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大学学部レベル質問スレ 11単位目
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0001１３２人目の素数さん
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2018/04/20(金) 05:50:10.46ID:KlG5+Hlw
大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 10単位目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1519715377/
0241１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 16:33:40.91ID:ARYCna+A
>>239

ヒントですが、成り立ちません。
0243１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 16:37:00.07ID:DX61/i+S
>>236
で？
0244１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 16:38:52.46ID:0Jn5cTxT
>>241
ああスマン、やっぱり反例作れた
平方数のときだけそのまま、あと0とかでもいいね
単調減少とかないと成り立たないね
0245１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 16:40:21.40ID:ARYCna+A
テイラー展開ではなくテイラーの公式ではないでしょうか？
0247１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 16:44:15.11ID:ARYCna+A
>>238

f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + O((x - a)^2)

という公式です。
0248１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 16:49:07.82ID:0Jn5cTxT
テイラー展開の方が馴染みがあるだけ
展開の形からもわかるから
テイラーの定理をつかってもいい
0249１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 16:52:33.59ID:gEJLNVZC
>>247
なるほど加法定理ではなくテーラー展開をしてるんですね。話が変わってしまうのですが、加法定理はその公式から導けるのですか？
0250１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 16:55:36.65ID:ARYCna+A
>>237

ありがとうございます。

a_1^2 + a_2^2 + … a_n^2 → S（n → ∞） とする。

|a_1|/1 + |a_2|/2 + … + |a_n|/n

≦

sqrt(a_1^2 + a_2^2 + … a_n^2) * sqrt(1 + 1/2^2 + … + 1/n^2)

→

sqrt(S) * sqrt(π^2/6)

{|a_1|/1 + |a_2|/2 + … + |a_n|/n} は収束する。

絶対収束する級数は収束するから、

{a_1/1 + a_2/2 + … + a_n/n} は収束する。
0251１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 16:59:17.08ID:ARYCna+A
>>237

齋藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』の解答は、以下です。

a_n^2 + 1/n^2 = (|a_n| - 1/n)^2 + 2*|a_n|/n ≧ 2*|a_n|/n
0253１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 18:42:27.50ID:pC2LS//C
Who 松坂君？
0256１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 21:07:26.93ID:dkZJD9G+
劣等感婆なんてのもいるんだ……
0258１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 21:36:10.93ID:hIDdhzn1
教科書の粗探ししてるのが松坂くん
定期的に発狂してるのが劣等感婆
￥って書いてるのが￥
0260１３２人目の素数さん
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2018/05/07(月) 23:04:16.22ID:ilQ0GyRv
「わからないんですね」や「ある無矛盾な〜」は劣等感婆
0261１３２人目の素数さん
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2018/05/08(火) 00:07:24.72ID:HFRZjrCA
荒らしは敬語を使う
0267１３２人目の素数さん
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2018/05/08(火) 18:23:04.59ID:TOL7lpPs
微分方程式です
dy/dx-(ln x)y=x^x

解き方教えてください
0268１３２人目の素数さん
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2018/05/08(火) 18:32:52.60ID:MbAKKwrj
X^x
0269１３２人目の素数さん
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2018/05/08(火) 21:52:21.13ID:TOL7lpPs
>>268
計算ミスしてました
無事たどり着けました
ありがとう
0270１３２人目の素数さん
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2018/05/09(水) 09:19:01.19ID:NevVJYaF
アーベルの定理について質問です。
以下の議論はOKですよね？
ちょっとややこしいですね。


1 / (1 + x) = 1 - x + x^2 - x^3 ± … (-1 < x < 1)

x = t^2 (-1 < t < 1) を代入

1 / (1 + t^2) = 1 - t^2 + t^4 - t^6 ± … (-1 < t < 1)

これを項別積分すると、

arctan(x) = x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 ± … (-1 < x < 1)

±(1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 ± …) は交項級数だから収束する。

アーベルの定理から

lim_{x → ±1} (x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 ± …)

