純粋・応用数学（含むガロア理論）7
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>>846
いみふｗ
無限ぜんぜん認めてますけど？
最後の項が有る無限列なんてものは存在しないと言ってるだけですけど？
いいから早く>>841に答えて下さいねー ある特定の項が何であるか答えられないのに列を作ったと言えるんですか？
じゃキミの言う列って何？
答えてね、落ちこぼれクンｗ >>849
スレ主です
私は名前の議論はしない。だれか関係ない第三者に迷惑を掛ける可能性があるから
だが、実名が知れても何ら痛痒を感じない。正しいのは私ですから
ところで
>>Qの元をすべて並べて＜列を作った時0の次は何？
>この答えは条件を満たすようなQの点は存在しない。
それこそ、あんまりシッタかしない方が良いと思うぜｗ（＾＾
「＜列」を、一般の順序に拡張すれば、直積集合 NｘNに順序を入れられるよ
（詳しくは、wikipediaや、東北大 尾畑研をご参照）
下記高校数学の美しい物語
に倣えば
Q +’を、0又は正の有理数として
0→0
1→f(1/1)=1
とすれば、0の次は1に出来るぞ！ｗｗ（＾＾；
（参考）
https://manabitimes.jp/math/925
高校数学の美しい物語
集合の濃度と可算無限・非可算無限 更新日時 2021/03/07
・正の整数全体の集合と有理数全体の集合の濃度は等しい。
直感的には有理数の方が圧倒的にたくさんありますが，濃度という観点から見ると両者は同じなのです！
大雑把な証明
正の有理数全体の集合 Q + と N の濃度が等しいことを言えばよい。
正の有理数 p/q を p+q を小さい順に並べて既約分数のみ残して番号を振っていけば，
Q+ から N への全単射が構成できる：
f(1/1)=1,f(1/2)=2,f(2/1)=3,f(13)=4,
f(3/1)=5,f(1/4)=6,f(2/3)=7,・・・
補足（図による説明）
https://res.cloudinary.com/bend/f_auto,q_auto/shikakutimes/s3/bend-image/925_0_noudo-300x183.png
・正の有理数全体は図の黒い点全体
・黒い点には（全ての黒い点に何らかの番号が対応するように）11 から順番に番号をつけていける
→「正の有理数全体」と「正の整数全体」の間には一対一対応がある
つづく >>854
つづき
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研 東北大 数学概論 2018
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-7_kasan.pdf
第7章 可算集合 GAIRON-book : 2018/4/30(12:55)
7.4 可算集合の直積
定 理 7.14 直積 N × N は可算集合である.
証 明 補題 7.13 より明らか.
別証明 直積 N × N の元に通し番号を振ればよい. N × N の元 (x, y) を図 7.1
のように配列して, 矢印に沿って番号付けすることができる.
(7.3) をカントルの対関数という.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合
直積集合上の順序
2つの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類がある。
・辞書式順序： (a,b)≦ (c,d)⇔ a<c∧ (a=c∨ b≦ d)
・積順序： (a,b)≦ (c,d)⇔ a≦ c∨ b≦ d
・ (a,b)≦ (c,d)⇔ (a<c∨ b<d)∧ (a=c∨ b=d)
最後の順序は対応する狭義全順序の直積の反射閉包である。これらの三種類の半順序は、いずれも3個以上の半順序集合の直積に対しても同様に定義される。
体上の順序線型空間に対してこれらの構成を適用すれば、結果として得られる順序集合はいずれも再び順序線型空間となる。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Strict_product_order_on_pairs_of_natural_numbers.svg/227px-Strict_product_order_on_pairs_of_natural_numbers.svg.png
N × N 上の直積狭義順序の反射閉包
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/N-Quadrat%2C_gedreht.svg/240px-N-Quadrat%2C_gedreht.svg.png
N × N 上の積順序
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Lexicographic_order_on_pairs_of_natural_numbers.svg/240px-Lexicographic_order_on_pairs_of_natural_numbers.svg.png
N × N 上の辞書式順序
(引用終り)
以上 >>854
>それこそ、あんまりシッタかしない方が良いと思うぜｗ（＾＾
じゃあキミ、シッタカしないで0の次の有理数答えてねｗ
どーして逃げ続けるの？ >>854
キミさあ
訊いてることに答えず、訊いてないことばかり言うのやめてくれない？
有理数Qが全順序だとか稠密だとか、そんなのみんな知ってるからドヤ顔で言わないでいいよｗ 落ちこぼれクンは勝手に他人が馬鹿で自分が利口って妄想してるようだね
その独善性はもう病気の域だね
訊いてないことばかり言って訊いてることに答えないのがその証拠 こちらが訊いてもいないことを嬉々として語り、訊いてることはスルー
落ちこぼれクンは言葉のキャッチボールができないコミュニケーション障害者かな？ >>854 補足
追加資料
（参考）
http://ysserve.wakasato.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/node16.html
Yasunari SHIDAMA 師玉康成
整列可能定理
以下の定理が知られています。
[ツェルメロの整列可能性定理] 任意の集合$E$上に整列順序が存在する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。
例と反例
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。
R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる。可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≦ が整列順序となることも、ならないこともありうる。 >>860
キミも分からん人やねえ。
キミが示すべきは0の次の有理数であって、誰も理屈を捏ねてくれなんて求めてない。
そのコミュ障早く治しなさい。治すまで書き込みは遠慮してもらえます？ 私が間違ってました。有理数すべてを並べた<列を作ることは不可能でした。
と、素直に認めれば良いのに、なんで間違いを認められないんでしょうね。発達障害で精神が幼稚なまま大人になってしまったのかな？ 0の次の有理数pが存在すると仮定。
p/2は有理数、且つ、0<p/2<pだから矛盾。
こんな簡単なことが何故分からないの？
池沼？ >>860 補足
追加資料
"実数の整列化について"
と選択公理（＝整列可能定理）
（参考）
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/2250335.html
教えてgoo
実数の整列化について
質問者：kurororo質問日時：2006/07/02 04:29回答数：2件
大学で数学を学んでいる者です。最近、集合と位相の科目で、整列可能定理を学びました。それは、選択公理・Zornの補題と同値な命題であって、その内容は
「任意の集合において、適当な順序関係を定義すれば、整列集合にすることができる。（整列集合とは、空でない部分集合が常に最小元を持つ集合）」
という内容でした。
さて、実数の集合は通常の順序関係では整列集合ではありません（例えば開区間は最小数を持ちません）。定理によれば、適当な順序によって実数の集合も整列集合になる訳です。
それなら、それは具体的にはどのような順序なのかと調べて見たんですけど、どうも見つかりません。どなたか知っている人がいれば教えてください。
No.2ベストアンサー
回答者： adinat 回答日時：2006/07/03 02:32
連続濃度以上の集合に整列順序が存在することは、選択公理なしには証明できません（というより同値ですよね）。証明は抽象的構成を与えることですから、ある意味ではそれは不可能なわけです。といってしまうと身もふたもないですから、整列順序がどういうものかを納得するためにも雑な例をあげてみます。
整列順序というのは、ようするに最も小さい数があって、さらに各元に対して“次の数”が定まっているような順序です。たとえば自然数列{1,2,3,…}が典型です。実数に整列順序を入れてやりたければ、まず最小元を決めて、また各元に対して次の数を決めてやればいいのです。（しかしながら非可算個の元に対して次の元を指定するなんてことは人間には無理です（本当は可算無限個でも無理なんですけどね））
たとえば、{1,2,…,…,π,e,√2,√3,…,…,0,-1,-2,…}などという順序を考えてみましょう（左の方が小さいとする順序）。次の数さえ決まっていたらいいんです。だから上の順序は整列順序です。5の次は6だし、1兆3の次は1兆4です。πの次はeだし、eの次は√2です。0とか、πの一つ前の数字が気になったりしますが、整列順序というのはあくまでも一つ大きい数さえ決まっていたらいいんです。π^eがどこにあるかわかりませんが、それも適当に決めてやればいいのです。ようするに実数を思いついた順番にひたすら並べていけばいいのです（無限回！しかも非可算無限回！）それが整列順序というものです。
数学的帰納法ってあまり信頼がないですが、あれは自然数を一斉に順番に並べることができること（ペアノの公理）から由来する定理であって、整列可能定理というのはその非可算無限集合に拡張された超限帰納法に対応するものです。非可算無限個の元を順番に並べるという、とても有限の時間で人ができるわけがないことを考えているわけです。選択公理というのは、非空な集合の非可算無限直積から元が取れる、つまり非可算無限個の元をまったく同時に扱える、ということを主張する公理なので、そりゃあそんなこと認めてしまえば、整列順序なんて作れるよね、とそんな気がしてきませんか？（すべての実数に対してその次の数を考えてやるだけで整列順序ができるわけだから！）
