純粋・応用数学（含むガロア理論）3
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
インドの数学教育は参考になるな
http://www.bunkyo.ac.jp/faculty/kyouken/wp/?p=718
文教大学 教育研究所
第21回 インドの教科書 2014
IT産業が急速に発展するインドにおいて、その最大の要因は優秀な人材の豊富さにあります。その背景には伝統的に数学教育に力を入れていることがあげられます。
②数学
数学では以下のような方向性が示されています。
子どもたちは、
①数学を嫌がるのではなく、楽しく学ぶ、
②数学は公式や機械的計算以上のものであるという重要性を学ぶ、
③数学を、話し合い、一緒に取り組むものであると理解する、
④意味のある問題を自ら提示して解く、
⑤関係を理解して、構造を認識し、様々に考えて解決策を発見する、
⑥数学の基本的内容や、抽象化、構造化そして一般化の方法などの数学の基本的構造を理解する、
⑦教師は、子どもたちが、誰でも数学を学べるという確信をもって授業に参加できるようにする。 インドあるある
憲法によればインドの正式名称はヒンディー語の
भारत（ラテン文字転写: Bhārat, バーラト）であり、
英語による国名は India （インディア）である。 ＜転載＞ ”0.999...”について
0.99999……は１ではない その11
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595025887/119
まあ、三流は三流らしく
ちゃんと、
超一流や一流の人をベースに議論しなさいよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...#p-%E9%80%B2%E6%95%B0
0.999... テレンス・タオ "0.999…" は 1 に「無限に近い」。
イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。
・超一流のテレンスタオがさ、” "0.999…" は 1 に「無限に近い」”という主張は、ちゃんと21世紀の数学の中で正当化できるという（ノンスタでね）
（一流のイアン・スチュアートも、この解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]という）
・勿論、スタンダードな "0.999…＝1"もあり
・だからさ、三流さんたちは、両方ありを前提に議論しないとさｗ
あなた方は、三流なんだからさ
まあ、三流は三流らしく
ちゃんと、
超一流や一流の人をベースに議論しなさいよ バーラト（サンスクリットではバーラタ）の名は
プラーナ文献に見え、バラタ族に由来する。
英語（ラテン語を借用）の India は、
インダス川を意味する Indus（サンスクリットの Sindhu に対応する
古代ペルシア語の Hindušを古代ギリシア語経由で借用）に由来し、
もとはインダス川とそれ以東の全ての土地を指した。
イラン語派の言語ではインドのことを、
やはりインダス川に由来する Hinduka の名で呼び、
古い中国ではこれを身毒（『史記』に見える）または
天竺（『後漢書』に見える）のような漢字で音訳した。
ただし水谷真成はこれらをサンスクリットの Sindhu の音訳とする。
初めて印度の字をあてたのは玄奘三蔵であるが、
玄奘はこの語をサンスクリット indu （月）に由来するとしている。
近代になって、西洋語の India に音の近い「印度」、
または日本ではそれをカタカナ書きした「インド」が
使われるようになった。 >>7
＞超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, ⋯ の
＞超冪構成に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, ⋯)]
・超極限の定義は？
・超冪構成の具体的方法は？
分かりもせずに漫然とコピペしちゃダメダメ ω流君ｗ
ω流君は一流どころか三流数学も理解できない
議論不能のidiotなんだから
数学板に書いちゃだめ そもそも読んでも無駄
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ こんなのもあるな
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A9%E7%AB%BA
天竺
(抜粋)
天竺（てんじく）とは、中国や日本が用いたインドの旧名[1]。ただし、現在のインドと正確に一致するわけではない。
由来
中国人がインドに関する知識を得たのは、張騫の中央アジア（後年の用語で言う西域）探検によってであった。司馬遷の『史記』では、インドを身毒（しんどく）の名で記している（大宛列伝、西南夷列伝）。天竺の名は『後漢書』に見える（西域伝「天竺国、一名身毒、在月氏之東南数千里」）。また天篤という字も使われた[2]。
インダス川のことをサンスクリットで Sindhu、イラン語派では Hindu と呼んだ。またイラン語派の言語ではインドのことをインダス川にちなんで Hinduka と呼んだ。身毒も天竺も、この Hinduka に由来している[3]。
おなじ Hindu が 古代ギリシア語: ?νδ?? を経て、ラテン語: Indus となり、そこから India の語が生まれた。
日本
日本では『義経記』八巻の「真に我が朝の事は言ふに及ばず、唐土天竺にも主君に志深き者多しと雖も、斯かる例なしとて、三国一の剛の者と言はれしぞかし」などに見えるように、かつては唐土（中国）・天竺（印度）・本朝（日本)を三国と呼び、これをもって全世界と表現した。 >>11
ガンバレω流君
数学以外でコピペ自慢して
数学のことなんか綺麗サッパリ忘れちまえ！
どうせ全然理解できないんだから
ノンスタもεδと全く同様に全然理解できなかっただろ？
それはオマエが論理も分からん人間失格の野獣だからだよ
ギャハハハハハハ！！！！！！！
毛深い獣がいくら人間のマネしたって無駄無駄ｗｗｗｗｗｗｗ 日本の数学教育で落ちこぼれた瀬田がインドの数学教育をマンセーしてると聞いて そもそも日本語が分かってないセタがどんな学問やっても無駄なんだよね
文章が正しく読み取れないんだからｗｗｗｗｗｗｗ 「現代文は論理的な科目であり、全ての教科の基本である」
こんなあったりまえのことをいままで誰もいってこなかったのがフシギなくらい 勉強ができない人の特徴って？
英語・数学・国語学習の注意ポイントを知ろう！
https://www.youtube.com/watch?v=jUDW4nO7Am0
ここでもいわれてるけど
「現代文は感覚で解くもの」と考える人
こういう人は、論理が全然分かってません
論理を追えない人にはいかなる学問も無理です
なぜなら学問とはつまるところ論理だからです 便所のウジ虫が、便所に落書きしてらぁ～ｗｗｗ（＾＾
あなたは便所のウジ虫ですよ
あなたの地で書いていること、無価値！ｗｗ >>18
ん？ここは便所かい？
じゃ、君は便所の💩だな
💩は畑の肥やしになりやがれ！
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ 鳥なき里のコウモリが、いばりくさる５ｃｈ？ ｗ（＾＾；
（鳥なき里の蝙蝠とは、すぐれた者がいないところでは、つまらぬ者が威張っていることのたとえ）
http://kotowaza-allguide.com/to/torinakisatonokoumori.html#:~:text=%E9%B3%A5%E3%81%AA%E3%81%8D%E9%87%8C%E3%81%AE%E8%9D%99%E8%9D%A0%E3%81%A8%E3%81%AF%E3%80%81%E3%81%99%E3%81%90%E3%82%8C%E3%81%9F%E8%80%85,%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%81%A8%E3%81%88%E3%80%82
鳥なき里の蝙蝠 故事ことわざ辞典
【読み】 とりなきさとのこうもり
【意味】 鳥なき里の蝙蝠とは、すぐれた者がいないところでは、つまらぬ者が威張っていることのたとえ。 https://www.nikkei.com/article/DGXMZO61525830V10C20A7000000/
AIの課題「次元の呪い」解決 富士通研が手法発表
2020/7/23 2:00日本経済新聞 電子版
（日経クロステック/日経コンピュータ 中田敦）
［日経クロステック2020年7月13日付の記事を再構成］
(抜粋)
富士通研究所はディープラーニング（深層学習）における教師なし学習の精度を大幅に向上できる人工知能（AI）技術「DeepTwin（ディープツイン）」を発表した。AI分野の長年の課題だった「次元の呪い」を、映像圧縮技術の知見を活用することで解決したとする。機械学習の最有力学会である「ICML 2020」で7月14日に論文を発表した。
「次元の呪い」とは、データの次元（要素数）が大きくなると、そのデータを分析する際の計算量が指数関数的に増大する現象を指す。次元の呪いを回避するため、一般的に機械学習の高次元データは次元を減らす。
ただ従来の手法には、次元の削減に伴ってデータの分布や確率が不正確になる課題があり、それがAIの精度低下を招く一因になっていた。例えば分布や確率が実際と異なると、正常データを異常と誤判定してしまうような間違いを引き起こしてしまう。
富士通研究所は、誤差が一定の条件で次元削減したデータの情報量が最小になるように調整すると、分布や確率を損なわずに次元削減できることを数学的にも証明した。この証明が、今回の手法を実現する際の最も重要なポイントになった。
今回のアイデアは、同社が長年研究してきた映像圧縮技術の理論を基にしている。映像圧縮技術には、データの分布や確率を保ったまま次元削減できる「離散コサイン変換」などの手法（次元削減変換）を使ったうえで、元データと復元データの誤差を一定に抑えるように圧縮すると、情報量が最小になるという理論がある。同社はこの理論を逆転し、誤差を一定に抑えながら情報量が最小になるような次元削減変換を探せば、それがデータの分布や確率を損なわない変換になると考えた。 追加
https://pr.fujitsu.com/jp/news/2020/07/13.html
株 富士通研究所
世界初！教師データなしで高次元データの特徴を正確に獲得できるAI技術を開発 20200713
(抜粋)
本技術の詳細は、機械学習の国際会議「ICML 2020 (International Conference on Machine Learning 2020)」にて発表します
開発した技術
1.データの特徴を正確に獲得する理論の証明
数千から数百万次元の高次元データである画像や音声データの情報圧縮では、長年の研究でデータの分布や発生確率が解明されており、これらの既知の分布や確率に対して最適化された離散コサイン変換（注3）などの手法で次元数を削減する方法がすでに確立されています
そして、次元削減後のデータの分布と発生確率を用いてデータを復元すると、元の画像・音声と復元後の画像・音声との間の劣化を一定に抑えた時に、圧縮データの情報量を最も小さくできることが理論的に証明されていています
今回、この理論から着想を得て、通信アクセスデータや医療データなど、分布・確率が未知の高次元データに対し、その次元をニューラルネットワークの一つであるオートエンコーダ（注4）で削減した後、また復元したときに、元の高次元データと復元後のデータとの間の劣化を一定値に抑えつつ、次元削減後の情報量を最小化したデータは、元の高次元データの特徴を正確に捉え、かつ、次元を最小限に削減できていることを世界で初めて数学的に証明しました
https://pr.fujitsu.com/jp/news/2020/07/13bl.jpg 図2 情報圧縮技術に着想を得た、データの特徴に忠実な分布・確率の獲得の理論フレームワーク
2.ディープラーニングを用いた次元削減技術
一般にディープラーニングは、最小化したい評価項目を定めると、複雑な問題でも評価項目が最小となるパラメータの組合せを求めることが可能です
この特徴を利用し、高次元データの削除すべき次元数と削除後のデータの分布を制御するパラメータを導入し、圧縮後の情報量を評価項目に定め、ディープラーニングで最適化しました
これにより、上記1の数学理論に基づいて最適化されたときの次元を削減したデータの分布および確率は、データの特徴を正確に捉えることが可能となります
https://pr.fujitsu.com/jp/news/2020/07/13cl.jpg 図3 次元削減変換および分布・確率を求めるディープラーニング技術 過去スレより
εδ論法
純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/712-714
712 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/12
>>689
WILLIAM P. THURSTON ｗｗｗ（＾＾
（参考）
https://arxiv.org/pdf/math/9404236.pdf
APPEARED IN BULLETIN OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 30, Number 2, April 1994, Pages 161-177
ON PROOF AND PROGRESS IN MATHEMATICS
WILLIAM P. THURSTON
(抜粋)
2. How do people understand mathematics?
This is a very hard question. Understanding is an individual and internal matter
that is hard to be fully aware of, hard to understand and often hard to communicate.
We can only touch on it lightly here.
People have very different ways of understanding particular pieces of mathematics. To illustrate this, it is best to take an example that practicing mathematicians
understand in multiple ways, but that we see our students struggling with. The
derivative of a function fits well. The derivative can be thought of as:
(1) Infinitesimal: the ratio of the infinitesimal change in the value of a function
to the infinitesimal change in a function.
(2) Symbolic: the derivative of x^n is nx^(n-1), the derivative of sin(x) is cos(x),
the derivative of f ・ g is f′ ・ g * g′, etc.
(3) Logical: f′(x) = d if and only if for every ε there is a δ such that when
0 < |Δx| < δ,
|{(f(x + Δx) - f(x))/Δx}- d |< δ.
(4) Geometric: the derivative is the slope of a line tangent to the graph of the
function, if the graph has a tangent.
(5) Rate: the instantaneous speed of f(t), when t is time.
(6) Approximation: The derivative of a function is the best linear approximation to the function near a point.
つづく >>24
つづき
(7) Microscopic: The derivative of a function is the limit of what you get by looking at it under a microscope of higher and higher power.
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/713-714
This is a list of different ways of thinking about or conceiving of the derivative,
rather than a list of different logical definitions. Unless great efforts are made to
maintain the tone and flavor of the original human insights, the differences start
to evaporate as soon as the mental concepts are translated into precise, formal and
explicit definitions.
I can remember absorbing each of these concepts as something new and interesting, and spending a good deal of mental time and effort digesting and practicing
with each, reconciling it with the others. I also remember coming back to revisit
these different concepts later with added meaning and understanding.
(引用終り)
>WILLIAM P. THURSTON ｗｗｗ（＾＾
つづく >>25
つづき
補足
・WILLIAM P. THURSTON氏は、>>712の(1)～(7)の７つを、
微分（derivative of a function）について
挙げている
・(3)がεδ論法だが、”εδマンセー”ではない
・(1)～(7)の７つに、それぞれ利害得失があるという立場だ
これが、21世紀の数学のあるべき姿と思います！（＾＾；
以上
補足追加
WILLIAM P. THURSTON は、分かるよね
サーストン先生は
”(3) Logical: f′(x) = d if and only if for every ε there is a δ such that・・”
だけじゃ足りないよという
つまり、(1)～(7)の７つを総合的に考えるべしって
立場だな
”εδマンセー”ではないってことです
”εδマンセー”は
古い >>21
＞鳥なき里のコウモリ
何を以って優れていると判断するかは明らかでないが・・・
コウモリは哺乳類です
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%82%A6%E3%83%A2%E3%83%AA
「コウモリ（蝙蝠）は、脊椎動物亜門哺乳綱コウモリ目に属する動物の総称である。」 古代ローマの博物学者であるプリニウスは、
コウモリのことを「翼持つネズミ」と呼び、
鳥類に分類していた。
江戸時代、小野蘭山の『本草綱目啓蒙』でも、
「かはほり」（コウモリ）はムササビと共に
鳥類に分類されている。
近代分類学では哺乳類に分類されたが、
その始祖と言うべきカール・フォン・リンネは、
主にオオコウモリの形態からコウモリを霊長類に分類した。
その見解が否定されて後も、霊長目（サル目）などと共に
主獣類として分類されていた。
オオコウモリが霊長類に近いという説はその後もあり、1986年
「ココウモリとオオコウモリでは、脳と視神経の接続の仕方がまったく異なり、
オオコウモリのそれは霊長目および皮翼目（ヒヨケザル目）と同一で、
他の哺乳類には見られない独特のものである」
ことを主な根拠に、
「ココウモリはトガリネズミ目から進化し、
オオコウモリはそれより後に霊長目から進化した」
という、コウモリ類２系統説が提唱された。
（続く） >>29の続き
しかし1990年代からの分子系統の研究により、
コウモリ目はやはり単系統で、食肉目（ネコ目）、鯨偶蹄目、奇蹄目（ウマ目）、
有鱗目（センザンコウ目）などと共に、ローラシア獣上目の系統に属することが
明らかになった。
なお、主獣類は多系統だったもののコウモリを除けば単系統であり、
真主獣類として現在も認められている。
2006年、東京工業大学のグループによる研究（レトロポゾンの挿入の分析）によって、
コウモリはローラシア獣の中でも奇蹄目・食肉目・有鱗目に近縁であることが
明らかにされている。奇蹄目のウマと翼を持つコウモリが含まれることから、
ギリシャ神話の有翼馬であるペーガソス (希: Πήγασος, Pēgasus) にちなんだ
ペガサス野獣類 (Pegasoferae) がこの系統の名称として提案されている。 >>24-26
この「数学とは全く無関係な便所スレ」にはもったいないので
「数学のみを語る」以下のスレに書かせていただいた
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592600706/233-234
問題も出させていただいた
東京の筑駒・筑附・開成・麻布・武蔵等の生徒だったらチョロい問題だが
セタ君にはどうかな？(￣ー￣)随分大袈裟な煽り 例のεδで論破されちゃった奴が腹いせに暴れているスレはここですか？
くやしぃのぉw
くやしぃのぉw >>32
どうも
ありがとう
前スレでは、かなり暴れていましたね
以前のガロアスレでは、隔離スレで飼っていたのだ
いまは、放し飼い状態になりましたｗ（＾＾； ええ
例のεδで論破されちゃったセタが
腹いせに暴れているスレはここですよｗ
ちなみに純粋・応用●違いスレですｗｗｗｗｗｗｗ セタ君の症例について
パーソナリティ障害（パーソナリティしょうがい、英語: personality disorder, PD）とは、
文化的な平均から著しく偏った行動の様式であり、特徴的な生活の様式や他者との関わり方、
または内面的な様式を持ち、そのことが個人的あるいは社会的にかなりの崩壊や著しい苦痛
や機能の障害をもたらしているものである。
青年期や成人早期に遡って始まっている必要がある。 『精神障害の診断と統計マニュアル』では、
10種類のパーソナリティ障害を3つのカテゴリに分け規定している。
このカテゴリ分類は、ある種の研究のためには有用であるが、
一貫した妥当性があるものではなく、異なった群のパーソナリティ障害を
同時に有さないということでもない。 A群（クラスターA）、奇異型 (odd type)
風変わりで自閉的で妄想を持ちやすく奇異で閉じこもりがちな性質を持つ。
301.0 妄想性パーソナリティ障害 Paranoid personality disorder
世の中は危険で信用できないとして、陰謀などを警戒しており、自己開示しない。
301.20 スキゾイドパーソナリティ障害 Schizoid personality disorder
とにかく1人で行動し、友人を持たず1人で暮らすことを望む。
301.22 統合失調型パーソナリティ障害 Schizotypal personality disorder
幻覚や妄想といった統合失調症と診断されるような症状はなく、
病的ではない程度の風変わりな行動や思考を伴っており、
人生の早期に表れそして通常一生持続する。
しかし、現在ではより受け入れられやすいアスペルガー障害とすることも多い。 B群（クラスターB）、劇場型 (dramatic type)
感情の混乱が激しく演技的で情緒的なのが特徴的。
ストレスに対して脆弱で、他人を巻き込むことが多い。
301.7 反社会性パーソナリティ障害 Antisocial personality disorder
少年期の素行症による非行の段階を経て、利己的で操作的な成人となり、
人を欺くが周囲には気づかれにくい。中年になると落ち着くことも多い。
301.83 境界性パーソナリティ障害 Borderline personality disorder
他者に大きな期待を抱き、非現実的な要求によって人を遠ざけてしまったり、
喪失体験をしたときに、自傷行為に至ることがあり、
不安定な自己の感覚や人間関係があり、衝動的な側面を持つとされる。
中年になると落ち着くことも多い。
301.50 演技性パーソナリティ障害 Histrionic personality disorder
自己顕示性が強く、その時に演じている役柄に影響され、大胆に振る舞う。
301.81 自己愛性パーソナリティ障害 Narcissistic personality disorder
他者に賞賛を求め、自分が特別であろうとし、有名人との関係を吹聴したり、
伝説の人物のつもりでいて、他者の都合などは度外視している。 C群（クラスターC）、不安型 (anxious type)
不安や恐怖心が強い性質を持つ。
周りの評価が気になりそれがストレスとなる性向がある。
301.82 回避性パーソナリティ障害 Avoidant personality disorder
人付き合いが苦手であり、批判や拒絶に敏感であり、新たな関係を避けがちであるが、
スキゾイドパーソナリティ障害とは異なり、人間関係は希求しており、
親しい人を何人か持っている。
青年期前後にさらに回避的になってくることがあるが、
加齢と共に寛解してくる傾向がある。
301.6 依存性パーソナリティ障害 Dependent personality disorder
何かを決めることも、身の回りのことも手助けが必要であると感じている。
301.4 強迫性パーソナリティ障害 Obsessive-compulsive personality disorder
完璧主義であり、他者に仕事を任せられず、くつろぐことも、
気のままに行動することもできない。 セタ君の場合
B群（クラスターB）、劇場型 (dramatic type) の
301.81 自己愛性パーソナリティ障害 Narcissistic personality disorder
と思われる
とにかく何の勉学もしないくせに自分は天才だと自惚れ他人を馬鹿にしたがる
しかし基本的な論理的思考力がないので、数学の基本的な事柄で誤解しまくる
数学板の「葦原将軍」といっていいだろうｗ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%91%A6%E5%8E%9F%E9%87%91%E6%AC%A1%E9%83%8E
葦原 金次郎（あしわら きんじろう 、
1852年（嘉永5年） - 1937年（昭和12年）2月2日）
は、明治後半から昭和にかけての日本の皇位僭称者。
葦原将軍、葦原天皇、葦原帝とも呼ばれる。
また「葦」の字を「蘆（芦）」として蘆原金次郎、蘆原将軍とされる場合もある。
訓みは旧仮名遣いでは「あしはら」と表記されるが、発音は「あしわら」である 。 葦原 金次郎は高岡藩士の三男として加賀国金沢に生まれ、
埼玉県深谷で櫛職人として働いていたが、
24歳頃に誇大妄想症を発病した。
病名については「躁病の誇大妄想」、「分裂病の誇大妄想」、
あるいは「梅毒からくる進行麻痺の誇大妄想」など、
医師によって診断が分かれる。
1882年に明治天皇への直訴未遂事件を起こし、
東京府癲狂院（1889年に巣鴨病院と改名）へ入院した。
数度の脱走を繰り返した後1885年に再入院。
彼の誇大妄想は日露戦争の戦勝とともに肥大化し、
いつしか将軍を自称するようになった。
さらに、昭和の頃には天皇を自称するようになった。
1919年に松沢病院へと病院名改称後も入院を続け、
以後1937年に88歳で亡くなるまで松沢病院で過ごした。
墓所は世田谷区の豪徳寺にあったが、無縁となり整理されている。
戒名は至天院高風談玄居士。
円筒形の墓石には戒名とともに
「自称芦原将軍として56年の生涯を狂聖として院の内外に名物男として知られ」
と彫り込まれている。 逸話
病院に来る新聞記者や見物人に勅語を乱発しては売りつけたりした。
乃木希典との会見や、伊藤博文に金を無心して無視された事もある。
また、明治天皇が巡幸した際に、「やあ、兄貴」と声をかけたこともある。
日露戦争時、「相撲取りの部隊を出してロシア軍のトーチカを破壊せよ」
と発言するなど、奇矯かつ過激な言動は格好のゴシップとなった。 ということで、今後はセタが何を云ってもこう返してあげよう
「さすが、擬似数学(Pseudo-Mathematics)の最高権威にして
フールズ・メダリスト（Fools Medalist) セタ博士！！！」 >>34
便所のウジ虫が、
そう恥ずかしがらなくても良い
>>32のID:u10ujjLWさんの発言はは、
下記前スレの
Ｎｏ859 ID:NBWlfeVB
とか Ｎｏ901 Ｎｏ859 ID:yoor8wi6
の方じゃないかな？
実際の荒しの状況は、下記の＜数学 必死チェッカーもどき＞より
ＩＤ:EymycYn9 07月20日 92 連投
ＩＤ:v7bzJjCy 07月19日 128 連投
とバッチリ証拠が残っているｗ（＾＾；
（参考）
前スレ：純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/854-901
854 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/07/19(日) 18:00:10.80 ID:NBWlfeVB
論破されたら荒らしになっちゃった、って感じ？
858 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/07/19(日) 19:37:28.63 ID:2Y0qBKwb [5/9]
>>854
>論破されたら荒らしになっちゃった、って感じ？
どうも
まあそうかな
実のところ、もともと荒しなんだよね
でも、論破されて、余計荒れているってことだろうね（＾＾；
901 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/07/19(日) 22:24:01.91 ID:yoor8wi6
以前は数学っぽい議論もしてたと思うが？
論破されたやつが嫌がらせで荒らしとは。
みっともないわ。
＜数学 必死チェッカーもどき＞より、荒しの証拠
http://hissi.org/read.php/math/20200720/RXlteWNZbjk.html
2020年07月20日 > EymycYn9 1位/143ID中 Total 94 内純粋・応用数学（含むガロア理論）2 へは92
2020年07月19日 > v7bzJjCy 1位/109 D中 Total 132 内純粋・応用数学（含むガロア理論）2 へは128
なお（参考）＜前スレ＞へのリンク
純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/ >>44 タイポ訂正
>>32のID:u10ujjLWさんの発言はは、
↓
>>32のID:u10ujjLWさんの発言は、 |∞ ✨✨✨✨✨✨✨✨
|*“)✨「芦(笑)笑軍」✨>>42
・・・✨✨✨✨✨✨✨✨
🏁🚩🛵≡3⚑︎⚐︎🛵🎌≡33
／ﾊﾟﾗﾘﾗ~ﾊﾟﾗﾘﾗ~ﾊﾟﾗﾘﾗ~＼
★湘南藤沢★海の王子様★
ＫＯ室Ｋ殿下のご母堂様のことかと存じ奉りました。。。
(Ｋ様ｽﾙﾙｪの皆さまにお知らせしてこようっと！)
|=3 >>44
便所の💩はさっさと流れろって
ジャーｗｗｗｗｗｗｗ セタは自己愛性パーソナリティ障害 Narcissistic personality disorder
自己愛性パーソナリティ障害
（じこあいせいパーソナリティしょうがい、
英: Narcissistic personality disorder ; NPD）は、
ありのままの自分を愛することができず、
自分は優れていて素晴らしく特別で偉大な存在でなければならない
と思い込むパーソナリティ障害の一類型である。
精神療法は、患者はたいてい自分が問題であるとは認識していないため、
多くは困難である。人口の1%が、一生のある時点でNPDを経験する
と考えられている。
女性よりも男性に多く、また老年者よりも若者に多い。 自己愛性パーソナリティ障害の症状
人より優れていると信じている
権力、成功、自己の魅力について空想を巡らす
業績や才能を誇張する
絶え間ない賛美と称賛を期待する
自分は特別であると信じており、その信念に従って行動する
人の感情や感覚を認識しそこなう
人が自分のアイデアや計画に従うことを期待する
人を利用する
劣っていると感じた人々に高慢な態度をとる
嫉妬されていると思い込む
他人を嫉妬する
多くの人間関係においてトラブルが見られる
非現実的な目標を定める
容易に傷つき、拒否されたと感じる
脆く崩れやすい自尊心を抱えている
感傷的にならず、冷淡な人物であるように見える 自己愛性パーソナリティ障害の人物は傲慢さを示し、優越性を誇示し、
権力を求め続ける傾向がある。
彼らは称賛を強く求めるが、他方で他者に対する共感能力は欠けている。
一般にこれらの性質は、強力な劣等感および決して愛されないという感覚
に対する防衛によるものと考えられている。
自己愛性パーソナリティ障害の症状は、高い自尊心と自信を備えた
個人の特徴とも似通っていると捉えることができる。
そこに違いが生じるのは、これらの特徴を生み出す、
基底にある心理機構が病理的であるかどうかである。
自己愛性パーソナリティ障害の人物は
人より優れているという固有の高い自己価値感を有しているが、
実際には脆く崩れやすい自尊心を抱えている。
批判を処理することができず、自己価値観を正当化する試みとして、
しばしば他者を蔑み軽んじることで内在された自己の脆弱性を補おうとする。
痛ましい水準の自己価値観を有する他の心理学的状態とは対照的に、
自己愛的な性格を特徴づけるのはまさにこの所以である。 幼少期における高い自己意識と誇大的な感覚はナルシシズムには特徴的なものであり、
正常な発達の一部である。概して児童は、現実の自分と、自己に関して
非現実的な視点の元となる理想自己との間にある違いを理解できない。
8歳を過ぎると、自己意識にはポジティブなものとネガティブなものの両方が存在し、
同年代の友人との比較を基盤にして発達し始め、より現実的なものになる。
自己意識が非現実的なままで留まる原因として二つの要素が挙げられており、
機能不全の交流様式として、親が子に対して過度の注意を向けること、
あるいは注意が過度に不足していることのいずれかが挙げられる。
その子どもは注意もしくはケアの不足により生じた自己の欠損を、
誇大的な自我意識という手段で埋め合わせようとするだろう。
力動的な児童精神科医の多くは、自己愛性パーソナリティ障害は
学童期までには同定できるという。
また幼児期の不安定な養育は独りでいられる能力の確立を阻害し、
安心して一人でいること（孤独）を楽しんだり、
一人でくつろぐことを困難にする傾向がある。 >>51
いいかげん、自分が無知無能なidiotだと悟って
この数学板から出て行ってくれ
💩の貴様がここで輝くことは無い 絶対にｗ エリート主義的ナルシスト
偽りの業績や特別な子ども時代の体験のために、
自分は特権的で、特別な能力を有すると信じている。
しかし、立派な外見と現実との間に関連はほとんどない。
恵まれた、上昇気流にのった良好な社会生活を求め、
人との関わりにおいては特別な地位や
優越が得られる関係を築こうとする >>55-57
ＫＫのことなら勝手にすればいいんじゃね？
Ａ宮の娘がだめんずとケッコンしようが随意
どうせＫＫは皇族にならないからね Ａ宮家の子供は皆出来が悪い
娘は上も下もさっさとケッコンして
出て行っちまえばいい その上で皇室典範改正で女系継承を認める
Ａ宮家は極限まで切り捨てないとねｗ まず、タイポ訂正
>>44で
とか Ｎｏ901 Ｎｏ859 ID:yoor8wi6
↓
とか Ｎｏ901 ID:yoor8wi6
さて
>>32
>例のεδで論破されちゃった奴が腹いせに暴れているスレはここですか？
あんまし論破した気もないが、
”論破”認定されているなら、過去スレから引用しましょうねｗ（＾＾
（参考：”εδで論破”ｗ）
純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/537-
537 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/07/01(水) 13:55:41.38 ID:k+r32g6d [1/5]
>>491
>スレ主よ、この調子だとε-δ論争は何年間も延々と続くぞ(笑
>お前もそれを覚悟しておいた方がいい(笑
哀れな素人さん、どうも
ご苦労さまです
自分たちが、”おバカ”だという自覚がないのは
困ったものですねｗｗｗ(゜ロ゜;
つづく >>62
つづき
538 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP ：2020/07/01
>>537 補足
・時は、19世紀
カントールの無限集合論が出現するまえ
・当時の数学者たちは、
無限大や無限小を、数学的に定義できていなかった
・コーシーやワイエルシュトラスたちは、厳密に微分積分論を展開するために
あいまいな”無限大や無限小”という用語を使わずに、理論を展開したいなと ”εδ論法”を考えたのだった
・まあ、当時としては
大発明。ワットの蒸気機関の発明みたいなものですな
・そして、日本の高等教育では、20世紀の半ばまで、”εδ論法マンセー！”という時代がありました
曰く「（大学に入学した高校生に対して）おまいらの高校数学はいい加減なのだ～。lim →∞ で、ゴマカシだ～！ 大学の数学では”εδ論法マンセー！”なのだ～！」と叫ぶ人多しｗｗ（＾＾；
・しかし、20世紀後半から、新しい発明が出てきました。位相（開集合）を使った収束の定義や、さらに発展させたフィルターやネット、あるいはノンスタ（超準）、そして圏論の極限と余極限
それは、あたかも、蒸気機関から、電気機関車やディーゼルや、ガソリンエンジンなどなどに、変わっていくがごとしなのです（＾＾
・いまだに時代錯誤の”εδ論法マンセー！”を叫ぶ おバカたち、哀れｗｗｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%82%AA%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB
ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィリップ・カントール（1845年3月3日 - 1918年1月6日）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9
カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス（1815年10月31日 ? 1897年2月19日）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%83%83%E3%83%88
ジェームズ・ワット（ 1736年1月19日 - 1819年8月25日）は、スコットランド出身の発明家、機械技術者。トーマス・ニューコメンの蒸気機関へ施した改良を通じて、イギリスのみならず全世界の産業革命の進展に寄与した人物である
つづく >>63
つづき
539 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/07/01(水) 14:46:07.63 ID:k+r32g6d [3/5]
>>538 補足
>・しかし、20世紀後半から、新しい発明が出てきました。位相（開集合）を使った収束の定義や、さらに発展させたフィルターやネット、あるいはノンスタ（超準）、そして圏論の極限と余極限
20世紀後半でもないな
しかし、日本の風潮が変わってきたのは
20世紀後半ではある
そして、21世紀では
”εδ論法マンセー！”は少数派で
時代錯誤でしょうね
それは、「SLサイコー！」と叫ぶ、SLマニアに似ていますね（＾＾
541 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/07/01(水) 15:27:16.93 ID:k+r32g6d [4/5]
>>539 補足の補足
>・しかし、20世紀後半から、新しい発明が出てきました。位相（開集合）を使った収束の定義や、さらに発展させたフィルターやネット、あるいはノンスタ（超準）、そして圏論の極限と余極限
まあ、定期考査や院試を受ける人
”εδ論法”やっといた方が良いよ
でもね
”位相（開集合）を使った収束の定義や、さらに発展させたフィルターやネット、あるいはノンスタ（超準）、そして圏論の極限と余極限”
ここらを総合的に理解しておけば
”εδ論法”なんて、どうってことないのよ（＾＾
つづく >>64
つづき
662 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/07/05(日) 09:37:34.35 ID:UyE0c9o0 [1/7]
>>541-452
”位相（開集合）を使った収束の定義や、さらに発展させたフィルターやネット、あるいはノンスタ（超準）、そして圏論の極限と余極限”
ここらを総合的に理解しておけば
”εδ論法”なんて、どうってことないのよ（＾＾
εδマンセーは古い
距離空間にしか使えないから
早く、位相空間を学びましょう～！（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
(抜粋)
位相空間（いそうくうかん、英語: topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。
収束の一意性は、位相空間に「ハウスドルフ性」という性質を加えると成立する。
X、Y が距離空間である場合、前述した連続性の定義はイプシロン・デルタ論法による連続性の定義と同値である。
距離空間の場合、点列の収束の概念を用いることで連続性や閉集合といった基礎的概念を特徴づけることができたが、一般の位相空間ではそのような事はできない。(これが可能な空間を列型空間という)。
これは点列という概念が、自然数という限定的な添え字しか許さないことや、点の列だけで集合の列を考慮していない事などが原因である。
しかし、そうした側面に対して点列の概念を一般化したものである有向点族やフィルターの概念を用いれば、前述した基礎的概念をこれらの収束性で特徴づけることができる。
これらの収束性を考える利点はもうひとつあり、点列の収束性では必要性しかいえない命題が、これらの収束性を用いれば、必要十分性が言えるときがある。
例えば点列の収束の一意性は、前述したハウスドルフ性の必要条件に過ぎないが、有向点族の収束の一意性はハウスドルフ性の必要十分条件となる。
分離公理とは、位相空間 X 上の2つの対象(点や閉集合)を開集合により「分離」(separate)する事を示す一連の公理、もしくはそこから派生した公理である。
代表的な分離公理としてハウスドルフの分離公理があり、これは以下のような公理である：
つづく >>65
つづき
663 自分返信：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/07/05(日) 09:37:58.37 ID:UyE0c9o0 [2/7]
>>662
X 上の相異なる2点 x、y に対し、x、y の開近傍 U、V があり、U ∩ V =Φである。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Hausdorff_space.svg/220px-Hausdorff_space.svg.png
相異なる2点を分離するそれぞれの開近傍
ハウスドルフの分離公理は、点 x と y が開近傍という位相的な性質を利用して「区別」(separate) できる事を意味している。すなわちX の位相は点の区別が可能なほど細かい事をこの公理は要請している。
全ての位相空間がハウスドルフの分離公理を満たすわけではなく、例えば密着位相の入った空間には開集合は全体集合と空集合しかないのでこのような区別は不可能である。
一方、距離空間は必ずハウスドルフの分離公理を満たし、ハウスドルフの分離公理を満たす空間(ハウスドルフ空間)では点列の収束の一意性が成り立つことが知られている。
ハウスドルフ空間で点列の収束の一意性が成り立つのは、点列の収束先が x なのか y なのかが開集合により区別可能だからである。
このように分離公理は、位相空間上の対象を区別する上で重要な役割を担う。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E9%9B%A2%E5%85%AC%E7%90%86
分離公理
(抜粋)
アンドレイ・チホノフ（英語版）に因んで、チホノフの分離公理とも呼ばれる。
いくつかの分離公理に "T" が付くのは「分離公理」を意味するドイツ語の Trennungsaxiom に由来する。
分離公理に関する用語の正確な意味は時とともに変化してきた。特に、古い文献を参照する際には、そこで述べられているそれぞれの条件の定義が、自分がそうだと思っている語の意味と一致しているかどうか確認しておくべきである。
(引用終り)
以上 >>65
>”位相（開集合）を使った収束の定義や、さらに発展させたフィルターやネット、あるいはノンスタ（超準）、そして圏論の極限と余極限”
>ここらを総合的に理解しておけば
>”εδ論法”なんて、どうってことないのよ（＾＾
理解しておけばってキミ理解してないじゃんｗ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592600706/230 >>66
少し補足と纏めを書いておく
１．”εδ論法”が適用できるのは、位相空間の内の距離空間に対してだが
２．距離空間で、「ある正の数 ε が存在して x を中心とする半径 ε の開球（ε-近傍 , ε-開球）」を考えると、（開）近傍系ができる
（ε-近傍とかよばれ、開集合の公理を満たす）
３．距離空間は、ハウスドルフ（という性質）で、分離公理を満たす。
４．ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ
この”極限の一意性”という性質が、即ち ”εδ論法”の成立つゆえんである
５．さて、開集合の公理で、下記の”３．任意の個数(有限でも無限でもよい)の開集合の和集合は開集合である”がある
（余談だが、小さい開集合の和を取れば、いくらでも大きな開集合は出来るので、ε＝1000000000000 などを考える必要はない！）
６．なので、「如何に小さい開集合が取れるか？」ということが、位相空間の性質を決めるのです
2つの異なる点を分離できるほど、いくらでも細かい開集合が取れるというのが、ハウスドルフであって、距離空間ではハウスドルフが成立ち、”εδ論法”が成立つ
７．つまりは、”εδ論法”というのは、”いくらでも小さい開集合が取れる”という距離空間の性質を、”任意の（小さい）εうんぬん”と言い換えているだけのこと
そいういう見方もできる
８．つまりは、”εδ論法”だけで悩んでないで、早く位相空間という高い視点から眺めるのがいい！！ ということなのです（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
距離空間
(抜粋)
距離空間では、距離を用いて近傍系を定義する事もできるため、位相空間の特殊な例になっている。
フェリックス・ハウスドルフは位相空間の重要な性質として距離・近傍系・極限の 3 つを考察し、近傍系を選び位相空間の公理化を行った。そして、極限や連続性などの概念も距離とは無関係に一般化されていった。
つづく >>68
つづき
距離の誘導する位相
X を距離空間、Aをその部分集合とする。A の点 x について、ある正の数 ε が存在して x を中心とする半径 ε の開球（ε-近傍 , ε-開球）
A を点 x の近傍という。 X における x の近傍の全体 V(x)（近傍は X の部分集合なので V(x) は集合族になる）を x の近傍系という。
このようにして X の各点 x に対しX の部分集合の族 V(x) を対応させる対応は位相空間論における近傍系の公理を満たしており、X を位相空間と見なすことができる。
実数の直積集合における距離
実数全体のなす集合 R に、距離 d を絶対値を用いて d2(x, y) = |x - y| と定めることで、 (R, d) は距離空間になる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
(抜粋)
数学における位相空間（いそうくうかん、英語: topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。
収束の一意性は、位相空間に「ハウスドルフ性」という性質を加えると成立する。
開集合を使った特徴づけ
Xを集合とし、 Oをべき集合 P(X)の部分集合とする。
Oが以下の性質を満たすとき、組 (X, O)を X を台集合とし Oを開集合系とする位相空間と呼び、 Oの元を X の開集合と呼ぶ。
１． Φ ,X ∈ O
２． ∀ O1,O2 ∈ O : O1 ∩ O2 ∈ ∈ O
３． ∀ {Oλ}λ∈Λ ⊂ O : ∪_λ∈Λ ∈ O
これらの性質の直観的意味は下記の通りである
１．空集合と全体集合は開集合である。
２．2つの開集合の共通部分は開集合である。(よって（零個を除く）有限個の開集合の共通部分は開集合 となるが、無限個の共通部分は開集合とは限らない)
３．任意の個数(有限でも無限でもよい)の開集合の和集合は開集合である。
開集合系 {O}}}{O}を一つ定める事で、集合 X が位相空間になるので、OをX 上の位相(構造)と呼ぶ。
つづく >>69
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
ハウスドルフ空間
(抜粋)
ハウスドルフ空間（ハウスドルフくうかん、英: Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ。位相空間の理論の創始者の一人であるフェリックス・ハウスドルフにちなんでこの名前がついている。
定義
X を位相空間とする。X 上の任意の相違なる2点 x, y に対して、U ∩ V = ? であるような x の開近傍 U および y の開近傍 V が必ず存在するとき、Xはハウスドルフ空間であるといわれる。
上の定義と同値な以下のような条件のいずれかによってもハウスドルフ空間の特徴付けられることが知られている：
・X における任意のフィルター（または有向点族）の収束先が高々一つである。
・X の任意の一点からなる単集合はその閉近傍系の共通部分になっている。
例
実数の集合は、その上に通常定義される位相構造によってハウスドルフ空間になっている。
距離空間、あるいは解析学などで扱われるノルム空間やその上で弱位相を考えた空間など様々な空間がハウスドルフ空間になる。
(引用終り)
以上 |∞ め~さま、ごめんなさぃ…
|ﾉд`)ﾟ。ｴﾓﾋﾟ-…
сﾟ*ﾟ\゜けぇ王子様がムリだっただけ。。。
|∞
|д\)ﾟ。ｴﾓﾋﾟ-また…
め~さまにストレスワード書き込んじゃったのかも。。。
|∞ …ｴﾓﾋﾟ-がﾁｮﾛｯと変なこと
|\)ﾟ。書き込んじゃったから…?
め~さまがいなくなっちゃった。。
|∞ ｽﾄﾚｽになっちゃってたら
|´д`)ﾟ。ごめんなさ~ぃ…
с \。゜ｴﾓﾋﾟ-…気がつかなくて。。
|∞。め~さま…ﾎﾞｹちゃわなぃで…
|д\ﾟ)。゜ﾋｨｨｨﾝ…め~さまが具合悪くなっちゃったら、ぜったぃ
ｴﾓのせぃだ~!
|∞。
|д\)ﾟ。ｺﾞﾒﾝﾅｻｨ…
め~さま元気でいてぇ…
|∞。ᔆᵒʳʳᵞ
|\๑)ﾟ。ｺﾞﾒﾝﾈ…
|∞。ｫ休ﾐﾅｻｨ…良い夢を。。。
|\)ﾟ。ずっと元気でいてね。。。
|／
|💞ﾁｭｯ!💞
|＼゜。
|оО(ｾｸﾊﾗ★までしちゃったぁ…
∞
|。○(…ｺﾞﾒﾝﾅｻｨ…ﾂｨ…ﾟ(ﾉд\)ﾟ。 |∞ 🌈お早うございます
|*“)🐣め~さま🐤🍀✨
ぬしさま、みなさま。。。
(ちょっといつもの…おスレ汚しを失礼いたします。。)
若さと健康の維持、認知症の予防に。。。
✨🥕🥬🥒🎃🍅🍆🥑🥔✨✨
✨鮮度の良いお野菜や果物✨
✨🍋🍏🍎🍐(🍓🍈🍉)✨✨
をたくさん召し上がる食生活
と🐑質の良い睡眠🐑💤💭が
良いみたいです。。。
☺🛁🚿充分な水分補給後、
歯磨きと同じタイミング位での
(起床後、朝食後や就寝前の)
毎日習慣的に行うゆっくり入浴🛀も、血行を良くして健康の維持に効果的みたいです。。。
※長湯で沢山汗をかかれる時は入浴前に体重を計っておいて、水分補給してから、入浴中も汗をかいたらこまめに水分補給をして、お風呂上がりにちゃんと
「ＯＳ-１(オーエス-ワン)」
とかで入浴前の体重まで戻すと
わりと安全めな発汗効果が期待出来そうです。。。
※発汗で失われる水溶性ビタミン各種やポリフェノール類やアミノ酸(過剰摂取に気をつけて亜鉛等のミネラルも)等を適量補うと長期間の生活習慣として取り入れても大丈夫かな？って。。。
※治療中の時は、主治医の先生と薬剤師さんに事前にご相談下さい。
※特に、帰宅直後のバスルーム直行からの歯磨き、うがい、専用の鼻洗い水での鼻腔洗浄は、感染症対策に効果的みたいです。。。
コロナ対策にも効果的ですよね？
あと、適度な運動(ウォーキングがベターみたいです)も習慣的に行っていると、いつまでも若さと健康を維持しやすいみたいですね。。。
🐣め~さま🐤みなさま🍀。。。
これからも、ずっとずっと健康でお元気でご長寿で🍀。。。
✨５ちゃんで輝いていてくださいね。。。✨🌈✨ | ∞＼💓ﾁｭｯ!💞／
|∬(*˘³(>>72；)
|=ノ**ﾟ(u )
|≡◎◎ﾟuu
|またｾｸﾊﾗしちゃった~!
|=3 |め~さま💘ﾁｭｩ💞毒💓が
|治らなぃ～！救けて～！ | ( ∞
| (ﾟ(ﾉд`ﾟ)ﾟ。゜ｺﾞﾒﾝﾅｻ~ｨ！
|。○ https://www.nikkei.com/article/DGXMZO61500730U0A710C2000000/
スパコン省電力世界一「夢にも思わず」 快挙の舞台裏
2020/7/26 2:00日本経済新聞 電子版
(抜粋)
「1位を取るとは夢にも思っていなかった」――。人工知能（AI）開発スタートアップのPreferred Networks（プリファード・ネットワークス=PFN、東京・千代田）の平木敬シニアリサーチャーは、喜びと驚きをこう表現した。
2020年6月、PFNのスーパーコンピューター「MN-3」がスパコン消費電力性能ランキング「Green500」で世界1位を獲得した。 (転載)
おっちゃんのスレ２ より
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594163083/65
>紙に書いてよく確認したら、オイラーの定数γは有理数ではなく無理数だ。
>それどころか、γは超越数だ。
まあ
そう思うのが普通だわな
だが、「γは超越数」の厳密な証明となると
難しいみたいだね（＾＾
(引用終り)
＜参考＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0
オイラーの定数
(抜粋)
オイラーの定数（オイラーのていすう、英: Euler’s constant）は、数学定数の1つで、以下のように定義される
γ：＝lim n→∞ （(Σk=1～n 1/k) - ln(n)）=∫1～∞ (1/[x] -1/x)dx
オイラーの定数は超越数であろうと予想されているが、無理数であるかどうかさえ分かっていない
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
Euler?Mascheroni constant
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E7%B4%9A%E6%95%B0
調和級数
(抜粋)
調和級数（英: harmonic series）とは発散無限級数
Σ1～∞ 1/n
のことをいう
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%A9%8D
オイラー積
(引用終り)
さて、
γ：＝lim n→∞ （(Σk=1～n 1/k) - ln(n)）
で、前半 lim n→∞ （(Σk=1～n 1/k) 調和級数だ
nが有限の範囲では、有理数で循環小数だが、nが大きくなると、循環節が長くなる。つまり、規則性が薄くなり、無理数的になることはすぐ分かる
一方
ln(n)は、lim n→∞ で発散することは自明だし、nが自然数なら、ln(n)は超越数
γは、そのlim n→∞の極限で、調和級数部分が 循環節が長くなり、無理数的になるし
一方、ln(n)は超越数であり、有理数にはならない
この簡単は考察から、γ：＝lim n→∞ （(Σk=1～n 1/k) - ln(n)）は、おそらくは無理数（多分超越数）だと予想だされる
だが、その証明が難しいのは、調和級数とln(n)とも、lim n→∞の極限で、発散すること
つまり、二つの発散する数の差が、γだが、これが有理数か無理数か、多分超越数だろうが、2020年の数学では、これを判定する道具はまだないってことだね >>80
関連
調和級数の有限部分が調和数 (発散列)だが
これが、2002年にジェフリー・ラガリアス（英語版）は、
リーマン予想と関連していることを示したという
さすれば、調和数 Hn = 1+1/2+1/3+・・・+1/n =Σ k=1～n (1/k)
あるいは、n→∞ の 調和級数の研究は、数学的に結構深いものがありそう
だから、調和級数からみのオイラーのγも、数学的に深いのではと思う
数学的に深いというのは、難しい反面、面白いってことでもあるのです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0_(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)
調和数 (発散列)
(抜粋)
n-番目の調和数（ちょうわすう、英: harmonic number）は 1 から n までの自然数の逆数和
Hn = 1+1/2+1/3+・・・+1/n =Σ k=1～n (1/k)
である。これは、1 から n までの自然数の調和平均の逆数の n-倍に等しい。
調和数は遥か昔から研究され、数論の各分野において重要である。調和数の極限は、調和級数と呼ばれ（しばしば調和数も含めて一口に調和級数と呼ぶこともある）、リーマンゼータ函数と近しい関係にあり、また種々の特殊函数のさまざまな表示に現れる。
2002年にジェフリー・ラガリアス（英語版）は、
リーマン予想が「不等式
σ(n) <= Hn +ln(Hn)e^Hn
が任意の自然数 n に対して成立し、かつ n > 1 のときは真の（等号無しの）不等式として成立する」
という主張に等価であることを示した。
ここで σ(n) は n の約数和である。
https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number
Harmonic number
(抜粋)
In 2002, Jeffrey Lagarias proved[11] that the Riemann hypothesis is equivalent to the statement that
略 東海道・山陽新幹線の岐阜県の山が隣にあって大きくカーブしたところは、垂井だったようだ。
醒ヶ井は滋賀県の地域そうだ。
滋賀県の草津のほぼ隣に瀬田駅がある。 醒ヶ井は滋賀県の地域「だ」そうだ。
京大は昔行った銀閣寺の近くにあったのか。
暫く京都に行っていないけど、地図で京都を見るのも面白い。 メモ
https://researchmap.jp/read0078210
渕野 昌
https://researchmap.jp/read0078210/published_papers/14775904/attachment_file.pdf
数学と集合論 --- ゲーデルの加速定理の視点からの 考察 渕野 昌 科学基礎論研究 46(1) 33 - 47 2018年
強制拡大や，巨大基数の下での状況の知見やそこでの論法のアナロジーによるZFC での議論などが駆使され，ZFC で成立しうる理論の可能性(のうち人間にとってeligible なもの) の限界への挑戦がなされている．加速定理現象(の，このような研究方法による回避) が，
人間にとっての証明の限界を押し広げてくれる可能性／必然性が高いように思える．
集合論の一般位相空間論，代数，解析などへの応用の研究などを除くと，このような集合論の複数の拡張，論理学の積極的な活用や数学と超数学の間の視点を含む研究形態は，集合論以外の数学の研究分野ではまだ見られることの少ないものであるが29，来たる22 世紀の数学の究極の姿の可能性の一つを示しているものとも考えられるだろう．
上で議論したような意味での加速定理の解釈が，数学の未来がこのような超数学を内包するスタイルの数学研究に向わざるを得ない，という主張の正当性に対する主要な論拠の一つとなっている，と筆者は考えるものである．
6. 追悼と謝辞
本稿の執筆中に竹内外史先生の訃報に接した．本論
文の筆者は，彼の同世代の多くの日本人の数理論理学
研究者と同様に，竹内先生から大きな影響を受けた．
筆者は，集合論研究に関し，本稿でも採られている，
純粋に形式的な超数学での視点から(も) 集合論の体
系を考察する，という姿勢の妥当性や重要性を，まだ
日本で学部の学生だったころ[Takeuti and Zaring,
1971] や[Takeuti and Zaring 1973] から学んでいる．
これらを読んだ直後に書いた筆者の学士論文は，そこ
での基本思想を強く反映するものとなっていた．竹内
先生の上記の本での集合論の扱いは，筆者のその後の
集合論研究者としての人生にも大きな影響を与え続け
てきた．その残映は本稿にも見出されると思う．御本
人に生前直接そのことの感謝をお伝えする機会を永遠
に失なってしまったのは大変に悲しいことであるが，
ここに改めて心からの追悼の意を記したいと思う． メモ
https://researchmap.jp/read0078210
渕野 昌
https://researchmap.jp/read0078210/misc/28009172/attachment_file.pdf
巨大基数と巨大な巨大基数、超数学での無限と集合論的無限、それらに対する有限の諸相
渕野 昌
現代思想 47(15) 51 - 65 2019年12月
数学の進歩ということで言えば、制限された枠組にとどまっている、と
いうことが創造的な行為とは言えないことが多い、ということも長い数学の歴史
が示していることである。数学の進歩は、制限された枠組での数学と、開かれた、
どこまでも拡張する集合論的世界観での数学の間の自由な精神の往復運動の中で
発展するべきだし、脚注2)
でも述べたような、超数学と集合論的数学との間の視
点の移動という、旧来の数学にはなかったスタンスももっと積極的に取り込んで
先に進んでゆくべきだろう。 >>85-86
超実数としての"無限小"数が、実は0に収束する実数列だという
基本的な理解すらない人には全く無縁な話ですよ >>87
そっくりお返しします
全然無関係ｗｗｗｗｗｗ 下記のように、実数の構成を、有理コーシー列と同値関係 ～ から、 X/～ で 実数体R を定義するとき
xnが0以外の要素を含む 有理コーシー列 (xn)が、0 に収束するとき、それは定義上 ”0”そのものであって、"無限小"ではありませんね
まあ、同値関係を、超フィルター F で考えれば、ノンスタ（超準）ですがね
単に”0 に収束する実数列”だけでは、数学的には、おバカですね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
(抜粋)
解析学におけるコーシー列（コーシーれつ、Cauchy sequence）は、数列などの列で、十分先のほうで殆ど値が変化しなくなるものをいう。基本列（きほんれつ、fundamental sequence）、正則列（せいそくれつ、regular sequence）[1]、自己漸近列（じこぜんきんれつ）[2]などとも呼ばれる。実数論において最も基本となる重要な概念の一つである。
目次
1 コーシー数列
1.1 実数におけるコーシー列
2 数学史における位置付け
3 一般のコーシー点列
4 コーシー列の収束性と空間の完備性
5 実数の構成
6 コーシーフィルターとコーシーネット
実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
ここで、(xn) - (ym) が 0 に収束するという関係 ～ は同値関係になる。 この同値関係 ～ で割った[5]商環 X/～ は、同型の違いを除いて一意的に決まる。 この X/～ を R と書き、実数体とよぶ。 学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ ttp://x0000.net
数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学
IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など なんか、くさい、下手くそな あんたのカキコ
下記に書いてある通りでしょ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。
超準解析（英: nonstandard analysis）[1][2][3]は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。N
onstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった[4][5]。
無限小解析（infinitesimal analysis）という言葉で超準解析を意味することもある。
1973年、直観主義者アレン・ハイティングは超準解析を「重要な数学的研究の標準モデル」だと賞賛した。[9]
導入
順序体 F の非零元が無限小であるとは、その絶対値が 1/n（n は標準的自然数）の形をした如何なる F の元よりも小さいことをいう。
無限小を持つ順序体は非アルキメデス的であるという。もっと一般に、超準解析は超準モデルと移行原理に基づくあらゆる形態の数学をいう。
実数に対して移行原理を満たすような体を超実数体といい、超準実解析学はそういった体を実数の超準モデルとして用いる。
基本的定義
本節では超実数体 *R の最も簡明な定義のひとつを概説する。 R を実数体、 N を自然数の成す半環とする。また、 R^N によって実数列の成す集合を表す。
体 *R は R^N の適当な商（後述）として定義される。いま N上の非単項超フィルター F を取る。とくに F はフレシェフィルターを含む。
次の2つの実数列を考える
u=(u_n),v=(v_n) ∈ R^N
このとき u と v が同値であるということを、それらが超フィルターに属す集合上で一致すること、あるいは同じことであるが、次の式によって定義する：
｛ n ∈ N :u_n=v_n｝ ∈ F
この同値関係による R^N の商がひとつの超実数体（a hyperreal field）*R を与える。この状況を簡単に *R= R^N /F と表す。この構成は F による R の超冪と呼ばれる。 >>91
ここは本来の場所ではない 無視されるのはあなた
>>93
自分が理解できない文章をいくらコピーしても無駄だよ
コピーせずに自分だけで読んで理解しようね
他の「人」は全員理解してるから くっさー ww（＾＾
四匹の鳥なき里のコウモリが、いばりくさる５ｃｈ？ ｗ（＾＾；
（鳥なき里の蝙蝠とは、すぐれた者がいないところでは、つまらぬ者が威張っていることのたとえ）
http://kotowaza-allguide.com/to/torinakisatonokoumori.html#:~:text=%E9%B3%A5%E3%81%AA%E3%81%8D%E9%87%8C%E3%81%AE%E8%9D%99%E8%9D%A0%E3%81%A8%E3%81%AF%E3%80%81%E3%81%99%E3%81%90%E3%82%8C%E3%81%9F%E8%80%85,%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%81%A8%E3%81%88%E3%80%82
鳥なき里の蝙蝠 故事ことわざ辞典
【読み】 とりなきさとのこうもり
【意味】 鳥なき里の蝙蝠とは、すぐれた者がいないところでは、つまらぬ者が威張っていることのたとえ。 コウモリは少なくとも二匹いますね
◆yH25M02vWFhP
◆C2UdlLHDRI
あとは知りません >>97
くっさぁー
ヒキコ(ウ)モリ
ID Gy6y7tWX （＾＾；
http://hissi.org/read.php/math/20200802/R3k2eTd0V1g.html
数学 必死チェッカーもどき
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IUTを読むための用語集資料集スレ
0.99999……は１ではない その11
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
グロダンディークの夢－トポスと正多面体
Fラン大学の数学科に迷い込んでしまいました…泣
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 工学部は空を飛べん代わりに
そら偽りで歪んだ我をむくれあガラス >>98
数学で対抗できないと人格攻撃に走るいつものパターン乙 >>100
くっさぁー
ヒキコ(ウ)モリ
ID:SY3ylgSX（＾＾；
今日も、書き込み順位 1 位
５ｃｈ 粘着ご苦労さん （＾＾
他にやることないの？ ｗｗｗｗ(゜ロ゜;
http://hissi.org/read.php/math/20200803/U1kzeWxnU1g.html
必死チェッカーもどき 数学
ID:SY3ylgSX
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現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
0.99999……は１ではない その11
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 tsujimotter氏の図解が良いね（＾＾；
天才を除く現数学科生は、目を通しておくと役に立つだろうな
https://tsujimotter.ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
tsujimotterのノートブック
日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート
2019-06-21
層の定義
最近、スキームの話をきっかけに、tsujimotterのノートブックにも「層」という概念が登場するようになりました。
ところが、これまでのブログ記事では、層の定義は頑なに避けられてきました。その理由は、私自身が理解できていなかったからです。
今回は、いよいよ層の定義をしてみたいと思います。今日のポイントは、具体例の計算です。具体例を通して、層の理解を目指しましょう。
目次：
前層（復習）
前層の例
層の定義（２つの公理）
例１：共通部分を持たない開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例１のまとめ
例２：共通部分を持つ開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例２ まとめ
完全列を用いた層の定義の言い換え
まとめ
補足１：U = Φ の場合
補足２：解析接続と閉条件
参考文献
層の定義においては、この２つの公理が本質的なわけですが・・・。
tsujimotterには、この２つの公理がまーーーーーーったくもってわからなかったのです。
正直言って意味不明でした。どちらもステートメントの意味がわからかったですし、何のためにこのような条件が課されているのかもわかりませんでした。
とはいえ、わからないとばかり言っていてもしょうがありません。どうにかして理解できないかと考えました。
いろいろ試行錯誤をしていくうちに、数学ガールという本の、とある有名なキャッチフレーズを思い出しました。
《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
そういうわけで、具体例の計算をしてみたのです。すると、不思議なことに、層の条件がなんだかわかってきた気がしました。
つづく >>103
つづき
あっ、これ解析接続じゃん！！！
と思うわけです。解析接続との関係については、補足２で改めて言及します。
対象をスキームとして、射をエタール射に置き換えた圏を考えると、その上でエタール層と呼ばれる層の類似物を定義することができます。このエタール層の層係数コホモロジーこそが、あの有名なエタール・コホモロジーです。そう言われるとちょっと嬉しく感じてきますよね。
圏論化することによる層の一般化の話は、整数論サマースクールの三枝先生の記事で読みました。この記事を理解できるようになることが、私の目標の一つです。
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/SummerSchool-0201-2.pdf
(引用終り)
以上 >>103 補足
tsujimotter氏の
「図は制限写像 ρUV のイメージです
よって、この F は前層となります。」
の図を見ると、層＝束（花束あるいは穀物の束）として、もとの仏語”Faisceau”をイメージした方が良さそうですね（＾＾；
因みに、束 (射影幾何学)も 仏語で faisceau[注釈 1]とあります。あれあれ？ｗ
https://dictionary.goo.ne.jp/word/en/sheaf/
sheafの意味 - 小学館 プログレッシブ英和中辞典 goo辞書
[名]（複sheaves /?i?vz/）（穀草の）束；（矢の）一束；（…の）束，ふさ≪of≫（⇒bundle［類語］）
━━[動]他…を束ねる，束にする
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathematiques)
http://yeblog.cocolog-nifty.com/nouse/2008/11/faisceau-be82.html
nouse
フランス語 "faisceau" の読み方
昨夕 (2008/11/17 17:04:21)、キーフレーズ [faisceau 発音] で、このサイトを訪問された方がいらしたようだ。リモートホスト名を見ると、某大学の数学科の関係者ではないかと推察される。まぁ、要するに、「層」の対応フランス語である "faisceau" の読み方をお調べになっていらっしゃたのでしょうね。
適宜の仏和辞典を引く方が、遥かに簡単
発音表記 [fεso] が見つかる筈である。
[fεso] に話を戻すと、これをカタカナにするとしたら「フェソ」ぐらいだろうか。大雑把な意味は「束」ですね。「茎 (stalks)」を束ねたものと云うイメージなのでしょう。因みに、フランス語 "faisceau" の対応イタリア語は "fascio" つまり「ファッショ」で、これも「束」が基本語義。
だから、数学用語としても "faisceau" も「束」と訳した方が素直なのでしょうが、残念ながら「束」は
"bundle" の訳語として使われていたので、別の訳語が当てられたのでしょう (これは私の推測)。
"faisceau" に「層」と云う訳語を当てたのは秋月康夫さんらしい。「輓近代数学の展望(続)」の註にご自身で書いていらっしゃる、その理由が奮っていて:
（有名な話で略す（スレ主））
つづく >>105
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%9F_(%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
束 (射影幾何学)
射影幾何学における束（そく、英: pencil, 仏: faisceau[注釈 1]）は、初めデザルグによって、与えられた特定の一点を通る直線全体の成す族を幾何学的対象として捉えたものを指すものとして用いられた。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/Colouring_pencils.jpg/375px-Colouring_pencils.jpg
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%8A%BD_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
位相空間の中あるいは上の対象の芽（め、が、英: germ）とは、その対象に同種の対象を加えて作られた同値類のうち、局所的な性質が共通するように集めてきたものを呼ぶ概念である。特に、問題の対象として関数（あるいは写像）や部分集合を考えることが多い。このアイデアの特定の実行において、問題の集合あるいは写像は解析的あるいは滑らかのようないくつかの性質をもつが、一般にはこれは必要とされない（問題の写像や関数は連続である必要さえない）。しかしながら、対象の定義されている空間は、局所的という言葉がなんらかの意味をもつために位相空間である必要がある。
名前は層 (sheaf) のメタファーの続きで cereal germ に由来している。穀物にとってそうであるように芽は（局所的に）関数の「心臓 (heart)」であるからだ。
(引用終り)
以上 >>106 補足
>射影幾何学における束（そく、英: pencil,
pencilからみ
下記、Gompf, Robert (2005). "What is a Lefschetz pencil?" (PDF).が分かり易い気がする
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Lefschetz_pencil
Lefschetz pencil
Lefschetz pencil is a construction in algebraic geometry considered by Solomon Lefschetz, used to analyse the algebraic topology of an algebraic variety V.