=

±(1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 ± …)

arctan(x) は (-1, 1) の外でも定義され、 x = ±1 で連続だから

arctan(±1)

=

lim_{x → ±1} arctan(x)

=

lim_{x → ±1} (x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 ± …)

=

±(1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 ± …)
0271１３２人目の素数さん
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2018/05/09(水) 09:41:33.49ID:gnIjlof6
>>269
一般解は？
0272１３２人目の素数さん
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2018/05/09(水) 10:00:55.69ID:NevVJYaF
a_0 + a_1 * x_0 + a_2 * x_0^2 + …

は収束するが

a_1 + a_2 * x_0 + a_3 * x_0^2 + …

は発散するような例はありますか？
0273１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/09(水) 10:09:23.45ID:NevVJYaF
あ、ないですね。
0274１３２人目の素数さん
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2018/05/09(水) 10:26:29.06ID:sSiJOR5t
関数の微分値しかわからない二次元パラメータの制約なし局所最適化問題を解く必要があるんですが、いい感じのアルゴリズムってありますか？
0277１３２人目の素数さん
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2018/05/09(水) 14:02:07.53ID:p50V6V2P
この↓解き方に関してですが、
https://imgur.com/a/sqgLUNV

高校数学では、ふつうこのような問題は場合分けして、f(x)の
グラフを書いて求めると思いますが、この解法はいきなり微分
してやってあります。
このようなことができる理由は
∫｜g(t)｜dt は微分して｜g(t)｜になる関数だから
f(x)=∫[x→x+1]｜g(t)｜dt → f'(x)=｜g(x+1)｜-｜g(x)｜
となるのは当然としてよいのか、本当はこれは証明が必要な
ことなのか考えあぐねています。
このようなことができる明確な理由、若しくは証明はありますか。
0279１３２人目の素数さん
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2018/05/09(水) 14:14:11.99ID:QGO7kjYI
>>277
高校数学では微積分学の基本定理(連続関数の積分が微分可能で微分すると元に戻る)を認めてるから別にいい
0281１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/09(水) 14:37:10.29ID:xpXWPMq2
その荻野の本に書いてないのかよ
側注にITEM云々と書いてあるようだが
0282１３２人目の素数さん
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2018/05/09(水) 15:13:14.34ID:p50V6V2P
>>281

＞その荻野の本に書いてないのかよ

書いてないです。
0283１３２人目の素数さん
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2018/05/09(水) 15:14:27.89ID:p50V6V2P
証明するのは難しいものですか？
0284１３２人目の素数さん
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2018/05/09(水) 15:18:49.79ID:p50V6V2P
ふつうの本の解法は場合分けです。
いきなり微分しても成り立つのが当然なら、どの本もそうなってるはず
だけどそうしないのはやはり引っ掛かるものがあるからだと思います。
0285１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/09(水) 15:40:07.39ID:etaekrl3
>>283
証明するのが難しいというよりは、高校数学では証明しようがないよ
だから認めて使ってるわけだけど
積分したものを微分したらもとに戻る、ってのは大学以上でちゃんと証明するわけだけど
その証明自体はふつう連続関数でやるか 、らその範囲で使って問題ない
教科書にも書いてあるはず

てかtの積分がt^2/2になったりするのもその事実に基づいてるはずだから、それを使えないということはないと思うが
0286１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/09(水) 15:43:52.79ID:etaekrl3
>>284
ふつうの本は、って言うけど何冊みたのやら
問題集のレベルにもよるし
あまり難しいことを考えさせない計算問題集みたいな色の強い物だと、あなたみたいに疑問に思う人のことを考えて、手間は掛かっても愚直にやる解法を採用したりする
0287１３２人目の素数さん
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2018/05/09(水) 15:57:54.64ID:KCh8zfY4
>>284
は？
0288１３２人目の素数さん
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2018/05/09(水) 19:10:29.38ID:NevVJYaF
>>285

