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グロダンディークの夢－トポスと正多面体
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0001Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 09:28:31.60ID:GMz9Qgqz
本スレッドは、グロタンディークが上げた12テーマについて語る

１．位相的テンソル核と核型空間
２．"連続"と"離散"の双対性　(導来圏と六つの演算)
３．グロタンディーク‐リーマン・ロッホの定理の一般化 (K-理論、交叉理論との関係)
４．スキーム
５．トポス
６．l-進エタール・コホモロジー
７．モチーフとモチヴィック・ガロア群
８．クリスタルとクリスタリンヌ・コホモロジー
９．トポロジー代数、∞-園、"デリヴァトゥール"("dérivateurs") (新しいホモトピーによるトポスのコホモロジーによる定式化)
１０．穏和トポロジー
１１．遠アーベル幾何学、ガロア・タイヒミュラー理論
１２．正多面体と正規配位図形のスキーム的、数論的な観点からの研究
0002Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 09:29:32.80ID:GMz9Qgqz
トポスについて

概説

数学におけるトポス（topos）とは、
位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である。

アレクサンドル・グロタンディークによる
ヴェイユ予想解決に向けた代数幾何学の変革の中で、
数論的な図形（スキーム）の上で
有意義なホモトピー・コホモロジー的量が定義できる
細かい「位相」を考えるために導入された。

その後数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、
集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。
0003Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 09:30:26.17ID:GMz9Qgqz
初等トポスの定義

有限極限を持つ圏 Eがカルテシアン閉であるとは、任意の対象Xについて
Xと直積を取る関手X × -: E→Eに右随伴関手(-)X: E→Eが存在する事をいう。

例えば集合の圏Setsや有限集合の圏FinSetsはカルテシアン閉だが
位相空間の圏Topはカルテシアン閉でない。

一般に圏 E の対象Aの部分対象とは、
コドメインがAであるモノ射の同型類の事を言う。
モノ射の引き戻しがモノ射になる事から、引き戻しを持つ圏Eについて
各対象XにXの部分対象を与える関手Sub(-):Eop→Setsが定義される。
圏Eの部分対象分類子(subobject classifier)とは、
この関手を表現する対象の事をいう。

圏 E は(初等)トポス(elementary topos)であるとは、
Eがカルテシアン閉で部分対象分類子を持つ事をいう。
たとえば、Sets やFinSetsは部分対象分類子として
二点集合を持つのでトポスになる。

EとF がトポスのとき、関手 f_*: E → F と完全関手 f~*: F → E の対 (f_*, f~*)で
随伴関係 f~* ⊣ f_*をみたすものは
E から F へのトポスの射（geometric morphism）とよばれる。
このときf_*はfの直像部分、f~*はfの逆像部分とよばれる。
随伴性によりトポスの射の直像部分は左完全な関手になる。
0004Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 09:31:22.25ID:GMz9Qgqz
グロタンディーク・トポス

C を小さな圏とする。
C の各対象 X から HomC(-, X) の部分関手の族 J(X) への対応 J で
以下の公理を満たすものはC上のグロタンディーク位相といわれ、
対 (C, J) は景（site）とよばれる。
・HomC(-, X) ∈ J(X)
・S ∈ J(X) のとき任意の射 f: Y → X について
　S の f による引き戻し f~*S = { g: Z → Y | fg ∈ S(Z) } は J(Y) に入る
・S ∈ J(X)、R ⊂ HomC(-, X)で任意の (f: Y → X) ∈ S(Y) について
　 f~*R ∈ J(Y) ならば R は J(X) に入る

たとえば、C の任意の対象 X について
J0(X) = { HomC(-, X) } とおけば、
J0は上の条件を満たす。
このJ0はC上の自明なグロタンディーク位相とよばれる。

(C, J) を景とするとき、Cから Sets への反変関手のうちで
J についての「張り合わせ条件」を満たすものは
(C, J) 上の層と呼ばれ、
それらのなす圏 Sh(C, J) はトポスになる。
このようにして得られるトポスはグロタンディーク・トポスと呼ばれる。
0005Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 09:32:02.97ID:GMz9Qgqz
>>４の続き

Sets への反変関手全体を考えるかわりに
適当な宇宙 U への反変関手全体を考えることにすると、
得られた「トポス」自体を再び景と見立てることが可能になる。
このときのグロタンディーク位相は射の系の全射性によって定められる。

グロタンディーク・トポスは
余完備（cocomplete）で小さな生成系を持つトポス
として特徴づけられる。
ここからグロタンディーク・トポスにおけるアーベル群的な対象のなすアーベル圏は
十分に単射的対象を持つことがしたがう。
したがってグロタンディークトポスのアーベル群的な対象の圏について
その導来圏を考えたり、トポスの射の直像部分の右導来関手を考えたり
することができる。

とくにC を小さな圏とするとき、
その上の自明なグロタンディーク位相からは
C上の反変関手（C上の前層とよばれる）全体の圏 Psh(C)が得られる。
またJ がC 上のグロタンディーク位相のとき、
「埋め込み／忘却」関手 Sh(C, J) → Psh(C) と
「層化」関手 Psh(C) → Sh(C, J) の対は
Sh(C, J) から Psh(C) へのトポスの射になる。
0006Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 09:32:35.91ID:GMz9Qgqz
古典的な層の理論との対応

Xを位相空間とするとき、
Xの開集合のなす圏 O(X) の上に
族の合併操作からグロタンディーク位相が定まる。
そこから得られるトポスは（普通の意味での）X 上の層の圏 Sh(X) である。
位相空間の間の連続写像 f:X → Y はトポスの射 Sh(X) → Sh(Y) を導く。
逆に、Yがハウスドルフ性などよい分離性を持つ空間のときには
トポスの射 Sh(X) → Sh(Y) は必ずこのようにして得られる。
したがって、トポスの理論は位相空間の理論の
（圏の言葉による）言い換えを与えていると考えることができる。

