面白い問題おしえて～な 30問目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
この物語は、ある数学者の借金滞納に闘いを挑んだ熱血債権者たちの記録である。
実業界において全く無名の弱体債権者が、最後の一念で屈強な暴力団を雇い、わずか数日でワイン浣腸制裁を
成し遂げた奇蹟を通じて、その原動力となった不屈の執念を、余すところなくドラマ化したものである。 「面白い問題おしえて～な」からお願い
・数学的知識よりも発想の転換やひらめきが必要な問題
・見た目に面白い問題
・解法に目から鱗が落ちるような問題
をお願いします。
[面白スレ２問目.001] 楕円Eをx^2/9+y^2/16=1とし、焦点の一方Fをとる。
楕円の内部の点Pを一様分布で選ぶ時FPの長さの期待値を求めよ。 あ、数値設定間違った。
ま、いいやw
出るのは出るし。 >>4
(1/3)(1/4)/(1/4+1/3)=1/7
勘で。 じゃ、俺も直感だけでトライしてみる。
円の場合、OPの期待値は半径の2/3なので、
長半径の2/3でE[FP]=8/3に１００ペリカ。 ハズレ。
用意してる解答では2/3は出てきますが‥‥ 長半径 a = 4,
短半径 b = 3,
離心率 ε= √(aa-bb) / a = (√7)/4,
焦点 F (0,√7) F'(0,-√7)
これを使って計算すると、
E[FP] = 3.035172
上半分の平均 1.964777
下半分の平均 4.105566 長半径 a = 4,
短半径 b = 3,
離心率 ε= √(aa-bb) / a = (√7)/4,
焦点 F (0,√7) F'(0,-√7)
これを使って計算すると、
E[FP] = 3.035172
上半分での平均 1.964777
下半分での平均 4.105566 E[FP] = (8π +60 -10/π)/27 = 3.035171939514
上半分での平均 (9π +20 +15/π)/27 = 1.964777117595
下半分での平均 (7π +100 -35/π)/27 = 4.105566761433 x が正の有理数であるとき、x = (i=1~n) 1/a_i を満たすような相異なる n 個の自然数の組 a_1, a_2, ... , a_n が必ず存在することを示せ。 x = p/q = Σ[i=1～p] 1/q, (17字) 13だけど、今PCから見たらΣ表示されてないので念のため追記
誤 x = (i=1~n) 1/a_i
↓
正 x =Σ (i=1~n) 1/a_i >>11
ハズレ
答えは有理数値になります。
下がメッシュ法で力業で近似値出す方法。
実行すれば答の近似値でます。
理論値と合ってます。
Prelude> let {a=4;b=3;c=(sqrt$a^2-b^2)}
Prelude> let isIn x y = (x^2/a^2) +(y^2/b^2)<1
Prelude> d x y = sqrt $ (x-c)^2 + y^2
Prelude> let ds = [d x y | x<-[-a,(-a+0.01)..a],y<-[-b,(-b+0.01)..b], isIn x y] in (sum ds)/(fromIntegral $ length ds) >>13
x = p/q とする。(gcd(p, q) = 1)
q = ps + r とすると、(sは自然数、0 < r < q)
x = 1/(s+1) + (p-r)/{q(s+1)}
p' = p-r (<p)
q' = q(s+1)
としてこの操作を繰り返していけば、いずれ分子は1となる。 >>11 >>12
E[FP] = 13/4 = 3.25
上半分での平均 π -2 +7/(3π) = 1.884315721352
下半分での平均 -π +17/2 -7/(3π) = 4.615684278648 >>18
不十分です
例えばxが2以上の整数の時その方法は無効 ∪Ci=R^2なるdisjointな円周の組みI={Ci}があるとする。
Diを周がCiである円盤としIにCi≧Cj ⇔ Di⊂Dj で順序を入れる。
WをIのwell ordered subsetとする。
C0∈Pを選びW^ = {Di | Ci∈W、Ci≧C0}とすればW^は有限交差性を持ち、すべての元はD0のsubsetだから∩[W^]Diは空でない。
P∈ ∩[W^]Diを選びP∈CjをとればCjはWの上界である。
以上によりIは帰納的順序集合とわかるからZornの補題により極大元Cmをもつ。
この時Cmの内部の点は全てのCiに含まれる事ができない。 >>4
の用意してた解答。
Fを極とする楕円の極方程式は
r=d/(1-e cos(θ)) (d=b^2/a、e=c/a)。
微小領域 a<θ<a+ΔにおけるFPの平均値は(2/3)r(a)+O(Δ)。
微小領域の面積は(1/2)r(a)^2Δ+O(Δ^2)であるから
E(FP)=∫(1/3)d/(1-e cos(θ))^3 dθ/(πab)=13/4。 >>22
横レス
>>18
x>1 のとき、ある自然数Sについて
1 + 1/2 + ････ + 1/S < x < 1 + 1/2 + ････ + 1/S + 1/(S+1),
(もし等号が成立したら終了)
x = p/q, (0<x<1、S=0)
x - (1+1/2+････+1/S) = p/q, (x>1)
とする。
0 < p/q < 1/(S+1),
gdc(p,q) = 1 としてもよい。
q > p(S+1),
q = ps + r = p(s+1) - (p-r) とする。(s≧S、0<r<p)
q(s+1) で割ると
p/q = 1/(s+1) + (p-r)/{q(s+1)} = 1/(s+1) + p'/q'
ここに
p' = p-r (<p),
q' = q(s+1), >>26
そっか
x>1でも貪欲でよかったのか
分母がダブるものとばかり…ひどい勘違い >>25
r = d/(1-e･cosθ) = a(1-ee)/(1-e･cosθ),
d = a(1-ee) ････ 通径
(r/a)^3 = {(1-ee)/(1-e･cosθ)}^3 = (1/2)e(1-ee){-2e +cosθ +e(cosθ)^2}/(1-e･cosθ)^3
+ (3/2)e(1-ee)(cosθ-e)/(1-e･cosθ)^2 + (1/2)(1-ee)(2+ee)/(1-e･cosθ),
不定積分は
∫{(1-ee)/(1-e･cosθ)}^3 dθ = (1/2)e(1-ee)sinθ/(1-e･cosθ)^2
+ (3/2)e(1-ee)sinθ/(1-e･cosθ) + (2+ee)√(1-ee)･arctan(√{(1+e)/(1-e)}･tan(θ/2))
-π<θ<π で積分すると右辺1，2項は周期性で消え、arctan はπずれる。
∫[-π,π] (1/3)r^3 dθ = (1/3)(a^3)･π(2+ee)√(1-ee),
これを楕円の面積 πab = πaa√(1-ee) で割ると
E(FP) = (a/3)(2+ee), ee = 1 - (b/a)^2,
E(FP) = (aa-bb/3)/a,
a=b (円)のときは
e=0, E(FP) = (2/3)a, 0<e<1に対し
c[k]=∫[-π,π](1-e cosθ)^(-k)dθ
とおく。
|t|が十分小さい時に
Σ[k=0,∞]c[k]t^k
を求めよ。 |t| < 1-e とする。
c[0] = 2π,
Σ[k=1,∞] c[k] t^k = ∫[-π,π] t/(1-t-e･cosθ) dθ
= [ (2t/√{(1-t)^2 -ee})･arctan(√{(1-t+e)/(1-t-e)}･tan(θ/2)) ](θ=-π,π)
= 2πt /√{(1-t)^2 -ee}, 任意の二つの滑らかな閉曲面上には平行移動、回転をして一致するような閉曲線がそれぞれに描けることを示せ エジプト分数の流れで。
a[1] = 2
a[n+1] = a[1]a[2]…a[n] + 1
で数列{a[n]}を定める。
この時、
Σ[n=1 -> ∞]1/a[n]
を求めよ。 >>35
特にないです。
勉強してたら、あ、計算できるなぁと気づいたので。 >>36
曲面はどれくらいの事が仮定できるの？
ずらして重なり部分考えるんだろうけど、単に二次元連続多様体二つの重なり部分が閉曲線の和に必ずなるといえるとは思えない。 >>38
あ、今思い出した。
∫1/(1-e cos x)^ dx
の話はケプラー問題とかBessel関数の勉強してた時に山ほどでてきてその時ちょっと勉強しました。 >>37
Σ[k:1～n]1/ak=1-1/Π [k:1～n]ak
を示す。
n=1で容易。
n=Nで正しいとしてn=N+1のとき
Σ[k:1～n]1/ak
=1-1/Π [k:1～n-1]ak+1/an
=1-1/Π [k:1～n-1]ak+1/(Π [k:1～n-1]ak+1)
= 1-1/Π [k:1～n-1]ak(Π [k:1～n-1]ak+1)
= 1-1/Π [k:1～n]ak。
よって求める極限は1。 >>41
でもサードの定理にしたって可微分性くらいは仮定してるからなぁ。
単なる連続関数だけだと病的なのいくらでもあるから重なり部分が閉曲線の和になるとか簡単に示せるととても思えない。 >>42
正解です
ちなみに有限項で止めるとn項で表せる1のもっとも良いエジプト分数近似となります >>37 より
a_{k+1} -1 = a_k (a_k -1),
1/a_k ＝ 1/(a_k -1) - 1/(a_{k+1} -1),
Σ[k=1,n] 1/a_k = 1/(a_1 -1) - 1/(a_{n+1} -1),
>>42 と同じだが。 >>39
>>41
>>43
「滑らか」が曖昧でしたかね
C^∞を仮定してます >>32
|t| < 1 とする。
Σ[k=0,∞] c[-k] t^k = ∫[-π,π] 1/{1-t(1-e･cosθ)} dθ
= [ (2/√{(1-t)^2 -(et)^2})･arctan(√{(1-t+et)/(1-t-et)}･tan(θ/2)) ](θ=-π,π)
= 2π/√{(1-t)^2 -(et)^2},
c[1] = 2π/√(1-ee),
c[0] = c[-1] = 2π,
c[-2] = (2+ee)π,
c[-3] = (2+3ee)π, >>26
例) x=1
自明な解
x = 1/1,
貪欲算法 (フィボナッチ=シルヴェスターのアルゴリズム) による解
x = 1/2 + 1/3 + 1/6,
分母が奇数のみで、項数が最小(9)の解 ････ 5通りある。
x = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/15 + 1/35 + 1/45 + 1/231,
分母が奇数のみで、最大分母が最小(105)の解
x = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/33 + 1/35 + 1/45 + 1/55 + 1/77 + 1/105, >>46
閉曲面MがC^∞とはM自身C^∞級多様体で埋め込みもC^∞級というだけ？
次は仮定できる？
Mの任意の点PのR^3での近傍Uで定義された滑らかな関数fが存在して
M∩U = f^(-1)(0)
が成立する。
前者の条件満たすけど後者の条件は満たさない例があるので困ってるんだけど。
後者の条件満たさないで前者の条件しか満たさないやつだとかなり病的なやつが作れてしまう。 >>50
仮定は前半だけです
多様体としてC^∞かつ埋め込みもC^∞ >>51
見つけないといけない閉曲線はC^∞級でないこダメ？
単にS^1からの連続単射でおけ？ 2*3*5*7*(1/2+1/3+1/5*1/7) mod (2*5*7) ＝４１
2*3*5*7*11*(1/2+1/11+1/5*1/7*1/3) mod (2*5*7*3) ＝１２７
2*3*5*7*11*(1/2+1/11*1/3+1/5*1/7) mod (2*5*7) ＝３１
2*3*5*7^4*11*(1/2+1/11*1/3+1/5*1/7^4) mod (2*5*7^4) ＝ １２０７１
2*3*5*7^6*11*(1/2+1/11*1/3+1/5*1/7^6) mod (2*5*7^6) ＝588311 >>53
ダメだ。
全くできる気がしないorz
ヒントおながいします。 >>55
ヒントはガウス曲率です
ガウス・ボネの定理から必ず閉曲面にはガウス曲率が正の部分が存在する
しかも一点ではなくてある近傍で正です
近傍のガウス曲率が真に0より大きければその断面は閉曲線です あれ？でもC^∞しか仮定してないと計量の引き戻しが死んでしまうところが死ぬほどでてくるのでは？
例えば
f(x)=exp(-1/x) (x>0)
=0 (x=0)
=-exp(1/x) (x<0)
みたいな原点で何回微分しても0みたいな関数途中に通過させると像がとんがったトゲみたいなの持ってるやつとか作れちゃうけど。
そういうとこでは計量テンソル引き戻してきても死んでるので曲率もへったくれもない。 例えば>>57のf(x)を使って
x=f(t)
y=|f(t)|
とかするとこれはR→R^2のC^∞埋め込みになってるけど像はy=|x|でとんがってしまう。
そのトンガリがRの方に伝わらないようにこういう細工ができてしまう。
ここでは計量の引き戻しが正定値はおろか完全に死んでしまう。
二次元多様体のR^3へのC^∞埋め込みでも同じくとげだらけの埋め込みができてしまう。 >>59
今wikiでみてきたら可微分の埋め込みは誘導される微分も単射である事を要求するのね。
微分幾何の勉強たりてないからこんな要求あるの知らなかった。
1日悩んでしまった。 平行移動のやつ。
diagM=d(p,q)となるp,qをとり、z軸がpqに平行になるようにとり、p,qの近傍でMがz=f(x,y), z=g(x,y)となるようにとる。
p,qのxy座標は(0,0)として良い。
h=g-fの非臨界値cをg(0,0)-f(0,0)に十分近い値に取ればh^(-1)(c)のある連結成分Cが閉曲線となるようにとれる。
C1={(x,y,f(x,y))|(x,y)∈C}, C2={(x,y,g(c,y))|(x,y)∈C}
ととればコレが求める閉曲線である。 (1)複素関数fをf(z)=πcot(πz)/(1+z^4)とする
R>0に対して、
C_Rを複素平面上で中心0、半径Rの円周を反時計回りに周る経路とする
このとき、lim(R→0)∫_(C_R) f(z) dz=0を証明せよ
(2)級数Σ_(k=-∞,∞) 1/(1+k^4)を求めよ >>63
(1)訂正
lim(R→∞)∫_(C_R) f(z) dz=0
です (2)
S = Σ_(k=-∞,∞) 1/(1+k^4)
= (π/√2){[sinh(π√2) + sin(π√2)]/[cosh(π√2) - cos(π√2)]}
= 2.156955159334273676636044386491
ついでに
S = 2 + 2_(k=2,∞) 1/(1+k^4)
< 2Σ_(k=2,∞) 1/k^4
= 2ζ(4)
= (π^4)/45
= 2.164646467422276383032 1/(1+k^4) > 1/[(k-1)k(k+1)(k+2)] = 1/[3(k-1)k(k+1)] - 1/[3k(k+1)(k+2)],
から
S = 2 + 2/17 + 1/41 + 2/257 + 2Σ_(k=5,∞) 1/(1+k^4)
> 2 + 2/17 + 1/41 + 2/257 + 1/180
= 2.15537496
1/(1+k^4) < 1/[(k-2)(k-1)k(k+1)] = 1/[3(k-2)(k-1)k] - 1/[3(k-1)k(k+1)],
から
S = 2 + 2/17 + 1/41 + 2/257 + 2Σ_(k=5,∞) 1/(1+k^4)
< 2 + 2/17 + 1/41 + 2/257 + 1/90
= 2.1609305
1/(1+k^4) < 1/{kk(kk-1/4)} = 4/(kk-1/4) - 4/kk = 4/(k-1/2) - 4/(k+1/2) - 4/kk,
から
S = 2 + 2/17 + 1/41 + 2Σ_(k=4,∞) 1/(1+k^4)
< 2 + 2/17 + 1/41 + 16/7 - 8Σ_(k=4,∞) 1/kk
= 2 + 2/17 + 1/41 + 16/7 - 8{ζ(2) -1 -1/4 -1/9}
= 2 + 2/17 + 1/41 + 16/7 + 10 - 4ππ/3
= 2.15716794 S' = Σ_(k=-∞,∞) 1/(1+kk)
= (i/2)Σ_(k=-∞,∞) {1/(i+k) - 1/(-i+k)}
= (iπ/2){cot(iπ) - cot(-iπ)}
= (π/2){coth(π) - coth(-π)}
= π coth(π)
= 3.1533480949371623482681015895
1/(1+kk) < 1/(kk-1/4) = 1/[(k-1/2)(k+1/2)] = 1/(k-1/2) - 1/(k+1/2),
から
S' = 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2Σ_(k=5,∞) 1/(1+kk)
< 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2Σ_(k=5,∞) {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2)}
= 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 4/9
= 3.1620915
1/(1+kk) > 1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1),
S' = 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2Σ_(k=5,∞) 1/(1+kk)
> 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2Σ_(k=5,∞) {1/k - 1/(k+1)}
= 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2/5
= 3 + 2/17
= 3.11764706 f(x)を既約なモニックな整形数の多項式とする。
素数pに対し
n(p)={n∈N | n≦p, f(n)≡0 (mod p)}
とおく。
この時
lim [N→∞] Σ[p≦N] f(p)/#{p | p≦N} = 1
を示せ。 >>70
1っぽいな～
無限回試行した時を考えると明らかに1が高頻度で出る（2は1に加えて青が出なきゃいけないし、3は1に加えて赤が出なきゃいけない）
これを20回に制限したらさらに1が有利になるからどのみち1が答えかな
全然厳密じゃないけど… いくら時間かけてもいいならなんでもないけど、一問30分前後の縛りがある受験問題と考えると難しいよね。 >>71
> 無限回試行した時を考えると明らかに1が高頻度で出る
続けたまえ >>73
無限回試行なら順番は関係ないでしょ？1はBRRRR、2はBRRRRB、3はBRRRRRとしていいから明らかに1が有利 2が1を含むのは許してもらえるだろうけど3が1を含むからってのは許してもらえないでしょうね。 2は1より制限が厳しいことになるから明らかに1より起きにくい
1は青赤赤赤の前に赤、3は青赤赤赤の後ろに赤赤ってことだから3の方が制限が厳しいので3の方が起きにくい
一番起きやすいのは1 >>77
答えは勘でも1と分かりますね。
私は別スレで話題になってた問題を引っ張ってきただけで採点基準もなんもわからないですが、それをスッキリ厳密に示しなさいでしょうね。
1と3の比較を厳密に書くのは案外ムズイ。 青赤赤赤が出る確率を基準にして考えればいいんじゃないのかな ∃i (xi～xi+3)=(brrr) ∧ (xi+4,xi+5)=(r,r)
と
∃i (xi～xi+3)=(brrr) ∧ xi-1=r
て∧の第二項の条件が第一項と独立でそれぞれ単純に1/9,1/3をかければいいだけならそれでいいでしょうけど独立ではないのでは？
多分許してもらえない。 >>70
サイコロ
正６面体のサイコロがある．
４面は青色、２面は赤色である．
このサイコロを合計20回振るとき、
最も起こりそうな順番はどれか？
１．赤 青 赤 赤 赤
２．青 赤 青 赤 赤 赤
３．青 赤 赤 赤 赤 赤 >>70
2．と 3．の６連（A)は、複数回現れる場合も重複しない。
６連Aを１回以上含む場合
配置： 15回から１つ選んでAとする。C[15,1] = 15 とおり
残った14回は任意 2^14 = 16384 とおり
s1 + 2･s2 + 3･s3 = 15･16384 = 245760
6連Aを2回以上含む場合
配置： 10回から2つ選んでAとする。C[10,2] = 45 とおり
残った8回は任意 2^8 = 256 とおり
s2 + 3･s3 = 45･256 = 11520
6連Aを3回含む場合
配置： 5回から3つ選んでAとする。C[5,3] = 10 とおり
残った2回は任意 2^2 = 4とおり
s3 = 10 * 4 = 40,
∴ s1 + s2 + s3 = 234280
∴ 2．の起こる確率、3．の起こる確率は
(s1+s2+s3)/(2^20) = 0.223426818 赤青の並びが一度でも出ればそれ以降1は3に含まれる 前>>6
>>70
１と比べて、２は１が起こる前に2/6=1/3の確率で青が出んなんで、１より確率が低い。
３は赤が5回連続で出んなんで、途中に青を挟んでるぶん２より確率が低い。
∴起こりやすい順番は、
１＞２＞３ >>82
ちょっとミスあるけどほぼ正解ですね。
赤と青の確率は1/3と2/3です。
私の解答(もちろん京大の用意した解答なんかしらん)
P(1のブロック出る)>P(2のブロック出る)は明らか。
確率変数Xiをi～i+5が2のブロックになるとき1, そうでないとき0を取るものとする。
この時
P(2のブロック出る)
=E(1-Π(1-Xi))
=Σ(-1)^i Σ[#F=i]E(Π[t∈F]Xt)。(ここまでは一般論)
ここでp=E(X1)とおくとき添え字の有限集合Fに対して
E(Π[F]Xi)
=p^(#F) (Fの相異なる元の差が6以上の時)
=0 (そうでないとき)
であるから
Σ[#F=i]E(Π[F]Xt)
=C[20-5i,i]p^i
=15p-45p^2+10p^3
同様にして1～6個目までが3のブロックとなる確率をqとすると
P(3のブロックが出る)
=15q-45q^2+10q^3。
あとは15x-45x^2+10x^3の増減をちょっろっと調べて完。
2のブロック出る確率が1のブロック出る確率より低いのは明らかなので2は何も関係ないと思いきや、1と3直接調べるよりワンクッション2を挟む方が楽なのがミソかな？
直接でもできなかないけど。 >>88
そうなん？
別スレのスレタイで京大の講師の出した問題って書いてあったから過去問だと思った。 >>82
大失敗....orz
p = (4/6)^2･(2/6)^4 = 64/(6^6) = 0.0013717421125
q = (4/6)･(2/6)^5 = 128/(6^6) = 0.002743484225
6連Aを1回以上含む場合
配置： 15回から１つ選んでAとする。C[15,1] = 15 とおり
s1 + 2･s2 + 3･s3 = 15p or 15q,
6連Aを2回以上含む場合
配置： 10回から2つ選んでAとする。C[10,2] = 45 とおり
s2 + 3･s3 = 45p^2 or 45q^2,
6連Aを3回含む場合
配置： 5回から3つ選んでAとする。C[5,3] = 10 とおり
s3 = 10p^3 or 10q^3,
P(2．) = s1 + s2 + s3 = 15p -45p^2 +10p^3 = 0.02049148206
P(3．) = s1 + s2 + s3 = 15q -45q^2 +10q^3 = 0.04081376811 >>70
を一般化して
独立な試行をn回繰り返す。
試行の結果は各回RまたはBでその確率はr,b (r+b=1,r<b)。
1型の連:RR‥RB
2型の連:RB‥BB (いずれもRB合わせて長さl)
とするとき
P(1型が現れる)<P(2型が現れる)
を示せ。
面白いかどうかはともかく片を付けとこう。 -1か0か1を合計k個足してnの倍数にする方法は何通りあるか？
ただし、足す順番は区別するものとする >>94
行列の添字はZ/nZでとるとして行列Aと列ベクトルvを
Aij = 1 if j=i,i+1,i-1
. =0 otherwise
vi = 1 if i=0
. =0 otherwise
で定める。
この時求める場合の数は
v^A^kv 、
ただしv^はvの転置ベクトル。
ζ=exp(2πi/n)とおけば、計算して
v^A^kv =(1/n)Σ[t](1+ζ^t+1/ζ^t)^k >>95
素晴らしい 正解です
ほぼ同じだけど想定していた解法は足す行為をZ/nZの元を頂点に持つグラフの辺を渡る行為だと思って隣接行列のスペクトルを計算する方法でした
ちなみにn→∞とすればリーマン和→積分が出てきて複素積分使って計算出来ます
そうすれば足して0にする方法の組み合わせ数が分かる
(それだとたぶん純粋な組み合わせ論で解けるだろうけど) rを正の実数とする。
xyz空間の半球B:x^2+y^2+z^2=r^2（z≥0）について以下の問に答えよ。
（1）nを2以上の自然数とする。
平面H_kをz=kr/n（k=0,1,...,n-1）と定め、H_kとBの交線である円をC_kとする。
C_kを底円とし高さがr/nである円筒の側面積をS_kとするとき、それらの和
T_n = Σ[k=0,1,...,n-1] S_k
を求めよ。
（2）lim[n→∞] T_n とBの側面積は一致しないことを示せ。 lim T_nはBの側面積のπ/4倍。
君らが普段やっとる薄切りスライス体積積分は、表面積には使えんのやで！（意訳） それはそうかも知れんが「球面を円柱の側面で近似する」のが粗杉ぢゃね？
球面の勾配を取り込めない。
そこで C_k で球面に接する円錐を考えよう。
幅が (r/n)/√{1-(k/n)^2},
長さが 2πr√{1-(k/n)^2},
∴ S'_k = 2πrr/n ･･･ kによらない。
T = 2πrr,
となりBの側面積と一致する。 受験レベル+αだけどうまくやらないとシンドイやつ。
曲線C:x^2-y^2=1, x>0 上の2点P,Qに対し、Cと直線PQで囲まれる部分の面積をS(P,Q)とする。
A(1,0), B(5/3,4/3)とする。
P,QをC上を動かすときS(A,P)+ S(P,Q)+ S(Q,B)の値が最小となる時のP,Qの座標を求めよ。 前>>85
>>101
x^2-y^2=1はx>0だから、
x^2=y^2+1
x=√(y^2+1)=(y^2+1)^(1/2)
x'=(1/2)(y^2+1)2y=y^3+y
x軸を鉛直上向きにとった双曲線Cのグラフの傾きは、
点A(1,0)において0,
点B(5/3,4/3)において4/3？ で、
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)の値が最小となるのは、A,P,Q,Bが等間隔になるときで、その座標は、
P(√(p^2+1),p),Q(√(q^2+1),q)として、
64p^3+64p-615=0
128q^3+128q-615=0 前>>102
>>101
計算すると、
64p^3+64p-615=0
(p^2+1)=615/64p
=615/p8^2
128q^3+128q-615=0
(q^2+1)=615/128q
=615/2q8^2
p=1.969525……
√(p^2+1)=2.208852355……
q=
√(q^2+1)=
なんか違うかも。 >101-103
はい、違います。
等間隔というのはいいキーワードだけど。
ある話しを使うと計算らしい計算しなくても解けます。
普通に面積計算しても大した手間ではないけど。 前>>103
>>104計算禁止かぁ。
そんなこったろうと思ったぜ。 具体的に言うと実際に面積を計算せずともある事を知ってるとある関数が凸であるとわかり、それから "等間隔のとき" 最小と分かります。 前>>105
x^2-y^2=1がx＞0で上に凸なのはxを微分したらx'＞0なんで、あ間違えた、-1/2乗だ。
x=√(y^2+1)=(y^2+1)^(1/2)
x'=(2y){(y^2+1)^(-1/2)
=-2y/√(y^2+1)
y＞0のとき、
xは単調減少。 まぁまともに面積計算してもそこまで大変ではないけど。
積分実行しないでやる場合のヒント。
x^2-y^2=1はあるベクトル場Xの積分曲線で、exp(tX)は一次変換になっています。
その事から少し議論をすればA,P,Q,Bが "等間隔" に並ぶことがわかります。
普通に積分しても受験問題にはやや難しすぎる程度ですが。 前>>108
曲線とx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積は16/27
折れ線APQBとx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積は、これよりやや小さい。
今日で11月が終わる。 >>101
A (cosh(0), sinh(0))
P (cosh(p), sinh(p))
Q (cosh(q), sinh(q))
B (cosh(b), sinh(b)) b=log(3)=1.09861229
とおきます。
(>>102 のp,qとは別です。)
C上の点を (x,y) = (coshθ, sinhθ) とおくと
S(P,Q) = ∫(ydx-xdy) = {sinh(q-p) - (q-p)}/2,
だから
S(A,P) + S(P,Q) + S(Q,B)
= {sinh(p-0) + sinh(q-p) + sinh(b-q) - b}/2
≧ {3sinh(b/3) - b}/2 (← 下に凸)
= {3[3^(1/3) - (1/3)^(1/3)]/2 - log(3)}/2
= 0.012360077
最小となるのは (p,q) = (b/3, 2b/3) のとき。
P, Q の座標も求まる。
最大となるは (p,q)=(0,b) のときで、P=A, Q=B
S(A,B) = {sinh(b-0) - (b-0)}/2
= {(4/3) - log(3)}/2
= 0.117360522 >>111
正解です。
では面積出さない方法。
X=y∂/∂x + x∂/∂yとおけば
exp(tX)=[[cosh t,sinht][sinh t,cosht]]
でありP(t):=(cosh t,sinh t)=(exp tX)(1,0)である。
exp(tX)はP(u),P(v)をP(u+t),P(v+t)に移し、直線を保存するからS(P(u),P(v))=S(P(u+t),P(v+t))であり、Sの値はパラメータtの値の差のみによる事がわかる。(←key point)
さらにf(t)=S(P(0),P(t))とおくとき
f(t)=S(P(-t/2),P(t/2))=2∫[0,t/2](sinh τ)^2dτ
で(sinh τ)^2は短調増加であるからf(t)は凸関数である。
よってA=P(0), B=P(log3)であるから最小値を与えるP,Qは
(P,Q)=(P(log3/3),P(2log3/3))
=((a+1/3)/2,(a-1/a)2),((3/a+a/3)/2,(3/a-a/3)/2)
のとき。ただしa=3^(1/3)。
key pointが成立するのは他にも
単位円のとき
f(t)=t/2-(1/2)sin t
放物線のとき
f(t)=(1/6)t^3
となって同様の現象が起こります。 xy平面を考える。
生命体Zは、最初1匹だけが(1,1)にいる。
a,bを正の整数とする。座標(a,b)にいる生命体Zは、(a+1,b)と(a,b+1)に生命体Zが存在しない時に限り、以下に示す〈ルール〉に従って分裂することができる。ただし、分裂が可能であれば必ず分裂しなければいけないというわけではない。
〈ルール〉
(a,b)にいる生命体Zは消滅する。(a+1,b)と(a,b+1)に生命体Zが1匹ずつ生まれる。
第一象限の格子点を要素に持つ集合Sを考える。
命題Pを「ある格子点s∈Sに生命体Zが存在する」と定める。
以下の問に答えよ。
(1)S=｛(s,t)｜1≦s,t≦3 , s,t∈ℕ｝とする。命題Pの真偽を調べよ。
(2)命題Pを満たすSのうち、その要素数が最小であるものを1つ求めよ。 前>>110
APQBのx座標が等間隔になるとき、
√(p^2+1)=(5/3-1)/3+1
=11/9
p=√{(121-81)/81}
=2√10/9
√(q^2+1)=√(p^2+1)+2/9
=(-1+4√7)/9
q=4/9-p
=4/9-{(-2-2√7)/9}
=(6+2√7)/9
P((-1+4√7)/9,(-2+2√7)/9)
Q((-1+4√7)/9,(6+2√7)/9)
これは近いけど違うと。
どうやって計算しないで解くか。 >>113
問題の文章めちゃくちゃだけどエスパーして
(1)
「どんな分裂の仕方を選んでもS上に生命体を消す事は出来ない。」
は真
(∵) 第一象限の格子点のみ考える。
格子点(i,j)に(1/2)^(i+j)の得点をつけて生命体のいる場所の得点の総和は保存される。
Sに全て生命体がいる状態の得点の総和は49/64点。
S以外の点の格子点の得点の総和は15/64点。
∴S全てから生命体が消えるように分裂させることはできない。 >>113
の問題で
◯
◯
◯ ◯
の配置のとき>>115の得点で配置の得点が5/4点。
配置から逃げられる部分の得点の総和が5/4点だからこの配置は全消し不能とわかる。
三ヶ所の場合が分からん。
◯
◯ ◯
◯
◯ ◯
◯ ◯ ◯
以外の三ヶ所配置は全て全消し可能だけどこの３つが全消し可能か不可能か分からん。
誰かできる？ >>116
◯
◯ ◯
の配置2点で外部の配置も2点だからコレも不可能ですな。
二ヶ所以外は全消し可能だから求める最小値は3だ。 >>117
〇
〇〇
が最小のSってこと？オセロで実験したけどこのSからは逃げられたぞ >>118え？マジで？
手自由教えて。
再計算しても初期の配置も外側の配置も2点になる。 x≧0、y≧0で考えるとして
S={(0,0),(1,0),(0,1)}のときSの得点の総和は
1+1/2+1/2=2点。
格子点全体の得点は4点だからSの外側の得点も2点。
釣り合うときはギリギリ無理だと思うんだけど。 たぶん
◯◯◯
も無理だと思う。
CBA
として一手目はA。
この先Bを分裂させるまではこのAの子孫ばかりを分裂させる事になるけど、それらの分裂は先にBを分裂させても可能なので二手目はBとして良い。
同様に三手目はCとして良い。
この時点で
XYZ
. PQR
の形でPQの地点を消せるか？だけどPを(0,0)としてYZPQRで5/2点。
消さないといけないPQが3/2点で計4点。
x≧0,y≧0全体が4点なので不可能。
同じ理由で
◯
◯◯
も不可能だと思う。 >>119
(1,1)(1,2)(2,2)(2,1)の順でやれば逃げられない？
〇
〇〇
って(1,1)(1,2)(2,1)の3つだよね？ どんな分裂の仕方を選んでもSからZを消すことができない、そういうSを探せって問題だよね (1,1)を1点、(1,2)(2,1)をそれぞれ0.5点…というふうにしてどんな分裂の仕方をしても総和は1点、という発想イイネ。
この点数の付け方だと、級数を取って格子点にある点数の総和は4点と分かる。したがって、Sが3点以上なら逃げられない。(1)はそれで証明出来る。
でも、この発想で行くと
〇〇
〇〇〇
〇〇〇
が限界じゃないか？この配置だと3点だから有限回の操作では追い出せない。 >>122
あれ？
(1,1),(1,2),(2,1)
の状態から(1,1)
は分裂できないのでは？ あ？
今問題読み返して誤解してるのやっとわかった
Sは初期配置じゃなくてそこから逃げないとダメな集合ね。 とりあえず問題読み直して(1)。
二手目終わって
◯◯
❇︎ ◯
として良い。❇︎が原点。
三手目で
◯◯◯
❇︎ ◯
であれば>>121より◯◯◯の全消しが不可能なので済。
三手目で
◯
◯ ◯
❇︎ ◯
として良い。
>>121に述べたのと同じ理由で四手目は
◯◯
◯◯
❇︎ ◯
として良い。
ここで>>117により全消し不能。 >>124
そうだ、そうだね。
3x3は得点論法だけで無理なのすぐわかるね。
次は
◯
◯◯
◯◯◯
かな？ ◯
◯◯
◯◯◯
も不可能と思われる。
検証求む。
>>127と同じく❇︎は原点とする。
>>127と同じく二手目で
◯◯
❇︎ ◯
として良い。
選択肢は二つで
(a)
、◯
◯ ◯
❇︎ ◯
又は
(b)
◯◯◯
❇︎ ◯
(a)のとき。
>>121と同じ理由で四手目は
◯◯
、◯◯
❇︎ ◯
この時点でx,y≧2の部分に限定する。
この限定領域内で消す必要があるのは(2,2)で1/16点。
この時点で限定領域内の生命体の総得点が2/16点。
しかし限定域外から必然的に1/32が二個、1/16点入ってくる。
以上の総計が1/4点。
一方で全限定領域の総得点は1/4点。
釣り合ってるので(a)は詰み。 (b)のとき
>>121と同じ理由で六手目までで
◯◯◯
、◯◯◯
❇︎ ◯
として良い。
同じくx,y≧2に限定して
限定域内の生命体消す必要があるのは(2,2)の1/16点。
この時点で限定域の生命体の総得点は2.5/16点。
後から入ってくる生命体が0.5/16点。
やはり総計1/4点でこの場合も詰。 とりあえず
◯
◯◯◯
と
◯◯
◯◯
は可能。
ノートで徒然なるままにやつてみた範囲内でおそらく
◯◯
◯◯◯
は不可能っぽい。
答えは5くさいけど、コレは計算機マターだな。 前>>114
>>101
P(p,√(p^2-1))
Q(q,√(q^2-1))とおくと、
S(A,P)=∫[x=1→p]√(x^2-1)dx-{√(p^2-1)/(p-1)}(x-1)dx
S(P,Q)=∫[x=p→q]√(x^2-1)-{√(q^2-1)-√(p^2-1)}/(q-p)+{√(q^2-1)-√(p^2-1)}/(q-p)dx
S(Q,B)=∫[x=q→5/3]√(x^2-1)dx-/{(5/3)-q}
放物線y=√(x^2-1)とx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積16/27から、折れ線APQBとx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積を引くと、
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=16/27-(5/3-p/2-1/2)√(p^2-1)-(5/3-p/2-q/2){√(q^2-1)-√(p^2-1)}-(5/3-q){(4/3-√(q^2-1)}(1/2)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2
面積出して微分したら決まると思ったけど、未知数がpとqの2つある。
条件が足りないんでしょうか？
直線ABの傾きは2
直線PQの傾きはもう少し大きくてそのぶん直線QBの傾きがうんと小さいと思うんですが。
三角関数は面白くないんで、なしでお願いします。 それでやるなら二変数関数の最小値求めるテクニックで出来るかもしれません。
例
x^2+2xy+2y^2+4yの最小値
ますyを定数として
f(x)=x^2+2xy+2y^2+4y
の最小値を求める。
f'(x)=2x+2y=0すなわちx=-yのとき最小値
f(-y)=y^2+4y
次にコレら最小値の中で最も小さいものを求める。
g(y)=y^2+4yとおけばコレは
g'(y)=2y+4=0のとき最小値g(-2)=-4
のように。
計算死ぬけど。 ちなみに最小値をとるのはAQとPでの接線が平行かつBPとQでの接線が平行のときです。
そこから方程式立てれば式二つできます。
解くのは難しいけど確かめ算には使えるかもしれない。 前>>132
>>134それ直感的にあってそう。式が2つも増えて答えすぐ出るんじゃないの？ 前>>135
>>101
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2――①
直線APの傾きは、
√(p^2-1)/p
点Qでの曲線の傾きは、
(1/2)2q/√(q^2-1)=q/√(q^2-1)
これらが等しいから、
√(p^2-1)/p=q/√(q^2-1)
√(p^2-1)(q^2-1)=pq
(p^2-1)(q^2-1)=p^2q^2
p^2+q^2=1――②
点Pでの曲線の傾きは、
(1/2)2p/√(p^2-1)=p/√(p^2-1)
直線QBの傾きは、
{4/3-√(q^2-1)}/(5/3-q)={4-3√(q^2-1)}/(5-3q)
これらが等しいから、
p/√(p^2-1)={4-3√(q^2-1)}/(5-3q)
p(5-3q)={4-3√(q^2-1)}√(p^2-1)
5p-3pq=4√(p^2-1)-3√(p^2-1)(q^2-1)
②の1行前の式を代入すると、
5p=4√(p^2-1)――おかしい。なんでpが虚数になるんだい？ 前>>136訂正。よくミスるねぇ。風邪引いてんのかな？ 節々のboneが痛い。
>>101
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2――①
直線AQの傾きは、
√(q^2-1)/(q-1)
点Pでの曲線の傾きは、
(1/2)2p/√(p^2-1)=p/√(p^2-1)
これらが等しいから、
√(q^2-1)/(q-1)=p/√(p^2-1)
√(q+1)/√(q-1)=p/√(p^2-1)
√(p^2-1)(q+1)=p√(q-1)((p^2-1)(q+1)=p^2(q-1)
p^2-q-1=-p^2
2p^2-1=q――②
点Qでの曲線の傾きは、
(1/2)2q/√(q^2-1)=q/√(q^2-1)
直線PBの傾きは、
{4/3-√(p^2-1)}/(5/3-p)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
これらが等しいから、
q/√(q^2-1)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
q(5-3p)={4-3√(p^2-1)}√(q^2-1)
5q-3pq=4√(q^2-1)-3√(p^2-1)(q^2-1)
②を代入すると、
5(2p^2-1)-3p(2p^2-1)=4√{(2p^2-1)^2-1}-3√(p^2-1){(2p^2-1)^2-1}
10p^2-5-6p^3+3p=4√(4p^4-4p^2)-3√(p^2-1)(4p^4-4p^2)
-6p^3+10p^2+3p-5-2p√(p^2-1)+3･2p(p^2-1)=0
10p^2-3p-5=2p√(p^2-1)
100p^4-60p^3-91p^2+30p+25=4p^2(p^2-1)
96p^4-60p^3-87p^2+30p+25=0 >>125
(1,1)に分裂を適用して(1,1)が消え(1,2)と(2,1)に生まれる
次に(1,2)に分裂を適用して(1,2)が消え(1,3)と(2,2)に生まれる
次に(2,2)に分裂を適用して(2,2)が消え(2,3)と(3,2)に生まれる
最後に(2,1)に分裂を適用して(2,1)が消え(3,1)と(2,2)に生まれる
これで(1,1)(1,2)(2,1)からは逃げ出せる 前>>137
>>101
96p^4-60p^3-87p^2+30p+25を微分して=0とすると、
384p^3-180p^2-174p+30=0
128p^3-60p^2-58p+10=0
64p^3-30p^2-29p+5=0
p≒1.2 前>>139
>>137からやりなおし。
>>101
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2――①
2p^2-1=q――②
②を①に代入すると、
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2√(2p^2-1)/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√{(2p^2-1)^2-1)}+[p√{(2p^2-1)^2-1}-(2p^2-1)√(p^2-1)]/2
=2√(2p^2-1)/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)+[2p^2√(p^2-1)-(2p^2-1)√(p^2-1)]/2
=2√(2p^2-1)/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)+√(p^2-1)/2
=(2/3)√(2p^2-1)-14/27+(4/3)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)――③
点Qでの曲線の傾きは、
(1/2)2q/√(q^2-1)=q/√(q^2-1)
直線PBの傾きは、
