純粋・応用数学（含むガロア理論）7
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>>951 訂正
(¬A ) =⇒ Aの対偶は
(¬A ) =⇒ ¬(¬A )
だった
¬(¬A )＝Aとすれば
(¬A ) =⇒ A
か
戻っている（＾＾
(¬A ) が偽なら、式は真
(¬A ) が真なら、Aは偽で式全体では偽
か >>870
>言っている意味が分からない
>「教育のプロポーション」の定義は？
日常言語を日常言語のみで論理的に遡って定義し続けることは不可能。
そんなことし出したらやがては「い」とは何かとかいうような下らない定義をすることになる。
まあ、少しは機転を利かせた方がいい。
>有理数の稠密性とか、実数の連続とか
>昔の高校では普通だった気がするよ
>（最近のゆとりは知らんけどね）
今でもやっていると思うが高校の実数では数直線を用いて考えていて、
無理数が直線上に占める位置が一意ではないから実数論をすることに至った訳で。 >>897
>意味分からんけど、レスしておく
ハイ、大学出ていないことをほぼ実証したな。
工学部の連中は大体ラプラス変換とかの計算をするから、或る程度の数学は使える。
工学部は解析の原理は分からないだろうけど解析そのものは或る程度使える。
>1．数学科出身が全て、数学を研究しているはずもない（ほんの一握りでしょ。学部や修士で、多少はやったとしても）
>2．一方、数学科出身以外が、全く数学を研究していないのか？
> 数学研究に一番近いのが、理論物理系の研究者かな？ 有名どころでは、ウィッテンとか大栗先生
>3．その他、非数学科出身で情報系で数学を教えている研究者や、東大京大などの化学やいろいろの理系研究者たち
> 彼らは、必要な部分については、数学科の学部か修士レベルの勉強は必要に応じしているでしょ
> （ちょうど、アインシュタインが、数学者グロスマンに教えてもらった事例などもあるしね。この場合は、当時の最先端の数学だった）
>4.だから、「数学科出身でございます」と、学部か修士レベルでハナタカしていたら
> 世間の理系の非数学科出身でも、その程度のレベルは結構いたりして、
> 「ちょうどいいところに来た。この問題で悩んでいたんだ、これ解いてみて」と、
> 大学研究者から言われて（民間の研究者でもあるかも）、解けないで赤っ恥になりかねないよね（＾＾
これ、数学科以外で数学を研究するとなると、研究者が占める割合の順位は解析や応用数学が一番多い。
その次が幾何。代数は一番低い。
経済学部でも高度になると解析は使っている。経済学部の解析は少し特殊になる。
だが、瀬田君は無限が分からないので、その解析が全く出来ません。 >>953
>>「教育のプロポーション」の定義は？
>日常言語を日常言語のみで論理的に遡って定義し続けることは不可能。
そんなことは求めていないが
「教育のプロポーション」をキーワード検索したが、まともにヒットしなかった
一般用語にさえなっていないのでは？
ならば、これを言い出した側が、少なくとも１回は説明すべきでは？
そうしないと、議論にならんよね
>今でもやっていると思うが高校の実数では数直線を用いて考えていて、
>無理数が直線上に占める位置が一意ではないから実数論をすることに至った訳で。
「無理数が直線上に占める位置が一意ではない」の意味が取れない
ほぼ一意でしょ？
で、実数論をすることに至った訳は
解析理論側の要請（超越関数など。それと測度論（積分）も）と
代数理論側の要請（代数的数が無理数になり、代数的数で実数が尽くされるのか？）
あたりが、19世紀の後半に課題になってきたってことでしょ？
ここらは下記、鈴木真治氏に詳しいよ
（>>916より）
第25回数学史シンポジウム
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf
カントールによらない実数の非可算性の証明
その発案の経緯と現在への影響を巡って
鈴木真治 2015年1月30日投稿 >>950
完全な🐎🦌ｗｗｗｗｗｗｗ
いいからとっとと北朝鮮に帰れｗｗｗｗｗｗｗ >>842
＞区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、
＞不等号＜を使って整列させることができる
在阪朝鮮人の🐎🦌である雑談野郎は、上記を
「区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、
かつ、不等号＜による整列順序集合である」
