大学学部レベル質問スレ 10単位目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
受験数学は全然できなくて無問題
あんなのは所詮公式と解法パターンの丸暗記競争だから
ルービックキューブと一緒でやり方知ってりゃ１０秒で解法が組み上がる
大学行ったら数学や物理は勿論、化学だって高校数学なんか全く役に立たないよ
そうはいっても国公立の理系は少なくともセンター数学を受けないと入れない
国立、特に下位駅弁からは同レベルの理系単科私大等と比べて突出した才能が出ない一因でもある
俺も文系からの理系学部進学組みだけど高校で理系だった奴は暗記重視で本質を理解している奴はいなかった印象がある
何でも覚えようとしちゃうのね。理解しようとしないで
今でも私大なら理系学部で入試に数学を課してない所があるはず（理由は前述のとおり）
但し記述式の国語があるから地頭勝負になるけどね
数学や理科といった暗記科目で挽回の効く東大理系前期なんかよりある意味難関 理系思考の残念な点
・なんでも数字に置き換えて簡略化するから、複雑な物事を考える力がない
・論理性に頼りすぎてきたからアバウトな考え方ができない
・できるだけ小さく狭いミクロでものを考えるので、マクロで考える事ができる文系ほど論理的思考が 得意でない
・裏切りの少ない数学や論理性を信仰してきたから思い込みが激しく騙されやすい
・上記の理由から頭が固い
・上記の理由や世間から外れたところにいる時間が長いせいで常識、常識的な事を知らない
・上記の理由やそれによるプライドが凄いせいで成長しない、成長が遅い
・文盲だったり視野が狭いせいで、自分の何を指摘されてるのか理解できない 理系も内心では理解してるからな、実際に社会を動かすのは文系だと
立法や行政を担うのは殆どが文系だし
民間で技術職は現場のトップが精々だが文系のエリートなら経営に携われる
理系が何か開発してもそれを商業化して利益を得るのは文系
結局理系ってのは文系のエリート層の肥やしになるだけの存在
それがわかってはいるけど認めたくないから文系の下位層を見て文系全体を貶し自尊心を保つ 斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。
p.54に、
f = i^(-1) 〇 f^- 〇 q^(-1)
などと書かれていますが、正しくは、
f = i 〇 f^- 〇 q
ですね。 何度言ってもおまえは理解しないが、おまえが定義したつもりになっているものは自然数ではなく、自然数モドキ
「1 を自然数回足した結果の実数」と定義した自然数モドキには理論内部で量化子を適用できない
∀n(n⊂N→ … )という論理式を表すための言語がないので数学的帰納法の原理を記述することすらできない
（有限個の文字による）自然数モドキの定義もできないので自然数モドキを表す言語も導入できない
おそらくおまえはメタレベルで任意だと考えられる文字nを使えばよいと考えているのだろうが、大間違い
理論には可算個の文字しかないので、メタレベルの操作で具体的に作れる論理式も可算個だけ
理論内部の量化を使わずにメタレベルの任意文字nだけでは、非可算個あるNの部分集合を網羅する公理系は作れない
何故なら事実上、それは一階の算術なので自然数モドキ全体の（理論内部での）濃度すら定まらず、Nと一致しない 神ガイジだけでなく理系コンプ君も劣等感婆だったのか 前はコイツ松坂って言われてただろ
いつから劣等感婆になったんだ イキリ vs 劣等感
何も起こらないはずが無く．．． 自然数を定義するのに「自然数回」という言葉が使われてるのは何故？ 杉浦光夫著『解析入門1』を読んでいます。
誤りを発見しました。
実数の十進小数展開についてですが、
「
定理3.9
任意の実数 x に対し、
a_n = [x] + x_1 / 10 + x_2 / 10^2 + … + x_n / 10^n,
0 ≦ x_i ≦ 9,
x_i ∈ N
の形の有理数列 (a_n)_{n ∈ N} で x に収束するものが存在する。
…
このような実数 x を、
x = [x]. . x_1 x_2 x_3 …
で表わす。
」
などと書かれています。
x が負の実数のとき、例えば、 -π のとき、
x = -4.8584
などと表示しないですよね。
x が負の実数のときには、
-x = [-x]. . x_1 x_2 x_3 …
x = -[-x]. . x_1 x_2 x_3 …
と書きますよね。
小平邦彦著『解析入門1』でも杉浦光夫さんと同じ誤りをおかしています。 >>19
定数記号0および関数記号sucを用いると、自然数はsuc(suc(suc.....suc(0)))のように形式的体系内で表現可能です
sucを重ねた回数が形式的体系内における自然数なわけですが、このsucを重ねた回数というのは、我々が形式的記述の外においてしか認識できないため、すなわちメタだというわけです 昨日も質問させてもらったのですがまだ分からないので多様体についてもう一度質問させてください。昨日のレスは下に貼っておきます。
球面は
(x,y | 0≦x≦360,0<y<180) ∪ (0,0) ∪ (0,180)
を使えば北極も南極も一意に表せるのでひとつの座標だけで覆える気がするんですがどうなんでしょうか？
981 １３２人目の素数さん sage 2018/02/27(火) 11:36:40.79 ID:RPBwz3i2
多様体の導入部分の説明で
「球面は一つの座標系で空間のすべての点を表示できません。」
みたいな記述を目にするのですが、地球上の任意の地点は経度緯度で表わせるのでひとつの座標系で事足りるように思えるのですがどこが間違ってるのでしょうか？ >>21
そこでいう座標系とはRnの開集合からの全単射よ
多分そう最初に書かれてない？ >>20
何度言ってもおまえは理解しないが、おまえが定義したつもりになっているものは自然数ではなく、自然数モドキ
「1 を自然数回足した結果の実数」と定義した自然数モドキには理論内部で量化子を適用できない
∀n(n⊂N→ … )という論理式を表すための言語がないので数学的帰納法の原理を記述することすらできない
（有限個の文字による）自然数モドキの定義もできないので自然数モドキを表す言語も導入できない
おそらくおまえはメタレベルで任意だと考えられる文字nを使えばよいと考えているのだろうが、大間違い
理論には可算個の文字しかないので、メタレベルの操作で具体的に作れる論理式も可算個だけ
理論内部の量化を使わずにメタレベルの任意文字nだけでは、非可算個あるNの部分集合を網羅する公理系は作れない
何故なら事実上、それは一階の算術なので自然数モドキ全体の（理論内部での）濃度すら定まらず、Nと一致しない >>23
集合論を用いない自然数論の構築方法があります
知らないなら黙っててください >>24
メタレベルでの操作では無理
というか、おまえは意味不明とばかり言っていた気がするが、
「∀n(n⊂N→ … )という論理式を表すための言語がない」という文の意味が分かる？
分からないなら本格的に勉強不足だし、
もしも分かるなら実際におまえの方法で∀n(n⊂N→ … )という論理式を書いてみなさいよ >>25
書く必要がありません
集合論ではないので、集合という概念自体が存在しません >>26
前提をひっくり返すな
実数体が与えられたとき、メタレベルの操作「1 を自然数回足す」によって、自然数全体を実数体の部分集合として構成できる
というのがおまえの主張だったはずだ
解析学の教科書の話なので一階の実数論ではあり得ない
（というか、一階の順序体でも結局は算術を含まないのだが）
おまえの言うように集合という概念すら制限するなら更に困難になるはずだが、それでもいいならどうぞ >>27
そんなことは言ってません
1を足していくことで自然数を肯定できる、と言いました >>28
おまえの口から「自然数を肯定できる」などとは初めて聞くぞ、しかも一段と曖昧な表現をするんだな？
実際にはおまえはこう言ったんだ
そして、数学的帰納法を満たすことを証明できるということは、それは自然数全体を構成できると主張するのと同じだ
552 １３２人目の素数さん [sage] 2018/02/26(月) 23:07:59.07 ID:sZqqC4tq [3/7]
>>551
その方法で定義した自然数モドキは数学的帰納法を満たすことを証明できない
553 １３２人目の素数さん [] 2018/02/26(月) 23:19:46.18 ID:i3taSSAL [2/2]
>>552
証明する必要なんてないですよね
メタに明らかです もう一度尋ねるが
「∀n(n⊂N→ … )という論理式を表すための言語がない」という文の意味が分かるのか？ >>30
実数関係なしにペアノの手法を用いれば自然数は構成できます
何度言ったらわかるんですか？ >>31
わかりません
ちゃんとした数理論理の言葉で話してください >>30
あと証明はしないで公理として付け加えると言いましたよね >>32
ペアノ公理系は、おまえの言うようなメタレベルの操作「1 を自然数回足す」ではない
>>33
ちゃんとした数理論理学の言葉で書いてあるから試金石に使ってるんだよ >>35
0とsucは実質的にそういうことですよね？ >>34
何度も言っているように、メタレベルの操作「1 を自然数回足す」を反映した公理を加えることはできない
ごく普通に理論内部にペアノの公理系を追加するなら、それはおまえの言うようなメタレベルの操作「1 を自然数回足す」とは別物になる >>36
実質的に違うから自然数モドキという言葉で区別してるんだよ >>37
定数記号0と関数記号sucがあればできますよね？ >>38
ペアノ算術における自然数は自然数だと認めないということですか？ >>40
ペアノ公理系は、おまえの言うようなメタレベルの操作「1 を自然数回足す」ではない >>22
書いてありました。
これからよく読んでみます。
ありがとうございますm(_ _)m >>20
メタレベルの言葉を使っていいなら、自然数の定義は自然数でいいですよね >>44
形式的にはあくまでsucと0の組み合わせですよ >>32
あれ？話が変わっている。
実数の加法で自然数を構成すると
君は繰り返し書いていたはずだ。
別の定義をするなら、それを具体的に
書かないと話が始まらない。
ペアノ云々と言いかけていたのが
それなのかな？それにしても、
実数を援用したら、実数を定義する時点で
おそらく集合論が必要になるから、
集合論ぬきで自然数を定義したことにはならない。 数学的帰納法について言えば、自然数を
ペアノの方法で公理的に定義するのなら、帰納法は
公理のひとつ(満たさないなら自然数じゃない)と
言って終わりにすることができるが、
実数の加法にしろ何にしろ構成的に定義するなら、
数学的帰納法が成立することは
構成を挙げた人が証明しないと誰も保証してくれない。 既に定義した実数の加法を使って
ペアノ公理系の帰納法以外の部分を
満たす何かが構成できたとしても、その何かが
数学的帰納法も含む公理を満たす自然数かどうかは
誰かが証明するまでは誰も知らない。つまり、
その何かが自然数と呼んで良いものかどうかは
まだ検証されていない。
君の定義に基づいて、その「自然数」とやらが
数学的帰納法を満たすことを証明してごらんよ。 >>21に関連した質問なのですが、そもそも局所座標系を貼り合わせるメリットって何なんでしょうか？
球面を例にとれば、局所座標なぞ用いずに単純にR^3を解析すればよくないですか？
多様体を設定する意義？みたいなものがあれば教えて欲しいです。よろしくお願いします。 >>51
高次多様体への埋め込みが可能かどうかは、
埋め込み定理を証明した後でないとわからないし、
同じ多様体を同じ高次多様体に埋め込むとしても
埋め込み方はひととおりではないから、
考察した性質が、多様体そのものの性質なのか
今扱っている埋め込み特有の性質なのかという
問題が残る。
まあ、局所座標系を使っても
座標系に依存しない性質か？という
問題は残るけどさ。 >>46
具体的な形式的な自然数をそれだと認識するためには、メタな知識が必要でしょうね
>>48
あなたが勝手に違うこと話してるだけじゃないですか？ >>53
「埋め込み」で検索したらいい感じの議論が出てきました。ありがとうございます。
局所座標を使えば各成分は独立になるけどより高次なユークリッド空間を使うと各成分は独立じゃなくなる、とかの話が知れてよかったです。
53の内容そのものはまだよく理解できんですがキーワードは拾えそうなので助かりました。どうも。 >>50
あなたの流儀の自然数の定義を確認したところ、どうやら自然数とは継承的集合のうち最小のもの、らしいですね
継承的集合とは、0を含み、n∈Xならn+1∈Xを満たす集合のことである
これ、0に1を足してってできたと言い換えることが可能ですね、結局 >>56
それなそれな。
要するに彼は、ペアノの第１～第４公理だけを
満たすナニカを実数論上に構成して見せた。
そのナニカが数学的帰納法を満たすか否かについては、
メタな自然数論では数学的帰納法が成り立つ
(自分が定義したナニカについて数学的帰納法が
成り立つかどうかはスルー)と言っている。
そういうナニカを「自然数」と呼ぶことに
賛成する者は少なかろうし、少なくともペアノは
自然数の定義に第５公理(数学的帰納法)を含めた。 >>57
だから、あなたの定義も結局は私のものと同じではないか、と言ってるわけです
あなたが何に対してケチつけてるのかわかりません >>56
それはおまえの自然数モドキの定義とは異なるし、言い換えもできない
1 を（メタレベルで）自然数回足した結果の実数は、（対象レベルの）自然数の性質の一部しか持たない
個々の自然数モドキを定義しても自然数モドキ全体の集合を定義したことにはならないので、
「継承的集合のうち最小のもの」という性質を持たない
（正確には、自然数モドキがこの性質を持つ、という命題自体が表現できない）
551 １３２人目の素数さん [] 2018/02/26(月) 22:32:09.20 ID:i3taSSAL [1/2]
>>550
それは少々おかしな議論ですね
「1 を自然数回足した結果の実数を自然数という」
最初の自然数は、メタな記述です
それに対して、後の自然数は対象を指しています
数理論理的にはこうなるでしょうね
メタな記述すら認めないとなれば、数学において何も記述することなどできないでしょう >>59
私はそういうつもりで言ってました
それならいいですか？ 継承的集合のうち最小のもの、とならないというのも理解不能ですね >>61
正確には「継承的集合のうち最小のもの、とならない」のではない
自然数モドキ全体の集合自体が存在しないので、それが継承的集合のうち最小のものかどうか考えることすらできない
「継承的集合のうち最小のものである」という命題は「数学的帰納法の原理を満たす」と同値なので、
自然数モドキ全体が数学的帰納法の原理を満たすことを公理に加えると、おまえは提案していたが、実はその公理を述べることすらできない
おまえの方法で定義したものは0、1、2のような個々の自然数だけ
この操作を無限回続けること自体が普通は認められないし、
仮に0、1、2、…という無限個の対象を認めたとしても、今度はこれら全体の集合を定義する表現がない
「この操作を無限回続けて得られる実数の全体をNとする」？
いいや、そんな表現は厳密には認められていないので定義したことにならない >>62
N={x|∃y x=suc(y)}∪{0}
こうとかはダメですか？ 具体的に何なのか説明していただくか、以前の議論であったのならば、当該レスをコピペしてもらってもいいですか？ >>50
射影平面とか球面の接空間とか考えてみたら？
部分多様体に関し
モノの本にははめ込み埋め込み
いろんな例が出てると思うけど
部分集合が必ずしも部分多様体にはならないから
まずは多様体の定義がなくちゃ >>63におけるyは何ですか、という話ですが... >>75
あと参考までにあなたの住所を教えていただけますか？ >>78
いずれあなたは殺さなければならないので便利かと思ったので 自分よりも頭のいい人が存在することは論理的におかしいと思うのですが、これは数学が不完全であるということの証明ではないでしょうか？ >>82
の個人情報を求めよという問題がわかりません >>17
そこで定義されている10進小数展開が
我々が通常用いている小数の表し方と
同じものであると記されているのですか？
勝手に同じものだと誤解しているだけ
ではありませんか？ 十進数のシステムで使用する文字は0123456789.の11種類であり、そもそも負数は表現できない
表現できないので、負数を表す場合は正数に負号を付けるが、それはもはや単一の十進数ではなく数式として解釈すべき
つまり例えば-1.23は-(1.23)の意味であって-(1×(10^0)+2×(10^-1)+3×(10^-2))と同じ数を表すもの
これを-1×(10^0)+2×(10^-1)+3×(10^-2)等とヒネた解釈をする者は到底この社会には適合できないので大学どころか小学生から人生をやり直すことをオススメする 齊籐正彦線形代数読んだことある人いる？
行列の解析学後回しにしても良いかな？ >>88
x が負の実数のとき、例えば、 -π のとき、
x = -4.8584
などと表示せよというのが杉浦光夫さんの考えなのでしょうか？
もし本当だとしたら、ずいぶんと変わった人ですね。
「
定理3.9
任意の実数 x に対し、
a_n = [x] + x_1 / 10 + x_2 / 10^2 + … + x_n / 10^n,
0 ≦ x_i ≦ 9,
x_i ∈ N
の形の有理数列 (a_n)_{n ∈ N} で x に収束するものが存在する。
…
このような実数 x を、
x = [x]. . x_1 x_2 x_3 …
で表わす。
」 >>89
x が負の実数のとき、例えば、 -π のとき、
x = -4.8584
と表示せよというのが↓に書かれていることです。
「
定理3.9
任意の実数 x に対し、
a_n = [x] + x_1 / 10 + x_2 / 10^2 + … + x_n / 10^n,
0 ≦ x_i ≦ 9,
x_i ∈ N
の形の有理数列 (a_n)_{n ∈ N} で x に収束するものが存在する。
…
このような実数 x を、
x = [x]. . x_1 x_2 x_3 …
で表わす。
」 正解は「任意の実数 x に対し、」ではなく、「任意の非負の実数に対し、」ですよね。
そして、
x が負の実数のときには、
正の実数 -x の10進小数表示
-x = [-x]. . x_1 x_2 x_3 …
にマイナスの符号をつけた
-[-x]. . x_1 x_2 x_3 …
が非負の実数 x の10進小数表示になりますよね。
「
定理3.9
任意の実数 x に対し、
a_n = [x] + x_1 / 10 + x_2 / 10^2 + … + x_n / 10^n,
0 ≦ x_i ≦ 9,
x_i ∈ N
の形の有理数列 (a_n)_{n ∈ N} で x に収束するものが存在する。
…
このような実数 x を、
x = [x]. . x_1 x_2 x_3 …
で表わす。
」 本の一頁の何分の一かの書き込みに間違いを入れられるんだから
こいつが本を書いたら一頁にいくつも間違いを入れるんだろうな
＞が非負の実数 x の10進小数表示になりますよね。 >>91
>>88を正しく読みとって下さい。
本で書かれている10進展開と
通常用いられている10進表記とが
別物だとしたら、
杉浦先生は -π をそんな珍妙な表記で
日頃から表せと言っていることには
なりません。
10進展開なら「珍妙」に見えるでしょうが、
通常の10進表記とは似て非なるものであって、
非難は的外れだということになります。 開区間(a,b)で定義された関数fがt∈(a,b)で微分可能というのは、
{f(t+h)-f(t)}/hという(a-t,b-t)で定義された関数のh→0の極限が存在する
で合っているでしょうか？
杉浦さんの解析入門を読んでいるのですがお節介なくらい色々書いているのにhの定義がされていなかったので質問してみました （２）を、（１）のように書くのはありでしょうか？
（１）
X, Y を集合とする。
f : X → Y を可逆写像とする。
（２）
X, Y を対等な集合とする。
f : X → Y を可逆写像とする。 lim[h→0](なんとか) と書けば、(なんとか) を h の関数として扱っている
ことは lim の定義に含まれている。文章で明示する必要はない。 全微分可能の定義について質問です。わかりやすくするために、二変数実数値関数の場合を考えてみます。h=(l,m)とする。
全微分可能であるとは、あるcが存在して、lim_{h→0, h≠0}[{f(x+h)-f(x)-ch}/|h|]=0 となることをいう。
hはl,mに依存していて、h→0になるようなl,mの取り方は無数にあると思うのですが、「あるcが存在して」の後に「h→0を満たすような、どんなl,mの取り方をしても」という一文は必要ではないんでしょうか？
全微分可能の証明について
l,mの取り方は無数にありますが、なぜ有限個の取り方で全微分可能であることを証明することができるのでしょうか？ >>104
＞hはl,mに依存していて、h→0になるようなl,mの取り方は無数にあると思うのですが、「あるcが存在して」の後に「h→0を満たすような、どんなl,mの取り方をしても」という一文は必要ではないんでしょうか？
通常は「極限が存在する」の定義に「近づき方に依存しないこと」まで含まれている。
多変数でもそれは変わらない。 h→0に「h→0を満たすような、l,mの全ての取り方」の意味も含まれているということですかね？そうであれば後半の全微分可能の証明についての質問を回答していただければ結構です。 粗探しするなら論理的な読解力は最低限身に着けておかないと… >>106
そもそも有限個のとり方にはなってないだろう
そこからして間違い 教科書見ればlimの定義がかいてあるよ
定義をみれば任意のl,mをかんがえているのがわかるよ 伝えかたが悪かったです。
例えば
http://tau.doshisha.ac.jp/lectures/2009.calculus-II/html.dir/node21.html
のΔx=ρcosθ, Δy=ρsinθで全微分可能を証明していますが、Δx=ρsinθ, Δy=ρcosθという近づき方もあれば、Δx=0, Δy=ρsinθやΔx=ρcosθ, Δy=0の近づき方も考える必要があるのではないか？と言いたかったんです。 >>111
Δx=0, Δy=ρsinθ
Δx=ρcosθ, Δy=0
は間違いです。失礼しました。 全言撤回します。
l,mの任意の近づき方は
l=ρcosθ, m=ρsinθで表せるということですか？それ以外にはないとどうやって証明できますか？ l,mを平面で考えるとl=ρcosθ, m=ρsinθは原点に向かって、まっすぐ近づいていく近づき方。しかし、渦巻き状のように回転しながら近づいていく近づき方もあるのではないでしょうか？ >>103