{4/3-√(p^2-1)}/(5/3-p)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
これらが等しいから、
q/√(q^2-1)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
q(5-3p)={4-3√(p^2-1)}√(q^2-1)
5q-3pq=4√(q^2-1)-3√(p^2-1)(q^2-1)
②を代入すると、
5(2p^2-1)-3p(2p^2-1)=4√{(2p^2-1)^2-1}-3√(p^2-1){(2p^2-1)^2-1}
10p^2-5-6p^3+3p=4√(4p^4-4p^2)-3√(p^2-1)(4p^4-4p^2)
-6p^3+10p^2+3p-5-4･2p√(p^2-1)+3･2p(p^2-1)=0
10p^2-3p-5=8p√(p^2-1)
100p^4-60p^3-91p^2+30p+25=64p^2(p^2-1)
36p^4-60p^3-27p^2+30p+25=0
左辺を微分すると、
144p^3-180p^2-54p+30=0
24p^3-30p-9p+5=0 >>111
S(A,P) = {y(P) - p}/2,
S(P,Q) = {x(P)y(Q) - x(Q)y(P) -q +p}/2,
S(Q,B) = {x(Q)(4/3) - (5/3)y(Q) -b +q}/2,
・x座標で3等分した場合
A (1, 0)
P (11/9, 2(√10)/9)
Q (13/9, 2(√22)/9)
B (5/3, 4/3)
S(A,P) = {2(√10)/9 -p}/2 = 0.023914034
S(P,Q) = {2(11√22 -13√10)/81 +p -q}/2 = 0.001404007
S(Q,B) = {2(26 -5√22)/27 +q -b}/2 = 0.000551446
S = {4(39-2√10-2√22)/81 - log(3)}/2
= 0.025869489 > 0.012360077 >>111
S(A,P) = {y(P) -p}/2,
S(P,Q) = {x(P)y(Q) -x(Q)y(P) -q +p}/2,
S(Q,B) = {x(Q)(4/3) -(5/3)y(Q) -b +q}/2,
・y座標で3等分した場合
A (1, 0)
P ((√97)/9, 4/9)
Q ((√145)/9, 8/9)
B (5/3, 4/3)
S(A,P) = (4/9 - p)/2 = 0.006733131
S(P,Q) = {4(2√97 -√145)/81 +p -q}/2 = 0.004236483
S(Q,B) = {4(√145 -10)/27 +q -b}/2 = 0.002215716
S = {4(2√97 +2√145 -21)/81 - log(3)}/2
= 0.01318533 > 0.012360077 >>113
(2)の答えは５だ。
〇〇
㊤〇〇
が全消し不可(上が虫ね。)
４か所以下ならすべて全消し可能。
証明ながい。
気力がわけば書きます。 >>113
まず以下の証明の図の読み方の説明。
生命体を虫と呼ぶ。
◯は虫のいる点。
ーは虫を駆除する必要のある点、
㊀はその駆除する必要がある点に虫が現時点でいる状態である。
この虫を分裂させて㊀を消去する手順の有無を議論する。
コレらを格子状にならべた図式でAにおいて、そのような手順があるとき、その手順の最小値を最小駆除手数と呼ぶ。
存在しないときは無限大とする。
そのような図式X,A,B,C,‥においてXの最小駆除手数がA,B,C,‥の最小駆除手数の最小値以上のときXはA,B,Cに還元されると呼び、X|A,B,C,‥と表す。
左辺の最小駆除手数が右辺のそれの最小値より真に大きいとき強還元と呼ぶ。 証明に現れる還元を全て列挙する。
コレらが還元になっている事は後で示す。
⑦以外は全て強還元である。
A～Gの図の定義も兼ねている。
①A|B (初手実行)
ーー ｜ ㊀ー
㊀ーー ｜ ー㊀ー
②B|C,D(初手実行)
｜ ◯
㊀ー ｜ ー㊀ ㊀㊀
㊀ー ｜ ー㊀ー、 ー㊀
③C|E(初手実行)
ー ｜ ー◯
㊀㊀ ｜ ㊀ー◯
④E|B(終端優先)
ー ◯ ｜ ㊀◯
㊀ー◯ ｜ ー㊀◯
⑤D|F,G(初手実行)
｜ ◯
㊀㊀ ｜ ㊀ー◯ ㊀㊀◯
㊀ ｜ ㊀、 ー◯
⑥F|B(終端優先)
◯ ｜ ◯ ◯
㊀ー◯ ｜ ー㊀◯
㊀ ｜ ㊀
⑦G|B(終端除去)
｜ ㊀◯
㊀㊀◯ ｜ ー㊀◯ >>144のリストが還元になっている事を示す。
・初手実行の還元は実際に初手として可能な全ての分裂を行った結果の図を右辺に列挙する事によって得られる。
右辺に並ぶ図の最小駆除手数は全て左辺の手数+１であるから還元図になる。
ー例ー
②B|C,D(初手実行)
｜ ◯
㊀ー ｜ ー㊀ ㊀㊀
㊀ー ｜ ー㊀ー、 ー㊀
・終端優先の還元は左辺図内のある生物を分裂させてもその子が他の全ての生物の分裂を阻害しないとき、その分裂を優先する最小手順解があることから、その分裂を実行した図を右辺に書く事によって得られる。
やはり右辺の図の最小駆除手数は左辺の手数+１であるから還元図となる。
ー例ー
④E|B(終端優先)
◯ ｜ ㊀◯
㊀ー◯ ｜ ー㊀◯
・終端除去の還元は⑦のみである。
⑦左辺の虫を除去する最小手順において左の虫をA、それが分裂したときに現れる上の虫をB、右の虫をCとする。
Bは要駆除点でなく、Bは以降のたの分裂を邪魔しないため最小手順においては分裂しない。
Cは要駆除地点にいるのでいくらか後に分裂し、その上の虫をD、右の虫をEとするとBが分裂しないのと同じ理由でD、Eも分裂しない。
よって⑦左辺の最小駆除手順においてAとその子孫が分裂する回数は高々二回である。
よってその手順からAとその子孫を取り除けば図
ーー
ー㊀㊀
の駆除手順が得られ、その手順数は⑦左辺のものよりちょうど2小さい。
逆に⑦左辺の図において、上図の除去を行った後、AとCの分裂を行えば⑦右辺の図の駆除手順となるので⑦左辺の最小駆除手数は上図のそれ+2以下である。
以上により上図の最小駆除手数は⑦左辺のそれよりちょうど2小さい。
さらに上図に初手還元と終端優先を行えば
㊀◯
ー㊀◯
が得られ、その最小駆除手数は上図のそれよりちょうど2だけ大きい。
以上により⑦の左辺と右辺の最小駆除手数はちょうど等しいので⑦は弱還元である。
ー例ー
⑦G|H(終端除去)
｜ ㊀◯
㊀㊀◯ ｜ ー㊀◯ 証明を完成させる。
Aの図の最小駆除手数が有限とする。
①によってAはBに還元されるらBのそれも有限である。
還元を"合成"することにより②～⑦によってBはB自身に還元される。
すなわち
B|B
なる形の還元を得る。
当然左辺の最小駆除手数と右辺の最小駆除手数は等しい。
しかし先の"合成"において右辺のBへの還元は少なくとも⑦以外の還元を一回以上含むので強還元である。
よって左辺の最小駆除手数は右辺の最小駆除手順より真に大きい。
これは矛盾である。 後は全ての要駆除地点数が4か所以下の場合駆除可能を示せば>>113の(2)は終わり。
それはさほど難しくない。 前>>140つづき。
>>101
S=S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=(2/3)√(2p^2-1)-14/27+(4/3)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)――③
24p^3-30p^2-9p+5=0――④
③を微分すると、
S'=(2/3)(1/2)4p/√(2p^2-1)+(4/3)(1/2)2p/√(p^2-1)-2√(p^2-1)-2p(1/2)2p√(p^2-1)
=(4p/3)√(2p^2-1)+(4p/3-2-p)√(p^2-1)
=(4p/3)√(2p^2-1)+(p/3-2√(p^2-1)=0
4p√(2p^2-1)=(6-p)√(p^2-1)
16p^2(2p^2-1)=(p^2-12p+36)(p^2-1)
32p^4-16p^2=p^4-12p^3+36p^2-p^2+12p-36
31p^4+12p^3-51p^2-12p+36=0――⑤ >>146
訂正
>>145のリストは全部強還元だね
｜ ーー
㊀㊀◯ ｜ ー㊀㊀
が強還元だ。
左辺の最小駆除手数＝右辺の最小駆除手数+2でした。
なので
⑦左辺の最小駆除手数＝⑦右辺の最小駆除手数+４。 ω_Nを半径1のN次元空間球({x∈R^N | |x|=1})の体積(N次元ルベーグ測度)とする
(1) 急減少関数f:[0,∞)→Rに対して、
∫_R^N f(|x|) dx=Nω_N ∫_0^∞ r^(N-1) f(r) dr
となることを示せ
(2)ω_Nを求めよ >>153
すみません
修正します
球{x∈R^N | |x|≦1}です >>152
(1)
M=S^(N-1)とおき、Nの体積形式をηとする。
R×N→R^Nを(r,θ)=rθで定めればR^Nの体積形式はr^(N-1)ηdrである。
よって
∫[x∈R^N]f(|x|)dx
=∫[r>0,θ∈S^(N-1)] f(|rθ|)r^(N-1)ηdr
=∫[θ∈S^(N-1)]η∫[r>0] r^(N-1)f(r)dr
=vol(S^(N-1))∫[r>0] r^(N-1)f(r)dr
である。
一方で
ω_N
=∫[x≦1]1dx
=∫[0<r<1,θ∈S^(N-1)] r^(N-1)ηdr
=∫[θ∈S^(N-1)]η∫[0<r<1] r^(N-1)dr
=vol(S^(N-1))/N
により主張は成り立つ。
(2)
f(x)=exp(-x^2)とすれば
∫[x∈R^N]f(|x|)dx
＝(∫[t∈R]exp(-x^2)dt)^N
＝π^(N/2)、
∫[r>0]r^(N-1)exp(-r^2)dr
=∫[t>0]t^((N-1)/2)exp(-t)t^(-1/2)dt/2
=(1/2)∫[t>0]t^(N/2-1)exp(-t)dt
=Γ(N/2)/2
であるから(1)により
ω_N=2π^(N/2)/(NΓ(N/2))=π^(N/2)/Γ(N/2+1)。 >>155
正解です
(1)は測度論的にするのであれば
H^(N-1)を(N-1)次元ハウスドルフ測度として
Coarea formula
∫_R^N f(x)|∇u(x)|dx=∫_R∫_{u=t} f(x) dH^(N-1)(x)dt
においてu(x)=|x|とすれば極座標の積分が導けます
(H^(N-1)({x∈R^(N-1) | |x|=t })=(d/dt){ω_N t^N} となることもCoarea formulaから導ける) >>101前>>150正解は出たらしいけど出題者が意図した解法を言い当てただけで、肝心の座標が出てないみたいだから、今年最後の小説投稿がすんだら、ちゃんと計算してみるよ。
￣￣]/＼______∩∩_
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１００万回のシミュレーション結果
> k=1e6
> re=replicate(k,sim())
> mean(re[1,])
[1] 0.124957
> mean(re[2,])
[1] 0.08093
> mean(re[3,])
[1] 0.04078
直感通り、１，２，３の順番になった。 >>92
p = 256/(6^6) = 0.0054869684499314
q = 128/(6^6) = 0.0027434842249657
より
P(re[2,]) = 15p -45p^2 +10p^3 = 0.0809513716761635
P(re[3,]) = 15q -45q^2 +10q^3 = 0.0408137681123003 1. の５連(B)は、複数回現れる場合は重複しうる。
5連Bを1回以上含む確率
s1 + s2 + s3 + s4 = 32 / 243 = 0.1316872428
5連Bを2回以上含む確率
s2 + 3s3 + 6s4 = 408/243^2 = 0.006909515825
5連Bを3回以上含む確率
s3 + 4s4 = 2368 / 243^3 = 0.000165408747842
5連Bを4回含む確率
s4 = 4912 / 243^4 = 0.000001408747842
よって 1．の起こる確率は
P(re[1,]) = s1 + s2 + s3 + s4 = 435643544 / 243^4 = 0.124941348 訂正
5連Bを1回以上含む確率
s1 + ２s2 + ３s3 + ４s4 = 32 / 243 = 0.1316872428 5連Bをちょうどk回含む確率を s_k とすると
s1 + 2s2 + 3s3 + 4s4 = 32 / 243 = 0.1316872428
s2 + 3s3 + 6s4 = 408 / 243^2 = 0.006909515825
s3 + 4s4 = 2368 / 243^3 = 0.000165408747842
s4 = 4912 / 243^4 = 0.000001408747842
よって 1．の起こる確率 (5連Bを1回以上含む確率) は
P(re[1,]) = s1 + s2 + s3 + s4
= (s1+2s2+3s3+4s4) - (s2+3s3+6s4) + (s3+4s4) - s4
= 435643544 / 243^4
= 0.124941348 >>111
>>159
A (1, 0)
P ((c +1/c)/2, (c -1/c)/2) = (1.067805422329 0.374444147978)
Q ((cc +1/cc)/2, (cc -1/cc)/2) = (1.280416839911 0.799666983141)
B (5/3, 4/3) = (1.666666666667 1.333333333333)
ここに c = 3^(1/3) = 1.442249570307 b = log(3) = 1 + log(3/e) ≒ 3/e,
A (1, 0)
P (cosh(1/e), sinh(1/e)) = (1.06843424428 0.3762336167)
Q (cosh(2/e), sinh(2/e)) = (1.2831034687 0.8039617599)
B (5/3, 4/3) = (1.6666666667 1.3333333333)
とおくと
S(A,P) = S(P,Q) = 0.0041770878
S(Q,B) = 0.0040074760
∴ S = 0.0123616516 > 0.012360077 3^7 = 2187 ≒ 2197 = 13^3
3 ≒ (13/9)^3,
b = log(3) ≒ 3log(13/9),
A (1, 0)
P (125/117, 44/117) = (1.068376068 0.376068376)
Q (17561/117^2, 11000/117^2) = (1.282854847 0.803564905)
B (5/3, 4/3) = (1.666666667 1.333333333)
とおくと
S(A,P) = S(P,Q) = 0.004171798
S(Q,B) = 0.004017778
∴ S = 0.012361374 > 0.012360077 二次元平面上の閉曲線Aに対して、
Aの直径をA上の2点間の距離の最大値としたとき、
(Aの長さ/Aの直径)を「A周率」と定義する.
Aが凸閉曲線であるとき、A周率の最大値を求めよ.
また、その最大値を達成する曲線の中で、囲まれる面積を最小にするものを求めよ. ∞じゃないの？
直径1の円盤内にいくらでも長さの長い単純閉曲線いれられるのでは？ まずJordan凸閉領域Δに対しΔ(t)を
Δ(t)={p | d(p,Δ)≦t}
で定める。
この時vol(Δ(t))はtの多項式で
vol(Δ(t))=πt^2+l(∂Δ)t+vol(Δ)
である。(l(∂Δ)は∂Δの長さ)
実際折れ線の時明らかで一般のJordan凸領域の場合には折れ線近似で示される。
今Δが直径dの円盤Dに含まれる時
vol(Δ(t))≦vol(D(t))
が任意のt>0について成立するから特に
l(∂Δ)≦l(∂(D))=πd/2
である。
よって周率の最大値はπ/2である。 >>172
円の時、周率はもちろんπなので不正解です >>172
それに、曲線の直径がdだからといって、その曲線が直径dの円に入るとは限りません(正三角形とか) πとπ/2まちがえたのは単なる勘違いです。
そうか、直径がdだから直径dの円盤に入るとは限らないか。 前>>159
>>101【問題】
>>111>>165
x^2-y^2=1,x＞0
A(1,0)
P({3^(1/3)+1/3^(1/3)}/2,
{3^(1/3)-1/3^(1/3)}/2)
Q({3^(2/3)-1/3^(2/3)}/2,
{3^(2/3)-1/3^(2/3)}/2))
B(5/3,4/3)
5/3=(3+1/3)/2
4/3=(3-1/3)/2
AB間に面積的に等間隔にP,Qをとると、三乗根とその逆数の相加平均――という結果を受け入れるしかないなぁ。 前>>176
>>101正攻法で解く。
y=√(x^2-1)≧0,x≧1
=(x^2-1)^(1/2),x≧1
A(1,0)
P(p,√(p^2-1))
Q(q,√(q^2-1))
B(5/3,4/3)
S(A,P)=∫[x=1→p]{(x^2-1)^(1/2)-(p^2-1)^(1/2)(x-1)/(p-1)}dx
=[x=1→p]{(x^2-1)^(3/2)/(3/2)}/(2x)-(p^2-1)^(1/2)x^2/2(p-1)-x/(p-1)
=(p^2-1)√(p^2-1)/3p-(p^2-1)^(1/2)p^2/2(p-1)-p/(p-1)
-1/3+(p^2-1)^(1/2)1^2/2(p-1)+1/(p-1)
S(P,Q)=∫[x=p→q][(x^2-1)^(1/2)-{(q^2-1)^(1/2)-(p^2-1)^(1/2)}(x-p)/(q-p)-(p^2+1)^(1/2)]dx
S(Q,B)=∫[x=q→5/3][(x^2-1)^(1/2)-{(4/3)-(q^2-1)^(1/2)(x-5/3)}/(5/3-q)-4/3]dx
S(A,P)=S(P,Q)より、
――①
S(A,P)=S(Q,B)より、
――②
①②より、p= ,q=
∴P,Qの座標は、
P( , ),Q( , ) >>168がどう解けばいいのか分からん...
とりあえずx^p+y^p=1のハイパー楕円で数値計算してみたけどp=2が最小になりそうではあった 面白いかどうか人に依るけど、これの逆行列って手計算でいける？
https://i.imgur.com/TWuw4wX.jpg >>180
A(1,1) = 1
A(i,i) = 2 (2≦i≦n)
A(i,i+1) = -1,
A(j+1,j) = -1,
A(i,j) = 0, (|i-j|≧2)
B(i,j) = n+1 - Max{i,j} = min{n+1-i, n+1-j} >>168
とりあえず前半ができたかな？
適当に近似してC^∞で考える。
diam=2とする。
領域はa(-π/2)=a(π/2)=0である関数を用いて領域
-1+a(t)≦xcos(t)+ysin(t)≦1+a(t)
にあるとしてよい。
直線族xcos(t)+ysin(t)=1+a(t)の包絡線を計算すると
x=acos(t)-a'sin(t)、y=asin(t)+a'cos(t)
となりこの包絡線の長さは
∫(1+a+a'')dt
である。
同様に直線族xcos(t)+ysin(t)=-1+a(t)の包絡線の長さは
∫(1-a-a'')dt
となり、これら二曲線の長さの和は2πである。
よって元の曲線の長さも>>172により2π以下とわかる。
以上により周率の最大値はπである。□ >>180
・ブロック分割して直接計算（左下の漸化式）
・基本に戻って？掃き出し法
・>>181をチラ見した後（）なら、見当をつけて帰納法
自分で言うのもアレだが、どれもつまらない
Cartan行列もどきなので、何か上手い手があるのかもしれない >>182
例えばa(t)=cos(t)とすれば
包絡線は(x-1)^2+y^2=1になってしまい、直径2の凸図形が全て入るとは限らないと思うのですが >>184
すみません勘違いしました
つまり直径2の凸図形を任意に用意して、内部の点Oからx軸となす角度tの直線L(t)を引いて凸図形との二交点ABの距離は常に2以下なので|OA|≦1+a(t)、|OB|≦1-a(t)となるように関数a(t)が取れて、
さらに、その凸図形内の点(x,y)をL(t)に射影したときのOからの長さが常に1-a(t)、1+a(t)で抑えられるということですか？ >>185
そうです。
周の長さがa(t)の取り方によらず常に2πになるみたいです。 >>186
なるほど 素晴らしい解答ありがとうございます
ちなみに想定していた解法は以下の通りです
凸曲線C上の点pにおける接線lの平行線l’がC上の別の一点のみと交わるとき、lとl’の距離をW(t)とする.(Cの点pにおける幅)
曲線を{p(t)}_{t∈[0,2π]}として、p(t)における内向き法線ベクトルn(t)がn(t)=(cost,sint)となるようにパラメータ付ける. このとき、W(t)=-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)となる.
したがってLをCの長さ、vを単位接ベクトル、kを曲率とすれば、
∫_0^π W(t)dt
=∫_0^π {-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)}dt
=-∫_0^(2π) p(t)・n(t) dt
=-∫_0^L p(s)・n(s) k(s) ds (孤長パラメータに変換)
= -∫_0^L p(s)・v’(s) ds
= ∫_0^L p’(s)・v(s) ds
= ∫_0^L v(s)・v(s) ds
=L となる.
よって、max_{t∈[0,2π]} W(t)≦直径 に注意すれば、
周率=長さ/直径≦ ∫_0^π W(t)dt/ max_{t∈[0,2π]} W(t)
≦π* max_{t∈[0,2π]} W(t)/max_{t∈[0,2π]} W(t)=π. ◽︎
ちなみにこのことから、等号が成立する必要十分条件は凸曲線が定幅曲線、ということになります
したがって>>168後半の問題は「直径固定の定幅曲線で囲まれる面積が最小のものを求めよ」という問題になります 前>>177
>>111なんで急にlog3が出てきたの？
1/xを積分したの？
積分したら負けって言ったのに。気にlog。
log3/3=0.159040418……
2log3/3=0.318080836……
グラフを描いたらなんかわかる可能性はあるけど。なにかを知ってて意図的に出したとしか思えない。 前>>189
>>112は公約どおり積分してないみたいだけど、
expのとこが怪しい。
気にlog出したりはしてないけど、気に3^(1/3)を出してる。
数学は答えを言い当てる理科や社会とは違うはず。
論理的なつながりで答えを導かないと説得力がない。
正解とは言えない。 >>188
すみませんがこれは前半ほどサクッとは解けません
というより名前の付いた定理です(ググれば出ます)
ポントリャーギンの最大値原理を使って示します 前>>190
急に(きゅうに)を書きこむと、なぜか文字化けして、
× 気に(きに)になるけど、
○ 急に(きゅうに)です。
>>191点Bのx座標が5/3というのはわかります。
なにを解いてlog3が出てきたのかがわかりません。1/xを積分したのがlog|x|だというのは知ってます。 だから
cosh(t)=(e^t+e^(-t))/2=5/3
sinh(t)=(e^t-e^(-t))/2=4/3
を解く。 n個の実数 a_i (i=1,2,...n) から任意のx,y を選んでリストから消し、f(x,y)を付け加える操作を繰り返す
と最終的に一つの実数が残ります。最終的に残る値が選び方によらずに同一の値になるような
f(x,y)の必要十分条件を求めてください。 前>>193
>>194cosやsinやeが出てくるとわかりにくいので、3つの領域の面積を足すか、等しいとおくか、そっちの方針で積分の仕方を教えてもらえませんか？
S=∫[x=1→p](x^2-1)^(1/2)dx+∫[x=p→q](x^2-1)^(1/2)dx+∫[x=q→5/3](x^2-1)^(1/2)dx
-(1/2)(p-1)√(p^2-1)
-(1/2)(q-p){√(p^2-1)+√(q^2-1)}
-(1/2)(5/3-q){√(q^2-1)+4/3}
積分関数は微分したもの(2x)で割るんじゃなく、微分したもの(2x)を掛けるんでしたか？ 割るとすべての項が負になったので、これは違うなと。 >>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。 >>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。 >>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。 >>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。 スマソ。
あまりの重さに連投になってしまった。orz 前>>198え、あってんの!?
やったー!! やっぱ積分したら負けなんですね。積分しないで解けるってことですね。せやて積分したら3項とも負になったでね。連投いいですよ。べた褒めみたいでとてもいいです。
で、どうやってp,qを出すかですが、どうしたらいいんですか？ eとかcosとかsinとかなしで。置換してもいいけどcosとかはやめて。ていうか積分なしで。 >>204
だから>>198のS=の右辺をp,qの2変数関数とみなして増減を調べる。
第1項～第3項の和はp,qに無関係な定数。
未知数二つなので式二つ必要。
まずqを定数とみなしてpのみの関数とみなして微分して0が必要でそれで一個。
次にpを定数とみなしてqのみの関数とみなして微分して0が必要で二個目。
正しく解けは解ける。 前>>204
>>205
S'(p)=0より、――①
S'(q)=0より、――②
①②より、p= q=
積分したら負け、微分したら勝ち。
なるほど。面白い。 nを自然数とする。ある多項式F(x)について、xの次数がnの倍数である項の係数の和をf(n)とする。ただし定数項はxの次数が0である。
(0) F(x)=(1+x)^7 のとき f(2), f(3)の値を求めよ。また
(1) 素数pについて、
f(p)=(1/p)*{Σ[k=1→p] F(cos(2kπ/p)+isin(2kπ/p))}
で表されることを示し、
(2) f(n)=(1/n)*{Σ[k=1→n] F(cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n))}
で表されることを示せ。 >>207
各nについてf(n)を多項式環からの写像と見なせば線形写像であるから単項式について示せば十分。
以下ζ=e^(2πi/n)とする。
F(x)=x^tとする。
tがnの倍数でないとき
(1/n)ΣF(ζ^k)=(1/n)(1-ζ^n)/(1-ζ)=0=f(n)。
tがnの倍数のとき
(1/n)ΣF(ζ^k)=(1/n)n=1=f(n)。 >>208
すいません、高校数学の言葉に焼き直すとどうなりますか...？ nを2以上の整数、kを0以上n以下の整数とする。部屋には男子と女子が何人かいて、どの男子と女子についても、互いに知り合いであるか知り合いでないかのどちらかである。
どの男子もちょうどn人の女子と知り合いであり、どの女子もちょうどn人の男子と知り合いである。
また、どの2人の男子においても、共通の知り合いである女子はちょうどk人である。このときどの2人の女子においても、共通の知り合いである男子はちょうどk人であることを示せ。 >>196
f(x,y)=F^(-1)(F(x)+F(y)) (F^(-1)は逆関数、F(x)は任意の関数)
Σ(i=1,2,...n)F(a_i) が入れ替えの操作で不変量となるから 日本シリーズは先に4勝したチームが優勝。
勝率はそれまでの通算勝率に従うとする。引き分けはないものとする。
勝負がつくごとに次回の勝率が変化する。
シリーズ開始前の通算成績はA:2勝、B:4勝であった。
今シリーズでAが先勝（第一試合に勝利）した。
この時点でどちらが優勝するか賭けをする。
A,Bのどちらに賭ける方が有利か？" >>210
男の人数をp、女の人数をqとしてp行q列行列Aを
Aij=1 男iと女jが知り合いのとき
. 0 otherwise
で定める。
またAの転置行列をA~で表すとする。
条件より全行ベクトルの和は全成分がnの1行q列のベクトルであり、その成分の和はqnである。
同様に全列ベクトルの和は全成分がnのp行1列のベクトルであり、その成分の和はpnである。
これらが等しいからp=q。
p次単位行列をI、全成分が1のp次正方行列をBとすれば条件より
AB=BA=nB
AA~=(n-k)I+kB
である。
よってAはBと可換であり、したがって(n-k)I+kBとも可換である。
ここでBはrank1の行列でその固有値pは(k-n)/kと一致しないから(n-k)I+kBは可逆である。
よってAも可逆であり
A~=A^(-1)((n-k)I+B)
もAと可逆である。
以上によりA~A=(n-k)I+B
であり主張は示された。□ >>213
第二試合にAが勝つ確率は通算勝率の3/7
Aが勝ったら第三試合に勝つ確率は4/8
Aが負けたら第三試合に勝つ確率は3/8
になるという設定。 >>212
同じになった
計算間違えているとするとなかなか奇跡的ｗ じゃあ合ってるのか
何かうまい考え方をすると簡単に五分五分だとわかることなんだろうか 100万回のシミュレーションでも0.5みたい。
> rm(list=ls())
> N_series <- function(A=1,B=0,w=4,a=2,b=4,k=1e6){
+ sim <- function(){
+ while(A < w & B < w){
+ p=(A+a)/(A+B+a+b)
+ g = rbinom(1,1,p)
+ if(g==1){
+ A=A+1
+ }else{
+ B=B+1
+ }
+ }
+ A > B
+ }
+ mean(replicate(k,sim())) # Pr[A wins]
+ }
> N_series()
[1] 0.500051 nを2以上の自然数として(2n-1)戦でn勝した方が勝ちというシリーズで1戦目を負けた方のチームの勝率がn/(2n-1)になるとシリーズ優勝の確率は同率になるのかな？ >>212
不透明な壺と透明な壺を用意し、どちらにも、ｎ個の白玉とｍ個の黒玉を入れておく。（ｎ、ｍは正整数）
「不透明な壺に手を入れ、よくかき混ぜて球を一つ取り出し、色を確認して戻し、
同じ色の球を透明な壺から不透明な壺へ一つ移す。」
という操作を繰り返し行い、不透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？
（恐らく）答え ｎ，ｍの値に関係なく １／２
という問題の具体例版 だと思う。 誤：という操作を繰り返し行い、不透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？
正：という操作を繰り返し行い、 透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？ 前>>214
>>212え、Bのほうが有利なんじゃないの？
先にAが勝っただけで通算だとBのほうが勝率いいじゃん。第2戦は4/7の確率でBが勝つよ。Bが勝った場合、第3戦は5/8の確率でBが勝つ。Bが勝った場合、第4戦は6/9=2/3の確率でBが勝つ。Bが勝った場合、第5戦は7/10すなわち7割の確率でBが勝って日本一。
そろともなにか？ 負ける場合も考えると勝つ確率は変わると言うのか？ じゃあ考えたら負けだ。7割勝つ。信じるしかない。 >>225
>先にAが勝っただけ
という時点で運命が決まったんじゃないの？ ０．５を算出する前提
Aが優勝する以後の勝敗の順列（１を勝ちとする）は以下の２０通り。
> (dat3=dat[apply(dat,1,sum)==3,]) # Aあと３勝の仕方 末尾に連続する0は無視
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 0 0 0 1 1 1
[2,] 0 0 1 0 1 1
[3,] 0 0 1 1 0 1
[4,] 0 0 1 1 1 0
[5,] 0 1 0 0 1 1
[6,] 0 1 0 1 0 1
[7,] 0 1 0 1 1 0
[8,] 0 1 1 0 0 1
[9,] 0 1 1 0 1 0
[10,] 0 1 1 1 0 0
[11,] 1 0 0 0 1 1
[12,] 1 0 0 1 0 1
[13,] 1 0 0 1 1 0
[14,] 1 0 1 0 0 1
[15,] 1 0 1 0 1 0
[16,] 1 0 1 1 0 0
[17,] 1 1 0 0 0 1
[18,] 1 1 0 0 1 0
[19,] 1 1 0 1 0 0
[20,] 1 1 1 0 0 0 Aが優勝する以後の勝敗の順列＝Aが優勝するときの第二試合以後の勝敗の順列 >>223
続き
白玉がｎ個出る前に、黒玉がｋ(k<m)個でる確率は
黒玉が連続してk個出て、白玉が連続してn個出る確率のC[n+k-1,k]倍なので、
C[n-1+k,k]*{m*(m+1)*...*(m+k-1)}*{n*(n+1)*...*(2n-1)}/{(n+m)*(n+m+1)*...*(2*n+m+k-1)}
=C[n-1+k,k]*P[m+k-1,k]*P[2n-1,n]/P[2n+m+k-1,n+k]
黒玉が0個からm-1個までの和を取れば、求める確率なので、
Σ[k=0,m-1]{C[n-1+k,k]*P[m+k-1,k]*P[2n-1,n]/P[2n+m+k-1,n+k]}
が求めるもの。
m,nに適当な数字を入れてWolfram先生に計算してもらったところ、
m,nに関係なく、 1/2 になるようです。予想は正しそうですが、証明はちょっと難しい。 前>>225
>>226それはどうかな。
俺は俺が勝つために投げたし、みんな勝つために打ったり守ったり走ったりしたと思う。結果的に7割勝つとわかった。それ以上でもそれ以下でもない。
最初Aに負けて、どうなるかと思った。もうだめなんじゃないかとさえ思ったよ。
それで運命が決まったとは思わないけど、運命というものがあるのなら、あるいはそうかもね。 >>230
優勝するにはAはあと３勝必要だがBはあと４勝必要と運命づけられちゃったと言えない？ 前>>230
>>232だから、運命なんてわかんないよ。勝ってるうちに強くなるかもしれないし、試合の前とあとではもう違うんだぜ。運命なんて変えてやるよ。みんなそう思ったと思う。 >>229
ｍ，ｎを１～１０からランダムに選んで１０万回のシミュレーションをしてみました。
Polya_Urn <- function(k=1e5){
mn=sample(1:10,2)
m=mn[1]
n=mn[2]
a=rep(0:1,c(m,n))
b0=b1=0
sim <- function(){
while(b0<m & b1<n){
b=sample(a,1)
a=c(a,b)
if(b==1){b1=b1+1}else{b0=b0+1}
}
b1==n
}
c(Prob=mean(replicate(k,sim())),m=m,n=n)
}
> Polya_Urn()
Prob m n
0.50125 8.00000 10.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.50022 9.00000 5.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.50065 3.00000 8.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.49939 2.00000 4.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.49657 1.00000 9.00000
ｍ，ｎに関わらず、０．５になるようです。 >>234
ターミネーターのセリフだな。
The future is not set. There is no fate but what we make for ourselves. 計算するまでもなく1/2になるとわかるような考え方がありそうに思えるのだが全然思いつかない 確率 n/(n+m) で白玉を引いて壺の中の白玉が一つ増える、あるいは、
確率 m/(n+m) で黒玉を引いて壺の中の黒玉が一つ増える、と言う操作（現象）を
確率1で、白成分が、n/(n+m)、黒成分が、m/(n+m) で構成されているキメラ玉を壺に投入する操作と同等
と考えると、白玉が2n個(相当)になるのと、黒玉が2m個(相当)になるのは、同時なので、
どちらが勝つのかが 1/2 づつになるのは当然と 強弁できる かな．．．？ ポリアの壺問題の帰納法も計算も要らない証明
http://shiatsumat.hat enab og.com/entry/2014/12/08/183943 （空白は除去してください）
ってあるのだけど、私には理解できなかった。 >>239
urlがうまく貼れなかったので
ポリアの壺問題の帰納法も計算も要らない証明
で検索してください。 >>239-240
この問題はポリヤの壺の発展形。
残念ながらそのリンクの先の証明だけでは無理です。 >>225
優勝するにはAは現時点の勝率3/7であと３勝、Bは現時点の勝率4/7あと４勝しなくちゃいけない
どちらが有利か、という問題だと思う。 前>>234
>>242Bのほうが有利だね。たとえAが第1戦から3連勝したって最終戦に勝つ確率は6割。それに比べBは先にも言ったように7割。わずかだがBの監督が宙に舞う姿を想像するね。 例えば残り四試合で「Ａが勝ち」で勝負がつくときのパターンとそれに伴う計算式は次
○○●○ ：(3/7)*(4/8)*(4/9)*(5/10)
○●○○ ：(3/7)*(4/8)*(4/9)*(5/10)
●○○○ ：(4/7)*(3/8)*(4/9)*(5/10)
各因子を分数として見ると、各々は異なるが、分子側全体、分母側全体として見ると、
これらは数字の並べ替えに過ぎず、全て同じ値を持つ。この点に注目して、解答を作ると、
残り三試合で「Ａが勝ち」で終了
○○○ ：(3/7)*(4/8)*(5/9)=5/42
残り四試合で「Ａが勝ち」で終了
[●○○]○ ：C[3,1]*(4/7)*(3/8)*(4/9)*(5/10)=1/7
(“[]”は[]内の並べ替えを意味する)
残り五試合で「Ａが勝ち」で終了
[●●○○]○ ：C[4,2]*(4/7)*(5/8)*(3/9)*(4/10)*(5/11)=10/77
残り六試合で「Ａが勝ち」で終了
[●●●○○]○ ：C[5,3]*(4/7)*(5/8)*(6/9)*(3/10)*(4/11)*(5/12)=25/231
5/42+1/7+10/77+25/231=1/2 前>>243
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Aが勝って優勝する確率は(3/7)(4/8)(5/9)=5/42――①
第2戦Aが勝って第3戦A級が勝って第4戦Bが勝って第5戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)=1/21――②
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Bが勝って第5戦Bが勝って第6戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)(5/11)=5/231――③
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Bが勝って第5戦Bが勝って第6戦Bが勝って第7戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)(6/11)(6/12)=1/77――④
①+②+③+④=1/6+8/231=93/462=31/154
Aが優勝する確率は3100/154=1050/77＜(2割ない)
Bのほうが有利。 >>243
>たとえAが第1戦から3連勝したって
Aはシリーズ開始後はあと３勝すればいいのだから
Aの勝ちを１負けを０で表示すると
Aが優勝するには第２試合以後は
> dat3[17:20,]
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 1 0 0 0 1
[2,] 1 1 0 0 1 0
[3,] 1 1 0 1 0 0
[4,] 1 1 1 0 0 0
の４通り
Bはあと４勝しなくちゃいえないからAが第1戦から3連勝したら
２戦目以後は
1 1 0 0 0 0 （Aの勝ちが1)
でしか優勝できない。
前者は0.1991342
後者は0.01515152
となる。
計算式は
g <- function(x){ # Aの勝敗数列の起こる確率
(tva=cumsum(x)+3) # Aの通算の勝利数
win=c(3,tva)/(7:13) # 試合前の勝利確率
lose=1-win # 負ける確率
(y=rbind(win,lose)[,1:6]) #最終勝率は不要なので除く
p=rep(1,6) # p : 通算勝率の入れ子
for(i in 1:6){
j=ifelse(x[i]==1,1,2) # 勝負によりwin/loseを選択する
p[i]=y[j,i]
if(tva[i]==6) break # シリーズ前２勝＋シリーズ４勝で終了
}
cat(p,'\n') # 通算勝率の変遷
return(prod(p)) # その変遷が起こる確率
}
sum(apply(dat3,1,g)) # 可能な順列の確率を総和 >>244
>218ですが、計算ありがとうございました。
きりのいい数字になってびっくりしました。 >>244
>各因子を分数として見ると、各々は異なるが、分子側全体、分母側全体として見ると、これらは数字の並べ替えに過ぎず、全て同じ値を持つ。
全く気づきませんでした、プログラムできればいいと愚考してましたので。 >>244
正解だと思うのですが
5/42+1/7+10/77+25/231=1/2
って偶然でしょうか？
>219の疑問は残ります。 >>245
いつも楽しいレスをありがとうございます
>244が正解だと思います。 A:現時点での勝率は3/7であと3勝が必要
B:現時点での勝率は4/7であと４勝が必要
勝率は通算成績で決まり現時点でA３勝B４勝である。 >>249
>>244の内容は >>223の投稿時に作っていたものです。数字の羅列が主なので、結論としては同じ、>>223
のみの投稿にしました。しかし、その内容や考え方は、>>229で生かされています。
よかったら、過去の投稿も読み直してみてください。
偶然か？ との疑問がありましたが、一定の条件下で起こる必然現象でしょう。
これが「ポリアの壺問題」の帰結です。
あるいは、もっとシンプルに、次のような思考実験が考えやすいかもしれません。
直方体型の水槽がある。水槽には水が入れられており、水は「（垂直な平面による）仕切り」により
二つの区画に分けられている。この仕切りは、自由に動くようになっている。単に位置が可変というだけでは無く、
二つの区画に分けられている水の「高さ」が同じになるように、自動的に動くようになっている。
この水槽に水を入れ、外に置いておいた。昨夜、雨が降っていたので、水槽に入っている水の量が増えているはずだが、
仕切りの位置は、どうなっているだろうか？
（仕切りの右側に雨粒が入るか、左側に入るかは、各区画の面積に比例、つまり、各区画に入っている水の量に比例する）
答え ほとんど動いていないはず。 そう？
どっちかにビチャってよっちゃってそうだけど。 >>253
じゃ、こんなのはどう？
交換してもらった名刺が１０００枚ある。五十音順に並べることにした。
１００枚ほど並べ終わった時、何を思ったか、自分の名刺も加えてみた。
上から３０％位の位置に挿入された。
さて、１０００枚全てを並べ終わったとき、自分の名刺は、どの辺りにあるか？ >>256
それならいけるのかな？
しかし本問は最初の発生した偏りが系に正帰還して偏りを拡大させていくモデルだからなぁ。
例えば今回は(a,b)の状態から始めてa+b-1回目の時点では
Aが起こる回数がa回以上の確率
=Bが起こる確率がb回以上の確率
=1/2
という事が成り立つようだけど、この状態は本当にずっとたもたれるのかな？
例えばna+nb-1回やったとき相変わらず
Aが起こる回数がna回以上の確率
=Bが起こる確率がnb回以上の確率
=1/2
という関係はたもたれ続けるのかな？
yesのような、noのような‥‥ 今(a,b,n)=(2,1,2)でやってみたらわずかにaが4回以上起こる確率の方がbが2回以上起こる確率を上回ってる気がする。
手計算だから間違ってるかもだけど。
やっぱり偏りは拡大していく気もする。 正弦定理から
sine(?) = sine(36°)/sine(72°)*sine(84°- ?)
