高校数学の質問スレPart402
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【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレPart401
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567691316/ 今の高校の教科書の曲線の長さの定義は
∫√(1+f'(x)^2)dx。 >>77
積分の定義から
∫ √{1 + f '(x)^2} dx
= lim[n→∞] Σ[k=1,n] √{1 + f '(y_k)^2} (x_{k+1}-x_k),
ここに x_k < y_k < x_{k+1},
だが、f(x) は微分可能だから 平均値の定理より
f '(y_k) = [f(x_{k+1})-f(x_k)]/(x_{k+1}-x_k),
x_k < y_k < x_{k+1},
となる y_k がある。それを使えば
Σ[k=1,n] √{(x_{k+1}-x_k)^2 + [f(x_{k+1})-f(x_k)]^2}
すなわち、折線の長さになる。
区間を分割することで n→∞ とする場合は、単調増加する(△不等式)が、
上限になるかどうか････ 折れ線使うのは面白いけど、今の高校の教科書の設定ならf(x)=√(1-x^2)直接当てはめた方が早いね。 >>81
ダメだろ
それ積分するのにはsin(x)の微分が必要じゃねえの？ >>82
別スレで出てた。
問題文一行の超難問を出し合うスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1569140145/37,39
円に外接する多角形の周長は円周よりも長いことを厳密に証明せよ。
tan(x)>x if 0<x<π/2
を示すの？
>>36
そう。トートロジーにならないように弧長の定義に沿って示してほしい。
偏角θが0<θ<π/2である点P(a,b)を単位円上に、Q(1,c)をx=1上にとる。
示すべきはθ<c。
θ=∫[0,b]1/√(1-y^2)dy
<∫ [0,b]1/√(1-b^2)dy
= b/√(1-b^2)
= c よくよく考えたらsin(x)挟むのに
x=∫[0,sin(x)]1/√(1-x^2)dx
が恒等式であること利用するなら
1≦1/√(1-x^2)≦1+5x/12 (0≦x≦3/5)
で十分だな。
コレで
0≦sin(x)≦x≦sin(x)+5sin^2(x)/24
が出せる。 >>80
n→∞ と言っても分け方は様々で、
上限値に近づくような分け方をすれば、それに収束するけど････
>>77 の積分が、どういう分け方をしても同じ値に収束するなら
折線の上限値と一致するはず。 >>83
与えられた外接多角形L0を切頂した多角形をL2とする。
>>73 より、
円に内接する任意の多角形L1 の周長は L1 < L2
∴ (円周の長さ) = sup(L1) ≦ L2 < L0 △OABに対して，OPベクトル=sOAベクトル+tOPベクトルとする。
実数s，tが次の条件を満たしながら動くとき，点Pの存在範囲を求めよ。
(2)0≦s≦1，0≦t≦2
先生、s+t≦3，OPベクトル=1/3s3OAベクトル+1/3s3OBベクトルとして三角形ではだめな理由を反例とかを使えればそれを使って教えていただけませんか？ >>88
t=0,s=3の場合とかも含まれちゃうでしょ
基本的に不等式どうしを足したら条件の強さが弱まるよ >>88
>OPベクトル=sOAベクトル+tOPベクトル
じゃなくて、OPベクトル=sOAベクトル+tOBベクトル
だよね。
xy平面上に△OABを、A=(0,a), B=(b,c) (ただし、a>0, b>0)
となるように配置し、P=(x,y)とおくと、x=bt,y=as+ct
となるので、bt = x, as = y - ct = y - (c/b)x
したがって、
0≦t≦2より、 0≦x≦2b
0≦s≦1より、 0≦ y - (c/b)x ≦a ⇔ (c/b)x≦y≦(c/b)x+a
ゆえに、Pの存在範囲は、４つの直線、x=0, x=2b, y=(c/b)x, y=(c/b)x+a
で囲まれる領域で、これはOAと2OBを隣り合う２辺とする平行四辺形（辺
を含む）となる。 >>88
線形なんだからst平面（直交座標系）上A(1,0), B(0,1)で考えたら後は線形変換するだけ
(2)の条件は長方形だから線形変換したら平行四辺形だよ >>88
OP↑=sOA↑+tOB↑において
(i)s≧0,t≧0,s+t≦1
⇔点Pは△OABの内部及び辺上にある
(ii)0≦s≦1,0≦t≦1
⇔点PはOA,OBを2辺とする平行四辺形の内部及び辺上にある
これが基本
(i)と(ii)を混同しないようにする
これの証明は教科書や参考書に載ってるから確認しておく事
今回は
0≦s≦1,0≦t≦2
なので(ii)と同じ形にするために
OP↑=sOA↑+(t/2)2OB↑
と変形
ここで
t'=t/2
OB'↑=2OB↑
とすると
OP↑=sOA↑+t'OB'↑