つづく >>864
つづき
No.1
回答者： kabaokaba 回答日時：2006/07/02 14:51
「存在が証明される」のと
「具体的に構成する」というのは
別のものです
後者ならば前者は成立しますが
逆は成立しません．
ぶっちゃけた話，物理なんかでも
「理論的に予言されたものを
みんなで必死に探す」なんてことはよくありますね
＃逆のパターンも当然ありますが．
小柴先生のカミオカンデだって，
素粒子の質量の話だって，
古くは湯川先生の中間子だってそーいう流れでしょう．
相対論もそーいう流れのはず．
数学だと，正65537角形は作図可能ですけど
この作図の工程を具体的に示すのは
できないでしょう（もしかすると
もう誰かが具体的な書き方を見つけてるかも）
そもそも整列可能定理は選択公理と同値なわけで
整列可能な順番を目に見える形で
構成できたとすれば
それは選択公理を「構成」したこと
すなわち「証明」したことになりませんか？
この整列可能定理は選択公理の一種の
異質さというか危うさというかを
際立たせる意味合いもあると解釈すべきだと
思いますがどうでしょうか
(引用終り)
以上 >>864
そんな屁理屈は通りませんよ？
何故ならあなたは
> よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
と言いました。
列が存在する ではなく 列を作れる と。
しかし列は存在しないし作れない。
証明は>>863
こんな簡単極まりない証明が理解できない池沼に数学は無理なので諦めましょう。 有理数をすべて並べた<列は存在しない。
存在するとの仮定から直ちに矛盾が導かれる。
こんなん大学数学の初歩の初歩の初歩。入門レベルですらない。
さすがに大学一年4月に落ちこぼれた落ちこぼれクンは違いますねw まあ落ちこぼれクンが阿呆なのは周知の事実ですが、彼の異常性は間違いを決して認められないこと。精神の発達が止まってしまう発達障害なんでしょう。 >>854
>私は名前の議論はしない。だれか関係ない第三者に迷惑を掛ける可能性があるから
意味がよく分からないが、もし>>848のことを指していっているなら、
>教育のプロポーションにこだわって有理点
というのは或る意味事実だよ。実際に、教える側は黒板で習う側は黒板を見る側に、
というような感じで熱心に講義するときの姿勢にこだわっている人がいる。
まあ、君がコピペしたことがある人の中にいる。
そのようなことを知っている人はかなりいると思う。 >>869
どうも、スレ主です
>>教育のプロポーションにこだわって有理点
>というのは或る意味事実だよ。実際に、教える側は黒板で習う側は黒板を見る側に、
言っている意味が分からない
「教育のプロポーション」の定義は？
有理数の稠密性とか、実数の連続とか
昔の高校では普通だった気がするよ
（最近のゆとりは知らんけどね）
大学への数学にも、普通に書いてあったと思ったけど
それでないと、高校で微積やれんでしょう？
勿論、大学での扱いは別としてもね（＾＾ >>867
>有理数をすべて並べた<列は存在しない。
>存在するとの仮定から直ちに矛盾が導かれる。
そんなバナナｗ（＾＾
全順序（total order）と、整列順序 (wellorder)の区別が付いていないのか？（下記）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F
全順序
全順序（total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。
単純順序（たんじゅんじゅんじょ、英: simple order）、線型順序（せんけいじゅんじょ、英: linear order）とも呼ばれる。
集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。
例
実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる。従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる。これらは何れも、ある性質に関して最小の全順序集合として（同型を除いて）唯一の例を与えることが示せる（ここで、全順序集合 A がある性質に関して「最小」とは、同じ性質を持つ任意の B に対して A に順序同型な B の部分集合が存在することをいう）。
・N は上界を持たない最小の全順序集合である。
・Z は上界も下界も持たない最小の全順序集合である。
・Q は R の中で稠密となる最小の全順序集合である。ここでいう稠密性は a < b なる任意の実数 a, b に対し、a < q < b となる有理数 q が必ず存在することを言う。
・R は順序位相（後述）に関して連結となる最小の非有界全順序集合である。
・順序体は定義により全順序である。これは有理数体 Q や実数体 R を包括する概念である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合（wellordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
(引用終り)
以上 >>860 補足
追加の追加
（参考：英語版）（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order
Examples and counterexamples
Reals
The standard ordering ≦ of any real interval is not a well ordering, since, for example, the open interval (0, 1) ⊆ [0,1] does not contain a least element. From the ZFC axioms of set theory (including the axiom of choice) one can show that there is a well order of the reals. Also Wacław Sierpiński proved that ZF + GCH (the generalized continuum hypothesis) imply the axiom of choice and hence a well order of the reals. Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.[1] However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists—for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals, or indeed any set.
つづく >>872
つづき
An uncountable subset of the real numbers with the standard ordering ≦ cannot be a well order: Suppose X is a subset of R well ordered by ≦. For each x in X, let s(x) be the successor of x in ≦ ordering on X (unless x is the last element of X). Let A = { (x, s(x)) | x ∈ X } whose elements are nonempty and disjoint intervals. Each such interval contains at least one rational number, so there is an injective function from A to Q. There is an injection from X to A (except possibly for a last element of X which could be mapped to zero later). And it is well known that there is an injection from Q to the natural numbers (which could be chosen to avoid hitting zero). Thus there is an injection from X to the natural numbers which means that X is countable. On the other hand, a countably infinite subset of the reals may or may not be a well order with the standard "≦". For example,
・The natural numbers are a well order under the standard ordering ≦.
・The set {1/n : n =1,2,3,...} has no least element and is therefore not a well order under standard ordering ≦.
Examples of well orders:
・The set of numbers { - 2^-n | 0 ≦ n < ω } has order type ω.
・The set of numbers { - 2^-n - 2-m-n | 0 ≦ m,n < ω } has order type ω2. The previous set is the set of limit points within the set. Within the set of real numbers, either with the ordinary topology or the order topology, 0 is also a limit point of the set. It is also a limit point of the set of limit points.
・The set of numbers { - 2^-n | 0 ≦ n < ω } ∪ { 1 } has order type ω + 1. With the order topology of this set, 1 is a limit point of the set. With the ordinary topology (or equivalently, the order topology) of the real numbers it is not.
