現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」。知能が低下してサルになっています）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people （知能の低い者が、サルと呼ばれるようになり、残りました。ｗ（＾＾； ）
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた） >>579
>ツェルメロの自然数の構成では、
>{}を、無限に使うと、ωになるよ
>>568で述べたが、
{}を、無限に使うと、ω＝{ω}となる
したがって正則性公理に反する
正則性公理の下では{}の重なりの数は有限
>それ、有限集合だと、おかしい
>>568で述べたが
正則性公理を採用しない集合論ZFC-AFAでも
ω＝｛ω｝となるωは、唯一の元からなる有限集合
何もおかしくない
>>580
>ωが構成できることからすれば
>それは、無限集合でしょ
ω＝｛ω｝となるωは
無限個の元を有しないので
無限集合ではない >>581
>集合の濃度を、順序数を使って定義するという思想がある
その思想に沿った順序数は
ノイマンの構成法によるもの
ツェルメロの方法は、
上記の思想に沿うものではない
>2：＝{{{}}}
>で、順序数2、濃度2
{{{}}}の濃度は1
>つまり、{}の数で、濃度を定義すべき
濃度は、元の数で定義されるものであって
{}の数は関係ない
>それで、{}の数が無限のとき順序数ωになって、
{}の数が無限になるなら、整礎でない
>濃度も無限で、つじつまがあう
濃度を順序数で定義するのであれば、
ノイマンの構成法による必要がある
ツェルメロの方法では、超限順序数の定義ができない
まずωが正則性公理に反する。
正則性公理を捨ててω＝｛ω｝を認めたとして
今度はω＋１が実現できない >0：＝Φ（空集合）
>1：＝{}
Φ＝{}なので、上記の場合０＝１ >>584
もとい
複素数体Cで
C/C＝{C}として
1元に潰したほうが、
面白いかも(゜ロ゜; >>587
ご指摘ありがとう
そうだね
空集合Φ＝{}
だったね
やっぱ0：＝Φ＝{}
とするのが正しいね(^_^) >>586
濃度の話しのノイマン構成による解決は、ご指摘の通りのようだね
但し、ノイマン構成でも、無限集合ならば、 使われる{}の数は、無限でしょ
それとωは、集合ではないでしょ(゜ロ゜; >>591
ノイマン構成でも、
無限集合ならば
{}の多重度は、無限でしょ(゜ロ゜; >>592
ノイマン構成
0：＝{}
1：＝{0}
2：＝{0,1}
・
・
n：＝{0,1,・・,nｰ1}
・
・
ω： N：＝{0,1,・・,n,・・}
ω+1：N｀：＝{0,1,・・,n,・・,N}
てことでしょ(゜ロ゜; Z/nZが、有限環であることは、誰も否定していない
但し、Zは無限集合だが、
それに{}を付けて、{Z}ならば有限集合と呼ぶことに、数学的にどんな意味があるのか
要素が有限個の集合と呼ぶことでよろしいでしょ
{Z}から{}を外せば、無限集合に戻るのだから
有限集合という言葉は、古典的な有限集合にのみ限定適用するのが、適切と思いますよ
わかったら、さあ、追加文献頼みますよ(゜ロ゜; >>593
>ノイマン構成でも、無限集合ならば
>{}の多重度は、無限でしょ
いや、ωの{}の多重度は有限
なぜなら、ωの要素はみな自然数で
ｎの{}の多重度はｎ＋１で有限だから
>>596
＞要素が有限個の集合
それが有限集合
＞追加文献
都合のいいものはなさそうだから
直接、集合論の研究者に尋ねたら如何？
>>576でも書かれてるが
例えばキューネンの本を翻訳した藤田氏とか
藤田氏のtwitterアカウント
ジタさん (@fujitapiroc1964) >>597
どうもスレ主です
1)ωが、ノイマン構成の集合Nに対応することまでは、一致しています
しかし、Nは無限集合です
そこで、{N}を考えます
{N}の多重度は、無限でしょ
2)Nの多重度は、{N}の多重度ｰ1と考えると、無限でしょ
余談ですが、Nはnたちを無限に集めて、{}を付けたものと考えれば、やっぱり{}の多重度は無限
3)要素が有限個の集合を、有限集合と呼ぶと定義するのは、勝手ですが、
賢い命名かどうかが問題です
｛N}を、有限集合に分類することに、どういう意義が、あるのか
元が有限個の集合と呼ぶほうが、分かり易いでしょ
{N}を有限集合と呼ぶと、{N}の{}を外せば、無限集合になって、それはなんかへん
4)やっぱり文献ないでしょ。それで結構ですよ
Z/nZを、有限環、有限群、あるいは、n＝pのとき有限体と呼ぶ以上に、純粋に集合論として、有限集合を強調する意義はないでしょ(゜ロ゜; >>598
>1){N}の多重度は、無限でしょ
いや 有限
>2)Nの多重度は、{N}の多重度ｰ1と考えると、無限でしょ
いや 有限
>3)要素が有限個の集合を、有限集合と呼ぶと定義するのは、勝手ですが
既にそう定義されたので 勝手な変更はできない
>{N}を有限集合と呼ぶと、{N}の{}を外せば、無限集合になって、
>それはなんかへん
有限集合の条件として、集合の要素が何かは問わないので 全然ヘンでない
>4)やっぱり文献ないでしょ。それで結構ですよ
いや あまりにも自明なのでさらっと流しているだけ
「有限集合は要素が有限個の集合である」という定義を
集合論の研究者に確認して受け入れてね >>600
ぜひ、集合論研究者に有限集合の定義を確認してね
P.S.
「古典的」ではなく、遺伝的有限集合の定義は以下
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%BA%E4%BC%9D%E7%9A%84%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88
「整礎的な遺伝的有限集合の帰納的定義は次のようにされる：
基底段階: 空集合は遺伝的有限である。
再帰段階: もし a_1,… ,a_kが遺伝的有限ならば {a_1,… ,a_k}もそうである。
以上によって遺伝的有限集合とわかるものだけが遺伝的有限集合である。」
ただ、遺伝的有限集合のみを有限集合と呼ぶことはしない >>600
どうもスレ主です
外していたらごめん
あなたは、前スレで、前原先生の論文に文句つけた人かな
（基礎論の知識が豊富ですね）
1)背理法、{}の多重度が、有限とする
有限なのだから、あるmが存在してm重とする
しかし、自然の元nに上限なし
(かならずn+1が、存在する)
よって、矛盾である
（二ヵ所とも）
2）定義というか命名の妥当性を問題にしています
3）”元の数が有限の意味”で、有限集合と呼ぶとするのは、注釈つき乃至有限の意味が元の数であることが明白なときは反対しません
4）やっぱり文献ないでしょ
いや、要するに、遺伝的有限集合の定義を作ったのは、その必要が、あるからでしょ
つまり、元の数が有限だけで、単純に割り切れないってことですよね(゜ロ゜; >>598
> {N}の多重度は、無限でしょ
Nを基準(自然数の場合の空集合と同じ意味)と考えたら有限です
0, 1, 2, ...
ω, ω+1, ω+2, ...
> Nはnたちを無限に集めて、{}を付けたものと考えれば、やっぱり{}の多重度は無限
{0, 1, 2, ... }, {{0, 1, 2, ... }}, {{{0, 1, 2, ... }}}の場合は外側の{}は有限個
> {N}を有限集合と呼ぶと、{N}の{}を外せば、無限集合になって、それはなんかへん
{{}}などを空でない集合と呼ぶと{}を外していけば空集合になることは受け入れているのに？
空 vs. 空でない
有限 vs. 有限でない(= 無限) >>604
・Nを基準？意味分かりません
・ZFC公理的集合論は、まずは空集合基準でしょ(゜ロ゜; >>605
> 空集合基準
Nは ... {{ ... {空集合} ... }} ... ではないから空集合基準にならないでしょ
Nは無限個の元が基準
0, 1, 2, ... : 無限個の数を基準に{}で囲めば
{0, 1, 2, ... }これで初めて無限集合になっている
有限ならば{{{空集合 : 空集合の公理}}}で話が進むが
無限の場合は{{{ N : 無限公理 }}} >>603
前原センセイとは誰？国会議員か？
・Nの{}の重なりは、Nの要素の{}の重なりから決まる
どの元を選んでも有限
{}の重なりが無限になる元は存在しない
・有限集合は既に定義されている用語なので
妥当性の議論抜きに定義を受け入れるしかない
・”元の数が有限”の集合が有限集合というのが定義
反対しないなら受け入れたということ
・遺伝的有限集合は
「有限個の{}と,だけで記載できる集合が有限集合である」
といいたいためだけに考えられた概念ではない
有限集合というだけなら、別にその要素が無限集合であってもいい >>605
>・Nを基準？意味分かりません
私も分からん 集合論に”基準”という言葉はない
>・ZFC公理的集合論は、まずは空集合基準でしょ
これも分からん 分からん言葉を使う神経も分からん >>607
なんだ、おサルのピエロか
相手して、損したな(゜ロ゜; >>609
おサルのピエロ・・・知らん
有限集合の定義については集合論の研究者に尋ねること >>606
・ZFC公理は、空集合と{}で、全ての集合を作ろうというもの
・最初は、グーならぬ最初は空
だから空基準
・自然数の集合Nは、無限公理が適用されて出来上がっていることを、お忘れでは？
・まあ、可能無限かな(゜ロ゜;
・あんたら、哀れな素人さんと、同じ思考パターンやで
・今なら、哀れな素人さんの思考が、分かるのではw(゜ロ゜; >>612
有限集合とは”元の数が有限の集合”であることは受け入れた？
まだなら集合論の研究者に尋ねてね >>612
> 自然数の集合Nは、無限公理が適用されて出来上がっていることを、
> お忘れでは？
それはスレ主の方でしょ
> 最初は、グーならぬ最初は空
> だから空基準
無限公理適用でNがあるんだから空集合と{}だけではNは作れないし
逆にNから{}を順番に取り除いていっても空集合にはできない
{}の多重度で有限や無限を論ずるのならばNの濃度(= 可算無限)は
元の数に関してなので{}の多重度とは無関係
{}の多重度とは無関係に無限公理でNを導入すれば{}の多重度で測れるのは
ω, {ω}, {{ω}}, {{ω}}, ...
ω, ω+1, ω+2, ...
{}を順番に外すことではωより前には戻れない >>615
集合論の研究者を恐れるな
真理が知りたいんだろう？ >>614
・哀れな素人さん？w(^_^)
空と{}だけで、Nができるよ
そのための無限公理だよ
・Nから、逆に{}までたどれるでしょ
現代数学は、無限の操作を許すよ
あなたは、哀れな素人さん？(゜ロ゜; >>617
追加文献が見つからない
それでいい
それが現実なんだ(^_^) >>618
Nのノイマン構成
0：{}＝Φ
1：{{}}＝{Φ}
2：{Φ,{Φ}}
3：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}
・
・
ここで、右端のΦに注目する
そして、Φの右の}の数に注目する
1のとき}は、1個
2のとき}は、2個
3のとき}は、3個
・
nのとき}は、n個
つまり、ノイマン構成では、
ある数nと}の数とは、対応しています
だから、無限公理のもと、
ωにおいて、右端のΦの右の}の数は、加算無限
(゜ロ゜; いま、このガロアスレの勢いは
33.6で、ランキング一位です
みなさん、ありがとう(^_^) >>619
追加文献
ブリタニカ国際大百科事典
有限集合 ゆうげんしゅうごう finite set
https://kotobank.jp/word/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88-144701
「元の個数が有限である集合をいう。」
御愁傷様(-||-) >>619
追加文献２
岩波数学辞典 第４版
355 濃度 F.有限と無限の定義 (p1149)
「X を集合 A のベキ集合の部分集合であるとする．
もし空集合がX に属し，すべてのB∈X と a∈A に対しB∪{a}∈X となっているなら，
X は A に よって生成される部分集合の族という．
A 自体が Aによって生成される部分集合の族すべてに属すと き，
A は有限であるという」
原典 B. Russell - A.Whitehead, Principia Mathematica, Vol.II, Cambridge Univ. Press, 1912;
・{ω｝の部分集合の族は｛｛｝、{ω｝｝だけであり、
｛ω｝は｛｛｝、{ω｝｝の要素であるから有限集合
・ωの部分集合の族としてωがあるが、
ωはωの要素でないので無限集合 >>620 追加
（ノイマン構成で、右端の｝の数と、有限、む）
ツェルメロ構成 >>620 もとい、追加
（誤投稿のため再投稿）
（ノイマン構成で、右端の}の数と、有限無限が対応する）
ツェルメロ構成では、
0：Φ
1：{Φ}
2：{{Φ}}
3：{{{Φ}}}
・
同様に、右端の}の数に注目すると
数nに対して、}の数n個
同様に、ωに対しては、}の数は加算無限
そしてωは、有限ではない
しかし、ツェルメロ構成では、元の数は、常に一つ
ツェルメロ構成のωの示す集合を、有限集合と呼ぶのは、おかしい
有限集合は、古典的な有限集合に限定すべきだよと(゜ロ゜; >>622-623
辞書の意味で、
wikipedia 「有限」で
「無限でないことである」と
記載されているよ(゜ロ゜; >>627
>>623のラッセルとホワイトヘッドの定義を
否定できない貴方はこのスレッドから退去すること >>618
> 空と{}だけで、Nができるよ
それだと無限公理なしでNができることになるでしょ
無限公理 = Nは既に存在している
> Nから、逆に{}までたどれるでしょ
suc(n) = ωとなる自然数は存在しないんです
任意の自然数nとωの差は有限ではない
https://ja.wikipedia.org/wiki/順序数
> ある順序数 β が存在して α = S(β) となる順序数 α を後続順序数と呼ぶ。
> 0 でも後続順序数でもない順序数を極限順序数と呼ぶ。
> ω は最小の極限順序数である。 >>629
＞suc(n) = ωとなる自然数は存在しないんです
上記は正しい
一方でωから｛｝を外して現れる要素は、全て自然数だから
｛｝を有限回外せば 空集合にいきつく つまり整礎 スレ主よ、お前のスレもだんだん落ちて来たぞ（笑
どんどん書き込んでサル石の噛みつきレスを誘発させろ（笑
それを僕が僕のスレにコピペしてやる（笑 スレ主よ、僕のスレにこんな投稿をしてやった（笑
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む
このスレの過去三年間のこいつの投稿を見てみればいい（笑
こいつがいかに異常な投稿をしているかが分る（笑
殺人狂の一歩手前の精神異常者だ（笑
サル石の過去の異常投稿をどんどん僕のスレに貼りつけてくれ（笑 >>632
哀れな素人さん、どうもスレ主です
レスありがとう
いま、PCの専用ブラウザの方がアクセス禁止状態なのです
多分もうしばらくしたら、アクセス可能になると思います
それまで少々お待ちください(^_^) >>629
・無限公理は、wikipediaでも見てもらえばいいが、
その意味は、ある集合が存在して、
空集合Φとx∪{x}を無限回繰り返した集合が可能だというもの
（不正確な表現かも知れないが、気持ちは、そういうこと）
・ここで、無限回の繰り返しを認めれば
（無限回の繰り返しと同じことが、公理的に構成できるだろう）
逆の繰り返しで、元に戻る
・それで尽きている(゜ロ゜; >>623
・ラッセルのPrincipia1912は、
濃度（cardinal number）での
有限と無限を、maltiplicative axiom（これは、今では選択公理と等価であることが知られている）
を使い、論じたもの
・ところで、自然数には、二つの性格があるという
順序（ordinarily number）と基数（cardinal number）
・順序で、ツェルメロ構成の自然数で、その後のωは、{}を加算無限に重ねたものたが、それは順序の意味で無限大でしょ
それを有限集合と呼ぶのは、如何なものかということよ(゜ロ゜;
濃度の意味では、1と定義するとしても(^_^) >>636
有限集合とは「濃度が有限」という定義だから順序は無関係
ついでに言うと｛｝を無限個重ねたものは、正則性公理に反する
あと maltiplicative ではなく multiplicative
P.S. このスレでは汚名返上は無理だから諦めて一から出直したほうがいい >>635
> 繰り返した集合が可能だというもの
> 無限回の繰り返しを認めれば
> 逆の繰り返しで、元に戻る
逆の繰り返しが可能かは無条件で認められないでしょ
順序数の差は？
有限回なら逆の繰り返しは可能
https://ja.wikipedia.org/wiki/順序数
> 順序数の間には自然数の場合と同じく和、積、冪が定義できる。
> 特に有限順序数の間の演算は通常のそれと一致する。
>>636
> 順序の意味で無限大
> それを有限集合と呼ぶのは、如何なものかということよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/整列集合
> (0を含む)自然数全体の成す集合Nは通常の大小関係 ≤ が整列順序を与える。
> この整列集合の順序型はωで表される。
> さらに、0でない任意の自然数は唯一の直前元を持つ。
> Nにおける別な整列順序としては、例えば、どの偶数もどんな奇数よりも小さいものとし、
> 偶数同士あるいは奇数同士では通常の大小関係を適用することで得られる順序
> 0, 2, 4, 6, 8, ... , 1, 3, 5, 7, 9, ... が挙げられる。
> この順序に関する整列集合の順序型は ω + ω である。
> 任意の元が直後の元を持つ(したがって最大元は存在しない)が、
> 直前の元を持たない元が0と1の二つ存在する。
0, 2, 4, 6, 8, ... , 1, 3, 5, 7, 9, ... の1は「順序の意味で無限大」で有限値 >>638
＞逆の繰り返しが可能かは無条件で認められないでしょ
>>629の「suc(n) = ωとなる自然数は存在しない」から
逆の繰り返しは不可能だな
＞有限回なら逆の繰り返しは可能
任意の自然数ｍについて、suc(n) = ｍとなるｎが存在するからね
ID:NoBnYUlZはこのスレでは汚名返上は無理だから
諦めて一から出直したほうがいい >>637
おサルのピエロか
ご苦労様
スペルチェックありがとう
そうそう、multiplicativeな
で
・日本語では、意識されないが、
英文法では、序数詞と基数詞とが、区別される
nとn-thみたいに
・で、公理的集合論は、日本語に近いのかも
集合ベースで、集合を序数詞の意味でも、基数詞の意味でも使う
・ツェルメロの構成による順序数ωを表す集合は、序数詞の意味で無限大
・この集合を有限集合と呼ぶのは、言語学として適切でないと思いますよ(^_^) >>639
自分たちが、無限を否定する哀れな素人さんの立場を取っているという自覚ありますか(^_^) >>640
気に入らないこという相手に
必ず「おサルのピエロ」という芸にも
迂闊な間違い発言で集中砲火を食らい
際限なく言い訳を書き続ける芸にも
もう飽きた
＞言語学として適切でない
言語学板でスレッド立ててやってくれたまえ
https://lavender.5ch.net/gengo/ >>638
・自然数
ノイマン構成
0：Φ
1：{Φ｝
2：{Φ,{Φ}}
3：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}
・
・
ωに至る
ツェルメロ構成
0：Φ
1：{Φ}
2：{{Φ}}
3：{{{Φ}}}
・
・
ωに至る
・両者の対応は、1対1
ノイマン構成でωに至ったとき
ツェルメロ構成でもωに至る
ノイマン構成でωは無限を意味し、その意味する集合は、濃度の意味でも無限集合になるのだが
しかし、ツェルメロ構成でωを意味する集合も、順序の意味で、無限集合でしょ
濃度の意味とは、別にして(゜ロ゜; >>643
まず、ノイマン構成でもツェルメロ構成でも
＞ωに至る
は完全な誤り
ノイマン構成によるωは無限公理によって導入される
一方ツェルメロ構成によるωは正則性公理に反するので
正則性公理を維持する限り、導入できない
＞ツェルメロ構成でωを意味する集合も、
＞順序の意味で、無限集合でしょ
「順序の意味で・・・」が無意味
言葉を正しく読み取れない人には、
数学だけでなくいかなる学問の学習も不可能
君は数学諦めて、ここから去ったほうがいい >>642
・自分が、名無しで（自分のことを隠して）登場して、人違いされて怒るなら、固定ハンドル名つけろ
・集中砲火？知らんな(゜ロ゜;
・飽きた？知らんな。飽きたらされ
・言語学板？知らんな。人に指図するな。それに俺スレ主だよ(゜ロ゜; >>644
なんだ、やっぱりおサルのピエロか(゜ロ゜;
・無限公理は、別に否定していない
あんた無限公理分かってないのかな？
・ツェルメロ構成が、正則性公理に反する？知らんな。勘違いでしょ(゜ロ゜;
・順序が無意味？知らんな。順序数の理論が無意味だと？
順序数でも、無限を扱うでしょ(^_^) スレ主よ、サル石が
「現代数学はインチキだらけ」
で、お前への中傷レスを投稿し始めたぞ（笑
報復としてサル石がこのスレで書き込んだ精神異常レスを
僕のスレに貼り付けてやれ（笑 >>647
哀れな素人さん、どうもスレ主です
そちらのスレに出張して、反論書いておきました(^_^) おっちゃんです。
>>646
>・無限公理は、別に否定していない
そうであれば、可算無限集合となる自然数全体の集合Nの存在性を認めることになる。
故に、正の無限大+∞が自然数云々とはいわない。
>・ツェルメロ構成が、正則性公理に反する？知らんな。勘違いでしょ(゜ロ゜;
ツェルメロの自然数の構成では、
0：＝Φ、
1：＝{Φ}、
2：＝{ Φ、{Φ} }、
3：＝{ Φ、{Φ}、{Φ、{Φ} }、
……
と、以下同様に帰納的に、自然数を小さい方から定義して行くが、
1：＝{Φ} と定義するときに、{Φ} は一元集合だから、正則性公理に反することになる。 >>643
> 両者の対応は、1対1
> ノイマン構成でωに至ったとき
> ツェルメロ構成でもωに至る
von Neumann:
vNeu = {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ... }
Zermelo:
Zer = {{0}, {{0}}, {{{0}}}, ... }
1対1なのは各々の要素である自然数だから有限でωに至らない
{0, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ... } = {0, 1, 2, 3, ... } = N = ω
{0, {0}, {{0}}, {{{0}}}, ... } = {0, 1, 2, 3, ... } = N = ω
0を無限個の{}で囲む形でωに至ることはない
(そんなものはどこにも現れない) >>648
>そちらのスレに出張して、反論書いておきました(^_^)
自分が白痴であることをわざわざ拡散するキチガイｗ >>648
>>649の
>0：＝Φ、
>1：＝{Φ}、
>2：＝{ Φ、{Φ} }、
>3：＝{ Φ、{Φ}、{Φ、{Φ} }、
>……
は
>0：＝Φ、
>1：＝{Φ}、
>2：＝{ {Φ} }、
>3：＝{ { {Φ} } }、
>……
に変更。 >>646
時枝記事では、自然数の定義はせいぜいペアノの公理で事足りる(実は、ペアノの公理も必要はない)が、
何でこのような自然数の構成の話をしているんだ？ >>653
時枝はもう終わったよ
あと、こっちの話（基礎論）は、面白いし >>654
>時枝はもう終わったよ
終わらすなら間違っていたことを認めて下さいね
約束も守れないサイコパスさん >>649
おっちゃんに、どうもスレ主です
・∞が、自然数と言ったとか人違いですよ(゜ロ゜;
・{Φ}が、正則性公理に反する？(゜ロ゜;
そんなことないでしょ >>655
認めるよ、時枝先生が、自分の記事の前半を、後半で否定していること(゜ロ゜; >>657
それ、あなたの妄想ですからｗ
実際、記事後半に「記事前半は間違いである」なんて一言も書かれてないし、
逆に以下のように書かれています。
”ばかばかしい，当てられる筈があるものか，と感じられるだろう.
何か条件が抜け落ちているのではないか，と疑う読者もあろう.問題を読み直していただきたい.
条件はほんとうに上記のとおり.無限個の実数が与えられ，一個を除いてそれらを見た上で，除いた一個を当てよ，というのだ.
ところがところが--本記事の目的は，確率99%で勝てそうな戦略を供することにある.
