純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）17
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セタさんは以前、「DAはなんかごちゃごちゃ書いてあって読む気がしない」
と言ってたと思う。 >>818 の問題は解けましたか？
ガロア理論が分かっていれば難しい問題ではありません。 >>850
まあ、そうイキるな、おっさん
ID:0VR/y94j は、自分の誤りを認めたからいいじゃないか それこそが大事だよ
おっさんは、いままで自分の誤りを認めたことがあったかい？
まあ、ケアレスミスの類はあっさりみとめたようだが
心底そう思い込んでたことは決して認めようとしなかったのではないかい？
プライド？そんなもん、この世では何の意味もないよ
プライドを焼くことこそ、この世で生きる方策
自分のくだらないプライドを守る愚劣極まりない目的のために
他人がダブスタとかなんとか言い訳しても有害無益だからやめとけ
おっさんは、自分が神でもなんでもなくただのアホだと認めることだ
アホでいいじゃないか 世の中はアホばかり
アホでないと嘘をつくから苦しくなる
アホでぇす！と叫んでみ？ 楽になるよ >>850
>私がやっているのは
>手元のDAと類似のサイトやPDFを検索して
>そこからの要点とURLを、コピーをすること
>また、例えばDAは200年前の書だが、
>今のサイトの方が現代数学の情報があるので
>参考になるだろうし
>さらに、自分も楽なんだよね
>（自分で筆を起こすよりも）
中身が全然わかってない高卒の大阪のおっさんが
わけもわからずトンチンカンなコピペ貼り付けても
無意味だからやめとけ
中身がわかってる大学数学科卒の東京？のおにいさんが
自分の言葉で相手がわかるまで説明してくれるほうが
はるかにありがたい
コピペじゃ対話が成り立たない
自分の言葉なら、相手のどんな質問にも
ピンポイントで対応できるだろ
河東氏のゼミ対策がここでも有効とわかる >>850
>＊＊さんは以前、
>「DAはなんかごちゃごちゃ書いてあって読む気がしない」
>と言ってたと思う。
それが素人の率直な感想よｗ
ガウスのやったことを、マセマの本なみに噛み砕いてくれる人が、素人には必要
わるいけど、素人のおっちゃんには、それはできない
おっちゃんは、マセマの人が現れるまで、口開けて待っとけｗ お恥ずかしい話であるが、ここに「数論の人」が現れるまで
ガウスが円分方程式について何をやったのか、全くわかっていなかった
しかし、彼がいろいろ教えてくれたおかげで、いろいろ分かってきた
分かってる人が自分の言葉で説明してくれるほうがいいし
それで関心をもって、いろいろ調べて読んで自分で計算してみて
やっとわかるもんだと、あたりまえだけど実感する
大阪のおっちゃんは、残念ながらそういう体験が一度も無いんじゃないかと思う
それじゃ数学つまんないだろ もっと面白いこと見つけたら？ >>851
>以前、「DAはなんかごちゃごちゃ書いてあって読む気がしない」
>と言ってたと思う。
ありがと、よく覚えているね
さて
１）この話が出て、DAを見るとよく分かったよ
ガウスは、DAの第7章 円の分割を定める方程式 で
円分方程式のガロア群が、巡回群であること および
その巡回群を「周期」という概念で、解明したんだ
例えば、第343節 根Ωの全体はいくつかの類（周期）に分配される など
２）そして、”類（周期）”をもとに
円分方程式の根Ωを解明している
３）ここでは、ガウスはラグランジュの分解式は使っていない！
もちろん、ラグランジュの分解式を使うことも可能だが
本質は、「円分方程式のガロア群が、巡回群であること」ですね
この話の現代的な解説が https://mathlog.info/articles/3161 （>>835より再録）
1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き) Mathlog 投稿日：2022年4月25日
の「原理的なところ」に
”ガロア拡大の列が取れる”（図解）
としてガロア理論による解説がある
この図解は分かり易い（５ｃｈでは図解は難しいので、URLで図解を引用するのは有用ですよ）
なお
むかし、有名なコテハンの”猫”さんが、「名著は手元において
たまに眺めるといい」と言っていた
これは、その例ですね >>857
>ガウスは、DAの第7章 円の分割を定める方程式 で
>円分方程式のガロア群が、巡回群であること および
>その巡回群を「周期」という概念で、解明したんだ
まだ、肝心なことに、全く言及してないんで、分かってないっぽいな
重要なことは、どういう操作で巡回群になるか、ってこと
その操作とは 「任意の根xに対して、x^mを返す操作」
それは、円の回転ではないから、ナイーブな直感で分かることではない
>ここでは、ガウスはラグランジュの分解式は使っていない！
>もちろん、ラグランジュの分解式を使うことも可能だが
>本質は、「円分方程式のガロア群が、巡回群であること」ですね
なにいってんだ？おっさん
ラグランジュの分解式が使えるのは、巡回拡大の場合なんで
本質が「ガロア群が巡回群であること」なら、
ラグランジュの分解式はその鍵となる
そんなところで
「俺様は貴様に負けたわけではない！」
とか吠えるのやめとけ
そもそも５ｃｈごときで「命を賭けた勝負」とか力んでるのが馬鹿
所詮ただの暇つぶしだろが マターリしようよｗ >>857
>「原理的なところ」に
>”ガロア拡大の列が取れる”（図解）
>としてガロア理論による解説がある
>この図解は分かり易い
図は計算については何も示してないだろ
図だけ見てもわかるわけではない
計算を見てから図を見ると
「ああ、形だけ抜き出すとそういう図になりますねえ」
と分かるが、結局はどういう計算してるのかが中身
おっさんは、よっぽど計算が苦手なのか、計算以外のところばっかり見てるが
それじゃ数学はわかんないよ
計算だけでは理屈はわからないが、
計算抜きの理屈では意図がわからない
両方突き合わせるから、どういう意図でそういう計算するかが分かる
数学はサボるとわからない サボるのを諦めて全部見ると
それぞれの事柄が繋がって「ああそういうことか」と分かる
そういう経験を一度もしたことないと、
自分勝手なサボりを延々とつづけ
結局数学がわからないまま
おっさんの人生の失敗を総括すれば、そういうことになる >>857
>「名著は手元においてたまに眺めるといい」
それは名著を読んで、ちょっとでも分かった体験がある人がいう言葉
読みもせず、ちょっとも分からん素人が、何を言っても無意味
俺がおっさんなら、家にある「名著」とやらを全部売り払って
その金でマセマのシリーズ全巻買って読む
それなら、いくらアホでもさすがにわかるだろ
数学科出身とかじゃない理系ならそれで十分
まあ、ガウスの円分体論とかは出てこないが
そんなもんは技術者が実用で使うことないだろ たとえば、1の7乗根の方程式をべき根で解く際には
必ず1の原始6乗根（1の原始3乗根があればよいが）
が必要になる。これがなぜかというと、ラグランジュ分解式を
構成するのにそれが必要だから。説明は他にも可能かも
しれないが、そう考えるのが最も分かりやすい説明。 >>860
それ、一昨年の暮れだか昨年の年明けだかに聞いて
「あぁぁぁぁ！！！」と大声だした記憶ありｗ
∧＿∧ ∧＿∧
_（ ´∀｀） （´∀｀ ）
三(⌒), ノ⊃ （ >>1 ） ラグランジュ分解式は・・
￣/ /) ） | | |
. 〈＿）＼_） （__（_＿_）
∧＿∧ .∧＿∧
（ ´∀） （´∀｀ ）
≡≡三 三ニ⌒) >>1 .） 使いまくりだって
/ /) ） ￣.| | |
〈＿_）＿_） （__（_＿_）
∧＿∧ ,__ ∧＿∧
（ ´）ノ ）:;:;)∀｀）
/ ￣,ノ'' >>1 ） 言ったろうが
Ｃ /~ / / /
/ / 〉 （__（＿_./
＼__）＼）
ヽ ｌ /／
∧＿∧(⌒) ―― ★ ―――
（ ） /|ｌ ／/ | ヽ ヴォケがーー！
（/ ノｌ|ｌｌ ／ / | ヽ
（Ｏ ノ 彡'' / .|
/ ./ 〉
＼__）_） >>856
>お恥ずかしい話であるが、ここに「数論の人」が現れるまで
>ガウスが円分方程式について何をやったのか、全くわかっていなかった
>
>しかし、彼がいろいろ教えてくれたおかげで、いろいろ分かってきた
>分かってる人が自分の言葉で説明してくれるほうがいいし
>それで関心をもって、いろいろ調べて読んで自分で計算してみて
>やっとわかるもんだと、あたりまえだけど実感する
１）ダブルスタンダードだろ？ 気づいてないのか？
そもそも、”ここに”は このスレではなく別のスレだろ？
