純粋・応用数学（含むガロア理論）7
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面 ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png
おサル、あいつは 双曲幾何の修論でも書いたみたいだなｗ（＾＾）
可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ＊）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾
注＊）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり～！（＾＾；
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾ 有限と無限の区別が付かないあなたには純粋数学も応用数学も無理ですね
あなたに手に負えるのは算数までです >>3
ほいよ
レーヴェンハイム?スコーレムの定理：
”定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す”
嫁め
https://twitter.com/olb52ow00eP05RZ/status/1384084508899614723
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
正確な記述
この定理は、上の箇条書きされた部分に対応して2つに分割されることが多い。ある構造がより小さい濃度の初等部分構造を持つとする定理の部分を下方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。ある構造がより大きい濃度の初等拡張を持つとする定理の部分を上方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。
例と帰結
自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。レーヴェンハイム?スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。
つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>5
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim%E2%80%93Skolem_theorem
Lowenheim?Skolem theorem
Consequences
The statement given in the introduction follows immediately by taking M to be an infinite model of the theory.
The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model; sometimes this is considered to be part of the theorem.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Lowenheim-skolem.svg/330px-Lowenheim-skolem.svg.png
Illustration of the Lowenheim?Skolem theorem
Proof sketch
Upward part
First, one extends the signature by adding a new constant symbol for every element of M. The complete theory of M for the extended signature σ' is called the elementary diagram of M. In the next step one adds κ many new constant symbols to the signature and adds to the elementary diagram of M the sentences c ≠ c' for any two distinct new constant symbols c and c'. Using the compactness theorem, the resulting theory is easily seen to be consistent. Since its models must have cardinality at least κ, the downward part of this theorem guarantees the existence of a model N which has cardinality exactly κ. It contains an isomorphic copy of M as an elementary substructure.[3][4]:100?102
(引用終り)
以上 >>4
＞こんにちは。おじゃまします。
どうも
宜しくお願いいたします。 >>5 補足
数学とは関係ない余談ですが、藤井聡太さん
鉄道オタクだそうです
https://twitter.com/olb52ow00eP05RZ/status/1384084508899614723
天使の脇息
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https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) スレ主よ、サル石が、
定義すれば存在する、と書いたから、
では火星人を定義したら火星人は存在するのか、と質問してやったら、
>数学上で火星人を定義すれば数学上に火星人は存在する
という珍レスを書いてきた(笑
おまけに質問少年というバカもそれに賛同して
>数学における存在とは、定義があるということなので、火星人を適当に定義すれば、火星人は数学上で存在することになるのです
と書いてきた(笑
この二人は2chの二大馬鹿だ(笑
僕は毎日毎日こういうドアホを相手にしているのだ(笑 >>11
哀れな素人さん、
どうも、スレ主です
(引用開始)
定義すれば存在する、と書いたから、
では火星人を定義したら火星人は存在するのか、と質問してやったら、
>数学上で火星人を定義すれば数学上に火星人は存在する
という珍レスを書いてきた(笑
(引用終り)
ああ、それはバカな回答をしたものです
実社会では、通用しない人の考えですね
ガキです。子供ですねｗ（＾＾； これ面白い（＾＾；
https://news.yahoo.co.jp/articles/eb0d22041c90790f8ef5c07c54c15f32263d13ea
早稲田政経の入試で数学必須が話題に… “数学不要論”に天才数学者の答えは
4/19(月) 7:33配信 （ABEMA／『ABEMA Prime』より）
ABEMA TIMES Yahoo
■政治経済に“数学必須”は当然？ 公式の暗記や計算力ではない「論理力」
2つのビールの缶の上に板を乗せ、さらにその上に置いた2台のメトロノーム。最初はバラバラだった2台のメトロノームの振れ幅が、徐々に同期していく。しかし、これは必ず起こる現象でもない。この同期現象の方程式は「蔵本予想」と呼ばれるが、40年間誰一人として数学的に証明できなかった難問だ。その謎を解き明かしたのが東北大学教授の数学者・千葉逸人氏。
千葉氏が「解くのに6年かかった」と述べると、ネット掲示板『2ちゃんねる』創設者のひろゆき氏は「数式を出されて、解いていない人は（答えが）合っているかどうか分からないのではないか。合っているかどうか、その確認も含めて6年かかったのか」と質問。千葉氏は「私が解くのに6年かかった。論文を書いて、それを国際のジャーナルに出して、その後に数学の専門家がチェックする。そのチェックには2年かかった」と答えた。
つづく >>13
つづき
■「英語はできて当たり前」 割り勘ができない数学者も？
高校教育では、数学I・II・III、数学A・Bが現行科目となっている。千葉氏は、どれくらいのレベルまで必要と見ているのだろうか。
「具体的にどの知識を使うかの問題ではない。例えば、中学校3年生や高校1年生で『数学を勉強しなくていい』となってしまったら、そこで勉強するのをやめてしまう。私はそこがあまりよくないと思う。思考力を鍛えるには、継続的にずっと考えていく必要がある」
また、数学者の中にはレベルの高い研究をやりすぎて、簡単な掛け算や割り算ができなくなってしまうこともあるという。
「数学者同士で飲み会に行ったときに、割り勘の計算が誰もできないことがあった。もちろん計算力は大事で、研究にあたって、その上に抽象化した理論が乗ってくる。大学の教員など、研究レベルになると、ほとんどXやYを使った抽象的な計算ばかりやる。そればっかりやっていると、掛け算や割り算が逆にできなくなっちゃう」
思わぬところで役立つ数学の知識。数学を極めることで、生涯年収にも影響があるのだろうか。
千葉氏は「日本のデータでそれほど差がない」とした上で「アメリカでは非常に顕著だ。例えば、GoogleやAppleは数学の博士号を持っている人をどんどん採用している。アメリカでは数学でドクター（博士号）を取ると、就職はもう引く手あまただ。日本はその点ではちょっと遅れている」と語る。
(引用終り)
以上 ブログつくったので４６４９
mara.hatenablog.jp/entry/2021/04/18/190851 >>16
ありがとさん
おサルのブログ見たけど
あんたのガロア理論の理解って粗雑きわまりないね
どこが粗雑だって？
教えてはやらん！
自分で考えろ！！ｗ（＾＾； まあ、半年くらい晒しものにしてから
下記のガロア資料スレで、まな板にのせて、料理するのも面白いかもなｗ（＾＾
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/ >>18
おサルさんが
こっそり、改ざん修正できないように
スナップショットを貼っておくよ（＾＾；
＜スナップショット＞
https://mara.hatenablog.jp/entry/2021/04/18/190851
”雑談 ◆yH25M02vWFhP”を語る 5ch数学板の”名物男”について語る
2021-04-18
ガロア理論について一般人が知っとけばいいこと
雑談君はガロア理論に大変ご執心で、１０年もの間、
５ｃｈ数学板でガロアと名の付くスレッドを立て続けたが
結局ガロア理論の基本定理も理解できなかった。
ガロア理論については、理学部数学科を卒業した人以外にとっては
「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
（代数的に解けない＝ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味）
ということを証明する理論としてしか認識されてないし
それ以上の興味はないようなので、そこに合わせて
一般人が知っとけばいいことを列挙する。
ガロア理論による５次以上の代数方程式の非可能性の概要
１．それぞれの代数方程式に対して、
方程式のガロア群なるものが存在する。
ガロア群 - Wikipedia
２．代数方程式がベキ根で解けるとき、そのときに限り、
その方程式のガロア群は、可解性という性質を持つ。
可解群 - Wikipedia
３．たいていのｎ次方程式のガロア群はｎ次の対称群である。
対称群 - Wikipedia
４．５次以上の対称群は可解性を有しない。
アーベル-ルフィニの定理 - Wikipedia
５．したがって、５次以上の代数方程式は一般的にベキ根で解けない。
つづく >>19
つづき
解の存在
６．代数方程式は必ず複素数の解をもつ。
方程式がｎ次なら、重複も含めて(※)ｎ個の解をもつ。
（代数学の基本定理 Ｃ．Ｆ．ガウス）
代数学の基本定理 - Wikipedia
※重複を含めて、というのは同じ解が複数個あることを含めて、という意味
(ベキ根以外の方法を用いた）解の公式
７．ベキ根だけではなく他の関数(※)を使えば
代数方程式の解を表示する公式が得られる。
（トマエ(Thomae)の公式）
Thomae's formula - Wikipedia
※具体的にはテータ関数と楕円積分もしくは超楕円積分
ベキ根は指数関数と対数関数（1/xの積分）によって構成される
数値解法
８．代数方程式の解の数値を得るだけなら、別に解の公式による必要はない。
例えば、偏角の原理を使えば、いくらでも正確に解の存在範囲を絞り込める
偏角の原理 - Wikipedia
(引用終り)
以上 >>12
妄想症で虚言癖で詐欺師のあなたが実社会で通用するとは思えませんが >まあ、半年くらい晒しものにしてから
>下記のガロア資料スレで、まな板にのせて、料理するのも面白いかもなｗ（＾＾
・・・と、正規部分群が分からない阿呆が申しております >>17
＞教えてはやらん！
教えてはやれん、の誤りだろ？
雑談男は、大学１年の４月で数学オチコボレた、パクチーだもんなｗ
>>18
＞まあ、半年くらい・・・
１０年経っても無理ｗ
ガロア理論の基本定理を完全に誤解してるパクチーの雑談男にはな
ギャハハハハハハ！！！（耳をつんざく高笑い） >>24
おっちゃんはそもそも数学すべてがわからない そんなおっちゃんは調和解析の本を買ったらしい
Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals (Princeton Mathematical Series) >>17-20
さっそくブログに追加したったｗｗｗ
mara.hatenablog.jp/entry/2021/04/18/190851
(追伸)
さっそく、雑談男が悔しがって暴れております。
純粋・応用数学（含むガロア理論）7
つくづくみっともない男でございます。 >>27
自分はついついこんな本を買ってしまった
THE MATH BOOK
BIG IDEAS SIMPLY EXPLAINED
そのうち、三省堂から翻訳が出るとが思うが
dictionary.sanseido-publ.co.jp/features/%E4%B8%89%E7%9C%81%E5%A0%82%E5%A4%A7%E5%9B%B3%E9%91%91%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA >>16 追加
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/110
110 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 投稿日：2021/04/20(火) 20:37:26.13 ID:CT0jWesX [5/8]
>>107
おやおや？
ああ、そうだったのか（下記）ｗ
アク禁食らっていたのかｗｗ（＾＾
（参考）
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617170015/210
210 名前：Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM [sage] 投稿日：2021/04/20(火) 14:39:37.07 ID:aDyHuZSF
1か月は長かった･･･
やっと制限解除になったので書き込める まず、その体の上で考えるかを最初に決めなければ、その代数方程式のガロア群は
もとより、既約性も定まらない。通常は、体は標数が0であるものを考えることに
して、その方程式の係数から作られる体K（標数0の最小の体である有理数体Qに
方程式の係数をすべて添加して拡大した体）の上で議論する。
もちろん、考えている係数が標数0の体の元ではない場合にはそれはそれでまた
その標数の素体上で係数を添加した体の上で考えるのだ。
もとの方程式が係数体上で可約な場合には、ガロア群は連結にはならない。
既約な場合を考えれば十分だから通常は方程式の既約成分（既約分解したそれぞれ
の因子）についてだけ議論をすれば良い。
数学では、方程式がある体の上で可約か既約かは（おのずと）決まっているとし、
可約な場合にはその因子分解も（おのずと）決まる、として具体的にその可約性の
判定方法とか因子分解を構成する方法は語らないで議論してしまうが、本当はそれ
らを判定したり構成する具体的な手順（アルゴリズム）が（たとえばQの代数的数
を添加して拡大した体の上であれば）存在する。 >>30 補足
運営から目を付けられていたんだろう
自分では、数学分かっているつもりの”ハナタカ”やっているが
その実、Fラン数学科の落ちこぼれさん
本質的なところが、全く分かっていない
>>19-20のガロア理論のブログも
粗雑きわまりない >>31
>まず、その
「まず、どの」でしょう？
一般人はガロア理論を理解する意欲はないから
あきらめさせるためにわかった気分にさせてあげてるだけ
雑談君も所詮わかった気分になりたいだけのド素人ｗｗｗ >>33
>自分では、数学分かっているつもりの”ハナタカ”やっているが
・・・その実、Fラン工学部卒のオチコボレ それが雑談君SET A
大阪と大学の間に、なんか２文字入るんだろ？
ギャハハハハハハ！！！（耳をつんざく高笑い） 雑談君に問題だ
Q1
Rに虚数iを添加すると代数的閉体になるが
Qに虚数iを添加しても代数的閉体にはならない
その理由を答えよｗ
Q2
体Fが虚数iを添加するだけで代数的閉体になるには
いかなる性質を有している必要があるか 答えよ >>15
ID:kDwifQDr、千葉逸人をバカにするとは他人の実力を正確に判断出来ていない。
千葉は瀬田君と同じ工学部出身だけど、ピエロを演じているように見える千葉と、瀬田君とは全く実力が違う。 >>38
＞ID:kDwifQDr、千葉逸人をバカにするとは他人の実力を正確に判断出来ていない。
＞千葉は瀬田君と同じ工学部出身だけど、ピエロを演じているように見える千葉と、瀬田君とは全く実力が違う。
どうも。スレ主です（＾＾
名前の議論は私はしない。だれか他人の第三者に迷惑がかかる可能性があるからね。もっとも、実名がばれても、当方は全く痛痒を感じないが
ところで本題、「千葉逸人をバカにするとは他人の実力を正確に判断出来ていない」は、正しい
大学のプロ数学者とは、比較にならんぜ（＾＾； >>19 追加
>ガロア理論については、理学部数学科を卒業した人以外にとっては
>一般人が知っとけばいいことを列挙する。
ここ、理学部数学科を卒業した人を、特別扱いするアホな発想
例えば、下記東工大 物理数学特論 現代物理学を学ぶために必要な数学の諸分野の講義を見よ
「群論」が最初。「群論」くらいは、いまどき普通だよ。物理に限らん。この「群論」に決定的な影響を与えたのがガロア先生だよ（＾＾
（参考）
http://www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General&;action=T0300&GakubuCD=100&GakkaCD=12&KougiCD=201700383&Nendo=2017&lang=JA&vid=03
東工大
2017年度 物理数学特論 Advanced Applied Mathematics for Physicists
講義の概要とねらい
現代物理学を学ぶために必要な数学の諸分野、特に集合論、群論、位相空間論、多様体、微分幾何学, 、リー群および代数について説明する。
現代の物理学を学ぶ上で必要性が増してきている代数学および幾何学の幅広い話題について, 講義と演習を通して基本的な考え方や手法を習得することを目的とする。
到達目標
集合論, 群論, 位相空間論の基本的な理論体系を理解すること。
簡単な定理についてみずから証明をあたえ, 黒板で説明することを通じて,演繹的に推論をおこなう数学的な技術や手法を身につける。
学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)
? 専門力 ? 展開力(実践力又は解決力)
授業計画 課題
第1回 群論 群の定義とその例について理解する
第2回 巡回群, 群準同型定理 巡回群, 群準同型定理について学ぶ
第3回 既約剰余類群 既約剰余類群について学ぶ
第4回 位相空間論 I 距離空間、連続性, 近傍系 位相空間の距離空間、連続性, 近傍系について理解する
第5回 位相空間論 II, コンパクト性、連結性 コンパクト性、連結性について理解する
第6回 多様体 I 微分可能多様体 微分可能多様体について理解する
第7回 多様体 II 接ベクトル空間、微分形式 接ベクトル空間、微分形式について理解する
第8回 位相幾何学 I 多様体のホモロジーとコホモロジー 多様体のホモロジーとコホモロジーについて理解する
第9回 位相幾何学 II de Rhamの定理 de Rhamの定理とその応用について理解する >>40
>ここ、理学部数学科を卒業した人を、特別扱いするアホな発想
>例えば、下記東工大 物理数学特論 現代物理学を学ぶために必要な数学の諸分野の講義を見よ
>「群論」が最初。「群論」くらいは、いまどき普通だよ。物理に限らん。この「群論」に決定的な影響を与えたのがガロア先生だよ（＾＾
補足
・昔、プロ野球が人気だったころ（いまサッカーとかいんなプロスポーツがある）
・身体能力の高い人は、みんなプロ野球を目指した
・なにが言いたいか？ 普段野球をやっている人が、陸上競技をやると、普段陸上競技をやっている人の上をいくというケースが普通にあった。中学、高校くらいまで
・陸上競技じゃ、稼げないでしょ
・これを理系の学科に当てはめると、理系で真に数理的な能力の高い人は、みんな物理を目指した。物理ならノーベル賞を貰えるから。賞金1億円。フィールズ賞は200万円？ｗ
例えば、物理数学の大栗先生
（余談だが、一時プロ数学者が、物理を勉強するブームがあったらしい。野口五郎先生の本に書いてあった。ドリーニュ先生も一時物理を勉強したらしい（＾＾； ） >>40
授業計画が途中でちぎれてるぞｗ
授業計画 課題
第1回 群論 群の定義とその例について理解する
第2回 巡回群, 群準同型定理 巡回群, 群準同型定理について学ぶ
第3回 既約剰余類群 既約剰余類群について学ぶ
第4回 位相空間論 I 距離空間、連続性, 近傍系 位相空間の距離空間、連続性, 近傍系について理解する
第5回 位相空間論 II, コンパクト性、連結性 コンパクト性、連結性について理解する
第6回 多様体 I 微分可能多様体 微分可能多様体について理解する
第7回 多様体 II 接ベクトル空間、微分形式 接ベクトル空間、微分形式について理解する
第8回 位相幾何学 I 多様体のホモロジーとコホモロジー 多様体のホモロジーとコホモロジーについて理解する
第9回 位相幾何学 II de Rhamの定理 de Rhamの定理とその応用について理解する
第10回 実 Clifford 代数の表現 実 Clifford 代数の表現について理解する
第11回 球面上のベクトル場 球面上のベクトル場について理解する
第12回 複素 Clifford 代数の表現 複素 Clifford 代数の表現について理解する
第13回 Dirac spinor, 荷電共役 Dirac spinor, 荷電共役について理解する
第14回 回転群, Lorentz 群の表現 回転群, Lorentz 群の表現について理解する
第15回 Lie 群の表現 Lie 群の表現について理解する
で？ガロア理論なんてどこにもでてこないぞｗ
もしかして雑談男SET Aは、
群論＝ガロア理論
と大誤解してないか？ｗｗｗｗｗｗｗ T工大のシラバスを調べたが
やっぱり「ガロア理論」（注：群論に非ず！！！）は
数学科でしか教えてないな
www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General&action=T0300&JWC=202007025&lang=JA&vid=03
2020年度 代数学続論 Algebra III
講義の概要とねらい
本講義の主要なテーマは体の有限次代数拡大の理論・ガロア理論およびその応用である。
ガロア理論は現代数学の基礎へアプローチする際の最も重要な基盤理論の一つであり、
同時に大学で学修する代数学の一つの到達点であるとも言える。
本講義ではガロア理論の基本定理を習得し、その応用として代数方程式の可解性を含めた
様々なトピックについての理解を深めることを目的とする。
到達目標
体の拡大の基礎理論について、および有限次代数拡大とその剰余環による構成やガロア拡大などについて学ぶ。
さらに体の間の準同型やそれらの拡大、体の自己同型および代数閉包の存在などについても学修する。
ガロア拡大体の中間体と対応するガロア群の部分群との間の対応（ガロア対応）についての定理、
いわゆるガロア理論の基本定理を理解し、その応用として有限体の理論、代数方程式の代数的可解性の問題、
さらには作図問題などを理解する。
キーワード
ガロア拡大、ガロアの基本定理、有限体、代数方程式の可解性
授業計画・課題
第1回 体とその拡大 講義中に指示する
第2回 単純拡大、代数的拡大 講義中に指示する
第3回 代数的閉包とその存在 講義中に指示する
第4回 分離拡大と非分離拡大 講義中に指示する
第5回 体の同型写像とその延長 講義中に指示する
第6回 最小分解体、正規拡大 講義中に指示する
第7回 ガロア拡大とそのガロア群 講義中に指示する
第8回 ガロアの基本定理 講義中に指示する
第9回 ガロア群の様々な計算例 講義中に指示する
第10回 円分体 講義中に指示する
第11回 トレースとノルム、有限体 講義中に指示する
第12回 巡回クンマー拡大 講義中に指示する
第13回 ガロア理論の応用：方程式のべき根による解法 講義中に指示する
第14回 ガロア理論の応用：定規とコンパスによる作図およびその具体例 講義中に指示する >>41
＞・昔、プロ野球が人気だったころ（いまサッカーとかいんなプロスポーツがある）
＞・身体能力の高い人は、みんなプロ野球を目指した
＞・なにが言いたいか？ 普段野球をやっている人が、陸上競技をやると、普段陸上競技をやっている人の上をいくというケースが普通にあった。中学、高校くらいまで
＞・陸上競技じゃ、稼げないでしょ
雑談君は野球好きみたいだから、
数学は一切やめて、これからは野球一筋で生きたほうがいいよ
＞・これを理系の学科に当てはめると、理系で真に数理的な能力の高い人は、みんな物理を目指した。
＞ 物理ならノーベル賞を貰えるから。
＞ 賞金1億円。フィールズ賞は200万円？
雑談君はお金がほしいようだから、
数学とか物理とかじゃなく
ITビジネスに精出したほうがいいよ
ビル・ゲイツは大学中退だけど、資産ン兆円だから
あ、兆は億の一万倍ね 知ってるだろうけどｗ >>19
大栗博司先生と比べれば雲泥の差ｗ（＾＾
https://planck.exblog.jp/22344474/
大栗博司のブログ
2014年 07月 12日
ガロア理論
さて、昨年の１１月から、幻冬舎のウェブマガジンで連載してきた『数学の言葉で世界を見たら』も、今月の２回の配信で任期満了です。
連載最後の話題は、「ガロア理論」にしました。
ガロアは、決闘の前夜から早朝までかけて親友のに手紙を書き、数学における自らのアイデアの全貌を伝えようとしました。手紙の最後には、「僕にはもう時間がない。僕のアイデアはこの広大な分野において十分に発展されたとは言えないのだ」と書かれています。政治の混乱と社会の矛盾に翻弄された人生でした。
彼が遺書に書き残したアイデアは、その美しさが数学者を魅了しただけでなく、20世紀・21世紀の科学や技術の進歩に大きな影響を与えることになります。
20歳と7ヶ月の短い人生の中で、ガロアは何を成し遂げたのか。彼が切り開こうとしたのはどんな世界だったのか。
『数学の言葉で世界を見たら』 連載の第１７回の記事はこちらから。
⇒ 第１７回 ： 難しさを測る、美しさを測る 前編 https://www.gentosha.jp/article/2310/
連載最終回の配信は７月２７日（日曜日）の予定です。お楽しみに。
https://www.gentosha.jp/article/2311/
数学の言葉で世界を見たら 幻冬舎
2014.07.27 更新 ツイート
第18回（最終回）
難しさを測る、美しさを測る 後編
大栗博司
なぜ解けたかをもう一度考えてみる
ラグランジュは、このように、方程式の解の入れ替えに注目することで、方程式が解ける理由を説明した。ガロアは、これからさらに進んで、その理由が、S2やS3という対称群の性質によるものであることを明らかにした。そもそも、入れ替えの対称性をまとめて、「群」というものを考えたのはガロアが最初だった。
https://www.gentosha.jp/article/2311/?page=2
数学の言葉で世界を見たら 幻冬舎
2014.07.27 更新 ツイート
第18回（最終回）その２
5 次方程式と正20面体
3次方程式が立方根と平方根で解けた理由はそこにあった。
しかし、正20面体群はそれ以上分解できず、しかもその中では掛け算の順序を入れ替えることができない。そのために、5次方程式のときには、5つの解を足したり引いたりする操作とべき乗を取る操作を繰り返すだけでは、S5で不変な組み合わせにすることはできない。5つの解が、方程式の係数のべき根で表されているのなら、それらを足したり引いたりべき乗を取ったりすれば、方程式の係数に戻せるはずだ。それができないということは、べき根だけで解の公式が書けないということになる。5次方程式は、べき根だけでは解けないことがわかった。 >>46
勉強まではいかないが
昔っから、固体の欠陥の応力を多様体として扱う考えがあるよ
例えば下記など。英文だともっといろいろあるだろう
読んだけど、むずかった記憶ある（＾＾
https://tohoku.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&;active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=88676&item_no=1&page_id=33&block_id=38
https://tohoku.repo.nii.ac.jp/?action=repository_action_common_download&;item_id=88676&item_no=1&attribute_id=18&file_no=1
欠陥をもつ材料多様体の幾何学
Geometry of Materials Manifolds with Defects
著者井上 和俊
登録日 2014-12-05
学位授与機関Tohoku University
学位授与番号理第1257号
URL http://hdl.handle.net/10097/57721 >>38
どの辺がすごいの？
ttps://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/69/2/69_0692181/_article/-char/ja >>48 追加
英文だと下記みたいなのがヒット
”dislocation”は、転位という訳語があります
https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_defect
Topological defect
Examples
Topological defects occur in partial differential equations and are believed[according to whom?] to drive[how?] phase transitions in condensed matter physics.
Solitary wave PDEs
Examples include the soliton or solitary wave which occurs in exactly solvable models, such as
・screw dislocations in crystalline materials,
・skyrmion in quantum field theory, and
・topological defects[clarification needed] of the Wess–Zumino–Witten model.
Lambda transitions
Main article: Lambda transition
Topological defects in lambda transition universality class[clarification needed] systems including:
screw/edge-dislocations in liquid crystals,
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_geometry
Riemannian geometry
Introduction
There exists a close analogy of differential geometry with the mathematical structure of defects in regular crystals. Dislocations and disclinations produce torsions and curvature.[1][2] >>47
現代数学の抽象化は、ガロア理論の群論から発しているのです（＾＾
そして、数学のみならず物理などにも大きな影響を与えたのです（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2
エヴァリスト・ガロア
数学的業績
数学者として10代のうちにガロア理論の構成要素である体論や群論の先見的な研究を行った。
群論は数学の分野において重要であるだけでなく、数学以外、例えば物理学では相対性理論や量子力学などを厳密に（形式的に）記述するツールとして用いられる。また、計算機科学、特に理論計算機科学においてガロア体、特に位数2のガロア体 F2 は最も多用される数学的ツールのひとつである。
このように代数学で重要な役割を果たすガロア理論は、現代数学の扉を開くとともに、20世紀、21世紀科学のあらゆる分野に絶大な影響を与えている。しかし、ガロアの業績の真実と重要性、先見性は当時世界最高の研究機関であったパリ科学アカデミーを初め、カール・ガウスやオーギュスタン・コーシー、カール・ヤコビと言った歴史に名を残した同時代の大数学者達にさえ理解されず、生前に評価されることはなかった[1]。群論の基礎概念とも言える集合論がゲオルク・カントールによって提唱され、ガロア理論へと通じる数学領域が構築されるのでさえ、ガロアによるガロア理論構築の50年も後のことである。
https://hiroyukikojima.はてなブログcom/entry/20110404/1301921889
hiroyukikojima’s blog
2011-04-04
思想としてのガロア理論
自分も寄稿している雑誌『現代思想』青土社」の4月号、特集「ガロアの思考〜若き数学者の革命」が届いた。
現代思想2011年4月号 特集=ガロアの思考 若き数学者の革命
作者: 上野 健爾,吉田 輝義,砂田 利一,黒川 信重,小島 寛之,竹内 薫
出版社/メーカー: 青土社
発売日: 2011/03/28
つづく >>53
つづき
今回は、どの記事も面白かったのだけれど、とりわけ、サイエンスライター・竹内薫さんの「ガロアは現代物理学の源流だ！」に感銘を受けた。なんといっても、その面白くて読みやすい文体がスゴイ。さすがプロ。ガロアと物理学を語っているのにスルスルと読めてしまう。こういう芸当はまねできない。亡き森毅さん(合掌…)を彷彿とさせる達筆ぶりである。とりわけ、上記のぼくの本を紹介してくださったうえ、次のように書いてくれたのは、胸がすく思いだった。
竹内薫さんの文書で、他に気に入ったものを引用するとすれば、たとえば以下のものなんかだ。
超ひも理論を勉強すると、不思議な感覚に襲われる。従来は、素粒子という、確固たる実在があって、それを群論で分類するようなイメージが強かった。ところが、超ひも理論となると、まるで、「初めに対称性ありき」という感じなのだ。最初に「群」があって、その対称性に合うような超ひもだけが存在できる。なんだか、対称性と物理的実在の関係が逆転しているかのような印象を受けてしまう。
こういうところが、さすが、プロの文筆家。『現代思想』という雑誌の潜在的要求をちゃんとクリアしている。カッコいいっす。
数学系の人々の論説も、それぞれに面白い。上野健爾さんは、ガロアの人生をまとめながら、じわじわと専門である代数幾何の発展に読者を導いている。そして、ガロアから始まる現代代数学の潮流について、次のように述べている。
方程式が与えられればそのガロア群は決まる。しかし、具体的に方程式を与えたときに、そのガロア群を計算することは一般には決して簡単ではない。簡単には計算できないにもかかわらず、ガロア群を定義することができることはよく考えると奇妙なことである。(中略)。しかし、それは現代数学に一般的な特徴である。(中略)。具体的な計算ができる例はわずかしかなくても、矛盾なく定義できることが分かることが重要なのである。
これまた、「思想」だよね。それから、黒川信重さんは、例のごとく(笑い)、ご自身の先端理論「絶対数学」を熱く語り、その中で、「絶対ガロア理論」というものを打ち出しておられる。いつもながら楽しい。」
(引用終り)
以上 >>45
＞ああ、いまなら東大理IIIかもな
雑談君は医者になりたいようだから、
今から勉強してどこでもいいから医学部に入ったほうがいいね。
それなら数学板じゃなく医歯薬看護板で情報収集したら？
mao.5ch.net/doctor/ >>49
＞ゆるきゃらのとりちうむかわいい😢。
ゆるキャラに騙されたらあかんよ >>53
＞ガロア理論の群論
その言い方で、雑談君はガロア理論も群論も
全くわかってないと露見しちゃったな
実際、T工大の「物理数学特論」では
まったくガロア理論は入ってない
あ、雑談君は全然理解してないから
ガロア理論が入ってないことすら
分からないのかｗ
第1回 群論 群の定義とその例について理解する
第2回 巡回群, 群準同型定理 巡回群, 群準同型定理について学ぶ
第3回 既約剰余類群 既約剰余類群について学ぶ >>53-54
＞『現代思想』
この雑誌って、専門書を真面目に読む気力もないのに
利口ぶりたがる似非賢者が買う典型的な雑誌だよな
とはいえ、「巨大数の世界」特集のときは
フィッシュ氏と小林銅蟲氏の記事が読みたくて
ついつい買っちゃったけどさｗ
ちなみにＡ．カナモリの「巨大基数の集合論」は
わたしも持ってます・・・読めてないけど（をひ） >>48
＞固体の欠陥の応力を多様体として扱う考え
＞読んだけど、むずかった記憶ある
陰関数定理も逆関数定理も理解できない（だろう）雑談君には到底無理
外積も知らん雑談君には微分形式とか何が何やらチンプンカンプンでしょ ま、勉強嫌いで思考力ゼロの雑談君には数学は到底無理だから
一刻も早く数学板から立ち去ってアタマ使わなくても書ける板で
大暴れしたほうがいいね
乃木坂板とか、どう？ｗ >>51
理学部数学科の教員になる人の出身学科は、統計的にはいうまでもなく(多くの場合教育学部ではなく理学部の)数学科が一番多い。
工学部出身で理学部数学科の教員になる人は、千葉の他にも複数いるが比較的少ない。
このように、理学部数学科の教員になる人について、
大学の学部時代に(多くの場合教育学部ではなく理学部の)数学科に所属していたか工学部に所属していたかで、
理学部数学科の教員になるにあたり有利かどうかという面でハンディキャップが既に生じている。
このように、理学部数学科の教員になる人の出身学部や出身学科を統計的に考えればすぐ分かること。 ID が変わっているけど、私は>>38の ID:MMq5Pqhl な。 >>53
>現代数学の抽象化は、ガロア理論の群論から発しているのです（＾＾
>そして、数学のみならず物理などにも大きな影響を与えたのです（下記）
山上 敦士先生も同じことを書いていますね（下記）（＾＾
https://www.kyoto-su.ac.jp/project/st/st08_01.html
京都産業大学
ガロアが広げた数学の自由 ?革命を志した青年が起こした数学上の一大革命?
理学部 数理科学科 山上 敦士准教授
ガロアは二月革命によって樹立する第二共和制（1848年成立）を見ることなく、わずか20歳で若い命を失いました。しかしながら、彼は数学の世界では大革命ともいえる業績を残したのです。ガロアが残した成果の一端について山上先生にご紹介いただきました。
16世紀以降の代数を研究する数学者にとって、5次以上の方程式を解く公式の発見は大きな関心事となっていました。4次までの方程式には解の公式があるわけですから、5次以上の方程式にも解の公式があるに違いない、と多くの数学者は考えていました。
この問題に結論が出たのは、19世紀に入ってからのことです。フランスの数学者エヴァリスト・ガロアが提案した理論によって、新たな展開がもたらされました。ガロアは5次以上の方程式に解の公式がないことをより洗練されたかたちで証明し、どんな場合に方程式が解を持つのかを示しました。※2
※2 5次以上の方程式が一般に解の公式を持たないことを最初に証明したのは、ガロアと同時代のノルウェーの数学者、ニールス・アーベル（Niels Abel、1802-1829）
不遇の天才ガロア
ガロアは若くして亡くなった数学者でした。恵まれた数学的才能とは裏腹に、教師たちはガロアを高く評価しませんでした。17歳のときに書いた素数次方程式の解き方についての論文はフランス学士院に提出はしたものの審査官に紛失されてしまい、希望していたエコール・ポリテクニークへの入学試験にも2度失敗します。1831年に記した論文（後の「ガロア理論」）は、当時の一流の数学者たちにとっても難しい内容だったため、数学の歴史を変えるほどの価値があるにも関わらず、書き直しを求められています。このように、ガロアは正当な評価を得ることがないまま、翌32年に決闘によって命を失ってしまったのです。※3
つづく >>64
つづき
もちろん、現在ではガロアの業績は正しく評価されています。短い人生の間に綴ったいくつかの論文の中に、現代数学にとってたいへん重要な成果が詰まっていました。中でも最大の業績は「群論」の導入です。群論はその後の科学の発展になくてはならない理論で、相対性理論や量子力学にも必要不可欠なものでした。
※3 決闘の原因については「ある男性と一人の女性の奪い合いになったため」とも「政治活動を巡る陰謀」とも言われている。
群の性質から方程式の性質が分かる
ガロアが注目したのは、方程式の解を互いに置き換える操作（置換）を群※4として考え、この置換群（後のガロア群）の性質を調べることで方程式が係数の四則演算とべき根だけで解けるかどうかを判定できるのではないか、ということでした。
群の導入により、数学は解そのものではなく、「解の置き換え」のような操作をも扱えるようになりました。この新しい考え方によって数学の世界はより自由になり、大きく広がったのです。
時代を超越する数学
話をガロアに戻しましょう。ガロアの理論は彼の死後、数学や物理学の世界でその重要性を高めていき、ついには近年の数学史上の一大事件である「フェルマーの最終定理の証明」を解くためのカギとなりました。
フェルマーの最終定理とは、Xn+Yn=Znという式において、X、Y、Zが0以外の整数のとき、n≧3（nは自然数）では解が存在しない、という定理です。この定理の証明は「X、Y、Zに解が存在すれば矛盾する」ことを示す方法で行われました。解X=a、Y=b、Z=cを仮定し、a、b、cを用いて作られる楕円曲線に付随するガロア表現を深く考察することで、矛盾が導かれることが証明されたのです。
この問題をフェルマーが書き記したのが1637年頃。ガロアの没年は1832年。そしてイギリスの数学者アンドリュー・ワイルズ（AndrewWiles、1953-）により証明がなされたのは1995年。300年以上もの年月を超えて、数学の天才たちが協力し合った結果、人類は新たな証明を手に入れました。偉大な数学の成果は容易に時代を超えるのです。
(引用終り)
以上 >>58
＞＞『現代思想』
＞この雑誌って、専門書を真面目に読む気力もないのに
＞利口ぶりたがる似非賢者が買う典型的な雑誌だよな
あらら、モンキーおサルが減らず口を叩くかｗ（＾＾
"現代思想2011年4月号 特集=ガロアの思考 若き数学者の革命
作者: 上野 健爾,吉田 輝義,砂田 利一,黒川 信重,小島 寛之,竹内 薫"
これと、お前のくそブログ（ >>19-20） とを比べてみろｗ（＾＾
雲泥の差、月とすっぽんだぜよｗｗ（＾＾； >>31
(引用開始)
まず、その体の上で考えるかを最初に決めなければ、その代数方程式のガロア群は
もとより、既約性も定まらない。通常は、体は標数が0であるものを考えることに
して、その方程式の係数から作られる体K（標数0の最小の体である有理数体Qに
方程式の係数をすべて添加して拡大した体）の上で議論する。
(引用終り)
なるほど
確かに、当たり前だけど
プロほど、こういう基本的なところを
しっかり押さえておくものだろうかね（＾＾
アホさるは、
素人丸出しかね
ひょっとして
これ書いたの
おっちゃんかい？（＾＾ >>64-65
もうガロア理論は忘れような 雑談君には全く理解不能だから
>>66
あの記事は、数学のセンスが全くない雑談君のような素人に
数学をキレイさっぱり諦めさせるためだけに書いた文章だからね
中身には全く踏み込まない だって君には全く理解できないだろ？
１０年掛かってもガロア理論、何一つ理解できなかったんだろ？もう諦めな
数学科の学生ならもう大学院までいって博士論文書いて学位とってるから
>>67
さすが中身のない人は中身のない文章に簡単にたぶらかされるね
ところで>>35の問題の答えはわかったかい？ 全然できないだろ？
それが君の実力だろ 君には代数なんか無理 諦めなって ガロアにご執心の素人を●す方法
１．代数方程式の複素数解が存在する定理（代数学の基本定理）を示す
それすら知らない無知蒙昧な人はザラにいる
２．ベキ根以外の関数を使えば解けることを示す
単に代数方程式が解けないことにイラついてるだけの中二はこれで確実に●ぬ
３．数値解法ならいくらでもあることを示す
というか工学部でそれ知らないってモグリだろ
職場の元同期（今は転職して別の会社にいる）は
学部時代、代数方程式の数値解法の研究やってたっていってたぞ
（ちなみに理科大の工学部） 雑談君は「任意の角の三等分は不可能」といわれると
わけもわからずムカついて「じゃ、俺が解いて見せる！」
とかいって●●●●解法をドヤ顔で披露するタイプだろうな
（できないといいたがらない中二病）
ちなみに実用的見地からいえば、角の二等分が可能なら
これを反復適用することで、いくらでも正確に角の三等分を近似できる
１／３＝１／４＋１／１６＋１／６４＋･･･
もう、目で見ても分からないくらい細かい角度までいけば
世間的には１／３といってしまってもいいし、別にそれで困らない
円周率が３．１４だといっちゃうのと同じ
（もちろん、数学的には円周率は”３．１４”ではないが
一方、円周と直径を実測して比を求めた場合、
はっきりいって、３．１４なんてところまで
”正確”な値はまず出ない） >>64 追加
https://edo.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&;active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=75&item_no=1&page_id=13&block_id=21
https://core.ac.uk/download/pdf/234043471.pdf
〔論 文〕江戸川大学学術リポジトリ 江戸川大学の情報教育と環境Informatio Vol.8 2011
システムと対称性
江戸川大学 メディアコミュニケーション学部 情報文化学科 石 田 義 明
2. ガロア群 (3)
5 次方程式の代数解が存在しないと主張したの
はルッフィーニが最初であった。証明できたと主
張したが結局認められなかった。しかし解が存在
しないという主張は極めて斬新で、その後に大き
な影響をもたらした。最初に代数解がないことを
証明したのはアーベルであった。その後のガロア
による証明は代数学にパラダイムシフトを起こす
ものであり、現代数学や現代物理学になくてはな
らないものになった。そこではいわゆる群論とい
う新しい概念を使って、解の対称性を通して代数
解の存在を論じた。
5 次方程式が代数解を持たないことを証明
した。ガロアはこの証明の段階で群論を開発しガ
ロア群を作って証明をした。ここでは実際に解を
求めることはせず、解の対称性から証明してしま
ったことは、この後に大きな影響をもたらすこと
になる。対称性のみから、いろいろな興味ある結
果がえられることを述べたい。
3. 変分原理と対称性：ネーターの定理(4)
対称性からいろいろな物理法則が導けること
を示したい。有名な定理に「ネーターの定理」と
いうのがある。それは
「系が対称性を持つと保存量が存在する。」
つづく >>71
つづき
4. 物理学における対称性と群論
4.1 結晶構造：空間群（結晶点群＋並進操作）
4.2 素粒子論：ゲージ対称性 (不変性)
ガロアは代数方程式の解の対称性に群論を用
いて、5 次方程式の代数解の非存在を証明したが、
それは有限群であった。ニュートン以来、多くの
場合、物理現象は微分方程式で表現されている。
リーはガ微分方程式でも連続群の対称群が存在し
ないか考察し、リー群を考えだした。その後キリ
ングとカルタンによって単純リー群の全ての対称
性をリストアップし整理され、素粒子の統一理論
で重要な役割を演じることになる。それは最先端
の超ひも理論でも使われている。
5. まとめ
数学と物理の関係はどうなっているのであろ
うか。物理現象を解析するために、微分方程式を
作ってその解を求めるといった場合、数学は現象
を分析するための手段であり、数学は物理に従属
する感があるが、」その逆の場合もしばしばある。
また抽象数学では研究者も自然科学に使われるか
どうかという価値観で研究しているわけではない。
それにもかかわらず、最先端物理学では従来全く
関係ないと思われた抽象数学が取り込まれ、新し
い物理概念が次々に創造されていくのが現状であ
る。
現在統一理論で最
先端を走っているウィッテンはフィールズ賞をと
った数学者であるが、超ひも理論の発展の牽引を
している。現在は物理学者が数学を利用して研究
するというイメージではなく、純粋数学に深い洞
察力を持った者が物理を研究するという様相を呈
していて、物理と数学が複雑に入り組んだ状況を
理解できないと先に進めない世界である。
(引用終り)
以上 >>61
中身読んだけど、それは時間的には比較的現在に近い年度に日本語で書かれた論説であって論文ではない。
有限次元の力学系を一般化して無限次元のバナッハ空間内で
系統的に考え易い或る種の常微分方程式系を使って考えているようだ。
詳しいことはその論説を書いた千葉本人に聞いた方がいい。 >>63
>>73は他人のことばかり気にする君へのレス。
群論に興味を持つ理由は大いに分かるが、(代数方程式の)ガロア理論なんかに興味を持つ理由が全く分からん。 >>71 追加
”「量子ガロア群」パラグループ理論：ここで作用素環でガロア理論の類似を考えてみましょう”
だってさｗ（＾＾
http://www.st.sophia.ac.jp/scitech/old/scitech/no11/no11p1702.html
上智大学
理工学振興会会報 ソフィア サイテック No.11
2000年4月発行
ただいま研究中
数学科
作用素環論における量子ガロア群
助手 後藤 聡史
対称性を記述する「群」
幾何学的な図形や空間などの対称性を記述するものに群とよばれる代数系があるのをご存知でしょう。歴史的には群の概念は５次以上の方程式に解の公式がないことを証明するためにガロアがはじめて導入したといわれています。ガロアの理論を現代的な言葉でいえば、２つの「体」と呼ばれる代数系の包含関係Ｋ⊂Ｌの対称性を「ガロア群」とよばれる群が記述しているということができるでしょう。
「量子ガロア群」パラグループ理論
ここで作用素環でガロア理論の類似を考えてみましょう。２つの作用素環の包含関係Ｎ⊂Ｍを考え、その相対的なサイズの比として指数を定義します。これがジョーンズが1983年に始めた部分因子環の指数理論です。彼は1985年には彼の理論と結び目の理論との予想外の関係を発見し、その後のトポロジーの爆発的な発展に大きな貢献をしました。ジョーンズの指数理論に対し、オクニアーヌは1987年に部分因子環の組み合わせ論的な構造が群と似ていることから、群のある種の量子化として、量子ガロア群ともいえる「パラグループ」の概念を導入しました。
パラグループ理論と様々な他分野とのつながリ
群の量子化というと「量子群」の方がはるかに知名度か高いでしょう。「量子群」は統計物理の格子モデルの可解性を記述するものとして同じころに導入された概念です。現在では、パラグループ理論は量子群だけでなく、可解格子模型、位相的場の理論、共形場理論など様々な数学、数理物理学の理論と密接に関係していることがわかってきています。パラグループ理論とこれらの様々な他分野との結びつきをより深く調べ、互いに刺激しあってより豊かな理論を育てていこうというのか私の研究目標です。
(引用終り)
以上 >>71
ま～た、雑談君は
「ネットで拾ってきた●●●●文書」
をドヤ顔でコピペしてるのかい？
無闇にヘンなもの読むと、アタマ壊すよ
＞解が存在しない
ガウスがきいたら、呆れるだろうな
いかなる次数でも、必ず、複素数解は存在しますからぁ～
次数が奇数なら、必ず、実数解が存在しますからぁ～
ザンネ～ン！！！
＞代数解がない
「代数解」とかいうオレ様用語を捏造されても困るなあ
正しくは「（有限回の）四則演算とベキ根だけでは解が表せない」
ベキ根で表せなくても、複素数解は存在する！わかるかな？ >>72
＞数学と物理の関係はどうなっているのであろうか。
＞現在は物理学者が数学を利用して研究するというイメージではなく、
＞純粋数学に深い洞察力を持った者が物理を研究する
＞という様相を呈していて、
＞物理と数学が複雑に入り組んだ状況を理解できないと
＞先に進めない世界である。
その数学原理主義的な態度、
物理学界で思いっきり批判されてるの、
知らないの？
数学に魅せられて、科学を見失う
物理学と「美しさ」の罠
LOST IN MATH
How Beauty Leads Physics Astray
www.msz.co.jp/book/detail/08981/
物理学の基盤的領域では30年以上も、既存の理論を超えようとして失敗し続けてきたと著者は言う。
実験で検証されないまま理論が乱立する時代が、すでに長きに渡っている。
それら理論の正当性の拠り所とされてきたのは、数学的な「美しさ」や「自然さ」だが、
なぜ多くの物理学者がこうした基準を信奉するのか？
革新的な理論の美が、前世紀に成功をもたらした美の延長上にあると考える根拠はどこにあるのか？
そして、超対称性、余剰次元の物理、暗黒物質の粒子、多宇宙……等々も、その信念がはらむ錯覚の産物だとしたら？
研究者たち自身の語りを通じて浮かび上がるのは、究極のフロンティアに進撃を続けるイメージとは異なり、
空振り続きの実験結果に戸惑い、理論の足場の不確かさと苦闘する物理学の姿である。
「誰もバラ色の人生なんて約束しませんでしたよ。これはリスクのある仕事なのです」（ニマ・アルカニ＝ハメド）、
「気がかりになりはじめましたよ、確かに。たやすいことだろうなんて思ったことは一度もありませんが」（フランク・ウィルチェック）
著者の提案する処方箋は、前提となっている部分を見つめ直すこと、あくまで観測事実に導かれること、
それに、狭く閉じた産業の体になりつつあるこの分野の風通しをよくすることだ。
しかし、争点はいまだその手前にある。
物理学は「数学の美しさのなかで道を見失って」いるのだろうか？本書が探針を投じる。
－－－
ていうかさ、物理やりたいなら物理板行けよ 雑談ク～ン >>75
>”「量子ガロア群」パラグループ理論：ここで作用素環でガロア理論の類似を考えてみましょう”
これ、下記の”ガロア接続”、英語では”Galois connection”
接続というより、ガロア関係とでもいうべきか
ガロア理論を、広く”ガロア接続”（Galois connection）という視点で捉えると、そういう例は沢山あるってことだね
方程式の解法に限られないってこと。ここ大事だ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E6%8E%A5%E7%B6%9A
ガロア接続
ガロア接続（ガロアせつぞく、英: Galois connection）とは、（典型的には）２つの半順序集合（poset）の間の特定の対応付けを言う[1]。ガロア接続は、ガロア理論で調べられた部分群と部分体の間の対応を一般化したものであり、様々な数学理論に応用が存在する。名称はフランスの数学者エヴァリスト・ガロアに因む。
https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_connection
Galois connection
In mathematics, especially in order theory, a Galois connection is a particular correspondence (typically) between two partially ordered sets (posets). The same notion can also be defined on preordered sets or classes; this article presents the common case of posets. Galois connections generalize the correspondence between subgroups and subfields investigated in Galois theory (named after the French mathematician Evariste Galois). They find applications in various mathematical theories.
Contents
1 Definitions
1.1 (Monotone) Galois connection
1.2 Antitone Galois connection
2 Examples
2.1 Monotone Galois connections
2.1.2 Lattices
2.1.3 Transitive group actions
2.1.4 Image and inverse image
2.1.6 Syntax and semantics
2.2 Antitone Galois connections
2.2.1 Galois theory
2.2.2 Algebraic topology: covering spaces
2.2.4 Algebraic geometry
4 Closure operators and Galois connections
5 Existence and uniqueness of Galois connections
6 Galois connections as morphisms
7 Connection to category theory
8 Applications in the theory of programming 「量子群」・・・それは・・・群ではない
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E7%BE%A4
（続く・・・かもしれないｗ） >>78
ガロア対応は群論とは無関係に存在する
形式概念分析
en.wikipedia.org/wiki/Formal_concept_analysis
これ自体は全然難しい話じゃない >>76
>「ネットで拾ってきた●●●●文書」
>をドヤ顔でコピペしてるのかい？
「本物を知ると、偽物が分かる」という言葉がある（下記）
本物を見せて、偽物（おサルのくそブログ（ >>19-20））と対比しようという魂胆ですよｗｗｗ（＾＾；
（参考）
https://ibaya.はてなブログ/entry/2019/12/10/085816
いばや通信
2019-12-10
本物を知ると、偽物が分かる。
今日は京都に行く。私の悪い癖だが、誰かと会った時に「本物か、偽物か」で見る。子供は、大概本物だ。大人になると、濁る。瞳から濁る。 雑談君へ
・物理やりたいんなら、数学ではなく物理を勉強しよう
・数学としてスゴくても、即、物理で役にたつとはいえません
・ガロア―！とかグロタンディクー！とかわめいても物理はわかりません
・群！とか圏！とかわめいても物理はわかりません
さっさと数学板から立ち去って物理板にいけよ シッシッ！！！ >>81
「５次以上の代数方程式の解は存在しない！！！」
とほざくFラン大学の数学者でもなんでもないセンセイの
●●●●文書を「本物！！！」と言い切る雑談君は
正真正銘のマガイモン
ざんね~んｗｗｗ >>78
本文読むと、>>80で書いた形式概念分析について紹介されてるね
読んだ？コピペしただけで安心しきって、読んでないでしょｗ
Connections on power sets arising from binary relations
Suppose X and Y are arbitrary sets and a binary relation R over X and Y is given. For any subset M of X, we define F(M) = {y ∈ Y | mRy ∀m ∈ M}. Similarly, for any subset N of Y, define G(N) = {x ∈ X | xRn ∀n ∈ N}. Then F and G yield an antitone Galois connection between the power sets of X and Y, both ordered by inclusion ⊆.
Up to isomorphism all antitone Galois connections between power sets arise in this way. This follows from the "Basic Theorem on Concept Lattices".
Theory and applications of Galois connections arising from binary relations are studied in formal concept analysis. That field uses Galois connections for mathematical data analysis.
二項関係から生じる冪集合の接続
X、Yを任意の集合とし、X、Y上の二項関係Rが与えられたとする。Xの任意の部分集合Mに対して、F(M)={y∈Y｜mRy ∀m∈M}を定義する。同様に、Yの任意の部分集合Nに対して、G（N）＝｛x∈X｜xRn ∀n ∈N｝と定義する。そうすると、FとGは、XとYの冪集合の間に、包含⊆で順序付けられたアンチトーンのガロア接続をもたらす。
同型化までは、冪集合間のすべてのアンチトーン・ガロア接続はこのようにして生じる。これは、「概念格子に関する基本定理」から導かれる。
二項関係から生じるガロア接続の理論と応用は、形式概念分析で研究されています。この分野では、ガロア接続を数学的なデータ解析に利用します。 >>84
「概念格子」は正しくは「概念束」ね
latticeは、日本語では束と名付けられてるから
（注：束といっても、bundleとは異なる） >>73
業績は分からないけど教授だから千葉は偉い、ということだろ
>>74
関係ない >>73
分かってないなｗ
>有限次元の力学系を一般化して無限次元のバナッハ空間内で
>系統的に考え易い或る種の常微分方程式系を使って考えているようだ。 >>74
＞(代数方程式の)ガロア理論なんかに興味を持つ理由が全く分からん。
これは雑談君のみへの言葉でしょうな
ま、オリンピックがー、ノーベル（物理学）賞がー、理Ⅲがー、と
他人にマウントできそうなアサハカなことしか口にしない時点で
雑談君は精神的に包●なんでしょう >>84
ご苦労さん
ま、下記でも。いまどきAI時代だから、重要かもね（＾＾；
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsoft/19/2/19_103/_pdf
知能と情報（日本知能情報ファジィ学会誌)Vol.19,No.2,pp.103-142 (2007)
解説 形式概念分析 -入門・支援ソフ酢・応用
鈴木治*1 ．室伏俊明*2
1 ．形式概念分析(FormalConcept
Analysis)入門
1.1形式概念分析の概要
形式概念分析の概要と研究経緯【5][19][24][14][39］
束論(Lattice'IY,eory)は, 1938年9月のChallohesville
会議,AMS SYMPOSIUM ON LATTICE THEORYに
おけるGarrett Birkhoffの講演"Lattices and their
application に端を発する．一方，形式概念分析は，
1981年のBanff会議"Ordered Set”における
Darmstadt University of TechnologyのRudolf Wille教
授の論文”Restructuring Lattice Theory: AnApproach Based On Hierarchies Of Concept
がその始まりである.Wille教授は｢科学は実社会における応用
にこそ価値がある」との信念を持ち，束論の原点に立
ち返りながらその新しい応用可能性を探った． その結
果， この論文において，束論をデータ分析(data analysis)
手法の一つとして蘇らせた． また同教授は，束論を
｢抽象化の道具｣から｢思考や行動に役立つ道具｣として
再構築("Restructuring")しようと試み，概念構造に
数学的表現を与えることによって，論理思考の合理的
コミュニケーション手段としての形式概念分析を考案
した．形式概念分析の提唱以後，最初の約10年間は
Darmstadt大学を中心とした研究が進められたが， そ
の後の約10年間は,Ministry for Civil Engineering of
North-Rhine Westfaliaプロジェクト(2000年，ドイツ）
での応用研究や諸外国における広範な分野での研究も
行われ，今や形式概念分析は，国際的な応用研究の広
がりを見せるに至っている．形式概念分析の主な研究
先進国は，ドイツ,フランス,東ヨーロッパ,イギリス,カ
ナダなどであるが，我が国におけるこれまでの論文数
はこれらの国々に比べ非常に少ないのが実状である．
つづく >>90
つづき
形式概念分析の概要と用語定義[12][23][26][39］
形式概念分析はデータ分析手法の一つであり，数学
的基礎に基づく概念構造の分析がその特徴である．概
念分析は，哲学や心理学でも使用されるが，形式概念
分析のそれとは基本的に異なる．哲学等で用いられる
r概念｣は，人間が考える広範囲かつ暖昧な思考の単位
であるが，形式概念分析のそれは，数学的に定義され
たデータとして扱われる．形式概念分析は，概念デー
タを思考単位として，概念構造の明確化や事象の分
析，データ可視化及びデータ依存関係などを明らかに
するものである．
(引用終り)
以上 形式概念分析は、無限出てこないから
無限が理解できない雑談君でもダイジョウブ
よかったなｗｗｗ >>81 補足
>「本物を知ると、偽物が分かる」という言葉がある（下記）
>本物を見せて、偽物（おサルのくそブログ（ >>19-20））と対比しようという魂胆ですよｗｗｗ（＾＾；
まあ、おサルが
「おれは分かっている。お前は分かってない」というから
「お前は分かってない」は当たっているとしても
「おれは分かっている」の部分がね、疑問だよね
こんな、”くそブログ（ >>19-20）”書いてさ
なにが「おれは分かっている」ってんだぁ～？！
ってことですｗ（＾＾
おサルもほとんどガロアが分かってないじゃん！
上から目線で物言えるレベルか？ アホじゃん！！
ってことですよｗｗ（＾＾； と、正規部分群すら分かってないのにガロア理論を語る阿呆が申しております >>86-87
>>89
>業績は分からないけど教授だから千葉は偉い、ということだろ
大学入試の合格時に背負ったハンディをその後の努力で乗り越えることは決して簡単ではない。
ま、無限次元の力学系を扱える放物型発展方程式に関することだと思えばいい。
有限次元の力学系に詳しい千葉は、反応拡散方程式やそれを一般化した放物型発展方程式を扱えても何らおかしくない。 >>86-87
>>89
>業績は分からないけど教授だから千葉は偉い、ということだろ
大学入試の合格時に背負ったハンディをその後の努力で乗り越えることは決して簡単ではない。
ま、無限次元の力学系を扱える放物型発展方程式に関することだと思えばいい。
有限次元の力学系に詳しい千葉は、反応拡散方程式やそれを一般化した放物型発展方程式を扱えても何らおかしくない。 >>93
＞「おれは分かっている。」
とはいってないよ 幻聴？ｗ
まあ、強いて言えば
「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど
キミは自分が何を分かってないかも分かってないよね」
というところかｗｗｗ
無限については何の反論もないが、
間違いを認めたってことね？
ま・け・た、ってことねｗｗｗ
死・ん・だ、ってことねｗｗｗ >>86-87
>>89
また ID が変わっているけど、>>95-96では2重にレスしてしまった。 おっちゃんも、雑談君同様、方程式を解くことだけが数学だ、と思ってる●●だな >>97
なんでおれが、バカおサルの相手をｗｗｗ（＾＾
おサルと無限論争だぁ？？
おまえみたいなバカ相手してくれるのは、哀れな素人氏くらいだよｗ
隔離スレに帰って、相手してもらえｗｗｗ（＾＾； >>100
論争？
京大にも受からず二番手の阪大
しかも理学部じゃなく工学部の
”ブルーカラー”と？（煽りまくりｗ）
ありえませんな
物理板でも材料物性板でもいいから他所行ってください >>97
>＞「おれは分かっている。」
>とはいってないよ
確かに
そりゃ、そうだわなｗｗ
あのレベルで、「分かっている」なんて、言えるわけないぜよ！ｗｗ（＾＾；
>まあ、強いて言えば
>「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど
じゃ、ガロアについて
講釈たれるのを
やめたらどうだ？？ｗｗｗ（＾＾ >>101
>論争？
>京大にも受からず二番手の阪大
>しかも理学部じゃなく工学部の
>”ブルーカラー”と？（煽りまくりｗ）
>ありえませんな
あらら
えらく大口たたくね（＾＾
じゃ、哀れな素人スレでやっているのは、なんだ？
痴話ケンカかｗ
何年も飽きずにさｗｗ
それだけで、あんたの頭のレベルが分かるってもんだろ？ｗｗｗ（＾＾； >>99
>おっちゃんも、雑談君同様、方程式を解くことだけが数学
は？ 私は「方程式を解くことだけが数学」などというバカげた考え方はしていないし、そんなことを書いてはいない。
板の様子からすると、君は粋蕎でも何ら不思議ではない。 >>102
＞じゃ、ガロアについて講釈たれるのをやめたらどうだ？？
その言葉、そっくりそのまま大販民国人の雑談君にお返しするよ
アンニョンハセヨｗ >>103
＞えらく大口たたくね
無限に関して初歩的誤りを連発する
パクチー君と同じ毛深いニホンザル
と思われるのは迷惑なのでねｗ
mara.hatenablog.jp/entry/2021/04/18/155712 >>104
＞君は粋蕎でも何ら不思議ではない。
キミは雑談君でも何らフシギではないｗｗｗｗｗｗｗ >>107
私(=>>104)の ID がまた変わっている可能性がなきにしも非ずだが、
反応拡散方程式の解の存在性の問題は比較的に容易な問題というだけの話。
君は自称早大出身のようだが、早大出身で(代数的)ガロア理論の話を頻繁に取り上げる人は、知る限りでは少ない。
経験上は、早大出身といったら、多くはむしろ解析の人が多い。 >>100
まるで自分より哀れな素人が下であるような物言いだね。
彼は阿呆だが例示であることはきちんと読み取れたよ。
自惚れてるんじゃないの？ >>108
私の知り合いは数学科で整数論専攻してましたよ
研究室は足立恒雄さんのところでした
足立さんは大学三年の代数学で
ガロア理論の講義もやってましたよ つーか、理科大ではガロア理論教えないんか？
そんなことないだろ？
応用数学科はともかく数学科なら教えるだろ 僕の友達は名古屋大学の数学科多元数理学科のそうせつした男の子(おじさん)。 >>100
無限をまったく分かってない君とは「論争」になり様が無い
「教育」の間違いじゃないか？ >>112
この発言で全大学のブラックリストに入ったな。 無限の対応数
アレフN R
剥離
ケーニヒスベルグの橋
グラフ理論
群論
は難しい。
第一次表現(仮)
a*b=±Δd⇒!=s(時間の今)
ここで*を衝突係数の表現と置く。
あとは正しく変換してくれ。
!=とは’’表現が正しい’’と読む。
aとbは次元。
クリストファーノーランのインターステラーのブラックホールの中だと思って欲しい。 よく見るとax+b=yの表現でしょう
しかも=0を組み込んでいる。 >>97
(引用開始)
＞「おれは分かっている。」
とはいってないよ 幻聴？ｗ
まあ、強いて言えば
「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど
キミは自分が何を分かってないかも分かってないよね」
というところかｗｗｗ
(引用終り)
サイコパスおサル（>>2ご参照）よ
おサルは、気付いていないみたいだが
これ（＝「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど」）って、大失言じゃね？ｗ（＾＾；
（理由）
1．おサルのくそブログ（>>19）に、”１０年もの間、
５ｃｈ数学板でガロアと名の付くスレッドを立て続けたが
結局ガロア理論の基本定理も理解できなかった”と書いてあるが
この陳述が正しいかどうか？
おサルが自分自身を、「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど」って失言したら
他人を評して、”理解できなかった”って判断の正確性に疑問符がつくぜよｗｗ（＾＾；
2．さらに、おサルは数学科出身で、50過ぎのおっさんだろ？
数学科のとき、21歳くらいでガロア理論を学んだとして、それから30年経つ計算だ
おサルは、数学科でガロア理論を学び、30年経って「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど」と自白するとは
これはこれは、大失言じゃね？？ｗｗｗ（＾＾；
まあ、本心は真逆で、心の中では「天狗のハナタカ」でしょ？ｗ（＾＾
本当は「ボクちゃんはガロア理論を良く分かっているつもりだが、ツッコミが怖いから隠しておこう・・」じゃね？
そうだろう？ 早く、本心を白状しなよ！ｗｗｗ（＾＾ あめりかじんって全員死ねばいいのにな。くさいから。 >>122
君は日本語も分からない白痴かい？
数学もダメ、日本語もダメ
ほんとうに大学出てるの？ >>122
雑談君 なんでガロア理論にこだわるのかわからんけど
１０年かかって全く理解できなかったんでしょ？
不勉強なキミには決して理解できないから 諦めな 雑談君は
exp(ix)=cos(x)+sin(x)*i
で感動してなさい
それがキミにも理解できる数学の最高到達点だから >>122 補足
・おサルは数学科出身で、50過ぎのおっさんだ
・数学科のとき、21歳くらいでガロア理論を学んだとして、それから30年経つ計算
・それで、数学科でガロア理論を学び、30年経って「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど」と自白するのだ
・そういう人が、他人に対して
”１０年もの間、
５ｃｈ数学板でガロアと名の付くスレッドを立て続けたが
結局ガロア理論の基本定理も理解できなかった”と評せるのかね？ はて？
・どんな神経しているんだろ？ なに！ サイコパスだって！！（>>2ご参照）ｗ（＾＾
・サイコパスなら、分かる分かるよ。サイコパスは、常人の神経とは違うからねｗｗ（＾＾； >>127
＞なんでガロア理論にこだわるのかわからんけど
そりゃ、数学科でガロア理論を学び、30年経って「ボクは自分が分かってないことを分かってるけど」と自白するおサルには、分からないだろうねぇ～（＾＾
だが、すでにいろんなプロ数学者のガロア理論解説を、引用したように、ガロア理論が現代抽象数学の出発点であって
数学史としても、大きなターニングポイントになっているのだ
京大でガロア祭が、なぜ”ガロア”を冠するのか？（下記）
Fラン数学科落ちこぼれさんでは、なんでなのか理解できない？？
ああ、Fラン数学科で落ちこぼれたおサルには、理解できないことだよなぁ～！！
わかんねーだろなぁ～、
おサルには・・ｗｗｗ（＾＾；
（参考）
http://www.kyoto-up.org/archives/356
京都大学新聞
愛すべき数の祭典 理学研究科でガロア祭（2008.06.16）
加藤和也教授によるガロア祭開催の挨拶に続き、中島啓教授と熊谷隆教授が順に講演した。中島教授は、「大型計算機でＥ‐８型箙多様体のベッチ数を計算した話」と題して、紙と鉛筆を用いない数学の研究方法について講演した。熊谷教授は、「複雑な系の上で熱はどのように伝わるか？」と題し、フラクタルなどの複雑な構造をもつ図形において、熱伝導をどのように解析するかについて話した。両方とも高校レベルの数学の知識ではほとんど理解できない内容。話を聞いた数学科の大学院生でも「専門外だが流れは理解できる」程度の高度な内容だった。しかし、講演を聞いた理学部の２回生は「生き生きとしゃべる教授を見て、研究の臨場感は伝わってきた。将来は熊谷教授の研究室に行くかもしれない」と感想を述べていた。 女の子とやるな。
計画を阻止しろ。
わかるだろこの発言で。
日常会話で済む時代は終わったんだよ。 計画は計画だ。
方々は面接する時の信念の無い目と喋り方でわかる。 居住権を与えるな。
冗談を言っているわけではない。
計画を始めるあめりかじんがなにもないとぼけたかおで地域に散らばり始めている。
日本はあめりかの植民地になるぞ。
男の子は消される。私以外。
友達という心を愛の操作。。。
もうやめた。日本は手遅れだ。 >>20
>解の存在
> ６．代数方程式は必ず複素数の解をもつ。
> 方程式がｎ次なら、重複も含めて(※)ｎ個の解をもつ。
> （代数学の基本定理 Ｃ．Ｆ．ガウス）
くそブログのダメなところで
分かりやすいところを、まず一つ指摘しておくと
この6番目は、本来はガロア理論以前の話で
冒頭にもってくるべきでしょ
ｎ次式で根がｎ個で、ここからｎ次対称群が出るんだ
順番間違えているよ
ガロア理論の以前と
ガロア理論の本論（ガロアがやったこと）とが、グシャグシャじゃんか
これじゃ、ダメダメ（＾＾
ガロアのやったことの偉大さが全く伝わらないしね（＾＾； >>138 追加
海城の ガロア理論 リレー講座（下記）でも参考にしろよ
さすがに分かるだろう
嫁めｗ
https://www.kaijo.ed.jp/wp-content/uploads/2016/02/2011summer_6Amitani.pdf
4次方程式と5次以上の方程式の Galois 理論
Galois 生誕 200 年記念 数学科リレー講座 6 日目
担当: 網谷 泰治 2011 年 8 月 27 日 (土)
1 Galois 理論とは？
Galois 理論では, 何が分かるのか。最初に説明します。
以下, 有理数のなす集合をQ と表します。係数が有理数のn 次方程
式 (以下, 代数方程式とよぶ) の根になる数, 言い換えると
xn + a1xn?1 + ・ ・ ・ + an?1x + an = 0, a1, . . . , an : 有理数
の根になる数を 代数的数 とよびます。
（以下は略す） やたら難しいエロ用語使うから嫌だったけど工作員だった。 >>129
>他人に対して
>”１０年もの間、
> ５ｃｈ数学板でガロアと名の付くスレッドを立て続けたが
> 結局ガロア理論の基本定理も理解できなかった”
>と評せるのかね？
” ”内は数学板の人はみんなわかってるけどね
もしかして自分ではガロア理論の基本定理が理解できてるつもりだった？ >>130
>ガロア理論が現代抽象数学の出発点であって
>数学史としても、大きなターニングポイントになっているのだ
つまりわけもわからず食いついたってことかな？
さすが他人にマウントとりたがる人は違うね >>131
>検索能力は大したもんだ
でも彼、理解力はあきれるほど低いよね >>138
>>解の存在
>> ６．代数方程式は必ず複素数の解をもつ。
>> 方程式がｎ次なら、重複も含めて(※)ｎ個の解をもつ。
>> （代数学の基本定理 Ｃ．Ｆ．ガウス）
>この6番目は、本来はガロア理論以前の話で
>冒頭にもってくるべきでしょ
また、つまんないいいがかりつけてるね この人は
代数学の基本定理は、ガロア理論とは直接関係ないよ
だから分けたってことで、順序は関係ないな
>ｎ次式で根がｎ個で、ここからｎ次対称群が出るんだ
>順番間違えているよ
ああ、ｎにのみ脊髄反射したんだ
あいかわらずアサハカな人工無脳だねえ この人は
>ガロア理論の以前とガロア理論の本論（ガロアがやったこと）とが、
>グシャグシャじゃんか
グシャグシャなのは、あなたの脳みそでしょ
ま、ｎにしか反応できないアニマル脳じゃ仕方ないか 毎年この時期になるとアク目指す学生に疑問を思うんだけど、アクチュアリーの何に憧れてんだろうな。
高収入で、自分が専攻してた数学とかをバリバリ使ってモデリングとかして学問的なことができるって思われてるんだろうかね。
もちろん数理系の部署の中の一部のアクはそういう仕事もやってなくはないけど、大半のアクがやってることなんて
誰でもできる数字の検証作業だったり、Excelでデータを集計するレベルの雑務みたいなことしかやってないのにな。確率・統計の「か」の字も業務中に出てこないのがほとんどだぞ。
高収入って言っても、他の総合職と同じ給与体系だし、特別「アクチュアリーだから」って理由で給与が高くつくことは基本ないんだけどな。 ”雑談 ◆yH25M02vWFhP”は、ベキ根しか知らないのかねえ？
別に代数方程式の解を求めるのに、ベキ根しか使えないわけじゃないでしょ
https://mara.hatenablog.jp/entry/2021/04/18/190851
の１~５はガロア理論による５次以上の代数方程式の
ベキ根による解の公式の非存在の証明のトレースだけど
６は「代数方程式には必ず複素数解が存在する」という話
７は「ベキ根という制限がなければ、”解の公式”は存在する」という話
８は「そもそも”解の公式”に固執しなければ、解を求めるアルゴリズムは存在する」という話
いずれも「無闇に現代数学を”万能の魔法”視する夢見る素人」に対する解毒剤
もっとロコツにいえば「モザイクつきのAVしか見たことないDT」に対するクッキリハッキリした無修正動画 >>145
アクチュアリーに限ったことじゃないけど、
資格もってると食いっぱぐれないと
安易に考えてる人が多いってことだろうね
しかしそういう人は生き残れないね
だって考えてないから 考えない人は滅びるよ ５次以上の方程式の解の公式にこだわる人って
角の三等分にこだわる人と同類なんだろうな
わけもわからず完全な万能性を欲するっていうか
２１世紀のトマス・ホッブスっていうか
しかし現実には、別に有限回の手順で完璧な解を求める必要なんてない
って分かるもんだけどな 角の三等分然り、代数方程式の解法然り
いくらでも正確に近似できれば問題ない
求められてるのはホッブスが考えるような完全な解答ではなくて
ジョン・ウォリスのような解析的な方法論
工学者が目指す道はそっちだとおもうんだけど
そこに気づけないって工学者としてもナンセンスだよな >>148
・・・というようなことを
「無限小 世界を変えた数学の危険思想」 アミーア・アレクサンダー
を読んで思ったね
”雑談 ◆yH25M02vWFhP”も、ガロアとかグロタンディクとかいう前に
「無限小」を読んだほうがいいんじゃね？ マジで 無限小 世界を変えた数学の危険思想
https://www.iwanami.co.jp/book/b263062.html
どうせならこの続編を誰か書いてほしいね
・（仮題）ε-δ 無限小の埋葬
・（仮題）ノンスタンダード 無限小の復活 >>139 追加
>https://www.kaijo.ed.jp/wp-content/uploads/2016/02/2011summer_6Amitani.pdf
> 4次方程式と5次以上の方程式の Galois 理論
（参考：ＰＤＦリンクは下記から）
https://www.kaijo.ed.jp/students/3372
海城 数学科からのお知らせ
2019.08.06
Galois生誕200年記念
2011年度数学科夏期リレー講座（2011/8/22～8/27）
・初日 Galoisの生涯とGalois理論概説 平山裕之
・２日目 集合から群まで 小澤嘉康
・３日目 いろいろな群 宮﨑篤
・４日目 部分群と正規部分群 春木淳
・５日目 2次方程式と3次方程式のGalois理論 川崎真澄
・６日目 ４次方程式と5次以上の方程式のGalois理論 網谷泰治
・全日 授業レポートと担当者および受講者の声 >>143
検索なんて誰でもできるので嫌味なんだがｗ >>144
>代数学の基本定理は、ガロア理論とは直接関係ないよ
>だから分けたってことで、順序は関係ないな
あらら、アホなことを（＾＾
１．理路整然という言葉がある
２．順序は重要だよ。何をどういう順番にするのか？ それは常に意識しておくべき
３．順番を間違えると、間違った結果になることが多い
４．いまの話だと、なにをどういう順番に配置するのか？ そこが考えられていないって指摘だぜよ（＾＾；
５．頭の中が、グシャグシャだな
（参考）
https://dictionary.goo.ne.jp/word/%e7%90%86%e8%b7%af%e6%95%b4%e7%84%b6/
理路整然 の意味・使い方 goo
理路整然の解説 - 三省堂 新明解四字熟語辞典
りろ-せいぜん【理路整然】
文章や話が、秩序立てた論理で展開されているさま。▽「理路」は筋道のこと。「整然」は秩序正しいさま。
理路整然の解説 - 学研 四字熟語辞典
りろせいぜん【理路整然】
きちんと筋道の立った話し方や文章の組み立てのこと。 >>153 補足追加
１．ｎ次方程式、ｎ個の根を持つ。代数学の基本定理から、ｎ個の根は複素数の範囲だ。だが、周知のように、有理数の範囲ではない（無理数）
２．ｎ個の根の置換の成す群が、方程式の根のもつ性質を表す。これぞ、ガロア理論の思想でしょ？
３．べき根拡大 英 Radical extension と 巡回拡大（つまり ガロア群が巡回群のとき）下記
そして、以下のような
”A field extension is called a cyclic extension if its Galois group is cyclic.
For fields of characteristic zero, such extensions are the subject of Kummer theory, and are intimately related to solvability by radicals.”
ここをちゃんと語らないと（＾＾
４．ガロア理論を語ったことにならない！（海城 >>139を見よ！！（＾＾ ）
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Radical_extension
Radical extension
Solvability by radicals
The proof is related to Lagrange resolvents.
It follows from this theorem that a Galois extension may be expressed as a radical series if and only if its Galois group is solvable.
This is, in modern terminology, the criterion of solvability by radicals that was provided by Galois.
The proof uses the fact that the Galois closure of a simple radical extension of degree n is the extension of it by a primitive nth root of unity, and that the Galois group of the nth roots of unity is cyclic.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E6%8B%A1%E5%A4%A7
アーベル拡大
つづく >>154
つづき
ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。ガロア拡大が可解 (solvable) であるとは、ガロア群が可解、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。
有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体のアーベル拡大についての詳細な情報をもたらした。
円分拡大という概念があり、2つの少し異なる定義がある。1つは1の冪根による拡大のことであり、もう1つはその部分拡大のことである。例えば円分体は円分拡大である。任意の円分拡大はいずれの定義でもアーベル拡大である。
体 K が 1 の原始 n 乗根を含み、K のある元の n 乗根が添加されると、この拡大はいわゆるクンマー拡大であり、これはアーベル拡大となる。（K の標数が p > 0 のとき、p は n を割らないと仮定しなければならない。もし割るようであれば、分離拡大ですらないからである。）しかしながら、一般に、元の n 乗根のガロア群は、n 乗根と1の冪根の双方に作用し、半直積として非可換ガロア群を構成する。クンマー理論は、アーベル拡大の場合を完全に記述する。クロネッカー・ウェーバーの定理は、K が有理数体のとき、拡大がアーベル的であるということと、拡大が1の冪根を添加して得られる体の部分体であることとは同値であると言う定理である。
https://en.wikipedia.org/wiki/Abelian_extension
Abelian extension
つづく >>155
つづき
In abstract algebra, an abelian extension is a Galois extension whose Galois group is abelian. When the Galois group is also cyclic, the extension is also called a cyclic extension. Going in the other direction, a Galois extension is called solvable if its Galois group is solvable, i.e., if the group can be decomposed into a series of normal extensions of an abelian group.
