高校数学の質問スレPart401
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレPart400
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559743596/ 主な公式と記載例
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分] 基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b （足し算) a-b → a 引く b （引き算)
a*b → a 掛ける b （掛け算) a/b → a 割る b （割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n]a_(k) → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ（環境によって異なる）∮は高校では使わない）
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
■共役複素数
z=x+iy ( x , y は実数 ) に対し z~=x-iy 単純計算は質問の前に http://www.wolframalpha.com/ などで確認
入力例
・因数分解
factor x^2+3x+2
・定積分
integral[2/(3-sin(2x)),{x,0,2pi}]
・極限
limit(t*ln(1+(1/t^2))+2*arctan(t))) as t->infinity
・無限級数
sum (n^2)/(n!) , n=1 to infinity
・極方程式
PolarPlot[2/sqrt(3-sin(2t)), {t, 0, 2Pi}]
グラフ描画ソフトなど
・FunctionView
http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/
・GRAPES
https://tomodak.com/grapes/
・GeoGebra
https://sites.google.com/site/geogebrajp/
入試問題集
http://www.densu.jp/index.htm
http://www.watana.be/ku/
http://www.toshin.com/nyushi/ （問題）a>0とする。平面上の円x^2+y^2=25と放物線y=(x-a)^2が接するとき、接点の座標及び接線の方程式を求めよ。
（答え）
接点の座標は、
(2a/3,1)
接線の方程式は、
y=-2ax/3+1+4a^2/9 >>5
放物線y=(x-a)^2が接する接点の座標は、(x,y)=(2a/3,1) だという
放物線y=(x-a)^2はその接点を通るから、1=((2a/3)-a)^2 であるはずだ
これを解くと、(aは正の数だから) a=3 でなければならないが、
はたして、円x^2+y^2=25は接点とされる(2a/3,1)つまり(2,1)の座標を通るのだろうか？ 前>>8
円と放物線の接線を、
y=-bx-c（b＞0,c＞0）
とおくと、
接点の座標は、
(a-b/2,a/b-1/2)
（0＜a-b/2＜5,0＜a/b-1/2＜5）すなわち、
（0＜2a-10＜b＜2a）
放物線上にあるから、
a/b-1/2=(a-b/2-a)^2
a/b-1/2=(-b/2)^2
4a/b-2=b^2
b^3+2b-4a=0
（a＞0,b＞0）
円周上にあるから、
(a-b/2)^2+(a/b-1/2)^2=25(a-b/2)^2(1+1/b^2)^2=25
（0＜a-b/2＜5,0＜a/b-1/2＜5） >>5
まずaを求めないとね。
x^2+(x-a)^4=25 という4次方程式が重解を持つ条件を考えれば
いい。X=(x-a)とおいて、この方程式をXで書き換えると
X^4 + X^2 + 2aX + a^2 -5 =0 になるから、この方程式の
判別式は、
D= 256γ^3 - 128(36αβ^2 +4α^4)γ - (27β^2+4α^3)β^2
（ただし、α=1, β=-2a、γ=a^2-25)
cf. http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~myoshida/stlasadisc.pdf
A=a^2とおくと、D=0 はAの3次方程式となり、その実数解は、
(1/48) {1199 + [58373999 - 647760 sqrt(8097)]^(1/3) + [58373999 + 647760 sqrt(8097)]^(1/3)} = 36.08…
なので、a=sqrt(A)=6.0…
と、とりあえず３次方程式の解の公式さえ知ってればaは求まる。
一方、接線を共有することから、-x/y=2(x-a) より、
2(x-a)^3+x =0 という３次方程式を解くと、
x = {sqrt(81 a^2 + 6) - 9 a}^(1/3)/6^(2/3)
- 1/{6^(1/3) (sqrt(81 a^2 + 6) - 9 a)^(1/3)} + a
=4.679…
y=(x-a)^2=1.76…
接点の座標はおよそ(4.68,1.76) 前>>9再開。
円と放物線の接線を、
y=-bx-c（b＞0,c＞0）
とおくと、
接点の座標は、
(a-b/2,a/b-1/2)
（0＜a-b/2＜5,0＜a/b-1/2＜5）すなわち、
（0＜2a-10＜b＜2a）
放物線上にあるから、
a/b-1/2=(a-b/2-a)^2
a/b-1/2=(-b/2)^2
4a/b-2=b^2
b^3+2b-4a=0――①
（a＞0,b＞0）
円周上にあるから、
(a-b/2)^2+(a/b-1/2)^2=25
(a-b/2)^2(1+1/b^2)=25
(a-b/2)^2(b^2+1)=25b^2――②
（0＜a-b/2＜5,0＜a/b-1/2＜5）すなわち、
（0＜2a-10＜b＜2a）
①よりaを②に代入すると、
(b^3/4)^2(b^2+1)=25b^2
b^6(b^2+1)=100b^2
b^4(b^2+1)=100
やっぱりかなりの傾き。
bが出ればcも出るはず。 前>>11
>>12
bとcが出たらaは手動で求まると思う。 >>12
つ10
a=sqrt( (1/48) {1199 + [58373999 - 647760 sqrt(8097)]^(1/3) + [58373999 + 647760 sqrt(8097)]^(1/3)} )
が厳密解。 前>>13
接線の方程式は、
y=-2.6550623x+1.376639a-1.82753115
接点の座標は、
(a-1.32753115,a/2.6550623-1/2)
厳密に出た。 何でａが残ってるの？
接するのは１通りだけじゃないの？ 前>>16
>>17
そんなこと知るか。
出題者に訊いてくれよ。
出題者が放物線の軸はx=a(a＞0)にするって言ってんだからaはaだろう。
aを数字に変えたら跡形もなくぜんぶ数字になっちまうよ。 接するときは特別な場合しかないんですから求められるはずですよ？ >>18
>https://i.imgur.com/xBUburW.jpg
(1)
an=[log_3 n]=k
k≦log_3 n<k+1
3^k≦n<3^(k+1)
#{n}=3^(k+1)-3^k
(2)
an=0 (1≦n<3)
S(3-1)=0・(3^1-3^0)
an=1 (3≦n<3^2)
S(3^2-1)-S(3-1)=1・(3^2-3^1)
…
an=m (3^(m-1)≦n<3^m)
S(3^m-1)-S(3^(m-1)-1)=m・(3^m-3^(m-1))
S(3^m-1)=S(3-1)+(S(3^2-1)-S(3-1))+…+(S(3^m-1)-S(3^(m-1)-1))=Σ[k=1,m] (k-1)・(3^k-3^(k-1))
3S(3^m-1)=Σ[k=1,m] (k-1)・(3^(k+1)-3^k)=Σ[k=2,m+1](k-2)・(3^k-3^(k-1))
2S(3^m-1)=(m-1)・(3^(m+1)-3^m)+Σ[k=2,m](-1)・(3^k-3^(k-1))-0・(3-1)=(m-1)・(3^(m+1)-3^m)+(-1)・(3^m-3)=(2m-3)・3^m+3
S(3^m-1)=((2m-3)・3^m+3)/2 >>18
a[n]=kとなるのは
3^k≦n≦{3^(k+1)}-1
の範囲
これはkが
{3^(k+1)-1}-3^k+1=2*3^k
個あることを意味している
kが0からm-1まで足しあわせれば答えがでる >>19
図を書けば接するのは１通りしかないのは分かりそうなものなのに >>18
>https://i.imgur.com/xBUburW.jpg
anは3進法での桁数-1
1
2
10
11
12
20
21
22
100
101
102
110
111
112
120
121
122
200
201
202
210
211
212
220
221
222
1000
… 桁数ｰ1は
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
… これを
0
0
1
1
1
1
1
1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1
1+1+1
…
と見て縦に加えると
(3^m-3)+(3^m-3^2)+…+(3^m-3^(m-1))=(m-1)・3^m-(3^m-3)/(3-1)=(m-3/2)・3^m+3/2 >>19
あほｗ
aは一意に定まるに決まってるだろ。
そもそも>>11のbを解くと b=2.081..となるので、
>>16が出てくるわけないし。
>>10に書いた通りに厳密解が求まってるのに、
なんでデタラメを言うｗ
救いようがないな。 >>18
a[n]をずーっと並べると、……、m-1、m-1（※）、m、m……ってところがどこかにある
a[n]=m-1となる最大のnが3^m-1だから、※がa[3^m-1]ってことになる
S（3^m-1）とは、a[n]を第1項から※まで足せってことになるので、波線の式になる >>28
なるほど－！わかりやすい説明まで付けてくれて
ありがとうごさまいました！ ね？イナはそもそも問題の意味がそもそも取れてないwww 「aの値を求めよとは言われなかったので求めません」って平気で言い放てるのは、どういう種類の精神疾患かな 前>>19わかった。aを出してみる。
接点(a-b/2,a/b-1/2)が円周上にあることから、
a^2-ab+b^2/4+a^2/b^2-a/b+1/4=25
(1+1/b^2)a^2-(1+1/b)a+(b^2+1)/4=25
(1+1/b^2)a^2-(1+1/b)a+b^2-99)/4=0
a=[1+1/b+√{(1+1/b)^2-b^2+99-1+99/b^2}]/2(1+1/b^2)
=[7.0493550623+2.6550623+√{99･(7.0493550623)^2+2･(7.049355826)(2.6550623)-(7.049355826)^3+(7.049355826)･100)}]/2･(8.0493550623)
=5.12996946（＞5は満たす）
もっと大きいと思うんだが。
計算が違うかも。
違うとしたら演算の順序かと。 答えさえわかればaなんかどうでもよいんや。前>>32きちんと割りきれる数字やないでaにしたるんやでな。
a={(26.550623)(2.83713867)+(79.1906785)/(2･8.049355826)
=9.59818904（＞5は満たす）
ちょっとでかいの。
ちょっとでかい。 高木くんはシロウトである。
シロウトであるにもかかわらず、
・医者が病気だと診断したことを誤診と決めつけ
・レフェリーが多数のmistakeがあると判断したことを誤りと決めつけ
のようなことをしても到底一切信用出来ないのである。 前>>35訂正。
a={(26.5550623)(2.83713867)+(79.1906785)}/(2･8.049355826)
=9.59897139
たぶん計算ミス。
a≒6だと思う。 >>5
１）高校数学の範囲で解ける問題ではない。
２）答えとして書かれているものと、問題が不整合。
なぜなら、（2a/3,1)は問題にあたえてある円周上にはない。
以上より、問題、答えのいずれか、あるいは両方とも誤りという
ことで、終了。 アレ？
なんかレス削除きた？
東大卒云々言ってたレス消えてるけど？
まさか恥ずかしくなって自分でレス削除？www レス削除ってなんだよｗｗｗｗｗｗ
馬鹿なの？このオッサンｗｗｗｗ もうテンプレにイナとそれに構うアホは全部荒らしだと入れとけ イナは最悪。
数学がわからないままその術語の醸し出す世界に酔っているだけ。 >>48
>もうテンプレにイナとそれに構うアホは全部荒らしだと入れとけ
なんだ、そうだったのか。
コテハンだからまともなのかと思ったら、ただのキ印かよ。
素直に答えを出して馬鹿みちゃったよｗ 前>>37
>>16より、aが出そう。
接線の方程式の傾きは、
-2.6550623={1.376639a-1.82753115-(a/2.6550623-1/2)}/(a-1.32753115)
-2.6550623a+(2.6550623)(1.32753115)=1.376639a-1.82753115-a/2.6550623+0.5)
(3.6550623)(1.32753115)=4.0317262a-a/2.6550623) とりあえずアボーンリストにいれておきました。＞イナ 前>>51円の方程式x^2+y^2=25を見て、接線の方程式は、
y=-2x√6+25
じゃないかと思う。接点が(2√6,1)だとすると、これが放物線y=(x-a)^2上にあることから、
1=(2√6-a)^2
1=24-4a√6+a^2
a^2-4a√6+23=0
図を描くと放物線y=(x-a)^2の軸x=aは円x^2+y^2=25の外にあり、a＞5
a=2√6+1
≒5.89897949
∴接点(2√6,1)
接線y=-2x√6+25 >>54
円 x^2+y^2=r^2 上の点(p,q)における接線は
px+qy=r^2
これを一種の公式として高校数学で使う事は多い
点(2√6,１)は円 x^2+y^2=25 周上の点なので、この点における接線は
2√6x+y=25
となることはすぐ分かる
しかし、放物線が(2√6,1)を通るからといって、それが放物線の接線になるとは限らない
そんな単純な事も分からないのか？ 専用スレは知らないけれど、総合スレではまともなコテなんてまず見ないな 前>>54繰り返すがaなどどうでもよい。
接点(2√6,1)における接線の傾きより、
-2√6=2･2√6-2a
a=3√6
≒7.348……
接線の方程式をy=-2x√6+cとおくと、
(2√6,1)が接線上にあることから、
1=-2√6(2√6)+c
c=25
∴y=-2x√6+25
接点の座標は、
(2√6,1) >>59
知能障害or真性アスペor荒らし
あなたはどれだ～？
邪魔だから消えてね >>60
ミスがあるなら具体的に指摘してみろ
出来ないならタダ荒らすだけのゴミクズ もうテンプレにイナとそれに構うアホとそれに構うアホは全部荒らしだと入れとけ >>61
横から口を出してスマンが、>>55は間違ってはいない。
だけど、>>54の人はそもそも明らかにおかしな人なので、
そんな人にレスしちゃう人もどうかしてるっていうのが、
>>60の主張なんだろう。口がすぎるとは思うけどね。
ということで、>>54の書き込みは放置すべし。 >>54
mathematicaでもgrapesでもよいので、グラフを書けばあってるかどうかわかるね 「 ０≦X≦2の範囲において常にＸ^2-2aX+3a＞0が成り立つように定数aの値の範囲を求めよ 」
①a＜0の時と
②0≦a≦2の時と
③２＜aの時と場合分けして
それぞれの共通範囲を出すところまではわかります
最後にそれを併せて答えは０＜a＜４となるのですが
なぜ最後に併せることが出来るのか理屈がわかりません
常に成り立たないといけないのであれば
「又は」ではなく「且つ」になると思うのですが・・
よろしくお願いします >>66
①②③は共通部分がない範囲で場合分けしてるんだから
最後に「且つ」にしたら必ず答えは解なしになるだろ >>66
aのとりうる場合を考えるんだから、(1),(2),(3)の「又は」でしょ。
与えられたXについての不等式が常に成り立つためのaの条件を(1),(2),(3)
のそれぞれのaの範囲で「且つ」をとって狭める。で、最後にそれらの
「又は」をとって、条件を満たしうるaの範囲を足し上げる。 >>66
“何が”常に成り立つなのかを混同している >>55
2次曲線の接線は
a→a
x→(x+x0)/2
y→(y+y0)/2
x^2→xx0
y^2→yy0
xy→(xy0+x0y)/2
一般のn次曲線の接線も同様の変換で可能 >>67
>>68
>>69
ありがとうございました
納得しました >>54
或る正の実数aが存在して、平面Π上の円 C'：x^2＋y^2＝25 と
放物線 (L_1)'：y＝(x－a)^2 とが、或るΠ上の点 (P')(x_1, y_1) で接するとする。
同一平面Π上で円 C' と放物線 (L_1)'、及び接点 (x_1, y_1) を何れもx軸に平行な方向に同時に －a ずらして考えると、
仮定から、平面Π上で円 C' をx軸方向に －a ずらした円 C：(x＋a)^2＋y^2＝25 と
Π上で放物線 (L_1)' をx軸方向に －a ずらした放物線 L_1：y＝x^2 とは、平面Π上の点 P(x_1＋a, y_1) で接する。
このとき、平面Π上において、点Pは円 C と放物線 L_1 との接線 l_1 上の点である。
放物線 L_1 の式 y＝x^2 の両辺をxで微分すると y'＝2x。
同様に、円Cの式 (x＋a)^2＋y^2＝25 の両辺をxで微分すると (x＋a)＋yy'＝0 を得る。
また、すべてのΠ上の放物線Lに対して、任意のL上の点 (P_1)(L) における接線の傾きは、すべて有界であり実数である。
円Cと下に凸な放物線 L_1 とは直線 l_1 上の点 P(x_1＋a, y_1) で接するから、接線 l_1 の傾きは0とは異なり、
点Pにおける接線 l_1 の傾きは、x＝x_1＋a のとき y'(P)＝(y_1)/(x_1＋a) となる。
同様に点Pにおいて、(x_1＋a)＋(y_1)(y'(P))＝0 となる。
よって、点Pにおいて (x_1＋a)＋(y_1)^2/(x_1＋a)＝0 であって、(x_1＋a)^2＋(y_1)^2＝0 が成り立つ。
しかし、仮定から、点Pで (x_1＋a)^2＋(y_1)^2＝25 である。
故に、点Pで 0＝25 となって 0＜25 に反し矛盾が生じることになる。
背理法が適用出来るから、背理法を適用すると、どんな正の実数aに対しても、
平面Π上の円 C'：x^2＋y^2＝25 と放物線 (L_1)'：y＝(x－a)^2 との接点 (P')(x_1, y_1) は存在しない。 >>66
>常に成り立たないといけないのであれば
>「又は」ではなく「且つ」になると思うのですが・・
A+B+C=1
P=P(A+B+C)=PA+PB+PC >>54
>>72の
>点Pにおける接線 l_1 の傾きは、x＝x_1＋a のとき y'(P)＝(y_1)/(x_1＋a) となる。
から先は間違いだから、>>72は無視していい。見なくていい。
だけど、あの問題は妙に難しかったから、別に解けなくていい。高校の問題じゃない。 >>54
あっ、>>72で大体合っていた。逆に>>75の前半がなし。 前>>57
>>54解けてると思う。
違う気もするけど。 誤)点Pにおける接線 l_1 の傾きは、x＝x_1＋a のとき y'(P)＝(y_1)/(x_1＋a) となる。
正)点Pにおける接線 l_1 の傾きは、x＝x_1＋a のとき y'(P)＝-(y_1)/(x_1＋a) となる。 アスペって今時は数学の世界ですらやっていけなくなってるからな
こんなスレを荒らすしかやることがない 有理係数の三次方程式は有理解持ってるケースとかでないと無理。
じゃ大学レベルかというとこんな問題大学で扱うわけもない。
∴クソ問 前>>77
y=(x-a)^2と、
y=-2x√6+25より、
(x-a)^2=-2x√6+25
x^2-2(a-√6)x+a^2-25=0
判別式D/4=(a-√6)^2-(a^2-25)=0
-2a√6+6+25=0
a=31/2√6
=31√6/12
=6.3278485……(＞5)
このとき、
接線y=-2x√6+25は、
放物線y=(x-a)^2と、
接点(2√6,1)において接する。 >>84
>>10に答えあるよ。
答え合わせきてみたら？ >>84
問題) 連立方程式 y=(x-31/(2√6))^2, y=-2x√6+25 を解け 前>>84
悔しかったら接点の座標と接線の方程式を出してみろよ。 >>81
俺が>>10を書いたんだけど、４次方程式の判別式なんて、検索して
みたら見つかったってだけで、存在すら知らなかったよｗ
で、３次方程式の解もWolframalphaにぶっこんだだけ。
手計算なんかでできるかｗ >>89
>判別式
f(x)=0が重解⇔f(x)=0, f'(x)=0に共通解
f(x)=0, g(x)=0に共通解⇔終結式Res(f(x),g(x))=0
判別式D≒Res(f(x),f'(x)) お前らスレタイ読める？
質問者がとっくに消えた問題でいつまでグダグダやってんの？
別スレ立ててそこでやれよ >>54
或る a＞0 を満たす実数aが存在して、平面Π上の円 C'：x^2＋y^2＝25 と
放物線 (L_1)'：y＝(x－a)^2 が或る点 (P')(x_1, y_1) で接するとする。
同一平面Π上で円 C' と放物線 (L_1)'、及び接点 (x_1, y_1) を何れもx軸に平行な方向に同時に －a ずらして考えると、
仮定から、平面Π上で円 C' をx軸方向に －a ずらした円 C：(x＋a)^2＋y^2＝25 と
Π上で放物線 (L_1)' をx軸方向に －a ずらした放物線 L_1：y＝x^2 とは、平面Π上の点 P(x_1＋a, y_1) で接する。
このとき、平面Π上において、点Pは円 C と放物線 L_1 との接線 l_1 上の点である。
放物線 L_1 の式 y＝x^2 の両辺をxで微分すると y'＝2x。
同様に、円Cの式 (x＋a)^2＋y^2＝25 の両辺をxで微分すると (x＋a)＋yy'＝0 を得る。
また、すべてのΠ上の下に凸な放物線Lに対して、任意のL上の点 (P_1)(L) における接線の傾きは、すべて有界であり実数である。
円Cと下に凸な放物線 L_1 とは直線 l_1 上の点 P(x_1＋a, y_1) で接するから、接線 l_1 の傾きは0とは異なり、
点Pにおける接線 l_1 の傾きは、x＝x_1＋a のとき y'(P)＝2(x_1＋a) となる。
円 C' の式 x^2＋y^2＝25 をxで微分したとき x＋yy'＝0 となることに注意すると、
同様に点Pにおいて、(x_1＋a)＋(y_1)(y'(P))＝0 となる。
よって、点Pにおいて (x_1＋a)＋(y_1)・2(x_1＋a)＝0 が成り立つ。
円Cと放物線 L_1 とは点 (－a, 5) で接っしないから、点Pにおける接線 l_1 の傾きについて
y'(P)≠0 であり、2(x_1＋a)≠0 から x_1＋a≠0。故に、1＋2y_1＝0 から y_1＝－1/2。
しかし、L_1 は平面Πの原点Oを頂点とするy軸に対称で下に凸な放物線だから、y_1＞0。
故に点Pのy座標 y_1 について －1/2＞0 となって －1/2＜0 に反し矛盾が生じることになる。
背理法が適用出来るから、背理法を適用すると、どんな a＞0 を満たす実数aに対しても、
平面Π上の円 C'：x^2＋y^2＝25 と放物線 (L_1)'：y＝(x－a)^2 との接点 (P')(x_1, y_1) は存在しない。 >>95
＞接点 (x_1, y_1) をx軸に平行な方向に－a ずらして考えると、
＞点 P(x_1＋a, y_1) で接する。
お前さん符号間違えとんぞ
背理法以前に算数ドリル100べんやってこい 前>>88
題意に則って図描いて方程式の切片と傾き考えただけ。あとは接点。紙と鉛筆。紙は裏紙。鉛筆はソニックの棒に太芯がついてるやつ。 >>97 イナさん答え書く前に検算くらいしてきてね 前>>88検算。
(2√6,1)における放物線の傾きは、
4√6-2a=-2√6
a=3√6
≒7.34846923（＞5）
最初の当たりでは、検算しておかしいと思ったのはここだった。
仮にaが6ぐらいなら、
接線の傾きは-2√6よりもう少し大きくなりプラス寄り、勾配はゆるやかになるはず。
接線をy=-2x√5+20+√5
接点を(2√5,√5)
とすると傾きは、
2(2√5)-2a=-2√5
a=3√5
≒6.70820393
二度目の当たりでもまだ遠い。近似値、近似点、近似線になるけど、
接線をy=-4x+19
接点を(4,3)
とすると傾きは、
2･4-2a=-4
a=6
まぁかなり近い値として、
接点(4,3)
接線y=-4x+19 前>>99前々>>97
接点の座標は、
(4,3)
接線の方程式は、
y=-4x+19
傾きがあわないけど、まぁ近いかな。太芯でごまかすべき。 イナはコテハン外したのか。
せっかくアボーンリストい入れたのに、しょうがねぇな。
まあ、別の方法で消すわ。 【問】aは実数の定数とする。2つの集合A = { x | x^2-(1+a)+a>0 } B = { x | x^2-ax+1-a }
について、A∪Bが実数全体の集合になるようなaの値の範囲を求めよ
【答】 -2-2*2^(1/2)<a<1
ここで質問なのですがBが実数全体の集合になるようなaの値の範囲は a<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2) です
この時、Aの条件に関係なくa<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2)であればA∪Bは実数全体の集合になりますよね？
でも答えはその範囲外です
これはどういうことなのですか？ >>103
B = { x | x^2-ax+1-a>0 }
訂正 >>103
> a<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2)
？ >>103
> ここで質問なのですがBが実数全体の集合になるようなaの値の範囲は a<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2) です
これが間違い、不等号が逆
問題の写し間違いは2ヶ所だけじゃないよ >>103
> ここで質問なのですがBが実数全体の集合になるようなaの値の範囲は a<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2) です
> この時、Aの条件に関係なくa<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2)であればA∪Bは実数全体の集合になりますよね？
