純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）17
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補足：下記 中野伸先生がいいね
上記 定理6.11 正規底定理 は、補題13.3 (デデキント) で 16行で証明終わり
(参考)
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/lecture2023.html
中野 伸（教授）学習院
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Alg2/2023/13kummer.pdf
代数II 2023年度
§13.クンマー拡大
P49
以下において扱う体はすべてCの部分体とする．また，自然数nに対して，ζn∈Cを1の原始n乗根とする．
すなわち，ζn∈C×であって，その位数がnであるとする
（ζn=e^2πi/nであるとしてよい）．
P50
定義13.2前定理のようにして与えられる拡大L/Kを自然数nに関するクンマー拡大という．すなわち，体の拡大L/Kがnに関するクンマー拡大であるとは，Kが1の原始n乗根ζnを含み，あるa∈K×についてαn=aをみたすαによってL=K(α)と表されることである．クンマー拡大は，しばしばL=K(n √a)とも表される．
この節と次の節で，ベキ根拡大と有限次塁アーベル拡大との密接な関係，すなわち，これらの拡大が“本質的”に同等であることを述べる（定理13.6および定理14.2を参照）
P51
補題13.3 (デデキント)
Γを乗法群とし，σ1,...,σnをΓからC×への相異なる準同型写像とする．
このとき，(c1,...,cn)≠(0,...,0)をみたす任意の(c1,...,cn)∈Cに対して
Σ i=0～n－1 ciσi(γ)=c1σ1(γ)+···+cnσn(γ)≠0
をみたすγ∈Γが存在する．
証明
対偶，すなわち，c1,...,cn∈Cとするとき，
∀γ∈Γに対してΣ i=0～n－1 ciσi(γ)=0 =⇒ c1=···=cn=0を
nに関する数学的帰納法によって示す．
n=1のときはあきらかである．
略（16行で証明終わり）
P52
定理13.8
nを自然数とし，体Kは1の原始n乗根ζnを含むとする．
もしL/Kがn次巡回拡大ならば，あるa∈K×が存在して，L=K(n √a)と表される．
すなわち，ζn∈KならばK上のn次巡回拡大は巡回クンマー拡大である．
証明
ζ=ζnと略記する．σをGal(L/K)の生成元とする;
Gal(L/K)=σ = {1,σ,σ^2,...,σ^n－1} , σ^n=1.
いま，Γ=L×, σi=σ^(i－1)およびci=ζ^－(i－1) (i=1,...,n)として前補題を適用すれば，
Σ i=0～n－1 ζ^－iσ^i(γ)=γ+ζ^－1σ(γ)+···+ζ^(－(n－1))σ^(n－1)(γ)≠0
をみたすγ∈Lが存在する．
この和をαとすると，0≠α∈Lであって
σ(α)= Σ i=0～n－1 ζ^－iσ^(i+1)(γ)=ζΣ i=0～n－1 ζ^－(i+1)σ^(i+1)(γ)=ζα,
両辺をn乗してσ(αn)=αnを得る．
σはGal(L/K)の生成元だから，αnはGal(L/K)の不変体Kに属する．
すなわちα^n∈Kであり，X^n－α^n∈K[X]となるから，K(α)/Kは巡回クンマー拡大である．
さらに，σ(α)=ζα, σ^2(α)=σ(ζα)=ζσ(α)=ζ^2α,...より，
Conj(α,K)= {α,ζα,ζ^2α,...,ζ^(n－1)α}であるが，
α≠0なので|Conj(α,K)|=n，したがってX^n－α^nがαのK上の最小多項式でなければならず，L=K(α)が得られる 補足の補足
・中野伸、足立本、草場本、いずれも ラグランジュの分解式を”明記”して扱っていない
・但し、中野伸 定理13.8などにあるように、クンマー拡大を示すときには、ちょこっと顔を出す
・しかし、いずれの本も”ラグランジュの分解式”という名前は示されない
・おそらく、この後では ”ラグランジュの分解式”は使わないからだろう（実際使っていない）
繰り返すが、代数方程式のガロア理論の本質は
代数方程式による体の拡大とガロア群の対応にある
（ラグランジュの分解式は、表で活躍する役割を与えられていないテキストが多いようだ
それが良いか悪いかは、いろいろ意見があるだろうが） >>899
明らかに違いますね
草場の本の定理は、任意の有限次ガロア拡大が対象ですが
足立の本の抜書は（なぜ肝心の定理を書かないのか不明ですが）
注のところに「L/Kは巡回拡大」とあるので、より条件が厳しいですね
数学科の演習なら、任意のガロア拡大の基底を求める問題で
勝手に巡回拡大だと限定して解いたら、教授からとっちめられますよ
素人の勝手読みは間違ってもとっちめられないので
気づかないままなんでしょう
そして５ｃｈ数学板で臆面もなく書いてつっこまれる、と
まあ、教えてもらいたかった、と好意的に解釈しましょうか >>901
>中野伸、足立本、草場本、いずれも ラグランジュの分解式を”明記”して扱っていない
でも出てきてますよ
たとえば、足立 ガロア理論講義 P143の抜書で
α＝Σ i=0～n-1 ζ^i・σ^i(ξ）
と書いてありますけど、これラグランジュの分解式です
まあ、当然だけど足立さんは
「ヴァンデルモンド型の行列式」
ってことまでちゃんと言及してますね
足立さんはズゲズケいう人だけど実は親切なのよ
