現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26 [無断転載禁止]©2ch.net

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 18:47:40.27

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 18:48:40.71

さて
（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>2 再録　
１．時枝問題（「箱入り無数目」数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
～は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/～の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ，したがってd= d(s)も決まり，
結局sd(実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 18:49:16.82

３．つづき
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが，とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列S^1,S^2，・・・，S^lOOを成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
　第1列～第(k-1) 列，第(k+1)列～第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， S^1～S^(k-l),S^(k+l)～SlOOの決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
　いよいよ第k列の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・.いま
　D >= d(S^k)
を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってS^k(d)が決められるのであった.
おさらいすると，仮定のもと， s^k(D+1)，s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・を見て代表r＝r(s~k) が取り出せるので
列r のD番目の実数r(D)を見て，「第k列のD番目の箱に入った実数はS^k(D)＝r(D)と賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる.
確率1-ε で勝てることも明らかであろう.
(補足)
S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・：ここで^kは上付き添え字、(D+l)などは下付添え字

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 18:51:11.80

（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>614 再録　
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある

「R^N/～の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」

さらに、前スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき，と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎，と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル，という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎，というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」

（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>176　より再録
数学セミナー201511月号P37 時枝記事より

「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる，といってもよい.」

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 18:51:49.41

>>4
補足

（引用開始）
「(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
・・・
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる，といってもよい.」
（引用終了）

これは、(1)無限を直接扱うを否定している。だから、残る選択肢は、(2)有限の極限として間接に扱うだ
ところが、上記で見たように、(2)有限の極限として間接に扱うと、無限数列のしっぽによる同値類分類は、相性がよくない
果たして、(2)有限の極限として間接に扱うで、無限数列のしっぽによる同値類分類が完遂できるのか？大きな問題だろう

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 18:53:07.39

>>5

前スレより
651 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/12/03(土) 18:40:32.23 ID:6Rgz8i9T [39/39]

時枝記事の問題点>>114-115 を、まとめておく

１．そもそも、可算無限の数列のしっぽなんて、「同値から推移律確認！はいおわり」それですむ話じゃないだろう
２．コーシー列はヒルベルト空間内だが、時枝記事のR^Nはヒルベルト空間外。ヒルベルト空間外の数列は扱いが難しい。ま、そこらがトリックのネタだろう
３．”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない（絵に描いた餅だ。数列の最初から見て行っては終わらない）
４．決定番号があやしい。特に、決定番号の確率分布がすそが重い（超ヘビー）確率分布になるから、99/100が言えない（∵大数の法則も中心極限定理も不成立だから）
５．さらに、確率分布の変数として、決定番号を見たときに、定義域は[1, ∞)となる。だから、∞まで考える必要がある。この点からも、99/100は簡単に言えない
６．０～９の数を箱に入れる極簡単なミニモデルでも、可算無限数列のしっぽは、現代数学では扱えない
　（このミニモデルでは、実数の無限小数展開と平行して論じられるので、便利なのだが）
　まして、任意の実数が箱に入る場合（つまり１つの箱に連続無限大の自由度があるモデル）においておや

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 18:54:51.94

前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より再録　

674 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 23:02:43.81 ID:MokdApDK [41/44]
>>654
>無限級数に対してよくある誤解

ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
(抜粋)
新たな客は1人どころか、複数でも、（可算）無限でもよい。例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。

さらに次のようなこともできる。それぞれに無限の乗客が乗った無限台の車がホテルに乗りつけたとする。この場合、まず奇数号室を上のようにして空け、1台目の乗客を 3n（n = 1, 2, 3, …）号室に、2台目の乗客を 5n（n = 1, 2, 3, …）号室に、…というふうに入れる。i 台目の乗客は pn（ここで p は i + 1 番目の素数）に入れればよい。

現実にある（2室以上ある）有限ホテルでは、当然奇数号室の数は全室数より少ないが、無限ホテルではそうではない。数学的には、全室からなる集合の基数（有限集合における要素の個数に当たる）は、その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい。これは無限集合の特徴である。この可算無限集合の基数はアレフ 0 と表される。
（引用おわり）

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 18:55:11.77

前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より再録　

675 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 23:11:52.43 ID:MokdApDK [42/44]
>>654
>無限級数に対してよくある誤解

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
デデキント無限
デデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。それはつまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。

選択公理との関係
整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。
ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 18:56:45.54

前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より再録　

507 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/10(土) 14:08:29.04 ID:q7Skbg74 [7/14]
>>506 つづき
上記のように解析においては、有限と無限はあまり混乱しないが
代数においては、有限と無限の言葉使いがよく混乱する

例えば、有限単純群の理論がある https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4 単純群 - Wikipedia
有限単純群の中に、いくつかの無限系列の族がある。簡単な例では、Zp ? 素数位数の巡回群。素数pは考えている範囲では有限だが、取り得るp値の範囲としては無限だ

有限と無限の言葉使いの混乱の例はさておいて
いま確率が問題になっているのだから、決定番号d(s)の値域dom(d(s))がどうなっていて、dom(d(s))の範囲がどうかとか、d(s)の平均値や分散、標準偏差・・・