相変わらず妄想が激しいね、まだ病院行ってないんでしょう
こういうキチガイって精神病院に強制的に収監できないのだろうか？ >>656
>・{Φ}が、正則性公理に反する？(゜ロ゜;
>そんなことないでしょ
>>652の
>0：＝Φ、
>1：＝{Φ}、
>2：＝{ {Φ} }、
>3：＝{ { {Φ} } }、
>……
の部分は
>0：＝{Φ}、
>1：＝{ {Φ} }、
>2：＝{ { {Φ} } }、
>3：＝{ { { {Φ} } } }、
>……
に訂正。
すると、N≠Φ だが、0について、任意の正整数xに対し 0∈x となって正則性公理に反する。
>・∞が、自然数と言ったとか人違いですよ(゜ロ゜
スレ主は∞が自然数とか何度もいってなかったか？w >>658
ID:GqnEepIOさん、このスレは実質的にはスレ１０で終わってますよ
https://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/259
＞「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？
こんなこと平気でいっちゃう人に、ガロア理論が理解できるわけないって
当時も祭りになってましたよ 当然ですね
昔っから、アレは文章の読み方が粗雑で、
実に初歩的なところで間違う悪癖があるんだよね
人間として致命的な欠陥があるんでしょう >>656
>>659の「 0∈x」は「 x∈N x≠0」に訂正。 相変わらず訂正に訂正を重ねるおっちゃん
彼が無職というのも分かる気がする
こんなのに危なっかしくて仕事頼めないもんなｗ >>658
>>661はなし。>>659の
>すると、N≠Φ だが、0について、任意の正整数xに対し 0∈x となって正則性公理に反する。
の部分は
>すると、任意の2以上の正整数xについて x≠Φ、0∈x だが、
>任意の x-1 以下の正整数tに対して、0∈t となって正則性公理に反する。
に訂正。 >>662
公理的集合論は多くの数学では出て来ないだろ？
どこで使うんだ？
>こんなのに危なっかしくて仕事頼めないもんなｗ
経済の話になるが、給料を得る代わりに労働時間を会社に与えている。
いうまでもなく、経済的には、時間と金のうち、どちらかを犠牲にしている。 >>662
まあ、現実的には、時間だけでなく、精神的疲れ(ストレス)や体の疲れなどが伴うから、給料を得る代わりに犠牲にしているモノはもっとある。 >>663
>任意の2以上の正整数xについて x≠Φ、0∈x だが、
ID:s0bEnY0rは、ID:NoBnYUlZと全く同じ間違いをしてる
{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}、というのは誤り >>667
私は、公理的集合論とかの話は知らない。 公理的集合論なんてレベルの話じゃない
∈の定義から直ちに出て来る話 そもそもID:s0bEnY0rは {}∈{{{}}} と思ってる時点で間違ってる
これ初歩レベル ホントに大学出たのか？ >>671
どうせ、{}∈{ {} } だろw といいたいのだろう。
こんなことは、勿論知っている。 ID:s0bEnY0rは
{}∈{{}} {{}}∈{{{}}}
だから {}∈{{{}}}
だと思ってるか？ >>673
この理屈は間違い。
>>670にも書いたように、公理的集合論のwikiで、「⊂、⊃」と「∈、∋」の区別が付かない。 >>674
＞この理屈は間違い。
ではどういう理屈で>>663で
＞任意の2以上の正整数xについて x≠Φ、0∈x
といったのか？
おかしいだろう >>675
>ではどういう理屈で>>663で
>＞任意の2以上の正整数xについて x≠Φ、0∈x
>といったのか？
理屈も何も、>>670や>>674に書いた通り説明が分からない。
wikiの公理的集合論の正則性公理
>空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
を記号で書くと
>∀A( A≠Φ → ( ∃x∈A∀t∈A ￢(t⊂x) ) )
だろうな。最後の ￢(t⊂x) が ￢(t∈x) になっている理由が分からん。 >>676
>正則性公理
>空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
>を記号で書くと
>∀A( A≠Φ → ( ∃x∈A∀t∈A ￢(t⊂x) ) )
>だろうな。
いや
∀A( A≠Φ → ( ∃x∈A.A∩＝Φ)
だろう。
∀t∈A ￢(t∈x) ⇔ A∩x＝Φ >>676
>正則性公理
>空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
>を記号で書くと
>∀A( A≠Φ → ( ∃x∈A∀t∈A ￢(t⊂x) ) )
>だろうな。
いや
∀A( A≠Φ → ( ∃x∈A.A∩x＝Φ)
だろう。
∀t∈A ￢(t∈x) ⇔ A∩x＝Φ >>677-678
定義通り、交わるの記号∩に従えばそうなる。 >>680
おっちゃんどうも
スレ主です
お疲れ様
おやすみなさい(^_^) 5245
かずきち@dy_dt_dt_dx 9月29日
京大オープン経済190/550しか取ってないやつにマウント取られて草
お前より90点高いんだよ黙って勉強しろ
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 数学板なんて
遊びですよ
あくまでエンタです
知るは楽しみとは、昔のクイズ番組のフレーズだったが
余祿でそういうこともありだけどね(^_^) >>684-685
おっちゃん=>>683です。
この世の万物は流転することを違う角度で表したのが諸行無常と諸法無我である。
その諸行無常を文字って書いたのが>>684だろう。
諸法や諸行の2つの単語が、どちらもこの世の万物を意味する仏教用語である。
だから、諸行無常を文字った>>684の「諸行無駄」は、この世の万物は無駄である、というように解釈出来る。
この世の万物が無駄とは限らない。例：数学板に来るのに必要なパソコンやスマホその他諸々。 >>684-685
何かよく分からんが、毎日ことばのサイト
ttps://mainichi-kotoba.jp/photo-20190605
というサイトによると、「もじる」について、
正しくは漢字で「文字る」の代わりに「捩る」と書くみたいだ。
そのため、>>686の下から2行目の「文字った」は「捩った」と書くことになるようだ。
確か、捩るという漢字は「よじる」と読むんでなかったかな。
まあ、>>684-685はスレ主だったようだが。 >>686
どうもスレ主です(^_^)
ああ、>>683は、おっちゃんだったか
どうもありがとう(^_^) >>690
おっちゃん、どうもスレ主です
レスありがとう
おやすみなさい(^_^) メモ （＾＾
RPA ロボティック・プロセス・オートメーションか
https://www.excite.co.jp/news/article/Fisco_00093500_20191002_013/
[注目トピックス 日本株]【IPO】パワーソリューションズ<4450>---初値は5110円（公開価格2000円） エキサイトニュース 2019年10月2日
(抜粋)
*09:23JST 【IPO】パワーソリューションズ<4450>---初値は5110円（公開価格2000円）
パワーソリューションズ<4450>の初値は公開価格の約2.6倍となる5110円となった。初値形成時の出来高は23万3200株だった。《HK》
https://www.ipokiso.com/company/2019/powersolutions.html
パワーソリューションズ（4450）
(抜粋)
パワーソリューションズの事業内容は「金融機関に向けた業務コンサルティング・システムの受託開発・運用保守サービス及び業務のアウトソーシング受託、並びに法人に向けたRPAライセンスの販売及び導入サポート」で、東証マザーズ上場の小型案件（想定時価総額24.8億円、吸収金額6.1億円）です。 統計的に初値の上がりやすい「大和証券が主幹事」の案件です。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%9C%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%BB%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%B3
ロボティック・プロセス・オートメーション
(抜粋)
ロボティック・プロセス・オートメーション（英: robotic process automation、RPA）とは、認知技術（ルールエンジン・機械学習・人工知能等）を活用した、主にホワイトカラー業務の効率化・自動化の取組みである。人間の補完として業務を遂行できることから、仮想知的労働者[1]とも言われている[2]。
また、デスクトップ作業のみに絞ったものをロボティック・デスクトップ・オートメーションと呼び、RPAと区別することもある[3]。 >>647
どうも。スレ主です。
いま、哀れな素人さんのお誘いで
”「現代数学はインチキだらけ」
で、お前への中傷レスを投稿し始めたぞ（笑”
というお誘いで、下記へ遊びに行っています
よろしければ、そちらも見て下さい（＾＾
現代数学はインチキだらけ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567930973/590- >>657
（＾＾
スレ76 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/867-
＜i.i.d. 独立同分布＞
・現代確率論が、独立な確率変数の無限族を扱えることは、下記時枝記事にもある
（時枝は、「箱にXnのランダムな値を入れられて」と表現しているが、数学では箱自身をXnと考えることができる（念のための注））
・箱が1つある。それをXiとする。サイコロの目を入れる。自明にP(Xi)=1/6
・その回りに箱を1つ増やす。独立で同分布として、サイコロの目を入れるとして、同じく確率は1/6。
・箱をｎ個増やす。上記同様
・箱をｎ＋１個増やす。上記同様
・数学的帰納法により、全ての自然数で成立つ。つまりは、時枝記事の数列に適用できるということ
（自明だが念のため）・そして、時枝先生は、反省しています。 （下記）「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから」
（下記の独立の定義より）
・独立だから、Xi以外の箱の変数の値が分かっても、Xiの確率は変化せず、P(Xi)=1/6のまま
・”i.i.d. 独立同分布”の仮定より、全てのiについて上記は成立する
QED
（参考）
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/22-
(抜粋)
数学セミナー201511月号P37 時枝記事より
「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
(引用終り) ポカン口の白痴(゜ロ゜が無限論争でボロ負けして
別の話題に逃げようとしてるがそうは問屋が卸さんよ
貴様が書き続けるかぎり
貴様の馬鹿丸出しの初歩的誤りをあげつらって
嘲笑し続けてやるよ
貴様は人間じゃない ニワトリだｗ ポカン口の白痴(゜ロ゜Gスレ1のこっ恥ずかしい誤り
「ω＝{{…（無限個のカッコ）…}}は無限集合！」
ギャハハハハハハ！！！・・・笑いすぎて腹いてぇｗｗｗｗｗｗｗ >>697
>・現代確率論が、独立な確率変数の無限族を扱えることは、下記時枝記事にもある
扱えたとしても勝てる戦略にならなければ無意味
まだ分からんのかｗ 物覚えの悪いサルだのうｗ ↑とIDを変えて自演（笑
ID:vF9CNmr9
ID:m3mklIbc
これ、どちらもサル石（笑 >>701
Gスレ1をなんたら問題に逃がしてはいかんよ
「集合論の初歩」という明確な誤りで蒸し焼きにしようぜｗ >>700
安達よ Gスレ1なんかと仲良くしないほうがいいぞ
馬鹿が伝染するからｗ Gスレ1の愚かな誤り
１．{}∈{{}},{{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}
２．{{}}∈{{{}}} ならば {{}}∈{{{}}}
３．{{…(無限個の{})…}}は、無限集合
どれもこれも小学生未満の幼稚園児並の初歩的誤り
ヒドイ・・・ヒドすぎる 集合論の正しい結論
１．{}∈{{}},{{}}∈{{{}}} だが Not( {}∈{{{}}} )
２．{{}}∈{{{}}} だが Not( {{}}∈{{{}}} )
３．{{…(無限個の{})…}}は、正則性公理に反するので集合でないが
正則性公理を除いた集合論でも、要素は1つだから有限集合
こんなの小学生でもわかるぞｗ ついでにいうと
…{{}}… (無限個の{}) は、そもそも集合たり得ない
何が要素になるのか分からんから >>705-706
おサルさん、哀れな素人さんのスレを、堪らず逃げ出したかｗ(゜ロ゜;
あっちのスレで、ボコボコにしてやるよ（＾＾ https://www.nikkei.com/article/DGXMZO50497670S9A001C1MM8000/
車大手、中途採用広がる トヨタは総合職の年5割に
【イブニングスクープ】
2019/10/2 18:00日本経済新聞 電子版
(抜粋)
自動車業界で自動運転など次世代技術に対応するため、中途採用を拡大する動きが広がってきた。
トヨタ自動車は2019年度に総合職の採用に占める中途採用の割合を18年度の1割から3割に引き上げ、中長期的に5割とする。
ホンダは19年度、採用全体の約4割に当たる約660人を中途採用に充てる。
IT（情報技術）などの専門人材を中心に確保し、給与も実績に応じ評価する。 >>697
>数学的帰納法により、全ての自然数で成立つ。つまりは、時枝記事の数列に適用できるということ
数学的帰納法で任意の有限列で成り立つことは言えても無限列で成り立つことは言えません
近所の高校生に教えてもらっては？ ああ、ここがガロアスレですか
＞数学的帰納法で任意の有限列で成り立つことは言えても
＞無限列で成り立つことは言えません
その通りですね
任意の自然数で成り立つ、といえるだけで
無限大∞で成り立つ、とはいえません
∞は自然数じゃありませんから >>711-712
どうも。スレ主です。
お説は、確率過程論の一冊でも読んでから、言われた方がよろしいかと
大学教員に教えて貰って下さいね
高校生では足りませんよね（＾＾ >>713
確率過程論のどんなマジックが数学的帰納法を変質させると？
バカも休み休みにして下さいね 確率過程？なんのことですか？
「数学的帰納法で任意の有限列で成り立つことは言えても
無限列で成り立つことは言えません」
といってるだけですから 大体、ガロア理論のスレッドで確率過程の話をするのはおかしいですね
正気ですか？ ちょっと見させていただきましたが
>>660
＞「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？
…こんな誤解をしてる人がガロア理論を理解するのは不可能でしょう
だって、任意の部分群が正規部分群になっちゃうじゃないですか
区別する意味がなくなりますよ おかしいと思わないんですかね？ >>717
どうも。スレ主です。
激励ありがとう
正規部分群の手前の変換σ-1・Ｈ・σ自身の理解が不正確でした
みなさんに、教えて頂きました
ありがとう（＾＾ >>716
＞大体、ガロア理論のスレッドで確率過程の話をするのはおかしいですね
どうも。スレ主です。
テンプレ>>1より
”このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。”
です。
スレタイに、”雑談”と入れています
だいたい、５Chは雑談ですけどね（＾＾ >>718
＞正規部分群の手前の変換σ-1・Ｈ・σ自身の理解が不正確でした
素直でよろしいｗ
その調子で集合論スレでも、無限理解の誤りを認めやがれ
貴様は、数学のスの字も知らん馬鹿なんだからな
自分が賢いとか自惚れるのは一万年早ぇ！ｗｗｗ >>719
＞このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。
ここで、物理や工学の話なんか聞いたことないがな
似非数学の話ばっかりだｗｗｗ
＞スレタイに、”雑談”と入れています
馬鹿のほざくことは、雑談というより猥談だな
どうせならＨＮも「現代数学の系譜 猥談」にしたらどうだ？ｗｗｗ スレ主よ、第六天魔王はサル石だ（笑
サル石という名前が知られ始めたので名前を変えたようだ（笑
どんなにごまかそうと、その噛みつき魔丸出しの文章を見れば分る（笑 やれやれ、安達とかいう仔犬がここでも吠えてやがるｗｗｗ
俺様が第六天魔王を名乗った理由はここに書いたから読みやがれ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/118
ま、しかし、俺が信長だとして、ここの馬鹿は信玄ほどの格もない
せいぜい足利義昭程度の小者かｗｗｗｗｗｗｗ ↑見ろ。このアホさとチンピラ臭丸出しの文章（笑
これがサル石という男である（笑
相手かまわず誰にでも噛みつく（笑
在日同和の低学歴バカだから
他人に噛みつきたくて噛みつきたくてたまらない（笑
噛みつかないと気が済まない（笑
一種の精神病者（笑 今日の気分
Κατά τον Δαίμονα Εαυτού
https://www.youtube.com/watch?v=sGhYcwcdo-4
え？意味だって？「汝の意志することを行え」だよ
ラブレーの『ガルガンチュワとパンタグリュエル』読みやがれ
俺も全然読んでないけどなｗｗｗ ↑見ろ。このアホさとチンピラ臭丸出しの文章（笑
在日同和の低学歴バカ（笑
このスレは誰も来ないから本性全開（笑 >>725
ガルガンチュアってインターステラーのブラックホールでしょ >>726
哀れな素人さん、どうも。スレ主です。
>このスレは誰も来ないから本性全開（笑
確かに（＾＾ いま、ちょっと、下記のスレへ遊びに行っています。よろしければ、覗いてみてください（＾＾
現代数学の系譜 カントル 超限集合論
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/ >>727
ID:1lEWVa2さん、どうも。スレ主です。
これか
https://qetic.jp/technology/blackhole-intersteller-190930/333264/
Top ＞ Tech ＞ 映画『インターステラー』そのまま？NASAが公開したブラックホールの最新ヴィジュアルが話題に
映画『インターステラー』そのまま？NASAが公開したブラックホールの最新ヴィジュアルが話題に
Tech ｜ 2019.09.30 Mon ｜
https://cdn.qetic.jp/wp-content/uploads/2019/09/30152207/technology190930-blackhole-intersteller-1.jpg
https://youtu.be/nyYEYzQ77Es
INTERSTELLAR?ALL SPACE SCENES
2014年に公開された本作品は、映像を製作するにあたって高度な物理学と科学的検証を行い、忠実に再現されたCGは公開当初から高い評価を得ていた。 >>730 追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AB%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%81%E3%83%A5%E3%82%A2
ガルガンチュア
(抜粋)
ガルガンチュア（ガルガンテュア、ガルガンチュワとも）は、フランソワ・ラブレーが描いた物語『ガルガンチュワ物語』『パンタグリュエル物語』の登場人物。以下はこれにちなむ。
・特撮映画『フランケンシュタインの怪獣 サンダ対ガイラ』に登場する怪獣、サンダとガイラの海外版での名称。
・ロバート・L・フォワードの小説『ロシュワールド』に登場する巨大ガス惑星。
・SF映画『インターステラー』に登場する巨大ブラックホール。
・TVアニメ『超電磁ロボ コン・バトラーV』に第18話に出てくる巨大ロボット（ガルガンチュワ）。
・小説『オーラバトラー戦記』に登場するオーラバトラー。
・漫画『銃夢 LastOrder』に登場する巨大人型生物。
・FPS『ハーフライフ』に登場する怪獣。
・アダルトゲーム『ヤミと帽子と本の旅人』に登場する錬金術師。
・アダルトゲーム『ハーレムブレイド ?The Greatest of All Time.?』に登場するボスキャラクター。 >>731
追加の追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AB%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%81%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%81%A8%E3%83%91%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%82%A8%E3%83%AB
(抜粋)
『ガルガンチュワとパンタグリュエル』（ガルガンテュアとパンタグリュエル、Gargantua, Pantagruel）とは、フランス・ルネサンス期の人文主義者フランソワ・ラブレー（Francois Rabelais）が著した物語『ガルガンチュワ物語』『パンタグリュエル物語』のこと。
ガルガンチュワ（ガルガンチュア[1]、ガルガンテュアとも）、パンタグリュエルという巨人の一族を巡る物語である。
第二之書・第一之書はアルコフリバス・ナジエ（Alcofribas Nasier）という筆名（ラブレーのアナグラム）で、第三之書以降は本名で刊行した。1532-1552年に4巻までが出版された。ラブレーの死後に第5巻が刊行されたが、偽書説もある。
『ガルガンチュワ物語』の方が執筆・出版とも後だが、内容的にみて「第一之書」と呼び、『パンタグリュエル物語』を「第二之書」と呼ぶ。 メモ
https://tech.nikkeibp.co.jp/atcl/nxt/column/18/00001/02729/
2019/08/08 20:30
ニュース解説
富士通が年収最大4000万円で技術者を厚遇、NTTデータ・NECに続く「大盤振る舞い」
山端 宏実＝日経 xTECH／日経コンピュータ
(抜粋)
国内のIT大手がAI（人工知能）などの分野で高度なスキルを持つIT人材を、高給で処遇する制度を相次ぎ導入する。若手でも顕著な実績を残せば、年収は数千万円に達する。米グーグル（Google）などの「GAFA」を中心に海外のネット大手がやりがいや高額な報酬で世界中の人材をひきつけるなか、国内のIT大手も抜本的な解決策を求められている。
「役員レベルの処遇も」、富士通時田社長が断言
富士通の時田隆仁社長は2019年8月8日、日経 xTECHなどの取材に応じ、2020年3月までをめどに高度人材向けに高給で処遇する制度を採り入れると明らかにした。AIやサイバーセキュリティーといった分野を手掛ける高度人材を対象に、専門性の高さや市場価値などを踏まえて、報酬を個別に設定できるようにする。
https://cdn-tech.nikkeibp.co.jp/atcl/nxt/column/18/00001/02729/ph01.jpg?__scale=w:400,h:314&;_sh=0ec0f00b00 メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
二階述語論理
(抜粋)
二階論理の表現能力
空でなく上に有界な実数の集合があるとき常にその集合には上限が存在するという命題を表すには、二階述語論理が必要となる。
二階述語論理では、「ドメインは有限である」とか「ドメインは可算無限集合の濃度である」といった文も形式的に表現可能である。
一階述語論理ではこれら（「有限集合であること」や、「可算集合であること」）を表現できないことが、レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
一階述語論理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6
数理論理学
(抜粋)
数理論理学はしばしば集合論、モデル理論、再帰理論、証明論の4つの領域に分類される。
集合論における仕事は殆ど全ての通常の数学を集合の言葉で形式化できることを示した。しかしながら、集合論に共通の公理からは証明することができない幾つかの命題が存在することも知られた。むしろ現代の数学基礎論では、全ての数学を展開できる公理系を見つけるよりも、数学の一部がどのような特定の形式的体系で形式化することが可能であるか（逆数学のように）ということに焦点を当てている。 馬鹿に告ぐ
ガロア理論をあきらめたんなら
次のスレッドから「古典ガロア理論も読む」を削っとけ メモ
https://esori.hatenadiary.org/entry/20090507/1241674532
esoriの日記
2009-05-07
Paris?Harringtonの定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/Paris%26%238211%3BHarrington%20theorem
wikipedia:Paris?Harrington theorem
'strengthened finite Ramsey theorem'という定理がPA（一階のペアノ算術）からは証明できないらしい。PAで証明できない定理の例として、かなり面白いと思った。
wikipediaの記事にも書いてあるが、"strength finite Ramsey theorem"は以下のような主張。
任意の正の整数n,k,mに対して十分大きく自然数Nをとれば、{1,2,3,...,N}のn点部分集合全体をk色で塗り分けたとき、どんな塗り分け方をしても、m個以上の要素からなる部分集合Y⊂{1,2,3,...,N}が存在し、Yのn点部分集合はすべて同じ色になり、またYの要素の数は、Yに含まれる最小の数以上になる。 メモ
AWSの大規模障害は、毎年年に1回程度発生しているので
業務用なら、走らせるリージョンを複数確保しておくべし
という法則があるそうです（＾＾
https://tech.nikkeibp.co.jp/atcl/nxt/mag/nnw/18/041800011/092000023/
2019/10/07 07:00
NEWS pickup ＆ digest
AWSに大規模障害が発生 東京リージョンのEC2とRDSで
高橋 健太郎＝日経NETWORK
米アマゾン ウェブ サービス（AWS）のクラウドサービス「Amazon Web Services（AWS）」の東京リージョンの主要サービスで障害が発生した。発生したのは仮想マシンサービスの「Amazon EC2」とリレーショナルデータベース（RDB）サービスの「Amazon RDS」の2つ。 このスレッドは
「現代数学 情報収集スレ」
とでも改名したほうがいいｗ >>738
>このスレッドは
>「現代数学 情報収集スレ」
>とでも改名したほうがいいｗ
テンプレ>>1より
＞スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
とある
テンプレ>>5より、下記
スレ68 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/10-
10 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/06/13(木) 06:35:46.84 ID:tNmlg93R [10/62]
大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）
（ もしサイト移動などでリンク切れのときは、引用してある文章のキーワードによる検索をお願いします ）
以下過去スレより再掲
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/7
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな
再生は無理だろう
そもそも、５ＣＨ（旧２ＣＨ）は、数学に向かない
アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない
複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない）
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを スレ68 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/11-
個人的には、下記類似” 先生＞周りの人＞知恵袋の人>>> ５ＣＨ（旧２ＣＨ）の人”と思う（＾＾
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/494
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部～修士
ライター：amane_ruriさん 最終更新日時:2012/8/6
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。（多分皆がそうでしょう。）そして、結果が問われてきます。
ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。（足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ）
2. 2ｃｈ*)の内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞ 2ｃｈ*)や知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈ*)の人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り) (注*)：2ｃｈは、現5ｃｈ) >>740 つづき
スレ68 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/12-
12 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/06/13(木) 06:36:37.80 ID:tNmlg93R [12/62]
過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/338
338 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/09(日) 23:46:26.46 ID:Rh9CzQs6
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか
有名な話で、有限単純群の分類
”出来た！”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか
おいおい、競馬じゃないんだよ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。
(引用終り)
以上 テンプレじゃなく名前で主旨を表したほうがいいな
このスレは脱線が主旨とか
理解せずにコピペしますとか
完全に遊びだとか 一番いいのは
【無理解】現代数学 脱線スレ【上等】
だなｗ ま、ガロア理論で懲りたんなら、次からスレ名から外しなよ >>740 補足
下記、いまチェックしたら、リンク切れていたね
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部～修士
ライター：amane_ruriさん 最終更新日時:2012/8/6 >>742-
ありがとさん（＾＾
千葉にあっても、東京ディズニーランド
ガロアは、現代数学の象徴です！ (゜ロ゜;
ガロアも、少しやるよｗ 哀れな素人さんが、ガロアについて質問してきたときに、回答したのは、おらっちだよ(゜ロ゜; >>746
＞ガロアも、少しやるよｗ
ところで、正規部分群は理解できた？ｗ
>>747
素人同士の見当違いな会話が売りなんでしょ？
だったら、タイトルは「ガロア」じゃなくて「脱線」だよな
そう書いときゃ、間違いだらけでも免罪符になるからｗ >>745
(引用開始)
下記、いまチェックしたら、リンク切れていたね
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部～修士
ライター：amane_ruriさん 最終更新日時:2012/8/6
(引用終り)
そうそう、これ、URLで”note.chiebukuro.yahoo”とあるように、下記の「知恵ノート」サービスだったんだ
が、”2017年11月30日をもって終了”したんだね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/Yahoo!%E7%9F%A5%E6%81%B5%E8%A2%8B
Yahoo!知恵袋
(抜粋)
Yahoo!知恵袋（ヤフーちえぶくろ）とは、Yahoo! JAPANが運営する、電子掲示板上で参加者同士が知識や知恵を教え合うナレッジコミュニティ、知識検索サービスである。
サービスは2004年4月にベータ版として提供され、2005年11月に正式版として開始された。
2006年5月からはモバイル版のサービスを開始し、携帯電話（フィーチャーフォン）などでも利用できるようになっていたが、携帯電話（iモード、EZweb、Yahoo!ケータイ）版のサービスが終了した、2016年12月14日以降、携帯電話からは利用出来ない[1]。
2011年からは「知恵ノート」サービスも開始されたが、2017年11月30日をもって終了[2]。 >>748
一応、「雑談」とは入れてあるんだなｗ(゜ロ゜; >>750
とにかくスレ名に「古典ガロア理論も読む」は要らないな
正規部分群まだ理解できてないんでしょ？無理すんなってｗ >>740
(引用開始)
2. 2ｃｈ*)の内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞ 2ｃｈ*)や知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
(引用終り)
まあ、典型が下記だな（＾＾
現代数学の系譜 カントル 超限集合論
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/1- >>752
＞（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
スレ主も含む（再帰的定義）ｗ（＾＾ コピペの切り貼りによる知性の創発はあり得るか？
化け学廃棄物最終処分場スレ
あたりが妥当なスレ名だな。 >>718
>正規部分群の手前の変換σ-1・Ｈ・σ自身の理解が不正確でした
>みなさんに、教えて頂きました
>ありがとう（＾＾
変換σ-1・Ｈ・σは、共役変換というんだけど（＾＾
下記の共役類wikipediaに詳しい
（（編集されて変わることがあるので）スナップショットとして抜粋コピペするけど文字化けご容赦。原文リンク見た方が良いだろう）
元で書くと、σ-1・ｈ・σだけど、積演算（・）が可換（アーベル）だと、
σ-1・ｈ・σ＝σ-1・σ・ｈ＝ｈなので
高校数学の範囲では可換ばかりだから、”何が、そんなにうれしいのか！？”となるのよｗ（＾＾
大学数学で非可換を勉強すると分かる。群論を、これからやる人、いまやっている人は、”共役”を理解しておくといい
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9%E9%A1%9E
共役類
(抜粋)
とくに群論において、任意の群は共役類（きょうやくるい、英: conjugacy class）に分割できる。同じ共役類の元は多くの性質を共有し、非アーベル群の共役類の研究はそれらの構造のたくさんの重要な特徴を明らかにする[1][2][要ページ番号]。
定義
G を群とする。G の2つの元 a と b が共役 (きょうやく、conjugate) であるとは、G の元 g が存在して
b = g^-1ag
を満たすことである[注釈 1]。ここで元 g^-1ag を ag のように表すこともある[3]。
共役性は同値関係であり、したがって G を同値類に分割する[注釈 2]ことが直ちに示せる。G の元 a を含む同値類
aG = { ag | g ∈ G }
は a の共役類 (conjugacy class) と呼ばれる[4]。群 G の共役類が C1, …, Ch であるとき数 k(G) := h を類数[訳語疑問点] (class number) と呼ぶ[4]。
一般に、対称群 Sn の共役類の数は n の分割の数に等しい。これは各共役類が、 {1, 2, ..., n} の元の並び替えを除いて、{1, 2, ..., n} のちょうど 1 つの分割を巡回置換（英語版）の集まりと見做したものに対応するからである。
立方体の（自明でない）回転（英語版）は、（面ではなく立体としての）対角線に関する置換として特徴づけることができるが、これも共役変換として記述することができる。
ユークリッドの運動群はユークリッド空間における対称性の共軛変換（英語版）によって調べられる。
つづく >>755
つづき
性質
・G の 2 元 a と b が共役ならば、同じ位数をもつ。より一般に、a についてのすべてのステートメントは b = g^-1ag についてのステートメントに翻訳できる、なぜならば写像 φ(x) = g^-1xg は G の内部自己同型だからである。
・G の元 a に対して、 {a} が共役類であることと a が中心 Z(G) に属することは同値である。
・有限群の共役類の元の数は群の位数を割り切る。より精密には共役類 aG の元の数 |aG| は a の G における中心化群 CG(a) = { g ∈ G | ga = ag } の指数 [G : CG(a)] に等しい[4]。これは共役作用に関する軌道・固定群定理による。
・a と b が共役であれば、それらのベキ ak と bk も共役である[注釈 3]。したがって k 乗をとることは共役類上の写像を与え、どの共役類がその原像にあるかを考えることができる。例えば、対称群において、type (3)(2) (3-cycle と 2-cycle) の元の平方は type (3) の元であり、それゆえ (3) の power-up 類の 1 つは類 (3)(2) である。類 (6) は別の類である。
・群 G の位数が奇数ならば |G| ≡ k(G) (mod 16) が成り立つ (W. Burnside)[5]。
・有限群 H, K に対して k(H × K) = k(H) × k(K) が成り立つ[6]。
・有限群 G とその正規部分群 N に対して [G : N]^-1 k(N) <= k(G) <= k(G/N) k(N) が成り立つ[7]。
・自然数 h が与えられたとき、k(G) = h となる有限群 G は同型を除いて高々有限個しかない (E. Landau, 1903)[8]。
つづく つづき
類等式
G が有限群であれば、群の任意の元 a に対して、a の共役類の元は中心化群 CG(a) の剰余類と 1 対 1 の対応にある。このことは次のことを観察することによってわかる。同じ剰余類に属する任意の 2 元 b, c （したがって中心化群 CG(a) のある元 z に対して b = zc）は a を共役するときに同じ元を生じる： b^-1ab = (zc)^-1a(zc) = c^-1z^-1azc = c^-1ac.