(引用終り)
以上 >>871
> そんなバナナｗ（＾＾
バカは整列順序も全順序も全く分かってないキミだよ落ちこぼれクン。
>全順序（total order）と、整列順序 (wellorder)の区別が付いていないのか？（下記）
いや、問題はそんなとこじゃぜんぜんないから。キミが整列順序も全順序も全く理解してない事が問題。理解してたらそっちのルートは諦めるw
極めて単純且つ完璧な証明>>863が理解出来ない事がさらなる問題w
これ理解出来ないようじゃ人間辞めた方が良いよ。 >>874
>>全順序（total order）と、整列順序 (wellorder)の区別が付いていないのか？（下記）
>いや、問題はそんなとこじゃぜんぜんないから。キミが整列順序も全順序も全く理解してない事が問題。理解してたらそっちのルートは諦めるw
>極めて単純且つ完璧な証明>>863が理解出来ない事がさらなる問題w
あやや？
「完璧な証明>>863」？
（>>863より）
0の次の有理数pが存在すると仮定。
p/2は有理数、且つ、0<p/2<pだから矛盾。
(引用終り)
これで
「0の次の有理数pが存在すると仮定」って
そんなん、もともと有理数Qの稠密性から、”0の次の有理数p”なんてのが無理筋で
わざわざ証明するまでもないよねｗ
なんか証明した気になっているのかね？ おぬし
はてさて、
意味不明だな（＾＾ > キミが整列順序も全順序も全く理解してない事が問題。
これ、キミにはどういうことかちんぷんかんだろうね。
「整列集合Xの元すべてを含む<列が存在する」
これがキミの主張だろ？
じゃあ自力でもコピペでもいいから証明してごらん。
絶対無理だと思うけど。偽だからw >>875
> そんなん、もともと有理数Qの稠密性から、”0の次の有理数p”なんてのが無理筋で
じゃ全ての有理数を含む<列は存在しないねw
キミ、自分が何言ってるか分かってる？w
間違いを認めたって事でおk？ キミ自分の投稿忘れたの？
>>836
>有理数Qが全順序集合であり、特に稠密順序集合となる（wikipedia）から
>可算無限長の”＜”による無限列など、至る所ありふれているんだよぉ〜！ｗ
これが間違いと認めるの？ y/n >>875 補足
なんか、分かってないね
（下記より）
・整列集合：集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう
つまり、全順序に「必ず ≦ に関する最小元をもつ」という条件を加えたもの
・全順序：線型順序、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である
「集合 X が関係 ≦ による全順序をもつとは、X の任意の元 a, b, c に対して、次の3条件を満たすことである」
”X の任意の元 a, b, c に対して”にご注目
任意とは、英語では anyかallですが、数学では∀ですよ！（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合（well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F
全順序
単純順序（たんじゅんじゅんじょ、英: simple order）、線型順序（せんけいじゅんじょ、英: linear order）とも呼ばれる。
集合 X が関係 ≦ による全順序をもつとは、X の任意の元 a, b, c に対して、次の3条件を満たすことである：
反対称律：a ≦ b かつ b ≦ a ならば a = b
推移律：a ≦ b かつ b ≦ c ならば a ≦ c
完全律（比較可能）：a ≦ b または b ≦ a の何れかが必ず成り立つ
反対称性によって a < b かつ b < a であるという不確定な状態は排除される[1]。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係で比較可能（英語版）であることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である[2]。また完全性から反射性 (a ≦ a) が出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は（完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で）全順序よりも弱い条件である。
(引用終り) >>879 補足
>”X の任意の元 a, b, c に対して”にご注目
>任意とは、英語では anyかallですが、数学では∀ですよ！（＾＾
”X の任意の(3つの)元 a, b, c に対して"
成り立つってことは
つまり、X の全ての3つ組に対して成立するってこと
それって、集合X全体って意味ですよ！ｗ（＾＾
集合X全体が、順序”≦”で並ぶってことですよ！（＾＾； だからいいんだけど
０の次の有理数を早く答えてよｗ >>880
>集合X全体が、順序”≦”で並ぶってことですよ！（＾＾；
と
> そんなん、もともと有理数Qの稠密性から、”0の次の有理数p”なんてのが無理筋で
は矛盾じゃないの？ｗ
馬鹿だから分からない？ｗ
馬鹿は楽でいいねーｗ >>842 補足
(引用開始)
なお実際、例えば区間(a,b)を、p等分することができる（ここにｐは2以上の任意の自然数）
Δ＝(b-a)/pとして
a<a+Δ<a+2Δ<・・<a+(p-1)Δ<b とできて、区間(a,b)内にp-1個の有理数を作ることができる
pは、任意に大きく取ることができる
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、不等号＜を使って整列させることができる（by 選択公理（可算選択公理））
よって、不等号＜による可算無限列を、任意の区間(a,b)内に作ることができる
(引用終り)
＜ガロアすれ流の有理数Qの稠密性定理＞
定理：上記の区間(a,b)をp等分してできる集合を、Ap＝{a+Δ,a+2Δ,・・,a+(p-1)Δ}とする
A：＝∪Ap 但し、p∈N(0と1を除く(2等分以上を考える))
とすると
集合Aは、区間(a,b)に含まれる有理数を表す
区間(a,b)は任意であり、
この区間にAなる無限の有理数の集合を含む（有理数Qの稠密性）
(証明)
1．区間(a,b)は、平行移動できるので、計算の簡単のためにaを原点に移して、区間(0,e)で考える
e＝b-aである
2．区間(0,e)に含まれる有理数をA’と書く
A’＝Aである。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い
3．区間(0,e)に含まれる任意の有理数c∈A’を考える
c＝c1/c2と表す。また、e＝e1/e2と表す
4．そこで、p=c2・e1 ととれば、c∈Apとなることを示す
区間(0,e1/e2)をp(＝c2・e1) 等分するので、
区間の長さの分割単位Δ＝(e1/e2)/p＝1/(c2・e2)となる
とすると、c＝c1/c2は、c：＝c1・e2Δと表すことができる
即ち、c1・e2Δ＝c1・e2(1/(c2・e2))＝c1/c2＝c を導くことが出来る
5．よって、区間(0,e)に含まれる任意の有理数c∈A示せたので
A’⊂Aであり、A’⊃Aであった(上記2項)から、A’＝A成立！
QED
この程度のことは、昔だれかがやっているだろうが、
「有理数Qの稠密性」を示す定理として、分かり易いと思う
区間(a,b)は、任意に取れるので、区間(a,b)内にさらに小さく区間(a',b')を取っても
逆に、区間(a,b)を含むように大きく区間(a'',b'')を取っても、同じことが証明できる
即ち、「有理数Qの稠密性」の”入れ子構造”を示す定理である（＾＾
以上 >>883 訂正
A’＝Aである。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い
↓
A’＝Aであることを、示す。簡単に、A’⊃Aであることが分かるから、A’⊂Aを示せば良い
分かると思うが念のため（＾＾； >>879
>なんか、分かってないね
それは雑談君、君だよキミ
>・整列集合：集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、
>S 上の全順序関係 "≦" であって、
>S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう
>つまり、全順序に「必ず ≦ に関する最小元をもつ」という条件を加えたもの
上記は、「任意の元にかならず後者が存在する」と同じ
但し、整列順序に「必ず ≦ に関する最大元をもつ」という条件はない
つまり、「任意の元にかならず前者が存在する」とはいえない
たとえば、ωに前者は存在しない
したがって、ω＞ｎとなるいかなるｎも
ω＞ｍ＞ｎとなるｍが、必ず存在する（しかも無限に）
そしてωから０にいたる＞降下列はかならず有限である
（一方で、いくらでも長い（有限の）長さの＞降下列が存在する）
いっとくけど、Ｑに関する通常の順序は全順序だけど整列順序ではないよ
Ｎと同値な整列順序構造を新たに導入することはできるけど
その場合、Ｑのいかなる要素もあるＮの要素に対応するので
キミがいうωにあたる元はない
ま、むりやり作ってもいいけど、そうしたところで無限降下列はできないよ >>883
＞有理数Qの稠密性定理
もしかして
「Qは整列順序です！！！」
とかドヤ顔で語ってる？
雑談君はパクチー🐎🦌野郎かな？ >>883
なんで>>882から逃げるの？
間違いを認めるのがそんなに嫌？ >>871 補足
＜整列順序と全順序の意味分かってない！＞（＾＾
１．整列順序とは、全順序であって、任意の部分集合が極小元を持つ
２．従属選択公理（選択公理でも）を使えば、「関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる」
３．全順序とは、「元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である」
４．実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる
従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる
５．当然、R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって、無限降下列も、あるいは無限上昇列も持つ
なお、有理数全体の成す集合 Qは、可算無限に限られる
６．自然数全体の成す集合 Nは、整列順序であり、最小限を持ち、降下列は有限である
７．しかし、N∪ωを考えると（wiki/Well-founded_relationより）”Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n.”