と致命的な🐎🦌誤読をしたｗｗｗｗｗｗｗ
●ね 今すぐガソリンかぶってライターつけて焼け●ね >>955
>「無理数が直線上に占める位置が一意ではない」の意味が取れない
> ほぼ一意でしょ？
数直線は平面幾何を使って考えている。平面幾何では点は無定義語になっている。
無定義語を使って実数を考えている以上、実数は無定義語になる。
>で、実数論をすることに至った訳は
>解析理論側の要請（超越関数など。それと測度論（積分）も）と
>代数理論側の要請（代数的数が無理数になり、代数的数で実数が尽くされるのか？）
>あたりが、19世紀の後半に課題になってきたってことでしょ？
>ここらは下記、鈴木真治氏に詳しいよ
実数論が生まれた訳は、フーリエ解析の影響が大きい。代数はその後。 >>945
>Q１）
>いま、自然数の集合Nがある
>N＝{0,1,2,・・・}
>である。
>右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
愚問
なぜなら {a,b,c,…} の a,b,c,… は順不同だから。
おまえはそんなとこから分かってないのか？中学からやり直し。
>Q２）
>いま、N∪{N}を考える
>N∪{N}＝{0,1,2,・・・,N}となる
>ZFCでは、数は集合である。
>右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
愚問
なぜなら {a,b,c,…} の a,b,c,… は順不同だから。
おまえはそんなとこから分かってないのか？中学からやり直し。 >>958
>数直線は平面幾何を使って考えている。平面幾何では点は無定義語になっている。
>無定義語を使って実数を考えている以上、実数は無定義語になる。
まさか
デカルトが座標系を考えたでしょ？
あの一次元版だよ、数直線
当然、原点0と距離が入るよね
距離が入れば、ある数ｒ∈Ｒの位置は、一意に決まる
>実数論が生まれた訳は、フーリエ解析の影響が大きい。代数はその後。
だから、鈴木真治＞＞955を読め（下記）
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf
カントールによらない実数の非可算性の証明
その発案の経緯と現在への影響を巡って
鈴木真治 2015年1月30日投稿
Ｐ９
3. 様々な「実数の非可算性の証明」の背景
カントールによる最初の「実数の非可算性の証明」、いわゆる区間縮小原理による証明、の背景にフーリエ級数の収束問題と実数論に対する深い考察があったであろうと云う推測は通説化しているので、詳細はブルバキやカッツを参照されたい。ただ、意外かもしれないが、ガロア理論もまた有力な動機づけになっていたことは付言しておきたい。29 >>957
じゃ
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、
不等号＜を使って整列させることができる
↓
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、
不等号＜を使って、一列（線型に）並べるることができる。可算無限でも非可算無限でも
と訂正しておくわｗｗ（＾＾； >>960
＞>数直線は平面幾何を使って考えている。平面幾何では点は無定義語になっている。
＞>無定義語を使って実数を考えている以上、実数は無定義語になる。
＞
＞まさか
＞ デカルトが座標系を考えたでしょ？
＞あの一次元版だよ、数直線
＞ 当然、原点0と距離が入るよね
＞距離が入れば、ある数ｒ∈Ｒの位置は、一意に決まる
高校の座標系は代数幾何のような代物ではありません。高校の平面座標も分からんとは。 >>950
>数列も一緒だよ
大間違い。数列の項は順不同でない。中学からやり直し。
>というか、ZFCでは、数列も集合だよ
屁理屈。
X列は関数φ:N→Xであり、関数は定義域の元と値域の元の順序対全体の集合。
順序対(x,y)を集合で表現すると{{x},{x,y}}。{x,y}のx,yは順不同だが、{x}と{x,y}は異なる集合だから(x,y)のx,yは順不同でない。
おまえが基本をまるで分かってないだけのこと。 >>961
学習しない奴だなあｗ
ある有理数の「次の」有理数なんて存在しないんだから、(a,b)∩Qのすべての元を並べた<列も存在しないんだよｗ
実際おまえ0の次の有理数を答えず逃げ続けてるじゃんｗ その醜態を鏡で見てみろｗ 落ちこぼれクンは大学の聴講生になるべき。自分がいかに馬鹿か自覚できると思うよ？
