大学学部レベル質問スレ 11単位目

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/20(金) 05:50:10.46

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 10単位目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1519715377/

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/12(土) 15:28:50.06

>>328
前にも言ったが整数値の電荷磁荷ならモノポールにまつわるディラックの量子化条件でも調べろよ。
トポロジー絡みのネタは不変量が整数で出てくる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/12(土) 19:41:35.36

>>328
1階の偏微分方程式

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/12(土) 21:27:14.74

>>328
解決しました。
1パラメータ変換群というものにあたるそうです

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 13:09:27.40

ねぼけてんのか

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 14:38:40.82

b^3+acd-bcd-a^3の因数分解をお願いします
から(b-a)で括りたい

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 14:41:15.23

括ればいいと思うよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 14:49:47.45

>>345
上手くいかない…

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/13(日) 14:54:30.67

あ、できた

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 07:28:51.06

df（t）/dt+2f（t）=3
みたいな、右辺がゼロじゃないやつの解放が知りたいときはなんて検索したらいい？
今日小テストだって忘れてて緊急なんです
よろしくお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 07:51:45.65

適当なものぶちこむ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 08:51:34.98

特解

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 11:03:27.59

基本的には高校数学の分野ですが、高校数学の本には
書いてないのでここで質問させて頂きます。

分数式の極限は分母の最高次で割って調べるというのが原則ですが、
これは分母が収束するから見た目がよく判定しやすいという理由だけ
ですか？
分母の最高次で割ると収束発散が判定できて、分子の最高次で割ると
不定形となって判定できない例がありますか？ありましたらn→∞の
ときの、なるべく簡単な例を書いて頂けませんか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 11:34:39.32

意味不明

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 12:04:46.62

多項式f,gに対してf/gの極限を考えるとき、ということなんだろう
最高次で割ればa/x^k→0と定数に分離できるだけのこと
何も分母に限って考えることではない

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 12:10:59.27

例えば下記のような質問はネットで見かけます。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11136309216
ここでの回答に下記のように書いてありますが、
この場合は分子の最高次で割っても判定できないことはありません。
-∞になるはずがないからです。
***********************************
この例で、分母・分子をx^2で割ると、
(x^2-1)/(x+1)=(1-1/x)/(1/x+1/x^2)
となります。ここで、x→∞を考えると、右辺の分子は１に収束します。また、分母は０に収束します。つまり「1/0」という形になるのです。
では、「1÷0だから、∞だ」と言えるでしょうか。そうではないですよね。分母が0になる極限は正のほうから0になる場合は+∞になります。しかし負のほうから0になる場合は、-∞になってしまうのです。
したがって、この式をひとめ見てすぐに収束する！といい切るわけにはいきません。
************************************

上記は関数になっているようですが、分母分子が数列の場合の例で、ご説明
頂いてもけっこうです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 14:19:35.51

けっこう

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 14:20:09.46

MEE, TOO!!!

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 14:43:58.67

Ｋを環として、Ｋの部分集合Ｓで生成される環K[S]って
どうしてＫとＳの元からなる無限和、無限積を含まないんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 14:58:03.91

不思議ですねー
いろんな意味で

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 15:02:55.58

ああ、Ｋの部分集合Ｓじゃないや。
Ｋ⊂Ａなる環Ａの部分集合Ｓ、ということで。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 15:41:18.83

ＫＳ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 15:43:24.89

無限和、無限積の定義は？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 18:14:17.59

環に無限和無限積はない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 18:39:02.86

よっぽどやりたきゃ位相を入れて完備化しなよ
形式的冪級数て知ってる？
無限積はどうするかなー．．．

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/14(月) 19:12:40.04

>>363
同じ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 11:01:35.94

不等式の証明で微分を繰り返して0を代入するのなんで？🤔

なんでそれでf(x)>g(x)が証明できるの？🤔

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 11:15:43.50

>>365
はて

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 11:29:08.32

樂とは楽しむことである

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 13:08:31.30

>>365
証明読め

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 19:49:57.65

Ｋ代数の準同型φ：Ｋ(S)→Lって
LがKを含んでいたらφはKについては恒等写像なんですか？
そう決めているだけ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 20:47:08.53

Sって？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 20:49:29.04

>>370
Lの部分集合です
KとLは体でも環でもいいです

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/15(火) 23:04:35.60

>>369
K代数の射と言ったらk上は恒等になる。定義。単なる代数の射ならk上恒等にならないものもありうる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 13:13:54.01

a/2-a/2+t=
がなぜat/2（2+t）になるのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 13:19:28.87

分かりにくかったので訂正します↓

a/2 - a/(2+t)=
がなぜat/[2(2+t)]になるのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 14:52:50.57

学部の数学科３年生は多様体とかガロア理論とかルベーグ積分を勉強してるらしいけど
４年生はどんな勉強してるの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 16:38:35.96

>>375
論文読むでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 16:41:20.41

>>374
a/2-a/5=3a/10

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 16:52:20.16

>>375
ゼミ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 16:54:38.46

ゼミとかそういうのはやめて、講義を増やしてほしいですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 16:57:58.04

