
それで、命題Bが言えるには、具体的にどういう情報が必要なのだろうか？ （そこをすっきり理論的に解明できれば、論文が一つ書けるだろう ）
そこを時枝記事はスルーしているのだよ
そして、普通の実数でのヒルベルト空間（コーシー列）でさえ、現代数学では、無限小数のしっぽは扱いかねる
まして、ヒルベルト空間外のR^Nにおいておや >>566
> さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」 → 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える ∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
>
> つまり、命題Aで、超越数や代数的数という情報を与えたから、命題Bが言えたのだ
お前の主張はほとんどこれｗｗ
『aとbが同値でないならば、aとbは同値でない』 >>548
>どうやって、無限数列のしっぽを見分けるのか？
>（時枝記事の>>114 推移律チェックは、「無限数列のしっぽが見分けられたら」が前提であることを、再度注意しておくよ）”
Nで1以上の自然数全体の集合を表わす。xy平面 R^2 上で、すべての n∈N に対して、x座標がnの点 P(n) を通りx軸に垂直
な直線 L(n) を引く。直線 L(n) 上の1点から R^2 上の右側に向けx座標を増加させながら曲線 C(n) を引く。
いわゆる、幾何的には高校で習うような関数のグラフを考えることになる。すると、各 C(n) n∈N に対して、
数列空間 R^N の点 s＝(s_1, s_2, s_3,…) の全体が構成される。そこでスレ主が>>548で
>１）無限数列のしっぽを見分ける
> ↓
>２）しっぽの一致不一致が分かる
> ↓
>３）同値か否かが分かる
> ↓
>４）同値な関係の３つの数列の推移律の確認ができる
>
>そこで、問題は、１）と２）の実行（ 特に１）の実行）は、だれがどうやってやるのか？
>そこは全く時枝記事では触れられていないよと。そこを問題視している
と書いたようなことを考える。 >>548
(>>568の続き)
スレ主のいうように1)と2)の実行が出来るかどうかを問題視するにあたっては、
文脈上と読解上「無限数列のしっぽを見分けられないこと」を前提とするしかない。
つまり、「無限数列のしっぽを見分けられない」として話を進めることになる。
3角関数のグラフの曲線のように、上下の値が有界であるような周期関数のグラフ C(n), ∃n∈N に対して、
C(n) との交点が可算無限個存在するような直線 l(n) を引いた場合も含めて考えることになる。
このような可算無限個の交点と l(n) の存在性は、周期関数の定義と周期関数の上下の有界性から幾何的にはすぐ分かる。
各 n∈N に対して L(n) と l(n) の交点のx座標を s_n とする。値が小さい方から s_1, s_2, … と並べて行く。
すると、R^N の点 s＝(s_1, s_2, …) が構成出来る。このような R^N の点 s＝(s_1, s_2, …) の構成は、
スレ主の趣旨に沿った R^N の点の構成である。だから、s＝(s_1, s_2, …) に対しては、
スレ主の趣旨に添うと、スレ主のいう1)と2)の実行が出来るかどうかを検証しても構わない。
そこでスレ主のいうような1)と2)の実行についての検証を行う。
数列 s_1, s_2, … の各項 s_n∈R (n∈N) は、有理直線Qを実数直線Rに埋め込んで、QをRに完備化し、
Rの元として定義される。いわゆる、カントール式の実数の定義をすることになる。
カントール式の実数の定義をするにあたっては、その後、一旦距離空間 R^N を定義して、距離空間 R^N の点列
の収束や極限、部分列などを定義する。そして、コーシー列も定義する。
そうしてRが連結なハウスドルフ空間なることを確かめる。その後、任意の完備な順序体がRに同型なことも確かめる。
それから、一旦、有理数列全体 Q^N に対して時枝がいった関係〜と同様な関係〜を定め、数列空間 Q^N の中で
関係〜が同値関係になることを確かめて、Q^N に属する有理コーシー列として実数を定義する。
これが実数の定義の大体のあらましである。
しかし、カントール式の実数の定義とデデキントによる実数の定義は同値だから、
やはりスレ主の投げ掛けた問いは意味をなさない。実数のカントール式の実数の定義の話に戻っただけである。 混沌のおっちゃんが現れたので本当に退散しますｗ
お勤めがんばってねスレ主さん >>548
ぶっちゃけ、スレ主のいう問いかけは、スレ主が杉浦解析入門のような
微分積分の本を読んでいないことがバレバレになるだけの問いかけなんだよ。 >>548
スレ主の趣旨に添うと、>>569の
>C(n) との交点が可算無限個存在するような直線 l(n) を引いた場合も含めて考えることになる。
と書いた段階では、まだ「l(n)」は「直線」ではなく一般には「曲線」として考えているから、
「直線 l(n) を引いた」は「曲線 l(n) を引いた」に訂正しないといけないな。
ぶっちゃけ、数列や微分積分が分かる人にとっては、l(n) が直線であることは明らかなんだけど。
じゃ、疲れたから私も寝る。 >>548
>>572の
>ぶっちゃけ、数列や微分積分が分かる人にとっては、l(n) が直線であることは明らかなんだけど。
はいい過ぎで、間違いだったから取り消し。反例があった。
それじゃ、私は寝る。 >>548
>>568の
>すると、各 C(n) n∈N に対して、数列空間 R^N の点 …(略)…
の部分は
>すると、各 C(n) n∈N に対して、C(n) と L(n) との交点 (n, s_n) s_n∈R
>を考えることにより、数列空間 R^N の点 …(略)…
に訂正。じゃ、本当に寝る。 >>560
＞仮定が現実離れしていては意味がない
現実離れしていると？
なら、類別不可能であることを容易に証明できるわけだな？
さあ、証明してみてくれ
できないなら、お前は只のホラ吹きだ > 無限数列のしっぽでの同値類分類：数列のしっぽが一致すれば同値＝つまりは、数列の最後の数が一致するかどうか
> 有限数列であれば、なんの問題もない。だが、可算無限個の箱に入った数列ではどうか？
>>498や
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/35 の補足になるが
a0=1, a1=1.4, a2=1.41, a3=1.414, a4=1.4142, ... , a(D-1), aD=√2, √2, √2, √2, ...
b0=1, b1=4, b2=1, b3=4, b4=2, ... , b(D-1), bD={√2の小数点以下n桁目}, b(D+1)={√2の小数点以下n+1桁目}, ...
a0=2, a1=2.7, a2=2.71, a3=2.718, a4=2.7182, ... , a(D-1), aD=e, e, e, e, ...
b0=2, b1=7, b2=1, b3=8, b4=2, ... , b(D-1), bD={eの小数点以下n桁目}, b(D+1)={eの小数点以下n+1桁目}, ...