Contents
1 Description
2 See also
3 References
4 Notes
5 External links
External links
http://www.ams.org/notices/200508/what-is.pdf
・Gompf, Robert (2005). "What is a Lefschetz pencil?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 52 (8).
http://journals.tubitak.gov.tr/math/issues/mat-01-25-1/mat-25-1-2-0103-2.pdf
・Gompf, Robert (2001). "The topology of symplectic manifolds" (PDF). Turkish Journal of Mathematics. 25: 43?59. MR 1829078. >>104
＞あっ、これ解析接続じゃん！！！
＞と思うわけです。
全然違うけどね
だって無限回微分可能関数の層も存在するから
公理２ 閉条件って解析接続でもなんでもなくて
単に局所的関数の貼り合わせによる
大きな範囲の関数が存在する
ってだけだから
で、
公理１ 既約性条件も、
関数がどこの部分でも一致するなら
そもそもおんなじ関数だ
っていうだけだから
＞補足２：解析接続と閉条件
＞つまり、解析接続を表しているのが公理２で、
＞その解析接続された関数の一意性を主張するのが
＞公理１だったということですね。
＞あぁ、層の定義と複素関数論がようやくつながりました。よかった。
よくないよ。全然関係ないし。
ブログの主何者だよ、と思ったら・・・やっぱり工学部卒か、（呆）
しかも、人跡未踏の地の大学、北大
工学部って落ちこぼれの職業訓練学校、ってのは正しいな
工学部卒のトンデモ発言に、同レベルの工学部卒がコロっと引っかかる
世も末だ 「日曜数学者 の「趣味で数学」実践ノート」
の辻なんたらいうド素人は
「解析関数じゃなきゃ層にならない！
だって解析接続の性質がないから！」
とトンデモなこと臆面もなくいいそう（うんざり） >>105-106
わけもわからず、言葉だけで検索しても無駄
束 (位相幾何学)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%9F_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
ファイバー束
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC%E6%9D%9F
断面 (位相幾何学)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AD%E9%9D%A2_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
局所切断と切断の層
ファイバー束はその底空間全域で定義される切断（大域切断、global section）を一般には持たないが、それゆえ局所的にのみ定義される切断というものを
考えることも重要である。
ファイバー束 (E, π, B) の（連続な）局所切断 (local section) とは、
U を底空間 B の開集合とするときの連続写像 s: U → E であって、
束射影 π について U のすべての元 x に対して
π(s(x)) = x をみたすようなものを言う。
(U, φ) が E の局所自明化（つまり F をファイバーとして
φ が π－1(U) から U × F への同相写像を与えるもの）とするとき、
U 上の局所切断は常に存在して、それは U から F への連続写像と
一対一に対応する。
このような局所切断の（U を任意に動かすときの）全体は
底空間 B 上の層を成し、ファイバー束 E の切断の層 (sheaf of sections)
と呼ばれる。
ファイバー束 E の開集合 U 上の連続（局所）切断全体の成す空間は
ときに C(U,E) とも表され、また E の大域切断全体の成す空間は
しばしば Γ(E) や Γ(B,E) と表される。 大域切断と特性類
切断はホモトピー論や代数的位相幾何学で扱われるが、
そこでは大域切断が存在するか否か、
存在するとすればどのくらい存在するか
といったことが主要な研究目的の一つであり、
層係数コホモロジーや特性類の理論が展開される。
例えば、主束が大域切断を持つ必要十分条件は
それが自明束となることである。
また例えば任意のベクトル束は必ず零切断と呼ばれる大域切断を持つが、
至る所消えないような切断を持つのはそのオイラー類が零である場合に限られる。 Dulmage - Mendelsohn分解って重要？ >>112
＞Dulmage - Mendelsohn分解って重要？
Dulmage-Mendelsohn 分解（DM 分解）ね
あまり知らないが、
下記などヒット。大きな行列の連立方程式を解く手法の一種みたい
ビッグデータで、その分野の人には有用なのかもね
でも、一般人には関係ないかも
（参考）
https://patents.google.com/patent/WO2017073714A1/
google Patents
WO2017073714A1
WIPO (PCT)
データベース処理プログラム、データベース処理方法及びデータベース処理装置
(抜粋)
制御部１０はステップ１０８で作成された決定木に基づき、各関係性を２部グラフ（ｎ部グラフ）として抽出し、抽出した２部グラフ毎に最大マッチングを求め、最大マッチングを使用してトポロジカルソートを行なって複数のテーブルに分割する（ダルメージ・メンデルゾーン分解（Dulmage-Mendelsohn decomposition））。
本実施の形態２に係るＤＢ処理装置１の学習データに基づく処理により、異なるＤＢを統合することが可能となり、ビッグデータの解析が可能となる。
https://www.ieice.org/publications/conference-FIT-DVDs/FIT2008/pdf/D/D_023.pdf
FIT2008（第7回情報科学技術フォーラム）
2 部グラフを用いた概念の階層構造抽出
滝本 知宏† 中平 勝子† 三上 喜貴†
1. はじめに
2 部グラフを一意に分割するためのアルゴリズムとして
Dulmage-Mendelsohn 分解（DM 分解）が知られており，
要素数が極めて多い連立方程式の解法[1]，テキストマイニ
ング[2]など広範囲に応用されている． なんか、コテハン設定抜けていたな
>>110-111
あんた、言葉のサラダとか言っていたけと
それを実行しているの？ｗ >>108
必死で笑えるわ
なにを、誤読＆曲解しているのかな？
誤読＆曲解の名人だね、あなたは
もとの全文読めよ
>>103の
日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート
で、いろいろ書かれている内容を見ると
多分、数学科からコンピュータサイエンスへ行った人に見える
その書いてある数学の内容は、しっかりしていると見た >>113
古典的には、ガウス法とか ガウス・ジョルダン法とか
しかし、行列計算をコンピュータ内でやるようになって
それを、いかにうまく処理するか？
アルゴリズムが問題なっています。
大型コンピューターの時代からずっとね。
下記、JICFuS 計算基礎科学連携拠点の記事でも見てください
https://tomari.org/main/java/gauss.html
TOM's Web Site
連立1次方程式の解（ガウスの消去法）
http://www5d.biglobe.ne.jp/~tomoya03/shtml/algorithm/GaussJ.htm
§Algorithm§
☆連立方程式の解－ガウス・ジョルダン法－☆
http://www.jicfus.jp/jp/promotion/pr/mj/2013-1/
JICFuS 計算基礎科学連携拠点
計算科学の推進 > 広報 > 月刊JICFuS
「連立一次方程式」を高速に効率よく解くために 2013.3.19 筑波大学 今倉 暁 研究員
近年では、問題のサイズがどんどん大規模になっています。そのため、扱っている問題を計算するにあたり最適なアルゴリズムや高速化の手法をみつけることが重要です。中でも、計算時間の大半を費やしている連立一次方程式の解を高速で効率よく求めることができれば、宇宙や原子核など様々な分野の研究の進展に役立ちます。
筑波大学計算科学研究センター研究員の今倉 暁（いまくら・あきら）さんは「連立一次方程式と聞くと難しく思うかもしれませんが、小学校で習った「鶴亀算」と同じなのですよ」といいます。今倉さんは、超新星爆発シミュレーションにおける連立一次方程式を解くための手法を研究しています。 >>115
セタ君こそ全文読んで考えろよ
考える脳味噌ないから無理か
解析接続、真に受ける馬鹿にも困ったもんだ
＞多分、”数学科からコンピュータサイエンスへ行った人”に見える
全然外れ
http://tsujimotter.info/
氏名 辻 ＊＊ （****** Tsuji）
学位 博士（情報科学）
研究活動
電波強度に基づく屋内測位 (2009年〜)
マルチエージェントシミュレーション (2014年〜)
テーマパーク問題 (2016年〜)
略歴
20**年*月 北海道大学工学部 卒業
20**年*月 北海道大学情報科学研究科 修士課程修了
20**年*月 日本学術振興会 特別研究員（DC2）
20**年*月 北海道大学情報科学研究科 博士後期課程修了
20**年*月 独立行政法人産業技術総合研究所（特別研究員）
20**年*月 ＊＊大学（助教）
20**年*月〜＊＊大学情報連携学部（助教）
工学部卒だから、数学科じゃないな
はい、セタ君、口からでまかせの大ウソツキ確定 日曜数学者 の「趣味で数学」実践ノート
を見ると、連接層と云う言葉が全く出てこない
多分連接の意味が全く理解できてないんだろうな
代数幾何とか複素幾何とかいう以前 >>114
馬鹿には一切説明しない 理解できないから
リコウなら読めば分かること
馬鹿って・・・生きる価値ないね >>117
検索、ご苦労さん
別に伏せ字にする必要もないだろ
辻 順平さんか
必死の誤読・曲解と、辻 順平さんのディスり、ご苦労さん
笑えるよな
彼の数学レベルは、明らかに、あんたより上とみたぜ ｗ（＾＾；
http://tsujimotter.info/
プロフィール
氏名
辻 順平 （Junpei Tsuji）
略歴
2009年3月 北海道大学工学部 卒業
2011年3月 北海道大学情報科学研究科 修士課程修了
2012年4月 日本学術振興会 特別研究員（DC2）
2014年3月 北海道大学情報科学研究科 博士後期課程修了
2014年5月 独立行政法人産業技術総合研究所（特別研究員）
2016年4月 神奈川大学（助教）
2019年4月～東洋大学情報連携学部（助教） >>120
> 2016年4月 神奈川大学（助教）
> 2019年4月～東洋大学情報連携学部（助教）
曲がりなりにも、大学のアカデミックポスト
どっかのヒキコモリで、必死に５ｃｈの数学板、主に素人スレで、デタラメの落書き投稿している人とは、だいぶ違うよなｗｗ（＾＾ 渕野 昌 フチノ サカエ
先生も、早稲田 理工学部 化学科から、数学科へ移って
神戸大学 工学研究科 教授 から
いま、神戸大学 システム情報学研究科 教授
学科だけでしか、判断できない人は、自分の判断能力の欠如を自白しているようなものだろうね（＾＾
https://researchmap.jp/read0078210/education
渕野 昌
フチノ サカエ (Sakae FUCHINO)
学歴
1979年4月 - 1984年3月Freie Universitat Berlin Fachbereich Mathemtatik
1977年4月 - 1979年3月早稲田大学 理工学部 数学科
1973年4月 - 1977年3月早稲田大学 理工学部 化学科
経歴
2010年4月 - 2020年3月神戸大学 システム情報学研究科 教授
2009年10月 - 2010年3月神戸大学 工学研究科 教授
2001年4月 - 2009年9月中部大学 理学教室 教授
1997年4月 - 2001年3月北見工業大学 情報システム工学科 教授
1996年 - 1997年ベルリン自由大学 私講師
1992年 - 1996年ベルリン自由大学 非常勤講師
1994年ヘブライ大学 助手
1985年 - 1992年ベルリン自由大学 助手
1984年 - 1985年ハノーバー大学 助手 >>121
>デタラメの落書き投稿している人
それおまえｗ >>116 補足
そうそう、ガウス＝ザイデル法とかもあったな
DM 分解は、渡部 善隆「連立 1 次方程式の基礎知識
～および Gauss の消去法の安定性について～」で、１行出てくるね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%B6%E3%82%A4%E3%83%87%E3%83%AB%E6%B3%95
ガウス＝ザイデル法
(抜粋)
数値線形代数におけるガウス＝ザイデル法（～ほう、英: Gauss-Seidel method）とは n元の連立一次方程式A・x^→=b^→を反復法で解く手法の1つである。
ガウス＝ザイデル法とヤコビ法を加速する方法としてはSOR法が知られている。
ガウス＝ザイデル法は、このままでは並列計算できない
一斉にx^→を更新するヤコビ法を使用する。
ヤコビ法は、直列計算ではガウス＝ザイデル法よりも遅いが、容易に並列計算できる。
関連項目
反復法 (数値計算) - ヤコビ法, SOR法
http://ri2t.kyushu-u.ac.jp/~watanabe/RESERCH/MANUSCRIPT/TUTORIAL/leq.pdf
連立 1 次方程式の基礎知識
～および Gauss の消去法の安定性について～
数値解析チュートリアル 2004 資料
2004 年 3 月 渡部 善隆
(抜粋)
なお，本稿は，
渡部 善隆: 連立 1 次方程式の基礎知識～および Gauss の消去法の安定性について～,
九州大学大型計算機センター広報, Vol.28, No.4 (1995), pp.291-349.
http://www.cc.kyushu-u.ac.jp/RD/watanabe/RESERCH/MANUSCRIPT/KOHO/GEPP/intro.html
の内容を加筆，修正したものです．
P28
A が疎行列の場合も，wavefront 法やスカイライン法，DM 分解に基づく方法など，行列の特殊性を生
かした解法が開発されています [9, 52, 64, 80]． >>103
あほサルが、日曜数学者 tsujimotter 氏を、誤解、曲解でディスるので、擁護しておくと
１．日曜数学者 tsujimotter 氏が書いていることは、ちゃんと種本があるのです
（因みに、大概の大学数学の講義も同じで、日本では、ちゃんと種本があるのが普通です。（＾＾；）
２．あほが突っかかっているけど、それ 種本に突っかかっているのと同じで、ドボンですよ
３．日曜数学者 tsujimotter 氏は、種本の層の定義を理解できないので、いろいろ考えた
４．その中で、数学ガールの有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》をやってみた
５．前段で、”前層の例 具体的に例を考えてみましょう。
たとえば X を複素数平面 C として、C 上の任意の開集合 U に対して、F(U) として
「U 上定義された正則関数全体のなすアーベル群」を割り当てる関手 F を考えます。”
としています。あとは、この流れの中です
６．そのうえで、”あっ、これ解析接続じゃん！！！
と思うわけです。解析接続との関係については、補足２で改めて言及します。”
と書いているわけです
７．それを、あほサルが、誤読、曲解しただけの話です。
以上 >>126 補足
もともとが、
”キャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》をやってみた”
って話で、あくまで例示
それを、>>109
"「日曜数学者 の「趣味で数学」実践ノート」
の辻なんたらいうド素人は
「解析関数じゃなきゃ層にならない！
だって解析接続の性質がないから！」
とトンデモなこと臆面もなくいいそう（うんざり）"
とか、必死のディスり
笑える >>126
工学屋の◆yH25M02vWFhPが
同じ工学屋の素人 tsujimotterを
わけもわからず全面擁護
１．～３．
いくら種本があっても、そこに書かれた定義が
理解できない時点でドボン
４．～５．
そもそも例示は余計な条件を持ち込む時点で
誤解に至る可能性大の危険行為
６．
もし、正則関数でなく無限回微分可能関数を考えたら
解析接続が無関係であることがわかったはずです
つまり、単に各部分の張り合わせで作った全体が
存在すればいいだけですから
解析接続のような強い性質は全く求められてない
補足２はまったくトンチンカン
７．
◆yH25M02vWFhPがただネットのブログを
わけもわからず全面信頼して火だるまになっただけ
まったく何回勝手な思い込みに固執して
小学生レベルの初歩的誤りを犯せばすむのやら >>126 補足
> ３．日曜数学者 tsujimotter 氏は、種本の層の定義を理解できないので、いろいろ考えた
> ４．その中で、数学ガールの有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》をやってみた
これは、一般には結構大事
有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
”抽象 ←→ 具体例 ”
これの行ったり来たり
これ、一般には結構大事
グロタンディーク氏は、全てが抽象的思考だとか思われたらしいが
一般には、”抽象 ←→ 具体例 ” これの行ったり来たり
天才のまねをしても、大概の人はだめでしょうね
”全てが抽象的思考”とか、まねしない方がいい
その点
日曜数学者 tsujimotter 氏はえらいね >>129
>”抽象 ←→ 具体例 ”
例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿
>全てが抽象的思考
意味不明
具体例は最低三つはあげること >>130
おサルだな？（＾＾
＜赤ペン先生＞
１）
例が１つだけだと確実に間違う
↓
例が１つだけだと間違う場合もある
２）
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
↓
例えば群の例で、整数しか思いつかないようなもん、かな？
∵自然数に入る演算で和を考えると、逆元の存在が保証されない（積でも同じ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
群 定義 （条件）３（逆元の存在）。（なお）群よりも広い概念として、（条件）1 を満たすものは半群、1 と 2 を満たすものはモノイドという。
(引用終り)
補足：まあ、自然数N mod pとでもしておけば、加群になったろう
３）
具体例は最低三つはあげること
↓
具体例は、自分が良く分かっている事例を 最低一つあげること。多く手も良い
（補足）教科書でも、例は一つの場合多い。但し、事例は多くても可
なお、補足
>>全てが抽象的思考
>意味不明
これ
グロタンディーク伝説：彼の思考が最初から抽象的で、具体例で考察せずに一般論を構築していたことを示すものだという数学者もいる
の話です
有名な話ですよ。でも、グロタンディークは例外で、自分が天才でなければ まねしない方が良いと思う
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF
アレクサンドル・グロタンディーク
(抜粋)
逸話
このエピソードは、彼の思考が最初から抽象的で、具体例で考察せずに一般論を構築していたことを示すものだという数学者もいる。
(引用終り)
なお
https://dic.pixiv.net/a/%E8%B5%A4%E3%83%9A%E3%83%B3%E5%85%88%E7%94%9F
ピクシブ百科事典
赤ペン先生
ベネッセの「進研ゼミ」における在宅添削指導員のことを指す。転じて、マンガの指導・講座に付けられるタグ。
(引用終り)
Postscript
”群の例で、自然数”か
ご苦労様です >>131 誤変換訂正
具体例は、自分が良く分かっている事例を 最低一つあげること。多く手も良い
↓
具体例は、自分が良く分かっている事例を 最低一つあげること。多くても良い >>131
＞”群の例で、自然数”か
グロタンディーク伝説
「ある種の冗談として、57 は「グロタンディーク素数」と言われる。
数学者のアレクサンドル・グロタンディークが
素数に関する一般論について講演をした際、
例として具体的な素数を用いた説明を求められ、
実際は合成数である 57 を挙げたことがあることに由来するという。」
ところで、群の例として、整数以外にあと２つ挙げてくれるかな
できれば非可換のもの スレ違いだよ
分からない問題はここに書いてね462
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1596464706/
まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ
そもそもガロアが考えた理論の
代数方程式の根の置換群は、非可換だよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97
正方行列
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/squareMatrix/
正方行列の基本性質
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0
多元数
多元数（たげんすう、英: hyper-complex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。
多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。
ケイリー?ディクソン代数
この系列の初めの方は、四次元の四元数、八次元の八元数、十六次元の十六元数で、次元が上がるごとに代数的対称性がそれぞれ失われていく。実際、四元数の乗法は可換でなくなり、八元数の乗法は結合的でなくなり、十六元数のノルムは乗法的でなくなる。 （補足）
群は、何も言わなければ、基本的には非可換で
可換群は、”アーベル”と言われる場合が多い
体は、可換体を単に体ということも多いという
非可換な演算を含む場合、斜体。非可換な積を持つ体を非可換体という
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4
アーベル群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
体 (数学)
日本語の語法として、体の定義においてはその積が可換か非可換かについて必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。前者については可換体の項を（初学者にはこちらが取りつきやすいであろう）、後者については斜体（これは「必ずしも可換ではない」体の意味で用いられる）の項を参照されたい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93
可換体
抽象代数学において、可換体（かかんたい、仏: corps commutatif）あるいは単に体（たい、英: field）[注 1]とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。 >>135 訂正
非可換な演算を含む場合、斜体。非可換な積を持つ体を非可換体という
↓
非可換な演算を含む場合、斜体 または、非可換体という
だな
下記の表が参考になるかも（いまいちな表だが）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
体 (数学)
可換のみ 両方 非可換のみ
体 ○ ○
可換体 ○
斜体 ○ ○
可除環 ○
非可換体 ○ >>135
>群は、何も言わなければ、基本的には非可換で
で、例は？
体の話はそれから さて、整数は生成元が１つ（ａ）の自由群である
単位元ｅ 生成元ａ、逆元ａ’
ａ、ａ・ａ、ａ・ａ・ａ、・・・
ａ’、ａ’・ａ’、ａ’・ａ’・ａ’、・・・
演算・は、可換となる 生成元が２つ（ａおよびｂ）の自由群も考えられる
単位元ｅ 生成元ａ、ｂ、逆元ａ’、ｂ’
ａ，ｂ，ａ・ａ，ａ・ｂ，ａ・ｂ’，ｂ・ａ，ｂ・ｂ，ｂ・ａ’，
ａ’・ｂ，ａ’・ａ’，ａ’・ｂ’，ｂ’・ａ，ｂ’・ａ’，ｂ’・ｂ’，・・・
要するに演算・を文字列の結合と考え、
生成元と逆元が隣り合う場合ｅとする
だけで出来上がる
生成元が２つ以上の場合は、演算・は可換でない
（ａ・ｂとｂ・ａは異なる） >>138-139 で既に例を２つ挙げた
2つ目の例で非可換の場合も挙げた
さて、２つの対象の置換による群は、
生成元が１つの自由群に関係式ａ・ａ＝ｅをいれた群と同じ
上記の関係式によりａ’＝ａとなる、
したがって要素はeとaのみになる
より一般的に、巡回群は
生成元が１つの自由群に関係式ａ＾ｎ＝ｅをいれた群と同じ
さらに、３つの対象の置換による群は
生成元が２つの自由群に
関係式ａ・ａ＝ｅ、ｂ・ｂ＝ｅ、（ａ・ｂ）＾３＝ｅをいれたものになる
この場合要素は
e，ａ，ｂ，ａ・ｂ，ｂ・ａ，ａ・ｂ・ａ（＝ｂ・ａ・ｂ）
の６つ >>140
必死だな（＾＾；
(>>134より再掲)
スレ違いだよ
分からない問題はここに書いてね462
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1596464706/
まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ
そもそもガロアが考えた理論の
代数方程式の根の置換群は、非可換だよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%96%B9%E8%A1%8C%E5%88%97
正方行列
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/squareMatrix/
正方行列の基本性質
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E6%95%B0
多元数
多元数（たげんすう、英: hyper-complex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。
多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。
ケイリー?ディクソン代数
この系列の初めの方は、四次元の四元数、八次元の八元数、十六次元の十六元数で、次元が上がるごとに代数的対称性がそれぞれ失われていく。実際、四元数の乗法は可換でなくなり、八元数の乗法は結合的でなくなり、十六元数のノルムは乗法的でなくなる。 >>141
おサルが騒いでうるさいから、重箱の隅だが訂正するなｗｗｗ（＾＾；
誤：まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
↓
正：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな >>142
>正：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな
n次正方行列全体の集合は積について群ではありません。
数学やめれば？キミ向いてないから >>144
◆yH25M02vWFhPの訂正が間違ってるので訂正しますｗ
誤：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな
↓
正：まあ、折角だから書いておくと、正則行列（の成す群）とか多元数あたりな >>142
転載
IUTを読むための用語集資料集スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/429-
参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97
正則行列
正則行列（せいそくぎょうれつ、英: regular matrix）、非特異行列（ひとくいぎょうれつ、英: non-singular matrix）あるいは可逆行列（かぎゃくぎょうれつ、英: invertible matrix）とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。
「有限群の表現」 永尾 汎 裳華房
この”多元環とその表現”が、行列による群の表現論だ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE
群の表現
https://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1310-4.htm
数学選書8 裳華房
有限群の表現
大阪大学名誉教授 理博 永尾 汎・
大阪市立大学名誉教授 理博 津島行男 共著
Ａ５判／426頁／定価5500円（本体5000円＋税10％）／
1987年8月発行，復刊 2001年9月発行
通常表現とモジュラー表現に関する基礎的な事柄をまとめたもので，近年の話題や他書と異なる着想による証明等を含めて，この分野への魅力ある入門書である．
群の表現の研究には，いくつかの方法があるが，本書では一つの方法に固執することは避けた．読者が一層理解が深められるように，計算によって確かめられることを考慮した．
目次 （章タイトル） → 詳細目次
1．環と加群
2．多元環とその表現
3．群の表現
4．直既約加群
5．ブロックの理論
つづく >>145
つづき
http://www.xmath.ous.ac.jp/~shibata/conference/Fin_Grp_Rep.pdf
群と表現の話 Taiki Shibata 筑波大学 2019
概要
群は対称性の記述をはじめとして数学のいたるところに顔を出す．群を表現するとは，抽象的で
ありイメージが掴みにくい群を，よく理解している行列の言葉（線形代数）で「表現」するというこ
とである．群そのものを見るよりずっと広い世界でものを考えることができるという利点がある．
http://rtweb.math.kyoto-u.ac.jp/preprint/nagoya.pdf
表現論の方法と考え方 2000 年度 名古屋大学集中講義 (自然数理特論) 西山 享 (京大)
Abstract
表現論は数学・物理学のさまざまな分野で道具として開発され、かつ有効に使われて
きた。特に量子力学への応用、超対称性など素粒子論の分野や、あるいは整数論 (保型形
式の理論)、組み合わせ論、不変式論や特殊函数論などに大きな影響を与えている。
行列群として、一般線型群 (代数群の代表選手として) と、直交群 (実 Lie 群の
代表選手として) の表現論を扱う。もちろんこの二つの群を同列に扱うことも可能だが、
敢えて二つの異るアプローチを行なう。
GL(n; C ) については行列環上のさまざまな作用を考え、行列の要素のなす多項式環
上の表現を分解したり、あるいは対称行列への作用を考えて同じようにこの表現を分解
したりする方法を学ぶ。その過程で GL(m; C ) GL(n; C )-duality とか Schur の双対律
などにも触れる予定である。
SO(n) については球面上の関数空間への表現を考え、その既約分解が球面調和関数
や、球面のラプラシアンの固有値問題とどのように関わっているかを解説する。時間が許
せば、不定計量の直交群 SO(p; q) や、量子力学との関係についても簡単に解説したい。
http://www.f.waseda.jp/homma_yasushi/homma-lecture.htm
講義ノート 本間 泰史
http://www.f.waseda.jp/homma_yasushi/homma2/download/representation.pdf
有限群の表現，対称群の表現の基礎 本間 泰史 >>145-146
表現論とか全然関係ないから
正方行列Aが正則行列となる条件とか、線形代数の基本だから
マジで知らんのか？
ま、このスレでも読めよ
【大学数学の基礎】εδ、∀∃を語るスレッド
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592600706/ だいたいさー、線形代数の基礎も分からん奴が
ホモロジーとかコホモロジーとか分かるわけないじゃんｗｗｗｗｗｗｗ >>142 補足
>正：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな
細かく書いたら切りが無い（＾＾
現高校数学で、行列を教えるかどうか知らないが
下記旧高校数学Cでは、行列を教えていた
後は、自学自習して下さい
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
(抜粋)
［解説］
● 数については，
ａｂ＝０ならば，ａ＝0またはｂ＝０です。
(対偶で言えば，ａ≠０かつｂ≠0ならばａｂ≠０です。)
● 行列については，
ＡＢ＝０であっても，Ａ＝０またはＢ＝０ とは限りません。
(対偶で言えば，Ａ≠0かつＢ≠0でもＡＢ＝０となることがあります。)
※ 教科書では，「Ａ≠0かつＢ≠0でＡＢ＝０となる行列Ａ，Ｂを零因子という」とされています。教科書としては，これ以上深入りしにくいと思いますが，授業で解説するには，逆に踏み込んだ方が(少なくともこのページの作者には)概念的に分かりやすい：
「Ａ≠0かつＢ≠0でＡＢ＝０となるときＡをＢの左零因子，ＢをＡの右零因子という。」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
(抜粋)
行列環 は、行列の加法および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ n×n 行列全体の集合や無限次行列環 (infinite matrix ring) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。
R が可換環のとき、行列環 Mn(R) は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、M が行列で r が R の元であれば、行列 Mr は行列 M の各成分に r をかけたものである。
行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 R は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。
2×2実行列 の多元環 M2(R) は非可換結合多元環の簡単な例である。四元数と同じく R 上 4 次元であるが、四元数とは異なり、行列単位の積 E11E21 = 0 からわかるように、零因子をもち、したがって可除環ではない。その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 GL(2,R) をなす
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子 （>>131より）
(引用開始)
「例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
ｽﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟｰﾝ!!!!!!
+ ,, * +
" ＋※" + ∴ * ※ *
* * +※ ﾞ* ※ * ＋
+ "※ ∴ * + * ∴ +
* ※"+* ∵ ※ *"
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾； >>148
おサルは、数学科だって？
（>>131より）
(引用開始)
「例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」
って、自然数Ｎが、群の例？
代数できなかったんだね、あなたｗｗｗ（＾＾； >>149
>● 数については，
>ａｂ＝０ならば，ａ＝0またはｂ＝０です。
”数”が曖昧過ぎ、整域を前提にしないと不成立 >>149
>>正：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな
>細かく書いたら切りが無い（＾＾
細かさの問題ではなく「正方行列」は間違い
>その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 GL(2,R) をなす
ほら、コピペ元にはちゃんと「正則行列」と書かれている
「正方行列」を「正則行列」と書けばいいだけ（字数同じ）なのに紙面が足りなかったみたいな言い訳すな >>153
自分の大失言を、取り繕うため、必死に他人のあら探ししてる～ｗ
意図が見え見えで、笑えるわ（＾＾
だがな、他人を攻撃しても、自分の失言は、どうしようもないよね
「自然数Ｎが、群の例？」
アホじゃん。おれと良い勝負だよｗ（＾＾；
（>>131より）
(引用開始)
「例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д)) 追加（下記では"正則"という語は出てこない）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群
(抜粋)
行列群はある体 K、通常は前もって固定される、上の可逆行列からなる群 G で、行列の積と逆の演算をもつ。より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる
線型群は体 K 上の行列群に同型な抽象群である、言い換えれば、K 上の忠実な有限次元表現をadmitする
任意の有限群は線型である、なぜならばそれはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列によって実現できるからだ。無限群（英語版）の中で、線型群は面白く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例はすべての「十分大きい」群を含む。例えば、無限集合の置換からなる無限対称群
基本的な例
可換環 R 上の n × n 行列全体の集合 MR(n,n) はそれ自身行列の加法と乗法の下で環である。MR(n,n) の単元群は環 R 上の n × n 行列の一般線型群と呼ばれ、GLn(R) あるいは GL(n,R) と表記される。すべての行列群は一般線型群の部分群である
古典群
詳細は「古典群（英語版）」を参照
とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群（英語版）である。行列群の係数の環が実数のとき、これらの群は古典リー群（英語版）である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群（英語版）である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす
行列群としての有限群
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい
表現論と指標理論
線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広範囲に渡って使われてきた。とくに表現論は群から行列群への写像を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への準同型を研究する
例
・たくさんの例にはリー群一覧（英語版）、有限単純群一覧（英語版）、単純リー群一覧（英語版）を見よ。
・2000年に braid group Bn がすべての n に対して線型であることが示されたときに長年の予想が解かれた[1]
https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_group
Classical group >>155
「より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる」
と書いたら間違いか？
「より一般に、可換環 R 上の n × n 正則行列を考えることができる」
と書いたら、より丁寧ではあるけれども
でも、「より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる」
の表現で、十分すぎるくらい分かるよね。
群論の文脈で、逆元の存在は、あたりまえ
誤解するやつがいるかもしれないがね
「自然数Ｎが、群の例？」とかな
でも、読み進めれば、すぐ分かる話で
そういうレベルの人には
「より一般に、可換環 R 上の n × n 正則行列を考えることができる」なんて、”正則行列”？？？？ と
よけい、そこで詰まって、理解が進まないかもよ
「より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる」
という表現で十分だよね（＾＾ >>155
>追加（下記では"正則"という語は出てこない）
ぶぁーか
>MR(n,n) の単元群は環 R 上の n × n 行列の一般線型群と呼ばれ
単元て書いてあるやんｗ おまえ単元が何か分からんの？ >>157
>下記では"正則"という語は出てこない
これがコピペ脳の限界ｗ >>149
>● 行列については，
>ＡＢ＝０であっても，Ａ＝０またはＢ＝０ とは限りません。
>(対偶で言えば，Ａ≠0かつＢ≠0でもＡＢ＝０となることがあります。)
なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ
>行列環
>（2×2実行列の）可逆元は正則行列でありそれらは群、
>一般線型群 GL(2,R) をなす
おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ
読字障害かよ >>153
＞「正方行列」を「正則行列」と書けばいいだけ（字数同じ）なのに
＞紙面が足りなかったみたいな言い訳すな
◆yH25M02vWFhPはサイコパスだからな
平気で嘘つくよ >>155
>追加（下記では"正則"という語は出てこない）
おまえ、idiotだろｗ
>上の可逆行列からなる群 G
おまえ、可逆行列知らないの？知らないなら真っ先に調べろよｗ
>MR(n,n) の単元群は環 R 上の n × n 行列の一般線型群と呼ばれ
おまえ、単元知らないの？知らないなら真っ先に調べろよｗ
「M が単位的半群であるとき、
その単位元に対する（左、右）可逆な元を
それぞれ（左、右）単元 (unit) と呼ぶ。」
「群や単位的半群に対しては、それを半群と見るとき、
その元が正則（一般化可逆、擬可逆）元であること、
単位元に対する可逆元であること、
および単元であることの概念は一致する。」 >>156
＞「より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる」
＞と書いたら間違いか？
尋ねるな 証明せよｗ
＞でも、
＞「より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる」
＞の表現で、十分すぎるくらい分かるよね。
何が十分わかったのか？
逆元の存在が論理的に十分わかった、つまり、証明できたのか？
なら証明を示してごらん 今、ここで！！！ｗｗｗ
さあ示せ！ 今示せ！ ここで示せ！ｗｗｗｗｗｗｗ >>156
＞”正則行列”？？？？ と
＞よけい、そこで詰まって、理解が進まないかもよ
そんな馬鹿野郎の貴様は数学に興味ないんだから
数学板に書くなよ いや 数学板読むなよｗ
おまえ、どこの大学だよ
いい加減国立大阪大学卒とか見え透いたウソつくなよ
大阪大学卒が行列のランクも行列式も正則行列も知らないわけないだろｗ
大阪のどの大学卒だ？ん？白状しろ？
その大学に尋ねてやるから 線形代数教えてるのか、と >>165
＞基地害
同意
（>>154 再録）
自分の大失言を、取り繕うため、必死に他人のあら探ししてる～ｗ
意図が見え見えで、笑えるわ（＾＾
だがな、他人を攻撃しても、自分の失言は、どうしようもないよね
「自然数Ｎが、群の例？」
アホじゃん。おれと良い勝負だよｗ（＾＾；
(引用開始)
「例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д)) >>166
＞＞「自然数Ｎが、群の例？」
＞おれと良い勝負だよ
どこにもいない馬鹿相手に吠える大馬鹿ｗｗｗ
それにしても今時行列のランクも行列式も知らんくせに
「俺様は大阪大学工学部卒で資源工学専攻」とか
口から出まかせの嘘つくサイコパスがいるとはなｗ
誰になりすまそうとしたのかしらんが
なりすまされたヤツはいい迷惑だろうｗｗｗ
基地害は◆yH25M02vWFhP、おまえのことだよ
このウソツキサイコパス >>166
粗探しとは？
「ｎ次正方行列全体の集合は積に関して群構造を持つ」は間違いです。 >>160
>おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
笑える
「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」
”正則”と”零因子”は、関係あり（＾＾；
（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1262110917
数学の質問です Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない dan********さん2011/5/12 yahoo
(抜粋)
Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない
この２つが対偶の関係にあるということはわかるのですが、実際に証明で示すことができません(汗
ベストアンサーに選ばれた回答
たろうさん 2011/5/12
Aが零因子であるとは
AB = Oが成り立つ行列Bがあって, しかもA≠OかつB≠Oであるということです
[ Oは零行列を表します ]
このときもしもAが正則だとしたら
B≠Oのはずなのに
AB = Oの両辺にAの逆行列を掛けることでB = Oに変形できてしまいます
したがって
Aが零因子なら Aは正則でないことが分かります
http://izumi-math.jp/K_Oguri/insi/insi.htm
北数教 第４２回 数学教育実践研究会 －教育現場のおける基礎研究－
行列における零因子の構造
平成1４年８月3日(土) 北海道小樽桜陽高等学校 北海道石狩南高等学校 数学科教諭 小栗 是徳
(抜粋)
『零因子⇒逆行列をもたない』ことが予想されるので，これを背理法によって証明。（必要条件）
https://mathtrain.jp/seisokumatrix
高校数学の美しい物語
最終更新:2016/05/01
行列が正則であることの同値な条件と証明
n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
・AB=BA=I（単位行列）となる行列 B が存在する
・detA≠0
・rankA=n
・KerA={0→}
・全ての A の固有値が 0 でない
http://izumi-math.jp/K_Oguri/insi/insi.htm
北数教 第４２回 数学教育実践研究会 －教育現場のおける基礎研究－
行列における零因子の構造
平成1４年８月3日(土) 北海道小樽桜陽高等学校 北海道石狩南高等学校 数学科教諭 小栗 是徳
(抜粋)
『零因子⇒逆行列をもたない』ことが予想されるので，これを背理法によって証明。（必要条件） >>169
訂正
”http://izumi-math.jp/K_Oguri/insi/insi.htm
北数教 第４２回 数学教育実践研究会 －教育現場のおける基礎研究－
行列における零因子の構造
平成1４年８月3日(土) 北海道小樽桜陽高等学校 北海道石狩南高等学校 数学科教諭 小栗 是徳
(抜粋)
『零因子⇒逆行列をもたない』ことが予想されるので，これを背理法によって証明。（必要条件）”
がダブり
一つ消して下さい（＾＾； ピンチになると
複数ＩＤを使い分けか
過去にもあったね
ｗｗｗ（＾＾； >>169
＞n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
＞・AB=BA=I（単位行列）となる行列 B が存在する
＞・detA≠0
＞・rankA=n
＞・KerA={0}
＞・全ての A の固有値が 0 でない
で、証明できるかな？
∞流大学すら落ちこぼれた君にｗｗｗ
証明もできんクソが、零因子ガーとかいっても無駄ｗ >>169 補足
”「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」”
「正則でない正方行列は零因子である」も成立
よって、”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですなｗｗｗｗｗ（＾＾
（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13193818648
線形代数学の問題です。
yuk********さん2018/7/2910:07:04
線形代数学の問題です。
正則でない正方行列は零因子であることを示せ。
を詳しく説明していただきたいです。
また、零因子も教科書見てもイマイチよくわかってないので解説していただけたら嬉しいです。
ベストアンサーに選ばれた回答
wgf********さん 2018/7/2911:15:58
正方行列A(≠O)が零因子であるとは. AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです
Aの余因子行列A~を用いて
AA~=|A|Eという関係式が成り立っている
仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である
よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です
（上と同じだが）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13131710908
Aが正則でなければ、Aは零因子である事は正しい
him********さん2014/7/10 yahoo
Aが正則でなければ、Aは零因子である事は正しいですか？
間違っていますか？
正しいならば証明を
間違っていれば反例をお願いします。
ベストアンサーに選ばれた回答
zg8********さん 2014/7/10
ＡとＡの余因子行列Ａ～に対して
Ａ・Ａ～＝ｄｅｔ（Ａ）Ｅ
が成り立ちます
これの証明は余因子展開を参照してください！
Ａが正則でなければｄｅｔ（Ａ）＝Ｏ
なので
Ａ・Ａ～＝Ｏ
Ａは零因子となります
（余因子展開）
https://oguemon.com/study/linear-algebra/cofactor-expansion/
oguemon_com
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門
余因子と余因子展開
2019年9月16日
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E5%B1%95%E9%96%8B
余因子展開 >>173
で？
おまえ、証明理解できなかったんだろ？
「いかなる行列も可逆！零因子？そんなもんないない！」
と絶叫したidiotだもんなｗｗｗｗｗｗｗ
どこの白痴大学出身だよ さっさと白状しろ このサイコパス野郎ｗ >>173
＞ＡとＡの余因子行列Ａ～に対して
＞Ａ・Ａ～＝ｄｅｔ（Ａ）Ｅ
＞が成り立ちます
＞これの証明は余因子展開を参照してください！
君、余因子展開知らんだろ？
馬鹿は背伸びするな
ひっくりこけて肥壺で溺死するぞｗｗｗｗｗｗｗ おサルの おバカ伝説がまた一つｗ（＾＾；
＜「正則行列」の話＞
（>>160より）
なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ
>行列環
>（2×2実行列の）可逆元は正則行列でありそれらは群、
>一般線型群 GL(2,R) をなす
おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ
(引用終り)
さてさて
”「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」”
及び
「正則でない正方行列は零因子である」
も成立
よって、”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですな！！
（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13193818648
線形代数学の問題です。
yuk********さん2018/7/2910:07:04
線形代数学の問題です。
正則でない正方行列は零因子であることを示せ。
ベストアンサーに選ばれた回答
wgf********さん 2018/7/2911:15:58
正方行列A(≠O)が零因子であるとは. AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです
Aの余因子行列A~を用いて
AA~=|A|Eという関係式が成り立っている
仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である
よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1262110917
数学の質問です Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない dan********さん2011/5/12 yahoo
(抜粋)
Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない
この２つが対偶の関係にあるということはわかるのですが、実際に証明で示すことができません(汗
ベストアンサーに選ばれた回答
たろうさん 2011/5/12
Aが零因子であるとは
AB = Oが成り立つ行列Bがあって, しかもA≠OかつB≠Oであるということです
[ Oは零行列を表します ]
このときもしもAが正則だとしたら
B≠Oのはずなのに
AB = Oの両辺にAの逆行列を掛けることでB = Oに変形できてしまいます
したがって
Aが零因子なら Aは正則でないことが分かります
(引用終り) >>176 補足
「正則行列」と
零因子とは関係ない
どころか
”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですな！！
だれが、行列を分かってないのかな？ｗｗ（＾＾； >>177
なんかアタマの狂った奴だなあ
逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・
し・か・し、もし線形代数を学んでいるなら
まっさきに「行列式が０でない」を想定する筈
実際、零因子かどうかの判定も実質的に
「行列式が０か否か」になっている
そこをすっとばして零因子に食いつく時点で
「こいつ、まともな線形代数の教育を全く受けてない野蛮人だな」
とわかる
つまり国立大学の工学部卒というのは嘘っぱちだと分かる
いやしくも国立大学であるなら線形代数の講義はあるし
そこで君のような馬鹿丸出しの回答をすれば確実に落第するから
よほど低レベルの私立大学で、馬鹿でもできる行列計算さえできれば
通してしまうようなザル講義をうけたとしか考えられない
どうせ君は
「Aの逆行列はA~/|A|」
とかいう「公式」を記憶しただけなんだろう
で、上記の公式がそもそも行列式|A|が0のときには通用しない
ということすら今の今までまったく認識しないほどの馬鹿野郎
だったんだろう
そんな馬鹿が大阪大学に入れるわけないだろｗｗｗｗｗｗｗ
在学してたというなら在学証明書うｐしてみろｗｗｗｗｗｗｗ おサルの おバカ伝説がまた一つｗ（＾＾；
＜「正則行列」の話＞
（>>160より）
なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ
>行列環
>（2×2実行列の）可逆元は正則行列でありそれらは群、
>一般線型群 GL(2,R) をなす
おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ
(引用終り)
さてさて
”「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」”
及び
「正則でない正方行列は零因子である」
も成立
よって、”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですな！！
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д)) >>169
証明、証明かｗ
いまどき、そんなものネット上にありますがなｗ（＾＾；
「高校数学の美しい物語」（＾＾
(引用開始)
https://mathtrain.jp/seisokumatrix
高校数学の美しい物語
最終更新:2016/05/01
行列が正則であることの同値な条件と証明
n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
1.AB=BA=I（単位行列）となる行列 B が存在する
2.detA≠0
3.rankA=n
4.KerA={0→}
5.全ての A の固有値が 0 でない
(引用終り)
”行列が正則であることの同値な条件と証明”とあるとおり
以下では1から5の同値性を証明していきます。2ならば1の証明については概要のみ示します。
5つの条件が同値であることの証明
まずは1と2の同値性を証明します。
まずは1と2の同値性を証明します。
1ならば2の証明
積の行列式は行列式の積と等しいので AB=I となるとき，
detAdetB=detI=1
よって detA≠0
2ならば1の証明
detA≠0 のとき，B=A~/detA
（ただし A~ は A の余因子行列，つまり ij 成分が「A から j 行目と i 列目を除いた行列の行列式に (?1)i+j をかけたもの」である行列）
とおくと，AB=BA=I となることが確認できる（→補足）。
次に2と3の同値性です。前提知識：ランク標準形
2 ←→ 3の証明
行列式が 0 でない行列 S,T をうまく取ってくると
SAT=(IOOO)
という形にできる（ランク標準形）。
略
次に3と4の同値性です。前提知識：次元定理
3 ←→ 4の証明
次元定理より，rankA=n?dim(KerA)
よって，rankA=n であることと KerA の次元が 0 であることは同値。
最後に2と5の同値性を証明することで5を仲間に入れます。
2 ←→ 5の証明
A の固有値を λ1,?,λn とすると，
detA=λ1?λn である（→補足）。
（行列式は固有値の積）
よって detA≠0 と，全ての A の固有値が 0 でないことは同値。 山の上のロジック学園……青葉レオ
数学セミナー 2016年4月号
これ、東北大 田中 一之先生のところの記事だったか
青葉＝Aoba （Scientia） だったのかね（＾＾
https://www.sci.tohoku.ac.jp/about/pdf/no-24.pdf
東北大学大学院理学研究科・理学部 ニュースレター Aoba Scientia No.24 2016.3
P4
研究室訪問
応用数理講座 田中研究室 数学専攻 教授 田中 一之
(抜粋)
私たちの研究室の業績として、海外でも一応認知されているのが
「逆数学」という研究プログラムにおけるいくつかの成果です。このプロ
グラムは、数学の定理を証明するのにどれだけの公理が必要かを調べ
るものです。数学は、学ぶ立場では公理から定理を導く証明の集積に
見えますが、研究する立場では、ある命題を導くのにどんな仮定や道具
が必要かなどと考えていることが多いと思います。例えば、解析学の授
業では、自然数、実数、連続関数、微積分．．．というように概念が組み
立てられているのに対し、それらの厳密な概念が発見された歴史は真
逆なのです。「逆数学」といっても、何か奇抜なことをやっているわけで
はなく、体系化が進むと忘れられてしまうような発見の歴史や、異なる
理論間の感覚的な類似性などを何とか捉えようとしているわけです。
しかし、ロジックの専門家は日本にまだ一握りしかいないため、私
は年に数回一般向けの講演会をボランティアで行っています。そん
な私の活動をモデルにしたらしい（かなりコミカルに作り変えられて
います）物語が、月刊誌『数学セミナー』（日本評論社）に４月から連
載されることになりました。「山の上のロジック学園」（青葉レオ文、バラマツヒトミ絵）という題名
です。興味のある方は是非ご覧ください。
（日本評論社とバラマツさんのご厚意で、イラストを転載します。）
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/7059.html
数学セミナー 2016年4月号
［新連載］山の上のロジック学園……青葉レオ 56
特別授業1日目 等式のロジック
［新連載］数の世界の散歩道──整数論に導かれて……落合 理 63
広がっていく数の世界(1) >>181
補足
青葉？ とか思っていたのだが
田中 一之先生ね
結構、面白い話だね
”［新連載］数の世界の散歩道──整数論に導かれて……落合 理 63
広がっていく数の世界(1)”
も結構面白い メモ貼る
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/
Sendai Logic Homepage
仙台ロジック倶楽部
東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 田中一之 Outreach
http://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/tanahome.html
東北大学 数学基礎論セミナー Sendai Logic Seminar
田中一之 教授
2011年7月15日改訂
http://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/
Kazuyuki Tanaka
Mathematical Institute, Tohoku University
Last modified on July 16, 2011 >>173 補足
余因子と逆行列の関係は、下記の方が適切だったね
あと、下記「行列が正則である条件」を是非見て下さい
”行列が正則である条件
正方行列Aが正則である←→|A|≠0
つまり、行列式が0であるかを確かめることで、逆行列を持つかが簡単にわかります！”
ってことね
だから、非正則行列は、|A|＝0ってこと
|A|＝0のときに、Ａは零因子であるは、>>173の通り
「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと行列をしっていれば、すぐ分かること（＾＾；
（参考）
https://oguemon.com/study/linear-algebra/inverse-matrix/
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
(抜粋)
前回の記事では、行列（正方行列）の余因子について扱いました。今回は、行列式と余因子を用いて逆行列を求める方法について扱います。
目次（クリックで該当箇所へ移動）
余因子から逆行列を求める
逆行列の公式
行列が正則である条件
逆行列を求める例
逆行列を求める2つの方法
おわりに
余因子から逆行列を求める
逆行列の公式
行列が正則である条件
ここで、ある正方行列が正則である（逆行列）を持つための条件について触れます。
逆行列を持つか否かは、行列式の値を確認することで簡単に確かめられます。
行列が正則である条件
正方行列Aが正則である←→|A|≠0
つまり、行列式が0であるかを確かめることで、逆行列を持つかが簡単にわかります！
理由は簡単。
正則 → |A|≠0
Aが正則であるとき、A?1が存在するので、行列式の性質より、
|A||A?1|=|AA?1|=|E|=1
が成り立ちます。
2つのスカラーの積が0でないということは、掛け合わせている2つの値は共に0でないの
で、|A|≠0が言えます。
|A|≠0 → 正則
先ほど出てきた行列1/|A| t[Aij]が定義でき、これを左右のどちらから掛け合わせてもEが導かれます。
よって、逆行列を持つ、すなわち正則であると言えます >>184 補足
なお、下記の行列式の性質は知っておくと便利
（まあ、常識ですが）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
(抜粋)
行列式の性質
行列式の基本的な性質として以下が成り立つ。
det(AB)=det(A)det(B)
など >>183 補足
仙台ロジック倶楽部の左上に小さいリンク集があって
下記などに飛べるよ（＾＾
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/home/logic-ru-men-jie-shuo
仙台ロジック倶楽部? > ?
Logic入門解説
(抜粋)
※ピンクの見出しをクリックすると、詳細な解説を見ることができます。
数学基礎論入門 （『数学完全ガイダンス』より抜粋，一部修正）
・「数学基礎論」とは
・基礎論の３大定理（ゲーデルの完全性定理、ゲーデルの不完全性定理、ゲンツェンの基本定理）
逆数学のすすめ （『逆数学と２階算術』(河合出版 1997)より）
・「逆数学」とは何か
・その目的とあらまし
・二階算術とその体系
https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/home/shu-ji
仙台ロジック倶楽部? > ?
読み物
(抜粋)
※ピンクの見出しをクリックすると、詳細な解説を見ることができます。
ゲーデルの定理 あとがき （フランセーン著『ゲーデルの定理 利用と誤用の不完全ガイド』の訳者あとがき）
→本書の内容を手っ取り早く理解したい方にオススメ．
数学基礎論と消えたパラドックス（『数学セミナー』1993年8月号より）
→パラドックスから数学基礎論の誕生，不完全定理への流れを解説．
数学の「はだいろ」 （『数学セミナー』1999年8月号巻頭言）
→「数学」の「数」という言葉について．
基礎の論争 （『数学の基礎をめぐる論争』より）
→「数学の基礎をめぐる論争」のダイジェスト版？興味を持った方は，是非とも買いましょう．面白いです． >>180
＞証明、証明かｗ
＞いまどき、そんなものネット上にありますがなｗ
で、君は理解できたの？できてないんでしょ？じゃ、無意味だね
＞n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
＞1.AB=BA=I（単位行列）となる行列 B が存在する
＞2.detA≠0
＞まずは1と2の同値性を証明します。
どうぞ
＞1ならば2の証明
＞積の行列式は行列式の積と等しいので
君、証明した？ここで示して
＞AB=I となるとき，
＞detAdetB=detI=1
＞よって detA≠0
肝心なところを抜くから、君の脳の中に
行列式detが定着しないんだよ
まず
・行列式detを定義せよ
・上記の定義で、detAB=detAdetB となることを示せ
それが数学
君がやってるのは、数学ゴッコ >>184 補足
下記”行列環”も常識だけど
ご参考まで
行列の常識があったら、
「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」
もまた常識です
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
(抜粋)
例
・2×2実行列 の多元環 M2(R) は非可換結合多元環の簡単な例である。
四元数と同じく R 上 4 次元であるが、
四元数とは異なり、行列単位の積 E11E21 = 0 からわかるように、零因子をもち、
したがって可除環ではない。
その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 GL(2,R) をなす。
性質
・n ? 2 に対して、行列環 Mn(R) は零因子と冪零元をもち、再び、同じことは上三角行列に対しても言える。 >2ならば1の証明
>detA≠0 のとき，B=A~/detA
>（ただし A~ は A の余因子行列，
> つまり ij 成分が「A から j 行目と i 列目を除いた行列の
> 行列式に (?1)i+j をかけたもの」である行列）
>とおくと，AB=BA=I となることが確認できる（→補足）。
他人の言葉を鵜呑みにせず、証明して
君は結局小学校の算数と同じ形でしか大学の数学を学べていない
要するにセンセイのいった式を「そうかそうかそうなんだ~」と
何の疑いもなく盲信して、馬鹿の如く計算するだけ
数学はそういうもんじゃないよ
なぜその式が成り立つのか論理的に示す それが数学
そこすっ飛ばしたら、ただの計算技能でしかないよ
大学で「算数の授業」を期待するなよ オコチャマ君 >>180
＞n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
＞2.detA≠0
＞3.rankA=n
＞2 ←→ 3の証明
＞行列式が 0 でない行列 S,T をうまく取ってくると
＞SAT=
＞(IO）
＞(OO)
＞という形にできる（ランク標準形）。
＞略
君、読んでないね 読んだとしても理解できてないね
なぜ？ もし理解してたら必ず引用すべき箇所を引用しなかったからさ
＞積の行列式は行列式の積と等しいので
＞detSdetAdetT=
＞det(IO）
＞ （OO)
＞となる。
＞よって，detA≠0 であることと
＞ A のランクが n であること
＞（右辺の行列が単位行列になる）
＞は同値。
なぜそうなるかわかるかい？
ランク標準形の行列式は
対角成分の積になるからさ
（行列式の定義を知っていたら１秒以内でわかる）
だから、ランクがｎでなければ、行列式は０になり得ない
君は真っ先に行列式の定義を知るべきだね
実は全然知らないだろｗ >>180
>n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
>3.rankA=n
>4.KerA={0→}
>3 ←→ 4の証明
>次元定理より，rankA=n?dim(KerA)
>よって，rankA=n であることと KerA の次元が 0 であることは同値。
はい、０点
以下の次元定理を証明しようねｗ
「行列における次元定理：
A を m×n 実行列とするとき， rankA+dim(KerA)=n」
https://mathtrain.jp/ranknullity >>184
>”行列が正則である条件
>正方行列Aが正則である←→|A|≠0
>つまり、行列式が0であるかを確かめることで、
>逆行列を持つかが簡単にわかります！”
大学1年で線形代数学んだ人なら皆知ってるよｗ
ここが最も重要な成果の一つだからな
ｎ×ｎ行列をｎ個の列ベクトルに分解したとき
行列式が０でない⇔ｎ個の列ベクトルが一次独立
という関係になる
なぜなら
ｎ個の列ベクトルの１つが他のｎ－１個の線形結合となる
⇔行列式が０
となるから
君は「余因子」に異常に固執してるけど、
それは君が「計算至上主義、公式至上主義」だから
まず逆行列の計算が頭にあって、
逆行列の公式を覚えることを
最終目標にしてるだろ？
それを「算数学習」っていうんだよｗ
あのな、行列式の定義の仕方によっては、今言った
「 ｎ個の列ベクトルの１つが他のｎ－１個の線形結合となる
⇔行列式が０」
なんかもう自明なくらいあったりまえなんだよ
さて、行列式をどう定義すればいいでしょう？（ニヤニヤ）
ここで数学科とそれ以外の理工系学生の差が如実に分かるね >>176 補足
＜「正則行列」の話＞
>よって、”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですな！！
そうそう、証明と同様に”理解”というのが、とても大事ですね（＾＾
神脳 河野玄斗くんも書いています（下記）
”暗記科目でも、まずは理解に専念して全体像をつかむ”
”数学の勉強法：問題を解く際に常にその抽象論を意識する。
解き方丸暗記ではなく、 解き方の背景にある理屈を説明できるように。”
（参考）
http://kosodatedoctor.ハテナブログ/entry/2019/06/05/173848
Dr.よつばの医師夫婦育児日記
2019-06-05
読書録125 東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっているシンプルな勉強法 ネタバレ
(抜粋)
※勉強は、幹から押さえることが重要※
→枝葉にこんつめて失敗することがない。
→メリハリづけ、優先順位をつけることで効率ＵＰ
※人に教えることが最良のアウトプット※
→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する。
→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる。
「勉強は、 全体像を常に意識して一区切りしたら人に教えるノリで要約してい く。
暗記科目でも、まずは理解に専念して全体像をつかむ。
説明すると、頭の情報が自分の言葉で言語化されるし、 要約するとこれだけか、とわかる。
※読み飛ばし勉強法※
一度教科書を読んだら、すぐにもう一度30秒ほどで読む。
(8)独学の意識を持つ
教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。
講義はあくまで独学を補助するツール。
まず独学して、わからないところだけ先生に聞く。
講義は自分に必要な最低限にとどめ、まずは自習時間を確保。
■■高校大学受験を完全攻略する■■
■数学■
(1)数学を学ぶメリット
1、問題解決能力
与えられた条件からわかることと、 ゴールを求めるために必要なこと
逆算勉強法と同じ
つづく >>194
つづき
2、論理的思考力
必ず正しいと言える論理を積み重ねて答えにたどり着く
論理の筋が通っていて飛躍はないか
(2)数学の勉強法
1、基本問題はパターンを攻略する
問題を解く際に常にその抽象論を意識する。
解き方丸暗記ではなく、 解き方の背景にある理屈を説明できるように。
2、応用問題は基本問題を軸とした再現性が重要
応用は基本の組み合わせ、基本の使われ方も学べる。
初見で解法を思いつくようになるためにはどうするか、 考え抜くことが、数学におけるPDCAサイクル
必然性を持って再現できる理屈をふに落とす
(3)数学の楽しさ
沢山ある基本問題の背景に一貫した理屈を見つけたとき、 点が線になり世界が広がる感覚
→複数の問題の根底にある抽象論を抽出するのが大切
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B2%B3%E9%87%8E%E7%8E%84%E6%96%97
河野玄斗
河野玄斗（こうの げんと、1996年3月6日[1] - ）は、日本のタレント、YouTuber。
単著
東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっている-シンプルな勉強法
https://booklive.jp/review/list/title_id/545923/vol_no/001
booklive
【感想・ネタバレ】東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっている シンプルな勉強法のレビュー
東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっている シンプルな勉強法
河野玄斗
https://res.booklive.jp/545923/001/thumbnail/2L.jpg
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(引用終り)
以上 >>194
＞ 解き方の背景にある理屈
行列式|A|の公式的な定義と、余因子A~の定義と、
逆行列A^(-1)=A~/|A|だけ見て
「逆行列が100％分かったー！」
とほざく算数馬鹿の君がいっても無意味な言葉
どうせ君は
「正方行列Aは可逆行列と零因子に分けられる」
というだけで分かって気になれる
オメデタイ馬鹿なんだろうｗ >>194-195
＞1、問題解決能力
＞2、論理的思考力
算数野郎◆yH25M02vWFhPには
公式を使って計算する１はあるかもしれんが
そもそも公理に基づき論理的推論で定理を証明する２は無理
その証拠に
・行列式を定義できない
・なぜ可逆行列の行列式が０なのか示せない
こんなヤツが「IUTガー」とかいっても🐎に念仏🐷に真珠
ま、IUTはそもそも念仏でも真珠でもないから🐎や🐷には相応しいかｗ 行列
(1 2 3)
(4 5 6)
(7 8 9)
の行列式の値は？
ヒント
・公式で計算するヤツは🐎🦌 >>194 補足
１．理解が大事。その通りです
２．大学入試などでは、応用問題が理解の試金石なのですが
３．しかし、数学科院試レベルになると、あまりに難しい問題を出すと、かえって差がつかないおそれがあるので、基本問題も混ぜたり
で、あんまし理解していなくても、「証明の基本パターン」を暗記して、吐き出すことで、点は取れる問題もあるでしょうね。εδとかねｗ（＾＾；
でも、暗記を吐き出して、「証明のパターン」を当てはめは出来ても、本当に理解しているのかどうか？ｗｗｗ
４．しかし、ペーパーテストでは、「本当に分かっているの？」はムリなのです
「形式的が解答が合っていればOK」になる
それを補うのが、「面接」ってやつですけどね
もっとも日本の場合、面接まで行くと、よほどでないと落とされないとか言われるのです
５．学校の試験はそれで良いけど、実社会では、試験とは違う。真の実力が見える
暗記の証明を吐き出せるかどうかとは、別の「真の実力」がね
６．いまどき、逆行列とか、Excel関数にある
だから、求められている能力は、Excel関数とかCでもフォートランでもいいけど、それを使いこなせる力と
コンピュータが吐き出した結果（アウトプット）のある程度の是非判断能力（例えば、桁ずれしてないかとか、式の間違いや大きなインプットミスしてないかとかのチェック）
（「これ小数点一桁ずれているんじゃない？」ってやつ）
駒かい証明の前に、もっと全体像を理解をしておくのが理想です
「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」を理解できていない人が、
細かい証明に走る
わけわからず、証明を丸暗記しようとする
いまどき、そんなことは求められていないと思いますよ、実社会ではね（数学科の院試は別として）
（手計算はせいぜい3x3マトリックスくらいは、理解のためにやるとして、
もっとエクセルとかPC上のソフト（数式処理も可）で手を動かした方が良いと思いますね。21世紀、ビッグデータの時代は）
（参考）
https://bellcurve.jp/statistics/blog/15368.html
統計WEB BellCurve
Excel関数による行列の転置・積・逆行列・行列式の計算方法 2017/12/20 >>199 補足の補足
下記”逆行列の求め方”より
１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
（上記１を式変形して）
２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合）
３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）
つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです
逆に言えば、上記3つの要点を理解せずして、
”正則とは何ぞや”を理解したとは言えない
（>>178 より）
”逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・”
って、”ああ、勘違い”というか、
”ああ、分かってないね”というか
なんといいましょうか・・？ ｗｗｗ （＾＾；
(>>184より)
https://oguemon.com/study/linear-algebra/inverse-matrix/
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722 >>141-142 補足
”非可換群”の例として
「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」
と言った
当然、コンテキストして、”群”が前提の話
”群”が前提の話として、逆元の存在もまた前提です
そして、念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話です（>>155ご参照）
（なお、行列群 wikipedia の説明中は、すべて”行列”という用語を使っていて、”正則”という用語は一切使われていないのです。それで十分、説明が分かるし、それで良いと思います（＾＾ ）
重箱隅をぐちぐち言っている来る人が居ますが
かえって、自分の無知をさらけ出し、自爆していますねｗｗｗ（＾＾ >>200 訂正 （間違ってました）
２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合）
↓
２．A・t[Aij] ＝|A|E （正則行列を含む全正方行列の場合。Ｅは単位行列）
単位行列なんですよね、>>173の通りです
（>>173 再録）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13193818648
線形代数学の問題です。
yuk********さん2018/7/2910:07:04
線形代数学の問題です。
正則でない正方行列は零因子であることを示せ。
を詳しく説明していただきたいです。
また、零因子も教科書見てもイマイチよくわかってないので解説していただけたら嬉しいです。
ベストアンサーに選ばれた回答
wgf********さん 2018/7/2911:15:58
正方行列A(≠O)が零因子であるとは. AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです
Aの余因子行列A~を用いて
AA~=|A|Eという関係式が成り立っている
仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である
よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97
単位行列
(抜粋)
単位行列（たんいぎょうれつ、identity matrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。
表記法
n×n 行列の単位元は En や In と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。
対角行列の記法を用いて In = diag(1,1,1, ... ,1) と書ける。
クロネッカーのデルタを用いると、En = (δij) と表すことが出来る。
性質
・単位元である
・AI = IA = A
・逆行列は自分自身である I?1 = I
・固有値はすべて1
スカラー行列との関連
単位行列をスカラー倍したものをスカラー行列という。スカラーにスカラー行列を対応させる写像が単射ならば、係数環は行列群（線型代数群）あるいは行列環に部分群・部分環として埋め込まれ、係数環の中心は行列群あるいは行列環の中心に入る。
特に可換体上の n 次全行列環の中心は、埋め込まれた係数体そのもので、これを全行列環は係数体上中心的であるという。 >>199 タイポ訂正
「形式的が解答が合っていればOK」になる
↓
「形式的に解答が合っていればOK」になる
駒かい証明の前に、もっと全体像を理解をしておくのが理想です
↓
細かい証明の前に、もっと全体像を理解をしておくのが理想です
分かると思うが（＾＾； >>199
＞数学科院試レベルになると、あまりに難しい問題を出すと、
＞かえって差がつかないおそれがあるので、
こいつ、院試を大学入試と全く同じ感覚で考えてるな 正真正銘の馬鹿ｗ
数学専攻の大学院入試で、大学入試のような計算問題なんかでねぇよｗ
数学を「算数」としか認識してないとこういう馬鹿な嘘言って大恥晒すｗ >>200
＞下記”逆行列の求め方”より
＞１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
＞ （上記１を式変形して）
＞２．A・t[Aij] ＝|A|E （正則行列を含む全正方行列の場合）
＞３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）
＞つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
＞上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです
本末転倒してるなｗ
そもそも余因子行列とか逆行列の式とか抜きにして、いきなり３．の
「正則行列とは、|A|≠0」が云えるんだがね
つまり正則行列とは何かと言われれば
「行列式が０でない」というのが正解で
「零因子でない」とかいうのは
肝心なポイントを外してる点でオカシイ
で、君がなぜポイントを外してるかといえば、
ズバリ行列式を知らないからｗ
行列式知ってたら、元の行列に余因子行列を掛けたら
対角行列|A|E になることなんか自明
そんなことをさも大発見のようにいうのは、
そもそも君が行列式も余因子も全然知らないド素人だから
おまえ、マジで、どこの大学卒だよ
大阪大とかウソつくのやめろよ
大阪大学に対する冒涜だぞｗ >>201
＞”非可換群”の例として
＞「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」
＞と言った
それがド素人の君の馬鹿発言ｗ
＞当然、コンテキストして、・・・逆元の存在もまた前提です
君は「任意の正方行列Aが、逆行列A~/|A|を持つ」と思ったんだろ？
それもド素人の君の馬鹿誤解
公式を覚えて「数学理解した！」と思うからそういう恥ずかしい間違いをしでかすｗ
＞そして、念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話です
「群の表現論で」は不要
＞なお、行列群 wikipedia の説明中は、すべて”行列”という用語を使っていて、
＞”正則”という用語は一切使われていないのです。
正方行列全体が群を成す、なんて書いてないけどねｗ
もちろん、書いてあるわけがない
行列式が０の行列は逆元を持たない
そんなの線形代数学んだ人ならだれでも知ってる常識だぞｗ
＞重箱隅をぐちぐち言っている来る人が居ますが
「行列式が０でない」が重箱の隅だというようじゃ
線形代数が全く分かってないですね
一次独立って知ってる？答えてみ？ >>199
＞５．実社会では、試験とは違う。真の実力が見える
＞ 暗記の証明を吐き出せるかどうかとは、別の「真の実力」がね
実社会では算数でも通用するよ
暗記の公式を使う馬鹿チョンでもね
それが君のいう「真の実力」？
実社会ってチョロいねｗ
＞６．いまどき、逆行列とか、Excel関数にある
＞ だから、求められている能力は、
＞ Excel関数とかCでもフォートランでもいいけど、
＞ それを使いこなせる力と・・・
Excelの関数を使うのは馬鹿の君でもできるよｗ
ちなみにExcelでも他のコンピュータのプログラムで
行列式の計算式による余因子行列の構成なんかやってないよ
計算量がベラボウだから
じゃ、どうやって計算するかって？
え？工学部の癖にそんなことも知らないのかよ（呆）
ま、なんでもかんでも教えると学習しないから自分で調べてみｗ
＞ コンピュータが吐き出した結果
＞ （アウトプット）のある程度の是非判断能力
＞ （例えば、桁ずれしてないかとか、式の間違いや
＞ 大きなインプットミスしてないかとかのチェック）
＞ （「これ小数点一桁ずれているんじゃない？」ってやつ）
そんなの逆算で確かめられるだろ
そんなのが「真の実力」なの？
工学部って、ホント馬鹿ばっかだなｗ >>199
＞いまどき、そんなこと（＝証明）は求められていないと思いますよ、実社会ではね
行列式の定義も知らん人が、工学部卒とかいってモノ作ってるとか地獄だなｗ
行列式が０になる、ってどういうことか分かってないだろｗ
ｎ×ｎ行列を書けば基底ベクトルｅ1、・・・、ｅｎが
写る先のベクトルｆ１、・・・、ｆｎが分かる
ベクトルｆ１、・・・、ｆｎによって構成される
平行体のｎ次元体積が行列式の正体
体積が０になるってことは、平行体がｎ－１次元以下につぶれてる
ってことだから、ベクトルｆ１、・・・、ｆｎは一次独立でない
つまりそれは行列によって定められた線形写像の核が｛０｝だけでないってこと
線が点につぶれる線形写像に、逆写像なんかあり得ない
あのな、線形代数は行列の計算ができれば終わり、じゃねえんだよ
代数的なことも、幾何的なことも、全部理解して、
線形代数が分かったことになる
おまえの場合、代数も幾何もごっそり抜け落ちてるんだよ
ただ算数としてだけ理解してる それじゃ全然ダメなんだよ ダ・メ >>201
>なお、行列群 wikipedia の説明中は、すべて”行列”という用語を使っていて、”正則”という用語は一切使われていないのです。
wikipediaの行列群より引用「数学において、行列群 (matrix group) はある体 K、通常は前もって固定される、上の可逆行列からなる群 G で、行列の積と逆の演算をもつ。」
しっかり「可逆行列」って書いてありますけど。サイコパスは平気で嘘吐きますね。
>それで十分、説明が分かるし、それで良いと思います（＾＾ ）
だめです。任意の元に逆元の存在が保証されなければ群ではありませんので。大事なポイントを省くからいつまでもバカが治らないのですよ？ >>209
行列群のwikipediaの記述、さっそく修正されたね
英語版とあってなかったみたいだね >>200 補足
＜もっと抽象的に行列を離れて＞
・「零因子」は、群の中には存在しません（下記、蟹江とyahooなどご参照）
・環に「零因子」が存在します（下記蟹江など）
・”R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値”です（下記、可逆元と斜体ご参照）
（参考）
http://kanielabo.org/essay/
エッセイの部屋
http://kanielabo.org/essay/daisu.pdf
代数 / 群・環・体 蟹江幸博 数学セミナー6月号 (2003.6.1), pp.38-43.