Setsは一点空間の上の層の圏と見なせるが、
任意の点 x ∈ X について { x } → X が導く
トポスの射 Sets ≡ Sh({x}) → Sh(X) は
「xにおけるファイバーをとる」関手と
「x上の摩天楼層」関手から構成されている。
また、X → pt（一点空間）が導くトポスの射 Sh(X) → Sets は
「定数層」関手と「大域切断」関手から構成されている。
0007Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 09:33:27.61ID:GMz9Qgqz
分類トポス

Gを（離散）群とする。
G をただ一つの対象からなる圏と見なすとき
G 上の前層の圏と G が作用する集合の圏 BG とは同一視される。
このとき位相空間X上のG-torsor と Sh(X) から BG へのトポスの射との間に
自然な対応がある。
同様にして、「加群の分類トポス」とよばれる
（グロタンディーク）トポス Aが存在し、
(C, J)上の加群の層と Sh(C, J) から A へのトポスの射が自然に対応する。
この対応は A における「普遍的な加群の層」対象 E を考え、
Sh(C, J) からAへの射fに対し
E のfによる引き戻し f~*Eを対応させることで与えられる。
さらには環の層などほかの構造についても同様のことが成立している。
0008Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 09:35:00.28ID:GMz9Qgqz
数理論理学との関わり

Kripke-Joyalの意味論とよばれる手続きによって集合論的論理式を
トポスの対象と射についての言明として解釈することができる。
トポス Sets における解釈が通常の記号論的な集合と
その元に関する論理式解釈となる。
群、可換群、環などの数学的（特に代数的）構造の公理を
論理式によって表現したとき、
景 (C, J) 上のグロタンディーク・トポスにおいて
その論理式を満たすような対象が
(C, J) 上の群、可換群、環などの層になる。
局所環の層などについての局所的な条件も、
全称量化子を用いた論理式によって自然に表現される。

一方、適切な景 (P, J) をポール・コーエンによる強制法 (forcing) の議論をなぞって構成し、
その上の層の圏として連続体仮説が成立しないような集合論のモデルを得ることができる。
同様にして選択公理が成り立たないような集合論のモデルも
ある景の上の層の圏として実現できる。
こうして構成される集合論のモデルのうちには
排中律が成り立たないような数学的直観主義的モデル
も自然に現れる。
0009Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 09:35:52.43ID:GMz9Qgqz
歴史

グロタンディークはスキームとトポスとを同じ年に見いだした
と『収穫とまいた種と』で回想している。
実際にグロタンディーク・トポスの一般論が整備されたのは
SGA IVでの彼自身による発表の中でだった。

その後ウィリアム・ローヴェアが集合論のモデルとしての可能性を見いだし、
強制法との関連、ドリーニュの定理のとらえ直しなど記号論的な認識が深められたが、
グロタンディークの隠遁後に彼に近い学者がトポスの理論に貢献しなかったことは
彼と他の数学者たちとの間の確執の一因になった。
またリジッド幾何やSynthetic Differential Geometryなど
「位相構造」より繊細な「微分構造」を
トポスを通じて考える幾何学も得られている。
0010Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 09:36:22.10ID:GMz9Qgqz
さあ、語れ！
0012１３２人目の素数さん
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2020/07/25(土) 12:01:38.05ID:XLFM16qH
藤原やブンゲンはリジッド幾何にトポスは要らないことを示したが
0013Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 12:03:17.76ID:GMz9Qgqz
>>11

geometric morphism …　>>4の以下の記述だな

「EとF がトポスのとき、関手 f_*: E → F と完全関手 f~*: F → E の対 (f_*, f~*)で
　随伴関係 f~* ⊣ f_*をみたすものは
　E から F へのトポスの射（geometric morphism）とよばれる。
　このときf_*はfの直像部分、f~*はfの逆像部分とよばれる。」

・・・君に任せた！
0014Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 12:08:04.52ID:GMz9Qgqz
>>12
トポスを使うか、使わんかは・・・自由だぁぁぁぁぁ！！！

♪Topos is freedom
0015１３２人目の素数さん
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2020/07/25(土) 12:10:05.66ID:i4OVMpoR
>>14
すみません、よくわからないのですが、それはどういう意図で書き込まれたのでしょうか？
0016１３２人目の素数さん
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2020/07/25(土) 12:12:16.62ID:MGi+aPkm
いるかいらないかで言えば群もいらないからな
群となるようなものを全て個別に扱えばいいだけ
でもある方が便利だからね
0017Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 12:15:41.52ID:GMz9Qgqz
>>15
ネタです
>>16
＞全て個別に扱えばいいだけ
>>12の発言ってそういう意図なの？
0018１３２人目の素数さん
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2020/07/25(土) 12:16:45.35ID:XLFM16qH
>>16
いやトポス抜きでもっと簡単に定式化できるという話なんだが
0019１３２人目の素数さん
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2020/07/25(土) 12:19:30.94ID:MGi+aPkm
>>18
トポスに慣れてる人はトポス使って定式化したほうが分かりやすい、ってこともないの？
0020１３２人目の素数さん
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2020/07/25(土) 12:26:42.03ID:jCG+EIwg
スレ主はこの話題を理解する段階にないようだ。
0021１３２人目の素数さん
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2020/07/25(土) 12:39:41.63ID:zOxbOGQM
>>18
”トポス抜きで定式化出来る”ってどんな感じなんですか…？
0022１３２人目の素数さん
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2020/07/25(土) 12:59:54.87ID:11r31VJK
グロタンディークを10点満点中5点とした時、ガウス、オイラー、リーマン、ポアンカレ、ヒルベルトの点数は何点？
0026Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 13:21:56.41ID:GMz9Qgqz
>>22
よくそういう質問する人いるけど、
どうやって量化するんだよ？