これをコンピュータで解いて?=30 >>260
角度を計算するRのスクリプト
foo <- function(x=36,y=24){
sine <- function(x) sin(x/180*pi)
f <- function(z) sine(z) - sine(x)/sine((180-x)/2)* sine(180-y-(180-x)/2-z)
round(uniroot(f,c(0,180))$root,3)
}
> foo(36,24)
[1] 30 複素数平面でもベクトルでも三角比でも初等幾何で解く事にこだわらなければ似たり寄ったり。
でも初等幾何のテクニック勉強するのってどっかで見切りつけないとキリないんだよな。 前>>245記憶にございません。俺の脳が勝手に携帯のボタンを押したんだ。意味わかんない。メネラウスとかのほうがいい。
￣￣]/＼______∩∩_
____/＼/ ,,､､(___))|
￣￣＼/ 彡-_-ﾐっ / |
￣￣|＼＿U,~⌒ヽ､| |
□ | ∥￣￣U~~U | / )
____| ∥ □ ∥ |/ /|
_____`∥______∥ノ / |
￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥ |
□ □ □ ∥ /
__________________∥//
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣_/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__ 前>>265
>>254ありきたりな正弦定理はおもしろくないんでこのスレじゃNG。
いよいよメネラウスやっとくれ。 前>>266
84-？=24+？
2？=84-24
？=60/2=30
疑う余地はない。
その前の二等辺三角形をメネラウスでお願いします。 >>266
俺はありきたりな偏角とプログラムを使うとこういうのが図示計算できて楽しめた。
https://i.imgur.com/RMvD2IF.jpg >>263
パターンは絞れるんじゃない？
正三角形を作るとか >>269
それが数学を勉強していくのに不可避ならやるんだけど、少なくともこの手の問題は解答するためのアルゴリズムも見つかってるので数学の研究のメインに上がってる事もないし。
ソロバンみたいなもの。
勉強して無駄とは言わないが、あまり不必要に難しすぎるやつやってもしょうがない。 >>264
ω=exp(2π/3i)、log(x)を0以下の実数を除くところで定義するとして
Σω^n/n=-1/ωlog(1-ω)‥‥①
Σω^(2n)/n=-1/ω^2lig(1-ω^2)‥‥②
(ω①-②)÷(1-ω)=答え 前>>267
>>254題意の図を内角が左上A72°左下B96°右下C78°右上D84°となるよう4頂点を決め、ABの中点をE、ADの延長線とBCの延長線の交点をF、ACとBDの交点をGとし、BAの延長線とCDの延長線の交点をH、AE=BE=1、BG=xとすると、
ADは一辺ABの正五角形の対角線だから1+√5
AD=BD=BC=1+√5
Aを起点にメネラウスの定理より、(AG/GC)(CB/BF)(DDA)=1――①
Bを起点にメネラウスの定理より、(BG/GD)(DA/AF)(FD/DB)=1――②
F(12°)を起点にメネラウスの定理より、――③
H(6°)を起点にメネラウスの定理より、――④
①②③④より、x=2
△ABGはAB=GBの二等辺三角形で∠BAG=∠BGA
84°-？=？+24°
2？=84°-24°=60°
∴？=30°
②と③が同じになったから④が必要で、これでできるだろう。正弦定理でもいいよ。x=2が言えれば。けどチェバとメネラウスだけで解けたらおもしろい。 前>>273
AB=GBさえわかれば答えは出る。メネラウスと考えるのが自然。AE=BE=1として、AD=BD=BC=1+√5
実際に比がわからなくても△ABGは二等辺三角形になるしかない。時間なければx=2しかない。チェバとメネラウスで二等辺三角形でいい。
∠BAG=∠BGA
84°-？=24°+？
2？=84°-24°
？=30°あってる。 前>>274わかったからこっちにも書く。
>>254別解。
折れ線の左上をA、右上をB、左下をCとすると、
AB=BC、∠ABC=36°
AB=BC=CD、∠BCD=36°となるDをとり、
AB=BC=CD=DE、∠CDE=36°となるEをとると、
AB=BC=CD=DE=EA、∠DEA=36°となる。
∠BAEの二等分線を引くとCDと直交し、折れ線の端に達するから、
？=90°-(36°+24°)
=30°
∴示された。 東京で高さ10mの垂直な梯子に上ると、地上にいる人より何秒早く初日の出を見ることができるか。
【条件】
地球を半径6400kmの完全な球体とする。
ビルなどの建物はない。
東京を北緯35度とする。
自転軸は23.4度傾いている。
公転による影響は無視する。
観測者の身長は無視する。
１日を23時間56分4秒とする。 >>276
地球半径をRとすると、高さhのところから地平線を見下ろす
角度θは、地心と観測者と地平線を結ぶ直角三角形を作れば
tanθ＝√(2hR-h^2)/R
h/R<<1, θ<<1で近似すれば
θ≒√(2h/R)
ラジアンを秒角に直せば、
θ（秒角）≒2.06×10^5√ (2h/R)
h=10m,R=6.4×10^6mを代入して計算すると
θ≒364秒角
（ちなみに、地平線までの距離が√(2hR)≒3600√h メートル
ってのは、豆知識）
あとは、しちめんどくさいので、だいたいで。
太陽の赤緯は無視して、緯度φでの、相当する日周運動の
回転角だけ求めると、
θ/cosφ ≒387秒角
地球の自転の角速度は360度/日=15度/時=15秒角/秒
で近似できるので、
387/15≒26秒だけ早く初日の出を拝める。 >>277
あ、間違えた。φに23.4度を入れちゃってたわ。 35度で計算
しなおすと、
θ/cosφ≒444秒角なので、
444/15=30秒だけ早く初日の出を拝める。 前>>275
30秒で10mは登れると思うけど、木登りするよりは地上で30秒待って拝むかな。
狼男が何人いるかが気になる。だれか明確な答えを出してほしい。スレは20ぐらいで埋もれてる。
三日目終わって村人全員死んだらしい。毎夜12時に集まって狼男をつきとめようとしたみたいなんやが衆人監視のもとやと襲いよらへんらしい。
でも変身したらわかるはずやし、俺は村人の4人に1人が狼男や思うんやが、正解はなんなのか、だれかが出した3人という答えはなんなのか、解答する村人が俺以外死んだのかおらんなってしもて、今なぞのまま年が暮れようとしとります。 月5,000円で授業や問題集でわからない問題を当方に質問し放題の教室をやっています。
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私は、国立理系、上位私立文系合格実績があります。
pyosimu@choco.laまでご連絡ください。よろしくお願いします。 前>>279
>>253せやろ。俺も何べんか言うたんやで。Bのほうにビチャッて寄ってまうやんなぁ。 やっと>>223できた。
めちゃめちゃ難しい解答になったけど。
今日帰ったらできた解答あげます。 災害が発生していたるところに重症被災者がいる。消防署から出動して救急センターに患者を搬送する
消防署から救急センターへの距離は100km 救急車のガソリンは50L、患者を乗せない状態では燃費は10km/L、患者を乗せての燃費は5km/Lである
患者を救える地域の面積はいくらになるか？ いや違う。
消防署と救急救命センターは離れてるのか。 燃費が同じなら消防署と病院を焦点とする楕円内になる
ところをひねったわけね。
現実問題としてはガソリンの残量でも燃費が変わるけど。 >>286
＞ガソリンの残量でも燃費が変わる
どんな関係になるのでしょうか？
それが分かればそれを組み入れて計算してみたいので。 >>285
消防署から被災地に赴いてそこで被災者を収容して救急センターに送るという設定。 >>288
ちょっと、調べてみた
例えば、ガソリンタンクが60Lだとすると、レギュラーガソリンの1Lの重さは0.75kgなので、60Lが満タンになると45kg、半分の30Lだと22.5kgとなる。
その差22.5kgがどのくらい燃費が悪化するのか気になるところだが、実は満タンにした場合と半分にした場合とでは、0.84％ほどしか燃費は悪化しないのだ。
https://bestcarweb.jp/feature/column/97520 カウンタックみたいに軽量本体＋大容量タンク＋ガソリンバラ撒きだと案外無視できないんでね >>289
理解しますた。
つまりa=100kmとして
極方程式
r/10+√(r^2+a^2-2arcosθ)/5≦50
を満たす領域の面積を求めよ。
ですな。 消防署を原点、被災地の座標を(x,y)として
√(x^2+y^2)/10 + √((x-100)^2+y^2)/5 ≦ 50
なのはわかるけど、
極形式は？？？ 方程式 √(x^2+y^2)/10 + √((x-100)^2+y^2)/5 = 50をWolfram先生に解いてもらって
y=f(x)の形にして、積分して面積を求めると
> integrate(y,-100,700/3)$value*2
[1] 83693.05
１億回モンテカルロシミュレーション結果は
> k=1e8 ; mean(replicate(k,gc(runif(2,-Gas*FE1,Gas*FE1))))*(2*Gas*FE1)^2
[1] 83691.74 消防署から患者までの距離と患者から病院までの距離の２倍の和が、
消防署からたどり着ける最大距離に等しい地点の内側にあればいい。
なので、到達最大距離が病院までぎりぎり行ける程度だと、病院周
りのほぼ円形の領域をカバー（消防署からの距離はほぼ一定だから）。
到達最大距離が病院のはるかむこうまで行けるくらいあると、中間
点を中心にしたほぼ円形の領域をカバー（どっちの地点からの距離
もほぼ一定だから）。
最大到達距離が病院までの距離の２倍に等しい場合が一番円形から
はずれそう。 wolfram先生に書いてもらうとほぼ円なのはわかる。
でも円じゃないよね？
多分。 前>>281
>>283なんで円なのかわからんな。牧草を食む山羊か？ 杭につながれた。
救命救急は急がないかんのだろ。せやで速い計算以外はいらんだよ。可能性のみ考えよう。
救急車のガソリンは50L。めいいっぱい使うとして、行きが(50/3)Lで(500/3)㎞、現場から救急センターまでが(100/3)Lで(500/3)㎞の直線軌道。だれがそげなときに円形に迂回するもんか。二等辺三角形が描ける。
消防署と救急センターの中間地点は双方から50㎞の地点。その道から垂直に、ピタゴラスの定理により、√{(500/3)^2-50^2}㎞遠ざかった地点が救急できる最遠方地。
∴救える面積=50×√{(500/3)^2-50^2}
=50^2√{(100-9)/9}
=2500√91/3
=7949.49335(k㎡)
0.01k㎡=1ヘクタールだから、79万4949ヘクタール救える。車道まで搬送してくれ。それが条件で。 >>296
ガソリン２０リットルという条件でやってみそ。（消防署からの
最大到達距離が病院までの距離の２倍ってケース）
カスプができるから。 前>>297
>>299まさに8000k㎡ぐらいじゃね？ 80ヘクタール行くか行かないかぐらいじゃないかな？ 前>>300訂正。
80ヘクタール→80万ヘクタール >>289
ヒントギボン。
どうあがいても楕円積分になるorz。 一辺の長さが1の正方形が重ならずに7個入る最小の正方形の一辺の長さはいくらか >>302
すいません、確固たる正解すら持ってない自作問題なので何がヒントになるのかすらわかりません。 >>294
俺もwolfram先生の助けでやってみたけど（y^2に関する２次方程式になるから、それを解くだけ）
y = ± (1/3 sqrt(-9 x^2 + 2400 x - 10000 (2 sqrt(6 x + 2200) - 113)))
というグラフの内部。
-100≦x≦700/3で積分するとたしかに83693.046になるね。
グラフを描かせてみると、長半径500/3,短半径160で中心が (200/3,0 )にある楕円で極めて
よく近似できる（求める領域より若干膨らんでいるが）。この楕円の面積は83776で、誤差0.1％未満。 結局面積はどうあがいても完全楕円積分になる。
一般解は楕円関数使わないと表示できない。
パラメータに特殊な値を入れた場合特殊値が綺麗な値で出る事もあるだろうけど作者が適当な直で作ってみたという問題で偶然キレイな特殊値になる事は考えづらいね。 >>296
ガソリン50Lで描画すると横径（消防署と病院を結ぶ方向） 360、 縦径347.5505の結果が返ってきたから、円じゃないね。 >>309
とりあえず、カスプができる形（ガソリン20l）の場合には極座標形式で
r≦800/3{cosθ- 1/2)
と、きれいに書ける。こういう曲線って名前あるんだっけ？
面積も高校数学レベルで積分できて
∫[-π/3->π/3] (800/3)^2(cosθ-1)^2dθ=(800/3)^2(2π-3√3) >>311
写し間違えた、面積は
∫[-π/3->π/3] (1/2)(800/3)^2(cosθ-1)^2dθ=(1/8)(800/3)^2(2π-3√3) >>310
だから、楕円でよく近似できる。つ>>307 >>313
へー、パスカルのカタツムリかぁ。
lが負だから、内側のほうに対応するね。
ありがとう。 前>>301
>>303
3個のブロック直列で並べその両サイドに2個のブロックを並べると、
2個のブロックと3個のブロックの対角線はピタゴラスの定理により、
最小限√(3^2+2^2)=√13ないといけない。
一辺3の正方形より小さくはできない。
底辺2高さ3の平行四辺形が一辺3の正方形に入らないのと同じぐらいできない。
∴最小の一辺の長さは3 ガソリン20 L のときは
√(x^2+y^2)/10 + √((x-100)^2+y^2)/5 = 20から x=rcosθ y=rcosθとして
r について r/10 + 1/5 sqrt((r cos(θ) - 100)^2 + r^2 sin^2(θ)) = 20 を解けば
r = 400/3 (2 cos(θ) - 1)
んで、パスカルの蝸牛になるのか。
ようやく、理解できました。 イナの解答で数学の世界で通用するものがでた事はない。 >>303の答え＝３
なぜなら、なるべく狭い範囲に、重ならないように、並べるためには、
少なくともどこか１箇所は、縦方向（あるいは横方向）に、
３個並べなければならないが、その場合、どうしても、
１辺の長さは３になってしまうから。
あるいは、なるべく狭い範囲に、重ならないように、並べるためには、
円に近いような並べ方をするしかないが、
その場合、>>318のような並べ方をするしかなく、
その場合、辺の長さをｘとすると、３≦ｘ≦5√2/2 >>283
っちゅうことで、問題をこう変えてはいかが？
砂漠の基地Aからもうひとつの基地Bに向かって出かけた戦車がGPSの故障で
進路を見失ってさまよった挙げ句にガス欠で止まってしまった。別の戦車で
基地Aからこの戦車へ救助に向かい、燃料を分け与えて一緒に基地Bに行く
ことになった。しかし、戦車にはAB間をちょうど往復できるだけしか燃料
は積めない。AB間の距離をRとして、Aを原点とする極座標形式で救出可能な
領域を示し、その面積をRを使って表しなさい。
ただし、戦車の燃費はいずれも同じものとする。 >>223
以下を通じて確率過程(Xi,Yi)は
P((X(i+1)Y(i+1))=(c,d) | X0,Y0,‥,Xi=a,Yi=b)
=P(X(i+1),Y(i+1)=(c,d) | (Xi,Yi)=(a,b))
=a/(a+b) if (c,d)=(a+1,b)
. b/(c+d) if (c,d)=(a,b+1)
. 0 otherwise
をみたす離散Markov過程とする。
F(a1,‥,ap; b1,‥,bq;x)はgeneralised hypergeometric function とする。(Fの下付き文字は略する。)
(a～b)はa,a+1,‥,bの赤とする。例えば(3～5)=3・4・5=60である。
補題1
任意のa,b,m,n,iに対し
P(∃j (Xj,Yj)=(a+m,b+n) | (Xi,Yi)=(a,b))
= C[m+n,m](a～b+m-1)(b～b+n-1)/(a+b～a+b-1)
(∵) 容易。□
補題2
任意のa,b,cに対し
P(∀i Xi<c | (X0,Y0)=(a,b)) = 0
(∵) 補題1より得られる。□
補題3
任意のa,b,n≧0に対し
P(∃i Xi<2a, Yi=2b | (X0,Y0)=(a,b))
=Σ[n≧0]P(∃i (Xi,Yi)=(2a-1,b+n) X(i+1)=Xi+1 | (X0,Y0)=(a,b))
(∵) 補題2による。□
主張4
任意のa,bに対し
P(∃i Xi<2a, Yi=2b | (X0,Y0)=(a,b))
=(a+b-1)!(a～2a-1)(b～2b-1)/(a!b!(a+b～2a+2b-1)
. a F(2b, a+b, 1; b+1,2a+2b; 1)
(∵) 補題3 の右辺を整理するだけである。□
定理5
任意のa,bに対し
P(∃i Xi<2a, Yi=2b | (X0,Y0)=(a,b))
=P(∃i Xi=2a, Yi<2b | (X0,Y0)=(a,b))
=1/2
(∵) 主張4により
a F(2b, a+b, 1; b+1,2a+2b; 1)
=b F(2a, a+b, 1; a+1,2a+2b; 1)
を示せば十分である。
ここでgeneralized hrpergeometric functionの積分表示とEulerの公式により
a F(2b, a+b, 1; b+1,2a+2b; 1)
= a Γ(b+1)/(Γ(1)Γ(b)) ∫t^(1-1)(1-t)^(b-1)F(2b,a+b;2a+2b;t)dr
=ab ∫(1-t)^(b-1)F(2b,a+b; 2a+2b;t)dt
=ab ∫(1-t)^(b-1)(1-t)^(a-b)F(2a,a+b; 2a+2b;t)dt
と変形されるが、この変形の逆を辿って主張は得られる。□
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_function
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Generalized_hypergeometric_function 戦車を問題に出すと、日教組から文句が出るかもね。
連中は、ぐんくつの音がどうのとかで、幻聴が聞こえて大変らしいｗ >>327
r <= 4/3R(2cos(θ)-1)
8/9 (2 π - 3 √3) R^2 日帝打倒革命軍の戦車ならきれいな戦車だから問題ないんでね La+ @QiDUiNSkTzJpSff
0の0乗は1ですよ！
俺が知ってる中で唯一0だけから0以外を作り出す方法
午前0:53 2020年1月3日 任意の自然数nに対し, 区間[0,4]で定義された関数f_n(x)を次のふたつによって定める
1. f_1(x) = x(x-3)²/4
2. f_{n+1}(x) = (-1)^{[n/3]+[(n+2)/3]} ･ f_1(f_n(x))
(ここで [x] は x を超えない最大の整数)
このとき, xの方程式 f_2020(x)=a が [0,4] に少なくとも1つの実根をもつための実数 a の条件を求めよ 前>>324
>>303
6つにしたら3よりちっさなるかなぁ？ 前>>338
>>303
7つの正方形を並べた発想は面白い。けど対角線とか斜めの長さの意外な逆転現象とか面白い部分が見あたらない。
それとも面白さに気づいてないだけなのか。
まさか立方体におさめよという問題でもあるまいし。
5つにしたら一辺2√2の正方形におさまる。新しい発見があったらまた報告したいと思います。
2√2=2.82842712……＜3 前>>339
>>303それとも一個一個微妙に角度を変えることで、わずかに3より小さくした一辺2.9いくつの正方形におさまるというのか。 以下の条件を満たす立方体と平面の組は存在するか：
立方体の各頂点と平面の距離が0,1,2, .., 7である >>335
0^x =0
x^0=1
0^0=1とした方が辻褄が合うことが多い 問、1からnまでの自然数をランダムに並べ大きな桁の数を作るとき、平方数になるものはあるか。ただし、nは2以上とする。
例、n=2のとき、12と21は平方数ではない。
n=3のとき、123と132と213と231と312と123は平方数ではない。
n=12のとき、123456789101112や121110987654321などは平方数？ 頂点を(±1,±1,±1)としてよい。
この点をP±±±とする。
ベクトルnで
n・P---:P-++:P+-+:P--+=-7:5:3:-1
となるものが存在すれば条件をみたす図形は存在する。
n=(x,y,z)とすればこれは
-x-y-z:-x+y+z:x-y+z:x+y-z=-7:5:3:-1
は解を持つから求める図形は存在する。 >>344
１からnまでのn個（n≧2）の自然数を順不同に並べてできる自然数の中に
平方数となるものはあるか？
ってことね。とりあえずn=4のときにもないな。 >>347
n=8のときは73256481,34857216,81432576,13527684,65318724かな >>347
n=9: 30個の解[714653289,375468129,361874529,..]
n=10: [57926381041,24891057361,28710591364,75910168324,59710832164,27911048356,14102987536]
これ以降は制約が強くなるから減っていきそうだけど… >>349
n=9のとき 確かに30個ありました。
> apply(permn[re,],1, function(x) sum(beki*x))
[1] 139854276 152843769 157326849 215384976 245893761 254817369 326597184
[8] 361874529 375468129 382945761 385297641 412739856 523814769 529874361
[15] 537219684 549386721 587432169 589324176 597362481 615387249 627953481
[22] 653927184 672935481 697435281 714653289 735982641 743816529 842973156
[29] 847159236 923187456 ０から９までを並べかえると１０桁の平方数は
> apply(permn[re,],1, function(x) sum(beki*x))
[1] 1026753849 1042385796 1098524736 1237069584 1248703569 1278563049 1285437609
[8] 1382054976 1436789025 1503267984 1532487609 1547320896 1643897025 1827049536
[15] 1927385604 1937408256 2076351489 2081549376 2170348569 2386517904 2431870596
[22] 2435718609 2571098436 2913408576 3015986724 3074258916 3082914576 3089247561
[29] 3094251876 3195867024 3285697041 3412078569 3416987025 3428570916 3528716409
[36] 3719048256 3791480625 3827401956 3928657041 3964087521 3975428601 3985270641
[43] 4307821956 4308215769 4369871025 4392508176 4580176329 4728350169 4730825961
[50] 4832057169 5102673489 5273809641 5739426081 5783146209 5803697124 5982403716
[57] 6095237184 6154873209 6457890321 6471398025 6597013284 6714983025 7042398561
[64] 7165283904 7285134609 7351862049 7362154809 7408561329 7680594321 7854036129
[71] 7935068241 7946831025 7984316025 8014367529 8125940736 8127563409 8135679204
[78] 8326197504 8391476025 8503421796 8967143025 9054283716 9351276804 9560732841
[85] 9614783025 9761835204 9814072356
８７個ありました。
０で始まるのは９桁で記述のとおり。 >>344の答えはn>=11ではそのような数は存在しない
だろうと予想するけど何とも言えないし証明も思いつかない >>352
だからつまんない
思いついてもはぁそうですかとなりそうで >>313
森口･宇田川･一松 「数学公式I」岩波全書221 (1956) p.286
第6.96図 リマソン(蝸牛線)
r = a･cosθ±b >>336
>>337
f_nの値域をW_nとしてW_2020を求めればよい。
漸化式からW_(n+1)とW_nには関係があり、値域が規則的に変化することがわかる。
実際、-1の指数の偶奇に気を付けてW_1, W_2, W_3,...と値域を調べると、[0,1]→[-1,0]→[0,4]→[0,1]→[-1,0]...とmod3で循環する。
2020≡1 (mod3)より、W_2020=[0,1]
ゆえに0≦a≦1
秒で草 三辺の長さが自然数の三角形だけを考える。「任意の6の倍数の面積をもつ三角形は必ず存在する」は真か偽か。 前>>341
>>356
三辺が3:4:5の三角形は直角三角形でその面積は3･4(1/2)=6、すなわち命題は真。 前>>358
>>356
三辺が6,8,10なら面積は24で、12を飛ばした。
面積が12になる三辺は存在しないかもしれない。
三辺が5:12:13なら面積は5･12(1/2)=30いや、存在しないはず。命題は偽。 （１、√3）を（３、２）に移す行列を求めよ。
また逆に、（３、２）を（１、√3）に移す行列を求めよ。 >>360
a = -3/23 - (16 sqrt(3))/23, b = 8/(3 sqrt(3) - 2), c = 1/(2 - 3 sqrt(3)), d = 3/23 + (16 sqrt(3))/23
とすると
[a,b;c,d][1;√3]=[3;2]
[a,b;c,d][3;2]=[1;√3]
の両方を満たせる 前>>359
>>360
(a b)(1 (a+b√3 (3
(c d) √3)= c+d√3)= 2)
a=3,b=0,c=2,d=0
(3 0)
(2 0)
(a b)(3 (3a+2b (1
(c d) 2)= 3c+2d)= √3)
a=1/3,b=0,c=√3/3,d=0
( 1/3 0)
(√3/3 0) 平面に空いた半径1の円の穴を、辺の長さがaの正四面体が回転しながらくぐり抜けるときのaの最大値を求めよ。 前>>362
>>364
一辺aの正四面体の体積は(1/3)(√3/4)a^2(√2)a/(√3)
一方で底辺(√3/4)a^2,稜線1,高さhの三角錘が4つが頭寄せで終結した形ともとれるので、
h=√[{√(1-a^2/4)}^2-(1/3)^2(a√3/2)^2]
(1/3)(√3/4)a^2(√2)a/(√3)=4･(√3/4)a^2√[{√(1-a^2/4)}^2-(1/3)^2(a√3/2)^2]
a^2=216-72a^2
a^2=216/73
a=√(216/73)
=√15768/73
=1.72014654…… >>365
不正解です。
ヒント：3次方程式の解の公式を使います。 前>>365訂正。見えた！
a:√2=2:√3
a=2√2/√3
=2√6/3
=2･2.44949……/3
=4.89898……/3
=1.63299……(＜1.72)さっきよりちっさなった。 >>367
残念ながら答えは遠のきました。
とりあえず紙工作で実験すれば2桁ぐらいの精度でわかると思います。
そして紙工作をいじってるうちに、くぐり抜けるための条件が閃くかも… 平面上に有限個の点があり、どの3点も同一直線上にない。
各点には少なくとも1本の線分がついていて、他の点と結ばれている。
このとき、「2本の交差する線分ABとCDがあれば、その2本を取り除き、線分ACとBDで置き換える」ことにする。
「」内の操作を無限に行うことは可能か？ 交差が偶数個でなおかつ消失が奇数個ずつである時有限となる。
それ以外は無限 >>364
イナ氏の答えａ=2√6/3 が正解のような気がするが。
回転しないでよいならa=√3の正四面体がくぐり抜けられるが、
題意を考えると、半径１の球に内接する正四面体の一辺の長さはいくらか、
という問題と同じだから、ａ=2√6/3となるはずだが。 回転しながらってそういう意味じゃないんじゃないか？
途中で適当に回転させてもよいから通り抜けられればOKって意味なんじゃ？ >>359
三辺の長さが5,5,6や5,5,8なら面積は12 >>371
題意は、知恵の輪を解くようにありとあらゆる回転と移動を行って
厚さ0の平面に空いた単位円の穴をくぐり抜けるという意味です。
>回転しないでよいならa=√3の正四面体がくぐり抜けられるが、
平行移動のみでも√3は最大ではありません。
大前提として「回転を許す場合のaの最大値 ≧ 平行移動のみのaの最大値」
が成り立つことを考慮願います。 勘で正四面体ABCDのAB,AC上のPQをAP=AQととるときの△DPQの外接円の半径の最小値の逆数。 前>>367
>>364問題にバーバトリックはこれを認めるとか、棒高跳びのようにバーに触れても絶対にセーフとか但し書きが要ると思う。 >>374
とりあえずa=4√2/3の正四面体は平行移動だけで通り抜けられることは分った。 前>>377
>>364
一瞬回転止まるけど、ねじれの位置にある2辺以外の、長さaの4つの辺の真ん中が輪を通過するとき、正四面体はあっち側とこっち側とで半々になってる。
つまり一辺a/2の正方形が半径1の円にちょうどおさまるときがaは最大。
(a/2)√2=2
∴a=2√2=2.82842712……
但し、バーバトリックを認めないなら、回転中の正四面体が円内で詰まる可能性がある。 >>364の答えは、たぶんa=2である(笑
円の直径に正四面体の底辺の一辺を合わせる。
そのとき正四面体の底辺の他の二辺は円の直径と
それぞれ60°の角度で接している。
その状態のまま、その接している２点の弦を中心にして回転させると、
通り抜けられる、たぶん(笑 >>375
その勘は正しい！
>>376
の文献にその証明が載っている。
>>378
平行移動のみの場合は4√2/3よりもうちょっと大きくできる。
>>381
それはさすがに大きすぎて、ひねることすらできない。
もっと小さきくするとひねったり回転させたりできて、はずせるようになる。 前>>381
>>383でもa=2√2で高速回転してるよ。
どうやって入ったかは微妙だけど、正四面体の真ん中で円を跨いで回転してんだよ。入ったんだから出られるでしょ。
a=2√2より小さくなれば通れるの当たり前じゃん。
じゃあ逆にそれ、回転してんの？ 実際は回転できないんじゃないの？
ねじりながら通ったらそれでいいってこと？ >>363
n=11 の 39916800通りの順列の中には平方数はなかった。 >>385
ちなみに
n=12の時もないがn=13の時はあった（58911124131067321等）
どうやら>>352の予想は外れたようだ >>380
これで通り抜けられるのかイメージできないんですが。 >>386
お疲れ様です。
うちのパソコンと俺のプログラム技術では11までが限度だった。 >>388
こっちもこれ以上のnでは無理だ
誰かプログラミング上手い人にやってもらいたいな 前>>384
>>364
正四面体の1つの頂点Aが円周上をちょうど通過するとき、BC上のB寄り1:2の地点とCD上のC寄り1:2の地点が円に触れることがあるんじゃないか。そのとき円内にちょうどある正四面体の断面は二等辺三角形で、2辺がa√7/3,底辺がa√3/3だからピタゴラスの定理により、
(a√3/6)^2+[1+√{1-(a√3/6)^2}]^2=(a√7/3)^2
a^2/12+(1+a√11/12)^2=7a^2/9
12a^2+(12+a√11)^2=16･7a^2
12a^2+144+24a√11+11a^2=112a^2
89a^2-24a√11-144=0
a=12√11+√(144･100)/89
=(12√11+120)/89
=1.79549997……
超えんかぁ。やっぱりa=2が最大か。
2＜a＜2√2を満たすaがあると思うんだけど。 前>>390
>>380この絵いいね。
a=2√2だときっつきつだけど、2√2よりちょっと小さいaで、2より大きくても通るんじゃないかと。
のれんの竿の長さは間口よりも確実に長い。
でも女将は難なくのれんを出す。
2＜a＜2√2を満たすaがあるはず。 >>391
>>376の結果的にa=1.791...だからこれを超えちゃうのはまずい 前>>391
問題>>364
>>376
500キロバイト超えるダウンロードしたけど白紙6枚で、縮小したけどやっぱり白紙の長方形が6枚あるだけしか見えない。
a=2.33ぐらいなら、知恵の輪のように通過しうる妥当な最大値かな、という気がする。 >>394
論文の著者タイトル等は以下の通りなのでググるなりなんなり
J. Itoh, Y. Tanoue, T. Zamfirescu, Tetrahedra passing through a
circular or square hole, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo,
Suppl. 77 (2006), 349-354. >>375 が解法の本質をついているので、その方針で計算を示します。
正四面体ABCDの辺BCと辺BDをt:1-tに内分する点をそれそれP,Qとし、
三角形APQ (辺の長さはAP=AQ=a√(1-t+t^2), PQ=at) が単位円に内接するときの
三辺の長さと内接円半径の関係式を求めると
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
となる。そしてこの右辺をf(t)と置いてf(t)の0<t<1での最大値を計算する。
f'(t)=0の分子の方程式3t^3-6t^2+7t-2=0をカルダノの公式で解くと
t_0= (2 + (-4+√43)^(1/3) - (4+√43)^(1/3))/3 = 0.39125971029558…
であり、このときの極値は
f(t_0)= (√3/9)√(38 + (277217+41796√43)^(1/3) + (277217-41796√43)^(1/3))
= 2.23311138619632… (これは9x^6-38x^4+9x^2-216=0の正の根でありaの最大値となる)
a=f(t_0)のとき点A,点P,点Qは単位円にギリギリ内接し、
PQを軸にして正四面体を回転させれば点Aを点B側にくぐらせることができ、
この手順を2回繰り返して単位円を通過させられる。
f(t_0)よりもaが大きいと正四面体はどうやっても1つの頂点しか単位円をくぐらない。
詳細な証明は >>376 の文献にあるので、腑に落ちない部分は補完してください。
また
http://www.alg.cei.uec.ac.jp/itohiro/Games/090303/090303-08.pdf
にこの問題の日本語サーベイがあって、答えを抽出すると全く同じ値
(aの最大値) = 2/γ(3,B_2) = 1/r (rは216x^6-9x^4+38x^2-9=0の(0,1)区間の根)
= 2.23311138619632…
になります。
この問題の類題は東大入試で複数回（1988年,1990年）出題されているそうです。 前>>394
>>364
答えだけわかってもだめだよね。
a=2√2みたいな確固たる値が示せないと。式だよ、式。半径1の円を通過する正四面体の断面が二等辺三角形のとき、斜辺は2より小さいけど、
a√7/3=2としたら、
a=6√7/7=2.264565……
2.23～√5あたりにありそうではある。 前>>397
>>364
正四面体の頂点Aが半径1の円の円周を通過するとき、BCをt:1-tに分ける点とCDを1-tに分ける点がちょうど円周に接するとすると、
半径1の円を△BCDのうち点Cだけが先に通過したとして、頭を出している△BCDの面は、
2辺がat,at√3で斜辺が(1-t)aだからピタゴラスの定理により、
a^2t^2+3a^2t^2=(1-t)^2a^2
4a^2t^2=(1-t)^2a^2
4t^2=1-2t+t^2
3t^2+2t-1=0
(3t-1)(t+1)=0
t=1/3
断面は2辺がa√7/3,底辺がa√3/3の二等辺三角形で、半径1の円内にちょうどおさまる。ピタゴラスの定理により、解けると思ったんだけど。
a=2.23……になるみたいなんだけど。 1から9までの自然数を並べ9桁の数を作ると9!=362880通り
その数字を小さい順に並べると10万個めにあたる数字はいくつか？
パソコン使うと解けるけど、手作業だとどうやるんだろ？ 前>>400
>>401たしか何回も反芻して脳内にα波だかドーパミンだかをたくさん出させて俺を押し上げてくれたやつだ。 >>402
1□□□□□□□□→40320通り
2□□□□□□□□→40320通り
31□□□□□□□→5040通り
32□□□□□□□→5040通り
34□□□□□□□→5040通り
351□□□□□□→720通り
352□□□□□□→720通り
354□□□□□□→720通り
356□□□□□□→720通り
357□□□□□□→720通り
3581□□□□□→120通り
3582□□□□□→120通り
3584□□□□□→120通り
3586□□□□□→120通り
3587□□□□□→120通り
35891□□□□→24通り
358921□□□→6通り
358924□□□→6通り
3589241□□→2通り
3589246□□→2通り、計10万通り
答、358926471 >>404
お見事です。
ありがとうございました。 >>399
AB+CDとAC+BDの大小関係を調べる >>406
交点をXとして
AX+XC>AC, BX+XD>BD
だから
AB+CD>AC+BD
これだけか‥‥orz >>344
明らかかもだけどまだ誰も言及してなかったので一応。
1からnまでの整数の和は n(n+1)/2 だから、
1からnまでを全て一回ずつ並べてできる数の9による剰余は
0, (n≡0,8 mod9)
1, (n≡1,4,7 mod9)
3, (n≡2,6 mod9)
6 (n≡3,5 mod9)
となる。法9の平方剰余は 0,1,4,7 のみだから、適するnは ≡0,1,4,7,8 (mod9) のみであることがわかる。
これが十分条件かはわからないけど… >>398
やっと証明できた。
論文と同じかもしれないけど。
P,QをそれぞれAB,AC上を自由に動かしたときの△DPQの外接円の半径が最小となるときAP=AQ。
∵) 半径最小となる時の外接円の中心をO、半径をRとする。
微小変化でRが減少しないからABはOPと垂直である。
そうでなければABは中心O、半径Rの球に接していない。
よってPをどちらかに微小に動かして∠DPQを減少させることができる。
DQは変えてないから外接円の半径が減少して矛盾。
同様にACはOQと垂直である。
Pを通るOPに垂直な平面をα、Qを通るOQに垂直な平面をβとするとAはこのに平面の交線上にあり、P,Qそれぞれからこの公線への距離も等しい事からAP=AQである。□
からの>>396で完成。 前>>403(前々>>400のつづき。やっとできた。ただの計算間違いだった模様。探していた2よりやや大きいaがみつかった)
>>364
正四面体の頂点Aが半径1の円の円周を通過するとき、BCをt:1-tに分ける点とCDをt:1-tに分ける点がちょうど円周に接するとき、
半径1の円を△BCDのうち点Cだけが先に通過したとして、頭を出している△BCDの面は、2辺がat,at√3で斜辺が(1-t)aだからピタゴラスの定理により、
a^2t^2+3a^2t^2=(1-t)^2a^2
4a^2t^2=(1-t)^2a^2
4t^2=1-2t+t^2
3t^2+2t-1=0
(3t-1)(t+1)=0
t＞0より、t=1/3
正四面体を半径1の円で切った断面は二等辺三角形で、辺の長さはピタゴラスの定理により、
2辺が√{(a/6)^2+(a√3/2)^2}=a√7/3
底辺が√{(2a/3)^2-(a/3)}=a√3/3
二等辺三角形の高さはピタゴラスの定理により、
√{(a√7/3)^2-(a√3/6)^2}=√(7a^2/9-a^2/12)
=a√(28-3)/6
=5a/6
半径1の円の中心から二等辺三角形の底辺までの長さはピタゴラスの定理により、
√{1-(a√3/6)^2}
これに円の半径を足すと、二等辺三角形の高さになるから、
1+√{1-(a√3/6)^2}=5a/6
√{1-(a√3/6)^2}=5a/6-1
1-(a√3/6)^2=25a^2/36-5a/3+1
(a√3/6)^2+25a^2/36=5a/3
a≠0だから、
(1/12+25/36)a=5/3
(3+25)a=60
7a=15
a=15/7
=2.142857142857……
∴aの最大値は、のれんの竿が間口を超えるように、円の直径2を1/7だけ超える数。 レフェリーの査読を受けた折り紙付の論文にケンカうるやつがいたんですよ～ ！_;'.,ﾌｩ!ｯ―― __/__
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/__ι￣)_`○_）ｶﾞｲﾌﾞﾉ
/__υ`υ_ι￣)_/ﾛﾝﾌﾞﾝﾉ
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ﾅﾙﾎﾄﾞ｡前>>412前々>>410ﾂﾏﾘｻﾝﾌﾞﾝﾉｲﾁｼﾞｬﾅｲtﾉｧﾀｲｶﾞｧﾙｯﾁｭｰｺﾄヵ! P,Qをそれぞれ稜AB,稜AC上で動かす。
t → t_0 のとき
AP = AQ = PQ = a･t → a･t_0
DP = DQ = a√(1-t+tt) → a･y
ここに y=0.87282555565530973 は 9y^6 -3y^4 +y^2 -3 =0 の正根.
