分からない問題はここに書いてね463

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 16:52:40.19

分からない問題はここに書いてね462
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1596464706/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 17:30:29.52

>>1乙
どつかのスレでlogがらみの積分で級数展開して最後答えがπ^2/9になるやつありませんでしたっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 18:03:23.43

>>2
これのことかな

面白い問題おしえて～な 32問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/962

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 18:48:50.18

>>3
そーれーっす
あざっす

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/11(金) 20:38:48.54

(x^2-x+1)/x(x-1)=1+1/x(x-1)
=1+1/(x-1)-1/x
=(x-1)/(x-1)+1/(x-1)-1/x
=x/(x-1)-1/x

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/11(金) 22:22:31.10

ゴールドバッハ予想を、量子論を使って証明する方法を教えてください。

整数m,n対して、n+m　 n-m 　が共に素数となる
→主量子数ｎに対して、磁気量子数が共に素数となる
これを使ってゴールドバッハ予想を証明したいです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 07:33:44.47

「磁気量子数」の数学的定義を書いてください

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 11:33:46.98

xy平面についての話です。
面積がdである任意の有界閉領域Dに対して、Dに依らないある写像f:(x,y)→(g(x,y),h(x,y))が存在し、fによりDが移った領域Eの面積もdとなる。
このような写像fを考えます。

fは回転移動か平行移動か鏡映、あるいはそれらの合成に限られますか？
fが一次変換の場合はこの通りですが、一次変換に限らない場合の結論をご存知の方お教えください。

またこの問題はどのような分野で扱われる話かもご教授くださいますと幸いです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 13:21:35.01

>>8
例えば非圧縮性の2次元流体に力場(あるいは発散ゼロの速度場)が与えられたときの解は
グニャングニャンに引き伸ばされても面積が保たれる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 17:18:32.11

□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□■□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□

2^n × 2^nのチェス盤から
1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤は
以下のL字牌で敷き詰められることを証明せよ

□
□□

2x2の4マスだと欠損がどこにあっても
100%設置可能はすぐわかる

2^n × 2^n以外の6x6の36マスだと
欠損で35マス、3の倍数にならないから
設置不可能になるのもわかる

同じ2^n × 2^n以外の10x10の100マスは
欠損で99マス、3の倍数になるけど設置可能
か否かもわかりません(>_<)

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 18:33:44.15

ネットで拾った問題ですが答えが書かれていなかったので教えてください。

問題　「サイコロ3つ振った時、1つでも4が出る確率は？」

私は単純に1/6と思ったのですが同じ回答が見受けられませんでした。よろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 19:44:26.51

f(x)はすべての実数xについて微分可能な関数で、関係式
f(2x)=(e^x+1)f(x)
を満たしている。
f'(0)=aのとき、aの値により場合を分けてf(x)を求めよ。ここでaは実数の定数である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 19:48:41.66

>>11
サイコロ3つ振ったときの目の出方は216通り。4が出ない目の出方は125通り。
よってp=91/216

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 19:50:26.65

>>10
大数の宿題（懸賞問題）じゃねーか
来月に解答載るから待ってろ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 19:58:25.39

>>8
一次変換に限っても
(x,y) |-> (x+y, y)
(x,y) |-> (2x, y/2)
など

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 20:38:02.87

問題ではないんですが
n
Σ(k+m)Ck = (m+n+1)Cn
k=0

という式変換はなんという公式？を使っていますか？公式の名前かキーワードかなにか教えてください
formula for parallel summingと書いてあったのですが日本語での情報が引っかからず困っています

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 22:45:36.07

>>11
1 - (5/6)^3

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 22:58:06.23

>>16
Hockey-Stick Identity (ホッケースティック恒等式)

(1-x)^{-(m+2)} = {テイラー展開}
(1-x)^{-(m+1)} * (1-x)^{-1} = {テイラー展開}*{テイラー展開} = ...
で係数を見比べるのが一番簡単だと思う

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/12(土) 23:14:06.66

>>18
ああーパスカルの三角形上のアレだったんですね！すっかり失念してました…
名前が付いていることも初めて知り勉強になりました。ありがとうございました

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/13(日) 00:00:38.50

>>10　秋山仁の発見的教授法の「証明の仕方」か
「視覚的な解き方」のどっちかに同じ問題があった気がする。

古い本だから今の本屋には売ってないとおもわれる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/13(日) 00:53:42.37

>>10 解き方思い出した、
2^n × 2^n　のチェス盤は
2^n-1 ×　2^n-1 のチェス盤を田の字に並べたもの。

あとは帰納法で簡単に解ける。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/13(日) 06:47:00.83

>>13
なるほど出目からかんがえればよいのですね。
ありがとうございます。

>>17
ごめんなさい。私には呪文にしか見えませんw　勉強します。
ありがとうございます。

18 · 2020/09/13(日) 11:21:56.83

>>16
よく考えたら一番簡単なのは普通の帰納法だったわ。

{テイラー展開} * {テイラー展開} = ... は、例えば↓こんな恒等式の導出で効いてくる。
　Σ[k=0,n] C{a+k-1, a} C{b+n-k, b} = C{a+b+n, n}
最初に思い浮かんだのはこの式だったので一番簡単と書いてしまった。
( a=m+1, b=0 でホッケースティックになる )

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/13(日) 21:33:00.43

0.999...9(9がn個)=a_nとし、
0.999...:=lim(n→∞)a_nと定義する.

1=0.999...と仮定すると、
N(1)を1の開近傍系として
任意U∈N(1)に対して、ある自然数N_0が存在し、
n≧N_0ならばa_n∈U となる

しかし、{1}∈N(1)であるが、任意の自然数nに対してa_n∈{1}ではない
これは矛盾
したがって0.999...は1ではない

↑これについて真偽判定してくれ～(^_^)ﾉ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/13(日) 21:37:25.70

>>24
普通の位相を考えるなら{1}は1の近傍ではないよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/13(日) 22:54:21.16

例のスレで見たんだろうけど、あそこでは離散位相を採用しててa_nは収束しないからそもそも「0.999…」が定義できてないんだよなあ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/14(月) 01:51:08.06

>>23
生成関数（母関数）は
Σ[k=0,∞] C(a+k,a)･x^k
　= (1/a!)Σ[k=0,∞] (k+a)(k+a-1)････(k+1)x^k
　= (1/a!)(d/dx)^a Σ[k=0,∞] x^{a+k}
　= (1/a!)(d/dx)^a Σ[k'=0,∞] x^{k'}
　= (1/a!)(d/dx)^a 1/(1-x)
　= 1/(1-x)^{a+1},

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/14(月) 17:31:05.13

前スレ.995

Pが小さい長方形
　(x, y)　(x+⊿x, y)　(x, y+⊿y)　(x+⊿x, y+⊿y)
内にあるとき
Qは小さい「平行4辺形」
　(u, v)　(u+⊿x, v+y⊿x)　(u+⊿y, v+x⊿y)　(u+⊿x+⊿y, v+y⊿x+x⊿y+⊿x⊿y)
の中に移る。(u=x+y, v=xy)
このとき面積は
　(⊿x)(⊿y)　→　|x-y|(⊿x)(⊿y) + (高次の項)
となり、局所面積比ｋは
　k = |x-y|
∴　0 ～ ∞　の値をとる。

なお一般に、(x,y) → (u,v)　における局所面積比ｋは
　k = |(∂u/∂x)(∂v/∂y) - (∂u/∂y)(∂v/∂x)|
で与えられ、ヤコビアンと呼ばれる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/14(月) 17:39:07.94

実解析的な関数が重要なのはなぜですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/14(月) 18:27:54.65

>>8

小さい長方形D（面積d）
　(x,y)　(x+⊿x,y)　(x,y+⊿y)　(x+⊿x,y+⊿y)
のfによる像は
小さい「平行4辺形」E（面積kd）

一般に、ｆ：(x,y) → (g(x,y),h(x,y))　の面積比ｋは
　k = |(∂g/∂x)(∂h/∂y) - (∂g/∂y)(∂h/∂x)|
で与えられ、ヤコビアンと呼ばれる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/14(月) 18:31:49.11

>>12
　f(x) = a (e^x - 1),

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/14(月) 19:26:56.29

一松信の解析学序説上の以下の定理と系について質問です。
なぜ、この系は定理6.2の系なのでしょうか？
収束半径という用語を定義するのに定理6.2は必要ですが、それだけのことで系になっているのでしょうか？