まあぼくは足立研じゃないから、褒めてもご利益ないけどｗ 巡回群の場合嬉しいのは、群の生成元が１つ、ってことね
だから拡大の基底の構成がしやすい これ豆な 繰り返すが、代数方程式が冪根でとけるのは
方程式のガロア群が巡回群の「積み重ね」となるときだけ
で、一つの巡回拡大に一つの冪根の操作が対応する
実際円分方程式でもそうなってるでしょ >>899
>2つの命題のステートメントが違うっぽい。
>異なる命題を証明してるのなら証明の長さが異なるのは当然。
・ありがとう
なるほど。というか、それはちょっと思った
ベキ根拡大の性質を述べるところで、足立本では定理の範囲を最小限に絞っているかも
・なお、>>900 中野伸(学習院) §13.クンマー拡大も見てください
こっちは、対偶法と数学的帰納法の組合わせです
いずれにせよ
短い証明を提示するテキストもあるってことです
（定理の範囲を最小限に絞っているかもも含めて） >>902
ありがと
ちょっとは勉強しているのかな？
草場の本持ってる？
草場の本で、定理6.11 正規底定理の前の 定理6.10は、
”Fが1の原始n乗根を含んでいるとき、Fのn次の巡回拡大KはFのベキ根拡大で
あるα∈F があって、K=F(n√α)”
である なのです
だから、定理6.10に使う補助定理としては、足立本で間に合います
あと、>>900 補題13.3 (デデキント) 中野 伸（教授）学習院 も見てください >>906
>なるほど。というか、それはちょっと思った
定理の文章、読んでないの？ ダメだよ そんなんじゃ
>短い証明を提示するテキストもあるってことです
>（定理の範囲を最小限に絞っているかもも含めて）
そもそもいかなる定理を証明してるかわかってないなんてあり得んよ
>>907
>ちょっとは勉強しているのかな？
あなたが教授から云われた言葉かな？
ちょっとも勉強してないといわざるをえないけどね
そもそも ID:dATnLzNB はどうやって方程式解くつもり？ ID:dATnLzNB は いまだに任意の自然数ｎについて
円をｎ等分する円分方程式の根を冪根つかって表す方法
がまったくわかってなさそう
言っとくけど 1^(1/n)はダメだからね 補足の補足（追加）
石井本「ガロア理論の頂を踏む」で
(手元のは 20130926版 第2刷ですが)
P476 定理6.6が”デデキントの補題”です
P478 定理6.7が”ベキ根拡大を作るベキ根の存在”です
（ここでは、背理法で証明しています。またP477では、”デデキントの補題”の「特別な場合」限定とのコメントあり）
P479 ここに、「c+ζ^n-1σ(c)+ζ^n-2σ^2(c)+・・・+ζσ^n-1(c)≠0
を満たすcが存在することの証明は、連立一次方程式やファンデルモンドの行列式を用いるともっとあざやかにできますが、線形代数の準備が必要ですから、ここでは泥臭い方法で証明してみました」
とあります
P475 ここに、ラグランジュの分解式についてのコメントがあります
「（ラグランジュの分解式は）分かり易いところが特徴です
このラグランジュの分解式を使って、ピークの定理の結果を説明しようとするものも見られますが
少々無理があります。というのも、ラグランジュの分解式以外で方程式を解く手段があるかも
知れないからです」とあります
実際に、そういう手段は勿論有るわけです。それがガウスDAの円周等分です
(参考)
https://www.アマゾン
ガロア理論の頂を踏む 単行本 – 2013/8/22
石井 俊全 (著)ベレ出版
書評
プリンハム
5つ星のうち4.0 旧版は誤植多し。新品を買いましょう。
2021年8月12日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
内容は素晴らしいのひとことです。ただ、中古で買ったところ初版を掴まされ、骨の折れるような訂正作業に心まで折れたので安物買いの銭失いにならないよう、新品を買うことをおすすめします。
つづく つづき
モリシー
5つ星のうち5.0 ガロア理論入門書の決定版
2015年8月21日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
恥ずかしい話ですが、私は大学で数学科だったにもかかわらず、
様々なガロア理論の専門書や啓蒙書に挑戦しては挫折を繰り返してきました。
どれも途中で分からなくなってしまったのです。
ガロア理論の本を最後まで読み終える事が出来たのはこの本が初めてです。
まだ十分な理解には程遠いですが、
繰り返し読めばさらに分かりそうな気がします。
この本は豊富な実例と親切な語り口で
とても分かりやすく書かれていますが、
やはり啓蒙書ではなく専門書だと思います。
ガロア理論はどんなに楽なルートを辿ろうとも、
高い標高の頂きである事には変わりないのでしょう。
でも、それを本気で読者に登らせようとしています。
そのスタンスが新鮮。
啓蒙書にありがちな、
「自分は良く分かっているけど君たちにはこんな感じかな」
という雰囲気はありません。
一方で、専門書を読むときのあの重苦しい感じもありません。
私は専門書を読むときは、
いけないと思いつつも余白にかなりの書き込みをします。
でも今回は書き込みはほぼゼロ。
「書き込もうかな」と思って鉛筆を持つと、
たいていすでに図があったり、赤い色で書いてあったりあります。
とってもフレンドリーです。
(引用終り)
以上 >>910
>「ラグランジュの分解式以外で方程式を解く手段があるかも知れないからです」
>実際に、そういう手段は勿論有るわけです。それがガウスDAの円周等分です
大量のコピペ以外のほんの僅かな自分の言葉が明らかな間違いって、なんか凄い才能 >>911