したがって a の共役類の元の数は G における中心化群 CG(a) の指数 [G : CG(a)] である。したがって各共役類の元の数は群の位数を割り切る。
さらに、各共役類からひとつずつ代表元 xi を選べば、共役類の非交性から |G| = 琶 |xiG| = 琶 [G : CG(xi)]がいえる。中心 Z(G) の各元はそれ自身だけを含む共役類をなすことに注意すれば、類等式 (class equation) を得る[4]：
|G| = |Z(G)| + 琶 [G : CG(xi)]
ただし和は中心に含まれない各共役類からの代表元を渡る。
群の位数 |G| の約数の知識は中心や共役類の元の数についての情報を得るためにしばしば使うことができる。
つづく >>757
つづき
応用例
非自明な有限 p-群 P（つまり位数 pn の群、ただし p は素数で n > 0）を考えよう。類等式を使うと
「すべての非自明な有限 p-群は非自明な中心をもつ」
ことが証明できる[9]。
証明：P の任意の共役類の元の数は P の位数を割らなければならない。よって中心に含まれていない各共役類 Ci の元の数もまたあるベキ pki（ただし 0 < ki < n）であることが従う。すると類等式から pn = |P| = |Z(P)| + 琶 pki となる。ゆえに p は |Z(P)| も割らなければならず、したがって |Z(P)| > 1 であることがわかる。
共役集合と共役部分群
群 G の部分集合 S （S は部分群である必要はない）と g ∈ G に対して
Sg = g^-1Sg = { g^-1sg | s ∈ S }
を S の g による共役集合という[10]。SG を部分集合 S の群 G における共役集合からなる集合とする。 次の定理はよく使われる。 G の部分集合 S が与えられたとき、SG の元の数は G における S の正規化群 NG(S) の指数に等しい[4]：
|SG| = [G : NG(S)].
これは G の元 g と h に対して Sg = Sh であることと gh^-1 が NG(S) の元であること??つまり g と h が NG(S) を法として等しいこと??の同値性から従う。
この公式は共役類の元の数に対する前に与えられたものを一般化することに注意しよう（S = {a} とせよ）。
上記は G の部分群について話すときに特に有用である。部分群のなす集合は共役部分群へ分割できる。共役部分群は同型であるが、同型な部分群が共役であるとは限らない。たとえば、アーベル群は同型な 2 つの異なる部分群をもつかもしれないが、それらは決して共役でない。
一方でシロー部分群は互いに共役である（シローの定理）。また、部分群 H がそのすべての共役部分群と一致することは部分群は正規部分群であることに他ならない。
つづく >>758
つづき
共役作用
任意の 2 元 g, x ∈ G に対して
g.x = gxg^-1
と定義すれば、G の G 上の群作用になる。この作用の軌道は共役類であり、与えられた元の固定部分群はその元の中心化群である[4]。
同様に、G のすべての部分集合からなる集合への、あるいは G のすべての部分群からなる集合への、G の群作用を
g.S = gSg^-1
と書くことで定義できる。
幾何学的解釈
弧状連結位相空間の基本群における共役類は自由ホモトピーのもとでの自由ループ（英語版）の同値類と考えることができる。
注釈
2.^これが意味するのは群の各元はちょうど1つの共役類に属し、類 aG と bG が等しいことと a と b が共役であることは同値であり、そうでなければ互いに素である。
3.^ 証明：a = g^-1bg であれば、ak = (g^-1bg)(g^-1bg)...(g^-1bg) = g^-1bkg。
(引用終り)
以上 おっちゃんです。
>>740
>2. 2ｃｈ*)の内容は信用できるか？
> 基本的に信用できません。
ここ、正確には、正しい内容と間違った内容が混在している、だね。
まあ、当然のことで、内容が正しいか否かは己で判断して下さい、ということ。 メモ
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO40853860U9A200C1X20000/
プリファード・ネットワークス 深層学習の応用容易に
日経優秀製品・サービス賞
2019/2/4 13:30
リサーチャー 得居誠也氏
「なんか使いにくいよね」。深層学習のフレームワーク「Chainer（チェイナー）」を開発したきっかけは、会社で同僚と交わした何気ない雑談だった。2015年、当時27歳だった。
フレームワークは、深層学習のプログラムを書くのに利用する。チェイナーを開発するまで一般的だったものは、自然言語処理では使いにくかった。同僚との雑談で浮かんだヒントを基に、休みを活用して開発に着手。幸いにもバグなど落とし穴がなく、基礎となる部分のコードを書き上げるまでは10日ほど。
チェイナーの名前は、プログラムを書くとデータが鎖状につながるため、岡野原大輔副社長のアイデアでつけられた。
1カ月後の15年6月に「チェイナー」として発表し、誰でも使えるソフトウエアとして公開した。チェイナーの利用者が増えるとともに、利用者がよりよく改良してくれる流れができればと考えた。グーグルやフェイスブックなど、米国のネット大手より先んじたことで、PFNが持つ技術力などを認知してもらえるきっかけにもなった。
チェイナーはAIのシステム開発でよく使われている「パイソン」というプログラミング言語の力を最大限に活用した。プログラミングが得意な人ばかりではなく、数学や統計学を学んできた人もいる。プログラミングに不慣れでもパイソンさえ理解していれば、深層学習のプログラムを書けるようにすることで、アイデアを落とし込みやすく、研究を早く進められるようにした。
15年の公開以降、日本だけでなく海外も含めて、多くのエンジニアがチェイナーを使ってくれていることに感謝している。先日、インドにいる大学生から質問のメールが送られてきて、遠く離れた国の人も愛用してくれているのが、うれしかった。
今、取り組んでいるのは高速化だ。深層学習の研究で扱うデータの規模が大きくなっているほか、画像処理半導体（GPU）などハードウエアの性能の進化も著しい。どれだけ大規模で高速に学習できるかが問われるようになっている。他のフレームワークの先を行くよう改良に全力をそそいでいる。 >>760
＞> 基本的に信用できません。
＞ここ、正確には、正しい内容と間違った内容が混在している、だね。
＞まあ、当然のことで、内容が正しいか否かは己で判断して下さい、ということ。
おっちゃん、どうも、スレ主です。
フォロー、ありがとう（＾＾ >>761
youtube
得居誠也経歴（自己紹介より） 学部東大数学科→修士 東大情報系
https://www.youtube.com/watch?v=dkAzjRldJn0
得居誠也「AIを書く」ー高校生のための東京大学オープンキャンパス2017 模擬講義
706 回視聴?2018/10/24
東大TV / UTokyo TV
チャンネル登録者数 1.22万人
東大TV（ http://todai.tv/ ）で公開中の一部のコンテンツをこちらのYouTubeチャンネルでもご覧いただけます。
01:16 自己紹介
03:11 深層学習の様々な例
13:52 AIとゲーム
24:03 汎用AIと特化型AI
34:47 深層学習の研究
★高校生のための東京大学オープンキャンパス
https://www.u-tokyo.ac.jp/opendays/in...
https://www.youtube.com/redirect?redir_token=5pSXQBaD9Y2QdxLwOKbQE3J071h8MTU3MDY4MTY2NkAxNTcwNTk1MjY2&;event=video_description&v=dkAzjRldJn0&q=https%3A%2F%2Fwww.u-tokyo.ac.jp%2Fopendays%2Findex.html >>755-759
理解を試すために質問するね
ガロア理論で「群の正規列」（正規部分群の列）って出てくるね
これ、なんで部分群の列じゃダメなの？
分かってる人は簡単にこたえられる質問だね 吉野彰さん、ノーベル賞おめでとう（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%89%E9%87%8E%E5%BD%B0
吉野彰
(抜粋)
吉野 彰（よしの あきら、1948年（昭和23年）1月30日[1] - ）は、電気化学を専門とする日本のエンジニア、研究者。大阪大学博士（工学）、旭化成名誉フェロー。
携帯電話やパソコンなどに用いられるリチウムイオン二次電池の発明者の一人。
エイ・ティーバッテリー技術開発担当部長、旭化成 イオン二次電池事業推進室・室長、同 吉野研究室・室長、リチウムイオン電池材料評価研究センター・理事長、名城大学大学院理工学研究科・教授などを歴任。2019年にノーベル化学賞受賞[5]。
略歴
1960年 - 吹田市立千里第二小学校卒業
1963年 - 吹田市立第一中学校卒業
1966年 - 大阪府立北野高等学校卒業
1970年 - 京都大学工学部石油化学科卒業
1972年 - 京都大学大学院工学研究科石油化学専攻修士課程修了
1972年 - 旭化成工業株式会社（現旭化成株式会社）入社
1994年 - （株）エイ・ティーバッテリー技術開発担当部長
1997年 - 旭化成（株）イオン二次電池事業推進室 室長
2003年 - 旭化成フェロー就任
2005年 - 論文博士にて大阪大学で博士（工学）の学位取得
2005年 - 旭化成（株）吉野研究室 室長
2017年 - 名城大学大学院理工学研究科 教授
2019年10月 - ノーベル化学賞受賞が決定
リチウムイオン電池の開発
吉野が次の点に着目したことによりLIB（リチウムイオン・バッテリー）が誕生した
正極にLiCoO2を用いることで、
正極自体がリチウムを含有するため、負極に金属リチウムを用いる必要がないので安全である
4V級の高い電位を持ち、そのため高容量が得られる
負極に炭素材料を用いることで、
炭素材料がリチウムを吸蔵するため、金属リチウムが電池中に存在しないので本質的に安全である
リチウムの吸蔵量が多く高容量が得られる
また、特定の結晶構造を持つ炭素材料を見いだし[10]、実用的な炭素負極を実現した
1986年、LIBのプロトタイプが試験生産され、米国DOT（運輸省、Department of Transportation）の「金属リチウム電池とは異なる」との認定を受け、プリマーケッティングが開始された
1991年、リチウムイオン二次電池 (LIB) は吉野の勤務する旭化成とソニーなどにより実用化された >>765
>これ、なんで部分群の列じゃダメなの？
それは、”ガロア対応”って話なんだけど、その前に、もう少し、
共役変換σ-1・Ｈ・σを語ると
・一応、話を有限群論に限って
HがGの部分群として、σはH以外の元とする
σ-1・Ｈ・σは、また、群になるのです
・(略証)
１）単位元の存在、単位元e∈Hに対し、
σ-1・e・σ＝σ-1・σ＝e∈σ-1・Ｈ・σ
２）逆元の存在、元h∈Hに対し、逆元が存在してh^-1∈Hなので
(σ-1・h・σ)・(σ-1・h^-1・σ)＝ (σ-1・h)・(σ・σ-1)・(h^-1・σ)＝(σ-1・h)・(h^-1・σ)＝e
なので、逆元の存在σ-1・h^-1・σ∈σ-1・Ｈ・σ
が示された
・ガロアが、シュバリエへの手紙で、「固有分解」などと書いているが
正規部分群N では、σ-1・N・σ＝N （これは定義でもある）
(略証)
例えば、二つの元 n1,n2∈Nとして
(σ-1・n1・σ)・(σ-1・n2・σ)＝(σ-1・n1)・(σ・σ-1)・(n2・σ)＝σ-1・(n1・n2)・σ
ここで、e＝σ・σ-1を真ん中に挟むと
σ-1・(n1・n2)・σ＝σ-1・(n1・σ・σ-1・n2)・σ＝(σ-1・n1・σ)・(σ-1・n2・σ)
ここで、σ-1・N・σ＝Nだったから、σ-1・n1・σ＝n1'∈N、σ-1・n2・σ＝n2'∈N なる、元n1'、n2'がN中に存在する
なので、(σ-1・n1・σ)・(σ-1・n2・σ)＝n1'・n2'∈N が、定義「σ-1・N・σ＝N」から導かれるのです
・σ-1・N・σ＝N→左からσを作用させると σ・σ-1・N・σ＝σ・N→”N・σ＝σ・N”が成立します
・これが、共役変換σ-1・Ｈ・σの意味です
（参考）
https://plaza.rakuten.co.jp/azabird/diary/201001130000/
2010.01.13 オーギュスト・シュバリエへの手紙(ガロアによる）バード6787さん
(抜粋)
Ｇの夢より http://galois.motion.ne.jp/index.html
Ａ「２００年前の手紙にも、説明が書いてある。こんな風に。
群Ｇが群Ｈを含むとき、群Ｇは
Ｇ = H + HS + HS' + ･･･
と、Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる組へと分解されるし、また
Ｇ = H + TH + T'H + ･･･
と、同じ置換にＨの順列を掛けて作られる組へとも分解される。
この２通りの分解は、通常は、一致しない。一致するときが、固有分解と呼ばれるものだ。 >>768
まだ答えに達してないな
>>769
答えは即書いたほうがいいな 群Ｇの元g,g’、Nを正規部分群として
gN＝Ng、g’N＝Ng’、g・g’N＝Ng・g’
1)gN・g’N＝Ng・g’N＝g・g’N・N＝g・g’N
（N・N＝Nとして）
2)g・g’の逆元（g・g’）^-1＝g’^-1・g^-1
（g・g’・g’^-1・g^-1＝e）
3)単位元eだけは、Nと共通
eN＝Ne で、gN・eN＝gN・N＝gN
なので、群Ｇを、正規部分群Nで類別した
eN、g1N、g2N・・・ たちは、演算”・”に対して、群を成す
これを、商群G/Nとか書きます
（ここで、上記1)などで、gN＝Ngを使っている。なので、gN＝Ngが成立たないと、まずいのです） >>770
それじゃ答えとしては半分程度だな
G/Nが商群となるのに、Nが正規部分群である必要がある、というのはいいよ
肝心なのは、なぜG/Nが群にならないといかんのか？ 答えられるかな？ >>772
まあ、そう慌てないで
種本でもないけど、お薦めは、下記「矢ヶ部 巌：数Ⅲ方式 ガロアの理論」
これ分かり易かった。大学教程のガロア理論を学んだ人なら、一日で読めるでしょう
あと、PDFでネットに落ちているのが、下記「ガロア第一論文（galois-1.pdf）渡部 一己 著」PDF
ここから、引用させてもらおうと思います
紙の本は、書棚に沢山あるけど、マウス選択からコピペができないんだな
ネットに上がっている文書がコピペには楽です
本なら、アルティンとか、Coxとかもあるけどね（＾＾
http://www.ne.jp/asahi/music/marinkyo/matematiko/suusan.html.ja
矢ヶ部 巌：数Ⅲ方式 ガロアの理論 まりんきょ学問所 数学の部屋 MARUYAMA Satosi 最終更新日：2019-08-23
概要
３人の対話により、ガロアの理論を紹介している。副題は「アイデアの変遷を追って」
感想
初版は 1976 年、第 9 刷は 2002 年に出ている。その後入手困難となっていたが、 2016 年に新装版が出た。
(引用終り)
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む 渡部 一己 著（2018.1.28）
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf
ガロア第一論文（galois-1.pdf）渡部 一己 著（2018.1.28）
紹 介
ガロア（1811-1832）の「第一論文」とは方程式が累乗根で解けるための条件を求めたもので，ガロアが残した論文の中でも一番まとまりのある論文である．
５次以上の一般方程式が代数的に解けないということは，1826年にアーベルが証明した．一旦このことが明らかにされると，解ける方程式と解けない方程式の違いは一体何なのか，それが気になってくる．
それを明らかにしたのが，ガロアの「第一論文」である．
ガロアは二十歳という若さで早世した大数学者だが，彼がどのようにしてそれを発見したのか．
もちろん方程式が解ける理由は知りたいが，やはりガロアがどのようにして彼の理論を発見したのか，それが知りたかった． >>773
追加
http://（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
はてなブログ
女の人のところへ来たドラえもん
数Ⅲ方式ガロアの理論と現代論理学（その３）
渡辺麻友 数Ⅲ方式ガロアの理論 現代論理学 2018-07-09
(抜粋)
それでは、早速なんだけどね。今回は、矢ヶ部巌（やかべ いわお）『数Ⅲ方式ガロアの理論』（現代数学社）という本を中心として、数学の冒険をしたいんだ。
結弦「『数Ⅲ』って、なんですか？」
「あっ、そうよ。結弦は、小学校６年生なのよ」
そうだったね。この本の書かれた時代の高校では、１年生、２年生、３年生、と上がるにつれて、数Ⅰ、数Ⅱ、数Ⅲと、名前が付いていた。
『数Ⅲ方式』
とは、高校３年生の教科書レヴェルで書いてある。という意味なんだよ。
結弦「じゃあ、僕は、６年分、飛び級ですね」
若菜「私も、４年分飛び級。すごい冒険に、なりそうですね」
「太郎さんが言うには、ゼミとかゼミナールという形式で、議論したら良いということなの」 >>774
矢ヶ部巌先生、お亡くなりになられていたんだ
ご冥福をお祈り申し上げます
合掌
https://www.nippyo.co.jp/blogsusemi/keijiban/fuhou/
日本評論社
訃報
矢ヶ部巌(やがべ・いわお)氏(九州大学名誉教授)が2017年12月19日に逝去された．享年87歳．専門は代数学．
著書に『数学での証明法』(共立出版)，『数III方式 ガロアの理論』(現代数学社)などがある．
小誌では，1970年代からご登場いただき，特に「エレガントな解答をもとむ」で長年ご出題いただいた． >>773
>まあ、そう慌てないで
まさか今から泥縄で勉強するつもりじゃないだろうね？ｗ >>777
>まさか今から泥縄で勉強するつもりじゃないだろうね？ｗ
ふっ、ガロア理論を「泥縄で勉強する」？ 一夜漬け？
ガロア理論を理解していない人の言葉だなｗ
「泥縄で勉強」、「一夜漬け」、できる人は、相当優秀だろうな（＾＾；
昔を思い出すと、矢ヶ部なども、易しく書かれているんだけど、それでも難しかったな >>778
＞ガロア理論を理解していない人
正規部分群も誤解した君のことかと思ったよ >>778
＞易しく書かれているんだけど、それでも難しかったな
正規部分群を誤解するようじゃ全然理解できないでしょ >>778
ああ、これ、分り易いな（＾＾
いつも、コピペでお世話になっている再帰の反復さん
https://lemniscus（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
再帰の反復blog (はてなブログ)
2012-05-27
方程式からガロア理論
(抜粋)
方程式の解法の話からガロア理論にたどり着くまでの要点のようなもの。
ガロア以前
ガロアが論文を書くより以前にラグランジュ、ガウス、ルフィニ、アーベルらの研究により、次のような結果が得られていた。
2次3次4次の方程式について: 提案されてきた方程式の解法はどれも解の置換の性質と密接に関係している。(ラグランジュ)
5次以上の方程式について: 解の置換の性質を調べることにより、5次以上の方程式が一般的にはべき根で解けないことが証明される。(ルフィニ、アーベル)
円周等分方程式などについて: 解の置換の性質を調べることにより、5次以上でもいくつかのタイプの方程式がべき根で解けることが証明される。(ガウス、アーベル)
ここからさらに進んで、任意の方程式についての解の置換(=ガロア群)の性質を考察したのがガロアだった、という流れになる。
1.対称性(シンメトリー)
2,方程式の対称性: 2次方程式の場合
3.3次、4次方程式の場合
4.5次以上の方程式の非可解性(ルフィニ、アーベル)
5.円周等分方程式(ガウス)
6.間奏: アーベルの方程式論について
7.解の置換(ガロア群)
8.原始元の最小多項式と基本定理の証明
9.方程式の可解性
10.追記: 方程式の可解性の概要
つづく >>781
つづき
対称性と群の関係
方程式の解法と対称性
さらにまとめると次のようになる。
2次方程式を解くとき、ルートを取ることで対称性を崩している。
3. 3次、4次方程式の場合
3次と4次の方程式の場合についても
方程式を解くとき、べき乗根を取ることで対称性を崩している。
4. 5次以上の方程式の非可解性(ルフィニ、アーベル)
2,3,4次方程式の解法のポイントは
方程式を解くとき、べき乗根を取ることで対称性を崩している。
ということだった。
一方、5次以上の方程式が一般的には代数的に解けない理由を一言で言うと、
5次以上の方程式は、べき乗根を取ることでは崩せない対称性を持っている。
となる(これは5次以上の方程式が強い対称性を持っているというよりも、べき乗根の対称性を崩す力はそれほど強くないということだと思う)。
前に書いた「5次以上の方程式が代数的に解けないことについて」では対称性を下げていく過程を段階的に追っていき非可解性を示したけど、証明の要点となっているのは次のこと。
a^p = Aの関係があり、Aが3次循環置換(x1 x2 x3)と5次循環置換(x1 x2 x3 x4 x5)の両方で不変ならば、aもこれらの置換で不変である。
つづく >>782
つづき
7. 解の置換(ガロア群)
「5次方程式に解の公式がないこと」と「円周等分方程式がべき根で解けること」の証明はどちらも、方程式がどんな解の置換を持っているかということが重要だった。
そこでより一般的にどんな方程式にも通用する形で解の置換を定義したい。歴史的には次の2つのやり方がある。
・単拡大(単純拡大)性にうったえて、原始元とその最小多項式を使って定義する(ガロア)。
・体の自己同型写像として定義(デデキント)。
このうちデデキントのものの方が簡潔だしたぶん判りやすい。ただし「方程式が解けるかどうか」という視点から見ると、解が判らない状態でどうやってその写像を求めていいのかサッパリ判らないところが気持ち悪いかもしれない。
8. 原始元の最小多項式と基本定理の証明
さらに、もしも次の2つの性質
1)g(x)は重解を持たない。
2)vをどの解vkに置換することも可能である(別に言い方をすると、全てのvkがvの有理式で書ける。体の言葉でいうと、どのvkももとの体に入っている)。ガロアの定義ではこれが成り立っている場合だけを扱っている。
が成り立っている場合は
群について: 解の置換の総数(群の位数) = g(x)の次数
となる。
おおざっぱに言えば、1が成り立つのを分離拡大、2が成り立つのを正規拡大、1+2をガロア拡大と呼ぶ。なのでガロア拡大の場合は、
・体の拡大次数 = 群の位数
が成り立つ。
ガロア理論の基本定理は一言で言えば
ガロア拡大では、体(拡大体の中間体)と群(ガロア群の部分群)が1対1に対応する
というもので、それはこの「ガロア拡大では、体の拡大次数=群の位数」を使って証明される。ちゃんと証明するにはいろいろ細かな補足が必要になるけど。
(基本定理における体と群の対応というのは、もう少し詳しくは
・体 → 体のどの元(数)も動かさない置換の集まり(群)
・群 → 群のどの元(置換)でも動かない数の集まり(体)
がちょうど逆の関係になるというもの。
またアルティンの線形代数的な証明では、拡大次数と写像の個数の関係を、単拡大性や多項式の話を使わずに導く)
つづく >>783
つづき
9. 方程式の可解性
ガロア理論の基本定理が証明されると、
・べき乗根の添付と四則演算でどんな数が書けるか(=べき乗根を使ってどんな体の拡大が可能か)
という問題が
・どんな部分群が存在するか
ということに帰着するので、あとは群の性質を考察することで方程式の可解性の条件が判ることになる。
ただし実際にそれをやるのはけっこう面倒だし、そこまでたどり着く頃にはたぶんへろへろになっている。
追記: 方程式の可解性の概要
以下、方程式の可解性についての概要を追加して書いておく。
(引用終り)
以上 >>781
下記、8.4 有理式と置換の
”系 8.21. f, φ を n 変数有理式とする．f を変えない Sn の置換全体を G とする：
G = {σ ∈ Sn | σf = f}. G の置換を φ に作用させて得られる異なる式全体を
φ = φ1, φ2, . . . , φl とする．このとき，φ1, φ2, . . . , φl の対称式は f の有理式に表わさ
れる．”
が基本になるのだが、詳しく説明されない場合が多い
矢ヶ部本や倉田本には、詳しい（＾＾
（参考）
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/
数学第4研究室 N. Yamauchi, Dept. of Math. 岐阜聖徳学園大学
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3digchap8add.pdf
8.4 有理式と置換
(抜粋)
8.4.3 有理式の有理式
定理 8.20. 2 個の有理式 f(x1, . . . , xn), φ(x1, . . . , xn) について，f を変えない Sn の置
換は φ も変えないとする．
(σf) = f ⇒ σφ = φ.