「0を中心とする整級数が0以外の点で収束するための必要十分条件は、適当な正の定数c, Mを選んで、すべてのnについて
|a_n| ≦ c*M^nが成立するようにできることである。」

と書けば、収束半径という用語を排除することができます。

定理6.2
0を中心とする整級数sに対して、次のような性質をもつρがただ一つ定まる。
|x|<ρである任意のxに対して、sは絶対収束する。
|x| >ρである任意のxに対して、sは発散する。

系
0を中心とする整級数が0でない収束半径をもつための必要十分条件は、適当な正の定数c, Mを選んで、すべてのnについて
|a_n| ≦ c*M^nが成立するようにできることである。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/14(月) 21:42:29.08

>>10
こないだ見た
いい問題だった

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 03:29:58.18

>>32
定理の証明に系を使ってるんだろ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 07:36:17.90

>>34どういうことですか？定理6.2の証明にその系を使っている？意味が分かりません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 08:10:12.80

>>27
〔生成関数〕
　生(なま)にするか成るかを決める関数。不成(ならず)の関数ともいう。

(大意)
　王将・金将以外の駒は、敵陣で動く際には、
金将のはたらきをするように成ることができます。(不可逆)

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 08:42:37.96

一松信の解析学序説上の以下の問題についてなのですが、開区間(a, b)で定義された単調函数f(x)に対して、lim_{x→a+0} f(x)は常に存在するように思います。
ですので、数列がうんぬんという箇所は無意味だと思いますが、いかがでしょうか？

「単調函数f(x)が開区間(a, b)で定義され、一つの減少数列a_n→a(a_n>a)に対して、lim_{n→∞} f(a_n) = αならば、lim_{x→a+0} f(x)が存在してαに等しい。」

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 09:56:50.32

>>36
大駒が成ったときの動きは？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 12:40:54.96

>>35
定理6.2の証明を読んでみたか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 12:42:43.82

>>37
f(x) = 1/x は (0, ∞) で定義された単調関数だが、 lim[x→+0] 1/x は存在しない

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 13:01:44.53

「数学の本第91巻」スレより
> 414１３２人目の素数さん2020/09/15(火) 00:48:47.94ID:TrGR7Hlq
> 話を横取りするようで悪いが、log(1+x) の級数展開に関して
> 複素領域の収束円上で級数が収束するのは x=1 だけなのか？他にもあるならどんな分布をしているのか？
> その辺りに言及してる文献(またはサイト)があれば教えてほしい。
>
> 415１３２人目の素数さん2020/09/15(火) 11:12:40.77ID:N/433de6
> x=-1の時だけ発散だろうに（証明は読者の演習問題とする）

問題を整理すると
　Σ[k=1,∞] 1/k * e^{i2πkt}
これが発散するのは t が整数の時だけなのか？誰か分かる人お願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 13:24:57.20

>>39
もちろん読みました。読んだ直後に系を見ての疑問です。

41 · 2020/09/15(火) 14:30:07.91

>>41 (少しだけ進展)
t = 1/3, 2/3 の場合は、3項づつまとめて...
| 1/(3k+0) * e^{i2πt*(3k+0)} + 1/(3k+1) * e^{i2πt*(3k+1)} + 1/(3k+2) * e^{i2πt*(3k+2)} |
　< ( (3k)² (1+e^.+e^..) + k*...+ ... ) / ((3k)(3k+1)(3k+2))
　< M / k² 　{ ∵ 1+e^{i2πt*1}+e^{i2πt*2} = 0, Mはkに依存しない係数 }
よって絶対収束に帰着する。
同様に t が整数以外の有理数の時は収束する。
しかし t が無理数の時はどうしたらいいのか分からない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 15:00:16.73

>>43 つ「Abelの変形法」

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 15:38:45.70

>>44
どう使えばいいのか分からない。もう少し詳しくお願いします。
Abelの連続性定理の証明に出てくる変形もその一種らしいのは分かった。
しかし連続性定理は「収束する」かどうかまでは教えてくれない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 16:25:04.47

>>45
S_k = 1+z+z^2+z^3+...+z^k = (1-z^{k+1})/(1-z) とする。
Σ[k=1,n] 1/k * z^k
= Σ[k=1,n] 1/k * (S_k - S_{k-1})
= Σ[k=1,n-1] (1/k - 1/(k+1))*S_k + S_{k-1}/n - 1
= Σ[k=1,n-1] (1/k(k+1))*S_k + S_{k-1}/n - 1.
z=e^{i2πt}, z≠1 なら S_k (k=0,1,2,...) は有界であり、
Σ[k=1,∞] (1/k(k+1)) は収束するから、
このとき Σ[k=1,∞] 1/k * z^k は収束する。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 16:30:18.09

>>46 ありがとう。理解できました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 16:44:57.90

>>31
どういう方法で解決しましたか？
確かにそれで合っていて、場合分けもなさそうなのですが、この解ですべてを表していることの証明がうまくいかないです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 18:29:14.04

>>48
ヨコ
f(0)=0は容易
g(x)=f(x)/(e^x-1) (x≒0)
とおけば仮定によりg(x)はg(0)=aとすれば全てのxで連続な関数に拡張される
この時g(x)=g(x/2)より
g(x)=lim g(x/2^n) = g(0)=a

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 20:30:46.66

λ > μ > 1のとき、十分大きなnに対して、λ/n + 1 > (1 + 1/n)^μが成り立つというのはなぜですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 20:49:15.79

>>42
系の証明が含まれてる事に気づかないのか？
(本を持ってないから予想だがな、頭の中で証明してみたら含んでたのさ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/15(火) 21:22:42.84

>>50
λ > M/N > μ > 1 となるような有理数 M/N ( M≧2, N≧2 ) が存在する。

(1+1/n)^{M} = 1 + M/n + M(M-1)/(2n²) + ... + 1/n^M = 1 + M/n + o₁(1/n)
(1+λ/n)^N = ... = 1 + Nλ/n + o₂(1/n)

あるN₀が存在して
n ≧ N₀ の時、 | o₂(1/n) - o₁(1/n) | < (Nλ- M)/2n が成り立つので
(1+λ/n)^N - (1+1/n)^{M} = (Nλ- M)/n + o₂(1/n) - o₁(1/n) ＞ (Nλ- M)/2n ＞ 0
∴ (1+λ/n)^N　＞ (1+1/n)^{M}

1+λ/n = (1+λ/n)^{N/N} ＞ (1+1/n)^{M/N} ＞ (1+1/n)^{μ}

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 06:15:37.19

>>49
g(2x)とg(x)の関係を逆に見てg(x/2)をど作るんですね。
それを繰り返せばn→∞でx/2^n→0が使えると。全然思いつきませんでした。
微分というより極限を使うんですか、この方法は覚えておきます。ありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 14:43:52.67

https://i.imgur.com/yO5hLbu.jpg
これって書き出してくしかないですか？
早く解ける方法が知りたいです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 14:45:25.19

https://i.imgur.com/Qq2ZdC2.jpg
図形問題苦手です！ほんと教えて下さい

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 15:04:36.32

>>54
そのような整数を x とし、 x の各桁を表す一桁の整数を a, b, c とし、
x の一の位と百の位の数を入れ替えてできる整数を y とする。
このとき、 x および y は
x = 100a + 10b + c
y = 100c + 10b + a
と書ける。問題の条件より
a + b + c = 14
y - x = 594
だから、これらを使って a, b, c の候補を絞り込めば良い。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 15:45:18.12

y - x = 99(c-a),
∴　c-a = 6,
題意より x は3桁
∴　a = 1,2,3
(a,b,c) = (1,6,7)　(2,4,8)　(3,2,9)
x = 167, 248, 329
答え　3個

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 15:47:27.21

【No.16改】
各位の数字がそれぞれ異なる３桁の正の整数があり、
各位の数字の和が14である。
今、この３桁の整数が、一の位の数と百の位の数を
入れ替えてできる整数より594大きいとき、
このような整数の個数は何個か。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 16:00:30.60

>>55
△ABC ≡ △ACD,
△ABC = △ACD = (1/2)AC･AD sinα,
△AEF = (1/2)AE･AF sinα,

∴ △ABC/△AEF ＝ (AC/AE)(AD/AF) = (1+3)(1+1) = 8,
答え　8倍

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 16:04:24.80

>>55
三角形 ABC は三角形 ACD と合同なので、三角形 ACD の面積が三角形 AEF の面積の何倍か調べれば良い。
点 F と点 C を結ぶと、点 F が辺 AD の中点であることから、三角形 ACF と三角形 CDF の面積は等しい。
したがって、三角形 ACF の面積が三角形 AEF の面積の何倍か調べれば良い。
点 E が対角線 AC を 1 : 3 に分けることから、三角形 ECF の面積は三角形 AEF の面積の 3 倍である。
すなわち、三角形 ACF の面積は三角形 AEF の面積の 4 倍に等しい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 16:16:34.75