例えばイエス・キリストの点数が１０点中５点としたときの
釈迦・ソクラテス・孔子の点数なんてどうやって求めるんだよ？
0028１３２人目の素数さん
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2020/07/25(土) 13:57:53.08ID:DgxXxRa4
天才に点数つけたがる奴何が目的なんだ
0030１３２人目の素数さん
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2020/07/25(土) 14:20:34.96ID:zOxbOGQM
グロたん様。。。

(もっちー様とお誕生日が１日違いの３月２８日生まれの牡羊座(１４星座☆鯨座)生まれなんですね。。。
もっちー様は３月２９日のお生まれの🌟ドルヲタ🌟５１歳🌟独身🌟。。。
✨🌟✨ぐろたん様✨🌟✨～
✨🌟✨もっちー様✨🌟✨～
　　　　　　＆
✨🌟✨めぇ～様✨🌟✨。。。
。　　　　　　　　　✳。○゜
゜✳。○゜＊。゜○。゜
。゜
🌟グロタンディーク🌟数学🌟的ﾅ話題ｼﾞｬﾅｸｯﾃ…ｺﾞﾒﾝﾅｻ~ｨ!)
0031１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/25(土) 14:22:17.24ID:zOxbOGQM
　みんな天才で　みんないい

　　　　天才だもの

　　　　　あふぉ
0032１３２人目の素数さん
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2020/07/25(土) 14:33:17.12ID:zOxbOGQM
鯨座はパラダイム・シフトな天才達のホールなんでしょうか。。。

✨🌟✨キラキラ✨🌟✨過ぎて＠＠クラクラ＠＠目眩がしてきました～。。。☆ワクワク☆ドキドキ☆動悸が。。。

🌠ブレイク💫スルー体験時🌟
💓ドキドキ💘不整脈💔が出たようなので、このまま★になってしまわないように。。。
ちょっとお休み痛します。。。
0033Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 14:46:33.12ID:GMz9Qgqz
さて、本題に戻ろう

グロタンディーク位相について

概説

グロタンディーク位相（英: Grothendieck topology）とは
位相空間上の開集合系が成り立つ性質を公理化し、
圏の上に定義された一般化された位相のことである。
またそのような位相を持つ圏を景（けい、仏、英: site, サイト）といい、
その位相を用いることにより位相空間上での層の理論が使えて
コホモロジー理論を得ることができる。
歴史的には代数幾何学のヴェイユ予想を解決するために
アレクサンドル・グロタンディークが
エタール・コホモロジーを定義する際に導入された。
0034Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 15:02:59.82ID:GMz9Qgqz
圏上のグロタンディーク位相の定義

ファイバー積を持つ圏 C の各対象 S に対し、
次の公理を満たす被覆 (covering) と呼ばれる射の族 {φ_i:T_i→S}_i∈Iが定義されるとき、
圏 C にグロタンディーク位相が定義されたといい、その位相の構造も含めて圏 C を景と呼ぶ。

1．同型射φ:T→SはSの被覆である。
2．{φ_i:T_i→S}_i∈IがSの被覆であるとき、任意の射ξ : U → Sから誘導される
　射の族ξ^*_i : T_i ×_S U → U}_i∈IはUの被覆である。
3．{φ_i:T_i → S}_i∈IをSの被覆とし、おのおののTiの被覆を{χ_i,j:U_i,j→ T_i}_j∈ J_iとする。
　このときこれらの合成{φ_i χ_i, j : U_i, j → S}_i ∈ I, j ∈ J_iはSの被覆である。
0035Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 15:06:56.54ID:GMz9Qgqz
景（グロタンディーク位相を持つ圏）の例

エタール景

X をスキーム、(Et/X) を X 上エタールなスキームの成す圏とする。
このときエタール射の族を被覆と定義することにより
エタール景が得られ、それを再び (Et/X) で表す。
このときの位相をエタール位相という。

ザリスキ景

記号は上述のとおりとする。
このとき普通のザリスキ位相に関する開埋め込みの族を被覆と定義することにより
ザリスキ景が得られる。これを XZar で表す。
これは普通のザリスキ位相をグロタンディーク位相として言い表したにすぎない。
0036Sascha Schapiro
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2020/07/25(土) 15:08:55.18ID:GMz9Qgqz
グロタンディーク位相の応用

開集合を被覆に置き換えることにより、層の理論が景上でまったく同様にして成り立つ。
そのようにしてエタール景、ザリスキ景およびクリスタリン景上で
エタール・コホモロジー、ザリスキ・コホモロジーおよびクリスタリン・コホモロジーが得られる。
しかしながら異なるグロタンディーク位相が
常に異なるコホモロジー理論を与えるわけではない
(グロタンディークの篩)。
このような欠点を補う概念としてグロタンディークによるトポスの理論がある。
0037１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/25(土) 15:22:33.77ID:07FN9raw
クリスタリン景の定義もお願いします
0038１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/25(土) 15:48:02.20ID:Tgt6+r2w
サイトという言葉が日常語になってるのにわざわざ景なんて使う必要はない
0039１３２人目の素数さん
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2020/07/25(土) 15:49:42.52ID:XAMavZmT
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0040１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/25(土) 16:19:41.40ID:zOxbOGQM
🌟Ｌａｌａｌａｌａｌａ～🎶
✨🌟✨出逢ったときから✨🌟✨
　　きっとすべての世界
　　変わり始めていたよ