P6
R が環で，x に左逆元 y, y′ があったと
する．つまり，yx = 1 = y′x だな．左分配律から
(y － y′)x = 1 － 1 = 0 になる．y≠ y′ だから，0 でな
い元の掛け算で 0 が出てくることになる．こういう
元を「零因子」と言う．
体ならありそうもないわけで，その根
拠は逆元の存在だ．それは実際，簡単に証明できる．
体には零因子がない．
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13168979413
数学の代数学について
sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo
可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
本を読んでも見つけられなかったのでよろしくお願いします
つづく >>211
つづき
ベストアンサーに選ばれた回答
san********さん 2017/1/903:02:35
まず，言葉の定義を確認しておきます。
環R（ここでは可換環としますが，非可換な環でも同様）において，
単位元を1，零元を0とするとき，
a∈R が可逆元であるとは，あるb∈Rでab=ba=1となるものが存在するときにいう。
(このbはaに対して一意的に定まり，aの逆元と呼ばれ，a^(-1)で表す)
a∈R が零因子であるとは，a≠0であり，あるb∈Rでb≠0，かつ ab=0となるものが存在するときにいう。
ここで，一般的に可換環で1≠0であることに注意します。
（極端な例として，R={0}という零環というものがありますが，ここでは考えません）
さて，a∈Rが可逆元かつ零因子であるとすると，
aは逆元a^(-1)をもつ。
そして，零因子であるから，あるb∈Rが存在し，b≠0，ab=0 を満たす。
この両辺にa^(-1)をかけると，
a^(-1)・a・b=a^(-1)・0
(a^(-1)・a)・b=a^(-1)・0
1・b=a^(-1)・0
よって，b=0 となり，b≠0に反し，矛盾。
よって，可逆元かつ零因子となる元は存在しない。
零因子が，「0でないもの同士であり，その積が0となるもの」という点がポイントです。
余談ですが，今回のこの事実は，
2つの2次正方行列で，どちらも零行列ではないが積が零行列になるものを考えると，これらはどちらも逆行列を持たない
ことを一般化したものです。
復習のために，この具体例を作って考察してみて下さい。
つづく >>212
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E9%80%86%E5%85%83
可逆元
(抜粋)
定義
群や単位的半群に対しては、それを半群と見るとき、その元が正則（一般化可逆、擬可逆）元であること、単位元に対する可逆元であること、および単元であることの概念は一致する。
環の単元群
環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
(抜粋)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。
(引用終り)
以上 >>211 補足の補足
群・環・体
この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾； >>214 訂正
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
↓
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
まあ、蟹江に限らないだろうね
知る人ぞ知る
常識と言えば、常識かもね
ｗｗｗｗｗ（＾＾； 瀬田必死だなｗ
いくら論点をずらそうとしても「n次正方行列全体の集合は積について群である」は間違いですから、残念 >>211
＞・「零因子」は、群の中には存在しません
そもそも、単位元とは異なる「零」が存在しないな
＞・環に「零因子」が存在します
環を考える必要ある？
＞・”R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値”です
正方行列の環は、可除環ではないけど 瀬田のコピペにはことごとく「可逆」とか「正則」とか書かれてますねー
瀬田だけですねー、正方行列が群を成すなどと書いてるのは
潔く間違いを認めましょうねー >>211-214
そもそも行列の乗法しか考えないのなら、加法を含めた環を考える必要がない
「正則である」という性質を語るのに「零因子でない」とかいうのはズレてる
根本は「線形空間の自己同型写像である」「行列式が０でない」という点にある
「零因子でない」というのはそこから派生する性質でしかない
行列式知ってますか？一度も語ってないけど >>198の行列
(1 2 3)
(4 5 6)
(7 8 9)
って、正則じゃないよね
もちろん、行列式を計算すれば０になるので分かるけど
実はもっと簡単に０だって分かる
なんでか？
「群だ、環だ、体だ」とかいうのはなんかズレてる
線形代数なんだから線形空間として考えよう >>211
＞・環に「零因子」が存在します
↑
この文章は危うい。数学の主張としては間違い。零因子を持たない環もあるから。
瀬田のようなバカに誤解させないためには数学の主張ではなく解説であることをはっきりさせないといけない。例えば「一般に」といった修飾語を添えるなどして。 >>221
そうだね 正しくは
・「零因子」は環を考えることで初めて意味を持つ
というべきか
群しか考えないんなら「零因子」なんて無意味
そもそも「零元」がないんだから
要するにｎ次正方行列は、ｎ次線形空間の線形写像を表してるけど
その中には当然、自己同型写像でないものも含まれてる
そして群となるのは自己同型線形写像の全体であって、
それは行列式が０でない行列として特定される なーんだ
＞・環に「零因子」が存在します
は瀬田オリジナルかｗ
どーりで、おかしーと思った。プロの数学者ならこんな怪しげな文章は書かない。書いたら速攻でつっ込まれるｗ「おいゴラ、整域は環じゃないんかい？」ってねｗ
>（下記蟹江など）
などと書かれてるから騙されたｗ もう瀬田はオリジナルを書くな
馬鹿なんだからコピペだけしてろ、おまえにはコピペが限界だ 「正方行列の全体は群を成す」というのは、いわば
「ｎ個の要素を持つ集合からそれ自身への写像の全体は群を成す」
というのと同様の誤りを犯しているんだな
ｎ個の要素をもつ集合の置換というのは全単射
つまりそうでない写像は逆写像を持たないから逆元になりようがない >>221-222
おっと（＾＾
>＞・環に「零因子」が存在します
>↑
>この文章は危うい。数学の主張としては間違い。零因子を持たない環もあるから。
確かに（＾＾；
(引用開始)
そうだね 正しくは
・「零因子」は環を考えることで初めて意味を持つ
というべきか
群しか考えないんなら「零因子」なんて無意味
そもそも「零元」がないんだから
(引用終り)
同意です
ごもっともですｗ
同意で、デフォルトです（言わずもがな）ｗｗ
(引用開始)
要するにｎ次正方行列は、ｎ次線形空間の線形写像を表してるけど
その中には当然、自己同型写像でないものも含まれてる
そして群となるのは自己同型線形写像の全体であって、
それは行列式が０でない行列として特定される
(引用終り)
同様の指摘をするならば
「群となるのは自己同型線形写像の全体であって」が間違い！！
”群となるのは自己同型線形写像の全体”に限られないよねｗｗｗ（＾＾：
まあ
いい勝負だな～～ ｗｗｗｗｗ（＾＾ >>226 補足
(引用開始)
同様の指摘をするならば
「群となるのは自己同型線形写像の全体であって」が間違い！！
”群となるのは自己同型線形写像の全体”に限られないよねｗｗｗ（＾＾：
(引用終り)
まあ、無知なんだろうね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群 >>226
＞「群となるのは自己同型線形写像の全体であって」が間違い！！
＞”群となるのは自己同型線形写像の全体”に限られないよねｗｗｗ
ｎ次線形空間の線形写像で自己同型でないのに、
逆写像が存在するものがある、と言い切るなら
今ここで示してくれる？
この人、そもそも大学入ったことあるのかな？ そもそも>>134で
＞まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
と書いたのは◆yH25M02vWFhP
だから
「群となるのは
正方行列（線形写像）の全体ではなく
正則行列（自己同型線形写像）の全体」
といってるのであって、自分の発言を忘れて
「”全体”じゃなくても群になる」
といってるんならただの駄々っ子
大学行ったことないのに大卒を詐称するのは犯罪だよ もともと
（>>214より）
群・環・体
この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
(引用終り)
こちらの主張は、「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係あり
そちらの主張は、「逆元が存在するかどうか」と「たまたまそれが零因子でないという性質と同値」といい、「関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」という
つまりは、「零因子」と、「逆元を持つ」は無関係で、行列に関するたまたまだと言いたいわけ？
でも、たまたまじゃなく、”群・環・体 この文脈で 「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります” ってことですよね
こちらの主張は、無理筋ですよ（＾＾
必死で、誤魔化そうとしている努力は認めますけどね >>230 訂正
こちらの主張は、無理筋ですよ（＾＾
↓
この主張は、無理筋ですよ（＾＾
あるいは
そちらの主張は、無理筋ですよ（＾＾
かな？
最初の表現だと誤解の余地があるから >>228
あらあら
指摘していうことから論点ずらし？
群論わかりますか
群には部分群もあるよ
「群となるのは自己同型線形写像の全体であって」
の”全体”という用語が不用意じゃね
と言っているのですが
もし、不用意でないというならば
”全体”の数学的定義を書いてみて
（”逆写像が存在”なんて、論点ずらしでしかないよね） >>230
>こちらの主張は、無理筋ですよ
ええ、よくお分かりで
>>232
論点ずらししてるのはあ・な・た
・行列群では群の要素は行列、つまり線形写像
・逆行列は逆写像 これが存在するのは自己同型線形写像のとき、そのときに限る
・そして自己同型線形写像となる行列が正則行列
全部論点
あなたがいったのは
「群となるのは正方行列（の全体）」
これに対する指摘が
「群となるのは正則行列の全体」
あなたは自分の誤りを認める屈辱に耐えられず
「”全体”という用語が不用意じゃね
群には部分群もあるよ」
と苦し紛れのいちゃもん
＞”全体”の数学的定義を書いてみて
無意味かつ無駄ないいがかり
あなたこそ
「任意の正方行列Aは逆行列A~/|A|を持つ！」
と思い込んでた誤りを認めようね
そうしないと、再び同じ誤りを繰り返すよ
学習は屈辱の積み重ねだから
公式暗記するだけだから|A|=0の場合が思いつかず大恥かくんだよ
もしかして、実数や複素数についても
「任意の数xは逆数1/xを持つ！」
なんて言い張ってたんじゃない？
あなた・・・小学校出たの？ どうやら◆yH25M02vWFhP氏は 線形代数について
AA~＝|A|E
だけで全てわかった気になってたらしい
困ったもんだねぇ・・・ ◆yH25M02vWFhP氏みたいな人は、クラメルの公式を知って
「これで、全ての連立線形方程式の解を求められる」
といいきっちゃうんだろうな・・・
注１）解が存在しない場合は使えません （Ａが全射でない）
注２）解が一意的でない場合も使えません （Ａが単射でない）
ついでにいうと、クラメルの公式は全然実用的でない
（ガウスの消去法を使ったほうがはるかに速い
ガウスは純粋数学だけでなく応用数学にも通じてた）
ガウスの消去法
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%B6%88%E5%8E%BB%E6%B3%95
ガウスの消去法（Gaussian elimination）あるいは
掃き出し法（row reduction）とは、
連立一次方程式を解くための多項式時間アルゴリズムであり、
通常は問題となる連立一次方程式の係数からなる
拡大係数行列に対して行われる一連の変形操作を意味する。
連立一次方程式の解法以外にも
・行列の階数の計算
・行列式の計算
・正則行列の逆行列の計算
などに使われる。
このアルゴリズムは、大きな方程式系を系統的な方法で
小さな系へ分解する方法を与えるものと理解することができ、
基本的には、前進消去と後退代入という2つのステップから成る。 >>230 補足
流れを纏めておくと
・”群・環・体 この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があり”ってこと
・つまり、可換なら、「整域」と（可換）体の理論から、”（零因子を持たない）”となる
・非可換環からは、可除環（斜体）が出て、環の単元群で
”R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である”となり
この一例として、「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」がでる
・だから、”「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があり”ってことです
（勿論、「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」は、行列の理論からも導けますけど）
・なので、”たまたま”じゃない！
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
環 (数学)
(抜粋)
可換環
整域と体
詳細は「整域」および「体」を参照
環 R の元 a, b に対して、a が零元でなく ab = 0 が成り立つとしても、b は必ずしも零元でない。
考える環を整域（零因子を持たない非自明な可換環）に制限する
零元以外の任意の元が逆元を持つ環を考える必要がある。
すなわち、体とは、環であって、その零元を除く元の全体が乗法に関してアーベル群となるようなものである。
特に（可換）体は割り算が自由にできることから整域となる（つまり零因子を持たない）。
つづく >>236
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0
非可換環
(抜粋)
非可換環（ひかかんかん、英: noncommutative ring）とは乗法が可換ではない環である。
非可換環の重要なクラス
可除環
詳細は「可除環」を参照
可除環あるいは斜体とは、除法が可能な環である。つまり、0 でない任意の元 a が乗法逆元、すなわち a・x = x・a = 1 なる元 x を持つような、零環ではない環である[2]。
別の言い方をすれば、環が可除環であることと単元群が 0 でない元全体であることが同値である。
可除環が可換体と唯一異なるのは乗法が可換であると仮定されないということである。しかしながら、ウェダーバーンの小定理によって、すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である。歴史的には、英語では可除環は field と呼ばれることもあり、一方可換体は “commutative field” と呼ばれた。
日本語では、現在でも体は可換体を指すことも可除環を指すこともある。
（ついでに英語版）
https://en.wikipedia.org/wiki/Noncommutative_ring
Noncommutative ring
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E5%85%83%E7%BE%A4
可逆元 （単元群から転送）
可逆元（かぎゃくげん、英: invertible element）または単元（たんげん、英: unit）とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。
環の単元群
環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。
とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。
R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。
例
・体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である。
(引用終り)
以上 >>236
＞流れを纏めておくと
自分勝手に流れを捻じ曲げないようにね
＞群・環・体 この文脈で
そもそも環の話はしてないし、
あなたの文章でも、結局体なんて全然出てこない
あくまで群の話をしている
そして正方行列「全体」の群は存在し得ないといっている
そして逆元が存在しない行列については、行列式が０でない
といえばいいだけで、零因子とかいう必要がないし全然外してる
＞勿論、
＞「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」
＞は、行列の理論からも導けますけど
「行列の理論からも」ではなく「行列の理論から」
「も」はいらない 自分が導いたような嘘をつくのはやめようね
結局、あなたの引用した文章でも行列の理論から導いてる
零因子はおまけでしかないし、群の話には必要ないな >>229 ＆ >>233
あ～ら、必死の誤読＆曲解の論点ずらしｗ（＾＾
１）（>>229より）
(引用開始)
＞まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
(引用終り)
そこは、とっくの昔に、補足入れますよ、>>141-142と>>201です
”非可換群”の例として
「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」（>>201より）
と言った
当然、コンテキストして、”群”が前提の話
”群”が前提の話として、逆元の存在もまた前提です
そして、念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話です（>>155ご参照）
”全体”とか、関係ないよ。だって、群は積の演算で閉じているってことですからね
群には、部分群も存在するから、中途半端に”全体”とかいうとまずいぞ
２）（>>233より）
(引用開始)
あなたがいったのは
「群となるのは正方行列（の全体）」
(引用終り)
こっちは、最初から「（の全体）」とか言ってないよ
それ、「（の全体）」って、あなたの脳内の妄想です
それで逃げるのねｗ（＾＾
まあ、妄想全開の人を相手にしても仕方ないから
（繰り返すが、当方は”全体”なんて曖昧な用語は使っておりませんよ！！）
許してやるよｗｗｗ（＾＾ >>239 補足
（>>222より）
(引用開始)
要するにｎ次正方行列は、ｎ次線形空間の線形写像を表してるけど
その中には当然、自己同型写像でないものも含まれてる
そして群となるのは自己同型線形写像の全体であって、
それは行列式が０でない行列として特定される
(引用終り)
”その中には当然、自己同型写像でないものも含まれてる
そして群となるのは自己同型線形写像の全体であって、
それは行列式が０でない行列として特定される”
全体ね～、”自己同型線形写像の全体”以外の行列群も沢山あるけどな～
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群
全体ね～ｗ
妄想じゃ、仕方ないな >>239
相変わらず、本当の論点から目を背け続けるね
＞「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」
（）で誤魔化せたつもりなら全くアサハカ
上記は当然正方行列（”全体”の成す群）と受け取られる
＞逆元の存在もまた前提です
そこがまたアサハカ
上記は（任意の正方行列に対する）「逆元の存在」を前提してると受け取られる
＞念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話
正則行列を持ち出すのに「表現論」が必要と思ってるのがオカシイ
そもそも正方行列において群を成す最大範囲が正則行列
そんなこと線形代数学んだ人なら皆知ってる
君が知らないとしたら大学に行ったことないモグリってこと
＞”全体”とか、関係ないよ。
＞だって、群は積の演算で閉じているってことですからね
だっての前後が 見事に食い違い
「群は積の演算で閉じている」のだから「閉じた全体」が必要
正方行列の中で、群として閉じることができる最大の範囲が正則行列
そういう認識が完全に欠如してる時点で、君は大学にも行ったことないド素人
線形代数を大学で学んでいたら確実に知っている筈のことを
君は全く知らなかったんだからね
＞群には、部分群も存在するから
そんな話は全くしていないので、無意味
自分の誤りを認めずに話をそらそうとするから
君はいつまでたっても数学が理解できない
＞＞「群となるのは正方行列（の全体）」
＞こっちは、最初から「（の全体）」とか言ってないよ
＞それ、「（の全体）」って、あなたの脳内の妄想です
それ、いいわけにもならんね
正則行列といえばいいところを、正方行列といった
要するに、君は正則行列を知らなかった
行列式も知らなかった そういうことだね
行列式を知っていたら 行列式が０の行列は
正則行列でなく逆行列が存在しないことも知ってる筈
要するに君は線形代数を知ってる人なら当然知ってることを
まったく何一つ知らないと白状したわけだ
そんな人がIUTとか齧ったって無駄
歯が欠けるからやめとけ マジで >>240
＞全体ね～、”自己同型線形写像の全体”以外の行列群も沢山あるけどな～
しかし、自己同型でない線形写像からなる行列群は無い
つまり君が「正方行列」といったことはいかなる意味でも誤り
君の苦し紛れの言い訳でもやはり「正則行列」というのが正しかった
残念だったな >>155は君のような大学にも行ったことない素人が読んでも理解できないよ
難しいからじゃない 訳の分からない文章だから
まずここを読むべきだった
一般線型群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4
そうすれば「表現論ガー」なんていうのが見当違いだと分かる 大事なのは
線形空間V上の線形写像の全体End(V)は群でない、ということ
n 次正方行列全体 Mn(F)は群でない、ということ
そしてVの次元がｎなら
End(V)のうち全単射な写像
⇔ Mn(F)のうち正則な（つまり可逆な）行列
⇔ Mn(F)のうち行列式が0でない行列
となるわけだ >>244
そしてさらにいえば一般線形群の部分群も
全単射な写像、行列式が0でない行列
にさらなる条件が追加されるだけであって
全単射な写像、行列式が0でない行列
という条件が外されることはない
それこそが重要
分かったか！高卒ド素人 結局、毎度おなじみの、◆yH25M02vWFhP の惨敗、ってことか 解析学だけでなく線形代数もダメとか、完全な落ちこぼれだな、◆yH25M02vWFhPは n個のn次元ベクトルv1~vnが一次独立⇔外積v1∧…∧vnが零でない これ豆な 行列(v1,…,vn)の行列式＝外積v1∧…∧vn これも豆な >>238
>結局、あなたの引用した文章でも行列の理論から導いてる
うむ、良い指摘です。100点満点の5点をあげよう（＾＾
さて、纏めておこう
１．( >>236より)零因子は、主に環の中に存在し、基本的に 群の中には存在しない(零がない)
２．可換環では、「（可換）体は割り算が自由にできることから整域となる（つまり零因子を持たない）」
３．( >>237より)非可換環では、ちょっと事情が違う
「非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない」（下記）
４．「ウェダーバーンの小定理によって、すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である」
５．従って、例外的に（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある
６．但し、行列群では、非可換でも「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」
（証明は、 >>173などご参照（行列式|A|が0か否かで異なる））
７．なお、環の中では、左零因子a（ax=0 で、a≠0 かつ x≠0 ）に対し、左逆元 a^(-1)a＝1(単位元)の存在は両立しない
（∵ ax=0の両辺に、a^(-1)を作用させると、左辺は a^(-1)ax＝x で、右辺は a^(-1)0＝0。これは、x≠0に矛盾（なお、結合則を使った）。これから、可換の場合には、零因子と逆元の存在は、存在しないことが、すぐ分かる。
なお、「体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る」（下記 逆元 wikipediaより）ので、正方行列 Mは、行列式が 0 以外のとき零因子を持たないし、零因子になれない！！ ）
８．また、5の場合において、例えば群Gに含まれる元Aに対して、（右又は左）零因子Bが存在して、（例えば右として）AB＝0（零元）となるとき
Bは、Gに含まれてはならない（∵ AB＝0で0∈Gとなると、0には逆元が存在しないので群の定義に矛盾。左因子も同じ）（>>149や下記など）
冪零元（下記）も、同様の理由で含まれてはならない
つまり、環の中では、零因子と逆元の存在は、密接に関連しているのです！！！
なお、上記５項辺りは、論文ネタかもしれないね（再録「非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない」（下記））（＾＾；
つづく >>251
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0
非可換環
(抜粋)
可換環論と非可換環論の違い
非可換環は可換環よりもはるかに広いクラスであるから、非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない。多くの成果は可換環の結果を非可換環に一般化することによって得られてきた。可換環と非可換環の主な違いは右イデアルと左イデアルを考える必要性である。非可換環の研究者にとってこれらのイデアルの一方にある条件を課しもう一方には課さないということはよくあることだが、可換環では左右の違いが存在しない。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E9%80%86%E5%85%83
可逆元
(抜粋)
可逆元（かぎゃくげん、英: invertible element）または単元（たんげん、英: unit）とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。
定義
いくつかの冪等元を持つ半群 S について、S の元 a は S の元 b と冪等元 e が存在して ab = e となるとき e に対する右可逆元であるといい、 S の元 c と冪等元 e′ が存在して ca = e′ となるとき e′ に対する左可逆元であるという。a が冪等元 e に対して左可逆元かつ右可逆元であるとき、a は e に対する可逆元であるという。M が単位的半群であるとき、その単位元に対する（左、右）可逆な元をそれぞれ（左、右）単元 (unit) と呼ぶ[1][2]。
群や単位的半群に対しては、それを半群と見るとき、その元が正則（一般化可逆、擬可逆）元であること、単位元に対する可逆元であること、および単元であることの概念は一致する。
つづく つづき
環の単元群
環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。
任意の単位的環 R, S に対し、単位的環準同型 f: R → S は、単元群の間の群準同型 U(f): U(R) → U(S) を引き起こす。したがって、単位的環 R にその単元群 U(R) を対応させる操作 Uは、単位的環の圏から群の圏への函手である。この函手の左随伴は群 G に群環 ZG を対応させる操作である[3]。
例
・体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%85%83
逆元
(抜粋)
逆元 （ぎゃくげん、英: inverse element）とは、数学、とくに抽象代数学において、数の加法に対する反数や乗法に関する逆数の概念の一般化で、直観的には与えられた元に結合してその効果を「打ち消す」効果を持つ元のことである。逆元のきちんとした定義は、考える代数的構造によって少し異なるものがいくつか存在するが、群を考える上ではそれらの定義する概念は同じものになる。
厳密な定義
単位的マグマの場合
集合 M は二項演算 ・ をもつ代数系すなわちマグマで、 e は (M, ・) の単位元とする。
すなわち (M, ・, e) は単位的マグマであるとする。
M の元 a, b に対して a ・ b = e となるとき、a を演算 ・ と単位元 e に関する b の左逆元 (left inverse), b を演算 ・ 単位元 e に関する a の右逆元 (right inverse) という。またこのとき、b は左可逆、aは右可逆であるという。
つづく つづき
例
逆行列・擬逆行列
体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。
M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である（詳細は正則行列を参照）。
もっと一般に、可換環 R 上の正方行列が可逆であるための必要十分条件は、その行列式が R の可逆元であることである。
階数落ちしていない (full-rank) 非正方行列は片側逆元を持つ[2]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子
(抜粋)
環 R の元 a は、ax=0 となる x≠0 が存在するとき、左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる[1]。これは、x を ax に送る R から R への写像が単射でないことと同値である[2]。同様に、環の元 a が右零因子とは、ある y ≠ 0 が存在して ya=0 となることである。これは環における因子の特別な場合である。左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる[3]。左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる（ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない）。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。
環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%B6%E5%85%83
冪零元
数学において、環 R の元 x はある正の整数 n が存在して x^n = 0 となるときに冪零元（べきれいげん、英: nilpotent element）という。
冪零 (nilpotent) という言葉は、ベンジャミン・パースによって、多元環の元のある冪が 0 になるという文脈で1870年頃に導入された[1]。
(引用終り)
以上 >>251
＞４．「ウェダーバーンの小定理によって、
＞すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である」
＞５．従って、例外的に（無限）斜体（無限可除環）の場合では、
＞零因子が含まれる可能性がある
ドアホｗｗｗｗｗｗｗ
可除環に零因子はない！
「非自明な単位的非可換環 K に対して
可除性: x が零元でないならば、その乗法逆元 x－1 ∈ K が存在する。
を条件として課したものと見るとき、しばしば可除環とも呼ばれる。」
したがって、定義より零因子は存在しない！
ウェダーバーンの小定理は
「非可換な有限可除環は存在しない」
というだけのこと
有限だろうが無限だろうが、可除環はその定義より零因子は存在しない！
・・・酷い、酷すぎるよ、◆yH25M02vWFhP >>251
＞５．（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある
＞上記５項辺りは、論文ネタかもしれないね
可除性の定義で否定されたものの存在を証明した論文ｗｗｗｗｗｗｗ
ほほ自明ですが
「行列環Mn(K)は、nが2以上の場合、可除環でない」
つまり、環論では、可除性と零因子の非存在は、同値です！！！
ホント、毎度のことだけど、今日も盛大にやらかしてくれたね、◆yH25M02vWFhP >>252-254
得意げに無駄なコピペするヒマがあったら
真っ先に以下の文章を読むべきだったね、君
斜体 (数学)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
定義
a が零元 0K でない K の元ならば
それに対して aa＾(－1) = a＾(－1)a = 1K を満たす、
逆元と呼ばれる元 a^(－1) が常に存在する。
非自明な単位的非可換環 K に対して
可除性: x が零元でないならば、その乗法逆元 x^(－1) ∈ K が存在する。
を条件として課したものと見るとき、しばしば可除環とも呼ばれる。
読むべきところを読まずに、毎度恒例の自爆
君の軽率さは、人間として致命的な欠陥だよ（笑いゼロ、マジ） さて、馬鹿を弄るだけだと、数学板のスレッドとしてふさわしくないので
たまには数学的なネタもぶっこんであげよう
ほ・い・よｗｗｗｗｗｗｗ
フロベニウスの定理 (代数学)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
数学の抽象代数学において、フロベニウスの定理とは、
実数体上の有限次元の結合的多元体を特徴付ける定理であって、
ドイツの数学者フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスによって
1877年に証明された。
内容
D が実数体 R 上の有限次元多元体であれば、以下の何れかが成り立つ。
D = R
D = C（複素数体）
D = H（四元数体） 例によって例のごとく、英語版のほうが豊富なので
興味ある人は読んでみよう
https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem_(real_division_algebras)
但し、可除性の定義の日本語の文章すら正しく読めない◆yH25M02vWFhPは除く！！！ >>251 訂正
> ８．また、5の場合において、例えば群Gに含まれる元Aに対して、（右又は左）零因子Bが存在して、（例えば右として）AB＝0（零元）となるとき
> Bは、Gに含まれてはならない（∵ AB＝0で0∈Gとなると、0には逆元が存在しないので群の定義に矛盾。左因子も同じ）（>>149や下記など）
<ここ補足>
１．まず、普通（実数などの場合）の逆行列では、< 逆行列の一意性 >が成立します。（下記、高知工科大学など）
２．もっとも、一般の逆行列もどきでは、”一意的には定まらない”と言われます（下記、田辺国士）
３．単位行列も、一意です。単位元eもマグマの単位元なども、同様に一意です
４．行列に戻ると、逆行列及び単位行列の一意性から、A A^-1＝E（Eは単位行列）となって
零因子の存在 AX＝0 (A≠0、X≠0)と矛盾します
（∵ AX＝0の両辺に A^-1を左から掛けると、A^-1 AX＝(A^-1 A)X＝(E)X＝X≠0、一方右辺は0で矛盾。（但し、結合則を使った））
５．普通の正方行列の場合、Aが零因子行列であることと、逆行列を持つこととが、矛盾することが、逆行列の一意性から簡単に理解できます
（参考）
https://www.kochi-tech.ac.jp/profile/ja/inoue-masaaki.html
高知工科大学 井上 昌昭
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/pdf/2002/a12/07.pdf
2002 年度 基礎数学ワークブック Ser.A , No.12 高知工科大学 井上 昌昭
< 逆行列の一意性 >
(抜粋)
定理1 正則行列 A の逆行列はただ 1 つである。
< 証明 > A の逆行列が 2 つあったとして, それを X, Y とすると,
XA = AX = I , Y A = AY = I (I は単位行列)
である。よって
X = XI = X(AY)=(XA)Y = IY = Y
より X = Y である。 (証明終)
定理2 正則行列 A に対して,
XA = I (I は単位行列)
を満たす正方行列 X が存在すれば, X は A の逆行列 A^?1 である。
すなわち
X = A^?1
である。
つづく >>261
つづき
http://www.orsj.or.jp/~archive/pdf/bul/Vol.21_04_213.pdf
オベレーションズ・リサーチ 日本オペレーションズ・リサーチ学会
解説 一般逆行列 (1) 田辺国士 (たなベ・くにお 統計数理研究所) 1976
(抜粋)
正方行列 Aの行列式が 0でないならば，行列方程式
AX=I, XA=I (1)
を満たす行列 Xがただ 1つ定まり，逆行列と呼ばれ A^-l
であらわされます.
このとき，連立一次方程式
Ax=y (2)
は，任意のベクトru にたいして，ただ 1つの解をもち，
それは の逆行列と右辺の積 A^-l とあらわされること
もよく知られています.
最適化理論，推定理論，制御理論，電気回路網理論などの分野では，非正則
行列や長方行列がしばしば登場し，これをある意味で逆転することが要求されます.
したがって，一般の m,n 行列 にたいして， (1)に類
似の代数的関係が成り立つような“逆行列もどき"
定義され，長方行列 を係数行列とする連立一次方程式
(2) にたいして Xy にしかるべき意味を与えることが
できるならば，これらの分野における行列によるモデル
の表現，計算の運用あるいは推論の上で有用な道具とな
るでしょう.
この考えを最初に定式化したのは E. H. Moore( 1920)
です.L かし， 1950 年代になって A. Bjerhammar
(1951 )や R. Penrose(1955) が独立にこの概念に再定式
化を与えるまで人々の注意をひきませんでした.その後
c. R. Rao( 1962) Moore Penrose, Bjerhammar
よりも弱 、条件による定式化を与え，それを一般逆行列
と名つ寺け， S. K. Mitra とともにこの一般逆行列の系統
的な分類の研究を行なっています[13]. これに関してわ
が国では渋谷[6] の研究があります.
§1. 種々の一般逆行列
Xが満たすべき条件として Xy が連立
一次方程式 (2) の解となるという性質を要求することは
自然でしょう.“方程式 (2) の解が存在するような任意の
右辺 にたいして Xy (2) つの解である"という
条件を満たす n,m 行列 が常に存在します.これを
の一般逆行列と呼び A-であらわします. 一般に
Aにたいして A-は一意的には定まりません .
つづく >>262
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97
単位行列
(抜粋)
単位行列（たんいぎょうれつ、identity matrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。
表記法
n×n 行列の単位元は En や In と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。
対角行列の記法を用いて In = diag(1,1,1, ... ,1) と書ける。
クロネッカーのデルタを用いると、En = (δij) と表すことが出来る。
性質
単位元である
AI = IA = A
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83
単位元
(抜粋)
単位元（ 英: identity element）あるいは中立元（ちゅうりつげん, 英: neutral element）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。
定義
(M, *) を集合 M とその上の二項演算 * のなすマグマとする。M の元 e が * に関する（両側）単位元であるとは、M のすべての元 a に対して
a*e=e*a=a
を満たすときにいう。
さらに細かく、M の任意の元 a に対して
a * e = a を満たすとき右単位元といい、
e * a = a を満たすとき左単位元という。
単位元は左単位元かつ右単位元である。演算が可換であるときには左右の区別はない。
単位元を持つマグマ、半群、環などはそれぞれ単位的マグマ、単位的半群（モノイド）、単位的環などと呼ばれる。
環などの加法と乗法のふたつの演算を持つような代数系では、どの演算に関する概念であるかを区別するために、加法に関する単位元を加法単位元（しばしば 0 で表す）と呼び、乗法に関する単位元を乗法単位元（しばしば 1 で表す）という。
性質
左単位元および右単位元は一つの代数系に複数存在しうる。
しかしマグマ (M, *) が左単位元および右単位元を持てば、それらは一致しその代数系のただ一つの（両側）単位元となる。
このことは、実際 e1 が左単位元 e2 が右単位元であるならば、
e_{1}=e_{1}*e_{2}=e_{2}
が成立することからわかる。
とくに両側単位元は高々一つしか存在しない。
マグマ (S, *) が一つも単位元を持たないこともありうる。
つづく >>263
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%9E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
マグマ (数学)
(抜粋)
抽象代数学におけるマグマ（英語: magma）または亜群（あぐん、groupoid）は、演算によって定義される種類の基本的な代数的構造であり、集合 M とその上の二項演算 M × M → M からなる組をいう。マグマ M における二項演算は M において閉じていることは要求するが、それ以外の何らの公理も課すものではない。
このような構造に対して「マグマ」という呼称を導入したのはニコラ・ブルバキである[* 1]。旧来はオイステイン・オアによる用語で亜群（groupoid）と呼ばれていたもので、現在でもしばしばそのように呼ばれる。ただし、それとは別に圏論において「亜群（groupoid）」と呼ばれる概念があるので、それと混同してはならない。
(引用終り)
以上 ◆yH25M02vWFhP
可除性の定義
「x が零元でないならば、その乗法逆元 x^(－1) ∈ K が存在する。」
と矛盾する>>251の
「５．（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある」
の馬鹿発言を修正すらできず沈黙死 ◆yH25M02vWFhP
零因子で発狂し零因子で自爆死
行列式、勉強しろよｗ 「正則行列 A の逆行列はただ 1 つである。」
正則行列Aは全単射となる線形写像なんだから逆写像は唯一だろう
逆写像
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%86%99%E5%83%8F
写像 f の定義域を集合 X, 値域を集合 Y とする。
写像 f が可逆 (invertible) であるとは、
Y を定義域、X を値域とする写像 g で、条件
f(x)=y ⇔ g(y)=x
を満足するものが存在するときに言う。
f が可逆ならば写像 g は一意である
（つまり、この性質を満たす写像 g はただ一つ存在して、
一つよりも多くも少なくもない）。
写像 g を f の逆写像と呼び、f^(－1) で表す。
別な言い方をすれば、写像が可逆であるための必要十分条件は、
その逆関係が再び写像となることである
（このとき、逆関係が逆写像を与える）。
必ずしも全ての写像が逆写像を持つわけではなく、
上記の条件を適用するためには
「値域 Y の各元 y に対して、
f で y に写されるような定義域 X の元 x がちょうど一つ存在する」
必要がある。
この性質を満たす写像 f は一対一あるいは単射と呼ばれる。
f および f^(－1) がそれぞれ X および Y 上の写像となるとき、
これらはともに全単射となる。 “逆行列もどき"
元の行列をAとしたとき
もどき行列をA'とすれば
Aの値域にあるwについて
AA'w=w となる
（Aは全射でないから）
但し一般にA'Av=vとはならない
（Aは単射とはかぎらないから） 連立一次方程式で、解が無数にある場合
→方程式の右辺が、方程式で定める線形写像の値域に入ってるが
そもそも方程式で定められる線形写像が単射でない
連立一次方程式で、解が存在しない存在
→方程式の右辺が、方程式で定める線形写像の値域に入ってない
（方程式で定められる線形写像が全射でないため） >>264
そこはマグマじゃなく圏を持ち出せよｗ
圏 C は以下のものからなる:
対象の類 ob(C)
対象の間の射の類 hom(C)
各射 f ∈ hom(C) には
始域と呼ばれる対象 a ∈ Ob(C) および
終域と呼ばれる対象 b ∈ ob(C) が付随して、
"f は a から b への射である" と言い、f: a → b と書き表す。
a から b への射の類 (hom-class; ホム類) hom(a, b) は
a から b への射全体の成す類を言う。
このとき、任意の三対象 a, b, c ∈ ob(C) に対し、
射の合成と呼ばれる二項演算
hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c); (f, g) ↦ g ∘ f
が存在して以下の公理を満足する:
結合律: f: a → b, g: b → c, h: c → d ならば h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f が成り立つ。
単位律: 各対象 x ∈ ob(C) に対して x の恒等射と呼ばれる自己射 idx = 1x: x → x が存在して、
任意の射 f: a → x および g: x → b に対して 1x ∘ f = f and g ∘ 1x = g を満たす。
これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。
集合の圏 Set
対象：全ての集合
射：全ての写像
線形空間の圏 K-Vect
対象：全ての K-ベクトル空間
射：全ての K-線型写像 >>261
＜行列の右逆行列と左逆行列が一致する話（１～４）＞
１）
http://tad311.xsrv.jp/hsmath/
大学数学へのかけ橋！『高校数学＋α ：基礎と論理の物語』著者： 宮腰 忠
http://tad311.xsrv.jp/hsmath/biseki/A%5Einv.pdf
n 次正方行列 A についての定理
「XA = I ←→ AX = I」の初等的証明 1）
1）【補足説明】定理：有限次数の正方行列 A に対して，XA = I（I は単位行列）を満たす行列 X が存在する
とき，それは AX = I を満たす．逆に，行列 X が AX = I を満たすとき，それは XA = I も満たす．（その
ような行列 X を A の逆行列 A
?1 という．逆行列は存在しない場合もある．XA = I を満たす行列 X を A
の左逆行列，AX = I を満たす行列 X を A の右逆行列という．したがって，この定理は「左逆行列と右逆
行列は，両者が存在するとき，それらは一致する」と言うことができる．実際の証明はそれらの存在証明
を伴う．無限次元行列については，左逆行列・右逆行列が存在しても，それらが一致するとは限らない
最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ
1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると，
XA = I, AY = I ．
このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より，
X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
よって，X = Y，したがって，XA = AX = I が成り立ちます．
つづく >>271
つづき
２）
http://www.minamiazabu.net/math/
南麻布広男 手のひら数学 (数学の小部屋)
http://math.style/math/kyouhon/lin/
行列 教本 南麻布広男
http://math.style/math/kyouhon/lin/121018matrix07.pdf
121018 初版
http://goo.gl/MFRFj
行列と行列式 第 7 回
7.1 逆行列
逆行列の性質
AA?1 = A?1A = E
実際，AX = E のとき，XY = E なる Y の存在を仮定する。
XA = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E
したがって，AX = E かつ XY = E なる Y が存在するならば，XA = E
これは，右逆行列が存在するならば，それは左逆行列も存在して一致するという，逆行列
の性質の証明には不十分である。A に対する X の存在は仮定しているが，それだけで X に
対する Y の存在がいえないからである。
行列の場合はちゃんと成分を使って証明すべきことのようだ。
だが，それはちゃんと証明されているので，右逆行列は存在すれば，左逆行列も存在して，
かつそれは一致する，すなわち，逆行列は可換である，としてよいことにする。
つづく >>272
つづき
３）
http://fd.kuaero.kyoto-u.ac.jp/ja/node/28
大和田 拓 京都大学 工学研究科 航空宇宙工学専攻 流体力学分野
http://fd.kuaero.kyoto-u.ac.jp/sites/default/files/linear_algebra.pdf
付録１ 人には聞けない線形代数の基礎
大和田拓
京都大学大学院工学研究科航空宇宙工学専攻
P15
Lesson 5 逆行列
命題 2 (右逆行列) Aを n次の正方行列（ n行 n列の行列)とする． Aの列ベクトル
全体が線形独立ならば， Eを n次の単位行列としてAB=E を満たす行列 Bが一意
的に存在する．このとき Bを Aの右逆行列という．
命題 3 (左逆行列)
正方行列の場合には列ベクトル全体が線形独立であることと行ベクトル全体が
線形独立であることが同値であることを命題４および５は示している．従って
右逆行列と左逆行列は同時に存在する．そしてさらに次のことがいえる．
命題 6 (逆行列) 左右の逆行列は等しい．すなわち B=D
∵ B=(DA)B=D(AB)=D.
つづく >>273
つづき
４）
http://kymst.net/
kymst こと山下弘一郎先生
http://kymst.net/index.php?MathDocs
MathDocs 山下弘一郎先生
http://kymst.net/index.php?plugin=attach&;pcmd=open&file=mjk01CMb.pdf&refer=MathDocs
New Series, No.A-1. version Mar. 2011. 山下弘一郎先生
行列と可換性
Copy-ultra-Left. All-Rights ReVERSEd.
Article by YAMASHITA, Koichiro. Mar 07 2011
THEOREM 3.2 (余因子行列)
A ∈ M2(K) とその余因子行列 Ae について，trA = τ, det A = δ とすれば次が成り
立つ：
AA~ = δI, A + A~ = τI.
この第 2 式から，A~ = ?A + τI であるから，余因子行列 A~ は A の 1 次式で表わされ，
よって A~ と A は可換である: AA~ = A~A = δI.
逆行列の存在条件は，もはやアタリマエの事実となる：
Corollary 3.3
A の右逆行列は 1/δ A~ であるが，余因子行列との可換性によって，これは左逆行列
でもある．そこで改めて，A の逆行列 (inverse matrix) を A?1 と書く
右逆行列と左逆行列が一致するのを確かめたこと，今までにありましたか?
(引用終り)
以上 >>271-274
◆yH25M02vWFhPクンは、自習中でしたか 結構結構
ところで、写像f:X→Yに対してf^(-1):Y→Xが存在すれば
f^(-1)・f:X→X f・f^(-1):Y→Y はいずれも
XおよびY上恒等写像id_X、id_Yと一致しますが何か？ >>173
＞正方行列A(≠O)が零因子であるとは.
＞AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです
＞（証明）
＞Aの余因子行列A~を用いて
＞AA~=|A|Eという関係式が成り立っている
＞仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である
＞よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です
これ、×な
まず、
＞Aの余因子行列A~を用いてAA~=|A|Eという関係式が成り立っている
は正しい
次に
＞Bとして、A~を選べばAB=Oとなり
も正しい
しかし
＞よって・・・Aは零因子です
は誤り
なんでか？
君さ、
「Aが零行列でないとき、余因子行列A~も零行列でない」
と、何の根拠もなく勝手に思い込んでるでしょ？
それ、初歩的な誤りなｗ
（最も簡単な例）
ｎを３以上とする
行列のどこか１か所だけ０の行列について
その余因子行列は零行列
一般にランクがｎ－２以下のｎ×ｎ行列で、
その余因子行列が零行列となるものが存在する
つまりこの証明は正しくない
Aが零因子⇔零行列でなくdetA=０
は正しいんだがね
さて、detA=０であり０でない行列Aについて
・AB=０となる、０でない行列B
・CA=０となる、０でない行列C
はどうやって構成できるでしょうか？ >>277
実は、B=Cとすることができる
ヒント
ケイリー・ハミルトンの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
線型代数学におけるケイリー・ハミルトンの定理、
またはハミルトン・ケイリーの定理は
（実数体や複素数体などの）可換環上の正方行列は固有方程式を満たす
という定理である。
アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなむ。
A が与えられた n×n 行列で、In は n×n 単位行列とすれば、
A の固有多項式は
p(λ):=det(λ I_n-A)}
で定義される。
ここで det は行列式をとること、
λ は係数環の元（スカラー）である。
引数の行列は各成分が λ の多項式（とくに一次式または定数）だから、
その行列式も λ に関する（n-次の）モニック多項式になる。
ケイリー–ハミルトンの定理の主張は、
固有多項式を行列多項式と見ればそれが A において消えること、
すなわち上記の λ を行列 A で置き換えた結果が零行列に等しいこと、
すなわち p(A)=Oの成立を述べるものである。
注
置き換えにおいて、λ の冪は、
行列の積に関する累乗としての A の冪によって置き換わるから、
特に p(λ) の定数項は A^0 すなわち単位行列の定数倍に置き換わらなければならない。 でも、>>276の問題を解くだけだったら、
ケイリー・ハミルトンの定理使わなくてもできるけど 逆行列の構成もケイリー・ハミルトンの定理使ってできるけど
もちろんつかわなくてもできる そういうこと >>278-279
何でこんなこと書いたかというと、
訳も分からずケイリー・ハミルトンの定理の式を
馬鹿チョンで使うヤツがいるから
◆yH25M02vWFhP お前だよ、お・ま・え >>271 >>272 補足
(引用開始)
最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ
1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると，
XA = I, AY = I ．
このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より，
X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
よって，X = Y，したがって，XA = AX = I が成り立ちます．
逆行列の性質
AA-1 = A-1A = E
実際，AX = E のとき，XY = E なる Y の存在を仮定する。
XA = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E
したがって，AX = E かつ XY = E なる Y が存在するならば，XA = E
これは，右逆行列が存在するならば，それは左逆行列も存在して一致するという，逆行列
の性質の証明には不十分である。A に対する X の存在は仮定しているが，それだけで X に
対する Y の存在がいえないからである。
(引用終り)
ここ
重要変形テク
1)X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
同じだが
X = XE = X(AY) = (XA)Y = EY = Y．
2)A = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E
さて
行列では、AX = E のとき，XAを考えると
XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)＝(XA)^2
これから
(XA)^2-XA＝0（零行列）
(XA)(XA-E)＝0
Xが零因子でなく、従って、XAが零因子であることを認めると、
XA-E＝0より
XA＝E 成立（途中、結合則と分配則などを使った）
この証明は、行列だから可能です
一般の代数系では、できない。（下記、松本 眞 広島大などご参照）
なので、群では、左逆元と右逆元との存在を仮定し（それは即ち、モノイドでは一致するが）、それらを公理として与えるのです（松本 眞 広島大などご参照）
つづく >>281
つづき
（参考）
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/daisu-nyumon.pdf
代数系への入門 松本 眞 広島大 平成 25 年 8 月 26 日
P45
2.4 群
2.4.1 逆元と群
定義 2.4.1. (S, ・) を単位元 eS を持つマグマとする。（単位元はあれば一つであること、すなわち問題 2.12 に注意。）
g ∈ S の（e に関する）左逆元 a とは、
a ・ g = eS
を満たす a ∈ S のことをいう。
g ∈ S の右逆元 b とは、
g ・ b = eS
を満たす b ∈ S のことをいう。
g の左逆元であって、かつ右逆元であるような元を g の逆元という。すなわち、
a ・ g = eS, g ・ a = eS
となるような a のことである。
逆元を持つ元を可逆元という。
命題 2.4.2. (S, ・, eS) をモノイドとする。g に左逆元 a と右逆元 b が存在するならば、それら
は一致する。特に、g の逆元は存在すれば唯一つ。これを g-1 で表す。
証明.
a = a ・ eS = a ・ (g ・ b) = (a ・ g) ・ b = eS ・ b = b.
よって左逆元と右逆元は、両方存在すれば一致する。
特に、逆元が二つあったとしよう。それらを a, b とすれば、a は左逆元でもあるし、b は右
逆元でもあるから、上の事実より一致せざるを得ない。
問題 2.20. モノイドの代わりに、条件を弱めて「単位元をもつマグマ」に対しても、逆元が
存在すれば唯一つであることが証明できるか？
ヒント：実は、反例がたくさんあり、当然証明はできない。例えば (R, *) を
x * y = x + y + x^2y^2
で定義するとこれはマグマであり、0 が単位元となっている。
x * y = 0
を二次方程式の解の公式を用いて解くと、逆元が二つ存在することがあることがわかる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
環 (数学)
環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ[注 1]。
定義と導入
略
つづく >>282
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89
モノイド
単系（たんけい、英: monoid; モノイド）はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群（単位的半群）であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。
モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。
定義
集合 S とその上の二項演算 ・: S × S → S が与えられ、以下の条件
結合律
S の任意の元 a, b, c に対して、(a ・ b) ・ c = a ・ (b ・ c).
単位元の存在
S の元 e が存在して、S の任意の元 a に対して e ・ a = a ・ e = a.
を満たすならば、組 (S, ・, e) をモノイドという。まぎれの虞のない場合、対 (S, ・) あるいは単に S のみでも表す。 二項演算の結果 a ・ b を a と b の積[注釈 1]と呼ぶ。手短に述べれば、モノイドとは単位元を持つ半群のことである。モノイドに各元の可逆性を課せば、群が得られる。逆に任意の群はモノイドである。
性質
モノイドにおいては、可逆元（あるいは単元）の概念を定義することができる。モノイドの元 x が可逆であるとは xy = e かつ yx = e を満たす元 y が存在するときにいう。y は x の逆元と呼ばれる。y および z が x の逆元ならば、結合律により y = (zx)y = z(xy) = z となるから、逆元は存在すればただひとつである[3]。
任意のモノイドが必ず何らかの群に含まれるとは限らない。例えば、b が単位元ではない場合にも a ・ b = a を満たすような二つの元 a, b をとることができるモノイドというものを矛盾なく考えることができるが、このようなモノイドを群に埋め込むことはできない。なぜなら、埋め込んだ群において必ず存在する a の逆元を両辺に掛けることにより b = e が導かれ、b が単位元でないことに矛盾するからである。モノイド (M, ・) が消約律 (cancellation property) を満たす、あるいは消約的 (cancellative) であるとは
つづく Dulmage - Mendelsohn分解を実装しようと思っていますが、まずは2部グラフの最大マッチングを求めるHopcroft - Karpのアルゴリズムから
実装しないといけないので大変です。 >>283
つづき
M の任意の元 a, b, c に対し、a ・ b = a ・ c が成り立つならば、常に b = c を帰結することができる
という条件を満たすときにいう。消約的可換モノイドは常にグロタンディーク構成によって群に埋め込むことができる。これは、整数全体の成す加法群（加法演算 "+" に関する群）を自然数全体の成す加法モノイド（加法演算 "+" に関する消約的可換モノイド）から構成する方法の一般化である。しかし、非可換消約的モノイドは必ずしも群に埋め込み可能でない。
消約的モノイドが有限ならば、実は群になる。実際、モノイドの元 x を一つ選べば、有限性より適当な m > n > 0 をとって xn = xm とすることができるが、これは消約律により xm-n = e（e はモノイドの単位元）となり、xm-n-1 が x の逆元となる。
モノイドの右消約元の全体あるいは左消約元の全体は部分モノイドを成す（単位元を含むのは明らかだが、演算が閉じていることはそれほど明らかではない）。これは、任意の可換モノイドの消約元の全体はかならず群に延長することができるということを意味している。
モノイド M は、M の各元 a がそれぞれ
a = a ・ a-1 ・ a かつ a-1 = a-1 ・ a ・ a-1
となる M の元 a-1 をただひとつ持つとき、M を逆モノイド (inverse monoid) あるいは山田モノイドという[注釈 5]。逆モノイドが消約的ならばそれは群を成す。
つづく >>285
つづき
圏論との関係
モノイドは圏の特別なクラスと看做すことができる。実際、モノイドにおいて二項演算に課される公理は、圏において（与えられたただ一つの対象を始域および終域とする射の集合だけで考えれば）射の合成に課される公理と同じである。すなわち、
モノイドはただひとつの対象をもつ圏（単一対象圏）と本質的に同じものである。
もっとはっきり述べれば、モノイド (M, ・) はただひとつの対象をもち、M の元を射として小さい圏を成す（射の合成はモノイド演算 ・ で与えられる）。
これと平行して、モノイド準同型は単一対象圏の間の函手とみなされる。ゆえに、今考えている圏の構成は（小さい）モノイドの圏 Mon と（小さい）圏の圏 Cat のある充満部分圏との間の圏同値を与えるものになっている。同様に、（小さい）群の圏は、Cat の（モノイドの圏とは別の）ある充満部分圏に同値である。
この意味では、圏論をモノイドの概念の一般化であると考えることができ、モノイドに関する定義や定理の多くを（ひとつまたはそれ以上の対象を持つ）小さい圏に対して一般化することができる。例えば、単一対象圏の商圏とは、剰余モノイドのことである。
モノイドの全体は（他の代数的構造がそうであるのと同様に）、モノイドを対象としモノイド準同型を射とする圏 Mon を成す。
また、抽象的な定義によって、各圏における「モノイド」としてモノイド対象の概念が定まる。通常のモノイドは（小さい）集合の圏 Set におけるモノイド対象である。
(引用終り)
以上 http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/ev6-ccf.gif
実際に応用する際には、こんな感じの疎行列に対して適用されるんですね。 http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-ouyousurigaku/dm050410.pdf
DM分解が何の役に立つのか正直言って分かりませんが、連立1次方程式がたしかにキレイになりますね。 >>284
>Dulmage - Mendelsohn分解を実装しようと思っていますが、まずは2部グラフの最大マッチングを求めるHopcroft - Karpのアルゴリズムから
>実装しないといけないので大変です。
どうも
ご苦労さまです
”Dulmage - Mendelsohn分解を実装”は、すでに（既存の）実装があると思うので
そちらを参考にされるのが良いと思います
（多分、英文資料なら多くあるのでは？）
機械翻訳使えば、多少楽でしょう >>287-288
なるほど、かなり調査済みなんですね
頑張ってください（＾＾ DM分解を検索するとなぜか伊理正夫系の人たちばかりがヒットします。
実はあまり役に立たない？伊理正夫がDM分解を好きだったというだけ？ >>281-286
零因子っていわなくなったね
>>173の間違いを認めたくないなんて
どうしようもない小者だね
だから数学が理解できない馬鹿のままなんだよ >>286
＞モノイドは圏の特別なクラスと看做すことができる。
＞実際、モノイドにおいて二項演算に課される公理は、
＞圏において（与えられたただ一つの対象を始域および終域とする
＞射の集合だけで考えれば）射の合成に課される公理と同じである。
さらに、射を同型射だけに制限すれば、群になる
射 (圏論)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)
単射: 射 f: X → Y が単射 (mono-morphism) であるとは、
f ∘ g1 = f ∘ g2 ならば g1 = g2 が
任意の射 g1, g2: Z → X に対して成り立つこと。
全射: 双対的に、f: X → Y が全射 (epi-morphism) であるとは、
g1 ∘ f = g2 ∘ f ならば g1 = g2 が
任意の射 g1, g2: Y → Z に対して成り立つこと。
単射でも全射でもあるような射は
全単射あるいは双射 (bimorphism) と呼ばれる。
同型射: 射 f: X → Y に対して射 g: Y → X が存在し、
f ∘ g = idY かつ g ∘ f = idX が
成り立つものを同型射であると言う。
射 f が左逆射と右逆射をともに持つとき、
両者は一致して f は同型射であり、
g は単に f の逆射 (inverse) と呼ばれる。
逆射は、それが存在すれば一意である。
逆射 g もやはり同型射であり、逆射として f を持つ。
二つの対象がその間に同型射を持つとき、
それら二つは互いに同型あるいは同値であるという。
注意すべきは、任意の同型射は双射だが、
双射は必ずしも同型射ではないことである。 https://www.nippyo.co.jp/shop/book/8340.html
圏論といえば、近々、以下の本が発売されます。
圏論入門 Haskellで計算する具体例から 正方行列の全体M_n(K)は、
線形空間K^nの自己射の全体であるから
モノイドではあるが群ではない
正則行列の全体GL_n(K)は、
線形空間K^nの自己同型射の全体であるから
群である ちなみに対象が複数ある圏で、
射が全て同型射の場合、
亜群（groupoid)となる >>291
>DM分解を検索するとなぜか伊理正夫系の人たちばかりがヒットします。
実はあまり役に立たない？伊理正夫がDM分解を好きだったというだけ？
伊理正夫か、懐かしいな
数値解析のレジェンドですよね
”伊理正夫がDM分解を好きだった”ではなく、あの人は、数値解析については
なんでもやった人です。DM分解も、彼の業績の一分野にすぎないでしょう
あと、DM分解は、学問的には下火のような気がする
（学問的には終わっているのでは？）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%8A%E7%90%86%E6%AD%A3%E5%A4%AB
伊理正夫
伊理 正夫（いり まさお、1933年（昭和8年） - 2018年（平成30年）8月13日）は、日本の数学者・工学者。東京大学名誉教授、元同大学工学部長・中央大学理工学研究所所長。工学博士（東京大学）。専門は数理工学、応用数学（例えば数値解析、線形計画法、マトロイド理論、計算幾何学など）。
来歴
1955年3月、東京大学工学部応用物理学科（数理工学専修コース）を卒業。1960年3月、東京大学大学院数物系研究科応用物理学専門課程博士課程を修了し、同年工学博士号を取得。
1960年4月より九州大学工学部通信工学科助手に就任し、同年12月、助教授となる。1962年10月、東京大学工学部計数工学科助教授に転任。1973年4月に教授に就任し、1993年3月まで務める。1993年5月、東京大学名誉教授となる。
1987年4月、東京大学工学部長に就任（1989年3月まで）。1989年4月より1991年3月まで東京大学総長特別補佐（副学長）を務めた。この間、1991年10月に西安電子科技大学から名誉教授の称号を授与されている。
1991年には日本応用数理学会・計算の品質研究部会（精度保証付き数値計算を扱う部会）の主査を務める（その後、大石進一に引き継がれる）[1]。
1992年から1994年まで日本オペレーションズ・リサーチ学会会長[2]。 >>297 補足
ご参考まで
https://jom.jsiam.org/?article=K1809A
JSIAM Online Magazine
学会ノート
伊理正夫先生追悼特集(1)：伊理正夫先生を偲ぶ ―ご経歴とご業績を中心に―土谷 隆 (Published Date: 2018/10/20)
(抜粋)
伊理先生のご研究は数理工学・応用数理の広範な範囲に渡ります．
1960年代から1970年代には，電気回路方程式の表現法の研究から出発して
代数的位相幾何学や線形計画的手法も用いたグラフ・ネットワーク解析, 大規模システム分割の理論を展開され，
さらにそれを受けて発展させる形でマトロイド理論とその工学的応用についての研究を進められる一方，
高性能の積分公式である IMT (Iri-Moriguti-Takasawa) 公式なども提案されました．
1980年代から1990年代にかけては計算幾何学のための種々のアルゴリズムの開発と地理情報処理への展開，可変指数部を持つ浮動小数点数値表現である伊理－松井方式，
線形計画問題に対する内点法の伊理－今井法，高速自動微分法の提案と実用化などの研究を進められました．
このように，先生の諸分野におけるご業績は枚挙にいとまがありません．
先生はこれらのご研究を200編以上の論文として出版されました． >>281 タイポ訂正
Xが零因子でなく、従って、XAが零因子であることを認めると、
↓
Xが零因子でなく、従って、XAが零因子でないことを認めると、
（＾＾； >>281 補足
(引用開始)
行列では、AX = E のとき，XAを考えると
XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)＝(XA)^2
これから
(XA)^2-XA＝0（零行列）
(XA)(XA-E)＝0
Xが零因子でなく、従って、XAが零因子でないことを認めると、
XA-E＝0より
XA＝E 成立（途中、結合則と分配則などを使った）
(引用終り)
ここ”左逆元 XA = E から出発しても、同様の議論で、AX＝E が成立する”
の一行を追加します
追伸
これ、院試などを受けるつもりなら、要注意点です
つまり、”逆もまた同様に成立”とか、”逆元の右左を逆にしても同様に成立つ”とか
必要な一言を、書き漏らさないよう
試験の採点では、「書いていないことには、点を出せない」ってこと
普通の定期試験なら、「こいつは分かっているんだな」と斟酌してくれるかもしれないが
院試になると、答案の名前は伏せられるので、採点者にはだれの答案か基本分からないし
採点基準通りに採点されるだろうから、普段の定期試験より、採点は厳しいだろう
（私ら関係ないけどね（＾＾ ） >>300
正則行列を知らず、正方行列の群なんて書いちゃう人は
大学院なんか受けたって叩き落されますから
高卒の君、数学に興味もつなよ 無駄だから >>214
>群・環・体
>この文脈で
>「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
>「逆元が存在するかどうかを論じてる
>たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
>だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
>なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
たまたまですねー
「単元は非零因子」は自明に成立しますが、「非零因子は単元」は一般には不成立ですからー
当たり前です。もし成立するなら「整域は体」が成立してしまいますよー
群・環・体（蟹江）をどう読んだら分かったんですかー？
>抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾；
無知はあなたですねー 瀬田に問題
有限環においては「非零因子は単元」が成立することを証明せよ >>302
>「単元は非零因子」は自明に成立しますが、
>「非零因子は単元」は一般には不成立ですからー
例：整数環
零因子は存在しないが、単元は１と－１だけ （>>154 再録）
自分の大失言を、取り繕うため、必死に他人のあら探ししてる～ｗ
意図が見え見えで、笑えるわ（＾＾
だがな、他人を攻撃しても、自分の失言は、どうしようもないよね
「自然数Ｎが、群の例？」
アホじゃん。おれと良い勝負だよｗ（＾＾；
(引用開始)
「例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д)) >>281 補足
”群環と零因子問題
群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式
(1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n
から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 ? g が得られる。
零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、
零因子問題
与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか
今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。”
英語版では、”No counterexamples are known, but the problem remains open in general (as of 2017).”
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E6%95%B4%E5%9F%9F
非可換整域
(抜粋)
環論と呼ばれる抽象代数学の一分野における（非可換[注釈 1]）整域あるいは域（いき、英: domain）とは、右または左零因子を持たない（つまり ab = 0 ならば a = 0 または b = 0 が成り立つ[2]、零積律（英語版）を満たすとも言われる）環のことを言う。
(https://en.wikipedia.org/wiki/Zero-product_property
In algebra, the zero-product property states that the product of two nonzero elements is nonzero.
In other words, it is the following assertion:
If ab=0, then a=0 or b=0.)
しばしば自明でない（一つよりも多くの元を持つ）ことを仮定する[3]が、域が乗法単位元を持つならば、この仮定は 1 ≠ 0 と同値[4]であり、この場合の域は「左または右零因子を持たない非自明な環」のことになる。1(≠ 0) を持つ可換域は（可換）整域と呼ばれる[5][注釈 1]。
定理 (Wedderburn)
有限域は自動的に有限体になる。
つづく >>306
つづき
零因子について（少なくとも可換環の場合には）位相幾何学的な解釈をすることができる。環 R が可換整域となるための必要十分条件は、R が被約環（つまり冪零元を持たない環）であり、かつそのスペクトル Spec R が既約位相空間となることである。前者の性質はある種の無限小の情報を保有しているとしばしば考えられ、対して後者はより幾何学的な情報を与えている。例えば、体 k 上の環 k[x, y]/(xy) は整域でない（x および y の属する類が零因子を与える）が、これは幾何学的にはこの環のスペクトルが既約でない（実際に、二つの既約成分である直線 x = 0 と y = 0 の和となる）ことに対応する。
群環と零因子問題
群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式
(1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n
から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 ? g が得られる。
零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、
零因子問題
与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか
今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。
様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている。Farkas & Snider (1976)は「G が捩れの無い多重巡回×有限（英語版）群 (polycyclic-by-finite group) で K が標数 char?K = 0 の体ならば群環 K[G] は域を成す」ことを証明した。後に Cliff (1980) が体の標数に関する制限を取り除いている。Kropholler, Linnell & Moody (1988) はこれらの結果を捩れの無い可解群および可解×有限群の場合にまで一般化している。それより早く Lazard (1965) の成した研究は（その重要性は20年もの間この分野の専門家に省みられることは無かったが）、K が p-進整数環で G が GL(n, Z) の p-次合同部分群（英語版）である場合を扱っていた。
(英語版)
https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_(ring_theory)
Domain (ring theory)
Group rings and the zero divisor problem
No counterexamples are known, but the problem remains open in general (as of 2017).
(引用終り)
以上 >>305-307
線形代数の基礎すら知らず、任意の正方行列は正則行列だ、
などとほざく素人に環論なんか無理 諦めな ◆yH25M02vWFhPのトンデモ発言
・任意の正方行列は正則行列（正方行列全体は群を成す）
・detA=0なるAが零行列でなければ、余因子行列A~も零行列でない
(detA=0なるAが零行列でなければ零因子のニセ証明）
結局逆行列を持つ条件(行列式が０でない）も知らず
余因子の性質すら理解していない
ほんとに大学出たの？ 線形代数全く知らないよね？ T大シラバス
線型代数学①
線型代数学の萌芽である行列は多変数の連立一次方程式を効率的，統一的に扱う手法として発明された．
また，行列式は方程式の解がただ一つ存在するための条件として発見された．
ベクトルの概念の起こりは古典力学にあり，その意味で線型代数学の歴史は古い．
しかし行列の本質である線型性概念の真の威力が認識され，数学の一分野と
して線型代数学が確立したのは新しく，20 世紀にはいってのことであった．
自然界や社会科学における現象は一般には複雑で一次方程式で表せることはまれだが，
一次近似によりその本質的な部分をとらえることは常套手段であり，
線型代数学の考え方は非常に有効である．
また，量子力学や，フーリエ解析などに現れる無限次元のベクトル空間を扱うための基礎ともなっており，
線型代数学の応用については枚挙にいとまがない．
このように，線型代数学の考え方は現代数学や理論物理学においてはもちろんのこと，
工学，農学，医学，経済学などにおいても基本的な考え方として浸透しており，応用範囲も広い．
線型代数学は理論的には単純で明快であるが，その反面，抽象的な概念操作にある程度慣れないと理解しにくい面もある．
線型代数学を身につけるには，演習などのさまざまな問題にあたり，理解を深めることが必要である．
「数理科学基礎」において学んだ線型代数に関する知識を前提とする．
S2 タームの「線型代数学①」で以下の項目 1, 2 を扱い，
A セメスターの「線形代数学②」で項目 3～6 を扱うことを目安とするが，
担当教員によって，順序や内容に一部変更が加えられる場合がある．
1. ベクトル空間，線型写像
2. 生成系，一次独立性，基底
3. 内積
4. 行列式
5. 固有値，固有ベクトル
6. 対称行列の対角化と二次形式
---
ホラ！！！ 全部大学1年でやることじゃん
しかもこれ理Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ共通だから
数学科だけじゃない理学部・工学部・農学部・薬学部・医学部共通の常識
知らない奴は・・・大卒じゃなぁぁぁぁぁい！ >>300 補足
モノイドの場合は、下記 花木章秀 信州大 問題 22で
二つの元 fとgzで
gz・f = idS （単位元。 問題では idN と書いてあるが、解答と不一致となっているのは、ご愛敬です（＾＾； ）
一方、 f・gz ≠ idS （解答記載の通り）
なるほど、なるほど（＾＾
（参考）
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/intro/intro_mondai_20120704.pdf
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
P2
（問題）
22. A を 1 を単位元とするモノイドとする。
a ∈ A に対して、b ∈ A が a の 左逆元であるとは、ba = 1 となることとする。
また b が a の 右逆元であるとは、ab = 1 となることとする。
A を N から N への写像全体の集合とする。
A は写像の合成を演算として、恒等写像 idN を単位元とするモノイドになる。
f ∈ A を f(a) = a + 1 で定める。
f は左逆元をもつが、右逆元をもたないことを示せ。
また、z ∈ N に対して gz ∈ A を
gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1)
で定める。
gz は右逆元をもつが、左逆元をもたないことを示せ。
(解答)
代数入門問題集・解答例と解説 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
P15
22. h が f の右逆元であるとすると fh = f ・ h = idS である。しかし f は全射ではないので、これは矛盾である。
よって f は右逆元をもたない。
k が gz の左逆元であるとすると kgz = k ・ gz = idS である。しかし gz は単射ではないので、これは矛盾である。
よって gz は左逆元をもたない。
すぐに分かるように gzf = idS が成り立ち、よって gz は f の左逆元、f は gz の右逆元である。
これによって左 (右) 逆元は、存在しても一意的ではないことも分かる。
(引用終り)
以上 >>300 補足
>>311のように、モノイドでは
gz・f = idS （idSは単位元）
でも
f・gz ≠ idS （解答記載の通り）となる
例が存在する。
では、群ではどうか？
>>300より
AX = E のとき，XAを考えると
XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)
において
群では、最低限、右又は左逆元の存在が保障されているから
例えば、XAの右逆元をXA^-1R として、これを右からかけると
上記左辺は、(XA)(XA^-1R)＝E
上記右辺は、(XA)(XA)(XA^-1R)＝(XA){(XA)(XA^-1R)}＝XA
よって、E＝XA （即ち、XA＝E ）
よって、Aの右逆元Xが存在すれば、それは左逆元でもある
同様に、（群の場合）左逆元Xから、それが右逆元であることも、導ける
以上 >>312 タイポ訂正
XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)
↓
XA＝XEA＝X(AX)A＝(XA)(XA)
X(AX)Aがダブりだったな（＾＾； >>311 トリビア蛇足
花木章秀 信州大より
モノイドの場合
gz・f = idS （単位元）
f・gz ≠ idS （解答記載の通り）
１）まず
A は写像の合成を演算としてモノイドで、恒等写像 idS を単位元とする
f ∈ A を f(a) = a + 1
z ∈ N に対して gz ∈ A を
gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1)
で定めている
２）22の解答にある 「h が f の右逆元であるとすると fh = f ・ h = idS である。しかし f は全射ではないので、これは矛盾である。よって f は右逆元をもたない」
これ、分かる人には分かるが、まず、恒等写像 idS ：N→Nで は、1を1に、2は2に・・・と写す恒等写像で、”全単射”です。これ言われてみれば自明
３）さて、f(a) = a + 1は、何をしているかというと、f：N→N+1に移す
ここで、Nは1から始まる自然数を考えていて、N+1には、1は含まれないので、全射ではない
gz(a) =a - 1 (a >= 2) or =z (a = 1) 、これは何をしているかというと、gz：N+1→Nなのです（但し、N+1には、a = 1は含まれていない）
つまり、gzは、N+1→Nで、N+1をNに引き戻すことができます
（なお、gz：N→Nの場合には、Nには、a = 1が含まれるので、gz：1→z となって、zのところがダブりで、単射性が崩れている写像です
４）で、上記２）で、ある写像ｈ：N→N（Nの部分集合の場合もあり）があって、その像はN全体かNの部分集合かです。そのいずれにせよ、 f は全射ではない。写像の合成fhも全射にはならない。よって、合成fhは恒等写像 idSではない！
５）同じ論法で、>>311の「k が gz の左逆元であるとすると kgz = k ・ gz = idS である。しかし gz は単射ではないので、これは矛盾である」も言える
６）花木解答に記載の「gz・f = idS」は、上記３）で述べた通りです
f・gzはどうかと言えば、gz：N→Nでzのところがダブりですが、像はNそのものなのです。そして、f：N→N+1で、その像は 1 は集合N+1に含まれないので、「f・gz ≠ idS」という花木解答です
トリビア蛇足でした
これは、自分では思いつかないね
（実際、gz・f = idS → f・gz ＝ idS が証明できないかを（モノイドなどにおいて）考えてみたが、出来なかった。反例があるんだね。思いつかなかったな）
（＾＾； >>311 トリビア蛇足の追加
>花木章秀 信州大 問題 22
>すぐに分かるように gzf = idS が成り立ち、よって gz は f の左逆元、f は gz の右逆元である。
>これによって左 (右) 逆元は、存在しても一意的ではないことも分かる。
"gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1)
で定める"
で、”=z (a = 1)”で、変数zを導入しています
つまり、zは、自然数であれば、なんでも良いわけです
なので、これが「一意的ではないことも分かる」に、つながります
そして、gz(a)は、群の元には成れない
f(a)も、群の元には成れない
この例は、秀逸ですね
覚えておくと良いと思います
ちょっと自慢できそう >>314-315
行列式は難しくて無理かい？
それじゃ工学部も卒業できないね A は n×n 行列
A の ij 成分を aij と書く
行列式は以下の式で定義される
「行列式1」
detA=買ﾐ∈Snsgn(σ)∏i=1naiσ(i)=買ﾐ∈Snsgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)⋯anσ(n)
σ は 1 から n の置換（順列）を表す。
買ﾐ∈Sn は，「n 次の全ての置換に関して和を取る」ことを表す。
sgn(σ) は置換の符号を表す。
奇置換なら－1，偶置換なら+1 。 >>317のように行列式を定義すると，
以下の3つの性質が成立する。
「行列式2」
性質1：単位行列 I に関して detI=1
性質2（交代性）：i 列と j 列を交換すると行列式は－1 倍される
性質3（多重線形性）：一つの列以外固定して一つの列の関数と見たときに線形性が成立する。
逆に上記の3つの性質を満たす関数は行列式のみ。
つまり行列式とは上記の3つの性質を満たすものと定義することもできる。 >>251 補足
(>>214-215より、引用開始)
群・環・体
この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
（おサルが）「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾；
知る人ぞ知る
常識と言えば、常識かもね
ｗｗｗｗｗ（＾＾；
(引用終り)
＜さて、もう一度纏める＞
１）下記零因子の定義より、aが左零因子で（a≠0で） ax=0 となる x≠0 が存在するとして
もし、aが左逆元 a^-1L を有し、(a^-1L)(a)＝I(単位元)となれば、左から(a^-1L)を ax=0に掛けて
x=0が得られ、x≠0に矛盾する。よって、「aが左零因子」と「aが左逆元 a^-1L を有す」は、両立しない
（同様、「aが右零因子」と「aが右逆元 a^-1R を有す」は、両立しない）
２）さて、積演算が可換な場合は、左右の区別がなく、「aが零因子」と「aが左逆元 a^-1L 又は右逆元 a^-1R を有す」は、（左右どちらも）両立しない
３）さらに、群では、逆元には左右の区別がないので（逆元は左右どちらも同じ）、従って、aの逆元の存在と、「aが左零因子」又は「aが右零因子」とは、（左右どちらも）両立しない（>>312-313）
４）モノイドや、マグマになると、群とは異なる現象がおきる（下記松本、花木）
５）正方行列の場合も、３）同様である。それらは、行列や行列式の理論から、諸結果を導くことも可能だが、多くの部分は抽象代数学の一般的な群、環、体の理論から導くことも可能である(>>281)
６）なお、下記「非可換整域 wikipedia」の”群環と零因子問題（カプランスキーの零因子予想）”というのがあって、「様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている」、「今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2017年現在）」です
まあ結局、”「零因子」と、「逆元を持つ」とは、密接な関係がありま～す”！！
つづく >>319
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子
(抜粋)
環 R の元 a は、ax=0 となる x≠0 が存在するとき、左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる[1]。
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/daisu-nyumon.pdf
代数系への入門 松本 眞 広島大 平成 25 年 8 月 26 日
P45
2.4 群
2.4.1 逆元と群
定義 2.4.1. (S, ・) を単位元 eS を持つマグマとする。（単位元はあれば一つであること、すなわち問題 2.12 に注意。）
g ∈ S の（e に関する）左逆元 a とは、
a ・ g = eS
を満たす a ∈ S のことをいう。
g ∈ S の右逆元 b とは、
g ・ b = eS
を満たす b ∈ S のことをいう。
g の左逆元であって、かつ右逆元であるような元を g の逆元という。すなわち、
a ・ g = eS, g ・ a = eS
となるような a のことである。
逆元を持つ元を可逆元という。
命題 2.4.2. (S, ・, eS) をモノイドとする。g に左逆元 a と右逆元 b が存在するならば、それら
は一致する。特に、g の逆元は存在すれば唯一つ。これを g-1 で表す。
証明.
a = a ・ eS = a ・ (g ・ b) = (a ・ g) ・ b = eS ・ b = b.
よって左逆元と右逆元は、両方存在すれば一致する。
特に、逆元が二つあったとしよう。それらを a, b とすれば、a は左逆元でもあるし、b は右
逆元でもあるから、上の事実より一致せざるを得ない。
問題 2.20. モノイドの代わりに、条件を弱めて「単位元をもつマグマ」に対しても、逆元が
存在すれば唯一つであることが証明できるか？
ヒント：実は、反例がたくさんあり、当然証明はできない。例えば (R, *) を
x * y = x + y + x^2y^2
で定義するとこれはマグマであり、0 が単位元となっている。
x * y = 0
を二次方程式の解の公式を用いて解くと、逆元が二つ存在することがあることがわかる。
つづく >>320
つづき
（>>314-315も、ご参照）
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/intro/intro_mondai_20120704.pdf
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
P2
（問題）
22.など
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E6%95%B4%E5%9F%9F
非可換整域
(抜粋)
環論と呼ばれる抽象代数学の一分野における（非可換[注釈 1]）整域あるいは域（いき、英: domain）とは、右または左零因子を持たない（つまり ab = 0 ならば a = 0 または b = 0 が成り立つ[2]、零積律（英語版）を満たすとも言われる）環のことを言う。
群環と零因子問題
群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式
(1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n
から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 - g が得られる。
零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、
零因子問題
与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか
今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。
様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている。Farkas & Snider (1976)は「G が捩れの無い多重巡回×有限（英語版）群 (polycyclic-by-finite group) で K が標数 char?K = 0 の体ならば群環 K[G] は域を成す」ことを証明した。後に Cliff (1980) が体の標数に関する制限を取り除いている。Kropholler, Linnell & Moody (1988) はこれらの結果を捩れの無い可解群および可解×有限群の場合にまで一般化している。それより早く Lazard (1965) の成した研究は（その重要性は20年もの間この分野の専門家に省みられることは無かったが）、K が p-進整数環で G が GL(n, Z) の p-次合同部分群（英語版）である場合を扱っていた。
つづく >>321
つづき
(英語版)
https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_(ring_theory)
Domain (ring theory)
Group rings and the zero divisor problem
No counterexamples are known, but the problem remains open in general (as of 2017).
(引用終り)
以上 なんか、素人って＊＊の一つ覚えで「群・環・体」とかいうけど
たかが線形代数すらロクに理解できないレベルで
そんな呪文唱えても意味ないだろｗ
現に
「detA=0でAが零行列でないなら、
余因子行列A~ も零行列でない！」
とトンデモ発言してるし
行列式そして余因子の計算が分かってたら
反例なんか速攻三秒で思いつくぞｗ 整数全体は環であり整域である
一方で、乗法における可逆元は１とー１だけである
つまり一般の環において、
「可逆元でないから零因子である」
とはいえない（ビシっ） >>324
せいぜいいえるのは、一般の環では
「零因子なら可逆元ではない」
という程度である
もし、一般の環で
「可逆元でないなら零因子である」
がいえるなら、以下が成り立つ
「整域は体である」（ドヤ顔）
うひょー！整数って体なのか！
２ｘ＝１となる整数ｘってあるんだ！
大発見だ、ぜひ教えてくれ！！！ (>>214-215より、引用開始)
群・環・体
この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
（おサルが）「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
それって、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
知る人ぞ知る
常識と言えば、常識かもね
この人は、抽象代数学に、無知ってことですね～ ＷＷＷＷＷ（＾＾；
ｗｗｗｗｗ（＾＾；
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾； ＞それって、”たまたま”でないことは、
＞ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること
いや分からないよｗ
だって「零因子でなければ可逆元」って反例あるじゃん
整数環という実に基本的な反例がｗ
＞この人は、抽象代数学に、無知ってことですね～ ＷＷＷＷＷ
いやいや 抽象代数学に無知なのは君だよ、き・み
たまたま行列で成り立つからって、
一般の環でも成り立つと思うのがアホｗ （>>131より）
(引用開始)
「例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾； >>328
誰？ｗ
あのな、なんでみんなコテハン＆トリップ使わないか分かってないだろ
おまえみたいな馬鹿はどうせ次から次へと間違うだろ？
そのときおまえみたいにコテハン＆トリップ使ってるとこういわれるんだよ
「ああ、あの馬鹿また間違ったｗｗｗ」
おまえさあ、もう微積分も線形代数も分かってないんだから
いいかげん最先端の数学にむやみに食いつくのはやめて
地道に大学１年の微積分と線形代数からやり直せよ >>326
>群・環・体
>この文脈で
>「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
一般の環で
・「単元は非零因子」は成立
・「非零因子は単元」は不成立
は理解できましたかー？
キミの云う「密接な関係」とは具体的にはどんな関係？
そこが曖昧だと有るとも無いとも言えない、つまり今回もキミの主張はナンセンスってことですねー Euler Maclaurin formulaをやさしく説明したサイトを紹介してください。 >>330
>キミの云う「密接な関係」とは具体的にはどんな関係？
説明しましょう（＾＾
そもそも、私が>>149で、下記を発言したのです
(引用開始)
下記旧高校数学Cでは、行列を教えていた
後は、自学自習して下さい
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子
(引用終り)
そこで、おサルが、>>160で下記発言
(引用開始)
なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ
おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ
(引用終り)
で、私は>>169で下記反論をした
(引用開始)
>>160
>おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
笑える
「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」
”正則”と”零因子”は、関係あり（＾＾；
(引用終り)
まとめると、出発は、行列の零因子と正則（逆元の存在）との関係だよ
で、この時点で、おサルは、行列の零因子と正則（逆元の存在）との関係を知らなかった
（”なんかまたトンチンカンなこといってるな 零因子の話なんかまったくしてないぞ”でしたねｗ）
でも、両者は同値（>>200ご参照）
で、この話は、抽象代数学 群・環・体（下記蟹江など）でも成立します（＾＾
（参考）
http://kanielabo.org/essay/
エッセイの部屋
http://kanielabo.org/essay/daisu.pdf
代数 / 群・環・体 蟹江幸博 数学セミナー6月号 (2003.6.1), pp.38-43.
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13168979413
数学の代数学について
sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo
可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
(引用終り)
以上 >>329
>誰？ｗ
>あのな、なんでみんなコテハン＆トリップ使わないか分かってないだろ
しらばっくれてｗ
ばれていないつもりか？ｗｗ
”誰？”って、お前のことだよ！ みんな分かっているんだよ～！！ ｗｗｗ（＾＾； >>331
易しくないかもしれないが
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%92%8C%E5%85%AC%E5%BC%8F
オイラーの和公式
オイラーの和公式(オイラー・マクローリンの公式、英: Euler?Maclaurin formula)は級数の和を与える公式である[1]。この公式は収束の遅い無限級数の和を求めるときに便利であるが、{\displaystyle f(x)}f(x)が多項式であるような場合を除き、{\displaystyle m\to \infty }{\displaystyle m\to \infty }とすればベルヌーイ数が急速に大きくなって発散する。従って、漸近展開のように発散する前の適当なところで打ち切らなければならない。
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula
Euler?Maclaurin formula
http://people.csail.mit.edu/kuat/courses/euler-maclaurin.pdf
18.704 Seminar in Algebra and Number Theory Fall 2005
Euler-Maclaurin Formula
Prof. Victor Ka?c Kuat Yessenov >>332
>でも、両者は同値（>>200ご参照）
>で、この話は、抽象代数学 群・環・体（下記蟹江など）でも成立します（＾＾
成立しません。分かり易い反例は整数環。
>https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13168979413
>数学の代数学について
>sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo
>可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
>(引用終り)
>以上
「単元は非零因子」なのだから同時に成り立たないのは当たり前。
しかしそれだけでは逆「非零因子は単元」は言えないことは分かりますかー？ >>332
なんだ、このバカ、まだ>>200の証明の誤りに気づけないんだ
＞１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
然り
（上記１を式変形して）
＞２．A・t[Aij] ＝|A| E（正則行列を含む全正方行列の場合）
然り
＞３．正則行列とは、|A|≠0
＞（行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）
然り
＞つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
＞上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです
誤り
まず、行列環の場合（注:一般の環では決して成立しない！）
行列の性質により（注：だから一般の環では成立しない！）
「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」
し・か・し、|A|=0の場合の
A・t[Aij] ＝Ｏ （Ｏは零行列）
では、Aが零因子であることの証明にはならない
な・ぜ・な・ら、Aが零行列でなくても
t[Aij]が０行列となる場合があるから
たとえば行列
（１ １ １)
（１ １ １）
（１ １ １）
はどうみたって零行列ではないが
余因子行列を計算すれば零行列になる
ウソだと思うなら計算してみろｗｗｗ
◆yH25M02vWFhPは線形代数の基礎も分からん馬鹿
大学１年からやり直せ 微積分も線形代数も分からん数盲、いや論理盲め 正則でなくしかも零行列でない行列Aが零因子となることを示すのに
ケイリー・ハミルトンの定理のような高尚な定理を使わなくてもできる
ｎ×ｎ行列Aについて、行および列の入れ替えで、
ランクｍ（０＜ｍ＜ｎ）の場合、
０でない成分が、ｍ×ｍ部分にだけ存在する
階段行列に変えられる
上記の行列は、（ｎ－ｍ）×（ｎ－ｍ）部分にだけ
０でない成分が入った行列Bとの積が零行列になる
あとは、Bに対して、Aを階段行列にするのに実行した
行および列の入れ替え操作の行列（どれも正則）の
逆行列を掛ければ
AC＝０ DA=0
となるような行列C,Dが構成できる
エレガントさの欠片もないがｗ 証明としては十分だろう >>338
追記
線形代数を知ってる人にはいわずもがなのことだが
ｎ×ｎの正則行列 ランクｎ
零行列 ランク０
ランクｎ－２以下の場合、余因子行列が零行列になるものがある ◆yH25M02vWFhPクンよお
整数環で０、１、－１以外の
２，３，４，５，・・・
－２，－３，－４，－５，・・・に
乗法逆元（もちろん整数、したがって１／２とかはNG！）が
あるというなら示してくれｗｗｗｗｗｗｗ
ホント、自然数が群とかいうのと同じくらい白痴だな
あれもお前の発言だろ、ばぁぁぁぁぁかｗｗｗ ピンチになれば、複数ｉｄ使い分け
分り易いやつだな（＾＾； >>341
妄想乙
>>200の証明の誤りは理解できたか？この落ちこぼれ大馬鹿野郎ｗ >>294
遅レスすまん
見た
目次を見た感じだが
面白そうだね (>>274より)
http://kymst.net/index.php?MathDocs
MathDocs 山下弘一郎先生
http://kymst.net/index.php?plugin=attach&;pcmd=open&file=mjk01CMb.pdf&refer=MathDocs
New Series, No.A-1. version Mar. 2011. 山下弘一郎先生
行列と可換性
Copy-ultra-Left. All-Rights ReVERSEd.
