High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ!sage進行推奨(^^; また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/ 旧スレが512KBオーバー(又は間近)で、新スレ立てる (スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。)
いやはや、(文系) High level people たち( ID:jEMrGWmk さん含め)の、数学ディベートもどきは面白いですね(^^; ”手強い?”とは・・、まさに、ディベートですね
私ら、理系の出典(URL)とコピペベース、ロジック(論証)&証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル(2CHスタイル?)とは、明白に違いますね 私ら、(文系) High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ(^^;
もちろん、お前のこの発言は間違っている。なぜなら、第一類集合 A であって、 A が R の中に稠密に分布しているような例が存在するからだ。 0014132人目の素数さん2017/12/27(水) 23:50:52.65ID:hLkm2n+q 前スレ>>822 >だが、定理の前提の関数fは自由度が高いので(不連続も可だし)、あなたの定理でいう区間(a, b)に、”反例関数”のx=0の近傍を切り取って来て、 >貼り付ければ、区間(a, b)はリプシッツ連続でなくなるよ。(この貼付操作は、全ての区間に適用できるよ)
息をするように間違えるゴミクズ。一体どうやって張り付けるつもりだね?
もし張り付けによって反例を作りたいのなら、x=0 の近傍が「離散的に分布する」ような貼り付けでは意味が無いんだぞ? なぜなら、それ以外の開区間を取れば、そこではリプシッツ連続になるからだ。従って、張り付けによって反例を作りたいのなら、 x=0 の近傍が「 R の中に稠密に分布する」ような貼り付けを考えなければならないんだぞ?
では、一例として、関数 f(x) を有理数 p だけ平行移動した f(x+p) という関数を考え、これらを単純に足し算した
g(x) = Σ[p∈Q] f(x+p)
という関数を考えてみよう。この場合、"x=0 の近傍" の挙動をする点が R の中に稠密に分布するように見えるが、 まず大前提として、上記のように定義した g は「ちゃんと各点で収束しているのか?」という問題が生じる。 もし収束してないなら、この g はそもそも well-defined でないことになるので失敗である。また、 仮に収束しているのだとしても、今度は
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 証明その2: f は点 x で微分可能とする。ケース1,2に場合分けすることで、f が点 x で連続であることを導く。
ケース1: f は点 x で連続であると仮定する。よって、f は点 x で連続である。
ケース2: f は点 x で連続でないと仮定する。一方で、lim[y→x](f(y)−f(x))/(y―x) = f'(x) が存在するのだったから、 lim[y→x](f(y)−f(x)) = lim[y→x](f(y)−f(x))/(y−x) * (y−x) = f'(x) * 0 = 0 となる。 すなわち、lim[y→x] f(y)=f(x) となる。よって、f は点 x で連続である。これは、 f が点 x で連続でないという仮定に矛盾する。矛盾した状態からはどんな条件も導けるので、 特に、「 f は点 x で連続である」という条件が導ける。
よって、いずれのケースにおいても、f は点 x で連続であることが言えた。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
上記の証明は、 ―――――――――――――――――――――――――――― 「 P → Q 」という形の命題を証明するのに必要なのは、 「 P を仮定すれば Q が導ける」ことを示すことだけである ――――――――――――――――――――――――――――
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 証明その3: f は点 x で微分可能とする。ケース1,2に場合分けすることで、f が点 x で連続であることを導く。
ケース1: f は点 x で連続であると仮定する。よって、f は点 x で連続である。
ケース2: f は点 x で連続でないと仮定する。一方で、lim[y→x](f(y)−f(x))/(y―x) = f'(x) が存在するのだったから、 lim[y→x](f(y)−f(x)) = lim[y→x](f(y)−f(x))/(y−x) * (y−x) = f'(x) * 0 = 0 となる。 すなわち、lim[y→x] f(y)=f(x) となる。よって、f は点 x で連続である。
よって、いずれのケースにおいても、f は点 x で連続であることが言えた。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
上記の証明は、本質的には「その2」と全く同じであり、 ―――――――――――――――――――――――――――― 「 P → Q 」という形の命題を証明するのに必要なのは、 「 P を仮定すれば Q が導ける」ことを示すことだけである ――――――――――――――――――――――――――――
という原則に立ち返った証明である。ケース2では やはり矛盾が起きているが、もはや
「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、〜〜〜」
といった言い回しすらない。それもそもはず、その言い回しをするより前に、示したかった条件「 f は点 x で連続である 」が 導けているからだ。上記の原則に立ち返った場合、「 Q 」が導けた時点で、それ以上何も言う必要がないので、 「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、〜〜〜」という言い回しすらしていないのが、この証明である。
まだ、疑問に思っているのは 下記のDifferentiability of the Ruler Functionの記述と貴方の定理との整合性だ
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 (>>35より) Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007 (抜粋) The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker than any power of f gives behavior that one would expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that eventually majorizes every power function. Define f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
[13] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at irrationals and discontinuous at rationals", abstract of talk given 2 November 1963 at the annual fall meeting of the Minnesota Section of the MAA, American Mathematical Monthly 71 #3 (March 1964), 349.
The complete text of the abstract follows, with minor editing changes to accommodate ASCII format.
Earlier results of Porter, Fort, and others suggest additional questions about the functions in the title. Differentiability and Lipschitz conditions are considered. Special attention ispaid to the ruler function (f) and its powers. Sample results: THEOREM: If 0 < r < 2, f^r is nowhere Lipschitzian; f^2 is nowhere differentiable, but is Lipschitzian on a dense subset of the reals. THEOREM: If r > 0, f^r is continuous but not Lipschitzian at every Liouville number; if r > 2, f^r is differentiable at every algebraic irrational. THEOREM: If g is continuous at the irrationals and not continuous at the rationals, then there exists a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.
REMARK BY RENFRO: The last theorem follows from the following stronger and more general result. Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R. Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set). This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function", Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below. (引用終り)
ああ、いま改めて読むと Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957) Senguptaより ”・・・ f is continuous and discontinuous are each dense in R. Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
なんてありますね。”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、貴方の定理に近いかな? ”Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”か・・ これか、これに近い文献を読まないことには、訳わからんな
えーと、Meagre setか・・ ”E is co-meager in R”が、イメージできんな・・(^^
前提a)(連続不連続が稠密)を、b)(連続とディニ微分発散が稠密な組み合わせ)に、緩和しても・・ a) f is continuous and discontinuous are each dense in R. ↓ b) f is continuous and the E *) are each dense in R. ( *)the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.)
Examples Subsets of the reals The rational numbers are meagre as a subset of the reals and as a space ? that is, they do not form a Baire space. The Cantor set is meagre as a subset of the reals, but not as a space, since it is a complete metric space and is thus a Baire space, by the Baire category theorem.
まず、関連参考:検索でヒットしたので貼る。 BaireCategory.pdfの”3. Pointwise limits of continuous functions.”に、「422に書いた定理」の関連記述 「Theorem. If f : R → R is a pointwise limit of continuous functions, then Df is Fσ meager (that is, a countable union of closed sets with empty interior). (In particular, by Baire's theorem, f is continuous on a dense subset of R.)」とあり(当たり前か? (^^ )
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/m447f16index.html MATH 447- Advanced Calculus I- Fall 2016- A. FREIRE (or: ANALYSIS IN R^n) (抜粋) http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/BaireCategory.pdf Sets of discontinuity and Baire's theorem Baire Category Notes (5 problems) (the problems are HW8, due Friday 11/4)A. FREIRE 2016 (抜粋) 1. Sets of discontinuity. For f : R → R, we define Df = {x ∈ R; f is not continuous at xg:
3. Pointwise limits of continuous functions. Theorem. If f : R → R is a pointwise limit of continuous functions, then Df is Fσ meager (that is, a countable union of closed sets with empty interior). (In particular, by Baire's theorem, f is continuous on a dense subset of R.)
Proof. We know Df = ∪ n>=1 D1/n (see Section 1), so it suffices to show that the closed sets Dε have empty interior, for any ε > 0. By contradiction, suppose Dε contains an open interval I. We'll find an open interval J ⊂ I disjoint from Dε! Let fn → f pointwise on R, with each fn : R → R continuous. For each N >= 1, consider the set: CN = {x ∈ I; (∀m, n >= N)|fm(x) - fn(x)| <= ε/3}. Clearly ∪ N>=1 CN = I (by pointwise convergence). QED (引用終り)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/AscoliArzelaNotes.pdf Ascoli-Arzela-Notes (final-included 7 exercises with solutions, and 11 extra problems.)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/ Alex Freire Department of Mathematics University of Tennessee (終り)
あと、いま、「422に書いた定理」に、似た文献を見つけて読んでいる。(^^ ”I-DENSITY CONTINUOUS FUNCTIONS Krzysztof Ciesielski他 1994” これ、出版されていて、アマゾンでもヒットした
疑問が二つ 1)Proposition 1.1.1. の「Given ε > 0 there is a δ > 0 such that {x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) : |f(x) − f(x0)| ≧ ε} ∈ J.」で、普通のεδ論法だと、 |f(x) − f(x0)| < ε と不等号の向きが逆になると思うが、誤植か? σ-ideal を考えているから、これで良いのか? どうも良いみたいだが
2)Corollary 1.1.6. の「(ii): There exists a residual set K such that f|K is continuous.*2」で、f|Kは、Theorem 1.1.4.の”(ii): There exists a set K ∈ J such that the restricted function f|Kc is continuous.”の記載ぶりとの比較から、f|Kcの誤記かなと思ったり? 意味が全く違ってくる
http://www.math.wvu.edu/~kcies/prepF/BookIdensity/BookIdensity.pdf I-DENSITY CONTINUOUS FUNCTIONS Krzysztof Ciesielski他 1994- 被引用数: 84 (抜粋) CHAPTER 1 The Ordinary Density Topology 1.1. A Simple Category Topology
To gain some insight into what is happening with limits like this, it is useful to generalize this idea to a topological setting. A nonempty family J ⊂P(X) of subsets of X is an ideal on X if A ⊂ B and B ∈ J imply that A ∈ J and if A∪B ∈ J provided A,B ∈ J. An ideal J on X is said to be a σ-ideal on X if ∪n∈N An ∈ J for every family {An : n ∈ N} ⊂ J. Let J be an ideal on R and To be the ordinary topology on R. The set T (J) = {G \ J : G ∈ To, J ∈ J} is a topology on R which is finer than To. The following proposition is evident from the definitions.
Proposition 1.1.1. Let J be a σ-ideal on R and T (J ) be as above. For f : (R, T (J )) → (R, To) and x0 ∈ R the following statements are equivalent to each other. (i): f is continuous at x0. (ii): Given ε > 0 there is a δ > 0 such that {x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) : |f(x) − f(x0)| ≧ ε} ∈ J.
