面白い問題おしえて～な 32問目
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
>>828
厳密解？
無理数になるわけないと思うんやけど？
なんかの近似解の主要項？ >>827
f(n)=-f(1-n)にはならないよ？ なんかメチャメチャやろ？
「この確率の近似解を精度は問わないから好きな事かけ」なんか？
今上がってる答えが答えなら問題になってない >>832
ベータ分布でも出せるよ。無理数になるけど。
シミュレーション結果と一致したし。
> pbeta(300/365,0.5,0.5,lower.tail=FALSE)
[1] 0.2773420554 >>836
だからそれ近似解やろ？
>>818の問題で勝手に「近似解を好きな精度で求めよ」なんて読めるわけないやん？ >>836
> 1 - 300/365
[1] 0.1780821918
より、随分大きな値になるのが俺の直感とは乖離した。 >>837
いや、毎年繰り返すのを永遠に続ければその値に落ち着くよ。
やってみたら。 >>839
コイントスを365回やるのが全事象で確率がなんで無理数になんの？
どう考えても
P(300日黒字)
=N(365日黒字)/2^365
=整数/整数
にしかならんやろ？ >>840
(1+1/n)^nはｎを増やすと無理数になるだろ。
わかるひとには速攻でラムダムウォークの逆正弦法則の問題と見抜かれてしまった。 >>843
ハァ？
>>818の問題分で漸近展開の主要項なんて読めるはずないやろ
アホか？
そもそもホンマに>>841の分子読めてんのか？
それ365回の実験を何回もしたらその値に収束するんじゃないぞ？
意味わかってないやろ？
アホか？ 1年目での確率
と
永遠に継続したあとでランダムに選んだ1年での確率
で話がズレてる感じか
てか逆正弦のセッティングは最終的に0に返ってくるとしてるけど大丈夫なんかな？ >>842
あなたが有理数の厳密解を出せばすむぞ。 >>845
いや、
一年での確率も
何年か繰り返してその中からランダムにサンプルとっても確率なんぞ変わるわけない
>>841の確率は365=nを無限に飛ばす
その中で黒字の日数も日が300/365のまま飛ばしたときの極限
確率のイロハがわかっとらん >>846
それを計算機使わんと鮮やかに解く「面白い」方法があるん？
もうこの数レスでお前のレベルはわかった
お前ここに問題出せるレベルじゃないよ >>847
継続の場合、途中の年では1月1日に0である必要はない
条件が変わってる >>849
もうやめとけ
多分お前これだけハッキリお前が>>841の文章を誤読してるか指摘してやってるのにまだわかってないやろ？
365回やる試行を何回も繰り返して300回黒字の確率なんぞ何万回やっても有理数のままや
1/1に所持金がリセットされないと読んでも黒字やった日数はリセットせんとトータルで300日の意味になってそれなら確率0になる
黒字の日数をリセットすると解釈したら今度はある年は黒字日数312日、次の年は214日、‥となって結局問題文のイベントが何聞いてるかわからんようになる
結局確率の基本ができてないからお前には>>841レベルの話が理解できてない
もうやめといてくれ
出てってくれ ＞問題文のイベントが何聞いてるかわからんようになる
いや、わかっている人もいるようだよ。 >>851
じゃあちゃんと意味が通るように書き直してみろ
ちなみに>>841の文章は
n自然数、α∈[0,1]、
p[n]=P(黒字がpα日以上)
とおくときの
lim p[n] = ‥‥
や。
どう読んでもお前の書いた文章の意味にはならん
お前は文章がわかってないんじゃなくて自分が文章の意味がわかってないのが自分で気づけてない
確率論の教科書なんか一冊も読んだ事ないのにネットだけで理解したつもりなだけや
もう出てってくれ
お前には数学は無理や >>827
> よってn(n+1)で割った商rはr(n)=r(1-n)である一次式
ここの部分も変なので説明よろ
一次式にはならないので >>823
小谷：イプシロン(愛知教育大学 数学教育学会誌), Vol.５１, p.43-52 (2009)
「累乗和の公式について」
epsilon514352.pdf 3.9MB
http://aue.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uril&;item_id=2823&file_id=15&file_no=1 >>854
検索するんじゃなくて自分で考えて楽しもうぜ >>858
n(n+1)で繰り返し破らないとダメだ
繰り返し割って
f(n) = Q(n(n+1))(pn+ q) + rn + s
f(n)=f(-n-1)により
p=2q、r=2s
まぁ
f(n)=-f(-n-1)が恒等式
⇔f(n-1/2)が奇関数
⇔f(n-1/2)=Σ[i:odd]c[i]n^i
の方がいいかな？ 前>>778
>>818コインの裏表だろ。
(1/2)×100=50(%)と言いたいところだが、
勝たねえと黒字にはならねえ。
つまりもっとも起こりがちな勝ったり負けたりは負けだよ。
｛(1+2+……+150)×100｝/｛(1+2+……+150)2+151=｛151(150/2)｝/(151×150+151)
=75×100/151
=7500/151
=49.66887……
∴5割弱
有り金なしでギャンブルすんじゃいいとこ5割なんじゃない？ 前>>860訂正。
>>818
｛(1+2+……+66)+100｝/｛(1+2+……+183)+(1+2+……+182)｝
=｛67×(66/2)×100｝/｛184×(184/2)+183×(183/2)｝
=442200/(184^2+183^2)
=6.56618902665(%) >>860
手持ちの金の期待値でなくて
１年間の黒字の日が１年で何日あったかという問題。 m日目に黒字（勝ち越し）の確率は
p_m = 1/2 (mが奇数)
p_m = 1/2 - C(2m,m)/2^{m+1} (mが偶数)
だけど、mが偶数のときは相関があるから面倒だ >>854
Faulhaber の定理(?)