>>58
c - a = 6 が a - c = 6 に変わるだけだと思うが
c = 0 でも良いことに注意するだけ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 17:21:14.65

>>50
十分大きなnに対して
　n(1/μ - 1/λ) > 1,
　n/μ > n/λ + 1,
　(1 + λ/n)^{n/μ} > (1 + λ/n)^{n/λ + 1} > e > (1 + 1/n)^n,
　1 + λ/n > (1 + 1/n)^μ,

〔補題〕
(1+1/m)^{m+1} > e > (1+1/n)^n,

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 17:59:12.68

〔補題〕
(1 + 1/n)^{n+1} > e > (1 + 1/n)^n,

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1547713780/14-15

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 19:08:00.81

>>38
　大護摩の場合は、元々の利きに加えて王の利きも兼ねる。

http://www.jalan.net/event/evt_251012/
http://www.rinnoji.or.jp/temple/gomadou/
https://www.fudouin.jp/cgi-bin/fudouin/siteup.cgi → 柴燈大護摩・火渡り

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/16(水) 23:37:02.93

>>55
小さい方は底辺が1/4、高さが1/2だから面積は1/8
大きい方は小さい方の8倍

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 05:35:35.60

任意の正の整数nに対して不等式
(1+1/n)^n < e < (1+1/n)^(n+p)
を成立させる実数pの下限を知りたいです
微積の教科書ではp=1/2の場合に上記の不等式が成り立つことが書かれていますが、pを1/2未満にすることは可能でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 06:17:17.94

対数をとってみると
(n+p)log(1 + 1/n)
　= (n+p){1/n -1/(2nn) +1/(3n^3) -1/(4n^4) + ････}
　= 1 + (p-1/2)/n + (2/3 -p)/(2nn) - (3/4 -p)/(3n^3) - ････

nが十分大きいとき >1 となることから p≧1/2
でしょうね。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/17(木) 07:32:12.62

前>>5
>>54
3個
>>55
8倍

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/17(木) 07:38:57.19

前>>68
∵(1/4)(1/2)=1/8
∵594≒600
7―1,8―2,9―3の3つしかない。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/17(木) 08:54:23.46

前>>69
761-167=594
842-248=594
923-329=594
∴示された。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 09:18:05.70

680は？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 10:23:38.12

司法試験予備試験の問題

球面上の異なる 2 点間の球面に沿った最短距離は，大円（球の中心を通る平面と球面が交わって共有する円）のそれら 2 点を端点とする弧の（長くない方の）長さである。地球上で北緯 45 度・東経 145 度，北緯 45 度・西経 125 度に位置する 2 地点間の地表面に沿った最短距離として最も近いものを，次の1から5までの中から選びなさい。ただし，地球は半径 6378 km の球とする。
1．5009 km 2．6679 km 3．8348 km 4．9017 km 5．9876 km

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 10:50:18.46

>>72
1アース=6378kmの単位で測り、以外単位省略
いずれも北緯45°の小円上(半径1/√2)の2点でコレら端点とする円弧の中心角は360°-(145°+125°)=90°
∴直線距離は1
∴2点を端点とする大円上の円弧の中心角は60°
∴最短距離は
π/3アース= π/3×6,378km=6679.0259815319km

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/17(木) 11:07:00.11

前>>70
>>71題意は3桁だから86は不適。
>>72
2πr/4=6378π/2=3189π
∴5

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 12:54:20.47

a[k]=n^kとする。
任意の自然数nに対して
(1+1/a[k])^a[k] < e < (1+1/a[k])^(a[k]+p)
を成立させる最小のpをkで表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 13:09:54.98

>>75
一の位と百の位を入れ替えてできる整数としか書いてないよ
入れ替えても3桁とは言ってない

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/17(木) 13:24:26.08

前>>74
86は整数だが086は数字が並んだものに過ぎず整数とは呼べない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 13:31:58.97

>>75
p>1/log(1+n^k)-n^k (∀n)
⇔p≧lim (1/log(1+t)-1/t) (∵ 右辺はtについて単調減少)
⇔≧p≧1/2

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 13:34:06.99

>>77
まぁそれならわからないではないが、それを「3桁の整数ではないからダメ」と言ってしまった後では言い訳してると思われますなww

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/17(木) 15:17:59.23

前>>77
だから86は整数だが2桁だからだめなんだよ。
一の位と百の位を入れ替えても整数じゃなきゃだめだもんで。
結局3桁じゃねえからだめだと言っただら。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/17(木) 15:17:59.47

前>>77
だから86は整数だが2桁だからだめなんだよ。
一の位と百の位を入れ替えても整数じゃなきゃだめだもんで。
結局3桁じゃねえからだめだと言っただら。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 15:47:59.01

ちょっといいわけとしては無理あるかな
最初の言い方では指摘したかった部分を指摘できていたとは言いがたい
ところでイナは前>>○○ってのをやめてくれないかなあ
汚くなるし見づらいし意味がわからんし
やりたきゃ名前欄に入れるとかしてくれよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 16:17:45.91

>>72
数値を変えても計算できるようにプログラムにしてみた（単なる計算式）
> fn <- function(
+ ai=45, 　# 北緯°
+ ak=145, 　# 東経°
+ bi=45, 　# 北緯°(南緯はー°)
+ bk=-125){　# 東経°(西経はー°)
+ R=6378 # 地球の半径km
+ u=pi/180
+ A=R*c(cos(ai*u)*cos(ak*u),cos(ai*u)*sin(ak*u),sin(ai*u))
+ B=R*c(cos(bi*u)*cos(bk*u),cos(bi*u)*sin(bk*u),sin(bi*u))
+ AB=sqrt(sum((A-B)^2))
+ asin(AB/(2*R))*2*R
+ }
> fn()
[1] 6679.026
> " https://ja.wikipedia.org/wiki/日本の端の一覧#離島を含む日本の東西南北端
+ 最東端
+ 南鳥島・坂本崎（東京都小笠原村北緯24度16分59秒東経153度59分12秒）
+
+ 最西端
+ トゥイシ（沖縄県八重山郡与那国町北緯24度27分5秒東経122度55分57秒
+ "
[1] " https://ja.wikipedia.org/wiki/日本の端の一覧#離島を含む日本の東西南北端\n最東端\n南鳥島・坂本崎（東京都小笠原村北緯24度16分59秒東経153度59分12秒）\n\n最西端\nトゥイシ（沖縄県八重山郡与那国町北緯24度27分5秒東経122度55分57秒\n"
> fn(24+16/60+59/3600,153+59/60+12/3600,24+27/60+5/3600,122+55/60+57/3600)
[1] 3142.256
> "
+ 最北端
+ 弁天島（北海道稚内市北緯45度31分35秒東経141度55分9秒）
+ 最南端
+ 沖ノ鳥島・北小島（東京都小笠原村北緯20度25分30.6585秒東経136度4分11.1766秒"
[1] "\n最北端\n弁天島（北海道稚内市北緯45度31分35秒東経141度55分9秒）\n最南端\n沖ノ鳥島・北小島（東京都小笠原村北緯20度25分30.6585秒東経136度4分11.1766秒"
> fn(45+31/60+35/3600,141+55/60+9/3600,20+25/60+30.6585/3600,136+4/60+11.1766/3600)
[1] 2845.154

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 16:37:26.07

>>54
プログラムに数えさせてみた。

a=1:9
b=0:9
c=0:9
gr=expand.grid(a,b,c)
f <- function(x){
a=x[1];b=x[2];c=x[3]
d=c(100,10,1)
a+b+c==14 & a!=b & a!=c & b!=c &
sum(c(a,b,c)*d) == sum(c(c,b,a)*d)-594
}
idx=which(apply(gr,1,f))
gr[idx,]