そういう確率分布を特徴づける値がどうかと
その場合には、dom(d(s))の範囲は無限大まで考えるべし、正規分布同様にだ

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 19:14:55.42

削除依頼出しました

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 19:44:39.00

>>10
運営乙

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 19:54:10.26

それから、過去、確率論の専門家と私が呼ぶ人（おそらく大学教員レベル）が、時枝記事不成立と言っていた
また、もう一人、おそらく修士から上のレベルと思うが、時枝記事を与太話と、切って行ったね（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 20:01:21.55

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1416621784
量子系について - 量子系はなぜヒルベルト空間で記述されるのでしょう... - Yahoo!知恵袋: 2008/5/19

量子系はなぜヒルベルト空間で記述されるのでしょうか？
ヒルベルト空間は内積(ノルム)が定義され要素の列がコーシー列となる空間のことだと思いますがなぜこれらの性質が必要となるのですか？

ベストアンサーに選ばれた回答 phd_ninoさん 2008/5/20

なぜ、ヒルベルト空間が必要かはお答えできませんが、
少なくとも交換関係を導くためにはヒルベルト空間が必要です。
ノルムが定義されないと、交換関係が導かれません。

完備性が物理的になぜ必要かは、私ははっきりは知りませんが、
量子力学の固有値をヒルベルト空間内のベクトルとして扱うことと関連しているのではないでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 20:18:28.66

>>6
> ３．”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない（絵に描いた餅だ。数列の最初から見て行っては終わらない）

theoryの話をしているときにpracticeの話をする馬鹿

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 20:24:05.54

誰だってバナッハ＝タルスキーのパラドックスが現実世界で実現可能とは思ってませんがなｗ
それと同じこと。
in practiceで不可なんて誰でも分かってますよ。あんたに言われなくてもねｗ
子どもでもわかるでしょ。現実に不可能ってことは。
無限個の箱を並べて無限個の数を見なきゃいけないんだからさ。

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 20:46:28.02

>>6
スレ主が任意の無限数列が出題可能だと仮定している場合に例えばeやπの無限小数表示から数列を構成するならば
{eのn番目まで}と{eのn+1番目以降}から成る無限数列
{eのn番目まで}と{πのn+1番目以降}から成る無限数列
{πのn番目まで}と{πのn+1番目以降}から成る無限数列
{πのn番目まで}と{eのn+1番目以降}から成る無限数列
を出題することは可能であるから{eのn+1番目以降}や{πのn+1番目以降}の全ての数字を正しく箱の中に
入れることができると仮定していることになる
他の数列でも同様

> ”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない
二つの無限数列anとbnがあって出題者は無限数列an-bnを出題できるのならばan-bnの全ての数字を
箱に入れることが可能なので0を入れた箱だけフタを閉めれば良い

余談
> （絵に描いた餅だ。数列の最初から見て行っては終わらない）
過去スレで誰かが書いていたが基礎論(ペアノの公理)を勉強すれば良いらしいよ

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 20:47:29.72

つまり選択公理を否定したいわけね？

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 21:30:25.99

>>17
in practiceではそうなるなｗｗｗｗｗｗ
スレ主は何がしたいんだろ？ｗｗｗｗｗｗ
ここって数学板だったよなぁ？

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 21:39:57.45

原隆先生、”量子力学の構造”秀逸やね

http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/hhara/lectures/09/butsuri.html
２００９年度の講義数学特論１８（数学科）４年向け，2009年度秋学期 Last updated: 10/02/12．原隆（数理学研究院）九大
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/hhara/lectures/09/physics09.pdf
2010.01.18. 数学特論（数学者のための物理学概論）担当：原隆（数理学研究院）九大

量子力学の構造
仮説1 (量子力学の舞台I．状態)
系の現在は可分な複素ヒルベルト空間Hの規格化された，つまりノルムが1のベクトル（状態ベクトル，または単に状態，stateと言う）で与えられる．

仮説2 (量子力学の舞台II．物理量)
(a)観測できる物理量（observable）はHの上の（自己共軛な）演算子（作用素）で与えられる．
(b)［対応原理・そのI］古典的対応物があると思っている系に対しては，これらの演算子は古典力学での物理量の関係を尊重するように決められる．

仮説3 (量子力学の舞台III．物理量の値（観測値）)
(a)状態|ψ＞にある系においては，ある物理量?Aを観測した観測値は?Aのスペクトル（固有値）の一つになる．
(b)?Aのスペクトル分解?A=∫d?PA(a)a(10)を用いると，観測結果が半閉区間(a1, a2]に落ちる確率は＜ψ,{?PA(a2)??PA(a1)}ψ＞=||{?PA(a2)??PA(a1)}ψ||^2(11)
で与えられる．

仮説4 (正準交換関係，CCR)n-自由度の古典系を表すヒルベルト空間はその上^1で「位置の演算子」?qjとその共軛の「運動量の演算子」?pjが正準交換関係（Canonical Commutation Relation，CCR
）
[?qj,?pk]?=ihδj,k(12)
[?qj,?qk]?= [?pj,?pk]?= 0(13)
を満たすよう，表現できるものである（j= 1,2, ・・・, n，k= 1,2, ・・・ , n）．ここでhはプランク定数と呼ばれる定数^2で，その価はh=1.0545887×10^?34J sec．(14)
iは虚数単位でihは恒等演算子11のih倍をあらわす．また，δj,kはクロネッカーの記号δj,k={1 (j=k)0 , (j not =k)}
である．

