分からない問題はここに書いてね462

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 23:25:06.95

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね461
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594131967/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/04(火) 21:37:27.24

>前スレ999
もう見てないかもしれんが、設定が同じなら、
前スレ1000の通り、その体感は錯覚である可能性が高い
原因は恐らく「見かけ上の幅」が違うからだと思われる
その場合、対応策としては以下のようなことが考えられる

A 環境における見かけ上の幅を測定し、それを a とする。
B 環境における見かけ上の幅を測定し、それを b とする。

(1) b = a となるように、幅の設定を調整するか、
　またはモニターとの物理的な距離を調整する。

(2) a : b = 300 : x となるように速度 x を設定する。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/04(火) 22:24:44.81

確率分布問題です
　ある国の大統領選に A, B の 2 人が立候補した．選挙予想をするために，有権者から無作為に調査対象を選び出し，A, B どちらの候補者を支持するかアンケート調査をしたところ
無作為に選んだ 300 人中 180 人が，A を支持すると回答した．
そのとき，以下の問いに答えよ
2-1. 標本比率（標本平均） x の値を以下の中から選択せよ
(1) 0.2, (2) 0.3, (3) 0.4, (4) 0.5, (5) 0.6
2-2. A の支持率 p の 97% 近似信頼区間を求めよ
(1) [0.5445628,0.6554372], (2) [0.5386231,0.6613769], (3) [0.5271397,0.6728603],
(4) [0.5010192,0.6989808], (5) [0.4916005,0.7083995]
１ばんめは0.6と分かります
２ばんめがわかりません

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/04(火) 22:26:24.09

あるいは、「余白」と幅の比が違うことが錯覚の原因かもしれないな
A 環境では高さ 53cm の内、幅は 25cm だから、余白は 28cm
この比が他の環境でも同じになるように幅を調整すれば良いかもしれない
例えば B 環境では高さ 39cm だから、幅を x cm とすると余白は 39-x cm
この比が同じになるようにするためには、
25 : 28 = x : (39-x) を解いて x = 975/53 ≈ 18.396 cm ってとこか
プレイしやすいかどうかはわからんが

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/04(火) 22:33:44.61

前スレ展開図上に描かれた円が円錐で云々の件

展開図の円弧角: Θ’
円錐角(軸と母線の角): Θ とすると
・( r*cosθ, r*sinθ ) → ( r*sinΘ*cos(2πθ/Θ’), r*sinΘ*sin(2πθ/Θ’), r*cosΘ )
・Θ’ = 2π sinΘ 　{∵ 扇形でのΘ’ が円錐での一周に相当}
よって2次元→3次元対応は
( x, y ) → √(x*x+y*y) * ( sinΘ*cos(atan2(y, x) /sinΘ), r*sinΘ*sin(atan2(y, x) /sinΘ), cosΘ )
となる。あとは円を表すパラメータ曲線関数と合成すればよい。

例. https://imgur.com/a/LPeEo2Z
展開図の外に出た円は糊付けされた同じ展開図に描かれてると見なせば良い。
sinΘ = 1/n のときには n 枚の展開図で全象限を覆うことになる。
原点周りの1ループは円錐では n ループとなる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/08/04(火) 22:49:10.00

前スレ952
△PNAは2辺が5,斜辺が3√3の二等辺三角形で、等しい辺の片方は中点がMで、
△NMPにおいて余弦定理より、
NM=√｛(5/2)^2+5^2-2(5/2)5cos72°｝
NX=1+NM
=5.85021392731……

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/04(火) 23:40:24.83

nを自然数として、以下のスターリングの公式
ln(n!) ≒ {n+(1/2)}*ln(n)-n+(1/2)*ln(2π)
が知られており、右辺は左辺の良い近似となっている。
では上式を正の実数xについて考えたとき、右辺は左辺の良い近似となるか。
すなわち{x+(1/2)}*ln(x)-x+(1/2)*ln(2π)はln{Γ(x)}の良い近似となっているか。

【大吉】 · 2020/08/05(水) 00:13:13.86

前>>6前スレで5.44409……とちょっと小さくなったのは、円錐の内側をショートカットしたからだと思う。それで、あ！　展開図の扇形の上で直線引いて最大値出せばいいな、と。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 05:38:57.57

正方形Z:ABCDの頂点A上に駒Xが、頂点C上に駒Yが置かれている。
いまS君とT君が以下のようなゲームを行う。

『S君とT君はサイコロを振り、以下の通りに駒を動かす（S君の場合は駒X、T君の場合は駒Y）。
・出た目が3の倍数なら駒を動かさない
・出た目が3で割ると1余る数の場合、Zの反時計回りで見た隣の頂点に駒を動かす
・出た目が3で割ると2余る和の場合、Zの時計回りで見た隣の頂点に駒を動かす

まずS君がサイコロを振り、駒Xを動かす（先攻）。
続けてT君がサイコロを振り、駒Yを動かす（後攻）。
以後S君、T君、…と交互にサイコロを振り、駒を動かしていく。

相手の駒が置かれた頂点に自分の駒が到達した場合、勝利とする。』

(1)このゲームは後攻が必勝であることを証明せよ。

(2)このゲームに以下のようなルールを加える。
『T君が駒をちょうどn回動かした時点でT君が勝利していない場合、S君の勝利とする』
S君が勝利する確率をpとするとき、|p-(1/2)|を最小にするnを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 06:49:03.60

>>7
スターリングの公式はΓ(x)の漸近展開でもある
だから当然nだけでなく実数xの大きいところでの近似も与えてる

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 06:49:36.62

領域D1,D2の求め方がよく分からないのですが、どうやっているんでしょうか

http://iup.2ch-library.com/i/i020818799715874911279.jpeg

http://iup.2ch-library.com/i/i020818800815874011280.jpeg

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 07:53:13.89

>>11
その図の
y≠x^2というのは（その積分範囲では）x=√y
x+y≠2というのはx=2-y

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 13:47:29.29

記号の意味で質問です。集合 R とその元 x があったとき、R の右上に n ，右下に + が
ある場合、どういう意味になるのでしょうか？
https://dotup.org/uploda/dotup.org2219260.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 14:10:53.70

>>13
Rの右上にnはRをn個の直積集合。R^n={(x1,x2,x3,…xn)|x1∈R,x2∈R,x3∈R,…,xn∈R}
Rの右下に＋は正の実数全体の集合。R_+={x∈R|x>0}

>>13はこれらを合わせたものだから、つまりR_+をn個の直積集合。{(x1,x2,x3,…xn)∈R^n|x1>0,x2>0,x3>0,…,xn>0}
成分がすべて正の実数であるようなn次元座標の全体と思えばよい。たとえばRの右上に2、右下に＋ならばいわゆる第1象限を表す。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 14:18:17.31

>>14
早速、有り難うございます。
やっぱ画像でも数式を提示すると話が早いですね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 15:12:04.58

提示した問題は、→　https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10105842365
ですが、　私の方法では解答が違います。

30分後が34.7°なら、34.7 = 21 + Ce^-30k として Cをこの時点では確定できない数値とします。
一時間後にもう一度計測とありますが、それは午後12時30分だと思いますので、到着してから90分後
と思いました。　それなら
90分後が34.1°なら、34.1 = 21 + Ce^-90k　とし、さらにe^-kt = mとすると
13.7 = Cm、13.1 = Cm^3、　となり　m^2 = 13.1 / 13.7 となります。