もう一度検討しましょう。 >>103
申し訳ないです
もうひとつ追加訂正
a<-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2) <a >>109
>>107 さんのコメントを読みましたか？ >>109
念のため、>>107の間違い、というのは、写し間違いのことでなく計算間違いのことだから。 >>115
しましたよ
Bが実数全体の集合になるようなaの値の範囲は -2-2*2^(1/2)<a<-2+2*2^(1/2) です
ここは確定しているので逆のa≦-2-2*2^(1/2) , -2+2*2^(1/2) ≦aについて考えます
f(x)=x^2-(1+a)+a
g(x)=x^2-ax+1-a として g(x)=0の解をα、βとする
1<aのとき
α+β=a>0 αβ=1-a<0 より α<1<a<β
このときf(x)もg(x)も0より小さい部分が出来るから不適合
a<1のとき
α+β=a<1 αβ=1-a>0
a≦-2-2*2^(1/2)だと a<α<β<1で計算すると 1<a となり不適合
-2+2*2^(1/2) ≦a<1だと α<β<a<1でで計算すると a<1 となり -2+2*2^(1/2) ≦a<1 になる
∴ -2-2*2^(1/2)<a<-2+2*2^(1/2) または -2+2*2^(1/2) ≦a<1
つまり -2-2*2^(1/2)<a<1 > f(x)=x^2-(1+a)+a
訂正
f(x)=x^2-(1+a)x+a = (x-1)(x-a) 皆さん、もう色覚間覚記覚(視覚)味覚嗅覚聴覚(触覚)光覚想覚真覚(空覚)態覚命覚(時覚)は把握してますか。
初項50公比1/2の等比数列の和は、4つの内収束するで合ってるのでしょうか？極限をとれば100と教えて頂いたのですが。 ちなみにプランクメートルとヨクトメートルはどちらの方が短いですか
キアナちゃんが聞けって言ってたのですが 重力9.8は太陽もですか？
重力が無い世界から来たってテレちゃん先生が… 前>>102
結局>>5の題意を満たす接点と接線は存在しないの？
それとも、接点の座標も傾きも切片もすべて無限な小数のかたちで値が存在するの？
読めない人はそこを問われるのがいやなの？ 1枚の硬貨を4回投げるとき、表の面が2回以上続けては出ない確率を求めよ
という問題では、問題文から表が1回は出る、と解釈していいでしょうか。
それとも表がまったくでない場合も含むのでしょうか。 >>123
>表の面が2回以上続けては出ない
数学の普通の解釈では
「表の面が2回以上続けて出ない」＝｢「表の面が2回以上続けて出る」ことはない」
と解釈するので
｢表の面が2回以上続けて出る」ことはない＝「表表表表または表表表裏または表表裏表または表裏表表または裏表表表または表表裏裏または裏表表裏または裏裏表表」以外
となって「裏裏裏裏」も含まれます。
しかし
文系の人の場合は
「表の面が「2回以上続けて出ない」」
が「表｣に言及している時点でそれが「存在」することが確定しているとかなんとか屁理屈を言う可能性がなきにしもあらずです >>128
なきにしもあらずです
文系の人に言われたことが有ります 前>>121
>>123すごい。IDにcosが出てる。 >1枚の硬貨を4回投げるとき、表の面が2回以上続けては出ない
すなわち、全く出ないか、１回しかでないか、２回出るけど連続しないか。 0 <x<∞での関数f(x)を、f(x)= 1-x+ logxで定める。このとき、（1）曲線y=f(x)と直線y=x-1は0<x<1/2の範囲で1点で交わることを示せ。
(2)上の（1）での交点における曲y=f(x)の接線とx軸とy軸とで囲まれた三角形の面積をS1とし、曲線= f（x）と直線y=x-1で囲まれた領域の面積をS2とするとき比Si：S2を求めよ。
わかりません y=(1-x+logx)-(x-1)が0<x<1/2の範囲で単調増加すれば…ってことですかね pを素数、nを自然数とする。
1+p^2+p^3+p^4=2^n
をみたすp,nは存在するか。
未解決です。
p=30k+1まで絞り込んだのですが…。 >>137
まちがえました。
1+p+p^2+p^3=2^nです。 >>138
(1+p)(1+p^2)=2^n より p+1 = 2^k、p^2+1 = 2^l (l＞k≧1)とおける。
2^l = (2^k-1)^2 + 1 = 2^(2k) -2^(k+1) + 2。
vを2進付置として
v(LHS)≧2、v(RHS)=1
により矛盾。 >>140
因数分解できることに気づかなかった…、ありがとうございます。
～進付置について少し調べました。
ここでは左辺が2で2回以上割り切れるけど、右辺は1回しか割り切れないってことですね。 色を持たない元素は数的には何の力価を持ってるのですか？ 2次関数の最大最小問題についてです。
たとえば、下に凸な2次関数でa≦x≦a+4の範囲での最大値を求める問題で、あるaの値で範囲の左右の値が等しくなる（両端で最大値となる）時があるじゃないですか。
答えを書く場合それを別にした方がいいんですか？
今までは例えばa=3の時等しくなったとしたら解答は、a≦3の時f(a)、a>3の時f(a+4)と書いていました。 >>146
ｘがどんな値なのかまで答えなければならいなといときは
そのときだけｘの値は２つあるのだから別にしなければいけないだろう 「最小値とその時のxの値」ではなく、「最小値」を求めろと言ってるんだから
xは1個見つければ十分でね
2個あるのに1個しかないとか書くのはアウトだけど >>146
細かく場合分けをするなら
a＜3のとき 最大値 f(a)
a＝3のとき 最大値 ｆ(3)＝ｆ(7)
a＞3のとき 最大値 f(a+4)
と書くべきかもしれません
しかし、実際はa＝3の場合をa＜3またはa＞3のどちらかに含めて書いている解答が多いように思います
ウチの担任によれば、｢境界の値はどちらかに含めておけばいい｣と昔言ってました >>146
まともな参考書では３通りにわけてるし
最小値を求めよと聞かれたら
最小値のみでなくそのときのｘの値も求めるのが常識だから
>>149や>>150のような言葉を字義どおりにしか受け取れない
馬鹿は無視したほうがいいよ。
このスレにはそういうキチガイがとっても多いから気を付けて。 >>151
数研のチャートでもどちらかに含めていましたし、
センター試験の過去問かマーク模試か忘れましたけどどちらか一方に含めた形で答えるようになっていました
実際にそうなってるのに、それを否定する根拠を教えて下さい >>152
ついでにセンター試験の過去問は何年のものか教えてください。
あなたの嘘を暴きたいので。 >>153
見てませんけど
質問を質問で返すのは話題そらしですよね？ この場合、チャートが間違いである根拠を示す必要があるんでないか？ >>151
キチガイはお前
字義通りの解釈以外にどうしろと？ >>155
ではチャートだけを見てケチつけてるということですね。
フォーカスゴールドでは３通りですよ。
話題そらしとかマウントとり必死にならなくていいから
せめて調べてから文句言ってください。
それともおこちゃまですか？
そもそも誘導式のセンター試験ではそのときのｘの値が問われていないならば
２通りの場合分けの穴埋めで答えさせるのもあるのが常識ですよ。
ちなみに>>146はセンター形式の問題を聞いているようには見えませんので
勝手に曲解をするのはやめてくださいね。
あなた程度にいわれなくてもそんなセンターの常識は知り尽くしております、ハイ。、 >>158
センター試験のような穴埋め式ではOKで
記述式の試験ではダメな理由を教えて下さい >>161
頭が悪そうなのでこれで最後にしますね(笑)
センター試験では場合分けが出題者によって提示されているからですね。
記述式は「常識」と書きましたが「ダメ」とは書いていませんので眼科か精神科へどうぞ。 >>158
センター試験のような穴埋め式だと２通りに場合分けがある事を知りながら
なぜ、何年度の試験なのか聞いたのですか？
嘘を暴くと言っていましたよね？
２通りに場合分けされてますよね？
どうやって嘘を暴くのですか？
センター試験の過去問を見直して間違いに気付いたのではないんですか？
早く嘘を暴いて下さい >>165
そんなに悔しがらなくてもいいですよ
あなたがもっと勉強してわたしのレベルまで到達すればいいだけのことですから(笑)(笑)(笑) >>162
その常識はどこの常識ですか？あなたの頭の中だけの常識ですか？
センター試験だと２通りでOKなのに
記述式だと３つに分ける理由を教えて下さい >>166
早く嘘を暴いて下さいよ
頭いいんですよね？ 等号を片方あるいは両方に含めても間違いじゃないんだからいいだろ
a=3を含めて成り立つのにむしろなぜ分けるのか謎
xの値に関してもx=a,a+4と書けば問題ない
前スレもそうだったけどくだらない議論はやめようぜ >>169
かなり時間が経ちましたけど、まだ嘘は暴けないんですか？
アナタも連投してますよね？ブーメランですよね？ >>172
嘘を暴くと言ったのはアナタですよ？
早く暴いて下さい >>151
＝ではなく>=のような書き方でまとめて問題ないですよ。これでバツとなった例ってあります？
三通り書いてある参考書ではなく、二通りにまとめて書いてバツとなった例。実例を出して頂ければ。
受験問題なのかな？
もしこの解答でバツとなってしまう受験問題は存在しないと思いますし、もしバツとなってしまうような大学であれば、入らない方が良いレベルですよ。
あなたの考えがあり、主張されるのは立派だと思いますが、このスレは受験生等も見ている可能性もあります。嘘はいけないですよ。 >>176
ん？誰も言ってないことを言ったことにして（ねつ造）して嘘つき呼ばわりですかぁ～(笑)
悔しくてねつ造(笑)(笑)(笑)
朝鮮人みたいですね(笑)(笑)(笑) >>177
あれ？？>>150の下部分の記載が誤りと言ってるのではないのでしたっけ？ >>146
論理的にあっている答えなら何でもいいです。
あっている答えを×をつける方がおかしいです。 次から次と頭の不自由な人が湧いて出てきたのかと思ったら
おじさんが一人で粘着してるようですね(笑)(笑)(笑)
どれほど悔しいのでしょうか(笑)(笑)(笑) まとめると。
>>146のような問題は
>=と<等で2つにくくってしまって全く問題ありません。
丁寧に3つに分けてもマルとなりますが、2つにくくってもマルで、バツとなることはあり得ません。
仮にバツとなるようなら、それは誤植レベルって事です。 >>180
>>178に回答頂ければ。
あと同一人物としてお話ししますけど、別スレで独創的な主張されるのは良いと思いますが、高校数学において嘘や高校生を惑わすような書き込みはやめた方がいいですよ。それはやり過ぎだと思いますし。
同一人物でなければすみません。 >>146
まともな参考書では３通りにわけてるし
最小値を求めよと聞かれたら
最小値のみでなくそのときのｘの値も求めるのが常識だから
>>149や>>150のような言葉を字義どおりにしか受け取れない
馬鹿は無視したほうがいいよ。
このスレにはそういうキチガイがとっても多いから気を付けて。
>>182
誰と勘違いしてるのかわかりませんし興味もありませんが
あなたが悔しがってることはよくわかりました(笑)(笑)(笑) >>184
劣等感は
>>173
>>185
ですよ。ほんと鈍いですねあなた(笑)(笑)(笑) >>183
なぜ回答は頂けないのですかね。。
まあ>>181で合ってると認識頂ければ良いですよ。
あと別人なんですねw
数学板はカオス世界ですわ >>186
煽るしか能がないんですか？
早く私の嘘を暴いて下さい ID:IuWan5jYって相加平均≧相乗平均を使ったら
等号が成り立つときを書くのが常識と思ってそうだな >>188
>>189
煽るしか能のないゴミｗｗｗｗｗ >>191
常識だから～とかいうのが口癖のようだけど
なぜそれを書くのかわかってなさそうだから煽られるんだよ。
だったら、なぜ常識か言ってみて。
良かったらヒントほしい？ まともな参考書だから～とか
とても数学をそれなりにやってきた人間の言葉とは思えないんだよな。
名著と言われているものにも誤りが誤植があるわけで、
常に疑って読んでいくという姿勢が一切なく、「ぼくがにんていしたまともなさんこうしょ」に書いてあることが「常識」であり、
間違いなんてないと思っているわけでしょ？
これ≧をやってきた人間の態度か？ｗ この世のものはある程度まで文章から確率を算出できるのでしょうか？
つまり明確に行動と行動基準が明記されていれば確率を出すことができるのでしょうか？
例えば「気分でたまに３個選んだり４個選んだりする」のような文でもなければ確率を出すことができるのでしょうかということです
5個の青玉5個の赤玉から何個取った時～のようなお手本のような文章はともかく、
例えば
赤青黄緑紫の５本の線を５秒以内にランダムで２本切った後に、５秒後基本ランダムで１本切る
５秒以内に赤・青を切った時は緑の線が硬化し切れなくなるので黄・紫のどちらかを切ることになる
５秒以内に青・黄を切った時は紫が硬化し赤・緑から切る線を選ぶ
５秒以内に黄・緑を切った時は赤・青が硬化し紫のみが切れる状態になる（切る線は紫で確定）
それ以外のパターンで線が硬化することはない
基本というのは線が硬化した際はまた切った線と硬化した線を除いて選び直すため
３本目に赤の線を切る確率は？
こういった複雑極まりないような出題（文章）でも確率を数字で算出できるのでしょうか？
もちろん別に本当に計算とかはしてもらわなくても構いませんが、可能なのかどうかだけ気になります >>195
4/10＊0+1/10＊1/2+1/10＊0+4/10*1/3=11/60 >>197
キチガイさんおはようございます
私の嘘を早く暴いて下さいよ
センター試験のような穴埋め式だと２つに場合分けして、記述式では３つに場合分けするのが常識である理由を教えて下さい
もし煽るだけだったらアナタの負けですよ >>197
なんで「常識」かわからないのかｗ
だめだこりゃｗ >>196
数学というものにちゃんと触れなくなって10年は経つので
2/5を4/10と表記するのは分母を揃えているんだなってのだけはわかったのですが、
それ以降の計算（0+1/10...）はもう全く何をやっているのかそもそも合っているのかもわかりませんがちゃんと出せるんですね…
こんなおバカな質問に答えていただき大変恐縮です
それにしてもあんだけダラダラ言語化したものをあっさりと一行にまとめてくるのだから理系の人はクールだと思いました >>200
横レスですが…
分母の10
これは最初の５秒で切る２本の線の色の組み合わせだと思われます
組み合わせの記号nＣrを使うと
5Ｃ2＝10通り
それを次の４通りに場合分けします(i)赤線を切る場合
もう１本の色は４通りあるので確率は 4/10
既に赤線は切ったので、次の５秒で赤線を切る確率は 0
よって３本目に赤線を切る確率は
(4/10)×0
(ii)青・黄を切る場合
これは１通りなので確率は 1/10
次の５秒は赤・緑のどちらかを切るので、赤線を切る確率は 1/2
よって３本目に赤線を切る確率は
(1/10)×(1/2)
(iii)黄・緑を切る場合
これは１通りなので確率は 1/10
次の５秒は紫線しか切れないので、赤線を切る確率は 0
よって３本目に赤線を切る確率は
(1/10)×0
(iv) (i)～(iii)以外の場合
この場合 10－(4＋1＋1)＝４通りあるので確率は 4/10
次の５秒は残った３本の中から切るので、赤線を切る確率は 1/3
よって３本目に赤線を切る確率は
(4/10)×(1/3)
(i)～(iv)より
３本目に赤線を切る確率は
(4/10)×0＋(1/10)×(1/2)＋(1/10)×0＋(4/10)×(1/3)＝11/60
になると思われます >>198
ガイジさんこんにちは。
相変わらず悔しそうですねｗｗｗｗｗ >>199
無職のガイジさん
涙ふこうかｗｗｗｗｗ >>202
あれ？また煽るだけですか？
３つに分けるのが常識である理由をいつ説明してくれるんですか？
説明出来ないんでしたらアナタの負けですよ？
煽る暇あるならさっさと説明して下さい >>204
暇人のガイジさん
悔しくて今夜も眠れなさそうですか？(笑)(笑)(笑) >>201
ありがとうございます！
なにか揉め事が起こっているようですけど、自分から見ればここにいる人みんなかしこくてすごい人ばかりなので
喧嘩をするのはもったいないなと思いました
数学って答えが同じならみんなが同じ答えを出せるというのが美しいですね 自然数a,b,cの最大公約数は1で
a^2=b^2+c^2-bc を満たす。
このときaを3で割った余りはいくらか。
これは答えは1でしょうか。 すまん、ない。
c:oddとして良い。
(2a-2b+c)(2a+2b-c)=3c^2
より平方自由な奇数kとm,nにより
2a+2b-c=3km^2, 2a-2b+c=kn^2, c=kmn または
2a+2b-c=km^2, 2a-2b+c=3kn^2, c=kmn とおける。
前者とする。
a=k(3m^2+n^2)/4, b=k(3m^2-n^2)/4+kmn/2, c=kmn
によりk=1、nは3の倍数でない。
∴ a≡1 (mod 3)
後者も同様。 ある数列a(k)のk=1からk=2^nまでの和がn以上であるとき、nを無限大にしたときにその和は発散すると言っても構わないのでしょうか？ 平方自由ってなんですか
高校生に分かる言葉でおながいします >>216
そりゃそうだ
納k=1,2^n]a(k) ≥ n → ∞ >>217
square-free integer の訳なんだろうけど、
この場合の free を自由と訳すのは……。
無平方数のほうが一般的な気がする。
どんな平方数でも割り切れない正の整数。
素因数分解したとき、どの素数も2回以上は
現れないような正の整数だよ。 lim(n→∞)2^n*tan(π/2^(n+1))の求め方を教えてください。
tanについて、はさみうちならばtanx≦π/4xしか知りません。
他に何か方法あるのでしょうか。
答えはπ/2らしいです。 >>221
自然な方法は
2^n*tan(π/2^(n+1))=(π/2){tan(π/2^(n+1))/(π/2^(n+1))}
と変形し{}の中が1に収束すること(lim[θ→0]tanθ/θ=lim[θ→0](sinθ/θ)(1/cosθ)=1)を示す
どうしてもはさみうちを使いたいなら有名不等式 sinθ<θ<tanθ (0<θ<π/2)が使える形にもち込む
例えばθ<tanθを両辺2乗し逆数とってsinθ<θを使うと
1/θ^2 > 1/tan^2θ=-1+1/sin^2θ > -1+1/θ^2
で挟み撃ちできる >>224
ありがとうございました！
はさみうちしかできないと思っていたのが間違いでした。
先にsinx/xに気が付くべきでした。 積分とは一体何をしているのですか？
面積を求められる理屈は分かりましたが、「で？」という感覚で、イマイチしっくり来ません。
大学受験板の数学スレッドで同様の質問をしましたが、あまり納得のいく解答が返ってこなかったのでここで質問させて頂きます 積分は体積を計算してる
関数を階段状の関数で近似して、階段関数の体積を計算する
近似の精度を上げていけば体積は一定値に収束する
その値が元の関数の積分として定義される
積分と微分は微分積分学の基本定理で繋がる 前>>130
>>226
パッと出るような簡単な形をしてない領域や物体を見て、どう思うかです。ふつうかなんなぁと思うと思うんです。
そこでです。細かく分割した部分すなわち微分した線分や面積を、足し集めて面積や体積を求めることを考えたと思うんです。つまりこれが積分だと思います。 >>228
微分と積分が繋がるのは連続関数限定の話だろ
あと積分は体積を計算してるとかバカ過ぎる >>231
イメージの話をしてるだけなのに
匿名だからって言葉に気を付けろよ傲慢君 >>231
あと連続関数限定というか
連続関数の中でも絶対連続関数の微分と積分が繋がるのが微積の基本定理だ 時間を変数とする速度の関数から距離が求められるし有用 (1,1)を頂点とし、点(2,0)と点(-1,-3)を通る放物線の方程式を求めよ。
これってたぶん欠陥問題ですよね。 前>>229
>>236
xy平面上に題意の3点をとり、なめらかな放物線を描いてみると、
y=-(x-1)^2+1
が浮かぶ。
∴y=-x^2+2x そうなんですよ。たぶん作者は二次関数のつもりで出したんだと思うんすが。
ちなみに，
これあえて一般の放物線として解くとなるとどう考えればいいでしょうか。 放物線は二次関数ですよ
三次関数は放物線ではありません
数学的には円錐曲線の一部と定義されていますので二次関数だけです 放物線は物を放る線と書きますね
物理やってればわかると思いますけど、物を放り投げた時に軌跡は、一様重力下での物体の軌跡ということになるわけですけどこれの答えは二次関数ですよね 前>>238
題意より放物線は(1,1)を頂点とする二次関数。
これ以外にないと思う。
質量mの物体を水平方向に初速V0で投げたとき、重力加速度gを受け高さhだけ自由落下したとすると、物体が描く軌跡を水平方向から見た図形は放物線で、
水平方向の速さV1,鉛直下方への速さV2は、
エネルギー保存の法則より、
mgh+(1/2)mV0^2=(1/2)mV1^2+(1/2)mV2^2
とにかく軌跡は放物線になる。落下した高さhが、
h=(1/2)gt^2
落下時間の2乗に比例するからだ。
だから放物線は二次関数しかない。 >>241-243
そういうことじゃないだろう
放物線は二次曲線だが、二次曲線は二次関数とは限らない
斜めの放物線は二次関数では表せないが、それが答えの可能性がないかの話だろう >>241
x^2+2xy+y^2+x-y=0
も放物線だがや >>240
三点(1,1),(2,0),(-1,-3)を(0,0),(1,-1),(-2,-4)に平行移動して考える
原点を頂点、軸をy軸とする放物線は
ax^2+y=0
これを原点を中心にθ回転させたものは
a(x*cosθ+y*sinθ)^2+(-x*sinθ+y*cosθ)=0
これが点(1,-1),(-2,-4)を通るから
a(1*cosθ-1*sinθ)^2+(1*sinθ-1*cosθ)=0
a(-2*cosθ-4*sinθ)^2+(2*sinθ-4*cosθ)=0
をa≧0、0≦θ<2πで解くと、省略するが解は結局a=1、θ=0だけで、x^2+y=0になる
これを平行移動して戻すと求める放物線になる
放物線で、通る3点と、うち1つが頂点である、という情報があれば放物線は一意に定まるということなのかな 間違えた、こうだ
これが点(1,-1),(-2,-4)を通るから
a(1*cosθ-1*sinθ)^2+(-1*sinθ-1*cosθ)=0
a(-2*cosθ-4*sinθ)^2+(2*sinθ-4*cosθ)=0 おおお。感動しました。
なるほど深い問題だったのですね。 意図した問題なのかは何とも言えない。問題で頂点を指定してはいるが… 前>>244
y=-x^2+2x
で、答えあってますよね？
放物線を斜めらせれんか問うとってん問題やとしたら、ちょっとおもしろいかもしれませんねぇ。
まぁでも、軸に対して正対してる放物線が一つ求まったらそれでよいと思いますけど。 >>247
> 放物線で、通る3点と、うち1つが頂点である、という情報があれば放物線は一意に定まるということなのかな
頂点が原点 >>247
途中で誤送信してしまいました。すみません。
> 放物線で、通る3点と、うち1つが頂点である、という情報があれば放物線は一意に定まるということなのかな
原点が頂点のとき、未定のパラメタは2つ。
（その解答ではaとθ）
だから頂点以外に2点の座標を与えれば、
それらのパラメタは定まる。 でも一意に定まるかどうかは別の話ですね。
2つの場合もありそうたが。
原点頂点、(1, 1)、(2, 4) だとどうでしょう？ 前>>251
>>254
2つありそうですね。
1つはy=x^2
もう1つは、y=ax^2（a＞0,パッと見10ぐらい）の軸であるy軸をy=bx（b＞0,パッと見√3ぐらい）まで時計回りに回転させた放物線。
(1,1),(2,4)を原点を中心に半時計回りに回転させて傾きbの直線をx軸に垂直になるまで起こしたときどこになるかですね。
一意に決まるのはわかりますけど。 >>254
解は３通り
y = x^2
y√7-x√3 = ((2√7-3√3)/2) (x√7+y√3)^2
y√7+x√3 = ((2√7+3√3)/2) (x√7-y√3)^2 前>>255
もう1つあったか。
0＜a＜1,b＜0のやつ。 >>256
>>257
サンクス。3つめは見落としてたわ。
面白いね！ わからない問題ではなく質問ですが
「実数 a, b について x＝a＋b, y＝ab とする。a, b がすべての実数をとって変化するとき点 (x, y) が動く範囲をxy平面に図示せよ」
という問題はα+β αβを利用するのはわかるんですが
コレって A=α+β B=αβって形になったらAとBの存在範囲は必然的に制限されるって考えちゃってOKですか？ >>259
そうですね
そこまでわかっているなら、二次方程式 X^2-AX+B=0 が、１つまたは２つの実数解α,βを持つための条件が何か考えると言うことです。 >>259
「条件P(x)を満たすx∈ℝ︎が存在する」
という事を「∃x∈ℝ︎,P(x)」のように書く。
点(x,y)が動く範囲をFとすると、
(x,y)∈F
⇔∃a∈ℝ︎,∃b∈ℝ︎,[x=a+b ∧ y=ab]…①
⇔∃a∈ℝ︎,∃b∈ℝ︎,[b=x-a ∧ y=ab]
⇔∃a∈ℝ︎,∃b∈ℝ︎,[b=x-a ∧ y=a(x-a)]
⇔∃a∈ℝ︎,[y=a(x-a) ∧ ∃b∈ℝ︎,b=x-a]
⇔∃a∈ℝ︎,y=a(x-a)
⇔∃a∈ℝ︎,a²︎-ax+y=0…②
⇔x²︎-4y≧0
このように考えると分かりやすいと思います。
①⇔②は暗記しておくといいと思います
(ただの解と係数の関係ですが) >>261
その記号高校数学で習いません
独りよがりな解説はやめてください >>262
別に習わなくても最初の部分で使い方をことわっているので問題ないと思います >>265
それは>>259さんは分かると思います 数学アレルギーがなんか騒いでるな
この程度の記号なんてマトモな高校生なら理解できるだろ >>259のような質問をする奴に分かるとは思えない >>259
OKですね
その制限はどういう風に制限されるのか求めなさいという問題ですね 前>>257
>>274パンはやめとき。
御飯には勝てない。 もう7時40分か
モーター音うるさい
学校行きたくない 2030
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) もう4:05台かー
腹減った
休憩してラーメン食べよう
バイクうるさいな ただいまの時刻4:21
ラーメン食べたー
あれ？時刻ずれてる？4:23
また問題集頑張るぞ 前>>275
もう夜やで寝な。
睡魔には勝てても、よう寝てる奴には勝てんで。 別に記号程度なら構わんよ
高校数学で扱う内容を記号で書いただけだしな