　　今ならこの気持ちを
ﾟ　　　正直に言える
🌸🌷　🌺🌻
　道に咲いた花にさりげなく
*　笑いかける君が大好きで
　　どんな宝石よりも輝く
　　　瞬間を胸に刻もう

　君が子供の頃に　見てた
　夢と願いごとを聞かせて
　たとえば今は違う場所に
　　　立っていても

　思い通りにいかない日には
　懐かしい景色見に行こうよ
　いくつもの想い出が優しく
*　　君を包んでゆくから

　　心から　心から　思う　
　君が大切なものは何ですか？
　ﾟ　その笑顔　その涙
*　ずっと守ってくときめた

　　　　恋に落ちて
　💖愛💗ＬＯＶＥ💓友💞



|∞　奇遇ですね…私も好きです…
|д//;)(>>37；)クリスタルＫ
с　)　　(u-∞)
|!　　　　uu


|／
|ちょぃちょぃ荒らしちゃって…
|ｺﾞﾒﾝﾅｻ~ｨ!
|＼
|=3　ﾋﾟｭｯ!
0041Sascha Schapiro
垢版 |
2020/07/25(土) 16:59:16.11ID:GMz9Qgqz
>>37
お任せします
0042１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/25(土) 17:06:50.22ID:3rBi8tDq
>>1
テーマは一つに絞らないと。
0043Sascha Schapiro
垢版 |
2020/07/25(土) 17:07:22.63ID:GMz9Qgqz
siteは、敷地・用地の意味だろうな

数学用語はどうせ定義を読まなきゃ意味ないので
例えば、バカ、アホ、タワケ等でもいいのは確かだが
0044Sascha Schapiro
垢版 |
2020/07/25(土) 17:10:16.96ID:GMz9Qgqz
>>42
あなたが選ぶならどれですか？

・・・参考におうかがいするだけですが
0048Sascha Schapiro
垢版 |
2020/07/25(土) 19:41:49.85ID:GMz9Qgqz
>>46
モチーフは面白そうだな・・・考えとく
0049SS
垢版 |
2020/07/26(日) 07:24:38.69ID:ioiFQGta
モチーフについて

概説

代数幾何学では、モチーフ(motive)は、代数多様体の本質的な部分を表す。
今日まで、ピュアモチーフは定義されているが、
一方、予想されている混合モチーフは定義されていない。
ピュアモチーフは、三つ組 (X, p, m) で、
X は滑らかな射影多様体、
p : X ⊢ X はべき等な(idempotent)対応、
m は整数である。
(X, p, m) から (Y, q, n) への射(morphism)は、
次数 n - m の対応により与えられる。

アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)に従い、
混合モチーフに限っては、数学者たちが「普遍的」なコホモロジー論をもたらす
適切な定義を求めている。
圏論の言葉では、普遍的なコホモロジーは代数的対応の圏で
べき等分解(splitting idempotents)を通した定義を意図していた。
しかし、数十年間、標準予想を証明することに失敗して、
これを定義することができなかった。
現在示されているように、このことは「充分な」多くの射を
持つことができない。
一方、モチーフの圏は、1960年代から1970年代にかけて、
多く議論された普遍ヴェイユコホモロジーであることが想定されたが、
この期待は完全に証明されてはいない。
他方、現在は、全く異なる方法より、
モチーフコホモロジー(motivic cohomology)が、
現在、テクニカルな定義が数多くある。

---
*所々、日本語になってない箇所あり
0050SS
垢版 |
2020/07/26(日) 07:27:02.44ID:ioiFQGta
導入

元来、モチーフの理論は、
ベッチコホモロジー、ド・ラームコホモロジー、
l-進エタールコホモロジー、クリスタリンコホモロジー(crystalline cohomology)
を含む、急速に増えてきたコホモロジー論を統一しようとの試みである。

一般的な期待は、
[点]
[射影直線] = [直線] + [点]
[射影平面] = [平面] + [直線] + [点]
のような方程式が、深い意味をもった確固とした数学的基礎として採用できる
という期待である。
もちろん、上の方程式は、多くの意味で正しいことがすでに知られている。
例えば、CW複体(CW-complex)では、"+" は胞体(cell)の連結に対応していて、
様々なコホモロジー論で "+" は直和に対応している。

他の観点からは、モチーフは、多様体の因子上の有理函数から
多様体の周群(Chow group)の上の有理函数への一般化へと繋がっている。
モチーフは有理同値以外にも多くのタイプの同値の観点から
考えることが可能であるので、一般化は様々な方向で発生する。
適切な同値関係(adequate equivalence relation)の定義により、
構成する同値関係が与えられる。
0051グロタンの見果てぬ夢ーモチーフ
垢版 |
2020/07/26(日) 11:17:13.77ID:cou1pUdn
モチーフガロア群(motivic galois groups) というのがあるんだよな
モチーフとモチーフガロア群の関係はどうなっているんだろうか？
0052SS
垢版 |
2020/07/26(日) 12:02:21.62ID:ioiFQGta
>>51
そうなのか、それじゃそこは君に任せた
0055１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/26(日) 16:00:58.59ID:ioiFQGta
>>53
ますます面白い　君に任せたｗ
0056１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/26(日) 16:03:38.92ID:cou1pUdn
花村さんという人が混合モチーフの圏で有名？
最近はもうやってるのかどうか知らないけど
0057グロタンの見果てぬ夢ーモチーフ
垢版 |
2020/07/26(日) 16:25:25.66ID:ZAYKAOBH
ガロア群の表現と言えばラングランズ・プログラム
モチーフガロア群の表現はガロア群の表現でもある
わけだから、モチーフは非可換類対論にも関わるね
0058１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/26(日) 16:43:40.63ID:ioiFQGta
実はこのスレッドを立ち上げた本当の動機（モチーフｗ）は