まあ同意するけど、こんな事が独学者に越えられない壁になったりするんだよな そもそも全微分の定義にhの座標なんて出てこないし（したがって全微分できるかどうかに座標の取り方は関係ない）、
hはR＾2の点なのでh=(l,m)と表せるのは当然であって、そう表したからといってhの任意性が失われたりはしない 質問者が何を勘違いしているかというと、
h=(l,m)と表したとき、h→0という極限が、lとmを順番に0に近づける極限にすり替わったと思い込んでいること
もちろんその思い込みは誤り
hをどう表そうがh→0の意味が変わったりはしない 2変数関数の極限には「経路の取り方に依らず」ある一定の点に近づく意味が含まれていて、経路は無数にある。
だから2変数関数の全微分可能性を示すにはあらゆる経路で極限を取る必要があるってことだよね？質問者の言いたいことは。
上のレスの中でどのレスがこの疑問に答えたことになってるの？ >>127
なんで>>124が無数にある経路からどんな経路を取ってきても、
その経路に沿ってh→0としたときの値の収束先が一致することの説明になってるの？
まじわからない。 εに対してその取り方に依存しないあるδが存在する
これよりεの任意性が示された
それでは「その取り方に依存しない」とは何か
たとえばε_1についてδ_1を構成する
次にε_2について必ずしもδ_2をつくる必要はなく
δ_1あるいはδ_3でよい
なあ？ ε-δ論法からやり直せよ >>128
質問者です。自分は119で分かりましたよ。 l=ρcosθ, m=ρsinθのρ,θも関数だから無数の近づき方を表現できる。って解釈しました。 >>129
経路という考えのどこが間違いか教えてください。 124じゃなくて、l=ρcosθ, m=ρsinθで全ての近づき方を表すことはできないんじゃないか？と思ったのが僕の疑問です。 いや、でもρ→0という制限がある以上、ρは任意の関数といえるのか？ せや 不思議な等式
h -> 0 = h = ∞ = 1/0
の哲学的意義を考察するんや！ ρとl,mは依存し合ってるから、ρがρ→0となる任意の近づき方なら、l,mにρ→0の制限があっても問題ないか... >>129 >>130
合わせると、
ε-δに経路なんぞ無い
で終了だね 連続した経路をとるのではなく、離散的に近づくケースもあるかもしれないね 一般にh=(l,m)で、l→0としてからm→0としてh→0に至る経路と、m→0としてからl→0としてh→0に至る経路とでは、収束先が異なる関数が存在すると思うのですが、これが間違い？ 積分の定義からf(x)=x^2がI=[0,a]上可積分であることを証明せよ。
(解析入門 杉浦光夫 一部改変)
整数k(0≦k≦n)に対して、x_kをIの分点とする。ただし、x_0=0, x_n=aとする。整数k(1≦k≦n)に対して、I_kをIの小区間とする。ξ_kをI_kの代表点とする。
ξ’_k=[{(x_k)^2+x_k・x_(k-1)+(x_(k-1))^2}/3]^(1/2)とおくと、ξ’_k∈[x_(k-1),x_k]
d(⊿)=Max(x_k-x_(k-1)), s(f;⊿;ξ)=Σf(ξ_k)v(I_k)とおく。
s(f;⊿;ξ’)=a^3/3となる。
|s(f;⊿;ξ)-s(f;⊿;ξ’)|
≦ Σ|(ξ_k)^2-(ξ’_k)^2|(x_k-x_(k-1))
= Σ|ξ_k-ξ’_k|(ξ_k+ξ’_k)(x_k-x_(k-1))
≦ 2a^2・d(⊿)・・・✳
(以下省略)
✳は任意の自然数k(1≦k≦n)に対して、
Σ|ξ_k-ξ’_k| ≦ a
(ξ_k+ξ’_k)/2 ≦ a
x_k-x_(k-1) ≦ d(⊿)
より導いた。
しかし解答には
|s(f;⊿;ξ)-a^3/3| ≦ 4a^2・d(⊿)
と書いてあるのですが、4とあえてしているということは2は間違いということですよね？どこを間違っているのか教えてください！ >>144
?はなんかの記号だと思ってください(汗) 一様連続な関数f(x)の化石性の証明の、
f(x)にx^2入れてなぞるだけだろう下らん。 一様連続だからうんちゃらを、
x^2関数だからうんちゃらに書き換えか。
しょうもな。 >>152
そのような関数の極限を考える場合でも経路に依らず距離だけで収束先の議論をしてよい理由がわからない。
あるいは極座標を用いることでこの問題が避けられる理由がわかりません。 >>150
初歩的な極座標の議論で解決できるということ？ ρ→0とする過程(距離を近づける段階)でθが動くことで色んな経路を表現できるでしょうに…… >>154
どの経路でも同じ値に収束するなら全微分可能。極座標で全ての経路を表せるので、極座標で求めたい値が１つに定まるなら、どの経路でも同じ値に収束することがわかる。つまり全微分可能。経路によって値が変わるなら、具体例を出して、全微分不可能。 >>153
まあ勉強することですが
距離だけで考えて良いことが極限を持つ条件なんですよ >>157
経路によって収束先が異なる関数はいくらでもありますよね
例えば>>142のような関数に対してはたとえ極座標を用いて極限操作を行ったとしても同じ点に収束することは従わないと思うんですが、どこが間違っているのでしょうか >>159
経路によって収束先が異なる関数は微分不可能 ρの距離を考える
=√(l^2+m^2)の距離を考える
=lとmの距離を考える
=経路を考える
経路を考えることと距離を考えることは同じじゃないですか？経路っていうと連続っぽいですが、離散も含めます。もともと自分は経路じゃなくて近づき方って言ってたんですけどね。 p,qが1共にでない時、n!=p^q+q^pを満たす自然数(n,p,q)の組は存在しないことを示せ。
が解けません・・・ 座標変換と経路の違いがわかってないんだろう
経路ってのはy=2xみたいな一部に制限したもの
この場合は原点から一定の角度の直線しか考えてない
平面上の一部しか考えてない
極座標ってのはパラメーターのとり方変えただけで、平面上のすべての点を包含するわけなので経路のとり方とは関係ない
l,m って表し方も、横の長さがl,縦の長さがmっていってるだけで
極座標も長さがr、
角度がθって見てるだけ
結局平面上の任意の点は表せる >>165
あってます
本では|x-y|≦|x|+|y|を使ったのでしょう >>164
2変数関数の極限値について質問しています。
その定義はどんな経路に沿って極限をとっても同じ点に収束するとき、その点を極限値と呼ぶ。これが定義ですよね。
上の議論では、極座標を取ればあらゆる経路で極限をとることは距離が0になることを考えれば十分だと説明されています。
俺が理解できないのはこの部分です。 経路とかわけわかんないもの考えてないで普通に極限の定義読めば済む話じゃないですか？
それがわかれば、経路云々の話も何を言わんとしてるのか明らかですよ 典型的に位相が理解できないタイプ
もうちょっと高級になると
弧状連結性は分かるが連結性が分からんとか コンパクトとパラコンパクトの違いもそこらへんかな？。 >>169
極限の定義は「距離を近づけていったとき」であって、任意の経路を考える、というのは一つの言い換えに過ぎないと理解してほしい
例えば原点での極限で、原点に近づく経路は、結局原点との距離が0になっているので、極座標を使おうが直交座標を使おうが、「変数の距離が近づくときに値も近づく」ということが示されていれば同じこと
繰り返し言うが、極座標ってのは座標であって、任意の点を表せるわけだから 距離空間とかノルム空間調べてそこで考えろ。
自明なことだと分かる。 >>173
そうなんでしょうか？
一変数関数の場合も右極限と左極限が一致したときに限って極限値と定義しています。
この場合は経路が２つしかないのでチェックすれば良いだけですが、
これが単なる言い換えだとすれば、右から近づけて距離を0にしたときの収束先がそのまま極限値であるという結論になってしまうのではないのでしょうか？
同じことが二変数関数の極限でも問題になると思います。例えば>>142のような二変数関数が存在しますので。 >>175
>右から近づけて距離を0にしたときの収束先がそのまま極限値
それは右極限値では？ >>175
>同じことが二変数関数の極限でも問題になると思います。例えば>>142のような二変数関数が存在しますので。
その２変数関数には極限値がないよ >>175
とりあえず >>111 を読んでθはどうなるのかと考えるのは、それはそれで正しい。
正しいんだが、 これだけを読んで数学を学んでるなら、このスレでは永久に話が噛み合わないと思う。
これ書いてるの工学の教授みたいだし、工学における数学って計算の道具に過ぎない……というのは言い過ぎかもしれないが、往往にして証明の厳密さは置き去りだから。
厳密な証明がしたいなら「ε-δ論法で極限を学び直してこい」になるんじゃないかな。 『アルゴリズムイントロダクション』を読んでいます。
ヒープソートのところに、
「サイズ n のヒープ上の MAX-HEAPIFY の最悪実行時間が Ω(lg n) であることを示せ。」
という問題があります。
最悪実行時間が Θ(lg n) であることはすぐに分かります。
なぜ、 Ω(lg n) であることを示せという問題なのでしょうか？
最悪実行時間や最良実行時間については、 Θ 記法で書くのが自然だと思います。 一度頭を空っぽにしてε-δ論法を学び直しかなあ。
実一変数で 収束⇔右極限と左極限が一致 も、
多変数で 収束⇔全ての経路で一変数極限が一致 も、
結果的には正しい定理なのだけれど、
それを定義にしてしまうと、具体的な計算の場面で
不便というか、有効な場面がむしろ少ない。
安易に直感的にしようと思わないで、愚直に形式的な
定義に沿ってみるのがかえって早道なことも多い。 >>175
0． (x,y)->(0,0)のときのlimf(x,y)を定義することを考える
1． (x,y)->(0,0)の経路(x(t),y(t)) t->0 もしくは点列(xn,yn) n->∞とは何かを定義する
2． (x,y)->(0,0)の経路もしくは点列においてlimf(x,y)=aをt->0もしくはn->∞による1変数関数としての極限値が経路もしくは点列に依らないという定義を考える
3． その定義とｒ=}(x,y)|->0による定義が同値であることを見る
こんな感じで >>181
p:[0,1]->R^2:cont
じゃないかな
でも
ペアノ曲線みたいなのも考えるのかしら >>175
極限の定義では右から近づく、とか左から近づく、とかではなく
「距離が近づく」とき、と定義されている
一次元なら、例えば原点との「距離」が1以下、というのは+1から-1の範囲がはいるので、右とか左は関係ないだろう
多変数でも距離が0という条件は全ての可能性を秘めている
2変数での極限値の定義は、より詳しくは、
x→0のときf（x）→c
とは
B_r:=｛（x,y）∈R^2 ┃ √（x^2+y^2）<r, （x,y）≠（0,0）｝
A_r:=｛│ f(x,y)-c│ ┃（x,y）∈B_r, （x,y）≠（0,0） ｝
M（r）:= sup A_r （max A_rのようなもの）
とおいたとき
M_r→0 （r→0）
となること
と定義されている（一番直感的な書き方だけど）
これを見れば特定の近づき方だけに限定していないのがわかるだろう（きっと）
より詳しくはεδ論法というものが世界標準である たくさんのレスありがとう。>>175だけど、おかげで自分の疑問点がはっきりした。
x=ρcosθ、y=ρsinθと極座標変換したとき、その関数が(ρ,θ)の関数としてρ→0としたとき極限値を持てばそれは極限値になる。これはOK。
疑問なのは、極座標変換したとき、その関数からρが消えてθのみの関数になってしまった場合、ρ→0だけでは極限操作が成立しないので、どうやって極限値を求めるのかということ。 ε=1のとき、aからの距離がδ=0.1以下の任意の点で|f(x)-f(a)|<ε=1が成り立つ
ε=0.1のとき、aからの距離がδ=0.001以下の任意の点で|f(x)-f(a)|<ε=0.1が成り立つ
ε=0.01のとき、aからの距離がδ=0.00001以下の任意の点で|f(x)-f(a)|<ε=0.01が成り立つ
というようにaからの距離がδ以下の全ての範囲で誤差がε以下になることがε→0(εが永遠に0に近づいても、その都度δを変えること)で成り立つというのが極限の意味
経路で考えるというのは、aからの距離がδ以下の全ての範囲のうちの一点だけを取り上げる行為をε→0にしながら繰り返していること。距離を考えることで、定義の範囲をおさえられるから、わざわざ一点に注目する必要はない。 >>187
それは、ρが消えてθのみの関数になってしまったモノが
ρについては定数関数だから、そのモノ＝θを固定した時のρ→0の極限。
θについても定数なら、それがρ→0の極限だし、
θに依存するなら、もとの極限は収束しない。 >>187
経路がρとかθの関数になると思ってることがまずおかしいです
ρとθ以外の変数tが存在して、そのtからρとθへの写像が経路です
今は経路のうちρが0へと近づくものを考えるんですから、ρが0へと近づかない場合などはないです >>189
関数fを極座標変換してρが消えた場合、fがθに依存せずに一定の値をとればそれがρ→0の極限値になる。これはfがθについて定数関数ということに他ならない。
関数fを極座標変換したときρが消えてθが残った場合、fはθの関数だからθの値に依存してρ→0の収束先が決まる。よってこのときfは極限値を持たないと結論付けられる？ >>191
＞fはθの関数だからθの値に依存してρ→0の収束先が決まる。よってこのときfは極限値を持たないと結論付けられる？
なにこれ
一体何を言ってるの？？？ >>124を百回読め
順番に0に近づける極限にすり替わったと思い込んでいる
順番に0に近づける極限にすり替わったと思い込んでいる
順番に0に近づける極限にすり替わったと思い込んでいる >>182
哲学的定義を理解して上げないと、哲学ファンタジーは理解出来ないよ。 商位相空間について教えてください。
写像 f: X → Y で X の左右両端が貼り合わせで同一視されるものとします。(図を参照)
Xの位相はユークリッド平面の部分空間位相、
Yの位相は商位相空間として見た場合に入る "自然な位相" とします。
そうなると...
「？」で示したような領域(赤:境界を含まず/青:境界を含む) は Yの開集合( 点f(P)の開近傍 )って事になるんでしょうか？
逆写像がXの開集合になってるので定義上そうなると思うんですが、 ちょっと変じゃありませんか？
(参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/商位相空間 )
「？」で示した点を含める(青)含めない(赤)どっちにしようが
領域の逆写像は開集合になりませんね。
"自然な位相" はよくできてますわ。失礼しました。
>>197, >>198
確かに どっちの点も「含めない(赤)」にしたら開集合ですね...
って、それ以前に
正しい逆写像はコレ↓だと気付きました。ぜんぜん開集合じゃないですね...
数学科ではないのですけど教えてください。
多様体は局所的にユークリッド空間(またはm次元数空間)とみなせるそうですが、たとえば2次元極座標を考えたいときに、
ユークリッド空間の座標を極座標で考えて良いのか、
それとも極座標は多様体に描いてあるものでユークリッド空間では半径と角度の直交座標を考えるべきなのか、
イメージできずにいます。
どちらのイメージが適切なんでしょうか。 >>203
＞それとも極座標は多様体に描いてあるもので
多様体上の局所座標は張り合わせてる(ユークリッド空間の)開集合のものを援用してるんですが……
そもそも一般の多様体には角度が定義されてないけど、そこは大丈夫？ あんまり大丈夫じゃなかったです。
同じ物理法則を直交座標系でも表現できるし、極座標系でも表現できるし、そのどちらも成立する入れ物をユークリッド空間と呼んでよいのかどうか、そこがもやもやしています。
多様体の上で角度を考えるならリーマン多様体だ、というのはうっすら知ってはいましたが、多様体の入門書を見たときに登場する極座標の位置付けがピンと来ず。 C^d をd次元複素ベクトル空間とすると、C^(d×d) って何空間って言うの？
d次元行列空間っぽいけど、そんな言葉聞いたことないし検索しても見つからない
そしてC^(d×d) の基底って数に関する制約（C^d ならば基底はd個）あるの？ >>206
d^2次元複素ベクトル空間ではないの？ >>207
4次元複素ベクトル空間の元は列ベクトルだけど、C^(2×2)の元は2次元の行列じゃん？
違うものなきがする >>203
ユークリッド空間とは何かをよく考えるべき >>205
>多様体の入門書を見たときに登場する極座標
とは？ 群の表現について学びたいです。
具体的には、量子論で扱うような群論を学びたいです。
何かおすすめの本はありますか？
ちなみに、現在のレベルは、群の基本的な定義、性質を知っている程度です。
また、表現については、線形表現の定義や、基本的な表現（ユニタリ等）を知っている程度で、指標についてはほとんど知りません。 >>208
> >>207
> C^(2×2)の元は2次元の行列じゃん？
なんで？ >>211
リー群ならこの辺が入門だが
連続群論入門 山内、杉浦
群と位相 横田 >>203
空間と座標は別物
どんな座標を使おうと空間に影響は無い 整域の次元が１ と 任意の０でない素イデアルが極大イデアルの同値がわかりません
⇒（０）が素イデアルなので、素イデアルPを含む素イデアルがないことはわかりますが、普通のイデアルに含まれる可能性はないのですか？
⇐は大丈夫です
すごい基本的なところが抜けているせいでわからない予感がします汗
よろしくお願いします >>220
普通のイデアルに含まれてしまったら、それを含む極大イデアルにも含まれるかと！ 任意の連結無向グラフ G = (V, E) は |E| ≧ |V| - 1 を満たすことを示せ。 >>222
簡単な問題だと思いますが、どうですか？
|V| に関する帰納法で解けばいいのかなと思いますが、どうでしょうか？ >>222
1. 閉路(ループ)が存在するなら閉路を構成する任意の辺を消去する。この一手順で閉路は確実に１個以上減少する。
2. 閉路がなくなるまで 1 を繰り返す。 |E'| を消去した辺の数とする。
3. 閉路がないので端点(行き止まり)となる頂点が存在する。任意の端点とそれに接続する辺を消去する。
4. 辺が残り1個になるまで 3 を繰り返す。|V'| (= |E''| ) を 消去した頂点(辺)の数とする。
5. 最後の1辺に接続していた２頂点は残っている。
もし消去されているとしたら接続していた他の辺も消去されている。2辺以上に接続している頂点は端点ではないので 3の手順に矛盾する。
他に頂点が存在しないのは明らか。
1...5 より
|V | = |V'| + 2
| E | = |E' | + |E'' | + 1 = |E' | + |V' | + 1
= | E' | + |V| - 1 ≧ |V| - 1
もっと自然言語に頼らない証明が欲しいのかな... ちゃんと改訂しない東大さんサイドに問題がある
化学のブルースとかアトキンス見習ってどうぞ ∫[ -ε,ε]{log(x)}'dxの計算について質問があります。
この積分を実行した時、真数を負の数まで拡張すれば
∫[ -ε,ε]{log(x)}'dx= log(ε)- log(-ε)
となります。
この際、右辺はlog(ε/-ε)= log(-1)となるのか、それともlog(ε)-{ log(ε)+ log(-1)}=-log(-1)となるのか、どちらが正しいのでしょうか？
物理の教科書を読んでいて湧いた疑問ですが、内容的に数学かなと思ったのでここに質問しました。
よろしければ答えていただきたいです。 >>225
p114 例2 f=o(1)(x→a)⇔f(x)→0(x→a) >222
任意の辺を選んで縮約(2つの端点を1つの頂点に)すると、頂点が1減り、辺は1以上減る
この操作でグラフの連結性が保たれることを示せば、あとは帰納法で簡単に証明できるかな 拡張っていうのは複素数で経路積分を考えるということだろう。
log(z) ' = 1/z
z = ε exp(iθ) と置く。dz = iε exp(iθ) dθ = i z dθ
∫ log(z) ' dz = ∫ 1/z dz = ∫ i dθ
= + iπ (経路を下にとった時)
= - iπ (経路を上にとった時)
log(-1) = log( exp(+iπ + 2π in ) ) = +i (π + 2π n) (多値関数)
経路次第なので、ある意味 ± log(-1) どっちも正しい。
普通は何周も回る経路は取らない。
>>231
ああ、それでいいと思います。
てか「連結性が保たれる」までこだわりますか.... >>232
なるほど！
図まで添えていただけたので一層分かり易かったです。
ありがとうございます。 >>227
>>231
ありがとうございました。
u, v を縮約するというのは、以下のようなことですか？
w を u, v を縮約した点とする。
u, v を V から除去した点集合に w を追加する。
u に隣接し、 v には隣接しない v 以外の点 t に対して、
(t, u) を E から除去した辺集合に (t, w) を追加する。
v に隣接し、 u には隣接しない u 以外の点 t に対して、
(t,, v) を E から除去した辺集合に (t, w) を追加する。
u に隣接し、 v にも隣接する点 t に対して、
(t, u), (t, v) を E から除去した辺集合に (t, w) を追加する。 なんか縮約という操作が嫌です。
任意の連結無向グラフ G = (V, E) には、次のような点 v が存在することを証明できるでしょうか？
v を V から除去し、 v に接続しているすべての辺を E から除去する。
この操作を行った後でも、グラフは連結のままである。 >>221
あー！そういうことでしたか、、Zornの補題で示したやつでしたっけ明日復習します
すっきりしましたありがとうございました！ >>236
除去の段階で非連結になる事を気にしたってしょうがないよ。追加の段階でまた連結になればいいんだし。
ある縮約で初めて非連結になったとする。 これは次の i または ii が成り立つことと同値である。
i. ある２点間の経路 t[1] → t[2] → t[3] → .... → t[n] が途切れて、新たな経路は存在しない。
( t[1], t[n]は縮約前後において存在するものとする)
ii. 新しく追加された点w から、 他のある頂点 x への経路は存在しない。
i の場合
途切れか箇所のパターンは２通りしかない。どちらも迂回経路が存在する。
... → t → u(またはv) → t' → ...
