高校数学の質問スレPart402
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【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレPart401
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567691316/ >>912
こういうの、高校生が浅はかな知識でレスしたのは容易に理解できるんだけどさ
でもそんな低レベルな議論はここでは不要なんだ
少なくとも高校数学が簡単なので大学数学をだいぶ勉強してるような高校生以外は黙っててほしいわ
君らの低レベルなレスでいちいち荒れるのを見たくない でも「はさみうちの定理」とか言う奴は馬鹿っぽいわな
味噌も糞も一緒にしてる感じ お前がそう思うのは勝手だが人に押し付けるな
単なる翻訳の揺れに拘ってんじゃないよ たとえば実数論で出てくるアルキメデスの公理(原理)は証明している
というように公理だから証明不要というわけでもないようだ
公理とは何か
定義とは何か
古い本だと今公理と言われるようなものも
定義と称して証明している場合がある
原理
公理
定義
この三つをどう認識するのかが数学者に問われている
もちろん現在の主流は定義さえすればそれは証明不要という立場であろう
しかしそうでない時代もあったしこれからどう変化するのかもわからない
所詮多数決原理に基づくのが数学
つまり政治学に従属した概念でしかない 原理は数学用語ではありません
原理というのは科学の用語ですね
数学は公理から定理を導くことしかないわけですから
でも原理と名のつく定理はいくらでもあります 科学における基本的な仮定が原理ですね
数学なおける基本的な仮定が公理ですね
仮定から導かれるものは定理や公式と呼ばれるものです たしか論理学だと証明という言葉自体
弱い推論というようなことを言っている本があった
つまり証明というのはそもそも脆弱な理屈であり
公理や定義に頼ってしまうというものである
と半ば証明論を諦めた人が言ってた もし公理が単なる仮定に過ぎないのならば
数学者は偽の仮定の扱いに応えなければならない
偽の仮定から導出された命題はいつでも真である
という論理的要請に応えた理屈が何の役に立つのか
甚だ疑問だ ある論理学者は
真の仮定のみを擬制すればよいと応える
つまり
真 ⇒ 真
真 ⇒ 偽
という二つの場合の真理値のみを扱うことが
論理学であり数学であるという
さて公理の真理値は常に真であるという仮定があったとすると
公理という仮定の仮定が真であるということであり
これは循環論法である
私は正しい故に正しい
なんだこれは ところでこの真理値の問題を言うと
論理を勘違いした奴が必ず出てくる
そいつは形式論理的に正しければよいという
形式論理学こそ真理値の分類を
真 ⇒ 真 ：真
真 ⇒ 偽 ：偽
偽 ⇒ 真 ：真
偽 ⇒ 偽 ：真
としたのだ
形式論理すら知らない奴が数学に携わっている
今すぐ追放せよ つまり
公理や定義を
偽 ⇒ 真 ：真
偽 ⇒ 偽 ：真
この二種類で構成した場合
反論の余地がない
つまり反証可能性がないのだ
かつて反証可能性がないものは科学でないと言われたことがあったが
公理や定義を単なる仮定であるという人間にはおそらく通じない
数学をやる前に論理学と科学哲学をやれ 偽の仮定の例
可換環論において
分配法則は環の公理がなければ偽の命題である
因みに成田正雄は
片側分配法則しか公理に採用していない 普通の形式論理では、形式と意味を分離します
公理とは、単なる論理式の集まりであり真偽は問いません
意味は、その公理に対するモデルを考えることによって初めて明らかになります Q:全ての公理が真になるのはなぜか？
A:そのようなモデルを用いて解釈しているからです
異なる構造を持って解釈すれば、当然公理が真で無くなる場合もあります ア・プリオリな認識の対象のみが公理である
しかし平行線公理は反駁された
さてここから数学は混迷期を迎える
命題の真理値はないとする説(開論理式)
命題の真理値はあるとする説(閉論理式)
折衷説
まあ立場が違えば議論は永遠の平行線ですね
因みに私はすべての命題は閉論理式であると考えているので
すべての命題を量化する説に賛成です 普通、命題と言ったら閉論理式のことを指すんじゃないですかね
自由変数を含むものは述語とか言って区別すると思います 過疎スレが賑わっているときは基地害が暴れているとき >>969
そうか？
エプシロンデルタ論法の対象は開論理式だから
対偶がとれないって説明している人がいたけど
俺もいつか検証しようとは思っている イプシロンデルタに自由変数とかなくないですか？
普通に閉論理式だと思いますけど 文英堂『これでわかる数学』
藤田宏『理解しやすい数学』