ここから m = 0.977854794、　これを 0.6 = C(m – m^3) に代入すると、C = 14 となります。
それで34.7 = 21 + 14e^-ktから、t = 0の時死亡時には体温が 35°であり、死亡時間は、
初回検温時、午後11時30分より30分前の、午後11時だと思いますが、誤りがあれば
指摘して下さい。
なおYahoo解答の、死亡した人の平均平熱を36°とするなどは理解できません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 16:05:48.63

>>16
なんでt=0が死亡時なの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 16:15:47.19

>>5
円錐の上に蚊取り線香を乗っけてみた。頂点の角度は３０度×２

https://i.imgur.com/c13YyLZ.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 16:26:44.57

ある本の「2部グラフの最大マッチングと最小被覆の大きさは等しい。」という定理の証明に冗長な部分があるのではないかと思っているのですが、この定理について知っている人はいますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 16:40:24.52

>>18
こういう作図をして円錐展開図(側面の長さが１、頂点の角度が２α）の上の点A(p,q）がどこに移動するかを計算した。

https://i.imgur.com/qOojo9N.png

どうやって検証したものか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 16:46:59.49

>>16
温度: T=T(t),　室温: u=21.0 {定数}
冷却法則: dT/dt = κ*(u - T)
dT/(T-u) = -κ * dt
∴ T(t)-u = C*exp(-κt) = C*α^{-t},　 α:=exp(κ)

{死亡時刻を基準点: t=0 とする}
T(0)-u = 36.9 -21.0 = 15.9　{成人の平均平熱: 36.89° (←ググった)}
T(x)-u = 34.7 -21.0 = 13.7
T(x+1)-u = 34.1 -21.0 = 13.1
∴
(1)　C = 15.9
(2)　C*α^{-x} = 13.7
(3)　C*α^{-x-1} = 13.1

(2)÷(3) より α = 13.7/13.1
(2)より logC - x*logα = log(13.7)
x = ( logC - log(13.7) ) /logα
　= ( log(15.9) - log(13.7) )/( log(13.7) - log(13.1) )
　= 3.325...
　≒ 3時間20分
よって死亡時刻は
　11時30分 - 3時間20分 = 8時10分と推定できる。
(目が腐るのでYahooの解答は追ってない)

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 17:02:21.37

>>17, >>21

解答に一般的な平均平熱が出て来るのは、今でも何かスッキリしませんが
ご指摘ありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 17:13:46.16

展開図のどこに円を置くかで変わってくるな。
https://i.imgur.com/An5YvGR.png
https://i.imgur.com/sDW5Rdi.png

https://i.imgur.com/NQgdSZo.png
https://i.imgur.com/WmJCICs.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 17:51:03.00

>>22
死んだときに何度だったのかわからないんだからそこは推測するしかないだろう

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 20:34:35.54

>>18
中心をずらして配置すると
https://i.imgur.com/X7RuCbg.png

当然ながらいびつな形状になった。
https://i.imgur.com/V22Ce08.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 21:08:52.02

C_0 - C_0' = C_1 - C_1' かつ C_1' ⊃ C_0'であるような有限集合C_0, C_0', C_1, C_1'の例なんて本当にありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 21:16:13.62

√(1-tan^2(t))の積分の解き方を教えてください。

これの0からπ/4の定積分は(√2-1)πになるらしいのですが、
公式：∫√(a^2-x^2)dx=1/2(x√(a^2-x^2)+a^2・arcsin(x/a))の公式で計算したところ違う結果になって困惑しています。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 21:21:10.94

C_0 ⊃ C_0', C_1 ⊃ C_1', C_0 - C_0' = C_1 - C_1'であるような有限集合C_0, C_0', C_1, C_1'の例なんて本当にありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 21:21:46.51

前スレ．950,958

O (0, 0, 0)
A (3, 0, 0)
B (-3, 0, 0)
M (3/2, 0, 2)
N (-3/2, 3(√3)/2, 0)
P (0, 0, 4)
とおく。

軸と母線のなす角をΘとすると
　sinΘ = 3/5,　cosΘ = 4/5,

展開図Eにおける極座標で (r,φ) の点Xは
円錐面S上ではデカルト座標で
X ((3/5)r･cos((5/3)φ), (3/5)r･sin((5/3)φ), 4-(4/5)r)

円錐面Sの全曲率 K=0 だから
　(dL)_s = (dL)_e,
　1 = L_s = L_e ≧ MX_e = √(25/4 -5r･cosφ + rr)

この条件で NX を最大にする。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 21:25:34.19

連投すみません、
∫(x/(x^2-x+1)^2)dxの解き方を教えて頂けないでしょうか。
0から1までの定積分で1/27(9+2π√3)になるそうです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 21:25:54.70

C_0' ≠ C_1'とします。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 21:31:58.79

>>31
なぜ存在しないと思うのか謎すぎる

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 21:36:13.96

簡単すぎで引っかけとしか思えんな

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 21:37:47.11

>>30
x-1/2 = y に変数変換

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 21:38:11.62

具体例を考えるって大事なことなのね

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 21:43:54.29

>>27
　tan(t) = x,
　t = arctan(x),
とおいたら
　dt = dx/(1+xx),
だよ。

√2 arcsin( (√2)sin(t) ) - arctan( sin(t)/√cos(2t) )

次の式で a=1/√2　とおく。
√{cos(t)^2 - aa} /cos(t) dt
　= arcsin( sin(t)/√(1-aa) ) - a･arctan(a･tan(t)/√(1-aa)),
　|a|<1
森口･宇田川･一松: 「数学公式I」, 岩波全書221 (1956)
　p.204　中ほど

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 21:55:12.65

>>31
あえて釣られてみる
>>26の例（本当にあります）
C_0 := {1, 2}, C_0' := {2}, C_1 := {1, 2, 3}, C_1' := {2, 3}

>>28の例（本当にあります）
同上

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 22:06:57.51

空集合を考えれば明らかなんだけど、忖度して非自明（？）な例をご用意しました

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 22:20:50.38

>>27
∫[t=0,π/4] dt √(1-tan²(t))
　= ∫d{tan(t)} cos²(t) √(1-tan²(t))
　= ∫[x=0,1]dx √(1-x²) /(1+x²)　　{ x=tan(t) }
　= ∫[t=0,π/2] dt cos²(t) / (1+sin²(t))　　{ x=sin(t) }
　= ∫[t=0,π/2] dt (1-sin²(t)) / (1+sin²(t))
　= -π/2 + ∫[t=0,π/2] dt 2/(1+sin²(t))
　= -π/2 + 1/2 * ∫[t=0,2π] dt 1/(1+sin²(t))
　= -π/2 + 1/2 * π√2　　{※1}
　= π/2 * (√2 - 1)　{ 数値積分でもチェック済 }

※1
∫[t=0,2π] dt 1/(1+sin²(t))
　= -i*∫[t=0,2π] d{e^{it}} e^{-it}/(1+sin²(t))
　= 4i*∫dz　z/((z²-α)(z²-β)) 　　{ z=exp(it) ※2 }
　=-8π* ((+√α)/(2(+√α)(α-β)) + (-√α)/(2(-√α)(α-β)) { 留数定理 }
　= π√2

※2
(1/z)/ ( 1 - (zz -2 + 1/zz )/4 )
　= -4z/(z⁴ - 6z² + 1)
　= -4z/((z²-α)(z²-β))　{ α=(3-√8), β=(3+√8), |α|<1, 1<|β| }

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 22:22:14.70

>>34
ありがとうございます
x-1/2 = y とした判断基準を教えて頂けますでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 22:32:49.38

ただの計算問題はWolfram大先生に聞けば「ステップごとの解説」でヒントがもらえるよね

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 22:37:13.56

>>36
ありがとうございます。助かりました。
公式に入れるためにxの次数と係数を直さないといけなかったんですね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 22:38:59.94

>>40
x^2-x+1 を平方完成

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 22:56:31.46

>>39
解答を確認できました。
詳しく過程を記述していただき、ありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 23:12:12.76

>>41 Wolfram はそこまで万能ではない。
"∫[t=0,π/4] dt √(1-tan²(t))" で丸投げすると
定積分 ... = 1/2 (sqrt(2) - 1) π ≈ 0.65065
　→ "このクエリには「ステップ毎の解説」はありません。"
と出る。 (解説あったとしても無課金だと冒頭部分しか見えない)

値を表示してから微妙な間を置いて数式を追加で出してくるので、
数値計算の値と内部テーブルを見比べて 1/2 (sqrt(2) - 1) π を拾ってきてるんじゃないかな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 23:18:13.24

座標平面上の点で，両座標が整数であるような点を格子点といいます．放物線 y=x2 は無限個の格子点を通ります．これに対して放物線 y=x2+√2

は格子点を通りません．

問題1　k=1,2,3,4
に対して，ちょうど k

個の格子点を通る放物線を見つけてください．(放物線の軸は座標軸に平行とは限りません．)

問題2　ちょうど 5 個の格子点を通る放物線があるでしょうか．

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/05(水) 23:21:59.14

>>45
∫[t=0,π/4] dt √(1-tan²(t))
について言えば、不定積分が存在するでしょ
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB+%E2%88%9A%281-tan%C2%B2%28t%29%29+dt

無課金だと冒頭部分しか見えないのでヒントと書いたが、
冒頭だけでも続きは推測できる
上の例でいえば、∫ √(1 - u^2)/(u^2 + 1) du までは無課金でも見えるので、この不定積分がわかればよくて、
大先生によればこうなるらしい
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB+%E2%88%9A%281+-+u%5E2%29%2F%28u%5E2+%2B+1%29+du
これのステップごとの解説を覗くと（ｒｙ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 00:15:21.14

>>36
の下の方の式は拙者の写し間違いでござった。
死んでお詫びを････ (AA略)

(訂正)
∫ √{cos(t)^2 -aa} /cos(t) dt
　= arcsin( sin(t)/√(1-aa) ) - a･arcsin( a･tan(t)/√(1-aa) ),
　= arcsin( sin(t)/√(1-aa) ) - a･arctan( a･sin(t)/√{cos(t)^2 -aa} ),
　|a|<1

>>39
※1
　∫1/{1+sin(t)^2} dt = (1/√2) arctan((√2)t),

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 00:23:32.62

※1
　∫1/{1+sin(t)^2} dt = (1/√2) arctan((√2)tan(t)),
ですた。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 00:33:16.27

ガウス関数に関して
f(x) =∫【０→ｘ】 (1－t＾2)e＾(－t＾2)dt (x ∈R).
このとき
(1) lim【x→+∞】f(x), lim【x→－∞】f(x) を求めよ.
(2) y = f(x)の極値と変曲点を求めよ
f(x)=∫[0,x] (1-t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (t^2)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt - ∫[0→x] (-t/2)(-2t)e^(-t^2) dt
=∫[0,x] e^(-t^2) dt + ∫[0→x] (t/2)(-2t)e^(-t^2) dtという
ところまではわかりました次に進めません
∫【０→∞】e＾－x＾2dx =√π/ 2というのをつかうみたいですが

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 00:35:01.32

>>49
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 00:49:41.66

>>46
問題3
　放物線の軸が座標軸に平行なときは
　k≦2　または　k=∞
に限ることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 00:59:42.89

(略証)
放物線
　　f(x) = axx + bx + c
が相異なる3つの格子点 (x_i, f(x_i)) を通るとする。
ラグランジュの補間公式より、係数 a, b, c は有理数。
n･a と n･b が整数となるような整数nだけずらせば
　f(x｡+n) = f(x｡) + (n･a)(2x｡+n) + (n･b) も整数。
∴　格子点　(x｡+n, f(x｡+n)) をとおる。
∴　k = ∞　　　　　　　　　　　　　　(終)

問題1 と問題2 の応募締切 8月8日8時8分8秒らしい･･･

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 02:39:14.42

>>30
x - 1/2 = y
とおくと、被積分関数は
　(y+1/2)/(yy+3/4)^2 = y/(yy+3/4)^2 + (1/2)/(yy +3/4)^2
　= y/(yy+3/4)^2 - (1/3)(yy-3/4)/(yy+3/4)^2 + (1/3)/(yy+3/4),
積分して
　-(1/2)/(yy+3/4) + (1/3)y/(yy+3/4) + (2/√27)arctan(2y/√3)
　= (y/3 -1/2)/(yy+3/4) + (2/√27)arctan(2y/√3)
　= (1/3)(x-2)/(xx-x+1) + (2/√27)arctan((2x-1)/√3),

0～1 の定積分で (9+2π√3)/27 = 0.7364･･･になる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 02:52:58.11

>>47
Wolfram大先生のヒントに従って定積分 I := ∫[0,π/4] √(1-tan^2(t)) dt を計算するとこんな感じか
まず u = tan(t) と置換すると
I = ∫[0,1] √(1 - u^2)/(u^2 + 1) du
次に u = sin(s) と置換すると
I = ∫[0,π/2] cos^2(s)/(sin^2(s) + 1) ds
= ∫[0,π/2] (1/cos^2(s))/((tan^2(s)/cos^2(s)) + (1/cos^4(s))) ds
= ∫[0,π/2] (1/cos^2(s))/(1 + 3tan^2(s) + 2tan^4(s)) ds
最後に x = tan(s) と置換すると
I = ∫[0,∞] 1/(1 + 3x^2 + 2x^4) dx
= ∫[0,∞] 1/((1 + 2x^2)(1 + x^2)) dx
= ∫[0,∞] 2/(1 + 2x^2) dx - ∫[0,∞] 1/(1 + x^2) dx
= (√2 - 1) π/2

自然な計算かどうかは知らん

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 03:37:19.36

>>29
r = PX = 3.055475
φ = -0.302010
のとき最大で
X ( 1.605907,　-0.884314,　1.555620)
N (-3/2, (3√3)/2, 0)
NX = 4.918699
かな？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 04:42:09.81

>>53
　情報量＝０だね

ｋ＝無限ならいくらでもある。　ｙ＝ｘ＾２
ｋ＝１　y＝　Sqrt[2]　ｘ＾２　　｛０，０｝のみ
ｋ＝２　かんたん
ｋ＝３　。。。
k＝４　。。。
ｋ＝５　ありやなしや？　。。。

という問題だろ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 04:53:17.25

>>6
前スレの >>973 >>974 までは正しいけど、
>>975 以後は怪しいなぁ。
頂角 ∠NPM = ∠NPA = arccos(0.46) = 62.61289°

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 05:09:25.28

>>56
　MX_e = 1
　MX_c = 0.99533947　　　(←曲面だから)