Theorem 1.1.4. Let J be a σ-ideal and f : R → R. The following statements are equivalent. (i): The function f is J -continuous J -a.e. (ii): There exists a set K ∈ J such that the restricted function f|Kc is continuous.
Furthermore, if the ideal J contains no interval, then the following statement is equivalent to (i) and (ii) (iii): There exists a function g : R → R such that f = g J -a.e. and g is continuous in the ordinary sense J -a.e.
Proof. The fact that (ii) implies (i) is obvious. Suppose (i) is true and let f be J -continuous on a set M = Jc for J ∈ J. For each n ∈ N and x ∈ M, by Proposition 1.1.1(ii) there is an open interval I(n, x) and a J(n, x) ∈ J such that x ∈ I(n, x) \ J(n, x) ⊂ f−1((f(x) − 1/n, f(x) + 1/n)). For each fixed n, there must be a countable sequence xn,m ∈ M such that M ⊂∪m∈N I(n, xn,m). Let K = J ∪ ∪ n,m∈N J(n, xn,m) ∈ J. If x ∈ Kc and ε > 0, then there must exist natural numbers n and m such that 2/n < ε and x ∈ I(n, xn,m). Then |f(x) − f(xn,m)| < 1/n so that f(x) ∈ (f(xn,m) − 1/n, f(xn,m) + 1/n) ⊂ (f(x) − ε, f(x) + ε)
and I(n, xn,m) ∩ Kc ⊂ f−1((f(x) − ε, f(x) + ε)). Hence, f|Kc is continuous at x.
To prove the last part of the theorem, note first that (iii) implies (ii) even without the restriction that J contains no interval. Now suppose that J contains no interval and that f,K are as in (ii). Define (1) G(x) = lim sup t→x,t∈Kc f(t) and (2) g(x) = G(x) when G(x) is finite, or = f(x) otherwise. In particular, it follows from (ii) that f|Kc = g|Kc . Let x ∈ Kc and ε > 0. According to (ii) there is a δ > 0 such that (3) |g(y) − g(x)| = |f(y) − f(x)| < ε/2 whenever y ∈ (x − δ, x + δ) ∩Kc. If z ∈ (x − δ, x + δ) ∩K, then the assumption that K can contain no nonempty open set implies the existence of a sequence {zn : n ∈ N} ⊂ (x − δ, x + δ) ∩ Kc such that f(zn) → G(z). Hence, by (3), G(z) is finite, so g(z) = G(z) and |g(z) − g(x)| ? ε/2 < ε. Therefore, g is continuous at x. QED
The following example is interesting in light of the previous theorem.
Example 1.1.5. Let I be the σ-ideal consisting of all first category subsets of R. I-continuity is often called qualitative continuity [26]. It is well-known in this case that f is a Baire function if, and only if, f is qualitatively continuous I-a.e.
In particular, combining Example 1.1.5 with Theorem 1.1.4 yields the following well-known corollary, which will be useful in the sequel.
Corollary 1.1.6. Let f : R → R. The following statements are equivalent. (i): f is a Baire function. (ii): There exists a residual set K such that f|K is continuous.*2 (iii): f is qualitatively continuous I-a.e. In the case of Lebesgue measure, the following is true.
*2 A set is residual if its complement is first category. This is often called comeager.
If condition (i) in Theorem 1.1.4 is strengthened to everywhere, the following corollary results.
Corollary 1.1.8. Let J be a σ-ideal which contains no nonempty open set. A function f : R → R is continuous everywhere if, and only if, it is J -continuous everywhere.
Proof. If f is continuous, then it is clearly J -continuous. So, suppose f is J -continuous everywhere, x0 ∈ R and ε > 0. Using Proposition 1.1.1(ii), there must be an ordinary open neighborhood G0 of x0 such that F0 = {x ∈ G0 : |f(x) − f(x0)| > ε} ∈ J. Suppose there is an x1 ∈ F0. Choose δ > 0 such that δ < |f(x1) − f(x0)| − ε. As before, there exists an ordinary open neighborhood G1 ⊂ G0 of x1 such that F1 = {x ∈ G1 : |f(x1) − f(x)| > δ} ∈ J. It is clear that G1 ⊂ F0 ∪ F1 ∈ J, because |f(x1) − f(x0)| > ε + δ. But, this implies J contains a nonempty open set, which contradicts the condition placed on J in the statement of the corollary. This contradiction shows that F0 = Φ. The preceding corollary demonstrates that global J -continuity may not be a very useful concept. In particular, it is worthwhile noting for future reference that global I-continuity and global N-continuity are no different than ordinary continuity.
(上記の関連参考:出典URL) http://www.math.wvu.edu/~kcies/ Krzysztof Chris Ciesielski, Ph.D. Professor of Mathematics at Department of Mathematics, West Virginia University and Adjunct Professor at Medical Image Processing Group, Dept. of Radiology, Univ. of Pennsylvania. (抜粋) Books: (with L. Larson and K. Ostaszewski) I-density continuous functions, Memoirs of the AMS vol. 107 no 515, 1994; MR 94f:54035. (引用終り)
http://www.jstor.org/stable/44151978?seq=1#page_scan_tab_contents JOURNAL ARTICLE I-density Continuous Functions Krzysztof Ciesielski, Lee Larson and Krzysztof Ostaszewski Real Analysis Exchange Vol. 15, No. 1 (1989-90), pp. 13-15 Published by: Michigan State University Press (終り)
(参考:用語解説) https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_(set_theory) Ideal (set theory) (抜粋) In the mathematical field of set theory, an ideal is a collection of sets that are considered to be "small" or "negligible". Every subset of an element of the ideal must also be in the ideal (this codifies the idea that an ideal is a notion of smallness), and the union of any two elements of the ideal must also be in the ideal.
More formally, given a set X, an ideal I on X is a nonempty subset of the powerset of X, such that:
1. Φ ∈ I 2.if A∈ I and B⊆ A, then B∈ I, and 3.if A,B∈ I, then A ∪ B∈ I
Some authors add a third condition that X itself is not in I; ideals with this extra property are called proper ideals.
Ideals in the set-theoretic sense are exactly ideals in the order-theoretic sense, where the relevant order is set inclusion. Also, they are exactly ideals in the ring-theoretic sense on the Boolean ring formed by the powerset of the underlying set.
Contents 1 Terminology 2 Examples of ideals 2.1 General examples 2.2 Ideals on the natural numbers 2.3 Ideals on the real numbers 2.4 Ideals on other sets 3 Operations on ideals 4 Relationships among ideals 5 See also 6 References (引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sigma-ideal σ-ideal Sigma-ideal (Redirected from Σ-ideal) (抜粋) In mathematics, particularly measure theory, a σ-ideal of a sigma-algebra (σ, read "sigma," means countable in this context) is a subset with certain desirable closure properties. It is a special type of ideal. Its most frequent application is perhaps in probability theory.
Let (X,Σ) be a measurable space (meaning Σ is a σ-algebra of subsets of X). A subset N of Σ is a σ-ideal if the following properties are satisfied:
(i) O ∈ N; (ii) When A ∈ N and B ∈ Σ , B ⊆ A ⇒ B ∈ N; (iii) {A_n}_{n∈N }⊆ N→ ∪ _{n∈N }A_n∈ N.
Briefly, a sigma-ideal must contain the empty set and contain subsets and countable unions of its elements. The concept of σ-ideal is dual to that of a countably complete (σ-) filter.
If a measure μ is given on (X,Σ), the set of μ-negligible sets (S ∈ Σ such that μ(S) = 0) is a σ-ideal.
The notion can be generalized to preorders (P,?,0) with a bottom element 0 as follows: I is a σ-ideal of P just when
(i') 0 ∈ I, (ii') x ? y & y ∈ I ⇒ x ∈ I, and (iii') given a family xn ∈ I (n ∈ N), there is y ∈ I such that xn ? y for each n
Thus I contains the bottom element, is downward closed, and is closed under countable suprema (which must exist). It is natural in this context to ask that P itself have countable suprema.
A σ-ideal of a set X is a σ-ideal of the power set of X. That is, when no σ-algebra is specified, then one simply takes the full power set of the underlying set. For example, the meager subsets of a topological space are those in the σ-ideal generated by the collection of closed subsets with empty interior. (引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal Ideal (抜粋) Mathematics Ideal (ring theory), special subsets of a ring considered in abstract algebra Ideal, special subsets of a semigroup Ideal (order theory), special kind of lower sets of an order Ideal (set theory), a collection of sets regarded as "small" or "negligible" Ideal (Lie algebra), a particular subset in a Lie algebra Ideal point, a boundary point in hyperbolic geometry Ideal triangle, a triangle in hyperbolic geometry whose vertices are ideal points (引用終り)
(以前のスレから関連抜粋) スレ46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/398 <引用> http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009 This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361. (抜粋) So, in this paper we are going to analyze the dierentiability of the real function fν(x) =0 if x ∈ R \ Q, or =1/q^ν if x = p/q ∈ Q, irreducible, for various values of ν ∈ R.
Theorem 1. For ν > 2, the function fν is discontinuous (and consequently not dierentiable) at the rationals, and continuous at the irrationals. With respect the dierentiability, we have: (a) For every irrational number x with bounded elements in its continued fraction expansion, fν is differentiable at x. (b) There exist infinitely many irrational numbers x such that fν is not differentiable at x. Moreover, the sets of numbers that fulfill (a) and (b) are both of them uncountable.
Theorem 2. For ν > 2, let us denote Cν = { x ∈ R : fν is continuous at x }, Dν = { x ∈ R : fν is dierentiable at x }. Then, the Lebesgue measure of the sets R \ Cν and R \ Dν is 0, but the four sets Cν, R \ Cν, Dν, and R \ Dν are dense in R. (引用終り)
で、”a nonempty open set”(ordinary open neighborhood )が、結構重要キーワードじゃないかな? R中のQのように稠密分散で、 R\Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども (似た状況は、上記の「the Lebesgue measure of the sets R \ Cν and R \ Dν is 0, but the four sets Cν, R \ Cν, Dν, and R \ Dν are dense in R.」とある通りで) 「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えるかどうかだ?