Every finite extension of a finite field is a cyclic extension.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group
Cyclic group
2.4 Galois theory
A field extension is called a cyclic extension if its Galois group is cyclic. For fields of characteristic zero, such extensions are the subject of Kummer theory, and are intimately related to solvability by radicals. For an extension of finite fields of characteristic p, its Galois group is always finite and cyclic, generated by a power of the Frobenius mapping.[8] Conversely, given a finite field F and a finite cyclic group G, there is a finite field extension of F whose Galois group is G.[9]
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群
(引用終り)
以上 >>152
>検索なんて誰でもできるので嫌味なんだがｗ
そうでもないよ
１．適切なキーワード選びから始まる
２．普通沢山のヒットがある
３．玉石混交の中から、適切なものを選ぶ能力
素人が数学の情報を一つのキーワードだけで
検索しても、情報の海に溺れるだろうね
本当に自分の欲しいかつ自分に合ったレベルの情報には、なかなかたどり着かないだろう >>157
・海城のガロアの資料も、旧ガロアスレで取り上げたから、キーワード”海城”と組み合わせてすぐ出る
・大体は、知っていることを、確認のために検索している
・あと、１から自分で書けば小一時間のところ、コピペすれば10分くらい
・楽だし、多分正確だし、典拠をつければ信頼性が増す >>154
>べき根拡大 と 巡回拡大（つまり ガロア群が巡回群のとき）
>ここをちゃんと語らないと
君、語れるの？ 無理っしょ
何イキッてるの ニュートン法、勉強したら？ >>153
＞理路整然という言葉がある
論理が分からない人には関係ないよ >>157
>素人が数学の情報を一つのキーワードだけで
>検索しても、情報の海に溺れるだろうね
>本当に自分の欲しいかつ自分に合ったレベルの情報には、
>なかなかたどり着かないだろう
なかなか、じゃなく、決して、ね
キーワードだけ知っても、定義の文章を理解できない時点で無理
そういう大学数学を理解できる論理的思考力がない
一般人レベルの人が得られる情報は皆無だから >>159
ガロア理論知っても、ベキ根で解けない代数方程式が
解けるようになるわけじゃないってわかってる？
ニュートン法でも勉強しなよ
そこから新しい数学が生まれることも知っとこうね
ガロア理論だけが数学じゃないから
https://qiita.com/cure_honey/items/61249956de2655e8c8f9 IOCは日本と東京都にオリンピック開催を強制するな スポンサーの宣伝カー ありゃなんだ？ コロナを撒き散らかしたいのか >>163
>ガロア理論知っても、ベキ根で解けない代数方程式が
>解けるようになるわけじゃないってわかってる？
>ニュートン法でも勉強しなよ
こいつ、相当あたま悪いな
そういう認識だから、あんなくそブログのガロア理論の記述になるんだね（>>19-20ご参照）
ガロア理論の革命性と数学史上のインパクトの大きさが、全く理解できていないね、おサルは
なるほど、数学科で落ちこぼれるわけだよな
まあ所詮Fランはこの程度かもｗ（＾＾
ガロア祭やる京都大学とは比べるのもなんだけどなｗｗ（＾＾； >>170
ん？もしかして本気で
「ガロア理論で、どんな代数方程式も瞬時に解ける！
これぞ革命！ビッグ・インパクト！」
と思ってた？
これは酷い・・・
＞ガロア祭やる京都大学
でも京大落ちて阪大、しかも理学部じゃなく工学部に逃げた人には
全線関係ないよね？ >>172
無限に関する雑談君の誤り（１）
■無限列における「尻尾の同値関係」の定義
実数の無限列の集合 R^Nを考える。
s =(s1,s2,s3,･･･)，s'=(s'1,s'2,s'3,･･･)∈R^Nは
ある番号n0から先のしっぽが一致するとき
(∃n0.∀n >= n0 → sn＝ s'n )
同値s ～ s'と定義しよう。
■無限列における「決定番号」の定義
同値関係～は R^N を類別する。
(選択公理により)任意の実数の無限列sに対し
sと同値な代表r=r(s)をちょうど一つ選べる。
sとrとがそこから先ずっと一致する番号を
sの決定番号と呼び、d=d(s)と記す。 >>173
■問題
「ランダムに無限列sを選んだとき
その決定番号d(s)の”分布”はどうなるか？」
■雑談君の珍回答
上記の問題に対し雑談君は下記の回答を返した。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/5
「項が有限(n個)の場合には、
基本的には、しっぽの同値類は、最後(n番目)の項で決まる。
項が無限の場合は、
n→∞を考えれば、決定番号n→∞になる。」
「一見、決定番号が有限の数が得られそうに思うが、
可算無限長の列では、n→∞となる。」 >>174
■誤りの解説
決定番号は∞になる、というのは全くの誤りである。
なぜなら、∞は自然数ではないからである。
有限列では列の最後の項があるが、
無限列では列の最後の項はない。
もし「決定番号∞」という言葉で、
「いかなるn0についても、その先でしっぽが不一致の箇所がある。」
(∀n0：∃n >= n0.∧sn =/= s'n )
といっているのなら、
「そもそも列sと、その同値類の代表rは、同値でない。」
ということになる。
しかし、それは
「rがsの同値類(つまりsと同値な元全体の集合)の代表」
であることに反する。
rはsの同値類の代表であるから、rはsと同値である。
したがって当然、決定番号d(s)は自然数であり、有限である。 >>172
無限に関する雑談君の誤り（２）
■Zermeloによる自然数の定義
0を{}とし
xが自然数のときs(x)（つまりx+1）を{x}とする。
1={{}}
2={{{}}}
･･･
となる。 >>176
■問題
さて、任意の自然数より大きい最初の極限順序数ωはどう表せるか？
■雑談君の珍回答
上記の問題に対し雑談君は下記の回答を返した。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/765
「括弧は可算無限個用意できるよね ･･･}}･･･ ってね
で、上記列を鏡（カガミ）に写した鏡像を作れば、
逆の括弧の列も、同様に ･･･{{･･･ ってできるよ
そして、真ん中に0(={})を入れて、
･･･{{･･･{ }･･･}}･･･ ってできるよね
それだけのことでしょ？
上記はシングルトンであって、括弧{} が可算無限重に重なっている集合
これがZermeloのシングルトン構成によるωでしょ」 >>177
■誤りの解説
実は･･･{{･･･{ }･･･}}･･･ はシングルトンではない。
なぜなら、一番外側の{}が存在しないから。
したがって何が要素か示せない。
つまり集合ですらない。 >>172
無限に関する雑談君の誤り（３）
雑談君は無限集合に関して、以下でいう”コンパクト性”が成立する、と誤解している。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/183
（”コンパクト性”）「無限集合は、その任意の有限集合が性質Pを持つとき、性質Pを持つ」
しかしそんなことは論理ではちっとも導けない。
自然数の任意の有限集合には最大元がある。
しかし無限集合の場合には最大元がない。
自然数全体の集合でもその無限部分集合でも同じである。
つまり、雑談君が考える”コンパクト性”は、ただの思い込みである。 >>172
無限に関する雑談君の誤り（４）
（上方）レーヴェンハイム・スコーレムの定理の証明では
「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」
ということを示す。
レーヴェンハイム–スコーレムの定理 - Wikipedia
これを読んで雑談君はこう考えた
「いくらでも大きな有限のモデル＝無限 ってことじゃね？」
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/89
残念ながら、定理のステートメントを読み間違ってます。
「無限のモデルを持つなら、いくらでも大きい有限のモデルを持つ」
とはいってません。
具体的にいえば、自然数の有限モデルはありません。
したがって、N全体について「つねに最大元が存在する」なんてことは言えません。
むしろ逆にN全体について最大元がないことが、有限モデルの非存在の証明となります。 >>170
>ガロア理論の革命性と数学史上のインパクトの大きさが、全く理解できていないね、おサルは
＜補足＞ちょっと古いが「ガロア理とその応用」
https://www.saiensu.co.jp/book_support/20094910054691191/sk197911.pdf
数理科学 NO.557, NOVEMBER 2009
「数理学」は語る
30年前から現代へのメッセージ
彌永 健一 （いやなが・けんいち、東京海洋大学名誉教授)
1979年11月号 特集 ガロア理とその応用
中学生の頃だったか、父(鹿永昌吉)の本棚にあったインフェルトの「ガロアの生涯神々の愛でし人」特集 ガロア理とその応用(市井三郎訳,日本評論社)を見て,表紙にあったガロアの愁いを帯びた表情に惹かれて読みふけった。
1979年 11 月号のガロア理論とその応用についての特集にガロアについて書かないかと依頼されたとき、彼についてはよく知っているような気がして気安く引き受けたところが、手元にあったデュピュイのガロアその真実の生涯(壮雄一訳、東京図書)や、大学の図書室にあったガロア全集(Euvres de Galois 1976)などを改めて見て愕然とした
ガロアについての基本的なデータの数々が、それぞれ食い違っていたのである.
インフェルトの本にある印象深いエピソードの数々の中にも、事実とは異なるらしいものがあることにも気づいた。
締切までの時間に史実についての確認をすることもできないまま悩んでいたが,その一方,全集にあるガロアによる数学の進歩についての文章や、彼がサント・ペラジーの刑務所で書いた論文の序文などを読み,強い共感を抱いた。
当時,成田空港に反対する運動は青年たちの心を躍らせ、金や権力で住民たちを踏みつけていた者たちに対する憤りの気持は私の中にも渦巻いていたのである.
つづく >>181
つづき
1830年, フランス7月革命の最中で命がけで戦い、その中で数学に熱中していたガロアの文章にある、権威に対する不信と怒り、数学のダイナミズムについての情熱は、私自身の心にあったものと深く響き合う内容だった。
今ではすっかり整理され,代数学を学ぶ者にとっては必修であるガロア理論も、未整理な部分を含みながらも、空をわたる雲れたガロアの遺稿集のような広がりを持つ体の世界と,結晶のように澄明な群というな群という、極めて異なったものどうしが作用し合う舞台装置として考えられていたのである。
30年前の文章について,今振り返るために、父による『ガロアの時代ガロアの数学 第1部,第2部」(シュプリンガー・ジャパン)と山下純一氏による『ガロアへのレクイエム」(現代数学社)に目を通して,私の文章には伝説を定説として受け取っていた部分もいくつかあったことに気づいた。
また、ガロアのヴィジョンには、後にリーマン面論として知られる壮大な理論の萌芽が,「多義性の理論」として含まれていたらしいことが、
上にあげた全集の前身といえる1897年に出されたガロアの遺稿集の序文の中でピカールによって指摘されていることも知った.
再来年(2011年)にはガロアが生まれてから200年になる.
ガロアが抱いていヴィジョンについても、改めて評価し、それを時代と数学の流れの中に位置づけるような作業が望まれる.
(引用終り)
以上 >>173-175
決定番号が決して∞になり得ないことは理解できたかい？ >>176-178
･･･{{･･･{ }･･･}}･･･ がシングルトンどころか集合ですらないことは理解できたかい？ >>179
「コンパクト性」が無条件の前提でもなんでもないことは理解できたかい？ >>180
自然数の有限モデルが存在しないことは理解できたかい？ >>181
> 1979年11月号 特集 ガロア理とその応用
へー、こんなのがあったんだね
1979 特集 ガロア理論とその応用 数理科学か
まあガロア理論が、おサルの理解しているような、ちんけなものじゃないことは
それ常識だし、彌永 健一先生が書いてある通りじゃね？
おサルのガロア理論に対する認識は、全く陳腐なものだし
Fラン数学科で落ちこぼれじゃ、そんなものだろうね
なるほど
あんなくそブログ（>>19-20）しか書けないわけだよねｗｗ（＾＾； >>189
>まあガロア理論が、ちんけなものじゃないことは
>それ常識だし、先生が書いてある通りじゃね？
ガロア理論がどんなもんだろうが
大学1年の4月でオチコボレた
キミの人生には全く関係ないよ >>189
＞くそブログ
キミの💩コピペテロよりは全然マシじゃね？
キミもコピペ遊びしたいならブログでやりなよ >>178
(引用開始)
■誤りの解説
実は･･･{{･･･{ }･･･}}･･･ はシングルトンではない。
なぜなら、一番外側の{}が存在しないから。
したがって何が要素か示せない。
つまり集合ですらない。
(引用終り)
アホか
まだ理解できないの？
「なぜなら、一番外側の{}が存在しないから」だと？
アホか
カントールのωは、極限順序数ですよ
極限を考えるんだよ、アホか
ノイマンの構成法でも同じことよ
それが、分からんとね？ｗ（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
例
順序数全体の成す類は整列順序付けられているから、有限でない最小の極限順序数 ω が存在する。この順序数 ω は、自然数の最小上界に一致するものとして、最小の超限順序数でもある。ゆえに、ω は自然数全体の成す集合の順序型を表している。 >>192
＞カントールのωは、極限順序数ですよ
＞極限を考えるんだよ
で、一番外側の{}はあるの？
ある、として、それをとっぱらった中身はω－１？
アルェー？極限順序数だよね？後続順序数じゃないよね？
アタマ、大丈夫？
＞ノイマンの構成法でも同じことよ
ノイマンのωには、一番外側の｛｝はあるよ
で、それをとっぱらった中身は、全て有限順序数だよ
で、キミがいうツェルメロのωってシングルトンなんでしょ？
で、その唯一の要素ってωー１でしょ？ オカシイでしょ？
気づかないの？🐎🦌？ >>192 補足
>>178
(引用開始)
■誤りの解説
実は･･･{{･･･{ }･･･}}･･･ はシングルトンではない。
なぜなら、一番外側の{}が存在しないから。
したがって何が要素か示せない。
つまり集合ですらない。
(引用終り)
すごい幼稚なことを言っている
まるで、小学生か中学生の発想だよ
抽象思考ができないみたいだね
まるで、おサルさんだね（ダジャレ）ｗ >>194
いや、全く論理的思考ができず
「ツェルメロの構成では0以外の自然数はみなシングルトン
だからその「極限」も、オメガ、シングルトン、ゼッタイ」
とかわめいてる君こそ幼稚だって さすが🐎🦌 もし、論理が分かってるなら
「ωが極限順序数であって、直前の順序数がないのだから
シングルトンとして構成できた場合
その唯一の要素は直線の順序数以外あり得ず
したがって矛盾する」
ってわかる筈
わからないなら、全然考えてないよな >>196 一字修正
もし、論理が分かってるなら
「ωが極限順序数であって、直前の順序数がないのだから
シングルトンとして構成できた場合
その唯一の要素は直前の順序数以外あり得ず
したがって矛盾する」
ってわかる筈
わからないなら、全然考えてないよな そっか、決定番号は、有限か
ヤッパ、モピロン、ポクの思った通りだ
箱も無限個の用意するまでもなく
有限個でも的中する戦略Tか存在する
ようだ。
モピロン、モッピロン、公営ギャンブル
にも応用出来ると、思う。
出目理論というので、純粋数学の理論
ではないが、星占いより的中率は
高い確率が高いと思う。
早速、公営ギャンブルで、無限大の
利益をゲットする為、数学を勉強する
by 👾 >>198
＞箱も無限個の用意するまでもなく
＞有限個でも的中する戦略Tか存在するようだ。
ホントですか？もし、そうなら大発見なので
即、論文書いて発表したほうがいいですね >>197
(引用開始)
「ωが極限順序数であって、直前の順序数がないのだから
シングルトンとして構成できた場合
その唯一の要素は直前の順序数以外あり得ず
したがって矛盾する」
(引用終り)
おサルさんさ
”無限”なんてのは、ある程度抽象的な思念の産物なのよ
そして、ある性質で、有限の集合とは全く違う性質を持っていてもなんら矛盾ではない
例えば、ヒルベルトの無限ホテルパラドックス（下記）とか、
整数全体からなる集合Ｚと有理数全体からなる集合Ｑとが同じ濃度（可算無限集合）を持つ（下記）とか
後者では明らかに、Ｚ⊆Ｑであり等号は不成立です。ここ有限集合では同じ濃度にはなり得ないのです
さて、上記問題文に戻ると、”その唯一の要素は直前の順序数以外あり得ず”のところが、不成立でもなんら問題はないと思いますよ（＾＾
無限集合と類似の抽象的概念である極限順序数では、有限の順序数と異なる性質を持っていてもなんら不思議も不都合も無いのです
それに、「一番外側の{}が存在しない」（>>178）などというも、それを極限順序数に要求する必然性は全くないよね ∵”無限”なんてのは、ある程度抽象的な思念の産物なのよ
（一番外側の{}が存在するようにしたければ、それくらいのことは簡単に実現できるしね（考えてみて（＾＾； ））
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
濃度 (数学)
整数全体からなる集合、有理数全体からなる集合はいずれも可算無限集合である[3]。 >>200
>”無限”なんてのは、ある程度抽象的な思念の産物なのよ
>そして、ある性質で、有限の集合とは全く違う性質を持っていてもなんら矛盾ではない
は
>ωが極限順序数であって、直前の順序数がないのだから
>シングルトンとして構成できた場合
>その唯一の要素は直前の順序数以外あり得ず
>したがって矛盾する
に対する何の反論にもなっておらず、ただただナンセンスなだけ。
バカ丸出しとしか言い様が無い。 なんでいつもいつも毎回毎回ナンセンスなことしか書けないの？
馬鹿は無理して数学板来なくていいから >>200
>極限順序数では、有限の順序数と異なる性質を持っていても
>なんら不思議も不都合も無いのです
その通り
つまり、xの後続順序数は{x}というシングルトンで定義されるが、
極限順序数が、同様にシングルトンとして定義される必要はないし
実際そうできない
>さて、
>>「ωが極限順序数であって、直前の順序数がないのだから
>> シングルトンとして構成できた場合
>> その唯一の要素は直前の順序数以外あり得ず
>> したがって矛盾する」
>”その唯一の要素は直前の順序数以外あり得ず”のところが、
>不成立でもなんら問題はないと思いますよ
そう思ってるなら、雑談君は何も考えてない
ω={α}として、αが順序数なら、ωはαの後者である
なぜならαの後者は、{α}と定義されているのだから
>それに、「一番外側の{}が存在しない」（>>178）などというも、
>それを極限順序数に要求する必然性は全くないよね
大いにある
なぜなら、極限順序数は集合であるから
いかなる抽象的な思念の産物であろうと
集合であるかぎり
ω＝｛･･･｝（･･･内には要素が入る）
と表される 逃げようがない
>一番外側の{}が存在するようにしたければ、
>それくらいのことは簡単に実現できるしね
その場で一番外側に{}をつけてごまかしても
たった一回外しただけで、集合でない要素に行き当たって終わるけど
（考えなかったの？（呆））
外側に何個つけようが有限個なら、
その個数分外しただけで、集合でない要素に行き当たって終わるから
結局同じこと
じゃ、無限個つける？自爆だね？
基礎の公理に真っ向から反することやってるじゃん
集合論の公理を全く知らないんだね、雑談君は
この件、例のブログに追記させてもらうわｗ
いやー、まったく次から次へと間違ってくれてありがとう
ネタにちっとも困らないよｗｗｗ >>203 の続き
>つまり、xの後続順序数は{x}というシングルトンで定義されるが、
>極限順序数が、同様にシングルトンとして定義される必要はないし
ωの場合は、ωより小さい順序数（つまり自然数）からなる
”無限集合”として定義すればいい
それでωから{}に至る有限長の∋降下列が構成できる
しかもその長さはいくらでも長くできる
なぜなら、ωの要素としていくらでも大きな自然数ｘがとれるから
ほんと、雑談君は、無限に関する思考が全然できない
お🐎🦌ちゃんなんだねえｗｗｗｗｗｗｗ >>200
>（一番外側の{}が存在するようにしたければ、それくらいのことは簡単に実現できるしね（考えてみて（＾＾； ））
おサルさん、下記の自分の発言忘れた？
(>>11より)
11 名前：哀れな素人[] 投稿日：2021/04/20(火) 08:49:16.87 ID:o1SCGAb/
スレ主よ、サル石が、
定義すれば存在する、と書いたから、
では火星人を定義したら火星人は存在するのか、と質問してやったら、
>数学上で火星人を定義すれば数学上に火星人は存在する
という珍レスを書いてきた(笑
(引用終り)
数学では、シングルトンのωは定義できるよ（火星人の定義は不可だが）（＾＾
0th:={}
1st:={{}}
2nd:={{{}}}
3rd:={{{{}}}}
4th:={{{{{}}}}}
・
・
n-1th:={・・{}・・}({}がn個)
nth:={{・・{}・・}})({}がn+1個。但し追加の{}は、一つ内側に入れる。最外層の{}はn-1thのものを生かす。こうすれば、常に最外層の{}が存在する)
・
・
ω:={{・・・{}・・・}}({}が加算多重になった集合と定義する。nは自然数Ｎの全てを渡る)
シングルトンのωが定義できた
だから、シングルトンのωは存在する
（というか、極限順序数ωに対応するシングルトンが、定義（つまり構成）できたと考えて良い
（ n∈Ｎ で、自然数の集合Ｎを添え字集合と考えれば良いだけのこと) >>205
>（というか、極限順序数ωに対応するシングルトンが、定義（つまり構成）できたと考えて良い
>（ n∈Ｎ で、自然数の集合Ｎを添え字集合と考えれば良いだけのこと)
補足：
・この立場は、（下記）神の天地創造のように、全てを空集合Φの最初から構成しようという立場とは異なる
・つまり、天地創造が終わって、自然数の集合Ｎなどが全てそろい、極限などの概念も全て整備された
・その後で、極限順序数ωに対応するシングルトンを定義（つまり構成）しようという立場です
・だから、いろんな道具や概念が使える。その一つが、添え字集合としての自然数の集合Ｎです
・これは、ノイマンが全てを空集合Φの最初から公理的に構成しようとした立場とは、異なるよ
（そういう立場からの批判は、当たらないということです）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A9%E5%9C%B0%E5%89%B5%E9%80%A0
天地創造
神は「光あれ」と言われた。すると光があった。 >>205
＞数学では、シングルトンのωは定義できるよ
縁なき衆生は度し難し･･･
＞0th:={}
＞1st:={{}}
＞2nd:={{{}}}
＞3rd:={{{{}}}}
＞4th:={{{{{}}}}}
＞ ・
＞ ・
＞n-1th:={・・{}・・}({}がn個)
＞nth:={{・・{}・・}})({}がn+1個）
ここはいいよ。ま、小学生でもわかるけどねｗ
＞但し追加の{}は、一つ内側に入れる。最外層の{}はn-1thのものを生かす。
それ、後続順序数の定義と違うから誤り
追加の{}は、外側につける。つまりｎ＝｛ｎ－１｝
上記の定義でも、常に最外層の{}が存在する
＞ ・
＞ ・
＞ω:={{・・・{}・・・}}
＞({}が加算多重になった集合と定義する。nは自然数Ｎの全てを渡る)
はい、ダメ~。×。
上記の似非集合は、無限降下列をもつので、基礎の公理に真っ向から反します。
キミ、あいかわらず基礎の公理が全然理解できないんだねえ（呆）
そもそも｛｝の数しか考えないところが
ホント論理を全く理解できない具体🐎🦌
どこの島の土人？
＞シングルトンのωが定義できた
＞だから、シングルトンのωは存在する
基礎の公理に矛盾するので
「シングルトン」のωは、火星人同様存在しません
ざんね~んｗｗｗｗｗｗｗ >>206
＞＞極限順序数ωに対応するシングルトンが、定義（つまり構成）できたと考えて良い
＞＞（ n∈Ｎ で、自然数の集合Ｎを添え字集合と考えれば良いだけのこと)
＞・この立場は、全てを空集合Φの最初から構成しようという立場とは異なる
＞・つまり、天地創造が終わって、自然数の集合Ｎなどが全てそろい、極限などの概念も全て整備された
＞・その後で、極限順序数ωに対応するシングルトンを定義（つまり構成）しようという立場です
＞・だから、いろんな道具や概念が使える。その一つが、添え字集合としての自然数の集合Ｎです
＞・これは、ノイマンが全てを空集合Φの最初から公理的に構成しようとした立場とは、異なるよ
＞（そういう立場からの批判は、当たらないということです）
なにわけのわかんないこといってんだ？この小二はｗ
まず、キミのやり方では肝心の極限の概念は全く整備されてない。
キミの考える「天地創造」では、有限集合しか定義できてない。
つまり自然数の集合Ｎは存在しない
これを存在させるには無限公理を設けるしかない
つまり
「ツェルメロが「無限集合あれ！」といわれた すると無限集合があった」
ということｗｗｗ
で、ツェルメロの順序数構成で同じことをやるなら
∃ｘ．{}∈ｘ＆∀ｙ．ｙ∈ｘ⇒｛ｙ｝∈ｘ
という論理式を公理に設定する必要があるってこと
上記の公理を満たす最小の集合こそがツェルメロ構成でのω
もちろん、無限集合 シングルトンでもなんでもな~い
これこそが、極限の概念の整備だよ ボクｗｗｗ >>198
>早速、公営ギャンブルで、無限大の
>利益をゲットする為、数学を勉強する
公営ギャンブルには、必勝法がないギャンブルと、
必勝法はあるがそれを身に付けるにはかなりの努力を要するギャンブルがある。
数学は、公営ギャンブルで如何に損をしないかという対策には使えるが、
公営ギャンブルで多額に儲けるには見たところ余り使えない。 >>205
>ω:={{・・・{}・・・}}({}が加算多重になった集合と定義する。nは自然数Ｎの全てを渡る)
このωが集合だとして、その唯一の要素は{}が何多重？
>シングルトンのωが定義できた
上記への回答が可算多重だとしたらω={ω}であって、ωは集合じゃありませんね。正則性公理に反しますから。
なぜいつもいつも毎回毎回知らないのに知ってる風を装って語るんですか？恥ずかしくないですか？恥知らずだから恥ずかしくないんですね？ >>205
{}を除き、自分自身と交わらない要素を持たないと集合の資格がありません。（正則性公理）
ω∩ω=ω≠{} だから、ω={ω}なら、ωの唯一の要素ωは自分自身と交わる、すなわち自分自身と交わらない要素を持たない、すなわち正則性公理違反。
よってあなたの云う「シングルトンのω」は集合ではありません。
現代数学は集合のみで構成可能なので、あなたの云うωは数学外です。数学外の話をしたいなら数学板外でやって下さい。 さらなる燃料投下ｗ
「グロタンディーク宇宙の公理から
宇宙の要素となる集合の存在は導けない」
理由
空集合がグロタンディーク宇宙の公理を満たすｗ
上記の下らん例は、
「グロタンディーク宇宙が空集合{}を要素として持つ」
とするとすれば排除できるが･･･
「グロタンディーク宇宙の公理から
宇宙の要素となる無限集合の存在は導けない」
理由
すべての遺伝的有限集合 の集合Vωがグロタンディーク宇宙の公理を満たす
したがって、グロタンディークの公理とは別に
「グロタンディーク宇宙の要素となる無限集合が存在する」
という必要がある >>207
おサルは、前に（旧ガロアすれで）教えたのに、
また同じところで間違えるｗ（＾＾
>上記の似非集合は、無限降下列をもつので、基礎の公理に真っ向から反します。
・基礎の公理は、∈による無限降下列のみを禁止する。つまり、∈による無限上昇列は禁止していない
禁止しているのは、底なし沼のような、∈による無限降下列
・例えば、もしあったとして、・・・X-4∈X-3∈X-2∈X-1みたい無限降下列
あるいは、・・・x∈x∈x∈x みたいな無限降下列
・しかし、空集合Φ＝{} からスタートして、∈を使って自然数を作るうえで、無限上昇列はできるが、それは良いのだ
例えば、下記ノイマン構成で
Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ（自然数の集合で加算無限の濃度を持つ）
これは可だ
・この上昇列”Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ”は、ｎが全ての自然数を渡るとき、無限上昇列になる（証明は思いつくだろう。背理法を使えば簡単。ある有限の長さＬに対して、常にＬ＋1の長さの上昇列が可能だ）
おサルは、基礎の公理が分かってない！
それに、基礎の公理を使わない公理系もあるよ（下記など）
基礎の公理は絶対ではない！！
基礎の公理を使えば、スッキリするのは確かだがね（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数の公理
「ペアノの公理」も参照
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
つづく >>214
つづき
https://nipponkaigi.net/wiki/Aczel%27s_anti-foundation_axiom
Aczelの反基礎公理 - Aczel's anti-foundation axiom Wikipedia site:nipponkaigi.net
アクゼルの反基礎公理は公理Peter Aczel （1988 ）によって、ツェルメロフレンケル集合理論の基礎の公理の代替として示されています。
https://en.wikipedia.org/wiki/Aczel%27s_anti-foundation_axiom
Aczel's anti-foundation axiom
A set theory obeying this axiom is necessarily a non-well-founded set theory.
https://en.wikipedia.org/wiki/Non-well-founded_set_theory
Non-well-founded set theory
(引用終り)
以上 >>214
>例えば、下記ノイマン構成で
>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ（自然数の集合で加算無限の濃度を持つ）
>これは可だ
Nの一つ前の項を答えて下さい >>19 追加（遠隔レスご容赦）
(引用開始)
ガロア理論については、理学部数学科を卒業した人以外にとっては
「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
（代数的に解けない＝ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味）
ということを証明する理論としてしか認識されてないし
(引用終り)
話は逆だろうな
1．Ｆラン数学科の講義では、
”ガロア理論については、
「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
（代数的に解けない＝ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味）
という命題を最高到達点とするのが、精一杯だｗ（＾＾；
2．一方、世間一般の通俗本では、
”フランスの天才数学者エヴァリスト・ガロアが方程式に関して行った考察は、その後の数学や物理学の発展に重要な役割を占めることになりました。
方程式の解の関係性を表すガロア群。具体的な方程式のガロア群を計算することで複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。”
ってことだけど、こんなことを、Ｆラン数学科では、講義できない！ｗｗ
そんな講義をできるＦランではない！！ｗ（＾＾
3．よって、冒頭の文の認識は、Ｆラン数学科で学んだ人の限界だろうｗｗｗ（＾＾
（参考）
https://www.アマゾン.co.jp/dp/B07916DQ98
方程式のガロア群 深遠な解の仕組みを理解する (ブルーバックス) Kindle Edition
by 金重明 (著)
内容（「BOOK」データベースより）
19世紀前半、フランスの天才数学者エヴァリスト・ガロアが方程式に関して行った考察は、
その後の数学や物理学の発展に重要な役割を占めることになりました。
方程式の解の関係性を表すガロア群。
具体的な方程式のガロア群を計算することで複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。 -
Publisher : 講談社 (January 16, 2018) >>214 補足
>>上記の似非集合は、無限降下列をもつので、基礎の公理に真っ向から反します。
>・基礎の公理は、∈による無限降下列のみを禁止する。つまり、∈による無限上昇列は禁止していない
> 禁止しているのは、底なし沼のような、∈による無限降下列
・建物に例えて言えば、”∈”を使って建物を建てるみたいな
・で、基礎の公理の「基礎」というのは、建物の基礎を意味する
・建物を、”∈”を使って、上に高く伸ばしていくのは可（超限回）で、それは当然無限を許容している。∵ そうしないと、無限集合の構成で困る
・一方、禁止されているのは地下深く伸ばすこと。地下深く無限に伸ばすのはダメだというのが、基礎の公理の意味（下記の”0”が最下層）
・詳しくは下記などご参照（＾＾
（参考：
特に「V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している」（0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス））
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理
定義
V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。 >>214
> 前に（旧ガロアすれで）教えたのに、
> また同じところで間違える
それ、雑談君ねｗ
>>216
>>ノイマン構成で
>>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ
>>（自然数の集合で加算無限の濃度を持つ）
>>これは可だ
> Nの一つ前の項を答えて下さい
そう、それ！
前にも雑談君に言ったけど
ものの見事に無視したね
やっぱり誤りだと認識しないと
いつまでも同じ誤りをおかすねえ
Nをシングルトンだと決めつけた場合
x∈N となるxは存在しないんだよね
だって{x}=Nになるから、x＝N-1になっちゃうけど
それってNが極限順序数であることに反するからねえ
どうしてそんな初歩的誤りから抜け出せないのかねえ
やっぱり定義から物事を考える論理的思考を一切せずに
「カッコの数＝順序数！！！」とかいう
動物的な反射行動しかしない（できない）からなんだろうねえ
大阪大学卒が聞いて呆れるねえ
（哀れな老人氏は無限を一切認めないけど、
思考は雑談君よりはるかに論理的だからねえ
やっぱり京大卒は賢いんだねえ） >>217
>数学科の講義では、
>”ガロア理論については、
>「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
>（代数的に解けない＝ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味）
>という命題を最高到達点とするのが、精一杯だ
ふーん、工学部卒は、理学部数学科についてそういう妄想してるんだぁ
ガロア理論は、代数体の研究のために学ぶのであって
「五次以上の方程式の解の公式の非存在」とかいうのは
「定規とコンパスによる一般角の三等分の不能性」と同じく
付録に過ぎないんだよね
>方程式の解の関係性を表すガロア群。
>具体的な方程式のガロア群を計算することで
>複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。
なんか、いつもおんなじような文章を
飽きもせずにコピペしてるけど
意味、全然わかってないよね？
あのね、解によってはガロア群は対称群より小さくなるよ
それが「解の構造」ってやつね 意味、分かる？
＞金重明
この人、数学者じゃないよね
最近ガロア理論に関する一般人の著作を目にするけど
なんか目標がいつも判で押したように
「五次以上の方程式の解の公式の非存在」
なんで残念だなあと思ってる
そういう意味でいうと、巨大数論は面白い
証明論と全く無関係に構成的順序数が出てくるからねえ
素人なんだから、数学者の過去の戯言と一切無関係に
自分の興味のみから数学の理論を語ってほしいよね
そうでなければ、素人が語る意味、ゼロだよね ゼロ >>218
＞建物を、”∈”を使って、上に高く伸ばしていくのは可（超限回）
（超限回）がダメね。
どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。
それが基礎の公理の真意。
＞（0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス）
これ、正確にはウソね
例えばV_ωは、
0(={})にベキ集合の演算を「無限回」繰り返して得られる集合
ではないよ
任意有限回繰り返して得られる集合の和だから
（上記の集合を得るには無限公理と置換公理が必要）
定義を一切読まずに、見た目だけで脊髄反射する
動物的な行動しかしないからいつまでたっても
人間（＝大学以上）の数学が理解できないんだよ >>218
屁理屈はいいから早く>>216に答えてもらえません？ おまけ
＞神は「光あれ」と言われた。すると光があった。
ということでこの曲
四番目の光
www.youtube.com/watch?v=WQTshyuqz-w&ab_channel=%E4%B9%83%E6%9C%A8%E5%9D%8246OFFICIALYouTubeCHANNEL >>222
ちっ、ゾロ目とられたｗ
･･･想像だけど、雑談君は、ωは集合でなくてもいいと思ってるのかもｗ
ただその場合
0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・
の先にある「∈ω」の意味が全くなくなるけどねｗ 雑談君の恥ずかしいところは
「いつも上から目線でドヤ顔で語るが
どれもこれも初歩から間違ってる」
ってことかな
さすが、大学１年の４月で数学につまづいて
おちこぼれるだけのことはある
要するに不遜かつ尊大で、謙虚さがないから
何も学べないんだな ガロアにばかり固執する雑談君に質問
「オイラーの等式 e^iπ+1=0 の現代数学における意味を答えよ」
個人的には「exp(2πi)=1」の方が意味が明確だと感じるけどね こんなんでいいんじゃない
『ガロアに出会う』のんびり数学研究会 著（数学書房）
第I部 1章 プロローグ
2章 集合と写像
3章 群
4章 複素数と方程式
5章 多項式
第II部
1章 べき根で表わせるとはどういうことか
2章 代数性，最小多項式
3章 ガロア拡大とガロア群
他 代数系入門 松坂和夫
群・環・体・ベクトル空間などの代数系は，集合・位相空間と並ぶ現代数学の基礎的概念．整数を素材として代数的手法のモデルをみることから始め，抽象的な代数系の一般論に進む．『集合・位相入門』に続き，高校数学を修めた初学者が無理なく現代数学の基礎を身につけられる．長年にわたって支持されてきたロングセラーの新装版．
内容
第1章 整数
第2章 群
第3章 環と多項式
第4章 ベクトル空間，加群
第5章 体論
第6章 実数，複素数
付 録 自然数 代数学1 群と環 桂 利行 著
内容紹介
現代数学の基礎となる群と環．その初歩を，東京大学理学部数学科で行われている講義「代数学I」のシラバスに基づきつつ，具体例を交えてわかりやすく解説．テーマをしぼり，コンパクトにまとめる新しい教科書シリーズの第１冊目．演習問題も多数．
主要目次
はじめに
第1章 群の理論
群の定義／部分群／いろいろな群の例／剰余類と剰余群／準同型写像と
準同型定理／直積／共役類／可解群／シローの定理／章末問題
第2章 環の理論
環の定義／部分環と直積／多項式環／イデアルと剰余環／準同型写像／
一意分解整域／素イデアルと極大イデアル／単項イデアル整域／商体／
素体と標数／単項イデアル整域上の多項式環／章末問題
問題の略解／参考文献／索引 代数学2 環上の加群 桂 利行著
内容紹介
ベクトル空間の一般化である環上の加群は，数学を学ぶ学生にとって必ず身につけておくべき基礎知識である．本書は，その理論について，具体例を交えていねいに解説．理解を確実にし，さらに進んだ内容を学びたい読者のために，演習問題も多数．
主要目次
第1章 環上の加群の基礎
環上の加群の定義／準同型写像と準同型定理／直和と自由加群／完全系列／単因子論／有限生成アーベル群の基本定理
第2章 テンソル積とテンソル代数
テンソル積の定義／テンソル積の性質／テンソル代数／交代代数と対称代数／射影加群
第3章 有限群の表現論
群の表現／完全可約／シューアの補題とマシュケの定理／指標／指標の第2直交関係
第4章 ネター加群
ネター加群の基礎／クルル・レマク・シュミットの定理／ウェッダーバーンの構造定理 >>227
それ、書いてるの素人じゃないんだよなｗ
メンバーの一人であり松本幸夫氏は有名なトポロジスト
「４次元のトポロジー」は私も読みましたよ
「多様体の基礎」「Morse理論の基礎」もいい本です
https://www.gakushuin.ac.jp/univ/sci/top/kagakusanpo/matsumoto/matsumoto.html 代数学3 体とガロア理論 桂 利行著
内容紹介
5次以上の方程式には根の公式は存在しない――数学の基本理論であるガロア理論は，学部数学科で学ぶ最も美しい理論のひとつである．さらに現在，抽象幾何学や暗号理論など様々な分野にも応用されている．その基礎を，初学者のためにわかりやすく解説．
主要目次
第1章 体の理論
拡大体／代数的拡大／分解体／代数的閉体／分離拡大体，非分離拡大体／体の同型写像／ガロア拡大／超越的拡大／章末問題
第2章 ガロア理論
ガロアの基本定理／ガロア群の計算例／円分体／トレースとノルム／有限体／巡回クンマー拡大／方程式のべき根による解法／2次方程式，3次方程式，4次方程式／定規とコンパスによる作図／作図問題の具体例／章末問題
第3章 ガロア理論続論
代数学の基本定理／正規底／ガロア・コホモロジー／クンマー拡大／アルティン・シュライアー拡大とヴィットの理論／章末問題
参考文献／章末問題の解答／索引／人名表 >>229-230 >>232
これらは、大学の代数学の教科書だよね >>19 遠隔レスすまん（＾＾
> ４．５次以上の対称群は可解性を有しない。
>アーベル-ルフィニの定理 - Wikipedia
> ５．したがって、５次以上の代数方程式は一般的にベキ根で解けない。
高木貞治『代数学講義』が手元にある
第7章 不可能の証明 五次以上の方程式の代数的解法の不可能
この後に、高木貞治が書いている
Ｐ206「現今の体の論では一層広汎な定理の特別の場合として、きわめて手軽に出してしまう。
飛行機から登山の跡をみさせるようなものである。ここでは大掛かりの準備をしないで、最初の踏破者の足跡を追ってみたのである。
それは無用ではあるまいと思われる。」と
高木貞治では、わずか10数ページでこの定理を扱っている
確かに、ガロア理論で「飛行機から登山の跡をみさせる」のは良いとして、ガロア無しで16ページで処理できるアーベルの定理が
Ｆラン数学科では、ガロア理論の最高到達点で、終わっちゃったんだよね、多分ね。なんだかねぇ～、Ｆランはショボイな ｗ（＾＾；
(参考)
https://ja.wikisource.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AC%9B%E7%BE%A9
『代数学講義』作者：高木貞治
目次
6 三次および四次方程式
7 不可能の証明
不可能の証明
五次以上の方程式の代数的解法の不可能
前節の続き，証明の根拠
つづき >>236
つづく
https://アマゾン/dp/4320010000
代数学講義 改訂新版 Tankobon Hardcover ? November 25, 1965
by 高木 貞治
Customer reviews
ido Reviewed in Japan on April 11, 2018
4.0 out of 5 stars 大学の[代数学]ヌキで5次方程式の*解けない*事情が分かる本。ただし大学の[代数学]という科目の教科書として使うのはムリかも
5次方程式の解の代数的構成(=いわゆる"根の公式")が存在しないことの説明を、現代の[代数学]にはいっさい触れないで(だからガロワの理論もナシで)聞くために使う、というのがいいと思います
現代の教科書や授業では、"ガロワ理論の基本定理によってS5は非可解。したがってただちに明らか(^_^；)"で(ほとんど一瞬で)導いてしまいます。でも、この本ではそうしないで、じかに方程式(正確にはその解)のコトバだけを使って説明してくれます(アーベルが使った方法によるものらしいです)
(現代の)代数学はなるべく避けて通りたいのなら、ふつうの(現代の)教科書(やもしかすると一般向けの解説書も)よりもこっちの本の方がありがたいのではないかと思います
当然話しは長くなりますが。とはいってもこの本なら大筋5ページ＋予備定理の証明6ページだけです。もし今風にガロワ理論の基本定理の説明と、S5が可解でない理由(っていうか可解って何よ)の説明をきちんと学んでいたら、たぶん数学科2年前期の単位が1科目取れちゃうぐらいの内容を学習してもらわなければならないでしょう
(引用終り)
以上 代数学1 群論入門 雪江 明彦著
内容紹介
大学で学ぶ代数学シリーズの第１冊目。代数学の基礎である群論を、初学者に多い誤りに注意しながら親切に解説。
目次
第1章 集合論
1.1 集合と論理の復習
1.2 well-definedと自然な対象
1.3 選択公理とツォルンの補題
1.4 集合の濃度
第2章 群の基本
2.1 群の定義
2.2 環・体の定義
2.3 部分群と生成元
2.4 元の位数
2.5 準同型と同型
2.6 同値関係と剰余類
2.7 両側剰余類
2.8 正規部分群と剰余群
2.9 群の直積
2.10 準同型定理
第3章 群を学ぶ理由
3.1 3次方程式と4次方程式の解法
3.2 なぜ群を学ぶか
3.3 群のどのような性質を調べるか
第4章 群の作用とシローの定理
4.1 群の作用
4.2 対称群の共役類
4.3 交換子群と可解群
4.4 p群
4.5 シローの定理
4.6 生成元と関係式
4.7 位数12の群の分類
4.8 有限アーベル群
4.9 交代群
4.10 正多面体群 代数学2 環と体とガロア理論
雪江 明彦著
内容紹介
大学で学ぶ代数学シリーズの第２冊目。環、加群、体からガロア理論までを、豊富な例と丁寧な解説で明快に解き明かす。
目次
第1章 環論の基本
1.1 環の定義と準同型
1.2 多項式環・整域
1.3 部分環とイデアル
1.4 剰余環
1.5 dual numberの環と微分
1.6 環の直積
1.7 素イデアル・極大イデアル
1.8 局所化
1.9 可換環と代数幾何
1.10 非可換環と表現論・整数論
1.11 一意分解環・単項イデアル整域・ユークリッド環
1.12 正規環・既約性の判定
1.13 ネーター環・アルティン環
第2章 環上の加群
2.1 行列と線形方程式
2.2 行列式
2.3 環上の加群とベクトル空間
2.4 部分加群と準同型
2.5 準同型と表現行列
2.6 GLn(Z/mZ)
2.7 有限性
2.8 組成列
2.9 ネーター環上の加群
2.10 テンソル積
2.11 双対加群
2.12 単項イデアル整域上の有限生成加群
2.13 完全系列と局所化 第3章 体論の基本
3.1 体の拡大
3.2 代数閉包の存在
3.3 分離拡大
3.4 正規拡大
3.5 有限体
3.6 無限体上の多項式
3.7 単拡大
第4章 ガロア理論
4.1 ガロア拡大とガロアの基本定理
4.2 対称式と交代式
4.3 終結式・判定式
4.4 3次方程式と4次方程式
4.5 3次多項式のガロア群
4.6 ガロア拡大の推進定理
4.7 円分体
4.8 作図問題
4.9 クンマー理論
4.10 方程式の可解性
4.11 正規底
4.12 トレース・ノルム
4.13 ヒルベルトの定理90
4.14 クンマー理論再考
4.15 アルティン-シュライアー理論
4.16 4次多項式のガロア群
4.17 代数学の基本定理 >>219
(引用開始)
>>216
>>ノイマン構成で
>>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ
>>（自然数の集合で加算無限の濃度を持つ）
>>これは可だ
> Nの一つ前の項を答えて下さい
そう、それ！
前にも雑談君に言ったけど
ものの見事に無視したね
(引用終り)
なんだかな～ｗｗｗ（＾＾
1．ペアノの公理、後者関数をもって、自然数全てを構成できる
2．自然数全て集めて、自然数の集合Ｎができる。これが最初の加算無限集合
3．ＺＦＣでは、標準的にノイマン構成を使う（>>214）
4．ノイマン構成に限らないが、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数ωは、繰り返すが極限順序数です。”後続順序数ではない！”順序数ですｗｗｗ（下記ご参照）
ωも、そしてＮにも、前者はないよね
カントール先生を読みましょう～！（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。 代数学Ⅱ 雪江
京大OCW
ttps://ocw.kyoto-u.ac.jp/course/66/ >>242
>ωも、そしてＮにも、前者はないよね
じゃあ
>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ
なる列は存在しないですね ・・で誤魔化してるけど
Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈x∈Ｎ
としたとき x は存在しないんでしょ？そう言いましたよね？
x が存在しないなら
Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈x∈Ｎ
も存在しないよね？
はい、間違いを認めましょーね？ >>208
>キミの考える「天地創造」では、有限集合しか定義できてない。
>つまり自然数の集合Ｎは存在しない
>これを存在させるには無限公理を設けるしかない
”無限公理を設けるしかない”は、”一階述語論理では”だな
（”レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる”（下記））
そして、基礎論ＺＦＣでは、一階述語論理を使う
だから、”無限公理を設けるしかない”
つまり空集合Φ＝{}から始めて、一階述語論理で無限集合をハッキリ証明するのは無理で（デデキントが失敗したらしい）、そのため無限公理が必要だと
でも、ちょっと思想が古い（20世紀）かな？
21世紀はＺＦＣマンセー！じゃないよ
人は普段の日常数学では、一階述語論理に制限されないし、圏論とかいろいろ
それに、（一階述語論理に制限されないからこそ）人類は古代ギリシャ時代から”無限”を考察してきた（ or できた）のだし
カントールの無限集合論には、無限公理は存在しない
（二階述語論理と無限公理を仮定しない理論については下記を）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
二階論理の表現能力
二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能である。
ドメインが有限であるというには、そのドメインから同じドメインへの全ての単射関数が全射であることを論理式で表せばよい。
ドメインが可算無限集合の濃度であることをいうには、そのドメインの任意のふたつの無限部分集合間に全単射があることを論理式で表せばよい。
一階述語論理ではこれら（「有限集合であること」や、「可算集合であること」）を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる。
つづく >>246
つづき
”無限公理を仮定しない理論も同様に扱かうことも可能である”とあるよ
https://researchmap.jp/read0078210/published_papers/14775904/attachment_file.pdf
科学基礎論研究Vol.800, No.800 (2018)
数学と集合論
?ゲーデルの加速定理の視点からの考察?
渕野昌
0. はじめに
以下で，ゲーデルの加速定理の数学に与えるインパ
クトについて考察する．
Ｐ803
2. 準備
ここでは，自然数の概念が(von Neumann の順序数
の定義の特別な場合として) 導入できる程度以上の強
さを持つ(弱い) 集合論の体系とその様々な拡張を扱か
う(これらの拡張の中には通常の集合論の公理系ZFC
やこれに更に様々な巨大基数の存在公理やMartin’s
Maximum など知られている強い公理のいくつかを付
け加えて得られる体系なども含まれる)．無限公理を
仮定しない理論も同様に扱かうことも可能である
(引用終り)
以上 >>246
じゃあ無限公理を仮定せずに無限集合の存在を証明してみて >>221
>＞建物を、”∈”を使って、上に高く伸ばしていくのは可（超限回）
>（超限回）がダメね。
>どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。
>それが基礎の公理の真意。
あらら、恥ずかしいやつ
”どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。
それが基礎の公理の真意。”
か、おサルはほんと基礎論弱いね～（＾＾
そんなこと書いている本とか、どこにも無いよ
例えば、下記の時枝 箱入り無数目より
「箱が可算無限個」
実数列の集合 R^N
s = (s1，s2，s3 ，・・・)∈R^N
これから、加算無限長の自然数列
(1，2，3 ，・・・)∈N^N
が出来る
ここに、ノイマンの自然数構成（>>214）を適用して
1，2，3 ，・・・
↓
1∈2∈3∈・・・∈N
となる∈の無限上昇列ができる
定義より、”1∈2∈3∈・・・”は
加算無限長ですよ（＾＾
これは、当然基礎の公理には反しない
∵降下列ではなく、上昇列 ｗ（＾＾
（参考）
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/1-2
箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N >>248
>じゃあ無限公理を仮定せずに無限集合の存在を証明してみて
素数の集合をＰとする
Ｐは無限集合である ｂｙ ユークリッド (ユークリッドが無限公理なんて知るわけないわなｗ)
ほかにもあるらしいよ
無限公理なんか、関係ないよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
素数
4 素数の個数
4.1 ユークリッドによる証明
4.2 他の証明
素数の個数
詳細は「素数が無数に存在することの証明」を参照
素数が無数に存在することは既に古代ギリシア時代から知られていて、ユークリッドが彼の著作『原論』[10]の中で証明している。 >>250
逆だろ？
基礎論以外のプロ数学者は、普段ＺＦＣなんて使ってないだろ？
だから、おサルは落ちこぼれたんじゃね？
普段の数学にＺＦＣ持ち込んだりしたのかな？（＾＾ >>247
>”無限公理を仮定しない理論も同様に扱かうことも可能である”とあるよ
じゃあ>>248に答えられるよね？ >>249
>1∈2∈3∈・・・∈N
>となる∈の無限上昇列ができる
無限列には最後の項は存在しませんｗ 存在したら有限列ですｗ
実際あなたは「Nの直前は何？」から逃げ続けてますよね？
>定義より、”1∈2∈3∈・・・”は
>加算無限長ですよ（＾＾
その無限上昇列には最後の項が無いよね。
だから逆に辿って無限下降列とはできないよね。初項が無いんだからｗ
だから
>どんな集合も、有限回の∈降下で空集合{}に至る。
>それが基礎の公理の真意。
に対するなんの反論にもなってないんだけどｗ
>箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
>実数列の集合 R^Nを考える.
>s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N
はい、「・・・」で終わっており、最後の項が書かれてませんね。
当たり前です、無限列に最後の項なんて無いのだからｗ >>251
>素数の集合をＰとする
>Ｐは無限集合である ｂｙ ユークリッド (ユークリッドが無限公理なんて知るわけないわなｗ)
>ほかにもあるらしいよ
>無限公理なんか、関係ないよ
え？？？
ZF公理系は素数どころか自然数すら、いや0ですらその存在を謳ってないんだけど。
素数pとは二つの自然数の積で表す方法が p×1、1×p に限られる0,1以外の自然数のことだから、
素数全体の集合を定義するには、最低限自然数全体の集合NとN上の積の定義が必要なんだけど。
で、Nを構成するには無限公理が必要って話をしてるんだけど。
頭だいじょうぶ？ Nを自然数全体の集合としたとき、方程式 x∈N の解は自然数。
したがって、N∋x∋…∋1∋0 の形の列は有限列。
したがって、Nは正則性公理に適合する。
一方
>ω:={{・・・{}・・・}}({}が加算多重になった集合と定義する。nは自然数Ｎの全てを渡る)
なるωを仮に集合と見做すと、一番外側のカッコを外したものもω、つまりω={ω}だから、ω∋ω∋… なる無限下降列を持つ。
したがって正則性公理に違反する。
なんでこんな簡単なことが分からないの？ 脳に欠陥でもあるの？ >>242
>>ωも、そしてＮにも、前者はないよね
ああ、私は初めからそういってるよ
一度も、ωやNに、前者があるとはいってない
>>244
>じゃあ
>>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ
>なる列は存在しないですね
そうなんだよ 最後の”∈N”はない
Nの前者が存在しないんだから
しかし、この簡単極まりないことを
どうしても、雑談君は理解したがらない
大学１年４月の挫折が、自分の不遜さにあることを決して認めようとしない
だからどうしても数学の定義を理解するという最初の壁が乗り越えられない
実に哀れとしかいいようがない >>249
>ノイマンの自然数構成（>>214）を適用して
>1，2，3 ，・・・
> ↓
>1∈2∈3∈・・・∈N
>となる∈の無限上昇列ができる
一か所重大な間違いがあるｗ
正しくは以下の通りだ
「ノイマンの自然数構成（>>214）を適用して
1，2，3 ，・・・
↓
1∈2∈3∈・・・
となる∈の無限上昇列ができる」
どこが違うか分かるかい？
そう！最後の ”∈Ｎ” がないね
ノイマンの自然数構成ｓ（ｘ）＝ｘ∪｛ｘ｝だけでは、
Ｎはできないんだな
>>254もそう書いてるだろう？
みんなわかることが、どうして雑談君には理解できないのかな？ >>246
>カントールの無限集合論には、無限公理は存在しない
>（二階述語論理と無限公理を仮定しない理論・・・）
>>248
>無限公理を仮定せずに無限集合の存在を証明してみて
>>251
>素数の集合をＰとする
>Ｐは無限集合である ｂｙ ユークリッド
をひ！
カントールの無限集合論、どうした？ｗｗｗ
二階論理、どうした？ｗｗｗ
自然数論は有限集合論で論じられる
つまり、”自然数全体の集合”は必要ない
その場合、素数の全体はクラスとなる
ユークリッドの証明もそういう形で理解される
ところで、これから雑談君を「二階クン」と呼んであげようかｗ
都合が悪くなると「二階論理ガー」と言い出す君にピッタリだろ？
な、二階クンｗ >>247
>”無限公理を仮定しない理論も同様に扱かうことも可能である”とあるよ
雑談君、日本語読み間違ってるよ
フッチーノは、
「無限集合を仮定しない理論でも自然数全体の集合の存在が示せる」
なんていってない
「無限集合を仮定しない、つまり自然数全体の集合が存在しない理論でも、
同様に扱かうことも可能である」
といっている
日本語が読めないんじゃ、数学は無理だね（バッサリ） どうも雑談君あらため二階君は
「二階論理では、無限集合の存在が証明できる」（キリっ）
と思ってるらしいけど・・・それ誤解ｗ
有限と無限の区別を「確定」させるには二階論理が必要、といってるだけだよ
（「確定」というのは、非標準モデルを排除する、という意味）
ちなみに、二階論理は完全性（つまり任意のモデルで成立する命題が証明可能）
を有しないので、ありがたくない
一階論理は完全性を有するからありがたい
その性質を活用するために、「非標準モデル」を受け入れるのは仕方ない 正則性公理に適合するようにツェルメロ構成でωを作るとすれば、やはり
１．{}∈ω
２．ｘ∈ωならば、｛ｘ｝∈ω
の２条件を満たすようなωにするしかない
必然的にωはシングルトンではなく無限集合になる
ここで、シングルトンか否かは、有限／無限の区別ではなく
後続順序数か否かの区別であることを理解すべき
例えばω＋１は｛ω｝だからシングルトン
一方ω＋１は有限順序数（つまり自然数）ではない >>257
>そうなんだよ 最後の”∈N”はない
>Nの前者が存在しないんだから
こいつら、ほんと学習しないね
旧ガロアすれでも書いてやったのに（＾＾
繰り返しだなｗ
下記「自然数全体（離散位相）Ｎ の一点コンパクト化はＮに最大元ωを付け加えた順序集合Ｎ∪{ω}の順序位相と同相になる」を味わって読んで下さい。ωを加える後も前もどちらも、Ｎは無限集合である（＾＾
複素平面の一点コンパクト化であるリーマン球面（下記）で、P (∞)で、あなた方のいう直前とか直後に類する点は存在しないよ
だが、球面と同相だよ！ 後述の実数直線のコンパクト化（円周 S1 と同相）に同じ（ここが分からんみたいだがｗ）
P (∞)の直前とか直後に類する点が存在しないから、”隙間”できるみたいにイメージしているようだね。それ間違いだよｗｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
コンパクト化（英: compactification）は数学の一分野である位相空間論(英: general topology)の概念である。
一点コンパクト化の例
・n次元ユークリッド空間 Ｒ^n の一点コンパクト化は、n次元球面S^nと同相である。特にリーマン球面^Cは複素平面Cの一点コンパクト化として与えられる。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Riemann_sphere1.jpg/375px-Riemann_sphere1.jpg
複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である。
・自然数全体（離散位相）Ｎ の一点コンパクト化はＮに最大元ωを付け加えた順序集合Ｎ∪{ω}の順序位相と同相になる。
つづく >>263
つづき
無限および無限大の知識が貧弱だね（＾＾
下記「実数直線にただひとつの無限遠点を加えてコンパクト化できる」（同様の概念に、無限大を加える下記の拡大実数の概念がある。無限大±∞を加える後も前もどちらも、実数は無限集合である。）
直前とか直後に類する点は存在しないから、隙間ができる？
だったら、実数直線にただひとつの無限遠点を加えてコンパクト化できて、円周 S1 と同相にできるが間違いになるよね。隙間できるから
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%9B%B4%E7%B7%9A
実数直線
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Real_projective_line.svg/225px-Real_projective_line.svg.png
実数直線にただひとつの無限遠点を加えてコンパクト化できる。（円周 S1 と同相）
位相的な性質
位相空間としては、実数直線は開区間 (0, 1) に同相である。
実数直線は明らかに一次元の位相多様体である。同相の違いを除いて、境界のない一次元多様体は二種類しかなく、実数直線 R1 のほかは円周 S1 である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数
拡張実数（かくちょうじっすう、英: extended real number; 拡大実数）あるいはより精確にアフィン拡張実数 (affinely extended real number) は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 -∞ の二つを加えた体系を言う。新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]。拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。（アフィン）拡張実数全体の成す集合 R ∪ {±∞} は、その上の適当な順序構造や位相構造などを持つものとして補完数直線（ほかんすうちょくせん、英: extended real line; 拡張実数直線）と呼ばれ、R や [-∞, +∞] と書かれる。
つづく >>264
つづき
・要するに、あなた方の数学の知識が貧弱（中学レベル）
・ＺＦＣからさらに進んで、高い立場から無限を考えないと
（ＺＦＣを作った人たち、みんな19世紀から20世紀初頭のすでにある数学を念頭にＺＦＣを作っているんだよ。同じレベルに立たないと）
・その視点が欠落しているから、「ωの直前がない！」とかうろたえる
・リーマン球面のP (∞)（上記）に、直前直後あるいはすぐそばの点は存在しない。でもP (∞)ただ1点を加えることで、コンパクト化できて、球面と同相になるよ
（中学生レベルには難しいだろうが）
以上 >>226
exp(0π・i) = 1 が更に明確だと思う
∵exp(0) = 1
虚数iに0をかけると実数0になる
という定義に上手く一致する。
i同士をかけても実数になるから、
i=0という意味でもありそうだ、モピロン
「愛は存在しない」という意味を
オイラに、オイラーは教えてくれた
by 👾の感想文 >>242
>>>Φ＝{} ＝0∈1∈2∈3∈4・・∈n∈・・∈Ｎ
>>257
>>最後の”∈N”はない
>>Nの前者が存在しないんだから
>>263
>こいつら、ほんと学習しないね
学習しないのは、雑談君、君だよ、キ・ミ
>「自然数全体（離散位相）Ｎ の一点コンパクト化は
> Ｎに最大元ωを付け加えた順序集合Ｎ∪{ω}の順序位相と同相になる」
>を味わって読んで下さい。
ん？なんで一点コンパクト化するの？
無限列は、R^Nだよ R^(N∪{ω})ではないよ
NとN∪{ω}が全く異なる集合であることは理解できてるかな？雑談君
>ωを加える後も前もどちらも、Ｎは無限集合である
濃度が同じだから同じ集合だと思ってる？
NとN∪{ω}は、整列順序集合としては全く異なりますよ
R^Nといってるんだから、R^Nでのみ考えてくださいね
R^(N∪{ω})とか捏造しないでくださいね
オボカタハルオじゃないんだからｗ
雑談君はどうも正真正銘の🐎🦌らしい・・・ >>264
＞無限および無限大の知識が貧弱だね
無限および無限大の知識が間違ってるね 雑談君
なんで、なんでもかんでも１点コンパクト化するのかな？
コンパクト化しないと集合じゃないと思ってる？
コンパクト化が「数学の正義」だと思ってる？
コンパクト🐎🦌？ >>265
＞高い立場から無限を考えないと
雑談君、高いところ大好きだねｗ おサルさん？ｗ
＞リーマン球面のP (∞)（上記）に、直前直後あるいはすぐそばの点は存在しない。
＞でもP (∞)ただ1点を加えることで、コンパクト化できて、球面と同相になるよ。
複素平面Cとリーマン球面Pが、異なることは理解してるかな？
ついでに言うと、複素平面Cと単位円盤Dも異なるよ
あのね、全部非可算無限だから同じ集合とかいったら
正真正銘の🐎🦌だよｗ
ついでにいうと、
複素平面Ｃと単位円盤Ｄは同相だけど、複素解析的には同値ではないよ
単位円盤Ｄと上半平面Ｈは複素解析的に同値だけどね
（複素解析的に同値、というのは両者間の複素解析的全単射が存在するという意味）
だから複素解析で、Ｃを勝手にＰとかＤとかＨとかにすり替えたらアウトだよ
わかるかな？雑談君ことオボカタハルオ君ｗｗｗ >>249 追加
時枝氏の可算無限個の箱（下記）で
実数列の集合 R^N
s = (s1，s2，s3 ，・・・)∈R^N
から、加算無限長の自然数列
(1，2，3 ，・・・)∈N^N
を使って、ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成（下記）（特に加算多重シングルトン（>>205））を考えてみよう
1．可算無限個の箱の列 □1,□2,・・□n,・・ （ n∈N） を作る。nは全てのNを渡る。∵箱は可算無限
2．逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能
3．両方を合わせて、・・□n,・・□2,□1 {} □1,□2,・・□n,・・ とできる（間に {}を置いた）
4．左の箱を"{"で、右の箱を"}"で置換すると
・・{n,・・{2,{1 {} }1,}2,・・}n,・・ とできる
5．添え字と”,”（カンマ）を取ると
・・{・・{{{}}}・・}・・ とできる。明らかに{}が、加算多重になっている
この場合、最外層{}なるものは存在しないが、なんの不都合もない
6．さらに、3項で左右の無限個の箱の列を入れ換える
□1,□2,・・□n,・・ {} ・・□n,・・□2,□1とできる
7．上記4，5と同様にして
{{・・{・・ {} ・・}・・}}とできる。明らかに{}が、加算多重になっている
この場合、最外層{}なるものは存在するが、本質は上記6同様
（なお、最内層の{}が添え字 n・・を消す前の状態で「集積点」（下記）になっていると、考えることができる）
ということで、時枝氏の可算無限個の箱を使って、
加算無限多重シングルトンが上記二つの方法で構成できた
一つは最外層{}が存在せず、一つは最外層{}が存在するが、どちらも加算無限多重シングルトンである
つづく >>270
つづき
（参考）
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/1-2
箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N
（参考 ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
ペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
つづく >>271
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点
集積点（しゅうせきてん、英: accumulation point）あるいは極限点（きょくげんてん、英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念。（X の位相に関する x の任意の近傍が x 自身を除く S の点を含むという意味で）S によって「近似」できる X の点 x を S の集積点と呼ぶ。このとき、集積点 x は必ずしも S の点ではない。たとえば実数 R の部分集合 S = { 1/n | n ∈ N } を考えたとき点 0 は S の（唯一の）集積点である。集積点の概念は極限の概念を適切に一般化したもので、閉集合や閉包といった概念を下支えする。実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点を全て含むことは同値で、集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作としても捉えられる。
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す。
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である（この条件は、もとの定義が「開近傍」を用いて集積点の判定を行うところを、開に限らない「一般の近傍」を使って行うことができるので、しばしば有用である）。
極限点の種類
x を含む任意の開集合が無限に多くの S の点を含むとき、集積点 x を特に S の ω-集積点 (ω-accumulation point) という。
x を含む任意の開集合が非可算無限個の S の点を含むとき、集積点 x を特に S の凝集点 (condensation point) という。
X の点 x が点列 (xn)n∈N の密集点 (cluster point) であるとは、x の任意の近傍 V に対し xn ∈ V なる自然数nが無限に存在するときにいう。空間が列収束ならば、これは点列 (xn)n∈N の部分列で x を極限とするものがあることと同値である。
ネットの概念は点列の概念を一般化したもので、ネットに関する密集点の概念は凝集点と ω-集積点の概念をともに一般化するものになっている。集積および集積点の概念は同じようにフィルターに対しても定義することができる。
点列の密集点全体の成す集合は、しばしば極限集合と呼ばれる。
(引用終り)
以上 R^Nの尻尾の同値関係を、
勝手にR^(N∪{ω})にすり替えるのは
「定義のすり替え」という完全な不正行為です
雑談君は無意識に不正行為をやらかす
自己中心的サイコパスであることが
はっきりいたしました
まったくオボカタハルオというかコムロＫというか
どうしょうもない💩野郎ですね >>259
>自然数論は有限集合論で論じられる
>つまり、”自然数全体の集合”は必要ない
>その場合、素数の全体はクラスとなる
頭が腐ってない？
「素数の全体はクラスとなる」？
初耳だよ
完全にアホだよなｗ
そういう”アサッテ”の思考をするから
数学科で落ちこぼれたかな？ｗ（＾＾； >>270
＞・・{・・{{{}}}・・}・・
＞明らかに{}が、加算多重になっている
＞最外層{}なるものは存在しないが、なんの不都合もない
｛｝の数だけしか考えないって、論理が理解できないおサルさんかな？ｗ
・・{・・{{{}}}・・}・・ は、最外層の｛｝がないので集合ではありません
ということで、アトムになりますが、
そもそもこんなアトムが存在する根拠がありません
ざんね~んｗ
＞{{・・{・・ {} ・・}・・}}
＞明らかに{}が、加算多重になっている
＞この場合、最外層{}なるものは存在する
｛｝の数だけしか考えないって、論理が理解できないおサルさんかな？ｗ
{{・・{・・ {} ・・}・・}}は、外側に｛｝が無限個ある時点で
基礎の公理に真っ向から反するのでアウトですｗ
＞加算無限多重シングルトンが上記二つの方法で構成できた
＞一つは最外層{}が存在せず、一つは最外層{}が存在するが、
＞どちらも加算無限多重シングルトンである
残念ですが、
前者は最外層｛｝は存在しないので、集合ではありません
後者は外層に無限個の｛｝が存在するので、基礎の公理に反し、集合ではありません
どちらも、シングルトンではないですね
ざんね~ん >>272
｛｝の集積点ってなんすかｗｗｗ
Ｎは「ノンコンパクト」なので、
点列１，２，３，・・・
の集積点は存在しません
ざんね~ん
勝手に∞とかいう「集積点」を捏造して
Ｎにつっこんだりしないでくださいね 雑談君ｗ >>274
＞「素数の全体はクラスとなる」？
ええ、有限集合論ではね
＞初耳だよ
工学部卒の雑談君の見識がネコのヒタイ並みに狭いだけ
有限集合論知ってれば常識ｗ >>217 追加
(引用開始)
>ガロア理論については、理学部数学科を卒業した人以外にとっては
>「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
>（代数的に解けない＝ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味）
>ということを証明する理論としてしか認識されてないし
話は逆だろうな
1．Ｆラン数学科の講義では、
”ガロア理論については、
「５次以上の方程式が、代数的に解けない」
（代数的に解けない＝ベキ根だけ使ったのでは解けない、の意味）
という命題を最高到達点とするのが、精一杯だｗ（＾＾；
2．一方、世間一般の通俗本では、
”フランスの天才数学者エヴァリスト・ガロアが方程式に関して行った考察は、その後の数学や物理学の発展に重要な役割を占めることになりました。
方程式の解の関係性を表すガロア群。具体的な方程式のガロア群を計算することで複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。”
ってことだけど、こんなことを、Ｆラン数学科では、講義できない！ｗｗ
そんな講義をできるＦランではない！！ｗ（＾＾
3．よって、冒頭の文の認識は、Ｆラン数学科で学んだ人の限界だろうｗｗｗ（＾＾
(引用終り)
参考追加：
下記に、ガロアの遺稿を理解するために、現代数学につながる抽象代数学が整備されていった様子が記されている
それがよく分かる
ある大定理の証明に対して、定理そのものよりも、そこに使われた数学的諸概念の方が大事だという。ガロアの遺稿しかり
上記認識は、Ｆラン数学科落ちこぼれのおサルの限界だろうな
一方、世間一般の通俗本の方が、ここらはキッチリ記述されているよねｗ（＾＾
（参考）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1513-5.pdf
数理解析研究所講究録
1513 巻 2006 年 46-51
代数学の基礎とデデキント*
赤堀庸子 (Yoko Akahori)
つづく >>279
つづき
1 序
筆者は、デデキント (Julius Wilhelm Richard Dedekind,1831-1916) の 1850 年代のガロア講
義 ([1]) の位置づけを試みようとしてきて、 こうした壁にぶつかってきた。 その中で、 次第に確信
するようにな,2 てきたことがある。 それは、 素朴ではあるが、集合論的思考に注目する、 というこ
とである。 19 世紀にはまだ集合論的思考は定着していないこと、代わりに彼らが依拠していたも
のは、 当時の数学の基礎であったこと、 この両方を常に念頭におくことが不可欠ではないかと考え
られるのである。 当たり前のようなこれらのことを、 うまく歴史叙述に取り入れていくのは簡単で
はないが、 ここでは、 いくつかの話題 (商群ないし剰余類分解、体論) について述べておきたいと
思う。
2 代数学の基礎
現代代数学の体系においては、体概念よりも群概念の方が、 より基本的な存在であるが、 19 世
紀の文献では、 しばしば体概念の方が、 より基本的な存在として捉えられていた。 しかも、 群概
念も体概念も普及してきたと思われる 19 世紀末以降にも、そうした傾向が見受けられる。 Weber
の “Lehrbuch der Algebra“ (1890 年代) では、体の理論が群の理論よりもはじめの方におかれてい
る。 Bourbaki- の “Elements” の草稿段階においてさえ、 体の理論の方が先にきていたといわれて
いる。 (Beaulieu [2],mathrm{p}.247.$ )
19 世紀末には、群は数学全体にとって重要であることが認識されてはいたが、演算をひとつし
かもたないがゆえにもっとも基本的なものであるとは認識されていなかったのではないか。
そもそも演算がひとつし
かないからもっとも基本的であるという思考法は、 現代代数学の思考法そのものである。
つづく >>280
つづき
2.1 商群の概念
群の概念が次第に定着してきたこの時期、商群 (な
いしは剰余類分解) の定式化が意外にうまくいっていないように見受けられるのである。
筆者が不思議に思ったのは、 このケイリーが晩年になって、ヘルダー (Otto Ludwig lmathrm{I}overline{mathrm{o}}mathrm{l}\mathrm{d}mathrm{e}mathrm{r},1859-1937) の論考にある G/H なる記号法を拒否していること、 のみならず、 1854 年論文の続きでも、
商群概念の理解についていちじるしく要領の悪いところをみせていることであった。
コーシーの著作の発表から 40 年が過ぎ、群概念も普及してきたと思われるこの時期に、 このよ
うな図式が書かれているのは少し意外である。 2 次元的な広がりをもつ概念を、そのまま理解する
ことが難しかったのだろうか。
これらと比べると、デデキントの仕事は (特に集合論的思考において) 優れたところを示してい
る。 1850 年代後半に行われた代数学講義 [1] を少しみてみよう。 内容は、置換論、 ラグランジュの
方程式論、 ガロアの方程式論について自らの解釈で再編集をほどこしたものである。
第 1 節が置換論であり、 まず置換の?般的な説明、 そして置換の積の定義の説明がなされる。
デデキントは、積の基本的な性質として、結合律、簡約律が成り立つことを述べる。 (簡約律は、
元の個数が有限の場合は、現在の単位元の存在および逆元の存在、 と論理的に同値になる。) さら
に興味深いことに、デデキントはこの二つの法則に公理的性格をもたせることができる旨の発言を
している。
第 4 項において、群 (Gruppe) の語が現れる。 ここでは積で閉じた (置換の) 集まりが群である
と定義される。 準備ののち、次の定理が証明される。
証明の方針はコーシーのものと同じである。デデキントは剰余類分解を次のように書き下してい
る。
G=K+Ktheta_{1}+Ktheta_{2}+\cdots\cdots+Ktheta_{n-1}
剰余類分解の記述に、元たちを?括してとらえた記号を用いている点では、集合論的理解が非常
に進んでいるといってよいだろう。 (記号の説明もあらかじめきちんとしてある。)
つづく >>281
つづき
ここでデデキントは、商群という新しい概念を得るにあたって、第 2 項のおわりにある公理的な
思考を利用した。 同時に、 第 2 項の終わりに書き記した公理的思考法が、商群の概念を得ることに
よって、 より確かなものとなったとみてよいだろう。 ここにあるのは、 まぎれもない集合論的思考
そのものであるといえる。
集合論の受容ということでしばしば話題にとりあげられるのは、無限をめぐる議論であろう。 も
ちろん無限の問題は重要であるが、集合論的思考の普及を阻んだものが無限だけではないようにみ
える。無限も含めて、集合 (かたまりで考えること ?2 次元的な思考法 ?) そのものを受け容れる
ことに蹄躇があったように思える。 (ここでもまた、 リーマンのデデキントへの影響の可能性が浮
かび上がる。)
2.2 体 (K\"orPer) について
体の概念の歴史に関する筆者なりの注意については既に述べたが、 ここでデデキントが定義した
体 (K\"orper) について簡単にみておこう。
体 $(\mathrm{K}\tilde{\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r})$ が定義されたのは、デデキント『ディリクレ整数論講義付録 (1871)』の第 159 節
においてである。
体, というのは無限個の実または複棄数の総体で, それ自身完結していて完全であ
るもの, すなわち任意の二数の加法, 減法, 乗法, 除法から同じ総体の数を生じるこ
とをいう.