>>57
　応募締切まで待て

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 05:36:06.05

>>50
部分積分により
　f(x) = (x/2) e^(-xx) + (1/2)∫[0→x] e^(-tt) dt,
　f ’(x) = (1-xx) e^(-xx),
　f "(x) = 2x(xx-2) e^(-xx),
というのを使うみたいでつが･･･

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 05:42:05.84

pを0<p<1の実数として、表の出る確率がp、裏の出る確率が1-pのコインがある。
このコインをn枚同時に投げ、表が出た枚数を数える。これを合計k回繰り返し、m回目の繰り返しにおいて表が出た枚数をa[m | k,n]と書く。
例えば3枚のコインを2回投げ、各回で表の出た枚数がそれぞれ3枚,0枚であったならば、a[1 | 2,3]=3、a[2 | 2,3]=0である。

（1）S[n,k] = Σ[m=1,k] a[m | k,n]とする。
lim[k→∞] (S[n,k]/nkp)を求めよ。

（2）n=6mとする。2m≦(S[n,k]/nkp)≦4mとなる確率p[m]について、極限lim[m→∞] p[m]を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 06:30:45.51

>>5
動画みました。素晴らしい！記念に動画を保存しました。
これはGeoGebraで作成ですよね？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 07:26:05.17

>>61
（１）をプログラム組んで推定させてみた。

> sim <- function(n,p,k=1e5) sum(rbinom(1:k,n,p))/(n*k*p)
> f=Vectorize(sim)
> n=2:20
> p=seq(0,1,0.1)
> z=outer(n,p,f)
> quantile(z,na.rm=T)
0% 25% 50% 75% 100%
0.9949167 0.9996160 1.0000000 1.0005092 1.0129500

どうやら１が答のようだな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 07:30:01.44

>>39 (自己レス)
※1 少しだけシンプルにできた。
∫ [t=0,2π] dt 1/ (1+sin²(t))
= 2 ∫ [t=0,π] dt 2/(2 + 1-cos(2t) ) = 2 ∫ [t=0,492π] dt 1/(3-cos(t))
= -2i ∫ dz 1/( 3z - (z² + 1)/2 ) = 4i ∫ dz 1/(z² -6z +1)
= 4i ∫ dz 1/((z-α)(z-β))　{ α=(3-√8), β=(3+√8) }
= -8π * 1/(α-β)
= -8π * 1/(-2√8) = π√2
もちろん不定積分( >>49 )を知ってるなら即堕ち計算である。

>>62 はいGeoGebraです。
周期運動と違って自由にグリグリ動かす動画は面倒だろと思ってたら、
前スレ >>991 のような画面キャプチャなら簡単だと気付きました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 07:32:54.83

>>63
グラフにしてみても１だな。
https://i.imgur.com/HjNdxyu.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 08:34:55.11

>>61
すみません、（2）が間違っていました。

（2）n=6Nとする。2N≦(S[n,k]/kp)≦4Nとなる確率p[n]について、極限lim[n→∞] p[n]を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 10:02:22.58

>>54
y/(yy+3/4)^2 + (1/2)/(yy +3/4)^2
= y/(yy+3/4)^2 - (1/3)(yy-3/4)/(yy+3/4)^2 + (1/3)/(yy+3/4)

すみません、ここの計算がうまくいきません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 10:12:41.06

以下の問題を数学オリンピックに出題したら正解率どれくらいになりますかね？

Vを有限集合とする。LをVの部分集合族とする。Lは演算∪, ∩に関し閉じているとする。
A⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
このとき以下の命題が成り立つことを証明せよ。

A_0 = ∩ L < A_1 < … < A_{l-1} < ∪ L = A_lとすると、P = {A_l - A_{l-1}, A_{l-1}-A_{l-2}, …, A_{1}-A_{0}}が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 10:13:03.91

>>67
すみません、確認できました。
ありがとございます。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 10:19:39.37

>>68
テレンス・タオでも無理かな？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 10:38:14.29

コインの問題は
試行の全体が二項分布になることを見抜けば
計算なしで出せそう

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/08/06(木) 10:38:42.58

前>>8
5.8502……が最大だろう？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 10:44:31.13

>>68
解ける人いないの？www

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 11:31:57.31

∫[-1→1] 1/x^2dx
を求める際、次のように議論して得られた値-2は正しくない。この議論のどこが誤っているか答えよ。

議論:f(x)=1/x^2とおくと、F(x)=-1/xはf(x)の原始関数であるから、次の定理を用いて、

(定理)fを区間［b,a］で定義された連続な関数、Fをfの原始関数とするとき、
∫[b→a] f(x)dx F(a)-F(b)
が成り立つ。

よって、
F(1)-F(-1)=-2と導かれた。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 11:32:45.88

>>74の問題誰か教えてください！
f(x)が負の値をとらないのにどうしてこんなことが起こるんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 11:56:04.66

fが区間［-1,1］で連続なん違うやん

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 12:39:37.83

>>76
確かに！
ありがとうございました！

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 13:55:47.15

>>68
これエレガントに示すにはどうするんかな？
ｼﾞｮﾙﾀﾞﾝﾍﾙﾀﾞｰの構造定理風に示すと面倒だけど以下のようして出来る

まず上の集合をP、下の集合をP'としておくとP'⊆Pは明らか
P⊆P'を示す
B<Aに対して、これを延長して
A_0=A'_0<A'_1<…<B<A<…<A'_k=A_l
となる鎖を作れる(有限だから)

C<D,C'<D'として
C∩C',C∩D',D∩C',D∩D'を2×2に配置したとき
向かい合う組は同時に=か同時に<の関係にあり
<の場合、その差集合は一致することが示せる
(単なる集合の計算だけど、ここが面倒)

よって(A_i)∩(A'_j)を2次元的に配置することで
差集合A-BがA_iたちのどこかの差集合に一致することがわかりP⊆P'が言える

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 15:03:41.69

【反例（？）】
V := {1, 2}
L := {{1}, V}
P = {∅, {2}}
A_0 := ∩ L = {1}
A_1 := ∪ L = V
{A_{1}-A_{0}} = {{2}} ∌ ∅

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 15:19:04.55

書いてないけどA<Bの定義でA≠Bは仮定されてるはず

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 15:22:57.66

>>79-80
間違えました。
Vを有限集合とする。LをVの部分集合族とする。Lは演算∪, ∩に関し閉じているとする。
AはBの真部分集合で、A⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
このとき以下の命題が成り立つことを証明せよ。

A_0 = ∩ L < A_1 < … < A_{l-1} < ∪ L = A_lとすると、P = {A_l - A_{l-1}, A_{l-1}-A_{l-2}, …, A_{1}-A_{0}}が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 15:45:44.15

【反例（？）】
V := {1, 2}
L := {∅, {1}, {2}, V}
P = {{1}, {2}, V}
A_0 := ∩ L = ∅
A_1 := {1}
A_2 := ∪ L = V
A_{2}-A_{1} = {2}
A_{1}-A_{0} = {1}

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 15:48:45.26

>>82
失礼、 V は P に属さなかった

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 15:58:02.19

>>81
VとかLとか記号が物騒だな

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 16:12:49.58

【反例（？）】
V := {1, 2}
L := {∅, V}
P = {V}
A_0 := ∩ L = ∅
A_1 := {1}
A_2 := ∪ L = V
A_{2}-A_{1} = {2}
A_{1}-A_{0} = {1}

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 16:16:31.09

>>85
いや、この場合 P = ∅ か？
条件をどこで考えるのかわからんな

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 16:17:33.16

>>56
r = PX = 3.055475
φ = -0.302010473
のとき最大で
X ( 1.60590483,　-0.88430965,　1.55562000)
N ( -3/2, (3√3)/2, 0)
NX = 4.9187000017

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 16:21:11.36

>>81
>AはBの真部分集合で、A⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
>P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
C∈L？？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 16:23:35.32

>>78
少し簡略化できた

A-Bの各要素はA_i列のどこかで追加される
もし追加されるタイミングの違うx,y∈A-Bがあったとすると
A_iでxとyのどちらかだけを含むものが存在する
するとB⊂B∪(A∩A_i)⊂Aとなり矛盾するので
A-Bの全要素はあるA_iからA_(i+1)の段階で一斉に追加される
このときA-B以外の要素もA_iに追加されたとすると
上の議論をA'_kに適用することで矛盾がわかるので、
A_(i+1)-A_iはA-Bに一致する

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 16:38:17.33

>>79-80
書き足りないところがありました。

Vを有限集合とする。LをVの部分集合族とする。Lは演算∪, ∩に関し閉じているとする。
A, BはLの要素とする。AはBの真部分集合で、C∈LかつA⊂C⊂B ⇒ A=C or B=Cが成り立つとき、A<Bと書くことにする。
P:={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}とおく。
このとき以下の命題が成り立つことを証明せよ。

A_0 = ∩ L < A_1 < … < A_{l-1} < ∪ L = A_lとすると、P = {A_l - A_{l-1}, A_{l-1}-A_{l-2}, …, A_{1}-A_{0}}が成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 17:43:03.43

円錐側面の展開図の扇形上に線分Lをひく。
展開図から円錐を組み立て、展開図上でLであった線をCとする。

(1)Lが扇形の半径の一部でない場合、Cは線分（すなわち直線図形）でないことを示せ。

(2)Lが扇形の半径の一部でない場合、Cが1つの平面上に乗る（すなわち平面図形）ことはあるか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 19:04:26.09

>>91
(1)
Lが展開図の扇形の中心を通るとき
Cは折れ線であるので、線分ではないが直線図形ではある。

Lが扇形の直系の一部ではないとき
背理法で示す。Cが線分であると仮定する。
Lが扇形の半径の一部でないからCは円錐の母線の一部ではない。
したがってCのそれぞれの端点を通るような異なる2本の母線が存在する。
異なる母線は頂点で交わるので、この2本の母線を含む平面αは1つに定まる。
線分Cの端点がともに平面α上にあるから線分C全体が平面α上に含まれる。
またCは円錐側面上の図形でもあるから、Cは円錐側面と平面αの共通部分に含まれる。
しかし円錐側面と平面αの共通部分は2本の母線であるから、これに線分Cが含まれることはCが母線の一部ではないことに矛盾する。

なんか終始言葉遊びしているみたいでしっくりこないけど、自明なことを示せと言われているのだからこんなものか。スマートではない自覚はある。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 19:11:12.92

>>90
細かく証明を書いておく

P={S | S = A-B かつ A, B∈Lかつ B < A}
P'={A_l - A_(l-1), A_(l-1)-A_(l-2), …, A_1-A_0}
とおいておく
P=P'を示したい
P'⊆Pは明らかなので以下、P⊆P'を示す
A-B∈Pをとる

主張1
x∈A-B(≠φ)に対して∃! i(0≦i≦l-1) s.t. x∈A_(i+1)-A_i
∵ xはB(∈L)の要素ではないのでA_0=∩Lの要素ではない
一方でx∈A⊂A_l=A_0+Σ(A_(i+1)-A_i)(非交和)なので
どこかのiでx∈A_(i+1)-A_iである

主張2
A-Bの各要素に対して上のiは同じ値である
すなわち∃! i s.t. A-B⊂A_(i+1)-A_iとなる
∵ もし異なるx,x'∈A-Bで
x∈A_(j+1)-A_j、x'∈A_(j'+1)-A_j' (j<j')であったとする
このときB∪(A∩A_(j+1))(∈L)はxを含みx'を含まないため
B⊊B∪(A∩A_(j+1))⊊Aとなるがこれは仮定B<Aに反する

主張3
A-B=A_(i+1)-A_iである
∵ B<Aを両側に延長することで増大列
(A_0=)A'_0<A'_1<…<B(=A'_s)<A(=A'_(s+1))<…<A'_k(=A_l)
を得るが上と同じ議論によって
∃! j s.t. A_(i+1)-A_i⊂A'_(j+1)-A'_j
しかしA-B(⊂A_(i+1)-A_i)であったからj=sであり
A_(i+1)-A_i⊂A'_(s+1)-A'_s=A-Bとなる

よってA-B∈P'となりP⊆P'が言えた

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 19:51:37.44

>>91
(2)を書いてなかったな。答えは「ある」
展開図の扇形の中心角が180°より大きいとき、Lが扇形の直径の一部となるようにとれば平面図形（頂点で折れる折れ線）になる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 20:14:01.32

（直径の一部って半径の一部じゃないの？）

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 20:28:40.12

>>95
中心を通るような線分をとれば半径の一部ではないが直径の一部ではある。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 20:40:16.49

r=4sinθ(π/8 ≦θ≦　π/4)で囲まれた図形の面積

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 21:27:10.14

>>94
ありがとうございます。
（1）は自明なのに論証の仕方が分からず、（2）に至っては「多分あるんだろうけど例が挙げられない」状態でした。
証明と構成例を示していただきありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 21:54:41.09

えっそれでいいんだ
てっきり
「二直線（軸を全て含む平面で切断）を除く円錐曲線（の一部）は円錐の展開図上で直線になるか？」
って問題だと思ってた
多分ないと思うけど

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 21:57:45.00

>>98
(2)は線分の延長が中心を通るもの以外の曲線を探しているんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 22:04:24.61

>>99
展開図の中心を通る線分以外で
円錐化したら直線になる曲線はあるか？
という問題かと思った。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 22:05:19.93

これから解答の端緒が見いだせるかな？

円錐角（母線と軸のなす角）がαの円錐側面の展開図を頂点を原点にｙ軸に対称に置く。
尚、円錐底面の円の展開は考えない。
円錐側面展開図上の点Aの座標を(p,q)とすると展開図を円錐化したときのAの三次元座標をp,q,θで表わせ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 22:28:13.31

>>102
円錐上に存在しうる直線（線分）は母線以外にないから探しても無駄な気がしてきた。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 22:48:28.54

>>91
(2)
展開図の扇形に相似形の扇の円弧は円錐化したら底面と平行な円になるから同一平面にあるね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 22:58:07.95

>>102
誤入力訂正

円錐角（母線と軸のなす角）がαの円錐側面の展開図を頂点を原点にｙ軸に対称に置く。
尚、円錐底面の円の展開は考えない。
円錐側面展開図上の点Aの座標を(p,q)とすると展開図を円錐化したときのAの三次元座標をp,q,αで表わせ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 23:03:33.03

（円弧は線分ではないのでは？）

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 23:08:10.70

>>106
ご指摘通り。その縛りがあったのね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 23:15:25.96

（なんでこの人が答えるんだろう…？）

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/06(木) 23:40:47.05

>>99-101
問題文が「扇形の内部に線分L」ではなく「扇形上に線分L」としているし、わざわざ直径ではなく半径の一部としているから
ミスリードさせる意図のひっかけ問題だと思うんだ。
それにしても(1)の「線分（すなわち直線図形）」の書き方が嫌らしいけどね。
線分でないことは示せるけど直線図形でないことは示せないんだから。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 01:41:03.43