前スレのように聞かれてもいないのにベクトル解析だの、リーマン幾何だの
何をひけらかしたいのかさっぱりわからない 前>>291
たしかに寒くなってきた。
押入れから掛け蒲団を出す季節か。 もう2:02
寝てしまってた
何もないな
仕方ない
ラーメン食べよ 自分の持ってる問題集に
log₂3は無理数であることを示せ。
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
という問題があるんですけども、この問題の解説が
log₂3を有理数と仮定して
log₂3＝a/b （a,bは互いに素な正の整数）
3＝2^(a/b)
両辺をb乗して
3^b＝2^a より矛盾
log₂3は無理数である (証終) なのですが
これってa,bは互いに素である必要ってないと思うんですけど、どう思われますか？ いいと思いますけど、互いに素としないとダメな問題もありますからね
互いに素としといたほうが無難でしょう 0<x<180度のとき sin(3x)=cos(2x) を解け。
という問題で、とりあえず与式をsin(x)の式であらわして(簡単にsin(x)=sとす)
3s-4s^3=1-2s^2
4s^3-2s^2-3s+1=0
(s-1)(4s^2+2s-1)=0
となったので s=1からx＝90度は分かるのですが
4s^2+2s-1=0の解からxが何度になるかがとても分かりません。
どうすればいいでしょうか。 角度比較型
右辺をsinに書き直して両辺のsinの中身を比較する >>301
sin3x=cos(π/2-3x)=cos2x
π/2-3x=±2x mod 2π
x, 5x=π/2 mod 2π
x=π/2
5x=π/2, 5π/2, 9π/2
x=π/10, π/2, 9π/10 >>301
s=(-1±√5)/4となりますから、黄金比に近い値だと見抜ければ
xは18°だとか36°だとかの予想がつきます
ですが「sin○=sin○」「sin○=cos○」というタイプの問題は、
そのように解くよりも簡単な解法が存在します
まず、次の事を覚えると良いと思います
cosθ=cosφ ⇔ θ=±φ+2nπ(n∈ℤ︎)
これは図を書けば分かります
これを使って解いてみましょう
sin(3x)=cos(2x)
⇔cos((π/2)-3x)=cos(2x)
⇔(π/2)-3x=±2x+2nπ(n∈ℤ︎)
⇔x=(π/2)+2nπ または 5x=(π/2)+2nπ(n∈ℤ︎)
⇔x=(π/2)+2nπ , (π/10)+(2/5)nπ (n∈ℤ︎)
ここで0<x<πである事を思い出すと、
x=π/10,π/2,9π/10=18°,90°,162°
となります 前>>294
>>301
0＜x＜180
sin(3x)=cos(2x)
3sinx-4sin^3x=1-sin^2x
4sin^3x-sin^2x-3sinx+1=0(sinx-1)(4sin^2x+2sinx-1)=0
sinx=1,{-1+√(1+4)}/4
=1,(√5-1)/4
(√5-1)/4=1.2360679……/4
=0.309016975……
=sin18°
x°=18°,90°,162° >>301
蛇足気味ですが、あえてコメントを
直角三角形ABCで、∠A=3x、∠B=2x、∠C=∠R(直角) で斜辺AB=1とすると、
BC=AB*Sin(3x)=AB*Cos(2x) なので、Sin(3x)=Cos(2x) という式が出てきます。
∠A+∠B=3x+2x=5x=Pi/2なので、x=Pi/10 なのですが、
他方、>>301方式で、Sin(x)の値を解析的に求めることができ、Sin(3Pi/10) 等を求めることができます。
これは、∠A=3x、∠B=2x、∠C=∠R(直角)の直角三角形を利用して、
Sin(54°)等の値を求めるときのテクニックとしてよく知られているものです。
>>301の問題は、この逆問題にあたりますね。 前>>307
ほとんど解けてんだから、そんな突拍子もない解き方覚えんでも、自分の解き方の延長で図を描いてx°を出したほうが絶対いいと思います。 >>308 さん。ありがとうございます。とても参考になりました。
イナさん。まったく参考になりませんでした。 前>>309別解。
>>301
0°＜x＜180°
sin3x=cos2x
sinの3倍角とcosの2倍角が等しいから、
3x+2x=90°
図を描くと、
3x=54°,2x=36° ∴x=18(°) >>301
その解答で行くとsが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める。
電卓ならそこから角度を簡単に出せるから、その計算自体間違いではないけどね。 別のシチュで s=√3/2 になるとしても諦めるのか
見切り早すぎｗ sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める idコロってんのか？
45や60みたいなわかりやすい角度でないことは>>301の式見て秒でわからないか？ sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
？？？ ワッチョイ、IP表示議論スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567953023/
なるべく多くの人の意見をください
反対意見が少ないので反対は歓迎です
賛成が多いですが賛成だと表明することにも意味があります
IDコロコロなどへの抑止にもなるので是非 そんな些細なことより
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
sが無理数になって何度かわからないから、その方針は諦める
？？？ 前>>311
>>301
4s^2+2s-1=0
s=(√5-1)/4(＞0)
∵0＜x＜180
s=sin18°,sin162°
ほとんど解けてんだから、そのままでいいのに。考え方が自然だし。sin18°が無理数でもいいと思う。題意に沿って解いてそれが答えなら。 asinθ±bcosθ なら合成の公式
sinα±sinβ
cosα±cosβ なら和積の公式
sinα±cosβ に使える公式ないの？ sinα±cosβ = sinα±sin(π/2-β) １－1/2＋1/3－1/4＋1/5－1/6＋…＝log2となりますが、
この数列を並び替えるとことによって全ての項を足し算にできます。
ㅤㅤㅤㅤㅤ
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－２(1/2＋1/4＋1/6＋…)
＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)－(1＋1/2＋1/3＋…)
＝1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋…
となって無限級数となり発散してしまいます。これは不思議ではないですか？ ∠AOB=60ﾟとした時に
∠BOA=-60ﾟとする場合があるらしいですが、高校数学で出てきますか？ a は有理数とする。
a が整数であることは、a^2 + 3a が整数であるための( ) 。
これは必要十分条件ですか？ >>315
いや、有名角ならわかるでしょ
ていうか受験生なら15度とか75度とか72度とかも覚えても良いぐらいだと思うけどね >>323
それを18度とわかるには覚えておくしかないのだけれど、18度を覚えるってなかなか指導しないでしょ
出題者の意図としては有名角でない時にどう解きますか？ってことだと思うけど >>318
このスレでそんなアホな理解をしてるのは二人ぐらいだろ
有名角の無理数なら答えられるけど、そうではない無理数だから諦めなきゃねと言うだけの話 前>>323
>>307二次方程式を解いて、
sinx=0.309……で18°と思うか、
>>311
3x+2x=90で
x=18(°)と出すか、どっちかだと思う。
ただ無理数と少数を覚えとくと確信が持てるし安心できると思う。 >>338
18度の三角比なんて誰も覚えてないから、前者をマジの解説として説明されてもピンとこないでしょ
ウケ狙いの解説してるんならもう少しわかりやすくやってくんないとさ 数列a[n+1]+a[n]=1/(2n+1)の時のnが無限大の極限値a[n]は、どうやって求めればよいですか？ 3点O,A,Bが3角形の頂点であるとき、OA↑＝a↑,OB↑＝b↑とおく。
実数α、βについて
αa↑＋βb↑＝0↑ならばα＝β＝0である
事を示せ
何からどうすればいいんですか… >>342
条件よりa↑≠0↑, b↑≠0↑である
α≠0とすると
a↑=-(β/α)b↑
よって
a↑//b↑ すなわち OA//OB
これは3点O,A,Bが三角形を成すことに反する
よってα=0
同様にして(あるいは与式にα=0を代入することで)β=0も分かる
これは一次独立なベクトルの組に対し常に正しい命題で、ベクトルの非常に基本的な性質の１つ
与えられた仮定(今の場合αa↑＋βb↑＝0↑)に対し、なぜ結論(今の場合α=β=0)が正しいと言えるのか見当もつかない時は、
「では逆に結論通りでないと何がマズイのか」
と考えるとうまくいくことがある
要は背理法を考えているということだけど >>343
なるほど…これが本質理解って奴ですね… >>340
存在するとは限らないけど？
収束する数列であるという条件があるの？ >>340
グレゴリー級数
Gr[n] = 1 - 1/3 + 1/5 - ･･･ + (-1)^(n-1) /(2n-1) → π/4 (n→∞)
を使えば
a[n] = (-1)^n (c - Gr[n]),
ですね。
c=π/4 なら 0に収束しますが、
c≠π/4 なら ±(c-π/4) の辺りで振動します。 〔グレゴリー・ライプニッツ級数〕
x - (1/3)x^3 + (1/5)x^5 - (1/7)x^7 + ････
= ∫(1 -x^2 +x^4 -x^6 +････) dx
= ∫1/(1+xx) dx
= arctan(x)
ここで x=1 とする。 >>340
投稿した本人じゃないけど、これって一般項ってどうなるの？ x*sin^2(x)=(π/2)を解け。（0≦x≦π）
がわかりません。教えてください。 前>>338
>>339
二次方程式解いて√5が出たとき、正五角形の対角線のなす二等辺三角形の内角72°と36°が浮かんで、
sinx=0.3090……を描くと、18°しかないと思うと思います。
sin3x=cos2x
3x°+2x°=90°で確信が持てると思います。 >>351
b[n+1]=(-1)^na[n+1]
b[n+1]-b[n]=(-1)^n/(2n+1)
b[n+1]=b[0]+1/1-1/3+1/5…+(-1)^n/(2n+1)
a[n+1]=(-1)^n{b[0]+1/1-1/3+1/5…+(-1)^n/(2n+1)} >>358
なるほど
そのやり方を初めて知りました
ありがとうございます
数列はまだ習ったばかりなので勉強になります
ちなみにこの級数には何か名前とか付いているんです？
1/1-1/3+1/5…+(-1)^n/(2n+1) すいません
よく見たら>>348に書いてありました
大学入試にはよく出るんでしょうか？ うそを教えてはいけない…
>>360
キミが数列の初項を書き忘れたせいで複雑な議論になってしまったんだよ >>355
(左辺) ≦ x だから根は π/2 ≦ x < π にある。
x = π/2, 2π/3. a[n]って、0→π/4のtan^(2n)xの積分なんじゃね？
そんな漸化式出てきた記憶があるけど >>355
解が有限個と思っているからわからなくなっているだけだと思います。
無限にあるということを念頭に置けばわかると思いますよ。 >>362
>キミが数列の初項を書き忘れたせいで複雑な議論になってしまったんだよ
言いがかりはやめてください
>>351にも書きましたが、こちらは>>340とは別人です >>364
そうならば c = a[0] = π/4 で >>348
a[n] = (-1)^n (π/4 - Gr[n])
= |π/4 - Gr[n] |
= 1/(4n) - 1/(16n^3) + 5/(64n^5) - 61/(256n^7) + ････
ですね。 >>368
a[n] = (-1)^n (π/4 - Gr[n]})
= 1/(4n) -1/(16n^3) +5/(64n^5) -61/(256n^7) + ････
= Σ[k=0,∞] E_2k /{4^(k+1)･n^(2k+1)}
ただし E_2k はオイラー数。
http://oeis.org/A000364 誰もわかってないようなので答え書いてあげますね
a[n+1]+a[n]=1/(2n+1)
a[n]+a[n-1]=1/(2n-1)
a[n+1]-a[n-1]=1/(2n+1)-1/(2n-1)
で、この階差数列使えば出ますよね
グレゴリ級数云々はなんか違いますよね え？
既出の答えであってるだろ？
0、もしくは振動、初項による。
じゃないの？ >>340の既出の答えまとめとく。(必要最低限)
A[n]=∫[0,1]x^(2n)/(1+x^2)dx
とおくと与式を満たすので答えの一つは0。
この時の初項は1-π/4。
与式の一般解は
a[n]=A[n]+c(-1)^n
でc≠0の時振動する。
以上により初項が1-π/4のとき0。
それ以外のとき振動。 b[n] = ∫[0,π/4] (tanθ)^(2n+1) dθ
= ∫[0,1] x^(2n+1)/(1+xx) dx
= (1/2)∫[0,1] y^(n-1) /(1+y) dy
とおく。
b[0] = [ (1/2)log(1+xx) ] = (1/2)log(2),
b[n] + b[n+1] = ∫[0,1] x^(2n+1) dx = 1/(2n+2),
が成り立つ。
このとき、交代調和級数
H[n] = 1 -1/2 +1/3 - ････ +(-1)^(n-1)･(1/n),
を用いて b[n] を表わせ。 3行目
= (1/2)∫[0,1] y^n /(1+y) dy
6行目
b[n] + b[n+1] = ････ = (1/2)∫[0,1] y^n dy = 1/(2n+2), nが大きいとき
b[n] = 1/(4n) -1/(8n^2) +1/(16n^4) -1/(8n^6) +17/(32n^8) -31/(8n^10) + ････
= －Σ[k=1,∞］{(2^k -1)B[k] /2k} /(n^k),
ただし B[k] はベルヌーイ数
B[0] = 1, B[1] = -1/2, B[2] = 1/6, B[4] = -1/30, B[6] = 1/42, B[8] = -1/30, ････ 前>>356
>>307正攻法。
二次方程式を解く。無理数を少数にする。角度を求める。
>>311別解。
3倍角の正弦が2倍角の余弦と等しい。5倍角は90°。
90°÷5=18°
どっちかやと思います。 イナさん、無理数を少数（小数？）にしたところで角度は求まりませんよ。
大丈夫ですか？ いや、彼にとって解くとは勘を確信にしていく作業に過ぎないので確信できれば解けたといっていいのです。 >>386
会話がなかなかできない人だね
前者は電卓を使わない限り出ないので無理な話だよ 分母分子に√x掛けてみればわかるし
x=(√x)^2 と考えて√xで約分すればいい
(x>0のとき) >>391
(誤)√xで約分すればいい
(正)√xで約分してもいい 前>>386
>>389
そんなこともあろうか>>307は筆算した。桁数があんまり多くないのがその証。
√5は｢富士山麓鸚鵡鳴く｣で出る。
-1だから富士山の富を1に変えてみたらいい。 >>389
コレについては彼はなにを指摘されてるのか理解するのは無理でしょう。
ほっとくしかないでしょう。
そもそも彼が理解できても我々には一文のとくにもならないし。 >>394
いろいろ突っ込みどころが多い人だなあ。
近似値を小数で求めたところでsin18°とは言い切れない。
18.1°かもしれんし17.9°かもしれん。
そもそも無理数って「鸚鵡鳴く」で終了とでも思ってんの？
だったら√5は無理数ではなく有理数になってしまうぞ。 前>>394
18°か17.9°か18.1°かとう段階まで来たら、
もう一度最初の式を見るといい。
cos3x=sin2x
3x°+2x°=90°
もう端数のあるやつより端数のない18°を選ばない手はない。 >>398
それを言い出したら小数にする意味ねえじゃん イナってひとは
なんでまったく誰も参考にしないことを
えんえん書き連ねるんですか いま、一様連続と連続について調べていて両者の違いは分かったのですが、
連続だけど一様連続ではない関数の嬉しい性質とかってありますか？
ㅤㅤㅤㅤㅤ
分けているのなら、何か理由があると思うのですが分かりません。
詳しい方おられましたらご教授お願いいたします。 前>>399
>>400
その値がまだsin18°だとわかる前のことでした。
sinx=(√5-1)/4という値を得ます。
少数にするんじゃない。
計算したら少数になったんだ。
少数にした者がいるとしたらそいつは神だ。数学の神様だ。 否という 自由ありけり 夏の果て 田中亜紀子 (津市)
中日新聞 (2017/Oct/02)
否否と 加齢や 雪の日の体温 池田澄子
否否否 百遍の否 鴃(モズ)きしる 井口時男
句集『天來の獨樂』 深夜叢書社 (2015/Oct) 2860円 sin18°の値として0.309016975……を覚えるぐらいなら
(√5-1)/4を覚える方がはるかに有益。
小数形だと全桁一致するか確かめることができないから、
18°と推測することはできても18°と言い切れないぞ。 一般にはexp(ix)が代数的でその最小多項式の次数dが決定した時
x∈πQ ⇔ ∃n φ(n)=d, nx∈2πZ ⇔ 2(d+1)!x ∈ 2πZ 高校数学の質問なんてする人未だにいるんだな
参考書の充実で分からないこと自体が珍しいと思うけどｗ
答えてる奴って数学者のなり損ない？
自分は数学できると思ってるんだろうな、大学数学をやれよ 簡単な問題を質問して
詳細の解説を出す
つまんないスレ ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ、という問題がわかりません 円周上の異なる2点A,Bがあり、円弧ABに点Mを、弧AM＝弧BM(つまり弧ABの中点)としてとる。
このときMを通り弦ABに垂直な直線が円の中心を通ることは
明らかにも思えるのですが
証明はどうすればいいでしょうか。 Mから弦ABに下した垂線をMH とおき、
3点O,H,M が一直線上にある(共線)ことを示せばよい。
弧AM = 弧MB より
Mは∠AOBの二等分線の上にある。 ･･･(1)
また AM = BM (弦、線分として)
Mから弦ABに下した垂線をMH とおくと
AH^2 = AM^2 - MH^2 = BM^2 - MH^2 = BH^2,
∴ AH = BH,
∴ ∠AOH = ∠BOH
∴ Hも ∠AOB の二等分線の上にある。 ････(2)
(1)(2) から
O,H,Mは一直線上にある。 複素数の問題が苦手です。
どこに目をつけるべきかがわからず、複素数のまま処理したいのにa+biとして処理してしまい、計算地獄に陥る事が多々あります。
例えば、z^5=1の時(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)の値は？などという問題だとお手上げです。
式変形のコツやよく使う変形方法などありましたら教えてください。
最近やっと|z|^2=z*zバーというのを使えるようになってきました。 その問題ならz^4=1/zとか分数で考えると良さそうですね
ま色々問題解いてそういうテクニックを覚えていくしかないでしょう >>418
z^5=1
z=1
(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)=2・2・2・2=16
z≠1
(1-z)(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)=1-z^16=1-z
(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)=1 >>418
自分が今まで演習した問題では、a+biとして処理する問題は少ないような気がします
複素数zのまま計算するか極形式に直して変形するパターンが多いかも
>z^5=1の時(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)の値は？
この手の問題は、１の3乗根ω(≠1)を扱った問題を練習したらいいかも
ω^3=1
ω^2+ω+1=0
を上手く利用して解かないといけません a、bを0でない決まった整数とし、ax+by（x、yは整数）の形の数全体の集合をMとする。
Mに属する最小の正の整数をdとするとき、
(1) Mの要素はすべてdで割り切れることを示せ。
例えば0<a<bのとき、d = a*1 + b*0 = a または d = a*(-1) + b*1 = -a+b であるから Mに属するa+bはaや-a+bで割り切れるとは言えないのでは？ >>420
なるほど
1-zを掛けると1ｰz^2が作れて、さらに1ｰz^4が作れて
最終的に1-z^16が作れるんですね
勉強になりました
>>419は劣等感ババアさんでしょうか？他人を煽るだけで役に立たないんですね すごいな。
>>419で劣等感って見抜くとは。
どこでわかるん？ >>426
文体というか文末です
｢～ですね｣
｢～でしょう｣
高校生のスレでドヤ顔したい時は大体この文末になるような気がします >>418
寝れないので凡人高校生が凡人解答書いてみます
z^5=1
z^5-1=0
因数分解すると
(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0より
z^4+z^3+z^2+z+1=0
(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)=(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^3)
=(1+z+z^2+z^3)(1+z^3+z^4+z^7)
=(1+z+z^2+z^3)(1+z^3+z^4+z^2)
=(-z^4)*(-z)
=z^5
=1 >>418
私が最近覚えた方法を紹介しておきます
方程式を解いて解を求めると因数定理から恒等式が得られるという、自明だけど気づきにくいテクニックです
z^5-1=0の虚数解のひとつをαとおくと、
z^5-1=0の解はz=α^k(k=0,1,2,3,4)です
よって、因数定理から
z^5-1=(z-1)(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)
というzに関する恒等式を得ます
これにz=-1を代入すると、
-2=-2(-1-α)(-1-α^2)(-1-α^3)(-1-α^4)
を得ます。よって、
(1+α)(1+α^2)(1+α^4)(1+α^8)
=(1+α)(1+α^2)(1+α^4)(1+α^3) (∵α^5=1)
=(-1-α)(-1-α^2)(-1-α^4)(-1-α^3)
=1
ただし、z=1の場合については別途考える必要があります >>431
z^5-1=0の虚数解のひとつをαとおくと、
z^5-1=0の解はz=α^k(k=0,1,2,3,4)です
これの証明を省くなよボケが >>429
z^5=1
z≠1
(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)=Σ[a,b,c,d=0,1]z^az^(2b)z^(4c)z^(8d)=Σz^(a+2b+4c+8d)=Σz^(dcba(2))=Σ[n=1…15]z^n=(1-z^16)/(1-z)=(1-z)/(1-z)=1 >>433
>Σ[n=1…15]z^n
n=0…15 >>417様。わかりやすいです。ありがとうございます。 >>432
k≧0 ならば
(α^k)^5 -1 = α^(5k) -1 = (α^5)^k -1 = 1^k -1 = 0,
すべて解である。
k≧5 のときは
α^k = α^(k-5)
となって循環するから k=0,1,2,3,4 の5個で十分。
これらのうち2つが同じ、すなわち
α^j = 1 (1≦j≦4)
になったと仮定すると
j=1 なら α = 1,
j=2 なら α = (α^2)^3 = 1^3 = 1,
j=3 なら α = (α^3)^2 = 1^2 = 1,
j=4 なら α = 1/(α^4) = 1/1 = 1,
いずれも α≠1 と矛盾する。
これら相異なる5個が z^5-1=0 の解である。 >>433
>Σz^(a+2b+4c+8d)=Σz^(dcba(2))
dcba(2)は2進数で表された4桁の数と言う意味でいいんでしょうか？
これを10進数にしたものがa+2b+4c+8dになると考えていいんですよね？
a,b,c,dは0または1なのでdcba(2)は2進数0000～1111の数を表し、
これを10進数にすると
0～15
になるので初項1公比z項数16の等比数列の和に等しくなるんですよね？
凡人には思い付かないやり方でした
勉強になりました まあまあみんな一度やったことあるから言えるだけだよ
そんな自分を下げる必要なんてないよ >>436
> これらのうち2つが同じ、すなわち
> α^j = 1 (1≦j≦4)
> になったと仮定すると
これについて質問です。
これらのうち2つが同じになるということは
α^m=α^n (m,nは 0≦n＜m≦4 を満たす整数)
と表せ、変形すると
α^(m-n)=1
ここでm-n=jとすれば
α^j=1 (jは 1≦j≦4 を満たす整数)
の形になるという事ですか？
あと、z=α^k 以外の解が存在する可能性を検討してないようですが
これは5次方程式で既に相異なる解が5個見つかったので検討しなくてよいということですか？ >>438
初めて知った変形だったので
スラスラ変形出来る人が羨ましいです Σ[k=1,∞]x・(1/1+x)^n-1
はx<-2か0>xで収束したのですがそのときの
和が求められません代わりに計算していただけませんか 418ですが、結局経験値が少なかったということですね。
経験を積んできます。 >>439
上の方はその通り。
下の方は
x^5 -1 = Π[k=0,4] (x-α^k)
と表わせます。(monicなので)
因数分解の一意性から (根の入れ替えではない) 真に異なる分解は
ありません。(UFD)
なので、これ以外には解はありません。 5445
かずきち@dy_dt_dt_dx 9月29日
京大オープン経済190/550しか取ってないやつにマウント取られて草
お前より90点高いんだよ黙って勉強しろ
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) z=(1+i)/(√3+i)の時、z^nが実数となる最小のnを求めたいのですが、z=r(cosθ+isinθ)とした時のθが求まりません。
方針はこれでよいですか？ >>449
はい、あってますよ。