キミは自惚れ屋だからまず馬鹿であることを自覚するところから始める必要がある。
ネットはダメ。間違ってるのは相手という妄想から抜け出せないから。 >>962
下記、デカルトやライプニッツが、代数幾何を知っていたとでも？
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99
座標
幾何学において、座標（ざひょう）とは、点の位置を指定するために与えられる数の組 (coordinates)、あるいはその各数 (coordinate) のことであり、その組から点の位置を定める方法を与えるものが座標系（ざひょうけい、英: coordinate system）である。例えば、世界地図にある緯度と経度のようなもの。座標系と座標が与えられれば、点はただ一つに定まる。
起源
座標という概念を初めに考え出したのは哲学者であり数学者でもあるフランスのルネ・デカルトといわれている。ただし、彼の著書『幾何学』では問題に応じて基準となる直線を適宜設定しており、現在のような固定した座標軸を設定する表現は用いられていない。
「座標」の由来である"co-ordinate"の用語を初めに用いたのはドイツの哲学者、数学者のゴットフリート・ライプニッツであり、現在の直交座標系の表記もライプニッツのものに由来する。日本語で「座標」の語を初めに用いたのは藤沢利喜太郎であるが、当時の表記は「坐標」であり、のちに林鶴一らによって現在の「座標」に改められた[1]。
地理座標
詳細は「地理座標系」を参照
地理座標（または地図座標）は地球上の位置を表す座標をいう。 とは言っても大学一年4月で落ちこぼれたんだから
聴講生になってもすぐに落ちこぼれるのは目に見えてるかｗ
救い様の無い程の馬鹿は救い様が無いってことだねｗ >>945 補足
>N＝{0,1,2,・・・}
ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間
「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」（下記）
あれれ？ 無限数列 z = (z1, z2, …) だとよｗ
おれら常識だけどな（量子力学やるから）、まあ おサルには分からんかな（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。
ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、三平方の定理や中線定理（の厳密な類似対応物）は、ヒルベルト空間においても成り立つ。
もう少し自明でない例
複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) で級数
Σ _n=1〜∞ |z_n|^2
が収束するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す数列空間を L2 で表す。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6
関数解析学（かんすうかいせきがく、英: functional analysis、仏: Analyse fonctionnelle、函数解析学とも書かれる。別名は位相解析学。）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している[1][2][3][4]。
無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い[1][2][3]。
応用
関数解析の中でも特にヒルベルト空間論は量子力学の数学的基礎である[5][6]。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri1001.pdf
特集／無限次元 河東泰之 東京大学大学院数理科学研究科 数理科学 NO. 559, JANUARY 2010
n 次元ベクトル空間の一番簡単な例は，数をn
個並べたベクトルたちを考えたものである．そう
思うと，n = 3 でもn = 1, 000, 000 でも理論的に
はたいした違いはない．
数学的な立場からみたとき，無限次元のベクト
ル空間が出てくる自然な状況は関数を考えるとき
である．
つづく >>968
つづき
普通関数を考えるときは，有限集合ではなく，実数全体や
区間のような無限集合を考えるので，その上の関