時枝記事の極限(べったり版)の場合だとa0はある項以降が全て同じ数字になってaD=√2, √2, √2, √2, ... であり
ある項以降が全て√2であることを(√2)^*で表せばa0=1, a1=1.4, a2=(√2)^*やa0=1, a1=1.4, a2=1.41, a3=1.414, a4=(√2)^*と書ける
またa0=1, a1=1.4, a2=(e)^*やa0=2, a1=2.7, a2=2.71, a3=(√2)^*などとも書ける
anからbnの変換はbD={(√2)^*の小数点以下D桁目以降}などと書けば
b0=1, b1=4, b2={(√2)^*の小数点以下2桁目以降}やb0=1, b1=1.4, b2=1.41, b3=1.414, b4={(√2)^*の小数点以下4桁目以降}
b0=1, b1=4, b2={(e)^*の小数点以下2桁目以降}やb0=2, b1=7, b2=1, b3={(√2)^*の小数点以下3桁目以降}と書ける
この場合はシッポが一致するかどうかは最後の()^*の中の数が一致するかによる
{(√2)^*の小数点以下n桁目以降}などを全て可算無限個の数字に置き換えることは
> "全ての箱に数を入れる行為"までは、問題の仮定だからOK
> スレ主は(R^Nの)任意の無限数列が出題可能であると仮定しているのでしょう？
> 当然。
可能であると仮定されている
スレ主曰く「当然。」 古典ガロア理論の基礎の部分をもっとていねいに説明した方がいいと思う。例えば、対象となってるのは文字を使った有理式で、その文字に値が定義されているもの、なんだよね。だから式として同じなのか、値として同じなのか、読み分ける必要がある。 そんなことおっしゃいましても、数学ガールの結城先生だって誤解するんだから、ちゃんと説明してほしかったです。 >>566
おっちゃんです。
スレ主の問題視していた点が少しは分かった。
nを任意の2以上の自然数とする。任意のn進無限小数展開表示された実数を r_n とする。
r_n の小数点以下の各桁を表すのに用いられ相異なる高々n個の数字(或いはその代わりとなる記号)
を k_0(r_n), k_1(r_n), …, k_{n-1}(r_n) とする。r_n に対して集合 K(r_n) を
K(r_n)＝{k_0(r_n), k_1(r_n), …, k_{n-1}(r_n)}
と定義する。このとき、r_n の小数点以下に現れる K(r_n) の元がどのような頻度で分布しているか
をスレ主は問題視していたのだろう。いわゆる、実数 r_n をn進無限小数展開表示するときに使われれる
K(r_n) の元の無限列 k'_1(r_n), …, k'_m(r_n), … ( K'_1(r_n)∈K(r_n), ∀i∈N＼{0})
における数字(或いはその代わりの記号)の一様分布の問題だな。
スレ主が、ボレルの経験主義だの、無限小数展開の末尾が分かるだの、
構成的主義だの、同じしっぽの同値類に属するかどうかだの、確率分布だの、
そういった言葉をよく書いていた点からエスパーすると、スレ主は恐らく、
以上のような一様分布の問題を考えていたのだろう。
そうすればスレ主の書き込みに或る程度整合性が付く。こういう問題やその理論は確かにあるが、
ただ、やはり現代数学の形の理論で、時枝問題より難しい。時枝問題より高度な知識が必要になる。
この問題を考えられるなら、時枝問題の答えが0でないことは比較的容易に分かる筈だ。 >>566
あと、
>さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」→ 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える
>∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
>
>つまり、命題Aで、超越数や代数的数という情報を与えたから、命題Bが言えたのだ
>（ここが、ヴィタリ集合論と類似の議論（有理数、無理数という情報を与えてヴィタリ集合の存在を導く）だ)
>
>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
>εはいくらでも小さく取れるから、頭からしっぽに近い部分まで、いくらでも一致させることはできる
>
>それで、命題Bが言えるには、具体的にどういう情報が必要なのだろうか？
>（そこをすっきり理論的に解明できれば、論文が一つ書けるだろう ） そこを時枝記事はスルーしているのだよ
について。標数を0として考える。10進無限小数展開された実数を任意に取り、xとする。
任意に、実数体Rの完全不連結な部分体K(Kは、例えば Q(e) eはネイピア数 などのような或るRの部分体の超越拡大体でもいい)
を取る。そうすると、実数xがK上代数的か超越的かどちらなのか、が分かればいい。実数xについて或る体K上代数的か超越的か
のどちらなのかが分からないなら、これが分かればいい。そのことが分かれば、あとは、複素数体C上ではKの代数的閉包Fが存在し、
K∩F はRの部分体で体の拡大 F/K の部分体だから、x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F) のどちらなのかが分かる。だから、上の
>さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」 → 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える
>∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
と同様なことがいえて、Bと同様な命題が成り立つための1つの十分条件が分かる。スレ主のいう
>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
という問題は、超越数や代数的数の定義から、任意に与えられかつ10進無現表示された実数xの超越性を判定する問題に帰着される。 >>556
>それでもなお、人類はいまだどの一つの超越数さえ、無限小数展開のしっぽを具体的にしらない！
ちなみにこれは半分嘘で、チャンパーノウン数とかいう超越数を10新無限小数展開して表示したときは
規則性というか或る種の法則があって、0.12345678910111213141516… と、小数点以下の桁の数字は、
有限個の数字を用いて10進表示された1以上の自然数 1, 2, 3, … が小数点第一位以下から順番に、
単調増加するように並んでいる。 >>566
>>583の
>K(r_n) の元の無限列 k'_1(r_n), …, k'_m(r_n), … ( K'_1(r_n)∈K(r_n), ∀i∈N＼{0})
の「( K'_1(r_n)∈K(r_n), ∀i∈N＼{0}) 」の部分は「( K'_i(r_n)∈K(r_n), ∀i∈N＼{0}) 」に訂正。
そして、>>584の
>x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F) のどちらなのかが分かる。
の「x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F)」の部分は
「x∈K∩F⊂R (xがK上代数的) か x∈R＼(K∩F) (xがK上超越的)」に訂正。
まあ、もう寝るから、もし訂正箇所があったら、明日以降。あとの見直しは明日。
もっとも、スレ主には、自分で訂正して読んでもらうのが一番いいんだが。 たとえ、しろうとでも、読者にわかったつもりになってもらおうと、頑張ってるわけですから。 §15. 既約方程式の根の添加によるガロア群の簡約
§16. 根の有理式の添加によるガロア群の簡約
§15 で、ガロア分解式が体の拡大で分解されれば、それに対応して、ガロア群が部分群で剰余類分割されること、を述べ、§16では逆に、ガロア群の部分群から、ガロア分解式が分解されることを述べている。
両方ないとガロア対応にならない。ところが倉田先生は、§15の方だけでいいようなことを言ってる。倉田先生の見解は不可解です。 >>566
>>586で行った2つの訂正について、
＞そして、>>584の
＞>x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F) のどちらなのかが分かる。
＞の「x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F)」の部分は
＞「x∈K∩F⊂R (xがK上代数的) か x∈R＼(K∩F) (xがK上超越的)」に訂正。
の方の訂正は取り消し。そして、この訂正すべき部分は改めて
＞そして、>>584の
＞>x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F) のどちらなのかが分かる。
＞の「x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F)」の部分は
＞1)：K≠Q Qは有理数体Q のとき、「x∈K∩F⊂R (xがK上代数的) か x∈R＼(K∩F) (xがK上超越的)」に訂正する。
＞2)：K＝Q のとき、K∩F＝Q となるから「x∈Q⊂R (xが有理数) か x∈R＼Q⊂R (xが無理数)」に訂正する。
とする。あと、>>584の最後の行の「超越数や代数的数の定義から、」の部分は取り消し。 ガロアを読む、に書いてある証明は不自然ですね。ガロアの群に関す知識がどのようなものだったか、そこをもっとまとめるべきだった。
例えば、X+YZ のような多項式をガロアの方法で分析することから初めるべきです。 >>566
>>584を書き直すと次のようになる。
>さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」→ 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える
>∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
>
>つまり、命題Aで、超越数や代数的数という情報を与えたから、命題Bが言えたのだ
>（ここが、ヴィタリ集合論と類似の議論（有理数、無理数という情報を与えてヴィタリ集合の存在を導く）だ)
>
>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
>εはいくらでも小さく取れるから、頭からしっぽに近い部分まで、いくらでも一致させることはできる
>
>それで、命題Bが言えるには、具体的にどういう情報が必要なのだろうか？
>（そこをすっきり理論的に解明できれば、論文が一つ書けるだろう ） そこを時枝記事はスルーしているのだよ
について。標数を0として考える。有理数体をQで表す。10進無限小数展開された実数を任意に取り、xとする。
任意に、実数体Rの完全不連結な部分体K(Kは、例えば Q(e) eはネイピア数 などのような或るRの部分体の超越拡大体
でもいい)を取る。 >>566
(>>591の続き)
そうすると、
1)：K≠Q のときは、実数xがK上代数的か超越的かどちらなのか、が分かればいい。
実数xについて或る体K上代数的か超越的かのどちらなのかが分からないなら、これが分かればいい。
そのことが分かれば、あとは、複素数体C上ではKの代数的閉包Fが存在し、K∩F はRの部分体であって、
かつQに対するRにおいての体の拡大 F/K の中間体だから、Q⊂K∩F⊂R、R＼(K∩F)⊂R＼Q から
x∈K∩F⊂R (xがK上代数的) か x∈R＼(K∩F) (xがK上超越的) のどちらかが分かる。なのだから、上の
>さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」 → 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に
>属さない」 が言える ∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
と同様なことがいえて、Bと同様な命題が成り立つための1つの十分条件が分かる。
ここで改めて、K∩F はQに対するRにおける体の拡大 R/Q の中間体で、Q⊂K∩F⊂R、R＼(K∩F)⊂R＼Q なることに注意する。
2)：K＝Q のとき、K∩F＝Q だから「x∈Q⊂R (xが有理数) か x∈R＼Q⊂R (xが無理数)」が分かればいい。 >>566
(>>582の続き)
1)、2)から、結局、上のスレ主のいう
