くだらねぇ問題はここへ書け
IQテストでよく見かける 1→2→3→4→○→6 の様な、○に当てはまる数字を書けと言う問いなんですが 「ただし、○○は○○とする」の様な特別な指示が無いので 回答に0〜9どれを選択してもその値に出来る式はあるんでは無いかと思うのです。 つまり何を記入しても×は付けられないと思うのですがどうなんでしょうか? 「どれを選べば正解になると考えて出題されているか」が問いなので、 「どれが正解か」、「どれを正解とすべきか」は愚問です 「出題者に合わせてあげる」のもIQテストの一環 点Oを中心とする半径1の円周上に定点Aがある。半径OAに直交する弦PQをとり、 ∠POA=θとする(0<θ<π/2)。三角形APQの面積をS(θ)で表すとき limθ→0 S(θ)/S(θ/2)を求めよ。 という問題で、 ∠PAO=1/2 (π-θ)だから、∠PAQ=πーθ というのはわかります。 その次に PA=QA=2sin(θ/2)と解答に書いてあるのですが なぜこうなりますか。 nを正の整数とする。nの約数の内、√(n)との差の絶対値が最小のものを a(n)とおく。任意の正の整数jに対して、a(n)=jとなるnが無数に 存在することを示せ。 今、酔っぱらってて、ちゃんと計算できないが、 j=2 は反例だと思う。そーに違いない。 >>10 jについて、pをjより大きい素数とする。 n=jpとするとnの約数はj以下かまたはp以上 j<√n<(j+p)/2<pよりa(n)=j 任意の正の整数jに対して、それより大きい素数pは無限に存在するので a(n)=jとなるnも無限に存在する。 医者をやっているが、胃腸炎で相談に来た人に 「くだらねぇ薬をあげる」と言うと、喜ばれる。 nが奇数のとき、正n角形の3本の対角線が1点で交わることはないことを示せ。 解けない連立方程式があります。 答えはわかっているのですがどうしても分かりません。 どうか途中式を教えて下さいm(_ _)m 2/3x+1/2y=1/3 1/4x-3/8y=-1 答え y=2, x=-1 自分で解くと 4x+3y=2 2x-3y=-8 となってしまい、先に進めません。 どこがいけないのか、解決したいです。 よろしくお願いします。 >>19 さん 連立方程式って、引かなくてはいけないと思ってたんですが 違うんですか! 足していいんですか( ̄[] ̄;) >>20 あ、そうか。 うんうん引かないといけないんだった。 足しちゃだめだな。悪い悪い。無かった事にして。 むしろ引くのをやめて足すだけにする方が計算ミスが少ない。 引きたいときはマイナスを掛けてから足す。 もう見てるかどうかわからんが、>>18 4x+3y=2 …(A) 2x-3y=-8 …(B) (A)を変形して 4x=-3y+2 …(C) (B)×2して 4x-6y=-16 4x=6y-16 …(D) (C)と(D)から -3y+2=6y-16 6y+3y=2+16 9y=18 y=2 …(E) (C)に(E)を代入して 4x=6*2-16 4x=-4 x=-1 すまん>>24 訂正 × (C)に(E)を代入して ○ (D)に(E)を代入して (C)に(E)を代入すると 4x=-3*2+2 になる。その後は変わらんけど。 an+1=2an+1-2anならばan+1=2an がわかりません。どなたかお助けを。 an+1=2an+1-2an⇔an+1=2an がわかりません。どなたかお助けを。 >>27 です。検索ワードでもいいんで教えてください。 数式は正確に書けよ。 【a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n ⇔ a_{n+1}=2a_n の証明】 a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_nの両辺を交換すると 2a_{n+1}-2a_n=a_{n+1}。 右辺のa_{n+1}を左に移項すると 2a_{n+1}-a_{n+1}-2a_n=0。 さらに-2a_nを右辺に移項すると 2a_{n+1}-a_{n+1}=2a_n。 ここでこの左辺は 2a_{n+1}-a_{n+1}=(2-1)a_{n+1}=a_{n+1}であるから、 a_{n+1}=2a_n。逆も同様。□ >>31 ありがとうございます。くだらないレベルでもなかったように感じました。 おいおい、A=2A-2B から A=2B と書き直しているだけだぜ 大変失礼しました。同類項は計算するというのが頭から抜けてました。 嘘だね。 添字をエスパーして欲しかっただけだろ。 出題乙 1990年以降に発売された数学の本の中で、Jay R。Goldman著、鈴木将史訳「数学の 女王 歴史から見た数論入門」の中のP12第1章の図の問題だけが書いてあった本を 教えていただきたいのですが? >>36 ピタゴラス数の問題だからいくらでも記述してある本は在るんじゃないの? >>38 回答をありがとうございます 愚かな質問ですいませんでした 98÷12= 987÷123= 9876÷1234= 98765÷12345= 987654÷123456= ・・・・ ≒8に近づくんですけど、要するにこれってどういうことなのか?数学素人の自分を納得させる「答え」をください、お願いいたします。 98÷12=8…2 987÷123=8…3 9876÷1234=8…4 98765÷12345=8…5 987654÷123456=8…6 よくよく計算したらこうだった。これって何でなんのか教えてください。 12345679×9=111111111 111111111-12345679=98765432 これはそれぞれ納得できるか? 9倍は10倍から1倍を引いたもの、 8倍は9倍から1倍を引いたもの 例えば123456×10-123456や123456×9-123456の引き算を筆算で計算してみよう 「9倍は10倍から1倍を引いたもの」10等分した9等分目の場所 「8倍は9倍から1倍を引いたもの」9等分した8等分目の場所 小学一年の時使った「算数タイル」で考えるとそういうイメージ ん、まだたどり付けて無いっすね?頑張ります 123+987=1110 1110÷9=123余り3 1234+9876=11110 11110÷9=1234余り4 つまり まだ言語化できん 1234560-123456とか1111104-123456を筆算で計算してみろってことだ それでなにか気が付かないか? 電卓じゃダメだぞ。筆算で計算するんだぞ。 1.ある数を用意する 2.それを倍にする 3.それをさらに倍にする 4.また倍にする、と無限に繰り返す 5.どこでも良いので連続する4個の数字を抜き出す 6.二番目の数と四番目の数を足した物は必ず一番目の数の十倍になる 10*M*2^n = M*2^(n+1) +M*2^(n+3) 10*M*2^n = M*(2^(n+1) +2^(n+3)) 10*2^n = (2^(n+1) +2^(n+3)) 10*2^n = 2^n(2^1+2^3) 10 = 2+8 ↑ なんか数字い弄ってて気がついて証明までできたけど 誰かに言うほどでもないけど自分なりにすっきりしたんで書いてみた 5 10 20 40 80 160 10+40=5の10倍 20+80=10の10倍 40+160=20の10倍 1 1 ―――― + ―――― √3−√2 √3+√2 これの答えって2√3 ?? 緊急です! MPLとマリポの違いを教えてください>< 今日レポートの締め切りなんです。 >>45 植木算が解ってないというか… タイルの面を数えたか、面と面の間の仕切り線を数えたか を途中で忘れてしまったんじゃないのか。 初めての書き込みです 放物線について勉強中なのですがちょっとわからないことがありますのでお尋ねします x軸と2点で交わる放物線について、x軸と交差する2点の座標と放物線の頂点座標がわかっているとき、y=a(x-α)(x-β)で軌道を算出することができますよね そこまでは飲み込めたのですが、x軸と交差する1点の座標(原点: 0,0)と頂点座標、それに加えてx軸とは交差しない位置にある座標(例えば10,5とか10,-5)がわかっているときはどのように放物線を算出すればいいのでしょうか? もっと要領の良い方法もあるかも知れないが、 y=ax^2+bx+cとおいて3点の座標を代入してa,b,cの連立方程式を解くという方法は幅広く使えるだろ。 ありがとうございます ただちょっと質問が悪かったので訂正させてください 放物線上の3点の座標がわかっているときには確かにそうなのですが、 質問したかったのは、x軸とは交差しない位置にある2点のx,y座標(2点のy座標はそれぞれ高さが異なる)と、頂点のy座標(高さ)のみがわかっている場合です この場合、二次関数では解くことができないということになるのでしょうか? すいません こちらも数学知識がさっぱりなのでうまく質問できないのですが、以下の条件を満たすとき放物線の方程式を解くことができるということはいろいろと調べてわかったのですが、 放物線上の2点座標と頂点のy座標のみがわかっているときの解法を教えていただきたいのです 頂点または軸が与えられたとき → y=a(x−p) 2+q 頂点の情報がないとき。または3点の情報がわかる場合 → y=ax2+bx+c I軸との交点が2つわかるとき → y=a(x−α)(x−β) I軸と接するとき → y=a(x−p) 2 >>59 頂点が(p,q)の時 y=a(x-p)^2 +q と書ける。 頂点のy座標だけが q = c と分かっているなら y=a(x-p)^2 +c あとは他の2点を代入してa,pを求めればいい。 >>59 放物線上の2点座標てのは、放物線が(x1,y1)と(x2,y2)を通るという意味か? 頂点(x0,y0)から y=a(x−x0)^2+y0 (aとx0は不明) 2点を通るから y1=a(x1−x0)^2+y0 y2=a(x2−x0)^2+y0 これからaとx0を求めて x0=(x1y2−x2y1+(x2−x1)(y0±√((y1−y0)(y2−y0))))/(y2−y1) a=((y2−y1)/((x2−x1)(±√(y2−y0)−√(y1−y0))))^2 数列 {an} = n {bn} = Σ{an} {cn} = n^{bn} このような式って使用しても大丈夫なんですか? 普通に書くと複雑になってしまわないですか? {an} = 1/2 - {(-1)^n}/2 = 1,0,1,0,… {a'n}= Σ{an} = 1,1,2,2,3,3,… {a"n}= 1/2 - 〔(-1)^{a'n}〕/2 = 1,1,0,0,1,1,0,0,… {bn} = {an}{a"n} =1,0,0,0,1,0,0,0,… これを繰り返したいのですが 煩雑で困ると思うなら、「このように書くこととする」等のように記法について 何らかの断りを入れればいいんであって、前置きもなく何かをやろうとして 余計な心配をするのは時間の無駄。 というか>>64 のはa_nとかについてる中かっこ全部取ってもΣの以外意味通るし Σのもあとちょっと添字を書き足すだけだろ? 何を簡便にしてるつもりなのかさっぱりわからないんだが。 すみません >>63 の「普通に書いたら」これをΣを分解して記号のない式に直すのかと勘違いしました。 Σのまま書いて特に問題無い事が分かりましたので助かりました。 回答ありがとうございました。 >>62 >>64 については、数列anの書き方がちょっとよく分からなかったので こういう形になってしまいました。 分かりにくくて申し訳ないです。 失礼します。 もしかしたら中学生レベルの疑問かもしれず申し訳ありませんが、 以下のようなケースはどのような過程で答えを求めればいいでしょうか? 御指南よろしくお願いします。 --- 3000qを燃費12q/ℓの車が、あと100q走って燃費を12.5q/ℓにするには、 燃費何キロで走ればいいでしょうか? --- 100人の人間がじゃんけんしたときの、 あいこになる確率をできれば解き方もまじえて教えてください。 あいこにならずに勝負がつくのは、2種類の手しか出なかった場合。 その2種類の組み合わせが3通りでそれぞれの人が出す手が2^100通りで合わせて3*2^100通り、と言いたいが、 全員が同じ手を出した場合を二重に数えている上に、その場合はあいこになるから 6通りを差し引く必要がある。 ということで、あいこになる確率は1-((3*2^100-6)/3^100) >>71 ありがとうございます! それをじっさいに計算すると、どのような数値になるのでしょうか。 >>73 ありがとうございます! 感覚的に、百人でじゃんけんをすると、 ほとんどあいこになってしまう気もするのですが ポテンシャルは高いが数学(勉強)をしてこなかった偏差値の低い奴ではなく、 何が分からないか分からないような奴に数学を教えなきゃならん場合 どのレベルにまで引き上げてやれる? ちなみに全方位オールリアルバカじゃなくて、ある科目では全国模試トップを取れるのに 数学(物理)だけ壊滅的にできないギフテッドみたいな奴 >>75 それだけの条件で分かるわけねぇだろ馬鹿 アホは数学と関係無い死文でも受けさせとけ 数学だけができないんだったら勿体ないよな 数学0点で他高得点なら入れる国立とかないからなw 30代(純分系)なんだが、最近数学やりはじめて面白いなと思ってる。 代数学の入門書とか体論の本を買って読んでおもしれえなあ、と思ってるだけなんだが、回りからは気持ち悪い奴呼ばわりされる。 こういう奴はめずらしいの? 大学とかで、趣味で聴講にきてる定年後のじいさんとかいないの? >>79 結局、ほとんどの人は長く続いてもトンデモ系にしかならないからなぁ たまに定年後にD論書きましたという爺さんの話が出て来るけども。 >>80 レスありがとう。 博士号とるような偉大な業績を残すには、スポーツや音楽の世界のように、幼少期からの英才教育が必要、というのは理解しているつもり。 それでも、数学は万人に伝えていい素敵な学問だし、それを知ること自体に価値はあると思っているんだけど、 「数学は才能のない者や老人が学ぶこと自体が冒涜だ」 「学ぶ才能と機会に恵まれた者だけが学習を許される高貴な学問だ」 みたいな雰囲気をなんとなく感じるんだ。 と学行きにならないためにはアカデミックな繋がりをどこかで作らないとな、とは思う。 >>81 数学会としても一般の人向けの講演をやったり啓蒙はしてるし 趣味としてやる分には別に悪くはないよ。 質問はこの板でもいいし、他の数学掲示板でもいい。 地域に趣味のサークルがあるならそちらに入ってもいい。 ただ、文系ならトーマス・ホッブズという哲学者を知ってるだろう。 数学においては強烈な電波爺さんとして知られ、 アホな論文を書いて死ぬまで数学者に絡み続けた。 この板にも誤答おじさんと呼ばれる酷い人がいるけど そういう変な方向に走って迷惑をかけなければ、頑張って勉強すればいいよ。 そういえば、SNSなんかでも数学検定を受ける人の集まりみたいなのもあったりするから そういう所に入ってもいいかもしれない。 TCGでのお話なんですが定式化したいです。 ゲームのルールとして 1.規定の点数に達したら勝ち 2.手番の最後に1点を得る また、以下のようなカードがあります 自分の手番に1回、以下のどちらかを選ぶ 1.このカードの上にカウンターを1個置く 2.このカードの上のカウンターの数だけ得点を得る いま、N点取ると勝ちとして、上のカードを自分の手番に1枚ずつm枚になるまで場に出していくとき、もっとも少ない手番で勝つためには各カードに何個ずつカウンターを置けばいいかとその手番の数を知りたいです。 例として、N=11、m=3なら 手番1 1枚目を場に出し1個目のカウンターを置く 1点獲得 手番2 1枚目の上に2個目のカウンターを置く 2枚目を場に出し1個目のカウンターを置く 1点獲得 手番3 1枚目で2点獲得 2枚目で1点獲得 3枚目を場に出し1個目のカウンターを置く 1点獲得 手番4 各カードから、2+1+1=4点獲得 手番の最後に1点獲得し、勝ち となり、2,1,1という置き方になります。 答えが複数ある場合もあると思いますが、その辺も含めて定式化できないでしょうか >>75 受験予備校講師なんかで、国語はセンスだから1年やったって出来ない奴は出来ないが 数学ならできるから数学やらせろと言う奴がいるが、逆逆。 今厨房や高校1年生で、3年くらい猶予期間があるならまだしも、これから1年で受験ですが 数学苦手だよって奴に数学で受験させるとか無理ゲー。 他の教科でそんなに取れるなら、難関私大とか行かせてやって欲しい。 オボちゃん形式なら、そのポテンシャルならAOで早稲田理工くらいなら入れちゃいそうだがなww 条件付確率の問題で、よく話題になるトランプの問題ありますよね。 52枚のトランプの山札から一枚ランダムに選んで、絵柄を確認せず箱に隠す。 その後山札から三枚カードを抜き取ったところ、三枚ともダイヤであった。 このとき、箱の中のカードがダイヤである確率は?というやつです。 ここで質問なのですが、本来ならば答えは10/49となるはずですが 山札から三枚カードを抜き取ったところ三枚ともダイヤだった、という行程を 「三枚引いて、ダイヤが三枚でない場合、ダイヤ三枚となるまで行程を繰り返す」と解釈せず 「絶対に三枚がダイヤという条件」と解釈して計算してしまうと答えが1/4になってしまうので、 前者の解釈で計算せねばならないと友人から教えられたのであすが、 いかんせん脳みそがカラッポなのでうまく飲み込めません。 どなたか、前者と後者で答えが変化してしまう理由を解説していただけるとうれしいです。 52枚のトランプの山札から一枚ランダムに選んで、絵柄を確認せず箱に隠す。 その後山札から13枚カードを抜き取ったところ、13枚ともダイヤであった。 このとき、箱の中のカードがダイヤである確率は? これが、1/4な訳はないことは判るはず。ここを出発点に考えればよい。 関わった人が皆不幸になるポワンカレ予想との事ですが ペレルマンさん以外では誰がどんな不幸に見舞われたのですか? >>82-83 なるほど。ホッブズは電波だったのか... 趣味として取り組んでいきたいと思います。丁寧なレスありがとう。 a, b, cを正実数とする。 a^3 b^6 + b^3 c^6 + c^3 a^6 + 3a^3 b^3 c^3 ≧ abc (a^3 b^3 + b^3 c^3 + c^3 a^3) + a^2 b^2 c^2 (a^3 + b^3 + c^3) を証明せよ。 お願いします。。。 x=abb,y=bcc,z=caaとすると、x,y,zも正実数 (左辺)=x^3+y^3+z^3+3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+6xyz=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+6xyz (右辺)=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz (左辺)-(右辺)=(x+y+z)^3-4(x+y+z)(xy+yz+zx)+9xyz=(x+y-2z)(x-y)^2+z((x-z-(y-z)/2)^2+(3/4)(y-z)^2) この式は、x,y,zの入れ替えに於いて対称なので、最も小さいものをzとすると、 この式が非負であることが確認できる 実数直線上で有理数より無理数の方が圧倒的に多いことはどうすればわかりますか? *に入るのはどれでしょう? 法則が見出せないアホの文系に、教えろください 9 38 47 4 6 35 42 * 12 21 23 27 【1】10 【2】-5 【3】32 【4】18 ¥のこと馬鹿ってよんでいい? つか、ヒマそうな馬鹿だね(笑 知ってる方もいると思いますが、とある漫画でこんななぞなぞが出題されました。 3分で1匹の鼠を捕らえる猫が3匹いる。鼠100 匹を捕らえるのには何分かかるか。 正解は99匹の鼠が捕らえてから残りの一匹を捕らえるのに、猫は協力してより素早く鼠を捕らえるとは書かれていないので、3分かかる。よって102分となるそうなのですが、納得がいきません。 猫は3分で1匹の鼠を捕らえるので、一分で0.3333....匹捕らえる。その猫が三匹いるので1分で0.99999.....匹捕らえることが出来る。0.99999......という循環少数は1と等しいので、100匹の鼠を捕まえるには100分かかる。 このように考えることも出来ると思うのですが、何が間違っているのでしょうか。 平面上に複数の点が与えられているとき、 そのすべての点を通る最小の多角形を求める理論はありますでしょうか。 凸多角形ではなく、 凹もある複雑な多角形を点からみつけたい、 ということです。 以上、よろしくお願いします。 いまぱっと思いついた方法としては、 凸含をつくったあと、 三角形分割して、 包含される点が無くなるまで長い辺から消していく… ようなかんじでしょうか。 >>94 〔シューアの不等式〕 x,y,z≧0 のとき (x+y+z)^3 -4(x+y+z)(xy+yz+zx) +9xyz = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) ≡ F_1(x,y,z) = 0, (略証1) yはxとzの中間にあるとすると x-y+z≧0,(x-y)(y-z)≧0 だから F_1(x,y,z) = x(x-y)^2 + (x-y+z)(x-y)(y-z) + z(y-z)^2 ≧0, (略証2) 対称性を保って F_1(x,y,z) = {xy(xx-yy)^2 + yz(yy-zz)^2 + zx(zz-xx)^2}/{(x+y)(y+z)(z+x)} ≧0, >>86 条件付確率の問題で、よく話題になるクリントンの問題もありますが。 〔問題〕 log(n!) ー (n + 1/2)log(n) + n > 0.8918 を示せ。 >>137 x=k で接線をひくと、凸性より log(k) + m(x-k)> log(x), ∴ log(k)> ∫[k-1/2,k+1/2]log(x)dx, ∴ log(n!)= Σ[k=2,n]log(k) > ∫[3/2, n+1/2] log(x)dx =[ x・log(x)−x ](3/2→n+1/2) =(n+1/2)log(n+1/2)−n−(3/2)log(3/2)+1 =(n+1/2)log(n)−n+(3/2){1−log(3/2)} (*) =(n+1/2)log(n)−n+0.8918 *) log(n+1/2)−log(n) =log(1+1/2n) =−log(1−1/(2n+1)) =1/(2n+1)+1/{2(2n+1)^2}+……, >>137 x=k で接する放物線をひくと、 {log(x)}" = (1/x)'=−1/xx より log(k)+m(x-k)−(1/2kk)(x-k)^2 ≒ log(x), ∴ log(k)≒ ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx +1/(24kk), ∴ log(n!)=納k=2,n]log(k) ≒∫[3/2,n+1/2]log(x)dx +(1/24)納k=2、n] 1/kk ≒(n+1/2)log(n)−n+0.8918+(1/24)(ππ/6−1) =(n+1/2)log(n)−n+0.91867 定数項は (1/2)log(2π)=0.91894 に近づくが、 この方法では正確な値は出ない。 それにはウォリスの公式などを使う必要がある。 >>139 x=k のまわりにTaylor展開して、 log(x) = log(k)+納k=1,∞)(-1)^(L-1)・(1/L){(x-k)/k}^L, Lが奇数のときは0になり、偶数のみ残る。 ∫[k-1/2,k+1/2]log(x)dx = log(k)−Σ[L=1,∞)1/{2L・(2L+1)・(2k)^(2L)} k=2〜n でたすと ∫[3/2,n+1/2]log(x)dx = log(n!)−Σ[L=1,∞){ζ(2L)−1}/{2L(2L+1)・4^L} 左辺 =(n+1/2)log(n)−n+(3/2){1−log(3/2)}+O(1/n)なので、 log(n!)−(n+1/2)log(n)+n → (3/2){1−log(3/2)}+Σ[L=1,∞){ζ(2L)−1}/{2L(2L+1)・4^L} =(1/2)log(2π) (n→∞) =0.9189385 と出ます。。。 ζ(L) = Σ[k=1,∞) 1/(k^L) ζ(2) = (1/6)π^2, ζ(4) = (1/90)π^4, ζ(6) = (1/945)π^6, ζ(8) = (1/9450)π^8, ζ(10) = (1/93555)π^10, スレ違いなら誘導を、優しい方は回答を、宜しくお願いします。 77%の消毒用エタノール500mlがあります。 水を加えて70%にするには、何mlの水が必要になるのでしょうか? 77%のエタノール500mlは エタノール385mlと水115mlを混ぜた物ではない 77%エタノールの密度が必要 >>143 書き込み、ありがとうございます。 