２）で、その「数論の人」は ”名無しさん”でコテハンじゃなかったし
あんたはどうやって その「数論の人」の数学レベルをエスパーしたの？
３）その「数論の人」が、何かをカンニングしながら書いていたかもしれない
それを、あなたは否定できないでしょ？
（いや、そもそもカンニングなしとしても、何かのテキストを学んで書いているのだよね）
４）つまりは、その「数論の人」が書いている内容が大事なのであって
その書き手の数学レベルなんて、エスパーしようがないのです
５）さらに、”ガウスが円分方程式について何をやったのか、全くわかっていなかった”
と宣うが、あなたガウスDA持ってないでしょ？
だったら、いまでも”ガウスが円分方程式について何をやったのか”を正確には分からないでしょ
それで、人にイチャモンつけるのはダブルスタンダードでしょ
まあ、あんたは数学には向かない性格だな
つーか、理系に向いてないな >>860 >>862
>今日「ガウスの和」と呼ばれる非常に有名な和がありますが
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%92%8C0
>これがラグランジュ分解式の形になってることは分かりますかね？
ありがとう
”Gauss sum”（下記）が、ラグランジュ分解式の類似と解釈できるという話ですかね？
しかし、”Gauss sum”（下記）は、ラグランジュ分解式の一種という説明にはなっていないし
さらに、ガウスは”quadratic”の場合に導入したが
それを他の人が、”in the early 19th century”に発展させたということだから
ガウスDAの時点では、円分論には”Gauss sum”の一般論は使ってないとしていいでしょう？
>これがなぜかというと、ラグランジュ分解式を
>構成するのにそれが必要だから。説明は他にも可能かも
>しれないが、そう考えるのが最も分かりやすい説明。
現実に、ガウスDAの円分論では、ラグランジュ分解式を使った説明はありません
（なお。全DA中にもラグランジュ分解式は出てきませんよ。DAは代数方程式論ではないし）
これを、確認願います
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss_sum
Gauss sum
History
The case originally considered by Carl Friedrich Gauss was the quadratic Gauss sum, for R the field of residues modulo a prime number p, and χ the Legendre symbol.
The general theory of Gauss sums was developed in the early 19th century, with the use of Jacobi sums and their prime decomposition in cyclotomic fields. Gauss sums over a residue ring of integers mod N are linear combinations of closely related sums called Gaussian periods. ガウス和とは円分方程式を解く際にあらわれるラグランジュ分解式である。
つまりラグランジュ分解式そのもの。ガロアの
論文にもラグランジュ分解式そのものが載っている。
ただし、ガロアは「ラグランジュ分解式」とは言っていない。
コピペさんは、斜め読みで文字を拾ってるだけだから
分からない。 ただし、「ガウス和の研究」とは「ラグランジュ分解式の研究」
ではない。ガウス和は一般的なラグランジュ分解式にはない
特別な性質があり、それを研究するのが「ガウス和の研究」。 >>818の問1の解答が得られる。
Φ_p(x)の最小分解体をKとする。
Φ_p(x)が因数分解する2次体とはKとQの中間体である。
Wikipediaの「ガウスの和」の2次ガウス和の項を見てみましょう。
2次ガウス和を構成するには、1のp乗根と±1があればよい。
つまり、2次ガウス和は上記Kに含まれる。
（3次以上のガウス和はKに含まれないことに注意。）
それで、問1の2次体はQに2次ガウス和を添加した体だと分かる。
2次ガウス和の値より、問1の答えが得られる。
すなわちd=(-1)^{(p-1)/2}pである。 >>864
>ダブルスタンダードだろ？ 気づいてないのか？
自らの誤りはただちに認める いつの世でもこれこそがいい処世
>「数論の人」は ”名無しさん”でコテハンじゃなかったし
コテハンなんて馬鹿のすることよ
>あんたはどうやって その「数論の人」の数学レベルをエスパーしたの？
別にエスパーしたわけじゃない
いってることを確認したら正しいから、ああこいつ俺より賢いわ、と思ったわけ
世の中には自分より賢い人を見つけると御機嫌な人と不機嫌な人がいるけど
このときの僕は前者でしたね まあ、前者のほうが幸福じゃね？
>その「数論の人」が、何かをカンニングしながら書いていたかもしれない
>それを、あなたは否定できないでしょ？
分かって書いてるんならカンニングとはいわんよ
試験勉強はカンニング？ そんなことないでしょ
>つまりは、その「数論の人」が書いている内容が大事なのであって
>その書き手の数学レベルなんて、エスパーしようがないのです
書いてることがわかりやすいかどうかが重要なので
ただコピペしてそれ以上なんも説明できんアホは、有害無益ってことですｗ
>さらに、”ガウスが円分方程式について何をやったのか、全くわかっていなかった”
>と宣うが、あなたガウスDA持ってないでしょ？
なんか、
「あなた、聖書持ってないでしょ？」とか
「あなた、資本論持ってないでしょ？」とか
そういうこという人っているけど、別に中身がわかるかどうかが重要で
書かれた本を所有してるかどうかが重要なわけではないでしょｗ
>だったら、いまでも
>”ガウスが円分方程式について何をやったのか”
>を正確には分からないでしょ
まあ、しかし君が
「DAを積読してるだけで、中身については何もわかってなかった」
というのは、君以外のみんながそう思ってるとおもうよ
君だけは恥ずかしいから絶対認めないんだろうけど
無駄だし、大体君自身によって意味ないよ
わからんよりわかったほうがいいでしょ
わかってないのにわかってるように他人に見せかけたい？なにその詐欺行為ｗ >>865
>”Gauss sum”は、ラグランジュ分解式の一種という説明にはなっていない
>現実に、ガウスDAの円分論では、ラグランジュ分解式を使った説明はありません
ガウスがそういってないからそうじゃない、ってアホですか
>>866
>コピペさんは、斜め読みで文字を拾ってるだけだから分からない。
「大阪のおっさん」の読み方って、AIと同じなのよね
もしかしたら大阪大学が開発してる生成AIなのかもしれんな
なるほど、その発想はなかったわｗ >>859
>>「原理的なところ」に
>>”ガロア拡大の列が取れる”（図解）
>>としてガロア理論による解説がある
>>この図解は分かり易い
> 図は計算については何も示してないだろ
> 図だけ見てもわかるわけではない
(https://mathlog.info/articles/3161 （>>835より再録）)
いやいや 足立「ガロア理論講義」（下記）
P133 図5.6 に
ｎ＝17 つまり 円の17等分についての説明で
ほぼ同じ図が使われている
よって
足立のこの部分を見て、再度上記の図を見れば良い
(参考)
https://www.アマゾン
ガロア理論講義 (日評数学選書) 単行本 – 2003/4/1
足立 恒雄 (著) >>866-867
>ガウス和とは円分方程式を解く際にあらわれるラグランジュ分解式である。
>ただし、「ガウス和の研究」とは「ラグランジュ分解式の研究」
>ではない。ガウス和は一般的なラグランジュ分解式にはない
うーん、あなたは ガウスDAを見てないか
いま見ないで書いているでしょ？
ガウスDA 第354で n=17に対する例 として
ガウスが解説していることは
n-1=16 で 16＝2^4なので
16個の根の集合Ω を
二つの8項周期、四つの4項周期、八つの2項周期
に分類して
「下記のような分配が取り出される」
（略す）
と詳述している
そして、この表をもとに、順次二次方程式を解いている
この根の具体的表示は、第365で与えられているのです
「二次方程式を用いて、言い換えると、幾何学的構成を通じて遂行される円の分割」
で、n=17に対しては、第354、361から容易に 角度P/17の余弦に対して
として、cos 2π/17 の平方根表示が与えられている