> gr[idx,]
Var1 Var2 Var3
685 1 6 7
758 2 4 8
831 3 2 9

167,248,329の３個

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 17:45:08.53

司法試験予備試験問題から

〔第 11 問〕
ある酒造会社が自社の社員に対して，酒（ワイン，ビール，ウィスキー，日本酒及び焼酎）の好みと
海外旅行経験について調査したところ，次のアからウの各事実が明らかになった。
ア．フランス旅行かイタリア旅行の少なくともどちらか一方を経験している社員の中には，ワイン好
きでない者はいない。
イ．ヨーロッパ旅行の経験がない社員は皆，日本酒だけが好きであり，またその逆も成り立つ。
ウ．ウィスキーと焼酎の両方が好きな社員は皆，ヨーロッパ旅行の経験があったとしても，ワイン好
きではない。
以上の事実から論理的に結論できるもの（上記アからウの各事実がいずれも真であるときに必ず真で
あると言えるもの）として最も適切なものを，後記１から５までの中から選びなさい。

１．ワイン好きではない社員は皆，日本酒だけが好きである。
２．ビールもワインもウィスキーも焼酎も好きな酒として挙げなかった社員は皆，イギリス旅行の経
験がない。
３．ウィスキー好きでフランス旅行を経験している社員は，焼酎好きではない。
４．フランス旅行とイタリア旅行の両方を経験している社員は皆，日本酒好きではない。
５．ドイツ旅行とイタリア旅行の両方を経験している社員は皆，ウィスキー好きではない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 18:01:04.03

>>85
3

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/17(木) 18:15:42.95

>>62
>>63
〔補題〕
x>0 のとき
　(1+1/x)^{x+1} > e > (1+1/x)^x,

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1547713780/16,37,38

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/17(木) 22:37:14.82

前>>81訂正。
>>72
2地点を結ぶ最短距離は円弧軌道であり、その円弧を含む平面は地球の中心を通るから、その軌道は北緯40度線を大きく北に湾曲し、赤道と円弧の交点は赤道と東経145°線の交点より西に45°行った地点。
話戻って2地点を中心角は60°
2πr/6
2126π=6679.02598153……
∴2番

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/18(金) 10:20:49.38

前>>88修正。
>>72
2地点を結ぶ地球表面上の最短距離は円弧軌道であり、その円弧を含む平面は地球の中心を通るから、その軌道は北緯40度線を大きく北に湾曲し、赤道と円弧の交点は赤道と東経145°線の交点より西に45°行った地点。
話戻って2地点を結ぶ円弧の中心角は60° 。
地球表面上の最短距離2πr/6=2126π
=6679.02598153……
≒6679(㎞)
∴2番

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/18(金) 10:24:29.85

前>>89修正。
>>72
2地点を結ぶ地球表面上の最短距離は円弧軌道であり、その円弧を含む平面は地球の中心を通るから、その軌道は北緯40度線を大きく北に湾曲し、赤道と円弧の交点は赤道と東経145°線の交点より西に45°行った地点。
話戻って2地点を結ぶ円弧の中心角は60° 。
地球表面上の最短距離2πr/6=2126π
=6679.02598153……
≒6679(km)
∴2番

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/18(金) 10:27:17.57

前>>90訂正。
>>72
2地点を結ぶ地球表面上の最短距離は円弧軌道であり、その円弧を含む平面は地球の中心を通るから、その軌道は北緯45度線より大きく北に湾曲し、赤道と円弧の交点は赤道と東経145°線の交点より西に45°行った地点。
話戻って2地点を結ぶ円弧の中心角は60° 。
地球表面上の最短距離2πr/6=2126π
=6679.02598153……
≒6679(km)
∴2番

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/18(金) 10:30:26.16

前>>91微調整。
>>72
2地点を結ぶ地球表面上の最短距離は円弧軌道であり、その円弧を含む平面は地球の中心を通るから、その軌道は北緯45度線より大きく北に湾曲し、赤道と円弧の交点は赤道と東経145度線の交点より西に45°行った地点。
話戻って2地点を結ぶ円弧の中心角は60° 。
地球表面上の最短距離2πr/6=2126π
=6679.02598153……
≒6679(km)
∴2番

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/18(金) 14:41:37.69

「ベキ級数は、収束円の内部に含まれる任意のコンパクト集合上で一様収束することを示せ。

収束半径をρ>0とするとき、任意のr（0 < r < ρ）に対して、|z| ≦ rで一様収束することを示せば十分である。」

と本に書いてあるのですが、なぜですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/18(金) 15:26:22.21

>>93
「任意のr（0 < r < ρ）に対して、|z| ≦ rで一様収束する」を仮定する。
収束円内部に含まれる任意のコンパクト集合を Kとする。
K ⊂ { z ; |z| < ρ } = ∪[n=0,∞] Aₙ
但し A₀ := {z ; |z| < ρ/2 }, Aₙ := { z ; ρ*(1- 1/n) < |z| < ρ*(1-1/(n+2)) }　(n=1,2,3,...)
コンパクト性により、ある正数Nに対して K ⊂ ∪[n=0,N] Aₙ
仮定より |z| ≦ r = ρ (1-1/(N+3)) での一様収束が言えるので
そこに含まれる K も一様収束する。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/18(金) 16:50:35.31

あるxについての2次式
f(x)=ax^2+bx+c
に対してg(x)を
g(x)=f(f(x))+2f(x)+3
と定めたところ、g(x)は
g(x)=af(f(x))+bf(x)+c
とも表された。
方程式g(f(x))=0を解け。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/18(金) 18:18:20.50

>>94
ありがとうございました。

以下の議論はあっていますか？

収束円の内部に含まれる任意のコンパクト集合をKとする。
K上の関数f : z → |z|は連続関数であるからK上で最大値を取る。
z_0でfは最大値を取るとする。r = |z_0|とおく。
任意のKの元zに対して、|z| ≦ rが成り立つ。z_0は収束円の内部の元だから、r < ρである。
∴任意のKの元zに対して、|z| ≦ r < ρが成り立つ。
|z| ≦ rで一様収束することが示されれば、当然Kでも一様収束する。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/18(金) 18:53:21.20

前>>92
>>95
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=f(f(x))+2f(x)+3
=a^3x^4+2a^2bx^3+a(b^2+2ac+b+2)x^2+b(2ac+b+2)x+c(ac+b+3)+3
またg(x)=a^4x^4+2a^3bx^3+(a^2b^2+2a^3c+a^2b+ab)x^2+(2a^2bc+ab^2+b^2)x+a^2c+abc+ac+bc+c
g(x)の4次の係数よりa^3=a^4
a=1
g(x)の2次の係数よりb^2+2c+b+2=b^2+2c+2b
b=2
g(x)の定数項よりc(c+2+3)+3=c^2+2c+c+2c+c
c^2+5c+3=c^2+6c
c=3
f(x)=x^2+2x+3
g(x)=x^4+4x^3+14x^2+20x+27
g(f(x))=(x^2+2x+3)^4+4(x^2+2x+3)^3+14(x^2+2x+3)^2+20(x^2+2x+3)+27=0
x^8+8x^7+17x^6+86x^5+135x^4+340x^3+367x^2+478x+321=0
g'(f(x))=8x^7+56x^6+102x^5+430x^4+540x^3+1020x^2+734x+478
=8(x+7)x^6+2(51x+215)x^4+60(9x+17)x^2+2(367x+239)＞0
∴実解なし。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/18(金) 19:27:13.56

>>96
最大値(最小値)云々もコンパクト集合の性質なので、それでいいと思います。
というか、そこまで「分かってる」のに何が疑問だったん？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/18(金) 19:39:45.69

前>>97訂正。
>>95
g(f(-3))=26248＞0
g(f(-107))＜0
-107＜x＜-3の範囲に実解ある。
3も107も素数でかつx^8の係数が1だもんで有理数の解を持つようには因数分解できない。
x=-√pとおくと、
x^2=p
x^4=p^2
x^6=p^3
(中止)

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/18(金) 21:01:06.31

>>98
ありがとうございました。
あまり自信がなかったので、質問しました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/18(金) 21:12:55.07

https://i.imgur.com/EHGJvgl.jpg

この命題について質問です。

べき級数の収束半径が1よりも大きければ、べき級数は収束円の内部で連続なので自明です。
またべき級数の収束半径が1よりも小さければ、仮定（Σa_nが収束する）が成り立ちません。
ですので、この命題はべき級数の収束半径がちょうど1である場合を想定していると思います。

拡大・縮小と回転を考えれば、収束半径が正の実数であるべき級数が収束円上の点z_0で収束すれば、
領域Dを拡大・縮小および回転した領域D'にとどまりながらzがz_0に近づくとき、f(z)→Σa_n*z_0^nとなる
と思います。