>モリシー
>5つ星のうち5.0 ガロア理論入門書の決定版
>2015年8月21日に日本でレビュー済み
>Amazonで購入
>恥ずかしい話ですが、私は大学で数学科だったにもかかわらず、
>様々なガロア理論の専門書や啓蒙書に挑戦しては挫折を繰り返してきました。
>どれも途中で分からなくなってしまったのです。
>ガロア理論の本を最後まで読み終える事が出来たのはこの本が初めてです。
なるほど
ガロワと方程式 1989 草場 公邦 >>898
最後 P175に
編集者短評 （斎藤正彦）で
「数学の本というものは、普通最後まで読み通すのは難しい
この本の場合も、仮に表題のガロワ理論まで到達できなかったとしても
少しも悲しむにはあたらない。半分くらいでも、いや第1章だけでも読めば
数論の真髄--昔からつくられてきた理論の一番面白い部分--の一端に触れることができる」
とありますね
また、下記小沢 登高氏 4年生 ”夏休みにはConwayの本（GTM96）を読んだ。 数学の本を一冊通読したのはこれが初めてだった”
これも、われわれ凡人には、「そうなんや」とほっとします（”ほっと”しつづけは、まずいですが）
つづく つづき
(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~narutaka/rireki.html
小沢 登高 履歴書(非公式版)
1995年4月 同理学部数学科進学
少し態度を改め、 4年生の春にルベーグ積分とホモロジー代数を市立図書館で勉強する。 ついでに関数解析の教科書も眺めてみた。
函数解析に興味を覚えたので、夏休みにはConwayの本（GTM96）を読んだ。 数学の本を一冊通読したのはこれが初めてだった。 継続してまじめに勉強したのもこれが初めてだった。
(引用終り)
以上 石井本「ガロア理論の頂を踏む」(20130825版 第6刷)
第６章「根号で表す」 １ １のｎ乗根をベキ根で表す
で、円分方程式を解いてます
定理６．１ １のｎ乗根はベキ根を用いて表すことができる
ｎ＝１，２，３の時は解けるし、
ｎが合成数の場合は素因数に分解して１の各素因数乗根の冪根で表せる
したがってｎが素数の場合に解ければいい
p417でn=7の場合として、いきなり
f(x,y)=y^3+xy^2+x^2y^6+x^3y^4+x^4y^5+x^5y
というx,yの多項式を出して、xに1の6乗根ω、yに1の7乗根ζを入れている
実はこれがラグランジュの分解式
c+ζ^n-1σ(c)+ζ^n-2σ^2(c)+・・・+ζσ^n-1(c)
σ(x)=x^5 c=ζ^3 σ^n(x)はσ(x)のn回反復、とすれば
σ(c)=σ(ζ^3)=(ζ^3)^5=ζ^15=ζ
σ^2(c)=σ(ζ)=ζ^5=ζ^5
σ^3(c)=σ(ζ^5)=(ζ^5)^5=ζ^25=ζ^4
σ^4(c)=σ(ζ^4)=(ζ^4)^5=ζ^20=ζ^6
σ^5(c)=σ(ζ^6)=(ζ^6)^5=ζ^30=ζ^2
σ^6(c)=σ(ζ^2)=(ζ^2)^2=ζ^10=ζ^3=c
したがって
c+ζ^n-1σ(c)+ζ^n-2σ^2(c)+・・・+ζσ^n-1(c)
=ζ^3+ω^5ζ+ω^4ζ^5+ω^3ζ^4+ω^2ζ^6+ωζ^2
=ζ^3+ωζ^2+ω^2ζ^6+ω^3ζ^4+ω^4ζ^5+ω^5ζ >>915
で、実はf(ω^i，ζ)^6が、ζの出てこないωだけの式で表せる
だからf(ω^i，ζ)はその6乗根で表せる
実は直接6乗根を使わなくても3乗根と2乗根でいける
これがガウスが見つけたこと
だから、ガウスがラグランジュの分解式使ってない、というのは大嘘 >>916
このからくりを理解したのは、一昨年の年末
これで、n=11について実際に計算してみせた
でも ID:dATnLzNB は自分で計算してないから、何も理解しなかったみたい
手を動かさないと数学は理解できないみたいね やっぱり >>912
>>「ラグランジュの分解式以外で方程式を解く手段があるかも知れないからです」
>>実際に、そういう手段は勿論有るわけです。それがガウスDAの円周等分です
>大量のコピペ以外のほんの僅かな自分の言葉が明らかな間違いって、なんか凄い才能
再度、手元のガウスDAを確認した
ガウスは、先行するオイラー、ルジャンドル、ラグランジュなどの業績を
丹念に述べ、あるいは引用している
そして、しかしながら ラグランジュの分解式はガウスDAには登場しない
ガウスDAは整数論であって、代数方程式論ではない
ガウスはDAで、円分方程式のガロア群が巡回群をなすことを見抜き
周期という概念で、その巡回群の性質を解き明かし
円分方程式を解いている
弱冠二十歳前のガウスが、DA執筆時点で 現代ガロア理論をどこまで感得していたかは分からない
また、ひょっとして裏でラグランジュの分解式を使ったかもしれないが
（下記 ガウスは 自分の足跡を消し去るキツネ）
少なくとも、DAに記されているのは上記の通りです
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel
Niels Henrik Abel
Abel said famously of Carl Friedrich Gauss's writing style, "He is like the fox, who effaces his tracks in the sand with his tail." Gauss replied to him by saying, "No self-respecting architect leaves the scaffolding in place after completing his building."[15]