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 21:41:34.97

>>19 つづき

仮説5 (対応原理)
古典力学から量子力学に移行するには，古典力学におけるPoisson括弧{・,・}を以下のように量子力学的な交換関係[・,・]?と読み変えよ（このような交換関係を満たすようにヒルベルト空間とその上の作用素を表現せよ）：
{A, B}=→1/ih[?A,?B]? (15）

仮説6 (時間発展：Schr ?odinger picture)
（量子力学的な）系のハミルトニアン?Hと呼ばれる自己共軛な演算子があって，系の状態ベクトルの時間発展は，Schr ?odingerの運動方程式（時刻tでの状態を|ψ(t)＞と書く）
ih d/dt|ψ(t)＞=?H|ψ(t)＞(16)
で与えられる．（古典的対応物のある系では?Hは，仮説2に従って，その古典力学的ハミルトニアンにおいて座標と運動量をそれぞれ?q，?pで置き換えたもので与えられると考える．）

仮説7 (時間発展：Heisenberg picture)系の時間発展は，（系の状態ベクトルは時間的に不変で，代わりに）全ての物理量が
ih d/dt?AH(t) =[?AH(t),?H]? (17)
に従って時間発展すると考えても同じである．

仮説8 (量子力学の舞台IV．観測の公理II)状態|ψ＞での?Aの観測を行うと，その結果は?Aのスペクトルのいずれかになるが（仮説3），その結果，系の状態ベクトルはその際にでた固有値（anとしよう）に対応する固有ベクトル（|φn＞としよう）に移る．

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/12/03(土) 21:50:44.42

￥

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 22:04:28.24

原隆先生、”数学者のための量子力学入門”も良いね
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/hhara/lectures/09/butsuri.html
２００９年度の講義数学特論１８（数学科）４年向け，2009年度秋学期 Last updated: 10/02/12．原隆（数理学研究院）九大
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/hhara/lectures/09/QM_structure2.pdf
数学者のための量子力学入門? 原　隆九州大学大学院　数理学研究院
(抜粋)
概要
量子力学とは何か，数学者むけに簡単にまとめる．数学者向きの量子力学の成書もたくさんあることを念頭において，量子力学の数学的枠組みを簡潔に示し，かつその物理的解釈を解説することを，その基礎的な部分に限って行う．

この解説は読者対象として，量子力学を専門的に研究している数学者ではなく，学部4 年生から大学院修士課程程度の数学科の学生を想定する．
そのような読者に，
1. 量子力学の数学的構造の粗筋を述べ，
2. その数学的構造のあらわす「量子力学の世界」（これは古典力学の世界，つまり，我々の日常見ている世界とはかなり異なる）をどのように解釈すべきか，説明する
ことを目標としたい．

その点は成書にまかせるしかない（最後の文献案内参照）．

しかし，それらの本は大部でもあるし，また，大部分は物理的な色合いが非常に強い．つまり，これらの本は「必要な数学的知識はあまりないが，物理的直感力をもって押し進める人」を主な読者に想定している．
そこで，この解説ではその反対に「必要な数学的基礎知識を持った人が日常感覚から出発して量子力学を学ぼうとした場合に面食らう点」を特に重視して説明することで，量子力学の世界への抵抗を少しでも減らせたら，と考えている．
少し予備知識のある人のための註：通常，物理で「量子力学」と言うときは有限自由度の系の量子力学を言い，この解説でもそれを中心とする．無限自由度の系（場の量子論）では話は全く別で，これは数学的に未解決の問題の宝庫である．この点については最後の5.3 節で少しだけ触れる．

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 22:05:11.92

つづき

5.3.3 場の量子論の問題
これで一応，「初等的」な量子力学はおしまいになるのだが，実は場の量子論は未解決問題の宝庫である．この点について少し述べて結びとしたい．
場のような無限自由度の系では有限自由度の系と本質的な差がある．つまり，無限自由度のCCR の表現は（互いに同値でないものが）無数にある．
ということで26，これは大変な問題である．有限自由度の場合は一意性定理があったから，便利な表現をとって徹底的に調べれば良かった．
ところが場の理論では結果がどの表現をとるかによってくるわけだから，様々な表現を調べ，考えている物理的状況に合った表現をとる必要がでてくる．
このようなわけで，数学的な解析はかなり不満足な状況にある．（実は5.3.2 節で「○○がわかった」などと書いたのは「まあ，物理的に許せるくらいの議論で○○であると思われる」くらいの意味であって，数学的に満足のいく定理があるわけではない．）このような不満な状況を乗り越えるため，幾つかの試みがなされている．大きく分けると

? 公理論的場の理論：場の理論が満たすべき最低限の性質を仮定し（仮定した性質を満たす系の存在は仮定する），その中で厳密に導けることを証明しようとする試み．この成果としては「スピンと統計の関係」，「CPT 定理」などの一般的性質を導いたことが挙げられる．
? 構成的場の理論：公理論的場の理論がモデルの存在を仮定して一般的性質を求めたのに対し，具体的な個々のモデルから出発して実際に場の理論のモデルを作る試みである．成果としては２次元，３次元での意味のある場の理論のモデルの構成などが挙げられる．
? 作用素環論からのアプローチ：正準交換関係（やその仲間）の表現論をC?-環，von Neuman 環等の理論を用いて研究する方法．他の方法ではえられない，非常に細かい結果を得られることがある．
などの試みが続いている．