>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
という問題は、段階的に次の(1)〜(5)を考えていく問題に帰着される。
(1)：任意に与えられかつ10進無現表示された実数xの無理性を判定する問題に帰着される。
(2)：次に、もし、xが無理数であれば、xの超越性の判定の問題に帰着される。
(3)：更に、xが超越数であれば、K＝Q∩F FはQの代数的閉包 とすると、KはQに対するRにおける
体の拡大 R/Q の中間体で、Q⊂K⊂R となる。その上、K(x) はRにおける超越拡大体で、
x∈K(x)⊂R となるから、K(x) 上での代数的独立な実数の存在性の問題に帰着される。 >>566
(>>593の「(>>582の続き)」は「(>>592の続き)」の続きに訂正)
(>>593の続き)
(4)：x∈K(x) (Kは(3)と同じ) に対して K(x) 上代数的独立な実数x'が存在するときは、
K(x, x') はx'のRの中での K(x) の超越拡大体で x∈K(x, x')⊂R となるから、
Rにおいて同様に K(x, x') 上代数的独立性な実数の存在性の問題や
Rにおける超越拡大体の構成の問題を考えることにより、xが属するような
Rにおける超越拡大体をRの中で帰納的にどこまでRの中で拡大して構成出来るか、
という問題に帰着される。
(5)：あとは(4)と同様な問題になって、(4)と同様な問題をどこまでつまり何回帰納的に
繰り返して考えるられるかという問題か、或いはあり得ないことだとは思うが
どこかで(4)(か(3))と同様なことが出来なくなることを示す問題になる。
こんな感じだろうな。まあ、Rにおける完全不連結な位相体K (Kは(3)と同様) からはじめ、
デデキント切断と同様な操作を帰納的に繰り返して行くと、RにおけるKの超越拡大体は
無限回Rの中で体の拡大の操作を繰り返してRにおける完全不連結な位相体の列
K, K(x, x', …), … を構成出来るから、どこかで打ち切らないと意味がなくなる問題だな。 >>566
>>593の(1)の「10進無現表示された実数x」の部分は「10進無現小数表示された実数x」
と訂正。
まあ、10進無現小数表示された実数xが、どのような R＼Q やRにおける完全不連結な位相体
としてのQの超越拡大体(或いはQの代数拡大体AとQの差集合A＼Q)に属するのかによって、
xの小数点第一位以下にどのような数字が現れるかということについての法則性は違う筈だ。
これは>>592の1)から大体すぐ見当が付く。xが代数的無理数のときは>>593の
K＝Q∩F FはQの代数的閉包 とQの差集合 K＼Q∋x についても考えることになるな。
スレ主のいう命題Bについての1つの十分条件は大体分かったわな。
じゃ、おっちゃん寝る。今度の訂正は明日以降。 >>566
おっちゃんです。
実数xが10進無現小数表示されたときだけのスレ主のいう命題Bと同様な命題が成り立つ
十分条件を求めるだけなら、>>593-594の(2)〜(5)、及び>>595で書いた
「まあ、…(略)…」以降の部分は不要で、単純に>>593-595の部分は
＞1)、2)から、結局、上のスレ主のいう
＞>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
＞という問題は、(1)のようなことを考えるだけでよく、
＞任意に与えられかつ10進無現小数表示された実数xの無理性を判定する問題に帰着される。
と整理して書ける。
問題は、有限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表されるような
無限小数表示された実数xや、或いは可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて
表されるような無限小数表示された実数yに対して、スレ主のいう問題と同様な問題を考えた
ときにどうなるかということだな。有限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表されるような
無限小数表示された実数xについての場合は、xを10進無限小数表示することが出来るから、
やはりxが10進無現小数表示されたときと同様に、xの無理性の判定の問題に帰着される。
可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表されるような無限小数表示された実数yに対して、
スレ主のいう問題と同様な問題を考えたときはどうなるかは正確には知らん。
こういうのを考えるときは、>>593-594の(2)〜(5)、及び>>595で書いた「まあ、…(略)…」以降
の部分のようなことを考えるようなことになるんだろうな。 >>566
(>>599の続き)
まあ、可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされる実数は、
次のようにして構成的に示せ、その存在性は保証される。
[第１段]：第n項が a_n＝b_n−1 と表わせて a_n≦n を満たすような
非負の実数列 {a_n} と、非有界で単調増加な1以上の実数列 {b_n} を構成する。
整数部分を表わす数字代わりの記号 c_0 を {a_n} の項を任意に用いて表わすことからはじめ、
各 k＝1,2,… に対して、小数点以下、小数点第k位を表わす数字代わりの記号 c_k を、
c_k＝a_{k+1} と a_{k+1} を用いて c_1＝a_2, c_2＝a_3, … と帰納的に可算無限回表わして行く。
そして、{a_n} の項の部分列 c_0, c_1, c_2, … つまり c_0, a_2, a_3, … を構成する。
[第２段]：c_0, a_2, a_3, … を用いて無限小数表示された実数を c_0.c_1c_2…c_k… と表わして
構成し y＝c_0.c_1c_2…c_k… とおく。そして、yが実数になることを確認する。
yが実数なることの確認作業は、次のようにする。
k, n を n＞k を満たすような2以上の自然数変数とする。k≧2 のとき 0＜a_1≦1 で、
c_1/(n^1)＝a_2/n であり、c_k/(n^k)＝a_{k+1}/(n^k)≦(k＋1)/ (n^k) だから、
y−c_0＝0.c_1c_2…c_k… ( 右辺は上で構成したyから c_0 を引いたときの表示 )
＝Σ_{k＝1,…,+∞}( c_k/(n^k) )＝Σ_{k＝1,…,+∞}( a_{k+1}/(n^k) )
＝a_2/n＋Σ_{k＝2,…,+∞}( a_{k+1}/n^k )
≦a_2/n＋Σ_{k＝2,…,+∞}( (k＋1)/n^k )
≦a_2/n＋Σ_{k＝2,…,+∞}( 1/n^{k-1} ) ( ∵ n≧k＋1 )
＝a_2/n＋Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^k )
＝a_2/n＋(1/n)・Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^{k-1} )＝a_2/n＋(1/n)・( 1/(1−1/n) )
＝a_2/n＋1/(n−1)、
従って、k→+∞ とすると n→+∞ となり a_2/n＋1/(n−1)→+0 となるから、y−c_0≦0。
そして、yの構成に注意すると、y−c_0≧0。従って、y−c_0＝0 から y＝c_0 となり、
c_0 が可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされた実数になる。 >>566
>>600の
> ……(略)……
> ＝a_2/n＋Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^k )
> ＝a_2/n＋(1/n)・Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^{k-1} )＝a_2/n＋(1/n)・( 1/(1−1/n) )
> ＝a_2/n＋1/(n−1)、
>従って、k→+∞ とすると n→+∞ となり a_2/n＋1/(n−1)→+0 となるから、y−c_0≦0。
>そして、yの構成に注意すると、y−c_0≧0。従って、y−c_0＝0 から y＝c_0 となり、
>c_0 が可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされた実数になる。
の部分には計算間違いがあって、「＝a_2/n＋Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^k )」以降の部分を
> ……(略)……
> ＝a_2/n＋Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^k )
> ＝a_2/n＋( 1/(1−1/n) )
> ＝a_2/n＋n/(n−1)、
>従って、k→+∞ とすると n→+∞ となり a_2/n＋n/(n−1)→「+1」 となるから、y−c_0≦「1」。
>そして、yの構成に注意すると、y−c_0≧「1」。従って、y−c_0＝「1」 から y＝「c_0＋1」 となり、
>「y＝c_0＋1」 が可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされた実数になる。
に訂正。 >>566
>>600の第1行の
>可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされる実数
は
>可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて
>「10進無限小数表示などと同様に、可算無限進表示して」表わされる実数
と訂正。そして、
>[第２段]：c_0, a_2, a_3, … を用いて無限小数表示された実数を c_0.c_1c_2…c_k… と表わして
>構成し y＝c_0.c_1c_2…c_k… とおく。そして、yが実数になることを確認する。
>yが実数なることの確認作業は、次のようにする。
の部分は
>[第２段]：c_0, a_2, a_3, … を用いて「可算無限進小数表示された」実数を c_0.c_1c_2…c_k… と表わして
>構成し y＝c_0.c_1c_2…c_k… とおく。そして、yが「可算無限進小数表示された」実数になることを確認する。
>yが「可算無限進小数表示された」実数なることの確認作業は、次のようにする。
と訂正。そして、>>601で行った訂正後の
＞>「y＝c_0＋1」 が可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされた実数になる。
の部分は
＞>「y＝c_0＋1」 が可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて
＞「可算無限進小数表示して」表わされた実数になる。
に再び訂正。まあ、>>600-601は可算無限進小数表示された実数の話だな。
ちなみに、>>599の後半での実数yも
>可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表されるような「可算無限進小数表示された」実数
として考えている。 >>566
実数yについての「可算無限進小数表示」の定義は、
yに対して可算無限個の数字やその代わりとなる記号 a_0, a_1, a_2, …, a_n, …
が定まり、記号列 a_0, a_1, a_2, …, a_n, … を用いて、
y＝lim_{n→+∞}(lim_{k→+∞}[Σ_{j＝0,1,2,…,k}(a_j/n^j)])
と表わせることと定義する。
nが有限な数字10に等しいときは、yに対して、高々11個の数字やその代わりとなる記号
0, 1, 2, …, 9, a_0 (a_0 はyの整数部分) により構成される
数字やその代わりとなる記号の列 a_0, a_1, a_2, …, a_n, … が定まり、
記号(数字)の列 a_0, a_1, a_2, …, a_k, … を用いて
y＝lim_{k→+∞}[Σ_{j＝0,1,2,…,k}(a_k/10^k)] と表せるから、
実数の10進無限小数表示に似た定義になる。 他になにか言いたいことはありますか？
他になにか訂正したいことはありますか？ >>575
>＞仮定が現実離れしていては意味がない
まず、再度強調しておくが
１．もともとは、箱には任意の実数を入れる。つまり１つの箱に連続無限大の自由度があるのだ。