30度と45度の倍数よりは有名ではないけれども18度の倍数よりは有名な数値ですから、
計算間違いしていなければすぐわかります。 なるほど！
こういう時は分子分母に√3-iをかけてからやるのは間違いなんですか？ >>451
そうだったのですが、そうすると知っているかいないかの話になると思ったので他に方法あるんじゃないかと。 >>449
argz=arg(1+i)-arg(√3+i)=π/4-π/6=π/12 >>453
その倍数の角度を知らなくても2θ…の場合を求めれば絶対知っていなければいけない値にぶつかりますのでわかります。
もちろん基礎をしっかり理解していたら>>450のように一瞬で見抜けます。
>>450はうまい解答というよりむしろ基本に忠実な回答です。
しかし、基本がしっかり理解できなくても自分の知識で解きほぐすことが大事です。
だからあなたの解答でもあっていますし、>>450のような解答でも知っている倍数角の組み合わせでなければ解けません。 >>455
劣等感ババアか？
結構トンチンカンな事言ってるな
>しかし、基本がしっかり理解できなくても自分の知識で解きほぐすことが大事です。
基本が出来てないから解けてないんだろw
問題の式を見て、分子は45度、分母は30度とすぐに気付かないなんて基本が全く出来ていない
>だからあなたの解答でもあっていますし、>>450のような解答でも知っている倍数角の組み合わせでなければ解けません。
解けない問題を出題することは少ないわw
書いてはないが恐らくnは自然数。n乗して実数になるんだから与式の偏角は180度の約数になり、今回は15度
分子の偏角－分母の偏角＝15度になる分子と分母の組合せで
分子の偏角＝41度
分母の偏角＝26度
みたいな組合せ出題するかよ
分子の偏角＝24度
分母の偏角＝9度
とか出たとしたなら、まずは式変形するからwこれも結局有名な倍数角を使う事になる >>455と>>456はほとんど同じことを言っているのに
なぜ>>456が発狂しているのかわからん
15の倍数角は知っていて当然という暗に主張しているところまで同じ
違うのは>>455が偏角の基礎が不完全なら極形式からでも解けといっていることぐらい 角運動量ベクトルが0↑なら角速度ベクトルが0↑である事はどのように証明できますか？ >>456
>> n乗して実数になるんだから与式の偏角は180度の約数になり、
間違い。
kπ/m で表せる角度が、問題として成立しうる偏角。
120度とか、10.8度とかでも可 >>465
慣性モーメントについてはI=mr^2だとは知っています
http://spinman.phys.se.tmu.ac.jp/Lecture/Mech/Rotation/Rotation.html
このサイトに、
L = r ×P = r ×mv = mr×(ω×r) = Iω、 （= mω(r • r) - mr(ω • r) = mr2ω = Iω, (∵ ω•r = 0））
と書いてありましたが、ω・r=0は成り立たないのではないかと思います
rは原点から質点へのベクトルですよね…？
これはどういう事でしょうか >>466
今はそういう場合を考えたということではないでしょうか
本当は慣性モーメントて行列になるんですよ
簡単な場合を考えたわけですね >>467
なるほど！ありがとうございます
行列の慣性モーメントについて調べてみます 度々申し訳ないですが、「角速度一定ならば力のモーメントの和は0」は正しいですか？
正しいならば証明はどうやればよいですか 慣性モーメントが変化しないとすれば
dL/dt=Idω/dt=0=N >>471
角速度が一定でも慣性モーメントが変化する場合があるのですか？ 慣性モーメントって
y^2+z^2 -xy -xz
-xy z^2+x^2 -yz
-xz -yz x^2+y^2
という行列ですよね？
これの和が変化しないのは私には自明でないように思われるのですが… >>476
すみません、座標変換というのがよく分かりません 剛体とともに回転する座標系ですか？
それなら確かに慣性モーメントは変化せず、慣性力は遠心力だけなので、モーメントの和は0となりますね…
よって、回転しない座標で見てもモーメントの和は0になると言える、という論理でしょうか？ いや、遠心力のせいでモーメントの和は0にはならないかも…？ じゃやっぱり正しくないんじゃないですか？慣性モーメント変わる時は 剛体でも慣性モーメントが変わる時がある、という事ですか？ 剛体と一緒に動く座標系じゃなければ普通に変わりますね なるほど…
しかし剛体とともに動いても遠心力が働くのでモーメントの和は0にはならないのでは…？ つまり角速度が一定だからといって力のモーメントが0だとは言えないという事ですね…
長くつきあってもらってありがとうございます >>487
最後にあなたの本名と住所と電話番号教えていただいてもよろしいですか？ まずはこれらのことがわからないと物理はわからないでしょうね 整数係数の二次関数f(x)で
ある異なる3つの整数a,b,cに対して
f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a となるものは実例がありますか？ >>494
ありえない。
A,B,Cを整係数として、f(x)=Ax^2+Bx+C とおく。
f(b)-f(a)=c-b, f(c)-f(b)=a-cより、
A(b^2-a^2)+B(b-a)=c-b
B(c^2-b^2)+B(c-b)=a-c
それぞれの等式に(c-b)と(b-a)を乗じて差をとれば、
A{(b^2-a^2)(c-b)-(c^2-b^2)(b-a)} = (c-b)^2-(a-c)(b-a)
ここで、α=b-a, β=c-b,γ＝a-c=-(α+β)とおけば、
Aαβγ=β^2-αγ
⇔ -Aαβ（α+β）=β^2+α(α+β)=(α+β)^2-αβ
⇔-A =(α+β)/αβ - 1/（α+β)
題意より|α|≧1, |β|≧1 ,|γ|=|α+β|≧1なので、
|A|≦|（α+β)/αβ| +1/|α+β|≦3
（ ∵ |(α+β)/αβ|≦2, 1/|α+β|≦1 )
しかし、|A|≦3となるのは、|α|=|β|=|γ|=1の場合に
限るが、a,b,cの間隔がすべて1ということはありえない
ので不可。 >>494
上手くまとめられないけど、3周すればもとに戻るから左辺に移項した2次方程式の解が無数に存在するからじゃね？
で、どこかで同じ数になったらそれも異なることに矛盾するんじゃないかなぁ。
素人考えですみません。 数Ａで質問です
nC1=1らしいんですけど
なぜなんでしょうか
nならわかるんですけど
nC1＝n/1＝ｎになると思うんですが・・ nC0=1ではないですか？
nC1=nであってますよ >>498
n庫の中から1つ取り出す組み合わせはn通りあるね >>495
>しかし、|A|≦3となるのは、|α|=|β|=|γ|=1の場合に
>限るが
ここはなぜですか？ >>504
確かに自明ではないな。
でも、-A=1/α + 1/β - 1/（α+β) が整数になるような
整数値α、βの組み合わせってある？ それを証明できなかったら解答になってないよ
そしてそれは解答の中で示さなければならないこと f(x)-f(y) = (x-y)g(x,y)
ｆが整数係数だからgも整数係数、対称式。
f(a)-f(b) = (a-b)g(a,b)
f(b)-f(c) = (b-c)g(b,c)
f(c)-f(a) = (c-a)g(c,a)
辺々掛けて
⊿{f(a),f(b),f(c)} = ⊿(a,b,c) g(a,b)g(b,c)g(c,a)
題意より
f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a,
∴ ⊿{f(a),f(b),f(c)} = ⊿(a,b,c) ≠ 0,
∴ g(a,b)g(b,c)g(c,a) = 1,
左辺の因子は {1,1,1} か {-1,-1,1} となり
3つのうち2つは等しい。
f(x) = Axx+Bx+C (A≠0) のとき g(x,y) = A(x+y)+B,
∴ {a,b,c} のうち2つが等しい。
これは題意に反する。 なんとか順列みたいな名前のジャンル習ったんですけど忘れてしまいました！
なんて名前だったかな？？
なんか
n!-nC1-nC2-････みたいに引き算して出すやつです
なんとか順列！わすれた～ 撹乱順列(かくらんじゅんれつ、完全順列とも)ではないですか
n個のモノの撹乱順列はΣ[k=0→n](-1)^k*n!/k!(通り)です >>510
完全順列です！！ありがとうございます！
すげー！よくわかるね！ >>504 >>506
α、β、γ が公約数d >1 をもてば
α/d、β/d、γ/d に対しても -A は整数のはず。
∴ α、β、γ が互いに素の場合に帰着する。
したがって
-A = 1/α + 1/β + 1/γ が整数になるのは |α| = |β| = |γ| = 1 の場合に限る。 >>513
> α/d、β/d、γ/d に対しても -A は整数のはず。
これは当然ですが
>∴ α、β、γ が互いに素の場合に帰着する。
なんで？ >>513
>∴ α、β、γ が互いに素の場合に帰着する。
>したがって
>-A = 1/α + 1/β + 1/γ が整数になるのは |α| = |β| = |γ| = 1 の場合に限る。
ここもなんで？ >>506,507
|A|≦3 なので、|A|=1,2,3の場合について考えれば、
i)|A|=3は|α|=|β|=|α+β|=1 の場合に対応するなのでありえない。
α+β=-γとおくと（γ≠0）
iii)|A|=2の場合は、±2αβγ=αβ＋βγ＋γαの場合になるが、
α、βがいずれも偶数（したがって、γも偶数）の場合にのみ右辺は偶数。
よって、α=2k, β=2l, γ=2m=-2(k+l) とゼロではない整数k,l,mで置き換えると、±4klm=kl+lm+mkとなり、やはり、右辺は偶数なので、k,l,mは偶数。と、この操作
を限りなく続けていけることになり矛盾する。よって、この方程式をみたすα、β
は存在しえない。
ii)|A|=1 は、±αβγ=αβ＋βγ＋γαの場合になるが、
(1±α)(1±β)(1±γ)=1±(α+β+γ）+(αβ+βγ+γα)±αβγを利用して、
(1±α)(1±β)(1±γ)=1 （複合同順）となり、各因子が1,1,1か1,-1,-1の
組み合わせの場合に限る。(1±α)=1 or -1、(1±β)=1 or -1 のゼロではない
解はそれぞれ±2に限られるが、α+βがゼロではないので、（α、β）=(2,2) or(-2,-2)
に限られる。しかし、それらがもとの方程式を満たさないのは明らか。 直感的には明らかなんだが、きちんと示すのは意外と面倒なのかな。
と、>>516を考えてみての感想でした。 >>508
おお！めちゃくちゃ明快だね。いつもの人かな？（と、勝手に特定ｗ）
毎度のことながら、感動するわ。凡人の俺から見ると天才的。
>>515
俺の凡庸な証明は忘れていいから、>>508をとくと味わうようにｗ >>519
ああそうか
証明は>>516ね
聞きたいのは>>513 >>520
>>504は>>516で証明されてるので、>>513は必要ないし、
そもそも>>508ではるかにスマートに証明されてんだから、
どうでもいいんじゃね？ >>514
α、β、γが最大公約数 d>1 をもてば
α/d, β/d, γ/d の最大公約数は1,
また α+β+γ=0 の関係から、どの2つも互いに素になる。 >>521
>>513が証明になっているんなら
「はるかにスマート」じゃなくて？ >>522
証明したい事柄は
整数α,β,γがα+β+γ=0の条件を満たしているとき1/α+1/β+1/γが整数となる事はあり得ない
でしょうか？（もしもそういう意図ならば>>514の質問は撤回） 互いに素である(α,β,γ) は存在しない。
↓
一般の(α,β,γ) も存在しない。
の順で示すのが簡単です。 >>526
証明したい事柄は>>525でよいのですね？
>>515は？ >>515
（背理法で）
|α| >1 と仮定する。
βγ/α = -Aβγ -β －γ = n,
βγ = nα (n≠0、整数)
βγ と |α| >1 は互いに素であることに矛盾。 >>523
かりに>>513が証明として十分だとしても、>>508のほうがはるかにスマート。
なんとなれば、大元になる>>495を書いた俺が言ってるからｗ したがって
-A = 1/α + 1/β + 1/γ が整数になるのは |α| = |β| = |γ| = 1 の場合に限る。
∴ α+β+γ= (奇数) ≠ 0
これは定義に矛盾。 とはいえ、>>513 + >>528が >>516よりはるかにスマートであることは認める。 つか対称性を捨てて g(x):=f(x+a)-a とでもした方が見通しよくね お世話になります。
関数f(x)=(2x^2+x-2)/(x^2+ x-2)について、次のものを求めよ。
・関数y=f(x)と直線y=kが１点だけを共有するときのkの値
ご教示、宜しくお願い致します。 解答では、１回微分で増減表を書き、グラフを描いていますが、漸近線とグラフの関係が、いまひとつよく判りません。
一部、グラフと漸近線が交わる箇所もあるようです。 グラフで解かずにf(x)=kと置き、分母を払う
k≠2の時に2次方程式になるから判別式=0で求める ちなみにグラフでも解いてみた
漸近線は分母≠0よりx=-2とx=1
あとx→±∞の極限を考えるとf(x)→2になるので
y=2も漸近線
このグラフとy=kのグラフの共有点を調べると(-1/2,10/9)を通る時のみ共有点が1個になる >>536-538
ご回答、どうも有難うございます。
問題は、黄チャートのものですが、答は、k=1、17/9、2の３つ書いてあります。
その上によく判らないのが、第一象限で、グラフがy=2の漸近線と交わっているように描かれていることです。
グラフでも解かれたとのことですが、第一象限のグラフは、漸近線と交わるのでしょうか？ >>539
問題の式を写し間違えてない？
もちろん俺が解き間違えた可能性もあるけどw >>541
いいえ、こちらこそ、お手数をお掛けして申し訳ありません。 >>542
解き直しました
分母≠0よりx=-2とx=1が漸近線
x→±∞の時にf(x)→2なのでy=2も漸近線
x=0の時に極大で極大値 1
x=4の時に極小で極小値 17/9
第1象限でx>1の部分のグラフは
+∞からグラフが減少してきてx=4の時に極小になり極小値17/9になるその後は増加していきy=2に近付いていく >>543
よってy=f(x)とy=kの共有点が1個なのは
(0,1),(2,2),(4,17/9)を通る時の3通りある 分母≠0よりx≠-2,1
f(x)=kとして分母を払う
(k-2)x^2+(k-1)x-2(k-1)=0
k=2の時、1次方程式になりx=2
k≠2の時は2次方程式になるので判別式=0とするとk=1,17/9で
k=1の時 x=0
k=17/9の時 x=4 >>539
y=f(x)と漸近線y=2は(2,2)で１度交わります
x→∞でy→2-0で近付いていきます
あくまでx→∞で漸近線y=2に近付いていけばいいので(2,2)で交わっていても構いません >>543-545
何度もお手数をお掛けして申し訳ありませんでした。
そして、有難うございます。
ご回答、よく理解出来ました。
最後にもうひとつだけ、第一象限で、グラフがy=2の漸近線と交わっていますが、グラフと漸近線が交わるのは一般的によくあることなのでしょうか？ >>546
何度もご丁寧に有難うございました。
よく理解できました。
それでは、失礼致します。 >>547
雑な回答でごめんね
例えばy={e^(-x)}sin(x)の漸近線はx軸
x=nπ(nは整数)で何度もx軸と交わりながら段々と振幅が小さくなっていき
x→∞でy→0に近付いていく f(x) = (2xx+x-2)/(xx+x-2) = 2 + (1/3){1/(x-1) - 4/(x+2)},
を微分して
f '(x) = (1/3){-1/(x-1)^2 + 4/(x+2)^2}
= (1/3){-(x+2)^2 + 4(x-1)^2}/(xx+x-2)^2
= x(x-4)/(xx+x-2)^2,
f '(x) = 0 より
x=0 の時 k=f(0)=1,
x=4 の時 k=f(4)=17/9, 極値意外の解があるのは意外に見落とすよな。
判別式でも同じ値が盲点になるのがへぇっと思った。 f(x)とg(x)の交点のx座標をa,bとおく。aとbの間に他の交点は無いものとする。
a<c<bとなる点cがあるとき、f(c)≥g(c)なら、a≤x≤bで常にf(x)≥g(x)
これは真ですか？
もし真なら積分するときの式の上下考えるとき使えますか？ 質問です
組み合わせの記号nＣrの値は必ず自然数になりますよね
異なるn個の中からr個取る組み合わせのが何通りあるかなので当たり前と言えば当たり前かもしれません
この記号を別の記号で表すと
nＣr＝(nＰr)/r!
となります
ということは、nＰrはr!の倍数って事になりますよね？
つまりnＰr＝n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れるって意味ですよね？
これを証明するにはどうすればよいでしょうか？
お願いします nCrが整数なのはなんで？ というお話じゃないの？ >>559
はい、その通りです。ごちゃごちゃ書いてしまいましたが、質問したかったのは
n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れる
この事を証明するにはどうすればよいかという事です 漸化式
C[n+1,r+1]=C[n,r+1] + C[n,r]
を示せばいいのでは？ >>556
当たり前でいいんじゃないの？
nCrの定義がそのものの意味なんだから >>562
もし
n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れる事を示せ
という問題ならば
nＣr＝n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r!
＝整数
なので割り切れる
という証明でいいという事ですか
何かモヤモヤします >>560
連続するn個の自然数はnで割り切れるので、1～nをすべて
約数に持つのは自明なんだけど、その延長線でなんとか
ならんもんかねぇ。 >>563
n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れる事を示せ
n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r!=n!/(n-r)!*r!
となるが、この右辺はn個からr個を選ぶ組み合わせの数を表すから、自然数となる。
ではどうですか？ >>564
最初それを考えました
分子が連続するr個の整数の積なので、とりあえずrで約分出来る
→約分しちゃうと分子が連続する(r-1)個の整数では無くなるのでそこで躓きましたw nCr∈Zをnに関する帰納法で示す。
[1]n=1のとき、nCr∈Zは自明。
[2]n=m(∈N)でnCr∈Z(r=0,1,…,n)となるとき
(m+1)Cr=mC(r-1)+mC(r-1)より、
r=1,2,…,m+1については(m+1)Cr∈Zとなる。
また、r=0についてはnCr=1∈Z
以上より示された。// >>567
整数＝整数＋整数
を示してるって事でしょうか？ r個の並べ方の集合を考えて、
並べかえれば同じものを同値関係で結ぶようにして
その商集合の要素数は当然整数になる
みたいにすれば数学っぽい体にはなるけどどうなんやろか >>573
はぁ
組合せの数がnCrでそれは定義から自然数
順列の数であるnPrはそれぞれの組合せを順番に並べて得られるから
nPr=nCr・r!なんですが・・・・
なんかnPr=n!/(n-r)!とかnCr=n!/r!(n-r)!とかが定義だと思い込んでない？ 数学だろうが算数だろうが別に組み合わせだからで十分だと思いますけどね >>556
r以下のすべての素数pについて、
nＰrはpの何乗で割りきれるか、
r!はpの何乗で割りきれるか、
そういった考察をしてみるといい C[n, r]は（組み合わせの数なので）整数である
C[n, r] = n!/(n-r)!r!である
ゆえにn!/(n-r)!r!は整数である
↑確かにこれを否定する道理はないな
採点官だったらぐうの音も出ずに丸付けるしかないよ >>579
それを証明するんなら
nCr=n!/r!(n-r)!
であることを示さないと0点 >>579
それ以外の方法で証明せよって問題でそれを書いたら0点じゃないかな？
>>556の質問ってそういう意味だろ >>582
アホ丸出しだな
試験問題に出ないなら考えなくていいとかw 組み合わせ数だから整数で明らかなわけですよね
漸化式使えばもっと綺麗に示せますよ 問題で出ないから考えなくてもいい、ですってｗ
数理論理は問題で出るんですか～？？？ >>560
rについての帰納法で････
左辺を P(n,r) とおく。
r=1 のときは明らか。
r>1 のとき
P(n,r) = n･P(n-1,r-1)
= (n-r)P(n-1,r-1) + r･P(n-1,r-1)
= P(n-1,r) + r･P(n-1,r-1)
= P(n-2,r) + r{P(n-2,r-1)+P(n-1,r-1)}
= ････
= P(r,r) + rΣ[k=r,n-1] P(k,r-1)
ここで P(r,r) = r!, P(k,r-1) は (r-1)! で割り切れる。
∴ P(n,r) は r! で割り切れる。 (終) 連続するn個の自然数の中に、nの倍数がただ一つある xy平面上の長さ2の線分ABを直径とする半円をDとする。
半円Dの内部(周を含まない)の1点をPとする。
AとPを通る直線と半円Dの円弧の部分との交点をQとし、
BとPを通る直線と半円Dの円弧の部分との交点をRとする。
五角形ARPQBの面積をSとおく。
(1)∠APBを一定に保ったまま点Pが半円Dの内部を
動くとき、Sの取る値の範囲を∠APB=θを使って表せ。
(2)点Pが、半円Dの内部を自由に動くとき、
Sの取る値の範囲を求めよ。
この問題を教えて下さい
自分でも一応解きましたが自信がありません 次の不等式が成り立つことを、どのように解けば良いかご助言ください。
x^(1-t) * y^t ≦ (1-t)*x + t*y
x,y,t は正の実数で、tは 0<t<1とします。 >>593
ウェイトつき相加・相乗平均の不等式そのもの
凸不等式を使えば一発 >>589
いろんな倍数を兼務してる奴がいる鴨････ 1対1対応ではないもんね
例えば5*6*7が1*2*3で割り切れるかを考えるときとか >>578
n個の連続する数に含まれるmの倍数の個数の最低は1からnに含まれるmの倍数の個数であることを証明するわけですね
そしてそれは0がmの倍数だからほぼ自明 >>570
それは感覚的な話であって、それを証明せよと言われているんだろう >>599
感覚的ではなくて、組み合わせの数を計算で求めたら実際そうなるんじゃね？ >>600
実際そうなるからそうだというのは証明にならないだろ？ 場合の数ってものが現実に観察できてそれが自然数だと言ってるならそれは数学じゃなくて自然科学っぽい >>599
nCrは組合せの数nPrは順列の数というのが定義
その値がn!/r!(n-r)!およびn!/(n-r)!となるというのが証明されるべき事柄 集合論からちゃんと出発して場合の個数を言ってるならいいんだけどそういうふうには見えないから証明になってないと言われる 「場合の数を表すことになるから」以外の証明方法を求めているんじゃないの？ >>605
煽りたいだけのアホは黙ってて
違うならちゃんと公理から初めて数学的に言ってみてね >>604
集合論で定義される自然数を用いて場合の数と言ったメタ概念を表現することはできないと思いますけど >>607
集合論から始めてもできようけど
>>602のような書き方をする人を満足させられるかは不明
つまりね
君は普通の数学というものを知らないか
より原理的に考えたいというだけで
それは君にお任せした方がよさそうね >>608
？
場合の数の定義をnCrで行うことには異議はないけどその場合は結局これが自然数であることは別に証明する事柄になるよ >>601
>>600が言っていることは実際そうなることが「証明」できるという意味だと思うよ
実際nCr=n!/r!(n-r)!となることは証明できるわけで >>610
一階述語論理の集合論では場合の数と言ったメタ概念を扱えないと言っています
普通の集合論みたいにテキトーにやるならそれでもいいのかもしれませんけどね
自然数を何かしらの方法で定義して満足するなら
ぶっちゃけ、高階述語論理はよくわからないんですけど、それなら場合の数を集合論で定義した対象としての自然数として扱えるんですかね >>610
>場合の数の定義をnCrで行うことには異議はない
ええっと
じゃあそのnCrってそもそもどんな数？ >>611
そういう解釈するなら異論ないよ
>>612
逆にこの質問の場合の場合の数をどう考えてるのか気になる 高校数学自体が非論理的なのにそこに論理性を持ち込もうとするから非論理的な論理だらけになるんだよな
まず公理すら明確に述べられてないので論理的な議論など不可能なのに 別に難しく考えないでも場合の数は場合の数ですよね
集合論がーとか本気でやるなら、ちゃんと考えるべきです
中途半端は良くないですよ >>615
形式主義にそぐわないからと言って非論理的だとは言えないとは思いますけど
あとふつうに定義して証明してっていう道筋はある程度辿ってますよね
そこには論理がありますよ >>614
普通の数学では
場合の数とは{1,2,…,n}の部分集合のうち要素数がrであるもの全体の要素数だよ そもそもの>>556の疑問は、「組み合わせの数nCrが自然数になるのか」ではなく、
>>560の通り、「n!/(r!*(n-r)!)が自然数になるのか」だろうに 〔補題〕
nCr が自然数 ⇔ nPr がr!で割り切れる。
（証明)
nCr = nPr / r! 自然数であるnCrが、n!/r!(n-r)!であることを証明すべきか、n!/r!(n-r)!が自然数であることを証明すべきかすら高校の教科書を開いても不明なのに論理とは nCrは組み合わせの数を表す自然数で、それはn!/(n-r)!r!で表される
とっても簡単な論理ですね n!を素因数分解したとき、素因数pの指数は [n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+... で与えられる。
「n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れる」事を示すには、「n!が(n-r)!*r!で割り切れる」事を示せばよい。
これは、n以下の任意の素因数pについて、
[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...≧([(n-r)/p]+[(n-r)/p^2]+[(n-r)/p^3]+...)+([r/p]+[r/p^2]+[r/p^3]+...)
