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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26 [無断転載禁止]©2ch.net

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0001現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/03(土) 18:47:40.27ID:6Rgz8i9T
小学生とバカプロ固定お断り！（＾＾；
旧スレが500KBオーバー間近で、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/
同24 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/
同23 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1474158471/
同22 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1471085771/
同21 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/
同20 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/
同19 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1462577773/
同18 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/
同17 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/
同16 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1444562562/
同15 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/
同14 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/
同13 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/
同12 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/
同11 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
同10 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
同9 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1408235017/
同8 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/
同7 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1349469460/
同6 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/
同5 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/
同(4) http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
同3 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
同2 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
同初代 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/
古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。
0167１３２人目の素数さん
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2016/12/04(日) 16:11:28.80ID:tECkpHzk
>>162
大数の法則とは無関係。
P(Y_i>max{Y_1,...,Y_100})=α_i
P(Y_i≦max{Y_1,...,Y_100})=β_iとする。α_i+β_i=1であることに注意。
Y_iが独立同分布であることからα_iはiによらず一定。これをαと表そう。
一方Y_i>max{Y_1,...,Y_100}という事象は全て排反であるためP(∪_{i=1,100} Y_i>max{Y_1,...,Y_100})=Σ_{i=1,100} P(Y_i>max{Y_1,...,Y_100})=100α
したがって100α≦1よりα≦1/100
したがってβ=1-αとするとβ≧99/100
0169現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/04(日) 16:16:09.63ID:gDf64zAj
>>162 補足

有理数と循環小数表現について

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0
循環小数
(抜粋)
分数表現との関係
無限小数の厳密な意味は、極限の概念を用いて定義される。

より一般的には、冒頭のループしていない有限小数部分を分離しaとおき、ループ部分すなわち循環節の小数表記をb、節の長さ（桁数、0.370370...ならば0.37のループであるから3）をnとすれば

a + b ( 10^ n /(10^ n ? 1) )

とかけることがわかる。この方法をロバートソン(J.Robertson,1712-1776）の方法という[1]。
(引用終り)
0170現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/04(日) 16:17:04.63ID:gDf64zAj
>>169 つづき

ところで、上記で、>>64　”0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9} ”にならって
a= 0.a1a2...an with all an ∈ {0,1,...,9} (つまり有限小数表現。かつ、nは有限ではあるが、nに上限はない)

で、aの分布は、nが大きいほど多い。これはすぐ分かる
また、aのnが決定番号に影響することも、これはすぐ分かる

だから、結局、この場合も決定番号はすその重い分布だ
だから、取り扱い要注意だよ

以上
0173１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/04(日) 16:20:58.43ID:tECkpHzk
>>172
Y_iは決定番号を表す確率変数です。
0175１３２人目の素数さん
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2016/12/04(日) 16:55:05.15ID:1wtwHN7M
>>172
実数体Rの中での有理数体Qの1次元ルベーグ測度は0だから、
実数全体Rの中から無作為かつランダムに1つ実数を選んだとき
有理数となる確率は0になる。だから、R^N の中での Q^N の
ルベーグ測度は0で、実数列の全体 R^N から無作為かつランダムに
1つ実数列を選んだとき、それが有理数列となる確率は0になる。
0,1,2,…,9 の数字を用いて有理数を表すことは、有理数列を選んでいることと同じ。
0176１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/04(日) 17:59:23.16ID:POdiSPtP
完全に蛇足だが説明してみる。
（というのもここまで確率論を知らないスレ主が"可測写像（>>148）"を理解しているとは思えないから）

［1］
全事象Xを[0,1]に含まれる有理数全体とする。
さらにXの部分集合X_d≡｛q|q∈X　かつ　qの決定番号＝d∈N｝を定義する。

［2］
X_dの測度はX_dの各元に割り当てられた確率測度、ここではポアソン分布P(q∈X)、を足し合わせることで求まる。（Xの任意の部分集合は可測であることに注意。Hart氏のgame1ではこうはいかない。）

［3］
つまりある列の決定番号がdとなる確率P_dは
P_d＝捻(q_i) ［和はq_i∈X_dなるすべてのiについて取る］
と計算される。

このようにして、ある列の決定番号がdとなる確率P_dがqの分布P(q)から求まる。

ポアソン分布を例に挙げたのはそれが単に代表的な離散分布だから。
式もwikiに書いてあるしイメージがしやすいでしょう。
0177１３２人目の素数さん
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2016/12/04(日) 18:03:28.15ID:POdiSPtP
>>176
化けた。訂正

> ［3］
> つまりある列の決定番号がdとなる確率P_dは
> P_d＝ΣP(q_i) ［和はq_i∈X_dなるすべてのiについて取る］
> と計算される。
0182現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 00:07:03.61ID:LjTObdCi
>>181
Sergiu Hart Choice Games を改めて読んでみたが、面白いね

game1：
時枝>>2と決定的に違うところがある。それは、時枝が無秩序な箱の集合から出発し、箱の列を100列並べ変えるのに対し、
このgame1では、問題の列は最初から番号を付与され並べられていることと、一度並べた列の並べ変えはないこと。
また、最初の問題の列は不変で、勝手に列をK個作って、時枝と同じように>>3のような決定番号から同値類を使う

game2：
これもgame1と同じで、問題の列は最初から決まっていて、並べ変えなどはしない。
あとは、game1と同じように、どこからかもってきた列を加えて、時枝と同じように>>3のような決定番号から同値類を使うようだ

そういう意味では、時枝記事>>2-4よりずっとシンプルかもしれない
0184現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 00:26:42.08ID:LjTObdCi
>>183 つづき

で、>>182のgame2に、ロバートソンの表記を適用してみれば
要は、数列のしっぽとは、循環小数の循環節の一致であって
同値類とは、循環節の一致にほかならない

時枝記事>>2の決定番号dとは、単純化すれば、dから先が循環節になって、２つの数列が一致するというだけのこと
d+1以降のしっぽの箱を開けて、dが分かります？？
循環節の中の数だから、そりゃ分かるさ （＾＾；
0185現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 07:22:36.82ID:LjTObdCi
>>176
>ポアソン分布を例に挙げたのはそれが単に代表的な離散分布だから。

全く意味不明

ポアソン分布以外でも良い？
なんでも良い？
ポアソン分布を選ぶ必然性なし？
それで本当に良いの？？

それって、どっちが分かってないんだか・・（＾＾
0186１３２人目の素数さん
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2016/12/10(土) 07:30:13.07ID:eVygOdAO
>>184
これは酷い
0187現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 07:32:10.00ID:LjTObdCi
>>184 つづき

有理数で、しっぽの先で循環小数になっているという情報が与えられたら
沢山の箱を開ける必要もない

十分先のしっぽの部分で、循環節の長さLに対して、例えば4Lほどの長さの部分を開封すれば、循環節が判明する
そこで、決定番号d+1から先の4Lほどの長さを開封すれば良い

Lが分からん？
そうそう、Lが有限としても、Lには上限がない。そこが扱いが難しいところで。だから、現代数学でも、有理数と無理数の簡単な見分け方（単に数列が与えられた場合には、例えばπ＋eなど）は見つかっていない
0188現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 07:49:21.69ID:LjTObdCi
>>182 補足

Sergiu Hart Choice Gamesでは、問題の数列は最初に与えられ、固定される
それと無関係な、同様の数列を、どこからか持ってきて、K列にして、確率を1-1/Kだという

確かに、K列に増やすことで、K-1列から求まる決定番号の最大値D （>>3）は、大きくなる
そうすると、当初の問題の数列の決定番号より大きくなり、循環節にいたる確率は、大きくなる

では、決定番号の最大値Dの増加率から、2列で1/2、3列で1/3、4列で1/4、・・・、K列で1-1/K が導けるのか？
これを、導こうとすると、決定番号の分布が問題になる

例えば、当初の問題の数列の決定番号が、10^14(100兆で国家予算規模の数)としよう
そこに、全く関係ない数列を増やして、２列、３列・・・、K・・・列だと。しかし、確率はある有限のK'のところで１になって終わり。つまり、最大値Dが10^14を超えた時点で、１になって頭打ちだろ？　かつ、確率１は達成できる！