（google訳）
アーベルはカール・フリードリヒ・ガウスの文体について、有名な「彼は尻尾で砂の上の自分の足跡を消し去るキツネのようなものである」を述べた。
ガウスは彼にこう答えた、「自尊心のある建築家は、建物を完成させた後、足場をそのまま放置することはありません。」[15] >>918
>ひょっとして裏でラグランジュの分解式を使ったかもしれないが
ガウス和を使ってる時点で、公然と使ってますね
ガウスはラグランジュの分解式がなぜ成り立つが理解してたんですね
そして、ガロアもそのことに気づき、そこからガロア理論のアイデアを得た、と
足跡消しても、野生動物は匂いでわかるんだよｗ >>919
誤 ガウスはラグランジュの分解式がなぜ成り立つが理解してたんですね
正 ガウスはラグランジュの分解式が働くからくりを理解してたんですね >>911
＞恥ずかしい話ですが、私は大学で数学科だったにもかかわらず、
＞様々なガロア理論の専門書や啓蒙書に挑戦しては挫折を繰り返してきました。
＞どれも途中で分からなくなってしまったのです。
＞ガロア理論の本を最後まで読み終える事が出来たのはこの本が初めてです。
＞まだ十分な理解には程遠いですが、
＞繰り返し読めばさらに分かりそうな気がします。
この人はガロア理論に挑戦しつづけただけ偉い
自分はそうそうに「代数は難しいからやめとこ」って捨てましたｗ
そのかわりゲーデルの不完全性定理については同様のことをやりましたけどね
でも一番わかりやすかったのは実はホフスタッターの
「ゲーデル・エッシャー・バッハ」かな
同じことは他にも書いてあるんですけどね
＞私は専門書を読むときは、
＞いけないと思いつつも余白にかなりの書き込みをします。
＞でも今回は書き込みはほぼゼロ。
＞「書き込もうかな」と思って鉛筆を持つと、
＞たいていすでに図があったり、赤い色で書いてあったりあります。
＞とってもフレンドリーです。
マセマ的な至れり尽くせり感ですね
率直に言って、これからの数学書はみんなマセマ化すると思いますね
天才だけが数学書を読んで理解する時代は終わりますよ >>907
>あと、>>900 補題13.3 (デデキント) 中野 伸（教授）学習院 も見てください
下記が元かな？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
デデキントの補題またはデデキントの独立性定理（独: Unabhängigkeitssatz von Dedekind）は、数学者リヒャルト・デーデキントに帰せられる代数学の命題で、半群から可換体の単元群への準同型写像族があるとき、それらの線型独立性について述べるものである。ガロア理論の基本的な構成定理に用いられる
定式化
Kurt Meyberg（ドイツ語版） による定式化は以下の通りである
（乗法的に書かれた）半群 H≠∅ と可換体
K、および H から K^*（K の単元群）への準同型
σ1,・・・ ,σn (n∈ N )} が与えられたとき、以下は同値。
(A1) { σ1,・・・ ,σn} は相異なる。
(A2) H から K への写像全体を K 上のベクトル空間とみなして Abb (H,K)} と書くと、
{ σ1,・・・ ,σn} は Abb (H,K) の元として線型独立である。
証明
エミール・アルティン[2] または Kurt Meyberg[1] に従い、以下のように証明することができる。
A1 → A2
準同型の個数に関する数学的帰納法を用いる
略
A2 → A1
明らかである（線型独立であるベクトルの組に同一の2元は存在し得ない）
この命題からの帰結
注釈と呼称
独立性に関する本命題（または非常に近い内容の命題）は、代数学の文献において様々な名称で呼ばれている。ファン・デル・ヴェルデンは、単に独立性定理（Unabhängigkeitssatz）と呼んでいる[3]。Karpfinger（ドイツ語版）-Meyberg では、上記の帰結1（有限個の族に対して定式化したもの）がデデキントの補題と呼ばれている[4]。英語の文献でも同様の呼称が見られ、Paul Cohn（英語版） は非常に近い内容の命題をデデキントの補題として挙げている[5]一方、Reginald Allenby はこれをデデキントの独立性定理と呼んでいる[6]。
関連する結果
同じくデデキントに帰せられる、関連した結果がある。
L を K の拡大体とし、K の元を固定する L の自己同型群 Γ\Gamma が有限群であるとする。
このとき ｜L ： K｜=|Γ |
Karpfinger と Meyberg はこの命題を「デデキントの定理」と呼んでいる。英語の代数学の文献（例えば Paul Cohn）では、数学者エミール・アルティンとの関連からアルティンの定理としても知られている。ただし Cohn は、命題の実際の考案者はアルティンではなくデデキントであることを明示している
L と K が可換体で、L/K が有限次拡大のとき、以下の主張は同値である。
(A) L/K はガロア拡大である[注釈 3]。
(B) ｜L： K｜=|Aut (L/K|
(C) L/K は正規拡大で、かつ分離拡大である。
(D) L はある K 係数分離多項式の K 上の最小分解体である。
https://de.wikipedia.org/wiki/Unabh%C3%A4ngigkeitssatz_von_Dedekind
（Edge 独→英訳）
Dedekind's independence theorem