そこで質問です。
べき級数が収束円上の点z_0で収束するにもかかわらず、z_0で連続でないような例はありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/18(金) 22:50:11.65

べき級数の収束域に属する点z_0でべき級数が不連続になる点が存在するか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 01:00:40.05

「nコの色違いのボールがあるときの取れるパターンは何通りあるのか
（1つも取らない、全て取る場合も含めます）」

ご教示お願いいたします

たとえばA～Eの5種類の場合なら「32通り」となって「2^n」になりそうなのは予測できるのですが、、

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 01:47:42.03

2^n でいいんじゃね
それぞれのボールに対して取るか取らないかの2択

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 02:53:59.17

>>101
収束円の外は発散するんだから円上で連続のわけがない

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 05:30:42.53

>>105
収束円の外はべき級数の定義域に含まれません。
f : D -> Cがz=z_0で連続であることの定義は、任意の正の実数εに対して、正の実数δで、z ∈ D かつ |z - z_0| < δ ⇒ |f(z) - f(z_0)| < εを満たすものが存在することです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 05:49:25.74

アーベルの連続性定理からは限られた経路でしか連続性が保証できないし、その他の経路からは不連続になるような例が作れそうではある

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 08:22:56.29

>>107
> その他の経路からは不連続になるような例
Abel's theorem (Wikipedia英語版)には　 f(z) := Σ[n=1,∞] (z^{3^n} - z^{2*3^n}) / n 　が例として載ってる。
lim[δ→∞] f(1-δ) = 0
lim[δ→∞] f( e^{iπ /3^m}*(1-δ) ) = -∞　(m=0,1,2, ... )
となるので　zₘ→1 かつ f(zₘ) → -∞ となるような収束円内部の点列 zₘ が存在する。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 09:18:59.77

>>108 訂正
誤: [δ→∞]
正: [δ→+0]

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 09:32:26.14

>>104
ありがとうございます
そういう考えが真っ先に思いついたんですが、

二項定理より
　　ΣnCk=(a+b)=nC0a�b+nC1a�b+nC2a�b+･･･+nCna�b

これにa=b=1を代入
　(1+1)=nC0+nC1+nC2+･･･+nCn
⇔2=nC0+nC1+nC2+･･･+nCn

この方法で間違ってるところありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 11:14:21.74

>>110
二項係数を C[n, k] とするとき、
2^n = Σ[k=0,n] C[n, k]
が成立するのは正しい
この右辺を
Σ[k=0,n] （ n 個の色違いのボールから k 個取り出すときの組み合わせの数）
と解釈するならそれでもよさそう

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 15:51:27.85

xy平面で反転fにより点P(x,y)を点f(P(x,y))に移すとき、写像fはx,yの簡単な式になりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 17:21:03.84

1 ≦ |1-z|/(1-|z|) < M　　　(有界)
|arg(1-z)| < arccos(1/M)

友と語らん　Stolzの徑
夢はかえるよ　Stolzの徑
　{灰田勝彦　♪鈴懸の徑♪　(1942)}

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 21:19:21.29

lim sup (n * |a_n|)^(1/n) = lim sup (|a_n|)^(1/n)の証明ですが、以下の証明は正しいですか？

{(|a_n|)^(1/n)}が上に有界でなければ、(|a_n|)^(1/n) ≦ (n * |a_n|)^(1/n)だから{(n * |a_n|)^(1/n)}も上に有界ではない。

{(n * |a_n|)^(1/n)}が上に有界ではないとする。n^(1/n)→1だから∃N such that n≧N ⇒ n^(1/n) < 2
Kを任意の実数とする。{(n * |a_n|)^(1/n)}が上に有界ではないから、2*K < (n * |a_n|)^(1/n) となるような
nが無数に存在する。ゆえに2*K < (n_0 * |a_{n_0}|)^(1/n_0) となるようなn_0≧Nが存在する。
2*K < (n_0 * |a_{n_0}|)^(1/n_0) < (n_0)^(1/n_0) * {a_{n_0}|^(1/n_0) < 2 * {a_{n_0}|^(1/n_0)
両辺を2で割って、K < {a_{n_0}|^(1/n_0)
ゆえに、{(|a_n|)^(1/n)}は上に有界ではない。

以上より、{(|a_n|)^(1/n)}、{(n * |a_n|)^(1/n)}のどちらかが上に有界でなければ、
lim sup (n * |a_n|)^(1/n) = ∞ = lim sup (|a_n|)^(1/n)である。

よって、以後、{(|a_n|)^(1/n)}、{(n * |a_n|)^(1/n)}のどちらも上に有界であるとしてよい。

B := lim sup (n * |a_n|)^(1/n)、A := lim sup (|a_n|)^(1/n)とおく。
上極限の定義により、B ≧ Aは明らかである。
上極限の定義により、A ≧ 0も明らかである。

B > Aが成り立つと仮定して矛盾を導く。
αをA/B < α < 1 を満たす任意の実数とする。
εを0 < ε < (α*B-A)/(α+1)を満たす任意の実数とする。

(α+1)*ε < α*B-A
A+ε < α*(B-ε)
が成り立つ。

α < 1であり、1/n^(1/n)→1だから∃N such that n≧N ⇒ 1/n^(1/n) > α
上極限の定義により、B-ε < (n * |a_n|)^(1/n)となるようなn≧Nが無数に存在する。
上極限の定義により、A+ε < (|a_n|)^(1/n)となるようなnは高々有限個しか存在しない。

以上より、
A+ε < α*(B-ε) < (B-ε)/n^(1/n) < (|a_n|)^(1/n)となるようなn≧Nが無数に存在する。
これは、A+ε < (|a_n|)^(1/n)となるようなnは高々有限個しか存在しないことに矛盾する。

ゆえに、B = Aでなければならない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 22:39:44.64

Σ_{n=0}^{∞} a_n * z^nの収束半径をρとする。
0 < R < ρであるとする。
Σ_{n=2}^{∞} n^2 * |a_n| * R^(n-2)が収束することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 23:05:08.35

limsup (n^2|an|)^(1/n) = 1/ρ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/19(土) 23:12:21.14

>>116
コーシー・アダマールの定理から明らかということですね。ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 15:45:00.94

以下の連立方程式(F)を考える。
y=4x^3-3x
x^2+y^2=1

（1）(F)はx=yかつxが実数であるような解を持つことを示せ。またそのような解(x,y)をすべて求めよ。

（2）（1）で求めた以外の(F)の解をすべて求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 15:53:32.51

>>118
出題ミスしてますよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 16:11:48.14

>>118

（1）マイナスが抜けていました

【正】
（1）(F)はx=-yかつ（以下略）

【誤】
（1）(F)はx=yかつ（以下略）

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 18:16:51.20

cos3θ=sinθ=cos(π/2-θ)
⇔3θ≡π/2-θ (mod 2π), 3θ≡-π/2+θ (mod 2π)
⇔θ≡π/8 (mod π/2), θ≡-π/4+θ (mod π)
⇔θ≡π/8,5π/8,-3π/8,-7π/8,3/4π,-π/4 (mod 2π)

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 19:29:04.16

a,bは正の実数の定数とする。
曲線C:y=ax^3-bxと円D:x^2+y^2=1のどの交点においても、CとDが直交するようなa,bの条件を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 19:54:33.34

sinθ = a cos^3θ-b cosθ
tanθ = 3a cos^2θ-b
cosθ≠0
を満たすθが存在する事が必要でよってa=0が必要
逆にa=0のとき条件は満たされる

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 20:03:29.91

微分積分の教科書に以下のような項別積分の定理の証明が書いてあります。この証明で問題ないですか？

関数f(x)が区間(-R, R)(R > 0)で整級数f(x) = Σa_n*x^nで表されるならば、この区間でf(x)の原始関数は整級数F(x) = Σa_n/(n+1) * x^{n+1} + Cに
よって与えられる。

証明：
F(x)を項別微分するとf(x)になる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 20:14:43.44

>>124
あほか

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 20:27:52.01

やはりおかしいですか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 20:30:44.80

松坂の解析入門です。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 20:47:48.07

項別微分可能であることはその前に書いてあるのか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 20:50:35.63

「Σa_n*x^nの収束半径がR ⇒ Σn*a_n*x^{n-1}の収束半径もR」と書いてある教科書がありますが、証明を見ると、
Σa_n*x^nの収束半径とΣn*a_n*x^{n-1}の収束半径は一致するということを証明しています。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/20(日) 20:59:53.16