つまり、N∪ωでは、「∀降下列は、有限」が不成立（詳しくは下記英文嫁め）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
つづく >>888
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
二項関係が整礎（well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。（関係 R がさらに集合的であることを仮定する著者もいる[2]。X が集合であればこれは自動的に成り立つ。）つまり、S の元 m であって、S の任意の元 s に対して対 (s, m) は R に属さないようなものが存在する。式で書けば
∀ S⊆ X(S≠Φ → ∃m∈ S ∀s∈S(s,m)not∈ R).
X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。つまり、X の元の無限列 x0, x1, x2, ... で、どんな n についても xn+1 R xn となるようなものはとれない。
順序集合論（英語版）では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。全順序がこの意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。
集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。
整礎でない関係の例
・負整数全体 {?1, ?2, ?3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。
・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。
（上記「∀ S⊆ X(S≠Φ → ∃m∈ S ∀s∈S(s,m)not∈ R)」関連は英文で分かり易く加筆されているね ）
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
In mathematics, a binary relation R is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is, an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S.
つづく >>889
つづき
In other words, a relation is well founded if
(∀S⊆ X)[S≠ Φ ⇒ (∃m∈ S)(∀s∈ S)¬(sRm)].
Other properties
If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded. Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n.
The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X, R) is isomorphic to (C, ∈).
つづく >>890
つづき
（>>871より再録）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F
全順序（ぜんじゅんじょ、英: total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。
元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である[2]。
例
実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 ("<" あるいは ">") によって全順序付けられる。従ってその部分集合としての、自然数全体の成す集合 N, 整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q なども全順序集合になる。これらは何れも、ある性質に関して最小の全順序集合として（同型を除いて）唯一の例を与えることが示せる（ここで、全順序集合 A がある性質に関して「最小」とは、同じ性質を持つ任意の B に対して A に順序同型な B の部分集合が存在することをいう）。
・N は上界を持たない最小の全順序集合である。
・Z は上界も下界も持たない最小の全順序集合である。
・Q は R の中で稠密となる最小の全順序集合である。ここでいう稠密性は a < b なる任意の実数 a, b に対し、a < q < b となる有理数 q が必ず存在することを言う。
・R は順序位相（後述）に関して連結となる最小の非有界全順序集合である。
・順序体は定義により全順序である。これは有理数体 Q や実数体 R を包括する概念である。
(引用終り)
以上 >>879-880 補足
(引用開始)
>”X の任意の元 a, b, c に対して”にご注目
>任意とは、英語では anyかallですが、数学では∀ですよ！（＾＾
”X の任意の(3つの)元 a, b, c に対して"
成り立つってことは
つまり、X の全ての3つ組に対して成立するってこと
それって、集合X全体って意味ですよ！ｗ（＾＾
集合X全体が、順序”≦”で並ぶってことですよ！（＾＾；
(引用終り)
下記、コンパクト性定理
「有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理」
「応用例 ・任意の順序集合が全順序に拡大できること」
なるほど、厳密にはコンパクト性定理を使うか
X の任意の3つ組→任意の有限部分集合→元の集合X全体（それは当然無限集合）で成立
という証明の筋でしょうかね？（＾＾
コンパクト性定理ね
なるほど、確かに便利だな（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
コンパクト性定理
コンパクト性定理（英: Compactness theorem）とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。つまりある理論の充足可能性を示すにはその有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理であり、モデル理論における最も基本的かつ重要な成果のひとつである。
歴史
1930年にゲーデルが可算集合の場合について証明した。非可算の場合については、Anatoly Maltsevが1936年に証明を与えた[1][2]。
応用例
コンパクト性定理はモデル理論を含む様々な分野において多くの応用を持つ。例として、以下の定理や命題がコンパクト性定理を用いて証明される。
・上方レーヴェンハイム-スコーレムの定理
・任意の順序集合が全順序に拡大できること [3]
証明
コンパクト性定理は、ゲーデルの完全性定理から導くことができる。
(引用終り)
以上 屁理屈はいいから早く0の次の有理数を答えてくれない？
無理筋だと言うなら有理数をすべて並べた＜列は存在しないことを認めるの？
どっち？
逃げてないで答えて >>888
> Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
> Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n.
翻訳は以下のとおり
「次のような例を考えてみましょう。Xを正の整数と、任意の整数よりも大きい新要素ωとの和とする。
このとき、Xはwell-foundedな集合であるが、ωから始まる任意の大きな（有限の）長さの下降鎖があり、その鎖はω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 は任意の n に対して長さ n を持つ。」
どこにも、無限列がある、なんて🐎🦌なウソは書いてないが 嘘はいけませんね
数学どうこう以前に人格が破綻してます ω以下の順序数をすべて並べた∈下降列は存在しない。
理由は超簡単。ωは後続順序数でないから並べようにもωの前者が存在しない。
ωから始まる∈下降列は有限列。
理由は超簡単。ωの元はどれも自然数だから、ω∋▢∋…∋1∋0 の▢=自然数n。よってこの列の長さはn+2。
こんな超簡単なことも分からない落ちこぼれクンに数学は無理なので諦めましょう。 >>847
(引用開始)
>ともかく数学科出身を、名乗らない方が良いぞｗ（＾＾；
数学を研究しない人が大部分を占める工学部の数学と数学科の数学は学習法も使い方なども違うから、
このようなセリフは数学を使用するだけの人がいっても殆ど意味ない。
工学部で代数は殆ど教えないし研究しないだろw
(引用終り)
意味分からんけど、レスしておく
1．数学科出身が全て、数学を研究しているはずもない（ほんの一握りでしょ。学部や修士で、多少はやったとしても）
2．一方、数学科出身以外が、全く数学を研究していないのか？
数学研究に一番近いのが、理論物理系の研究者かな？ 有名どころでは、ウィッテンとか大栗先生
3．その他、非数学科出身で情報系で数学を教えている研究者や、東大京大などの化学やいろいろの理系研究者たち
彼らは、必要な部分については、数学科の学部か修士レベルの勉強は必要に応じしているでしょ
（ちょうど、アインシュタインが、数学者グロスマンに教えてもらった事例などもあるしね。この場合は、当時の最先端の数学だった）
4.だから、「数学科出身でございます」と、学部か修士レベルでハナタカしていたら
世間の理系の非数学科出身でも、その程度のレベルは結構いたりして、
「ちょうどいいところに来た。この問題で悩んでいたんだ、これ解いてみて」と、
大学研究者から言われて（民間の研究者でもあるかも）、解けないで赤っ恥になりかねないよね（＾＾
私？ 私のことではございません。私は、底辺も底辺です
でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない
数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます
珍しいものを発見したとｗ（＾＾； >私？ 私のことではございません。私は、底辺も底辺です
自惚れでしょう。
あなたは大学数学から入門を拒否された落ちこぼれです。
底辺とは大学課程修了者の中で最低レベルという意味です。あなたはそこまで達してません。 >>897
>でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない
>数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます
何重にも間違ってるｗ 馬鹿丸出しｗ さすがに入門を拒否された落ちこぼれだけのことはありますねｗ
何重にも間違ったことをドヤ顔で書きこむその度胸だけは褒めてあげますｗ
しかし根拠の無い度胸なんて糞の役にも立ちませんよ？ｗ >>897
>でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない
>数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます
まず
「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