ΔDPQ の高さh (底辺PQ～頂点D) は
h = a√[1-t+(3/4)tt] → a･z
ここに z=0.850619427464394312 は 48z^6 -24z^4 -5z^2 -2 =0 の正根.
ΔDPQの外接円の半径R は
R = DP･DQ/2h = a(1-t+tt)/{2√[1-t+(3/4)tt]} → a･x
∠DPQ = ∠DQP → 77.048042397987678ﾟ
∠PDQ → 25.903915204024644ﾟ 前>>413問題>>364
正弦定理かな。
二等辺三角形の底辺b=2Rsin60°=2R(√3/2)=R√3
余弦定理より、
cos60°={a^2t^2+a^2(1-t)^2-b^2}/2at･a(1-t)=1/2
{a^2t^2+a^2(1-t)^2-3R^2}/a^2t(1-t)=1
a^2t^2+a^2(1-t)^2-3R^2=a^2t(1-t)
a^2(2t^2-2t+1-t+t^2)=3R^2
a^2(3t^2-3t+1)=3R^2
a^2=R^2/(t^2-t+1/3)
a=R/√(t^2-t+1/3)
もしかしてR=1なんじゃないか。
a=1/√(t^2-t+1/3)
t=0→1のときのaの最大値すなわちf(t)=t^2-t+1/3の最小値。
f'(t)=2t-1=0
t=1/2でもそんなはずはない。
t=1/3のときa=15/7=2.142857……だけど、
t=1/2のときはa=16√3/13=2.13175484……だったかわずかに小さかったはず。計算間違いか？ 【問1】2人が、6×10の形をした60片からなる板チョコで次のようなゲームをする。
先手は板チョコを溝に沿ってまっすぐ2つに切り、どちらか一方を食べる。
次に、後手は残りの板チョコを溝に沿ってまっすぐ2つに切り、どちらか一方を食べる。
これを繰り返し、最後の1個を相手に残した人が勝者となる。
完全な必勝法があるのは先手、後手のどちらか。
【問2】2人が、3×6×10の形をした180片からなる3次元の板(？)チョコで問1と同じゲームをする。完全な必勝法があるのは先手、後手のどちらか。 各辺の長さ-1のnim sumが0になるように残す。
https://mathtrain.jp/nim >>416
２枚が同形になるように割るんだよね？
最後の一枚はどういう意味？
開始10:6
先手5:6
後手5:3
この後はどうなるの？ >>417
なるほど、正方形が残るように割って食べれば相手は正方形を残すことができないから負けることのなるのか >>416
板チョコが10×10の形だと、先手には必勝法はないんだなぁ。
>417の頭脳に感服。 >>422
正方形が残されたら負け確定から類推すると三次元の場合は立方体が残されたら負け確定ってことか。 前>>415
>>416
俺は先手必勝。
先手でも後手でも手には無数の見えない雑菌がついている。
板チョコを先手が素手で割ったらかならず先手のばい菌がチョコにつく。
最悪まずは先手をとる。
後手に素手で正方形に割らせないために、手をあっつあつの手袋であっためてチョコを溶かして、「溶かしましたすいません！」だ。ほかにとくに思いつかない。立体だと逆に負ける。一方の断面を正方形にすると、後手に立方体にされた場合でも正方形にして返せば勝てる。 前>>426
>>346
正四面体が円をくぐりぬけるときの、円周が接触する点が分ける辺の比が知りたいなぁ。
1:1のときa=2.13……
1:2のときa=2.14……
a=2.23……てことは、
辺の比1:uのuは、かなり大きくなるのかな？
思ったより端になるのかもしれん。 前>>429
半径1の円の円周が正四面体の頂点Aと、辺BCおよびCDをそれぞれt:1-tに分ける2点の計3点に触れて通過するときの二等辺三角形の辺の長さは、
t=1/2のとき、a/2,a√3/2,a√3/2
a=16√3/13=2.13……
t=1/3のとき、a√3/3,a√7/3,a√7/3
a=15/7=2.142857……
t=1/4のとき、
a=2.……(つづく) 平面上に2003個の点があり、どの3点も同一直線上になく、どの4点も同一円周上にないとする。
このとき、次の条件をみたす円が存在することを証明せよ。
○円は3個の点を通る。
○円の外部に1000個の点がある。
○円の内部に1000個の点がある。 前>>430
半径1の円の円周が正四面体の頂点Aと、辺BCおよびCDをそれぞれt:1-tに分ける2点の計3点に触れて通過するときの二等辺三角形の辺の長さは、
t=1/2のときa/2,a√3/2,a√3/2
a=16√3/13=2.13175484……
t=1/eのときa√,a√,a√
a=
t=1/3のときa√3/3,a√7/3,a√7/3
a=15/7=2.142857……
t=1/πのときa√,a√,a√
a=
t=3/10のときa√,a√,a√
a=
t=1/4のときa√10/4,a√13/4,a√13/4
a=1.99407406……＜2
aを最大にするtは、
1/4＜t＜1/3にあると考えられる。 >>431
Riemann球上で考えてよい。
球を三次元Euclid空間に埋め込んでx^2+y^2+z^2=1としてよい。
2点P,Qを任意に固定し残りをR1～R2001とし、さらに無限遠点をR0としておく。
P(1,0,0),Q(-1,0,0)としてよい。
△PQRiの外接円をCiとする。
さらにCIはこの準備にPの周りを回転していくとしてよい。
この時C1001が求められた条件をみたす。 >>416
食べるチョコの無くなった方が負け、つまり最後の１個を食べた方が勝ちとすると必勝法はあるだろうか？ あ、でもこの設定でなら1x1でない限り割らないとダメというルール入れないとダメだな。 >>391
>>410
のれんに腕押しでござる.。。。 >>436
チョコを割って食えなくなると死ぬという設定でいいと思うｗ 前>>432訂正。問題>>364
正四面体ABCDの頂点Aが半径1の円に触れながら通過するとき、円は辺BC,辺CDをt:1-tに分ける点P,Qにも触れていて、
PQ=bとおくと、
正弦定理より、
b=2Rsin60°=2R(√3/2)=R√3
余弦定理より、
cos60°={a^2t^2+a^2(1-t)^2-b^2}/2at･a(1-t)=1/2
{a^2t^2+a^2(1-t)^2-3R^2}/a^2t(1-t)=1
a^2t^2+a^2(1-t)^2-3R^2=a^2t(1-t)
a^2(2t^2-2t+1-t+t^2)=3R^2
a^2(3t^2-3t+1)=3R^2
a^2=R^2/(t^2-t+1/3)
a=R/√(t^2-t+1/3)
R=1じゃなかった。
底辺は△BCDがある面。
半径1の円がある面じゃない。
t=1/2のときa=16√3/13=2.13175484……
16√3/13=R/√{(1/2)^2-1/2+1/3}
R=16√3{(1/2)^2-1/2+1/3}/13
=16√3(1/12)/13
=16(1/2)/13
=8/13
t=1/3のときa=15/7=2.142857……
15/7=R/√{(1/3)^2-1/3+1/3}
R=15√{(1/3)^2-1/3+1/3}/7
=15(1/3)/7
=5/7
t=3/10のときa=2.2……これ2.2超えるかなぁ。あまり期待してない。知恵の輪が締まってる感じがないもんね。 前>>439問題>>364
a=b/√(3t^2-3t+1)
t=1/2のときb=a/2,a=15/7=2.13175484……
t=1/√7のときb=a√{(10-3√7)/7},a=──
t=1/eのときb=a√(3/e^2-3e+1),a=──
t=1/3のときb=a√3/3,a=16√3/13=2.142857……
t=1/4のときa=4√42/13=1.99407406……＜2 前>>440訂正。問題>>364
a=b/√(3t^2-3t+1)
t=1/2のときb=a/2,a=16√3/13=2.13175484……
t=1/√7のときb=a√{(10-3√7)/7},a=──
t=1/eのときb=a√(3/e^2-3e+1),a=──
t=1/3のときb=a√3/3,a=15/7=2.142857……
t=1/4のときa=4√42/13=1.99407406……＜2 前>>441問題>>346
四面体ABCDが頂点Aを半径1の円に触れながらぎりぎり通過するときBC,CDをt:1-tに分ける点P,Qがちょうど円に触れているとすると、AP=AQ,PQ=bとして、△BCDにおいて余弦定理より、
cos60°=(PC^2+CQ^2-PQ^2)/2PC･CQ
1/2=(7a/10)^2+(3a/10)^2-b^2/2(7a/10)(3a/10)
21a^2=49a^2+9a^2-100b^2
37a^2=100b^2
b=a√37/10
AからPQに垂線AHを下ろすと、△APHにおいてピタゴラスの定理より、
AP=√(AH^2+PH^2)
=√(a√3/2)^2+(a/5)^2
=√(3a^2/4+a^2/25)
=a√(75+4/100)
=a√79/10
AP=AQ=a√79/10
PQ=b=a√37/10より二等辺三角形を描き△APQの中心をOとすると、△APHにおいてピタゴラスの定理より、
AO+OH=√(AP^2-PH^2)
1+√{1-(a√37/20)^2}
=√{(a√79/10)^2-(a√37/20)^2}
1+√(1-37a^2/400)
=√(79a/100-37a/400)
1+2√(1-37a^2/400)+1-37a^2/400
=79a/100-37a/400
2√(1-37a^2/400)
=37a^2/400+79a/100-37a/400-2
800√(1-37a^2/400)
=37a^2+316a-37a-800
40√(400-37a^2)
=37a^2+279a-800
1600(400-37a^2)
=(37a^2+279a-800)^2
=1329a^4+20646a^3+(77841-59200)a^2-446400a+640000
1329a^4+20646a^3+18641a^2+59200a-446400a=0
a≠0より
1329a^3+20646a^2+18641a-387200=0
(予想)a=2.2…… 赤色のカメレオン13匹と、青色のカメレオン15匹と、黄色のカメレオンが17匹いる。
もし、異なる色の2匹のカメレオンが出会えば、2匹とも3番目の色に変わる。
例えば、青色と黄色が出会えば2匹とも赤色になる。
同じ色の2匹のカメレオンが出会っても色は変わらない。
このとき、全てのカメレオンが同じ色になることは可能か？ >>444
数を1,2,3匹にして100万回乱数発生させてシミュレーションしたけど統一色にはならなかった。
数が違えば別の結果なのだろうか？
r= 1 ; b= 2 ; y= 3
cam=c(rep(1,r),rep(2,b),rep(3,y))
N=length(cam)
ct <- function(x,y){ # camelleon transformation
if(x==y)return(0) # 同色なら0を返す
else return((1:3)[-c(x,y)]) # 異色なら第３色を返す
}
ce <- function(x){ # camelleon encounter
ab=sample(N,2) # indexから２個選ぶ
a=x[ab[1]] # indexに相当するxの要素
b=x[ab[2]]
z=ct(a,b) # camelleon transformation
if(z!=0){ # 同色でなければ
x[ab[1]]=z # 第３の色に入れ替える
x[ab[2]]=z
}
return(x)
}
is.uc <- function(x){ # is uniform color?
length(unique(x))==1
}
x=cam
for(i in 1:1e6){
if(is.uc(x)==1){
print(x)
break
}
else{
x=ce(x)
}
} r:0,b:1,y:2 として最初はトータル≡1 (mod 3)なので不可能。 赤1匹、青2匹、黄2匹なら、赤一色になるのは可能。
赤青青黄?
赤赤青赤?
赤赤赤赤赤
mod3とどんな関係があるんだろう？？ >>446
パソコンに探索させたけど、
赤1匹、青2匹、黄4匹なら青一色に統一可能ですね。
赤1匹、青2匹、黄5匹だと赤一色に統一された。
カメレオンの総数が3の倍数だと統一不能ってことらしいですね。
証明はさっぱりわからないけど。そんな印象。 いや、統一可能な初期値x3は必ず統一可能なのでそんな簡単な判定で済むはずはない。
(a,b,c)から始めてmod3絡みの判定条件は作れるとは思うけど。 >>449
そうですね。
総数が3の(1,1,1)は最初の出会いで統一されちゃいっますね。 >>444
異なる色A,Bが出会ってCの色に変わる時、AもBも総数は1減るが、Cだけ総数が2増える。
しかしどの色もmod3で考えれば1ずつ減るのと変わらない。
初期状態でのmod3における各色の剰余の組は(1,0,2)だから、
この状態からどのように出会わせても(1,0,2),(0,2,1),(2,1,0)にしかならない。
よって、一色だけの状態（つまり(0,0,x)等の状態）にするのは無理。 >>451
それかな。
初期値が全てmod3で等しい事が必要。
逆にmod3で全部等しいとする。
黄色が最大として赤アオがある限り黄黄に変換して行けるとこまで行く。
赤が3の倍数だけ余ったとする。
赤赤赤黄とのこったら
青青赤赤→黄黄黄黄
が可能なので全部黄色にできる。 一色化可能なmodの組合を列挙させたら、
> pcc
[,1] [,2] [,3]
x 1 1 1
x 2 2 2
x 0 0 0
x 1 1 2
x 2 2 0
x 0 0 1
x 1 1 0
x 2 2 1
x 0 0 2
の9通り
結局、0 1 2 以外は一色にできそう。 訂正。
どれか二つが等しい事が必要。
r≡b(mod3)のとき統一できる。
実際rb=0になるまで黄色にする。
r=0になったとしてよい。
y=0なら終。(元々(r,b,y)=(0,n,0)だった場合だけど)
(b≡r≡0(mod3)だからbは3の倍数残ってる。
bbby→rbbr→yybr→yyyy
で完成。 >>452
赤1匹 青１匹 黄2匹でも 一色化できるんじゃないかな？ >>455
結局、0 1 2以外の組み合わせってことだよね？ >>456
ですな。
必勝十分条件はr,g,bの少なくともいずれか二つがmod3で等しいとき。 前>>443
>>444
(赤,青,黄)=(13,15,17)→→(15,14,16)→(14,16,15)→(16,15,14)
→(0,2,43)→(2,1,42)
→(1,3,41)→(3,2,40)
二種類のカメレオンを同数にすることができないからすべて同じ色にすることは不可能。
∴示された。 >>461
正解が投稿されてから誤答を繰り返すいつもの芸風ｗ 前>>460
>>364
今のところt=1/3のときa=15/7=2.142857……より大きいaはだれも示せてない。 >>444
一色化できる条件はわかったけど、何色に統一色されるかって計算できるのだろうか？
赤２匹 青３匹 黄５匹でシミュレーションすると、再現性をもって青に統一された。
赤３匹 青５匹 黄８匹で赤
赤１匹 青４匹 ?５匹で黄
になった。 >>444
これは不変量を使って解くやつだろ
昔数学のたのしみっていう雑誌で見かけた覚えがある >>462
アイツどういう思考パターンしているのかなあ？ a≡b≡c (mod 3)でないなら統一できる色が一意に決まるのは明らか。
またr,b,yのうち二つが赤なら統一色が一意に決まるのも自明。
そうでないときは任意の色に統一できる。
帰納法。
r,b,y全て0でないとき。
r-1,b-1,y-1の中に0が一つまでなら帰納法の仮定によりよい。
RBY R^3nのとき。
RBYRRR→RBBBRR→RBBYYR
によってRBY R^3n→RBYRBY^(3n-3)
が可能だからr-1,b-1,y-1全てが0でないケースに持ち込める。
r=0のとき。
(BY)^3n B^3m としてよい。
この時
BBBYYY→VBYYRR
により
(BY)^3n B^3m → (RRBBYY)^2m B^3m
によりr-1,b-1,y-1全てが0でないケースに持ち込める。 前>>463問題>>364
△ABCにおいて余弦定理より、
cos60°={a^2(1-t)^2+a^2t^2-b^2}/2a(1-t)at=1/2
a^2(1-2t+t^2+t^-t+t^2=b^2
b^2=(1-3t+3t^2)a^2──①
△ABCにおいてピタゴラスの定理より、
AP^2=(a/2-at)^2+(a√3/2)^2
=a^2(1/2-t)^2+3a^2/4
=a^2(1-t+t^2)──②
△APQにおいてピタゴラスの定理より、
AP^2-PH^2=AH^2=(AO+OH)^2={AO+√(OP^2-PH^2)}^2
①②を代入し、
(a/2-at)^2+(a√3/2)^2
-a^2(1-3t+3t^2)/4
=[1+√{1-(1-3t+3t^2)a^2/4}]^2
a^2(3/4-t/4+t^2/4)
=1+√{4-a^2(1-3t+3t^2)}+1-a^2(1-3t+3t^2)/4
a^2(1-t+t^2)-2=√{4-a^2(1-3t+3t^2)}
a^4(1-t+t^2)^2-4a^2(1-t+t^2)+4=4-a^2(1-3t+3t^2)
a^2≠0より、
a^2(1+t^2+t^4-2t-2t^3+2t^2)-4(1-t+t^2)=-1+3t-3t^2
a^2(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)=-1+3t-3t^2+4(1-t+t^2)
a^2(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)=t^2-t+3
a^2=(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)
a=√{(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}
t=1/3のとき
a=15/7=2.142857……
aをtで表した式はあってる。
aを微分しa'=0のときのtの値よりaの最大値は、 前>>469問題>>364
a={(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}^(1/2)
微分すると、
a'=(1/2){(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}^(-1/2){{(2t-1)(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)-(t^2-t+3)(4t^3-6t^2+6t-2)}/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2
={√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}{(2t-1)(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)-(t^2-t+3)(4t^3-6t^2+6t-2)}/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2･2√(t^2-t+3)
={√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}{2t(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)-(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)-t^2(4t^3-6t^2+6t-2)-t(4t^3-6t^2+6t-2)+3(4t^3-6t^2+6t-2)}/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2･2√(t^2-t+3)
={√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}(2t^5-4t^4+6t^3-4t^2+2t-t^4+2t^3-3t^2+2t-1-4t^5+6t^4-6t^3+2t^2-4t^4+6t^3-6t^2+2t+12t^3-18t^2+18t-6)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2･2√(t^2-t+3)
={√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}(-2t^5-3t^4+20t^3-29t^2+24t-7)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)^2･2√(t^2-t+3)
=(-2t^5-3t^4+20t^3-29t^2+24t-7)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)√(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)･2√(t^2-t+3)
t^2-t+3=(t-1/2)^2+11/4≠0より、
a'=0のとき-2t^5-3t^4+20t^3-29t^2+24t-7=0 >>444
Z/3で考えたら
0+1=2+2
1+2=0+0
2+0=1+1
で変化の前後で合計は変わらない
0*13+1*15+2*17=1
13+15+17=0
0*x=1は決して成立しない
逆に
0x+1y+2z=d(x+y+z)
となるdが存在するとき
1x+2y+0z=(d+1)(x+y+z)
2x+0y+1z=(d+2)(x+y+z)
であるので
一般性を失わずd=0としてよい
すなわち
0x+1y+2z=0
y=z+3n
n=0なら
0(x+y+z)+1*0+2*0=0
とできる
n>0なら
0(x+y)+1*0+2(3n)=0
0(x+y)+1(3n)+2*0=0
n=-m<0なら
0(x+z)+1(3m)+2*0=0
とできるので
そもそも
0n+1(3m)+2*0=0
m>0
としてよい
n=0なら終了なのでn>0とすると
0(n-1)+1(3m-1)+2*2=0
0(n+3)+1(3(m-1))+2*0=0
とできるので次第に減らして
0(n+3m)+1*0+2*0=0
にすることが可能 >>472
>y=z+3n
z=y+3nの間違い
ここ以下はz=y+3nでの考察 >>464
>何色に統一色されるか
1色になる条件は個体数に3の倍数の差がある2色が存在することであるので
その2色以外のもう1色に統一できる
すべてが3の倍数の差ならどの色にも統一できる >>474
>すべてが3の倍数の差ならどの色にも統一できる
3n,0,0の場合は3nの色にしかできない
それ以外ならどの色にも統一できる 前>>471問題>>364
-2t^5-3t^4+20t^3-29t^2+24t-7=0
2t^5+3t^4-20t^3+29t^2-24t+7=0
(2t-1)(t^4+2t^3-9t^2+10t-7)=0
t=1/2のときa=2.13……でt=1/3のときa=2.14……に及ばないから不適。
t^4+2t^3-9t^2+10t-7=0 >>474
３の剰余系で a a bならばｂになるわけか。
ありがとうございました。 【問1】宇宙空間に2020個の星が、どの2つの星の距離も異なるように配置されている。
ただし、星は宇宙空間に固定されているとする（公転などは考えない）。
各星には天文学者がいて、自分と最も近い星だけを観測している。
このとき、「どの天文学者にも観測されない星が必ず存在する」は真か偽か。
【問2】2021個のときではどうか。 >>464
赤２匹 青３匹 黄５匹だと３の剰余で 赤2 青0 黄2なので
少数派の青に統一。
赤３匹 青５匹 黄８匹で 赤0 青2 黄2で赤
赤１匹 青４匹 黃５匹で 赤1 青1 黄2で黄
になるんだな。
理論値と一致している。 >>478
三角形と４角形から類推して
問1は偽、問2は真かな？ 赤１匹 青４匹 黄７匹だと統一できる色はシミュレーションでも３種類でてきた。
確かに３での剰余はどれも１ 前>>476
>>478
【問1】偽
∵必ずしもすべての星の観測者がたがいに最短距離というペアの星をみつけられるわけじゃないから。
【問2】偽
∵たとえ星の数が奇数であっても一組の三つの星が最短距離で正三角形を描く配置をとれば、すべての星の観測者がたがいに最短距離という星をみつけられるが、必ずそうなるとは限らず、一つの星だけがどの星からももっとも遠いということがありうるから。 底面が不正多角形で細長い多角錐を考えたら頂点の星は誰も観察しないってことか？ 前>>482
【問2】の理由はちょっと変だ。理由はなしで。
とにかく必ずとは言えないから、すべて観測される場合もあるから、偽。 >>472
冒頭の記述は
赤0 青1 黄2の数字が書いてあるとして
Z/3で考えたら
0+1=2+2 赤と青が黄2個に変わる
1+2=0+0 青と黄が赤2個に変わる
2+0=1+1 黄と赤が青2個に変わる
で変化の前後で合計は変わらない
という意味でいいですか？ >>482
(1)偽
1→2, 2→1, ‥,2019→2020,2020→2019 が起こりうる。
(2)真
奇数のときは必ず真である。
そうでないとして星の数が最小の反例をとる。
(1)と同様にして向き付きグラフにして考える。
もしa→b、b→aとなるペアが有れば、その組みを取り除けば、より星の数が小さい反例が得られるからそのようなループはない。
しかし有限のグラフで全ての星はある星を観測しているのだからループは持つ。
a1→‥→an→a1
とする。
a2はa3を観察しておりa1≠a3からd(a1,a2)>d(a2,a3)。
同様にして
d(a1,a2)>d(a2,a3)>‥>d(a(n-1),an)>d(an,a1)
矛盾。 >>486
一個足りなかった。
d(a1,a2)>d(a2,a3)>‥>d(a(n-1),an)>d(an,a1)>d(a1,da2)
で矛盾ね。 観測されない星が必ず存在する
のと
観測されない星が存在する配置ができる
のは違う気がする
a->b b->a c->aだとcが観察されないけど
a->b b->c c->aだと全部観察されている。
直線上に０，１，３を配置すれば各々の観察は１，０，１で３を観察する人はいない
直線上い０，１，３，７を配置すれば各々の観察は１，０，１，３で７を観察する人はいない
偶数奇数に関係ないような気がしてきた。 >>491
そうですね。最短距離の星はお互いを観察するから、循環観察できませんね。 逆にすべての星が観察される配置ってどんなんだろう？ >>493
数軸上の点の例だと ０，１，４，６なら観察する星は１，０，６，４で全ての星が観察されている。 偶数だと 全ての星をペアで相互監視できるように 配置できるから、観測されない星が必ず存在する は偽だな。
観察されない星が存在するように配置することも可能だけど、必ず存在するは偽。
奇数だと相互監視からあぶれる星がでてきそう。 >>495
そう？
絶対観測されない星出てくると思うけど。
>>486 >>478
>このとき、「どの天文学者にも観測されない星が必ず存在する」は真か偽か。
すべての星が観測されているとする
d(p)=min{d(p,q)|q≠p}
d=max{d(p)}
n=#{p|d(p)=d}≧3とすると同じ星間距離が存在することになるためn=1,2
{p,q}={p|d(p)=d}とすると同じ星間距離が存在しないためd=d(p)=d(q)=d(p,q)
r≠p,qでd(r)<dであるためp,qはrからは観測されずお互いを観測している
よってこの2星を取り除いても他の星の観測状況特にd(r)の数値に変わりは無い
{p}={p|d(p)=d}のときr≠pでd(r)<dであるためpはｒからは観測されず仮定に反する
よってすべての星が観測されているとすれば2星を取り除いてもすべての星が観測されている
逆にすべての星が観測されているとするときd+1=d(p,q)である2星を他の星からd+1より遠くに配置することは可能であるので2星を追加することも可能である
この考察により
偶数個の星はすべてがお互い観測されている配置が存在し
奇数個の星はどのような配置であっても観測されない星が必ず存在する >>497
>d+1=d(p,q)である2星を他の星からd+1より遠くに配置
まちがい
m=max{d(p,q)}
としたとき
m+1=d(p,q)である2星を他の星からm+1より遠くに配置 2nの星ですべてがお互い観測されている配置は
>>498の構成により観測し合う2星のペアn組が他から観測されず隔絶された配置のみ 奇数個の星の配置では観測されない星が1つ以上存在するため
それら観測されない星を取り除いた残りはお互い観測されている配置となる
よって
奇数個の星の配置は
>>499の偶数個の星の配置から初めて
m=max{d(p,q)}にmより遠くに星を1つずつ配置していくことで得られるもののみ >>499,500
すなわち3星以上で循環的に観測が起こるような配置は存在しない >>500
>m=max{d(p,q)}にmより遠くに星を1つずつ配置していくことで得られるもののみ
まちがいだけれども戦略は単純で
追加する前の星から観測されない距離に配置していくというだけ 前>>484問題>>364
a=√{(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}
にt=1/2を代入すると、
a=√[{(1/2)^2-(1/2)+3}/{(1/2)^4-2(1/2)^3+3(1/2)^2-2(1/2)+1)}]
=√[{(11/4)/{(1/4)^2-(1/4)+3/4-1+1}]
=√{11/(1/4-1+3)}
=√{11/(9/4)}
=2√11/3
=2.21108319……
2.23には及ばないけど、これが今のところ最大値。 前>>503
>>364
ピタゴラスの定理で検証する。
t=1/2のときBC,CDの中点P,Qは△ABC,△ACDの頂点Aから下ろした垂線の足になる。
ピタゴラスの定理によらずともAP=AQ=a√3/2
PQ=a/2だからPH=HQ=a/4
△APHにおいてピタゴラスの定理より、
AH=√(AP^2-PH^2)
=√{(a√3/2)^2-(a/4)^2}
=a√(3/4-1/16)
=a√11/4
△OPHにおいてピタゴラスの定理より、
OH=√(OP^2-PH^2)
=√{1-(a/4)^2}
=√(1-a^2/16)
AO+OH=AHだから、
1+√(1-a^2/16)=a√11/4
辺々二乗し、
1+2√(1-a^2/16)+1-a^2/16=11a^2/16
2+2√(1-a^2/16)=3a^2/4
8+8√(1-a^2/16)=3a^2
8+2√(16-a^2)=3a^2
4(16-a^2)=(3a^2-8)^2
64-4a^2=9a^4-48a^2+64
9a^2=44
3a=2√11
a=2√11/3=2.21108319…… >>500
奇数の場合の配置の考察間違っているけど
>>501は正しい
観測されない星を取り除いて
新たに観測されない星が出て来ればそれも取り除いて
と順に繰り返せばすべてが観測されるペアで構成される偶数個の配置に至るから 結局は偶数奇数にかかわらず
星の配置はペア構成の偶数個を元にして
そこを観測する星が加わり
加えた星を観測する星が加わりと
枝分かれして繁茂することになる
最初のペアごとに枝が茂るような 前>>504
>>396
三角形APQ (辺の長さはAP=AQ=a√(1-t+t^2), PQ=at) が単位円に内接するときの
三辺の長さと内接円半径の関係式を求めると
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
>>469
a=√{(t^2-t+3)/(t^4-2t^3+3t^2-2t+1)}
なにが違うのかと思ったらaの値が違うのか。形は似てるんだけどなぁ。
t=0.39のときはa=2.18……を増加中で気づかなんだ。 これで証明になってますか？
すべての星が観察されている配置が存在するとして、その星の集合をAとする。
Aからa->b b<-aのように相互監視されている星を除く集合をBとする。
Bの要素が1つの星であればその星はどこからも観察されていないからAの前提に反する。
Bの要素が2つの星であればその星は相互監視されるからBの前提に反する。
Bの要素が3個以上あるとすると星間の距離が最短の2個の星は相互監視していることになりBの前提に反する。
故に、Bは空集合である。
すべての星が観察されている配置は相互監視されている配置のみである。 >>508
>Bの要素が3個以上あるとすると星間の距離が最短の2個の星は相互監視していることになりBの前提に反する。
NG
他の星を取り除いているからその2個が元々相互観察しているとは限らない
残りが2つの場合は
元々相互観察していたか
その2つともが取り除いた星を観察していたか
一方がもう一方を観察し観察されている方は取り除いた星を観察しているかの3通りしか有り得ず
相互観察以外は元々すべての星が観察されているという仮定に反するので
考察の通り相互観察と結論してよい >>508
> Bの要素が2つの星であればその星は相互監視されるからBの前提に反する。
コレはダメでしょ？
0467の場合
0→4→6⇔7
なので
B={0,4}
しかし0,4は相互監視してるわけではない。 >>510
>0→4→6⇔7
>>508の考察の前提はすべての星が観察されていることであり上記の配置は考察の対象ではない n個の星があるので、n(n+1)/2通りの距離がある。この中で最も小さい距離に
あたるのが、星Aと星Bの距離であるとする。
当然、星Aの天文学者は星Bを、星Bの天文学者は星Aを見ている。
星Aと星Bを除く、n-2個の星の中で、この二つの星を見ている天文学者がいなければ、
星Aと星Bが最初から無いものとし、n-2個の星で、同じ議論を行えばよい。
いずれ、二個か、三個になる事もあろうが、二個なら相互観測可能、三個なら相互観測が不可能なのは、自明。
星Aと星Bを除く、n-2個の星の中で、この二つの星のいずれかを見ている天文学者がk人(k>0)居たとする。
このn-2個の星の中にいる天文学者の数はn-2人。星Aも星Bも見ていない天文学者はn-2-k人。
星Aと星B以外のn-2個の星全てを、n-2-k人の天文学者で観測することはできない。 >>509
ご指摘ありがとうございます。
取り除いた星を観察している場合を考慮していませんでした。 間違った。n(n+1)/2 ではなく、n(n-1)/2通り。
あと、三個で、相互といのは、不適当ぽい。三すくみ状態の観測が不可能と修正します。 これでどうでしょう？
すべての星が観察されている配置が存在するとして、その星の集合をAとする。
Aからa->b b<-aのように相互監視されている星を除く集合をBとする。
除かれた星の集合をCと呼ぶ。
Bの要素が1つの星であればその星はどこからも観察されていないからAの前提に反する。
Bの要素の数をｂとする。b人のうち一人でもCに属する星を観察しているとBの中に観察されない星が出現する。
それはAの前提に反するから、b人はすべてBに属する星を観察していることになる。
Bに属する星で星間の距離が最短の2個の星は相互監視していることになりBの前提に反する。
ゆえにBは空集合である。 >>512やおそらく暗黙のうち>>486が依拠している
星の数が有限なので観測者の居る星から観測している星への写像が全射であれば単射すなわち置換になっているということと
>>512のように最短距離の2星は相互に観測していることから
この置換の軌道はすべて互換と結論するのが簡明 前>>507
>>396
PQ=atはわかった。
内分する点は同じ頂点Bからatの地点にあることもわかった。
aをtで表して微分する方針は同じで、
a=√(4-4t+3t^2)/1-t+t^2
までできた。aを微分し、
a'=0よりその分子は、
(1/2)(4-4t+3t^2)^(-1/2)(6t-4)(1-t+t^2)-(4-4t+3t^2)^(1/2)(2t-1)=0
(4-4t+3t^2)^(1/2)を辺々掛けて、
(3t-2)(1-t+t^2)-(4-4t+3t^2)(2t-1)=0
3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-2t(4-4t+3t^2)-(4-4t+3t^2)=0
3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-8t+8t^2-6t^3-4+4t-3t^2=0
-3t^3+t-6=0
3t^3-t+6=0
どこが違いますか？
中の微分(6t-4)を掛けるんだと思ったけどそこが違いますか？ 次の条件を満たす空でない自然数の集合Mを考える。
【n∈M ⇒ 2020n∈M かつ [√n]∈M】
ただし、[ ]はガウス記号とする。
このとき、Mは自然数全体の集合に他ならないことを示せ。 >>518
M=R（実数全体）が条件を満たすことを示す
n∈Rと仮定すると
2020n∈R
[√n]∈R
よってRは条件を満たす
したがって命題は偽 >>519
Mは自然数の集合って書いてあったわ(´・ω・｀) >>518
Mは空でないから、あるm∈Mに対して[√m]をとり続ければいつか1にたどり着くので、1∈Mがわかる。
整数n≧1を任意にとる。整数pを十分大きくとれば
2020 < ((n+1)/n)^(2^p)
が成り立つので、このようなpに対して
n^(2^p) ≦ 2020^q (∈M)
を満たす最小の整数qをとれば
2020^q < (n+1)^(2^p)
が成り立つので、Nに対して[√N]をとる操作を2020^qにp回適用することでn∈Mが導かれる。
nは任意であったからMは正の整数全体。 前>>517
>>364
√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)を微分せよ。 すべての星間の距離は異なる、最も近い星を観察している、すべての星が観察されているという条件を満たすように 乱数発生させて数直線上に配置するシミュレーションをしてみた。
sim(n,N) ｎ個の星を数直線1,2,3,,,Nに配置する
> sim(4,16)
[1] 8 9 13 16
> sim(4,16)
[1] 3 5 11 12
> sim(6,24)
[1] 1 2 12 16 21 24
> sim(8,64)
[1] 5 6 33 36 40 42 50 55
> sim(10,128)
[1] 2 6 16 17 41 44 53 60 112 125
nが偶数のときは、星の配置を返してくれるけど
奇数にすると処理が終わらない。 [1-1]
f(x)は3次関数。αを定数として、3次方程式 f(x)=α は、
0<α<4 の時は、実数解を3つ持ち、α<0 または、4<α の時は 実数解を一つだけ持つ。
このような性質を持つf(x) を一つ求めよ。
[1-2]
F(x)は9次関数。αを定数として、9次方程式 F(x)=α は、
0<α<4 の時は、9実数解を持ち、α<0 または、4<α の時は 実数解を一つだけ持つ。
このような性質を持つF(x) を一つ求めよ。
[2]
G(x)は8次関数。αを定数として、8次方程式 G(x)=α は、
0<α<4 の時は、8実数解を持ち、α<0 の時は、実数解を持たず、4<α の時は 実数解を二つ持つ。
このような性質を持つG(x) を一つ求めよ。
[3]
H(x)は11次関数。αを定数として、11次方程式 H(x)=α は、
0<α<4 の時は、11実数解を持ち、α<0 または、4<α の時は 実数解を一つだけ持つ。
このような性質を持つH(x) を一つ求めよ。 >>523
数直線でなく複素平面上に条件を満たすように星を配置してみた。
星１６個の場合
https://i.imgur.com/PPfJ1pT.jpg
> sim(16,256)
[1] 7+198i 18+ 73i 36+ 16i 36+ 59i 43+212i 61+ 12i 80+102i 103+ 86i 105+127i
[10] 115+122i 140+230i 143+235i 194+ 39i 210+228i 219+ 85i 241+235i
相互監視している配置になるみたい。 Pn(x)を第一種チェビシェフ多項式とする。
nが偶数のとき方程式
Pn(x)=aはa>1のとき実数解の個数は２個、-1<a<1のときn個、a<-1のとき０個である。
nが奇数のとき方程式
Pn(x)=aはa>1のとき実数解の個数は1個、-1<a<1のときn個、a<-1のとき1個である。 起承転結の問題で、いきなり結を答えられてしまった思いです。
f(x)は、極大値が4、極小値が0の三次関数なら全て当てはまります。
そのうち、f(x)=αの解が、区間(0,4)に収まるもの、つまり、x(x-3)^2 や、これを、x=2 で折り返した
(4-x)((4-x)-3)^2)=-(x-1)^2(x-4)をf(x)としたとき、F(x)=f(f(x)) 等が[1]の誘導に従順な答えです。
同様に、区間[0,4]で極小値0、両端で最大値4を取る二次関数g1(x)=(x-2)^2 あるいは、
極大値4、両端で最小値0を取る二次関数g2(x)=-x(x-4) を使って、G(x)=±g(g(g(x))) で定まる
8次関数が[2]の答えとなります。プラマイは、[0,4]区間外の挙動に整合するどちらかを選択してください。
gは、g1かg2のどちらかです。
では、11次関数ならどうすべきか？ 9=3^2、8=2^3 を利用して、[1]や[2]は簡単に表せたが、
11では、どうすべきか？ これを意地悪に問うた問題でした。
答えは、チェビシェフにあります。というか、三角関数の、ｎ倍角の公式の中にあります。
cos(nx) + i sin(nx) = (cos(x)+ i sin(x))^n を利用して、
cos(nx)は、cos(x)のn次関数として表せますが、ここを細工して問題にしました。
plot y=2 ChebyshevT[11,x/2-1] +2 ,x=-0.1 to 4.1
を某所に入力すれば、形状を確認できます。 >>525
星と観察矢印を追加してみた
アルゴリズムは
1 × 1の大きさの複素平面にN個の星を一様分布で発生させて
(1)星間距離不同 (2)最短星観察 (3)全星被観察
を満たすものが、みつかるまで繰り返す
N=16の場合
https://i.imgur.com/WOwnFwI.jpg 正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ 正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ 正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ 正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ 正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ 正整数nに対して次のように演算n'を定義する。
・n=1のときn'=0
・n=素数のときn'=1
・n=abと二つの整数の積で現されるときn'=a'*b+a*b'
(1)n'はwell-definedであることを示せ
(2)n=n'となるためのnの必要十分条件を求めよ t = ax+b (a≠0) として
f(x) = 2{1+P_3(t)}
F(x) = 2{1+P_9(t)} = 2{1+P3(P3(t))},
G(x) = 2{1+P_8(t)} = 1{1+P2(P2(P2(t)))},
H(x) = 2{1+P_11(t)}, >>535
P_n(t) はn次の第一種チェビシェフ多項式
P_1(t) = t,
P_2(t) = 2t^2 -1,
P_3(t) = 4t^3 -3t,
P_4(t) = P2(P2(t)) = 8t^4 -8t^2 +1,
P_8(t) = P2(P2(P2(t))) = 128t^8 -256t^6 +160t^4 -32t^2 +1,
P_9(t) = P3(P3(t)) = 256t^9 -576t^7 +432t^5 -120t^3 +9t,
P_11(t) = 1024t^11 -2816t^9 +2816t^7 -1232t^5 +220t^3 -11t, (1)
nの素因数分解を
n = Π_i (p_i)^(e_i)
とすると
n ' = n･Σ_i (e_i/p_i)
(2)
Σ_i (e_i/p_i) = 1. 1～100000までの自然数の中から、「どの3個を選んでも等差数列を成さない2020個の数」が選べることを示せ 前>>522
>>396
三次方程式の解の公式は面白くないんで三次方程式の解の公式に行く前に、
a=√(4-4t+3t^2)/1-t+t^2 をゆっくり微分してもらえませんか？ >>539
１，２，４から始めて、２０個の場合を探索してみた。
1 2 4 5 10 11 13 14 28 29 31 32 37 38 40 41 82 83 85 86
M=2020として最大値が10000を超えないことがわかればいいけど、マシンパワーが足りないから無理。
rm(list=ls())
p3c <- function(x){ # pick 3 numbers and check if arithmatic sequence
is.as3 <- function(x) diff(x)[1]==diff(x)[2] # 等差かを返す
is.as=function(y) is.as3(c(x[y[1]],x[y[2]],x[y[3]])) # 組み合わせのindexに相当する３個の数が等差か？
n=length(x)
any(combn(n,3,is.as)) # 等差の３つが選べるか
}
M=20
a=c(1,2,4)
i=5
AS=FALSE
while(length(a) < M){
a=append(a,i)
AS=p3c(a)
if(AS){
a=a[-length(a)]
}
i=i+1
}
a >>540
d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)×1/1 - t + t^2) = (6 t - 4)/(2 sqrt(3 t^2 - 4 t + 4)) + 2 t - 1 >>541
100個でも朝食の時間に計算終わってた。
> a
[1] 1 2 4 5 10 11 13 14 28 29 31 32 37 38 40 41 82 83 85 86 91 92 94 95 109
[26] 110 112 113 118 119 121 122 244 245 247 248 253 254 256 257 271 272 274 275 280 281 283 284 325 326
[51] 328 329 334 335 337 338 352 353 355 356 361 362 364 365 730 731 733 734 739 740 742 743 757 758 760
[76] 761 766 767 769 770 811 812 814 815 820 821 823 824 838 839 841 842 847 848 850 851 973 974 976 977
> >>533
n=Πpi^(ei)のとき定義からn'=Σeiである事が必要。
逆にそもそもこっちを定義にしとけばwell-definedである事は明らかなので要請された条件を満たす'は存在する。 n=2^2,3^3,5^5,…のときn'=n
これは確認が容易だが、n'=n⇒n=p^pの証明はやや難しいと思う あ、ΣeiではなくΣeipi^(ei-1)ですな。
お詫びして訂正致しまする。 あ、まだダメ。
n'=nΣei/pi
だ。
Σei/pi=1になるにはpi進付値を考えてpi|eiが必要だからei=kipiとおける。
この時Σei/pi=1⇔Σki=1だから結局条件はどれか一個がei=piで残りは0。 短い解答で素晴らしいです
俺の書いた証明ではn =p^i*m(i=ord_p(n))とおいて証明するものでした
今考えてる問題は(n')'=nなるnが存在しないだろうというものですが、まだ証明できてません >>539
３進法で表した時に各桁に0,1のみが出現し,なおかつ11桁以内になるような正の整数全体からなる集合をTとおく.