0≦s≦1,0≦t'≦1となるので
点PはOA,OB'を2辺とする平行四辺形の内部及び辺上にある >>91
残念ながら、平成以降の高校数学では線形変換は教えられてないはず。
平成２０年以降は行列も消えてしまった。 不等式ではs+t=kでkを変えていく方法で説明してるけどまだるっこしい思うは
数覚で感じ取れないものかね ここに書き込んでるのって崩れの成れの果てみたいな奴ばっかりだな。 >>97
は？
ハチワンダイバーみたいでいいじゃん。 書き込んでるのは大学で落ちこぼれた高校の数学教師とか塾講師とかだよね、明らかに。 >>97
まあいつまで経っても内容の変わらない高校数学はマウントとれる数少ない場所だからだろ >>101
そもそも多項式展開って何？そんな用語あるのか？
テイラー展開の事言ってるのか？
それにはsinの微分を使うって意味じゃないのか？
高校数学だと
(sinx)'=cosx
を示すのに
sinx/x→1
を使うから循環論法になってる
だからアホって言われたんだろうね sinx／xが1に至ることは証明されているので疑いようもないじゃん
それを理解できないという話なんじゃ無いの？だからマクローリン展開された式でも眺めてればわかるのでは？というふうに言った(つもり) >>104
sinx/x→1を納得させるためにマクローリン展開を眺めろって言うのか？
循環論法になるだろ
アホ丸出し >>105
循環論法になるか？証明自体は理解できてるわけでしょ？ 証明自体は >>72-73 にある。
微積分法の定理を使えば簡単だが、循環論法になる。
(例) 曲線の長さを積分によって定義する >>77 >>107
証明をしたいという話なのか、1に至ることの感覚的な理解をしたいという話なのかごちゃ混ぜになっているようだ
私はここらで退散しよう >>106
>>104はsinx/x→1を示すのにマクローリン展開を使えばいいと言っている
sinx/x→1を示すのにマクローリン展開を使う
↓
マクローリン展開を使うにはsinxを微分する必要がある
↓
(sinx)'=cosxを示すにはsinx/x→1を示す必要がある
となって循環するだろ
三角関数を単位円以外で定義してもいいが、ここは高校数学のスレだ
(勿論マクローリン展開も高校数学の範囲外だが)
sinx/x→1を示すには教科書通り面積で不等式を作るか弧長で不等式を作ればいい
扇形の面積(1/2)θを求めるためには積分を使う必要があり、この時にsinθの微分を使うので循環論法だと主張する奴もいるが
それは上手く計算すれば回避出来る 今の高校の教科書にのってる範囲の知識て折れ線の長さの極限が教科書の長さの定義のそれに一致する事の証明は、相当難しい。
発展テーマでリーマン和を取り扱ってないと一般論はかなり厳しい。
区間をn等分して左端、右端の値でリーマン和をとった極限が積分で計算できる話しか載ってない。 よくある
正三角形の頂点を大変に折り返して
4分の１サイズの正三角形2つにしていく事を繰り返して
図形の収束に関して折線の長さが不連続であると認識
なんとかのランタンでもって表面積の方はもっと危ない >>109
示すというか、感覚的に理解したいんならそういう論もあるよというだけの話 >>112
感覚とかw
sinx/x→1が理解出来てないやつに天下り的にsinxのマクローリン展開見せられて納得出来るかよ 知らないよそんなのwわかんない奴の気持ちなんてわかんないし >>114
そもそも感覚って何だよ
マクローリン展開の式を見て感覚とか意味不明 >>115
そう言われてもなあ…感覚的な感じするし >>116
sinxをマクローリン展開して両辺をxで割る
そしてx→0とするとsinx/x→1
これのどこが感覚なんだ？ 最小の値が決まるだけで、それより大きいどんな値もとるということへの言及がないから、とかかなぁ
ほぼ自明だけど >>119
おそらく最小値求めるだけじゃダメでいくらでも大きくなりうる事も示しておかないとダメだっていってるんじゃないか。
実際最小値求めただけだと減点されても文句言えないと思うよ。
問題文がその文章なら。 >>120
相加相乗平均の関係を使えば、結果は不等式でt≧2と出るはずだから
問題ないんじゃねーの？ ああ、上限がないことにも言及しろってことか。了解。 そんなこといったらいくらでも大きくなるし、最小値より大きい全ての数を取りうることも言わないとダメじゃないですか？ まあ、t>2^xで上限がないことだけいえば、連続性は自明ってことでええんでない？ｗ 普通その話を出題するときの出題テーマとしては相加相乗からの最小値が出せるかでいいんだけど、それでいいなら最小値を求めよにしてる。
わざわざ範囲を求めよといってるのなら上限の話にも最低ひとくさ書いておかないとダメかも知れん。
しかし続く設問でたとえば
4^x+4^(-x)+10(2^x+2^(-x))のとりうる値の範囲を求めよ
とかが続いていて、その問題のヒントのつもりで付けてる小問ならそこまでとやかく言われないかも知れん。
自分が教師の立場なら上限考えないと減点されても文句いえんから一言ふれとけと言うね。 この場合ならtに対するxの現物を突き付けるのが手っ取り早い 最小値求めるだけで十分ですよ