でも直観的ではあるが証明の概要のようなものは習うのではないでしょうか？
0292１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/09(水) 21:50:45.11ID:p50V6V2P
みなさんありがとうございます。
特に285,291は参考になりました。
先ほど考えてみましたが、思いついた説明は
多分、双対性と呼ばれているものだと思います。
満員電車の中でちょっと考えただけですから、
また何かあるかもしれませんが。
0293１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/09(水) 23:59:26.16ID:ciFckld5
f(x,y):Ｒ→Ｒを関数とします
「fをxで偏微分した偏導関数」をyで偏微分したものと
「fをyで偏微分した偏導関数」をxで偏微分したものとが異なるような関数fは存在しうるのでしょうか
0294１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 00:29:19.67ID:R9xe/nJK
>>293
いくらでも
0297１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 09:09:14.53ID:6eM4CHhx
おまえらに出来ることは写経だけなのさ
0299１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 12:11:05.20ID:Gpi/THDA
f : x → x/(x+1)
0300１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 12:13:46.39ID:Gpi/THDA
f : x → log(x/(x+1))
0301１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 12:18:54.41ID:Gpi/THDA
log(-log(-log(x/(x+1))))
0302１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 12:26:18.23ID:Gpi/THDA
log(log(x/(x+1) + e)+e-1)
0303292
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2018/05/10(木) 12:53:12.82ID:aTzzpKEu
>>295
＞その思いついた双対性ってのの説明を書いてみ

自分がやった方法は、双対性の原初的なものなのか何
なのか分からないです。
いきなり微分した場合と場合分けでやった場合とでは
よくある見慣れた関数では符号が一致することを説明
しているだけですから。

ところで、絶対値付きの関数の積分は二次関数程度なら
１つの式で求めることができますが、一般的にf(x)が
連続関数なら｜f(x)｜の積分は１つの式で表すことが
できるのですか？

これはみなさんにお尋ねします。
0304１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 13:18:10.00ID:taYkwb/6
双対性なんて言わん
そもそも積分が１つの式だろ
そうでなくとも場合分け関数を 1+x/|x| 使って１つの式にするのは常套手段
0305１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 13:48:12.17ID:aTzzpKEu
ありがとうございます。
やはりすごい方々が5chに引っ越しなさったんですね。
0306１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 13:55:29.39ID:yIr9Gv+C
統計学を勉強しています。院レベルになると、測度論的統計学という言葉が出てきます。
この測度論、ルベク積分の話が分かるようになるには、大学初等で習う線形代数、微分積分から、
どういう手順で数学書を読み進めていけば、とりあえず理解できるようになるか教えて頂けませんか？
私は文系出身の社会人で、大学初等の線形代数、微分積分と、測度論を使わない数理統計学の本をなんとか読めるレベルです。

たとえば、
「線形代数、微分積分」→「微分方程式」→「常微分方程式」→・・・→「測度論・ルベク積分」
のように教えて頂けると、とても助かるのですが・・^ ^
0308１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 14:45:46.15ID:NEWFwW7D
>>306
統計学がそもそも数学じゃ無いのに
測度使ってとか笑ける
0311１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 17:08:24.68ID:Gpi/THDA
整級数 Σa_n*x^n を考える。

1 / lim |a_(n+1)/a_n| が存在すればそれが収束半径

っていう命題ですが、これ使いにくいですね。

Σ((-1)^n/(3*n+1))*x^(3*n+1) = 1 - 1/4 + 1/7 - 1/10 ± …

みたいな場合に直接は適用できないですよね。
0312１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 17:09:30.41ID:Gpi/THDA
Σ((-1)^n/(3*n+1))*x^(3*n+1) = 1 - (1/4)*x^4 + (1/7)*x^7 - (1/10)*x^10 ± …
0313１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 18:08:41.79ID:Wd7rbzG5
>>311
R=liminf |An|^(-1/n)でええやん
0314１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 18:10:34.99ID:Gpi/THDA
>>313