きっとご指摘は、vol%に関する事だろうと推察します。 ざっくりとで構いません。何mlの水が必要になるのでしょうか? 温度によっても密度が変わるようで、正しい値は判らないが、 0.85位が妥当と思われるので、0.85として計算すると、 77%エタノール500mlとは、77%エタノール425gの事であり、 これは、327.25gのエタノールと97.75gの水を合わせて物の事 327.25gが70%になるような重さとは 327.25÷0.7=467.5gの事であり、 これと、元の重さとの差 467.5-425=42.5が加えるべき水の重さ >>143 昔、理系でしたが、なんかすっかり計算力が落ちてました。。。 ありがとうございました。 なんか、あんまり数学の話題でもないんだけれど… 77vol%のエタノールに水を加えて70vol%にするには、 77%エタノール100÷77×70mLをメスフラスコ等に入れ、 水を加えて全量が100mLになるようにする。 体積を計った水を加えるようなことは、普通しない。 これは、たぶん中学か高校の化学の教科書に書いてある。 敢えて水の量が知りたければ… ↓によると、 https://www.nmij.jp/ ~dsmnt-tech/cal-ver/alcohol.pdf 70%エタノールの密度が0.890g/mL、 77%エタノールの密度が0.872g/mL、 100%エタノールの密度が0.794g/mL。 77vol%エタノール500mLは、 溶液500×0.872=436g中に エタノール500×(77/100)×0.794=306gが入っている。 70vol%エタノールは、100mLあたり 溶液100×0.890=89.0g、 エタノール100×(70/100)×0.794=55.6gだから、 エタノール306gから作ると全量は 306÷55.6×89.0=489g。 489-436=53gの水を加えればよい計算になる。 >>146 145では77%というのを、質量百分率として計算しましたが、もし体積百分率vol%ならやり方は別 77vol%エタノールというのは、無水エタノール77mlと水23mlの割合で混合された物のこと。 このとき、体積は単純な和である100mlにはなりません。 米10kgと大豆10kgを混ぜると20kgの混合物ができますが、 米10Lと大豆10Lを混ぜても20Lの混合物にはならないのと同様です。 147さんは、出典元を見ると、体積百分率として、しかし、計算中では、「体積濃度」として 扱っているようです。 体積濃度77%とは、無水エタノール77mlに、全体で100mlになるまで水を加えたときの濃度の事で、 体積百分率77vol%とも、質量百分率77%とも異なる概念です。 142での77%が77vol%であり、作ろうとしている70%というのも70vol%だとすると、次のようになります。 147さんの出典元の数字を使わせてもらうと、水の密度が0.9991なので、 77mlの無水エタノールと23mlの水を混合すると 質量は 77ml×0.7940g/ml+23ml×0.9991g/ml=84.1173g この時の密度が0.8718なので、体積は84.1173g÷0.8718g/ml=96.487ml 従って、77vol%エタノール500mlには 77ml × 0.7940g/ml × (500ml/96.487ml) =316.82g の無水エタノールが含まれており、 この時の質量は、84.1173g × (500ml/96.487ml) =435.90g あります 一方、70vol%エタノールとは、無水エタノール70mlと、水30mlの割合で混合されたものなので、 この液全体の質量は、質量は 70ml×0.7940g/ml+30ml×0.9991g/ml=85.553g 一方、エタノールだけの質量は、70ml×0.7940=55.58g これが、316.82gあるので、できあがりの全体の質量は85.553g×(316.82g/55.58g)=487.67g 従って、487.67-435.90=51.77g これが、加えべき水の質量 >>148 そお? vol%は、体積分率じゃなく、体積濃度を表す記号だと思うけどな。 Wikipediaも、私に賛成している。↓ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6 >体積(容量)パーセント濃度を示す記号として[vol%]等と >濃度の単位を表す項にvolumeを略したvolの語を付けるのが一般である。 一方、体積分率はこれ。↓ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E7%A9%8D%E5%88%86%E7%8E%87 使う場面が、ちょっと違う。 vol%は、科学よりも、あんまり厳密じゃない業務用に使われることが多く、 実際、水を足して総体積を調整することで作られる。 具体的には、こんなやつ。↓ http://www.imazu-chemical.co.jp/77eta.pdf 頭で考えないで、化学の本を読むといいよ。 vol% が 体積(百)分率ではなく、体積濃度の単位ならば、ご指摘の通りです。 今回、密度を参照する際に利用させていただいた https://www.nmij.jp/ ~dsmnt-tech/cal-ver/alcohol.pdf には、「エタノールの体積百分率(vol%)」との用語が使われる一方、 下部の注意2には、用語の説明として体積濃度のそれが書かれています。 質問掲示板でも、おそらく間違った解釈で回答されている物もありました。 業界内部でも、混乱状態なのでしょうかね 体積濃度なら、生成後の体積が550mlであることがすぐ判るので、 77vol%時の密度0.8899と、70vol%時の密度0.8718を使って 500×(77/70)×0.8899 − 500×0.8718 = 53.545 (g) で計算できますね。 >生成後の体積が550ml それ、混合液の収縮を考慮してないだろ。 >>147 を見てごらん。 体積は混ぜたとき足し算にならないから、 質量濃度に移して計算するんだよ。 77vol%エタノール500mlに、53.545g(≒53.6ml)の水を入れれば、 70vol%エタノール550mlができるというのが、>>153 の主張です。 体積収縮しているから、(553.6ではなく)550mlになるのだと。 物質量は体積濃度×体積で求まり、内容物を他に移さない限り変化しません。 この視点に立った方法で、体積濃度を使う場合は、この方法が使えます。 そもそも、147の冒頭に書かれているのが将にこれでしょう。 水を加える前:濃度77vol% 体積100×(70/77)ml 水を加えた後:濃度70vol% 体積100ml 水の投入前後で、濃度×体積は同じ値を取ります。 ついでに>>153 の内容を一部訂正しておきます。 ×:77vol%時の密度0.8899と、70vol%時の密度0.8718を使って ○:70vol%時の密度0.8899と、77vol%時の密度0.8718を使って x≧yz、(x,y,z)∈[0,1]^3 をみたす立体の体積を重積分で求めるには、どうすれば良いですか? >>166 (y,z) を固定すると、x方向の高さが 1-yz, V = ∬ (1-yz) dydz = 1 - (1/2)^2 = 3/4, △ABCの等角共役点{P、Q}から3辺に下した垂線の足6点は、PQの中点を中心とする円周上にあります。 {外心O、垂心H}は等角共役点の1例です。(9点円) 点Pと3頂点A、B、Cを結んだ3本の直線はそれぞれの対辺と交わります。点Qについても同様です。 これら6点が、同一円周上にあるとき、{P、Q}は木戸共役点であると言いましょう。 {重心G、垂心H}は木戸共役点の1例です。(9点円) では、木戸共役点{P、Q}の間にどんな関係があるでしょうか? 文献 数セミ、Vol.50、No.3、p.66(2011/3) Wolstenholmeの定理(1862) など。 pは奇素数とする。 (1) Σ[k=1,p-1] 1/k ≡ 0 (mod pp) … p≧5 ≡ -3 (mod 9) … p=3 (2) Σ[k=1,p-1] 1/kk ≡ -p (mod pp) … p=8m±3、p≧5 ≡ 2p (mod pp) … p=8m±1 ≡ -1 (mod 9) … p=3 (3) Σ[k=1,p-1] 1/k^3 ≡ 0 (mod pp) … p≠5 ≡ -5 (mod 25) … p=5 (4) 納k=1,p-1]1/k^4 ≡ 0 (mod p) … p≧7 ≡ 4 (mod 25) … p=5 ≡ -4 (mod 9) … p=3 (p) Σ[k=1,p-1] 1/k^p ≡ 0 (mod p^3) … p≧5 ≡ -9 (mod 27) … p=3 が成立つらしい。。。 >>171 (1)の略証 Σ[k=1,p-1] 1/k = (1/2)Σ[k=1,p-1] {1/k + 1/(p-k)}= (1/2)p・Σ[k=1,p-1] 1/{k(p-k)}, ところで Σ[k=1,p-1] 1/{k(p-k)}≡ -Σ[k=1,p-1]1/kk ≡ -Σ[k'=1,p-1] k'k' = -p・(p-1)(2p-1)/6 ≡ 0 (mod p) ここで、p≧5 と{ 1/k | 1≦k≦p-1}≡{ k' | 1≦k'≦p-1} (mod p)を使った。 (参考) http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1106_p.htm >>171 (2)は (mod pp) で考えると Σ[k=1,p-1] 1/kk ≡ -p … p=5,11,13 ≡ 2p … p=7 ≡-3p … p=17 ≡10p … p=19 ≡ -1 … p=3 とバラバラだが… >>123-124 巡回せーるすまん問題 NP-hard ある多体ハミルトニアンの基底状態を求める問題に帰着できるらしいけど。 どっちにしても、悪い例に当たると手に負えない難問だろうな。 「数学100の問題」数セミ増刊、日本評論社(1984)p.226-227 >>174 2次元Isingモデル? 2点i,jの距離d(i,j)をスピン間の結合エネルギーJ(i,j)に対応させる。 (統計力学の)状態和を行列計算で出す。 絶対温度→0 として基底状態を取り出す。 Youtubeで見たIQ test 1+4=5 2+5=12 3+6=21 8+11=? ans. a+b=a+ab → 8+11=96 これって、 1+4=5 (mod 6) 2+5=12 (mod 5) 3+6=21 (mod 4) 8+11=? (mod 3) → ans. 8+11=201 じゃダメ(^^)? 人いねーし 証明して cos(α+β)cos(α-β) = cos^2(α) - sin^2(β) = cos^2(β) - sin^2(α) >>213 人いねーし 証明する {cos(2α)+ cos(2β)}/2 ={1+cos(2α)}/2 -{1-cos(2β)}/2 ={1+cos(2β)}/2 -{1-cos(2α)}/2, sin20°sin40°sin80°= cos10°cos50°cos70°= cos24°cos48°cos96°cos192°= cos36°cos72°cos144°cos288°= cos(2π/7)cos(4π/7)cos(8π/7) = >>226 sin(20゚)sin(40゚)sin(80゚)=(√3)/8, || || || cos(70゚)cos(50゚)cos(10゚)=(√3)/8, cos(24゚)cos(48゚)cos(96゚)cos(192゚)= 1/16, 16t^4 -8t^3 -16t^2 +8t +1=0 の根。 cos(24゚)={1 + √5 + √[6(5-√5)]}/8 = 0.91354545764 cos(48゚)={1 - √5 + √[6(5+√5)]}/8 = 0.66913060636 cos(96゚)={1 + √5 - √[6(5-√5)]}/8 = -0.10452846327 cos(192゚)={1 - √5 - √[6(5+√5)]}/8 = -0.97814760073 cos(36゚)cos(72゚)cos(144゚)cos(288゚)= -1/16, (4tt+2t-1)(4tt-2t-1) = 0 の根 cos(36゚)= -cos(144゚)=(1+√5)/4, cos(72゚)= cos(288゚)=(√5 -1)/4, cos(2π/7)cos(4π/7)cos(8π/7)= 1/8, 8t^3 + 4t^2 -4t -1 = 0 の根 2つの自然数a,bの最大公約数をg,最小公倍数をlとする。 A={n|nはaの素因数} B={n|nはbの素因数} G={n|nはgの素因数} L={n|nはlの素因数} ならば (G=A∩B) ∧ (L=A∪B) ですか? 自然数nに対して、 (1 + 1/n)^(2n+1)(1 - 1/n)^(2n-1)< 1 自然数nに対して、 (1 + 1/n)^(2n+1)(1 - 1/n)^(2n-1)<(1-1/nn)^(1/3n)< e^{-1/(3nnn)}< 1, 不等式スレ第9章.206 >>230 はい。 逆に{g,l}から{a,b}を求めることができるでしょうか? 1つの素因数に注目すれば、{a,b}のベキ指数は{g,l}のベキ指数と一致します。 しかし{a,b}⇔{g,l}の同型対応が2通りあるので… l/g が2つ以上の素因数を含むときは{a,b}は決まりませんよね("^ω^)・・・ >>233 330=2*3*5*11 70=2*5*7 gcd(330,70)=10 lcm(330,70)=2310 30=2*3*5 770=2*5*7*11 gcd(30,770)=10 lcm(30,770)=2310 共通でない素因数がどちらから来たのかという情報が消えてしまうから >>231 (1 + 1/n)^(2n+1) < {1 + 1/(n-1)}^(2n-1), g_n = (1 + 1/n)^(n +1/2)は単調減少。 エレ解スレ(2011.2).68-69 (2+x)log(1+x)+(2-x)log(1-x)< 0, (1+x)^(2+x)・(1-x)^(2-x)< 1, 不等式スレ第9章.203 >>226 cos(10)cos(50)cos(70)=(√3)/8, http://www.youtube.com/watch?v=VOC9xMq3JJg sin(20)sin(40)sin(60)sin(80)= 3/16, http://www.youtube.com/watch?v=zAiXPhPvWpc -------------------------------------------------- Morrie's law cos(20)cos(40)cos(80)= 1/8, http://www.youtube.com/watch?v=u-Z5pBxW1u8 cos(20)cos(40)cos(60)cos(80)= 1/16, http://www.youtube.com/watch?v=eBFtWCLw1-8 http://www.youtube.com/watch?v=JV7J7JrakeI sin(10)sin(30)sin(50)sin(70)= 1/16, http://www.youtube.com/watch?v=QGpDSulXqB8 ------------------------------------------------ オマケ sin(10)+sin(20)+sin(40)+sin(50)= sin(70)+sin(80), http://www.youtube.com/watch?v=v4NW9kOifq0 >>226 下の3つは Morrie's law cosθ= sin(2θ)/(2sinθ) ですね。 別法 cos(36)cos(72)cos(144)cos(288) = - cos(72)cos(144)cos(216)cos(288) = -Π[k=1,4]cos(2kπ/5), 1 - T_5(t)=(1-t)(4tt+2t-1)^2. cos(2π/7)cos(4π/7)cos(8π/7) ={Π[k=1,6]cos(2kπ/7)}^(1/2), 1 - T_7(t)=(1-t)(8t^3+4t^2-4t-1)^2. 〔点予想問題〕 平面上に有限個の点の集合をとる。 どの2点を通る直線も3つ以上の点を通る を満たすならば、これらの点はすべて1直線上にある。 2^24×3^36×11^12を2進法で表すと、末尾には0が連続して24個並ぶ。 3^36×11^12が莫大な数だからでしょうか? 2^24×3^4×11^3を2進法で表すと、そうはいかないでしょうか? ■モンティホール問題(空箱とダイヤ) このゲームができるのは1回だけです 外からは中が見えない空箱100個の中のひとつに ダイヤモンドを1個入れます その中から1個の箱を選びます 98個の空箱を取り除きます 最後に残った2個の箱の中から1個の箱を選びます ダイヤモンドが当たる確率は何%でしょうか? 耳栓をしても、>>263 は、モンティホール問題ではない。 子供の算数の問題がありました。なんか納得いきません。 四捨五入して百の位までの数にしたとき、1600になる整数のはんいは、 □□□□から□□□□までです。 答え 1550から1649 ええんか? >>285 この一文があれば納得です。 レスありがとうございます。 〔問題〕 (1) x>0 のとき、log(x)< x-1 を示せ。 (2) a = 2^(1/3)のとき、log(a)=(8/9)(a-1)を示せ。 >>287 (1)x=1のとき、左辺=右辺=0 よって成立しない (2)左辺は整係数三次方程式(9x+8)^3=2の解なので代数的数である 右辺(1/3)log2はリンデマンの定理によって代数的数でない よって成立しない >>288 訂正 (2)左辺は整係数三次方程式(9x+8)^3=1024の解なので代数的数である 有孔多面体の場合のオイラーの多面体公式 v-e+f+2g=2 これの穴の数gって何の頭文字ですか? vertex,edge,faceは分かるんですが >>290 種数(genus)ぢゃね? その切断によって生じる多様体が連結性を維持するような、単純な閉曲線に沿った切断の最大数。従って整数である。 閉曲面では、オイラー標数χ ≡ v-e+f = 2 -2g、ハンドル = g 境界成分をもつ曲面では、オイラー標数χ = 2 -2g -(境界成分の数) >>287 (2) 左辺 = log(a)=(1/3)log(2)= 0.231049060 右辺 =(8/9)(a-1)= 0.231040933 よって成立しない 〔問題〕 √2 + √3 = π e^π = 20 + π e^6 = π^4 + π^5 を示せ。 >>293 (4) √2 + √3 = π を示せ。 √2 + √3 は整係数4次方程式 x^4 -10x^2 +1 = 0 の解なので代数的数である。 >>293 (5) e^π = 20 + π を示せ。 e^(iπ)は整数だけど、e^π は超越数だな。 だから成り立つ……という訳ぢゃないけど。 ブリルアンゾーンの形は全て切頂多面体になるのでしょうか? https://en.m.wikipedia.org/wiki/Brillouin_zone なる場合、14個のブラべ格子において、そのブリルアンゾーンは何の切頂多面体になるのでしょうか? カメラで計算式を撮ると解答を教えてくれるアプリが発見される。試験中に知恵袋に書き込めるガバガバの京大入試はこれで数学満点だろ。 [524061638] http://leia.5ch.net/test/read.cgi/poverty/1518841675/ お願いします。このおバカな私に教えてください。 次の極限値は2と4のとの間に存在することを証明せよ。 lim[n→0](1+1/n)^n [解] まず、nを正の整数として考えてみると、この(1+1/n)^nはnを増すにしたがって大きくなることが言える。 次に、これを説明する。 y^n-a^n=(y-a)*(y^(n-1)+a*y^(n-2)+a^2*y^(n-3)+・・・・・・a^(n-2)*y+a^(n-1)) となる。y>aとすれば、右辺の第二因数は指揮の中のaをすべてyに改めた n*y^(n-1)よりは小さいから、 次の不等式が考えられる。 y^n-a^n<n*(y-a)^(n-1) そこで y、aをとくに、 y=1+1/(n-1) a=1+1/n ←@ここが分からない、ここでつっかえています。なぜこうやっておくのか? とおけば、上の不等式は、 (1+1/(n-1))^n-(1+1/n)^n<{1/(n-1)}*{1+1/(n-1)}^(n-1) となる。これを簡単にすると、次の不等式となるからである >>299 つづき 1+1/(n-1)}^(n-1)<(1+1/n)^n ←A個々の計算結果がなぜそうなるのか?途中計算を詳しくお願いします。 n=1であるときは、与えられた指揮は2となるから、この極限値が2よりも大きいことh言うまでもないが、 これが4よりも小さいことを次に証明する。 まず、nを偶数とするとn=2*mとおいて、 (1+1/n)^n=(1+1/(2*m))^(2*m)={(2*m+1)/(2*m)}^(2*m)={((2*m+1)/(2*m))^m}^2 ところが、(Bここからが分かりません、何でそれぞれの右辺がこうなるのか・・・) (2*m+1)/2*m<(2*m)/(2*m-1) , (2*m+1)/(2*m)<(2*m-1)/(2*m-2) , (2*m+1)/(2*m)<(2*m-2)/(2*m-3) , ・・・ (2*m+1)/(2*m)<(m+2)/(m+1) であるから、これらの m-1 個の不等式くを4行以上の等式の最後の項に代入すれば、 (1+1/n)^n<{(2*m+1)/(m+1)}^2 , すなわち、 (1+1/n)^n<{2-1/(m-1)}^2<4 ←Cどうゆう計算したのか? また、nが奇数の場合は、これを n+1 にかえると、これが偶数となり、かつ、前の証明によって、式の値も増加 するから、n の場合ももちろん4より値が小さくなる。 この式は n の値を増すにしたがってその値が増加するが、ある限度 4 をこえることはないから、何かある一定 の極限に達する。この数を e で表しているのである。 {n=100 とおくとこの式の値は 1.01^100=2.704(対数計算による)となり、また、n=1000とおけば 1.001^1000 =2.717(対数計算による)となる。この極限値 e は実はつぎの値となる。e=2.71828188284・・・・・ >>300 つづき また、n が整数ではなくて、n<k<n+1 という数 k である場合には 1/(n+1)<1/k,1/n という不等式が成立するから、 したがってまた、次の不等式が成立する。 {1+1/(n+1)}^n<{1+1/(n+1)}^k,(1+1/k)^k<(1+1/n)^k<(1+1/n)^(n+1) ところが、両端の式はこれを書き換えて、 (1+1/n)^(n+1)=(1+1/n)^n*(1+1/n) , {1+1/(n+1)}^n={1+1/(n+1)}^(n+1)*{1-1/(n+2)} ←Dこの計算を詳しく教えて ください と改めると、極限にはどちらも e*1 すなわち e となる。ゆえに、n はせいすうでなくてもよい。 >>299-300 まず証明したいことはこれ |(1+1/n)^nはnを増すにしたがって大きくなる これは、任意のn>2について {1+1/(n-1)}^(n-1)<(1+1/n)^n←A であることを言いたい。そのために {1+1/(n-1)}^(n-1)-(1+1/n)^n<0←A'を証明する A'の左辺 ={1+1/(n-1)}^(n-1)-{1+1/(n-1)}^n+{1+1/(n-1)}^n-(1+1/n)^n =(1-{1+1/(n-1)}){1+1/(n-1)}^(n-1)+{1+1/(n-1)}^n-(1+1/n)^n ={-1/(n-1)}{1+1/(n-1)}^(n-1)+[{1+1/(n-1)}^n-(1+1/n)^n] 第2項がy^n-a^nの形になったので、 y>aならばy^n-a^n<n(y-a)y^(n-1) に y=1+1/(n-1) a=1+1/n ←@ を代入した以下の式を使います。 {1+1/(n-1)}^n-(1+1/n)^n<n{(1+1/(n-1))-(1+1/n)}{1+1/(n-1)}^(n-1) つまり[{1+1/(n-1)}^n-(1+1/n)^n]<{1/(n-1)}{1+1/(n-1)}^(n-1) この不等式の両辺に{-1/(n-1)}{1+1/(n-1)}^(n-1)を加えると A'の左辺<{-1/(n-1)}{1+1/(n-1)}^(n-1)+{1/(n-1)}{1+1/(n-1)}^(n-1)=0 これでAが証明できました >>300 >ところが、(Bここからが分かりません、何でそれぞれの右辺がこうなるのか・・・) >(2*m+1)/2*m<(2*m)/(2*m-1) , (2*m+1)/(2*m)<(2*m-1)/(2*m-2) , (2*m+1)/(2*m)<(2*m-2)/(2*m-3) , (2m+1)/(2m)=(2m)/(2m)+1/(2m)=1+{1/(2m)}です。 同様に、(2m-(n-1))/(2m-n)=((2m-n)+1)/(2m-n)=1+{1/(2m-n)}となります。 (2m)>(2m-n)>0であれば、{1/(2m)}<{1/(2m-n)}です。 両辺に1を加えて1+{1/(2m)}<1+{1/(2m-n)}よって、 0<n<2mであるnについて、(2m+1)/(2m)<(2m-(n-1))/(2m-n)となります。 >(1+1/n)^n<{(2*m+1)/(m+1)}^2 , すなわち、(1+1/n)^n<{2-1/(m-1)}^2<4 ←Cどうゆう計算したのか? (2m+1)/(m+1)=(2(m+1)-1)/(m+1)=2(m+1)/(m+1)-1/(m+1)=2-1/(m+1)<2-1/(m-1)です。 >>302-303 すごい、ありがとうございます。 mを正の整数とするとき、以下の和を求めよ。 Σ[n=1,∞] (1/n^(4m-1)) ((-1)^(n-1)/(e^(πn)-e^(-πn))) a_{n+2} = - ( a_{n+1} + a_n ) a_1 = 1 a_2 = 1 の一般項は n=3m-1,n=3m-2の場合1、n=3mの場合-2 でOK? >>307 ω^2+ω+1=0として a_{n+2}-(ω^2)a_{n+1}=ω(a_{n+1}-(ω^2)a_n) a_2-(ω^2)a_1=1-ω^2 なのでa_{n+1}-(ω^2)a_n=ω^(n-1)(1-ω^2)@ a_{n+2}-ωa_{n+1}=ω^2(a_{n+1}-ωa_n) a_2-ωa_1=1-ω なのでa_{n+1}-ωa_n=(ω^2)^(n-1)(1-ω)A @とAよりa_n=(ω^(n-1)(1-ω^2)-(ω^2)^(n-1)(1-ω))/(ω-ω^2) n=3m-2の場合、a_n=((1-ω^2)-(1-ω))/(ω-ω^2)=(ω-ω^2)/(ω-ω^2)=1 n=3m-1の場合、a_n=(ω(1-ω^2)-ω^2(1-ω))/(ω-ω^2)=(ω-ω^2)/(ω-ω^2)=1 n=3mの場合、a_n=(ω^2(1-ω^2)-ω(1-ω))/(ω-ω^2)=(ω^2-ω-ω+ω^2))/(ω-ω^2)=-2 たぶんこれでも良いはず。 a_{n+2} = - ( a_{n+1} + a_n ) → 1個ずらす a_{n+3} = - ( a_{n+2} + a_{n+1} ) → 最初の式を代入 a_{n+3} = - ( - ( a_{n+1} + a_n ) + a_{n+1} ) a_{n+3} = a_n よって、 a_1 = a_4 = a_{3n-2} = 1 a_2 = a_5 = a_{3n-1} = 1 a_3 = a_6 = a_{3n} = -2 ギリシャ文字の正しい書き順を教えてください ネット検索では情報が錯綜していてよくわかりません 書き順にこだわるのは日本人以外にあまりしらないんだが 中国人の書家はは別にして >>311 とても初歩的で簡単なギリシャ語の本に載っている。 英語の中学の教科書でもアルファベットやその筆記体の書き方は説明されていたの。 なので、ギリシャ文字の書き方を知りたいだけなら、中学(今でいうと小学校か)レベルのギリシャ語の本でいいと思う。 >>312 アルファベットの筆記体は他の書体の文字を崩して速く文字を書いて表せるようにした書き方で、決まった書き順がある。 書かれた筆記体の文字の上手下手はともかくとして。 アルファベットの筆記体は日本語の行書体や草書体にあたる。 日本語だと普通の字体は楷書体だが、アルファベットの普通の字体は何と呼ぶんだろう。 >>306 m=1のとき (1/720)π^3 m=2のとき (13/907200)π^7 m=3のとき (4009/27243216000)π^11 … 一般形は C_m π^(4m-1) ここで{C_m}は以下の漸化式を満たす C_0=1/8, C_m=Σ[j=1,m] C_{m-j} (-1)^(j-1) 2^(2j+1)/(4j+2)! 自作 黒板に数字の 1 と数字の 2 が1つずつ書かれている。 2人のプレイヤーが, 交互に次の「」内の操作を行う。 「書かれている2つの数字のうち1つを任意に選ぶ。 選んだ数を a, 選ばなかった数を b とし, a を a+b に書き換える。」 例. 2 と 5 が書かれているときに 2 を選んだ場合, 2 を 7 に書き換える。 書かれている数字は 7 と 5 となる。 先に操作を行うプレイヤーを先手, そうでないプレイヤーを後手と呼ぶ。 先に 100 以上の数字を書いたプレイヤーを勝者とする。 このとき, 次の問いに答えよ。 (1) 勝者が決まった時点で黒板に書かれていた数字が 70 と 101 であったとき, 勝者は先手, 後手のどちらか。 (2) 勝者が決まった時点で黒板に書かれていた数字が n と 100 であったとする。このとき n としてとり得る値は何通りか。(各プレイヤーは最適な戦略をとるとは限らないとする) おバカな私に教えてください これどうやって解くのですか? lim[x→0] sin7x/tan5x 途中計算を詳しくお願いします。 (^^;) >>321 >>323 ありがとう (2) はその通りです。 本当は先手必勝、後手必勝に関する問題にしたかったんだけど、 なかなか複雑でうまく問題に出来なかった。 ちなみにこのゲームが先手必勝なのか後手必勝なのかは知りません。 >>324 このゲームは後手有利なようです 初手は先手がどちらの手を出しても後手は2つの数字の合計が7になるような手とします 2手目は同様に合計が18以下の最大値となる手を、3手目は合計が41以下の最大値、4手目は合計が99以下の最大値になるよう手を選ぶと勝つことができます >>322 分かスレ441 の 79-86 の辺り >>319 m →∞ のとき、 n>1の項は迅速に減衰し、 1/{e^π - e^(-π)}= 0.043294768765 に収束する。 C_2 π^7 ≒ C_3 π^11 より π≒(C_2/C_3)^(1/4)={(2・3・5・7・11・13^2)/(19・211)}^(1/4)= 3.141345 >>320 「先に 100 以上の数字を書いたプレイヤーを勝者とする」のルールを一般化して 「先に N 以上の数字を書いたプレイヤーを勝者とする」(Nは3以上の整数)とする 3から100までを検証したところ、 Nが3,5〜7,11〜17,25〜41,59〜99のときは先手必勝 Nが4,8〜10,18〜24,42〜58,100のときは後手必勝と出ました 法則性もありそうですが、うまくすると証明もできるかもしれません >>325 >>328 おおすごい! 確認してみましたが、確かに後手必勝ですね。 >>328 の先手必勝の区切りが>>325 の戦略に現れる数に似ていたので 試しに>>325 の「18以下」を「17以下」に変えたものも考えてみましたが、 これでも後手必勝の戦略になってました。 数列{a_n}が漸化式 a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=1, a_{n+5}=a_{n+4}+a_{n+3}+a_{n+2}+a_{n+1}+a_n を満たすとき Σ[n=0,∞]a_n/2^n は収束するか?収束するならその値を求めよ。 >>330 の関連問題 プレーヤがコインを1枚ずつ投げ、n回連続して表が出たとき投げるのをやめ そのプレーヤの投げたコインの枚数を得点とするゲームがある。 このゲームの得点の期待値をnで表せ。 >>330 a_n = P_{k+1}- P_{k-1}-2P_{k-2}-3P_{k-3}, ここに P_k は Pentanabbi number 特性方程式 x^5 -x^4 -x^3 -x^2 -x -1 = 0 実根 r = 1.9659482366454853372… (Pentanacci constant) |β|= 0.818788815767 < r |γ|= 0.871047941737 < r lim[n→∞]a_n / 2^n = 0 lim[n→∞]a_n / r^n = 0.1491215649669… >>330 Σ[n=0,∞]a_n / 2^n = 2(a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4)= 10, Pentanacci number では Σ[n=0,∞]P_n / 2^n = 2(0 + 1 + 1 + 2 + 4)= 16, >>329 17以下が戦略になることは確認できました 確かにその通りですね ただ、7,11の組が先手必勝でないことからもわかるように、単純に合計だけ見てもうまくいかない問題かもしれません また、>>328 のような法則性も、初期パターンによって異なるようで、1,3の組で始めるとゴールNと勝者との間にはっきりとした法則性はないように見えます もう少し研究が必要そうです >>333 正解 特性多項式/母関数を使わない解法: a_{n+5}-a_{n+4}-a_{n+3}-a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0 ……(1) ↓(1)式のnをn+1に置き換えた式から(1)式を引く a_{n+6}-2a_{n+5}+a_n=0 ↓1/2^(n+6)倍して b_n=a_n/2^n と置く b_{n+6}-b_{n+5}=-(1/64)b_n ……(2) ∴{b_n}は単調減少数列で b_{n+6}<b_{n+5}-(1/64)b_{n+5}=(63/64)b_{n+5}<(63/64)^(n+1) b_5 ……(3) 一方(2)式をn=0からn=mまで足し合わせると b_{m+6}-b_5=-(1/64)Σ[n=0,m]b_n ↓m→∞とすると(3)式よりb_{m+6}→0 Σ[n=0,m]b_n は 64b_5=2a_5=10 に収束 たまりたまったものが放出され繰り返される現象をいふリーキい積分というのはいかなるものですか? 2以上の自然数 m、n が、n|m をみたすとき、 「mを法とする原始根が存在する ⇒ nを法とする原始根が存在する」 の証明が分かりません。 合成数 74, 81, 82, 86, 94, 98 を法とする原始根がすべて載っているサイトってないですか? >>342 74: 5,13,15,17,19,35,39,55,57,59,61,69 81: 2,5,11,14,20,23,29,32,38,41,47,50,56,59,65,68,74,77 82: 7,11,13,15,17,19,29,35,47,53,63,65,67,69,71,75 86: 3,5,19,29,33,55,61,63,69,71,73,77 94: 5,11,13,15,19,23,29,31,33,35,39,41,43,45,57,67,69,73,77,85,87,91 98: 3,5,17,33,45,47,59,61,73,75,87,89 ありがとうございます。 プログラムを書いて解いたのでしょうか? 素数 p を法とする原始根は、φ(p) 個、 p^n (pは奇素数、nは自然数)を法とする原始根は、φ(φ(p^n)) 個ですが、 2p^n (pは奇素数、nは自然数)を法とする原始根の個数についても、何か公式はあるのですか? 公式があるというか公務員式じゃだめだから、公式使うよりは、 式を立てるとき公式をかけ外してレアな数式で演算するといいよ。 確率論の初歩の初歩を教えてください さいころを振って1が出る確率は6分の1。これは、さいころを沢山振れば振るほど、 1が出る割合が6分の1に収束することを意味する。 では、その収束割合(何回振ればどの程度6分の1に近づくか)は、どうやって計算するんでしょう? 私は文系なので、言葉で説明してもらえればありがたいです。 どうぞよろしくお願いします。 文系ならば、言葉を大切に使ったほうがいいと思います。 数学の内容を計算無しで理解したいというなら、尚更 言葉には敏感でなくてはならないはずです。 用語を雑に使っては、言葉での理解は成立し得ません。 「さいころを沢山振れば振るほど、 1が出る割合が6分の1に収束する」という表現は、 おそらく、何かを誤解した上でのことでしょう。 「さいころを沢山振れば振るほど、 1が出る割合が6分の1に近づく」ことを 「さいころを振る回数が無限大に近づく極限で、 1が出る割合は6分の1に収束する」と言います。 「収束する」という言葉の意味を考えると、 「振れば振るほど、収束する」という表現は あり得ないです。 「振れば振るほど、近づく」は、曖昧で 観念的な表現ですが、そこを雰囲気でなく正確な内容で 表現しようとすれば、「近づく」近づき方を定量的に 盛り込まざるを得ず、数式や計算を含む説明になります。 「近づく」で納得することにするか、 数学的な表現に踏み込むか、ここから先は 覚悟して選ばなければなりません。 どんな平行六面体も空間を隙間なく埋めることができる ↑これの正否は正しい、で正解ですよね? >>350 3次元ユークリッド空間なら、たぶん、おk 0<k<2πのとき、以下の等式が成り立つことを証明せよ。 ∫(0,∞)sin(kx)/x dx = (k/2)+Σ[n=1,∞]sin(kn)/n >>353 ∫(0,∞)sin(kx)/x dx = ∫(0,∞) sin(y)/y dy = π/2, (x/2)+ Σ[n=1,∞]sin(nx)/n = π/2 (0<x<2π) 関連問題: kを4で割ると1余る正の整数とするとき、以下の等式を証明せよ。 ∫(0,∞)((2x)^k)/(e^(2πx)+1) dx = Σ[n=0,∞]((2n+1)^k)/(e^(π(2n+1))+1) >>357 (左辺)= ∫(0,∞) (2x)^k /{e^(2πx) + 1} dx = ∫(0,∞) (2x)^k Σ[L=1,∞] (-1)^(L-1) exp(-2Lπx) dx = Σ[L=1,∞](-1)^(L-1){∫(0,∞) (2x)^k exp(-2Lπx) dx} =(1/2)(1/π)^(k+1){∫(0,∞) y^k exp(-y) dy} Σ[L=1,∞](-1)^(L-1) / L^(k+1) =(1/2)(1/π)^(k+1) Γ(k+1)(1 - 1/2^k) Σ[L=1,∞]1 / L^(k+1) =(1/2)(1/π)^(k+1)k!(1 - 1/2^k)ζ(k+1), >>350 >>352 >>355 その種の中学生とかで触れる幾何学(初等幾何学というんでしょうか?)の専門書ってどんなものがありますか? 参考書スレでは非ユークリッド空間とかの発展形の話題ばかりでした スレ違いなら誘導して下さい >>359 矢野健太郎「幾何の有名な定理」 共立出版(数学ワンポイント双書36)(1981/Dec) 150p.1512円 D.ヒルベルト「幾何学基礎論」 ちくま学芸文庫(2005/Dec) 242p.1296円 中村幸四郎・訳 寺阪英孝「初等幾何学」 岩波全書159(1952) 182p.絶版 同 第2版(1973) 284p.絶版 多辺形についてのJordanの定理の証明 「ユークリッド原論」追補版 共立出版(2011/May) 574p.6480円 中村・寺阪・伊東・池田(訳)「 岩田至康「幾何学大事典」 槇書店(1971〜)全6巻+別巻2、高価 図書館の検索端末で探せばあるかも? >>359 (追補) 小平邦彦「幾何のおもしろさ」 岩波書店(数学入門シリーズ7)(1985/Sep) 330p.1850円 小平邦彦「怠け数学者の記」 岩波現代文庫(社会19)(2000/Aug) 315p.1080円 小平邦彦「ボクは算数しか出来なかった」 岩波現代文庫(社会60)(2002/May)186p.972円 専門バカでないものは唯のバカである。(*) 小平邦彦「幾何への誘い」 岩波現代文庫(学術7)(2009/Oct)228p.1037円 * 筒井康隆「文学部 唯野教授」 岩波現代文庫(文芸1)(2000/Jan)373p.1188円 ペアノ公理の5について質問がある。 自然数nに関する述語P(n)で(a)(b)が成り立つとする。 (a)P(1)である。 (b)どんな自然数kにたいしてもP(k)ならP(k´)である。 このときどんな自然数nにたいしてもP(n)が成り立つ。 これは自然数には1つの数列しかないことを宣言しているもの、と考えてよいんだよね? 例えば、1から始まる後続数のループで生まれるものを数列1とする。 公理1から4までだとこの数列1に属さない自然数Xの存在を許してしまう。 この自然数Xを排除するためのものが公理5。 という解釈でよいのだろうか。 >>359 コクセターは文庫が出てる ブロック積みが初等幾何かどうかはしらんが レスがつかないんで他のスレで質問することにした。 >>363 の質問は取り下げることにする。 思いつき 「実魔方陣」を以下で定義する: 実魔方陣とは、9つの実数を 3×3 の形に並べたものであって、 各行、各列、各対角線上に並ぶ数の和が全て等しいものとする。 実魔方陣の和、実数倍を行列と同様に定めることにより、 実魔方陣全体の集合は実ベクトル空間をなす。 この実ベクトル空間の次元を求めよ。 >>389 3次元 各マスXij(i,j∈{1,2,3})の数からなる9次元の空間に対し、独立な制約条件が6つある為 制約条件の例 X11+X12+X13=X21+X22+X23 X31+X32+X33=X21+X22+X23 X11+X21+X31=X21+X22+X23 X13+X23+X33=X21+X22+X23 X11+X22+X33=X21+X22+X23 X13+X22+X31=X21+X22+X23 >>391 正解! 条件が独立だとか十分だとかの証明がほしいところだけど、まあいいか (簡単に分かる方法があったら教えて下さい) 基底の例 e1= 1,-1,0 -1,0,1 0,1,-1 e2= 0,-1,1 1,0,-1 -1,1,0 e3= 1,1,1 1,1,1 1,1,1 「各行、各列、各対角線上の数の和が 0 になる実魔方陣全体」は 2 次元の部分空間を成し、 e1, e2 で生成される。 以下の「服装の組み合わせ」は「何通りあるのか」を知りたいです。 ・ジャケット(9種) ・ズボン(7種) ・くつ(6種) ○「ジャケット(9種)・ズボン(7種)・くつ(6種)」 これらの、「重複ない組み合わせ」は「何通り」になるでしょうか。 ○そして表の作り方も知りたいです。 ○また、答えを導き出すための「解法や数式の名称」はなんというのでしょうか。 >>393 9・7・6=378(通り) 一年間ですべての組み合わせを着つくせないぐらいあります。 方法は乗法です。 名称は掛け算です。 重複しないの意味が一度履いた靴を二度と履かないだったら、最大で6通りです。 〔問題〕 最高次の係数が1であるn次多項式を P(x) とし、 P(x) = 0 のn個の解を α1,α2,…,αn とする。 このとき、α1^3,α2^3,…,αn^3 を解にもつn次多項式で、 最高次の係数が1であるもの A(x) を求めよ。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai29.php P(x) = p0(x^3) + p1(x^3) x + p2(x^3) xx, と表わせる。。。 >>395 Q(x) = p0(x^3)^3 + {p1(x^3)x}^3 + {p2(x^3)xx}^3 - 3 p0(x^3) {p1(x^3)x} {p2(x^3)xx} は P(x) = p0(x^3) + p1(x^3)x + p2(x^3)xx を割り切る。 ∴ ある多項式 R(x) が存在して、Q(x) = P(x)R(x) と表わされる。 Q(x) は x^3 の多項式となるから Q(x) = A(x^3) とおける。 A(x) = p0(x)^3 + p1(x)^3・x + p2(x)^3・xx - 3・p0(x)・p1(x)・p2(x)・x, は 最高次の係数が1の n次多項式である。 また各iに対し、A(αi^3) = Q(αi) = P(αi)R(αi) = 0, ∴ A(x) が求める多項式の1つである。 以下、A(x) 以外にも解が存在すると仮定して矛盾を示そう。 最高次の係数が1であるn次多項式 B(x) も条件をみたすと仮定する。 すると、n-1次以下の多項式 A(x) - B(x) がn個の根 (αi)^3 をもつ。(矛盾) ∴ A(x) が唯一の解である。 三乗したものに同じものがないことが示してないから駄目。 https://youtu.be/LZL344pJKN0 700000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007×11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111の答えの出し方。 https://youtu.be/4UOlX_r8ZcA 9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999×9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999の答えの出し方。 その他の動画もよろしく。最近は、美術2、図工2、数学2の私文修士卒の僕が 電卓、工作、絵を動画にして解説しています。 よろしく。 https://youtu.be/JAlZkmb310o 美術2、英検2級のわいの漫画と説明 機械、数学、物理学も少しだけあります。 >>395 そもそも方程式の一意性は “同じものがあったらそれを重解にもつ” ととっていいなら, はなから吟味する必要はない。 たとえばx = 1,1,2を根にもつ最高次が1の三次式は(x-1)^2(x-2)に一意にきまる。 しかし用意されてる模範解答でその吟味してるってことはその意味にとってはいけないのだろう。 となるとx=1,1,2を根にもつ最高次が1の三次式は(x-1)(x-2)(x-a)が一般解となる。 となるともとの問題も方程式が重解をもつ場合は多解問題になる。 つまりこの問題の解が一意に決まる事を示すにはもとのn次式が重根を持たないことを示さないと不完全。 よって元のサイトの模範解答も不完全なんだけど。 >>395 別スレでこの問題が話題になったときは “出題者は解答が不完全なのはわかってて完全な解答もできなくないけど敢えて伏せたのかも” と書いたけど、改めて考えてみると純粋に完全な解答書けなかっただけかもしれないと思えてきた。 最初の多項式 P(x) = x^2015 +2x^2014 -2x+2 の既約性だけ言えればいいと思ったけどよくよく考えたら>>397 さんが指摘してる通り,α_i^3の全体が全部違うこと示さないと駄目な気がする。(別ルートあるかもしれないけど。) しかしこのルートも結構険しい。 自分が思いついたこのルートの証明は α、βがP(x)の根でα=βωとなっているとするとP(x)とP(ωx)が共通解をもち、P(x)≠P(ωx)からP(x)はガウス環R=Z[ω]で可約となる。 一方p=2RはRの素イデアルなのでp進付置でのEisensteinの判定でP(x)はRで既約とわかる。矛盾。 ある程度代数的整数論に通じてないとかなり苦しい。 仮に別ルートがあっても相当険しいルートしかない気がする。 もしかしたら作ってはみたけど証明つけられなかったのが真相かも。 あるいはこの部分にギャップがあるのに気づきすらしなかったか? >>400 もし重解があれば、P(x) = 0,P '(x) = 0 を満たす。 元の問題は P(x) = x^2015 + 2 x^2014 -2x +2 なので P '(x) = 2015 x^2014 + 2・2014 x^2013 -2, P(x) + (1-x)P '(x) = -2014 x^2013 {xx +(2011/2014)x -2}, x = 0 は明らかに解でない。あとは x = {-(2011/2014)±√[8 + (2011/2014)^2]}/2 = 1.0004966887145 & -1.99900711572542 が解でないことを示せばよい。 >>402 上にもかいたけどそれだけじゃ多分不十分だよ。 P(x)が重解を持たないことだけでは駄目だと思う。 >>402 (2015x+2・2014) P(x) - x(x+2) P '(x) = -2・2014 {xx +(2011/2014)x -2}. 