数たちは，無限個の数が並んだもの，すなわち無
限次元ベクトルにあたるというわけである．
このように
「関数＝無限次元ベクトル」という考え方が出てき
たのは比較的新しく，20 世紀前半のことである．
無限次元の研究が盛んになったもう一つの理由
は，物理学，特に量子力学の研究である．量子力
学が20 世紀前半に成立し，その数学的理解が当初
から大きな問題になった．そこで，物理的な「状
態」を数学的に考えるには，無限次元のヒルベル
ト空間を考える必要があることがわかったのであ
る．
それでは無限次元は有限次元の違いはどこから発生するのであろうか．
そこに出てくるさまざ
まな議論，性質を見ると大きな違いは主に次の二
つから発生していることがわかる．
一つ目は，無限集合はその真部分集合と同じサ
イズだ，ということである．これを無限の定義と
することもよくある重要な性質である．
このことに関連
して，どんどん番号をずらしていくと，いくらで
も「遠く」に持って行けるということもある．こ
れらの性質が，無限次元ベクトル空間の線形写像
の興味深い性質を導き，多くの重要で新しい側面
をもたらすのである．
もう一つの重要なポイントは，無限個の数は普
通は足せないということである．もちろん和が収
束する級数もいくらでもあるが，勝手な数列を取っ
たとき，その和というものは一般には定義できな
い．自然な理論を有限次元の時と同様に考えよう
とすると，何らかの意味で和がとれるようなもの
に話を限定する必要があり，通常の関数解析学で
はそうすることが多い．これは，話を特殊なもの
に限定しているようだが，この限定のためにかえっ
て，無限次元でのみ興味深い現象が起こったりす
るのである．
(引用終り)
以上 >>968
>あれれ？ 無限数列 z = (z1, z2, …) だとよｗ
最後の項が無い無限列を誰も否定してませんが何か？ まだ何が間違いと指摘されてるかも分かってないｗ 馬鹿もここまで来ると救い様が無いｗ さすがに入門すら許されず落ちこぼれた馬鹿は手ごわいなｗ
無限列の存在を誰も否定してないことも分かってないｗ
否定されてるのは最後の項がある無限列ということも分かってないｗ
頭の中豆腐なんじゃね？脳みそが入っているとは思えないｗ 落ちこぼれクンはいつも酷いが、今日は特に酷かったな
酷い、あまりに酷過ぎる >>968 補足
だから
ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間
「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」
で
z1=0.9,z2=0.99,・・、zn=9/10^n.・・
とすれば
0.9<0.99<・・<9/10^n<・・
なる可算無限列ができる
この列の任意の(∀)ｎ項目9/10^n<1 が成立
よって
0.9<0.99<・・<9/10^n<・・<1
なる算無限列ができるよｗ（＾＾
この話は、下記の順序数の理論と整合している
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。
(引用終り)
以上 >>974 補足
(引用開始)
ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間
「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」
で
z1=0.9,z2=0.99,・・、zn=9/10^n.・・
とすれば
0.9<0.99<・・<9/10^n<・・
なる可算無限列ができる
この列の任意の(∀)ｎ項目9/10^n<1 が成立
よって
0.9<0.99<・・<9/10^n<・・<1
なる算無限列ができるよ
(引用終り)
自画自賛ですがｗ（＾＾；
この話は、結構分かり易いと思った
つまり
1．N＝{0，1，2，・・,n,・・}
なる、ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができて（それ普通ですがｗ）
2．ノイマン流 N=ω なる順序数を考えたとき
0.99・・＝lim ｎ→∞ 9/10^n ＝1 （n=ωのとき） だと（＾＾
3．即ち、ｎがNの内では、9/10^n＜1だが
Nの外 n=ω で、0.99・・＝1が成立しているってこと
ここの議論は、なかなかデリケートですね
分かりにくいよね（＾＾；
以上 >>979
>0.9<0.99<・・<9/10^n<・・<1
