大学学部レベル質問スレ 11単位目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
行列の分配則と行列式の乗法性使ってるだけにしか見えない >>3
定理は「である」調、証明は「ですます」調
こういう教科書初めてみた
一体誰が書いたのだ?
E=P^-1EPがわからない人向けか 対角化するとき対称行列はなぜ対角行列を直交にしてからなんですか? >>11
対称行列の固有ベクトルは全て直交するので、それから作るPも直交行列になります 知ってます
レベルの低い質問者に対して、本質的ではないことは言いたくないので、言わなかっただけです なぜ対称行列のときは正規化してからでないといけないんですか? しなくてもいいですけど、そのほうが数学的に面白いからですね 添字
って てんじ って読むの?
そえじ って読んでたんだが
松坂和夫の現代数学序説に
てんじ ってルビが振られてて脱糞した 線形代数で線形写像の表現行列関連の話が抽象的でわからないんだけど、どうすればいい? そだねー
線形代数の本ではなく線型代数の教科書で勉強しよう どうせ、表現行列関連の問題が解けないって話だろ
表現行列なにそれおいしいの?状態で >>29
松坂和夫の線型代数の本なんだけど、当たり前のことを抽象的に書いてあってなんだこりゃって思って。 ごまかすなよ
>線形写像の表現行列関連の話が抽象的でわからないんだけど、どうすればいい?
>当たり前のことを抽象的に書いてあってなんだこりゃって思って。 当たり前のことでも抽象的に書かなきゃ論理を使えない
論理なしの感覚でやりたいなら数学は諦めろ 線形代数学(新装版) | 川久保 勝夫
この本、買ってみたけど本当によかった
学生時代に笠原先生の線形代数学をがんばって読んだ記憶は自分の中で美化されてるけど
今ならこっちで勉強するなあ
微分積分にも、こういう数理科の生徒が使用するに堪える厳密さと
分かりやすさを両立した決定版みたいな本が欲しいな
杉浦先生の解析入門と、笠原先生の微分積分学で頭をぼろ雑巾にした過去も
自分の中でやっぱり美化されてるけど、若い世代に同じことを勧められるかというと
正直……「NO」だわ
数学的な論理力と、今の世代が知らないような数学の知識を得られるけど
ああいう本を読もうとすると、数学のためだけに湯水のように時間が消えていく 川久保さんの線形代数学の良さが分かりません。
別に普通の本ではないでしょうか? 解析入門とか解析概論のことじゃないか
証明の行間が抜けていて、自分で頭をひねって考えなければいけない系の
参考書を本気でやる必要がある奴は、今の時代、数学科でも相当に限定されていると思う
経験上、ああいうのやると性格がちょっと偏屈になるしな >>37
特別に分かりやすくもないごく平凡な本ではないでしょうか? >>38
杉浦光夫著『解析入門1,2』は行間がないのではないでしょうか? >>30
書いてあることが難しいからわからないんじゃなくて、
当たり前のことをなぜ抽象的に書くのかわからないのか。
書いてあることが当たり前に思えるのならそれでいいじゃないか。
多くの人はそう思えないから丁寧な説明が欲しいのだ。
世の中はあなたのように頭のいい人ばかりではない。
当たり前で気持ち悪いのなら自分の頭の良さを恨むしかないだろう。 >>41
自分からみたら一杯あったな
式の変形について、通常の参考書なら三行ぐらいかけて書くところを、一行で済ませるとかそういう記述が沢山ある。自分は半年ぐらいかけて読んだけど、それでも読むの早い方だろ
あれをスラスラ読めるならマジで凄いわ。ただし、自分がそういう風になりたいかというと、逆になりたくないけど 今どきの俺様に何をいってもしょうがない。馬の耳に念仏 書いてあることだけを理解するのでは永遠に教養レベルだな 質問です
二変数関数z=x^2+y^2のxでの偏微分と
陰関数c=x^2+y^2のxでの微分は同じことですか
少なくとも右辺のx、yについては ∂z/∂x=2x
dc/dx=0=2x+2ydy/dx
ですね サンクスコ
でもよくわからない
右辺は右辺で同じ式なのではと
左辺の情報に関わらずxとyの二次式として >>49
z_x=2x
d/dx(x^2+y^2)=2x+2ydy/dx=d/dx(0)=0 >>51
上の場合は、xとyに関する関数zをxで偏微分しています
下の場合は、xとyの陰関数になっていますが、yがxの陽関数と考えた時の微分を与えています
このとき、yはxというただ一つの変数に関する関数ですから、xについて微分するわけですね だがちょっと待ってほしい
zを固定して考えればyとxは独立変数でなくなるのかと ということはdy/dxではなく∂y/∂xでは無いのかと まずは、c=x^2+y^2の両辺を微分する、という操作自体が陰関数定理から導かれる結果であり、本来ならば意味のない形式的な操作である、ということを理解しましょう アホの子なのだろう。定義が分かりませんと自分で書いてるのに >>59
関数とは、何か変化すればそれによって値が変化するようなものでしたね
c=x^2+y^2
xとyを変化させてもcは変わったりしませんから、cはxとyの関数ではないですね
しかし、xだけを変化させるとyも変化しますから、yはxの関数だと考えることができます >>62
dg/dt=dl/dt÷(dm/ds)
正順パラメータの定義により、lやmは連続かつ単射です
このとき、lやmは単調にならなければなりません
つまり、微分係数の符号は一定値を取ります >>64
返信ありがとうございます。
なぜ、lやmは単調なのでしょうか? >>64
間違っていたようなので訂正します
s→L、t→Lは共に全単射となっていますから、t→sへの全単射が存在して、これは連続です
連続かつ単射なので単調なので微分係数の符号は一定です
>>68
グラフを考えれば明らかですね
ちゃんとやろうと思えば証明もできますよ多分 >>69
理解できました。
ありがとうございます!