それって使いにくくないですか？
0315１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 18:44:45.32ID:Wd7rbzG5
>>314
手軽さと適用範囲の広さはトレードオフの関係。>>313の公式は常に成立するので多少使いにくいのはしゃあない。しかしこの程度の公式が使いこなせんようではダメ。
0316１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 18:57:13.97ID:Gpi/THDA
>>311

は正項級数のダランベールの判定法を使えばいいですよね。

>>311

の公式自体が正項級数のダランベールの判定法を使って証明されますが。
0317１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 19:43:20.89ID:Gpi/THDA
Mathematica とか Maple を使うと色々な定・不定積分の計算ができますが
どういうアルゴリズムを使っているのでしょうか？

そういうことが書かれた本はありますか？
0319１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/10(木) 19:52:01.75ID:Gpi/THDA
Modern Computer Algebra
by Joachim von zur Gathen et al.
Link: http://a.co/7bSttEH

↑こういう本を読めばいいわけですね。
0320１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/11(金) 13:40:08.08ID:jMykQq8C
元々は初等関数・楕円関数の範囲内で積分可能の判定して積分を求めるアルゴリズムの論文があったはず
0321１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/11(金) 20:25:44.13ID:wJBza5Ea
a_(n+1) = exp(-a_n)

b_(n+1) = cos(b_n)

の収束性を論ぜよ。
0324１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 00:24:26.70ID:pLZ6un56
物理と数学をいろいろ対応付けて考えているのですが、物理で一般にいうベクトル場は数学だと接束やら余接束の断面ということになると思うんですけど流線やら磁束ってのは数学でいうとなんてものに当たるんでしょうか？
0329１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 07:30:53.72ID:oLpBza7h
>>326
数学的には全部の式がばかばかしいな
呪術みたいなものか
0330１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 09:12:36.63ID:GJayoGcj
>>321

b_(n+1) = cos(b_n)

f(x) := x - cos(x)
f(0) = 0 - cos(0) = -1 < 0
f(π/2) = π/2 - cos(π/2) = π/2 - 0 = π/2 > 0

中間値の定理より、

f(x_0) = 0 となるような x_0 ∈ (0, π/2) が存在する。

f'(x) = 1 + sin(x) ≧ 1 - 1 = 0

だから、 f(x) は広義単調増加関数である。

f(x) = 0 に異なる2つの解 x_1, x_2 (x_1 < x_2) が存在すると仮定する。

x ≦ 0 ⇒ f(x) ≦ f(0) = -1 < 0
π/2 ≦ x ⇒ 0 < π/2 = f(π/2) ≦ f(x)

だから、 0 < x_1 < x_2 < π/2 である。

平均値の定理より、

f(x_2) - f(x_1) = f'(x_3) * (x_2 - x_1) (x_1 < x_3 < x_2) となるような x_3 が存在する。

0 < x_1 < x_3 < x_2 < π/2 だから、

f'(x_3) = 1 + sin(x_3) > 1 > 0
x_2 - x_1 > 0

よって、

f(x_2) - f(x_1) > 0 となるがこれは矛盾である。

よって、

f(x) = 0 となるような x はちょうど一つ存在する。
0331１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 09:35:10.35ID:GJayoGcj
>>321

f(x_0) = 0 とすると、↑より、 x_0 ∈ (0, π/2) である。

n ≧ 1 のとき、

b_n = cos(b_(n-1)) だから、

-1 ≦ b_n ≦ 1 である。

n ≧ 2 とする。

cos(b_(n-1)) - cos(x_0) = -sin(t) * (b_(n-1) - x_0) となるような b_(n-1) と x_0 の間の数
t が存在する。よって、