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 22:07:41.30

>>23 つづき

6 文献について
量子力学についてはたくさんの文献がある．筆者が学生時代に感銘を受けた物を中心に文献表に挙げておいた．
この解説で量子力学に関心を持たれた方のために，少し文献案内をしておこう．
１．　まず，量子力学の数学的側面についての古典的名著として，[9] がある．この内容を物理学者でも何とか読めるように（関数解析の基礎の説明から始めて）解説したのが[7] である．
これは数学者には少しくどいところもあるかも知れないが，物理的意味にもよく配慮して書かれている．また，[15] の量子力学の項は，数学的な非常に簡潔なまとめである．量子力学の（この解説以上の）発展を1970 年代の時点でまとめたものとしては[16]がある．

２．　一方，物理の側から量子力学の本質を解明しようとした名著を挙げると，[5, 1, 3, 2, 17] と言ったあたりになろう．
　このうち[5] （Dirac）は数学的に都合のいいことを全て仮定して進んでしまう誠に恐ろしい本であるが，「ここの所は本当はこういうことを言いたいんだな，このところはこんな仮定があるんだな」と言ったことを他の本，例えば[9, 7]，で補っていただければ，実は大変明快に読め，著者の気迫が伝わってくる名著である．
　[1, 3, 2] は完全に物理の記述だが，歴史的発展を批判的に追うことにより，量子力学の哲学を浮き上がらせようとしたものである．
　（このうち，[1, 3] は実際の歴史を並べ替え，袋小路に陥った試みは捨て去って，説明が明快になるような「疑似歴史」に沿って説明している．）
　科学においてはできあがったものが一番重要であるのは言を待たないが，歴史的発展というのは「日常感覚から出発して，それが実験事実により否応なしに改変されていく過程」を教えてくれるので，このような進み方も本質をえぐり出すには教訓的だと考える．
　なお，[17] は誠にユニークな本で，簡単化した系（「スピン」を持った粒子?5.1 節参照）を例にとって，「状態」「重ね合わせの原理」などを導入し，量子力学の本質をえぐり出そうとしたものである．記述は物理的だが，量子力学の枠組みが大変明快に捉えられており，是非おすすめしたい．

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 22:09:13.93

>>24

３．　なお，量子力学の基本的構造はわかったから実際の系に即して色々な応用を知りたい，と言う向きには，２で挙げたものに加えて[11, 12] などをおすすめする．
４．　無限自由度系については現在も進展中であり，文献を挙げるのは容易でない．少し古いが筆者のよく知っているものとして，公理論，構成論，作用素環論の立場から[6, 18, 19, 20] を挙げるにとどめる．

参考文献
[1] 朝永振一郎. 量子力学I. みすず書房, (1977(2e)).
[2] 高林武彦. 量子力学の発展史. みすず書房, (1977).
[3] 朝永振一郎. 量子力学II. みすず書房, (1952).
[4] 加藤敏夫. 量子力学の関数解析. 量子物理学の展望, pp. 669?686. 岩波書店, (1978).
[5] P.A.M. Dirac. The Principles of Quantum Mechanics. Oxford, (1958).
[6] Bogoliubov, Lognov, and Todorov. 場の量子論の数学的方法（翻訳，原題＝ Axiomatic Quantum Field
Theory）. 東京図書, (1980). 江沢・亀井・関根他訳.
[7] 江沢洋. 量子力学の構造. 量子力学II, 岩波講座・現代物理学の基礎4, pp. 247?484. 岩波書店, (1978).
[8] 湯川秀樹. 量子力学的世界像. 量子力学II, 岩波講座・現代物理学の基礎4, pp. 557?602. 岩波書店, (1978).
[9] von Neuman. Die Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Springer, (1932). （邦訳「量子力学
の数学的基礎」みすず，1957）.
[10] 高林武彦. 観測の問題. 量子物理学の展望, pp. 557?594. 岩波書店, (1978).

つづく

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 22:09:47.45

>>25 つづき

[10] 高林武彦. 観測の問題. 量子物理学の展望, pp. 557?594. 岩波書店, (1978).
[11] L.D. Landau and I.M. Lifshitz. 量子力学I，II（非相対論的理論）. ランダウ・リフシッツ理論物理学教程.
東京図書, (19 　).
[12] 湯川秀樹, 並木美喜雄, 江沢洋, 豊田利幸, 高木修二, 田中正, 位田正邦. 量子力学I. 岩波講座・現代物理学の
基礎3. 岩波書店, (1978).
[13] B. Simon. Functional Integration and Quantum Physics. Academic Press, (1979).
[14] R.P. Feynman and Hibbs. Path Integrals and Quantum Mechanics. MacGrow-Hill, (1965).
[15] 日本数学会. 数学事典（第２版，第３版）. 岩波書店.
[16] 江沢洋, 恒藤敏彦. 量子物理学の展望（上・下）. 岩波書店, (1978).
[17] R.P. Feynman, R.B. Leighton, and M. Sands. Quantum Mechanics. The Feynman Lectures on Physics.
Addison-Wesley, (1965).
[18] R.F. Streater and A.S. Wightman. PCT, Spin and Statistics, and All That. Benjamin, (1964).
[19] R. Fern´andez, J. Fr¨ohlich, and A.D. Sokal. Random Walks, Critical Phenomena, and Tiviality in Quantum
Field Theory. Springer, (1992).
[20] O. Brattelli and H. Robinson. C?-algebras and Quantum Statistical Mechanics. Springer, (19 　).