を示せばよいが、自明。 僕の高校では
多項式の形式的な微分（D(x^n)=nx^(n-1))を定義したあとで、簡単なDの性質を証明付きで示したあとで
(1+x)^n=A_0+(A_1)x+(A_2)x^2+・・・+(A_n)x^n と展開すれば各項の係数は自然数であり
この両辺の r 回の微分 D^r を考えて、両辺の定数項を比較すれば
n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)=r(r-1)(r-2)・・・(2)(1)A_r
そしてもともとA_rは自然数だったのでこの式は
r(r-1)(r-2)・・・(2)(1) がn(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)の約数であることを示している、
と習いました。 最初から(1+1)^nで考えれば一瞬で終わる気がしますけどね
先生が頭が悪いのでしょう つまり、m個からn個のものを選ぶ組み合わせはmCnであることを証明なしに解答に使ってはいけないということなんですか？
あり得ないんですけど(笑) まぁしかし何年か前の阪大の「(sin x)' = cos x を示せ」みたいなノリでありえなくはない。 >>628
この証明
最近の教科書だと
sin(θ+h)-sinθ=sinθcosh+cosθsinh-sinθ=sinθ(cosh-1)+cosθsinh
にして
(sin(θ+h)-sinθ)/h=sinθ(cosh-1)/h+cosθsinh/h=sinθ(cosh-1)(cosh+1)/h(cosh+1)+cosθsinh/h=sinθ(-sinh)sinh/h(cosh+1)+cosθ(sinh/h)
で
sinh→0
cosh→1
sinh/h→1
から導くのが主流なのね
昔は
sin(θ+h/2+h/2)-sin(θ+h/2-h/2)=2cos(θ+h/2)sin(h/2)
からが主流だったのに >>624
今までの証明でこれが一番エレガントやな
他のは馬鹿っぽい 組み合わせの数が整数でないと思う人の方がバカですよね >>631
寧ろ何の疑問も持たずに整数だと思ってる方がバカだろ │ ― │ ― │ ― │ ―b │
│ ― c│―d │ ― │ ― │
│ ― │ ― │ ― │ ― │
│a― │ ― │ ― │ ― │
最短の経路が何通りあるのかという問題で
a地点からb地点に行く最短の経路のうちcとdの少なくとも１つの地点を通るものを求めよ
↑答えは9+12-6＝15となっていますが
9×12-6の解き方の方が正しいと思います
なぜ間違っているのかわかりません
よろしくお願いします >>633
組み合わせの数が整数でないと思う人はいませんね 504の正の約数は全部で何個あるのかという問題で
２の3乗×３の2乗×７から答は24となりますが
なぜ１が3回もカウントされるのかわかりません
よろしくお願いします >>560
rは2以上の正整数としてよい。
(r-1)個の自然数 n-r+1、…、n-2、n-1 と1個の自然数nとからなる(n-r)個の自然数 n-r+1、…、n-2、n-1、n は
r個の自然数 1、…、r の直後に続く (r-1)+1＝r 個の自然数だから、n＝r+r＝2r。
よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝2r(2r-1)(2r-2)…(r-1)。
故に、n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1) は r(r-1) で割り切れる。
そこで、任意の2以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) が (r-2)! で割り切れることを示せばよい。
r＝2 のときは、定義から、(r-2)!＝0!＝1 だから、条件を満たす。
2以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) が (r-2)! で割り切れるとする。
すると、或る正整数mが存在して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)＝m・(r-2)!、よって、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)r(r-1)＝m・r!。
n＝2r とすると、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)r(r-1)＝n(n-1)(n-2)…(r-1) となって、n(n-1)(n-2)…(r-1)＝m・r!。
故に、確かに 2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) は (r-2)! で割り切れる。
2以上の正整数rに関する帰納法により、任意の2以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) が (r-2)! で割り切れる。 >>635
だからこそ>>556は疑問に思ったんだろが
それくらい分かれよカス r=10の時
(r+1)～2rの中に19とか入ってるけど
n-r+1～nの中に必ず19の倍数が入るなんて言えないのでは？ >>636
どこで1が3回カウントされているのか教えてください >>560
>>637は間違っているんで当てにしないでほしい。 >>636
504=2^3×3^2×7^１
504の約数は
2^a×3^b×7^c
の形になる
ただしa,b,cは
0≦a≦3
0≦b≦2
0≦c≦1
を満たす整数
a,b,cの組み合わせを考えると
(3+1)(2+1)(1+1)=24通りある >>634
cを通るのが9通り
dを通るのが12通り
そのまま足すと21通りだか、これにはcとdを両方通る場合を2回数えてる
cとdを両方通るのは6通りあるから
21-6＝15となる
｢100以下の自然数で2の倍数または3の倍数はいくつあるか｣
みたいな問題を中学でやっただろ？それを思い出せよ >>636
1は（2^0）*（3^0）*（7^0）の1回しかカウントされてないよ >>560
rは2以上の正整数としてよい。
(r-1)個の自然数 n-r+1、…、n-2、n-1 と1個の自然数nとからなる(n-r)個の自然数 n-r+1、…、n-2、n-1、n は
r個の自然数 1、…、r の直後に続く (r-1)+1＝r 個の自然数だから、n＝r+r＝2r。
よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝2r(2r-1)(2r-2)…(r-1)。
故に、n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1) は r(r-1) で割り切れる。
そこで、任意の2以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) が (r-2)! で割り切れることを示せばよい。
1)：r＝2 のときは、定義から、(r-2)!＝0!＝1 だから、条件を満たす。
r＝3 のときも、定義から、(r-2)!＝1!＝1 だから、条件を満たす。
2)：r≧4 のとき。r＝4 のときは、定義から、(r-2)!＝2!＝2 だから、条件を満たす。
4以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) が (r-2)! で割り切れるとする。
すると、或る正整数mが存在して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)＝m・(r-2)!、よって、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)r(r-1)＝m・r!。
n＝2r とすると、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1)r(r-1)＝n(n-1)(n-2)…(r-1) となって、n(n-1)(n-2)…(r-1)＝m・r!。
故に、確かに 2(r+1)(2r+1)2r(2r-1)(2r-2)…(r-1) は (r-1)! で割り切れる。
よって、或る正整数kが存在して、2(r+1)(2r+1)2r(2r-1)(2r-2)…(r-1)＝k・(r-1)!。
r≧4 から 2r-2≧r+2 なることに注意して、両辺を r-1 で割ると、
左辺の積は部分積 2(r+1)(2r+1)2r(2r-1)(2r-2)…(r+2) の 2r-2 が r-1 で割り切れる。また、このとき、右辺も r-1 で割り切れる。
故に、或る正整数jが存在して、2(r+1)(2r+1)2r(2r-1)(2r-2)…(r+2)＝j・(r-1)! となる。
4以上の正整数rに関する帰納法により、任意の4以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) は (r-2)! で割り切れる。
1)、2)から、任意の2以上の正整数rに対して、2r(2r-1)(2r-2)…(r+1) は (r-2)! で割り切れる。 後藤さんっぽい様式美を備えた文字列
ニセモノだろうけど >>560
>>647も間違っていた。
だけど、マジメに証明するまでもなく、これはパスカルの三角形で済む話だと思うんだけど。 >>645
自分の解答はかなり泥臭いものなので、他の人の解答と見比べたいのです
だから先に自分の解答を提示するのは意図的に避けています 正直に、わからないので模範解答を書いてください、と言えば良いのに >>603
いやいや、だからその式が自然数になることの説明は？ >>650
誰かが泥臭い解答で出してきたら二度手間なんだから、初めからこの解答は無しで、って言わないと失礼だろ >>654
自分としては自由に解いてほしいんです
スマートじゃなくてもいいので
誰かが解答を上げてくれましたら自分の解答も上げます 前>>403
>>591おもしろい。
(2)題意に添ってPを動かすと、P(0,1/2)のとき、Sは最大だと思う。APまたはBPはピタゴラスの定理より、
{(1/2)^2+1^2}=√5/2
S=△ABQ+△ABR-△ABP
√3-(1/2)(√5/2){(√5/2)(1/√3)}
=√3-5/8√3
=19√3/24
19号ですね。 1～nを並べてな集合Xに最初のr個の並べ替えと最後のn-r個の並べ替えでS[r]×S[n-r]を作用させた時の軌道の数は
#X/#S[r]×S[n-r]=n!/(r!(n-r)!)。 19号（ハギビス）情報
<11日15時>
大型、非常に強い
八丈島の南南西約550km にあって
北北西に進む 25km/h
中心気圧 925hPa
中心付近の最大風速 50m/s
最大瞬間風速 70m/s >>659
一致しません
P(0,1/2)で最大というのは勘ですか？ 不等式0 <= y <= -x^2 +7x -10の表す領域をDとする。正方形Zの４つの頂点P,Q,R,Sは
この順に反時計回りに並んでいて、Q,Rはともにy軸上にある。またZの対角線の交点Tは
D内にある。次の問に答えよ。
(1) Tの座標を(x ,y)とし、Zの右下の頂点Sの座標を(X, Y)とするとき、x, yをX,Yを用いて表せ。
(2) TがD内を動くとき、Sが動く範囲を図示せよ。
(3) TがD内を動くとき、Zの周が動く範囲を図示せよ。
猛者の解答を求む >>591
書くのが大変なんですが、∠PAB=α、∠PBA=βにしてまずθ+α+β=π
五角形の面積を△RAB+△QAB-△PABで求める
という流れでいけば
2sinθ-cosθ/2sinθから2sinθ-(1+cosθ)/sinθまでの範囲ではないかと >>653
場合の数と順列の数だからだよ
定義なんですがｗ >>664
書くのが大変かどうかは私と関係ありません。
方針だけ書いてマウント取るのはやめてください >>664
自分はそうなりませんでした…
できれば細かに書いて頂けると助かります 前>>659
>>663
(1)x=X/2
y=Y+x=X/2+Y
(2)作図した。
Dの境界である放物線、
y=-x^2+7x-10
=-(x-2)(x-5)の頂点(7/2,9/4)およびx軸上の点(2,0),(5,0)を右下45°の方向に移動させるには、
x方向に、X-x=X-X/2=X/2
y方向に、y-Y=X/2+Y-Y=X/2
だけ移動させたらよい。
同じX/2になったのであってる可能性が高い。
(3)作図した。(2)と同様にして放物線をあと3つ描いた。 >>661
19号 (ハギビス) 情報
<12日00時>
大型、非常に強い
八丈島の南西約410 km にあって
北に進行中 20 km/h
中心気圧 935 hPa
中心付近の最大風速 45 m/s
最大瞬間風速 65 m/s >>674
こんな流れの遅いスレで何いってんだこいつ
他板からのお客さんか？
半年ROMってろって文化が廃れたのは悲しいな >>591
△APR+△BPQ
=(AP^2+BP^2)sin(-2θ)/4
=(AB^2+2AP*BPcosθ)sin(-2θ)/4
=(1+△PAB/tan(θ))sin(-2θ)
=sin(-2θ)-(cos(2θ)+1)△PAB
S=-sin(2θ)-cos(2θ)△PAB
0<△PAB<=sin(θ)/(1-cos(θ))
-sin(2θ)<S<=(sin(θ)-sin(2θ))/(1-cos(θ))
sin(θ)=√(2√3)/2, cos(θ)=(1-√3)/2のとき右辺最大
0<S<=(3+√3)√(2√3)/2 >>647
>r個の自然数 1、…、r の直後に続く (r-1)+1＝r 個の自然数だから、n＝r+r＝2r。
？ >>647
>よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝2r(2r-1)(2r-2)…(r-1)。
n-r+1=2r-r+1=r+1 >>680
やり方まで完璧に一致しました！
ちょっと計算量多いですけど、これが一般的なやり方だったんですかね 本当にありがとうございます
詳しく書いた自分の解答も載せます (1)
AP=a、BP=bとすると、
△ARP=(asinθ)(-acosθ)/2=(-sinθcosθ)a²︎/2
△BQP=(bsinθ)(-bcosθ)/2=(-sinθcosθ)b²︎/2
△APB=(1/2)absinθ
なので、
S=△ARP+△BQP+△APB=(sinθ/2)(ab-(a²︎+b²︎)cosθ)
ここで、余弦定理より a²︎+b²︎-2abcosθ=4…(＊)
よって、a²︎+b²︎=4+2abcosθなので、
S=(sinθ/2)(ab-4cosθ-2abcos²︎θ)
=(sinθ/2)(ab(1-2cos²︎θ)-4cosθ)
=(sinθ/2)(-abcos(2θ)-4cosθ)
=(-sinθcos(2θ)/2)ab-sin(2θ)…(%)
あとは、abの取りうる値の範囲を求めよう。
まず、円周角の定理からπ/2<θ<π…(#)である。
(＊)より、(a-bcosθ)²︎+b²︎sin²︎θ=4なので、
b=2sinφ/sinθ , a-bcosθ=2cosφ
とおける。(∵(#)よりsinθ≠0)a>0,b>0なので、
2sinφ/sinθ>0…① , 2cosφ+2sinφ/tanθ>0…②
①より、0<φ<πとしてよい。
このときsinφ>0であり、(#)よりtanθ<0なので
②からcosφ>0が必要。よって、0<φ<π/2としてよく、
②より-cosφ<sinφ/tanθ ∴ tan(π-θ)>tanφ
したがって、①∧②⇔0<φ<π-θ…(☆)である。
よって、(#)と合わせて
π/2<θ<2φ+θ<2π-θ<3π/2 であり、
ab=(2sinφ/sinθ)(2cosφ+2sinφ/tanθ)
=4(sinφ/sin²︎θ)(sinθcosφ+cosθsinφ)
=4sinφsin(θ+φ)/sin²︎θ
=2(cosθ-cos(2φ+θ))/sin²︎θ
であるから、0<ab≦2(cosθ+1)/sin²︎θ=2/(1-cosθ)
したがって、(%)と合わせて
[1]π/2<θ<3π/4のとき
-sin(2θ)<S≦(-sinθcos(2θ)/(1-cosθ))-sin(2θ)
すなわち -sin(2θ)<S≦(sinθ-sin(2θ))/(1-cosθ)
[2]θ=3π/4のとき
S=-sin(2θ)
[3]3π/4<θ<πのとき
-sin(2θ)>S≧(sinθ-sin(2θ))/(1-cosθ)
(2)
左辺を微分すれば求まる。 △PABでSを表していない所は異なるから完璧に一致とまでは言えないかもしれないですが >>688
この問題はB5サイズの解答用紙を想定してるので
自分の解答だと収まるか微妙ということで計算量は多いです 全ての計算式を答案に書く必要はないでしょ
適当に間引けば良いじゃん てか>>591は(1)が(2)の誘導のつもりなんだろうけど(2)だけなら(1)はかえって無駄に手間取るクソ問なんだよな。 >>681-682
>>649に
＞>>647も間違っていた。
と書いてある。細かい揚げ足取りは不要。
nCr＝n!/(r!(n-r)!) は二項係数だから、パスカルの三角形の性質から、>>560は証明するまでもなく直観的に分かる話。 >>692
数学の証明で直観的に明らかって書くのか… そもそも、場合の数を表す式だから当然に自然数ということ以外の証明を求めている質問なんじゃないのか >>693
漸化式を得てその漸化式を用いて、二項係数が自然数であることや
パスカルの三角形の存在性を示すことは出来るが、高校でそんなことしないだろ。
正の整数と正の整数の和は正の整数である。
高校ではパスカルの三角形やっているから、殆ど自明だよ。
もし、>>560が問題になるのであれば、漸化式を得ることから始まる。 >>674様がお前らに話題の流行について何か言いたそうにしている >>692
>ID:dBNhjaL1
の書いた文字の数が自然数であることを証明せよ >>697
問題文に「文字」の定義やレスの個数が不明なことなどといった曖昧な点もあり、証明する気もない。 正の数a,b,c,dは満たす次の条件を。
・ a+b+c+d=4a
・ ab+ac+ad+bc+bd+cd=6b^2
・ abc+abd+acd+bcd=4c^3
・ abcd=d^4
a=b=c=dのときなら明らか。これ以外の場合はありますか。 a≧b≧c≧d
また
0 = 4a - (a+b+c+d) = (a-b) + (a-c) + (a-d) ≧0,
1 = abcd/(d^4) = (a/b)(b/d)(c/d) ≧ 1, >>672
19号 (ハギビス) 情報
<12日16時>
大型、非常に強い
下田市の南西約90 km にあって
北北東に進行中 35 km/h
中心気圧 945 hPa
中心付近の最大風速 45 m/s
最大瞬間風速 60 m/s f(x)=(x^π)-(π^x)(0<x<π)
f(x)の最大値をMとおく。
(1)f(x)はただ一つの実数解を持つことを示せ
(2)(1)の実数解をαとしたときf(x)=Mとなるxはα<x<πをみたすことを示せ
(3)M>1/2を示せ
(1)は対数をとって、(2)は平均値の定理から解けたのですが(3)がどうしても解けません
解法分かる方教えて頂きたいです >>705
頑張ってみたけど、元の問題を解いた後の系になってしまうｗ >>705 >>708
頑張ってみた。
3(a+b+c+d)^2 - 8(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
= (a-b)^2 + (a-c)^2 + (a-d)^2 + (b-c)^2 + (b-d)^2 + (c-d)^2 ≧ 0,
∴ a ≧ b,
3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2 - 9(a+b+c+d)(abc+abd+acd+bcd)
= (cc+cd+dd)(a-b)^2 + (bb+bd+dd)(a-c)^2 + (bb+bc+cc)(a-d)^2
+ (aa+ad+dd)(b-c)^2 + (aa+ac+cc)(b-d)^2 + (aa+ab+bb)(c-d)^2 ≧ 0,
∴ b^4 ≧ ac^3,
∴ b ≧ c,
AM-GMで
abc+abd+acd+bcd ≧ 4(abcd)^(3/4),
∴ c ≧ d, 実質後半は
a,b,c≧d と abc=d^3
だけでいけるからam≧gmだけでいけそうだけど >>556
>組み合わせの記号nＣrの値は必ず自然数になりますよね
このことは認めた上で回答してよい訳ですか。文章を読むと、どうやらそのようですな。
[第１段]：nは2以上の正整数と仮定してよい。rは 2≦r≦n を満たす正整数と仮定してよい。
二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
そこで、nを2以上の正整数、かつrを 2≦r≦n を満たす正整数と仮定する。
そのように仮定した上で、尚かつ二項係数つまりは組合せの総数 nCr を正整数と仮定して考える。
A＝{1,…,n} とする。
合計丁度1個の有限列 n、n-1、…、n-r+1 は整数の大小関係について大きい方から順に、
何れも相異なる合計丁度 1+(r-1)＝r 個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 を重複を許さずに並べることで構成出来る。
また、正整数の全体からなる集合 N＼{0} は正整数の積の二項演算×について可換な半群をなすから、
任意の相異なる合計丁度r個の正整数の積は N＼{0} の点である。よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)∈N＼{0}。
[第２段]：1)：r＜n のとき。階乗の定義から (n-r)! は相異なる合計丁度 n-r+1 個の自然数の積として表される正整数だから、
同様に (n-r)!∈N＼{0}。ここに、0は自然数として考えている。
2)：r＝n のときは、階乗の定義から、(n-r)!＝0!＝1 だから、(n-r)!∈N＼{0}。
1)、2)から、(n-r)!∈N＼{0}。
[第３段]：階乗の定義から n!＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1)×(n-r)! だから、可換半群 N＼{0} の性質から同様に n!∈N＼{0}。
同様に階乗の定義から n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝(n!)/((n-r)!) だから、同様に (n!)/((n-r)!)∈N＼{0}。
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から、
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選んで並べて出来る有限列の総数は nPr と表されるから、
相異なるn個の点からなる有限集合Aに属する点の中から合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選ぶ方法の総数は nPr である。
故に、nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1) から nPr∈N＼{0}。
二項係数つまりは組合せの総数 nＣr の定義から、nCr＝(n!)/( (r!)((n-r)!) ) だから、r!×nCr＝(n!)/( ((n-r)!) )。
よって、r!×nCr＝nPr。ところで二項係数 nCr を正整数と仮定しているから、(nPr)/(r!)∈N＼{0}。故に、(r!)|(nPr)。 違うと思うけどな
組み合わせの数と考えれば自然数になるのは当然だけどそれは使わずに数式から証明することは出来ないかっていう質問だと思う >>714
問題文の解釈や質問者の意図をめぐる>>713の是非は別にして、>>556には
>つまりnＰr＝n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れるって意味ですよね？
と式が書いてある。そこの等式にはn、n-1 という異なる2個の正整数が表れていることが見て取れる。
正整数と見なさないと等式に表れている数 n-2 の意味がなくなる。
それ故、一般的には n≧2、2≦r≦n と仮定して話を進める。 >>716
>>714は
>>二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
が違うつってんだろクソアホが。 >>717
＞>>714は
＞>>二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
＞が違うつってんだろクソアホが。
この主張を認めるには>>714の「一行目」は「二行目」と訂正することになり、互いの主張に食い違いが生じる。 >>717
＞>>714は
＞>>二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
＞が違うつってんだろクソアホが。
この主張を認めるには>>714の「一行目」は「二行目」と訂正することになり、互いの主張に食い違いが生じる。 >>716
この一行目が違うと言っている
これを証明しろと言ってる
>>組み合わせの記号nＣrの値は必ず自然数になりますよね >>721
とっくに終わってる話なのに何一つ理解できてないクソアホが
間違いだらけの長文でドヤ顔してるから叩かれてんだろ 以上、場合の数が整数でないと思う異常者たちの遠吠えでした >>720
>組み合わせの記号nＣrの値は必ず自然数
これはマトモな組合せ論(但しグラフ理論ではない)の本に載っているから、それを読めば済む話。
それより、むしろ>>713がいうように
>(順列の)数式から(代数的)に)証明すること
の方に関心がある。
>>722
お前さんが理解出来ないだけだと思う。 >>725
証明しろと言ってる中で本を読めとか感覚的に明らかとかそういう言葉遊びはやめましょうね、と言ってるんじゃ無いのかな >>726
>>720のいうことを実行したら、実質的には本を書き写すことと同じようなことになる。 >>727
？それでいんじゃ無いの？
少なくとも書いてる内容は求められてることでは無いし >>729
講義をするようなことになると思うけど。 >>556
通りすがりだが、略解のみ。
n≧r>1として
X=r!=Π[k=1,r]k、Y=nPr=Π[k=n-r+1,n]k とおく。
r!の素因数はr以下の素数のみ。
以下、1からrまでの自然数の集合をA、n-r+1からnまでの自然数の集合をBとする。
まず
【補題１】aを自然数として、Aに含まれるaの倍数の個数≦Bに含まれるaの倍数の個数
を示す（証明略）
r以下の素数の個数をK、r以下の素数をpi（i=1～K）とする。
Xの素因数分解に含まれるpiの個数をxi，Yの素因数分解に含まれるpiの個数をyiとおくと
pi^(N+1)>nとなる適当なNをとって
xi=Σ[k=1,N]（Aに含まれるpi^kの倍数の個数）
yi=Σ[k=1,N]（Bに含まれるpi^kの倍数の個数）
であり、補題１よりxi≦yi
Xの任意の素因数について Xに含まれる個数≦Yに含まれる個数 なので、YはXの倍数。 >556
任意の自然数n,r(r≦n)に対して、C(n,r):= n(n-1)(n-2)…(n-r+1)/r! と定義すると
i)任意の自然数nに対してC(n,1)=n/1=n なので、C(n,1)は自然数となる。
ii)ある自然数rに対してC(n,r)が自然数であるとすれば、C(n,r+1)も自然数となることを以下に示す。
r+1の一つの素因数をpとするとr+1= kp^l (k,lは自然数）とおける。
1からr+1までの連続するkp^l個の自然数に現れるp,p^2,p^3…の回数を重複するものを避けて数え上
げて、(r+1)!=qp^mとなったとする（ただし、qはpとは素な自然数で、m≧l）。
(r+1)!/r!=r+1=kp^lなので、r!に含まれる素因数pの次数は(m-l)となる。
一方、n(n-1)…(n-r+1)(n-r)は連続するkp^l個の自然数なので、その中に現れるp,p^2,,,の回数
を重複するものを避けて数え上げれば少なくともpの次数はm以上となる。
ゆえに、C(n,r)(n-r)=n(n-1)…(n-r+1)(n-r)/r!はpのl乗の倍数でなければならない。
r+1の他の素因数に対しても同じことが言えるので、C(n,r)(n-r)は(r+1)の倍数となる。
よって、C(n,r+1)=C(n,r)(n-r)/(r+1)は自然数。
i),ii)より、数学的帰納法により証明できた。
こんなんでどう？ >>733
>Aに含まれるaの倍数の個数
たぶん
「それは整数ですか？証明してください！」
と言い出す奴がでる
に100万ガウス よく確かめてないけど、もしかして、>>733に先を越されちゃってた？
だとしたら、悲しい… (T_T) >>734
気を取り直して、ちと修正。
×p,p^2,p^3…の回数
↓
○p,p^2,p^3…の倍数の回数
もう一箇所も同様。 >>736
だとしたら
隣り合うr個の代わりに2ずつ離れたr個ならどうだかって風に拡張するのが数学だろ 高校生的には>>734のほうがわかり易くないか？（自画自賛でスマン） >>731-732
>>730を書いた直後にメシ食ったし、それじゃ今から準備する。 >>674
そんな話してるとこのキチガイがまた怒り出すぞ >>705 >>710
〔マクローリンの不等式〕
Ｐ_k = (n文字のk次の基本対称式) / nＣk,
とおくと
Ｐ_1 ≧ √(Ｐ_2) ≧ ････ ≧ (Ｐ_k)^(1/k) ≧ ････ ≧ (Ｐ_n)^(1/n),
数セミ増刊「数学の問題」第(1)集、日本評論社 (1977)
●21
E.F.Beckenbach & R.Bellmann: "Inequalities", Ergebnisse叢書, Springer-Verlag (1961)
p.11 >>711
a+b+c+d = 4a,
abcd = d^4,
から
(b+c)/2 ≧ a ≧ d ≧ √(bc),
になるけど････ アホらしいから昼寝してたぜ。
終わったか低能ども。 >>671イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/10/11(金) 21:52:12.32ID:AWks4Xyn
>全くの誤りだから、役立たず。もう一度やり直し >>746
amgmだけで
a = (a+b+c+d)/4 ≧ (abcd)^(1/4) = d
b = ((ab + ac+ ad + bc + bd + cd)/6)^(1/2)
≧ ((abacadbcbdcd)^(1/6))^(1/2) = (abcd)^(1/4) = d
c = ((abc + abd+ acd + bcd)/4)^(1/3)
≧ ((abcabdacdbcd)^(1/4))^(1/3) = (abcd)^(1/4) = d >>643
わかりやすい解説ありがとうございました！
納得しました >>642
>>646
いまようやく解りました。
ありがとうございました。
とても助かりました。
このスレは親切な方が多くて良スレですね。 >556
通りすがりだが、略解のみ。
任意の自然数n と非負整数r (0≦r≦n) に対して、P(n,r):= n(n-1)(n-2)…(n-r+1)
任意の自然数n に対して、 P(n,0):= 1,
i) n=1 に対しては r=0,1 なので r!=1、P(1,r)=1 は r! で割り切れる。
また r=0 のときは定義から明らか。
ii) ある自然数nに対して P(n,r) が r!で割り切れるとすれば、P(n+1,r)も r! で割り切れることを以下に示す。
P(n+1,r) = (n+1)n(n-1)････(n-r+2)
= {(n-r+1) + r}n(n-1)････(n-r+2)
= n(n-1)････(n-r+1) + r*n(n-1)･･･(n-r+2)
= P(n,r) + r*P(n,r-1),
ここで P(n,r)はr!で割り切れ、P(n,r-1)は(r-1)!で割り切れる。
∴ P(n+1,r) も ｒ! で割り切れる。
i),ii)より、数学的帰納法により証明できた。
こんなんでどう？ nCrが組み合わせだという回答の次にスッキリしてて良い回答だと思います
P(n,n)がn!で割り切れるというのも必要な気がしますけど >>752
rの方を固定するの？nを固定したらダメなの？
nPrがr!で割り切れると仮定するとnPr+1が(r+1)!で割り切れる
としちゃダメなの？ >>753
r=n のときは P(n,n)=n! から明らか。
が抜けてますた。
>>754
nについての帰納法です。
r=0,1,･･･,n のn+1個を一まとめにして扱いました。 >>749
a, b, c ≧ (abcd)^(1/4),
ですね。
第4式から
(abcd)^(1/4) = d,
つまり
a･b･c = (abcd)^(3/4),
これらより
a = b = c = (abcd)^(1/4),
わかりやすい解説ありがとうございました！
納得しました。
いまようやく解りました。
ありがとうございました。
とても助かりました。
このスレは親切な方が多くて良スレですね。 >>756
それって、C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)を使った>>567とまったく同じだろ？
(>>567は式をちょっと書き間違えてるけどねｗ）
ぱっと見、nについての帰納法だと、rが増やせない感じで気持ち悪いんだよね。
だから、そこんとをきちんと定式化して、
i)C(1,1)=1!/(1-1)!/1!=1, C(1,0)=1!/(1-0)!/0!=1
ii) ある自然数nに対して、0≦r≦nとなるすべての整数rについてC(n,r)が
自然数になると仮定すると、
1≦r≦nの場合、C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)が自然数となることは自明。
また、C(n+1,0)=(n+1)!/(n+1-0)!0!=1、C(n+1,n+1)=(n+1)!/(n+1-n-1)!/(n+1)!=1
なので、やはり 0≦r≦n+1となるすべての整数rに対してC(n+1,r)は自然数になる。
i),ii)より数学的帰納法から、任意の自然数nに対して、0≦r≦nとなるどの整数r
についてもC(n,r)は自然数となる。
とすれば明快じゃないかな。 もちろん、C(n,1)=n!/(n-1)!/1!=n から出発して、C(n,r)が自然数なら、
C(n,r+1)も自然数としていく >>733や>>734の証明も別解としてありだと
思うが、C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)を使うほうが簡単だな。 組み合わせは自然数が一番簡単なのに未だに文句言ってる人はなんなんですかね >>761
どれを簡単と感じるかは人それぞれ。いろんな証明法があっていい。
というか、あったほうがいい。 >>762
なくていいですよね
こんなくだらない問題いつまで続けてるんですか >>761
その場合は、自然数である組み合わせC(n,r)がn!/(r!*(n-r)!)で表せることの証明に置き換わるだけ
やることは何も変わらない この計算で合っているでしょうか？
問１
カードAが7毎、カードBが8枚、計15枚のカードがある。
ここから5枚引たときカードBが3枚以上含まれる確率を求めよ。
(8C5 + 8C4*7C1 + 8C3*7C2 ) / 15C5
=(56+490+1176)/3003
=82/143
問２
カードBの8枚にはそれぞれB1、B1、B1、B2、B2、B2、B3、B3、と書かれている。
問１から、B1B1B1AA、及びB2B2B2AAの場合を除外したときの確率を求めよ
(8C5 + 8C4*7C1 + 8C3*7C2 -7C2*2) / 15C5
=(56+490+1176-21)/3003
=81/143
問３
問２で失敗した場合、もう一度15枚のカードから5枚引いてやり直してよい場合の確率を求めよ。
81/143 + (143-81)/143 * 81/143
=16605/20449
≒0.812
スマホゲーのfate/grand orderやっていて、
ふと高校数学が懐かしくなって確率を厳密に計算したくなったやつです。
ゲーム的にはB8枚構成でBチェインで1wave1T突破する確率なんだけど
もしゲーム知ってる人がいたら、問題立てそのものも検証してくれると嬉しいです。 「組合せだから自然数！」くんは質問の趣旨を全く理解できてないな こんにちは。
わからない問題があるので質問させていただきます。
-------以下問題-------
all x{p(x) ⇒ q(x)}
と
exist x{p(x) ⇒ q(x)}
の意味を日本語で記述せよ。
----------------------
です。解答お待ちしております。 >>758
>それって、C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)を使った>>567とまったく同じだろ？
>>567はその式証明してないが>>758は証明になってるから
同じというのは語弊がある
>>567も>>758もrに付いての帰納法ではない
rを増やせなくても良いわけ
(n+1,r)についての言明を(n,r)と(n,r-1)から導くというだけ >>770
忖度し過ぎだね
連続したr個の数の積がr!で割り切れることの最も簡単な証明が
nPr=nCr・r!