Article by YAMASHITA, Koichiro. Mar 07 2011
(抜粋)
P16
1858 年の『ロンドン王立協会哲学紀要』(Philosophical Transactions
of Royal Society of London, vol.148) に，Cayley は “A Memoir on the Theory of Matrices” という
論文を発表した8．
行列，matrix (pl. matrices) という用語が使われたのも，この論文が最初である．その中で Cayley
は，後日彼の名を冠せられることになる定理を，(kymst にはそう読めるのだが，かなりハイになって)
... I obtain the remarkable theorem that any matrix whatever satisfies an algebraical
equation of its own order,...
として明らかにする (p.476)．ただし，証明は 3 次正方行列で止めて，p.483 で
(... but) I have not thought it necessary to undertake the labour of a formal proof of
the theorem in general case of a matrix of any degree.
としてスッポカス．証明を与えたのが，もう一人の方，Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) で
あった ... ということで，ここまでにしておこう．
8The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley, vol.2(1889), pp.475-496 に再録されている．Pdf file が
Michigan 大学の図書館から down load できる (http://quod.lib.umich.edu/). Figure 1 は，その p. 491 から転写した．
（参考：上記と別サイトから（いまどき検索すれば、ヒットする場合多い））
https://www.jstor.org/stable/pdf/108649.pdf
A Memoir on the Theory of Matrices
Author(s): Arthur Cayley
Source: Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 1858, Vol. 148 (1858),
pp. 17-37
Published by: Royal Society >>345 補足
行列式については、日本の和算家たちも、研究しているね（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
(抜粋)
歴史
西洋で行列式が考えられるようになったのは16世紀であり、これは19世紀に導入された行列そのものよりも遥かに昔に導入されていたことになる。また、数を表の形に並べたものや、現在ガウス（・ジョルダン）消去法と呼ばれているアルゴリズムは最も古くには中国の数学者たちによって考えられていたことにも注意する必要がある。
行列式に関する最初期の計算
楊輝(中国、1238年?～1298年)は『詳解九章算術』で数字係数の二元連立一次方程式の解をクラメルの公式の形で、行列式的なものを含んだ形で与えている。 また1545年にジェロラモ・カルダノは、著書 Ars Magna の中で同じく2×2の場合のクラメルの公式を与えている。この公式は regula de modo（ラテン語で「様態に関するの規則」の意味）と呼ばれている。 彼らは「行列式」を定義したわけではないが、その概念の萌芽をみてとることができる。
高階の行列に関する行列式
高階の行列に関する行列式の定義はそれから百年ほどたって日本で和算の関孝和、田中由真、そしてドイツのライプニッツによりほとんど同時にかつ独立に与えられた。
ライプニッツは数多くの線型方程式系を研究していたが、その頃は行列記法がまだなかったので、彼は未知数の係数を、現在のような ai,j のかわりに ij のように添字の対によって表現していた。1678年に彼は3つの未知数に関する3つの方程式に興味を抱き、列に関する行列式の展開式を与えている。同じ年に彼は4次の行列式についても(符号の間違いを別にすれば)正しい式を与えている。
一般的な行列式
関孝和は、最初の手稿からやや後の『大成算成』（建部賢明、建部賢弘と共著、執筆は1683年（天和3年） － 1710年（宝永7年）頃）で、第一列についての余因子展開を一般の場合について正しく与えている。
つづく >>346
つづき
ヨーロッパにおいても、行列式の理論は日本の場合と同じく（一次ではなく）高次の代数方程式の変数消去の研究のために発展した。
今日の determinant（決定するもの）に当たる言葉が初めて現れたのはガウスによる1801年の Disquisitiones Arithmeticae である。そこで彼は二次形式の判別式（今日的な意味での行列式の特別な例と見なせる）を用いている。彼はさらに行列式と積の関係についても後少しのところまでいっている。
現代的な行列式の概念の確立
現代的な意味での行列式という用語はコーシーによって初めて導入された。彼はそれまでに得られていた知識を統合し、1812年には積と行列式の関係を発表している（同じ年にビネも独立に証明をあたえていた）。コーシーは平行して準同型の簡約化についての基礎付けの研究も行っている。
1841年に「クレレ誌」で発表されたヤコビの3本の著作によって行列式の概念の重要性が確立された。ヤコビによって初めて行列式の計算の系統的なアルゴリズムが与えられ、またヤコビアンの概念によって写像の行列式も同様に考察できるようになった。行列の枠組みはケイリーとシルベスターによって導入された。ちなみにケイリーは逆行列の公式を確立させており、行列式の記号として縦棒を導入したのも彼である。
行列式の理論は様々な対称性を持つような行列についての行列式の研究や、線型微分方程式系のロンスキー行列式など数学の様々な分野に新たに行列式を持ち込むことが追究されている。
(引用終り)
以上 >>200 補強
(引用開始)
１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
（上記１を式変形して）
２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合）
３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）
つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです
逆に言えば、上記3つの要点を理解せずして、
”正則とは何ぞや”を理解したとは言えない
(>>184より)
https://oguemon.com/study/linear-algebra/inverse-matrix/
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
(引用終り)
追加参考
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/ToshizumiFukui.html
福井 敏純
埼玉大学 大学院理工学研究科
数理電子情報専攻 数学コース
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/
講義関連 福井 敏純
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Linear_algebra.pdf
線形代数学講義ノート
福井 敏純
2020 年 3 月 23 日
(抜粋)
P20
1.2.4 逆行列
AX = E を満たす行列 X を A の逆行列 (the inverse matrix of A) といい A^-1 で表
す．A^-1 が存在するとき，A は可逆である (invertible) という．Y A = E を満たす行列
Y が存在すればそれは X に等しい．
Y = Y (AX) = (Y A)X = X
A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない（逆行列の一意性）．
X = EX = (A^-1A)X = A^-1(AX) = A^-1E = A^-1
実は AX = E をみたす行列 X が存在すれば，XA = E を満たす事*3を後で示す．
逆行列をもつ行列を正則行列 (a regular matrix) という．
例 1.2.9. 可逆な行列 Z が冪等性（即ち Z^2 = Z）を満たすならば Z は単位行列である．
Z = (Z^2)Z^-1 = ZZ^-1 = E となるからである．
*3 Z = XA が可逆ならば Z^2 = XAXA = XA = Z なので XA = Z = E がわかる．
つづく >>348
つづき
定理 1.2.12 (積の逆行列). 正方行列 A, B に逆行列 A^-1
, B^-1 が存在するとき積 AB に
も逆行列が存在し，それは次で与えられる．
(AB)^-1 = B^-1A^-1
第 2 章 行列式 27
P42
2.3.3 余因子行列
定理 2.3.7
正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である．
定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E
証明 略
系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ?= 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し
それは次式で与えられる．
A^-1 =1/det(A) A*
証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い．
P44
2.4 積の行列式
2.4.1 積の行列式
行列式に関する次の定理は基本的である．
定理 2.4.1 (積の行列式). n 次正方行列 A = (ai,j ), B = (bj,k) に対し
det(AB) = det(A) det(B).
系 2.4.2. 正方行列 A が逆行列をもつ必要十分条件は det(A)≠ 0.
証明. det(A) ≠ 0 ならば逆行列が存在する事は既に見た（定理 2.3.7）．A が逆行列 A^-1
をもてば1 = det(E) = det(AA^-1) = det(A) det(A^-1)
よって，det(A)≠ 0.
この証明より det(A^-1) = 1/det(A) も分かる．
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
(抜粋)
7 行列式の性質
7.1 固有値との関係
https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
Determinant
(引用終り)
以上 >>348-349 補足
＜行列式の視点から、行列では「可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たない」は、簡単に見える＞
まず、下記を３点を認めましょう
・det(AB) = det(A) det(B).
・逆行列 A^-1で、det(A^-1) = 1/det(A)
・（逆行列の一意性）：A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない
この３点を認めると
１）零因子とは、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0 となるもので
２）逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E（単位行列、1とも書く）
だから、１）と２）とが、同時には成り立つと
・AX＝0に、左から逆行列A^-1を掛けて、
・A^-1AX＝0→X＝0となる。これは、 X≠0に矛盾
・よって、「１）と２）とは、同時には成り立たない」は、ほぼ自明です
そもそも、”零因子AX＝0”と、”逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E”とは、水と油みたいなものです（＾＾
行列Aで、逆行列の存在と、零因子AX＝0の成否とが、
密接に関連していることは、
大学の数学教程を学べば常識でしょうね～ｗｗ（＾＾；
（>>332より）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13168979413
数学の代数学について
sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo
可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？ >>349 コピーミス訂正
（まあ、原文 http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Linear_algebra.pdf 線形代数学講義ノート を見て下さい）
誤：
P42
2.3.3 余因子行列
定理 2.3.7
正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である．
定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E
証明 略
系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ?= 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し
それは次式で与えられる．
A^-1 =1/det(A) A*
証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い．
↓
正：
P42
2.3.3 余因子行列
正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である．
定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E
証明 略
系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ≠ 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し
それは次式で与えられる．
A^-1 =1/det(A) A*
証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い． >>350 補足
そうそう、行列式でしたね（＾＾；
１）零因子とは、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0 となるもので
２）逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E（単位行列、1とも書く）
↓
これを、行列式で書くと
１）零因子なら、｜A｜｜X｜＝0（数の零）、但し A≠0、X≠0
２）逆行列 ｜A｜｜A^-1｜＝1（数の1）
で
・｜A｜｜X｜＝0より、｜A｜＝0 又は｜X｜＝0 （両方0もある）
・｜A｜｜A^-1｜＝1 より、｜A｜≠0であり、上記より｜X｜＝0
が出ます
さて、”｜A｜≠0なら、Aは逆行列を持つ”を認めると
>>350で示した通り
AX＝0に、左から逆行列A^-1を掛けて、(A^-1A)X＝0→X＝0となり、これは、 X≠0に矛盾
一方、AX＝0（零行列）、但し X≠0 を認めるなら
行列Aは逆行列を持てず、即ち、｜A｜＝0にならざるを得ない
つまり、「零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0」 なら、｜A｜＝｜X｜＝0 成立です
たったこれだけのことですが、
”行列式”というメガネを通すと、すっきり見えてくる部分が多いのです
そして、正方行列Aで、行列式｜A｜＝0なら、逆行列を持つことができず（∵”｜A｜｜A^-1｜＝1”が不成立だから）
逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れないず、よって零因子も持てない＆成れない
が、すっきり見えてくるでしょう！ （＾＾ >>352 タイポ訂正
逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れないず、よって零因子も持てない＆成れない
↓
逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れず、よって零因子も持てない＆成れない
分かると思うが（＾＾； >>348-353
肝心なことが分かってませんね
今、あなたに対して指摘されているのは
「逆行列を持てば零因子ではない」ではなく
「逆行列を持たなければ零因子」に対する
あなたの証明の誤りです
つまり行列Aについて
A≠O かつ |A|=0
というだけでは、余因子行列~Aについて
A~≠O
とはいえない、ということ
これ 余因子が分かっていたら明らかですよ >>354
しかしながら、余因子行列のような馬鹿チョン技に頼らず
A≠O かつ |A|=0
から
DA＝O、AC＝O、で C≠O、D≠O
となる行列C,Dが具体的に構成できることは
>>338で示されている通りです
大学1年の線形代数からやり直そうね ボク >>355
ついでにいうと、上記のC,Dは一意的でないことも
線形代数が分かってる人なら常識だろう 馬鹿「一つの例で群が分かったと思うのはアサハカ
自然数の全体が群とか言って喜んでるのはアホ」
阿呆「バカ、０以外の自然数には加法逆元がないだろｗ
ところで、乗法逆元は零因子でないことと同値
環論から証明できる」
馬鹿「アホ、整数には零因子はないが、逆元があるのは１と－１だけだぞ
整数を自然数と云い間違えるのとはわけが違うよ
思い込みで口から出まかせ行ったらトンデモになりさがるぞ」 >>311 >>314 補足
(引用開始)
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/intro/intro_mondai_20120704.pdf
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
(抜粋)
A を N から N への写像全体の集合とする。
A は写像の合成を演算として、恒等写像 idN を単位元とするモノイドになる。
f ∈ A を f(a) = a + 1 で定める。
f は左逆元をもつが、右逆元をもたないことを示せ。
また、z ∈ N に対して gz ∈ A を
gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1)
で定める。
gz は右逆元をもつが、左逆元をもたないことを示せ。
(解答)
略
(引用終り)
さて、この(解答)を少しひねって、
”右逆元も左逆元も、もたない例”を考えてみた
z ∈ N に対して hz ∈ A を
hz(a)
=a + 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1 但し、zは、z>2なるある自然数 )
で定める
hz は、右逆元も左逆元も、もたない
∵ 花木解答の通り、hzは全射でもなく、単射でもないから。詳細は、>>311 >>314をご参照 >>358
◆yH25M02vWFhP
「一般の環で、零因子でない⇔逆元あり」
の誤りに反論できず >>354
(引用開始)
つまり行列Aについて
A≠O かつ |A|=0
というだけでは、余因子行列~Aについて
A~≠O
とはいえない、ということ
(引用終り)
同意ですけど
常識ですけど
「言える」なんて
一言も言っていません
あなたの脳内の幻聴ですよ
お薬が不足していたようですね
飲み忘れに気を付けましょう～！！ｗｗｗ（＾＾ 整数環であきらかなように、乗法逆元もないが零因子もない元（例えば２）はある >>360
＞同意ですけど
やっと理解したかね？
＞常識ですけど
いやいや、君、知らなかったよね？
＞「言える」なんて一言も言っていません
言えないなら、ドヤ顔で>>200を書いたりせんけどな
君、明らかにA≠OならA~≠Oに決まってると
何の根拠もなく思い込んでたよね
「Aが正方行列ならA~/|A|は逆行列だ」
と迂闊にも思い込んでたように
線形代数の理屈を全く理解せず
ただただ公式を暗記すれば誤魔化せると
なめた態度をとった結果がこのザマｗ この話、元々は、>>129の
日曜数学者 tsujimotter 氏
数学ガールの有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
”抽象 ←→ 具体例 ”
から始まったのです
（>>130-131より）
(引用開始)
「例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」(>>130)
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
ってこと
おサルは、群の具体例で、自然数→”「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”と言い出したのです
それをからかったら、むきになって、誤魔化そうと、他人を攻撃してきたのですｗｗ
だが、ディベートは知らず
数学では、他人を攻撃しても、自分の失言を帳消しにすることはできない（これは古代ギリシャからの教えですｗ） >>363
そもそも、その自称数学者の工学馬鹿が
層の説明でただの張り合わせの話を
「解析接続だ！」と誤解してるのを
真に受けた同類の工学馬鹿が得意顔で
コピペしたのがはじまり
それにして複素関数論も勉強したことない馬鹿が
なんでもかんでも「解析接続」というのは実に悪い癖だね
＞数学では、自分の失言を帳消しにすることはできない
君はちょっとつつくと簡単に発狂して
失言の連鎖反応で臨界に達するから面白い
正真正銘の自己愛性人格障害なんだな
どんだけ自分が天才だと自惚れてるんだよ >>364
顔パンパンに腫れ上がったメガネヲタが何言うどんねん。工学様々やないか。 ◆yH25M02vWFhPのトンデモ発言
任意の正方行列Aについて、A~/|A|は逆行列
→|A|=0だと逆行列でなかった
しかしAが零行列でなければ、A~/|A|も零行列でなく、零因子
→Aが零行列でなくてもA~/|A|が零行列になる場合があった
しかし、環では、可逆元でなければ零因子になるから正しい
→整数環では反例アリ （今ココ）
もう三つも嘘ついた ほんまアホやな >>368 修正
◆yH25M02vWFhPのトンデモ発言
任意の正方行列Aについて、A~/|A|は逆行列
→|A|=0だと逆行列でなかった
しかし、Aが零行列でなければ、A~も零行列でなく、零因子
→Aが零行列でなくてもA~が零行列になる場合があった
しかし、環では、可逆元でなければ零因子になるから正しい
→整数環では反例アリ （今ココ）
もう三つも嘘ついた ほんまアホやな >>363 補足
必死に、失言を誤魔化そうと、他人を攻撃するおサルさん、哀れｗ
>>133で、群の例で、非可換のものを挙げてくれと言い出したのは、おサルです
私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」と書いた
（補足説明も、>>134-136に書いてある）
おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾
（”全て”とか、言ってないんだよね、私は。おサルの妄想・幻聴です。
>>145-146に、（行列による）「群の表現」の話もしている（明らかに「全て」でなく”部分”群も可です））
ほんと、バカですね。正方行列と言っても、これだけでは何も決まっていない。数学では、デフォルトの部分も多い
普通は、nxn次元（nは2以上）の行列だとか、ｎを固定する
というか、今の場合は、普通にｎを固定して、ｎ有限次元で考えますよね（これ（ｎ固定）、デフォルトです）
で、群と言えば、逆元。いろんな代数系で、群は（積の）「逆元の存在が保障されている代数系」の一つです
逆元は普通に、デフォルトです（言わないが合意事項）。群の公理を仮定しているのに、いちいち、「群に逆元が存在する」などと、いうことはありません
群の表現論で使うnxn行列で、わざわざ「群に逆元が存在する」などとは、ド素人ｗ
で、うるさいから、正方行列で、>>149で”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”と言った
ところがところが、おサルは怒り狂って「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」という（>>160）
やれやれですなｗ（＾＾；
以上 >>370 追加
(引用開始)
ところがところが、おサルは怒り狂って
「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」
「おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ」という（>>160）
(引用終り)
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
正則行列Aにおいて、Aに逆行列が存在することと、Aが零因子でないことは、同値
つまり、Aが零因子であることと、Aに逆行列が存在しないことは、同値
無知にも、これを知らないから、「おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ」という（>>160）
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾； >>370
必死に失言を否定しようと詭弁を弄する哀れな◆yH25M02vWFhP
正方行列でなく正則行列といえば問題なかった
しかし◆yH25M02vWFhPは正則行列の意味すら知らず
正方行列Aには逆行列A~/|A|が存在すると思い込んでた
これが第一の誤り
いまだに表現論とかトンチンカンなこといってるが
線形写像の行列表現と聞いて脊髄反射してるだけだろう
ｎ×ｎ行列は、ｎ次元線形空間の自己線形写像の全体だが
残念ながら、全単射となる自己同型写像とは限らない
自己同型写像となる条件が|A|が0でないというもの
線形代数を学んだ人間なら必ず知ってること >>370
◆yH25M02vWFhPは
「逆行列が存在しない正方行列が存在する」
と指摘された時点で
「ああ、正則行列、つまり|A|が0でない正方行列、と書くべきでしたね」
と書けば問題なかった
しかし、なにをトチ狂ったのかここで「零因子でない」とかいいだした
それだけならまあただ粋がってるだけといってよかったが、愚かにも
「|A|=0なら、AA~＝Oで、零因子と証明できる」
といってしまった
これが第二の誤り
「AがOでなければ、A~もOでない筈」と
何の根拠もなく思い込んでたんだろうが、実はここが落とし穴
AがOでないのに、A~がOになる行列はいくらもある
だからそれだけでは零因子になることの証明にならない >>370
◆yH25M02vWFhPは
「|A|=0でAがOでないのに、A~がOになる行列はいくらもあるから
それだけでは零因子になることの証明にならない」
といわれて誤りを認めればよかったのに、愚かにも
「一般的な環論で、可逆元以外の元は０でなければ零因子」
と言い切ってしまった
これが第三の誤り
もちろん、反例がある 整数環であるｗ
例えば２は可逆元ではないが、零因子でもない
行列環の場合、可逆元でなければ、０でない元は零因子だが
それは論理的に細かい分析が必要
しかし◆yH25M02vWFhPは粗雑な奴なので細かいことが考えられない
だからA~とかいう公式に食いつきたがる
要するに式より細かいものは理解できない
AB=OとなるBはもちろん具体的に構成できるが面倒くさい
ケイリー・ハミルトンの定理を使えば式でも表せるが、
正直言って◆yH25M02vWFhPには
ケイリー・ハミルトンの定理だけ教えるのは有害
どうせ式だけ見てトンチンカンな妄想誤解をするから
公式馬鹿は数学を理解しているように見えても
所詮はナントカを覚えたサルと同じ
人間としての理性はない ちなみにケイリー・ハミルトンの定理というが
・ハミルトンは四元数として表せる行列の場合に証明した
・ケイリーは2次および3次の行列の場合のみ証明した
・一般のn次行列について証明したのはフロベニウスである おっさん、大学で抽象代数が苦手だったみたいだな～～ｗｗ
書いていることを見ると、よく分かるわｗ（＾＾；
理解が浅いな～～！
下記でもよめ！（＾＾
（参考）
https://blog.goo.ne.jp/lemonwater2017/e/97265ec6b82b00b2b8d26d62263a2d75
象が転んだ
いまさら聞けない？群と体と環の関係とは(2020/4/18更新)?代数に憑かれた男たちと代数に疲れた私と?
2019年06月08日 06時44分07秒 | 数学のお話
(抜粋)
数学ブログでは､”ガロア群”や「ABC予想」をテーマにしたブログを立てましたが。群と体と環の関係をしっかりと理解しとかないと､このテーマに付いてくのはキツイかと。
そこで今日は､群と体と環の基本の基を紹介します。これが理解出来るだけでも､代数学の苦手意識が消えるかもです。
実は私も､この代数学(群論)の基礎が理解できなくて､大学の数学を頓挫しました。今から思うと､非常に惜しい事をしたと思います。
これを後悔先に立たずというか､代数に疲れた男というか。
”体”と”群”の微妙な関係
”体”ですが。内部構造に関する限り､”群”よりも複雑です。故に､代数の教科書では群を紹介し､その後に体へ進みますが､大半が群の抽象性にウンザリし､体に進む前にヤラれてしまいます。見方によっては､体の方が群よりもありふれてて､理解しやすい所もある。
環は､加法にて群になるが､乗法にては群にならない(逆元が存在しない)。故に､”環は加法にて可換群､乗法にて半群”と覚えときましょう。
上述した様に､有理数と実数と複素数は全て”体”をなすが､整数は割り算では閉じず､”体”にはならない。しかし､整数は加法に関して”群”になる。また乗法にて閉じており､結合則と単位元を満たすので､整数全体Zは”環”になる。これを”整数環”と呼びます。
群と体と環の関係を判り易く言えば､ある性質を満たす代数系を群と呼び､その中で更に特定の性質を満たす代数系を環と呼び､環の中で更に特定の性質を満たすものを体と。故に､群⊃アーベル群⊃環⊃可換環⊃整域⊃体と纏めておけば間違いないです(イラスト参照)。
つづく >>376
つづき
補足～群論の3つの柱とネーター環
因みに､ネーター環ですが。実は私の卒論がネーター環の定義でした。全く忘れてましたな。
以下の3つを満たす環です。
＜鈴木 咲衣ちゃん、結構分り易く纏まっているよ＞
http://www.is.c.titech.ac.jp/~sakie/sakietech/homu.html
鈴木 咲衣 東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系
http://www.is.c.titech.ac.jp/~sakie/sakietech/jiao_yu.html
講義歴
http://www.is.c.titech.ac.jp/~sakie/sakietech/jiao_yu_files/00_%E4%BB%A3%E6%95%B0.pdf
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
(引用終り)
以上 >>177
だれが、行列を分かってないのかな？ｗｗ（＾＾；
>>214
>抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾；
。。。と豪語する瀬田くんに行列と抽象代数のコラボ問題
実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
豪語しといてコピペは恥ずかしいので自力で解きましょうねー 基本が分かってれば解ける問題ですからー >>372
>正方行列でなく正則行列といえば問題なかった
１）純数学的には、正則行列の方が正確な表現だとは言える
２）例えば、もし、これが院試の答案なら、専門用語は正確を期すべき＊）
３）だが、５ｃｈは、院試の答案を書く場ではない＊）
注：
＊）数学じゃ無いが、司法試験の論文試験などで、専門用語が不正確な論文を見ると
「分かってない？」「勉強が足りない」という不合格の推定が働くという
逆もまた真。専門用語が正確だと、「良く勉強しているな」と
では、一般大衆に対する文章ではどうか？ 「専門用語は正確に」と、専門用語を連発すると、相手に理解させるという目的から遠ざかる
いまの場合、「群の例で、非可換のものを挙げてくれ」という注文に対して
A．「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな、群は基本的に非可換だよ」（>>134の通り）
B．「折角だから書いておくと、正則行列とか多元数あたりな、群は基本的に非可換だよ」
のどちらが分り易いかだ
繰返すが、群は基本非可換です。ガロアが群を考えたのは、代数方程式の根の置換で、これは基本非可換
本来、「群の例で、非可換のものを挙げてくれ」なんて、アホかいなというレベル
で分り易く、行列の積が基本非可換だから、”正方行列（の成す群）”を例示した（>>142）
院試の答案という、それを読む人が自分より数学レベルが上の人相手なら、「正則行列」が正しいだろう
だが、自分よりレベルが低いと思われる場合は、「正方行列」の方が適切だな（おサルお前のことだよｗ） >>380
>１）純数学的には、正則行列の方が正確な表現だとは言える
いやいやｗ 正方行列群なんて書く人は瀬田くん以外いませんから
実際瀬田くんのコピペには「正則行列群」とか「可逆行列群」とかとなってて「正方行列群」なんて一つもありませんでしたから、残念！ >>378
>行列と抽象代数のコラボ問題
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
それ、さっき読んだ 鈴木 咲衣ちゃん
P30 下記
「R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．」
そのものじゃんか？
なにが、”行列と抽象代数のコラボ問題”なのかね？ オチコボレ丸出しじゃん（鈴木 咲衣の練習 23.の単なる一つの系でしかないじゃんｗｗｗ）
（「分からない問題はここに書いてね」スレで教えて貰えよ>>381.。あるいは、自分でネット検索しな。解答はどっかにあるだろうな。おそらくYahoo知恵袋みたいなところに）
http://www.is.c.titech.ac.jp/~sakie/sakietech/jiao_yu_files/00_%E4%BB%A3%E6%95%B0.pdf
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
(抜粋)
P30
6.2 イデアルと剰余環（?）
定義 6.2.1 (部分環). 環 R の e を含む部分集合 S で，R の加法と乗法に関してそれ自身
が環になっているものを部分環という．
定義 6.2.2 (イデアル). 環 R において，次の性質を満たす空でない部分集合 I をイデア
ルと呼ぶ．
(1) R の加法について，I は群になる．
(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I.
イデアルは部分環の特別なも
のです．
R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ． >>383 追加
オチコボレさんのためにｗ（＾＾；
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1436721054
yahoo
chi********さん2010/2/1419:08:37
環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
この証明を教えて下さい。
よろしくお願いします
https://ameblo.jp/2217018/entry-12509153768.html
メモ書き ピグの部屋 ペタ
体は自明なイデアルしか持たない
2019-08-20 02:25:39 >>384
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
おっと、こっちかい？
両側イデアルとなっているけどな～ｗｗｗｗｗｗｗｗ
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1019988015
yahoo
eqe********さん2008/10/1823:04:53
行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであることを証明する問題です。お願いします。 >>383
>練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．」
>そのものじゃんか？
>なにが、”行列と抽象代数のコラボ問題”なのかね？ オチコボレ丸出しじゃん（鈴木 咲衣の練習 23.の単なる一つの系でしかないじゃんｗｗｗ）
Mn(R)は体であるという主張ですかー？
正方行列全体は乗法について群を成さないとさんざん教えてもらったばかりですよねー
暑さで脳みそ溶けてるんですかー？ >>385
>おっと、こっちかい？
わざわざ「豪語しといてコピペは恥ずかしいので自力で解きましょうねー 基本が分かってれば解ける問題ですからー」
と忠告してあげたのにこのザマですかー
なんでもコピペで済まそうとしてあなた本当に数学嫌いなんですねー >練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．
↑
こんなどの教科書にも必ず載ってる基本中の基本はさすがに出題しないですよーｗ >>383 補足
http://www.is.c.titech.ac.jp/~sakie/sakietech/jiao_yu_files/00_%E4%BB%A3%E6%95%B0.pdf
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
>定義 6.2.2 (イデアル). 環 R において，次の性質を満たす空でない部分集合 I をイデアルと呼ぶ．
>(1) R の加法について，I は群になる．
>(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I.
そうか
なるほど
鈴木 咲衣ちゃん
「(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I.」だから、この定義は両側イデアルなんだね（＾＾ >>385
(引用開始)
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
おっと、こっちかい？
両側イデアルとなっているけどな～ｗｗｗｗｗｗｗｗ
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1019988015
yahoo
eqe********さん2008/10/1823:04:53
行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであることを証明する問題です。お願いします。
(引用終り)
うん？
”両側イデアル”という条件を落とすことができる？
それは、なかなか面白いｗｗｗｗｗ（＾＾ >>390
瀬田くん、妙に「両側」に拘ってるけど無意味ですよー
wikipediaより引用「左イデアルかつ右イデアルであるものを、両側イデアル (two–sided ideal) または単にイデアルという。」
の通り、単に用語の流儀の違いだけですからー
揚げ足取りに失敗して残念！ 瀬田くんバカだから教えといてあげますねー
非可換環では左イデアル、右イデアル、両側イデアル（＝左イデアル且つ右イデアル）は区別される。
両側イデアルを単にイデアルと云うことがある（用語の流儀）。
>>378は非可換環の問題なのでイデアルは両側イデアルと同義。妙な「両側」への拘りは無意味ですよー。
一方可換環では左イデアルは自動的に右イデアルでもある。可換だから。よって左イデアル、右イデアル、両側イデアルは全て同じモノで区別の必要が無い。
だから単にイデアルと云う。 片や「イデアル」、片や「両側イデアル」と書かれてるのを見て
>うん？
>”両側イデアル”という条件を落とすことができる？
>それは、なかなか面白いｗｗｗｗｗ（＾＾
↑
これがコピペ脳の限界ですｗ 馬鹿丸出しですねー 片や「左イデアル」、片や「両側イデアル」と書かれてるのを見たら
>うん？
>”両側イデアル”という条件を落とすことができる？
>それは、なかなか面白いｗｗｗｗｗ（＾＾
とリアクションすることをお奨めしときますねー >>391
>wikipediaより引用「左イデアルかつ右イデアルであるものを、両側イデアル (two–sided ideal) または単にイデアルという。」
>の通り、単に用語の流儀の違いだけですからー
>揚げ足取りに失敗して残念！
残念ながら、この「揚げ足取」は、本質だよ
つまり、どの教科書でも論文でも、「両側イデアル または単にイデアルという」注釈は、落とさない
（「両側イデアル または単にイデアルという」という前提で、書くならこの注は必ずある。探せばある）
例外はない （アホが書いたら別。名のある数学者が書く文章で、これを抜かす人は皆無です。おれは見たことは無い！（＾＾） >>389 補足
下記の
「・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。すなわち、R の各イデアル I に対して、成分を I にもつすべての n×n 行列の集合は Mn(R) のイデアルであり、Mn(R) の各イデアルはこのように生じる。これが意味するのは、Mn(R) が単純環であることと R が単純環であることは同値である。n ? 2 に対して、Mn(R) のすべての左あるいは右イデアルが前の構成によって R の左または右イデアルから生じるわけではない。例えば、2列目から n 列目まですべて 0 の行列の集合は Mn(R) の左イデアルをなす。」
だな、あと”森田同値”
基本だね
不勉強なので、おれにとっては、基本ではないがね（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
(抜粋)
構造
・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。すなわち、R の各イデアル I に対して、成分を I にもつすべての n×n 行列の集合は Mn(R) のイデアルであり、Mn(R) の各イデアルはこのように生じる。これが意味するのは、Mn(R) が単純環であることと R が単純環であることは同値である。n ? 2 に対して、Mn(R) のすべての左あるいは右イデアルが前の構成によって R の左または右イデアルから生じるわけではない。例えば、2列目から n 列目まですべて 0 の行列の集合は Mn(R) の左イデアルをなす。
・上のイデアルの対応は実は環 R と Mn(R) は森田同値であるという事実から生じる。雑に言えば、これが意味するのは、左 R 加群の圏と左 Mn(R) 加群の圏は非常に似ている。このために、左 R-加群と左 Mn(R)-加群の 同型類 の間と、R の左イデアルと Mn(R) の同型類の間には、自然な全単射の対応が存在する。同様のステートメントは右加群と右イデアルに対しても成り立つ。森田同値を通して、Mn(R) は森田不変な R のどんな性質も引き継ぐ。例えば、単純、アルティン、ネーター、素、そして森田同値の記事において与えられているように多数の他の性質。 >>395 補足
アホは、理解せずに
どこかの教科書などから
「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
をコピーしたわけだ
だが、アホは、その教科書のどこかに
「両側イデアルを、単にイデアルと書く」みたいな注釈を、コピーするのを忘れたらしいなｗｗｗ（＾＾；
アホじゃん（＾＾ >>397 タイポ訂正
だが、アホは、その教科書のどこかに
「両側イデアルを、単にイデアルと書く」みたいな注釈を、コピーするのを忘れたらしいなｗｗｗ（＾＾；
↓
だが、アホは、その教科書のどこかにある
「両側イデアルを、単にイデアルと書く」みたいな注釈を、コピーするのを忘れたらしいなｗｗｗ（＾＾；
分かると思うが（＾＾； 瀬田くんが何をそんなにムキになってるのか分かりませんが、
非可換環における両側イデアルとイデアルを別モノと解釈する流儀もあると言いたいのですか？
ではその流儀における両者の違いを答えて下さい。 >>399
Tさんかな？
いまだに時枝が理解できない粘着さん
ずっと以前に、名前の議論は、私はしないと言ったはず
覚えているかい？
見ず知らずのだれか他人に迷惑をかけるかもしれないからね
君もつまらん、名前の議論は止めるがいい
もっとも、自分は、別に時枝にしろ、正方行列の成す群にしろ、零因子と逆元の関係にしろ、間違ってはいないから、特定されたところでなんの痛痒も感じないがね
ところで、本題だが
１．単に群と言ったとき、群は基本非可換であり、非可換と可換とを含む名称とされる場合が普通。可換の場合は、そういわなければならない
２．その流れで、単に環と言ったとき、環は非可換と可換とを含む名称とされる場合が普通。可換の場合は、そういわなければならない
３．イデアルもまた同じだ。環は非可換と可換とを含む。だから、イデアルも、左右の区別をするのが普通だ
単に、イデアルと言った場合には、右側と左側と両側の３者を含む、総称を意味するのが普通です
そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が内範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
しかし、断らずに、両側イデアルを単にイデアルと書くのは如何なものか（そういうテキストや論文は見たことが無い）
そして、今回は特に問題文だ。問題文「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
において、但し書き”イデアルは両側イデアルのこと”のような断りを書きを落とすと、それは余計にまずいぞ
４．鈴木 咲衣ちゃん>>389の書き方も、問題ありだな。これ、東工大の初学者向けの講義テキストみたいだが
鈴木 咲衣ちゃんのテキストで学んだ学生が、ハナタカで「体には自明なイデアルしかない」（>>383）と言ったら、「おまえ、それ本当は両側イデアル」とか言われ、赤っ恥にならないとも限らない
ちょっと、教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな、鈴木 咲衣ちゃん
以上 >>371 補足
環における 零因子と逆元の関係
下記の全商環に全部書いてあるね
いろいろ書いてあるが、大体思っていた通りだな
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E5%95%86%E7%92%B0
全商環
全商環（ぜんしょうかん、英: total quotient ring[1]）あるいは全分数の環 (total ring of fractions[2]) は、整域に対する商体の構成を、零因子をもつ可換環に対して一般化するものである。この構成は、可換環に対して、その非零因子の「逆元」を付け加えて、より大きな環を作り出す操作になっている。零因子を可逆化することはできない[* 1]ので、全商環はもうこれ以上逆元を加えて拡大することはできないものになっている。このことから、全商環は「可能な限り逆元を付け加えた」という意味で最大の環である。
注意
1^ a が R の零元と異なる零因子で、a が R の全商環 Q の中で単元となると仮定すると、R の零元でない元 b で ab = 0 を満たすものと、Q の元 c で ca = 1 を満たすものとが存在することになるが、 0 = c(ab) = (ca)b = b となり、b が零元でないことに反する。従って R の零因子を Q の単元にすることはできない。
定義
R が可換環のとき、S を R における非零因子全体の成す集合とすれば、S は R の零元を含まない R の積閉集合（乗法に関して閉じているような R の部分集合）である。従って、環 R の S による局所化として、全商環 S-1R が得られる。可換環 R の全商環をしばしば Q(R) とも表す。
R が可換整域ならば、非零因子の全体は S = R* (= R - {0}) であり、全商環は R の商体に一致する。整域 R の商体を Q(R) と表すことがあるが、整域の全商環と商体が一致するという事実から、単に Q(R) と書いた場合にいずれの意味であるかについて誤解の生じることはない。
作り方から S は零因子を含まないから、自然な写像 R → Q(R) は単射であり、従って全商環 Q(R) は可換環 R の拡大環となる。
つづく >>401
つづき
例
R がアルティン環ならば、R の任意の元は単元であるか零因子であるかのいずれかであるから、非零因子全体の成す集合 S は R の単数群 R× に等しいから、全商環 Q(R) は (R×)-1R と書けるが、しかしそもそも S = R× の元はすべて可逆だったのだから、(R×)^-1 ⊂ R であり、Q(R) = R が成立する。
同様のことが可換フォンノイマン正則環 R でもおきる。R の元 a が零因子ではないとすると、フォンノイマン正則環においては適当な元 x ∈ R をとって a=axa とかくことができるから、変形して a(xa - 1)=0 なる方程式を得るが、a は零因子ではないとしたのだから xa=1 となり、すなわち a が単元であることが従う。ゆえにここでも Q(R) = R である。
応用
代数幾何学において、スキーム上の全商環の層を考えることができて、それを用いてカルティエ因子 (Cartier divisor) の定義が与えられる。
一般化
R が可換環で S が R の単位元を含む任意の乗法的マグマならば、同様の方法で S^-1R を構成できる。ただし、分母になれるのは S の元だけである。S に R の零元が含まれるならば S^-1R は自明な環となる。詳細は環の局所化を参照。
典拠
1^ Matsumura (1980), p. 12
2^ Matsumura (1989), p. 21
参考文献
Hideyuki Matsumura, Commutative algebra, 1980
Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory, 1989
IUTを読むための用語集資料集スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/455
PDFが落ちていた
http://inis.jinr.ru/sl/vol2/mathematics/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/Matsumura,_Commutative_Algebra,1980.pdf
Matsumura,_Commutative_Algebra,1980
http://chairejeanmorlet-1stsemester2015.weebly.com/uploads/2/5/7/4/25749056/hideyuki_matsumura_commutative_ring_theory_cambbookos.org.pdf
Commutative ring theory
HIDEYUKI MATSUMURA
Department of Mathematics, Faculty of Sciences
Nagoya University, Nagoya, Japan
Translated by M. Reid
H. Matsumura, 1980.
English translation 0 Cambridge University Press 1986
(引用終り)
以上 >>400 誤変換訂正
そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が内範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
↓
そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が無い範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
分かると思うが（＾＾； >>400 追加
まあ、下記 の高校生/社会人のための整数論入門があって
「本HPでは、単に環という場合、可換環を意味することに注意しましょう」と注意書き
それなら、イデアルも、常に両側イデアルだけどな
（参考）
http://numbertheory.untokosho.com/
高校生/社会人のための整数論入門
―類体論入門のためにー
Takashi
平成24年5月27日
(抜粋)
このHPは、高校生/社会人のために整数論の入門を記載したものです。高校生/社会人に限定したのは、大学などで数学を専門に学んでいない人も対象に加えたためであり、現在の大学で勉強しはじめたひとにとっても役にたつ内容だと思います。
最終的な目標は、類体論の初歩を郡論や体論、ｶﾞﾛｱ理論等を前提とすることなく記載することです。
http://numbertheory.untokosho.com/numbertheory/numbertheory-node60.html
高校生/社会人のための整数論入門 Takashi
3.2.1 環
定義 3.2.1
（6） （乗法に関する交換法則） Rの任意の元 a,bに対し、交換法則 a・b=b・aが成り立つ。
このHPでは乗法に関しては交換法則を条件（6）としています。このように、交換法則 a・b=b・a が成り立つようなRを特に可換環（commutative ring）ということがあります。
一般的には、可換でない環（非可換環）も環という場合があります。
下記の例のとおり、可換環の典型例としては整数環や多項式環が、非可換環の典型例としては行列環があります。
本HPでは、単に環という場合、可換環を意味することに注意しましょう。
http://numbertheory.untokosho.com/numbertheory/numbertheory-node61.html
高校生/社会人のための整数論入門 Takashi
3.2.2 イデアル >>404
なお、下記イデアルご参考
特に、下記のtsujimotterの記事はためになるよね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E7%92%B0%E8%AB%96)
イデアル (環論)
(抜粋)
歴史
クンマーが扱ったのは奇素数 p に対する p-分体の整数環の場合であったが、以下ではより単純な例として次のような環を考える。ただし、i は虚数単位である。
R=Z {√5i]={a+b{√5i｜a,b∈ Z }
この環には 6 の分解は 2 通り存在する。
6 = 2 × 3
6 = (1 + √5 i ) × (1 - √5 i )
1 ± √5 i がこれ以上分解できないことは、乗算における絶対値に注目すれば容易に証明できる。
クンマーは、これはまだ分解が十分でないために起きると考えた。例えば有理整数環 Z においても、12 = 3 × 4 = 2 × 6 のように、分解が十分でなければ 2 通りの分解が発生する。これは 12 = 2 × 2 × 3 と完全に分解しなければならない。これと同様に、上記の環 R においてもより根元的な分解 6 = A × B × C × D が存在し、
2 = A × B
3 = C × D
1 + √5 i = A × C
1 - √5 i = B × D
なのであろうというのがクンマーの基本的な発想である。
もちろん A, B, C, D は R の元ではありえない。クンマーは、x 2 + 1 の分解のためには -1 の平方根を含むより広い領域が必要となるように、R の元が上のように完全に分解されるより広い領域が存在すると考えた。そしてこの A, B, C, D のような理想的な分解を与える因子を理想（複素）数 (ideale complexe Zahl ) あるいは理想因子 (ideal Primfactor) と名付けて、理想数の理論を築いた。
クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。歴史的には、ヒルベルトの『数論報告』の中で、デデキントのイデアル概念が取り上げられたことから、イデアルという名称が採用されることになった。イデアル (Ideal) とは、明らかに理想数に由来する名前である。
つづく >>405
つづき
現代の環論の言葉で言うなら、先の 6 の分解に対するクンマーの考えは次のようなことに相当する。
A = 2R + (1 + √5 i )R,
B = 2R + (1 - √5 i )R,
C = 3R + (1 + √5 i )R,
D = 3R + (1 - √5 i )R
とすれば、
6R = A × B × C × D
であり、
2R = A × B,
3R = C × D,
(1 + √5 i )R = A × C,
(1 - √5 i )R = B × D,
すなわち、6 という元の素因数分解を考えるのではなく、6 により生成されるイデアルの素イデアル分解を考えることが適当だったのである。
また、現代の環論では 2, 3, 1 + √5 i, 1 ? √5 i はそもそも R における 6 の素因数ではない。
これらのように「これ以上分解できない元」は既約元と呼ばれ、素数の一般の概念である素元とは区別される。詳しくは環 (数学)を参照のこと。
なお、理想数の理論の考え方は、現代ではイデアル論の他に p-進体の理論にも継承されている。
(引用終り)
つづく >>406
つづき
https://tsujimotter-sub.ハテナブログ.com/entry/ideal-over-z5-3
tsujimotterの下書きノート
2015-08-12
Z[√-5] のイデアルについて (3)
(抜粋)
さて，いよいよ複数元で生成されたイデアル同士の掛け算について考えよう。以下では，２つの生成元同士で考えているが，３つ以上になっても全く同じである。
(α1,β1)(α2,β2)=(α1β1,α1β2,α2β1,α2β2)(α1,β1,α2,β2∈OK)
要するに，すべての生成元同士の組に対してそれぞれ掛け算を行って，結果をすべて生成元としたイデアルを作るのである。
このままだと，元の数が増えて行って大変だと思うかもしれないが，そこは先ほど述べたユークリッドの互除法を使って，等価なイデアルに置き換えていけばよい。
例を計算してみよう。
素イデアル
上の例は，(1+√?5) というイデアルに対して，因数分解することが出来たと見ることもできる。
ここで気になってくるのは，分解された２つのイデアル (2,1+√?5),(3,1+√?5) はこれ以上分解できないのか，という問題だ。
つまり，以上２つのイデアルは素イデアルかどうか，ということである。
素イデアルを考える上では，本シリーズ１回目に代数的数のノルムを考えたように，イデアルのノルムという概念を考えると便利である。
イデアルのノルムに対しては，以下のような便利な定理があるのだ。
ノルムが有理素数であるイデアルは，素イデアルである
(引用終り)
以上 >>378
>行列と抽象代数のコラボ問題
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
>>383
>それ、P30 下記
>「R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
>練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．」
>そのものじゃんか？
◆yH25M02vWFhPは
「体には自明なイデアルしかない」
という文章を
「体であるとは、自明なイデアルしかないこと（と同値）である」
と誤読する悪い癖がある
しかし正しい読解は
「体であるならば、自明なイデアルしかない」
であって、逆は真ではない
ちなみに
「R の両側イデアルが 0 と R しか存在しない環」
は単純環という
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%92%B0
※ついでに、イデアルという場合両側イデアルである
つまり両側イデアルでないイデアルは存在しない
（左イデアル、右イデアルもイデアル、というのは定義の誤読） >>380
＞純数学的には、正則行列の方が正確な表現だとは言える
正しい文章は
「数学では、正則行列が正確な表現だ」
「純」とか「とは言える」とか無駄な言葉は要らない
＞一般大衆に対する文章ではどうか？
＞「専門用語は正確に」と、専門用語を連発すると、
＞相手に理解させるという目的から遠ざかる
もし、正則行列の意味を説明しないなら
相手に理解させる努力を放擲しているから
「目的から遠ざかる」どころではなく
「目的を見失っている」というのが正しい
しかし、君は工学部卒なんだろう？
正則行列という言葉くらい当然知ってるだろう
意味も完璧に説明できなくては線形代数の単位などとれない筈
したがって、上記の文章は無意味
正則行列の意味を説明し切れ
大学一年を修了した理工系の学生ならそのくらいできて当然
＞いまの場合、「群の例で、非可換のものを挙げてくれ」という注文に対して
＞A．「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな」
＞B．「折角だから書いておくと、正則行列とか多元数あたりな」
＞のどちらが分り易いかだ
Aは誤り、Bは正しいが、正則行列の説明がないからダメ
正しい回答は以下の通り
「折角だから書いておくと、正則行列（＝行列式が０でない正方行列）か０でない四元数な」
なぜこの程度の完璧な回答も書けないのか？
工学部卒なんだろう？線形代数の単位はとったんだろう？
だったら、正則行列を知らないなんてありえない
多元数とはなんだ？
実数上の多元体は実数体・複素数体・四元数体で
そのうち、非可換なのは四元数体だけなんだから、特定すればいいだろう
しかも君は０を除くという基本的なことすらしていない
粗雑にもほどがある 数学が分かりたいなら細かいことを蔑ろにするな >>380
＞分り易く、行列の積が基本非可換だから、”正方行列（の成す群）”を例示した
全然ダメ 積だけで群だとはいえない
単位行列の存在を示す必要があるし
逆行列の存在も示す必要がある
そしてその時、任意の正方行列に逆行列が存在するわけではない
と気づく筈である もし気づかないならそいつは線形代数がわかってない
行列式は習った筈 逆行列が存在するのは行列式が０でないときそのときに限る
と習った筈 証明など覚えてなくても定理は覚えてる筈
もし定理すら覚えられないなら、数学を学ぶ意味はない レベルが低いから、必要な条件を落としていい、ということにはならない
さて◆yH25M02vWFhPに質問
行列式が０ならば零行列、とはいえないのはご承知の通り
では固有値が全て０ならば零行列、といえるか？ >>380
＞ガロアが群を考えたのは、代数方程式の根の置換で、これは基本非可換
「代数方程式の根」とか抜きで、そもそも
要素が３つ以上の有限集合の元の置換は非可換
ウソだと思うなら試してみればいい >>383 補足
http://www.is.c.titech.ac.jp/~sakie/sakietech/jiao_yu_files/00_%E4%BB%A3%E6%95%B0.pdf
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
(抜粋)
P30
R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．
(引用終り)
これ、いろいろ見たけど、証明の筋は
I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして、
単位元1≠0 の存在 つまり 1∈Iをいえば良いみたい
（任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
1を使って、1R ⊂Iが言えて、もちろんI ⊂Rで、I＝Rって筋な
で、同じ筋で、>>385 「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして （ここに{0}は、零行列）
E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな（>>385のyahoo記事回答より）
E∈Iが言えれば、上記と同じように、I＝行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）となるから（＾＾ >>413 訂正
（任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
↓
（I≠ {0} より、I にx≠0なる元が存在し 任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
だな
”I≠ {0} より、I にx≠0なる元が存在し”は、常用の筋だが
これ、数学では結構大事なんだよね
高校数学ではうるさく言われた。0と0以外では、割り算とか積の逆元の存在で、0は例外で、場合分けをしろと（大学入試の証明問題でね）
”I≠ {0} より、I にx≠0なる元が存在し”の一言、院試でも、これを書くか書かないかで、何点か違うだろうね >>413
(引用開始)
で、同じ筋で、>>385 「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして （ここに{0}は、零行列）
E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな（>>385のyahoo記事回答より）
E∈Iが言えれば、上記と同じように、I＝行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）となるから（＾＾
(引用終り)
おなじみ、花木章秀先生
問題は、下記の問26で、解答は 25の(4) に同じ
解答 25の(4) は、”0 ≠ A = (aij) ∈ I ”で”ある aij は 0 ではない”。これを使って、Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I なる行列を構成している。
行列Ekｌ が構成できるから、 I = R か
単位行列とは、ちょっと違う筋だね
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/
環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/files/algex_3.pdf
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
（下記に同じ）
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/main/index.html
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
問
25.R を C 上 2 次全行列環 M2(C) とする。また Eij で (i,j) - 成分のみが 1 で他の成分がすべて 0 である R の元を 表すことにする。
(3) Eij で生成される R の (両側) イデアル、すなわち REijR を求めよ。
(4) R のイデアルは 0 と R 以外にないことを示せ。 ( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R である。
(4) I を R の 0 でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R である。
問
26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。 >>413
＞「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの
＞〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
＞これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、
＞I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして
＞ （ここに{0}は、零行列）
＞E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな
全然違うよ >>415
行列も分からん高卒の貴様には全く理解できないだろｗｗｗｗｗｗｗ ある箇所だけ（例えば1行目1列目の箇所だけ）1の行列があるとして、
そこから、任意の箇所（n行目m列目の箇所）について
そこだけ1になる行列を作るにはどうするかやってみな
ま、行列計算もできない高卒馬鹿の貴様には逆立ちしても無理ｗｗｗｗｗｗｗ >>400
>２．その流れで、単に環と言ったとき、環は非可換と可換とを含む名称とされる場合が普通。可換の場合は、そういわなければならない
何をトチ狂ってるんですか？単に環なんて言ってませんけど？行列環と言ってますけど？行列環は非可換ですけど？
>３．イデアルもまた同じだ。環は非可換と可換とを含む。だから、イデアルも、左右の区別をするのが普通だ
非可換環に対し「イデアル」は「両側イデアル」を指し、それは左イデアル且つ右イデアルである。
はい、「イデアル」で何の曖昧さもありませんけど？
> 単に、イデアルと言った場合には、右側と左側と両側の３者を含む、総称を意味するのが普通です
違います。
非可換環に対しイデアルと言った場合、左イデアルや右イデアルではなく両側イデアルを指します。
入門レベルくらい勉強してから発言しましょうねー。
> そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が内範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
上記の通り違いますねー。
> しかし、断らずに、両側イデアルを単にイデアルと書くのは如何なものか（そういうテキストや論文は見たことが無い）
上記の通り断る必要ありませんねー。
瀬田くんが見たことが有ろうが無かろうが無関係ですねー。
> そして、今回は特に問題文だ。問題文「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
> において、但し書き”イデアルは両側イデアルのこと”のような断りを書きを落とすと、それは余計にまずいぞ
上記の通り何もまずくないですねー。 >>400
（続き）
>４．鈴木 咲衣ちゃん>>389の書き方も、問題ありだな。これ、東工大の初学者向けの講義テキストみたいだが
> 鈴木 咲衣ちゃんのテキストで学んだ学生が、ハナタカで「体には自明なイデアルしかない」（>>383）と言ったら、「おまえ、それ本当は両側イデアル」とか言われ、赤っ恥にならないとも限らない
> ちょっと、教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな、鈴木 咲衣ちゃん
体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
そんな入門レベルすら分からずに
>教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな
と上から目線しちゃう瀬田くんこそ赤っ恥ですねー。 >>404
>まあ、下記 の高校生/社会人のための整数論入門があって
>「本HPでは、単に環という場合、可換環を意味することに注意しましょう」と注意書き
>それなら、イデアルも、常に両側イデアルだけどな
訳わからんこと言う前に入門レベルをしっかり勉強しましょーねー >>415
あれほど自力で解きましょうと言ったのに結局検索エンジン頼みですかｗ
よっぽど考えることが嫌いなようですねー
で？検索エンジンの出力結果は理解できたんですかー？
ちなみに>>415は誤植ありますけどｗ >>420
>体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
>そんな入門レベルすら分からずに
また、おサルのアホ伝説が、また一つできたなｗ（＾＾；
おまえの問題文(>>378)「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
で、実数体Rは確かに可換だが、問題文の”イデアル”が、両側イデアルであるという根拠が、”体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無い”
からというつもりなの？ なんですかね、それはｗｗｗ
そもそも、日本では、普通単に”体”と言えば、可換体と非可換体（斜体）の両方を含意するよ（下記）
ほんと、代数弱いね、あなたは
代数は、入門レベルで終わっちゃったんだね、あなたはｗｗ（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
体 (数学)
数学において、体（たい）という用語は、四則演算が（零で割ることを除いて）自由に行える代数系に用いる。日本語の語法として、体の定義においてはその積が可換か非可換かについて必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。前者については可換体の項を（初学者にはこちらが取りつきやすいであろう）、後者については斜体（これは「必ずしも可換ではない」体の意味で用いられる）の項を参照されたい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。 >>423
>おまえの問題文(>>378)「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
>で、実数体Rは確かに可換だが、問題文の”イデアル”が、両側イデアルであるという根拠が、”体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無い”
>からというつもりなの？
いいえ？違いますけど？
どんな捻じ曲がった読み方をすればそんな誤読になるんですか？
>なんですかね、それはｗｗｗ
ただの誤読ですねー
>そもそも、日本では、普通単に”体”と言えば、可換体と非可換体（斜体）の両方を含意するよ（下記）
>ほんと、代数弱いね、あなたは
>代数は、入門レベルで終わっちゃったんだね、あなたはｗｗ（＾＾
>（参考）
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
>体 (数学)
瀬田くんさー、君が引用したページの冒頭右側の表をよーくご覧なさいな
この表から「体」は「可換体」と「可換体と非可換体の総称」の二通りの意味があること読み取れますかー？
つまり君の主張
>そもそも、日本では、普通単に”体”と言えば、可換体と非可換体（斜体）の両方を含意するよ（下記）
は誤読ってことですよー
君は数学の前に国語を勉強すべきですねー 話が数学に行く前に躓いてますからー >>423
で、結局瀬田くんは国語で躓いちゃって>>415なんて到底理解できてないんでしょうねー
平気で誤植して気付きもしないのがその証拠ですねー
>>415がどんな証明か、全然分かってないでしょ？正直に白状なさい >>423
>で、実数体Rは確かに可換だが、問題文の”イデアル”が、両側イデアルであるという根拠が、”体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無い”
問題文の「イデアル」が、「両側イデアル」と同義であるという根拠は>>419で教えてあげましたからよく読みましょー
といっても国語で躓く瀬田くんには無理かな？ >>425
>>415の理屈が分れば、なぜ両側か、分かる
ま、行列計算すらできない、しないヤツには百遍死んでもわかるまいが >>415 補足
(引用開始)
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/main/index.html
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
問
25.R を C 上 2 次全行列環 M2(C) とする。また Eij で (i,j) - 成分のみが 1 で他の成分がすべて 0 である R の元を 表すことにする。
(3) Eij で生成される R の (両側) イデアル、すなわち REijR を求めよ。
(4) R のイデアルは 0 と R 以外にないことを示せ。 ( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R である。
(4) I を R の 0 でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R である。
問
26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。
(引用終り)
補足
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/lin1/L1.pdf
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
P1
(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位という
問題 1 (1pt.) 行列単位をすべて集めたもの {Eij}^n i,j=1 は, ベクトル空間 Mn(K) の基底であることを示せ.
P2
問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 {Eij}^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
EijEkl = δj,k Eil.
つまり二つの行列単位を掛けると,
真ん中の二つの文字が異なれば 0 になり,
同じであればそれが縮約された行列単位になる.
(引用終り)
（補足）EikEkl = Eil ってこと。k≠i なら0（零行列）です
あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
よって、aij^-1 EkiAの部分は、Ekjです
従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
klの組は、任意
つづく >>428
つづき
イデアルIの内部では、行列加法の群が成立つので
klの組を集めて、その和から単位行列Eができる
E∈ I 成立
イデアルの定義から
ER＝R つまり、R⊂Iで、I⊂RだからI＝Rです
QED
なるほど、行列単位Eijを使うのがキモですな
それを使って、
「 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない」から
任意の行列単位Eklが、行列の積を使って構成できる。行列の積がキモ
あとは、いろいろあるだろう
上記の単位行列Eを構成するのも分り易いかな
（＾＾
以上 >>428
>従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
ここ、EkiAEjｌ の３つの行列の積で、結合則を使っている（当たり前だが意識しておく方が良い）
また、EkiAEjｌ の３つの行列の積で、A ∈ I に対して、左右から、EkiとEjｌとを掛けている。
Iが両側イデアルなら、EkiAEjｌ ∈ I だ。
が、両側イデアルでないなら、”EkiAEjｌ ∈ I ”は、保障されないってことだね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
環 (数学)
厳密な定義
乗法半群
(R,*) はモノイド（あるいは半群）である
2.乗法の結合性：任意の a, b, c ∈ R に対して (a * b)* c = a *(b * c) が成立する。 >>428 補足
(引用開始)
( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
問
26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。
(引用終り)
蛇足だが、証明の方針は
１．{0}以外のイデアルIの存在を仮定する
２．仮定より、 A ∈ I で A≠0（零行列）なる行列Aが存在する
３．行列Aには、aij ≠ 0 なる成分が存在する
４．このaij ≠ 0 なる成分を持つ行列Aを使って、単位行列 E ∈ I を導けば、I＝Rが導ける
このときに使えるのが、
R中に存在する行列（ここにはいろんな部品が落ちている）
と、積（R中の行列とAの積が、イデアルIに入る）。両側イデアルを仮定すると、Rの行列を左右から掛けることができる。
aij^-1 EkiAEjｌ＝Ekl の式 から分かるように、左から掛ける Ekiのkで行の位置kの調整、右から掛けるEjｌで列の位置ｌの調整ができる
行列単位 Eklが任意にできれば、対角成分を持つものの和 E11+E22+・・・+Enn →E（単位行列）ができる
単位行列 E∈ I から、I＝R
そういう流れですね
この流れは、行列環以外でもほぼ同じで、
”Rが体のときに単純環になる”という証明も同じ方針ですね
（体の話は、行列よりずっと簡単で、A≠0（数として零）から、即体で逆元の存在が言えて、単位元 1 ∈ Iが言えます） >>396
(引用開始)
”森田同値”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。
・上のイデアルの対応は実は環 R と Mn(R) は森田同値であるという事実から生じる。雑に言えば、これが意味するのは、左 R 加群の圏と左 Mn(R) 加群の圏は非常に似ている。このために、左 R-加群と左 Mn(R)-加群の 同型類 の間と、R の左イデアルと Mn(R) の同型類の間には、自然な全単射の対応が存在する。同様のステートメントは右加群と右イデアルに対しても成り立つ。森田同値を通して、Mn(R) は森田不変な R のどんな性質も引き継ぐ。例えば、単純、アルティン、ネーター、素、そして森田同値の記事において与えられているように多数の他の性質。
(引用終り)
”森田同値”ね。昔大学受験のころ、大学入試問題で、大学の数学をちょっと焼き直して、入試問題にするという話しがあって
大学の大定理を前提として使うと、その系として簡単に出るところを、しこしこと高校レベルの式変形をさせるみたいなの
それを、思い出した
もちろん、両方必要なんだろう。式変形から導くことと、大定理の一つの系であるという教養の知識と
参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A3%AE%E7%94%B0%E5%90%8C%E5%80%A4
森田同値
代数学において、森田同値とは、環論的な多くの性質を保つ環の間の関係のことを言う。これはMorita (1958)において同値関係と双対性に関する記号を定義した森田紀一にちなんで名付けられた。
動機
環はその環上の加群を通じて研究されることが一般的である。これは加群が環の表現と見做せるからである。すべての環 R は環の積による作用によって自然に R 加群の構造を持つので、加群論的な研究方法はより一般的で有益な情報をもたらす。このような訳で、環についての研究はその環上の加群の成す圏を研究することによってしばしば為される。
この視点からの自然な帰結として、環が森田同値であるとはその環上の加群の成す圏が圏同値であることと定めた。
この表記方法は非可換環を扱っている場合にのみ興味の対象となる。なぜなら可換環が森田同値である必要十分条件は環同型であるからである。これは一般に森田同値な環の中心が環同型なことから従う。
つづく >>432
つづき
例
同型な環は森田同値である。
任意の環 R と非負整数 n について R 成分の n 次正方行列から成る全行列環 Mn(R) は環 R と森田同値である[2]。これはアルティン‐ウェダーバーン理論によって与えられる単純アルティン環の分類の一般化になっていることに注意する。森田同値を確かめるには、もし M が左 R 加群ならば Mn は行ベクトルに対する左から行列の掛け算によって Mn(R) 加群の構造が与えられることに注意すればよい。これは左 R 加群の圏 R-Mod から左 Mn(R) 加群の圏 Mn(R)-Mod への関手を定める。
(引用終り)
以上 >>423
>>体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
>>そんな入門レベルすら分からずに
>また、おサルのアホ伝説が、また一つできたなｗ（＾＾；
なるほど なるほど、下記の雪江明彦 「私の教科書の用語について」が参考になるかも
”永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思う”
だって
なるほどね
なお、”ScienceDirect Commutative Field” ”Handbook of Algebra”1996 で
”each (not necessarily commutative) field is a semifield”という用法もあるね
「用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう」（下記 雪江明彦より）
また、下記”Field Theory by Wulf-Dieter Geyer”の ”2. Historical remarks about the concept of field”が、面白かった
（参考）
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/yougo.pdf
私の教科書の用語について 雪江明彦 2012/7/7
代数の教科書を書いたとき，用語については大変迷った. 自分なりの結論をここで書いておく.
2. 「可除環」か「斜体」か
最初に代数の教科書を書いたとき，3 巻全部書いて出版社に送ったのだが，最初の2 巻が出た後，
3 巻目を出すときになって，これだけの量を書いて
「ヴェーダーバーンの定理」について書いてないのはおかしいと思って書き足した. それまでは可換体し
か扱うつもりがなかったので，「体」，「可換体」で, しかし可換体のことを「体」と呼ぶことにしたが，
3 巻で「必ずしも可換でない体」の呼び方が必要になったので，1，2 巻を増刷したときに
ここで用語を変えなかったらもう変えられないと思って初版第1 刷を買われた方には申し訳ないと思ったが
用語を変えることにした. さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう?
つづく >>434
つづき
桂では「斜体」と呼んでいるが，
この用語を使う気にはなれなかった. それは英語にしたとき，「ヴェーダーバーンの定理」の状況
では division ring, division algebra が完全に定着しているから. 「斜体」を英語にし
たら「skew field」だろうが，ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて
語るとき skew field という用語を使うことはないだろう. これが英語で division ring
なら「可除環」がよいだろうと思った.
永田の可換体論では体，可換体という用語だ
が，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっ
ていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と
呼ぶことにした. いずれにせよ，1,2 巻ではほとんど「体」しか出てこないので，
問題になるのは 3 巻の補足に入ってから. そのときは「可除環」とした理由がわかって
もらえるのではないだろうか.
用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう.
https://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1309-8.htm
数学選書6 可換体論 （新版）京都大学名誉教授 理博 永田雅宜 著 1985年3月発行
（初版刊行から18年経ち，その後の進歩に伴ない，内容の加筆・訂正すべき点がでてきた．そこで1985年に全面的に書き改めたものが“新版”である．）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/36/2/36_2_157/_pdf/-char/ja
（体の話ではないが）可換環論の50年 永田雅宜 (1983年9月28日 提出) 数学
https://kotobank.jp/word/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6-97289
コトバンク
抽象代数学
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
代数系を公理論的に取扱って，その一般的理論を追究する数学の一部門が抽象代数学で，D.ヒルベルトの公理主義に端を発し，E.シュタイニッツの体の理論で開花し，現代数学の花形となった。日本では，園正造のイデアル論や高木貞治の類体論が世界的にすぐれた研究として知られている。
いまでは，単に代数学といえば，抽象代数学のことである。
つづく つづき
https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/commutative-field
ScienceDirect
Commutative Field
Handbook of Algebra
Udo Hebisch, Hanns Joachim Weinert, in Handbook of Algebra, 1996
Example 1.7
a)
Clearly, each ring is a semiring and each (not necessarily commutative) field is a semifield.
As usual, we denote by (Z, +, ・) the ring of integers and by (Q, +, ・) and (R, +, ・) the fields of rational and real numbers.
https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)
Field (mathematics)
Classic definition
・Commutativity of addition and multiplication: a + b = b + a, and a ・ b = b ・ a.
http://math.uni.lu/~wiese/galois/Geyer.pdf
Field Theory by Wulf-Dieter Geyer, Universit¨at Erlangen-Nurnberg ¨
Winter School on Galois Theory
Luxembourg, 15?24 February 2012
Contents
2. Historical remarks about the concept of field . . . . . . . . . . . .. . . 10
2.1. What Wikipedia says . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. New Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13
2.3. The Birth of the Concept of Field and its Notations . . . . . . . . . . 14
2.4. The Paper of Steinitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
つづく >>436
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Ernst_Steinitz
Ernst Steinitz
Ernst Steinitz (13 June 1871 ? 29 September 1928) was a German mathematician.
Mathematical works
In 1910 Steinitz published the very influential paper Algebraische Theorie der Korper (German: Algebraic Theory of Fields, Crelle's Journal (1910), 167?309). In this paper he axiomatically studies the properties of fields and defines important concepts like prime field, perfect field and the transcendence degree of a field extension. Steinitz proved that every field has an algebraic closure. He also made fundamental contributions to the theory of polyhedra: Steinitz's theorem for polyhedra is that the 1-skeletons of convex polyhedra are exactly the 3-connected planar graphs. His work in this area was published posthumously as a 1934 book, Vorlesungen uber die Theorie der Polyeder unter Einschluss der Elemente der Topologie,[1] by Hans Rademacher.
(引用終り)
以上 >>428 タイポ訂正
従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
↓
従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEjl＝Ekl が導かれる
です。まあ、元々が 花木 解答 (4) の（>>428）
”Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I”なので、分かると思うが（＾＾； >>438 タイポ訂正追加
>>430より
>従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
↓
>従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEjl＝Ekl が導かれる
ミスのコピーで、伝播してしまった（＾＾； >>428
間違い
君は自分で解かず（解けず）カンニングした解答から逆推測してるだけ
案の定その推測は間違っている
カンニングしても間違うようじゃ数学は無理なので諦めましょう >>428
>(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
>E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
>となるので REijR = R である。
引用が間違ってるね 粗雑だね
誤 E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
正 Ekl = Eki Eij Ejl ∈ REij R
>問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 {Eij}^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
>EijEkl = δj,k Eil.
>（補足）EikEkl = Eil ってこと。k≠i なら0（零行列）です
補足が間違ってるね 粗雑だね
誤 k≠i なら
正 k≠j なら >>429
>イデアルIの内部では、行列加法の群が成立つので
>klの組を集めて、その和から単位行列Eができる
>E∈ I 成立
>イデアルの定義から
>ER＝R つまり、R⊂Iで、I⊂RだからI＝Rです
アタマ固いね
>>431
>証明の方針は
>４．・・・aij ≠ 0 なる成分を持つ行列Aを使って、単位行列 E ∈ I を導けば、I＝Rが導ける
ほんとアタマ固いね
そもそも
「行列単位をすべて集めたもの {Eij} i,j=1～n は, ベクトル空間 Mn(K) の基底」
なんだから、
「あるEklについて、Ekl∈Iなら、任意のEijについてEij∈I」
が言えた時点で、Eijの線形結合として表せるものは全てIの要素
そして、Rの任意の要素はEijの線形結合として表せるからR=Iだろ
君は、基底知らんのか？
体は、体上一次元の線形空間で、単位元１はその基底だから
１∈Iが言えればいい、
「単位元がIの要素」を一般化するんじゃなくて
「基底がIの要素」を一般化したと思ったほうがいい そもそもなんで両側イデアルかといえば
・Eijの行iの1を行kに移すのに、行列Ekiを左から掛けるから
Ekj = Eki Eij
・Eijの列jの1を列lに移すの、行列Ejlを右から掛けるから
Eil = Eij Ejl
・つまりEijを、Eklにするには左右から行列を掛ける必要があるから
Ekl = Eki Eij Ejl >>428
> {Eij}^n i,j=1
idiot !!! >>441
ご丁寧にフォローありがとう
前半は、コピーがうまく行かなかった
まあ、原文見れば良い
後半は、確かに私のタイプミスだったね
ありがとよ >>444
分り易いやつだな
ピンチになると、複数idかｗ
まあ、原文のURL辿れってこと
引用コピーは、備忘録でね
引用部分のキーワードが、後に検索するとき便利なようにってこさ
そもそも、この数学板じゃ、行列とかまともに書けない
下付き上付きの添え字も、まともに書けない
こんな数式や行列もまともに書けない数学板で、証明ごっことかさ、
どれだけ底辺のくすぶりオチコボレ丸出しっだ？ってことですよｗｗ
数学科のオチコボレ哀れｗｗｗ idiotと云われただけで発●するなよ
基底も知らないで大阪大学卒とか学歴詐称すんな >>434 補足
”斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。
性質・諸概念
逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。
斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
例
・有理数の全体 Q, 実数の全体 R, 複素数の全体 C は可換体である。
・四元数の全体 H は非可換体である。
・既約加群の自己準同型環は斜体である（シューアの補題）。
・（可換とは限らない）有限整域は可換体である（ウェダーバーンの小定理）。
つづく >>448
つづき
諸概念
体 K の乗法群の任意の有限部分群は巡回群である。
体の元の濃度を位数といい、有限な位数を持つ体を有限体と呼び、そうでない体を無限体と呼ぶ。有限斜体は常に可換体である（ウェダーバーンの小定理）。
n・1 で単位元 1 を n 回足したものを表すとき、n・1 = 0 となるような正の整数 n のうち最も小さなものをその体の標数という。ただし、そのような n が存在しないとき標数は 0 であると決める。体の標数は 0 または素数である。
さて、英語版
”Division rings used to be called "fields" in an older usage. In many languages, a word meaning "body" is used for division rings, in some languages designating either commutative or non-commutative division rings, while in others specifically designating commutative division rings (what we now call fields in English). ”
だって
つまり、英語では、"fields" は可換体で、 a word meaning "body"＝ 体は、”is used for division rings”だって。今の日本は、大分英語的用法になっているんだね（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring
Division ring
In abstract algebra, a division ring, also called a skew field, is a ring in which division is possible. Specifically, it is a nonzero ring[1] in which every nonzero element a has a multiplicative inverse, i.e., an element x with a・x = x・a = 1. Stated differently, a ring is a division ring if and only if the group of units equals the set of all nonzero elements. A division ring is a type of noncommutative ring under the looser definition where noncommutative ring refers to rings which are not necessarily commutative.
つづく >>449
つづき
Division rings differ from fields only in that their multiplication is not required to be commutative. However, by Wedderburn's little theorem all finite division rings are commutative and therefore finite fields. Historically, division rings were sometimes referred to as fields, while fields were called "commutative fields".[5]
All division rings are simple, i.e. have no two-sided ideal besides the zero ideal and itself.
Main theorems
Wedderburn's little theorem: All finite division rings are commutative and therefore finite fields. (Ernst Witt gave a simple proof.)
Frobenius theorem: The only finite-dimensional associative division algebras over the reals are the reals themselves, the complex numbers, and the quaternions.
Related notions
Division rings used to be called "fields" in an older usage. In many languages, a word meaning "body" is used for division rings, in some languages designating either commutative or non-commutative division rings, while in others specifically designating commutative division rings (what we now call fields in English). A more complete comparison is found in the article Field (mathematics).
The name "Skew field" has an interesting semantic feature: a modifier (here "skew") widens the scope of the base term (here "field"). Thus a field is a particular type of skew field, and not all skew fields are fields.