nの多項式だから n ↔ -n-1 の対称性から出す人が多いが
mについての帰納法でもできるんぢゃ？ >>823
mについての帰納法でやるならこうか。
m=1, m=2 のときは
f_1(n) = 1 + 2 + ････ + n = n(n+1)/2,
f_2(n) = 1^2 + 2^2 + ･･･ + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6,
により成立する。
ここで f_m(n) = 1^m + 2^m + ････ + n^m.
m-2 以下の自然数に対して成立つとする。
二項公式で
(k+1)^{m+2} - k^{m+2} - 1 = C(m+2,1)k^{m+1} + C(m+2,2)k^m + ････ ,
(k-1)^{m+2} - k^{m+2} - (-1)^{m+2} = -C(m+2,1)k^{m+1} + C(m+2,2)k^m - ････ ,
辺々たす。
(k+1)^{m+2} - 2k^{m+2} + (k-1)^{m+2} -1 -(-1)^m = 2C(m+2,2)k^m + 2C(m+2,4)k^{m-2} + ････,
k=1 から k=n までたすと
(n+1)^{m+2} - n^{m+2} -1 - [1+(-1)^m]n = 2C(m+2,2)f_m(n) + 2C(m+2,4)f_{m-2}(n) + ････,
ところで
x^{m+2} - y^{m+2} = (x-y) (x^{m+1} + x^m･y + ････ + x･y^m + y^{m+1})
は x-y を因子にもつ。
(左辺) = [(n+1)^{m+2} -1] - n^{m+2} - [1+(-1)^m]n
= (n+1)^{m+2} - [n^{m+2} - (-1)^{m+2}] - [1+(-1)^m](n+1)
は n, n+1 を因数にもつ。
また mが偶数のときは
(左辺) = [(n+1)^{m+2} - (-n)^{m+2}] - (1+2n)
より 2n+1 も因数にもつ。 (← 対称性）
帰納法の仮定より、右辺の m-2, m-4, ････ に対して成立つ。
∴ m に対しても成り立つ。 (終) O(0,0,0) A(a,0,0) B(0,b,0) C(0,0,c)
とおく。
〔Pythagorasの定理〕
直方体OABCDEFGの
辺の長さを OA=a, OB=b, OC=c,
体対角線の長さをdとおくと
d = √(aa + bb + cc),
〔Faulhaberの定理〕
直交四面体OABCの各面の面積を
⊿BOC = S_a, ⊿COA = S_b, ⊿AOB = S_c,
⊿ABC = S_d,
とおくと
S_d = √{(S_a)^2 + (S_b)^2 + (S_c)^2}, (1)
↑OA =↑a, ↑OB =↑b, ↑OC =↑c,
↑OD =↑d (体対角線)
とおくと
↑d = ↑a + ↑b + ↑c,
(2)
↑S_a = (1/2)b×c,
↑S_b = (1/2)c×a,
↑S_c = (1/2)a×b,
↑S_g = -(1/2)(b×c + c×a + a×b),
より
↑S_a + ↑S_b + ↑S_c + ↑S_g = ↑o, >>866
なるほど
>>823
ちなみに明示的には
母関数S(n,z)=Σ[m=1～∞]f_(2m)(n)z^m/(2m)!を計算すると
S(n,z)=(2n+1)(Π[r=1～∞](1-4n(n+1)a_r(z))-1)/2
(ただしa_r(z)=Σ[k=1～∞](-z)^k/(2πr)^(2k)))
となるのでf_(2m)(n)がn(n+1)(2n+1)で割れることがわかる >>866
二項公式で
(k+1)^{m+1} -1 = k^{m+1} + C(m+1,1)k^m + C(m+1,2)k^{m-1} + ････ ,
(k-1)^{m+1} - (-1)^{m+1} = k^{m+1} - C(m+1,1)k^m + C(m+1,2)k^{m-1} - ････ ,
辺々引いて
(k+1)^{m+1} - (k-1)^{m+1} -1 + (-1)^{m+1}
= 2C(m+1,1)k^m + 2C(m+1,3)k^{m-2} + 2C(m+1,5)k^{m-4} + ････,
としても同じことだが････ >>864
２０までの偶数で計算してみた。
> data.frame(n,unlist(a),unlist(b))
n unlist.a. unlist.b.