＞１２．正多面体と正規配位図形のスキーム的、数論的な観点からの研究

が、なんか唐突で面白そうに思ったからである

こんな文献も見つけたが、結局読めていない
https://webusers.imj-prg.fr/~leila.schneps/grothendieckcircle/EsquisseEng.pdf

来週にはなんか書きたいものだ
（別に、先に誰か書いていただいても結構だが・・・但しセタを除く）
0067１３２人目の素数さん
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2020/07/26(日) 20:08:41.56ID:rqsyhuXV
志村は本物の天才で
グロタンディークは異常にエネルギッシュな人間が一定期間数学に取り組んだだけ
0069１３２人目の素数さん
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2020/07/26(日) 20:57:44.68ID:GnXU3gRo
そりゃグロタンディークと比べたら大体の数学者は下だろうな
でも志村って「谷山・志村予想」「アイヒラー・志村の合同関係式」「志村多様体(ドリーニュが整理)」って感じで単独の成果が思い当たらない
0070１３２人目の素数さん
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2020/07/26(日) 21:29:26.09ID:rqsyhuXV
>>68>>69
それは間違い
空海伝説並みに何でもかんでもグロタンディークの成果だと思っている人間の妄想
0071１３２人目の素数さん
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2020/07/26(日) 21:36:28.07ID:rqsyhuXV
>>69
馬鹿すぎて反論する気にならない
0072１３２人目の素数さん
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2020/07/26(日) 21:56:49.62ID:igUco9yI
>>70
どう考えても業績見たら志村よりグロタンディークの方が上だよ
志村はよくいる秀才
0073１３２人目の素数さん
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2020/07/26(日) 22:00:35.51ID:0TOPZ9/W
実際勉強してると「これもグロタンディークなのか」となる
グロタンディーク位相、トポス、グロタンディーク群、グロタンディーク宇宙、モチーフ、アーベル圏、エタールコホモロジーなど上げるだけで色々な分野に渡って枚挙に暇がない
何でもかんでもグロタンディークだと思っている、というのは「スキームを最初に生み出したのはグロタンディーク」みたいなたまに見かける間違いのことかもしれんが、そんなの抜きにしても異常なほど名前が出てくる
0074１３２人目の素数さん
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2020/07/26(日) 22:09:58.31ID:0TOPZ9/W
上記は概念の導入だけど、その上グロタンディークの跡公式、半安定還元定理、グロタンディーク-リーマン-ロッホの定理の証明など、細かいところでも仕事をかなり残してる
流石にこれを評価しないのは無理がある
0075１３２人目の素数さん
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2020/07/26(日) 22:16:26.75ID:igUco9yI
>>74
オイラー、ガウス、リーマンのような過去の傑出した人物と比肩するくらいの天才だよね
志村はよくいる秀才
0076１３２人目の素数さん
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2020/07/26(日) 22:36:36.46ID:NW9Py3sF
グロタンディークがいなかったら20年くらい数学の進歩遅れてたと思う。特に代数幾何、数論幾何。
0077１３２人目の素数さん
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2020/07/26(日) 23:03:12.12ID:Gotcdnmh
いなかったら遅れてたんじゃない
いたから早まったと考えるんだ
0078１３２人目の素数さん
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2020/07/27(月) 07:25:21.56ID:rYXyPw25
グロタンディークはブルバキに操られたパワー系知障
操られていたことに気づいてブルバキから離れたら数学の生産が出来なくなった
0079１３２人目の素数さん
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2020/07/27(月) 07:28:22.85ID:rYXyPw25
でも志村って「谷山・志村予想」「アイヒラー・志村の合同関係式」「志村多様体(ドリーニュが整理)」って感じで単独の成果が思い当たらない

これがどれくらい馬鹿かというとグロタンディーク-リーマン-ロッホの定理の証明を単独の成果ではない、というレベル
0081１３２人目の素数さん
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2020/07/27(月) 09:28:32.71ID:d2UwbIG9
>>79
グロタンディーク-リーマン-ロッホはリーマン-ロッホを単独で一般化しているが、
アイヒラー志村合同関係式はアイヒラーが導入して志村が一般化し、志村多様体は元々現象的な概念で、ドリーニュが必要なところを拾ってあげて志村多様体になった
谷山・志村予想は志村本人は色々言ってるが谷山が死人に口なし状態だから一応共同としておく

これは志村五郎が大した数学者ではないと言ってるわけではない
実際単独でなくともこれだけ成果を上げるだけでも相当凄いこと
ただ、グロタンディークは単独で色々やりまくってるからなぁという話
0082１３２人目の素数さん
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2020/07/27(月) 11:51:52.76ID:rYXyPw25
>>81
谷山・志村予想は志村本人は色々言ってるが谷山が死人に口なし状態だから一応共同としておく