Table of contents
1 Formulation of the sentence
2 Proof of theorem
2.1 A1 → A2
2.2 A2 → A1
3 Inferences
4 Naming Notes
5 Related Results >>922 石井本読みなよ 普通の数学書読んでもわからないんだから デデキントの補題は、正則行列が分かれば分かるよ
これは比喩ではなく、本当に理屈としてそういうことだから ヴァンデルモンド行列もラグランジュ分解式から自然に出てくるので
やっぱり「ラグランジュ分解式要らねえ」なんて言えない
鍵持ってても使い方知らないんじゃそりゃ扉は開かんよなあ どうしても「ガロア理論」って入れたいんだね
病気だね Vandermonde 行列式は、差積で
差積の平方が判別式だったね
en.wikipedia Vandermonde matrix で、思い出してきたよ
向井茂先生のPDFにチョロッと書いてある
なにかのガロア本にもあったはず（雪江本かも）
https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix
Vandermonde matrix
Determinant
By contrast, the discriminant det(V)^2 does not depend on any order,
so that Galois theory implies that the discriminant is a polynomial function of the coefficients of p(x).
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H16-mukai.pdf
平成16年度(第26回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成16年8月2日～8月5日開催)
不変式の話—対称式と方程式から第14問題の反例へ—向井茂
I.初日は不変式の最も基本となる対称式から話を始める．
II.群の不変式はここからすぐそこにある．また，Hilbertの第14問題もすぐに定式化できる．
III.直接の関係はないが不変式の個数を数える定量的な話で不変式に親しもう．第３日は方程式の不変式へと進む．
IV.最終日は頑張って第14問題に対する永田の反例に挑戦しよう．近年その理解が進み紹介が容易になっている．
§2交代式
二つの交代式の積は対称式である．とくに，差積の平方∆(x)^2が対称式であることが重要である．線形代数で習うように差積は行列式で表される（Vandermonde）．
例えば，
略 >>930
>Vandermonde 行列式は、差積
なぜ、そうなるかわかる？
ヒント１．２つの変数を入れ替えると？
ヒント２．行列式を多項式としたときの次数は？
ヒント３．そして各項の係数は？ >>930
>…で、思い出してきたよ
数学の学習は、物事を記憶することではないよ >…先生の…にチョロッと書いてある
>なにかの…本にもあったはず
一度でも自分で計算したなら
どこの本に書いてあったなんて忘れても
Vandermonde行列が出てくることは忘れないけどね
だってｐ等分の円分方程式を解くために用いる
ｐ－１個のラグランジュ分解式の係数配置が
まさにそうなってるんだからね
ま、Vandermonde行列式という名前を知らなくてもいいけど
逆行列が存在するには、それが決して０にならない必要があるだろ
そういうことよ 線形代数が大事、正則行列が大事、っていうのは これでガロア理論と線形代数がつながっちゃったな
ま、これでも読んで勉強しとき
特に行列式が多重交代線形性をもつ、ってところ
行列式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F 意識高い系（いしきたかいけい）とは、
・自己顕示欲と承認欲求が強く自分を過剰に演出するが相応の中身が伴っていない人、
・前向き過ぎて空回りしている人、
・インターネット（SNS）において自分の経歴・人脈を演出して自己アピールを絶やさない人
などを意味する俗称である。
本当の意味で意識が高い人の表面的な真似に過ぎないため、「系」と付けられている。 >>935
若者・学生に対して使用されることが多いが、
ビジネスマンなど大人に対して使用される場合もある。 「意識高い系」の特徴として、
・自己啓発（ボランティア・政治）活動や人脈のアピール、
・あえて流行のカタカナ語を使う
などが挙げられる。
セミナーやパーティへの参加、著名人との関わりなど人脈や友人の数、努力の過程などを
TwitterやFacebookなどのSNSで他者へ過剰にアピールし、
実績も行動も伴っていない人物を意味する。
嘲笑の対象として「意識高い系（笑）」と表記されることもある。 逆に（系なしで）「意識が高い」という場合は、
能力が高く、知識や経験が豊富で、行動も実績も伴っている人物
への肯定的評価の言葉である。 2000年代半ばに、就職活動の場面において使われ出した
「意識が高い学生」という言葉は
「能力が高く、知識も経験も豊富な優秀な人材」という意味を持ち、
ネガティブなイメージは無かった。 しかし、2008年に発生したリーマン・ショックの影響により学生の求人が減ったことや、
TwitterやFacebookなどのサービスが日本に上陸したことで、
目立ちたがりの学生が実際に目に付くようになった。 学生が各種講演会に出向いたり学生団体を立ち上げたりしたことを