このように、現在からみれば、数体よりも抽象的な対象が K\={o}rper の語に付与されていた。 しか
し、それらを公開されず、結局数体の意味に限定されたものが発表された。デデキントの意図を理
解するには、 こうした経過をふまえておく必要があるだろう。
結局、体は、群に代数学における基本的地位を明け渡すことによって、現代代数学の確立に貢献
することとなる。 K\"orper の元の意味合いを考えれば、 これはいささか皮肉なことであるのかもし
れない。
3 結び
歴史叙述がらみのコメントで終始してしまったが、大切なのは原典を読むことであるのはいうま
でもない。デデキントの著作は、革新的でありながら、その語り口は丁寧である。
(引用終り)
以上 >>215
>前者は最外層｛｝は存在しないので、集合ではありません
>後者は外層に無限個の｛｝が存在するので、基礎の公理に反し、集合ではありません
・後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた
（>>249より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になるよ！）ｗ）
・で、前者を{}に入れて｛前者｝とすれば、加算無限多重シングルトンになる
・なお、おサルの「基礎の公理」の理解不十分。「基礎の公理」は、ＺＦＣとして、基礎論の命題を証明するのに余計な集合を排除するためのもの（下記）です
・ＺＦＣの外では、つまり日常の数学では、必ずしも「基礎の公理」を必要としていないし、Aczelの反基礎公理（下記）などもある
・結局、ツェルメロの加算無限多重シングルトンの存在は否定できていないよ！（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではないが、ある命題がZF公理系と独立であることを証明する際にその効果を発揮することがある。
つづく >>283
つづき
(>>215より再録)
https://nipponkaigi.net/wiki/Aczel%27s_anti-foundation_axiom
Aczelの反基礎公理 - Aczel's anti-foundation axiom Wikipedia site:nipponkaigi.net
アクゼルの反基礎公理は公理Peter Aczel （1988 ）によって、ツェルメロフレンケル集合理論の基礎の公理の代替として示されています。
https://en.wikipedia.org/wiki/Aczel%27s_anti-foundation_axiom
Aczel's anti-foundation axiom
A set theory obeying this axiom is necessarily a non-well-founded set theory.
https://en.wikipedia.org/wiki/Non-well-founded_set_theory
Non-well-founded set theory
(引用終り)
以上 >>279
＞赤堀庸子
あ、この人知ってる
大学の先輩だよｗ >>277
>＞「素数の全体はクラスとなる」？
>ええ、有限集合論ではね
意味わからん
素数の集合Ｐ（無限集合）をクラスする必要なんか、全くないよね
単に、無限集合として、有限集合論の外になるという理解で、
どんな不都合があるの？ｗｗｗ
それに、「有限集合論」ってなに？
確かに、無限を認めない有限主義の人いるけど
（確かに、プログラミングでは、コンピュータ内部は有限だけど、無限を認めない有限主義の人とは多分違うよね）
ハッキリ言って、
あなたのレベル、哀れな素人氏に弄んでもらうのがいいんじゃないですか？ｗ（＾＾； >>285
ああ、そうなの？
じゃ、ガロア理論のブログを添削してもらったどうだ？（＾＾； >>263
Ｎ∪{ω}でも話は>>256と何ら変わらないですよ？
方程式 n∈N=ω の解nは自然数だから（これ、いいですよね？）
0∈1∈…∈n∈ω∈Ｎ∪{ω} の形の列は有限列ですよ？
これのどこがいったいそんなに難しいんですか？簡単過ぎるほど簡単だと思うんですけど。 >>270
>2．逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能
不可能です。
初項が無ければ列の定義を満たしません。定義を確認しましょう。 >>270
>一つは最外層{}が存在せず、一つは最外層{}が存在するが、どちらも加算無限多重シングルトンである
どちらも集合ではありません。
前者は言うに及ばず。
後者は>>256に示した通り正則性公理を満たさないので。 >>286
>意味わからん
>それに、「有限集合論」ってなに？
無限公理がない集合論
雑談君 考えるのに必要な脳味噌、全然ないの？ >>283
>>後者は外層に無限個の｛｝が存在するので、
>>基礎の公理に反し、集合ではありません
>後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた
{{{･･･{}･･･}}}の場合、無限下降するからNG
無限上昇？なんだその幻聴はｗｗｗ
>前者を{}に入れて｛前者｝とすれば、加算無限多重シングルトンになる
前者そのものは集合でもなんでもないただのアトム
そんなんなら、別にただのアトムａのみを要素とする集合{a}でも同じ
ああ、雑談君、それでset {a}なんだねｗｗｗｗｗｗｗ >>271
引用元は
>ペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
>例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
の直前が
「他にも自然数の定義は無限にできる。これは」
となってますね。必要な部分を省かないで下さい。
0 := {}, suc(a) := {a} と定義した場合、任意の自然数すなわち有限順序数は定義可能ですが、極限順序数であるωを定義できるとは書いてませんね。
実際不可能です。理由は>>256。 雑談君に問題
１．{{},{{}},{{{}}},…（任意有限重の{}によるシングルトン)･･･}
は基礎の公理と矛盾するか否か？
理由つきで回答されたし
２．上記の集合に関する∈下降列の長さに最大値はあるか否か？
理由つきで回答されたし >>274
>>自然数論は有限集合論で論じられる
>>つまり、”自然数全体の集合”は必要ない
>>その場合、素数の全体はクラスとなる
>頭が腐ってない？
>「素数の全体はクラスとなる」？
>初耳だよ
>完全にアホだよなｗ
恐らく「その場合」を読み落としてるだけと思われる。
相手の主張はしっかり読んで理解してから発言しましょう。 >>271
ペアノの公理には自然数全体の集合N（=ω）の存在は規定されてません。
（ペアノシステムはペアノの公理を満たす集合（及び最小元と後者関数の三つ組）のことですから、混同しないよう気を付けて下さい。）
wikipediaより引用ここから
ペアノの公理は以下の様に定義される。
自然数は次の5条件を満たす。
1.自然数 0 が存在する。←Nの存在を言ってない。
2.任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。←Nの存在を言ってない。
3.0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。←Nの存在を言ってない。
4.異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。←Nの存在を言ってない。
5.0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。←「すべての自然数は・・・」と言ってるが、「Nが存在する」とは言ってない。
引用ここまで >>283
>・後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた
それが間違いであることはすでに述べた。
> （>>249より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になるよ！）ｗ）
相手の主張をよく理解してから発言しましょう。
誰も無限上昇列を禁止していない。実際 0∈1∈… が存在する。そうじゃなく「"最後の項がある"無限上昇列は存在しない」と言っている。
一方、無限下降列は正則性公理で禁止されている。
なーんにも難しいこと言ってないんだけどなあｗ >>279
赤堀庸子さん、追加文献下記
赤堀庸子さん自身については、殆ど検索ヒットせず（京都数理研所属のときがあったようだが）
（参考）
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo27/27_akahori.pdf
デデキントの生涯(2)*
赤堀庸子 1
津田塾大学数学史 シンポジウム 2016109
1.3 18804手 代
クロネッカーの発言でもうひとつ 目を引くのは、『連続性 と無理数』について全 く言及
されていないことである。後述するパ リアカデミーで も似たような状況があ り、受け入れ
られるのに時間を要 したことが窺える。
ちなみに、他の数学者がアカデミーに受け入れられた時期は、次のようである。(?
p74)
リーマン(1859)、 クロネッカー (1861)、 ハイネ(1863)、 ザイデル (1863)、 クリス トフェ
ル (1868)、 クレプシュ(1868)、 リプシッツ (1872)、 シェリング (1875)。
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo26/26_akahori.pdf
デデキントの生涯 (1) *赤堀庸子1
*津田塾大学数学史シンポジウム. 2015.10.11
著作の出版の様子も変わっていて、まず 40代はじめに大部の「代数的整数論」(その他集合論関連の著作)が発表されて、それから後論文執筆活動が晩年まで続くといった形になっている。そのようにして一生をかけて集合概念に基づいた数学の構築に取り組んでいく。こうしたデデキントの人生について、一度振り返っておくことも無駄ではないと思われるので、本稿を起こした次第である。初めに、デデキントの生涯について、要点を振り返っておこう。1831 年にブラウンシュヴァイクに生まれる。ゲッティンゲン大学で 1850-58 年に数学を学ぶ。
つづく >>299
つづき
(1854年からは、私講師として講義も行っていた。)当時のゲッティンゲンにはガウス (1777-1855)もいたが教育活動にはあまり熱心ではなく、私講師時代のディリクレ(1805-1859)の指導、リーマン(1826-1866) との親交が重要な影響を及ぼした。1858 年チューリッヒ高等工業学校に就職。1862年にブラウンシュヴァイク高等工業学校に赴任。以後同地(生地)で生涯を送る。著作の発表は、主に人生の後半期に集中している。1871年には整数論講義の第2版の付録にて、集合論的な概念に基づいた代数的整数論が発表された。翌1872年に『連続性と無理数』出版。こうした大きな著作を発表したあとの1870 年代後半あたりから、論文執
筆量が増加してくる。また、若い数学者たちとの文通も始まる。(ウェーバー、カントル、リプシッツなど。)
ゲッティンゲン後期 (1854-58)1855年2月にガウスが亡くなり、後任としてディリクレが 1855年秋にゲッティンゲンに赴任する。これがデデキントに決定的な影響を与えた。回想 [7] によると、デデキントはすでにディリクレの著作を徹底的に読み込んでいたものの、強烈な口頭の講義に出席することに、大いなる喜びを感じたという。ディリクレの講義のすべて(数論、ポテンシャル、定積分、偏微分方程式)に出席した上、日々個人的にも親交を深めたことで、自分は全く新しい人間になった、とデデキントは述べている。またこの時期、デデキントはリーマンのアーベル関数、楕円関数の講義(1855-56年冬学期、1856年夏学期)に出席した。リーマンとの親交を深めるようになったのはこれがきっかけらしい。
1856/57 年冬学期と 1857/5年冬学期には、代数学講義が行われる。出席者は各2名で、前者は Hans Zincke (Sommer) (1837-1922), Paul Bachmann (1837-1920)。後者は EduardSelling , Arthur Auwers である。61854年から58年の4年間は、デデキントにとって、「先生や先輩に囲まれた充実した時間」であったといってよい。イデアルの着想もこの時期にさかのぼるようであるし、「切断」の発想もこの時期の直後であることを考えると、この時期はデデキントの数学思想にとってもっとも重要な時期であるといえる。
6 「後にウェーバーが『代数学』の序文で「ドイツで初めてのガロア理論の講義」と述べているものである。
(引用終り)
以上 >>286
>素数の集合Ｐ（無限集合）をクラスする必要なんか、全くないよね
え？？？
有限集合しか認めない立場の話をしてるのに無限集合を許容しちゃうの？？？
君、コンテクストをぜんぜん認知できてないね。
コンテクストって分かる？コンテクストを正しく認知しないとデタラメになるよ？ >>289
(引用開始)
>2．逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能
不可能です。
初項が無ければ列の定義を満たしません。定義を確認しましょう。
(引用終り)
ご冗談でしょ？（＾＾
単に箱の並びを、□1,□2,・・□n,・・ （ n∈N）とは、逆にしただけ
□1から右に伸ばすのと
逆に、□1から左に伸ばすのと
それだけの違いです
”不可能”？
なんか勘違いでしょ >>301
>有限集合しか認めない立場の話をしてるのに無限集合を許容しちゃうの？？？
ご苦労さん
21世紀 2021年のいま、プロの数学者で、有限集合しか認めない立場の人いる？
あなたは別としてｗ
まあ、あなたも、哀れな素人氏に相手してもらうのが良さそうですねｗ（＾＾； >>286
>それに、「有限集合論」ってなに？
>確かに、無限を認めない有限主義の人いるけど
いや、君が suc(a)={a} の話を持ち出したのが発端なんだけどｗ
君、話の筋がぜんぜん認知できてないね。 >>303
>ご苦労さん
>21世紀 2021年のいま、プロの数学者で、有限集合しか認めない立場の人いる？
キレないで話の筋を正しく認知しましょう。
有限集合論でも自然数論を展開できるという話をしてるんですよ？
誰々がなになに主義であるとかないとか、そんな低俗な話じゃないですよ？ｗ >>302
>ご冗談でしょ？（＾＾
列の定義の確認が未だのようですね。
定義の確認を疎かにするのはあなたの悪い癖です。
>単に箱の並びを、□1,□2,・・□n,・・ （ n∈N）とは、逆にしただけ
逆にする手順を具体的に構成できますか？ よかったな。MITがこの世の責任を立方数の和で表すってよ。
因みにフェルマーの最終定理はnが幾つでも解がある。
因みに五次方程式以降も解の式は存在する。 >>294のような初歩の初歩に正答できないようでは公理的集合論を語る資格無しですね。
そういう自覚が無い人が何食わぬ顔で数学板に紛れ込んでるから困ります。 -1’(a+b+c...)
’は乗。
反転因子と呼ぶ。
私が作った。
表し方の一つの対称的な意味をもつ方法。 >>309
奇数偶数の話は言わなくていい。
いちいち言うな条件もわからないなら。 スルーされそうなので念押しときます
>単に箱の並びを、□1,□2,・・□n,・・ （ n∈N）とは、逆にしただけ
逆にする手順を具体的に構成できますか？
まずはこれだけしっかり答えてもらえますか？ >>309
因みに何か表したことは一度も無い。
そもそも使わない。使いたくもない。 有限列なら φ:{0,1,…,n}→{0,1,…,n} を φ(x)=n-x と定義し、φを使って逆順に並べ替える手順を構成できる。自明。
さて、無限列を逆順に並べ替える手順はどうしたら構成できるでしょう？
逆順に並べ替えるだけって言いましたよね？ まさか何の考えも無しに言ったんですか？ だとしたらあなたに数学は到底無理なので諦めた方が良いでしょう。 >>283
>・後者の「基礎の公理に反し」が、間違いであることはすでに述べた
> （>>249より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になるよ！）ｗ）
ここの説明が、下記英 Axiom of regularity wikipwedia にあるよ
つまり、”called non-standard natural numbers”を含む列は、基礎の公理には反しないと説明されているよ
当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
No infinite descending sequence of sets exists
Since our supposition led to a contradiction, there must not be any such function, f.
Notice that this argument only applies to functions f that can be represented as sets as opposed to undefinable classes. The hereditarily finite sets, Vω, satisfy the axiom of regularity (and all other axioms of ZFC except the axiom of infinity). So if one forms a non-trivial ultrapower of Vω, then it will also satisfy the axiom of regularity. The resulting model will contain elements, called non-standard natural numbers, that satisfy the definition of natural numbers in that model but are not really natural numbers. They are fake natural numbers which are "larger" than any actual natural number. This model will contain infinite descending sequences of elements. For example, suppose n is a non-standard natural number, then (n-1)∈n and (n-2)∈(n-1), and so on. For any actual natural number k, (n-k-1)∈(n-k). This is an unending descending sequence of elements. But this sequence is not definable in the model and thus not a set. So no contradiction to regularity can be proved.
(引用終り)
以上 >>316 追加
さらに言えば、おサルの議論は、あたかも決定性公理を使って「非可測集合は存在しない」（下記）と言っているようなもの
決定性公理ではなく、フルの選択公理を使えば、「実数の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する」ことが導かれる（下記）
仮に、百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、基礎の公理を使わない集合論もあるから、
加算無限多重シングルトンの存在自身を否定したことに、はならんぜよっ！（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
決定性公理
決定性公理は公理的集合論の選択公理と矛盾する。決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「完全集合性（英語版）を持つ」ことが従う。とくに実数の任意の部分集合が完全集合性を持つことは「実数の部分で非可算なる集合は実数と同じ濃度を持つ」という弱い形の連続体仮説が成り立つことに換言される。 選択公理からは「実数の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する」ことが導かれるが、この事実からも決定性公理と選択公理が相容れないことが分かる。 スレ主よ、サル石と質問少年は
0.9、0.99、0.999、…という数列の極限値が1である理由さえ説明できずに逃げている（笑
まさに正真正銘のバカである（笑
僕は毎日毎日こんなドアホの相手をしているのだ（笑
お前だってサル石のようなドアホの相手をするのはもううんざりだろう（笑
本当に、何でこんなドアホが数学板にいるのだろうか（笑 >>316
>”called non-standard natural numbers”を含む列は、
>基礎の公理には反しない
無限順序数は超準自然数（non-standard natural numbers）ではないよ
超準自然数を考えたとことで、最大の自然数は存在しないので
決定番号が超準自然数ｎｎだとしても、必ずｎｎの先の尻尾がとれる
つまり、箱入り無数目は成立する
いい加減、下から目線で吠えるのやめたら？ 雑談君 >>317
＞おサルの議論は、あたかも決定性公理を使って
＞「非可測集合は存在しない」
＞と言っているようなもの
逆 野良イヌ雑談君の「絶対当たらない」という主張こそ、
選択公理を否定して
「同値類の代表元は取れない！」
と言ってるようなもの
なお、決定性公理が成り立つなら選択公理は否定される
それゆえ、非可測集合が構成できなくなる
「全ての集合がルベーグ可測」という命題が成立するといっても
決して非可測集合自体が可測集合に化けるわけではなく
非可測集合が集合として認められなくなるだけのこと
直感で感じるな 論理で考えろ >>317
＞百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、
＞基礎の公理を使わない集合論もあるから、
＞加算無限多重シングルトンの存在自身を
＞否定したことにはならんぜよっ！
ZFCには基礎の公理があるから
可算無限多重シングルトンの存在自身否定される
｛｝の数、という直感で感じるな
公理からの推論、という論理で考えろ >>318
雑談君は
0.9、0.99、0.999、…という数列の極限値が1である理由
を説明できないよ
なんたって論理ぬきの直感で生きてる野良犬だからな
気に入らないことがあると下から目線でワンワン吠え誰にでも噛みつく
ほんと困ったもんだｗｗｗ {}からどんどん外側に{}をつけるとして
{}を、-(n-1)/nと(n-1)/n (n>=2 n∈N)
につけた場合
・－１と、１のところには｛｝は存在しない
・(-1,1)のいかなる点でも、その外側に{}が存在するから
一番外側の｛｝が存在しない
つまり、上記の「図形」は一番外側の｛｝を外して
その中身の要素を取り出すことができない
したがって、集合と考えることができない >>323
雑談君は直感🐎🦌だから、こう考えるだろう
「一番外側の｛｝がない？そんな🐎🦌なことはない
どこでもいいから｛｝の外側から
{}のあるほうに連続的に移動したときに
最初にあたる｛｝が一番外側だろうが！」
そんな雑談君に問う
「じゃ、２から０の方向に向かって進んだとき
一番最初にあたる｝の位置をズバリ答えよ」 >>316
>当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ
だから誰も禁止してないって言ってるのが分らん？
最後の項がある無限列（数列だろうが∈に関する上昇列だろうが）なんて存在しないと言ってるのが分らん？
阿呆は黙ってろよ。阿呆に発言権は無い。 >>317
>仮に、百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、基礎の公理を使わない集合論もあるから、
譲らなくても違反。
基礎の公理を使わない集合論とやらの例示頼むわ。 で、案の定
>単に箱の並びを、□1,□2,・・□n,・・ （ n∈N）とは、逆にしただけ
逆にする手順を具体的に構成できますか？
はスルーした訳だが
何の考えも無く発言するのはバカの証拠。バカは数学板から去れ。 こっちもスルーしそうだなｗ
>基礎の公理を使わない集合論とやらの例示頼むわ。 無責任に放言吐く癖をまず治せよ
治せないなら数学板から去れ メモ
https://www.nikkei.com/article/DGXZQOUC193PM0Z10C21A4000000/
Netflixの屋台骨 「AIレコメンド」技術最前線 CBインサイツ 日経 2021年4月26日 2:00
ネットショッピングやコンテンツの視聴――。人工知能（AI）で好みの製品を推薦する「レコメンドシステム」は、いまやネットサービスに欠かせない存在だ。その精度は企業の競争力を左右する。米ネットフリックスや米ウーバーテクノロジーズなど主要企業の取り組みをCBインサイツがまとめた。
米動画配信大手のネットフリックスは2020年7～9月期に実施した決算発表で、視聴されたコンテンツの「大多数」（過去の決算発表によると75%前後）がレコメンドシステムをきっかけに選ばれていることを明らかにした。
この技術の人気は高まっている。新型コロナウイルスのパンデミック（世界的大流行）により消費者のオンライン活動が急拡大したことを背景に、決算発表でレコメンドシステムが話題に上った回数は過去最高に達した。米半導体大手エヌビディアは21年4～6月期に実施した決算発表で、レコメンドエンジンをここ数年の人工知能（AI）の「三大ブレークスルーの1つ」に挙げた。残りの2つにあたる「音声AI」「自然言語理解」も強力なレコメンドシステムの実現を支えるだろう。
今回のリポートでは、次世代のレコメンドシステムで使われるAI技術を取り上げる。
（1）グラフAI技術
（2）多腕バンディット、文脈バンディット、強化学習
「多腕バンディット」とは、「単腕バンディット」と呼ばれるカジノのスロットマシン（バンディット）にちなんで名づけられたAIのアプローチだ。
スロットマシンには「腕（レバー）」がついており、ギャンブラーはこれを引いて報酬を得られるかどうかを待つ。カジノでどのマシンが払戻金を得る可能性が最も高いかを解く問題を「多腕バンディット（MAB）問題」という。
各社は履歴がない新規ユーザーに何を薦めるかを判断する際、MABに基づくアプローチで何が適しているかを見極めることができる。 >>318
哀れな素人さん
どうも
スレ主です（＾＾
>お前だってサル石のようなドアホの相手をするのはもううんざりだろう（笑
>本当に、何でこんなドアホが数学板にいるのだろうか（笑
同意です。おサルは、哀れな素人さんのスレで
引き取って放し飼いをお願いします（＾＾； >>332
>基礎ができてないのにコピペでマウント合戦ｗ
スレ主です
ありがとさん
「基礎の公理の”基礎”が理解できてないのに、マウント合戦」
が正しいんじゃね？
いい勝負だろ？ｗ（＾＾； >>332
＞コピペでマウント合戦ｗ
補足すれば、
いま300字くらいの文を書く必要があるとする
検索して、200字くらいは同じ意見の文を見つけた
これをコピペして、残り100字を自分で書く
コピペには、URLと関連部分をコピーして貼っておく
コピー先が、権威ある大学教授などなら、ベスト
300字書くところが。100字で済むし
典拠があれば、正確で、説得力増すよ（＾＾ >>334
＞権威ある大学教授
数学わからん🐎🦌は大学教授の権威に騙される
だからもっちーのIUT詐欺に簡単に引っかかるんだよｗ
残念だけど、シングルトンの件は、雑談君の完敗
3歳児の幼稚なプライド捨てて、
自分が間違ってる、と認められるといいね >>318
雑談君は、0.999…=1の理由わかってないから
今教育しなおせば、簡単に哀れな老人の支持者になるかもよｗ
ということで、雑談君は今すぐこの💩スレ捨てて0.999…スレに行きな
キミの心の師、安達弘志センセイが待ってるよ！！！ 突然ですが、いつもの事ですが、
今日も、モピロン、ポク👾は
ガウス星人とロピタル星人から
ハイパでワンダな電波を受信した。
【超怪電波内容】
∞の定義はもうよい。で、モピロン、
素数は有限個を証明した。ギャオォォ
正確には、素数は存在しないのだ。
【証明詳細】
ガウス星人は、言った
x未満の素数の個数は、π(x)とする
π(x) ≒ x/log(x) ──★が成立する
π(∞) ≒ ∞/log(∞) = ∞ ∴
素数は無限個ありそう。
で、ロピタル星人が笑い転げた
∞/log(∞)は、分母も∞だ。で、
dπ(x) /dx = 1/log(x) - (1/log(x))^2 ☆
∵ネットに存在の微分電卓使用
☆より、
lim│x→∞│dπ(x) /dx = 0
そして、モッピロン、ロピタル定理で
π(x) /x = 0である。
無限に飛ばすと、
ドンドン大きくなるのに、0になる。
素数は、有限個、それも0個だ∴
素数は、存在しないことを証明した。
by 👾が、🐴🦌なのを証明しちやった あっ少なくとも二重に間違えた
ロピタルの定理のとこと、
lim│x→∞│dπ(x) /dx = 0
になるのは、Okだとしても
lim│x→∞│dπ(x) は有限とは言えない
ヤッパリ、素数は無限個ありそあう。
by 👾 今日は霊感がbugってる >>334
典拠が理解できず、違う主張しかしてないから、説得力皆無。 >>337-338
ID:yqhGfZhSさん、どうも
スレ主です
レスありがとうございます
>ヤッパリ、素数は無限個ありそあう。
ヤッパリ、ユークリッドは偉大ですね（＾＾； >>335
＞だからもっちーのIUT詐欺に簡単に引っかかるんだよｗ
おサルよ
おまえは、見る目がないね
ずっこけドイツ人 ショルツェ氏の権威に目がくらんだのは
おサル、あんただよ
今年の末ころには
はっきり決着がつく
望月IUTは
ちゃんと認められるよ（＾＾ >>320
>逆 野良イヌ雑談君の「絶対当たらない」という主張こそ、
>選択公理を否定して
>「同値類の代表元は取れない！」
>と言ってるようなもの
ほいよ
下記転載しておく
”実数ｒの一点的中は、確率0以外ありません！！！
（ある区間 [a,b] などが設定されるならばともかくも”
これは、測度論から従う（＾＾；
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/133
133 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 投稿日：2021/04/26(月) 20:55:20.06 ID:eT8TbUBw
>>128
ID:IgNykFEUさん、どうも
スレ主です
(引用開始)
一様分布か!、それなら尚更、
実数値を当てるどころか
その確率分布の平均すら当てることは
不可能。
(引用終り)
そうそう、その通り！！
実数ｒの一点的中は、確率0以外ありません！！！
（ある区間 [a,b] などが設定されるならばともかくも（＾＾； ） >>343
バカ丸出しｗ
そんなつまらん話が数学セミナーの記事になるかアホｗ >>316 追加
”The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity”（下記）
な
せめて選択公理の弱いバージョンが必要だってことな
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
Contents
1 Elementary implications of regularity
1.2 No infinite descending sequence of sets exists
2 The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity
The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity
Let the non-empty set S be a counter-example to the axiom of regularity; that is, every element of S has a non-empty intersection with S.
We define a binary relation R on S by aRb:⇔ b∈ S∩a, which is entire by assumption.
Thus, by the axiom of dependent choice, there is some sequence (an) in S satisfying anRan+1 for all n in N.
As this is an infinite descending chain, we arrive at a contradiction and so, no such S exists. >>344
数学セミナーも
アホを釣りたかった
時枝さん、釣れますか？ｗｗｗ（＾＾； 釣れたよ
判断を直観に頼るしかない獣が見事にね
数学は人間様のもの 獣には無理 >>316
>つまり、”called non-standard natural numbers”を含む列は、基礎の公理には反しないと説明されているよ
大間違い。
The hereditarily finite sets, Vω, satisfy the axiom of regularity (and all other axioms of ZFC except the axiom of infinity). So if one forms a non-trivial ultrapower of Vω, then it will also satisfy the axiom of regularity. The resulting model will contain elements, called non-standard natural numbers
遺伝的有限集合Vωは基礎の公理（及び無限公理を除く他のすべてのZFCの公理）を満たす。よって誰かがVωの非自明な超冪を形成したら、それも基礎の公理を満たす。結果モデルは超準数と呼ばれる要素を含むだろう。
基礎の公理に反しないと言われているのは「超準数を含む列」ではなく「遺伝的有限集合Vωの超冪」である。 間違えた。素数は無限個ある。ゆーくりっどの証明で
任意の素数積にそこに無い素数を足し引きすると更にそこそこにも無い素数の同士の積か素数ただ一つになる。 よく皆言うあれ。
1*2*3*5*7*11+1=
は+- other p 他の素数でもいいのだよ。 クンマーが+1の場合を証明したんだっけ。
そこにあるpで割り切れないんだからあたりまえじゃ。 >>326
>>仮に、百歩ゆずって、基礎の公理に反するとしても、基礎の公理を使わない集合論もあるから、
>基礎の公理を使わない集合論とやらの例示頼むわ。
ほいよ、下記
”New Foundations has a universal set, so it is a non-well-founded set theory.[2]
That is to say, it is an axiomatic set theory that allows infinite descending chains of membership such as … xn ∈ xn-1 ∈ … ∈ x2 ∈ x1.”
https://en.wikipedia.org/wiki/New_Foundations
New Foundations
New Foundations has a universal set, so it is a non-well-founded set theory.[2] That is to say, it is an axiomatic set theory that allows infinite descending chains of membership such as … xn ∈ xn-1 ∈ … ∈ x2 ∈ x1. It avoids Russell's paradox by permitting only stratifiable formulas to be defined using the axiom schema of comprehension. For instance x ∈ y is a stratifiable formula, but x ∈ x is not.
Contents
8 Models of NFU
8.1 Self-sufficiency of mathematical foundations in NFU
9 Strong axioms of infinity
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B0%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
新基礎集合論
数理論理学において新基礎集合論 (しんきそしゅうごうろん、英: New Foundations) またはNF集合論とは、プリンキピア・マテマティカの型理論を単純化したものとしてウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン[1]によって考案された、公理的集合論の一種である。この名称は、クワインが1937年における記事『数理論理学の新基礎』において初めて提唱したことに由来する。現在広く受け入れられているのはクワインが提唱したもともとの体系NFを少し修正したNFUと呼ばれる体系[2]である。
つづく >>353
つづき
追加
（参考）”Holmes further argues that set theory is more natural with than without urelements, since we may take as urelements the objects of any theory or of the physical universe.[6] ”
https://en.wikipedia.org/wiki/Urelement#Urelements_in_set_theory
Urelement
Contents
1 Theory
2 Urelements in set theory
Urelements in set theory
The Zermelo set theory of 1908 included urelements, and hence is a version we now call ZFA or ZFCA (i.e. ZFA with axiom of choice).[1] It was soon realized that in the context of this and closely related axiomatic set theories, the urelements were not needed because they can easily be modeled in a set theory without urelements.[2] Thus, standard expositions of the canonical axiomatic set theories ZF and ZFC do not mention urelements. (For an exception, see Suppes.[3]) Axiomatizations of set theory that do invoke urelements include Kripke?Platek set theory with urelements, and the variant of Von Neumann?Bernays?Godel set theory described by Mendelson.[4] In type theory, an object of type 0 can be called an urelement; hence the name "atom."
Adding urelements to the system New Foundations (NF) to produce NFU has surprising consequences. In particular, Jensen proved[5] the consistency of NFU relative to Peano arithmetic; meanwhile, the consistency of NF relative to anything remains an open problem, pending verification of Holmes's proof of its consistency relative to ZF. Moreover, NFU remains relatively consistent when augmented with an axiom of infinity and the axiom of choice.
Holmes further argues that set theory is more natural with than without urelements, since we may take as urelements the objects of any theory or of the physical universe.[6]
つづく >>354
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
Regularity in the presence of urelements
Urelements are objects that are not sets, but which can be elements of sets. In ZF set theory, there are no urelements, but in some other set theories such as ZFA, there are. In these theories, the axiom of regularity must be modified. The statement "{\displaystyle x\not =\emptyset }{\displaystyle x\not =\emptyset }" needs to be replaced with a statement that {\displaystyle x}x is not empty and is not an urelement. One suitable replacement is {\displaystyle (\exists y)[y\in x]}{\displaystyle (\exists y)[y\in x]}, which states that x is inhabited.
(引用終り) スレ主よ、サル石が
>「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。
と書いてきた（笑
ったくどうしようもないドアホだ（笑 >>356
>>「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。
>と書いてきた（笑
>ったくどうしようもないドアホだ（笑
哀れな素人さん、どうも。スレ主です
確かに、おサルはアホです
無限は、古代ギリシャ時代から、議論されてきました（下記）
数学でも、17世紀ごろから議論され、カントールの無限集合論が出来ました
アホがシッタカするから、ズッコケおサルになるのですねｗ（＾＾；
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Infinity
Infinity represents something that is boundless or endless, or else something that is larger than any real or natural number.[1] It is often denoted by the infinity symbol shown here.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Infinite.svg/300px-Infinite.svg.png
The infinity symbol
Infinity represents something that is boundless or endless, or else something that is larger than any real or natural number.[1] It is often denoted by the infinity symbol shown here.
Since the time of the ancient Greeks, the philosophical nature of infinity was the subject of many discussions among philosophers. In the 17th century, with the introduction of the infinity symbol[2] and the infinitesimal calculus, mathematicians began to work with infinite series and what some mathematicians (including l'Hopital and Bernoulli)[3] regarded as infinitely small quantities, but infinity continued to be associated with endless processes.[4] As mathematicians struggled with the foundation of calculus, it remained unclear whether infinity could be considered as a number or magnitude and, if so, how this could be done.[2] At the end of the 19th century, Georg Cantor enlarged the mathematical study of infinity by studying infinite sets and infinite numbers, showing that they can be of various sizes.[2][5] For example, if a line is viewed as the set of all of its points, their infinite number (i.e., the cardinality of the line) is larger than the number of integers.[6]
つづく >>357
つづき
In this usage, infinity is a mathematical concept, and infinite mathematical objects can be studied, manipulated, and used just like any other mathematical object.
https://en.wikipedia.org/wiki/Infinity_(philosophy)
Infinity (philosophy)
In philosophy and theology, infinity is explored in articles under headings such as the Absolute, God, and Zeno's paradoxes.
In Greek philosophy, for example in Anaximander, 'the Boundless' is the origin of all that is. He took the beginning or first principle to be an endless, unlimited primordial mass (?πειρον, apeiron). The Jain metaphysics and mathematics were the first to define and delineate different "types" of infinities. The work of the mathematician Georg Cantor first placed infinity into a coherent mathematical framework. Keenly aware of his departure from traditional wisdom, Cantor also presented a comprehensive historical and philosophical discussion of infinity.[1]
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Droste_1260359-nevit%2C_corrected.jpg/300px-Droste_1260359-nevit%2C_corrected.jpg
Philosophers have speculated about the nature of infinity. Pictured is a simulation of the Droste effect.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%AD%E3%82%B9%E3%83%86%E5%8A%B9%E6%9E%9C
ドロステ効果（ドロステこうか、オランダ語：Droste-effect）とは、再帰的な画像[1]（紋章学における紋中紋）のもたらす効果のこと。あるイメージの中にそれ自身の小さなイメージが、その小さなイメージの中にはさらに小さなイメージが、その中にもさらに……と画像の解像度が許す限り果てしなく描かれる。ドロステ効果は、自己言及システムの不思議の環(strange loop)の視覚的例である。
つづく >>358
つづき
ドロステ効果の作り方
ドロステ効果は向かい合った2枚の鏡で簡単に作ることができる。鏡の中にはお互いの画像が永遠に反復される（合わせ鏡も参照）。また、ビデオカメラで、それがとらえた画像の映ったモニターを撮影する（ビデオフィードバック）ことでもドロステ効果が作れる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Droste-wikipedia.jpg
モニターの例
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E3%82%8F%E3%81%9B%E9%8F%A1
合わせ鏡
概要
鏡は自分の姿を写すために使われるが、その原理上、正面しか写らない。しかし自分の背中を見たい場合がある。そういうときは、背面に鏡を一つ設置、そこに背中を写して、正面の鏡で背中側の鏡に映った像を見ることができる。これが合わせ鏡である。
しかし、このとき鏡に映った鏡の中に鏡が写り、その中にまた鏡が写る、という具合に、鏡の中は途方もない広がりを見せる。理論的には正面から向かい合わせれば、両側の鏡にそれぞれ無限の枚数の鏡が映ることになろう。
複数枚数の鏡を向き合わせれば、より複雑な写り込みの連鎖ができる。万華鏡はこのようにして作られる。
有限性
合わせ鏡の像は「無限に続いている」と評されることがある。しかし実際には、有限個の像しか見ることはできない。その理由は、効果が大きい順に、以下のようなものがある。
反射率100%の鏡は存在しない。通常の鍍金鏡の反射率は、アルミ蒸着鏡で約80%、銀引き鏡で約90%で、高反射率を謳った鏡で最高99%程度、レーザー発振など光工学で使う特殊な鏡で最高99.99%程度である。
光速度は有限なので、無限の像を生むには無限の時間が必要である。
光時計
合わせ鏡は、特殊相対性理論の思考実験に使われる。合わせ鏡の間を反射する光を利用して時間を計測する光時計を使って、速度による時間の遅れを説明できる。
(引用終り)
以上 >>353
へえ、基礎の公理に代わる公理でパラドックス回避してる訳ね？
でもおまえには無用の長物。
なぜならおまえは基礎の公理すら理解できてないから。
おまえにできるのは検索＆コピペだけ。 瀬田くんって検索でヒットするものは意気揚々と回答するが、ヒットしないものはスルーなのねｗ >>357
>アホがシッタカ
わかります 雑談君のことですね >>358-359
雑談君のωが「ドロステ効果」で得られるなら
基礎の公理に真っ向から反するトンデモ嘘集合
ってことですね
だって、任意有限回で｛｝に行きつかないと宣言しきったわけですから
完全な自爆ですね まさに🐎🦌ｗｗｗｗｗｗｗ
基礎の公理も理解できないパクチーは
数学に興味もっても無駄ですからぁ ざんね~ん！！！ そもそも、基礎の公理を否定してまで
「シングルトンとしてのω」
に固執するのはおかしな話である
単にωを
{{},{{}},{{{}}},…}
と定義すればいいだけなのに、
いったい何が気に入らないのだろう
精神に異常を来しているのであろうか？ >>359
>合わせ鏡
>このとき鏡に映った鏡の中に鏡が写り、その中にまた鏡が写る、という具合に、鏡の中は途方もない広がりを見せる。理論的には正面から向かい合わせれば、両側の鏡にそれぞれ無限の枚数の鏡が映ることになろう。
日常でも、擬似的に無限を意識することがあります
上記の合わせ鏡や、下記の”無限連鎖講”（ネズミ講）
人が、宇宙や神を思うとき（＾＾
”無限”は、結構日常に現れる概念です（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%BA%E3%83%9F%E8%AC%9B
ネズミ講（ネズミこう）とは、後に無限連鎖講と呼ばれることとなった連鎖配当組織のことである。ネズミ講の「ネズミ」はねずみ算式に増幅することの例えで、「講」自体に悪い意味はあまりない。現在の日本では、無限連鎖講の防止に関する法律によって該当するものを罰則を持って禁止している。階層状の組織を形成する特徴からピラミッド・スキームとも言われる。
また、投資を運用せず自転車操業的に配当に回してしまう点が共通するポンジ・スキームを指して言うこともある。
なお、特定商取引法で規制されている連鎖販売取引及びそれらに類似したものの総称として用いる場合もある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%83%81%E5%95%86%E6%B3%95
マルチ商法（マルチしょうほう、multi-level marketing）は、会員が新規会員を誘い、その新規会員が更に別の会員を勧誘する連鎖により、階層組織を形成・拡大する販売形態である。正式名称は連鎖販売取引で、その通称である。別名ねずみ商法、鼠講式販売法。表向き合法であるマルチ商法を謳う組織でも、違法となるネズミ講と判断された事例も多い。
(引用終り)
以上 >いったい何が気に入らないのだろう
間違いを認められない性格なんでしょう
一種の精神異常ですね >>357
>>「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。
アホなおサルは、木から落ちるｗ
数学で、最大（max）と、sup（上限）の区別がついていないとは・・ｗｗ（＾＾；
Ｆラン数学科落ちこぼれｗｗｗ
（参考）
https://manabitimes.jp/math/1140
高校数学の美しい物語
sup（上限）とinfの意味，maxとの違い
更新日時 2021/03/07
目次
maxとsupの定義
具体例
supはmaxの一般化
supは常に存在する
次に集合の上限 sup の定義です。
日本語で言うと「上界の最小値」です。
supはmaxの一般化
sup は max を拡張した概念になっているというわけです！
supは常に存在する
max は存在するとは限りませんが，\supsup は(空でない場合は)常に存在するので，統一的に議論することができます。 \supsup の存在証明は解析学の教科書を参照して下さい（例えば高木貞治の解析概論）。
supが存在する条件として「 AA が空でない」が必要でした。ご指摘いただいた読者の方，ありがとうございます！
（本格的には下記などご参照）
https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum
Infimum and supremum
Whereas maxima and minima must be members of the subset that is under consideration, the infimum and supremum of a subset need not be members of that subset themselves.
(引用終り)
以上 >>368
>supは常に存在する
はい、誤り
必要な条件抜いたら、ただの🐎🦌だよ
この場合、「A が空でなく，上に有界なら」が必要条件です
例えば、上に有界でなければ、もちろんsupは存在しません
例 {1,2,3,…}
この集合のsupが∞だとかドヤ顔でほざく雑談君は正真正銘のパクチーｗｗｗ
（∞は自然数でも実数でもありませ～んｗ
勝手に拡大したら🐎🦌で～すｗ） ＞「∞とは最大の自然数である」と定義したら
矛盾しますｗ
∞が自然数なら、∞＋１が存在し、∞＜∞＋１だからです。
もし∞＝∞＋１なら、∞＝｛∞｝となり、基礎の公理と矛盾します。
ざんね~ん。
拡大自然数とかわめいてますが、
その場合の∞は、あくまで「拡大自然数」であって「自然数」ではありません
この違いが分からないなら、雑談君は正真正銘のパクチーｗｗｗ >>368
>「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。
は、
「数学では、ｘを定義したらｘは存在する」
という話であって、
maxとsupの違いがどうこうという話ではないｗ
的外れも甚だしいｗ
ちなみに安達が発狂してるのは
>「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。
の続きである
「但しこの定義はwell-definedではない（最大の自然数は存在しない）から、この定義による∞はナンセンスな存在に過ぎない。」
の部分が理解できないから。 その証拠に安達は
>「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する。
だけを引用し
>「但しこの定義はwell-definedではない（最大の自然数は存在しない）から、この定義による∞はナンセンスな存在に過ぎない。」
を引用しない。
理解できていたらセットになっているものの一部だけ切り抜く必要は無い。 >>369
>supは常に存在する
>はい、誤り
>この場合、「A が空でなく，上に有界なら」が必要条件です
>例えば、上に有界でなければ、もちろんsupは存在しません
まず
１．それ、”高校数学の美しい物語”さんの引用部分だから、”高校数学の美しい物語”さんに言ってやれよ
２．”高校数学の美しい物語”さんが、「supが存在する条件として「 A が空でない」が必要でした。ご指摘いただいた読者の方，ありがとうございます！」って書いているの ”sup の存在証明は解析学の教科書を参照して下さい（例えば高木貞治の解析概論）”
を見落としたのかな？（＾＾
>例 {1,2,3,…}
>この集合のsupが∞だとかドヤ顔でほざく雑談君は正真正銘のパクチーｗｗｗ
>（∞は自然数でも実数でもありませ～んｗ
> 勝手に拡大したら歷で～すｗ）
意味わからん
後の引用 https://en.wikipedia.org/wiki/Infimum_and_supremum
Infimum and supremum
Whereas maxima and minima must be members of the subset that is under consideration, the infimum and supremum of a subset need not be members of that subset themselves.
を見落とした？
そして、標準的な解析では、リーマン球面の昔から、∞を当然の如く導入しますよ
当たり前、極限 lim n→∞ さえ、定義できないからね（下記 立命館）（＾＾；
下記で、リーマンのように、∞を追加した拡張R+を考える
複素解析では、標準でしょ
リーマン先生に聞いてみて（＾＾
つづく >>373
つづき
（参考）
https://rms2005.org/subtext_data/pdf/0017_Wp5j/ms0017.pdf
sup と inf (ε-δ 入門 4) - 立命館大学数学学修相談会 2018 年 1 月 9 日
P9
定理 5.3. R の任意の部分集合 A(?= ?) について, A が上に有界ならば sup A(∈ R) が存在する.
定理 5.3 からは次の定理を得る.
定理 5.5. 上に有界な単調増加数列 {an} について
A = {an ∈ R | n = 1, 2, 3, ・ ・ ・ }
とおくと,
limn→∞ an = sup A
である.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2
リーマン球面（リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere）は、無限遠点を一点追加して複素平面を拡張する一手法
(引用終り) >>371
>「数学では、ｘを定義したらｘは存在する」
>という話であって、
それも、違うよね。”well-defined”という言葉ある
１．いま、ある公理系があるとする
２．”ｘを定義した”として、もし、矛盾を生じるなら、ｘは存在しえない
３．もし、ｘが公理系から定理としてその存在が証明されるなら、それは定義ではなく、定理と呼ばれるべきもの
４．で普通は、上記２でも３でもなく、かつ、”well-defined”なｘが用いられるよ（＾＾
５．”「∞とは最大の自然数である」と定義したら∞は存在する”という例示が、ズッコケだよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
well-defined[注釈 1]（ウェル・ディファインド）は、「定義によって一意の解釈または値が割り当てられる」ことを言う[2]。
注釈
1^ 「容易く理解できる」といった意味の英語の形容詞である（反意語は ill-defined）[1]。
(引用終り)
以上 >>370
>∞が自然数なら、∞＋１が存在し、∞＜∞＋１だからです。
>もし∞＝∞＋１なら、∞＝｛∞｝となり、基礎の公理と矛盾します。
そこ違うよ。下記拡大実数では、”a + ∞=+ ∞”成立ですよ
あと、下記順序数をば、ご参照。∞としてノイマン構成の自然数の集合Ｎ（これは順序数ωでもあり、可算濃度?0の最小集合でもある）
で、下記ノイマン構成のＮの後者は、Ｓ(N)=N∪{N}={0,1,2,・・・,{N}} (ここにＮ={0,1,2,・・・}です)で、存在します
ここで、N→ωに置き換えれば、Ｓ(ω)で、これは存在します（下記の通り）
ω≠Ｓ(ω)ですし、さらにこの場合の無限列は、基礎の公理とは矛盾しませんよ（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数
算術演算
実数全体 R における四則演算は、以下の規約により部分的に R~ まで拡張することができる。
a + ∞=+ ∞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の大小関係
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%8C%E7%B6%9A%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
後続順序数
フォンノイマンのモデル
「フォンノイマン基数割り当て（英語版）」も参照
集合論における標準的なモデルとしてフォンノイマンの順序数モデルは、順序数 α の後者 S(α) を等式
S(α)=α ∪ {α}
によって与える[1]。
(引用終り)
以上 >>376 訂正
あと、下記順序数をば、ご参照。∞としてノイマン構成の自然数の集合Ｎ（これは順序数ωでもあり、可算濃度?0の最小集合でもある）
↓
あと、下記順序数をば、ご参照。∞としてノイマン構成の自然数の集合Ｎ（これは順序数ωでもあり、可算濃度アレフ0の最小集合でもある）
アレフ記号を入れたら文字化けした
不便な板だよね５ｃｈ >>373
>１．それ、”高校数学の美しい物語”さんの引用部分だから、”高校数学の美しい物語”さんに言ってやれよ
引用したのはおまえ
他人に責任を擦り付けるな >>375
>２．”ｘを定義した”として、もし、矛盾を生じるなら、ｘは存在しえない
証明よろしく >>297
>> （>>249より ∈の無限上昇列は禁止されていない。当たり前。無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になるよ！）ｗ）
>誰も無限上昇列を禁止していない。実際 0∈1∈… が存在する。そうじゃなく「"最後の項がある"無限上昇列は存在しない」と言っている。
>一方、無限下降列は正則性公理で禁止されている。
おサルは、全然理解できていないな
１．無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になる）
２．つまり、ZFCでやりたいのは、無限の高層ビルみたいなこと（即ち無限上昇列（それ当たり前))で、禁止したいのは「底なし沼」のようなどこまでも下降する列だよ（「底なし沼」は不要だと）
３．下記のOrdinal numberのポンチ絵 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Ordinal_ww.svg/384px-Ordinal_ww.svg.png
A graphical "matchstick" representation of the ordinal ω^2. Each stick corresponds to an ordinal of the form ω・m+n where m and n are natural numbers.
を見てください。自然数の0,1,2・・が並んだ後に最小のthe first infinite ordinal, ωが来て、ω+1, ω+2, ω+3・・とつづく
0,1,2・・,ω,ω+1, ω+2, ω+3・・ （無限上昇列存在）と説明されている
４．ノイマンの基数割り当てでは、自然数Ｎ、つまり加算無限基数ｱﾚﾌ0 が、ω(=ω0)でもある（下記）
５．そして、ノイマンの基数割り当てでは、 ”0∈1∈2・・∈ω∈ω+1∈ ω+2∈ ω+3・・”でもある（分からない人は、下記”von Neumann cardinal assignment”を嫁め）
６．無限上昇列があれば、逆に辿れば、当然無限下降列になる。当たり前。それ禁止したらまずい
その説明が、既に述べた >>316 https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity - No infinite descending sequence of sets exists にあるよ
７．”「"最後の項がある"無限上昇列は存在しない」と言っている”は、単に、おサルがキーキー言っているだけの独自説にすぎない！（＾＾；
つづく >>380
つづき
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Ordinal number
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Ordinal_ww.svg/384px-Ordinal_ww.svg.png
A graphical "matchstick" representation of the ordinal ω^2. Each stick corresponds to an ordinal of the form ω・m+n where m and n are natural numbers.
Perhaps a clearer intuition of ordinals can be formed by examining a first few of them: as mentioned above, they start with the natural numbers, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … After all natural numbers comes the first infinite ordinal, ω, and after that come ω+1, ω+2, ω+3, and so on. (Exactly what addition means will be defined later on: just consider them as names.) After all of these come ω・2 (which is ω+ω), ω・2+1, ω・2+2, and so on, then ω・3, and then later on ω・4. Now the set of ordinals formed in this way (the ω・m+n, where m and n are natural numbers) must itself have an ordinal associated with it: and that is ω^2. Further on, there will be ω^3, then ω^4, and so on, and ω^ω, then ω^ω^ω, then later ω^ω^ω^ω, and even later ε0 (epsilon nought) (to give a few examples of relatively small?countable?ordinals). This can be continued indefinitely (as every time one says "and so on" when enumerating ordinals, it defines a larger ordinal). The smallest uncountable ordinal is the set of all countable ordinals, expressed as ω1 or Ω .[4][5][6]
つづく >>381
つづき
（再録）ノイマンの基数割り当てでは、自然数Ｎ、つまり加算無限基数 ｱﾚﾌ0 が、ω0（=ω）でもある（下記）
（”A graphical "matchstick" representation of the ordinal ω^2. Each stick corresponds to an ordinal of the form ω・m+n where m and n are natural numbers.”）
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_cardinal_assignment
von Neumann cardinal assignment
Initial ordinal of a cardinal
The α-th infinite initial ordinal is written Ω_α. Its cardinality is written ｱﾚﾌ_α (the α-th aleph number).
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%8C%E7%B6%9A%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
後続順序数
フォンノイマンのモデル
「フォンノイマン基数割り当て（英語版）」も参照
集合論における標準的なモデルとしてフォンノイマンの順序数モデルは、順序数 α の後者 S(α) を等式
S(α)=α ∪ {α}
によって与える[1]。
順序数の順序付けにおいて α < β となるための必要十分条件は、α ∈ β となることであったから、ここから直ちに二つの順序数 α, S(α) の間にはほかの順序数はなく、かつ明らかに α < S(α) が成り立つ。すなわち、この S(α) は α の後者としての条件を満足していることが確かめられる。
つづく >>382
つづき
（下記無限公理の説明で、 B:={Φ ,{Φ},{Φ ,{Φ}},・・・}が無限列で、{Φ ∈{Φ}∈{Φ ∈{Φ}}∈・・・}と無限上昇列になるよ（＾＾ ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A(Φ ∈ A∧∀ x∈ A(x∪{x}∈ A))
解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。
まず定義中の集合 A は以下の性質を満たすことを確認できる。
Φ ∈ A（空集合 Φ は A の要素である）
Φ ∪{Φ}={Φ}∈ A （「空集合 Φ を要素にもつ集合」は A の要素である）
{Φ}∪{Φ ∪{Φ}}={Φ ,{Φ}}∈ A} （「空集合」と「空集合を要素にもつ集合」の2つを要素にもつ集合は A の要素である）
（以下同様に繰り返す）
各手続きで得られた集合を要素とする集合を B:={Φ ,{Φ},{Φ ,{Φ}},・・・} とおくと、 B は A の部分集合である。 この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 B は有限集合であり、 A≠ Bである。なぜならば定義により B∪{B}∈ A であるが、 B∪{B} not∈ B となるからである。一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう。 従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）
独立性
無限公理はZF公理系において独立した公理である。すなわちZF公理系の他の公理たちから導くことも反証することもできない。
(引用終り)
以上 >>379
>>２．”ｘを定義した”として、もし、矛盾を生じるなら、ｘは存在しえない
>証明よろしく
おサルは、頭腐ってんのか？
基礎の公理が禁止している集合は
例えば、
１）x ∈ｘ
とか
２）・・∈xn∈・・∈x2∈x1∈x0
とかが
その例だよ？
で、基礎の公理が存在するＺＦＣの体系中では
おサルが勝手に
ある集合ｘで、「x ∈ｘ」という性質を持つ集合ｘが存在すると定義するとかさ
ある無限降下列「・・∈xn∈・・∈x2∈x1∈x0」が存在すると定義するとかさ
そういう議論は、基礎の公理が存在するＺＦＣの体系中では御法度だよ（禁止されている）
もちろん、基礎の公理が存在しない公理体系を作って、その中で議論するのは可だがね
証明とかそういうレベルじゃないよ
常識だよ。中学生でも分かるよな、これはｗｗｗ（＾＾ >>380
>おサルは、全然理解できていないな
>１．無限下降列と無限上昇列との両方を禁止したら、それまずいよ（全てが有限列になる）
だーかーらー
誰も無限上昇列を禁止してるなんて言ってないよって言っての バカ？
最後の項がある無限上昇列なるものは存在しないと言ってるの バカ？
全然理解できてないのがおまえ
0∈1∈2∈…は無限上昇列。誰も無限上昇列を禁止していないｗ
0∈1∈2∈…∈ωなる無限上昇列は存在しない。最後の項があったら無限列の定義に違反するから。おまえが無限列の定義の確認を怠ってるだけ。
尚、0∈1∈2∈…∈n∈ωの形の列は有限列。
おまえ本当にバカ丸出しだな。 >>380
> A graphical "matchstick" representation of the ordinal ω^2. Each stick corresponds to an ordinal of the form ω・m+n where m and n are natural numbers.
> を見てください。自然数の0,1,2・・が並んだ後に最小のthe first infinite ordinal, ωが来て、ω+1, ω+2, ω+3・・とつづく
それ、列じゃないからｗ 列だったらωの前者が居ないとダメｗ ホントバカだね
> 0,1,2・・,ω,ω+1, ω+2, ω+3・・ （無限上昇列存在）と説明されている
されてないｗ
どこに「列」と説明されてるの？
おまえが勝手に「（無限上昇列存在）」を付け足してるだけｗ
捏造はやめて下さいねー >>380
>５．そして、ノイマンの基数割り当てでは、 ”0∈1∈2・・∈ω∈ω+1∈ ω+2∈ ω+3・・”でもある（分からない人は、下記”von Neumann cardinal assignment”を嫁め）
はい、また捏造。
ωの一つ前は何？ 答えてね
てゆーか極限順序数の定義分かってる？ >>380
>６．無限上昇列があれば、逆に辿れば、当然無限下降列になる。当たり前。それ禁止したらまずい
無限上昇列はあるよｗ
最後の項がある無限上昇列なんてものは無いよ？列の定義に反するから。
よってもって逆には辿れないｗ 辿るもなにも初項が無いｗ 残念！！
無限上昇列 0∈1∈…∈ω があると言うなら、ωの直前の項を答えて下さいねー 逃げないで下さいねー >>380
>７．”「"最後の項がある"無限上昇列は存在しない」と言っている”は、単に、おサルがキーキー言っているだけの独自説にすぎない！（＾＾；
ωの直前の項を答えてから吠えましょうねー >>380
>その説明が、既に述べた >>316 https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
> Axiom of regularity - No infinite descending sequence of sets exists にあるよ
>>348 >>383
>（下記無限公理の説明で、 B:={Φ ,{Φ},{Φ ,{Φ}},・・・}が無限列で、{Φ ∈{Φ}∈{Φ ∈{Φ}}∈・・・}と無限上昇列になるよ（＾＾ ）
だから言ってるじゃん
最後の項が無い無限上昇列は存在するとｗ バカ？ 要するにおまえは
「集合xに無限下降列が存在してもxは正則性公理に反しない」
が間違いだと認められないだけ。
だから最後の項がある無限上昇列の捏造を繰り返すｗ
スルーされそうなので念押しときますね
無限上昇列 0∈1∈…∈ω が存在すると言うなら、ωの直前の項を答えて下さいねー まさかω-1が直前である(ｷﾘｯ
とか答えないでしょーねｗ
ωは極限順序数であることをお忘れなくｗ >>384
>もちろん、基礎の公理が存在しない公理体系を作って、その中で議論するのは可だがね
じゃ「存在しえない」と言ったおまえの間違いじゃんｗ 極限順序数は後続順序数ではない。
つまりωの前者は存在しない。
つまり0からωまでのすべての順序数を並べた 0∈1∈…∈ω は列になり得ないｗ ωの前者が居ないのになぜ列になると思うのか？ｗ 列の定義が分かってないだけｗ
0∈1∈…∈n∈ω は有限列ｗ
なんでこんな簡単なことが理解できないの？早く落とした脳みそ見つけてこいｗ スルーされそうなので再念押し
無限上昇列 0∈1∈…∈ω が存在すると言うなら、ωの直前の項を答えて下さいねー >>368
>>>supは常に存在する
>>369
>>はい、誤り
>>この場合、「A が空でなく，上に有界なら」が必要条件です
>>例えば、上に有界でなければ、もちろんsupは存在しません
>>373
>それ、”高校数学の美しい物語”さんの引用部分だから、
>”高校数学の美しい物語”さんに言ってやれよ
いや、雑談君の引用の仕方が間違ってるから
雑談君一匹のみに行ってやればよい
上に有界なら、という言葉が理解できない？
だったら真っ先に検索しようね
有界・上界・下界とは？
https://risalc.info/src/bounded.html
集合 S に含まれる全ての数が
ある一つの数 M よりも大きくないとき、
S は上に有界であるといい、M を上界という。
言い換えると、全ての x∈S に対して、x ≤ M が成り立つとき、
M を S の上界といい、S が上に有界であるという。 >>374
>定理 5.3. R の任意の部分集合 A について, A が上に有界ならば sup A(∈ R) が存在する.
>定理 5.3 からは次の定理を得る.
>定理 5.5. 上に有界な単調増加数列 {an} について
>A = {an ∈ R | n = 1, 2, 3, ・ ・ ・ }
>とおくと,
>limn→∞ an = sup A
>である.
例えば、数列1,2,3,…は、上に有界ではないが？
わからんか？大学１年の４月の実数の定義でオチコボレた雑談君ｗｗｗ >>373-374
>標準的な解析では、リーマン球面の昔から、∞を当然の如く導入しますよ
>当たり前、極限 lim n→∞ さえ、定義できないからね
>下記で、リーマンのように、∞を追加した拡張R+を考える
>複素解析では、標準でしょ
なんか、初歩的な誤解してるねｗｗｗ
勝手になんでもかんでも一点コンパクトしたらダメだよｗｗｗ
例えば複素関数EXPは、∞では極ではない
つまり、EXPはリーマン球面上の有理型関数ではない
ついでにいうと、楕円関数もリーマン球面上の有理型関数ではない
さらにいうと、モジュラー関数は
リーマン球面どころか複素平面上でも
有理型関数ではない
雑談君、全然わかりもせずに、🐎🦌の一つ覚えで
「リーマン球面！」と叫んでも意味ないよ
キミのオツムの中には複素トーラスも
種数２以上の代数曲線も存在しないのかい？ｗｗｗ >>375
なんかあいかわらず雑談君はわけもわからずトンチンカンなこといってるね
well-definedを用いる実例を一つも知らず（理解もせず）
自分勝手な俺様誤解をわめいてもパクチーと罵られるだけだよｗｗｗ 銅の完全な抽出だって？。
珪酸カルシウムでコンクリートのひびをなおす微生物はしらんが。
微生物を銅の生産に使うのか。馬鹿か。かわいそうだわ。 モピロン、数列1,2,3,…は、上に有界
だぁぁぁ。∵モピロン
で、その数列は、a(n)=nで
上に有界の最小の数Nが、モピロン
決定番号なのである。
これこそ、超々々々…本物のεN論法
である。このNは、どんな(1/ε）より
もデカイのだ。∵定義しゃったから
存在するヨ
モチロン、(1/ε）の∞倍数の∞乗数
よりも、決定番号は、タブン大きい
そんな、決定番号も、上に有界な
自然数の中では最小の数である。
ちなみに、背理法はマピガッてるから
モピロン、無理数は存在しない。
🌍の数学は、誠にけしからんことに
xが未定義⇒xは存在しない
という風に、暗に定義してるようだ
具体的な例は、遅くとも、モピロン
決定番号日、以前に記載しようなか
決定番号ってしかし一体何だろうか
途轍もなかデカそうだが∞では
ないらしぃ
by 👾 >>376
>拡大実数では、”a + ∞=+ ∞”成立ですよ
拡大実数は、実数ではないが
具体的にいえば、拡大実数∞は、実数ではないが
雑談君は、実数と拡大実数の区別もできない🐎🦌なのか？
>∞としてノイマン構成の自然数の集合Ｎで、
>ノイマン構成のＮの後者は、
>Ｓ(N)=N∪{N}={0,1,2,・・・,{N}}
>で、存在します
>ここで、N→ωに置き換えれば、Ｓ(ω)で、これは存在します
>ω≠Ｓ(ω)ですし、さらにこの場合の無限列は、基礎の公理とは矛盾しませんよ
雑談君よ
同じこと、ツェルメロ構成のωでやってみ？
Ｓ（ω）＝｛ω｝だよな？ で、ωは何？
「ツェルメロ構成の自然数の集合」ではないんだろ？シングルトンんなんだろ？
で、そのときω≠Ｓ（ω）といえるかい？基礎の公理と矛盾しないかい？
自分の🐎🦌から目を背けてはいけないよ 雑談君ｗｗｗ 何か、ナゾの電波📶を受信した。
ある企業が、ちょっと昔に
微生物を用いて、銅含有量の低い鉱石から銅を効率的に取り出す新技術
を開発したみたい。
だいぶ前の話だな
そうだ、思い出した
モピロン、ポクは、その微生物だった
銅は生物には少し有毒がだから、
銅は別の場所に捨てたら、
🌍地球人という人間が、もっていって
くれた。地球人ありがとう。
by 👾は微生物だと定義してみたぁぁ >>380
>おサルは、全然理解できていないな
理解できてないのは、雑談君、君だよ、キ・ミ
まず、順序数の列と、∈列は全く異なる
0∈1∈2∈･･･
という無限上昇列は書けるが、
その先に、とってつけたように
∈N
と書くことはできない
なぜなら
∈N
の左側に君は要素を書くことができないから
できるというなら書いてみたまえ
ほれ、どうした🐎？ どうした🦌？
>Ordinal numberのポンチ絵
>https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Ordinal_ww.svg/384px-Ordinal_ww.svg.png
はい🐎🦌
雑談君は、文章が一切読めず、絵だけで妄想する
万年小学生のパクチー野郎ｗｗｗ
ポンチ絵は∈列を何一つ表さない
まさかポンチ絵のように{}をつければいいと思ってる？
雑談君は、まさに論理思考ゼロの万年小学生パクチーだなｗｗｗ
まず、そんなパクチーなことはできません
そして、そんなパクチーなことをしなくても
ω＝{{},{{}},{{{}}},…}
とすればいいだけ
シングルトンに固執する雑談君が🐎🦌ｗｗｗ >>383
＞B:={Φ ,{Φ},{Φ ,{Φ}},・・・}が無限列で、
＞{Φ ∈{Φ}∈{Φ ∈{Φ}}∈・・・}と無限上昇列になるよ
はい、🐎🦌ｗｗｗ
{Φ ∈{Φ}∈{Φ ∈{Φ}}∈・・・} と書いた瞬間 最低最悪の大🐎🦌
もし、君が
Φ ∈{Φ}∈{Φ ,{Φ}}∈・・・
と書いたら、何も言わなかった
しかし、その外側に｛｝をつけて{Φ ∈{Φ}}と書いたから
「こいつ、論理的思考能力ゼロの人間失格の野獣だなｗｗｗ」
と罵った
おまえ、論理分からん🐎🦌なの？ >>383
＞∃ A(Φ ∈ A∧∀ x∈ A(x∪{x}∈ A))
これは問題ない
そして、x∪{x}を、{x}に置き換えたものも問題ない
∃ B(Φ ∈ B∧∀ x∈ B({x}∈ B))
Bは以下の無限集合になる
B＝{{},{{}},{{{}}},…}
一方、以下のCを、雑談君はどういう論理式で表すつもりか？
C＝･･･{{{}}}･･･
いっとくが、{}も{{}}も{{{}}}も･･･何一つ、Cの要素ではないぞ
分かるか？ん？わ・か・る・か？
大学１年４月の実数の定義で早速落ちこぼれた
大阪のパクチー🐎🦌野郎 雑談く~んｗｗｗｗｗｗｗ >>384
>おサルは、頭腐ってんのか？
そういう雑談君は、頭蓋骨の中身カラッポだろ
脳ミソ１ｇもないのか？ｗｗｗ
>基礎の公理が禁止している集合は、例えば、
>１）x ∈ｘ
>２）・・∈xn∈・・∈x2∈x1∈x0
>がその例だよ？
で？
{}∈{{}}∈{{{}}}∈･･･∈･･･{{{}}}･･･
は、問題ないと？
では聞くが、･･･{{{}}}･･･の唯一の要素はズバリ何かね？
ここに書き切って見せてくれるかね？
書けないがね
書けたら貴様は正真正銘の🐎🦌として死ぬまで嘲笑されるがね
人間失格の畜生として死ぬまで嗤われたいかね？
そうなりたいなら、止めないぞ
それがお前の幸せだというならなｗｗｗｗｗｗｗ >>385-396
ID:NP+Si4Fbの完全勝利ｗｗｗ
雑談君の完全敗北ｗｗｗ
雑談君は即刻焼死してくださいね
キミの肉は我々がおいしくいただいてあげるので
何も心配しなくていい
安心して焼死したまえ
🐎🦌君ｗｗｗｗｗｗｗ >>355 追加
基礎の公理は、下記”整礎関係：二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである”
と関係している
”集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである”
”帰納法と再帰：整礎関係が興味深い重要な理由は、それによって超限帰納法の一種が考えられることにある”
モストフスキ崩壊補題というものがある。下記”クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる”
基礎の公理は、∈関係を、下記「反射的順序関係 ≦ を考える代わりに、整礎関係となる < を用いるということである」
つまり、基礎の公理は、∈関係で等号（＝）を認めないということ
なお、「X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
という鎖は長さ n を持つ。」が、無限の上昇列が、基礎の公理と矛盾しないという説明です（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
二項関係が整礎（well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。（関係 R がさらに集合的であることを仮定する著者もいる[2]。X が集合であればこれは自動的に成り立つ。）つまり、S の元 m であって、S の任意の元 s に対して対 (s, m) は R に属さないようなものが存在する。式で書けば
∀ S⊆ X(S≠ Φ → exists min S;;∀ sin S;,(s,m)notin R).} ∀ S⊆ X;,(S≠ Φ → exists min S;;∀ sin S;,(s,m)notin R).}
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。
つづく >>411
つづき
つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。
順序集合論（英語版）では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。
集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。
関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R^-1 が X 上の整礎関係であるときにいう。
帰納法と再帰
整礎関係が興味深い重要な理由は、それによって超限帰納法の一種が考えられることにある。すなわち (X, R) が整礎関係で P(x) が X の元に関する何らかの性質であるときに、 P(x) が X の「すべての」元に対して満たされることを示すには、以下を示せば十分である。
x を X の元とするとき、y R x なる全ての y に対して P(y) が真であるならば P(x) は必ず真である。つまり、
略
が成り立つ。 このような整礎帰納法 (well-founded induction) は、エミー・ネーターにちなんでネーター帰納法 (Noetherian induction) とも呼ばれることがある[4]。
つづく >>412
つづき
帰納法と同様に、整礎関係は超限再帰による対象の構成も保証する。(X, R) が集合的整礎関係で F が X の元 x と X の始切片 {y | y R x} 上の函数 g の組に対して対象 F(x, g) を割り当てる函数とすると、函数 G が一意的に存在して、任意の x ∈ X に対して
G(x)=F(x,G｜y|yRx)
が満たされる。つまり、X 上の函数 G を構成しようとするとき、G(x) を y R x なる y に対する値 G(y) を利用して定義することができる。
例として、整礎関係 (N, S) を考える。ここで N は自然数全体のなす集合で、S は後者函数 x → x + 1 のグラフとする。S 上の帰納法は通常の数学的帰納法であり、S 上の再帰は原始再帰を与える。順序関係 (N, <) からは完全帰納法 (complete induction) と累積帰納法 (course-of-values recursion) が得られる。 (N, <) が整礎関係であるという言明は整列原理としても知られる。
ほかにも重要な整礎帰納法の特別の場合がある。整礎関係として順序数全体のなす類上の通常の順序を考えれば、超限帰納法 (transfinite induction) と呼ばれる手法が得られるし、整礎集合として再帰的に定義されるデータ構造からなる集合をとれば、構造的帰納法 (structural induction) が考えられる。あるいは普遍類上の帰属関係を整礎関係に選べば∈-帰納法として知られる帰納法が定まる（詳細は各項に譲る）。
つづく >>413
つづき
例
整礎でない関係の例
・負整数全体 {-1, -2, -3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。
・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。
その他の性質
(X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。
以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。
このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
という鎖は長さ n を持つ。
モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。
つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。
反射関係の整礎性
関係 R が反射律を満たすとは、R の始域の任意の元 a に対して a R a が満たされることである。任意の定値列は（広義の）降鎖であるから、始域が空でない任意の反射関係は無限降鎖をもつ。例えば、自然数の全体に通常の大小関係による順序 ≦ を考えれば 1 ≧ 1 ≧ 1 ≧ ? は無限降鎖になる。反射関係 R を扱う際には、この手の自明な降下列を取り除くために、普通は（しばしば陰伏的に）
a R′b ⇔ a R b かつ a ≠ b
で定義される関係 R′ を代わりに利用する。先ほどの自然数の例で言えば、反射的順序関係 ≦ を考える代わりに、整礎関係となる < を用いるということである。
つづく >>414
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
Well-founded relation
In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if the converse relation R^-1 is well-founded on X. In this case R is also said to satisfy the ascending chain condition. In the context of rewriting systems, a Noetherian relation is also called terminating.
There are other interesting special cases of well-founded induction. When the well-founded relation is the usual ordering on the class of all ordinal numbers, the technique is called transfinite induction. When the well-founded set is a set of recursively-defined data structures, the technique is called structural induction. When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction. See those articles for more details.
Other properties
If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded. Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer. Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1 has length n for any n.
The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X, R) is isomorphic to (C, ∈).
つづく >>415
つづき
Application
Every set model of ZF is set-like and extensional. If the model is well-founded, then by the Mostowski collapse lemma it is isomorphic to a transitive model of ZF and such a transitive model is unique.
Saying that the membership relation of some model of ZF is well-founded is stronger than saying that the axiom of regularity is true in the model. There exists a model M (assuming the consistency of ZF) whose domain has a subset A with no R-minimal element, but this set A is not a "set in the model" (A is not in the domain of the model, even though all of its members are). More precisely, for no such set A there exists x in M such that A = R-1[x]. So M satisfies the axiom of regularity (it is "internally" well-founded) but it is not well-founded and the collapse lemma does not apply to it.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E5%B4%A9%E5%A3%8A%E8%A3%9C%E9%A1%8C
モストフスキ崩壊補題
概要
モストフスキ崩壊補題はこのようなRに対して、推移的クラス(真のクラスでもよい)M で(M,∈)と(X, R)が同型となるものが一意的に存在し、その同型対応も一意的であるという命題である。その同型対応Gは G(x)={G(y):yRx}で与えられる。この関数をモストフスキ崩壊関数という。(Jech 2003:69).
一般化
この補題の整礎性の仮定は、整礎性を使わない集合論では緩和したり外したりすることができる。
ボッファの集合論では、集合状かつ外延的な関係は推移的クラス(一意的ではない)上の∈-関係と同型になる。アクゼルの反基礎公理をもつ集合論では集合状な関係はそれぞれ一意的な推移的クラス上の∈-関係とbisimilar(双模倣的)である。 このことから、bisimulation-極小な集合状関係は何かしらの一意的な推移的クラスと同型である。
つづく >>416
つづき
応用
ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。 モデルが整礎的なら本補題により、ZFの推移的モデルと一意的に同型である。
ZFのあるモデルの∈-関係が整礎的であるというのは、そのモデル内で正則性公理が成立するという主張よりも強いことに注意。
ZFは無矛盾であるとの仮定の下で、ZFのモデルMで、 その論議領域にR-極小要素をもたない部分集合AをもつがAはそのモデル内で集合でないというものがある。(Aの要素が全て議論領域内にあってもAはモデルの議論領域内に無い。) もっと正確には、そうでない集合AにはMの要素xでA = R-1[x]となるものが存在する。だからMは正則性公理を満たす(内部的には整礎的である)が、Rは整礎的関係でなく、この崩壊補題も適用できない。
https://en.wikipedia.org/wiki/Mostowski_collapse_lemma
Mostowski collapse lemma
Application
Every set model of ZF is set-like and extensional. If the model is well-founded, then by the Mostowski collapse lemma it is isomorphic to a transitive model of ZF and such a transitive model is unique.
Saying that the membership relation of some model of ZF is well-founded is stronger than saying that the axiom of regularity is true in the model. There exists a model M (assuming the consistency of ZF) whose domain has a subset A with no R-minimal element, but this set A is not a "set in the model" (A is not in the domain of the model, even though all of its members are). More precisely, for no such set A there exists x in M such that A = R-1[x]. So M satisfies the axiom of regularity (it is "internally" well-founded) but it is not well-founded and the collapse lemma does not apply to it.
(引用終り)
以上 >>403
電波星人さん、どうもありがとう
お元気そうで、なによりです（＾＾ >>402
ID:1lEWVa2sさん、どうも
お元気そうで、なによりです（＾＾ >>373
>そして、標準的な解析では、リーマン球面の昔から、∞を当然の如く導入しますよ
解析では、∞は当然です。（下記）（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8A%E6%A5%B5%E9%99%90%E3%81%A8%E4%B8%8B%E6%A5%B5%E9%99%90
上極限と下極限
数列（以下単に数列と言ったら実数列のことを指すものとこの記事においてはする） (an)n∈N の上極限（じょうきょくげん、英語: limit superior）および下極限（かきょくげん、英語: limit inferior）とは、nを無限に大きくしていったときの数列の挙動から決まる実数であり、この数列の極限に（ある意味で）なりうる値を上と下からおさえるために使われる。
性質
数列 (an) の上極限と下極限は（無限大をとることを許せば）必ず存在する。これは極限値が存在するかどうか分からないのと対照的である。
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_inferior_and_limit_superior
Limit inferior and limit superior
The case of sequences of real numbers
In mathematical analysis, limit superior and limit inferior are important tools for studying sequences of real numbers. Since the supremum and infimum of an unbounded set of real numbers may not exist (the reals are not a complete lattice), it is convenient to consider sequences in the affinely extended real number system: we add the positive and negative infinities to the real line to give the complete totally ordered set [-∞,∞], which is a complete lattice.
Properties
As mentioned earlier, it is convenient to extend {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} to [-∞,∞].
(Note that when working just in {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} , convergence to -∞ or ∞ would not be considered as convergence.)
(引用終り)
以上 >>414
＞このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。
下記レーヴェンハイム-スコーレムの定理より
「定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す」です
(”The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model”)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。
例と帰結
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している。
https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim%E2%80%93Skolem_theorem
Lowenheim-Skolem theorem
Consequences
The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model; sometimes this is considered to be part of the theorem.