>>376
３年次のカリキュラムを終えてすぐに論文読むのって厳しくない？
もっとずっとギャップがあるんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 17:01:26.56

日本の大学の数学科の講義数が異常に少ないのは大問題ではないでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 17:21:09.14

社会不適合者は気にすんなよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 17:29:24.22

面倒な実験、卒業論文などもないですし、これほど楽な学科もないのではないでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 18:14:32.08

∫ x / (exp(x) - 1) dx from x = 0 to x = ∞ を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 18:21:33.74

x = -log(t) とおく。

∫ x / (exp(x) - 1) dx from x = 0 to x = ∞

=

∫ -log(t) / (1/t - 1) (-1/t) dt from t = 1 to t =0

=

∫ log(t) / (t - 1) dt from t = 0 to t = 1

t = 1 + s とおく。

∫ log(t) / (t - 1) dt from t = 0 to t = 1

=

∫ log(1 + s) / s ds from s = -1 to s = 0

=

∫ [s - (1/2)*s^2 + (1/3)*s^3 - (1/4)*s^4 ± …] / s ds from s = -1 to s = 0

=

∫ 1 - (1/2)*s + (1/3)*s^2 - (1/4)*s^3 ± … ds from s = -1 to s = 0

=

[s - (1/2)^2*s^2 + (1/3)^2*s^3 - (1/4)^2*s^4 ± …] from s = -1 to s = 0

=

0 - [(-1) - (1/2)^2*(-1)^2 + (1/3)^2*(-1)^3 - (1/4)^2*(-1)^4 ± … ]

=

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + …

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 18:22:19.00

>>385

=

π^2/6

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 18:24:27.52

>>383
真面目にやるとこれほど適性の差を思い知らされる学問分野は有り得ない。の間違いだろ。
ちゃんと勉強できてれば数理経済学とかに文転も容易い。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 18:34:21.23

数理経済学というのは何かの役に立つのでしょうか？

同じ役に立たないのなら数学のほうがいいですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 18:38:30.63

バブル崩壊後に日本みたいにゼロ除算無理矢理しようとするがごとく流動性トラップゼロ金利に陥る間抜けがものづくり連呼するのには役に立たないかもね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/16(水) 18:43:30.51

>>375
基礎理論ではなく、所属する研究室の先生とかの専門分野の基礎的な話を学んだりするのでは
場合によっては論文も読むだろうけど

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/17(木) 13:14:06.14

>>383
当時は楽と思ったが後で損したと思ったね

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/17(木) 13:49:17.03

主束π：P→Mのエーレスマン接続で水平分布の定め方が一意的でない理由がわからない
垂直部分空間はker π_*で一意に決まるのだからその直和成分も一意に決まるんじゃないんですか？？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/17(木) 18:43:24.81

選択公理は意識できる人はここで必要だなと意識できるものなんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/17(木) 21:39:07.03

>>392
んなわけないやん。R×Rの部分空間としてx=2yが仮に垂直成分として決まったとして、その補空間なんか一意には定まらないでしょ？x=0でもよし、2x=3yでもよし。内積とか入ってたら話は別ですが。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/17(木) 22:52:51.72

>>394
あーそうか
ありがとうございます
何かすごい勘違いしてた

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 02:25:43.25

(x^2-y^2)dx+(y-x^3/3)dy=0

これの積分因子が求まらないのでお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 02:36:23.87

>>396
dx側のやつをP、dy側のやつをPと置いて
Py=x^2-2y、Qx=-x^2
不一致より完全微分方程式ではない
(Py-Qx)/P=(2x^2-2y)/(x^2y-y^2)

ここから分子2でくくって分母yでくくれば2/yになって、これを積分したやつをYとしたら
積分因子はe^-Y

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 13:33:17.13

f(x) は [a, +∞) で連続かつ負でないとする。このとき、

∫ f(x) dx from x = a to x = ∞ が収束しかつ、 f(x) が有界でないということをあり得るか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 13:50:08.05

ありうるか、ありえないか、それが問題だ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 13:50:24.06

あ、分かりました。

区間 [k, k+1] の真ん中に、幅 1/k^3、高さ n の二等辺三角形をおいたような
グラフを考えればいい分けですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 13:51:11.53

訂正します：

あ、分かりました。

区間 [k, k+1] の真ん中に、幅 1/k^3、高さ k の二等辺三角形をおいたような
グラフを考えればいい分けですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 13:51:44.64

あ、別に三角形じゃなくて長方形でもいいですね。まあ、何でもいいですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 13:53:09.92

解答を見てみたら、やはり似たような解答でした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 14:18:22.99

Mathematica に描かせて見せました：

https://imgur.com/YyJ37Df.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 14:23:22.05

あ、長方形だと連続関数にはなりませんね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 14:32:06.44

微分可能という条件を付けるとどうですかね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 16:04:45.62

>>406
解析概論のp141の練習問題(9)より引用:
∫ x/(1+x^6 sin^2 x) dx from x = 0 to x = ∞ は収束する．

ちなみにこの積分はWolfram Alpha/Mathematicaが
収束判定を間違える例としても知られる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 16:11:26.21