>>87
の周辺で点X (x,y,z) を動かしたときの NX のようす

r = PX：　3.055400　　　3.055450　　　3.055475　　　3.055500　　　3.055550
φ：　　-0.302032543　-0.302017830　-0.302010473　-0.302003116　-0.301988400

x：　　1.605832887　1.605880851 　1.605904833　1.605928816　1.605976783
y：　　-0.884347011　-0.884322105　-0.884309650　-0.884297194　-0.884272277
z：　　1.55568　　　1.55564　　　1.55562　　　1.55560　　　1.55556

NX－4.9187：　-3.2E-10　　15.0E-10　　17.3E-10　　15.1E-10　　-2.8E-10

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 02:33:47.21

>>97
θの範囲を α≦θ≦β　とする。
(r,θ) を極座標とすると、与式は円
　xx + (y-2)^2 = 4
を表わす。
求める面積Sは、
(中心角2βの弓形の面積) = 4β - 2sin(2β) = π - 2,
から
(中心角2αの弓形の面積) = 4α - 2sin(2α) = π/2 - √2,
を引いたものだから
S = π/2 - 2 + √2 = 0.98501

あるいは、積分を使えば
(1/2)∫rr dθ
　= 4∫2(sinθ)^2 dθ
　= 4∫{1 - cos(2θ)} dθ
　= 4θ - 2sin(2θ),
これを α≦θ≦β で積分して
S = 4(β-α) - 2sin(2β) + 2sin(2α)
　= π/2 - 2 + √2
　= 0.98501

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 03:57:53.08

aは正の実定数とする。
xy平面上に点A(0,a)と曲線C:y=sin(x)がある。
Aを通り傾きが-1/4である直線は、Cと何個の共有点を持つか。aの値により場合分けをして求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 04:09:58.48

極方程式r=1+cos(θ)により表されるxy平面上の曲線Cを、x軸の周りに一回転させてできる立体をKとする。
平面x=aでKを2つの部分に分割するとき、分割されたそれぞれの立体の体積が等しくなるような実数aを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 04:40:09.82

>>29
r = PX = 2.58456488
φ = 0.394546670
のとき最小で
X ( 1.227371115,　0.947813995,　1.932348096)
N ( -3/2, (3/2)√3, 0)
NX = 3.72771883923586

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 05:58:48.96

>>109
問題に解答というより展開図上の線分は
円錐に組み立てたらどんな方程式で表せるのだろうかと思った。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 06:09:57.31

>>113
パスカルの蝸牛だっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 07:48:47.33

>>105
計算が込み入っていて、あっているかどうか自信がない。

x=sqrt(p^2+q^2)*sin(α)*sin(atan(p/q)/sin(α))

y=sqrt(p^2+q^2)/(tan(α)*sqrt(1+tan(α)^-2))

z=sqrt(p^2+q^2)*sin(α)*(1-cos(atan(p/q)/sin(α)))

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 08:41:16.34

>>113
数値積分で求めたら
> uniroot(function(x) vol(x)-V/2,c(0,2))
$root
[1] 0.7901378
という値になった。

数理解は賢者に任せた。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 09:59:54.98

サイクロイドの定積分についての質問

x=a(θ－sinθ), y=a(1－cosθ)であるサイクロイド曲線の長さの計算を
t=0からt=2πではなく，t=kからt=2π+k までのものとした時,
曲線の長さが変わらず 8a となる理由を説明せよ。

サイクロイドの図を見ると何となく長さが変わらないことは理解できるけれど, それを計算式で表す方法がよく分からないので教えて欲しいです。
場合分けすればいいのかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 10:11:48.16

>>112
点A(0,a) を通り傾きが-1/4である直線
　y = a - x/4,　　と
C:　y = sin(x),
の共有点の個数は
　y = f(x) = sin(x) + x/4,
　y = a,
の共有点の個数である。

x≦0 では f(x)≦0<a なので、x>0 で考えれば十分。

x = 4.459708725 + 2nπ　(n≧0) で極小
　b = f(4.459708725) = 0.146681344
　f(4.459708725 + 2nπ) = b + nπ/2,

x = 1.823476582 + 2nπ　(n≧0) で極大
　c = f(1.823476582) = 1.424114982
　f(1.823476582 + 2nπ) = c + nπ/2,

よって
0<a<b または c+nπ/2<a<b+(n+1)π/2 のとき　････　1個
a=b+nπ/2 または a=c+nπ/2 のとき　　････　2個
b+nπ/2 < a < c+nπ/2 のとき　　････　3個。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 10:39:00.94

>>119
周期性より
L(0,k) = L(2π,2π+k)
これに L(k,2π) をたせば
L(0,2π) = L(k,2π+k)

ここに、
L(b,c) = ∫(b,c) √{(dx/dθ)^2 + (dy/dθ)^2} dθ
　= 4a∫(b,c) (1/2)sin(θ/2) dθ
　= 4a [ -cos(θ/2) ](b,c)
　= 4a{cos(b/2) - cos(c/2)},

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 10:53:59.37

>>113
全体積 V= lim{ Σ π y² δx }
　= ∫[θ=0,π]dθ π (r*sinθ)² * -d(r*cosθ)/dθ
　= π ∫[θ=0,π]dθ (1+c)² s² (s + 2cs)
　= π ∫[θ=0,π]dθ (1+c)²(1+2c)(1-c²) s
　= π ∫[c=-1,+1]dc (1+2c+c²)(1+2c)(1-c²)
　= π ∫[c=-1,+1]dc (1+5c²)(1-c²)　{∵関数の偶奇}
　= π ∫[c=-1,+1]dc (1+4c²-5c⁴)
　= π (2+8/3-10/5) = 8π/3

[θ=0,α]で体積半分になるとして ξ=cosα と置く
4/3 = ∫[c=ξ,+1]dc (1+2c+c²)(1+2c)(1-c²)
　= ξ⁶/3 +ξ⁵ +ξ⁴/2 -4ξ³/3 -2ξ² -ξ +5/2
ξ⁶/3 +ξ⁵ +ξ⁴/2 -4ξ³/3 -2ξ² -ξ +7/6 = 0 を [0,1] 範囲で解く
数値計算解: ξ = 0.51987146393... 　{ たぶん厳密解(数式解, 数理解? )は出せない }
a = r*cosα = (1+ξ)ξ = 0.79013780294...