... → t 除 除 除 t' → ...
... → t → w → t' → ...
... → t → u → v → t' → ...
... → t 除 除 除 除 除 t' → ...
... → t → w → t' → ...
よって全体で新たな経路( t[1] →... → t[n] ) が存在する。 (矛盾)
ii の場合
縮約前には u (またはv) から x への経路が存在したことから、wから x ヘの経路が存在するのは明らか。(矛盾)
つまり縮約で非連結になることはない。
既に冗長すぎるけど、もっと厳密に書こうと思えばいくらでも書けるだろう。 ａから一番遠い点をｂとするとａからｂ以外の点ｃまでの最短の道はｂを通らない。 >>231,238
両端同じ辺も同時に減らすとするんだろうけどさ
もともと辺の両端が同一という場合を容認して
一辺ずつ減らした方がいいじゃないかな
>>233
連結でないといかんのでは？ >>240
> 連結でないといかんのでは？
それわざわざ示さないと納得できんのか...ということです。 >>236
任意の連結無向グラフ G = (V, E) には、次のような点 v が存在することを証明できるでしょうか？
v を V から除去し、 v に接続しているすべての辺を E から除去する。
この操作を行った後でも、グラフは連結のままである。
これを使って、
>>222
を以下のように証明できます。
以下の点 v を任意に選ぶ：
v を V から除去し、 v に接続しているすべての辺を E から除去する。
この操作を行った後でも、グラフは連結のままである。
G は連結だから、 v と V - {v} の点を結ぶ辺が少なくとも 1 つは存在する。
V' = V - {v} とし、 E' を E から v と V - {v} の点を結ぶ辺をすべて除去した
集合とする。
帰納法により、
|E| ≧ |E'| + 1 ≧ (|V'| - 1) + 1 = |V'| = |V| - 1 >>242
実はあるサイトに載っている解答が以下のように誤った解答でした：
以下の解答では、 G' = (V', E') が非連結になる場合があるため、
帰納法の仮定が使えません。なので誤っています。
v を V から任意に選ぶ：
G は連結だから、 v と V - {v} の点を結ぶ辺が少なくとも 1 つは存在する。
V' = V - {v} とし、 E' を E から v と V - {v} の点を結ぶ辺をすべて除去した
集合とする。
帰納法により、
|E| ≧ |E'| + 1 ≧ (|V'| - 1) + 1 = |V'| = |V| - 1 > 任意の連結無向グラフ G = (V, E) には、次のような点 v が存在することを証明できるでしょうか？
> v を V から除去し、 v に接続しているすべての辺を E から除去する。
> この操作を行った後でも、グラフは連結のままである。
これをどうしても使いたいんですね...
用語の整理から
端点: 接続する辺が1個しかない頂点、行き止まり
経路: 始点s と 終点 e を結ぶ G上の頂点/辺の有限列: s=v[0] → v[1] → ...→ v[n]=e (長さ: n)
閉路: 始点と終点が同一で他の経由点は全て互いに異なる経路、ループ
1. Gに端点が存在する場合
任意の端点 v は、目的の要件を満たす点です。
G上で異なる２点を結ぶ経路と v は無関係か始点または終点にしかなりえず(※)、除去により経路が分断される事はないからです。
※ vが中継点の箇所 → t → v → t → (辺(t,v)は(v,t)と同じ) は、最初から → t → と看做しても混乱はないだろう。
2. Gに端点が存在しない場合
頂点の有限性からGには閉路 L: s →...→ t → t' →...→ s が存在します。 (帰納法と鳩の巣原理)
Lから任意の辺 ( t, t' ) を除去してもグラフは連結なままです。
ある２点 を結ぶ経路が (t, t') を経由していたとしても、迂回路: t → ... → s → ... → t' が存在するからです。
この除去により全ての閉路(有限個)のうち少なくとも1個が消えます。
手順を繰り返せば閉路が存在しない連結グラフG' が得られます。
G' に端点が存在しないと仮定するとやはり閉路の存在が言えてしまうので、 G' には端点 v が存在します。
この v が目的の要件を満たします。
G' からvと接続辺を除去した G'' は 1と同様の考え方で連結グラフだと分かります。
G からvと接続辺を除去した G''' は G'' に辺をいくつか追加して得られます。
辺の追加で連結性が変わらないのは明らかなので、G''' は連結です。 >>245
ありがとうございました。
これで、
>>242
の証明が完成しました。 wikipediaに偏差値の利用価値が高いのは成績の分布が正規分布に近い時だって書いてたけどそれはなんでですか？
例えばどこかに74億人テスト受けて一人が100点、他全員が0点の時、100点の人の偏差値は60万以上になると書いてたけどこのとき偏差値の利用価値はどう評価すればいいですか？
これすごく分散の小さい正規分布に近いですよね？ 正規分布に近いと思う奴が変
イチャモン付けるためのコジツケに過ぎん >>250
平均m,標準偏差σのiid確率変数X1,X2,...,Xn,...に対しSn=X1+...+Xnとおくと、十分大きなnに対しSn/nは正規分布N(m,σ^2/n)に従う
n→∞とすると分散は0に近づき、その分布はDiracのδに近づく
これは大数の弱法則とも整合性がある
以上の議論より、Diracのδはある意味で正規分布に近い
これを知ってたらイチャモンつけるためのこじつけとか思うわけないよなあ
無能が口出しするとこういうことになる >>248
偏差値をもとに席次を正規分布を使って上位何パーセントか予想するときは、特典の分布が正規分布に近くないとダメ
という当たり前の話かと 正の実数に対して定義された
f(x) = (1 + 1/x)^x
は単調増加関数であることを示せ。 >>252
つまり、偏差値は別に得点が正規分布になってなくてもちゃんと使えるってことですね
ありがとうございます ところでやはり、>>249や>>250のような無能な馬鹿はネット掲示板に軽率に書き込むべきではないですね x を正の実数とする。
n * (x^(1/n) - 1) = log(x)
を示せ。 xの説明はあるのに、何故かnの説明は無し
さすが大学レベル！ x^(1/n) = exp((1/n)*log(x))
exp(x) = 1 + x + o(x)
[exp((1/n)*log(x)) - 1 - (1/n)*log(x)] / [(1/n)*log(x)] → 0 （n → ∞）
[exp((1/n)*log(x)) - 1 - (1/n)*log(x)] / [(1/n)*log(x)]
=
[n * (x^(1/n) - 1) - log(x)] / log(x)
∴
n * (x^(1/n) - 1) - log(x) → 0 （n → ∞）
i.e.
n * (x^(1/n) - 1) → log(x) （n → ∞） x を正の実数とする。
n * (x^(1/n) - 1) → log(x) （n → ∞）
を示せ。 >>260
f(x) = x^h は微分可能で f'(h) = x^h * log(x)
lim_[t → ∞] t * (x^(1/t) - 1) = lim_[h → 0] (x^h - 1) / h = f'(0) = log(x)
lim_[n → ∞] n * (x^(1/n) - 1) = lim_[t → ∞] t * (x^(1/t) - 1)
だから
n * (x^(1/n) - 1) → log(x) （n → ∞） >>260
f(h) = x^h は微分可能で f'(h) = x^h * log(x)
lim_[t → ∞] t * (x^(1/t) - 1) = lim_[h → 0] (x^h - 1) / h = f'(0) = log(x)
lim_[n → ∞] n * (x^(1/n) - 1) = lim_[t → ∞] t * (x^(1/t) - 1)
だから
n * (x^(1/n) - 1) → log(x) （n → ∞） >>259
と
>>260
ではどちらがいい解答ですか？ >>259
と
>>262
ではどちらがいい解答ですか？ 「訂正します：」が無いとは松坂くんらしくないぞ、具合でも悪いのか？ >>266
いやいや、お前はまず>>251に答えろよ無能w >>268
言ってもわからないかもしれないけどここは質問スレなんだよね
質問する人が無能であることのどこかおかしいか？
俺は答えた人間が無能だったから無能な馬鹿と言ったまで >>270
回答ありがとうございます
でもこれって普通に点を標準化するだけなら、例えば国語と数学では得点の分布が異なるけど点をそれぞれ標準化して比較すること自体には意味があると思います
奥村春彦著の「Rで楽しむ統計」にもwikiのような記述は「酷い誤解」として紹介されているようです
https://i.imgur.com/Kkw2hUo.jpg 今年の受験生の得点がガウス分布に従うことを調べたのか、馬鹿が >>272
あなたはまともに会話もできそうにないように思えるので以後はスルーさせて頂きます
今後煽られても反応出来ないと思いますのでご了承ください >>275
統計を知らん馬鹿を相手にする気は最初からない。wikiが信用できないのは公知の事実だ。
さようなら俺様 言いたいことが後から後から
冷静さは感じられないな Rで楽しむ統計、コマンドを打ち込んで統計が分かったつもりの馬鹿 この話題すくなくとも二度目だな、鬼の首をとったような俺様涙目 馬鹿が
>ところでやはり、>>249や>>250のような無能な馬鹿はネット掲示板に軽率に書き込むべきではないですね
のような発言をして
>冷静さは感じられないな
質問者を擁護するお前は何様？ >>271
おおよそ連続分布と見なせるものを
2つの数値だけで特徴付けられる？ってこと
そこから標本分布を作れば中心極限定理によって
規準化すれば確率極限が規準正規分布になるけど
得点分布をどう使ってる？自分がどこに居るかぐらいでしょ
そこから無作為抽出してなんてことして考察することは皆無と言って良い
つまり全然正規分布と違うのにそれを使えると騙されてるようなもんだよ 偏差値を平均と標準偏差しか使わない不適切なものにせず
実際に大小順に並べて下の方から何%の所にいるかって
全部換算させたらいいだけだと思うのになんでしないかな
無限に居るわけじゃなくてせいぜい数十万人程度なんでしょ？
大した数値処理じゃないのにね >>281
質問者を擁護、だって
周りが全て敵に見えるほど冷静さを欠いているんだな
お前が馬鹿だというだけのことだよ >>286
偏差値っていうあまり頭の良くない数値より
％で言われた方が正確だと思うというだけのことよ >>282
丁寧な回答ありがとうございます
自分の点Xと平均点mとの差X-mを計算するだけであれば確かに得点分布は自分がどこにいるかくらいしか使ってないという実感はあるけど、
標準偏差で割ってるからそれなりに使える値になってると感じます(自分の相対位置の推定以外の用途、例えば異なる模試の成績、異なる教科の成績の比較をするときとか)
中心極限定理のおかげで標準偏差は頭の良い値になってるように思えるけど、標準化した得点分布の平均の分布が標準正規分布ってだけではダメってことかね
まあ小飼弾もツイッターで言ってたけどパーセンタイルで自分の位置を言われる方が正確なのは同意します 解析入門I 杉浦光夫の
p114 例2 f=o(1)(x→a)⇔f(x)→0(x→a)
は間違いではないですか！？ 胡亥たまなんて信奉してる奴にストーカーされるのは勘弁だなあ・・・。 成績偏差値が絡むと色々とトラウマ刺激される人も多いだろう
人間の良し/悪し を数値化しようなんて本来おこがましい事なんだよ
今回は質問者が悪いと思う。 ハズレ付き公共サービスの典型例として定評がある公教育サービスの供給側が本来品質管理されるべきなんだよ。
なんで需要者側が似非統計学でインチキ品質管理されなきゃならんのだ。 >>292
偏差値関連の質問してトラウマを刺激したから質問者が悪いってどういうこっちゃ
あと一応誤解の無いように言っておくけど、小飼弾は得点の分布が正規分布に従わないのになぜ偏差値を使うのか理解不能と発言して>>271の著者とかその他に反論された人だからね なんかやる事がいかにも匿名の小心者って感じだな
真っ向から反論できないから一人で話してる体を装う
わざわざ掲示板に書き込みしといてそれは無理があると気付かないもんかな 行間が開きまくってる間抜けが言うことじゃないよなあ。 流れぶった斬りだけど、>>1のwolframalphaのurlの下に簡単な使い方をまとめたサイトへのリンクがあったらいいんじゃないかなあ、と思った。
それだけ。 >>289
o(g)(x→a)の定義
lim_{x→a,x≠a}[f(x)/g(x)]=0
極限の定義
(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(|x-a|<δ⇨|f(x)-b|<ε) ただしaはAの閉集合の元。
f=o(1)(x→a)⇔lim_{x→a,x≠a}[f(x)]=0
f(x)→0(x→a)⇔lim_{x→a}[f(x)]=0
lim_{x→a,x≠a}[f(x)]=0
⇔lim_{x→a}[f(x)]=0
はaがAの元でないときは成り立つけど、x∈Aのとき成り立たないんじゃないですか！？ >>300
その程度の些細な間違い、いちいち同意を得ないと納得できないのか？ >>300
f(x) → 0 （x → a） ⇒ f = o(1) （x → a）
ですね。 >>302
細かいことが気になってしまう、僕の悪い癖です ＞o(g)(x→a)の定義
＞lim_{x→a,x≠a}[f(x)/g(x)]=0
が間違ってるだけ。 >>304
細かいことを気にするのは悪くない
自分で判断できることを他人に聞くのがダメ >>300
そもそもlim_｛x→a｝の定義に
x≠a
が入っている
極限の定義は
(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<|x-a|<δ⇨|f(x)-b|<ε)
です >>308
杉浦光夫さんの本での定義は他の本での定義と違うと思います。 関数の極限というのはもとからx=aになる点は考えない >>309
今すぐ確認できないからわからないが
極限の定でx=aを除いて考えるというのは日本標準、ヨーロッパやアメリカでも >>308
極限の定義、そんな変なので進めてる教科書もあるのかも知らんけど、
(杉浦, 解析入門 I p.52)
lim_{x→a, x∈B} f(x) = b または f(x) → b（x→a, x∈B)
論理記号で書けば
(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈B)(|x-a|<δ⇨|f(x)-b|<ε)
となる.