(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 22:12:57.88

>>14-18

多分、あんたら、外れ（＾＾；

時枝記事は、昨年の「箱入り無数目」数学セミナー2015.11月号の記事
あれから１年

数学界で、時枝記事がどう評価されているのか？
空気読んだらどうですか？（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 22:17:03.39

>>27　補足

私、スレ主が書いているのは、99/100が導けないよと
なぜ、99/100が導けないのか？
その障害のいくつかを指摘した

個々にはいろいろ議論はあるだろう
が、どうぞ、99/100が導いてください
まっとうな数学としてね（＾＾；

まってますよ
もし、それができれば、そしてまっとうな数学と認められれば、数学界から拍手喝采だろうね（＾＾；
おれは無理と思うけどね・・・

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 22:19:56.80

バナッハ＝タルスキーのパラドックスなみに、きちんと最初に証明を与えれば、○○のパラドックスとして名前が残るかもな
がんばれよ

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 22:21:19.47

外れと言う理由がそれかよｗ

数学板で、スレ主がどう評価されているのか？
空気読んだらどうですか？（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 22:24:30.33

＞個々にはいろいろ議論はあるだろう

何この適当過ぎる言い逃れｗ

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 22:59:16.79

Hart氏のgame2で、
・100列が独立同分布
・player1は100列から開けない1列を等確率で選ぶ
というゲーム設定をすれば、測度論でも99/100が導けるよ？

ちなみにその説明はずいぶん前に終わってますんで。
お前のように毎スレ毎スレ馬鹿なコピペは繰り返しませんのでｗ

で、R^Nに収まってるｖｓ収まってない論争はどうなった？
お前のキマイラ数列がR^Nじゃなかったことはもう納得したの？？ｗｗｗｗｗ

間違いだらけのおばかさんｗｗ

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 23:12:54.16

”正しい仮定と正しい推論から正しい結論を導いたにも拘らず、結論が直観に反する”ものも「パラドックス」と呼ばれる。が、それは定理でもある
バナッハ・タルスキの逆理は、定理でもある

正しそうに見える前提と、妥当に見える推論から、「論理的な矛盾」が導かれる場合、狭義のパラドックスと呼ばれる

因みに、普通に成り立つ命題が証明されたら、それは普通に定理だ

では、成り立ちそうもない命題が、やっぱり成り立たないとなったら？　
それは、ゴミだな（＾＾；
これが、時枝記事の命題

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
パラドックスとは、正しそうに見える前提と、妥当に見える推論から、受け入れがたい結論が得られる事を指す言葉である。

「妥当に思える推論」は狭義には（とりわけ数学分野においては）形式的妥当性をもった推論、つまり演繹のみに限られる。
しかし一般的にはより広く帰納など含んだ様々な推論が利用される。
また「受け入れがたい結論」は、「論理的な矛盾」と「直観的には受け入れがたいが、別に矛盾はしていないもの」に分けることができる。
狭義には前者の場合のみをパラドックスと言い、広義には後者もパラドックスという。

”正しい仮定と正しい推論から正しい結論を導いたにも拘らず、結論が直観に反する”ものも「パラドックス」と呼ばれる。

これは擬似パラドックスと呼ばれ、前述した「真の」パラドックスとは別物である。例えば誕生日のパラドックスは擬似パラドックスとして知られる。これは「23人のクラスの中に誕生日が同じである2人がいる確率は50％以上」というもので、数学的には正しい事実だが、多くの人は50％よりもずっと低い確率を想像する。
他にもヘンペルのカラス、バナッハ・タルスキの逆理などが擬似パラドックスとして知られる。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 23:21:30.75

>>32
べつに～（＾＾；

それ定義の問題だよな

そもそも、普通のR^Nじゃない

普通のR^Nで、一つのR^N内部から100個のR^Nを作るってベクトル空間理論があるのか？

そんなことが書いてあるベクトル空間論のテキストがあれば教えてくれよ～（＾＾；

キマイラ数列は、もともとR^Nの内部にあったよ

自分勝手にR^Nの定義を変えてはだめだよ～（＾＾；

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 23:27:10.51

普通のR^Nてｗｗｗｗｗ
R^NはR^Nですよ。

お前が未だにつゆほども理解してないことが分かって安心したｗ
それでこそスレ主だ。ずっと馬鹿でいてくださいね

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 23:30:34.14

>>32
その声はTさんか
また戻ってきたか（＾＾；

>・100列が独立同分布

証明されていない
コーシー分布で、期待値が収束しないという証明があったろ？あの証明は、極限の取り方に期待値が依存するという証明の筋だったろ？
あれと同じだよ
決定番号の範囲として、[1、∞)の範囲を考えると
どうように、lim →∞ で、極限の取り方に期待値が依存するのと類似の状況になるよ ∵ すそが重い確率分布だからね