While division rings and algebras as discussed here are assumed to have associative multiplication, nonassociative division algebras such as the octonions are also of interest.
A near-field is an algebraic structure similar to a division ring, except that it has only one of the two distributive laws.
(引用終り)
以上 >>447
>idiotと云われただけで発●するなよ
いや、別に
アホのオチコボレ数学科、ヒキコモ無職・無収入から
何を言われようが、なんともないｗ（＾＾ >>445
そんなケアレスミスとは違う大間違いをやらかしてることに未だ気付かない瀬田くんだったとさ
めでたしめでたし >>452
＞そんなケアレスミスとは違う大間違いをやらかしてることに
＞未だ気付かない瀬田くん
これか
>>328
＞あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
＞EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
＞それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
否 正しくは
「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」
その上で上記行列に右からEjlを掛けると、以下のようになる
「k行目j列目の値（元のaij)だけが抜き出されてl列目に転写され、
他が0となる行列」
この瞬間、◆yH25M02vWFhPは行列計算ができない高卒だと確定したな >>452
＞そんなケアレスミスとは違う大間違いをやらかしてることに
＞未だ気付かない瀬田くん
これか
>>428
＞あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
＞EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
＞それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
否 正しくは
「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」
その上で上記行列に右からEjlを掛けると、以下のようになる
「k行目j列目の値（元のaij)だけが抜き出されてl列目に転写され、
他が0となる行列」
この瞬間、◆yH25M02vWFhPは行列計算ができない高卒だと確定したな つまりEkiAEjlで、
「Aのi行目j列目の値aijが、k行目l列目に転写され、他が0となる行列」
となる
EkiAだけだと
「Aのi行目まるごと、k行目に転写し、他が0となる行列」
AEjlだけだと
「Aのj列目まるごと、l列目に転写し、他が0となる行列」
まず、行列の計算の仕方を真っ先覚えて、実践しようぜ！
高卒◆yH25M02vWFhPの学歴詐称詐欺野郎 セタよお 重大な間違いを犯してるのになぜか示したい帰結は導けてしまう謎の瀬田証明ｗ
解答のサル真似すらできない瀬田くんはサル未満だったとさ
めでたしめでたし 「代数入門問題集」（>>415）なのだから、大学生が自力で解くことが想定されている。
解答を見ても間違う瀬田くんに数学は無理ｗ ピンチになると、複数IDでご登場か
分かり易いやつだな
あほサル
ばれてるよ >>453-454
(引用開始)
>>328
＞あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
＞EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
＞それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
否 正しくは
「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」
その上で上記行列に右からEjlを掛けると、以下のようになる
「k行目j列目の値（元のaij)だけが抜き出されてl列目に転写され、
他が0となる行列」
(引用終り)
おお、ご指摘の通りだね
おれの大チョンボだったな。最近手で行列計算やらんからな・・（＾＾；
だが、ちょっと待て
赤ペン先生するよ！ｗ
誤「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」
↓
正「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の"行”が0となる行列」
が正しいぞ！ 100点満点で言えば、5点減点の95点だな
まあ、間違い方としては、おれの方が大チョンボだが、これもちょっとしたチョンボだな～（いい勝負かもよｗ（＾＾）
昔は、中学で、こっそり連立方程式の検算用に行列表記と行列式の計算を教えてくれた
まあ、おサルの中卒は認めるよ。頑張ったね（＾＾； 解答があると間違いを素直に認めるんだなｗ
箱入り無数目は絶対に認めないのにｗ
これがバカの限界ｗ 答えがあると言い訳できないからね
高卒の学歴詐称馬鹿にはこまったもんだ
こんな馬鹿が国立大学なんか入れるわけない
大阪大学どころか秋田大学でも無理ｗ >>459
＞中学で、こっそり連立方程式の検算用に
＞行列表記と行列式の計算を教えてくれた
どこの後進地域だよｗｗｗｗｗｗｗ
東京なら小学生でも知ってる
いまどき中学受験するガキなら
遠山啓の数学入門（上）程度のことは
知ってて当然 知らなきゃ確実に落ちるｗ >>428 訂正
訂正しときます
（訂正のみ書くよ）
（補足）
・行列単位の積 EikEkl = Eil となる（なおEik等は、行列単位で、(i, k) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列（下記戸松ご参照））
・上記同様だが、下記花木の問 25(4)で
0 ≠ A = (aij) ∈ I でのEkiAEjｌ
を考える（なお、0 ≠ Aより、一般性を失うことなく、あるaijで aij≠0と仮定することができる）
前半の積EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
「積EkiAは、行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の"行”が0となる行列」となる（>>459）
（つまり、0ではない成分aijは、(k, j)の位置へ移る）
・同様に、任意の行列 B = (bkj) で、
「積BEkl は、行列Bのj列目が抜き出されでｌ列目に転写され、その他の"列”が0となる行列」である（上記同様である）
（つまり、B＝EkiAを考えると、上記(k, j)の位置のaijは、(k, ｌ)の位置へ移る）
・結局、aijを、任意に選んだ(k, ｌ)の位置に移すことができる
・仮定よりaij≠0だから、これに逆数 aij^-1を掛けて
aij^-1 EkiAEjｌ ＝Ekl が導かれる
・klの組は、任意に選べるから、一つのaij≠0なる要素から、任意の行列単位Ekl が導かれ、イデアルI内の行列 A = (aij) ∈ I から積のみを使って導かれるので
イデアルI内に、任意の行列単位 Eklが存在する、つまり Ekl ∈ Iとなる
＜なお参考に下記を再録しておく＞
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/main/index.html
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
（問 25 26の解答ご参照）
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/lin1/L1.pdf
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
（P1～2の「(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位」の説明ご参照） >>463
解答見ても間違え、間違いを手取り足取り教えてもらって
>訂正しときます
にふいたｗ 87 71
85 70 55
83 68 54 41
81 66 53 40 29
79 64 51 39 28 19
77 62 49 38 27 18 11
75 60 47 36 26 17 10 5
73 58 45 34 25 16 9 4 1
規則性を見つけてくれ〜(^_^)ﾉ
上は
nを1〜44まで変化させた2n－1の出力に
4を頂点としてその周りを1小さな数で
取り囲んでいったものをプラスしたもの
0 0
0 1 0
0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 1 2 2 1 0
0 1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 3 2 1 0
0 1 2 3 4 3 2 1 0
このような数列を表す数式を
知っている人はいますか？ >>448 補足
(抜粋)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
性質・諸概念
逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。
(引用終り)
これ、下記アルティン・ウェダーバーンの定理が参考になるな
「可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型である」
>>434にある 雪江明彦 3 巻目 「ヴェーダーバーンの定理」がこれ
手元の雪江本では、P350の定理7.5.15ですな （殆ど読んでないけど（＾＾ ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アルティン・ウェダーバーンの定理
(抜粋)
定理の主張
定理は、（アルティン）[注釈 1]半単純環 R はある有限個の ni 次行列環 Mni(Di) の直積に同型であると述べている[1]。ここで ni は正の整数、 Di は可除環であり、 両者とも添字 i の置換を除いて一意的に決定される。とくに、任意の単純左または右アルティン環は可除環 D 上の n 次行列環に同型で、n と D は両方とも一意的に決まる[2]。
直接の系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型であることを意味する。これはもともと J. H. M. Wedderburn (1908) の結果である。E. Artin (1927) は後にそれをアルティン環のケースに一般化した[注釈 2]。
R が可除環 E 上の有限次元単純代数であれば、D は E に含まれる必要はないことに注意せよ。例えば、複素数体上の行列環は実数体上の有限次元単純代数である。
つづく >>467
つづき
アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上の単純環の分類を与えられた可除環を含む可除環の分類に帰着する。これをさらに単純化できる。D の中心は 体 K でなければならない。したがって R は K-代数であり、それ自身は K を中心としてもつ。
有限次元単純代数 R はしたがって K 上の中心的単純代数である。それゆえアルティン・ウェダーバーンの定理は有限次元中心的単純代数の分類の問題を与えられた中心をもつ可除環の分類の問題に帰着する。
(引用終り) >>468
補足
”ウェダーバーン (1908) とアルティン (1928) によって、多くの超複素数系が行列環として記述できることが示されている。ウェダーバーンの構造定理は体上有限階の多元環に対するもので、アルティンのはそれをより一般のアルティン環に対して一般化したものである。
「アルティン-ウェダーバーンの定理」も参照”な
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E8%AB%96
環論
(抜粋)
可換環は非可換の場合と比べてその性質はよく調べられている。可換環の自然な例を多く提供する代数幾何学や代数的数論は可換環論の発展の大きな原動力であった。この二つは可換環に密接に関係する分野であるから、一般の環論の一部というよりは、可換環論や可換体論の一部と考えるほうが普通である。
非可換環は可換の場合と比べて奇妙な振る舞いをすることが多くあるので、その理論は可換環論とは極めて毛色の異なったものとなる。非可換論は、それ自身の独自の方法論を用いた発展をする一方で、可換環論の方法論に平行する形で（仮想的な）「非可換空間」上の函数環として幾何学的な方法である種の非可換環のクラスを構築するという方法論が新興している。このような傾向は1980年代の非可換幾何学の発展と量子群の発見に始まる。こうした新たなパラダイムは、非可換環（特に非可換ネーター環）のよりよい理解を導くこととなった (Goodearl 1989)。
歴史
可換環論は代数的数論、代数幾何、不変式論などを起源に持つ。これらの主題の発展に中心的な役割を果たしたのは代数体の整数環、代数函数体、多変数多項式環などである。非可換環論は複素数の概念を拡張した様々な超複素数系を獲得しようとする試みとして始まった。
ウェダーバーン (1908) とアルティン (1928) によって、多くの超複素数系が行列環として記述できることが示されている。ウェダーバーンの構造定理は体上有限階の多元環に対するもので、アルティンのはそれをより一般のアルティン環に対して一般化したものである。
「アルティン-ウェダーバーンの定理」も参照
つづく >>469
つづき
非可換環は多くの点で行列の成す環が雛形となっている。また、代数幾何学をモデルとして、非可換環上に基礎をおく非可換幾何学を構築しようとする動きもある。非可換環および結合多元環（大雑把に言うと、環でもありベクトル空間でもあるようなもの）は、しばしばその上の加群の圏を通した研究が行われる。環上の加群とは、環が群自己準同型として作用するアーベル群であり、体（零元以外の元が全て逆元を持つような整域）がベクトル空間に作用するのと非常によく似た代数的構造になっている。非可換環の例は正方行列の成す環やもっと一般にアーベル群や加群の上の自己準同型全体の成す環、あるいは群環・モノイド環などによって与えられる。
(引用終り) 補足
ついでに
”注釈
1^ 環論において、環 R の "unit"（単元）は、単位元 1R に限らず、その環 R において乗法逆元を持つ元（可逆元）を総した呼称である。しかし、可逆性は単位元の存在なしには定義できないし、単位元は必ず単元であるので、何らかの単元を持つ環は必ず単位的環となって、"ring with (a) unit" という呼称は図らずも齟齬をきたさない。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%9A%84%E7%92%B0
単位的環
(抜粋)
単位的環（たんいてきかん、英: unital/unitary ring）、単位環（たんいかん、英: unit ring）あるいは単位元を持つ環 (ring with unit/unity/identity) は[1]、乗法単位元を持つ環のことを言う。
定義について
集合 R 上の二つの二項演算 (+,*) を持つ代数系 (R,+,*) が単位的環であるとは、
6.乗法単位元: R の元 1R が存在して、R の全ての元 a に対して 1R * a = a * 1R = a を満たす。
（ラングの本など）環の定義に乗法単位元の存在を含める文献もあり、その場合に必ずしも単位的でない環を表すのに擬環 (pseudo-ring, rng) などの語が用いられる[要出典]。即ち、R が単位環であるとは、乗法単位元 1R の存在する擬環のことに他ならない。
例
整数の全体 Z や任意の体（有理数体 Q, 実数体 R, 複素数体 C, 有限体 Fq など）は単位的環である。また、適当な集合 I 上で定義され適当な単位的環に値をとる写像全体の成す集合は、（点ごとの和と）点ごとの積に関して単位的環を成す（乗法単位元は、I の各元に対して常に単位元を対応させる写像）。
単位的環に係数を持つ多項式全体の成す集合やコンパクト台付きシュヴァルツ超函数全体の成す集合は合成積に関して単位的環を成す。しかし、（シュヴァルツ超函数の双対である）試験函数には無限遠で 0 に収斂するなどの制約がついていることが多く、解析学に現れるそういった函数空間の多くは（点ごとの積に関する）単位元を持たない環となる。
つづく >>471
つづき
注釈
1^ 環論において、環 R の "unit"（単元）は、単位元 1R に限らず、その環 R において乗法逆元を持つ元（可逆元）を総した呼称である。しかし、可逆性は単位元の存在なしには定義できないし、単位元は必ず単元であるので、何らかの単元を持つ環は必ず単位的環となって、"ring with (a) unit" という呼称は図らずも齟齬をきたさない。
(引用終り) >>472
さらに、ついで
環 (数学)の関連箇所
自分の備忘録として（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
環 (数学)
(抜粋)
環論学者が研究するのは（整数環や多項式環などの）よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった[1]。
現代的な環論では、独特の方法論で環を研究している。すなわち、環を調べるために様々な概念を導入して、環をより小さなよく分かっている断片に分解する（イデアルをつかって剰余環を作り、単純環に帰着するなど）。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える（前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する）。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論と呼ばれる分野が形成されている。これに対応する非可換環の理論として、非可換可除環（斜体）が盛んに研究されている。なお、1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。
定義に関する注意
公理的な取り扱いにおいて、文献によってはしばしば異なる条件を公理として課すことがあるので、そのことに留意すべきである。環論の場合例えば、公理として「環の乗法単位元が加法単位元と異なる」という条件 1 ≠ 0 を課すことがある。これは特に「自明な環は環の一種とは考えない」と宣言することと同じである。
つづく >>473
つづき
もっと重大な差異を生む流儀として、環には「乗法の単位元の存在を要求しない」というものがある[4][5][6]。これを認めると、例えば偶数であるような整数の全体 2Z も通常の加法と乗法に関する環となると考えることができる（実際にこれは乗法単位元の存在以外の環の公理を全て満足する）。乗法単位元の存在以外の環の公理を満足する環は、しばしば擬環 (pseudo-ring) とも呼ばれ、あるいは多少おどけて（ring だけれども乗法単位元 i が無いからということで）"rng" と書かれることもある。これと対照的に、乗法単位元を持つことを強調する場合には、単位的環や単位環 (unital ring, unitary ring) あるいは単位元を持つ環 (ring with unity, ring with identity, rings with 1) などと呼ぶ[7]。ただし、非単位的環を単位的環に埋め込むことは常にできる（単位元の添加）ということに注意。
他にも大きな違いを生む環の定義を採用する場合があり、例えば、環の公理から乗法の結合性を落として、非結合環あるいは分配環と呼ばれる環を考える場合がある。本項では特に指定の無い限りこのような環については扱わない。
Z4 の環としての性質
・整数の乗法においては、二整数 x, y の積が xy = 0 を満たすならば x = 0 または y = 0 が成り立つが、環 (Z4, +, ?) では必ずしもそれは成立せず、例えば 2 ? 2 = 0 が各因数が 0 ではないにもかかわらず成り立つ。一般に、環 (R, +, ?) の非零元 a が (R, +, ?) における零因子であるとは、R の非零元 b で ab = 0 を満たすものが存在するときに言う。環 Z4 においては 2 が唯一の零因子である（なお、0 を零因子と扱うこともあることに注意）。
・零因子を持たない可換環は整域と呼ばれる（後述）。故に整数全体の成す環 Z は整域であり、一方 Z4 は整域ではない環である。
イデアル
R の部分集合 I が加法について閉じていて、x ∈ R, y ∈ Iならば xy やyxがかならず I に入っているとき、I を両側イデアルという。（したがって両側イデアルは単位元を持つとは限らない環である。）イデアル I が与えられているとき、x - y ∈ I で R に同値関係を定義することができる。さらに同値類の間に自然な演算を定義できて、環になることが分かる。この環を R の I による剰余環といい、R/I と書く。
つづく >>474
つづき
環の構成法
剰余環
詳細は「剰余環」を参照
感覚的には環の剰余環は群の剰余群の概念の一般化である。より正確に、環 (R, +, ・ ) とその両側イデアル I が与えられたとき、剰余環あるいは商環 R/I とは、I による（台となる加法群 (R, +) に関する）剰余類全体の成す集合に
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,
(a + I)(b + I) = (ab) + I.
という演算を入れたものをいう。ただし、a, b は R の任意の元である。
環のクラス
いくつかの環（整域、体）のクラスについて、以下のような包含関係がある。
・可換環 ⊃ 整域 ⊃ 半分解整域 ⊃ 一意分解整域 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体
つづく >>475
つづき
有限環
詳細は「有限環（英語版）」を参照
自然数 m が与えられたとき、m 元からなる集合には、いったいいくつの異なる（必ずしも単位的でない）環構造が入るのかと考えるのは自然である。まず、位数 m が素数のときはたった二種類の環構造しかない（加法群は位数 m の巡回群に同型）。すなわち、一つは積がすべて潰れる零環であり、もう一つは有限体である。
有限群としてみれば、分類の難しさは m の素因数分解の難しさに依存する（有限アーベル群の構造定理）。例えば、m が素数の平方ならば、位数 m の環はちょうど11種類存在する[11]。一方、位数 m の「群」は二種類しかない（いずれも可換群）。
有限環論が有限アーベル群の理論よりも複雑なのは、任意の有限アーベル群に対してそれを加法群とする少なくとも二種類の互いに同型でない有限環が存在することによる（Z/mZ のいくつかの直和と零環）。一方、有限アーベル群を必要としない方法では有限環のほうが簡単なこともある。例えば、有限単純群の分類は20世紀数学の大きなブレイクスルーの一つであり、その証明は雑誌の何千ページにも及ぶ長大なものであったが、他方で任意の有限単純環は必ず適当な位数 q の有限体上の n-次正方行列環 Mn(Fq) に同型である。このことはジョセフ・ウェダーバーンが1905年と1907年に確立した二つの定理から従う。
定理の一つは、ウェダーバーンの小定理として知られる、任意の有限可除環は必ず可換であるというものである。ネイサン・ヤコブソンが後に可換性を保証する別な条件として
「R の任意の元 r に対し、整数 n (> 1) が存在して rn = r を満たすならば R は可換である[12]」
を発見している。特に、r2 = r を任意の r が満たすならば、その環はブール環と呼ばれる。環の可換性を保証するもっと一般の条件もいくつか知られている[13]。
自然数 m に対する位数 m の環の総数はオンライン整数列大辞典の A027623 にリストされている。
つづく >>476
つづき
主イデアル環
詳細は「主イデアル整域」および「主イデアル環」を参照
環は整数全体とよく似た構造を示す代数系だが、一般の環を考えたのではその環論的性質は必ずしも近いものとはならない。整数に近い性質を持つ環として、環の任意のイデアルが単独の元で生成されるという性質を持つもの、すなわち主イデアル環を考えよう。
環 R が右主イデアル環 (PIR) であるとは、R の任意の右イデアルが
aR={ar ｜ r∈ R }
の形に表されることをいう。また主イデアル整域 (PID) とは整域でもあるような主イデアル環をいう。
環が主イデアル整域であるという条件は、環に対するほかの一般的な条件よりもいくぶん強い制約条件である。例えば、R が一意分解整域 (UFD) ならば R 上の多項式環も UFD となるが、R が主イデアル環の場合同様の主張は一般には正しくない。整数環 Z は主イデアル環の簡単な例だが、Z 上の多項式環は R = Z[X] は PIR でない（実際 I = 2R + XR は単項生成でない）。このような反例があるにもかかわらず、任意の体上の一変数多項式環は主イデアル整域となる（実はさらに強く、ユークリッド整域になる）。より一般に、一変数多項式環が PID となるための必要十分条件は、その多項式環が体上定義されていることである。
つづく >>477
つづき
非可換環
詳細は「環論」を参照
非可換環の研究は現代代数学（特に環論）の大きな部分を占める主題である。非可換環はしばしば可換環が持たないような興味深い不変性を示す。例えば、非自明な真の左または右イデアルを持つけれども単純環である（つまり非自明で真の両側イデアルをもたない）ような非可換環が存在する（例えば体（より一般に単純環）上の2次以上の正方行列環）。このような例から、非可換環の研究においては直感的でないような考え違いをする可能性について留意すべきであることがわかる。
ベクトル空間の理論を雛形にして、非可換環論における研究対象の特別な場合を考えよう。線型代数学においてベクトル空間の「スカラー」はある体（可換可除環）でなければならなかった。しかし加群の概念ではスカラーはある抽象環であることのみが課されるので、この場合、可換性も可除性も必要ではない。加群の理論は非可換環論において様々な応用があり、たとえば環上の加群を考えることで環自身の構造についての情報が得られるというようなことも多い。環のジャコブソン根基の概念はそのようなものの例である。実際これは、環上の左単純加群の左零化域全ての交わりに等しい（「左」を全部いっせいに「右」に変えてもよい）。ジャコブソン根基がその環の左または右極大イデアル全体の交わりと見ることもできるという事実は、加群がどれほど環の内部的な構造を反映しているのかを示すものといえる。確認しておくと、可換か非可換かに関わらず任意の環において、すべての極大右イデアルの交わりは、すべての極大左イデアルの交わりに等しい。従って、ジャコブソン根基は非可換環に対してうまく定義することができないように見える概念を捉えるものとも見ることができる。
(引用終り)
以上 >>465
おサルは、ピンチですよ～！ｗ（＾＾
(>>363より)
この話、元々は、>>129の
日曜数学者 tsujimotter 氏
数学ガールの有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
”抽象 ←→ 具体例 ”
から始まったのです
（>>130-131より）
(引用開始)
「例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」(>>130)
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
ってこと
(引用終り)
おサルは、群の具体例で、自然数→”「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”と言い出したのです
それをからかったら、むきになって、誤魔化そうと、他人を攻撃してきたのですｗｗ
攻撃は最大の防御です
ディベートでもかな？（違うかも）
でも、ディベートは知らず
数学では、他人を攻撃しても、自分の失言を帳消しにすることはできない（これは古代ギリシャからの教えですｗ）
さらに、環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など）
ああ勘違い。アホの上塗り、勘違い
アルティン・ウェダーバーンの定理 >>467を知らなかったみたい（勿論、私も知らなかった（＾＾； ）
でも、行列環では、逆元の存在と零因子とは密接な関係がある
アルティン・ウェダーバーンの定理は、それ普通って主張だよね >>480 補足
（>>384より）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1436721054
yahoo
chi********さん2010/2/1419:08:37
環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
この証明を教えて下さい。
(引用終り)
上記は、体は可換体で、イデアルは両側イデアルのことです。
証明の筋は、（Yahoo回答の通りで屋上屋だが）
１）”体R→自明な両側イデアルしか持たない”で
{0}でない、両側イデアルIで、Iの0でない元yが存在する
体なので、yの逆元y^-1が存在する
両側イデアルの定義より、積yy^-1＝1∈I （1は、乗法単位元で、Iは”1”を含むがキモ）
1∈Iより、1R＝R⊂I。I⊂Rだから、I＝Rとなり、体は自明な両側イデアルしか持たない
２）”環R自明な両側イデアルしか持たない→体R”をいうには
{0}でない、両側イデアルIで、仮定よりI＝R
0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える。
明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。したがって1∈(a)となる（Iは”1”を含むがキモ）
よってRの元bが存在してab=1となる（(a)＝Rだから、任意のx,y ∈R でax＝y と必ずできるってこと。これが本質）
（なお、bは逆元である。つまり、0でない元aに逆元が存在するが言えた）
したがって、環Rは体である。
３）以上より、環Rが体であることの必要十分条件は、
”環Rが自明な両側イデアルしか持たないこと”である事が示された。
さて、
”体R→自明な両側イデアルしか持たない”は、斜体（非可換）に拡張できる
だが、逆の”環R自明な両側イデアルしか持たない→体R”は、非可換の場合には反例がある
つづく >>481
つづき
その反例こそ、何を隠そう、行列環 Mn(R) だ！（>>467など）
行列環 Mn(R) が、積で非可換は、いわずもがな
行列環 Mn(R) が、零因子を持つことも、いわずもがな
つまり、行列環 Mn(R) は単純環であるけれども、斜体ではない ∵行列環 Mn(R) 零因子を含み、零因子は逆元を持てない！
逆に、行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
行列環 Mn(R) 、零因子、逆元、斜体たちは、そういう関係なのです
そして、「アルティン・ウェダーバーンの定理」から、これ結構普通＊）
環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など）
ああ勘違い。アホの上塗り、勘違い
自分の失言を誤魔化そうと、
他人を攻撃して、自爆してりゃ、世話がないｗ（＾＾；
＊）注
>>467などご参照。なお、”Mni(Di) の直積”ってところが、零因子と零因子以外の直積の正体（これキメラでしょ）が、いまいち理解できてないので、”普通”とお茶濁す（＾＾
以上 >>480 補足
>日曜数学者 tsujimotter 氏
彼の名誉のために、補足しておくと
（>>103より）
https://tsujimotter.ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
tsujimotterのノートブック
日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート
2019-06-21
層の定義
(引用終り)
これ、な～んにも間違ったことは書いていないと思うよ
もちろん、私も、「層の定義」とか、深いところは理解していないけどな（＾＾；
でも、おサルが、私を攻撃するために、
tsujimotter 氏の文を誤読・曲解して、難癖をつけただけのこと
それで、自爆してりゃ、世話ないぜｗ >>480 補足
>アルティン・ウェダーバーンの定理 >>467を知らなかったみたい（勿論、私も知らなかった（＾＾； ）
勿論、私も知らなかった
でも言われてみれば、これ結構当たり前のことかもね（＾＾
で、私は、正方行列に零因子があることは知っていた（常識だから自慢しているわけではない。念のため）
零因子に逆元（逆行列）が存在しないことも、知っていた
逆行列を持つなら、行列式は０ではなく、零因子でないことも知っていた
だから、>>149を書いたのです
勿論、>>141-142も同じ趣旨
（>>141より）
”まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ”
を、おサルはこれを曲解して、正方行列の全体 Mn(R) （＝行列環）だと、思ったらしい
コンテキストが群なんだから、”正方行列の零因子を除く”は、当たり前だよ
そこを必死に突いて、「行列環 Mn(R) 、零因子、逆元、斜体たちは、そういう関係」だってこと（>>482より）
そういうことを知らずに、環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違い発言ｗ（>>371など）
自分の失言を誤魔化そうと、
他人を攻撃して、自爆してりゃ、世話がないなｗ（＾＾； >>482 補足
>>>467などご参照。なお、”Mni(Di) の直積”ってところが、零因子と零因子以外の直積の正体（これキメラでしょ）が、いまいち理解できてないので、”普通”とお茶濁す（＾＾
なるほど、下記
環の直積：”1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： x が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元で y が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元 (i ≠ j) であれば、積環において xy = 0 である。”
だから、この例で、pi(x) に零因子を選び、零因子の相棒 pi(y) を持ってきて、ｘ側のpi(x)以外の座標には、0（零）を当てれば＊）、積環において xy = 0が成立だな
つまり、pi(x) に一つでも、零因子が入れば、全体でも零因子ってことですね
＊）注：y＝(0,0・・0,pi(y),0・・0,0)ってこと
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E7%9B%B4%E7%A9%8D
環の直積
(抜粋)
いくつかの環を1つの大きい直積環、積環 (product ring) に合併することができる。これは次のようにされる： I がある添え字集合で Ri が I のすべての i に対して環であれば、カルテジアン積 Πi ∈ I Ri は演算を coordinate-wise に定義することによって環にできる。
得られる環は環 Ri の直積 (direct product) と呼ばれる。有限個の環の直積は環の直和 (direct sum) と一致する。
性質
これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、I が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、I が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 Ri → R は環準同型ではない、なぜならばそれは Ri の単位元を R の単位元に写さないからだ。
つづく >>486
つづき
各 i ∈ I に対して Ai が Ri のイデアルであれば、A = Πi ∈ I Ai は R のイデアルである。I が有限であれば、逆が正しい、すなわち R のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、I が無限で環 Ri が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は Ri たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。Ai の1つを除くすべてが Ri に等しく残りの Ai が Ri の素イデアルであれば、イデアル A は R の素イデアルである。しかしながら、I が無限のとき逆は正しくない。例えば、Ri の直和はどんなそのような A にも含まれないイデアルをなすが、選択公理によって、a fortiori に素イデアルである極大イデアルに含まれる。
R の元 x が単元であることとその component のすべてが単元であることは同値である、すなわち pi(x) がすべての i ∈ I に対して Ri の単元であることは同値である。R の単元群は Ri の単元群の直積である。
1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： x が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元で y が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元 (i ≠ j) であれば、積環において xy = 0 である。
(引用終り) >>485
粋蕎さん、どうも
＞コピペ心象工作氏は群を何と勘違いしとるのか？
人の群れじゃないですかね？
まあ、私には、勘違いはないですよ
群は、元々は方程式の解法における根の置換から考えられた
置換群は、非可換です。全く素朴な、考えです
群で非可換な例を示せなんて、アホとしか言いようがない
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
群 (数学)
歴史
群の概念が初めてはっきりと取り出されたのは、エヴァリスト・ガロアによる根の置換群を用いた代数方程式の研究だとされている。
16世紀中頃に、ジェロラモ・カルダーノ、ルドヴィコ・フェラーリらによって四次方程式までは冪根による解の公式が得られていたが、5 次以上の方程式に解の公式が存在するのかどうかはわかっていなかった。その後18世紀後半になってラグランジュによって代数方程式の解法が根の置換と関係していることが見出された。（「ラグランジュの定理」にその名が残っているのはこのためである。）19世紀に入り、ルフィニやニールス・アーベルによって五次以上の方程式にはべき根による解の公式が存在しないことが示された。
ガロアは、より一般に任意の代数方程式について根が方程式の係数から加減乗除や冪根の操作によって得られるかどうかという問題を、方程式のガロア群の可解性という性質に帰着した。ガロアの研究に端を発する群を用いた代数方程式の理論は今ではガロア理論と呼ばれている。
つづく >>488
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)
Group (mathematics)
History
The modern concept of an abstract group developed out of several fields of mathematics.[8][9][10]
The 19th-century French mathematician Evariste Galois, extending prior work of Paolo Ruffini and Joseph-Louis Lagrange, gave a criterion for the solvability of a particular polynomial equation in terms of the symmetry group of its roots (solutions).
More general permutation groups were investigated in particular by Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) gives the first abstract definition of a finite group.[13]
Geometry was a second field in which groups were used systematically, especially symmetry groups as part of Felix Klein's 1872 Erlangen program.[14] After novel geometries such as hyperbolic and projective geometry had emerged, Klein used group theory to organize them in a more coherent way. Further advancing these ideas, Sophus Lie founded the study of Lie groups in 1884.[15]
つづく >>489
つづき
The third field contributing to group theory was number theory. Certain abelian group structures had been used implicitly in Carl Friedrich Gauss' number-theoretical work Disquisitiones Arithmeticae (1798), and more explicitly by Leopold Kronecker.[16] In 1847, Ernst Kummer made early attempts to prove Fermat's Last Theorem by developing groups describing factorization into prime numbers.[17]
The convergence of these various sources into a uniform theory of groups started with Camille Jordan's Traite des substitutions et des equations algebriques (1870).[18] Walther von Dyck (1882) introduced the idea of specifying a group by means of generators and relations, and was also the first to give an axiomatic definition of an "abstract group", in the terminology of the time.[19] As of the 20th century, groups gained wide recognition by the pioneering work of Ferdinand Georg Frobenius and William Burnside, who worked on representation theory of finite groups, Richard Brauer's modular representation theory and Issai Schur's papers.[20]
(引用終り)
以上 >>483 補足
>https://tsujimotter.ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
>tsujimotterのノートブック
>日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート
> 2019-06-21
>層の定義
補足すると、もちろん、tsujimotterを読むだけで、全てを理解できるほど甘くはない
が、下記みたいな本を読むだけで理解できるほど甘くもない
要するに、”層”みたいな話は、自分なりのイメージを持って、成書を読まないと
抽象論だけで、流れていくと、結局海まで流されて、大海でおぼれることになる
なので、いろんな視点で、考えていくべきなのです
tsujimotterとか、小林正典とか、いろいろ
https://www.saiensu.co.jp/preview/2016-978-4-7819-9911-1/SDB12_sample.pdf
サイエンス社
代数幾何入門講義
小林 正典 著 2008 年 6 月 1 日
まえがき
抽象化の前に具体例を与えるように努めた．また，高度な抽象化は段階を踏んで行うようにした．途中からページをめ
くると難しく見えるかもしれないが，前から順番に読んでいけばさほどでもないはずである．
抽象的に感じる命題は，具体的な例に置き換えて読むとよい．仮定が一般化されているのは，証
明にそれだけの仮定しか使っていない，というヒントでもある．「環」であれば，多項式環，「環付き
空間」「概型」であれば，アフィン空間や射影空間をまず思い浮かべてみるとよい
第 6 章
層
層は，正則関数のように局所的性質をもつ大域的な対象を，代数的に表現するのに便利な概念である．
層はどのようなものを抽象化したものであるかを先に説明しておこう．Rn の
開集合 U に対して，Cr(U) で U 上の Cr 級関数の全体のなす環を表す．また
A p(U) で U 上の C∞ 級 p 形式の全体のなす加群を表す．以下ではこのように，
F(U) で U を定義域とする何らかの局所的性質を満たす関数や微分形式の全体
を表している，と思うと理解しやすいであろう．
6.1 局所的性質
位相空間の上の関数が連続であるとか微分可能であるかどうかは，各点の十
分小さな近傍で判定される．このように，各点の十分小さな近傍の性質で判定
される性質を，局所的性質と呼ぶ．
局所と大域の違いについて簡単な例で考えてみよう． >>491 追加
まあ、ここらも、読まないとね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E7%92%B0
局所環
(抜粋)
局所環（きょくしょかん、英: local ring[1]）は、1938年にヴォルフガンク・クルルによって導入された概念で[2]、比較的簡単な構造を持つ環であり、代数多様体や可微分多様体上で定義される関数の、あるいは代数体を座や素点上の関数として見るときの「局所的な振る舞い」を記述すると考えられるものである。局所環およびその上の加群について研究する可換環論の一分野を局所環論と呼ぶ。
定義
環 R が局所環であるとは、以下に挙げる同値な条件を一つ（したがって全て）満たすもののことである[3]：
1.R は極大左イデアルを唯一つだけ持つ。
2.R は極大右イデアルを唯一つだけ持つ。
3.R において 1 と 0 が等しくなく、また R のどの二つの非可逆元の和も再び非可逆となる。
4.R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 ? x のいずれかは必ず可逆である。
5.R の元の適当な有限和が単元となるならば、和の項となる元の中に単元が必ずある（特にもし、何も加えないという和を考えるなら、それは 0 を意味するのであって、いま 1 と異なるのであるから単元でない）。
6.R/J は可除環である。ただし J は R のジャコブソン根基を表す。
これらの性質が成り立つとき、唯一の極大左イデアルは唯一の極大右イデアルに一致し、またジャコブソン根基にも一致する。上記 3 番目の性質は局所環の非可逆元全体が真のイデアルをなし、したがってジャコブソン根基に含まれることを言っている。4 番目の性質は次のように言い換えることができる： R が局所環となる必要十分条件は、R に互いに素な二つの真の左イデアルが存在しないことである。ここで R の二つのイデアル I1, I2 が「互いに素」とは R = I1 + I2 が成立することである。
可換環の場合には、イデアルの左右・両側の区別をしないので、可換環が局所環である必要十分条件はその環が極大イデアルを唯一つ持つことである。
文脈によっては、局所環の定義に（左および右）ネーター性を仮定するものもある[4]。その場合には、ネーター性を持たないものを擬局所環、準局所環 (quasi-local ring) と呼ぶ（本項ではこれを区別しない）。
つづく >>492
つづき
可換な例
可換（および非可換な）体は {0} を唯一の極大イデアルとする局所環である。
局所環に「局所」の名を冠する理由は次のようなものである。まず、実数直線上で 0 を含むある開区間において定義される実数値連続函数を考え、函数の 0 付近という局所での挙動のみに注目して、0 を含むある開区間（これはいくらでも小さく取って構わない）で一致するような函数を全て同一視する。この同一視というのは同値関係を成し、この同値類を 0 における実数値連続函数の芽（め、germ）または実数値連続函数芽（が）という。実数値連続函数の芽は通常の函数の値ごとの加法と乗法によって可換環をなす。
この連続函数芽全体の成す環が局所環であることを知るためには、函数芽の可逆性を定義する必要がある。函数芽 f が可逆であるとは f(0) が 0 でないこととする。これはつまり、f(0) が 0 でなければ、連続函数の性質から、0 を含む適当な開区間上で f が 0 にならず、したがってその区間上で g(x) = 1/f(x) という連続函数の芽を考えることができるという理由による。このとき fg は 1 に等しい。
この特徴づけで明らかなことは、非可逆な函数芽の和がやはり非可逆となるということであり、これによって函数芽の環が可換局所環であることを知ることができる。特にこの局所環の極大イデアルは f(0) = 0 を満たすような函数芽全体に一致する。
これと同じようなことは、位相空間とその上の一点と実数値連続函数から芽の環を考えることでもできるし、可微分多様体上に一点をとって、可微分写像から芽の環を考えても、あるいは点つきの代数多様体上の有理函数から芽の環を考えてもよいが、結果として、これらの芽の環は局所環となる[5]。またこれらの例は、代数多様体の一般化であるスキームが、どうして特殊な局所環付き空間として定義されるのかということの説明の一助となる。
体上の（一変数あるいは多変数の）形式冪級数環も局所環の例である[7]。極大イデアルは定数項を持たない冪級数全体である。（一方で体上の多項式環は局所環ではない[5]。）
(引用終り)
以上
追伸
可換だとジャコブソン根基関係ない
なので、ずっと簡単になります >>467 補足
(抜粋)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
性質・諸概念
逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。
(引用終り)
これ、再度強調しておくと
「逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない」
ってこと
この、乗法単位元 1D を含む、つまり、1D∈I が、重要キーワードで、キモなのです
（>>442）
”「行列単位をすべて集めたもの {Eij} i,j=1～n は, ベクトル空間 Mn(K) の基底」
なんだから”
の批判は、全くの的外れです
本当は、単位行列 E ∈I を作れば良い
{Eij} i,j=1～n の全ては不要です
対角成分 {Eii} i=1～n だけ作って
その和を集めれば、良いのです
（”その和を集めれば”は、部分加群であることから出る（イデアル定義より））
ただ、証明の都合で、対角成分 {Eii} i=1～n だけで良いところが
{Eij} i,j=1～n の全てが出来てしまっただけなのです（＾＾
前者の”単位行列 E ∈I を作れば良い”は、まさに上記”斜体”の重要キーワードの通りです
ここから、普通に、Eの対角成分 → {Eii} i=1～n を 構成する筋は、容易に思いつくことでしょう
だから、”単位行列 E ∈I を作れば良い”の方が、証明の方針として、自然な流れなのです
かつ、行列環に限られない、応用範囲の広い考えなのです
ところが、”「行列単位をすべて集めたもの {Eij} i,j=1～n は, ベクトル空間 Mn(K) の基底」”
は、行列環以外では、適用できない 狭い考えなのです（＾＾； 87 71
85 70 55
83 68 54 41
81 66 53 40 29
79 64 51 39 28 19
77 62 49 38 27 18 11
75 60 47 36 26 17 10 5
73 58 45 34 25 16 9 4 1
規則性を見つけてくれ〜(^_^)ﾉ
上は
nを1〜44まで変化させた2n－1の出力に
4を頂点としてその周りを1小さな数で
取り囲んでいったものをプラスしたもの
0 0
0 1 0
0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 1 2 2 1 0
0 1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 3 2 1 0
0 1 2 3 4 3 2 1 0
このような数列を表す数式を
知っている人はいますか？ >>480
>攻撃は最大の防御
残念ながら
◆yH25M02vWFhPの場合
攻撃は完全な自爆 >>481
（◆yH25M02vWFhP 第一の自爆）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1436721054
>環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
正しくは「可換環R」
以下の「証明」を読んで理解したなら、
そのことに気づけるはずだが
君は、理解できなかった、と
>aから生成される単項イデアル(a)を考える。
>明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。
>したがって1∈(a)となる
ここまでは非可換環でもOK
し・か・し
>よってRの元bが存在してab=1となる
ここが、非可換環ではNG
可換環なら、両側からRの元を掛けている場合も
「可換性」によって、例えば右側に寄せられる
そうしてしまえば、ac+ad=1の場合も
a(c+d)=1となるから、(c+d)がaの逆元だといえる
ゆえに「Rの元bが存在してab=1」と言い切れる
し・か・し・・・
非可換環の場合、例えばlarを、arlとかrlaとかにすることができない
したがって
(l1)a(r1)+(l2)a(r2)=1
だからといって、そこから
a(r1l1+r2l2)=1
とすることができない
こんなの、数学科卒なら分かるが
素人は論理的思考力がないから
指摘されるまで絶対気づけない >>482
（◆yH25M02vWFhP 第二の自爆）
>行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
You are idiot!!!
行列環Mn（R)から、環の構造を保ったまま、零因子だけを除くことはできない
簡単のため、M2(R)で説明
まず、単位行列
(1 0)
(0 1)
は正則 （行列式は1・1-0・0=1だから）
次に、以下の行列
(1 1)
(0 1)
も正則 （行列式は1・1-1・0=1だから）
しかし後者から前者を引いた行列
(0 1)
(0 0)
は、正則ではない！（行列式は0･0-1・0=0だから）
つまり、無理矢理、零因子を抜けば、加法で閉じなくなる
素人は考えないから、こういうあさはかなミスを平気でやらかし
他人に指摘されるまで決して気づけない！
ああ、恥ずかしｗｗｗｗｗｗｗ
>零因子と零因子以外の直積の正体（これキメラでしょ）
素人はトンデモ妄想の泥沼で溺死する
だいたい、
「行列環 Mn(R) から、零因子を除く」
みたいな安直な方法で斜体にできるんなら
以下の重要な定理が成り立つわけないだろが！
フロベニウスの定理 (代数学)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%83%99%E3%83%8B%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
「D が実数体 R 上の有限次元多元体であれば、以下の何れかが成り立つ。
D = R
D = C（複素数体）
D = H（四元数体）」 >>494
>ところが、”「行列単位をすべて集めたもの {Eij} i,j=1～n は, ベクトル空間 Mn(K) の基底」”
>は、行列環以外では、適用できない 狭い考えなのです（＾＾；
大間違い。
Rが単位的かつ線型空間でありさえすれば適用可能。（そもそも非単位的なら「1∈I ⇒ I=R」が使えない。）
なぜなら、Rの乗法単位元のスカラー倍ci×1はRの元だからある基底ベクトルEiについてci×1×Ei=ciEiはIの元、基底の任意の一次結合Σ[i]ciEiもIの元だからR⊂I。
定義からI⊂Rだから、結局I=R。
はい、行列環に限らず適用できることが示されますた。瀬田くん相変わらずバカやのう。 >>484
（◆yH25M02vWFhP 第四の自爆）
>私は、正方行列に零因子があることは知っていた
>零因子に逆元（逆行列）が存在しないことも、知っていた
>逆行列を持つなら、行列式は０ではなく、零因子でないことも知っていた
だったら、無条件で
”まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな”
と書くな
君が「正則行列」という言葉を知らなかったとしても
”行列式が０でない正方行列とか、０を除く四元数あたりな”
と簡単かつ正確に書くことはできた筈
もしかして、一つでも条件をつけたら簡単でないとか、馬鹿なこといわないだろうね？
工学部というのは粗野な毛深い畜生の巣窟なのかね？ｗ
>コンテキストが群なんだから
コンテキストという言葉で誤魔化せると思うのもidiot！
工学部というのは日本語も英語も正しく書けない
粗野な毛深い畜生の巣窟なのかね？ｗ 瀬田くんバカだから「行列環」と「線型空間をなす環」がどれほどの違いか分らんでしょ？
線型空間は数学の至る所に存在する非常にありふれた構造なんやで～
あんたコピペ以外はほぼ必ず間違うね～ ドヤ顔でデマ流したらあかんで～ >>501
＞あんたコピペ以外はほぼ必ず間違うね～
◆yH25M02vWFhPは、大学に入れなかった高卒だからな
大阪大学卒とかよくもヌケヌケと大嘘がつけたもんだ
国立大学卒なら正則行列くらい知ってる 行列環の行列とはn次正方行列であってn次元線型空間の自己同型写像に対応する。
当然線型空間というだけの条件から比べれば限定された狭いものになる。
勝手に狭い対象に限定したらあかんで～ 瀬田くんよう >>494
行列環の証明だけ見て行列環でしか適用できないと判断。
これってまさに
>例が１つだけだと確実に間違う
じゃんｗ
せぇーーーたぁぁーーーーｗ >>497
>>環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
>正しくは「可換環R」
まさにいま非可換環Mn(R)では成立しないことやったばっかなのにｗ
瀬田アホ過ぎｗ >>498
>>行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
酷い、酷過ぎるぅぅぅぅーーーーー
せぇーーーーたぁぁーーーーー 瀬田くんの引用先はどれもこれも「正則行列」とか「可逆行列」。
誰も
>コンテキストが群
だからといって「正方行列」とは書いてない。
瀬田くんだけですねー
>コンテキストが群なんだから
と言い訳して誤魔化そうとするのは。 >行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
は意味不明ですね。
零因子を除いた集合は乗法で閉じてますが、加法で閉じてるとは言えませんから。
つまり、a,b が零因子でなくても、a+bが零因子になることはありえますから。
当たり前ですね。 バカだとは思ってたが、さすがに
>行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
には驚かされた
恐るべしコピペ脳 >行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
の間違いを5VB2YcFEさんは丁寧に示してくれたが
代数をちょっとでもかじった経験があれば直観で気付きそうなもの
瀬田くんは訳も分からずコピペばかりしてるから感覚がまったく養われてないんだなー >>510
＞間違いを5VB2YcFEさんは丁寧に示してくれたが
息の根は確実に止めないと（極悪） >>508
＞a,b が零因子でなくても、a+bが零因子になることはありえますから。
（１ ０）
（０ １）
＋
（０ １）
（１ ０）
＝
（１ １）
（１ １）
行列式計算すれば分かるけど
前二つはそれぞれ１とー１
足したものは０ 多元体
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E4%BD%93
「任意の有限次元実多元体の次元は 1, 2, 4, 8 のいずれかでなければならないことが分かっている。
この事実は、ミシェル・ケルヴェアとジョン・ミルナーによってそれぞれ独立に1958年に証明された。
これは代数的位相幾何学、特に K-理論を用いるものである。
qq~ が平方数の和に等しいという等式が成立する次元が 1, 2, 4, 8 に限られることは、
アドルフ・フルヴィッツによって、1898年には既に示されていた。」
「実数体上有限次元の多元体は
・それが「単位的かつ可換」（もしくは「結合的かつ可換」）ならば実数体 R または複素数体 C に同型、
・それが「非可換かつ結合的」ならば四元数体 H に同型、
・それが「非結合的だが交代的」ならば八元数体 O に同型
のいずれかでなければならない。」
「以下、体 K 上の有限次元多元体の次元について知られていることを挙げる。
・K が代数閉体ならば必ず dim A= 1 である。
・K が実閉体ならば dim A= 1, 2, 4, 8 のいずれかに限られる。
・K が代数閉体でも実閉体でもないならば、K 上の多元体が存在する次元は無数に存在する。」 ピンチになると、複数id使い分けか
分り易いやつだなｗ（＾＾； >>497
>正しくは「可換環R」
ああ、失礼
その積もりだったよ
まじで、>>481は、全部可換です
まあ、院試だったら、減点だろうな
皆さん、気を付けましょうｗ（＾＾； >>515
大学入試で落ちた人が院試に受かるわけないｗ 後出し、後出し
(>>480より)
攻撃は最大の防御です
ディベートでもかな？（違うかも）
でも、ディベートは知らず
数学では、他人を攻撃しても、自分の失言を帳消しにすることはできない（これは古代ギリシャからの教えですｗ）
さらに、環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など）
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
ああ勘違い。アホの上塗り、勘違い
アルティン・ウェダーバーンの定理 >>467を知らなかったみたい（勿論、私も知らなかった（＾＾； ）
でも、行列環では、逆元の存在と零因子とは密接な関係がある
アルティン・ウェダーバーンの定理は、それ普通って主張だよね
(引用終り)
全部、後出しじゃんかｗｗｗｗ（＾＾ ところでさｗ
>>378の問題でさ
「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
のあんたの証明は？
まさか、>>415の花木章秀の行列単位 Ekiを使う証明と同じってことなよな～～ｗｗ
自力で考えたんだろｗ？
え～っ、花木章秀と同じで、行列単位 Ekiを使う証明だってｗｗｗｗｗ（＾＾；
自力で考えたが、花木章秀と同じ～ｗ？
笑える～～ｗｗｗｗｗｗ（＾＾； >>517
後出しで間違う高卒ＤＱＮ ｗｗｗｗｗｗｗ
「零因子除けば体」（ドヤ顔）
ヒャーハッハッハ！！！ >>518
花木章秀の証明も理解できずに間違えた
高卒ＤＱＮが悔しさで発狂中
ヒャーハッハッハ！！！
もう死ねよ 人間失格の野獣
貴様の眉間に銃弾打ち込んでやるから成仏しな
貴様の肉は俺たち人間様が美味しく食ってやっから
ジビエ料理かｗｗｗｗｗｗｗ ジビエ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%93%E3%82%A8
■獣類
野ウサギ（lièvre、リエーヴル）
ジビエの中ではクセが強く、また肉質も硬くパサつきやすい。
火の入れ方、スパイスやハーブの使い方など調理に気を遣う食材である。
1匹を丸ごと煮込む「ロワイヤル」と呼ばれる調理法が代表的である。
また、血をソース（シヴェ・ソース）のつなぎに使って野性味を強調することも多い。
一方、家禽のウサギはラパン（lapin）と呼ばれ、リエーヴルよりも淡白な味わいで知られる。
シカ（chevreuil、シュヴルイユ）
クセの少ない淡白な赤身肉。ヨーロッパでは2歳くらいの個体を使う。
頭や首の急所を狙って一発で即死させないと暴れて肉に血が回ってしまうため、
ハンターの腕が問われるところである。
血抜きも即座に行わなくてはならない。
イノシシ（sanglier、サングリエ）、仔イノシシ（marcassin、マルカッサン）
日本では成獣を狩るが、フランスでは肉が硬くなるのを嫌って、
まだウリ坊の幼獣を対象とする。味、料理法等は豚肉に準じる。
クマ（ours、ウルス）
肉の大半は脂身で、口どけが良い。
赤身は筋張って臭みがある。発酵温度が非常に高く、
冷蔵庫では腐敗するので、冷凍に近い温度で熟成させる。
シカやイノシシと違い、脱骨済みの部位で流通している。
アライグマ（ratons laveurs、ラトン・ラヴール）
ドイツ、フランス、日本に野生化し、
駆除対象とされた北米原産アライグマは、
近年ジビエとして現地にて利用され始めている。
脂の下処理後の赤身肉のみを、香味野菜と長時間煮込む調理法が一般的。 >「零因子除けば体」（ドヤ顔）
瀬田よ、浅い、浅過ぎるよおまえ
んなわけねーだろｗ 応用数学とくに数理物理学におけるWの計り知れない貢献をウェブ上の文献で耽読いたしたのはS川氏であったと丁寧に記憶したT川氏が伊藤の公式をGauss-Riemannに帰着させたR氏の定理と曲率テンソルにおいて自明な計量を持つ
Kahler多様体の代数的側面とCauchyの分布の数値計算的性質に裏付けられた多値関数のRiemann的な正則モノドロミーの線形群上の加群への作用が解析的連接層と代数的連接層の圏同値を誘導して有名なRiemannの定理を導くが正則
行列式群の極大p部分群のべき等性から数論的部分群による商は位相群の同型を導くことがA氏の論文に載っており現在も引用され続けているのは定理7. 9. 12の宇宙的非自明性によるものであることはK藤氏により指摘されておりAbel群の研究においては標準的な文献になっている。 >>498-513
ありがとさん
ああ、そうだったねｗ（＾＾；
ご指摘の通り
よってこれ（>>482）「逆に、行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる」
は、撤回しておくよ
なお（>>482より）修正
行列環 Mn(R) 、零因子、逆元、斜体たちは、そういう関係なのです
↓
行列環 Mn(R) 、零因子、逆元、斜体たちには、密接な関係がある
よって、なお下記は有効ですな
さらに、環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など）
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾； >>518
（再録）
>>378の問題でさ
「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
のあんたの証明は？
まさか、>>415の花木章秀の行列単位 Ekiを使う証明と同じってことなよな～～ｗｗ
自力で考えたんだろｗ？
(引用終り)
やっぱ、種本丸写しかよ
いやいや、それで良い、それでいいんだ
身の程を知れってこと
自力で考えるなんて、あんたの頭じゃ、無理だよね
数学に王道無しというが、王道は無くても、正道はあるとおもう
正道とは、自分に適した道のこと
Fランでも、数学教師は、東大京大から来る場合が多い
数学秀才が来る場合が多い。彼らは、自分の体験から「自分で考えて解きましょう」なんていうけどさ
あんたらが、同じようにできるわけない
やっぱ、種本丸写し、いやいや、それで良い、それでいいんだ
きっと、花木章秀だって、種本あるんだよ、きっと
自分でじっくり考えるところと、ある程度考えて解答を見て理解するところと、使い分けないと
おサルが、数学科で落ちこぼれたのは、数学教師の「自分で考えて解きましょう」を、真に受けたんじゃね？
身の程を知れってこと、自力で考えるなんて、あんたの頭じゃ、無理だよね そりゃ
>「零因子除けば体」（ドヤ顔）
なんて言っちゃう頭じゃ自力解答は絶対に無理だろｗ
てか解答見ても間違ってたしなｗ
しかし瀬田くん、>>415は「代数入門問題集」、まともな大学生は自力で解くんやで～
つまり瀬田くんは大学生のレベルに遥かに届かないってこと、残念！ >>526
＞（>>482）
＞「逆に、行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる」
＞は、撤回しておくよ
◆yH25M02vWFhPって、恥を感じないサイコパスなんだな
フルチンで外で歩いて、女子から「キャー！変態！」といわれても
「ああ、服着てなかったね。じゃ”次”からは服着るよ」（ニコニコ）
と毎度恒例の上から目線で答えて、
しかも云ったことすっかり忘れて
次も素っ裸で歩き回るｗ
こいつ自分が世界の支配者だと思ってるんだろうな
短小包茎の童貞のくせにｗ >>528
＞あんたの証明は？
＞やっぱ、種本丸写しかよ
高卒の負け犬が、悔しさ全開で発狂し悪態ついてますｗｗｗｗｗｗｗ
まずは、その＊ン＊ンの皮剥けよ
恥垢がクセェんだよｗｗｗｗｗｗｗ
おめぇ妻も子もいるとかいってたけど
コドモって本当にお前のコか？
DNA調べたら全然親子関係なかったとか
少なくないらしいぞ
ま、コドモにとってはそのほうがいいかもな
馬鹿な貴様のDNA受け継いだとかもうそれだけで
この現代社会では完全な負け犬だもんなｗｗｗｗｗｗｗ >>528
＞きっと、花木章秀だって、種本あるんだよ、きっと
どうでもいいけど、数学に興味ないなら、数学板読むなよ
ここはおまえみたいな毛深い野獣の来るところじゃねえんだよ！ このスレの現状
https://www.youtube.com/watch?v=IU5KATv1mUA&;t=21m37s
◆yH25M02vWFhPは、ぶっちぎりの＊＊、和田まあや、というよりは
「なんかリコウぶってるけど、実は最強お＊＊の、齋藤飛鳥」だなｗ
で、私？これかな
https://www.youtube.com/watch?v=IU5KATv1mUA&;t=14m30s
祝福しろよ！ｗ
（参考動画）
https://www.youtube.com/watch?v=SgLKqLXzg7A
乃木坂46の赤い彗星、久保史緒里 >>526 補足
もう一度、零因子と逆元との関係を纏めておこう
まず、実数Rを成分とするn×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)については、下記ご参照
１．n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) で、ここには0（零行列）と零因子が含まれている
２．Mn(R) から 0（零行列）と零因子を除けば、n×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)になる
３．行列環 Mn(R) においては、零因子か（逆元を持つ）正則行列かは、その行列式で分けられる
即ち、行列A∈Mn(R)で、行列式｜A｜＝0なら零因子、行列式｜A｜≠0なら正則行列となる
だから、零因子で無ければ、（逆元を持つ）正則行列である
だから、n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) において、零因子と正則行列は、密接に関係しているのです！（＾＾
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/General_linear_group
General linear group
(抜粋)
In mathematics, the general linear group of degree n is the set of n×n invertible matrices, together with the operation of ordinary matrix multiplication. This forms a group, because the product of two invertible matrices is again invertible, and the inverse of an invertible matrix is invertible, with identity matrix as the identity element of the group. The group is so named because the columns of an invertible matrix are linearly independent, hence the vectors/points they define are in general linear position, and matrices in the general linear group take points in general linear position to points in general linear position.
To be more precise, it is necessary to specify what kind of objects may appear in the entries of the matrix.
For example, the general linear group over R (the set of real numbers) is the group of n×n invertible matrices of real numbers, and is denoted by GLn(R) or GL(n, R).
つづく >>534
つづき
More generally, the general linear group of degree n over any field F (such as the complex numbers), or a ring R (such as the ring of integers), is the set of n×n invertible matrices with entries from F (or R), again with matrix multiplication as the group operation.[1] Typical notation is GLn(F) or GL(n, F), or simply GL(n) if the field is understood.
More generally still, the general linear group of a vector space GL(V) is the abstract automorphism group, not necessarily written as matrices.
The special linear group, written SL(n, F) or SLn(F), is the subgroup of GL(n, F) consisting of matrices with a determinant of 1.
The group GL(n, F) and its subgroups are often called linear groups or matrix groups (the abstract group GL(V) is a linear group but not a matrix group). These groups are important in the theory of group representations, and also arise in the study of spatial symmetries and symmetries of vector spaces in general, as well as the study of polynomials. The modular group may be realised as a quotient of the special linear group SL(2, Z).
If n >= 2, then the group GL(n, F) is not abelian.
Contents
1 General linear group of a vector space
2 In terms of determinants
3 As a Lie group
3.1 Real case
3.2 Complex case
4 Over finite fields
4.1 History
5 Special linear group
6 Other subgroups
6.1 Diagonal subgroups
6.2 Classical groups
7 Related groups and monoids
7.1 Projective linear group
7.2 Affine group
7.3 General semilinear group
7.4 Full linear monoid
8 Infinite general linear group
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4
一般線型群
つづく >>534
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群
(抜粋)
行列群は指定された体 K上の可逆行列からなる群 G で、行列の積の操作を伴うものである。線型群は体 K 上の行列群に同型な抽象群、つまり、K 上と忠実な有限次元表現を認めるものである。
任意の有限群が線型であるのはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列によって実現できるためである。無限群（英語版）の中で、線型群は興味深く扱いやすいクラスをなす。
線型でない群の例としては、「あまりに大きな」群（を含む。例えば、無限集合の置換からなる群）やある種の病的な振る舞いを示す群（例えば、有限生成された無限ねじり群）などがある。
基本的な例
群Gが線形であると言われるのは、体K、整数d、Gから一般線形群GLd(K)への単射（K上のd次の忠実な線形表現）が存在する場合である。 必要であれば，GがK上でd次線形であると言うことで，体と次元について言及することができる。
基本的な例は、例えば線形群の部分群として定義される群である。例えば
1.群GLn(K)そのもの。
2.特殊線形群SLn(K)（行列式1を持つ行列の部分群）。
3.可逆な上(または下)の三角行列の群
4.giが集合Iで指定されたGLn(K)の要素の集合であるとすると、giによって生成される部分群は線形である。
古典群
詳細は「古典群（英語版）」を参照
とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群（英語版）である。行列群の係数の環が実数のとき、これらの群は古典リー群（英語版）である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群（英語版）である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす。
行列群としての有限群
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい。
表現論と指標理論
線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広範囲に渡って使われてきた。とくに表現論は群から行列群への写像を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への準同型を研究する。
(引用終り)
以上 >>534
乗法と加法の違いを野獣◆yH25M02vWFhPに教えておこうｗ
＞Mn(R) から 0（零行列）と零因子を除けば、
＞n×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)になる
GLn(R)は乗法に関して群だが、加法に関しては群ではない
GLn(R)に0を追加しても同じことである
したがってGLn(R)もGLn(R)∪|0}も環ではない（当然、体ではない） >>534
＞行列環 Mn(R) においては、零因子か（逆元を持つ）正則行列かは、その行列式で分けられる
そもそも行列の積しか考えてない つまり環であることは考えなくていい
したがって零行列も零因子も考えなくていい
「Mn(R)で、正則行列か否かは、行列式で分けられる」でいい
＞即ち、行列A∈Mn(R)で、行列式｜A｜＝0なら零因子、行列式｜A｜≠0なら正則行列となる
同様に
「即ち、行列A∈Mn(R)で、行列式｜A｜＝0なら”特異行列”、行列式｜A｜≠0なら正則行列となる」
と云えばいい
＞だから、零因子で無ければ、（逆元を持つ）正則行列である
同様に
”つまり、行列式｜A｜≠0なら、Aは逆元をもつ”
といえばいい
余計なことをいうから、
「Mn(R) から 零因子を除けば、体！」（ドヤ顔）
とほざいて大恥かく
肥溜めの上で飛び跳ねたところ
いきなり底が抜けて落っこち
クソまみれで溺死するクソガキ
それが◆yH25M02vWFhP ｗｗｗｗｗｗｗ どうでもいいクソ知識
正則行列＝非特異行列
特異行列＝非正則行列
正則 regular
特異 singular
ここで◆yH25M02vWFhPに質問
・行列式が０＝少なくとも１つの固有値が０
というだけでは零行列とはいえない
では
・全ての固有値が０
なら零行列といえるか？ >>534
>だから、n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) において、零因子と正則行列は、密接に関係しているのです！（＾＾
行列環ではね。
しかし一般には単元でも零因子でもない元が存在するから、代数が分かってないという指摘は当たらない、むしろ分かってないのはそんな指摘をしてしまった瀬田くん自身、残念！ 命題「単位的環Rの基底を為すベクトルすべてがRのイデアルIの元ならI=R」
は、Rが線型空間でありさえすれば真。
「行列環に限られる」なんて嘘垂れ流さないで下さいねー
>例が１つだけだと確実に間違う
って教えてもらったのに「野獣の耳に念仏」ですかー？ 野獣◆yH25M02vWFhPのトンデモ発言
「行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる」
Mn(R)から零因子を除けば、ほ~ら、n^2元体
*``･*。 。*･``* *``･*。 。*･``*
もう｜ `*｡ ` ｡ *` ｜☆ ｜ ` *｡ `｡*` ｜
,｡∩ ∧,,∧ *` ☆ ∧,,,/∩ ☆∩ ∧,,,∧ ☆ `* ∧,,/∩｡,
+ ( ´･ω･)*｡+ﾟ + (･ω･｀ )*｡+ﾟ+｡*( ´･ω･) + ﾟ+｡*(･ω･｀ ) +
`*｡ヽ つ*ﾟ*☆･+｡⊂ ﾉ｡+ ☆ +｡ヽ つ｡+･☆*ﾟ*⊂ ﾉ ｡*` どうにでも
`･+｡*･`ﾟ⊃+∩∧,,∧･+｡*+･` ﾟ `･+*｡+･∧,,∧∩+ ⊂ﾟ`･*｡+･`
☆ ∪~ ｡*ﾟ . (´・ω・｀)∪ ☆ ∪(´・ω・｀) . ﾟ*｡. .~∪ ☆
`･+｡*･ ﾟ ☆ `･+｡ つ─*ﾟ･ ☆･ﾟ*─⊂ ｡+･`☆ ﾟ ･*｡+･`
⊂ `･+･*+･`ﾟ ﾟ`･+*･+･ ` ⊃
~∪ なーれ♪ ∪~ >>541
>Rが線型空間でありさえすれば真
選択公理を仮定しないと基底の存在が保証されないか・・・ >>528 補足
>数学に王道無しというが、王道は無くても、正道はあるとおもう
>正道とは、自分に適した道のこと
さて、下記の問題で、
(>>378)
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
もう一度、この問題のまとめを しよう
大体は、>>463と>>481に書いたけど、証明の方針は、下記の「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである」に同じ
（蛇足だが、{0}（零0から成るイデアル）と、環R全体から成るイデアルを、自明なイデアルという）
＜チャート式風考察＞（＾＾；
１．問題文の「イデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ」から、Mn(R)と{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして、Iの性質を調べるという筋が浮かぶ
背理法で、「Mn(R)と{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして」から、矛盾（実はI＝R）でも良いし
背理法を避けて、「{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして」でも良い
要は、「（中間の）イデアルI」に思い至ること
２．イデアルの知識として、乗法単位元1が、イデアルIに含まれると、I＝Rとなることを知っておく、1∈I →I＝R
（いまの場合、単位行列E∈I を示すという方針になる）
これは、1∈I→1R⊂I から出る
３．上記で既に言及しているが、I＝Rという等号は、”I⊂R ＆ R⊂I”に分けて証明することが多い
（余談だが、これは不等式で、I＝Rという等式を、”I>=R ＆ R=<I”に分けて証明するのに類似）
つづく >>547
つづき
さて、「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られること」
の証明
１．{0}以外の（中間の）イデアルIがあるとする。0 ≠ A = (aij) ∈ Iなる行列Aが存在する
ここに、0 ≠ Aより、ある成分aij≠0である
２．行列単位 Ekl （klのみ1で 他は0の行列）を使う
行列の積 Eki・A・Ejkは、(k,k)なる対角成分が aijになる行列である（注：この式変形は、知識として知っておく必要あり）
aij≠0なので、上の積に1/aijを掛けると、(1/aij)(Eki・A・Ejk)＝Ekkとなる
３．イデアルが部分加群を成すことより、Ekkの和を取って
Σ k=1～n Ekk ＝E ∈ Iが示せた。（ここに、Eは単位行列）
４．上記のチャート式２より、I＝Rとなる
QED
（補足：要するに、基底の全部Eklを示す必要はなく、対角成分Ekkのみを示せば良い）
この証明の方針は、下記の「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである」にもそのまま使える
「環Rが体であるならば、自明なイデアルしか持たない」のみを示そう
証明
１．{0}以外の（中間の）イデアルIがあるとする。0 ≠ a ∈ Iなる元aが存在する
２．体であるから、0 ≠ aより、逆元a^-1 がR中に存在する
３．イデアルの定義より、 a・a^-1＝1 ∈ Iとなる。（ここに、1は乗法単位元）
４．上記のチャート式２より、I＝Rとなる
QED
すっきりしているでしょ（＾＾
つづく >>546
ID:CQL2z3C6さん、どうも
お久しぶりです
お元気そうで、なによりです >>547
王道あれば覇道あり
シナあれば蒙古あり
＞２．イデアルの知識として、乗法単位元1が、イデアルIに含まれると、I＝Rとなることを知っておく
馬鹿は一つの知識に固執する
利口は新たな知識を恐れない
イデアルの知識として、イデアルが加群であることを知っておく
Rの基底が全てIの要素であれば、I=Rとなるのは、加群として当たり前 >>547
>「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである」
だから可換環だっちゅーにｗ 学習せん奴やのうｗ
非可換環では反例が存在することをまさにいま見たばっかりだろｗ >>548
つづき
（参考）
https://detail.chiebukuro.ヤフー/qa/question_detail/q1436721054
yahoo
chi********さん2010/2/1419:08:37
環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
この証明を教えて下さい。
https://detail.chiebukuro.ヤフー/qa/question_detail/q1019988015
yahoo
eqe********さん2008/10/1823:04:53
行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであることを証明する問題です。お願いします。
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/files/algex_3.pdf
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
（問 25 26の解答ご参照）
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/lin1/L1.pdf
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
（P1～2の「(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位」の説明ご参照）
(引用終り)
以上 >>551
つー>>552 「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
この証明を教えて下さい。」 >>547
>２．イデアルの知識として、乗法単位元1が、イデアルIに含まれると、I＝Rとなることを知っておく
それを言うなら、より条件の緩い「Rの単元がIに属すと・・・」だろｗ
ちょっとは頭使えよｗ >>551
>だから可換環だっちゅーにｗ 学習せん奴やのうｗ
>非可換環では反例が存在することをまさにいま見たばっかりだろｗ
そうそう、下記の鈴木 咲衣ちゃん
はっきり、可換の場合とうたった方が良いと思う
ここでは、可換の場合のみ扱うと宣言して
このテキストでは、イデアルは、両側イデアルを意味すると、一言いっておく
(>>389より)
http://www.is.c.titech.ac.jp/~sakie/sakietech/jiao_yu_files/00_%E4%BB%A3%E6%95%B0.pdf
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
P30
6.2 イデアルと剰余環
定義 6.2.2 (イデアル). 環 R において，次の性質を満たす空でない部分集合 I をイデアルと呼ぶ．
(1) R の加法について，I は群になる．
(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I.
R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ． >>554
へー、それは面白いな
君の数学科時代にあったら、あなたも数学オチコボレにならなかったかもね >>556
◆yH25M02vWFhPは >>497読んでないだろ？
読んだとしても、ワケワカランだっただろ？
でなきゃこんな馬鹿発言しない >>556
「定義 6.1.4 (体). 可換環 R において，0 以外の元が存在し，それらが全て乗法に関する逆
元をもつとき R を体という．」
「練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．」
ぜんぜん合ってるじゃん。なにバカが言いがかり付けてんの？ 馬鹿は両側イデアルに固執してるけど
両側イデアルでも非可換なら
「自明なイデアル⇒斜体」
はいえないよ
こいつ、ほんとidiotだな |∞ﾟ○。*゜>>549
|*“))大変ｺﾞ無沙汰痛ｼﾃｵﾘﾏｽ…
|∞
|(*'')*,,)✨ﾍﾟｺﾘ
|=з 大変失礼痛ｼﾏｽﾀ~! >>547
>数学に王道無しというが、王道は無くても、正道はあるとおもう
>正道とは、自分に適した道のこと
大学の数学の練習問題というのは
例えば、19世紀とか20世紀前半に
その時代の天才数学者が心血をそそいだ、当時の未解決問題が、あったりするわけだ
それを、どこまで時間を掛けて自力で解く努力をするか
さて、数学の問題を、３つに分ける
教科書の練習問題、院試の問題、数学研究の未解決問題
教科書の練習問題
１．時間：無制限
２．参照：あり。何を見ても、だれに聞いても良いし、教えて貰っても良い。というより、積極的に友人作って、教え合えば良い
院試の問題
１．時間：制限あり
２．参照：だめ。その場で自力で解く
数学研究の未解決問題
１．時間：無制限
２．参照：あり。何を見ても、だれに聞いても良いし、教えて貰っても良い。というより、積極的に共同研究をやるのが良いと思う
ところで、教科書の練習問題を解く目的は、院試であったり、将来の数学研究のためであったりする（勿論、教材の理解を深める意味もある）
・もし、目的が院試なら、解答を見て、よく理解して、解法の筋を分析して、同じ問題やちょっとひねった類似問題が、制限時間内に解けるようにするってことが必要だ
・それが、>>547-548だ
・もちろん、上記のキモは、「解答を見て、よく理解して、解法の筋を分析して、同じ問題やちょっとひねった類似問題が、解けるよう」ってことだから
数学研究から、全く外れているわけでもない
要するに、自力で問題が解けるためには、ある程度のその分野の数学の知識と、数学の筋が閃かないと、ダメ
で、教科書の練習問題で、自力で解けそうかどうか、そういう見極めも大事
院試対策なら、上記の通り、ある程度で、解答を見て
その解答を、理解・分析するって勉強法もありだろう
つづく >>562
つづき
数学研究なら下記
そして、教科書の練習問題に多大の時間を浪費しないという選択肢もありでしょう
身の程知らずが、教科書の練習問題を自力で解こうとして、多大の時間を浪費し
よってもって、数学オチコボレになったらしい人がいる（＾＾；
http://reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-1660.html
岡潔先生の情緒の世界 8 ガウスのように 日々のつれづれ オイラー研究所の所長 2012-03-04
(抜粋)
アンドレ・ヴェイユがはじめて来日したとき、ヴェイユは「（数学は）ガウスのようにはじめよ」というアドバイスをしたのだそうです。
ヴェイユの言葉は続き、ガウスのようにはじめるとすぐに、自分はガウスではないとわかるだろう、とのこと。ですが、それでもいいから、ともかくガウスのようにはじめよというのです。
(引用終り) >>561
ID:es3Bwx6Yさん
どうも
遊んでいってください（＾＾ >>563
＞教科書の練習問題に多大の時間を浪費しないという選択肢もありでしょう
まっさきに言い訳する人は、何もやってもダメ
◆yH25M02vWFhP お前のことだぞｗ 大学入試も落ちる馬鹿が院試なんか受かるわけないぞｗｗｗｗｗｗｗ 群て、環や体みたいにそんなに条件強くないじゃろ
明らかに瀬田氏は群を何かと勘違いしとる >>562
>解答を見て、よく理解して
あんた解答からの逆推測に失敗しとるやんｗ（>>440） >>567
そもそも群の話しかしてないのに
環とか体とか持ち出す時点で
◆yH25M02vWFhPは精神患ってるｗ >あんた解答からの逆推測に失敗しとるやんｗ（>>440）
解答が〇〇〇となってるからこの部分は△△△ということ な ん だ ろ う
↑
当てずっぽうに推測してるだけ
案の定その推測は間違っていた
行列Aに行列単位Ekjを左からかける操作が何を意味するのか間違ってたでしょ？
なんで論証過程が間違ってるのに目的の帰結に辿り着くの？ ぜんぜんダメ >>569
零因子は群では無意味、そもそも零元が存在しない
は名言だったなあｗ |∞ ゜*。○゜*。○゜
|´∀`)…ｩﾜｧ…ぬしさまの
с \☆ﾌｧﾝﾁ☆が集ｯﾃﾙｩ… そもそも瀬田氏は群の例を挙げるに際し「加法群」とも「乗法群」とも言わんし
「演算・について群」とも言わん時点で「潜り」且つ「無学」で「知ったかぶり」している「ぺてん師」と言わざるを得ん｡
条件が強い「環」や「体」と違って「群」はただ「群」と言っただけでは性質が完成せんが
此れからの瀬田氏は然て置き今迄の瀬田氏はどう見ても「群」の一言で性質が完成すると勘違いしとる｡
よう此の程度で（ガロア理論含む）とスレタイに添えられたもんじゃ、瀬田氏はピエロじゃな。ピエロにも二通りじゃが
瀬田氏の場合はオールマイティ故のピエロ役じゃのうてノーセンスノーテク故のピエロ役じゃな｡
否、ピエロ=道化師どころかペテン師じゃな。其れも人生のペテン師にも成れん方の｡ ( まさか…なりぷっ様も…
( 第１子長男★弟餅
( サディスト堅気
( …なんじゃ…
( 第１子長女弟餅
( 女王様だと…
。 ○
。 ゜
゜。☆゜○。
゜
霊因子は軍では無意味
ﾟそもそも霊験が存在しない
は名言だったなぁ 。゜
(うっとり) 。○゜
。○゜
゜
。○*゜
|∞ ｩﾝｩﾝ
|´∀`)))ﾜｶﾙ…ﾜｶﾙｩｩ…
|∞
|´∇`)ｴﾓﾋﾟ-もめ~さまｷｬﾗ…
с \☆ｳｯﾄﾘ☆ﾔ・ﾐ・ﾂ・ｷ☆…
|∞
|ﾟдﾟ)ﾊｯ!