数研研究所『チャート式』
何れも集合と命題の単元で
開論理式で書かれている所が多数存在している
これらはすべて閉論理式に改めるべきである
そうしないと論理の勉強にならない
でも閉論理式にした部分集合の証明では
対偶がとれないので
この問題を解決するために勉強するしかないと思っている
解決策は今のところ見つからない 東京理科大学名誉教授
新妻弘先生の部分集合の証明
A,B：集合
A⊆Bを示したい
そのために
任意にb∈Aを選ぶ
(中略)
b∈B
ｂは任意に選んだのですべてのa∈Aに対して
a∈A ⇒ a∈B
が成立する
という教育・研究を行ってきた
さてこの他の方法で部分集合の証明を行える者はいるか？ 竹之内脩の対偶
∃a¬∈B ⇒ ∃a¬∈A
ぼくがかんがえた対偶
∃a∈¬B ⇒ ∃a∈¬A
何れにしても証明不能である
また藤田宏の『理解しやすい数学』では
全称命題について反例を1つ挙げればよいというが
しかしそれは命題が偽の場合にしか通用しない
対偶なしで全称命題を認識できる者はいるか？ そこで部分集合であることは単射であることを用いればよいと
考えたこともあったが高校数学で写像の単元がない以上
単射を入れるわけにもいかない
昔のように高校数学の範囲に写像の単元を入れてはどうだろうか よくあるおバカな間違えなんですけど
x∈A→x∈B
こういうのって、普通は
∀x (x∈A→x∈B)
の意味ですよ？
(∀x x∈A)→(∀x x∈B)
こうじゃないですからね
だってこれ
(∀x x∈A)→(∀y y∈B)
これと同じですからね？ なんでこういうことをこのスレで言ってるのか訳わからん 部分集合A⊆Bの証明における単射性
f：X → Y
f(x)=y
∀a,b∈X， a≠b ⇒ f(a)≠f(b)
この対偶
∃a,b∈X； f(a)=f(b) ⇒ a=b
このときA⊆Bが成立する
例
X：={1,2,3}
Y：={1,2,3,4}
f(x)：=x
f(1)=f(2) ⇒ 1≠2
これダメだは
部分集合の証明に対偶を用いた単射も使えない
対偶でない場合の例
1≠2 ⇒ f(1)≠f(2)
しかしこれは1例に過ぎない
全称命題は証明することができないので
実質的にこれも証明不能 >>979
＞この対偶
＞
＞∃a,b∈X； f(a)=f(b) ⇒ a=b
∀a,b∈X； f(a)=f(b) ⇒ a=bですよね >>980
裏
¬(∀a,b∈X， a≠b ⇒ f(a)≠f(b))
対偶
¬(∀a,b∈X， f(a)≠f(b ⇒ a≠b) パスカルの原理、アルキメデスの原理
こういうのは、いかにも
『原理とは「自然界で成立する様々な現象を考える際に依って立つ基礎的な法則」である』
という感じがするね。
数学の公理というのとはちょっと違う >>981
違いますよ？
A→B
⇔
¬B→¬A
⇔
¬A∨B >>983
ああ
A ⇒ B の同値表現が ¬A ∨ B
というのはいいですから
関係ない話をしないでください 同値表現ができないって言ってる者に
同値表現ができるってなんなんだろ
誰か俺を論破してくれ >>985
関係大有りですよ？
A→B
⇔
¬B→¬A
⇔
¬A∨B
全て同じものです
これが対偶ですよね
A→B ⇔ ¬A∨B
⇔
¬B→¬A⇔B∨¬A
量化子をつけないと対偶にならない、とかわけわからないこと思ってるからあなたわかってないんですよ >>987
お前はいつも俺が述語論理の話をしているのに
命題論理の話をふっかけてくる奴だなｗ
いいよお前意味ない A→B
は閉論理式ですね
自由変数含んでないですよ？ >>987
A→B ⇔ ¬A∨B
これは対偶とは言わない
同値変形
しかも命題論理 >>991
A→B ⇔ ¬A∨B
であって
¬B→¬A⇔B∨¬A
だから
A→B
⇔
¬B→¬A
これが対偶ですね どうやら閉論理式の意味もわからないようですね
述語論理で量化子を付けて対偶を説明してください ∀x [A(x)→B(x)]
の対偶は
∀x[¬B(x)→¬A(x)]
です
さっき書きましたよねぇ >>992
X⇔Y
Z⇔X
ここからどうやって
X⇔Z
を言うんですか
貴方命題論理もできないみたいですね A→B ⇔ ¬A∨B
¬B→¬A⇔B∨¬A
X⇔Y
Z⇔Y
だから
X⇔Zという理屈なんですけど >>996
ああそれは俺の見間違いだ
述語論理でたのむ ∀x [A(x)→B(x)]
の対偶は
∀x[¬B(x)→¬A(x)]
です
なんで無視するんですか？
都合が悪いんですかね >>998
¬(¬A∨B)
A∧¬B
都合が悪いんですかね それ対偶じゃなくてただの否定ですよね
で？て感じですけど
それいうなら、さっきも書きましたけど
A∨¬Bの対偶は、¬B∨A
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