(引用終り)
以上 >>421
おサルとその仲間は
無限とか、基礎の公理（正則性公理）とか
誤解という以前、さっぱり分かってないね～（＾＾； >>411-417
雑談君は自分の主張のどこが間違ってるか全然わかってませんね
モストフスキ以前にそもそも
「ツェルメロ構成のωがシングルトン」だとしたら、
ωから{}に至る有限長の∈降下列が存在し得ない
存在するなら示してごらん
{}から{}を重ねていったシングルトンで
有限長だというだけで自然数になってしまうから
こんな簡単なことに気づけないとか
正真正銘のパクチーですか？ 雑談君はｗｗｗ >>420
リーマン球面とかいう🐎🦌の一つ覚えは無関係だから永遠に忘れていいよ
どうせ複素解析とか全然理解できなかったパクチーなんでしょ？ >>421
レーヴェンハイム-スコーレムとか、トンチンカンなこという以前に
シングルトンのωから{}への任意有限長の∈降下列
一つでいいからしめしてごらん
一つも示せないでしょ？雑談君、君は正真正銘の🐎🦌なの？
大阪大学卒だろうがなんだろうが数学では完全なパクチーなの
もう黙って数学板から退散してね 匿名でも一切書き込むなよ
数学板が🐎💩🦌💩の悪臭で耐えられなくなるからｗｗｗｗｗｗｗ >>422
その言葉
大学１年の４月の実数の定義（デデキント切断＆カントールの基本列）
が全く理解できずに数学で落ちこぼれたパクチーの雑談君に
そっくりそのままお返しするよｗｗｗｗｗｗｗ 雑談君の誤りは以下の通り
「ツェルメロ構成において、
”後続順序数がシングルトンだ、だから
極限順序数もシングルトンであるべきだ！”
と非論理的に脊髄反射したこと」
そんな必要ないんだよ 🐎ぁぁぁぁぁ🦌
極限順序数は無限集合でいいじゃん
アタマ悪い、っつうか、オカシイｗｗｗ >>421 補足
”近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある”のです（下記）
ところで、我々の日常の数学では、普通に二階述語論理を使っている、多分意識せずにね
一方、ＺＦＣは一階述語論理に限定されている
そこは、ちょっと意識しておく必要があるだろう
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理（にかいじゅつごろんり、英: second-order predicate logic）あるいは単に二階論理（にかいろんり、英: second-order logic）は、一階述語論理を拡張した論理体系であり、一階述語論理自体も命題論理を拡張したものである[1]。二階述語論理もさらに高階述語論理や型理論に拡張される。
一階述語論理と同様に議論領域（ドメイン）の考え方を使う。ドメインとは、量化可能な個々の元の集合である。一階述語論理では、そのドメインの個々の元が変項の値となり、量化される。例えば、一階の論理式 ∀x (x ≠ x + 1) では、変項 x は任意の個体を表す。二階述語論理は個体の集合を変項の値とし、量化することができる。例えば、二階の論理式 ∀S ∀x (x ∈ S ∨ x ? S) は、個体の全ての集合 S と全ての個体 x について、x が S に属するか、あるいは属さないかのどちらかであるということを主張している。最も一般化された二階述語論理は関数の量化をする変項も含んでいる（詳しくは後述）。
二階論理の表現能力
二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い。
空でなく上に有界な実数の集合があるとき常にその集合には上限が存在するという命題を表すには、二階述語論理が必要となる。
二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能である。ドメインが有限であるというには、そのドメインから同じドメインへの全ての単射関数が全射であることを論理式で表せばよい。ドメインが可算無限集合の濃度であることをいうには、そのドメインの任意のふたつの無限部分集合間に全単射があることを論理式で表せばよい。一階述語論理ではこれら（「有限集合であること」や、「可算集合であること」）を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる。
つづく >>428
つづき
二階論理とメタ論理学の成果
ゲーデルの不完全性定理の系の1つとして、以下の3つの属性を同時に満足するような二階述語論理の推論体系は存在しないとされた[4]。
・（健全性）証明可能な二階述語論理の文は常に真である。すなわち standard semantics に従ったあらゆるドメインで真である。
・（完全性）standard semantics において常に妥当な二階述語論理の論理式は、全て証明可能である。
・（実効性）与えられた論理式の並びが妥当な証明かどうかを正しく決定できる証明検証アルゴリズムが存在する。
この系を言い換えると、二階述語論理は完全な証明理論に従わない、とも言える。この観点で、standard semantics を伴った二階述語論理は一階述語論理とは異なり、そのせいもあって論理学者は長年、二階述語論理に関わることを避けてきた。ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインは二階述語論理は「論理」ではないと考える理由としてこれを挙げている[5]。
上述のように Henkin は Henkin semantics を使えば二階述語論理に一階述語論理の標準的な健全で完全で実効的な推論体系を適用できることを証明した。
歴史と論争
近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した。Boolos はさらに一階述語論理では記述できない文を例に挙げ、完全な二階述語論理の量化でのみそれらを表現可能であるとした。
(引用終り)
以上 >>428-429
やれやれ、今度は二階論理か
二階クンは、全力でオリンピック中止するように いいね？
https://www.youtube.com/watch?v=CJYY5KICq4A&;ab_channel=ANNnewsCH >>411
>なお、「X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
>ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
>という鎖は長さ n を持つ。」が、無限の上昇列が、基礎の公理と矛盾しないという説明です（＾＾
つっこみどころ多過ぎて大草原
・なんで任意有限がいきなり無限になるの？バカ？
そのトンデモ論法によると「Nには任意有限の自然数が属すから∞も属す」になっちゃうよ？ｗ ∞は自然数と思ってるの？バカ？
・無限の上昇列は基礎の公理と矛盾しないよｗ 矛盾するのは無限の下降列ｗ
・基礎の公理とまっっっっっっっっったく関係無く、最後の項がある無限列なんてものは存在しない。
実際君、あれほど念押ししたにもかかわらず下記から逃げてるよね？
>無限上昇列 0∈1∈…∈ω が存在すると言うなら、ωの直前の項を答えて下さいねー
はい、もうそろそろ自分の馬鹿さ加減を自覚して下さいねー >>411 補足
>基礎の公理は、下記”整礎関係：二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである”
(>>270-270より再録)
1．可算無限個の箱の列 □1,□2,・・□n,・・ （ n∈N） を作る。nは全てのNを渡る。∵箱は可算無限
2．逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能
3．両方を合わせて、・・□n,・・□2,□1 {} □1,□2,・・□n,・・ とできる（間に {}を置いた）
4．左の箱を"{"で、右の箱を"}"で置換すると
・・{n,・・{2,{1 {} }1,}2,・・}n,・・ とできる
5．添え字と”,”（カンマ）を取ると
・・{・・{{{}}}・・}・・ とできる。明らかに{}が、加算多重になっている
この場合、最外層{}なるものは存在しないが、なんの不都合もない
6．さらに、3項で左右の無限個の箱の列を入れ換える
□1,□2,・・□n,・・ {} ・・□n,・・□2,□1とできる
7．上記4，5と同様にして
{{・・{・・ {} ・・}・・}}とできる。明らかに{}が、加算多重になっている
この場合、最外層{}なるものは存在するが、本質は上記6同様
（なお、最内層の{}が添え字 n・・を消す前の状態で「集積点」（下記）になっていると、考えることができる）
（参考 ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
ペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
さて
ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成 3 := {2} = {{{{}}}} ・・などで
明らかに、0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる
これは、有限列ではない ∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、もし有限列で終われば、自然数の集合Ｎに不足する
これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である
この極限としてlim n→∞ を考えれば、加算無限シングルトンになる
これは、当然基礎の公理に反しない上昇無限列である
以上 >>420
>>そして、標準的な解析では、リーマン球面の昔から、∞を当然の如く導入しますよ
>解析では、∞は当然です。（下記）（＾＾；
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8A%E6%A5%B5%E9%99%90%E3%81%A8%E4%B8%8B%E6%A5%B5%E9%99%90
>上極限と下極限
>数列（以下単に数列と言ったら実数列のことを指すものとこの記事においてはする） (an)n∈N の上極限（じょうきょくげん、英語: limit superior）および下極限（かきょくげん、英語: limit inferior）とは、nを無限に大きくしていったときの数列の挙動から決まる実数であり、この数列の極限に（ある意味で）なりうる値を上と下からおさえるために使われる。
>性質
>数列 (an) の上極限と下極限は（無限大をとることを許せば）必ず存在する。これは極限値が存在するかどうか分からないのと対照的である。
それはただ単に「∞に発散する」を「極限∞に収束する」に言い方を変えてるだけｗ
∞という実数を導入している訳じゃないｗ
検索しかできない馬鹿に数学は無理ｗ >>432 追加
(引用開始)
ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成 3 := {2} = {{{{}}}} ・・などで
明らかに、0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる
これは、有限列ではない ∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、もし有限列で終われば、自然数の集合Ｎに不足する
これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である
この極限としてlim n→∞ を考えれば、加算無限シングルトンになる
これは、当然基礎の公理に反しない上昇無限列である
(引用終り)
この上昇無限列は、ノイマン構成でそのまま成り立つ
つまり、ノイマン構成で
0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる
これは、有限列ではない ∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、もし有限列で終われば、自然数の集合Ｎに不足する
これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である
ノイマン構成で、自然数の集合Ｎができる。これは、極限順序数ωでもあり、加算無限濃度”ｱﾚﾌ0”の最小集合でもある
0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ωとできる。下記の通りです（＾＾；
（参考 >>376より再録 ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の大小関係
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。
(引用終り)
以上 >>432
>ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成
>3 := {2} = {{{{}}}} ・・などで
>明らかに、0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる
>これは、有限列ではない
>∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、
>もし有限列で終われば、自然数の集合Ｎに不足する
>これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である
>この極限としてlim n→∞ を考えれば
どう極限を取るの？
ただ、漫然と{}が無限個、とかいってるなら
正真正銘の🐎🦌だよ
🐎🦌でないなら「{}が無限個」以外の方法を使う
例えば >>408でも書いた以下の集合B
∃ B(Φ ∈ B∧∀ x∈ B({x}∈ B))
なんで、シングルトン以外は間違い、とか🐎🦌なこといってるの？
雑談君は精神異常かな？統合失調症？
毎日「♪ダーメダメダメダメ人間、ダーメニンゲーン」とか
幻聴聞こえるの？ >>434
>ノイマン構成で、自然数の集合Ｎができる。
>これは、極限順序数ωでもあり、加算無限濃度”ｱﾚﾌ0”の最小集合でもある
>0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ωとできる。
３行目 不正確ね
正確にはこう書ける
「任意の自然数ｎについて 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈ωとできる。」
誤魔化したら🐎🦌になるよ パクチー雑談く~んｗｗｗ ノイマンのωでは、任意の自然数ｎを要素に持つ
だ・か・ら、ｎ∈ω、とできる
雑談君のウソωは、いかなる自然数ｎも要素に持たない
だ・か・ら、ｎ∈ω、とできない
🐎🦌だねぇｗｗｗｗｗｗｗ >>432
>ツェルメロのシングルトンによる自然数の構成 3 := {2} = {{{{}}}} ・・などで
>明らかに、0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる
>これは、有限列ではない ∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、もし有限列で終われば、自然数の集合Ｎに不足する
ペアノの公理は関係無いｗ
>これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である
そもそもいかなる無限上昇列も基礎の公理に反しないｗ ぜんぜん分かってないｗ
「最後の項がある無限上昇列」は基礎の公理となんの関係も無く存在しないｗ
>この極限としてlim n→∞ を考えれば、加算無限シングルトンになる
ならないｗ
極限を考えればって、0,1,2, … に極限は無いｗ
無いものが見える君は幻覚症だから今すぐ精神病院へGO！
>これは、当然基礎の公理に反しない上昇無限列である
ω∈ω+1∈ω+2∈… なる無限上昇列が存在するが、ωは基礎の公理に反しない。「起訴の公理が無限上昇列を禁止してない」とはこのような意味だｗ おまえが言ってるのは {} に対する無限上昇列だｗ 阿呆ｗ
「最後の項がある無限上昇列」は起訴の公理となんの関係も無く存在しないｗ 阿呆ｗ 存在すると言うならなぜ>>396から逃げるのか？
起訴の公理は無限下降列は禁止しているが無限上昇列はそもそも禁止していないｗ 阿呆ｗ
何重にも分かってないｗ 馬鹿にも限度があるｗ 阿呆の瀬田くんの偽ω={ω}と違い、真ωの元は自然数だから、
ωから0へ至る∈下降列はどんなに長くても ω∋n∋…∋1∈0 の形に限られる。つまり有限長。
よってωは基礎の公理に反しない。
一方、ω∈ω+1∈ω+2∈… なる無限上昇列が存在するが、そもそも基礎の公理は無限上昇列を禁止していない。 >>438
雑談君は、自分が無限を全く分かってないことが分かってない
そして、
モストフスキ―がー、スコーレム・レーヴェンハイムがー、二階がー
と、何一つ自分が分かってない知識をコピペで誤魔化して
「マウント」を仕掛けるｗｗｗ
🐎🦌のくせに他人にマウントしたがる自己愛性人格障害者 それが雑談君
日本の三大自己愛💩といえば
小保方晴子、小室圭、雑談君 要するに阿呆の瀬田くんは
「集合xに無限下降列が存在してもxは正則性公理に反しない」
が間違いだと認められないだけ。
だから「最後の項がある無限上昇列」の捏造を繰り返すｗ
「最後の項がある無限上昇列」なんてものは無い。有るなら>>396から逃げる必要は無いｗ 雑談君は「∈」の意味が全然分かってないね
∈は左と右に具体的な項が配置されて、はじめて意味をもつ
ｘ∈ｙとあれば「ｘは（集合）ｙの要素である」の意味
だから・・・∈ｘという誤魔化しは一切通用しないし
それが分からないなら、集合論の初歩も分からん🐎🦌 >>434
(引用開始)
この上昇無限列は、ノイマン構成でそのまま成り立つ
つまり、ノイマン構成で
0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・ となる
これは、有限列ではない ∵ ペアノの公理による自然数の構成であり、もし有限列で終われば、自然数の集合Ｎに不足する
これは上昇列であって、基礎の公理に反しない上昇無限列である
ノイマン構成で、自然数の集合Ｎができる。これは、極限順序数ωでもあり、加算無限濃度”ｱﾚﾌ0”の最小集合でもある
0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ωとできる。下記の通りです（＾＾；
(引用終り)
基礎の公理（正則性公理）で、ノイマン氏がやろうとしたことは、下記
1．∈の整礎関係（>>411）です。つまり、"真の無限降下列をもたない"にすること。これで、帰納法などが使えるようになる(>>412)
2．基礎の公理（正則性公理）では、”∈関係で等号（＝）を認めないということ”（>>411より）
これで、自明な降下列（”1 ≧ 1 ≧ 1 ≧・・”のような）を、取り除ける（>>415）
です
そして、(>>414-417) "集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係"です（モストウスキーの崩壊補題>>414）
つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる
0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω
↓↑
0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω
です
こう見ると、これは何の不思議もない
基礎の公理が禁止しているのは、無限上昇列でないことは、あたりまえです！！（＾＾；
以上 >>432
>2．逆向きの列 ・・□n,・・□2,□1 も可能
不可能ｗ
初項が無ければ列の定義を満たさないｗ
X列とは関数φ:N→Xだｗ φ(0)が未定義ならφは関数に非ずｗ
定義域のどの元にも写像先が存在しなければならないと教わらなかったか？ｗ >>443
また逃げた
>0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω
ωの一つ前は？
>0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω
ωの一つ前は？
早く答えて下さいねー >>443
雑談君は、モストフスキがー、と🐎🦌の一つ覚えでわめいてるが
そもそも、モストフスキは全然関係ない
まず
＞0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω
の「n∈・・∈ω」が間違ってる
ｎ∈ω が正しい
そして
＞0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω
の「n＜・・＜ω」も間違ってる
ｎ＜ω が正しい
こんな初歩的なことすら、理解できんのか？
このパクチー🐎🦌野郎が >>443
>基礎の公理が禁止しているのは、無限上昇列でないことは、あたりまえです！！（＾＾；
まず上昇列から分かってないｗ
ωの上昇列とはωを起点にした上昇列だｗ
ω∈ω+1∈ω+2∈… はωの無限上昇列ｗ
一方
>0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω
は0が起点だからωの上昇列ではなく、尚且つ、∈ωの前は自然数、つまり無限上昇列でもないｗ
馬鹿丸出しｗ >>376
>>もし∞＝∞＋１なら、∞＝｛∞｝となり、基礎の公理と矛盾します。
>そこ違うよ。下記拡大実数では、”a + ∞=+ ∞”成立ですよ
追加
∞＝∞＋１ から、両辺に - ∞ を施して
∞ - ∞＝∞＋１ - ∞ で、0=＋１も導けない
∵”∞ - ∞”は、一般に不定形とされるから（下記）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数
算術演算
所謂不定形の式（英語版） ∞ - ∞, 0 × (±∞), ±∞?±∞ などはやはり意味を成さない（英語版）とするのが普通である。
これらの規約は函数の無限大に関する極限についての法則をモデル化するものになっているが、
確率論および測度論ではさらに、"0 × (±∞) = 0" を規約に追加することが多い（確定した 0 を掛けた 0 × (有限) の形の式の極限としての意味を持つことが多いため[2]）。
また、数式 1/0 は +∞ とも -∞ とも定めることができない。これは連続函数 f(x) が f(x) → 0 を満たすとすると、これは逆数函数 1/f(x) が集合 -∞, +∞ の任意の近傍に殆ど含まれる (eventually contained in) ことは意味するけれども、必ずしも 1/f(x) が -∞ か +∞ の何れか一方に収斂することを意味しないことによる（それでも、その絶対値 |1/f(x)| は +∞ へ近づく）。何となれば f(x) = 1/(sin(1/x)) を考えるとよい。
https://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form
Indeterminate form
There are seven indeterminate forms which are typically considered in the literature:[2]
0/0,∞/∞ ,0ｘ∞ ,∞-∞ ,0^0,1^∞ ,and ∞^0. >>449
はいはい
>>396に答えてから吠えてねー >>451
実数論で落ちこぼれた君が拡大実数なんて持ち出しても
まず実数論を履修しては？ >>451 補足
>>もし∞＝∞＋１なら、∞＝｛∞｝となり、基礎の公理と矛盾します。
>そこ違うよ。下記拡大実数では、”a + ∞=+ ∞”成立ですよ
1．集合の順序数の演算と集合の基数（濃度）の演算とは、異なる（例えば、1 + ω = ω ≠ ω + 1 など。下記ね）
2．順序数の演算では、和および積とも、”一般には可換でない”！（下記）
3．基数（濃度）は、集合 A と同数であるような順序数の中で最小のものを A の濃度（cardinality of A）と定義し、|A| あるいは card(A) で表す（下記）
冒頭の拡大実数で、”a + ∞=+ ∞”成立は、基数（濃度）ベースの演算です
何にも分かってないね、おサルたちは（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
目次
6 順序数の演算
6.1 和
6.2 積
6.3 冪
7 集合の濃度と基数
順序数の演算
順序数の間には自然数の場合と同じく和、積、冪が定義できる。特に有限順序数の間の演算は通常のそれと一致する。
和
8.順序数の和は一般には可換でない。例えば、1 + ω = ω ≠ ω + 1 である。
積
9.順序数の積は一般には可換でない。例えば、2 ・ ω = ω ≠ ω ・ 2 である。
集合の濃度と基数
詳細は「濃度 (数学)」を参照
集合 A から集合 B への全単射が存在するとき、A と B は同数（equinumerous）であるといい、A ? B で表す。 選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える。そこで、集合 A と同数であるような順序数の中で最小のものを A の濃度（cardinality of A）といい、これを |A| あるいは card(A) で表す。ある集合 A に対して α = |A| である順序数 α を基数（cardinal number）と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ：
1．|A| = |B| ⇔ A ～ B 。
2．A が有限集合のとき、|A| は A の要素の個数に等しい。
基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる。
(引用終り)
以上 >>454
>>454 追加
(引用開始)
>>もし∞＝∞＋１なら、∞＝｛∞｝となり、基礎の公理と矛盾します。
>そこ違うよ。下記拡大実数では、”a + ∞=+ ∞”成立ですよ
1．集合の順序数の演算と集合の基数（濃度）の演算とは、異なる（例えば、1 + ω = ω ≠ ω + 1 など。下記ね）
冒頭の拡大実数で、”a + ∞=+ ∞”成立は、基数（濃度）ベースの演算です
(引用終り)
確かに、現代の大学の標準的な教程では、順序数は扱わないだろう
後の解析などでは使わないから
一方、基数（濃度）の演算は、拡大実数などで普通でしょうね
旧ガロアすれで、議論して、教えてやったのに、何にも理解していないね
（まあ、かくいう私も、実は旧ガロアすれで、だれか（名無しさん）から、順序数を調べろと言われて、勉強しましたがｗ（＾＾； ） >>428
>一階述語論理ではこれら（「有限集合であること」や、「可算集合であること」）を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる。
”レーヴェンハイム-スコーレム”補足参考（これ分かりやすいよ（＾＾ ）
http://www.cs-study.com/koga/set/lowenheimSkolem.html
形式的論理体系の定義から
レーベンハイム・スコーレムの定理までの大急ぎのまとめ
(Rapid Summary from Syntax of Logic to Lowenheim-Skolem Theorem)
by Akihiko Koga
27th Mar. 2020 (Update)
13th July 2018 (First)
レーベンハイム・スコーレムの定理（レーベンハイム発表 1915年，スコーレムによる厳密な証明 1920年）は，一階の記号論理体系（一階述語論理）の「モデル（その体系の公理系を 満たす数学的な実例）」のサイズに関する定理である．
レーベンハイム・スコーレムの定理は，このときの記号を解釈するための「実体の集合 M」の 大きさに関する命題である．より詳しく言うと， 記号論理の体系がモデルを持つと 分かったとき，そのモデルを非常に巨大な大きさにしたり，またはその逆に， 非常に小さくしたりできると いう定理である．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/Lowenheim00.png
上でも述べたように，記号論理のある公理の集合Ａがモデルを持つ，つまり，その公理集合を満たす数学的な実例が あるということは，その公理集合が無矛盾であるとみなせることを意味する．
レーベンハイム・スコーレムの定理でモデルを 小さくするときは，自然数の集合のサイズ（可算無限 ?0）まで小さくできる．
我々は，自然数の集合サイズの集合については 直観もけっこう働くし，また，ノウハウも 溜まっている．したがって， ある公理系Ａにモデルがあるときは レーベンハイム・スコーレムの定理で 自然数の集合レベルのサイズのモデルまで 小さくして，扱いやすくして， 加工することで別の公理系Ａ’のモデルを 作るということができる．
つづく >>456
つづき
上で非常に簡単に述べたように，この定理を説明しようと思うと，一階の記号論理の体系（の Syntax）とモデルの説明をしなければならない．ここでは，次の３つ
・一階の記号論理の体系（一階述語論理ともいう）
・記号論理のモデル
・レーベンハイム・スコーレムの定理
を大急ぎで，分かった気になり，かつ，その後の連続体仮説の説明で使える程度には 正確に説明するのが目的である．
記号論理とモデルの説明（概要編）
もともと，これは，１９世紀の終わりから２０世紀の初めにかけて，集合論が 現れ，カントールのパラドックス，ラッセルのパラドックスなど数々のパラドックスが 発見され，人々が自分たちのロジックに疑いを持ち始めたことから始まる． つまり，それらのパラドックスが集合論のせいなのか，もしかしたら， そもそも我々の数学的推論自身に欠陥があるものなのか自信がなくなってきた のである．
ということで，記号論理学のそのころの目的の一つとして，数学で我々が行っている 数学的推論をきちんと書き出し，それが正しいことを証明することだった．
その枠組みが次の図（冒頭の Syntax & Semantics の絵をもう少し詳細に書いたもの）のようなものである．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/Lowenheim01.png
つづく >>457
つづき
もともと，これは，１９世紀の終わりから２０世紀の初めにかけて，集合論が 現れ，カントールのパラドックス，ラッセルのパラドックスなど数々のパラドックスが 発見され，人々が自分たちのロジックに疑いを持ち始めたことから始まる． つまり，それらのパラドックスが集合論のせいなのか，もしかしたら， そもそも我々の数学的推論自身に欠陥があるものなのか自信がなくなってきた のである．
ということで，記号論理学のそのころの目的の一つとして，数学で我々が行っている 数学的推論をきちんと書き出し，それが正しいことを証明することだった．
その枠組みが次の図（冒頭の Syntax & Semantics の絵をもう少し詳細に書いたもの）のようなものである．
連続体仮説およびその否定の ZFC 集合論からの独立性証明は，それぞれが 成り立つ/成り立たないような ZFC 集合論のモデルを作ることによってなされる．
都合のよい単射を加えて， 連続体仮説が成立する/しないモデルを作ればよい．もちろん，そうして作ったモデルが 実際に ZFC の公理系を満たすことを確認しなければならない．ここらあたりの保証が フォーシング（forcing）と呼ばれる技法である．
つづく >>458
つづき
レーベンハイム・スコーレムの定理の証明
（補足）
（ダウンワード）レーベンハイム・スコーレムの定理成立の本質
当然のことながら証明は厳密にしなければならないのだが，レーベンハイム・スコーレムの 定理が成り立つ本質的な理由は，
有限，あるいは可算無限個の関数記号や述語記号から 作り出すことができる要素の総体は可算無限個である
ことによる．これは上の証明の中の Termσ/～Σ を 考えればわかる．
ちなみに我々の自然言語も有限のアルファベットあるいはかななどからなるので， それらの言葉で直接指し示すことができる数学的概念も，高々可算無限個である． 我々が直接言葉で表すことができるものは結構少ないのだ． 2019.01.17 (木)
二階述語論理などの関連事項
レーベンハイム・スコーレムの定理は一階述語論理で成立する定理である．二階以上では 成立しない（らしい）．二階述語論理とは，関数や述語に限量子（∀, ∃）を 使うことができる記号論理である．一階述語論理では対象の要素に対してだけ限量子を 使うことが許されている．
一階述語論理でレーベンハイム・スコーレムの定理が成立するということは，一階述語論理では 無限集合の実際の大きさを論理式で限定できないことを意味する．
(引用終り)
以上 >>443 補足
1） 0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω ：カントールの順序数(>>434など)
↓↑ 全単射（モストウスキーの崩壊補題>>414 ＊））
2） 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ：ノイマンの基数割当＊＊）（>>376など）
↓↑ 全単射 （自明（＾＾ ）
3） 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ：ツェルメロのシングルトン順序数（>>432 >>434など）
注＊）「クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる」>>414
＊＊）ノイマン構成では、ここまでは、基数と順序数が一致する
補足の補足
・”0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω”が、基礎の公理（正則性公理）に反するだと？ バカか！！ｗ
バカも休み休み言え！ｗｗ（＾＾
・”0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω”（ノイマン）が成り立てば、当然上記ツェルメロでも同様に成立するぜよｗｗｗ（＾＾；
以上 >>460
>・”0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω”が、基礎の公理（正則性公理）に反するだと？ バカか！！ｗ
それ有限列だよｗ ωの元は自然数ですからｗ 基礎の公理？別に反さないよ？ｗ
> バカも休み休み言え！ｗｗ（＾＾
バカはそんなことも分からない君ｗ
>・”0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω”（ノイマン）が成り立てば、当然上記ツェルメロでも同様に成立するぜよｗｗｗ（＾＾；
後者関数を suc(a)=a∪{a} と定義したら 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω は有限列。上記の通り。
後者関数を suc(a)={a} と定義したらωは構成できないよ。必然 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω なる列も無い。
バカはそんなことも分からない君ｗ >>460
なんでキミは
>それ有限列だよｗ ωの元は自然数ですからｗ
が分からないの？
ωは自然数全体の集合 Y/N
ωの元はどれも自然数 Y/N
0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω の ∈ω の左には自然数しか来ようがない Y/N
∈ω の左がどんな自然数だろうと、0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω の長さは有限 Y/N
こんな簡単なことのいったいどこが分からないの？どこに脳みそ落としてきたの？早く拾いに行きなさい >>353
関連追加メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Alternative_set_theory
Alternative set theory
In a general sense, an alternative set theory is any of the alternative mathematical approaches to the concept of set and any alternative to the de facto standard set theory described in axiomatic set theory by the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory. More specifically, Alternative Set Theory (or AST) may refer to a particular set theory developed in the 1970s and 1980s by Petr Vop?nka and his students.
Vop?nka's Alternative Set Theory
Vop?nka's Alternative Set Theory builds on some ideas of the theory of semisets, but also introduces more radical changes: for example, all sets are "formally" finite, which means that sets in AST satisfy the law of mathematical induction for set-formulas (more precisely: the part of AST that consists of axioms related to sets only is equivalent to the Zermelo?Fraenkel (or ZF) set theory, in which the axiom of infinity is replaced by its negation). However, some of these sets contain subclasses that are not sets, which makes them different from Cantor (ZF) finite sets and they are called infinite in AST.
Other alternative set theories
Other alternative set theories include:[1]
・Von Neumann?Bernays?Godel set theory
・Morse?Kelley set theory
・Tarski?Grothendieck set theory
・Ackermann set theory
・Type theory
・New Foundations
・Positive set theory
・Internal set theory
・Naive set theory
・S (set theory)
・Kripke?Platek set theory
・Scott?Potter set theory
・Constructive set theory
See also
・Non-well-founded set theory
・List of first-order theories § Set theories >>460
>1） 0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω ：カントールの順序数(434など)
> ↓↑ 全単射（モストウスキーの崩壊補題414 ＊））
>2） 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ：ノイマンの基数割当＊＊）（376など）
> ↓↑ 全単射 （自明（＾＾ ）
>3） 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ：ツェルメロのシングルトン順序数（432、434など）
肝心の式が全部間違ってるので無意味ｗ
正しい式は以下の通り （nは任意の自然数）
1） 0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜ω ：カントールの順序数
↓↑ 全単射
2） 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈ω ：ノイマンの順序数 *)
↓↑ 全単射
3） 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈ω ：ツェルメロの順序数 **)
*) s(x)=x∪{x}だけでは、ωが定義できない（これ豆なｗ）
ωは、{}∈ω かつ x∈ωならばx∪{x}∈ωを満たす最小の集合
**) s(x)={x}だけでは、ωが定義できない（これまた豆なｗ）
ωは、{}∈ω かつ x∈ωならば{x}∈ωを満たす最小の集合
（したがってωは決してシングルトンたりえず、無限集合となる！！！）
>”0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω”（ノイマン）が成り立てば
上記は式が間違ってるので成り立たないｗ
”0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈ω”なら、成り立つ
しかしそれは、成り立つようにわざわざωを”別に”定義しているから
（”別に”定義していることが分からないパクチー雑談君は論外）
>当然上記ツェルメロでも同様に成立するぜよ
雑談君が書き間違った式を正しく直せば成り立つ
しかしそれは、成り立つようにわざわざωを”別に”定義した場合
（”別に”定義していることが分からないパクチー雑談君は論外）
ツェルメロのωはシングルトンにならない
”後続順序数がシングルトンだから極限順序数もシングルトン”
とか何の根拠もなくわめくパクチー雑談君は、即刻数学やめて数学板から失せろ >>461
>後者関数を suc(a)=a∪{a} と定義したら
>0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω は有限列。
これ、ダメね
まず、後者関数を定義しただけでは、ωは定義できない
そして、そもそも、
式0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ωは無意味
式0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈ω としなければならない
そこがちっとも理解できない雑談君は、集合論の初歩すらわからんパクチー
>後者関数を suc(a)={a} と定義したらωは構成できないよ。
そもそも後者関数をどう定義しようと、それだけではωは構成できない。
そして 後者関数sucをどう定義しようと、
”ωは、{}∈ω かつ x∈ωならばsuc(x)∈ωを満たす最小の集合”
と定義すれば、実に簡単に構成できる。
>必然 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω なる列も無い。
そもそも
式0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω が無意味なので
式0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈ωとせねばならない
そこに気づきさえすれば、後者関数sucの定義によらず、ωの構成法を
”{}∈ω かつ x∈ωならばsuc(x)∈ωを満たす最小の集合”
と一般化できる >>465
>”ωは、{}∈ω かつ x∈ωならばsuc(x)∈ωを満たす最小の集合”
実はωを”自然数の無限集合”とすれば、
ωから任意の自然数ｎに至る有限長の∈降下列
が必ず構成できる
逆にωが自然数の有限集合の場合には、
ωから∈降下列で到達できない自然数ｎ
が存在してしまうのでダメ
（つまり、シングルトンではＮＧ） >>465
>式0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ωは無意味
>式0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈ω としなければならない
「0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω は有限列」と言ってるんだから
0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈ω と同じ意味な？ｗ 分る？ｗ >後者関数を suc(a)=a∪{a} と定義したら 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω は有限列。上記の通り。
>後者関数を suc(a)={a} と定義したらωは構成できないよ。必然 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω なる列も無い。
は勘違いだった。取り消す。 今日は電車の中で急な腹痛に襲われた
1駅前で降りトイレへダッシュ
幸運にも大スペースは空いていた
速攻でベルトを緩めギリ放流間に合う
5秒遅ければ確実に決壊の憂き目 メモ
小野 寛晰氏 数理論理学（1）～(4)（特に(3)が良い）
及び、非標準理論とその応用：非標準論理の現状とその展望
が、ちょっと古いが分かりやすく
面白いね（＾＾
https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/index.php?action=pages_view_main&;active_action=repository_view_main_item_snippet&pn=1&count=20&order=16&lang=japanese&creator=ono+hiroakira&page_id=13&block_id=8
情報処理学会
https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&;item_id=6839
数理論理学（4）
小野 寛晰
Ono Hiroakira
情報処理,20(12), (1979-12-15)
pdf
https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&;item_id=6853
数理論理学（3）
小野 寛晰
Ono Hiroakira
情報処理,20(11), (1979-11-15)
pdf
https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&;item_id=6883
数理論理学（2）
小野 寛晰
Ono Hiroakira
情報処理,20(9), (1979-09-15)
pdf
https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&;item_id=6898
数理論理学（1）
小野 寛晰
Ono Hiroakira
情報処理,20(8), (1979-08-15)
pdf
https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&;item_id=5047
非標準理論とその応用：非標準論理の現状とその展望
小野 寛晰
Ono Hiroakira
情報処理,30(6), (1989-06-15)
pdf >>464
>*) s(x)=x∪{x}だけでは、ωが定義できない（これ豆なｗ）
> ωは、{}∈ω かつ x∈ωならばx∪{x}∈ωを満たす最小の集合
>>”0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω”（ノイマン）が成り立てば
>上記は式が間違ってるので成り立たないｗ
あらら、わざと”（モストウスキーの崩壊補題>>414 ＊））”（>>460）
と
”注＊）「クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる」>>414”（>>460）
とを消す改ざん引用を、したのか？（＾＾；
おぬし、分かっているじゃんｗ（＾＾
そもそも、>>460の冒頭
”1） 0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω ：カントールの順序数(>>434など)”（>>460）
では、無限公理はないよ！ カントールの時代は
でも、自然数の集合Ｎとか、普通に考えられたよ
それ以前のリーマン、コーシー、ガウス、オイラーたちも
なぜか？ それは、一階述語論理に縛られないからだよ
ＺＦＣは、一階述語論理の縛りがあるから、無限公理を必要とするよ
詳しくは、下記>>470の小野 寛晰 冒頭 「2.1 Peanoの自然数論」を嫁めｗ
https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&;item_id=6883
数理論理学（2）
小野 寛晰
以上 スレ主よ、サル石に
0.17458910427754693…の極限値は何か、と質問してやったら
0.17458910427754693…だと答えた（笑
まったくどうしようもないドアホである（笑 >>470 集合論の基礎も分かってない雑談君は読んでも無駄
>>471 モストフスキ？関係ないよ 素人の君にはｗ
>そもそも、
>”1） 0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω ：カントールの順序数”
>では、無限公理はないよ！
そもそも、無限公理ガーとかいう以前に
”0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω”は
”＜ω”の左を”・・”で誤魔化してる時点で無意味だよ
”n＜ω”とはっきり＜の左側の項を書かないから
雑談君はパクチー🐎🦌野郎から抜け出せないんだよｗｗｗ
>でも、自然数の集合Ｎとか、普通に考えられたよ
>それ以前のリーマン、コーシー、ガウス、オイラーたちも
>なぜか？ それは、一階述語論理に縛られないからだよ
>ＺＦＣは、一階述語論理の縛りがあるから、無限公理を必要とするよ
なんか、あいかわらずトンチンカンなこといってるね
二階論理があれば、何の公理もなく無限集合が存在するとか
🐎🦌丸出しなウソいってる？脳ミソないの？パクチー？
雑談君に大学数学は到底無理だから諦めて数学板から立ち去ってね
数学がわからない工学🐎🦌のブルーカラー労働者でも
この世では問題なく生きていけるから！！！
安心して数学忘れて生きていってね！！！ >>472
> 0.17458910427754693…の極限値は何か、と質問してやったら
> 0.17458910427754693…だと答えた（笑
>まったくどうしようもないドアホである（笑
哀れな素人さん、どうも
スレ主です
全く同意です。アホです
>>473で、おサル
「そもそも、無限公理ガーとかいう以前に
”0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω”は
”＜ω”の左を”・・”で誤魔化してる時点で無意味だよ
”n＜ω”とはっきり＜の左側の項を書かないから
雑談君はパクチー歷野郎から抜け出せないんだよｗｗｗ」
と書いたけど、ブーメラン
自分が該当している、アホなさるでしたとさｗ（＾＾
支離滅裂、言っていることが意味不明のおサルさんでした >>471
>無限公理はないよ！ カントールの時代は
>でも、自然数の集合Ｎとか、普通に考えられたよ
>それ以前のリーマン、コーシー、ガウス、オイラーたちも
考えるだけなら古代ギリシャ時代、おそらくもっと昔から考えられていただろうｗ
公理的集合論が整備される前は、{0,1,2,…} なる集合が存在すると素朴に考えられていただけのこと。
しかしそれだけだと数学的帰納法に数学的根拠が無い。
根拠を持たせるにはペアノシステムとしての {0,1,2,…} の定義が必要。
その定義をwell-definedたらしめるには無限公理が必要。
バカはなーんにも分かってないｗ >>473
>二階論理があれば、何の公理もなく無限集合が存在するとか
>歷丸出しなウソいってる？脳ミソないの？パクチー？
どうも
スレ主です（＾＾
おぬし分かって書いているじゃんｗ
「何の公理もなく」なんてボカシつつもｗ（＾＾；
>>471の小野 寛晰氏（下記）の冒頭、Peano公理のA7で、一階述語論理と二階述語論理と
この二つについて説明している通りじゃんかｗ
二階述語論理を使えば、
自然数の集合Nが定義できると、説明されている通りですよ（＾＾；
（参考）
（>>471より）
https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&;item_id=6883
数理論理学（2）
小野 寛晰 >>474
ωの直前の項が定まっていることは、”0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω” が<に関する列であるための必要条件。
そしてωの直前の項は自然数。なぜならωの元はどれも自然数だから。
よって ”0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω” は有限列。
これのどこが支離滅裂？ キミが阿呆で理解できないだけのことでしょｗ >>477
あ、間違えたｗ
∈に関する列なら>>477の通り。
<に関する列ならこう修正すればOK。
「なぜならωの元はどれも自然数だから。」
を
「なぜなら最小の極限順序数ωより小さい順序数はどれも自然数だから。」
に修正。 >>474
>> 0.17458910427754693…の極限値は何か、と質問してやったら
>> 0.17458910427754693…だと答えた（笑
>>まったくどうしようもないドアホである（笑
>哀れな素人さん、どうも
>スレ主です
>全く同意です。アホです
え？？？
全く同意ってことは、キミも
>0.17458910427754693…の極限
なるものが存在すると考えてるってこと？
じゃあ定義を示して？ >>473
>ブーメラン
>自分が該当している
ウソはいけないな
＜であろうが∈であろうが、左右の元が必要
左を･･･で誤魔化して、不可欠なｎを書かないから
いつまでも無限を誤解して🐎🦌な初歩的誤りを犯し続ける
なんかさ、０とωの間に「すべての自然数」を書かなければならない
という「間違った」正義に固執してる？
そこまでいくと、もう🐎🦌というより●違いだな
なんで君いつもいつも発●するの
幻聴が聞こえるの？ 統合失調症なの？ だったらクスリのみな
数学？そんなのとてもじゃないけど、無理だよ ムリ
もう笑いごとじゃないよ 雑談君の初歩的誤りの連鎖は 雑談君以外は、みんなわかってると思うけど
0,1,2,…ω とか 点の列を描くのと、
0<1<2<･･･n<ω とか 0∈1∈2∈･･･n∈ω と書くのは
全然違うよ
前者の場合、たとえば”,”というのは、ただの区切りにすぎない
後者の場合、＜とか∈とかいうのは、述語を表す中置演算子
だから、左右に必ず項を記載しなければ意味がない
＜や∈が前置演算子だったらこうなる
任意の自然数ｎについて
＜(0,1) ∧ ＜(1,2) ∧ ＜(2,3) ∧･･･∧ ＜(n-1,n) ∧ ＜(n,ω）
∈(0,1) ∧ ∈(1,2) ∧ ∈(2,3) ∧･･･∧ ∈(n-1,1) ∧ ∈(n,ω）
つまり
１．点列とは異なり、式の中に全ての自然数を書き表す必要はなく、
有限個の自然数があればいい
２．一方、任意の自然数ｎについて、同様の式が成立する必要がある
この２点がポイント
雑談君は、点列と、＜もしくは∈の列の、厳然たる違いを全く理解せず
「どっちも列だろ？全ての要素をら列することこそ必要！
間が，でも＜でも∈でも、”文字”が違うだけで 大した違いはない！」
と実に🐎🦌というか●違いというか、独善的かつ初歩的な誤りを犯す
だから大学１年の４月の微分積分学の実数の定義も
全くその意義が理解できず見事に落ちこぼれた
独善的なジコチュウ万年３歳児は人間としての理性が全くない 「集合xに無限下降列が存在してもxは正則性公理に反しない」
を正当化しようとして初歩的誤りを重ね続ける瀬田くん。
なぜ間違いを認められない幼稚な性格なのか？
私なんてあっさり認めたぞ？ｗ>>468
数学Dr. Prussだって認めたぞ？ｗ
What we have then is this: For each fixed opponent strategy, if i is chosen uniformly independently of that strategy (where the "independently" here
isn't in the probabilistic sense), we win with probability at least (n-1)/n. That's right. >>476
>二階述語論理を使えば、自然数の集合Nが定義できる
雑談君は、小野氏の記事を全く理解できてない
一階述語論理では、自然数全体が一意的に定義できない
（つまり、かならず非標準的なモデルが存在する）
また、数学的帰納法が一つの公理では定義できず、
公理図式の形で、無限個の公理を設定せざるを得ない
一方、二階述語論理では、自然数全体を一意的に定義できる
（つまり、標準的なモデルしか存在しない）
また、数学的帰納法が一つの公理で定義できる
しかし、一階述語論理では完全性が成立する
つまり任意のモデルで真な命題は、証明できるのに対して
二階述語論理では完全性が成立しない
つまり任意のモデルで真となる命題の全てを証明できる演繹体系は存在しない
要するに二階述語論理による自然数論の一意性という「長所」は
絵にかいた餅であって、実際には実現できないという「短所」として
跳ね返ってくるので意味がない
数学者としては公理として設定した前提を満たす命題は
全て証明できるという完全性を優先させたい
そうでなければ意味がないから
しかし論理で考えない素人はその意義が全く理解できず
絵にかいたきれいごとに固執する
だからいつまでたっても数学がちっともわからない！（ビシッ） ＞0.17458910427754693…の極限値は何か
「哀れな老人」安達弘志氏は、「極限値」という言葉で
何等かの有限表現を求めているらしい
もし、上記の無限小数を定義する数式があれば
それが安達弘志氏のいう「極限値」になる
一方で、もし彼が単に思いついた有限個の数字を並べ
その後ろに･･･と書いただけなら、そもそもそれは
ただの「有限数列」であって、無限数列ではないことになるから
収束もへったくれもなく、極限値とかいう意味もない
安達弘志氏にしても市川秀志氏にしても
”･･･”を不定性としか解釈しないから誤る
πの場合、その定義式で、小数点以下のいかなる桁の値も決まる
ただ全てを書き表せないから･･･と書いてるだけで不定なわけではない
ここを誤解したら雑談君同様の🐎🦌になる
それにしても文系も工学部も医学部もなんで数学が理解できんのだろうか？
彼らは数学の初歩も理解できんくせに数学科の連中を「変人部落」と🐎🦌にするが
論理を理解せずに幼稚な誤りを犯す人間失格の畜生どもが何を言おうが無意味ｗｗｗ >>474
> 0.17458910427754693…の極限値は何か、と質問してやったら
> 0.17458910427754693…だと答えた（笑
>まったくどうしようもないドアホである（笑
0.17458910427754693…
↓
a=0.17458 91042 77546 93 + a1/10^(17+1)+a2/10^(17+2)+a3/10^(17+3)+…+an/10^(17+n)+… （anは、0～9までの整数）
と書き直して
0.17458910427754693が、小数17位の数で、そのあとに小数18位以下の数が続く無限小数とする
但し、有限桁で終わっても良い。そのときは、ある小数m位以下0が続くと考える
このとき、無限小数は、下記の”単調増加で上に有界”な数列と考えることができ
（下記井上 尚夫さん回答および”単調収束定理”などご参照）
aは、0.17458910427754693≦ a ≦0.17458910427754694 であるから
区間 [0.17458910427754693, 0.17458910427754694] の範囲の数に収束する
よって、0.17458910427754693…の極限値は、区間 [0.17458910427754693, 0.17458910427754694] の範囲の一つの数！！
（参考）
https://jp.quora.com/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A5%B5%E9%99%90%E3%81%AF%E5%85%A8%E3%81%A6%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E3%81%97%E3%81%BE%E3%81%99%E3%81%8B
quora
循環小数の極限は全て収束しますか？
井上 尚夫さん
井上 尚夫, 数学回答コレクションというスペースを始めました。
回答日時: 2021年1月18日
循環するかしないかにかかわらず、無限小数は全て収束します。第 n 位で切り捨てた小数を an とすればその数列は単調増加で上に有界になるからです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E8%AA%BF%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%AE%9A%E7%90%86
単調収束定理
単調実数列の収束
定理
{a_n} が単調実数列（すなわち an ≦ an+1 が成立する）であるとき、この数列が有限な極限を持つための必要十分条件は、それが有界数列であることである[1]。
(引用終り)
以上 >>482
私は、名前の議論はしない。だれか、他人の第三者に迷惑をかけるとも限らないからね
それはさておき、”数学Dr. Prussだって認めたぞ？
What we have then is this: For each fixed opponent strategy, if i is chosen uniformly independently of that strategy (where the "independently" here
isn't in the probabilistic sense), we win with probability at least (n-1)/n. That's right.”
は違うよ
その話は、スレチだが下記な
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/52-56
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
mathoverflow
Probabilities in a riddle involving axiom of choice asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
＜回答12の質疑応答＞
What we have then is this: For each fixed opponent strategy, if i is chosen uniformly independently of that strategy (where the "independently" here isn't in the probabilistic sense), we win with probability at least (n-1)/n. That's right. But now the question is whether we can translate this to a statement without the conditional "For each fixed opponent strategy". ? Alexander Pruss Dec 19 '13 at 15:05
まず
>That's right. But now the question
典型的な「イエスバット法」（下記）でしょ
会話の基本テクニック
ある程度相手の言い分を認めつつ、自分の主張を展開するのです
”But”以下に力点がありますよ
つづく >>486
つづき
さらに、”if i is chosen uniformly independently”とあるところにご注目
これ、https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Pruss氏の12回答本文の
”Let's go back to the riddle. Suppose u^→ is chosen randomly. The most natural option is that it is a nontrivial i.i.d. sequence (uk), independent of the random index i which is uniformly distributed over [100]={0,...,99}. In general, Mj will be nonmeasurable (one can prove this in at least some cases). We likewise have no reason to think that M is measurable. But without measurability, we can't make sense of talk of the probability that the guess will be correct.”
を再度強調している部分ですよ
”uniformly”の部分は、明らかに ”independent of the random index i which is uniformly distributed over [100]={0,...,99}”のところを、短く言い直しています
そして、本文にあるように、もし、” M is measurable”なら、問題の戦略は正しいが、
実際は”But without measurability, we can't make sense of talk of the probability that the guess will be correct.”ってことです
問題の”riddle”は、一見は、一様分布 {0,...,99}とか{0,...,n}に見えるけれども、実際はそうではない。だから”riddle”（ナゾナゾ）ってことです
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_distribution
Uniform distribution
Uniform distribution may refer to:
Continuous uniform distribution
Discrete uniform distribution
つづく >>487
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_uniform_distribution
In probability theory and statistics, the discrete uniform distribution is a symmetric probability distribution wherein a finite number of values are equally likely to be observed; every one of n values has equal probability 1/n. Another way of saying "discrete uniform distribution" would be "a known, finite number of outcomes equally likely to happen".
A simple example of the discrete uniform distribution is throwing a fair die. The possible values are 1, 2, 3, 4, 5, 6, and each time the die is thrown the probability of a given score is 1/6. If two dice are thrown and their values added, the resulting distribution is no longer uniform because not all sums have equal probability.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Uniform_discrete_pmf_svg.svg/488px-Uniform_discrete_pmf_svg.svg.png
discrete uniform
Probability mass function
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%A7%98%E5%88%86%E5%B8%83
一様分布（いちようぶんぷ）は、離散型あるいは連続型の確率分布である。 サイコロを振ったときの、それぞれの目の出る確率など、すべての事象の起こる確率が等しい現象のモデルである。
(引用終り)
以上 >>486-488
そもそも、決定番号が∞にならないことは理解できたかい？ 雑談君ｗ そもそもR^Nに最後の箱がないことは理解できたかい
いいかい？￢(∞∈N）だよ？ NとＮ∪{∞}は違うよ
自分勝手に拡大自然数！一点コンパクト！！とか発●したらダメだよ！！！
だから、雑談君は一点コンパクト🐎🦌っていわれるんだよｗｗｗｗｗｗｗ
ｎが２以上のとき、射影空間Ｐ＿ｎはコンパクトであるが、
Ｒ＾ｎの一点コンパクト化（つまりｎ次元球面Ｓ＿ｎ）とは異なる
ってことは分かってるかな？ >>460 追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%9B%86%E5%90%88
稠密集合
数学の位相空間論周辺分野において、位相空間 X の部分集合 A が X において稠密（ちゅうみつ、英: dense）であるとは、X の各点 x が、A の元であるか、さもなくば A の集積点であるときにいう[1]。イメージで言えば、X の各点が A の中か、さもなくば A の元の「どれほどでも近く」にあるということを表している。例えば、有理数は実数の稠密集合である。なぜなら任意の実数は、有理数であるか、さもなくばどれほどでも近い有理数をとることができるからである（ディオファントス近似も参照）。
目次
1 厳密な定義
2 距離空間における稠密性
3 例
4 性質
5 関連概念
関連概念
位相空間 X の部分集合 A の点 x が、X における A の極限点（limit point）であるとは、x の任意の近傍が x 以外に少なくとも一つ A の元を含むときにいう[3]。さもなくば、x を A の孤立点（isolated point）という[4]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理数
基本性質
Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、二つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも一つ（従って無数の）有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに最大元も最小元も持たないならば、必ず Q と順序同型である。
位相的性質
有理数の全体 Q は内在的には、通常の大小関係の定める順序に関して順序位相と呼ばれる位相を持ち、外因的には実数直線 R の（つまり、一次元ユークリッド空間 R1としての）距離位相から定まる部分空間としての位相を持つが、実はこれらの位相は一致する。
有理数の全体 Q は実数全体の成す集合 R の中で稠密である。これは、どのような実数に対しても、そのいくらでも近くに有理数が存在するということを意味する。
つづく >>491
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ゼノンのパラドックス
アキレスと亀
「走ることの最も遅いものですら最も速いものによって決して追い着かれないであろう。追うものは、追い着く以前に、逃げるものが走りはじめた点に着かなければならず、したがって、より遅いものは常にいくらかずつ先んじていなければならないからである、という議論である」[8]。
あるところにアキレスと亀がいて、2人は徒競走をすることとなった。しかしアキレスの方が足が速いのは明らか[10]なので亀がハンディキャップをもらって、いくらか進んだ地点（地点Aとする）からスタートすることとなった。
スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。
(引用終り)
さて、前振りはこの程度にして
下記の初等的な例ｙ＝1/xを使う
1 ,2 ,・・ , n,・・→∞
↓↑ｙ＝1/x 全単射
1/1,1/2,・・ ,1/n,・・→0
（要するに、グラフ ｙ＝1/x が、数1を境いにして、n←→1/nという対応関係を作るってことです）
さて、亀が、上記の下段の列で1＝1/1の点を出発して、点0に到達しました
この間に通過した ”1/1,1/2,・・ ,1/n,・・→0”の点の数は有限ではありえません！
当然、加算無限個の点を通過しました
一方、アキレスは走って、”1 ,2 ,・・ , n,・・→∞”を通り抜けました
同様に、通過した点の数は、有限ではありえません。当然、加算無限個の点を通過しました
これを逆にたどることも可能です
亀は、点0から点1に至り、加算無限個の点を通過しました
アキレスも同様に、”1 ,2 ,・・ , n,・・→∞”を逆に通り抜け、加算無限個の点を通過しました
つまり、”1/1,1/2,・・ ,1/n,・・→0”では、0が集積点
同様に、”1 ,2 ,・・ , n,・・→∞”では、0が集積点です（なお、いまは∞＝ωです）
つづく >>492
つづき
再度(>>460より)
1） 0＜1＜2＜3・・＜n-1＜n＜・・＜ω ：カントールの順序数(>>434など)
↓↑ 全単射（モストウスキーの崩壊補題>>414 ＊））
2） 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ：ノイマンの基数割当＊＊）（>>376など）
↓↑ 全単射 （自明（＾＾ ）
3） 0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ：ツェルメロのシングルトン順序数（>>432 >>434など）
上記の1）～3）の各列が、
有限長であると考える必要が全くないのは、
すでに亀とアキレスが認識しているとおりですｗ（＾＾；
以上 >>492 訂正すまん
同様に、”1 ,2 ,・・ , n,・・→∞”では、0が集積点です（なお、いまは∞＝ωです）
↓
同様に、”1 ,2 ,・・ , n,・・→∞”では、∞が集積点です（なお、いまは∞＝ωです）
分かると思うが（＾＾； >>493
雑談君は、正真正銘の🐎🦌だねえ
アキレスと亀で考えたらダメなんだよ
＜も、∈も、その左右に項を書くことで初めて意味を持つ
･･･＜ωとか、･･･∈ωとかいう誤魔化しをやったら、トンデモ数学になるよｗ
アルキメデスの性質って知ってるかな？
いかなる実数ε＞０も、それぞれ、ｎε＞１となる自然数ｎが存在する
上記の性質を使えば、１より小さいどんなｒも
ｒ＜0.9･･･9<1
となる有限小数0.9･･･9が存在する
つまり
0<0.9<0.99<･･･<ｒ<1
は、必ず有限列になるんだな
で、雑談君の主張は、
「0.999･･･（小数点以下、全ての桁に9が並ぶ）は１より小さいっ！」
という哀れな老人安達弘志クンそっくりの🐎🦌発言なんだなｗ
雑談君は大学１年の４月の実数論の定義で落ちこぼれた理由がわかったよ
アルキメデスの性質を真っ向から否定する🐎🦌じゃあねえｗｗｗｗｗｗｗ >>476 追加
(引用開始)
>>471の小野 寛晰氏（下記）の冒頭、Peano公理のA7で、一階述語論理と二階述語論理と
この二つについて説明している通りじゃんかｗ
二階述語論理を使えば、
自然数の集合Nが定義できると、説明されている通りですよ（＾＾；
（参考）
（>>471より）
https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&;item_id=6883
数理論理学（2）
小野 寛晰
(引用終り)
小野 寛晰先生を読むと、レーベンハイムスコーレムで、無限集合はできるけれども、
一階述語論理では、ハッキリと「出来た」と示すことができない
この”できない”が、ゲーデルの不完全性定理と関連しているそうです
そんなこんなで、無限公理をおいて、ハッキリと「出来た」と示す
これによって、ZFC内で加算集合たる自然数Nを示すことができて
カントール先生がやったように、有理数のコーシー列を作って
実数を構成することができる
そういうストーリーみたいですね
で、ZFC内では、一階述語論理の縛りがありますが
我々の普段の数学では、一階述語論理の縛りがありますせん
だから、カントール先生などは、無限公理を必要としなかった
そういうことですね（＾＾； >>495
> ＜も、∈も、その左右に項を書くことで初めて意味を持つ
> ･･･＜ωとか、･･･∈ωとかいう誤魔化しをやったら、トンデモ数学になるよｗ
独自説だよ、それｗ（＾＾
ほいよ
嫁めｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数
拡張実数（かくちょうじっすう、英: extended real number; 拡大実数）あるいはより精確にアフィン拡張実数 (affinely extended real number) は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 -∞ の二つを加えた体系を言う。
目次
2 順序構造および位相的性質
順序構造および位相的性質
任意の（有限）実数 a に対して -∞ ≦ a ≦ +∞ と置くことにより、実数直線 R における順序の拡張として、補完数直線 R^ は全順序集合になる。この順序に関して R^ は「任意の部分集合が上限と下限を持つ」（完備束を成す）という良い性質を持つ。
この順序から導かれる R^ 上の順序位相（英語版）では、集合 U が正の無限大 +∞ の近傍となる必要十分条件は U が適当な実数 a に対する集合 {x : x > a} を含むことであり、負の無限大 -∞ についても同様のことが言える。補完数直線 R^ は、単位閉区間 [0, 1] に同相なコンパクトハウスドルフ空間であるから、単位閉区間の通常の距離から同相を通じて距離化可能であるが、しかし R 上の通常の距離の延長となるような距離を入れることはできない。
この位相に関して、実変数 x が +∞ や -∞ へ近づく極限や、函数の値が +∞ や -∞ へ近づく極限を、一般的な極限の位相的定義を簡略化して定義することができる。
(引用終り)
以上 >>486
>ある程度相手の言い分を認めつつ、自分の主張を展開するのです
>”But”以下に力点がありますよ
「ある程度相手の言い分」とはThe Modification成立だよｗ
つまり不成立とした過去の自身の発言の誤りを認めたんだよｗ
認められない幼稚な性格のキミと違ってね。 >>487
>さらに、”if i is chosen uniformly independently”とあるところにご注目
それは箱入り無数目でいうところの「さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ. 」のところですよｗ
文章の切り方が変ですよ？ independently を書くならその後ろも書かないと意味が通じませんよ？ｗ
independently of that strategy とは、出題実数列とは独立にという意味ですｗ iidとは何の関係もありませんｗ
まあ蛇足なんですけどねｗ uniformly とは一様分布で、つまりランダムに、という意味で、必然出題実数列とは独立になりますからｗ
>これ、https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
>Pruss氏の12回答本文の
>”Let's go back to the riddle. Suppose u^→ is chosen randomly. The most natural option is that it is a nontrivial i.i.d. sequence (uk), independent of the random index i which is uniformly distributed over [100]={0,...,99}. In general, Mj will be nonmeasurable (one can prove this in at least some cases). We likewise have no reason to think that M is measurable. But without measurability, we can't make sense of talk of the probability that the guess will be correct.”
これはThe Riddle でも The Modification でもなく、箱の中身を確率変数とする戦略の話。
箱の中身を確率変数としていない時枝戦略とは何の関係もありませんｗ
>を再度強調している部分ですよ
いいえ、無関係ですね。
independent of the random index i which is uniformly distributed over [100]={0,...,99}
が読めないんですか？random index i とは「 独 立 」と言ってるのになんで再度強調になるんですか？ｗ 文盲ですか？ｗ
>”uniformly”の部分は、明らかに ”independent of the random index i which is uniformly distributed over [100]={0,...,99}”のところを、短く言い直しています
unifoirmly とは一様分布でという意味ですよｗ 辞書くらい調べましょうｗ >>487
>そして、本文にあるように、もし、” M is measurable”なら、問題の戦略は正しいが、
>実際は”But without measurability, we can't make sense of talk of the probability that the guess will be correct.”ってことです
箱の中身を確率変数としていない時枝戦略とは何の関係も無いですねｗ
勝つ戦略の存在性は時枝戦略で尽くされてますｗ
箱の中身を確率変数とする戦略が勝つ戦略でないとしても（実際確率空間が非可測になるので勝つ戦略でない）、勝つ戦略の存在性には何ら影響ありませんｗ
>問題の”riddle”は、一見は、一様分布 {0,...,99}とか{0,...,n}に見えるけれども、実際はそうではない。
大間違いですねｗ
The Riddle はそもそも確率を一切使いませんｗ 必然確率空間の可測性は無関係ですｗ
The Modification 及び時枝戦略は確率を使いますが、箱の中身を確率変数とはしていないのでやはり確率空間の可測性は関係ありませんｗ
具体的に言うと確率変数は random index i which is uniformly distributed over [100]={0,...,99} であり、離散一様分布であり、その確率空間可測ですｗ
>だから”riddle”（ナゾナゾ）ってことです
論拠が間違いなので結論も間違いですｗ
あなた本当に何にも分かってないですねｗ 数学は言うに及ばず英文すら読めてないｗ >>492
>アキレスも同様に、”1 ,2 ,・・ , n,・・→∞”を逆に通り抜け、加算無限個の点を通過しました
”1 ,2 ,・・ , n,・・→∞”を逆に通り抜ける際のスタート地点はどこですか？
>同様に、”1 ,2 ,・・ , n,・・→∞”では、0が集積点です（なお、いまは∞＝ωです）
ωに至る直前はどこにいるのですか？
ωは後続順序数ではないのでωの前者は存在しませんけど。 無限列には最後の項が無い、といったように、無限は有限とは異なる性質を持ちます。
あなたは無限を無理やり有限のように扱おうとして破綻してます。
出発点をωとして逆にたどろうとしてもωから一歩も動けません。ωの前者が存在しないからです。
ωから任意の自然数へワープしてもいいですが、その場合は有限列になりますよ？
ほら、破綻してるでしょ？ >>497
>> ＜も、∈も、その左右に項を書くことで初めて意味を持つ
>> ･･･＜ωとか、･･･∈ωとかいう誤魔化しをやったら、トンデモ数学になるよｗ
>独自説だよ、それｗ（＾＾
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
> 拡大実数
拡大実数は、単に一例にすぎない
現代数学が、整列集合（下記）などにおいて
有限集合しか扱えないと思っている人がいるなら
その人の名は、Ｆラン数学科落ちこぼれのおサルさんだなｗｗ（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
目次
1 導入
2 順序数
3 例と反例
3.1 自然数の全体 N
3.2 整数の全体 Z
3.3 実数からなる集合
4 同値な定式化
5 順序位相
つづく >>503
つづき
導入
整列集合 X の任意の元 s は、それが X の最大元でない限り、ただ一つの後者（successor; 後継、次の元、直後の元）を持つ。これはつまり、s よりも大きな X の元全体の成す部分集合における最小元として s の後者が決まるということである。また、整列集合 X の中で上に有界な任意の部分集合は（その上界全体の成す X の部分集合に最小元がとれるから）必ず上限を持つ。あるいは整列集合 X には、前者（predecessor; 直前の元）を持たない元が必ず存在する（それはもちろん、X 全体における最小元である）。
集合に整列順序が与えられれば、そこでは集合の全ての元に対する命題の超限帰納法を用いた証明を考えることができる。
自然数全体の成す集合 N が通常の大小関係 "<" に関して整列集合となるという事実は、一般に整列原理と呼ばれる。
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。
順序数
詳細は「順序数」を参照
任意の整列集合は、その整列集合の順序型と呼ばれるただ一つの順序数に順序同型である。順序集合の各元の位置は順序集合によっても与えられる。有限集合の場合、数え上げという基本的な操作によって対象の一つ一つに（何番目の元であるかを意味する）順序数を割り当てることで、特定の対象の順序数を求めることができ、あるいは特定の順序数をもつ対象を求めることもできる。有限集合ではその大きさ、つまりその元の個数を意味する基数と、その順序型である順序数とは一致すると考えることができる。これは、日常的な意味での数え上げは 1 から始めると思うが、そうすると有限集合の各対象に順番に順序数を振っていって最後の元となる対象に振られる順序数はその集合の基数になっているという意味である。
つづく >>504
つづき
実際にはここでいう順序数は、順序同型にしたがって定義される厳密な意味での順序数よりも 1 だけ大きいことに注意すべきである。厳密な意味での順序数はその対象よりも前にある対象の数に等しい（あるいはこれは 0 から数え始めることに対応する）。ゆえに有限な n に対して、整列集合の「n-番目の元」というとき、その文脈では 0 から数え始めたか 1 から数え始めたかは明らかである必要がある。β が超限順序数（無限順序数）であるときも「β-番目の元」というような書き方をすることがあり、この場合典型的には 0 から数える。
無限集合についても、その順序型はそれに属する基数を一意的に決定するが、逆は成り立たず、同じ基数をもつ整列集合で相異なる順序型を持つものが無数に存在しうる。たとえ可算無限集合だとしても、その集合の順序型として可能なものの数は非可算である。
例と反例
自然数の全体 N
（0 を含む）自然数全体の成す集合 N は通常の大小関係 ≦ が整列順序を与える。この整列集合の順序型は ω で表される。さらに、0 でない任意の自然数は唯一の直前元を持つ。
N における別な整列順序としては、例えば、どの偶数もどんな奇数よりも小さいものとし、偶数同士あるいは奇数同士では通常の大小関係を適用することで得られる順序
0, 2, 4, 6, 8, …, 1, 3, 5, 7, 9, …
が挙げられる。この順序に関する整列集合の順序型は ω + ω である。任意の元が直後の元を持つ（したがって最大元は存在しない）が、直前の元を持たない元が 0 と 1 の二つ存在する。
つづく >>505
つづき
整数の全体 Z
自然数の全体に通常の大小関係を考えたものとは異なり、整数全体の成す集合 Z に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列集合ではない。たとえば、負の整数全体の成す集合には最小元が存在しない。
たとえば、次のような二項関係 R を考えれば、Z を整列集合にすることができる。
ふたつの整数 x, y に対して、xRy となるための必要十分条件は
1.x = 0;
2.x が正で y が負;
3.x, y がともに正で、x ≦ y;
4.x, y がともに負で |x| ≦ |y|
のうちのいずれか一つが成立することと定める。この関係 R は要するに
0, 1, 2, 3, 4, …, -1, -2, -3, …
となる順序として表すことができる。この整列順序 R に関する整列集合 Z の順序型は順序数 ω + ω に順序同型である。
Z の別な整列順序の例としては、x ≦Z y ⇔ |x| < |y| または [|x| = |y| かつ x ≦ y] として定まる順序 ≦Z が挙げられる。図示すれば
0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, …
である。これは ω を順序型とする整列順序である。
つづく >>506
つづき
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。
R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる。可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≦ が整列順序となることも、ならないこともありうる。整列順序となる例としては次のようなものが挙げられる。
・集合 {-2-n | 0 ≦ n < ω} は ω を順序型に持つ。
・集合 {-2-n - 2-m-n | 0 ≦ m, n < ω} は順序型 ω2 を持つ。一つ前の例に挙げた集合は、この集合に集積点の集合として含まれる。実数全体の成す集合 R の中では（通常の位相でも順序位相でも）0 も集積点に含まれる（これは集積点全体の成すの集合の集積点にもなっている）。
・集合 {-2-n | 0 ≦ n < ω} ∪ {1} は順序型 ω + 1 である。この集合に順序位相を考えれば、1 は集積点であるが、R に通常の位相（順序位相でも同じことだが）を入れても 1 は集積点にはならない。
同値な定式化
順序集合 X が全順序集合である場合には、以下の条件はどれも互いに同値である。
1.X は整列集合である。つまり、空でない任意の部分集合が最小元を持つ。
2.X の全体で超限帰納法が有効である。
3.X の元からなる任意の狭義単調減少列は必ず有限な長さで停止する（ただし、従属選択公理を仮定する）。
つづく >>507
つづき
順序位相
任意の整列集合は順序位相を与えて位相空間にすることができる。順序位相に関して、この位相空間の元は次の二種類に分けることができる。
・孤立点: 最小元や直前の元を持つ元などはこちらの種類の点になる。
・集積点: 有限整列集合ではこの種類の元は存在できない。また、無限整列集合は集積点を持つことも持たないこともある。集積点を持たない無限整列集合（たとえば N）は順序型 ω を持つ。
また、この位相空間の部分集合については以下のように区別できる。
・最大元を持つ部分集合（つまり、それ自身で有界な集合）。このような部分集合の最大元は、全体集合の孤立点となる場合も集積点となる場合もある。後者の場合に、それがその部分集合の集積点であるかどうかは場合による。
・それ自身は有界ではないが、全体集合の中では有界な部分集合。このような部分集合は最大元を持たないが、部分集合に属さない上限を持つ。この部分集合が空でないならば、この上限はこの部分集合の集積点であり、したがって全体集合の集積点でもある。一方、空集合の場合は上限は全体集合における最小元である。
・全体集合においても有界でない部分集合。
部分集合が共終 (cofinal) であるための必要十分条件は、それが全体集合の中で有界でないか、それが全体集合の中でも最大元となるような最大元をもつことである。
位相空間としての整列集合が、第一可算空間となるための必要十分条件は、それが ω1 以下の順序数を順序型に持つことである。これはつまり、その集合が可算であるか、または最小の非可算順序型を持つということを言っている。
(引用終り)
以上 あなたが採るべき態度は
「集合xを起点とする∈無限下降列が存在してもxは正則性公理に反しない」
が誤りであることを認めることなんです。
誤りを正当化しようとする努力を、数学を正しく学ぶ方へ向けてはいかが？
数学が嫌いなあなたには興味無いですか？ >>503
>S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。
これの意味分かりますかー？
整列順序関係たるには整列順序の起点を持つ必要があると言ってるのですよ？
最小元と違い最大元の規定は無いでしょ？当たり前です、起点と終点両方ある無限整列順序列なんて存在しませんからｗ
整列可能定理を持ち出したところで「最後の項がある無限列」は正当化されません。残念！！ >>503
>現代数学が、整列集合などにおいて
>有限集合しか扱えないと思っている人がいるなら
∈降下列が有限長、と聞いて
「それではいかなる集合も有限集合になってしまう」
とおもってるヤツは正真正銘のパクチー🐎🦌野郎ｗ
いかなる整列集合（順序数）も
最小元（{}）への＜（∈）降下列は有限長
一方で、無限集合において、＜（∈）降下列の長さの最大値は存在しない
つまり、いくらでもながい有限長の降下列が存在する
例えばωの場合、任意の自然数ｎについて、降下列
ω＞ｎ＞・・・＞０
の長さ（＝項の数）はｎ＋２ 負の整数全体の集合は、自然な順序において、整列集合でない
なぜなら
ー１＞ー２＞ー３＞・・・
には最小元がないからである
いっとくがー∞をつけても整列集合にはならない
なぜなら、－∞抜きの部分集合にも最小元がないからである >>503 追加
（参考）
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
第13章 整列集合
13.1 整列集合
順序集合 (X, ?) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集
合であるといい, そのような順序を整列順序という. 定義から整列集合は必ず全
順序集合であることに注意しよう. 実際, a, b ∈ X に対して集合 {a, b} は X の
空でない部分集合になるから, それは最小元をもつ. 最小元は a または b であ
るが, それが a であれば a ? b となるし, それが b であれば b ? a となる. こ
れは, 任意の a, b ∈ X が比較可能であることを意味し, X は全順序集合である
ことがわかる. 定義から空でない整列集合 X それ自身は最小元 min X をもつ.
定 理 13.1 自然数 (N, ?) は整列集合である.
証 明 いつも通り, [n] = {1, 2, . . . , n} と書くことにする. A ⊂ N を空でない
部分集合とする. このとき,
A = A ∩ N = A ∩∪n=1～∞[n] = ∪n=1～∞ A ∩ [n]
と A≠ Φ から, A ∩ [n]≠ Φ を満たす n ∈ N が存在する. そこで, N の部分集合
A が A ∩ [n]≠ Φ を満たせば A は最小元をもつことを示せばよい.
そのことを数学的帰納法で証明しよう. まず, n = 1 のときは A ∩ [1]≠ Φ か
ら 1 ∈ A がわかる. 1 は自然数の中で最小であるから, 確かに A は最小元をも
つ. 次に n ? 1 まで主張が正しいと仮定して, A ∩ [n + 1]≠ Φ とする. もし,
A ∩ [n]≠ Φ であれば帰納法の仮定から A は最小元をもつ. A ∩ [n] = Φ であれ
ば, A ∩ [n + 1]≠ Φ と合わせて n + 1 が A の最小元であることがわかる.
(引用終り)
つづく >>513
つづき
さて
ノイマンの自然数構成では、自然数の集合Ｎ＝ω（＝ｱﾚﾌ0） である（下記より）
ω + 1 : N ∪ {N}＝ {0, 1, 2, ・ ・ ・, {N}(=ω) }
Ｎは、普通の順序”＜”で、整列集合（＝「すべての空でない部分集合が最小元をもつ」）であり
ω + 1 : N ∪ {N}もまた、整列集合である
http://penguinitis.g1.xrea.com/
PENGUINITIS
http://penguinitis.g1.xrea.com/study/note/number.pdf
数について 春日 悠 2020 年 2 月 1 日
Ｐ16
3.3 自然数
自然数
自然数の集合 N を得る．
N = {0, 1, 2, ・ ・ ・ }
の集合 N が確定した瞬間，自然数の次の数が得られる．N に ω という名前をつける
と，その次の数は ω + 1 = N ∪ {N} であり，さらに続く．
ω : N
ω + 1 : N ∪ {N}
(引用終り)
以上 >>514
ωとω＋１は順序数としては異なるよ
ωは極限順序数だけど、ω＋１は後続順序数だし
可算（アレフ０）の順序数ってどんだけあるか知ってんの？
（正しく答えられたら褒めてあげるよｗ） >>514
>ノイマンの自然数構成では、自然数の集合Ｎ＝ω（＝ｱﾚﾌ0） である（下記より）
>ω + 1 : N ∪ {N}＝ {0, 1, 2, ・ ・ ・, {N}(=ω) }
間違い。
ω + 1 : N ∪ {N}＝ {N, 0, 1, 2, ・ ・ ・}
キミは"∪"も分からないのか？中学校からやり直し >>516
グッジョブ！ｗ
ほんと、雑談君はカッコも正しく扱えないのか？
カッコつけんな！ なんちってｗｗｗｗｗｗｗ >>514
おそらくキミはこう言いたいのだろう。
Nに最大元は無いが、N∪{N}には最大元Nがある。
尚且つ
N∪{N}は整列可能。
よって「最後の項がある無限列」が作れるはずだ。
と。
はい、素人がやらかしがちな大間違いです。
wikipediaより引用
集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≤" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≤ に関する最小元をもつものをいう。
この条件だけだと列が作れることにはならない。
実際、N∪{N}のすべての元を含む列は作れない。
理由は超簡単。
N∪{N}の元であるNは後続順序数ではないから、その前者が存在しないから。
無理やり列を作ろうとしてもNの前者は空席になってしまい、すなわち列にはならない。
整列集合の要件である全順序性により、「集合xの任意の元a,bに対し、a≦b or a≧b のいずれかが成立する」は言えるが、
「xの任意の元bに対し、その前者aが存在する」なんてことは言えないのであるｗ
なぜこんな簡単なことがいつまでも理解できないの？ キミ数学向いてないんじゃないの？ 早々に諦めたら？ >整列集合の要件である全順序性により、「集合xの任意の元a,bに対し、a≦b or a≧b のいずれかが成立する」は言えるが、
>「xの任意の元bに対し、その前者aが存在する」なんてことは言えないのであるｗ
こんなことは稠密な有理数全体の集合Qを考えれば一目瞭然だろｗ
ある有理数qの前者の有理数って何だよｗ ばーかｗ >>486 追加
>それはさておき、
>”数学Dr. Prussだって認めたぞ？
> What we have then is this: For each fixed opponent strategy, if i is chosen uniformly independently of that strategy (where the >"independently" here
> isn't in the probabilistic sense), we win with probability at least (n-1)/n. That's right.”
>は違うよ
＜補足＞
1．”if i is chosen uniformly independently of that strategy”の部分で
例えば、簡単にｎ列で、ｎ＜ｍの有限整数ｍで、1～ｍの札各1枚｛1,2,・・,ｍ｝で、
等確率（つまり一様分布（uniformly））で、各列1枚の数の札ni(i=1～n)を割り当てるとする
ｎ枚の札で、max{n1,n2,・・ni・・,nn} になったら負けとする。つまり負けは、最大値の1列のみ。勝つ確率は、 普通に(n-1)/nとなる。
2．しかし、ｍ→∞とすると、一様分布（uniformly）でなくなる
下記の「非正則事前分布」で積分値が無限大に発散し、コルモゴロフの確率の公理に反します
3．さらに、時枝記事の決定番号は、”札各1枚”ではない！ つまり ”ni”を実現する代表列は複数あり、一様ではない分布を持ちます
ですから、Pruss氏のいう一様分布（uniformly）を満たしません
4．結局、時枝記事の決定番号は、ｍ→∞となり積分が無限大に発散することと、
さらに ”ni”を実現する代表列は複数あり一様ではない分布を持つということと、
二重の意味で、”without measurability”です
（この”without measurability”は、ビタリの意味の非可測とはちょっと違う。主に、積分が∞に発散することによる）
5．従って、Pruss氏の下記”But”以下の文に繋がります
6．結局、Pruss氏は、質問の”Probabilities in a riddle involving axiom of choice”の「 strategy 」の存在を、否定しています（下記 mathoverflowご参照）
以上
つづく >>520
つづき
（参考）
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/114 より
https://ai-trend.jp/basic-study/bayes/improper_prior/
非正則事前分布とは？?完全なる無情報事前分布? | AVILEN 2020/04/14
ベイズ統計
ライター：masa
非正則な分布とは？一様分布との比較
（一様分布を事前分布にした場合の説明はこちら→『無情報事前分布とは？一様分布と非正則な分布』https://ai-trend.jp/bayes/noninformative_prior/ ）
https://file.to-kei.net/uploads/2017/10/c659e62cd0c347c3fcd07049665a8708-300x188.png
つまり、非正則な分布とは、一様分布の範囲を無限に広げた分布のことです。
非正則分布は確率分布ではない！？
上で説明した非正則な分布ですが、よく見てみてください。確率の和が1ではありませんよね。
積分値が無限大に発散してしまいます。これは、全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理に反しています。
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
mathoverflow
Probabilities in a riddle involving axiom of choice asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
＜回答12の質疑応答＞
What we have then is this: For each fixed opponent strategy, if i is chosen uniformly independently of that strategy (where the "independently" here isn't in the probabilistic sense), we win with probability at least (n-1)/n. That's right. But now the question is whether we can translate this to a statement without the conditional "For each fixed opponent strategy". ? Alexander Pruss Dec 19 '13 at 15:05
(引用終り)
以上 >>514
"整列可能"という言葉の語感から「＝列を構成可能」と早合点するキミに数学は無理だから早々に諦めることをお勧めする。 >>516-517
なるほど、ありがと（＾＾
>>514訂正
ω + 1 : N ∪ {N}＝ {0, 1, 2, ・ ・ ・, {N}(=ω) }
↓
ω + 1 : N ∪ {N}＝ {0, 1, 2, ・ ・ ・, N(=ω) }
な。分かると思うが（＾＾； >>520
>2．しかし、ｍ→∞とすると、一様分布（uniformly）でなくなる
それは時枝戦略とは何の関係も無いですね。
なぜなら決定番号の分布とは無関係に各列の決定番号はどれも自然数だから。
（重複を許す）100個の自然数からなる集合の最大元は1個または複数個であって、0個はあり得ないｗ
また、時枝戦略における一様分布とは{1,2,…,100}上の離散一様分布であって、それ以外の何者でもないｗ
バカの考え休むに似たりって諺知ってますか？ >>523
>な。分かると思うが（＾＾；
ダメ。{0, 1, 2, ・ ・ ・, {N}}と{0, 1, 2, ・ ・ ・, N}はまったく別物だから。
しかし、君の本当の間違いはこんな修正可能なものではないｗ まったく修正不可能な根本的な間違い。 >>514 追加
ほいよ（＾＾
https://fujidig.github.io/
でぃぐのページ
https://fujidig.github.io/201606-cardinal/201606-cardinal.pdf
濃度と順序数
June 21, 2016
Ｐ20
順序数というのは自然数が持つ「番号
を振る」という目的を無限方向に拡張
したものだといえる．
Ｐ23
・整列集合 N の型は ω と書かれる．こ
れは最小の無限順序数である．
・順序数を小さい方から順に並べると
0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, ω +
3, . . . , ω2, ω2 + 1, . . . となる
・今並べたのは順序数のうちほんの小さ
い部分にすぎない．もっと大きい順序
数がまだまだある >>526
>・順序数を小さい方から順に並べると
>0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, ω +
>3, . . . , ω2, ω2 + 1, . . . となる
キミはこれが列だと言いたいのだろうが違います。
ωの前者が存在しない以上列にはなり得ません。
「ある項が無い列」なんてものはありませんｗ 列の定義に反しますｗ
ぼーっと読んでたらダメですよ？「こいつの書いてあることは本当か？」という視点を常に持たないと数学は習得できません。 ωには前者が無い。
これは厳然たる事実であり、かつ、このことから簡単に列にはならないことが分かる。
あなたが為すべきは無駄な抵抗ではなく間違いを認めること。早く悟りましょう。 >>526 追加の追加
ほいよ
https://eurekagap.up.seesaa.net/image/ordinals_and_cardinals.pdf
順序数・基数
Eureka GAP
2017 年 5 月 18 日
概要
[3] で取り上げられているような素朴集合論的事実を前提知識として，順序数と基数についての入門的事
実を述べる．基本的に基礎の公理と選択公理は使わないで議論するが，第 2 章の一部の定義・定理におい
て選択公理の使用が避けられない箇所については (AC) と表記している．
Ｐ4
Definition 1.2.12. 自然数全体の集合を ω とする．
自然数全体が集合として存在することは無限公理より保証される．
Lemma 1.2.13.