>なる算無限列ができるよｗ（＾＾
だからできませんってｗ まだ分からんの？ 阿呆だねえキミｗ
それが列ならば、<1の左が定まっている必要があるが、0.9, 0.99,… のどの項が左に来たとしても有限番目の項ですよ？つまりこの列は有限列ｗ
これでもまだ分からない？ｗ なら数学諦めなよｗ 無理だからｗ >>975 さらに追加
1．ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができること
2．集合Nの外に極限順序数ωを考えることができること（ノイマン流ではN＝ω）
3．この二つができないと、「0.99・・＝1」は理解できないことがある
ってことですね（＾＾； >>975
>自画自賛ですがｗ（＾＾；
>この話は、結構分かり易いと思った
ただの自惚れですねｗ
分かり易い大間違いですからｗ >>978
>1．ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができること
>2．集合Nの外に極限順序数ωを考えることができること（ノイマン流ではN＝ω）
>3．この二つができないと、「0.99・・＝1」は理解できないことがある
いいえ、まったく違います。
0.999…:=0.9, 0.99, …の極限=1
実数列の極限の定義に極限順序数は不要。実数全体の集合と自然数全体の集合があれば十分。
実際、εN論法による実数列の極限の定義に極限順序数は登場しません。
大学一年4月の課程を履修していれば分る内容ですがｗ >>975
>2．ノイマン流 N=ω なる順序数を考えたとき
> 0.99・・＝lim ｎ→∞ 9/10^n ＝1 （n=ωのとき） だと（＾＾
大間違いですね。
極限の定義を知らないんですか？大学一年4月に習うはずですけど。
極限の定義においてnは自然数ですよ？自然数ではないωを代入することはできません。定義を逸脱してます。
あなたは大学数学に入門を拒否されたのですから大学数学を語らないでもらえますか？ あなたのやってる行為は、0除算できないというルールを逸脱して∞:=1/0を構成できた！と言ってるようなものですよ？
それがどれほど愚かか分かりますか？ >>978 参考
下記なども参考にして貰えれば、よろしいかと（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
0.999...
数学における循環十進小数 0.999… は、 "1" と同じ数。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/999_Perspective.svg/750px-999_Perspective.svg.png
無限に 9 の続く無限小数
超実数
「超実数」も参照
数 0.999… の標準的な定義は 0.9, 0.99, 0.999, … なる数列の極限であるが、それと異なる定義として例えばテレンス・タオが超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さい。より一般に、階数 H の無限大超自然数の位置に最後の 9 がくる超実数 uH = 0.999…;…999000…, はより厳密な不等式 uH < 1 を満足する。
このように解釈した "0.999…" は 1 に「無限に近い」。イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。Katz & Katz (2010b) に基づき、R. Ely (2010) もまた学徒のもつ「0.999… < 1 という考えを実数に対する誤った直観とする仮定に疑問を呈し、むしろそれを「超準的」直観と解釈した方が解析学の習得において価値があるのではないかとした。Jose Benardete は自身の著書 Infinity: An essay in metaphysics において、過度に制限された数体系に話を限定する限り、数学以前の自然な直観のいくらかは言い表すことができないのだと主張した。 無限小数 0.999・・ を論ずる某スレと立場逆転している
無限長の列を認める立場（私）と
無限長の列を認めない立場（数学科出身を名乗るもの）と
なんか、立場が逆転しているようだねぇ〜ｗ（＾＾； >>983
実数論で落ちこぼれたあなたが超実数を語りますかｗ >>984
錯乱してるんですか？
自分が何を指摘されてるかも分からないようですけど >>984
0.999･･･ は認めますよ