1. Σa_n*x^nの収束半径とΣn*a_n*x^{n-1}の収束半径は一致する。
2. Σa_n*x^nは収束円内で微分可能で、その導関数はΣn*a_n*x^{n-1}である。
と書いてあれば、項別積分ができることは、この命題から明らかですが、
1. Σa_n*x^nの収束半径をRとするとΣn*a_n*x^{n-1}の収束半径もRである。
2. Σa_n*x^nは収束円内で微分可能で、その導関数はΣn*a_n*x^{n-1}である。
と書くと、項別積分ができることはこの命題のステートメントだけからは直ちには分からないという欠点があると思います。
証明まで読んでいれば、もちろん分かります。下手すると、Σa_n/(n+1) * x^{n+1}の収束半径が0だったら微分もできないし
どうすればいいのだろうと思うかもしれません。lim sup (a_n/(n+1))^(1/n) = lim sup a_n^(1/n)だから、
f(x) = Σa_n*x^nとF(x) = Σa_n/(n+1) * x^{n+1}の収束半径は等しいと余計な証明までしてしまうかもしれません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 12:17:07.36

「正項2重級数Σ_{(p, q)∈N} a_{p q}が収束して和がSであるとする。
このとき、Σ_{q=1}^{∞} (Σ_{p=1}^{∞} a_{p q})は収束して、Σ_{q=1}^{∞} (Σ_{p=1}^{∞} a_{p q}) ≦ Sが成り立つ。」

この証明ですが、「Σ_{q=1}^{Q} (Σ_{p=1}^{P} a_{p q}) ≦ Sであるが、SはPとQには関係しないので、上記不等式が成り立つ。」
と書いてあります。この証明でOKなんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 12:27:03.84

Qを固定する。
Σ_{q=1}^{Q} (Σ_{p=1}^{P} a_{p q}) ≦ S

Σ_{p=1}^{P} a_{p q} ≦ Sだから任意のqに対してΣ_{p=1}^{∞} a_{p q}はT_qに収束する。
Σ_{q=1}^{Q} T_q ≦ Sが成り立つ。
Σ_{q=1}^{∞} T_q ≦ Sが成り立つ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 12:50:05.31

下記解法はどのようになりますでしょうか。
https://imgur.com/a/5MWG3hU
問題文に　0, a, 2a,・・・とありますが、(1)の答が１とおり
ならば, ここは　0, a, 2a,・・・na と書くべきところのように
思えますが。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 13:01:32.92

>>133
答えがおかしいんじゃね？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 13:41:32.96

>>133
その「 1 」って記号か何かだろ
a = 1, 3, 7, 9
法則を見抜いて(2)を解けってことだろう

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 14:09:54.06

問題文の書き方が正しければ
(1)の答は　４とおり　(2)の答は 100とおり
ということになりますよね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 14:10:44.71

ならない

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 14:18:12.87

間違いました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 14:20:24.26

アールフォルスの本の複素関数の偏微分のところが分かりません。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 14:34:11.29

あっそ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 14:44:20.62

やはり問題文の「0,a,2a,・・・」は
「0,a,2a,・・・,na」の意味で書いてありますよね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 14:53:38.76

>>141
na は n を法として 0 に合同だから、それ以降はループするので
0, a, 2a, …
でも問題はない
考える範囲としては
0, a, 2a, … , (n-1)a
で十分
これに気が付けるかどうかも問われているのだろう

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 15:04:19.66

>>135
なるほどそれだ
センターは回答欄に割り振ってるのがアイウエオ～になってるのはこういう混乱を避ける意味みあるんだろな

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 15:11:08.25

>>.140
　もう傘寿ですね。引退まだかな (副総理・財務相)

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 15:48:11.28

>>142
（２）の問題について

「aの係数が負でない整数」というだけの条件なら、
aの値は360と互いに素であればよいということに
なりませんか？

そうでないなら、詳しい解説をお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 15:49:56.51

>>145
なります

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 17:02:05.08

2重級数について詳しく書いてある本を教えて下さい。私が調べた中では、小平邦彦解析入門2が非常に分かりやすい。杉浦光夫にも書いてありました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 18:46:42.32

次のx,yについての連立方程式が（重複を込めて）4つの実数解と2つの虚数解を持つことはありますか？
ただしa,bは実数の定数で、aは正とします。

x^2+y^2=1
y=ax^3-bx

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 19:03:09.82

初等幾何の問題の作り方を教えて下さい

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/21(月) 20:48:33.48

>>148
a = 0 の場合は 2次関数になるので問題外
a ≠ 0 の場合
f(x) = ( x^2 + (ax^3 - bx)^2　- 1 )/a^2 と置く。
f(x) = x^6 + ... -1/a^2 {定数項は負}
f(x)は偶関数なので f(x)=0 の解はプラスマイナスのペアで存在し、虚根は純虚数となる。
解を x = ±α₁, ±α₂, ±iβ と置けば
f(x)= (x^2-α₁^2)*(x^2-α₂^2)*(x^2 + β^2)　= x^6 + ... + α₁^2*α₂^2*β^2
「定数項は負」と矛盾するので、この形はありえない。
よって「4つの実数解と2つの虚数解」はありえない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/22(火) 05:45:10.47

>>150
元々は(0,0),(1,0),(-1,0)を通る3次関数と単位円が内側から接することはあるかと考えていて、どうもなさそうなので係数をa,bと置き換えたらどうかと思ったのですが、接しないのが結論でしたか。
私は力技で座標を計算しようとして駄目でしたが、解を文字で設定して背理法で証明するところは大変勉強になりました。ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/22(火) 06:35:22.11

確率論というか投資に絡めた質問なのですが

FXって買うか売るかだけなんで勝率半々ですよね
でもスプレッド(手数料)があるので、勝率としては50％弱になってトータルでは負けてしまいますよね
でも、業者によっては150％ボーナスが貰える場合があります
5万円入金したらボーナス7.5万を足して、12.5万円でトレードできるみたいな
このときの勝率は50％を遥かに越えますよね
この5万円を何万円まで増やしたときまで勝率50％を上回るか教えて下さい
スプレッドは2.0pips、エントリー条件はダイスを振りドル円を2万通貨買うか売るか決める、指値(利益確定)と逆指値(損切り)はともに100pipsとします

https://dotup.org/uploda/dotup.org2261309.png

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/22(火) 10:57:17.72

>>151
>>150 より実解が 2次接触のみの場合も排除される。
そこで x = ±α (0< α) で3次接触すると仮定すると
f(x) = ( x^2 + (ax^3 - bx)^2 - 1)/a^2 = x^6 - 2b/a*x^4 + (1+b^2)/a^2 * x^2 -1/a^2
= (x^2-α^2)^3 = x^6 - 3α^2*x^4 + 3α^4*x^2 - α^6
これらの係数比較より
0次⇒ -1/a^2 = -α^6　∴a=±1/α^3
4次⇒ -2b/a = -3/α^2　... ∴b=±3/2 / α
2次⇒ (1+b^2)/a^2 = 3α^4　 ... ∴ α= √(3)/2
矛盾なく実数 α が求まる。
よって、この時 2つのグラフは3次接触する
接触点は
(a,b) = (+8/(3√3), +√3) の時、 (x,y) = (±√(3)/2, ∓1/2)
(a,b) = (-8/(3√3), -√3) の時、 (x,y) = (±√(3)/2, ±1/2)

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/22(火) 17:35:45.23

f(z)が無限回微分可能であるとします。
べき級数Σ_{n=0}^{∞} [f^(n)(c)/n!] * (z - c)^nの収束半径を計算する。
収束半径内で、f(z) = Σ_{n=0}^{∞} [f^(n)(c)/n!] * (z - c)^nって成り立ちますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/22(火) 18:03:07.10

あたりまえやん

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/22(火) 18:40:26.68

教科書に以下のように「定理4.34より、開集合で解析的な関数は正則である。」と書かれています。
なぜ、「定理4.34より」なのかが分かりません。

「解析的」の定義から、f(z)は開集合Uの各点cのε近傍で収束ベキ級数で表されます。
ベキ級数はその収束円の内部で（項別）微分可能であるので、点cで複素微分可能です。
----

定理4.34
f(z)=Σ_{n=0}^{∞} a_n * z^nを収束ベキ級数とし、収束半径をρとする。また|c| < ρとする。このとき、f(z)はz = cを中心とする
ベキ級数で表される。すなわち、f(z) = Σ_{n=0}^{∞} b_n * (z - c)^n, b_n = f^(n)(c)/n!.
この級数は、|z - c| < ρ - |c|で絶対収束する。

定義4.37
開集合U ⊂ Cで定義された関数f(z)が、Uで解析的であるとは、Uの各点の近傍でf(z)は収束ベキ級数で表されることである。

定義6.5
開集合Uで定義された関数f(z)がUで正則（holomorphic）⇔ f(z)はUの各点で複素微分可能.