このとき，φ は f の有理式に表わされる．
系 8.21. f, φ を n 変数有理式とする．f を変えない Sn の置換全体を G とする：
G = {σ ∈ Sn | σf = f}. G の置換を φ に作用させて得られる異なる式全体を
φ = φ1, φ2, . . . , φl とする．このとき，φ1, φ2, . . . , φl の対称式は f の有理式に表わさ
れる．
（追加参考）
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig08.pdf
第 8 章 置換の群
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3digchap9.pdf
第 9 章 根の有理式
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig05.pdf
第 5 章 数体
5.3 方程式と体
5.3.5 べき根による解法
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig04.pdf
第 4 章 4 次方程式
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig0-2.pdf
代数学 III 2017
目次
(抜粋)
5 次方程式には「解の公式」が存在しないことが証明され，次いでガロア. （Evariste Galois, 1811-1832）が一般次数の方程式について解の公式が存在するための条. 件を求めることに成功した．
(引用終り)
以上 >>785
追加
不変式なども関係しています（＾＾
正20 面体群というのは、５次方程式の解法で出てきます
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H16-mukai.pdf
平成16年度(第26回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成16年8月2日～8月5日開催)
不変式の話
?対称式と方程式から第14 問題の反例へ?
向井茂
(抜粋)
計算例（拡大正20 面体群）
§7 方程式の不変式
§8 第14問題に対する永田の反例 >>786
追加 正二十面体関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E4%BD%93
正二十面体
https://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry
Icosahedral symmetry
http://hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/
物理のかぎしっぽ 著者 : Joh , 初版 : 2006-04-23, 最終更新 : 2006-04-23
正多面体群２
正十二面体と正二十面体
補
正十二面体が 5 次の交代群に対応することは，当初面倒なので結果しか示さなかったのですが，要望があったのでここに補足します．
https://kiu.repo.nii.ac.jp/?action=repository_action_common_download&;item_id=334&item_no=1&attribute_id=18&file_no=1
[PDF] 正20面体群の構造(石田秀美教授退職記念号) 北川正一 著 九州国際大学 雑誌名教養研究 2010-03
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/
Yuji Tachikawa Professor, Kavli IPMU, University of Tokyo.
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/japanese-articles.html
日本語による解説記事
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/transp/nadanotes.pdf
群と対称性の話 立川裕二 2014 年 10 月 18 日
（出身高校で選択制土曜講座で話せと言われたので準備した。）
1 正多面体の対称性
まず、おしまいのページの展開図を切り取って、正四面体、正八面体、正二十面体をつくっておくこと。
https://glim-re.repo.nii.ac.jp/
GLIM-IR 学習院学術成果リポジトリ
https://glim-re.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri&;item_id=1279&file_id=22&file_no=1
解の公式と正多面体群 益子雅文 学習院高等科紀要,(5),35-47 (2007-07-20)
(抜粋)
四次以下の方程式は，係数から出発し，それらに四則演算とべキ根をとる算法（n√）
とを行って，解をすべて表わすことができる（解の公式）．この小論では，まず方程式の
ガロア群である対称群Snを正多面体群によって視覚化し，それを用いて四次以下の方程
式の解をベキ根で表わす過程を示し，さらに五次方程式の解の公式が一般には存在しないことをみてみようと思う．
つづく >>787
つづき
http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/ewm51.pdf
Encounter with Matematics 第51回 2009年10月
正20面体にまつわる数学～その2～
http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/51/ewm51_Sekiguchi1.pdf
正 面体群からの旅たち 東京農工大学 関口次郎
(抜粋)
この講演の内容は 年の「数学史研究会」（津田塾大学）と数学セミナー 2009年4月号の記事がもとになっている
2.クラインの「正20面体と5次方程式」
https://books.rakuten.co.jp/rb/9570192/
楽天ブックス
発売日： 1997年04月
著者／編集： フェリックス・クライン, 関口次郎
レーベル： シュプリンガー数学クラシックス
出版社： シュプリンガー・ジャパン
発行形態： 単行本
ページ数： 317p
以上 馬鹿は、いまごろこんな寝ぼけたこといってるんじゃ、
ガロア理論が全然分かってないな
もうこのスレはAIスレに改題しろよ
ま、今度はAI関係者に猛ツッコミ食らうんだろうけどｗ ま、自然無能（NI Natural Innocence)の馬鹿の得意技は
shallow learningだからなｗｗｗ 東大TVみたいな有名大学の教授の講義を聴ける動画サイトを他に何かご存じでしたら教えてください！ >>792
どうも、スレ主です
以前、youtubeで、慶応の数学の講義が、アップされていましたね。
youtube 数学 講義
で検索しては、如何でしょうか(^_^) >>793
はい、わかりました
ありがとうございます >>794
どうもスレ主です(^_^)
今、自分で検索すると沢山ありますね
なので、ガロアとか、キーワードを、追加するのが、良いと思います 馬鹿へ
ガロア理論を理解せず説明もできないのに上げても意味ないだろｗ
貴様にはガロア理論は無理だから、次から
「現代数学の系譜 AI雑談」
に改題しろｗｗｗ 数学板における馬鹿の立ち位置ｗ
https://www.youtube.com/watch?v=H76wAc0jepU
まあ、まなったんの場合、分かっててやってますけどねｗｗｗ >>793 （>>797ｗ（＾＾ ）
キーワード： youtube 数学 講義 ガロア
で検索すると、下記 ガロア理論（慶応の講義） があるね
https://www.youtube.com/playlist?list=PLhfQ_BXdiRzNOhYtBcLDSEH034b25nM0T
ガロア理論（慶応の講義）
15 本の動画4,938 回視聴最終更新日: 2014/08/28
【ガロア理論・第1回】代数の基本概念の復習
132,428 回視聴?2013/10/01
慶應義塾大学理工学部・数理科学科３年生科目・代数学第２ Kenichi Bannai
以下
【ガロア理論・第2回】代数拡大と最小分解体
【ガロア理論・第３回】自己同型群とガロア拡大
【ガロア理論・第４回】ガロアの基本定理
【ガロア理論・第５回】作図可能性
【ガロア理論・第７回】方程式の解の公式
【ガロア理論・第８回】基本群と被覆空間
【ガロア理論】課題解説（2013.10.04出題分）
【ガロア理論】課題解説（2013.10.11出題分）
【ガロア理論】小テスト解説（2013.10.11）
【ガロア理論】課題解説（2013.11.08出題分）
【ガロア理論】課題解説（2013.09.27出題分）
【ガロア理論】小テスト解説（2013.10.18）
【ガロア理論】小テスト解説（2013.10.25）
【ガロア理論】小テスト解説（2013.11.15） >>799
馬鹿はガロア拡大もガロア理論の基本定理も理解できてないなｗ >>799 補足
あれ？
ガロア理論・第6回が抜けているね
下記のサイトでも抜けているから、きっと元から抜けているみたい(゜ロ゜;
なお、対応する講義ノートPDFには、リンクがあるので、必要な人は下記URLから飛んでください（＾＾
https://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140406/p1
勉強メモ （大学の講義動画や，資格試験の対策）
慶応大の「ガロア理論講義」の動画と，講義ノートPDF
動画の一覧
1. 【ガロア理論・第1回】代数の基本概念の復習
2. 【ガロア理論・第2回】代数拡大と最小分解体
3. 【ガロア理論・第３回】自己同型群とガロア拡大
4. 【ガロア理論・第４回】ガロアの基本定理
5. 【ガロア理論・第５回】作図可能性
6. 【ガロア理論・第７回】方程式の解の公式
7. 【ガロア理論・第８回】基本群と被覆空間
対応する講義ノート
講義ノートのPDF：
2013年度・代数学第２ 代数学第２ 2013年度・秋学期
alg2-S01.pdf 代数学第２
alg2-02.pdf 体の拡大・代数拡大
alg2-03.pdf 分解体・代数閉体
alg2-04.pdf 分離拡大
alg2-05.pdf 分離拡大
alg2-06.pdf ガロア拡大
alg2-07.pdf ガロアの基本定理
名称未設定 - Galois2013.pdf ガロア理論の圏論的定式化 >>801
貴様のような馬鹿にはガロア理論は到底無理だから諦めろ
馬鹿はただ
「５次以上の代数方程式の根はよっぽど幸運でもない限り
四則演算とべき根だけでは表せないんだってさ」
と覚えとけばいい どうせ理由なんかわかんないんだからｗ >>800
まあ、そうあせるなｗ（＾＾
小島寛之 が、
主な加筆は次の3点です。
ベクトル空間を導入したガロアの基本定理の完全証明
四則計算とべき根で解ける方程式，解けない方程式についても具体的に解説
補足章として，本書で扱った補助定理（アーベルの定理，コーシーの定理，デデキントの定理など）の証明を収録
これまでにないガロアの定理の完全解説本です。
というから
急ぎなら、下記よめ
https://gihyo.jp/book/2019/978-4-297-10627-0
知の扉シリーズ
【完全版】天才ガロアの発想力
―対称性と群が明かす方程式の秘密―
2019年7月6日発売
小島寛之 著
四六判／292ページ
この本の概要
2010 年に刊行した『天才ガロアの発想力』を大幅加筆しました。
主な加筆は次の3点です。
ベクトル空間を導入したガロアの基本定理の完全証明
四則計算とべき根で解ける方程式，解けない方程式についても具体的に解説
補足章として，本書で扱った補助定理（アーベルの定理，コーシーの定理，デデキントの定理など）の証明を収録
これまでにないガロアの定理の完全解説本です。
こんな方におすすめ
ガロア，ガロア理論に関心がある人
群，体について学びたい人
方程式が解けるなぞを知りたい人
有名定理の証明に興味がある人
本書のサンプル
本書の紙面イメージは次のとおりです。画像をクリックすることで拡大して確認することができます。 >>803
ガロア理論理解してないことが露見して
あせってるのは馬鹿の貴様だけｗ
今まで理解できてないのに
これから泥縄で理解しようとか
貴様、数学なめとんのか？ｗ >>802
> ５次以上の代数方程式の根はよっぽど幸運でもない限り
いやね
５次の代数方程式のガロア群が、正20面体群になるんだけど（下記）
正20面体群がいまいち、すっきりしたイメージが湧かないので
（証明では、位数60の単純群までしか分解できないのは、長さ3と5の置換の組合わせで位数60になるというのだけれど・・）
下記の「正20面体と5次方程式 （シュプリンガー数学クラシックス）」も、買って読みましたよ
あとまあ、いろいろ調べたりして、なんとなく分かった気になったよ（＾＾
なお、５次の代数方程式が代数的に解けるのは、方程式のガロア群が
彌永先生の本や倉田本では、線形群と書いていたけど、位数20の群になるとき
まあ、下記の「PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 ?2003」に詳しい
（参考）
https://books.rakuten.co.jp/rb/9570192/
楽天ブックス
正20面体と5次方程式 （シュプリンガー数学クラシックス）
フェリックス・クライン
発売日： 1997年04月
著者／編集： フェリックス・クライン, 関口次郎
出版社： シュプリンガー・ジャパン
発行形態： 単行本
ページ数： 317p
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 ?2003
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E4%BD%93
正二十面体
(抜粋)
正二十面体の回転対称群（英語版）は5文字の交代群 A_{5} に同型である。位数は60。
この非可換単純群は5文字の対称群 S_{5} の唯一の非自明な正規部分群である。
一般の五次方程式のガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は冪根による解を有しない。
アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。
そしてフェリックス・クラインは正二十面体的対称性（英語版）の理論を利用して一般の五次方程式の解析的解法を導く本を書いた (Klein 1888)。
詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質（英語版）を見よ。 >>804
まあ、そうあせるな
あせっているのは、おまえだよ
どうも、ガロア理論が理解できていないのは、おまえじゃね？ｗｗ（＾＾ >>805
>詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質（英語版）を見よ。
下記（”Klein's investigations continued with his discovery of order 7 and order 11 symmetries”）だね
https://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#related_geometries
Icosahedral symmetry
(抜粋)
A regular icosahedron has 60 rotational (or orientation-preserving) symmetries, and a symmetry order of 120 including transformations that combine a reflection and a rotation.
A regular dodecahedron has the same set of symmetries, since it is the dual of the icosahedron.
The set of orientation-preserving symmetries forms a group referred to as A5 (the alternating group on 5 letters), and the full symmetry group (including reflections) is the product A5 × Z2.
The latter group is also known as the Coxeter group H3, and is also represented by Coxeter notation, [5,3] and Coxeter diagram CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.
Related geometries
Klein's investigations continued with his discovery of order 7 and order 11 symmetries in (Klein & 1878/79b) and (Klein 1879) (and associated coverings of degree 7 and 11)
and dessins d'enfants, the first yielding the Klein quartic, whose associated geometry has a tiling by 24 heptagons (with a cusp at the center of each).
Similar geometries occur for PSL(2,n) and more general groups for other modular curves. >>805
>正20面体群がいまいち、すっきりしたイメージが湧かないので
馬鹿はイメージで分かると思ってる
考えずに見ようとするのは動物のやり方
>５次の代数方程式が代数的に解けるのは
>方程式のガロア群が、線形群と書いていたけど、
>位数20の群になるとき
見るだけで分かると思ってる馬鹿の貴様には
死んでも理解できねぇから諦めろ
>>806
あせってるのは馬鹿の貴様一匹だけ
狂え狂え 人間失格の畜生めｗ >>805
なお、５次の代数方程式が代数的に解けるのは、方程式のガロア群が
彌永先生の本や倉田本では、線形群と書いていたけど、位数20の群になるとき
え？こんなの成立しないよ？
Q上5次のGalois拡大あるけど？ メモ （数学と関係ない雑談な（＾＾ ）
カーラジオから流れてきた カーペンターズ I Need To Be In Love (青春の輝き)
https://www.youtube.com/watch?v=a5NE1BzPq2g
I Need To Be In Love (青春の輝き) ／ CARPENTERS
3,583,040 回視聴?2014/03/11
sagittarius1954Ⅳ
touma hayami
3 年前
中学生の頃から、辛いときこの曲が元気をくれました。５０を越えた今でも・・そりゃ辛いことはあって、助けてもらってます。カレンが生きていたら何歳だろうな・・。あと多分何回お世話になるんだろう。ありがとう。
https://www2.nhk.or.jp/hensei/program/p.cgi?area=001&;date=2019-10-14&ch=05&eid=74689&f=etc
チャンネル[ラジオ第１]
2019年10月14日(月) 午後0:30～午後0:55(25分)
忘れじの洋楽スター・ファイル ▽カーペンターズ
番組内容矢口清治
楽曲「シング」
カーペンターズ
（３分１５秒）
＜Ａ＆Ｍ ＲＥＣＯＲＤＳ ＵＩＣＹ－１４４１／２＞
「遥かなる影」
カーペンターズ
（３分３５秒）
＜Ａ＆Ｍ ＲＥＣＯＲＤＳ ＵＩＣＹ－１４４１／２＞
「トップ・オブ・ザ・ワールド」
カーペンターズ
（２分５６秒）
＜Ａ＆Ｍ ＲＥＣＯＲＤＳ ＵＩＣＹ－１４４１／２＞
「青春の輝き」
カーペンターズ
（３分４６秒）
＜Ａ＆Ｍ ＲＥＣＯＲＤＳ ＵＩＣＹ－１４４１／２＞
「イエスタデイ・ワンス・モア」
カーペンターズ
（３分５３秒）
＜Ａ＆Ｍ ＲＥＣＯＲＤＳ ＵＩＣＹ－１４４１／２＞ >>809
ほいよ（＾＾；
彌永先生の本にもあるよ
（>>773より）
https（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ガロアの第一論文を読む 渡部 一己 著（2018.1.28）
https（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ガロア第一論文（galois-1.pdf）渡部 一己 著（2018.1.28）
(抜粋)
P130
問題 累乗根で解ける素数 n 次の既約方程式の群は何であるか？
【問題Ⅶ】 累乗根で解ける k上の素数 n 次の既約方程式 f=0 のガロア群を求めよ．
１°（f のガロア群は線形置換群）
P155
命題Ⅶで見たように，５次方程式が代数的に解けるときには，そのガロア
群は上に示されているような高々位数が20の置換群（線形置換群）でなければならない．
ところが，一般の５次方程式ではガロア群は５個の根のすべての順列の間の置換であるから，
群の位数は 5!=120 である．つまり代数的に解ける５次方程式のガロア群の位数よりも大きい．
このことからも一般の５次方程式が代数的に解けないことがわかる． よくわからんな、２ｃｈ（いま５ｃｈ）の規制はｗｗ(゜ロ゜; >>810
青春の輝き
ドラマの主題歌になったと、ラジオで言っていたね
おれは、ドラマを見ないし、知らなかったけど
しかし、青春の輝きは、BGMとしてあちこちで聞くね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%92%E6%98%A5%E3%81%AE%E8%BC%9D%E3%81%8D
青春の輝き
(抜粋)
「青春の輝き」（I Need to Be in Love）は、1976年にカーペンターズが発表した楽曲、及びシングル。『見つめあう恋』（A Kind of Hush）収録。作詞・作曲はリチャード・カーペンターとジョン・ベティス、アルバート・ハモンドによる。
解説
リチャード・カーペンターによれば、生前のカレン・カーペンターが最も気に入っていた曲だったという[1]。
オリジナル・シングルは、同じく『見つめあう恋』収録曲である「サンディー」をB面として発売されたが、全米チャート最高25位、日本のオリコンで最高62位と振るわなかった[2]。
しかし、1995年に日本のテレヴィドラマ『未成年』でエンディングテーマに取り上げられ、カレン（1983年2月4日死去）を知らない世代にも大好評を博した。
これを受け日本独自で編集発売されたベスト・アルバム『青春の輝き?ベスト・オブ・カーペンターズ』は、350万枚以上を売り上げた。
この曲も、『未成年』のオープニングテーマとなった「トップ・オブ・ザ・ワールド」をカップリング曲としたCDシングルとして発売され、大ヒットを記録した。
1976年当時のシングル盤では、ピアノのイントロが編集でカットされていたが、1995年のシングルCDではアルバム『見つめあう恋』のヴァージョンと同じくピアノのイントロを収録しており、その後はこのイントロのヴァージョンが定番となっている。
カヴァー
竹仲絵里 - 『my duty』 (2002年)
伊藤一義 - 『Blue Sky Blue』 (2004年)
溝口肇 - 『yours』（2005年）
鬼束ちひろ - トリビュート・アルバム『イエスタデイ・ワンス・モア?TRIBUTE TO THE CARPENTERS?』（2009年）
鬼束ちひろ - カヴァー・アルバム『FAMOUS MICROPHONE』（2012年）
平原綾香 - 『Winter Songbook』（2014年） 感傷に浸ってる耄碌爺に質問だｗ
1. Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする
このときのガロア群G(E/Q)は？
2. Kをn個の異なる1のn乗根を含む体とし
Lを、Kにaのn乗根の1つを追加した体とする
このときのガロア群G(L/K)は？ >>814
これも雑談だが
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%AA%E6%88%90%E5%B9%B4_(%E3%83%86%E3%83%AC%E3%83%93%E3%83%89%E3%83%A9%E3%83%9E)
未成年 (テレビドラマ)
(抜粋)
『未成年』（みせいねん）は、TBS系列の金曜ドラマ枠（毎週金曜日22:00 - 22:54、JST）で1995年10月13日から12月22日まで放送された日本のテレビドラマ。主演はいしだ壱成。
同年代の若者5人を中心に、青春の過程で起こる様々な苦悩と葛藤を生々しく描いたこの作品は、出演芸能人の出世作としても知られている。後年歌手として大ブレイクした浜崎あゆみの数少ない女優出演作のひとつでもある。全11回。
若者の青春群像劇として放映当時に大ブームを巻き起こし、平均視聴率は20.0%、第8回は最高視聴率23.2%（関東地区 ビデオリサーチ調べ）を記録した。
後年、SMAPのメンバーである中居正広は本作を「慎吾が出てたドラマの中で一番好き」と絶賛している[2]。
主題歌にはカーペンターズが使用され、ベスト盤の売り上げも好調で、再びスポットが当たるきっかけとなった。 感傷に浸ってる耄碌爺に質問だｗ
1. Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする
このときのガロア群G(E/Q)は？
2. Kをn個の異なる1のn乗根を含む体とし
Lを、Kにaのn乗根の1つを追加した体とする
このときのガロア群G(L/K)は？ >>815
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
Q1. Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする
このときのガロア群G(E/Q)は？
A1. 面倒なのでn=p(素数)とするよ
（こう仮定してもガロア理論には十分だから）
位数p-1の巡回群
因みに、１のｎ乗根 ωp=ｎ√1 (1の原始根)として
Eは、Qにωpを添加した拡大体になる（ガウスのDAに書いてあるらしい）
（なお、G(E/Q)が可解である（ベキ根で解ける）ことも、ガウスのDAに書いてあるらしい）
Q2. Kをn個の異なる1のn乗根を含む体とし
Lを、Kにaのn乗根の1つを追加した体とする
このときのガロア群G(L/K)は？
A2. 同様にn=p(素数)とするよ。そして、ｎ乗根 n√a は無理数とする
このとき、ガロア群G(L/K)は位数pの巡回群になる
因みに、LはKummer拡大と呼ばれる
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
クンマー理論
(抜粋)
クンマー拡大
一般的に、K が n 個の異なる 単元の n 乗根を含む（このことは K の標数が n を割らないことを意味する）とき、K と結合すると、K の任意の元 a の n 乗根は（n を割るようなある m が存在し、次数 m の）クンマー拡大を生成する。
多項式 X^n ? a の分解体として、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回的となる。
n√a を通してガロア作用を追いかけることは容易である。 >>818
ガウス、アーベル、ガロアについては、下記の高瀬正仁先生ご参照
http（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
日々のつれづれ
（ガウス32）アーベル方程式とガロアの第一論文 Author:オイラー研究所の所長 高瀬正仁 2008-04-26
(抜粋)
代数的可解性を左右する根源的な要因は「諸根の相互依存関係」にあります。この認識はガロアもまた共有し、代数方程式の代数的可解性をテーマにした第一論文
「方程式が冪根を用いて解けるための条件について」
において、
《冪根を用いて解ける方程式のどれもが満たし、しかも逆に、その可解性を保証するひとつの一般条件》
をみいだすことに成功しました。この条件は「方程式の根の配列の群」の言葉で記述されています（ただし、この「群」という言葉は「ものの集まり」というほどの意味にすぎず、今日の群の概念とは無関係です）。
第一論文からここまでの部分を抽出して精密に展開すれば、今日のいわゆるガロア理論が手に入ります。
他方、ガウスが円周等分方程式を解いていく道筋を忠実に再現すれば、そのままガロア理論が出現するという事実もまた注目に値します。
つづく >>819
つづき
アーベルはガウスの理論の根幹をなす数学的思想の泉から直接、アーベル方程式の概念を取り出しましたが、ガロアはガロアでガウスの理論の「証明の構造」を学び、ガウスの理論をその雛形と見ることを可能にする大きな理論を構想したのでした。