しかし、そこから＞降下列で０に到達する場合
いかほど長い＞降下列もつくれますがすべて有限長です
0.999･･･＞0.9･･･(n個)･･･9
🐎🦌な雑談君は、0から0.999･･･への収束列をひっくり返せば
そのまま＞降下列ができる、と思い込んでますが、間違ってます
なぜなら0.999･･･に一番違い0.9･･･(n個)･･･9なんてないからです
「＞降下列」の最初で、いかほど大きいｎをとっても
その時点で、無限個の0.9･･･(m個)･･･9 (m>n)をすっとばします
「＞降下列」が有限長、というのはそういうことです
極限順序数ωの場合、最初で１段降りることが不可能です
どうがんばったって、無限段降りるしかない
基本中の基本、初歩の初歩ですが、お🐎🦌の雑談君は
最初の一歩がどうしても踏み出せないようですねｗ >>978 補足
(引用開始)
1．ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができること
2．集合Nの外に極限順序数ωを考えることができること（ノイマン流ではN＝ω）
3．この二つができないと、「0.99・・＝1」は理解できないことがある
(引用終り)
ここは結構デリケートな話でね
つまり、下記のコーシー列による実数構成に同じ
1．有理数のコーシー列(yn)で√2を表すものを考える
2．lim n→∞ yn =√2 だ
3．yn n∈N は、全て有理数。極限 lim n→∞ で、
ynは有理数の外に出る。つまり、yω＝√2
4．これを、数学では、√2では、有理数内のコーシー列(yn)と同一視すると考えて
有理数内のコーシー列(yn)で、無理数√2を構成できたとする
ここは結構デリケートな話です（＾＾
理解できない人もいるだろうねｗ
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
5 実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
(xn) - (ym) が 0 に収束するという関係 〜 は同値関係になる。この同値関係 〜 で割った[5]商環 X/〜 は、同型の違いを除いて一意的に決まる。この X/〜 を R と書き、実数体とよぶ。
X の元 (xn) に対して、その極限を標準射影によって
lim _{n→ ∞} x_n:=[(x_n)_{n∈N }]∈ X/〜
と定める。もし、(xn) が通常の意味で有理数値の極限 r を持つならば、有理数列 (xn - r) は 0 に収束するので、ここで定義した極限は通常の意味の極限と両立している。
コーシー列同士の四則演算の極限は、演算を行う列のとり方によらずそれらの列の極限のみから定まるので、X/〜 における距離を自然に定めることができる。
つづく >>988
つづき
有理数列
(y_n)_{n∈N }
(yn) は R 内に極限値 z を持ち
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
射影 (集合論)
集合論における射影（しゃえい、英: projection）あるいは射影写像、特に標準射影は順序組に対してその一つの成分を対応させる写像である[1]。より一般に射影は、集合の添え字付けられた任意の族の直積（デカルト積）上で定義された、元の族から特定の添字をもつ成分を選び出す写像を言う。選択公理を仮定すれば、空でない集合からなる任意の族に関して、射影は必ず全射になる。4
2.2 成分への標準射影
添字集合が n 個の元からなる I = {1, …, n} であるとき、デカルト積 XI = X1 × ? × Xn は、i-番目の成分が xi ∈ Xi となっているような n-組の集合である。第 j-成分への標準射影 πj は写像
π_j： X_1ｘ・・・ｘX_n→ X_j; (x_1,・・・ ,x_n)⇒ x_j
として与えられ、この値は j-番目の成分のみからなる一元集合としての順序組である[3]。任意の順序組 T ∈ XI は T = (π1(T), …, πn(T)) と書くことができる。
(引用終り)
以上 雑談君はこのスレが終わったら
哀れな素人 安達弘志氏の立てた
以下のスレにのみ書き込んでね
0.99999…は１ではない その23
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617924909/ >>988
＞ここは結構デリケートな話でね