定理4.34より、開集合で解析的な関数は正則である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/22(火) 18:50:59.47

項別微分可能に絶対収束はいらんのか

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/22(火) 20:19:01.33

y=f(x)=x^3+ax^2+bx+cとする。
ある区間I=(p,q)が存在して（p,qは0<p<qなる実数の定数）、
Iに属する任意の実数tに対してf(t)=f(-t)が成り立つならば、
『c=0』かつ『x=0に関してy=f(x)のグラフは点対称』

だと考えたのですが、証明が思い浮かびません。
3次関数のグラフは4点が与えられていれば一意に定まるので、区間という無限個の点が与えられれば自明、で方針は合っていますでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/22(火) 20:36:11.45

突っ込みどころだらけなんで考えなおしたら？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/22(火) 23:36:48.53

「前提が絶対に成り立たないから正しい」でいいんじゃない？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 00:57:07.17

>>154
いいえ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 01:32:57.64

>>158
ま、f(t)=-f(-t)　ならなんとか意味のある結論に辿り着けるのかなぁ～

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 01:57:35.48

さすがにネタやろ？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/23(水) 03:53:02.77

前>>99
>>158
y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f'(x)=3x^2+2ax+b
区間Iはy=xの境界を含まず第2象限を含む側と考えられる。
題意によると、
かならずしもc=0でない、かつf(x)はx=0に関して線対称
なにを求めたいかを問うてほしい。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/23(水) 04:33:03.33

前>>164訂正。
>>158
y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f'(x)=3x^2+2ax+b
区間Iはy=xの境界を含まず第2象限を含む側すなわちy＞xかつx＞0と考えられる。
題意によると∀tについてf(t)=f(-t)だから、
t^3+at^2+bt+c=-t^3+at^2-bt+c
t^3+bt=0
t=0,√(-b)
∴b＜0
かならずしもc=0でない、またはf(x)はx=0に関して線対称
y=f(x)のグラフはx→±∞のときy→±∞(復号同順)と考えられるから、
y=f(x)のグラフがx=0に関して線対称になることはない。
命題は対偶が真であるから、
今ここで線対称の否定が点対称であるとせよ。
∴c=0かつf(x)はx=0に関して点対称

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/23(水) 04:41:04.78

前>165訂正。
>>158
y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f'(x)=3x^2+2ax+b
区間Iはy=xの境界を含まず第2象限を含む側すなわちy＞xかつx＞0と考えられる。
題意によると∀tについてf(t)=f(-t)だから、
t^3+at^2+bt+c=-t^3+at^2-bt+c
t^3+bt=0
t=0,√(-b)
∴b＜0
かならずしもc=0でない、またはy=f(x)はx=0に関して線対称
y=f(x)のグラフはx→±∞のときy→±∞(復号同順)と考えられるから、
y=f(x)のグラフがx=0に関して線対称になることはない。
命題は対偶が真であるから、
今ここで線対称の否定が点対称であるとせよ。
∴c=0かつy=f(x)はx=0に関して点対称

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 05:02:31.18

>>162
すいませんマイナスを忘れていました
偶関数ではなく奇関数ですf(t)=-f(t)です

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 07:28:16.26

問題についてではありませんが数学記号で質問です。

昭和31年の文献に記載されていたのですが、積分∫の右側に
分数のヨコ線ぽいけど途中が - - という感じで途切れた

　　dy
∫- -
　　v

の意味を教えて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 08:05:15.40

タイプライター時代の長い分数のヨコ線？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 08:26:14.01

複素関数論で、g(z) := (e^z - 1) / zと書いた場合、g(z)はe^z - 1をベキ級数展開した各項をzで割ったベキ級数を表すというのは、
わざわざ書かないようですが、なぜでしょうか？厳密に言えば、z=0のときにはg(z)は定義されないはずです。
例えば、h(z) := z/zと関数を定義した場合、h(z)はz=0では定義されないですし、z≠0のときには1となる定数関数です。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 09:13:00.41

>>169
最初、インクのかすれかな？と思ったのですが、昔はそういうヨコ線があったのですね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 09:49:41.79

>>167
要するに 2区間 (-q,-p) (p,q) にて奇関数であるということね。
n=2m+1 次の多項式に一般化して考える。(係数: c[0], c[1], ..., c[2m], 1)
(p,q) 内部の点 t では
f(t) = t^{2m+1} + c[2m] t^{2m} + ... + c[1] t + c[0] =
- f(-t) = -(-t)^{2m+1} + ... - c[0] = t^{2m+1} - c[2m] t^{2m} + ... + c[1] t - c[0]
よって
c[2m] t^{2m} + c[2m-2] t^{2m-2} + ... + c[2] t^2 + c[0] = 0
特に相異なる任意の 2m+1 点 t[1], t[2],..., t[2m+1] ∈ (p,q) で等式が成り立つ。
左辺式が多項式として非零で次数 2m' (0≦m'≦m)なら因数分解定理 (根: α[1],α[2],...,α[2m'] ) より、
ある t= t[k] で 0 ≠ ( t - α[1] )*( t - α[2] )* ... * ( t - α[2m'] ) = 0 {右辺値} となって矛盾する。
つまり左辺式は多項式として零。 f(x) の偶数次係数は全て零である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 11:40:32.06

(2/√3)x = X　とおく。

x ≒ - (√3)/2　(X ≒ -1) でテイラー展開すると,
　ax^3 - bx = X^3 - (3/2)X
　= 1/2 + (3/2)(X+1) - 3(X+1)^2 + (X+1)^3,
　√(1-xx) = √{1 - (3/4)XX}
　≒ 1/2 +(3/2)(X+1) -3(X+1)^2 +9(X+1)^3 -36(X+1)^4 +162(X+1)^5 -783(X+1)^6 +3969(X+1)^7 - ････

x≒ (√3)/2　(X ≒ 1)でテイラー展開すると
　ax^3 - bx = X^3 - (3/2)X
　= -1/2 + (3/2)(X-1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3,
　-√(1-xx) = -√{1 - (3/4)XX}
　≒ -1/2 +(3/2)(X-1) +3(X-1)^2 +9(X-1)^3 +36(X-1)^4 +162(X-1)^5 +783(X-1)^6 +3969(X-1)^7 - ････

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 12:08:52.31

>>147

高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　第4章　§49, §50 のあたり

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 14:52:35.83

教科書の以下の定理の証明では、f'(z)が0にならないことをわざわざ証明しています。でもf'(z)はz=0で連続でf'(0)≠0だからこのことは証明するまでもなく
明らかではないかと思います。単射であることを証明するのに使った式から簡単に導けはしますが、無駄なことをやっている印象があります。

定理
収束ベキ級数f(z) := Σ_{n=0}^{∞} a_n*z^nがf'(0)≠0をみたすとする。このとき、δ>0が存在して、開円板D(0,δ)でf(z)は単射かつf'(z)は0にならない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 15:09:08.34

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14232023219
上記URLの問題を教えて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 16:56:34.07

なぜそんな露骨なマルチを？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 17:31:03.74

>>168
昭和31年と言えば電子制御が未発達で印刷自由度も低かった時代の印刷だから
もしかしたら分数の括線を記すに当たり、予め括線始端と括線終端を書いて置き､
後で手仕上げする気で居たが、ついつい忘れてしまった…か或いは
ただ単純に前の線はマイナスで後ろの線は分数括線の積もりだった…のかも知れない｡

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 17:40:39.71

要するに、印刷
　　dy
∫- -
　　v
は、前者（手仕上げ忘れ）の通りなら ∫dy/v と記す積もりだだった事に成り､
後者（マイナス記号付き分数）の通りなら ∫-(dy/v) と記す積もりだった事に成る｡
時代が時代なんでマイナスもハイフンの混ぜ交ぜ使用の如く括線とマイナス記号の明別化も不充分だった可能性も考えられる｡