ガロアの第一論文はガロアが書いた一番はじめの論文というわけではありませんが、「第一論文」と呼ぶ習わしになっています。
1832年５月30日早朝の決闘の前夜、友人オーギュスト・シュヴァリエに宛てた有名な遺書において、ガロアは冒頭で「（これまでの研究を元手にして）三篇の論文を作成することができると思う」と述べ、続いて各論文の素描を試みました。
「第一論文はもう書いた」と言われているが、これは上記の代数方程式論に関する論文を指しています。
ガロア理論により、素次数既約方程式の代数的可解性の判定条件が手に入ります。
《通約可能な因子をもたない（註。「既約」という意味です）素次数の方程式が冪根を用いて解けるためには、そのすべての根が、それらのうちのどれかふたつの根の有理関数になっていなければならず、しかもそれで十分である。》
ガウスに端を発し、アーベルが洞察した代数的可解性の基本原理は、ガロアに継承されてひとつの完結した姿形を獲得したのでした。
ガロアが言及しているもうひとつの応用例は、楕円関数論におけるアーベルの予想の証明である。アーベルは論文「楕円関数研究」において、モジュラー方程式は一般に代数的には解けないであろうと予想しましたが、ガロアはこれを受けて次のように述べています。
《代数方程式論のさまざまな応用のうち、一部分は楕円関数の理論のモジュラー方程式に関係がある。モジュラー方程式を冪根を用いて解くのは不可能であることが証明されるであろう。》
楕円関数論と代数方程式論の関係は密接かつ不可分であり、しかもアーベルの予想の証明こそ、ガロアの理論の眼目なのでした。ガロアの言葉にはガウス、ルジャンドル、アーベル、ヤコビなどの手になる浩瀚な楕円関数論の全史が凝縮されていて、印象は深遠です。さながら数学の神秘の淵をのぞき見るような感慨があります。
(引用終り)
以上 >>818
ん、なんかおかしなこといってるね
＞面倒なのでn=p(素数)とするよ
そんな仮定するほうが面倒だろｗ
＞位数p-1の巡回群
巡回群だといいたいためにｐの条件を持ち出したんなら馬鹿
正しい答えは
乗法群(Z/nZ)× (位数n-1)
覚えとけ >>811
cos(2π/11)のガロア群は位数5の巡回群だけど？ >>822
馬鹿の1は、最大の可解群しか頭にない
その正規部分群の場合もあることを想定してない
相変わらずヌケサクｗｗｗ >>818
じゃ>>815の続きだ
Qにaの5つの5乗根を添加した体をKとする
このときのガロア群G(K/Q)は? どんな文章をどう引用したのかわからんけど、Qに1の冪根全部加えた体を考えてその上の5次拡大に話を限定した時のQ上のGalois群とかなのかもしれん。
方程式の可解性論じるとき1の冪根入ってないとまた話違ってくるからな。
引用するのはいいがその文章読むのに必要な部分がわかってないから、その部分だけ読むとトンチンカンな話になってしまう。
文章の意味が日本語として読めてるだけで数学の文章として意味がとれてないんだろう。 >>825
1の冪根による拡大（円分拡大）の後、
aの冪根による拡大（クンマー拡大）を行うのは
それぞれアーベル拡大として実現できるからだろう
もちろん全体としては一般的にガロア群は非可換になる >>826
まぁ多分それなんだとは思うんだけどね。
証明なんか読んでないだろうからその話の意味が通じるために必要な情報が何と何なのかわからんのだろう。 >>822
＞cos(2π/11)のガロア群は位数5の巡回群だけど？
ああ、そうですね
コンテキスト（文脈）で、Q係数の一般5次代数方程式で、方程式の群が可解群になる最大の群が>>811に書いてある「高々位数が20の置換群（線形置換群）でなければならない」という話です（＾＾ >>821
>正しい答えは
>乗法群(Z/nZ)× (位数n-1)
乗法群(Z/nZ)×はいいけど、位数n-1じゃないよ。
たとえばZ/6Zにおける乗法可逆元の類は、1,5の2つのみ。
一般的にはオイラーのφ函数を使ってφ(n)とあらわされる数になる。 >>825
(引用開始)
どんな文章をどう引用したのかわからんけど、Qに1の冪根全部加えた体を考えてその上の5次拡大に話を限定した時のQ上のGalois群とかなのかもしれん。
方程式の可解性論じるとき1の冪根入ってないとまた話違ってくるからな。
引用するのはいいがその文章読むのに必要な部分がわかってないから、その部分だけ読むとトンチンカンな話になってしまう。
文章の意味が日本語として読めてるだけで数学の文章として意味がとれてないんだろう。
(引用終り)
レスありがとう
ご指摘の通りです。正しい（＾＾
当然、Qに1の冪根全部を加えた体で考えています
方程式のガロア理論では、デフォルトと思います
ガロアの原論文も、そうです >方程式の可解性論じるとき1の冪根入ってないとまた話違ってくるからな。
1の冪根の方程式が代数的に可解であることはガウスの先行研究で分かっていたので、ガロアは1の冪根を予め添加しておいてよいとしてるのですね。
ちなみにガウスの研究は当然ながらガロア理論の雛型にもなっている。 1のべき根の方程式が解けるといっても、勿論1のn乗根=1^{1/n} とするのはなしねｗ
1のn乗根を代数的に解いたとき、冪根指数としてあらわれるのは
φ(n)の約数のみ。根号の中身は1ではない複雑な数になる。
（整数論的に言うと、分岐する素数と関係がある。） 方程式考えるとき下の体が1の冪根全部含む時しか考えないわけないだろ？
なんでガロア理論の本まだ一冊ロクによめてすらいないのにそんないい加減な思い込みしてるんだよ？
俺が読んだ教科書の中だけに限定したってそんなデフォルト設定してる本なんかほとんどないわ。 正17角形の作図が定木とコンパスのみで可能⇔
1の17乗根の方程式が、平方根を繰り返し開いていくことのみによって解ける。
ガウスも正17角形の作図は自慢だったらしい。
ベッドの中で思いついたとのこと。
実質的にやってることはガロア理論の原型のようなこと。
頭の中だけで理論構成するのもガロアと共通している。 >方程式考えるとき下の体が1の冪根全部含む時しか考えないわけないだろ？
それだと円分体のガロア理論がナンセンスになるのでないですね。
整数論的にも大きな違いが生じる。
ガロアの論文で、冪根解法を論じる際に簡単のため
そう設定してるってだけです。 >>829
>乗法群(Z/nZ)×はいいけど、位数n-1じゃないよ。
そうでした。大失敗 >>835
要するに円分拡大とクンマー拡大に分けて考えてるってことだな >>829 (>>836)
ID:ceRjWFfMさん、レスありがとう
(引用開始)
>正しい答えは
>乗法群(Z/nZ)× (位数n-1)
乗法群(Z/nZ)×はいいけど、位数n-1じゃないよ。
(引用終り)
ご指摘の通りです
（>>818の訂正版）
Q1. Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする
このときのガロア群G(E/Q)は？
A1. 面倒なのでn=p(素数)とするよ
（こう仮定してもガロア理論には十分だから）
位数pの巡回群
因みに、１のｎ乗根 ωp=p√1 (1の原始根)として
Eは、Qにωpを添加した拡大体になる（ガウスのDAに書いてあるらしい）
（なお、G(E/Q)が可解である（ベキ根で解ける）ことも、ガウスのDAに書いてあるらしい）
(終り)
なお、1のn乗根を添加した拡大体の解説は、下記に詳しい
因みに、最小多項式を考えると、x^n-1=0の”x^n-1”は可約で、因子x-1を持つので、因数分解できて、一般に次数が必ず１下がる
n=p(素数)のとき、最小多項式の次数はp-1です
（おれも、あんまり分かってないね（＾＾； ）
http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8
ガロア理論入門 物理のがきしっぽ
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
(抜粋)
1 の原始 n 乗根はφ(n) 個あります．
ここに出てきたφを オイラーのファイ関数 と呼びます．ファイ関数を使うと， |G(E/Q)|=[Q(ζ):Q] <=φ(n) と書くことが出来ます．また，次の定理も重要です．
x^n-1=0 の解 ζ の最小多項式は (x-ζ)(x-ζ^k1)・・・(x-ζ^ks) の形に書けることが要請されます．
添字の ki は， (n,ki)=1 を満たす 1 < k < n だけを取るものとします．
この最小多項式を 円周等分方程式 と呼びます．
円周等分方程式の解は，複素平面上で単位円の円周を等分点に当たりますから，この名前の意味は非常に明快だと思います． >>824
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
Qにaの5つの5乗根を添加した体をKとする
↓
１の5乗根の原始根をζ5と書く
あと、5√a(aの5乗根の実根)な
↓
１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
5√a(aの5乗根の実根) を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
↓
全体では、位数5の巡回群と位数5の巡回群の直積の群で、位数25の群
位数25の群は、巡回群ではないみたいだね（＾＾
（∵下記”二つの巡回群 Z/nZ, Z/mZ の直積群がふたたび巡回群となるための必要十分条件は n と m が互いに素であることである”）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群
(抜粋)
性質
・二つの巡回群 Z/nZ, Z/mZ の直積群がふたたび巡回群となるための必要十分条件は n と m が互いに素であることである[6]。
従って例えば Z/12Z は Z/3Z と Z/4Z との直積に分解されるが Z/6Z と Z/2Z との直積とはならない。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
群 (数学)
(抜粋)
群の直積と半直積 おっちゃんです。
>>773
>本なら、アルティンとか、Coxとかもあるけどね（＾＾
実代数幾何でよく行われるという議論の原形になった実体の理論に興味があって、永田可換体論を買ってしまった。
読んで理解するのは長い道になりそうだ。まあ、他のことにも関心はあるので、気長に読み進めて行く。
ガロア理論を理解するだけなら群論に取り組んだ方がいいとは思うけど。
或いは啓蒙書でも足りていると思うけど。
最近知ったことだけど、アペリーはむしろ計算機を援用する形でζ(3)の無理性を証明した可能性があるようですな
(一松著 講談社 ブルーバックス 2016再発行の「四色問題」 254ページ参照)。
もしかしたら、意外に啓蒙書も馬鹿にすることは出来ないのかも知れませんな。 >>773
>>840の下から2行目の訂正：
>(一松著 講談社 ブルーバックス 2016再発行の「四色問題」 254ページ参照)。
→
>(一松信著 講談社 2016年再発行 ブルーバックス「四色問題」 254ページ参照)。
以前発行されたという初版もあるので注意。
いや～、今まで全く知りませんでした。 >>840
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>最近知ったことだけど、アペリーはむしろ計算機を援用する形でζ(3)の無理性を証明した可能性があるようですな
>(一松著 講談社 ブルーバックス 2016再発行の「四色問題」 254ページ参照)。
ああ、そうなん
一松信先生ね。懐かしいね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%9D%BE%E4%BF%A1
一松 信（ひとつまつ しん、1926年（大正15年）3月6日 - ）は、日本の数学者。京都大学名誉教授。日本数学検定協会名誉会長。
人物
「すでに学生時代に多変数関数論の最高峰をきわめられた」[1]と紹介される。
(引用終り)
>もしかしたら、意外に啓蒙書も馬鹿にすることは出来ないのかも知れませんな。
そりゃそうだ
いまどき、数学の範囲の広がりとレベルの高さを考えると、
そういう入門書とか啓蒙書をバカにしてはいけないと思うな
>永田可換体論
古すぎないか？
サイドリーダーとして読むには良いかもしれないが
おれなら、現代本を読んで、サイドリーダーとして必要なら永田を参照するけどね >>842
＞>永田可換体論
＞
＞古すぎないか？
Hilbertの第17問題を解くためにArtinが構築したという順序体や実閉体
などの理論が詳細に書かれているのは、和書では永田可換体論だけらしい。 >>839
補足
いま議論している部分は、”べき根拡大”というやつね
下記が、参考になるだろう
はてなblog（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ガロア理論のメモ（その６）：べき根拡大と可解群 めもめも ※ 2017/09/27
(抜粋)
本シリーズの内容は、筆者の学習ノートレベルのもので、個々の証明には不正確な部分が多々あります。
これらをより正確なものに加筆・修正して大幅に説明を書き加えたものを同人誌として、技術書典3で配布する予定です。
補題6.2
略
この補題を基にして、べき根拡大と可解群の関係が得られる。多項式の解がべき根を用いて表現できるかどうかを判定する、ガロア理論の根幹の1つとなる。
定理6.1
――――――――――
多項式 f(X)=X^n?a∈F[X] の分解体を E とする時、Aut(E/F) は可解群となる。このような拡大をべき根拡大とよぶ。
略
補題6.2より、Aut(F(ω)/F) はアーベル群なので、これで定理が証明された。
――――――――――
文献によっては、X^n?a の根の1つのみを加えた拡大をべき根拡大と定義している場合もあるが、ここではすべての根を加えた分解体として定義している点に注意。
これにより、以降の各種定理の証明が少し簡単になる。
（根の1つのみを加えた定義の場合は、証明の中で、すべての根を加えた体まで拡張して議論する必要がある。）
例
――――――――――
定理6.1で存在が保証される α は、一意ではない点に注意する。
たとえば、f(X)=X^3?2∈Q[X] の根は、ω を1の原始3乗根として、{3√2,3√2ω,3√2ω^2} であり、α=3√2 とすると、分解体は、E=Q(3√2,ω) となる。
一方、α=3√2ω として、E=Q(3√2ω,ω) としても結果は同じである。 >>843
『可換体論』か『可換環論』か忘れたが、永田 雅宜先生の本、見たことあるな
（内容は覚えていないが）
”数学セミナー 2019年11月号 特集＝ すごい反例 ヒルベルトの第14問題……黒田 茂”
が、永田 雅宜先生の話だね
(参考)
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html
数学セミナー 2019年11月号
特集＝ すごい反例
ヒルベルトの第14問題……黒田 茂 22
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B0%B8%E7%94%B0%E9%9B%85%E5%AE%9C
永田 雅宜（ながた まさよし、1927年2月9日 - 2008年8月27日）は、日本の数学者。京都大学名誉教授。
業績
1960年代、1970年代に可換環論と代数幾何学の基礎付けにおいて大きな業績を残した。不変式論（英語版）を用いてヒルベルトの第14問題（英語版）の反例を構成し否定的に解決した。他にも代数多様体のコンパクト化、ネーター環における業績がある。
ヒルベルト第14問題を否定的に解決した論文は僅か7ページだった[4]。
著作
『可換体論』裳華房、1967年。
『可換環論』紀伊國屋書店、1974年。 >>842
＞>最近知ったことだけど、アペリーはむしろ計算機を援用する形でζ(3)の無理性を証明した可能性があるようですな
＞>(一松著 講談社 ブルーバックス 2016再発行の「四色問題」 254ページ参照)。
＞
＞ああ、そうなん
まあ、私は有理性の判定や証明に計算機(家にあるのはパソコン)は全く使わずに、
はじめは得られた奇妙な論理とそれに基づく手計算でたまたまγの有理性を証明出来ただけだが、
実数の有理性或いは無理性の証明に計算機を援用出来ることもあるということは分かった。 >>833-835
>ガロアの論文で、冪根解法を論じる際に簡単のため
>そう設定してるってだけです。
ID:yDLeEzQX さん、ID:ceRjWFfMさん、ID:OSBV4wpgさん
みなさんレベル高いね
全く、ご指摘の通り
”ガロアの論文で、冪根解法を論じる際に簡単のため”です
ガロアの論文に書いてある通りです
（ガロア理論のあらすじは、>>844辺りに書いてありますね） >>839
>そうあせるな（＾＾
といいつつあせって地雷を踏んだ馬鹿ｗ
>Qにaの5つの5乗根を添加した体をKとする
> ↓
>１の5乗根の原始根をζ5と書く
>あと、5√a(aの5乗根の実根)な
> ↓
>１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
>5√a(aの5乗根の実根) を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
誤 １の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
正 １の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数4の巡回群が出る
φ(5)=4だよ
だいたい一般的にφ(n)=nにはならない
pが素数のときφ(p)=p-1
ということで
> ↓
>全体では、位数5の巡回群と位数5の巡回群の直積の群で、位数25の群
全体では、位数20の群ね
だいたい、25が120(5次の対称群S5の位数)の約数でない
時点でおかしいって気づけよｗ
あと、勝手に直積とかいってるけど、
アーベル群の直積だったらアーベル群だよ？
そう言い切っちゃっていいのかい？(￣ー￣)
まさか可解群はアーベル群だ！とか馬鹿なこといわんよなｗ
(３次の対称群S3は可解群だがアーベル群じゃないぞｗ） ＿＿＿_
／ ＼ ／＼ ｷﾘｯ
. ／ （ー） （ー）＼
／ ⌒（__人__）⌒ ＼ ＜１の5乗根の原始根ζ5を添加する拡大から、
| |r┬-| | 位数”5”の巡回群が出る
＼ `ー'´ ／
ノ ＼
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ン >>849
>一般的にφ(n)=nにはならない
φ(1)=1だったな ＞ID:yDLeEzQX さん、ID:ceRjWFfMさん、ID:OSBV4wpgさん
＞みなさんレベル高いね
円分体Q(ζn)のガロア群が乗法群(Z/nZ)×になることの説明は
きっとハイレベル数学人の彼らがしてくれるだろう
馬鹿はもちろん分かってないｗ
分かってたら
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
なんて馬鹿な間違いするわけがないｗ >>829 補足
(引用開始)
乗法群(Z/nZ)×はいいけど、位数n-1じゃないよ。
たとえばZ/6Zにおける乗法可逆元の類は、1,5の2つのみ。
一般的にはオイラーのφ函数を使ってφ(n)とあらわされる数になる。
(引用終り)
ID:ceRjWFfMさん、レベル高いね
そうそう、そうでした。
なんか、正確に書くのが面倒になって、n＝p（素数）として逃げたけど、
「位数n-1」のところ間違っていたら、”しゃれにならんな”（これ関西では常套句ですが（＾＾ ）
（大体自分で書くと、タイポや誤記もあるから、コピペベースにしている意味もあるのだが、根本的に自分の理解不十分だったよね、巡回群のこと（＾＾ ）
つづき >>853
訂正：つづき→つづく
つづき
ところで
>>838
>http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
> １のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
> 1 の原始 n 乗根はφ(n) 個あります．
>ここに出てきたφを オイラーのファイ関数 と呼びます．
これ、下記の「巡回群」の”n が有限ならば G を生成する元の総数はちょうど φ(n) に等しい”と一致しているが
しかし、英文 Cyclic group の
”If p is a prime number, then any group with p elements is isomorphic to the simple group Z/pZ. A number n is called a cyclic number if Z/nZ is the only group of order n, which is true exactly when gcd(n,φ(n)) = 1.”
の記述と不一致？(゜ロ゜;
巡回群とCyclic groupの記述が
いや、調べるとオイラーのφ(n)は、一般に偶数で、素数ｐがφ(n)には出現しないので、「巡回群」の記述へんだよね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群
(抜粋)
性質
位数 n の巡回群（n は無限大でもよい）G と G の任意の元 g について、以下のようなことが言える。
・n が有限ならば G を生成する元の総数はちょうど φ(n) に等しい。ここで φ はオイラーのトーシェント函数である[4]。
・もっと一般に、d が n の約数ならば Z/nZ の位数 d の元の個数は φ(d) である。また、m の属する剰余類の位数は n/gcd(n,m) で与えられる。
・p が素数ならば、位数 p の群は（同型の違いを除き）巡回群 Cp（あるいは加法的に書くならば Z/pZ）しかない[5]。
つづく >>854
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group
Cyclic group
(抜粋)
Additional properties
If p is a prime number, then any group with p elements is isomorphic to the simple group Z/pZ. A number n is called a cyclic number if Z/nZ is the only group of order n, which is true exactly when gcd(n,φ(n)) = 1.[13]
The cyclic numbers include all primes, but some are composite such as 15. However, all cyclic numbers are odd except 2. The cyclic numbers are:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... (sequence A003277 in the OEIS)
https://oeis.org/A003277
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
AUTHOR N. J. A. Sloane and Richard Stanley Last modified October 15 04:33 EDT 2019.
EXTENSIONS More terms from Christian G. Bower
A003277
Cyclic numbers: n such that n and phi(n) are relatively prime; also n such that there is just one group of order n, i.e., A000001(n) = 1.
(Formerly M0650) 65
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, ・・
(list; graph; refs; listen; history; text; internal format)
(引用終り)
以上 >>854
馬鹿は乗法群 (Z/6Z)×を全然知らんようだｗｗｗ
つまり
「円分体Q(ζn)のガロア群が乗法群(Z/nZ)×になる」
とはどういうことか、全然分かってないｗｗｗ
そんな馬鹿が知ったかぶってガロア理論語るなよ
みっともないｗｗｗｗｗｗｗ >>853
＞＞たとえばZ/6Zにおける乗法可逆元の類は、1,5の2つのみ。
＞そうそう、そうでした。
相槌打ってるけど全然分かってないな
なんで0はともかく、2や3や4は入ってないのか
それは
2×3=3×2=0
4×3=3×4=0
だから
そもそも、馬鹿は
「なぜ円分体Q(ζn)のガロア群が
加法群(Z/nZ)でなく乗法群(Z/nZ)×なのか」
分かってないｗ
分かってたら
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
なんて馬鹿な間違いするわけがないｗ >>849
>φ(5)=4だよ
>だいたい一般的にφ(n)=nにはならない
>pが素数のときφ(p)=p-1
そうそう、そうでした
昔読んだんだがね、十分理解できていないんだね（＾＾；
下記の”拡大体の基底に関する注意”ですね
「1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです
1 の n 乗根を添加するとき，拡大次数を間違わないように注意して下さい．」だな
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
(抜粋)
系
Q に 1 の n 乗根 ζ を添加した拡大体を E とすると， [E:Q]=φ (n) がなりたちます．
さらにガロア群 G (E/Q) は Zn^xに同型となります．
拡大体の基底に関する注意
拡大体の次数について注意です． x^n-1 の解 ζ を使い，拡大体 Q(ζ) を考えます． Q(ζ) の元は，一般に a1ζ + a2ζ^2 +...+an-1ζ^n-1 と表わされ， Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．
ベクトルの足し算だと思って図形的に考えればすぐに分かりますが， 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．
1 の n 乗根を添加するとき，拡大次数を間違わないように注意して下さい．
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/Joh-SolvExample1.gif
例えば 1 の五乗根． 1+ζ + ζ^2 +ζ^3 + ζ^4=0 となる．
(引用終り) >>858
見当違いなことばかり書く馬鹿に質問だ
円分体の同型写像を具体的に構成せよ >>854
＞オイラーのファイ関数
φ関数とは書きますけれども…普通、トーシェント関数ではないでしょうか >>838
そうか
（>>818の訂正版）
と訂正書いたけど、
最初の>>818で合っていたんだね
1のn乗根を添加の話
理解不十分で、記憶だけで書くから、だめなんだな
しっかり理解しておかないとね >>859に答えられない馬鹿はガロア理論が全然理解できてないｗｗｗ >>860
C++さん、どうも。スレ主です。
＞＞オイラーのファイ関数
＞φ関数とは書きますけれども…普通、トーシェント関数ではないでしょうか
最近は、トーシェント関数が普通かもしれませんが
以前は、”φ関数”だけで、”トーシェント関数”という呼び方は、あまり使われていなかったと思います
まあ、カナで”ファイ関数”という表記は珍しいですが、”物理のがきしっぽ”の記事なので、読者レベルを考えての表記でしょう
因みに、totientの命名は、Sylvester先生で、「Totidem」が由来とか
（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12145210392
ame********さん2015/5/611:07:42 Yahoo
オイラーのtotient関数のtotientの意味はなんですか。
(抜粋)
totientの語源となるtotiensを調べてみたら、so oftenと書かれていました。
「とてもよくある関数」という訳であってますか？
ベストアンサーに選ばれた回答
bud********さん 2015/5/612:48:10
オイラーのtotient関数
のもとの問題
ｎのｎより小さい互いに素な自然数の個数（Quot? How many )は
の答え が tot (so many) (totidem)
だから Joseph Sylvesterが造語で totient にした
しいて訳せば 個数関数 程度
(引用終り)
https://ejje.webli（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
weblio
Wiktionary英語版での「Totidem」の意味
totidem
語源
From tot (“so many”) + -dem (“same”).