以上 0083132人目の素数さん2018/01/01(月) 17:38:20.61ID:WRx3yiBV>>82 >R中のQのように稠密分散で、 >R\Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども ? 0084132人目の素数さん2018/01/01(月) 17:48:29.72ID:HicRQN2S おっちゃんです。 今日は午前4時に散歩したら、新聞配達のお姉ちゃんが自転車で配達していた。 今は意識もうろうとしていて、もうお寝んねタイム。 0085132人目の素数さん2018/01/01(月) 18:10:20.43ID:HicRQN2S まあ、深夜に散歩するのも案外日常とは違う面白い光景が見られる。 深夜にコンビニに行く人も時々見かける。 昼間の車の排気ガスで汚れた空気とは違い、昼間程汚れていない新鮮な空気は吸えるな。 それじゃ、おっちゃん寝る。 0086現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月) 19:50:40.49ID:dCRrvhl7 Thomae(「ポップコーン」)関数の絵が面白いので、ご紹介。 https://arxiv.org/abs/1702.06757 https://arxiv.org/pdf/1702.06757 Number-theoretic aspects of 1D localization: "popcorn function" with Lifshitz tails and its continuous approximation by the Dedekind eta S. Nechaev, K. Polovnikov (Submitted on 22 Feb 2017 (v1), last revised 26 Feb 2017 (this version, v2)) (抜粋) We discuss the number-theoretic properties of distributions appearing in physical systems when an observable is a quotient of two independent exponentially weighted integers.
The spectral density of ensemble of linear polymer chains distributed with the law ?fL (0<f<1),
where L is the chain length, serves as a particular example.
At f→1, the spectral density can be expressed through the discontinuous at all rational points, Thomae ("popcorn") function.
We suggest a continuous approximation of the popcorn function, based on the Dedekind η-function near the real axis.
Moreover, we provide simple arguments, based on the "Euclid orchard" construction, that demonstrate the presence of Lifshitz tails, typical for the 1D Anderson localization, at the spectral edges.
We emphasize that the ultrametric structure of the spectral density is ultimately connected with number-theoretic relations on asymptotic modular functions.
We also pay attention to connection of the Dedekind η-function near the real axis to invariant measures of some continued fractions studied by Borwein and Borwein in 1993. (引用終り) 0087132人目の素数さん2018/01/01(月) 20:25:48.18ID:9ORABeV3 コピペ癖・思考停止は今年も健在でしたとさ 0088現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月) 20:35:10.81ID:dCRrvhl7>>86
Figure 5: Plots of everywhere continuous f1(x) = -ln |η(x + iε)| (blue) and discrete f2(x) = Π/(12ε) g^2(x) (red) for ε = 10^-6 at rational points in 0 < x < 1. が面白いね 0089現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月) 20:36:14.06ID:dCRrvhl7>>84-85 おっちゃん、どうも、スレ主です。 レスありがとう 今年もよろしく(^^ 0090現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月) 21:08:33.72ID:dCRrvhl7 (追加貼付) スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/245 245 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日:2017/12/02 ちょっと、ピエロの過去レス46に戻る
Research Articles My main research area is Banach space theory but, I have some work in real analysis and know some descriptive set theory as it applies to Banach space theory.
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535. (抜粋) 3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n2) is differentiable on the irrationals, we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals will always be non-differentiable on a rather large set.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable. (引用終り) 0091現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月) 21:12:55.81ID:dCRrvhl7>>51 C++さん、どうも。スレ主です。 年末は、ばたばたして、お相手できませんでしたが
新年おめでとうございます 今年もよろしくお願いします。m(_ _)m 0092現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月) 23:33:24.50ID:dCRrvhl7 Liouville Numbers について、調べていたら、下記ヒット http://www.mathematik.uni -wuerzburg.de/~steuding/elaz2014.pdf On Liouville Numbers - Yet Another Application of Functional Analysis To Number Theory Vortrag auf der ELAZ 2014 in Hildesheim: Jorn Steuding (抜粋) P21/42 Category vs. Measure The set L = (R \ Q) ∩ n>=1 (∪q>=2 ∪p (p/q -1/q^n ,p/q+1/q^n )) of Liouville numbers is ・ big in the sense of category (residual, dense Gδ), ・ small in the sense of measure (Lebesgue measure zero, Hausdorff measure zero). For the set of normal numbers it is the other way around. (引用終り)
The set of all Liouville numbers can thus be written as
L=∩_n=1〜∞ U_n.
Each Un is an open set; as its closure contains all rationals (the p/q's from each punctured interval), it is also a dense subset of real line. Since it is the intersection of countably many such open dense sets, L is comeagre, that is to say, it is a dense Gδ set.
Along with the above remarks about measure, it shows that the set of Liouville numbers and its complement decompose the reals into two sets, one of which is meagre, and the other of Lebesgue measure zero.
The irrationality measure (or irrationality exponent or approximation exponent or Liouville?Roth constant) of a real number x is a measure of how "closely" it can be approximated by rationals. Generalizing the definition of Liouville numbers, instead of allowing any n in the power of q, we find the least upper bound of the set of real numbers μ such that
0<|x - p/q|< {1/q^μ
is satisfied by an infinite number of integer pairs (p, q) with q > 0. This least upper bound is defined to be the irrationality measure of x.[3]:246 For any value μ less than this upper bound, the infinite set of all rationals p/q satisfying the above inequality yield an approximation of x. Conversely, if μ is greater than the upper bound, then there are at most finitely many (p, q) with q > 0 that satisfy the inequality; thus, the opposite inequality holds for all larger values of q. In other words, given the irrationality measure μ of a real number x, whenever a rational approximation x ? p/q, p,q ∈ N yields n + 1 exact decimal digits, we have
1/10^n >= |x - p/q| >= {1/q^(μ +ε)
for any ε>0, except for at most a finite number of "lucky" pairs (p, q).
For a rational number α the irrationality measure is μ(α) = 1.[3]:246 The Thue?Siegel?Roth theorem states that if α is an algebraic number, real but not rational, then μ(α) = 2.[3]:248
Almost all numbers have an irrationality measure equal to 2.[3]:246
Transcendental numbers have irrationality measure 2 or greater. For example, the transcendental number e has μ(e) = 2.[3]:185 The irrationality measure of π is at most 7.60630853: μ(log 2)<3.57455391 and μ(log 3)<5.125.[4]
The Liouville numbers are precisely those numbers having infinite irrationality measure.[3]:248 (引用終り) 0095現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月) 23:43:31.65ID:dCRrvhl7>>83 >>R中のQのように稠密分散で、 >>R\Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども >?
リウヴィル数をイメージしてもらえば、良いのでは? 稠密分散で、”a nonempty open set”の集まり 例えば Structure of the set of Liouville numbers より ”Each Un is an open set; as its closure contains all rationals (the p/q's from each punctured interval), it is also a dense subset of real line. Since it is the intersection of countably many such open dense sets, L is comeagre, that is to say, it is a dense Gδ set.” 0096132人目の素数さん2018/01/02(火) 00:34:32.73ID:okX91MtS>>95 >リウヴィル数をイメージしてもらえば、良いのでは? 稠密分散で、”a nonempty open set”の集まり R\Qは? 0097132人目の素数さん2018/01/02(火) 00:36:21.27ID:okX91MtS>>95 >Since it is the intersection of countably many such open dense sets 0098現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/02(火) 10:01:09.76ID:p6PjQh75>>96-97 >R\Qは?
(>>82より再録) "で、”a nonempty open set”(ordinary open neighborhood )が、結構重要キーワードじゃないかな? R中のQのように稠密分散で、 R\Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども (似た状況は、上記の「the Lebesgue measure of the sets R \ Cν and R \ Dν is 0, but the four sets Cν, R \ Cν, Dν, and R \ Dν are dense in R.」とある通りで) 「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えるかどうかだ?"
R\Qも、リウヴィル数に同じ
つまり、屋上屋の説明だが、RからQを抜く(Qは、孤立点の集合(内点を持たない閉区間の集合)) Rは至る所開(”a nonempty open set”(ordinary open neighborhood )の集合)
R\Qの各”a nonempty open set”(ordinary open neighborhood )は、ここにはq∈Qは含まれない 故に、このような場合には、「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えないのでは? 0099現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/02(火) 10:03:28.28ID:p6PjQh75>>98 訂正
Rは至る所開(”a nonempty open set”(ordinary open neighborhood )の集合) ↓ R\Qは至る所開(”a nonempty open set”(ordinary open neighborhood )の集合) 0100132人目の素数さん2018/01/02(火) 10:25:50.08ID:okX91MtS>>98 >R\Qも、リウヴィル数に同じ まずリュービル数全体は >Since it is the intersection of countably many such open dense sets のようですので 開集合とは言えませんし実際開集合ではありません 内点を持たないからです 内点を持つなら有理数の稠密性によりリュービル数である有理数がそんざいしてしまいますよ 次に R\Qですが Qは孤立点の集合ではありません どの有理数の近傍にも必ず有理数が存在するからです また閉集合でもありません 閉包がRだからです ですのでR\Qもまた開集合にはならないのです 0101現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/02(火) 10:25:56.29ID:p6PjQh75>>87 どうも。スレ主です。 ID:9ORABeV3くんは、ピエロかな?
http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/ Welcome to Hiroe's Home Page! Hiroe Oka professor Department of Applied Mathematics and Informatics Faculty of Science and Technology Ryukoku University (龍谷大 岡先生?)