1 2 1/4 0.25000
2 4 5/16 0.31250
3 6 11/32 0.34375
4 8 93/256 0.36328
5 10 193/512 0.37695
6 12 793/2048 0.38721
7 14 1619/4096 0.39526
8 16 26333/65536 0.40181
9 18 53381/131072 0.40726
10 20 215955/524288 0.41190
確かに面倒。 コラッツ操作について
奇数を偶数化するのに、3n+1 のかわりに
7n+1 や 11n+1 を使ったら…
同様に成立するんやろうか？ 3より大きい奇数かけて足す1にするとヒューリスティックには確率的に増大する傾向になるよね
3のときは大丈夫だけど スマホの規制が続いてるのでPCから
>>774のコイン連続投げ問題
>>830でほぼ解決してるけど、さらに精度を上げた近似式が作れる
フィボナッチ数列を k 項和に拡張した数列
F_k(n)=F_k(n-1)+F_k(n-2)+...+F_k(n-k)
F_k(0)=...=F_k(k-2)=0, F_k(k-1)=1
の一般項は、k と n が十分大きいとき
F_k(n)≒(2(1/(2^(k+1)-k)))^(n-k)
※ 2^(k+1)-k は厳密には x^(k+1)-2^(k+1)(x-1)^n=0 の最大の実数解
これを用いて、試行 n 回, 最高連続回数 H 回の確率
＝(F_(H+1)(n+(H+1))-F_H(n+H))/(2^n) >>795
≒( (2(1/(2^(H+2)-(H+1))))^n - (2(1/(2^(H+1)-H)))^n )/(2^n)
＝(1/(2^(H+2)-(H+1)))^n - (1/(2^(H+1)-H))^n
≒Exp[-n/{2^(H+2)-(H+1)}]-Exp[-n/2^{(H+1)-H}] >>781
nからHを概算で求めるなら>>830の H≒log_2(n)-1.47 で十分 Σ[m=1～∞] (kkz)^m /(2m)!
= Σ[m=1～∞] (k√z)^{2m} /(2m)!
= cosh(k√z) - 1
= {sinh((k+1/2)√z) - sinh((k-1/2)√z)}/2sinh((√z)/2) - 1,
母関数は
S(n,z) = Σ[m=1～∞] f_{2m}(n) z^m /(2m)!
= Σ[m=1～∞] (Σ[k=1～n] k^{2m}）z^m /(2m)!
= Σ[k=1～n] (Σ[m=1～∞] (kkz)^m /(2m)!)