SNSに投稿するようになり、その欺瞞的態度に対する批判が挙がった。 朝日新聞社が運営するwithnewsは、
2008年時点で既に「意識の高い学生」という言葉は
末尾に「（笑）」が付けられるなど嘲笑の対象とされており、
2010年になるともはや嫌悪の対象となっていたと報じている。 また、朝日新聞の記事は、
2000年代半ばの「意識が高い学生」はSNSを駆使するなど
周囲から持てはやされていたのに対して、
2010年頃から「見掛けは良くても成果が無い」と
ネット上で批判され始めるようになり、
瞬く間に批判的な意味として定着するようになったとしている。 現代用語の基礎知識（2016年版）でも同様に、
かつて就職情報会社が開催するイベントで
「意識の高い学生が集まるセミナー」
などと銘打った宣伝が行われていたことに由来するとしており、
「意識が高く行動力があることは結構だが、
それが空回りしていたり、ポイントがズレていたり、
自己顕示欲の高さが感じられるので、揶揄の対象となっている」
としている。
また、対象が学生の場合は「意識の高い学生」、社会人の場合は「意識の高い社会人」と呼称し、
「意識高い系」は年齢に関係なくひとくくりにして呼ぶ場合に用いられるものとしている。 常見陽平は、「意識高い系」の特徴として
「自分のプロフィールを『盛る』」、
「名言を吐きまくる」、
「横文字（カタカナ語）を多用する」、
「人脈作りに熱心」、
「勉強会や異業種交流会をやたら開く」、
「ビジネス書を多読し、中途半端にその真似をする」、
「少し関わっただけの案件に対し、全て自分がやったかのように言う」
などを挙げている。 また、
「やたらとカッコつける」、
「自分磨きに取り組む」、
「就職活動のイベントに積極的に参加する」、
「スターバックスでMacBookを使う」、
「大学在学中に起業し、CEOの肩書の名刺を持ち歩く」
なども「意識高い系」のイメージとして語られることがある。 精神科医の片田珠美は、「意識高い系」とは
「『意識が高い人』を装いながら空回りしている人」
を皮肉った言葉であると述べ、
他者からの承認欲求が強過ぎて滑稽に見えるケースであるとしており、
「意識高い系」のタイプとして、
・目に余る上昇志向
・高すぎる自己評価
・「頑張っている自分自身」が好き
・驕り高ぶった特権意識
・傲慢な金満主義
の5点を挙げている。 著述家の古谷経衡は、「意識高い系」について、
実際に意識の高い人間を茶化すための言葉ではなく、
意識の高い「ふり」をしている中途半端な人間を指すとしており、
意識の高さをアピールすることによる他者からの承認欲求が透けて見えることを
意味するとしている。
また、「意識高い系」の人間は他者の勝利や成功の部分のみをトレースし、
努力を忌避したり、努力をする人間自体を見下す傾向にあると論じている。 思想活動家の外山恒一は、
「グローバリズム下、ネオリベラリズム下の資本の要請に応えうるような
労働力商品として自らを鍛えようという意識の高い、
要するに現体制への過剰迎合に余念のない」
ことが特徴で、合言葉は「選挙に行こう!」だとしている。 一般人が言われても意味が分かりにくいカタカナ語を使うことは
意識高い系の行為として忌避される。
「ゴゴスマ」（TBS系）を東海ローカル番組から全国番組へと躍進させた立役者である
MCの石井亮次アナウンサーは、会話で使わない方が良い「意識高い系カタカナ語」の例として
・モチベーション（動機）
・ソリューション（解決）
・コンセンサス（合意）
・バリュー（価値）
・アサイン（割当）
・エビデンス（証拠）
・サスティナブル（持続可能な）
・ダイバーシティ（多様性）
・インフルエンサー（影響与える人）
を挙げている。 >>932-934
いや、そっち（線形代数）じゃなく
判別式が、方程式論で重要な意味を持つって事だ
いま、en.wikipediaを見ると
方程式論以外でも重要な意味を持つらしい
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%A4%E5%88%A5%E5%BC%8F
判別式
多項式の判別式（はんべつしき、英: discriminant）とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。
一般にdiscriminantの頭文字を取って、D で表記される。
概要
"discriminant"（判別式）という用語は1851年にイギリス人数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターによって造り出された[1]。
通常は、大文字の D あるいは大文字の Δ で表記される。
具体的には、以下の式で定義される：
略
判別式 D を係数 an, an－1, …, a1, a0 で表すには、終結式（シルヴェスター行列の行列式）を用いるのが最も簡明である：
略
二次方程式 ax2 + bx + c = 0 の判別式は
Δ=b^2-4ac
である。
三次方程式 ax3 + bx2 + cx + d = 0 の判別式は
略
https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant
Discriminant
Origin
The term "discriminant" was coined in 1851 by the British mathematician James Joseph Sylvester.[2]
Real roots
In this section, all polynomials have real coefficients.