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 11:50:05.77

>>118
カージオイドの体積が8/3πなので
aは
31/12 - (1/2 (x + x^2 - (2 x^3)/3 + 1/6 (1 + 4 x)^(3/2))) = 4/3 　, 0<x<2
の解までは出せたが、これが解けないので
Wolframにお願いして
x≒0.79013780294837779465を得た。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 12:40:04.46

f(x)=sin(x^100)をx=0を中心にテイラー展開せよ
ただしsinxのテイラー展開を既知として用いてよい

ようするに合成関数のテイラー展開ってどうすればいいんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 12:47:01.10

>>124
http://kanim.hatenablog.jp/entry/20160527/1464361049
ここらへんでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 13:46:01.41

なるほど
F(x+t)=ΣF^(n)(x)t^n/n!
を使って2通りに
h(x+t)=ΣF^(n)(x)t^n/n!
f(g(x+t))=f(Σg^(k)(x)t^k/k!)=f(g(x)+T)=Σf^(i)(g(x))T^i/i!
(T=Σ[k=1～∞]g^(k)(x)t^k/k!とおいた)
(T^i/i!=ΣΠ(g^(k)(x)/k!)^(q_k)/(q_k)!×t^(Σk(q_k))(多項展開))
と計算して両方のt^nの係数を見比べる感じか

当然sin(x^100)を計算するのには必要ないけどね

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 13:56:32.59

>>125
はえ～ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 13:57:52.65

>>126
そうですね
論理として知っておけば、実際の計算はサイトの最初の記述通りで難しくない

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 14:00:03.85

>>118
他の人との結果が一致したので結果に自信がもてました。

https://i.imgur.com/6nHgxU3.png
形からaは0.5～1.5の間であろうと思って
モンテカルロで出したグラフ
https://i.imgur.com/zQzcoPJ.png

シミュレーションと一致すると気分がいい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 14:29:11.92

>>121
どうもありがとう！

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 16:27:25.82

実数列{a[n]}はn→∞でa[n]→0である。
このときlim[n→∞] (n^p)*a[n]が0でない定数に収束するような有理数pは、存在しても高々1つであることを証明せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 18:27:28.64

>>131
有理数p,qについて lim[n→∞] (n^p)*a[n]=s≠0 , lim[n→∞] (n^q)*a[n]=t≠0とする。
lim[n→∞] {(n^p)*a[n]}/{(n^q)*a[n]}=s/t であるから lim[n→∞] n^(p-q)=s/t
したがって p=q かつ s=t である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 19:06:06.44

1/(2+cosx)の原始関数は？

単純なのにいろいろやってできないからwolfram先生に聞いたらえっぐい答え出してきたんですけど、なんとか簡単に解く方法ないんですかね…

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 19:24:04.05

先生ちゃんと簡単に解いてるじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 19:24:45.36

>>133
dx/(2+cosx)
=2dt/(3+t^2)
=(2/√3)arctan(t/√3)
=(2/√3)arctan((1/√3)tan(x/2))

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 21:21:23.24

>>135
やっぱり置換は必須になる感じですかね

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 21:22:46.47

0～9が書かれたカードが一列にランダムに並んでいる
そこから何枚かカードを抜き、残ったカードの間に上手く挿入することで0～9か9～0の順に並べ直すことを考える
例えば2,8,9,6,5,3,4,1,0,7の状態なら2,9,4,7の4枚を抜き、
残った8,6,5,3,1,0の間に入れると9,8,7,6,5,4,3,2,1,0に出来る
どんな並びでも8枚以上抜く必要がないことはすぐわかる
7枚抜く必要がある並びは存在するか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 21:58:01.33

f(x) =∫【０→ｘ】 (1−t＾2)e＾(−t＾2)dt (x ∈R).
このとき
(1) lim【x→+∞】f(x), lim【x→−∞】f(x) を求めよ.
(2) y = f(x)の極値と変曲点を求めよ

E[n] = ∫[0→+∞] (t^n)e^(-t^2) dt と置いて、部分積分
E[n] = [ { t^(n+1)/(n+1) }e^(-t^2) ]_(0→+∞) - ∫[0→+∞] { t^(n+1)/(n+1) }e^(-t^2)・(-2t) dt
= { 0 - 0 } + { 2/(n+1) }∫[0→+∞] t^(n+2) e^(-t^2) dt
= { 2/(n+1) } E[n+2].
よって、
E[2] = (1/2) E[0] = √π/4,
lim[x→+∞] f(x) = E[0] - E[2] = √π/4,
lim[x→-∞] f(x) = ∫[0→-∞] (1 - t^2)e^(-t^2) dt = ∫[0→+∞] (1 - u^2)e^(-u^2) (-du)　； t = -u
= - ∫[0→+∞] (1 - u^2)e^(-u^2) du = √π/4.
このようなやり方でやった場合ｆｘのｘ＝±１、±√２のときはどうやって
求めますか

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 23:50:45.63

2^n + 3^m = (n-m)!
を満たす自然数の組(n,m)は存在するか。
ただしn>mとする。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 23:55:22.73

偶奇を考えれば明らかじゃね

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 00:13:58.13

>>139
>>140 の通り
2^n+3^mは奇数なので(偶数と奇数の加算なので当然)、n-mが2以上のとき明らかに満たさない(階乗に必ず2を含むから)
n-m=1のとき2^n+3^mが1になる(n,m)は存在せず満たさない
よって存在しない

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 00:28:22.44

>>136
必須？
楽じゃん

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 02:40:56.18

>>137
どこかの4枚の組は必ず整列しているか
か、3枚なら出来るけど...

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 07:04:02.40

>>123
カージオイドの全体積をモンテカルロでやってみた。

> IO <- function(N=1e7){
+ x=runif(N,-0.25,2)
+ y=runif(N,-1.3,1.3)
+ z=runif(N,-1.3,1.3)
+ v=diff(range(x))*diff(range(y))*diff(range(z))
+ v*mean(
+ (x>=0 & z^2+y^2 < 1/2*( sqrt(4*x + 1) + 2*x + 1 - 2*x^2))
+ |
+ (x<0 & (z^2+y^2 < 1/2*( sqrt(4*x + 1) + 2*x + 1 - 2*x^2)) &
+ (z^2+y^2 > 1/2*(-sqrt(4*x + 1) + 2*x + 1 - 2*x^2)))
+ )
+ }
> IO() ; 8/3*pi
[1] 8.375686
[1] 8.37758

N=1000マンコでやったが、わりと近似している。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 12:44:33.00

b,cは実数の定数とする。
放物線C:y=x^2+bx+cはx軸と相異なる2点P,Qで交わる。
またCとy軸との交点をR、3点P,Q,Rを通る円をKとする。
このとき、Kはb,cによらない定点を通ることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 12:57:41.49

c = 0 の場合が考慮されていないのは問題としておかしい

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 13:10:21.67

>>146
3点ならんやン

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 13:14:27.92

てかb,cが定数ならP,Q,Rは定点でKは定円やん

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 13:15:34.76

>>147
R が P, Q と異なるとは書いていないからな
ナンセンスな自作問題の臭いがする

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 14:47:55.35

>>148,149
は？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 14:55:04.54

２つの解をα,βとすると
(α,0)(β,0)(0,αβ)の3点を通る円である
この円の方程式を求めると
x(x-(α+β))+y(y-(αβ+1))+αβ=0
である

この円は必ず点(0,1)を通る

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 14:58:47.61

y=(x-p)(x-q)
(x-p)(x-q)+y^2=ky
pq+(pq)^2=kpq
k=pq+1
(x-p)(x-q)+y^2=(pq+1)y
-(x-q)=qy
-(x-p)=py
(x,y)=(0,1)

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 15:02:45.84

てか、図形的に分かるか

S=(0,1)とするとOPSとORQが相似になるから
OPQRは向かい合う角が180度であり同円上にある

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 15:03:36.04

>>153
誤 OPQR
正 SPQR

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 15:43:31.27

>>136
必須でもないか･･･

1/(2+cos(x)) = (2-cos(x))/(4-cos(x)^2)
　= 2/(3cos(x)^2 + 4sin(x)^2) - cos(x)/(3+sin(x)^2)
　= 2/{1+(4/3)tan(x)^2}/(3cos(x)^2) - cos(x)/(3+sin(x)^2)
より
∫1/(2+cos(x)) dx = (1/√3)arctan((2/√3)tan(x))
　- (1/√3)arctan((1/√3)sin(x)),
　= (2/√3)arctan((1/√3)tan(x/2),　　　>>135

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 16:52:00.11

>>150
だからb,cは定数って書いてあるのに、b、cによらずってのがそもそもおかしい
わからんの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 16:55:07.83

∫1/(2+cos(x)) dx
　= (1/√3) arctan((2/√3)tan(x)) - (1/√3) arctan((1/√3)sin(x))
　= (1/√3) arctan((√3)sin(x)/(1+2cos(x)))
　= (2/√3) arctan((1/√3)tan(x/2),

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 17:13:59.61

>>156
大学入試の問題文なんていい加減なもんスよ

**軍人志願受験生** · 2020/08/08(土) 17:56:46.11

百発百中の大砲百門は、一発必中の大砲一門に匹敵する。

これを証明してください。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 17:59:52.90

面白いと思って書いてるんかこれ?