= Σ[k=1～n] {cosh(k√z) - 1}
= sinh((n+1/2)√z) - sinh((√z)/2)}/{2sinh((√z)/2) - n
= cosh(((n+1)/2･√z)sin((n/2)√z)/sinh((√z)/2) - n,
ありゃりゃ････ >>795では
F_0 = 0, F_1 = F_2 = 1, F_3 = 2, ････
T_0 = T_{-1} = 0, T_1 = T_2 = 1, T_3 = 2, ･･･
とおきますた。 ちょっと気になったので投稿。答えはわかりません
数列 {a_n}_(n=0,1,2,…) を次のように定める。
･ a_0=1
･ n≧1の時、2/3の確率で a_n=a_(n-1) となり、1/3の確率で a_n=-a_(n-1) となる
この時、確率1で
| Σ_(k=1,n) a_k | = O(n^α) (as n→∞)
が成り立つような実数αを全て求めよ >>883
O … オーダー
計算量の変化の仕方を表す、一般に最も高次の変数。
オーダー n^α ということは、
n^α で計算量が変化して(増えて)いくという意味。 ランダウの記号（ビッグオー）のことでしょ？
f(n) を自然数 N 上で定義された実数値関数とするとき、
f(n) = O(n^α) (as n → ∞) の定義は
∃M ∊ N, ∃ C > 0 s.t. ∀n ∊ N, n > M ⇒ |f(n)| < C|n^α|
でしょ？ てす
他スレのコンプガチャの問題
ググったら答えが見つかったけどどうするかな 有名な問題だからね
ただ具体的な数字で計算はだるいって話でしょ >>888
まずは具体的な数字が与えられていてその期待値を計算せよ、と書いてあったでしょ
そして追記の計算式の方もa_iとかならともかくa,b,c…となっていたから書き下すのは大変 >>889
a[i]で書くほうが手間だぞ。
1/a[1]+1/a[2]+1/a[3]+1/a[4]+1/a[5]+1/a[6]+1/a[7]+1/a[8]+1/a[9]+1/a[10] - (1/(a[1]+a[2])+1/(a[1]+a[3])+1/(a[1]+a[4])+1/(a[1]+a[5])+1/(a[1]+a[6])+1/(a[1]+a[7])+1/(a[1]+a[8])+1/(a[1]+a[9])+1/(a[1]+a[10])+1/(a[2]+a[3])+1/(a[2]+a[4])+1/(a[2]+a[5])+1/(a[2]+a[6])+1/(a[2]+a[7])+1/(a[2]+a[8])+1/(a[2]+a[9])+1/(a[2]+a[10])+1/(a[3]+a[4])+1/(a[3]+a[5])+1/(a[3]+a[6])+1/(a[3]+a[7])+1/
....
以下省略 >>892
a_iなら少し手間が省けるかな。
計算式の最後の方を書き出すと
+1/(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_8+a_9+a_10)+1/(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_7+a_8+a_9+a_10)+1/(a_1+a_2+a_3+a_4+a_6+a_7+a_8+a_9+a_10)+1/(a_1+a_2+a_3+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_10)+1/(a_1+a_2+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_10)+1/(a_1+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_10)+1/(a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_10)) - 1/(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_10) >>889
a,b,c,,,,,jだと計算式の文字数は14345
a_1,a_2,....a_10だと文字数は25097
になったが、数え落としがあるかわからんから、手書きして数えてくれｗ >>894
Σ[φ≠J⊆{1,2,…,10}](-1)^(|J|-1)1/(Σ[i∈J]a_i) >>895
あの手の問題はシミュレーションプログラムの練習になって( ・∀・)ｲｲ!! >>898
全部の頂点Z[√3i]に乗ってるんじゃないの？ >>899
おっと間違えた
Z[exp(2πi/3)]だ 学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ ttp://x0000.net
数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学
IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など >>898
非負整数mと正整数nとでmm+mn+nnで表される整数が面積比として現れる
1 3 4 7 9 12 13 16 19…となるが、各々の後ろに2をつけて
12 32 42 72 92 122 132 162 192…とすると、対応するゴールドバーグ多面体が現れるところが面白い 自然数 n に対し、以下を示せ。
(1) lim[n→∞] ∫[0,1] ((x^n)/(x+1)) dx = 0
(2) lim[n→∞] Σ[k=1,n] ((-1)^(k+1))/k = log(2) >>905
【追加】
(1)と(2)は同値であることを示せ。 立方体にくり抜いた穴にその立方体を通すことができるか？という有名な問題。
こういうCGはわかりやすいけど、グラフィックスで騙されていないかなとつい思ってしまうのだが、
https://www.youtube.com/watch?v=ua4LadxA6K8
実物作って実験した動画があった。