となってますね。
0<|x-a|<δ だとしたら、連続な関数の定義を lim 記号で書くの面倒になるじゃん。 > x=aになる点は考えない
そういうのは、lim{x → +a} とか 、lim{x→a, x≠a} で済ませればいいんだし。 どっちが定義として優れてるんですかね？
日本では多くの本でlim_{x→a,x≠0}[f(x)]を極限の定義としてるそうですが(解析入門 杉浦光夫 p54より)
杉浦さんの解析入門は、日本では名著として知られてますよね？ 0=|x-a|を許すならlim[x→a]f(x)=∞はどう書き下せばいいんですかね
定義域内の点にしか極限飛ばせないんですよね？ >>312
念の為、x∈Bがないx→aだけの時の記載については？それでx=aを含めていたら、標準からずれている
連続な関数の定義についてはおそらく君の勘違い
普通にシンプルに定義できる >>313
そもそも、x=aを入れることに意味がない >>314
まだそこをチェックしていないから、正しいの文脈がわからないが
標準というのは、その記号が表す論理式のことであって記号の使い方の話ではないのでは？ >>315
例えば、f(x)=1/x、定義域Bがx=0以外の実数のとき、0∈(定義域Bの閉集合)より0の極限を求めることができるが、極限は存在しない。 >>318
杉浦
aは任意の定義域Aの閉集合の元がとれる
a∈Bのとき、x=aも含める
aはBの元でないとき、x=aは含めない
その他大勢
aは任意の定義域Aの元がとれる
x=aは含めない >>317
x=aを含めない定義だと、点列と関数の関係性の定理で不都合がおこる(解析入門I 杉浦光夫 p54)。
といっても伝わらないと思います。
(まず自分がよくわかってない)
実際に読んでみるのが早いと思います。 >>320
Bとしてますが、Aの間違いですm(_ _)m それ連続の定義とかではないんですか？
その定義だと、不連続点では極限が定義されないってことになりますよ >>321
そこの部分の正確な命題がすぐにはわからかいないけど
aを含む区間で定義された関数がaで連続であることの点列式の定義とεδでの定義が同値であるかどうかはx=aを含めるかどうかに関係なく成り立つ >>323
例えば、f(x)=x (x≠0), 1 (x=0)のとき、定義域Aは実数全体、0∈(定義域Aの閉集合)より、0での極限は定義される、ただし極限は存在しない。 >>324
同値であるかどうか→同値であること
に修正 >>325
では、極限が存在しない、にしときましょうね
それでいいんですかね >>324
p53 正確な定理
定理6.2
B⊆A⊆R^n, f:A→R^m, a∈(Bの閉集合)とするとき, 次のa),b)は同値である
a) f(x)→b (x→a, x∈B)
b) x_n→a (n→∞)となる任意のBの点列x_nに対して, f(x_n)→b (n→∞)である
p54
しかしこのような(その他大勢の)定義に対しては定理6.2のb)の点列にx_n≠aという条件をつけなければならない. >>320
解析入門は入門書として使ったことはなく、後で定理か一部の概念を見るときにしか使ってなかったので極限の定義をちゃんと見たことは無かったが
意図的にx=aを含めるように定義しているとしたら問題ですね
標準的な物から大きくずれるし、混乱を招く
特にlimのようなずっと使うものなら >>320
ちなみにx=Bの記載が無いものについては？その時もx=aを含めるとなっているのであれば教科書としては著しく不誠実
名著ではあるんだろうが、大きなマイナスポイント >>330
一度定義をちゃんと読んでみては？
質問の意図がよくわからなかったです。
定義域A(Bなし)のときはa∈(Aの閉集合)
B⊆A、B内でaに近づくときはa∈(Bの閉集合)
ただしa∈Aのとき B={x∈A|x≠a}ならば
lim_{x→a, x∈B} f(x)を lim_{x→a, x≠a} f(x) と記す >>314
訂正
日本では多くの本でlim_{x→a,x≠0}[f(x)]を極限の定義としてるそうですが(解析入門 杉浦光夫 p54より)
↓
日本では「a∈Aのとき、多くの本で(杉浦本でいう)lim_{x→a,x≠0} f(x)を極限の定義としてる」(解析入門 杉浦光夫 p54より)そうですが
多くの本ではaがAの元でない点については考えませんもんね >>327
f(x)=x (x≠0), 1 (x=0)のとき、
lim_{x→a} f(x) は存在しない
lim_{x→a, x≠a} f(x) =1
ということですね。 >>334
確認したけど、lim_｛x→a｝と定義域の明記をせずに書いたときにはx=aを含めて考えるようですね、杉浦さんは
意図的にそうしているみたいですし
標準からは大きくずれるので読者は注意、と言ったところでしょうか（例え注意書きに書いてあっても） >>332
本質とは関係のない誤植がどうたらと違って
定義や理論の解説、というのは教科書の本質だろう
定義もちょっとした誤植ならともかく、意図的に標準のものと変えているんだから
そこに不満を言ってはいけないということはないよ
賛否は分かれるのは仕方ないにしても では意図的に変えた理由である>>328について考えたいものですね。 標準的な教科書の>>328にあたる正確な定理とその証明が知りたいですね そもそもみんなが納得するような「標準的な教科書」なんてあるのか？ この流れからすると杉浦ですら「標準的な教科書」ではないのだから。 >>324さんが教えてくれるとありがたいんですけどね(標準かどうかはともかく) 標準というのは殆どの教科書やレクチャーノート、論文、数学者の間の共通認識としてx=aを含めないものとして使われていると言う意味だよ（日本だけではなくね）
実際資料を閲覧できる状況になってからいくつか上げていってもいいんだけど
その前に聞いておきたいのは
>>344
>>312
は「x=aを含めないのが標準だと思わない」という認識なのか？ >>339
注意１は読んだのか、そのネタはネットに転がっているが 蛇足ながら杉浦の価値は多変数の微分を見通しよく導入してるところだと思っていた。
フレッシェ微分な >>345
杉浦は標準じゃないって周りが言ってくるだけで
標準かどうかはどうでもいいんですけどね 今手持ちの本を見たら、
山崎圭次郎 解析学概論1 p.63 含む ( 杉浦と同様の注意書きあり )
ルディン 現代解析学 p.81 含めない
となってますね。あと、
http://mathworld.wolfram.com/Limit.html 含めない
http://planetmath.org/CauchyConditionForLimitOfFunction 含めない
どうやら 「世界標準」では「含めない」に軍配が上がりそうですね。
>>345
自分は教科書の中で一貫してるなら、どっちでも構わないかなという認識です。
・０を自然数に含める/含めない
・A ⊂ B に A ⊆ B の意味を持たせる/持たせない
その程度の好みで決まる話かと。 >>349
含めない派が標準かどうかってのはどうでもよくて、含めない派の>>328にあたる正確な定理とその証明が知りたいんですけどね
でも調べてくれて、ありがとうございます >>345
資料が閲覧できる状況ってどういう状況ですか？ >>349
山崎圭次郎の本ってどんな本なんですか？ で、実際、どちらの定義のほうが優れているのでしょうか？ 変動指数を持つルベーグ空間L^p(*)の双対はp’(*)=p(*)/(p(*)-1)に対してL^p’(*)なのに、Φ(x,t)=t^p(*)としてMusielak-Orlicz空間の双対の定義にあてはめるとギャップが生じるのは何故でしょうか？
どなたか回答をお願い致します。 最小全点木を求める Kruskal のアルゴリズム
1. E(G) = {e1, e2, …, em} を w(e1) ≦ w(e2) ≦ … ≦ w(em) と重みの小さい順に
並べる。 T = φ とおく（最終的に得られる T は最小全点木の辺集合を表す）。
2. i = 1 から 1 ずつ増やして m になるまで以下の(a)を繰り返す。
(a) T ∪ {ei} が閉路を含まなければ、 T = T ∪ {ei} と更新する。
基礎的なグラフ理論に基づく Kruskal のアルゴリズムの正当性の証明を与える。
自己ループのない連結グラフ G の辺 e = (u, v) を縮約して得られるグラフを G/e
と表記する（すなわち、両端点 u, v を同一視してさらに e を除去して得られる
グラフが G/e である）。
すると、 G の全点木 T と G の任意の辺 e に対して、 e ∈ T ならば T - {e} は
G/e の全点木 T であり、 e ∈ T でないならば T は G/e の閉路を含む。
逆に、 G/e の全点木 T' に対して、 T' ∪ {e} は G の全点木であることが言える。
これらはグラフ理論の基礎的な事実である。
12.1節 Kruskal のアルゴリズムにおいて、 G1 ≡ G/e1 の最小全点木を T1 とする。
すると、 T ≡ T1 ∪ {e1} は G の最小全点木となることが以下のようにして言える。
いま、 T^* を G の最小全点木とおく。
e1 ∈ T^* ならば、 T^* - {e1} は G/e1 の全点木であり、その重み w(T^* - {e1}) は
T1 の重み w(T1) 以上であるので、 w(T^*) ≧ w(T) となり、 T も G の最小全点木と
なる。
一方、 e1 ∈ T^* でないならば、 T^* ∪ {e1} は G の閉路 C(e1, T^*) を含み
その閉路は辺 e1 を含む（このような閉路 C(e1, T^*) は全点木 T^* に関する
辺 e1 の基本閉路と呼ばれる）。
C(e1, T^*) に含まれる e1 以外の任意の辺を e とおけば、 T^* - {e} ∪ {e1} は
G の全点木であり、さらに w(e1) ≦ w(e) であるので、 T^* - {e} ∪ {e1} の重み
w(T^* - {e} ∪ {e1}) が w(T^*) 以下である。すなわち、 T^* - {e} ∪ {e1} も G の
最小全点木となる。したがって、 G の最小全点木 T^* は e1 ∈ T^* であると
仮定できる。以上より、 T ≡ T1 ∪ {e1} は G の最小全点木であることが示せた。 >>355
これは浅野孝夫さんの証明ですが、粗削りですね。 >>355
次は、
G2 ≡ G1/e2 の最小全点木を T2 とする。
すると、 T1 ≡ T2 ∪ {e2} は G1 の最小全点木となる。
T ≡ T1 ∪ {e1} ≡ T2 ∪ {e2} ∪ {e1} は
>>355
より、最小全点木である。
みたいに続くわけでね？ 訂正します：
>>355
次は、
G2 ≡ G1/e2 の最小全点木を T2 とする。
すると、 T1 ≡ T2 ∪ {e2} は G1 の最小全点木となる。
T ≡ T1 ∪ {e1} ≡ T2 ∪ {e2} ∪ {e1} は
>>355
より、最小全点木である。
みたいに続くわけですね？ アフィン代数多様体で位相多様体の構造が入らないものは存在するのでしょうか？ >>308
それだと合成の極限が定義できないことになるがよ >>345
>「x=aを含めないのが標準だと思わない」という認識なのか？
x=aを含めるのが普通 >>360
自己解決しました
そもそもハウスドルフにならない場合がたくさんありますね >>359
>(a) T ∪ {ei} が閉路を含まなければ、 T = T ∪ {ei} と更新する。
あ、なんかまずいですね。
>>355
の証明を完成させてください。 何も考えずに自分で手動かして計算すればいいだけですよ
fとgがC2なので、そういうことしてもいいことはわかっているわけですから
微分して答えが出たということは、C2だということです >>367
すみません。行間が多すぎてわかりません。 まず、∂φr/∂xjを(6.11)で計算しますよね
それをさらに∂/∂xi計算すれば良いです >>341
a_n≠0を付け加えるだけではないか？ >>342
標準、といいものの定義は人によると思うが
私は研究者の間の共通認識、という意味で使わせて貰った
もちろん一般的な教科書に採用されている割合と相関はあるだろうが
経験則で言えば、論文や講演や議論においてlimの定義にx=aを含めないものを使っていることが殆どであると認識している
後日持っている教科書やレクチャーノート、論文をいくつか上げてみよう（参考程度にしかならないと思うが） >>346
注意1が何だったか忘れたが、例えわかりやすさを重視してたり、補足として一般的な定義を併記していても勝手に一般的に使われている記号の定義を変えるのは好ましくない、という個人の考えです 点列極限が通常の極限と一致することを言うために
選択公理が必要だったか >>362
それは、残念
宜しければ理由も聞かせて頂けると有り難い >>351
今出張中なので家か大学にもどってから
明日か明後日には >>378
わかりました。>>351と同一人物です。 >>370
(6.11)をxiで偏微分すると、∂/∂xiが分配法則のようになるのはなぜですか？ >>371
x_n≠a のことですかね？それだけだと点列が一般性を失うと思うのですが？ >>381
積の微分ですよ
高校でもやりますね
>>382
何か問題がありますか？ >>383
(右辺)=Σ_{l=1 to m} z(l)とおくと、
積の微分はz’(l)=◯+◯のことを言ってるんですよね？
私が聞きたいのは、z(1)+z(2)+...+z(m)をxiで偏微分すると、∂/∂xi・(z(1))+∂/∂xi・(z(2))+...+∂/∂xi・(z(m))のように分配法則みたいになる理由です。
一般性はあった方がいいんじゃないかなと思って >>384
普通の微分でもそうなりますよね
偏微分の線型性です
では、なくてもいいんじゃないでしょうかね >>373
定義の問題だ。同等な定義なら問題ない。お前の知能レベルで判断するな。 >>385
∂gr(y)/∂yl・∂fl(x)/∂xj がxiで偏微分可能を示す。
z(l)=∂gr(y)/∂yl・∂fl(x)/∂xjとおく。
z(l)+z(l’)がxiで偏微分可能を示す。
帰納法でz(l)の有限和がxiで偏微分可能。
Σ_{l=1 to m} z(l) がxiで偏微分可能より、(左辺)=∂φr(x)/∂xjが偏微分可能。
∂φr(x)/∂xjがU上連続を示す。
φはC^2級となる。
こういう流れですかね？
∂φr(x)/∂xjがU上連続はどうやって示したらいいでしょうか？
これも右辺から示すんですかね？
右辺から示すとなれば、z(l)がU上連続を示す？
z:R^(n+m)→R？
定義域がR^(n+m)の関数がU⊆R^n上連続を示す？？？
Aが連続⇔Aの任意の成分が連続。のようなことを利用する？
杉浦さんのでは定理6.2はf(x)≦g(x)⇒b≦cの証明に使われます。ただし、lim_{x→a} f(x)=b, lim_{x→a} g(x)=c。点列に一般性がなければ、証明に使えないと思うのですが？ >>387
？limの定義がx=aを含めないものなら成り立つよね >>387
fとgがC2だから、微分しようが掛け算しようが結果は連続ですね
使わなくても証明できると思いますけど、どのようにして使っているんですか？ 命題
IをR^nの有界閉区間、有界関数f:I→Rに対して、m=inf_{x∈I} f(x), M=sup_{x∈I} f(x) とするとき、
sup_{x,y∈I}|f(x)-f(y)|=M-mを示せ。
証明
g(I)={|f(x)-f(y)| | x,y∈I}とおく。
sup_{x,y∈I}|f(x)-f(y)|=M-m
⇔「任意のx,yに対して、|f(x)-f(y)|≦M-m」かつ「任意の ε>0 に対して、M-m-ε<X となる X∈g(I) が存在する」
任意のx,yに対して、m≦f(x)≦M、-M≦-f(y)≦-m より、任意のx,yに対して、m-M≦f(x)+(-f(y))≦M-m…①。よって、|f(x)-f(y)|≦M-m。よって、任意の ε>0 に対して、M-m-ε<X となる X∈g(I) が存在することを示せばよい。f(I)={f(x)|x∈I} とおく。
i)M=mのとき、
f(I)={M} より g(I)={0}。X=0をとればよい。
ii) M≠mのとき、
f(I)=[m,M) または (m,M] または (m,M) のとき、g(I)=[0,M-m)...②。X=M-m-ε/2をとればよい。
f(I)=[m,M] のとき、g(I)=[0,M-m]。X=M-mをとればよい。
よって、任意の ε>0 に対して、M-m-ε<X となる X∈g(I) が存在する。よって、sup_{x,y∈I}|f(x)-f(y)|=M-m。
(証明終わり)
質問
・①は証明できますか？
(2つの区間の和の)区間の最大元はそれぞれの区間の最大元の和の証明
・②は証明できますか？
①の開区間、または半開区間バージョン(最小元の証明については必要なし)
・f(x)の上限がM,下限がm ⇒ f(I)=[m,M) または (m,M] または (m,M) または f(I)=[m,M] は証明できますか？
・他の証明の仕方があれば教えてください！ >>392
よって、任意の ε>0 に対して、M-m-ε<X となる X∈g(I) が存在する。よって、sup_{x,y∈I}|f(x)-f(y)|=M-m。
(証明終わり)
質問
・①は証明できますか？
(2つの区間の和の)区間の最大元はそれぞれの区間の最大元の和の証明
・②は証明できますか？
①の開区間、または半開区間バージョン(最小元の証明については必要なし)
・f(x)の上限がM,下限がm ⇒ f(I)=[m,M) または (m,M] または (m,M) または f(I)=[m,M] は証明できますか？
・他の証明の仕方があれば教えてください！ >>393
できます
できます
できません
連続ではない時を考えましょう >>392
①は証明できる、というか書いてあるのが証明でないの？
②は、何かいろいろおかしい
そもそもgのsupがM-mになるのが証明なのでそこを示したらあとの議論はいらない
あと連続関数でないと一般に地域は区間にならない g（I）は考えずに
任意の ε>0 に対して、M-m-ε<X となる X∈g(I)
この具体的なXを見つけてくるだけ もう少し勉強してほしいというか、いちゃもんつけることに一生懸命になってしまって簡単なことがわからなくなってるような感じもしますよね 宮島静雄著『微分積分学I』を読んでいます。
Newton 法のところを読んでいますが、ごちゃごちゃしていて、ひどいですね。
証明せずに事実だけを書いたりもしています。
この本、一見丁寧なように見えて、実際は、かなり雑で、省略やギャップが多いですね。
杉浦光夫さんの本のほうが丁寧です。 宮島静雄さんは理路整然とスッキリと書けない人みたいですね。 >>390
fがC^2級の定義は、fの2階までのすべての偏導関数が存在して、それらがU上連続である。ですよね？
点列についてはわかりました。 i)M=mのとき、
f(I)={M} より g(I)={0}。X=0をとればよい。
ii) M≠mのとき、
f(I)=[m,M) または (m,M] または (m,M) のとき、g(I)=[0,M-m)...②。X=M-m-ε/2をとればよい。
f(I)=[m,M] のとき、g(I)=[0,M-m]。X=M-mをとればよい。
のところがおかしくなってるんですが、任意のε>0に対して、M-m-ε<XとなるX∈g(I)が存在することはどうやって示せばいいですか？
①はどのように示したらいいですか？
完備化を知りません。 ∀εにたいして
M-ε/2＜f(x)≦M
m≦f(y)＜m+ε/2
となるx,yが存在します。このとき
M-m-ε＜f(x)-f(y)≦M-mとなるため、M-mは、f(x)-f(y)の上限です
同様にして、m-M≦f(y)-f(x)＜m-M+εなので、m-Mは下限です
すなわち、|f(x)-f(y)|の上限はM-mです >>397
横だけど、ほんま、土曜ぐらいから三日潰してるアホ。
「極限の定義」が自分に分かるレベルでないと気に入らないらしい。 >>407
M-mはf(x)-f(y)の上限、m-Mはf(y)-f(x)の下限
⇒M-mは|f(x)-f(y)|の上限
となるのはどうしてでしょうか？ >>390
どうもさっぱりわかりません。
φの2階までのすべての偏導関数がU上連続であることを示す過程を教えていただけませんか？ >>410
絶対知の中身の符号で場合分けします
正のときはM-mが上限であること、負のときはm-Mが下限であることを用いれば、正のときの絶対値や負のときの絶対値の上限がM-mであることを示せます >>412
φの2階微分は、fやgおよびそれらの1,2階微分の積や和で表されます
fやgはC2なので、f,gおよび2階までの微分は連続です
連続関数の積や和もまた連続なので示されました | x_(n+1) - x_0 | ≦ C * | x_n - x_0 |^2
だから、 Newton 法で定まる数列 {x_n} の収束が速いという話ですが、
C が例えば 10^100 であったとすると、
x_n が
| x_n - x_0 | < 10^(-101)
を満たすところまで行かないと、収束が速くなることが保証できないですよね。 >>405
えっ
オラついてて内容よく理解してないととっても恥ずかしいよ >>411
このスレは就活失敗か数学についていけなくなったか何かでコンプレックスを抱えていて、劣等感を抱えている人間が
低姿勢にならざるを得ない質問者を一方的に優位な立場から見下して叩くことが多い
お客様は神様で店員を理不尽に罵倒して優越感を感じる人種とおなじ
もっとも特徴からいってそんなのは多くて
2,3人で大多数の人間はまともな人間ではあるので気にすることはない
真摯な態度で真面目に勉強していればここまで落ちぶれることはないからね
彼らは実際罵倒はしてくるけど数学的な内容はほとんど触れずにただ叩くだけしかできない、何もできない奴らだから路傍の石みたいなものさ >>418
長文w
自分語りか
こんな所で長文綴るおまいも社会不適合者だろうなw >>414
z(l)=∂gr(y)/∂yl・∂fl(x)/∂xjとおく。
z(l)がxiで偏微分可能を示す。
z(l)の和がxiで偏微分可能を示す。
Σ_{l=1 to m} z(l) がxiで偏微分可能。
φの一階偏導関数は偏微分可能。
偏微分の線型性を示す。
f,gおよびその2階までの偏導関数が連続。
その偏導関数の成分も連続関数。
連続関数の積や和もまた連続。
Σ_{l=1 to m} z(l)が連続。
φの一階偏導関数が連続。
(6.11)の両辺をxiで偏微分し、(6.28)を得る。
(6.28)の右辺は連続。
φの二階偏導関数が連続。
φはC^2級となる。
こんな感じですか？ >>413
|f(x)-f(y)|の上限はM-mを示す。
i) f(x)-f(y)が0以上のとき
任意のε>0に対して
M-ε/2＜f(x)≦M
m≦f(y)＜m+ε/2
となるx,yが存在する。
M-m-ε＜f(x)-f(y)≦M-mより
M-mは f(x)-f(y)の上限。
|f(x)-f(y)|= f(x)-f(y)
よって|f(x)-f(y)|の上限はM-m。
ii) f(x)-f(y)が負のとき
任意のε>0に対して
M-ε/2＜f(y)≦M
m≦f(x)＜m+ε/2
となるx,yが存在する。
m-M≦f(x)-f(y)＜m-M+εより
m-Mはf(x)-f(y)は下限。
|f(x)-f(y)|= f(y)-f(x)
m-Mはf(x)-f(y)は下限より
M-mは f(x)-f(y)の上限。
よって|f(x)-f(y)|の上限はM-m。
i),ii)の上限は共にM-mより
|f(x)-f(y)|の上限はM-m。
こんな感じですか？ Rの部分集合(0,1)にユークリッド位相からの相対位相を入れたものと、Rの開区間としての(0,1)は、前者は開かつ閉で後者は閉集合ではないので同相ではないですが、直感的にとても違和感があります
同相にならないことの直感的な必然性はあるのでしょうか？ ？？？？
両者の ]0,1[ の位相は一致するのだが。 >>426
開区間としての(0,1)をまずは位相空間とみなす必要がありますね
どのような位相をいれるんですか？ 同相写像は単に位相空間の部分集合には定義できないのですね
勘違いしていました 位相空間Xの部分集合Aについて、相対位相を入れたAは(Aの中で)開閉だけどAは(Xの中で)開閉じゃないということなんだろうけど、まずは落ち着いて定義を一つ一つ確認した方がいい >>423
訂正
m-Mはf(x)-f(y)は下限より
M-mは f(x)-f(y)の上限。
↓
m-Mはf(x)-f(y)は下限より
M-mは f(y)-f(x)の上限。 齋藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』を読んでいます。
最大最小値の定理の証明ですが、手直しが必要ですね。
誤りも発見しました。 Weierstrassの最大値最小値なぞ今となっては自明 小林昭七『接続の微分幾何とゲージ理論』を読んでいます。
全体的に行間だらけで意味不明です。
全ページ手直しが必要ですね。 X,Yを位相空間、AをXの開集合でない閉集合、BをYの閉集合でない開集合とする
AとBをそれぞれXとYの部分空間とみたとき、一般にAとBは同相でないといえますか？ >>436
いえません
S={1,2}
D={φ,S,{1}}
とします
A={1},B={2}とするとAは開、Bは閉
相対位相を考えると
D_A={φ,A},D_B={φ,B}
f(1)=2を満たす写像を考えると、これは同相写像となります 阿呆が異なる空間の開集合と閉集合が
同相となるのが キモいとゴネてますw なんかこの板怖い人多いけど初めて来ました
線形代数学の基礎から勉強したいんですけどおすすめの本教えてください >>436
位相空間Aを開でない閉集合として含むXと閉でない開集合として含むYがあったとして
何のおかしなことも無いよ
Xの閉集合をAの閉集合とX
Yの開集合をAの開集合とY
にしたらいい >>435
お勉強気取りの茶々ばあさん、こいつ性器分布だったんか・・・。 ・任意のx,yに対して、|f(x)-f(y)|≦M-m
・任意のε>0に対して、あるx,y∈I が存在して、M-m-ε<|f(x)-f(y)|
の2つを示せばよい。
任意のx,yに対して、m ≦ f(x),f(y) ≦ M より、任意のx,yに対して、m-M≦f(x)-f(y)≦M-m。
よって、|f(x)-f(y)|≦M-m。
任意のε>0に対して、あるx,y∈I が存在して、M-ε/2<f(x)、f(y)<m+ε/2。これより、M-m-ε<f(x)-f(y)、f(y)-f(x)<m-M+ε。よって、M-m-ε<|f(x)-f(y)| X=Rx]-1,1[.
Y=[-1,1]xR.