２．対して、いまは、箱に０〜９の極簡単なミニモデルを考えている。
３．０〜９の数を箱に入れる極簡単なミニモデルでも、可算無限数列のしっぽは、現代数学では扱えない。
４．まして、任意の実数が箱に入る場合においておや。 >>605 つづき
で、例えば、話は変わるが、仮に、下記”超越数かどうかが未解決の例”「e+π、e-πが有理数であるのか無理数であるのか証明されていない」を認めるとしよう
また、十進法で、下記”有理数”で「有限小数または循環小数のいずれかとなる」ことも認めよう。
もし、０が続くことを循環小数に含めるなら（1/3=0.333・・・の類似）、循環小数かどうかを見極めることができるなら、有理数であるのか無理数であるのか見分けることが可能だということだ
つまり、実数を無限小数に展開したときに、そのしっぽを見れば、循環小数かどうかを見極めることができ、有理数か否か判定可能
ところが、「e+π、e-πが有理数であるのか無理数であるのか証明されていない」のだから、現代数学は、いまだe+π、e-πの少数展開のしっぽが循環小数かどうかを見極める方法を持たないということだ
これは、>>575 時枝解法での可算無限のしっぽの見分け>>114が、箱に０〜９の極簡単なミニモデルでさえも、現代数学では不可という例示だ
つまり、e+πの少数展開からなる十進法の数の各位取りの数から成る数列を考えたとき、現代数学では実数しっぽの見分け（有理数か無理数か）ができない
（もし実数しっぽの見分けができるから、循環小数かどうかすぐ分かるはず）
もちろん、いずれ時代が進んで、不可能が可能になることもあるだろう
（例えば、e+π、e-πが超越数であることが証明されるとか）
現時点では、実数しっぽの見分け不可レベルの現代数学では、時枝解法は絵に描いた餅にすぎない
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数かどうかが未解決の例
e+π、e-π
などの円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理数
十進法などの位取り記数法を用いて小数表示した場合、どの有理数も位取りの基数のとり方に関わらず有限小数または循環小数のいずれかとなる（もちろん、ある基数で表示したとき有限小数となる有理数が、別の基数では循環小数となったりすること、あるいはその逆になることはある）。同様に、有理数は必ず有限正則連分数展開を持つ。 >>599-603
どうも。スレ主です。
おっちゃんの覚醒も期待できそうやね。もうすぐかな？
正直、おっちゃんがいま書いている>>599などの趣旨がいまいち理解できていないが（＾＾；
おっちゃんの努力は素晴らしいと思うよ
もうすぐ意見が一致しそうな
予感（＾＾； >>606 つづき
１．箱に０〜９の極簡単なミニモデルで、数列a0,a1,a2,a3,・・・・,an,・・・を考える
２．これに対応して、関数sn(x)=a0+a1/x+a2/x^2+a3/x^3+・・・・+an/x^n+・・・ を考える
３．x=10とすると、sn(10)=a0+a1/10+a2/10^2+a3/10^3+・・・・+an/10^n+・・・ という無限小数が対応する
４．sn(10)=a0+a1/10+a2/10^2+a3/10^3+・・・・+an/10^n+・・・ は、区間[0,10)の実数を表現していると見ることが出来る
そして、sn(10)は十進法によるコーシー列を形成し、級数は収束する
５．一方、数列a0,a1,a2,a3,・・・・,an,・・・ には収束という概念はないし、ヒルベルト空間ではない
∵ ３，４項では、”an/10^n”としているので、指数関数的にこの項は小さくなる。対して、anそのものは小さくならない
つまり、無限小数展開の各少数の位は、”an/10^n”として、指数関数的にこの項は小さくされているということを強調したのだ
６．なので、ヒルベルト空間外の時枝の数列a0,a1,a2,a3,・・・・,an,・・・のしっぽによる同値類は可能としても、決定番号にきちんとした意味づけが出来るかどうか？ >>606
> 有理数か否か判定可能
壮大な論点ずらし乙 >>608 つづき
さらに、箱に０〜９で有限数列 a0,a1,a2,a3,・・・・,anを考えてみよう
１．逆に、数列の頭での同値類を考えよう。>>114の２項にならって、推移律をチェックすることは容易だ
２．決定番号は、類別の同値類の代表元Ad=(a0,a1,a2,a3,・・am,・・,an)と、その類の任意の元A'=(a0,a'1,a'2,a'3,・・a'm,・・,a'n) との比較で、
(a0,a1,a2,a3,・・am)と(a0,a'1,a'2,a'3,・・a'm)とが一致するとき（当然これ（a'm）以降は不一致）に、決定番号をmとする
３．決定番号mの確率分布を考えると、m=1の確率が一番高く、m=1の場合の数は、10^n-10^(n-1)
（説明：10^nは、a1からanまでの順列の場合の数で、10^(n-1) は、a2からanまでの順列の場合の数で、決定番号2以上の順列の場合の数を除いている）
４．同様に、決定番号m=xの場合の数は、10^(n+1-x)-10^(n-x)
５．同値類の集合の濃度は、A'=(a0,a'1,a'2,a'3,・・a'm,・・,a'n) の順列全てであるから、10^n
６．これから分かることは、決定番号m=xの場合の確率Px＝(10^(n+1-x)-10^(n-x) )/10^n＝10^(1-x)-10^(-x)＝9*10^(-x)。
７．つまり、xが大きくなると、Pxは指数関数的に小さくなる。つまり、すその軽い確率分布になる。（大数の法則や中心極限定理が成立）
つづく >>610 つづき
逆に、同じように、箱に０〜９の有限数列 a0,a1,a2,a3,・・・・,anで、しっぽの同値類を考えると
上記の全く逆で、前後を逆転させた議論になる
そうすると、xが大きくなると、Pxは指数関数的に大きくなる。つまり、すそが超重い確率分布になる。（大数の法則や中心極限定理が不成立）
ここで、n→∞の極限を考えると
上記の頭での同値類を考えた場合には、まだ数学的な取り扱いはできるだろう（すそは、ゼロになるから）
しかし、しっぽの同値類では、すそが超重い確率分布で、発散してしまうから、数学的な取り扱いは困難
ここで、いまの場合は、箱に０〜９の極簡単なミニモデルだったことを思い出そう
もともとは、箱には任意の実数を入れる。つまり１つの箱に連続無限大の自由度があるモデルだ
箱に０〜９の極簡単なミニモデルでさえ扱いかねるのに、まして箱に任意の実数を入れる場合においておや
要は、決定番号の確率分布を考えても、上記のように決定番号で確率99/100>>115は言えないだろう >>585
>ちなみにこれは半分嘘で、チャンパーノウン数とかいう超越数を10新無限小数展開して表示したときは
>規則性というか或る種の法則があって、0.12345678910111213141516… と、小数点以下の桁の数字は、
>有限個の数字を用いて10進表示された1以上の自然数 1, 2, 3, … が小数点第一位以下から順番に、
>単調増加するように並んでいる。
ここだけ
これだけでは、チャンパーノウン数の可算無限のしっぽをつかまえたとは言えないだろう
つまり、単に有限からの類推を示したにすぎない（結局実際には可算無限を直接見ていないのだ）
上記のレベル（単に有限からの類推を示した）でよければ、下記eの 1/n!の 数列和の方がシンプルですっきりしていないか？
両者とも、可算無限のしっぽは、霧の彼方で見えないが・・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0
ネイピア数
(抜粋)
自然対数の底である。記号として通常は e が用いられる。その値は
e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …
と続く超越数である。ネピアの定数、ネピア数とも呼ばれる。
e=1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・+1/n!+・・・
(引用終り) >>609
e =1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・+1/n!+・・・
π=1-1/3+1/5-1/7+・・・=Σn=0-∞(1/(2n+1))*(-1)^n （ライプニッツの公式） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
e、πとも収束する
両者を表現する公式も分かっている
だけど、e＋πのしっぽが分からん
循環小数になるか否かがわからん
が、e＋πの無限小数展開から、時枝数列 a0,a1,a2,a3,・・・・,an,・・・は構成可能だ
どうぞ、しっぽの類別お願いします。完全でなくとも、「しっぽがある周期をもって巡回するか否か」だけの判定でも可だよ。どうぞ！！（＾＾；
再度強調しておくが、無限小数展開モデルは、箱に０〜９の極簡単なミニモデルにすぎない>>605 ！！
e、πとも、古くから人類には良く分かっている代表的な超越数だ。でも、しっぽが分からん。e＋πが循環小数になるか否かがわからん
似た例で、オイラー常数γがある。公式は分かっている。でも、しっぽが分からん。循環小数になるか否かがわからん
それが、現代数学のいまのレベルだろ？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0
オイラーの定数
(抜粋)
この値は、およそ0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...である。
オイラーの定数は超越数であろうと予想されているが、無理数であるかどうかさえ分かっていない。
(引用終り) >>605つづき
ところで
＜数学は、同値を定義し、推移律を確認すれば終わりなのか？＞
１．同値を定義し、推移律を確認したところから、数学が始まるのでは？
２．例えば、下記サーストンによる幾何化予想、コンパクト3次元多様体の8つの部分多様体による分類。これはまさに上記の例では？
（同値を定義し、推移律を確認したところから、数学が始まる）
３．だから、>>114の”同値を定義し、推移律を確認すれば終わり”という書き方は、有限を扱うならまだしも、可算無限を扱うには、あまりにも粗雑だろう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%8C%96%E4%BA%88%E6%83%B3
(抜粋)
幾何化予想（きかかよそう、Geometrization conjecture）は、1982年にアメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって提出された「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」という命題。
位相幾何学と微分幾何学を結びつけるものでありミレニアム懸賞問題にも挙げられていたポアンカレの予想問題の解法の過程として思いつかれた。
2003年、グリゴリー・ペレルマンによるリッチフローを用いた証明が示され、現在ではその証明が基本的に正しいものとされている。これにより、およそ100年にわたり未解決だった3次元ポアンカレ予想が証明されることになった。
(引用終り) >>608 つづき
ヒルベルト空間について
吉田 伸生先生いいね
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/index_j.html
吉田 伸生 名古屋大学大学院多元数理科学研究科
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/tch_web/index_j.html
吉田伸生★ 教育活動:
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/tch_web/fana/10/index_j.html
2010年度 関数解析学 担当教員： 吉田伸生
講義ノート
(授業で述べる以外の内容も含む．公開後も加筆・修正することがある． 各節の最終更新日は冒頭部分に表示．)
序
具体例からの準備 http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_1.pdf
バナッハ空間とヒルベルト空間 http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_2.pdf