ま~だ、大学１年４月の実数の定義のつまづきを乗り越えられないんだねえ、チミは
＞yn n∈N は、全て有理数。
＞極限 lim n→∞ で、ynは有理数の外に出る。
＞ここは結構デリケートな話です
＞理解できない人もいるだろうね
それは、チミだろ？チミｗ
「yn n∈N は、全て有理数。
だったら、極限 lim n→∞ も 有理数の筈！」
とまったく非論理的な妄想思考を臆面もなく口にする
人間失格の🐎🦌は数学板に無用 シッシッｗｗｗ 雑談君語録
「結構デリケート」
→なんでそうなるのかわからん
「理解できない人もいる」
→オレが理解できん！
わかってるからぁｗ
安達スレにいけ
安達が君をボコボコにするってさｗｗｗ >>988
＞集合Nの外に極限順序数ωを考えることができる
基本的に ¬(ω∈ω)ですが何か？
Ｏが後続順序数の場合
ｏ∈Ｏの中で最大のものが存在する
Ｏが極限順序数の場合
ｏ∈Ｏの中で最大のものは存在しない
ちなみに
Ｏが順序数なら
Ｏ∈Ｏ’となるＯ’の中で最小のものが存在します 列の長さが、有限でなければならない？
バカすぎない？（＾＾
下記、照井一成 補題 3.3 「X 上のどんな無限列」及び定理 4.1 など
（(参考)）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/zengaku2018.pdf
NASH村とスライム退治：整列擬順序入門
照井一成・京都大学数理解析研究所
P4
整列半順序には他にも有用な特徴づけがいくつもある。そのうち 2 つを以下で紹介する。
最初のものは (Nash-Williams 1963) による。
補題 3.3
半順序 X = hX, ≦i が整列半順序であることの必要十分条件は、X 上のどんな無限列
a0, a1, a2, . . . も広義単調増加な無限列
ai0 ≦ ai1 ≦ ai2 ≦ ・ ・ ・ (i0 < i1 < i2 < ・ ・ ・)
を部分列として含むことである。
P7
定理 4.1
以下を満たす整列順序 (O(ω1), ≦) が同型を除いてただ 1 つ存在する。
(i) 0 ∈ O(ω1) (ゼロ)
(ii) α ∈ O(ω1) =⇒ α + 1 ∈ O(ω1) (後続順序数)
(iii) α0 < α1 < α2 < ・ ・ ・ ∈ O(ω1) =⇒ supi∈N αi ∈ O(ω1) (可算極限順序数)
(iv) O(ω1) の要素はすべて (i), (ii), (iii) のいずれかにあてはまる。
O(ω1) の要素 α を可算順序数という。また集合 {β ∈ O(ω1) : β < α} を O(α) と書く。
たとえば O(ω1) の中には以下のような順序数が存在する。
ω := sup{0, 1, 2, . . . }
ω ・ 2 := sup{ω, ω + 1, ω + 2, . . . }
ω^2:= sup{ω, ω ・ 2, ω ・ 3, . . . }
ω^ω:= sup{ω, ω^2, ω^3, . . . }
ε0 := sup{ω, ωω, ωωω, . . . }
ちなみに ω1 は最小の非可算順序数を表す。どんな実数にも O(ω1) の要素を 1 対 1 に対応
させることはできるだろうか？ 「できる」というのが Cantor の連続体仮説であるが、そ
の成否は ZFC 集合論から独立である。
n を 2 以上の自然数とするとき、どんな自然数も n 進法により表すことができる。
n を大きくとればとるほど、大きな数を少ない桁数で表すことができる。つまり情報圧縮
が生じる。同様にして、(可算に限らず) どんな順序数も ω 進法により表すことができる。
(引用終り)
以上 スレ主は
自分の間違いが認められない病
かつ
数学的な主張が理解出来ない病
なんだろね。
引用したものと自分の言ってることが別ものだということが全く理解出来てない。 >>994
>列の長さが、有限でなければならない？
はい。最後の項があるならね。
>バカすぎない？（＾＾
バカすぎなのは最後の項が無い無限列ばかりコピペしてるキミだね。
いまだに何を指摘されてるかすら分かってないってバカすぎだよね。 指摘されて間違いに気づくのがふつーの馬鹿。これは救い様がある。
落ちこぼれクンは救い様の無い馬鹿。 >>994 追加
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/
Homepage of Kazushige TERUI