無縁解 x=0 は出てこない… x^3−1=(x−t)(x−u)(x−v)。 P(x)=Π(x−a)。 A(x)=Π(x−a^3)。 P(tx)P(ux)P(vx)=Π((tx−a)(ux−a)(vx−a))=Π(x^3−a^3)=A(x^3)。 P(x)=Q(x^3)+R(x^3)x+S(x^3)x^2。 P(tx)=Q(x^3)+R(x^3)tx+S(x^3)t^2x^2。 >>405 t=ωのことだとして依然としてP(x)とP(ωx)が互いに素であることは示されてないじゃん。 >>393 同じグループから複数個取り出すわけではないので 重複しない 例えばジャケットを2着選ぶのなら9×8通りから重複分の2で割るひつようがあるけれど。 表は3次元の座標を使うか、または 横9×縦7のマス目のそれぞれを6分割するのでも言いかと思います。 例えばジャケット1、ズボン1という更地に くつという名前の高さ10m〜60mのビルを建てるようなイメージですかね 以下の問いについて、別解や解法の考え方を教えてください。 問い ある作業をaさんが行うと10日で完了する 同じ作業をbさんが行うと8日で完了する aさんとbさんの二人で行うと何日で完了するか? ただし、作業は適切に分割できるものとする (解1) ある作業の作業量をs[個] 作業速度をa[個/日] b[個/日]とする s/a = 10 s/b = 8 x日で完了するとすると、 s/(a+b) = x この3式を解くと x = 40/9 答え 40/9日(4.444...日) となるわけですが、分数が入るのと作業量sを結局消去してるので何か感覚的に分かりづらいんです。 そこで (解2) 例えば作業量を2sとして一回目はsずつaさんとbさんで分けるとします。 一回目、bさんが作業を完了したとき、aさんはまだ「2」残っています 2回目、bさんはaさんの「1」を手伝います。 2回目、bさんが作業を完了したとき、aさんはまだ「0.2」残っています 3回目、bさんはaさんの半分「0.1」を手伝います。 3回目、bさんが作業を完了したとき、aさんはまだ「0.01」残っています 無限回繰り返すと、bさんの作業量bsは、 bs = s (1+0.1+0.01+......) = (10/9)s 反対にaさんの作業量asは、 = (8/9)s as = s (1-0.1-0.01-......) 作業2sを完了する日数は、aさんが作業8/9を完了する日数と同じなので、 (8/9)s / (s/10) = 80/9 よって、作業sを完了する日数は 80/9 / 2 = 40/9 答え 40/9日 (4.444..日) もっと難しくなった気がします...どうしたらいいんでしょう?何か感覚的に分かりやすい考え方が 思いつきません。例えば8日や10日を逆数にするとか。 作業量sを数式に入れたくないんです。 >>409 作業の総量を40とか80とかとおいて考える 小学生用の参考書だと○で囲ってあるやつだ 本質的に差があるわけではないけど >>409 BさんがAさん何人分に相当するか考える。Aさんが10日かかる作業をBさんは8日で終わらせるからBさんはAさんの10/8倍しゅごい つまり、Bさんを合わせると、Aさんが1+10/8=9/4人いるのと同じこと。Aさん一人なら10日、二人なら半分の5日。9/4人なら4/9倍の40/9日 全体の作業量を具体的な個数ではなく1として一日あたりの作業量を%で考える Aさんは10日かかる = 一日で全体の1/10 = 10%。Bさんは8日だから一日で全体の1/8 = 12.5% 二人あわせて一日で全体の22.5%(9/40)なので、作業を完了させるには100/22.5 = 4.44....日かかる aさん基準で考えれば、bさんの作業速度が1.25倍であるので合計して2.25倍で行える かかる時間は1/1から1/2.25倍まで減る aさん基準なので、10日間×1/2.25 = 4.444...日間・・・答え こんなもんか 蛇口Xからはc日でdの水が出る ⇔ 蛇口Xからは1日で(d/c)の水が出る ⇔ 蛇口Xからは(c/d)日で1の水が出る ・ 蛇口Aからは10日で1の水が出る ・ 蛇口Bからは8日で1の水が出る ・ 蛇口Aからは1日で1/10の水が出る ・ 蛇口Bからは1日で1/8の水が出る ・ 蛇口A&Bからは1日で(1/10+1/8)の水が出る。 ・ 蛇口A&Bからは1/(1/10+1/8)日で1の水が出る。 1/(1/10+1/8)=40/9 蛇口A&Bからは40/9日で1の水が出る。 ふむふむ 個々の流量を合計して逆数取れば、ある仕事量1単位あたりを完了させる時間が分かる って言葉でまとめられるかな 単位仕事量あたりの時間、ととらえれば感覚的に分かりやすい 180度の角が一つあると考えると内角の和は360度になるので 三角形は四角形に内包されますか? あるレストランGでは、20回に1回、会計が100%引きとなり、 別のレストランDでは、会計時に次回の会計が10%引きになるチケットを配布するという。 レストランに2回行くとき、どちらのレストランを選ぶのがお得か? レストランのサービス内容に差はなく、初期状態でDのチケットは持っていない。また、上記以外の割引はないものとする。 今大学で研究されている数学は役に立たないので税金を使う必要はない やりたい人だけでお金を出し合ってやればいい この意見に反論したいのですがどうすればいいですか >>416 単純な期待値的には同じと思ったんだけど、ひっかかってるのかな? 店に行く回数 1回 Gのほうがお得 2回 同じ 3回 Dのほうがお得 100%引きになるチケットを配布する、と読めなくもないけど でも、それだと問題にならないよな 2回行くだけじゃ、100%引きになることは絶対にないという単純な話か 【ATP】男子プロテニス総合スレッド288 ワッチョイ有 http://mao.5ch.net/test/read.cgi/tennis/1534645313/ このスレで今確率の問題が話題になってるんだけど誰か答えてくれない? ドローのサイズは128、シードは32、1回戦はシード選手同士では当たらない。この状況でディミトロフ(シード選手)とバブリンカ(ノーシード)がウィンブルドンに続き全米でも1回戦で対戦する事になった。この2大会連続で同じ相手と1回戦で当たる確率がいくらか?って話題で (1)ウィンブルドンは既に終わった大会だから、今回全米で当たる確率も1/96のままって意見と (2)2大会連続で当たったんだから1/9216 って意見に分かれて議論が紛糾してスレが荒れてる。 どっちが正しいのかあるいはそれ以外の答えがあるのか理由もつけて答えを出して文系のバカどもを誰か黙らせてくれない? サイコロで1が連続して10回出る確率はものすごい低いですが、11回目に1が出る確率は1/6ですよね。 これだったら1/6^11って計算の意味なくないですか? [問1]周長1の円の面積と、周長1のn角形の面積との差のうち最小の値をV_2(n)とするとき、数列{n^2・V_2(n)}は収束するか。収束する場合は極限値を示せ [問2]表面積1の球の体積と、表面積1のn多面体の体積との差のうち最小の値をV_3(n)とするとき、数列{n・V_3(n)}は収束するか。収束する場合は極限値を示せ 夕食のオカズがイカ、マグロ、サンマのうちどれか1品である。 それぞれの確率が 1/4、 1/4、 1/2 であるとする。 調理法としては、「イカは焼くかナマかの確率が 1/2 ずつ」 「マグロは必ずナマ」「サンマは必ず焼く」ということが分っている。 いま、帰宅時に家から煙があがっているのが見えたとき 今日のオカズがイカである確率はどれだけか? … 焼いてるのがハッキリしているのだから 1/2でイカかサンマだ イカは1/2で焼かれるので 1/4でイカだ (1/4)*(1/2)/{(1/4)*(1/2)+(1/2)*(1)}=1/(1+4)=1/5 >>426 問1→周長1の円の面積=1/(4π), 周長1の正n角形=1/(4n tan(π/n)) より V_2(n)=1/(4π)-1/(4n tan(π/n)) とすると このとき、lim{n→∞} n^2×V_2(n) = π/12 問2→表面積1の球の体積=1/(6√π) 表面積1のn多面体の体積:厳密ではないが、面積の等しいn枚の正6角形で構成されたとして近似すると (1/6)√(((sin(π(1+1/n)/3))^3/sin(π/n)-1)/(n(sin(π/3))^3)) を得る このとき、lim{n→∞} n×V_3(n) = ((√π)/6)(4(cos(π/6))^2-cos(2π/6))/sin(2π/6) = (5/108)√(3π) 近所のお店でやってる1000円の買い物で1回数字を引ける ビンゴイベントの確率について教えてください。 1から16の数字がランダムに記入された4×4のビンゴカードがある。 1から16の数字を箱からランダムに引き、タテ・ヨコ・ナナメいずれか4つの数字が揃うと景品が得られる。 一度引いた数字は次の数字を引く前に箱に戻すものとする。 ダブルトリプルでのビンゴの場合はそれぞれ景品は2つ、3つ得られる。 景品を得られても続きから数字を引くことは可能。 カードのリセットは自由なのですが、どのタイミングで カードをリセットすると最も多くの景品を得られますか。 >>433 1-3×1/20-6×7/160-3×3/32=49/160 >>433 別解 △ABCの重心から各辺(AB,BC,CA)の中点および各頂点(A,B,C)まで線分を引くと、それらの各々7/10,7/16の距離に六角形の頂点が位置する 面積比はこれらの積で49/160となる すみませんが、皆様お知恵をお貸しください。 小学1年の息子の宿題プリントの問題なのですが… 『バスに おきゃくが 15にん のっていました。つぎの バスていで 7にん おりました。バスの なかは なんにんになりましたか。』 算数だったら 15−7=8 でしょうけど… なぞなぞだったら (15−7)+1(運転手)=9 どちらの答えが求められているのかが判らないんです ちなみに息子は、15−7=8と回答してましたが… >>436 うんてんしゅがいるから9にんです と、理由つきで答えた場合、それを正解にしてくれる度量の広い先生だといいなあと切に思う次第。 >>436 乗務員もカウントするなら 運転手だけとは限らないから 後者の解答は△だろう バスガイドや、交代要員の運転手が乗ってるような場合はどうなのかとか そもそも、バスの客とは言っておらず 接待旅行で、持ち上げる側の社員も乗ってるかもしれないし 運転手だけを数えるのは片手落ちだろう >>436 おまえ、なぞなぞが科目にある珍しい学校にでも子供を通わせてるのか? そもそも何科の宿題なのか確かめるのが先だろ それとも算数の宿題でなぞなぞ出すような担任か? 別所でしょうもないと言われたので。 高校数学までを範囲と想定した問題 nを自然数とする。数列{a_n}及びa_0を a_0 = 1 , a_n = a_n-1 +3-(-1)^n と、また数列{p_n}を、素数を小さい方から順に並べた数列と定める。 (1) a_n の一般項を1つの式で表せ。 (2) b_n = a_n / p_n と定める。lim[n→∞] b_1 * b_2 * b_3 * ... * b_n-1 * b_n の収束・発散を調べ、収束する場合はその値を求めよ。 前>>417 >>436 ワンマンバスの場合、 15-7+1=9 9人 自動運転の場合、 15-7=8 8人 100gの重りがn個と、100gでない重り(100gより重いか軽いかは分からない)が1個ある。 天秤を2回だけ使って、100gでない重りを確実には見つけられないようなnのうち、 最小のものを求めよ。 きのうVIPに貼られてた問題 √(1+√(2+√(3+√(…)))) を求めよ。 おそらく解析的には解けない 似たような式として、黄金比の値 φ について φ=(1+√5)/2=√(1+√(1+√(1+√(…)))) また、Wikipediaにあるラマヌジャン発見の式 3=√(1+2√(1+3√(1+4√(…)))) を変形すると 3=√((1!)^2+√((2!)^2+√((3!)^2+√(…)))) 元のスレでは誰かが =e と予想していたが 誰も計算せずスレが落ちた >>449 Nested Radical Constant √{1 + √{2 + √{3 + ・・・・ + √n}・・・} ≒ 1.75793275661800 - exp(6.15 - 2.16n), >>446 φ = √(1+φ) は φφ = 1 + φ, で簡単に解ける くだらない質問です ジョーカーを入れたトランプ54枚 これをシャッフルしたとき同じ数字が二枚以上連続する確率は? これ実際やるとほぼ100%で何かしらが連続するので ずっと気になってました。 分かる方よろしくお願い申し上げ >>455 さて、これは面倒な問題。 基本的な計算方法はわかるが、実際に計算しようとすると場合わけが複雑になるパターン。 計算機を使った方が良い。 定式化:C[1]からC[54]までに1から13までの数字を4つずつと、14から15までの数字を1つずつ(ジョーカー2枚に相当)とを、無作為に振り分けるとき、 1≦i≦53のいずれかのiで、C[i]=C[i+1]となる確率はいくつか? 返答ありがとうございます! お答えいただいても頭が??ですw >>456 さて、求める確率は p = P(∃i C[i]=C[i+1]) なのだが、 手始めに i をどこか1か所に固定してしまって、 P(C[1]=C[2]) のようなものを考えた場合、これは簡単に求まる。 C[1] が1から13までの数字のいずれかである場合、C[2] は、残り53通りの可能性のうち、3通りで C[1] と等しくなるので、 P(C[1]=C[2]) = (52/54) * (3/53) = 26/477 この条件は、すべての 1≦i≦53 において同様なので、 P(C[i]=C[i+1]) = (52/54) * (3/53) = 26/477 1≦i≦53のいずれかのiで、C[i]=C[i+1]となる確率を求めたいので、これらの和を取ると… Σ[1≦i≦53] P(C[i]=C[i+1]) = 53 * (52/54) * (3/53) = 26/9 となり、1より大きくなる この和が1を超えてしまうのは、異なる i1 と i2 で P(C[i1]=C[i1+1]) と P(C[i2]=C[i2+1]) の両方に 「C[i1]=C[i1+1] かつ C[i2]=C[i2+1]」の場合を含んでしまっているからであって、そのような重複したケースの確率を差し引く必要がある。 Σ[1≦i1≦53] P(C[i1]=C[i1+1]) - Σ[1≦i1<i2≦53] P(C[i1]=C[i1+1] かつ C[i2]=C[i2+1]) このようにすると、さらに「C[i1]=C[i1+1] かつ C[i2]=C[i2+1] かつ C[i3]=C[i3+1]」の場合を過剰に差し引いてしまうので、これらは加算する必要がある。 これらを繰り返すと、結局確率 p は、 p = P(1≦∃i≦53 C[i]=C[i+1]) = Σ[m=1..53] (-1)^(m-1) * Σ[1≦i_1<..<i_m≦53] P(∧[k=1..m] C[i_k]=C[i_k+1]) のような式で求めることができる。 >>458 P(∧[k=1..m] C[i_k]=C[i_k+1]) の求め方について、 m=1 の場合は先に述べた通り、 P(∧[k=1..1] C[i_k]=C[i_k+1]) = P(C[i_k]=C[i_k+1]) = 26/477 Σ[1≦i_1≦53] P(∧[k=1..1] C[i_k]=C[i_k+1]) = 53C1 * 26/477 = 26/9 m=2 については、P(C[i1]=C[i1+1] ∧ C[i2]=C[i2+1]) となるが、まず、i1+1=i2 と i1+1<i2 の場合に分けて、 P(i1+1=i2 ∧ C[i1]=C[i1+1] ∧ C[i2]=C[i2+1]) = P(C[i1]=C[i1+1]=C[i1+2]) = (52/54) * (3/53) * (2/52) = 1/477 i1+1<i2 の場合をさらに C[i1]=C[i2] と C[i1]≠C[i2] の場合に分けて、 P(i1+1<i2 ∧ C[i1]=C[i2] ∧ C[i1]=C[i1+1] ∧ C[i2]=C[i2+1]) = P(i1+1<i2 ∧ C[i1]=C[i1+1]=C[i2]=C[i2+1]) = (52/54) * (3/53) * (2/52) * (1/51) = 1/24327 P(i1+1<i2 ∧ C[i1]≠C[i2] ∧ C[i1]=C[i1+1] ∧ C[i2]=C[i2+1]) = P(i1+1<i2 ∧ C[i1]=C[i1+1]≠C[i2]=C[i2+1]) = (52/54) * (3/53) * (48/52) * (3/51) = 8/2703 よって、これらの総和を取ると、 Σ[1≦i_1<i_2≦53] P(∧[k=1..2] C[i_k]=C[i_k+1]) = (52C1 * 1/477 + 52C2 * 1/24327 + 52C2 * 8/2703) = 650/159 m=3 について…(つづく) >>459 ここから先は複雑なので計算機を使うのですが、得られた式は 1から13までの各数字nに対して、ワンペア(C[i1]=C[i1+1]=n)の件数を K1, ツーペア(C[i1]=C[i1+1]=C[i2]=C[i2+1])の件数をK2 スリーカード(C[i1]=C[i1+1]=C[i1+2]=n)の件数を K3, フォーカード(C[i1]=C[i1+1]=C[i1+2]=C[i1+3]=n)の件数をK4としたとき、 求める確率=Σ[1≦K1+K2+K3+K4≦13] (P(13,K1+K2+K3+K4) * (-12)^K1 * 12^K2 * 24^K3 * (-24)^K4) / (P(54,K1+2*K2+2*K3+3*K4) * K1! * K2! * K3! * K4!) = 94.9003848140933…% (191135009168054682358110966461550615319823/201405936912143954711242007104140005859375) (P(m,n)=m!/(m-n)!) ひぇ〜 なんかとんでもないことを軽々しく聞いてしまって申し訳ないけど、 積年の謎が溶けて嬉しい限りです ありがとうー! 乱数で1億回シャッフルしてみたら約94.90%と出た 数字はだいたい合ってそう ランダムかつ概算(になっているかもよくわかってないけど)で。 一枚のカード(ジョーカー以外)に注目して、次のカードが同じ数字である確率は、50/53。 ジョーカーが連続になるのはレアだから無視。ジョーカーが最後になるのもレアだから無視ということにすると、 最後以外の51枚の数字のカードには次のカードがあるから、51枚のカードで上記が成り立つためには、(50/53)^(51) というわけで、少なくともどこかで2枚が並ぶ確率は 1-(50/53)^(51)=0.948785... くらい。 いい線いってる? ジョーカーを入れるとか軽はずみでめんどくさいことを言ってすいません…… ないほうがいいですよね?w >>463 1枚のカードに着目して、それがジョーカー以外であり、かつ、次が同じ数字である確率は、(52/54)×(3/53)。 これをもとに概算すると1-(1-(52/54)×(3/53))^53=94.87…% >>464 ジョーカーの有無は式の中の定数が少し変わるだけなのであまり難しさに影響しなさそうよ ジョーカーがない場合(52枚)の確率= Σ[1≦K1+K2+K3+K4≦13] (-P(13,K1+K2+K3+K4) * (-12)^K1 * 12^K2 * 24^K3 * (-24)^K4) / (P(52,K1+2*K2+2*K3+3*K4) * K1! * K2! * K3! * K4!) = 95.45…% 乱数で 10^10 回試行したところ 94.9003…% まで数値が一致 かかった時間5h弱 3615 かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日 学コン8月号Sコース1等賞1位とれました! マジで嬉しいです! 来月からも理系に負けず頑張りたいと思います! https://twitter.com/dy_dt_dt_dx https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 証明問題 「5個の整数が与えられている。 その中の3個を上手く選べば、その和が3の倍数になる。」 1回3.6%で激レアが出るガチャを10回回した確率って 36%なのでしょうか? それとも1-(0.964*0.964*0.964)(略 1引く0.964を10回電卓にかけた数の%なのでしょうか? 教えてください。 >>470 > それとも0.964*0.964*0.964(略 0.964を10回電卓にかけた数なのでしょうか? 1-「1回も出ない確率」だからこれであっている > 36%なのでしょうか? 出る枚数の期待値は0.36枚になる >>471 回答ありがとうございます。 一枚でる確率だったので1-「1回も出ない確率なんですね。 助かりました。 1枚出る確率はそうじゃないぞ 「1-『1回も出ない確率』」で求まるのは1枚以上出る確率 2枚、3枚出る確率も含まれてる >>473 そうなんですね、ありがとうございました。 ある数(a_o)のp乗から0以外の数(y)を引きます。 その結果に −a_o を掛ける一方で、yとpで割ります。 そして、その結果をa_oに加えます。つまり、次式の演算を行います。 {a_o^(p)−y}×(−a_o)/(yp)+a_o この結果(a_1)をa_oの代わりに用いてこの演算を再び行います。 そして、a_1,a_2,a_3,…と繰り返すと、 やがてyのp乗根(正又は負の実根)の極めて精密な近似値となります。 ただし指数(p)が奇数のときは、a_oの正負をyの正負と一致させ、 かつ絶対値が次式の範囲内に存在する必要があります。(偶数のときにはもっと広くとり得る。正負は不問) 0<|a_o|<[p]√{|y|×(p+1)} ([p]√kは、kのp乗根) 長くなりましたので、次のレスで収束速度と精度について補足します。 長文失礼しました。 >>475の続き ほとんどのケースでニュートン法と同じくらいの演算回数で算出されます。 ただし、初期値の絶対値が>>475の第二式の下限又は上限に近いときは、 本方法の方が多くなりやすいようです。 しかし、下限よりある程度大きく真の値より小さいときなどには、 逆に、少なくなりやすいようです。(特に指数が大きいとき) 精度も極めて良いです。(以下、普通の電卓を用います) 指数がよほど大きくない限り、電卓のケタ数と同数のケタ数において、例えば12ケタの電卓であれば、 上位12ケタ(限度内の全ケタ)の数字が全て一致するか、 上位12ケタ目(限度内で末位)の数字のみが(限度内では)1異なります。(2と1.999…9のような境目のケースも含む) まず精度を確かめたければ、電卓のケタ数の半数以上、 つまり上位6ケタ以上の数字が真の値と一致する近似値をa_nとして >>475の演算を一回もしくは二回行えばよいでしょう(指数がよほど大きくない限り)。 長文失礼しました。 x>0 とするとき (x^2020 -x^2 +4)/(x^6 +2) の最小値を求めよ。 2014x^2024 +4040x^2018 +4x^6 -24x^4 -4 = 0, の実根は x。 = ±0.9972618331127334631938246515195619175923 (x^2020 -x^2 +4)/(x^6 +2) ≧ 1.008619375112916534599176779154067780593 (x^2020 -x^2 +3)/(x^6 +2) の最小値を求めよ。 2014x^2024 +4040x^2018 +4x^6 -18x^4 -4 = 0, の実根は x。 = ±0.997120078481544 (x^2020 -x^2 +3)/(x^6 +2) ≧ 0.67341826074836 >>469 3で割ったときの余り (0,1,2) に着目する。 同じものが3個以上あるときは、その3個を選ぶ。 どれも2個以下のときは、0,1,2をすべて含むから、1個づつ選ぶ。 以下、単なる表現練習 命題 半径が1である球に対して、球の中心を通るような平面で切ると断面は半径が1の円にな る。この円周上に、正n角形となるように、円周に点を取ることにする。この方法をn回く りかえして球を切り、それぞれの円周上に、正n角形ができるようにn個の点ととったとき、 円に存在する正多角形の対角線と辺の長さの平方和をすべて合計すると、nの3乗になる。 証明 半径1の円に内接する正n角形の辺および対角線の長さの平方和がnの二乗で表されるこ とがしられている(参考資料参照)。