数詞
totidem (indeclinable)
1.just as many
2.just the same
3.all the same
つづく >>863
つづき
Joseph Sylvester先生は、下記で行列を発明したことで有名です
https://en.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester
James Joseph Sylvester
(抜粋)
Legacy
Sylvester invented a great number of mathematical terms such as "matrix" (in 1850),[9] "graph" (combinatorics)[10] and "discriminant".[11] He coined the term "totient" for Euler's totient function φ(n).[12]
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BB%E3%83%95%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%AB%E3%83%99%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC
ジェームス・ジョセフ・シルベスター（James Joseph Sylvester, 1814年9月3日 - 1897年3月15日）は、イギリスの数学者。
1838年からユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドン教授、1877年に渡米してジョンズ・ホプキンス大学教授、1883年からオックスフォード大学の幾何学の Savillian 教授を歴任した。1839年王立協会フェロー選出。
w:American Journal of Mathematicsを創刊。行列や組合せ数学の研究を中心に功績を残しシルベスター行列やシルベスターの慣性法則などに名を残している。
受賞歴
1861年 ロイヤル・メダル
1880年 コプリ・メダル
1887年 ド・モルガン・メダル
(引用終り)
以上 >>863
オイラーのφ関数は、最初に１が出たあとは、全部偶数なんですね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%CF%86%E9%96%A2%E6%95%B0
オイラーのφ関数
(抜粋)
オイラーのトーシェント関数（オイラーのトーシェントかんすう、英: Euler's totient function）とは、正の整数 n に対して、 n と互いに素である 1 以上 n 以下の自然数の個数 φ(n) を与える数論的関数 φ である。
1 から 20 までの値は以下の通りである。
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,…(オンライン整数列大辞典の数列 A000010)
1761年にレオンハルト・オイラーが発見したとされるが、それより数年前に日本の久留島義太が言及したとも言われる。
https://oeis.org/A000010
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!)
A000010 Euler totient function phi(n): count numbers <= n and prime to n. AUTHOR N. J. A. Sloane Last modified October 15 07:56 EDT 2019.
(抜粋)
(Formerly M0299 N0111) 2846
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 10, 22, 8, 20, 12, 18, 12, 28, 8, 30, 16, 20, 16, 24, 12, 36, 18, 24, 16, 40, 12, 42, 20, 24, 22, 46, 16, 42, 20, 32, 24, 52, 18, 40, 24, 36, 28, 58, 16, 60, 30, 36, 32, 48, 20, 66, 32, 44 (list; graph; refs; listen; history; text; internal format)
(引用終り)
以上 オイラーのトーシェント関数
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8
をスレ主は筆算で確認できますか？ n=21のときのオイラーのトーシェント関数は
3,6,9,12,15,18,21
と
7,14,21
以外なので21-7-3+1=12
になります オイラーのトーシェント関数とは
nに対し1からnまでの整数でnと互いに素であるような数の個数
です
n=21なら、1,2,4,5,8,10,11,13,15,17,19,21の12個になります
互いに素とは、二つの数の最大公約数が1であるということです 馬鹿は円分体の同型写像を具体的に構成する宿題をやったか？
それともガロア理論諦めるか？
後者をすすめるぞ 貴様には向学心がないからな
次からスレタイ変えろよ みっともないぞｗ >>866
ID:eqCH01Ubさん、どうも。スレ主です。
筆算でね（＾＾
出来ると思うよ、やらないけど
>>869
>面白いですね
面白いよね
φ(n)は、数論のいたるところに出てくるね（＾＾ >>871
馬鹿、ガロア理論を諦めるｗｗｗｗｗｗｗ >>859
>円分体の同型写像を具体的に構成せよ
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体は、草場公邦のP131にあるよ
そこから、手でコピータイプしても良いが
それでは、みなさん面白くないでしょｗ（＾＾；
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11467-6/
ガロワと方程式
A5変／192ページ／1989年07月10日
ISBN978-4-254-11467-6 C3341
草場公邦 著
(抜粋)
目次
6. ガロワの理論とその応用
6.1 ガロワ拡大とガロワ群
https://hiroyukikojima（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
hiroyukikojima’s blog
2008-03-27
ガロアの定理をわかりたいならば
(抜粋)
数学の本を書くのを生業としているぼくでさえ、「よくわかる」本と出会えることは滅多にない。そんな中、最近になって出会って、すばらしいと思っているのは草場公邦先生の本である。以下の三冊を読んだ。
ガロワと方程式 (すうがくぶっくす)
作者: 草場公邦
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 1989/07/01
メディア: 単行本
どれもすばらしいが、とりわけ最初の『ガロワと方程式』はめちゃめちゃいい。ガロア理論とは栄光なき天才たち - hiroyukikojimaの日記で紹介した二十歳で決闘で死んだ薄命の天才ガロアの生み出した理論である。
（ ちなみにフランス語では、ガロワと発音するのが正しいらしく、草場先生はわざとそういう表記を使っているが、日本では一般にガロアが流布している） 。
つづく >>873
つづき
これは、「5次以上の方程式には解の公式が存在しない」ということを証明するために編み出された理論であり、現代代数の先駆けとなったスゴモノである。(ちなみに誤解を最小限にするために言っておくと、何次方程式でも必ず複素数の解を持っている。
問題は、それをオートマチックに求める公式があるかどうかであり、5次以上にはそういう便利な公式がない、というのがガロアの定理なのである) 。
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。
(引用終り)
つづく >>874
つづき
(Brent Everitt先生、これお薦めです。カラーの絵が豊富で分り易い。（練習問題の解答が無くなっているね（＾＾ ））
https://arxiv.org/abs/1804.04657
Galois Theory - a first course
Brent Everitt
(Submitted on 12 Apr 2018)
These notes are a self-contained introduction to Galois theory, designed for the student who has done a first course in abstract algebra.
https://arxiv.org/pdf/1804.04657.pdf
ここで、円分体そのものじゃないけど、
方程式x^5 ? 2＝0のガロア群の絵解きがあるんだ。殆どこれで尽くされているね
イントロの部分で、”0. What is Galois Theory?”の章があって、
P7 (0.8)
A pentagon has 10 geometric symmetries, and you can check that all arise as symmetries of
the roots of x^5 ? 2 using the same reasoning as in the previous example. But this reasoning also
gives a symmetry that moves the vertices of the pentagon according to:
図略
This is not a geometrical symmetry ? if it was, it would be pretty disastrous for the poor pentagon.
Later we will see that for p > 2 a prime number, the solutions to xp ?2 = 0 have p(p?1) symmetries.
(引用終り)
とある
これの詳しい記述が本文にある
(なお、下記こちらは、過去スレでも紹介した2007版で古いけど、内容はほぼ同じで、最後に練習問題の解答が付いているよ（＾＾ )
http://www-users.york.ac.uk/~bje1/galnotes.pdf
Symmetries of Equations: An Introduction
to Galois Theory
Brent Everitt, version 1.12, December 19, 2007.
Department of Mathematics, University of York, York
以上 >>875 文字化け訂正
x^5 ? 2
↓
x^5 - 2
などね
-の記号が、多分コードが違うので、目では見分けが付かず、この板では文字化けするんだ（＾＾； >>873-875
馬鹿は、文章を読まずにコピペして誤魔化すから
いつまでたっても書いてあることが理解できないｗ
別に草場の本なんか見なくてもネットにもあるぞ
それ読め と・に・か・く・よ・め めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体って、単純そうで、結構深いよね(゜ロ゜;
”クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。”
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
クロネッカー・ウェーバーの定理
(抜粋)
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。
クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker?Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。
言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。例えば、
√5=e^2πi/5-e^4πi/5-e^6πi/5+e^8πi/5√5 = e^2πi/5 - e^4πi/5 - e^6πi/5 + e^8πi/5
である。
この定理の名前はレオポルト・クロネッカー (Leopold Kronecker) とハインリッヒ・マルチン・ウェーバー（英語版） (Heinrich Martin Weber) に因んでいる。
体論的定式化
クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大のことばで記述することができる。
それは、有理数体 Q の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。
つまり、Q 上のガロア群がアーベル群である代数体は、ある1のべき根を有理数体Qに添加して得られる体の部分体である。
Q のアーベル拡大 K が与えられると、K を含む最小な円分体が存在する。
この定理によって、K の導手 n を 1 の n 乗根により生成される体に K が含まれるような最小の整数 n として定義できる。
例えば、二次体の導手は、それらの判別式（英語版）の絶対値であり、これは類体論で一般化される事実である。
つづく >>878
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker%E2%80%93Weber_theorem
Kronecker?Weber theorem
(抜粋)
In algebraic number theory,
it can be shown that every cyclotomic field is an abelian extension of the rational number field Q,
having Galois group of the form (Z/nZ )^x .
The Kronecker?Weber theorem provides a partial converse: every finite abelian extension of Q is contained within some cyclotomic field.
In other words, every algebraic integer whose Galois group is abelian can be expressed as a sum of roots of unity with rational coefficients.
For example,
√5=e^2πi/5-e^4πi/5-e^6πi/5+e^8πi/5,
√5=e^2πi/5-e^4πi/5-e^6πi/5+e^8πi/5,
√-3=e^2πi/3-e^4πi/3,√-3=e^2πi/3-e^4πi/3, and
√3=e^2πi/12-e^10πi/12.√3=e^2πi/12-e^10πi/12.
The theorem is named after Leopold Kronecker and Heinrich Martin Weber.
(引用終り)
以上 めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体って、単純そうで、結構深いよね(゜ロ゜;
乗法群、Group scheme of roots of unity （＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95%E7%BE%A4
乗法群
(抜粋)
数学と群論において、用語乗法群 (multiplicative group) は次の概念の1つを意味する：
・体、環、あるいはその演算の 1 つとして乗法をもつ他の構造の、可逆元が乗法の下でなす群[1]。体 F の場合には、群は {F ? {0}, ?} である、ただし 0 は F の零元であり二項演算 ? は体の乗法である。
・代数的トーラス（英語版） GL(1).
1 の冪根の群スキーム
1の n 乗根の群スキーム (group scheme of n-th roots of unity) は定義によって群スキーム（英語版）と考えて乗法群 GL(1) への n ベキ写像の核である。
例
n を法とする整数の乗法群（英語版）は群Z/nZの可逆元が乗法についてなす群である。
n が素数でないとき、0 の他に可逆でない元が存在する。
つづく >>880
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group
Multiplicative group
(抜粋)
In mathematics and group theory, the term multiplicative group refers to one of the following concepts:
・the group under multiplication of the invertible elements of a field,[1] ring, or other structure for which one of its operations is referred to as multiplication.
In the case of a field F, the group is (F ? {0}, ?), where 0 refers to theZero element of F and the binary operation ? is the field multiplication,
・the algebraic torus GL(1).
Examples
・The multiplicative group of integers modulo n is the group under multiplication of the invertible elements of Z/nZ . When n is not prime, there are elements other thanZero that are not invertible.
・The multiplicative group of a field F}F is the set of all nonzero elements: F^x=F-{0}, under the multiplication operation.
If F is finite of order q (for example q = p a prime, and F= Fp=Z/pZ), then the multiplicative group is cyclic: F^x ＝～ C_{q-1}.
Group scheme of roots of unity
The group scheme of n-th roots of unity is by definition the kernel of the n-power map on the multiplicative group GL(1), considered as a group scheme.
つづく >>881
つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_scheme
Group scheme
(抜粋)
Group schemes that are not algebraic groups play a significant role in arithmetic geometry and algebraic topology, since they come up in contexts of Galois representations and moduli problems.
The initial development of the theory of group schemes was due to Alexander Grothendieck, Michel Raynaud and Michel Demazure in the early 1960s.
Examples
・The multiplicative group Gm has the punctured affine line as its underlying scheme, and as a functor, it sends an S-scheme T to the multiplicative group of invertible global sections of the structure sheaf.
Algebraic tori form an important class of commutative group schemes, defined either by the property of being locally on S a product of copies of Gm, or as groups of multiplicative type associated to finitely generated free abelian groups.
・For any positive integer n, the group μn is the kernel of the nth power map from Gm to itself. As a functor, it sends any S-scheme T to the group of global sections f of T such that fn = 1.
Over an affine base such as Spec A, it is the spectrum of A[x]/(x^n?1). If n is not invertible in the base, then this scheme is not smooth. In particular, over a field of characteristic p, μp is not smooth.
(引用終り)
以上 めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体って、単純そうで、結構深いよね(゜ロ゜;
位数4の群は、確か二つしかない
位数4の巡回群とクライン群と
下記（後述）の「位数 30 以下の群の分類」
P3 より、C4, C2 ｘ C2（クライン群） の二つ
>>873に関係しているのは、C4の方ですね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4
クラインの四元群
(抜粋)
クラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群である。また、位数2の巡回群の直積と同型である。
クラインの四群元の単位元以外の元の位数は、2である。
交代群 A4 の正規部分群
V = < identity, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >
と同型。
https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_four-group
Klein four-group
(抜粋)
Contents
1 Presentations
2 Geometry
3 Permutation representation
4 Algebra
5 Graph theory
6 Music
7 See also
つづく >>883
つづき
（参考：方程式のガロア理論に役立ちそうなPDF見繕い）
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/
Kazuhiko KURANO Department of Mathematics School of Science and Technology Meiji University
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/soturon.htm
研究室の学生の卒業論文・修士論文・博士論文
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/04kurano.pdf
2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/07kurano.pdf
2007 年度卒業研究 5次方程式
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/14kurano.pdf
2014 年度卒業研究 S_6 の部分群の分類
https://mathematics-pdf.com/pdf/
MATHEMATICS.PDF よしいず
https://mathematics-pdf.com/pdf/classification_of_groups_of_small_order.pdf
小さい位数の群の分類(131KB, 13/08/19) MATHEMATICS.PDF よしいず
（注；いま見ると、これ、上記の明治大 「2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類」に似ているね。まあ、だれが書いても似たようなものかも知れない。というか、「2004 年度卒業研究」にも種本があって、お互いその種本を見ている可能性もあるな（＾＾ ）
以上 >>884 補足
＞種本があって、お互いその種本を見ている可能性もある
下記「1893 コールが位数660までの単純群を分類する」とある
たしか、1900年ころの群論の本で、後ろに位数100くらいまでの有限群のリストがついていたって話
読んだ記憶があるね。ディクソン先生の群論の本って、覚えているのだが
五味健作、鈴木通夫、原田耕一郎などに、関連の記述があるかもね
（下記外部リンクのURLを張りたいが、URLが大杉だとアク禁くらう恐れがあるので省略。自分でリンク探して飛んでくれ（＾＾ ）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類
証明の歴史
証明のタイムライン
1893 コールが位数660までの単純群を分類する。
1901 ディクソンが、任意の有限体上の古典群（英語版）および、標数が奇数の体上のG2型の例外群を定義した。
1901 ディクソンが E6 型の例外有限単純群を導入した。
1905 ディクソンが偶数標数の体上のG2型の単純群を導入した。
外部リンク
・五味健作 「有限単純群の分類論の近況」、『数学』 (日本数学会) 第31巻第3号217?230頁、1979年。doi:10.11429/sugaku1947.31.217。
・鈴木通夫 「有限単純群の分類」、『数学』 (日本数学会) 第34巻第3号193?210頁、1982年。doi:10.11429/sugaku1947.34.193。
・原田耕一郎 「有限群論の成果と課題」、『数学』 (日本数学会) 第53巻第1号46?61頁、2001年。doi:10.11429/sugaku1947.53.46。
・ATLAS of Finite Group Representations. - 多くの有限単純群について、群の表現などの情報を集めた、検索可能なデータベース
(引用終り)
以上 演習で「位数200以下の単純群をすべて挙げよ」という問題があった
「168の時はアレだけに限られる」が難しくて、次の週までに解けなかった思い出 >>878
>めんどくさいやつだな
学習がめんどくさいなら、数学やめていいぞ
誰も貴様に数学やれなんて頼んでないから
>そうあせるな
あせって>>839で
＞１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
と馬鹿丸出しな間違い書いたのは貴様ｗｗｗ
＞代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。
＞クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、
＞Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。
なんで、尋ねられたことを調べずに
無関係なことを書くのかね？
>>859で、何て書いた？
「円分体の同型写像を具体的に構成せよ」
だよね？
もし、この質問に答えられるなら、
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
なんて書くことはあり得ない
だから訊ねてるんだよ
まっさきに尋ねられたことを調べろよ 馬鹿 >>880
>乗法群
今ごろそんなの調べてるの？ｗ
貴様、今迄いったい何やってたんだ？ｗ
>n を法とする整数の乗法群（英語版）は群Z/nZの可逆元が乗法についてなす群である。
>n が素数でないとき、0 の他に可逆でない元が存在する。
「可逆」の意味、分かってるか？
逆元があるってことだぞｗ
なんかこいつ基本的なことが全然わかってねぇなｗ
>>881-882
また全然関係ねぇこと調べてるし
貴様ほんと馬鹿だなｗ >>883-885
貴様、検索もロクにできないのか？
「円分体」「同型写像」のキーワードで
google検索かけたら速攻で見つかったぞｗｗｗ
■美的数学のすすめ（はてなブログ）
円分体のガロア群
「Q(ζn)/Qの自己同型をσとすると、
σ(ζn)は円分多項式Φn(x)=0の解となりますので、
σ(ζn)=ζn^i (i∈(Z/nZ)×)と表せます。
逆にi∈(Z/nZ)×に対してσiをσi(ζn)=ζn^iとすると
σiはQ(ζn)/Qの自己同型を導くことが分かります。」
読め この馬鹿がｗ 大体、馬鹿は自分が検索した論文も読んでないだろｗ
「S_3, S_4, S_5 の部分群の分類」のところで
S_5の位数20の部分群も出てるぞ
(12345), (2354) が生成群だから
部分群に位数５と位数４の巡回群がある >>886
ID:z0qt+ZiN さん、どうも。スレ主です。
>演習で「位数200以下の単純群をすべて挙げよ」という問題があった
>「168の時はアレだけに限られる」が難しくて、次の週までに解けなかった思い出
えー
明治大 蔵野研では、位数30までで、学部卒業研究だとか
それが、演習で「位数200以下の単純群をすべて挙げよ」か
びつくりです（＾＾； >>891
>「168の時はアレだけに限られる」
これか
https://ja.wikipedia.org/wiki/168
168
(抜粋)
・168 は合成数であり、約数は 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84 と 168 である。
・位数2の射影平面の自己同型群は位数168の単純群である。この群は5次の交代群に次いで位数の小さい単純群である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%B9%B3%E9%9D%A2
射影平面
(抜粋)
有限位数の存在
射影平面の分類は全然終わっていない。いくつかの結果を位数の順に以下に示す。
・7 : 全て PG(2,7) に同型
https://ja.wikipedia.org/wiki/PSL(2,_7)
PSL(2, 7)
(抜粋)
射影特殊線型群PSL2(7) は、代数学、幾何学、数論といった分野で重要な役割を持つ有限単純群である。
PSL2(7)はクラインの平面4次曲線（英語版）の自己同型群と同型で、またファノ平面の対称性の群（英語版）とも同型である。
位数168の単純群はPSL2(7)と同型であり、位数60の交代群A5（PSL2(4)、PSL2(5)、正二十面体群と同型。）に次いで2番目に小さな非可換単純群である。
性質
PSL2(7)は168個の要素を持つ。これは行列の取り得る列の数を数え上げることで確認できる。
https://w.atwiki.jp/warawanu/pages/37.html
warawanu @ ウィキ
位数168単純群の一意性
(抜粋)
Gを位数168の単純群とする。 Gのシロー7群は8個，シロー3群は7個か28個である。位数21の元があればシロー2群が唯一になってしまう。
3群が7個では7群の正規化群が唯一，7群も唯一になってしまう。3群は28個である。位数6の元があればシロー2群が唯一になってしまう。以上により，位数7の元は48個，位数3の元は56個，位数2冪の元は残る63個である。
位数2冪の元が63個であるから，21個のシロー2群の内に自明でなく交わるものがある。その交わりCの正規化群について考える。
|NG(C)|は4より大きい4の倍数であるが，|NG(C)|=12は3群の正規化群の位数によって否定され，|NG(C)|=28と|NG(C)|=56は7群の正規化群の位数によって否定される。
結局，NG(C)は4次の対称群S4に同型であり，シロー2群は二面体群，シロー2群の交わりCは四元群である。
メモ
位数4が42個，位数2が21個，また，GからA7への準同型単射がある。 >>887
そうあせるな
おれは楽しんでいるんだ
円分体ねー
深いねー
円分体の深みを再認識しているんだよ
あんたの質問の答え
もう答えは出ているでしょ（＾＾
>>873-875とか
分かってないね >>890
(引用開始)
「S_3, S_4, S_5 の部分群の分類」のところで
S_5の位数20の部分群も出てるぞ
(12345), (2354) が生成群だから
部分群に位数５と位数４の巡回群がある
(引用終り)
その議論はちょっと違うと思うよ
おまえ、なんか勘違いしていると思うよ
おまえ、>>849にも似たことを書いていたね（下記）
(>>849より引用開始)
>全体では、位数5の巡回群と位数5の巡回群の直積の群で、位数25の群
全体では、位数20の群ね
だいたい、25が120(5次の対称群S5の位数)の約数でない
時点でおかしいって気づけよｗ
(引用終り)
方程式のガロア群では、普通は基礎体はQに必要な1のベキ根は全て添加されているとして、議論を進める
そうすると、二項方程式 X^5-a=0 が既約として、この方程式のガロア群は、位数5の巡回群になると議論を単純化できる
この場合、群の位数は20ではない
>>890で、S_5 の部分群に位数20の部分群が存在することと
一方、基礎体Qに、1のベキ根が含まれていないときに、
二項方程式 X^5-a=0 のガロア群が位数20の群になることとは
別の議論だよ >>893
>おれは楽しんでいるんだ
間違うことを？ｗ
>円分体の深みを再認識しているんだよ
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
とかほざいた馬鹿が？ｗｗｗｗｗｗｗ >>894
>二項方程式 X^5-a=0 が既約として、
>この方程式のガロア群は、位数5の巡回群になる
>と議論を単純化できる
そりゃ基礎体を円分体とした場合だろ？
基礎体がQだったらどうだい？
＞方程式のガロア群では、普通は基礎体は
＞Qに必要な1のベキ根は全て添加されているとして、
＞議論を進める
おまえ、クンマー拡大も知らない馬鹿なのか？ｗ https://ja.wikipedia.org/wiki/クンマー理論
「クンマー拡大(Kummer extension)とは、
ある与えられた整数 n に対し
次の条件を満たすような
体の拡大 L/K のことを言う。
・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、Xn－1 の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。」 >>894
＞その議論はちょっと違うと思うよ
＞おまえ、なんか勘違いしていると思うよ
「と思う」お前が気違い
馬鹿の上に、妄想狂か？ｗｗｗ X^5-1はQ上の既約多項式ではない
なぜなら以下のように因数分解できるから
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
そして円分多項式φ5は
x^4+x^3+x^2+x+1
である >>889
(引用開始)
「Q(ζn)/Qの自己同型をσとすると、
σ(ζn)は円分多項式Φn(x)=0の解となりますので、
σ(ζn)=ζn^i (i∈(Z/nZ)×)と表せます。
逆にi∈(Z/nZ)×に対してσiをσi(ζn)=ζn^iとすると
σiはQ(ζn)/Qの自己同型を導くことが分かります。」
(引用終り)
？？
>>858より
(引用開始)
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
(抜粋)
系
Q に 1 の n 乗根 ζ を添加した拡大体を E とすると， [E:Q]=φ (n) がなりたちます．
さらにガロア群 G (E/Q) は Zn^xに同型となります．
(引用終り)
これと何が違う？(゜ロ゜;
全文引用していないが、リンク先の全文を読んでみな（＾＾； >>896-897
なにを狼狽して誤魔化そうとしているんだ？？ｗ（＾＾；
>>890より
(引用開始)
「S_3, S_4, S_5 の部分群の分類」のところで
S_5の位数20の部分群も出てるぞ
(12345), (2354) が生成群だから
部分群に位数５と位数４の巡回群がある
(引用終り)
この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
>>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
この5次方程式は、二項方程式ではない
「可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 2003」を読んでみな
因みに、この話は、Coxのガロア本（訳本あるよ）や、エムポストニコフにもある
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 2003
http://njet.oops.jp/wordpress/2009/02/21/david-cox-%E3%81%AE%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E6%9C%AC/
SUKARABE'S EASY LIVING
2009年2月21日 (土) 投稿者: SUKARABE
David Cox のガロア理論の本
(抜粋)
さすが Cox である。期待を裏切らないねえ?。
https://bluexlab.tokyo/812
2018.06.22MATH
整数論・数論の教科書で「名著」と呼ばれるものをご紹介 Written by Soichiro OMI bluexlab
(抜粋)
Galois Theory (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts)?David A. Cox 著
Coxによるガロア理論の教科書です。600ページを超える大著ですが、扱っている内容はそこまで難しいものではありません。
各節の終わりには「Historical Notes」が記載されており、理論の歴史的背景も学ぶことができます。
http://webcatplus.nii.ac.jp/webcatplus/details/book/277149.html
Webcat Plus
ガロアの理論
エム・ポストニコフ 著 ; 日野寛三 訳
(抜粋)
出版元 東京図書
刊行年月 1964
7. 根号で解かれる5次方程式 / p153 >>901
たしか、下記「第14章 可解置換群」がそうだったと思うよ
いや、書棚に本はあるけど、確認が面倒なんで、記憶で書くけど（＾＾
https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5421.html
ガロワ理論(下)
デイヴィッド・A. コックス 著 梶原 健 訳
発刊年月 2010.09
日本評論社
第4部 さらに続く話題
第14章 可解置換群
(引用終り)
因みに、ガロア第一論文の最後の定理が
「可解な5次方程式」についての定理（ガロア群による判別）なんだよねｗ（＾＾ >>901 追加
確か、元吉文男さん、参考文献に、エム・ポストニコフをあげていたね（＾＾
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
[PDF]5 次方程式の可解性の高速判定法 - 元吉文男 著 - ?1993 RIMS, Kyoto University
http://peng225.hate（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ペンギンは空を飛ぶ
2018-03-07
5次方程式の解を巡る旅 ?5次方程式の可解性判定編?