ヒルベルト空間続論 http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_3.pdf
有界作用素
閉作用素
リゾルベントとスペクトル
共役作用素(ヒルベルト空間の場合)
ハーン・バナッハの拡張定理とその応用
ベールのカテゴリー定理とその応用
補足 >>615 つづき
>>579-580 そうL^2数列空間（ヒルベルト空間）なんだ
で
＜なぜヒルベルト空間なのか？＞
１．これがよく纏まっている
http://d.hatena.ne.jp/Zellij/20120521/p1 ヒルベルト空間 - 大人になってからの再学習: 2012-05-21 [物理数学]ヒルベルト空間
(抜粋)
物理学で参考になる「物理のかぎしっぽ」のサイトでも、簡潔に言うと次のような説明のされ方をしている。
ヒルベルト空間とは内積を定義したベクトル空間
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/InnerdotSpace/
ところで、WolframAlphaで検索してみたら、次のような説明があった。
A vector space that has a complete inner product. Hilbert spaces are important in the study of infinite-dimensional vector spaces.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Hilbert+space
これは「物理のかぎしっぽ」同様、「内積を定義したベクトル空間」ということだ。シンプルで明快。
ちなみに、内積が計算できるということは、自分自身との内積の平方根から距離（ノルム）を定義でき、角度も扱えるということで、一般的な幾何学の概念を扱える。ということに他ならない。
(引用終り)
２．ヒルベルト空間での数列では、級数(数列の和)が収束する（有限）ことを要求することで、数列を容易に扱うことができるようにしてあると
逆に言えば、ヒルベルト空間外での数列では、級数(数列の和)が必ずしも収束しない（有限でない）から、数列を容易に扱うことはできないと
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
(抜粋)
複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) で級数
n = 1 -∞ | zn | ^2
が収束するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す数列空間を L^2 で表す。
空間 L^2 の完備性は「L^2 の元からなる級数が（ノルムの意味で）絶対収束するならば必ず、その級数が L^2 の何らかの元に収束する」ことを示せば言える。このことの証明は解析学の初歩であり、この空間の元からなる級数は複素数（あるいは有限次元ベクトル空間のベクトル）からなる級数と同程度容易に扱うことができる[5]。
(引用終り) >>616 つづき
吉田 伸生先生のテキストの歴史の記述が良いね
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_2.pdf
バナッハ空間とヒルベルト空間
(抜粋)
2.3 バナッハ空間とヒルベルト空間
有限次元空間Kd で点列の収束を考えるとき, 完備性(任意のコーシー列が収束すること) が役立つことが少なくない. 例えば, 「絶対収束級数が収束する」という命題は完備性と等価である.
実は, こうした事情は無限次元のノルム空間にも共通している. そこで, 有限次元空間での概念の自然な拡張として完備性を定義し, 完備なノルム空間, 内積空間をそれぞれバナッハ空間, ヒルベルト空間と呼ぶことにする(詳細は定義2.3.1).
今日、バナッハ空間と呼ばれる完備なノルム空間の概念は、1920 年から1922 年にかけて、N. ウィナー, S. バナッハ, E. ヘリー達が独立に導入した^17。
ヒルベルト空間の具体例(主にL^2(N)) はD. ヒルベルトやE. シュミット達が20 世紀初頭から調べていたが, 抽象的な公理はJ. フォンノイマンによる^18(1929 年).
17Norbert Wiener(1894-1964), Stefan Banach(1892-1945), Eduard Helly(1884-1943)
18Johann von Neumann (1903-57)
(引用終り)
なお
”2.4 有限次元ノルム空間
関数解析の俎上にのせるノルム空間はほとんどが無限次元であり, 今我々は本格的に無限次元へ旅立とうとしている. だが, ここで少し立ち止まり有限次元の特性について考えてみよう. この考察は,
逆に無限次元とはどんなものか？
を垣間見ることでもある.”
も、ご注目だ >>617 つづき
吉田 伸生先生つづき
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_3.pdf
3 ヒルベルト空間続論
(抜粋)
”無限次元内積空間で(3.3) の成立は無条件でない. まず(3.3) の成立にはM が閉部分空間であることが必要(補題3.1.2 参照). また(3.3) が任意の閉線型部分空間M に対して成立するにはX がヒルベルト空間であることが必要十分.
ここでは, 次の二つの場合に(3.3) の証明を目標とする(命題3.1.5)：
a) X が内積空間, dimM < ∞;
b) X がヒルベルト空間, M が閉線型部分空間.
これらは, 後にリースの表現定理(定理4.3.4) で重要な役割を果たす.”
(引用終り)
は、ヒルベルト空間の重要性を示す記述として、示唆的だろう。 >>618 つづき
で (連番は＜なぜヒルベルト空間なのか？＞>>616のつづき)
３．時枝解法のようなヒルベルト空間外での数列を扱う理論は？ 良くしらない。全くないわけではないのだろうが・・・、ヒルベルト空間ほどの理論整備が行われているとは思えない
４．ところで、時枝解法は、あきらかに、級数の収束は要求していない。だから、ヒルベルト空間外での数列を扱うのだ。だが、どうやって？
ヒルベルト空間外での数列のしっぽ？ 同値類？ 決定番号？ そんな理論あるのか？ あるなら教えて・・（＾＾； >>604
>>600-602の議論が自然数変数 k≧2 の値を固定せずに上から評価したり、
y-c_0 の下からの評価が抜けていたりして杜撰だった。
しかし、そもそも、スレ主のいう問題に答える「だけを考える」場合は、
可算無限進小数展開なる概念が無意味だった。
>>583で述べたような一様分布の問題や正規数「だけ」を扱ったり考える
にあたっては、可算無限進小数展開なる概念は必要ない。
もし意味が生じたら、有理数体Qが実数体Rの商体で
Rの最小の部分体なることに反し矛盾が生じる。
この場合は、>>591-593の(1)までや、>>599の前半のxの無理性の判定
に帰着されることの議論だけで済む。 形式的冪級数は、ヒルベルト空間の外かな？（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
(抜粋)
数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series）とは、多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（X を不定元として）
(n = 0 - ∞) X n = 1 + X + X^ 2 + X^ 3 + ? + X^ n + ・・・
は（多項式ではない）冪級数である。
(引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
In mathematics, a formal power series is a generalization of a polynomial, where the number of terms is allowed to be infinite; this implies giving up the possibility of replacing the variable in the polynomial with an arbitrary number. >>621 形式的冪級数 関連 引用
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1462577773/125
125 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2016/05/15(日) 07:50:16.70 ID:2TKPQHsX
>>93 自己レス
”時枝の箱の列←→形式的冪級数の集合R[[x]]”と書いたけど
下記、落合理先生は、「係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.」という
「時枝の箱の列←→形式的冪級数 という全単射対応は、認めるとしよう」と書いたけど、間違いかな。ここ突っ込んでくる人いなかったけど（＾＾；
K[[X]] が”次元は非可算無限”という理由は、テイラー展開の二項定理 (1+x)^α （αは任意の実数 または複素数）で、これが形式的冪級数に展開できるからだろう
しかし、全単射可能だと、ベクトル空間の次元は一致しないといけない。だから全単射ではない？ はて
メモしておきます
ともかく、時枝先生のなぞかけは、けっこう深いね
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/
数学考究２ 確認小テスト解説(10-8) 落合理 大阪大学 20151008
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/kakunin_short_exam151008.pdf
確認小テスト問題(10/8)
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/kaitou_short_exam151008.pdf
確認小テスト解説(10/8)
Q.[3] 次のベクトル空間V に対して, 基底を具体的に記せ.
(4) K 係数の1 変数多項式環K[X].
A.[3](4)
例えば, 1,X,X^2, ． ． ． ,X^n, ． ． ． が基底となる.
発展的コメント
若干の注意を与えておく. 教科書の定理1.6.7 によって勝手なK ベクトル空間は基底を持つことが知られている.
しかしながら, V が無限次元のときには与えられたベクトル空間に(4) のようにわかりやすい基底がとれるとは限らない.
例えば, K[X] の代わりに係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.
（引用おわり）
以下略 >>622 補足
落合理先生は、形式的冪級数で、”係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.”
とあるから、ヒルベルト空間の外なんだろうね
が、「次元は非可算無限である」の理屈がわからん・・（＾＾； >>623 ついでに
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/kyouiku.html
教育活動およびその他の仕事 落合理 大阪大学
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/olympic2010.pdf
「数学オリンピック財団主催JMO夏季セミナー」 でのレクチャートーク (180分)(2010/8/26) (木)
「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」
講演ノートのPDFファイル （実際の講義では 本ノートの６割ほどの内容しか話せず, 複素数の部分, 素数定理, ゼータ関数の部分の後半や レムニスケート関数の部分はカットせざるを得なかった）
(抜粋)
1.4. 超越数.
先にみたように「ほとんどの」数は超越数である. 広い海岸に果てしなく敷き詰められた砂の一粒一粒を数に例えるとその一粒（数）を何の作為もなく勝手につまみあげたならば,
その数はたいてい超越数でなければならない. が, 一方で, 実際に数が与えられたときに,その数が超越数であるかを判定するのは簡単ではない.