>・player1は100列から開けない1列を等確率で選ぶ

等確率が証明できないだろう
大数の法則も中心極限定理も不成立だから

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 23:30:59.70

>>34
> キマイラ数列は、もともとR^Nの内部にあったよ

この発言がちょっとツボだったｗ
なにその『もともとあった』ってのは？ｗ

過去から未来まで、キマイラ数列はR^Nの元では　　ね　　え　　よ　　ｗｗｗｗｗｗｗｗ

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 23:39:43.59

>>36
> >・100列が独立同分布
>
> 証明されていない

>・player1は100列から開けない1列を等確率で選ぶ
>
> 等確率が証明できないだろう

すげーアホ。
>>32は"そういう設定をすれば"、って話をしてるのに、
なんでお前は　仮定の証明　を要求するの？？ｗｗｗ
論理が通じねえｗ

100列の独立同分布性について
→ポアソン分布で100個の有理数を独立に選べばよし

箱の選び方について
→100面サイコロを用意すればよし

お前の質問の意味が分からんからこれが回答になってるか分からんけどな

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 23:41:42.78

>>35
どっちがだか（＾＾；

R^N中から、100列ならべて、100個のR^Nを作った

キマイラ数列でもなんでも、時間を逆にするように、戻せば良い。100個のR^Nは、すべてR^Nの内部になるよ

ヒルベルトのホテルのパラドックスが理解できないんだね？>>7

では聞くが、ヒルベルトのホテル各部屋と時枝記事の箱は、全単射で対応がつくと思うがどうか？

もし、全単射にYesなら、ヒルベルトのホテルもR^Nだよ？

分かっているかい？

>>7 に書いてあることや、その他もろもろ、世間の書物にある、可算無限のパラドックス全てが、時枝記事のR^Nで成り立つんだよ

分かっているかい？

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 23:42:01.74

>>38以降の説明を先回りして答えておく：

///
game2では可測性が保証されるので決定番号dがm∈Nとなる確率が計算できる。
なぜなら全事象（[0,1]に含まれる有理数全体）の任意の部分集合が可測だから。
dがm∈Nとなる事象全体は全事象の部分集合であることに注意。
全事象に対する確率分布がきちんと定義されれば（たとえばポアソン分布）、
dの確率分布は計算可能である。

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 23:46:21.22

>>39
何がお前の論点なのかさっぱり分からんので俺なりに解釈して回答しよう：

お前は　集合Nの濃度の問題　と　index set Nの数列の問題　を混同している

以上

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/03(土) 23:52:56.23

>>38
うーん、Tさんとはちょっとキャラが違うかな（＾＾；

>→ポアソン分布で100個の有理数を独立に選べばよし

そこ外れだよ。ポアソン分布は言えない

それから、決定番号の範囲が[1、∞)になることも処理できてないだろ

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 23:54:23.70

とにかく、キマイラ数列がR^Nでないことの説明は簡単だ
もうかれこれ100回以上は突っ込まれただろう？
問題はすべての項の添え字がNの元で表せるかどうかだ。

お前のキマイラ数列がR^Nでないことは大昔に背理法で証明済み。
俺は　証明した　のだ。
反論するならその背理法が間違っていることを　具体的に指摘　しろ。
論文に書けだの2chのアスキーがどうたらこうたらと逃げてどうする。

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 23:56:07.10

>>42
> そこ外れだよ。ポアソン分布は言えない

いえない、じゃなくて、各有理数をポアソン分布で選ばられるとせよ、と言ってるんだよ。
このゲーム設定で何が不満なの？
じゃあお前の好きな確率分布を選べよ。

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/03(土) 23:57:28.45

> 各有理数をポアソン分布で選ばられるとせよ
各有理数がポアソン分布で選ばれるとせよ

訂正

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/04(日) 00:04:35.15

>>40-41

１．確率分布でも、すその重い分布があるって知ってるかい？

２．index set N って、可算って解釈だろ？添字表記法で、2次元配列とかだめかい？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%BB%E5%AD%97%E8%A1%A8%E8%A8%98%E6%B3%95
添字表記法
1 数学における添字
1.1 1次元配列
1.2 2次元配列
1.3 多次元配列

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/04(日) 00:08:00.05

話の筋を明確にしておく。

俺は時枝問題の有理数バージョン、Hart氏のgame2を以下のように変更するのである：

『1個の有理数に対応する1列をplayer2が100列に並べ直すのではなく、
100列が独立同分布（ポアソン分布）でゲーム開始時に用意されているものとする』

このようにゲーム設定を変更しても、可算無限個の数字の1つを
的中させるという問題の不可思議さは変わらないことを、まず認めよ。

『この問題設定では当てられても不思議ではない』
『ポアソン分布ならば理解できる』
スレ主がそう思うならば、俺から説明することは何もない。
スレ主は十分に理解しているとみなす。

明確に答えろ。

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/04(日) 00:19:08.17

>>43
>とにかく、キマイラ数列がR^Nでないことの説明は簡単だ
>もうかれこれ100回以上は突っ込まれただろう？

なんだよ
やっぱりTさんかい
笑えるよ
名乗りなよ
頭隠してなんとやらだな

>問題はすべての項の添え字がNの元で表せるかどうかだ。

可能だよ
集合論のどの本にも書いてある

例えば、キマイラ数列 a1,a2,a3,・・・,ai,・・・・,b1,b2,b3,・・・,bj,・・・・,

ここでNの元を奇数と偶数に分ける

A=Nの奇数の集合={1,3,5,7,・・2n-1・・・}
B=Nの遇すの集合={2,4,6,8,・・2n　・・・}

集合Aを数列 a1,a2,a3,・・・,ai,・・・・の添え字に使い
集合Bを数列 b1,b2,b3,・・・,bj,・・・・の添え字に使う

N=A+B

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/04(日) 00:20:17.39

>>44

ポアソン分布?