Tの元で最大のものは (3^11-1)/2=88573 だから 100000 を越さない.
Tの元の個数は 2^11-1=2047.
Tの三つの元 a,b,c がこの順で等差数列となるための条件である a+c=2b を満たすならば,
a+cの各桁が0または2となるためにはaとcの各桁が等しくならなければならないため,a=b=c.
以上より,Tから異なる2020個の整数を任意にとればそれが問題の条件を満たす. 前>>540
>>542ありがとう。
sqrtはsquare rootの略、つまり平方根、√ですね？
ゆっくり=計算過程を示しながら
という意味なのに。
わざとですか。
考えろと。 平面上に、どの3点も同一直線上にないようにn個の点を配置するとき、それらの中の5点を頂点とする凸五角形が少なくとも1つ存在するためのnの最小値を求めよ。
例、n=6のとき
・ ・
・・
・ ・
のように配置すると、どこにも凸五角形ができないので、n=6は不適。 エレガントな解答求むに出てきた÷配置だとどんな5点取ってきても凸五角形なんか出てこない希ガス。 あ、どの三点も直線上に乗ってはいけないのか。
スマヌ >>539
数字が重複してもいいとして３０個の場合は
> a
[1] 1 1 2 2 4 4 5 5 10 10 11 11 13 13 14 14 28 28 29 29 31 31 32 32 37 37 38 38 40 >>548
追記
n≠n'でありn''=nとなるnは存在しないという問題です >>550
お見事です。
Tの最初と最後を２０個ずつ表示させてみました。
> head(T,20)
[1] 1 3 4 9 10 12 13 27 28 30 31 36 37 39 40 81 82 84 85 90
> tail(T,20)
[1] 88488 88489 88491 88492 88533 88534 88536 88537 88542 88543 88545 88546 88560
[14] 88561 88563 88564 88569 88570 88572 88573 前>>551
>>542
a=√(4-4t+3t^2)/1-t+t^2
=√(4-4t+3t^2)×{1/(1-t+t^2)}
aを√(4-4t+3t^2)と1/(1-t+t^2)の積とみなして微分すると、
a'={(6t-4)/2√(4-4t+3t^2)}(1-t+t^2)+{√(4-4t+3t^2)}(2t-1)
={(3t-2)/√(4-4t+3t^2)}(1-t+t^2)+{√(4-4t+3t^2)}(2t-1)
={(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)+(4-4t+3t^2)(2t-1)/√(4-4t+3t^2)
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)+(4-4t+3t^2)(2t-1)
=3t(1-t+t^2)-(1-t+t^2)+(2t(4-4t+3t^2)-(4-4t+3t^2)
=3t-3t^2+3t^3-1+t-t^2+8t-8t^2+6t^3-4+4t-3t^2
=9t^3-15t^2+16t-5
=0 計算間違いでしょうか？ http://www.openproblemgarden.org/op/erdos_szekeres_conjecture
平面上でgeneral position（どの三点も同一直線上にない配置）にある 2^(n-2)+1 個の点から
適切に n 個を選んで凸 n 角形の頂点にすることが必ずできる、という予想があるそうで、
n≦5 の場合は全て証明されているらしい 前>>558訂正。
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
=√(4-4t+3t^2)×{1/(1-t+t^2)}
aを√(4-4t+3t^2)と1/(1-t+t^2)の積とみなして微分すると、
a'={(6t-4)/2√(4-4t+3t^2)}{1/(1-t+t^2)}+{-2(2t-1)√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)^2}
=(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)-(4t-2)√(4-4t+3t^2)
=(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)/√(4-4t+3t^2)
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)
=3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-4t(4-4t+3t^2)-2(4-4t+3t^2)
=3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-16t+16t^2-12t^3-8+8t-6t^2
=-9t^3-5t^2-3t-10
=0
は微妙でしょうか？ 前>>561
>>562載ってるのは知ってる。>>396と係数が微妙に違うんだよ。
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
=√(4-4t+3t^2)×{1/(1-t+t^2)}
aを√(4-4t+3t^2)と1/(1-t+t^2)の積とみなして微分すると、
a'={(6t-4)/2√(4-4t+3t^2)}{1/(1-t+t^2)}+{-2(2t-1)√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)^2}
=(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)-(4t-2)√(4-4t+3t^2)
=(3t-2)(1-t+t^2)/√(4-4t+3t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)/√(4-4t+3t^2)
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)
=3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-4t(4-4t+3t^2)+2(4-4t+3t^2)
=3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-16t+16t^2-12t^3+8-8t+6t^2
=-9t^3+17t^2-3t+6
=0 >>551
Wolframの step by stepから
Possible derivation:
d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)/(1 - t + t^2))
Use the quotient rule, d/dt(u/v) = (v ( du)/( dt) - u ( dv)/( dt))/v^2, where u = sqrt(3 t^2 - 4 t + 4) and v = t^2 - t + 1:
= (-sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (d/dt(1 - t + t^2)) + (1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))))/(1 - t + t^2)^2
Differentiate the sum term by term and factor out constants:
= ((1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))) - d/dt(1) - d/dt(t) + d/dt(t^2) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))/(1 - t + t^2)^2
The derivative of 1 is zero:
= ((1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))) - sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (-(d/dt(t)) + d/dt(t^2) + 0))/(1 - t + t^2)^2
Simplify the expression:
= (-sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (-(d/dt(t)) + d/dt(t^2)) + (1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))))/(1 - t + t^2)^2
The derivative of t is 1:
= ((1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))) - sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (d/dt(t^2) - 1))/(1 - t + t^2)^2
Use the power rule, d/dt(t^n) = n t^(n - 1), where n = 2.
d/dt(t^2) = 2 t:
= ((1 - t + t^2) (d/dt(sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))) - sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) (-1 + 2 t))/(1 - t + t^2)^2
Using the chain rule, d/dt(sqrt(3 t^2 - 4 t + 4)) = ( dsqrt(u))/( du) ( du)/( dt), where u = 3 t^2 - 4 t + 4 and d/( du)(sqrt(u)) = 1/(2 sqrt(u)):
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + (1 - t + t^2) (d/dt(4 - 4 t + 3 t^2))/(2 sqrt(3 t^2 - 4 t + 4)))/(1 - t + t^2)^2
Differentiate the sum term by term and factor out constants:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + d/dt(4) - 4 d/dt(t) + 3 d/dt(t^2) (1 - t + t^2)/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
The derivative of 4 is zero:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + ((1 - t + t^2) (-4 (d/dt(t)) + 3 (d/dt(t^2)) + 0))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
Simplify the expression:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + ((1 - t + t^2) (-4 (d/dt(t)) + 3 (d/dt(t^2))))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
The derivative of t is 1:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + ((1 - t + t^2) (3 (d/dt(t^2)) - 1 4))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
Use the power rule, d/dt(t^n) = n t^(n - 1), where n = 2.
d/dt(t^2) = 2 t:
= (-(-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2) + ((1 - t + t^2) (-4 + 3 2 t))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)))/(1 - t + t^2)^2
Simplify the expression:
= (((-4 + 6 t) (1 - t + t^2))/(2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)) - (-1 + 2 t) sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))/(1 - t + t^2)^2
Simplify the expression:
Answer: |
| = (2 - 7 t + 6 t^2 - 3 t^3)/((1 - t + t^2)^2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2)) 前>>564訂正。
1/(1-t+t^2)の微分が違うからか。
a=√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)
=√(4-4t+3t^2)×{1/(1-t+t^2)}
aを√(4-4t+3t^2)と1/(1-t+t^2)の積とみなして微分すると、
a'={(6t-4)/2√(4-4t+3t^2)}{1/(1-t+t^2)}+{-2(2t-1)√(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)^2}
通分して整理すると、
=(3t-2)(1-t+t^2)^3/(1-t+t^2)^2√(4-4t+3t^2)-(4t-2)(4-4t+3t^2)/(1-t+t^2)^2√(4-4t+3t^2)
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)^3-(4t-2)(4-4t+3t^2)
=3t(1-3t+6t^2-7t^3+6t^4-3t^5+t^6)-2(1-3t+6t^2-7t^3+6t^4-3t^5+t^6)-4t(4-4t+3t^2)+2(4-4t+3t^2)
=3t-9t^2+18t^3-21t^4+18t^5-9t^6+3t^7
-2+3t-12t^2+14t^3-12t^4+6t^5-2t^6
-16t+16t^2-12t^3
+8-8t+6t^2
=3t^7-11t^6+24t^5-33t^4+20t^3+t^2-18t+6
=0
七次方程式は五次以上の方程式に公式が存在しないことが証明されているので解けない。
なんで3t^3-6t^2+7t-2になるんだろう？ ウルフマンはちゃんと通分したのか？ 前>>566訂正。
a'の分子=(3t-2)(1-t+t^2)-2(2t-1)(4-4t+3t^2)
=3t(1-t+t^2)-2(1-t+t^2)-4t(4-4t+3t^2)+2(4-4t+3t^2)
=3t-3t^2+3t^3-2+2t-2t^2-16t+16t^2-12t^3+8-8t+6t^2
=3t^3-5t^2+5t-2
-12t^3+22t^2-24t+8
=-9t^3+17t^2-19t+6
=0
9t^3-17t^2+19t-6=0
係数が違う。それらしい係数が出て、カルダノの公式に入れて出したところでtの値は半端だし、方針を変えよう。
半径1の円を正四面体の頂点Aに当て、輪っかをずらしていき、人体で認識しうるaの最大値を出す。
t=2/5とすると、
AP=a(1-2/5+4/25)
=a√19/5
PH=a(2/5)/2=a/5
1+√(1-a^2/25)=√(19a^2/25-a^2/25=√18a^2/25=3a√2/5
辺々二乗し、
1+√(1-a^2/25)+1-a^2/25=18a^2/25
2+2√(1-a^2/25)=18a^2/25+a^2/25
19a^2/25-2=2√(1-a^2/25)
辺々二乗し、
361a^4/625-76a^2/25=4(1-a^2/25)
361a^2=25(76-4)
19a=5√72
a=30√2/19=2.23296878……
ここまで0.233に肉迫すればじゅうぶんだろう。 1≦a_1＜a_2＜…＜a_2020≦4035をみたす自然数a_1,a_2,…,a_2020を考える。
このとき、a_i + a_j = a_k + a_l = a_mをみたす相異なる整数i,j,k,l,mが存在することを証明せよ。 >>553
大きさ１の正方形に５点を一様分布で乱数発生させて凸の五角形ができる頻度を１００万回のシミュレーションでだしてみたら。
> mean(cvx5)
[1] 0.270576
になった。理論値は達人にお任せ。
尚、頂点のなる任意の３点を結ぶ三角形の内部に他の頂点が存在しない場合を凸と判定した。 その数値と>>552の問題になんか関係あるの？
その頻度が計算できたら>>552の答えが出る理屈がよくわからん。 もしかして正方形とその内部の5点で凸五角形を含む割合の事？
もしそうなら>>559の情報と矛盾するじゃん？
>>559が正しいなら確率1で凸五角形を持つハズだけど？ もしかして内部の5点だけが凸五角形になる割合？
そんなもん計算してなんになるの？
>>559が正しいか否かの検証になんかならんでしょ？ >>572
>553 へのレスだよ。
n=8で凸五角形ができない配置。
> seek.concave.int(8)
[1] 0+ 0i 300+407i 8+456i 60+ 93i 257+363i 220+383i 99+265i 165+328i
https://i.imgur.com/k8l3NLh.jpg >>572
ダーツでもやって、凹凸のどちらになるか、
賭けをするなら、シミュレーション結果を知っていた方が有利だな。 >>553
は内点がある対角線に並ぶ配置でますます関係ないじゃん？ >>572
こういう問題にしてみると、楽しいから。
１００万を持っているチンパンジーと賭けをする
壁に向かって目をつむって無作為にダーツ矢を６本投げる。
・ ・
・・
・ ・
の配置のように、どの５点を選んでも凸五角形ができない場合はチンパンジーの勝ちであなたは掛け金を全て失う。
凸五角形ができる５店を選べる配置ならチンパンジーから１００万円がもらえる。
掛け金がいくらまでなら有利な賭けといえるか？ 凸五角形ができる５店を選べる配置ならチンパンジーから１００万円がもらえる。
↓
凸五角形ができる５点を選べる配置ならチンパンジーから１００万円がもらえる。 肉迫は正しくは肉薄
東大を目指す受験生から教わった。 >>552
反例が1つも無い最小のnということね
n=7も正三角形の中に正方形を
平行する2辺を伸ばした直線間に3角形の頂点が来ないような配置で
反例になってると思うからn>7 >>579
n>8は確認できた。
https://i.imgur.com/PoZKjdT.jpg
小数だと見にくいので整数になる８点を探索させた。
複素平面での値は
> seek.concave.int(8)
[1] 0+ 0i 345+358i 165+362i 58+ 82i 460+ 16i 264+130i 334+342i 238+345i 回の外の口を横に縮めて目に近くしたら反例になるから
やっぱりn>8 5角形ということで外郭は三角形か四角形かしかないわけだし
四角形2つの入れ子が反例になるのが最後じゃないかな
たぶんn=9 さて証明はどうしよう
おそらく引き出し論法使うんだろうって気がするけど
見込み角の選択をどう表現するかな >>585
俺もその予感。
n=9だとシミュレーションプログラムがwhileループから抜け出せない。
プログラムのバグで抜け出せない可能性もあるけど、n=8までは上手くいった。
>見込み角の選択をどう表現するかな
シミュレーションだと外積つかって点が三角形の内部にあるかどうか判断した。 ９点をすべて含む凸領域の共通部分を考えると
点のうちいくつかを頂点として持つ凸多角形となることはすぐ証明できるはず
それらの点を最外殻と呼ぶことにしよう
とするとその凸多角形が5角形であればだめだから
最外殻は四角形か三角形
それを取り除くと内部に残るもので同様に考えて最外殻は四角形か三角形
それも取り除くと内部には・・・
四角形が四角形を含み内部に1点
四角形が三角形を含み内部に2点
三角形が四角形を含み内部に2点
三角形が三角形を含み内部に三角形
の4パターンしかない >>578俺の辞書には肉薄と出てた。肉薄の説明の中に肉迫と書いてあったからどっちでもいいとわかった。肉がうすいより肉に迫るほうが勢いあっていい。
/∥__∥∩∩］∥ |ﾟ○。
|∩∩（(-｡-)｡∥ ∩∩ ﾟ
( (`)(っ[￣]∥(`) )ﾟ
(￣￣)「￣￣]∥(_υ_)~
(__)_∩∩UU□∥∩∩~ ~
~ ~~(____)~~~ (`)__)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~前>>567 >>589
俺が高校生の頃は肉迫は不正解だったなぁ。
試験に出る英単語 という本には constructの対義語はdestroy
destructとなんて単語は存在しないと書かれていたけど
今じゃ、起爆装置detonatorでロケットとかを爆破するときはdestructが使われる。 >>568
M=a_2020、S={a_1,‥}とおく。
(i)M:oddのとき。
和がMになる組み合わせ(1,M-1),‥,((M-1)/2,(M+1)/2)の中の高々ひと組みしか両方Sに属するものがないとSの元数は高々(M-1)/2+1+1=(M+3)/2≦2019となり#S=2020に矛盾する。
∴ 上記ペア中２組以上が共にSに属する。
(i)M:evenのとき。
和がMになる組み合わせ(1,M-1),‥,(M/2-1,M/2+1)の中の高々ひと組みしか両方Sに属するものがないとSの元数は高々M/2-1+3=(M+4)/2≦2019となり#S=2020に矛盾する。
∴ 上記ペア中２組以上が共にSに属する。 前>>589
>>590デストロイといえば仮面ライダーV3の敵は地獄のデストロン。原案によるとデストロイヤーになってたかもしれなんだって今知った。 前>>592
>>565をなんとか解読しないな。なんとか解読できないものか。 ヒント
答えが
(2 - 7 t + 6 t^2 - 3 t^3)/((1 - t + t^2)^2 sqrt(4 - 4 t + 3 t^2))
なのでt=0のとき2/√2、t=1のとき-2/√3など計算しやすい値を自分の計算結果に入れてみて検算していけばどこで間違ったか見つけられる。 >>593
(√f)/g の微分 ただし、f=3x^2-4x+4、g=x^2-x+1
((√f)/g)'
={(√f)’*g-(√f)*g’}/g^2
={(1/2)(1/√f)*f’*g-(√f)*g’}/g^2
={(1/2)*f’*g-f*g’}/{g^2*√f}
={(1/2)*(6x-4)*(x^2-x+1)-(3x^2-4x+4)*(2x-1)}/{(x^2-x+1)^2*√(3x^2-4x+4)}
={(3x-2)*(x^2-x+1)-(3x^2-4x+4)*(2x-1)}/{(x^2-x+1)^2*√(3x^2-4x+4)}
={(3x^3-5x^2+5x-2)-(6x^3-11x^2+12x-4)}/{(x^2-x+1)^2*√(3x^2-4x+4)}
={-3x^3+6x^2-7x+2}/{(x^2-x+1)^2*√(3x^2-4x+4)} >>593
ここにはプレーンテキストでしか貼れないけど
Wolframのサイトだと√とか読みやすいから、Wolframのサイトで解読した方が良いのではと思う。 前>>593
>>595
√f'gのほうはあってる。
√fg'のほうに疑問が2つある。
1つは√fとgに分け、gを1/√の形ととらえたことで、前微分×後+前×後微分にしたはずなのに真ん中の符号が-であること。
もう1つはgが(-1)乗で、微分すると-2倍の-2乗になるはずなのに(-2)が掛かってないこと。
計算結果が違うのに、いくら簡単な数字を代入しようとも、値が異なるのは当然です。 前>>598あ、わかったかも。
gを1/√の形ととらえたことで、微分したg'は(-1)が掛かって真ん中の符号が-になるんだ。
あとはなんで(-1)乗を微分して(-2)が掛かってないかだ。
前半は(3x-2)が因数だけども、後半は符号はともかくとして、因数の(2x-1)が(4x-2)になるんじゃないかと思った。 前>>599
>>598後半もわかった。
-1乗を微分すると-1が掛かって-2乗になるわ。
x^3を微分すると3x^2だわ。
解決を見ました。 三角形付け足して作っていったらいいんじゃねと思ったけど
違うわな 円に内接する凸n角形(n≧4)を、1つの頂点からn-3本の対角線を引くことによって、n-2個の三角形に分割する。
このとき、各三角形の内接円の半径の和は分割の仕方に関係なく一定であることを示せ。 ポッと入れてパッと出るもんじゃねえんだな、
~∩∩前>>600 ∩∩
(-.-))カルダノ (`) )
[￣]_) って。 U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ(γ)
＿＿/＼/,,(`.`))⌒ﾞ,|
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U⌒U､___／| |
□ | ∥~U~U~￣∥ | /
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_______∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣ (√f)/g の最大値を求めたいなら、 f/gg の最大値を求めて平方根とればいいんぢゃね？
0 = 2{(√f)/g}(d/dx){(√f)/g} = (d/dx)(f/gg), >>602
四角形の場合に示せば十分である。
半径を1の円に四角形ABCDが内接するとしてAB,BC,CD,DAの円周角をx,y,z,wとする。
△ABCの内接円の半径は
4sin(x/2)sin(y/2)sin((π-x-y)/2)=cosx+cosy-1-cos(x+y)。
よって△ABCと△CDAの内接円の半径の和はx+y+z+w=πによりcosx+cosy+cosz+cosw-2。
内接円の半径の公式
https://mathtrain.jp/r4rsin そうか、書いた後気づいたけど各辺の円周角をxiとすると
Σ内接円の半径 / 外接円の半径 = Σcos xi-n+2
になるのか。
美しいな。 >>602
いつものようにシミュレーションプログラムで確認してみた
"
円に内接する凸n角形(n≧4)を、1つの頂点からn-3本の対角線を引くことによって、n-2個の三角形に分割する。
このとき、各三角形の内接円の半径の和は分割の仕方に関係なく一定であることを示せ。
"
sim <- function(n,r=1){
th=c(0,sort(runif(n-1,0,2*pi))) # n角形の偏角θ(th)を[0,2π]で乱数発生させてソートして並べる
p2d=function(x) r*(cos(x)+1i*sin(x)) # 極形式を複素数に
c2r <- function(v1,v2,v3){ # complex number to radius of inscribed circle
a=abs(v1-v2);b=abs(v2-v3);c=abs(v3-v1) # 複素数間の距離を公式にいれる
s=(a+b+c)/2
S=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) # 面積:ヘロンの公式
return(S/s) # 公式 r = 2*S/(a+b+c): 内接円の半径
}
ver=p2d(th) # vertex(複素数表示)
sor=numeric(n) # sum of raius of inscribed circle 頂点ver[i]からの対角線で分割した時
z2n <- function(x,m=n) ifelse(x%%m,x%%m,m) # ｎ系の剰余０のとき n を返す
for(i in 1:n){
for(j in 1:(n-2)){
sor[i]=sor[i] + c2r(ver[z2n(i)],ver[z2n(i+j)],ver[z2n(i+j+1)])
}
}
return(sor)
}
sim(100) 百角形での結果（まぁ、当然といえば当然。
> sim(100)
[1] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[12] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[23] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[34] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[45] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[56] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[67] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[78] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[89] 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977 1.914977
[100] 1.914977
> 何の役にたつかはわからんが、
せっかくシミュレーションプログラムを作ったので正方形から５００角形までの分割三角内接円半径総和をグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/j7Ksgoh.jpg
ある値に向かって収束しているみたいだな。
これは答のある問題ではありませんので、実務家の俺に解説や理論を求めてはなりませんｗｗｗ >>609
１０万角形だと
> Soric(100000)
[1] 1.999902
２に収束するようにみえるなぁ。 何コレ？
内接円の半径の総和が、nのみによって決まるわけないじゃん？ >>602
問題がおかしくないか？
>> 円に内接する凸n角形(n≧4)を、1つの頂点からn-3本の対角線を引くことによって、n-2個の三角形に分割する。
>> このとき、各三角形の内接円の半径の和は分割の仕方に関係なく一定であることを示せ。
「分割の仕方に関係なく一定」と書かれているが、
「1つの頂点からn-3本の対角線を引くことによって、n-2個の三角形に分割する」という操作は、ユニークに定まる。
「分割の仕方」は関与し得ない。
従って、本来の問題の意図は、「円に内接する凸n角形(n≧4)を、n-3本の交わらない対角線を引いてn-2個の三角形に分割する」
ではないのか？ それならば、「分割の仕方」が関与し得る。
カタラン数C[n-2]=(2n-4)!/{(n-2)!(n-1)!}通りの分割方法があるが、そのどの分割であっても、
一定値になる、ということの証明が求められているのでは？
いずれにしろ、>>605 でほとんど解決(もう一言二言、補足があった方がよいとは思う)していることには、間違いない。 >>612
どの頂点をつかって分割しても内接円半径の総和は一定という意味と理解したんだが。 >>614
そんなわけないやん？
n=3で考えたらわかる。
半径1の円に内接する三角形の内接円の半径が一定なわけないでしょ？ >>615
ある一つの多角形について、どの頂点を使って分割してもその多角形については内接半径の総和は一定ということじゃないの？ >>616
既に指摘されてる通り問題文には誤りがあるけど、エスパーすると
半径の総和は多角形のみによって決まり、分割の仕方にはよらない。
だと思う。
もちろん多角形の取り方には依存し、nだけで決まるなどという事があるハズはない。 >>617
一様分布で乱数発生させたから、ｎを無限大にしていくと収束するように見えたんだろうな。 >>605
すいません。
＞四角形の場合に示せば十分である。
というのは何故なんでしょうか？ >>619
まぁもうすでに>>606で一歩先ゆく方針が出てるから今更になるけど。
四角形の場合に示せたとする。
以下を示せばよい。
頂点Aを任意に選ぶとき、任意の分割の時の値は全ての対角線の一端がAである分割の時の値に等しい。
n=4では示せている。
n<Nで示せたとしてn=Nのときを考える。
分割に用いた対角線の中にABが入っているときはABで分けた各々について帰納法の仮定を用いてよい。
そうでないときを考える。
分割の中で用いられている対角線CDをとる。
ただしCDで分けた二つの多角形のうちAを含む側は四角形以上とする。
(n≧5のとき分割で３つ以上の三角形が出てくるからそのようなCDは必ずとれる)
CDで分けられた２つの多角形に対して帰納法の仮定を用いることにより、CDで分けられた内、Aを含む側の分割の対角線は全て一端がAとしてよい。
その中にはAを一端とする対角線が少なくとも一つは出てくるのですでに示された場合に帰着できた。□ >>606の方針による別解。
多角形の各辺の円周角をxi、外接円の半径を1とするとき
Σ内接円の半径=Σcos xi - n +2
を帰納法で示す。
n=3のとき各辺の円周角とはすなわち対角であり、この場合
https://mathtrain.jp/r4rsin
などにより
r=4sin(x1/2)sin(x2/2)sin(x3/2)
であるから、積和公式を2回用いて主張を得る。
n<Nで示せたとしてn=Nとする。
与えられた分割に対して、その中で用いられている対角線ABをとる。
ABによって多角形がk角形とl角形に分かれたとする。
k角形の方に出てくる円周角をABに対するyとそれ以外のyp、l角形の方に出てくる円周角をABに対するzとそれ以外のzqとする。
帰納法の仮定により
Σk角形の側の半径の和=cos y + Σcos yp - k +2,
Σl角形の側の半径の和=cos z + Σcos zq - l + 2。
辺々足してk+l=n+2とy+z=πを用いて主張を得る。□
こちらの方が良い気がする。 前>>603
>>602
四角形ABCDに対角線ACを引き、
△ABCの内接円の半径をr,△CDAの内接円の半径をRとすると、
四角形ABCDの面積=(AB+BC)r/2+(CD+DA)R/2
四角形ABCDに対角線BDを引き、
△BCDの内接円の半径をя,△DABの内接円の半径を㌃とすると、
四角形ABCDの面積=(BC+CD)я/2+(DA+AB)㌃/2
BCとこれに垂直な半径rとの接点をE,CDとこれに垂直な半径Rとの接点をFとすると、
四角形ABCD=AC(r+R)+BEr+FDR
CDとこれに垂直な半径Rとの接点をG,DAとこれに垂直な半径㌃との接点Hとすると、
四角形ABCD=BD(я+㌃)+CDя+DA㌃
お膳立ては完璧。
あとはうまく消去して、
r+R=я+㌃を示す。 3本の平行線が与えられているとき、各平行線上に各頂点があるような正三角形を定規とコンパスを使って作図する方法を説明せよ。 密度が一定の球形の惑星がある。
この惑星の表面点Pでの重力を最大にするために
体積と密度一定の条件で惑星の形を変形する。
点Pでの重力は球形のときの最大何倍になるか。
またこのときの惑星の形はどうなるか。 >>623
平行線を順にl,m,nとし、巾の比をa:bとする。
正三角形ABCを作図し、辺ABをa:bに内分する点Dを作図する。
(直線AB外の点XとAX:XY=a:bなるYをXが直線ABと重ならないようにとり、BX//DYとなる点を作図すれば良い。)
m上にC'D'をCD=C'D'となるようにとりB'をnの側に△B'C'D'が△BCDと合同になるようにとる。
直線B'D'とl,nの交点をA",B"とすればA"とB"を一辺とする正三角形の一方が求めるもの。 >>626
>正三角形ABCを作図し、辺ABをa:bに内分する点Dを作図する。
>(直線AB外の点XとAX:XY=a:bなるYをXが直線ABと重ならないようにとり、BX//DYとなる点を作図すれば良い。)
平行線の垂線の垂直二等分線で正三角形作れば良いじゃん >>627
だな。
l,n上にABを好きにとればよかった。 定規とコンパスである2点間の長さを半径とする円をその2点とは別の点を中心に描くのは面倒くさい（幾何学原論ではコンパスは中心からある点までの距離を半径とする円を描けるだけで長さを保存して中心を移動させてはいけない） >>623
中心の平行線をl、他の平行線をm,nとする。
l上に点Oを取り、O点を通りlとのなす角が60°,120°の直線p,qを引く。
直線pとmの交点をA、直線qとnの交点をBとすれば、AB=AC=BCとなるl上の点Cが取れる。 まぁもっと楽な方法があったら教えて下さい。
自分は解けたのでもう満足。 >>602
とりあえず四角形の場合について初等幾何的に証明すると－
四辺をａ、ｂ、ｃ、ｄ、対角線をｅ、ｆ、内心半径をr1、r2、r3、r4とする。
ｅと、Aと二つの内心とCを結ぶ線で分けられる四つの図形の面積を
S1、S2、S3、S4とすると、S2+S3:S1+S4=2e:a+b+c+d
同様にfと、BとDを結ぶ線で分けられる四つの図形の面積を
S5、S6、S7、S8とすると、S6+S7:S5+S8=2f:a+b+c+d
ゆえにS2+S3:S6+S7=e:f
ところでS2+S3=e(r1+r2)、S6+S7=f(r3+r4)
ゆえにe(r1+r2):f(r3+r4)=e:f
ゆえにr1+r2=r3+r4 前>>622で言いたかったことをn≧4に拡張すると、
>>633そういうことです。 前>>635
拡張はしてないか。
四角形ABCDそのものか。
n=4のときどちらの対角線で分割しても内接円の半径の和が等しいことを示したかった。 >>633
S1、S2、S3、S4とすると、S2+S3:S1+S4=2e:a+b+c+d
これ内接円の半径等しいという仮定ないとダメなのでは？ >>637
なるほど、うっかりしていた(笑
比の計算で、単純に足したり引いたりしてはいけない、
という基本的なことを忘れていた。 前>>636 なんだ6>>33は違うのか。
>>622まではいいと思う。 床に描かれた、ある程度大きな円の円周上に人物Aがいて、円の中心に人物Bがいる。
さて、次のようなゲームをする。
●AはBを捕まえるのが目的。しかし、円周上しか動けない。
●BはAに捕まらずに円周に到着するのが目的。その際、円周に向かってまっすぐ走ってもいいし、途中で向きを変えてもいい。また、無意味な時間稼ぎはしない(スタート地点に何時間も動かずにいるetc.)。
【問題】AがBを捕まえるためには、Aの速度がBの速度の何倍以上でなければならないか。ただし、AとBの速度は一定とし、お互い最善を尽くすものとする。
【注】BがAのいる場所とは正反対の方向に向かってまっすぐ行くと、Bの移動距離は半径r、Aの移動距離は半円周πrなので、AはBのπ倍の速さで行くと、Bが円周に到着した瞬間にBを捕まえられてAの勝ち、π倍未満ならばBの勝ちとなるが、果たしてBのこの行動は最善なのか？ >>625
等周問題の変形版だね
x^2+y^2+z^2-h^(4/3)*z^(2/3)=0 (hは高さ)
https://imgur.com/P9yf6dO >>625
重力は3*5^(1/3)/5=1.026倍 前>>639
>>640
A「(Cに)Bの野郎、最善尽くして右へ右へと逸れていきよる思うんよ」
B「(Aに)π倍の速さで走ればいいじゃねえか」
A「いや、それだと逃げられる。おめぇさんがまっすぐ走ってるあいだに、円周という拘束がある俺は、まっすぐ走ってるおめぇさんに対してr走ってから直角に曲がってπr走るようなもんだ」
Aの心の声「ピタゴラスの定理より、
√{r^2+(πr)^2}=r√(1+π^2)
つまりr(1+π)/r√(1+π^2)倍走らな追いつかん。
約分し、
(1+π)/√(1+π^2)
分母を有理化し」
∴(1+π)√(1+π^2)/(1+π^2)倍以上の速さで走ればいい。 前>>643
(1+π)√(1+π^2)/(1+π^2)
=1.25620499……
1.256205倍なら追いつく。 >>640
某サイトに答えあるの見つけた。
コピペするのもあれなのでROMします。 >>646
点Pでの重力を体積一定の下で最大化するような断面の形状を変分法で求める
惑星は軸対称（軸対称でないとすると点Pから少し動いたところにより重心に近い点がある）だから断面の形状だけ考えれば良いのがポイント
↓のpart II の 4 に等長問題のオイラーラグランジュの方程式を求める方法が書いてある
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.368.1522&;rep=rep1&type=pdf ちなみに速度比が2倍では捕まえられない。
Bの速度は1とする。
速度比が2倍ならBは半径1/2の地点まではAの角速度を上回っているのでここまでBはAとの偏角の差が180°の状態をキープできる。
この地点から円周の最短地点までBが要する時間は1。
Aが要する時間はπなのでBの逃げ切り成功になる。 >>648
この問題に最大解がある事の証明はどうすればいいのでしょう？
変分法使う以上は別に解の存在示しとかないとダメだとおもうんですが。 >>650
リンク先にも書いてあるけど,厳密には第二変分を考えなきゃいけない >>659
そんなのがあるんですか？
なんか言葉のイメージだとHessianみたいなものですか？
でもそれだと結局極大である事の保証しか得られないのでは？ >>652
具体的に求めてみると分かるけど汎関数を与える関数（被積分関数）が凸関数だから結局極大値が最大値になる >>648
>軸対称でないとすると点Pから少し動いたところにより重心に近い点がある
なんで？ >>653
そうなんですか。
つまりf、gがともにV(f)≦V0、V(g)≦V0を満たすとき任意の0<t<1に対してV(tf+(1-t)g)、S(tf+(1-t)g)について凸不等式が使えるという事でしょうか？
体積の方は行けそうですね。
Sの方はまだ手動かしてないのでやってみます。
ありがとうございました。 今チェックしてみたら行けそうですね。
素晴らしい。 別スレより
1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるかを求めよ。 2段昇りの回数をnとすると、連続できないので最低限
間に1段昇りがはいることから、2n+(n-1)≦15 よって、
0≦n≦5
n=0の場合、一通り
n≠0の場合、15-2n個の１段昇りの隙間と両端に２段昇
りが入りうるので、その組み合わせは C(15-2n +1, n)
よって、全部で1+Σ(n=1～5）C(16-2n,n) n段登る方法の数をAnとする。
A1=1, A2=2,A(n+2)=A(n+1)+An
によりFをフィボナッチ数列とすればAn=Fn+F(n-1)。 プログラム組んで数えさせたら49になったんだけど合ってる？
[[1]]
[1] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
から
[[49]]
[1] 2 2 2 2 2 2 2 1 となると
A1=1,A2=1,A3=2,A(n+3)=A(n+1)+Anですな。
steps=map head $ iterate (\[x,y,z]->[y,z,x+y]) [1,1,2]
main = do
print $ take 16 steps
[1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,49,65] 同じ結果
> sapply(1:16,sim)
[1] 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 49 65 >>657
2歩を連続させてはいけないというルールにしてみた。
1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、2歩で続けて昇ることは連続しないものとする。
15段の階段を昇る昇り方は何通りあるかを求めよ。
パソコンに数えてもらったら、次のようになったけど、合ってる？
> sapply(1:16,function(x) sim(x,2, print=FALSE))
[1] 1 2 3 4 6 9 13 19 28 41 60 88 129 189 277 406 最後のステップが一段で、合計n段になる登り方をA[n]、
最後のステップが二段で、合計n段になる登り方をB[n]とすると、
求めるものは、C[n]=A[n]+B[n]。
それぞれの漸化式は
A[n]=A[n-1]+B[n-1]
B[n]=A[n-2]
つまり、A[n]=A[n-1]+A[n-3]
初期条件として、A[1]=1,A[2]=1,A[3]=2 を用いて、n=1から、列挙すると、
1,1,2,3,4,6,9,13,19,28,41,60,88,129,189
C[15]=A[15]+B[15]=189+88=277
これは、>>658さん、>>664さんの結果とも一致 受験数学でクソ頻出の3項間の項の数が増えてるだけですがな。
これが即答できないのは受験レベルの3項間の勉強の時に解き方だけ覚えて理屈がわかってなかった証拠。 >>667
検索したらそうみたいですね。
俺は、ニュー速＋に書いてあったを転載したんだけど。
【勉強】数をかぞえられない学生たち ありもしない「公式」に頼り…算数教育の珍現象
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1579164227/ >>640
Bは常にAと正反対の方向に向かって逃げてればいいような気がするな。
こんな感じ https://imgur.com/a/V54nf3j 前>>645再考。
>>669が見えないからなんとも言えないんだが、
1.256205倍は直感的すぎるし、πrで追いつかないものがπr+rぐらいで追いつくとも思えない。
もっと基本的な話、泥警といっしょで、泥棒Bは警察Aに対して90°の方向に逃げる。仮にBが90°以上の方向に逃げようとした場合、Aは逆方向に先回りする。ていうか最善を尽くすという題意だからその時点でそうする。
BはAのせいで自然と円軌道をとることになり、
スタートは12時の方向にいるAを背後に見て6時の方向に進みだすが、Aが1時2時と時計回りに進むに従って、Bも時計回りに最短距離で外周に達しようとする。警官Aが泥棒Bを捕まえる外周の位置は6時から9時のあいだにある。
6時のとき、π倍。
7時のとき、Aが(7/6)πr走るあいだにBは9時の外周を中心とした6分円、
2πr(60°/360°)=πr/3を走る。
Aの速さはBの速さの、 (7/6)πr÷πr/3=3.55
9時の外き、3倍だから、
ABA外周の7./2走っったとき追Bにいつくたた5倍
文字化けで書き直し。
∴AがBの3.5倍の速さで外周の7/12走ったとき、AがBに追いつく。 3.5倍の速度でも常にAと反対向きに進路変更すれば逃げ切れる気がするんだが。
https://i.imgur.com/hZk4Buv.jpg 前>>671
計算上、泥棒B(ルパン)が警官A(銭形)の2/7以上の速さで走れば、わずかにAに捕まる前に外周に逃げのびることができる。
逆走についてはAはBの逆走にただちに反応して逆走するルールだからむだな抵抗。袋のねずみ状態と考えられる。ただし穴あき袋、ある程度の速さで逃げれば外周に達する。
不二子「銭形警部の2/7ぐらいのスピード、ルパンならわけないわ」
ただ3.5倍という速さはそうとう速いので、感覚的に逃げきれそうなのはAのBに対する身体的優位性が実感できないからだと思う。
あと、3.5倍前後が少し怪しいといえば怪しい。Bが逃げる円軌道の中心をAの円軌道の中心と9時方向の端点を結ぶ直線上にとって半径rの6分円の外周(中心角60°の扇形の孤)を7時方向の端点まで逃げると考えた。
微分して極値を求めたわけじゃないから確証が持てないけど、確実にπ倍は超えてる。 >>673
BがAの2/7倍なら逃げられるよ。
Aの速度が1,Bが2/7として半径2/7の地点まではBの角速度が勝るのでこの地点までBはAと偏角の差をπに保てる。
そこからBは円周の最短地点まで距離は5/7,所用時間は5/2。
一方Aはその地点まで道のりπ、所用時間πなのでBの勝ち。 前>>675
AがBを捕まえる外周の位置は6時方向から9時方向のあいだにあると考えられる。Bが逆走したらAも逆走するから、一周することはない。
6時のとき、
Aが外周の半分を走るあいだにBはまっすぐr逃げる。
2πr/2÷r=π(倍)
7時のとき、
Aが(7/6)πr追うあいだにBは9時の外周を中心とした6分円、
2πr(60°/360°)=πr/3を走る。
Aの速さはBの速さの、
(7/6)πr÷πr/3=3.5(倍)
9時のとき、Aの速さはBの速さの、
3πr/2÷2π(r/2)(1/2)=3(倍)
8時のとき、Aの速さはBの速さの、
8πr/6÷2π(r/√3)(1/3)
=(4πr/3)(3√3/2πr)
=2√3
=3.4641016……
7時と8時のあいだ方向が怪しいといえば怪しい。
そのとき、AはBの3.5倍を超える速さ以上の速さで走らなければならない可能性があるといえばある。 A[n] = A[n-1] + A[n-3] より
A[n] = c･α^n + d･|β|^n･cos(nω+θ),
ここに
α、β、β~ は特性値。 (特性方程式 t^3 - t^2 -1 = 0 の根)
α = {1 + [(29-3√93)/2]^(1/3) + [(29+3√93)/2]^(1/3)}/3
= 1.465571231876768
β = |β| e^(iω),
β~ = |β| e^(-iω),
|β| = 1/(√α) = 0.826031357654187
Re{β} = -(α-1)/2 = -0.232785615938384
cos(ω) = Re{β}/|β| = -0.281812081080629
ω = arg(β) = 1.856478541471303
また、
c^3 - c^2 +(9/31)c -(1/31) = 0,
c = 1/3 + {[4(√31-√27)]^(1/3) + [4(√31 +√27)]^(1/3)}/(3√31)
= 0.6114919919508125
d = (1-c)/cosθ, AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、次のように証言している。このとき、嘘つきは誰か、全て答えよ。
A「8人の中に、少なくとも1人正直者がいる」
B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
C「8人の中に、少なくとも3人正直者がいる」
D「8人の中に、少なくとも4人正直者がいる」
E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
G「8人の中に、少なくとも3人嘘つきがいる」
H「8人の中に、少なくとも4人嘘つきがいる」 H/L A B C D E F G H
0/8 × × × × ◯ ◯ ◯ ◯
1/7 ◯ × × × ◯ ◯ ◯ ◯
2/6 ◯ ◯ × × ◯ ◯ ◯ ◯
3/5 ◯ ◯ ◯ × ◯ ◯ ◯ ◯
4/4 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯
5/3 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ×
6/2 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ × ×
7/1 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ × × ×
8/0 ◯ ◯ ◯ ◯ × × × ×
GとHが嘘つき。 いつもの総当りプログラムでも最後の２人が嘘つき
dec2nw <- function(num, N=2, digit){
r=num%%N
q=num%/%N
while(q > 0 | digit > 1){
r=append(q%%N,r)
q=q%/%N
digit=digit-1
}
return(r)
}
n=8
te=sapply(0:(2^n-1),function(x) dec2nw(x,2,n)) # testimony
TE=t(te)
f <- function(x){
H=sum(x)
L=n-H
all(c(H>0,H>1,H>2,H>3,L>0,L>1,L>2,L>3)==x)
}
TE[apply(TE,1,f),]
> TE[apply(TE,1,f),]
[1] 1 1 1 1 1 1 0 0 >>679
こういう問題にすると
A「8人の中に、1人正直者がいる」
B「8人の中に、2人正直者がいる」
C「8人の中に、3人正直者がいる」
D「8人の中に、4人正直者がいる」
E「8人の中に、1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、2人嘘つきがいる」
G「8人の中に、3人嘘つきがいる」
H「8人の中に、4人嘘つきがいる」
答が変わるね。 こういうバリエーションも可能。
A「8人の中に、1人嘘つきがいる」
B「8人の中に、2人嘘つきがいる」
C「8人の中に、3人嘘つきがいる」
D「8人の中に、4人嘘つきがいる」
E「8人の中に、5人嘘つきがいる」
F「8人の中に、6人嘘つきがいる」
G「8人の中に、7人嘘つきがいる」
H「8人の中に、8人嘘つきがいる」 >>678
Re{β} = -(1/2)|β|^4 = -α^(-2)/2,
cos(ω) = -(1/2)|β|^3, >>679
これって嘘つきの証言も正しいという前提？ >>679
Aが嘘つきの場合は
「8人の中に、少なくとも1人正直者がいる」は嘘の証言で
正直者は誰もいないとして計算？ この問題で問題文の意味の取りようなんて議論の余地ないだろ？ >>669
>>670
円の半径を1, Bの速さを1, Aの速さをaとする。
Aがθ(t)で追ったとする。
|dθ/dt| ≦ a,
最初、Bは Aと逆方向 π+θ(t) を保ちながら速さ１で逃げる。
中心～Bの距離を r(t) とする。
dr/dt = √{1 - rr(dθ/dt)^2} ≧ √{1-(ar)^2},
r ≧ sin(at)/a,
時刻 π/2a までに r=1/a に到達する。
次に、Bは円周Cまで直進する。所要時間： (a-1)/a,
AがCに到着するまでの所要時間： π/a
a<π+1 ならば逃げ切れる。
r=1/a で直角に曲がらずに丸く曲がった方が短くなる。
aはもっと大きい可能性･･･ AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、次のように証言している。証言でも嘘つきは必ず嘘をつく。
嘘つきは誰か、全ての組合せを答えよ。
A「8人の中に、正直者は3人いる」
B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
C「Bは嘘つきである」
D「Cは嘘つきである」
E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
G「Eは嘘つきである」
H「AもFも嘘つきである」 >>665
漸化式かっこいい！でも、一般項は求まらないか、、、。
>658まで書いたところで、急にウンチしたくなって、出勤時間も
迫ってたんで、値まで計算せずに書き込みして出かけちゃいまし
たが、検算ありがとう。 全員正直はCと矛盾するのであり得ない。
よってE=H。G=L。
CによりB又はCが嘘つきなのでG以外の嘘つきがいる。
よってF=H、H=L。
E,Fが正直なのでB=H、C=L、D=H。
ここまでで4人以上正直がいるのでA=L。 >>691
>一般項は求まらないか、、、。
3項漸化式で特性方程式が3次
その解を使えば？ 普通に命題論理の問題になるけど例えば>>679の問題の
B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
を命題論理の式にすると
B=(A∩B)∪(A∩C)‥∪(G∩H)
になって手計算では無理な話になってしまう。
計算機使えれば一撃だけど。 >>690
プログラム組んで解いたら
> TE[apply(TE,1,g),]
[1] 0 1 0 1 1 1 0 0
嘘つきは A C G H プログラム解を前提にすれば、ファジーな嘘つきを入れてこんな問題もできる。
AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、誰が正直者か嘘つきかはお互いに知っている。
A,B,C,D,Eは嘘つきなら必ず嘘をつくが、F,G,Hは嘘つきでも正しいことを言う場合がある。
次の証言から確実に正直者と断定できる人を全て挙げよ。
A「8人の中に、正直者は3人いる」
B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
C「Bは嘘つきである」
D「Cは嘘つきである」
E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
G「Eは嘘つきである」
H「AもFも嘘つきである」 どこかの中学入試の問題らしい
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人のうち２人は常に本当のことを言う正直者です。あとの３人は嘘つきですが、その発言内容は本当のときもあります。
彼らに誰が嘘つきか尋ねたところ次のように答えました。
Ａ 「ＢとＥは嘘つきではない」
Ｂ 「Ｃは嘘つきだ」
Ｃ 「Ｄは嘘つきだ」
Ｄ 「Ｅは嘘つきだ」
Ｅ 「ＢとＣは嘘つきだ」
さて、正直者は誰と誰でしょうか？ >>699
A=HとするとE=Hとなって矛盾するのでA=L。
E=Hとすると残り1人の正直者はDしかあり得ないが、するとするとE=Lとなって矛盾するのでE=L。
B=C=HはBの証言に矛盾するのであり得ないからE=H。
するとD=L、C=Hとわかる。 >>698
この手の問題計算機使って解かないと解けないのでは単なる計算機の演習にしかならない。 前>>679挑戦者暫定1位。
>>640問題。
逃走ルートをなるべく最短にしたいBは、7時半の方向に逃げるはずだ。
AがBを追った距離は、
2πr{(7+30/60)/12}
=5πr/4
Bが逃げた距離は、半径が直角になりこれはかなり最短だと思うんだけど半径r/√2の四分円孤、
2π(r/√2)(1/4)=πr/2√2
Aの速さはBの速さの、
5πr/4÷πr/2√2=5√2/2
=3.53553391……(倍)
まさかの3.5倍超え。さすがに4倍は超えないと思うけど、まだわからんな。 前>>704
前々>>677
アンカー訂正。
m(__)m >>701
2＾8＝256だから、手作業でやれなくもないとは思うけど
プログラムを組む方が早い。
256通りを以下のような関数でTRUEを返すものを選ぶだけ。まさに無思考ｗｗｗ
H=sum(x) # H:正直者の数
L=n-H # H:嘘つきの数
all(c( # 全て正しければTRUEを返す
(x[1]==1 & H==3) | (x[1]==0 & H!=3 ), # Aが正直者で証言が正しい | Aが嘘つきで証言が嘘
(x[2]==1 & H>=2) | (x[2]==0 & H <2 ), # Bが正直者で証言が正しい | Bが嘘つきで証言が嘘
(x[3]==1 & x[2]==0) | (x[3]==0 & x[2]==1), # Cが正直者で証言が正しい | Cが嘘つきで証言が嘘
(x[4]==1 & x[3]==0) | (x[4]==0 & x[3]==1), # Dが正直者で証言が正しい | Dが嘘つきで証言が嘘
(x[5]==1 & L>=1) | (x[5]==0 & L<1 ), # Eが正直者で証言が正しい | Eが嘘つきで証言が嘘
(x[6]==1 & L>=2) | (x[6]==0 ), # Fが正直者で証言が正しい | Fが嘘つき
(x[7]==1 & x[5]==0) | (x[7]==0 ), # Gが正直者で証言が正しい | Gが嘘つき
(x[8]==1 & x[1]==0 & x[6]==0) | (x[8]==0 ) ) ) # Hが正直者で証言が正しい | Hが嘘つき
可能な組み合わせ（１：正直者 0:嘘つきと
> TE[apply(TE,1,k),]
A B C D E F G H
[1,] 0 1 0 1 1 0 0 1
[2,] 0 1 0 1 1 1 0 0
どちらでも正直者なのは、B D E あれ？
オレの計算結果と違う？
[True,False,False,True,True,False,False,False]
[True,False,False,True,False,True,False,False]
[True,False,False,True,False,False,True,False]
[True,False,False,False,True,True,False,False]
[True,False,False,False,False,True,True,False]
[False,False,False,True,True,True,False,False]
[False,False,False,True,True,False,False,True]
[False,False,False,True,False,True,True,False]
[False,False,False,True,False,False,True,True]
になった。
まぁこんな計算できてもどうでもいいけど。 前>>705挑戦者1位。
>>640問題。
Bが7時20分の方向に逃げたとき、
AがBを追った距離は、
2πr{(7+1/3)/12}
=11πr/9
Bが逃げた距離は、半径R,中心角80°の扇形円孤、
2πR(80°/360°)=4πR/9
Aの速さはBの速さの、
11πr/9÷4πR/9=11r/4R
=3.……(倍)
正十八角形の1辺の長さを外接円の半径rで表すことができれば、三角形の相似比からRをrで表せて、倍率が出る。と考えたがとりあえず値だけ出して、
Rsin40°=r/2より、
R=r/2sin40°
11r/4R=(11/2)sin40°
=3.53533185……(倍)
7時30分の短針の方向にわずかに及ばない。
円軌道で7時半の短針の方向に出るBにAが追いつくとき、AはBの3.53553391倍以上の速さが必要が最大で、これ以上の値はみつからない。
Bの逃走ルートとして螺旋のルートを考えると、先に求めた円軌道の最大値、
πr√2/4を保ったままコイルをひっぱるように螺旋状にのばすと、
Bがπr√2/4(＞r)逃げるあいだにAが一周2πr走って追いつくことも可能で、
Aの速さはBの速さの、
2πr/(πr√2/4)=4√2
=5.65685……(倍)
というべらぼうな速さを出せるが、
かならずAが最善の走りに気づいて逆回りするからアウトだと思う。 >>698
> AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、誰が正直者か嘘つきかはお互いに知っている。
> A,B,C,D,Eは嘘つきなら必ず嘘をつくが、F,G,Hは嘘つきでも正しいことを言う場合がある。
> 次の証言から確実に正直者と断定できる人を全て挙げよ。
>
> A「8人の中に、正直者は3人いる」
> B「8人の中に、少なくとも2人正直者がいる」
> C「Bは嘘つきである」
> D「Cは嘘つきである」
> E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
> F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
> G「Eは嘘つきである」
> H「AもFも嘘つきである」
Dの発言からCとDの属性（正直者or嘘つき）は一致しないので、
Eの発言は真。ゆえにEは正直者。
C,Dのうち片方とEを合わせれば合計二人の正直者がいることになるから、
Bの発言は真。ゆえにBは正直者。
CとDの発言から、C嘘つきとD正直者が確定。
この時点で正直者が三人発覚しているが、
Aが正直者なら正直者が四人以上いることになり矛盾。ゆえにAは嘘つき。
Gの発言は偽であるからGは嘘つき。
Aが嘘つきであることから、Hの発言の真偽はFの属性（正or嘘）と一致。
Fの発言は真であるが、Fの属性については何もわからない。以上から、HとFについて
(H,F)=(正,正), (正,嘘), (嘘,嘘)
の可能性がある以外は、これまでの議論の通り全て確定している。
以上から、答えはB,D,E. 前>>708念のため7時40分の方向にBが逃げたときを考える。
>>640問題。
Bが逃げる軌跡は、
底角40°,頂角100°の二等辺三角形を含む扇形の円孤になり、
Aの速さはBの速さの、
2πr(7+2/3)/12÷2π(r/2cos40°)(100°/360°)
=(23/3)/12÷5/18･2cos40°
=23･2cos40°/10
=(23/5)cos40°
=3.52380444……(倍)
＜3.53553391……
あとは7時25,27,29分あたりがちょっと気になる。
7時台の速さ比(A/B)のグラフが見たい。
7時半の方向が最大だと思うけど。 >>709
レスありがとうございます。
(H,F)=(正,正)は成立しません。 Hの発言： H「AもFも嘘つきである」 からFが嘘つきになり矛盾します。
(H,F)=(嘘,嘘)も成立しません。 Aは必ず嘘をつく嘘つきと確定しているので正直者は３人ではありえません。
(H,F)=(嘘,嘘)ならば正直者がB,D,Eの３人になるのでAが真実を語っていることになり、矛盾します。 >>700
Aが正直者とすると正直者が3人になるのでAは嘘つき。
B,C,D,Eに二人の正直者がいる。
その組み合せは6通り。
相互に矛盾しないのはB,Dの組合せだけ。 前>>710
>>699
正直者はAとC。
Aが正直者とすると矛盾が生じてAは嘘つきとなったが、うまくいかない。
もう一度、嘘つきが本当のことを言うこともあるという広い心で題意を読みかえしてみた。
おのずとAとCが正直者だったとわかった。 1cm刻みの数直線上の隣り合った3点に●がある(3つの●は区別がない)。
1秒ごとに●1つが他の●1つを飛び越す。
その場合、飛んだあとの●の位置は、飛び越された●からの距離がもとの位置からと同じになるようにする。
飛んだあとの位置にすでに他の●があるときは飛べない。
2021秒後に、●●●全てが開始位置に戻ることはできるか？
例、
●●●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
● ●●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
● ● ●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
● ● ●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
：
↓
●●●
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋ >>713
正解が投稿されてから誤答を繰り返すいつもの芸風 乙 >>711
うわ、二つもアウトな場合取りこぼすとかぼーっとしてた
なるほど一度使った条件もまた後から効いてくる場合があったか >>714
A B C
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
↓
(2021回後)
↓
C A B
╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋╋
は元に戻った事になりますか？ ズレたorz
でも疑問の意味はわかってもらえると信じて とりあえず3個の石がそれぞれ全部元位置に戻るのは不可。
3個の位置を(a,b,c)としてAがBを飛び越すと(-a+2b,b,c)になる。
この変換を行列で表した時のdetは-1。
他も同様。
もし最初(0,1,2)から始めて(0,1,2)に戻ったとすると(n,n+1,n+2)から始めると(n,n+1,n+2)に戻り、よって変換は単位行列にならなければならない。
しかし一個の行列の行列式が-1なのでどのように2021個組み合わせてかけてもその行列式は-1にしかならない。 あ、相互位置交換も不可かな？
対称性から(a,b,c)→(b,a,c)が不可である事を示せば十分。
(0,1,2)→(1,0,2)が不可である事を示せば十分だけど各変換はmod2で恒等写像なのでコレは明らか。 (0,1,2)→(0,3,2)→(0,3,4)→(6,3,4)→(2,3,4)→(2,3,0)→(2,1,0)
偶数回ではあるけど位置交換自体は可能みたい 前>>713
>>699
BとDが正直者。
>>715読みなおした。やっぱり矛盾が生じてAは嘘つきとなった。
Bが正直者とすると、
C嘘つき,D正直者,E嘘つきで矛盾しないと思う。 シミュレーションしていたら、こういうジャンプで元に戻る
> sim()
0 : 1 2 3
1 : 1 3 4
2 : -1 1 4
3 : -1 4 7
4 : -6 -1 7
5 : -1 4 7
6 : -1 1 4
7 : 1 3 4
8 : -1 1 4
9 : 1 3 4
10 : 1 2 3
最短だと
> sim()
0 : 1 2 3
1 : 0 1 3
2 : 1 2 3
2021回は奇数回だから 元に戻れないと思う。
根拠は直感のみｗ >>714
こんな感じかな
～～～～～～～～
互いに素な正整数の組(a,b)全体からなる集合CPに対して関数 f:CP→{1,-1} を
f(1,1)=1,
a>b ならば f(a,b)=f(b,a)
a<b ならば f(a,b)=-f(a,b-a)
と定める。well-defined性は、互除法の成立に関する命題と同様にして示せる。
盤面で一番左にある●と真ん中の●の距離a(cm)と、真ん中の●と一番右の●の距離b(cm)を用いて、
盤面の状態を正整数の組(a,b)で表すことにする。
（複数の盤面で同じ正整数の組になることはあるが、そのような複数の盤面は
平行移動で互いに移り合えるものに限られる）
盤面の状態(a,b)から一秒後に移ることができる盤面は、a>bの時
(a+b,b), (b,a+b), (a-b,b), (b,a-b), (a,a+b), (a+b,b)
のみであり、いずれの場合も新たな整数の組はCPに属する。
更にfの定義を用いると、いずれの場合もfの値が元のf(a,b)と異なるものになることが導かれる。
a<bやa=b(つまりa=b=1)の場合も同様。
以上より、2021秒後の盤面(a,b)のfによる値は
(-1)^2021=-1 であり、(a,b)=(1,1) となることはあり得ない。
～～～～～～～～
つまり互いに素な正整数の組に対して定まる、ある種の『符号』みたいなものが
存在するということなのね、知らなかった 前>>725
>>719がなりますだったらなんだってなりますだよ。>>714だってなりますだ。
左に一個ずつズレていいならいくつズレようが三個並べばいいってことじゃないか。
正解は2021回だと元の位置にはならない、だと思う。 >>674
Aと円の中心と対称となる点を、目指して常に方向転換するという方針で、定速で作図してみた。
https://i.imgur.com/DedHINQ.jpg
Bの曲線の接線と円周の交点がその時点でのAと対称になっている（はず）。
図はAの速度がBの１．２倍のとき。 Bは円周ギリギリで円運動しておいて、タイミングを見計らって円周に到達すればいいんじゃないかな？
Aがいくら速くても円周との距離を限りなく０に近づければBは捕まらないと思う。 前>>729
>>730袋のねずみじゃないか。もう捕まってるじゃないか。Bが棄権負けだよ。不要な時間稼ぎ。外周から遠ざかってる。Bが反則負け。
だいたいAがそんな遅くて捕まえられるわけがない。スタート時点でAの進行方向に対して90°の方向にBが逃げると、π倍以上の速さが必要なのは問題にあるとおり。
それじゃ捕まるってんでBが逃げるんだから、Aはもっと速くないと捕まえられないじゃないか。
簡単な話、同じ時間走ってるわけだから、AとBの速さは、AとBが走った距離に比例する。
それより7時25分から7時29分までの短針の方向にBが逃げてAが捕まえたときのグラフが見たいよ。 >>728
逆回しでなくてもいい経路があるみたい。
> sim()
0 : 1 2 3
1 : 1 3 4
2 : 1 4 5
3 : 1 5 6
4 : 1 4 5
5 : 1 3 4
6 : -1 1 4
7 : 1 3 4
8 : 1 2 3 >>734
> sim()
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0 1 3
[2,] -1 0 3
[3,] 0 1 3
[4,] 0 3 5
[5,] -3 0 5
[6,] 0 3 5
[7,] 0 1 3
[8,] -1 0 3
[9,] -1 3 6
[10,] -1 0 3
[11,] -1 3 6
[12,] -1 0 3
[13,] -2 -1 3
[14,] -2 3 7
[15,] -2 -1 3
[16,] -1 0 3
[17,] 0 1 3
[18,] 1 2 3 ●が長旅してみました。
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 3 4
[2,] -1 1 4
[3,] -1 4 7
[4,] -1 1 4
[5,] -1 4 7
[6,] -6 -1 7
[7,] -6 7 15
[8,] -19 -6 15
[9,] -32 -19 15
[10,] -19 -6 15
[11,] -6 7 15
[12,] -19 -6 15
[13,] -32 -19 15
[14,] -45 -32 15
[15,] -32 -19 15
[16,] -19 -6 15
[17,] -6 7 15
[18,] -6 -1 7
[19,] -6 7 15
[20,] -6 -1 7
[21,] -6 7 15
[22,] -6 15 23
[23,] -6 7 15
[24,] -6 -1 7
[25,] -6 7 15
[26,] -6 -1 7
[27,] -6 7 15
[28,] -19 -6 15
[29,] -6 7 15
[30,] -6 -1 7
[31,] -1 4 7
[32,] -6 -1 7
[33,] -6 7 15
[34,] -6 15 23
[35,] -6 7 15
[36,] -6 -1 7
[37,] -1 4 7
[38,] -6 -1 7
[39,] -1 4 7
[40,] -1 1 4
[41,] -3 -1 4
[42,] -1 1 4
[43,] -1 4 7
[44,] -1 1 4
[45,] 1 3 4
[46,] 1 4 5
[47,] 1 5 6
[48,] 1 4 5
[49,] 1 3 4
[50,] 1 2 3 >>733
反則負け？？
目標に達するのと相手から離れて捕獲を逃れるというとの兼ね合いじゃないの？ 前>>733記録更新した。最善を尽くす、という題意に則って。
>>640問題。
7時25分の短針の方向の外周でAがBを捕まえたとすると、
AがBを追った距離は、
2πr(7+5/12)/12=89πr/72
Bが逃げた距離は、
7時から9時の60°のうちの19/24を底角に持つ二等辺三角形を含む扇形の弧で、その中心角は、
180°-2(19/24)60°=85°だから、
2πR(85°/360°)
二等辺三角形を二等分した直角三角形についてピタゴラスの定理より、
Rcos47.5°=r/2
Rを消してBが逃げた距離は、
2πR(85°/360°)
=17πr/72cos47.5°
速さの倍率は距離に比例し、
A/B=89cos47.5°/17
=3.53691344……(倍)
超えた。
7時半の方向の少し手前で捕まえればAのBに対する速さの倍率は少し大きくなる。
7時25分のあたりだけど、まだ確定じゃない。 >>640は何故か出題者が全然顔出さないな。
オレはこの問題出題した元サイトも答えも知ってるので答え書けないけど、Aの最小値を求めるための方程式はまぁまぁシンプル。
色々考えさせて結局これかい？みたいな。
ただし解は明示的には出せないようなので元のパズルサイトでは有効数字6桁まで求めよになってる。
ちなみに>>689はいい線行ってる。
r=1/aより外をどう逃げるか？ 前>>738最大値はこれだ!!
>>640問題。
7時x分の短針の方向の外周でAがBを捕まえたとすると、
AがBを追った距離は、
2πr(7+x/60)/12=(420+x)πr/360
Bが逃げた距離は、
7時から9時の60°のうちの(1-x/120)を底角に持つ二等辺三角形を含む扇形の弧で、
その中心角は、
180°-2(1-x/120)60°
=(60+x)°だから、
2πR(60+x)/360
=πr(60+x)/180
二等辺三角形を二等分した直角三角形についてピタゴラスの定理より、
Rcos(60-x/2)°=r/2
Rを消してBが逃げた距離は、
2πR{(60+x)°/360°)
=2πr(60+x)/360･2cos(60-x/2)°
=πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
速さの倍率は距離に比例し、
A/B=(420+x)πr/360÷πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
={(420+x)/(60+x)}cos(60-x/2)°
={7-6x/(60+x)}cos(60-x/2)°
x=26のとき、
A/B=3.53687522……(倍)
x=27のとき、
A/B=3.53671834……(倍)
x=28のとき、
A/B=3.53644261……(倍)
x=29のとき、
A/B=3.53604786……(倍)
逆だ。減ってる。
x=25.5のとき、
A/B=3.53690915……(倍)
x=25.4のとき、
A/B=3.53691238……(倍)
x=25.3のとき、
A/B=3.53691442……(倍)
x=25.2のとき、
A/B=3.53691528……(倍)
x=25.19のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
x=25.18のとき、
A/B=3.53691531……(倍)
x=25.17のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
x=25.16のとき、
A/B=3.53691529……(倍)
出ましたな、最大値。
7時25.18分すなわち、
7時25分10秒8の短針の方向の外周で捕まえればAのBに対する速さの倍率は最大になる。
そのときAの速度はBの速度の、
3.53691531……倍。 すでにπ+1で脱出可能ってレスが出てるんだけどねぇ。 前>>740なぜか冒頭が欠けてたみたい。加筆。
>>640問題。
7時x分の短針の方向の外周でAがBを捕まえたとすると、AがBを追った距離は、
2πr(7+x/60)/12=(420+x)πr/360
Bが逃げた距離は、7時から9時の60°のうちの(1-x/120)を底角に持つ二等辺三角形を含む扇形の弧で、その中心角は、
180°-2(1-x/120)60°
=(60+x)°だから、
2πR(60+x)/360
=πr(60+x)/180
二等辺三角形を二等分した直角三角形についてピタゴラスの定理より、
Rcos(60-x/2)°=r/2
Rを消してBが逃げた距離は、
2πR{(60+x)°/360°}
=2πr(60+x)/360･2cos(60-x/2)°
=πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
速さの倍率は距離に比例し、
A/B=(420+x)πr/360÷πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
={(420+x)/(60+x)}cos(60-x/2)°
={7-6x/(60+x)}cos(60-x/2)°
x=26のとき、
A/B=3.53687522……(倍)
x=27のとき、
A/B=3.53671834……(倍)
x=28のとき、
A/B=3.53644261……(倍)
x=29のとき、
A/B=3.53604786……(倍)
逆だ。減ってる。
x=25.5のとき、
A/B=3.53690915……(倍)
x=25.4のとき、
A/B=3.53691238……(倍)
x=25.3のとき、
A/B=3.53691442……(倍)
x=25.2のとき、
A/B=3.53691528……(倍)
x=25.19のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
x=25.18のとき、
A/B=3.53691531……(倍)
x=25.17のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
x=25.16のとき、
A/B=3.53691529……(倍)
最大値は、
7時25.18分すなわち、
7時25分10秒8の短針の方向の外周で捕まえればAのBに対する速さの倍率は最大になる。そのときAの速度はBの速度の、
3.53691531……倍。
中心角でいうと、
360°{(7+25.18/60)}/12
=222.59°の方向の外周。
速度4倍もは必要ない。 4倍ならAは捕まえられないという正しい答えがすでに出てんのに、なんで自信満々におかしな答え書き込めるん？ 前>>742
>>640問題。
速度比A/Bをさらに大きくできないかと考えた。
中心角でいうと、
360°{(7+25.18/60)}/12
=222.59°
の方向の外周が、AがBを捕まえる地点。だという読みだった。
が、もう逃げるBが大きく螺旋状に内側にカーブして222.59°よりも先に逃げようとしたところで、Aは逆回りしてスタート地点に戻るより、そのまま外周付近で接近する。
中心方向に逃げるのは題意に反するが、Bの逃走距離はカーブしてるぶんrを確実に超えていて、Aがスタートした地点まではコイルをのばすようにして行けるんじゃないか。
Bの逃走距離を7時25分10秒8の短針の方向の外周に達するときと変えることなく、Aがスタートした地点までコイルをのばすようにBの逃走ルートをのばすと、
速度比A/B=2πr/{πr(60+25.18)/360cos(60-25.18/2)°}
=720/85.18cos47.91°
=5.66581262……(倍)
どうだ。この速度比。最大だろう。 嘘つき問題に条件文を加味してみた。
AからEの5人はそれぞれ正直者か嘘つきのどちらかであり、誰が正直者か嘘つきかはお互いに知っている。
嘘つきなら必ず嘘をつく。嘘つきの可能性があるのは誰か？
A「Bは正直者である」
B「Aは正直者である」
C「Bが嘘つきなら私も嘘つきである」
D「Cが正直なら私も正直である」
E「Dが嘘つきなら私も嘘つきであるし、Dが正直ものなら私も正直者である」 >>745
無思考解のRでのプログラム（未検証)
n=5
TE=gtools::permutations(2,n,v=0:1,rep=T) # TE : 第１行が00000 で始まり最終行が11111で終わる行列
colnames(TE)=LETTERS[1:n] # 各列の名前A~E
foo <- function(x){ # TEの各行を判定する関数
cond <- function(P,Q) !(P & !Q) # P ⇒ Qの真偽を返す関数
all(c( # all : c()内の , で区切られた命題が全て正しいかTRUE/FALSEで返す
# c(Aが正直者で証言が正しい|Aが嘘つきで証言が嘘, Bが正直者で証言が正しい|Bが嘘つきで証言が嘘, ...)
(x[1]==1 & x[2]==1) | (x[1]==0 & x[2]==0),
(x[2]==1 & x[1]==1 ) | (x[2]==0 & x[1]==0),
(x[3]==1 & cond(x[2]==0,x[3]==0)) | (x[3]==0 & !cond(x[2]==0,x[3]==0)),
(x[4]==1 & cond(x[3]==1,x[4]==1)) | (x[4]==0 & !cond(x[3]==1,x[4]==1)),
(x[5]==1 & (cond(x[4]==0,x[5]==0)|cond(x[4]==1,x[5]==1)) )
| (x[5]==0 & !(cond(x[4]==0,x[5]==0) | cond(x[4]==1,x[5]==1)) )
))
}
TE[apply(TE,1,foo),] # 各行にfooを適用して返り値がTRUEのものを表示 前>>744
>>640問題。
Aが外周を一周してスタート地点で最短距離を逃げたBを捕まえたとしたら究極、
速度比A/B=2πr/r
=2π
=6.2831853……(倍)
これが最大値か。 >>640前>>747
──「Aの速度がBの速度の何倍以上でなければならないか」
この題意、最大値じゃなくて最小値か？
速度比A/Bの最小値か。
Aが一周するあいだに、
Bは3/4周か？ いやなるべく早く外周に到達したいはず。270°より手前で外周に達することができる。
3.5369153倍と3.5369153倍のあいだにある3.53691531倍。これが最速だ。少数第7位までだと決着がつかない。少数第8位を比べる必要がある。元ネタと大きく違う点。これが面白い問題たる由縁。
∴Aの速度がBの速度の3.53691531倍以上でなければならない。 前>>749
>>750どういう式と計算でπ+1が出たか、AがBを捕まえた地点は外周のどこなのか、式と計算と言葉で示さないと。
Bは円軌道で外周に逃げるのが最善と思って半径Rをrで表して円弧の中心角から逃走距離を求めた。
Bが螺旋か楕円かハートか、スタート方向をAに対して90°にしたまま最短で外周に逃げる形がほかにあるのかどうか。
カブトガニの例もある。途中から直線なんてのもあなどれない。 >>751
示されてる。
理解できてないのは君だけ。
自分の読解力がないのを他人のせいに平気でするから嫌われるんだよ。
いくら便所の落書きでもそういう最低限の礼節は守らないといけない。
ましてやコテハンで自分の素性も明らかにしてるんでしょ？
自分の知り合いに自分が掲示板でそういう言動してるのバレたりしたときの事とか考えないの？ 前>>751
AがBの外周到達地点を予測して逆回りしてBを捕まえられる限界折り返し地点は、
1時18分10秒8の短針の方向。
Aは残り半周でBに追いつくからどっちを回ってもいい。
もうAが逆回りしないとなった瞬間、Bは最善の方法をとる。
すなわちBは円軌道の必要がなくなり、直線軌道に変える。円弧より内側をえぐったほうが速い。
円弧と直線の交点をつきとめれば速度比は決まる。 オレは出題者じゃないからあんまり書き込むのも何だとは思うけどちょい書いてみる。
この問題はいわゆるゲームの理論なんだけどちゃんと数学的に記述するのはかなり難しい。
一例としてはa,bを正の定数としてA,Bがとりうる選択肢は
F={f : [0,∞) → ∂D | f(0)=(1,0), d(f(t),f(u)) ≦ a|t-u|}
G={f : [0,∞) → D | g(0)=(0,0), d(g(t),g(u)) ≦ b|t-u|}。
Aの戦略とはS:G→Fで
( 0≦∀t≦T g1(t)=g2((t) )⇒ ( 0≦∀t≦T S(g1)(t)=S(g2)(t) )
(Bの選択した関数に対し時刻Tまでの出方で時刻Tまでの対抗行動は決まる。)
Bの戦略T:F→Gも同様に定める。
見つけるべき定数Cとは
(1)∀a/b>C ∃S ∀g∈G ∃t0 S(g)(t0)∈∂D, S(g)(t0)=g(t0), S(g(t)) ∈int(D) (∀t<t0) or ∀t g(t) ∈ int(D)
(2)∀a/b<C ∃T ∀f∈F ∃t0 T(f)(t0)∈∂D, T(f)(t0)≠f(t0), T(f(t)) ∈int(D) (∀t<t0)
の両方を満たす定数。
この戦略関数SとTをCと抱き合わせで見つけないといけないのが難しい。
Aの戦略はまぁそりゃそうだというもの、簡単。
基本Bの動きに応じて右に回るか左に回るかしかないんだから。
Bの脱出戦略Tが難しい。
AとBのその時点での相対位置からどっちに向かうのが得か？
半径b/a-εの地点までの戦略は簡単なのだけれどその先がムズイ。
答え聞くとまぁそりゃそうなのかもなと思えるけど。
ちなみに出題してる元サイトではCの値出せたら正解みたいだった。
それだけなら方程式を勘で当てれなくもない。 Aの戦略関数Sは簡単なので一例として書いてみる。
Dの点pに対し∂D上のベクトル場X(p)をX(0,0)=0、p=(0,0)以外に対してはφをpに最も近い円周上の点として
X(p)(θ)
=正の方向に向かう大きさaのベクトル(θからφへは正の方向に向かう方が近いときか、θとφが原点対称のとき)
=負の方向に向かう大きさaのベクトル(θからφへは負の方向に向かう方が近いとき)
=0(θ=φの時)
て定めてS(g)(t)=exp(X(g(t)))(1,0)で定める。
つまりは常にg(t)との偏角差をなくす方向に速度aで向かう。
偏角差0なら動かない、偏角差πなら正の方向。
まぁこれが最適戦略なのはそりゃそうだと思える。
この戦略で任意のgを捕まえられるa/bの下限がC。 前>>753
>>754数字は3～9も使ったほうがいい値が出せると思う。
計算がまだ追いついてないだけで、Bの逃走経路の、
(1+25.18/60)/(7+25.18/60)を円弧のまま、
残りを222.59°地点まで直線としたら、
速度比A/Bは3.53691531をわずかに超えるはず。 >>746
論証を考えていたらバグを発見した。関数を訂正。
fn <- function(x){
if(sum(x)==n|sum(x)==0) return(FALSE)
cond <- function(P,Q) !(P & !Q) # P ⇒ Qの真偽を返す関数
all(c( # all : c()内の , で区切られた命題が全て正しいかTRUE/FALSEで返す
# c(Aが正直者で証言が正しい|Aが嘘つきで証言が嘘, Bが正直者で証言が正しい|Bが嘘つきで証言が嘘, ...)
(x[1]==1 & x[2]==1) | (x[1]==0 & x[2]==0),
(x[2]==1 & x[1]==1 ) | (x[2]==0 & x[1]==0),
(x[3]==1 & cond(x[2]==0,x[3]==0)) | (x[3]==0 & !cond(x[2]==0,x[3]==0)),
(x[4]==1 & cond(x[3]==1,x[4]==1)) | (x[4]==0 & !cond(x[3]==1,x[4]==1)),
(x[5]==1 & (cond(x[4]==0,x[5]==0) & cond(x[4]==1,x[5]==1)) )
| (x[5]==0 & !(cond(x[4]==0,x[5]==0) & cond(x[4]==1,x[5]==1)) )
))