Sergiu Hart Choice Gamesでは、問題の数列を最初から固定しているがゆえの、矛盾が見える
0189１３２人目の素数さん
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2016/12/10(土) 07:54:06.95ID:zTWLK0FF
>>185
ポアソン分布に限定する必要は一切ない

>>184
> 時枝記事>>2の決定番号dとは、単純化すれば、dから先が循環節になって、２つの数列が一致するというだけのこと
> d+1以降のしっぽの箱を開けて、dが分かります？？
> 循環節の中の数だから、そりゃ分かるさ （＾＾；

理解が間違ってます
0191現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 09:01:02.47ID:LjTObdCi
>>184 つづき

ロバートソン(J.Robertson,1712-1776）の方法
循環小数
a + b ( 10^ n /(10^ n - 1) )

b ( 10^ n /(10^ n - 1) )が、循環節
aが、冒頭の循環していない有限小数部分

１．いま１列あるとする。任意の数Dの先、D+1までを開ける。D+1までが循環節内で、数字が循環していれば、「D番目も循環節内では？」という推定が働く
　　推定が的中すれば、当たる。推定が外れたら、外れ。
２．もし、D+1が循環節外で、aの部分に入っていたら？　ここは、循環節からの情報では当てられない。だから、０～９のどれかで確率は1/10
0192現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 10:46:50.18ID:LjTObdCi
>>191 つづき

前振りはこの程度にして、もう少し冒頭の循環していない有限小数部分を考察してみよう
簡単かつ初等的な話だが

１．冒頭の循環していない有限小数部分を、記号の都合上Aとする
２．A= a1/10+a2/10^2+a3/10^3+・・・・+an/10^n ｜x=10、anは0でないとする
　　と表される。つまり、Aは、少数n位の数を表し、0<A<1

３．Aは、係数a1,a2,・・・,anの組み合わせで、場合の数を考える
４．n=3 の場合、A= a1/10+a2/10^2+a3/10^3
　 ここで、A= a1/10+a2/10^2と少数2位までの数になる場合は、a1、a2とも０～９のどれかで、10^2=100通り
　 一方、a3が１～９のどれかのとき、A= a1/10+a2/10^2+a3/10^3 少数3位の場合の数は、9*10^2=900通り。両者の計10^3=1000通り
　 確率は、少数2位までの数になる場合1/10、少数3位の場合9/10

５．これを一般化すると、少数n位のA= a1/10+a2/10^2+a3/10^3+・・・・+an/10^nで
　 少数n-1位までの数になる場合は10^(n-1)通り、少数n位までの数になる場合は9*10^(n-1)、両者の計10^n通り
　 少数n-1位までの数になる確率は10^(n-1)/10^n＝1/10、少数n-1位までの数になる確率は9*10^(n-1)/10^n＝9/10
６．ここで、注意すべきは、少数n-1位までの数になる確率は1/10だが、少数n-2位など先頭に近い位で終わる数の確率は、1/10よりもっと小さい

７．上記の少数n位までの数の集合を考えて、そこから無作為に数を一つ選んで、少数何位の数かを調べるとする
　　確率的には、少数n位の数が9割、少数n-1位までの数の場合の和が1割。そして、少数n-1位より先頭に近い（桁の短い）数の出現確率は低い
８．そして、先頭に近い（桁の短い）数の出現確率は、ｎ→∞の極限では確率０に収束する
0193現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 10:48:00.23ID:LjTObdCi
>>192

さて、２つの数から、２列の数列が作られた場合の決定番号を考えよう。しっぽの循環節 b ( 10^ n' /(10^ n' - 1) )は同じとする
また、有限の範囲から入る

１．AとA'で
　 A= a1/10+a2/10^2+a3/10^3+・・・・+an/10^n と A'= a1'/10+a2'/10^2+a3'/10^3+・・・・+am'/10^m
２．AとA'で、それぞれ、n+1、m+1から循環節部分に入る

３．だから、しっぽの同値類分類では、循環節部分から一致すると、単純化して考えることにしよう（AとA'で部分一致の場合も考えられるが、いまは確率の問題なので、無視する）
４．AとA'で、決定番号は、nとmの大きい方で決まる。つまり、決定番号は、max(n,m)+1となる
　 ∵n>mの場合、n+1から、AとA'とも、循環節部分に入るから。他の場合は簡単なので説明省略

５．AとA'とも、冒頭の循環していない有限小数部分ではある。しかし、mに上限がないとき、m→∞の極限で、当然決定番号 max(n,m)+1 →∞ となる
0194現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 10:49:30.61ID:LjTObdCi
>>193つづき

ここまでで準備が出来たので、同値類を考えよう。同値類は、”Sergiu Hart Choice Games”のgame1でも扱っている
いまは、game2を考える

１．ロバートソン(J.Robertson,1712-1776）の方法 循環小数
　 A + b ( 10^ n' /(10^ n' - 1) ) で、数列のしっぽの同値を考えるから、循環節の一致を考えれば良い
２．代表として、A'= a1'/10+a2'/10^2+a3'/10^3+・・・・+am'/10^m を考える。
　 mの取り得る範囲としては、明らかに[1,∞)だ。m→∞の極限で、当然決定番号 max(n,m)+1 →∞

３．先に述べたように、小さい（A'の桁の短い）決定番号の出現確率は、m→∞の極限では確率０に収束する。そして、同値類の集合としては、明らかにm→∞の極限を考える必要がある
４．だから、問題の同値類の集合（それは無限集合になる）から、無作為に代表を選んだとき、小さい（A'の桁の短い）決定番号の出現確率は、０だ
0195現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 10:52:00.42ID:LjTObdCi
>>194 まとめ

１．２列で考えてさえ、決定番号 max(n,m)+1 →∞
２．まして、列が増えると、小さい決定番号の出現確率は、０だ

３．先に、すその重い確率分布の話をした
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A3%BE%E3%81%AE%E9%87%8D%E3%81%84%E5%88%86%E5%B8%83
裾の重い分布

４．大数の法則：すその重い確率分布では不成立。つまり、世にある多くの確率分布では大数の法則が成立しない例もあり、「100列だから確率99/100」は要証明事項。かつ、決定番号の例では大数の法則不成立（∵期待値不存在）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
大数の法則

概要
ある試行において事象が起きる確率（数学的確率、理論的確率などともいう）が p であり、その試行は、繰り返し行ったとしてもある回の試行が他の回の試行に影響を及ぼすことがない（独立試行）ものとする。このような前提条件の下で、その事象が起きる比率が試行回数を増やすにつれて近づく値（統計的確率あるいは経験的確率）は p である。

例えば「コイン投げ」、つまりゆがみも偏りもない"理想的なコイン"を投げて出る表裏を当てるゲームを行うとする。ここで、"理想的なコイン" とは「それを投げるとき、各回の試行において表が出る確率も裏が出る確率もともに 1/2 である」という確率モデルそのもののことである。

大数の法則が成立しないケース
大数の法則は期待値の存在を前提としている。そのため、期待値の存在しない場合に大数の法則を適用することは適切ではない。例えば安定分布において特性指数が α ≦ 1 の場合、期待値は存在しないことから、大数の法則は成立しない。(例：コーシー分布)
(引用終り)

結論：世にある多くの確率分布では大数の法則が成立しない例もあり、「100列だから確率99/100」は要証明事項。かつ、決定番号の例では大数の法則不成立（∵期待値不存在）
0196現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 11:09:54.79ID:LjTObdCi
>>195 さらに

Sergiu Hart Choice Gamesのgame2では、１０進表現だった
そこで、ｐ進表現を考えよう

A= a1/p+a2/p^2+a3/p^3+・・・・+an/p^n

ｐは、０からｐまでの数を取る。つまり、a1, a2, a3, ・・・+anなども、０からｐまでの数を取る。

ここで、ｐを大きくすると、先の１０進表現に加えて、ｐが大きくなったときの効果が効いてくる
つまり、ｐを大きくするとますます、小さい（A'の桁の短い）決定番号の出現確率は、０に近づく

そして、ｐ→∞の極限では、列の長さに無関係に、小さい（A'の桁の短い）決定番号の出現確率は、０だ
これは、箱に任意の自然数を入れたり、あるいはgame1のように、任意の実数を入れる場合に相当する