を証明してからドヤ顔して下さいね？
無理だと思いますけど、偽ですからｗ
尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ >>901
あなたはどうせ逃げるので答えを書いときますね
反例
全順序集合Rの0の次の実数rは存在しない。
反例であることの証明
存在すると仮定すると 0<r/2<r を満たす実数r/2が存在するため矛盾。 無限小数 0.999・・ を論ずる某スレと立場逆転している
無限長の列を認める立場（私）と
無限長の列を認めない立場（数学科出身を名乗るもの）と
なんか、立場が逆転しているようだねぇ〜ｗ（＾＾； >>903
だーかーらー
おまえ日本語分らんの？
誰も無限列を否定しとらんゆーとんの分らんの？ 馬鹿？ 阿呆？ >>903
逆
最後の項がある列は有限列であって、有限しか認めてないのがおまえ。
おまえは口では無限と言ってるが、無限とは何かが分かってない。
無限とは限りが無いこと。最後の項があったら限りがあるじゃねーかｗ 馬鹿としか言い様が無い 列に最後の項がある→限りが有る→有限列
列に最後の項が無い→限りが無い→無限列
おまえはここから分かってない。
おまえが言う無限列は有限列のこと。何故なら最後の項があるから。限りがあるから。限りが有ることを有限と言う。馬鹿。
だからおまえの主張の逆で、有限列しか認めてないのがおまえ。無限列を認めてるのがおまえ以外。
大学数学に入門を拒否された落ちこぼれは数学板に来んな。板が穢れる。 >>906
(引用開始)
列に最後の項がある→限りが有る→有限列
列に最後の項が無い→限りが無い→無限列
おまえはここから分かってない。
おまえが言う無限列は有限列のこと。何故なら最後の項があるから。限りがあるから。限りが有ることを有限と言う。馬鹿。
だからおまえの主張の逆で、有限列しか認めてないのがおまえ。無限列を認めてるのがおまえ以外。
(引用終り)
いやいや、おサル
お主、数学科修士卒と言う触れ込みだったよね
でもな、いくらFラン卒といえどもだ
こんなあたまで、よく数学科が卒業できたね（＾＾
「Rの0の次の実数rは存在しない」なんてのは
素朴な疑問で、高校から大学1年くらいなら
微笑ましいわな
だが、50過ぎのおっさんで
大学を出て、30年経って
まだこのレベルだとすれば
いったい今まで、何を学んで来たのだと？
そういう疑問しか残らないぞｗ（＾＾；
小一時間問い詰めたいところだｗ https:/twitter.com/gou_tanab?ref_src=twsrc%5Egoogle%7Ctwcamp%5Eserp%7Ctwgr%5Eauthor
ゴキブリレイシスト田辺ニホンザルヒトモドキを銃殺せよ
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>908
下記「無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち」 志賀 浩二
あったな、読んでないけど
おサルも、1920年ころのポーランドに生まれて、無限を研究したら良かったろうね（＾＾；
だが、1988年とか今の2021年の時代に、「Rの0の次の実数rは存在しない」とか
微笑ましい通り越して、50過ぎのおっさんなら、不勉強だろ！ってことよ（＾＾
（参考）
https://www.アマゾン/product-reviews/4535781613
無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち 1988
by 志賀 浩二 日本評論社
Customer reviews
まげ店長
5.0 out of 5 stars ポーランドにおける無限を巡る数学の発展について
Reviewed in Japan on November 2, 2013
ポーランド史、無限論（カントール）、ユダヤ人史に興味の有る方にはうってつけの本です。
私はたまたまワルシャワ蜂起と集合論と数学基礎論を勉強しているので、この条件には見事に当てはまるのです。
連続体仮説についての説明で、こんなに分かりやすい説明は初めて読みました。
決して簡単な内容ではありませんが、周辺の数学を少しづつ勉強すれば決して理解できないレベルではないと思います。
ポーランド数学！、歴史学と数学を一緒に学べるという他には無い貴重な機会です。是非、頑張りましょう。
冒頭に集合論の取り扱い、無限という概念の取り扱いが発見時の頃に比べると論理化・簡潔化・整然化
されてしまい、多くの人が非加算の無限に対して感動しなくなっている事に対する嘆きが語られます。
私自身もカントールの話に感動して集合論を勉強し始めた頃、あまりにも無味乾燥な表現で終始しており
しかも全体の流れの中で軽んじられている傾向に違和感を感じました。
そんな私でさえもルベーグ測度を一所懸命に勉強した時もどうしてこんな当たり前の事を勉強しなければ
いけないのか悩んだものです...（未だ完全に分かってはいませんが）
こうした本を読むことで無限に対する尊厳を思い出したいものです。
集合論以外はトポロジーや関数解析で、一部は証明などもありますが定理だけがふらっと載っているだけの
ものもあります。
殆どは今の私にはさっぱりですね... 何が書いてあるのかも分からないのですが、不思議とそれでも面白いのです。
(引用終り)
以上 >>908
おまえ真性のバカだろ
「0の次の実数が存在する」を真と考えてるのが偽と考えてるのか、自分の考えを述べることすらまともにできないのか？
その馬鹿頭でよく生きてられるな >>910
だからおまえはどっちなんだよｗ
真性バカはそれすらまともに述べれないｗ もう障害者レベルｗ 真か偽か自分の考えすらまともに述べれない障害者はどっか行けよ
数学がどうこうなんてレベルを遥かに逸脱した馬鹿 >>908
>素朴な疑問で
なんで疑問になるんだよｗ 馬鹿かおまえはｗ
「存在するか？」だったら疑問だが、「存在しない」と断言してるんだから疑問じゃねーだろｗ
もうこういうところからして馬鹿過ぎて話にならんよおまえ もう馬鹿は消えて 肯定分と疑問文の区別すらつかない馬鹿は数学板に必要無い 消えろ >>883
(引用開始)
この程度のことは、昔だれかがやっているだろうが、
「有理数Qの稠密性」を示す定理として、分かり易いと思う
区間(a,b)は、任意に取れるので、区間(a,b)内にさらに小さく区間(a',b')を取っても
逆に、区間(a,b)を含むように大きく区間(a'',b'')を取っても、同じことが証明できる
即ち、「有理数Qの稠密性」の”入れ子構造”を示す定理である（＾＾
(引用終り)
下記の
「この方面の先駆者であるスミスは、有理数の集合が任意に小さな区間に閉じ込められてしまうこと、に気付いており」
辺りがそうかも
100年くらい前の話だが（＾＾；
（参考）
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/
数学史シンポジウム報告集
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/
第25回数学史シンポジウム
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf
カントールによらない実数の非可算性の証明
その発案の経緯と現在への影響を巡って
鈴木真治 2015年1月30日投稿
P134
3. 様々な「実数の非可算性の証明」の背景
この方面の先駆者であるスミスは、有理数の集合が任意に小さな区間に閉じ込められてしまうこと、に気付いており、
(引用終り)
以上 安達も瀬田も結局最後は逃げるんだよなあ
つまんねー 哀れな素人氏のスレに戻りな
みんな、あきれていると思うよ
（>>906）
列に最後の項がある→限りが有る→有限列
(引用終り)
とか、不成立じゃね？
（>>901）
まず
「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
を証明してからドヤ顔して下さいね？
無理だと思いますけど、偽ですからｗ
尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ
(引用終り)
これもな
お主の言っていることは、意味不明だが
おそらくは、「こんなところで躓いているのかな？」というのは、何となく分かる（＾＾
しかし、あまりにも低レベルで、評しようがないｗ（＾＾； >>916 追加
これ結構面白い、お薦めです
小平邦彦先生のお言葉（＾＾
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf
カントールによらない実数の非可算性の証明
その発案の経緯と現在への影響を巡って
鈴木真治 2015年1月30日投稿
P4
(16) 小平邦彦氏は対角線論法があまり好きではなかった。では、どんな証明方法を推していたのか 第4節参照
p7
測度論的証明については、選択公理は使うし、証明の途中に区間縮小原理を使うので、非述語的定義も含まれていて、基本性からは良いところがないようにも見える。しかし、後で説明するように小平邦彦氏は、「R は非可算であるだけでなく、R の可算部分集合は R の極めて小さい部を占めるに過ぎないことがわかる。」と言ってこの証明を評価している。
P15
小平邦彦氏はこの対角線論法を評して、「簡単明瞭であるが、何かうまく言いくるめられた感じがしないでもない。そこで別証を考えて見る。(「数学の学び方」 [71]より)」とされ、測度論的証明を自著『解析入門』(72)に書き記されている。更に、「これで実数全体の集合 R が非可算であることの別証が得られたのである。別証は対角線論法による証明よりも面倒であるが、うまくいいくるめられたという感じはない。別証により R は非可算であるだけでなく、R の可算部分集合は Rの極めて小さい部を占めるに過ぎないことがわかる。(同上)」と、してこの別証明53の持つ意義を力説されている。
(引用終り) >>919 つづき
おぬし、鈴木真治 巨大数 辺りから勉強し直したらどうだ？（＾＾
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo26/26_suzukis.pdf
鈴木真治 巨大数小史 有限と無限の狭間の揺らぎ 2016年1月30日投稿
0 はじめに
巨大数は,無限と同様に,太古から多くの人々を魅了し続けて止まない人気のテーマの一つである.ところが,無限論が,現在においても真っ当な専門書2から啓蒙書3, 果ては哲学書4に至るまで幅広く新著が出版され続けているのに対し, 巨大数論を主題とした邦書を寡聞にして著者は1冊しか知らない5.後はせいぜい,数学者のエッセイ集の1トピック6として紹介されているか,比較的小さな記事7が,発表されているくらいではなかろうか.このような差が生まれた最大の理由は,無限が,数学の発展において不可欠な概念であり続けて来たと云う歴史的重みと、門外漢からの安易な接近を拒む深淵を内包しながら発展を維持しているのに対し8,巨大数の方は,一見,鬼面人を嚇すと云った意外性から歴史的に語り継がれているものがあるにしても,現代数学はそれを必要とせず,将来も必要とされることはないと考えられているからかもしれない. 本質論から比較するなら,無限が,多様性を保持しつつも,数学的に明確な定義が与えられるようになったのに対し, 巨大数に対しては,精確で有効な定義がないことが致命的な差であろう.このような対象を,大抵の数学者は,研究対象にはしたがらないからである9.