с \
|∞ …釣ﾗﾚﾁｬｯﾃ…ﾂｨ…ﾏﾀ…
|д`;) ﾈｯﾄ★ｾｸﾊﾗ★ｽﾄｰｷﾝｸﾞ
с \ …ｼﾁｬｯﾀ…
ｺﾞﾒﾝﾅｻ~ｨ!
|=з ﾋﾟｯ"ﾋｬ"ｧ"ｧ"ｧ"ｧ"
|=з (今日ﾊ)ﾓｩ……ｫ邪魔痛ｼﾏｾﾝ…
許し亭許し亭…!
お楽しみ中失礼ｼﾏｽﾀ~! おサルさん
（>>534より）
もう一度、零因子と逆元との関係を纏めておこう
まず、実数Rを成分とするn×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)については、下記ご参照
１．n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) で、ここには0（零行列）と零因子が含まれている
２．Mn(R) から 0（零行列）と零因子を除けば、n×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)になる
３．行列環 Mn(R) においては、零因子か（逆元を持つ）正則行列かは、その行列式で分けられる
即ち、行列A∈Mn(R)で、行列式｜A｜＝0なら零因子、行列式｜A｜≠0なら正則行列となる
だから、零因子で無ければ、（逆元を持つ）正則行列である
だから、n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) において、零因子と正則行列は、密接に関係しているのです！（＾＾
よって、なお下記は有効ですな
環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など）
又
「例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」(>>130)
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
さすが、ヒキコモリ無職無収入の数学科のオチコボレだな～ｗｗ >>571
常識だけどなｗ
置換群に零元あるかよｗ >>578
>>538再掲
＞行列環 Mn(R) においては、零因子か（逆元を持つ）正則行列かは、その行列式で分けられる
そもそも行列の積しか考えてない つまり環であることは考えなくていい
したがって零行列も零因子も考えなくていい
「Mn(R)で、正則行列か否かは、行列式で分けられる」でいい
＞即ち、行列A∈Mn(R)で、行列式｜A｜＝0なら零因子、行列式｜A｜≠0なら正則行列となる
同様に
「即ち、行列A∈Mn(R)で、行列式｜A｜＝0なら”特異行列”、行列式｜A｜≠0なら正則行列となる」
と云えばいい
＞だから、零因子で無ければ、（逆元を持つ）正則行列である
同様に
”つまり、行列式｜A｜≠0なら、Aは逆元をもつ”
といえばいい
余計なことをいうから、
「Mn(R) から 零因子を除けば、体！」（ドヤ顔）
とほざいて大恥かく
肥溜めの上で飛び跳ねたところ
いきなり底が抜けて落っこち
クソまみれで溺死するクソガキ
それが◆yH25M02vWFhP ｗｗｗｗｗｗｗ >>578
下記投稿は、零因子と逆行列の関係を知っていたら、下記の意図が分かるはずだがなｗｗｗ
（>>149より再録）
>正：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな
細かく書いたら切りが無い（＾＾
現高校数学で、行列を教えるかどうか知らないが
下記旧高校数学Cでは、行列を教えていた
後は、自学自習して下さい
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
(抜粋)
［解説］
● 数については，
ａｂ＝０ならば，ａ＝0またはｂ＝０です。
(対偶で言えば，ａ≠０かつｂ≠0ならばａｂ≠０です。)
● 行列については，
ＡＢ＝０であっても，Ａ＝０またはＢ＝０ とは限りません。
(対偶で言えば，Ａ≠0かつＢ≠0でもＡＢ＝０となることがあります。)
※ 教科書では，「Ａ≠0かつＢ≠0でＡＢ＝０となる行列Ａ，Ｂを零因子という」とされています。
「Ａ≠0かつＢ≠0でＡＢ＝０となるときＡをＢの左零因子，ＢをＡの右零因子という。」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
(抜粋)
行列環 は、行列の加法および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ n×n 行列全体の集合や無限次行列環 (infinite matrix ring) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。
R が可換環のとき、行列環 Mn(R) は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、M が行列で r が R の元であれば、行列 Mr は行列 M の各成分に r をかけたものである。
行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 R は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。
2×2実行列 の多元環 M2(R) は非可換結合多元環の簡単な例である。四元数と同じく R 上 4 次元であるが、四元数とは異なり、行列単位の積 E11E21 = 0 からわかるように、零因子をもち、したがって可除環ではない。その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 GL(2,R) をなす
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子 >>578
>だから、n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) において、零因子と正則行列は、密接に関係しているのです！（＾＾
>よって、なお下記は有効ですな
>環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など）
無効ですねー
「行列環で言えることは一般の環でも言える」はまさに
>例が１つだけだと確実に間違う
ですからー
賢者の教えも野獣に念仏ですねー >>222
＞群しか考えないんなら「零因子」なんて無意味
＞そもそも「零元」がないんだから
ま、整数の群には演算＋の単位元としての０はあるよ
当たり前じゃん 群なんだからｗ
でもさあ、馬鹿野郎セタのいう零元って
「群の演算・とは”全く異なる”演算＋の単位元」
だろ？
群の演算を「・」だと言い切ったら
他の演算考えたら馬鹿じゃんｗ
そんな他の演算の単位元なんか考えたら大馬鹿じゃんｗ
そういうことだよ
馬鹿は余計なこと考えてドヤ顔で利口ぶる
それが大馬鹿野郎の白痴だっていうんだよｗｗｗｗｗｗｗ >「Mn(R) から 零因子を除けば、体！」（ドヤ顔）
数学界に激震！
瀬田氏、これまでの常識を覆す新たな体の構成法を発見！
って、んなわけあるかーい！！！ ＞可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 GL(2,R) をなす
で、そう聞いた瞬間脊髄反射で
「つまりGL(2,R)は”可除環”であり、したがって”斜体”！」
とトンデモ発言する大馬鹿野郎◆yH25M02vWFhP
大阪大学卒？いくら工学部卒だってそこまで馬鹿じゃねえよ
これじゃ知能指数２０の白痴じゃんｗｗｗｗｗｗｗ 関西の国立理系は早稲田の最底辺レベルのが普通に居るってことだな。 流石に瀬田氏が阪大卒は無い、阪大入りも無い。理工学部全てに於いて掃き出し法は襷掛け、クラーメルの公式に次ぐ初歩中の初歩｡
百歩譲って千歩譲って万歩譲って、瀬田氏は阪大除籍｡ >>543 追加
複素数、４元数、８元数の行列表現
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0
複素数
(抜粋)
行列表現
「実二次正方行列」も参照
複素数 α = a + bi を、C 上の（左からの）作用と見ると、それに対応する R2 上での一次変換の表現行列を考えることができる。
対応(a,b ∈R)
a+bi
↓↑
(a,-b
b,a)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0
四元数
(抜粋)
行列表現
複素数が行列で表されたのとまったく同様に、四元数も行列で表すことができる。四元数を行列として表現して、四元数の加法と乗法を行列のそれに対応させる方法は、少なくとも二つあり、一つは 2×2 複素行列を用いるもの、いま一つは 4×4 実行列を用いるものである。何れの場合も、表現は線型に関連する表現の族として与えられるもので、抽象代数学の言葉でいえば、H からそれぞれ全行列環 M2(C) および M4(R) への単射環準同型である。
2×2 複素行列を用いて、四元数 a + bi + cj + dk は
(a+bi,c+di
-c+di,a-bi)
と表現される。この表現は以下のような性質を持つ：
・複素数 (c = d = 0) は対角行列に対応する。
・四元数のノルム（複素数のノルム同様に、自身とその共軛との積の平方根）は対応する行列の行列式の平方根に一致する[21]。
・四元数の共軛は、対応する行列のエルミート共軛に対応する。
・単位四元数に制限すれば、この表現は S3 と SU(2) との間の同型を与える。後者の群は量子力学においてスピンを記述するのに重要である（パウリ行列を参照）。
4×4 実行列を用いれば、同じ四元数は
略
つづく >>588
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0
八元数
(抜粋)
八元数（はちげんすう、英: octonion; オクトニオン）の全体は実数体上のノルム多元体で、ふつう大文字アルファベットの O を使って、太字の O（あるいは黒板太字の ??）で表される。実数体上のノルム多元体はたった四種類であり、O のほかは、実数の全体 R, 複素数の全体 C, 四元数の全体 H しかない。O はこれらノルム多元体の中で最大のもので、実八次元、これは H の次元の二倍である（O は H を拡大して得られる）。八元数の全体 O における乗法は非可換かつ非結合的だが、弱い形の結合性である冪結合律は満足する。
より広く調べられ利用されている四元数や複素数に比べれば、八元数についてはそれほどよく知られているわけではない。にもかかわらず、八元数にはいくつも興味深い性質があり、それに関連して（例外型リー群が持つような）例外的な構造もいくつも備えている。加えて、八元数は弦理論などといった分野に応用を持っている。
つづく >>588
つづき
下記がよく纏まっているよ（＾＾
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tnomura/EdAct/nomura060730.pdf
行 列 の 世 界 で
代 数・幾 何・解 析
九州大学公開講座
「現代数学入門」
（2006 年 7 月 30 日）
野 村 隆 昭
（九州大学 大学院数理学研究院 教授）
(抜粋)
P27
（え）n 次正定値 4 元数エルミート行列全体 (n = 2)
4 元数を成分とする n 次正方行列 X = (xij ) で，すべての i, j
（ただし 1 <= i <=j <= n）に対して xji = xij となるとき，X を 4 元数エルミート行列と言います．
（お）3 次正定値 8 元数エルミート行列全体
8 元数を成分とする n 次正方行列 X = (xij ) で，すべての i, j（ただし 1 <= i <=j <= n）に対して xji = xij となるとき，X を 8 元数エルミート行列と言います．
(引用終り)
以上 >>588 リンクタイポ訂正
>>543 追加
↓
>>534 追加 >>581
（>>149より再録）
零因子と逆行列の関係
しらないFラン数学科卒ｗｗｗ（＾＾； >>592
なにひねくれてんだ この馬鹿ｗ
正方行列全体が群でない、というのに
逆元を持たない行列があること、そして
そのような行列の行列式が０であることを
示せばいいだけ
零因子云々は余計な知識であって
ここでは全く必要ない
無駄な知識をひけらかすのは馬鹿の証拠
だから大学にも受からず学歴詐称する
卑怯卑劣なウソツキDQNに成り下がるんだよｗ >>563-567を読んで尚も平然としとる辺りを見ると正に「非学者、論に負けず」じゃな…｡ ◆yH25M02vWFhPは数学に全く興味ない
ただ自分が賢いというための
マウンティングのネタとしてのみ
数学を利用するサイコパス 非学者論に負けず【ひがくしゃろんにまけず】
【解説】
学問のない者は道理がわからず、がむしゃらに自分の説を押し通すので、
議論にはなかなか負けないということ。
無学な者と議論するのは徒労だといった意味もある。
---
正確には負けてるのだが、当人がそのことを理解できない
例えていえば、💩塗れで、他人はニオイに耐えられないのだが
当人はニオイを全く感じず 全然平気な顔をしてる というところ
これで味覚障害だったら、💩を食っても平気だろう
馬鹿というのはそういう生き物 もはや人間じゃない ウィキペディアより
糞（くそ、ふん。屎）とは、動物の消化管から排出される固体状の排泄物（屎尿）。
糞便（ふんべん）、大便（だいべん）、便（べん）、
俗にうんこ、うんち、ばばや、大便から転じ大などとも呼ばれる。
しかし、硬さや大きさ、成分などの違いで呼び名を使い分けている訳ではない。 生物学的側面から見た糞
糞便の内容物は、水分、新陳代謝によってはがれた腸内細胞、
大腸菌などの腸内細菌、胆汁などの体内分泌液、
摂取した食物のうち消化しきれなかったもの（食物繊維など）、
または体内に蓄積していた毒素などである。
未消化物の組成は摂取した食物により左右される。
人間の場合、便を構成する成分のうち、食べ物の残滓はおよそ5%に過ぎない。
大半は水分（60%）が占め、次に多いのが腸壁細胞の死骸（15%〜20%）である。
また、細菌類の死骸（10%〜15%）も食べ物の残滓より多く含まれる。
糞の量・形・色・臭い等は動物種、また個体によって様々であり、
体調によっても大きく変化する。
人間の場合、1日に平均して100〜250gほどを排出するが、
体調の関係で、大量に出たり、何日も出ないこともある。
水分が多い場合は液状になることもあり、その場合は下痢といわれる。
長期間出ない状態は便秘（宿便）と呼ばれ、中毒症状を起こすこともあり、
極めて稀ではあるが、便秘による死亡例もある。
下痢や便秘、血便等の便の異常は、
特に長期間続く場合、病気の兆候として注意される。 形状
人間の場合、楕円形から棒状で、その太さや長さは体調などによっても変化する。
食物繊維、炭水化物を多く摂取すると便は太く大きくなり、
高カロリー、高脂肪の割に食物繊維や微量栄養素の少ない
ジャンクフードを食べていると、便は細くなる傾向がある。
また、幼少時は括約筋の調節が利きにくいために、体格に対して便は太く形成され、
年齢を重ねると括約筋の弛緩により、相対的に便は細くなる傾向がある。
人のものと似た便を出す動物種に、イヌ・ネコ・サル・ウシ・ウマなどがある。
クマなどではより液体のような便をする。
これらとは異なった特徴の便をするものに、ウサギやヤギ、シカなどがあり、
いずれも固形物状の糞をする。
ウサギは円盤状、シカは楕円形とその形にも特徴がある。
草食性の昆虫も多くがペレット状の糞をする。
糞は単独で存在するとは限らず、ある程度固まって排出されることが多い。
そのまとまりを糞塊（ふんかい）という。
例えばカモシカは両手の掌いっぱいくらいの糞塊を作る。
個々の糞ではシカとカモシカの区別は非常に困難であるが、
糞塊があればそれはカモシカと判断できる。
これはシカが歩きながら糞をするのに対して、
カモシカは立ち止まって一気に糞をするためである。
なお、鳥類・爬虫類・昆虫の糞の中に
白い粘液が混じることがあるが、これは尿である。
彼らはアンモニアを尿酸の形で排出するため、
糞の中にそれが区別できる。 色
人間の便の色は、通常時の場合は黄土色から茶色のあいだで、
これは胆汁によるものである。
人の大便の茶色のもとは胆汁中のビリルビンが腸内細菌により最終的に代謝され
生成されたステルコビリンによるものである。
摂取した食物の種類、体調などにより、色調の濃淡に変化を起こす。
食生活も関係しており、一般に肉食など動物性タンパク質のものを多く食すると
褐色がかり、反対に穀物、豆類、野菜類を多く食するとpHの関係で黄色がかる。
黒色の便（特にタール状のもの）は上部消化管（胃 - 十二指腸）での出血を示唆し、
出血性潰瘍もしくは癌を疑うべき所見である。
肉眼的に赤い血液が確認できる便（血便）は
下部消化管（大腸以下）での出血によるものであることが多い。
胆道閉塞の結果として胆汁の分泌量が少ないと、
白っぽい便が出ることもある（その前に黄疸等の症状が出ることも多いが）。
この場合は胆汁の脂肪親和作用が得られないため脂肪便となることが多い。
また、ロタウイルスなどの感染症では白色の下痢が特徴である。
臭い
一般に大便の臭いは食物の残滓が腐敗して発すると思われがちだが、
一緒になって放出される細菌類の排泄物によって臭いが放たれる。
臭いの原因としては、インドール、スカトール、硫化水素などがあげられる。
一般的に、草食獣などの弱い動物ほど糞の臭いは少なく、逆に肉食獣の糞は臭気が強い。
これは弱い動物が臭い糞をすると、天敵を集めてしまう危険が高くなるために、
臭い糞をする草食獣は淘汰された結果だともといわれているが、
逆に肉食獣などの糞は、脂質やタンパク質を消化するために
さまざまな消化分泌系が発達し、より臭いが強い傾向がある。
人間の場合、健康な便からは露骨な悪臭は発せず、発酵臭に似た臭いが放出される。
これは一般に善玉といわれるビフィズス菌や乳酸菌の代謝によって排泄される臭いである。
反面、ウェルシュ菌などの悪玉菌はスカトール、メルカプタン、硫化水素など
毒性のある臭いを放つ。
口臭が腸内ガス由来の場合がある。
これは便秘している腸からガスが吸収され血管内を運ばれ、
肺から放出され口腔に至るためである。 前からコピペ糞塗り手繰りスレじゃったが、此れで此のスレは名実共に糞スレに成ったわけじゃな >>602
では何で人糞が肥料に使われなくなったか、歴史的側面を交え科学的に教えてくれんかのう？ >>581 補足
雪江の代数学3 書棚の肥やしでつんどくだったが、7.5をちらみしてみると、ヤコブソン根基が出てくる
下記だが、ジャコブソンだ？ 普通、雪江の呼び方だろうが（＾＾
ヤコブソン根基は、直感的な議論としては、「ベキ零根基によく似ている。環論において「悪い」という意味はいくつか考えられるが、その一つは零因子であることである。それよりより広い意味での「悪い」という概念は、単元でない（乗法について可逆でない）ことである」
か、なるほど（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%B3%E3%83%96%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%A0%B9%E5%9F%BA
ジャコブソン根基
(抜粋)
環論において、環 R のジャコブソン根基あるいはヤコブソン根基（英: Jacobson radical）とは、すべての単純右 R-加群を零化する R の元からなるイデアルである。定義において「右」の代わりに「左」としても同じイデアルが得られるので、この概念は左右対称である。環のジャコブソン根基をよく J(R) あるいは rad(R) と表すが、他の環の根基との混乱を避けるため、この記事では前者の表記を使う。ジャコブソン根基はジャコブソン（英語版）にちなんで名づけられた。彼は初めてそれを任意の環について(Jacobson 1945)で研究した人である。
環のジャコブソン根基には内在的な特徴づけが数多くあり、そのいくつかは単位元をもたない環に対する定義としても採用することができる。加群の根基はジャコブソン根基の定義を加群を含むように拡張する。ジャコブソン根基は多くの環や加群の理論の結果、例えば中山の補題において、際立った役割を果たす。
直感的な議論
他の環の根基のように、ジャコブソン根基 は「悪い」元の集まりとして考えることができる。この場合「悪い」性質はこれらの元は環のすべての単純左・右加群を零化するということである。比較の目的のため、可換環のベキ零根基 √0 を考えよう。これはすべてのベキ零元からなる。実は任意の環について、環の中心に入っているベキ零元はジャコブソン根基にも入っている[1]。なので、可換環については、ベキ零根基はジャコブソン根基に含まれている。
つづく >>604
つづき
ジャコブソン根基は直感的にはベキ零根基によく似ている。環論において「悪い」という意味はいくつか考えられるが、その一つは零因子であることである。
それよりより広い意味での「悪い」という概念は、単元でない（乗法について可逆でない）ことである。環のジャコブソン根基は単に単元でないというよりも強い性質を満たす元からなる。
これは正式な言い方ではないがジャコブソン根基は（というよりも多くの根基と呼ばれるものはというべきだが）「悪さ」の度合いについて単元でない元のうちでも「悪い」ものの集合だということができる
――ある意味で、ジャコブソン根基の元は「環に内在的な」どんな加群においても「単元として振る舞っ」てはならない。
正確に言えば、ジャコブソン根基の元は自然な準同型（英語版）のもとで、問題の環に内在的なすべての「右可除環」（すべての非零元が右逆元（英語版）をもっているような環）の零元に射影しなければならない。
簡潔に言えば、それは環のすべての極大右イデアルに属していなければならない。これらの考えはもちろん不正確だが、少なくともなぜ可換環のベキ零根基がジャコブソン根基に含まれているかを説明している。
さらに単純な方法で、環のジャコブソン根基を環の「悪い元を消す」手段として考えることができる――つまり、ジャコブソン根基の元は商環 R/J(R) において 0 として振る舞う。N が可換環 R のベキ零根基であれば、商環 R/N はベキ零元をもたない。同様に任意の環 R に対して、商環は J(R/J(R)) = {0} という性質をもっており、したがってジャコブソン根基におけるすべての「悪い」元は J(R) で割ることによって取り除かれている。ジャコブソン根基やベキ零根基の元はそれゆえ 0 の一般化と見ることができる。
つづく つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%B1%B1%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
中山の補題
(抜粋)
現代代数学や可換環論において、中山の補題（なかやまのほだい、英: Nakayama's lemma、クルル-東屋の定理（Krull?Azumaya theorem）とも[1]）は、環（典型的には可換環）のジャコブソン根基とその有限生成加群の間の相互関係を定める。有り体には、補題より直ちに可換環上の有限生成加群は体上のベクトル空間のように振る舞うことが言える。これは代数幾何において重要な道具である、なぜならばそれによって代数多様体の局所的なデータを、局所環上の加群の形において、環の剰余体上のベクトル空間として各点ごとに研究することができるからである。
この補題は、まずヴォルフガンク・クルルによって可換環のイデアルの特殊な場合において発見され、次に一般の場合が Azumaya (1951) によって発見されたにも関わらず、日本人数学者中山正にちなんで名づけられている[1][2]。可換の場合には、補題はケイリー・ハミルトンの定理を一般化した形の単純な帰結であり、これは Atiyah (1969) に書かれている。非可換なときの右イデアルに対する補題の特別な場合は Jacobson (1945) にあり、そのため非可換な中山の補題はジャコブソン-東屋の定理 (Jacobson?Azumaya theorem) と呼ばれることもある[1]。後者はジャコブソン根基の理論にたくさんの応用をもっている[3]。
つづく >>606
つづき
結果
局所環
中山の補題は具体的な幾何学的重要性を帯びる。局所環は幾何学において点における関数の芽として生じる。局所環上の有限生成加群はきわめて頻繁にベクトル束の断面の芽として生じる。点よりもむしろ芽のレベルで研究するとき、有限次元ベクトル束の概念は連接層の概念に取って代わられる。インフォーマルには、中山の補題は連接層をなおある意味でベクトル束から来ているとみなすことができると言っている。正確には、F を任意のスキーム X 上の OX-加群の連接層とする。点 p ∈ X における F の茎、これは Fp と表記されるが、局所環 Op 上の加群である。p における F のファイバーは ベクトル空間 F(p) = Fp/mpFp である、ただし mp は Op の極大イデアル。中山の補題によってファイバー F(p) の基底は Fp の極小生成集合に持ちあがる。つまり：
・点における連接層 F のファイバーの任意の基底は局所断面の極小基底から来ている。
非可換の場合
補題は非可換単位的環 R 上の右加群に対しても成り立つ。結果の定理は ジャコブソン-東屋の定理 (Jacobson?Azumaya theorem) と呼ばれることもある[1]。
(引用終り)
以上 >>593
>零因子云々は余計な知識であって
>ここでは全く必要ない
笑えるわ
なに言い訳してんだ、オチコボレが
（>>581）
零因子と逆行列の関係
しらないFラン数学科卒ｗｗｗ（＾＾； >>608 補足
（>>604より再録）
雪江の代数学3 書棚の肥やしでつんどくだったが、7.5をちらみしてみると、ヤコブソン根基が出てくる
下記だが、ジャコブソンだ？ 普通、雪江の呼び方だろうが（＾＾
ヤコブソン根基は、直感的な議論としては、「ベキ零根基によく似ている。環論において「悪い」という意味はいくつか考えられるが、その一つは零因子であることである。それよりより広い意味での「悪い」という概念は、単元でない（乗法について可逆でない）ことである」
か、なるほど（＾＾
ｗｗｗｗｗｗ >>608
分かってないね。
行列環において「単元であることと零因子でないことが同値」であるにせよ
行列群のコンテキストで零因子は無意味。何故なら行列群には零元そのものが無いから。零元が無ければ零因子は定義すら不能。
なんで行列群の話をしてるのにいきなり行列環でしか意味を持たない零因子を持ち出すんだ？
って言ってるんだけどバカには理解できないらしい。 >>608
＞笑えるわ
安達老人の（笑 と 学歴詐称サイコパス◆yH25M02vWFhP の「笑えるわ」は
どっちも「負けました。もう勘弁して！」の「泣き」の一言ｗｗｗ >>604
＞書棚の肥やしでつんどくだったが
数学を学ぶ意欲が全然ない証拠
無駄だから即刻古本屋に売却しよう
君に必要なのはまず断捨離
＞ちらみしてみると、
ちらみは誤解の元
君には数学は無理だから綺麗さっぱり諦めよう
まず自分が賢いという妄想を振り払うこと
君は高卒の馬鹿なんだよ
大学出た？それ、完全な妄想 >>526 補足
>よってこれ（>>482）「逆に、行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる」
>は、撤回しておくよ
行列環 Mn(R)で、零因子を含むヤコブソン根基（>>604）J(Mn(R)を作って
商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言えて（>>605）
零因子を含まない環が、できるのか
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E6%A0%B9%E5%9F%BA
環の根基
(抜粋)
環の根基 (radical of a ring) は環の「悪い」元からなるイデアルである。
根基の最初の例は冪零根基であった。
これは (Wedderburn 1908) のサジェスチョンに基づいて、(Kothe 1930) で導入された。
次の数年間でいくつかの他の根基が発見された。
それらのうち最も重要な例はジャコブソン根基である。
根基の一般論は (Amitsur 1952, 1954, 1954b) と Kurosh (1953) によって独立に定義された。
つづく >>614
つづき
下記は、屋上屋だが貼る
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kawaguch/pdf/11RingModule.pdf
代数学 2 の配布資料など （2012 年 1 月 31 日）
川口 周
大阪大学理学研究科数学専攻
(抜粋)
（可換環）
P9
問 2.1.
(b) √0 := {a ∈ A | a はべき零元 } は A のイデアルになることを示せ．√0 を A のべき零根基（nilradical）という．
P26
中山の補題
A を環とする．
r =∩(1～m) m （m は A の極大イデアルすべてを動く）
とおく．イデアル r を A のジャコブソン根基（Jacobson radical）という．
a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である． 実際，背理法で，1 +a が単元でないとすると，I = (1 +a) は I 6= A
をみたす A のイデアルなので，I ⊆ m となる A の極大イデアル m が存在する．このとき，1 + a ∈ m, a ∈ m よ
り，1 ∈ m となるが，これは矛盾である．
上のケーリー・ハミルトンの定理の証明と同様の方法で，中山の補題という（中山?東屋?Krull の補題ともいう）
次の定理が証明できる．A のイデアル I と A-加群 M に対して，
IM = {a1m1+・ ・ ・+anmn | n >= 1, a1, . . . , an ∈I, m1, . . . , mn ∈ M} とおく．
定理 6.18 (中山の補題). A は環，I は I ⊆ r をみたす A のイデアル，M は有限生成 A-加群とする．このとき，
M = IM ならば，M = 0 が成り立つ．
証明の概略．
略
(引用終り)
以上 イデアルつながりで、アルティン予想がヒット
メモ貼る ラングランズ関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%81%AEL-%E5%87%BD%E6%95%B0
アルティンのL-函数
(抜粋)
アルティン予想
アルティン予想とは、非自明な既約表現 ρ にたいしアルティン L-函数 L(ρ,s) は全複素平面上で解析的である、という予想である[1]
この予想は、ρ が 1 次元、つまりヘッケ指標に付随する L-函数やディリクレのL-函数に対しては成り立つ[1]。より一般的に、アルティンは、ρ が 1 次元表現から誘導される場合についてはこの予想が正しいことを示した。したがってガロア群が超可解群（英語版）(supersolvable)であれば、すべての表現に対してアルティンの予想が成り立つ。
アンドレ・ヴェイユ(Andre Weil)は、函数体の場合にアルティンの予想が成り立つことを証明した。
2 次元表現の射影像（射影一般線形群への自然な像）は巡回群、二面体群、四面体群、八面体群、二十面体群のいずれかで、このうち巡回群、二面体群の場合にはアルティン予想はヘッケの仕事から従う。ラングランズはベースチェンジ（英語版）(base change lifting)の方法を使い四面体群の場合を証明し、タネル(Tunnell)は彼の仕事を拡張し八面体群の場合も証明した。ワイルズ(Wiles)は谷山志村予想を証明するため、これらの結果を使った。リチャード・テイラー(Richard Taylor)ほかは、（非可解な）八面体の場合についていくつかの点で前進をさせた。現在、いくつかの研究が進行中である。
誘導指標のブラウアーの定理（英語版）によると、すべてのアルティンのL-函数はヘッケのL-函数の正と負の整数べきの積であることがしたがい、このことからアルティン L-函数は全複素平面上で有理型であることになる。
Langlands (1970)は、アルティン予想をラングランズ哲学において GL(n) の保型表現の L-函数にむすびつける事により証明できることを指摘した。さらに詳しくは、ラングランズ予想はアデール群 GLn(AQ) のカスプ表現をガロア群の n-次元既約表現へ結びつける。ここで対応するガロア表現のアルティンのL-函数と保型表現のL-函数は同じものとなり、アルティン予想は保型的なカスプ表現のL-函数は正則であるという既に知られている事実から従う。このことはラングランズの仕事の主要な動機のひとつであった。 >>614
🐎🦌がまた💩壺に墜ちたな…
>行列環 Mn(R)で、零因子を含むヤコブソン根基 J(Mn(R))を作って
>商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言えて
>零因子を含まない環が、できるのか
そう思うなら、貴様のその手でやってみろ
「行列環 Mn(R)のヤコブソン根基 J(Mn(R))から
商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言える」
しかし貴様の望む零因子を含まない環は決して得られない
何故か？ 貴様には何遍死んでも分かるまい
「何遍死んでも」とは「任意の自然数ｎについてｎ回死んでも」の意味
無限回死んだら？さあ、どうだろうな？
で、貴様に質問だが、無限回死ぬことは可能だと思うか？ >>615 文字化け訂正
a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である． 実際，背理法で，1 +a が単元でないとすると，I = (1 +a) は I 6= A をみたす A のイデアルなので，I ⊆ m となる A の極大イデアル m が存在する．
↓
I 6= Aは、 I ≠ A >>617
(>>605より)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%B3%E3%83%96%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%A0%B9%E5%9F%BA
ジャコブソン根基
(抜粋)
さらに単純な方法で、環のジャコブソン根基を環の「悪い元を消す」手段として考えることができる――つまり、ジャコブソン根基の元は商環 R/J(R) において 0 として振る舞う。N が可換環 R のベキ零根基であれば、商環 R/N はベキ零元をもたない。同様に任意の環 R に対して、商環は J(R/J(R)) = {0} という性質をもっており、したがってジャコブソン根基におけるすべての「悪い」元は J(R) で割ることによって取り除かれている。ジャコブソン根基やベキ零根基の元はそれゆえ 0 の一般化と見ることができる。 >>619
うん？
可換環 R か？
なる～ほど
Mn(R)は、非可換か
なる～ほど
でも、零因子と逆元は、関係あるよな
おサルさんｗ（＾＾； 向学心が完全に欠如した怠惰かつ粗雑な🐎🦌には決して理解できない文章
ジャコブソン根基
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%B3%E3%83%96%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%A0%B9%E5%9F%BA
・環が半単純であることとアルティン環かつそのジャコブソン根基が零であることは同値である。
半単純環
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%92%B0
数学、特に代数学において、環 A が A-加群として半単純加群、
すなわち、非自明な部分加群をもたない A-加群の直和であるとき、
A を半単純環という。
これは、同型の違いを除いて、（可換とは限らない）体上の全行列環の有限個の直積である。
単純環が半単純環であることとアルティン環であることは同値である。
例えば、D が体で E が D 上のベクトル空間で次元 n が0でなく有限ならば、
環 EndD E と Mn(D) は単純アルティン環なので半単純環である。
単純環
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%92%B0
数学の環論において、（1 ≠ 0 を持つ可換とは限らない）環 R が
単純（たんじゅん、英: simple）であるとは、
R の両側イデアルが 0 と R しか存在しないことをいう。
単純環 R について以下は同値：
・R は左アルティン的
・R は半単純
・R は極小左イデアルを持つ
・R はある自然数 n とある可除環 D について Mn(D) と同型
アルティン環
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E7%92%B0
アルティン環（アルティンかん、Artinian ring、アルチン環とも）とは、降鎖条件から定まるある種の有限性をもった環のこと。
環 R に対し次の二条件は同値である。
・（降鎖条件）： R の左イデアルからなる任意の降鎖は有限の長さで停止する：
・（極小条件）： R の左イデアルからなる空でない任意の族は包含関係に関する極小元を持つ：
これらの同値な条件を満たす環 R は左アルティン的 (left Artininan) であると言い、
また左アルティン的である環を左アルティン環と呼ぶ。 >>608
行列群の話をしてるのにバカがいきなり行列環でしか意味を持たない零因子の話をしだしたから
「関係無い」
と言ってるのに、バカは
「関係無い」＝「行列環において単元であることと零因子でないことは同値」の否定
と勝手に誤解して勝手に喚いてる。
ホント救い様の無いバカだね。 >>620
🐎🦌には理解できない答え
Mn(R)のJacobson根基J(Mn(R))は{0}！
つまり、貴様が愚かにも妄想する「零因子を含むヤコブソン根基」は存在しない！
商環 Mn(R)/J(Mn(R)) はMn(R)と等しい もちろんJ(Mn(R))は{0}
しかし、Mn(R)は相変わらず零因子をたんまり含んでいる
下手の考え、休むに似たりｗｗｗｗｗｗｗ ◆yH25M02vWFhP に贈る曲
https://www.youtube.com/watch?v=1Qz-c4FCl1c
何のために数学の知識だけを貪るのかは知らんが
数学の中にある論理を全く無視するなら
数学を学ぶ意味は全く無い
諦めろ 貴様は数学からオサラバしたほうがいい
そしてその別れには意味がある
そう 本当の自分を見つめなおす という意味が
偽りの鎧を脱ぎ捨てろ 偽りの鎧=偽りの知識で固めた武装=コピペ引用=他力本願 >>614
>行列環 Mn(R)で、零因子を含むヤコブソン根基（>>604）J(Mn(R)を作って
>商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言えて（>>605）
>零因子を含まない環が、できるのか
これも撤回（＾＾；
上記の話は、可換環 R の話みたい（>>619-620ご参照）
行列環が、Division ringになる条件
うん、これか
"Relation to fields and linear algebra
In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
（ unitary ring、単位的環、単位環 ）
むずいｗ（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring
Division ring
Relation to fields and linear algebra
All fields are division rings; more interesting examples are the non-commutative division rings. The best known example is the ring of quaternions H. If we allow only rational instead of real coefficients in the constructions of the quaternions, we obtain another division ring. In general, if R is a ring and S is a simple module over R, then, by Schur's lemma, the endomorphism ring of S is a division ring;[6] every division ring arises in this fashion from some simple module.
つづく >>626
つづき
Much of linear algebra may be formulated, and remains correct, for modules over a division ring D instead of vector spaces over a field. Doing so it must be specified whether one is considering right or left modules, and some care is needed in properly distinguishing left and right in formulas. Working in coordinates, elements of a finite dimensional right module can be represented by column vectors, which can be multiplied on the right by scalars, and on the left by matrices (representing linear maps); for elements of a finite dimensional left module, row vectors must be used, which can be multiplied on the left by scalars, and on the right by matrices. The dual of a right module is a left module, and vice versa. The transpose of a matrix must be viewed as a matrix over the opposite division ring Dop in order for the rule (AB)^T = B^TA^T to remain valid.
Every module over a division ring is free; i.e., has a basis, and all bases of a module have the same number of elements. Linear maps between finite-dimensional modules over a division ring can be described by matrices; the fact that linear maps by definition commute with scalar multiplication is most conveniently represented in notation by writing them on the opposite side of vectors as scalars are. The Gaussian elimination algorithm remains applicable. The column rank of a matrix is the dimension of the right module generated by the columns, and the row rank is dimension of the left module generated by the rows; the same proof as for the vector space case can be used to show that these ranks are the same, and define the rank of a matrix.
つづく >>627
つづき
In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]
The center of a division ring is commutative and therefore a field.[8] Every division ring is therefore a division algebra over its center. Division rings can be roughly classified according to whether or not they are finite-dimensional or infinite-dimensional over their centers. The former are called centrally finite and the latter centrally infinite. Every field is, of course, one-dimensional over its center. The ring of Hamiltonian quaternions forms a 4-dimensional algebra over its center, which is isomorphic to the real numbers.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学) division ring
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。
性質・諸概念
斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
つづく >>628
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_ring
Matrix ring
・The algebra M2(R) of 2 × 2 real matrices, which is isomorphic to the split-quaternions, is a simple example of a non-commutative associative algebra. Like the quaternions, it has dimension 4 over R, but unlike the quaternions, it has zero divisors, as can be seen from the following product of the matrix units: E11E21 = 0, hence it is not a division ring. Its invertible elements are nonsingular matrices and they form a group, the general linear group GL(2, R).
Structure
・In general, every semisimple ring is isomorphic to a finite direct product of full matrix rings over division rings, which may have differing division rings and differing sizes. This classification is given by the Artin?Wedderburn theorem.
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AF%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90%E6%B3%95
ケーリー＝ディクソンの構成法
https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Dickson_construction
Cayley?Dickson construction
More generally, the Cayley?Dickson construction takes any algebra with involution to another algebra with involution of twice the dimension.[1]:45
The Hurwitz's theorem (composition algebras) states that the reals, complex numbers, quaternions, and octonions are the only (normed) division algebras (over the real numbers).
つづく >>629
つづき
（参考：2N×2N matrices だって（＾＾ ）
https://arxiv.org/pdf/hep-th/9906065.pdf
Matrix Representation of Octonions and Generalizations 1999
Jamil Daboul 1 and Robert Delbourgo
Abstract
We define a special matrix multiplication among a special subset of 2N×2N matrices, and study the resulting (non-associative) algebras and their subalgebras. We derive the conditions
under which these algebras become alternative non-associative and when they become associative.
In particular, these algebras yield special matrix representations of octonions and complex numbers; they naturally lead to the Cayley-Dickson doubling process. Our matrix representation of octonions also yields elegant insights into Dirac’s equation for a free particle. A few other results and remarks arise as byproducts.
（追加参考）
”例えば、可換体上の 2 次以上の全行列環は、（M(n, R) の任意のイデアルは、R のイデアル I に対して M(n, I) の形であるから）非自明なイデアルを持たないが、非自明な左イデアル（すなわちある固定された列が 0 である行列全体の集合）を持つ。”
か、なるほど
これは、うまい例だな、覚えておこう
行列A∈R、B∈I ｜Bは、ある固定された列が 0 である行列
AB∈I｜ABは、ある固定された列が 0 である行列
ってことか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0
非可換環
単純環
詳細は「単純環」を参照
単純環 (simple ring) とは、自身と零イデアルの他に両側イデアルを持たない、零環でない環である。単純環は必ず単純多元環 (simple algebra) と考えることができる。環としては単純だが加群としては単純でない環が存在する。
例えば、可換体上の 2 次以上の全行列環は、（M(n, R) の任意のイデアルは、R のイデアル I に対して M(n, I) の形であるから）非自明なイデアルを持たないが、非自明な左イデアル（すなわちある固定された列が 0 である行列全体の集合）を持つ。
つづく >>630
つづき
（あんまり関係ないけど、検索ヒットメモ）
https://tsujimotterはてなぶろぐ.com/entry/ideal-class-group-and-quadratic-form
tsujimotterのノートブック
二次体 Q(√-5) のイデアル類群と xx + 5yy 型の二次形式 2015-08-14
「イデアル類群は，単項イデアル整域からどれだけ離れているかを測る "ものさし" である」
というような文章は，イデアル類群を簡単に説明するためによく用いられる解説ですが，こんな説明を聞いても「はぁ？何言ってるの？」という感じだと思うのです。
少なくとも私は納得ができませんでした。
イデアル類群には，もっと具体的な意味があるように思うのです。これについて今日は話したいと思います。
（前回に引き続き，本記事の難度は少し高めです。また，以降は「ですます」調から「である」調へと変わります。）
イデアル類群とは
前回 話したように，二次体の整数環におけるイデアルは，必ずしも単項イデアルとは限らない。
すべてのイデアルが単項イデアルであるような整数環は「単項イデアル整域（PID）」といって，（数において）素因数分解の一意性が保たれるなど，扱いやすい整数環である。一方，単項イデアル整域でない整数環においては，単項イデアルは可算無限個あるし，そうでないイデアルも可算無限個ある。これだけの情報ではイデアルの全体がどうなっているのかよくわからない。
「単項イデアル」と「単項イデアルでないイデアル」との間の関係を具体的に記述するのが，何を隠そうイデアル類群なのである。
https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/t/tsujimotter/20150812/20150812201241.png
(引用終り)
以上 >>626 追加訂正
（ unitary ring、単位的環、単位環 ）
↓
（ unital/unitary ring、単位的環、単位環 ）
でした（＾＾； >>631
tsujimotterって、頭悪そうだな
道理で層の定義で「解析接続だ！」とかトンチンカンな嘘書くわけだ >>626-630
わけもわからず体にこだわる高卒素人🐎🦌ｗｗｗｗｗｗｗ
毛深い野獣の貴様には数学は無理だから諦めろ >>630 追加
これも、メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/Divisibility_(ring_theory)
Divisibility (ring theory)
In mathematics, the notion of a divisor originally arose within the context of arithmetic of whole numbers.
With the development of abstract rings, of which the integers are the archetype, the original notion of divisor found a natural extension.
Divisibility is a useful concept for the analysis of the structure of commutative rings because of its relationship with the ideal structure of such rings.
Definition
Let R be a ring,[1] and let a and b be elements of R. If there exists an element x in R with ax = b, one says that a is a left divisor of b in R and that b is a right multiple of a.[2]
Similarly, if there exists an element y in R with ya = b, one says that a is a right divisor of b and that b is a left multiple of a. One says that a is a two-sided divisor of b if it is both a left divisor and a right divisor of b; in this case, it is not necessarily true that (using the previous notation) x=y, only that both some x and some y which each individually satisfy the previous equations in R exist in R.
When R is commutative, a left divisor, a right divisor and a two-sided divisor coincide, so in this context one says that a is a divisor of b, or that b is a multiple of a, and one writes a ｜ b.
Elements a and b of an integral domain are associates if both a ｜ b and b ｜ a. The associate relationship is an equivalence relation on R, and hence divides R into disjoint equivalence classes.
Notes: These definitions make sense in any magma R, but they are used primarily when this magma is the multiplicative monoid of a ring.
つづく >>635
つづき
Zero as a divisor, and zero divisors
・Some authors require a to be nonzero in the definition of divisor, but this causes some of the properties above to fail.
・If one interprets the definition of divisor literally, every a is a divisor of 0, since one can take x = 0. Because of this, it is traditional to abuse terminology by making an exception for zero divisors: one calls an element a in a commutative ring a zero divisor if there exists a nonzero x such that ax = 0.[3]
(引用終り)
以上 >>615
(引用開始)
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kawaguch/pdf/11RingModule.pdf
代数学 2 の配布資料など （2012 年 1 月 31 日）
川口 周
大阪大学理学研究科数学専攻
(抜粋)
（可換環）
P26
中山の補題
A を環とする．
r =∩(1～m) m （m は A の極大イデアルすべてを動く）
とおく．イデアル r を A のジャコブソン根基（Jacobson radical）という．
a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である． 実際，背理法で，1 +a が単元でないとすると，I = (1 +a) は I ≠ A
をみたす A のイデアルなので，I ⊆ m となる A の極大イデアル m が存在する．このとき，1 + a ∈ m, a ∈ m よ
り，1 ∈ m となるが，これは矛盾である．
(引用終り)
上記の「a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である」は、下記ですな
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%B3%E3%83%96%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%A0%B9%E5%9F%BA
ジャコブソン根基
(抜粋)
同値な特徴づけ
単位元をもつ場合
・ J(R)は 1+RxR のすべての元が単元であるようなすべての元 x∈ R からなる集合である。 J(R)={x∈ R ｜ 1+RxR⊂ R^x } 🐎🦌◆yH25M02vWFhPが確実に見落としてる点
左イデアル Ra={ra|r∈R}
右イデアル aR={ar|r∈R}
しかし
両側イデアル RaR={ras|r∈R,s∈R}
ではない！！！
正しい定義は以下の通り
両側イデアル RaR={r_1as_1+…+r_nas_n|n∈N,r_i∈R,s_i∈R} 可換体K上の行列環Mn(K)の単項両側イデアルRxRは、
xが零行列でない限りMn(K)と一致する
何故ならMn(K)の線形空間としての基底が全て生成できるからである
（>>415参照） >>626 補足
>https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring
>Division ring
>"Relation to fields and linear algebra
>In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
>（ unital/unitary ring、単位的環、単位環 ）
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
下記が参考になりそう
https://www.math.uni-bielefeld.de/~wcrawley/1617noncommalg/Noncommutative%20algebra.pdf
Noncommutative algebra
Bielefeld University, Winter Semester 2016/17
William Crawley-Boevey
https://www.ams.org/journals/tran/2002-354-05/S0002-9947-02-02927-6/S0002-9947-02-02927-6.pdf
CONSTRUCTING DIVISION RINGS
AS MODULE-THEORETIC DIRECT LIMITS
GEORGE M. BERGMAN
TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 354, Number 5, Pages 2079?2114 published on January 8, 2002
Abstract. If R is an associative ring, one of several known equivalent types
of data determining the structure of an arbitrary division ring D generated by
a homomorphic image of R is a rule putting on all free R-modules of finite rank
matroid structures (closure operators satisfying the exchange axiom) subject
to certain functoriality conditions. This note gives a new description of how
D may be constructed from this data. (A classical precursor of this is the
construction of Q as a field with additive group a direct limit of copies of Z.)
The division rings of fractions of right and left Ore rings, the universal
division ring of a free ideal ring, and the concept of a specialization of division
rings are then interpreted in terms of this construction.
(引用終り)
以上 >>639 補足
あと、素イデアルと極大イデアル補足
(参考：下記は分り易いね。可換環では、剰余環R/Iが、整域や体となるイデアル I の満たすべき条件がすっきり言える)
https://icu-hsuzuki.github.io/science/class/algebra2/alg2text/alg2text.html
ALGEBRA II 1999年
Hiroshi SUZUKIgif
Department of Mathematics
International Christian University
https://icu-hsuzuki.github.io/science/class/algebra2/alg2text/node4.html
素イデアルと極大イデアル 1999年
（R を可換環、I をイデアルとする。このとき、剰余環R/Iが、整域や体となるイデアル I の満たすべき条件を考える。）
(抜粋)
I：極大イデアル←→R/I：体 →R/I：整域←→I：素イデアル。
R を可換環とすると、上の定理から、零イデアル が素イデアルであることと、R が整域であることが同値であり、また、 が極大イデアルであることと、R が体であることが同値である。
つづく >>643
つづき
https://www.irohabook.com/maximal-ideal
Irohabook
極大イデアルの定義と性質（可換環）
Aのイデアルmは
1.mがAでない
2.mより真に大きい自明でないイデアルが存在しない
を満たすとき、極大イデアルであるという。
ツォルンの補題と極大イデアルの存在
可換環においてイデアルの集合（イデアルは集合だから集合の集合ということになる）は、包含関係によって順序をなす。
順序集合において成り立つツォルンの補題から、すべての自明でない可換環（零でない可換環）は極大イデアルをもつ。
ツォルンの補題→極大イデアルの存在
極大イデアルで割った商環
可換環をイデアルで割ると可換環になる。可換環を極大イデアルで割ると可換環になるが、同時に体になる。これはイデアルの包含関係が商に受けつがれることと、体に自明でないイデアルが存在しないことからわかる。
極大イデアルで割る→剰余環は体
極大イデアルは素イデアルである
そこに含まれる元を二つの積に分解したとき、分解後の元がすべてそこに含まれるようなイデアルを素イデアルという。極大イデアルは素イデアルである。
可換環を素イデアルで割ると整域になるが、体は整域であるから、極大イデアルは素イデアルになる。
可換環関連記事
1.整域の整閉性は局所化で保存する
2.すべての環は極大イデアルをもつ
3.ネーター環の定義と性質
4.素イデアルの定義と性質（可換環）
5.極大イデアルの定義と性質（可換環）
6.素イデアルの定義と可換環の次元の話
つづく >>644
つづき
（参考：下記も分り易い、”関数環の場合に，ある一点で0となるもの全体が極大イデアルとなって，その点を指示するので，一般的な抽象論で，理想上の点を考えるのに使う”）
https://kotobank.jp/word/%E6%A5%B5%E5%A4%A7%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB-53262
コトバンク
極大イデアル（読み）きょくだいイデアル（英語表記）maximal ideal
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
環 R のイデアル J が極大であるとは，次の2条件を満足するようなイデアル J' ，すなわち，(1) J を真部分集合として含むような J' ，(2) R と異なる J' ，が存在しない場合である。このとき J を R の極大イデアルという。関数環の場合に，ある一点で0となるもの全体が極大イデアルとなって，その点を指示するので，一般的な抽象論で，理想上の点を考えるのに使う。
https://www.slideshare.net/HanpenRobot/ss-43045930
代数幾何02 極大イデアルとは点である
HanpenRobot
Hanpen Robotの代数幾何の，素朴な疑問を解決しようのコーナー！
https://tetobourbaki.はてなぶろぐ.com/entry/2019/03/01/203500
記号の世界
20190301 なぜ素イデアルを点と見るのか数学
代数幾何について最近ちょっとしっくりきたのでまとめておきます．
(引用終り)
以上 >>643-645 補足
イデアル
代数学の抽象的な定義をぶつけられて、「なにそれ？」となる人もいるかも
上記に示した具体的な使い道や、イデアルの生まれた由来（下記）などを、腹に入れておくと、理解しやすいかも
代数学の抽象的な定義をぶつけられて、「なにそれ？」で、立ち止まってしまわないことだな
いまどき、ちょっと調べれば分かることも多い
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E7%92%B0%E8%AB%96)
イデアル (環論)
歴史
19世紀のドイツの数学者であるクンマーはフェルマーの最終定理を証明しようと研究していた。その中で彼は、代数的整数に関しては有理整数の場合のような素因数分解の一意性が必ずしも成り立たないという問題に直面した。
理想的な分解を与える因子を理想（複素）数 (ideale complexe Zahl ) あるいは理想因子 (ideal Primfactor) と名付けて、理想数の理論を築いた。
クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。 >>642 追加
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
自由加群とは：「基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群」（下記環上の加群より）
また、自由加群wikipedia：加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である
ですか。なるほど。取りあえず、”圏”は無視で良さそうかな？（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4
環上の加群
環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。
任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。
加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。
つづく >>648
つづき
動機
ベクトル空間においては、スカラーの全体は体を成し、ベクトルに対して分配律などの特定の条件を満足するスカラー乗法によって作用している。環上の加群においては、スカラーの全体は環であればよく、その意味で環上の加群の概念は重大な一般化になっている。可換環論における重要な概念であるイデアルおよび剰余環は、いずれも環上の加群とみることができ、イデアルや剰余環に関するさまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。非可換環論では、イデアルの（作用の入る向きとして）左右を区別するし、環上の加群においてもそれはより顕著になることだが、しかしさまざまに重要な環論的議論において片側（大抵は左）からの作用に関するものだけを条件として提示することが行われる。
加群の理論のおおくは、ベクトル空間のもつ好ましい性質が、単項イデアル環のような「素性のよい」(well-behaved) 環上の加群の領域でどれだけたくさん存在するかというような議論からなるが、しかしながら環上の加群はベクトル空間に比べてかなり複雑である。たとえばどんな加群でも基底を持つわけではないし、基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群であっても基礎環（係数環）が不変基底数条件を満足しないならば階数も一意ではない。これはベクトル空間が（選択公理を仮定すれば）常に基底を持ち、基底の濃度が常に一定となることと対照的である。
表現論との関係
M を左 R-加群とすると、R の元 r の作用が x を rx へ（右加群の場合は xr へ）うつす写像として定まり、その写像はアーベル群 (M, +) 上の群の自己準同型となる必要がある。EndZ(M) で表される、M の群自己準同型の全体は、加法と合成に関して環となるが、R の元 r にその作用を対応させることにより、R から EndZ(M) への環準同型が定義される。
このような環準同型 R → EndZ(M) は M における R の表現 (representation) と呼ばれる。左 R-加群を定義するもう一つの同値な方法は、アーベル群 M にその上の環 R の表現を考えることである。
つづく >>649
つづき
表現が忠実 (faithful) であるとは、写像 R → EndZ(M) が単射となることをいう。加群の言葉で言えば、これは R の元 r が M のすべての元 x に対して rx = 0 を満たすならば r = 0 と成ることを言っている。任意のアーベル群は有理整数環または適当な剰余類環 Z/nZ 上の忠実加群である。
一般化
任意の環 R をただひとつの対象から成る前加法圏と看做すことができる。この観点で言えば、左 R-加群とは R からアーベル群の圏 Ab への共変加法的函手に他ならない。右 R-加群は反変加法的函手である。このことが示唆するのは、任意の前加法圏 C に対し、C から Ab への加法的函手は C 上の一般化された左加群と考えるべきであるということである。このような函手の全体は、環上の加群の圏 R-Mod の一般化となる函手圏 C-Mod を成す。
可換環上の加群は別な方向に一般化することができる。まず、環付き空間 (X, OX) をとり、OX-加群の層を考える。これらの全体は代数幾何学のスキーム論的取り扱いで重要な圏 OX-Mod を成す。 X がただ一点からなるならば、これは可換環 OX(X) 上の通常の意味での加群の圏である。
半環上の加群を考えることもできる。環上の加群はアーベル群だが、半環上の加群は可換単位的半群であればよい。通常の加群に関する議論の多くが、この一般化された意味での加群に対しても有効である。特に、任意の半環 S に対して S 上の n-次行列全体は半環を成し、S の元の順序 n-組の全体はその行列半環上の（ここで言う意味でのみだが）加群となる。これにより、理論計算機科学の分野から半環の概念を併合した、ベクトル空間の概念の更なる一般化が得られたことになる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4
自由加群
自由加群(じゆうかぐん、英: free module) とは、加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である。たとえば、すべてのベクトル空間は自由であり[1]、集合上の自由ベクトル空間は集合上の自由加群の特別な場合である。任意の加群はある自由加群の準同型像である。
つづく >>650
つづき
定義
R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
略
R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群であるという[2]。
構成
集合 E が与えられたとき、E 上の自由 R-加群を作ることができる。それは単純に R の|E| 個のコピーの直和であり、しばしば R(E) と表記される。この直和を C(E) と表記し、具体的に構成しよう。
略
普遍性
上で定義された写像 ι: E → C(E) は次のような意味で普遍的である。
自由加群の普遍性
一般化
自由加群についての多くのステートメントは、一般の環上の加群については成り立たないが、自由加群のある種の一般化に対してはなお成り立つ。射影加群は自由加群の直和因子なので、自由加群への単射が存在し、その基底を射影加群に関する何らかの証明で使うことができる。より弱い一般化として平坦加群やねじれのない加群がある。平坦加群はテンソル積が完全列を保つという性質をもつ。環が特別な性質をもてば、逆が成り立つことがある。
関連項目
斜体 - すべての左加群が自由加群となる環
https://en.wikipedia.org/wiki/Free_object
Free object
In mathematics, the idea of a free object is one of the basic concepts of abstract algebra. It is a part of universal algebra, in the sense that it relates to all types of algebraic structure (with finitary operations). It also has a formulation in terms of category theory, although this is in yet more abstract terms. Examples include free groups, tensor algebras, or free lattices. Informally, a free object over a set A can be thought of as being a "generic" algebraic structure over A: the only equations that hold between elements of the free object are those that follow from the defining axioms of the algebraic structure.
つづく >>651
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%9C%8F
加群の圏
加群の圏（かぐんのけん、英: category of modules）Mod は、すべての加群を対象としすべての加群準同型を射とする圏である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84K%E7%90%86%E8%AB%96
代数的K理論
代数的K-理論(algebraic K-theory)は、ある非負な整数 n に対して環からアーベル群への函手の系列
K_{n}(R)
を定義して適用することに関係したホモロジー代数の重要な一部である。歴史的理由により、低次 K-群 K0 と K1 は、n ? 2 に対する高次 K-群 Kn とはいくらか異なった項と考えられている。実際、高次の群よりも低次の群は受け入れやすく、より多くの応用を持っている。
歴史
アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)は、1950年代中期に K-理論をリーマン・ロッホの定理に非常に広い一般化を述べるためのフレームワークとして発見した。その後数年以内には、K-理論の位相的側面が、マイケル・アティヤ(Michael Atiyah)とフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)により考え出され、現在は位相的K-理論（英語版）(topological K-theory)として知られている。
少し遅れて、理論の作用素代数のための一分野は、豊かな発展をして、作用素K-理論（英語版）(operator K-theory)やKK-理論（英語版）(KK-theory)をもたらした。K-理論は代数幾何学において代数的サイクルの理論で役割をはたすことも、明らかとなった（ゲルステンの予想（英語版）(Gersten's conjecture)）[1]。
結局、基本的な難しさは、（深い困難な理論を離れ） Quillen (1973, 1974) により解決された。彼はプラス構成（英語版）(plus-construction)とQ-構成（英語版）(Q-construction)を通して、任意の非負な n に対して Kn(A) の定義方法をいくつか示した。
(引用終り) そうそう、コピペだけしてろ、私見を一切入れるな、どうせ間違うから >>648
(引用開始)
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
自由加群とは：「基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群」（下記環上の加群より）
また、自由加群wikipedia：加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である
ですか。なるほど。取りあえず、”圏”は無視で良さそうかな？（＾＾；
(引用終り)
下記、松本 眞 代数学II：環と加群 広大 が参考になるな
”定義 1.2.2. 基底の存在する R 加群を自由 R 加群という。”
”定理 1.2.3. R が体のとき、任意の R 加群は自由である。（基底の存在定理）。
基底の元の個数（濃度）は基底の取り方によらない。”
この体は、P3の定義より、多分可換
”P5
圏（カテゴリー）
圏論は扱わないが、圏の用語を使いたいのでさらっと紹介する。”か（＾＾
”定理 1.2.3. R が体のとき、任意の R 加群は自由である。（基底の存在定理）”
”有限次元線形空間の場合については、線形代数でならっているはずである”
これの斜体版があるのだろうね（＾＾
つまり、”R が斜体のとき、任意の R 加群は自由である。（基底の存在定理）”（逆も？）
”有限次元線形空間の場合については、線形代数でならっているはずである”みたいな（＾＾
つづく >>655
つづき
（参考）
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/
まつもと まことのホームページ 広島大学数学科
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/teach.html
授業など教育活動関連
2019年度第一ターム「代数学Ｃ・代数数理基礎講義Ａ」
講義レジュメ：pdf版
（これが下記だが、リンク先のファイルと表題が不一致ですよね）
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/kan-kagun6.pdf
代数学II：環と加群
松本 眞 広島大学理学研究科
平成 30 年 4 月 9 日
P3
1.1 環上の加群
環 R といったら、零環 = {0} を許し、非可換環も許すが、積の単位元 1 を持つことは仮定
する（積の単位元を持つ環を単位的環という）。特に単位的であることが重要であるとき、つ
い「単位的環」と書くことがある。整域とは、可換環 R で R ? {0} が積についてモノイド（単
位元を持つ半群）となるものを指す。体とは、さらに R ? {0} が群となるものを指す。
P5
圏（カテゴリー）
圏論は扱わないが、圏の用語を使いたいのでさらっと紹介する。
つづく >>656
つづき
P7
自由 R 加群と基底
定義 1.2.2. 基底の存在する R 加群を自由 R 加群という。
すなわち、自由 R 加群とは R の（任意個の）直和と同形な R 加群に他ならない。
特に、自由かつ有限生成なら有限個 (たとえば n 個) の基底がとれる (有限個の生成元をあ
らわすのに必要な基底をならべると、有限集合でありこれで生成されるから)。この場合には
M ～= R^n.
定理 1.2.3. R が体のとき、任意の R 加群は自由である。（基底の存在定理）。
基底の元の個数（濃度）は基底の取り方によらない。
有限次元線形空間の場合については、線形代数でならっているはずである。実用上はその場
合を知っていればたいてい十分である。無限次元の場合の証明は、基底の存在には Zorn の補
題を使う。濃度の比較も含めて、ここではやらない。
定理 1.2.4. R が零環ではない単位的可換環のとき、自由 R 加群 M の基底の元の個数（より
一般には濃度）は基底の取り方によらない。この数を M のランク (rank, 階数) という。R が
体のときには線形空間 M の次元という。
つづく >>657
つづき
証明. 無限基底のときは、なんだか考えにくいので有限個の基底の場合のみ考えてもらっても
いいです。
R のイデアルで 1 を含まないもの全体は、包含関係に関して空ではない帰納的順序集合とな
る。（0 イデアルがあるから空でない、というところで「零環ではない」という条件を使う。）
従って、Zorn の補題により包含関係に関して極大な 1 を含まないイデアルがあり、これは R
の極大イデアル m をあたえる。
いま、mM で M の元の m 係数一次結合全体を表すと、これは M の部分 R 加群となる。
商 R 加群 M/mM には m は零倍で作用する。従って (R → End(M/mM) の核が m を含むか
ら)M/mM は体 R/m 上の加群となる。ここで、M の基底を一つとると、その M/mM にお
ける像が R/m 加群としての基底となることがわかる。(xλ を M の基底としたとき、xλ の像
が M/mM を R 上（R/m 上といっても同値）生成することは自明。一次独立性だが、mM の
元を xi の一次結合で書くと定義から 芭ixi (mi ∈ m) と一通りに書ける。いま、R の元の
R/m への像、M の元の M/mM への像を a￣ であらわすと、蚤￣ix￣i = 0 ならば 蚤ixi ∈ mM,
上の注意により ai ∈ m で a￣i = 0。)
従って、基底の元の個数（濃度）は、M/mM の体 R/m 線形空間の一つの基底の元の個数
に一致する。（上の体に関する基底の定理から）それは基底の取り方によらない。
（ところで、細かいことですが、R が零環だと R 加群は零加群しかありません。そこには
{0} という一元からなる基底と、空集合という０個の元からなる基底があり、個数の一意性が
成り立ちません。）
こうして、自由 R 加群の同形類は、濃度と一対一となる。特に、有限生成自由 R 加群の同
形類は階数により自然数と一対一。（自然数は 0 を含むとする。）
ねじれ元。R 加群 M の元 x に対し、その annihilator
Ann(x) = {a ∈ R | ax = 0}
が {0} でないとき x をねじれ元という。< x >R が R と同形でない、と言っても同じ条件。
R が整域なら、ねじれ元の全体が部分 R 加群をなす。ねじれ部分 (torsion part) という。
(引用終り)
以上 >>655 補足
(引用開始)
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
自由加群とは：「基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群」（下記環上の加群より）
また、自由加群wikipedia：加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である
ですか。なるほど。取りあえず、”圏”は無視で良さそうかな？（＾＾；
(引用終り)
下記「単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理(173KB, 13/01/31) MATHEMATICS.PDF よしいず」
”M の元 x が自由元であるとは, 任意の r ∈ R に対して,rx = 0M =⇒ r = 0R が成り立つときにいう.
M の元 x が自由元であることと, x が R 上 1 次独立であることは同じ意味である.
M の元 x がねじれ元であるとは, 自由元でないときにいう. ”
参考になるな。自由は"free "の訳語だが、"free "には、ただ（只）とか、ある性質が存在しないときにも使う
”ねじれ”が、"free "なのかもね
構造定理の［補題 4.2］の証明中に
”p は R の素元
=⇒ pR は R の素イデアル
=⇒ pR は R の極大イデアル
=⇒ K = R/pR は体”
と出てくるので、ここらを使うと、
「環 R が体である必要十分条件はすべての R 加群が自由加群であることである」が言えそうかな
で、これの斜体版が成立するのかも
補足
「2 零化域」とか、「T(M) ： M のねじれ部分」とRの関係（定理 1.1～6）などを、しっかり理解すると、いいのかもね（＾＾；
つづく >>659
つづき
（参考）
https://mathematics-pdf.com/pdf/
MATHEMATICS.PDF よしいず
トップページ > PDF形式の数学ノート
https://mathematics-pdf.com/pdf/structure_thm_of_finitely_generated_modules_over_a_pid.pdf
単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理(173KB, 13/01/31) MATHEMATICS.PDF よしいず
(抜粋)
1 ねじれ加群
R を可換環とし, 0R を R の零元, 1R を R の単位元とする.
また, M を R 加群とし, 0M を Mの零元とする.
M の元 x が自由元であるとは, 任意の r ∈ R に対して,rx = 0M =⇒ r = 0R が成り立つときにいう.
M の元 x が自由元であることと, x が R 上 1 次独立であることは同じ意味である.
M の元 x がねじれ元であるとは, 自由元でないときにいう.
すなわち, ある r ∈ R が存在してrx = 0M, r ≠ 0R が成り立つとき, x はねじれ元であるという.
M の零元 0M はねじれ元である. 実際, 1R ・ 0M = 0M である.
［定理 1.1］R を整域, M を R 加群とする. このとき, M のねじれ元全体からなる集合 T(M) は、M の部分 R 加群である. T(M) を M のねじれ部分という.
［定理 1.3］R を整域, M を R 加群とする. このとき, 剰余 R 加群 M/T(M) はねじれがない.
［定理 1.4］整域上の自由加群はねじれがない.
［定理 1.5］R を単項イデアル整域とする. このとき, ねじれがない有限生成 R 加群は階数有限の自由 R 加群である
［系 1.6］R を単項イデアル整域とし, M を有限生成 R 加群, T(M) を M のねじれ部分とする.
このとき, 剰余 R 加群 M/T(M) は階数有限の自由 R 加群である.
つづく >>660
つづき
2 零化域
可換環 R 上の加群 M の元 x に対して,
AnnR(x) = {r ∈ R | rx = 0M}
を x の零化域という. R 自身を R 加群とみなしたとき, AnnR(x) は, R 加群の準同型
R → M, r |→ rx
の核である. よって, AnnR(x) は R の部分 R 加群であり, それはまさに R のイデアルである.
AnnR(x) が R の零イデアルであることと, x が M の自由元であることは同値である. また,
AnnR(x) = R であることは, x = 0M であることと同値である.
R が単項イデアル整域のとき, AnnR(x) は R の単項イデアルであり, ある 1 個の元によって生
成される.
3 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
4 構造定理の一意性を示すための補題
［補題 4.2］R を単項イデアル整域とし, p を R の素元とする. このとき, R 加群としての同型
略
が成り立てば, u = u’ である.
［証明］
略
K = R/pR とおく
略
Ku は K 加群になる. 同様にして, Ku’も K 加群になる.
R は単項イデアル整域であるから,
p は R の素元
=⇒ pR は R の素イデアル
=⇒ pR は R の極大イデアル
=⇒ K = R/pR は体.
参考文献
[1] 彌永昌吉, 有馬哲, 浅枝陽: 詳解代数入門, 東京図書, 1990.
[2] 松坂和夫: 代数系入門, 岩波書店, 1976.
[3] 森田康夫: 代数概論, 裳華房, 1987.
(引用終り)
以上
まあ、要するに、零因子は（可換）環の構造を理解する上で、結構重要でありまして
（上記では、ねじれ部分関連）
それは、逆元の存在と密接に繋がっているようです
（”整域”などと繋がっている（”整域”なら、乗法単位元1を導入して、逆元も作れるし）） >>661
私見を入れるなと言ってるのが分らんか？トンデモ野郎 >>659
>参考になるな。自由は"free "の訳語だが、"free "には、ただ（只）とか、ある性質が存在しないときにも使う
>”ねじれ”が、"free "なのかもね
下記も、ご参考
"free "は、日本語の”自由”よりも、意味の範囲が広いんだね
https://en.wikipedia.org/wiki/Free_object
Free object
(抜粋)
In mathematics, the idea of a free object is one of the basic concepts of abstract algebra. It is a part of universal algebra, in the sense that it relates to all types of algebraic structure (with finitary operations). It also has a formulation in terms of category theory, although this is in yet more abstract terms. Examples include free groups, tensor algebras, or free lattices. Informally, a free object over a set A can be thought of as being a "generic" algebraic structure over A: the only equations that hold between elements of the free object are those that follow from the defining axioms of the algebraic structure.