つまり、game1や時枝記事>>2のような、任意の実数を箱に入れる場合には、前記の大数の法則不成立（「100列だから確率99/100」不成立）に加え、小さい（A'の桁の短い）決定番号の出現確率が０になるという問題もあるのだ
0198現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 11:29:59.65ID:LjTObdCi
突然ですが

http://www.nikkei-science.com/201701_034.html
日経サイエンス　 2017年1月号
特集：時空と量子もつれ
ホログラフィー原理を解く
エンタングルメント・エントロピーと笠・高柳公式

中島林彦（編集部） 協力：大栗博司（米カリフォルニア工科大学／東京大学カブリ数物連携宇宙研究機構） 高柳匡（京都大学基礎物理学研究所）

ブラックホールが持つエントロピーの奇妙な性質にヒントを得て，「ホログラフィー原理」が提唱された。重力を含まない2次元空間から，重力を含む3次元空間が生み出されるという考えだ。
超弦理論の研究でホログラフィー原理のモデル，「AdS/CFT対応」が見つかり，2次元空間からの3次元空間の生成に，「量子もつれ（エンタングルメント）」という量子力学的な現象がカギを握ることもわかってきた。
量子もつれでは「エンタングルメント・エントロピー」という物理量が重要で，「笠・高柳公式」という計算手法によって研究が大きく進展した。
0200現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 11:36:35.21ID:LjTObdCi
http://planck.exblog.jp/26134769
大栗博司のブログ 2016年 11月 11日
笠-高柳公式とその展開
今年度の仁科記念賞が、「ホログラフィ原理を用いたエンタングルメント・エントロピー公式の発見と展開」に対し、京都大学基礎物理学研究所の高柳匡さんに授賞されることが発表されました。

「笠-高柳公式」として知られるエンタングルメント・エントロピーの公式が発見されてから、今年でちょうど１０年目になります。左の図は、その論文から転載しました。

高柳さんは、この公式の発見とともに、これを使ったホログラフィ原理の仕組みの解明とその応用に数々の重要な貢献をなさってきました。

おめでとうございます。
0201現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 11:37:54.77ID:LjTObdCi
>>200 つづき

以下に、仁科記念財団が発表した授賞理由を添付します。

重力を含む素粒子の統一理論の構成を目指す超弦理論の主要な研究対象のひとつに「ホログラフィ原理」がある。
量子重力理論の基本的自由度は、対象とする領域全体に広がっているのではなく、領域の境界面に局在しているというこの原理は、1997 年の J.Maldacena 氏による AdS/CFT対応の発見によって、超弦理論の中で理論的に実現していることが示された。

高柳氏が笠真生氏と 2006 年に発表した「エンタングルメント・エントロピーのホログラフィック公式」[1]は、AdS/CFT 対応の展開において最も画期的かつ重要な発見のひとつである。
エンタングルメント（量子もつれ）は、量子力学の基礎や量子情報理論、また最近は物性物理学でも重要な役割をしている概念であり、エンタングルメント・エントロピーはその大きさを測る指標である。
高柳氏が笠氏と提案した公式は、ホログラフィ原理に基づいて、エンタングルメントを重力理論の幾何学的性質に結び付けるものであり、「笠-高柳公式」という名で知られている。この公式は、A.Lewkowycz 氏と J.Maldacena 氏によって理解が深められ、理論物理学における重要な公式として確立している。

高柳氏は、過去 10 年間にわたって、この笠-高柳公式を発展させ、ホログラフィ原理の仕組みの解明とその応用に主導的な貢献をしてきた。
笠‐高柳公式に基づいて計算されたエントロピーが、劣強加法性と呼ばれる不等式を満たしていることを示した高柳氏と M.Headrick 氏の論文[2]は、この公式の正しさを示す重要な証拠を提供するとともに、重力理論における状態がエンタングルメントに関して特別な性質を持つことを明らかにする契機を作った。
また、笠-高柳公式を時間に依存した状態に拡張した高柳氏と V.Hubeny 氏、M.Rangamani 氏の論文[3]も高く評価されている。

ホログラフィ原理に関する高柳氏の一連の研究は、量子重力理論や超弦理論の基礎となる重要な成果である。
0203現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 11:38:44.86ID:LjTObdCi
>>201 つづき

参考文献：
[1] “Holographic derivation of entanglement entropy from AdS/CFT,” S. Ryu, T. Takayanagi, Phys.Rev.Lett. 96 (2006) 181602.
[2] “A holographic proof of the strong subadditivity of entanglement entropy,” M. Headrick, T. Takayanagi, Phys.Rev. D76 (2007) 106013.
[3] “A covariant holographic entanglement entropy proposal,” V. E. Hubeny, M. Rangamani, T. Takayanagi, JHEP 0707 (2007) 062.

おわり
0204現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 11:43:56.97ID:LjTObdCi
関連

http://www.nishi.or.jp/contents/0002598800040003500417.html
第28回　西宮湯川記念賞受賞者更新日： 2013年11月20日
〔受賞者〕
　　高柳　匡　氏（たかやなぎ　ただし）（写真上）
　　　京都大学基礎物理学研究所　教授
　　笠　真生　氏（りゅう　しんせい）（写真下）
　　　イリノイ大学アーバナ・シャンペーン校　准教授

　「ホログラフィック原理を用いた量子もつれの研究」

　　受賞理由　　
----------------
湯川秀樹による中間子論の提唱に始まった素粒子物理学は、2012年のヒッグス粒子の発見で大きな節目を迎えた。残された課題は、未知の暗黒物質や暗黒エネルギーの解明と重力と物質を統一的に扱う量子理論の構築である。
その答えの有力候補の１つである超弦理論は、未だ時空そのものを量子的に扱うことができず、ブラックホールの情報喪失問題や時空の誕生といった難問に答えることはできていない。これらの難問を解く鍵の一つが、時空の背後にひそむ“量子もつれ”と考えられているが、その具体的な記述方法は見つかっていなかった。
高柳氏と笠氏は、超弦理論で発見されたホログラフィック原理を用いて、この問題に明快かつ一般的な解答を与えた。ホログラフィック原理とは、重力の無い時空中の場の量子論は、１つ次元の高い重力の理論の「影」のようなものだ、という驚くべき仮説である。
場の量子論の状態は、その絡み合いの複雑さを表す“量子もつれ量”（エンタングルメント・エントロピー）という物理量をもつ。受賞者たちは、ホログラフィック原理を用いることで、この量子もつれ量が、重力理論での面積という単純な幾何学量と等価だという提案を行った。
これにより、表面積で与えられるブラックホールのエントロピーは量子もつれ量と解釈でき、重力理論の本質の一面が明らかになった。逆に、強く結合する物質の量子もつれ量を幾何学的に表現することで、場の量子論の研究にも新しい方向性を与えた。
このように、受賞研究は、“量子もつれ”と時空や重力を結びつける研究の先駆けとなり、周辺分野を巻き込みながら世界的に大きな研究の流れを引き起こしたものとして、高く評価される。

http://www.nishi.or.jp/media/2013/28takayanagi.ryu.pdf
第28回湯川記念賞贈呈式プログラム(ＰＤＦ：4MB)
0205現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 11:54:14.27ID:LjTObdCi
ついで

http://www.nishi.or.jp/contents/0003204500040003500417.html
第29回　西宮湯川記念賞受賞者　更新日： 2014年11月13日