軽く脱線して, [Kd] の中に採録された小平邦彦氏が定年間近で書いた「数学に王道なし」という文章を引用すると,
「筆者は中学の時からπ が無理数であることをよく理解していたが最近までその証明を知らなかった. . . 不思議なことに最近I.Niven によるその（無理数性の）証明を読んだ時それによってπ が無理数であるという事実に対する理解が一段と深くなったとは感じなかった
. . . 証明はただπ が無理数であるという明白な事実を確かめたに過ぎないと感じた. . .」
というくだりがあって興味深い^10.
10 その前後に小平氏が学習過程で発展的発見をしたエピソードや勉強の仕方も挙げられているので上の言葉だけを引用するのは少し誤解を誘導する危険があるかもしれない.
現代数学の超越数論にはまだまだ限界があり, 超越数であるかそうでないかを判定できない数が沢山ある.
例えば, [S, p 69] によると和e+π は無理数かどうかもわからない. あとで登場するリーマンゼータの奇数点での値のように超越数であると予想されていても何も知られていない数もある.
つづく >>624 つづき
3. 数論的多様体の周期積分
3.1. 周期とは. Kontsevich とZagier の概説論文[KZ] を参考にして周期という概念を導入したい.
問 P の中に入らない実数を与えられるだろうか？
という問もKontsevich-Zagier の論説のなかで提起されている. これに関しては吉永正彦さんの結果[Y] としてひとつの解答が得られている.
吉永さんは, 数学基礎論や計算論の研究でよく知られている次のような複素数の世界の階層構造に着目した.
{ 代数的数} ⊂ { 初等数} ⊂ { 計算可能数} ⊂ { 複素数}.
そしてさらに次の定理を示した.
定理3.4 (吉永). P ⊂ { 初等数} となる.
[Y] にも説明があるように, 初等数でない複素数の例が知られているので, Kontsevich-Zagier の問に対する答えが得られたことになる.
(引用終り) >>623
こんなのが
http://math.sta
ckexch
ange.com/questions/176475/what-is-the-standard-proof-that-dimk-mathbb-n-is-uncountable
linear algebra - What is the standard proof that dim(k^N is uncountable? - Mathematics Stack Exchange: asked Jul 29 '12 at 13:46 Chindea Filip
What is the standard proof that dim(kN)is uncountable?
This is my (silly) proof to a claim on top of p. 54 of Rotman's "Homological algebra".
略
1 Answer answered Jul 29 '12 at 14:29 Asaf Karagila
One liner argument which uses a much more difficult theorems (swatting gnats with cluster bombs kind of proof):
kN is the algebraic dual of the polynomials in one variable, k[x] which has a countable dimension. If kN had a countable basis then k[x] would be isomorphic to its dual, and since this cannot be we conclude that kN has a basis of uncountable size.
The arguments given in Arturo's answer show that the above is indeed a proof (in particular Lemma 2 with κ=?0 ). >>627 再投稿
http://math.stackexchange.com/questions/176475/what-is-the-standard-proof-that-dimk-mathbb-n-is-uncountable
linear algebra - What is the standard proof that dim(k^N is uncountable? - Mathematics Stack Exchange: asked Jul 29 '12 at 13:46 Chindea Filip
What is the standard proof that dim(kN)is uncountable?
This is my (silly) proof to a claim on top of p. 54 of Rotman's "Homological algebra".
略
1 Answer answered Jul 29 '12 at 14:29 Asaf Karagila
One liner argument which uses a much more difficult theorems (swatting gnats with cluster bombs kind of proof):
kN is the algebraic dual of the polynomials in one variable, k[x] which has a countable dimension. If kN had a countable basis then k[x] would be isomorphic to its dual, and since this cannot be we conclude that kN has a basis of uncountable size.
The arguments given in Arturo's answer show that the above is indeed a proof (in particular Lemma 2 with κ=?0 ). なにかこの略のところに、NG原因があるんだね
HTTP 403 エラーメッセージ Forbidden が出て書けなかった
https://ja.wikipedia.org/wiki/HTTP_403 >>628 ついで
http://math.stackexchange.com/questions/86762/finding-a-basis-of-an-infinite-dimensional-vector-space
Finding a basis of an infinite-dimensional vector space? asked Nov 29 '11 at 16:30 InterestedGuest
2 Answers answered Jan 20 '12 at 19:25 Qiaochu Yuan
For many infinite-dimensional vector spaces of interest we don't care about describing a basis anyway; they often come with a topology and we can therefore get a lot out of studying dense subspaces, some of which, again, have easily describable bases.
In Hilbert spaces, for example, we care more about orthonormal bases (which are not Hamel bases in the infinite-dimensional case); these span dense subspaces in a particularly nice way.
4. answered Jan 20 '12 at 19:09 David Wheeler
The "hard case" is essentially equivalent to this one:
Find a basis for the real numbers R over the field of the rational numbers Q.
The reals are obviously an extension field of the rationals, so they form a vector space over Q. It should be clear that such a basis has to be uncountable (for if it were countable, the reals would likewise also be countable).
It should also be clear that such a basis is a subset of {1}∪R?Q. The trouble is, that the power set of the reals is "so big" that it's not even clear how to name the sets we need to apply the axiom of choice TO. Linearly independent subsets however, DO satisfy the requirements for Zorn's Lemma, a form of the Axiom of Choice.
A relatively easy-to-follow proof of the existence of a basis for any vector space using Zorn's Lemma can be found here: http://planetmath.org/encyclopedia/EveryVectorSpaceHasABasis.html >>631 ついで
http://math.stackexchange.com/questions/271536/ring-of-formal-power-series-finitely-generated-as-algebra
Ring of formal power series finitely generated as algebra? asked Jan 6 '13 at 13:44 user55354
I'm asked if the ring of formal power series is finitely generated as a K-algebra. Intuition says no, but I don't know where to start. Any hint or suggestion?
2 Answers
Let A be a non-trivial commutative ring. Then A[[x]] is not finitely generated as a A-algebra.
Indeed, observe that A must have a maximal ideal m, so we have a field k=A/m, and if k[[x]] is not finitely-generated as a k-algebra, then A[[x]] cannot be finitely-generated as an A-algebra. So it suffices to prove that k[[x]] is not finitely generated.
Now, it is a straightforward matter to show that the polynomial ring k[x1,…,xn] has a countably infinite basis as a k-vector space, so any finitely-generated k-algebra must have an at most countable basis as a k -vector space.
However, k[[x]] has an uncountable basis as a k-vector space. Observe that k[[x]] is obviously isomorphic to kN, the space of all N-indexed sequences of elements of k, as k-vector spaces. But it is well-known that kN is of uncountable dimension: see here, for example. Arturoの回答が、詳しいが
あまり理解できない
和文落ちてないかな（＾＾；
http://math.stackexchange.com/questions/58548/why-are-vector-spaces-not-isomorphic-to-their-duals/58598#58598
Why are vector spaces not isomorphic to their duals?
asked Aug 19 '11 at 19:04 Asaf Karagila
3 Answers edited May 1 '15 at 10:55 community wiki 9 revs, 4 users 99% Arturo Magidin
This is just Bill Dubuque's sci.math proof (see Google Groups or MathForum) mentioned in the comments, expanded.
Edit. I'm also reorganizing this so that it flows a bit better.
略 >>633 追加
正直わからん
http://math.stackexchange.com/questions/58548/why-are-vec tor-spaces-not-isomorphic-to-their-duals/58598#58598
8. answered Aug 19 '11 at 21:07 MartianInvader
(抜粋)
And a finite linear combination of things that have finite-dimensional support will still have finite-dimensional support, and thus can't send infinitely many independent vect ors all to 1.
What you need is a notion of convergence if you want to add infinitely many things, which isn't always obvious how to define.