Definition
Free objects are the direct generalization to categories of the notion of basis in a vector space. >>664
「捩れ (代数学)」
”環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。”
”環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。”
”加群に対して
・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A9%E3%82%8C_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
捩れ (代数学)
(抜粋)
捩れ（ねじれ、英: torsion）は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。
加群に対して
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元[注 1] r が存在して、m を零化する、すなわち r?m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という[3][注 2]。加群 M の捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。
環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が M の部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 R が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環（英語版）であることと、t(M) がすべての右 R 加群に対して M の部分加群であることとは同値である[4]。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。
つづく >>665
つづき
より一般的に、M を環 R 上の加群とし、S を R の積閉集合とする。このとき標準的な写像 M → MS の核を tS(M) と表す。tS(M) = M のとき、つまり M のすべての元 m は、S のある元 s によって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる[5]。また tS(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 R の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。
加群に対して
・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。
「有限生成加群」
”単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。
これはPID上の有限生成加群の構造定理の結果である。
その基本的な形は、PID 上の有限生成加群はねじれ加群と自由加群の直和であるというものである。”
つづく >>665
つづき
”単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%94%9F%E6%88%90%E5%8A%A0%E7%BE%A4
有限生成加群
有限生成加群（ゆうげんせいせいかぐん、英: finitely generated module）とは、有限な生成集合をもつ加群のことである。有限生成 R-加群はまた有限 R-加群 (finite R-module, module of finite type) や R 上有限 (finite over R) とも呼ばれる[1]。
関連した概念に、有限余生成加群 (finitely cogenerated module)、有限表示加群 (finitely presented module)、有限関係加群 (finitely related module)、連接加群 (coherent module) があり、これらはすべてあとで定義される。ネーター環上では、有限生成、有限表示、連接加群の概念は一致する。
たとえば体上の有限生成加群とは単に有限次元ベクトル空間であり、有理整数環上の有限生成加群とは単に有限生成アーベル群である。
定義
左 R-加群 M が有限生成とは、M の元 a1, a2, ..., an が存在して、すべての M の元 x に対して、R の元 r1, r2, ..., rn が存在して、x = r1a1 + r2a2 + ... + rnan となることである。
この場合、集合 {a1, a2, ..., an} は M の生成集合と呼ばれる。有限個の生成元は基底である必要はない、なぜならそれらは R 上一次独立である必要はないからだ。より圏論的な特徴づけとしては次がある。M は有限生成であるのは、ある自然数 n に対して全射 R-線型写像
R^{n}→ M
が存在する（つまり M は有限ランクの自由加群の剰余加群である）とき、かつそのときに限る[2]。
加群 M の部分集合 S が有限生成部分加群 N を生成すれば、N の有限個の生成元は S からとってくることができる（なぜなら S の高々有限個の元しか有限個の生成元を表現するのに必要ないからである）。
任意の加群は有限生成部分加群の増大列の和集合である。
加群 M が体 R 上のベクトル空間であり生成集合が一次独立な場合には、n は well-defined で M の次元と呼ばれる（well-defined は任意の一次独立な生成集合は n 個の元をもつという意味である。これはベクトル空間の次元定理である）。
つづく >>667
つづき
いくつかの事実
有限生成加群の部分加群は一般には有限生成でない。例えば、可算個の変数をもつ多項式環 R = Z[X1, X2, ...] を考えよう。R 自身は有限生成 R-加群である（{1} が生成集合）。定数項が 0 の多項式すべてからなる部分加群 K を考えよ。すべての多項式は係数が0でないような有限個の項のみからなるから、R-加群 K は有限生成でない。
一般に、加群は、すべての部分加群が有限生成であるときにネーター加群と呼ばれる。ネーター環上の有限生成加群はネーター加群である（実はこの性質がネーター環を特徴づける）。ネーター環上の加群が有限生成であるのはそれがネーター加群であるとき、かつそのときに限る。これはヒルベルトの基底定理と似ているが、同じではない。これはネーター環 R 上の多項式環 R[X] はネーター環であるというものである。いずれの事実によってもネーター環上の有限生成代数はまたネーター環である。
より一般に、代数（例えば環）は有限生成加群であれば有限生成代数（英語版）である。逆に、有限生成代数が（係数環上）整であれば、有限生成加群である。（詳細は整拡大参照。）
可換環上の有限生成加群
可換環 R 上の有限生成加群に対して、中山の補題は基本的である。ときどき補題によって有限生成加群に対して有限次元ベクトル空間的な減少を証明することができる。
可換代数 A が R 上有限生成環 (finitely generated ring) であるとは、A の元の集合 G = {x1, ..., xn} が存在して G と R を含む A の最小の部分環 は A 自身であるということである。環の積を元を結合するのに使ってもよいので、単に G の元の R-線型結合以上のものが生成される。例えば、多項式環 R[x] は環として {1,x} で有限生成されるが、加群としてではない。
つづく >>668
つづき
生成ランク
単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。
これはPID上の有限生成加群の構造定理の結果である。
その基本的な形は、PID 上の有限生成加群はねじれ加群と自由加群の直和であるというものである。
しかしそれは直接次のようにも示せる。
M を PID A 上捩れなし有限生成加群とし、F を極大自由部分加群とする。
f を A の元であって fM⊂ F とする。
このとき fM は自由加群の部分加群で A は PID なので自由である。
しかし今 f:M→ fM は M が捩れなしだから同型である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%B1%80%E6%89%80%E5%8C%96
環の局所化
(抜粋)
環の局所化（きょくしょか、英: localization）あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient)[注 1] は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 R とその部分集合 S が与えられたとき、環 R' と R から R' への環準同型を構成して、S の準同型像が R' における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、R' が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 R の部分集合 S による局所化は S?1R で表され、あるいは S が素イデアル {p}}} {p}} の補集合であるときには R_ {p}}}R_{{ {p}}}} で表される。S?1R のことを RS と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。
局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある。
つづく >>669
つづき
用語について
「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。R はある幾何学的対象（代数多様体）の上で定義された函数環とする。この多様体を点 p の近傍で「局所的に」調べようとするならば、p の近傍で 0 でないような函数全体の成す集合 S を考えることになる。その意味で、R を S に関して局所化して得られる環 S?1R は p の近傍における V の挙動についての情報のみをふくんでいる（局所環も参照）。
数論および代数的位相幾何学において、数 n「における」環や空間とか、n から「遠い」などという言及をすることがある。「n から遠い」("away from n") の意味は、「その環の中で n が可逆」（従って、Z[1/n]-代数になる）ということである。例えば、体については「素数 p から遠い」と言えば「その体の標数は p と異なる」という意味になる。Z[1/2] は「2 から遠い」が F2 や Z はそうではない。
形式的な構成
単元の積はふたたび単元であり、環準同型は積を保つことから、局所化に用いる S は R の乗法モノイドの部分モノイドであることが求められる。すなわち、S は 1 を含み、s, t が S の元ならば st もやはり S に含まれる。環 R のこのような性質を持つ部分集合を乗法的集合（乗法系）あるいは積閉集合（乗法的閉集合）と呼ぶ。
環 R が整域である場合には、局所化は容易に構成することができる。0 が単元となるような環は自明な環 {0} のみであるから、S に 0 が含まれるときには、局所化 S?1R は必ず {0} となる。それ以外の場合には、R の商体 K を利用することができる。すなわち、S?1R として、商体 K の部分環であって、R の元 r と S の元 s によって r/s の形に表される元全体になっているものをとればよい。この場合、自然写像 R → S?1R は標準的な埋め込みであり、特に単射になる（一般の場合にはこれは保証されない）。例えば、二進分数（英語版） の全体は、整数環 Z の 2 冪全体の成す積閉集合に関する局所化である。この場合 S?1R が二進小数の全体で R が整数全体、S は 2 冪の全体であって、R から S?1R への自然写像は単射である。
つづく >>670
つづき
一般の可換環に対しては商体は存在しないのだけれども、それでも S の元を分母に持つような「分数」からなる局所化を構成することは可能である。整域の場合とは対照的に、分子と分母を安全に「約分」できるのは、S の元の寄与の分だけである。
環の局所化の普遍性
環準同型 j : R → S?1R は S の各元を S?1R の単元に写し、かつ f: R → T を別の環準同型で S の各元を T の単元に写すものとすれば、環準同型 g: S?1R → T で f = g ? j を満たすものがただ一つ存在する。
この普遍性を圏論の言葉で書けば次のようになる。環 R とその部分集合 S をとり、R 上の多元環 A で標準準同型 R → A のもと S の各元が A の単元となるようなもの全体の成す集合を考える。この集合の元を対象とし、R-線型写像を射として圏が定まり、この圏の始対象を R の S における局所化と呼ぶ。
例
整数環を Z, 有理数体を Q と表す。
・可換環 R が与えられたとき、R の非零因子（すなわち、R の元 a であって、a を掛けるという操作が R 上の単射自己準同型となるようなもの）全体の成す集合 S は積閉集合である。このときの環 S?1R は R の全商環と呼ばれ、しばしば Q(R) や K(R) などで表される。この S は R から S?1R への標準準同型が単射となるような積閉集合として最大のものである。さらに R が整域ならば、これは R の商体に他ならない。
・Z/6Z の素イデアルは 2Z/6Z と 3Z/6Z の2つである（したがってクルル次元 0 である）。
これらの極大イデアルによる局所化はそれぞれ F2, F3 であり体である。
実は、可換環が被約かつクルル次元 0 であることと、任意の極大イデアルにおける局所化が体であることは同値である。（さらにこれはフォン・ノイマン正則であることとも同値である。）
つづく >>671
つづき
性質
局所化 S?1R の性質をいくつか挙げる。
・可換環 R と R の素イデアル p に対して、 p の R における補集合 R＼ p は積閉集合で、対応する局所化を R_p であらわす。このとき、 R_p の唯一の極大イデアルは pRp={r/s ｜ r ∈ p, s ∈ R＼p}に等しい[4]。よって R_p は局所環である。
・S?1R = {0} となる必要十分条件は S が零元 0 を含むことである[2]。
・環準同型 R → S?1R が単射である必要十分条件は S が零因子を含まないことである。
非可換の場合
非可換環の局所化はより難しく、単元を持つことが見込まれる集合 S の中にも局所化が存在しない場合がある。局所化の存在を保証する条件の一つにオアの条件（英語版） がある。
非可換環が局所化を持つ場合で、明らかに興味の対象となるのが、微分作用素の環の場合である。局所化によって、例えば、微分作用素 D の形式逆元 D?1 を解釈することができる微分方程式に対する D?1 の解釈はいろいろなやり方が様々な文脈で行われるが、局所化の方法による解釈は超局所解析 (microlocal analysis) と呼ばれる、いくつかの分野にわたる大きな数学的理論を形成している。接頭辞 micro- は特にフーリエ理論とも関連がある。
(引用終り)
以上 >>664 追加
ベクトル空間、体、基底 について
この関係は、あまり詳しく書いてないですね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、英: vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、英: linear space）は、ベクトル（英: vector）と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（スカラー乗法）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。
定義
「体 F 上のベクトル空間 V 」とは、後に述べるような、二種類の演算を備えた集合 V のことである。ベクトル空間 V の元はベクトル (英: vector ) と呼ばれる。体 F は係数体 (英: coefficient field, scalar field ) と呼ばれる。係数体 F の元はスカラー (英: scalar ) あるいは係数 (英: coefficient ) と呼ばれる。ここではベクトルをスカラーから区別するために、ベクトルは太字で表す[nb 1]。
基底と次元
詳細は「基底」および「次元」を参照
基底は簡明な方法でベクトル空間の構造を明らかにする。
基底とは、適当な添字集合で添字付けられたベクトルの（有限または無限）集合 B = {vi}i ∈ I であって、それが全体空間を張るもののうちで極小となるものを言う。
歴史
ベクトル空間は、平面や空間に座標系を導入することを通じて、アフィン空間から生じる。1636年ごろ、ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーは、二変数の方程式の解と平面曲線上の点とを等化して、解析幾何学を発見した[4]。座標を用いない幾何学的な解に到達するために、ベルナルド・ボルツァーノは1804年に、点同士および点と直線の間の演算を導入した。これはベクトルの前身となる概念である[5]。
つづく >>673
つづき
加群
詳細は「環上の加群」を参照
ベクトル空間が体に対するものであるように、加群 (英: modules) の概念は環に対するものである。これはベクトル空間の公理において体 F とするところを環 R で置き換えることで得られる[101]。加群の理論はベクトル空間のそれと比べて（環の元に必ずしも乗法逆元が存在しないことで）より複雑なものになっている。
関連項目
・ベクトル空間代数（英語版） - 体の概念を予め要求せずにベクトル空間を定義する、ベクトル空間の抽象代数学的取扱い。
https://mathoverflow.net/questions/32397/vector-spaces-without-natural-bases
Vector spaces without natural bases Mar 29 '16 at 22:39
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
定義
（実数全体 R や複素数全体 C のような）体 F 上の線型空間 V の基底 B とは、V の線型独立な部分集合で、V を張る（生成する）ものを言う。より具体的には、B = {v1, …, vn} をベクトル空間 V の有限部分集合とするとき、B が基底であるとは、条件として
線型独立性
a1, …, an ∈ F に対して a1v1 + … + anvn = 0 が成り立つならば、a1 = … = an = 0 でなければならない。
全域性
V のどんな元 x も、適当な a1, …, an ∈ F を選んで x = a1v1 + … + anvn が成り立つようにできる。
を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ai は基底 B に関する x の座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。
(引用終り)
以上 >>674 補足
”質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？”
余談ですが、実数体Rベースの有限次元ベクトル空間だと、基底は必ずあるのですね
Rが体や斜体ではない一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね
なるほど
（参考）
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2010/linear2/
線形代数学第二B （2010年度） 山田光太郎 2011年2月11日
講義資料
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2010/linear2/20101111.pdf
線形代数学第二B 講義資料5 山田光太郎 東工大 2010 年11 月11 日(2010 年11 月11 日訂正)
(抜粋)
P7
5.3 例
前回みたように
F = {f | f は R 上で定義された実数値関数全体 }
は R 上の無限次元ベクトル空間となる．
P3
質問： F について，F ∋ fk(x) = x^k としたとき√x がf の（原文ママ，"fk の" ということか）線形結合で書けない
のは√x がR 上全体で定義されていないからですか？
お答え： いいえ．f(x) = e^x で定まるf ∈ F も{fk; k = 0,...,N} の線形結合では表せません．
質問： 基底の存在しないベクトル空間とは要するにRn (n = 1) のことですか？どんなベクトル空間にも基底はあるのが普通ですよね．
お答え： 普通ではありません．この授業で扱うのはほとんどが有限次元，というだけのことです．
そして無限次元ベクトル空間にもいろいろなものがあり，単純にR1 と書くことはほとんどありません．ここでは深入りしませんが．
質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？
お答え： 例をあげたはず．F は基底をもちません． >>675
まず、定義を確認しようね
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2010/linear2/20101104.pdf
定義 4.6 ベクトルの組 {a1, . . . , am} が V の基底であるとは，
• a1, . . . , am は 1 次独立，かつ
• 任意の V の要素は a1,. . . , am の線型結合で表される
注意 4.10. 零空間 {0} でないベクトル空間 V が基底をもたないとき，
V は無限次元であるという．
ベクトル空間 V が無限次元であるための必要十分条件は，
任意個数の 1 次独立な要素をとることができることである．
これ、線形空間の通常の基底の定義と全く異なるから
（通常の定義では無限次元でも基底が存在する）
違いが分からない馬鹿が、クソをミソだと思って食って下痢するｗ >>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
すなわち、（有限または無限の）部分集合 B ⊂ V が基底であるとは、
・任意の有限部分集合 B0 ⊆ B が線型独立性を持つ。
B0={v1, …, vn} として
a1, …, an ∈ F に対して a1v1 + … + anvn = 0 が成り立つならば、
a1 = … = an = 0 でなければならない。
・各 x ∈ V に対して、
適当な有限個のスカラー a1, …, an ∈ F と
ベクトル v1, …, vn ∈ B を選んで
x = a1v1 + … + anvn と表すことができる
（n は x ごとに違ってよい）。
の二条件を満たすことを言う。 ◆yH25M02vWFhP 無限次元の場合の基底の定義も知らず粋がる
馬鹿丸出しｗｗｗｗｗｗｗ >>676
ID:LqiSh/C2さん、どうもです
私の数学メモを読んでくれてありがとう
いま、下記
(>>642より）
>https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring
>Division ring
>"Relation to fields and linear algebra
>In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
>（ unital/unitary ring、単位的環、単位環 ）
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
>斜体 (数学) division ring
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
(引用終り)
について調べています
自由加群とは、ねじれフリーの加群ということですね
ねじれフリーが、もとのRの加除環性、つまり零因子を持たず、0以外の元に逆元が存在して、積が群になる（＝Rは体又は斜体）ってことに関係しているってこと
つまりは、「零因子を持たず」 と、「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」とが、関係しているってことなのでしょうね～（＾＾； >>681 余談
>https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring
>In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
>斜体 (数学) division ring
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
いま気付いたが、英語版だと A unital ring R、日本語版だと 環 R
英語版の通り、単位的環 つまり 乗法単位元を持つ環とするのが、正解かも（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%9A%84%E7%92%B0
単位的環
(抜粋)
単位的環（たんいてきかん、英: unital/unitary ring）、単位環（たんいかん、英: unit ring）あるいは単位元を持つ環 (ring with unit/unity/identity) は[1]、乗法単位元を持つ環のことを言う。 n≧3とする。縦2*nマス、横2*nマスのチェス盤から白、黒のマス目を１つずつ抜き取った欠損チェス盤で、
ドミノ牌で敷き詰められないものが存在するか。また、白、黒2個ずつ抜き取ったらどうか。
この問題ですが、2部グラフの完全マッチングの問題と考えていいでしょうか？ メモ
https://mathworld.wolfram.com/Endomorphism.html#:~:text=The%20term%20endomorphism%20derives%20from,(with%20surjectivity%20not%20required).
Wolfram MathWorld
Endomorphism
The term endomorphism derives from the Greek adverb endon ("inside") and morphosis ("to form" or "to shape").
In algebra, an endomorphism of a group, module, ring, vector space, etc. is a homomorphism from one object to itself (with surjectivity not required).
https://mathworld.wolfram.com/Homomorphism.html
Wolfram MathWorld
Homomorphism
A term used in category theory to mean a general morphism. The term derives from the Greek omicronmuomicron (omo) "alike" and muomicronrhophiomegasigmaiotasigma (morphosis), "to form" or "to shape." The similarity in meaning and form of the words "homomorphism" and "homeomorphism" is unfortunate and a common source of confusion. >>675
＞Rが一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね
単に◆yH25M02vWFhP が、「一次独立」を全然理解してないだけ
■環上の加群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4
抽象代数学における環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、
係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。
つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、
その元と環の元との間に乗法が定義され、
その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。
Z を有理整数環とすると、Z-加群の概念はアーベル群の概念に一致する。
すなわち、一意的な仕方で任意のアーベル群を Z 上の加群にすることができる。
これには、n > 0 に対して nx = x + x + ... + x（n-項の和）とし、
0x = 0 および (－n)x = －(nx) とおけばよい。
このようにアーベル群を加群と見たものは必ずしも基底を持たない。
実際、ねじれ元を持つような群は基底を持たない
（ただし、有限体をそれ自身の上の加群と見たときは基底を持つ）。
■捩れ（代数元）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A9%E3%82%8C_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
抽象代数学において、捩れ（ねじれ、英: torsion）は、・・・
環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元（＝零因子でない元）r が存在して、
m を零化する、すなわち r m = 0 となるとき、
加群の捩れ元 (torsion element) という。
■自由加群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4
R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
・E は M を生成する。
すなわち、M の任意の元は E の元に R の係数をかけたものの有限和である。
・E は一次独立である。
すなわち、任意の E の互いに異なる有限個の元e1,e2,…,enに対して
r1e1+r2e2+…+rnen=0Mであれば、r1=r2=・・・=rn=0Rとなる。
R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群であるという。
---
>>681
>自由加群とは、ねじれフリーの加群ということですね
自由加群（つまり基底がある）⇒ねじれ元がない がいえる（基底の定義から自明）
しかし逆は即座には言えない
（つまりねじれ元がなくても、基底が存在しない場合があり得る）
自由、とはいかなる（自明でない）関係式も存在しない、という意味
つまりねじれ以外の関係式も存在しない
とはいえ、基底とか一次独立とか知らないとか、
大学全く行ったことないのがバレバレ
（理系大学卒なら、こんなの大学1年の線形代数で習う常識中の常識） >>687
おお、すごいじゃん
勉強してますね
>しかし逆は即座には言えない
>（つまりねじれ元がなくても、基底が存在しない場合があり得る）
この後を聞きたいのだが
つまり、「自由加群（つまり基底がある）⇒ねじれ元がない がいえる（基底の定義から自明）」は良いとして
（>>682より）
>https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring
>In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
>斜体 (数学) division ring
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
(引用終り)
”単位的環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。”
をどぞ、語ってください >>681
＞「零因子を持たず」 と、「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」とが、関係している
まず、一般の環について「零因子を持たない」と「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」は同値ではありません
整数環がいい例です 零因子はありませんが、１とー１以外の元には逆元がありません
Ｚ加群の中にはねじれ元をもつものがある（つまり自由加群でない）ので
そのことからも、Ｚが体でないことが分かります（回りくどいですが） >>689
＞この後を聞きたいのだが
＞つまり、・・・
＞”単位的環 R が斜体である必要十分条件は
＞すべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。”
＞をどぞ、語ってください
以下のpdfの、p216-221
8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS
を読んで見な
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Groups_Rings_Modules_Auslander_Hathitrust.pdf
ま、しかし、大学にも入れない君には決して理解できないよ
だから諦めな 高卒に、代数なんか無理 >>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
>無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
確かに、>>675より
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2010/linear2/20101111.pdf
線形代数学第二B 講義資料5 山田光太郎 東工大 2010 年11 月11 日(2010 年11 月11 日訂正)
(抜粋)
P7
5.3 例
前回みたように
F = {f | f は R 上で定義された実数値関数全体 }
は R 上の無限次元ベクトル空間となる．
P3
質問： F について，F ∋ fk(x) = x^k としたとき√x がf の（原文ママ，"fk の" ということか）線形結合で書けない
のは√x がR 上全体で定義されていないからですか？
お答え： いいえ．f(x) = e^x で定まるf ∈ F も{fk; k = 0,...,N} の線形結合では表せません．
質問： 基底の存在しないベクトル空間とは要するにRn (n = 1) のことですか？どんなベクトル空間にも基底はあるのが普通ですよね．
お答え： 普通ではありません．この授業で扱うのはほとんどが有限次元，というだけのことです．
そして無限次元ベクトル空間にもいろいろなものがあり，単純にR1 と書くことはほとんどありません．ここでは深入りしませんが．
質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？
お答え： 例をあげたはず．F は基底をもちません．
(引用終り)
確かに、この問答は、あまり教育的ではないね
「R 上の無限次元ベクトル空間となる」と、「例をあげたはず．F は基底をもちません」とは、アンマッチだね
「F は”有限”基底をもちません」と言えばよかったね
でも、下記の関数空間に、関係してくるから、深入りしたくなかったのかも
”Hamel(ハメル)基底”とか話をしだすと、収拾つかないと思ったかも
https://math-note.xyz/set-and-topological-space/set-theory/application-of-hamel-basis/#fxyfxfy
あーるえぬ｜数学のあれこれ
ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数 2017/10/16
つづく >>692
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%96%93
関数空間
(抜粋)
概要
関数空間はもとの空間の様々な性質を自然な形で内包しており、素性のよい空間であれば、その関数空間からもとの空間を「復元」することができる。通常、考察の対象となる関数は実数値関数や複素数値関数のように終域を共有するものである。
関数の終域として、必要に応じて特定の体や環といった代数系をとることになるが、それにより関数空間にはベクトル空間や環上の加群の構造があらかじめ与えられていると考えることができる。もとの空間が代数的なものでなくても、関数空間へ移れば代数的な操作を利用した考察が可能となるということが、関数空間を考える動機のひとつである。つまり、関数空間の代数的な性質をもとの空間に還元してやることで、それまでには知られていなかった性質が発見されたり、逆にもとの空間の幾何学的な構造を関数空間に移して考えることで、ある種の代数系の性質が決定されることを知ったりするのである。 [注釈 1]
一般化または追加の構造
・函数環（英語版）: 函数の成す線型空間に積を入れて線型環としたもの
・環付き空間 / 概型: 空間とその上の函数空間を組として捉える見方を抽象化する概念
つづく >>693
つづき
（上記の”函数環（英語版）”のリンクが下記）
https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_function_algebra
Banach function algebra
(抜粋)
In functional analysis a Banach function algebra on a compact Hausdorff space X is unital subalgebra, A of the commutative C*-algebra C(X) of all continuous, complex valued functions from X, together with a norm on A which makes it a Banach algebra.
Theorem: A Banach function algebra is semisimple (that is its Jacobson radical is equal to zero) and each commutative unital, semisimple Banach algebra is isomorphic (via the Gelfand transform) to a Banach function algebra on its character space (the space of algebra homomorphisms from A into the complex numbers given the relative weak* topology).
If the norm on A is the uniform norm (or sup-norm) on X, then A is called a uniform algebra. Uniform algebras are an important special case of Banach function algebras.
(引用終り)
以上 >>690
>まず、一般の環について「零因子を持たない」と「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」は同値ではありません
>整数環がいい例です 零因子はありませんが、１とー１以外の元には逆元がありません
うん
だが、零因子でなければ、逆元を追加できるよね
つまり、整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
だから、”逆元を追加できる”という条件下では、同値？
>>691
ありがと
ちらっと見た
1974か、ちょっと古いけど
Categoryも入っているね（＾＾ >>695
＞整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
＞だから、”逆元を追加できる”という条件下では、同値？
高卒は「同値」という言葉の意味も知らんらしい
整数環は有理数体と同値です！！！とか
脳味噌サナダムシに食われてんのか？
https://www.newsweekjapan.jp/stories/world/2019/06/post-12273.php >>696
必死で誤魔化して逃げようってわけ？ｗ（＾＾ >>697
自演？ 下記か？
>>676 ID:LqiSh/C2 2020/08/25(火)
>>683 ID:8ae+cQFx 2020/08/26(水)
この二つのIDは、日が違うのでIDが別だが、同一人物と見た
彼の名誉のために言っておくが（＾＾；
別人だよ >>696
二行も要らん一行ずつで背反じゃ！
>>695 > 整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
> だから、”逆元を追加できる”という条件下では、同値？
ｽﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟｰﾝ!!!!!!
+ ,, * +
" ＋※" + ∴ * ※ *
* * +※ ﾞ* ※ * ＋
+ "※ ∴ * + * ∴ +
* ※"+* ∵ ※ *"
( Д ) Д)Д))
何で儂が嫌いな第六天(=他化自在天)魔王・猿MaraオナホしごきPapiyas一石を同意どころか支援補強せんと行かんのじゃぁぁぁあああ!?
瀬田氏はネオエクスデスか何かか？『宇宙の法則が乱れる!!』言うんか?!どうやら瀬田氏はグランドクロスはグランドクロスでも
馬鹿と阿呆のグランドクロスの様じゃな!!巫山戯も巫山戯、巫山戯切っとる!!
「知『能』化」無き「知『識』万列」は死蔵が如し！It's a dead stock!! 此んなコピペ万列、ゴミ屋敷じゃ､
しかも瀬田氏の、完全・無欠!!に間違った素人以下の私見添えの所為で茶濁しどころか毒盛りじゃぁぁぁあああ!!
松平健「見苦しいぞ瀬田の守、神妙にせい!!｣ >>695 補足
要するに、
環Rのある元aが”零因子” つまり、ax=0 で、a≠x≠0 となるという条件と(x∈R)
ある元aが”逆元を持つ” つまり、aｙ=1 なるyが存在する(y∈R)
とは、両立しないってことでは
もし、aｙ=ya=1 なら簡単
ax=0 の両辺に左からｙを掛けて
左辺 yax=（ya)x=１ｘ＝ｘ
右辺 y0=0
これは、x≠0 （aｙ=za=1 ならy=zが言えるとか細かい話があるけど略）
”aｙ=1” のみ存在して、”za=1”の方は存在しない場合には、どうなるか（右左の逆もあるが）
そこがいまいち、すっきりしないので、斜体の場合を調べている（可換の場合は、当然 aｙ=ya=1 成立だが ）＊）
注＊）この場合が、上記と同じように言えれば、”零因子” と”逆元を持つ” とは両立しないと言い切れる >>695
>つまり、整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
できません。
2/3∈Qの逆元はZにありません。
Zの全商環を構成すればQになります。 >>676
何をどう納得したか答えて
納得できてなかったものがなぜ瀬田のレスにより納得できたかもね >>702
>>つまり、整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
>できません。
それだけで、体ができるとはいっとらんぞよｗ（＾＾
逆元を加えることができれば、整数環を、四則演算だけで拡張できるということ >>683
何がどう勉強になったのか答えて
勉強にならなかったものがなぜ瀬田のレスにより勉強になったかもね >>704
まあ、かれはあっちこっち
沢山書いているから、なんか書いてくれるだろうよ
但し、一日で書いている時間帯に集中しているので
今日は、書かないかもね >>701 タイポ訂正
これは、x≠0 （aｙ=za=1 ならy=zが言えるとか細かい話があるけど略）
↓
これは、x≠0 に矛盾（aｙ=za=1 ならy=zが言えるとか細かい話があるけど略）
失礼しました（＾＾； >>707 タイポ訂正
但し、一日で書いている時間帯に集中しているので
↓
但し、一日で書いている時間帯が集中しているので 吉宗評判記 暴れん坊将軍
船越英一郎の親父「ぅぅううえっさっんま
小耳に挟んだ所によりますれば、瀬田の守の小倅が近頃、部屋に籠りっ切りに成り、何やら
此の世に於いても彼の世に於いても罷り通らん、謂わば屁の突っ張りにも成らない理屈を世に広めては
既に名の知れた学者たちの偉業とも言うべき知恵を、有ぁぁあろう事か、事有る毎に、間違った伝聞を世に開き､
自身は疎か、藩の顰蹙を買う事態に成って居り、其れを憂いた瀬田の守が、気にしてか腹を切りそうに成った所を
近くに居た家臣たちがどうにか止めたとの話ですぞ。否、儂だったら其んな息子、勘当している所ですぞ!!｣
松平健「うぅむ｣ >>705
>逆元を加えることができれば、整数環を、四則演算だけで拡張できるということ
そんな文学的な説明じゃなくちゃんと定式化してみて
誤解の入る余地が無ければ数学とは呼べない >>703
格安スマホ猿MaraシコシコPapiyas一石のレス>>702が見えんか？
瀬田氏。今迄に何度、死にレスした？ って言うか、働けーーー!!労災で左うちわ中なんじゃ。其の、会社に来てさえすりゃ良い（通院日以外は
出勤して見回るだけの殆ど遊び）の儂を、遥かに超越するレス機会自由度!!オドレ等、何、遊び腐っとるんじゃあああ!!
遊び言うても、社内巡りし、会社創設史上、最多の改善実績挙げとるぞ儂はぁぁぁあああ!!逆に回復するな言う始末!!阿呆か!!
其れに比べオドレ等は…。余りにも世の中をバカにし腐っとる!!乞食じゃ!!非ホームレス型の乞食じゃあああ、働けぇえやぁああ!! >>714
＞働けぇえやぁああ!!
具体的に何すればいい？
◆yH25M02vWFhPは頭使う仕事は無理
ここまで酷い馬鹿は見たことがない
国立大阪大学？嘘つけｗ
知り合いの大阪大学工学部卒の奴に
ここの書き込み見せたらこういってたぞ
「酷い・・・酷すぎる」
確かに馬鹿な奴もいるけどそんなレベルじゃない
工業高校卒か大卒だとしても名前書けば入れるFランクレベルだって して。何故、通院中にも関わらず飲酒禁止されとらんのか？そりゃあ、儂が創傷・手術入院～今に至り
痛み止めさえ不要の無処方治療に因る。手術前中後の点滴麻酔以来の服用無し。結果、医者も呑み仲間入り｡
どうやら儂は、コミュ障の筈が、コミュ障の真逆じゃったらしい｡
呑もうぜぃオドレ等ぁああ もしかすりゃあ阪大卒は嘘じゃ無うかも知れん
阪大（附属病院脳機能未達児教育学級）卒or阪大（附属保育園）卒or阪大（附属幼稚園）卒or阪大（附属小学校）未卒・学歴無し
羅王！天に還る時が来たのだ!!…あ、間違ったアミバだった
北斗!!…残悔積歩拳!! >>713
め~さまは格安ｽﾏﾎｯﾍﾟちゃんなんですか…!
ｴﾓ一緒…!
(д\)ﾟ。嬉ｼｨ…
ｫ蕎麦ｯﾁｬﾏ…ᕼᗩᑭᑭY情報🐣ありがとぅ…
おやすみなさ~ぃ! >>713
…そばちゃま、そちらは、め~さまではないようですよ？…
なりぷっ様かな？って… …一緒ｼﾞｬﾅｶｯﾀ…
(д\)ﾟ。゜
ﾟ。゜
…失礼ｼﾏｽﾀ… またｽﾙﾙｪがﾀﾋんじゃった！
ごめんなさ-ぃ…
|=з め~さま、ｴﾓﾋﾟ-
魔界に還る時が来たよぅです…
今までありがとうございました
もぅｽﾄｰｶｰはしません。
お元気で。お幸せに🍀*゜
みなさまもありがとうございました
🌈ご機嫌よう🌈 >>691
>以下のpdfの、p216-221
> 8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS
>を読んで見な
>https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Groups_Rings_Modules_Auslander_Hathitrust.pdf
ざっと見たよ、面白かった
けど、それ、下記の和文 wikipedia の出典5・参考文献の”Auslander & Buchsbaum”だね
さらに、よく見ると、英文 en.wikipedia にも、面白いリンクがあるね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#CITEREFAuslanderBuchsbaum2004
斜体 (数学)
斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
出典
5.^ Auslander & Buchsbaum 2004, p. 221, Theorem 6.8.8.
参考文献
・Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. MR0366959. Zbl 0325.13001
https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring
Division ring
In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]
Notes
7^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; a proof can be found here
https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
rings whose every module is free Author joking (16130)
Last modified on 2013-03-22
(抜粋)
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. □
Remark. Note that this proof can be dualized to the case of right modules and thus we obtained that a unital ring R is a divison ring if and only if every right R-module is free.
External links
・Grillet's Abstract Algebra, section VIII.5's characterization of division rings via their free modules.
https://math.stackexchange.com/questions/75866/every-r-module-is-free-implies-r-is-a-division-ring 元祖嘲笑ぷっ記述者は猿の女人格
猿自身の女性的欲求つまりオカマ人格なのか嫁なのか姉妹なのかは儂にも見通せない あほらし
そもそも、全ては>>134より
「まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」
から始まった
正方行列を、「逆元を持つ正方行列」あるいは「可逆な正方行列」あるいは「行列式が０でない正方行列」
とでも書けば良かったのだろうが、コンテキストが群だから、逆元を持つのは、デフォルト
つまり、”デフォルト”は、黙示的に指定されている。群なら、”逆元を持つのは、デフォルト”
で、ウルサイから、正方行列に零因子が存在することくらい当然で常識でと、>>149を投稿した（旧高校数学Cも引用してね）
（要は、正方行列に零因子が存在して、それを除外する話でしょという趣旨でね）
で、おサルは、>>160で「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」と来たもんだ
？ ”逆元を持つ”と、正方行列の零因子は、密接な関係（裏表の関係）じゃんかって話で、
正方行列から、一般の環Rでどうなるという話で、いまに至る。この話は、結構面白い（＾＾
で、有理数体Qの話(>>695)も同じで、整数環Zにおいて、0以外の任意の整数ｎの逆元1/nを導入して、四則演算で閉じるようにすれば、Qになる
（一貫）中学か高校レベルの常識で、それ”デフォルト”ですよ（>>705） >>726
>正方行列を、「逆元を持つ正方行列」あるいは「可逆な正方行列」あるいは「行列式が０でない正方行列」
>とでも書けば良かったのだろうが、コンテキストが群だから、逆元を持つのは、デフォルト
>つまり、”デフォルト”は、黙示的に指定されている。群なら、”逆元を持つのは、デフォルト”
その理屈が通らないことは他ならぬ君の引用がことごとく正則行列（可逆行列）となっていることが示している。
そりゃそうだ、正方行列なんて書いたら速攻で炎上必至だから。 >>726
>で、おサルは、>>160で「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」と来たもんだ
群の話してるのに環でしか意味を為さない零因子を持ち出したら、
「なんかまたトンチンカンなこといってるな」
と返されて当然では？ >>726
>で、有理数体Qの話(>>695)も同じで、整数環Zにおいて、0以外の任意の整数ｎの逆元1/nを導入して、四則演算で閉じるようにすれば、Qになる
>（一貫）中学か高校レベルの常識で、それ”デフォルト”ですよ（>>705）
ここは数学板ですから文学はやめて下さいね。
きちんと命題と証明を書きましょう。 >>726
＞そもそも、全ては>>134
＞「まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
＞ 群は基本的に非可換だよ」
＞から始まった
そして、どこにも環とか体とか出てこない
環ガー、体ガーといってるのはおまえだけｗ
＞正方行列を、
＞「逆元を持つ正方行列」あるいは
＞「可逆な正方行列」あるいは
＞「行列式が０でない正方行列」とでも
＞書けば良かったのだろうが
「書けばよかった」ではなく
「書かなければいけなかった」
＞コンテキストが群だから、逆元を持つのは、デフォルト
「コンテキスト」「デフォルト」が誤り
群の定義（デフィニション）に、逆元の存在が書かれてるから
逆元が存在しない元まで含めたら、定義に反する
というのは我々数学科で数学を学んだ人間全員一致の絶対に正しい指摘
つまり、おまえは数学を学ばなかった野獣であり駆除対象の絶対悪ｗ >>726
＞で、ウルサイから、
根本的な誤りの指摘に「ウルサイ」という貴様が不遜
だから人間失格の野獣は困る 人間の知性を全否定しやがる絶対悪
＞正方行列に零因子が存在することくらい当然で常識
＞と、>>149を投稿した（旧高校数学Cも引用してね）
後だしのいいわけするな
貴様が高校数学で落ちこぼれたのは明らか
＞（要は、正方行列に零因子が存在して、
＞ それを除外する話でしょという趣旨でね）
除外は読み手がすることではない
書き手である貴様が真っ先にやるべきことなのだ
覚えとけ 人間失格の野獣🐎🦌！！！ >>726
＞”逆元を持つ”と、正方行列の零因子は、密接な関係（裏表の関係）じゃんか
整数環Zにより真正面から否定されるトンデモ主張ｗｗｗｗｗｗｗ
＞整数環Zにおいて、0以外の任意の整数ｎの逆元1/nを導入して、
＞四則演算で閉じるようにすれば、Qになる
後出しは貴様の負けを示す自爆発言
導入が必要なこと自体、貴様の「零因子がなければ斜体！」説の誤りを示すもの
ついでにいえば、ただ整数の逆元のみを導入してもダメ
要するに貴様は後から後から言い訳する毛深い野獣の🐎🦌野郎
人間にある筈の論理的思考力（理性）が完全に欠如している 馬鹿は自分が定義を理解していなかった言い訳で
「コンテキスト」とか「デフォルト」とかいう横文字
を喚き散らす癖をやめろ みっともないぞｗ
ついでにコンテキストとデフォルトをそれぞれ日本語に訳せ
日本人ならできるだろ さあやれ！ｗ 野獣◆yH25M02vWFhP の誤り
１．正則行列というところを正方行列といった
（任意の正方行列に逆行列があると誤解してたｗ）
２．逆行列の存在条件として行列式が零でないといえばいいところを
何をトチ狂ったか「零因子でない」とかいいだした
（行列式をまったく知らなかったｗ）
３．群論の話なのに、無意味に環論とか体論とか持ち出し
「一般の環で、零因子でなければ可逆元！」とか
「一般の環で、零因子だけ取り除けば斜体の出来上がり！」とか
素人感丸出しのトンデモ発言連発
（群論だけで閉じとけば、こんな馬鹿発言で恥さらすことなかったｗ） >>724 追加
(引用開始)
Notes
7^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; a proof can be found here
https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
rings whose every module is free Author joking (16130)
Last modified on 2013-03-22
(引用終り)
これ読んだ。疑問氷解！
”Thus the only left ideals in R are 0 and R. Now let x∈R. Then Rx=R, so there exists β∈R such that
βx=1.
Thus every element is left invertible. But then every element is invertible. Indeed, if βx=1 then there exist α∈R such that αβ=1 and thus
1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ,
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. □”
なるほど、
”every element is left invertible. Indeed, if βx=1 ”を言って
↓
”then there exist α∈R such that αβ=1”が言えて
↓
”1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ,
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. ”
と繋がるんだね
βx=1とか、αβ=1とかを取ってくるのが、証明のキモだ
あと、”Now let x∈R. Then Rx=R, so there exists β∈R such that
βx=1.”もうまい。
これ、>>481 の” 0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える。
明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。”に類似している
>>481でも、ここから”したがって1∈(a)となる（Iは”1”を含むがキモ）”を導いたんだ
（上記、”let x∈R. Then Rx=R” と、”0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える”とが、類似）
チャート式風でいえば、”0でない元を取る”ですね
”then there exist α∈R such that αβ=1”が言えて
↓
”1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ,
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. ”
も、頻出テクっぽいな >>736 追加
https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
rings whose every module is free Author joking (16130)
Last modified on 2013-03-22
この前半の証明も良いね～
”Recall that if R is a (nontrivial) ring and M is a R-module, then (nonempty) subset S⊆M is called linearly independent if for any m1,…,mn∈M
and any r1,?,rn∈R the equality
r1・m1+…+rn・mn=0
implies that r1=…=rn=0. If S⊆M is a linearly independent subset of generators of M, then S is called a basis of M.
Of course not every module has a basis (it even doesn’t have to have linearly independent subsets).
R-module is called free, if it has basis.
In particular if R is a field, then it is well known that every R-module is free.
What about the converse?
Proposition. Let R be a unital ring. Then R is a division ring if and only if every left R-module is free.
つづく >>737
つづき
Proof. ,,⇒” First assume that R is a divison ring.
Then obviously R has only two (left) ideals, namely 0 and R
(because every nontrivial ideal contains invertible element and thus it contains 1, so it contains every element of R).
Let M be a R-module and m∈M such that m≠0.
Then we have homomorphism of R-modules f:R→M such that f(r)=r・m.
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal).
It is clear that this implies that {m} is linearly independent subset of M.
Now letΛ={P⊆M??P is linearly independent}.
Therefore we proved that Λ≠Φ.
Note that (Λ,⊆) is a poset (where ,,⊆” denotes the inclusion) in which every chain is bounded. Thus we may apply Zorn’s lemma.
Let P0∈Λ be a maximal element in Λ.
We will show that P0 is a basis (i.e. P0 generates M).
Assume that m∈M is such that m not∈P0.
Then P0∪{m} is linearly dependent (because P0 is maximal)
and thus there exist m1,?,mn∈M and λ,λ1,?,λn∈R such that λ≠0 and λ・m+λ1・m1+?λn・mn=0.
Since λ≠0, then λ is invertible in R (because R is a divison ring)
and therefore m=(?λ?1λ1)・m1+?+(?λ?1λn)・mn.
Thus P0 generates M, so every R-module is free.
This completes this implication.”
(引用終り)
なるほどね
この証明は、味わい深いですね～
つづく つづき
”Then we have homomorphism of R-modules f:R→M such that f(r)=r・m.
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal). ”
のところ、下記の
「しばしば、スカラーの作用を fr のような形に書くこともあり、もちろん fr(x) = rx なのだが、このように書くと f を R の各元 r を対応する作用素 fr へ移す写像とみることもできて、たとえば先ほどの加群の公理の最初の条件は fr が M 上の自己準同型となることを述べていて、残りの条件は f が R から自己準同型環 End(M) への環準同型となることを要請するものになっている。」
と符合しているのだが、自己準同型環 End(M)で、Endomorphism（準同型）という用語（>>685ご参照）だが
上記では、”homomorphism”なのです。群論などだと、”homomorphism”が多い気がする
R-加群では、End(M)が多いのかな（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4
環上の加群
(抜粋)
環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。
任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。
加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。
つづく >>739
つづき
動機
環上の加群はベクトル空間に比べてかなり複雑である。たとえばどんな加群でも基底を持つわけではないし、基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群であっても基礎環（係数環）が不変基底数条件を満足しないならば階数も一意ではない。これはベクトル空間が（選択公理を仮定すれば）常に基底を持ち、基底の濃度が常に一定となることと対照的である。
厳密な定義
厳密な定義
環 R 上の左 R-加群もしくは R-左加群とは、アーベル群 (M, +) とスカラー乗法と呼ばれる作用 R × M → M の組であって、その作用（通常は、r ∈ R と x ∈ M に対して x のスカラー r-倍を単に文字を併置して rx と記す）は、r, s ∈ R, x, y ∈ M は任意として、条件
略
を満足するものでなければならない（最後の条件は R が乗法単位元を持つときで、それを 1R で表している。環が単位的であることを仮定しない文脈では、R-加群の定義においてこの最後の条件も課されず、特にこの条件をも満足することで定まる構造を単位的左 R-加群、単型 R-左加群などと呼んで区別する。本項では用語の一貫性を図るため、特に断りの無い場合は環も加群も単位的であると仮定する）。
しばしば、スカラーの作用を fr のような形に書くこともあり、もちろん fr(x) = rx なのだが、このように書くと f を R の各元 r を対応する作用素 fr へ移す写像とみることもできて、たとえば先ほどの加群の公理の最初の条件は fr が M 上の自己準同型となることを述べていて、残りの条件は f が R から自己準同型環 End(M) への環準同型となることを要請するものになっている。すなわち、環上の加群とは環作用を持つアーベル群のことである（群作用あるいは作用も参照）。この意味では、環上の加群の理論は群の（あるいは同じことだが群環の）ベクトル空間における作用を扱う群の表現論（線型表現論）の一般化である。
(引用終り)
以上 >>739 補足
”Then we have homomorphism of R-modules f:R→M such that f(r)=r・m.
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal). ”
のところ
Then we have endomorphism(自己準同型) of R-modules f:M→M such that f(r)=r・m.
の方が、wikipedia 環上の加群の記述と合いますかね
こちらが、正解かな？
ker(f)の議論とも合いそうだ >>738 補足
https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
rings whose every module is free Author joking 2013-03-22
(抜粋)
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal).
It is clear that this implies that {m} is linearly independent subset of M.
Now letΛ={P⊆M｜P is linearly independent}.
Therefore we proved that Λ≠Φ.
Note that (Λ,⊆) is a poset (where ,,⊆” denotes the inclusion) in which every chain is bounded.
Thus we may apply Zorn’s lemma.
Let P0∈Λ be a maximal element in Λ.
We will show that P0 is a basis (i.e. P0 generates M).
Assume that m∈M is such that m not∈P0.
Then P0∪{m} is linearly dependent (because P0 is maximal)
and thus there exist m1,・・・,mn∈M and λ,λ1,・・・,λn∈R such that λ≠0
and λ・m+λ1・m1+・・・λn・mn=0.
Since λ≠0, then λ is invertible in R (because R is a divison ring)
-and therefore m=(-λ^-1λ1)・m1+・・・+(-λ^-1λn)・mn.
Thus P0 generates M, so every R-module is free.
(引用終り)
”Thus we may apply Zorn’s lemma.
Let P0∈Λ be a maximal element in Λ.
We will show that P0 is a basis (i.e. P0 generates M).”
これも、常用の筋ですね。
Assume that m∈M is such that m not∈P0.
から、Since λ≠0, then λ is invertible in R (because R is a divison ring)（ここで逆元を使っている）
より、m=(-λ^-1λ1)・m1+・・・+(-λ^-1λn)・mn.とするのも鮮やかです。見事です
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題
(抜粋)
命題 (Zorn の補題)
半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ
ZF集合論において、ツォルンの補題は整列可能定理や選択公理と同値である
線型代数においては基底の存在を、
代数学においては全てのゼロでない環は極大イデアルを持ち、任意の体における代数的閉包の存在をそれぞれ証明する際に使われる ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、
ジューコフスキー変換で算出した座標に適用しても元の座標に戻りませんでした。
ジューコフスキー変換の逆変換について詳しく説明してるウェブなど、
何らかのアドバイスがあったらレスください。 >>742 補足
”[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明”：下記、>>742の証明とほぼ同じ筋です
https://math-note.xyz/set-and-topological-space/set-theory/existence-of-basis/
あーるえぬ｜数学のあれこれ
[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明 2020/3/15
(抜粋)
Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理であり，Zornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができる．
例えば，この記事で扱う
ベクトル空間における基底
Hamel基底
の存在は両者ともZornの補題によって証明することができる．
なお，Hamal基底のイメージなどについては以下の記事でも説明しているので参照されたい．
目次
1 Zornの補題
2 基底の存在の証明
2.1 ベクトル空間の基底とその存在証明
2.2 Hamel基底とその存在証明
3 参考文献
ベクトル空間の基底とその存在証明
[証明]
Fを体，Vを{0}でないF上のベクトル空間とする．このVが基底をもつことを示す．
次をみたすVの部分集合Bの族をΒとする：任意の有限個のb1,...,bn∈Bに対して，b1,...,bnは線型独立である．
Step.1
Bが包含に関して極大元をもつことを示す．
集合族は包含関係に関して順序集合となることは，上の命題で示した．また，Vは{0}ではないから，v∈V＼{0}が存在する．
このとき，集合{v}からとれる有限個の元はvのみであり，vは線型独立だから，Βは空でない．
よって，あとはΒが帰納的であることを示せば，[Zornの補題]によりΒは包含に関して極大元をもつことが分かる．
Step.2
Βの包含に関する極大元がVの基底となることを背理法により示す．すなわち，Βの包含に関する任意の極大元をBとし，Bの有限個の元の線形結合で表せないv∈Vが存在するとして矛盾を導く．
Hamel基底とその存在証明
Hamel基底は体Q上のベクトル空間Rの基底ということができる．
なお，これを体論の言葉で書けば，R=Q(Β)ということになる．
[Zornの補題]を用いることによって，Hamel基底の存在が証明できるのである．
先に見た「ベクトル空間の基底の存在の証明」で, と見ることにより，同様に議論を進めることができる．
(引用終り)
以上 >>743
>ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
>ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、
ジューコフスキー変換ね、懐かしいな
機械工学で、これ好きな人がいたな。昔、航空工学の理論だった。二次元の。いま、FEMとか数値計算で三次元ばりばりやれるから主流じゃないと思うけど
”逆変換”が、いまいち分からない。でも、下記などを参照して、自分で調べてみて
”複素数関数の等角写像”が、重要キーワードです。”ド・モアブルの定理”は、ちょっと違うと思う
（参考）
http://izumi-math.jp/M_Matumoto/Zhukovsky_ver2.pdf
北数教 第 87 回数学教育実践研究会 平成25 年11月30日
メビウス変換とジューコフスキー変換
複素変換を視覚化する 松本睦郎（札幌北高等学校）
(抜粋)
ジューコフスキー（1847～1921）は、ロシアの航空技術者である。1910 年「航空機の翼の翼型の外
形線について」の論文の中で複素数関数の等角写像を利用した翼の揚力についての理論「クッタ・ジュ
ーコフスキー定理」を発表した。コンピュターもない時代に、どのような発想でこの理論を発見したのか、不思議に思える。
複素数平面で定義される代表的なメビウス変換とジューコフスキー変換を Mathematica で見てみよう。
https://monoist.atmarkit.co.jp/mn/articles/1602/05/news029_2.html
ジューコフスキー翼を作図してみる (2/4)
2016年02月05日
[伊藤孝宏，MONOist]
http://fnorio.com/0116two_dimensional_wing_theory0/two_dimensional_wing_theory0.html
二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）
(抜粋)
１．翼理論の芽生え
大空へ飛翔することは人類の最大の夢でした。その実現には翼の持つ性質の理解が必須です。ここでは流体中を移動する翼が生み出す揚力のメカニズムを説明します。
https://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Fluid5.pdf
流体力学講話・つまみ食い（その５）
KENZOU
2008年 8 月 9 日
(抜粋)
5 回目は，任意の形状の物体が流体から受ける圧力やモーメントを求めるブラジウスの公式から揚力に関
するクッタ・ジューコフスキー定理，それから等角写像とその活用などを学びます。それでははじめます。
8 ジューコフスキー変換 >>692
">>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
>無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。"
追加
参考：「無限次元と有限次元、ハメル基底と正規直交基底とフーリエ級数論」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
(抜粋)
線型代数学における基底（basis）は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は（基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして）「座標系」を定めるようなベクトルの集合である[1]。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。
ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ（ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である）。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数（濃度）のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。
定義
全域性
V のどんな元 x も、適当な a1, …, an ∈ F を選んで x = a1v1 + … + anvn が成り立つようにできる。
を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ai は基底 B に関する x の座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。すなわち、（有限または無限の）部分集合 B ⊂ V が基底であるとは、
・任意の有限部分集合 B0 ⊆ B が既に述べた意味で線型独立性を持つ。
つづく >>746
つづき
各 x ∈ V に対して、適当な有限個のスカラー a1, …, an ∈ F とベクトル v1, …, vn ∈ B を選んで x = a1v1 + … + anvn と表すことができる（n は x ごとに違ってよい）。
の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。
これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。
無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述。
関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメルに由来）や代数基底という用語が用いられる。
（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）
これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。
そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底およびマルクシェヴィチ基底が挙げられる。
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。
位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。
即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。
先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。有限個の例外を除く全ての項が 0 となる実数列全体の成す空間 c00 にノルム ||x|| = supn|xn| を入れたものを考えると、その標準基底は可算ハメル基底になる。
つづく >>747
つづき
例
フーリエ級数論において、函数系 {1} ∪ {sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, …}
・・を満たすという意味で当該函数系の「無限線型結合」として表される。
しかし殆どの自乗可積分函数はこれら基底函数の有限線型結合としては表すことができず、したがってこの「基底」はハメル基底には「ならない」。
この空間の任意のハメル基底は、この可算無限にすぎない「基底」よりもはるかに大きいのである（ハメル基底は連続の濃度をもつ[2]）。
この種の空間のハメル基底は典型的に有用でなく、一方でこれらの空間の正規直交基底はフーリエ解析において本質的である。
(引用終り)
以上 >>747 補足
>（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）
>無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。
ハメル基底： R の Q-基底
これを使って説明すると、ハメル基底で、 Rは Q-基底の戦型空間として表すことができる
理論的にはね。でも、あんまり嬉しくない
ハメル基底を使って、具体的に何か言えるかというと、言えること殆どない
と同様に、関数空間のハメル基底の存在は言えても、”それ使えない”ってこと
で、フーリエ変換の基底の方が、役に立つってことです
ヒルベルト空間などもその例ですね
（参考）
https://trace.tennessee.edu/cgi/viewcontent.cgi?referer=https://www.google.com/&httpsredir=1&article=1431&context=utk_gradthes
University of Tennessee, Knoxville
A Note on Hamel Bases Masters Theses 12-2008
Jeremy S. Higdon
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
(抜粋)
ヒルベルト空間
抽象ヒルベルト空間においてどのような基本ベクトル族が、ヒルベルト空間 H を位相的に生成するに十分であるかをいうものである。ここで、位相的に生成する（あるいは単に生成する）とは、それらの位相的線型包と呼ばれる、線型包の閉包（即ち、有限線型結合およびその極限）が、全体空間に一致することである。 そのような函数の集合は H の基底（あるいはヒルベルト基底）と呼ばれ、基底の濃度はヒルベルト空間 H の次元と呼ばれる[nb 12]。これらの定理は適当な基底函数族が近似の目的で十分性を示すことのみならず、シュミットの直交化法を用いて互いに直交するベクトルの族からなる基底が得られることも意味している[64]。そのような直交基底は、有限次元ユークリッド空間における座標軸をヒルベルト空間に対して一般化したものと考えることができる。
様々な微分方程式に対して、その解をヒルベルト空間の言葉で解釈することができる。
注釈
12^ ヒルベルト空間の基底というのは、既に述べた線型代数学的な意味での基底と同じものを意味しない。区別のためには、後者はハメル基底と呼ばれる。 >>745
レスありがとうございます。
「ジューコフスキー翼を作図してみる」と
「流体力学講話・つまみ食い（その５）」については
ジューコフスキー変換のみの説明みたいですね。
「メビウス変換とジューコフスキー変換」については
複素数の関係を示す逆変換の式は載ってますが、
実部と虚部の成分を求める式が載っていないません。
「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」については
結果がどうやら僕と同じようなので、
おそらくド・モアブルの定理をあてはめて解いた式じゃないかと思います。
漠然とした質問で対応しにくかったですね。
明日にでも質問内容をもう少し詳しく説明したyoutube動画でもアップして、
僕の計算ミスの可能性とかもあるかもしれないので、
許可したGoogleアカウントが閲覧できるGoogleスプレッドシートでも作っててみて、
再度質問してみようと思います。 >>736
>これ読んだ。疑問氷解！
しかし鉄は融かせなかった、と
---
https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
「全ての左R加群が自由ならば、Rは可除環」
（,,⇐” 以降の箇所）
証明（和訳つき）
Assume now that every left R-module is free.
今、全ての左R加群が自由だと仮定せよ。
In particular every left R-module is projective,
特に、全ての左加群は射影的である。
thus R is semisimple and therefore R is Noetherian.
したがって、Rは半単純であり、ネーター環である。
This implies that R has invariant basis number.
このことから、Rは不変基底数を持つ。
Let I⊆R be a nontrivial left ideal.
Rの部分集合Iを自明でない左イデアルとする。
Thus I is a R-module, so it is free and since all modules are projective (because they are free), then I is direct summand of R.
したがって、IはR加群であり、自由であり、射影的であるからIはRの直和である。
If I is proper, then we have a decomposition of a R-module
もし、Iが真のイデアル（=Rと｛0｝以外のイデアル）ならば、以下のR加群の直和分割を持つ。
R≃I⊕I',
but rank of R is 1 and rank of I⊕I' is at least 2.
しかし、Rのランクは１で、I⊕I'のランクは少なくとも２である。
Contradiction,because R has invariant basis number.
矛盾、なぜならRが不変基底数をもつから。
Thus the only left ideals in R are 0 and R.
したがって、Rの左イデアルは、0とRしかない。
---
君、ここを全部すっとぱしたね。
違うというなら、
「射影的」「半単純」「ネーター環」「不変基底数（IBN)」
の定義を正確に書き切った上で
自由加群⇒射影的
射影的⇒半単純＆ネーター環
半単純環、ネーター環⇒不変基底数（IBN)を持つ
を証明してごらん。 >>743
>ジューコフスキー変換の逆変換
ジューコフスキー変換って以下だろ？
w=z+1/z
両辺にzを書ける
wz=z^2+1
右辺に移項する
0=z^2-wz+1
解の公式を使う
z=(w±√（w^2-4))/2
これで終わりだろ
>ド・モアブルの定理で計算できないか
ド・モアブル？ああ、複素数の２乗と√の計算のことか
どういう計算やってるんだ？どうせミスってるんだろ
真面目にチェックしないとミスは見つからないぞ >>752
ド・モアブルの定理は公式だけ見つけて使えそうかなと思って計算してみたけど
前提条件とかちゃんを理解してるわけじゃないかな。
明日もうちょっと確認可能な物をネット上にアップしてみるよ。
確かに、疲れてるとか自分で正しいと思い込んでしまってて
間違いに気づかないとかはたまにあるからね。
明日アップする資料作りながら気づくとかもあるかもしれないし。 >>753
5ちゃんねるでローカルにある画像を貼り付けることができるなら簡単にできるけど、
数式入力ができないテキスト表示だと結局そこで間違うかもしれんし。
もし5ちゃんねるでローカルにある画像を貼り付ける方法があるなら、それ教えて。 >>754
別に責めてないよ ミスは誰にもある
大事なのは自分でミスを見つけられるようになること
難しい話ではないから分かればどうってことない筈 >>755
画像に頼るなって 全部文字で書ける
そうでなければExcelで計算できるわけないだろ ＞z=(w±√（w^2-4))/2
ここまで分かればもう計算可能だな
まあ大阪大はもとより大阪工業大学すら受からん学歴詐称野郎の
◆yH25M02vWFhPには絶対無理だろうがな（煽りまくり） >>757
テキスト表示するためFORTRANやBASICの記述で書いて
そこで、間違ってしまったら意味がないのでもう少しきちんとした資料を作ってみます。
僕がやったやり方はそれほど難解というわけではありませんが、
複素平面を逆変換するので >>752 に書かれてるような簡単な式ではありません。 >>761
まずエクセルでやった結果です。
セル参照を含んだ式では、ここに書いてもかちんぷんかんプンになりそうだし。
FORTRANやVBやCで組んだプログラムならコピペするだけで済むんですが、
エクセルで失敗してるものをプログラムする気にはなれません。
明日辺りGoogleスプレッドシートに移植しようかなと思ってます。
それなら10～20分の作業でネットにアップできそうだし。 √(a+bi)の計算の仕方
a+bi＝r((a/r)+(b/r)i) (r=√(a^2+b^2))
√(a+bi)=√r(√((r+a)/2r)+√((r-a)/2r)i (半角公式を使う) >>762
EXCELでやるなら、セルに一気に最終計算の式を入れる馬鹿な真似は絶対するなよ
デバッグできないだろ？デバッグ第一で考えるんなら、ステップ毎に計算すること
各ステップについて検算してミスがないことを確かめられるようにしないと
バグは見つけられないから そんなの基本中の基本だけどな >>763
半角公式はド・モアブルの定理の一部だったはすだと思うので、
同じ結果になるんじゃないかと思いますが、
式に三角関数が入ってないのはよく覚えがないですね。
まあ、明日にでも資料作りながらそこに書かれてる式も試してみます。 >>764
エクセルでするにしろプログラムを組むことを前提に、解法に従って代入していきます。
>>745 の「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」にある式を試す時は、
一つのセルにその式をそのまま記入しましたが。
2次元の弾性問題を解く有限要素法プログラムを組む前に
一桁程度の要素数の問題をエクセルで解いてプログラムを検証したこともあるので、
余り初心者に向けるような気づかいは無用だと思います。 >>765
複素数の平方根の計算でド・モアブルを使うんなら
一旦、逆三角関数で角度を出して
それを半分にして三角関数で戻すんだろ？
でもそんなまだるっこしいことしなくても、
実数の平方根だけで求まるというのが半角公式 >>766
まず自分が初心者だと自覚したほうがいいんじゃね？
自惚れは自分を殺すよ >>765
どうも
>半角公式はド・モアブルの定理の一部だったはすだと思うので、
ド・モアブルの定理って、下記？ 外してるよ、それ
複素関数論は、分からない？ 等角写像が、キーワードだよ
その感じだと、下記の”ＦＮの高校物理(分野別目次) 二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）”をまず読んでみて
ゆとり前の高校卒以上なら読めるでしょ
大学レベルだと、その後の中央大学とか工学院大学とかの該当部分な
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ド・モアブルの定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%AB
アブラーム・ド・モアブル
(抜粋)
アブラーム・ド・モアブル（Abraham de Moivre, 1667年5月26日 - 1754年11月27日）はフランスの数学者である。
https://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula
De Moivre's formula
https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=De_Moivre_formula
De Moivre formula Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
The formula was found by A. de Moivre (1707), its modern notation was suggested by L. Euler (1748).
つづく >>769
つづき
http://fnorio.com/index.htm
ＦＮの高校物理(分野別目次)
http://fnorio.com/0116two_dimensional_wing_theory0/two_dimensional_wing_theory0.html
二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）
ＨＯＭＥ １．芽生え ２．循環 ３．円柱周りの流れ ４．Kutta-Zhukovskijの定理 ５．等角写像 ６．流れの写像 ７．二次元翼理論（１）Zhukovskijの仮定（２）平板翼（３）円弧翼（４）Zhukovskij翼（５）厚翼（６）データ ８．文献
https://www.phys.chuo-u.ac.jp/labs/nakano/hydrod.html
中央大学 理工学研究科 物理学専攻 中野研究室
２０１１年度流体物理学講義ノート
1. 質量、運動量、エネルギーの保存則
2. 速度場の空間変化
3. 渦度場
4. ３次元ポテンシャル流れ
5. ２次元渦なし流
6. 等角写像
7. ２次元の渦運動
8. ナヴィエ＝ストークス方程式
https://www.phys.chuo-u.ac.jp/labs/nakano/hydrod/sec6(2011).pdf
２０１１年度流体物理学講義ノート 中野研究室 中央大
6 等角写像
6.1 ２次元での座標変換
6.2 ジューコフスキー変換
http://fluid.mech.kogakuin.ac.jp/Lectures/nagare3/nagare3.html
「流れ学III」講義ノート
流れ学IIIを担当している飯田雅宣先生の講義ノートをPDF形式で配布いたします。工学院大学
http://fluid.mech.kogakuin.ac.jp/Lectures/nagare3/nagare3v7.pdf
2006年度版 Dwonload(4,972,544バイト) 飯田雅宣先生 工学院大学
(引用終り)
以上 >>769 >>770
「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」にある式は
同じ結果になることを既に確認済みです。
何らかの間違いをしてたなら、明日辺り資料作りしてる時に気付くかもしれませんが。 >>769
＞ド・モアブルの定理って、下記？ 外してるよ、それ
なんだこの馬鹿、複素数もわかってねぇのか（ｗ
√(cosΘ+sinΘi)＝(cos(Θ/2)+sin(Θ/2)i) ってことだろが（ｗ
ここで、愚直なやり方は
・まず逆三角関数で角度Θを求める
・２で割る
・角度Θ/2で三角関数を適用して戻す
しかし、そんなことしなくても半角公式で
cos(Θ/2)=√((1+cosΘ)/2)
sin(Θ/2)=√((1-cosΘ)/2)
で計算できちゃう >>768
初心者が有限要素法をエクセルで計算できるとでも？
まあ、逆関数を求めるときはさすがにマクロVBA使ったと思うけど。 >>772
そこまで簡単だと言い張るなら、
2つの複素平面の実部と虚部の関係式を示して見せてよ。
下品な言葉で相手を誹謗するならそのくらいは示して。
その言葉、結局自分に返ってきてるよ。 >>773
君は、数学（複素数！）の初心者、もしくは、プログラミングの初心者、だといっている
まず、複素数の基本的計算（おそらく平方根）をミスってる可能性大
そして、そのミスを自分で見つけるデバッグ能力がない
これ、熟練者なら絶対あり得ないことだから 曖昧なことをグダグダ言って、結局何もまともに説明できない
邪馬台国畿内説者と同等レベルのやつだったか。 >>775
＞2つの複素平面の実部と虚部の関係式を示して見せてよ。
え？
z=(w±√（w^2-4))/2 まで分かってて関係式が求められないの？
大学どこよ？
平行根の式は示してやったぞ
あとは四則演算だから馬鹿でも計算できるだろ？
甘ったれんなよ >>776
>>775 読め。
今後、高卒未満レベルと思われるレスは無視するから。 >>777
＞曖昧なことをグダグダ言って
おまえ、ほんとどこの大学よ？複素数知らないのかよ？
もっとも明確に平方根の式を示してやったのに計算すらできねぇのかよ？ >>779
複素数の平方根の計算式すら自分で求められないとか、貴様、白痴かよ（嘲 結局、複素数をちゃんと理解できてないやつだったか。
恥ずかしげもなく書き続けられるな。
このスレ、僕以外は理系の高卒未満レベルしか読んでないと思ってるんだろうな。 >>782
＞結局、複素数をちゃんと理解できてないやつだったか。
それ、貴様自身だろ
＞このスレ、僕以外は理系の高卒未満レベルしか読んでないと思ってるんだろうな。
少なくとも、貴様が高校生レベルの複素数を理解してるとは思えん
もし、理解してるなら自分でバグが見つけられる筈 >>784
なに駄々こねてんだ？おまえ大学出てねぇの？ ジューコフスキー変換はz=ζ+a**2/ζだからジューコフスキー翼すぐに書けるよねって言ってるレベルだよな。
複素平面を理解できてる奴なら >>743 読んだ時点でそんな話じゃないことすぐわかるはずだからな。 >>769
＞複素関数論は、分からない？ 等角写像が、キーワードだよ
全然見当違いだな
単に角度が「対数」であるという程度の話
しかしｎ乗根を求めるんならともかく、
平方根程度ならそこまで大袈裟に考える必要もない >>786
>>743読んだ時点で、
「ああ、複素数の平方根求めるのに苦悶してるな」
と即座に分かったよ
でも、その程度のこと、他人から教わったら感動がないじゃん
自分で見つけないと、身につかないよ 高校レベルのことだし
ま、工業高校卒とかで、とにかくバカチョンで使える方法を教えて、と
土下座して頼まれたら、教えてあげるけどさ >>788
もう一回だけ相手したるわ。
>>775 を読め。 おれは>>763で複素数の平方根の求め方を教えてやったよ
いくらなんでも複素数の四則演算は知ってるよな？
だったらもう答えは求まるじゃん
あのさ、一から十まで他人から教わって楽しい？そんなのつまんないだろ？ 結局逃げ回るんやな。
曖昧なことをグダグダ言って、結局何もまともに説明できない
邪馬台国畿内説者と同等レベル。 >>789
悪いけど、バカチョンの答えは教えないよ
だいたいさあ、>>763はもう核心じゃん
これが分ればもうあとは考えることないじゃん
どこまで甘ったれてんのよ 僕が書いてる情報からいろいろ調べて多少自分で理解したつもりなんだろうけど、
結局複素平面をちゃんと理解できてないことは、>>743 を読んで、
それに対して書いたことから判明済み。 >>791
マジで複素数の計算できないの？（呆）
>>763なんて全然曖昧なことないじゃん
計算して確かめられるだろ？間違ってたら教えてくれ
邪馬台国とかどうでもええよ オレの男系祖先、縄文人だし >>793
いや、理解してないのは君
ジューコフスキー変換の式から逆変換の式求めるのなんか簡単だし
それを実二変数の式に変換するのだって全然難しくない
しかもあんたが苦悶した複素数の平方根の計算法を
まったく曖昧さなしに>>763で書ききってみせてやったんだぜ
有難く思えよ 別に礼も金も要らねえ こんなクソ仕事ｗ うざ。
ド・モアブルの定理さえわかってたら、
半角の公式も倍角の公式も覚えたり、調べたりする必要ないだけやのに、
こんな数学わかってないような奴が、えらそうなこと言いまくってて恥ずかしないんやな。
僕以外のスレの読者が理系高卒未満と割り切ってるか、
理系高卒レベルに達してないか、
それとも僕以外にスレの読者がないと思ってるかのどれかやな。 テイラー展開とかも高校数学でその一部が紹介されてるけど、
テイラー展開なんて必要ないんだよとか言いそう。
労力は一緒なのに。
１つにまとまってるか、いくつもの公式を使うかの違い。 >>796
＞ド・モアブルの定理さえわかってたら
おまえ、ド・モアブル好きだなｗ
平方根だけで済むんなら三角関数とか逆三角関数とか使わないほうがいいだろｗ
どうでもええけど、お前高卒？ 複雑さが変わらないのがまだわかってないんだろうな。 >>797 >>799
なんか妄想の世界に浸ってるみたいだな
高卒の馬鹿の妄想は理解不能ｗ こいつ自分で書いててほんまにわかってないんやな。
√(cosΘ+sinΘi)＝(cos(Θ/2)+sin(Θ/2)i)
Θ=tan-1 (sinΘ/cosΘ)
ほれ、これで満足か？どこ計算違いしてるんや？ Θ=tan-1 (sinΘ/cosΘ) → Θ=arctan (sinΘ/cosΘ) 解だけ求めるユトリは素っ込んでろ｡
テメェでテメェの組んだ計算アルゴリズムの検証補正も怠けといてデケェ口を叩くな横着野郎｡
やった事あります出来ます言っといて、いざ出来なかった分際でデバッグ怠けて遣り方を教えろとか､
肩書き能書きだけ立派で天狗調子の癖して使えねぇ奴。小僧天狗って奴だ｡
真摯に自分のヘマを気にしてチマチマやり直す、なんて気は更々無い自滅人間｡
ヘマしても取り返せる人間はヘマを真摯に気にしてやり直すが、お前は丸で逆｡
何でそんな答え摘まみ食い無成長野郎のおねだりを俺等が聞いてやらなくちゃいけないんだ？
奉仕してくれる目上にだけ媚びを売る様なテメェみたいな奴、変わる気がねぇならもう成長以前に脳の性能を決める
お前の根性そのものがもう治る見込み無いわ。良かったな、人権社会で。誰かの手を焼いていきりゃ何でもいいんだろ？ >>801
(C+Si)=(c+si)^2=(c^2-s^2)+(2cs)i
C=c^2-s^2=1-2s^2
S=2cs
s=√((1-C)/2)
c=√(1-s^2)=√(1-(1-C)/2)=√((1+C)/2)
実は半角公式は、複素数の計算が分かってたら角度抜きで求まる
あああ、あほくさｗ エクセルで計算するのに関数ATAN使うなって、
すべての下品な誹謗がそのまま自分に返ってんな。
もはや、エクセルを使ったことがないやつしかこいつの味方はないな。 ｴﾓだけでなく蕎麦にも惚れられるオレ
分かる奴には分かるんだなあ（自画自賛ｗ） >>801-802
怠惰脳の退化壊死の手助けしたか。やさしいねぇ、易しく冷たいねぇ｡
まぁ誰もこんな我儘勝手恩知らずに厳しく優しく相手なんかしてやったりなんかしないか｡ 実数の平方根求めるのにLN使ってもいいけど、使わなくてもできるｗ
複素数の平方根求めるのにATAN使ってもいいけど、使わなくてもできるｗ >>739
>R-加群では、End(M)が多いのかな（＾＾
雪江明彦 代数学3の7.5節 P348,349では
End R(R)や、End R(D^n)のような記号が使われているね >>771
>「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」にある式は
>同じ結果になることを既に確認済みです。
>何らかの間違いをしてたなら、明日辺り資料作りしてる時に気付くかもしれませんが。
了解
頑張って下さい
健闘を祈る >>766
>2次元の弾性問題を解く有限要素法プログラムを組む前に
>一桁程度の要素数の問題をエクセルで解いてプログラムを検証したこともあるので、
>余り初心者に向けるような気づかいは無用だと思います。
なるほど
じゃあ
下記は、マイクロソフト社のVisual Basic 2010 Express (無料)を使って計算して
良かったとあるよ
参考になると思うので、ちらっと見てみたらどう？
https://jaxa.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri&;item_id=2519&file_id=31&file_no=1
1.53MB - 宇宙航空研究開発機構リポジトリ
ポテンシャル流れの計算法
-パネル法と等角写像法との比較-重見仁 著 - ?2013
電卓すらない時代に等角写像法を用いて，. 翼型まわりの流れを計算した先達たちの苦労が実感としてわかった．今井がかなりの紙幅を割いて説明している. 薄翼理論による近似は，そのような背景の下で重用されたのではないか，と推測される ... >>751
これでセタは完全に死んだな
ーーー
>>736
>これ読んだ。疑問氷解！
しかし鉄は融かせなかった、と
---
https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree
「全ての左R加群が自由ならば、Rは可除環」
（,,⇐” 以降の箇所）
証明（和訳つき）
Assume now that every left R-module is free.
今、全ての左R加群が自由だと仮定せよ。
In particular every left R-module is projective,
特に、全ての左加群は射影的である。
thus R is semisimple and therefore R is Noetherian.
したがって、Rは半単純であり、ネーター環である。
This implies that R has invariant basis number.
このことから、Rは不変基底数を持つ。
Let I⊆R be a nontrivial left ideal.
Rの部分集合Iを自明でない左イデアルとする。
Thus I is a R-module, so it is free and since all modules are projective (because they are free), then I is direct summand of R.
したがって、IはR加群であり、自由であり、射影的であるからIはRの直和である。
If I is proper, then we have a decomposition of a R-module
もし、Iが真のイデアル（=Rと｛0｝以外のイデアル）ならば、以下のR加群の直和分割を持つ。
R≃I⊕I',
but rank of R is 1 and rank of I⊕I' is at least 2.
しかし、Rのランクは１で、I⊕I'のランクは少なくとも２である。
Contradiction,because R has invariant basis number.
矛盾、なぜならRが不変基底数をもつから。
Thus the only left ideals in R are 0 and R.