|b_n - x_0| = |cos(b_(n-1)) - cos(x_0)| = |sin(t)| * |b_(n-1) - x_0|

と書ける。

n - 1 ≧ 1 だから、

-1 ≦ b_(n-1) ≦ 1 である。

また、

0 < x_0 < π/2 である。

もしも、 π/2 ≦ t ならば、

b_(n-1) ≦ 1 < π/2 ≦ t
x_0 < π/2 ≦ t

となってしまい、 t が b_(n-1) と x_0 の間の数であることに反してしまう。

また、 t ≦ -1 ならば、

t ≦ -1 ≦ b_(n-1)
t ≦ -1 < 0 < x_0

となってしまい、やはり、 t が b_(n-1) と x_0 の間の数であることに反してしまう。
-1 < t < π/2 である。

ゆえに、

-1 < t < π/2

である。
0332１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 09:59:41.63ID:GJayoGcj
訂正します：

>>321

b_(n+1) = cos(b_n)

f(x) := x - cos(x)
f(0) = 0 - cos(0) = -1 < 0
f(1) = 1 - cos(1) > 0

中間値の定理より、

f(x_0) = 0 となるような x_0 ∈ (0, 1) が存在する。

f'(x) = 1 + sin(x) ≧ 1 - 1 = 0

だから、 f(x) は広義単調増加関数である。

f(x) = 0 に異なる2つの解 x_1, x_2 (x_1 < x_2) が存在すると仮定する。

x ≦ 0 ⇒ f(x) ≦ f(0) = -1 < 0
1 ≦ x ⇒ 0 < f(1) ≦ f(x)

だから、 0 < x_1 < x_2 < 1 である。

平均値の定理より、

f(x_2) - f(x_1) = f'(x_3) * (x_2 - x_1) (x_1 < x_3 < x_2) となるような x_3 が存在する。

0 < x_1 < x_3 < x_2 < 1 だから、

f'(x_3) = 1 + sin(x_3) > 1 > 0
x_2 - x_1 > 0

よって、

f(x_2) - f(x_1) > 0 となるがこれは矛盾である。

よって、

f(x) = 0 となるような x はちょうど一つ存在する。
0333１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 10:00:07.64ID:GJayoGcj
f(x_0) = 0 とすると、↑より、 x_0 ∈ (0, 1) である。

n ≧ 1 のとき、

b_n = cos(b_(n-1)) だから、

-1 ≦ b_n ≦ 1 である。

n ≧ 2 とする。

cos(b_(n-1)) - cos(x_0) = -sin(t) * (b_(n-1) - x_0) となるような b_(n-1) と x_0 の間の数
t が存在する。よって、

|b_n - x_0| = |cos(b_(n-1)) - cos(x_0)| = |sin(t)| * |b_(n-1) - x_0|

と書ける。

n - 1 ≧ 1 だから、

-1 ≦ b_(n-1) ≦ 1 である。

また、

0 < x_0 < 1 である。

よって、

-1 < t < 1

である。

したがって、

-sin(1) = sin(-1) < sin(t) < sin(1)

すなわち、

|sin(t)| < sin(1) < sin(π/2) = 1 である。

よって、

n ≧ 2 のとき、

|b_n - x_0| = |sin(t)| * |b_(n-1) - x_0| < |sin(1)| * |b_(n-1) - x_0|

以上より、

|b_n - x_0| < |sin(1)| * |b_(n-1) - x_0| < … < |sin(1)|^(n-1) * |b_1 - x_0|

が成り立つ。

|sin(1)|^(n-1) * |b_1 - x_0| → 0 (n → ∞)

だから、

b_n → x_0 (n → ∞)