境界の境界 如何なる集合 S についても ∂S ⊇ ∂∂S が成立する。ここで等号は S の境界が内点を持たないとき、かつそのときに限り成り立つ。 これは S が開または閉であるときにも正しい。任意の集合の境界が閉となることから、∂∂S = ∂∂∂S は如何なる集合 S についても成り立つ。したがって、境界をとる操作は弱い意味で冪等である。特に、集合の境界の境界はふつう空でない。
2) 上記とほぼ同じだが、従来のRuler Functionやトマエ関数とその類似の研究で、 ”f(x) = 0 if x is irrational, f(x) = 1/q^2 if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.”(n > 2)
これに匹敵する結果は、>>41-42に書いたが ”Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R. Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set). This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function", Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. ”
つまり、一般な稠密性(但し、H. M. Sengupta and B. K. Lahiriは、可算非可算に関係なく) ”the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.”なのだが しかし、この discontinuous →リプシッツ連続でないという、上記1)の特性で、定理1.7は拡張されているのだ
現実のQと無理数(R \ Q)とでは、具体的なQと無理数との相性のような絡み合いがあって Liouville numbersのように、有理数でよく近似できる数(それは微分不可)で 一方、”Diophantine approximation of algebraic irrationals, called Roth’s Theorem”のように、近似限界のある数(代数的数の性質)(それは微分可能)で 無理数にも個性があるんです(下記「Modifications of Thomae’s function」)
だが、そういうことを全部抽象化した結果が、定理1.7なんですよね まあ、定理1.7はものすごい強い結果だと・・・本当に成立しているのか? ((>>189)H. M. Sengupta and B. K. Lahiriも、そういう結果なんですけどね(^^ )
(>>90より) https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535. (抜粋) P534 We finish by remarking on some obvious consequences of the previous propositions. First, for k <= 2, T(1/n^k ) is nowhere differentiable. By Roth’s Theorem, if α(an) > 2, T(ai ) is differentiable on the set of algebraic irrational numbers. T(1/n^9) is differentiable at all the algebraic irrationals, e, π, π^2, ln(2), and ζ(3), and not differentiable on the set of Liouville numbers. Finally, if α(ai ) = ∞, T(ai ) is differentiable on the set of all non-Liouville numbers. Since the set of Liouville numbers has measure zero, T(ai ) is differentiable almost everywhere. (引用終り) 0191132人目の素数さん2018/01/05(金) 23:50:30.62ID:Kf9KFuTj 時枝を分からない男は定理1.7も分からないという分かりやすい結果でした 0192132人目の素数さん2018/01/06(土) 07:02:33.16ID:PzQY7Vpj おっちゃんからもらったスレ主への連絡がある。>>188の >従って、(1)に限り否定される。その結果、 >(1):f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない. >となる。ここに、この開区間(a, b) とfはどちらも定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 同じである。 の部分は >従って、(1)に限り否定される。その結果、 >「(3)」:f は開区間(a, b) の上でリプシッツ連続ではない. >となる。ここに、この開区間(a, b) とfは「それぞれ」定理1.7 (422 に書いた定理) の証明で用いられる開区間(a, b) とf : R → R 「に一致させることが出来る」。 と訂正して読んでほしいとのことである。 これは>>188で分からなかったスレ主の読解力を考慮した訂正とのことである。
by 魔人プー 0193現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/06(土) 12:18:28.10ID:sJCr7ecA>>192 どうも。スレ主です。レスありがとう。訂正を適用すると (>>188 訂正し引用) スレ主がコピペした、pdfの証明に則って話を進める。 実際は出来ないが、仮に系1.8 を否定して 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R が存在する
とすると、 (1):f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. か (2):一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. のどちらか1つは否定されることになる。
1)(>>190 PDFより)”有理数の点で不連続, 無理数の点で、the set of all non-Liouville numbersで微分可能、the set of Liouville numbersで微分不可(勿論リプシッツ連続ではないが連続)となるf : R → R が存在する”は正しい 2)これは”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”の別証明になっている 3)ところで、スレ主は頭が悪いので、定理1.7を場合分けして、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”けれども、R−Bf がR中で稠密な場合を考える。 4)これはQを想定した場合。この場合は、「f : R → R は存在しない!」が、定理1.7の直接の帰結である。
6)系1.8は、定理1.7中の上記a)のみ。a)のみが、既存の別証明がある。しかし、b)からd)の3ケースは、既存の証明は見つかっていない ↓ 6)系1.8は、定理1.7中の上記a)のみ。a)b)のみが、既存の別証明がある*)。しかし、c)d)の2ケースは、既存の証明は見つかっていない *)b)は、(>>189)H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より ”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).” 0196132人目の素数さん2018/01/06(土) 13:00:05.31ID:PzQY7Vpj おっちゃんです。 先は魔人プーが私の代わりに書いてくれた。 私からスレ主へ。 何でもいいから大学の微分積分の本を読んで ε-N や ε-δ を身に付けること。 あと、何でもかんでも文献引用してその結果を鵜呑みにする考え方を改めること。 取り敢えず、その2点を遂行しないことには、幾らやっても話にならん。 0197現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/06(土) 13:36:46.05ID:sJCr7ecA>>195 補足
R−Bfを拡張して、Q+the set of Liouville numbers(これは、非可算だが、内点を持たない閉集合の和)を含むように、可算→非可算 まで考える すると、(>>189)H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より ”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).” だから
とあるよ つまり、これが逆で、”that a slightly more general version of Proposition 4.2”だったら、この論文は掲載拒否もあったろうし、 掲載されても、将来引用されるべきは、[9, p. 232]の方。つまり、”Kevin Beanland, JamesW. Roberts, and Craig Stevenson”の価値は、圧倒的に低い
数学、特に代数トポロジーにおいて、被覆写像(covering map)あるいは被覆射影(covering projection)とは、位相空間 C から X への連続全射 p のうち、 X の各点が p により「均一に被覆される」開近傍をもつものをいう。厳密な定義は追って与える。このとき C を被覆空間(covering space)、X を底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。
被覆空間はホモトピー論、調和解析、リーマン幾何学、微分幾何学で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、分岐は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像はホモトピー群、特に基本群の研究とも深く関係する: X が十分によい位相空間であれば、X の被覆の同値類の集合と 基本群 π1(X) の共役な部分群の類全体との間に全単射が存在する(被覆の分類定理)[1]。
定義 位相空間 C から X への連続全射 p : C → X が被覆写像であるとは、すべての点 x ∈ X に対し x の開近傍 U が存在し、逆像 p^?1(U) が共通部分をもたない C の開集合の和集合で表され、各開集合が p の制限写像により U と同相であることをいう[2]。このとき C を被覆空間、 X を底空間という。被覆写像や被覆空間のことを単に被覆と呼ぶこともある。 (引用終り)
代数トポロジーでの被覆には、被覆する空間と被覆される側の空間との間に、連続全射 p : C → X の存在を条件としている(>>211) しかし、単に 「集合の被覆」では、”和集合が集合全体となるような部分集合の集合”というだけで、被覆する集合と被覆される側の集合との間には、連続全射は要求されていない
参考 http://www.suri-joshi.jp/ 数理女子のページへようこそ! 0218132人目の素数さん2018/01/07(日) 13:35:03.37ID:N8CS4cZU 理解していないものをコピペしても何の意味も無いと何度言えば 0219現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/07(日) 14:08:43.48ID:2l42E8SE>>204 戻る >で、「特に, (a, b)⊆BN,M なる開区間(a, b) が取れる」の部分 >開区間(a, b) が取れるのは、被覆する側の集合のBN,Mだろ? >で、R−BfがQのようにR中に稠密に分散している場合を考えると、Bf自身は内点を持たないし、区間(a, b) も取れないことは自明(参考>>128より) > >で、被覆する方の集合のBN,Mにおいて、それが内点を持ち、そこに区間(a, b) が取れるとしても、 >”それにより被覆される側のBfが同じ性質を持ち、区間(a, b) が取れる”とする証明がね〜、いまいち納得できないんだ(^^
(>>212より)"代数トポロジーでの被覆には、被覆する空間と被覆される側の空間との間に、連続全射 p : C → X の存在を条件としている(>>211) しかし、単に 「集合の被覆」では、”和集合が集合全体となるような部分集合の集合”というだけで、被覆する集合と被覆される側の集合との間には、連続全射は要求されていない そこが大きな違いだろうね"
>いっておくけど、系 1.8 の結果は >有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない >まで拡張出来る。
ああ、下記だな”g fails to satisfy・・even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”& ”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
繰返すが、 ”any specified pointwise modulus of continuity condition” & ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite” だから(特に後者Dini微分)、どこかの無理数の点で一様連続も破綻するだろうな
(>>40より)http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
(>>41より) REMARK BY RENFRO: The last theorem follows from the following stronger and more general result. Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R. Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set). This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function", Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below. (引用終り) 0246132人目の素数さん2018/01/07(日) 20:55:58.03ID:VTzP8LoB>>229 > トリビアだが、係数を無理数まで許せば、有理点を持たない直線(1次曲線)も、実はいっぱい存在する > 例えば、y=ax で、aを無理数にすれば、良い! (有理数p,qに対し、常にq≠ap (∵ aは無理数なので、a≠q/p )(^^ )
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.
背景 C を Q 上の種数 g の非特異代数曲線とすると、C の有理点の集合は次のように決定することができる。
g = 0 の場合:全く点が存在しないか、もしくは無限個: C は円錐の断面(英語版)である。 g = 1 の場合:全く点が存在しないか、もしくは C が楕円曲線で、有理点が有限生成アーベル群である。(モーデル定理(Mordell's Theorem)は、後日、モーデル・ヴェイユの定理(Mordell?Weil theorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理[1]は捩れ部分群の構造を制限している。) g > 1 の場合:モーデル予想、現在はファルティングスの定理である。C は有限個の有理点しか持たない。
一般化 モーデル・ヴェイユの定理により、ファルテングスの定理はアーベル多様体 A の有限生成部分群 Γ を持つ曲線 C の交点理論についてのステートメントとして再定式化することができる。 C を A の任意の部分多様体に置き換え、Γ を任意の A の有限ランクの部分群へ置き換えることで、モーデル・ラング予想(英語版)(Mordell?Lang conjecture)[2]を証明することになる。
ファルテングスの定理の別の項次元への一般化は、ラング・ボンビエリ予想(英語版)(Bombieri?Lang conjecture)であり、X が数体 k 上の準標準多様体(英語版)(pseudo-canonical variety)(すなわち、一般型の多様体)であれば、X(k) は X でザリスキー稠密ではない。さらに一般的な予想がポール・ヴォイタ(英語版)(Paul Vojta)により提示されている。
「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」(>>184) このような”f : R → R は存在しない”という理由は、 無理数側にあって、 無理数側に微分不可のみならず、>>245にあるように ”any specified pointwise modulus of continuity condition” & ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite” なる集合Eがあって、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”となってしまうこと
だから、微分不可の集合は、「高々可算ではおさまらず、非可算濃度になる」と。それが”系1.8 の関数f : R → Rが存在しない”理由なのだ(決して”開区間(a, b)”が存在するからではない )
だから、(>>180) 「定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする. Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である.」
で、有理数Qを想定して、仮定の”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”としたところは、うなづけるが 結論は、(>>245より)集合E:”any specified pointwise modulus of continuity condition” & ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite” が出来て、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”を、導くべしってことじゃないかな?
だから、証明の大きな方向が間違っている。 「ある開区間の上でリプシッツ連続である」を導くのではなく 「R−Bfは、非可算集合(co-meager in R (i.e. the complement of a first category set))を含む」を証明すべきだと
例えば、(>>90より)下記のProposition 3.1.の証明の方向を目指すべき https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535. (抜粋) Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable. (引用終り)
だから、定理1.7は、二つに分けて 1.R−Bfが稠密でなく、Bfがある開区間(a, b) を含む場合 2.R−Bfが稠密で、Bfが全く開区間(a, b) を含まない場合 とすべき
1.の場合、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である.”は自明。ほとんど、証明の必要もない 2.の場合、「非可算無限の集合E:”any specified pointwise modulus of continuity condition” & ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、存在することになるので、そのようなfは存在しえない」のような方向を目指すべき
系1.8は、定理1.7中の上記a)の場合。b)は下記。よって、a)b)のみが、既存の別証明がある*)。しかし、c)d)の2ケースは、既存の証明は見つかっていない *)b)は、(>>189)H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より ”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”が成り立つことが分っている
繰返すが、c)d)の2ケースで、有理数Qを想定して、R−Bf がR中で稠密かつ可算濃度の集合の場合に、ケースc)d)のような関数f : R → Rが存在するか否か そこが、まだ不明。
ところで、下記は、指示関数そのものではないが、R中の部分集合Bfとその補集合R−Bfに分けて、関数値を決めていると考えることができる (>>268) https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535. の記載より(抜粋) 2. MODIFIED THOMAE FUNCTION. Let (ai) be a sequence of reals decreasing to zero. Define the modified Thomae function with respect to (ai) as follows: T(ai)(x) = 0 if x ∈ R \ Q, = an if x = m/n where m and n are coprime, = 1 if x = 0.