および
nPr=n!/(n-r)!
を示すというもの
後者を示している書き込みがないところから見て
こちらの証明はほぼ自明と認識されているのだろうね
それに比すれば前者もほぼ自明なので
他にもいろいろな証明があるにせよ
これが最も簡単だろうね >>771
>その式証明してないが>>758は証明になってるから
まあ、証明もなにも、そもそも>>567は式を書き間違えてるからねｗ
とはいえ、内容的にはまったく同じこと。
C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)はよく出てくる公式で、証明も簡単にできる
ので省略したんでしょうね。
>rを増やせなくても良いわけ
いや、rはnとともに増やせなきゃだめでしょ。つまり、nが決まれば
r（の範囲）が決まり、その全てのrで成り立つことを明示的に示さな
いと証明としては不十分。 >>773
それは間違い
かの証明は
nについての帰納法であって
rは任意（帰納法ではない） rの範囲はnによりほぼ自動的に定まり
その中のどのrでもよいので
明示的に書く必要はないね >>775
>rの範囲はnによりほぼ自動的に定まり
定める必要すらないか
rは0（1でもよい）以上の整数何でもよろしい 証明をきれいにするには
n,r≧0にして
0Pr=0 (r>0)
nP0=1
から始めるのかな >>772
ん？
質問者(=>>556)はnCrが自然数になるということの証明を求めて、間接的に
nPrがn!で割り切れることの証明を求めてるんだってことを理解してるの？
それだとnCrが自然数だからnPrがr!で割り切れるって言ってるだけだから
まったくのナンセンス。 >>774
rは任意じゃないでしょ。1Cr=1!/(1-r)!r!
ってr>1でどうすんのよｗ
0≦r≦nって制限があるんだから、nが増えれば、rの上限も
増えるのでr=n+1とr=0の場合はn+1に対して明示的に証明し
ておかないとだめだよ。 一方、nCrが自然数からnCr+1が自然数を導出するほうは、
n≧1の任意の自然数に対してnC1=nが自然数となることから出発
できるのでそのまま素直に帰納法として理解できる。が、証明は面倒。 >>767
やり方は正しいと思う。数値まではチェックしてない。 >>779
ここではnからr個の積をnPrとするわけ
1Pr=0 (r>1)でr!で割り切れるのよ
rは何でも良い
それからnCrが自然数であることを示せではなく
n個の積がr!で割り切れることを示せですよ まあいずれにせよID:NS93ZhhO は>>758の証明の構造を良く理解してね
nについては帰納法rについては何でもよろしい >>780
>nCrが自然数からnCr+1が自然数を導出する
無駄な証明だよそれ筋が悪い ちなみに>>758は順列組合せ一切使っていない
単なるnからr個の数の積がr!で割り切れることの
nに関する帰納法の証明rは何でもよろしい >>782
nCrが自然数だという前提なら、>>556は帰納法もクソもなく自明のことを
質問してるということになる。
そうじゃなくて、nCr=nPr/r!が自然数である（すなわちnPrがr!で割り切れる）
ことを、組み合わせの概念抜きに証明してくれという質問だと読み取るべき
なんじゃねーの？あんたおかしいよ。 >>783
おいおい、>>758を書いた本人に>>758を理解しろってどういうことだよｗ
負数の階乗が0になるのは高校数学では習わんのだから、しょうがないだろ。
それもいちいち証明しないといけないことになる。だとすれば、0≦r≦n
と限定してr=n+1の場合とn+1C0の場合について言及するしかない。 おっと、>>787
×負数の階乗が0になる
○負数の階乗の逆数が0になる >>787
そうかすまんな
けれどnに関しては帰納法rに関しては任意という証明で
rが増えることについて特に言及は不要だろ >>786
>nCrが自然数だという前提なら、>>556は帰納法もクソもなく自明のことを
>質問してるということになる。
それは違う
nPr=n…(n-r+1)
は前提の上で
nPrがr!であることを示して欲しいというものだと思うね
nPr=n…(n-r+1)は疑問ではないようだし
nPrは順列の数でそれは組合せの数であるnCrのr!倍となることは
自明ではないがそれほど難しいことでもない
nPr=n…(n-r+1)が自明であるというならそれとほぼ同等だが
ある程度の証明は必要にはなる事柄だろう nPr=nCr・r!であるのは
{1,…,n}の部分集合のうちr個の要素数のものの全体の個数がnCrであり
その一つ一つについて並べたものが順列であって並べ方はr!通りあることから分かる
そのようにして構成した順列はお互い異なり
順列はすべてこのように構成できることから
nPr=nCr・r! nPr=n…(n-r+1)は証明するべき事柄
nPr=nCr・r!も証明するべき事柄
いずれもそれほど難しくはないということでお仕舞い
それを最初から整数として定義されているnCrが整数であることを証明するとか筋が悪いことを言う人もいる
lim sinθ/θ=1をロピタルの定理で「証明」するなんてのもあるから筋の悪さの種は尽きないね >>556
>>731-732
正直疲れた。
定義まではしていない。あと、打ち間違いはあるかも知れない。
[第１段]：nは2以上の正整数と仮定してよい。rは 2≦r≦n を満たす正整数と仮定してよい。
そこで、nを2以上の正整数、かつrを 2≦r≦n を満たす正整数と仮定する。
A＝{1,…,n} とする。
合計丁度1個の有限列 n、n-1、…、n-r+1 をBで表す。
合計丁度1個の有限列 n-r+1、…、n-1、n をCで表す。
合計丁度1個の有限列 1、2、…、r をDで表す。
合計丁度1個の有限列Bは整数の大小関係について大きい方から順に、
何れも相異なる合計丁度 1+(r-1)＝r 個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 を重複を許さずに並べることで構成出来る。
また、正整数の全体からなる集合 N＼{0} は正整数の積の二項演算×について閉じており可換な半群をなすから、
任意の相異なる合計丁度r個の正整数の積は N＼{0} の点である。よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)∈N＼{0}。
[第２段]：1)：r＜n のとき。階乗の定義から n! は相異なる合計丁度n個の正整数 1、2、…、r の積と見なせるから、
同様に (n-r)!∈N＼{0}。ここに、0は自然数として考えている。
2)：r＝n のときは、階乗の定義から、(n-r)!＝0!＝1 だから、(n-r)!∈N＼{0}。
1)、2)から、(n-r)!∈N＼{0}。 >>556
>>731-732
(>>793の続き)
[第３段]：階乗の定義から n!＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1)×(n-r)! だから、可換半群 N＼{0} の性質から同様に n!∈N＼{0}。
同様に階乗の定義から n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝(n!)/((n-r)!) だから、同様に (n!)/((n-r)!)∈N＼{0}。
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から、
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選んで並べて出来る有限列の総数は nPr と表されるから、
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選ぶ方法の総数は nPr である。
故に、nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1) から nPr＝(n!)/((n-r)!)。
[第４段]：合計丁度1個の有限列Cは、合計丁度1個の有限列Bの中に重複を許さずに表れる
相異なる合計丁度r個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 に対して、
整数の大小関係について小さい方から順に並べることで構成出来る。
整数の大小関係について、合計丁度1個の有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n は
合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の直後に続く正整数である。
よって n＝2r。 >>556
>>731-732
(>>794の続き)
[第５段]：mを自然数とする。xは文字とする。
1)：m＝0 のときは (1+x)^m＝(1+x)^0＝1。
階乗の定義から 0!＝1 だから、二項係数の定義から、1＝0C0。よって、(1+x)^0＝0C0。
2)：m＝1 のとき。同様に定義から 1C0＝(1!)/((0!)(1!))＝1、1C1＝(1!)/((1!)(0!))＝1 だから、
(1+x)^m つまり多項式 1+x は二項係数を用いて 1+x＝1C0＋1C1x と表される。
[第６段]：3)：m≧2 のとき。(1+x)^{m-1} を展開して、二項係数を用いて、
xについての昇ベキの順で表された多項式として表すと、
(1+x)^{m-1}＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k ) となる。よって、
(1+x)^m＝(1+x)(1+x)^{m-1}
＝(1+x)Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )
＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^{k+1} )。
＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=1,…,m}( ((m-1)Ck)x^k} )。
また同様に、(1+x)^m を展開して、二項係数を用いて、
xについての昇ベキの順で表された多項式として表すと、
(1+x)^m＝Σ_{k=0,1,…,m}( (mCk)x^k ) となる。
故に、Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=1,…,m}( ((m-1)Ck)x^k} )＝Σ_{k=0,1,…,m}( (mCk)x^k )。
両辺で、定数項及び1以上m以下の各次数のxのベキ乗 x^k k＝deg(x)＝1,…,m の係数を見比べると、
漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧2 0≦k≦m-1 を得る。
[第７段]：得られた漸化式について、m＝1 とすると k＝0 となるから、二項係数の定義から、
(m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝0C0＋0C(-1)＝1+0＝1、mCk＝1C0＝1。
故に、漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 を得る。 >>556
>>731-732
(>>795の続き)
[第８段]： 1)：m＝2 のとき。Case1-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝1C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝1C(-1)＝0∈N。
Case1-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝1C1＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝1C0＝1∈N。
Case1-1)、Case1-2)から、1Ck∈N＼{0} k＝0,1、1C(k-1)∈N k＝0,1。
2)：m＝3 のとき。Case2-1)；k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝2C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C(-1)＝0∈N。
Case2-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝2C1＝(2!)/((1!)^2)＝2∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C0＝1∈N。
Case2-3)：k＝2 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝2C2＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C1＝2∈N。
Case2-1)、Case2-2)、Case2-3)から、2Ck∈N＼{0} k＝0,1,2、2C(k-1)∈N k＝0,1,2。
3)：m＝4 のとき。Case3-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝3C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C(-1)＝0∈N。
Case3-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C1＝(3!)/((1!)(2!))＝3∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C0＝1∈N。
Case3-3)：k＝2 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C2＝3C1＝3∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C1＝3∈N。
Case3-4)：k＝3 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C3＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C2＝3C1＝3∈N。
Case3-1)、Case3-2)、Case3-3)、Case3-4)から、3Ck∈N＼{0} k＝0,1,2,3、3C(k-1)∈N k＝0,1,2,3。 >>556
>>731-732
(>>796の続き)
mを4以上の正整数として、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N とする。
Case4-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝(m-1)C0＝((m-1)!)/((m-1)!)＝1 だから (m-1)C0∈N＼{0}。
同様に、(m-1)C(k-1)＝(m-1)C(-1)＝0 だから (m-1)C(-1)∈N。
Case4-2)：k≠0 のとき。
Case4-2-1)：k＝1 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝(m-1)C1＝((m-1)!)/((1!)(m-2)!)＝m-1 だから (m-1)C1∈N＼{0}。
同様に、(m-1)C(k-1)＝(m-1)C0＝1 だから (m-1)C0∈N。 >>556
>>731-732
(>>797の続き)
Case4-2-2)：2≦k≦m-1 のとき。或る 2≦k≦m-1 なる正整数kが存在して、mCk が正整数ではないとする。
正整数mは m≧4 を満たし、正整数kは 2≦k≦m を満たすから、
[第１段]から[第４段]までの議論で用いたn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すことが出来る。
そこで、[第１段]から[第４段]までの議論におけるn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すと、
m は m＝2k と表されることになる。よって、階乗と二項係数の各定義から、
mCk＝(m!)/( (k!)( (m-k)! ) )＝((2k)!)/((k!)^2)＝((2k)Pk)/(k!)。
有限列 1、2、…、k をEで表す。有限列 k+1、…、2k をFで表す。
合計1個の有限列Eの中に表れる合計丁度k個の相異なる整数 1、2、…、k の中に表れるすべての素数を p_1、…、p_j とする。
すると、整数の大小関係から、j個の素数 p_1、…、p_j はどれも丁度1個の有限列Eの中に表れる
合計丁度k個の相異なる整数 k+1、…、2k のすべての積 (k+1)…(2k)＝(2k)Pk の約数となる。
よって、各 i＝1,…,j に対して p_i の指数 q_i が定まり、或る M∈N＼{0} が存在して、(2k)Pk＝M[Π_{i=1,…,j}(p_i)^{q_i}] となる。
また、各 i＝1,…,j に対して p_i の指数 r_i が定まり、k!＝Π_{i=1,…,j}(p_i)^{r_i} となる。
仮定から ((2k)Pk)/(k!) は正整数ではないから、((2k)Pk)/(k!)＞0 から、((2k)Pk)/(k!) は正の有理数である。
よって、或る 1≦i≦j なる正整数iが存在して、(p_i)^{r_i}＞(p_i)^{q_i}。
しかし、2≦p_i＜k+1 だから、整数の大小関係から、(p_i)^{r_i}≦(p_i)^{q_i} であって矛盾する。
この矛盾は 2≦k≦m-1 なる正整数k が存在して、mCk が正整数ではないとしたことから生じたから、背理法が適用出来る。
そこで背理法を適用すると、mCk が正整数ではない正整数k 2≦k≦m-1 は存在しない。
故に、任意の 2≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mCk は正整数である。
階乗と二項係数の各定義から mCm＝1∈N＼{0} だから、任意の 2≦k≦m なる正整数kに対して、mCk は正整数である。 >>556
>>731-732
(>>798の続き)
或る 2≦k≦m-1 なる正整数kが存在して、mC(k-1) が自然数ではないとする。
正整数mは m≧4 を満たし、正整数kは 2≦k≦m を満たすから、
[第１段]から[第４段]までの議論で用いたn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すことが出来る。
そこで、[第１段]から[第４段]までの議論におけるn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すと、
m は m＝2k と表されることになる。よって、階乗と二項係数の各定義から、
mC(k-1)＝(m!)/( ( (k-1)! )( (m-k+1)! ) )＝((2k)!)/( ((k-1)!)((k+1)!) )＝( (2k)P(k+1) )/((k-1)!)。
有限列 1、…、k-1 を E' で表す。有限列 k、k+1、…、2k を F' で表す。
合計1個の有限列 E' の中に表れる合計丁度 k-1 個の相異なる整数 1、…、k-1 の中に表れる
すべての1または素数を (p_1)'、…、(p_{j'})' とする。
すると、整数の大小関係から、j' 個の1または素数 (p_1)'、…、(p_{j'})' はどれも丁度1個の有限列 F' の中に表れる
合計丁度 k+1 個の相異なる整数 k、k+1、…、2k のすべての積 k(k+1)…(2k)＝(2k)P(k+1) の約数となる。
よって、各 i＝1,…,j' に対して (p_i)' の指数 (q_i)' が定まり、
或る M'∈N＼{0} が存在して、(2k)P(k+1)＝M'[ Π_{i=1,…,j'}( ((p_i)')^{(q_i)'} ) ]。
また、各 i＝1,…,j' に対して (p_i)' の指数 (r_i)' が定まり、k!＝Π_{i=1,…,j'}( ((p_i)')^{(r_i)'} ) となる。
仮定から ((2k)P(k+1))/((k-1)!) は自然数ではないから、((2k)P(k+1))/((k-1)!)＞0 から、((2k)P(k+1))/((k-1)!) は正の有理数である。 >>556
>>731-732
(>>799の続き)
よって、或る 1≦i≦j' なる正整数iが存在して、((p_i)')^{(r_i)'}≧((p_i)')^{(q_i)'}。
しかし、(p_i)' は1または k-1 以下の素数だから、(p_i)' を素数とすると、
((p_i)')^{(r_i)'}＜((p_i)')^{(q_i)'} なることになって矛盾が生じることになる。
よって、(p_i)' は素数とはなり得ない。故に、(p_i)'＝1 となる。
有限列 E' に表れる最大の整数 k-1 について、k-1＝1 となるから、必ず k＝2 となる。
よって、2≦k≦m-1、m≧4 から、mの取り得る値は m＝3 であり m＝3 に限られる。
ところで、m＝3 はmを4以上の整数と仮定したことに反し矛盾する。
この矛盾は 2≦k≦m-1 なる正整数k が存在して、
mC(k-1) が自然数ではないとしたことから生じたから、背理法が適用出来る。
そこで、背理法を適用すると、mC(k-1) が正整数ではない正整数k 2≦k≦m-1 は存在しない。
故に、任意の 2≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mC(k-1) は正整数である。
階乗と二項係数の各定義から mC(m-1)＝m∈N だから、
任意の 2≦k≦m なる正整数kに対して、mC(k-1) は自然数である。
Case4-2-1)、Case4-2-2)からmについての帰納法により、任意の 1≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mCk∈N＼{0}、mC(k-1)∈N。 (Case4-2 終わり)
故に、Case4-1)、Case4-2)から、m≧4 のとき、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。 ( 3) 終わり )
1)、2)、3)から、2以上の正整数mが任意に与えられたとき、
任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。 ( [第８段] 終わり ) >>556
>>731-732
(>>800の続き)
[第９段]：m＝1 のときは k＝0 となるから、階乗と二項係数の各定義から、(m-1)Ck＝0C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝0C(-1)＝0∈N。
故に、mを任意の正整数mとするとき、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。
[第１０段]：N＼{0} は自然数の和＋の二項演算について閉じている可換半群Nの部分半群だから、
漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 から、
mを任意の正整数mとするとき、任意の 0≦k≦m なる自然数kに対して、mCk∈N＼{0}
[第１１段]：[第１段]から[第４段]の議論において、nは2以上の正整数、rは 2≦r≦n を満たす正整数としているから、
m＝n、k＝r とおけば、二項係数の定義及び nPr＝(n!)/((n-r)!) から、nCr＝(n!)/( (r!)((n-r)!) )＝(nPr)/(r!)∈N＼{0}。
故に、(r!)|(nPr)。
[第１２段]：任意の正整数mに対して、階乗と二項係数の各定義から、mC0＝mCm＝1。
故に、漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 を繰り返し用いると、
パスカルの三角形は存在して、パスカルの三角形は描けることになる。 >>769
全てのxに対してp(x)(が真)ならばq(x)(が真)である
あるxが存在してp(x)(が真)ならばq(x)(が真)である >>801
つまり、Cの足し算に分ける漸化式使っただけなわけですよね
一行で説明できることを長々と書くのはバカだからですよ
半群だからーとか明らかにいらない言及してるのも知識自慢したいからとしか思えませんね >>804
>つまり、Cの足し算に分ける漸化式使っただけなわけですよね
>一行で説明できることを長々と書く
あの～、そういう自明なことが成立する理由を説明しろと何回もいわれていて、その要望に応えて書いたんですが。
難癖は付けないでほしい。 >>789
>けれどnに関しては帰納法rに関しては任意
だ・か・ら、少なくとも高校数学の範囲では、0≦r≦nという条件つきで
しか定義できないんだから、rは任意にはできません。つまり、r=n+1の場合と、
r=0の場合については漸化式が適用できないので特別に言及が必要。
>>790
nPr/r!が自然数であることを証明するのと、nPrがr!で割り切れるということを
証明するのは同じことでしょ。そこが違うと言われたらなんにも言えんわ。
単純に nCr:=n!/(n-r)/r!, nPr:=n!/(n-r)! をそれぞれnCr,nPrの定義として
（つまり、「順列組合わせ」という概念抜きで）、nCrが自然数であるか、
nPrがr!で割り切れるかのどちらかが証明できればいいという話なんだと思うよ。
つまりnPr=n…(n-r+1)も、nPr=nCr・r!も単なる前提であって、>>556にとって
証明すべき事柄ではないはず。なので、あなたの指摘はまったく的ハズレ。
何度も言うけど、証明すべきは、「順列組み合わせという概念を使わず」に、
(nCr=)n!/(n-r)!/r!が整数であるか、(nPr=)n!/(n-r)!がn!で割り切れる
かのいずれかってことなんだと思うよ。 >>808
>だ・か・ら、少なくとも高校数学の範囲では、0≦r≦nという条件つきで
だからそのrの範囲は高校数学の範囲では自動的に決まるので特に言及する必要もなく
>>758の証明では
rに制限を与えない（r>nでもいい）証明になっているんだから
nに関する帰納法でrについては何でも良し
で仕舞いなの
>nPr/r!が自然数であることを証明するのと、nPrがr!で割り切れるということを
>証明するのは同じことでしょ。そこが違うと言われたらなんにも言えんわ。
それは同じですが？
そしてその証明が
nPr=nCr・r!
を示すことで与えられているって事だよ
>単純に nCr:=n!/(n-r)/r!, nPr:=n!/(n-r)! をそれぞれnCr,nPrの定義として
それは認識として間違い
どこまで行ってもnPrは順列の数でnCrは組合せの数
高校数学でもそれが上記のように計算できることを証明しているよ
最初の質問をした人がそういう認識でなかったとしたら
見識を改めるべきだろうね >>809
>nPr=nCr・r!
>を示すことで与えられているって事だよ
これを示すことが
nPr=n…(n-r+1)がr!で割り切れることの証明としては最も簡単だろうね
ちなみに
{1,…,n}の部分集合のうちr個の要素数のものの全体というnCrの定義を採用するとすればr>nであっても何の問題もない
また
{1,…,n}の中からr個の異なるものを並べた順列の総数というnPrの定義を採用するに当たって
r>nであればそれは0個と認識させるのもそれほど難しいことではないので
nPrもr>nで定義しても特に問題はない
まあ若干考えにくいことではあろうが整合性もある妥当な定義だろうね
むしろ
(n-r)!を使った定義は計算には良かろうが筋が悪いね >>809
おいおい、高校数学の範囲ではr>nは駄目だから、俺が書いた>>758の証明では
そこをケアしてるんだけど、何をわけのわからんことをｗ
>そしてその証明が
その証明ってどの証明だよｗ
>どこまで行ってもnPrは順列の数でnCrは組合せの数
だから、順列組み合わせでいいのなら、わざわざこんなに話はこじれずに、
nCrは組み合わせの数だから自然数、で終わる。そんな自明な質問なら>>556
はよっぽどのバカだってことになる。
順列組み合わせを使わずに、n!/(n-r)!/r!が自然数になることをどう証明する
かって話だろ。でなきゃ考える意味がない。
あんた、まったくピント外れだよ。 >>810
まったく論外だなｗ
順列組み合わせを使っていいのなら、nPrはn個の異なるものからr個をとって並べる
並べ方の総数だから、n個のものからr個を取り出したそれぞれの組み合わせについて、
r個どう並べるかというrPrをかけ合わせたものになってる（つまり、nPr=nCr*rPr)。
ゆえに、nPrはrPr=r!で割り切れるで終わり。
>>556がそんなバカみたいな質問なわけないだろ。（ま、本人に聞いてみなきゃわか
らんが、もしそうなら大馬鹿者だわｗ） >>811
すまんすまん>>752と取り違えていたわ
>>783から間違えていたなすまんすまん
>>787
>おいおい、>>758を書いた本人に>>758を理解しろってどういうことだよｗ
そりゃあんた混乱するわｗ
俺はID:NS93ZhhO は>>752の証明の構造を理解するべきだと書いたつもりだったわけさ >>812
まずねnPrとnCrの定義は順列の数と場合の数
それがn…(n-r+1)およびn…(n-r+1)/r!と書かれるというのはいずれも簡単な定理
それでお仕舞いなんだよ ちなみに素因数の個数で証明するのも筋の良い証明で
それは俺も>>598で示唆したつもり
自分は証明を書いていないが他の人が書いたな>>733 >>814
> まずねnPrとnCrの定義は順列の数と場合の数
> それがn…(n-r+1)およびn…(n-r+1)/r!と書かれるというのはいずれも簡単な定理
その簡単な定理の証明を聞いているのが>>556であり、>>560
それを、「定理だから成り立ち、n…(n-r+1)およびn…(n-r+1)/r!は自然数になる」で押し通したところで、質問への回答としては無意味
逆に、その簡単な定理を証明すればお仕舞、という簡単な話なんだけどな >>816
それは忖度のし過ぎ
nPr=n…(n-r+1)=nCr・r!
を納得できるようにするべきだね >>817
質問スレなんだから仕方がない
> nPr=n…(n-r+1)=nCr・r!
> を納得できる
ようになるような回答は、その証明に他らない >>816
>n…(n-r+1)/r!は自然数になる
は俺は言ってないよ >>813
自分で間違えといて、何を言ってるんだか。そんなにそそっかしいから
きちんと理解できないんじゃないの？
>>758と>>752は本質的に同じだよ。
C(n,r)+C(n,r-1)=P(n,r)/r! + P(n,r-1)/(r-1)!=P(n,r)/r! + rP(n,r-1)/r!
C(n+1,r)=P(n+1,r)/r!
∴P(n+1,r)=P(n,r)+rP(n,r-1)⇔C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)
すでに >>567がC(n,r)が自然数になることを帰納的に証明してたから、それ
と同じことだって言ってるのよ。ただ、>>752ではr=n+1とr=0の場合が抜けて
て証明に穴がある。それも埋めてるのが>>758。 >>814,815
>まずねnPrとnCrの定義は順列の数と場合の数
そんなわかりきったことなんか誰も問題にしてないよ。
n!/(n-r)!/r!が整数になること、すなわち、n!/(n-r)!がr!で割り切れる
ことを場合の数の概念なしに証明しろって話じゃなきゃつまらんだろ。
それを証明してるのが>567や>733や>734なんだよ。 >>817
＞nPr=n…(n-r+1)=nCr・r!