わざわざ連続性が云々言ってる解答見たことないですよ >>119
ｔの取り得る値がt≧2を満たすというだけだから
t≧2ならばtの取り得る値になるということは言っていない タテヨコの3×3でできた合計9個のマス目を白か黒で塗りつぶすとき、全体を回転させたり、上下または左右反転させて一致するものを同じものとして数える場合、全部で何通りの塗り方がありますか？
中心は回転・反転しても影響ないので中心を無視して数えた後に2倍すればよいとこまでは考えつきましたが、残りの部分での組み合わせの数え方はどのようにすればよいでしょうか？
地道に数えていったら途中で被るものがでてきて混乱してしまいました >>138
A0 A1
□□□ □□□
□□□ □■□
□□□ □□□
B0 B1 B2 Bp B3 B4
□□□ □■□ □■□ □■□ □■□ □■□
□□□ □□□ □□■ □□□ □□■ ■□■
□□□ □□□ □□□ □■□ □■□ □■□
C0 C1 C2 Cp C3 C4
□□□ ■□□ ■□■ ■□□ ■□■ ■□■
□□□ □□□ □□□ □□□ □□□ □□□
□□□ □□□ □□□ □□■ □□■ ■□■
以下のB0〜B4とC0〜C4を組み合わせたときのパターン数
012p34
-+------
0|111111
1|123121
2|132231
p|112111
3|123121
4|111111
合計すると51通り
A0,A1と組み合わせるとその2倍で102通り >>140
とても整理された解法で納得いきました！ありがとうございました！
辺と角で分けてから組み合わせるのですね。
対称性の縛りがあるとやっぱ簡単な計算でというわけにはいかないのですね… ちなバーンサイドの定理
(2^(9)+2^(3)+2^(3)+2^(5)+2^(6)+2^(6)+2^(6)+2^(6))÷8
=102 >>142
そんな定理があるんですか！
大学レベルだと一般化できるのですか…
0 90 180 270度と、それぞれの線対称の計8パターンでしょうかね 三辺の長さがa,b,c (a,b,cは整数) で、面積が0.5a^2 になるような三角形の例は
ありますか。 >>118
うーん、そういう見方をしてるようだとそりゃわからんよ
この話は無視しとくれ >>119
だめじゃないよ
この人が変なだけ
この人も自信がないから結論を言えないんだよ xを実数とする。
1) 次の(a)(b)(c)が同値であることを示せ。
(a) 単位円の面積はπである。
(b) {sin(x)} ' = cos(x)
(c) lim[x→0] sin(x)/x = 1,
2) (c)を示せ。
http://twitter.com/HimaginaryMp/status/1190404664501522433
数学問題置き場
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>145
感覚とか曖昧なもの持ち出してアホ丸出し >>146
> この人も自信がないから結論を言えないんだよ
お前もハッキリ言えよ
どういう見方すればマクローリン展開の式を眺めるとsinx/x→1である事が｢感覚｣で理解出来るかを >>146
何でダメじゃないんだ？
既に上の方に書かれているが、最大値や上限が存在しない事に言及しないとダメだろ
変なのはお前だ 相加相乗使うときにいつもそうしてるの？
今まで一度もそんなことしたことないけど
片側だけで答案書いてもなんも減点されたことないよ >>151
記述式でマトモな採点者なら減点する
逆に最小値だけ調べればいいと思う理由は何だ？ >>152
そうなの？
だいたい使うといったら2^x+2^-x=tとか置いてtの二次式の最大最小とか求めるときにtの範囲とかに相加相乗使うけど、そんな時にわざわざ書かないけど
みんな書いてるの？ >>153
だから最小値だけでいいと思う理由を書けよ 何でそんなに熱くなってるの？
実生活が満たされてないの？ 連続性とかそんなことまで書いてる回答なんて見たことないですよ
どうせ連続性とか無限にいくかどうかだって、εδでゴリゴリ示すんでなくて、連続だから〜無限になるから〜て流すだけじゃないですか >>119
示さなければならないのは、次の二つの集合が一致すること。
｛t｜t∈R、t≧2｝
｛t｜或るx∈Rがあって、t=2^x+2^(-x)｝ 数列 { a_n } を次のように定義する
a_1 = 7， a_{n+1} = (a_n)^2
a_n を 6^n で割ったときの余りを求めよ
この問題はそもそも解けるのでしょうか
解けないと思うのですが >>166
じゃあ答えろよ
t=2^x+2^(-x)の範囲を示すのに最小値だけでよい理由を >>170
だから早く答えろよ
最小値だけでいい理由を
何で上限について言及しなくていいんだ？
早くしろカス >>171
じゃあ授業料の前金１千万円ふりこめや貧乏人w >>172
1千万円とか小学生みたいな事言ってないで早く答えろよクズ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