これは酷い。大雑把な把握で自分を正当化している。
0083１３２人目の素数さん
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2020/07/27(月) 11:56:51.63ID:CGhQ1us/
>>82
志村以外に谷山は貢献してないなんて言ってる人いないからなぁ
谷山予想は明確に記録されているし
0086１３２人目の素数さん
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2020/07/29(水) 12:03:05.58ID:sLS83PPA
10点満点でグロタンディークを5点とすると、ガウス、オイラー、リーマン、ポアンカレ、ニュートン、ヒルベルトは何点？
0087１３２人目の素数さん
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2020/07/30(木) 12:05:17.72ID:rDzaiNCX
>>1
先見性凄すぎるな。80年くらいの話？
グロタンディークなら単独でラングランズ解決できそうと思わせる
何気に多面体の数論に目を付けてるのが凄い。最先端
0089１３２人目の素数さん
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2020/07/30(木) 20:46:50.16ID:RZs5vg4P
多面体の数論って具体的になんなの？
0090グロタンの見果てぬ夢ーモチーフ
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2020/07/31(金) 22:18:19.38ID:5BfVHkgu
代数体上の非特異な射影代数多様体に対しては
L-関数に関するBeilinson-Bloch予想があるけども
これはチャウモチーフに対しても拡張されるし
l-進アーベルヤコビ写像というのを使ってやると
グロタンディークモチーフにも一般化できるらしい
0092１３２人目の素数さん
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2020/08/01(土) 11:50:18.49ID:5V07Lmo1
>>91
そもそも何が云えれば「モチーフが解けた」と云えるの？

>>87　>>89
数論的多面体、というのは通常の多面体とどう違うんですかね？
0093グロタンの見果てぬ夢ーモチーフ
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2020/08/01(土) 21:55:17.71ID:2sQgHHb0
「モチーフを解く」というのは標準予想のことかな？
標準予想は代数曲線とかアーベル多様体とかの場合には
証明されてるけど、一般の場合はあまり進展ないみたい
ラングランズプログラムと同じで誰かがいっぺんに全部
解決するというのはちょっと難しいんじゃないかと思う
0094１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:25:55.06ID:Gy6y7tWX
標準予想とはこのことか？

代数的サイクルの標準予想
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%A8%99%E6%BA%96%E4%BA%88%E6%83%B3

数学では、代数的サイクルについての標準予想(standard conjectures)とは、
代数的サイクルとヴェイユ・コホモロジー論の関係を記述する
一連の予想のことを言う。
これらの予想の応用のひとつは、
アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)
が想定していたことであるが、彼のピュアモチーフの構成が
半単純なアーベル圏をもたらすことを証明するためであった。
さらに、彼が指摘したように、
標準予想はヴェイユ予想の最も困難な部分の証明をも意味する。
最も困難な部分とは、1960年代の終わりにまだ未解明であり、
後日、ピエール・ドリーニュ(Pierre Deligne)により証明されることとなった
「リーマン予想」の部分を言う。
ヴェイユ予想と標準予想のリンクの詳細はKleiman (1968) を参照。
標準予想は未解決のままであり、その応用は結果の条件付き証明
(conditional proof)を与えるだけでしかない。
ヴェィユ予想を含む非常にまれな場合には、
条件なしでそのような結果を証明することのできる
別の方法が見つかっている。
0095１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:29:42.75ID:Gy6y7tWX
レフシェッツタイプの標準予想 (予想 B)

ヴェイユ理論の公理の一つは、
いわゆる、強レフシェッツ定理（あるいは、公理）である。

固定された滑らかな超平面切断(hyperplane section)
W = H ∩ X
から始める。
ここに H は、周りの空間である P^ N の超平面で、
与えられた滑らかな多様体 X を含んでいるとすると、
i ≤ n = dim(X) に対し、
W を持つコホモロジー類との交叉により
定義されるレフシェッツ作用素
L : H i(X) → H i+2
が同型
Ln－i : H i(X) → H 2n－i(X)
を与える。

ここで、i ≤ n に対し、
Λ = (Ln－i+2)－1 ∘ L ∘ (Ln－i) : H i(X) → H i－2(X)
Λ = (Ln－i) ∘ L ∘ (Ln－i+2)－1 : H 2n－i+2(X) → H 2n－i(X)
と定義する。

この予想は、レフシェッツ作用素(Lefschetz operator) (Λ) が
代数的サイクルにより引き起こされることを意味している。
0096１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:30:50.46ID:Gy6y7tWX
キネットタイプの標準予想 (予想 C)

射影子
H ∗(X) ↠ Hi(X) ↣ H ∗(X)
は代数的であることが予想されている。

つまり、有理係数のサイクル π i ⊂ X × X で引き起こされる。
このことは、全ての純粋モチーフ M は
純粋ウェイトの次数付きピースへ分解することを意味する。

予想は曲線、曲面、アーベル多様体の場合について成り立つことが知られている。
0097１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:32:04.10ID:Gy6y7tWX
予想 D (数値的同値 vs. ホモロジカル同値)

予想 D は、数値的同値とホモロジカル同値が一致することを言っている。
（特に、ホモロジカル同値がヴェイユコホモロジー論の選択には依存しないことを意味する。）

この予想はレフシェッツの予想を含んでいる。
ホッジ標準予想が成り立てば、レフシェッツの予想と予想 D は同値である。
0098１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:33:55.22ID:Gy6y7tWX
ホッジ標準予想

ホッジ標準予想はホッジ指数定理(Hodge index theorem)上でモデル化された。
ホッジ標準予想は、原始的代数的コホモロジー類上のペアのカップ積の定値性
（正値性と負値性が次元に従い変化する）のことを言っている。
もし定値性が成り立つと、レフシェッツ予想が、予想 Dを意味する。
標数が 0 のときには、ホッジ理論の結果、ホッジ標準予想が成立する。
正の標数のとき、ホッジ標準予想は曲面の場合のみしか知られていない。