これは、半径が1である球に存在するn個の円のそれ ぞれに対して成り立つので、これにnをかけたものが、球の切断面に存在する正n角形の対 角線と辺の長さの平方和になる。 参考資料 堀部和経、林一雄、早苗史『数学の課題研究 テーマ選びのヒント・・第一集』pp.20-23 命題 半径1の球に対し、任意の平面で切る。その平面と球の中心との距離は √{1^2−(x/2)^2} である 証明 二等辺三角形を考えればわかる。底面をx(0以上2未満)とすると、その高さは √{1^2−(x/2)^2} となるが、これが平面と球の中心との距離である。 これは球を中心を通る平面できったときにも成立する 所要時間の距離化 距離の定義 d(A、B)は任意の実数を示すものとする 次の三条件を満たすものがAとBの距離である 1 d(A,B)は0以上であり、d(A,B)が0になるのはAとBが等しいときである 2 d(A、B)=d(B,A) 3 d(A,C)≦d(A,B)+d(B、C) A=神戸駅、B=大阪駅、C=京都駅とし、d(A、B)を神戸駅と大阪駅を移動する間に かかる時間とする。すると、所要時間を距離として計算できる。 参考資料 堀部和経、林一雄、早苗史『数学の課題研究 テーマ選びのヒント・・第一集』p.52 表現練習 長文失礼 数学の証明について、正しい知識を伝えましょう 問題提起 新井(2009)は数学の証明について以下のように述べている。 数学の対象領域は、(証明なしに正しいと了解できるような)最小限の命題群からなる公理 系によって定義づけられていなければならない。公理系に含まれる公理と論理のみによっ て正しいことが示された命題を定理とよぶ。また、定理であることを示す過程を証明とよぶ。 数理論理学の専門家がこのようなことを書いているのは、数学を専門としない一般の人を 読者に想定したからかもしれないが、このような認識は多くの人が数学の証明について抱 いている考えであるように思われる。 数学の証明について、高等学校の数学までしか勉強しなかったとしたら、この認識に何の疑 問も抱かないのは当然のことと思われるが、事実はこれとは異なるので、せめて、理数系に すすむ高校生などには、もう少し正確な理解をえるように正確に知識を伝えたほうがいい のではないだろうか。 数学の特定の体系 数学の特定の体系とは、基本的に、論理公理+等号の公理+特定の公理系+推論規則と、 そこから推論によってみちびかれる定理のことである。 ユークリッド幾何学もこれに沿ったものと考えられるが、その公理系は現実世界をモデル としたものであり、現在の公理系とは異なっている。現在の公理系は、このような特定の モデルを想定することはないのだ。 ユークリッド幾何学の議論は、新井が述べているような、「証明なしに正しいと了解でき るような」公理から出発するが、現在の公理系ではこれは問題にはされない。真偽が問題 にされるのは、それに対するモデルを考えるときである。 結論 数学の証明について研究が進んだ結果、現代人は証明について古代ギリシャ人たちとはこ となる認識をもつにいたった。これを知らなければ生死にかかわるとか、そういったこと はないが、すくなくとも理系にすすむ人たちには、教養、あるいは理系の常識として、正 確な情報をもっと広く伝えるようにしたほうがいいんじゃないだろうか。 引用文献 新井紀子(2009)『数学は言葉』東京図書 p.184 参考文献 小島寛之(2017)『証明と論理に強くなる』技術評論社 野崎昭弘(2008)『不完全性定理』筑摩書房 pp. 147-204 >>478 下限1 x^2020 - xx - x^2018 +1 = (xx -1)(x^2018 -1) ≧ 0, x^2018 - x^6 - x^2012 +1 = (x^6 -1)(x^2012 -1) ≧ 0, より x^2020 - xx +4 ≧ x^2018 +3 ≧ x^2012 + x^6 +2 > x^6 +2, 最高に美しいおっぱいにそっくりな曲面の方程式を作れ >>475 >>476 f(x) = 1 - η/(x^p) (ηは定数) に対してニュートン法を使ったのですね。その場合は x' - η^(1/p) ≒ -((p+1)/2)・η^(-1/p)・{x-η^(1/p)}^2, なので2乗収束です。 f(x) = (x^p -η)/x^{(p-1)/2}, に対してニュートン法を使えば x ' - η^(1/p) ≒ ((pp-1)/12)・η^(-2/p)・{x - η^(1/p)}^3, で3乗収束になり、速度が改善します。 後者では f "(η^(1/p)) = 0 つまり x=η^(1/p) が変曲点となるので、 直線近似が効果的になるらしい。。。 〔問題〕 a,b,n,p が非負実数のとき |na - pb| ≧ (n-p)(a-b). [不等式スレ10.362] >>492 右辺は絶対値ではありません。念のため。 例: p=a ≠ n=b 前スレが分からねぇ ここ迄が限界 くだらねぇ問題はここへ書け ver3.14(67桁略)4062 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1319117617/ >>478 x≧1 に限れば x^2020 -x^2 +4 ≧ x^10 -x^2 +4 ≧ x^8 + 3 = (4/3){(x^8+x^8+x^8+1)/4 + 2} ≧ (4/3)(x^6 +2), >>480 x≧1 に限れば x^2020 -x^2 +3 ≧ x^8 -x^2 +3 ≧ x^6 +2, 激しくガイシュツ問題の魚拓が見付かったんで此処に挙げさせて頂く。 飽く迄も魚拓なんで別途正規に保管して頂きたし。 激しくガイシュツ問題 https://web.archive.org/web/20181107033930/http ://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.html >>446 ラマヌジャン発見の式を変形すると k+1 = √[1 + k√{1 + (k+1)√(1+・・・・・・・)}], かな? 原油がマイナスの価格がついて話題になっていますが 複素数の価格はあるんですか? 赤玉i個、黄玉j個、青玉k個を2人で分ける。 i_1 + i_2 = i, j_1 + j_2 = j k_1 + k_2 = k, (i,j,k)が i+j+k = 偶数, |i-j| ≦ k ≦ i+j, の条件を満たすとき、 {i_1, j_1, k_1} = {i_2, j_2, k_2} ←集合として同じ とすることができるか? (色違いは許して同数) 500げとー 〔問題〕 a>b>c>0 のとき、次式をヴィジュアルに示せ。 (1) (a+b)(aa-ab+bb) = a^3 + b^3, (2) (1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} = aa+bb+cc -ab-bc-ca, (3) aa(b-c) + bb(c-a) + cc(a-b) = - (a-b)(b-c)(c-a), (4) a^3 +b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c)(aa+bb+cc -ab-bc-ca), (5) (a+b+c)(ab+bc+ca) -abc = (a+b)(b+c)(c+a), (6) (a+b+c)^3 -a^3 -b^3 -c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a), http://suseum.jp/gq/question/3146 [面白スレ32.064,067] 百聞は一見に如かず(?) >>499 i_1 = j_2 =(i+j-k)/2, j_1 = k_2 =(-i+j+k)/2, k_1 = i_2 =(i-j+k)/2, など。(Ravi変換?) まだ早いが次スレのナンバリングどうする? 円周率桁追いに戻す?その場合は ver3.14(69桁略)6286 になる。 それとも標準にする?その場合は part76 になる。 >>494 くだらねぇ問題はここへ書け ver3.14(68桁略)0628 を冠するスレは不在、よって復活後初の当スレが該当、前スレは くだらねぇ問題はここへ書け ver3.14(67桁略)4062 そうけ、了解 過去スレ添付は復活前最終とこの現行を貼っときゃいーな 更にその後のスレはそのスレの前スレだけ貼っときゃ、まんずまんずだんべ [例9-3] 次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか1つは0でなく、 かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。 |a + b√2 + c√3|< 10^(-12), (参考) 秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著: [完全攻略]数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov) 注)鳩ノ巣原理では解けません。 >>505 [1文字変えたら難易度が激変する問題スレ3.173-175] [不等式スレ10.433,438,439] 〔問題4〕 4444^4444 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。 Aの各桁に現れる数の和をBとする。 Bの各桁に現れる数の和をCとする。 Cを求めよ。 IMO-1975 (ブルガリア大会) N=4444^4444 とする。このとき log(N) = 4444 log(4444) = 16210.707879 であるから、Nが10進法で書かれているとき、Nの桁数は 16211 である。 また、Nの各桁に現れる数は9以下であるから、 A ≦ 16211×9 = 145899 となる。 同様の方法で、Aは多くとも6桁であるから、Aの桁に現れる数の和は54 (=6×9)以下ということになり、B≦54 である。 54以下の正整数で、各桁に現れる数の和が最大になるのは49であり、その 値は13である。よって C≦13 である。 一方、この解答の鍵は次の事実を使うことである。 A=72601 これより B = 7+2+6+0+1 = 16, C = 1+6 = 7, 「[完全攻略]数学オリンピック」(1991) p.70-71 飯を食っているときに思いついた問題 私は食事にご飯かパンを食べるがどちらを食べるかは次のルールで決めている。 ご飯を食べた後にサイコロを振り1〜5が出たら次もご飯を食べる。 パンを食べた後にサイコロを振り1〜2が出たら次もパンを食べる。 私は生涯のうちでご飯をどの割合で食べているか期待値を求めよ。 https://twitter.com/KEUMAYA/status/1279219657015062528 これ投票率が100%になったとしても得票の割合的は変わらない印象なのですが どういった原理で無投票の人間が結果をひっくり返すんですか? https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>505 a=96051, b=-616920, c=448258 のとき a + b√2 + c√3 = 3.352882344113・・・×10^(-13) >>510 仮に無投票の人の半分が与党じゃない特定の政党に入れたとしたら、全体の25%くらいになる。 与党は全体の24%くらいだったらしいから、これで逆転できる。 実際はもともと投票してる人たちの何%かはその政党に入れてるからもうちょっと少なくてもいい。 とはいえ2000万人以上の人間を動かすのが簡単とはとても思えない。 2題あるんだが…1題目。 もう5-6年ほども前な。近所の私立の学園で中等部なんだろうな、バス遠足に行くらしい。金持ちの子が多いからそりゃもう豪華なリムジンバスなのよ。 リムジンバスって普通は客席数40くらい。2人がけ席1つを1列として2列(セル数だと4セル)で、長辺の席数が10行くらいかな。 ただ最近は1クラスって人数少ないのね。しかも私立だし。 で、奇数行は荷物、偶数行にガキが乗ってた。実質ガキは5行×4セルしか乗ってない1クラスで20人クラスなのか。 この人数なら2台じゃなくて2クラスを1台に詰め込んでもイケるじゃんね。 ただ、そこで「ん?」と思ったのは2台で各20人と1台に40人詰め込むのと、交通事故にあう確率は同じか、違うか?どちらが安全と言えるか?これが気になる。 ここでバスは2台とも新品、運転手の技量も同等と仮定した場合、何をパラメータにしてどう考えればええんや? 分数の割り算のリクツを甥っ子に説明できない俺のレベルを前提にΣとかの記号より文字数多めで説明してくれ。 2題目。 少子化だな。で、マッマ(以下マ)は12歳で初経が来て閉経が51歳とする。 2歳年上のパッパ(以下パ)は14歳で精通して53歳の今でも出るには出るとする。 計算しやすく、この40年間に限ることとする。 マは健康優良児で月一で順調にタマゴ(以下タ)を生産し、生涯で40*12=480個を生産した。 パは中坊の毎日猿状態を経てその年齢に応じた数のオタマジャクシ(以下オ)を無駄打ちマックしまくった。 参考になる統計が見つからないので、畑、タ、オはいずれも40年間を通じて健康度や数量が一定で妥当っぽい数(特にオの統計が見つからん)の具体的数値を提示して何か代入してくれな。 さて、マパの間には一粒種の中二病反抗期男子がいて荒れている。 ガキ「俺なんかどうせ負け組なんだよっ!」 マ「何言ってんのよ。あんたは生まれた時点で勝ち組なのよ!(以下説明)という計算なんだから、なんとあんたがこの世に出てこられた確率はX分のYなんだからねっ!」 ガキ「ぐぬぬ…」 生産可能期間を40年間と仮定して、 イ:それぞれの要素の妥当っぽい前提条件の値を全て列挙して示せ。 ロ:採用した各前提条件の値による計算式や考え方を示せ。 ハ:最終的な計算結果、X分のYを示せ。 但し、分数の割り算のリクツを説明できない中二病反抗期のガキにわかるようなレベルの説明方法で回答すること。 〔問題〕 2021^2021 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。 Aの各桁に現れる数の和をBとする。 Bの各桁に現れる数の和をCとする。 Cを求めよ。 N = 2021^2021 = 35442113・・・・・274406421 (6681桁) Nの各桁の数の和 A = 30251, Aの各桁の数の和 B = 11, Bの各桁の数の和 C = 2. 〔出題1〕 (x+3y)(x-3y) = xx - 9yy = 8^3, のとき (x + 8(x+3y)^{1/3} + 8(x-3y)^{1/3})^2 = 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 + xy^3]^{1/3} + 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 - xy^3]^{1/3} + xx + 1024, を示せ。 [代数学総合スレ.377-378] (略証) p = (x+3y)^{1/3}, q = (x-3y)^{1/3}, とおくと pq = (xx-9yy)^{1/3} = 8, (左辺) = (x+8p+8q)^2 = xx + 16(p+q)x + 64(p+q)^2 = 16(px+4qq) + 16(qx+4pp) + xx + 128pq = 16p{x +(1/2)q^3} +16q{x +(1/2)p^3} + xx+1024 = 48p(x-y)/2 + 48q(x+y)/2 + xx + 1024 = 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 + xy^3]^{1/3} + 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 - xy^3]^{1/3} + xx + 1024, [代数学総合スレ6.377-378] 市況2板から来たFXトレーダーです。 以下の条件をもとに、トレード回数分実施後の資金を算出する計算式を教えて下さい。 ・初期資金 ・勝率 ・勝ったときの利益率 ・負けたときの損失率 ・トレード回数 ※勝ったときは、増えた資金も含めて次回トレード(例えば1.0万円から1.2万円に増えたら、次は1.2万円でトレード) 負けたときは、減った資金を含めずに次回トレード(例えば1.0万円から0.8万円に減っても、次も1.0万円でトレード) ※破産(資金が0になるケース)は考慮しなくてもよいです。 〔出題2〕 (1) A = √(N+1) + √(N - 1/2) + √(N - 1/2), B = √(N-1) + √(N + 1/2) + √(N + 1/2), とおくとき 3√N > A > B を示せ。 (左側) (二乗平均) > (相加平均) で。 (右側) A - B = {√(N+1) - √(N-1)} - 2{√(N+1/2) - √(N-1/2)} = 2/{√(N+1) + √(N-1)} -2/{√(N+1/2) + √(N-1/2)} > 0, 〔補題1〕 √(N+1/2) + √(N-1/2) > √(N+1) + √(N-1), (略証) g(x) = √(N+x) は上に凸(g " <0)だから √(N+1/2) > (3/4)√(N+1) + (1/4)√(N-1), √(N-1/2) > (1/4)√(N+1) + (3/4)√(N+1), 辺々たす。 または {√(N+1/2) + √(N-1/2)}^2 - {√(N+1) + √(N-1)}^2 = 2{N + √(NN -1/4)} - 2{N + √(NN-1)} = 2{√(NN -1/4) - √(NN-1)} > 0, (右側) g(x) = √(N+x) とおくと A - B = {g(1) + 2g(-1/2)} - {2g(1/2) + g(-1)} = (1/4) g '''(r) (補題2) = (3/32)(N+r)^{-5/2} > 0, 〔補題2〕 g(x) は(-1,1) において3回微分可能 とする。然らば g(1) - 2g(1/2) + 2g(-1/2) - g(-1) = (1/4)g'''(r), -1<r<1 なるrが存在する。 (平均値の定理を3回使う) 〔出題2〕 (2) √2 + √z ≒ y となる自然数 y,z を見つけよ。 --------------------------------- xx - 2yy = -1 ならば (xx +5 -4x)/2 = yy + 2 - (2√2)y - 2(x-y√2) = (y-√2)^2 + 2/(x+y√2), ∴ √2 + √{(xx +5 -4x)/2} = y + 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y, xx - 2yy = 1 ならば (xx +3 -4x)/2 = yy + 2 - (2√2)y - 2(x-y√2) = (y-√2)^2 - 2/(x+y√2), ∴ √2 + √{(xx +3 -4x)/2} = y - 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y, 例) x = ((1+√2)^n + (1-√2)^n)/2, y = ((1+√2)^n - (1-√2)^n)/(2√2), は「ペル方程式」 xx - 2yy = (-1)^n をみたす。 ・xx-2yy = ±1 とする。 z = yy -2x +2 = (y-√2)^2 - 2(x-y√2) = (y-√2)^2 干 2/(x+y√2), とおけば √2 + √z = y 干 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y, | 1/{(x+y√2)(y-√2)} | < 1/{(2√2)(y-√2)^2} → 0 (y→∞) 他にも z' = xx -4y +2 = (x-√2)^2 + (2√2)(x-y√2) = (x-√2)^2 ± (2√2)/(x+y√2), とおけば √2 + √z' = x ± (√2)/{(x+y√2)(x-√2)} + … ≒ x, | (√2)/{(x+y√2)(x-√2)} | < 1/{(√2)(x-√2)^2} → 0 (x→∞) >>509 n回目の食事にご飯を食べる確率 a_n, パンをたべる確率を b_n とすると a_n + b_n = 1, ご飯を食べて次もご飯を食べる確率をp、パンに変える確率を1-pとする。 パンを食べて次もパンを食べる確率をq、ご飯に変える確率を1-qとする。 (1-p)a_n + (1-q)b_n = c_n, p+q-1 = r とおくと c_{n+1} = r・c_n = ・・・・ = r^n・c_1, (-1<r<1) よって a_n = (1-q + c_1・r^{n-1})/(1-r), b_n = (1-p - c_1・r^{n-1})/(1-r), 求める期待値 = (1/N)Σ[n=1,N] a_n ≒ [(1-q)N + c_1/(1-r)]/((1-r)N) → (1-q)/(1-r) (N→∞) = (1-q)/(2-p-q). 遷移行列は T= [p, 1-q] [1-p, q] 固有値: 1 と p+q-1=r, 対角化すると D= [1, 0] [0, r] これをn乗して D^n= [1, 0] [0, r^n] >>525 a_n + b_n = 1, a_{n+1} = p・a_n + (1-q)b_n, b_{n+1} = (1-p)a_n + q・b_n, (0<p<1, 0<q<1) を解く。 nが1つ前の状態だけで決定する。記憶長さ1のマルコフ連鎖 >>485 JR西日本 所要時間(分) 距離(km) 運賃(円) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 神戸〜大阪 31-32(快速) 25(新快速) 33.1km 410円 大阪〜京都 41(快速) 28-29(新快速) 42.8km 570円 神戸〜京都 68-69(快+新) 71(新+新) 75.9km 1100円 ※ 大阪駅で乗換えに8〜9分間かかります。 所要時間も運賃も、3の不等式は成り立ちません。 (参考) 阪急 大阪梅田〜神戸三宮 27分 32.3km 320円 阪神 大阪梅田〜神戸三宮 31分 31.2km 320円 京阪 淀屋橋〜東福寺 51分 46.1km 420円 〔問題〕 平面上の△ABCの辺BC上に点Dをとり、 AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + BD^2 + CD^2, をみたすようにします。 このときDは辺BCの中点Mに限るでしょうか。 数セミ増刊「数学の問題」第2集, 日本評論社 (1978) ●116改 Aから辺BCに下した垂線の足をHとおくと AB^2 = AH^2 + BH^2, AC^2 = AH^2 + CH^2, 辺々たせば与式となる。 点Dは辺BCの中点Mと垂足Hに限るでしょうか。 A(a,h) B(b,0) C(c,0) D(x,0) H(a,0) とおけば AH = h, AB^2 = hh + BH^2 = hh + (b-a)^2, AC^2 = hh + CH^2 = hh + (c-a)^2, AD^2 = hh + DH^2 = hh + (x-a)^2, BD = |x-b|, CD = |x-c|, AB^2 - AD^2 - BD^2 = -2(x-a)(x-b), AC^2 - AD^2 - CD^2 = -2(x-a)(x-c), 辺々たすと 0 = -2(x-a)(2x-b-c), x = a または x = (b+c)/2, D = H または D = M. 〔出題1〕 3つの数列 (x_n) (y_n) (z_n) において初期値は 0 < x_0 < 1, 0 < y_0 < 1, 0 < z_0 < 1, を満たし、かつ、n≧0 に対して漸化式 x_{n+1} = x_n(1-y_n) + y_n・z_n, y_{n+1} = y_n(1-z_n) + z_n・x_n, z_{n+1} = z_n(1-x_n) + x_n・y_n, が成り立つものとします。このとき (1) x_n + y_n + z_n = x_0 + y_0 + z_0, (2) 1-r ≦ x_0, y_0, z_0 ≦ r となる定数 r (1/2≦r<1) がある。 (3) 1-r ≦ x_n, y_n, z_n ≦ r, (4) 兩n = Max{x_n, y_n, z_n} − min{x_n, y_n, z_n} とおくと 兩n ≦ 兩0・r^n, (5) 極限値 lim(n→∞) x_n は初期値 x_0, y_0, z_0 を用いて表わせる ことを示してください。 >>529 3の不等式が成り立たねってこたぁ… JRで 神戸 ⇔ 京都 に行くときは、大阪で改札出た方が安いってこと。 8〜9分もあれば余裕ぢゃね? y=(-1)^x xとyの関係をグラフで表すとどんな感じになりますか なぜ負の数の指数関数と、負の数が底の対数関数は定義されないの >>537 だからその謎を解くには、y=(-1)^x について考えるのも基本だよ >>537 負の数が底の対数関数 たとえばlog(底=−1)1 は 0とは限らずあらゆる偶数はもとより、小数もありとあらゆる値が該当してくる。 答えは無限に出てくる。 たとえばlog(底=−3)1234 の場合 log(底=−3)1234 = (log(底=10)1234)/(log(底=10)−3) となるので分母は存在しない数になる >>534 (1) 与式を足せば x_{n+1} + y_{n+1} + z_{n+1} = x_n + y_n + z_n, (2) r = Max{ x_0, y_0, z_0, 1-x_0, 1-y_0, 1-z_0} とおく。 (3) 与式の意味を考える。 (4) 兩{n+1} ≦ 兩n・r, (5) さて・・・・ 実行列の行列式は、列ベクトル(行ベクトルでもいいが)が張る 平行体のn次元体積を表している 複素行列の行列式は、いったい何を表しているんだろう? 複素行列の行列式の絶対値に関しては |det(A+iB)|=√det(A×e+B×σ) (ここでeは2次単位行列,σは((0,1)(-1,0)),×はテンソル積) という関係があるよね テンソル積の幾何的イメージが湧かないけど (1)sin⁻¹x=6/π (2)cos⁻¹x=3/π (3)tan⁻¹x=6/π となる、xの値を求めよ。 (4)sin⁻¹1 (5)cos⁻¹0 (6)tan⁻¹1 の値を求めよ。 わからなすぎる 肩の数字nは、n回繰り返すという意味ほか、 結果をn乗するという意味にも解せる。 > わからなすぎる 受験数学での三角関数の特例かな? そろそろ廃止してほしいけど、 予備校や参考書版元の利害も絡んでるから 当分変わらんだろうなぁ… 双曲線xy=定数 とx軸とy軸で囲む範囲の面積は、双曲線は0に近づきつつもx軸にもy軸にも交わらないので、無限大の面積である。 では、y=EXP(x) とx軸とy軸で囲む範囲の面積は、曲線はy=0に近づきつつx軸と交わらないが、無限大にはならず1となる。 この謎を説明してください 横の並びを行、縦の並びを列と呼ぶことにして 1から順に以下の様に並べる。 201010101010は何列何行目に配置されるか? 1 3 4 10 11 21 2 5 9 12 20 6 8 13 19 7 14 18 15 17 16 >>879 上からn行目、左からm列目を a[m,n] とおく。 a[m,n] = m + (m+n-1)(m+n-2)/2 (m+n:奇数) = n + (m+n-1)(m+n-2)/2 (m+n:偶数) 逆に s[a] = [ (3/2) + √(2a - 7/4) ] として m[a] = a - s(s-3)/2 -1, (s:奇数) = s(s-1)/2 - a + 1 (s:偶数) n[a] = s(s-1)/2 - a + 1 (s:奇数) = a - s(s-3)/2 -1, (s:偶数) (高校数学の質問スレ407.879) 10月になって、酒税が上がりましたね。 夏場はサントリーブルーが香りがさわやかなんでよく飲んでましたけど。 値上がりです。 量販店のダイレックスさんで、ストロングレモンを買ったりです お酒販売の年齢の指差し確認させられます。 現場猫さんを思い出します、「ストロングレモン・ヨシ」です。 ストロングゼロですよ、ヨシ! 焼酎をストロングゼロで割ると、ゼロで割るヨシ!ですよ。 >>546 1+1/2+1/3+1/4+ ・・・・ は発散して 1+1/2+1/4+1/8+ ・・・・ は定数に収束する。 一次方程式を求めなさい。 @2+3=x×0 A2+3>x×0 二次方程式を求めなさい。(x^2はxの2乗) Bx^2=-1 Cx^2>-1 途中の計算式を分数を使って求めなさい。 C1/2+0 D1/2×0 >>454 1兆円未満だから誤差でしたね^^ 「ケータイ天皇」とお呼びしなければ・・・・ ソフトバンクとロッテは継続し続けて居る日本冒涜CMを訂正し詫びつつ恒久的再発否定を誓約せよ。 GHQ統治時代に治外法権じゃった時期の在日外国人の中でも巨大利権を確保した層による日本冒涜CMしても看過される状態。 儂は右派でも無い(し、左派でも無い)が此れは正されるべきと考える。 >>535 だれもJRでは行かないよ。 阪急(神戸三宮〜河原町)なら 630円 (十三で乗換えて72分、75.2km) JR西 が 1100円なのが不思議(おかしい?) (新快速で 68-71分、75.9km) >13進法 で使う数字を小さい方から0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A J Qとするときπ、ネイピア数、√2を13進法で小数10桁まで表示せよ。 2.9450J026A6 1.55004799J6 π = 3.1AQ1049052 A2Q7025281 10A9507J6A 7AQJ676783 Q973189Q2Q 83722A262J ・・・・ e = 2.9450J026A6 JA18941097 96971905Q8 746849406A 106156JJ06 J159J06JJ2 ・・・・ √2 = 1.55004799J6 2060363210 9A50J5J364 49Q886A400 1QA4441647 7J72AJJ211 ・・・・ (十三進法) ∫xdxのdxはxについて積分しろというのはわかるんですが、dx/duのdxって何やって答えられますか? さらにこのdというのは何やって答えられますか? わかる方教えてください。 https://www.mhlw.go.jp/toukei/list/30-1b.html 毎月勤労統計調査の公表結果の訂正について(令和2年11月13日) [64KB] 11月13日 毎月勤労統計調査の公表結果の訂正について(令和2年11月6日) [450KB] 毎月勤労統計調査の公表結果の訂正について(令和2年10月23日) [266KB] 毎月勤労統計調査の公表結果の訂正について(令和2年9月28日) [394KB] 毎月勤労統計調査(令和2年6月分結果速報)の参考資料の数値誤りについて(令和2年8月27日) [91KB] 毎月勤労統計調査年報−全国調査−(平成30年)におけるe-Stat掲載統計表の一部訂正について [92KB] 毎月勤労統計調査(全国調査)(令和元年分結果確報)の訂正について(令和2年5月21日) [94KB] 毎月勤労統計調査の公表結果の訂正について(令和2年4月14日) [2,603KB] 毎月勤労統計調査地方調査(令和元年6月)の訂正について(令和2年2月14日) [338KB] >>548 a = 201010101010, s[a] = 634052, m[a] = 551317, (列) n[a] = 82735, (行) >>568 ありゃ、リンクが更新されたかまたURL再編しなきゃならんのか 要らん事するなぁ運営は こんな記号‰(パーミル)があるとは知らんかった %は0.0を記号化したもんだったのか 1 % 0.01 10^2 1 ‰ 0.001 10^3 円周率πが3.05より大きいことを証明せよ。 ただし円周率の定義は円の直径に対する円周の比であるものとし、その定義に基づいて証明すること。 難易度云々より、政治的意図を感じる不快極まりない問題。数学に政治を持ち込むな。 とあるところに For all a1, a2, ... infty a1 a2 ... a_{k-1} 1 sigma ------------------------- = --- . k=1 (x+a1)(x+a2)...(x+a_k) x という式が載っていたんだがなんかおかしいような気がする これを正しくするにはどうすればいいのか教えてくだしゃれ >>573 そのままで正しいでしょ 次の式を繰り返し適用してやればいい 1/x = (x+a)/(x+a)x = 1/(x+a) + (a/(x+a))(1/x) 義務教育レベルが怪しい者です。 a=b×c-b×dをcについて解くとなぜ c=(a/b)+d←表記が誤っていたら申し訳ありません。 となるのか分かりません。 お時間あるかた教えていただけませんか。 a=bc-bd. a/b=c-d. c=a/b+d. 回答ありがとうございます。 (bc-bd)×1/b=c-dが理解できておりませんでした。 義務教育レベルができない物でした。 関数は自然数上の関数だけを考えます。 【定義(recursion)】 Aが1変数関数で、Bが3変数関数、Sが後者関数のとき、以下の2つの式で新しい2変数関数Fを定義できる。 F(x, 0) = A(x) F(x, S(n)) = B(x, n, F(x, n)) このとき、関数Aと関数Bからrecursionによって関数Fを得るという。 【定義(iteration)】 Aが1変数関数で、Bが2変数関数、Sが後者関数のとき、以下の2つの式で新しい2変数関数Fを定義できる。 F(x, 0) = A(x) F(x, S(n)) = B(n, F(x, n)) このとき、関数Aと関数Bからiterationによって関数Fを得るという。 【定義(合成)】 A1, A2, … ,Aj がそれぞれi変数関数であり、Bがj変数関数であるとき、新しいi変数関数Fを以下のように定義できる。 F(x1, x2, … , xi)= B(A1(x1, x2, … , xi), A2(x1, x2, … , xi), … , Aj(x1, x2, … , xi)) このとき関数Aと関数Bの合成によって関数Fを得るという。 【定理】 A, B, I, J, K, Lをそれぞれ1, 3, 1, 2, 1, 1変数関数として、特にI(x)=x, K(J(x, y))=x, L(J(x, y))=yを満たすとする。 2変数関数FがA, Bからrecursionによって定義されているとき FはA, B, I, J, K, Lから合成とiteration を有限回適用して定義できる。 (証明) 前提より、次の2式でFが定義されている。 F (x, 0) =A(x) F (x, S (n)) =B(x, n, F(x, y, n)) いまから F (x, n) = F’ (x, n)を満たすF’ をA, B, I, J, K, Lから合成とiterationによって定義する。 まず、α, βという関数をA, B, I, J, K, Lから合成によって定義する。 α (x) = J (I(x), A (x)) β (x, y)=J (K (L (J (x, y))), B (K (L (J (x, y))), K (J (x, y)), L (L (J (x, y))))) 次にα, βからiterationによってGを定義する。 G (x, 0)=α (x) G (x, S(n))=β (n, G(x, n)) するとG (x, n) = J (x, F (x, n))であることがnについての帰納法で示される。 最後にGとLを合成してF’を得る。 F’ (x, n) = L (G (x, n)) するとF (x, n) = F’ (x, n)となっている。 F’ (x, n) = L (G (x, n)) = L (J (x, F (x, n))) = F (x, n) A, B, I, J, K, LからF’を作るのに合成とmixed iteration with one parameter しか使わなかったので題意は示された。 (証明終わり) これはRaphael M. Robinsonの “Primitive recursive functions.” (Bull. Amer. Math. Soc. October. 1947: 925 – 942.)に書いてあります。 たしかに証明でやっているようにα、βを定義して、それらからiterationでGを定義すれば、Gは都合のいい性質を満たしてくれていて、Gから簡単に目的のF’を定義できます。 しかし、証明を追うことはできても発想を理解できなくて釈然としません。 とくにG(x, y)=J(x, F(x, y))を満たすGを得るためにA, BとI, J, K, Lからあのようにα, βを定義するに至った気持ちがわかりません。 「goodtein数列の停止性はPAから独立」とか「ε0までの超限帰納法はPAから独立」とか言われますが これらの命題はPAの言葉で書けるのですか? 知恵袋に聞いたのですが回答が得られなかったのでここで質問します。 x^x+y^y=z^zを満たす自然数x,y,zは存在するか? >>589 さんの考えるように、その方の書き込みが正しい内容だとしても、質問者(相談者)への回答(アドバイス)として適切でないからではないでしょうか 例えば、 『1+1 の解を求めよ』とあるのに、「1+2=3 だ!」と答えたとします。1+2=3 の内容は正しいですが、問題の解答として正しいと思いますか? >>590 その例え話は、上記スレでの多勢側の意見の一つに同じく、ようは「的外れ」ということでしょうが、 小生には未熟者ゆえに理解が及ばないので、具体的にそう考えたポイントも示していただけると助かります。 私の見方は異なります。 ノイズが多くて分かり辛いですが、もしその人の主張が正しいと仮定するなら、 同時にそれは元の質問(命題)や他者の回答は「NO」だという正面切っての答えになっている、と判断しました。 ようするに、命題:A→Bははっきり偽であると。 その上でさらに「補足(アドバイス)」としてその人は、a→Bこそが真である、とも説明している。そう思いました。 なお、前提の事実を端的にまとめるなら、同じく上の方と思しきがここに記している内容になろうかと思います。 https://medaka.5ch.net/test/read.cgi/gamestones/1656072060/11 >>591 ここでの焦点は、書き込み内容の正当性(真偽)ではなく、質問に対しての回答内容として適切かどうかです 正式なルールを知りたい質問者に対し、正式なルールを教えた回答者の書き込みをID:0XHZ/ZyOさんは、 「それは「地の確定」についての説明なので、この話とは微妙に趣旨が異なる上に、 結局のところは「合意次第」なので、やっぱり明確な答えではないように見えるが、まあいい」 と書き込みしてます。これが質問への回答として適切ではない、的外れなどといわれています 回答として適切かどうかは、書き込み内容の真偽と密接にかかわるような気がしますが…。 さておき、最初の私の質問も曖昧で焦点がぼやけて伝わっていたかもしれません。お詫びします。 私の疑問は、その人の「書き込み内容の正当性」こそがまさに焦点でした。 その人が叩かれている理由を知りたかったのではありません。 というわけで、元の相談者に対する回答として適切かどうかは、この際置いておきましょう。 >>591 を事実だと仮定します。この点については、他の人達も反対していないように見えます。 ならば、終局はダメ詰めではなく両者のパスである。 ゆえに"正式なルールとして書かれているかどうかは関係なしに"「ダメ詰め」というのは偽、間違っている。 これならば通じるでしょうか? >>593 「ダメ詰め」というのは偽、間違っている。 とありますが、「間違っているのなら」、つまり、だから、貴方はどうしたいのですか? >>594 その質問の意図がわかりかねますが 私は純粋に、論理的に正しくは何が言えるかを確認したく、回答を求めている所存です。 >>595 論理的に考察するのなら、>>593 『ならば、終局はダメ詰めではなく両者のパスである。』とありますが、 真の終局(両者が石を一切置けない状態)の場合についてまずは考えてみてはいかがでしょうか ※終局の合意 白黒の境界線がはっきりしてきて、これ以上お互いに打ち合っても陣地がつくれない、得になるところもなくなった時点で終局 お互いに「パス」、「終わりましたね」、「終わりですね」というふうに宣言(声をかけ合って)終局 みなみに質問の意図は、この件が正式ルールに抵触するので、ルールを改変したいのかどうか等を聞きたかっただけで、関係なさそうなのでスルーしてください 仰るとおり、『真の終局』というものの考察が重要であり、ややもすると先入観に囚われて本質を見失いがちです。 また「ルールを改変(改良)したいか」と直に問われれば、そこは否定はしません。 自分の最初の書き込みに当初は真面目に返答があるとは思わず、 長々と書き込む場として適切なのかと思って躊躇していましたが、 いくらか関心を頂けたようですので、この辺で私の論理のすべてを打ち明けることにします。 以下興味なければスルーしてください。 まず、囲碁では、「両者が石を一切置けない状態」は、ルール理論上は実はありえません。 このことは違法手の定義により容易に導かれるかと思われます。 『ルール上』で制限している「石を置けない地点(違法手)」は、非常に限定的なのです。 世間一般的には碁の終局について 「境界線がはっきりしたら」「得になるところがなくなったら」 あるいは「ダメ詰め手入れが終わったら」等と説明されます。 ですが、それはルール上の正式な終局の定義には本来なりえないでしょう。 なぜなら、「境界線ははっきりしたか?」「得になるところはもうないか?」「ダメ詰め手入れが終わったか?」は、 対局者自身の戦略的判断(内心)の域を出ないからです。 実際、初心者にとってこれらの判断は決して容易に可能ではないはずです。 (碁の終局はそう単純ではありません。たとえば、『境界』自体は幾何的に定義可能かもしれませんが、 境界が広すぎたり、傷が有ったりすれば、まだ終局になりません。) ならば、それら対局者の内心というのは、客観的にはどのように周囲に示されるでしょうか? それは結局のところ、パス以外にはないということです。 以上の考察から有り体にいえば、 碁の終局は(極稀な例外以外は)常に両者のパスとして定義されるよりなく(それ以外には無理であろう)、 また他の事情にかかわらず、そこには両者の「合意」的な意味も何ら特別でなく含まれるであろう…というわけです。 なお、稀な例外というのは千日手(反復)による無勝負です。 1から37までの37個の整数の中から、 どの2個も差が3以上である7個 (例:2,8,15,18,29,33,36)の選び方は何通りか。 「箱がたくさん,可算無限個ある.箱それぞれに,私が実数を入れる. どんな実数を入れるかはまったく自由,例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし,すべての箱にπを入れてもよい. もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる. 今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが,一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう. どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる. 勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら,あなたの勝ち. さもなくば負け. 勝つ戦略はあるでしょうか?」 >>600 箱に入れるのが実数である限り、箱の開閉に関わらず数をピタリと当てるのはほぼ無理、ほぼ 0 (無限小)といえます しかし、勝つ戦略があるのかの問いかけに対しては「ある」といえます 本文中に「私が実数を入れる」とあるので、「私」からピッタリの実数を引き出す戦略を練ればいいと思います >>601 タイプの女性が太ももをさわさわして耳にフッてすると正解が分かると思います >>603 ↑>タイプの女性 「私」の好みの女性 ↑という意味です。 「私」の好みの女性が「私」に腕を絡めて胸がぎゅって二の腕にくっつくぐらいに接近して耳にフッとか太腿さゎさゎぉ作戦です。 直ぐに引き出せると思います。 007公理系ヒロイン選択お作戦です。 この時、おおかたのケースではヒロインのチェンジは3回まで、としています。 これはかなり強力な作戦で、たいがいの「私」に対して有効です(ホモ以外) >>601 今さら無限小と言い出したかコピペ依存性学習怠慢者 24を素因数分解すると2*2*2*3 このうち平方数となる箇所を割れるだけ割る関数sqdiv(24)=6(2*3)となります iが1から100までsqdiv(i)を求めると sqdiv(i)の2乗和がn以下の数を用いたi*jが平方数となるような個数になるのですがなぜ2乗和をとるのかがわかりません 例えばn=4の時は(1,1),(1,4),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)の6個のi*jが2乗になります sqdiv(i)の個数はn=4のときそれぞれn=1,2,3,4についてそれぞれ[2,1,1,0]で2乗和をとると4+1+1=6とちゃんと答えになっています sum [2,1,1,0]=4=nと一致します [2,1,1,0]という数字は2はsqdiv(1)とsqdiv(4)で2個、sqdiv(2)が1個sqdiv(3)が1個となります 内角二等分のアレの類似な外角二等分のアレ+メネラウスでおしまいだけど、確かに他と比べると難しいね >>598 昇順に並べたものを 1 ≦ a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6 < a_7 ≦ 37 とする。隣合う2項の差が3以上だから b_k = a_k - 2*(k-1), とおく。 1 ≦ b_1 < b_2 < b_3 < b_4 < b_5 < b_6 < b_7 ≦ 25, {1, 2, …, 25} の中から 相異なる7個のbを選ぶ方法は、 C[25,7] = 480700 通り >>572 円に内接する正24角形を考えよう。 1辺の長さLは頂点 (1/√2, 1/√2) と (1/2, (√3)/2) の距離だから LL = {1/√2 - 1/2}^2 + {1/√2 - (√3)/2}^2 = 2 - (√2 + √6)/2, ところで 20√2 = 28.3 - 0.89/(28.3+20√2) < 28.3 20√6 = 49 - 1/(49+20√6) < 49, ∴ LL > 2 - (28.3+49)/40 = 2.7/40 = 27/400, ∴ L > (3√3)/20, 正24角形の一辺より円弧の方が長いことから π > 12L > (9√3)/5 > 28/9 = 3.1111111 * 81√3 = 140 + 83/(81√3 + 140) > 140, 70√2 = 99 - 1/(99+70√2) < 99, 20√6 = 49 - 1/(49+20√6) < 49, LL = 2 - (√2 + √6)/2 > 2 - (99/140) - (49/40) = 19 / 280 > (0.26)^2, ∵ 0.26√280 = √19 - 0.072/(√19 + 0.26√280) < √19, よって L > 0.26 π > 12L > 3.12 CHATGPTに数学を教わっている女子中学生です。 下の問題でCHATGPTがバグってしまって困っています。 学校の図書館には新しい本と古い本があります。 新しい本の数が古い本の数の2倍より10冊多いです。 図書館全体で新しい本と古い本を合わせて210冊あります。 新しい本は全部で何冊でしょうか? 方程式を x+2x+10=210 と設定するのは駄目なの? 式は正しい 解が整数にならないから、問題のほうが悪い >>0618 ありがとう! スッキリしました! CHATGPTは言語モデルっていうくらいだから きっと文系なんだろうと感じました。 大学受験スレや数学動画見てた際に気になったので質問です 問1. m_1,m_2,...,m_nが平方数でない正の整数であるとき, √m_1 + √m_2 + ... + √m_n が有理数となるような組(m_1,m_2,...,m_n)は存在しますか? 多分Noだとは思うんですが, n=1,2,3などの場合はともかく,それ以降は解くことができません わかる方がいたらヒントや証明をお願いします. 問2. 要素の和がちょうど100となるような自然数Nの部分集合はいくつ存在しますか? 3blue1brownの動画で紹介されていた問題の改題です. https://youtu.be/FR6_JK5thCY?si=NBL_meV5hM-kdb6n xxの倍数などは生成関数を使うことで解けますが,xxと等しい場合は同様の解法が使えません. 