It has been seen in § Low degrees that the sign of the discriminant provides useful information on the nature of the roots for polynomials of degree 2 and 3. For higher degrees, the information provided by the discriminant is less complete, but still useful. More precisely, for a polynomial of degree n, one has:
略
Use in algebraic geometry
略 差積は、下記
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E7%A9%8D
差積
代数学において、n 個の変数 X1, …, Xn の差積（させき、英: product of differences, difference product）とは
Vn:=∏ {1≤ i<j≤ n} (X_{j}-X_{i})
で与えられる多項式 Vn のことである。アレクサンドル゠テオフィル・ヴァンデルモンド（英語版） に因んで、ヴァンデルモンドの行列式あるいはヴァンデルモンド多項式とも呼ばれる。
差積は交代式であるが対称式でない[注釈 1]。全ての交代式は差積を因数にもつ。
交代式
詳細は「交代式」を参照
差積を導入する意義として大きなものは、その変数の入れ替えに関する交代性である。順序付けられている、n 個の変数列 X1, X2, …, Xn に、奇置換を施すと差積の符号が変わるが、偶置換を施しても差積の値は変化しない。実は差積は、最も単純な交代式（最簡交代式；the basic alternating polynomial) として特徴づけられる（後述）。
差積は交代式であるから、ある2つの変数が等しい差積は零に等しい。
判別式
詳細は「判別式」を参照
多項式の判別式とは、重根があるかどうかを判別する式であるが、これは根の差積の平方により定義される（が、差積自身を判別式とする文献もある[要出典]）。
判別式 Δ の一部である、差積の平方 Vn2 は、根を入れ替えても (－1)2 = 1 より変化せず、対称式であると分かる。すなわち、差積の平方は、多項式の根の集合（非順序組）に対して定まる不変式となる。
https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_polynomial
Vandermonde polynomial
https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandre-Th%C3%A9ophile_Vandermonde
Alexandre-Théophile Vandermonde
Alexandre-Théophile Vandermonde (28 February 1735 – 1 January 1796) was a French mathematician, musician, and chemist who worked with Bézout and Lavoisier; his name is now principally associated with determinant theory in mathematics. He was born in Paris, and died there.