【受賞者】
　立川　裕二（たちかわ　ゆうじ）氏
　　東京大学大学院理学系研究科　准教授 立川氏顔写真

【受賞研究】
　「次元の異なる場の量子論の間に成り立つ対応関係の発見」
【受賞理由】
　素粒子の理論は場の量子論と呼ばれる基礎理論をもとに構築されている。例えば、2012年のヒッグス粒子の発見によって実験的に確かめられた素粒子の標準模型は空間3次元に時間1次元を加えた4次元時空間の場の量子論である。
素粒子の標準模型は、素粒子の間に働く4つの力のうち電磁気力・弱い力・強い力を記述することができる。しかし、重力を含む統一理論の構築は非常に困難で、未だに完成していない。
　重力を含む統一理論の候補として提案されたのが超弦理論である。超弦理論とは、素粒子を大きさのない点と考えるのではなく、長さを持ったひものようなものであるとする理論であるが、その全容は未だに明らかでない。
超弦理論が理論的に無矛盾であるためには時空の次元が10次元である必要がある。そこで、4次元以外の一般の次元の時空間における理論が活発に研究されるようになり、様々な状況における場の量子論の相互の関係が明らかになってきている。
　この流れの中で立川氏は2010年に共同研究者のAlday氏、Gaiotto氏らとともに行った研究で、一見何の関係もない4次元と2次元の場の量子論でそれぞれ独立に計算された量が一致する事を見いだした。この結果は、物理学者・数学者に大きな驚きを与えた。
この発見によって、４次元・２次元の場の量子論の研究者は、それぞれの研究対象をまったく新しい見方で捉えるようになり、大きな進展の契機となった。
立川氏らの結果は、その一般化を通して、数理物理学の多くの研究者にとって研究の指針となっているだけでなく、重力の量子論、そして超弦理論の全容解明に手がかりを与えるものとして高く評価される。
0206現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 11:58:43.44ID:LjTObdCi
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~ppp.ws/PPP2014/slides/Takayanagi.pdf
基研研究会素粒子物理学の進展2014
量子エンタングルメントと重力理論における時空のダイナミクス
高柳匡（京大基研）

⑤おわりに
本講演では、量子多体系（量子物理）、量子情報理論（情報）、重力理論（幾何）の３つの分野の深いかかわり合いを説明した。しかし、このような流れが本格的に始まってから間もなく、現在の知見は氷山の一角に過ぎないかもしれない。
今後の一つの大きな方向性は、量子重力理論・超弦理論の基本的なダイナミクス（アインシュタイン方程式など）を量子エンタングルメントの考え方を用いて、表現することであろう。
[部分的な成果：EEの第一法則＝真空Einstein方程式の摂動
Lashkari-McDermott-Raamsdonk13 ]
また、励起状態のEEの性質、ゲージ理論におけるEEの定義、など、場の理論のEEに関しても今後の研究が待たれるテーマも多い。
0209現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 12:06:30.20ID:LjTObdCi
http://www.nikkei-science.com/201701_026.html
日経サイエンス　 2017年1月号
特集：時空と量子もつれ
ワームホールと量子もつれ　量子時空の謎
J. マルダセナ（プリンストン高等研究所）

原題名
Black Holes, Wormholes and the Secrets of Quantum Spacetime（SCIENTIFIC AMERICAN November 2016）

量子物理学の法則によると，距離を隔てた2つの物体が「量子もつれ」という関係になる場合がある。両者を物理的に結びつけているものが存在しないにもかかわらず，一方に対してなされた行為が他方に影響する。
一方，時空の幾何構造を記述する一般相対性理論の方程式は「ワームホール」の存在を許す。時空のなかで離れた2つの領域を結ぶ“近道”のようなものだ。

これら2つの現象が実は等価である可能性が示された。
この等価性は「時空の量子論」を打ち立てるためのヒントになる。
0211現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 12:34:01.78ID:LjTObdCi
>>209 関連

https://en.wikipedia.org/wiki/ER%3DEPR
ER=EPR From Wikipedia, the free encyclopedia

ER=EPR is a conjecture in physics stating that entangled particles are connected by a wormhole (or Einstein-Rosen Bridge).[1] The conjecture was proposed by Leonard Susskind and Juan Maldacena in 2013.[2]
They proposed that a nontraversable wormhole (Einstein-Rosen bridge) is equivalent to a pair of maximally entangled black holes. EPR refers to quantum entanglement (EPR paradox).


つづく
0213現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 12:45:30.95ID:LjTObdCi
>>211 ここはどうかな

The authors pushed this conjecture even further by claiming any entangled pair of particles ? even particles not ordinarily considered to be black holes, and pairs of particles with different masses or spin, or with charges which aren't opposite ? are connected by Planck scale wormholes.

The conjecture leads to a grander conjecture that the geometry of space, time and gravity is determined by entanglement.[1][6][7]
0214現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 13:51:06.58ID:LjTObdCi
>>213 関連

http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/phys/mathsci/seminar2015.html
大阪市立大学 数理物理研究室: 日程 : 2016年3月16日(水);

時間 : 17:00～18:30
講演者 : 関　穣慶氏（Research Institute for Natural Science, 漢陽大學校(Hanyang University)）
題目 : 散乱粒子の量子エンタングルメント ―ER=EPR予想とS行列による定式化 ―

概要 : 最近の研究で、高温QCDにおいてSU(2)xSU(2) のカイラル対称性とともに、 量子異常により壊れている軸性U(1) 対称性が回復するという可能性が示されている。 格子シミュレーションを用いた多くの先行研究で、軸性U(1) 対称性の回復について、 否定的な結論が得られていた。
しかしながら、それらのシミュレーションでは、 数値計算コストの問題からカイラル対称性を尊重しない格子フェルミオンが使われてきた。
　ER=EPR予想は、Einstein-Podolsky-Rosenペア（量子エンタングルを持つ二つのobject）をつなぐEinstein-Rosen bridge（またはwormhole）の存在を指摘している。まずは、この予想をサポートする例（クォーク-半クォーク散乱、グルーオン散乱）を簡単に紹介したい。
そして、そこから自然と生じる疑問「散乱する粒子のエンタングルメント・エントロピーをどのように評価すればよいか」について、場の理論におけるS行列理論を用いて答えていく。

このトークは主に次の論文に基づいている。

I.Y. Park, S. Seki and S.J. Sin, "Variation of entanglement entropy in scattering process,” Phys. Lett. B743 (2015) 147.
R. Peschanski and S. Seki, “Entanglement entropy of Scattering Particles,” arXiv:1602.00720.
0215１３２人目の素数さん
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2016/12/10(土) 14:33:32.06ID:zTWLK0FF
>>195
> 結論：世にある多くの確率分布では大数の法則が成立しない例もあり、「100列だから確率99/100」は要証明事項。かつ、決定番号の例では大数の法則不成立（∵期待値不存在）

スレ主が理解するため"だけ"にスレ住人が付き合ってやった前週の議論を
これっぽっちも理解しないまま、独自理論で出た結論がコレですかｗｗｗｗ
冗談きついっす
0216１３２人目の素数さん
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2016/12/10(土) 15:05:31.91ID:IIWgh+pp
>>180
おっちゃんです。
12/4(日)のIDを見れば分かるように、>>176-177は私ではなく、>>175が私である。>>175に書いたように、
>R^N の中での Q^N のルベーグ測度は0で、実数列の全体 R^N から無作為かつランダムに
>1つ実数列を選んだとき、それが有理数列となる確率は0になる。
>0,1,2,…,9 の数字を用いて有理数を表すことは、有理数列を選ぶことになる。(この文の句読点「、」以降の後半は変えた)
とある。確率空間を実数列の全体 R^N として R^N から無作為かつランダムに
1つ実数列 {a_n} を選んだとき {a_n} が有理数列となる確率は0である。
だから、R^N から無作為かつランダムに1つ実数列 {b_n} を選んだとき {b_n} が
有理数列「ではない」確率が1である。任意に与えられかつ10進無限小数展開されて表された実数
a＝a_0.a_1a_2…a_n… (a_0 はaの整数部分、任意の1以上の自然数nに対して a_n∈{0,1,2,…,9})
から有理数列 a_1, a_2, …, a_n,… を構成することは容易に出来る。
そういう訳で、時枝問題で、10進無限小数展開された実数を考えても意味がない。
0217現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 15:17:32.87ID:LjTObdCi
>>195 期待値補足

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8267316.html
質問者：nch45367
質問日時：2013/09/16 21:45

確率で期待値を学習しました。
平均のことを期待値と言うんですよね？

どちらも同じ意味なのに、なぜ使い分けるのですか？
どのようにして使い分けるのですか？

解答をよろしくお願いいたします。

No.1

回答者： sirayaki 回答日時：2013/09/16 22:36

　解答が難しい質問ですね。算術平均とおおよそ同じものだという理解でよいと思います。平均には、算術平均の他に加重算術平均、幾何平均、調和平均があります。それぞれどんな平均か調べてみてください。
　尚、ほとんど同じだという理屈は、下記のURL参照。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kakuritu/kakuritu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kakuritu/kakuritu/kitaiti-no-teigi.html

