分からない問題はここに書いてね462

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/03(月) 23:25:06.95

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね461
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594131967/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/08(火) 12:59:09.60

ピーク位置　　n=192.576　>>917　　と
95%CIの下限・上限の相乗平均　n=193.499　>>928
が近いことから、対数正規分布に近いと推測される。

　μ_g = log(μ) = 5.2604928395496
　σ_g = 0.2387405
　q_max = 0.008632336568

log(q_n) = log(q_max) - {log(n/μ)}^2 /{2(σ_g)^2}
　 - 2.64254{log(n/μ)}^3 - 0.697889{log(n/μ)}^4
　 - 0.139578{log(n/μ)}^5 - …
95%CIの下限・上限は
　log(122.025) = μ_g - 1.91114σ_g,
　log(306.839) = μ_g + 1.95120σ_g,
これは正規分布の場合 (μ±1.960σ) に近い。

対数正規分布を仮定したときの 95% CI は
　μ_g - 1.960σ_g = log(120.611)
　μ_g + 1.960σ_g = log(307.481)

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/08(火) 14:08:39.26

>>947
グラフの周長が3のサイクルが三角形の領域を作るとは限らない
ex K5から一辺除いたグラフは球面グラフであるが、周長3のサイクルは7個あるが、平面グラフの三角形領域は6個しかできない

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/08(火) 17:50:18.73

n次元空間に原点Oを置き、n個のベクトル
↑OA_1=(1,0,0,...,0,0)
↑OA_2=(0,1,0,...,0,0)
...
↑OA_n=(0,0,0,...,0,1)
によって張られる直交座標系(x_1,x_2,...,x_n)を考えます。（数学的に正しくない表現ですいません）
このとき原点からのユークリッド距離がちょうどr(r>0)である点の集合は
(x_1)^2+(x_2)^2+...+(x_n)^2=r^2…(ア)
で表される全体だと思うのですが、

①(ア)で正しいでしょうか
②(ア)はなんと表現すればいいでしょうか。超曲面、超立体、言い方が分かりません
③(ア)をrとn-1個の角で極座標表示することは可能でしょうか

よろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/08(火) 18:07:07.44

>>954
超球面じゃないの？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%90%83%E9%9D%A2

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/08(火) 20:38:11.64

極座標は
x_1 = r cosθ_1, x_2 = r sinθ_1 cosθ_2, x_3 = r sinθ_1 sinθ_2 cosθ_3, …
x_(n-1) = r sinθ_1 sinθ_2 … sinθ_(n-2) cosθ_(n-1)
x_n = r sinθ_1 sinθ_2 … sinθ_(n-2) sinθ_(n-1)
とすりゃいいのさ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/08(火) 20:54:12.40

極座標の解説：
まず x_1 座標と残りの n-1 次元超平面を考えて x_1 座標とベクトルの角をθ_1とすれば
x_1 成分は r cosθ_1 で n-1 次元成分は r sinθ_1
同様に x_2 座標と残りの n-2 次元を考えて…　と言う感じに角θを定義して行く

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 01:02:25.72

最近どつかのスレでπ(x;4,1)とπ(x;4,3) (4で割って1余るx以下の素数の数と3のそれ)で増大速度に差があるって話がでてた記憶あるんですけどどこでしたっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 01:28:58.83

あんまり超は使わないなあ
n次元多様体とか
n次元球面とか
n次元立方体とか

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 06:03:09.03

実数xについての関数f_[k](x)を、
f_[1](x) = x^2+x
f_[n+1](x)=log{f_[n](e^x)}
と帰納的に定義する。
このとき極限 lim[n→+∞] f_[n](0) および lim[n→+∞] f_[n](1) を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 07:21:45.83

>>958
これのことか？
>>245

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 07:50:38.92

>>961
それです
ありが㌧

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 16:03:10.42

f_1(x) = x^3 - 3x
f_(n+1)(x) = {f_n(x)}^3 - 3{f_n(x)}
とする。
nを3以上の整数とするとき、xの方程式f_n(x)=0の実数解の個数をnで表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 18:13:32.20

>>963
実解の個数を a[n] とする。
y=x^3 - 3x と y=x のグラフを描くと
有限回の繰り返し写像で0になりうる点は -2 < x < +2 かつ x≠±1 の範囲に存在していて、
この範囲にある1点の逆像は重複無しの3点となる事が分かる。
よって 0点の逆像を n 回繰り返し求めれば...
a[n] = 1 * 3 * ... * 3 = 3^n となる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 18:22:09.85

こんなのグラフを描けば分かるっしょ？
これを教科書的な厳密さで示すのは面倒かもしれない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 18:42:34.71

>>965
東大の入試問題でやや難しいとされた問題です
誘導の（1）（2）を消して、この（3）部分だけにしたら、どういう解答を作ればいいか分かりませんでした
ありがとうございました
論述を頑張ってみます

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 18:49:34.11

x=2cosθとおいて3倍角かな

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 19:18:01.23

>>966
誘導の（1）（2）はどうなってるのか教えてくれ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 20:40:14.85

>>963
f_(n+1)(x) = f_1(f_n(x))
だから、 f_n(x) の性質は f_1(x) の性質によって決まる
x > 2 なら f_1(x) > 2 であり、 x < -2 なら f_1(x) < -2
また、 x が -2 → 2 と動くとき、 f_1(x) の値は -2 → 2 → -2 → 2 と動くから、
帰納的に
f_n(x) の値が単調に -2 → 2 となる x の範囲において、 f_(n+1)(x) の値は -2 → 2 → -2 → 2 と動く
ことがわかる
2 → -2 のときも同様
よって、 f_n(x) の値が単調に変動する x の範囲において、 f_(n+1)(x) は 3 回 0 になる
そのような範囲は f_n(x) に対して、帰納的に、 3^n 個あることがわかる

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 20:42:45.51

>>968
この第4問（1）（2）です
単なる実験の問題で、（3）を帰納法で解けという誘導だと思います
ただしあることに気がつかないと帰納法が機能しない意地悪な問題で、それでやや難だと大数で見たことがあります
http://www.riruraru.com/cfv21/math/tum04f.htm

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 21:34:23.30

>>970
なるほどありがとう。てか問の文で 3^n まで提示してるとか甘やかしすぎなんじゃ....
しかも解答例は面倒臭く考えすぎだと思う。そりゃ「やや難しい」になるわけだ。
出題側は >>964 をもっと丁寧に書けくらいの気持ちだと思う。
あんまり詳しくないけど東大数学の "難問" て、こんなもんじゃないでしょ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 21:37:35.86

すまん、解答例よく見ると簡潔でそんな変な解答でもなかった。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 22:20:18.48

あるサイトが参加者にポイントを配るとします。
ポイントはランダムな量がランダムなタイミングで掲載され、取得は早いもの勝ちです。
参加者はページをリフレッシュして掲載されているポイントをクリックして獲得します。
サイト管理者はトラフィック量を増加させたくないので、参加者それぞれに
キャッシュを設け、60秒毎に情報を更新します。
キャッシュの更新が60秒毎なのは全参加者に共通ですが、バラバラのタイミングで
更新されます。（つまりある参加者のキャッシュでは掲載されているポイントが
別の参加者のキャッシュでは未掲載ということがある）
参加者は60秒間に2回だけリフレッシュすることが許可されています。
ポイントの配布は永久に続くものとします。
この時参加者にとってもっとも期待値が高くなる戦略を教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 22:23:25.60

追記
参加者はポイント掲載のタイミングも、自分のキャッシュが更新されるタイミングも分からないものとします。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/10(木) 16:21:04.46

>>673
要はキャッシュクリアのタイミングをどれだけ効率よく推定するか？でいい？
最初のフェーズでは1/2分間隔でリフレッシュする。
例えばn,n+1/2分のタイミング
すると最初のページ更新のときに自分のキャッシュクリアのタイミングが[n,n+1/2]なのか[n+1/2,n+1]なのかがわかる
前者の場合
今度はnとn+1/4でキャッシュクリアする
するとn,n+1/4]なのか[n+1/4,n+1/2]なのかがわかる
一般にk回目のページ更新のときに[n+a,n+a+1/2^k]に絞られるから次のフェーズではn+a,n+a+1/2^(k+1)でリフレッシュする
細かいチューニングでさらに良くできるかもしれないけど大筋コレがベストな伊予柑