(抜粋)
Galois理論
前回の記事で3次・4次方程式のresolventについて説明した。本稿ではここまでの内容を総括し、5次方程式の可解性判定について述べる。
5次方程式の可解性判定
5次方程式のresolvent >この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
> >>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
>この5次方程式は、二項方程式ではない
x^3-2=0 という方程式のQ上のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加した体上ではC_3に縮小する。
一般3次方程式のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加してもS_3のまま。
しかし、べき根解法には1の3乗根は必要。
この話の類似が5次の場合にもあるんじゃないかな。
つまり、位数20のガロア群をもつ5次方程式は一般的には二項方程式ではないが
Mara Papiyasが言うように二項方程式になるケースもある。 >>900
>？？
貴様は肝心なところを読んでない
自己同型！ なぜ読まない？
貴様の引用したHPにもチャンと
同型写像について書かれてる
なぜ引用しない？ 馬鹿かｗ >>904
1の5乗根を追加した体を基礎体としても
ガロア群がF_20となる場合がいかなるものか
についてはハイレベル数学人に任せるｗ
私の目的はあくまで馬鹿のローレベルな間違いを指摘することにあるｗ 馬鹿はウマに食わせるほど数学書を買っても
ロクに読みもせず、読んだとしても
結果を覚えるだけで証明の論理を追わないから
いつまでたっても数学が理解できない
悪いことは云わない 数学は諦めろ
数学書はみな売っちまえ
貴様がやるべきことは断捨離だｗ 円分拡大の自己同型
原始５乗根をζで表す
同型写像として^2をとる
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
↓^2
ζ^2、ζ^4、ζ^6=ζ、ζ^8=ζ^3
↓^2
ζ^4、ζ^3、ζ^2、ζ
↓^2
ζ^3、ζ、ζ^4、ζ^2
↓^2
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
逆写像は^3
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
↓^3
ζ^3、ζ^6=ζ、ζ^9=ζ^4、ζ^12=ζ^2
↓^3
ζ^4、ζ^3、ζ^2、ζ
↓^3
ζ^2、ζ^4、ζ、ζ^3
↓^3
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
ちなみに^4は、自身が逆写像でもある
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
↓^4
ζ^4、ζ^8=ζ^3、ζ^12=ζ^2、ζ^16=ζ
↓^4
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
もちろん^1(恒等写像)は単位元 些細なことですが
>>905
氏はつけなくてもいいよ
例えば数学者について述べるとき、いちいち氏はつけないが
それを無礼だと咎める人はまあいない
私は別に数学者ではないが、名前に関しては
数学の慣習に沿って語っていただいて全然かまわない >>904
ID:rXxqe236さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾
(引用開始)
>この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
> >>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
>この5次方程式は、二項方程式ではない
x^3-2=0 という方程式のQ上のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加した体上ではC_3に縮小する。
一般3次方程式のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加してもS_3のまま。
しかし、べき根解法には1の3乗根は必要。
この話の類似が5次の場合にもあるんじゃないかな。
つまり、位数20のガロア群をもつ5次方程式は一般的には二項方程式ではないが
Mara Papiyasが言うように二項方程式になるケースもある。
(引用終り)
この話は、基礎体をQとして、Qに必要なベキ根を添加した体をQ’として
ベキ根を添加した体Q’をベースに、方程式のガロア群を考えるのが、ベキ根拡大の基本です
詳しくは、下記を
繰返すが、下記「クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である」をいうためには、
「K が 1 の原始 n 乗根を含む拡大体 K(α)」が必須ってことです
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E6%A0%B9
冪根
(抜粋)
目次
4 冪根拡大
冪根拡大
K を体とし、a ∈ K の任意の 1 つの冪根 α = n√a を添加する拡大 K(α)/K を K の冪根拡大 (radical extension) という。
もし K が 1 の原始 n 乗根を含むなら拡大体 K(α) は二項多項式 x^n - a の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。
これをクンマー拡大 (Kummer extension) と呼ぶ。
クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。
逆に n の約数 d に対し、拡大次数が d であるような巡回拡大 L/K は、K が 1 の原始 n 乗根を含むという仮定の下で、クンマー拡大である。
このことから、ある方程式が係数に対して四則演算と冪根を添加する操作を有限回繰り返すことで解ける（代数的に可解である）ならば、ガロア群は巡回群のみからなる組成列を持たなければならないことになる。
この性質は、抽象群に対して可解群の概念として定式化される。 >>909
ぱち ぱち ぱち、拍手！
ご苦労さんｗ（＾＾；
さて、じゃおれも
(>>858より 下記”１のｎ乗根 （Joh著）”から）
「Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．」
の話において
「1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．」
は、ベクトル空間の基底で”1は不要”の話は、”1”みならず、任意のζ^m (1<=m<=n-1)の1つを基底から外すことが可能
（∵ 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0で、一次従属なので、どれでも1つを外すことが可能）
よって、群を考えるときは、単位元が欲しいので、
最上位のζ ^n-1を外して
”1 , ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-2 とn-1個 が基底を張る”とすれば、
クンマー拡大の巡回拡大（>>911）と同じ議論に乗ります （＾＾
（参考）
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
(抜粋)
系
Q に 1 の n 乗根 ζ を添加した拡大体を E とすると， [E:Q]=φ (n) がなりたちます．
さらにガロア群 G (E/Q) は Zn^xに同型となります．
拡大体の基底に関する注意
拡大体の次数について注意です． x^n-1 の解 ζ を使い，拡大体 Q(ζ) を考えます． Q(ζ) の元は，一般に a1ζ + a2ζ^2 +...+an-1ζ^n-1 と表わされ， Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．
ベクトルの足し算だと思って図形的に考えればすぐに分かりますが， 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．
1 の n 乗根を添加するとき，拡大次数を間違わないように注意して下さい．
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/Joh-SolvExample1.gif
例えば 1 の五乗根． 1+ζ + ζ^2 +ζ^3 + ζ^4=0 となる．
(引用終り) >>912
＞ 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0
これは、二項方程式 x^n - 1=0
で、
下記の根と係数の関係を適用すると
上記の方程式のn-1次の項が0であることから
導かれるね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B9%E3%81%A8%E4%BF%82%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82
根と係数の関係
(抜粋)
根と係数の関係
n 個の文字 α1, α2, ..., αn に関する p 次基本対称式を s p(α1, α2, ..., αn) あるいは単に sn,p とする。
例えば
sn,1 = α1 + α2 + … + αn,
・
・
sn,n = α1α2… αn.
x に関する n 次式 anx^n + an?1x^n?1 + … + a1x + a0 の根が α1, α2, ..., αn であるとき、
sn,n-k=(-1)^{n-k}・ak/an
（k = 0, 2, ..., n ? 1）が成り立つ。これを多項式の根と係数の関係という。 >>912
ご参考にされてるHPは混乱してるのか、間違ったことも混じって書いてありますね。
定理として書いてある
「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は{1,ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}}の全てを解として持ちます．」
は明確に誤り。最小多項式の次数はφ(n)次なので、φ(n)個しか根を持ちえません。
(最小多項式)≠x^n-1 です。
あと、ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}が基底をなすように書いてありますが、これも素数でないnに対しては誤り。
Q上のベクトル空間としての次元もφ(n)なので、基底の個数もφ(n)個です。 Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが、スレ主さんとは違って
自分の頭を通して書いているなというのが分かります。
「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。
まえもそうでしたが、スレ主さんにはどうも半直積の概念がないように思えます。 何年間もガロア理論を勉強されてきて、ネット上のどこにどんな文書があったか
どの本にどんな項目があったかとかの知識はありますが
まとまった理論が頭の中に構築されている感じがしません。失礼ながら。
HPなどは間違った記述も多いので、やはり自分の頭を通して
徹底的に考えなければ、正誤の判断は付かないし、身にも付かないものだと思います。 >>913
1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 の証明
S=1+ζ + ...+ζ ^n-1にζを掛けると巡回的に項がずれるが和としては不変であることが観察できる。
すなわち、S=ζS.
(1-ζ)S=0 で、1-ζ≠0 より S=0. >>903 追加
下記元吉文男で、
既約な二項方程式x^5-a＝0のガロア群は、C_{5} 巡回群 (位数 5)です
B_{5}'メタ巡回群 (位数 20)では、ありません
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
[PDF]5 次方程式の可解性の高速判定法 - 元吉文男 著 - 1993 RIMS, Kyoto University
(抜粋)
有理数係数の 5 次の既約多項式が可解であるかどうかを、 (大部分の場合に) 有理数演
算だけで高速に判定する方法を紹介する。
1. ガロア群の計算原理
5 次の推移群は以下の 5 種類である。
・S_{5} 対称群 (位数 120)
・A_{5} 交代群 (位数 60)
・B_{5}'メタ巡回群 (位数 20)
・B_{5} 半メタ巡回群 (位数 10)
・C_{5} 巡回群 (位数 5)
ここで可解なものは、B_{5}',B_{5},C_{5} であり、 B_{5}’⊂ B_{5}⊂ C_{5} という関係にある。
そこで、方程式が可解かどうかはそのガロア群が B_{5}’ に含まれているかどうかを調べればよい。
参考文献
[1] エム・ポストニコフ、「ガロアの理論」、東京図書、 1964。 >>914
ID:rXxqe236さん、どうもスレ主です。
レスありがとう
(引用開始)
ご参考にされてるHPは混乱してるのか、間違ったことも混じって書いてありますね。
定理として書いてある
「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は{1,ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}}の全てを解として持ちます．」
は明確に誤り。最小多項式の次数はφ(n)次なので、φ(n)個しか根を持ちえません。
(最小多項式)≠x^n-1 です。
あと、ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}が基底をなすように書いてありますが、これも素数でないnに対しては誤り。
Q上のベクトル空間としての次元もφ(n)なので、基底の個数もφ(n)個です。
(引用終り)
？
なんか、混乱していませんか？
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9
1の冪根
(抜粋)
自然数 n に対し、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n 乗して初めて 1 になるような 1 の冪根は n 乗根として原始的 (primitive) であるという。自然数 n を固定せず、1 の原始 n 冪根あるいは 1 の原始 n 乗根として得られる数を総称し、1の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。
性質
・1 の冪根は全て、ガウス平面における単位円上にある。また概要で述べたことは 1 の n 乗根の全体が位数 n の巡回群となることを示している。
・a を複素数とするとき、a の n 乗根を任意に一つ選んで n√a と記せば、1 の n 乗根に各々 n√a を掛けたものが複素数係数の方程式 xn ? a = 0 の根の全体となる。
・1 の n 乗根をガウス平面上に表し、線分で結ぶと単位円に内接する正 n 角形となる。これは 1 の原始 n 乗根の一つを ξn として以下の式が成り立つことと同じである：
略
https://mathtrain.jp/njokonof1
高校数学の美しい物語
最終更新:2015/11/05
1のn乗根の導出と複素数平面
(抜粋)
定理1：1の n 乗根は複素数平面の単位円周上に等間隔で並ぶ。
定理2：1の n 乗根は全部で n 個あるが，それらの和は0である。
1のn乗根の和
次は定理2の証明です。こちらは解と係数の関係を使うだけです！
証明
1 の n 乗根たちは方程式 z^n?1=0 の解である。
よって，解と係数の関係よりそれらの和は 0 である。 >>915
ID:rXxqe236さん、どうもスレ主です。
レスありがとう
>「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
>とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。
>まえもそうでしたが、スレ主さんにはどうも半直積の概念がないように思えます。
なるほど
ちょっと考えてみます（＾＾； >>916
＞HPなどは間違った記述も多いので、やはり自分の頭を通して
>>919をどうぞ >>917
ぱち ぱち ぱち、拍手（＾＾
その証明も、昔どこかで見た記憶が
どこだったか、思い出せませんが
なお、別証明ですね（>>919 高校数学の美しい物語 ご参照） >>919 補足
ζ=exp(2πi/n)を根とする 二項方程式 x^n-1＝0は、加約で因子（x-1）を持つので、次数は１つ下げられる
だから、最小多項式の次数はｎ－１までは下がります
なので、定理中で「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は」と書くと、次数が合わないですね
（ｎ－１次の方程式が、ｎ個の根を持つことになりますから）
だから、式を直すか、根の数を直す必要がありますね >>923 誤変換訂正
加約で因子（x-1）を持つので、
↓
可約で因子（x-1）を持つので、 ζ=exp(2πi/5)、a=(ζ+2)^4(ζ^2+2)、K=Q(ζ)、Lはx^5-aの分解体、PはGal(L/Q)の2-Syllow群、MはPの作用で動かないLの元全体
にしたらどうだろ？
[M:Q]=5、LはMを含む最小のガロア拡大までは正しいけど、どんなm∈M＼Qをとっても最小多項式はx^5-cの形にならないのではなかろうか？
半分勘だけど。 >>925
これ撤回。
反礼にならないな。
ガロア群がc5とaut(c5)の半直積のケースは全部最小多項式が２項のものがとれるのかな？ >>926
成立するかも。
Q(exp2πi/5)の類体が1を認めると割とスッキリ示せるっぽい。
しかし類対論は真剣に勉強した経験ないので自信なし。 >>927
どうもスレ主です。
ひょっとして、おっちゃんですか？
外していら、失礼（＾＾； >>928
私はオッさんではある。
やっぱりLをx^5-(-1+√5)/2の分解体にした時むりかな？
無理である可能性をx^5-k kはKの単数の場合まで絞り込めたけど難しいね。これ。 >>929
＞私はオッさんではある。
ああ、そうでしたか
これは失礼しました
しかし、難しいことを考えられますね（＾＾ >>914
いちいちごもっとも
>>909みたいにアケスケに書けば
1→ζ→ζ^2→…→ζ^(n-1)→ζ^n=1
みたいなナイーブな認識が
円分体のガロア群に関しては
全然見当違いだと分かる
（クンマー拡大とは違うのだよｗ）
例えばφ12は4次式で
ζ=exp(2πi/12)cos(2π/12)+i*sin(2π/12)
とすれば
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
のみが解
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
↓^5
ζ^5,ζ^25=ζ,ζ^35=ζ^11,ζ^55=ζ^7
↓^5
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
↓^7
ζ^7,ζ^35=ζ^11,ζ^49=ζ,ζ^77=ζ^5
↓^7
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
↓^11
ζ^11,ζ^55=ζ^7,ζ^77=ζ^5,ζ^121=ζ
↓^5
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
これはクライン群で、巡回群ではないね >>915
>Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが、
そうですね ツッコむために勉強してます（ひでぇ）
>スレ主さんとは違って自分の頭を通して書いているな
>というのが分かります。
そうですね そうでないとツッコめませんから（ひでぇ）
>「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
>とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。
可解群の説明で「剰余群がアーベル群」とあるのを読んで
「じゃ、可解群はアーベル群じゃん」とかいいだすのは軽率な馬鹿
もちろん、S3はアーベル群じゃないから、
そこで気づかないとおかしい
>スレ主さんにはどうも半直積の概念がないように思えます。
そもそも、馬鹿は計算して確かめる癖がない
だから
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
なんてアホなこと書いちゃうんですわｗ >>916
>(スレ主は)まとまった理論が頭の中に構築されている感じがしません。
全くおっしゃる通り
あのね、工学屋は別にガロア理論なんて知らなくたって困りませんよ
代数学の基本定理だって、結論だけ知っときゃいいｗ
「ｎ次方程式は、重解も含めて必ずｎ個の解がある」とかね
解は、数値解法でゴリゴリ求めればいい
馬鹿が粋がって「ガロア理論がー」とかいって初歩的な誤りを連発
しかも誤りを指摘されても決して認めずワケワカランな抗弁するから
イジりまくられる
知らないとか間違うとかいうのは恥じゃない（開き直るｗ）
間違いを認めず、知らないことを自覚せずに
知ってるかのごとき顔をしてウソ言い続けるのが
恥ずかしいんだよ >>919
>なんか、混乱していませんか？
おまえがなｗ
ぶっちゃけ「最小多項式」が分かってないだろｗ
wikipedia
最小多項式 (体論)
「α の最小多項式は
α を根として持つ F[x] の 0 でないすべての多項式のうち
次数が最小のモニック多項式である。」
（モニック多項式は最高次係数が 1 の一変数多項式）
「1の冪根の Q[x] における最小多項式は円分多項式である。」 >>923
wikipediaの円分多項式のところを読め
φnを円分多項式とする
(x^12-1)
＝φ1φ2φ3φ4φ6φ12
ζ=cos(2π/12)+i*sin(2π/12)とする
φ1=(x-1) 根は１
φ2=(x+1) 根はζ^6=-1
φ3=(x^2+x+1) 根はζ^4、ζ^8
φ4=(x^2+1) 根はζ^3=i ζ^9=-i
φ6=(x^2-x+1) 根はζ^2、ζ^10
φ12=(x^4-x^2+1) 根はζ、ζ^5、ζ^7、ζ^11 >>901
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 2003
馬鹿は上記の論文読んでないだろ
読めば、定理4.9(p72)で貴様の主張が否定されてると分かるぞ x^5+b=0のとき、判別式Dfは3125*b^4で、
3125は5^5だから、Δf=√Dfは、有理数になりようがない
つまり、x^5+b=0のガロア群はF20 >>918
aを3乗数でない整数とすると、x^3-aはQ上既約。
分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。これが一般3次方程式との違い。
つまり、一般3次方程式は最初に2次方程式を解いたあとωを添加して3次クンマー拡大でべき根表示が得られる
（分解体Kにωが含まれることを必ずしも意味しない）わけですが
最初の2次拡大とQ(ω)/Qが一致する特殊ケースが2項方程式（及びそれと同値な方程式）なわけです。
わたしが指摘したのは、この類似が5次方程式でも成立してるよねってことです。
なので、Mara Papiyas氏の挙げた2項方程式は
まさしくスレ主の言う位数20の可解群を持つ方程式になってるわけですよ、Q上のね。 >>927
最初の4次拡大がQ(ζ)/Q（ζは1の原始5乗根）と一致するかどうかなので、そんな難しい話じゃないと思いますよ。 >>938
＞まさしくスレ主の言う位数20の可解群を持つ方程式になってるわけですよ、Q上のね。
ID:rXxqe236さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
いや
ご指摘の通りです
Q上で、5次方程式の既約 ２項方程式 x^5-a＝0 のガロア群、位数20の可解群を持ちます
ご指摘の通りです m(＿ ＿)m >>914 >>934-935
ID:rXxqe236さん、ID:448PbhX4さん、あなたたちが正しいわ
大変失礼しました。円分多項式（円周等分多項式）ですよね
草場公邦 「ガロワと方程式」P118 5.5 「円周等分多項式の既約性」
に、詳しい説明がありました
とすると、”１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ”さん http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
ｎ＝pのときのイメージのままで書いているのかも（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
円分多項式
このように n 乗して初めて 1 となる複素数（1 の原始 n 乗根）全てを根に持ち、最高次数の項の係数が 1 である多項式が円分多項式 Φn(x) である。
https://ndu-rep.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri&;item_id=517&file_id=22&file_no=1
円周等分多項式の有理数体上での既約性
著者桜岡 充
雑誌名日本歯科大学紀要. 一般教育系
巻28
ページ9-14
発行年1999-03-20
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11467-6/
ガロワと方程式
A5変／192ページ／1989年07月10日
ISBN978-4-254-11467-6 C3341
草場公邦 著
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bessatsu/open/B50/pdf/B50_015.pdf
ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察
高瀬正仁
九州大学 MI 研究所/日本オイラー研究所
(抜粋)
円周等分方程式の代数的可解性を全面的に保証するにはこれでは不十分であり,もっと精密な
相互関係を明らかにしなければならないが,ガウスはこれに成功し,『アリトメチカ研究』の第7
章において円周等分方程式の根は巡回的であることを明らかにした.代数的可解性は根の巡回性に
支えられているのである.
円周等分方程式の領域ではラグランジュの省察は正鵠を射ていたが,具体的に表れたものはなお
雛形に留まっていた.根の相互関係への着目という一点においてガウスに影響を及ぼしたのは間違
いないが,ガウスが発見した根の巡回性はラグランジュの到達した地点からあまりにも遠いところ
にあった.それでもラグランジュはガウスが遂行したことの意味合いを理解して,書簡を送ってガウスを称讃した. >>940 追加
巡回群については、下記が参考になるでしょう
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/101850/1/0722-02.pd
巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用)
元吉 文男
数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20 >>941 追加情報
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bessatsu-j.html
講究録別冊 数理解析研究所
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/232866
RIMS Kokyuroku Bessatsu B50:
Study of the History of Mathematics
ed. T. Ogawa
June, 2014 Contents 259pp
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/232884/1/B50-15.pdf
ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察 (数学史の研究)
高瀬, 正仁 (2014-06)
数理解析研究所講究録別冊 = RIMS Kokyuroku Bessatsu, B50: 219-228 >>939
誰かが書いてた
Q上の任意の５次拡大においてKそのガロア閉包のガロア群が可解である時、x∈Kをうまく取ればその最小多項式が２項からなるものから取れる
というのが正しいのかチェックしてるんですけどそんな難しくないんですか？
まぁほとんどのそうでない可能性は潰せてるので行けそうなんですけど。 >>940-941
もういいだろ
次スレはタイトルから「古典ガロア理論も読む」は外せよ
貴様にガロア理論なんか語るのは到底無理だから
代わりにAIとかいれるのは随意
どうせリンク張るだけなんだからｗ >>942-943
ついでにHNからも「古典ガロア理論も読む」は外せよ
貴様にガロア理論なんか語るのは到底無理だから 貴様が次スレのタイトルとHNから
「古典ガロア理論も読む」を外すんなら、
以下の爆笑コメントはテンプレに入れなくてもいいぞ
（ていうか過去スレリンク以外わざわざテンプレしなくていい
貴様のみっともない恥晒すだけだろｗ）
>>839
＞Qにaの5つの5乗根を添加した体をKとする
＞ ↓
＞１の5乗根の原始根をζ5と書く
＞あと、5√a(aの5乗根の実根)な
＞ ↓
＞１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
＞5√a(aの5乗根の実根) を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
＞ ↓
＞全体では、位数5の巡回群と位数5の巡回群の直積の群で、位数25の群
＞位数25の群は、巡回群ではないみたいだね（＾＾ 次スレ名 「現代数学の系譜 よもやま雑談 78」
HN 「現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE」
テンプレ １
「この伝統あるすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、
まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、
求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。
ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。
関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾」
>>1の「なお…」以下は削除 テンプレ 続き
>>2-4 の（このスレの常連カキコさん説明）は削除 全くの無駄ｗ
>>5-6 の 過去スレリンクは、リンク以外の説明は削除
リンクは極端にいえば、前スレだけでOK (>>1で書けるだろ）
1に書く文章だが
「このスレは、現代数学に関するよもやま雑談スレとします。」
のほうがいいな >>945-946
ぼくちゃん、ご苦労さん
>>915のID:rXxqe236さん、この人はレベルが高いというのは分かった
しかし、ぼくちゃん、ガロア理論が分かっていないのは、おれとそれほど変わらんよな
例えば、>>836の大失敗など。
まあ、「Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが」（>>915）と書かれて
「そうですね ツッコむために勉強してます」（>>932）と自分で書いていたけど
確かに、ぼくちゃんのレベルは、おれから見ても、そういう（再勉強しながらという）感じがするね
おれは、基本的には
”おっさんずゼミ＝「どこのだれとも知れぬ”名無しさん”のおっさんたちとの、ゼミ」やる気ないです”
（現代数学の系譜 カントル 超限集合論 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/321）
なんだけど、このガロアスレでの古典ガロア理論に関することだけは、”おっさんずゼミ”お付き合いしますよ（＾＾； >>941 補足
>ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察
>高瀬正仁
>円周等分方程式の領域ではラグランジュの省察は正鵠を射ていたが,具体的に表れたものはなお
>雛形に留まっていた.根の相互関係への着目という一点においてガウスに影響を及ぼしたのは間違
>いないが,ガウスが発見した根の巡回性はラグランジュの到達した地点からあまりにも遠いところ
>にあった.それでもラグランジュはガウスが遂行したことの意味合いを理解して,書簡を送ってガウスを称讃した.