期待値の求め方最終更新日： 2007年7月14日 KIT数学ナビゲーション

　期待値とはある試行を行ったとき，その結果として得られる数値の平均値のことである．すなわち，試行によって得られる数値 X が x 1 , x 2 , x 3 ,?, x n であり，それぞれの値をとる確率が p 1 , p 2 , p 3 ,?, p n とすると， X の期待値は，

期待値 = x 1 ・ p 1 + x 2 ・ p 2 + x 3 ・ p 3 +・・・+ x n ・ p n

となる．
0218現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 15:30:21.40ID:LjTObdCi
>>217 補足

大数の法則 と期待値(平均)μの存在
http://tokyo.atso-net.jp/wiki/?%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
大数の法則 - 歴史に探る数学・物理法則:2010-09-10 (金)

大数の法則
大数の法則とは コイン投げやサイコロで実感できるように、何度も試行すれば、コインの場合は表がでた割合は1/2に近づくし、サイコロではほぼ同じ出目数に近づくし、出目数の平均は3.5に近づく。このように、何度も同じ試行を独立に繰り返す時、確率変数の和の期待値が、限りなく母集団の期待値に近くなるという法則である。

大数の法則とは
ヤコブ・ベルヌーイ（Jakob Bernoulli、1654- 1705）による弱大数の法則を紹介する。 Xiを互いに独立で同じ確率分布に従う確率変数とする。その確率分布の期待値をμとし、平均値 X*=(x1+x2+...+xn)/n　をサンプル平均とする。 下記の３つを仮定する

独立性：確率変数X1,X2, ・ ・ ・,Xn が互いに独立
平均の同一性：μ = E(Xi) , i = 1, 2, ・ ・ ・ , n
分散の有限性：σi^2 = V (Xi) ? σ2 , i = 1, 2, ・ ・ ・ , n

この時、任意の正数εについて

n-->無限大の時　Prob{| x*-μ|>ε ｝--->０

大数の法則は期待値(平均)μが存在することを前提としており、平均が存在しないような場合には大数の法則を適用することは適切ではない。

証明には、チェビシェフの不等式が使われる。

大数の法則の証明 †
チェビシェフの不等式を期待値及び分散に適用する．

X*=(x1+x2+...+xn)/n

とおくと、独立な試行なので

E(X*)=nμ/n=μ

となる。 また独立性より

V(x*)=(σ1^2+σ2^2+...+σn^2)/n2　<　σ^2/n

なるσが存在する（分散の有限性より） チェビシェフの不等式より

Prob{|x-μ|?k}<=(σ^2/n)k^2

上式の右辺は、n-->無限大　の時０に近づくので、大数の法則が証明された。
0221１３２人目の素数さん
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2016/12/10(土) 16:33:55.79ID:IIWgh+pp
>>219
>>184の
>時枝記事>>2の決定番号dとは、単純化すれば、dから先が循環節になって、２つの数列が一致するというだけのこと
>d+1以降のしっぽの箱を開けて、dが分かります？？
>循環節の中の数だから、そりゃ分かるさ （＾＾；
の部分について、スレ主のいう「循環節」の意味がよく分からんが、
恐らく循環小数の中で可算無限回出て来る10進表示された小数点以下の桁の部分のことだろう。
しかし、そう解釈してもここは間違いで、>>2にも書いてあるように、
決定番号dは2つの実数列sとrが、dから先一致するような正の自然数だから、
dの循環小数表示とかいう話はやはり全く関係ない。結果(答え)も0で間違い。
0222現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 17:57:37.94ID:LjTObdCi
>>218 補足

http://www.slideshare.net/KojiKosugi/cauchy20150726
Cauchy分布について(ベイズ塾例会資料)2015.07.26:
(抜粋)
1. 昔アラブの偉いお坊さんが?平均と分散を忘れた哀れな男に しびれるような香りいっぱいの?琥珀色した分布を教えてあげました やがて心ウキウキ?とても不思議このムード たちまち男は?事前分布におきました コンガマラカス楽しいルンバのリズム?南の国の情熱のアロマ それは不思議な分布 コーシー分布について @kosugitti

4. コーシー分布の特徴 ? 平均と分散が定義されない。 ? 最頻値と中央値は定義される。
5. 平均がないわけあらへん ? 計算したったらええねん。 ※別にrstanでなくても，rcauchy(n,mu,sigma)で出ます。
6. あるがな 標準偏差がとても大きい。 最大・最小値もびっくりするぐらい大きい。
7. 「定義されない」のは Cauchy(y|μ, ) = 1 ? [1 + (y μ )2] http://mathtrain.jp/cauchydist より
8. コーシー分布の特徴 ? 「定義されない」のであって，サンプル平均，サン プル分散はもちろん算出できます。

9. 例えば正規分布の場合 ? サンプルが得られるたびにその平均を取っていく， ということを繰り返すと・・・
10. 例えば正規分布の場合 ? サンプルが得られるたびにその平均を取っていく， ということを繰り返すと・・・ 大数の法則！
11. コーシー分布の場合 ? サンプルが得られるたびにその平均を取っていく， ということを繰り返すと・・・
12. コーシー分布の場合 ? 散らばりすぎ。分散に至っては枠外。
13. コーシー分布の場合 ? ylimをなくすとびっくりすることが起きるよ 52943290
14. 裾が重い分布 ? さっきのに標準正規分布を重ねる。
15. 裾が重い分布
16. Re:コーシー分布の特徴 ? 時々とんでもない外れ値を出すことがある分布 ? 実現値の場合，裾の方に必ず出現度数がある＝裾が 重い分布。 ? べき分布の一種 ? 大数の法則が成立しない（大数の法則は期待値 平 均値の存在を前提としている）

つづく
0223現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 17:59:06.43ID:LjTObdCi
>>222 つづき

24. まとめ ? コーシー分布は平均と分散が定義できない ? 裾の重い(heavy tail)分布 ? 事前分布の影響がありそうな，小さなサンプルに対し ては，分散の事前分布として半コーシー分布を選ぶと 良い。 ? Polson and Scott(2012)は逆ガンマを駆逐する勢い。 Gelman(2006)は半t族で尺度パラメタはデータから考えるべき， という立場（J=3の八学校はσ=25)
25. 補遺）その他の特徴 ? 中心極限定理が成立しない ? 確率変数がコーシー分布の時，その標本分布もコー シー文になるので，標本平均の分散は ? 正規分布する確率変数同士の商の分布 ? コーシー確率変数の逆数もコーシー分布 http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1966_w7.htm
26. 以上， コーシー分布について でした。

(引用終り)
0225１３２人目の素数さん
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2016/12/10(土) 18:02:29.26ID:eVygOdAO
Hey Charlie you are too stupid to learn math. You see it, dontcha?
0226現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 18:22:41.45ID:LjTObdCi
>>223 補足

これ前にも引用したが分かりやすいので再録

”(3) 指数　2> γ > 1　の時、母集団の期待値、分散両方とも発散する。中心極限定理は成立しない。”
http://heycere.com/statistics/central-limit-theorem/
中心極限定理 ? ９９.９%の科学?曖昧から確信へ:
(抜粋)
中心極限定理が成り立たない場合

もとの母集団に平均や分散が存在しない場合は、中心極限定理は成り立ちません。その場合は安定分布を持ちいた他の理論が存在します。母集団に平均や分散が存在しないとはどんな場合でしょうか？典型的な例は、分布の裾野がべき乗則に従う場合です。これをファットテールと言います。

母集団の分布の裾野（kが大きいところ）が、べき乗則f(k) ∝ k^γに従うとしましょう。すると、べき乗則の指数γによって、以下のように中心極限定理が成立する場合と、しない場合があります。

(1) 指数　γ > 3　の時、母集団の期待値、分散が両方とも有限であり、中心極限定理が成立する。

(2) 指数　3> γ > 2　の時、母集団の期待値は有限であるが、分散は発散する。中心極限定理は成立しない。しかしその場合でも、中心刻限定理の一部として、母集団からの取り出された標本（サンプル）の平均\bar{X}の分布は、平均\muに収束する事実は成立する。（大数の法則）