(1) n を自然数とすれば，S(n) も自然数である．
(2) ω は最小の極限順序数である．
Proof. (1) 定義より容易に示される．(2)ω は明らかに 0 ではない．また，後続順序数であるとすると，(1) よ
り ω 自身も自然数となり，ω ∈ ω となってしまい，1.2.3(1) に矛盾．よって ω は極限順序数である．ω より
小さい順序数は自然数なので明らかに極限順序数ではない．
Ｐ5
このように定義された順序数は「整列順序の型」を表すことを示してこの節を終える．
Theorem 1.2.15. 整列順序 ?A, R? に対して，ただ一つに定まる順序数 C が存在して ?A, R? ? C．
Proof. C が存在すれば一意であることは 1.2.3(4) より言える．
略
Ｐ6
順序数の演算でむしろ気をつけるべきは何が成り立たないかである．まず，和も積も可換ではない．例え
ば，ω + 1 ≠ 1 + ω = ω だし，ω ・ 2 ≠ 2 ・ ω = ω である．また，上の補題で (3) の逆が成り立たないことは
1 + ω = 2 + ω = ω から，(7) の逆が成り立たないことは 1 ・ ω = 2 ・ ω = ω から明らかである．
Ｐ9
2 基数
略
つづく >>529
つづき
http://eurekagap.up.seesaa.net/image/forcing_intro_ver2.EFBC91.pdf
強制法入門
Eureka GAP
2017 年 5 月 5 日
Ｐ2
1.2 順序数と基数
Ｐ3
ここで，無限公理と内包性公理を用いると，自然数全体の集合が存在が言えます．自然数全体の集合もまた
順序数であり，ω と書かれます．ω は最小の極限順序数です．
基数とは濃度を表すような順序数のことです．自然数や ω といった順序数は基数ですが，例えば
S(ω) = {0, 1, . . . , ω} はそれより小さな順序数 ω との間に全単射が存在するので基数ではありません．最小の
無限基数 ω は ｱﾚﾌ0 と書かれ，無限基数はその大きさの順に ｱﾚﾌ1, ｱﾚﾌ2, . . . , ｱﾚﾌω, . . . あるいは ω1, ω2, . . . , ωω . . . のよ
うに表記されます．基数の和や積，冪計算は次のように定義されます．
http://tenasaku.com/academia/
愛媛大学 藤田博司先生
http://tenasaku.com/academia/notes/kansaimath8-tenapyon-slides.pdf
超限順序数と無限玉入れ勝敗判定
ゼルプスト殿下 @tenapyon
第 8 回関西すうがく徒のつどい 2016年03月20日
(引用終り)
以上 アホなおサルたち
無駄な抵抗を続けています
単なる無知ですがｗｗｗ（＾＾； >>530
>S(ω) = {0, 1, . . . , ω}
との表記から 0, 1, . . . , ω が列であるとでも言いたいのでしょうか？
あなた集合の表記のルールも知らないんですか？中学生に笑われますよ？ >>530
集合 {0,1}={1,0}
列 0,1≠1,0
あなた中学出てないでしょ。あなたの学力では中学卒業は無理です。 >>526 >>529
＞ほいよ
雑談君がこの三文字しか言えなくなったら
「もう、勘弁して」と言ってると理解しよう
何をコピペしても、「順序数の降下列は有限」が理解できず
「無限降下列は存在しまぁす」と小保方晴子のような口から出まかせのウソをほざく
大阪のパクチー野郎、雑談君は人間失格のお🐒さんとしか見られないｗｗｗ 人間失格のお🐒の雑談君には一生理解できない数学の初歩ｗ
１．R^Nには、∞番目の最後の項は存在しない
∞はＮの要素ではない 拡大自然数の全体＝自然数の全体、ではない
２．ωから0への＞降下列とは、
ωから０へ、全ての要素を順序通りに並べた列ではない。
ω＞０
ω＞１＞０
ω＞２＞１＞０
・・・
のように、２つの項を＞でつなげて、０に至るようにした列である
ω＞ｘとなるどんなｘを選んだところで、＞降下列は無限長にはならない
３．定義、公理、定理、証明の文章を一切読まずに、
「イメージ」のみで数学を完璧に正確に理解しきることは絶対に不可能である
文章が読めず、論理による思考が全くできない「動物」には
数学を学習することは絶対に不可能であるから諦めるべきである >>530
これ面白い（＾＾；
http://tenasaku.com/academia/notes/historyDST20150429.pdf
記述集合論誕生秘話
藤田 博司
2015 年 4 月 29 日
2015 年 4 月 28 日に愛媛大学理学部で開催した第 12 回松山 TGSA
セミナーでの講演で使用したスライドから, 自分の (話してみたら
少々怪しかった) 結果を削除して, 前半の歴史解説の部分だけを取り
出したものです. 閲覧の便を考慮してアニメーション効果も削除し
ました.
Ｐ15
ボレル集合に対する陰函数定理←これが問題!!
Ｐ16
ボレル集合に対する陰函数定理
いいかえれば, グラフがボレル集合である函
数はベール函数である.
ルベーグの証明は間違っていた．
Ｐ17
1916 年のモスクワで, ルジン (Nikola?? N. Luzin) のゼミ生だったス
スリン (Mikhail Y. Suslin) が, ルベーグの間違いを発見.
ルベーグの勘違い 1
ルベーグは証明のある箇所で,
学部 2 年生レベルのミスを犯していた!!
Ｐ18
この思い違いからルベーグは (ボレル集合の階層に関する帰納法で)
ルベーグの勘違い 2
R × R のボレル集合の R への射影は またボレル集合である
という結果を導き, これによりボレル集合に対する陰関数定理が証
明されたと考えた.
Ｐ19
ルジンとススリンは, ボレル集合の射影に関するルベーグの結果が
正しくないことを証明.
Ｐ22
こうして, 「ボレル集合でないルベーグ可測集合」の例を具体的に
「指名」する方法が発見された.
Ｐ24
系 (ルジンの単射定理)
f : R → R が連続函数, B ⊆ R がボレル集合で, f ↑ B が 1 対 1 な
らば, 像 f (B) はボレル集合.
系
“ルベーグの陰関数定理” は正しかった!!
Ｐ25
解析集合の理論によって,
点集合論の新しい対象が生まれた.
ボレル集合の新しい特徴づけが発見された.
ルベーグの理論が「救済」された.
記述集合論の誕生
(引用終り)
以上 >>536
追加
http://tenasaku.com/academia/notes/20040301.pdf
記述集合論ノート
藤田 博司
2004 年 2 月 17 日～18 日, 神戸大学
神戸大学大学院自然科学研究科において, 2004 年 2 月 17 日と 18 日に記述集合論の
チュートリアルをおこないました. これは, そのとき配付したレジュメをもとに, 聴講
者に指摘された修正点や, 話してみて初めて思いついた改善点, 話したかったけど準備
が間に合わなかった追加の話題などを盛り込んだ修正版レクチャーノートです.
1 二階算術の言語と構造
二階算術というのは大ざっぱに言うと ω と ω^ω にかんする (形式化された)
理論のことだ. >>535
グダグダと
頭腐ってんのか？
バカか！ >>537
追加
https://tenasaku.com/academia/notes/lss2019-fujita-0-handout.pdf
集合・濃度・順序数・基数
藤田 博司
愛媛大学理学部
2019 年 9 月 3 日
数学基礎論サマースクール 2019 @静岡大学
主な内容
集合と写像
集合の濃度
順序数
基数
P54
順序数の性質 (4)
整列集合 (N, ?) の順序型は
{0, 1, 2, . . . , n, . . .}
なので，N そのものと同一視される
順序数としての N のことを ω と表記する
P55
順序数の性質 (5)
ある β について α = S(β) となる順序数 α を 後続型順
序数 という
0 でも後続型順序数でもない順序数を 極限順序数 という
P57
順序数の算術 (2)
順序数の和は交換法則と左消約法則をみたさない
1 + ω = ω < ω + 1
1 + ω = ω = 0 + ω かつ 1 ≠ 0
P59
順序数の算術 (4)
順序数の積は交換法則も左分配法則も左消約法則もみたさ
ない
(ω + 1)ω = ωω
≠ ωω + ω
= ω(ω + 1)
P60
基数 (1)
自然数と ω はいずれも基数である
ω より大きな基数も存在す >>539
追加
http://tenasaku.com/academia/notes/lss07_fujita_release.pdf
ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル
藤田 博司
(愛媛大学 理学部)
2007 年数学基礎論サマースクール
静岡大学にて 2007 年 9 月 4 日～7 日
わたくしの講義では, 強制法の応用の一例として, 実数のあらゆる集合がルベーグ可測になるソロヴェイのモ
デルについてお話しします. オリジナルの文献 (以下「原論文」と言います) は次のものです:
Robert. M. Solovay, A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable,
Annals of Mathematics, Vol.92 (1970), pp.1?56.
この Solovay の論文は, 表題に述べられたモデルが提示されているだけでなく, 関連するさまざまな問題に対
するコメントや新たな問題提起を含んでいて, 以後の集合論研究の源流の一つとなった基本文献であると言っ
て差し支えないように思います. 原論文の脚注によれば, 主要な結果の得られたのは 1964 年の春から夏にか
けての数ヶ月だそうです. P.J.Cohen が連続体仮説の独立性証明の手段として強制法を開発したわずか 1 年後
にこうした顕著な応用が見いだされたことも, 特筆に値します.
このノートは次のとおり 6 つのセクションで構成されます.
§1. ルベーグ測度と測度の問題の概略,
§2. 強制法にかんする補足的な諸結果,
§3. ボレル集合, B-コード, ランダム実数,
§4. Levy の半順序と Levy-Solovay モデル,
§5. 内部モデル,
§6. 関連する話題とその後の展開.
つづく >>540
つづき
執筆にあたっては, Solovay の原論文のほか, Jech のモノグラフの第 2 版 [6] と第 3 版 [7], Kanamori のモノ
グラフ [8], Kunen の教科書 [10] などを参考にしました. その他の参考文献については末尾の文献リストをご
らんください.
1 ルベーグ測度と測度の問題の概略
19 世紀の終わり近く, 数直線が G.Cantor の集合論の言葉できちんと定義できることが理解され, 関数の概
念が点と点の対応という抽象的な定式化を獲得したころから, 古典数学で確立された解析学の諸結果を集合論
的枠組みの中で新しく得られるであろう一般的な関数にまで拡張する必要が認識されてきました.
積分は長さや面積の概念と切っても切れない関係にあります. 直観にもとづいた古典幾何の図形概念が, 平
面の点集合という抽象的な概念に吸収された結果として, そうした一般的な点集合にまで, 長さや面積の概念
を拡張できるかどうか (あるいはそもそも面積という概念は厳密にはどういうものなのか) を, ハッキリさせ
る必要が生じてきました.
H.Lebesgue が学位論文において展開した測度の理論は, それらの問題に答えようとするものでした.
実数の一般の集合にまで長さの概念を拡張しようという着想は, さらに E.Borel にまでさかのぼります.
Borel は (いわゆる) ボレル集合の概念を提唱し, 数直線上のボレル集合の長さが, そのボレル集合自体が生成
されてくる過程に沿った超限再帰によって定義できることを示しました. 測度 (英:measure, 仏:mesure) とい
う言葉も, Borel が提唱したもののようです.
E.Borel(と R.Baire) は, 20 世紀の初頭にフランスで活躍した数学者たちのなかでは, 集合論を応用した新
しい解析学の展開に貢献しながらも, 構成主義に近い強硬な立場に立っていたことで知られており, ボレル集
合の範囲を超えた実数の集合を考察することを, 事実上, 拒否していました. いっぽう, Lebesgue は Borel や
Baire よりはいくぶん穏健な立場で, 長さや面積をきちんと定義できる点集合のクラスとしての可測集合の概
念を考案し, それらに対して Borel が定義した測度を拡張しました.
(引用終り)
以上 >>538
>頭腐ってんのか？
>バカか！
それ、雑談君な >>536
>これ面白い
↑雑談君が、ちっとも理解できないのに
それを決して認めたくないときに発する
魔法の呪文・・・
https://www.youtube.com/watch?v=RJQRk1uBUTo&;ab_channel=LanaLeksa
その証拠に
「何が？どう？」
と質問されると全く説明できないｗｗｗｗｗｗｗ 雑談君の魔法の呪文
「ほいよ」＆コピペ：「もう勘弁して」
「面白い」＆コピペ：「ワケワカラン」
好きな数学用語ｗｗｗ
・モストフスキの崩壊（補題）
・レーヴェンハイム・スコーレムの定理
・二階述語論理 実は数学に全く興味もなく、勉学もせず、理解もできないのに
他人に対して、数学が分かってるフリを演じたがる
イタイタシイ雑談君に贈る本
中元日芽香
『ありがとう、わたし～乃木坂46を卒業して、心理カウンセラーになるまで～』
（文藝春秋）
https://www.agara.co.jp/article/121950
ちなみに著者はBAYMETALのヴォーカル SU-METALの実姉である >>540
追加の追加
http://tenasaku.com/academia/notes/lss07_fujita_release.pdf
ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル
藤田 博司
(愛媛大学 理学部)
2007 年数学基礎論サマースクール
静岡大学にて 2007 年 9 月 4 日～7 日
Ｐ3
1.2 ルベーグ測度
ルベーグ外測度 m?
(A) がゼロであるような集合 A は零集合 (null set) と呼ばれます. 零集合のクラスは
N であらわされます. 零集合の概念を用いれば, 集合のルベーグ可測性は
A△B ∈ N となるボレル集合 B の存在
といい換えることができます*2.
関数 f : R
n → R は, 実数の区間の逆像がすべてこの意味でのルベーグ可測集合になっているときに, 可測
関数と呼ばれます. これは, 開集合の逆像がルベーグ可測集合になるということとも同値ですし, ボレル集合の
逆像がルベーグ可測集合になるということとも同値です. しかし, ルベーグ可測集合の可測関数による逆像は,
必ずしもルベーグ可測になるとは限りません.*3
注）
*2 A△B = (A ＼ B) ∪ (B ＼ A) は集合の対称差 (symmetric difference)
*3
(選択公理のもとでは) ルベーグ可測集合の逆像がすべてルベーグ可測になるためには, 関数が可測であると同時に, 零集合イデア
ル N を逆向きに保つことが, 必要かつ十分です.
つづく >>546
つづき
Ｐ4
1.3 測度の問題, Solovay の結果とその意義
Lebesgue は, 自分の測度の理論の適用範囲が, 彼が可測集合と名付けた点集合のクラスに限定されること
を, 正しく認識していましたが, “私は可測でないいかなる函数も知らないし, それが存在するかどうかも知ら
ない,” とも明言しています (文献 [11] の序文). ルベーグ可測でない集合や関数の存在は, G.Vitali によって,
1905 年に出版された書物において示されました. Vitali は, 単位線分を平行移動の意味で互いに (1 を法とし
て) 合同な可算無限個の部分集合の和に分割できることを, 選択公理を用いて示しました. ルベーグ測度は, 可
算加法的で, 平行移動のもとで不変であり, 有界集合に有限の (外) 測度を与えるので, Vitali の集合はルベー
グ可測であり得ないわけです.
Vitali の証明が測度の問題に投じた一石はさまざまな波紋を呼び起こしました. 次のような問題が自然に浮
かび上がってきます.
(A) 平行移動のもとでの不変性をあきらめれば, 可算加法的測度をすべての点集合に定義できるのでは?
(B) 可算加法性を有限加法性に弱めれば, 不変な測度をすべての点集合に定義できるのでは?
(C) 選択公理の使用は不可避だろうか?
(D) ルベーグ可測でない集合をもっと明示的に定義できないだろうか?
問題 (A) は S.Ulam の測度問題と呼ばれ, 集合論の巨大基数研究のきっかけを作りました. (たとえば [7] の第
9 章, [8] の第 2 節を見なさい) 問題 (B) は S.Banach によって (とくに 1 次元と 2 次元の場合に) 肯定的に解
かれましたが, 平行移動だけでなく回転を含めた合同変換のもとでの不変性を要求すると, 3 次元以上の空間で
は, 有限加法的不変測度も, すべての部分集合に対して定義することは不可能であることがわかっています. こ
れは, いわゆる Banach と Tarski のパラドックスからの直接の帰結です. 有限加法的不変測度の存在は, 合同
変換群の構造の研究の重要なテーマのひとつになっています. (例えば文献 [19])
つづく >>547
つづき
残る (C) と (D) に答えようというのが, Solovay の原論文の目的です. 原論文での主要な定理は次の二つで
す. (到達不可能基数については, サブセクション 4.2 を見てください.)
定理 1. ZFC 集合論 +“到達不可能基数の存在” のモデルが存在すれば, 次の 4 個の命題が成立するような
ZF 集合論のモデルが存在する:
(a) 従属選択の公理 (Axiom of Dependent Choice, DC),
(b) 実数のあらゆる集合がルベーグ可測である (LM),
(c) 実数のあらゆる集合がベールの性質を有する (BP),
(d) 実数のあらゆる不可算集合が完全集合を含む (PS).
定理 2. ZFC 集合論 +“到達不可能基数の存在” のモデルが存在すれば, 次の 4 個の命題が成立するような
ZFC 集合論のモデルが存在する:
(a’) 連続体仮説 (Continuum Hypothesis, CH),
(b’) 定理 1 の条項 (b) の次のような変形版: 実数の集合 A が順序数の可算列を唯一のパラメータとして定
義できるならば A はルベーグ可測である,
(c’) 定理 1 の条項 (c) の, 同様の変形版,
(d’) 定理 1 の条項 (d) の, 同様の変形版.
つづく >>548
つづき
原論文において, Solovay は “選択公理はもちろん正しい” と明言しており, 定理 1 は, 問題 (C) の否定的
解, すなわち, 選択公理を本質的に使わないかぎり, ルベーグ可測でない集合は得られない ということを示し
ていると解釈されます. Solovay の観点からすれば “もちろん” ルベーグ可測でない集合が存在するわけです
が, Vitali の定理は純然たる “存在証明” ですから, 可測でない集合を (ZFC 集合論の枠内で) 具体的に構成で
きるかどうか, という問題 (D) は残ります. 定理 2 はこの問題 (D) に否定的に答えます. つまり, 集合論の論
理式 φ について
ZFC ` “実数の集合 { x ∈ R : φ(x) } は可測でない”
となることは, ZFC が矛盾するか, あるいは到達不可能基数が存在しないことが ZFC 集合論で証明できると
いった, およそありそうもない状況を想定しない限り, 起こりえない, というわけです. ただし, ここで述べた
問題 (D) の否定的解, すなわち「ZFC 集合論においてルベーグ可測でない集合を明示的に定義することはで
きない」という主張は, 定理 2 によって整合性が保証された,「数直線の明示的に定義可能な部分集合はすべて
ルベーグ可測である」という主張とは, きちんと区別する必要があります. というのも「数直線の明示的に定
義可能な部分集合のうちに, ルベーグ可測でないものが存在する」という命題も, ZFC 集合論と整合的であ
る*4からです.
続く第 2 節と第 3 節でいろいろの概念の準備をして, 第 4 節と第 5 節で Solovay の二つの定理の証明を述べ
ます. 強制法の基本については, 加茂先生と渕野先生の講義の内容によります.
この節の残りの部分では, 定理 1 で言及されたルベーグ可測性以外の三つの命題, すなわち, 従属選択の公理
(DC), ベールの性質 (BP), 完全集合定理 (PS) についてすこし説明します.*5
注）
*5 この節の話題, とくに測度とベールの性質について詳しく知りたい人には, ルベーグ測度とベールのカテゴリーの理論の応用につ
いてわかりやすく述べた本 [13] をお勧めします.
(引用終り)
以上 >>546
(引用開始)
関数 f : R^n → R は, 実数の区間の逆像がすべてこの意味でのルベーグ可測集合になっているときに, 可測
関数と呼ばれます. これは, 開集合の逆像がルベーグ可測集合になるということとも同値ですし, ボレル集合の
逆像がルベーグ可測集合になるということとも同値です. しかし, ルベーグ可測集合の可測関数による逆像は,
必ずしもルベーグ可測になるとは限りません.*3
注）
*3
(選択公理のもとでは) ルベーグ可測集合の逆像がすべてルベーグ可測になるためには, 関数が可測であると同時に, 零集合イデア
ル N を逆向きに保つことが, 必要かつ十分です.
(引用終り)
この可測関数の話は、現代確率論の測度による基礎付けのところで使われるので、覚えておくといいと思う
” ボレル集合の逆像がルベーグ可測集合になるということとも同値”という話が、ポンと出てくるときがある（＾＾； >>546
追加の追加の追加
（藤田 博司の話は、分かり易いね（＾＾ ）
＜従属選択の公理 (Axiom of Dependent Choice, DC) ＞
・「DC とは, 極大要素を持たない二項関係は無限上昇鎖をもつ, という主張です.」
・「あきらかに, 選択公理 AC は DC を導きます.」
・「ボレル集合のコードの理論には, 可算選択の公理だけでは不十分で, 本当に DC が必要です. その理由は, DC が整礎的二項関係のとりあつかいを簡単にする点にあります.」
・「すべての整列順序は整礎的関係であり, そのほかに, たとえば, 要素関係 ∈ は (基礎の公理により) 整礎的です. 整礎的関係は, その関係に添った帰納法による証明や再帰的定義などを可能にするため, コンピュータ科学や証明論のみならず, 集合論でも活躍します.」
（参考）
http://tenasaku.com/academia/notes/lss07_fujita_release.pdf
ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル
藤田 博司
(愛媛大学 理学部)
2007 年数学基礎論サマースクール
静岡大学にて 2007 年 9 月 4 日～7 日
Ｐ5
1.4 従属選択の公理
定義 2. 次の命題を従属選択の公理 (Axiom of Dependent Choice, DC) という: X を空でない任意の集合
とする. X 上の二項関係 (すなわち X × X の部分集合) R が
∀x ∈ X ∃y ∈ X [ hx, yi ∈ R ]
をみたすならば, 関数 f : ω → X が存在して
∀n ∈ ω [ hf(n), f(n+1)i ∈ R ]
をみたす. □
つづく >>551
つづき
つまり, DC とは, 極大要素を持たない二項関係は無限上昇鎖をもつ, という主張です. あきらかに, 選択公
理 AC は DC を導きます. 逆に DC から AC を導くことができないことは, 定理 1 によって明らかです*6.
DC はルベーグ可測でない集合の存在を導くほどには強くないのです.
そのいっぽうで, 測度の理論に必要となる, 可算個の集合からの同時選択 (可算選択の公理) は DC によっ
て保証されます. また, 第 3 節で展開されるボレル集合のコードの理論には, 可算選択の公理だけでは不十分
で, 本当に DC が必要です. その理由は, DC が整礎的二項関係のとりあつかいを簡単にする点にあります.
定義 3. 二項関係 R が整礎的 (wellfounded) であるとは, R の定義域の空でない任意の部分集合 S が条件
∃s ∈ S∀t ∈ S [t ≠ s =⇒ ht, si ∈/ R ]
をみたす場合にいう. この条件にあらわれるような s は, S の R-極小 (minimal) な要素と呼ばれる. □
すべての整列順序は整礎的関係であり, そのほかに, たとえば, 要素関係 ∈ は (基礎の公理により) 整礎的で
す. 整礎的関係は, その関係に添った帰納法による証明や再帰的定義などを可能にするため, コンピュータ科学
や証明論のみならず, 集合論でも活躍します.
命題 3. (ZF) 集合 X 上の二項関係 R が整礎的であるための必要十分条件は, 順序数値関数 φ : X → ON
が存在して
∀x, y ∈ X [hx, yi ∈ X =⇒ φ(x) < φ(y) ]
をみたすことである. □
命題 4. (ZF) 従属選択の公理 DC は次の命題と同値である: 集合 X 上の二項関係 R が整礎的でなければ,
ωX の要素 f が存在して, すべての自然数 n について hf(n + 1), f(n)i ∈ R をみたす. つまり, R-無限下降
列が存在する. □
注）
*6 とはいえ定理 1 は到達不可能基数の存在に訴えるものですから, 厳密にいえばこの議論は AC の ZF + DC からの独立性の証明
にはなっていません. しかし, ZF が矛盾しなければ DC と ￢AC を付けくわえても矛盾しないというのは本当です.
(引用終り)
以上 >>546-552
まーた、未消化の下痢💩コピペかい？
551＞分かり易いね
これまた、魔法の呪文
雑談君の魔法の呪文
「ほいよ」＆コピペ：「もう勘弁して」
「面白い」＆コピペ：「ワケワカラン」
コピペ＆「分かり易いね」：「ちっとも分かんねぇよ」 任意の自然数ｎについて
０からｎに至る＜上昇列
０＜１＜・・・＜ｎ－１＜ｎ
は有限であり、逆転すればｎから０に至る＞下降列
ｎ＞ｎ－１＞・・・＞１＞０
ができ、もちろん有限であり
一方
０＜１＜２＜・・・＜ｎ－１＜ｎ＜・・・
という＜無限上昇列を、逆転させても
＞無限下降列にはならない
なぜか？
それは始まりの項が存在しないから
・・・＞ｎ＞ｎ－１＞・・・＞２＞１＞０
では列にならない！
ここでアサハカな🐒は愚かにもこう考える
「なら、最後の項をつけりゃいいじゃん！
０＜１＜２＜・・・＜ｎ－１＜ｎ＜・・・＜∞」
しかし、これは全然ダメな考えである
なぜなら、「＜∞」の左にどんな項も書けないのでは意味がないからである
アキレスと亀でいえば、アキレスと亀が同じ位置に着く直前のステップが示せない
（「アキレスと亀」では別に直前のステップが存在する必要はないが
＜上昇列の構成においては、列のどこでも「ａ＜ｂ」という形の式が
存在しなくてはならない。これが分からないヤツは論理を知らんパクチーｗ）
逆転させればおかしさがわかる
∞＞・・・＞ｎ＞ｎ－１＞・・・＞２＞１＞０
いきなり「∞＞」の右の項が示せない
アキレスと亀の逆転版でいえば、スタートした後の最初のステップが示せない >>553
＞コピペ＆「分かり易いね」：「ちっとも分かんねぇよ」
そりゃ
おサルjの頭が、腐っているからだろ？
藤田 博司先生（>>551とか）読んで、分からなかったら
ほかは、もっとわからんよ、アホなおサルさんよ（＾＾
（>>551より)
>・「DC とは, 極大要素を持たない二項関係は無限上昇鎖をもつ, という主張です.」
>・「あきらかに, 選択公理 AC は DC を導きます.」
>・「すべての整列順序は整礎的関係であり, そのほかに, たとえば, 要素関係 ∈ は (基礎の公理により) 整礎的です. 整礎的関係は, その関係に添った帰納法による証明や再帰的定義などを可能にするため, コンピュータ科学や証明論のみならず, 集合論でも活躍します.」
これらが分かっていなかったのは、だ～れだ ？
お前だよ、おサルさんよ！！ｗｗｗ（＾＾； 雑談君が、大学１年の４月でいきなり落ちこぼれたのは
「論理で考えず
イメージトレーニングという”動物的調教”
に馴れてしまっていたから」
大学は動物の調教は致しません
そもそも動物が入ることを想定してませんからｗｗｗ
雑談君はどうやら文章読解力が絶望的に低いようだが
それでは数学のみならずいかなる学問も学べないだろう >>555
脳ミソがクルミ大のお🐒さんは、雑談君、君だよキ・ミ
キミのアタマの中をあててやろうか
「なんで、無限上昇列があるのに、無限下降列がないんだ？
逆転すればいいだけじゃん、ワケわかんね」
キミは単語だけ拾い読みしてるから、
精密な論理が理解できず
すぐ「矛盾」しちゃうんだな
大して長くもないのに、実にしばしば「条件」を落とし
しかもそれを指摘すると「分かり易くした」と開き直る
あのな、それは「分かり易くした」んじゃなくて
「条件が理解できないんで削除した」という
初歩的かつ重大な間違いなんだよｗｗｗｗｗｗｗ
>>554で小学生にもわかるように書いてやったように
無限上昇列を漫然と逆転させても無限下降列にならない
終わりのない列を逆転させたら、始まりがないからそもそも列でないｗ
列に終わりがあろうがなかろうが列だが、
始まりがなかった列ではない
これニンゲン様には豆な 知らないヤツは人間失格の🐒！！！ｗｗｗ 雑談君は、HNから「現代数学の系譜」を外したほうがいいな
キミ、現代数学、まったくわかってませんからぁ～
ザンネンｗｗｗ 雑談君の新しいHNを考えた
「変態数学の系譜 雑談」
実に素晴らしい・・・ 変態は英語で pervert という
pervert
(自動) いやらしい目つきで見る、変態的行為をする、いやらしい［エッチな］行為にふける
(他動)
1.〔正しい道などを〕踏み外す、〔善などに〕背を向ける
・You must cease to pervert the right ways of the Lord.
: 神の定めた道を踏み外すことをやめなければならない。
2.〔～を〕悪化させる、〔～を〕おとしめる
・Some people fear that these new technologies will pervert their values they have struggled so long to achieve.
: これらの新しい技術が長い間かけて勝ち取ってきた価値観をおとしめることになると危ぶむ人もいる。
3.〔～を〕悪用する、〔～を〕不適切に用いる
・The military forces might pervert their power to injury of their fellow citizens.
: 軍隊が自らの力を悪用して同胞を傷つけるようなことにならないとも限らない。
4.〔～を〕曲解する、〔～を〕誤解する
・Some think terrorists pervert the meaning of Islam.
: テロリストはイスラム教の意味を曲解していると考える人もいる。
(名)
1.性的倒錯者、変質者◆【略】perv
2.背教者
発音《動》pərvə́ːrt 《名》pə́ːrvəːrt、カナ パーヴァートゥ、
変化《動》perverts ｜ perverting ｜ perverted、分節per・vert このスレッドも次からタイトル変えたほうがいい
「変態数学」
実に素晴らしい・・・ 突然ですが、メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%88%E4%BA%88%E6%83%B3_(%E7%B5%90%E3%81%B3%E7%9B%AE%E7%90%86%E8%AB%96)
テイト予想 (結び目理論)
テイト予想（テイトよそう、Tait conjectures）とは、19世紀にスコットランドの物理学者ピーター・ガスリー・テイトによって提示された、結び目理論における3つの予想。長く未解決だったが、現在では全て解決されている。
テイトの第一予想と第二予想が正しければ、交代結び目の交点数は簡単にわかることになる。つまり、交代結び目には交代射影図があるはずなので、その交代射影図に存在する除去可能な交点を全て取り除いて既約交代射影図とすれば[注 2]、（テイトの予想1からそれは最小交点射影図なので）その既約交代射影図の交点数を数えるだけで交代結び目の交点数がわかることになる。
また、テイトの反転予想が正しければ、交代結び目の全ての既約交代射影図は、ある既約交代射影図に対して有限回の反転を施して得られることになり、高々有限個ということになる。
解決
第一予想と第二予想は、1987年頃に村杉邦男・ルイス・カウフマン・ティスツルスウェイトの3人によって独立に（ジョーンズ多項式を使って）解決された。
村杉邦男の論文[1]によると、まず結び目の射影図と平面グラフの対応[注 3]を使って交代絡み目の連結な既約交代射影図の交点数は、その絡み目のジョーンズ多項式の径間[注 4]と等しいことを示し、そのことから第二予想が正しいことを導いている。テイトの予想では交代結び目に限定しているが、射影図が連結であれば交代絡み目に対しても成立することが示されたことになる。第一予想もジョーンズ多項式によって解決されており、素な交代絡み目であればその最小交点射影図は全て既約交代射影図であるということも示されている。また、このとき系（corollary）として交代絡み目同士を連結和させた絡み目は交点数はもとの交点数の和に等しいことや交点数が奇数の交代絡み目は両手型[注 5]ではないことを示している。
テイトの反転予想は、1993年にウィリアム・メナスコとティスツルスウェイトによって解決された[2]。
https://en.wikipedia.org/wiki/Tait_conjectures
Tait conjectures
つづく >>562
つづき
https://www.comp.tmu.ac.jp/knotNRG/download/08-suugaku-tsuushin.pdf
結び目の数学
今井 淳 （首都大学東京）
日本数学会・2008 年秋季総合分科会・市民講演会（講演で用いた pdf ファイルが [O] で入手可能）
http://www.math.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/
西山研究室書庫 青山学院大
卒業論文
http://www.math.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/2011/nagashima_sotsuron_2011.pdf
絡み目の不変量と
ジョーンズ多項式
青山学院大学 理工学部 物理・数理学科 2011年度
西山研究室
１５１０８０５６ 永島 真
(引用終り)
以上 >>562-563
都合が悪くなると、話題を変える
ジコチュウ３歳児はこまりまちゅねｗｗｗｗｗｗｗ キーワードで検索するしか能がない
お🐒さんに数学は無理でちゅよ 今日の耳より情報
マウントセレブ金田さん
https://mangacross.jp/comics/kaneda
なんだかんだいってカワイイので
一日中愛し合いたい（変態） 再度念押し（＾＾；
（>>263より）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
コンパクト化（英: compactification）は数学の一分野である位相空間論(英: general topology)の概念である。
一点コンパクト化の例
・n次元ユークリッド空間 Ｒ^n の一点コンパクト化は、n次元球面S^nと同相である。特にリーマン球面^Cは複素平面Cの一点コンパクト化として与えられる。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Riemann_sphere1.jpg/375px-Riemann_sphere1.jpg
複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である。
・自然数全体（離散位相）Ｎ の一点コンパクト化はＮに最大元ωを付け加えた順序集合Ｎ∪{ω}の順序位相と同相になる。
(引用終り)
（>>492より）
a)1 ,2 ,・・ , n,・・→∞
↓↑ｙ＝1/x 全単射
b)1/1,1/2,・・ ,1/n,・・→0
（要するに、グラフ ｙ＝1/x が、数1を境いにして、n←→1/nという対応関係を作るってことです）
上記a)の列は、1を出発して、上記リーマン球面の頂点P(∞)に至る
途中、全ての自然数（加算無限個の点）を渡る
同様に
上記b)の列は、1/1(=1)を出発して、上記リーマン球面の頂点P(0)に至る
途中、全ての自然数の逆数（加算無限個の点）を渡る
つまり、上記a)とb)とは、加算無限長の数列である
そして、リーマン球面を逆に辿ることも可
a’)1 ,2 ,・・ , n,・・←P(∞)
↓↑ｙ＝1/x 全単射
b’)1/1,1/2,・・ ,1/n,・・←P(0)
a)は、ノイマンの構成（>>460より）
0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ：ノイマンの基数割当＊＊）（>>376など）
＊＊）ノイマン構成では、ここまでは、基数と順序数が一致する
ωは、P(∞)に相当します（＾＾
以上 >>567
0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ：ノイマンの基数割当
が正則性公理（基礎の公理）
に反するだぁ～？！（＾＾
バカか！！（＾＾； >>568
>0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ：ノイマンの基数割当
>が正則性公理（基礎の公理）
>に反するだぁ～？！（＾＾
反しません。反するなどと誰も言ってません。
>0∈1∈2∈3・・∈n-1∈n∈・・∈ω ：ノイマンの基数割当
は有限列ですから。∈ωの左は自然数ですから。ωに自然数以外の元はありませんから。
何度同じ説明をさせるのですか？ 落とした脳みそ早く拾ってきなさい。 >>568
正則性公理に反すると言ってるのはシングルトンのωです。
ω={ω} だから ω∈ω∈… なる∈無限下降列が存在するからです。
何度同じ説明をさせるのですか？ 落とした脳みそ早く拾ってきなさい。 ω∈ω∈… なる∈無限下降列が存在するからです。
は
ω∋ω∋… なる∈無限下降列が存在するからです。
に訂正。 >>567
>再度念押し
何度念押ししても間違ってるｗ
>コンパクト化
全然見当違いｗ
>>570
そもそも、正則性公理以前に、Zermeloのωが
{x}というシングルトンの形になってる時点で
ωが極限順序数であることと矛盾します
なぜなら、ω={x}ならば、xは順序数であり ω>x かつ ω=x+1となりますが
ωが極限順序数であれば、ω＞xならば ω＞x+1となります
つまりω>x かつ ω=x+1 となる xは存在せず、矛盾します
一方、正則性公理に反しない形で、Zermeloのωも構成できます
Zermelo構成でのすべての自然数の合併集合を取ればいいだけです
結果として{{},{{}},{{{}}},…}という無限集合になり、
シングルトンではありません
雑談君、ざんね～んｗｗｗｗｗｗｗ >>567
>・自然数全体（離散位相）Ｎ の一点コンパクト化は
> Ｎに最大元ωを付け加えた順序集合Ｎ∪{ω}の順序位相と同相になる。
で？
無限列をR^Nだと定義したときに、
NをかってにN∪{ω}にすり替えてはならない
両者は同濃度ではあるが、順序集合としては異なる
どうも雑談君は、この手の読み間違いが大好きのようだ
正規部分群のときも、「集合として同じ」でなければならないものを
「群として同型」と読み間違って、その結果全ての部分群が、
正規部分群になってしまうという醜態をさらした >>572
(引用開始)
そもそも、正則性公理以前に、Zermeloのωが
{x}というシングルトンの形になってる時点で
ωが極限順序数であることと矛盾します
なぜなら、ω={x}ならば、xは順序数であり ω>x かつ ω=x+1となりますが
ωが極限順序数であれば、ω＞xならば ω＞x+1となります
つまりω>x かつ ω=x+1 となる xは存在せず、矛盾します
(引用終り)
なるほど、
その批判は、結構まともだが、順序数の算術演算（下記）を考えれば、批判が不当なのはすぐ分かるよ
1．>>270の7項のω＝{{・・{・・ {} ・・}・・}} を使う
（なお、最内層の{}が添え字 n・・を消す前の状態で「集積点」になっていると、考えることができる）
2．この場合において、下記の順序数の算術演算 1 + ω = ω ≠ ω + 1 を考える（Ordinal arithmetic wikipewdia もご参照）
3．つまり、ω＝{{・・{・・ {} ・・}・・}} は、無限”ラッキョウの皮むき”（下記）みたいなこと（下記ヒルベルトホテルのパラドックスに類似）
外に皮を加えても、1 + ω = ωです。一方で、最内側の {} → {{}}とすれば
ω＝{{・・{・・ {} ・・}・・}}→ω＝{{・・{・・ {{}} ・・}・・}}
つまり、ω ≠ ω + 1
4．これ以上の細かい議論は、不要でしょう
詳しい、ことは、下記wikipedia「順序数」などで自得願います（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
6 順序数の演算
順序数の和は一般には可換でない。例えば、1 + ω = ω ≠ ω + 1 である。
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic
Ordinal arithmetic
On the other hand, right cancellation does not work:
3+ω =0+ω =ω but 3≠ 0
つづく >>574
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B
順序型
順序型の演算
和
ρ, σ を順序型とする。 全順序集合 (A, <A), (B, <B) を type(A, <A) = ρ, type(B, <B) = σ, A ∩ B = ? をみたすように取り、
略
これを ρ + σ で表す。直観的には、ρ + σ というのは (A, <A) の後ろに (B, <B) を並べてできる全順序集合の順序型である。
https://kotobank.jp/word/%E8%BE%A3%E9%9F%AE%E3%81%AE%E7%9A%AE%E3%82%92%E5%89%A5%E3%81%8F%E3%82%88%E3%81%86-2092180
らっきょうのかわをむくよう 辣韮の皮を剥くよう
精選版 日本国語大辞典の解説
らっきょう【辣韮】 の 皮(かわ)を剥(む)くよう
らっきょうの皮は、むいてもむいても皮ばかりであるところから、実がないのにくり返すたとえ。〔搦手から（1915）〕
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
(引用終り)
以上 >>574
>その批判は、結構まともだが、
「結構」は無用 「完全に」まともですからｗ
>順序数の算術演算を考えれば、批判が不当なのはすぐ分かるよ
雑談君、足し算の仕方が逆だよ、逆ｗ
ｘの外側に「皮」（つまり { と } )を加えるのが ｘ＋１
ｘの最内部の{}の中に{}を入れるのが １＋ｘ
つまり、雑談君のナイーブなやり方でωを作ると
･･･{{{}}}･･･ となり
･･･{{{{}}}}･･･ ＝ ･･･{{{}}}･･･ だが
{ ･･･{{{}}}･･･ } ≠ ･･･{{{}}}･･･ である
で、問題は、そもそも･･･{{{}}}･･･が集合でない、ってこと
例えば、･･･{{{}}}･･･の要素って何すか？
答えられないよね？ 雑談君
そこで、自分のナイーブな考えの誤りに気付かなきゃ
だから大阪人は阿呆とか、京都の人にいわれちゃうんだよｗ >>576
おサルは、全く基礎論に弱いねぇ～ｗ（＾＾
確かに、Zermeloの無限集合の構成下記”this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….”
は、批判された
そして、下記、”3.2.3 Cardinality”、”3.2.3 Cardinality”など
そこで、ノイマンの理論が出た
だが、それと、加算無限シングルトンの非存在とは、全く別物の議論だよ
加算無限シングルトン ω＝{{・・{・・ {} ・・}・・}} の存在を否定することはできない！！
>例えば、･･･{{{}}}･･･の要素って何すか？
それこそ、「ナイーブ」なご質問だよ（＾＾
同じ質問が、ノイマンの”Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}, …”で
全部要素が書けていないじゃんというご批判と同じレベルの話
所詮、”無限”なんて、思念の産物だから、全てが「ナイーブ」な（有限）集合と同じ作りである必要無し！（＾＾；
なお、一言付言しておくが、21世紀のいま
ZFCはできたけれど、普通の数学者が普通に数学をやるのは、ZFCではなく集合の元の存在を許す いわゆる「素朴集合論」の上
ZFCで示されたように、「無茶しなければ、おかしなことは起こらない」（言い換えれば、”おかしなこと”が起こって気付いたら、戻って修正可能）
（つまり”逆数学”みたいなこと）
これが、21世紀の数学の現状だと思うよ（＾＾；
（参考：Zermelo’s Axiomatization）
https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory
First published Tue Jul 2, 2013
1. The Axioms
The introduction to Zermelo's paper makes it clear that set theory is regarded as a fundamental theory:
つづく >>577
つづき
VII.Infinity
This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}. (Thus, this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….)
With the inclusion of this last, Zermelo explicitly rejects any attempt to prove the existence of an infinite collection from other principles, as we find in Dedekind (1888: §66), or in Frege via the establishment of what is known as ‘Hume's Principle’.
The four central axioms of Zermelo's system are the Axioms of Infinity and Power Set, which together show the existence of uncountable sets, the Axiom of Choice, to which we will devote some space below, and the Axiom of Separation.
There were attempts at the statement of axioms before Zermelo, both publicly and in private correspondence.[6] In particular, Cantor, in correspondence with Hilbert and Dedekind in the late 1890s, had endeavoured to describe some principles of set existence[7] which he thought were legitimate, and would not give rise to the construction of what he called ‘inconsistent totalities’, totalities which engender contradictions. (The best known of these totalities were the totality of all ordinals and the totality of all cardinals.) These principles included those of set union and a form of the replacement axiom, as well as principles which seem to guarantee that every cardinal number is an aleph, which we call for short the ‘Aleph Hypothesis (AH)’.
Despite this, there are reasons for calling Zermelo's system the first real axiomatisation of set theory. It is clear above all that Zermelo's intention was to reveal the fundamental nature of the theory of sets and to preserve its achievements, while at the same time providing a general replacement for the CP.
つづく >>578 つづき
2. The Background to Zermelo's Axiomatisation
2.1 Hilbert's Axiomatic Method
2.1.2 Proof analysis and Zermelo's Well-Ordering Theorem [WOT]
2.2 The Well-Ordering Problem and the Well-Ordering Theorem
2.2.1 The importance of the problem before Zermelo
2.2.5 The Axioms of the 1908 WOT Paper
He also adds the Axiom of Infinity, to guarantee that there are infinite sets, and the Axiom of Extensionality, which codifies the assumption that sets are really determined by their members, and not by the accidental way in which these members are selected. In addition, as we have noted, he now calls the Axiom of Choice by this name.
3.2.3 Cardinality
It was pointed out by both Fraenkel and Skolem in the early 1920s that Zermelo's theory cannot provide an adequate account of cardinality. The axiom of infinity and the power set axiom together allow the creation of sets of cardinality ≧ ｱﾚﾌn for each natural number n, but this (in the absence of a result showing that 2^ｱﾚﾌ0 > ｱﾚﾌn for every natural number n) is not enough to guarantee a set whose power is ≧ ｱﾚﾌω, and a set of power ｱﾚﾌω is a natural next step (in the Cantorian theory) after those of power ｱﾚﾌn. Fraenkel proposed a remedy to this (as did Skolem independently) by proposing what was called the Ersetzungsaxiom, the Axiom of Replacement (see Fraenkel 1922: 231 and Skolem 1923: 225?226). This says, roughly, that the ‘functional image’ of a set must itself be a set, thus if a is a set, then {F(x) : x ∈ a} must also be a set, where ‘F’ represents a functional correspondence. Such an axiom is certainly sufficient; assume that a0 is the set of natural numbers {0, 1, 2, …}, and now assume that to each number n is associated an an with power ｱﾚﾌn. Then according to the replacement axiom, a = {a0, a1, a2, …} must be a set, too. This set is countable, of course, but (assuming that the an are all disjoint) the union set of a must have cardinality at least ｱﾚﾌω.
つづく >>579
つづき
3.2.4 Ordinals
Although Kuratowski's work solved many of the representational problems for Zermelo's theory, and the Replacement Axiom shows how the most obvious cardinality gap can be closed, there still remained the issue (Kuratowski's view to one side) of representing accurately the full extent of the theory which Cantor had developed, with the transfinite numbers as fully fledged objects which ‘mirror’ the size/ordering of sets. Once the ordinal number-classes are present, the representation of the alephs is not a severe problem, which means that the representation of transfinite numbers amounts to assuring the existence of sufficiently many transfinite ordinal numbers. Indeed, as was stated above, the hypothesis that the scale of aleph numbers is sufficient amounts to the claim that any set can be ‘counted’ by some ordinal. There are then two interrelated problems for the ‘pure’ theory of sets: one is to show how to define ordinals as sets in such a way that the natural numbers generalise; the other problem is to make sure that there are enough ordinals to ‘count’ all the sets.
The problem was fully solved by von Neumann in his work on axiomatic set theory from the early 1920s. Cantor's fundamental theorems about ordinal numbers, showing that the ordinals are the representatives of well-ordered sets, are the theorem that every well-ordered set is order-isomorphic to an initial segment of the ordinals, and that every ordinal is itself the order-type of the set of ordinals which precede it. These results prove crucial in the von Neumann treatment. Von Neumann's basic idea was explained by him as follows:
つづく >>580
つづき
What we really wish to do is to take as the basis of our considerations the proposition: ‘Every ordinal is the type of the set of all ordinals that precede it’. But in order to avoid the vague notion ‘type’, we express it in the form: ‘Every ordinal is the set of the ordinals that precede it’. (von Neumann 1923, p. 347 of the English translation)
According to von Neumann's idea, 1 is just {0}, 2 is just {0, 1}, 3 is just {0, 1, 2} and so on. On this conception, the first transfinite ordinal ω is just {0, 1, 2, 3, …, n, …}, and generally it's clear that the immediate successor of any ordinal α is just α ∪ {α}. If we identify 0 with Φ, as Zermelo did, then we have available a reduction of the general notion of ordinal to pure set theory, where the canonical well-ordering on the von Neumann ordinals is just the subset relation, i.e., α < β just in case α ⊂ β, which von Neumann later shows is itself equivalent to saying α ∈ β. (See von Neumann 1928, p. 328 of the reprinting.) So again, inclusion orderings are fundamental.
Von Neumann gives a general definition of his ordinals, namely that a set α is an ordinal number if and only if it is a set ordered by inclusion, the inclusion ordering is a well-ordering, and each element ξ in α equals the set of elements in the initial segment of the ordering determined by ξ. This connects directly with Kuratowski's work in the following way. Suppose M is a well-ordered set which is then mirrored by an inclusion chain M in the power set of M. Then the first few elements of the inclusion chain will be the sets Φ, {a}, {a, b}, {a, b, c}, …, where a, b, c, … are the first, second, third …elements in the well-ordering of M. The von Neumann ordinal corresponding to M will also be an inclusion ordering whose first elements will be
つづく >>581
つづき
Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}, …
(in other words, 0, 1, 2, 3…), and we have 0 ⊂ 1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂… in mirror image of Φ ⊂ {a} ⊂ {a, b} ⊂ {a, b, c} ⊂ …
These von Neumann ordinals had, in effect, been developed before von Neumann's work. The fullest published theory, and closest to the modern account, is to be found in Mirimanoff's work published in 1917 and 1921 (see Mirimanoff 1917a,b, 1921), though he doesn't take the final step of identifying the sets he characterises with the ordinals (for an account of Mirimanoff's work, see Hallett 1984: 273?275). It is also clear that Russell, Grelling and Hessenberg were close to von Neumann's general set-theoretic definition of ordinals. But crucially Zermelo himself developed the von Neumann conception of ordinals in the years 1913?1916, (for a full account, see Hallett 1984: 277?280 and Ebbinghaus 2007: 133?134). Zermelo's idea was evidently well-known to the Gottingen mathematicians, and there is an account of it in Hilbert's lectures ‘Probleme der mathematischen Logik’ from 1920, pp. 12?15.[37]
Despite all these anticipations, it is still right to ascribe the theory to von Neumann. For it was von Neumann who revealed the extent to which a full theory of the ordinals depends on the Axiom of Replacement. As he wrote later:
A treatment of ordinal number closely related to mine was known to Zermelo in 1916, as I learned subsequently from a personal communication. Nevertheless, the fundamental theorem, according to which to each well-ordered set there is a similar ordinal, could not be rigorously proved because the replacement axiom was unknown. (von Neumann 1928: 374, n. 2)
つづく >>582
つづき
The theorem von Neumann states is the central result of Cantor's mentioned here in the second paragraph of this section. As von Neumann goes on to point out here (also p. 374), it is the possibility of definition by transfinite induction which is key, and a rigorous treatment of this requires being able to prove at each stage in a transfinite inductive process that the collection of functional correlates to a set is itself a set which can thus act as a new argument at the next stage. It is just this which the replacement axiom guarantees. Once justified, definition by transfinite induction can be used as the basis for completely general definitions of the arithmetic operations on ordinal numbers, for the definition of the aleph numbers, and so on. It also allows a fairly direct transformation of Zermelo's first (1904) proof of the WOT into a proof that every set can be represented by (is equipollent with) an ordinal number, which shows that in the Zermelo system with the Axiom of Replacement added there are enough ordinal numbers.[38]
It is thus remarkable that von Neumann's work, designed to show how the transfinite ordinals can be incorporated directly into a pure theory of sets, builds on and coalesces with both Kuratowski's work, designed to show the dispensability of the theory of transfinite ordinals, and also the axiomatic extension of Zermelo's theory suggested by Fraenkel and Skolem.
4. Further reading
つづく >>583
つづき
（追加参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ブラリ＝フォルティのパラドックス(Burali-Forti paradox)とは、数学の集合論におけるパラドックスの一つであり、「全ての順序数の集合」という概念を素朴に導入すると矛盾が起こるという主張。即ちそのような存在を許す体系は自己矛盾していることを示す。
ZFCにおけるパラドックスの解決
現代的な公理的集合論においては、無制限な包括原理、つまり「性質Pを満たす全てのものの集合」というような集合の構成を単純に禁止することでこの矛盾を回避している。例えばゴットロープ・フレーゲの公理系ではこれはまだ禁止されていなかった。なお、NFでは異なった解決法が採られている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ラッセルのパラドックス
矛盾の解消
ラッセルの時代には何をもって集合と呼ぶかがはっきりしていなかったので、概要で述べた議論は集合論の矛盾を指摘するかに見えた。しかし公理的集合論によって何をもって集合とするかについての形式的な整備が進むとともに、素朴（だが超越的）なR の構成を許容しない体系が構築された。
2.単純型理論による解消
項に型と呼ばれる自然数 0,1,2,… を割り当て、述語記号 ∈ を (n階の項)∈(n+1階の項) の形でのみ許容する（すなわち論理式の文法を制限する）ことで矛盾を回避する。単純型理論は階型毎に無制限の内包公理を持つが、無矛盾である。
(引用終り)
以上 >>584 補足
>ラッセルのパラドックス
>矛盾の解消
> 2.単純型理論による解消
>項に型と呼ばれる自然数 0,1,2,… を割り当て、述語記号 ∈ を (n階の項)∈(n+1階の項) の形でのみ許容する（すなわち論理式の文法を制限する）ことで矛盾を回避する。単純型理論は階型毎に無制限の内包公理を持つが、無矛盾である。
おサルが以前言っていたのは、これ
「単純型理論」： ”項に型と呼ばれる自然数 0,1,2,… を割り当て、述語記号 ∈ を (n階の項)∈(n+1階の項) の形でのみ許容する”
って話だろ？
でも、ZFCは「単純型理論」ではない！ｗ（＾＾； >>577
>>例えば、･･･{{{}}}･･･の要素って何すか？
>それこそ、「ナイーブ」なご質問だよ
もったいつけずに答えろよ ナイーブ雑談君
おまえがもったいつけてる時は、
大体答えが分かってないｗｗｗ >>577
>普通の数学者が普通に数学をやるのは、
>ZFCではなく集合の元の存在を許す
>いわゆる「素朴集合論」の上
「集合の元の存在」とかなにわけわかんないこといってんだこのマウント🐎🦌ｗ >>577-583
まーた、わけもわからず英語で下痢💩コピペ垂れ流してるね 雑談君はｗｗｗ >>585
>おサルが以前言っていたのは、これ
>「単純型理論」： ”項に型と呼ばれる自然数 0,1,2,… を割り当て、
>述語記号 ∈ を (n階の項)∈(n+1階の項) の形でのみ許容する”
>って話だろ？
出たｗ
ラッセルパラドックスの解決法が一つしかないと思ってる
正真正銘のパクチー🐎🦌ｗｗｗｗｗｗｗ >>572
>結果として{{},{{}},{{{}}},…}という無限集合になり、
この集合なら、そのどの元も"有限重カッコ"だから、この集合を起点とする∈下降列は有限列にしかなり得ない：従って正則性公理を満たしますね。
誰かさんのイカサマ集合と違ってｗ >>567
>・自然数全体（離散位相）Ｎ の一点コンパクト化は
> Ｎに最大元ωを付け加えた順序集合Ｎ∪{ω}の順序位相と同相になる。
∈無限下降列が存在しないことに変わりは有りませんよ？
なぜなら、N∪{ω}∋ω∋n∋n-1∋…∋1∋0 の形の∈降下列以外存在しませんから。
なぜなら、ωの元は自然数nですから。
あなたがやっていることは有限降下列 ω∋n∋n-1∋…∋1∋0 に1項追加しただけですｗ
有限＋１＝有限ですｗｗｗ 瀬田くんへ
>で、問題は、そもそも･･･{{{}}}･･･が集合でない、ってこと
･･･{{{}}}･･･なる集合が存在することを、ZFCの公理を使って証明してごらんなさい。
できなければ間違いを認めなさい。 >>577
>加算無限シングルトン ω＝{{・・{・・ {} ・・}・・}}
まず、その書き方から間違ってます。
"{{・・{・・ {" は有限個です。無限個であれば "・・ {{" または "{{・・" と書きましょう。
> の存在を否定することはできない！！
では肯定して下さい。
肯定するにはZFCの公理から出発して "・・{{}}・・" が集合として存在することを証明する必要があります。証明して下さい。できなければ間違いを認めましょう。
>>例えば、･･･{{{}}}･･･の要素って何すか？
>それこそ、「ナイーブ」なご質問だよ（＾＾
ナイーブな質問にすら答えられないなら間違いですね。
>同じ質問が、ノイマンの”Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}, …”で
>全部要素が書けていないじゃんというご批判と同じレベルの話
いいえ違います。
「{Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}, …} の要素は何か？」と問われれば
「Φは要素である」と答えられます。
誰も「全ての要素を書け」なんて要求してませんよ？
>所詮、”無限”なんて、思念の産物だから、全てが「ナイーブ」な（有限）集合と同じ作りである必要無し！（＾＾；
数学では無限は厳密に定義されています。
「思念の産物」が何を指してるのか知りませんが、無限はファンタジーではありません。
そうでなければ無限を含む理論は構築できません。堅牢な基礎が無ければ家は建ちません。あなたは数学を大いに誤解しています。 >>577
>なお、一言付言しておくが、21世紀のいま
>ZFCはできたけれど、普通の数学者が普通に数学をやるのは、ZFCではなく集合の元の存在を許す いわゆる「素朴集合論」の上
違います。
lim[n→∞](1/n)=0 をいちいちεN論法で示さないからといって、εN論法が廃れていると考えるのは大間違い。
同じようにZFCから証明しないからといって、ZFCが廃れてると考えるのは大間違い。
>ZFCで示されたように、「無茶しなければ、おかしなことは起こらない」（言い換えれば、”おかしなこと”が起こって気付いたら、戻って修正可能）
>（つまり”逆数学”みたいなこと）
>これが、21世紀の数学の現状だと思うよ（＾＾；
いみふｗ
そもそも大学1年4月に落ちこぼれたあなたが21世紀の数学を語るのも変な話ですけどねｗ >>594
>大学1年4月に落ちこぼれたあなた
この件は私があくまで憶測としていってるにすぎないのだが
雑談君は、いまだかつて一度も否定したことがない
やっぱり当人も自覚してるようだ・・・大学1年の4月から
大学の数学には全然いけてないなと・・・
これを我々はこう呼びたい
「大学デビューｗｗｗ」 ωに関する初歩的なこと
１．0<1<2<3<･･･
と１つづつ上がっていく<上昇列は、決してωに到達しない
２．ωから下がっていく>下降列で、
全ての自然数が出てくるようなものは存在しない
雑談君は、１も２も踏み外したpervert
You pervert the definition of the ascending and descending chain. 雑談君が出た大学
それは・・・パーヴァート大学ｗｗｗ おサルが二匹か
>>596 より
1．「１．0<1<2<3<･･･
と１つづつ上がっていく<上昇列は、決してωに到達しない」
これ違うよ、>>496に書いた通りだよ
「（>>471より）
https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&;item_id=6883
数理論理学（2）
小野 寛晰
(引用終り)
小野 寛晰先生を読むと、レーベンハイムスコーレムで、無限集合はできるけれども、
一階述語論理では、ハッキリと「出来た」と示すことができない
この”できない”が、ゲーデルの不完全性定理と関連しているそうです
そんなこんなで、無限公理をおいて、ハッキリと「出来た」と示す」
ってことだよ、分かってないね
2．「ωから下がっていく>下降列で、
全ての自然数が出てくるようなものは存在しない」
これ違うよ。>>567に書いた通り
リーマン球面^Cの頂点、図でP (∞)と書かれている部分の無限遠点から、実軸の正のラインに沿って実数1まで降りてくると、途中全ての自然数を通過するよ
逆に、リーマン球面^Cの最下点、図でP (0)と書かれている部分の原点0に相当の点から、実軸の正のラインに沿って実数1まで上ると、途中全ての単位分数点 ・・1/n,・・1/2，1/1を通過するよ
つまりは、幾何学的に考えれば、リーマン球面^C上に、加算無限個の点があって、それらの点を全て通過することもできるし、
加算無限個の点にラベルをつければ、∞＝P (∞)→・・n,・・,2,1 、0＝P (0)→・・1/n,・・1/2，1/1 両方とも、加算無限長の数列になる
（人には自明だが、おサルには難しい？）
以上 >>593
(引用開始)
>>例えば、･･･{{{}}}･･･の要素って何すか？
>それこそ、「ナイーブ」なご質問だよ（＾＾
ナイーブな質問にすら答えられないなら間違いですね。
(引用終り)
幼稚な議論だな
集合論で、有限集合の場合には、要素の列挙とか
カッコ｛｝の存在を語ることができるけれども
無限集合とくに、連続無限ω1や、その上2＾ω1 レベルになると
要素の列挙とかカッコ｛｝の存在云々などは、議論にならなくなる
議論のレベルが低すぎる
以上 >>598
>1．「１．0<1<2<3<･･･
> と１つづつ上がっていく<上昇列は、決してωに到達しない」
> これ違うよ、>>496に書いた通りだよ
一つずつ上がっていってωに到達するなら、ωに到達する一つ前が何であるか答えて下さい。
>2．「ωから下がっていく>下降列で、
> 全ての自然数が出てくるようなものは存在しない」
> これ違うよ。>>567に書いた通り
全ての自然数が出て来る下降列が存在するなら、それら自然数のうちωに最も近いもの（ω-nが最小となるようなn）が何であるか答えて下さい。 >>599
>(引用開始)
>>>例えば、･･･{{{}}}･･･の要素って何すか？
>>それこそ、「ナイーブ」なご質問だよ（＾＾
>ナイーブな質問にすら答えられないなら間違いですね。
>(引用終り)
>幼稚な議論だな
>集合論で、有限集合の場合には、要素の列挙とか
>カッコ｛｝の存在を語ることができるけれども
>無限集合とくに、連続無限ω1や、その上2＾ω1 レベルになると
え？？？
・・・{{}}・・・ってシングルトンじゃないんですか？
シングルトンの意味分かってます？
要素が一つの集合、つまり有限集合ですけど？？？
>要素の列挙とかカッコ｛｝の存在云々などは、議論にならなくなる
誰も列挙なんて求めてませんよ？
「・・・{{}}・・・の要素をどれでもよいので一つ答えて下さい」と言ってるのですよ？
一つも答えられないのに集合と言えるんですか？
>議論のレベルが低すぎる
「有限集合の要素をどれでもよいので一つ答えて下さい」
というこれ以上無いほど簡単な問いに答えられない方がよっぽど低レベルでは？ >>598
ま～た Pervert大卒の雑談君が
無限上昇列について変態解釈してるねｗ
>1．「１．0<1<2<3<･･･
> と１つづつ上がっていく<上昇列は、決してωに到達しない」
> これ違うよ、>>496に書いた通りだよ
全然見当違いだよ キミぃｗ
そもそも自然数の集合は
0<1<2<3<･･･
という無限上昇列の到達点ではない
なぜなら・・・、N-1が存在しないから！
いいかい？文章は一字一句省略せずに読み切ろうね
「１つづつ上がっていく」と書いたよね？
だからいかなる項も直前の項に１を加えたものでなければならない！
「極限」？ ダメダメ、そんなものここでは認めてないから！
一階も二階も関係ないんだよｗ >>598
ま～た Pervert大卒の雑談君が
無限下降列について変態解釈してるねｗ
>2．「ωから下がっていく>下降列で、
> 全ての自然数が出てくるようなものは存在しない」
> これ違うよ。>>567に書いた通り
全然見当違いだよ キミぃｗ
>リーマン球面^Cの頂点、図でP (∞)と書かれている部分の無限遠点から、
>実軸の正のラインに沿って実数1まで降りてくると、途中全ての自然数を通過するよ
>つまりは、幾何学的に考えれば、・・・
ラインに沿って？ 幾何学的に考える？
ダメダメｗｗｗ
キミさ、>下降列なんだから
まず、ωと書いたら、
次に、 > と書いて、
そして、ωより小さい項を書かなきゃ
で、君のいう「ラインに沿って」いった場合、
ωより小さい「最初」の項は何？
書けなかったら君の負けｗｗｗ
♪負けた 負けた また負けた
勝ってもいいのに、また負けた
大阪人ってアホしかおらんの？ｗｗｗｗｗｗｗ
リーマンがきいて呆れる
アホのキミはピーマンでも食べてなさいｗ >>599
>>>>例えば、･･･{{{}}}･･･の要素って何すか？
>>>それこそ、「ナイーブ」なご質問だよ（＾＾
>>ナイーブな質問にすら答えられないなら間違いですね。
>幼稚な議論だな
ま~た、三歳児が
「ちがわい、ちがわい」
ってむしゃぶりついてきたなｗｗｗ
>集合論で、有限集合の場合には、要素の列挙とか
>カッコ｛｝の存在を語ることができるけれども
>無限集合とくに、連続無限ω1や、その上2＾ω1 レベルになると
>要素の列挙とかカッコ｛｝の存在云々などは、議論にならなくなる
無限集合？何が？ｗ
キミさ、シングルトンっていったよね？
シングルトンの意味、わかってる？
要素が一つしかない集合のことだよ？
完全な有限集合じゃんｗｗｗ
どこに無限集合があるのｗｗｗｗｗｗｗ
>議論のレベルが低すぎる
理解のレベルが底抜けに低いなｗ
{{}}の要素は{}だけだよ
{{{}}}の要素は{{}}だけだよ （{}は要素じゃない！）
{{{{}}}}の要素は{{{}}}だけだよ （{{}}も{}も要素じゃない！）
・・・
で、
･･･{{{}}}･･･の「唯一」の要素は？
シングルトンなんだよね？
一個しかないんだから、くっきりはっきり明確に答えられるよね？
書けなかったら君の負けｗｗｗ
♪負けた 負けた また負けた
勝ってもいいのに、また負けた
大阪人ってアホしかおらんの？ｗｗｗｗｗｗｗ
リーマンがきいて呆れる
アホのキミはピーマンでも食べてなさいｗ 雑談君の変態数学人生を描いた超大作映画
「お🐒の🐎🦌」
●子 「なんで、お🐒、すぐ間違うん？」
●ャア「トンマだからさ！」 雑談君、2021/5/3に死すｗ
雑談君「0から1ずつ加算して、ωに至る！」（キリっ）
ＭＰ 「じゃ、ωの１つ前って何？」
雑談君答えられずｗｗｗ
雑談君「･･･{{{}}}･･･は無限集合」（キリっ）
ＭＰ 「え？君、シングルトンっていってたよね？要素１個じゃないの？」
雑談君反論できずｗｗｗ スレ主よ、サル石によれば、
無限小という最小の正の実数
直線の辺の数が２で角の数が２の二角形
最大の自然数∞
最大の正の実数∞
が存在するそうだ（笑
定義すれば存在するそうだ（笑
ナンセンスだが存在するそうだ（笑
ほとんど白痴である（笑 >>607
哀れな素人さん、どうも
スレ主です
(引用開始)
無限小という最小の正の実数
直線の辺の数が２で角の数が２の二角形
最大の自然数∞
最大の正の実数∞
が存在するそうだ（笑
定義すれば存在するそうだ（笑
ナンセンスだが存在するそうだ（笑
ほとんど白痴である（笑
(引用終り)
白痴に同意です
1）無限小を超準解析で定義できるですね
2）直線→線分ですね。角の定義によりますが、一つの角を定義するのに2本の線分が必要です。異なるぬ二つの角を定義するのに、4つの線分が必要ですが、1本の線分を共有するとしても、線分は最低3本必要でしょう
3）∞を持つ拡張自然数は、定義可能ですが、∞は普通の自然数と区別するのが標準
4）実数の∞も、上記3）に同じ
5）「定義すれば存在する」とは、言えません。背理法でよく使われます。√2＝a/b となる有理数は存在しない。∵ 定義”√2＝a/b”から矛盾が導かれるから（＾＾
まあ、しっかり遊んでやってください
世間では、相手にされていませんので（＾＾；
（参考）
http://chirasi.moo.jp/066.html
数学が苦手な中学生のための
反撃の数学
中学１年数学：平面図形
【６６】線分・直線・半直線の意味と違い
さて今回出てきた平面図形の大事な用語の一つ。
線分・直線・半直線。
これらの意味と違いを理解しなければなりません。
例えば線分ＡＢは、点Ａから点Ｂまでのまっすぐな線です。 >>607
>無限小という最小の正の実数
まず、0より大きい「最小の」正の実数は存在しません
また、無限小を
「いかなる自然数ｎについてもｎε＜１となるε＞０」
と定義するなら、そのような実数は、定義により存在しません
（定義の一つであるアルキメデスの性質に反するので）
>無限小を超準解析で定義できるですね
超準解析における無限小とは
「いかなる”標準的”自然数ｎについてもｎε＜１となるε＞０」
であって、超準自然数まで含めれば、
必ずあるｎが存在してｎε＞＝１となるので、
やはり、実数上では無限小は存在しません
（つまり、超準解析における無限小は、超準実数であって
厳密な意味でのアルキメデスの性質を否定するものではありません） >>607
>最大の自然数∞
自然数の定義により存在しません
なぜなら、いかなる自然数ｘもｘ＜ｘ＋１となる自然数ｘ＋１を有するからです
>∞を持つ拡張自然数は、定義可能ですが、∞は普通の自然数と区別するのが標準
拡大自然数の全体は、自然数の全体を包含しますが、一致はしません
つまり∞は自然数ではない拡大自然数です
ここを区別できないと 雑談君のような変態数学野郎に成り下がりますｗ 安達弘志は何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も教えても一つも理解できない阿呆だから諦めた方がいい >>607
>定義すれば存在するそうだ
>ナンセンスだが存在するそうだ
定義しても矛盾すれば存在しない
ナンセンスが矛盾を指すなら存在しない
ついでにいうと、無限公理も、平行線公準の否定も、矛盾を導くとはいえない
したがって、無限集合も、双曲幾何も、否定できない
>白●に同意です
雑談君は日本語が話せないｗ
上記も
「白●君のいうことに同意です」なのか
「”サル石”なるものが白●であることに同意です」なのか不明
安達氏のいうことをいちいち真っ向否定してる時点で
雑談君は安達と論争すればいいだろう
しかしその場合確実に雑談君が負けるね
雑談君は論理がないから安達氏にも論破される
大阪大卒はやっぱり京都大卒より🐎🦌だったｗｗｗ >>611
安達氏はそもそも無限を受け入れたくない人なので致し方ない
雑談君は無限を認めてるつもりで間違う畜生なので、焼いて食うしかないｗ 「シングルトンは無限集合」や「ωの前者が存在する」とか言っちゃう瀬田も安達弘志と同類。
数学？到底無理ですね。諦めて下さい。 >>614
雑談君 変態数学語録
「シングルトンは無限集合」
「ωの前者が存在する」
大阪大学？うそだろｗｗｗｗｗｗｗ >>599 補足
(引用開始)幼稚な議論だな
集合論で、有限集合の場合には、要素の列挙とか
カッコ｛｝の存在を語ることができるけれども
無限集合とくに、連続無限ω1や、その上2＾ω1 レベルになると
要素の列挙とかカッコ｛｝の存在云々などは、議論にならなくなる
議論のレベルが低すぎる
(引用終り)
例えば、
問1．実数の超越数の集合（C＼Aの実数部分。Cは複素数、Aは代数的数） を、ZFC中で空集合｛｝から構成してみせよ
（実数の超越数の集合の元を、ZFC中で空集合｛｝から構成せよ ）
問2．複素関数で、解析関数のクラス C^ωを、ZFC中で空集合｛｝から構成してみせよ
（解析関数のクラス C^ωの元を、ZFC中で空集合｛｝から構成せよ ）
この問1、2とも、連続体濃度を持つ集合だそうな（下記）
これが、おサルたちの論法どおり、空集合｛｝からZFCの公理とカッコ（｛、｝）を用いて きちんと それらが構成できるなら、おサルの実力を認めるよ
だが、問1、2とも 簡単に外側の｛｝だとか、空集合｛｝からの構成を示せないだろう？！ｗｗ（＾＾；
おサルの論法は、空集合｛｝から 外側の｛｝を持つ構成が示されないと、その集合が存在しないことになるんだろ？ｗ バカじゃんｗｗ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E6%BF%83%E5%BA%A6
連続体濃度
性質
連続濃度の非可算性
別の説明
上の等式
c=2^ｱﾚﾌ0
は、
1/2 = 0.50000..., 1/3 = 0.33333..., π = 3.14159....
などの実数の無限十進小数展開（最初の二つは循環小数の例でもある）を用いても説明できる。整数全体の成す集合の濃度は ｱﾚﾌ0
c≦ 10^ｱﾚﾌ 0≦ (2^4)^ｱﾚﾌ0=2^4・ｱﾚﾌ0=2^ｱﾚﾌ0
を得る。ここで 4ｱﾚﾌ0 = ｱﾚﾌ0 を用いた。他方、2 = {0, 1) を例えば (3, 7} に移すことにし、十進小数展開に 3 か 7 しか現れないような実数のみを考えれば、
2^ｱﾚﾌ 0≦ c2^ｱﾚﾌ 0≦ c
となることがわかるから、ベルンシュタインの定理によって表式を得る。
つづく >>616
つづき
連続体濃度をもつ集合
・R: 実数全体の成す集合。
・超越数全体の成す集合。
・C^0(R): R から R への連続函数全体の成す集合。
連続体濃度よりも大きな濃度
・R^R: 実変数実数値の函数 R → R の全体の成す集合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0
滑らかな関数
関数の滑らかさ（なめらかさ、英: smoothness）は、その関数に対して微分可能性を考えることで測られる。より高い階数の導関数を持つ関数ほど滑らかさの度合いが強いと考えられる。
滑らかな関数
関数 f が（それが属する文脈での議論に用いるに）十分大きな n に関して Cn-級であるとき、滑らかな関数（なめらかなかんすう、smooth function）と総称される。
関数 f は十分滑らかであるともいう。このような語法を用いるとき、n は十分大きければよく、その値が厳密に知られている必要はないし、とくに n は固定して考えないのが通例である。 そのような状況下では多くの場合、「滑らかな関数」のクラスとして無限回微分可能関数のクラス C^∞ や解析関数のクラス C^ω を考えるのが、議論の便宜からして有用である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0
複素解析において、正則関数[注 1]（せいそくかんすう、英: regular analytic function[2]:124）あるいは整型函数[注 2][3]（せいけいかんすう、英: holomorphic function[注 3]）とは、ガウス平面あるいはリーマン面上のある領域の全ての点で微分可能であるような複素変数複素数値函数（英語版）のことである[5][6][7]。
(引用終り)
以上 >>616
必死で話そらす、変態雑談君ｗｗｗｗｗｗｗ
雑談君は
「シングルトン･･･{{{}}}･･･は無限集合！！！」
って言い切った瞬間に、自ら完全な変態だと
白状しましたｗｗｗｗｗｗｗ >>616 補足
(引用開始)
問1．実数の超越数の集合（C＼Aの実数部分。Cは複素数、Aは代数的数） を、ZFC中で空集合｛｝から構成してみせよ
（実数の超越数の集合の元を、ZFC中で空集合｛｝から構成せよ ）
問2．複素関数で、解析関数のクラス C^ωを、ZFC中で空集合｛｝から構成してみせよ
（解析関数のクラス C^ωの元を、ZFC中で空集合｛｝から構成せよ ）
(引用終り)
1．もし、これがZFCでなく、普通の日常数学なら簡単な話だ
問1は、カントール先生がやった通りです。>>616の連続体濃度 wikipediaの説明にある通りです
つまり、無限小数展開を考えれば良い。それで、実数Rが構成できたら、代数的数Aを定義して、R＼Aを作れば良い
超越数の集合の元？ τr1,τr2,・・とでも書きたいところだが、可算じゃないからまずい
｛τrt | tは連続体濃度で超越数を渡る｝なんて書くと、トートロジーになる（下記）
2．同様に、連続関数なら連続体濃度だが、”連続”を外した一般の関数では、2^ｱﾚﾌ1 つまり、連続体より上の濃度になる
解析関数は、連続関数でもあるので、連続体濃度だ
問2は、普通ワイエルシュトラスの論法で、べき級数展開と一致の定理を使って、解析関数のクラス C^ωを定義できるだろう
だが、「ZFC中で空集合｛｝から構成」ってどうやるの？
一番外のカッコ｛｝はどれですか？ｗｗ（＾＾；
解析関数のクラス C^ωのZFCにおける 一番外のカッコ｛｝とか
あるいは、解析関数の元f(z)の 一番外のカッコ｛｝ってな～んだ？
一番外のカッコ｛｝が無いと、集合じゃない？ｗ
幼稚な議論だな！！ ｗｗ（＾＾
（参考）
https://studyhacker.net/what-is-tautology
STUDY HACKER
2020-01-17
トートロジーの意味とは？ 気をつけたい、論理崩壊の話法
トートロジー（tautology）とは、同語反復・同義語反復の意味。たとえば、「自律神経って何？」と聞かれたとき、「自律神経は……自律神経だよ」と返してしまうのが、トートロジーです。同じ言葉を繰り返しているだけで、何の説明にもなっていません。
(引用終り)
以上 >>616 補足
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E6%BF%83%E5%BA%A6
>連続体濃度
> 1/2 = 0.50000..., 1/3 = 0.33333..., π = 3.14159....