人力で解ける方法はあるんでしょうか…? #100の倍数 -#200の倍数-#300の倍数-#500の倍数-#700の倍数 +#600の倍数-#1000の倍数+#1400の倍数+#1500の倍数+#2100の倍数+#3500の倍数 ... でいける 求めるものは ・100 を相異なるk個の自然数の和で表わす方法 x1+x2+x3+……+xk = 100, x1<x2<x3<……<xk, (1≦k≦13) ここで y1 = x1, y2 = x2 -1, y3 = x3 -2, …… yk = xk - (k-1), とおくと、 ・nを重複を許してk個の自然数の和で表わす方法 y1+y2+……+yk = 100 - k(k-1)/2 = n, y1≦y2≦y3≦……≦yk, これを制限付き分割数 q_k(n)と云う. q_k(1) = q_k(k) = 1, q_k(n) = q_{k-1}(n-1) + q_k(n-k), より q_1(100) = 1, q_2(99) = 49, q_3(97) = 784, q_4(94) = 5952, q_5(90) = q_6(85) = q_7(79) = q_8(72) = q_9(64) = q_10(55) = q_11(45) = q_12(34) = 905, q_13(22) = 30, これを合計する。 なるほど👏その方法で重複を許すパターンに置き換えて解くんですね とはいえそれでも計算大変で想像してたよりでかい数になりそうですね... 調べていくと分割数は現在も数論の分野で研究されているということで そのことを知るきっかけになれたのは良かったです ありがとうございます! m_1,m_2,...,m_nが平方数でない正の整数であるとき, √m_1 + √m_2 + ... + √m_n が有理数となるような組(m_1,m_2,...,m_n)は存在しますか? tr (√m_1 + √m_2 + ... + √m_n) = 0 >>623 問2. q_1(100) = 1, q_2(99) = 49, q_3(97) = 784, q_4(94) = 5952, q_5(90) = 25337, q_6(85) = 65827, q_7(79) = 108869, q_8(72) = 116263, q_9(64) = 79403, q_10(55) = 33401, q_11(45) = 7972, q_12(34) = 905, q_13(22) = 30, これを合計すると 444793. これらは漸化式 q_k(n) = q_{k-1}(n-1) + q_k(n-k), を満足して,生成関数 (x^k)/(Π[j=1,k] (1-x^j)) = Σ[n=k,∞] q_k(n)・x^n, をもつ。 数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984) p.58 (続き) 要素の数をkとする。 k=1, q_1 = 1. {100} k=2, q_2 = 49. {i, 100-i} (1≦i≦49) k=13, q_13 = 30. {1〜11, j, 34-j} (12≦j≦16) {1〜10, 12, j, 33-j} (13≦j≦16) {1〜10, 13, 14, 18} {1〜10, 13, 15, 17} {1〜10, 14〜16} {1〜9, 11〜13, 19} {1〜9, 11, 12, 14, 18} {1〜9, 11, 12, 15, 17} {1〜9, 11, 13, 14, 17} {1〜9, 11, 13, 15, 16} {1〜9, 12〜14, 16} {1〜8, 10, 11〜13, 18} {1〜8, 10〜12, 14, 17} {1〜8, 10〜12, 15, 16} {1〜8, 10, 11, 13, 14, 16} {1〜8, 10, 12〜15} {1〜7, 9〜13, 17} {1〜7, 9〜12, 14, 16} {1〜7, 9〜11, 13〜15} {1〜6, 8〜13, 16} {1〜6, 8〜12, 14, 15} {1〜5, 7〜13, 15} {1〜4, 6〜14} >>615-616 97^2 - 3*56^2 = 1, (ペル方程式) √3 < 97/56, {(√2 + √6)/2}^2 = 2 + √3 < 2 + 97/56 < 1.93188^2, (√2 + √6) /2 < 1.93188 LL = 2 - (√2 + √6) /2 > 0.068121 = 0.261^2, L > 0.261 π > 12L > 3.132 import Data.List sums [] bs = bs sums (a:as) bs = sums as ( zipWith (+) bs $ ( replicate a 0 ) ++ bs ) main = do print $ zip [0..] $ sums [1..100] $ 1 : replicate 100 0 {- [(0,1),(1,1),(2,1),(3,2),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6),(9,8),(10,10),(11,12),(12,15),(13,18),(14,22),(15,27),(16,32),(17,38),(18,46),(19,54),(20,64),(21,76),(22,89),(23,104),(24,122),(25,142),(26,165),(27,192),(28,222),(29,256),(30,296),(31,340),(32,390),(33,448),(34,512),(35,585),(36,668),(37,760),(38,864),(39,982),(40,1113),(41,1260),(42,1426),(43,1610),(44,1816),(45,2048),(46,2304),(47,2590),(48,2910),(49,3264),(50,3658),(51,4097),(52,4582),(53,5120),(54,5718),(55,6378),(56,7108),(57,7917),(58,8808),(59,9792),(60,10880),(61,12076),(62,13394),(63,14848),(64,16444),(65,18200),(66,20132),(67,22250),(68,24576),(69,27130),(70,29927),(71,32992),(72,36352),(73,40026),(74,44046),(75,48446),(76,53250),(77,58499),(78,64234),(79,70488),(80,77312),(81,84756),(82,92864),(83,101698),(84,111322),(85,121792),(86,133184),(87,145578),(88,159046),(89,173682),(90,189586),(91,206848),(92,225585),(93,245920),(94,267968),(95,291874),(96,317788),(97,345856),(98,376256),(99,409174),(100,444793)] https://ideone.com/FZTUON -} expand してみた。 (1+x^1)(1+x^2)(1+x^3) …… (1+x^100) …… = 1 + x + x^2 + 2 x^3 + 2 x^4 + 3 x^5 + 4 x^6 + 5 x^7 + 6 x^8 + 8 x^9 + 10 x^10 + 12 x^11 + 15 x^12 + 18 x^13 + 22 x^14 + 27 x^15 + 32 x^16 + 38 x^17 + 46 x^18 + 54 x^19 + 64 x^20 + 76 x^21 + 89 x^22 + 104 x^23 + 122 x^24 + 142 x^25 + 165 x^26 + 192 x^27 + 222 x^28 + 256 x^29 + 296 x^30 + 340 x^31 + 390 x^32 + 448 x^33 + 512 x^34 + 585 x^35 + 668 x^36 + 760 x^37 + 864 x^38 + 982 x^39 + 1113 x^40 + 1260 x^41 + 1426 x^42 + 1610 x^43 + 1816 x^44 + 2048 x^45 + 2304 x^46 + 2590 x^47 + 2910 x^48 + 3264 x^49 + 3658 x^50 + 4097 x^51 + 4582 x^52 + 5120 x^53 + 5718 x^54 + 6378 x^55 + 7108 x^56 + 7917 x^57 + 8808 x^58 + 9792 x^59 + 10880 x^60 + 12076 x^61 + 13394 x^62 + 14848 x^63 + 16444 x^64 + 18200 x^65 + 20132 x^66 + 22250 x^67 + 24576 x^68 + 27130 x^69 + 29927 x^70 + 32992 x^71 + 36352 x^72 + 40026 x^73 + 44046 x^74 + 48446 x^75 + 53250 x^76 + 58499 x^77 + 64234 x^78 + 70488 x^79 + 77312 x^80 + 84756 x^81 + 92864 x^82 + 101698 x^83 + 111322 x^84 + 121792 x^85 + 133184 x^86 + 145578 x^87 + 159046 x^88 + 173682 x^89 + 189586 x^90 + 206848 x^91 + 225585 x^92 + 245920 x^93 + 267968 x^94 + 291874 x^95 + 317788 x^96 + 345856 x^97 + 376256 x^98 + 409174 x^99 + 444793 x^100 + 483330 x^101 + …… 虚数の i = SQRT(-1) なのは当たり前のように理解してるのですが 四元数の i, j, k も = SQRT(-1) なのか?という疑問が湧いてます i = j = k になってしまうので xx = -1 を満たす解は何個かあり ±i, ±j, ±k とか書いています。 ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j, などを追加しても一義的には定まらず、 巡回的に入替えられるらしい。。。 4元数体の実軸以外の原点を通る平面を任意に選べばその平面上の4元数体の全体は加法、乗法で閉じるので C と同型になる。 その中に x^2 = -1 の解が二つずつ出てくるので4元数体全体で x^2 = -1 の解は無限にある F(1)=2 F(0)=0 F(-1)=-1/2 で滑らかで単調増加の関数F(x)って どんなのがあるかな❓ 635よりマシな解だけど y=3^x-1 but x=0か1近傍なら正しい >>634 は、出題ミスにしてさ F(1)=2 ∧ F(0)=0 ∧ F(-1)=-2/3 で滑らかで単調増加の関数F(x)は何かな❓ っていう問題にすり替えるとよろしい💃 お絵かきは、キニシナイでください >>637 よ、問題をすり替えるなら、以下のお絵かきの如く F(1)=3 ∧ F(0)=0 ∧ F(-1)=-1/3 で滑らかで単調増加の関数F(x)は何かな❓ だ。チミにはわかるかな❓ ポクは今はマダ解らん。今は F(x) = 2(4^x - 1)/3, ぢゃダメか? ↑ の補足。 c-1/2, c, c+2 が等比数列だと仮定すれば 0 = (c-1/2)(c+2) - cc = (3/2)c - 1, ∴ c= 2/3. >>639 ありがとう。モチロン数学板はポクより天才😺 すいません、健康についての問題なんですが たぶん三角関数の積分で求められると思うんですが解説見ても自信なく 計算の解説と回答をお願い致します 血の中にとけた糖質量(血糖値)が食事後2時間かけてサインカーブの様にゆっくりと上がって下がると仮定します(1時間後が頂点になる) て、2時間あたりの血糖値の積分値が2000mg/dlの場合、血糖値のMax値(1時間後と仮定)は いくらになるのでしょうか?? ∫(サインx+1)dx??? 2000=-cosx+xぐらい検索したのですがそこから頂点までわからなくなりました? 大事な事、書き忘れました 食事前の血糖値は90mg/dlとします。 食事後90mg/dlから上がって1時間後にmax値になり 2時間後に90mg/dlに戻ります >>635 直角双曲線とすると F(x) = 4x/(5-3x), かなぁ。 x<5/3 に限れば単調増加。 漸近線は x=5/3 と y=-4/3. 焦点 ( (5-2√10)/3, (2√10 -4)/3 ) と ( (5+2√10)/3, (-2√10 -4)/3 ) 球の最密充填計算してあーだこーだしてるんだけど プログラミングでは球同士が埋もれて重なることがあるんだわ プログラミングの問題と言えばそうなんだけど なんだかなぁ、、、 プログラミング板で愚痴るべきか、、、 大学以降の数学の知識がないと「2の√2乗が超越数であること」を示すのは困難とききました では、高校数学の範囲内で「2の√2乗が無理数であることを示すこと」は可能なのでしょうか? >>634 3次式 F(x) = x(xx+3x+4)/4, F '(x) = {3(x+1)^2 + 1}/4 ≧ 1/4. … 単調増加。 ↑ の補足 3点を通る2次式は x(5+3x)/4 だけど、 これは x<-1 では単調増加にならない。そこで F(x) = x(5+3x)/4 + k・x(x-1)(x+1)/4 = x(k・xx + 3x + 5-k)/4, とおいてみる。 F(x) が単調増加となる条件は F '(x) = 0 が2つの実解をもたないこと。 F '(x) = (3k・xx + 6x + 5-k)/4, D = (3/2)^2 - 12k(5-k) ≦ 0, 0.69722436 < k < 4.30277564 k = 1, 2, 3, 4 はこれを満たす。 F(x) = x(xx+3x+4)/4, F(x) = x(2xx+3x+3)/4, F(x) = x(3xx+3x+2)/4, F(x) = x(4xx+3x+2)/4, ナール。 と主人は引張ったが「ほど」を略して考えている。 夏目漱石「吾輩は猫である」(1905-1906) ↑ 前の千円札の人 >>634 F(x) = (3+5x)/4 - (3/4)k'{(k'+1)/(k'+xx) - 1} (-1,-1/2) と (1,2) を通る直線 y=(3+5x)/4 は (0,0) を通らない。 そこでローレンツ分布関数を引いて (0,0) も通るようにした。 F(x) は単調増加だから、F '(x)=0 は2実解をもたない。 ∴ (557-40√157)/243 ≦ k' ≦ (557+40√157)/243, 0.229635541375 < k' < 4.35472659854 >>634 F(x) = (3+5x)/4 - (3/4){e^(1-xx) - 1}/(e-1), (-1,-1/2) と (1,2) を通る直線 y=(3+5x)/4 は (0,0) を通らない。 そこで正規分布関数を引いて (0,0) も通るようにした。 F '(x)=0 は実解をもたないから F(x) は単調増加。 球充填問題について書かれた本ってありますか? どの分野の書籍を探せばいいんだろ 線形代数かな? 何か知ってたら教えて下さい かなり古いけど… 一松 信:「パッキングの問題」, 数セミ増刊『数学100の問題』, 日本評論社(1984/Sept) p.27-29 一松 信:京都大学 数理解析研究所 講究録, No.676, p.1-4 (1988/Dec) スローン (町田 元・訳)「球の充填問題」, 『サイエンス』1984年3月号, 日経サイエンス社 J.H.Conway - N.J.A.Sloane "Sphere packings, lattices and groups" Springer-Verlag (1998) N.J.A.Sloane, “The sphere-packing problem”. Documenta Mathematika 3, p.387–396. (1998) F(x) = {(x+1)^c - 1}/2, x≧-1 で単調増加。 c = log(5)/log(2) = 2.3219280948873623478703194294893901758648313930245806120547563958... 三角関数 F(x) = (5x+3)/4 - (3/8){1+cos(πx)}, F '(x) = 5/4 + (3π/8)sin(πx) = 1.25 + 1.1781sin(πx) ≧ 0.0719 ↑をチョト改良? F(x) = (5x+3)/4 - (3/4){(1/√2) + cos(3πx/4)}/(1/√2 + 1), F '(x) = 5/4 + (3/4)(3π/4)sin(3πx/4)/(1/√2 + 1) = 1.25 + 1.03517 sin(3πx/4) ≧ 0.21483 4次元立方体をテセラクトというのはわかったのですが 5次元、6次元と増やしていったときそれぞれの立方体の名前は何というのでしょうか? なんか名前がかっこいいから調べたく思いまして >>644 双曲線なら斜交の方がいい? F(x) = (5/4){x + √(xx +(8/15)^2)} - 2/3, 大学以降の数学の知識がないと「2の√2乗が超越数であること」を示すのは困難と聞きました では、高校数学の範囲内で「2の√2乗が無理数であること」を示すのは可能なのでしょうか? [第1段]:2^{√2} が代数的数であるとする a=2^{√2} とおく 仮定から、aは実数であって、aは実数の代数的数である a=2^{√2} とおいているから log_|a|=√2×log|2| である よって a=2^{√2} から 2^{√2}=e^{√2×log|2|} が成り立つ [第2段]:ところで、1<√2<3/2 だから 2^{√2}<2^{3/2} である また e>2 から log|2|<1 であって、4/3<√2<3/2 だから log|2|<4/3<√2×log|2|<3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}>e^{4/3} である よって、2^{√2}>e^{4/3} を得る [第3段]:故に、log_2|e^{4/3}|<√2 から log_2|e|<3/4×√2 であって、 e<2^{3/4×√2} から 1<3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}<2 である よって、e<3 から 3^{(2√2)/3}<2 であって、3^{2√2}<8 を得る [第4段]:しかし、3^{2√2}>3^2=9 だから、3^{2√2}<8 が得られたことは 3^{2√2}>8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} が超越数ではないとしたことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は超越数である eの近似値や 2<e<3 などの大小関係は高校数学の範囲の筈だから、 超越数の定義が分かっていれば 2^{√2} の超越性も 高校数学の範囲で示せる気がしないでもないんだが… [第3段]:故に、log_2|e^{4/3}|<√2 から log_2|e|<3/4×√2 であって、 e<2^{3/4×√2} から 1<3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}<2 である よって、e^{2√2}<8 を得る [第4段]:しかし、e^{√2}>8^{1/2}=2√2 だから e^{2√2}>8 である 故に、e^{2√2}<8 が得られたことは e^{2√2}>8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} が超越数ではないとしたことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は超越数である >>663 >>664 根本的に間違ってるから無意味 どこにも代数的数であることを使ってないから代数的数を超越数に書き換えれば超越数ではない「証明」になるから間違い >>665 >代数的数を超越数に書き換えれば超越数ではない「証明」になる ゲルフォント・シュナイダーの定理から、そうはならない 体Q上 a=2^√2 のn次の最小多項式を考えても、 その次数が1であることは明らかだから、 結局はaの無理性の証明に帰着する >>668 ゲルフォント・シュナイダーの定理に従えば、そうはならないという事実がある 2^√2 の無理性の証明を高校数学の範囲で証明してもつまらない 2^√2 を互いに素な整数を使って有理数で表して議論していって矛盾を導く可能性が高い 書き換えた「証明」 ------------------------------------------------------------------------------- [第1段]:2^{√2} が超越数であるとする a=2^{√2} とおく 仮定から、aは実数であって、aは実数の超越数である a=2^{√2} とおいているから log_|a|=√2×log|2| である よって a=2^{√2} から 2^{√2}=e^{√2×log|2|} が成り立つ [第2段]:ところで、1<√2<3/2 だから 2^{√2}<2^{3/2} である また e>2 から log|2|<1 であって、4/3<√2<3/2 だから log|2|<4/3<√2×log|2|<3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}>e^{4/3} である よって、2^{√2}>e^{4/3} を得る [第3段]:故に、log_2|e^{4/3}|<√2 から log_2|e|<3/4×√2 であって、 e<2^{3/4×√2} から 1<3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}<2 である よって、e^{2√2}<8 を得る [第4段]:しかし、e^{√2}>8^{1/2}=2√2 だから e^{2√2}>8 である 故に、e^{2√2}<8 が得られたことは e^{2√2}>8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} が代数的数ではないとしたことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は代数的数である >>670 「背理法により 2^{√2} は代数的数である」とあるが 2^{√2} はゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数であることが判明しているので その証明は誤っている >>669 高校の数学教師が高校生に対して「2の√2乗が無理数であることを示せ」という証明問題を出すのは 無理なのでしょうか? >>670 >>673 コピペした証明が間違っている [第1段]:2^{√2} が代数的数であるとする a=2^{√2} とおく 仮定から、aは実数であって、aは実数の代数的数である a=2^{√2} とおいているから log|a|=√2×log|2| である よって a=2^{√2} から 2^{√2}=e^{√2×log|2|} が成り立つ [第2段]:ところで、1<√2<3/2 だから 2^{√2}<2^{3/2} である また e>2 から log|2|<1 であって、4/3<√2<3/2 だから log|2|<4/3<√2×log|2|<3/2×log|2| から e^{√2×log|2|}>e^{4/3} である よって、2^{√2}>e^{4/3} を得る [第3段]:故に、log_2|e^{4/3}|<√2 から log_2|e|<3/4×√2 であって、 e<2^{3/4×√2} から 1<3/4×√2×log|2|、即ち e^{(2√2)/3}<2 である よって、e^{2√2}<8 を得る [第4段]:しかし、e^{√2}>8^{1/2}=2√2 だから e^{2√2}>8 である 故に、e^{2√2}<8 が得られたことは e^{2√2}>8 なることに反し、矛盾する この矛盾は 2^{√2} を代数的数と仮定したことから生じたから、 背理法により 2^{√2} は超越数である 集合Aを A={2^x| xは代数的無理数 } と定義すれば、 Aは区間 [0、+∞) 上のルベーグ測度に関する零集合である 同様に、実数の代数的数全体の集合Bは 区間 (-∞、+∞) 上のルベーグ測度に関する零集合である 2^{√2} を代数的数と仮定すると、同時に2つの零集合A、B上で 議論していって矛盾が得られるようになっているから、正しい >>675 2^{√2} を代数的数と仮定すると A⊂B が成り立つから、零集合A上で議論して矛盾を得る A⊂B → 2^{√2}∈A∪B 零集合A上 → 零集合 A∪B 上 >>672 こういう問題を高校生に出すのは止めた方がいい 多分、出題しても完答できる人は殆どいないと思う 無理性を証明するにしても、乗法的独立の知識は要する 連立方程式で質問です 1個100円のりんごと1個100円の梨を10個1000円分買いました りんごと梨はいくつ購入されたでしょう ってなったとき答えって10通りあると思うんですけど式を解くと0ででてきちゃいます 解き方が間違ってるんでしょうか りんごも梨も少なくとも1つは買ってるなら、9通り? 