したがって、Rの左イデアルは、0とRしかない。
---
君、ここを全部すっとぱしたね。
違うというなら、
「射影的」「半単純」「ネーター環」「不変基底数（IBN)」
の定義を正確に書き切った上で
自由加群⇒射影的
射影的⇒半単純＆ネーター環
半単純環、ネーター環⇒不変基底数（IBN)を持つ
を証明してごらん。 >>739
セタは準同型と自己準同型も区別できんらしい
そりゃ数学が全く理解できんわけだ
数学以前に国語がダメとは日本人失格だな セタには理解できない事柄
線形空間R^nの自己準同型環End(R^n)は、行列環M_n(R) セタには理解できない事柄
線形空間R^nの自己同型群Aut(R^n)は、一般線形群GL_n(R) >>808
>>754 でも書いた通り、自信はないが、こっちは原因に薄々気づいてる。
僕が思ってる通りなら、「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」も
おそらく同じ間違いをしてる。で、お前もな。
>>743 の質問は複素平面を理解できる人にしか内容がわからないだろうが、
複素数の関係式だけ示したり、
>>801 に書いた程度のシンプルな式を複雑にこねくり回したりでしたり顔かよ。
複素平面について簡単に説明してるWEB見つけたからURL貼っとくよ。
高校教科書パラパラめくってみたけど、
たぶん文系高卒でも理解するのに1時間かからんだろう。
後、写像の知識があったら僕が思ってる原因も察しがつくやろ。
これで、お前の味方は
（文系高卒未満∪文系高卒以上だが数学赤点ギリギリ）∩エクセル使えないやつ
だけやな。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/fukusosuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/fukusosuu/fukusoheimen.html
こっちは暇人じゃないんだから、昨晩お前に付き合ったおかげで、
質問の説明資料ネットにアップするのは明日以後になりそうかな。
>>803
レスがもし僕に宛てたものなら答えとくけど、
逆変換ができてるらしい式だけは既に入手済み。
僕が欲しいのはその式を導出する方法を示した資料もしくはアドバイス。 そうそう。
ド・モアブルの定理なら、僕が通った大学のテキストの複素平面の章の2ページ目で説明されてたよ。
適用できるのなら、複素平面を扱う問題では使うのが当たり前でしょって言ってるようなもんかな。
今回は適用範囲外だったようだが。 >>816-817
ド・モアブルの上位互換が、下記のオイラーの公式です
”ド・モアブル”は、今後言わない方が良いと思う
コウモリに噛みつかれるだけだから（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
オイラーの公式
(抜粋)
複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）とは、複素指数函数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである：
e^iΘ =cos Θ +isin Θ
ここで e・[注 1]は指数関数、i は虚数単位、cos ・, sin ・ はそれぞれ余弦関数、正弦関数（三角関数）である。この等式は、任意の複素数 θ に対して成り立つが、特に θ が実数である場合がよく使われる。θ が実数のとき、e^iθ は、絶対値 1, 偏角 θ（単位はラジアン）の複素数に等しい。
公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラーに因むが、最初の発見者はロジャー・コーツとされる。コーツは1714年に
log (cos x+isin x)=ix
を発見した[1]が、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。
指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった[1]。
この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。
物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 [2][3]だと述べている。
オイラーの公式は、複素数の極形式を簡明な表示に導く。すなわち、複素数の極形式 z = r(cos θ + i sin θ) は z = re^iθ に等しい。また、特に、θ = π のとき、
e^iπ +1=0
が導かれる。この関係式はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる。
オイラーの公式は、余弦関数、正弦関数の双曲線関数による表示を導く：
cos Θ =cosh iΘ
sin Θ =1/i sinh iΘ
応用上では、オイラーの公式により三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などが利用しやすくなる。 >>816
＞こっちは原因に薄々気づいてる。
角度の計算と、どの半角をとるかの問題だろ？
そもそもジューコフスキー変換の式を見れば２対１の写像だと分かる
（円の内側と外側の点が、同じ点に写像される）
だから「逆写像」をとるとき、１対２になるので、うまくつながないとおかしくなる
そのこともちゃんと
「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」のHPの
（４）ｚ平面の円柱周りをζ平面の平板周りに写像（ジューコフスキー変換）
１．円を直線に写像する関数
のところに書いてある
「図から明らかなようにζ面上の１点に対応する点がｚ面上に二つ存在する。
ｚ面の点とζ面の点を１対１で対応させるには、
ζ面として長さ4ａの線分を共有した二枚の面［上右図参照］を準備すればよい。
このように何枚も重ねて多価関数を表す面のことをRiemann面という。」 >>818
トーカクシャゾーも今後一切言わない方が良い
トンチンカンの極みだからな >>816
＞後、写像の知識があったら僕が思ってる原因も察しがつくやろ。
（小声で）「写像の知識」あんなら漫然と式写したらあかんことくらい即座にわかるやろ
知恵が足りひんｗ
参考（愛が足りひん）
本物
https://www.youtube.com/watch?v=2Dpzm0cyqm0
ニセモノｗ
https://www.youtube.com/watch?v=8uj1zpRBiuQ ああそうそう半角問題以前の話で
複素数x+yiの偏角を求めるとき
atan(y/x)を馬鹿チョンで使たらあかんよ
x+yiも、-x-yiも、同じ角度になるけど、実際はちゃうやん
まず、そこ気づかなあかんで >>816
＞ >>743 の質問は複素平面を理解できる人にしか内容がわからないだろうが
↓ゴメン、この文章では何も伝わらんわ
「ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、
ジューコフスキー変換で算出した座標に適用しても元の座標に戻りませんでした。
ジューコフスキー変換の逆変換について詳しく説明してるウェブなど、
何らかのアドバイスがあったらレスください。」
オレならこう書くわ
「ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようとおもったんですが、
実はジューコフスキー変換は円の内側と外側の点を同じ点に移す２対１写像で
やりたいのは円の外側の点のみへの写像としているのですが、上手くいきません。
そもそも、それ以前にもおかしい点があるようです。
逆変換の中で、一か所複素数の平方根を求める箇所があるのですが、
そこは、複素数ｘ、ｙからarctan(y/x)で偏角Θを求めて、
cos(Θ/2)、sin(Θ/2)で戻しています。
何が間違ってるか？どうすれば意図する逆写像が構成できるか
アドバイスをお願いいたします。」
な、コニシもそう思うやろ（誰や？コニシってｗ）
https://www.dailymotion.com/video/x7ur7z6
＊コニシは11:38~ 登場 ＞逆変換ができてるらしい式だけは既に入手済み。
＞僕が欲しいのはその式を導出する方法を示した資料もしくはアドバイス。
予想
ジューコフスキー写像を
メビウス変換→２乗→メビウス逆変換
の形で表した上で、逆写像を
メビウス変換→平方根→メビウス逆変換
の形で構成する
分枝の問題は、平方根写像という簡単な形について対応すればいいので楽
他にもアイデアはあるが、今はここまでにしとく >>736
（参考）
https://math.stackexchange.com/questions/75866/every-r-module-is-free-implies-r-is-a-division-ring
Every R-module is free ? R is a division ring asked Oct 25 '11 Leo
(抜粋)
Answer 10 Oct 26 '11 Bruno Stonek
I will paraphrase Pete Clark's "Commutative algebra" notes (pp. 24-25), available here.
http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf
COMMUTATIVE ALGEBRA PETE L. CLARK Date: March 9, 2015. University of Georgia USA
P31
Proposition 3.4. For a commutative ring R, TFAE:
(i) Every R-module is free.
(ii) R is a field.
Proof. As discussed above, (ii) =⇒ (i) is a fundamental theorem of linear algebra,so we need only concern ourselves with the converse.
But if R is not a field, then there exists a nonzero proper ideal I, and then R/I is a nontrivial R-module with 0 ?= I = ann(R/I), so by Exercise 3.16 R/I is not free.
Remark: If R is a not-necessarily-commutative ring such that every left R-module is free, then the above argument shows R has no nonzero proper twosided ideals, so is what is called a simple ring. But a noncommutative simple ring may still
admit a nonfree module. For instance, let k be a field and take R = M2(k), the 2 × 2 matrix ring over k. Then k ? k is a left R-module which is not free. However, suppose R is a ring with no proper nontrivial one-sided ideals.
Then R is a division ring ? i.e., every nonzero element of R is a unit ? and every R-module is free.
Note well the form of Proposition 3.4: we assume that R is a commutative ring for which R-modules satisfy some nice property, and we deduce a result on the structure of R. Such “inverse problems” have a broad appeal throughout mathematics
and provide one of the major motivations for studying modules above and beyond their linear algebraic origins. We will see other such characterizations later on.
https://ejje.weblio.jp/content/TFAE
TFAE 成句
1.(mathematics) Initialism of the following are equivalent. >>811
下記追加
なお、繰返すが、等角写像がキーワードだよ
http://staff.miyakyo-u.ac.jp/~h-uri/blog/
Uryu Hitoshi 宮城教育大学
http://staff.miyakyo-u.ac.jp/~h-uri/blog/lecture/gensho/bprogram/enshu2008.html
Mon, 19 Jan 2009 Uryu Hitoshi 宮城教育大学
現象の数理2008
http://staff.miyakyo-u.ac.jp/~h-uri/blog/archive/lecture/gensho/2008/text.pdf
現象の数理2008 Uryu Hitoshi 宮城教育大学
複素関数論の応用 平成 20 年 11 月 14 日
本テキストでは、複素関数論の基礎を既知として、複素解析の具体的な応
用のいくつかを紹介する (計算機による実験を含む)。
(抜粋)
P1
以上を考慮して奥村氏が作成したプログラムに若干手を加えたもの以下の
complex.c である。本質的なルーチンには変更を加えていない。
/**********************************
complex.c -- 複素数の四則と初等複素関数
***********************************/
1.3 演習（複素数と関数値）
前説の csisoku.c,function.c を実行させ、実際に複素数の値と複素関数の値
を求めてみよ。
プログラムの実行のさせ方
C プログラムが csisoku.c とする (function.c についても同様)。
* * * > gcc -lm function.c
2 複素数関数の可視化
複素数関数の値が計算できるようになったので、次に複素初等関数を可視
化することにより深く関数の行動を理解しよう。理論を復習し、C プログラ
ムを作成実行しデータを計算し、gnuplot でグラフを描く。
P32
3.7.5 飛行機の翼
ジューコフスキー変換において
a = b = 1 とすると
以下はジューコフスキー変換により gnuplot によるデータをはき出す C プ
ログラムである。
問
プログラム joukowski.c において円の中心を α = a + ib を適当に変化させ
てみて翼の形の変化を考察せよ。
研究
ジューコフスキー変換により飛行機の翼の外部と円の外部と対応がつく。
また最初の変換により円の外部は下半平面に対応がつく。下半平面における
一様流は簡単に表現出来る．これを２つの関数で変換すれば、飛行機の翼の
外の一様流の流れを知る事ができる。これを C 言語プログラムを作成する事
により，確認せよ． >>826 補足
エクセルじゃないが、gccのプログラムあるよ（＾＾ >>826 正則写像なら等角写像 したがって無意味 >>824
ジューコフスキー変換とメビウス変換て複素数の関係式から見ても全然別の写像で全く関係ないやろ。
4tb7ymDo同様、複素平面や写像を全く理解できてないやつのいい加減なアドバイスはいらん。 高校数学さえマスターしてれば少しの＋αで理解できるようなことやのに、
応用数学どころか高校数学さえきちんとマスターしてるのかさえ疑わしいような連中が
したり顔でレスしまくってるスレやな。 >>823
必要な数学知識がある人間で、ジューコフスキー変換やったことある人間やったら、
ド・モアブルの定理使ったってこと書いといたらすぐわかるようなことはいちいち書かん。
何もわかってないど素人のアドバイスも欲しいとは思ってない。 >>822
>>816 に貼ってるリンク先の説明読んどけ。 おそらく、ド・モアブルの定理が使える複素平面が違っただけやろ。
結局、>>745 のおかげで計算ミスの可能性が低いことが分かっただけで、
それ以外は高校数学さえ理解してんのかどうか怪しいようなど素人の戯言ばかりかよ。 5ちゃんねるってある意味今の日本社会を表してそうやな。
近年、英語で外国人と話すより
日本語で日本人と話す方がコミュニケーションが難しいと感じることがめちゃくちゃ増えたもんな。
全然話がかみ合わん。
大学で下宿し始めたころ、「あなただけに当たりました」とか言って
電話してきたやつとの会話を思い出すようなかみ合わなさや。 いや、ID:9OkyXBRaて何がしたいの？
質問するひとの態度じゃないでしょ。
ちゃんと数学科出てるひとが答えてるよ。
質問の仕方が悪いか、答えが返ってきてるのに消化できてないだけじゃね？ >>829
>ジューコフスキー変換とメビウス変換て
>複素数の関係式から見ても全然別の写像で
>全く関係ないやろ。
なんか、予測外れたみたい
>>824って、ジューコフスキ―変換を
メビウス変換（一次分数変換）と２乗変換の合成
で表そうってこと
例えば、ジューコフスキ―変換は
f(z)=-i(z+1)/(z-1)
g(z)=z^2
h(z)=2(z-1)/(z+1)
として、h・g・f(z)として実現できるね
で、この逆写像は
h^(-1)(w)=(2+w)/(2-w)
g^(-1)(w)=√w
f^(-1)(w)=(w-i)/(w+i)
となるから、f^(-1)・g^(-1)・h^(-1)(w)として実現できる
メビウス変換の逆写像はもちろんメビウス写像だし
これは複素球面同士を１対１に写像するから
何も考える必要はない
問題は平方根写像 これは１対２写像になる
で、この場合、複素球面全体から上半平面に移すように調整すれば、
逆変換全体として複素球面全体から円の外側への写像になる >>830
>少しの＋αで理解できるようなことやのに、
君のいう+αって具体的に何だい？ >>831
>ド・モアブルの定理使ったってこと書いといたらすぐわかるようなこと
問題を自分で論理的に分析して正確に表す努力をしない人には数学は理解できないよ
君がやったであろう方法をやってみたら、何がまずいかすぐわかった
atan(y/x)で偏角を求めると、x+yiでも-x-yiでも同じ偏角になっちゃう
これはまず欠陥だね こんなこと実際に計算したら賢い高校生なら
いわれなくても気づくけどね
あなた、大学どこ？理学部じゃなく工学部だよね？
東大・京大はあり得ないな 早慶とか東工大・阪大・名大もないだろう >>832
君こそ
http://fnorio.com/0116two_dimensional_wing_theory0/two_dimensional_wing_theory0.html
の写像の可視化（円の外が平面全体に写像）の画を見た上で
「（４）ｚ平面の円柱周りをζ平面の平板周りに写像（ジューコフスキー変換）
１．円を直線に写像する関数」
の以下の文読みなよ
「図から明らかなようにζ面上の１点に対応する点がｚ面上に二つ存在する。
ｚ面の点とζ面の点を１対１で対応させるには、
ζ面として長さ4ａの線分を共有した二枚の面を準備すればよい。
このように何枚も重ねて多価関数を表す面のことをRiemann面という。」 >>833
＞おそらく、ド・モアブルの定理が使える複素平面が違っただけやろ。
この粗雑な言い方を見る限りなんかわかってないっぽいな
数学以前に国語の能力が低いみたいね
読むほうも書くほうも
ついでにいうと、ジューコフスキ―の場合、
メビウス変換と２乗変換の組み合わせでOKだけど
一般の有理写像の場合には、
メビウス変換とｎ乗写像の組み合わせでは無理だろう >>834
君、ほんと、どこの大学？
どっかのだれかみたいに大阪大学とかフカすのほんとやめてな
ここでは工学部卒ボロカスにいうてるけど、
実際の工学部で学部どころか修士まで出てる連中は数値解析とか詳しいから
解析に関して数学科の連中が知ってるようなことは大体知ってる
オレがDISるのは、君みたいなハンパな奴だけだよ >>835
具体的に言えば、>>836 のような、複素平面や写像をちょっとばかりかじって、
中途半端な理解で適当にでたらめなこと書いてるようなやつの
アドバイスはいらんということやな。
こいつ、>>830 に書いてるようなやつ未満かもしれんで。
ジューコフスキー変換がζ=(z**2+1)/z《1は厳密には定数a》って知ってたら、
(2z**2)iと等しくないことくらい、複素数理解した中学生でもわかりそうなもん。 >>835
彼はバカチョンの答えが必要なんでしょ
正確に何がどううまくいってないのか説明しきってないんで
こちらも完全な回答は返せないけど
少なくとも漫然とarctan(y/x)使ったら上手くいかんことは明らか
ド・モアブル以前の問題
で、そこを解決したとしても、肝心の１対２問題について解決せねばならない
難しい形のまま解決しようとするのは頭の悪い奴のすること
賢い人は、簡単な問題に置き換えられることを確かめた上で、
簡単な問題を簡単に解決する この場合やるべきことは
「平方根写像に還元して、平方根について上半平面への写像に限定する」
＞質問の仕方が悪いか、
そもそも質問の体をなしてないね
結局arctanを使ってるというから、そこで問題の１つに気づいた
ドモアブルをどう使うかも彼は全然説明してないが
ま半角をとってるだろうと思ったからそれじゃ「１対２問題」が
発生するなと見当をつけた次第
＞答えが返ってきてるのに消化できてないだけじゃね？
多分、リーマン面が全然分かってないね
工学部の複素解析じゃ、リーマン面とか教えないのか？
数学科ならそんなん教えなくても知ってるぞｗ
（だいたい数学科は優秀な奴ほど講義に出ない
自分で本読んだほうが早いから）
ま、頭の悪い奴って結局モノ知らないとかいう以前に
モノを知ろうとする意欲が絶望的に欠如してる
だから問題に対する分析が全然浅くて根本的な解決ができてない
こういう連中が会社に就職して開発した製品なんけおっかなくて使えないな
飛行機ならいきなり空中分解する危険性が大ｗ >>842
＞ジューコフスキー変換がζ=(z**2+1)/zって知ってたら、
＞(2z**2)iと等しくないことくらい、
＞複素数理解した中学生でもわかりそうなもん。
そりゃアホでもわかるｗ
で、バカ・アホ・タワケ・ダラズ・ホンジナシ・タクランケ・・・
はそこで止まる
肝心なのは、両者がメビウス変換で写りあうってこと
ジューコフスキ―変換z+1/z(=(z^2+1)/z）の場合、
zが-1もしくは1以外の点では、２対１になってる
（ペダンティックにいえば2重被覆）
ってところがポイント
で、z^2の場合もzが0と∞以外の点では、２対１になってる
ここまで気づけば
「なら-1と1を、それぞれ0と∞に移せばええやん」
と気づく
そこでメビウス変換の登場
あのなあ、セタみたいに複素関数と聞いただけで
「トーカクシャゾー！カイセキセツゾク！」
と脊髄反射するだけならただのアホやでｗ
メビウス変換くらいおぼえときや
理工系の一般常識やで ホンマにｗ どこの大学？とか煽るのは余計だと思う。
ド・モアブルとか言ってるあたり、高校生か高専生かもしれんし。
ジューコフスキー変換の問題って大学入試問題にもあるようだから
高校生でも不思議はない。 >>845
＞どこの大学？とか煽るのは余計だと思う。
すまんw 大人げなかったｗ
「ちっ、反省してまぁす」（国母クン的）
＞ド・モアブルとか言ってるあたり、
＞高校生か高専生かもしれんし。
ああ、そういうこと？
ちなみに乃木坂４６の佐藤璃果は岩手県の某高専生だったらしい
https://twitter.com/sakamichi_911/status/1247120614680195073
ま、こんなコだったらいろいろ教えてあげちゃうけど
え？数学だけでいい？ホントに？つまんないなあｗ
＞ジューコフスキー変換の問題って
＞大学入試問題にもあるようだから
＞高校生でも不思議はない。
ま、不思議はないけどな
高校生の分際で
「オレは素人じゃねえ」
というわけ？
え？それが中二病？・・・めんどくせぇなｗ
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>837
よく見ると、この質問だけは悪くないな。
文系高卒数学レベルに
>>816 に貼ったリンク先の説明程度の複素平面の知識、
大雑把に言えば、写像なんて関数式が
（1個でもいいが）複数になった程度のことって分かってれば、
少なくともジューコフスキー変換は理解できそうやなって話。
さすがにメビウス変換とごっちゃにするようなことはせんやろ。 今後、私にものを尋ねる場合は
１．オッサンでも女子高生を装ってください（をひ）
２．大卒、修士修了、博士号取得者でも
理学部数学科以外でしたら素人を装ってください（こら）
あのさ、相手を煽てたほうがいい知恵が引き出せるのは常識じゃん
そういうことはさ、中坊高坊でも覚えといて損ないから
いいんだよ みんなオレの屍を越えていけ（生きてるけどさｗ） >>847
＞写像なんて関数式が複数になった程度のことって分かってれば
ま、普通「写像」というのは行き先が１つだから
１対２写像とかいうのは本来、写像ではありません
・・・と言い切ってしまうとそこで話が終わってしまうのだが
今回のジューコフスキ―の逆変換では、そこ（１対２）が最大のポイント
で、どっちを選ぶかで「円外の点への写像」ができるかどうかが決まる
ま、ここだけ理解しとけ あとは自分で解決しな
そのほうが喜びも大きいってもんだ ジューコフスキー変換の逆変換が求めたいってこと？
たかが2次方程式の根なんだから、そんなに難しいわけないでしょ。
分岐点があって、その周りでの挙動が少し問題になるだけでしょ。
リーマン面が分かってれば簡単な話だと思う。
おそらく質問者はリーマン面の像を頭の中に持っておらず
θで記述しようとしてるのかな？と思う。
だから、大学数学レベルの話じゃなくて高校レベルの話だろう。 >>848
おう、今後、君の小生意気な大阪弁の発言も
早川聖来か賀喜遥香が云ったと勝手に脳内変換して
読むことにするわ
https://www.youtube.com/watch?v=QEnqpkdORbI
ああ、おれってオトナだな（ただの変態） 別に普通に質問してくれれば普通に答えるけどな。
レベルの低いレスに埋もれてまともな質問を見逃すとこやったわ。
ド・モアブルの定理の適用範囲じゃなさそうだと気付いたのも、
>>750 書いたちょっと後だったし。
>>850
それを複数式で表現するのが写像やろ。
日本語も勉強しとけ。 >>851
複素平面は理系高卒でも習ってないよ。
θで記述しようが別の式で記述しようが、
新しく設定された複素平面で成り立つ式を使う限り同じ事って思ってんだけどな。 >>851
「逆変換」というだけなら数学的には「２次方程式解きゃええやん」で終わり
ただ、どうも複素平面から円外の点への逆写像を作りたいらしい
はじめからそういってくれればこっちも考えてやったんだが
（こんなことを日本語で言い表せない時点ですでに十分問題だと思うが・・・）
＞おそらく質問者はリーマン面の像を頭の中に持っておらず
＞θで記述しようとしてるのかな？と思う。
ま、θ使ってもいいんだけど、そこがポイントではないよな
＞だから、大学数学レベルの話じゃなくて高校レベルの話だろう。
まず、arctan(y/x)の危険性は高校生でも認識しといてほしいわ
リーマン面云々については事柄自体は高校生でも分かる筈だが
実際にそんなことまで分かってる高校生って
某筑駒とか某灘とか某開成とか某麻布とか
に居る奴くらいだろ マジで
日本の数学科の教授が大体そういう有名校出身なのは
やっぱり賢い奴がもう小学生時点で出来上がってるっていう証拠
いいとか悪いとかヌキにして（いいも悪いもないけどな） >>853
＞＞普通「写像」というのは行き先が１つだから
＞＞１対２写像とかいうのは本来、写像ではありません
＞それを複数式で表現するのが写像やろ。
・・・このクソ生意気な発言も
早川聖来タンがしたと思って
読むことにして・・・（ｗ
要するに、君の中では写像＝式なんやな
で、その意味でいうと√ｚちうのは、
相手先が２つある時点で式ではないんやな
で、欲しいのは式なんやな
分かってるよ 工学部の連中は答えしかほしがらん
理学部数学科の連中が長々を論理を説明した後、
「リクツはいらん 答えだけ教えや！」
とヤクザみたいなこというのが工学部の奴ら
・・・でもそういう怠慢な態度では
モノづくりでけへんと思うわ（ボソッ） >>854
＞複素平面は理系高卒でも習ってないよ。
いったい、今高校で何教えてんだｗ
ゴメン、おじさん高校も大学も二昔前の昭和時代の出来事だから
さすがに計算尺の使い方とか習ってないけど
＞θで記述しようが別の式で記述しようが、
＞新しく設定された複素平面で成り立つ式を使う限り
＞同じ事って思ってんだけどな。
なんかここがいつもなにいってんだか全然わからんｗ
あのな、式ちうのは数式のこと？
それともプログラミング言語で書く式のこと？
両者は似てるように見えて実は重大な違いがあるよ
例えばな、任意の複素数ｚについてｚ^(1/2)といえば２つあるよ
でもEXCELでSQRT(２）って書いたら正のほうしか返さんやん
そこ、些細な違いとかいうのはニブイやろ
あんたのやりたいことを考えた場合 突っ込まれる前に行っとくけど
|z|=constを満たすzが無数にあることはわかってるで。 >>858
なんか想像以上に低レベルだな
>>859
あのさぁ（呆）
１の平方根は１と－１だろ？
－１の平方根はｉと－ｉだろ？
一般に複素数の平方根は２つあって、正の実数でない限り、
そのうち１つは上半平面、もう１つは下半平面にある >>862
＞高卒くんは多価関数とか知らんのかな？
Oh,My God!!! >>861
おもろいやつやな。
中学数学で既につまづいてることがよくわかったよ。
まさか相手すんのに中学校の教科書まで必要になるとはな。
中学3年の数学教科書に
平方根
正の数aの平方根は、正と負の2つあって、
正の数の方は√a、負の方は-√a
って書いてあったよ。
もう一回 >>857 読み返してみ。
スレタイも 応用数学 → 中学数学 に変える必要あるかもな。 >>863
あ、エサに食いついたｗ
＞平方根
＞正の数aの平方根は、正と負の2つあって、
＞正の数の方は√a、負の方は-√a
＞って書いてあったよ。
そこで質問
任意の複素数zについても平方根は二つあります
で一方を√z、もう一方を-√zとあらわすとして
z=x+yiとして、それぞれはx,yを使って
どう表すおつもりですか？(￣ー￣)ﾆﾔﾘ >>863
高卒くんは数学の前に国語がダメだね
「複素数の」って言ってるのに
>正の数a
ってｗ >>865
まあまあｗ
実はアタマを使えば、ｚが複素数の場合も
√ｚと－√ｚという「１価関数」を定義できて
ｚが正の実数の場合に、
√ｚが正の実数、－√ｚが負の実数
となるようにできます
さて、どう定義すればそうなるでしょう？
ゴメン、もうね、こっちはそこまで読み切った上で煽ってんのよ
自慢じゃないけど数学科卒だからさ
中学高校の教員免許も持ってるしｗ
え？極悪？教育的配慮っていってほしいな
人間ってさ、動機がないと頑張れないじゃんｗ >>864
まだ気づいてないんかよ。
|z|=|¯z| と勘違いしてないか？ √ｚと－√ｚの一価関数定義問題に関連して
角度
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6
自分の定義に見合う、角度の呼び名の定義があるかどうか
確認したけどちょうどぴったりのものはないな
じゃ、オレが定義したら名前が残るね(￣ー￣)ﾆﾔﾘ 中学数学でつまづいて大学数学をチビっとかじると
こういう事言いだすようになるんやな。 複素数について質問ですが、
z^(1/n) := cos(2*π/n) + i * sin(2*π/n)と定義しないのはなぜですか？
なぜ、z^(1/n)と書くと、w^n = zを満たすn個ある複素数のどれかを表すとするのか分かりません。 >>864
はいはい、絶対値とは関係ありません
さっさと>>863 >>865の問題解こうね
これこそが、君の質問に対する回答だから
ああ、煽りながら迷える子羊を理解に導くオレって
何ていい奴なんだろう（自画自賛） そうすると、2^(1/2) = -√2になってしまうか。
>>870
z^(1/n) := |z|^(1/n) * (cos(2*π/n) + i * sin(2*π/n))ですね。 >>867
¯zは何？
共役複素数じゃないよね？
>|z|=|¯z| と勘違いしてないか？
ってことは >>869
はよ、>>865の質問に答えてな
君の「誤答」にツッコむの待ってんだから（間違うこと前提ｗ） >>872
それ、ｚが正の実数の時しか対応してないんと違うか？ あ、
>|z|=|¯z| と勘違いしてないか？
は
命題「|z|=|¯z|」の話と勘違いしてないか？
ってことね。
「|z|≠|¯z|」という主張かと思ってびっくりしたわｗ 複素解析函数としては√zと-√zの自然な区別なんてないですからねｗ
解析接続でつながってますから。
では、どうすれば一価函数（としての葉）が得られるか？
ま、これも複素解析では常識的な手法がありますね。
>>868
偏角の「主値」とかは言いますね。
それとは別？ >>870
どうやっても人工的な定義にならざるを得ない。
これは実は「位相」が関係してるんですね。
つまり、正の実数に対しては「標準的な」ｎ乗根があるが
一般の複素数に対して、そのような「標準」が
自然にはない。 質問者が何に苦しんでるのか、大体見当が付く。
ジューコフスキー変換 w=z+a^2/z において
逆変換 z=f(w)とおくと、zは2次方程式z^2-wz+a^2=0
の根で、fは2価函数だから
w平面上に点cを取って、|w-c|=r, θ=arg|w-c|,(0≦θ<4π)
のようにして、(r,θ)によって「一意化」したいのだろうが
分岐点はw=±2aの２つあるから、どのようにcやθを取ればいいのか分からないのだろう。
でも、実は簡単な話なんだな。
ただ、やみくもな計算では（大げさに言って絶対に）解けない。
多価解析函数f(w)の挙動が分かっていれば、計算が自然に付いてくる。
ま、そういうところが数学の醍醐味だと思う。
せいぜいこのスレの先輩方に指導してもらいな～（笑 >>877-878
もちろん、人工的な定義になります
一価化は被覆として繋がってるのを
無理矢理ぶった切りますから
＞偏角の「主値」とかは言いますね。
ああ、それもありますね。私が考えたのば別の方法ですが
角度について
左回りの角度（正角・左角）θL
右周りの角度（負角・右角）θR
を考える
数学では左周りが正なので、θLは正数、θRは負数で表す
弧度法ならθL-θR＝2πとなる
一応０≦θL＜2π、-2π≦θR＜０とする
√ｚ＝√|z|(cos(θL/2)+sin(θL/2)*i)
－√ｚ＝√|z|(cos(θR/2)+sin(θR/2)*i)
√ｚは複素平面全体を、正の実数∪上半平面に写像する
－√ｚは複素平面全体を、負の実数∪下半平面に写像する
ちなみに「主値」で定義すると以下の通り
√ｚは複素平面全体を、係数が正の純虚数∪正半平面に写像する
ー√ｚは複素平面全体を、係数が負の純虚数∪負半平面に写像する >>879
＞でも、実は簡単な話なんだな。
ところで、ｆ（ｚ）が例えば一般の有理関数だとして
逆関数を上手いこと作ろうと思ったら
一般的にはどんなことするんですかね？ >>863
大学の物理で扱う筈のジュコーフスキー逆変換が高校数学の問題になっている理由が分からないが、
ジュコーフスキー逆変換を高校数学で求めるだけなら、
実数x、yでzを z＝x+yi と表す。ド・モアブルの定理を用いてzを極刑式で表す。
zの実部x、zの虚部yの存在性は保証されているから、x、yを機械的に計算して求めれば済むんじゃないのか。 >>882
逆変換の式だけなら、別に極形式要らない
極形式にするのはド・モアブルと違うんじゃね？
ベキを計算するところがド・モアブルじゃね？
で、複素平面全体から円外への一価写像を構築するんなら
平方根の取り扱いで、気を付けるところはある
ま、数学的には全然大したことじゃないけど >>863
>>882の下から1、2行目の訂正：
>実数x、yでwを w＝x+yi と表す。
>wの実部x、wの虚部yの存在性は保証されているから >>883
普通は回りくどい方法など考えず、zの二次方程式と考えて求める。 >>881
P,Qを多項式として
w=P(z)/Q(z)とするとz=f(w)は
P(z)-Q(z)w=0 の根で、代数函数ですね。
n=Max{deg(P),deg(Q)}とおくと
n次方程式の根なので、素朴にはn価函数として
函数要素、解析接続、分岐点付近の挙動などを調べることになると思います。
分岐点以外では、n個の函数要素（べき級数）が求まりますね。
分岐点でも、ピュイーズー級数展開を持つ。 >>886
やっぱり分岐点を調べますよね
分岐点の現れ方はいろいろあるから
２乗の場合みたいに都合のいい標準形に
もってくのは無理っぽいけど
解析的にはなんとかなるんだろうな
ピュイズー級数・・・そんなんやったなｗ ところで次スレのタイトルは
「応用数学 ４」
でオナシャス
純粋数学？無理だって 諦めろよｗ ID:9OkyXBRaさん、どうも
スレ主です
>>848
>今後、まともなレスにだけ反応することにするわ。
ここには、５ｃｈ数学板で札付きのキチガイ コウモリがいる
相手にする必要もないし、相手にしない方がいい。あなたには、なんのためにもならないよ
>>869
>中学数学でつまづいて大学数学をチビっとかじると
>こういう事言いだすようになるんやな。
同意です >>863
今更だが、書き直す。
大学の物理で扱う筈のジュコーフスキー逆変換が高校数学の問題になっている理由が分からないが、
ジュコーフスキー逆変換を高校数学で求めるだけなら、
実数x、yでzを z＝x+yi と表す。ド・モアブルの定理を用いてwを極形式で表す。
zの実部x、zの虚部yの存在性は保証されているから、x、yを機械的に計算して求めれば済む。 >>724
(引用開始)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#CITEREFAuslanderBuchsbaum2004
斜体 (数学)
斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
出典
5.^ Auslander & Buchsbaum 2004, p. 221, Theorem 6.8.8.
参考文献
・Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. MR0366959. Zbl 0325.13001
読んだ
なかなか面白かったな
以下要点抜粋（興味のある方は本文をどぞ）
>https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Groups_Rings_Modules_Auslander_Hathitrust.pdf
Groups, Rings, Modules. Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (1974).
(抜粋)
P57
Definition
Let R be a ring. By an R -module structure on an abelian group M we mean a map
RxM→M which we denote by (r, m)→rm satisfying:
(a) (r1 + r2)m = r1m + r2m.
(b) r(m1 + m2) = rm1 + rm2.
(c) (r1r2)(m) = r1(r2m).
(d) 1m = m.
An abelian group together with an R-module structure is called an It-module.
We shall return later on to this general notion of a module. In fact, most of
this book will be devoted to a detailed study of rings and modules.
つづく >>891
つづき
P210
7. FREE R-MODULES
Undoubtedly, the modules that are most familiar to the reader are vector spaces
over a field. Probably the most distinctive feature of the theory of vector spaces is
that every vector space has a basis. After generalizing the notion of a basis from
vector spaces over fields to modules over arbitrary rings, we introduce the notion
of a free module over an arbitrary ring. Namely, an R -module is a free R -module
if and only if it has a basis.
Definition
Let M be an R-module. A subset S of M is said to be a linearly independent subset
of M if each finite subset of distinct elements s1, . . . , sn in S has the property that
given r1, . . . , rn in R such that Σi=1～n risi =0, then each ri = 0 for i = 1, . . . , n.
Before giving examples of linearly independent subsets of modules, it is
convenient to have the following easily verified properties.
Basic Properties 7.1
Let M be an R-module.
(a) The empty set is a linearly independent subset of M.
(b) A subset S of M consisting of a single element m is a linearly independent
subset of M if and only if for any r in R we have rm = 0 implies r = 0. Hence,
the subset {m} is linearly independent if and only if the morphism of R-modules
R→M given by r→rm is a monomorphism.
(c) If S is a linearly independent subset of M, then every subset of S is also a
linearly independent subset of M.
(d) For a subset S of M, the following statements are equivalent:
(i)S is a linearly independent subset of M.
(ii) Each finite subset of S is a
linearly independent subset of M.
つづく >>892
つづき
(iii) If {rs}s∈S is an almost zero family of elements of R such that Σs∈S rss =0,
then rs =0 for each s in S.
(iv) If {rs}s∈S and {r's}s∈S are two almost zero families of elements of R such
that Σs∈S rss = Σs∈S r'ss, then rs=r's for all s in S.
We now give some examples to illustrate various types of linearly indepen
dent subsets of modules.
P216
8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS
We now turn our attention to describing those rings R with the property that every
R-module is a free R-module. The reader is already familiar with the fact that
fields have this property. We now show that division rings, which are the natural
generalization of the notation of a field to arbitrary, not necessarily commutative,
rings, also have the same property.
Definition
A ring R is called a division ring if it is not the zero ring and every nonzero element
in R is a unit in R.
Obviously, a commutative ring is a division ring if and only if it is a field. So
fields are special cases of division rings.
In order to show that every module over a division ring has a basis, it is
convenient to have the notion of a maximal linearly independent subset of a
module over an arbitrary ring R.
Definition
A subset 5 of an R- module M is said to be a maximal linearly independent subset
of M if S is linearly independent and S is not contained in any larger linearly
independent subset of M.
The main result about maximal linearly independent subsets of a module M is
that every linearly independent subset of M is contained in a maximal such subset
of M. The proof of this fact is the burden of the following.
つづく >>893
つづき
Basic Properties 8.1
Let M be an R-module.
(b) Every linearly independent subset S of M is contained in a maximal linearly
independent subset of M.
(c) M has a maximal linearly independent subset.
(d) If M is a free R-module, then every basis for M is a maximal linearly indepen
dent subset of M.
PROOF: 略
P217
Proposition 8.2
Let D be a division ring. Then the following statements are equivalent for a subset
B of a D-module M:
(a) B is a basis for M.
(b) B is a maximal linearly independent subset of M. Since every module has a
maximal linearly independent subset, every module over a division ring D has
a basis and is therefore a free D-module.
PROOF: Because the reader has already shown that every basis of a module is
a maximal linearly independent subset of the module, we only have to show that
(b) implies (a).
略
P218
This finishes the proof that a maximal linearly independent subset B of a
D-module M is a basis for M because it generates M.
Having established that all modules over division rings are free, we will have
a complete description of all nonzero rings R with the property that all R -modules
are free if we show that any nonzero ring with this property must be a division
ring. Because we are trying to describe when a ring is a division ring in terms of its
module theory, it is reasonable to expect that a module-theoretic description of
when a ring is a division ring would be helpful. We do this now in terms of the
properties of the R-module R.
つづく >>894
つづき
Suppose R is a division ring. We claim that the R -module R has the following
properties: (a) R ± (0) and (b) (0) and R are the only submodules of R. By
definition, a division ring R is not zero so (a) is trivially satisfied. Suppose now
that M is a nonzero submodule of a division ring R. Then there is a nonzero x in
M. Because R is a division ring there is a y in R such that yx = 1. Because yx is in
M, it follows that 1 is in M and so r=r\ is in M for all r in R, which means that
M = R. So we see that a division ring R also satisfies (b), that is, it has the
property that (0) and R are the only submodules of R.
On the other hand, it is not difficult to see that a nonzero ring R which has the
property that (0) and R are its only submodules, is a division ring. To show this we
first show that if x is a nonzero element of R and yx = 0, then y = 0. The set M of
all y in R such that yx = 0 is a submodule of R, because it is the kernel of the
morphismof R -module R →R given by rl→ncfora!l rin R. Now M±R because 1
is not in R (remember R is not the zero ring). Therefore, M = (0) because (0) and R
are the only submodules of R. Hence, if yx = 0, then y = 0 because it is in M and
M = (0).
Next we observe that if x is a nonzero element of R, then there is a y in R
such that yx = 1. For the subset Rx is a submodule of R which is not the zero
submodule of R because it contains the nonzero element x. Hence, Rx = R be
cause (0) and R are the only submodules of R and Rx±0. This means that there is
a y in R such that yx = 1.
つづく >>895
つづき
We now show that these two observations imply that a nonzero ring R is a
division ring if (0) and R are the only submodules of R. To do this we must show
that if x is a nonzero element of R, then there is a y in R such that yx = 1 = xy. By
what we have just shown we know that if x is a nonzero element of R, then there
is a y in R such that yx = 1. Multiplying both sides of this equation by y on the
right, we obtain yxy = y or, equivalently, y(xy - 1) = 0. The fact that R is not the
zero ring means that 1≠0. Because yx = 1, it follows that y ≠0. But this, combined
with the fact that y(xy-l) = 0, implies that xy-l=0. For if xy-l≠0, then by
previous observation we would have y(xy- 1)≠0 because both y and xy- 1 are
different from zero. Hence, xy = 1 which gives our desired result that yx = 1 = xy.
Thus, we have shown that a nonzero ring R is a division ring if (0) and R are the
only submodules of R.
We summarize our discussion up to this point in the following.
P219
Proposition 8.3
A ring R is a division ring if and only if the R-module R is a nonzero module
satisfying the condition that (0) and R are the only submodules of R.
This result suggests that for an arbitrary ring R the nonzero R -modules M
with the property that (0) and M are the only submodules of M, might be worth
considering. In fact they play an important role in all of ring theory and for this
reason are given a special name.
Definition
Let R be an arbitrary ring. An R -module M is called a simple R-module if M=f=(0)
and (0) and M are the only submodules of M.
In this terminology our previous result becomes: A ring R is a division ring if
and only if the R-module R is a simple R-module. We leave it to the reader to
verify the following characterization of simple R-modules.
つづく >>896
つづき
Basic Properties 8.4
Let R be an arbitrary ring and M a nonzero R-module. The following conditions
are equivalent:
(a) M is generated by each nonzero element in M.
(b) For every R-module X, every morphism f:X→M is either zero or an
epimorphism.
(c) For every R-module X, every morphism f:M→X is either zero or a
monomorphism.
As an immediate consequence of these basic properties, we have the
following.
Corollary 8.5
Let M be a simple R-module. Then every endomorphism of M is either zero or an
automorphism. Hence, EndR( M ), the ring of endomorphisms of M, is a division
ring.
The main point to establish about simple modules in connection with our
problem of showing that a nonzero ring R is a division ring if every R-module is
free is that every nonzero ring R has at least one simple R-module.
Suppose we know that our nonzero ring R, which has the property that every
R-module is free, also has a simple R-module M. Then the simple R-module M
must have a basis B since M is a free R-module. Because M ≠ (0), we know that
B is not empty. We now show that B consists of exactly one element. Let b be an
element of B. Then by one of our characterizations of simple modules (Basic
Property 8.4), we know that the element b generates M since b ± 0. By Basic
Property 7.6, it follows that {b} = B. Hence, B consists of a single element.
But we have already shown that a free module over a ring R has a basis
consisting of one element if and only if it is isomorphic to R. Hence, the simple
R-module M is isomorphic to R which means that R is a simple R-module.
つづく >>897
つづき
Hence, R is a division ring because we have already seen that a ring R is a division
ring if and only if the R-module R is a simple R-module. Thus, our problem of
showing that a nonzero ring R is a division ring if every R-module is free is solved
once we establish that every nonzero ring has a simple module. To this end it is
convenient to have the following.
P220
Definition
Let M be a nonzero R-module. A submodule M' of M is said to be a maximal
submodule of M if and only if M'±M and M' and M are the only submodules of
M containing M'.
The following characterization of maximal submodules of a module is an
almost immediate consequence of the definition.
Basic Property 8.6
A submodule M' of the R-module M is a maximal submodule of M if and only if
M/M' is a simple R-module.
PROOF: This is a direct consequence of the isomorphism established by the
canonical surjective morphism kM,M-:M-≫MIM' between the set of submodules
of M containing M' and the set of submodules of MIM'.
Hence, in order to show that a nonzero ring R has simple modules, it suffices
to show that the R- module R has a maximal submodule M because in that case
R/M is a simple R-module.
Proposition 8.7
Let R be a nonzero ring. Then every submodule M' of R, different from R, is
contained in a maximal submodule of R. Consequently, the ring R has at least one
maximal submodule M which means that R also has the simple R-module R/M.
PROOF:
つづく >>898
つづき
P221
Because F is an inductive set, it must have a maximal element M by Zorn's
lemma. We leave it to the reader to verify that M is a maximal submodule of R.
Because M obviously contains M', the first part of the proposition is proven.
In the light of this result, to see that R contains at least one maximal submodule,
all we have to do is find some submodule M' of R different from R.
Because R is not the zero ring, the zero submodule of R will do.
The rest of the proposition now follows trivially from our previous characterization of maximal submodules.
In the light of this discussion, we have also established the following.
Theorem 8.8
For a nonzero ring R, the following statements are equivalent:
(a) R is a division ring.
(b) Every R-module is a free R-module.
(c) Every nonzero R-module generated by a single element is a free R-module.
(引用終り)
以上 >>890
(引用開始)
大学の物理で扱う筈のジュコーフスキー逆変換が高校数学の問題になっている理由が分からないが、
ジュコーフスキー逆変換を高校数学で求めるだけなら、
実数x、yでzを z＝x+yi と表す。ド・モアブルの定理を用いてwを極形式で表す。
zの実部x、zの虚部yの存在性は保証されているから、x、yを機械的に計算して求めれば済む。
(引用終り)
全くの同意見です
但し、ド・モアブルの定理→オイラーの公式(>>818ご参照)に替えて
e ^iθ=cosθ+ i sinθ
として、オイラーの公式で、
偏角は指数法則を使えば良い
（下記の東北工業大学”複素数の極形式”ご参照）
関数 cosとsinとは、組み込み関数があるだろうから、それ使えば良い
半角公式とか、不要と思う
多価関数になるとかは、難しく考えないで
現実的に処理出来るでしょ
（参考）
https://mathtrain.jp/kyokukei
高校数学の美しい物語
複素数平面における回転と極形式 2015/11/05
https://www.ice.tohtech.ac.jp/nakagawa/euler/polarform_1.htm
東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室
(抜粋)
複素数の極形式
a + i b を A e^ iθ の形に表しなさい
( i は虚数単位, i^2 = -1 )
オイラーの公式
e ^iθ=cosθ+ i sinθ
A e iθ のような形を極形式といいます。
Aは大きさ(amplitude)、θは偏角(phase)です。
この形に直すには、まず
左辺に元の式、右辺に最終目的の形を書いて、等しくなるように
a + i b = A e ^iθ とおき、
右辺にオイラーの公式を使って
a + i b = A ( cosθ + i sinθ )
Aを分配すると
a + i b = A cosθ + i A sinθ 失礼。>>879とは書きましたが、別に難しい話じゃないですね。
aは実数なので、分岐点は円周|w|=2a上に2個とも乗っており、円の内側と外側でそれぞれ一価函数（としての葉）が得られる。
円の内側と外側の関係ですが、上弦側で一致する葉を取るか、下限側で一致する一致する葉を取るかの違いが生じる。
上弦側で一致させた場合、下限側でギャップが生じるし
下限側で一致させた場合、上弦側でギャップが生じる。
それだけの話。 訂正。
上弦側で一致させた場合、下弦側でギャップが生じるし
下弦側で一致させた場合、上弦側でギャップが生じる。 でも、「高校数学ですべてうまく行く」というほど簡単ではないでしょ。
現に多価性は生きていて、ギャップは不可避なのだから。 。＊゜。 ○゜。✳ ゜
゜ ゜
868 ゜
゜
○゜
。 ゜君の名は
✳
゜。 どこにギャップが生じるかは、分岐点を含むどの線分を取り除いて
どの単連結領域で一価函数になるようにするかによるが、どうやってもギャップは生じる。
「ギャップが生じる」というのは、具体的な計算をしなくても分かる。
計算だけに頼っている計算バカは、なぜそうなるか分からないと思う。 >>900
補足
下記の九大 辻井 正人 「P14 ５．Joukovski の翼」の通り
https://www.math.kyushu-u.ac.jp/teachers/index
Faculty of Mathematics | Kyushu University 九州大学HP
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tsujii/Math2B2009.html
数学２B（２００９年度前期，水曜日，辻井 担当）
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tsujii/pdf_files/math2b09/math2btext.pdf
辻井 正人 九州大
講義プリント（pdfファイル）
1. 調和関数と等角写像
(抜粋)
４．等角写像
座標変換で重要なのは逆写像が存在する１対１写像による座標変換である。
定義 複素平面の領域 U を W に１対１に移す正則関数 w = F(z) を等角写像と呼ぶ。
この名前の由来は次の定理による。
定理３ 領域 U を W に移す等角写像 F は次の意味で任意の曲線の交角を保つ写像に
なっている。つまり、領域 U 内の１点 p で交わる任意の曲線 C1, C2 に対して、その
像曲線を Di = F(C1), D2 = F(C2) とするとき、点 p における曲線 C1, C2 の交角と、点
q = F(p) における曲線 D1, D2 の交角は常に等しい。
定理３の証明
略
P14
５．Joukovski の翼
２次変換 w = z +1/z
(z≠ 0) を考える。この逆変換は、z^2 ? wz + 1 = 0 を解いて、
z =w/2±√(w^2/4? 1)
で得られる。逆変換は w = ±2 以外では対応する z 平面の点が２個ずつある。w = ±2
に対応する z 平面の点はそれぞれ z = ±1 である。
z 平面の円 |z| = r の像を調べる。z = e^iθ (0 <= θ <= 2π) とすると、
w = z +1/z= re^iθ +1/re^?iθ = (r +1/r) cos θ + i(r ?1/r) sin θ
∴ u = (r +1/r) cos θ, v = (r ?1/r) sin θ
略
つづく >>906
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F
等角写像
等角写像（とうかくしゃぞう、英: conformal transformation）とは、2次元以上のユークリッド空間からユークリッド空間への写像であって、任意の点の近傍の微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう。いいかえれば、座標変換の関数行列が回転行列のスカラー倍となるものである。すなわち、平面上の一つの図形を他の図形に変換（写像）したとき、図形上の二曲線の交角はその写像によっても等しく保たれるような写像を等角写像と呼ぶ。
一見すると、原形から大きく図形が変わったように見えても、対応する微小部分に注目すると、原形の図形と相似になっているのが、等角写像である。等角写像は、複素関数論と深い関係があり、工学上、流体の挙動の記述などにおいて非常に有用である[1]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BF%BC%E5%9E%8B
翼型
ジューコフスキー翼
もっとも基本的な写像によって得られるのがジューコフスキー翼である。ジューコフスキー翼は実際の翼型に近い翼型が得られるが、後縁でなす角度（後縁角）が0度となって後縁が非常に薄くなるため、強度の維持に問題がある。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Joukowsky_airfoil.png/250px-Joukowsky_airfoil.png
一般ジューコフスキー翼
(引用終り)
以上 >>900
そもそも、ジュコーフスキー変換は揚力とかの流体の物理で出て来る話で、高校数学ではない。
ジュコーフスキー変換の式の導出も大事で、数学だけやっても意味ない。
流体の物理を扱うときは大学の物理数学も学んでいる訳で、物理や物理数学で扱うのが相応しい。 キメツ読んでたせいで、上弦、下弦なんて書いたけど、ほんとはどう言うんだっけ？ｗ
要するに、円の上側、下側っていう意味です。 検索バカの御仁は「等角写像だから大丈夫」と思ってるようだが
等角写像なのは全平面ではないでしょ。分岐点があるんだから。
局所的な単連結領域内でだよ。2つの単連結領域があったとき
その関係性は自明ではないよ。 >要するに、円の上側、下側っていう意味です。
物理現象を正確に記述出来ているという点ではその表記のままでいい。 >>900
＞多価関数になるとかは、難しく考えないで
＞現実的に処理出来るでしょ
そもそもセタ君は何がどうなってるのか
全然分かってないでしょｗ
あんたホント口先ばっかで誠意ないよね
会社の綽名はズバリ口先男でしょ
そういう人いるよ
エエカッコシイで何もしない
部下からの評価は最悪ｗ >>901
＞別に難しい話じゃないですね。
＞aは実数なので、分岐点は円周|w|=2a上に2個とも乗っており、
＞円の内側と外側でそれぞれ一価函数（としての葉）が得られる。
ま、そうですね
HPの図を見た瞬間、真っ先にそこに気づきました >>906-907
そもそも複素微分可能だったら微分係数が０でない限り
等角になるに決まってるんだよｗ
だってさ、複素数倍の写像って結局伸縮と回転しかないじゃんｗ
複素数ｚをre^iθで表せば、r倍の伸縮と、角度θの回転
なんか理解してない人に限って＊＊の一つ覚えで
等角写像！とか解析接続！とか喚くよな 困ったもんだ ところで、ID:9OkyXBRaは、arctan(y/x)の問題点は理解したのかな？
arctanって、複素数から偏角への1対1写像にならないんだよね、2対1写像だから
任意の複素数ｚについてｚとーｚの偏角をarctanで計算すると同じになっちゃうよ
tanのグラフ見ればわかるじゃん
sinとcosの周期は2πだけど、tanの周期はπだから
ま、でも解決方法はあるよ、
ｘ＋ｉｙとあらわしたときのｘの符号を見ればいい
ｘが負だったら、
角度が正のときは π-atan(y/x)
角度が負のときは π+atan(y/x)
ま、考えりゃわかるけどな >>910
以下は高卒ド素人のセタ君には理解不能なつぶやきｗ
リーマンの写像定理で
「Cの部分集合Uが空でない単連結な開集合のとき、
U から単位開円板Dへの双正則な写像f が存在する」
って云ってるけど、じゃあ、例えばUが正方形としたとき
UからDへの写像を式として書き表すのは簡単じゃないよな >>916
おサルはほんと面白いわ
揚げ足取りに来て、自分がアホ晒してら～ｗ
１．”等角写像”は、応用系では重要キーワードなんですよね。無知は知らず、下記の東工大 「6 章 等角写像」よめ
２．多価関数で分岐の話も同じ。>>909の「円の上側、下側」が、リーマンの写像定理から一意に決まる？ 笑えるよ。下記青山学院よめ（＾＾
（参考）
http://www.gem.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/
西山研究室書庫 卒業論文
http://www.gem.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/2015/sotsuron_2015_yamamoto.pdf
リーマンの写像定理と等角写像；具体例と応用
青山学院大学 理工学部 物理数理学科
西山研究室 15112117 山本 義也 平成 28 年 2 月 19 日
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Amath06/am_chap06.pdf
6 章 等角写像 物理数学第一
平成１８年度武藤一雄 東工大
P11
電磁気学への応用
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/
武藤一雄 東工大
物理数学第一
平成１８年度 学部 ３学期
ノート 例題
目次 50 KB
■ 第１章 複素数
■ 第２章 １次分数変換
■ 第３章 複素関数の極限・連続性・導関数
■ 第４章 正則関数
■ 第６章 等角写像
■ 第７章 複素積分と Cauchy の積分定理
■ 第８章 Cauchy の積分公式
■ 第９章 数列と級数
■ 第１０章 ベキ級数
■ 第１１章 留数定理
■ 第１２章 実関数の定積分
■ 第１３章 解析接続
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%B2%90%E7%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
分岐点 (数学)
複素解析学において、多価関数の分岐点（ぶんきてん、英: branch point[注釈 1]）とは、その点を中心とする任意の閉曲線に沿って一周するときその函数（の、もとの点における値が周回前と周回後で一致しないという意味で）不連続となるような点をいう[1]。多価函数をきちんと扱うにはリーマン面の概念が必要であり、従って分岐点の厳密な定義も同概念が用いられる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%9D%A2
リーマン面
https://en.wikipedia.org/wiki/Puiseux_series
Puiseux series >>918
＞多価関数で分岐の話も同じ。
同じ＝「応用系では」重要キーワード なら
これまた複素解析を全然知らないと露見ｗ
おまえ、コーシーの積分定理知らんのか？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AE%9A%E7%90%86
「D を単連結な領域とし、
f(z) は D 上で正則である複素関数とするとき、
C を D 内のある閉曲線であるとすると、
∲c f(z)dz=0
つまり、ある領域を囲む閉曲線で関数 f(z) を積分するとき、
その領域内で f(z) が常に正則であれば、
その積分の値は必ず 0 となることを主張している。」
これを踏まえた上で・・・
分岐点は特異点であって微分可能でない
したがって分岐点の周りを回る閉曲線は
コーシーの積分定理の条件を満たすとはいえない
で、この分岐点の周囲の状況を表すのが・・・モノドロミー >>917
＞リーマンの写像定理から一意に決まる？ 笑えるよ。
ド素人セタは自分には理解できない事実を受け入れられず
無理矢理泣き笑いする悪癖がある
しかも検索もロクにできない
ズバリのものを見つけろよ バカめ
https://lp-tech.net/articles/YRoK7
＞>>909の「円の上側、下側」が、
他人の言葉を無理矢理くっつけるから馬鹿になる
おまえ文章も正しく読めないの？記憶も正しくできないの？
精神に異常を来してるの？ 薬飲め 入院しろ >>921
アホが難しく考えすぎだろ
下記、「ジューコフスキー翼を作図してみる (3/4)」でも見ろ（Excelシートあるよ）
本当に賢い人は、難しい問題を易しくし
アホは、易しいことを、難しいことを言って、無知をゴマカス（＾＾；
（参考）
https://monoist.atmarkit.co.jp/mn/articles/1602/05/news029_2.html
無償ソフトで流体解析（4）：
ジューコフスキー翼を作図してみる (2/4)
2016年02月05日 10時00分 公開
[伊藤孝宏，MONOist]
ジューコフスキー翼を作成する
今回は解析事例として翼周りの流れを紹介します。始めにジューコフスキー翼を作図してみます。ついで、ジューコフスキー翼に適度な角度を付けた状態で、Flowsquareによる解析を行い、揚力の発生する仕組みや失速について見てみます。
ジューコフスキー翼は、図2に示す円に、ジューコフスキー変換と呼ばれる（1）式で示す座標変換を施すことで図3に示すような形状として得られます。
https://image.itmedia.co.jp/mn/articles/1602/05/yk_flowsquare04_02.jpg
図2：ξ-η平面の円
https://image.itmedia.co.jp/mn/articles/1602/05/yk_flowsquare04_03.jpg
図3：ジューコフスキー変換による翼型
https://monoist.atmarkit.co.jp/mn/articles/1602/05/news029_3.html
無償ソフトで流体解析（4）：
ジューコフスキー翼を作図してみる (3/4)
2016年02月05日 10時00分 公開
[伊藤孝宏，MONOist]
能書きはともかく……、「とにかく翼型を作図したい」という方には、以上の計算を行い、翼型を表示するExcelシート（joukowski.xls）を用意しましたので、このリンクからダウンロードして利用してください。
https://monoist.atmarkit.co.jp/mn/files/20160205/joukowski.xls
joukowski.xlsのシートのセルB1が迎角の入力欄で、セルB2がξ0、セルB3がη0の入力欄です。定数cは自動で計算されるため、セルB4への入力は不要です。セルB1、B2、B3を変更すると、対応して、翼型が変わります。迎角も考慮した翼型のX座標はF列に、Y座標はG列に表示されています。
ジューコフスキー翼は翼後縁が尖るという難点はありますが、比較的簡単に作図できますので、興味のある方は利用してみてください。 > 本当に賢い人は、難しい問題を易しくし
> アホは、易しいことを、難しいことを言って
それ文系が言う台詞。「もっと分かり易く」という言葉を
文系は「厳密さとか正確さどうでも良いし騙し騙しでも良いからもっと簡素に」という意味に解釈し
理系は「厳密さも正確さも曖昧過ぎて分かり難いからもっと詳しく」という意味に解釈する｡
> 無知をゴマカス（＾＾；
学習怠慢を「三流は一流の仕事に依存しなさいよ」と言って正当化し無知を貫きコピペを悪戯に列挙するアンタが言うと説得力は無い
そもそも一流の成果を活用するにも学習熟練が必要。実際、アンタは誤引用ミスリードだらけ｡ >>890
お前も瀬田氏みたいなバカに成りたくなかったら少し手抜き学習を戒めろ
そうやって出来ないのに出来ると言い続けてばかり居ると爺になってから裏で口だけ達者の大バカ扱いされ続けるぞ 一言一句変わらぬ説明なのに三流の人の文から読むと理解せず一流の人の文から読むと理解する人間が居る｡
一言一句変わらぬ説明なのに一流の人が素性を明かさず書いた文を読むと理解せずに素性を明かして書いた文を読むと理解する人間が居る｡
理解も理解、理解した気になってるだけである｡ >>924
本来、ジュコーフスキー変換は数学ではなく、物理の流体力学の話で、
飛行機などの翼を横から見たとき、その翼の前後から吹く風などの気体の圧縮性流体について、
その圧縮性流体運動の翼の周りの様子を描くところで出て来る。
それが高校数学の問題になっているのだから、応用数学で機械的に求めただけだろ。
こういう物理の計算も大事だぞ。 >>926
Zhukovsky変換を物理学者がどう使おうが勝手だが
変換そのものは数学（複素解析）の話 複素解析はもちろん純粋数学として研究されている
楕円関数然り、保形関数然り
流体力学とかいう物理のため”だけ”の応用数学ではない 次スレのタイトルだが「純粋・応用数学」はやめにして
「数学の応用 ４」とするのがいいんじゃないか？
数学屋は数学の話をし、物理屋・工学屋は
数学を自分の専門分野にどう応用するかの話をする
もちろん、応用に際し発生する、数学に関する質問も受け付ける
これでどうだ？
数学屋は物理も工学の話も知らないのだからつっこみようがない
ガロア理論？物理や工学に応用できるというならその話をすればいい
別にきっちりした計画でなくてもいいぞ 夢のようなプランで結構 >>923
＞「厳密さとか正確さどうでも良いし
証明のうち計算に関係ない箇所を省く、というのはあり
ただその場合、例えば５次以上の代数方程式の
ベキ根による不可解性については
「５次以上の方程式の解がベキ根で表されるなら
”ある性質”を有するはずだが、実際には
そのような性質をもたない方程式が存在するので矛盾」
で終わり
”ある性質”のところは代数方程式の計算に関係しない
＞ 騙し騙しでも良いからもっと簡素に」
簡素にした結果が上記の文ｗ
そもそも体の定義も自己同型も理解する気がない素人に
体の自己同型群としてのガロア群の話をしても無意味
ベキ根で表せる場合、ガロア群が有する性質について
いくら語って見せたところで理解する気もないんだろう
だったら「解けないから解けない」でいいだろ
Trust me!（オレを信じろ） 追記
もし
「ベキ根で表せない解をもつ代数方程式があるにせよ
ほとんど全ての代数方程式はベキ根で表せる」
というなら、ガロア理論（というより解をベキ根で表す方法）を学ぶことは、
大多数の数学ユーザー（物理屋・工学屋等）にとって必須だろう
し・か・し、現実は
「ほとんど全ての代数方程式はベキ根で表せない」
のだから、数学ユーザーにとってガロア理論を学ぶ意味はないだろう
もし、「違う」というなら、
いったいいかなる物理的・工学的意義があるのか
示してほしい
そういうアイデアもなしに、
ただ漠然と「教養」として学ぶ
とかいうのは時間の無駄だし、
そんな動機では学習は無理
CGをやるのに、行列とか射影変換とかが必要
という動機なら必死で学ぶだろう
理解しなきゃ何もできないんだから
物理屋・工学屋としてはそういうガチな必須理由を
明確にした上で数学を学んでほしいし
「リクツは要らない 計算方法だけ教えてくれ」
というんなら、いくらでもリクツは端折ってあげよう
（そういう目先の利益におる効率主義は
大局的にはかえって大損じゃないか？
と思わなくもないが） >>916
そもそもリーマンの写像定理は存在定理なので、「式であらわされる」とは主張していない。
ですが、「多角形の場合」は具体的にあらわされるという定理はありますね。
「シュヴァルツ-クリストッフェルの定理」
https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarz%E2%80%93Christoffel_mapping
上半平面からC内の多角形内への等角写像を具体的に与える定理ですが
単位円板と上半平面は等角同値なので、これが使える。
正方形（より一般に長方形）の場合だと、楕円函数と関係することになる。
そうなるシンプルな理由は、ちょっと考えても分からないので
定理の証明を読むしかないのかな？ Zhukovsky変換の件で、唐突に「等角写像」とだけわめいた奴がいるが
まったく無意味
数学ユーザーがなすべき発言は
「なぜ、流体力学において等角写像が有用なのか？」
の問いの答え
数学屋は流体力学なんて知りもせんのだから、
その質問に答えられるのは数学を使う側だけだろう >>931
「ガロア理論の応用」は、ほとんどは数論ですね。
「ガロア理論の雛型」だったガウスの円周等分論からしてそうだった。
物理・工学とは関係ないといえばそうかもしれないが
「数体に作用するガロア群」と「空間に作用する変換群」は類似している。
歴史的に群の作用が最初に明確に認識されてきたのが
ガロア理論の周辺だったということから、教養として学ぶ意義は
あると思います。 >>932
＞単位円板と上半平面は等角同値なので
これはもっと簡単に示せますね
メビウス変換として実現できますから
＞正方形（より一般に長方形）の場合だと、楕円函数と関係することになる。
＞そうなるシンプルな理由は、ちょっと考えても分からないので
長方形を並べて平面全体に敷き詰められるから・・・なんちって
これを一般化して、上半平面から双曲的三角形への写像を作れば
保形関数ができあがる（双曲的三角形の角度によるけど） >>934
円分多項式って数学的には面白いけど、物理屋、工学屋にとっては
「数学マニアの趣味」なんだろうな
（つまり、カタギの数学ユーザーの対極にあるのはヲタクな数学マニア）
＞「数体に作用するガロア群」と
＞「空間に作用する変換群」は
＞類似している。
「同型変換」の総体、という構造がね
そういう抽象化の発想が圏論につながってる
＞歴史的に群の作用が最初に明確に認識されてきたのが
＞ガロア理論の周辺だったということから、
＞教養として学ぶ意義はあると思います。
３つの質問と回答で、お答えします
Ｑ１．数学ユーザーが群論を学ぶ意義はあるか？
Ａ１．ある 群はいろいろなところで普遍的に表れる構造であるから
Ｑ２．群論を学ぶにあたって、ガロア理論を学ぶ必要はあるか？
Ａ２．ない 群論ぬきにガロア理論は理解できないが、
群論を学ぶのに、ガロア理論は必要ない
Ｑ３．一般人がガロア理論を学ぶ意義はあるか？
Ａ３．もしあなたが自分の中の隠れたヲタク趣味に目覚めたのなら
学ぶことできっと新しい世界が開けるでしょう いらっしゃいませｗ
でも、ヲタク趣味がまったく欠如してるのに
外面だけヲタクぶりたいだけなら無駄だと断言します おとといきやがれｗ ヲタクとカタギの違い
ヲタク：キュリオシティ・ドリブン 内なる好奇心で動くタイプ
カタギ：ミッション・オリエンティド 外からの使命で動くタイプ
数学科とその他の理工系学科の数学に対する態度の違いはこんなもん
ちなみに学問そのものに対する態度でいえば、理学部はヲタク的で工学部がカタギ >>932
>長方形を並べて平面全体に敷き詰められるから・・・なんちって
>
>これを一般化して、上半平面から双曲的三角形への写像を作れば
>保形関数ができあがる（双曲的三角形の角度によるけど）
その考えで行けるのかも。
ただ、境界のところが問題になりますね。 >>937
たた、数学科にいるのがヲタクばかりかというとそうでもない
確率論やって金融とか保険業界に入っちゃう人はカタギ的
また、一般人にヲタク的な感覚が皆無ともいえない
数学板で発生した巨大数ブームは一般人から発生した
ヲタク的趣味の現れといっていい セタとかいう人は、
ガロアとかグロタンディクとか名前
あるいは群とか圏とかいう言葉
につられてるだけの「似非ヲタク」
サーフィンしない丘サーファーみたいなもんｗ
数学板でもっとも嫌われるタイプだな Zhukovsky変換の件でも何も言えなかった
馬鹿野郎セタに数学が分かるわけないだろ >>922
＞本当に賢い人は、難しい問題を易しくし
＞アホは、易しいことを、難しいことを言って、無知をゴマカス
◆yH25M02vWFhPは、自分が「本当に賢い人」だと妄想してるらしいｗ
そもそも>>743の質問がダメダメ
肝心なことを文章で説明できず、
ただ答えを欲しがってる
マシな展開になったのは>>824からだろ
ま、リーマン面もわかってないような素人が
何が問題なのか気づくのは無理なんだろうけどな
で、◆yH25M02vWFhPは、結局リーマン面が
全く理解できなかったんだろうが、それを認めるのが
癪なもんだから、結局コピペで誤魔化したｗ
こんな奴はエグゼクティブの会社？潰れるわｗ ◆yH25M02vWFhPのいう「易しい説明」は
複雑度を削りまくった粗雑極まりない御伽噺
そりゃ大学の数学が理解できないわけだ
しかし、あの程度の理屈も分からんとかマジ精薄かｗ
「正方行列全体の群」とかいうヤツが圏とか語るなよ 無理だからｗ ◆yH25M02vWFhPに贈る言葉
「鵜の真似をする烏」
《自分に姿が似ている鵜のまねをして水に入った烏がおぼれる意から》
自分の能力をよく考えず、みだりに人まねをすると、
必ず失敗するということのたとえ。 >>945-946
此れが真に「やさしい説明」、「易しい説明」ならぬ「優しい説明」｡ |∞ !?? ぉ蕎麦ｯﾁｬﾏ…
|;´д`)め~さまを💗好き💗
с \ になっちゃった~!?
|∞
|д`)…
с
|∞
|ﾉд`)ﾟ。ｴﾓﾋﾟ-先ﾆ
с \💖好ｷ💞ﾆﾅｯﾀﾉﾆ…
盗ﾗﾚﾁｬｯﾀﾗ…
|∞
|д<ﾟ)ﾟ。゜結婚式ﾆﾊ
с \゜ｫ招ｷ頂ｶﾅｸﾃﾓ…
結構ﾃﾞｽｶﾗ…!
|゜＊。゜
|=з ｩ"ｯ"ﾋﾟｬ"ｧ"ｧ"ｧ"…! 儂が猿MaraオナホしごきPapiyas一石第六天(=他化自在天)魔王を好く訳が無かろう､
好きの反対は無関心と云う言葉が流行ってるが吹聴に過ぎん、好きの反対は嫌いに他ならん｡ 。○゜
。○゜
好きの反対は
ﾟ。
ﾟ 嫌いに他ならん
゜。
| ○
|∞ ゜
|´д`)…
с \
|=з …ｿｩｶﾓ… ﾟ 興味津々
↑
好き ←─┼─→ 嫌い
↓
無関心
↑ｺﾚ? ｴﾓ-ﾄ🍄ﾎｰﾑﾜｰｸ。。。
講師:ぉ蕎麦ｯﾁｬﾏ
今日のｴﾓ-ﾄ数学終わりｯ!
|=з 失礼ｼﾏｽﾏﾃｨ科! 今、蕎麦は自分が絶対と信じていた価値観に対する疑念が生じている
その原因は・・・いかなる権威も認めない男 Mara Papiyas Mara Papiyas 女心の分からん男であるｗ 儂の前で「絶対」という言葉を添えた「断言」をする事は高額生命保険掛け生命及び全財産を担保にする事を含む >>955
蕎麦が「絶対」という言葉を嫌う理由
「絶対浮気しない」といった彼女をデカ＊ン男にNTRれた
え？*Vの見過ぎ？あぁ… 自己愛性パーソナリティ（障害）を有していたとされる有名人には、
三島由紀夫、サルバドール・ダリ、ヘルベルト・フォン・カラヤンがいる。 三島由紀夫は対人関係に過敏で、貴族的な選民意識を持ち、
妥協を許さぬ完璧主義者であった。
祖母に溺愛され、母との情緒的な繋がりを持ちにくかった三島は、
幼い頃にはケガをすると危ないという理由で女の子だけを遊び相手に選ばれている。
文壇デビュー当時の思うように売れない時期から、
基底にある自己不確実感を覆い隠すように
ボクシングやウェイトリフティングという肉体鍛錬に没頭した。
またそのうるわしい肉体とは対照的に、
取り巻きなしでは飲食店に入ることすらできない
という過敏性を示している。
その後数々の傑作を生み出し隆盛を極めたものの、
40歳にもなると肉体的な老いを感じずにはいられなくなり、
痩せ衰えることを極度に恐れた。
やがて国家主義的思想に自らの在り方を重ねていった三島は、
劇的な自決により、美を保ったまま自らの人生に幕を下ろした。 サルバドール・ダリは様々な精神障害の特徴を示しているが、
その中核にあるのは歪なナルシシズムである。
自らを天才と言って憚らない自己顕示性と、奇矯な振る舞いの背後には、
ありのままの自分を認められずに過ごした生い立ちが関係している。
ダリには同じ名前の兄がいたが、2歳でその人生を閉じており、
ダリはその兄の写真を見る事を極度に恐れた。
両親の目の奥に、自分ではなく、死んだ息子への不毛な愛情を感じていたからである。
生涯にわたって自己喧伝の衝動に囚われ続けたダリは、
『私は自分自身に証明したいのだ。私は死んだ兄ではない、生きているのは私だ、と』
と綴っており、愛情面の傷つきからくる繊細な感性と、誇大的とも言える自信は、
創造的な営みの原動力となった。 ヘルベルト・フォン・カラヤンは世界最高の指揮者として
「帝王」の名を欲しいままにしたが、その気性から数多くの問題を引き起こした。
カラヤンはメディアに掲載される自らの写真を全てチェックし、認めたもののみ公表を許すなど、
自分が最も理想的な姿で映し出されることを求めた。
1975年に不意打ちで写真を撮られた際にはカメラマンを殴りつけるという事件を起こしている。
またカラヤンは自らが貴族階級出身であることをあらわす「フォン」をつけて名乗ったが、
パスポートには「ヘルベルト・カラヤン」とだけ記されていたという。
幾度にも渡るベルリン・フィルハーモニーとの対立に示されるように、
カラヤンは少しでも意見を言う者や、従わないものには怒り狂い、徹底的に攻撃した。
世間の持つ「天才」、「帝王」という二枚目な「芸術家としてのカラヤン」と、
「人間カラヤン」を同じように評価することはできないと楽員は述べている。 このスレッドは１０００を超えました。
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