A=B=[-1,1]x]-1,1[. >>433
↓が齋藤正彦さんの証明です。
「
区間 I の n 等分点のなかの f の最大値（のひとつ）を f(a_n) とする（a_n ∈ I）。
数列 <a_n> は有界だから、完備性の公理2.2.3により、収束部分列 <b_n> がある。
その極限を c とすると c は I に属する（§1の問題5）。
f(c) が最大値であることを背理法で示す。 I の点 d で f(c) < f(d) なるものが
あったとする。 ε = f(d) - f(c) > 0 に対してある δ > 0 をとると、
x ∈ I 、 | x - d | < δ なら | f(x) - f(d) | < ε 、 したがって f(c) < f(x) が成りたつ。
1 / δ より大きい自然数 n をとると、 d - δ と d + δ のあいだに I の n 等分点 u が
ある。 f(u) ≦ f(a_n) ≦ f(c) となり、矛盾である。最小値も同様。
」 これでいい気がするんですけど、どうなんですかね？
命題
IをR^nの有界閉区間、有界関数f:I→Rに対して、m=inf_{x∈I} f(x), M=sup_{x∈I} f(x) とするとき、
sup_{x,y∈I}|f(x)-f(y)|=M-mを示せ。
証明
・任意のx,yに対して、|f(x)-f(y)|≦M-m
・任意のε>0に対して、あるx,y∈I が存在して、M-m-ε<|f(x)-f(y)|
の2つを示せばよい。 まず修正可能な間違いについてですが、
1 / δ ではなく (b - a) / δ ですよね。ただし、 I = [a, b] とします。 >>448
|f(x)-f(y)|の対称性より、f(y)≦f(x) としても一般性を失わない。
|f(x)-f(y)|≦M-m を示す。m≦f(y)≦f(x)≦M より、|f(x)-f(y)|=f(x)-f(y)≦M-m。よって、|f(x)-f(y)|≦M-m。
M-m-ε<|f(x)-f(y)| を示す。M=mのとき、M-m-ε<|f(x)-f(y)|は明らか。M≠mのとき、ε<M-mの場合のみを考えれば十分。
任意の ε>0 (ε<M-m) に対して、あるx,y∈I が存在して、M-ε/2<f(x)、f(y)<m+ε/2 (ε<M-mより、これはf(y)≦f(x)を満たす)。これより、M-m-ε<f(x)-f(y)≦|f(x)-f(y)|。よって、M-m-ε<|f(x)-f(y)|。
よって|f(x)-f(y)|の上限はM-m。 >>433
>>447
まず修正可能な間違いについてですが、
1 / δ ではなく (b - a) / δ ですよね。ただし、 I = [a, b] とします。 どうして既に答えが付いている質問気いくつも似たような回答がつくんですか？ >>433
>>447
>>451
手直しが必要な箇所ですが、それは以下の不等式です。
＞f(a_n) ≦ f(c) >>449
>ただし、 I = [a, b] とします
その本での定義は？ >>450
(ε<M-mより、これはf(y)≦f(x)を満たす)。これより、M-m-ε<f(x)-f(y)、f(y)-f(x)<m-M+ε。よって、M-m-ε<|f(x)-f(y)|。
よって|f(x)-f(y)|の上限はM-m。 >>454
I は閉区間だと書かれているだけです。 >>453
分点が倍になる毎に単調増加だから良いんじゃないの？ >>458-459
ありがとうございます。
>>459
その場合、 f(a_n) ≦ f(a_(n+1)) ですから、
f(b_n) は単調増加数列で f(c) に収束しますね。
なので、
f(a_n) ≦ f(b_m) ≦ f(c) for some m
となってOKですね。 >>461
いつまでも人を叩いてても現状は変わらないぞ
自分自身で努力しなきゃ、ね？ なんのコンプレックスが君にそうさせるのかは知らないが 質問スレなんだから許してやれ。こいつ前まで本スレでこれやってたんたぜ。まじ参ったよ。 >>452
似たような回答かどうかは、目ん玉ひん剥いて、よくご確認ください。 どうして同じレスに亀レスで2回も返答付けるのでしょうか >>467
それは質問でしょうか？
大学学部レベルの質問をお願い致します。 >>468
三段論法を用いる任意の数学の証明は、三段論法を用いない別証明を持つことを示せ、という問題がわかりません 齋藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』を読んでいます。
中間値の定理の証明ですが、手直しが必要ですね。 >>470
あ、Okでした。
ちなみに、この本のまえがきに
「
この本で微積分を勉強するすべての人に、内容を完全に理解させずにはおかない、
という決意のもとで叙述をすすめた。
」
と書かれていますね。 >>469
私に質問してくださいとは言ってませんよ。その問題は分かりません。 >>474
はい、申し訳ありません。他の方から教えてもらってください。 >>465
長谷川の線形代数学はいいと思う
あとは、メジャーどころを適当に図書館で見て選ぶとか
松阪、齋藤、佐武あたりなら間違いはなかろう >>452
申し遅れましたが、私はこの問題の質問者なんです。この質問に回答していただいた方にはありがたく思っているのですが、細かいところがいまいちすっきりしなかったので、自分なりに証明し直してみました。うまく証明できてるか確認したかった所存です。 >>462
微積分頑張ってね、お前に答えられる質問ばかりよかったね（笑） 劣等感婆と松坂くんは別人なのか？
この板のガイジ率やベーな >>469
これに答えていただければ、教えて差し上げても良いですよ >>485
だから分からないって言ったじゃないですか。いい加減やめません？(笑) わからないなら仕方ないですね、では、またの機会ということで一件落着ですね >>485
だいたい >>484 も分からないバカに >>469 がわかるわけないでしょう まずはそこから始めてみてはどうですか？
カット除去定理は数学基礎論における基本ですよ
基本がわかってないのに微積などの解析なんてできるわけがないですね >>489
数理論理学、数学基礎論に興味はあるんですが、どの教科書から始めればいいかわからなくて、手をつけてませんね。オススメありますか？ 「カット除去定理なぞ聞いたことも無い」
という解析の専門家なんて腐る程居るぞw >>490
私もあんまり詳しくないですけど、鹿島の数理論理学とかどうでしょう >>491
ということは学部レベルの質問じゃないですねw 「多様体の基礎」
言わずもがなの高校レベルのコトが、
妙に詳しく書かれていて禿しく読み辛いので有名。
黄色と黒の装丁のやつ。 数理論理学や数学基礎論の専門家は普通の数学もちゃんと人並みに理解しているのでしょうか？ 数学が始まるのは院からだぞ
大学2年の「集合と位相」でやっと算数が始まる
それ以前のは全部計算 計算(calculation)より算術(arithmetic)と言ったほうが正確か >>469
√2が無理数だってことを三段論法使わずに証明するにはどうするん？ 基礎論でも直観主義みたいなのは数学の土台としての位置づけではなくてあくまで一つの研究対象に過ぎなくて
別に排中立やら二重否定の除去やらが成り立たない分野のことは知らなくても解析、代数、幾何と言った標準的な数学はできる
三段論法についても同様
と、いうかその分野の数学者でそんなこと気にしてる奴はいない
論理学自体に興味がある人は、それはその分野の話として認識してる
基礎論の中でも濃度とか選択公理とかに関連する部分はまた関わりが深いだろうが >>366
だいたいわかってきたのですが
∂/∂xi(∂gr/∂yl)に連鎖律を
適用できる理由がわかりません
∂/∂xi(∂gr/∂yl)
=Σ_{k=1 to m} ∂/∂yk(∂gr/∂yl) ・∂fk/∂xi
=Σ_{k=1 to m} ∂^2gr/∂yk∂yl・∂fk/∂xi
(おそらく)こうなると思います
二つ目のイコールはわかります
φ,f,g に対応するのが ∂g/∂yl,f,∂g/∂yl？？？
4枚写真
https://i.imgur.com/bfQs9zY.jpg
定理2.6.8
https://i.imgur.com/5EWTKTI.jpg
定理0.7
https://i.imgur.com/aJtW1zb.jpg
教科書 パワポ
定理6.8→ 定理2.6.8
定理6.6→ 定理2.6.6
定理0.8は定理2.6.8の証明の
2行目の一番左の⇔です
f:U(R^n)→(R^m)のように
関数:定義域(始域)→(終域)という
表記になっていますが悪しからず。 >>510
微分可能性とか難しいこと考えずに、ただ微分すればいいんですよ
一回教科書はおいておいて、自分でて動かして計算してそれアップしてください >>511
ただの計算はすでに載せてるように、
定理2.6.8の分と
∂/∂xi(∂gr/∂yl)
=Σ_{k=1 to m} ∂/∂yk(∂gr/∂yl) ・∂fk/∂xi
ですね。理屈抜きでの計算は分かってます。
∂/∂xi(∂gr/∂yl)に連鎖律を適用できることが証明できれば、(私の途中までの証明があっていれば) 全部解決すると思うんですけどね。 >>513
f,gが微分可能なら、fgも微分可能で、その値はf'g+fg'
これが連鎖率ですよ
f,gが2階微分可能なわけですから、成り立ちますよね これは積の微分でしたね
ま似たようなもんでしょう
f,gが微分可能なら、g◯fも微分可能で、値はg'f' 勘違いしてました
わかった気がします
再考してきます ∂/∂xi(∂gr/∂yl)
=Σ_{k=1 to m} ∂/∂yk(∂gr/∂yl) ・∂fk/∂xiでの
(g⚪︎f)’=g’f’のf,gに対応するものをF,Gとする。
(G⚪︎F)’=G’F’で、
G’F’の(r,i)成分が∂/∂xi(∂gr/∂yl)ですよね？
F,Gは具体的には何でしょうか？ 「合同変換の下で不変な図形の性質を研究する幾何学をユークリッド幾何学という。」
長さ、角度、面積、平行、垂直、直線、円、 n 角形、長方形、重心、点対称や線対称
が合同変換によって変わらない性質の例として挙げられています。
たとえば、合同変換によって、重心が変わらないというのはどういう意味なんでしょうか？
三角形 ABC の重心を G とする。
f を合同変換とする。
三角形 f(A)f(B)f(C) の重心が f(G) になるということだと思いますが、
「合同変換の下で不変な図形の性質」というのがクリアに分かりません。
どういうことなのでしょうか？ 代数関数って何ですか？
一松信さんの解析学序説に出てくるのですが、
定義域がはっきりしなくて気持ちが悪いです。
どう考えればいいのでしょうか？ 雪江明彦先生の代数学1 群論の演習問題2.9.2で仮定となっているG_1とG＿2の位数が互いに素等の条件がどのように必要になってくるのかがわかりません。教えてもらえると幸いです。 >>521
どこにカット規則使うんですか？
試しに証明してみてください >>522
ボクが聞いてるんですけど？
それに答えられないから
分からないんですね？
と確認してるだけなんですがｗ >>523
√2が無理数であることを示す証明のどこに三段論法を使うのか、と聞いてるんですけど？ >>524
さあ？
教えてくださいよｗ
三段論法を使わなくて証明できるって言ったのがあなたなんですけど？ >>525
√2が無理数でないとします
√2=m/nとかけます
2n^2=m^2となります
素因数分解を考えれば、左右で2の個数が異なってしまうので、これを満たすm,nは存在しません
よって√2は無理数です >>528
>素因数分解を考えれば、左右で2の個数が異なってしまうので、これを満たすm,nは存在しません
ここは三段論法じゃないんですか？
仮定をしてますよね？
AとA→BからBを結論するのを三段論法と言いますが？ それを三段論法と考えるということですか
結構めんどくさくて書き下すと本かけそうなくらい長くなりそうですよね
頑張ってみますか >>534
>それを三段論法と考えるということですか
普通は
AとA→BからBを結論することを三段論法と言いますが？ >>528
>√2=m/nとかけます
ここもでしょうか？
√2を有理数と仮定していますね
A：√2は有理数である
A→B:√2が有理数であればm/nと書けます
よって
B:√2=m/nとなります
ではないのでしょうか？ >>528
>√2=m/nとかけます
>2n^2=m^2となります
ここもでしょうか？
A:√2=m/nと書けます
A→B:√2=m/nと書ければ2=m^2/n^2となります
よって
B:2n^2=m^2となります
ではないのでしょうか？ 齋藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』を読んでいます。
リーマン和による積分の近似についての命題の証明がおかしいですね。 dy=A(x)・dxをx=0～ξで積分するときの方法なのですが、単にy=∫(0→ξ)A(x)dx でいいのかdy(x)/dx = A(x)として両辺積分しy(ξ)-y(0)=∫(0→ξ)A(x)dxとしてy(0)の初期条件代入するのとではどちらでやるのですか？
前者でやる場合はy(0)=0が明らかな場合のみですか？ このスレの書き込みを読んでいます。
全員頭が悪いので、手直しが必要ですね。 R → R の関数を f とする。
f ≠ 0
とする。
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(x * y) = f(x) * f(y)
が任意の実数 x, y に対して成り立つとする。
このとき、
x > 0 ⇒ f(x) > 0
を証明せよ。 これわかる方いますか？ちなみにここに書いてあるのはxが整数のときで、2で割りきれるとかそんな話なので役に立たないと思います
https://i.imgur.com/7B52I5Q.jpg 最後の式はx_1＝...＝x_(2n+1)の誤植という話は出版社から聞きました
ただしその証明についてはわからないとのことです 無理やり行列の問題にするとこんな感じでしょうか
全ての列ベクトルを足しあわせると零ベクトルになることからdetA＝0までは言えるのですがするとrankA＜2n+1しか分かりません
https://i.imgur.com/nAYQBjA.jpg >>540
その本は読んでないが、積分の定義は共有できているかね？ 命題
X,Y⊂R, Z={x+y|x∈X,y∈Y}とするとき、
X=(a,b)、Y=(c,d)⇒ Z=(a+c,b+d)
証明
Z⊂(a+c,b+d)の証明は分かる
(a+c,b+d)⊂Zの証明を教えてください >>545
(∃x) 0 ≠ f(x) = f(x*1) = f(x) * f(1) より f(1) = 1
x≠0 のとき 1 = f(1) = f( x * 1/x ) = f(x) * f(1/x) より x≠0 ⇒ f(x)≠0
以上より
x＞ 0 ⇒ f(x) = f(√x * √x ) = f(√x )*f(√x ) > 0 Z={x+y|x∈X,y∈Y}={t|x∈X,y∈Y,t=x+y}={t|a＜x＜b,c＜y＜d,t=x+y}={t|a＜x＜b,c＜y＜d,t=x+y,a+c＜t＜b+d}=(a+c,b+d) 高校生向きの参考書をパラパラと見ています。
なんかこんな解答で大丈夫なんだろうか？という解答が多いですね。
どうみても書き足りていない解答が多いです。
減点されないんですかね？ f : R → R は任意の x, y に対し、
f(y) - f(x) ≦ (y - x)^2
を満たすという。
f は定数値関数であることを証明せよ。 >>558
f(h) - f(0) + f(2h) - f(h) + ... + f(Nh) - f(Nh-h) ≦ N(+h)^2
f(0) - f(h) + f(h) - f(2h) + ... + f(Nh-h) - f(Nh) ≦ N(-h)^2
より
| f(Nh) - f(0) | ≦ Nh^2
x = Nh と置くと、| f(x) - f(0) | ≦ x h
xを固定したまま N→+∞, h→+0 (x<0 なら h→ -0) の極限を取れば |f(x) - f(0)| ≦ 0
f(x) = f(0) よって定数である。 | f(x) - f(0) | ≦ x^2 /N → 0 (N → +∞)
同じ事だけどこっちのほうが分かりやすいな。 すみません、数学専門の方にはすごく基本なのでしょうが、無限小と０は全く同じものなのでしょうか
lim(n→∞)1/nは無限小であり0なのか、無限小ではあるが0とは違うものなのかよく分かりません
以前本で、無限小は0と同値なのかそれとも0に限りなく近いが0とは違うものなのかについては、歴史的に著名な数学者でも意見が分かれていると書いてあるのを読みました。
現代数学では結論としてどうなっているのでしょうか F を R から R への関数全体の集合とする。
以下の性質を満たす F の部分集合 P は存在しないことを証明せよ。
任意の a ∈ F に対して、
a = 0
a ∈ P
-a ∈ P
のうち、ちょうど一つが成り立つ。
任意の a, b ∈ P に対して、
a + b ∈ P
a * b ∈ P >>564
超準解析の本嫁。
ただし、頭の悪い者、硬い者には、
超準解析の理解は無理。 超準解析本ちょっと読みましたけど、数理論理学がふんだんに使われていましたね
やはり、数学の基本は数理論理なわけです
この分野をわかってない人が多いというのは残念なことですね >>564
その本に書かれてあることは極限が出来た時の数百年前の話ですから、今ではもう少しましな議論ができるようになっています
現代では、一般的には、無限小とは、x→0のときにf(x)→0となる関数のことです
関数ですから、値がどんなに大きくなる場合もありますし、そもそも関数は数ではないわけで、0ではないのです
一般的ではない、超準解析において、無限小とは、本当に絶対値がどんな正の「実数」よりも小さい数と扱われます
こんなのは、実数だけを考えている限りあるわけありませんから、実数を拡張した超実数というものを考えます
しかし、この場合においても、無限小は0ではありません
超実数には標準部分と呼ばれる実数が定められていて、任意の無限小の標準部分は0です
すなわち、任意の無限小は0に限りなく近いですけど0ではない、しかし実数で表すとすれば0となる(=標準部分)というわけですね >>571
>>507の具体例って分かったりしますか？ とんでもなく長くなるでしょうから、数理論理の本を勉強してみてくださいね >>573
あ、もしかして>>474さんって>>534さんですか？ >>575
>>534と>>567か...