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 18:15:57.36

lim_{z -> a} |f(z)| は存在するが、lim_{z -> a} f(z)は存在しない例ってありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 18:23:38.97

f(z) = 1 if Im(z) ≧ 0
f(z) = -1 if Im(z) < 0

lim_{z->0} f(z)は存在しないが、lim_{z->0} |f(z)| = 1

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 22:00:21.58

ベキ級数の合成について質問です。
下の等式はなぜ成り立つのでしょうか？
どうしたら正当化できるのでしょうか？

f(z) = Σ_{n=1}^{∞} a_n*z^n
g(w) = Σ_{n=0}^{∞} b_n*w^n

g(f(z)) = b_0 + b_1*(Σ_{n=1}^{∞} a_n*z^n) + b_2*(Σ_{n=1}^{∞} a_n*z^n)^2 + b_3*(Σ_{n=1}^{∞} a_n*z^n)^3 + …
=　←この等式はなぜ成り立つのでしょうか？
b_0 + b_1*a_1*z + (b_1*a)2 + b_2*a_1^2)*z^2 + (b_1*a_3 + 2*b_2*a_1*a_2 + b_3*a_1^3)*z^3 + …

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 22:07:06.75

どうせ自分で解答するんでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/23(水) 22:26:50.90

2重級数が関係しているように思われますが、どうでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/24(木) 01:21:23.89

変わってないなぁ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/24(木) 08:18:28.79

>>182
f(z)がz始まりなので...
h(z) = g(f(z))
= b0
+ b1* (a1*z + a2*z^2 + a3*z^3 + ...)
+ b2* (a1*z + a2*z^2 + a3*z^3 + ...)^2
+ b3* (a1*z + a2*z^2 + a3*z^3 + ...)^3
+ ...
= P0(a0;b0) + P1(a0,a1;b0,b1)* z +
...+ Pk(a0,..,ak;b0,..,bk) z^k + ...
P0, P1, ... は正整数を係数とする多変数多項式
これは収束するかどうかに関係なく明確に求まる。

Σ[k=0,∞] | Pk(a0,..,ak;b0,..,bk) | * |z|^k
≦
Σ[k=0,∞] Pk(|a0|,..,|ak|;|b0|,..,|bk|)|*|z|^k
= Σ[j=0,∞]|bⱼ|*(Σ[m=1,∞]|aₘ|*|z|^m)^j
こうやって上から抑えられるので |z| が十分小さければ収束する
最後の等式は、
・収束半径内では絶対収束する
・絶対収束級数は項を入れ替えても収束値は変わらない
の性質を使った。

丁寧な解説は
Henri Cartan
Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables
に載ってる。薄くていい本なので買いなさい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/24(木) 08:30:45.10

>>152
FXはよく知らんが、1/2 の確率の賭けを続けると考えると
ランダムウォークの理論で定式化できそう

ただし現実には、手数料をとられるので
配当の期待値がマイナスになり、非対称のランダムウォーク問題となって
きれいには解けない
具体的には、傾きのある2本の吸収線を設定した問題にあたる

1/2 の確率の賭け
勝ち：＋19600円、負け：－20400円
を繰り返すとき
追証ライン－125000円を通過せずに
勝ち逃げライン＋X円に達する確率を50％以上としたい。
Xはいくらか。

と書くと数学の問題っぽくなるかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/24(木) 10:17:25.25

xy平面上の曲線y=x^3-x上に相異なる3点A,B,Cを、3点が同一直線上にないように取る。
△ABCの面積をSとするとき、比
S/max{AB,BC,CA}
の最大値を求めよ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/24(木) 14:19:10.37

前>>166
>>188
A(-1/√3,2/3√3)
B(1/√3,-2/3√3)
C(2/√3,2/3√3)
のとき△ABC=(1/2)(4/3√3)(1/√3+2/√3)=2√3/3√3=2/3
AB=2√(1/3+4/27)=2√(13/27)=2√13/3√3=(2√13/9)√3＜(8/9)√3
BC=√(1/3+16/27)=√(25/27)=5/3√3=5√3/9=(5/9)√3
CA=√3
BC＜AB＜CA
∴△ABC/MAX(AB,BC,CA)=△ABC/CA=2/3√3=2√3/9

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/24(木) 14:26:10.00

（1）sin⁻¹x=6/π　（2）cos⁻¹x=3/π　(3)tan⁻¹x=6/π
となる、xの値を求めよ。

（4)sin⁻¹1　（5）cos⁻¹0　（6）tan⁻¹1
の値を求めよ。

わからなすぎる

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/24(木) 14:29:13.53

>>190

(4) 関数　y=f(x)で　 x=1のときの値は f(1)です。
f　がアークサインのときに f(1)を求めよ。
ってのを忘れてた

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/09/24(木) 14:56:56.88

前>>189
>>190
（1）sinx=π/6　（2）cosx=π/3　(3)tan⁻¹x=π/6
となる、xの値を求めよ。ってことなんじゃないの？
知らんけど。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/24(木) 17:35:31.43

>>186 ありがとうございました。

>>182 以下の議論はあっていますか？

(Σ_{j=1}^{∞} a_j*z^j)^iはコーシー積だから、Σ_{j=0}^{∞} c_{i,j}*z^jと書ける。

g(f(z)) = b_0 + b_1*(Σ_{n=1}^{∞} a_n*z^n) + b_2*(Σ_{n=1}^{∞} a_n*z^n)^2 + b_3*(Σ_{n=1}^{∞} a_n*z^n)^3 + …

=

Σ_{i=0}^{∞} b_i * (Σ_{j=0}^{∞} c_{i,j}*z^j)

=

Σ_{i=0}^{∞} (Σ_{j=0}^{∞} b_i * c_{i,j}*z^j)

= ２重級数についての定理より

Σ_{(i, j)∈N^2} b_i * c_{i,j}*z^j

=

b_0 + b_1*a_1*z + (b_1*a)2 + b_2*a_1^2)*z^2 + (b_1*a_3 + 2*b_2*a_1*a_2 + b_3*a_1^3)*z^3 + …

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/24(木) 18:28:25.12

>>186 (続き)
Σ[k=0,n]bₖ*(Σ[j=1,m]aⱼ*z^j)^k
Σ[k=0,n]Pₖ(a..;b..)*z^k
どちらも新しい収束円内で(絶対)収束する事は示された。

任意の ε ＞ 0 に対して正整数 N₀ が存在して
m ≧ n ≧ N₀ ならば
|Σ[k=0,n]bₖ*(Σ[j=1,m]aⱼ*z^j)^k - Σ[k=0,n]Pₖ(a..;b..)*z^k |
　≦ Σ[k=n+1,m*n] Pₖ(|a|..;|b|..) *|z|^k
　≦ Σ[k=n+1,∞] Pₖ(|a|..;|b|..)*|z|^k < ε
と出来る。よって
Σ[k=0,∞]bₖ*(Σ[j=1,∞]aⱼ*z^j)^k = Σ[k=0,∞]Pₖ(a..;b..)*z^k
等しい事も示された。

>>193
> Σ_{i=0}^{∞} (Σ_{j=0}^{∞} b_i * c_{i,j}*z^j)
ここの絶対収束性をどう根拠づけているのか不明ですが、
ちゃんと分かって使ってるのなら大丈夫だと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/24(木) 19:21:34.98

|z|が十分小さければΣ_{i=0}^{∞} (Σ_{j=0}^{∞} |b_i| * |c_{i,j}|*|z|^j)は収束すると思います。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/24(木) 19:34:44.56

>>183
やるなぁ

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/24(木) 19:54:47.59

f(z) = Σ[m=1,∞] aₘ*z^m の(絶対)収束性から
Σ[m=1,∞]|aₘ|*|z|^{m-1} の収束が言える。これは収束円内の閉領域で有界。
よって Σ[m=1,∞]|aₘ|*|z|^m = |z| * Σ[m=1,∞]|aₘ|*|z|^{m-1} → 0 ( |z| → 0 )
つまり |z| が十分小さければ g(z) の収束円内に収まる。
g(z) = Σ[j=0,∞] bⱼ*z^j の(絶対)収束性から
Σ[j=0,∞]|bⱼ|*r(|z|)^j = Σ[j=0,∞]|bⱼ|*(Σ[m=1,∞]|aₘ|*|z|^m)^j は収束する。

>>195
>収束すると思います。
なんか雑な気がするなあ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/24(木) 21:40:29.86

大学入ってから箱ひげ図を使わないのですが、箱ひげ図はどんな場面で出てきますか？
高校で習うほどの意味があるんでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/25(金) 01:04:29.30

実用なら使うだろ
普通の大学は関係ないが

裏 · 2020/09/25(金) 04:41:13.13

ガロワで

ijk=i・j×k=i・i=-1

は合ってる？