ホッジ標準予想は、
C 上の滑らかな射影多様体に対し、
全ての有理 (p, p)-クラスは代数的である
というホッジ予想とは異なるので、混乱しないでほしい。

ホッジ予想は標数が 0 の体の上の多様体の予想 D と
レフシェッツの定理とを含んでいる。

テイト予想は、すべての体上のℓ-進コホモロジーの
レフシェッツの定理、キネットの公式、予想 D を含んでいる。
0099１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:41:17.71ID:aKPsic6C
モチーフの理論は標準予想だけでは終わらない
コンヌやコンツェビッチが思想を広げて射程すらよくわからなくなってきてるな
0100１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 14:57:49.13ID:Gy6y7tWX
>>99
それは結構　ぜひコンヌやコンツェビッチの仕事も紹介して下さい
0101１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 16:36:33.99ID:VG4P6TQc
正多面体ってたしか5種類しかないよね
ここになんか豊かな理論があるの？
誰か3行で説明してくれ
0102１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 16:39:46.04ID:Gy6y7tWX
実際には、正多面体以外の正規配位図形も含まれるらしい

双曲平面上の配置まで考えれば無限に存在するのではないでしょうか？
0103１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 17:19:57.40ID:RLajRtsd
>>96
Kunnethのことをキネットって呼ぶ人初めて見た
と思ったらwikiはそう呼んでるのね
キュネスとかクヌースとかが多い印象
0105１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 19:10:38.24ID:LVI82pAD
>>102
正規配位図形が何かわからん
定義教えて
0107１３２人目の素数さん
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2020/08/02(日) 21:36:40.05ID:f8+4u2Up
球面にランダムにドット振ってもけっきょく不動点できちゃうのと関係ある？。
0108１３２人目の素数さん
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2020/08/03(月) 16:33:05.80ID:oNzb06v/
滑らかな無限小解析

滑らかな無限小解析（英: Smooth infinitesimal analysis、SIA）は
無限小の言葉を用いた微分積分学の現代的な再定式化（のひとつ）である。

ウィリアム・ローヴェアのアイデアに基づき、また圏論の手法を用いることで、
SIAは全ての関数は連続であって、離散的実体を用いて表現することができないものと見做す。
SIAは理論としては総合微分幾何の一部である。
0109１３２人目の素数さん
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2020/08/03(月) 16:43:01.94ID:oNzb06v/
総合微分幾何学
https://en.wikipedia.org/wiki/Synthetic_differential_geometry

数学では、総合微分幾何学は、微分幾何学の理論を
トポス理論の言語で形式化したものである。
このような再構成を可能にするいくつかの洞察がある。
第一に、滑らかな多様体のクラスを記述するための解析データのほとんどは、
多様体上の特定のファイバー束、すなわちジェット束に符号化できる
ということである。
第二の洞察は、滑らかな多様体にジェット束を割り当てる操作は、
本質的に汎関数であるということです。
第三の洞察は、ある圏上では、これらは表現可能な関手であるということである。
さらに、それらの代表は二重数の代数に関連しているので、
滑らかな無限小解析が使用される可能性があります。

総合微分幾何学は、微分幾何学の概念を定式化するための
プラットフォームとして機能します。
例えば、自然（不変）であることの意味は、
古典的な微分幾何学での定式化は非常に難しいかもしれませんが、
特に簡単な表現を持っています。
0110１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/03(月) 16:48:47.62ID:oNzb06v/
ジェット束
https://en.wikipedia.org/wiki/Jet_bundle

微分位相幾何において、ジェット束は、与えられた平滑なファイバー束から
新たな平滑なファイバー束を作るある種の構造である。
これにより、ファイバー束の断面上の微分方程式を
不変形で書くことが可能になります。
ジェットはまた、テイラー展開の座標自由版として見られることもある。

歴史的には、ジェット束はシャルル・エレスマンによるものであり、
新たに導入された形式変数に微分形式の条件を課すことで、
高次導関数を幾何学的に扱うというエリー・カルタンの方法（延長）を
発展させたものである。
ジェット束は、時にはスプレーと呼ばれていますが、
スプレーは通常、より具体的には、対応するバンドルに誘導された
関連するベクトル場を参照してください
（例えば、フィンスラー多様体上の測地線スプレー）。

1980年代初頭から、ジェット束は写像の導関数に関連する現象、
特に変分法に関連する現象を簡潔に記述する方法として登場した。
その結果、ジェット束は現在、幾何学的共変場理論のための
正しい領域として認識されており、このアプローチを用いた
場の一般相対論的定式化では多くの研究が行われている。
0111１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/05(水) 14:55:29.84ID:6GfY4HqW
SKETCH OF A PROGRAMME　by Alexandre Grothendieck
https://webusers.imj-prg.fr/~leila.schneps/grothendieckcircle/EsquisseEng.pdf

Summary:
1. Preface.
2. A game of “Lego-Teichm¨uller” and the Galois group Q over Q.
3. Number fields associated to a child’s drawing.
4. Regular polyhedra over finite fields.
5. Denunciation of so-called “general” topology, and heuristic reflections
towards a so-called “tame” topology.
6. “Differentiable theories” (`a la Nash) and “tame theories”.
7. Pursuing Stacks.
8. Digressions on 2-dimensional geometry.
9. Assessment of a teaching activity.
10. Epilogue.
0112グロタンの見果てぬ夢ーモチーフ
垢版 |
2020/08/05(水) 21:15:33.95ID:I3QeyycA
保型形式に対しモチーフを対応させることができる
ラングランズは保型表現の全体からなる圏を考えて
ある群の表現圏と同値になるようなものを想定した
その群はラングランズ・ガロア群と呼ばれているけど
話を逆にたどって、ラングランズ・ガロア群の表現
こそがモチーフなのだ、と考えたらどうだろうか
というわけで、ラングランズ・ガロア群の正体を
まずは明らかにする必要があるな、という妄想です
0114１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/06(木) 17:22:48.74ID:/k6YYsYk
＞１２．正多面体と正規配位図形のスキーム的、数論的な観点からの研究