In the end, it boils down to a cardinality issue - not of the vect or spaces themselves, but of the dimensions. In the example you give, R＾<ω has countably infinite dimension, but the dimension of its dual is uncountable. >>633
和文の証明がないが・・・（＾＾；
下記教えて！gooの対角線論法で、「R の位相的特徴を抜きにその濃度が可算でないことを示すことは非常に困難だと思われます」に従うと
f(x)=x^α ｜ αは任意の実数で、連続に取れるとする
f(x)をテーラー展開すると、形式的べき級数が得られるから
形式的べき級数→x^α ｜ αは任意の実数で、連続に取れる→次元αは連続の濃度
みたいな筋は浮かぶけど
そんな程度かな？
>>622の落合理先生の数学考究２は、初年度に近いところの講義らしいからね
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/3086010.html
対角線論法 １０進数展開 質問者：gururinbus 質問日時：2007/06/15 03:02 教えて！goo:
No.4 回答者： koko_u_ 回答日時：2007/06/16 10:58
着眼がイイですね。
実数 R は通常、有理数 Q を通常のユークリッド位相 |・| で完備化したものとして定義されるので、その位相が R を特徴付けていると言っても過言ではないでしょう。
そのため、R の位相的特徴を抜きにその濃度が可算でないことを示すことは非常に困難だと思われます。
形式的な 10進表記を定式化するならば、羃級数の環 S = { Σ_{i=i_0〜∞} a_iX^i | a_i ∈ Z } を考えて、位上げは 10X - 1 ∈ S から生成される単項イデアルによる剰余環を考えることになるでしょう。
剰余環 S/(10X-1) の元 f(X) に (1/10) を「代入」すると実数 R の元が得られます
φ: S/(10X-1) -> R
S/(10X-1) にも対角線論法は使えますが、上記の φ を考えるには、やはり R の位相的性質を考えざるを得ません。 >>114 あと、いままで押さえて言ってない話が、計算複雑性理論
「〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.」>>114
は、計算複雑性理論からは現実的実行は無理だよ（実行不可能）
これは、数学的可否の理論よりずれているから、いままで出さなかったが
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E8%A4%87%E9%9B%91%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
計算複雑性理論
計算複雑性理論（けいさんふくざつせいりろん、computational complexity theory）とは、計算機科学における計算理論の一分野であり、アルゴリズムのスケーラビリティや、特定の計算問題の解法の複雑性（計算問題の困難さ）などを数学的に扱う。計算量理論、計算の複雑さの理論、計算複雑度の理論ともいう。
「計算量」と「計算複雑性」はともに computational complexity に対応する語であるが、個々のアルゴリズムの効率に着目する文脈では「計算量」が広く用いられるのに対し、問題に内在する本質的困難さを表す意識からは「複雑性」「複雑さ」が好まれる傾向がある。
概要
計算複雑性理論は計算可能関数の計算の複雑さを扱う。計算理論のもう一つの重要な分野である計算可能性理論では問題の解法があるかどうかだけを扱い、その複雑さや必要とする計算資源量は問わない点が異なる。
具体的には、計算複雑性理論は「あるアルゴリズムへの入力データの長さを増やしたとき、実行時間や必要な記憶量はどのように増えるか？」という問いに答える。これは、計算機の実際的な限界を与えるものであり、この理論は産業や社会にとって重要な意味を持つ。
なぜならば、計算機の性能は向上しているが、解析すべき情報も増加しているため、アルゴリズムが入力データ長の増大にうまく対応できるか否かで、計算機が現実的な問題を解決するのに役に立つか否かが決まるからである。
計算複雑性理論では、計算問題やそれを解くアルゴリズムを、NPやPといった複雑性クラスに分類する。
個々の計算問題を少ない計算資源で解くアルゴリズムを発見することはもちろん計算機科学の重要な課題だが、複雑性理論ではこれにとどまらず、計算問題が何らかの複雑性クラスに属すること、あるいは属しないことを証明したり、クラス間の階層構造を解明することも目標とする。 >>624 追加
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/olympic2010.pdf
「数学オリンピック財団主催JMO夏季セミナー」 でのレクチャートーク (180分)(2010/8/26) (木)
「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」
(抜粋)
複素数の中で, Q :={ 代数的数} は代数的な手法（ガロア理論）で扱える最も広い世界であり, Q の外に少しでもはみ出た世界は全て超越数であり, 通常のガロア理論では統制されない世界である.
次のような互いに相反する２つの事実に注意したい.
注意1.14. (1) Q は(ある意味で) それほど「大きくない」. 濃度をみると|Q| = |Q| である. (実際, 各自然数i でSi をQ 係数のi 次既約多項式の集合のi 個の和集合として, 定理1.8 (3) の応用として示すことができる. もちろん定理1.8 (1), (2) も用いる)
(2) Q は(ある意味で) それなりに「大きい」. Q の体としての対称性をつかさどる群（ガロア群）は非常に豊富かつ複雑な構造をもっている.
ここで数学と言うのは対称性を非常に大事にするとともに対称性を研究対象とする学問であり対称性を記述するのが「群」の言葉である例えば多面体の対称性などは多面体群という種類の群のことばで記述される.
また体の対称性など目には見えない対称性もガロア群で司られている. ガロア理論成立以後の１世紀以上間の様々な整数論の研究の積み重ねによって有理数体上の代数拡大の対称性は以下の問題としても集約されている. そして現代数学の課題Q がもつ対称性の構造を究明したい.
という問題がある. 例えば, 次のような予想は有名である:
予想（ガロアの逆問題）
全ての有限群はQのガロア群の商となるだろう. 同値な言い換えとして, 勝手な有限群
G に対してQ の有限次ガロア拡大K でGal(K/Q)〜=G となるものが存在するだろう.
例1.15. 例えば正４角形（正方形）の対称性をつかさどる群
?σ, τ |σ4 = τ 2 = 1, τστ = σ?1?
に対しては, K = Q( 4√2, i) とすると,
τ : i 7→ ?i, 4√2 7→ 4√2σ : i 7→ i, 4√2 7→ i 4√2
なる変換は加減乗除を保つ体の同型である.
(引用終り) >>612
>つまり、単に有限からの類推を示したにすぎない（結局実際には可算無限を直接見ていないのだ）
おっちゃんです。
可算無限を実無限の世界で直接見ることが出来ると思っていることが間違い。
実無限の世界で可算無限を直接見ることが出来るとする。
平面Cに無限遠点∞を加えることで、リーマン球面 P^1＝C∪{∞} が構成される。
無碍遠点∞から P^1 上の点Pに引いた直線全体の集合をXとする。
無限遠点∞から引いた P^1 上のあらゆる点と交わらない直線との全体の集合をYとする。
S＝X∪Y とする。任意のXの直線と交わりかつYのあらゆる直線と交わらない平面が一意に存在し、
広義の複素平面 C∪{∞} は P^1 で表せる。複素平面 C とユークリッド平面 R^2 は同型で、
無限遠点∞と正の無限大 +∞ の絶対値について、|∞|＝|+∞|＝+∞ である。
従って、平面 C＝P^1＼{∞} から広義の複素平面 P^1 を構成したことと同様にして考えると、
平面 R^2 に対して無限遠点∞にあたる正の無限大 +∞ を点として加えて
広義の複素平面 P^1＝C∪{∞} にあたる広義の平面 R^2∪{+∞} が構成出来る。
広義の平面を P＝R^2∪{+∞} とおく。すると、広義の平面P上では、平面 R^2＝P＼{+∞} 上の
実無限での可算無限にあたる点としての +∞ を直接見られる。そして、広義の複素平面 P^1 上の
無限遠点∞は、平面C上の点0から任意の方向に半直線を引くと、実無限での正の無限大 +∞ にあたる点である。
従って、平面 R^2 上の原点 O(0, 0) から任意の方向に半直線を引いたとき、
可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見ることが出来ることになる。
しかし、Oから半直線を引いたとき、可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見られるのは、
Oからx軸の正方向に半直線を引いたときだけである。これで矛盾が導けた。
幾何的に見て、実無限の世界で可算無限を直接見ることは出来ないことは分かる。 >>612
>>640の訂正：
無碍遠点∞ → 無「限」遠点∞
そして下から行目の「しかし、…(略)…。」の文は、
>しかし、任意の正の実数εに対して ε＜+∞ だから、Oから半直線を引いたとき、…(略)…。
と訂正した方がよいか。
平面 R^2 上で、任意の ε＞0 に対して、(ε, 0) はx軸上の点である。 >>612
>>641の「そして下から行目」の部分は「そして下から3行目」の間違い。
下から3行目の文の話。 >>612
ややこしいから、まとめて>>640を訂正する。>>640の下の方の
>従って、平面 R^2 上の原点 O(0, 0) から任意の方向に半直線を引いたとき、
>可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見ることが出来ることになる。
>しかし、Oから半直線を引いたとき、可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見られるのは、
>Oからx軸の正方向に半直線を引いたときだけである。これで矛盾が導けた。
の部分は
>従って、平面 R^2 上の原点 O(0, 0) から任意の方向に半直線を引いたとき、「広義の平面P上では」
>可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見ることが出来る。
>しかし、任意の正の実数εに対して ε＜+∞ であり、(ε, 0) は座標平面 R^2 のx軸上の点だから、
>Oから半直線を引いたとき、「広義の平面P上で」、可算無限にあたる点としての実無限での
>正の無限大 +∞ を見られるのは、Oからx軸の正方向に半直線を引いたときだけである。
>これで矛盾が導けた。
と訂正。 >>640-642
おっちゃん、どうも。スレ主です。
分かってるじゃんか！（＾＾；
だから、「幾何的に見て、実無限の世界で可算無限を直接見ることは出来ない」にもかかわらず