あっ、なるほど。心中お察しします。 >>565
そのような部分集合 P が存在すると仮定する。
有理数: x, 無理数: y に対して
σ(x) = 0, σ(y) = 1,
τ(x) = 1, τ(y) = 0 となる関数 σ, τ
α(1) = +1, α(π) = -1
β(1) = -1, β(π) = -1
その他で０値をとる関数 α, β を考える。
σ*α = σ*β, τ*α = -τ*β である。
σ, τ ∈ P の場合
α ∈ P とすると、β ∈ P 、 よって τ*α, τ*β, ∈ P , τ*α = -τ*β (矛盾)
-α ∈ P とすると、-β ∈ P 、よって τ*-α, τ*-β ∈ P , τ*-α = -τ*-β (矛盾)
σ, -τ ∈ P その他の場合も同様にして矛盾が導かれる。
少し興味がわいたので 問い( >>545, >>558, >>565 ) の元になった本があれば教えて欲しいです。 一般論でできるってわかってるからいいんです
形式化しようとすれば、√2が有理数だと仮定する、は∃x(x*x=2 ∧ ∃n∃m(n is Natural∧m is Natural ∧x=m/n))
なんてなりますよ多分
こんな調子でやってたらいつになったら終わるかわかりませんよね >>577
α ∈ P とすると、β ∈ P
はなぜですか？ >>579
前提 σ, α ∈ P より、σ*β = σ*α ∈ P
ここで β not∈ P と仮定すると -β ∈ P 。よって -σ* β = σ*-β ∈ P
σ*β, -σ*β ∈ P は同時に成り立ちません。 (....ちょうど一つが成り立つ)
よって β ∈ P >>510
定義を十分に説明していなかったので追加しておきます。
∂g/∂y_l(y)はgのyにおけるy_lについての偏導値です。∂g/∂y_lはgのy_lについての偏導関数です。∂g/∂y_l:R→R^pで、∂g/∂y_l(y)の(r,1)成分を∂g_r/∂y_l(y)としています。
あと、参考までに
この定理は「解析入門I 杉浦光夫 p136」です。 >>581
∂/∂xi(∂gr/∂yl)=∂/∂yl(∂gr/∂xi) >>584
すみません。よく分かりません。なぜ連鎖律が使えるのでしょう？もう少し詳しく書いていただけるとありがたいです。私が考えたことを詳しく書いておきますね。
∂/∂x_i(∂g_r/∂y_l)に連鎖律を適用できるということは、>>517のF,Gが連鎖律の条件を満たすということ。写真の証明の他の文脈から見て、おそらくF=f, G=∂g/∂y_l。
よって、∂/∂x_i(∂g_r/∂y_l)に連鎖律を適用できることを証明するためには、
∂g/∂y_lの定義域をVとするとき、
・Vが開集合
・f(U)⊆V
・∂g/∂y_lがy=f(x)で微分可能
この3点を証明する必要があると考えました。 だから、∂/∂xi(∂gr/∂yl)=∂/∂yl(∂gr/∂xi)
使えばいいですよね
xで微分してからyで微分すれば >>578
私は数理論理学を知らないのでわからないですが、>>534を見る限り、三段論法が分かってないということですよね？
三段論法を分かってない人が、数理論理学が分かると言ってもいいんでしょうか？ 本当いちゃもんつけたいがために簡単なことがわからなくなってしまってますよ
そういうのを、バカ、というんです >>587
私はカット除去定理がわかります
あなたはわかりません
それが全てですよw >>589
実数の部分として自然数を定義する話
おまえ、メタレベルと対象レベルの区別すら付いてなかったじゃん
基礎論のお勉強の成果としては論外だろ >>591
あれは、あなたが勝手に関係ない話をし始めたとして決着ついたはずですよ >>591
ペアノ算術はわかるようになったんですかね >>510
自己解決しました。
今まで私に教えてくださった、皆さんありがとうございました。大半はみなさんのおかげです。
>>586さん、私の理解力が乏しかったため、結局最後まで何を言っているのか分かりませんでした。
皆さん、ありがとうございました。 >>591
N(1)
∀x x＜1→¬N(x)
∀xN(x)→N(x+1)
∀x「N(x)→∀y[(x≦y＜x+1∧N(y))→y=x]」
実数の公理に上の公理を付け加えます
Nをxが自然数である、と解釈することによりこの解釈に実数の標準的な解釈を合わせたものは、考えている公理系のモデルになっているので、この公理系は無矛盾です
これならどうですか？
あなたの言ってる場合でも、{n∈R|N(n)}は自然数の集合になりますね >>594
ちなみになんでわかったんですか？
今後のためにも、頭の悪い人の思考回路を知りたいので参考にさせてください >>596
他の質問サイトの方が細かく教えてくださいました。 >>597
shoichi_0313さんこんばんは
>>552の問題もマルチしてたんですね
やめたほうがいいですよ、マルチは 今回の収穫は、自己解決=マルチで教えてもらった、という意味だということですね >>556
されませんね
というかできません
いくつかの理由でね >>564
（n→∞ のときの）1/n そのものは
無限小と呼んでもいいのでしょうが、
lim[n→∞] 1/n はきっちり 0 です。
a[n] が収束するときの lim a[n] は、
a[n] そのものではなくて、極限値、
つまり a[n] が「目指している値」、
言い換えれば a[n] によって「目指されている値」
を指しているからです。 >>564
意見が割れていたのは歴史的に、極限が定式化されるまでの話であり
現代においては無限小というものは実数としては存在しないと示されている
ここでいう、実数とは数学的にキチンと定式化されたものであり、現代の数学体系で普遍的に数として扱うものを指す
その意味で、無限小というものは存在しない
lim(n→∞)1/nも間違いなく0そのものであり無限小とはならない（そもそも存在しない）
ただし一つの体型として無限小というものを含むものを考えることはできる
一般的に数としては扱われてはいないがモデルとしては興味深いし、関数論などにも応用は聞く >>577
Michael Spivak著『Calculus』です。 >>604
ネットに転がってる 3rd ed. では、該当箇所分からんかったです。(全確認したわけではない)
4th ed. に載ってるんですか？ それとも着想の元ってだけで自分で考えた問題ってこと？ >>605
3rd Editionにも載っている問題です。
最初のほう（第3章 Functions）の問題です。
pp.51-53 を見てください。 p.52 17(c)
p.52 20(b)
p.53 28(c) >>595
∀xという表現を定義するためには先に自然数を定義しておかなければならず、不可能
実数の一階理論に不完全性定理を適用できないのも同じ理由 >>609
>∀xという表現を定義するためには先に自然数を定義しておかなければならず
なぜ？ I = [a_1, b_1] × … × [a_n, b_n]
の直径 d(I) を
d(I) := sup_{ x, y ∈ I } | x - y |
と定義するのはなぜですか？
d(I) := max_{ x, y ∈ I } | x - y |
あるいは、
d(I) := sqrt( (b_1 - a_1)^2 + … + (b_n - a_n)^2 )
と定義しないのはなぜしょうか？ 下2つの定義だと閉集合とか直方体みたいな形のときにしか定義できないけど上の定義だともっといろんな集合に対しても定義できるから一般的に直径と言ったら一番上の定義が使われてる
このIだとたまたま下の2つでも一致するだけ >>616
ありがとうございました。
重積分のところを読んでいて疑問に感じたのですが、もっと一般の集合に対して
直径を定義することがあるんですね。 >>578
>こんな調子でやってたらいつになったら終わるかわかりませんよね
出来ると思いますよ？
まずは
最初と最後の論理式ぐらい書いて欲しいところですが？ ∀x∀y.x+y=y+x,
∀x∀y∀z.(x+y)+z=x+(y+z),
∀x.x+0=x,
∀x∃y.x+y=0,
∀x∀y.x*y=y*x,
∀x∀y∀z.(x*y)*z=x*(y*z),
∀x.x*1=x,
∀x.(¬x=0→∃y.x*y=1),
¬(0=1),
∀x∀y∀z.x*(y+z)=x*y+x*z,
∀x.¬x＜x,
∀x∀y∀z.x＜y∧y∧z→x＜z,
∀x∀y. x＜y∨y＜x∨x=y,
∀x∀y∀z.x＜y→x+z＜y+z,
∀x∀y∀z.x＜y∧0＜z→x*z＜y*z,
N(1),
∀x x＜1→¬N(x),
∀xN(x)→N(x+1),
∀x「N(x)→∀y[(x≦y＜x+1∧N(y))→y=x]」
|-¬(∃x∃n∃m.x*x=2∧n=x*m∧N(n)∧N(m))
とりあえずこんな感じが示せれば良いわけですよね ぶっちゃけ三段論法除去するのは簡単なんですよ
それまでの証明完成させてくれませんか？ 新井紀子教授のAIやコンピュータに関する知識は素人に毛が生えた程度
新井紀子教授の『AI vs. 教科書が読めない子どもたち』という本が大変売れているようです。
私も本を購入し精読させていただきました。
一言で感想を言うと、新井紀子教授のAI技術に関する知識はせいぜいAI関連ニュースに詳しい人レベルであり、
そのベースであるコンピュータに関する知識もほぼ素人だということがわかりました。
https://mywarstory.tokyo/inconvenient-truth/ >>621
>それまでの証明完成させてくれませんか？
>>528 名前:１３２人目の素数さん Mail:sage 投稿日:2018/03/15(木) 02:16:56.10 ID:n7SogB8R
>>>525
>√2が無理数でないとします
>√2=m/nとかけます
>2n^2=m^2となります
>素因数分解を考えれば、左右で2の個数が異なってしまうので、これを満たすm,nは存在しません
>よって√2は無理数です 東ロボ君やっけ
中堅大学に受かるのが限界で、結局ポシャったけど
裏を返せば、中堅大の学生は出来の悪いAIもどきと同レベル >>626
ひでおと素子の愛の交換日記は面白かった x_(n+1) = (a*x_n + b) / (c*x_n + d)
の形の漸化式で定義される数列の一般項を求めるには、
α = (a*α + b) / (c*α + d)
となる α を求めて、
x_(n+1) - α = (a*x_n + b) / (c*x_n + d) - (a*α + b) / (c*α + d)
などと式変形しますが、このあたりの一般論みたいなものはないんですか？ >>510の∂φ_r/∂_jが偏微分可能であることの証明、できてるんだけど、これを証明するだけでも結構長いよね。(6.11)の右辺が偏微分可能性によって証明してるけど、もっと簡単な方法ないんかな？
>>367
> fとgがC2なので、そういうことしてもいいことはわかっているわけですから
そういうことしてもいいって、
∂φ_r/∂_jが偏微分可能っていう意味ですか？
そんな自明なことなんですか？
簡単な方法教えてくれ またレベルの低い人が来たんですか？
連鎖率の公式をなんだと思ってんですかね >>635
もったいぶらずに具体的に証明書いてほしいんだけど >>637
わかんないから証明できないってことね。すまん、すまん。聞いた俺が悪かったわ ∂g/∂yは、∂g(t)/∂tにt=y=f(x)代入した合成関数です
gはC2なので∂g(t)/∂tはtで微分可能、yもxで微分可能
よって、連鎖率より∂/∂x(∂g/∂y)は計算可能です いや、∂φ_r/∂x_jが偏微分可能であることの証明です。 φ=gだったら、∂φ_r/∂x_jにならないんですが えxで微分でなんのことですか？
質問者よりもレベルが低いということですか？ (6.11)の左辺です。最初の質問をよく読んでください。日本語読めますか？ (fg)'=f'g+fg'
これ、f'やg'が存在すれば、fgは微分可能って意味ですよ？
まず右辺を微分するんです
f'やg'が存在することを確かめたいんですよ
∂g/∂yや∂f/∂xが微分可能であることがわかれば、左辺も微分可能です >>633
φというのは、gとfの合成ですね。
ここでgとfはC2なのでC1でもあり、∂φ_r/∂_ jが存在しますね。
ここで∂φ_r/∂_ jの形を見ると
fの一階偏微分とgの一階偏微分だけの積と和で表されていますね。
ここでfとgはC2なのでfとgの任意の一階偏微分はC1ですね（定義）
C1の関数どうしをいくらかけても足してもC1なことは明らかですね
つまり∂φ_r/∂_ jはC1の関数ですね
つまり偏微分可能ですね
お わ り >>647
「一般的な場合」の前段階の画像も見せたほうがとっかかりになりそう。 >>648
xが整数の場合ですが、2の因数に着目しているので全く応用のきく思考法ではありませんでした 2次方程式 x^2 - p*x - q = 0 の2つの解を α, β（|α| > |β|）とする。
a_1 = a, a_2 = b, a_n = p*a_(n-1) + q*a_(n-2) （n = 3, 4, …）
で定まる数列 {a_n} について
(1) a_n を α, β, a, b, n を用いて表せ。
(2) lim_{n → ∞} a_(n+1) / a_n を求めよ。
有名な参考書にこの問題が載っていました。
実際に入試で出題された問題です。
その参考書の解答に誤りがありました。
誤りやすい問題だと思います。
出題者の想定していた解答もその参考書の誤った解答であったのか、
それとも正しい解答であったのかが気になります。
出題者も解答者も誰も誤りに気付かず、その参考書と同じ解答が正しいと
思い込んでしまったという場合もあり得たと思います。
どうでしょうか？
そして、問題が表面化しなかったという可能性があったと思います。
大学は入試問題の模範解答を公開すべきではないでしょうか？ >>649 なるほど分からん。
>>650
β=0 の場合を考慮してないとかかな？
些細なミスくらいたまにはあるでしょ。
「問題が表面化しなかったという可能性」とか大袈裟なんだよ。
俺は自力で気づいたぞ、やったぜ。それで終わりでいいんだよ >>646
こういうことですかね？
∂φ_r/∂x_ jの形を見ると
fの一階偏導関数の成分の関数とgの一階偏導関数の成分の関数だけの積と和で表されていますね。
ここでfとgはC2なのでfとgの任意の一階偏導関数はC1ですね（定義）
C1の関数(fとgの一階偏導関数) の成分の関数もまたC1
C1の実数値関数どうしをいくらかけても足してもC1なことは明らかですね
つまり∂φ_r/∂_ jはC1の関数ですね
つまり偏微分可能ですね
お わ り
ここで、次の2つの証明が必要。
①C1の関数(fとgの一階偏導関数) の成分の関数もまたC1
この定理は見たことがなかったので証明してみました。
証明
C1の関数は微分可能より、その成分の関数も微分可能。C1の関数の導関数は連続より、その成分の関数の導関数は連続である。
②C1の実数値関数どうしをいくらかけても足してもC1なことは明らかですね
証明
C1の実数値関数をF,Gとする。(FG)’=FG’+GF’
(F+G)’=F’+G’より、
C1の実数値関数どうしをいくら足してもC1、微分可能な実数値関数どうしをいくらかけても微分可能。よって(FG)’が連続であることを示せればよい。つまり、FG’が連続を示せばよい。F,GがC1より、F,G’は連続より、FG’は連続。 >>652
その通り。
厳密にやるならそう。
証明をするならそんなかんじ
①、②は本当は示さなくてはならないが、明らかというのも間違ってはなくて
微分の扱いに慣れると、頭の中でさっと考えて成り立つことがわかるので明らかだとして使える
もちろんそのステップを踏まない奴は論外。 >>646
あ、別の人でしたね。ありがとうございました。 >>651
(1)
a_n = [α^(n-1)*(b-β*a)-β^(n-1)*(b-α*a)] / (α-β)
(2)の解答が α になっています。
β になる場合もあります。（b - β*a = 0 の場合） a_1 = a_2 = 1
a_n = 3*a_(n-1) - 2*a_(n-2)
という例を考えれば、
a_n = 1
なので、
lim_{n → ∞} a_(n+1) / a_n = 1 = β ≠ 2 = α
です。 >>547,647
対角成分が０それ以外の成分が±１の2n+1次正方行列をＡとする。
Ａの成分は整数なので、mod 2で考えると、Ａの特性方程式は対角成分が０それ以外の成分が１の2n+1次正方行列Ｂの特性方程式に合同。
Ｂの特性方程式の１次の係数は、対角成分が０それ以外の成分が１の2n次正方行列Ｃの行列式の値-(2n-1)の2n+1倍であり、奇数。
したがって、Ａの特性方程式の１次の係数は０ではない。
問題の条件に合わせて行列Ａを作る(>>549)とベクトル(1,1,...,1)は固有値０の固有ベクトルであるが、
上のことから、固有値０は特性方程式の重根ではないので固有空間は１次元であり、
Ａを作用させて零ベクトルになるベクトル(x_1,x_2,...,x_{2n+1})はベクトル(1,1,...,1)の定数倍。
したがって、x_1 = x_2 = ... = x_{2n+1}。 >>658
×特性方程式
○特性多項式（固有多項式） つぎの条件をみたす C^2 級関数 f(x, y) はどんな関数か。
2) fxy = 0
答え： f(x, y) = p(x) + p(y)
3) fxx = fyy
u = x + y
v = x - y
とおくと、
fx = fu * ∂u/∂x + fv * ∂v/∂x = fu + fv
fy = fu - fv.
fxx = (∂/∂x) fx = (fuu * ∂u/∂x + fuv * ∂v/∂x) + (fvu * ∂u/∂x + fvv * ∂v/∂x)
= fuu + 2 * fuv + fvv
fyy = fuu - 2 * fuv + fvv
fxx = fyy だから fuv = 0
前問によって f(x, y) = p(u) + q(v) = p(x + y) + q(x - y) >>661
fu や fv とは何でしょうか？
(∂/∂u) f(x, y) は意味不明です。
g(u, v) := f((u+v)/2, (u-v)/2) とし、
gu とするなら分かりますが。 ＞ (∂/∂u) f(x, y) は意味不明です。
意味不明かね？
(x,y)と(u,v)の間に変数変換があるのだから、
xやyやf(x,y)はuとvの関数だろ？ >>664
x = (u+v)/2
y = (u-v)/2
g(u, v) := f((u+v)/2, (u-v)/2)
ですよね。
で、 fu とは何でしょうか？ f は x, y の関数であって、 u, v の関数ではありません。 xを介してuの関数になってますよね、ということだと思いますが (u, v) → f((u+v)/2, (u-v)/2)
を f で表わすのはどうみてもおかしいと思います。 >>665 の感性だと、偏微分を∂記号で表記できない気が。
D1 f(x,y) とかやりたいのかね？
fu と書くときの f は、f を関数名ではなく、従属変数と見ている。
f = f(x,y) の右辺ではなく左辺の f。これがわからんと、
物理でも化学でも統計学でも、応用の本は全く読めないだろ？ >>668
あー、そーですねー
おかちいでチュねー
よのなかがまちがってまチュよねー >>672
ペアノ算術を含む任意の無矛盾な公理系に対し、あるモデルM,Nおよび論理式φが存在して、M|=φかつN|≠φとできることを示せ、という問題がわかりません >>673
僕ちんもわかりまちぇんー(*ﾉω・*)ﾃﾍ てか、>>668 って松坂くんキャラで
>>673 が劣等感婆キャラだと認識してたけど
同一人物なのかね？
キャラ判定が間違ってる？ 難しい問題はわからない、煽りしかできない、くだらないレスしかできないような無能はこのスレに必要ないんですよ × 質問スレだけど難しい問題がわからない
⚪︎自分が分かる問題をあえて質問して、わからないんですねと煽る
⚪︎人のことを無能と言う
がこのスレのルールらしいからみんなしっかり守れよ！つまり質問スレっていうのは、自分が分かる問題を質問するスレっていう意味だよ！ >>673
ぶっちゃけ三段論法除去するのは簡単なんですよ >>547-550, >>647
無限降下法（?）で…
どの x_i を取り除いても、残った2n個の和は偶数。
∴ 差 x_i - x_j はすべて偶数または0
∴ Ｘの要素はすべて偶数 または すべて奇数。
差の最大値⊿ = Max｛｜x_i - x_j｜ ； i，j = 1,2,…,2n+1｝も偶数または0
いま「Ｘの中に相異なる要素 x_i ≠ x_j があった」と仮定する。
とくに、差の最大値⊿＞0 が最小であるようなＸを考えよう。
y_i = x_i /2 （Ｘが偶数のとき）
y_i = （x_i +1)/2, （Ｘが奇数のとき）
Ｙ =｛y_i ； i=1,2,…,2n+1｝
とおく。
Ｙからどのy_iを取り除いても、和が等しいn個づつの2組に分けられる。
Ｙについての差の最大値は ⊿/2 になるから、Ｘの最小性に反する。 >>682
イイネ
無限降下法は逆に言えば帰納法に ガチ目に解けません
なお、Landau&Lifshitzを読んでも証明は書いてません
https://i.imgur.com/tVOXLY9.jpg >>682
一般に、min{|x_i - x_j|}=Δ と、min{|x_i - x_j + x_k - x_l|}＜Δ は矛盾しない。
例：{10,20,40,52} ツイッタからのネタの持ち込み禁止でいいだろｗ
ちゃんとビールもって挨拶に行くんだぞ とりあえず一意解が存在することと、FとGの極限が存在することさえ言えれば、極限に関する条件はすぐにクリアできそうですね より一般的なガンマ関数（複素数や負の整数についても定義されるようなガンマ関数）の定義や、ガンマ関数の性質、定理等が充実している参考書を教えてください。
大学の図書館で借りたいので、複数個あげていただけると嬉しいです。 >>694
杉浦光夫著『解析入門I』に詳しく書いてあると思います。 >>694
アールフォルス著『複素解析』はどうですか？ ふぃっしゅふらいさんどと あーやっぱり くろわっさんと おいしそうなあまいぱん
かな いまいらないけど >>695, 696
有難うございます！
探してみます！ >>695, >>696, >>699
ありがとうございます
大学の図書館を検索したところ、>>695な解析入門しかおいてなかったので、ひとまず、解析入門を借りようと思います
>>699の特殊関数入門、面白そうなんですが、読めなくて残念です >>689
問．十分滑らかな関数 Ｆ，Ｇ，Ｈ：［0，∞）→ R であって，微分方程式
（Ｆ±iＧ)^2 + （Ｆ±iＧ) ' Ｈ = （Ｆ±iＧ) ",
2 Ｆ + Ｈ ' = 0,
と境界条件
Ｆ(0）= 0， Ｇ(0）= 1， Ｈ(0）= 0,
lim［z→∞） Ｆ(z）= 0， lim［z→∞） Ｇ(z）= 0,
を満たすものが一意に存在することを示せ。さらに
lim[z→∞） Ｈ(z)
が存在することを示せ。
（参考文献：L.D.Landau & E.M.Lifshitz, "Fluid mechanics" 2nd edition §23） 杉浦光夫著『解析入門I』を読んでいます。
p.37に、「(x | y) は |y| の x 上への正射影 |y| * cosθ と |x| の積である。」
などと書かれていますが誤っていますね。
「(x | y) は y の x 上への正射影 |y| * cosθ と |x| の積である。」が正しいですよね。 訂正します：
杉浦光夫著『解析入門I』を読んでいます。
p.37に、「(x | y) は |y| の x 上への正射影 |y| * cosθ と |x| の積である。」
などと書かれていますが誤っていますね。
「(x | y) は y の x 上への正射影 (|y| * cosθ/ (x | x)) * x と |x| の積である。」が正しいですよね。 杉浦光夫著『解析入門I』を読んでいます。
p.39
誤：
|a_{l, k} - a_{m, k}| < ε/n
正：
|a_{l, k} - a_{m, k}| < ε/sqrt(n) >>705
あなたの書き込みを読んでいます。
あなたの書き込みを読み終わりました。 3年とかしばらくぶりに勉強をやったとする
短時間やっただけですごい眠くなる
数学で頭を使ってみると日常では使ってない脳の高度な部分に負荷がかかってて
脳が衰えてるのが実家する
みたいなのはありませんか？
どう見ても日常で数学の論理レベルまで頭フル稼働はないし 留数定理について教えて下さい
I=∫[0->∞]cos(x)/(x^2+4)dx
において f(z)=cos(z)/(z^2+4) とおくと
I=2πi・lim[z->2i](z-2i)f(x)/2=πcos(2i)/4={e^2+e^(-2))}π/8
となり答の e^(-2)π/4 と合いません
どこがおかしいのでしょうか？
積分経路は中心が原点で半径Rの上半分の半円をとりました >>709
自己解決しました
円弧上の積分で R→∞ とすると |cos(z)| が有界ではないのでこの方法は駄目ということですかね
やはり cos(z) を e^(iz) を使って表現しないと上手くいかないんですね 可換環論で分からない問題があるので教えてください。
(一般的な)可換環: R, イデアル: P = Rx (ある x∈R で生成される) とします。
「P の任意要素: y = x r ( r ∈ R ) について、
常にある n≧1 が存在して y = x^n t ( t ∈ R, t は Pに含まれない )」 これは真でしょうか？
ある問題の証明で自明かのように使われていました。
自明のよう見えて どう証明したらいいのかわかりません。
P が自己言及的 ( P = Rx ⊃ RPx ⊃ RPPx ⊃ .... ) なのが気になります。 文脈上、さすがに R ≠ P は前提となっていそうです。他に条件はないと思います。 >>715 あー確かに...
問題の切り出し方が悪いようなので元になった問題と解答をアップします。
https://i.imgur.com/gel5SSU.png
出典: 日野原幸利 「入門可換代数 (副題: TorとExtの解説)」 ( 宝文館出版 1974)
>>711 は 青線箇所を要約したつもりでした。
あらためて質問します。なぜこの「～と仮定する」が言えるんでしょうか？ >>716
Q⊂(x^n)を示したい
y∈Q⊂P=(x)よりy=xrと表せる
そこで，解答のようにy=x^m・t と「yからxをできるだけくくり出す」ときに，m≧nを言えばよい
あとは準素イデアルの定義からすぐ出る 「yからxをできるだけくくり出す」作業が有限回で終わる保証が欲しいです。 くくりだす操作がn回以上できればよくて、有限回で終わらなくてもいい
だから、「もし有限回で終わってたら、くくりだす操作がn回以上できていた」ことを示している >>719
なるほど... t /∈ P は必須ではなかったですね。
これですっきりしました。
>>711 の質問は取り下げます。 >>708みたいな人いないか。ずーっと勉強してる人だけ？ >>721
同じ状況だったけど、結局そこを乗り越えなきゃ勉強できない。
（勉強だけじゃなく多分研究も）
昔フルで頭を動かしていたところまで戻すのはすごく大変だと思うし
俺はそこまでは戻せていない。 >>711 の問題、この反例って何かありますか？
ある可換環 R と イデアル P = Rx ( x ∈ R, R ≠ P ) があって、
( ∃y ∈ P, y ≠ 0 ) ( ∀k ≧ 1 ) ( ∃ t ∈ R ) y = x^k t
こんなのが成り立つような具体例 (x)=(x^2)
x=x^2t
x(1-xt)=0 >>727
これ自体は例とは言えませんね...