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/summer2013.pdf
直観主義論理への招待
数学基礎論サマースクール 2013 講義資料
照井一成（京都大学）
1 はじめに
直観主義論理 (intuitionistic logic) とは、オランダの数学者ブラウワー (1881-1966) が提
唱した直観主義数学に由来する論理であり、直観主義数学で認められる推論の様式を弟子
のハイティング (1898-1980) が形式化したものである。
数学基礎論上の立場としての直観主義は、廃れて久しい。
ではなぜ今になって直観主義論理を勉強するのか？一つには、直観主義数学に限らず、
様々な構成的数学の論理的基盤になっているという事実がある。直観主義は忘れ去られて
も、“構成” の重要性は変わらない。構成的な論証によりどこまで数学を展開できるのか
は、基礎論的な問題意識を抜きにしても興味のあるところであろう。
もう一つには、“広義の構成主義” とでも呼ぶべき研究運動の原点としての意義がある。
これは基礎論的研究に端を発しつつ、計算機科学寄りの論理学の中で発展してきたもので
ある。広義の構成主義者は、哲学思想や基礎論的な立場に縛られず、それどころかいわゆ
る “構成的証明” にすら縛られず、証明一般に潜む構成的要素を自由に探究する。ある者は
証明の分析を通してアルゴリズムを抽出し、有用な計算情報を獲得しようとする（プルー
フ・マイニング）。またある者は証明そのものが持つ美しい代数構造に魅せられる。広義
の構成主義者は「この論法は構成的ではない」などといって排除しない。むしろ逆転の発
想で「この論法を構成的に解釈するとどうなるか」と考える。一言でいって、証明のダイ
ナミズムを追求するのが計算機科学的な意味での “構成主義” である。その出発点にある
のが直観主義論理であり、それとともに考案されたさまざまな道具立てなのである（構造
的証明論、実現可能性解釈、関数解釈、カリー・ハワード同型対応、古典論理の直観主義
論理への翻訳等）。
本講義の目的は、このように非直観主義的な観点から直観主義論理を導入し、慣れ親し
んでもらうことにある。
(引用終り)
以上 >>994
追加
NASH村 2018
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/kenkyubu/zengaku/18/terui.html
RIMS
全学共通科目講義（１回生〜４回生対象）
現代の数学と数理解析
―― 基礎概念とその諸科学への広がり
授業のテーマと目的：
数学が発展してきた過程では、自然科学、 社会科学などの種々の学問分野で提起される問題を解決するために、 既存の数学の枠組みにとらわれない、 新しい数理科学的な方法や理論が導入されてきた。 また、逆に、そのような新しい流れが、 数学の核心的な理論へと発展した例も数知れず存在する。 このような数学と数理解析の展開の諸相について、第一線の研究者が、 自身の研究を踏まえた入門的・解説的な講義を行う。
数学・数理解析の研究の面白さ・深さを、 感性豊かな学生諸君に味わってもらうことを意図して講義し、 原則として予備知識は仮定しない。
第７回
日時： ２０１８年６月１日（金）
１６：３０−１８：００
場所： 数理解析研究所 ４２０号室
講師： 照井 一成 准教授
題目： NASH村の命名規則：整列擬順序の理論へ
要約：
人名をひらがなで表す。名前AがBに埋め込めるとは、Bからいくつか文字を取り除くと Aになることをいう。たとえば「ゆか」は「ゆうか」や「かゆかゆ」に埋め込めるが 「かゆゆ」には埋め込めない。さて、NASH村では次々と子供が生まれていくが、 新生児の命名にはひとつきまりがあり、過去に 生まれた子の名前が新生児の名前に埋め込めてはならないとする。この命名規則は いつまでも維持可能だろうか？それともいつかは新生児に名前をつけられない事態が 生じるだろうか？「生じる」というのがHigmanの定理(1952)である。 この定理はNash-WilliamsやKruskal等 多くの研究者によって一般化され、今でも研究は発展し続けている。 本講義ではこの問題を取り掛かりとして、整列擬順序理論の一端を紹介したい。
参考文献：
照井一成. コンピュータは数学者になれるのか？ 青土社, 2015年（第3章）.
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