”おっさんずゼミ"(>>950)
おれもガロアや、ガウスのような天才秀才じゃない
多分、ぼくちゃんもそうだろう
でも、良いじゃない（＾＾
ガロアの前に、アーベルやガウスやラグランジュやオイラー達がいた
その上に、ガロアの方程式の理論がある
同様に、おれたちの前には、ガロアの後に書かれた幾多のガロア理論の発展と解説がある
それを読めば良い。ぼくちゃんとの議論は、それを読むためのきっかけに過ぎない >>950
私は今まで一言も「ガロア理論が分かっている」とは言っていないｗ
私より分かっている、といわないのなら、
タイトルやHNにガロア理論の名前を出すのはやめとけ
それが人間ってもんだ
＞このガロアスレでの古典ガロア理論に関することだけは・・・
もういいだろ
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
なんて発言は
「ボクは、円分体のガロア群について
全く知りませんし知る気もありません」（ドヤ顔）
といってるようなもんだからな
スレタイからもHNからも「ガロア理論」の文字を外せば
そんなつまらぬ虚勢（？）を張る必要もなくなるだろ
おまえ 一体何がしたいの？
勉強嫌いなら、数学板に書き込むなよ
ていうか、そもそも読むなよ
書き込み理解できないだろｗ >>951
＞良いじゃない（＾＾
おまえの態度が良くないなｗ
おまえ、ガロアの名前でマウンティングしたいだけだろｗ
しかもそれにものの見事に失敗してるｗｗｗ
おまえ、ガロアだけじゃなく無限集合でもボケかましてるんだぞｗ
＞ぼくちゃんとの議論は、それ（ガロア理論の解説）を読むためのきっかけに過ぎない
やめとけ
計算一つしないおまえは、いくら文章読んだって数学は理解できねぇよ
怠惰な奴は、数学に限らず、何も身につかない
おまえの人生、負けっぱなしだろ？
ここでの書き込み見てれば分かるｗ
ここですら負けてる奴が、実社会で勝てるわけないｗ ＞例えば、>>836の大失敗など。
そう思うなら金輪際数学板には書き込まないほうがいいね
おまえの書き込み、大失敗の連続だから
成功した試しが一つもない
なぜか分かるか
貴様は文章を読みもしないし、読んでも文字列を暗記するだけで
中身を理解しようともしないし、計算なんか一つもしないからだ
そんな怠惰な根性で、数学が分かるわけがないだろう？
おまえ、いったい何がしたいの？
ただマウンティングしたいだけなの？
だったら、別の方法で別の板で暴れなよｗ
ここじゃおまえの「コピペマウンティング」戦略は通用しないよ
嫌というほど思い知っただろう？
自分のコピペで自分の発言が否定されるとか最低最悪の屈辱だぜｗ
おまえには恥ずかしいという感情はないの？
もしないなら、おまえは人間じゃないな ただの動物 悪いことはいわない
次スレからは「古典ガロア理論も読む」の文字は外せ
「現代数学の系譜 よもやま雑談 78」でいいだろ
HNからも「古典ガロア理論も読む」の文字は外せ
「現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE」でいいだろ
貴様は虚勢を張る悪癖がある
虚勢を張りたくなる理由は徹底的にそぎ落せ
貴様がどこの大学の卒業かはしらんが、過去の学歴は忘れろ
貴様の実力は、卒業したとされる大学名に見あってない
どんなにリコウぶっても馬鹿はすぐ露見するんだ
だったら最初から「ボクは馬鹿でぇす！」といえばいいだろ
おまえが実社会でどんなもっともらしい顔して生きてるかは知らんが
ここではそんなことは一切忘れろ 読者には全然関係ないことだ
正真正銘のおまえしかここではわかりようがないんだからな >>944
ID:fQMp07ksさん、どうも。スレ主です。
(引用開始)
Q上の任意の５次拡大においてKそのガロア閉包のガロア群が可解である時、x∈Kをうまく取ればその最小多項式が２項からなるものから取れる
というのが正しいのかチェックしてるんですけどそんな難しくないんですか？
まぁほとんどのそうでない可能性は潰せてるので行けそうなんですけど。
(引用終り)
それ、ガロアの逆問題みたいな気がするな
おーい、ぼくちゃん（Mara Papiyas）なんか、コメントしてやんなよｗ（＾＾
（参考）
（下記、「ガロア理論とガロアの逆問題」の
"2.3 ガロア群が5次2面体群と同型になる多項式"
命題8.2 f(x):=x^5+ax+b で、a=0のときが、参考になるかも）
https://aue.repo.nii.ac.jp/index.php?action=repository_view_main_item_snippet&;index_id=314&pn=1&count=20&order=17&lang=japanese&page_id=13&block_id=21
愛知教育大学学術情報リポジトリ AUE Repository
https://aue.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&;active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=6545&item_no=1&page_id=13&block_id=21
https://aue.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri&;item_id=6545&file_id=15&file_no=1
ガロア理論とガロアの逆問題
清水 悠夏
平成27年度 修士論文 抄録 , イプシロン. 2016, 58, p. 143-148. >>952
＞私は今まで一言も「ガロア理論が分かっている」とは言っていないｗ
うむ、謙虚でよろしいｗ（＾＾ おれも、雑談 古典ガロア理論も読む なんだよね（＾＾ >>956
自分がわからないことにもコメントする馬鹿 それが貴様ｗ
>>957
貴様には謙虚さの欠片もないな 会社でも部下にえばってるのか？ｗ
>>958
貴様がガロア理論にどんなロマン感じてるのか知らんが
貴様は勉強する意欲が皆無だから死んでもガロア理論は理解できない
無駄だからスレタイからもHNからも「ガロア理論」の文字外せ
ガロアが見たら貴様に黒板消し投げつけるぞ ガロアは短気だからなｗ 貴様を弄るネタはガロア理論だけじゃないからなｗ
また、カントルスレでいたぶってやるよ
向こうはこっちよりもさらに低レベルだからな
まったく集合の初歩も分からんくせに
何がガロア理論だ 笑わせるなｗ >>918
>・B_{5}'メタ巡回群 (位数 20)
追加参考
（後の”Metacyclic Group Wolfram MathWorld”の方が、綺麗に纏まっているが、書きぶりがちょっと違う）
https://en.wikipedia.org/wiki/Metacyclic_group
Metacyclic group
(抜粋)
In group theory, a metacyclic group is an extension of a cyclic group by a cyclic group. That is, it is a group G for which there is a short exact sequence
1 → K → G → H → 1
where H and K are cyclic. Equivalently, a metacyclic group is a group G having a cyclic normal subgroup N, such that the quotient G/N is also cyclic.
Properties
Metacyclic groups are both supersolvable and metabelian.
Examples
・Any cyclic group is metacyclic.
・The direct product or semidirect product of two cyclic groups is metacyclic. These include the dihedral groups and the quasidihedral groups.
・The dicyclic groups are metacyclic. (Note that a dicyclic group is not necessarily a semidirect product of two cyclic groups.)
・Every finite group of squarefree order is metacyclic.
・More generally every Z-group is metacyclic. A Z-group is a group whose Sylow subgroups are cyclic.
http://mathworld.wolfram.com/MetacyclicGroup.html
Metacyclic Group Wolfram MathWorld >>960
正則性公理のいう「無限降下列の禁止」を、即断＆誤解していたのはだれ？ｗｗ(゜ロ゜;
（参考）
現代数学の系譜 カントル 超限集合論
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/415-417 >>959
＞自分がわからないことにもコメントする馬鹿 それが貴様ｗ
うむ、>>944にコメントできないと、自白しているのか？
謙虚でよろしい（＾＾； >>961
あのさ、そういう
「ボクは必死にガロア理論を分かろうとしてるんデス！（涙目）」
みたいなアピールコメント、やめろよ みっともないから
お前、全然努力してないし、努力する気もないじゃん
円分体の同型写像も確かめずに
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
とか言ってる時点で、
「ああ、こいつ全然勉強してないどころかそもそも勉強する気ゼロだな」
ってのが露見してるんだよ
諦めてスレタイ＆HNから「古典ガロア理論も読む」の文字外せって
なにつっぱってんだよ 馬鹿のくせに
>>962
その件でいいたいことがあるならカントルスレに書けば
ま、向こうでも貴様が負けるのは決定事項だけどなｗ >>959
＞貴様がガロア理論にどんなロマン感じてるのか知らんが
古典ガロア理論ていうのはさ、いろんなところに繋がっている
というか、昔抽象代数学なんていったけど
（最近の数学は全部抽象化されたから聞かないが）
ガロア理論が、原点みたいなものでね
それに、ガロア理論を学べば、いろいろ実益もある（群とか体とかの理解にもつながる）
まあ、書名に「ガロア」と入れると売れるらしい ｗ(゜ロ゜;
ここのスレタイもその類いではある ｗ（＾＾； >>963
そもそも私はおまえみたいに
「どんな質問にも答えられなかったら負け 負けたら死ぬしかない」
みたいな●違いな強迫観念は持ち合わせてないｗ
わからないことには答えられないし
わからないことが山ほどあっても死にはしない
おまえ、何を恐れてるの？
精神科で診てもらったほうがいいぞ >>965
＞ガロア理論が、（現代数学の）原点みたいなものでね
それ、数学知らん奴の妄想
＞ガロア理論を学べば、いろいろ実益もある
＞（群とか体とかの理解にもつながる）
お前、何も学べてないじゃんｗ
群とか体とか、全然理解できてないじゃんｗ
正規部分群も誤解してたし
円分体の同型写像も分かってなかったじゃん
実益ないじゃんｗ
＞書名に「ガロア」と入れると売れるらしい ｗ(゜ロ゜;
お前、本すら出してないじゃん
いっとくけど、自費出版で儲けようとか「オツムがお花畑」だぞｗ
安達某じゃあるまいし、トンデモ本が売れるわけないだろうｗ
悪いことは云わない
スレタイ＆HNから「古典ガロア理論も読む」の文字外せって
なにつっぱってんだよ 馬鹿のくせに ま、本当は、次スレも経てず、HN名もやめて
一匿名としてやり直すのが一番いいんだがね
さすがにそこまでいったら貴様の面目丸つぶれだから、せめて
スレタイ＆HNから「古典ガロア理論も読む」の文字外せ
っていってやってるんだぞｗ
おまえ、いったい何様のつもりなの
大阪大ごときでエリート面すんなよ 馬鹿がｗ >>944
>誰かが書いてた
具体的にはどのレスですか？
>Q上の任意の５次拡大においてKそのガロア閉包のガロア群が可解である時、x∈Kをうまく取ればその最小多項式が２項からなるものから取れる
最小多項式が2項とのことですが、その次数は5ですか？それとも一般のn次ですか？
いずれにしても1のn乗根を添加するとその上のn次クンマー拡大で分解するってことですね。
そんなことは一般には成立しないと思います。 >＞ガロア理論が、（現代数学の）原点みたいなものでね
>
>それ、数学知らん奴の妄想
まぁ、そのあたりは主観によりますね。
現代数学がかなりガロア理論的なものに偏っているのは間違いない。
でも、みんなが同じ方向を向く必要なんてない。
（研究のエネルギーとしてもムダ。）
主流がそっちに向かってるときこそ逆張りするという考えがあってもいいと思います。 >>970
＞まぁ、そのあたりは主観によりますね。
＞現代数学がかなりガロア理論的なものに偏っているのは間違いない。
＞主流がそっちに向かってるときこそ逆張りするという考えがあってもいいと思います。
ID:mJ2TyGNrさん、どうもスレ主です。
レスありがとう
確かに同意ですが
１）
昔々、数学は、「代数」と「解析」と「幾何」とに三分されていた
２）
その中で、「代数」ってのは、式の計算と方程式の解法、あるいは数論（整数論など）が、メインテーマだった
ガロア理論が広まって、どんどん代数が抽象化されていった
その中で、デデキント先生などが活躍された
３）
もう一つの流れが「解析」で、ワイエルシュトラスなどの厳密化の流れの中で、カントールの無限集合論が出て来た
デデキント先生などは、「代数」と「解析」に跨って、「集合論を数学の基礎にすればいい」なんて考えたみたいです
で、「抽象代数学」がどんどん発展した。高木先生の類体論は、この流れ
４）
カントールの無限の扱いに起因して、無限のパラドックスが19世紀の終りから、20世紀の初めに強く意識された
ヒルベルトが、「集合論で公理化して、”有限”個の公理の組み合わせと”一階述語論理”で、全ての数学がカバーできて、完全・無矛盾になればいい」と考えた
ヒルベルトの夢は、ゲーデルの不完全性定理で打ち砕かれたけれど
基礎論の公理化の研究で、結構病的な、あるいは荒唐無稽と思われていたことが、
「公理的には、そういうのもあり」となってきた（例 ロビンソンのノンスタンダード解析の考えなど）
望月先生のIUTなども、その流れかも（”それもあり”か”それはだめ”かが、未決着ですが（＾＾ ）
つづく >>971
つづき
５）
「幾何」は、リーマンとかポアンカレの流れがあって、位相空間や多様体が研究され
後の「代数幾何」の基礎になった
（「代数幾何」って、「代数」なのか「幾何」なのか？ｗ ）
「代数幾何」の流れ中で、グロタンディーク宇宙なんて考えたらしい
６）
それらが、どんどん発展して、グロタンディーク的手法も使って、
数論の「フェルマー予想」が解かれたそうだ
ここ「フェルマー予想」解決にも、ガロア理論の影があります
６）
なので、これが現代数学の全て、ではないが、
古典ガロア理論くらい知っておいて損はないと思う
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
(抜粋)
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
(引用終り)
以上 >>969
定かではありませんが、
5 次拡大がガロア群が可解なら二項拡大
みたいな事書いてました。
でそれは少なくとも下の体がQ(exp(2πi/5))を含む場合でしょと突っ込み入れてました。
実際反礼があるのかと考えてみると中々ないのがわかります。
まずζ=exp(2πi/5), K=Q(ζ), f(x)をQ上の規約多項式で今はこれがK上でも規約まで仮定しておきます。
この上でLをK上の最小分解体, G=Gal(L/K)とし、これが可解とします。
最小性の仮定からGは唯一の極小正規部分群Nを持ち、それが５次巡回群までは自明なのでG/N=Qとおきます。
Qの位数は24の約数で可解なので、少し議論すると2群かまたは位数３の正規部分群を持ちます。
ここで後者とするとGが元々位数15の正規部分群を持ちますが、それはC3×C5しかあり得ず、そのシロー3群は特性部分群なので、Gが位数3の正規部分群を持つことになり、Lの最小性に反します。
以上によりG=N⋊Q、#Q=1,2,4,8まで来ます。
ここでQのNへの自然な作用が自明な元全体をKとすると#Kは4以下でKが非自明なら非自明なセンターを持ち、それはGのセンターになってしまうのでGの最小性に反します。
よってQはe,c2,c4,c2×c2です。
以上の議論を踏まえてQ上のある５次規約多項式がK上でも規約の場合、その最小分解体のガロア群は位数が80の約数で位数5の巡回群を唯一の正規部分群として持つ事が言えます。
さらに絞っていくと位数は5か20しかない事も言えます。
20の場合というのはあるa∈KでLがその最小分解体となるケースです。
この時x^5-N[L/K](a)はLで分解するのでこれがQで規約なら主張は成立です。
aはKの整数としてよく、それが整数環の非可逆元ならやはり容易です。
そうでない場合が残りケース。
実例を調べてみるとこの場合は必ずアーベル拡大になってしまいQ=eになるようです。
もっか調べ中。
誰かが本にそれっぽい事書いてたと言ってたので正しいのは正しいのでしょう。 おっちゃんです。
>>971
>( 2)の ) ガロア理論が広まって、どんどん代数が抽象化されていった
正則行列による群の表現や群の表現論などの(代数的)表現論の歴史を語ることはかなり難しくなっているが、少なくともここは
>( 2）の) ガロアの群の概念が広まって、どんどん代数が抽象化されていった
の方がいい。
>3）
>もう一つの流れが「解析」で、(熱伝導方程式に関するその方程式を解くことなどのフーリエの研究から生まれたフーリエ級数
>の収束の問題から生じた)ワイエルシュトラスなどの厳密化の流れの中で、カントールの無限集合論が出て来た
>デデキント先生などは、「代数」と「解析」に跨って、「集合論を数学の基礎にすればいい」なんて考えたみたいです
>で、「抽象代数学」がどんどん発展した。高木先生の類体論は、この流れ
ここのデデキントはリーマンの友人でもあった。また、補足して読んだように、多くの解析の分野は物理に基づく問題から生じている。
もしかしたら、複素解析も歴史的にはニュートン力学の運動方程式に基づくといえるかも知れない。
スレ主は解析の歴史を語る上で物理に一切触れていないため、そこは全くのデタラメだな。 >>972
>５）
>「幾何」は、リーマンとかポアンカレの流れがあって、位相空間や多様体が研究され
>後の「代数幾何」の基礎になった
>（「代数幾何」って、「代数」なのか「幾何」なのか？ｗ ）
>「代数幾何」の流れ中で、グロタンディーク宇宙なんて考えたらしい
クラインはリーと研究をしたことがあって、リーは幾何を大域的に考える方向へ、クラインはより詳細な幾何的構造を考える
方向に考えるようになった。その段階で生まれたリーのリー変換群(今でいうリー群)や
クラインの変換群を用いた幾何の研究のエルランゲン・プログラムも生じた。
そこから生じたリー群(とその表現論)の研究の流れもある。
リー群の表現論は一概に代数、幾何、解析に分類することは出来ない。
リー環の歴史は何といっていいのかよく分からない。 >>971 追加
ガロアと名の付く数学用語一覧
（これだけで全部じゃないと思うが）（＾＾
なお、ガロアと名はつかないが、ガロアの後、抽象的な群論が活発に研究された
なので、古典ガロア理論を学べば、必然群論も体論も、おそらくは環や、その他もろもろの代数系の学習の助けになるだろう（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_field_theory
Glossary of field theory
(抜粋)
Types of fields
Finite field
A field with finitely many elements. Aka Galois field.
Frobenius field
A pseudo algebraically closed field whose absolute Galois group has the embedding property.[8]
Field extensions
Galois extension
A normal, separable field extension.
Galois theory
Galois extension
A normal, separable field extension.
Galois group
The automorphism group of a Galois extension. When it is a finite extension, this is a finite group of order equal to the degree of the extension. Galois groups for infinite extensions are profinite groups.
Kummer theory
The Galois theory of taking n-th roots, given enough roots of unity. It includes the general theory of quadratic extensions.
Normal basis
A basis in the vector space sense of L over K, on which the Galois group of L over K acts transitively.
Extensions of Galois theory
Inverse problem of Galois theory
Given a group G, find an extension of the rational number or other field with G as Galois group.
Differential Galois theory
The subject in which symmetry groups of differential equations are studied along the lines traditional in Galois theory. This is actually an old idea, and one of the motivations when Sophus Lie founded the theory of Lie groups. It has not, probably, reached definitive form.
Grothendieck's Galois theory
A very abstract approach from algebraic geometry, introduced to study the analogue of the fundamental group. >>974
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾ >>976
>A field with finitely many elements. Aka Galois field.
Aka：「aka」は、「also known as」の略語
あるものに、何か他の呼び方や名前がある時に使うみたいです（＾＾；
https://www.eigowithluke.com/aka/
Eigo with Luke
2011.02.16
akaの意味 ネイティブの説明
(抜粋)
今日は「aka」について説明します。この「aka」は、「also known as」の略語になります。
あるものに、何か他の呼び方や名前がある時、「also known as」というフレーズを使ってそれを紹介出来ます。
つまり、「also known as」は「またの名前は」、「通称」などという意味になります。
「also known as」を省略して書く時にはいくつかの書き方があります。 >>975の訂正：
リー変換群(今でいうリー群) → リー変換群芽(今でいうリー群)
あと、歴史的に一番最初に生じた多様体はリーマン面。 >>975
リー248群はE8の技
Anthony Garrett Lisi - E8
あいつの素粒子の絵みたことある？
すごいよ。 複素平面はリーマン面。
>>976
>ガロアと名の付く数学用語一覧
その wiki を見たが、余りないようだな。 >>982
"The Geometry of Particle Physics: Garrett Lisi at TEDxMaui 2013" を YouTube で見る "宇宙論「4d2Uとは？」" を YouTube で見る >>983-984
英会話の説明はチンプンカンプンだったが、
画面にきれいな対称性を持つ円のような図形は出て来た。 >>973
わたしが理解している話の流れ
位数20の可解群をガロア群として持つ5次方程式の例として
Mara Papiyas氏がx^5-a=0を出した。
しかしスレ主は前々から「基礎体には1のべき根はすべて含まれている」という条件に拘っていて、ガロア群はC_5だろうとこの例を認めなかった。
わたしは、x^3-2=0というQ上S_3をガロア群として持つ有名な例と比較して、氏の例は立派な例になっていることを説明した。
そんな感じですかね。
貴方は途中からよく分からない理由で参入してきた、何をしようとしているのかも不明という印象です。失礼ながら。 >>973
まず文章が非常に読みにくいです。
反礼→反例、規約→既約 などの誤字が目立ちます。
既約というのは、ご存じでしょうが、これ以上約すことができないという意味だから、既約なんですよ。
規約だと違和感を感じませんか？
Qを有理数体の意味に使ったり、Quotientなる群？の意味に使ったりまぎらわしいです。それはまだしも。
前半の可解な既約5次方程式のガロア群になりうる群位数が制限されるというのは一般的な話ですね。ですが
>さらに絞っていくと位数は5か20しかない事も言えます。
スレに出ていた話では5,10,20のケースがあるそうです。
>20の場合というのはあるa∈KでLがその最小分解体となるケースです。
これが何を言ってるのか分からないです。
>この時x^5-N[L/K](a)はLで分解するのでこれがQで規約なら主張は成立です。
これも意味不明。N[L/K]とはノルム写像ですか？ でも、a∈Kであればノルムを取る意味ありますか？
わたしの理解するところ。位数20の話としましょう。
仮にこのガロア群を持つ方程式がx^5-a=0 の形だとすると、1の原始5乗根ζを添加した後に5次クンマー拡大で分解体に到達することになります。
つまり「位数20のガロア群を持つQ上の5次方程式を解くとき最初の4次拡大は必ずQ(ζ)/Qと一致する」
ことになります。
それはおかしいと思う（ただし直感で詳しく検討してはいないが）、最初からそんな問題意識は持たないです。
そもそも3次の場合は2項方程式に帰着しませんが、それと可解5次の場合の違いが説明できますか？ >>989
いや、ま、私が話の流れから考え出した問題がなんの関係もないどうでもいい問題と思われるなら別に構いませんよ。
私は単にQ上既約５次多項式でその分解体のガロア群が可解の場合なのはどんなものがあるのか、x^5-aの形の多項式の分解体になってないものがどのくらいあるのか興味を持っただけですから。
Q(exp2πi/5))上とQ上では話が違うので前者の上で言えたからと言って後者の上で言えるとは限らないのはおっしゃる通り。
なので確かめてみようと思ったまでです。
別に私も誰も興味ないなら判明しても詳しくかくつもりもありません。
ただ私がQ(exp2πi/5))で言えたからQ上でも言えるはずなどという根拠薄弱な事を言ってると思われたようなのでそんな事はなくキチンと数学的に精査して書いてる事を示しただけです。
まぁきりのいいとこまで考えはしますがウザいようなのでもうここには書きません。
お騒がせでした。 >>991
Q(exp2πi/5))上ならなおさらおかしくないですか？
Q(exp2πi/5))上、方程式x^5-a=0 の分解体は5次クンマー拡大でガロア群は
必然的にC_5なので、ガロア群位数20はそもそも生じないことになります。
基礎体を大きくしてもいいなら、わたしも反例の存在を大まかに説明できるかもしれません。
具体例ではなく、概念的な反例になりますが。
具体例であれば、スレ中に可解な5次方程式についての論文のリンクが貼ってあったので、それが参考になるでしょう。
>まぁきりのいいとこまで考えはしますがウザいようなのでもうここには書きません。
>お騒がせでした。
別にうざくはないですよ。もともとクソみたいなスレなので
落書き帳として使ってもスレ主は本望だと思いますよ（＾＾
仮に間違っていたとしてもスレでは日常茶飯事なので、気にされることもないです。 >>992
＞もともとクソみたいなスレなので
そもそも、ここってクソな1を凹るスレだろ？ｗ
＞仮に間違っていたとしてもスレでは日常茶飯事
1は口を開けば間違いしか言わんからな
それにしても>>973の書き込みはヤバい感じがプンプンしてましたな
5chってそういう人が多いからね 病気なら仕方ないけど >>965
＞書名に「ガロア」と入れると売れるらしい ｗ(゜ロ゜;
そのとおり！
石井俊全氏の「ガロア理論の頂を踏む」をよろしく、
です、私は第2章可解群で撃沈しているのですが…いつかもう一度第一章からチャレンジしたいと思っています >>970
正直言って、20世紀的な現代数学は、今となってはハンパに古臭い
群論も今の幾何学ではケイリーグラフとかオートマトン構造とか
使って研究してるじゃないですか
要するに大事なのは結果が出るかどうかであって何でもあり
「抽象的」とかいうスタイルとかいうか雰囲気に固執するのは
数学自体に興味はなくて、ただ粋がりたいだけのファッション馬鹿でしょｗ まぁ病気だと思われてまで書くのもなんなのでこれ以上は書きません。
お騒がせでした。 >>996
病気とは思ってませんよ。
ここに書くことは相手に伝わる文章も書く訓練としてもいいと思います。
また気が向いたら書かれてみては。
正直何が言いたい・やりたいのか分からなかった。少し気になります。 やりたい事は
Q上５次既約多項式の分解体のガロア群が可解であるものを分類せよ。
特にx^5-aの形の既約多項式の分解体でないものはどれくらいあるのか？
です。
意外に？ほとんどかの形してます。
少なくとも５次二面体群になるやつはないようで５次巡回拡大かc5⋊(aut(c5))しかないようで後者はあるaでのx^5-aの分解体になるようです。
前に書いたレスでaがQ(exp(2πi/5))の整数環の単数になる場合が検討しきれてない。 >>998
aがQ(exp(2πi/5))の数ならQ上にならないじゃん
↑
悪意のないツッコミ（＾＾
数え方というのもよく分からない。
自分の構成法が偏ってれば、当然そういう形ばっかりになる
そうでないと言える構成法があるんでしょうか？ >>995
そういう話はよく分からない。
ガロア理論的数学といえばあからさまなのは数論幾何とか
モッチー理論もダメと言われながら、依然として話題。 このスレッドは１０００を超えました。
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