(3) 指数　2> γ > 1　の時、母集団の期待値、分散両方とも発散する。中心極限定理は成立しない。
(引用終り)
0227現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 18:27:48.87ID:LjTObdCi
>>226 訂正

べき乗則f(k) ∝ k^γ
　↓
べき乗則f(k) ∝ k^(-γ)

補足
いやー、えらいところで、式がばけた
指数が、マイナスなんよ

で、分かるでしょ？
Σ1/n でn→∞で、発散すると

”(3) 指数　2> γ > 1　の時、母集団の期待値、分散両方とも発散する”は、この系統の発散の話だよ
0229現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 18:44:31.02ID:LjTObdCi
>>204 関連

賞金は300万ドルだから、一人で受賞ならノーベルより上
2017年 - ジョセフ・ポルチンスキー、アンドリュー・ストロミンガー、カムラン・ヴァッファ

New Horizons in Physics Prize 賞金総額10万ドル
2015年 笠真生、高柳匡他７名

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%B3%9E
(抜粋)
基礎物理学賞（きそぶつりがくしょう、Fundamental Physics Prize）は、2012年に創設されたブレイクスルー賞の一部門の学術賞。優れた基礎研究の業績を上げた物理学者に授与される。 基礎物理学ブレイクスルー賞（Breakthrough Prize in Fundamental Physics）とも呼称される。

ユーリ・ミルナー（英語版）の提唱により創設され、非営利団体「基礎物理学賞財団 (Fundamental Physics Prize Foundation) 」により毎年授与されており、賞金は300万ドルである。

受賞者
2017年 - ジョセフ・ポルチンスキー、アンドリュー・ストロミンガー、カムラン・ヴァッファ

New Horizons in Physics Prize
New Horizons in Physics Prizeは若手の研究者に出される賞。賞金総額10万ドル。

2015年
Sean Hartnoll
Philip C. Schuster、Natalia Toro
Horacio Casini、Marina Huerta、笠真生、高柳匡
(引用終り)
0230１３２人目の素数さん
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2016/12/10(土) 19:15:41.46ID:zTWLK0FF
>>228
非可測なのに確率分布をこしらえちゃうトンデモスレ主ならここにいます。
0232現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 19:28:48.01ID:LjTObdCi
>>231

(抜粋)

But, what if these two separately described phenomena were actually the same thing?

A Stanford physicist has proposed this radical idea in the form of a new equation, ER=EPR ? and he says it could build a space-time bridge between the long-competing theories of general relativity and quantum mechanics.

Essentially, the physicists suggest ‘that quantum mechanics and gravity are far more tightly related than we (or at least I) had ever imagined.

‘The essential nonlocalities of quantum mechanics?the need for instantaneous communication in order to classically simulate entanglement?parallels the nonlocal potentialities of general relativity: ER=EPR.’

(引用終り)
0233現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 19:40:56.39ID:LjTObdCi
>>230
ああ、そうだね

時枝問題のオリジナルな場合の決定番号の確率分布は、全く考えられないね
ご指摘の通り

>>196で書いた通り
任意の実数だから、ｐ進表現でｐ→∞の極限を考えたときに相当する

だから
最初から無限大に発散している
0234現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 19:49:49.92ID:LjTObdCi
立川裕二先生、基礎物理ニューホライズン賞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E8%B3%9E
New Horizons in Physics Prize
2016年 立川裕二 他５名

http://www.s.u-tokyo.ac.jp/ja/info/4529/
立川裕二准教授が2016年基礎物理ニューホライズン賞を受賞 - 東京大学 大学院理学系研究科・理学部: 2015/12/07
(抜粋)
11月9日 (月) 、東京大学理学部物理学科准教授で東京大学国際高等研究所カブリ数物連携宇宙研究機構科学研究員の立川裕二（たちかわ ゆうじ）氏がブレークスルー賞財団が授与する2016年基礎物理ニューホライズン賞受賞者の一人に選ばれました。

立川科学研究員への2016年基礎物理ニューホライズン賞の授与理由は、超対称性の場の理論における傑出し且つ洞察力に優れた研究を行ったこととされました。
立川科学研究員は例えば、2010年に共同研究者のアルディ (Alday) 氏とガイオット (Gaiotto) 氏と共に行った研究から、4次元と2次元の場の量子論でそれぞれ独立に計算されていた量が実は一致することを明らかにし、場の量子論研究において大きな進展をもたらすとともに、重力を含む統一理論の有力な候補とされる超弦理論の研究に手がかりを与えています。
このように、場の量子論研究において大きく貢献してきました。

今回の受賞について、立川科学研究員は「このような形で評価していただけたのも、これまで所属した各研究機関が素晴らしい研究環境を提供してくださったこと、また、素晴らしい指導教員、共同研究者に恵まれたこと、また、家族が暖かく見守ってくれていることのお陰ですので、皆様に感謝するばかりです。
今後とも、この賞で満足してしまうことなく、良い研究が出来るよう努力していきたいと思います」と述べています。

立川科学研究員はこれまで日本人で初めてのヘルマン・ワイル賞を2014年7月に受賞、2014年11月には理論物理分野における顕著な研究業績をあげた若手研究者（40歳未満）へ贈られる西宮湯川記念賞を受賞しています。

―東京大学大学院理学系研究科・理学部 広報室―
0235１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/10(土) 19:59:04.93ID:zTWLK0FF
>>233
> だから
> 最初から無限大に発散している

何が？
何が発散してんの？
0236現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 20:14:17.96ID:LjTObdCi
立川裕二先生は、なかなか凄い人やね

https://www.jsps.go.jp/j-toplevel/data/08_followup/H25reports/H25Report_j_KavliIPMU.pdf
世界トップレベル研究拠点プログラム（WPI）Executive Summary（延長審査用）H25
(抜粋)
研究成果 13：超対称ゲージ理論
2009年に立川裕二はL. F. Alday及びD. Gaiottoと共に、いわゆるAlday-Gaiotto-Tachikawa
予想を提起した。当初、この予想は理論物理学の言葉で表現されたが、すぐに数学的に正確な予
想に再定式化された。それ以来、その予想の大部分は厳密に証明された。当初は制限されたクラ
スの群に対して考察されたが、論文[21]は、一般的な場合について理解する方向に向けて大きく
前進する内容を含んでいる。

*研究成果 13：超対称ゲージ理論
*[21]. O. Chacaltana, J. Distler and Y. Tachikawa, “Nilpotent orbits and codimension-two defects of 6d
N=(2,0) theory”, International Journal of Modern Physics, A28 (2013) 1340006
DOI: 10.1142/S0217751X1340006X
L. F. Alday, D. Gaiotto, 立川裕二の三人による予想は、もともと SU(N) に対するものだったが、それを
一般の群に拡張するには、SU(N) の場合はなかった様々な微妙な点が生ずる。SU(N) の場合は、箱が N 個
のヤング図で名前がつけられる、ある物体が重要な役割を果たしたが、一般には、ヤング図はベキ零軌道で
置き換えられる。このベキ零軌道は、数学では重要であると長らく知られていたが、理論物理ではこれまで
表立ってはそれほど現れなかった。この論文では、立川は共著者の Chacaltana と Dislter とともに、ベ
キ零軌道の数学的振る舞いがどのようにこの物理的状況で現れるかを調べた。ベキ零軌道に付随して、数学
において自然に現れる概念はいろいろあるが、教科書に載っているような概念のみならず、この十年で見つ
かったような新しい性質までが、ほぼすべてこの物理的な状況でも現れることが示された。
(引用終り)
0238現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 20:22:59.16ID:LjTObdCi
>>236 立川裕二先生 つづき

https://www.jsps.go.jp/j-toplevel/data/08_followup/H25reports/H25Report_j_KavliIPMU.pdf
世界トップレベル研究拠点プログラム（WPI）Executive Summary（延長審査用）H25
(抜粋)
研究成果 13：超対称ゲージ理論