著者は,当初,このような問題意識に対し,どちらかと言えば否定的で,「問題のための問題を解こうとしている」ように捉えていた.しかし,「数と無限の多面的アプローチ」を主たる研究テーマにしている関係上,擬無限としての「巨大数」は,無視できない存在であった.そこで,断続的に巨大数の歴史を調べていたのだが,ここからビジービーバーと云うチューリングの停止問題とも関連のある非常に興味深い関数や第一不完全性定理の具体的な例ともなったグッドステイン数列の終結定理, 非原始帰納関数の典型例であるアッカーマン関数, 証明論や計算理論に現れる急増加階層(F.G.H)とも密接に関わっていることを知るに及んで見えていた風景が一変した.
つづく >>921
つづき
20 世紀以降の巨大数の歴史は,このような文脈のなかで,計算理論の発展 - 原始帰納関数から多重帰納関数の発見, 一般帰納関数への拡張,計算可能関数との同定,非計算可能関数の発見等 - を主軸に添えて,様々な表記方法の創出と具体的問題への応用を付記しつつ語られるべきものと考えるようになった
https://www.hmv.co.jp/artist_%E9%88%B4%E6%9C%A8%E7%9C%9F%E6%B2%BB-%E6%95%B0%E5%AD%A6_200000001148068/item_%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E7%A7%91%E5%AD%A6%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%83%BC_7300972
巨大数 岩波科学ライブラリー
鈴木真治(数学)
発行年月 ： 2016年09月
内容詳細
無量大数ってどのくらい大きい数？グーグルの社名の由来となったグーゴルより大きい？アルキメデスが数えたという宇宙を覆う砂の数、仏典に登場する最大数である不可説不可説転、宇宙の永劫回帰時間、数学の証明に使われた最大の数…などなど、伝説や科学に登場するさまざまな巨大数の文字通り壮大な歴史を描く。
目次 : 第１章 歴史に見る巨大数―宇宙の砂の数、極楽浄土までの道のり（アルキメデスの３つの巨大数/ 古代バビロニアやユダヤの巨大数/ 仏教やジャイナ教に現れた巨大数）/ 第２章 自然科学と巨大数―「天文学的」を超える「天文学的」な数（アボガドロ定数/ エディントン数とディラックの巨大数仮説/ 永劫回帰時間/ 猿の無限定理/ 指数表記の発明）/ 第３章 数学と巨大数―無限の一歩、手前（数学に現れた巨大数/ 巨大数を生み出す関数/ チャレンジコーナー/ 巨大数の数学的小品）
【著者紹介】
鈴木真治 : １９５８年生まれ。数学史家。金沢大学大学院理学研究科（数学専攻）修士課程修了。日本科学史学会会員。日本数学協会会員。日本アクチュアリー会準会員（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）（「BOOK」データベースより）
(引用終り)
以上 >>919
下記≦は、原文では別の記号だったが、文字化けしそうなので、原文と換えた（数学やるには不便な板です（＾＾； ）
下記花木章秀先生で、小学生を並べる話と同様に、無限集合を扱うのが、大学数学の集合論だよ
分かってないね（＾＾
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000000/
集合論 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000004/main/chapter4.html
集合論
花木章秀
目次
4 関係
4.1 関係
4.2 順序関係
4.3 数学的帰納法と超限帰納法
4.2 順序関係
通常の生活でも、順序という言葉はよく用いられる。例えば、小学生でも背の低い順に列に並んだりする。この順序について考えよう。順序を表す記号として、よく使われるものを用いると、いろいろな先入観が入りやすいので、ここでは ≦ という、あまり使われない記号を用いることにする。
定義4.2.1 (順序関係). 集合 A 上の関係 ≦ が順序関係、または単に順序であるとは、以下の条件を満たすこととする。
[反射律] 任意の x ∈ A に対して x ≦ x
[推移律] x ≦ y , y ≦ z ならば x ≦ z
[非対称律] x ≦ y , y ≦ x ならば x = y
このとき (A, ≦) を順序集合という。
定義4.2.4 (全順序). 順序集合 (A, ≦ ) の任意の二つの要素 x,y ∈ A に対して x ≦ y または y ≦ x が成り立つとき、この順序を全順序といい、この順序集合を全順序集合という。
例4.2.6. 前述の「小学生を背の低い順に並べる」ということを考えよう。ある小学校のクラスの生徒を、ある身体測定の際の身長の小さい順に並べるとする。より一般に、集合 X と写像 f : X → R が与えられ、 f による値によって、集合 X の順序を決めるということを考えよう。
順序集合 (A,≦ ) の元 x に対して x ≦ y ならば x = y が成り立つとき x を A の極大元という。同様に y ≦ x ならば x = y であるとき x を A の極小元という。任意の y ∈ A に対して y ≦ x のとき x を A の最大元という。任意の y ∈ A に対して x ≦ y のとき x を A の最小元という。最大元は極大元、最小元は極小元であるが、逆は成り立つとは限らない。最大元、最小元は存在するとは限らないが、存在すれば唯一つに定まる。
(引用終り)
以上 >>919
>列に最後の項がある→限りが有る→有限列
>とか、不成立じゃね？
反例のひとつもあげれないの？
「じゃね？」って何？俺に訊いてんの？馬鹿？
>（>>901）
>まず
>「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
>を証明してからドヤ顔して下さいね？
>無理だと思いますけど、偽ですからｗ
>尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ
>(引用終り)
>これもな
>お主の言っていることは、意味不明だが
え？？？
おまえの主張は
>「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
ではないってこと？じゃ何？
>おそらくは、「こんなところで躓いているのかな？」というのは、何となく分かる（＾＾
>しかし、あまりにも低レベルで、評しようがないｗ（＾＾；
いみふｗ
主張が違うなら正せばいい話
証明ができないなら主張しなきゃいい話
いずれにしろおまえは逃げている 体の良い捨て台詞吐いてねｗ 逃げるくらいなら数学板に書きこまなきゃいい話
おまえそもそもなんで数学板に書きこむの？ 何も分かってない馬鹿なのに
馬鹿は数学板に来なくていいから なに勘違いしてんのおまえ？ >>921
>おぬし、鈴木真治 巨大数 辺りから勉強し直したらどうだ？（＾＾
大学一年4月に落ちこぼれた人に言われてもねえ
キミこそ有限と無限の違いから勉強し直した方が良いよ？
>列に最後の項がある→限りが有る→有限列
>とか、不成立じゃね？
限りが有ることを有限って言うんだよ？ 入門すらできずに落ちこぼれた人はそこから分かってないんだよなーｗ おやおや、雑談君はま~だ、
・全順序と整列順序の区別もわからず
・単なる点列と＞列の区別もわからず
「ωから始まり０に至る＞降下列が存在する！」
と言い切ってるのかい？
そもそも＞列は
「＞の左と右の項が定まってる」
のが絶対条件だから
ω＞･･･＞ｎ
なんてダメに決まってるじゃんｗ
整列順序は、上にいくときは必ず次の項が決まるけど
下にいくときは、そうじゃないから
極限順序数の場合、前の項はないから
で、極限順序数は、次の項をたどるだけでは到達不能だから つまり
０＜１＜２＜・・・