意味わからん

決定番号の確率分布は、ポアソン分布なんかにはならんよ

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/04(日) 00:23:33.53

>>46
議論を進めるために、まずは>>47に答えろ。
>>47の問題設定なら確率99/100が導けると思うか？できないと思うか？

>>46
>１．確率分布でも、すその重い分布があるって知ってるかい？

いまの議論には不要な概念。
俺が行う議論ではすそが重かろうか軽かろうが可測性が保証されていれば十分。
確率分布というからには可測であることが前提である。それで十分。

> ２．index set N って、可算って解釈だろ？添字表記法で、2次元配列とかだめかい？

お前の混同がここに起因してるってことは、実はみんな分かってるよｗ
（分かっていながらお前さんをいじるのもちょっと悪い趣味だけどな）
ωもω+2もωxω(直積)もすべて濃度は可算無限だ。
となるとお前にとっては
R^ωの元a
R^(ω+2)の元b
R^(ωxω)の元c
これらa,b,cすべてがR^ωの元になるのか？

俺達は、そうではない、と言っているのだ

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/04(日) 00:29:47.60

＞それでこそスレ主だ。ずっと馬鹿でいてくださいね
大丈夫、俺が保証する

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/04(日) 00:33:13.48

>>48
キマイラ数列がR^Nの元であることの説明など要らんｗｗ

>>49
あせるなｗｗ
決定番号の確率分布の話なんてしていない。

game2の箱に入れる各数字は、ポアソン分布で選ばれた有理数の各桁とせよ。
有理数を独立等分布なポアソン分布で100個選ぶことで100列を構成することにしよう。
そういうゲーム設定であれば確率測度99/100が証明できる、と言っている。

はやく>>47に回答しろ。明確に、直接的に、回答しろ。
このようなゲーム設定ならばin theoryで確率99/100に納得するのか、しないのか、だ。
あくまでin theoryの話をしている。in practiceの話など俺はしないからなｗ
in practiceの話をスレなら俺はお呼びでない。
立場を明確にするためにきちんと回答しろ。

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/04(日) 00:38:23.48

>>48
>>問題はすべての項の添え字がNの元で表せるかどうかだ。
>可能だよ
一切答えられなかったくせに何が「可能だよ」だよ
少しは自分のバカに気付け

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/04(日) 00:41:06.96

>>52
> in practiceの話を"する"スレなら俺はお呼びでない。

脱字訂正。失敬。

R^N問題は>>50の説明で理解して終わりにしよう

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/04(日) 00:58:15.20

賢い人は>>47の設定において
・1列の有理数をポアソン分布で選べば十分
・残りの99列はHart氏の方法で構成すればよい
と思っているだろう。

自分はスレ主への説明を簡単にするため、
100列すべてを対等に扱うことにした。
このようにしても数字当ての不思議さは変わらない。
加えて100面サイコロで1列を選ぶことにすれば、
99/100という確率測度が直感的に理解しやすいだろうと思う。

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/12/04(日) 01:05:20.42

￥

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2016/12/04(日) 06:20:47.22

￥

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/04(日) 10:30:33.63

>>48 訂正

B=Nの遇すの集合={2,4,6,8,・・2n　・・・}
　↓
B=Nの偶数の集合={2,4,6,8,・・2n　・・・}

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/04(日) 10:47:57.96

ねんのため（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より再録　

年表を作っておこう

１． http://math.stackexchange.com/questions/371184/predicting-real-numbers
Predicting Real Numbers edited May 15 '13 Jared Mathematics Stack Exchange

２． http://brainden.com/forum/topic/16510-100-mathematicians-100-rooms-and-a-sequence-of-real-numbers/
100 mathematicians, 100 rooms, and a sequence of real numbers Asked by Jrthedawg, July 22, 2013 New Logic/Math Puzzles - BrainDen.com - Brain Teasers

３． http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
PUZZLES ”Choice Games”Sergiu Hart November 4, 2013

４． http://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice - MathOverflow: edited Dec 9 '13 Denis

５． http://mathoverflow.net/questions/152787/can-an-infinite-number-of-mathematicians-guess-the-number-in-a-box-with-only-one
Can an infinite number of mathematicians guess the number in a box with only one error? - MathOverflow edited Dec 26 '13 user44653

６．>>48 https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/6987.html
数学セミナー2015年11月号日本評論社箱入り無数目・・・・時枝正　36

７．アリスとボブ http://blog.computationalcomplexity.org/2016/07/solution-to-alice-bob-box-problem.html
Solution to the Alice-Bob-Box problem. July 18, 2016 Posted by GASARCH Computational Complexity