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/10(木) 22:53:17.09

誰か教えてください。
積分の問題で、
0から∞まで積分で
e^（-st）tdt
なのですが、回答が
1／s^2

です。どなたか教えていただけませんか、、、。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/10(木) 23:28:33.18

>>976
∫fg' = fg - ∫f'g を用いる
この場合 fにあたるのがt, gにあたるのがe^(-st)

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 00:43:45.47

0 < m < n であるような
定数 m,n があるとする

関数の集合 A があるとして、n 個の任意の
異なる入力 x1,x2,...,xn について、
少なくとも m 個の等式 A(xk) = yk が真となるように、n 組の数字 y1,y2,...,yn を計算できるだろうか？　

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 07:23:45.69

xyz空間に半径1の円が2020個配置されており、どの2つの円もちょうど2点で交わっている。
これら2020個の円の位置関係を述べよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 07:58:16.82

それだけで位置関係決まらんだろ
一つの円を少しだけずらしながらコピーするように配置すれば条件を満たすんだから、一点を固定してその充分近い近傍に残り2019個の点を取りさえすれば位置関係は自由じゃ？
それとも中心位置の距離の上限を調べろという糞問題かな

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 08:05:33.28

中心位置の距離って最大値無しじゃないか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 08:29:21.92

>>980で終わってるな
問いでは3次元空間に2次元図形の円を配置していることに注意して
すべての円は同一平面または
（半径が円と同じかより大きい）同一球面上にある
とすればよい

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 08:42:58.37

円の中心の分布の条件は
任意の2点の距離＜元の円の直径
なので、分布は1点を中心とする円とは限らず
ルーローの三角形のような定幅図形でもよい

等号は含まないので、最大値はなし

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 08:59:33.10

距離2未満の2点とってその2点通るようにクルクル回すのもあるね

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 09:07:54.34

>>973
キャッシュは普通、ユーザが使うブラウザやアプリに持たせるもの
サーバが全ユーザ分のキャッシュを保持するのは非現実的だが…
問題の通りの条件で、かつ1分ごとのページの更新が判別できるなら
戦略はおおむね>>975でOK

アクセス1分に2回の条件が毎分0秒にリセットと決まっているなら
分割探索で前半が確定すれば、最後の結果と次回の1回目の結果も60秒未満で
比較可能となるので、次回は前半を3分割、後半を2分割とできる
分割数は2の累乗より大きくでき、1、2、5、13、…と
フィボナッチ数を1つ飛ばしにした値になる
分割のタイミングは、黄金比 φ＝1.618… を用いて
2分割は φ：1、3分割は φ：φ：1 とすれば最適化できる

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 09:18:53.15

>>985の続き
>>974で更新時刻は判別不可とあるが、現実的には
「配布中」⇔「配布されていません」
の画面の違いが長期的にみると出現するので利用できる
この場合は、断続的に2分探索を行うので>>975がそのまま使える

これを無視して、画面の更新を戦略に使わないとすれば
1分2回のアクセスをランダムに割り振るのが最善
キャッシュがランダムではなく、最初のアクセスから60秒であれば
ユーザも60秒ごとにアクセスするのが最善

早いもの勝ちのポイントサイトというと
ガッチャモールのローソン無料商品券配布祭りとかがあったな

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 09:20:41.28

>>984
異なる2点とは書いてないので、確かにそれもありですねー

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/11(金) 12:14:17.73

前>>890
>>979
蜘蛛は蜘蛛の巣に捕まったコガネムシを任意の2点を固定してクルクルクルクル高速で回してコガネムシを身動きとれないストレスにより弱らせる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/11(金) 12:16:58.95

前>>988訂正。
>>979
蜘蛛は蜘蛛の巣に捕まったコガネムシを任意の2点を固定してクルクルクルクル高速で回して身動きとれないストレスによりあるいは毒を注入して弱らせる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 12:35:07.25