Prince Rupert’s cube live demonstration
https://www.youtube.com/watch?v=nWPdpqUEfE0
まだ、10人しか見ていないｗ >>907
単に最大サイズっぽい6角形に正方形が含まれることを示したら良いのでは 1辺(√6)/3の正六角形だから中に1辺1の正方形はほんの少し余裕持って収まるよ ずっと最大の穴は対角方向だと思ってたけど違うんだな >>910
対角線に沿って射影したのが最大じゃ無いの？
まあ立方体を通すには対角線に沿ってでいいけど 対頂点を1組選び、各々がら出ている三本の辺計6本を除いた6本の辺の中点を結んだ正6角形
立方体の一辺が1なら正六角形の一辺は1/√2 >>912
>6本の辺の中点を結んだ正6角形
何でそれ考えるの？
平面への射影の中に1辺1の正方形が収まれば良いんでしょうに？ >>911
射影六角形の面積を最大にするのはもちろん対角方向のときだけど、射影六角形に含まれる正方形を最大にするのは違うときらしい
https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert%27s_cube
>>912
それは何か関係あるの？ >>914
面白い！
しかし正方形だと単純なのが立方体だと相当複雑
この先次元上げて同じ問題考えたときはどうなるンかいヤ モンティホール問題はモンティが意図的にドアを開けるから
プレイヤーにとって最初に選んだ当たりのドアの確率は
1/3のまま不変
トランプ問題はシャッフルして無作為に選択するから
10/49に下がる a(n)=Σ[i=1,n]gcd(i,n)とする
nの素因数分解をn=Π(p_i)^(e_i)としたとき
a(n)=n×Π((e_i)(1-1/(p_i)+1)となることを示せ
例えばn=720=2×2×2×2×3×3×5のとき
a(n)=720×(4×(1-1/2)+1)(2×(1-1/3)+1)(1×(1-1/5)+1)=9072
となる >>918
カッコミス
誤 a(n)=n×Π((e_i)(1-1/(p_i)+1)となることを示せ
正 a(n)=n×Π((e_i)(1-1/(p_i))+1)となることを示せ >>918
a(n) はオイラーの φ 関数を使うと
a(n) = n Σ[d|n] φ(d)/d
と書けることから、 a(n) は（互いに素な数の積に関して）乗法的であることがわかる。
（ a(n) はgcd-sum functionまたはPillai's arithmetical functionと呼ばれているらしい）
また、上の式と φ 関数の性質から、素数 p のべき乗 p^k について
a(p^k) = (p^k)(1 + k(1 - 1/p))
が成り立つので、
a(n) = Π a((p_i)^(e_i)) = Π ((p_i)^(e_i))(1 + (e_i)(1 - 1/p_i))
= n Π (1 + (e_i)(1 - 1/p_i)) >>920
正解です！
名前は知りませんでした、ありがとうございますm(_ _)m ジュースディスペンサー
例 https://event21.co.jp/pic/mat_154.png
に１００％天然果汁が１０L入っていて常に撹拌されている。
すなわち、濃度はいつも均一とする設定。
コックにトラブルがあって１分間に１０ｍLずつ漏れている。
それを補うために１分間に１０ｍLの天然水を補っているとする。
５０％天然果汁のジュースになるのは何分後か？ >>918
部分和の謎公式みつけたかも。q(x)=1-2(x-[x])とおく
Σ[i=1～k]gcd(i,n)=Σ[i=1～k, j=1～n]q(ij/n) 充填した時刻をt=0、濃度をC(0) とする。
時刻tでの濃度をC(t)とすると、題意より
dC(t)/dt = - 0.001 C(t),
これを解いて
C(t) = C(0)exp(-0.001t),
半減期をT(分)とする。
C(T) = C(0)/2,
log(2) = 0.001T
T = 1000 log(2) = 693.15(分) >>923
{x} = x - [x] （ x の小数部分）を使えばさらに不思議な式に
Σ[i=1,k] gcd(i,n) = Σ[i=1,k] Σ[j=1,n] (1 - 2{ij/n}) >>925
よく考えたらもっと直接
gcd(i,n)=Σ[j=1,n] (1 - 2{ij/n})
と計算できることがわかりました！ >>926
Σ[j=1,n] 2[ij/n] = gcd(i, n) - n + i(n+1)
から従うわけですね >>924
(1-0.001)^x=0.5
log(0.5)÷log(0.999)
=692.8005491785 0.1分後の濃度は1-1/10000になるから
50%になるのは
(log0.5)/log(0.9999)*0.1=693.112522623342になる
0.01分後だと
(log0.5)/log(0.99999)*0.01
=693.143714821421
になって
>924の値に近づいた。
微分方程式なしで子供に説明できそう。 >>922
>それを補うために１分間に１０ｍLの天然水を補っているとする。
これを５mLに変えたらどうやって計算すればいいんだろう？ 前>>862
>>922
1分後 果汁9990ml+天然水10ml
2分後 果汁9980.01ml+天然水19.99ml
3分後 果汁9970.02999ml+天然水29.97001ml
4分後 果汁9960.05996001ml+天然水39.94003999ml
5分後 果汁9950.09990004999ml+天然水49.90009995001ml
n分後 果汁A_n=0.999A_n-1=10000(0.999)^n=5000
天然水10000-A_n=10000-0.999A_n-1
(0.999)^n=1/2 レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