だから、>>556もそんなことくらいわかってるから、nCr=nPr/r!だと書いてるじゃん。
忖度のしすぎもくそもなかろう。
nPr=n!/(n-r)!がr!で割り切れることを場合の数の概念抜きで証明するのは、nCrを
n!/(n-r)!/r! と置き換えて場合の概念抜きで整数であることを証明するのと同じ
こと。 >>822
その同値は
nPr=nCr・r!を前提としているわけ
nCrは整数として定義されているから
帰納法で整数であることを証明する必要は無いということ
筋が悪すぎ
>つまらんだろ。
つまらないかどうかは勝手に考えて良いよ
nPrがr!で割り切れることの証明としては
nPrとnCrの定義に沿うのが最も自然で簡単というだけ
何度も同じこと書くけれど
nPr=n…(n-r+1)
と
nPr=nCr・r!
を示すので仕舞いな話
どちらも簡単なことなので
これを納得するべきだね
それは当たり前でそれ以外の証明というのなら
>>733が筋が良いまた>>752もなかなかよい
nCrが整数であることを帰納法で示すのはアホ >>752ってパスカル三角形使う帰納法と同じに見えるけど
pf.
nについての帰納法。
n=0では自明。
n=kで成立するとしてn=k+1とする。
r=0,nでは自明。
それ以外のときは
c[k+1,r]=c[k,r]+c[k,r-1]
で右辺が帰納法の仮定より整数だからc[k+1,r]は整数。
□
と変わらん希ガス。 >>825
> nCrが整数であることを帰納法で示すのはアホ
そんな話をしているのはあなただけ
質問者もしていない
この質問で示すことはどれも同じことだが、
n!/(r!*(n-r)!)が整数であること
C(n,r)がn!/(r!*(n-r)!)で表されること
P(n,r)がC(n,r)*r!で表されかつP(n,r)がn!/(n-r)!で表されること
2番目、3番目を示せば当然その過程で1番目も示されている 〔701の類題〕
数列 a(n), b(n), c(n), d(n) は次の条件を満たす。
・ a(1) ≧ b(1) ≧ c(1) ≧ d(1) > 0,
・ a(n) + b(n) + c(n) + d(n) = 4a(n+1),
・ a(n)b(n) + a(n)c(n) + a(n)d(n) + b(n)c(n) + b(n)d(n) + c(n)d(n) = 6b(n+1)^2,
・ a(n)b(n)c(n) + a(n)b(n)d(n) + a(n)c(n)d(n) + b(n)c(n)d(n) = 4c(n+1)^3,
・ a(n)b(n)c(n)d(n) = d(n+1)^4,
(1) a(n) は単調減少、d(n)は単調増加であることを示せ。
(2) a(n+1)-d(n+1) ≦ (3/4){a(n)-d(n)} を示せ。
(3) lim[n→∞] a(n) = lim[n→∞] d(n) を示せ。
(4) この極限値に関連する面白い問題を作れ。
ただし、マクローリンの不等式は既知とする。 >>828
nCrが整数であることを示す必要が無いのが分かったなら
nPr=nCr・r!
と
nPr=n…(n-r+1)
でお仕舞いな話でどちらも簡単な証明に過ぎない
n!/(n-r)!r!が整数であることを示す必要も無いというか
上の2つから即座に出てくることだね
>>827
(n+1)Cr=nCr+nC(r-1)
は定義から示すのが簡単でその場合整数であることを示す必要は無い
定義ではないnCr=n!/(n-r)!r!からも示せるけれど筋は悪いね
そしてここから示しているのと>>752が同じというのは
nPr=nCr・r!を前提とした同値性
nPr=nCr・r!を前提とするならわざわざn!/(n-r)!r!が整数であることを示すまでもないというわけ 順列だの組み合わせだのを離れて単に算術的に示してほしいという要望になんで100以上ものスレが並ぶのかねえ nCrが整数であることを帰納法で示すのは
nCrの定義からでもあるいはn!/(n-r)!r!からでも
いずれにせよ筋は悪いね 下らないことにいつまでハッスルしてんだよ
どこぞの万年助教かよ >>626
> 最初から(1+1)^nで考えれば一瞬で終わる気がしますけどね
>
> 先生が頭が悪いのでしょう
これは >>626 の先生にたいする侮辱的書き込みということでOKですよね www >>556で質問したものです
久しぶりにスレを見てみたら少し荒れていて驚きました
私が質問したかった内容を改めて書きますと
｢nＣrの値は組み合わせを計算した結果なので自然数になるのは当たり前｣
という事実を使わずに
｢n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)がr!で割り切れる｣
ことを証明するにはどうすればよいか
という意図で質問しました >>836続き
まず自分で証明しようとした時は、｢分母･分子を素因数分解して指数部分を比較すればいい｣
と思ったのですがnやrをどうやれば素因数分解した形で表現出来るかが分からずに挫折
次に数学的帰納法で
｢連続するr個の自然数の積がr!で割り切れると仮定すると
連続する(r+1)個の自然数の積が(r+1)!で割り切れる｣
という事を示そうとしましたが上手くいきませんでした
それでここに質問してみました >>837続き
その後、色々検索して調べてみたところ
｢ルジャンドルの定理｣
というものを使えば素因数分解した時の指数が調べられる事が分かりました
整数に関する問題にはまだ慣れてなく、ガウス記号で表現出来る事が分かりました
また、数学的帰納法を使う方法もOKWAVEという質問サイトに同じ質問がありそれを見て納得しました
そこでは差を取って、その後足していくという方法を使っていました >>838続き
自分の中では一応解決したという事でこの質問を終了させてもらいます
今まで回答して下さった方々ありがとうございました >>836
こと意図すら理解できない人間がどれほどいたか。 理解てきていないのは、「nCrが整数であることは示す必要はない」、と言い続けていた1人だけだろう 「nＣrの値は組み合わせを計算した結果」を証明に使ったのは無かったのか？ >>832
その意図がわかんないやつが大杉なんだよねｗ >>844
修正。
×その意図がわかんないやつが大杉なんだよねｗ
○その意図がわかんないやつの書き込みが大杉なんだよねｗ
具体的には「その意図がわかんないやつ」＝ ID:X5yx4l1O
一人だけなのかもしれない。ま、>>556 自身があらためて意図を
きちんと表明してくれたので、すべて解決。めでたし、めでたし。 >>838
>ルジャンドルの定理
なるほどね。そういう名前の定理があるんだ。それを使えば一発か…
rの任意の素因数をpとして、r=qp^m（qとpは素）と因数分解すれば、
1～rまでの数にはpの倍数がqp^(m-1)回、p^2の倍数はqp^(m-2)回、、、
p^mの倍数はq回だけ出てくるから、 その回数の総和をとった
q(p^m-1)/(p-1)がn!を素因数分解したときのpの次数となる。
で、連続したr個の数の積 n!/(n-r)!の場合でも同様にしてp,p^2…の
倍数が出てくる回数を数えることができるが、n≧p^(m+1)だと、さら
にp^(m+1)の倍数が存在する可能性があるので、この次数よりも大きく
はなりうる。
いずれにせよ、n!/(n-r)!はp^{q(p^m-1)/(p-1)}という因数を持ち、
rの他の素因数についてもrと同じかそれ以上の次数の素因数を持つの
で、n!/(n-r)!はr!で割り切れる。
って考えてたわ。 一人だけだったのか
あまりにうるさいから複数いるのかと思ったよ 一応書いておくが、>>624 は その ルジャンドルの定理 と呼ばれているものを使った証明。
証明と言ってもその定理を認めてしまえば、行うことはほぼ皆無で、
解決のためのアイデアというか、視点というか、切り口を与えただけ。 >>829
AM-GM で
a(n) ≧ d(n),
b(n) ≧ d(n),
c(n) ≧ d(n),
∴ d(n+1)^4 = a(n)b(n)c(n)d(n) ≧ d(n)^4,
∴ d(n+1) ≧ d(n),
はすぐ出るが････ >>848
失礼しました。きっちり証明されてましたね。優しくない書き方だけどｗ
ってことで、どうも漸化式を作って数学的帰納法で証明する方法と
素因数の次数に注目して割り切れることを示す（ルジャンドルの定理も
これ）方法とに大別されるようですね。
ざーっと最初の方を見返すと、>>561に漸化式を使えばという示唆があって、
>>567で（式に一部間違いがあるけど）それを使った帰納法の証明があるの
が、まともな証明として初出。ついで、>>586もそれと同値な漸化式のΣを
とることで、nではなく、rに関する帰納法として証明してるのに誰も注目し
てないですね。
あとは、素因数の次数に注目せよというヒントが>>578で示されていて、その
ヒントに呼応する（実際に呼応したのかどうかはわかりませんが、ヒントの
内容に即している）証明が、あなたの>>624で初出。
そこまでで、あとは目新しいことは特になさそう。ここまで200レス以上
無駄に費やしたのは、ひとつには場合の数だから自明と叫ぶバカがいて、
ノイズに紛れちゃったんでしょうね。 >>850
848です。私は、出題者へコメントしたつもりです。
>>その後、色々検索して調べてみたところ
とあったので、「この掲示板でも、 ルジャンドルの定理 流の証明は紹介してますよ」
という主旨で書いたまで。この掲示板の評価下落を懸念してのものです。
もし、見直して、気づいてくれたら、それで十分で、返答は無用です。
ただ、>>846の書き込みを見て、846=850さんが、ルジャンドルの定理 そのもの あるいは、
それを使った証明をきちんと理解しているとは、思えません。
例えば、“[]” という記号は“ガウス記号”として使っているのですが、あなたは意味をご存じでしょうか？
それがわかっていたら、
>>q(p^m-1)/(p-1)がn!を素因数分解したときのpの次数となる。
等とは書けない。全く意味不明。
ルジャンドルの定理 は、普通リーマン型で積算するものをルベーグ型で積算したと考えればいいだけ。
全く難しいものではありません。
「定理」等と呼ばれているようですが、内容は、中高生が０知識から「発見」しても不思議では無いレベル。 >>851
私の書き方が悪くて誤解を招いたようですが、>>846ではルジャンドルの定理を直接利用
してはいません。というか、定理を知る前に思いついた証明を書いてます。連続するp^k
個の自然数にはp^kの倍数が必ず１つだけ含まれるということは、高校生でも分かるかな、
ということで。
ルジャンドルの定理を知ってしまえば、>>624のように一発で証明できるのは承知の上です。
でもって、
>q(p^m-1)/(p-1)がn!を素因数分解したときのpの次数となる
ってところは、お分かりかと思いますが、n!ではなく、r!の書き間違いです。すみません。 >>850
> ってことで、どうも漸化式を作って数学的帰納法で証明する方法と
> 素因数の次数に注目して割り切れることを示す（ルジャンドルの定理も
> これ）方法とに大別されるようですね。
>>625もあるようだ。 >>852
> >q(p^m-1)/(p-1)がn!を素因数分解したときのpの次数となる
> ってところは、お分かりかと思いますが、n!ではなく、r!の書き間違いです。すみません。
ガウス記号に言及されているからそのことじゃないだろう
qp^mより小さく、pをmより多く素因数に持つ1*p^m'等が考慮されていなく、
(qp^m)!を素因数分解したときのpの次数はq(p^m-1)/(p-1)より大きくなる
5=5*2^0
5*(2^0-1)/(2-1)=0
5!=15*2^3
6=3*2^1
3*(2^1-1)/(2-1)=3
6!=45*2^4 >>853
確かに見落としてました。謝ってばかりですが、すみません。
順列組み合わせの概念を使わずに、多項式の微分の性質から二項展開の
整数係数がn!/(n-r)!/r!で与えられるという発想かと思いますが、
D(x^n)=nx^(n-1)を導く際に二項展開のn-1次の項の係数がnであることを
使ってるのはいいのかなぁ、という疑念が残ります。
>>854
まったくもって、おっしゃる通り。とんでもない勘違いをしてました。
rの素因数じゃなくて、「p≦rとなる任意の素数pとその累乗」に関して
登場回数を数え上げないといけないので、[r/p]+[r/p^2]…とガウス記号
を使って数え上げるしかありませんでした。ご指摘感謝です。
お目汚し申し訳ない。>ALL >>855
>D(x^n)=nx^(n-1)を導く際に二項展開のn-1次の項の係数がnであること
を使わなくても、積の微分で帰納的に証明できるからいいのかな。
ってことは、結局nCrの漸化式を使って二項係数を求めるのと同じ
ようなことなのかな？ >>625はネタに決まってるやん。
積の微分の公式も合成関数の微分の公式も数3。
数2までしか取ってない生徒には無理。
多項式に限定して授業なんかやってもついてこれる生徒なんかいない。
そもそもそんなの意味ないし。
逆に数3までやってる生徒には多項式に限定したDなんて持ち出す意味がない。 >>857
？別に良くね？
分野を限定する必要なんてどこにもない 別にいろんな証明を楽しむというだけならなんでもいいけどね。
>>625の内容を高校の授業でやるのがありえない。
大ウソ。
ホントに高校の授業でやるなら帰納法かまたはnPk=‥とnCk=‥を場合の数で表示する証明を厳密にやるかの二択しか考えられん。
ルジャンドルの公式使うのとか(x+1)^nのテーラー展開使うのは相当に優秀な高校生がギリギリなんとか理解はできる、でしかない。 >>625
そもそもこれ、(x^n)=nx^(n-1)正当化するのに二項定理必要ですよね
本末転倒としか思えません
「形式的」と言い訳しても同じことです >>859
何で有り得ないと思うか意味不明
それにテイラー展開なんで使ってないだろ >>860
>そもそもこれ、(x^n)=nx^(n-1)正当化するのに二項定理必要ですよね
別に二項定理なくても出来るだろ
劣等感婆も耄碌したな Dを
D(x^n)=nx^(n-1)
を満たす線形写像
なんて定義が高校生に通用するはずない。
結局explicitに
多項式Σak x^kに対してD(Σak x^k)=‥‥とやるしかない。
線形代数なんて簡単、高校生でも理解できる、授業で扱っても大丈夫と思ってる時点で妄想でしかない。
仮にそこをクリアできたとしても今度は
D(x+a)^n = n(x+a)^(n-1)
を示す。
二項定理か使うかライプニッツルールをDが満たす事をチェックするかのほぼ二択。
もう、この時点でほとんどの高校生はドロップアウト。
この方法は結局(x+1)^nのテーラー展開を適用してるのと同じ。 >>866
アホ丸出しだな
授業でちょっと教えるのに厳密性求めるかよ f(x)=x^3はつねに増加しているのでしょうか？x=0は点であり、区間でもありません。
しかし、x=0で接線？の傾きは0になります。だから、『つねに』でもないように感じられます。
先生、どれだけ既出かわかりませんが、このようなものの考え方を今一度教えていただけないでしょうか？ 授業でちょっと教えるなら組み合わせは自然数で終わりですよね
いつまでこんなくだらないことに難しく考えてるんでしょうね >>865
アホか
{(x+h)^n-x^n}/h
を計算する上で(x+h)^nを全部きちんと展開しなくてもいいだろ
(勿論普通は二項定理を使って展開するが) >>868
常に増加している
f(x)が常に増加する条件は、「常にf(x)>0」ということの他に、「常にf(x)≧0で、f(x)=0となるxが離散的である(離れた点である)」ということ
f(x)=x^3の場合、f'(x)=0となるのはx=0の時のみで離散的なので常に増加 >>866
高校生に教えるというより計算機上でプログラミングする時の定義だと思うと逆に低レベルなこと上から目線でほざいてるようにすら見える酷いレスだねえ。 >>829
a(n)≧b(n)≧c(n)≧d(n)>0
4a(n)≧a(n) + b(n) + c(n) + d(n) = 4a(n+1)
d(n)^4≦a(n)b(n)c(n)d(n) = d(n+1)^4
4a(n+1)-4d(n+1)≦a(n) + b(n) + c(n) + d(n)-4d(n)≦3a(n)-3d(n)
>>710→a(n+1)≧b(n+1)≧c(n+1)≧d(n+1)>d(n)>0
0≦a(n)-d(n)≦(3/4)^(n-1)(a(1)-d(1))→0
この問題
a(n)≧b(n)≧c(n)≧d(n)>0
を示すのが面白みの1つだろうけど
(1)(2)(3)はa(n+1),d(n+1)の定義とb(n),c(n)がa(n),d(n)の間にあるだけで成り立つから
(4)はこの定義でa(n)≧b(n)≧c(n)≧d(n)>0となることを使わないと面白い問題にならないように思うのだが思いつかない
対称式だし解と係数の関係とかで面白い問題になるのかな？ >>870
じゃあどうやって少しだけ展開するんですか？ 俺も少しだけ展開知りたい
少しだけ展開するにしても、二項定理になりそう
テイラー展開ってのも牛刀（下手したら循環）ですよね a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+…+b^(n-1))使えば確かに二項定理使わずに極限計算できるな
これは(x+h)^nを展開してないから>>870の真意とは違うだろうけど >>870
Δx/Δx=1→(x)'=1
Δx^n=(x+Δx)^n-x^n=x{(x+Δx)^(n-1)-x^(n-1)}+Δx(x+Δx)^(n-1)=xΔx^(n-1)+Δx(x+Δx)^(n-1)
Δx^n/Δx=xΔx^(n-1)/Δx+(x+Δx)^(n-1)
(x^n)'=x(x^(n-1))'+x^(n-1)
(x^n)'/x^(n-1)=(x^(n-1))'/x^(n-2)+1=…=(x)'/x^0+(n-1)=n
(x^n)'=nx^(n-1) x{(x+Δx)^(n-1)-x^(n-1)}+Δx(x+Δx)^(n-1)=xΔx^(n-1)+Δx(x+Δx)^(n-1)
これはなんなんですか？ 2項からスタートしてamとgmをドンドン計算していくと上手いこと初項を選ぶと円周率に収束するって話はあるにはあるけど一般化して面白いの作れだともはや研究レベルの話な希ガス。
面白いのがあったら論文に書くよ。 >>875 >>876
(a+b)^nの展開は、二項定理によって定義されているものでは無い。
交換法則ab=ba と、 分配法則a(x+y)=ax+by の繰り返しで行われるもの。
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd の延長上にあるものに過ぎない。
この二つの法則を使って(a+b)^nを展開したものを、整理したのが、二項定理として知られている。
従って循環論法云々等というのは全くあたらない。
二項定理を使って、出すことに、論理的な矛盾は無いが、もし、二項定理を使わずに、x^nの微分を求めたいと考えるなら、
例えば、(1+x)^n= 1+nx+O(x^2) と仮定し、数学的帰納法で正しいことを確かめ、それを使えばよい。
(1+x)^(n+1)=(1+x)(1+x)^n=(1+x)(1+nx+O(x^2))=1+nx+O(x^2)+x+nx^2+O(x^3)=1+(n+1)x+{O(x^2)+nx^2+O(x^3)}
((x+h)^n-x^n)/h = (x^n+nhx^(n-1)+O(h^2)-x^n)/h = nx^(n-1) + O(h^2)/h → nx^(n-1) (h→0) そんなことやるなら組み合わせは自然数で十分だと思いますけどねー
(a+b)^n
aとbの選び方の組み合わせですよね それとは別の証明方法は無いのかって話なのにと何度も言われているのに
そして質問者本人もそういう意味の質問でしたと言っているのに 質問に回答する気はなく、持論を主張したいだけなんだろう >>868
[増加の定義]
f(x)が区間Iで増加とは、
任意のa, b∈Iについて
a<b⇒f(a)<f(b) が成り立つこと >>883
ボケ老人みたいに同じことばっかり言ってるな
そのひねくれ具合は何やってもダメ >>887
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ >>731-732
>>556は自分の中では解決して満足しているようだ。
だが、>>793-801の>>794の[第４段]には大きな間違いがあったので、軌道修正。
定義まではしていない。あと、打ち間違いはあるかも知れない。細かく形式ばって書いてもいない。
[第１段]：nは2以上の正整数と仮定してよい。rは 2≦r≦n を満たす正整数と仮定してよい。
二項係数つまりは組合せの総数 nCr は正整数として考えてよい。
そこで、nを2以上の正整数、かつrを 2≦r≦n を満たす正整数と仮定する。
A＝{1,…,n} とする。
合計丁度1個の有限列 n、n-1、…、n-r+1 をBで表す。
合計丁度1個の有限列 n-r+1、…、n-1、n をCで表す。
合計丁度1個の有限列 1、2、…、r をDで表す。
合計丁度1個の有限列Bは整数の大小関係について大きい方から順に、
何れも相異なる合計丁度 1+(r-1)＝r 個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 を重複を許さずに並べることで構成出来る。
また、正整数の全体からなる集合 N＼{0} は正整数の積の二項演算×について閉じているから、
任意の相異なる合計丁度r個の正整数の積は N＼{0} の点である。よって、n(n-1)(n-2)…(n-r+1)∈N＼{0}。
[第２段]：1)：r＜n のとき。階乗の定義から n! は相異なる合計丁度n個の正整数 1、2、…、r の積と見なせるから、
同様に (n-r)!∈N＼{0}。ここに、0は自然数として考えている。
2)：r＝n のときは、階乗の定義から、(n-r)!＝0!＝1 だから、(n-r)!∈N＼{0}。
1)、2)から、(n-r)!∈N＼{0}。 [第３段]：階乗の定義から n!＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1)×(n-r)! だから、空間 N＼{0} の性質から同様に n!∈N＼{0}。
同様に階乗の定義から n(n-1)(n-2)…(n-r+1)＝(n!)/((n-r)!) だから、同様に (n!)/((n-r)!)∈N＼{0}。
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から、
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選んで並べて出来る有限列の総数は nPr と表されるから、
相異なる合計丁度n個の点からなる有限集合Aに属する点の中から
合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選ぶ方法の総数は nPr である。
故に、nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1) から nPr＝(n!)/((n-r)!)。
[第４段]：合計丁度1個の有限列Cは、合計丁度1個の有限列Bの中に重複を許さずに表れる
相異なる合計丁度r個の正整数 n、n-1、…、n-r+1 に対して、
整数の大小関係について小さい方から順に並べることで構成出来る。
3)：整数の大小関係について、合計丁度1個の有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n が
何れも合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の中のrより大きい正整数であるとき。
このときは、有限列Dの中の重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r と
有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n とを
小さい方から順に重複を許さずに数え上げることで n＝2r とする操作が出来る。 4)：整数の大小関係について、合計丁度1個の有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n において、
何れも小さい方から重複を許さずに数え上げた2個以上の高々r個の相異なる数が、
何れも合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の中の
何れも大きい方から重複を許さずに数えた2個以上の高々r個の相異なる数と重複するとき。
このとき、合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の中の
大きい方から数えた高々r個の相異なる正整数と、有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n の中の
小さい方から数えた高々r個の相異なる正整数とに対してのみ小さい方から順に何れも重複を許して、
有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r と
有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n とを
小さい方から順に数え上げると、2≦r≦n から n＝2r とする操作が出来る。 合計丁度r個の点を任意に重複を許さずに選ぶ方法の総数は nPr である。
故に、nPr＝n(n-1)(n-2)…(n-r+1) から nPr＝(n!)/((n-r)!)。
これが許されてnCrが許されないのがほんと理解できませんね 5)：整数の大小関係について、合計丁度1個の有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n の中の
丁度1個の数 n-r+1 が、何れも合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の中の丁度1個の数r
と等しくなるとき。合計丁度1個の有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r の中に表れる丁度1個の正整数rと、
有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n の中に表れる丁度1個の正整数 n-r+1 に対してのみ
重複を許して数え上げて、n-r+1＝r を除く他の何れの有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度 r-1 個の相異なる正整数
または有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度 r-1 個の相異なる正整数とからなる合計丁度 (r-1)+(r-1)＝2(r-1) 個の正整数に対しては、
何れも重複を許さずに数え上げることで、同様に、有限列Dの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 1、2、…、r と
有限列Cの中に重複を許さずに表れる合計丁度r個の相異なる正整数 n-r+1、…、n-1、n とを
小さい方から順に数え上げると、2≦r≦n から n＝2r とする操作が出来る。
3)、4)、5)から、nに対してrを用いて n＝2r と表す操作をすることが出来る。 >>731-732
>>890-892、>>894はその順に読んでほしい。
(>>894の続き)
[第５段]：mを自然数とする。xは文字とする。
1)：m＝0 のときは (1+x)^m＝(1+x)^0＝1。
階乗の定義から 0!＝1 だから、二項係数の定義から、1＝0C0。よって、(1+x)^0＝0C0。
2)：m＝1 のとき。同様に定義から 1C0＝(1!)/((0!)(1!))＝1、1C1＝(1!)/((1!)(0!))＝1 だから、
(1+x)^m つまり多項式 1+x は二項係数を用いて 1+x＝1C0＋1C1x と表される。
[第６段]：3)：m≧2 のとき。(1+x)^{m-1} を展開して、二項係数を用いて、
xについての昇ベキの順で表された多項式として表すと、
(1+x)^{m-1}＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k ) となる。よって、
(1+x)^m＝(1+x)(1+x)^{m-1}
＝(1+x)Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )
＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^{k+1} )。
＝Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=1,…,m}( ((m-1)Ck)x^k} )。
また同様に、(1+x)^m を展開して、二項係数を用いて、
xについての昇ベキの順で表された多項式として表すと、
(1+x)^m＝Σ_{k=0,1,…,m}( (mCk)x^k ) となる。
故に、Σ_{k=0,1,…,m-1}( ((m-1)Ck)x^k )＋Σ_{k=1,…,m}( ((m-1)Ck)x^k} )＝Σ_{k=0,1,…,m}( (mCk)x^k )。
両辺で、定数項及び1以上m以下の各次数のxのベキ乗 x^k k＝deg(x)＝1,…,m の係数を見比べると、
漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧2 0≦k≦m-1 を得る。
[第７段]：得られた漸化式について、m＝1 とすると k＝0 となるから、二項係数の定義から、
(m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝0C0＋0C(-1)＝1+0＝1、mCk＝1C0＝1。
故に、漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 を得る。 >>731-732
(>>895の続き)
[第８段]： 6)：m＝2 のとき。Case6-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝1C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝1C(-1)＝0∈N。
Case6-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝1C1＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝1C0＝1∈N。
Case6-1)、Case6-2)から、1Ck∈N＼{0} k＝0,1、1C(k-1)∈N k＝0,1。
7)：m＝3 のとき。Case7-1)；k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝2C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C(-1)＝0∈N。
Case7-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝2C1＝(2!)/((1!)^2)＝2∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C0＝1∈N。
Case7-3)：k＝2 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝2C2＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝2C1＝2∈N。
Case7-1)、Case7-2)、Case7-3)から、2Ck∈N＼{0} k＝0,1,2、2C(k-1)∈N k＝0,1,2。
8)：m＝4 のとき。Case8-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝3C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C(-1)＝0∈N。
Case8-2)：k＝1 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C1＝(3!)/((1!)(2!))＝3∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C0＝1∈N。
Case8-3)：k＝2 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C2＝3C1＝3∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C1＝3∈N。
Case8-4)：k＝3 のとき。同様に定義から (m-1)Ck＝3C3＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝3C2＝3C1＝3∈N。
Case8-1)、Case8-2)、Case8-3)、Case8-4)から、3Ck∈N＼{0} k＝0,1,2,3、3C(k-1)∈N k＝0,1,2,3。
mを4以上の正整数として、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N とする。
Case9-1)：k＝0 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝(m-1)C0＝((m-1)!)/((m-1)!)＝1 だから (m-1)C0∈N＼{0}。
同様に、(m-1)C(k-1)＝(m-1)C(-1)＝0 だから (m-1)C(-1)∈N。
Case9-2)：k≠0 のとき。
Case9-2-1)：k＝1 のとき。階乗と二項係数の各定義から、
(m-1)Ck＝(m-1)C1＝((m-1)!)/((1!)(m-2)!)＝m-1 だから (m-1)C1∈N＼{0}。
同様に、(m-1)C(k-1)＝(m-1)C0＝1 だから (m-1)C0∈N。 >>731-732
(>>897の続き)
Case9-2-2)：2≦k≦m-1 のとき。或る 2≦k≦m-1 なる正整数kが存在して、mCk が正整数ではないとする。
正整数mは m≧4 を満たし、正整数kは 2≦k≦m を満たすから、
[第１段]から[第４段]までの議論で用いたn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すことが出来る。
そこで、[第１段]から[第４段]までの議論におけるn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すと、
m は m＝2k と表す操作をすることが出来ることになる。よって、m＝2k とする操作をすれば、階乗と二項係数の各定義から、
mCk＝(m!)/( (k!)( (m-k)! ) )＝((2k)!)/((k!)^2)＝((2k)Pk)/(k!)