である。
0335１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 12:56:44.41ID:GJayoGcj
>>321

a_(n+1) = exp(-a_n)

f(x) := x - exp(-x)
f(0) = 0 - exp(-0) = -1 < 0
f(1) = 1 - exp(-1) > 0

中間値の定理より、

f(x_0) = 0 となるような x_0 ∈ (0, 1) が存在する。

f'(x) = 1 + exp(-x) > 1 > 0

だから、 f(x) は狭義単調増加関数である。

f(x) = 0 となるような x はちょうど一つ存在する。

f(x_0) = 0 とすると、↑より、 x_0 ∈ (0, 1) である。

n ≧ 1 のとき、

a_n = exp(-a_(n-1)) > 0 である。

n ≧ 2 とする。

exp(-a_(n-1)) - exp(-x_0) = -exp(-t) * (a_(n-1) - x_0) となるような a_(n-1) と x_0 の間の数
t が存在する。よって、

|a_n - x_0| = |exp(-a_(n-1)) - exp(-x_0)| = |-exp(-t)| * |a_(n-1) - x_0| = exp(-t) * |a_(n-1) - x_0|

と書ける。
0336１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 12:57:09.32ID:GJayoGcj
(1)
x > 0 で定義された以下の関数 g を考える。

g(x) := x - exp(-exp(-x))

g'(x) = 1 - exp(-x) * exp(-exp(-x)) = 1 - exp(-(x + exp(-x)))

-(x + exp(-x)) < 0 だから exp(-(x + exp(-x))) < exp(0) = 1

∴ g'(x) > 0

したがって、 g(x) は x > 0 で狭義単調増加関数である。

g(x_0) = x_0 - exp(-exp(-x_0)) = x_0 - exp(-x_0) = x_0 - x_0 = 0

だから、

x < x_0 ⇒ g(x) < g(x_0) = 0

x_0 < x ⇒ 0 = g(x_0) < g(x)

である。

すなわち、

x < x_0 ⇒ x < exp(-exp(-x))

x_0 < x ⇒ exp(-exp(-x)) < x

である。

∴a_n < x_0 ⇒ a_n < exp(-exp(-a_n)) = exp(-a_(n+1)) = a_(n+2)

(2)
a_n > x_0 ⇒ a_(n+1) = exp(-a_n) < exp(-x_0) = x_0
a_n < x_0 ⇒ a_(n+1) = exp(-a_n) > exp(-x_0) = x_0

である。

∴a_n < x_0 ⇒ a_(n+1) > x_0 ⇒ a_(n+2) < x_0
∴a_n > x_0 ⇒ a_(n+1) < x_0 ⇒ a_(n+2) > x_0

a_1 < x_0 であるとき、

(1), (2)より、

0 < a_1 < a_3 < a_5 < … < x_0 < a_2 < a_4 < a_6 < …

が成り立つ。


x_0 < a_1 であるとき、

(1), (2) より

0 < a_2 < a_4 < a_6 < … < x_0 < a_1 < a_3 < a_5 < …

が成り立つ。
0337１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 12:57:32.27ID:GJayoGcj
以上から、

a = min(a_1, a_2) とおくと、

n ≧ 1 のとき、
0 < a ≦ a_n

が成り立ち、

0 < a < x_0

も成り立つ。
0338１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 12:58:05.66ID:GJayoGcj
>>335

の続きを考える。

n - 1 ≧ 1 だから、

0 < a < a_(n-1) である。

また、

0 < a < x_0 である。

よって、

0 < a < t

である。

したがって、

exp(-t) < exp(-a) < exp(0) = 1

である。

よって、

n ≧ 2 のとき、

|a_n - x_0| = exp(-a) * |a_(n-1) - x_0|

以上より、

|a_n - x_0| < exp(-a) * |a_(n-1) - x_0| < … < exp(-a)^(n-1) * |a_1 - x_0|

が成り立つ。

exp(-a) < 1 だから、

exp(-a)^(n-1) * |a_1 - x_0| → 0 (n → ∞)

が成り立つ。

∴a_n → x_0 (n → ∞)

である。
0339１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/05/12(土) 12:59:39.70ID:GJayoGcj
>>338

一部訂正します：

「
よって、

n ≧ 2 のとき、

|a_n - x_0| < exp(-a) * |a_(n-1) - x_0|
」

が正しいです。
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