「グラフGが2-因子分解可能であるための必要十分条件は、あるn≧1に対して、Gが2*n-正則であることである。」とロバースらの本に書いてあるのですが、
Gが連結でないと成り立たないと思いますがいかがでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 12:48:40.71

>>2因子分解可能とは？
ググっても出てこないけど？
グラフ理論みたいなマイナーな話ふりたいならグクっても出てこないような単語は載せんとダメだよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 14:53:03.63

(1)　同一平面上にあり、
　　どの2つの円の中心の距離dも 0<d<2,　　　>>980

(2)　同一球面上にあり、(半径R≧1)
　　どの2つの円の中心を球の中心から見た角θも　　　>>982
　　　0 < R sin(θ/2) < 1,

(3)　z軸上の2点 (0,0,c)　(0,0,-c) を通るように回す。0<c≦1.
　　　{x cosφ + y sinφ ± √(1-cc)}^2 + zz = 1,　　>>984
　　　y/x = tanφ,

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 15:04:40.34

>>979
いまのところ
(1)　同一平面上にあり、
　　どの2つの円の中心間距離dも 0<d<2,　　　>>980

(2)　同一球面上にあり (半径R≧1)
　　どの2つの円の中心を球の中心から見た角θも　　>>982
　　　0 < R sin(θ/2) < 1,

(3)　z軸上の2点 (0,0,c)　(0,0,-c) を通り、0<c≦1.
　　　{x cosφ + y sinφ ± √(1-cc))}^2 + zz = 1,　　>>984
　　　- x sinφ + y cosφ = 0,　0≦φ<2π

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 16:57:55.55

連投ｽﾏｿ

次スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1599810760/

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 19:54:26.90

面積1の閉領域Dの周上または内部の点P(x,y)に対して点Q(x+y,xy)を考えます。
Pが動くとき、Qの存在領域の面積はDの何倍から何倍の間にあるでしょうか。
よろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 22:03:59.50

>>995
x+y=u
x-y=v
とおいて
x+y=u
xy=(u^2-v^2/4
uv平面上の面積2の図形が変換
w=(u^2-v)^2/4
によってuw平面上の領域として移される場合の面積の値域と考えればよい
∴ 0～∞

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 08:32:45.01

>>996
x+yとxyが有限の値になるので、てっきり有限の定数a,bでa倍～b倍と表せると思っていました。
xy平面の単位円をこのように変換して面積を求める入試問題から、一般化を考えました。
しかし例えば「この変換で面積k倍になる元の領域全体はどのような集合か」でも、要素のパターンが無数にあって決定しきれない感じてしょうか
ありがとうございました

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 15:47:07.57

k≧1 の例ですが
正方形 (面積１)
　(x,y) = (k,0)　(k+1,0)　(k,1)　(k+1,1)
は四角形 (面積ｋ)
　(x+y, xy) = (k,0)　(k+1,0)　(k+1,k)　(k+2,k+1)
に移るので、上限は無いようです。
下限は有るかも？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 16:39:36.66

k=1/6 の例ですが
a≧0 として
正方形 (面積１)
　(x,y) = (a,a)　(a+1,a)　(a,a+1)　(a+1,a+1)
は放物線とその接線の隙間 (面積 1/6)
　a(u-a) ≦ v ≦ (u/2)^2,　　(2a≦u≦2a+1)
　(a+1)(u-a-1) ≦ v ≦ (u/2)^2,　　(2a+1≦u≦2a+2)
に移る。
　(u, v) = (x+y, xy)　とした。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/13(日) 12:45:55.03

k>0 の例ですが
b>a≧2k として
斜め長方形 (面積１)
　(a-2k, a+2k)　(a+2k, a-2k)　(b-2k, b+2k)　(b+2k, b-2k)
　ただし　k = 1/{8(b-a)},
は2本の放物線の間 (面積ｋ)
　v = (u/2)^2,
　v = (u/2)^2 - (2k)^2,
　2a≦u≦2b,
に移る。
b-a → ∞ のとき k → 0
∴下限も無い。

>>996 が正解。

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