>>728
Ｚ／６Ｚ ⊃ (3) ≡ { 0, 3 }
y = 3 ≡ 3^k * 1
なるほど... 少なくとも無限要素を持つイデアルでないと駄目かなと思ってました。 >>722
音楽ばっかりやってる人は脳の音楽の部分だけが異常発達してるみたいだが
じゃあやり続けないと衰えるしＭＡＸ値もあがらないんだね >>722
年齢的なものじゃないか。脳の体力は30代で一気に衰える
将棋の棋士が30代に入った途端に弱くなるのも5割ぐらいはそのせい 脳を動かすのも酸素と血液と糖分だからちゃんと食べて運動すれば年取ってもある程度維持できるよ ホモロジー理論は適当な空間の圏からいい感じの圏へのいくつかの性質を満たす関手としての理論としてありますが、それを満たす関手の存在は純粋に圏論的な操作のみで示せるのでしょうか？ >>735
できる。ホモロジーが定義できる圏の枠組み内で。 圏論の勉強をあまりしていないので変なことを言っているかと知れませんが、例えば特異ホモロジーの理論だと、
位相空間の圏→特異複体の圏→アーベル群の圏(矢印は関手)
って感じでやっている(?)と思いますが、圏論的に存在が示せるのは左(右)の関手か、左右の関手の合成でしょうか？ >>738
圏論を誤解している。存在を示すのではない。そういう関手が存在する（定義できる）圏を構成するのが圏論の立場。
具体的な圏で議論するならそれはもう圏論ではない。 >>739
ありがとうございます、そうなんですね
ただ今の疑問は(数学的には面白くないと思うけど)学部3年レベルの代数トポロジーを圏論の枠組みでやるとどうなっているか知りたくて、昨日質問したら圏論的操作で示せるとのことだったので具体的にはどうなんだろうという感じです >>740
代数的トポロジーのホモロジー群は、アーベル圏上の鎖複体の圏を構成することで圏論化される。この圏論化されたホモロジー群の理論を応用することで、他分野でもホモロジー群の議論が可能になる。 >>741
ありがとうございます
私の疑問はその"圏論化"のところがどうなっているかと言うことです この場合の圏論化というのは、ホモロジー群を圏論の言葉だけで定義するという意味。
ホモロジー群を定義するには例えば位相空間という条件は必要ない。そういう必要のない条件を削ぎ落として、必須の条件だけを残したもので圏を構成する。
上の場合、それがアーベル圏上の鎖複体の圏になるということ。 圏論でいつもモヤっとするのは、
おなじみのホモロジー群が
その圏論の言葉で定義したホモロジー群であることに
証明を要すること。なにやってんねんと思う。 >>744
歴史的な視点から言うとその通りで本末転倒ではある。
でも（ブルバキ的な）数学全体の成り立ち方から言えば、あくまで圏論的なホモロジー群が先にあって、そこから位相空間上のホモロジー群が演繹されるという見方にならざるを得ない。
この演繹的であることを保証するためにはそのような本末転倒な証明はどうしても必要。 Zを位相空間として
Z is not reduced to a point
とはどういった意味でしょうか？ ええと、では>>737のできるというのは>>743の意味だったということでしょうか？ 「コンパクト空間の連続写像による像はコンパクトだから、それらの図形を工作して作られる
メビウスの帯やトーラスのような図形もコンパクトである。」と書いてあるのですが、長方形
を工作してメビウスの帯を作るという写像が連続であることはどうやって証明するのですか？ 素人なんですけど無限集合の開集合は無限集合ですか？ 開集合は必ずしも無限集合にはなりません．
例えば，無限集合 X に離散位相を与えると，X の有限部分集合はすべて，
開集合になります．
また，これは自明ですが，任意の位相空間 X に対し，
空集合も開集合になりますね． >>747
微妙なニュアンスの違いはあるかもしれないけど、概ねそうです。あくまで演繹的な議論。 ディスクリート位相を考えればいいんですね。ありがとうございました。 https://i.imgur.com/F3aXtTZ.jpg
この等式の示し方がわかりません
Bはベータ関数です
教えてください >>744
>その圏論の言葉で定義したホモロジー群であることに
>証明を要すること。なにやってんねんと思う。
んなん理論を拡張するときはたいがいそんなもんじゃん
ホモロジーだって単体ホモロジーから始まって
ドラムとか特異とかが普通の空間だと同じものであることは
証明しなくちゃ行けないじゃん >>754
定義考えたらそれしか思いつかないはずだが >>761
できれば、それしか思い付かない理由もお願いします >>758
Z:topological space
F:topological field
I : Z —> Max(C(Z,F)).
z↦I(z):={f∈C(Z,F)|f(z) = 0}
If Z is not reduced to a point, then the map I is clearly not injective.
です
C(Z,F)はZからFへの連続写像の集合で、その極大イデアルI(z)です
よろしくお願いします！ >>766
Max(C(Z,F))はC(Z,F)の極大イデアルからなる集合
I(z)は像で、それを上のように定めました
{f∈C(Z,F)|f(z) = 0}が極大イデアルであることは証明されています
これで質問に答えているでしょうか、、？ レトラクトとは違うみたいね
Z={0,1}
C(Z,F)=F+F={(f(0),f(1))}
I(0)={(0,f)}
I(1)={(f,0)}
なのでIはinjecitve
対偶でIがinjectiveならZはreduced to a pointってなるんだろうから
Iがinjectiveになる状況を考えたらいいのか
Iがinjectiveとはz≠z'ならI(z)={f|f(z)=0}≠I(z')={f|f(z')=0}となるってことだよね
あるいはI(z)={f|f(z)=0}=I(z')={f|f(z')=0}となるのはz=z'のときのみ
つまりz≠z'である2点に一方のみをf=0とできる連続写像fが必ず存在するということか
なんだか普通の位相空間とたとえばF=Rなら当たり前に単射になりそうだけど 位相体だしハウスドルフだし、代数幾何よりは整数論っぽい >>769
C(Z,F)=F+F={(f(0),f(1))}
I(0)={(0,f)}
I(1)={(f,0)}
ここの表記の意味がわからないので解説いただけますか？ we establish a bijection between the set of points of the curve
Zf(k) and the set of maximal ideals Max(C_f) of the ring C_f := k[x,y]/(f)
という節です
Zf(k):=多項式f(x,y)の零点の集合です
これの最初の簡単な例として今回の位相空間の例が載っているカンジです >>761, 765
ありがとう
図を書いてみます >>775
ツカ
図も描かないでどうするんだ
実際に描かなくてもいいのよ
どういう状況か考えなくてどうするの？ >>772
Zは2点で離散位相
0と1の像を任意に選べば連続だから
C(Z,F)は0の像のFと1の像のFの環としての直積
Iの定義から
I(0)={f|f(0)=0}={(0,f(1))}=0+F
I(1)={f|f(1)=0}={(f(0),0)}=F+0 >>764
An Invitation to Arithmetic Geometry
p.45 3.Point and maxial ideals >>777
質問した箇所は理解しました
だいたいの普通の位相空間で成り立ちそうということから可縮とかそういう感じかなと思ってきました
>>778
それです >>779
レトラクトと書いたのはdeformation retractのつもりで
reduceの意味がそれつまりreduce to a pointは1点に連続的に変形
つまり可縮ということかなと思ったのですがそれは違うらしい
>>769は離散の例だけど別に連結なZ=[0,1]区間とF=RでもIは単射でしょ
結局のところreduce to a pointってどういうつもりなんだろ
その本をちゃんと読み込んだら分かるんじゃない？ 「連結性はコンパクト性と同様に位相的性質だから、連結空間はどの空間においても連結である。」と
書いてあるのですが、どういうことですか？ >>780
when F is endowed with the discrete topology and when Z is connected, the only
continuous functions from Z to F are the constant functions. Hence, in this case,
C(Z,F) is isomorphic to F, and Max(C(Z, F)) is reduced to a single element.
と今質問させていただいている部分の前に書いてあります
もしかしてここからつながっているかも、、、？
だとするとZ＝｛１｝でない⇨単射じゃない
とつながる気がしてきました
この解釈はどうでしょうか
ただ依然、reduced to a single point という言い方が引っかかります consists of a single point/element などと書くのが普通な気がします
違う例が書かれているものだと思って完全に切り離して読んでいました。すみません ∮は普通のインテグラル積分記号として使います。
∮[A～B]ma・v dt
の積分をどのように計算するか知りたいです。
(v^2)’=2a・v を利用すれば求められますが、普通にma・vをtで積分する「具体的」計算方法が知りたいです。
✳︎「具体的」とは途中計算の飛躍をせずに出来るだけ丁寧な途中計算が欲しいです。
お願いします 3|x-1| ≧ x+3の解法ですが、3(x-1)≦-(x+3)またはx+3≦3(x-1)を解けばいいと書いてありますが、なぜこの解法でいいんですか？いいんですか？
一般に|A|≧B⇔A≦-BまたはB≦Aだそうです。 普通にma・vをtで積分するには、ma・vをtの具体的な関数として表示することが必要。
そこまでが応用分野の中の話、表示した後が数学の話題。 >>789
「絶対値」をググる
「x≧1」の場合と、「x＜1」の場合で分けて考える
正直、これ以上はもう教えようがない。頑張れ 水田義弘の「詳細演習 微分積分学」
p50 例題5.5について質問させてください
『A君は長距離の選手であり、毎日、一生懸命練習に励んでいるので、A君の成績は
びっくりするぐらいに伸びしている。A君は1時間で、現在のところx0 = a > 1メートル
走ることができるが、
一か月後にはx1 = a^a
二か月後にはx2 = a^a^a
三か月後にはx3 = a^a^a^aに、・・・、
というように走る距離を伸ばすとすると、A君が1時間に走る距離は、最終的には、
無限大になるだろうか』 【解答】
数列{X(n)}は単調増加であるから、権限をもつ.そこで、
lim (n→∞) X(n) = b
とするとき、b = ∞になるaの条件を求めよう. X(n＋1) = a^X(n)より
b = a^b
そこで、関数f(x) = x*a^(-x) = x*e^(-xloga)を考える.
------------------------------------------以下、解答が続く-----------------------------------
この最後の行の、x*a^(-x)はどういう数理から出てきた式なのでしょう
どなたか教えてください ??=e^log(??)
log(????^????)=????log(????) >>784
けど
だとするとめっちゃ単純なものだけ考えてるのな
C(Z,F)=Fだからその極大イデアルは0のみとか
アホラシ過ぎ ついでに言えば
そういう読めばすぐわかることを飛ばして部分的に見るから
しょうもない疑問を持つんだよ
でも
ホントにそんな単純なことだけ考えてるの？
もう少し本読み込んだ方がいいと思うよ >>800
厳しいコメントありがとうございます、、
ちょうどいい感じに行も変わってたし、そのあたり反例が何個か続けて並んでたところだったので違う内容だと思い込んでいました
精進します 今のところそれ以上この例には触れられていないのでこれでおわりかと
読み方が甘いのかもしれませんが ユークリッド空間 E^1 の空でない凸集合は、 E^1, 区間, 1点だけからなる集合であることを証明せよ。 Aの集積点とはAの触点からAの孤立点を除いたものですか？ 毎年トイレの紙にもならないゴミ本が大量に出版されているが、元が取れているのか興味ある。 >>808-808
そんなにダメな本ですか＞はじめよう位相空間
ブルバキの本は何冊にもなっていますが、他の本は薄い本が多いです。その違いは何ですか？ 高橋渉の距離空間と位相空間という本にも興味があります。 開集合の族が近さの概念の上位互換になっていることを理解するだけの簡単なお仕事です 後は必要に応じて展開すればいい
間違ってもゼネトポに進んではならない ゼネラルトポロジーならまだ圏論とコホモロジーで幾何学的位相行くほうがジェネラルナンセンスの方向性として実のある話だから 量子位相とか位相情報とかも微妙だよな｡
AB効果とかベリーの位相とかそっちほうめんだと量子位相とか幾何学的量子力学とかとしては幾何学的位相とか微分位相幾何学方面で一体的だけどフェーズの方の話になっちゃってる場合もあるにはあるし。 Xを距離空間とし、fをX上の連続写像とすると、集合F={x∈X:f(x)=x}は閉集合である。これを示せ。 解答が次のようになっています。
x_n∈F,x_n->xとするこのときfは連続なのでf(x_n)->f(x)である。よって
d(f(x),x)≦d(f(x),f(x_n))+d(f(x_n),x_n)+d(x_n,x)=d(f(x),f(x_n))+d(x_n,x)->0
となり、x∈F。ゆえに、Fは閉集合。
x_n->xとすると書いてあるのですが、xがXからはみ出してしまうこともあると思います。 >>824
>x_n->xとすると書いてあるのですが、xがXからはみ出してしまうこともあると思います。
ない xはFの閉包の元だよ
それがFに入るということでF=cl(F)、Fは閉 X=R^2-O
f(x,y)=(-y,x)
で
F=φ？O？ x_1=1, x_2=1.4, x_3=1.41, x_4=1.414,...のときx_n∈Qですが、√2はQの元ではないです。 x_n∈F,x_n->xとすると書いた時点で、x∈Xが仮定されているということでしょうか？ と思ったけど、>>829だとX=Qとしてるのね
それならそもそも√2はQ=cl(Q)の元ではないから、そんな点列を考えても意味がない
任意性は点列そのものではなくその極限点の方
位相空間Xの部分集合Fが閉
⇔F=cl(F)
⇔F⊃cl(F) Xを距離空間とし、F⊂Xとする。このとき、
Fが閉集合⇔Fの中の点列{x_n}がxに収束すればx∈F
と書いてありますが、
Fが閉集合⇔Fの中の点列{x_n}がx∈Xに収束すればx∈F
とは書いていません。 x_n∈F,x_n->xとするこのときfは連続なのでf(x_n)->f(x)である
xがXからはみ出してしまった場合、f(x)は定義されません。 >>833
Xの部分空間にXより大きいものがあると？ >>830
書いた時点ではなく
書く前から決まっている X=Qとして、x_1=1, x_2=1.4, x_3=1.41, x_4=1.414,...のときx_n∈X
x_n->√2ですが√2はXの元ではないです。 Qの点列{x_n}がxに収束すると書いてあったら、x∈Qということですか？ 距離空間(Q,d)においてx_nがxに収束すると書いてあればx∈Qだよ
勝手にRを考えるんじゃない
数学慣れてない人ががやりがちなミスだな >>838
F={x_1,x_2,x_3,.....}はQの閉集合ではない？ 細かいことを言えば、確かに「x∈X」は必要だろう。
これを省略して「x」とだけ書いてあっても、全空間がXに固定してあるなら、
文脈を考えればXからはみ出る極限は最初から眼中にないのだから
「x∈X」の意味だと分かるが、でも厳密には「x∈X」と書くのが正しい。
特に教科書では、教育上の意味も含めて「x∈X」と書いて然るべきであり、
ID:Sr/KKXI7の持っている教科書はその点では良くないと思われる。 >>838 の例では、x_n は ->√2 ではなくて、
単に Q 内で発散するんじゃないの？
>>840 も言ってるけど。 xって出てきた時点でそれはXの元でしかありえない
他にYとかあれば別だけど Qならまだよく知られてるものだからRを自然に考えることはありうるが
普通一般的な空間Xを考えるときは特に言及がなくても外側は考えない Rの点列{x_n}がxに収束するとしたときに、xがRからはみ出してしまうことはないことの証明ですが、
次のように考えればいいのでしょうか？Rを部分空間として含むような距離空間Sがあったとしx∈Sと
仮定する。|x_n-x_m|=|x_n-x-(x_m-x)|≦|x_n-x|+|x_m-x|<εとなるから{x_n}はコーシー列。よって
x_nはy∈Rに収束する。収束数列の収束値は一意的だからy=x∈R。 >>843 その教科書は窓から投げ捨てたほうがいいですか？ >>848
言葉の問題で、証明出来ることではありません
>>847さんの説明が全てですね
外側は考えません
収束する、と言った時点で、元の集合の要素に収束すると言っているのと同じことです >>850 Rを部分空間として含む距離空間Sが存在して、Rの点列{x_n}がx∈Sに収束するとする。
|x_n-x_m|=|x_n-x-(x_m-x)|≦|x_n-x|+|x_m-x|<εとなるから{x_n}はコーシー列。よってx_nはy∈Rに収束する。
収束数列の収束値は一意的だからy=x∈R。 >>851
あってますよ、その証明は
でも、証明できないというか、言葉の定義の問題で、その証明にはあまり意味がないんですよ
数学では外側は考えない、というのがあなたは分かっていない、それだけの話です Xのコーシー列がXの点に収束するとき完備というというのが完備の定義ですが、上のような説明をしないのはなぜですか？ >>853 Rの外側を考えないとRが完備だということが分かりにくくなるように思います。 Rの外を考えなくてもよいということを示すにはRの外を考えないといけないと思います。 >>857
数学では、集合の中で話が完結するように進めていくのが定石なんですね
外なんてものを考えるのは気持ち悪い、まずはこれを納得しましょう
外を考えないわけではないんですよ
実際、実数は有理数を完備化したものですからね
ですが、あなたはなんか、ある集合があったら常に外側も意識しなければいけないというような意識を持っているように感じてしまいます
意識する必要がなければ、しない
それだけです 数学って色々と曖昧だからな
問題も記述も概念も教科書も http://wolframalpha.com/の使い方はMathematicaと同じですか？
Mathemathicaの初心者向けの和書の教科書は何がおすすめですか？ あんなもん適当に弄ってれば出来るようになるw
マニュアル厨か >>860
以下の2冊が分かりやすかったです。
はやわかりMathematica 第3版
榊原 進
レクチャーズオンMathematica
川平 友規 http://wolframalpha.com/ は曖昧な入力式でもこちらの意図通りに解釈して計算してくれることがしばしばあります。
Mathematicaはきちんと入力式が決まっています。そういう意味では、ウルフラムアルファのほうが使いやすいです。
手軽なちょっとした計算はウルフラムアルファでやればいいと思います。ウルフラムアルファのほうは計算時間が
かかるような計算はタイムオーバーになりますし、コマンド入力のみしか受け付けず、プログラムはできないと思います。 三角関数の問題なんだが...arcten1/3+arcten1/9
分かる奴おる？ 一画関数から十画関数
oneθ
twoθ
threeθ
fourθ
fiveθ
sixθ
sevenθ
eightθ
nineθ
tenθ tanθ1=1/3, tanθ2=1/9
θ=θ1+θ2
tanθ=(tanθ1+tanθ2)/(1-tanθ1tanθ2)=(1/3+1/9)/(1-1/27)=6/13
θ=arctan(6/13) >>860
ウルフラムアルファｊは下の例のように入力に対しては柔軟に対応してくれます。
Interpreting "arcten" as "arctan"
https://www.wolframalpha.com/input/?i=arcten1%2F3%2Barcten1%2F9 重積分について質問です。
理論では積分領域として一般的な領域を考えます。一方、計算できるのは、限られた特殊な領域です。
一般的な領域を考えることが実際的に役に立つ場面というのはあるのでしょうか？ 輪郭が数式で書きにくいような物体にも体積は存在したりとか、
そゆこと。 存在するということが言えるというだけでしょうか？
応用は何かありますか？ 一般的でなきゃ理論はできない
できた理論が実際に役立って日常生活がある
積分がなきゃ家も立たない道路もない >>883
計算できなくても
定義から始まる話も有ろう
ノットなんて典型 いつの時代だったか、ヨーロッパのどこかの国の大学教授が、
王に「お前の研究は国防に役立つのか？」ときかれて、「いいえ、
しかし、この国を守るに値する国にするのには役立ちます」と
答えたって話があったな。
「積分のこの定義は実際に何かの役に立ちますか？」
「数学の役には立つんだよ、坊や」も同じことのような気がする。
よくある「数学を勉強して何の役に立つんですか」も同じこと。 いや、ぶっちゃけ将来数学使わない人が勉強しても意味ないよね（国民の教育レベルが下がるのはともかく）
したがって、「数学を勉強して何の役に立つんですか」という質問にたいしては
「だったら古典も英語も理科も地理も歴史も体育も音楽も美術も役に立たないだろ。勉強が嫌いなら現文と算数と家庭科だけやって中卒で働けやカス」
という返答が正しい 複利計算する時点で既に指数対数常用対数の計算だろうと結局自然対数の定数や微積分までせざる得ない 複式簿記も既にフローとストックの観点から保存量の概念や微積分学の基本定理、赤字の概念▼がナブラならぬグロタンディーク構成の一番卑近な例になってる。 f_n(x), f(x)をSで定義された実数値関数とする。
S上でf_n(x)がf(x)に一様収束するとき、f_n(x),f(x)は有界であるか？ >>894
身に付かなけりゃ使えるはずがないから勉強する側には無駄だが
少数の身に付く奴を拾い上げるため、勉強させる側には必須
身に付かず無駄な苦痛を強いられた人達は文明を支えるための犠牲…南無南無 >>898
S = R の時, f_n (x) = x + (1/n), f(x) = x とおけば反例になります.
S が無限集合ならば, Sから相異なる元からなる可算列 (a_k) を取り,
f_n (a_k) = k + (1/n), f (a_k) = k,
そのほかの点 x ∈ S に対しては, f_n (x) = f(x) = 0 とおけば, これも反例になります.
S が有限集合の時だけは, f_n, f は有界になります. >>901
ありがとうございました。
細かい話ですが、
「
|| f_n - f || = sup_{t ∈ S} | f_n(t) - f(t) | → 0
が成り立つとき、 {f_n} は f に一様に収束するという。
」
という記述が書いてある本があります。その本では、ノルム || * || は、
有界な関数に対してのみ定義されています。
ですので、記号の乱用ではないでしょうか？ >>900
なんで数学に強制徴用されにゃならんのや！ {a_n} を有界数列とする。
{K ∈ R | 数列 {a_n} の項のうちで K より大きいものは有限個しかない。} なる実数の
部分集合は（空でなく）下に有界である。従って、下限 L が存在する。任意の自然数
n に対して、区間 [L - 1/n, L] には（L の定め方から）数列 {a_n} の項が無限に多く
含まれる。
これはなぜですか？ a_n = 1/n のとき、
L = 0 ですが、 [L - 1/n, L] には数列 {a_n} の項は 0 個しか含まれません。 >>905
は、解析学の本に書いてある、「有界な数列には収束部分列が含まれる」という命題の証明の一部ですが、
この証明は誤っていますね？ >>904
強制してるのは国だよ
強制で憶える奴なんて実用に使えるだけで数学専門には行けないから
逆に「数学嫌い」が増えて迷惑してるのさ ちゃんと読むのも面倒だけど、Lはa_nの下限じゃなくて
{K ∈ R | 数列 {a_n} の項のうちで K より大きいものは有限個しかない。}
の下限じゃないの？ 定理 有界数列は収束する部分列を有する。
証明
{K ∈ R | 数列 {a_n} の項のうちで K より大きいものは有限個しかない。} なる実数の
部分集合は（空でなく）下に有界である。従って、下限 L が存在する。任意の自然数
n に対して、区間 [L - 1/n, L] には（L の定め方から）数列の項が無限に多く含まれる。
従って、各 n に対して、区間 [L - 1/n, L] に含まれる数列の項を、 n よりも小さな
自然数に対して選んだ項よりも（数列の並びにおいて）後ろに位置する項の中からひとつ
選んでくることが可能である。こうして得られた部分列は明らかに L に収束する。Q.E.D. a_n = 1/n のとき、明らかに、
{K ∈ R | 数列 {a_n} の項のうちで K より大きいものは有限個しかない。}
=
{x ∈ R | 0 < x}
L = inf {x ∈ R | 0 < x} = 0 >>902
『f_n が f に S 上一様収束する』の、ノルムを使わない最も一般的な定義は、
任意の ε > 0 に対し, ある自然数 n が存在し, m>n なる任意の自然数 m と任意の
x ∈ S に対し,
| f_n(x) - f(x) | < ε
が成り立つ.
という形式です. この定義ならば, f_n や f が S 上有界であるという仮定はいらないし,
sup ノルムの乱用も防げます. もちろん, f_n や f が一様空間に値を取る場合が, 形式上は最も一般的になります.
ここでは, f_n, f が 実数値と仮定しました。 不正確でした。
× ノルムを使わない定義
○ sup ノルムを使わない定義 齋藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』を読んでいます。
リーマン和についての命題の証明がおかしいです。
詰めが甘すぎます。
【命題】
区間 [a, b] で積分可能な関数 f に対し、分割 P の幅を限りなく小さくしていくと、
代表値系 X のとりかたにかかわらず、リーマン和 R(f ; P, X) は
積分 ∫ f(x) dx from x = a to x = b に近づく。すなわち、任意に与えられた正
の数 ε に対してある正の数 δ をとると、幅が δ 以下の任意の分割 P および
P の任意の代表値系 X に対して
| ∫ f(x) dx from x = a to x = b - R(f ; P, X) | < ε
が成り立つ。
【証明】
実際、 s(f ; P) ≦ R(f ; P, X) ≦ S(f ; P) だから、積分可能の定義によって命題が
成りたつ。 積分可能の定義とは、
s(f) := sup s(f ; P)
S(f) = inf S(f ; P)
と置くとき、
s(f) = S(f)
が成り立つということです。 齋藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』にはダルブーの定理は書いてありません。 >>897
君前からショーもないことしか書いてないね >>921
俺にはベクトル束の同値類割りが複式簿記に見えて仕方が無い。 ペアノの公理についての初歩的な質問ってここでしてもよいのかな。 >>924
サンキュー。
というかなんだかスレのレベルが高すぎて質問するのが億劫だが。
こちらは学生でもなく趣味で数学を学んでるだけの身なので。
ペアノ公理の５について質問になる。
自然数ｎに関する述語Ｐ（ｎ）で（ａ）（ｂ）が成り立つとする。
（ａ）Ｐ（１）である。
（ｂ）どんな自然数ｋにたいしてもＰ（ｋ）ならＰ（ｋ´）である。
このときどんな自然数ｎにたいしてもＰ（ｎ）が成り立つ。
この公理５の解釈についてなんだけれども。
公理１～４まででは「１から始まる数の列に含まれない自然数ｘ」の存在があっても矛盾しない。
それで
（ａ）（ｂ）を満たすときＰ（ｎ）が真となる数ｎを自然数とする。
と宣言して、この数の集まりを自然数の数列とした。
これは自然数ｘ（１から辿れない数）を排除するものではなく、自然数ｘなんてあろうがなかろうがどうでもいいよ公理５（もちろん１～４も含む）を満たせさえすれば。
という感じでよいのだろうか？
１→１′→１′′→１′′′→…，
ｘ→ｘ′→ｘ′′→ｘ′′′→…
つまりこんな感じになってようが公理５を満たせばそれらは自然数という一本の数列であると。
それとも自然数ｘそのものが排除されるかたちになるんだろうか。 >>925
質問がちょっとよくわかりませんでした
5も満たすものしか考えてないわけですよね
そうすると、1→2→3→と続く鎖しか存在しないわけですね >>925
xがあったらその公理成り立たないじゃん >>926
たぶんそれは自分（こちら）がどこでわからなくなってるのか、自分で把握できていないせいだと思う。
>>927
皆の意見をみると自然数ｘ（１から辿れない数）そのものが公理５によって除外される、ということになるのかな。
なにが引っかかってるのか上手く説明できないのがもどかしい。
１から辿れる数の列をＹとする。
１から辿れない数の列をＸとする。
公理５
（ａ）１がある性質Ｐを満たす。
（ｂ）ｋがある性質Ｐを満たせばその後者ｋ´もその性質Ｐを満たす。
このとき、すべての自然数はその性質Ｐを満たす。
この公理５から（ａ）を抜いてみるとＸはまだ存在できるよね？
で、ここで（ａ）を追加する。
……これでＸって除外できるの？
１とＸが性質Ｐを満たしてた場合とか。
誰かＸが除外されるメカニズムを解説してくれないだろうか。
ちなみに公理５ってそういう自然数ｘがあってもそれらをまとめて一本の数列にできると思うんだ。
気にしなくてもよくなるっていうか。
Ｘが公理５を満たすとき、Ｘは１が参加してるドミノ倒しが倒れるとき同じく倒れることになるから。
それってＸもＹも同じものだろう、って話になるんだけど。 >>928
Pは任意なんですよ
どんなPでも認めなければなりませんから、使える前提はa)とb)だけです
a)とb)だけでは、xが存在したとしてもxがPを満たすということは言えないのです >>929
なるほど任意なのか。
それでおそらく納得できた。
数学のこの辺りの感覚がまだ掴めてないんだろうこちらは。
ありがとう。 杉浦光夫の解析入門1のp.207(2.3) I_k : k ∈ K(Δ)とは何でしょうか？
全く説明がありません。 松坂 集合・位相入門 108～109ページで質問
先ずは内容を書き写します。
順序集合Aは、その任意の（空でない）全順序部分集合がAの中に上限を有するとき、帰納的(inductive)であるといわれる。
補題2 Aを帰納的な順序集合とし、φはAからAへの写像で、Aのすべ
ての元xに対しφ(x)≧xとなるものとする。そのとき、φ(a)=aとなるよう
なAの元aが（少なくとも1つ）存在する。
証明 Aの1つの元x_0を任意に固定しておき、Aの部分集合Wで、次の
条件(i)-(iv)を満たすものを考える。
(i) Wは(Aの部分順序集合として）整列集合である。
(ii) minW=x_0
(iii) Wの元xがWの中に直前の元x_*を持つならば、x=φ(x_*)
(iv) Wの元x(x≠x_0)がWの中に直前の元をもたなければ、Wのxによ
る切片W<x>={y | y∈W, y<x}のAにおける上限がxと一致する：x=sup_A W<x>
以上の4条件を満たすようなAの部分集合は、実際存在する。たとえば、x_0
のみからなる集合{x_0}は明らかにこれらの条件を((iii),(iv)は'trivia.に')満
足するからである。
ここまでは本の内容を、ほぼ忠実に書き写したもの。ここで質問。
(iii),(iv)の条件をtrivialに満足するという部分が不明瞭でわかりにくい。
前提が偽の命題は、常に真というのはわかるが、(iii)はともかく(iv)は何かおかしくない？
W={x_0}のときは、x≠x_0であるxが存在しないから、その時点で前提が偽ということ？
これしかないよね？
(iv)でx=x_0とすると切片W<x_0>は空集合になってしまい、
空集合の上限が出てきておかしくなる。
わざわざ(x≠x_0)と書いてあるのにx=x_0としてみるのも変。 公理1～4は満たすが公理5は満たさない構造の具体例を1つ挙げてみると、
ペアノシステムを2つ用意して(X,x,f), (Y,1,g) (ただしX∩Y＝φが成り立つものを持ってくる)
とするとき、新しいシステム(Z,1,suc)を
Z＝X∪Y,
suc：Z→Z,
suc(z)＝ f(z) (z∈X)
suc(z)＝ g(z) (z∈Y)
と定義すればよい。1から辿れる数の列がYに相当し、xから辿れる数の列がXに相当する。
(Z,1,suc)は公理1～公理4まで満たすが、公理5は満たさない。たとえば、z∈Zに関する命題P(z)を
P(z)：z∈Y
と定義すると、
(a) P(1)は真,
(b) ∀z∈Z [ P(z)は真 ⇒ P(suc(z))は真 ]
が成り立つことが確認できる。しかし、∀z∈Z [ P(z) ] は成り立たないので、(Z,suc,1)は公理5を満たしていない。 X={a,b,c}のときに、一つの位相を定め、それにより閉集合を数え上げよ
という問題の答え方がわかりません。例題解答ついてないのでヒントでも下さればと思います D={φ,X}とすると、これは位相で閉集合はφとXです >>886
論理的思考力や抽象的な道具の使い方に慣れるためかな >>935
そういう具体的な例はほんと助かる。
ここで聞いてみてよかった。
あとでじっくり読んで考えてみる。 杉浦光夫の解析入門1のp.207(2.3) K(Δ)とは何でしょうか？
全く説明がありません。 >>886
大学一二年の数学なら仕事で直接使う。社会に出たら役に立たないなんて嘘
理系就職しないなら話は別だけど
それ以上の数学やるなら専門的知識の習得か、論理的思考力の鍛錬のためだな 杉浦光夫の解析入門1のp.207(2.3) K(Δ)とは何でしょうか？
全く説明がありません。 >>937
閉集合であり、これらは開集合でもあるのでしょうか？
イメージとして、閉集合と開集合が両方満たす集合ということでしょうか？ ＞閉集合であり、これらは開集合でもあるのでしょうか？
なんでこのレベルのアホが位相の演習問題に手を出してるんだ？
どんな位相空間Xでも、φとXは常にXの開集合かつ閉集合だろ。 >>944
そうだよ
ちょっと読み進めると連結の話が出てきてその疑問がスッキリするようになる >>942
二週間後に教えてやる（いま手元にその本がないけど、前に読破したことがある）
ただ杉浦の質問なら専用スレがあるからそっちに書いた方がレスつきやすいと思うぞ (e^2-1)/(e^2+1)=lim[n→∞]1/(1+1/(3+1/(5+1/(7+…1/(2n+1)))))
の厳密かつできるだけ初等的な証明をお願いします。 12.34±0.567を最良推定値と誤差が分かるように表記したい >>942
二週間後と言ったな、あれは嘘だ
K(Δ)は関数ではなく集合。小区間Ikのkにつける番号の集合
p.207の説明まんまの意味だ 厳密には分割Δを変数として、その小区間に振り分けられるkの対応を関数、写像として
そのkの集合をKと置く、ということなんだろう
そこはあんまり難しく考えずフィーリングで理解すれば読める x, y ∈ R^n - {0}
x, y の間の角 ∠(x, y) を ∠(x, y) = arccos(<x, y> / (|x|*|y|)) で定義する。
T を線形変換とする。∠(Tx, Ty) = ∠(x, y) であるとき、線形変換 T は角を保存するという。
(b)
T を線形変換とする。
x_1, …, x_n ∈ R^n を基底 とする。
T(x_i) = λ_i * x_i（λ_1, …, λ_n ∈ R）とする。
このとき、
T が角を保存する ⇔ |λ_1| = … = |λ_n|
を証明せよ。 齋藤正彦さんは、
>>952
の内容の問題を以下のように、訳しています。
「
R^n のある正規直交基底 x_1, …, x_n と 0 でない数 λ_1, …, λ_n に対して
T(x_i) = λ_i * x_i となるとき、 T が等核変換であるのは、 |λ_i| がすべて等しいときである。
」
勝手に正規直交基底に変更していますし、 λ_i が 0 でないなどとも変更しています。 訂正します：
齋藤正彦さんは、
>>952
の内容の問題を以下のように、訳しています。
「
R^n のある正規直交基底 x_1, …, x_n と 0 でない数 λ_1, …, λ_n に対して
T(x_i) = λ_i * x_i となるとき、 T が等角変換であるのは、 |λ_i| がすべて等しいときである。
」
勝手に正規直交基底に変更していますし、 λ_i が 0 でないなどとも変更しています。 代数幾何学 algebraic geometry
解析幾何学 analytic geometry
代数解析学 algebraic analysis
∴幾何学⊂解析学⊂代数学 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%81%AE%E8%BF%91%E4%BC%BC
の収束級数形式のスターリングの公式の所にある
∫[0,∞]arctan(t/x)/(exp(2πt)-1)dt = Σ[n=0,∞]cn /x^(n)
ただし
x^(n) = x(x+1)…(x+n-1)
cn = 1/n∫[0,1]x^(n)(x-1/2)dx
の証明が全く思いつきません。どなたかわかりますか？ a>0とするとき以下の式を示せ。
∫(-∞,∞)e^(-x^2)/(a^2+x^2) dx = (2√πe^(a^2)/a)∫(a,∞)e^(-x^2)dx
この問題はある大学院の過去問に相当するらしいのですが解説お願いします。 以下は、赤いチャート式に載っている問題です。
正の実数xでその逆数の小数部分がx/4に等しく、しかも、0<1/x≦3を満たすものをすべて求めよ。
解答が以下ですが、最後に、0≦x/4<1をチェックしていません。これはチェックしなくてもいいのでしょうか？
https://imgur.com/wElrEDc.jpg 赤チャートって、マイナーだから手抜きが多いんですよね
やめた方がいいですよ >>962
でも赤チャートがチャート式では一番レベルが高いんですよね？
本当にマイナーなんでしょうか？
おすすめの参考書は何ですか？ >>964
ありがとうございます。レベル的に遜色はないでしょうか？ >>961の判断が自分でつけられないような人にはちょうどいいかと思いますよ >>966
チェックしないのはまずいと思います。たまたまこの問題では問題なかっただけだからです。 チャート式を書いているのは数学者ではないですよね？
だからかもしれませんが、解答も無駄に長いものがあります。自分の答案のほうが短くて分かりやすい回答です。 >>969
97 名前:１３２人目の素数さん :2018/04/10(火) 23:56:46.78 ID:0Wxl59g0
チャート式の赤いやつに
すべての整数xについてf(x)=a*x^2+b*x+cの値が偶数になるための必要十分条件を求めよ
という難易度5つ星の問題があります。
解答が、a+b, a-b, cが偶数となっています。冗長な解答だと思うのですがどうですか？
「a, bの偶奇が一致し、cが偶数」というのが自分の解答です。
私には、a+b, a-b, cが偶数、の方が短いように見えますけどね >>970
その問題ではないです。明らかに馬鹿な解答を書いている問題があります。 >>961
馬鹿、というのは、こういうレスをマルチしたりすることを言うんですけど？ どちらがいい解答でしょうか？
https://imgur.com/eRzhEOw.jpg
https://imgur.com/l5zDjfB.jpg
(1)より、a*b+b*c+c*a=-3/2
仮定より、1/a+1/b+1/c=1
∴
(a*b+b*c+c*a)/(a*b*c)=1/a+1/b+1/c
a*b*c=(a*b+b*c+c*a)/(1/a+1/b+1/c)=-3/2
仮定より、a+b+c=1
∴
1/(a*b)+1/(b*c)+1/(c*a) = (a+b+c)/(a*b*c)=-2/3
∴
1/a^2+1/b^2+1/c^2 = (1/a+1/b+1/c)^2-2*(1/(a*b)+1/(b*c)+1/(c*a))=1-2*(-2/3)=7/3 こういうのが自分で自分を叩いてるように見えるようになってきた なんだろう？ IDあぼーんしたはずなのに、また湧いてるんだが…
ID変えながら連投しているのか？ 質問者本人ではないんですが、>>959 の問題誰かお願いします。 >>977
>>959って右辺∫_0 ^∞ じゃね？違う？ >>978
分かんないけど、∫_0 ^∞ なら √π /2 なので積分形で残しておく必要ないですよね。 数式ソフトで、軽く数値計算(a=1.0, 2.0, 3.0) してみましたが
>>959 の式で合ってるみたいです。 >>959
できたかも
aexp(-a^2)∫[-∞,∞]exp(-x^2)/(a^2+x^2)dx = 2√πexp∫[a,∞](-a^2)dx
を示せば良い。a→∞で両辺ともに→0だからd/da左辺 = d/da右辺を示せば良い。
-exp(a^2)・d/da右辺 = 2√π
-exp(a^2)・d/da左辺 = ∫[-∞,∞](2a^2-1)/(a^2+x^2)exp(-x^2)dx
+∫[-∞,∞](2a^2)/(a^2+x^2)^2exp(-x^2)dx
以下積分区間は[-∞,∞]として
0 = ∫(x/(a^2+x^2)exp(-x^2))'dx
= ∫-2x^2/(a^2+x^2)exp(-x^2)dx + ∫1/(a^2+x^2)exp(-x^2)dx + ∫-2x^2/(a^2+x^2)^2exp(-x^2)dx
より
∫(2a^2)/(a^2+x^2)^2exp(-x^2)dx
= ∫(-2x^2)/(a^2+x^2)^2exp(-x^2)dx + ∫2/(a^2+x^2)exp(-x^2)dx
= ∫(2x^2)/(a^2+x^2)exp(-x^2)dx - ∫1/(a^2+x^2)exp(-x^2)dx + ∫2/(a^2+x^2)exp(-x^2)dx
= ∫(-2a^2)/(a^2+x^2)exp(-x^2)dx + 2∫exp(-x^2)dx + ∫1/(a^2+x^2)exp(-x^2)dx
=∫(-2a^2+1)/(a^2+x^2)exp(-x^2)dx + 2√π
から-exp(a^2)・d/da左辺=2√πとなり主張は示された。 >>982
ありがとう、だいたいそれであってると思う。 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12154976247
の計算を一般化すると以下の式が成り立つようですが、これを証明してください。
Σ[n=1,∞](n^k)/(e^(2πn)-1) = k!ζ(k+1)/(2π)^(k+1)
ここでζ(s)はリーマンのゼータ関数でkは5以上の4で割ると1余る整数 有界を調べるにあたって1/r!とnPr/n^rを分けて考える時にnPr/n^r≦1はどう扱ってるんですか
https://i.imgur.com/n2ITw3h.jpg この問題の解放がわからないのですがどなたか教えていただけませんか
どこから手を付けていいのやらさっぱりわからない状況です
https://i.imgur.com/DdIrzg9.jpg >>989
質問前に一回、t=x/2と置いて置換はしてみたのですがうまくいきませんでした
方針はそれであってるのでしょうか？ >>991
いや、パッと見で適当に言っただけ
答えは知らない すみません
>>988
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