Biography
Vandermonde was a violinist, and became engaged with mathematics only around 1770. In Mémoire sur la résolution des équations (1771) he reported on symmetric functions and solution of cyclotomic polynomials; this paper anticipated later Galois theory (see also abstract algebra for the role of Vandermonde in the genesis of group theory). In Remarques sur des problèmes de situation (1771) he studied knight's tours, and presaged the development of knot theory by explicitly noting the importance of topological features when discussing the properties of knots:
Mémoire sur des irrationnelles de différents ordres avec une application au cercle (1772) was on combinatorics, and Mémoire sur l'élimination (1772) on the foundations of determinant theory. These papers were presented to the Académie des Sciences, and constitute all his published mathematical work. The Vandermonde determinant does not make an explicit appearance. >>951
>いや、そっち（線形代数）じゃなく、判別式が、方程式論で重要な意味を持つって事だ
デデキントの補題で重要なのはそっち（判別式）じゃなくて、
ラグランジュの分解式の値から、方程式の解が求められるかじゃね？
だからまさに線形代数でいう、行列が正則か（逆行列を持つか）
正則性を「行列式が０でない」で示すか、「階段化でランクがサイズと同じ」で示すかは趣味の問題だし
逆行列を余因子行列／行列式で求めるか、階段化による方法で求めるかも趣味の問題だけどね 相変わらずのwiki品質wwwww
めっちゃくちゃwwwwwww >>934
>これでガロア理論と線形代数がつながっちゃったな
現代のアルティン流ガロア理論では もともとそれ
ガロア理論と線形代数がつながっている
現在のガロア理論テキストは、アルティン流です
(参考)
https://mathtano.com/artin-1/
マスタノ！〜数学の楽しみ方〜 じゅん
アルティン流ガロア理論で重要な定理を証明
2024年1月1日
目次
アルティン流ガロア理論で重要な定理の主張
ガロア拡大になっている例
ガロア拡大になっていない例
例のまとめ
アルティン流ガロア理論で重要な定理
アルティン流ガロア理論で重要な定理の証明
まとめ
おそらくアルティンは、ガロアの理論を線形代数で翻訳していく過程で
今回の定理を発見し、その特別な場合としてガロア拡大を定義していると思われるからです。
「体の拡大には２種類ある。
略
つづく つづき
https://www.アマゾン
ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫) 文庫 – 2010/4/7
エミール・アルティン (著), 寺田 文行 (翻訳)
商品の説明
内容（「BOOK」データベースより）
本書は線形代数を巧みに利用しつつ、“ガロアの理論”をより抽象的・現代的な体の拡大理論としての“ガロア理論”にまとめ上げていく。
つづく つづき
上位レビュー、対象国： 日本
ksan
5つ星のうち5.0 さすがはロングセラーの名著だ。
2023年12月13日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
一読した。ガロア理論の本は５，６冊は読んだが、この本が一番すっきりする。広告とかには線形代数で説明されているとか書かれてあって、大学１年生で読めるのかと、それに引かれて買って読んだが、ちょっと違うぞ。第１章は線形代数について書かれているが、これは体論について慣れさせるためのものらしい。第２章からは、がっつり体論になっている。第３章の始めは、群論について少し書かれている。ガロア群や可解群とかを説明するためだ。最後に「f(x)がベキ根で解けるために必要十分な条件は、そのガロア群が可解なることである」とか「５次以上の一般方程式はベキ根で解けない」などとでてくる。角の３等分はコンパスと定規では作図できないと、締めくくられる。
つづく つづき
イイタカシゲル
5つ星のうち4.0 名著が安く手に入る
2010年4月8日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
Artin は弥永先生の書かれた本でよく登場するから日本の読者にとって意外にも親しみを
覚える名前である。
最初は線形代数の簡潔な解説があり、既知の知識の整理に役立つ。
ガロア理論は理学部数学科の学習課程では最終目標の１つであるが
わかりづらいという声を聞くことが多い。
本書は問題も適切に選ばれていて、デロス島の問題が最後に出ている
など気が利いている。
値段も手頃なので、若い諸君もぜひ買って車中や殿中、あるいは寝床でよむといいだろう
(引用終り)
以上 >>956
>現代のアルティン流ガロア理論では
>もともとガロア理論と線形代数がつながっている
また上っ面ですべりまくってるね
P.S.
Vandermonde行列式を階段化で証明しようとおもって
サイズが１つ小さいVandermonde行列式をつくればいいことまで思いついたが
それを実現するのに想像以上にめんどくさいことが判明した
まあやればできる、とわかったからいいけど
やっぱり一度は真面目に計算してみるのがいい
線形代数がいかに重要かわかる 経済学者 中野剛志 曰く
「「意識高い系」の富裕者層は、気候変動対策の寄付には応じるし、貧困対策にも一定の寄付をするだろう。
しかし、国富の25%を1%の富裕者層が専有するような極端な経済的不平等を是正するといった社会正義の実現となると、
「意識高い系」の富裕者層は一切触れようとはしない。それどころか、全力で反対するのである」
「この「意識高い系」に偽装された新自由主義は、見えにくくなっている上、
ポリティカル・コレクトネスの威力によって批判しにくくなっているだけに、
かつてのような露骨な新自由主義よりも、ずっと質が悪いと言えるだろう」 森永卓郎 曰く
「SDGsを推進する企業で働く労働者を「社会貢献だ」と言って、低賃金で働かせることもできる。
つまり、企業が社会貢献活動をアピールするのは、人や地球のことを考えているのではなく、
安定してカネを稼ぎ続けるための手段なのだ」 線形代数は対称な構造によって
いかに計算が単純化できるかという技術の集積である アーベルとガロアに及ぼされたラグランジュの影響ということへの言及が必ずなされますが アーベルとガロアの理論が成立するためには、ガウスの存在を忘れることはできません。 実際のところ、ガウスの円周等分方程式論がなかったなら アーベルの定理もガロアの理論も決してありえなかったろうと思います。 >>971-975
高瀬正仁『ガウスの数論』p.74 ラグランジュの代数方程式の代数的解法についての研究と、
ガウスのD.A.で発表された円周等分方程式の理論との間の
時期的な前後関係はどうなってるのかな。 >>983
愚問
もちろんラグランジュが先
ラグランジュの分解しきをガウスが
円周等分方程式の解を求めるのに利用した レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