梨はナシでもいいが、りんごがないのは無しだ? それなら 10通り… >>679 それは連立してないからです 100円が意味をなしてないからです >>659 双曲線 (斜交) 漸近線は y = -2/3 と y = m・x - 2/3, (m=5/2). 焦点 ( ±(8/15)√(2√29)・sin(θ/2), -(2/3) 干 (8/15)√(2√29)・cos(θ/2) ) = ( ±(4/15)√(√29 - 2), -(2/3) 干 (4/15)√(√29 + 2) ) ここに θ = arctan(m), >>678 ありがとうございます やはり高校数学の範囲を逸脱しているのかあ… >>684 2^{√2} が代数的数であるとする a=2^{√2} とおく aは実数の代数的数である 指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、 仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る また、仮定から a^{√2}=2^2=4 であって、(1/a)^{√2}=1/4 である a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である 故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから、2^{√2} は実数の超越数である 実数の超越数は無理数だから、2^{√2} は無理数である 今更だが、有理数(または実数の代数的数)の稠密性を使えば、こういう証明はある >>686 実数体R上、実数の代数的数の全体は加減乗除の演算に関して体をなし、 実数の代数的数は有理数と同様に実数体R上稠密である >>686 実数論の有理数の稠密性も分からない人間に間違いって判定されたくない >この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから >「生じたから」、2^{√2} は実数の超越数である >>684 2^{√2} が代数的数であるとする a=2^{√2} とおく aは実数の代数的数である 指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、 仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る また、仮定から a^{√2}=2^2=4 であって、(1/a)^{√2}=1/4 である a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である 故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから 生じたから、2^{√2} は実数の超越数である 実数の超越数は無理数だから、2^{√2} は無理数である 2^{3/2} が代数的数であるとする a=2^{3/2} とおく aは実数の代数的数である 指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、 仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る また、仮定から a^{2/(3/2)}=2^2=4 であって、(1/a)^{2/(3/2)}=1/4 である a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である 故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる この矛盾は実数 2^{3/2} を代数的数と仮定したことから 生じたから、2^{3/2} は実数の超越数である >>691 2^{3/2} が代数的数であることは確定しているから 2^{3/2} にその論法は通用しない 原理的には、実数論では有理数の加減乗除をもとに無理数を定義して有理数体Qを完備化するのと同様に、 実数の代数的数の加減乗除をもとに実数の超越数を定義して実数の代数的数の全体を完備化出来る その後、実関数について微分積分を展開していくという理論展開も原理的には出来る その考え方を応用しただけ >>691 注意しておくけど、2^{3/2}=2√2 は 有理数体Qに √2 を添加した代数拡大体 Q(√2) に属し、 Q(√2) は超越拡大体ではない こいつ前もおんなじ突っ込み受けてたやつやろ 一ミリも成長してない >>692 2^{√2} が代数的数であるなら>>690 は使えないから >>690 の前に2^{√2} が代数的数でないことを証明しないと >>694 そういう微分積分の理論展開も原理的には出来るから、本でも読んでよく考えてみな 1<r<2のとき2^{r} が代数的数であるとする a=2^{r} とおく aは実数の代数的数である 指数関数 y=2^x は単調増加で正の値を取るから、 仮定から a>2 であって、a^2>4 を得る また、仮定から a^{2/r}=2^2=4 であって、(1/a)^{2/r}=1/4 である a>1 から指数関数 y=(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a>1/4 である よって、4>a>2 であって、2>a>√a>√2 から 4>a^2>a>2 である 故に、a^2>4 と a^2<4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる この矛盾は実数 2^{r} を代数的数と仮定したことから 生じたから、2^{r} は実数の超越数である 有理数体Qに実数の超越数eを添加した超越拡大体 Q(e) の加減乗除をもとに 超越数を定義して Q(e) を完備化することは原理的には出来るが、 このときは超越拡大体 Q(e) を完備化する前に実数の超越数eが既に含まれているので、 体 Q(e) を完備化した後微分積分を理論展開して それを超越性を示すのに応用することは一般には出来ない >>698 と同様なことは、一般に実数体Rの部分体なる超越拡大体についていえる >>697 という訳で、実数の代数的数の全体をAで表わすことにすれば、 体Aの超越拡大体 A(2^{√2}) についても>>698 と同様なことがいえる だから、>>697 の考え方は実数について代数的数か超越数かの判定には適用できない そもそも>>691 の言ってる事が理解できてない時点で数学Aすら理解できてない。 数学Aの時点で自分が落ちこぼれてることすら理解できる知能がない。 >>702 そもそも、>>690 は高校ではなく大学の微分積分に基づいた証明である 数学Aで落ちこぼれてる人間が大学の微積の議論できるはずないやろ そんなレベルの話すら理解できる知能がないんだよ。 >>704 高校の微分積分と大学の微分積分が同じだと思ったら大間違い 高校の微分積分では実数論が幾何的直観に基づいていて曖昧だが、 大学の微分積分では幾何的直観に基づかず実数論をする >>704 第一、高校の微分積分ではε-δ論法をしていないだろ まぁ高木といっしょ 自分の事世紀の天才とでも思ってるんやろ 高校数学の時点で落ちこぼれてるゴミ 指摘が難しすぎるようなので簡単に 4>a>2から2>aは出ない >>707 高校数学は計算が大半を占めていて論理的に曖昧な部分があるから 大学数学を理解するのに高校数学をしっかり理解する必要はない 高校の実数論は、連結な数直線の幾何的直観に基づいているから曖昧である >>709 間違いの指摘をするなら、回りくどい指摘ではなく そのように簡単にしてくれた方が分かり易くてありがたい 高木ということ一緒 おそらく糖質なんやろ 少なくとも高校の段階から知能の向上が止まってっる もっと前かもしれないが >>711 くどくど他人のこというなら、>>690 のような証明に成功してからいってくれ >>710 背理法で証明するなら仮定を使って矛盾を導かなければできないっていう根本的な指摘だよ >>714-715 理解出来ない人間には理解出来ないだろうが、実は>>674 の証明は正しい >>716 >>714 での指摘通り全部間違った証明だよ >>717 元々、微分積分の理論を有理数から無理数を定義したときと同様に 実数論から再構成してから微分積分の理論を再展開し、 それを実数の超越性の証明に応用して示す長い証明である >>716 では結果だけを切り取って書いたから間違いに見えるだけ >>717 実数の代数的数の全体がなす体から実数の超越性を定義して 実数論を再展開するときは最小多項式の次数や ディオファンタス近似などを使う必要があって、 有理数から無理数を定義した実数論とは様相が全く違う >>674 では集合 A={a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい代数的数 } と 実数の代数的数の全体がなす体Bの共通部分 A∩B が空集合であることを示した方が速い 実数の代数的数の全体がなす体から実数の超越性を定義して 実数論を再展開して微分積分の理論を再展開しても、 その再展開した微分積分は従来の微分積分と殆ど同じで、 再展開した微分積分には殆ど使い道がなく意味は殆どないだろうから、 >>674 では結果だけを切り取って書いた 4/3=1.3333333333<0.9802581434=sqrt(2)log(2). [第1段]:集合Aを A={a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい実数の代数的数 } と定義する。Bを実数の代数的数の全体がなす体と定義する 集合Aと体Bの共通部分 A∩B について、A∩B≠∅ と仮定する 集合Aと体Bの定義から、或る代数的無理数x、或る a>1 なる a∈B が存在して、 a^x∈A∩B であって、A∩B⊂B だから a^x∈B である nを a^x の最小多項式の次数とする Case1):n≧2 のとき。このとき、a^x はn次の代数的無理数だから、 リウビルの定理より a^x に対して或る c>0 なる実数cが存在して、 両方共に任意の整数p、q p≧1 に対して、|a^x−q/p|>c/(p^n) である また、無理数 a_x を連分数展開して考えれば、a^x に対して可算無限個の 既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して |a^x−q'/p'|<1/(p')^2 が成り立つ よって、a^x に対して可算無限個の既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して c/(p')^n<|a^x−q'/p'|<1/(p')^2 であって、 c/(p')^{n-2}<(p')^2|a^x−q'/p'|<1 即ち (p')^2|a^x−q'/p'|<1 である 故に、既約分数 q'/p' p'≧2 について分母の p' が p'→+∞ と+∞に発散させて 既約分数 q'/p' p'≧2 を取れば、或る既約分数 q'/p' p'≧2 が取れて 既約分数 q'/p' p'≧2 は (p')^2|a^x−q'/p'|≧1 を満たし矛盾が生じる Case2):n=1 のとき。このとき、a^x は正の有理数だから、 a^x に対して両方共に或る互いに素な整数 p、q p≧1 が存在して a^x=q/p である また、仮定からxは代数的無理数である。 xの最小多項式の次数をmとすると、m≧2 であってxはm次の代数的無理数である よって、Case1)の議論におけるnをmで、a^x をxで、それぞれ書き換えて Case1)と同様な議論を繰り返せば、矛盾を得る Case1)、Case2)から、起こり得るすべての場合について矛盾が生じる この矛盾は、A∩B≠∅ と仮定したことから生じたから、背理法により A∩B=∅ である [第2段]:よって、AとBの各定義から、Aに属する実数の代数的数は存在しない 故に、Aの定義から、任意の1より大きい実数の代数的数a、 任意の代数的無理数xに対して、a^x は実数の超越数である [第3段]:故に、任意の正の代数的数a、任意の代数的無理数x に対して、a^x は実数の超越数である [第4段]:√2 は代数的無理数なることに注意すれば 2^{√2} は実数であって超越数である 訂正: [第3段]:任意の正の代数的数a → 任意の1とは異なる正の代数的数a [第1段]のCase1)の最後の行の補足: (p')^2|a^x−q'/p'|≧1 → (p')^2|a^x−q'/p'|≧1>(p')^2|a^x−q'/p'| xは代数的無理数であるというだけで矛盾するってことは 代数的無理数は存在しないってことになるんだが [第1段]:集合Aを A={a^x| xは代数的無理数、aは1より大きい実数の代数的数 } と定義する。Bを実数の代数的数の全体がなす体と定義する 集合Aと体Bの共通部分 A∩B について、A∩B≠∅ と仮定する 集合Aと体Bの定義から、或る代数的無理数x、或る a>1 なる a∈B が存在して、 a^x∈A∩B であって、A∩B⊂B だから a^x∈B である nを a^x の最小多項式の次数とする Case1):n≧2 のとき。このとき、a^x はn次の代数的無理数だから、 リウビルの定理より a^x に対して或る c>0 なる実数cが存在して、 両方共に任意の整数p、q p≧1 に対して、|a^x−q/p|>c/(p^n) である また、無理数 a_x を連分数展開して考えれば、a^x に対して可算無限個の 既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して |a^x−q'/p'|<1/(p')^2 が成り立つ よって、a^x に対して可算無限個の既約分数 q'/p' p'≧2 が存在して c/(p')^n<|a^x−q'/p'|<1/(p')^2 であって、 c/(p')^{n-2}<(p')^2|a^x−q'/p'|<1 即ち (p')^2|a^x−q'/p'|<1 である 故に、既約分数 q'/p' p'≧2 について分母の p' が p'→+∞ と+∞に発散させて 既約分数 q'/p' p'≧2 を取れば、或る既約分数 q'/p' p'≧2 が取れて 既約分数 q'/p' p'≧2 は (p')^2|a^x−q'/p'|≧1>(p')^2|a^x−q'/p'| を満たし矛盾が生じる Case2):n=1 のとき。このとき、a^x は正の有理数だから、 a^x に対して両方共に或る互いに素な整数 p、q p≧1 が存在して a^x=q/p である また仮定から、aは代数的数だから、aの最小多項式の次数をmとすれば、 m≧1 であってaはm次の代数的数である Case2-1):m≧2 のとき。このとき、aはm次の代数的無理数であって、 Case1)の議論におけるnをmで、a^x をaで、それぞれ書き換えて Case1)と同様な議論を繰り返せば、矛盾を得る Case2-2):m=1 のとき。このとき、aは1より大きい正の有理数だから aに対して両方共に或る互いに素な整数 p''、q'' p''≧1 が存在して a=q''/p'' である よって、(q''/p'')^x=q/p であって、q≧1 から (q''/p'')^x・(p/q)=1 である しかし、仮定からxは代数的無理数だから、1とxは有理数体Q上1次独立である また、有理整数環Zは体Q上の単位元1を含む単位的部分環である 故に、環Z上の加群を考えれば、(q''/p'')^x・(p/q)≠1 であって、矛盾が生じる Case2-1)、Case2-2)から、n=1 のときにすべての起こり得る場合について矛盾を得る Case1)、Case2)から、すべての起こり得る場合について矛盾が生じる この矛盾は、A∩B≠∅ と仮定したことから生じたから、背理法により A∩B=∅ である [第2段]:よって、AとBの各定義から、Aに属する実数の代数的数は存在しない 故に、Aの定義から、任意の1より大きい実数の代数的数a、 任意の代数的無理数xに対して、a^x は実数の超越数である [第3段]:故に、任意の正の代数的数a、任意の1とは異なる代数的無理数x に対して、a^x は実数の超越数である [第4段]:a=2、x=√2 のとき。√2 は代数的無理数なること に注意すれば 2^{√2} は実数であって超越数である [第3段]について 任意の正の代数的数a、任意の1とは異なる代数的無理数x → 任意の1とは異なる正の代数的数a、任意の代数的無理数x 〔問題〕 a,b,c を正の整数とし、1≦a<b<c とする。 M = 1 + 3^a + 3^b + 3^c が立方数となるような (a,b,c) の組は無数にあることを示せ。 ・高校数学の質問スレ_Part432 - 883 有理数と無理数はどちらも無限大に存在するが、仮に有理数と無理数を同数無限大に出尽くしたとしても、更に無理数のほうが多く存在することを証明せよ 有理数を小数で表わすと、 有限桁で切れるか又は循環小数となる。 その循環節の間に1桁ずつ数字を挟もう。 たとえば 3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,… の 第k項、k+L項、k+2L項、…は循環しないので、 それらを挟んでいくと、すべて無理数になる。 (k, L) の取り方は無限にあるから、 1個の有理数が無限個の無理数に対応する。。。 >>733 (a, b, c) = (n+1, 2n+1, 3n) M = (1+3^n)^3, 面白スレ43問目 318-319 一つの無理数、たとえばπにたいして有理数は3、3.1、3.14、3.141、...って無限にあるけど 有理数も無理数もどちらも無限大でいいんじゃね 〔問題104〕 ∫[0,π/2] sin(x)/{1+√sin(2x)} dx を求めよ。 高校数学の質問スレ_Part434−104,117 x ⇔ π/2−x の対称性から (与式) = (1/2)∫[0,π/2] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx = ∫[0,π/4] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx ここで cos(x)−sin(x) = sin(t), −(sin(x)+cos(x)) dx = cos(t) dt, とおく。 (与式) = ∫[0,π/2] cos(t)/(1+cos(t)) dt = ∫[0,π/2] {1−1/(1+cos(t))} dt = ∫[0,π/2] {1−1/[2cos(t/2)^2]} dt = [ t−tan(t/2) ](0→π/2) = π/2 − 1. ∫1/(1+cos(t)) dt = sin(t)/(1+cos(t)) = (1-cos(t))/sin(t) = tan(t/2), (参考書) 森口・宇田川・一松 (著)「数学公式I」岩波全書221,新装版 (1987) 第W篇, 第3章, §40, p.187-192 素因数分解のプログラムを作成予定です。 これを1時間で解けたら世界トップクラスなど、処理速度を評価する目安があれば教えてください。 〔問題336〕 ∫ (cos x)/(cos x + sin x) dx を求めよ。 高校数学の質問スレ_Part434−336,356 1/(1+tan x) = (cos x)/(cos x + sin x) = {1 + (−sin x + cos x)/(cos x + sin x)}/2 = {1 + (cos x + sin x) ' /(cos x + sin x)/2, より ∫ 1/(1+tan x) dx = {x + log|cos x + sin x|}/2, x - π/4 = y とおけば 分母は (√2)cos y ゆえ、 積分すべきは (1/2)(tan y) と定数になる。 本当にくだらねぇ質問だと感じるとは思いますが、 https://pachimaga.com/free/column/9efd320cf25de1bb99db35ed171b50e9fbdd0094.php ST中に当たる確率は =1-(1-1/99.4)^163=0.807593 ≒80.76% これを確率分母に掛ける。 =99.4✕0.807953 =80.2748回 残り保留4個分も含めると81.0408回となる(残り保留の計算方法については次回具体的に説明する) とありますが、次回の具体的説明というのが無かったので何故保留4個を含めると80.2748が81.0408になるのかがわかりません。 これはどんな計算で求めているのでしょうか? あっと、確率分母にかけるとこの数値はミスってますね 99.4×0.807593がただしい 〔問題829-改〕 一辺の長さが2の正三角形ABCがある。 その内接円の内部or周上に点Pをとる。 このとき積 AP・BP・CP の最大値を求めよ。 高校数学の質問スレ_Part434 - 829 内接円の半径r = 1/√3, 内心Iのまわりの極座標を ρ, φ とすると 0 ≦ ρ ≦ r, AP・BP・CP = √{(64/27 + ρ^6) + 2(8/√27)ρ^3・cos(3φ)}, 最大値 9/√27 = √3 (ρ=1/√3, φ=0) 中央値 8/√27 (ρ=0) 最小値 7/√27 (ρ=1/√3, φ=±60°) 〔問題883-改〕 一辺の長さが1の正三角形ABCがある。 その外接円の周上に点Qをとる。 このとき和 AQ+BQ+CQ の取りうる値の範囲を求めよ。 高校数学の質問スレ_Part434 - 883 外接円の半径 R= 1/√3, 外心Oのまわりの方位角を θ とすると ∠AOQ = 60°−θ, ∠BOQ = 60° +θ, ∠COQ = 180°−θ, AQ + BQ + CQ = 2R{sin(30°−θ/2) + sin(30°+θ/2) + sin(90°−θ/2)} = 2R{cos(θ/2) + cos(θ/2)} ← 和積公式 = 4R cos(θ/2), 最大値 4/√3 (θ=0) 最小値 2 (θ=±60°) ↑ A: 60° B: −60° C: 180° Q: θ (-60°≦θ≦60°) とした。 ↑ θ/2 方向の単位ヴェクトルをeとすると、 ↑OA・e = R cos(60°−θ/2) = R sin((60°+θ)/2) = BQ/2, ↑OB・e = R cos(60°+θ/2) = R sin((60°−θ)/2) = AQ/2, ↑OC・e = −R cos(θ/2) = −R sin(90°−θ/2) =−CQ/2, これと ↑OA +↑OB +↑OC = ↑0 から BQ + AQ −CQ = 0, ∴ AQ + BQ + CQ = 2CQ. そしたら、これ a^n+b^m=2024となるような自然数の組(a,b,n,m)を全て求めよ。 うむ。確かに くだらねぇ。 特に n=1 や m=1 も含めた くだらなさが 際立ってるね。 もし n≧2, m≧2 にしたら 良問になりそうだから禁止ですね。 (a,b,n,m) (41,7,2,3) (7,41,3,2) (32,10,2,3) (10,32,3,2) (10,4,3,5) (4,10,5,3) m,n≧2に制限してもくだらない そう思えないなら感覚が狂ってる >>757 (10,2,3,10) (2,10,10,3) read.cgi ver 07.5.1 2024/04/28 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる