面白い問題おしえて〜な 32問目
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2020^2020の各桁の和の各桁の和の各桁の和を求めよ. >>734
よく言われます ( ^〜^)
>>731
各位の和、数字和、digit sum って奴だろ。
そういえば、こういうのって
中学・高校の数学では余りやらなかったな。
分野としては
数学 I,II, III, A,B,C のどこに入るんだろうか？
旧帝大の二次試験で出そうな問題だよな。 各桁の和の各桁の和、なら
「4,13,22,31,40」の5つのどれかに絞ることは出来るけどそこから特定する方法ってないかな？ >>735
>中学・高校の数学では余りやらなかったな。
放課後に女子が盛んにやってなかったか？ >>734 >>736-737
「 え、もう解いたの？
社長さん、頭良いですね！！」
って俺に言って ( ^〜^) 下の1と2の会話読み解ける方いらっしゃいませんか？
1→30A6 30A2 30BB 30C1 30B2 30EA 30E1 306F 305B 3048 305A 306C 3046 3080 3072 3044 308C FF1F 000A
2→0056 006F 0062 006F 0074 0078 0066 0073 0062 0063 006D 0066 0020 0067 0070 0073 0020 006F 0070 0078 袋の中に1.2.3.4.5の数字の付いた玉が五個持っていた。
この袋の中から同時に３個の球を取り出すとき何通りあるか？ 前>>677
>>740
5Ｃ2=5!/2!=5×4×3=60(通り) 前>>743訂正。
>>740
5Ｃ3=5!/(5-3)!3!=5×4/2=10(通り)
確認する。
(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)
∴示された。 >>736
各桁の和 = 20776,
その各桁の和 = 22,
その各桁の和 = 4,
だよね >>746
下2020桁の「0」を省くため、N = 202^2020 で考えると
4657桁になる。
下1〜1000 4423
1001〜2000 4491
2001〜3000 4439
3001〜4000 4551
4001〜4657 2872
------------------
計 20776 >>746
そうなった
figsum x = sum $ map (read.(:"")) $ show x
main = do
print $ figsum $ 2020^2020
print $ figsum $ figsum $ 2020^2020
print $ figsum $ figsum $ figsum $ 2020^2020
20776
22
4 100個まで玉が入る袋に通し番号の書いてある玉が入っている。
袋を持ち上げたら袋が破れて玉が転んで全部池に沈んでしまった。
その過程でみえた最大の番号は60であった。
何個観察したかは不明である。
袋に入っていた玉の数の期待値はいくらか？ 100個まで玉が入る袋に通し番号の書いてある玉が入っている。
手を入れて5個取り出したら、番号は11,36,45,49,60であった。
袋に入っていたいる玉の数の期待値とその95%信頼区間を求めよ。 一度に転がって行ったとしても、
5個ぐらいは番号を観察できただろうなぁ。 >>747
数字の分布は
桁, 和, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 計,
-------------------------------------------------------------------------------------
下1〜1000, 4423, 106, 111, 90, 111, 94, 83, 117, 99, 88, 101, 1000,
1001〜2000, 4491, 103, 107, 103, 82, 91, 104, 108, 109, 100, 93, 1000,
2001〜3000, 4439, 108, 83, 110, 109, 97, 100, 116, 83, 102, 92, 1000,
3001〜4000, 4551, 103, 91, 81, 115, 107, 105, 99, 91, 103, 105, 1000,
4001〜4657, 2872, 75, 72, 64, 72, 58, 54, 71, 67, 57, 67, 657,
--------------------------------------------------------------------------------------
合計, A=20776, 495, 464, 448, 489, 447, 446, 511, 449, 450, 458, 4657, 前>>744
>>750
11の前に10個の玉がある。
11から36までのあいだに35-11=24(個)の玉がある。
36から45までのあいだに44-36=8(個)の玉がある。
45から49までのあいだに48-45=3(個)の玉がある。
49から60までのあいだに59-49=10(個)の玉がある。
連続する球の数の平均は、
(10+24+8+3+10)/5=55/5=11(個)
球の数の期待値は60+11=71(個)
これでいいのかな？ >>754
高校数学の範囲ならそれで正解
他スレで暴れてる出題者なので
極力スルーでお願いします >>754
番号が1,2,3,4,60だったら期待値が変わるのはおかしくない？ >>756
嘘書いた。(0+0+0+0+59-4)/5=11だな。
つまり、最大番号60と5個取り出したという情報だけで計算できるな。 前>>754
>>749
60個から100個まで球の数に可能性があるとすると、
100個に近ければ近いほど袋は破れやすく、
60個に近ければ近いほど60と書かれた球を見やすい。
逆に100個に比べ60個だと破裂点にかかる重さは6割。
60個で60と書かれた球を最大と思って見る可能性に比べ100個で60と書かれた球を最大と思って見る可能性は6割。
相反する事象だからあいだをとって期待値は80個。 >>754
> 11の前に10個の玉がある。
これがもう違うんじゃないか？
あの問題文だと番号は1からだとは限らないんじゃ？ 前>>758
>>759なるほどね。近くにある本の開始ページは、
8,7,5,7,5……じつに様々だ。奇数が多い。球はページとはちがうからなぁ。
1で始まってもいいんじゃないかな、わからんけど。
2である必要も3がいい理由もなく、出題者の作為がないなら、1始まりでいいと思う。 >>759
番号は非負整数とする。
-50からとかだと問題にならないから。 >>758
>750の問題で10個取り出した時に最大番号が60だったときは期待値は？と考えると観察される玉の数によって期待値が変わることがわかる。 Twitterから拾った問題
この画像のように正多角形の内部に正方形を入れると、正方形たちの面積の和は一定の規則がある
これを示せ
https://i.imgur.com/XO0LaK3.png Σ[i=0〜n](sin((2i-1)π/n))^2=n/2を使えば示せるけど
何かエレガントな方法があるのか sin((2i-1)π/n)^2
=(1-cos(2π(2i-1)/n))/2 前>>760
>>763
一辺4の正n角形を1つの頂点を通る直線で二等分したとき、
二等分線上に正方形を菱形状に並べると、
正方形の面積の総和は2nになるとすると、
n=4,5のとき、面積の総和は図の通り10,12であり、
正n+1角形のとき面積の総和が2(n+1)になることが示せれば数学的帰納法により、
正方形以上のすべての正多角形でそれが言える。 外接円の半径をRとすれば 図より
2R sin(π/n) = 4,
和積公式より
R･cos(2(i-1)π/n) - R･cos(2iπ/n) = 2R sin(π/n) sin((2i-1)π/n)
= 4 sin((2i-1)π/n),
よって 求めるものは
(1/4) Σ[i=1,n] {R･cos(2(i-1)π/n) - R･cos(2iπ/n)}^2
= 4 Σ[i=1,n] {sin((2i-1)π/n)}^2
= 2 Σ[i=1,n] {1 - cos(2(2i-1)π/n)}
= 2 Σ[i=1,n] {1 - [sin(4iπ/n) - sin(4(i-1)π/n)]/2sin(2π/n)},
= 2n, (←周期性) 円周率１００万桁までに現れる数字の頻度
> table(pai)
pai
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
99959 99758 100026 100230 100230 100359 99548 99800 99985 100106 表がでる確率が1/2のコインを投げて表が連続してでた回数の最大値をHとする。
Hを当てる賭けをする。（Hは表Headの頭文字ｗ）
例；表表表裏裏表表裏裏裏裏表ならH=3
問： コインを1000回投げるときHをいくつにかけるのが最も有利か？ >>775
１００万回シミュレーションしてみた。
> table(hmax)
hmax
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
287 18099 121112 236483 238721 169833 101347 55523 28902 14755 7481 3659 1951 944 437 240
21 22 23 24 25 26 27 29 30
108 64 20 16 11 2 3 1 1
９回連続が最頻という結果 思いつきで
ln (1000) ≒ 7 くらいかな〜
と思ったけど…外したか。 前>>771
>>774
loge10^3=3loge10=3×2.303……=6.909……≒7
∴7回 >>774
漸化式で算出した値
> data.frame(試行N=N,連続H=unlist(y[1,]),確率P=unlist(y[2,]))
試行N 連続H 確率P
1 20 3 0.3090096
2 30 4 0.2708245
3 40 4 0.2824943
4 50 4 0.2755387
5 60 4 0.2580746
6 70 5 0.2633771
7 80 5 0.2675453
8 90 5 0.2674380
9 100 5 0.2640160
10 200 6 0.2572243
11 300 7 0.2526756
12 400 7 0.2533018
13 500 8 0.2402375
14 600 8 0.2500314
15 700 8 0.2530789
16 800 8 0.2510628
17 900 8 0.2453193
18 1000 9 0.2387912 「表が H 回以上連続して出る」 ということが起こる確率を 1/2^(H+1) として、
これに、ポアッソン分布の 期待値でλ回 起こる様なことが、0回起こる確率は、Exp(-λ) という
結果を組み合わせると、試行 n 回で、表が最長連続 H 回出る確率は、
Exp[-n/2^(H+2)]-Exp[-n/2^(H+1)]
と出せます。これを、n=100から1000まで100単位で、Hを3から12まで変化させ、表を作ってみました。
{{0.0420065, 0.165674, [0.248222], 0.2188, 0.145944, 0.0843831, 0.0453842, 0.0235368, 0.0119856, 0.0060479},
{0.00192673, 0.0420065, 0.165674, [0.248222], 0.2188, 0.145944, 0.0843831, 0.0453842, 0.0235368, 0.0119856},
{0.000084811, 0.00912486, 0.0867574, 0.213818, [0.246798], 0.189462, 0.117694, 0.0656365, 0.0346656, 0.0178147},
{3.72664 10^-6 , 0.00192673, 0.0420065, 0.165674, [0.248222], 0.2188, 0.145944, 0.0843831, 0.0453842, 0.0235368},
{1.63738 10^-7 , 0.000404481, 0.0197111, 0.121714, 0.234773, [0.237077], 0.169697, 0.101709, 0.055704, 0.0291532},
{7.19413 10^-9 , 0.000084811, 0.00912486, 0.0867574, 0.213818, [0.246798], 0.189462, 0.117694, 0.0656365, 0.0346656},
{3.16088 10^-10 , 0.0000177786, 0.00419872, 0.0607181, 0.189888, [0.249977], 0.205693, 0.132415, 0.0751926, 0.0400755},
{1.38879 10^-11 , 3.72664 10^-6 , 0.00192673, 0.0420065, 0.165674, [0.248222], 0.2188, 0.145944, 0.0843831, 0.0453842},
{6.10194 10^-13 , 7.81148 10^-7 , 0.000883045, 0.0288454, 0.142692, [0.242815], 0.229152, 0.15835, 0.0932184, 0.0505932},
{2.681 10^-14 , 1.63738 10^-7 , 0.000404481, 0.0197111, 0.121714, 0.234773, [0.237077], 0.169697, 0.101709, 0.055704}}
まぁ、それなりの結果の様です。 >>783
一般解は困難で漸化式解になるから結果は計算機に頼ることになる。 >>785
781 の n=1000でのH=3から12の値と、別で計算のところで計算したそれに対応するエグザクトな値を並べると、
2.681 10^-14 , 1.63738 10^-7 , 0.000404481 , 0.0197111 , 0.121714 , 0.234773 , 0.237077 , 0.169697 , 0.101709 , 0.055704
1.03858 10^-16 , 3.68449 10^-8 , 0.000272408 , 0.0179442 , 0.120638 , 0.236904 , 0.238791 , 0.170018 , 0.101436 , 0.0553710
H<6では、相対誤差は大きいけど、絶対誤差は小さい。
H=6では、相対誤差は10%ほどあるけど、絶対誤差は 0.0018未満
H>6では、相対誤差1%未満
使った式は、
Exp[-n/2^(H+2)]-Exp[-n/2^(H+1)]
だけです。コスパ的には十分だと感じました。 >>786
だから厳密解と近似解の誤差評価が先やろ？
後で自分の近似解を厳密解出してくらべるんなら近似解出す意味ないやろwww >>773
p = 0.1
m = 1000001,
出現回数X 〜 2項分布 ≒ N(μ,σ^2)
μ = (m+1)p -1/2 = 99999.7
σ^2 = (m+1)p(1-p) = 90000.18
σ = 300.0003
99959 = μ - 0.1356665σ
99758 = μ - 0.8056659σ
100026 = μ + 0.0876666σ
100230 = μ + 0.7676659σ
100359 = μ + 1.1976655σ
99548 = μ - 1.5056652σ
99800 = μ - 0.6656660σ
99985 = μ - 0.0490000σ
100106 = μ + 0.3543330σ
計 m = 1000001 >>782
多項式うぜぇ！
ってワイが怒ってたって
回答者に伝えといて、ぷんすか！ ( ^〜^） >>781
自閉症っぽい書き込み止めろ（ワイを除く） >>787
９回連続が最も有利で厳密解として分数表示すると
1279334345138054116703387805816574492475733319271556635225122353426525246719007709820160126958797561571107282045989946953175158323114922911077578538088124336136684673995419399768527438369423015051518883496014425392294201096683634357280521115135900842944232544396696264692655374681609184183329560302491
/5357543035931336604742125245300009052807024058527668037218751941851755255624680612465991894078479290637973364587765734125935726428461570217992288787349287401967283887412115492710537302531185570938977091076523237491790970633699383779582771973038531457285598238843271083830214915826312193418602834034688 >>793
で？
何がおもろい？
連続二回の確率とかなら受験数学レベル、
連続三回ならそれがめんどくさくなるだけ、
連続四回以上になると手計算ではしんどいから計算機使う、
で？
何がおもろいん？ >>786
Excel 表計算（n=1000）の結果は以下のとおり。
H, 試行n回で 表が最長連続H回出る確率
0, 1/(2^n),
1, (F_{n+2} -1)/(2^n),
2, (T_{n+2} - F_{n+2})/(2^n)
3, 1.03858E-16,
4, 3.6844929559E-8,
5, 0.000272408353627637
6, 0.0179442231630709
7, 0.120638522508376
8, 0.236903816673717
9, 0.238791240043798
10, 0.170018079219428
11, 0.101436144036570
12, 0.0553709746874828
13, 0.0289103452540215
ただし、F_n はフィボナッチ数、T_n はトリボナッチ数 >>793
(1.27933434513805411670338780581657449247573331927155*10^300)
/
(5.35754303593133660474212524530000905280702405852766*10^300)
= 0.2387912400437972578896579687102992815604513373849916642
(問題)
301桁の中に 0 が最長4個連続する確率は？ n回で表がk回未満の並べ方の総数をH(n,k)とすると
最後からk回の中に必ず裏が出てるはずなので
最後の裏の場所で場合分けすると
n回目が裏H(n-1,k)通り
n-1回目が裏H(n-2,k)通り
･･･
n-k+1回目が裏H(n-k,k)通り
これらは排反だから
H(n,k)=H(n-1,k)+H(n-2,k)+･･･+H(n-k,k)
0≦i<k, H(i,k)=2^i
t^n=t^(n-1)+t^(n-2)+･･･+t^(n-k)
t^k=t^(k-1)+t^(k-2)+･･･+1
t^k=(t^k-1)/(t-1)
t^(k+1)-2t^k+1=0, t≠1
(k+1)t^k-2kt^(k-1)=0
t=2k/(k+1)
(2k/(k+1))^(k+1)-2(2k/(k+1))^k+1=0
(2k)^(k+1)-2(2k)^k(k+1)+(k+1)^(k+1)=0
-2(2k)^k+(k+1)^(k+1)=0
((k+1)/2)^(k+1)=k^k=u^((k+1)k), u>1
(k+1)/2=u^k, k=u^(k+1)=u(k+1)/2
2k=u(k+1)≧2(k+1) NG
t^k=t^(k-1)+t^(k-2)+･･･+1は重根無し
t=t1,･･･,tk
H(n,k)=a1t1^n+･･･+aktk^n
0≦i<k, 2^i=a1t1^i+･･･+aktk^i
ai=Δ[ti^j; j≠i, 2^i; j=i]/Δ[ti^j] >>779 >>782
これって試行回数n の時、
log_2 (n) - 1
に収束するんかな？
n=
30 → 3.91
100 → 5.64
1000 → 8.97
100万 → 18.93
100万の時は 「19連続」 に賭ければええんか？ >>798
乱数発生させて1万回の試行からもとめたみた。
> fn(100)
H p
1 5 0.2599
> fn(1000)
H p
1 8 0.2411
> fn(10000)
H p
1 12 0.2485
> fn(100000)
H p
1 15 0.2434
百万回は計算が終わったら書くけど、PCがフリーズするかもしれんｗ >>798
シミュレーションでは百万回のときは19回連続が最も起こりやすいようです。
> fn(1000000)
H p
1 19 0.2351 「百万遍生きたねこ」
吾輩は猫である。名前はマダナイ。
K大の中で、百万遍の交差点の近傍に居候している。
いまの総長は霊長類ばかり関心があるようで、けしからぬ。
後ry) >>800
ありがとう。
実際に収束する値がどのような式になるかは知らんが
>>798 は近似としては良い線いってるな、さすがワイ ( ^〜^)
もう計算しなくていいや、電気代もったいないよ。 てすと。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
99959 99758 100026 100230 100230 100359 99548 99800 99985 100106 >>773
有意差なし
> chisq.test(x)
Chi-squared test for given probabilities
data: x
X-squared = 5.5137, df = 9, p-value = 0.7874
> pairwise.prop.test(x,rep(1e6,10),p.adjust.method = 'none')
Pairwise comparisons using Pairwise comparison of proportions
data: x out of rep(1e+06, 10)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0.637 - - - - - - - -
3 0.876 0.529 - - - - - - -
4 0.525 0.267 0.633 - - - - - -
5 0.525 0.267 0.633 1.000 - - - - -
6 0.347 0.157 0.434 0.763 0.763 - - - -
7 0.333 0.622 0.260 0.108 0.108 0.056 - - -
8 0.709 0.923 0.596 0.312 0.312 0.189 0.554 - -
9 0.953 0.594 0.925 0.565 0.565 0.380 0.304 0.664 -
10 0.731 0.413 0.852 0.772 0.772 0.553 0.189 0.472 0.777
P value adjustment method: none >>798
EXは、エグザクトな値(分母分子ともに30万桁)を小数表示したものです。
PKは、Exp[-n/2^(H+2)]-Exp[-n/2^(H+1)] を使った計算です。
H17EX 0.126428026601212362722548404568479006590
H17PK 0.1264291360
H18EX 0.236853974020507393964934630163518219675
H18PK 0.2368490990
H19EX 0.2354240033524223124640651569499966602203
H19PK 0.2354209821
H20EX 0.1671294025153194307125653945982248983094
H20PK 0.1671292309
18連が最頻 >>807
>分母分子ともに30万桁
メモリをどれだけ積んでいるんですか？ >>808
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592497360/833
の前半で書いた方法に準じています。
20連を計算するときには、21×21 と 20×20 という大きな行列を用意する必要がありますが、
100万乗の計算も、行列の数十回の掛け合わせにすることが可能なので、
メモリ的にも時間的にも、漸化式を用いるときより、効率的になります。 >>809
レスありがとうございます。
1-(MatrixPower[M,1001].v).v とは
1- (行列Mの1001乗 内積 v) 内積v
という意味と理解していいのでしょうか？
その理解で実行したら、
> # 1-(MatrixPower[M,1001].v).v
> M=matrix(c(
+ 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,
+ 1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
+ 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
+ 0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,
+ 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
+ 0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,
+ 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,
+ 0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
+ 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,
+ 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,
+ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2),11,11,byrow=TRUE)
> v=c(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
> '%.%' <- function(x,y) sum(x*y)
> 1- (M%^%1001%.%v)%.%v
[1] -5.9323e+301 MatrixPower[M,1000] で、行列 M の1000乗です。
これに、ベクトルvを作用させると、長さ1000の文字列で、「表」の連続について、
{最後が裏かつ表10連未達成,1連中かつ表10連未達成,2連中かつ表10連未達成,...,表9連中かつ表10連未達成,表10連以上を含む}
を満たす文字列の数を示すベクトルが得られます。
あの問題では、10連以上を含むもの が問われていたので、このベクトルの11番目の要素を答えればいいのですが、
もう一度行列Mを作用させると、11番目の値が、ベクトルの一番目に来るため、1000乗では無く、1001乗にして、
vとの【内積】を取ることで、「Mの1000乗 に v を作用させたときの、第11成分」を取り出しています。
>> (行列Mの1001乗 内積 v) 内積v
最初の内積はおそらく正しく無く、【行列とベクトルの積】で、後ろの【内積】は、正しいです。
> # 1-(MatrixPower[M,1001].v).v
申し訳ありません。 /2^1000 付け加え忘れていました。
1-((MatrixPower[M,1001].v).v)/2^1000
が正しい式です。 >>811
ありがとうございます。
漸化式と違って爆速で計算されました。
> # 1-(MatrixPower[M,1001].v).v/2^1000
> library(expm)
> M=matrix(c(
+ 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,
+ 1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
+ 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
+ 0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,
+ 0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
+ 0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,
+ 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,
+ 0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
+ 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,
+ 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,
+ 0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2),11,11,byrow=TRUE)
> v=c(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
> '%.%' <- function(x,y) sum(x*y)
> 1- ( (M%^%1001) %*% v ) %.% v/ (2^1000)
[1] 0.3854497524124814 >>811
私の使っているRだと
1-((MatrixPower[M,1001].v).v)/2^1000
2^1000がオーバフローしてしまうので
1-(2*(MatrixPower[M/2,1001].v).v)とすることでオーバーフローを回避できました。
1万回だと１２回連続が最多
> sapply(11:13, function(x) flip.max(10000,x)$p)
[1] 0.2082006 0.2484186 0.1939128
１０万回だと１５回が最多
> sapply(14:16, function(x) flip.max(100000,x)$p)
[1] 0.1701653 0.2489043 0.2165800
１００万回だと１８回が最多
> sapply(17:19, function(x) flip.max(1e6,x)$p)
[1] 0.126428 0.236854 0.235424
１０００万回だと２２回が最多
> sapply(21:23, function(x) flip.max(1e7,x)$p)
[1] 0.2114217 0.2474009 0.1912985
１億回だと２５回が最多
> sapply(24:26, function(x) flip.max(1e8,x)$p)
[1] 0.1745655 0.2493603 0.2142829
という結果が瞬時に出せました。
解説どうもありがとうございました。 nが大きくなるほど、ポアッソン分布を使った近似式 Exp[-n/2^(H+2)]-Exp[-n/2^(H+1) の
精度が良くなっているのが、個人的にはうれしい
In[37]:= N[Table[Exp[-n/2^(H+2)]-Exp[-n/2^(H+1)],{n,10000,10000},{H,11,13}],10]
Out[37]= {{0.2079842885, 0.2481372247, 0.1938339325}}
In[38]:= N[Table[Exp[-n/2^(H+2)]-Exp[-n/2^(H+1)],{n,100000,100000},{H,14,16}],10]
Out[38]= {{0.1701541230, 0.2488638895, 0.2165632963}}
In[39]:= N[Table[Exp[-n/2^(H+2)]-Exp[-n/2^(H+1)],{n,1000000,1000000},{H,17,19}],10]
Out[39]= {{0.1264291360, 0.2368490990, 0.2354209821}}
In[40]:= N[Table[Exp[-n/2^(H+2)]-Exp[-n/2^(H+1)],{n,10000000,10000000},{H,21,23}],10]
Out[40]= {{0.2114212368, 0.2474004598, 0.1912984145}}
In[41]:= N[Table[Exp[-n/2^(H+2)]-Exp[-n/2^(H+1)],{n,100000000,100000000},{H,24,26}],10]
Out[41]= {{0.1745654478, 0.2493602509, 0.2142829122}} 1 歩で 1 段または 2 段のいずれかで階段を昇るとき、 1 歩で 1 段昇ることは連続しないものとする。
n 段の階段を昇る昇り方を s[n] 通りとする。
このとき、
lim_[n→∞] s[n+1] / s[n] = p が存在することを示し、
p^k ( k = 1, 2, 3, … ) は限りなく整数に近づくことを示せ。
ここで p^k が「限りなく整数に近づく」とは、
p^k に最も近い整数と p^k との距離が k → ∞ で 0 に収束することを意味する。 p^n -(p^n+q^n+r^n)→0
∵ |q|^2=|r|^2=|qr|=1/|p|<1 手持ちの金0のギャンブラーがいるとする。
朝起きて1回コインを投げて表が出たら1万円貰える。
裏が出れば1万円を払う。手元に金がないときは借金として記録される。金利は0
1年(365日とする)間これを行って黒字であった日数を記録して精算して持ち金を0にリセットする。
これを毎年繰り返す。1年に300日以上黒字である確率は？ >>818
所持金0のときは黒字にカウントしない？ >>818
それまた計算機使うしかないやつにしか見えへんけどホンマに計算機使わないでエレガントに解く方法持ってんの？ f(n)=1^m+2^m+3^m+…+n^mとする
mが正の偶数であるときf(n)はnの多項式としてn(n+1)(2n+1)で割り切れることを示せ >>823
f(n)-f(n-1)=n^m
が恒等式よりmが偶数のとき
f(n)-f(n-1)=f(-n)-f(-n+1)
よって帰納的に
fn)=-f(1-n)
よってn(n+1)で割った商rはr(n)=r(1-n)である一次式 >>820
こういう厳密解が出せるようです。すでにネタバレしてしまったがｗ
1-2/pi*asin(sqrt(300/365)) >>796
p = 0.0028312477450853 >>786 >>795 でp値(エグザクト)を見ると
H=8 と H=9 の値は近く、H=8.5 の辺りで極大らしい。
>>807 のp値(エグザクト)を見ると
H=18 と H=19 の値は近く、H=18.5 の辺りで極大らしい。
>>786 の近似は、極大の周辺では相対誤差が小さいようで
exp[-n/2^(H+2)] - exp[-n/2^(H+1)] = t(1-t) ≦ 1/4.
ここに t = exp[-n/2^(H+2)],
極大は t=1/2 のとき。
2^(-1) = exp[-n/2^(H+2)],
2を底とする対数を2回とると
H = log_2(n) + log_2{log_2(e)/4}
= log_2(n) - 1.47123363
n=1000 → 8.4945
n=10^6 → 18.460
でつね >>798 ID:bVhyU5Kj = ID:1FL39oBq か ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