} >>746
Eの記述を簡略化
n=5
TE=gtools::permutations(2,n,v=0:1,rep=T) # TE : 第１行が00000 で始まり最終行が11111で終わる行列
colnames(TE)=LETTERS[1:n] # 各列の名前A～E
fn <- function(x){
if(sum(x)==n|sum(x)==0) return(FALSE) # 全員が正直か嘘つきならFALSEを返す
cond <- function(P,Q) !(P & !Q) # P ⇒ Qの真偽を返す関数
all(c( # all : c()内の , で区切られた命題が全て正しいかTRUE/FALSEで返す
# c(Aが正直者で証言が正しい|Aが嘘つきで証言が嘘, Bが正直者で証言が正しい|Bが嘘つきで証言が嘘, ...)
(x[1]==1 & x[2]==1) | (x[1]==0 & x[2]==0),
(x[2]==1 & x[1]==1 ) | (x[2]==0 & x[1]==0),
(x[3]==1 & cond(x[2]==0,x[3]==0)) | (x[3]==0 & !cond(x[2]==0,x[3]==0)),
(x[4]==1 & cond(x[3]==1,x[4]==1)) | (x[4]==0 & !cond(x[3]==1,x[4]==1)),
(x[5]==1 & (x[4]==x[5]) ) | (x[5]==0 & (x[4]!=x[5]) )
))
}
TE[apply(TE,1,fn),] # 各行にfnを適用して返り値がTRUEのものを表示
実行結果
A B C D E
1 1 1 1 0
Eが嘘つき 前>>756
>>752ここで面白い問題を解いたり教えてもらったりしてることは俺たちだけの秘密だよ。 一辺の長さが 10m の正方形のプールの一つの角に監視員を置く。
この監視員は水中は秒速 1m で，プールの縁上は秒速 2m で移動するものとする。
この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ。
(某AO入試問題) >>760
監視員の位置を原点、プールを0≦x≦10, 0≦y≦10とする。
プール内の0≦y≦xにある地点に到達する所用時間の最大値を求めればよい。
この場合監視員の陸路はy=0とx=10を移動する場合のみを考えればよい。
この時時刻tまでに監視員が到達できる領域は
x+√3y≦2t‥①、-√3x+y≦2t-10√3-10‥②
である。
最後まで残る点はy=x上でありy=x上の①に含まれる点は
x≦2t/(√3+1)の部分であり、②のそれはx≧(-2t+10√3+10)/(√3-1)を満たす部分である。よって①、②で全て覆われる時間は
2t/(√3+1) = (-2t+10√3+10)/(√3-1)
の時でありt =5/√3の時である。
かな。自信なし。 前>>759ほんとはプールサイドから斜めに飛びこむわなぁ。
>>760
プールの対角線上のじゅうぶん遠いところに、救出に最長時間が必要な地点と考えられる。
x秒かかるとすると最初に監視員がいるコーナーから、
10x(m)離れている。
縁を端まで行くと10/12=5/6(秒)かかる。
コーナーで折れて最長時間が必要な救出地点に縁上で最接近するため10x/√2(m)縁を行く。
水に入って10-10x/√2(m)泳ぐ。
救出時間で等式を作ると、
x=10/12+(10x/√2)/12+(10-10x/√2)/10
分母を払って、
12x√2=10√2+10x+12√2-12x
12x+x√2=22
x=22/(12+√2)
=22(12-√2)/(144-2)
=11(12-√2)/71
=1.64005142……(秒)
ただ優秀な監視員なら縁から斜めに飛びこんで1.6秒ぐらいで救出する可能性がある。 >>761
> 2t/(√3+1) = (-2t+10√3+10)/(√3-1)
> の時でありt =5/√3の時である。
式はあってると思うけど、計算間違いかな
明らかに10秒ちょっとかかるし >>761
あ、対角の位置から飛び込む方が早い可能性抜けてた。
対角の位置から飛び込んだ場合にカバーされる領域は
(x-10)^2+(y-10)^2≦(t-10)^2
x=y上ではx=10-(t-10)/√2。
2t/(√3+1)=10-(t-10)/√2
wolfram大先生によると
t=10 (2 + sqrt(2)))/(4 + sqrt(2) + 4 sqrt(3)
=2. 76624393725438801
だそうな。立式まちがってんのかな？ >>763
計算が間違ってるのはwolfram先生にも教えてもらった。
立式も②の領域は対角のコーナーから飛び込んだ時に負けるみたい。 前>>762
>>760ごめん、目を疑うほど間違えた。一行飛ばして速さ二桁にしてた。
x秒とする。
(x/√2)/2=x/2√2秒
10-x/√2秒
5+x/2√2+10-x/√2=x
分母を払って、
10√2+x+20√2-2x=2x√2
30√2=(2√2+1)x
x=30√2/(2√2+1)
=30√2(2√2-1)/7
=(120-30√2)/7
=11.0819419……(秒)
斜めに飛びこむときがはずだけど、とりあえず。 >>766
立式は結局
>>761
> x+√3y≦2t‥①、-√3x+y≦2t-10√3-10‥②
> 2t/(√3+1) = (-2t+10√3+10)/(√3-1)
で合っていると思うけど？
wolfram大先生も
t=5+10/√3≒10.774
と言ってくれている
> 立式も②の領域は対角のコーナーから飛び込んだ時に負けるみたい。
対角に着いてから飛び込むよりも、対角に着く前に飛び込んだ方が速いよ
> 2t/(√3+1)=10-(t-10)/√2
を解くと
t=10*(2+√2)(1+√3)/(4+√2+√6)≒11.862 またまた訂正。
②は③に負けない。
ので①と②をy=x上で解いた>>764さんが正解。 >>768
うん、立式合ってた。
wolfram先生に教えてもらう時/が一個抜けてた。
そりゃそうだよな。
対角から飛び込んで勝つハズない。
最初はありえないと思って無視したんだけど一応と思ってwolfram先生に聞く時打ち間違えた。 前>>767
>>760
縁から50°ぐらいもかなり速いと思うけど、斜め45°に飛びこむときで解く。
プールの対角線上のじゅうぶん遠いところに、救出に最長時間が必要な地点と考える。
x秒かかるとすると最初に監視員がいるコーナーから、
x(m)離れている。
縁を端まで行くと10/2=5(秒)かかる。
コーナーで折れて最長時間が必要な救出地点を斜め45°に見る縁まで、
(1/2)(10-x√2/2)
=5-x√2/4(秒)
水に入って(10-x√2/2)√2(m)泳ぐ。
救出時間で等式を作ると、
5+5-x√2/4+(10-x√2/2)√2=x
10-x√2/4+10√2-x=x
10+10√2=(2+√2/4)x
分母を払って、
40(1+√2)=(8+√2)x
x=40(1+√2)/(8+√2)
=40(1+√2)(8-√2)/(64-2)=20(8-√2+8√2-2)/31
=20(6+7√2)/31
=10.2577387(秒) 前>>771
斜め45°に飛びこむとき、じゅうぶん速くてびっくりした。
斜め40°から斜め50°のとき、意外な極値があるかも。
>>760 1～5の自然数が書かれた5枚のカードを、A～Eの生徒5人に先生が1枚ずつ配った。
5人はそれぞれ自分のカードの数は分かるが、他の人のカードの数はわからない。
また、先生は誰の数もわからない。
さて、先生とA～Eとの間で次のような会話があった。
なお、全員正直者であり、後から答える人は先の会話を聞いて参考にしている。
先生「Aさん、誰が1番大きい数ですか？」
A「わかりません」
先生「Bさん、あなたはCさんよりも大きい数ですか？」
B「わかりません」
先生「Cさん、あなたはDさんよりも大きい数ですか？」
C「わかりません」
先生「Dさん、あなたはBさんよりも大きい数ですか？」
D「○○○○○」
先生「Bさん、あなたはCさんよりも大きい数ですか？」
B「いいえ」
先生「たった今、皆さんの数がわかりました」
問1、○○○○○に入る言葉は「はい」「いいえ」「わかりません」のどれか？
問2、A～Eの数は何か？ >>773前>>772
1 いいえ はい
2 A 3 4 3 2
B 2 2 4 4
C 4 3 2 3
D 1 1
E 5 5 出番なし x>0で
0^x=0
x^0=1
0^0=1とするのはその方が0でも辻褄が合う法則が多いから？
0の偏角は不定？それとも0?
偏角が0なら実数という法則を成立させるには0の偏角=0と定義でいいと思うけど。 >>759
イナさんの芸風は楽しみにしています。
お気になさらず続けてください。
読みたくない人はコテハンをNGに設定すればいいだけですから。 >>775
0個の物から重複を許して0個取り出して並べる順列は1通りだけど,これは0^0通りとも計算できるから,0^0=1
実数に対しては色々定義がありうるけど基数としては明確に定まる >>760
プログラムを組んで
Oの位置にいる監視員がZで溺れている人に到達する時間を 経路OZ, OXZ, OPYZ, OPQRZ で計算してみると。
https://i.imgur.com/LHkdPm1.jpg
場所によって最短到達経路に違いがでる。
(5,5)だとOXZで6.8秒,(8,9)だとOPYZで11.2秒が最短になった。 >>773
問1 「いいえ」
問2 A=3か4 B=2 C=3か4 D=1 E=5
Dは1か5。なぜなら明確に答えられるのは1か5のカードを持っている生徒だけだから。
しかしBが「いいえ」と答えたということはD=1、B=2。
A、B、Cがいずれも「分りません」と答えたということはE=5。
今のところ、AとCのカードは不明。 >>775
原点を通って偏角一定の曲線（＝直線）を考えると0の偏角を0にしちゃうと原点で偏角が不連続になるからまずい >>773
やや訂正。次のような場合もある。
問1「分りません」
問2 A=1 B=2 C=? D=? E=5 >>778
バグ発見したので図以外は>778は撤回します。 >>773
分った。
問1 「はい」
問2 A=1 B=2 C=3 D=4 E=5
Bは1でも5でもないと分るから、Bは2か3か4。
Dが4を持っていれば確実に「はい」と答えることができる。 >>739
r=1/a まで来たらあとは直進ですか。
>>751 >>753 にありますね。
Aが逆転すれば、Bはその時のOBに垂直な向きに進む。
逆転がない場合は
Aの進む距離 (弧長) はπ+θ、Bの進む距離 (半弦) は sinθ
ここに、中心角θ = arccos(1/a)
逃げ切り条件：
tanθ - θ = a･sinθ - θ < π (0<θ<π/2)
から
θ < 1.35181680431927
a = 1/cosθ < 4.6033388487517
π+1 = 4.1416 より大きい 。 おぉ、出ましたね。
a/bの臨界値のための方程式。
元サイトではその数値出せば正解です。
のでそれで終わりでもいいし、興味ある人は
a/b>4.6033‥のときのAの補足戦略と
a/b<4.6034..のときのBの逃走戦略
に挑戦してみてはどうでしょうか？
元サイト
http://www.research.ibm.com/haifa/ponderthis/challenges/May2001.html?mhsrc=ibmsearch_a&;mhq=2001%20may 作図と計算をやり直してみた。
原点Oの監視員がZにまで達する時間と経路別に計算
https://i.imgur.com/gnwhCX8.jpg
Zの座標から各経路での最短時間を計算させて表示。
> sim(7.9+7.9i,print=F)
OZ PZ QZ RZ OXZ OUZ ORWZ OPYZ OPQWZ
11.17229 13.17435 12.96985 13.17435 10.79160 10.79160 10.76865 10.76865 12.86865
座標を0.1区切りで組み合わせたら最短時間がもっとも大きいのが上記であった。
経路は座標が（7.9,7.9)のときOPYZ（またはORWZ)の経路で最短でも10.76秒かかるという結果になった。 >>773
A<5, B≠1,5, C≠1,5
・D=5 なら D「はい」
・D=1 なら D「いいえ」
・2≦D≦4 のとき
A=1, {B,C,D} = {2,3,4} E=5
D=4 ならD「はい」
D=2 ならD「いいえ」
∴D「分かりません」はD=3のみ。
B「いいえ」 より B=2, C=4
>>779
D「いいえ」の場合
A=1, {B,C}={3,4}, D=2, E=5
もある。
>>781
A=1, B=2, C=3, D=4, E=5
ならD「はい」
>>783
D「はい」の場合
D=5 もある。 前>>774先生は「わかりません」と言えなかったんだね。
>>771斜め45°に飛びこんだほうが速いと思う。
20(6+7√2)/31
=10.2577387(秒) プールのやつは>>764さんの
5+10/√3=10.773502691896...
だろ？ 20(6+7√2)/31
=10.2577387(秒)
>>789見てないのか？ コンマ5以上速いぞ？ まだもっと速い角度で飛ぶ奴いる気がして探してるけど。前>>788 ふっと考えたんだけど>>764さんの数値と>>786さんの数値がまぁまぁ離れてるのはなるほどですな。
本物はその地点までの最短到達時間を三次元的なグラフにした場合を考えると各格しだピラミッドみたいな形になる。
いわゆる微分可能な関数の極直ではないからモンテカルロやメッシュがあまりいい数値を出せないんだな。 >>790
何度で飛び込むのが最適かすら間違ってるのに読む気になどならない。 > pm[apply(pm,1,Yes),]
[1] 1 2 3 4 5
> pm[apply(pm,1,No),]
[1] 1 3 4 2 5
> pm[apply(pm,1,DK),]
[1] 1 2 4 3 5
はい で 1 2 3 4 5
いいえ で 1 3 4 2 5
分からんで 1 2 4 3 5 前>>790
45°は勘だけど、じゅうぶん速かった。
ほかに10.25秒台は出てない。
初め90°出して次に30°出していっしょだな、と。
コンピューターの図があるレスもそこの数値は同じだと出てる。
あいだだ。10.2577387秒が今のところ最速。
3:4:5は11.0819419秒かかる。
4:3:5は10.868秒かかる。 前>>794
√3:1:2のとき、60°で飛ぶ奴は10.53849秒。一様分布じゃないみたい。
あいだにある4:3:5が遅くて45°が逆に速い。なぜかはわからん。
46°～50°があるいは。
たぶん距離の影響と速さの影響の兼ね合いではないかと思う。 >>761
お手数ですが、この不等式の導入法を解説していただけませんか？ グリッド幅を狭くしていったら
(7.88675135,7.88675135)のときに10.77350269秒が最大という計算になった。
5+10/√3＝10.77350269189625764509148780501957455647601751270126876018...
に一致していて、プログラムは正確みたいでほっとした。
俺には理論はわからないけどｗｗｗｗ >>795
>なぜかはわからん。
多分、風が吹いているんじゃないの？
馬耳東風という風がｗｗｗ オリンピックのプールと世界最高記録を使って計算してみた。
オリンピックサイズ・プール50m*25m
水泳100m自由形 46秒91
陸上100m9秒58
座標(40.101, 15.1077)に 0.77933776秒で達するのが最長と算出された。 >>794
アホかいな。
正解もう出ててその数値より早いという事は経路の選択も所用時間の計算も両方間違ってるんだよ。 >>804
コピペのミス
秒数は
OXZ
[1] 10.77933776 >>760
プールを 0<x<10,0<y<10 と座標設定。
(a,b) に向かうとする。ただし、0<b<a<10
考えるべき方法は次の(a)～(c)で、それぞれ必要な時間を最後に記すと
(a)原点から直接(a,b) この時、必要な時間は、sqrt(a^2+b^2)
(b)(x,0)まで行ってそこから(a,b)へ この時、必要な時間は、x/2+sqrt((a-x)^2+b^2)
極値を取るのはx=a±b/√3だから、プラスを取って代入し、a/2+((5/6)√3)b
(c)(0,0)→(10,0)→(10,y)→(a,b)へ この時、必要な時間は、5+y/2+sqrt((10-a)^2+(b-y)^2)
同様に、y=b-(1/√3)√(a^2-20a+100)の時、(√3/2)(10-a)+5+b/2
(a,b)地点によって、最適な方法が変化する。図示は某所に下式を入力して欲しい。
min{√(a^2+b^2),a/2+((5/6)√3)b,(√3/2)(10-a)+5+b/2} 0<a<10,0<b<10
最も時間がかかる場所は、方法(a)と方法(c)で必要な時間が同じで、かつ、x=y上
つまり、sqrt(a^2+b^2)=(√3/2)(10-a)+5+b/2,a=b を解いて
a=b=10(-2+√3+2√(2-√3))=7.6732698797896034292...
必要な時間は上の値の√2倍で10(√3-1)(2-√(2-√3))=10.8516423317474258765... >>807
極値を取るのはx=a±b/√3 これで√3がでてくる理由がわかりました。
ありがとうございした。 >>802
それはホント？
本問微分可能関数の極値ではなく、誤差はグリッドから真の極小点までの距離に正比例する。
例えば誤差を5桁、にしようと思えばグリッド巾は10^(-5)、メッシュ数は10^10の100億個取らないといけない。
比例定数が幾ばくか助けてくれたとしても本問単純なモンテカルロ法やメッシュ法でそこまでの精度が出るとは思えないんだけど。 >>809
荒いグリッドで極値を与えるx, yの近似値がでてくるからそれを挟むように次の計算で
グリッドの上限と下限を狭くしていけばいい。
人間ニュートンハフソンン法ｗ
x=seq(40.099,40.101,by=0.0001)
y=seq(15.107,15.109,by=0.0001) 前>>795
周りが遅いから今は俺が最速なだけ。もっと速い角度がないか探してる。 >>810
ニュートンラフソン使うなら極値をとる点なり、極値そのものを与える方程式なりがわかってるのが大前提で>>802はそうでなく単純なメッシュ法で求めたんでしょ？
そもそも本問極値を求める方程式はただの一次方程式にしかならないんだからニュートンラフソンもへったくれもないよ。 >>809
［０，１００］を１００分し４０が返ってきたら次は[３９，４１]を１００分して４０．０を得る。
その次は[３９．９,４０．１」を１００分する。この繰り返し。
もとの正方形プールの10.77350269秒はそうやってもとめた。 >>813
なるほど。
全領域をメッシュしたんじゃないのか。
それならできるな。
納得しました。 >>812
いや、時間を求める関数はわかっているよ。
複素平面で絶対値を計算して速度で割っただけ。
関数化するとこんな感じ。
f=function(x) x/vs + abs(x-z)/vw
あとは、ニュートン法でRに最小値の数値解をださせるだけ。 >>800
でもこの問題問題文の文章からして正解は>>784の4.6033388‥だと思う。
やはり数学的に厳密に解釈しようとすれば>>754のようにならざるを得ないし、だとすると正解は>>784になるしかないと思う。
多分そのサイトの解答はa/b>π+1のとき捕獲可能であるの証明に誤りがある(Bの最適な逃走戦略を見つけきれてない)のだと思う。
そのサイト答えがπ+1としか書いてないからわかんないけど。 他人の解答を見る気はないって言ってるからほっとくしかないんだろうが、
監視員から(8m,8m)にかかる時間を計算すればいい。>>788よりかかるぞ >>817
最後は監視員がプールの水を抜いて最速は１０秒という答を出すのだと思うんだんが。 >>818
１０秒じゃなくて５√２秒（＝7.071秒）だった。 前>>811
>>760問題。
>>771を再度検証する。
プールの端を直角に折れて斜め45°に飛びこむ場合。
プールの対角線上のじゅうぶん遠いところに、救出に最長時間が必要な地点があると考える。
x秒かかるとすると最初に監視員がいるコーナーからx(m)離れている。
縁を端まで行くと10/2=5(秒)かかる。
コーナーで折れて最長時間が必要な救出地点を斜め45°に見る縁まで、
{x/√2-(10-x/√2)}/2
=x/√2-5(秒)
水に入って(10-x√2/2)√2(秒)泳ぐ。
救出時間で等式を作ると、
5+x/√2-5+(10-x√2/2)√2=x
x/√2+10√2-x=x
10√2=(2-1/√2)x
分母を払って、
20=(2√2-1)x
x=20(2√2+1)/7
=10.93835060……(秒)
＜10.53849……(秒)
60°のときに及ばない。
やっぱり一様分布か。 >>777
#A^#B=#A^B=#{f:B→A}
0^0=#Φ^Φ=#{f:Φ→Φ}=1 >>775
>偏角が0なら実数という法則を成立させるには0の偏角=0と定義でいいと思うけど。
０の偏角に０が有ればいいでしょ >>807
答えが異なっていたのでアップしたが、致命的なミスを発見
×：極値を取るのはx=a±b/√3だから、プラスを取って代入し、a/2+((5/6)√3)b
○：極値を取るのはx=a±b/√3だから、マイナスを取って代入し、(1/2)a+((√3)/2)b
これにより、以下も訂正
×：min{√(a^2+b^2),a/2+((5/6)√3)b,(√3/2)(10-a)+5+b/2} 0<a<10,0<b<10
○：min{√(a^2+b^2),(1/2)a+((√3)/2)b,(√3/2)(10-a)+5+b/2} 0<a<10,0<b<10
×：最も時間がかかる場所は、方法(a)と方法(c)で必要な時間が同じで、かつ、x=y上
×：つまり、sqrt(a^2+b^2)=(√3/2)(10-a)+5+b/2,a=b を解いて
○：最も時間がかかる場所は、方法(b)と方法(c)で必要な時間が同じで、かつ、x=y上
○：つまり、(1/2)a+((√3)/2)b=(√3/2)(10-a)+5+b/2, a=b を解いて
○：a=b=5+5/√3=7.88675...、時刻は5+10/√3=10.77350269... 前>>821
縁から60°方向に飛びこむとき、救出時間で等式を作ると、
5+{x/√2-(10-x/√2)/√3}/2+(10-x/√2)(2/√3)=x
分母を払って、
10√6+x√3-10√2+x+40√2-4x=2x√6
10√6+30√2=x(2√6+3-√3)
x=(10√6+30√2)/(2√6+3-√3)
=10.8516423……(秒)
45°は超えたけどなぁ。これ以上は、もしや手前から飛びこむか。プールサイド2倍速で走ってこけてもなんにもならんからね。 前>>826
>>751
いい勘してる。さすが俺。
4.6倍かぁ。すごいね。
その速さを引きだしたBもたいしたもんだ。 >>784
π = tanθ -θ
= cot(π/2 -θ) -θ
≒ 1/(π/2 -θ) -(π/2 -θ)/3 - θ
= 1/(π/2 -θ) -(1/2)π +(2/3)(π/2 -θ),
より2次方程式
(2/3)(π/2 -θ)^2 -(3/2)π(π/2 -θ) +1 = 0,
これを解いて
(π/2 - θ) = 0.218991
θ = 1.351805
マクローリン展開
cot(x) = 1/x -(1/3)x -(1/45)x^3 -(2/945)x^5 - ････ 1/cos(1.351805)=4.60309‥‥
その近似だと求められてる6桁一致までいかないね。 前>>827縁と水中の速度比が2:1だからカットする縁と水中の距離の比が1:2になる最適な地点から最適な角度で飛びこむとかなりのタイムを期待できる。救出時間で等式を作ると、
5+{x/√2-(10-x/√2)/2}/2+(10-x/√2)(√5/2)={x/√2-(x/√2)/2}/2+(x/√2)(√5/2)
分母を払って、
20√2+2x-10√2+x+20√10-2x√5=2x-x+2x√5
30√2=-2x+4x√5
15√2=(2√5-1)x
x=15√2(1+2√5)/19
x=(15√2+30√10)/19
=6.10955438……(秒)
＜10.8516423……(秒)
速すぎる。わからん。 対角線上が到達に一番時間がかかることが分かったけど
監視員の近くにいればプールサイドを通らず直接ジャンプして水中を進めばいいんじゃないかと思う。
https://i.imgur.com/HKGGF8V.jpg
図でいうと青のOXZ1でなくて緑のOZ3を選択。
どれくらい近くだと直接ジャンプすべきかをプログラムで探索させたけど直接ジャンプの方が時間がかかるようだ。
プールサイドの歩行速度が遅ければ直接ジャンプの方が速いはずと考えて探索させると
水泳速度を１として歩行速度が√２以下なら監視員の近くは直接ジャンプが速いようだ。
√２が正しいのか、どれくらい近ければ直接ジャンプすべきなのかは、また後で考える。 >>826
プールの水を凍らせてスピードスケートにすれば最速だよね。 >>760の問題はどっかのAO入試の問題らしいけどどこのなんだろ？
程よい解き心地の良問だね。
このスレの住人には結構受かりそうにないのがいるなww 自分は立式や最適な飛び込み角度を考えるのに、ホイヘンスの原理やスネルの法則を考えたな わかったかも。前>>830最適な角度で飛びこんで10.85を切る。救出時間で等式を作ると、
5+{x/√2-(10-x/√2)(1/t)}/2+(10-x/√2)√(1+t^2)/t)=x
分母を払って、
10t√2+2tx-20√2+x+10√130-2x√(1+t^2)=2tx√2
x=
あとは5秒以内にこっち側の縁から飛びこんで連立。
目標。
x=10.7……(秒)
＜10.8516423……(秒) そうだな。
スネルの法則知ってれば最速到達の経路は一瞬で出る。
でもAO入試でスネルの法則よりって書いて許してもらえるか微妙だから法則で求めた領域が正しい事の検証の論述は必要だろうけど、それでもまともに円の通過領域求めたり所要時間最小の角度を微積で求めたりするよりははるかに楽になるね。 >>833
検索したら東京工業大学。
うかりそうもない計算マニア？は東京大学卒の芸人と聞いております。 プールの中の対角線上の点だけを考える
https://i.imgur.com/PzEhEtn.jpg
緑のOZがroute 1 青のOXZをroute 5 赤のOPYZをroute 7 として（番号は区別さえできればなんでもいい）
対角線上のｘ座標(=y座標同じ)とプールサイドの走行速度（陸上速度）をグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/PzEhEtn.jpg
対角線上の位置に関わらず走行速度がある値（多分√２）以下では直接プールに飛び込むのが最速。
それ以上になると
プールサイドの１辺の途中からプールにジャンプ(OXZの青ルート）
か
プールサイドの２辺めの途中からプールにジャンプ（OPYZの赤ルート）
になるようだ。
青ルートと赤ルートの境界をグラフにしたのが
https://i.imgur.com/sr5I5ea.jpg
以上、本日の観察日記でした。 >>841
> 青ルートと赤ルートの境界をグラフにしたのが
2つのルートの境界線は>>799の通り角から伸びる直線 Bが円周を描き続けるのは反則負けだとしても、こういうふうに渦巻曲線を描いて円周に近づいてAのスキを見計らって円周に直行すれば捕まらない気がする。
https://i.imgur.com/r5LTRy4.jpg >>842
>841の曲線グラフは横軸が対角線上の点の座標(x=yの点の値)
縦軸は陸送速度0.5から4m/秒で描いてみた。
>799はプールの座標で縦横10m >>843
それBは初期状態よりも不利になってるよね >>828 を改良
π = tanθ - θ = cot(π/2 -θ) - θ ≒ 1/(π/2 -θ) -θ
より
π/2 - θ ≒ 1/(π+θ) ≒ 2/(3π) = 0.2122
(1/45)(π/2 -θ)^2 ≒ 0.001
ここまで準備して
π = tanθ -θ
= cot(π/2 -θ) -θ
= 1/(π/2 -θ) -(1/3)(π/2 -θ) -(1/45)(π/2 -θ)^3 -θ
= 1/(π/2 -θ) -(1/2)π +(2/3)(π/2 -θ) -(1/45)(π/2 -θ)^3
≒ 1/(π/2 -θ) -(1/2)π +(2/3 - 0.001)(π/2 -θ),
より2次方程式
(2/3 -0.001)(π/2 -θ)^2 -(3/2)π(π/2 -θ) +1 = 0,
これを解いて
(π/2 - θ) = 0.2189803
θ = 1.35181605
a = 1/cosθ = 4.603323 前>>835
こっち側の縁から飛びこんで直角に飛びこむよりもショートカットするときの水中と縁の辺の比を1:tとすると、
x={x(1-t)/√2}/2+x√(1+t^2)/√2
2√2=1-t+2√(1+t^2)
t+2√2-1=2√(1+t^2)
t^2+2(2√2-1)t+9-4√2=4t^2+4
3t^2-2(2√2-1)+4√2-5=0
t={2√2-1+√(9-4√2-12√2+15)}/3
={2√2-1+√(24-16√2)}/3={2√2-1+2√(6-4√2)}/3
={2√2-1+2√(6-2√8)}/3
={2√2-1+2(√4-√2)}/3
={2√2-1+2(2-√2)}/3
={2√2-1+4-2√2)}/3
={2√2+3-2√2)}/3
=1
あれ？ 45°かぁ。
45°より60°のほうが速かったはず。あいだのt=4/7ぐらいでぎりぎり10.7秒台が出るか思たけど。
60°──x=10√6+30√2)/(2√6+3-√3)
=10.8516423……
45°──x=20(2√2+1)/7
=10.93835……
今日はここまで。 前>>847
向こう縁から1:t:√(1+t^2)の直角三角形を描くようにショートカットするとき、救出時間は、
5+{x/√2-(10-x/√2)t}(1/2)+(10-x/√2)√(1+t^2)
これを=xとおいてよいかどうかがわからない。
=xとおいて解くと、
x=20√2･√(1+t^2)/{2√2-1-t+2√(1+t^2)}
x'の分子=0とすると、
4t-t√2+√2=0
|t|=(1+2√2)/7
=0.546918161……
x=10√(58+4√2)/(6-2√2+√(29+2√2))
=9.05288297……(秒)
まぁ迅速な値。 >>845
AもBも定速で常時動いているけど、いつでも向きを変えることができるから最高速度までは実質速度可変ってことを見逃していました。 半径a/bの円より外側の地点から外に出てしまうとBはAとの偏角差を0にされたらアウトです。
そこから以降はAはBと偏角のが0になるようにだけしていればBは脱出できません。
フェイントかけてAを出し抜くとかは無しです。
そんなの許してしまうとどんなに速度差があっても脱出可能になって数学の問題にならないので、それが無しは暗黙の了解でしょう。 そもそもAもBもその時点で選べる戦略が、ちょうどその時点（まで）の挙動に依存して良いという前提なら、
二人の戦略が競合する場合があるんだよなあ
多少ネタバレになるかもだけど、例えば速度a>1の点A(-1,0)と速度1の点B(1/a,0)がそれぞれ
A: 三点B,O,Aが常に一直線上に来るように動く。
B: 最初は速度ベクトル(1/√2,1/√2)で動く。もしAと重なれば、その瞬間速度ベクトルのy座標の符号を変える。
というものであれば、これを満たす両者の挙動は存在しないわけだから…
（そして実際某所に書かれてあった答えもこのような戦略に依存していた）
この問題を正確に解くには、こういう連続的時間の上での『戦略』を正しく定式化する必要がありそう。
まあでもこの辺は、例えば
『時間tにおける戦略は、ある正の数cに対して、時間t-c以前のゲームの状態のみから決定されるものでなければならない』
みたいにすれば解決しそうだし、速度の臨界値には影響ないことも示せそうだからそれほど問題ではないのかも知れないが 上記の逃げきれるかっていう設定の問題見て
コンウェイのAngel problemっていうゲームを思い出した
https://en.wikipedia.org/wiki/Angel_problem >>851
そう、ルール次第ではデッドロックは起こりうると思う。
しかし元問題にはその点の規定はないので両者は
「相手の行動を見越して反応する」
「相手の戦略を知ってる事を利用して行動する」
のは無しにしても
「相手の行動に所要時間0で反応する」
はありにしないと問題文に合わない。
反応のための所要時間についての規定はないんだから。
つまりAの側のt<Tにおける行動がBのt<Tにおける行動のみによって決まる以上はルール上OKとするものだと思うし、だとすれば>>850は許される捕獲戦略になる。
相手の行動に対して何か有限の時間cが必ず必要ならBは円周までの所要時間がc/2の点まで近づいたあと、Aが反応できない時間を利用して必ず脱出できてしまう事になって数学の問題にならない。 >>853
一律の下限を設けるのは確かに問題に合わないね
一方時間Tに対してt<Tの全ての情報を使って良いとしたら、
それはそれで点A(t)や点B(t)の連続性からA(T),B(T)についての情報も言えてしまうことになって、
結局>>851のような問題を孕んでしまうことになるから、例えば
『時間Tに対してT-c以前までの状況に依存できるAの戦略S_cを適切に定めれば、
c→0の時に、Bが円周率にたどり着いた時の二点A,Bの距離の上限D_cが0に収束する』
ことをもって『捕まえられる』こととする方法とか、もしくは
『そもそも状況Jにおける反応時間cはJに依存して良い』
とすれば、Aの速度が臨界値より大きければ距離の誤差なくしっかりBを捕まえられるはず >>854
いや、本問では>>853の設定ではある臨界値Kが存在して
a/b<KならBの側に必ず脱出戦略がある。
a/b>KならAの側に必ず脱出阻止戦略がある。
が成立します。
ちなみにBが動けなくなるのも脱出阻止成功してるのでAの勝ちです。 >>855
ああそうか、考えてみればそもそもデッドロックが起こり得ない戦略というのも可能なのか…ごちゃごちゃと申し訳ない 問題が、
Aの速さがBの速度の何倍以上ならBを捕まえられるか
ではなく
何倍以上ならBを逃がさないか、又は、何倍までならBは必ず逃げられるか
ならデッドロックを考えなくていいのでは？
> そもそもAもBもその時点で選べる戦略が、ちょうどその時点（まで）の挙動に依存して良いという前提なら、
> 二人の戦略が競合する場合があるんだよなあ
>>784の戦略が過去の状態に依存しない最適戦略だと思う
後は、脱出点が僅かでもずれれば捕まってしまうことを示せれば良さそう >>857
本問では考えなくてもいいかもしれません。
より一般化して
・Aが選びうる戦略関数SとBが選びうる戦略関数Tを持ち寄って何が起こるか実験する。
実験とは
f=S(g)、g=T(f)‥‥①
なるf,gを求める事、すなわち両者とも持ち寄った戦略に応じた行動をするf,gを見つけること、それは相手の行動を戦略に従っての行動であるもの。
その結果の評価関数E(f,g)を両者が自分にとって最大になるようなS,Tを見つけるというゲームの理論としての定式化を考えた場合には、一般に①が解無しになってしまい、問題の定式化に失敗する事もあります。
それをデッドロックと表現しました。
本問ではありません。
そういう事態が発生しない戦略関数が臨界値を界に必ず見つかります。
ちなみにピッタリ臨界値のときは多分A勝ちのハズです。 >>784 だと、ちょうど時刻TでAOBが一直線上に並んだとして、"反転"する判断を下すのはT以降のいつか、という問題があるんだよね
ちょうどT秒の時点では、三点が一直線上に並んでるというだけで、今後反転するかどうかの判断は下せない訳だから
だから、状況Jに依存する時刻c(J)秒前に既に逆転していたならば向きを変更する、という様な戦略にする必要があるってことを言いたかった
適切に関数c(J)>0を定めれば >>784 が必勝戦略であり続けられることの証明は、ちょっと骨が折れそうなのでパスだけど… >>859
反転と言うけれど、Aが直線BOの通過したかで判断すればいいのでは？ 仮に
BOAが直線の時は、BはOB方向へ移動する
としたら、Bの脱出に影響あるだろうか？ >>860
通過とは、通ること？通り過ぎること？（字面からしておそらく後者だとは思うけど…）
単純に通るだと、Aが常に三点AOBが一直線上に並ぶ戦略をとることで"反転"の判断を連続的に下し続けてしまうからデッドロックとなる。
もし通り過ぎることだとしても、Aの偏角をθ(t)、一直線上に並んだ時刻をTとおくと、例えば t>0 に対して
θ(t+T)=θ(T)+(a/√2)･tsin(logt)
みたいな動き方をした場合、Tに任意に近い時刻で無限に反転が起きている訳だから、
同じくBの動き方が問題になってしまう うーん、私が今持ってる答え再検討したんですが、どうも>>858の一番素直な意味にとってしまうとデッドロック発生しますね。
すいません。
あくまで私の持ってる解は>>754の意味においてです。
>>858の意味でのデッドロックが絶対発生しない戦略があるかどうかは私わかりません。 >>862
速度が臨界値ならBはAから逃げられないとして、
臨界値未満の時は計算してないけど、
BOAが直線の時BがOB方向へ移動して、
AがOB上から外れたら、その時点でOBと垂直、Aと逆方向の円周上の点に向けて動けばどうだろうか？
速度に応じたAのOB上からのズレの許容量が示せればいいんだけれど
ついでだけれど、AがOB上を保つとき、BがOB方向へ移動するのは問題ないはず 前>>848
>>640問題。
>>753この方針で早く解かなきゃ。
Aが222.59°-180°=42.59°のときBは直線軌道に変え、その瞬間Aは逆回りする。
Bがそのまま直線軌道なら>>753の方針で解けばいいんだけど、そのまま直線軌道よりAから遠ざかるように反対の円弧をとる。
円弧の中心は直線軌道に垂直な直線上にあり、
一つ目の分岐点と到達点が同じ距離になる半径。
Aがまたある地点で折り返す可能性があるかないか。もしもあるならBはまた逆の円弧をとればいい。
AもBも長くなり、A/Bはある値に収束するのか、それともA/B→+∞か。 とは言え>>858の意味でも（勿論>>754の七行目のような制約は課した上で）
デッドロックが起こらない戦略の存在は示せると思うので、特に何もなければ厳密性についてはこのくらいにします…
後で似たような状況を再現するために単純な類題を出すかもだけど、疲れてるのでしない可能性のが高いかもなので当てにしないでください >>864
Aが>>862の前者のパターンで動くなら、おそらくそれでOKだと思う。
しかしAが後者のパターンで動く時、Bのその戦略に則った挙動の存在とか一意性って、中々自明でないような… >>866
そうですね。
>>858の意味でのデッドロックも発生しない戦略ありそうですね。
とは言え私元サイトカンニングしてるので書くのは控えます。 >>846
第０近似
π/2 - θ ≒ 0, θ ≒ π/2 = 1.570796
第１近似
π/2 - θ ≒ 0.2122066 = 2/(3π), θ ≒ 1.358590
第２近似
π/2 - θ ≒ 0.21877444 θ ≒ 1.35202189
= 1/{(3/2)π - 4/(9π)}
第３近似
π/2 - θ ≒ 0.21897959 θ ≒ 1.35181674
>>784
π/2 - θ = 0.218979522 θ = 1.35181680432 前>>865
>>640問題。
Aは逆回りしてもBが予定変更して逆の円弧を逃げると思って逆回りしない。
Bは直進して222.59°の外周で捕まえられる。
>>753この方針で解かなきゃ。Bの逃走距離を円弧B+直線Bとすると、
円弧B=2πR[(180-2{60-30(25.18/60)}/360](4259/22259) =(π/cos47.41°)(85.18/360)(4259/22259)r
=0.210164978……･r
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)R
Rcos47.41°=r/2より、
R=r/2cos47.41°
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)r/2cos47.41°=0.840496067……･r
Aが222.59°でBを捕まえるときのAの追跡距離、円弧Aは、
円弧A=2πr(222.59/360)
=3.88492838……･r
速度比A/B=3.88492838……･r/(0.210164978……･r+0.840496067……･r)
=3.88492838……r/1.050661045……r
=3.88492838……/1.050661045……
=3.69759954……(倍)
Bは半径より5％ばかり長い距離を逃げる。
AはBを円周の222.59°の方向で捕まえるのに3.7倍近い速度が必要。 （自作問題：正解ないかも）
お菓子を持った人がやってきて
「あなたの言うことが正しければ飴玉かチョコをあげる、間違っていれば何もあげない」と言われた。
お菓子を持った人は決して嘘をつかない正直者か、必ず嘘をつく嘘つきのどちらかである。
（お菓子をもった人は自分が正直者か嘘つきかは分かっているが、あなたには分からない。）
この人からチョコをもらうには何と言えばよいか？ 「この文が真ならば私はあなたからチョコをもらう」みたいなのは無し？（参考：カリーのパラドックス） >>872
お菓子を持った人の命題がまさにそれだから、ありです。
自分で考えた正解も条件文になった。 コレは解あるの？
嘘つきというのを「自分が述べた事は必ず嘘であるし、嘘になる様に行動する人」という意味だとして、お菓子持ってきた人の述べた事の否定は「、」で区切られた二つの命題と考えた場合は
「あなたの言うことが正しくても飴玉もチョコもあげないかもしれない、間違っていても何かあげるかもしれない」
でコレを正しい命題になる様に行動すると仮定しても何言っても必ずチョコもらえる方法はない気がする。
「、」を「かつ」で結ばれた一文と考えたらもっと無理になる。 いや、でも流石に正しい事言ったのに何かくれたら嘘つきの行動にはならないのかな？
この人の行動の条件は
「あなたが正しい事を言ったら何もあげない、あなたが間違った事を言ったらなにか(今回ならチョコか飴玉)をくれる」
という条件を満たすように行動する。
ですか？ 昨日言ってた簡単な類題
～～～～～～～～
数直線上の二点P,Qが以下のような勝負をする。
両者とも時刻0の時点では原点に位置し、時刻が1に達するまで、両者は数直線上を自由に動く 。
ただし、点Pは速さ1以下、点Qは速さa以下でしか動くことができない。
（ a > 1 は固定する）
ここで点Xの時刻t_0における速さは
limsup_(t→T) ( |X(t)-X(t_0)| / |t-t_0| )
により定める（点t_0におけるリプシッツ係数と呼ぶことにする）。
時刻1の時点で二点が一致した時、すなわち P(1)=Q(1) が成り立った時はQの勝利。
そうでない時はPの勝利とする。
このゲームにおいてQは、勝利するためにどのような戦略を立てるべきか。
～～～～～～～～
>>754の意味での必勝法を第一種必勝法、
>>858の意味での必勝法を第二種必勝法と仮に置いた時、点Qの戦略Tを
T(f)=f ( f:[0,1]→R は点Pがとり得る任意の挙動)
と定めればこれは第一種必勝法にはなるけど、第二種必勝法にはならない。
（∵点Pの戦略Sを
S(g)(t)= -t ( g(t)=t for∀t∈[0,1] の時)
S(g)(t)= t (それ以外)
と定めればデッドロックが起こってしまう） だとすると
「あなたは私に飴玉をくれる」
かな？
嘘つきの選択肢が
①何もあげない
②飴玉をあげる
③チョコをあげる
④飴玉とチョコをあげる
とする。
①を選択してしまうと「あなた」が間違ったことを言ったのに何もくれなかったので行動原理に反する。
②④を選択してしまうと「あなた」が正しい事ことを言ったのな何かくれたので行動原理に反する。
③のみが間違った事を言った(飴玉はあげなかった)のに何かあげるという行動原理に適合できる。 >>876 訂正
誤
limsup_(t→T) ( |X(t)-X(t_0)| / |t-t_0| )
正
limsup_(t→t_0) ( |X(t)-X(t_0)| / |t-t_0| ) >>877
「あなたは私に飴玉をくれる」
それだと、正直者からチョコがもらえないよ。何ももらえないかもしれない。 >>874
P：あなたの主張は正しい
Q：お菓子をあげる
正直者なら
P⇒Q ∧ ￢P⇒￢Q
嘘つきならその否定だｋら
￢（P⇒Q ∧ ￢P⇒￢Q）
￢（P⇒Q）∨ ￢（￢P⇒￢Q）where P⇒Q ≡ ￢（P∧￢Q）
￢￢（P∧￢Q）∨ ￢￢（￢P∧￢￢Q）
（P∧￢Q）∨ （￢P∧Q）
（主張は正しい∧お菓子をもらえない）または（主張は間違っている∧お菓子をもらえる） 前>>870
>>640問題。
>>742冒頭欠けてるって書いたけど欠けてなかった。
>>740でAとBの到達点を求め、
>>870でBの逃げる距離を短くするという流れでいいと思う？
3.69759954……倍であってる？ >>874
正直者と判明しているときは、あなたは私に飴をくれない が正解になる。 >>879
あ、しまった。
相手が正直者の可能性もあるのか。 実際には >>876 のゲームで点Qの第二種必勝法は存在して、点Qの戦略Tを次のように定めれば良い。
～～～～～～～～
f:[0,1]→R を点Pの挙動とする。
t_0=0, g(0)=0 と定める。
(i) nが偶数かつ t_n<1 の時、
g(t_n)+a(t-t_n)-f(t) ≦ (a-1)(1-t)
を満たす最大の実数 t∈[t_n,1] を t_(n+1) と定め、t∈[t_n, t_(n+1)] の時の g(t) の値を
g(t)=g(t_n)+a(t-t_n)
により定める。
(ii) nが奇数かつ t_n<1 の時、
g(t_n)-a(t-t_n)-f(t) ≧ -(a-1)(1-t)
を満たす最大の実数 t∈[t_n,1] を t_(n+1) と定め、t∈[t_n, t_(n+1)] の時の g(t) の値を
g(t)=g(t_n)-a(t-t_n)
により定める。
(iii) t_n=1 の時、そこで数列 {t_i} を打ち止める。
仮に {t_i} が無限列であっても 1-t_(n+1) ≦ (1-t_x)/a より lim_(n→∞) t_n=1 であるから、
全ての t∈[0,1) に対して g が定まる。連続性により g(1) も定まる。
このようにして定めた g を S(f) とする。
～～～～～～～～
このgは |g(t)-f(t)|≦(a-1)(1-t) を満たすことがわかるから、特に g(1)=f(1).