という数列は、「次の項をたどるだけでは」決して、ωに到達しないから！
（注：何をしても到達しない、と入ってない 極限をとればいい
しかし、極限をとる操作は、次の項をとる操作とは全く異なるから！） >>923
>数学やるには不便な板です（＾＾；
じゃ無理して来なくていいよ？
まるで数学分かってないキミの書き込みなんてゴミ以外の何者でもないし
いまさら全順序の定義をコピペしてどうしたの？気でも狂ったの？ｗ
おまえの主張は
「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
なんだろ？だったら証明しないとｗ 妄想と証明は違うぞ？ｗ
まあ無理だけどな、偽だからｗ >>891
QやRは、通常の順序では、整列順序集合ではないよ
知らなかった？
だって｛q∈Q｜0＜q｝って最小元ないじゃんｗ はい、ロンパｗ
だって｛r∈Q｜0＜r｝って最小元ないじゃんｗ はい、ロンパｗ
ついでにいうと
｛z∈Z｜0＜ｚ｝は最小元をもつけど
｛z∈Z｜0＞ｚ｝は最小元ないからｗ
はい、ロンパｗ
要するにＮ以外、通常の順序では整列順序集合になりませ~ん
(Q+で、正の有理数を考えても整列順序集合になりません ざんね~ん） >という数列は、「次の項をたどるだけでは」決して、ωに到達しないから！
次の項をたどってωに達するならωは後続順序数になってしまうｗ
落ちこぼれクンは順序数の基本中の基本から分かってないｗ >>919
>あまりにも低レベルで、評しようがないｗ
それは雑談君自身のことかな？
QやRの全要素からなる点列は、＞列にならないよ
だってどの要素をとっても直前の要素がとれないじゃんｗ
「＞列」だっていうんなら、自分より小さい要素を具体的に指定できないとダメだよ
ωの場合でいうと ω＞ｎって具体的にｎを書かないとダメだよ
どんな自然数ｎをとってもＯＫだけど、その時点で
０までの降下列の長さって有限だよね
無限降下列がないってそういう意味だよ
全然わかってないね
それじゃ大学１年の４月の実数の定義で落ちこぼれるわけだ
最低レベル どん底だね
修羅界 畜生界 餓鬼界 ときたら その下の 地獄界だな
畜生以下、虫以下、ってもう単細胞生物かいｗ
これからアメーバ君って呼んじゃうよｗ >>908 補足
>「Rの0の次の実数rは存在しない」なんてのは
>素朴な疑問で、高校から大学1年くらいなら
>微笑ましいわな
「Rの0の次の実数rは存在しない」ねぇ〜（＾＾
昔、ポーランドの数学者たちも悩んだのかもね
実数を上手く扱うために、位相を導入して、位相空間を考えたと思う
開基を入れると、扱いやすいなと（＾＾；
（参考）
https://researchmap.jp/read0010844
大田 春外
オオタ ハルト (Haruto Ohta)
http://www12.plala.or.jp/echohta/top.html
by Haruto OHTA
位相空間に関するあらゆる質問にお答えします。
位相空間・質問箱
http://www12.plala.or.jp/echohta/top/QA/Q001.html
これまでの質問と回答
http://www12.plala.or.jp/echohta/top/QA/QA004.html
読者からの質問と回答 01031 〜 01040
Ｍ．Ａ．さんからの質問 #01039
可分空間とは何を分けるのですか？ 可分空間の目的は何ですか？
「可分」の概念について質問します．
可分 (separable) は何が「分けられる」のでしょうか．
また，可分という概念を取り入れた目的はなんでしょうか．
どの本をみても可分の定義や可算公理との関係は書いてあるのですが， 可分という概念を導入した必要性が感じられません．
ご教示いただきたく，宜しくお願いいたします．
つづく >>931
つづき
お答えします：
面白い質問をお送り頂きまして，ありがとうございました．
第 1 の質問について， 可分の定義は可算稠密集合が存在するということですので， 何が分けられる (separable) のか？という Ｍ．Ａ．さんの疑問はもっともだと思います． 可分という概念がはじめて定義されたのは，M. Frechet という数学者の 1906 年の論文
"Sur quelques points du calcul fonctionnel"
だと言われています． M. Frechet はこの論文で，距離空間の概念を初めて導入しました． 本論文ではまだ距離空間という用語は使われていませんが，可分 (separable) という用語は定義されています． この論文を見てみると，M. Frechet は実数直線の性質を距離空間に一般化する過程で，可分の概念に到達したように思います．
さて，なぜ「可分」と名付けたのか？という理由を知るためには， タイムマシーンに乗って M. Frechet 先生に尋ねに行く以外に方法はありませんが， 私の推理を述べてみます．
実数直線の稠密な部分集合 D は次の性質を満たします．
任意の異なる2つの実数 a ＜ b に対して，a ＜ x ＜ b をみたす D の元 x が存在する．
すなわち，異なる2つの実数は D の元によって分離されます． この事実を念頭において，可算な稠密集合が存在することを，可分と名付けたのではないでしょうか？ もちろん，実数直線と異なり一般の距離空間では順序 ＜ が定まっていないので上の性質は無意味ですが，実数直線の稠密集合をモデルとして可算稠密集合が存在する空間を可分 (separable) と名付けたのではないかと思います．
つづく >>932
つづき
第 2 の質問について， M. Frechet は，一般の距離空間において，実数直線の中の有理数の集合に相当する働きをする集合を必要として，可分性の概念を導入したのではないかと思います． 彼は，上記の論文の中で，今日の言葉で言えば「全有界かつ完備である距離空間はコンパクトである」という定理を証明しています．この定理は，「全有界」と「完備」という２つの距離空間の性質から「コンパクト」という位相空間の性質が導かれる興味深い結果ですが，全有界を位相的性質に翻訳すると「可分」になります．
詳しく言えば，次のことが成立します．
全有界な距離空間は可分である． 逆に，可分距離空間は，その位相構造を変えないような距離関数を与えて，全有界距離空間にできる． つまり，可分性は距離空間の全有界性を縁の下で支える位相的性質であると言えると思います．
たぶん，Ｍ．Ａ．さんもご存知のように，距離空間では可分であることと第２可算公理をみたすことは同値ですので，第 2 可算公理があれば可分は不要ではないかと思われるかも知れません． しかし，その後の研究で，可分性は第 2 可算公理よりもはるかに強固で自由度が高い位相的性質であることが明らかになりました．例えば，
(1) 非可算個の位相空間（ただし，２点以上を持つとする）の直積空間は第２可算公理 を満たさないが， 可分性は連続体濃度の個数の位相空間の直積空間まで保たれる (Hewitt-Marczewski-Pondiczery の定理）．
(2) 可分な位相空間上の実数値連続関数全体の集合の濃度は連続体濃度を超えない．
これ以外にも可分性が役立つ定理は多くあり，現在では，可分性は無くてはならない位相的性質として認められるようになりました．
上記の M. Frechet の論文は日本語訳が出版されています．
現代数学の系譜 13『フレシェ抽象空間論』斎藤正彦，森毅，杉浦光夫訳，共立出版 1987 年
(引用終り)
以上 >> 補足
(引用開始)
（>>906）
列に最後の項がある→限りが有る→有限列
とか、不成立じゃね？
(引用終り)
実数Rの部分集合を考える
最後の項を、通常の大小関係 ≦ の最大元とする
小数の列 0.999・・を考える
1. 0.9＝1/10^1
2．0.99＝1/10~2
・
・
n．0.99・・＝1/10~n
・
・
↓
ω｡lim n→∞ 1/10~n＝0.999・・・＝1
この”0.999・・・＝1”
を、お主は認めるんだろ？（某スレで主張していたよね（＾＾ ）
集合{0.9,0.99,・・,1/10~n,・・,1(＝0.999・・・）}
は、全順序（実は整列集合）で
0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・） (1)
なる列ができる
この列(1)を、有限列とする人は居ない
だが、最後の項”1”がある！！（＾＾；
以上 今日も、モピロン電波📶受信した。で
アメーバより🐴🦌な🌍地球人たちがコッチでも数学バトルしてて面白い。
がそれは、ともかく、
>>923のリンク先の、「論理の基本」
の例1.1.4. は、スゴク面白かった
で、例1.1.4. の要約
(notA ) ⇒ A は常に偽であるように思われるが、A が真なら「これは」真
とのことみたぃ。「これは」の部分が
キニナルが、ともかく、
この読書感想文は、モピロン
恒偽命題の条件文というか、
条件文で ¬Pは正しいと仮定して、
その結果、Pが正しいとなっても、
条件文の¬Pが正しいと信込じゃう
∵地球人🌍の、直感
∴地球人🌍は、アメーバより🐴🦌だ
ちなみに、背理法
条件文でPを正しいと仮定して、
その結果Pが誤りと証明されれば
条件文のPは誤りだと理解してるのに
by 👾の感想文
要約、直感ぢゃダメだからモピロン
霊感で考えよう >>934
訂正
>> 補足
↓
>>919 補足
細かいことですが（＾＾； >>934
>0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・） (1)
>なる列ができる
できません。
だってあなた1の直前の項が何か答えられないでしょ？ｗ 馬鹿ですか？ >>934
>0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・） (1)
>なる列ができる
>この列(1)を、有限列とする人は居ない
>だが、最後の項”1”がある！！（＾＾；
有限無限以前に(1)を列とする人は居ない。もし居たらそいつは入門すら許されなかった落ちこぼれ。 >>1
スレタイ間違ってますよ？
「現実世界で数学から入門を拒否された落ちこぼれが意気揚々と脳内数学を語るスレ」に訂正して下さい。 極限順序数は後続順序数ではない
たったこれだけのことがどーして分からないんですかねー？
そりゃ入門させてもらえませんわｗ >>935
どうも
レスありがとう
余談ですが、花木章秀先生のテキストにはお世話になっています（＾＾
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000001/main/chapter1.html
集合論
花木章秀
Chapter1
論理の基本
例1.1.4. (¬A ) =⇒ A は常に偽であるように思われるが、先に述べたようにA が真であればこれは真である。
注意. A が偽であれば、任意の命題B に対してA =⇒ B は真になるのだが、これが感覚的に受け入れがたいという学生も少なくはない。先の説明ではA =⇒ B を感覚的に理解したが、正確にはA = ⇒ B の定義が(¬A ) ∨ B であり、認めてもらうしかない。
同様の話が、下記 慶応 岡田光弘先生ですね
https://abelard.flet.keio.ac.jp/note/basic_logic_and_logical_computation.pdf
「計算論理学」講義ノート
慶應義塾大学文学部
岡田 光弘
P11
3.2. 命題論理の意味論
上の 7 による A → B の真理表は，次の ¬A ∨ B の真理表と結果が同じになることが分かる．
A B ¬A ¬A ∨ B
t t f t
t f f f
f t t t
f f t t
この意味で，→ は ¬ と ∨ を使って A → B を ¬A ∨ B の形で定義可能であることが分かる．
(引用終り)
以上 >>921
>列に最後の項がある→限りが有る→有限列
>とか、不成立じゃね？
キミ検索は得意なんでしょ？なんで検索しないの？都合が悪い検索は不得意なの？ｗ
wikipediaより引用
無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。
wikipediaより引用
有限(ゆうげん、finite)とは、無限ではないことである。
wikipediaより引用
たとえば「すべての自然数」を表す数列の項の数は「自然数の個数」に等しいが、自然数は無限に存在するため、その末項は存在しない。このように末項が定まらないような数列は、無限数列（むげんすうれつ、英: infinite sequence）と呼ばれ、末項を持つ数列は有限数列（ゆうげんすうれつ、英: finite sequence）と呼ばれる。 ω以下の順序数すべてをならべた 0<1<…<ω は末項が定まっているから無限列？
いいえ。ωの前者が定まらないから有限無限以前に列じゃありませんｗ ばーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーかｗ ちなみにω 未 満 の順序数すべてを並べた 0<1<… は無限列ですねー
こちらは任意の項が定まってますからｗ 問題二つ（＾＾
Q１）
いま、自然数の集合Nがある
N＝{0,1,2,・・・}
である。
右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
これは決められない
決められないと、
Nは、集合ではない？
Q２）
いま、N∪{N}を考える
N∪{N}＝{0,1,2,・・・,N}となる
ZFCでは、数は集合である。
右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
これは決めらる。Nである
では、Nのすぐ左の元は何か？
上記１）同様に決められない
N∪{N}は、集合ではない？
以上 >>937
>>0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・） (1)
>>なる列ができる
>できません。
>だってあなた1の直前の項が何か答えられないでしょ？
然り
降下列であるためには、1>rとなる、ｒを具体的に明示する必要がある
雑談君は一度も明示せず誤魔化している ガースーと同じ 日本の恥ｗ
>>938
>>この列(1)を、有限列とする人は居ない
>有限無限以前に(1)を列とする人は居ない。
然り
降下列であるためには、1>rとなる、ｒを具体的に明示する必要がある
雑談君は一度も明示せず誤魔化している ガースーと同じ 日本の恥ｗ >>939
このスレッドの本当のタイトル
「変態数学（含まずガロア理論）」
ｗｗｗｗｗｗｗ >Q１）
>いま、自然数の集合Nがある
>N＝{0,1,2,・・・}
>である。
>右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
ないよ
>これは決められない
>決められないと、Nは、集合ではない？
いや、存在しなくても、Nは集合だよ
集合の定義、理解できないパクチー？
日本語読めない在阪朝鮮人
祖国に帰りなよ どうせ高射砲でバラバラにされるだろうけどｗ ＞Q２）
無意味ね
集合の定義 理解できるまで読んでね
で、同じように＞降下列の定義 理解できるまで読んでね
＞の両側に項がいるね そうでなければ意味がないから
その瞬間 キミ 負けたよ キミ 死んだよ
キミの祖国 北朝鮮は核ミサイルで滅亡したよ
ざまぁみろｗｗｗｗｗｗｗ 数列も一緒だよ
というか、ZFCでは、数列も集合だよ >>941 補足
>例1.1.4. (¬A ) =⇒ A は常に偽であるように思われるが、先に述べたようにA が真であればこれは真である。
ここ、(¬A ) =⇒ Aの対偶
A =⇒ (¬A )
を考える方が分かりやすいかも
下の式 A =⇒ (¬A ) で
条件Aが偽なら、式全体で真 レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