Since limn an = 0, T(an) is continuous on the irrationals. The faster the sequence (ai) tends to zero, the larger the set of irrationals on which T(ai) will be differentiable.
3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n^2) is differentiable on the irrationals, we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals will always be non-differentiable on a rather large set.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable. (引用終り)
この”function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. ”で考えてみると 「0 on the irrationals」の部分は、不変というか動かせない。 動かせるのは、「positive on the rationals」の方のみで、「= an if x = m/n where m and n are coprime,」の部分のみ。
でさらに考えてみると、 「= an if x = m/n where m and n are coprime,」で、an:positive or an=0 の二択問題。(一般性を失わず負数は除外するとして)
繰返すが、Proposition 3.1. のような、「a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. 」という規定では、 an:positive or an=0 の二択で、それぞれ不連続か連続かの二択で、それ以外の選択肢は、あり得ない
ところで、上記で、T(ai)(x) = F(x) if x ∈ R \ Q において、ここに、F(x)が解析関数なり、微分可能関数を取ったとしよう そのときは、 =F(x)+ an if x = m/n where m and n are coprime, =F(x)+ 1 if x = 0.
と考えれば、いままでの議論がそのまま踏襲できる。(つまり、"F(x)=0 if x ∈ R \ Q "の場合だけで、 微分や連続についての議論は尽くされていることになる) (なお、このような、有理数と無理数とに分けて、それぞれ異なる方式で値を決める関数は、上記、”不連続性の分類(wikipedia)”の「可除不連続点」(除きうる不連続点)しかなりえない)
で、 (>>178より) 定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して, ・ 各Fiは内点を持たない, ・ S ⊆∪i Fi が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書 くことにする. (引用終わり)
で、 ”Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.”
”As a corollary, no matter how quickly the sequence (ai) converges to zero (e.g., ai = 1/i^(i^i) ), there is always an uncountable dense subset on which T(ai ) is not differentiable.”
この論文の証明で論じているのは、Bf(無理数)に関係するB_N,Mではなく(∵つねに”0 on the irrationals”ですから、論じる必要もない) Bf−R(有理数)に関する部分(”positive on the rationals ”)。
もっと言えば、Bf−R(有理数)側で、無理数aに収束する閉区間 In+1 | ”f (xn+1) >= |xn+1 ? x| ”∈ In+1 ですよ f (xn+1)は、”positive on the rationals”側で、つまり、Bf−R(有理数)側
Bf−R(有理数)側のf (xn+1)が、早く減衰する場合でも、”uncountable dense subset”が、” not differentiable” T(1/n^k)=1/n^k on the rationals, if x = m/n where m and n are coprime, で、k<=2ではどこも微分不可、k > 2で、代数的数の集合で微分可、k=9でπなどほとんどの超越数で微分可。 但し、リュービル数は、ずっと微分不可で残る。
これらの議論中、Bf(無理数)での関数は、常に”0 on the irrationals”で、全く変化しないにも関わらず 指数kによって、Bf(無理数)側で、微分不可(各点リプシッツ連続でもない)から、至る所微分可になり、最後、リュービル数は、ずっと微分不可で残る。
The irrationality measure (or irrationality exponent or approximation exponent or Liouville?Roth constant) of a real number x is a measure of how "closely" it can be approximated by rationals. Generalizing the definition of Liouville numbers, instead of allowing any n in the power of q, we find the least upper bound of the set of real numbers μ such that
0< |x-p/q|< 1/q^μ
is satisfied by an infinite number of integer pairs (p, q) with q > 0. This least upper bound is defined to be the irrationality measure of x.[3]:246 (引用終り)
(>>40より) http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 (>>35より) Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007 より The modefied ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/w(q) if x = p/q ∈Q where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに w(q):an increasing function that eventually majorizes every power function. (w(q)は、どんなpの冪より早く増大する関数 https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535. などではP532で、” (e.g., ai = 1/i^(i^i) )”などと記されている。qで書けば、= 1/q^(q^q)だ)
The modefied ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and (さらに有理数で場合けして) f(x) = 0 if q> m, x = p/q ∈Q f(x) = 1/w(q) if q<=m, x = p/q ∈Q where p and q are relatively prime integers with q > 0. また、他の条件は、すべて上記に同じ
さて、f(x) = 0 if x is irrational→f(x) = F(x) if x is irrationalとする
The modefied ruler function f is defined by f(x) = F(x) if x is irrational, f(0) = 1, and (さらに有理数で場合けして) f(x) = F(x) if q>= m, x = p/q ∈Q f(x) = F(x)+ 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q where p and q are relatively prime integers with q > 0.
The modefied ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and (さらに有理数で場合けして) f(x) = 0 if q>= m, x = p/q ∈Q f(x) = 1/q^ν if q< m, x = p/q ∈Q where p and q are relatively prime integers with q > 0. ここに、ν>=0の実数とする
この場合も、mが有限の値の場合、不連続点は、分母q がある値m以下の場合のみの有限個になる この場合も、「定理1.7 (422 に書いた定理)」が常に成り立ち ”R−Bf が内点を持たない閉集合の(有限個の)可算和で被覆でき、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である.”となる
(>>376に書いた通りだが) (>>180)”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする. Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の 上でリプシッツ連続である.”
で、 1)補集合R−Bfが、”が内点を持たない閉集合の可算”有限”和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である.”は、正しい しかし 2)補集合R−Bfが、”が内点を持たない閉集合の”稠密”分散可算無限和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続とはできない.”が、正しい
中学校レベルの話だろう 0383132人目の素数さん2018/01/11(木) 10:14:50.34ID:pCvZqe21>>375 >さて、f(x) = 0 if x is irrational→f(x) = F(x) if x is irrationalとする > >The modefied ruler function f is defined by >f(x) = F(x) if x is irrational, >f(0) = 1, and >(さらに有理数で場合けして) >f(x) = F(x) if q>= m, x = p/q ∈Q >f(x) = F(x)+ 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q >where p and q are relatively prime integers with q > 0. > >ここに、 F(x) は、簡単のために、解析函数で多くの多項式や初等関数のように、 >無限大のみに極を持つとする。(有限の範囲に極があっても問題ないが、記述が複雑になる) >>367の補足としてmを或る値として続けて書いているようだが、 解析関数 F(x) の定義域は複素平面Cの弧状連結で開円盤を含む開集合だから、 虚部が0ではない何らかの複素数xに対しても F(x) は定義されることになる。 だが、f(x)=F(x) としているのに、そのような複素数に対する F(x) の複素数値の定義がどこにもなされていないので、 その定義は意味をなさない。結局実関数 f(x) を直線R上で定義することになる。 0384132人目の素数さん2018/01/11(木) 10:33:48.09ID:pCvZqe21>>381 トマエ関数や modefied ruler function は有理数か無理数かが分かってからその関数値が決まるような関数。 で、有理数全体Qは直線Rの部分空間としてのルベーグ測度が0の可測空間で、無理数の全体 R\Q はその補集合になる上、 有理数に対して決まるそれらの関数値の決まり方は定義域Rの点としての既約分数 p/q の分母qや分子pの値にもよるから、 そういった関数を持ち出して有理数か無理数かを基準にして考えても何の意味もない。 0385現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/11(木) 10:54:01.96ID:clSPRjXH>>383 >結局実関数 f(x) を直線R上で定義することになる。
ところで、下記にen.wikipediaにいろいろあるが コーシーは、7番目”7.Cauchy's theorem on geometry of convex polytopes states that a convex polytope is uniquely determined by the geometry of its faces and combinatorial adjacency rules.” やね
https://en.wikipedia.org/wiki/Rigidity_(mathematics) Rigidity (mathematics) (抜粋) In mathematics, a rigid collection C of mathematical objects (for instance sets or functions) is one in which every c ∈ C is uniquely determined by less information about c than one would expect.
The above statement does not define a mathematical property. Instead, it describes in what sense the adjective rigid is typically used in mathematics, by mathematicians.
Some examples include:
1.Harmonic functions on the unit disk are rigid in the sense that they are uniquely determined by their boundary values. 2.Holomorphic functions are determined by the set of all derivatives at a single point. A smooth function from the real line to the complex plane is not, in general, determined by all its derivatives at a single point, but it is if we require additionally that it be possible to extend the function to one on a neighbourhood of the real line in the complex plane. The Schwarz lemma is an example of such a rigidity theorem.
3.By the fundamental theorem of algebra, polynomials in C are rigid in the sense that any polynomial is completely determined by its values on any infinite set, say N, or the unit disk. By the previous example, a polynomial is also determined within the set of holomorphic functions by the finite set of its non-zero derivatives at any single point. 4.Linear maps L(X, Y) between vector spaces X, Y are rigid in the sense that any L ∈ L(X, Y) is completely determined by its values on any set of basis vectors of X. 5.Mostow's rigidity theorem, which states that the geometric structure of negatively curved manifolds is determined by their topological structure. 6.A well-ordered set is rigid in the sense that the only (order-preserving) automorphism on it is the identity function. Consequently, an isomorphism between two given well-ordered sets will be unique. 7.Cauchy's theorem on geometry of convex polytopes states that a convex polytope is uniquely determined by the geometry of its faces and combinatorial adjacency rules. 8.Alexandrov's uniqueness theorem states that a convex polyhedron in three dimensions is uniquely determined by the metric space of geodesics on its surface.