物理学と数学の相互作用のもう一つの例として、論文[22]において、立川はO. Aharony及び
N. Seibergと共に、一般的ゲージ理論で従来は無視されていた離散的パラメータを発見した。こ
れらの新しいパラメータを記述する最も良い方法は、代数的トポロジーで盛んに研究されてお
り、1980年代に多くの日本人数学者が貢献したテーマである分類空間のコホモロジーを用いるこ
とである。しかし、分類空間のコホモロジーはこれまで物理学ではほとんど使われていなかっ
た。従って立川がKavli IPMUの連携研究員であることから、直接数学者に質問することが可能で
あったことと共に、全数学分野を広く網羅するKavli IPMUの図書室で図書を参照することができ
たことが非常に役だった。

*[22]. O. Aharony, N. Seiberg, and Y. Tachikawa, “Reading between the lines of four-dimensional gauge
theories”, Journal of High Energy Physics, 1308 (2013) 115
DOI: 10.1007/JHEP08(2013)115
ゲージ理論は平らな時空においては、ゲージ結合定数と、θ角という、二つの連続パラメータがあることは
長らく知られている。しかし、時空のトポロジーが複雑になると、それだけでは捉えられない効果があり、
長らく研究者を混乱させてきた。この論文では、一般の時空においては、ゲージ理論は上記の二つの連続パ
ラメータだけでなく、いくつかの離散的なパラメータを持つことが示された。これらの離散的なパラメータ
は、理論がどのような線演算子を持つかを決め、このパラメータを記述するには、群の分類空間のコホモロ
ジーを用いるのが良い。群の分類空間のコホモロジーは数学では長らく研究されていた対象であるが、物理
ではこの論文までは散発的に使われていただけだった。この論文の執筆には、Kavli IPMU の数学者との議
論、および、Kavli IPMU の古典から最新までの数学の文献を揃えた図書館の存在は不可欠であった。
(引用終り)
0239現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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2016/12/10(土) 20:30:13.13ID:LjTObdCi
>>238 立川裕二先生 つづき

https://www.jsps.go.jp/j-toplevel/data/08_followup/H25reports/H25Report_j_KavliIPMU.pdf
世界トップレベル研究拠点プログラム（WPI）Executive Summary（延長審査用）H25
(抜粋)
3-3 異分野融合による研究成果

外から見れば理論物理学と数学は一見同じように見えるかもしれない。例えば、どちらも数
式を用いる。しかし現実には、二つの分野の研究者はそれぞれの分野における過去200年の発展の
間、別の道を辿って離れてしまい、今ではかなり異なるそれぞれの言語を話す。従って、物理学
の予想をうまく定式化された数学の予想に翻訳するには、あるいは数学の証明を物理の理論に逆
に翻訳するには、極めて大きな努力が必要となる。互いに理解し合うことに熱心な理論物理学者
と数学者がいつでも一緒にいるKavli IPMUは、この翻訳を行うには理想的な環境である。
このために、立川裕二、堀健太朗、大栗博司など数名の鍵となる「通訳」がいる。2012年の春
学期に、立川は当機構で物理学者と数学者の間の議論が促進されるようにAlday-Gaiotto-
Tachikawa予想の初歩についてのインフォーマルなレクチャーシリーズを行った。レクチャーの途
中、講師と聴衆の間で、ある物理の概念を数学の言語に最適な形で翻訳するにはどうすれば良い
か、活発な議論が頻繁に起こった。このレクチャーシリーズのおかげで、立川は数学の言葉を話
すことのできる物理学者として、拠点の数学者だけでなく、数学コミュニティー一般に知られる
ようになった。このため、彼は他大学の数学科での講義や数学の研究集会での講演を数多く頼ま
れるようになった。とはいえ、まだこの活動から直接的に査読付論文として出版されたものはな
い。このタイプの融合的なやり取りの結果が学術的論文となるためには何年にも渡る準備期間が
必要であるが、少なくとも拠点がホストする立川のウェブページから、査読出版されていないレ
クチャーノートを手に入れることは可能である。

(引用終り)
0240１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/10(土) 20:31:37.42ID:zTWLK0FF
>>237
分からないから教えてよ。お前の馬鹿理論をｗｗｗｗ
0241現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 20:34:28.63ID:LjTObdCi
>>238 つづき

https://www.jsps.go.jp/j-toplevel/data/08_followup/H25reports/H25Report_j_KavliIPMU.pdf
(抜粋)
研究成果 12：有限群とカラビ・ヤウ・ジオメトリの間の新しい関係の発見
大栗博司の長期的な研究目的の一つは、超弦理論のコンパクト化において、厳密な結果を発見
することである。彼は1989年の博士論文で、K3と呼ばれる4次元カラビ-ヤウ空間上の超弦理論のコ
ンパクト化を研究し、粒子のスペクトルがいわゆる楕円種数にまとめられることを示した。驚くべ
きことに、楕円種数をN=4の超共形代数の指標で展開すると、その展開係数が正の整数になること
がわかった。しかし、これが何を意味するのかを見出すのには、その後20年の年月がかかった。2010
年に、大栗は江口徹、立川裕二と共に、これらの整数が最大マシュー群 M24の表現の次元であるこ
とを発見した[19]。このことから彼らはK3の楕円コホモロジーはM24の表現であると予想した。彼ら
の予想の弱いバージョンはマシュー・ムーンシャインと名付けられ、これはその後、アルバータ大
学の数学者Terry Gannonによって、2013年に証明された。

マシュー・ムーンシャイン予想の本質的な要素の一つは、ラマヌジャンによって発見された、
擬モジュラー形式である。ここで、1987年に開催された、ラマヌジャン生誕百周年記念の会議での
フリーマン・ダイソンの講演記録から引用しよう。「擬テータ関数は今後発見されるであろう壮大
な統一像がどんなものかについてワクワクするようなヒントを与える。私の夢は、生きているうち
に、超弦理論の予言を自然界の事実に一致させようという若手物理学者の努力の末、解析的な手法
が擬テータ関数を含むように拡張されるのを見ることだ。」マシュー・ムーンシャインは、擬モジ
ュラー形式、マチュー群、カラビ・ヤウ多様体と超弦理論のコンパクト化の壮大な統一像を示すこ
とにより、ダイソンの夢を実現するものである。過去数年、大栗博司の発見は物理学者、数学者の
双方により精力的に研究されている。それが世界的にインパクトを与えた証拠として、マシュー・
ムーンシャインに関する国際会議がチューリッヒのETH、ストーニーブルックのサイモンズ・セン
ター、ロンドンのインペリアル・カレッジで開催されていることを指摘したい。
0242現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 20:35:03.07ID:LjTObdCi
つづき

*研究成果 12：有限群とカラビ・ヤウ・ジオメトリの間の新しい関係の発見
*[19]. T. Eguchi, H. Ooguri and Y. Tachikawa, “Notes on the K3 Surface and the Mathieu Group M24”, Experimental Mathematics 20 (2011) 91-96
DOI: 10.1080/10586458.2011.544585
この論文において、大栗博司、江口徹、立川裕二は、K3 曲面の楕円種数が、マシュー群 M24 の既約表現の
次元を用いて自然に分解できることを示した。これらの次元は、楕円種数を、K3 曲面上の非線形σ模型が
自然にもつ N=4 超共形代数の指標によって展開したときの係数として現れる。この発見は、のちに2013年
に Terry Gannon によって厳密に証明された。この結果は、M24 が楕円コホモロジーの対称性として作用す
ることを示唆している。

(引用終り)
0243１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/10(土) 21:04:12.92ID:eVygOdAO
Even he couldn't explain his fuckin' crazy theorem.
0244現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 21:31:40.38ID:LjTObdCi
>>240
しょうがないね
簡単な話だ

>>196 で
ｐ進表現
A= a1/p+a2/p^2+a3/p^3+・・・・+an/p^n

ｐは、０からｐまでの数を取る。つまり、a1, a2, a3, ・・・,anなども、０からｐまでの数を取る。
少数1位までの数p通り、少数2位までの数p^2通り、少数3位までの数p^3通り、・・・、少数n位までの数10^n通り