>などの実数の無限十進小数展開（最初の二つは循環小数の例でもある）を用いても説明できる。整数全体の成す集合の濃度は ｱﾚﾌ0
ここ
”1/2 = 0.50000..., 1/3 = 0.33333..., π = 3.14159....”などは
実際に可算無限長でなければならない
∵ 有限長では、有理数にしかならない
π = 3.14159....の小数の桁数は？ｗ
3.14なら小数第二位まで
3.141なら小数第三位まで
・
・
とつづく
当然、小数第∞位までだよ（有限で打ち切ったらまずいよ）
「小数第∞位まで」を受け入れられない人（＝おサル）
隔離スレへお帰りくださいｗｗｗ（＾＾； >一番外のカッコ｛｝が無いと、集合じゃない？ｗ
>幼稚な議論だな！！ ｗｗ（＾＾
キミ、中学出て無いでしょ
一番外のカッコが無くても集合なんて言ってたら中学卒業できないよ？ >当然、小数第∞位までだよ
小数第∞位なんてありませんよ？
小数の位は自然数で識別されます。∞は自然数ではありません。 >>620
>π = 3.14159....の小数の桁数は？ｗ
πは無限小数ですよ？
>当然、小数第∞位までだよ（有限で打ち切ったらまずいよ）
誰が無限小数を有限で打ち切ったんですか？また妄想ですか？
>「小数第∞位まで」を受け入れられない人（＝おサル）
小数の位は自然数です。∞は自然数ではないので小数第∞位なんて存在しません。
無限小数は極限で定義されます。
>隔離スレへお帰りくださいｗｗｗ（＾＾；
あなたに数学は無理なので数学板から出て行って下さい >>619 補足
1．ZFCは、20世紀初頭に顕在化したいろいろなパラドックスを克服すべく、
公理的集合論と一階述語論理で
パラドックスを出さずに、
当時知られていた全数学を展開することを企図した
2．それは一応は成功したけれども、
ゲーデルの不完全性定理によれば、
それは当初の目論見とは違う形になった
3．21世紀の日常の数学は、ZFCに縛られない
全てを空集合｛｝から導く必要もないし、一階述語論理にも縛られない
4．ZFCの役割は、日常の数学を純化して、
パラドックスを回避できることを示したこと
4．一方で、日常の数学としては、不便で迂遠なのです
21世紀のトレンドは、圏論であり、高階論理であり、逆数学などです
集合にはカッコ｛｝がいる？
全てを、空集合｛｝から構成しないとだめ？
そんなことは、全くありません！！
21世紀の数学は、20世紀の数学より、もっと自由です！！！（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB
クルト・ゲーデル
クルト・ゲーデル（Kurt Godel, 1906年4月28日 - 1978年1月14日）は、オーストリア・ハンガリー帝国出身の数学者・論理学者・哲学者である。業績には、完全性定理、不完全性定理[1]および連続体仮説に関する研究が知られる。
(引用終り)
以上 無限集合には一番外側のカッコが無いというのは嘘ですね。
例えばN={ {}, {{}}, { {}, {{}} } ,…}
には一番外側のカッコがあり、それを外した
{}, {{}}, { {}, {{}} } ,…
がNの元です。
一方…{{}}…には一番外側のカッコがありません。
一番外側のカッコが無ければ集合でないことは中学生でも知ってます。 >>624
>集合にはカッコ｛｝がいる？
はい、要ります
あなたは中学の学力が無いので中学の課程を履修された方が良いかと >>624
>集合にはカッコ｛｝がいる？
ええｗ いらないとかいってるパクチーは数学やめたほうがいい 無駄だからｗ
>全てを、空集合｛｝から構成しないとだめ？
実数くらい、空集合{}から構成できますが、何か？
実数の集合が構成できるのだから
その部分集合である無理数や超越数の集合も
構成できちゃいますね
いったい雑談君はどんな変態思考してるんだろうｗｗｗ >>619
>ZFCでなく、普通の日常数学なら簡単な話だ
>実数Rが構成できたら、代数的数Aを定義して、R＼Aを作れば良い
この🐎🦌、置換公理から分出公理が導けることも知らんのかな？ｗ
実数の集合はもちろん、無限小数という
「特殊な有理コーシー列」として定義できます
この場合、有限小数のところでは
同値な無限小数展開があるので
どっちか一方を捨てます
（例えば1.000･･･と0.999･･･なら、後者を捨てるとか）
有理数、そして、その無限列をどうやって集合で表すかは
大した話じゃないので、検索して見つけてくださいね
検索🐒の雑談君ｗｗｗｗｗｗｗ >>609
きっと最小の意味すら理解出来てないでしょ。 >>620
>当然、小数第∞位までだよ（有限で打ち切ったらまずいよ）
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
変態数学の覇者、雑談君は正真正銘のパクチー🐎🦌野郎
>「小数第∞位まで」を受け入れられない人
数学者全員ｗｗｗｗｗｗｗ
自然数に∞なんてありましぇ～んｗｗｗ
R^Nに、∞番目の最後の項なんてありましぇ～んｗｗｗ
したがって「ほとんどすべての無限列で決定番号∞」なんてありえましぇ～ん
いかなる無限列でも決定番号は自然数でぇ～す
そうじゃないと、同値になりましぇ～ん
かってにＮを、Ｎ∪{∞}にすり替えるなよ
雑談君こと小保方晴夫「∞は自然数の中にありまぁす」
ねぇよｗｗｗｗｗｗｗ この変態野郎 大学１年４月の実数の定義で落ちこぼれた変態野郎の雑談君に質問
U_1=[0,0.9] (0以上0.9以下の数からなる閉区間)
U_2=[0,0.99] (0以上0.99以下の数からなる閉区間)
･･･
U_n=[0,0.9･･･(n個)･･･9] (0以上0.9･･･(n個)･･･9以下の数からなる閉区間)
と定義し
U＝∪U_i(i∈N) (全ての自然数iでのU_iの和集合)
と定義する
さて、
Q1. 0.999･･･(自然数で位置が表せる全ての桁の値が9)は、Uの要素か？
Q2. 0.***･･･なる小数で、Q1の0.999･･･以外の小数は、Uの要素か？ >>496
>https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&;item_id=6883
>数理論理学（2）
>小野 寛晰
小野 寛晰（ヒロアキラ）先生
数理論理学（2）
分かり易い！（＾＾
https://researchmap.jp
小野 寛晰
オノ ヒロアキラ (Hiroakira Ono)
所属北陸先端科学技術大学院大学 名誉教授
学位
理学博士(京都大学)
理学修士(東京大学)
経歴
2013年 - 2017年北陸先端科学技術大学院大学 シニア プロフェッサー
2008年 - 2013年北陸先端科学技術大学院大学、特別招聘教授
1993年 - 2008年北陸先端科学技術大学院大学 教授
1985年 - 1993年広島大学 教授
1976年 - 1985年広島大学 助教授 >>632
＞分かり易い！
そうか全くわからんかｗｗｗｗｗｗｗ
命題論理も分かってない貴様には到底無理wｗｗ
さっさと以下の質問に答えてみろ オチコボレ変態野郎
U_1=[0,0.9] (0以上0.9以下の数からなる閉区間)
U_2=[0,0.99] (0以上0.99以下の数からなる閉区間)
･･･
U_n=[0,0.9･･･(n個)･･･9] (0以上0.9･･･(n個)･･･9以下の数からなる閉区間)
と定義し
U＝∪U_i(i∈N) (全ての自然数iでのU_iの和集合)
と定義する
さて、
Q1. 0.999･･･(自然数で位置が表せる全ての桁の値が9)は、Uの要素か？
Q2. 0.***･･･なる小数で、Q1の0.999･･･以外の小数は、Uの要素か？ >>625
>一番外側のカッコが無ければ集合でないことは中学生でも知ってます。
じゃ、いま一つの超越数αがあるとする
おサルは、数は集合だと言ったろ？
だったら、超越数αを、空集合｛｝から表現してみてよ（>>619ご参照）
一番外側のカッコがつくようにして
但し、その表現で、きちんと「αは超越数である」ということが分かるようにね
それが出来たら、あんたの実力を認めるが、まあ出来ないだろうね、あんたには（＾＾
おれはさ、超越数αを、「空集合｛｝から始めて一番外側のカッコがつくように」具体的に表現するなんて必要はさらさらないと思うよ
”一番外側のカッコ”なんてのは、せいぜい自然数までの話だよ
おれはさ、解析関数のクラス C^ωの元ｆ(z)もさ、
「空集合｛｝から始めて一番外側のカッコがつくように」具体的に表現するなんて必要はさらさらないと思うよ
一番外側のカッコがついたら集合で
無かったら、集合ではないとかさ
そういう幼稚な話は、
中学校レベルだわさ、おサルさん ｗ（＾＾； >>634
>但し、その表現で、きちんと「αは超越数である」ということが分かるようにね
意味がわからんｗ
集合表現からわかるのは、有理数の列、ということまで
それで何が気に入らんのか？このパクチーはｗｗｗ 例えば、オイラーの定数γは、当然実数として表せる
しかし超越数どころか無理数かどうかも定かでない
つまり、実数としての表現から、ただちに
超越数とか無理数とかわかるなら苦労しない
ということｗｗｗ
こんな初歩的なこともわからん変態パクチーは
数学に一切興味もつな で、オチコボレの雑談君は、以下の質問の答えはわかったか？
わからんようじゃ、死ぬまで大学１年４月の壁がやぶれず
高卒のままクタバルぞ、このド阿呆大阪人ｗｗｗ
U_1=[0,0.9] (0以上0.9以下の数からなる閉区間)
U_2=[0,0.99] (0以上0.99以下の数からなる閉区間)
･･･
U_n=[0,0.9･･･(n個)･･･9] (0以上0.9･･･(n個)･･･9以下の数からなる閉区間)
と定義し
U＝∪U_i(i∈N) (全ての自然数iでのU_iの和集合)
と定義する
さて、
Q1. 0.999･･･(自然数で位置が表せる全ての桁の値が9)は、Uの要素か？
Q2. 0.***･･･なる小数で、Q1の0.999･･･以外の小数は、Uの要素か？ 一番外側のカッコが無くても集合とかさ
そういう幼稚な間違いは、
中学生でもしないわさ、おサルさん ｗ（＾＾； >>634
>一番外側のカッコがついたら集合で
反例 x:={x}は正則性公理を満たさないので集合ではない。
ちっとも分かってなくて草。 >>635
>>但し、その表現で、きちんと「αは超越数である」ということが分かるようにね
>集合表現からわかるのは、有理数の列、ということまで
だから、外側の｛｝とか
｛｝の中の元がどうこうってのは
複雑な無限集合については
明示的に書けないってことだろ？
おサルが言っていた通りだ
数学については、まず定義ありきだ
「αは超越数である」ということが、定義できれ超越数αは存在する
同様に、可算無限多重シングルトンを、有限シングルトンの極限（可算無限 lim ｎ→∞）として定義すれば良いだけのこと
外側の｛｝とか
直前の前者とか
幼稚な寝言にすぎないよね
数学については、まず定義ありきだ
自分が言っていた通りじゃね？（＾＾； >>640
キミが数学が分からないの不勉強だからだろう 英語が分からないのも不勉強だからだろう 日本語すら分かってないのは草
ある実数が超越数か否かが集合で表現したときの姿形から分るなら、超越数論なんて必要無いｗ
だから
>その表現で、きちんと「αは超越数である」ということが分かるようにね
が的外れだと言われてるのに全然分かってないｗ
>同様に、可算無限多重シングルトンを、有限シングルトンの極限（可算無限 lim ｎ→∞）として定義すれば良いだけのこと
未だ分かってないのかｗ
{}, {{}}, {{{}}}, … は収束しませんｗ よって極限はありませんｗ
よってあなたの定義はwell-definedではありませんｗ
wikipediaより引用
（定義で）示された表式が成立しない場合[注釈 2]、well-definedであるとは言えない。
例えば極限値を用いた定義で、そもそも極限が存在しない場合など[3]。
↑
まさにこれそのものじゃんｗ ばーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーか
>外側の｛｝とか
>直前の前者とか
>幼稚な寝言にすぎないよね
いいえ。
カッコで括られてない集合なんて存在しません。何が要素か分かりませんからｗ
極限順序数は後続順序数ではないので直前の前者は存在しません。
あなたの妄想にすぎませんね。
妄想症は精神病院で治療して下さい。ここは数学板です。 >>641
おサルは、基礎論弱いね
下記小野先生（>>496）Ｐ821 右欄に、Lowenheim-Skolem とコンパクト性定理の話が書いてあるだろ？
（一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない）
ここ（下記）が理解できないみたいだね（＾＾
(引用開始)
>同様に、可算無限多重シングルトンを、有限シングルトンの極限（可算無限 lim ｎ→∞）として定義すれば良いだけのこと
未だ分かってないのかｗ
{}, {{}}, {{{}}}, … は収束しませんｗ よって極限はありませんｗ
よってあなたの定義はwell-definedではありませんｗ
(引用終り)
実数値 rn のlim ｎ→∞と、実数値でない集合の極限lim ｎ→∞との違いが分かってないね（＾＾
集合Sn={0,1,2,・・,n}で、自然数の集合N=lim ｎ→∞ Sn (={0,1,2,・・,n})={0,1,2,・・,n,・・}（nは全ての自然数を渡る）
とできるよ（出来なきゃおかしいでしょｗ）
{0,1,2,・・,n,・・}に、最後の元は無い！ 自然数Nになる直前の集合も無い！別に構わんだろ？ｗ
同様に
ｎ重シングルトンS'n={・・{}・・}（n重）で、N重シングルトンS'N=lim ｎ→∞ S'n (={・・{}・・})={・・{・・{}・・}・・}（nは全ての自然数を渡る）
上記同様に、N重シングルトンS'Nになる直前の集合も無い！別に構わんだろ？ｗ
つづく >>642
つづき
(引用開始)
wikipediaより引用
（定義で）示された表式が成立しない場合[注釈 2]、well-definedであるとは言えない。
例えば極限値を用いた定義で、そもそも極限が存在しない場合など[3]。
↑
まさにこれそのものじゃんｗ ばーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーか
(引用終り)
数学では、そういう場合でも、拡大実数として∞を導入することはできるぜ。定義の問題じゃん！ｗ（＾＾
(引用開始)
カッコで括られてない集合なんて存在しません。何が要素か分かりませんからｗ
(引用終り)
カッコなんて、単なる形式で良いんだよ、現代数学ではｗ
要素を具体的に書く必要なし！ 現代数学ではｗ（＾＾
例えば、超越数の集合Ｔｒ＝{x｜x∈R＼(R∩A)、Rは実数の集合、Aは代数的数の集合}
と書けば形式的に、カッコが付く。だが、そんなものは形式的なこと。単に日常用語で書いても、同じだよ
形式的にカッコを付けることが出来ることは、上記の記述でもそうだし、
>>270で時枝氏の可算無限個の箱を使って、最外層{}が存在する加算無限多重シングルトンを示した通り
幼稚な議論にすぎない
あなた、抽象化された現代数学の無限の扱いが、全く分かっていないね（＾＾；
つづく >>643
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数
（>>496より）
https://ipsj.ixsq.nii.ac.jp/ej/?action=repository_uri&;item_id=6883
数理論理学（2） 小野 寛晰
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理（英: Lowenheim-Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 ｋ について大きさ ｋ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
冒頭の簡単な言明の場合、理論の無限のモデルとは、ここでいう M である。定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。
https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim%E2%80%93Skolem_theorem
Lowenheim-Skolem theorem
In mathematical logic, the Lowenheim-Skolem theorem is a theorem on the existence and cardinality of models, named after Leopold Lowenheim and Thoralf Skolem.
つづく >>644
つづき
The precise formulation is given below. It implies that if a countable first-order theory has an infinite model, then for every infinite cardinal number ｋ it has a model of size ｋ, and that no first-order theory with an infinite model can have a unique model up to isomorphism. As a consequence, first-order theories are unable to control the cardinality of their infinite models.
In general, the Lowenheim-Skolem theorem does not hold in stronger logics such as second-order logic.
Consequences
The statement given in the introduction follows immediately by taking M to be an infinite model of the theory.
The proof of the upward part of the theorem also shows that a theory with arbitrarily large finite models must have an infinite model; sometimes this is considered to be part of the theorem.
Proof sketch
Upward part
First, one extends the signature by adding a new constant symbol for every element of M. The complete theory of M for the extended signature σ' is called the elementary diagram of M. In the next step one adds ｋ many new constant symbols to the signature and adds to the elementary diagram of M the sentences c ≠ c' for any two distinct new constant symbols c and c'. Using the compactness theorem, the resulting theory is easily seen to be consistent. Since its models must have cardinality at least ｋ, the downward part of this theorem guarantees the existence of a model N which has cardinality exactly ｋ. It contains an isomorphic copy of M as an elementary substructure.[3][4]:100-102
In other logics
Main article: Lowenheim number
Although the (classical) Lowenheim-Skolem theorem is tied very closely to first-order logic, variants hold for other logics. For example, every consistent theory in second-order logic has a model smaller than the first supercompact cardinal (assuming one exists).
つづく >>645
つづき
The minimum size at which a (downward) Lowenheim-Skolem-type theorem applies in a logic is known as the Lowenheim number, and can be used to characterize that logic's strength.
Moreover, if we go beyond first-order logic, we must give up one of three things: countable compactness, the Downward Lowenheim-Skolem Theorem, or the properties of an abstract logic.[5]:134
https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim_number
Lowenheim number
In mathematical logic the Lowenheim number of an abstract logic is the smallest cardinal number for which a weak downward Lowenheim-Skolem theorem holds.[1] They are named after Leopold Lowenheim, who proved that these exist for a very broad class of logics.
Examples
・The Lowenheim-Skolem theorem shows that the Lowenheim-Skolem-Tarski number of first-order logic is ?0. This means, in particular, that if a sentence of first-order logic is satisfiable, then the sentence is satisfiable in a countable model.
・It is known that the Lowenheim-Skolem number of second-order logic is larger than the first measurable cardinal, if there is a measurable cardinal.[3] (And the same holds for its Hanf number.) The Lowenheim number of the universal (fragment of) second-order logic however is less than the first supercompact cardinal (assuming it exists).
つづく >>646
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Measurable_cardinal
Measurable cardinal
In mathematics, a measurable cardinal is a certain kind of large cardinal number. In order to define the concept, one introduces a two-valued measure on a cardinal ｋ, or more generally on any set. For a cardinal ｋ, it can be described as a subdivision of all of its subsets into large and small sets such that ｋ itself is large, Φ and all singletons {α}, α ∈ ｋ are small, complements of small sets are large and vice versa. The intersection of fewer than ｋ large sets is again large.[1]
It turns out that uncountable cardinals endowed with a two-valued measure are large cardinals whose existence cannot be proved from ZFC.[2]
The concept of a measurable cardinal was introduced by Stanislaw Ulam in 1930.[3]
Properties
Although it follows from ZFC that every measurable cardinal is inaccessible (and is ineffable, Ramsey, etc.), it is consistent with ZF that a measurable cardinal can be a successor cardinal. It follows from ZF + axiom of determinacy that ω1 is measurable, and that every subset of ω1 contains or is disjoint from a closed and unbounded subset.
(引用終り)
以上 >>636
>例えば、オイラーの定数γは、当然実数として表せる
これは、正確には「当然次数である」だな。
微積分のテキストに載っていると思うが、
γは自然対数を用いた数列の極限 γ＝lim{n→+∞}(1+1/2+…+1/n-log|n|) として定義される。
だから、「表される」という表現を使いたければ、
>γは自然対数を用いた数列の極限 γ＝lim{n→+∞}(1+1/2+…+1/n-log|n|) として表される
となる。 >>636
>>648の「当然次数である」は「当然実数である」ね。 >>634
>一番外側のカッコがついたら集合で
>無かったら、集合ではないとかさ
>>639
>反例 x:={x}は正則性公理を満たさないので集合ではない。
ID:7Unf1eow氏の指摘は正しい
雑談君は、「PならばQ」を「PとQは同値」と読み違える悪い癖があるね
「一番外側の｛｝がなければ集合ではない」からは
「集合ならば一番外側の｛｝がある」は導けるが
「一番外側の｛｝があれば集合である」は導けない
「集合でないならば一番外側の｛｝がない」も同じく導けない
例えば、集合の全体は集合ではなくクラスである
一方、クラスについても要素の全体を｛｝でくくって表せるから
もちろん一番外側の｛｝は存在する >>640
>>>但し、その表現で、きちんと「αは超越数である」ということが分かるようにね
>>集合表現からわかるのは、有理数の列、ということまで
>だから、外側の｛｝とか｛｝の中の元がどうこうってのは
>複雑な無限集合については明示的に書けないってことだろ？
実数を表す集合の形式は明らかだが？ 知らんのか？
個々の実数は有理コーシー列だから、
自然数と有理数の組からなる無限集合となる
（注：実数は有理コーシー列の同値類として定義されるが
選択公理など全く使わずに同値類の代表元として
有限小数の列である無限小数が選べるので、
有理コーシー列そのものとしても全く問題ない）
自然数は数列の項の位置をあらわし
有理数は数列の項の内容をあらわす
超越数の集合は、実数の集合の部分集合
ああ、実に下らん
雑談君はどんだけ底抜けの🐎🦌なんだ？ｗｗｗ >>642
>おサルは、基礎論弱いね
雑談君は、論理弱いねｗ
>下記小野先生Ｐ821 右欄に、
>Lowenheim-Skolem とコンパクト性定理の話が書いてあるだろ？
>（一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、
> いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない）
また、「ＰならばＱ」を「ＰとＱは同値」と読み違えたねｗ
「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」から
「無限のモデルを持つ理論は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ」なんて書いてないよｗ
例えば自然数には有限モデルはないｗ
>ここが理解できないみたいだね
雑談君こそ「逆は真ならず」が全く理解できないね
だから、ナニワのド阿呆変態パクチー野郎っていわれるんだよｗｗｗ
一階の自然数論から「超準自然数」をいくら構築したところで
どの「超準自然数」を表す集合も「自然数の全体」にはならない
というのは「超準自然数」を表す集合は必ず最大元をもつから
例えば「標準自然数のみを含む集合」は、超準自然数ではない
ザンネンでしたｗｗｗｗｗｗｗ
ウソだと思うなら、藤田博司氏でもほかのロジシャンでも
誰でもtwitterで聞いてみ？ >>642
>集合Sn={0,1,2,・・,n}で、
>自然数の集合N=lim ｎ→∞ Sn (={0,1,2,・・,n})={0,1,2,・・,n,・・}
>（nは全ての自然数を渡る）
>とできるよ（出来なきゃおかしいでしょｗ）
それ、ｎ→∞で自然数の集合を前提してるよ。
全然自覚ないの？ｗｗｗｗｗｗｗ
>{0,1,2,・・,n,・・}に、最後の元は無い！
>自然数Nになる直前の集合も無い！別に構わんだろ？ｗ
構わんよ
だ・か・ら、無限列の尻尾の同値類で決定番号が「最後の元」∞になることはない
別に構わんだろ！！！（ああ、ブーメラン、決まったなｗｗｗ）
>同様に
>ｎ重シングルトンS'n={・・{}・・}（n重）で、
>N重シングルトンS'N=lim ｎ→∞ S'n (={・・{}・・})={・・{・・{}・・}・・}（nは全ての自然数を渡る）
ん？limの取り方変わってるぞ
気づかんのか？ナニワのド阿呆 雑談君ｗ
lim ｎ→∞ Sn (={0,1,2,・・,n})=∪Sn={0,1,2,・・,n,・・} なら
lim ｎ→∞ S'n (={・・{}・・})=∪S’n={{},{{}},{{{}}},・・・} だろが！
>上記同様に、N重シングルトンS'Nになる直前の集合も無い！別に構わんだろ？ｗ
そもそも雑談君の取り方では、S’Nの要素がないだろ？
ある？あるというなら書いてみせろ 唯一なんだろ？
書けよ！今！！ここで！！！ >>643
>>（定義で）示された表式が成立しない場合、well-definedであるとは言えない。
>> 例えば極限値を用いた定義で、そもそも極限が存在しない場合など。
>> まさにこれそのものじゃんｗ
>数学では、そういう場合でも、拡大実数として∞を導入することはできるぜ。
>定義の問題じゃん！
「極限がなければ、定義すればいいのに」と
マリー・アントワネットのようなセリフをほざく
雑談君に尋ねる
Q. ∞をリーマン球面上の無限遠点とする
さて、lim(z→∞)exp(z)を定義せよｗ
定義の問題なんだよね？
ちなみ複素平面上ではexpは0と∞以外の任意の値をとり得ます
で、
実部が＋方向で∞に近づくといくらでも値の絶対値が大きくなり
実部が－方向で∞に近づくといくらでも値の絶対値が０に近づきます
lim(z→∞)exp(z) 定義できるのかなｗｗｗｗｗｗｗ
＃俺を数学板のロベスピエールと呼んでくれｗｗｗ >>643
>カッコなんて、単なる形式で良いんだよ、現代数学ではｗ
>要素を具体的に書く必要なし！ 現代数学ではｗ（＾＾
>例えば、超越数の集合Ｔｒ＝{x｜x∈R＼(R∩A)、Rは実数の集合、Aは代数的数の集合}
>と書けば形式的に、カッコが付く。
>だが、そんなものは形式的なこと。単に日常用語で書いても、同じだよ
>形式的にカッコを付けることが出来ることは、上記の記述でもそうだし、
「カッコつければいいんだろ！」と
ナニワのヤンキーのようなセリフをほざく
雑談君に尋ねる
Ｑ. ・・{・・{{{}}}・・}・・が
シングルトン（つまり唯一の要素を持つ集合）として
その唯一の要素って、ズバリ何？
ちっとも答えませんね
まさか、要素が何なのかもわからずに
「{}が重なってるだけだからシングルトン」
と非論理的な脊髄反射発言してたんじゃないよねｗｗｗｗｗｗｗ
#こんなイジワルな発言をするボクは、決して
＃警察庁にいるＴ大Ｈ学部卒の官僚様じゃないですよ >>644-647
まいど恒例の下痢💩コピペは要らないんでトイレで流しますね
ジャー！！！ >>642
>おサルは、基礎論弱いね
結局>>631に答えられなかったね
瀬田くんは数学弱いね >>648-649
>γは自然対数を用いた数列の極限
>γ＝lim{n→+∞}(1+1/2+…+1/n-log|n|)
>として定義される。
別に間違ってはいないが、
そのままだとなぜ収束するのか分かりにくい
γ
＝lim{n→+∞}(1+1/2+…+1/n-log|n|)
＝lim{n→+∞}((1-(log(2)-log(1)))+(1/2-(log(3)-log(2))+･･･(1/(n-1)-(log(n)-log(n-1)))
＝lim{n→+∞}((1-∫[1,2]1/xdx)+(1/2-∫[2,3]1/xdx)+･･･(1/(n-1)-∫[n-1,n]1/xdx))
で、
1/n-1 > ∫[n-1,n]1/xdx) > 1/n だから
1/n-1-1/n > 1/n-∫[n-1,n]1/xdx) > 0 であり、
1>γ>0 となる
数列
(1-(log(2)-log(1)))+(1/2-(log(3)-log(2))+･･･(1/(n-1)-(log(n)-log(n-1))
は、単調減少で上記の通り有界だから、収束する >>657
>(雑談君は)結局>>631に答えられなかったね
さすが大学1年の4月で落ちこぼれただけのことはあるね
>Q1. 0.999･･･(自然数で位置が表せる全ての桁の値が9)は、Uの要素か？
NO
0.999･･･はいかなるU_nの要素でもない
したがってその和集合であるUの要素ではない 明解！！！
>Q2. 0.***･･･なる小数で、Q1の0.999･･･以外の小数は、Uの要素か？
YES
0.***･･･なる小数で、Q1の0.999･･･以外の小数は
必ずある有限小数0.9･･･9以下となるから、あるU_nの要素となる
したがってその和集合であるUの要素である これまた明解！！！
0.999･･･<1とかほざく人は、まずQ1が分かってない
で、1より小さい小数がUに属するとは思っていても
実は0.999･･･もQ2の通り、同じ構造を有することが分かってない
なぜか？見た目で感じてるだけで、論理で考えてないから
数学は動物の刺激反射行動ではない
論理で理解する人間様の理性的行動 >>658
nを正整数として第n項が
a_n＝1+1/2+…+1/n-log|n|
の数列は n→+∞ のとき収束して極限
lim{n→+∞}(a_n)
が存在することは、リーマン積分を持ち出さなくても証明出来る。
分かりにくいって、これ大学1年の微分積分でやるだろ。 >0.***･･･なる小数で、Q1の0.999･･･以外の小数は
>必ずある有限小数0.9･･･9以下となるから、あるU_nの要素となる
0.999･･･以外の0.***･･･型小数の最小は0.000…=0、最大は0.888…（0.9を超えない実数）だから、いずれもU_1=[0,0.9]の元ですね～ >>662
>0.999･･･以外の0.***･･･型小数の最小は0.000…=0、最大は0.888…（0.9を超えない実数）だから
いや、別に*のところに9が入ってもいいよ
ただ、全部が9でなければいいだけ
当然ながら最大値は存在しない
要するに9が続いた後に初めて8が現れる箇所がどれだけ後ろの桁でもいいから
その時点で、ある0.9･･･9以下であると示せる 0.999･･･に関する質問に対して
１．ナニワのド阿呆 雑談君はダンマリ
（答えられないときの典型的反応ｗ）
２．哀れな老人は、おまえが先に答えろと逆ギレ
（答えられないときの典型的反応ｗ） >>643 補足
>カッコなんて、単なる形式で良いんだよ、現代数学ではｗ
>要素を具体的に書く必要なし！ 現代数学ではｗ（＾＾
下記（山上滋 名大）「（ノイマン 自然数）しかし、これは、落ち着いて考えてみると、Φ の記号を取り囲む括弧の数を数えているに過ぎないのであって、当然といえば当然のことである。」
同様下記（Axiom of infinity）" The count of elements in each set, at the top level, is the same as the represented natural number, and the nesting depth of the most deeply nested empty set {}, including its nesting in the set that represents the number of which it is a part,"
要するに、ノイマンの自然数の集合Ｎが出来上がったとき
Ｎは無限集合だが、同時に「Φ の記号を取り囲む括弧の数」（山上滋）
（あるいは”the nesting depth of the most deeply nested empty set {}”（Axiom of infinity））
は、可算無限である
下記（山上滋）「Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .」で、この列は有限であってはならない！
可算無限である。よって、「Φ の記号を取り囲む括弧」の可算無限のシングルトンが存在する
これは、無限公理から従う
それを、{・・{Φ}・・}と表現するか、・・{Φ}・・、あるいは{・・Φ・・}か
そんなことは、どうでも良いこと！ 幼稚な話にすぎない！（＾＾
（参考）
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/set2018.pdf
集合入門２０１８
山上 滋
2018 年 11 月 7 日
Ｐ14
注意 7. プログラミング方式コンピュータの創始者としても知られている数学者のフォン・ノイマン (John
von Neumann, 1903?1957) は、「無」から自然数を作り出すと称してつぎのような構成方法を提案した。集
合 2Φ = {Φ} は、空集合を唯一の要素とする集合であり、したがって空集合ではない。そこで、
2{Φ} = {Φ, {Φ}}
の要素（{Φ} の部分集合）として、{Φ}≠ Φ を得る。以下、同様の構成法を繰り返して、
Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .
なる互いに異なる要素の列を得る。
つづく >>667
つづき
これらを順次自然数 0, 1, 2, . . . に対応させることで、無（空集合）から自
然数が構成できるとした。が、しかし、これは、落ち着いて考えてみると、Φ の記号を取り囲む括弧の数を数
えているに過ぎないのであって、当然といえば当然のことである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
In axiomatic set theory and the branches of mathematics and philosophy that use it, the axiom of infinity is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory. It guarantees the existence of at least one infinite set, namely a set containing the natural numbers. It was first published by Ernst Zermelo as part of his set theory in 1908.[1]
Formal statement
In the formal language of the Zermelo?Fraenkel axioms, the axiom reads:
∃ Ｉ (Φ ∈ Ｉ ∧ ∀x∈ Ｉ ((x∪{x})∈ Ｉ )).
In words, there is a set I (the set which is postulated to be infinite), such that the empty set is in I, and such that whenever any x is a member of I, the set formed by taking the union of x with its singleton {x} is also a member of I. Such a set is sometimes called an inductive set.
This axiom asserts that there is a set I that contains 0 and is closed under the operation of taking the successor; that is, for each element of I, the successor of that element is also in I.
Interpretation and consequences
This axiom is closely related to the von Neumann construction of the natural numbers in set theory, in which the successor of x is defined as x ∪ {x}. If x is a set, then it follows from the other axioms of set theory that this successor is also a uniquely defined set. Successors are used to define the usual set-theoretic encoding of the natural numbers. In this encoding, zero is the empty set:
0 = {}.
The number 1 is the successor of 0:
1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.
Likewise, 2 is the successor of 1:
2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1} = { {}, {{}} },
つづく >>668
つづき
and so on:
3 = {0,1,2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} };
4 = {0,1,2,3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.
A consequence of this definition is that every natural number is equal to the set of all preceding natural numbers.
The count of elements in each set, at the top level, is the same as the represented natural number, and the nesting depth of the most deeply nested empty set {}, including its nesting in the set that represents the number of which it is a part, is also equal to the natural number that the set represents.
つづく >>669
つづき
Thus the essence of the axiom is:
There is a set, I, that includes all the natural numbers.
The axiom of infinity is also one of the von Neumann?Bernays?Godel axioms.
Extracting the natural numbers from the infinite set
The infinite set I is a superset of the natural numbers. To show that the natural numbers themselves constitute a set, the axiom schema of specification can be applied to remove unwanted elements, leaving the set N of all natural numbers. This set is unique by the axiom of extensionality.
To extract the natural numbers, we need a definition of which sets are natural numbers. The natural numbers can be defined in a way which does not assume any axioms except the axiom of extensionality and the axiom of induction?a natural number is either zero or a successor and each of its elements is either zero or a successor of another of its elements. In formal language, the definition says:
略
This definition is convenient because the principle of induction immediately follows: If I⊆ω is inductive, then also ω ⊆I, so that I=ω.
Both these methods produce systems which satisfy the axioms of second-order arithmetic, since the axiom of power set allows us to quantify over the power set of ω , as in second-order logic. Thus they both completely determine isomorphic systems, and since they are isomorphic under the identity map, they must in fact be equal.
(引用終り)
以上 >>668 追加
>Axiom of infinity
>In the formal language of the Zermelo?Fraenkel axioms, the axiom reads:
>∃ Ｉ (Φ ∈ Ｉ ∧ ∀x∈ Ｉ ((x∪{x})∈ Ｉ )).
>In words, there is a set I (the set which is postulated to be infinite), such that the empty set is in I, and such that whenever any x is a member of I, the set formed by taking the union of x with its singleton {x} is also a member of I. >Such a set is sometimes called an inductive set.
下記もja.wikipedia同様だが、
上記集合Ｉ、あるいは下記集合Ａに、カッコ｛｝があるとか無いとか
幼稚でおろかな議論にすぎない
集合Ｉ、Ａの要素を書き"尽くすことはできない"(by 哀れな素人氏ふうｗ)（＾＾
（無限集合に対しては、そんな議論は不要だよ（＾＾； ）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪{x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A(Φ ∈ A∧∀x∈ A(x∪{x}∈ A))
解釈と帰結
各手続きで得られた集合を要素とする集合を B:={Φ ,{Φ },{Φ ,{Φ }},・・・ } とおくと、 B は A の部分集合である。
この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 B は有限集合であり、 A≠ Bである。
なぜならば定義により B∪{B}∈ Aであるが、 B∪{B}not∈ B となるからである。
一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう。
従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）
(引用終り) （参考）
突然ですが、Zermelo set theory がヒットしたので貼る（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo_set_theory
Zermelo set theory
Zermelo set theory (sometimes denoted by Z-), as set out in an important paper in 1908 by Ernst Zermelo, is the ancestor of modern Zermelo-Fraenkel set theory (ZF) and its extensions, such as von Neumann?Bernays?Godel set theory (NBG). It bears certain differences from its descendants, which are not always understood, and are frequently misquoted. This article sets out the original axioms, with the original text (translated into English) and original numbering.
Contents
1 The axioms of Zermelo set theory
2 Connection with standard set theory
3 Mac Lane set theory
4 The aim of Zermelo's paper
5 The axiom of separation
6 Cantor's theorem
The axioms of Zermelo set theory
AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) "There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."
Connection with standard set theory
The axiom of infinity is usually now modified to assert the existence of the first infinite von Neumann ordinal ω; the original Zermelo axioms cannot prove the existence of this set, nor can the modified Zermelo axioms prove Zermelo's axiom of infinity. Zermelo's axioms (original or modified) cannot prove the existence of V_{ω} as a set nor of any rank of the cumulative hierarchy of sets with infinite index.
Zermelo allowed for the existence of urelements that are not sets and contain no elements; these are now usually omitted from set theories.
つづく >>672
つづき
Mac Lane set theory
Mac Lane set theory, introduced by Mac Lane (1986), is Zermelo set theory with the axiom of separation restricted to first-order formulas in which every quantifier is bounded. Mac Lane set theory is similar in strength to topos theory with a natural number object, or to the system in Principia mathematica. It is strong enough to carry out almost all ordinary mathematics not directly connected with set theory or logic.
The aim of Zermelo's paper
The introduction states that the very existence of the discipline of set theory "seems to be threatened by certain contradictions or "antinomies", that can be derived from its principles ? principles necessarily governing our thinking, it seems ? and to which no entirely satisfactory solution has yet been found". Zermelo is of course referring to the "Russell antinomy".
Cantor's theorem
Zermelo's paper may be the first to mention the name "Cantor's theorem".
（ついで）
https://en.wikipedia.org/wiki/S_(set_theory)
S (set theory)
S is an axiomatic set theory set out by George Boolos in his 1989 article, "Iteration Again". S, a first-order theory, is two-sorted because its ontology includes “stages” as well as sets.
(引用終り)
以上 >>667
>>要素を具体的に書く必要なし！ 現代数学ではｗ（＾＾
無限の要素をすべて列挙する必要は無いが、シングルトンって要素一つなんですけど。
一つでも具体的に書けないの？それインチキでは？
現代数学うんぬんは関係無いですね。 >>667
>下記（山上滋）「Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .」で、この列は有限であってはならない！
じゃあ「ωはシングルトン」は間違いですね。
シングルトンの要素は一つ、つまり有限ですから。
>可算無限である。よって、「Φ の記号を取り囲む括弧」の可算無限のシングルトンが存在する
いいえ、存在しません。
Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .
のどの項も有限重カッコですよ？ 無限重カッコの項なんてどこにも現れません。
>これは、無限公理から従う
無限公理は無限集合の存在を主張しますが、無限重カッコの存在なんて主張してません。 >>667
>以下、同様の構成法を繰り返して、
>Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .
>なる互いに異なる要素の列を得る。
じゃあω={Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .}じゃないですかｗ ω=・・{Φ}・・は大間違いですね。
で、ωのどの要素も・・{Φ}・・ではなく{・・{Φ}・・}つまり有限重カッコですね。 >>667
>山上滋
https://nrid.nii.ac.jp/ja/nrid/1000090175654/
集合論の研究者ではないね
>「（ノイマン 自然数）しかし、これは、落ち着いて考えてみると、
> Φ の記号を取り囲む括弧の数を数えているに過ぎないのであって、
> 当然といえば当然のことである。」
これ、個々の自然数に対するコメントであって
自然数全体の集合に関するコメントではないね
>要するに、ノイマンの自然数の集合Ｎが出来上がったとき、Ｎは無限集合だが、
当然だねｗ
>同時に「Φ の記号を取り囲む括弧の数」（山上滋）は、可算無限である
そんなこと、山上滋はいってないけどねｗ
Ｎからどんな要素をとったとしても、その要素の括弧の数は有限個
当然でしょ 自然数なんだから
>下記（山上滋）「Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .」で、
>この列は有限であってはならない！可算無限である。
これまた、当然 Ｎは無限集合だからね
>よって、「Φ の記号を取り囲む括弧」の可算無限のシングルトンが存在する
>これは、無限公理から従う
従わないよ
素人が論理抜きで口から出まかせいったらたらあかんよ
>それを、{・・{Φ}・・}と表現するか、
>・・{Φ}・・、あるいは{・・Φ・・}か
>そんなことは、どうでも良いこと！ 幼稚な話にすぎない！
そもそも集合でないものをどう書こうが無意味だけどな
だからMara Papiyasにパクチーっていわれるんだよｗ >>674
>シングルトンって要素一つなんですけど。
>一つでも具体的に書けないの？それインチキでは？
>現代数学うんぬんは関係無いですね。
おっしゃる通り
>>675
>じゃあ「ωはシングルトン」は間違いですね。
>シングルトンの要素は一つ、つまり有限ですから。
>（「Φ の記号を取り囲む括弧」の可算無限のシングルトンは）存在しません。
>Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .
>のどの項も有限重カッコですよ？ 無限重カッコの項なんてどこにも現れません。
>無限公理は無限集合の存在を主張しますが、無限重カッコの存在なんて主張してません。
いちいち、おっしゃる通り
>>676
>じゃあω={Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .}じゃないですかｗ
>ω=・・{Φ}・・は大間違いですね。
>で、ωのどの要素も・・{Φ}・・ではなく
>{・・{Φ}・・}つまり有限重カッコですね。
まったく、おっしゃる通り
そもそも
「{}を可算個つければ、ωができる」
という思い込みが間違ってるんだよね
いいかげん気づけよ・・・ >>677
>そんなこと、山上滋はいってないけどねｗ
どうも瀬田くんには幻覚、幻聴の症状があるようです。
瀬田くんへ
精神病院へ行った方が良いと思います。数学板にいては拗らせるだけですよ。 >>671
>上記集合Ｉ、あるいは下記集合Ａに、カッコ｛｝があるとか無いとか
>幼稚でおろかな議論にすぎない
集合とは要素の集まりです。カッコはその集合がどんな要素の集まりかを書き表す際の記法です。記法とは書き方の約束事であって幼稚でも愚かでもありません。
>集合Ｉ、Ａの要素を書き"尽くすことはできない"(by 哀れな素人氏ふうｗ)（＾＾
>（無限集合に対しては、そんな議論は不要だよ（＾＾； ）
誰一人として無限集合の要素すべてを書き尽くせなんて言ってませんよ？
シングルトンの唯一の要素を書いて下さいと言ってるだけです。
集合とは要素の集まりなのに、要素一つすら書けないんじゃ集合とは言えないのでは？ >>667 補足
山上 滋先生（名大）下記問 19が面白いと思った（＾＾；
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/set2018.pdf
集合入門２０１８
山上 滋
2018 年 11 月 7 日
Ｐ13-14
集合 X に対して、そのすべての部分集合から成る集合を X の冪集合 (power set) と言い、P(X) あるい
は 2^X という記号で表わす。
問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
(引用終り)
以上 >>681
>問 19が面白いと思った
まーた、理解できなかったのかい？
>問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。
で、Rがどんな集合だか分からないから、納得できなかったのかい？
>また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
いくらでも存在するよ
例1 X={{}}とする
2^X={{},{{}}}
したがって、2^X ∩ X={{}}=X
例2 X={{},{{}}}とする
2^X={{},{{}},{{{}}},{{}.{{}}}}
したがって 2^X ∩ X={{},{{}}}=X
例3 X={{},{{}},{{{}}},{{}.{{}}}}とする
2^X∩X=X
つまりいくらでも同様の例が作れる
―――
Xが空集合を要素として持てば、
2^Xは必ず空集合を要素として持つので
2^X ∩ X≠{} ではない >>682
おサルは一匹だけだよ・・・ID:lpTNl9Nrのことだけどな >>683
まあ、ID:lpTNl9Nrに･･･{{{}}}･･･の要素が書けないのは当然だよね
だって集合じゃないもの
シングルトンって｛ｘ｝って形以外あり得ないでしょ
･･･{{{}}}･･･はどうみても｛ｘ｝って形じゃない
つまり、シングルトンじゃな~い
そもそも集合じゃな~い
逆に｛ｘ｝って形なら集合か？
実はそうはいえない
ｘ＝｛ｘ｝だったら、基礎の公理に反するから集合じゃない
可算個の{}の重なりとして{{{･･･}}}みたいなものを考えたら
どうみてもｘ＝｛ｘ｝になっちゃうから、基礎の公理に反する
つまり、やっぱり集合じゃな~い >>684
＞2^X ∩ X≠{} ではない
誤り
2^X ∩ X≠{} である が正しい 質問
・ノイマンのωについて
２^ω ∩ ω は 何になるか？
・ツェルメロのωを{{},{{}},{{{}}},…}と定義したとき
２^ω ∩ ω は 何になるか？ >・ノイマンのωについて
> ２^ω ∩ ω は 何になるか？
ω
[証明]
ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立。
step1
{}∈ω
と
{}⊂ω ∴{}∈2^ω
から
{}∈2^ω∩ω
step2
ωの{}以外のいずれかの元nにつきn∈2^ω∩ωを仮定。
n+1∈ω
と
n+1={0,1,…,n}⊂ω ∴n+1∈2^ω
から
n+1∈2^ω∩ω
step1,2から、∀n∈ωに対しn∈2^ω∩ω
よって2^ω∩ω=ω
>・ツェルメロのωを{{},{{}},{{{}}},…}と定義したとき
> ２^ω ∩ ω は 何になるか？
ω
[証明]
ノイマンのωについての証明における
n+1={0,1,…,n}⊂ω
を
n+1={n}⊂ω
に置き換えればよい。 とても簡単な基本問題ですが、数学的帰納法はおろか∈と⊂の区別も付かない瀬田くんには到底無理でしょう。
瀬田くんは背伸びせず、中学数学・高校数学の復習から始めると良い。 大学一年の4月に落ちこぼれたということは、高校までの数学が履修できていなかったからに他ならない。
よって瀬田くんは背伸びせず、中学数学・高校数学の復習から始めるべし。
嫌なら数学を諦めるべし。 >step1,2から、∀n∈ωに対しn∈2^ω∩ω
>よって2^ω∩ω=ω
ここ、行間を埋めるなら
step1,2から、∀n∈ωに対しn∈2^ω∩ω ∴ω⊂2^ω∩ω
一方、2^ω∩ω⊂ω であるから結局 2^ω∩ω=ω
行間は埋めだすとキリが無い。 >>689 >>692
回答 ５９６３
ところで・・・ω⊂2^ω なんだよね？
だから2^ω∩ω=ωなんだよね？
確認 ４６４９ >>691
>大学一年の4月に落ちこぼれたということは
実数の定義でつまづいたんでしょ
デデキントの切断か、カントールの有理コーシー列かは知らんけど
実はそういう人珍しくないよ
高校までの数学は論理的に考えずに
計算方法だけ漫然と習熟すればできちゃうから
で、実数の定義でつまづく人に限って
「こんな衒学的なことやるのは大学１年だけだ
もっと上にいけば、高校と同じ
「身体で会得する」数学に戻る筈」
とわけのわからない妄想を抱いて難しい数学に挑戦し挫折する
実数の定義で衒学的とかいってる人が、
はるかに衒学的な現代数学とかわかるわけないって >>642
>{0,1,2,・・,n,・・}に、最後の元は無い！ 自然数Nになる直前の集合も無い！別に構わんだろ？ｗ
>上記同様に、N重シングルトンS'Nになる直前の集合も無い！別に構わんだろ？ｗ
この話は、下記ゼノンのパラドックス 飛んでいる矢は止まっているの話に近いかも
バートランド・ラッセル「私たちは、矢が飛んでいる時には次の瞬間に矢が占める次の位置があるという想定を避けることは難しいと考えるのであるが、実際は、次の位置も次の瞬間も存在しないのである。[27]」
おサルの一匹は、数学科出身という触れ込みだが
数学科出身と言わない方が良いと思う
数学科出身の人たちが、恥ずかしいレベルだと思うよｗ（＾＾
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ゼノンのパラドックス
2.3 飛んでいる矢は止まっている
「もしどんなものもそれ自身と等しいものに対応しているときには常に静止しており、移動するものは今において常にそれ自身と等しいものに対応しているならば、移動する矢は動かない、とかれは言うのである。[12]」
アリストテレスは続けて、「この議論は、時間が今から成ると仮定することから生ずる」と述べている。この言から、ゼノンも「時間が瞬間より成る」を前提としていると解される。瞬間においては矢は静止している。どの瞬間においてもそうである。という事は位置を変える瞬間はないのだから、矢は位置を変えることはなく、そこに静止したままである。ゼノンの意が単純にこうであったのかは確定的な事ではない。
つづく >>695
つづき
バートランド・ラッセル
数学上の問題が一段落したのち、新たな見解がいくつか提案された。その一人、ラッセルは、
「したがって、ゼノンの議論は空間と時間とが点と瞬間で構成されているという見解に向けられているのであって、空間と時間の有限のひろがりは、有限の数の点と瞬間からなっているという意見に対する反論と同じように、ゼノンの論証は詭弁ではなく、まったく正しいのである、と私たちは結論することが出来る。[17]」
と言う。
飛ぶ矢については、
「私たちは、矢が飛んでいる時には次の瞬間に矢が占める次の位置があるという想定を避けることは難しいと考えるのであるが、実際は、次の位置も次の瞬間も存在しないのである。[27]」
ゼノンの指摘の通り、矢はある時刻にある位置にいる。だからといって動かないのではなく、「運動とは、時間と場所とに相関があって、異なった時点において異なった位置を占めること[28]」に過ぎない、とラッセルは言う。
(引用終り)
以上 スレ主よ、サル石に
βとは最大の負の実数である。
と定義したら、βという数は存在するのか、と質問してやったら、
βを定義したらβは存在する。
ナンセンスな存在に過ぎないが存在する。
ナンセンスだが存在する。
と答えた（笑
最初は、βという数は存在しない、と答えたが、
ナンセンスな存在に過ぎない、とか、名ばかり数である、
と曖昧なことを書いたので、確認のために、
ナンセンスな存在に過ぎないが存在するのか、
名ばかり数だが存在するのか、と質問したら、上のように答えた（笑
定義すれば存在するそうだ（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
正真正銘のドアホである（ｹﾞﾗｹﾞﾗ 安達弘志はナンセンスだが存在する
人間の知性を持たぬ名ばかり人間（非人）だが存在する >ところで・・・ω⊂2^ω なんだよね？
結局同じでしょ。
ω⊂2^ωを言うためには、∀n∈ω ⇒ n∈2^ω を言わないといけない。
この式が∀n∈ωについて成立することを言うには数学的帰納法が必要。
あるn∈ωについて成立することを示し、特定のnに限定していないから∀n∈ωについて成立するなどという論法はイカサマ。 >>699
>>ところで・・・ω⊂2^ω なんだよね？
>結局同じでしょ。
ええ、だからω⊂2^ωとかいたほうが簡単かと思いまして
>ω⊂2^ωを言うためには、∀n∈ω ⇒ n∈2^ω を言わないといけない。
その通り そういう定義ですからね >>697
>サル石に
>βとは最大の負の実数である。
>と定義したら、βという数は存在するのか、と質問してやったら、
>βを定義したらβは存在する。
>ナンセンスな存在に過ぎないが存在する。
>ナンセンスだが存在する。
>と答えた
安達氏は味噌も糞も一緒くたにして「サル石」といってるけど
「ナンセンスだが存在する」といってる「ナンセンス君」と
「矛盾するから存在しない」といってる「矛盾君」は別人かと >>695-696
雑談 ◆yH25M02vWFhPは、後者関数さえ定義すれば
「自動的に」極限が定義されると思ってるみたいだけど
全然違うよ
例えば
V_0={}
V_1=P(V_0)
･･･
V_(n+1)=P(V_n)
と定義しただけでV_ωが
「可算無限回の繰り返し」として
「自動的に」定義できると思い込んでるでしょ？
全然違うよ
V_ω=U(n∈ω)V_n
として「別途」定義するんだよ
そういう「初歩的」「基本的」なこと全然知らなかったでしょ
勉強嫌い数学興味ないなら、数学板書かなくていい読まなくていいよ >>689
(引用開始)
>・ノイマンのωについて
> ２^ω ∩ ω は 何になるか？
ω
(引用終り)
違うと思うよ
ノイマンのω＝Ｎ（自然数の集合）
だろ？
そして、Ｎ⊂Ｒ（実数）だろ？
（>>681より）
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/set2018.pdf
集合入門２０１８
山上 滋
2018 年 11 月 7 日
Ｐ13-14
集合 X に対して、そのすべての部分集合から成る集合を X の冪集合 (power set) と言い、P(X) あるい
は 2^X という記号で表わす。
例題 4.3. X = {a, b, c} (a, b, c は互いに異なる）であるならば、
P(X) = {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
フォン・ノイマン (John von Neumann, 1903–1957) は、「無」から自然数を作り出すと称してつぎのような構成方法を提案した。
集合 2^Φ = {Φ} は、空集合を唯一の要素とする集合であり、したがって空集合ではない。そこで、
2^{Φ} = {Φ, {Φ}}
の要素（{Φ} の部分集合）として、{Φ} ̸= Φ を得る。以下、同様の構成法を繰り返して、
Φ, {Φ}, {{Φ}}, . . .
なる互いに異なる要素の列を得る。これらを順次自然数 0, 1, 2, . . . に対応させることで、
無（空集合）から自然数が構成できるとした。が、しかし、これは、落ち着いて考えてみると、
Φ の記号を取り囲む括弧の数を数えているに過ぎないのであって、当然といえば当然のことである。
問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
(引用終り)
ここで、「2^R ∩ R = Φ 」が導けないよ
∵ Ｎ⊂Ｒだから
ノイマンの自然数Nに対しては
2^N ∩ N = Φ
だよ（＾＾
山上滋先生のノイマン構成は、簡略化して書かれているから、お主の読み違いだろう
（べき集合が分かってないのか、∈と⊂の違いか、ノイマン構成などに無理解か？ ともかく、数学科出身を名乗らない方がいいぞ（＾＾； ） >>703
>ノイマンの自然数Nに対しては
>2^N ∩ N = Φ
>だよ（＾＾
はい、大間違い。
反例 {}∈2^N ∩ N ∵{}⊂N だから {}∈2^N
やはりキミは中学数学・高校数学から復習が必要。背伸びしちゃだめだよ。 >>697
哀れな素人さん、どうも
スレ主です
(引用開始)
スレ主よ、サル石に
βとは最大の負の実数である。
と定義したら、βという数は存在するのか、と質問してやったら、
βを定義したらβは存在する。
ナンセンスな存在に過ぎないが存在する。
ナンセンスだが存在する。
(引用終り)
１．定義したら、即存在するというものではないですね
そもそも、実数の定義と合わないので、実数概念を拡張すべきで、そこから始まります
２．一番有名なのが、下記のロビンソンの方法ですね
３．正の無限小を導入して、いかなる正の実数より小とする
その上で、負の無限小を導入すれば、いかなる負の実数より大とできます
４．数学は、純粋な思念の産物ですから、数学で「存在」とは「他の数学的対象と矛盾せず考えられ、おそらく有用で意味がある」くらいの意味です
その意味で、”無限小”は、概念として意味があり有用です（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F
無限小
ボレルは無限小の増大率に関するコーシーの仕事とデュ・ボア＝レーモンの仕事を明示的に結び付けた。スコーレムは、1934年に最初の算術の超準モデルを発明した。連続の法則および無限小の数学的に厳密な定式化は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された（ロビンソンは1948年にエドウィン・ヒューイット（英語版）が、および1955年にイェジー・ウォッシュ（英語版）が成した先駆的研究に基づき超準解析を展開した）。
無限小を含む数体系
超実数体
無限小を扱う上でもっとも広く知られたやり方は、アブラハム・ロビンソンが1960年代に開発した超実数 (hyperreal number)[* 4]であろう。超実数は前掲の分類 3 に該当し、実数に基づく古典的な解析学の全てをその上で展開できるよう意図して作られた。この「任意の関係を自然な方法でこの体系に引き写すことができる」という性質は移行原理（英語版）と呼ばれ、1955年にイェジー・ウォシュ（英語版）が証明した。
(引用終り)
以上 >>704
(引用開始)
>ノイマンの自然数Nに対しては
>2^N ∩ N = Φ
>だよ（＾＾
はい、大間違い。
反例 {}∈2^N ∩ N ∵{}⊂N だから {}∈2^N
(引用終り)
それ面白いけど
繰り返すが、それなら山上滋先生の>>703より
「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。」
で、”2^R ∩ R = Φ ”が、不成立じゃんｗ（＾＾
さて、お主の論法のどこが間違っているのか？ｗｗ
おサルさん、やっぱ数学科出身を名乗らない方が・・ｗｗｗ（＾＾； >>706
Rって実数全体の集合じゃないの？
2^Rの元はどれも集合だから、Rの元を集合で定義しない限り2^R ∩ R = Φは当たり前ｗ
山上がー山上がーってキミ山上全然読めてないじゃんｗ バカ丸出しｗ >>706
>それ面白いけど
キミの「面白い」＝「分らん」ｗ
簡単な反例すら理解できない阿呆ｗ 一方ノイマンのNの元はすべて集合。
何の話してるか分かってる？キミｗ 阿呆だねえｗ >>703
>>> ・ノイマンのωについて
>>> ２^ω ∩ ω は 何になるか？
>> ω
> 違うと思うよ
> ノイマンのω＝Ｎ（自然数の集合）だろ？
> そして、Ｎ⊂Ｒ（実数）だろ？
はい、誤り
まだ「集合として同じ」と「同型」の区別がついてないね
Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！
ＮからＲへの代数構造を保つ全単射が存在するが
Im(Ｎ)はＮと同じ集合ではない！ 集合論では自然数を集合で定義するが、集合での定義が必須ではない。実際代数学でも解析学でも集合で定義していない。
その場合、2^Nの元はすべて集合だが、Nの元はすべて非集合だから、当然 2^N∩N={}。
どういう話をしてるのか分らずに闇雲に検索コピペしても無意味ｗ
それしか能の無いキミに数学は無理ｗ >>706
＞さて、お主の論法のどこが間違っているのか？
さて、ID:fxp4/vErの論法のどこが間違ってるのか？
「N＝ω ∧ N⊂R と決めつけたのが間違い」
N＝ω ならば N⊂Rではない
N⊂R ならば N＝ωではない >ＮからＲへの代数構造を保つ全単射が存在するが
Ｎからωへの代数構造を保つ全単射が存在するが
の間違い？ >>713
いや
「ωからＲへの代数構造を保つ”単射”が存在するが
Im（ω）としてのNは、ωと同じ集合ではない」
の誤り >>711
>2^Nの元はすべて集合だが、Nの元はすべて非集合
いや、集合論の中で数を実現するなら、Nの元もみな集合
ただ、Ｒは有理数列として実現するから
その部分集合としてのＮも当然有理数列であり
ωの要素とは異なる形式となる
したがって、ω⊂２＾ωだからといって
Ｎ⊂２＾Ｎとはいえない >>715
だから集合論じゃない話をしてるんだけど文盲？ >>716
集合論での話をしても、2^R∩R={}となることがある
ただ、これはRをどういう集合として実現するかに依存する ちなみにRを2^ωとした場合は
2^(2^ω) ∩ 2^ω ＝ 2^ω > 問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。
Rの定義を示していない時点で愚問だね。いくらでも解釈の余地がある。
この問いへつながる前部分をざっと見た解釈が>>707。著者はRを集合の集合と考えてるとは思えない。 >>719
>著者はRを集合の集合と考えてるとは思えない。
もし、そうなら、困ったもんだね。 良問だと思うよ
おサル二匹の愚かで無様な議論を引き出したのだから
ωやNが分かってない？
そりゃ、時枝が分からないはず（＾＾
山上滋先生のテキストにケチつけるとは、大した度胸だよね
おサルの一匹は、数学科出身というが、数学科出身を名乗らない方が良いぞ >>721
早く中学・高校の復習をやりなさい。
何も分からない落ちこぼれが遠吠えしても惨めなだけですよ？ >>721
>ωやNが分かってない？
そりゃ ID:fxp4/vEr あんただろ
時枝も山上滋も誤読しまくりじゃ、数学は無理だな >>721
> 山上滋先生のテキストにケチつけるとは、大した度胸だよね
だからキミは大学一年の4月に落ちこぼれて以来進歩が無いんだよ。
誰が書いたテキストだろうが駄目なものは駄目。
まあ内容がちんぷんかんのキミには著者名で判断するしかないんだろうけどさ。惨めだねえ。 >>721
> おサル二匹の愚かで無様な議論を引き出したのだから
そーかそーか、キミには難し過ぎてちんぷんかんだったか
だから言ってるだろ？∈と⊂の区別もつかないキミは中学・高校数学の復習から始めなさいと。背伸びしちゃダメだよ？ >>721 補足
>良問だと思うよ
>おサル二匹の愚かで無様な議論を引き出したのだから
>ωやNが分かってない？
>そりゃ、時枝が分からないはず（＾＾
何が間違っているのか？
何が理解出来ていないのか？ｗ
全部分かってないのかもな？？ｗｗ
だが、教えてはやらん！！ｗｗｗ
おサル二匹のうち、一匹は数学科出身を名乗るが
こいつが、議論に勝ちたいがために、屁理屈をこねくり回すやつだ
で、墓穴を掘って、さらに、墓穴を大きくしているんだ
笑えるよ
典型例が、>>710の「Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！」
なにそれ？ｗ（＾＾；
例えば、下記 新井 敏康先生 「数学基礎論・数理科学続論D」
Ｐ13 「ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)」
（参考）
https://researchmap.jp/tosarai/%E8%B3%87%E6%96%99%E5%85%AC%E9%96%8B
新井 敏康 Toshiyasu Arai
資料公開
https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/227670/99650f5ed6c6962b8c9bfde71d7373b1?frame_id=640295
資料公開
タイトル 集中講義資料2013
カテゴリ 講義資料
概要 東京大学数理科学研究科「数学基礎論・数理科学続論D」の講義資料
ダウンロード sugakukisoron2013.pdf
https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/download/227670/99650f5ed6c6962b8c9bfde71d7373b1/4086?col_no=2&;frame_id=640295
Ｐ9
2 Zermelo-Fraenkel set theory ZF
Ｐ12
定義2.2 1. 順序数α のsuccessor α + 1 := α ∪ {α} は順序数でしかも
α < α + 1 ∧ ∀β(β < α + 1 ? β ? α).
4. 順序数α が自然数であるとは、∀β ? α[(β = 0)∨(β is a successor ordinal)].
無限集合の存在は要請されなければならない：
ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)
つまりω =∩{x : 0 ∈ x∧∀y ∈ x(y ∪{y} ∈ x)} で、かつ最小のlimit ordinal である。
最後のZF の公理として、集合x のベキ集合P(x) = {y : y ⊂ x} は集合である
∀x∃z∀y ⊂ x(y ∈ z) (Axiom of Power set)
(引用終り)
以上 おサルの一匹は、数学科出身というが、数学科出身を名乗らない方が良いぞ
>>710の「Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！」
なにそれ？ｗ（＾＾；
>>726 新井 敏康先生 「数学基礎論・数理科学続論D」
Ｐ13 「ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)」
新井 敏康先生に教えてやれよ
新井先生、「Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！」ってな
新井 敏康先生も
きっと喜んでくれるかもよ、良いことを教えてくれたと・・、そんなわけ無いだろう？
おサルの一匹は、数学科出身というが、
数学科出身を名乗らない方が良いぞ >>726 補足
(引用開始)
https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/227670/99650f5ed6c6962b8c9bfde71d7373b1?frame_id=640295
新井 敏康
東京大学数理科学研究科「数学基礎論・数理科学続論D」の講義資料
無限集合の存在は要請されなければならない：
ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)
つまりω =∩{x : 0 ∈ x∧∀y ∈ x(y ∪{y} ∈ x)} で、かつ最小のlimit ordinal である。
(引用終り)
なるほど
これは、オリジナルの無限公理よりも良いかも
つまり、オリジナルの無限公理は、自然数の集合Ｎを含むもっと大きな集合が出来てしまう
そこから、自然数の集合Ｎに絞り込むのに、二階述語論理を使うが（下記en.wikipedia）、できれば一階で済ませたい
よって、新井流で、「ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)」
とズバリ書いてしまう
（ちょっと、記述が汚なくなりそうだけどね。”natural number”の定義をどう書くかの工夫がいりそうだし
そもそも自然数の集合Ｎを定義するのに、”n is a natural number”とか、”最小のlimit ordinal”とか、そんなんあり？
みたいな
でも、二階述語論理を使うのとどっちがどうか？ どうせ不完全性定理があるから、記述の汚さは多少妥協した新井流もありかな（＾＾ ）
なるほどねぇ（＾＾；
参考
(>>668-670より)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
Extracting the natural numbers from the infinite set
Both these methods produce systems which satisfy the axioms of second-order arithmetic, since the axiom of power set allows us to quantify over the power set of ω , as in second-order logic. Thus they both completely determine isomorphic systems, and since they are isomorphic under the identity map, they must in fact be equal. >>726-728
まーた、変態数学の狂祖 雑談君が、思いあがって🐎🦌発言しとるなｗ
ω={{},{{}},{{},{{}}},…} だったら ω⊂2^ωだぞｗ
ωのどの要素ｘも、ｘの要素がωの要素だからな >>730
おぬし、”地頭”悪すぎ
数学科出身というが、
数学科出身を名乗らない方が良いぞ（＾＾； >>728-729 補足
下記”レーヴェンハイム-スコーレム”
「一階述語論理でレーベンハイム・スコーレムの定理が成立するということは，一階述語論理では 無限集合の実際の大きさを論理式で限定できないことを意味する」
だったら、新井流で「ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)」
みたく 自然数の集合Ｎを公理として入れてしまえて、そして公理の外では一階述語論理で通せれば、それはそれで綺麗だろ
一方、ツェルメロやノイマンたちは、あくまで公理はシンプルであるべしと考えていた
（公理に使う用語や概念は、極小にしたい。{}とか∪,∩,∀,∃とかね。余計な用語は公理には極力入れたくない）
それで、通せると思っていた。当時の全数学を構築できると
で、ゲーデルの不完全性定理が出て、結局公理は追加される運命にあると分かったんだ
だったら、新井流で最初からNを公理中で与えるやり方もありかもと思った。多少公理が複雑になってもね（＾＾
（>>456-459より）
http://www.cs-study.com/koga/set/lowenheimSkolem.html
形式的論理体系の定義から
レーベンハイム・スコーレムの定理までの大急ぎのまとめ
(Rapid Summary from Syntax of Logic to Lowenheim-Skolem Theorem)
by Akihiko Koga
27th Mar. 2020 (Update)
レーベンハイム・スコーレムの定理（レーベンハイム発表 1915年，スコーレムによる厳密な証明 1920年）は，一階の記号論理体系（一階述語論理）の「モデル（その体系の公理系を 満たす数学的な実例）」のサイズに関する定理である．
レーベンハイム・スコーレムの定理は，このときの記号を解釈するための「実体の集合 M」の 大きさに関する命題である．より詳しく言うと， 記号論理の体系がモデルを持つと 分かったとき，そのモデルを非常に巨大な大きさにしたり，またはその逆に， 非常に小さくしたりできると いう定理である．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/Lowenheim00.png
一階述語論理でレーベンハイム・スコーレムの定理が成立するということは，一階述語論理では 無限集合の実際の大きさを論理式で限定できないことを意味する．
(引用終り)
以上 >>703 補足
>集合入門２０１８
>山上 滋
下記の2005 年前期の茨大の講義テキストが元みたいだね（多分1年生向け）
そのころから、
「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X ≠ Φ となる集合 X は存在するか」
と書いてあるね。良問じゃね？ｗ（＾＾
（参考）
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/
Shigeru's Scratchy Shelf Last modified: 2009/10/05
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/teaching.html
授業記録
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/set/shugo2005.html
集合入門（２００５年前期）
集合入門授業日誌
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/set2005.html
講義ノート 集合入門
ノートでは、できるだけ、こういった形式の話を具体的で意味のある話題と 結びつけて、よく言えば「ゆったりと」、 悪くいえば「だらだらと」書いてあります。
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/set/set2005.pdf
集合入門
山上 滋
2005 年 4 月 1 日
Ｐ11
4 積集合と冪集合
Ｐ14
問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X ≠ Φ となる集合 X は存在するか。
(引用終り)
以上 >>733
じゃあRの定義を書いてみて
良問と判断したってことは当然書けるよね？ >>734
地頭の悪い おぬしに教える義理はない
問答無用
下記でも嫁め（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数
実数（じっすう、 仏: nombre reel, 独: reelle Zahl, 英: real number）とは連続な量を表すために、有理数を拡張した「数」の体系である。
定義
実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[1]。実数体の元（＝要素）を実数という。
これで実数（体）の概念は定まったがこれだけではまだ実数（体）というものが存在するかどうかは分からない。しかし#構成節で述べるようにそのようなものは実際に存在する、即ちこのような性質を満たす順序体が構成できることが分かる。またその構成方法は複数ある。また本記事では言及されていないが本来存在するならば、それがある意味で一意的なものであるかを確かめる必要があるが、実数体は実際にある意味で一意的に定まる[2]。
実数の表示
現代数学の体系において実数が構成されるときは#構成節で述べるような、数の表示に直接依存しない方法が用いられるが、個々の実数を表すときは ?1.13 や 3.14159... のような（有限とは限らない）小数表示がよく用いられる。
また、実数の集まりを幾何学的に表示する方法として数直線があげられる。これは実数 0 に対応する原点とよばれる点を持った一つの直線で、直線上のそれぞれの点と原点との向きをこめた位置関係が各実数に対応している。
実数の様々な構成
コーシー列を用いた構成
デデキント切断による構成
超準解析に基づく構成
論理学における実数
実数という数のクラスが初めてはっきりと取り出されたのはカントールによる集合の研究においてだった。彼は集合論的には実数全体の集合は有理数全体の集合からはっきりと区別されるべき大きさ（濃度）を持っていること（実数の集合は可算でないこと）を示した。
ブラウワーは直観主義とよばれる、具体的に構成できるようなものだけを認める論理の体系をつくったが、彼はそこでは実数について通常の数学におけるものとは著しく異なった結論を導きだせることを示した。これには Kripke-Joyal の層の意味論によって現代的な解釈が与えられる。
つづく >>735
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number
Real number
Contents
1 History
2 Definition
2.1 Axiomatic approach
2.2 Construction from the rational numbers
Axiomatic approach
Let {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} denote the set of all real numbers, then:
The set {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} is a field, meaning that addition and multiplication are defined and have the usual properties.
The order is Dedekind-complete, meaning that every non-empty subset S of {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} with an upper bound in {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} has a least upper bound (a.k.a., supremum) in {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} .
For another axiomatization of {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} , see Tarski's axiomatization of the reals.
Construction from the rational numbers
The real numbers can be constructed as a completion of the rational numbers, in such a way that a sequence defined by a decimal or binary expansion like (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) converges to a unique real number?in this case π. For details and other constructions of real numbers, see construction of the real numbers.
https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
Construction of the real numbers
Contents
1 Synthetic approach
1.1 Axioms
1.1.1 On the least upper bound property
1.1.2 On models
1.2 Tarski's axiomatization of the reals
2 Explicit constructions of models
2.1 Construction from Cauchy sequences
2.2 Construction by Dedekind cuts
2.3 Construction using hyperreal numbers
2.4 Construction from surreal numbers
2.5 Construction from integers (Eudoxus reals)
2.6 Other constructions
(引用終り)
以上 >>737
地頭の悪い おぬしに教える義理はないが
簡単に
ゼロ０を、空集合Φ＝{}を当てるのがスタンダード（つまり 0＝Φ）だから
{}はRの要素で良いでしょ
（0≠Φ}の立場なら、話は別） >>735
雑談君のセリフ 解説
> 教える義理はない
→教える能力はない（自分がわかってないから）
> 問答無用
→問答不能（問われても答えられない）
> 下記でも嫁め
→下記読んでオチコボレのボクにもわかるように教えて
ちなみにアホな関西人は妻を「嫁」と間違えて言う悪癖があるけど
嫁といった場合、息子の妻を指しますから~ 残念
（注：アホでない関西人はそのような間違いはしない）
さて、本題
コーシー列を用いた構成 でも
デデキント切断による構成 でも
どっちでもいいけど、上記の構成による集合としての実数が
実数の集合と全く異なれば 2^R ∩ R = {}となる
つまり「アトムでなければいけないっ！」と
🐎🦌丸出しで発●する必要はないｗ >>738
>ゼロ０を、空集合Φ＝{}を当てるのがスタンダード（つまり 0＝Φ）だから
>{}はRの要素で良いでしょ
この瞬間、ID:4CnMMyMC は、きっとこう絶叫した筈
” I have a win!!!"