となる。有限列 1、2、…、k をEで表す。有限列 k+1、…、2k をFで表す。
合計1個の有限列Eの中に表れる合計丁度k個の相異なる整数 1、2、…、k の中に表れるすべての素数を p_1、…、p_j とする。
すると、整数の大小関係から、j個の素数 p_1、…、p_j はどれも丁度1個の有限列Eの中に表れる
合計丁度k個の相異なる整数 k+1、…、2k のすべての積 (k+1)…(2k)＝(2k)Pk の約数となる。
よって、各 i＝1,…,j に対して p_i の指数 q_i が定まり、或る M∈N＼{0} が存在して、(2k)Pk＝M[Π_{i=1,…,j}(p_i)^{q_i}] となる。
また、各 i＝1,…,j に対して p_i の指数 r_i が定まり、k!＝Π_{i=1,…,j}(p_i)^{r_i} となる。
仮定から ((2k)Pk)/(k!) は正整数ではないから、((2k)Pk)/(k!)＞0 から、((2k)Pk)/(k!) は正の有理数である。
よって、或る 1≦i≦j なる正整数iが存在して、(p_i)^{r_i}＞(p_i)^{q_i}。
しかし、2≦p_i＜k+1 だから、整数の大小関係から、(p_i)^{r_i}≦(p_i)^{q_i} であって矛盾する。
この矛盾は 2≦k≦m-1 なる正整数k が存在して、mCk が正整数ではないとしたことから生じたから、背理法が適用出来る。
そこで背理法を適用すると、mCk が正整数ではない正整数k 2≦k≦m-1 は存在しない。
故に、任意の 2≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mCk は正整数である。
階乗と二項係数の各定義から mCm＝1∈N＼{0} だから、任意の 2≦k≦m なる正整数kに対して、mCk は正整数である。 >>731-732
(>>898の続き)
或る 2≦k≦m-1 なる正整数kが存在して、mC(k-1) が自然数ではないとする。
正整数mは m≧4 を満たし、正整数kは 2≦k≦m を満たすから、
[第１段]から[第４段]までの議論で用いたn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すことが出来る。
そこで、[第１段]から[第４段]までの議論におけるn、rをそれぞれ m、kに置き換えて同様な議論を繰り返すと、
m は m＝2k と表す操作をすることが出来ることになる。よって、m＝2k とする操作をすれば、階乗と二項係数の各定義から、
mC(k-1)＝(m!)/( ( (k-1)! )( (m-k+1)! ) )＝((2k)!)/( ((k-1)!)((k+1)!) )＝( (2k)P(k+1) )/((k-1)!)
となる。有限列 1、…、k-1 を E' で表す。有限列 k、k+1、…、2k を F' で表す。
合計1個の有限列 E' の中に表れる合計丁度 k-1 個の相異なる整数 1、…、k-1 の中に表れる
すべての1または素数を (p_1)'、…、(p_{j'})' とする。
すると、整数の大小関係から、j' 個の1または素数 (p_1)'、…、(p_{j'})' はどれも丁度1個の有限列 F' の中に表れる
合計丁度 k+1 個の相異なる整数 k、k+1、…、2k のすべての積 k(k+1)…(2k)＝(2k)P(k+1) の約数となる。
よって、各 i＝1,…,j' に対して (p_i)' の指数 (q_i)' が定まり、
或る M'∈N＼{0} が存在して、(2k)P(k+1)＝M'[ Π_{i=1,…,j'}( ((p_i)')^{(q_i)'} ) ]。
また、各 i＝1,…,j' に対して (p_i)' の指数 (r_i)' が定まり、k!＝Π_{i=1,…,j'}( ((p_i)')^{(r_i)'} ) となる。
仮定から ((2k)P(k+1))/((k-1)!) は自然数ではないから、((2k)P(k+1))/((k-1)!)＞0 から、((2k)P(k+1))/((k-1)!) は正の有理数である。 >>731-732
(>>899の続き)
よって、或る 1≦i≦j' なる正整数iが存在して、((p_i)')^{(r_i)'}≧((p_i)')^{(q_i)'}。
しかし、(p_i)' は1または k-1 以下の素数だから、(p_i)' を素数とすると、
((p_i)')^{(r_i)'}＜((p_i)')^{(q_i)'} なることになって矛盾が生じることになる。よって、(p_i)' は素数とはなり得ない。
故に、(p_i)'＝1 となる。有限列 E' に表れる最大の整数 k-1 について、k-1＝1 となるから、必ず k＝2 となる。
よって、2≦k≦m-1、m≧4 から、mの取り得る値は m＝3 であり m＝3 に限られる。
ところで、m＝3 はmを4以上の整数と仮定したことに反し矛盾する。
この矛盾は 2≦k≦m-1 なる正整数k が存在して、mC(k-1) が自然数ではないとしたことから生じたから、背理法が適用出来る。
そこで、背理法を適用すると、mC(k-1) が正整数ではない正整数k 2≦k≦m-1 は存在しない。
故に、任意の 2≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mC(k-1) は正整数である。
階乗と二項係数の各定義から mC(m-1)＝m∈N だから、任意の 2≦k≦m なる正整数kに対して、mC(k-1) は自然数である。
Case9-2-1)、Case9-2-2)からmについての帰納法により、任意の 1≦k≦m-1 なる正整数kに対して、mCk∈N＼{0}、mC(k-1)∈N。 ( Case9-2) 終わり )
故に、Case9-1)、Case9-2)から、m≧4 のとき、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。 ( 8) 終わり )
6)、7)、8)から、2以上の正整数mが任意に与えられたとき、
任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。 ( [第８段] 終わり ) >>731-732
(>>900の続き)
[第９段]：m＝1 のときは k＝0 となるから、階乗と二項係数の各定義から、(m-1)Ck＝0C0＝1∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)＝0C(-1)＝0∈N。
故に、mを任意の正整数mとするとき、任意の 0≦k≦m-1 なる自然数kに対して、(m-1)Ck∈N＼{0}、(m-1)C(k-1)∈N。
[第１０段]：集合 N＼{0} は正整数の和＋と正整数の積×との各二項演算について閉じている。
また、集合Nは自然数の和＋と自然数の積×との各二項演算について閉じている。
N＼{0} はNの真部分集合である。よって、漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 から、
mを任意の正整数mとするとき、任意の 0≦k≦m なる自然数kに対して、mCk∈N＼{0}。
[第１１段]：[第１段]から[第４段]の議論において、nは2以上の正整数、rは 2≦r≦n を満たす正整数としているから、
m＝n、k＝r とおけば、二項係数の定義及び nPr＝(n!)/((n-r)!) から、nCr＝(n!)/( (r!)((n-r)!) )＝(nPr)/(r!)∈N＼{0}。
故に、(r!)|(nPr)。
[第１２段]：任意の正整数mに対して、階乗と二項係数の各定義から、mC0＝mCm＝1。
故に、漸化式 (m-1)Ck＋(m-1)C(k-1)＝mCk m≧1 0≦k≦m-1 を繰り返し用いると、
パスカルの三角形は存在して、パスカルの三角形は描けることになる。 >>896
一応そうだが。
私は高校数学や受験数学は得意でなく、高校や中学の教員免許も持っていない。 >>904
>>889
何いってんだお前……半年ROMってろ >>905
はいそうします
って言う訳ないだろがカスwwww 今 5ch 数学 後藤 でググったら出てきた人であってる？ 劣等感は組み合わせの数なんだから整数になるのは当たり前って言ってた人じゃないの？ >>911
ぐくったら出てくる某予備校の先生＝解答おじさんですか？ 組み合わせだから自然数が劣等感で、長文が誤答おじさん？ >>909
>組み合わせの数なんだから整数になるのは当たり前って言ってた人
それは私
他の人は他の人 (x^n)′=nx^(n-1)を二項定理なしでは示せないって断言したのが劣等感だよ オレの推理力はまだまだだ。
組み合わせの数だから当たり前＝劣等感だと思ってた。
修行が足りんorz >>912
>>903に「私は高校数学や受験数学は得意ではない」という旨のことを書いたことから分かると思うが、
私は予備校教師でもない。一般に、予備校の数学教師は、高校数学や受験数学が得意だと思う。
何れにしても、私が
>ぐくったら出てくる某予備校の先生＝解答おじさん
に当たるような人物という推測は外れている。 >>913
>長文が誤答おじさん？
この推測は正しい。 >>917
ググって出てくる後藤さんではない後藤さんですか？ >>919
チョット、紛らわしいんで、「後藤さん」と「誤答さん」とは区別して書いてほしい。 なんだ、後藤さんは本名でもなんでもないのね。納得。 二つの箱があり、
一方の箱には赤球3個と白球1個が入っており、他方の箱には赤球2個と白球2個が入っている。
二つの箱のうち無作為に一箱を選び、そこから無作為に球を一個取り出したところ赤球であった。
同じ箱からもう1個球を取り出すとき、それも赤球である確率を求めよ。
見慣れない問題なのですが、どのように考えたらいいでしょうか。ご教授宜しくください。 >>922
A赤3白1
B赤2白2
C1赤
D1白
E2赤
F2白
P(A)=P(B)=1/2
P(C|A)=3/4
P(C∩A)=P(A)P(C|A)=3/8
P(C|B)=1/2
P(C∩B)=P(B)P(C|B)=1/4
P(C)=P(C∩A)+P(C∩B)=5/8
P(E|C∩A)=2/3
P(E∩C∩A)=P(C∩A)P(E|C∩A)=1/4
P(E|C∩B)=1/3
P(E∩C∩B)=P(C∩B)P(E|C∩B)=1/12
P(E∩C)=P(E∩C∩A)+P(E∩C∩B)=1/3
P(E|C)=P(E∩C)/P(C)=8/15 >>922
E:無作為に箱を選び1球を取り出したとき、それが赤である事象
F:無作為に箱を選び2球を取り出したとき、それがどちらも赤である事象
とする。求める条件付き確率はP(F)/P(E).
P(E)=(1/2)×(3/4)+(1/2)×(2/4)=5/8
P(F)=(1/2)×(3C2/4C2)+(1/2)×(2C2/4C2)=1/3
よって、(1/3)/(5/8)=8/15(答) ありがとうございます
>求める条件付き確率はP(F)/P(E).
条件付き確率というのは P(EかつF)/P(E) じゃないのでしょうか。 >>922
全事象書き出しなさい
君みたいなのはそういうのしたことないでしょ d^3+-1/3d+-322/27=0の式があります
そこで
dおe+fえと 置換 します(d=e+f)
-1/3お3Gと 置換 します(-1/3=3G)
それじゃ
(e+f)^3+3g(e+f)-322/27
e^3+f^3+3e^2f+3ef^2+3ge+3gf-322/27=0
e^3+f^3+-322/27+3ef(e+f) 3g(e+f)=0
e^3+f^3+-322/27+3(ef+g)(e+f)=0 になる
それと
e^3+f^3=322/27
e*f=1/9
e^3*f^3=1/729
そこで 解と係数の関係お 利用して(a+b=-b/a ab=c/a)
x^2-322/27+1/729
そこで x=e^3,f^3になる
それじゃ ³√(e^3)+³√(f^3)=real number dになる
なのに dか おかしいです
何が 問題ですか?
置換お しちゃいけませんか
それとも 解と係数の関係か 問題ですか?
ても 本には 置換 あんなやりかたにして 解と係数の関係お 利用しろうと かいて あります
とにかく 本か 間違たら d^3+-1/3d+-322/27=0お 置換や解と係数の関係 いがいの 方法 ありますか 教しえて ください やはり 本か おかしいかたですね
問題点 おしえてくたさい 不等式0 <= y <= -x^2 +7x -10の表す領域をDとする。正方形Zの４つの頂点P,Q,R,Sは
この順に反時計回りに並んでいて、Q,Rはともにy軸上にある。またZの対角線の交点Tは
D内にある。次の問に答えよ。
(1) Tの座標を(x ,y)とし、Zの右下の頂点Sの座標を(X, Y)とするとき、x, yをX,Yを用いて表せ。
(2) TがD内を動くとき、Sが動く範囲を図示せよ。
(3) TがD内を動くとき、Zの周が動く範囲を図示せよ。
猛者の解答を求む >>928
ただのカルダノの方法ですね
何もおかしいところはありません >>928
e,f = (7±3√5)/6,
d = e+f = 7/3, (実解)
ただのカルダノの方法ですね
何もおかしいところはありません
> 置換や解と係数の関係 いがいの 方法
有理数解をもつので、因数分解できます。
d^3 - (1/3)d - (7/3)(46/9) = (d -7/3){dd +(7/3)d +(46/9)}
= (d - 7/3){(d+6/7)^2 + 15/4}
この { } = 0 から d (虚数解) が出ます。 どちらの箱を選ぶかで2通り
1つめが赤か白かで2通り
2つめが赤か白かで2通り
全部で2*2*2=8通り
それぞれの確率を計算すると
1/2*3/4*2/3=1/4
1/2*3/4*1/3=1/8
1/2*1/4*3/3
1/2*1/4*0/3
1/2*2/4*1/3=1/12
1/2*2/4*2/3=1/6
1/2*2/4*2/3
1/2*2/4*1/3
(1/4+1/12)/(1/4+1/8+1/12+1/6)=(1/3)/(5/8)=8/15 >>877
(a^k - b^k)/(a-b)
= a^(k-1) + a^(k-2)･b + ････ + a･b^(k-2) + b(k-1),
より
|(a^k - b^k)/(a-b)| ≦ k M^(k-1) ････ (*)
ここに M = Max(|a|,|b|)
よって
| (a^n - b^n)/(a-b) - n･a^(n-1) |
= | Σ[k=1,n-1)] a^(n-1-k)･(b^k - a^k) |
= |b-a|･| Σ[k=1,n-1] a^(n-1-k)･(b^k-a^k)/(b-a) |
≦ |b-a|Σ[k=1,n-1] |a|^(n-1-k)･|(b^k-a^k)/(b-a)|
≦ |b-a|Σ[k=1,n-1] M^(n-1-k)･k･M^(k-1) (← *)
= |b-a| Σ[k=1,n-1] k･M^(n-2)
= |b-a|･{(n-1)n/2}･M^(n-2),
∴ (a^n - b^n)/(a-b) → n･a^(n-1) (b→a)
∴ (x^n)’= n･x^(n-1) x^2(+2/27a^3-b)x+a^6/729の xわ いくつですか? x^2(+2/27a^3-b)x+a^6/729=0 の xわ いくつですか? x^2+(+2/27a^3-b)x+a^6/729=0 の xわ いくつですか? 次の予想
x^2+(2/27a^3-b)x+a^6/729=0 の xわ いくつですか? >>939 >>940
平方完成すると
x^2 + [(2/27)a^3 -b]x + [(1/27)a^3]^2 = {x + (1/27)a^3 - b/2}^2 + b[(1/27)a^3 - b/4],
b[(1/27)a^3 - b/4] ≦ 0 のとき実根
x = - (1/27)a^3 + b/2 ±√{b[b/4 - (1/27)a^3]}, https://i.imgur.com/4crsBDd.jpg
https://i.imgur.com/7QruAaY.jpg
この問題の解答の最後の結論部(◯で囲った？のとこ)は、
どういう意味なのでしょうか？
これを示して題意を示せてる理由がわかりません。どうかご教授お願いします。 いろいろと糞解答なので、見なかったことにするのをおすすめします >>943
ではどうやって解けばよいでしょうか。。。 正四面体を立方体の中にあるものとして考えればほぼほぼ自明 OE↑ = (OA↑ + OB↑)/2
OF↑ = (OC↑ + OD↑)/2
OG↑ = (OA↑ + OD↑)/2
OH↑ = (OB↑ + OC↑)/2
(OE↑ + OF↑)/2 = (OG↑ + OH↑)/2 だから
EF と GH はそれぞれの中点で交わる。
ってか、これ、一般の四面体で成り立つよ。 どこまで糞な解答を書けるかにチャレンジした、としか思えない なるほど。。。自分には実力不足でどこがダメなのかはわからないんですが、
とにかくダメ解答ということですね。
やさ理っていう有名な問題集のやつです。。 塾内の脳無し講師のやっつけ解答辺りと思ったら、ここまで酷いものが出版されていたのですか？
誰か止めなかったんでしょうかｗ 一事が万事というわけでもありませんが、ここまで酷いと他の部分も全く信用できません
ちょいミスとかいうレベルではなく、短い解答の中で無能っぷりを大いにアピールしています いや、そもそもなぜに外接球の中心をOとおくのかがなぁ。
ともかく "始点は外接球の中心" ってこだわりがあるんだろうなぁ。 >>942
○で囲った部分は
A,B,Cが同一直線上にある⇔AC↑=kAB↑
を使っている
外接球の中心や重心をいきなり使うとか本当に糞解答だな x^2+(2a^3/27-b)x a^6/729=0の式かあります
そこで -bを -27b/27に かえれば
x^2+2a^3-27b/27+a^6/729=0
x^2+2a^3-27b/27=-a^6/729
解の公式に よると
まず 2次項の 計数 1に 作て 定数項 うへんに いこうします
これわ なってるから pass
次わ 等式の りょうへんに ( 1次項の 計数*1/2)^2を 加えます
分數ようり 少數か 楽なんで 少數にします
x^2+(2a^3-27b/27)x+ (a^3-13.5b/27)^2=-a^6/729+ (a^3-13.5b/27)^2
次わ 完全平方式に かえし うへん 通分します
(x+a^3-13.5b/27)^2=-a^6/729+a^6+182.25b^2/729
(x+a^3-13.5b/27)^2=-a^6/729+a^6+182.25b^2/729
次わ ^2 利用 します
x+a^3-13.5b/27=√-a^6/729+a^6+182.25b/729
次わ また うへんをさへんに いこうします
x=a^3+13.5b/27√-a^6/729+a^6+182.25b^2/729 or a^3+13.5b/27-√-a^6/729+a^6+182.25b^2/729
ます ルートを 計算すれば √-a^6/729+a^6+182.25b/729=√182.25b/729
-√-a^6/729+a^6+182.25b^2/27=-√182.25b^2/729
そこで ルートを 有理数に かえれば 13.5b/27 or-13.5b/27
a^3+13.5b/27+ 13.5b/27
a^3+13.5b/27+-13.5b/27
=a^3+27b/27 or a^3/27
x=a^3+27b/27 or a^3/27
あたりですか -a^3+13.5b/27+-13.5b/27
=-a^3+27b/27 or -a^3/27
x=-a^3+27b/27 or- a^3/27 >>955
おおなるほど！！そういうことだったんですね！！
ついたレスの中で一番わかりやすく僕の疑問に即したレスでした、ありがとうございます！！
氷解しました！！ Re(1/z) > 0 の解って Re(z) > 0 で合ってますか？
Im(1/z) > 0 の解って Im(z) < 0 で合ってますか？ 文字と整数だけで出来た整式を有理数の範囲で因数分解できるとき分数が必要な場合はありまつか？整数係数だけで表現可能なら明快な証明はありまつか ないです。
Thm (Gauss)
有理係数で因数分解できる
⇔整係数で因数分解できる
です。
高校生でも証明でかなくはない。
頑張りましょう。 ごめん。
こっちは不等号逆にしてるね。
あってる。 分母が定数だから1番からx=0のとこ引いてとかやればいいんじゃないですかね >>971
すみません、分母定数でしたね…
分母外に出すとただの二項分布の期待値なのですぐに求まりました
ありがとうございます https://dotup.org/uploda/dotup.org1977289.jpg
(※)を満たすf(x)と定数aを求めよ という問題なんですけど
①にx=aを代入するとa=0が得られるんですが、②にx=aを代入すると0=e^a となり、これを満たすaが存在しません。
①に代入するのは良くて、②に代入するのはダメなのはなんでですか？
②も正しい式ですよね？ >>973
②から導かれる必要条件:f(x)=e^xを②に代入してみると、定数aが存在せず、矛盾する事が分かります
つまり、「aが定数ならば」それを満たすf(x)は存在しません
aがxの関数だとしたら、存在するかもしれません(計算していないので分かりません) >>973
問題間違えてませんか？
多分、(*)を満たすf(x)は存在しないかと。 ∫[a,x] (x - t) f(t) dt = g(x) のとき
∫[a,x] f(t) dt = g'(x)
f(x) = g''(x)
g(a) = g'(a) = 0 ……☆
g(x) = e(x) - 1 のときは
☆ を満たす a が存在しない。
問題が成立していない。
（というか解なし） ありがとうございます。結果を与式に代入して積分しても右辺が全く違う関数になったので(2)は問題の不備ということでいいんですね
https://dotup.org/uploda/dotup.org1977321.jpg
ちなみに練習問題のこの2問も同じような感じになったのですが、こちらもやはり問題がおかしいですよね
https://dotup.org/uploda/dotup.org1977323.jpg 一応某大手予備校のテキストです、名前は伏せさせてください…
ただまあレベル的には一番下の教材なので作る側も気合い入ってないしチェックも適当なんですかね？ >>973
tf(t)を積分してxで微分するとxf(x)になるでいんだっけ？部分積分しなきゃいけないけどそんな綺麗な結果になるの？ >>984
たしかになるねえ
なんか変なこと言ってすまそ >>978
次の等式を満たす関数f(x)をそれぞれ求めよ。
また(2)では，定数aの値も求めよ。
(1) f(x) = sin(x) + 3∫[0,π/2] f(t) cos(t) dt,
(2) ∫[a,x] (x-t) f(t) dt = e^x - 1,
(3) ∫[a,x] (x-t) f(t) dt = e^x - 2,
(4) ∫[a,x] (xx-tt) f(t) dt = log(x) - 1, 解答例
(1) f(x) = sin(x) - 3/4,
(2)(3)
∫[a,x] (e^t)dt = e^x - e^a,
∫[a,x] (x-t)(e^t)dt = e^x - (e^a)(x+1-a),
より解なし。
(4) ∫[a,x] (xx-tt) (-1/t^3) dt
= ∫[a,x] (-xx/t^3 + 1/t) dt
= [ xx/(2tt) + log|t| ](a→x)
= log|x| -xx/(2aa) - log|a| +1/2,
より解なし。 >>961
1/z = z* / |z|^2 より明らか。(z* はzの共役複素数)
>>980 >>983
ほぼ素人の作った問題だろな。こんなのを
「いつやるの？今でしょ？」
とか言いながら解かされるんぢゃ可哀想････
そろそろ次スレ立てる？ >>986
今の受験数学の教科書では与えられた問題に対して「解なし」の可能性は吟味しなくてもよくなってるそうな。
なので必要条件で解が一個にしぼれたら、「これが解、解なしなんて可能性は無視して桶」らしい。
まじめに数学勉強した人間からしたらメチャクチャなんだけどな。
しかし少なくとも出題する側は解なしの可能性も考えて出題しないといかんのだけどね。
工学部出身の塾講師とかだとこういうのやりかねん。
しかしホンとは解なしの方程式を受験でだしていけない法はないし、受験の答案でも解なしの可能性の検討＝十分性のチェックはしないとダメなんだけどね。 >>990
十分性はチェックしないとダメだろ
昔の神戸大学みたいに｢解なし｣が答えとなる問題は出ないだろうが >>990
と、思うよな。
しかし実際はやってない受験参考書やら塾の教材やら死ぬほどあるのよ。
アホかと。 と思うでしょ？
にも関わらず多くの受験参考書はやってない。
受験産業の人いわく、実際に書いた解答を再現したものと得点開示で返ってきた点を受験生の協力を仰いで比較、検討したところ、十分性のチェックが抜けてても減点されていないという結論になってるらしい。
実際そういう調査は大手予備校は毎年数百人規模で協力仰いでやっている。
しかし受験で減点されない事とチェックしなくていいか悪いかという事は別問題だろとしか思えないんだけどね。 「どの本の何ページの問題の解答は不十分だ」という具体例をくれ もしかしてなんだけど、2x=2 を解いて x=1 とした後でちゃんと代入して確認しろとかいう話ではないよね？ >>997
されないらしい。
私は調査した人間ではないから嘘かホントか知らないけど。
しかし減点されないという事と十分性チェックしないでもいいというのは別問題だと思うんだけどね。 >>999
へーじゃあ √x=2 を解いて x=±4 ってしても今は点数もらえるんだ
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