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 18:00:24.02

>>145
題意より y=x²+bx+c = (x-α)(x-β) 　( α,β∈R, α≠β ) としてよい。
{ b,cが自由に動けるのは重複無しの2解がある範囲でという事だろう }

円中心のx座標は自明なので
　円K:　(x - (α+β)/2)² + (y - y₀)² = r²　(未知数: y₀, r )
3点通過条件より
・((α-β)/2)² + y₀² = r²
・((α+β)/2)² + (αβ - y₀)² = r²
これより y₀ = (αβ + 1)/2, r²=(α²+β² +α²β² +1)/4

2変数多項式: f(α,β) := (x - (α+β)/2)² + (y - y₀)² - r² 　{x,yは定数}
　= (x - (α+β)/2)² + (y-αβ + αβ-y₀)² - r²
　= x² -(α+β)x + (y-αβ)² + (y-αβ)(αβ - 1) + 0
　= x²+y²-y -x (α+β) +(1-y) αβ
f(α,β) が恒等的に0となるのは
(x,y) = (0,1) の時のみである。

つまり円K は常に点 (0,1) を通る。そのような点は他にない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 18:29:19.55

>>137
これ分かる人いたら頼む

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 18:52:17.40

>>159
ベイズ的には誤りだね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 19:39:41.84

問題じゃないんですけど
複素直交行列　O(n,C)
と
ユニタリ行列　U(n)
って何が違うんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 20:05:53.77

(1/√2) * {{1, i}, {i, 1}}はユニタリ行列であるが、複素直交行列ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 20:11:03.45

>>165
共役を取るか取らないかって話ですかね

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 20:40:28.59

直交行列Tは
　T T^t = E　　　(t は転置)

ユニタリー行列Uは
　U U† = E　　　　(† は複素共軛&転置)

実直交行列　O(n,R) ⊂ U(n)

[ √2, i ]
[ -i, √2 ]
は直交行列だが、ユニタリーではない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 21:41:51.10

>>156
はぁはぁ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 21:50:07.82

>>137
https://mathtrain.jp/szekeres より
　Erdos-Szekeresの定理：a,b を正の整数とする。各項が相異なる長さ ab+1 の数列があるとき，以下の二つのうち少なくとも一つは必ず存在する。
　1：長さ a+1 の部分列で，単調増加なもの
　2：長さ b+1 の部分列で，単調減少なもの

a=b=3 とすることで、各項が相異なる長さ10の数列には長さ4の単調増加または単調減少な部分列が存在することが分かる
よって、7枚抜く必要がある並びは存在しない

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 22:03:01.79

>>169
数学科の方ですか？
どうしてそういうサイトに行き当たれるのか教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 22:06:24.39

>>169
ありがとうございます！
確かに検索方法が気になります

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 22:07:12.45

>>170
「部分減少列」でググった

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 22:08:42.94

BC=a,CA=b,AB=cの△ABCの内部に、2つの円CとDを以下のように置く。
CとDの面積を求めよ。

・Cは辺AB,BCに接する
・Dは辺BC,CAに接する
・CとDは外接する
・Cの面積とDの面積の和は、可能なCとDの配置の中で最小となる

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/08(土) 23:04:10.68

>>173
イメージが沸くように作図だけしてみた。

https://i.imgur.com/spjsgnH.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 02:07:38.22

ここまではできたけど、

https://i.imgur.com/yZAuaWn.png

a,b,cが数値で与えられていないから、あとはどう処理するかだな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 17:00:29.69

計算が面倒そう

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 19:46:13.56

数学は解析・幾何・代数の3分野に分類されると聞きますが、
集合論はどの分野になるのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 19:48:03.22

>>177
基礎論？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 19:49:23.88

https://youtube.com/watch?v=fK_JGVti5y8

上記動画の数学の世界地図で各分野について説明してる

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 20:08:00.93

>>179の説明をみる限り
線形代数→代数
微分積分→解析
は当たり前だから、幾何学の側に集合・位相があるということは
幾何学の分野と考えていいんですかね

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 20:14:41.85

動画最後までみてたら集合論は基礎論って言ってますね
すみません

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 20:25:52.61

分からないので教えていただきたいです！

0では無い実数α、βに対して関数1/((x-α)(x-β))をべき級数に展開せよ。また、得られたべき級数の収束半径も求めよ。

おねがいします！

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 20:34:27.29

>>182
(1/(x-α))(1/(x-β))

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 20:38:11.23

>>183
わからないんですね

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 20:46:13.92

>>184
コーシー積取れということだろう
わからなかったか

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 20:51:06.63

「表面に穴がひとつ空いているトーラス」と位相同型な図形ってなんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 21:10:36.07

どんな答えを求めてるか透けては見えるがそもそも質問にすらなってないなww

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 22:27:09.00

Xの角度は？（立体ではなくて平面図）
https://i.imgur.com/iv18hkk.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 22:56:56.72

>>182
部分分数分解をして、1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ... を使う

>>188
点Aの直線OCに関して対称な点をA'とすると、
△OBA'正三角形、△BAA'≡△BAC、△CAA'正三角形がわかる

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 23:06:17.29

スレチだったらすまん
In=∫(0→1) x^n/(1+x) dx とおいて
In=-In-1 +1/n となることを示せって問題が解けない
色々部分積分してみたけどうまくInで表せないんだけどどうすればいいのでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 23:17:16.46

x^n/(1+x) = x^(n-1) - x^(n-1)/(1+x)

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 23:22:24.11

>>190
Wolfram大先生によると、多項式の割り算をすると良いらしい
1/(x+1)
x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
x^2/(x+1) = x - 1 + 1/(x+1)
…

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 23:43:05.40

>>191
In=-In-1 +1/n

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 23:45:19.12

途中送信してしまった
In=-In-1 +1/n
のかたちにそこからどうもってたらいいかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 23:47:43.92

>>192
ごめんどういうことかいまいちわからん…
理解力がなくて申し訳ない

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/09(日) 23:52:27.53

∫(0→1)(|log(x)|^(3/2))/√x
この積分の解き方教えてください。広義積分です。

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/10(月) 00:10:51.10

log(x)=-2t→Γ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/10(月) 00:24:19.82

>>194
積分しろ

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/10(月) 00:31:34.53

>>195
帰納法で一般項を証明すれば良い

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/10(月) 00:35:39.14

>>198
あ、なるほどすまんありがとう〜