See also Uniqueness theorem Structural rigidity, a mathematical theory describing the degrees of freedom of ensembles of rigid physical objects connected together by flexible hinges. This article incorporates material from rigid on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License. (引用終り)
In mathematics, a holomorphic function is a complex-valued function of one or more complex variables that is complex differentiable in a neighborhood of every point in its domain. The existence of a complex derivative in a neighborhood is a very strong condition, for it implies that any holomorphic function is actually infinitely differentiable and equal to its own Taylor series (analytic). Holomorphic functions are the central objects of study in complex analysis. (引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Rigidity Rigidity (抜粋) Mathematics and physics ・Stiffness, the property of a solid body to resist deformation, which is sometimes referred to as rigidity ・Structural rigidity, a mathematical theory of the stiffness of ensembles of rigid objects connected by hinges ・Rigidity (electromagnetism), the resistance of a charged particle to deflection by a magnetic field ・Rigidity (mathematics), a property of a collection of mathematical objects (for instance sets or functions) ・Rigid body, in physics, a simplification of the concept of an object to allow for modelling ・Rigid transformation, in mathematics, a rigid transformation preserves distances between every pair of points
Other uses ・Real rigidity, and nominal rigidity, the resistance of prices and wages to marketchanges in macroeconomics ・Ridgid, a brand of tools (引用終り)
”1Source unknown. I heard it from Benjy Weiss, who heard it from ..., who heard it from ... . For a related problem, see http://xorshammer.com/2008/08/23/set-theory-and-weather-prediction/ ” (上記URLは、関数数当てパズルで ”For some interesting comments on this puzzle, see Greg Muller’s blog post on it here and Chris Hardin and Alan Taylor’s paper An Introduction to Infinite Hat Problems.”とある)
関数数当てパズルの元のAlan D. Taylor さんの2つの論文とそのPDFリンク 1) http://www.cs.umd.edu/~gasarch/ William Gasarch Professor of Computer Science Affiliate of Mathematics University of Maryland at College Park
http://www.cs.umd.edu/~gasarch/TOPICS/hats/hats.html Papers on Hat Problems I want to read by William Gasarch
21. An Introduction to Infinite Hat Problems by Christopher Hardin and Alan Taylor. HAT GAME- infinite number of people, need to get all but a finite number of them right. Needs AC. Infinite Hats and AC
http://www.cs.umd.edu/~gasarch/TOPICS/hats/infinite-hats-and-ac.pdf An Introduction to Infinite Hat Problems Chris Hardin and Alan Taylor THE MATHEMATICAL INTELLIGENCER 2008 Springer Science+Business Media, Inc
Alan Dana Taylor (born October 27, 1947) is an American mathematician who, with Steven Brams, solved the problem of envy-free cake-cutting for an arbitrary number of people with the Brams?Taylor procedure.
Taylor received his Ph.D. in 1975 from Dartmouth College.[2]
He currently is the Marie Louise Bailey professor of mathematics at Union College, in Schenectady, New York.
pdf:A peculiar connection between the Axiom of Choice and predicting the future THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA Monthly February 2008 については、当時哲学者がいろいろ議論したらしい(下記のpdfご参照) だが、数学者の投稿は見つからなかった!!(^^
そして、過去スレ47にも書いたが、The Mathematics of Coordinated Inference: A Study of Generalized Hat Problems (Developments in Mathematics) 2013 edition by Hardin, Christopher S., Taylor, Alan D. (2013) (>>439) では、上記の未来予測可能とか、任意の関数の値が予測可能とする論は、全部捨てられている
その話も、ちょろっと、まとめPDFに入れて貰えると面白いと思うよ で、時枝も同じだよ
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-58507-9_10 Philosophical Aspects of an Alleged Connection Between the Axiom of Choice and Predicting the Future, Pawel Pawlowski First Online: 06 September 2017 Abstract In 2008 Christopher Hardin and Alan Taylor published an article titled “Peculiar connection between the axiom of choice and predicting the future” in which they claim that if some system can be described as a function from a set of some instants of time to some set of states, then there is a way to predict the next value of the function based on its previous input. Using their so-called μμ -strategy one can randomly choose an instant t and the probability that the strategy is correct at t (i.e. that the output for a strategy for input t is exactly the same as the value of the function) equals 1. Mathematical aspects of this article are sound, but the background story about the correlation between theorems and philosophical aspects of predicting the future faces certain problems. The goal of my paper is to bring them up.
[PDF]A Proof of Induction? https://quod.lib.umich.edu/cgi/p/pod/dod-idx/proof-of-induction.pdf?c=phimp;idno=3521354.0007.002 philosophers’imprint A George 著 Department of Philosophy Amherst College- ?2007 - ?被引用数: 10 - ?関連記事 “Hardin-Taylor rule”, I shall call it ? that will, for any arbitrarily chosen function f, correctly predict most values of f on the basis of its past be- havior; that is, for most t the rule will correctly predict f (t) on the basis of f 's values at all s < t. I shall first sketch the proof's central idea and then turn to assess the result's philosophical significance. We begin by well-ordering R, the set of all functions from R to. R. (Here the Axiom of Choice must be employed, a fact to which we shall return.) That is ...
[PDF]Justifying Induction Mathematically: Strategies and Functions http://media.philosophy.ox.ac.uk/assets/pdf_file/0003/36651/LogiqueetAnalyseFinal08.pdf A PASEAU 著 Logique & Analyse 203 (2008), 263?269 - ?被引用数: 2 - ?関連記事 2008/08/27 - page 265 i i i i i i i i. JUSTIFYING INDUCTION MATHEMATICALLY: STRATEGIES AND FUNCTIONS. 265. These objections are answerable to a degree. The use of the Axiom of. Choice is indeed essential; but these days the ... Hardin-Taylor proof as providing a reliable present-predicting strategy. Once it is appreciated, the Hardin-Taylor proof can no longer plausibly be called a predictive strategy. Because it is so nonconstructive, it fails to yield a strat- egy.
>一つの根拠が、Chris Hardin and Alan Taylor’s paperに行き着く >だが、これが間違いだったと、彼らが自分達が後の論文で訂正しているよ(参考>>446-447) >それは、過去すれ47に書いた
これだな 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/171 (抜粋) スレ46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/483-484 「Taylor氏らは、[HT08b] の結論を否定している。([HT09] および(成書)The Mathematics of Coordinated Inference: A Study of Generalized Hat Problems )」 つまりは、”Corollary 3.4 does tell us that the μ-strategy will be correct at t with probability 1.”(>>148)は、「数学的に無価値」でしたということですよ(^^ (引用終り) 0454現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/13(土) 12:01:52.77ID:rUYSYDib>>452 問題読んで無いだろ?(^^ 0455132人目の素数さん2018/01/13(土) 12:14:07.95ID:ZJErTONp>>454 スレ主が以前ここに時枝記事をコピペした。(このコピペのことを忘れたとはいうべきではない) それを読むと、時枝記事には曖昧に書かれている部分があって、その部分を理解して把握することに時間がかかった。 時枝の確率の問題についても同じ状況だった。このスレではそのような状況だった。 やがて、正確に時枝記事を理解し把握した後は、標本空間が有限集合であるような確率の問題であることが分かった。 標本空間が有限集合であるような確率の問題は、高校どころか中学の確率の問題だ。 0456132人目の素数さん2018/01/13(土) 13:16:09.57ID:p9CVPkNb>>454 一年生用教科書読んで無いだろ? 0457132人目の素数さん2018/01/13(土) 14:01:52.64ID:baaiEdIz 実数の連続性が分からない人って論理だけでは創られ ていない数学を論理だけで理解しているのだろうか。 距離空間の完備性が分からない人にRの連続性と本質 的に同じことを説明したら理解されたんだけど中間値 の定理や最大値の定理を何も見ないで証明できるくら いの人が実数の連続性が分からないって 0458◆QZaw55cn4c 2018/01/13(土) 14:20:18.80ID:zUI9hxZm>>457 いや今それで悩んでいるのです 実数の完備のみならず一般の代数系での完備となると、なかなか理解がおよびません 可換な半群 L が演算子ρのもとで完備な順序集合のとき二元 a b ∈L の上限を aρb とすれば L はρについて半束になる…うーん 0459132人目の素数さん2018/01/13(土) 15:57:24.33ID:BB1mEg7b 藁 0460132人目の素数さん2018/01/13(土) 19:11:43.62ID:sUwT3lGp 有理数に入り切らない数 0461現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/13(土) 21:15:46.03ID:rUYSYDib>>455 おっちゃんな、スレ主だけど 原文をきちんと読むべきと思うよ
1) http://blog.computationalcomplexity.org/2016/07/solution-to-alice-bob-box-problem.html Solution to the Alice-Bob-Box problem. July 18, 2016 Posted by GASARCH Computational Complexity (抜粋) Peter Winkler told me this problem at the Joel Spencer 70th Bday conference. He got it from Sergui Hart who does not claim to be the inventor of it. (抜粋おわり)
2) http://math.stackexchange.com/questions/371184/predicting-real-numbers Predicting Real Numbers edited May 15 '13 Jared Mathematics Stack Exchange (抜粋) Here is an astounding riddle that at first seems impossible to solve. I'm certain the axiom of choice is required in any solution, and I have an outline of one possible solution, but would like to see how others might think about it.