ま~た、雑談君、考えもなしに書き込み、即自爆かｗｗｗ
さて、本題
{}∈Ｒなら、2^R ∩ R ⊃ {{}} なので 2^R ∩ R ≠ {} ではないですね
ホント、雑談君は集合が初歩から全然わかってないでちゅねｗｗｗ >>738
>{}はRの要素で良いでしょ
じゃあ {}∈2^R ∩ R ≠ Φ じゃんｗ
どうやって良問と判断したの？ｗ >>731
雑談君は論理的思考力ゼロなので
工学部卒、いや、大卒、と名乗らないほうがいい
大阪大卒？いや、それ大阪大の恥ですからｗｗｗ
ボクの知り合いの大阪大卒も
「おーにっちゃんと、数学板の”雑談”は、大阪大の黒歴史だな」
といってました（マジ）
https://aikru.com/archives/4604
ていうか、まさか、おーにっちゃん＝雑談、じゃないよな？（疑） >>732
>新井流で
>「ω := N := {n : n is a natural number} は集合である(Axiom of Infinity)」
>みたく 自然数の集合Ｎを公理として入れてしまえて
新井敏康氏の「数学基礎論 増補版」p145
「自然数の集合は
N:＝ω:=∩{z:0∈z ∧ ∀x∈z (S(x)∈z) }
となる。これが集合となることは無限公理（と分出公理）が保証する」
一階述語論理上の理論であるZFCで定式化できますが何か？
（注：Nの一意性については、一階述語論理ではもちろん示せない
しかしここでは別に一意性を求めてないので無視してよい
二階クンはさっさとオリンピック中止させてくださいｗ） >>732
>ゲーデルの不完全性定理が出て、結局公理は追加される運命にあると分かったんだ
なんか雑談君は不完全性定理が根本的に分かってないねえ
あのね、単にペアノの自然数論が不完全といってるんじゃなくて
帰納的公理化可能な形での自然数論の拡張はみな不完全なの
だから、二階論理による自然数論が完全（つまり決定可能）だとした場合
肝心の二階論理が、帰納的公理化不能（つまり人間様に判別可能な形で
公理を定義し切ることが不可能）ってこと わかる？
二階バンザイとかいってるのは、数学でも政治でも、
肝心なことが全然分かってないお🐎🦌ってことよｗ ω＝N とナイーブに断言する雑談君に問題
Q1. ω⊂Z、となるように Zを定義せよ
Q2. その場合 2^Z ∩ Zはどうなる？
（注：ω⊂Q でも ω⊂R でもいいんだけど、QはともかくRの構成は、
無限が分からん雑談君には到底無理なんで、Zで勘弁してあげたｗ） >>741
>>{}はRの要素で良いでしょ
>じゃあ {}∈2^R ∩ R ≠ Φ じゃんｗ
>どうやって良問と判断したの？ｗ
決まってるじゃん
「自分には答えられないから！」（キリっ）
＃落ちこぼれあるある スレ主よ、
ID:4CnMMyMC
ID:27ekwIg+
これはどちらもアホのサル石だ(笑
ID:4CnMMyMCがサル石であることは
「0.99999……は1ではない」と「ケーキの問題とサル石」
を読めば分かる(笑
>肝心なことが全然分かってないお🐎🦌ってことよｗ
そのお🐎🦌がお前だ、ドアホ（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
レベルの高いスレには全然投稿できない中二の落ちこぼれ（ｹﾞﾗｹﾞﾗ >>703
>例題 4.3. X = {a, b, c} (a, b, c は互いに異なる）であるならば、
>P(X) = {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
「だ・か・ら、いかなる集合も、X ∩ P(X) = {}！」
と、雑談君が答えたなら、まさに軽率なお🐎🦌ｗ
a=Φ,b={Φ},c={{Φ}}としましょう
そのとき
X = {a, b, c} ＝｛Φ, {Φ}, {{Φ}}}
P(X) = {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
= {Φ, {Φ}, {{Φ}}, {{{Φ}}}, {Φ, {Φ}}, {Φ, {{Φ}}}, {{Φ}, {{Φ}}}, {Φ, {Φ}, {{Φ}}}}
X ∩ P(X) = {Φ, {Φ}, {{Φ}}}
なんで？
そりゃ {}=a, {a}=b, {b}=c だからだよｗ >>747
>ID:4CnMMyMCがサル石であることは
>「0.99999……は1ではない」と「ケーキの問題とサル石」
>を読めば分かる
一方、ID:27ekwIg+=私は、上記のアホスレには書き込んでいないｗ
したがって、私はサル石ではな~いｗ スレ主よ、サル石が、
>「β」は存在し、「βという数」は存在しない。
>「βという数」は存在するが、ナンセンスな存在に過ぎず、もちろん数ではないｗ
と書いてきた(笑
「βという数」は存在しない、と書きながら、
「βという数」は存在するが、と書いている（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
ほとんど精神分裂病に近いドアホだ(笑
昔は本当に精神病だった男だが、精神分裂病だったに違いない（ｹﾞﾗｹﾞﾗ >>742
>ボクの知り合いの大阪大卒も
>「おーにっちゃんと、数学板の”雑談”は、大阪大の黒歴史だな」
>といってました（マジ）
これから雑談君のことを「コニシ」こと「こにっちゃん」とよぼうかな
参考動画
https://www.youtube.com/watch?v=7NJs3_WFhZs&;t=698s&ab_channel=SAKAMICHIINFO
せ~らの地元（大阪）のお友達のコニシさんって誰や？
ゼッタイ、オトコやろ~ｗ >>747
哀れな素人さん、どうも
スレ主です
(引用開始)
ID:4CnMMyMC
ID:27ekwIg+
これはどちらもアホのサル石だ(笑
(引用終り)
なるほど
どちらも
アホのサル石みたいですね
彼は、複数ＩＤを使いますからね（＾＾ >>750
>>「βという数」は存在するが、ナンセンスな存在に過ぎず、もちろん数ではない
サル石のいう「ナンセンスな存在」がどんなものか
サル石でない私には理解しようもないが
βが実数だとすると矛盾するならば、実数としては存在しない
実数でない新たな数としてなら？無矛盾なら存在する
i^2=-1 となる（実数でない）虚数がいい例だが、その他にも
ε^2=0 となるε≠0が、「実数でない数」として追加しても無矛盾だ
というなら、存在するだろう >>752
＞彼は、複数ＩＤを使いますからね
じゃ、私は「彼」ではないね
私は、単一ＩＤしか使わんから
スマホで別人なりすまし書き込みするほど病んでないしｗ >>740
>さて、本題
>{}∈Ｒなら、2^R ∩ R ⊃ {{}} なので 2^R ∩ R ≠ {} ではないですね
ようやく、自分のバカさ加減に気付いたの？（＾＾
おサルは（>>689より）
(引用開始)
[証明]
ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立。
step1
{}∈ω
(引用終り)
と書いたよね（特に「{}∈ω」にご注目）
ところで、下記「高校数学の美しい物語」”自然数Ｎに、0を含むという考え方もある”をご参照
表題”0を含む”と、下記ノイマン構成で、自然数Ｎ∋{}かどうかとは
それは別問題だよ
繰り返すが、自然言語として、自然数Ｎに0を含む、つまり、0は自然数Ｎの要素ということと
”ノイマン構成で自然数Ｎ∋{}かどうか”とは、全く別問題だよ
（自然言語の意味と数学記号とは、全く同じではないよ。そこでつまずいたんだね、おサルはｗ）
山上滋先生の下記
「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか」
は、良問でした！ｗ（＾＾
（参考）
https://manabitimes.jp/math/1232
高校数学の美しい物語
自然数とは（0を含むこともあるよ）更新日時 2021/03/07
0を含むという考え方もある
流儀2．自然数とは 0 以上の整数である。
大学以降では自然数は 0 を含む場合もある（特に集合論の文脈）ので注意が必要です。
集合論では 0 を空集合に対応させ，S(a)=a∪{a} として以下のように自然数を構成することが多いです（フォンノイマンの構成法）：
0={}（空集合）
1=S(0)=0∪{0}={0}={{}}
2=S(1)=1∪{1}={1,0}={{{}},{}}
3=S(2)=2∪{2}={2,1,0}={{{{}},{}},{{}},{}}
カッコがたくさんあってキモいですが，これはちゃんとした集合です。
つづく >>755
つづき
（>>681より）
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/set2018.pdf
集合入門２０１８
山上 滋
2018 年 11 月 7 日
Ｐ14
問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
(引用終り)
以上 >>754
＞スマホで別人なりすまし書き込みするほど病んでないしｗ
心配するな
おまえは、十分病気だよｗ（＾＾； >>755
いかん、>>740では逆にかいちった
正しくは、2^R ∩ R ≠ {} ですね
雑談君ことこにっちゃんは、ま～だ、自分の間違いに気づかんのか？ｗ >>755-756
>2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
>は、良問でした！
>>748読んだ？
2^ω ∩ ω=ωとなることは理解した？
愚問だよなｗ >>757
>おまえは、十分病気だよ
「自己愛性パーソナリティ障害」の変態である雑談君に比べたら全然大したことないよｗ >>755
>特に「{}∈ω」にご注目
>繰り返すが、自然言語として、自然数Ｎに0を含む、つまり、0は自然数Ｎの要素ということと
>”ノイマン構成で自然数Ｎ∋{}かどうか”とは、全く別問題だよ
>（自然言語の意味と数学記号とは、全く同じではないよ。そこでつまずいたんだね、おサルはｗ）
つまりキミは「{}∈ノイマンのω」は偽と言いたいの？
wikipedia「Ordinal number」より引用
This motivates the standard definition, suggested by John von Neumann, now called definition of von Neumann ordinals: "each ordinal is the well-ordered set of all smaller ordinals."
First several von Neumann ordinals
0 = { } = ∅
1 = { 0 } = {∅}
2 = { 0, 1 } = { ∅, {∅} }
3 = { 0, 1, 2 } = { ∅, {∅} , {∅, {∅}} }
4 = { 0, 1, 2, 3 } = { ∅, {∅} , {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} }
さすがに大学1年4月でつまづいた人の言うことは違うねｗ >>755
>特に「{}∈ω」にご注目
何を言い出すかと思えば愚にも付かぬことをドヤ顔でｗ
>「問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか」
>は、良問でした！ｗ（＾＾
え？？？
キミのRの定義だと2^R ∩ R ≠ Φなんだけどｗ
偉い先生に納得せよと言われたら納得するんだｗ そりゃ大学一年の4月で落ちこぼれるわなｗ >そりゃ大学一年の4月で落ちこぼれるわなｗ
今年もまた大学新入生に追い抜かれた瀬田くんだったとさｗ >>761-762
なるほど、言いたいことが分かったよ
ノイマン構成では、新井先生などN＝ω （>>726）
一方、当然 N⊂R
べき集合でも、2^N⊂2^R 成立
さらにωには、y ∪{y} ∈ x（新井 >>726）
つまり、y と{y}が含まれる
自然数に直すと、n＝{n-1,・・,2,1,0}
Nには全てのnが含まれ
従って、2^Nには、全ての{n-1,・・,2,1,0}=nが含まれる
2^Nには、空集合Φ＝0も含まれる
よって、N⊂2^Nで、N∩2^N=N
N⊂2^N⊂2^R だから
2^R ∩ R = Mとおいて、N⊂M ≠Φ （おそらくは、M＝Nかな？（＾＾ ）
だから、修正
（>>681より）
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/set2018.pdf
集合入門２０１８
山上 滋
2018 年 11 月 7 日
Ｐ14
問 19. 2^R ∩ R = Φ であることを納得せよ。また、2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか。
↓
問 19. ノイマン構成で、2^R ∩ R = M, 自然数の集合N⊂M≠Φ であることを納得せよ。
とすべきかな
上記の後半「2^X ∩ X≠ Φ となる集合 X は存在するか」では、
X中に、部分集合を先取りする元が存在すれば、”≠ Φ”が成立する
つまり、ノイマン構成のように ”y と{y}が含まれる”みたいなこと
（ノイマン構成Nは、y と{y}のチェインになっている）
今見直すと、>>755は山上先生の問 19に引きずられて(成り立つと思ってた)、変なこと書いちゃったね
>>710の「Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！」にも、脳波を狂わされてしまったよ
まだまだ、修行が足りなかったな（＾＾； >>764 訂正
つまり、y と{y}が含まれる
↓
つまり、y と{y}との両方の要素が含まれる
だな（＾＾ >>764
補足
https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
Natural number
Constructions based on set theory
Main article: Set-theoretic definition of natural numbers
See also: Ordinal number § Definitions
Von Neumann ordinals
0 = { },
1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
n = n?1 ∪ {n?1} = {0, 1, ..., n?1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, ...}}, etc.
(引用終り)
ここで、Ｎの部分集合 {0, 1, ..., n?1}∈2^N を取ると、これがn∈Ｎとなっている
これが、全てのｎについて成り立つってことだね 問題
> ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立。
を証明せよ >>767
Axiom of regularity が、帰納法の公理と関係しているそうだよ
（下記）
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent.
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Induction_axiom
Induction axiom
The assertion of the validity for all x of some predicate P(x) defined on the set of all non-negative integers, if the following two conditions hold: 1) P(0) is valid; and 2) for any x, the truth of P(x) implies that of P(x+1).
The induction axiom is written in the form
P(0)&∀x(P(x)⊃P(x+1))⊃∀x P(x).
In applications of the induction axiom, P(x) is called the induction predicate, or the induction proposition, and x is called the induction variable,
This axiom is called the complete or recursive induction axiom. The principle of complete induction is equivalent to the principle of ordinary induction. See also Transfinite induction.
つづく >>768
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
Epsilon-induction
In mathematics, {\displaystyle \in }\in -induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction.
Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction.
It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction.
Contents
1 Statement
1.1 Comparison with natural number induction
2 Independence
Comparison with natural number induction
The above can be compared with {\displaystyle \omega }\omega -induction over the natural numbers {\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}{\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}} for number properties Q.
Independence
In the context of the constructive set theory CZF, adopting the Axiom of regularity would imply the law of excluded middle and also set-induction. But then the resulting theory would be standard ZF. However, conversely, the set-induction implies neither of the two. In other words, with a constructive logic framework, set-induction as stated above is strictly weaker than regularity.
つづく >>769
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E5%9E%8B
公理型
公理型（英：axiom schema、英複数形：axiom schemata）とは、数理論理学における用語で、公理を一般化した概念である。公理図式とも訳される。
公理型の例
公理型の実例としてよく知られているものを二つ挙げる。
・帰納型：ペアノ算術の一部であり自然数の算術である。
・置換の公理型（英語版）：集合論の標準的なZFC公理系による公理化の一部。
これらの型は除去できないことが証明されている（最初の証明はリチャード・モンタギューによる）。従ってペアノ算術とZFCは有限公理化できない。このことは数学の様々な公理的理論や、哲学、言語学その他についても当てはまる。
高階論理において
一階述語論理における型変数は、二階述語論理においては通常は除去できる。何故なら、型変数は何らかの理論中に現れる要素間で成り立つ性質や関係そのものを代入可能な変数として位置付けられることが多いからである。上で挙げた帰納法 と置換 の型は正にそうした例に当る。高階述語論理では量化変数を用いてあらゆる性質や関係を渡るような記述ができる。
(引用終り)
以上 >>735 追加
(引用開始)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数
論理学における実数
ブラウワーは直観主義とよばれる、具体的に構成できるようなものだけを認める論理の体系をつくったが、彼はそこでは実数について通常の数学におけるものとは著しく異なった結論を導きだせることを示した。これには Kripke-Joyal の層の意味論によって現代的な解釈が与えられる。
(引用終り)
下記だな
”Thus, for every topological space X, the topos Sh(X) has a Dedekind real numbers object R. Naively one might expect R to be isomorphic to the constant sheaf Δ(R), where R is the classical set of real numbers,
but this turns out not to be the case.
Instead, we have a rather more remarkable result:
Theorem 5.1.略”
（参考）
https://ncatlab.org/nlab/show/real+numbers+object
Real numbers object
1. Idea
2. Definition
3. Properties
4. Constructions
In a topos with an NNO
In a Π-pretopos with WCC
In a Π-pretopos with an NNO and subset collection
5. Examples
In Set
In sheaves on a topological space
In sheaves on a gros site of topological spaces
In a general sheaf topos
6. Generalizations
Cauchy real numbers
Classical Dedekind real numbers
7. Related concepts
つづく >>771
つづき
1. Idea
Recall that it is possible to define an internalization of the set of natural numbers, called a natural numbers object (NNO), in any cartesian monoidal category (a category with finite products). In particular, the notion makes sense in a topos. But a topos supports intuitionistic higher-order logic, so once we have an NNO, it is also possible to repeat the usual construction of the integers, the rationals, and then finally the real numbers; we thus obtain an internalization of R in any topos with an NNO.
More generally, we can define a real numbers object (RNO) in any category with sufficient structure (somewhere between a cartesian monoidal category and a topos). Then we can prove that an RNO exists in any topos with an NNO (and in some other situations).
2. Definition
Let E be a Heyting category. (This means, in particular, that we can interpret full first-order intuitionistic logic using the stack semantics.)
5. Examples
In Set
The real numbers object in Set is the real line, the usual set of (located Dedekind) real numbers. Note that this is a theorem of constructive mathematics, as long as we assume that Set is an elementary topos with an NNO (or more generally a Π-pretopos with NNO and either WCC or subset collection).
In sheaves on a topological space
Thus, for every topological space X, the topos Sh(X) has a Dedekind real numbers object R. Naively one might expect R to be isomorphic to the constant sheaf Δ(R), where R is the classical set of real numbers, but this turns out not to be the case. Instead, we have a rather more remarkable result:
つづく >>772
つづき
Theorem 5.1. A Dedekind real numbers object R in the topos Sh(X) is isomorphic to the sheaf of real-valued continuous functions on X.
This is shown in (MacLane-Moerdijk, Chapter VI, §8, theorem 2); see also below.
Remark 5.2. Theorem 5.1 allows us to define various further constructions on X in internal terms in Sh(X); for example, a vector bundle over X is an internal projective R-module.
(引用終り)
以上 >>742
余談だが
私は実名の議論はしない
全くの第三者に迷惑がかかる可能性があるからね
だが、実名が分かっても、なんの痛痒も感じない
正しいのは私側だから
さて、
>ボクの知り合いの大阪大卒も
>「おーにっちゃんと、数学板の”雑談”は、大阪大の黒歴史だな」
おサルこと維新さんに、大阪大卒生の知り合いがいるという話の信憑性が薄いな
（大阪人は全て維新レベルだとか、さんざんこき下ろしていたよね。どんな顔して会っているか疑問だ）
で、阪大卒なら、時枝記事不成立が、言われれば理解できるだろう
時枝記事不成立が、言われて理解できない阪大卒生なら、それこそ黒歴史だよ
もし実在するなら、そいつにそう言っておいてくれ（＾＾ >>710-717 もどる
(引用開始)
まだ「集合として同じ」と「同型」の区別がついてないね
Ｎ＝ωとした場合、Ｎ⊂Ｒではない！
ＮからＲへの代数構造を保つ全単射が存在するが
Im(Ｎ)はＮと同じ集合ではない！
集合論では自然数を集合で定義するが、集合での定義が必須ではない。実際代数学でも解析学でも集合で定義していない。
その場合、2^Nの元はすべて集合だが、Nの元はすべて非集合だから、当然 2^N∩N={}。
「N＝ω ∧ N⊂R と決めつけたのが間違い」
N＝ω ならば N⊂Rではない
N⊂R ならば N＝ωではない
ただ、Ｒは有理数列として実現するから
その部分集合としてのＮも当然有理数列であり
ωの要素とは異なる形式となる
したがって、ω⊂２＾ωだからといって
Ｎ⊂２＾Ｎとはいえない
集合論での話をしても、2^R∩R={}となることがある
ただ、これはRをどういう集合として実現するかに依存する
(引用終り)
おぬし、議論に勝ちたいための屁理屈としては、これは分からなくも無いがｗ（＾＾
やっぱ、屁理屈でしょｗｗ
下記のように、実数R中で、無理数を有理数Qを使って構成したいとき、コーシー列を使う
これは、当然無限列である
例
q1,q2,・・→α（q1,q2,・・∈Q(有理数)で、αは無理数）
で、下記英文のカントールの対角線論法で
わざと、s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
みたく 書くことがある。s1 =0だけど
これは、あくまで、べき集合の濃度を考える便法だよ
一方で、代数学では、「Ｎ⊂Ｒではない！」あるいは「Q⊂Ｒではない！」
とかしたら、都合悪いよねｗ（＾＾；
Qの代数拡大の理論が、ヘンチクリンになるよ！（＾＾
で、s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)は、
あくまで便法で、日常では、有理数はコーシー列など使わずに、単に例えば”q”とか単純に書けば良い
それで、何の問題も無いでしょ（＾＾
つづく >>775
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数
コーシー列を用いた構成
詳細は「コーシー列#実数の構成」を参照
実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。 有理数の空間には二つの数の差の絶対値として定義される距離 d(a, b) = |a ? b| から定まる点の近さを考えることができる。これについてのコーシー列たちを適当な同値関係によって同一視した空間として R が得られる。こうして構成された実数の空間の中では、収束数列によって近似的に与えられる対象が実際に実数として存在している。また、Q 上の距離が代数構造と両立するようになっているので、R の上でも Q の代数構造を基にした代数構造を考えることができる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95
カントールの対角線論法
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument
Uncountable set
The proof starts with an enumeration of elements from T, for example:
s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)
s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)
s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)
...
(引用終り)
以上 >下記のように、実数R中で、無理数を有理数Qを使って構成したいとき、コーシー列を使う
>これは、当然無限列である
>例
>q1,q2,・・→α（q1,q2,・・∈Q(有理数)で、αは無理数）
>で、下記英文のカントールの対角線論法で
>わざと、s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)
>みたく 書くことがある。s1 =0だけど
>これは、あくまで、べき集合の濃度を考える便法だよ
これは酷い >>777
ヤツは数列をどう集合として実現するか知らないんでしょう
御愁傷様 >>778
クラトフスキーの定義が有名だが
それがどうしたの？ｗ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%AF%BE
順序対
目次
1 一般論
2 直観的な定義
3 集合論による順序対の定義
3.1 ウィーナーの定義
3.2 ハウスドルフの定義
3.3 クラトフスキーの定義
3.4 クワイン?ロッサーの定義
3.5 カントール?フレーゲの定義
3.6 モースの定義
4 圏論
クラトフスキーの定義
Kuratowski (1921) は今日的に広く受け入れられている順序対 (a, b) の定義[5][注 4]
(a,b)_K:={{a},{a,b}}
を提唱した。注目すべきは、これが第一成分と第二成分が等しいときにも
p=(x,x)={{x},{x,x}}={{x},{x}}={{x}}
として有効な定義になっていることである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E7%B5%84
順序組
任意の長さ n に対する n-組は、順序対の構成を帰納的に用いて定義できる。順序組はふつう、要素をコンマで区切って書き並べたものを丸括弧 "()" で括る。例えば (2, 7, 4, 1, 7) は五つ組である。要素を括る約物は、ときどき角括弧 "[]" や山括弧 "??" や場合によっては 波括弧 "{}" を使うこともある。特に波括弧は（歴史的な経緯で、数列や点列を扱う文脈などではしばしば用いられるが）標準的な集合を表す記法と紛らわしいため注意すべきである。
目次
1 性質
2 定義
2.1 写像としての定義
2.2 順序対の入れ子としての定義
3 n-組の総数
4 型理論
順序対の入れ子としての定義
集合論における順序対のモデル化は順序対を用いても定義できる。ただし、順序対は既に定義されているものとする（そして、順序対は二つ組である）。
集合論において、順序対は集合として定義される（例えばクラトフスキーの定義）から、順序対による順序組の定義も集合によって定式化できる: >>777
酷いのはおまえだよ
代数学のガロア理論において
Qの代数拡大は、当然無理数たる代数的数を使うよね
で、代数的数αをいちいちコーシー列で定義するやついる？
いや、それ以前に、有理数ｑ∈Qで、ｑを無限長なるコーシー列で書く教科書が
一冊でもあるかい？
酷いのはおまえだよ それでなんだ？
ω＝Nなら
N⊂Q⊂R
が成り立たないだと！ｗ（＾＾；
（ここに、N：自然数の集合、Q：有理数の集合、R：実数の集合だけど）
どんな頭してんだ？
数学科出身を名乗らない方が
いいぞ、お主はｗｗ（＾＾ >>782
酷いのはおまえだよ
１．いま有理数体Qがあるとして、一つの代数的数αがあり（無理数とする）、Qの代数拡大を考える
２．αをコーシー列で表現したとて、殆ど無意味（超越数と代数的数の区別が出来ないし、役に立たないよ。まして、有理数qをコーシー列にしても、代数学では混乱するだけじゃんかｗ（＾＾
３．勿論、下記のジーゲルやロスのディオファントス近似の話はあるけれども、コーシー列の話とは別だ（ディオファントス近似は、普通は代数学には入れないしね）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0
代数的数
数論的性質
α を無理数とする。任意の正数 ε に対して、ある正定数 c = c(ε) が存在して、
q > c を満たす全ての有理数 p/q に対して成立するような、μ の下限 μ(α) を、α の無理数度 という。もし、このような数が存在しない場合、 μ(α)=∞とする。つまり、無理数度は、αを有理数で近似したとき、どのくらいの精度で近似できるかの指標を与える。たとえば任意の有理数の無理数度は 1 になる。
リウヴィルは、1844 年、α が n 次の実代数的数（実数である代数的数）のとき、μ(α) ≦ n であることを証明し、このことから、リウヴィルは超越数が存在することを初めて証明した。
実代数的数に対する μ(α) の評価は、その後、トゥエ (A. Thue)、ジーゲル、ゲルフォント (A. O. Gel'fond)、ダイソンらにより改良され、最終的に ロスにより、μ(α) = 2 であることが証明された（ディオファントス近似を参照）。この功績によりロスは 1958 年フィールズ賞を受賞した。
上記のことから、無理数度が 2 よりも大きい実数は超越数となるが、超越数ならば無理数度が 2 よりも大きくなるわけではない。たとえば、自然対数の底 e の無理数度は、2 である。
ほとんど全ての実数に対して、無理数度は 2 であることが知られているが、無理数度が分かっていない数がほとんどである。たとえば、円周率 π の無理数度が 2 であるかは不明である。現状、8.0161 以下であることが証明されているにすぎない（畑 1992年）。
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/64/3/64_0643254/_pdf/-char/ja
Diophantus 近似 - J-Stage
平田典子 著 数学 2012 Volume 64 Issue 3 Pages 254-277 >>783 補足
要するに、適材適所
バカと ハサミは使いよう
コーシー列の長所短所を考えて
使わないと
自然数ｎや、有理数ｑも、ムリムリ無限長のコーシー列にして
実数Rの元を統一して扱う
それは、集合の濃度を、対角線論法で論じるときスッキリします
また、大学１年生に、”自然数ｎや、有理数ｑも、無限長のコーシー列”として扱うテクニック教育の意味もあるかも
だが、一方で、自然数ｎや、有理数ｑはコーシー列とせず
無理数のみコーシー列として扱うという方法もありだろう
というか、歴史的には、こちらの方が先だし
基礎論を離れたら、こちらでしょう？
（”自然数ｎや、有理数ｑも、無限長のコーシー列”としたら普段の数学では煩わしいだけだし、
それに見合うメリットがないとだれも採用しないぞ）
それにだ、コーシー列ではなかった扱いの有理数ｑが
突然 代数拡大で、代数的数α（無理数とする）を添加したら
有理数ｑをコーシー列にしなければ成らないってこともない
コーシー列だなんだかんだは、不問にしておけ！
そうして、素直に有理数体Qにαを添加した代数拡大を考えるべし
そのとき、当然N⊂Q⊂Q（α）⊂R
N⊂Q⊂Rが成り立たないだと？？
なにバカなことを言っているんだ！！！ｗ（＾＾ >>785
ごまかそうとしているのか、釣りか？（＾＾
まあいい
それでね、>>768を補足しておくよ
”Given the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.”
とあるよね
つまり、ノイマンが基礎の公理（the axiom of regularity）を導入した大きな意図が、ここにあるんだ
>>769から
Epsilon-induction
In mathematics, ∈-induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction.
Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction.
It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x).
This is a special case of well-founded induction.
(引用終り)
とあるよね。（なお、”∈”を、ε（Epsilon）と呼ぶってことな、念のため）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well-ordered sets but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α )｜ n∈ ω ∧ α is an ordinal }.
(引用終り)
ってこと
つまり、基礎の公理が、”not only allows induction”で、”but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α )｜ n∈ ω ∧ α is an ordinal }”
を意図しているってことです
基礎の公理が、”∈”による無限上昇列を禁止しているとか、誤解しているやついたけど（＾＾；
間違いだよ
だから、>>689 の「ノイマンのωはペアノの公理を満たすから数学的帰納法が成立」とかさ
何を考えているのか？ ノイマンの基礎の公理の意図が、分かってないね
ZFCの中で、基礎の公理が、”induction”を担保しているんだ
「ペアノの公理」ってｗ、ZFCにさらに「ペアノの公理」が必要とか、こいつ何考えているんだ？ っていうことです（＾＾；
以上 >>786
いや、コーシー列による有理数体Qの実数体Rへの完備化に対角線論法はいらないってこと。
瀬田君は、未だ実数論が分かっていないということ。 >>786
時枝記事の理解に超越数とか代数的数とかの実数または複素数の代数的な区別は全く関係ない。 >>786
>基礎の公理が、”∈”による無限上昇列を禁止しているとか、誤解しているやついたけど（＾＾；
誰がそんなこと言ったの？レス番号示して
ω∈ω+1∈ω+2∈…は無限上昇列ですけど？ >>786
>基礎の公理が、”∈”による無限上昇列を禁止しているとか、誤解しているやついたけど（＾＾；
何重にも間違ってる。
・基礎の公理は∈無限下降列を禁止している。∈無限上昇列を禁止していない。実際 ω∈ω+1∈ω+2∈… は無限上昇列。
・誰も基礎の公理は∈無限上昇列を禁止しているなんて言ってない。レス番号を示せ。
・基礎の公理と関係無く、最後の項のある無限列は存在しない。
・偽ω:={{…{}…}}を仮に集合と見做した場合、ω∋ω∋… なる無限下降列が存在するから基礎の公理に反する。
・偽ω:=…{{}}…は一番外側のカッコを持たないからその元を特定できない。よって集合ではない。
・真ωには無限下降列は存在しない。ωのどの元も有限順序数だから ω∋n∋n-1∋…∋1∋0 は∈有限下降列。 >>787
それなｗ
彼は有理コーシー列による実数の構成と対角線論法を混同してる。
対角線論法のs1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)は列ではない。0.000…なる無限小数だｗ
無限小数全体と自然数全体に全単射が存在しないことを示すのが対角線論法。
仮にsnを列と見做すと、ある項より先がすべて0または1でない限りコーシー列でないｗ
これほど酷いレスはなかなかお目にかかれないｗ 混同というより根本的に分かってないの方が正しいな。
実数の構成も対角線論法も根本的に分かってない。
大学一年4月で落ちこぼれたからだろう。 >>789-790
では問う
Q1. ノイマンの自然数構成で
0∈1∈2・・∈N（＝ω）
なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？
Y or N？ まさか、これが有限列だとでも？ 基礎の公理に違反するとでも？ｗ（＾＾；
Q2.正則性公理にだけ反するというなら、正則性公理のない公理系の場合は存在しうるのでは？
（下記”Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).”ご参照）
どぞ、ご回答を。怖気づいて回答できないかもね？（＾＾；
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).
Sources
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
訳本あるよ
https://www.アマゾン
集合論―独立性証明への案内 単行本 – 2008/1/1
ケネス キューネン (著), Kenneth Kunen (原著), 藤田 博司 (翻訳) >>793
>>>789-790
>では問う
いやいやｗ 先にレス番号示せよ いつ誰が言ったんだよ また捏造か？ >>793
>Q1. ノイマンの自然数構成で
> 0∈1∈2・・∈N（＝ω）
> なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？
> Y or N？
N
> まさか、これが有限列だとでも？
有限列。
Nの元はどれも自然数だから無限列になり様が無い。
書き方が悪いから間違える。0∈1∈2・・∈n∈Nと書け。
>基礎の公理に違反するとでも？ｗ（＾＾；
有限列だから基礎の公理に反さない。
何遍言わせるんだよ おまえほんっと頭悪いなあ >>793
極限順序数は後続順序数ではない。
これの意味がおまえはぜーーーーーーーーーーんぜん分かってない。 >>793
>Q2.正則性公理にだけ反するというなら、正則性公理のない公理系の場合は存在しうるのでは？
問いが曖昧。
xが公理系Xが規定するすべての要件を満たすなら、xはX内で存在するか？
という意味ならYES。当たり前だろｗ バカかｗ >>791
まず、こっちから
>対角線論法のs1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)は列ではない。0.000…なる無限小数だｗ
無限小数展開は、下記で、「暗に対角線論法を使っている」とされているよ、”暗に”だ
元々のカントールの論文があるから見てみな。無限小数展開は使ってない
>無限小数全体と自然数全体に全単射が存在しないことを示すのが対角線論法
では無いな。それは”For example”で、単なる一例にすぎない（下記英訳P2及び読めるなら独語原文ご参照）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95
カントールの対角線論法
目次
1 対角線論法
1.1 集合による表現
1.2 関数による表現
1.3 行列による表現
2 自然数の集合と[0, 1]区間の濃度の違い
自然数全体の集合 Nから[0, 1]区間(=0以上1以下の実数全体の集合)への全単射が存在しない事を以下のように証明できる。後で見るように、この証明は暗に対角線論法を使っている。
aiを二進数展開したときの j}j桁目をai,jとし[3]、biを￢ai,iとする。
そしてbを小数点展開が0.b1b2…となる実数とする。このとき、bは a_1,a_2,・・・ のいずれとも異なる。実際iを任意に取るとき、aiのi桁目はai,iであるのに対し、bのi桁目は￢ai,iであるので、aiとbは異なる。
仮定より[0, 1]区間の全ての元は a_1,a_2,・・・ と番号づけされているはずなのに、[0, 1]区間の元であるはずのbは a_1,a_2,・・・ のいずれとも異なるので、矛盾。 従って N から[0, 1]区間への全単射は存在しない。
以上の論法は、行列A={ai,j}i,jに対して対角線論法の「行列による表現」を使ってベクトル{bi}={￢ai,i}がAのいずれの行とも異なる事を証明したものであると解釈できる。従って以上の論法は暗に対角線論法を使っている。
つづく >>798
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument
In set theory, Cantor's diagonal argument, also called the diagonalisation argument, the diagonal slash argument, the anti-diagonal argument, or the diagonal method, was published in 1891 by Georg Cantor as a mathematical proof that there are infinite sets which cannot be put into one-to-one correspondence with the infinite set of natural numbers.[1]
References
[1] https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002113910&;physid=phys84#navi
Georg Cantor (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1: 75?78.
https://cs.maryvillecollege.edu/wiki/images/c/cb/Cantor_UeberEineElementare_Trans_v1.pdf
A Translation of G. Cantor’s “Ueber eine elementare Frage der
Mannigfaltigkeitslehre”.
Google TranslateTM,1 DeepLTM,2 and Peter P. Jones?
1 https: // translate. google. com
2 https: // www. deepl. com
(Dated: August 23, 2019)
An English translation of G. Cantor’s “Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre”[1]
article: “On an elementary question of the theory of manifolds.”
Translation Note: We have translated “Inbegriff” as collection, and “M¨achtigkeit” as power. Apart from these
adjustments and a few other specific edits the bulk of this English language text was obtained directly from the
machine translators acknowledged as the main authors.
(引用終り)
以上 >>795
(引用開始)
>Q1. ノイマンの自然数構成で
> 0∈1∈2・・∈N（＝ω）
> なる”∈”による無限の上昇列ができると思うが、どうか？
> Y or N？
N
> まさか、これが有限列だとでも？
有限列。
Nの元はどれも自然数だから無限列になり様が無い。
書き方が悪いから間違える。0∈1∈2・・∈n∈Nと書け。
(引用終り)
だからぁ～、そっから認識が間違っていると思うよ（＾＾
「0∈1∈2・・∈n∈Nと書け」というけれど
ノイマンでは、”∈”は、大小の”＜”の意味でもある
だから
0＜1＜2・・＜n＜・・＜ω（＝N）
であり、ω＝∞ と書かれるべきもの
nより大きな自然数m1,m2,・・mn・・があって
0＜1＜2・・＜n＜m1＜m2＜・・＜mn＜・・・・＜ω（＝N）となるよ
有限列だぁ？ 自然数を全部並べたら、それ有限なのか？（＾＾；
お主、そこから間違っているよ～（＾＾ >>800
>有限列だぁ？ 自然数を全部並べたら、それ有限なのか？（＾＾；
>お主、そこから間違っているよ～（＾＾
そこから間違ってるのはおまえ
0∈1∈…∈n∈N なる列に自然数全部は登場しません。できません。
仮に自然数全部登場できたとしたらNの左は何？
ばーーーーーーーーーーーーーーーーーか
だから言ってるだろ？極限順序数は後続順序数ではないと。その意味がまったく分かってないバカｗ 極限順序数は後続順序数ではない。
たったこれだけの簡単なことがバカはいつまで経っても理解できない。
もうバカはいい加減数学諦めろよ。 はい、バカに数学は無理です。諦めて下さい。人間諦めが肝心です。 >>800 補足
無限小数 0.999… 有限の極限と考える
1. 小数1桁 0.9＝1-1/10^1
2. 小数2桁 0.99＝1-1/10^2
・
・
n. 小数n桁 0.99＝1-1/10^n
・
・
と、無限につづき全ての自然数を渡る
全ての自然数を渡るとき、0.999…→1となる
もし、ｎが有限で終われば、0.999…≠1
さて、上記の連番を横に並べる
1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列）
この列は上述の如く、全ての自然数を渡る無限列でなければならない
ここに不等号＜を入れる
1＜2＜・・＜n＜・・＜∞
となる
不等号＜を∈に換える
1∈2∈・・∈n∈・・
この∈の列は、全ての自然数を渡る無限列であり
1∈2∈・・∈n∈・・∈ω（＝Ｎ）である by ノイマン （＾＾
余談だが、どっかのスレの議論とは
立場が逆転している気がするなｗ（＾＾
無限小数の存在が、認められないのかね？ｗｗ（＾＾； >>800
Nの元はどれも自然数。
だから 0∈1∈…∈▢∈N の▢に入ることができるのは自然数だけ。
それがどんな自然数でも 0∈1∈…∈▢∈N は∈有限列。
たったこれだけの簡単なことがいつまで経っても理解できない阿呆に数学は無理なので諦めて下さい。 >>804
>と、無限につづき全ての自然数を渡る
>全ての自然数を渡るとき、0.999…→1となる
はい、0点で落第です。
0.9, 0.99, 0.999, … の極限が1であるとは、
任意の正数εに対し、ある自然数n0が存在して、n≧n0 ⇒ 1/10^n<ε が成立することである。
これ大学一年4月の課程ね。キミは大学数学に入門を拒否された落ちこぼれ。
>1＜2＜・・＜n＜・・＜∞
>となる
なりません。
∞なる数は存在しません。
>この∈の列は、全ての自然数を渡る無限列であり
>1∈2∈・・∈n∈・・∈ω（＝Ｎ）である by ノイマン （＾＾
あなたが落ちこぼれるのはあなたの勝手ですが、ノイマンがそんなこと言ったというのは捏造です。捏造はいけませんよ？
ωの元はどれも自然数なので∈ωの左は自然数。それがいかなる自然数であろうと有限列にしかなりません。
違うというなら∈ωの左が何なのか早く答えて下さいね。なぜ逃げ続けるのですか？
>無限小数の存在が、認められないのかね？ｗｗ（＾＾；
え？？？
ぜんぜん認めてますけど？
0.9, 0.99, 0.999, … のように一桁ずつ増える有限小数列は上に有界な単調増加列なので収束列。
その極限が無限小数の定義ですけど？
無限小数の定義に∞は不要。入門を拒否された落ちこぼれさんは初歩の初歩が分かってないですね。 入門を拒否された落ちこぼれさんが何を言おうと
「∈ωの左は何か？」
に答えられない時点で独善妄想に過ぎません。
∈列なのにある特定の項が何であるか答えられない？そんな馬鹿なｗ そんなん列じゃねーしｗ 0∈1∈…∈n∈ω は有限列。
証明
0∈1∈…∈n∈ω が無限列であると仮定。
項を一つ取り除いた 0∈1∈…∈n も無限列。
nが自然数である限り 0∈1∈…∈n が無限列になることはないので、nは自然数ではない。
一方、ωより小さい順序数は自然数だからnは自然数。
仮定から矛盾が導かれたので仮定は偽。 >>804 さらに補足（＾＾
数直線を考える
------------------------
↑ ↑ ↑ ・・→↑
0.9 0.99 0.999・・→ 1
数直線上に
0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る
小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n
lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1
もし、1-1/10^n＝1が実現するならば
n→∞ でなければならない
数直線上には、1が存在するので
それに対応するのは、n→∞ で、簡単にn＝∞と書いても良いだろう
そもそもが、
1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列） （>>804より）だよ
これが、実現できないならば
時枝記事の下記の s = (s1，s2，s3 ，・・・) 、つまり可算無限個の箱が、実現できないだろ？
時枝の数列 (s1，s2，s3 ，・・・)は、可算無限長
ここから、sを取っても (1，2，3 ，・・・)は、可算無限長
1＜2＜3 ＜・・・（可算無限長）
↓
1∈2∈3 ∈・・・（可算無限長）（ノイマン構成で）
となるよ（＾＾
それが、理解出来てないのか？
それじゃ、時枝記事が理解できてないってことだよ！ｗ
お主！！ｗｗ（＾＾；
（参考）
箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/1-2
箱がたくさん，可算無限個ある.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)
(引用終り)
以上 >>809
なんか
どっかの 無限小数 0.999… を考えるスレと
立場が逆転している気がするけど
お主のあたま大丈夫か？
数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾； >>809
> 1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列） （>>804より）だよ
数直線上で全ての自然数に対応する 0, 0.9, 0.99, 0.999, … が存在するのは
区間[0, 1)であって1=0.999…は含まれないよ >>810
キミの悪い癖ですね。
論理で反論できないと中傷に走る。
それ、早く治した方が良いぞ？ >>804
>さて、連番を横に並べる
>1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列）
>この列は上述の如く、全ての自然数を渡る無限列でなければならない
ここまではOK
さて
>ここに不等号＜を入れる
>1＜2＜・・＜n＜・・＜∞
>となる
これはNGね
もし
1＜2＜・・＜n＜・・
だったら、OKだったんだが
その後ろに、とってつけたように
<∞をつけた瞬間、NG
何がNGか、わかるかい？パクチー君
「<∞」の左の項が具体的に書けないだろ
数学ではそういう誤魔化しをしたらダメ
♪ダーメダメダメ、ダメ人間、ダーメニンゲーン
>不等号＜を∈に換える
>1∈2∈・・∈n∈・・
>この∈の列は、全ての自然数を渡る無限列であり
これはOKだが・・・
>1∈2∈・・∈n∈・・∈ω（＝Ｎ）である
これはNG
つまり安直に「∈ω」をつけたらダメなんだ
どうしてそんな簡単なことが分からないかな パクチー君はｗ >>807
＞落ちこぼれさんが何を言おうと
＞「∈ωの左は何か？」
＞に答えられない時点で独善妄想に過ぎません。
＞∈列なのにある特定の項が何であるか答えられない？そんな馬鹿な
点の羅列と、＜列、∈列の違いがないと思う
パクチー◆yH25M02vWFhP君には
ホント困りましたね ┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ >>810
>数直線上で全ての自然数に対応する 0, 0.9, 0.99, 0.999, … が存在するのは
>区間[0, 1)であって1=0.999…は含まれないよ
合っているよ。下記の極限順序数に記載の通り
小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n（>>809より）で
この「0.99・・＝1-1/10^n」が、1になったとき
nは、すべての有限自然数を渡り、そして
極限順序数ω（＝N by ノイマン）に到達しているってことです（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。
フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。
特徴付け
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
性質
極限順序数はこの種の手続きにおいてある種の「転換点」を表している（そこでは、それより前の順序数すべての合併をとるなどの極限操作が用いられなければならない）。原理的には、極限順序数において何かする際に、合併をとることは順序位相における連続写像であり、これはふつうは好ましい性質である。 >>809
>数直線を考える
>------------------------
>↑ ↑ ↑ ・・→↑
>0.9 0.99 0.999・・→ 1
>数直線上に
>0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る
>小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n
>lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1
ここまではOK
さて
>もし、1-1/10^n＝1が実現するならば
実現しませんよ
>n→∞ でなければならない
意味不明
>数直線上には、1が存在するので
>それに対応するのは、n→∞ で、
正しくは
lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1
です
省略するから🐎🦌になるんだよ
パクチー君ｗｗｗ
>簡単にn＝∞と書いても良いだろう
ダーメｗ
∞という自然数は存在しません
lim n→∞ (1-1/10^n) ＝1 は
「1-1/10^nにｎに∞を代入したら１になる」
という意味ではありません
どうしてそういう🐎🦌読みするの？
あんた高校どこ？ 普通科じゃないだろ？ どこの工業高校？ >数直線上で全ての自然数に対応する
>0, 0.9, 0.99, 0.999, … が存在するのは
>区間[0, 1)であって1=0.999…は含まれないよ
まったく、その通りですね
U_n=[0,0.9･･･(n個)･･･9] として
U=∪(n∈N) U_n を考えたとき
U＝[0,1) であって、
0.999･･･(無限個)は Uの要素ではありませ~ん
パクチー◆yH25M02vWFhP君、ざんね~ん >>815
>小数n桁 0.99・・＝1-1/10^nで
然り
>この「0.99・・＝1-1/10^n」が、1になったとき
>nは、すべての有限自然数を渡り、そして
>極限順序数ω（＝N by ノイマン）に到達しているってことです
あー、哀れな素人安達弘志クンの敵そのものズバリですね
数学者は上記のような🐎🦌発言は絶対にしませんがｗ
つまり
「０から１づつ加えるだけでωに至る」
というのが🐎🦌
数学者ならこういう
「０から１づつ加えてできたどんな自然数ｎもωより小さい」
もしパクチー君が
「ん？まったく同じじゃん！何がどう違うんだ？」
というなら、数学は無理だから即刻辞めてニュー速板で
「ニッポンバンザイ！！！オリンピック開催絶賛希望！！！」
とわめいてください 🐎🦌は数学板には要りませんから~ 残念！ >>809
またまた0点で落第です。
大学数学に入門を拒否された落ちこぼれさんは初歩の初歩も分かってませんね。
>0.9 0.99 0.999等が並び→ 1に至る
0.9, 0.99, 0.999,… のどの項も1より小さい。
>もし、1-1/10^n＝1が実現するならば
実現しません。
>n→∞ でなければならない
極限が1であることは1-1/10^n＝1が実現することを意味 し ま せ ん。
極限の定義を理解しないからいつまでも何度でも間違える。
>数直線上には、1が存在するので
はい。
>それに対応するのは、n→∞ で、簡単にn＝∞と書いても良いだろう
ダメです。
極限の定義を理解しましょうね、落ちこぼれさん。
>そもそもが、
>1,2,・・,n,・・（全ての自然数を渡る無限列） （>>804より）だよ
最大の自然数は存在しません。
>これが、実現できないならば
>時枝記事の下記の s = (s1，s2，s3 ，・・・) 、つまり可算無限個の箱が、実現できないだろ？
無限列に最後の項＝最大の自然数番目の項が無いだけですね。
そのようなものの存在を仮定していないので何の問題もありません。
>1∈2∈3 ∈・・・（可算無限長）（ノイマン構成で）
>となるよ（＾＾
だから∈無限上昇列は存在すると最初から言ってるじゃないですかｗ
>それじゃ、時枝記事が理解できてないってことだよ！ｗ
>お主！！ｗｗ（＾＾；
無限列に最後の項が存在すると思ってるキミがねｗ >>815
>この「0.99・・＝1-1/10^n」が、1になったとき
なりません。nが自然数なら1-1/10^n<1。
>nは、すべての有限自然数を渡り、そして
>極限順序数ω（＝N by ノイマン）に到達しているってことです（＾＾
ωに到達する直前は何？
キミこの問いからずーーーーーーーーーーーーーーーーっと逃げ続けてるんだけど、そろそろ答えてもらえる？
ω以下の順序数を網羅した 0<1<…<ω なる<列が存在するとする限りこの問いから逃げられないよ？
トンデモさんの共通点：都合の悪い問いから逃げ続ける >つまり
>「０から１づつ加えるだけでωに至る」
>というのが🐎🦌
落ちこぼれさんは「極限順序数は後続順序数ではない」がどうしても理解できないようですね >>809 補足
小数n桁 0.99・・＝1-1/10^n
で
0.9 0.99 0.999 ・・・→ 1
↓↑
1 2 3 ・・・→ ω（＝N by ノイマン）
不等号＜を入れると
0.9＜0.99＜0.999＜ ・・・＜1
↓↑
1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω（＝N by ノイマン）
不等号＜を使った、加算無限長の数列できるよ
まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾
「1＜ 2＜ 3＜ ・・・＜ω」
も同じだよ
この話は、∞（＝ω）と同じでね
拡大実数とか射影の無限遠点とか、あるいは数直線のコンパクト化と同じだよ
なんか
どっかの 無限小数 0.999… を考えるスレと
立場が逆転している気がするけどｗ
ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数
通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 ?∞ の二つを加えた体系を言う。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
射影幾何学
初等的な直観としては、射影空間はそれと同じ次元のユークリッド空間と比べて「余分な」点（「無限遠点」と呼ばれる）を持ち、射影幾何学的な変換においてその余分な点と通常の点を行き来することが許されると考えることができる。
つづく >>822
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E7%A9%BA%E9%96%93
射影空間 とは、その次元が n であるとき、(n + 1)個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。比を構成する「数」をどんな体（あるいは環）にとるかによって様々な空間が得られる。
コンパクト性
体 K が実数体 R または複素数体 C であるとき、これらの位相から定まる位相（ユークリッド位相・古典位相）に関して、射影空間 KPn はコンパクトなハウスドルフ空間である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
一点コンパクト化の例
・自然数全体（離散位相）N の一点コンパクト化は N に最大元 ωを付け加えた順序集合 N ∪ {ω}の順序位相と同相になる。
(引用終り)
以上 >>822
>不等号＜を使った、加算無限長の数列できるよ
できたなら早く＜ωの左を答えて >>823
>・自然数全体（離散位相）N の一点コンパクト化は N に最大元 ωを付け加えた順序集合 N ∪ {ω}の順序位相と同相になる。
最大元ωを付け加えようが、1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω なる<無限列は存在しない。
証明は>>808。
証明まで書いてやったのに理解できない落ちこぼれに数学は無理。 >>822
>0.9 0.99 0.999 ・・・→ 1
> ↓↑
>1 2 3 ・・・→ ω（＝N by ノイマン）
これはOKとしても
>不等号＜を入れると
>0.9＜0.99＜0.999＜ ・・・＜1
> ↓↑
>1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω（＝N by ノイマン）
これはNGな
＜をいれるときに、つねに左右が確定しているか見ような
何も見ずに漫然と＜いれたら🐎🦌だよ パクチー君ｗ
>不等号＜を使った、加算無限長の数列できるよ
できねえよ ついでにいいかげん「加算」じゃなく「可算」だって気づけよ
この思考能力ゼロの🐒のパクチーがｗ
>まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾
いや否定ｗ
無限列否定 ホント、パクチーだよな貴様
「0.9＜0.99＜・・・＜0.9･･･(n個)･･･9＜1」（有限列）にしかなんねぇってｗ
>「1＜ 2＜ 3＜ ・・・＜ω」
>も同じだよ
これまた同じく全面否定
「1＜ 2＜・・・＜n＜ω」（有限列）にしかなんねぇってｗ
>この話は、∞（＝ω）と同じでね
>拡大実数とか射影の無限遠点とか、
>あるいは数直線のコンパクト化と同じだよ
パクチー、「コンパクト」を全然理解してねぇだろｗ
1,2,3,…,ω の開被覆が何で有限個か分かってないだろ
ωを覆うどんな「開集合」も、ωに近い無限個の自然数を覆うんだよ
それは１からωに至る＜や∈の列が有限列になる、というのと同じこと
パクチーの主張は、コンパクト化を全面否定する
「トンデモ数学」なんだよｗｗｗ >>822
>・自然数全体（離散位相）N の一点コンパクト化は
> N に最大元 ωを付け加えた順序集合 N ∪ {ω}の順序位相と同相になる。
>>825
>最大元ωを付け加えようが、1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω なる<無限列は存在しない。
つーか>>826にも書いたけど
1 ＜ 2 ＜ 3 ＜ ・・・＜ω なる<無限列 が存在したら
N ∪ {ω}の順序位相のコンパクト性が完全否定されるってｗｗｗ
パクチーは「コンパクト」もわからん人間失格の🐒ｗｗｗｗｗｗｗ >>808
(引用開始)
0∈1∈…∈n∈ω は有限列。
証明
0∈1∈…∈n∈ω が無限列であると仮定。
(引用終り)
それ、まさに、下記 田畑 博敏氏にある
”P2 1. 3 『丁度 n個存在するjと有限・無限”で論じられていることが当てはまると思うよ
つまり、「「有限性j は第一階論理の言語で表現できない」と論じられていること
「丁度 n個の対象が存在する」という話をしているだけ
言い換えると、「有限ｎ」を仮定して、「0∈1∈…∈n∈ω は有限列」を結論付けている
即ち、「有限ｎ」を仮定して、「ｎ＋2個の列が有限」を導いただけのこと
なんの証明にもなっていない（実に自明も自明なトリビア命題）と思うよ
（そもそも、nに上限が無い以上、レーベンハイム・スコーレム定理の上方部分が当てはまるだろう？（下記））
お主、数学科出身を名乗らない方が・・（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム–スコーレムの定理
正確な記述
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。
https://repository.lib.tottori-u.ac.jp/ja/search/p/162/item/3576?sort=id%3Ar
鳥取大学研究成果リポジトリ
https://repository.lib.tottori-u.ac.jp/files/public/0/3576/20180622154809831908/tuecb6_1.pdf
第一階論理の特徴
著者
田畑 博敏 鳥取大学教育センター KAKEN
鳥取大学教育センター紀要. 2009, 6, 1-14
フルテキストファイル
つづく >>828
つづき
P1
はじめに
第一階論理には表現できることとできないことがある（その代表的な例を第 1節で見る）。しか
し、制約があるとはいえ、第一階論理は、よく研究されている多くの数学的な構造を、公理と呼ば
れ構造を定義する有限個の文の集合を与えることで、充分よく表現する能力を持つ（第2節）。その
ような第一階論理には、これを形式的体系と見たとき、さまざまなメタ定理が成り立つ。このこと
も、第一階論理の特徴の一つで、ある。特に、コンパクト性定理は、第一階論理の言語としての表現
能力に関わり、例えば、「有限性j や「無限性j といった性質の公理化可能性（＝定義可能性）に直
結する（第 3節）。しかし、レーベンハイム・スコーレム定理というメタ定理は第一階論理の表現力
の弱さ・欠点ともみなされる一方で、このメタ定理から帰結する非標準モデ、／レに関わる多様な結果
は、論理の方法が持つ有効性を実証するものである（第 4節）。以下では、このような形で、第一階
論理の著しい特徴のいくつかを取り上げ、それらの哲学的意義を考察する。
P2
1. 3 『丁度 n個存在するjと有限・無限
以上の二つの数概念、すなわち、「少なくとも n個の対象が存在する」という概念と「たかだ、か n
個の対象しか存在しない」という概念を用いて、すなわち、それらの表現を連言で結合することに
より、 「丁度 n個の対象が存在する」という概念を、φn∧χnとして表現できる：
φn∧χnヨyIヨy2…ヨYn∧1≦i＜j≦n yi≠yj
∧∀x0∀x1…∀xn∨0≦i＜j≦n Xi=Xj
言い換えると、有限の個数についての概念を第一階論理は表現できる。「丁度 n個の対象の存在」
を表現するとき、具体的に数値を決定していないとはいえ、「n個Jの‘n’はあくまで一定の、固
定された有限の数が意図されている。従って、有限性そのもの（有限性一般）を表現している訳で
はない。
つづく >>829
つづき
では、「有限性j は第一階論理の言語で表現できるのか。これはできないこと、たとえ無限
個の論理式を使ってもできないこと、が分かつている。さらに、「無限性」はどうか。 f無限個の多
くの対象が存在するj ということを、無限個の定項を援用し、無限個の論理式を用いれば表現でき
る。定項を援用しないで純粋に論理的な言語で無限性を表現する方法として、よく知られたデデキ
ントの定式化がある。すなわち、ある集合（領域） Aが無限である（無限の要素を含む）とは、 A
から A自身の真部分集合の上への（＝その部分集合全体をカヴァーする）単射（異なる要素を異な
る要素へと移す写像＝ 1価関数）が存在する、というのがその定義の仕方である。 Aが有限集合で
あれば、 Aの真部分集合の要素の個数は A自身の要素の個数より小さくなるから、対応させる先の
要素の個数が少なくなってしまうのととろが、単射は定義域の要素の「多さかげんj をそのまま保
って対応させるから、有限集合の相手先の要素の数が足りず、重複せざるを得ない。よって、単射
は存在しえない。そういうことができるのは無限集合にかぎる。そこで、これが無限集合たること
（「無限性J）の定義と見なされる。しかし、これを表現するには、一階の論理言語ではできない。
全称記号‘ V’を関数（または関係）記号にも作用させる二階の量化が必要があり、（少なくとも）
二階の論理言語に訴えざるを得ないからである。
P11
4.レーペンハイム・スコーレム定理
いくつかの理論は必ず無限モデルを持つ。すなわち、それらの理論は、領域の要素（＝個体、対
象）の個数が有限であるような構造では、真とならない（成り立たない）のである。ところが、レ
ーベンハイム・スコーレム（Lowenheim-Skolem）定理によれば、無限モデルを持つ理論で、カテゴ
リカル（範購的）であるような、そういう理論が存在しなくなる。理論がカテゴリカルであるとは、
それらのそデ、ルで、ある構造が同型で、ある（isomorphic：構造の領域の問に関係を保存するようなパ
イジェクション＝全単射の写像が存在する）ということであるが、そのためには、構造の領域の基
数が等しくなければならない。しかし、レーベンハイム・スコーレム定理によれば、無限モデ、ルを
持つ理論においては、異なる無限基数を持つ複数のモデルが必ず存在する。従って、それらのモデ
ルの間に、同型写像は存在しえず、理論はカテゴリカルではありえない。
つづく >>830
つづき
実数の代数の分野で、そのような新しい非標準モデルを研究する分野として創始されたのが非標
準解析である。これは、ライプニッツの無限小解析の夢を実現したものと見なせる。従って、非標
準解析は、第一階論理の持つ柔軟性という長所がもたらした成果である。しかし、 s.シャピロの意
見では、上方および下方のレーベンハイム・スコーレム定理が成り立つことは、第一階論理の欠点
(defect）である（5）。なぜなら、任意の無限基数孟を持つモデルが文の集合に対して存在するが、
これらのモデルは文の集合の意味を確定することができないからである。
(引用終り)
以上 >>828
>言い換えると、「有限ｎ」を仮定して、「0∈1∈…∈n∈ω は有限列」を結論付けている
は？？？
>>808のどこにも「nは自然数であることを仮定」なんて書かれてないんですけど？
キミが勝手に「nは自然数」という先入観で誤読してるだけでは？ 大丈夫？ しっかりしてね >>828
>なんの証明にもなっていない（実に自明も自明なトリビア命題）と思うよ
なんの指摘にもなってないよ？
当たり前、誤読しておいて指摘になるはずが無いよねｗ 極限順序数は後続順序数ではない。
これに尽きるね。
ω以下の順序数をすべて並べようとしても、ωの前者は存在しません。
存在しなければ並べられませーーーーん 残念！
なんで落ちこぼれくんはこんな簡単なことが理解できないんでしょうね。サル並みの頭脳だから？ >>830
>4.レーペンハイム・スコーレム定理
いや、キミ、レーペンハイム・スコーレム定理理解してないから。
レーペンハイム・スコーレム定理によって極限順序数が後続順序数になるとしたら数学は只のカオスだからｗ >>826
(引用開始)
>まさか、「0.9＜0.99＜0.999 ・・・＜1」（無限列）は否定できまい（＾＾
いや否定ｗ
無限列否定 ホント、パクチーだよな貴様
「0.9＜0.99＜・・・＜0.9･･･(n個)･･･9＜1」（有限列）にしかなんねぇってｗ
(引用終り)
なんか、お主は、議論に勝ちたいがためにｗ（＾＾
屁理屈こね回して、墓穴も墓穴、大穴を掘るかね？ｗｗ（＾＾；
下記の有理数の稠密性（高校数学の美しい物語など）と
有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）から
可算無限長の”＜”による無限列など、至る所ありふれているんだよぉ～！ｗ
それ知らないの？
お主は、数学科出身を名乗らない方がいいぞぉ（＾＾；
（参考）
https://manabitimes.jp/math/1298
高校数学の美しい物語
有理数と無理数の稠密性
更新日時 2021/03/07
任意の実数 a,b(a<b) に対して，
a< q< b を満たす有理数 q が存在する（有理数の稠密性）。
a< x< b を満たす無理数 x が存在する（無理数の稠密性）。
目次
稠密性
有理数の稠密性の証明
無理数の稠密性の証明
稠密性と完備性
稠密性
「稠密」の読みは「ちゅうみつ」です。「どれだけ狭い幅の区間を取ってきてもその間に要素が存在する」「ギッシリ詰まっている」ということです。
この記事では有理数の稠密性と無理数の稠密性を証明します。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0
有理数
基本性質
Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、二つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも一つ（従って無数の）有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに最大元も最小元も持たないならば、必ず Q と順序同型である。
つづく >>836
つづき
位相的性質
有理数の全体 Q は内在的には、通常の大小関係の定める順序に関して順序位相と呼ばれる位相を持ち、外因的には実数直線 R の（つまり、一次元ユークリッド空間 R1としての）距離位相から定まる部分空間としての位相を持つが、実はこれらの位相は一致する。
有理数の全体 Q は実数全体の成す集合 R の中で稠密である。これは、どのような実数に対しても、そのいくらでも近くに有理数が存在するということを意味する。これは距離空間として以下のように述べることもできる。
有理数の全体 Q は、差の絶対値
d(x,y):=|x-y|
を距離函数として距離空間となる。この距離により Q に位相が誘導されるが、それは R1 からの相対位相に他ならない。こうして得られる距離空間 (Q, d) は完全不連結である。また、完備距離空間とはならない。実は距離 d(x, y) := |x - y| による Q の完備化として、実数全体の集合 R が得られる。
この位相に関して有理数体 Q は位相体を成す。有理数全体の成す位相空間 Q は局所コンパクトではない空間の重要な例となっている。また唯一、孤立点を持たない可算な距離化可能空間となるものとして Q を特徴付けることができる。
一方、Q を位相体とするような Q 上の距離は、これだけではない。
p-進距離と呼ばれる Q 上の距離函数を定める。距離空間 (Q, dp) はやはり完全不連結であり、完備ではないが、その完備化として p-進数体 Qp が得られる。
オストロフスキーの定理によれば、Q 上の非自明な絶対値は同値の違いを除いて通常の絶対値か p-進絶対値で尽くされる。
つづく >>837
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%9B%86%E5%90%88
位相空間 X の部分集合 A が X において稠密（ちゅうみつ、英: dense）であるとは、X の各点 x が、A の元であるか、さもなくば A の集積点であるときにいう[1]。イメージで言えば、X の各点が A の中か、さもなくば A の元の「どれほどでも近く」にあるということを表している。例えば、有理数は実数の稠密集合である。なぜなら任意の実数は、有理数であるか、さもなくばどれほどでも近い有理数をとることができるからである（ディオファントス近似も参照）。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点（しゅうせきてん、英: accumulation point）あるいは極限点（きょくげんてん、英: limit point）は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念。
極限点の種類
・x を含む任意の開集合が無限に多くの S の点を含むとき、集積点 x を特に S の ω-集積点 (ω-accumulation point) という。
・x を含む任意の開集合が非可算無限個の S の点を含むとき、集積点 x を特に S の凝集点 (condensation point) という。
(引用終り)
以上 >>836
>有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）から
>可算無限長の”＜”による無限列など、至る所ありふれているんだよぉ～！ｗ
じゃあQの元をすべて並べて＜列を作った時、0の次の元は何？ >>836-838
見当違いなコピペで誤魔化したら🐎🦌だよ
ピンポイントで順序位相でサーチできないパクチー君ｗ
順序位相
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
全順序集合 A に対し、無限半開区間全体の集合を準開基とする位相を
順序位相 (order topology) という。
もし、パクチー君のいう無限列が存在するなら、
N∪{ω}で、決して有限被覆がとれない開被覆が存在することになり
コンパクト性が否定されるｗｗｗｗｗｗｗ >>836
ω以下の順序数をすべて並べて＜列を作った時ωのひとつ前は何？
Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？
逃げずに答えて下さいねー
>なんか、お主は、議論に勝ちたいがためにｗ（＾＾
>屁理屈こね回して、墓穴も墓穴、大穴を掘るかね？ｗｗ（＾＾；
それがキミだよ落ちこぼれクンｗ >>836 補足
おサルは数理のセンスが、悪すぎ なさ過ぎ（＾＾
「有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）」くらい
当たり前というか、しっかり把握かつ理解できていないとね、まずいでしょうね
それ出来てないと、代数学も解析学も集合論も、ちょっと怪しいんじゃね？ あなたの理解度は（＾＾；
数学科出身を名乗らない方が良いよ
さて
高校数学の美しい物語に倣って、
命題（有理数の稠密性について）：
任意の有理数 a,b(a<b) で、区間(a,b)内に可算無限個の有理数が存在する
（証明）
背理法による
・もし、区間(a,b)内に有限m個の有理数 q1<q2<・・<qi<qi+1<・・<qm しかないとする
・しかし、qiとqi+1の中間の(qi+ qi+1)/2 は、有理数であり、qi<(qi+ qi+1)/2<qi+1となるから矛盾
「有限m個しかない」は否定され、可算無限存在することがわかる（可算は、Qが可算であることから従う）
QED（＾＾
なお実際、例えば区間(a,b)を、p等分することができる（ここにｐは2以上の任意の自然数）
Δ＝(b-a)/pとして
a<a+Δ<a+2Δ<・・<a+(p-1)Δ<b とできて、区間(a,b)内にp-1個の有理数を作ることができる
pは、任意に大きく取ることができる
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理））
よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
上記は、有理数 a,b(a<b)だったが、実数 a,b(a<b)でも同様にできる
以上 >>842
>>841への回答になってないぞｗ 掠りもしてないぞｗ
落ちこぼれクン、またまた0点で落第でーすｗ >>842
>区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理））
>よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
じゃあ不等号＜による可算無限列を、区間(-1,1)内に作って、0の次の有理数を答えて下さい。
不等号＜による可算無限列を任意の区間内に作ることができるんでしょ？当然答えられますよね？0の次の有理数。 >>842
ωの前者も忘れずに答えてね
ゴマカシ、逃亡は勘弁して下さいね なんか
どっかの 無限小数 0.999… を考えるスレと
立場が逆転している気がするけどｗ （無限を認める派と、認めない派（＾＾ ）
ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾； >>846
>ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
数学を研究しない人が大部分を占める工学部の数学と数学科の数学は学習法も使い方なども違うから、
このようなセリフは数学を使用するだけの人がいっても殆ど意味ない。
工学部で代数は殆ど教えないし研究しないだろw 教育のプロポーションにこだわって有理点 by 瀬田君 >>846
>Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？
>逃げずに答えて下さいねー
この答えは条件を満たすようなQの点は存在しない。
Qの元をすべて並べて＜列を作ったとき、0の次の有理点 a∈Q が存在するとする。
有理数体 Q∋0、a の標数は0として考えているから、＜は有理数の大小関係を表す不等号の記号で 0＜a。
体Qは小学校で習う乗法の二項演算 ・：Q×Q∋(a,b) → ab∈Q と
加法の二項演算 ・：Q×Q∋(a,b) → a+b∈Q について群をなすことに注意すれば、a/2∈Q。
有理数の大小関係から 0＜a/2＜a。よって、aは0の次の有理点ではなく矛盾が生じる。
だから、0の次の有理点aは存在しない。 >>846
>>849について
加法の二項演算 ・：Q×Q∋(a,b) → a+b∈Q
→ 加法の二項演算 +：Q×Q∋(a,b) → a+b∈Q >>846
いみふｗ
無限ぜんぜん認めてますけど？
最後の項が有る無限列なんてものは存在しないと言ってるだけですけど？
いいから早く>>841に答えて下さいねー ある特定の項が何であるか答えられないのに列を作ったと言えるんですか？
じゃキミの言う列って何？
答えてね、落ちこぼれクンｗ >>849
スレ主です
私は名前の議論はしない。だれか関係ない第三者に迷惑を掛ける可能性があるから
だが、実名が知れても何ら痛痒を感じない。正しいのは私ですから
ところで
>>Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？
>この答えは条件を満たすようなQの点は存在しない。
それこそ、あんまりシッタかしない方が良いと思うぜｗ（＾＾
「＜列」を、一般の順序に拡張すれば、直積集合 NｘNに順序を入れられるよ
（詳しくは、wikipediaや、東北大 尾畑研をご参照）
下記高校数学の美しい物語
に倣えば
Q +’を、0又は正の有理数として
0→0
1→f(1/1)=1
とすれば、0の次は1に出来るぞ！ｗｗ（＾＾；
（参考）
https://manabitimes.jp/math/925
高校数学の美しい物語
集合の濃度と可算無限・非可算無限 更新日時 2021/03/07
・正の整数全体の集合と有理数全体の集合の濃度は等しい。
直感的には有理数の方が圧倒的にたくさんありますが，濃度という観点から見ると両者は同じなのです！
大雑把な証明
正の有理数全体の集合 Q + と N の濃度が等しいことを言えばよい。
正の有理数 p/q を p+q を小さい順に並べて既約分数のみ残して番号を振っていけば，
Q+ から N への全単射が構成できる：
f(1/1)=1,f(1/2)=2,f(2/1)=3,f(13)=4,
f(3/1)=5,f(1/4)=6,f(2/3)=7,・・・
補足（図による説明）
https://res.cloudinary.com/bend/f_auto,q_auto/shikakutimes/s3/bend-image/925_0_noudo-300x183.png
・正の有理数全体は図の黒い点全体
・黒い点には（全ての黒い点に何らかの番号が対応するように）11 から順番に番号をつけていける
→「正の有理数全体」と「正の整数全体」の間には一対一対応がある
つづく >>854
つづき
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研 東北大 数学概論 2018
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-7_kasan.pdf
第7章 可算集合 GAIRON-book : 2018/4/30(12:55)
7.4 可算集合の直積
定 理 7.14 直積 N × N は可算集合である.
証 明 補題 7.13 より明らか.
別証明 直積 N × N の元に通し番号を振ればよい. N × N の元 (x, y) を図 7.1
のように配列して, 矢印に沿って番号付けすることができる.
(7.3) をカントルの対関数という.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合
直積集合上の順序
2つの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類がある。
・辞書式順序： (a,b)≦ (c,d)⇔ a<c∧ (a=c∨ b≦ d)
・積順序： (a,b)≦ (c,d)⇔ a≦ c∨ b≦ d
・ (a,b)≦ (c,d)⇔ (a<c∨ b<d)∧ (a=c∨ b=d)
最後の順序は対応する狭義全順序の直積の反射閉包である。これらの三種類の半順序は、いずれも3個以上の半順序集合の直積に対しても同様に定義される。
体上の順序線型空間に対してこれらの構成を適用すれば、結果として得られる順序集合はいずれも再び順序線型空間となる。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Strict_product_order_on_pairs_of_natural_numbers.svg/227px-Strict_product_order_on_pairs_of_natural_numbers.svg.png
N × N 上の直積狭義順序の反射閉包
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/N-Quadrat%2C_gedreht.svg/240px-N-Quadrat%2C_gedreht.svg.png
N × N 上の積順序
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Lexicographic_order_on_pairs_of_natural_numbers.svg/240px-Lexicographic_order_on_pairs_of_natural_numbers.svg.png
N × N 上の辞書式順序
(引用終り)
以上 >>854
>それこそ、あんまりシッタかしない方が良いと思うぜｗ（＾＾
じゃあキミ、シッタカしないで0の次の有理数答えてねｗ
どーして逃げ続けるの？ >>854
キミさあ
訊いてることに答えず、訊いてないことばかり言うのやめてくれない？
有理数Qが全順序だとか稠密だとか、そんなのみんな知ってるからドヤ顔で言わないでいいよｗ 落ちこぼれクンは勝手に他人が馬鹿で自分が利口って妄想してるようだね
その独善性はもう病気の域だね
訊いてないことばかり言って訊いてることに答えないのがその証拠 こちらが訊いてもいないことを嬉々として語り、訊いてることはスルー
落ちこぼれクンは言葉のキャッチボールができないコミュニケーション障害者かな？ >>854 補足
追加資料
（参考）
http://ysserve.wakasato.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/node16.html
Yasunari SHIDAMA 師玉康成
整列可能定理
以下の定理が知られています。
[ツェルメロの整列可能性定理] 任意の集合$E$上に整列順序が存在する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。
例と反例
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。
R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる。可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≦ が整列順序となることも、ならないこともありうる。 >>860
キミも分からん人やねえ。
キミが示すべきは0の次の有理数であって、誰も理屈を捏ねてくれなんて求めてない。
そのコミュ障早く治しなさい。治すまで書き込みは遠慮してもらえます？ 私が間違ってました。有理数すべてを並べた<列を作ることは不可能でした。
と、素直に認めれば良いのに、なんで間違いを認められないんでしょうね。発達障害で精神が幼稚なまま大人になってしまったのかな？ 0の次の有理数pが存在すると仮定。
p/2は有理数、且つ、0<p/2<pだから矛盾。
こんな簡単なことが何故分からないの？
池沼？ >>860 補足
追加資料
"実数の整列化について"
と選択公理（＝整列可能定理）
（参考）
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/2250335.html
教えてgoo
実数の整列化について
質問者：kurororo質問日時：2006/07/02 04:29回答数：2件
大学で数学を学んでいる者です。最近、集合と位相の科目で、整列可能定理を学びました。それは、選択公理・Zornの補題と同値な命題であって、その内容は
「任意の集合において、適当な順序関係を定義すれば、整列集合にすることができる。（整列集合とは、空でない部分集合が常に最小元を持つ集合）」
という内容でした。
さて、実数の集合は通常の順序関係では整列集合ではありません（例えば開区間は最小数を持ちません）。定理によれば、適当な順序によって実数の集合も整列集合になる訳です。
それなら、それは具体的にはどのような順序なのかと調べて見たんですけど、どうも見つかりません。どなたか知っている人がいれば教えてください。
No.2ベストアンサー
回答者： adinat 回答日時：2006/07/03 02:32
連続濃度以上の集合に整列順序が存在することは、選択公理なしには証明できません（というより同値ですよね）。証明は抽象的構成を与えることですから、ある意味ではそれは不可能なわけです。といってしまうと身もふたもないですから、整列順序がどういうものかを納得するためにも雑な例をあげてみます。
整列順序というのは、ようするに最も小さい数があって、さらに各元に対して“次の数”が定まっているような順序です。たとえば自然数列{1,2,3,…}が典型です。実数に整列順序を入れてやりたければ、まず最小元を決めて、また各元に対して次の数を決めてやればいいのです。（しかしながら非可算個の元に対して次の元を指定するなんてことは人間には無理です（本当は可算無限個でも無理なんですけどね））
たとえば、{1,2,…,…,π,e,√2,√3,…,…,0,-1,-2,…}などという順序を考えてみましょう（左の方が小さいとする順序）。次の数さえ決まっていたらいいんです。だから上の順序は整列順序です。5の次は6だし、1兆3の次は1兆4です。πの次はeだし、eの次は√2です。0とか、πの一つ前の数字が気になったりしますが、整列順序というのはあくまでも一つ大きい数さえ決まっていたらいいんです。π^eがどこにあるかわかりませんが、それも適当に決めてやればいいのです。ようするに実数を思いついた順番にひたすら並べていけばいいのです（無限回！しかも非可算無限回！）それが整列順序というものです。
数学的帰納法ってあまり信頼がないですが、あれは自然数を一斉に順番に並べることができること（ペアノの公理）から由来する定理であって、整列可能定理というのはその非可算無限集合に拡張された超限帰納法に対応するものです。非可算無限個の元を順番に並べるという、とても有限の時間で人ができるわけがないことを考えているわけです。選択公理というのは、非空な集合の非可算無限直積から元が取れる、つまり非可算無限個の元をまったく同時に扱える、ということを主張する公理なので、そりゃあそんなこと認めてしまえば、整列順序なんて作れるよね、とそんな気がしてきませんか？（すべての実数に対してその次の数を考えてやるだけで整列順序ができるわけだから！）
つづく >>864
つづき
No.1
回答者： kabaokaba 回答日時：2006/07/02 14:51
「存在が証明される」のと
「具体的に構成する」というのは
別のものです
後者ならば前者は成立しますが
逆は成立しません．
ぶっちゃけた話，物理なんかでも
「理論的に予言されたものを
みんなで必死に探す」なんてことはよくありますね
＃逆のパターンも当然ありますが．
小柴先生のカミオカンデだって，
素粒子の質量の話だって，
古くは湯川先生の中間子だってそーいう流れでしょう．
相対論もそーいう流れのはず．
数学だと，正65537角形は作図可能ですけど
この作図の工程を具体的に示すのは
できないでしょう（もしかすると
もう誰かが具体的な書き方を見つけてるかも）
そもそも整列可能定理は選択公理と同値なわけで
整列可能な順番を目に見える形で
構成できたとすれば
それは選択公理を「構成」したこと
すなわち「証明」したことになりませんか？
この整列可能定理は選択公理の一種の
異質さというか危うさというかを
際立たせる意味合いもあると解釈すべきだと
思いますがどうでしょうか
(引用終り)
以上 >>864
そんな屁理屈は通りませんよ？
何故ならあなたは
> よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
と言いました。
列が存在する ではなく 列を作れる と。
しかし列は存在しないし作れない。
証明は>>863
こんな簡単極まりない証明が理解できない池沼に数学は無理なので諦めましょう。 有理数をすべて並べた<列は存在しない。
存在するとの仮定から直ちに矛盾が導かれる。
こんなん大学数学の初歩の初歩の初歩。入門レベルですらない。
さすがに大学一年4月に落ちこぼれた落ちこぼれクンは違いますねw まあ落ちこぼれクンが阿呆なのは周知の事実ですが、彼の異常性は間違いを決して認められないこと。精神の発達が止まってしまう発達障害なんでしょう。 >>854
>私は名前の議論はしない。だれか関係ない第三者に迷惑を掛ける可能性があるから
意味がよく分からないが、もし>>848のことを指していっているなら、
>教育のプロポーションにこだわって有理点
というのは或る意味事実だよ。実際に、教える側は黒板で習う側は黒板を見る側に、
というような感じで熱心に講義するときの姿勢にこだわっている人がいる。
まあ、君がコピペしたことがある人の中にいる。
そのようなことを知っている人はかなりいると思う。 >>869
どうも、スレ主です
>>教育のプロポーションにこだわって有理点
>というのは或る意味事実だよ。実際に、教える側は黒板で習う側は黒板を見る側に、
言っている意味が分からない
「教育のプロポーション」の定義は？
有理数の稠密性とか、実数の連続とか
昔の高校では普通だった気がするよ
（最近のゆとりは知らんけどね）
大学への数学にも、普通に書いてあったと思ったけど
それでないと、高校で微積やれんでしょう？
勿論、大学での扱いは別としてもね（＾＾ >>867
>有理数をすべて並べた<列は存在しない。
>存在するとの仮定から直ちに矛盾が導かれる。
そんなバナナｗ（＾＾
全順序（total order）と、整列順序 (wellorder)の区別が付いていないのか？（下記）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F
全順序
全順序（total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。
単純順序（たんじゅんじゅんじょ、英: simple order）、線型順序（せんけいじゅんじょ、英: linear order）とも呼ばれる。
集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。
例
実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる。従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる。これらは何れも、ある性質に関して最小の全順序集合として（同型を除いて）唯一の例を与えることが示せる（ここで、全順序集合 A がある性質に関して「最小」とは、同じ性質を持つ任意の B に対して A に順序同型な B の部分集合が存在することをいう）。
・N は上界を持たない最小の全順序集合である。
・Z は上界も下界も持たない最小の全順序集合である。
・Q は R の中で稠密となる最小の全順序集合である。ここでいう稠密性は a < b なる任意の実数 a, b に対し、a < q < b となる有理数 q が必ず存在することを言う。
・R は順序位相（後述）に関して連結となる最小の非有界全順序集合である。
・順序体は定義により全順序である。これは有理数体 Q や実数体 R を包括する概念である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合（wellordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
(引用終り)
以上 >>860 補足
追加の追加
（参考：英語版）（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order
Examples and counterexamples
Reals
The standard ordering ≦ of any real interval is not a well ordering, since, for example, the open interval (0, 1) ⊆ [0,1] does not contain a least element. From the ZFC axioms of set theory (including the axiom of choice) one can show that there is a well order of the reals. Also Wacław Sierpiński proved that ZF + GCH (the generalized continuum hypothesis) imply the axiom of choice and hence a well order of the reals. Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.[1] However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists—for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals, or indeed any set.
つづく >>872
つづき
An uncountable subset of the real numbers with the standard ordering ≦ cannot be a well order: Suppose X is a subset of R well ordered by ≦. For each x in X, let s(x) be the successor of x in ≦ ordering on X (unless x is the last element of X). Let A = { (x, s(x)) | x ∈ X } whose elements are nonempty and disjoint intervals. Each such interval contains at least one rational number, so there is an injective function from A to Q. There is an injection from X to A (except possibly for a last element of X which could be mapped to zero later). And it is well known that there is an injection from Q to the natural numbers (which could be chosen to avoid hitting zero). Thus there is an injection from X to the natural numbers which means that X is countable. On the other hand, a countably infinite subset of the reals may or may not be a well order with the standard "≦". For example,
・The natural numbers are a well order under the standard ordering ≦.