微分可能でもいっしょ
三角形の接地点をなめらかにつなぐだけ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 18:25:23.60

>>407
>>408

ありがとうございました。

>>407

『定本解析概論』p.152(9)ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 18:30:08.79

>>407

https://imgur.com/rEOskz4.jpg

Mathematica に被積分関数をプロットしました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 20:16:31.81

>>407

∫ x/(1+x^6 sin^2 x) dx from x = 0 to x = t

を Mathematica にプロットさせました。

https://imgur.com/q8Mwi48.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 21:09:45.56

x^4+1∈P(R)を因数分解せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/18(金) 21:19:40.53

多項式環をR[x]でなくP(R)と書く人初めて見た
とりあえず(x^2+1)^2展開すればわかると思うよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 12:56:32.27

(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1
x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1-√2x)(x^2+1+√2x)
なるほど

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 17:56:23.70

同じ位数の巡回群は同型ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 18:02:37.90

>>415
同型以外有り得まいが

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 20:02:51.56

計算用に↓のような電子ペーパーを使っている人っていますか？

https://av.watch.impress.co.jp/docs/news/1117150.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 20:32:50.73

>>417
WG-S50使ってるぞ
ニ万円しないし短い計算なら行けるぞ
電車の中とかでも便利

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 20:49:03.99

>>418

最低A5サイズでないときついと思います。

まあ、少し待てば超高解像度で細い線も綺麗にかけるようｊな、いいのが
安価な価格で出るでしょうね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 21:06:02.36

>>419
おいおい行ける、って言われてんだろエアプ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 21:12:26.74

ipadは？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/19(土) 23:12:19.84

>>421

iPadは触ったことがないのですが、ペンと変わりないくらいの感じで書けますか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 00:41:12.25

>>422
全然ダメ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 06:49:25.35

>>384 >>385 >>386

別解: コーシーの積分定理より
∫[C](π^2+z^2)/(exp(z)+1) dz = 0
ここでCは L+πi,πi,-πi,L-πi (L>0)を頂点とする長方形上の閉曲線

実軸に平行な積分
= ∫[0,L]{(π^2+(x-πi)^2)-(π^2+(x+πi)^2)}/(-exp(x)+1) dx
= 4πi∫[0,L] x/(exp(x)-1) dx

虚軸上の積分
= -i∫[0,π]{(π^2-y^2)/(exp(iy)+1) + (π^2-y^2)/(exp(-iy)+1)}dy
= -i∫[0,π](π^2-y^2)dy
= -2(π^3)i/3

虚軸に平行な積分
→0 (L→∞)

したって
∫[0,∞] x/(exp(x)-1) dx = (π^2)/6

参考: 同様の計算で
∫[C](π^2+z^2)^2 /(exp(z)+1) dz = 0
⇒ ∫[0,∞] (x^3)/(exp(x)-1) dx = (π^4)/15

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 11:03:52.23

『定本解析概論』p.152(9)ですが、

(n + 1) * π * ∫ 1 / [1 + (n*π)^6 * (sin(x))^2] dx from x = 0 to x = π

<

1 / n^2

という評価が書いてあります。

これはどうやって導くのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 11:08:51.39

>>422
アプリによっては書ける

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 11:11:26.24

>>425
sinx=1とすれば良いですね

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 12:40:54.63

上からの評価ちゃうのん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 12:43:46.54

>>427
それ、不等号が逆

>>425
sin x > 2x/π (0<x<π/2)
を用いて
(n+1)π∫[0,π] ＜ 2(n+1)π∫[0,π/2]
＜ 2(n+1)π∫[0,π/2] 1/(1+(nπ)^6 (2x/π)^2) dx
＜ 2(n+1)π∫[0,∞] 1/(1+(nπ)^6 (2x/π)^2) dx
＜ (n+1)/(2n^3)
≦ 1/n^2

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/20(日) 16:52:13.62

>>429

ありがとうございました。

高木貞治さんの『定本解析概論』ですが、結構クールな例が載っているんですね。

少しだけ見直しました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 19:57:06.18

L1、L2が体Kの拡大体のとき、
L1、L2の元をすべて含む体はKの拡大体なんですか？
どうやって示せばいいでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 20:01:37.25

拡大体L/L1(L2)じゃなくて単に集合としてL⊃L1∪L2であるような任意の体LがKの拡大体になるかってこと？
あり得ないが

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 20:04:51.77

>>432
すみません
L1とL2を含むような最小の拡大体、という意味でした

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 20:05:42.62

>>433
最小の拡大体→最小の体
です
たびたびすみません

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 20:12:20.48

LをL1,L2の拡大体とする
定義からK⊂Lであり、Lにおける演算をKに制限したものは体Kの演算に一致する
すなわちLはKの拡大体である

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 20:20:16.20

体L1とL2がK上の基底をもっているばあい
L1とL2を含む最小の体はK上を基底をもっている
は真でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 20:32:45.07

なんでわざわざ分かりにくい文章に書き直したのこの人

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 21:50:59.29

>>431.432
は？
L⊃L1⊃K

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/21(月) 21:51:53.67

>>436
は？
拡大体はベクトル空間だが