これって「マッカイ対応」に関係した話？
0115グロタンの見果てぬ夢ーモチーフ
垢版 |
2020/08/09(日) 17:31:12.86ID:cCoAmGOX
そもそもモチーフなどというものは、グロタンの空想から湧き
出たもので、実際にはそんなものは存在しないのかもしれない
例えば、一元体上の絶対数学などが研究されてるわけだけども
実際には一元からなる体など存在しないし、一元体上定義された
代数多様体やらスキームなどの圏があるというわけでもない
数値的同値とホモロジカル同値が一致するといったような標準
予想も成り立っていない可能性があるし、そこに存在するのは
ガロア加群とL関数だけだよという、そんな妄想を抱いています
0116１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/09(日) 18:09:43.85ID:s2uMTfpj
モチーフとはようするにヴェイユ予想の普遍性なんだろ?
一例だけでも証明されてるからその範囲では成立してるが
より広範囲ってことなんだろ?
0117１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/09(日) 18:12:45.19ID:k7ukMcet
>>115
創造的な（誤ってるかもしれない）仮説ってのもいいんじゃないか？
0118１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/09(日) 18:15:08.40ID:k7ukMcet
望月新一も「ＡＢＣ予想解いた！」とかいうんじゃなくて
あくまで創造的な仮説としてＩＵＴを提案できたらよかった

ただ、グロタンディクやティッツほどのセンスはなかったようだが
0119１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/09(日) 18:20:24.87ID:s2uMTfpj
とりあえず広範囲、あらゆる場合ではなくて
実数のリーマン予想でモチーフ理論(の証明)が成り立つということでいいのかと
0120１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/09(日) 18:24:48.70ID:s2uMTfpj
>>116
普遍性といっときながら、自分をそれを無視してるが
普遍性は証明されてないが、ヴェイユ予想は証明されてる状態か
現行構成が理想的なやつかどうかをわからないし
0121１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/09(日) 18:30:24.02ID:s2uMTfpj
モチーフがなんなのか、なにが嬉しいのかがよく分かってはいないが
ダイレクトサム、プロダクトみたいな極限的な考えで、
コホモロジー論の親玉みたいのがつねに存在しヴェイユ予想が成立しているというやつでいいのか
0122１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/09(日) 23:04:04.47ID:zEVAP8F3
>>121
何が嬉しいかははっきりしている
代数多様体を全て「すっきり」計算できることだ
単にヴェイユ予想が成り立つかどうかではなく、良いコホモロジー理論があるからヴェイユ予想が
すっきり特徴付けされるとも言える
一つのポイントは、代数体のl進コホモロジーがどう理解されるかだろう
有限体と違い一般のエタールコホモロジーは良いモチーフの性質を必ずしも満たさないように見られるので、
むしろはなからモチーフ理論的な観点を利用し、数論的なコホモロジーをはっきり捉えることが期待される
0123１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/10(月) 22:49:05.30ID:Z3rXuZr1
Motivic cohomologyとモチーフって直接関係あるの？
0124１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/11(火) 22:08:53.28ID:fzdmd2kK
Ext部分とウィキペディアに書いてあるじゃん
K理論やチャウ群を使って代数的サイクルの拡大を定式化する場合に該当するのがモチーフ的コホモロジーだから
モチーフ理論の本質的な要素ということ
0125１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 00:00:49.02ID:6mD0J3Fj
コホモロジーとホモロジーの関係が
Ext 依存なのなんとなくわかった気がするんだが、これ射影空間だと、ねじれ部分は無視できるということ？
0126１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 07:07:40.29ID:IKWN0ZI7
ホモロジー、コホモロジーではないとおもうぞ
ざっくり調べてみたところ
ざっくりいってモチーフが全体で、モチビックコホモロジーが個々で等式等で必要なものでは?
ざっくりいって圏と射の関係では
0127１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/12(水) 07:09:35.42ID:IKWN0ZI7
ちがってて射はfunctorかもしらない
0128１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/08/22(土) 00:19:12.13ID:PIye8TW8
スキームは好きか
0129１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/09/09(水) 23:07:25.98ID:IR7822fG
スキームは空きー無
0130盗聴盗撮犯罪者・色川高志が嫌がらせをしつこく継続
垢版 |
2021/03/17(水) 13:55:25.86ID:KkUI8XzM
色川高志（葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）
●色川高志「高添沼田の息子の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」
龍神連合五代目総長・高添沼田の息子（葛飾区青戸６－２６－６）の挑発
●高添沼田の息子「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合五代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!　糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)

492盗聴盗撮犯罪者色川高志（青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３2021/02/03(水) 13:53:22.55ID:QtP78E4Z
●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父の逮捕を要請します」
長木親父＆長木よしあき（盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6－23－20
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父
高添沼田ハゲエロ老義父の住所＝東京都葛飾区青戸6－26－６
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19　℡０３ー３６０７ー０１１０

盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6－23－19）の
五十路後半強制脱糞
http://img.erogazou-pinkline.com/img/2169/scatology_anal_injection-2169-027.jpg
アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父によりバスタブで清水婆婆の巨尻の肛門にシャワーのキャップをはずしてずっぽり挿入。
0131１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/11/27(土) 13:13:07.45ID:HxEDg/nu
〔問題〕
ある4面体は、どの2面も同じ角度(二面角)で交わっています。
これはどんな4面体でしょうか。
0136１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/04/03(月) 06:43:41.27ID:yDIDmN/Q
>>L-関数に関するBeilinson-Bloch予想

デデキントのζ関数のs=0における主要項の記述を
一般化したもの
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