・The set {1/n : n =1,2,3,...} has no least element and is therefore not a well order under standard ordering ≦.
Examples of well orders:
・The set of numbers { - 2^-n | 0 ≦ n < ω } has order type ω.
・The set of numbers { - 2^-n - 2-m-n | 0 ≦ m,n < ω } has order type ω2. The previous set is the set of limit points within the set. Within the set of real numbers, either with the ordinary topology or the order topology, 0 is also a limit point of the set. It is also a limit point of the set of limit points.
・The set of numbers { - 2^-n | 0 ≦ n < ω } ∪ { 1 } has order type ω + 1. With the order topology of this set, 1 is a limit point of the set. With the ordinary topology (or equivalently, the order topology) of the real numbers it is not.
(引用終り)
以上 >>871
> そんなバナナｗ（＾＾
バカは整列順序も全順序も全く分かってないキミだよ落ちこぼれクン。
>全順序（total order）と、整列順序 (wellorder)の区別が付いていないのか？（下記）
いや、問題はそんなとこじゃぜんぜんないから。キミが整列順序も全順序も全く理解してない事が問題。理解してたらそっちのルートは諦めるw
極めて単純且つ完璧な証明>>863が理解出来ない事がさらなる問題w
これ理解出来ないようじゃ人間辞めた方が良いよ。 >>874
>>全順序（total order）と、整列順序 (wellorder)の区別が付いていないのか？（下記）
>いや、問題はそんなとこじゃぜんぜんないから。キミが整列順序も全順序も全く理解してない事が問題。理解してたらそっちのルートは諦めるw
>極めて単純且つ完璧な証明>>863が理解出来ない事がさらなる問題w
あやや？
「完璧な証明>>863」？
（>>863より）
0の次の有理数pが存在すると仮定。
p/2は有理数、且つ、0<p/2<pだから矛盾。
(引用終り)
これで
「0の次の有理数pが存在すると仮定」って
そんなん、もともと有理数Qの稠密性から、”0の次の有理数p”なんてのが無理筋で
わざわざ証明するまでもないよねｗ
なんか証明した気になっているのかね？ おぬし
はてさて、
意味不明だな（＾＾ > キミが整列順序も全順序も全く理解してない事が問題。
これ、キミにはどういうことかちんぷんかんだろうね。
「整列集合Xの元すべてを含む<列が存在する」
これがキミの主張だろ？
じゃあ自力でもコピペでもいいから証明してごらん。
絶対無理だと思うけど。偽だからw >>875
> そんなん、もともと有理数Qの稠密性から、”0の次の有理数p”なんてのが無理筋で
じゃ全ての有理数を含む<列は存在しないねw
キミ、自分が何言ってるか分かってる？w
間違いを認めたって事でおk？ キミ自分の投稿忘れたの？
>>836
>有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）から
>可算無限長の”＜”による無限列など、至る所ありふれているんだよぉ～！ｗ
これが間違いと認めるの？ y/n >>875 補足
なんか、分かってないね
（下記より）
・整列集合：集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう
つまり、全順序に「必ず ≦ に関する最小元をもつ」という条件を加えたもの
・全順序：線型順序、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である
「集合 X が関係 ≦ による全順序をもつとは、X の任意の元 a, b, c に対して、次の3条件を満たすことである」
”X の任意の元 a, b, c に対して”にご注目
任意とは、英語では anyかallですが、数学では∀ですよ！（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合（well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F
全順序
単純順序（たんじゅんじゅんじょ、英: simple order）、線型順序（せんけいじゅんじょ、英: linear order）とも呼ばれる。
集合 X が関係 ≦ による全順序をもつとは、X の任意の元 a, b, c に対して、次の3条件を満たすことである：
反対称律：a ≦ b かつ b ≦ a ならば a = b
推移律：a ≦ b かつ b ≦ c ならば a ≦ c
完全律（比較可能）：a ≦ b または b ≦ a の何れかが必ず成り立つ
反対称性によって a < b かつ b < a であるという不確定な状態は排除される[1]。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係で比較可能（英語版）であることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である[2]。また完全性から反射性 (a ≦ a) が出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は（完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で）全順序よりも弱い条件である。
(引用終り) >>879 補足
>”X の任意の元 a, b, c に対して”にご注目
>任意とは、英語では anyかallですが、数学では∀ですよ！（＾＾
”X の任意の(3つの)元 a, b, c に対して"
成り立つってことは
つまり、X の全ての3つ組に対して成立するってこと
それって、集合X全体って意味ですよ！ｗ（＾＾
集合X全体が、順序”≦”で並ぶってことですよ！（＾＾； だからいいんだけど
０の次の有理数を早く答えてよｗ >>880
>集合X全体が、順序”≦”で並ぶってことですよ！（＾＾；
と
> そんなん、もともと有理数Qの稠密性から、”0の次の有理数p”なんてのが無理筋で
は矛盾じゃないの？ｗ
馬鹿だから分からない？ｗ
馬鹿は楽でいいねーｗ >>842 補足
(引用開始)
なお実際、例えば区間(a,b)を、p等分することができる（ここにｐは2以上の任意の自然数）
Δ＝(b-a)/pとして
a<a+Δ<a+2Δ<・・<a+(p-1)Δ<b とできて、区間(a,b)内にp-1個の有理数を作ることができる
pは、任意に大きく取ることができる
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理））
よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
(引用終り)
＜ガロアすれ流の有理数Qの稠密性定理＞
定理：上記の区間(a,b)をp等分してできる集合を、Ap＝{a+Δ,a+2Δ,・・,a+(p-1)Δ}とする
A：＝∪Ap 但し、p∈N(0と1を除く(2等分以上を考える))
とすると
集合Aは、区間(a,b)に含まれる有理数を表す
区間(a,b)は任意であり、
この区間にAなる無限の有理数の集合を含む（有理数Qの稠密性）
(証明)
1．区間(a,b)は、平行移動できるので、計算の簡単のためにaを原点に移して、区間(0,e)で考える
e＝b-aである
2．区間(0,e)に含まれる有理数をA’と書く
A’＝Aである。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い
3．区間(0,e)に含まれる任意の有理数c∈A’を考える
c＝c1/c2と表す。また、e＝e1/e2と表す
4．そこで、p=c2・e1 ととれば、c∈Apとなることを示す
区間(0,e1/e2)をp(＝c2・e1) 等分するので、
区間の長さの分割単位Δ＝(e1/e2)/p＝1/(c2・e2)となる
とすると、c＝c1/c2は、c：＝c1・e2Δと表すことができる
即ち、c1・e2Δ＝c1・e2(1/(c2・e2))＝c1/c2＝c を導くことが出来る
5．よって、区間(0,e)に含まれる任意の有理数c∈A示せたので
A’⊂Aであり、A’⊃Aであった(上記2項)から、A’＝A成立！
QED
この程度のことは、昔だれかがやっているだろうが、
「有理数Qの稠密性」を示す定理として、分かり易いと思う
区間(a,b)は、任意に取れるので、区間(a,b)内にさらに小さく区間(a',b')を取っても
逆に、区間(a,b)を含むように大きく区間(a'',b'')を取っても、同じことが証明できる
即ち、「有理数Qの稠密性」の”入れ子構造”を示す定理である（＾＾
以上 >>883 訂正
A’＝Aである。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い
↓
A’＝Aであることを、示す。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い
分かると思うが念のため（＾＾； >>879
>なんか、分かってないね
それは雑談君、君だよキミ
>・整列集合：集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、
>S 上の全順序関係 "≦" であって、
>S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう
>つまり、全順序に「必ず ≦ に関する最小元をもつ」という条件を加えたもの
上記は、「任意の元にかならず後者が存在する」と同じ
但し、整列順序に「必ず ≦ に関する最大元をもつ」という条件はない
つまり、「任意の元にかならず前者が存在する」とはいえない
たとえば、ωに前者は存在しない
したがって、ω＞ｎとなるいかなるｎも
ω＞ｍ＞ｎとなるｍが、必ず存在する（しかも無限に）
そしてωから０にいたる＞降下列はかならず有限である
（一方で、いくらでも長い（有限の）長さの＞降下列が存在する）
いっとくけど、Ｑに関する通常の順序は全順序だけど整列順序ではないよ
Ｎと同値な整列順序構造を新たに導入することはできるけど
その場合、Ｑのいかなる要素もあるＮの要素に対応するので
キミがいうωにあたる元はない
ま、むりやり作ってもいいけど、そうしたところで無限降下列はできないよ >>883
＞有理数Qの稠密性定理
もしかして
「Qは整列順序です！！！」
とかドヤ顔で語ってる？
雑談君はパクチー🐎🦌野郎かな？ >>883
なんで>>882から逃げるの？
間違いを認めるのがそんなに嫌？ >>871 補足
＜整列順序と全順序の意味分かってない！＞（＾＾
１．整列順序とは、全順序であって、任意の部分集合が極小元を持つ
２．従属選択公理（選択公理でも）を使えば、「関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる」
３．全順序とは、「元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である」
４．実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる
従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる
５．当然、R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって、無限降下列も、あるいは無限上昇列も持つ
なお、有理数全体の成す集合 Qは、可算無限に限られる
６．自然数全体の成す集合 Nは、整列順序であり、最小限を持ち、降下列は有限である
７．しかし、N∪ωを考えると（wiki/Well-founded_relationより）”Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n.”
つまり、N∪ωでは、「∀降下列は、有限」が不成立（詳しくは下記英文嫁め）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
つづく >>888
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
二項関係が整礎（well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。（関係 R がさらに集合的であることを仮定する著者もいる[2]。X が集合であればこれは自動的に成り立つ。）つまり、S の元 m であって、S の任意の元 s に対して対 (s, m) は R に属さないようなものが存在する。式で書けば
∀ S⊆ X(S≠Φ → ∃m∈ S ∀s∈S(s,m)not∈ R).
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。
順序集合論（英語版）では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。
集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。
整礎でない関係の例
・負整数全体 {?1, ?2, ?3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。
・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。
（上記「∀ S⊆ X(S≠Φ → ∃m∈ S ∀s∈S(s,m)not∈ R)」関連は英文で分かり易く加筆されているね ）
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.
つづく >>889
つづき
In other words, a relation is well founded if
(∀S⊆ X)[S≠ Φ ⇒ (∃m∈ S)(∀s∈ S)￢(sRm)].
Other properties
If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded. Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n.
The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X, R) is isomorphic to (C, ∈).
つづく >>890
つづき
（>>871より再録）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F
全順序（ぜんじゅんじょ、英: total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。
元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である[2]。
例
実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる。従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる。これらは何れも、ある性質に関して最小の全順序集合として（同型を除いて）唯一の例を与えることが示せる（ここで、全順序集合 A がある性質に関して「最小」とは、同じ性質を持つ任意の B に対して A に順序同型な B の部分集合が存在することをいう）。
・N は上界を持たない最小の全順序集合である。
・Z は上界も下界も持たない最小の全順序集合である。
・Q は R の中で稠密となる最小の全順序集合である。ここでいう稠密性は a < b なる任意の実数 a, b に対し、a < q < b となる有理数 q が必ず存在することを言う。
・R は順序位相（後述）に関して連結となる最小の非有界全順序集合である。
・順序体は定義により全順序である。これは有理数体 Q や実数体 R を包括する概念である。
(引用終り)
以上 >>879-880 補足
(引用開始)
>”X の任意の元 a, b, c に対して”にご注目
>任意とは、英語では anyかallですが、数学では∀ですよ！（＾＾
”X の任意の(3つの)元 a, b, c に対して"
成り立つってことは
つまり、X の全ての3つ組に対して成立するってこと
それって、集合X全体って意味ですよ！ｗ（＾＾
集合X全体が、順序”≦”で並ぶってことですよ！（＾＾；
(引用終り)
下記、コンパクト性定理
「有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理」
「応用例 ・任意の順序集合が全順序に拡大できること」
なるほど、厳密にはコンパクト性定理を使うか
X の任意の3つ組→任意の有限部分集合→元の集合X全体（それは当然無限集合）で成立
という証明の筋でしょうかね？（＾＾
コンパクト性定理ね
なるほど、確かに便利だな（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
コンパクト性定理
コンパクト性定理（英: Compactness theorem）とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。つまりある理論の充足可能性を示すにはその有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理であり、モデル理論における最も基本的かつ重要な成果のひとつである。
歴史
1930年にゲーデルが可算集合の場合について証明した。非可算の場合については、Anatoly Maltsevが1936年に証明を与えた[1][2]。
応用例
コンパクト性定理はモデル理論を含む様々な分野において多くの応用を持つ。例として、以下の定理や命題がコンパクト性定理を用いて証明される。
・上方レーヴェンハイム-スコーレムの定理
・任意の順序集合が全順序に拡大できること [3]
証明
コンパクト性定理は、ゲーデルの完全性定理から導くことができる。
(引用終り)
以上 屁理屈はいいから早く0の次の有理数を答えてくれない？
無理筋だと言うなら有理数をすべて並べた＜列は存在しないことを認めるの？
どっち？
逃げてないで答えて >>888
> Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
> Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n.
翻訳は以下のとおり
「次のような例を考えてみましょう。Xを正の整数と、任意の整数よりも大きい新要素ωとの和とする。
このとき、Xはwell-foundedな集合であるが、ωから始まる任意の大きな（有限の）長さの下降鎖があり、その鎖はω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 は任意の n に対して長さ n を持つ。」
どこにも、無限列がある、なんて🐎🦌なウソは書いてないが 嘘はいけませんね
数学どうこう以前に人格が破綻してます ω以下の順序数をすべて並べた∈下降列は存在しない。
理由は超簡単。ωは後続順序数でないから並べようにもωの前者が存在しない。
ωから始まる∈下降列は有限列。
理由は超簡単。ωの元はどれも自然数だから、ω∋▢∋…∋1∋0 の▢=自然数n。よってこの列の長さはn+2。
こんな超簡単なことも分からない落ちこぼれクンに数学は無理なので諦めましょう。 >>847
(引用開始)
>ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
数学を研究しない人が大部分を占める工学部の数学と数学科の数学は学習法も使い方なども違うから、
このようなセリフは数学を使用するだけの人がいっても殆ど意味ない。
工学部で代数は殆ど教えないし研究しないだろw
(引用終り)
意味分からんけど、レスしておく
1．数学科出身が全て、数学を研究しているはずもない（ほんの一握りでしょ。学部や修士で、多少はやったとしても）
2．一方、数学科出身以外が、全く数学を研究していないのか？
数学研究に一番近いのが、理論物理系の研究者かな？ 有名どころでは、ウィッテンとか大栗先生
3．その他、非数学科出身で情報系で数学を教えている研究者や、東大京大などの化学やいろいろの理系研究者たち
彼らは、必要な部分については、数学科の学部か修士レベルの勉強は必要に応じしているでしょ
（ちょうど、アインシュタインが、数学者グロスマンに教えてもらった事例などもあるしね。この場合は、当時の最先端の数学だった）
4.だから、「数学科出身でございます」と、学部か修士レベルでハナタカしていたら
世間の理系の非数学科出身でも、その程度のレベルは結構いたりして、
「ちょうどいいところに来た。この問題で悩んでいたんだ、これ解いてみて」と、
大学研究者から言われて（民間の研究者でもあるかも）、解けないで赤っ恥になりかねないよね（＾＾
私？ 私のことではございません。私は、底辺も底辺です
でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない
数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます
珍しいものを発見したとｗ（＾＾； >私？ 私のことではございません。私は、底辺も底辺です
自惚れでしょう。
あなたは大学数学から入門を拒否された落ちこぼれです。
底辺とは大学課程修了者の中で最低レベルという意味です。あなたはそこまで達してません。 >>897
>でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない
>数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます
何重にも間違ってるｗ 馬鹿丸出しｗ さすがに入門を拒否された落ちこぼれだけのことはありますねｗ
何重にも間違ったことをドヤ顔で書きこむその度胸だけは褒めてあげますｗ
しかし根拠の無い度胸なんて糞の役にも立ちませんよ？ｗ >>897
>でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない
>数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます
まず
「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
を証明してからドヤ顔して下さいね？
無理だと思いますけど、偽ですからｗ
尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ >>901
あなたはどうせ逃げるので答えを書いときますね
反例
全順序集合Rの0の次の実数rは存在しない。
反例であることの証明
存在すると仮定すると 0<r/2<r を満たす実数r/2が存在するため矛盾。 無限小数 0.999・・ を論ずる某スレと立場逆転している
無限長の列を認める立場（私）と
無限長の列を認めない立場（数学科出身を名乗るもの）と
なんか、立場が逆転しているようだねぇ～ｗ（＾＾； >>903
だーかーらー
おまえ日本語分らんの？
誰も無限列を否定しとらんゆーとんの分らんの？ 馬鹿？ 阿呆？ >>903
逆
最後の項がある列は有限列であって、有限しか認めてないのがおまえ。
おまえは口では無限と言ってるが、無限とは何かが分かってない。
無限とは限りが無いこと。最後の項があったら限りがあるじゃねーかｗ 馬鹿としか言い様が無い 列に最後の項がある→限りが有る→有限列
列に最後の項が無い→限りが無い→無限列
おまえはここから分かってない。
おまえが言う無限列は有限列のこと。何故なら最後の項があるから。限りがあるから。限りが有ることを有限と言う。馬鹿。
だからおまえの主張の逆で、有限列しか認めてないのがおまえ。無限列を認めてるのがおまえ以外。
大学数学に入門を拒否された落ちこぼれは数学板に来んな。板が穢れる。 >>906
(引用開始)
列に最後の項がある→限りが有る→有限列
列に最後の項が無い→限りが無い→無限列
おまえはここから分かってない。
おまえが言う無限列は有限列のこと。何故なら最後の項があるから。限りがあるから。限りが有ることを有限と言う。馬鹿。
だからおまえの主張の逆で、有限列しか認めてないのがおまえ。無限列を認めてるのがおまえ以外。
(引用終り)
いやいや、おサル
お主、数学科修士卒と言う触れ込みだったよね
でもな、いくらFラン卒といえどもだ
こんなあたまで、よく数学科が卒業できたね（＾＾
「Rの0の次の実数rは存在しない」なんてのは
素朴な疑問で、高校から大学1年くらいなら
微笑ましいわな
だが、50過ぎのおっさんで
大学を出て、30年経って
まだこのレベルだとすれば
いったい今まで、何を学んで来たのだと？
そういう疑問しか残らないぞｗ（＾＾；
小一時間問い詰めたいところだｗ https:/twitter.com/gou_tanab?ref_src=twsrc%5Egoogle%7Ctwcamp%5Eserp%7Ctwgr%5Eauthor
ゴキブリレイシスト田辺ニホンザルヒトモドキを銃殺せよ
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>908
下記「無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち」 志賀 浩二
あったな、読んでないけど
おサルも、1920年ころのポーランドに生まれて、無限を研究したら良かったろうね（＾＾；
だが、1988年とか今の2021年の時代に、「Rの0の次の実数rは存在しない」とか
微笑ましい通り越して、50過ぎのおっさんなら、不勉強だろ！ってことよ（＾＾
（参考）
https://www.アマゾン/product-reviews/4535781613
無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち 1988
by 志賀 浩二 日本評論社
Customer reviews
まげ店長
5.0 out of 5 stars ポーランドにおける無限を巡る数学の発展について
Reviewed in Japan on November 2, 2013
ポーランド史、無限論（カントール）、ユダヤ人史に興味の有る方にはうってつけの本です。
私はたまたまワルシャワ蜂起と集合論と数学基礎論を勉強しているので、この条件には見事に当てはまるのです。
連続体仮説についての説明で、こんなに分かりやすい説明は初めて読みました。
決して簡単な内容ではありませんが、周辺の数学を少しづつ勉強すれば決して理解できないレベルではないと思います。
ポーランド数学！、歴史学と数学を一緒に学べるという他には無い貴重な機会です。是非、頑張りましょう。
冒頭に集合論の取り扱い、無限という概念の取り扱いが発見時の頃に比べると論理化・簡潔化・整然化
されてしまい、多くの人が非加算の無限に対して感動しなくなっている事に対する嘆きが語られます。
私自身もカントールの話に感動して集合論を勉強し始めた頃、あまりにも無味乾燥な表現で終始しており
しかも全体の流れの中で軽んじられている傾向に違和感を感じました。
そんな私でさえもルベーグ測度を一所懸命に勉強した時もどうしてこんな当たり前の事を勉強しなければ
いけないのか悩んだものです...（未だ完全に分かってはいませんが）
こうした本を読むことで無限に対する尊厳を思い出したいものです。
集合論以外はトポロジーや関数解析で、一部は証明などもありますが定理だけがふらっと載っているだけの
ものもあります。
殆どは今の私にはさっぱりですね... 何が書いてあるのかも分からないのですが、不思議とそれでも面白いのです。
(引用終り)
以上 >>908
おまえ真性のバカだろ
「0の次の実数が存在する」を真と考えてるのが偽と考えてるのか、自分の考えを述べることすらまともにできないのか？
その馬鹿頭でよく生きてられるな >>910
だからおまえはどっちなんだよｗ
真性バカはそれすらまともに述べれないｗ もう障害者レベルｗ 真か偽か自分の考えすらまともに述べれない障害者はどっか行けよ
数学がどうこうなんてレベルを遥かに逸脱した馬鹿 >>908
>素朴な疑問で
なんで疑問になるんだよｗ 馬鹿かおまえはｗ
「存在するか？」だったら疑問だが、「存在しない」と断言してるんだから疑問じゃねーだろｗ
もうこういうところからして馬鹿過ぎて話にならんよおまえ もう馬鹿は消えて 肯定分と疑問文の区別すらつかない馬鹿は数学板に必要無い 消えろ >>883
(引用開始)
この程度のことは、昔だれかがやっているだろうが、
「有理数Qの稠密性」を示す定理として、分かり易いと思う
区間(a,b)は、任意に取れるので、区間(a,b)内にさらに小さく区間(a',b')を取っても
逆に、区間(a,b)を含むように大きく区間(a'',b'')を取っても、同じことが証明できる
即ち、「有理数Qの稠密性」の”入れ子構造”を示す定理である（＾＾
(引用終り)
下記の
「この方面の先駆者であるスミスは、有理数の集合が任意に小さな区間に閉じ込められてしまうこと、に気付いており」
辺りがそうかも
100年くらい前の話だが（＾＾；
（参考）
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/
数学史シンポジウム報告集
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/
第25回数学史シンポジウム
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf
カントールによらない実数の非可算性の証明
その発案の経緯と現在への影響を巡って
鈴木真治 2015年1月30日投稿
P134
3. 様々な「実数の非可算性の証明」の背景
この方面の先駆者であるスミスは、有理数の集合が任意に小さな区間に閉じ込められてしまうこと、に気付いており、
(引用終り)
以上 安達も瀬田も結局最後は逃げるんだよなあ
つまんねー 哀れな素人氏のスレに戻りな
みんな、あきれていると思うよ
（>>906）
列に最後の項がある→限りが有る→有限列
(引用終り)
とか、不成立じゃね？
（>>901）
まず
「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
を証明してからドヤ顔して下さいね？
無理だと思いますけど、偽ですからｗ
尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ
(引用終り)
これもな
お主の言っていることは、意味不明だが
おそらくは、「こんなところで躓いているのかな？」というのは、何となく分かる（＾＾
しかし、あまりにも低レベルで、評しようがないｗ（＾＾； >>916 追加
これ結構面白い、お薦めです
小平邦彦先生のお言葉（＾＾
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf
カントールによらない実数の非可算性の証明
その発案の経緯と現在への影響を巡って
鈴木真治 2015年1月30日投稿
P4
(16) 小平邦彦氏は対角線論法があまり好きではなかった。では、どんな証明方法を推していたのか 第4節参照
p7
測度論的証明については、選択公理は使うし、証明の途中に区間縮小原理を使うので、非述語的定義も含まれていて、基本性からは良いところがないようにも見える。しかし、後で説明するように小平邦彦氏は、「R は非可算であるだけでなく、R の可算部分集合は R の極めて小さい部を占めるに過ぎないことがわかる。」と言ってこの証明を評価している。
P15
小平邦彦氏はこの対角線論法を評して、「簡単明瞭であるが、何かうまく言いくるめられた感じがしないでもない。そこで別証を考えて見る。(「数学の学び方」 [71]より)」とされ、測度論的証明を自著『解析入門』(72)に書き記されている。更に、「これで実数全体の集合 R が非可算であることの別証が得られたのである。別証は対角線論法による証明よりも面倒であるが、うまくいいくるめられたという感じはない。別証により R は非可算であるだけでなく、R の可算部分集合は Rの極めて小さい部を占めるに過ぎないことがわかる。(同上)」と、してこの別証明53の持つ意義を力説されている。
(引用終り) >>919 つづき
おぬし、鈴木真治 巨大数 辺りから勉強し直したらどうだ？（＾＾
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo26/26_suzukis.pdf
鈴木真治 巨大数小史 有限と無限の狭間の揺らぎ 2016年1月30日投稿
0 はじめに
巨大数は,無限と同様に,太古から多くの人々を魅了し続けて止まない人気のテーマの一つである.ところが,無限論が,現在においても真っ当な専門書2から啓蒙書3, 果ては哲学書4に至るまで幅広く新著が出版され続けているのに対し, 巨大数論を主題とした邦書を寡聞にして著者は1冊しか知らない5.後はせいぜい,数学者のエッセイ集の1トピック6として紹介されているか,比較的小さな記事7が,発表されているくらいではなかろうか.このような差が生まれた最大の理由は,無限が,数学の発展において不可欠な概念であり続けて来たと云う歴史的重みと、門外漢からの安易な接近を拒む深淵を内包しながら発展を維持しているのに対し8,巨大数の方は,一見,鬼面人を嚇すと云った意外性から歴史的に語り継がれているものがあるにしても,現代数学はそれを必要とせず,将来も必要とされることはないと考えられているからかもしれない. 本質論から比較するなら,無限が,多様性を保持しつつも,数学的に明確な定義が与えられるようになったのに対し, 巨大数に対しては,精確で有効な定義がないことが致命的な差であろう.このような対象を,大抵の数学者は,研究対象にはしたがらないからである9.
著者は,当初,このような問題意識に対し,どちらかと言えば否定的で,「問題のための問題を解こうとしている」ように捉えていた.しかし,「数と無限の多面的アプローチ」を主たる研究テーマにしている関係上,擬無限としての「巨大数」は,無視できない存在であった.そこで,断続的に巨大数の歴史を調べていたのだが,ここからビジービーバーと云うチューリングの停止問題とも関連のある非常に興味深い関数や第一不完全性定理の具体的な例ともなったグッドステイン数列の終結定理, 非原始帰納関数の典型例であるアッカーマン関数, 証明論や計算理論に現れる急増加階層(F.G.H)とも密接に関わっていることを知るに及んで見えていた風景が一変した.
つづく >>921
つづき
20 世紀以降の巨大数の歴史は,このような文脈のなかで,計算理論の発展 - 原始帰納関数から多重帰納関数の発見, 一般帰納関数への拡張,計算可能関数との同定,非計算可能関数の発見等 - を主軸に添えて,様々な表記方法の創出と具体的問題への応用を付記しつつ語られるべきものと考えるようになった
https://www.hmv.co.jp/artist_%E9%88%B4%E6%9C%A8%E7%9C%9F%E6%B2%BB-%E6%95%B0%E5%AD%A6_200000001148068/item_%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E7%A7%91%E5%AD%A6%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%83%BC_7300972
巨大数 岩波科学ライブラリー
鈴木真治(数学)
発行年月 ： 2016年09月
内容詳細
無量大数ってどのくらい大きい数？グーグルの社名の由来となったグーゴルより大きい？アルキメデスが数えたという宇宙を覆う砂の数、仏典に登場する最大数である不可説不可説転、宇宙の永劫回帰時間、数学の証明に使われた最大の数…などなど、伝説や科学に登場するさまざまな巨大数の文字通り壮大な歴史を描く。
目次 : 第１章 歴史に見る巨大数―宇宙の砂の数、極楽浄土までの道のり（アルキメデスの３つの巨大数/ 古代バビロニアやユダヤの巨大数/ 仏教やジャイナ教に現れた巨大数）/ 第２章 自然科学と巨大数―「天文学的」を超える「天文学的」な数（アボガドロ定数/ エディントン数とディラックの巨大数仮説/ 永劫回帰時間/ 猿の無限定理/ 指数表記の発明）/ 第３章 数学と巨大数―無限の一歩、手前（数学に現れた巨大数/ 巨大数を生み出す関数/ チャレンジコーナー/ 巨大数の数学的小品）
【著者紹介】
鈴木真治 : １９５８年生まれ。数学史家。金沢大学大学院理学研究科（数学専攻）修士課程修了。日本科学史学会会員。日本数学協会会員。日本アクチュアリー会準会員（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）（「BOOK」データベースより）
(引用終り)
以上 >>919
下記≦は、原文では別の記号だったが、文字化けしそうなので、原文と換えた（数学やるには不便な板です（＾＾； ）
下記花木章秀先生で、小学生を並べる話と同様に、無限集合を扱うのが、大学数学の集合論だよ
分かってないね（＾＾
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000000/
集合論 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000004/main/chapter4.html
集合論
花木章秀
目次
4 関係
4.1 関係
4.2 順序関係
4.3 数学的帰納法と超限帰納法
4.2 順序関係
通常の生活でも、順序という言葉はよく用いられる。例えば、小学生でも背の低い順に列に並んだりする。この順序について考えよう。順序を表す記号として、よく使われるものを用いると、いろいろな先入観が入りやすいので、ここでは ≦ という、あまり使われない記号を用いることにする。
定義4.2.1 (順序関係). 集合 A 上の関係 ≦ が順序関係、または単に順序であるとは、以下の条件を満たすこととする。
[反射律] 任意の x ∈ A に対して x ≦ x
[推移律] x ≦ y , y ≦ z ならば x ≦ z
[非対称律] x ≦ y , y ≦ x ならば x = y
このとき (A, ≦) を順序集合という。
定義4.2.4 (全順序). 順序集合 (A, ≦ ) の任意の二つの要素 x,y ∈ A に対して x ≦ y または y ≦ x が成り立つとき、この順序を全順序といい、この順序集合を全順序集合という。
例4.2.6. 前述の「小学生を背の低い順に並べる」ということを考えよう。ある小学校のクラスの生徒を、ある身体測定の際の身長の小さい順に並べるとする。より一般に、集合 X と写像 f : X → R が与えられ、 f による値によって、集合 X の順序を決めるということを考えよう。
順序集合 (A,≦ ) の元 x に対して x ≦ y ならば x = y が成り立つとき x を A の極大元という。同様に y ≦ x ならば x = y であるとき x を A の極小元という。任意の y ∈ A に対して y ≦ x のとき x を A の最大元という。任意の y ∈ A に対して x ≦ y のとき x を A の最小元という。最大元は極大元、最小元は極小元であるが、逆は成り立つとは限らない。最大元、最小元は存在するとは限らないが、存在すれば唯一つに定まる。
(引用終り)
以上 >>919
>列に最後の項がある→限りが有る→有限列
>とか、不成立じゃね？
反例のひとつもあげれないの？
「じゃね？」って何？俺に訊いてんの？馬鹿？
>（>>901）
>まず
>「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
>を証明してからドヤ顔して下さいね？
>無理だと思いますけど、偽ですからｗ
>尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ
>(引用終り)
>これもな
>お主の言っていることは、意味不明だが
え？？？
おまえの主張は
>「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
ではないってこと？じゃ何？
>おそらくは、「こんなところで躓いているのかな？」というのは、何となく分かる（＾＾
>しかし、あまりにも低レベルで、評しようがないｗ（＾＾；
いみふｗ
主張が違うなら正せばいい話
証明ができないなら主張しなきゃいい話
いずれにしろおまえは逃げている 体の良い捨て台詞吐いてねｗ 逃げるくらいなら数学板に書きこまなきゃいい話
おまえそもそもなんで数学板に書きこむの？ 何も分かってない馬鹿なのに
馬鹿は数学板に来なくていいから なに勘違いしてんのおまえ？ >>921
>おぬし、鈴木真治 巨大数 辺りから勉強し直したらどうだ？（＾＾
大学一年4月に落ちこぼれた人に言われてもねえ
キミこそ有限と無限の違いから勉強し直した方が良いよ？
>列に最後の項がある→限りが有る→有限列
>とか、不成立じゃね？
限りが有ることを有限って言うんだよ？ 入門すらできずに落ちこぼれた人はそこから分かってないんだよなーｗ おやおや、雑談君はま~だ、
・全順序と整列順序の区別もわからず
・単なる点列と＞列の区別もわからず
「ωから始まり０に至る＞降下列が存在する！」
と言い切ってるのかい？
そもそも＞列は
「＞の左と右の項が定まってる」
のが絶対条件だから
ω＞･･･＞ｎ
なんてダメに決まってるじゃんｗ
整列順序は、上にいくときは必ず次の項が決まるけど
下にいくときは、そうじゃないから
極限順序数の場合、前の項はないから
で、極限順序数は、次の項をたどるだけでは到達不能だから つまり
０＜１＜２＜・・・
という数列は、「次の項をたどるだけでは」決して、ωに到達しないから！
（注：何をしても到達しない、と入ってない 極限をとればいい
しかし、極限をとる操作は、次の項をとる操作とは全く異なるから！） >>923
>数学やるには不便な板です（＾＾；
じゃ無理して来なくていいよ？
まるで数学分かってないキミの書き込みなんてゴミ以外の何者でもないし
いまさら全順序の定義をコピペしてどうしたの？気でも狂ったの？ｗ
おまえの主張は
「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
なんだろ？だったら証明しないとｗ 妄想と証明は違うぞ？ｗ
まあ無理だけどな、偽だからｗ >>891
QやRは、通常の順序では、整列順序集合ではないよ
知らなかった？
だって｛q∈Q｜0＜q｝って最小元ないじゃんｗ はい、ロンパｗ
だって｛r∈Q｜0＜r｝って最小元ないじゃんｗ はい、ロンパｗ
ついでにいうと
｛z∈Z｜0＜ｚ｝は最小元をもつけど
｛z∈Z｜0＞ｚ｝は最小元ないからｗ
はい、ロンパｗ
要するにＮ以外、通常の順序では整列順序集合になりませ~ん
(Q+で、正の有理数を考えても整列順序集合になりません ざんね~ん） >という数列は、「次の項をたどるだけでは」決して、ωに到達しないから！
次の項をたどってωに達するならωは後続順序数になってしまうｗ
落ちこぼれクンは順序数の基本中の基本から分かってないｗ >>919
>あまりにも低レベルで、評しようがないｗ
それは雑談君自身のことかな？
QやRの全要素からなる点列は、＞列にならないよ
だってどの要素をとっても直前の要素がとれないじゃんｗ
「＞列」だっていうんなら、自分より小さい要素を具体的に指定できないとダメだよ
ωの場合でいうと ω＞ｎって具体的にｎを書かないとダメだよ
どんな自然数ｎをとってもＯＫだけど、その時点で
０までの降下列の長さって有限だよね
無限降下列がないってそういう意味だよ
全然わかってないね
それじゃ大学１年の４月の実数の定義で落ちこぼれるわけだ
最低レベル どん底だね
修羅界 畜生界 餓鬼界 ときたら その下の 地獄界だな
畜生以下、虫以下、ってもう単細胞生物かいｗ
これからアメーバ君って呼んじゃうよｗ >>908 補足
>「Rの0の次の実数rは存在しない」なんてのは
>素朴な疑問で、高校から大学1年くらいなら
>微笑ましいわな
「Rの0の次の実数rは存在しない」ねぇ～（＾＾
昔、ポーランドの数学者たちも悩んだのかもね
実数を上手く扱うために、位相を導入して、位相空間を考えたと思う
開基を入れると、扱いやすいなと（＾＾；
（参考）
https://researchmap.jp/read0010844
大田 春外
オオタ ハルト (Haruto Ohta)
http://www12.plala.or.jp/echohta/top.html
by Haruto OHTA
位相空間に関するあらゆる質問にお答えします。
位相空間・質問箱
http://www12.plala.or.jp/echohta/top/QA/Q001.html
これまでの質問と回答
http://www12.plala.or.jp/echohta/top/QA/QA004.html
読者からの質問と回答 01031 ～ 01040
Ｍ．Ａ．さんからの質問 #01039
可分空間とは何を分けるのですか？ 可分空間の目的は何ですか？
「可分」の概念について質問します．
可分 (separable) は何が「分けられる」のでしょうか．
また，可分という概念を取り入れた目的はなんでしょうか．
どの本をみても可分の定義や可算公理との関係は書いてあるのですが， 可分という概念を導入した必要性が感じられません．
ご教示いただきたく，宜しくお願いいたします．
つづく >>931
つづき
お答えします：
面白い質問をお送り頂きまして，ありがとうございました．
第 1 の質問について， 可分の定義は可算稠密集合が存在するということですので， 何が分けられる (separable) のか？という Ｍ．Ａ．さんの疑問はもっともだと思います． 可分という概念がはじめて定義されたのは，M. Frechet という数学者の 1906 年の論文
"Sur quelques points du calcul fonctionnel"
だと言われています． M. Frechet はこの論文で，距離空間の概念を初めて導入しました． 本論文ではまだ距離空間という用語は使われていませんが，可分 (separable) という用語は定義されています． この論文を見てみると，M. Frechet は実数直線の性質を距離空間に一般化する過程で，可分の概念に到達したように思います．
さて，なぜ「可分」と名付けたのか？という理由を知るためには， タイムマシーンに乗って M. Frechet 先生に尋ねに行く以外に方法はありませんが， 私の推理を述べてみます．
実数直線の稠密な部分集合 D は次の性質を満たします．
任意の異なる2つの実数 a ＜ b に対して，a ＜ x ＜ b をみたす D の元 x が存在する．
すなわち，異なる2つの実数は D の元によって分離されます． この事実を念頭において，可算な稠密集合が存在することを，可分と名付けたのではないでしょうか？ もちろん，実数直線と異なり一般の距離空間では順序 ＜ が定まっていないので上の性質は無意味ですが，実数直線の稠密集合をモデルとして可算稠密集合が存在する空間を可分 (separable) と名付けたのではないかと思います．
つづく >>932
つづき
第 2 の質問について， M. Frechet は，一般の距離空間において，実数直線の中の有理数の集合に相当する働きをする集合を必要として，可分性の概念を導入したのではないかと思います． 彼は，上記の論文の中で，今日の言葉で言えば「全有界かつ完備である距離空間はコンパクトである」という定理を証明しています．この定理は，「全有界」と「完備」という２つの距離空間の性質から「コンパクト」という位相空間の性質が導かれる興味深い結果ですが，全有界を位相的性質に翻訳すると「可分」になります．
詳しく言えば，次のことが成立します．
全有界な距離空間は可分である． 逆に，可分距離空間は，その位相構造を変えないような距離関数を与えて，全有界距離空間にできる． つまり，可分性は距離空間の全有界性を縁の下で支える位相的性質であると言えると思います．
たぶん，Ｍ．Ａ．さんもご存知のように，距離空間では可分であることと第２可算公理をみたすことは同値ですので，第 2 可算公理があれば可分は不要ではないかと思われるかも知れません． しかし，その後の研究で，可分性は第 2 可算公理よりもはるかに強固で自由度が高い位相的性質であることが明らかになりました．例えば，
(1) 非可算個の位相空間（ただし，２点以上を持つとする）の直積空間は第２可算公理 を満たさないが， 可分性は連続体濃度の個数の位相空間の直積空間まで保たれる (Hewitt-Marczewski-Pondiczery の定理）．
(2) 可分な位相空間上の実数値連続関数全体の集合の濃度は連続体濃度を超えない．
これ以外にも可分性が役立つ定理は多くあり，現在では，可分性は無くてはならない位相的性質として認められるようになりました．
上記の M. Frechet の論文は日本語訳が出版されています．
現代数学の系譜 13『フレシェ抽象空間論』斎藤正彦，森毅，杉浦光夫訳，共立出版 1987 年
(引用終り)
以上 >> 補足
(引用開始)
（>>906）
列に最後の項がある→限りが有る→有限列
とか、不成立じゃね？
(引用終り)
実数Rの部分集合を考える
最後の項を、通常の大小関係 ≦ の最大元とする
小数の列 0.999・・を考える
1. 0.9＝1/10^1
2．0.99＝1/10~2
・
・
n．0.99・・＝1/10~n
・
・
↓
ω｡lim n→∞ 1/10~n＝0.999・・・＝1
この”0.999・・・＝1”
を、お主は認めるんだろ？（某スレで主張していたよね（＾＾ ）
集合{0.9,0.99,・・,1/10~n,・・,1(＝0.999・・・）}
は、全順序（実は整列集合）で
0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・） (1)
なる列ができる
この列(1)を、有限列とする人は居ない
だが、最後の項”1”がある！！（＾＾；
以上 今日も、モピロン電波📶受信した。で
アメーバより🐴🦌な🌍地球人たちがコッチでも数学バトルしてて面白い。
がそれは、ともかく、
>>923のリンク先の、「論理の基本」
の例1.1.4. は、スゴク面白かった
で、例1.1.4. の要約
(notA ) ⇒ A は常に偽であるように思われるが、A が真なら「これは」真
とのことみたぃ。「これは」の部分が
キニナルが、ともかく、
この読書感想文は、モピロン
恒偽命題の条件文というか、
条件文で ¬Pは正しいと仮定して、
その結果、Pが正しいとなっても、
条件文の¬Pが正しいと信込じゃう
∵地球人🌍の、直感
∴地球人🌍は、アメーバより🐴🦌だ
ちなみに、背理法
条件文でPを正しいと仮定して、
その結果Pが誤りと証明されれば
条件文のPは誤りだと理解してるのに
by 👾の感想文
要約、直感ぢゃダメだからモピロン
霊感で考えよう >>934
訂正
>> 補足
↓
>>919 補足
細かいことですが（＾＾； >>934
>0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・） (1)
>なる列ができる
できません。
だってあなた1の直前の項が何か答えられないでしょ？ｗ 馬鹿ですか？ >>934
>0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・） (1)
>なる列ができる
>この列(1)を、有限列とする人は居ない
>だが、最後の項”1”がある！！（＾＾；
有限無限以前に(1)を列とする人は居ない。もし居たらそいつは入門すら許されなかった落ちこぼれ。 >>1
スレタイ間違ってますよ？
「現実世界で数学から入門を拒否された落ちこぼれが意気揚々と脳内数学を語るスレ」に訂正して下さい。 極限順序数は後続順序数ではない
たったこれだけのことがどーして分からないんですかねー？
そりゃ入門させてもらえませんわｗ >>935
どうも
レスありがとう
余談ですが、花木章秀先生のテキストにはお世話になっています（＾＾
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000001/main/chapter1.html
集合論
花木章秀
Chapter1
論理の基本
例1.1.4. (￢A ) =⇒ A は常に偽であるように思われるが、先に述べたようにA が真であればこれは真である。
注意. A が偽であれば、任意の命題B に対してA =⇒ B は真になるのだが、これが感覚的に受け入れがたいという学生も少なくはない。先の説明ではA =⇒ B を感覚的に理解したが、正確にはA = ⇒ B の定義が(￢A ) ∨ B であり、認めてもらうしかない。
同様の話が、下記 慶応 岡田光弘先生ですね
https://abelard.flet.keio.ac.jp/note/basic_logic_and_logical_computation.pdf
「計算論理学」講義ノート
慶應義塾大学文学部
岡田 光弘
P11
3.2. 命題論理の意味論
上の 7 による A → B の真理表は，次の ¬A ∨ B の真理表と結果が同じになることが分かる．
A B ¬A ¬A ∨ B
t t f t
t f f f
f t t t
f f t t
この意味で，→ は ¬ と ∨ を使って A → B を ¬A ∨ B の形で定義可能であることが分かる．
(引用終り)
以上 >>921
>列に最後の項がある→限りが有る→有限列
>とか、不成立じゃね？
キミ検索は得意なんでしょ？なんで検索しないの？都合が悪い検索は不得意なの？ｗ
wikipediaより引用
無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。
wikipediaより引用
有限(ゆうげん、finite)とは、無限ではないことである。
wikipediaより引用
たとえば「すべての自然数」を表す数列の項の数は「自然数の個数」に等しいが、自然数は無限に存在するため、その末項は存在しない。このように末項が定まらないような数列は、無限数列（むげんすうれつ、英: infinite sequence）と呼ばれ、末項を持つ数列は有限数列（ゆうげんすうれつ、英: finite sequence）と呼ばれる。 ω以下の順序数すべてをならべた 0<1<…<ω は末項が定まっているから無限列？
いいえ。ωの前者が定まらないから有限無限以前に列じゃありませんｗ ばーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーかｗ ちなみにω 未 満 の順序数すべてを並べた 0<1<… は無限列ですねー
こちらは任意の項が定まってますからｗ 問題二つ（＾＾
Q１）
いま、自然数の集合Nがある
N＝{0,1,2,・・・}
である。
右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
これは決められない
決められないと、
Nは、集合ではない？
Q２）
いま、N∪{N}を考える
N∪{N}＝{0,1,2,・・・,N}となる
ZFCでは、数は集合である。
右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
これは決めらる。Nである
では、Nのすぐ左の元は何か？
上記１）同様に決められない
N∪{N}は、集合ではない？
以上 >>937
>>0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・） (1)
>>なる列ができる
>できません。
>だってあなた1の直前の項が何か答えられないでしょ？
然り
降下列であるためには、1>rとなる、ｒを具体的に明示する必要がある
雑談君は一度も明示せず誤魔化している ガースーと同じ 日本の恥ｗ
>>938
>>この列(1)を、有限列とする人は居ない
>有限無限以前に(1)を列とする人は居ない。
然り
降下列であるためには、1>rとなる、ｒを具体的に明示する必要がある
雑談君は一度も明示せず誤魔化している ガースーと同じ 日本の恥ｗ >>939
このスレッドの本当のタイトル
「変態数学（含まずガロア理論）」
ｗｗｗｗｗｗｗ >Q１）
>いま、自然数の集合Nがある
>N＝{0,1,2,・・・}
>である。
>右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
ないよ
>これは決められない
>決められないと、Nは、集合ではない？
いや、存在しなくても、Nは集合だよ
集合の定義、理解できないパクチー？
日本語読めない在阪朝鮮人
祖国に帰りなよ どうせ高射砲でバラバラにされるだろうけどｗ ＞Q２）
無意味ね
集合の定義 理解できるまで読んでね
で、同じように＞降下列の定義 理解できるまで読んでね
＞の両側に項がいるね そうでなければ意味がないから
その瞬間 キミ 負けたよ キミ 死んだよ
キミの祖国 北朝鮮は核ミサイルで滅亡したよ
ざまぁみろｗｗｗｗｗｗｗ 数列も一緒だよ
というか、ZFCでは、数列も集合だよ >>941 補足
>例1.1.4. (￢A ) =⇒ A は常に偽であるように思われるが、先に述べたようにA が真であればこれは真である。
ここ、(￢A ) =⇒ Aの対偶
A =⇒ (￢A )
を考える方が分かりやすいかも
下の式 A =⇒ (￢A ) で
条件Aが偽なら、式全体で真 >>951 訂正
(￢A ) =⇒ Aの対偶は
(￢A ) =⇒ ￢(￢A )
だった
￢(￢A )＝Aとすれば
(￢A ) =⇒ A
か
戻っている（＾＾
(￢A ) が偽なら、式は真
(￢A ) が真なら、Aは偽で式全体では偽
か >>870
>言っている意味が分からない
>「教育のプロポーション」の定義は？
日常言語を日常言語のみで論理的に遡って定義し続けることは不可能。
そんなことし出したらやがては「い」とは何かとかいうような下らない定義をすることになる。
まあ、少しは機転を利かせた方がいい。
>有理数の稠密性とか、実数の連続とか
>昔の高校では普通だった気がするよ
>（最近のゆとりは知らんけどね）
今でもやっていると思うが高校の実数では数直線を用いて考えていて、
無理数が直線上に占める位置が一意ではないから実数論をすることに至った訳で。 >>897
>意味分からんけど、レスしておく
ハイ、大学出ていないことをほぼ実証したな。
工学部の連中は大体ラプラス変換とかの計算をするから、或る程度の数学は使える。
工学部は解析の原理は分からないだろうけど解析そのものは或る程度使える。
>1．数学科出身が全て、数学を研究しているはずもない（ほんの一握りでしょ。学部や修士で、多少はやったとしても）
>2．一方、数学科出身以外が、全く数学を研究していないのか？
> 数学研究に一番近いのが、理論物理系の研究者かな？ 有名どころでは、ウィッテンとか大栗先生
>3．その他、非数学科出身で情報系で数学を教えている研究者や、東大京大などの化学やいろいろの理系研究者たち
> 彼らは、必要な部分については、数学科の学部か修士レベルの勉強は必要に応じしているでしょ
> （ちょうど、アインシュタインが、数学者グロスマンに教えてもらった事例などもあるしね。この場合は、当時の最先端の数学だった）
>4.だから、「数学科出身でございます」と、学部か修士レベルでハナタカしていたら
> 世間の理系の非数学科出身でも、その程度のレベルは結構いたりして、
> 「ちょうどいいところに来た。この問題で悩んでいたんだ、これ解いてみて」と、
> 大学研究者から言われて（民間の研究者でもあるかも）、解けないで赤っ恥になりかねないよね（＾＾
これ、数学科以外で数学を研究するとなると、研究者が占める割合の順位は解析や応用数学が一番多い。
その次が幾何。代数は一番低い。
経済学部でも高度になると解析は使っている。経済学部の解析は少し特殊になる。
だが、瀬田君は無限が分からないので、その解析が全く出来ません。 >>953
>>「教育のプロポーション」の定義は？
>日常言語を日常言語のみで論理的に遡って定義し続けることは不可能。
そんなことは求めていないが
「教育のプロポーション」をキーワード検索したが、まともにヒットしなかった
一般用語にさえなっていないのでは？
ならば、これを言い出した側が、少なくとも１回は説明すべきでは？
そうしないと、議論にならんよね
>今でもやっていると思うが高校の実数では数直線を用いて考えていて、
>無理数が直線上に占める位置が一意ではないから実数論をすることに至った訳で。
「無理数が直線上に占める位置が一意ではない」の意味が取れない
ほぼ一意でしょ？
で、実数論をすることに至った訳は
解析理論側の要請（超越関数など。それと測度論（積分）も）と
代数理論側の要請（代数的数が無理数になり、代数的数で実数が尽くされるのか？）
あたりが、19世紀の後半に課題になってきたってことでしょ？
ここらは下記、鈴木真治氏に詳しいよ
（>>916より）
第25回数学史シンポジウム
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf
カントールによらない実数の非可算性の証明
その発案の経緯と現在への影響を巡って
鈴木真治 2015年1月30日投稿 >>950
完全な🐎🦌ｗｗｗｗｗｗｗ
いいからとっとと北朝鮮に帰れｗｗｗｗｗｗｗ >>842
＞区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、
＞不等号＜を使って整列させることができる
在阪朝鮮人の🐎🦌である雑談野郎は、上記を
「区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、
かつ、不等号＜による整列順序集合である」
と致命的な🐎🦌誤読をしたｗｗｗｗｗｗｗ
●ね 今すぐガソリンかぶってライターつけて焼け●ね >>955
>「無理数が直線上に占める位置が一意ではない」の意味が取れない
> ほぼ一意でしょ？
数直線は平面幾何を使って考えている。平面幾何では点は無定義語になっている。
無定義語を使って実数を考えている以上、実数は無定義語になる。
>で、実数論をすることに至った訳は
>解析理論側の要請（超越関数など。それと測度論（積分）も）と
>代数理論側の要請（代数的数が無理数になり、代数的数で実数が尽くされるのか？）
>あたりが、19世紀の後半に課題になってきたってことでしょ？
>ここらは下記、鈴木真治氏に詳しいよ
実数論が生まれた訳は、フーリエ解析の影響が大きい。代数はその後。 >>945
>Q１）
>いま、自然数の集合Nがある
>N＝{0,1,2,・・・}
>である。
>右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
愚問
なぜなら {a,b,c,…} の a,b,c,… は順不同だから。
おまえはそんなとこから分かってないのか？中学からやり直し。
>Q２）
>いま、N∪{N}を考える
>N∪{N}＝{0,1,2,・・・,N}となる
>ZFCでは、数は集合である。
>右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
愚問
なぜなら {a,b,c,…} の a,b,c,… は順不同だから。
おまえはそんなとこから分かってないのか？中学からやり直し。 >>958
>数直線は平面幾何を使って考えている。平面幾何では点は無定義語になっている。
>無定義語を使って実数を考えている以上、実数は無定義語になる。
まさか
デカルトが座標系を考えたでしょ？
あの一次元版だよ、数直線
当然、原点0と距離が入るよね
距離が入れば、ある数ｒ∈Ｒの位置は、一意に決まる
>実数論が生まれた訳は、フーリエ解析の影響が大きい。代数はその後。
だから、鈴木真治＞＞955を読め（下記）
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf
カントールによらない実数の非可算性の証明
その発案の経緯と現在への影響を巡って
鈴木真治 2015年1月30日投稿
Ｐ９
3. 様々な「実数の非可算性の証明」の背景
カントールによる最初の「実数の非可算性の証明」、いわゆる区間縮小原理による証明、の背景にフーリエ級数の収束問題と実数論に対する深い考察があったであろうと云う推測は通説化しているので、詳細はブルバキやカッツを参照されたい。ただ、意外かもしれないが、ガロア理論もまた有力な動機づけになっていたことは付言しておきたい。29 >>957
じゃ
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、
不等号＜を使って整列させることができる
↓
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、
不等号＜を使って、一列（線型に）並べるることができる。可算無限でも非可算無限でも
と訂正しておくわｗｗ（＾＾； >>960
＞>数直線は平面幾何を使って考えている。平面幾何では点は無定義語になっている。
＞>無定義語を使って実数を考えている以上、実数は無定義語になる。
＞
＞まさか
＞ デカルトが座標系を考えたでしょ？
＞あの一次元版だよ、数直線
＞ 当然、原点0と距離が入るよね
＞距離が入れば、ある数ｒ∈Ｒの位置は、一意に決まる
高校の座標系は代数幾何のような代物ではありません。高校の平面座標も分からんとは。 >>950
>数列も一緒だよ
大間違い。数列の項は順不同でない。中学からやり直し。
>というか、ZFCでは、数列も集合だよ
屁理屈。
X列は関数φ:N→Xであり、関数は定義域の元と値域の元の順序対全体の集合。
順序対(x,y)を集合で表現すると{{x},{x,y}}。{x,y}のx,yは順不同だが、{x}と{x,y}は異なる集合だから(x,y)のx,yは順不同でない。
おまえが基本をまるで分かってないだけのこと。 >>961
学習しない奴だなあｗ
ある有理数の「次の」有理数なんて存在しないんだから、(a,b)∩Qのすべての元を並べた<列も存在しないんだよｗ
実際おまえ0の次の有理数を答えず逃げ続けてるじゃんｗ その醜態を鏡で見てみろｗ 落ちこぼれクンは大学の聴講生になるべき。自分がいかに馬鹿か自覚できると思うよ？
キミは自惚れ屋だからまず馬鹿であることを自覚するところから始める必要がある。
ネットはダメ。間違ってるのは相手という妄想から抜け出せないから。 >>962
下記、デカルトやライプニッツが、代数幾何を知っていたとでも？
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99
座標
幾何学において、座標（ざひょう）とは、点の位置を指定するために与えられる数の組 (coordinates)、あるいはその各数 (coordinate) のことであり、その組から点の位置を定める方法を与えるものが座標系（ざひょうけい、英: coordinate system）である。例えば、世界地図にある緯度と経度のようなもの。座標系と座標が与えられれば、点はただ一つに定まる。
起源
座標という概念を初めに考え出したのは哲学者であり数学者でもあるフランスのルネ・デカルトといわれている。ただし、彼の著書『幾何学』では問題に応じて基準となる直線を適宜設定しており、現在のような固定した座標軸を設定する表現は用いられていない。
「座標」の由来である"co-ordinate"の用語を初めに用いたのはドイツの哲学者、数学者のゴットフリート・ライプニッツであり、現在の直交座標系の表記もライプニッツのものに由来する。日本語で「座標」の語を初めに用いたのは藤沢利喜太郎であるが、当時の表記は「坐標」であり、のちに林鶴一らによって現在の「座標」に改められた[1]。
地理座標
詳細は「地理座標系」を参照
地理座標（または地図座標）は地球上の位置を表す座標をいう。 とは言っても大学一年4月で落ちこぼれたんだから
聴講生になってもすぐに落ちこぼれるのは目に見えてるかｗ
救い様の無い程の馬鹿は救い様が無いってことだねｗ >>945 補足
>N＝{0,1,2,・・・}
ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間
「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」（下記）
あれれ？ 無限数列 z = (z1, z2, …) だとよｗ
おれら常識だけどな（量子力学やるから）、まあ おサルには分からんかな（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。
ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、三平方の定理や中線定理（の厳密な類似対応物）は、ヒルベルト空間においても成り立つ。
もう少し自明でない例
複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) で級数
Σ _n=1～∞ |z_n|^2
が収束するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す数列空間を L2 で表す。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6
関数解析学（かんすうかいせきがく、英: functional analysis、仏: Analyse fonctionnelle、函数解析学とも書かれる。別名は位相解析学。）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している[1][2][3][4]。
無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い[1][2][3]。
応用
関数解析の中でも特にヒルベルト空間論は量子力学の数学的基礎である[5][6]。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri1001.pdf
特集／無限次元 河東泰之 東京大学大学院数理科学研究科 数理科学 NO. 559, JANUARY 2010
n 次元ベクトル空間の一番簡単な例は，数をn
個並べたベクトルたちを考えたものである．そう
思うと，n = 3 でもn = 1, 000, 000 でも理論的に
はたいした違いはない．
数学的な立場からみたとき，無限次元のベクト
ル空間が出てくる自然な状況は関数を考えるとき
である．
つづく >>968
つづき
普通関数を考えるときは，有限集合ではなく，実数全体や
区間のような無限集合を考えるので，その上の関
数たちは，無限個の数が並んだもの，すなわち無
限次元ベクトルにあたるというわけである．
このように
「関数＝無限次元ベクトル」という考え方が出てき
たのは比較的新しく，20 世紀前半のことである．
無限次元の研究が盛んになったもう一つの理由
は，物理学，特に量子力学の研究である．量子力
学が20 世紀前半に成立し，その数学的理解が当初
から大きな問題になった．そこで，物理的な「状
態」を数学的に考えるには，無限次元のヒルベル
ト空間を考える必要があることがわかったのであ
る．
それでは無限次元は有限次元の違いはどこから発生するのであろうか．
そこに出てくるさまざ
まな議論，性質を見ると大きな違いは主に次の二
つから発生していることがわかる．
一つ目は，無限集合はその真部分集合と同じサ
イズだ，ということである．これを無限の定義と
することもよくある重要な性質である．
このことに関連
して，どんどん番号をずらしていくと，いくらで
も「遠く」に持って行けるということもある．こ
れらの性質が，無限次元ベクトル空間の線形写像
の興味深い性質を導き，多くの重要で新しい側面
をもたらすのである．
もう一つの重要なポイントは，無限個の数は普
通は足せないということである．もちろん和が収
束する級数もいくらでもあるが，勝手な数列を取っ
たとき，その和というものは一般には定義できな
い．自然な理論を有限次元の時と同様に考えよう
とすると，何らかの意味で和がとれるようなもの
に話を限定する必要があり，通常の関数解析学で
はそうすることが多い．これは，話を特殊なもの
に限定しているようだが，この限定のためにかえっ
て，無限次元でのみ興味深い現象が起こったりす
るのである．
(引用終り)
以上 >>968
>あれれ？ 無限数列 z = (z1, z2, …) だとよｗ
最後の項が無い無限列を誰も否定してませんが何か？ まだ何が間違いと指摘されてるかも分かってないｗ 馬鹿もここまで来ると救い様が無いｗ さすがに入門すら許されず落ちこぼれた馬鹿は手ごわいなｗ
無限列の存在を誰も否定してないことも分かってないｗ
否定されてるのは最後の項がある無限列ということも分かってないｗ
頭の中豆腐なんじゃね？脳みそが入っているとは思えないｗ 落ちこぼれクンはいつも酷いが、今日は特に酷かったな
酷い、あまりに酷過ぎる >>968 補足
だから
ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間
「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」
で
z1=0.9,z2=0.99,・・、zn=9/10^n.・・
とすれば
0.9<0.99<・・<9/10^n<・・
なる可算無限列ができる
この列の任意の(∀)ｎ項目9/10^n<1 が成立
よって
0.9<0.99<・・<9/10^n<・・<1
なる算無限列ができるよｗ（＾＾
この話は、下記の順序数の理論と整合している
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。
(引用終り)
以上 >>974 補足
(引用開始)
ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間
「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」
で
z1=0.9,z2=0.99,・・、zn=9/10^n.・・
とすれば
0.9<0.99<・・<9/10^n<・・
なる可算無限列ができる
この列の任意の(∀)ｎ項目9/10^n<1 が成立
よって
0.9<0.99<・・<9/10^n<・・<1
なる算無限列ができるよ
(引用終り)
自画自賛ですがｗ（＾＾；
この話は、結構分かり易いと思った
つまり
1．N＝{0，1，2，・・,n,・・}
なる、ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができて（それ普通ですがｗ）
2．ノイマン流 N=ω なる順序数を考えたとき
0.99・・＝lim ｎ→∞ 9/10^n ＝1 （n=ωのとき） だと（＾＾
3．即ち、ｎがNの内では、9/10^n＜1だが
Nの外 n=ω で、0.99・・＝1が成立しているってこと
ここの議論は、なかなかデリケートですね
分かりにくいよね（＾＾；
以上 >>979
>0.9<0.99<・・<9/10^n<・・<1
>なる算無限列ができるよｗ（＾＾
だからできませんってｗ まだ分からんの？ 阿呆だねえキミｗ
それが列ならば、<1の左が定まっている必要があるが、0.9, 0.99,… のどの項が左に来たとしても有限番目の項ですよ？つまりこの列は有限列ｗ
これでもまだ分からない？ｗ なら数学諦めなよｗ 無理だからｗ >>975 さらに追加
1．ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができること
2．集合Nの外に極限順序数ωを考えることができること（ノイマン流ではN＝ω）
3．この二つができないと、「0.99・・＝1」は理解できないことがある
ってことですね（＾＾； >>975
>自画自賛ですがｗ（＾＾；
>この話は、結構分かり易いと思った
ただの自惚れですねｗ
分かり易い大間違いですからｗ >>978
>1．ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができること
>2．集合Nの外に極限順序数ωを考えることができること（ノイマン流ではN＝ω）
>3．この二つができないと、「0.99・・＝1」は理解できないことがある
いいえ、まったく違います。
0.999…:=0.9, 0.99, …の極限=1
実数列の極限の定義に極限順序数は不要。実数全体の集合と自然数全体の集合があれば十分。
実際、εN論法による実数列の極限の定義に極限順序数は登場しません。
大学一年4月の課程を履修していれば分る内容ですがｗ >>975
>2．ノイマン流 N=ω なる順序数を考えたとき
> 0.99・・＝lim ｎ→∞ 9/10^n ＝1 （n=ωのとき） だと（＾＾
大間違いですね。
極限の定義を知らないんですか？大学一年4月に習うはずですけど。
極限の定義においてnは自然数ですよ？自然数ではないωを代入することはできません。定義を逸脱してます。
あなたは大学数学に入門を拒否されたのですから大学数学を語らないでもらえますか？ あなたのやってる行為は、0除算できないというルールを逸脱して∞:=1/0を構成できた！と言ってるようなものですよ？
それがどれほど愚かか分かりますか？ >>978 参考
下記なども参考にして貰えれば、よろしいかと（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
0.999...
数学における循環十進小数 0.999… は、 "1" と同じ数。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/999_Perspective.svg/750px-999_Perspective.svg.png
無限に 9 の続く無限小数
超実数
「超実数」も参照
数 0.999… の標準的な定義は 0.9, 0.99, 0.999, … なる数列の極限であるが、それと異なる定義として例えばテレンス・タオが超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さい。より一般に、階数 H の無限大超自然数の位置に最後の 9 がくる超実数 uH = 0.999…;…999000…, はより厳密な不等式 uH < 1 を満足する。
このように解釈した "0.999…" は 1 に「無限に近い」。イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。Katz & Katz (2010b) に基づき、R. Ely (2010) もまた学徒のもつ「0.999… < 1 という考えを実数に対する誤った直観とする仮定に疑問を呈し、むしろそれを「超準的」直観と解釈した方が解析学の習得において価値があるのではないかとした。Jose Benardete は自身の著書 Infinity: An essay in metaphysics において、過度に制限された数体系に話を限定する限り、数学以前の自然な直観のいくらかは言い表すことができないのだと主張した。 無限小数 0.999・・ を論ずる某スレと立場逆転している
無限長の列を認める立場（私）と
無限長の列を認めない立場（数学科出身を名乗るもの）と
なんか、立場が逆転しているようだねぇ～ｗ（＾＾； >>983
実数論で落ちこぼれたあなたが超実数を語りますかｗ >>984
錯乱してるんですか？
自分が何を指摘されてるかも分からないようですけど >>984
0.999･･･ は認めますよ
しかし、そこから＞降下列で０に到達する場合
いかほど長い＞降下列もつくれますがすべて有限長です
0.999･･･＞0.9･･･(n個)･･･9
🐎🦌な雑談君は、0から0.999･･･への収束列をひっくり返せば
そのまま＞降下列ができる、と思い込んでますが、間違ってます
なぜなら0.999･･･に一番違い0.9･･･(n個)･･･9なんてないからです
「＞降下列」の最初で、いかほど大きいｎをとっても
その時点で、無限個の0.9･･･(m個)･･･9 (m>n)をすっとばします
「＞降下列」が有限長、というのはそういうことです
極限順序数ωの場合、最初で１段降りることが不可能です
どうがんばったって、無限段降りるしかない
基本中の基本、初歩の初歩ですが、お🐎🦌の雑談君は
最初の一歩がどうしても踏み出せないようですねｗ >>978 補足
(引用開始)
1．ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができること
2．集合Nの外に極限順序数ωを考えることができること（ノイマン流ではN＝ω）
3．この二つができないと、「0.99・・＝1」は理解できないことがある
(引用終り)
ここは結構デリケートな話でね
つまり、下記のコーシー列による実数構成に同じ
1．有理数のコーシー列(yn)で√2を表すものを考える
2．lim n→∞ yn =√2 だ
3．yn n∈N は、全て有理数。極限 lim n→∞ で、
ynは有理数の外に出る。つまり、yω＝√2
4．これを、数学では、√2では、有理数内のコーシー列(yn)と同一視すると考えて
有理数内のコーシー列(yn)で、無理数√2を構成できたとする
ここは結構デリケートな話です（＾＾
理解できない人もいるだろうねｗ
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
5 実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
(xn) - (ym) が 0 に収束するという関係 ～ は同値関係になる。この同値関係 ～ で割った[5]商環 X/～ は、同型の違いを除いて一意的に決まる。この X/～ を R と書き、実数体とよぶ。
X の元 (xn) に対して、その極限を標準射影によって
lim _{n→ ∞} x_n:=[(x_n)_{n∈N }]∈ X/～
と定める。もし、(xn) が通常の意味で有理数値の極限 r を持つならば、有理数列 (xn - r) は 0 に収束するので、ここで定義した極限は通常の意味の極限と両立している。
コーシー列同士の四則演算の極限は、演算を行う列のとり方によらずそれらの列の極限のみから定まるので、X/～ における距離を自然に定めることができる。
つづく >>988
つづき
有理数列
(y_n)_{n∈N }
(yn) は R 内に極限値 z を持ち
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
射影 (集合論)
集合論における射影（しゃえい、英: projection）あるいは射影写像、特に標準射影は順序組に対してその一つの成分を対応させる写像である[1]。より一般に射影は、集合の添え字付けられた任意の族の直積（デカルト積）上で定義された、元の族から特定の添字をもつ成分を選び出す写像を言う。選択公理を仮定すれば、空でない集合からなる任意の族に関して、射影は必ず全射になる。4
2.2 成分への標準射影
添字集合が n 個の元からなる I = {1, …, n} であるとき、デカルト積 XI = X1 × ? × Xn は、i-番目の成分が xi ∈ Xi となっているような n-組の集合である。第 j-成分への標準射影 πj は写像
π_j： X_1ｘ・・・ｘX_n→ X_j; (x_1,・・・ ,x_n)⇒ x_j
として与えられ、この値は j-番目の成分のみからなる一元集合としての順序組である[3]。任意の順序組 T ∈ XI は T = (π1(T), …, πn(T)) と書くことができる。
(引用終り)
以上 雑談君はこのスレが終わったら
哀れな素人 安達弘志氏の立てた
以下のスレにのみ書き込んでね
0.99999…は１ではない その23
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617924909/ >>988
＞ここは結構デリケートな話でね
ま~だ、大学１年４月の実数の定義のつまづきを乗り越えられないんだねえ、チミは
＞yn n∈N は、全て有理数。
＞極限 lim n→∞ で、ynは有理数の外に出る。
＞ここは結構デリケートな話です
＞理解できない人もいるだろうね
それは、チミだろ？チミｗ
「yn n∈N は、全て有理数。
だったら、極限 lim n→∞ も 有理数の筈！」
とまったく非論理的な妄想思考を臆面もなく口にする
人間失格の🐎🦌は数学板に無用 シッシッｗｗｗ 雑談君語録
「結構デリケート」
→なんでそうなるのかわからん
「理解できない人もいる」
→オレが理解できん！
わかってるからぁｗ
安達スレにいけ
安達が君をボコボコにするってさｗｗｗ >>988
＞集合Nの外に極限順序数ωを考えることができる
基本的に ￢(ω∈ω)ですが何か？
Ｏが後続順序数の場合
ｏ∈Ｏの中で最大のものが存在する
Ｏが極限順序数の場合
ｏ∈Ｏの中で最大のものは存在しない
ちなみに
Ｏが順序数なら
Ｏ∈Ｏ’となるＯ’の中で最小のものが存在します 列の長さが、有限でなければならない？
バカすぎない？（＾＾
下記、照井一成 補題 3.3 「X 上のどんな無限列」及び定理 4.1 など
（(参考)）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/zengaku2018.pdf
NASH村とスライム退治：整列擬順序入門
照井一成・京都大学数理解析研究所
P4
整列半順序には他にも有用な特徴づけがいくつもある。そのうち 2 つを以下で紹介する。
最初のものは (Nash-Williams 1963) による。
補題 3.3
半順序 X = hX, ≦i が整列半順序であることの必要十分条件は、X 上のどんな無限列
a0, a1, a2, . . . も広義単調増加な無限列
ai0 ≦ ai1 ≦ ai2 ≦ ・ ・ ・ (i0 < i1 < i2 < ・ ・ ・)
を部分列として含むことである。
P7
定理 4.1
以下を満たす整列順序 (O(ω1), ≦) が同型を除いてただ 1 つ存在する。
(i) 0 ∈ O(ω1) (ゼロ)
(ii) α ∈ O(ω1) =⇒ α + 1 ∈ O(ω1) (後続順序数)
(iii) α0 < α1 < α2 < ・ ・ ・ ∈ O(ω1) =⇒ supi∈N αi ∈ O(ω1) (可算極限順序数)
(iv) O(ω1) の要素はすべて (i), (ii), (iii) のいずれかにあてはまる。
O(ω1) の要素 α を可算順序数という。また集合 {β ∈ O(ω1) : β < α} を O(α) と書く。
たとえば O(ω1) の中には以下のような順序数が存在する。
ω := sup{0, 1, 2, . . . }
ω ・ 2 := sup{ω, ω + 1, ω + 2, . . . }
ω^2:= sup{ω, ω ・ 2, ω ・ 3, . . . }
ω^ω:= sup{ω, ω^2, ω^3, . . . }
ε0 := sup{ω, ωω, ωωω, . . . }
ちなみに ω1 は最小の非可算順序数を表す。どんな実数にも O(ω1) の要素を 1 対 1 に対応
させることはできるだろうか？ 「できる」というのが Cantor の連続体仮説であるが、そ
の成否は ZFC 集合論から独立である。
n を 2 以上の自然数とするとき、どんな自然数も n 進法により表すことができる。
n を大きくとればとるほど、大きな数を少ない桁数で表すことができる。つまり情報圧縮
が生じる。同様にして、(可算に限らず) どんな順序数も ω 進法により表すことができる。
(引用終り)
以上 スレ主は
自分の間違いが認められない病
かつ
数学的な主張が理解出来ない病
なんだろね。
引用したものと自分の言ってることが別ものだということが全く理解出来てない。 >>994
>列の長さが、有限でなければならない？
はい。最後の項があるならね。
>バカすぎない？（＾＾
バカすぎなのは最後の項が無い無限列ばかりコピペしてるキミだね。
いまだに何を指摘されてるかすら分かってないってバカすぎだよね。 指摘されて間違いに気づくのがふつーの馬鹿。これは救い様がある。
落ちこぼれクンは救い様の無い馬鹿。 >>994 追加
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/
Homepage of Kazushige TERUI
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/summer2013.pdf
直観主義論理への招待
数学基礎論サマースクール 2013 講義資料
照井一成（京都大学）
1 はじめに
直観主義論理 (intuitionistic logic) とは、オランダの数学者ブラウワー (1881-1966) が提
唱した直観主義数学に由来する論理であり、直観主義数学で認められる推論の様式を弟子
のハイティング (1898-1980) が形式化したものである。
数学基礎論上の立場としての直観主義は、廃れて久しい。
ではなぜ今になって直観主義論理を勉強するのか？一つには、直観主義数学に限らず、
様々な構成的数学の論理的基盤になっているという事実がある。直観主義は忘れ去られて
も、“構成” の重要性は変わらない。構成的な論証によりどこまで数学を展開できるのか
は、基礎論的な問題意識を抜きにしても興味のあるところであろう。
もう一つには、“広義の構成主義” とでも呼ぶべき研究運動の原点としての意義がある。
これは基礎論的研究に端を発しつつ、計算機科学寄りの論理学の中で発展してきたもので
ある。広義の構成主義者は、哲学思想や基礎論的な立場に縛られず、それどころかいわゆ
る “構成的証明” にすら縛られず、証明一般に潜む構成的要素を自由に探究する。ある者は
証明の分析を通してアルゴリズムを抽出し、有用な計算情報を獲得しようとする（プルー
フ・マイニング）。またある者は証明そのものが持つ美しい代数構造に魅せられる。広義
の構成主義者は「この論法は構成的ではない」などといって排除しない。むしろ逆転の発
想で「この論法を構成的に解釈するとどうなるか」と考える。一言でいって、証明のダイ
ナミズムを追求するのが計算機科学的な意味での “構成主義” である。その出発点にある
のが直観主義論理であり、それとともに考案されたさまざまな道具立てなのである（構造
的証明論、実現可能性解釈、関数解釈、カリー・ハワード同型対応、古典論理の直観主義
論理への翻訳等）。
本講義の目的は、このように非直観主義的な観点から直観主義論理を導入し、慣れ親し
んでもらうことにある。
(引用終り)
以上 >>994
追加
NASH村 2018
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/kenkyubu/zengaku/18/terui.html
RIMS
全学共通科目講義（１回生～４回生対象）
現代の数学と数理解析
―― 基礎概念とその諸科学への広がり
授業のテーマと目的：
数学が発展してきた過程では、自然科学、 社会科学などの種々の学問分野で提起される問題を解決するために、 既存の数学の枠組みにとらわれない、 新しい数理科学的な方法や理論が導入されてきた。 また、逆に、そのような新しい流れが、 数学の核心的な理論へと発展した例も数知れず存在する。 このような数学と数理解析の展開の諸相について、第一線の研究者が、 自身の研究を踏まえた入門的・解説的な講義を行う。
数学・数理解析の研究の面白さ・深さを、 感性豊かな学生諸君に味わってもらうことを意図して講義し、 原則として予備知識は仮定しない。
第７回
日時： ２０１８年６月１日（金）
１６：３０－１８：００
場所： 数理解析研究所 ４２０号室
講師： 照井 一成 准教授
題目： NASH村の命名規則：整列擬順序の理論へ
要約：
人名をひらがなで表す。名前AがBに埋め込めるとは、Bからいくつか文字を取り除くと Aになることをいう。たとえば「ゆか」は「ゆうか」や「かゆかゆ」に埋め込めるが 「かゆゆ」には埋め込めない。さて、NASH村では次々と子供が生まれていくが、 新生児の命名にはひとつきまりがあり、過去に 生まれた子の名前が新生児の名前に埋め込めてはならないとする。この命名規則は いつまでも維持可能だろうか？それともいつかは新生児に名前をつけられない事態が 生じるだろうか？「生じる」というのがHigmanの定理(1952)である。 この定理はNash-WilliamsやKruskal等 多くの研究者によって一般化され、今でも研究は発展し続けている。 本講義ではこの問題を取り掛かりとして、整列擬順序理論の一端を紹介したい。
参考文献：
照井一成. コンピュータは数学者になれるのか？ 青土社, 2015年（第3章）.
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/zengaku/18/terui-zengaku2018.pdf このスレッドは１０００を超えました。
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