ｐを大きくする。つまり、a1, a2, a3, ・・・,anなどは、任意の自然数を取るとする
つまり、ｐ→∞の極限で、任意の自然数を取る場合を表現できる

この場合（任意の自然数の場合）、少数1位の場合の数から無限大に発散している
ここで、任意の自然数→任意の実数 と考えることができるが、同様に発散していることは明らか

蛇足だが、ここで、多項式
f(x)= a1 x+a2 x^2+a3 x^3+・・・・+an x^n を考えてみよう

上記同じことだが、全ての多項式 f(x)の集合で、次数ｎを固定する
全ての多項式 f(x)の集合から任意に一つ選んだときに、次数m<=nの出現確率を考えることと同じだ

係数 a1, a2, a3, ・・・,anなどが、０からｐまでの数の場合は、次数m<=nの出現確率を考えることは可能だ
しかし、任意の自然数としてｐ→∞の極限を考えると、次数m<=nの出現確率を考えることは不可能だ

そして、時枝記事の決定番号との関連で言えば、しっぽの同値類だから、しっぽは無視して、異なる部分は先頭の箱だから、上記のように、係数 a1, a2, a3, ・・・,anなどが任意の実数を取る場合に相当する
つまり、a1, a2, a3, ・・・,anまでが異なる部分で、n+1からしっぽで一致する部分だ。だからD＝n+1

多項式モデル f(x)= a1 x+a2 x^2+a3 x^3+・・・・+an x^n でも、決定番号を考察することができるという話（上記は、ｐ進表現を使ったが）
0245現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 21:39:20.47ID:LjTObdCi
>>242

追加

https://www.jsps.go.jp/j-toplevel/data/08_followup/H25reports/H25Report_j_KavliIPMU.pdf
世界トップレベル研究拠点プログラム（WPI）Executive Summary（延長審査用）H25
(抜粋)
研究成果 14：場の量子論と超弦理論における方法―双対性
この相互作用の始まりは、数学における「圏」の言葉が弦理論において「Dブレーン」と呼ば
れる一群の対象を記述する上で適しているという認識に遡る。Dブレーンは弦の世界面の境界上の
相互作用であり、ある種の圏を構成するが、これは連接層の導来圏のように以前から数学において
調べられていたものと一致する場合がある。この関係を通じて、超弦理論における幾つかの事実が、
例えば導来圏の同値関係のような、証明されるべき数学的予想をもたらし、一方、数学的結果が超
弦理論を理解するためのヒントを与える。このような相互作用の口火を切った堀健太朗は、2次元
超対称ゲージ理論における新たな種類の双対性を発見した[23]。これは4次元におけるSeiberg双対
性の2次元版と考えられる。それは、球、半球、およびトーラス上の分配関数についての厳密な結
果に関して最近開発された方法[23,24]を用いてテストされているところである。
0246現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 21:39:49.51ID:LjTObdCi
つづき

*研究成果 14：場の量子論と超弦理論における方法―双対性
*[23]. K. Hori, “Duality In Two-Dimensional (2, 2) Supersymmetric Non-Abelian Gauge Theories”, Journal of
High Energy Physics, 1310 (2013) 121
DOI: 10.1007/JHEP10(2013)121
この論文は、2次元(2,2)超対称ゲージ理論の低エネルギーでの振る舞いについてである。物質場の個数が少
ない場合は超対称性が自発的に破れることを示し、多い場合はゲージ群や物質場が相異なる理論の間に成り
立つと思われる双対性を発見した。それは4次元N=1超対称ゲージ理論におけるサイバーグ双対性の2次元版
と呼べるものである。この結果を幾つかの線形シグマ模型に応用し、赤外固定点として現れる超共形場の理
論を調べた。これらは超弦理論のコンパクト化に用いることができるが、そのモジュライ空間が3次元カラ
ビ・ヤウ多様体に対応する極限を含むことが分った。この研究は導来圏の間の圏同値に関する最近のいくつ
かの数学的発見に動機づけられている。研究結果はそれらの発見を統一的に理解する枠組みを与え、系統的
に一般化する方法を提示している。この研究においては著者とA.ボンダルとのやり取りが不可欠であった。
ある二重被覆に関する数学的質問をボンダルにしたこと自体が双対性を発見する引き金となったのである。

(引用終り)
0247１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/10(土) 22:02:32.89ID:zTWLK0FF
>>244
>しかし、任意の自然数としてｐ→∞の極限を考えると、次数m<=nの出現確率を考えることは不可能だ

N^nを全事象とする直積確率として、ふつうに考えられると思うけど
0249現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 22:40:59.08ID:LjTObdCi
>>245 堀 健太朗先生

http://db.ipmu.jp/member/personal/143ja.html
堀 健太朗

役職
教授 (from 2015/06/01 ) [UT]
特任教授 (from 2008/11/01 to 2015/05/31)
研究分野
理論物理学 (弦理論)

Mathematics
String Theory

自然界の基本法則は何なのか? それはどんな数学によって記述されるのか? これらの問いが私の研究する動機となっています。正しい理論的枠組は一般相対論と量子力学を統 一したものであるべきです。
更にこの2つの物理学の発展にともなってそれぞれ独自に成長してきた数学の分野を統合するような言葉で記述されなければならないと私は考えてい ます。弦理論はそのような枠組の最有力候補です。

「数学分野の統合」を示唆する例として『ミラー対称性』があります。これは2つの全く異なる空間を動きまわる「ひも」の物理が全く同じであるという一見信じがたい現象で、2つの空間のシンプレクティック幾何学と代数幾何学が入れ換わるという驚くべき形で成り立っています。
私達はミラー対称性が二次元ゲージ場の量子論における双対性を用いて理解できることを示しました。この仕事はDブレーンの間の対応関係など更なる発展につながっています。

現在私はミラー対称性等を駆使して弦理論のコンパクト化の解析に取り組んでいます。特に四次元で最小限の超対称性を持った理論の全体像を把握することが大きな目標です。同時に数学者と協力して理論を記述する適切な言語を開発することも目指しています。
0250現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 22:52:20.64ID:LjTObdCi
>>247
N^n で考えてみようか

まず、自然数の集合から、ある任意の数mを選ぶ確率は？ ゼロだろ

で、自然数の集合から、a1, a2, a3, ・・・,an（>>244）など、任意の数を取るとするときの出現確率は？

上記の通り、１次元の場合、任意のa1を選ぶ確率は、ゼロだぜ

直積確率だから？　どんな有限の値になる？

>>248
多項式モデルは、重ねて同じことを言ったことに意義がある
かつ、半分は、おっちゃんへの>>221 >>216 への回答でもある
0251１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/10(土) 22:58:44.74ID:zTWLK0FF
>>250
あのね、ゼロという確率を考えられるのであれば、確率を考えることは　可　能　と言うべきなんですよ

で、あんたは結局何が言いたいの？
無限個の要素をもつ数学的に確立された離散確率分布の存在を否定したいの？
0253１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/10(土) 23:09:48.41ID:zTWLK0FF
>>250
> まず、自然数の集合から、ある任意の数mを選ぶ確率は？ ゼロだろ

馬鹿丸出し乙
0254現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
垢版 |
2016/12/10(土) 23:11:07.73ID:LjTObdCi
>>249 堀 健太朗先生

https://de.wikipedia.org/wiki/Kentar%C5%8D_Hori
ドイツ語をgoogle英訳
(抜粋)
Kentar? Hori (Japanese 堀 健太朗, Hori Kentar?) [1]

In 2000 he published with Cumrun Vafa a new proof of the mirror symmetry of Calabi-Yau manifolds [5] about the duality of two-dimensional quantized light theories. This connection of mirror symmetries with T-duality was first assumed by Andrew Strominger, Shing-Tung Yau and Eric Zaslow in 1996.
0263１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/10(土) 23:28:23.09ID:zTWLK0FF
>>250
> まず、自然数の集合から、ある任意の数mを選ぶ確率は？ ゼロだろ

まず、ここから違うダロ
ゼロを可算無限個足して1になるんかい？ｗｗｗ

>>258
へぇ、それだけ言うのに出鱈目をぎょうさん書くんですなあアンタ
0265１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/12/10(土) 23:31:40.52ID:zTWLK0FF
ここのスレ主は数学全然分かってねーし、大量のコピペで発言埋めまくるし、マジで糞
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