あたかも、直接見ることは出来るような、時枝記事の可算無限数列のしっぽの同値類
そこは大いに怪しいところだろうよ（＾＾； >>612
>>640で「S＝X∪Y とする。」必要はないか。
じゃ、おっちゃん寝る。 突然ですが
Home page of Yoshinobu Laboratory at ISSP:
吉信研究室 東大
http://yoshinobu.issp.u-tokyo.ac.jp/tsurezure.html
徒然なるままに Jun YOSHINOBU
素粒子の狩人（2009/4/12）
(抜粋)
朝日新聞夕刊のニッポン人脈記は面白い連載記事であり，現在は「素粒子の狩人」というシリーズが続いている．このシリーズは昨年３人の日本人がノーベル物理学賞を受賞したことが下地となっている．
シリーズ第２回目では「イチゴの味？ チョコの味？」と題して，東大・数物連携宇宙研究機構（IPMU）の村山さんにスポットを当てた記事であった．その中に，懐かしい名前を見つけて少々感動した．
京都大学理学部1~2回生で同じクラス（1980年入学のS６）だった大栗博司さん（カリフォルニア工科大学=CALTEC H 教授）がその人である．
当時，京大理学部の入学定員は281人であったが，それは1人の天才＋280人の凡才であり，彼がその一人であるとよく仲間で話をしたものだ．
実際，「彼が物理に行くから」という理由で，３回生からの専門分野を化学や生物にした人が何人かいる．
昨年，京大理で集中講議をしたあと，人文研所属（生命科学研究科兼任）で科学コミュニケーション論・生命倫理が専門の加藤和人准教授の研究室に立ち寄ったときも，その話で盛り上がった（加藤さんもS６だった）．
私がピッツバーグ大学でポスドクをしていた時，大栗さんはすでにシカゴ大学の助教授をされており（一度シカゴを訪ねたときお世話になった），その後，京大数理研，カリフォルニア大バークレー校を経て，現在CALTECHに在籍．
昨年はLeonard Eisenbud Prize for Mathematics and PhysicsおよびHumboldt Research Awardと続けて国際的な賞を受賞された．
大栗さんは東大IPMUの主任研究員でもある．IPMUの建物は柏キャンパスの物性研と宇宙線研の間に現在建設中である． >>645
おっちゃん、ありがとうよ（＾＾；
お疲れです
追伸
おっちゃんも、分かっていると思うが
可算無限の数列のしっぽなんて、「同値から推移律確認！ はいおわり」
それですむ話じゃないだろうと 大栗先生からみ
http://research.kek.jp/people/seto/index-j.html
瀬戸秀紀（せと・ひでき） 高エネルギー加速器研究機構 物質構造科学研究 中性子科学研究系教授・工学博士
http://research.kek.jp/people/seto/road2res1.html
研究者への道
表紙へ
1. 学部生まで
(抜粋)
私が物理学者を志したのは高校生の時だったと思うのだが、きっかけは中学3年生の時だった。同級生から紹介されて読んだ相対性理論に関するブルーバックス。たぶん都筑卓司さんか佐藤文隆さんの本だったのではないだろうか。
もう一つ印象に残っているのが、3回生の時のシッフの「量子力学」を原書で読んだゼミ。同級生同士でやったのだがその中の１人がめちゃくちゃできるやつで、何だかひどい劣等感に呵まれた記憶がある。
その１人、と言うのは大栗博司君で、その後京大の修士課程を出た途端に東大の助手になり、超弦理論の有名人となり若くしてカリフォルニア工科大の教授になった、とのこと。さもありなん、である。
つづく >>648 つづき
また当時遠藤研の助手だった田村剛三郎先生には、物性実験とはどういうものか、その神髄を教えてもらったような気がする。
この課題演習での実験は泥臭く、高校生の頃に想像していたような華々しい「物理学」とは印象を異にするものだったのだが、しかしむしろ私の進路に対する影響は大きかった。
なんせそれまで同級生や先輩と接してきて自分より優秀な人が多いものだなー、と感じていて、当初の志望だった素粒子論や宇宙論なんて無理かも、と思っていた矢先である。自分に向いているのは理論よりも物性実験かも知れない。そんな方向性を決定づけてくれたのが、このＢ１での半年間の経験だった。
そして十分に準備して大学院入試に臨んだものの残念ながら面接で落とされ（今でも覚えているのだが、物一の面接に進んだ19人の中で落とされたのは3人だけだった）、たまたま受けた（確か友達が受ける、と言ったからつきあいで受けたのだったと思う）阪大基礎工への進学、と言う道を選択せざるをえなくなる。
しかし後から考えると、この転換点は私の「研究者への道」にとっては非常に大きなものだったようだ。
阪大基礎工の大学院に進学した理由は、もちろん京大に落ちてそこしか行くところがなかったからなのだが、それよりも院試に落ちた直後に浅井先生に相談に行った時に「あなたは阪大に行きなさい」と言われたのが決定的だった。
浅井先生と他に話をした記憶はほとんど残っていないのだが、この冷たい宣告（と、当時は思った）は非常に印象的で、これを聞いて私は「いずれ京大を見返してやるぞ」と思ったものだった。とは言え「相転移」をメインテーマにしたいと思っていた私にとっては、実は京大理よりも阪大基礎工の方が適していた、と言うのは後から分かったこと。
そう言う意味では、浅井先生の忠告は極めて適切だった、と言わざるをえない。
因みにその浅井研での課題研究でやったこと、と言えば、同級生の川口昭夫君と一緒にエイコサンの結晶を走査電子顕微鏡で見て、その写真を撮っただけだった。
京大理学部の伝統のおかげで卒論を書くこともなく（つまり「研究」の名には値しない）課題研究の単位をもらい、高校の理科教員の資格ももらって、学ぶことの多かった京都の4年間を無事終えて大阪に移ることになった。
(引用終り) お前が言ってるのは
類別可能か不可能かわからない
ってだけだ。俺が言ったのは
類別不可能であることを証明せよ
だ。何故ならお前が
類別可能であるとの仮定は現実離れしている
と言ったからだ
自分の発言に責任を持ちなさい、持てないならお前はただのホラ吹き小僧だ >>647
時枝記事の問題点>>114-115 を、まとめておく
１．そもそも、可算無限の数列のしっぽなんて、「同値から推移律確認！ はいおわり」 それですむ話じゃないだろう
２．コーシー列はヒルベルト空間内だが、時枝記事のR^Nはヒルベルト空間外。ヒルベルト空間外の数列は扱いが難しい。ま、そこらがトリックのネタだろう
３．”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない（絵に描いた餅だ。数列の最初から見て行っては終わらない）
４．決定番号があやしい。特に、決定番号の確率分布がすそが重い（超ヘビー）確率分布になるから、99/100が言えない（∵大数の法則も中心極限定理も不成立だから）
５．さらに、確率分布の変数として、決定番号を見たときに、定義域は[1, ∞)となる。だから、∞まで考える必要がある。この点からも、99/100は簡単に言えない
６．０〜９の数を箱に入れる極簡単なミニモデルでも、可算無限数列のしっぽは、現代数学では扱えない
（このミニモデルでは、実数の無限小数展開と平行して論じられるので、便利なのだが）
まして、任意の実数が箱に入る場合（つまり１つの箱に連続無限大の自由度があるモデル）においておや >>650
はいはい
訂正しておくよ
（訂正開始）
2016年の現時点では、ある実数が、下記のような収束級数として、与えられたときに、e＋πなどは、無限小数展開で、有理数であるのか無理数であるのか証明されていない」、つまり判別できない
有理数は、無限小数展開で、循環小数になることが分かっている（「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」落合理 P2より）
だから、e＋πなどは、無限小数展開のすその方で、循環小数になるか否か現時点では不明
さて、e＋πの無限小数展開から、時枝記事の数列a0,a1,a2,a3,・・・・,an,・・・ が構成可能だ
ところで、e＋πなどは、無限小数展開のすその方で、循環小数になるか否かが分からないとなにが不都合か？
>>114 2項で「〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく」となっているので、この実行が時枝解法のキモ
数列のしっぽの判別で、どの類に属するか（例えば大まかに言えば有理数に属するか無理数に属するか）が分からないと、この解法が実行できない
2016年の現時点では、数列のしっぽの判別が、実行できない例があると
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E7%B4%9A%E6%95%B0
収束級数
例
オイラーの定数 γ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0
オイラーの定数 γ
あるいは、
e =1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・+1/n!+・・・
π=1-1/3+1/5-1/7+・・・=Σn=0-∞(1/(2n+1))*(-1)^n （ライプニッツの公式）
で、e＋πやe−πや円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない。（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/olympic2010.pdf
「数学オリンピック財団主催JMO夏季セミナー」 でのレクチャートーク (180分)(2010/8/26) (木)
「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」落合理 大阪大学
(抜粋)
実数の中で有理数は循環小数として特徴づけられる.
(引用終り)
（訂正おわり） お前の理屈だと、解けない方程式は解を持たないことになるなｗ 対称群の剰余類分割を、ガロアのようなに順列の軌道で説明するやり方は、とてもわかりやすいですね。基礎的な性質が自明に思える。 理科大ですらブルバキで集合・位相学ぶのにおまえらときたら。これ本当の話ね 代入で同型写像を実現していることも注意しなくてはならない。ガロア第一論文を理解するためには。 ガロア群の中で考えれば、値を変えない置換の全体が、群をなす。これは極めて重要な性質で、きちんと証明しておくべき。
そのあたりを倉田先生が誤解してるので、ガロアを読む、はへんな本になってしまたのではないか。 ガロア第一論文では、正規列に工夫があり、
G1⊃G2⊃G3⊃… として、
Gi+1は、Giの正規部分群で指数が最小の素数となるもの、になってる。どうしてかというと、ラグランジュ分解式の１のべき根が、変化しないことを保証するため。
これも、第一論文を理解するには重要です。 ガロアの“順列の群”すばらしいですね。順列をグループ分けして書き、それらの性質から、ラグランジュに足りなかったものすべてを発見した。
本来なら感動的に語られるべきですが、“ガロアを読む”での扱いは酷いです。
あの本は日本の数学教育をねじまげてしまったのではないか。 何だか話題が変わったと思ったら、スレタイに帰ったのか。
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