3) 100 rooms each contain countably many boxes labeled with the natural numbers. Inside of each box is a real number. For any natural number n, all 100 boxes labeled n (one in each room) contain the same real number. In other words, the 100 rooms are identical with respect to the boxes and real numbers. (引用終り)
The Riddle: We assume there is an infinite sequence of boxes, numbered 0,1,2,…
. Each box contains a real number. No hypothesis is made on how the real numbers are chosen. You are a team of 100 mathematicians, and the challenge is the following: each mathematician can open as many boxes as he wants, even infinitely many, but then he has to guess the content of a box he has not opened. (引用終り)
100 rooms each contain countably many boxes labeled with the natural numbers. Inside of each box is a real number. For any natural number n, all 100 boxes labeled n (one in each room) contain the same real number. In other words, the 100 rooms are identical with respect to the boxes and real numbers. (引用終り)
ガウスは D. A. に多くの付記を残し、彼自身のさらなる研究の一助とした。同世代の者には謎めいているものもあったが、一部は例えば、今日ではL関数や虚数乗法と呼ばれるものの萌芽であったと解釈される。
D. A. の内容は、20世紀以降の数学研究においても新鮮さを失っていない。例えば、第5章第303条は虚二次体の類数の具体的な計算についての要約である。 ガウスは、任意の正整数 n に対して類数が n である虚二次体は有限個しか存在しないであろうと予想し、類数の小さな虚二次体は全て決定したと信じた。 この予想は、1934年にハンス・ハイルブロン(英語版)が解決した[7]。類数1の虚二次体を全て決定する問題は、1966年のアラン・ベイカーと1967年のハロルド・ミード・スターク(英語版)によって独立に解かれた[8]。2004年までに、類数が100以下の虚二次体は全て決定されている[9]。
より詳細な問題[編集] さらに精密な予想として、1976年のサージ・ラング(Serge Lang)とハイル・トロッター(ドイツ語版)(Hale Trotter)によるラング・トロッター予想(Lang?Trotter conjecture)は、公式の中に現れるフロベニウス元のトレースである値 ap が、素数 p に対し決まると、漸近的な数が存在すると言う予想である。[12] 典型的な例(虚数乗法を持たず、かつ trace ≠ 0)では、X についての p に対する数値は、ある特別の定数 c が存在して、漸近的に
非可換類体論は、また範囲広すぎだろうな・・(^^ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E9%A1%9E%E4%BD%93%E8%AB%96 非可換類体論 (抜粋) 数学において、非可換類体論(ひかかんるいたいろん、英: non-abelian class field theory)は、類体論の結果、任意の代数体 K のアーベル拡大についての比較的完全で古典的な一連の結果の、一般のガロワ拡大 L/K への拡張を意味するキャッチフレーズである。 類体論は1930年頃には本質的には知られるところとなったが、対応する非可換な理論は確定的で一般的に受け入れられた定式化には未だに至っていない[1]。
したがって、コホモロジー的アプローチは、非可換類体論の定式化においてさえ、あまり役に立たない。歴史的には、ディリクレ級数を使わずに、言い換えると L 関数を使わずに、類体論の証明を書き下すというシュヴァレーの望みがあった。 類体論の主要定理の最初の証明は、2つの「不等式」を要素として構成された(ガロア理論の基本定理の今では与えられた証明と同じ構造であるが、はるかに複雑である)。2つの不等式のうちの1つが、L 関数を用いる議論を含んでいた[3]。
後に、この発展とは逆に、アルティンの相互法則を非可換な場合へ拡張するためには、アルティンの L 関数を表現する新しい方法を探し求めることが実は本質的であるということが認識された。 この大きな志を持つ現在の定式化は、ラングランズ・プログラムによる。その基礎にあるのは、アルティンの L 関数は保型形式の L 関数でもあるという信念である[4]。21世紀初頭の時点では、これが最も広く専門家に受け入れられている非可換類体論の概念の定式化である[5]。 (引用終り)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/bjsiam/22/2/22_KJ00008113424/_pdf/-char/en 角切断近似をしな いボルツマ ン方程式 - J-Stage 森本芳則 著 - ?2012 The Boltzmann Equation without Angular Cutoff : The Theory of the Existence and the Regularity of Solutions Yoshinori Morimoto Volume 22 (2012) Issue 2 Pages 142-145 (抜粋) 特異性をもつ衝突積分項については1970年代 のPao [9]の研究以来t その擬微分作用素的な性質が指摘されてきたが2000 年に入り,C.Villani (2010 年フィールズ賞受賞〉を含む研究者等[1]に よりその積分作用素としての詳細な性質が明らかになった. (引用終わり)
ところで、その前に、おっちゃん、稠密(下記)を理解しているかい? R中のQは稠密だから、無理数のみの開区間や有理数のみの開区間は取れないことを!(^^ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%96%A2%E4%BF%82 稠密関係 (抜粋) 数学における稠密関係(ちゅうみつかんけい、英: dense relation)とは、集合 X 上の二項関係 R であって、X の R-関係にある任意の二元 x, y に対し、X の元 z で x とも y とも R-関係にあるようなものが存在するものをいう。
記号で書けば、 ∀ x ∀ y xRy → ( ∃ z xRz ∧ zRy) となる。
任意の反射関係は稠密である。
例えば、二項関係として狭義の半順序 < はそれが関係として稠密であるとき、稠密順序(dense order)であるという。すなわち、集合 X 上の半順序 ? が(あるいは順序集合 (X, ?) が)稠密であるとは、X の任意の二元 x, y で x < y を満たすものに対し、X の元 z で x < z < y を満たすものが必ず存在することを言う。
https://en.wikipedia.org/wiki/Solaris Solaris From Wikipedia, the free encyclopedia Solaris, a Latin word meaning "pertaining to the sun", may refer to: (Solarisは、「太陽に関するもの」を意味するラテン語で、次のものを参照することがあります。 by google翻訳) (抜粋) Literature, television and film[edit] Solaris (novel), a 1961 science fiction novel by Stanis?aw Lem Solaris (1968 film), directed by B. Nirenburg Solaris (1972 film), directed by Andrei Tarkovsky Solaris (2002 film), directed by Steven Soderbergh
Other uses[edit] Solaris (operating system) (引用終り) 0574現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/18(木) 23:11:47.44ID:gGT+ehE7>>570 補足
Swinnerton-Dyerさんが出てくるね(^^
https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_conjecture Littlewood conjecture (抜粋) Connection to further conjectures[edit] It is known that this would follow from a result in the geometry of numbers, about the minimum on a non-zero lattice point of a product of three linear forms in three real variables: the implication was shown in 1955 by J. W. S. Cassels and Swinnerton-Dyer.[1] This can be formulated another way, in group-theoretic terms. There is now another conjecture, expected to hold for n ? 3: it is stated in terms of G = SLn(R), Γ = SLn(Z), and the subgroup D of diagonal matrices in G.
Conjecture: for any g in G/Γ such that Dg is relatively compact (in G/Γ), then Dg is closed.
This in turn is a special case of a general conjecture of Margulis on Lie groups. (引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Swinnerton-Dyer Peter Swinnerton-Dyer (抜粋) Sir Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer, 16th Baronet KBE FRS (born 2 August 1927), commonly known as Peter Swinnerton-Dyer, is an English mathematician specialising in number theory at University of Cambridge. As a mathematician he is best known for his part in the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture relating algebraic properties of elliptic curves to special values of L-functions, which was developed with Bryan Birch during the first half of the 1960s with the help of machine computation, and for his work on the Titan operating system. (引用終り)
この文が、だれがいつ書いたのか不明だが・・・ ”that contributed to Lindenstrauss' Fields Medal in 2010.”とあってね へー、「Lindenstrauss' Fields Medal in 2010」なのか〜、と思った次第 私も、不勉強だね〜。全然ピントこなかったな〜(^^
https://www.york.ac.uk/ University of York https://www.york.ac.uk/media/mathematics/documents/Littlewood.pdf (抜粋) Littlewood's Conjecture (1930) Littlewood's Conjecture is at the heart of multiplicative Diophantine approximation and has motivated many recent breakthrough developments such as the work of Einsiedler, Katok and Lindenstrauss [5] that contributed to Lindenstrauss' Fields Medal in 2010. The conjecture is well known for its strong links with dynamical systems and ergodic theory (indeed, the measure rigidity conjecture of Margulis [7] regarding the dynamics on SL3(R)=SL3(Z) implies Littlewood's Conjecture) and is currently a part of a major research trend world-wide. It has been in the spotlight at many recent major workshops and conferences including the 2010 ICM in Hyderabad. (引用終り) 0576現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/19(金) 07:43:03.51ID:Nl8Dprui>>571 >おっちゃん、稠密(下記)を理解しているかい? >R中のQは稠密だから、無理数のみの開区間や有理数のみの開区間は取れないことを!(^^
<文学では> 「"The Sound of Silence" を"沈黙の音"とそのままに訳すと意味が通じません」 「松尾芭蕉 『古池や蛙飛び込む水のおと』 この俳句では、蛙がケロケロでもなクワックワッでもなく、古池に飛び込ませることで「静けさ」の音が伝わってくる素晴らしい作品です。」
(参考) http://kiyo-furu.com/silence.html The Sound of Silence−「沈黙の世界」〜訳と解釈 (2011/12/5,12/29,2012/2/6,4/17更新) kifuruの長文系ページ (抜粋) 1.タイトルの意味 The Sound of Silence 沈黙の世界 "The Sound of Silence" を"沈黙の音"とそのままに訳すと意味が通じません。 (引用終り)
だが、(>>560より) ”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする. Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である. (引用終わり)”
で、定理1.7の命題の中に矛盾(:R−Bf がR内で稠密な場合でも、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」などと)を含んでいた こんな例は、初めてだったので、(後の系1.8での背理法も絡み)脳波を狂わされたよ〜(^^ こんな簡単な話に気付くのに、一ヶ月ほどもかかってしまった・・(^^ 0586現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/19(金) 21:26:37.48ID:Nl8Dprui 今年はICMの年か http://www.icm2018.org/portal/en/home (抜粋) Welcome to the International Congress of Mathematicians 2018 (ICM 2018) From August 1st to 9th, 2018, Rio de Janeiro will host the International Congress of Mathematicians (ICM) in its largest and most traditional convention center: Riocentro, in the Barra da Tijuca neighborhood. (引用終り) 0587現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/19(金) 21:27:02.09ID:Nl8Dprui フィールズ賞はどうなるのかな?(^^ 0588現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/19(金) 21:27:49.49ID:Nl8Dprui 望月新一先生は、出席するのだろうか? 招待講演は? 0589現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/19(金) 21:30:28.79ID:Nl8Dprui 2012年の夏にIUTTの論文を完成させてニュースになったが、2014年は時期尚早とネコマタギされたのだった・・(^^ 0590現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/19(金) 21:39:36.82ID:Nl8Dprui>>575 関連
>”that contributed to Lindenstrauss' Fields Medal in 2010.”