こうしてみると、箱入り無数目系のPUZZLESやriddle（なぞなぞの意）は、それなりに面白い話題なんだろうね（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/04(日) 10:48:29.33

なんかNGワードに引っかかって苦労した（＾＾；

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/04(日) 10:51:11.92

>>50-55 のID:POdiSPtPさんへ

これ、Tさんだね
こまったおっさんだな
時間の無駄と言いながら

姿を消しては、こっそり戻ってくる
堂々巡り

まあ、あなたの説得のためにいろいろ勉強させてもらっているけど
かなりうんざりしてきたよ

99/100という確率の話なんだからさ
確率分布関係ないとかさ

自分の弱いところはスルーなんだね
まあ、前振りはこの程度にして

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/04(日) 10:52:19.40

>>61 つづき
で>>47か？
１．『1個の有理数に対応する1列をplayer2が100列に並べ直すのではなく、
100列が独立同分布（ポアソン分布）でゲーム開始時に用意されているものとする』だったかな？
２．”1個の有理数”ってなに？　箱の中の数か？
３．箱には、なにを入れるんだ・・・？　
４．・・・と思ったから、上記に、URLつき年表をコピーした。上記>>59の３だな
　中身が分からないと、みなさん困るだろう

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/04(日) 10:53:18.89

>>62 つづき

５．game2の部分を抜粋する
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf PUZZLES ”Choice Games”Sergiu Hart November 4, 2013
(抜粋)
A similar result, but now without using the Axiom of Choice.^2 Consider the following two-person game game2:
? Player 1 chooses a rational number in the interval [0,1] and writes down its in?nite decimal expansion^3 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}.
? Player 2 asks (in some order) what are the digits xn except one, say xi; then he writes down a digit ξ ∈ {0,1,...,9}.
? If xi = ξ then Player 2 wins, and if xi 6= ξ then Player 1 wins.

By choosing i arbitrarily and ξ uniformly in {0,1,...,9}, Player 2 can guarantee a win with probability 1/10. However, we have:

Theorem 2 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game2 guaranteeing him a win with probability at least 1 ? ε.

Proof.
The proof is the same as for Theorem 1, except that here we do not use the Axiom of Choice.
Because there are only countably many sequences x ∈ {0,...,9}N that Player 1 may choose (namely, those x that become eventually periodic),
we can order them － say x(1),x(2),...,x(m),...－ and then choose in each equivalence class the element with minimal index (thus F(x) = x(m) iff m is the minimal natural number such that^4 x ～ x(m)).

Remark. When the number of boxes is ?nite Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing the xi independently and uniformly on [0,1] and {0,1,...,9}, respectively.

Note:
^2 Due to Phil Reny.
^3 When there is more than one expansion, e.g., 0.1000000... = 0.0999999..., Player 1 chooses which expansion to use.
^4 Explicit strategies σj may also be constructed, based on Rj being the index where the sequence yj becomes periodic.

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/04(日) 10:55:44.06

＜文字化け訂正＞
>>62 つづき

５．game2の部分を抜粋する
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf PUZZLES ”Choice Games”Sergiu Hart November 4, 2013
(抜粋)
A similar result, but now without using the Axiom of Choice.^2 Consider the following two-person game game2:
・Player 1 chooses a rational number in the interval [0,1] and writes down its infinite decimal expansion^3 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}.
・Player 2 asks (in some order) what are the digits xn except one, say xi; then he writes down a digit ξ ∈ {0,1,...,9}.
・If xi = ξ then Player 2 wins, and if xi 6= ξ then Player 1 wins.

By choosing i arbitrarily and ξ uniformly in {0,1,...,9}, Player 2 can guarantee a win with probability 1/10. However, we have:

Theorem 2 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game2 guaranteeing him a win with probability at least 1 ? ε.

Proof.
The proof is the same as for Theorem 1, except that here we do not use the Axiom of Choice.
Because there are only countably many sequences x ∈ {0,...,9}N that Player 1 may choose (namely, those x that become eventually periodic),
we can order them － say x(1),x(2),...,x(m),...－ and then choose in each equivalence class the element with minimal index (thus F(x) = x(m) iff m is the minimal natural number such that^4 x ～ x(m)).

Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing the xi independently and uniformly on [0,1] and {0,1,...,9}, respectively.

Note:
^2 Due to Phil Reny.
^3 When there is more than one expansion, e.g., 0.1000000... = 0.0999999..., Player 1 chooses which expansion to use.
^4 Explicit strategies σj may also be constructed, based on Rj being the index where the sequence yj becomes periodic.
(引用終り)

**現代数学の系譜11 ガロア理論を読む** · 2016/12/04(日) 10:56:48.84

>>62 つづき
で>>47だね

”俺は時枝問題の有理数バージョン、Hart氏のgame2を以下のように変更するのである：

『1個の有理数に対応する1列をplayer2が100列に並べ直すのではなく、
100列が独立同分布（ポアソン分布）でゲーム開始時に用意されているものとする』

このようにゲーム設定を変更しても、可算無限個の数字の1つを
的中させるという問題の不可思議さは変わらないことを、まず認めよ。”

１．結論から言えば、No！的中できない。というか、箱には{0,1,...,9}なので、確率1/9だ
２．その”100列が独立同分布（ポアソン分布）”の意味が分からんが、おそらくNo！の結論には影響しないと思う