ゆえに、少なくとも第一種必勝法を与えることがわかる。 >>884 が第二種必勝法でもあることは以下のようにしてわかる。
（証明）
点Pの戦略Sを任意に定める。集合Wを
W={a∈[0,1] : 点Pの挙動gであって T(S(g))(t)=g(t) for∀t∈[0,a] を満たすものが存在する}
と定める。0∈W は明らか。
>>754 の七行目の原則から、Wが最大値を持つこともわかる。
Wの最大値wが1より小さいと仮定し、T(S(g))=g (t∈[0,w]) を満たすgを一つとる。
S(g) に対して>>884のように定められる実数列 {t_n} について、
(i) t_n=w を満たすnが存在しない時、wの定義からwの任意の近傍で
not ( T(S(g)) ≡ T(S(T(S(g)))) )
を満たす必要があるため、
S(T(S(g))) に対して884のように定められる実数列 {t'_n} は w=t'_n (for∃n) を満たさねばならない。
(ii) あるnについて t_n=w が成り立つ時、754 の七行目の原則から、
S(T(S(g))) について884のように定められる実数列 {t'_n} について t_i=t'_i (i≦n) を満たす必要があるから、
∀t∈[t_n, min(t_(n+1),t'_(n+1))] についてT(S(T(S(g))))(t) = T(S(g))(t).
これはwの定義と矛盾。
(i)と(ii)よりw=1でなければならないので、T(S(g))=g を満たすgが存在。ゆえにTは第二種必勝法。□ >>876 訂正
>>754 の七行目の制約から、デッドロックを起こすための点Pの戦略Sは
S(g)(t)= -t ( 0のある近傍で g(t)≡t の時)
S(g)(t)= t (それ以外)
とすべきでした つまるところ >>884 の戦略は
「常に速さaで走り、『ココを過ぎてしまうと点Pに逃げ切られてしまう』ような二つの点のどちらかに当たったらその瞬間方向を反転させる」
というもの。『』を満たす二つの点の感覚は 2(a-1)(1-t) だから、
（t=1以外で）反転が無限に行われるという状況が起こらないようになっていて、
これがデッドロックが起こらないための鍵になっている。
このような方法は >>640 の問題にも応用できて、例えば点Aの速さaが臨界値Kを上回る時、
『点Aがココを過ぎてしまうと点Bに逃げ切られてしまう』ような点（点Bの場所によっては存在しないことも有り得る）
にぶち当たった時だけ方向転換する、という戦略にすれば良い。
『』内の二点を具体的に計算できればおそらく証明もそう難しくはない。
一方点Aの速さが臨界値を下回れば、先程と違って点Aの位置に応じて
『点Bが"この線に触れてしまう"と（引き返さない限り）点Aに捕まってしまう』
という、言わば限界曲線が定まる。
この場合点Bの戦略を、単純に限界曲線に当たった瞬間方向転換しながら直進する、としただけでは上手くいかない。
（∵この限界曲線は点Aと繋がっているので、点Bは方向転換しながら直進した先で結局点Aにぶち当たることになる。）
つまり例えば
『点Bがこの線の（線上を含めた）内側にいれば、少なくとも点Aと偏角がδ>0以上離れている位置で円周に到達できる』
ような別の限界曲線を用意して、その内側を方向転換しながら直進する、等のように点Bの戦略を定めれば解決する。 π = tanθ - θ
a < 1/cosθ = 4.603323
の時のBの必勝戦略の存在性は示すべきことだけれど、
a ≧ 1/cosθの時のBの必勝戦略の非存在性は示されたっけ？ >>871
できたかも。^は否定として
H:正直者、L=^H:嘘つき、
A:飴玉もらえる、C:チョコもらえる。
としてあなたの発言として
Y=(H∧(C∨^A))∨(L∧A)
「あなたは正直者で(私にチョコくれるか飴玉くれない)、
またはあなたは嘘つきで私に飴玉くれる。」
とする。
公理は
H∧Y→C∨A、H∧^Y→^C∨^A、L∧Y→^C∧^A、L∧^Y→C∨A。
H∧Y→Cなのでこの時はチョコもらえる。
H∧^Y=H∧(L∨(^C∨A))∧(H∨^A)→A
によりコレは2番目の公理に反する。
L∧^Y→^Aと4番目の公理からこの時チョコもらえる。
L∧Y→L∧(L∨(^C∧A))∧(H∨^A)→A
は3番目の公理に反する。 Aの逃走阻止戦略はBの逃走戦略よりは簡単なハズだよね。
基本偏角差が小さくなる方に動けばいい。
ただしデッドロックが起きないように注意すると。 >>890
それは、Aの逃走阻止戦略が存在するならば、
> 基本偏角差が小さくなる方に動けばいい。
はAの逃走阻止戦略になると言っているだけで、
Aの逃走阻止戦略の存在性には触れてないよね >>891
厳密に書くと>>887みたいにしんどくなるだろうね。
でも逃走戦略よりは簡単だと思う。 >>889
>871です
用意した答は、
あなたが正直ならば飴玉をくれないし、あなたが嘘つきならば飴玉をくれる >>892
具体的な戦略の厳密な厳密な構築について言っているんじゃ無いんだけど
予想されている上限候補
1/cosθ ≒ 4.603323
π = tanθ - θ
が上限(上界)であることの証明は、具体的な戦略の明示より重要なんじゃない？ >>892
いや、具体的に構成できるんだから存在は明らかでしょ？
存在するとしたらこの形しかないという主張じゃなくてこうやれば構成できる=存在するなんだから。
具体的に構成出来ることは抽象的に存在するための十分条件でしょ？ >>895
具体的ってこれのこと？
> 基本偏角差が小さくなる方に動けばいい。
この戦略はa=4の時でも立てられるけど、当然逃走阻止戦略にはならないぞ
同様にa=5の時もこの戦略は立てられるけれど、これが逃走阻止戦略になるかどうかは証明すべきことであって、証明できなければ存在するかは不明 1/cosθ≒4.60332
について示されているのは、
任意のa<1/cosθに対して逃走阻止戦略が存在しないことと、
>>784のBの戦略に対しては任意のa≧1/cosθに対して逃走阻止できることだけで、
任意のBの戦略、任意のa≧1/cosθに対して逃走阻止戦略が存在することは示されていなく、
具体的に構築された戦略が、任意のBの戦略、任意のa≧1/cosθに対して逃走阻止戦略になることを示されてもいないかと ついでだけれど
> 存在するとしたらこの形しかないという主張
こんなことも言っていないよ
存在が証明されているならば、この形は条件を満たすといっているわけで、「条件をみなす形はこの形しかない」と他の形の存在を否定なんてしていない
「構成する」には、その構成したという形が条件を満たしていることを証明する必要がある
証明しなければ、
> この戦略はa=4の時でも立てられるけど、当然逃走阻止戦略にはならないぞ
なんてことになるし、
a=4.7の時にBの逃走戦略が存在し、逃走阻止戦略にはならないかもしれない いや、書いてもいいんだけど逃走阻止戦略は具体的に書けるんだよ。
a/b>臨界値の場合。
ピッタリのときは知らないけど。
オレ元サイトカンニングしてるから書かない方がいいと思って控えてるんだよ。
元サイトの出題形式だとa/b=臨界値のときは無視していいルールになってる。
もしかしたらその場合は双方にデッドロックなしの戦略はないかもしれない。
少なくとも逃走戦略は無さそう。
逃走阻止戦略はあるかもしれないけど見つけてない。 あ、ちなみにa/b=臨界値のときも
∃S:戦略関数 ∀g f=S(g)で逃走阻止される
は正しい。
のでデッドロックを回避しないといけないという条件付けて突然逃走可能になるってことはないだろうと思う。
でもこのSはTをうまく取られるとデッドロックする。
スティルメイトの方がカッコ良かったかな？
というわけでa/b=臨界値の場合は完全に現時点でオープンです。 点Bが直交座標(X,Y)、極座標(r,θ) (ただしr>1/K) にいる時、
|φ-θ| ≦ θ~ := arctan(√(K^2r^2-1)) - √(K^2r^2-1) + π (1)
で与えられる偏角φの範囲が、点Bが動くにつれてどう変化するかを考える。
ただし K≒4.6033 は >>894 等で与えられている臨界点とする。
つまり、r=1 の時 θ~=0になることに注意。
点Bの点(x,y)付近での微小な動きを再現するため、便宜的に B(t)=(x+x't, y+y't) と定める。（ただし x'^2+y'^2=1）
この時、
dθ/dt = (xy'-yx')/(r^2),
dθ~/dt = -((xx'+yy')/(r^2))√(K^2r^2-1)
であるから、計算により
|dθ/dt ± dθ~/dt| ≦ K
という評価を得る。
したがって、点Bが速さ1以下で動く限り、不等式(1)でφが動ける範囲の両端を定める二点は、速さK以下でしか動けない。
以上から、点Aの速さが臨界点を上回るならば、点Aは偏角 φ∈R/2πZ が(1)を満たす範囲で動き回れば良い。
（具体的にどう動き回るかは、例えば887の方法を使えば良い） Kは臨界点というより臨界値って書いた方がよかった…あと二行目の右端の(1)は式番号です 前>>881
>>640問題。
3.69759954……倍じゃだめかぁ。 何度も申し訳ない、>>901 のdθ/dtおよびdθ~/dtは、どちらもt=0の時の値です 国税・労基と書いてあったので公務員試験の問題らしいです。
ある幼稚園で、砂場で遊んでいたA,B,C,D 部屋で遊んでいたE,F,Gの７人の中に、
逆上がりができる子が２人いることが分かっている。
そこで、A～Gに尋ねたところ、それぞれ以下の発言をした。
ただし、７人うち、本当のことを言っているのは２人だけで、あとの５人は間違ったことを言っていた。これらのことから確実にいえるのはどれか。
A：Bは逆上がりできるよ。
B：Aは間違ったことを言っているよ。
C：AもBも２人とも間違ったことを言っているよ。
D：砂場で遊んでいた子の中には逆上がりできる子はいないよ。
E：私は逆上がりできない。
F：逆上がりができるのは２人とも砂場で遊んでいた子だよ。
G：EとFの少なくともどっちかは本当のこと言っているよ。
問題は簡略化してみた。
正直者と確定できるのは誰か？
逆上がりができると確定できるのは誰か？ BよりB∧notA ∨ notA∧B。
よってAかBのどちらかは正直で正直は残り1人。
さらにnotC。
GのときはE∨Fで残る正直が1人に矛盾。
よってnotG。
さらにnotE、notF。
よって残る正直者はD
A,Bはどちらが正直でも矛盾しないので確定できない。
以上により確定的正直者はD。
確定的に逆上がりができるのはE。 >>906
Dが正直だから砂場にいたBは逆上がりができないからAは嘘つきと確定できる。よって正直者はBとD。 >>907
砂場で遊んでた人の情報もあったのか。
見てなかったorz。 前>>903問題>>640
7時x分の短針の方向の外周でAがBを捕まえたとすると、
AがBを追った距離は、
2πr(7+x/60)/12=(420+x)πr/360
Bが逃げた距離は、
7時から9時の60°のうちの(1-x/120)を底角に持つ二等辺三角形を含む扇形の弧で、
その中心角は、
180°-2(1-x/120)60°
=(60+x)°だから、
2πR(60+x)/360
=πr(60+x)/180
二等辺三角形を二等分した直角三角形についてピタゴラスの定理より、
Rcos(60-x/2)°=r/2
Rを消してBが逃げた距離は、
2πR{(60+x)°/360°)
=2πr(60+x)/360･2cos(60-x/2)°
=πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
速さの倍率は距離に比例し、
A/B=(420+x)πr/360÷πr(60+x)/360cos(60-x/2)°
={(420+x)/(60+x)}cos(60-x/2)°
={7-6x/(60+x)}cos(60-x/2)°
x=25.17のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
x=25.18のとき、
A/B=3.53691531……(倍)
x=25.19のとき、
A/B=3.5369153……(倍)
7時25.18分すなわち、
7時25分10秒8の短針の方向の外周で捕まえればAのBに対する速さの倍率は最大になる。
中心角でいうと、
360°{(7+25.18/60)}/12
=222.59°の方向の外周。
Aがもう逆回りしないとなったときBは逃走ルートを直線にすることで逃走距離を短くする。
Bの逃走距離を円弧B+直線Bとすると、
円弧B=2πR[(180-2{60-30(25.18/60)}/360](4259/22259)
=(π/cos47.41°)(85.18/360)(4259/22259)r
=0.210164978……･r
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)R
Rcos47.41°=r/2より、
R=r/2cos47.41°
直線B=2sin{85.18°(180/222.59)(1/2)r/2cos47.41°=0.840496067……･r
Aが222.59°でBを捕まえるときのAの追跡距離、円弧Aは、
円弧A=2πr(222.59/360)
=3.88492838……･r
速度比A/B=3.88492838……･r/(0.210164978……･r+0.840496067……･r)
=3.88492838……r/1.050661045……r
=3.88492838……/1.050661045……
=3.69759954……(倍) 東京都の公務員試験の過去問
ある料理店で、料理人Aが考案した新しい料理のレシピを50人の料理人に教えて
いくことにした。料理人は7月１日から毎日１人ずつ、新しい料理のレシピを教
えてもらっていない料理人に教えていき、新しい料理のレシピを教えてもらった
料理人は、教えてもらった翌々日から毎日１人ずつ、新しい料理のレシピを教え
てもらっていない料理人に教えていくとき、新しい料理のレシピを50人の料理人
に教え終わる日はいつか？ >>910
何年の？
なんか最近その手の悪質なデタラメ多いんだけど？ >>912
ホントにこれ試験問題なん？
意味がかなり微妙な表現があってとても試験問題の品質にはないけど。
料理人Aは最初の1人に教えた後も教え続けるのか、だとすると料理人A自信はレシピを考案した翌々日から教え始めるという制限をうけるのか、そもそもレシピを考案した日からかぞえるのか、最初の1人に教え始めたひから数えるのかもわからん。
こんな文面で試験として通用するハズない。 >>913
公務員受験予備校にあったから、過去問なんじゃないの？ >>914
こんな文面で試験したらガンガン文句くる。
最初のシェフがレシピ考案した日から数えるのか最初の1人に教え始めた日から数えるのかで答えは1ズレる。
公務員試験なら答え書くだけだから記述読んで救済もできない。
こんな文面の問題まともに数学勉強した人間が作るハズない。 >>910
>料理人は7月１日から毎日１人ずつ
７／１から数えるに決まってる
>新しい料理のレシピを教えてもらった
>料理人は、教えてもらった翌々日から毎日１人ずつ
教えて貰った日を基準にして＋2日目から数えるに決まってる
これくらい読めなくて公務員になれるわけがあるまい
良問 >>915
考案した日が関係あるの？
7月1日から始まるんだろ？
んで、7月1日に教えてもらった人は
7月3日から教える側に回る。 自分は問題を正確に理解するのに多少読み込む必要があったけど、曖昧な箇所があった訳ではない気がする
問題を掲載してるサイトも一箇所だけだけど見つけたから、まあオリジナルとかではないはず >>918
そうなん？
最近自作問題クサい奴に公務員試験って書いてる奴多いんだよ。
サイトのリンクある？ 前>>909
>>910
7月13日までシュクメルリ鍋を教えつづけるとすると、
最初に教えはじめた料理人は13人に教える。
7月1日に教わった料理人は7月3日から13日まで教えつづけ11人に教える。
7月3日に教わった料理人は7月5日から13日まで教えつづけ9人に教える。
7月5日に教わった料理人は7月7日から13日まで教えつづけ7人に教える。
7月7日に教わった料理人は7月9日から13日まで教えつづけ5人に教える。
7月9日に教わった料理人は7月11日から13日まで教えつづけ3人に教える。
7月11日に教わった料理人は7月13日に1人に教える。
あわせて13+11+9+7+5+3+1=49人が7月13日までに料理を教わった。
7月14日、最初に教えはじめた料理人が50人目の料理人にシュクメルリ鍋を教えた。 確かにググると知恵袋に問題は出てくるな。
どっかで実際出てるのかな？ >>910
7月ｎ日に教わった料理人をanとすれば
an=a[n-1]+a[n-2]
a1=a2=1
問われているのは
a1+…+an≧50
となる最低のnを求めること
n=8 前>>920修正。
答えは7月14日。
ただ最後の50人目に教える料理人は7月13日に教わったばかりの新米料理人でなければ48人のうちのだれでもいい。
まぁでも最後の1人は記念だし、最初に教えはじめた料理人でいいような気がしたから。 >>913
題意は一意に読み取れると思う。
さらに、出題者の意図も読み取ることができ
翌日教えられるとすると簡単に解けるから
翌々日として少し難しく(フィボナッチ数列の3項間漸化式の問題)したのだと思う。 ちなみに元問題は7月5日から7月9日の5択になってるようだけどコレはいらんな。 前>>923訂正。
7月2日に教わった料理人は7月4日から毎日教える。
てことは倍速い。
7月7日までに料理人は7人に教える。
1日に教わった料理人は7月3日から7日まで5人に教える。
2日に教わった料理人は7月4日から7日まで4人に教える。
3日に教わった料理人2人は7月5日から7日まで3人ずつ教え、あわせて6人。
4日に教わった料理人3人は7月6日と7日で2人ずつ教え、あわせて6人。
5日に教わった料理人5人は7月7日に教える。
これで7月7日までに教わった料理人は、
7+5+4+6+6+5=33人。
7月8日、最初に教えはじめた料理人を含め34人のうち教えることができるのは、6日までに教わった、
34-5=29人で、このうち17人が教えた時点で50人。
∴7月8日 前>>927訂正、訂正!! 6日に教わったばっかの新米料理人が多すぎた。
7月2日に教わった料理人は7月4日から毎日教える。
7月7日までに最初の料理人は7人に教える。
1日に教わった料理人は7月3日から7日まで5人に教える。
2日に教わった料理人は7月4日から7日まで4人に教える。
3日に教わった料理人2人は7月5日から7日まで3人ずつ教え、あわせて6人。
4日に教わった料理人3人は7月6日と7日で2人ずつ教え、あわせて6人。
5日に教わった料理人5人は7月7日に教える。
これで7月7日までに教わった料理人は、
7+5+4+6+6+5=33人。
7月8日、最初に教えはじめた料理人を含め34人のうち教えることができるのは、6日までに教わった、
34-5-3-2-1-1-1=21人で、このうち17人が教えた時点で50人。
∴7月8日 >>919
ある料理店で、料理人Aが考案した新しい料理のレシピを50人の料理人に教えていくことにした
で検索すりゃでるだろうに。 任意の3つの実数を四捨五入して整数にした上で和を取るのと、
和を取ってから四捨五入して整数にする場合で数値が異なる確率を求めよ。
ただし、3つの実数の少数部は[0,1)区間で独立な一様分布とする。
(アクチュアリー資格試験問題 - 一部改正) >>931
訂正
×少数部
〇小数部
中高校生向けのこの問題のヒント：
確率の問題を幾何学の問題に置き換えれば、
初等的に(三角錐の体積の公式を知っていれば)解けます。 一様分布も加算すると正規分布に従うんじゃなかったっけ？ >>931
予想は0.5
シミュレーションもそれくらい。
> f <- function(x) ifelse(x<0.5,floor(x),ceiling(x))
>
> sim <- function(n=3){
+ x=runif(n)
+ y= numeric(n)
+ for(i in 1:n) y[i]=f(x[i])
+ f(sum(x)) != sum(y)
+ }
>
> mean(replicate(1e5,sim()))
[1] 0.49892
> >>934
残念ながら予想もシミュレーションも正しくありません >>931
I=[-1/2,1/2)、I×I×Iで考える。
繰り上がる確率はx+y+z≧1/2の体積で1/6。
繰り下がる確率も同じく1/6。
合わせて1/3。 >>936
正解
>>934
Rはよく知らないが、
f <- function(x) floor(x+0.5)
に変更すると
[1] 0.33421
で計算が合うので、どこかにバグがある。 任意のn個の実数を四捨五入して整数にした上で和を取るのと、
和を取ってから四捨五入して整数にする場合で数値が異なる確率をpnとする。
lim √n pn 求めよ。
ただし、n個の実数の少数部は[0,1)区間で独立な一様分布とする。
(自作問題、収束しないかも。) >>934
その関数fは入力が0～1の時しか正しくない。
だから f(sum(x)) で正しくない値が返ることがある。 >>940
確かにrunifは0,1での乱数発生。 小数点部分だけ考えればいいと思ったので0～1で考えればいいと思ったのだけど、これは何が間違っているんだろ？ >>940
0～10で乱数発生させてシミュレーションしたら約1/3になりました。理屈は理解できてないけどｗ
> f <- function(a) {
+ x=a-floor(a)
+ floor(a)+ifelse(x<0.5,floor(x),ceiling(x))
+ }
> sim <- function(n=3){
+ x=runif(n,0,10)
+ y= numeric(n)
+ for(i in 1:n) y[i]=f(x[i])
+ f(sum(x)) != sum(y)
+ }
>
> mean(replicate(1e5,sim()))
[1] 0.33326
>
> >>942
sum(x)では 0～1 の乱数を 3つ足してるから、
f(sum(x)) は 0～3 の値が入力されてる。 >>939
シミュレーションだと収束しそうにない。
> sim2 <- function(n){
+ pn=mean(replicate(1e3,sim(n)))
+ sqrt(n)*pn
+ }
>
> sim2(5)
[1] 0.9995224
> sim2(10)
[1] 1.862582
> sim2(50)
[1] 5.572001
> sim2(100)
[1] 8.62
> sim2(500)
[1] 21.08612
> sim2(1000)
[1] 30.32624
> >>944
それと比較しているsum(y) は0か1を3個加算しているので０～３の値をとると思うんだけど。 >>935
>>945
> lim √n (1-pn )求めよ。
でしたが相変わらず
(自作問題、収束しないかも。)
です。 >931
３実数の和をとって四捨五入すると真の和の±0.5の範囲だけど
四捨五入して和をとると真の和の±0.5*3の範囲になるから確率は1/3という論証は間違い？ >>947
1-p_n
=Σ_[m=0,n] nCm ∫_(X∈[0,1/2]^n) 1_(|m/2-ΣX|≦1/2) dX
(ただし X=(x_1,…,x_n) について ΣX=x_1+…+x_n)
=2^(-n) Σ_[m=0,n] nCm ∫_(X∈[0,1]^n) 1_(|m-ΣX|≦1) dX
≒2^(-n) Σ_[m=0,n] nCm･2(nCm/2^n)
=2･4^(-n)･(2n)Cn
=(1+o(1))･2/√(πn)
から、収束するとしたら2/√π になりそう
あとは≒の所の誤差の割合がo(1)になることの証明 >>948
真ん中の値が2/3で両端が1/6ずつです。 ３個までなら頭で想像できるでしょ？
-1/2≦x<1/2、-1/2≦y<1/2、-1/2≦z<1/2の表す立方体の中のx+y+z>1/2とx+y+z≦-1/2の部分の体積の和。
これが三角錐二つになるのがわからなければいわゆる"x=kで切った断面積を積分"でもできるけど、この程度の図形は頭で想像できないと理系ではやってけない。 >>947
２～１００でシミュレーションしてグラフにしてみた
なんとなく収束する雰囲気はある。（振動するかもしれんけど）
https://i.imgur.com/3R591mV.jpg >>949 の補完
A≒B ⇔ (A/B→1 as n→∞) と定める。
∫_(X∈[0,1]^n) 1_(|m-ΣX|≦1) dX = I(n,m) とおく。
中心極限定理から Σ_[m=0,n] nCm ≒ Σ_[ |m-(n/2)|≦n^(2/3) ] nCm.
これと I(n,0)≦I(n,1)≦…≦I(n,[n/2]), I(n,m)=I(n,n-m) から
Σ_[m=0,n] nCm I(n,m) ≒ Σ_[ |m-(n/2)|≦n^(2/3) ] nCm I(n,m).
また、0<m<n/2 の時 2^(1-n)･(nC(m-1))≦I(n,m)≦2^(1-n)･nC(m+1) であるが、
|m-n/2|≦n^(2/3) という制約のもとでは nC(m-1)≒nCm≒nC(m+1) (implied constant はnのみに依存) であるから、結局
Σ_[ |m-n/2|≦n^(2/3) ] nCm I(n,m)
≒ Σ_[ |m-n/2|≦n^(2/3) ] nCm･2(nCm/(2^n))
≒ Σ_[m=0,n] nCm･2(nCm/(2^n)). >>954
一応この値に収束するハズの値に向かってる香りはするな。 うわ…多分I(n,m)の評価の所で色々やらかしてる…けど結論はちゃんと導けるはず
正確にやるにはおそらく、各固定された正のαに対して Σ_[ |n-m/2|≦α√n ] の範囲で和をとった時、
(i)その値のn→∞の時の挙動を、中心極限定理を使って調べる
(ii)その範囲の和と元の範囲の和 Σ_[m=0,n] の比が、α→∞の時に1に収束する
ことを示せば良い 前>>928
>>931
端数の平均は0.5
3つの実数の端数の平均を足すと、
0.5×3=1.5
端数の合計が0以上1未満なら四捨五入してもいっしょだけど1以上1.5未満なら四捨五入したとき異なる値になる。
(1.5-1)/1.5=0.5/1.5
=1/3
∴1/3は異なる
>>948あってるような気もするけど、違うような気もする。
>>931三角錐を描くと、
三角錐V=(1/3)Sh
=(1/3)(1/2)absinθ･h
=(1/6)abhsinθ
=(1/6)abc(h/c)sinθ
0≦h/c≦1,0≦sinθ≦1だから、
V≦(1/6)abc
三角錐は最大で3辺の積の、
1/6になる。
けど、だから3つの実数の和を四捨五入したものと3つ実数を四捨五入したものの和が異なる確率が1/3とすぐには言いにくい。 >>948
その理屈だと確率は1/nになるけど、pnはｎの増加関数だから論証は間違いだろうな。 前>>958
>>960
端数の平均は0.5
10個の実数の端数の平均を足すと、
0.5×10=5
端数の合計が0以上1未満なら四捨五入してもいっしょだけど1以上5未満なら四捨五入したとき異なる値になる。
(5-1)/5=4/5
∴4/5は異なる >>961
百万回シミュレーションして頻度を出してみたら
> sim(10,1e6)
[1] 0.589245
という結果になった。 I = [-1/2,1/2)
V_n,1 = {(x_1,..,x_n)∈I^n | x_1+..+x_n >= 1/2}
V_n,2 = {(x_1,..,x_n)∈I^n | x_1+..+x_n < -1/2}
|V| = Vの体積
とすると
p_n = |V_n,1| + |V_n,2|
であってる？ >>963
その視点は見逃してたわ…合ってるよ合ってる >>939 >>947
区間I=[-1/2,1/2)で一様分布する独立なn個の実数を足してもIに含まれる確率をP[n]とすると
P[n]=(1/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx
である。
例：P[3]=2/3, P[4]=115/192, P[5]=11/20,...
証明：
f[1](x)=1; (-1/2≦0<1/2)
f[1](x)=0; (otherwise)
として
f[n+1](x)=f[n]〇f[1]=∫[-∞,∞]f[n](y)f[1](x-y)dy
と置くと
P[n]=∫[-1/2,1/2]f[n](x)dx=f[n+1](0) ----(1)
ここでfのフーリエ変換をFとすると、畳み込みが積になるので
F[1](t)=sin(t/2)/(t/2),
F[n](t)=(sin(t/2)/(t/2))^n
逆変換して
f[n](x)=(1/(2π))∫[-∞,∞](sin(t/2)/(t/2))^n e^(ixt)dt
これを(1)に代入して
P[n]=(1/(2π))∫[-∞,∞](sin(t/2)/(t/2))^(n+1)dt
=(1/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx >>965 の結果より
(√n)P[n]=(√n/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx
ここで(sinx/x)^(n+1)→(1-x^2/6)^(n+1)→e^(-(n+1)x^2/6) (n→∞)だから
(√n)P[n]→(√n/π)∫[-∞,∞]e^(-(n+1)x^2/6)dx
→(1/π)∫[-∞,∞]e^(-u^2/6)du
= √(6/π)
= 1.3819... >>966
>954のシミュレーションは正しいみたいでほっとした。 ３～１０でのシミュレーション
> sapply(3:10,function(n) fpn(n,k=1e5))
[1] 0.66694 0.59719 0.55017 0.50919 0.47722 0.45076 0.42785 0.40860
積分値
> sapply(3:10,Pn)
[1] 0.6666603 0.5989594 0.5499998 0.5110238 0.4793651 0.4529209 0.4304178 0.4109626 >>965
シミュレーションでn=3 のときの Pnの確率をヒストグラムにしてみたけど、これって正規分布じゃないのですね。
https://i.imgur.com/UvH9wLj.jpg >>969
正確な分布関数はf[n](x)で区分n-1次多項式になる。
n=3のとき
f[3](x)=(2x+3)^2/8; (-3/2≦x<-1/2)
f[3](x)=-x^2+3/4; (-1/2≦x<1/2)
f[3](x)=(2x-3)^2/8; (1/2≦x<3/2)
n→∞の極限で正規分布に近づく。 (sinx/x)^(n+1)が確率密度関数じゃないんだ。 >>971
それは確率密度関数をフーリエ変換した関数 >>965
おそらく正解。
私もそれで出したけど細かいチェックしてなかった。
要は特性関数からレヴィの反転定理で元に戻すとそうなりますね。 >>966
うぎゃ…2/√π じゃなかったのか…シミュレーションとも（やや）合ってなかったしもっと確かめればよかった
フーリエ変換とかもっと勉強しよ >>970
すいません、誘導過程が全くわかりません。
解説されても私には理解できない予感がします。 >>976
なんで？その上にあるたたみ込み計算するだけジャン
確率密度関数は要らないがよ >>760最短10秒かもしれんな。プールサイドを5秒速足で歩いて、直角に曲がって向こう側から進行方向に対して60°の方向に飛びこめば、ちょうど10秒で対角線に達する。どこから飛びこんでも10秒を超える場所はない。なんだ5+10/√3て？ 10秒超えてるじゃんねぇ。
~∩∩前>>961せ ∩∩
(-.-))めて有理 (`) )
[￣]_)化しろよ。U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ(γ)
____/＼/,,(`.`))⌒ﾞ,|
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U⌒U､___／| |
□ | ∥~U~U~￣∥ | /
____| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_______∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣ 発展形。
Xiが平均0のiidで2次のモーメント(=分散)σ^2=E(X^2)を持つとする。
a>0を正の定数とし
pn=P(|ΣXi|>a)
とおくとき
lim √n(1-pn)=√(2/π)a/σ
を示せ。
自作問題。
またまた自信はない。 正解は正直者なしなので、それを論証したい方のみお考えください。
正解がないように問題を作成したつもり。
AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、誰が正直者か嘘つきかはお互いに知っている。
A,B,C,D,Eは嘘つきなら必ず嘘をつくが、F,G,Hは嘘つきでも正しいことを言う場合がある。
次の証言から誰を確実に正直者と断定できるか？
A「嘘つきの方が正直者より多い」
B「Hは嘘つきである」
C「Bは嘘つきである」
D「CもFも嘘つきである」
E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
G「Eは嘘つきである」
H「AもFも正直者である」 >>980
iidって
independent identical distribution? 正解は解なしで解答不能じゃないの？
確かにないみたいだし。 >>980
あ、各分布は連続分布関数を持つはいるかもしれない。
いらないかもしれない。 >>986
プログラム組んでみたらないみたいですな。 (a,b,c,d,e,f,g,h)=((!!0),(!!1),(!!2),(!!3),(!!4),(!!5),(!!6),(!!7))
nOfLiers x = length $ filter (==False) x
nOfHonests x = length $ filter (==True) x
asay x = (nOfLiers x) > (nOfHonests x)
bsay x = not $ h x
csay x = not $ b x
dsay x = (not $ c x) && (not $ f x)
esay x = nOfLiers x>=1
fday x = nOfLiers x>=2
gsay x = not $ e x
hsay x = (a x) && (f x)
xs = (!!8) $ iterate (\x->[a:b| a<-[True,False],b<-x]) [[]]
isFitToTheySaid x = all (==True) $ map (\y-> y x) [asay, bsay,csay,dsay,esay,fday,gsay,hsay]
fits = [x|x<-xs,isFitToTheySaid x]
main = do
print $ length fits
----
0 あ、間違い。
15行目
isFitToTheySaid x = all (==True) $ zipWith (==) x $ map (\y-> y x) [asay, bsay,csay,dsay,esay,fday,gsay,hsay]
どのみち0。 >>981
G と E だけ抜き出すと、
> E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
> G「Eは嘘つきである」
E が正直で G が嘘つきで嘘を言ってた場合、
この組の発言は他に影響を与えないし依存もしていないので
他の 6人の発言に矛盾があろうとなかろうと
E は正直というのは駄目？ >>980
Yiを平均＝分散＝７のポアソン分布として Xi=Yi-7 （平均を０にするため）、a=3、qn = P(|ΣXi|<a) （1-pnをｑｎとした）として√(n)*qnをグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/10KK5IR.jpg
√(2/π)a/σ= 0.9047161 だけど、収束する様子がない。
離散分布だと成立しないのかも？ >>980
各Xiを, {-1,1}のどちらかの値をそれぞれ確率1/2でとる確率変数と定めると, a=0.5 と定めた時に
nが奇数なら 1-p_n=0 になる一方, nが偶数なら 1-p_n=2^(-n)･nC(n/2)≒√(2/(πn)) になるから, 成り立たなさそう
連続分布関数に限定すればおそらく同じような問題は起きないぽいけど, これが本当に十分条件かは自信ない… >>989
また訂正
fday x = (not $ f x) || (nOfLiers x>=2)
gsay x = (not $ g x) || (not $ e x)
hsay x = (not $ h x) || ((a x) && (f x))
fが言ったのは
私は嘘つきか嘘つきの数は2以上
ね。 >>991-992
分布関数が不連続の点ではレヴィの反転定理が成立しないので今持ってる証明だと成立しない可能性はありますね。
今持ってる証明が正しい保証もないけどw >>988
>プログラム組んでみたらないみたいですな。
いつも華麗なコードをありがとうございます（使わないのでHaskellはほぼ忘れておりますが）
実際、正解がないようにプログラムで作ったので、他の言語でそれが確認されて光栄。
珍しく、魔法の呪文のようなHaskellのコードの長さがRと同程度なのには驚き。いつも数十行のRコードをHaskell数行で実行されちゃいますので。
TE=expand.grid(0:1,0:1,0:1,0:1,0:1,0:1,0:1,0:1)
colnames(TE)=LETTERS[1:8]
f <- function(x){
all(c(
x[1]==1 & sum(x==0)>sum(x==1) | x[1]!=1 & !(sum(x==0)>sum(x==1)),
x[2]==1 & x[8]==0 | x[2]!=1 & x[8]!=0,
x[3]==1 & x[2]==0 | x[3]!=1 & x[2]!=0 ,
x[4]==1 & (x[3]==0 & x[6]==0) | x[4]!=1 & !(x[3]==0 & x[6]==0),
x[5]==1 & sum(x==0)>=1 | x[5]!=1 & !(sum(x==0)>=1),
x[6]==1 & sum(x==0)>=2 | x[6]==0,
x[7]==1 & x[5]==0 | x[7]==0,
x[8]==1 & (x[1]==1 & x[6]==1) | x[8]==0
))
}
TE[apply(TE,1,f),]
1] A B C D E F G H
<0 rows> (or 0-length row.names) ＃ 0 行＝ありませんという表示 >>974
多分フーリエ変換よりもこういうの勉強した方が理解につながるかと
http://my.reset.jp/~gok/math/pdf/probability/16sssta07.pdf あとこれは本当に興味本意だけど, 例えば
各Xiを集合{-1, 1-√2, √2}上の離散一様分布とした時に同じ主張が成り立つか, というのは興味がある
あくまで離散的だけど, 畳み込みする毎に中央あたりがどんどん"密"になっていく訳だから… >>990
6人の発言に矛盾があったら、E＝正直、G＝嘘つきの前提が成立しなくなるよ。 このスレッドは１０００を超えました。
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