これは
現代のガロア理論で言えば
円周等分方程式のガロア群が、位数16の巡回群になり
位数16の巡回群を、その正規部分群の組成列で書き出した
ということですよ
ご確認ください >>871
>いやいや ＊＊「＊＊＊＊＊＊」P*** 図*.* に
>・・・つまり・・・についての説明で
>ほぼ同じ図が使われている
>よって＊＊のこの部分を見て、再度上記の図を見れば良い
意味ない
そもそも図は必要なわけではない
図を書くのに必要な情報から、計算ができる
図だけ見て分かった気になったらあかんよ
>>872
>16個の根の集合Ω を
>二つの8項周期、四つの4項周期、八つの2項周期
>に分類して
それ、ラグランジュの分解式を実際に書いてみれば
各17乗根に掛ける16乗根を同じものでまとめた場合の
分類になってるって分かる
「ガウスDAの円分論では、ラグランジュ分解式を使った説明はありません」というのは、
「ガウスDAが全然分かってませーん」っていってるのと同じなんですけど
>現代のガロア理論で言えば
>円周等分方程式のガロア群が、位数16の巡回群になり
>位数16の巡回群を、その正規部分群の組成列で書き出した
>ということですよ
でも、それだけじゃ解けないｗ
剰余群が巡回群だとわかりました
で、そこから、おっさん、どうすんの？ ノーアイデアでしょ？
要するに、おっさん、肝心なことがわかってないのよ
ラグランジュの分解式を使って解く、っていうところがさ >>873
分かってないね
・自分で、アインシュタインの相対性理論や
シュレージンガーの量子力学波動方程式を
導出する必要はない
・現代2024年の我々がやることは
相対性理論・量子力学を応用して、問題を解決することや
理論として相対性理論・量子力学を、さらに発展させること
じゃないの？（車輪の再発明はいらない）
なんか、相対性理論の方程式や
量子力学波動方程式の導出が
出来ないと喚いている人がいる
あのさ、ここは５ｃｈで
相対性理論の講義をする場所でもないし
量子力学の講義をする場所でもない
もちろん、ゼミの場所でもない
ただの便所落書きにして、チラシの裏
硬いこといわず、気楽になんでも書いたら良いんじゃないの？
相対性理論・量子力学を勉強したい人
５ｃｈでなく、自分で本開くなり、大学へ行けばいいんだよ
数学も同じことだよ >>855-856
おっちゃんという言葉が関西圏ではよく使われているから
「大阪のおっちゃん」と書いても言語的には意味ない >>855-856
おっちゃんという言葉が関西圏ではよく使われているから
「大阪のおっちゃん」と書いても言語的には意味ない 自分で考えて書くことで「気づき」もあるが
コピペでは「うろ覚え」以外何も残らないでしょ。 関東のおっちゃんです
それじゃ、おっちゃんもう寝る ガウスがf項周期を考えたのは、p-1の素因数分解に応じて
クンマー拡大を素数次数に限るためかもしれない。
それによって、指標値として最小限の1のべき根で事足りる。
だから、「一般のガウス和を使ってない」というのは
そうかもしれないが、「ラグランジュ分解式を使ってない」
ということにはならない。 >>878
875-876で同じ内容を連投する不器用さに
すでに「おっちゃん臭」が漂っていた。 >>818 問2の答えも書いておこう。
Φ_p(x)=0の根は、exp(2kπi/p), (k=1,...,p-1)
だったが、2次体における因数分解で
exp(2kπi/p), （k:pの平方剰余）
exp(2kπi/p), （k:pの平方非剰余）
に二分される。平方剰余の全体が
乗法群(Z/pZ)^×において、指数2の部分群をなすから。 >>８７４
>分かってないね
おっさんが？
>自分で、…や…を導出する必要はない
できないことを必要ないと正当化すると馬鹿から抜け出せないよ
まあ、俺は馬鹿でいい！と言い切るなら、数学板から足を洗えるね
>現代2024年の我々がやることは
>…を応用して、問題を解決することや
>理論として…を、さらに発展させることじゃないの？
>（車輪の再発明はいらない）
理論を使うには、理論を理解する必要がある
理解とは車輪の再発明 それができないなら理解はできない
>なんか、…の…や…の…が出来ないと喚いている人がいる
おっさんが？
>ここは５ｃｈで
>…の講義をする場所でもないし
>…の講義をする場所でもない
そうやって理解から逃げたら馬鹿のままだよ
まあ、俺は馬鹿でいい！と言い切るなら、数学板から足を洗えるね
>もちろん、ゼミの場所でもない
ゼミの場所だよ おっさん、あんたはゼミの落第生 ご愁傷様
>ただの便所落書きにして、チラシの裏
ここはあんたが大便垂れ流す便所じゃないし、
あんたが悔しさを書きなぐるチラシの裏ではない
>硬いこといわず、気楽になんでも書いたら良いんじゃないの？
ここは硬いことしか云わない場所 気楽に嘘を書く落ちこぼれは地獄に落ちる
嫌なら？逃げたら？負け犬高卒君
>…を勉強したい人
>５ｃｈでなく、自分で本開くなり、大学へ行けばいいんだよ
>数学も同じことだよ
ここは数学板 ５ｃｈだから嘘偽りを書いて良いとかいう奴は地獄に墜ちる
落ちこぼれの高卒おっさんは、政治板で日本万歳って吠えてな 米大統領JFKの1961年 就任演説
「皆さん、あなたの国があなたのために何ができるかを問わないでほしい。あなたがあなたの国のために何ができるかを問うてほしい」
（下記）
このアナロジーで言えば
「皆さん、他人が何を理解しているか否かを問うなかれ
あなた自身が、何が理解できているかを問うてほしい」
言わずもがなだが、５ｃｈの”名無しさん”たちの 他人が理解しているか否かを問うても
あなた自身にとっては、それは何の意味もないことだよ
それよりも、まず、自分の理解を示してください
(参考)
https://americancenterjapan.com/aboutusa/translations/2372/
米国の歴史と民主主義の基本文書大統領演説
大統領就任演説（1961 年）
ジョン・F・ケネディ
皆さん、あなたの国があなたのために何ができるかを問わないでほしい。 あなたがあなたの国のために何ができるかを問うてほしい。 >>877
>コピペでは「うろ覚え」以外何も残らないでしょ。
そもそも線形代数で正則行列という言葉すら記憶してない人だからね
大卒ではあり得んよ 高卒なら仕方ないがね
挙句の果てに「ここは５ｃｈで便所だからいくら💩してもいい」とか
恥ずかしいことをいって開き直る まあ高卒なら仕方ないがね >>883
>まず、自分の理解を示してください
おっさん、あんたは？
ああ、もう示したか
級数の収束判定はできない
行列の正則性の判定はできない
要するに大学１年の微分積分も線形代数もダメ
高卒レベルの落ちこぼれってことか
だったら、数学板にはもう書くなよ
ここは高卒が💩垂れる便所じゃねえｗ ガウスDA持ってても、中身が全く読めてないんじゃ、無駄だから
即、古本屋に売りな 今持ってる難しげな数学書まるごと一切合切
それでマセマの大学数学シリーズ全部買って読みな
大学１〜２年の数学はそれで十分 理系大卒っていっても問題ない
ああ、数学科卒とか目指すなよ
マセマじゃない本なんか、あんたには読めないから
カラスが鵜の真似なんかしたらいかん （大きな声ではいえないが）
数学科でもマセマ読んだほうがいい場合はあるぞｗ
１年で微分積分・線形代数
２年で複素解析・ベクトル解析
まあ、その後、ガチな数学本読めば、証拠隠滅できるから大丈夫だｗ なんかマセマの集合論とかいうのもあるな
さすがに位相空間論はないらしいが出したら売れるかもよｗ ガウスDA特に2次形式論は難しいことで有名。
高木貞治が『初等整数論講義』において
「2次体の整数論」としてそのエッセンスを
抽出した、つまり大幅に近代化・簡明化が
なされたとされていた時期もあったが
これには「ガウスの2次形式論は2次体の整数論ではない」
（つまり理論的に収まらない）との指摘が
志村五郎・久保田富雄両先生からも
なされたのだった。そのくらいの代物。
円分論はそれに比べれば簡単なはず。 >>886-887
俺は私文学卒止まりだが
浪人中に「物理数学の直観的方法」にショックを受けて岩波で企画された「理工系数学のキーポイント」シリーズを浪人生の時に熟読してた。
まあ私文だけど。 比較的最近でも、新たな視点からの本が出ているが。
ガウスの数論世界をゆく: 正多角形の作図から相互法則・数論幾何へ (数学書房選書) 単行本 – 2017/5/15
栗原 将人 (著, 編集) 自分のテーマでやることですな。
コピペですべてを手に入れた気になっていても
実際には空っぽというよりも、その方がいい。 >>891-892
>比較的最近でも、新たな視点からの本が出ているが。
>ガウスの数論世界をゆく: 正多角形の作図から相互法則・数論幾何へ (数学書房選書) 単行本 – 2017/5/15
>栗原 将人 (著, 編集)
>自分のテーマでやることですな。
>コピペですべてを手に入れた気になっていても
>実際には空っぽというよりも、その方がいい。
賛成ですよ
ご自分で実践されれば良い
どこかに、コピペでない独自研究を発表なされたらいい
論文DRもありじゃないですか >>884-885
おっさんさ
あんた、弥勒菩薩さまから
おれの”金魚ふん”扱いされているよ
うれしいだろう？ ；ｐ） ｗｗｗ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1701712810/960-961
河東泰之「セミナーの準備のしかたについて」は本当に正しいのか？
(抜粋)
0960弥勒菩薩
2024/01/17(水) 22:13:06.51ID:3o4sNecm
ガロア理論と基礎論ストーカー婆
0961弥勒菩薩
2024/01/17(水) 22:17:02.73ID:3o4sNecm
ガロア理論が巣から出てくるから基礎論婆も付いてくろ >>893
>>自分のテーマでやることですな。
>>コピペですべてを手に入れた気になっていても実際には空っぽ
>>というよりも、その方がいい。
>賛成ですよ
大阪のおっさん、コピペをやめる、と宣言
よかったね おめでとう
>>894
大阪のおっさんが、コピペ病から回復するなら、ストーカーもなくなって これまたうれしい 世間の声に惑わされて自分のテーマを見失う、ってこと、あるよね？
大阪のおっさんも「ガロア理論ってすごいんだぜ」って声に惑わされたっぽい
一方で
「代数方程式には必ず複素数解があるっていうけど、それってどうやって求める？」
っていう自分のテーマがあったんじゃないのかな？ 違う？
実はそれは代数学の基本定理の証明を突き詰めればわかる
実係数の奇数次代数方程式は必ず１つは実数解を持つ
そしてそれは中間値の定理で示される
中間値の定理の証明の仕方にもよるが、
どこで所定の中間値を持つか具体的に特定する証明も可能である
同様に複素係数の場合、任意の閉曲線について
代数方程式の値の「回転数」も求まる
そしてそこから閉曲線の中の領域に
代数方程式の零点が存在し、
必要ならば、その零点を求めることができる
まあ、数学としては『閉曲線はかならず平面を内側と外側に分ける』と示す必要があるが
もし、テーマが解を求めることだとするなら、『』内はそうなると認めちゃってもいい
何をつきつめ、何をあきらめるか、はテーマの設定次第
ガロア理論も「手段を選ばずとにかく解を求める」がテーマなら
まるっきり捨てても問題ない よかったね このスレのタイトルは
「純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）」
ってなってるけど、次スレからは
それぞれが自分のテーマで語ることを尊重して
「純粋・応用数学・数学隣接分野」
とすることを提案しま〜す 如何？ ところで
ガロワと方程式 1989 草場 公邦 （下記 hiroyukikojima’s blog ）
P143
6.4 巡回拡大とベキ根拡大
で
定理6.11 正規底定理
有限次ガロア拡大 K/Fに対して、Gal(K/F)={s1,s2,・・・,sn}とすると、Kの元cで(s1(c),s2(c),・・・sn(c))が、KのFの基底となるようなものがある。
K={f1s1(c)+f2s2(c)+・・・+fnsn(c);fi∈F}
”この定理は、cの存在さえ知っていればいいのと、cの作り方に一定の方式がないことのため、証明(長い！)は省略します（例えば、藤崎源二郎：体とガロア理論、岩波講座 基礎数学、§3.7を参照）”
とあって、証明を藤崎源二郎へ丸投げ（＾＾
しかし、足立 ガロア理論講義 P143 では
（足立氏は、草場の記号cをαとしている）
「α≠0ならば下の問題によってK(α)=Lが成り立つから、このようなαの存在を言えば、証明が終わったことになる。それも演習問題とすることにしよう。
問題6.1
(1)α≠0ならばK(α)=Lが成り立つことを証明せよ
(2)L=K(θ)を満たすθを取り、ξ＝θ^jとするとき、少なくとも一つのj(j=0,1,2,・・・,n-1)に対しては証明中で定義したαが0にならないことを背理法によって証明せよ」
（注：αの定義 α＝Σ i=0〜n-1 ζ^i・σ^i(ξ） ξ∈L, ζは1の原始n乗根, σはガロア群Gの生成元で L/Kは巡回拡大）
とあって、P218 に解答があり、曰く「・・これはヴァンデルモンド型の行列式だから・・値が0ということはありえない」
と８行で終わっている。
草場では、たぶん正規底定理 の存在証明を構成的に行う 藤崎源二郎の方式を想定しているのか（藤崎源二郎は未確認だが）
足立では、背理法によったのとヴァンデルモンド型の行列式に帰着させているので、短いのだろう
一つの本を鵜呑みにするな＊）の例ですね（注＊）”証明(長い！)（例えば、藤崎源二郎”）
(参考)
https://hiroyukikojima.はてなブログ/entry/20080327
hiroyukikojima’s blog
2008-03-27
ガロアの定理をわかりたいならば
最近になって出会って、すばらしいと思っているのは草場公邦先生の本である。以下の三冊を読んだ。
https://www.アマゾン
ガロワと方程式 1989/7/1 草場 公邦 (著) 朝倉書店
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体とガロア理論 (岩波基礎数学選書) 単行本 – 1997/9/1
藤崎 源二郎 (著)
https://www.kosho.or.jp/products/detail.php?product_id=502627203
日本の古本屋
体とGalois理論 1〜3 ＜岩波講座基礎数学＞
藤崎源二郎著 岩波書店 1977年 3分冊
https://www.アマゾン
ガロア理論講義 (日評数学選書) 単行本 – 2003/4/1
足立 恒雄 (著) >>898
2つの命題のステートメントが違うっぽい。
異なる命題を証明してるのなら証明の長さが異なるのは当然。 補足：下記 中野伸先生がいいね
上記 定理6.11 正規底定理 は、補題13.3 (デデキント) で 16行で証明終わり
(参考)
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/lecture2023.html
中野 伸（教授）学習院
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Alg2/2023/13kummer.pdf
代数II 2023年度
§13.クンマー拡大
P49
以下において扱う体はすべてCの部分体とする．また，自然数nに対して，ζn∈Cを1の原始n乗根とする．
すなわち，ζn∈C×であって，その位数がnであるとする
（ζn=e^2πi/nであるとしてよい）．
P50
定義13.2前定理のようにして与えられる拡大L/Kを自然数nに関するクンマー拡大という．すなわち，体の拡大L/Kがnに関するクンマー拡大であるとは，Kが1の原始n乗根ζnを含み，あるa∈K×についてαn=aをみたすαによってL=K(α)と表されることである．クンマー拡大は，しばしばL=K(n √a)とも表される．
この節と次の節で，ベキ根拡大と有限次塁アーベル拡大との密接な関係，すなわち，これらの拡大が“本質的”に同等であることを述べる（定理13.6および定理14.2を参照）
P51
補題13.3 (デデキント)
Γを乗法群とし，σ1,...,σnをΓからC×への相異なる準同型写像とする．
このとき，(c1,...,cn)≠(0,...,0)をみたす任意の(c1,...,cn)∈Cに対して
Σ i=0〜n−1 ciσi(γ)=c1σ1(γ)+···+cnσn(γ)≠0
をみたすγ∈Γが存在する．
証明
対偶，すなわち，c1,...,cn∈Cとするとき，
∀γ∈Γに対してΣ i=0〜n−1 ciσi(γ)=0 =⇒ c1=···=cn=0を
nに関する数学的帰納法によって示す．
n=1のときはあきらかである．
略（16行で証明終わり）
P52
定理13.8
nを自然数とし，体Kは1の原始n乗根ζnを含むとする．
もしL/Kがn次巡回拡大ならば，あるa∈K×が存在して，L=K(n √a)と表される．
すなわち，ζn∈KならばK上のn次巡回拡大は巡回クンマー拡大である．
証明
ζ=ζnと略記する．σをGal(L/K)の生成元とする;
Gal(L/K)=σ = {1,σ,σ^2,...,σ^n−1} , σ^n=1.
いま，Γ=L×, σi=σ^(i−1)およびci=ζ^−(i−1) (i=1,...,n)として前補題を適用すれば，
Σ i=0〜n−1 ζ^−iσ^i(γ)=γ+ζ^−1σ(γ)+···+ζ^(−(n−1))σ^(n−1)(γ)≠0
をみたすγ∈Lが存在する．
この和をαとすると，0≠α∈Lであって
σ(α)= Σ i=0〜n−1 ζ^−iσ^(i+1)(γ)=ζΣ i=0〜n−1 ζ^−(i+1)σ^(i+1)(γ)=ζα,
両辺をn乗してσ(αn)=αnを得る．
σはGal(L/K)の生成元だから，αnはGal(L/K)の不変体Kに属する．
すなわちα^n∈Kであり，X^n−α^n∈K[X]となるから，K(α)/Kは巡回クンマー拡大である．
さらに，σ(α)=ζα, σ^2(α)=σ(ζα)=ζσ(α)=ζ^2α,...より，
Conj(α,K)= {α,ζα,ζ^2α,...,ζ^(n−1)α}であるが，
α≠0なので|Conj(α,K)|=n，したがってX^n−α^nがαのK上の最小多項式でなければならず，L=K(α)が得られる 補足の補足
・中野伸、足立本、草場本、いずれも ラグランジュの分解式を”明記”して扱っていない
・但し、中野伸 定理13.8などにあるように、クンマー拡大を示すときには、ちょこっと顔を出す
・しかし、いずれの本も”ラグランジュの分解式”という名前は示されない
・おそらく、この後では ”ラグランジュの分解式”は使わないからだろう（実際使っていない）
繰り返すが、代数方程式のガロア理論の本質は
代数方程式による体の拡大とガロア群の対応にある
（ラグランジュの分解式は、表で活躍する役割を与えられていないテキストが多いようだ
それが良いか悪いかは、いろいろ意見があるだろうが） >>899
明らかに違いますね
草場の本の定理は、任意の有限次ガロア拡大が対象ですが
足立の本の抜書は（なぜ肝心の定理を書かないのか不明ですが）
注のところに「L/Kは巡回拡大」とあるので、より条件が厳しいですね
数学科の演習なら、任意のガロア拡大の基底を求める問題で
勝手に巡回拡大だと限定して解いたら、教授からとっちめられますよ
素人の勝手読みは間違ってもとっちめられないので
気づかないままなんでしょう
そして５ｃｈ数学板で臆面もなく書いてつっこまれる、と
まあ、教えてもらいたかった、と好意的に解釈しましょうか >>901
>中野伸、足立本、草場本、いずれも ラグランジュの分解式を”明記”して扱っていない
でも出てきてますよ
たとえば、足立 ガロア理論講義 P143の抜書で
α＝Σ i=0〜n-1 ζ^i・σ^i(ξ）
と書いてありますけど、これラグランジュの分解式です
まあ、当然だけど足立さんは
「ヴァンデルモンド型の行列式」
ってことまでちゃんと言及してますね
足立さんはズゲズケいう人だけど実は親切なのよ
まあぼくは足立研じゃないから、褒めてもご利益ないけどｗ 巡回群の場合嬉しいのは、群の生成元が１つ、ってことね
だから拡大の基底の構成がしやすい これ豆な 繰り返すが、代数方程式が冪根でとけるのは
方程式のガロア群が巡回群の「積み重ね」となるときだけ
で、一つの巡回拡大に一つの冪根の操作が対応する
実際円分方程式でもそうなってるでしょ >>899
>2つの命題のステートメントが違うっぽい。
>異なる命題を証明してるのなら証明の長さが異なるのは当然。
・ありがとう
なるほど。というか、それはちょっと思った
ベキ根拡大の性質を述べるところで、足立本では定理の範囲を最小限に絞っているかも
・なお、>>900 中野伸(学習院) §13.クンマー拡大も見てください
こっちは、対偶法と数学的帰納法の組合わせです
いずれにせよ
短い証明を提示するテキストもあるってことです
（定理の範囲を最小限に絞っているかもも含めて） >>902
ありがと
ちょっとは勉強しているのかな？
草場の本持ってる？
草場の本で、定理6.11 正規底定理の前の 定理6.10は、
”Fが1の原始n乗根を含んでいるとき、Fのn次の巡回拡大KはFのベキ根拡大で
あるα∈F があって、K=F(n√α)”
である なのです
だから、定理6.10に使う補助定理としては、足立本で間に合います
あと、>>900 補題13.3 (デデキント) 中野 伸（教授）学習院 も見てください >>906
>なるほど。というか、それはちょっと思った
定理の文章、読んでないの？ ダメだよ そんなんじゃ
>短い証明を提示するテキストもあるってことです
>（定理の範囲を最小限に絞っているかもも含めて）
そもそもいかなる定理を証明してるかわかってないなんてあり得んよ
>>907
>ちょっとは勉強しているのかな？
あなたが教授から云われた言葉かな？
ちょっとも勉強してないといわざるをえないけどね
そもそも ID:dATnLzNB はどうやって方程式解くつもり？ ID:dATnLzNB は いまだに任意の自然数ｎについて
円をｎ等分する円分方程式の根を冪根つかって表す方法
がまったくわかってなさそう
言っとくけど 1^(1/n)はダメだからね 補足の補足（追加）
石井本「ガロア理論の頂を踏む」で
(手元のは 20130926版 第2刷ですが)
P476 定理6.6が”デデキントの補題”です
P478 定理6.7が”ベキ根拡大を作るベキ根の存在”です
（ここでは、背理法で証明しています。またP477では、”デデキントの補題”の「特別な場合」限定とのコメントあり）
P479 ここに、「c+ζ^n-1σ(c)+ζ^n-2σ^2(c)+・・・+ζσ^n-1(c)≠0
を満たすcが存在することの証明は、連立一次方程式やファンデルモンドの行列式を用いるともっとあざやかにできますが、線形代数の準備が必要ですから、ここでは泥臭い方法で証明してみました」
とあります
P475 ここに、ラグランジュの分解式についてのコメントがあります
「（ラグランジュの分解式は）分かり易いところが特徴です
このラグランジュの分解式を使って、ピークの定理の結果を説明しようとするものも見られますが
少々無理があります。というのも、ラグランジュの分解式以外で方程式を解く手段があるかも
知れないからです」とあります
実際に、そういう手段は勿論有るわけです。それがガウスDAの円周等分です
(参考)
https://www.アマゾン
ガロア理論の頂を踏む 単行本 – 2013/8/22
石井 俊全 (著)ベレ出版
書評
プリンハム
5つ星のうち4.0 旧版は誤植多し。新品を買いましょう。
2021年8月12日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
内容は素晴らしいのひとことです。ただ、中古で買ったところ初版を掴まされ、骨の折れるような訂正作業に心まで折れたので安物買いの銭失いにならないよう、新品を買うことをおすすめします。
つづく つづき
モリシー
5つ星のうち5.0 ガロア理論入門書の決定版
2015年8月21日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
恥ずかしい話ですが、私は大学で数学科だったにもかかわらず、
様々なガロア理論の専門書や啓蒙書に挑戦しては挫折を繰り返してきました。
どれも途中で分からなくなってしまったのです。
ガロア理論の本を最後まで読み終える事が出来たのはこの本が初めてです。
まだ十分な理解には程遠いですが、
繰り返し読めばさらに分かりそうな気がします。
この本は豊富な実例と親切な語り口で
とても分かりやすく書かれていますが、
やはり啓蒙書ではなく専門書だと思います。
ガロア理論はどんなに楽なルートを辿ろうとも、
高い標高の頂きである事には変わりないのでしょう。
でも、それを本気で読者に登らせようとしています。
そのスタンスが新鮮。
啓蒙書にありがちな、
「自分は良く分かっているけど君たちにはこんな感じかな」
という雰囲気はありません。
一方で、専門書を読むときのあの重苦しい感じもありません。
私は専門書を読むときは、
いけないと思いつつも余白にかなりの書き込みをします。
でも今回は書き込みはほぼゼロ。
「書き込もうかな」と思って鉛筆を持つと、
たいていすでに図があったり、赤い色で書いてあったりあります。
とってもフレンドリーです。
(引用終り)
以上 >>910
>「ラグランジュの分解式以外で方程式を解く手段があるかも知れないからです」
>実際に、そういう手段は勿論有るわけです。それがガウスDAの円周等分です
大量のコピペ以外のほんの僅かな自分の言葉が明らかな間違いって、なんか凄い才能 >>911
>モリシー
>5つ星のうち5.0 ガロア理論入門書の決定版
>2015年8月21日に日本でレビュー済み
>Amazonで購入
>恥ずかしい話ですが、私は大学で数学科だったにもかかわらず、
>様々なガロア理論の専門書や啓蒙書に挑戦しては挫折を繰り返してきました。
>どれも途中で分からなくなってしまったのです。
>ガロア理論の本を最後まで読み終える事が出来たのはこの本が初めてです。
なるほど
ガロワと方程式 1989 草場 公邦 >>898
最後 P175に
編集者短評 （斎藤正彦）で
「数学の本というものは、普通最後まで読み通すのは難しい
この本の場合も、仮に表題のガロワ理論まで到達できなかったとしても
少しも悲しむにはあたらない。半分くらいでも、いや第1章だけでも読めば
数論の真髄--昔からつくられてきた理論の一番面白い部分--の一端に触れることができる」
とありますね
また、下記小沢 登高氏 4年生 ”夏休みにはConwayの本（GTM96）を読んだ。 数学の本を一冊通読したのはこれが初めてだった”
これも、われわれ凡人には、「そうなんや」とほっとします（”ほっと”しつづけは、まずいですが）
つづく つづき
(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~narutaka/rireki.html
小沢 登高 履歴書(非公式版)
1995年4月 同理学部数学科進学
少し態度を改め、 4年生の春にルベーグ積分とホモロジー代数を市立図書館で勉強する。 ついでに関数解析の教科書も眺めてみた。
函数解析に興味を覚えたので、夏休みにはConwayの本（GTM96）を読んだ。 数学の本を一冊通読したのはこれが初めてだった。 継続してまじめに勉強したのもこれが初めてだった。
(引用終り)
以上 石井本「ガロア理論の頂を踏む」(20130825版 第6刷)
第６章「根号で表す」 １ １のｎ乗根をベキ根で表す
で、円分方程式を解いてます
定理６．１ １のｎ乗根はベキ根を用いて表すことができる
ｎ＝１，２，３の時は解けるし、
ｎが合成数の場合は素因数に分解して１の各素因数乗根の冪根で表せる
したがってｎが素数の場合に解ければいい
p417でn=7の場合として、いきなり
f(x,y)=y^3+xy^2+x^2y^6+x^3y^4+x^4y^5+x^5y
というx,yの多項式を出して、xに1の6乗根ω、yに1の7乗根ζを入れている
実はこれがラグランジュの分解式
c+ζ^n-1σ(c)+ζ^n-2σ^2(c)+・・・+ζσ^n-1(c)
σ(x)=x^5 c=ζ^3 σ^n(x)はσ(x)のn回反復、とすれば
σ(c)=σ(ζ^3)=(ζ^3)^5=ζ^15=ζ
σ^2(c)=σ(ζ)=ζ^5=ζ^5
σ^3(c)=σ(ζ^5)=(ζ^5)^5=ζ^25=ζ^4
σ^4(c)=σ(ζ^4)=(ζ^4)^5=ζ^20=ζ^6
σ^5(c)=σ(ζ^6)=(ζ^6)^5=ζ^30=ζ^2
σ^6(c)=σ(ζ^2)=(ζ^2)^2=ζ^10=ζ^3=c
したがって
c+ζ^n-1σ(c)+ζ^n-2σ^2(c)+・・・+ζσ^n-1(c)
=ζ^3+ω^5ζ+ω^4ζ^5+ω^3ζ^4+ω^2ζ^6+ωζ^2
=ζ^3+ωζ^2+ω^2ζ^6+ω^3ζ^4+ω^4ζ^5+ω^5ζ >>915
で、実はf(ω^i，ζ)^6が、ζの出てこないωだけの式で表せる
だからf(ω^i，ζ)はその6乗根で表せる
実は直接6乗根を使わなくても3乗根と2乗根でいける
これがガウスが見つけたこと
だから、ガウスがラグランジュの分解式使ってない、というのは大嘘 >>916
このからくりを理解したのは、一昨年の年末
これで、n=11について実際に計算してみせた
でも ID:dATnLzNB は自分で計算してないから、何も理解しなかったみたい
手を動かさないと数学は理解できないみたいね やっぱり >>912
>>「ラグランジュの分解式以外で方程式を解く手段があるかも知れないからです」
>>実際に、そういう手段は勿論有るわけです。それがガウスDAの円周等分です
>大量のコピペ以外のほんの僅かな自分の言葉が明らかな間違いって、なんか凄い才能
再度、手元のガウスDAを確認した
ガウスは、先行するオイラー、ルジャンドル、ラグランジュなどの業績を
丹念に述べ、あるいは引用している
そして、しかしながら ラグランジュの分解式はガウスDAには登場しない
ガウスDAは整数論であって、代数方程式論ではない
ガウスはDAで、円分方程式のガロア群が巡回群をなすことを見抜き
周期という概念で、その巡回群の性質を解き明かし
円分方程式を解いている
弱冠二十歳前のガウスが、DA執筆時点で 現代ガロア理論をどこまで感得していたかは分からない
また、ひょっとして裏でラグランジュの分解式を使ったかもしれないが
（下記 ガウスは 自分の足跡を消し去るキツネ）
少なくとも、DAに記されているのは上記の通りです
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel
Niels Henrik Abel
Abel said famously of Carl Friedrich Gauss's writing style, "He is like the fox, who effaces his tracks in the sand with his tail." Gauss replied to him by saying, "No self-respecting architect leaves the scaffolding in place after completing his building."[15]
（google訳）
アーベルはカール・フリードリヒ・ガウスの文体について、有名な「彼は尻尾で砂の上の自分の足跡を消し去るキツネのようなものである」を述べた。
ガウスは彼にこう答えた、「自尊心のある建築家は、建物を完成させた後、足場をそのまま放置することはありません。」[15] >>918
>ひょっとして裏でラグランジュの分解式を使ったかもしれないが
ガウス和を使ってる時点で、公然と使ってますね
ガウスはラグランジュの分解式がなぜ成り立つが理解してたんですね
そして、ガロアもそのことに気づき、そこからガロア理論のアイデアを得た、と
足跡消しても、野生動物は匂いでわかるんだよｗ >>919
誤 ガウスはラグランジュの分解式がなぜ成り立つが理解してたんですね
正 ガウスはラグランジュの分解式が働くからくりを理解してたんですね >>911
＞恥ずかしい話ですが、私は大学で数学科だったにもかかわらず、
＞様々なガロア理論の専門書や啓蒙書に挑戦しては挫折を繰り返してきました。
＞どれも途中で分からなくなってしまったのです。
＞ガロア理論の本を最後まで読み終える事が出来たのはこの本が初めてです。
＞まだ十分な理解には程遠いですが、
＞繰り返し読めばさらに分かりそうな気がします。
この人はガロア理論に挑戦しつづけただけ偉い
自分はそうそうに「代数は難しいからやめとこ」って捨てましたｗ
そのかわりゲーデルの不完全性定理については同様のことをやりましたけどね
でも一番わかりやすかったのは実はホフスタッターの
「ゲーデル・エッシャー・バッハ」かな
同じことは他にも書いてあるんですけどね
＞私は専門書を読むときは、
＞いけないと思いつつも余白にかなりの書き込みをします。
＞でも今回は書き込みはほぼゼロ。
＞「書き込もうかな」と思って鉛筆を持つと、
＞たいていすでに図があったり、赤い色で書いてあったりあります。
＞とってもフレンドリーです。
マセマ的な至れり尽くせり感ですね
率直に言って、これからの数学書はみんなマセマ化すると思いますね
天才だけが数学書を読んで理解する時代は終わりますよ >>907
>あと、>>900 補題13.3 (デデキント) 中野 伸（教授）学習院 も見てください
下記が元かな？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
デデキントの補題またはデデキントの独立性定理（独: Unabhängigkeitssatz von Dedekind）は、数学者リヒャルト・デーデキントに帰せられる代数学の命題で、半群から可換体の単元群への準同型写像族があるとき、それらの線型独立性について述べるものである。ガロア理論の基本的な構成定理に用いられる
定式化
Kurt Meyberg（ドイツ語版） による定式化は以下の通りである
（乗法的に書かれた）半群 H≠∅ と可換体
K、および H から K^*（K の単元群）への準同型
σ1,・・・ ,σn (n∈ N )} が与えられたとき、以下は同値。
(A1) { σ1,・・・ ,σn} は相異なる。
(A2) H から K への写像全体を K 上のベクトル空間とみなして Abb (H,K)} と書くと、
{ σ1,・・・ ,σn} は Abb (H,K) の元として線型独立である。
証明
エミール・アルティン[2] または Kurt Meyberg[1] に従い、以下のように証明することができる。
A1 → A2
準同型の個数に関する数学的帰納法を用いる
略
A2 → A1
明らかである（線型独立であるベクトルの組に同一の2元は存在し得ない）
この命題からの帰結
注釈と呼称
独立性に関する本命題（または非常に近い内容の命題）は、代数学の文献において様々な名称で呼ばれている。ファン・デル・ヴェルデンは、単に独立性定理（Unabhängigkeitssatz）と呼んでいる[3]。Karpfinger（ドイツ語版）-Meyberg では、上記の帰結1（有限個の族に対して定式化したもの）がデデキントの補題と呼ばれている[4]。英語の文献でも同様の呼称が見られ、Paul Cohn（英語版） は非常に近い内容の命題をデデキントの補題として挙げている[5]一方、Reginald Allenby はこれをデデキントの独立性定理と呼んでいる[6]。
関連する結果
同じくデデキントに帰せられる、関連した結果がある。
L を K の拡大体とし、K の元を固定する L の自己同型群 Γ\Gamma が有限群であるとする。
このとき ｜L ： K｜=|Γ |
Karpfinger と Meyberg はこの命題を「デデキントの定理」と呼んでいる。英語の代数学の文献（例えば Paul Cohn）では、数学者エミール・アルティンとの関連からアルティンの定理としても知られている。ただし Cohn は、命題の実際の考案者はアルティンではなくデデキントであることを明示している
L と K が可換体で、L/K が有限次拡大のとき、以下の主張は同値である。
(A) L/K はガロア拡大である[注釈 3]。
(B) ｜L： K｜=|Aut (L/K|
(C) L/K は正規拡大で、かつ分離拡大である。
(D) L はある K 係数分離多項式の K 上の最小分解体である。
https://de.wikipedia.org/wiki/Unabh%C3%A4ngigkeitssatz_von_Dedekind
（Edge 独→英訳）
Dedekind's independence theorem
Table of contents
1 Formulation of the sentence
2 Proof of theorem
2.1 A1 → A2
2.2 A2 → A1
3 Inferences
4 Naming Notes
5 Related Results >>922 石井本読みなよ 普通の数学書読んでもわからないんだから デデキントの補題は、正則行列が分かれば分かるよ
これは比喩ではなく、本当に理屈としてそういうことだから ヴァンデルモンド行列もラグランジュ分解式から自然に出てくるので
やっぱり「ラグランジュ分解式要らねえ」なんて言えない
鍵持ってても使い方知らないんじゃそりゃ扉は開かんよなあ どうしても「ガロア理論」って入れたいんだね
病気だね Vandermonde 行列式は、差積で
差積の平方が判別式だったね
en.wikipedia Vandermonde matrix で、思い出してきたよ
向井茂先生のPDFにチョロッと書いてある
なにかのガロア本にもあったはず（雪江本かも）
https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix
Vandermonde matrix
Determinant
By contrast, the discriminant det(V)^2 does not depend on any order,
so that Galois theory implies that the discriminant is a polynomial function of the coefficients of p(x).
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H16-mukai.pdf
平成16年度(第26回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成16年8月2日〜8月5日開催)
不変式の話—対称式と方程式から第14問題の反例へ—向井茂
I.初日は不変式の最も基本となる対称式から話を始める．
II.群の不変式はここからすぐそこにある．また，Hilbertの第14問題もすぐに定式化できる．
III.直接の関係はないが不変式の個数を数える定量的な話で不変式に親しもう．第３日は方程式の不変式へと進む．
IV.最終日は頑張って第14問題に対する永田の反例に挑戦しよう．近年その理解が進み紹介が容易になっている．
§2交代式
二つの交代式の積は対称式である．とくに，差積の平方∆(x)^2が対称式であることが重要である．線形代数で習うように差積は行列式で表される（Vandermonde）．
例えば，
略 >>930
>Vandermonde 行列式は、差積
なぜ、そうなるかわかる？
ヒント１．２つの変数を入れ替えると？
ヒント２．行列式を多項式としたときの次数は？
ヒント３．そして各項の係数は？ >>930
>…で、思い出してきたよ
数学の学習は、物事を記憶することではないよ >…先生の…にチョロッと書いてある
>なにかの…本にもあったはず
一度でも自分で計算したなら
どこの本に書いてあったなんて忘れても
Vandermonde行列が出てくることは忘れないけどね
だってｐ等分の円分方程式を解くために用いる
ｐ−１個のラグランジュ分解式の係数配置が
まさにそうなってるんだからね
ま、Vandermonde行列式という名前を知らなくてもいいけど
逆行列が存在するには、それが決して０にならない必要があるだろ
そういうことよ 線形代数が大事、正則行列が大事、っていうのは これでガロア理論と線形代数がつながっちゃったな
ま、これでも読んで勉強しとき
特に行列式が多重交代線形性をもつ、ってところ
行列式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F 意識高い系（いしきたかいけい）とは、
・自己顕示欲と承認欲求が強く自分を過剰に演出するが相応の中身が伴っていない人、
・前向き過ぎて空回りしている人、
・インターネット（SNS）において自分の経歴・人脈を演出して自己アピールを絶やさない人
などを意味する俗称である。
本当の意味で意識が高い人の表面的な真似に過ぎないため、「系」と付けられている。 >>935
若者・学生に対して使用されることが多いが、
ビジネスマンなど大人に対して使用される場合もある。 「意識高い系」の特徴として、
・自己啓発（ボランティア・政治）活動や人脈のアピール、
・あえて流行のカタカナ語を使う
などが挙げられる。
セミナーやパーティへの参加、著名人との関わりなど人脈や友人の数、努力の過程などを
TwitterやFacebookなどのSNSで他者へ過剰にアピールし、
実績も行動も伴っていない人物を意味する。
嘲笑の対象として「意識高い系（笑）」と表記されることもある。 逆に（系なしで）「意識が高い」という場合は、
能力が高く、知識や経験が豊富で、行動も実績も伴っている人物
への肯定的評価の言葉である。 2000年代半ばに、就職活動の場面において使われ出した
「意識が高い学生」という言葉は
「能力が高く、知識も経験も豊富な優秀な人材」という意味を持ち、
ネガティブなイメージは無かった。 しかし、2008年に発生したリーマン・ショックの影響により学生の求人が減ったことや、
TwitterやFacebookなどのサービスが日本に上陸したことで、
目立ちたがりの学生が実際に目に付くようになった。 学生が各種講演会に出向いたり学生団体を立ち上げたりしたことを
SNSに投稿するようになり、その欺瞞的態度に対する批判が挙がった。 朝日新聞社が運営するwithnewsは、
2008年時点で既に「意識の高い学生」という言葉は
末尾に「（笑）」が付けられるなど嘲笑の対象とされており、
2010年になるともはや嫌悪の対象となっていたと報じている。 また、朝日新聞の記事は、
2000年代半ばの「意識が高い学生」はSNSを駆使するなど
周囲から持てはやされていたのに対して、
2010年頃から「見掛けは良くても成果が無い」と
ネット上で批判され始めるようになり、
瞬く間に批判的な意味として定着するようになったとしている。 現代用語の基礎知識（2016年版）でも同様に、
かつて就職情報会社が開催するイベントで
「意識の高い学生が集まるセミナー」
などと銘打った宣伝が行われていたことに由来するとしており、
「意識が高く行動力があることは結構だが、
それが空回りしていたり、ポイントがズレていたり、
自己顕示欲の高さが感じられるので、揶揄の対象となっている」
としている。
また、対象が学生の場合は「意識の高い学生」、社会人の場合は「意識の高い社会人」と呼称し、
「意識高い系」は年齢に関係なくひとくくりにして呼ぶ場合に用いられるものとしている。 常見陽平は、「意識高い系」の特徴として
「自分のプロフィールを『盛る』」、
「名言を吐きまくる」、
「横文字（カタカナ語）を多用する」、
「人脈作りに熱心」、
「勉強会や異業種交流会をやたら開く」、
「ビジネス書を多読し、中途半端にその真似をする」、
「少し関わっただけの案件に対し、全て自分がやったかのように言う」
などを挙げている。 また、
「やたらとカッコつける」、
「自分磨きに取り組む」、
「就職活動のイベントに積極的に参加する」、
「スターバックスでMacBookを使う」、
「大学在学中に起業し、CEOの肩書の名刺を持ち歩く」
なども「意識高い系」のイメージとして語られることがある。 精神科医の片田珠美は、「意識高い系」とは
「『意識が高い人』を装いながら空回りしている人」
を皮肉った言葉であると述べ、
他者からの承認欲求が強過ぎて滑稽に見えるケースであるとしており、
「意識高い系」のタイプとして、
・目に余る上昇志向
・高すぎる自己評価
・「頑張っている自分自身」が好き
・驕り高ぶった特権意識
・傲慢な金満主義
の5点を挙げている。 著述家の古谷経衡は、「意識高い系」について、
実際に意識の高い人間を茶化すための言葉ではなく、
意識の高い「ふり」をしている中途半端な人間を指すとしており、
意識の高さをアピールすることによる他者からの承認欲求が透けて見えることを
意味するとしている。
また、「意識高い系」の人間は他者の勝利や成功の部分のみをトレースし、
努力を忌避したり、努力をする人間自体を見下す傾向にあると論じている。 思想活動家の外山恒一は、
「グローバリズム下、ネオリベラリズム下の資本の要請に応えうるような
労働力商品として自らを鍛えようという意識の高い、
要するに現体制への過剰迎合に余念のない」
ことが特徴で、合言葉は「選挙に行こう!」だとしている。 一般人が言われても意味が分かりにくいカタカナ語を使うことは
意識高い系の行為として忌避される。
「ゴゴスマ」（TBS系）を東海ローカル番組から全国番組へと躍進させた立役者である
MCの石井亮次アナウンサーは、会話で使わない方が良い「意識高い系カタカナ語」の例として
・モチベーション（動機）
・ソリューション（解決）
・コンセンサス（合意）
・バリュー（価値）
・アサイン（割当）
・エビデンス（証拠）
・サスティナブル（持続可能な）
・ダイバーシティ（多様性）
・インフルエンサー（影響与える人）
を挙げている。 >>932-934
いや、そっち（線形代数）じゃなく
判別式が、方程式論で重要な意味を持つって事だ
いま、en.wikipediaを見ると
方程式論以外でも重要な意味を持つらしい
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%A4%E5%88%A5%E5%BC%8F
判別式
多項式の判別式（はんべつしき、英: discriminant）とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。
一般にdiscriminantの頭文字を取って、D で表記される。
概要
"discriminant"（判別式）という用語は1851年にイギリス人数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターによって造り出された[1]。
通常は、大文字の D あるいは大文字の Δ で表記される。
具体的には、以下の式で定義される：
略
判別式 D を係数 an, an−1, …, a1, a0 で表すには、終結式（シルヴェスター行列の行列式）を用いるのが最も簡明である：
略
二次方程式 ax2 + bx + c = 0 の判別式は
Δ=b^2-4ac
である。
三次方程式 ax3 + bx2 + cx + d = 0 の判別式は
略
https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant
Discriminant
Origin
The term "discriminant" was coined in 1851 by the British mathematician James Joseph Sylvester.[2]
Real roots
In this section, all polynomials have real coefficients.
It has been seen in § Low degrees that the sign of the discriminant provides useful information on the nature of the roots for polynomials of degree 2 and 3. For higher degrees, the information provided by the discriminant is less complete, but still useful. More precisely, for a polynomial of degree n, one has:
略
Use in algebraic geometry
略 レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