2010年(ハイデラバード)[16] エロン・リンデンシュトラウス(Elon Lindenstrauss, 1970年 - ) イスラエル 「 For his results on measure rigidity in ergodic theory, and their applications to number theory. 」 0591現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/19(金) 21:43:22.61ID:Nl8Dprui>>590 関連
http://math.stanford.edu/~akshay/research/eklexp.pdf The work of Einsiedler, Katok and Lindenstrauss on the Littlewood conjecture ,Akshay Venkatesh Bulletin AMS (2007). http://math.stanford.edu/~akshay/ Akshay Venkatesh I'm a professor in the mathematics department at Stanford. My research is in number theory and related topics. http://math.stanford.edu/~akshay/research/research.html Akshay Venkatesh -- Research Interests My research is in number theory and various related topics. I like problems where there is interesting interaction between analysis and algebra. 0594現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/19(金) 22:21:04.12ID:Nl8Dprui>>593 関連
下記が正式版みたいだ。内容は殆ど同じだが、引用文献が下記の方が増えているから http://www.ams.org/journals/bull/2008-45-01/S0273-0979-07-01194-9/S0273-0979-07-01194-9.pdf THE WORK OF EINSIEDLER, KATOK AND LINDENSTRAUSS ON THE LITTLEWOOD CONJECTURE AKSHAY Venkatesh 著 - ?2008 BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 45, Number 1, January 2008, Pages 117?134 S 0273-0979(07)01194-9 Article electronically published on October 29, 2007 0595現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/19(金) 23:29:16.12ID:Nl8Dprui>>591 関連
http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/ Yann Bugeaud Professeur. Directeur de l'IRMA (Institut de recherche mathematique avancee, U.M.R. 7501). 2015 (avec D. Badziahin, M. Einsiedler et D. Kleinbock) On the complexity of a putative counterexample to the p-adic Littlewood conjecture. Compos. Math. 151 (2015), 1647-1662. 2011 (avec A. Haynes et S. Velani) Metric considerations concerning the mixed Littlewood Conjecture. Intern. J. Number Theory 7 (2011), 593-609. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/padicLitt9.pdf (avec N. Moshchevitin) Badly approximable numbers and Littlewood-type problems. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 150 (2011), 215--226. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/Vija1.pdf 2008 (avec B. de Mathan) On a mixed Littlewood conjecture in fields of power series. Diophantine analysis and related fields (DARF 2007/2008), AIP Conf. Proc. 976, Amer. Inst. Phys., Melville, NY, 2008. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/MLSF1.pdf 2007 (avec B. Adamczewski) On the Littlewood conjecture in fields of power series. Probability and Number Theory, Kanazawa 2005. Adv. Stud. Pure Math. 49 (2007), 1-20. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/LittleSF1.pdf (avec M. Drmota et B. de Mathan) On a mixed Littlewood conjecture in Diophantine approximation. Acta Arith. 128 (2007), 107-124. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/BDdMbis1.pdf 2006 (avec B. Adamczewski) On the Littlewood conjecture in simultaneous Diophantine approximation. J. London Math. Soc. 73 (2006), 355-366. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/Petitbois1.pdf 0596現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/19(金) 23:32:28.94ID:Nl8Dprui>>595 補足
A plot of Π _{p<= X}{{N_{p}}/{p}} for the curve y2 = x3 ? 5x as X varies over the first 100000 primes. The X-axis is log(log(X)) and Y-axis is in a logarithmic scale so the conjecture predicts that the data should form a line of slope equal to the rank of the curve, which is 1 in this case. For comparison, a line of slope 1 is drawn in red on the graph. (引用終り) 0601132人目の素数さん2018/01/20(土) 11:52:04.63ID:VK9rLWYy おっちゃんです。 >>592 >>594の http://www.ams.org/journals/bull/2008-45-01/S0273-0979-07-01194-9/S0273-0979-07-01194-9.pdf ではリトルウッドの解決はなされていない。 >>592のwikiの日本語版のサイトの内容はデタラメで、日本語版より正確な内容で最新の更新日が2017年10月27日と現在により近い英語版のwikiのサイトの https://en.wikipedia.org/wiki/Elon_Lindenstrauss に書かれている >Lindenstrauss works in the area of dynamics, particularly in the area of ergodic theory and its applications in number theory. >With Anatole Katok and Manfred Einsiedler, he made progress on the Littlewood conjecture. の意味は >リンデンシュトラウスは力学系特にエルゴード理論とその数論への応用について研究している。 >カトクやアインシードラーと一緒に、リトルウッドの予想が正しいことを確信させつつ、 >その予想の方面におけるより進んだ数学の業績を上げた。 になる。大雑把に訳すとこういうようになる。リトルウッドの予想は、まだ完全な解決には至っていない。 0602132人目の素数さん2018/01/20(土) 12:10:15.30ID:VK9rLWYy>>592 >>601の訂正: >>592のwikiの日本語版のサイト → >>591のwikiの日本語版のサイト 0603132人目の素数さん2018/01/20(土) 12:16:36.04ID:IeFhXE92 スレから出てくるなよボケアホ爺 0604132人目の素数さん2018/01/20(土) 12:23:12.88ID:VK9rLWYy>>603 誰へのレスだ? それともスレ主の自演か。 0605132人目の素数さん2018/01/20(土) 12:25:23.94ID:0anRsZlT 1年でゼロの状態から東京大学に受からせるための個別指導の予備校みたいなのって無いですか? 0606132人目の素数さん2018/01/20(土) 12:36:34.46ID:VK9rLWYy>>605 塾や予備校のことはよく知らない。 1年でゼロの状態から東大に受かるのは、ほぼムリ。 大学のお受験はつまらないモノと思っていた方がいい。 0607132人目の素数さん2018/01/20(土) 12:43:22.20ID:0anRsZlT>>606 3年でゼロの状態から受かるのはどうでしょうか? 0608132人目の素数さん2018/01/20(土) 13:01:07.55ID:VK9rLWYy>>607 3年間なら出来るとは思うが、学習法による。 知識とかは、チンタラチンタラ長くやっても身に付かず、 集中して身に付けないと身に付かない。 英語、古文、漢文の辞書を引くことについては、 それらの科目に或る程度慣れて単語が分かるようにならないと、 辞書を引くのに時間がかかることには変わりがない。 辞書を引いて調べたようなことが全くないと、 単語を調べるのかに手間がかかり辞書を引くのに時間がかかる。 0609132人目の素数さん2018/01/20(土) 13:12:05.24ID:7r0Arldd 東大に受かるには小学校からそのつもりで勉強しないと駄目 そして東大出のほとんどは下らない人生を送っている 真に人類に貢献する人はほんの一握り そしてそういう人は東大出じゃなくてもいる だから東大コンプレックスは捨てた方がいい、実に下らない 0610132人目の素数さん2018/01/20(土) 13:37:21.68ID:IrkaiIsq>>598 ======= 【大学院へ】 30過ぎて、数学の道へ 【挑戦】 第5章 0040 132人目の素数さん 2018/01/19 12:00:25 >>39 私はあそこのスレ主とは違う。 ガロアスレのスレ主は他人に成り済ましたりする癖があって、質が悪い。 =======
https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_conjecture Littlewood conjecture (抜粋) References 3 M. Einsiedler; A. Katok; E. Lindenstrauss (2006-09-01). "Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture". Annals of Mathematics. 164 (2): 513?560. arXiv:math.DS/0612721?Freely accessible. doi:10.4007/annals.2006.164.513. MR 2247967. Zbl 1109.22004. (引用終り)
これ、arXiv:mathのリンクから下記に入ると、”Ann. of Math. (2) 164 (2006)”版が公開されているね〜(^^ https://arxiv.org/abs/math/0612721 https://arxiv.org/pdf/math/0612721.pdf Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture Manfred Einsiedler, Anatole Katok, Elon Lindenstrauss (Submitted on 22 Dec 2006) We classify the measures on SL (k,R)/SL (k,Z) which are invariant and ergodic under the action of the group A of positive diagonal matrices with positive entropy. We apply this to prove that the set of exceptions to Littlewood's conjecture has Hausdorff dimension zero. Subjects: Dynamical Systems (math.DS); Number Theory (math.NT) Journal reference: Ann. of Math. (2) 164 (2006), no. 2, 513--560 (抜粋) Part 2. Positive entropy and the set of exceptions to Littlewood’s Conjecture 7. Definitions
11. The set of exceptions to Littlewood’s Conjecture
The following well-known proposition gives the reduction of Littlewood’s conjecture to the dynamical question which we studied in Section 10; see also [24, §2] and [46, §30.3]. We include the proof for completeness. Proposition 11.1. The tuple (u, v) satisfies (11.1) liminf n→∞ n ||nu|| ||nv|| = 0, if and only if the orbit A+τu,v is unbounded where A+ is the semigroup (略) (引用終り) 0626現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/20(土) 22:47:59.48ID:gQefYikW>>625 補足
このPDFをざっと眺めると・・(^^ (細かいところは、全くついて行けず、理解できないが・・) Positive entropyとか、本当に力学的な(ポアンカレのトポロジーも力学的な課題から発しているというし、ペレリマン先生も”entropy”とか書いていたが) 理論を適用して、 ”Proposition 11.1. The tuple (u, v) satisfies (11.1) liminf n→∞ n ||nu|| ||nv|| = 0, if and only if the orbit A+τu,v is unbounded where A+ is the semigroup ”
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。何度も同じことを言わせるな。 ruler function を f とするとき、R−B_f は第一類集合になってないので、 f は例の定理の「適用範囲外」ということになり、よって例の定理の反例になり得ない(>>45)。 0637132人目の素数さん2018/01/21(日) 01:09:14.34ID:hREHM7MH >3.”稠密”についての意識が希薄。集合R−Bfは、R中の有理数Qを念頭に置いたものがだから、集合R−BfもR中に稠密分散している。 > ならば、”Bf内”に、”リプシッツ連続である開区間”など取れるはずがない。
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。 お前のこの発言のうち、最初の一行目は
「集合R−Bfは、R中の有理数Qを念頭に置いたものがだから、集合R−BfもR中に稠密分散している」
というものであるが、これを簡潔に言い直せば、
「 R−B_f は必ず R の中に稠密に分布する」
というものである。しかし、R−B_f についての仮定は、「 R−B_f は第一類集合とする」という条件だけであるから、 R−B_f は必ずしも R の中に稠密に分布しない。よって、この時点で、お前の言っていることは完全に間違っている。 言い換えれば、お前は例の定理の「仮定」の部分を正しく認識できていない。 というより、お前は「 P ならば Q 」の形をした命題全般について、正しく認識できていない。レベルが低すぎる。問題外。キチガイ。
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。レベルが低すぎる。問題外。 定理1.7は「 P ならば Q 」という形の命題になっており、具体的には
P: R−B_f は第一類集合 Q: f はある開区間の上でリプシッツ連続
である。従って、定理1.7 が適用できるか否かは、考えている関数 f が条件 P を満たすか否かのみで決まる。 すなわち、f が P を満たすなら定理1.7が適用できるし、P を満たさないなら適用範囲外である。 件の関数 f がもし存在するなら、R−B_f ⊆ Q となるので、R−B_f は第一類集合となり、 P が成り立つことになるので、定理1.7 が適用「できる」のである。 そして、そこで矛盾するので、そのような f は存在しないことになる。 この理屈が分からないのは本当に問題外である。キチガイ。レベルが低すぎる。
あるいは、次のように言ってもよい。件の関数 f がもし存在するなら、 「 R−B_f は第一類集合であり、なおかつ、R−B_f は R の中に稠密に分布する 」…(*) ので、特に、この f に対して
「 P は真だが Q は偽である 」…(1)
という性質が成り立つことになる。しかし、定理1.7により、「 P ならば Q 」が 成り立つことが示されているのだから、(1)は起こり得ないはずであり、矛盾する。 よって、件の関数は存在しない。
において、ruler function が反例にならないことの根拠が書いてある。 大きなポイントは、スレ主がたびたび引用している
>THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets >of points that are each dense in the reals. >Then g fails to have a derivative on a >co-meager (residual) set of points. In fact, >g fails to satisfy a pointwise Lipschitz >condition, a pointwise Holder condition, >or even any specified pointwise modulus of >continuity condition on a co-meager set.
という定理である( co-meager という性質をよく見たまえ)。 この定理により、ruler function に対しては 「 R−Bf は第一類集合にならない 」ことが示されるのである。
既に論破済みの ruler function とかいう関数をいつまでも持ち出すなよゴミクズ。 0651132人目の素数さん2018/01/21(日) 10:39:00.83ID:hREHM7MH>>648 >だから、定理1.7は、”R−Bf は、R中で稠密ではない”場合のみしか適用できない >これは良いよね