グラフを考えれば明らかなのですが、説明しなくてはならなかったので >>63
定数関数は関数ではありませんか
z=0x+0y+c そうですね
でも、c=x^2+y^2のcはxとyの関数ではないですね
左辺は定数、右辺は場合によって変わりますから
これは方程式になってますね、ある意味 それは、>>73 の言ってることが理解できてない。
f(x,y)=c,
g(x,y)=x^2+y^2,
f(x,y)=g(x,y)
というのは、関数等式としてし成立している。
f が定数関数であることは、両辺が x,y の
関数でないことを意味しない。
ここで更に y を x の関数と見なせば、
1変数の関数等式 f(x,y(x))=g(x,y(x)) となる。
この関数等式が x に関する恒等式であると同時に
関数 y についての方程式であることも当然である。 fとgは関数として等しくないですよね
fは常に同じ値をとりますが、gはxとyの値によって異なってきますよ
恒等式になるはずがありませんね >>60
なるほど、これは>>75こういうことなんですかね
説明が難しいですね >>82
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ、という問題がわかりません
わからないんですね >>83
よろしくお願いします。
リーマン球のステレオ投影において
ζ=x+iy/1-z
となるのは何故でしょうか。 >>85
恥ずかしいのはあなたですね
だって、わからないんですから 恥ずかしいのが分からないのは
なおさら恥ずかしいけどなー >>86
てゆーかあなたは分からないでしょ?
誰かに証明を教えて貰ったんじゃない? >>89
関係ないことしか言えないあなたが分からないんでしょうね 答えが返ってこないということは、わからないということですね(笑) >>93
君前に単純化した証明の流れ書いてたでしょ?
同じことしか書かないのはそれしか書けないからでは? >>95
R^2の収束する点列の例も答えてくれないしね >>97
それしか言えないのですね
だから
劣等感とかバカにされるだけだと思うよ
可哀想だけど
ある意味仕方ないかな >>100
わからない人が何を言っても説得力がないんですよねぇ >>99
見間違えて嘘を教えたことを謝らないのですね >>102
わからない人が何を言っても説得力がないんですよねぇ >>99
離散位相なら離散になるとも言っていたのにw >>104
わからない人が何を言っても説得力がないんですよねぇ >>99
そもそも離散位相でlim anはどうなるかも認識してなさそうでしたよ >>101
それしか書けない
発展性のない人でもあるのか >>108
でも、結局わからないんですよね、あなたは >>107
R^2に離散位相を入れましょう
lim an=b
はどういう状況になりますか? >>110
636 名前:132人目の素数さん :2018/04/23(月) 01:11:42.54 ID:2VziMBPk
ていうか
途中からずっとbじゃなくて
{an|n∈N}∪{b}が離散になる例をお願い
650 名前:132人目の素数さん [sage] :2018/04/23(月) 01:20:41.72 ID:uSkOK2EW
>>636
離散位相入れれば離散になってますよ
どこに極限の話があるんですか? >>111
>どこに極限の話があるんですか?
え?
b=lim an
が質問者の設定だけど? >>112
はいはい私の負けでいいですよ
でも、あなたはわからないんですよね >>113
>はいはい私の負けでいいですよ
勝ち負けじゃないのに・・・
だから劣等感ってバカにされるんだと思うよ
ある意味仕方ないかな 大学数学です
問1.6ですが、答えを見ても分かりません
@<1の定義を教科書で探しても存在せず、答えでいきなり「仮定より~」と書いてあり混乱してます
A答えの「よって~」の部分で何が起こったか分かりません
どなたか教えて下さい。
https://i.imgur.com/hHxbCMS.jpg
https://i.imgur.com/rgINhaI.jpg @ε=γ≔(1/2)(1-lim|a_(n+1)/a_n|)として収束の定義を用いると分かりました...
A|a_(n+1)|<γ|a_n|<γ²|a_(n-1)|<⋅⋅⋅⋅といった感じですね
自己解決しますた! L/K:拡大体, K^-:Kの代数閉包
このとき、
任意の有限次正規拡大K'/Kに対しL⊗K'が整域ならばL⊗K^-は整域
ってどうすれば示せますか? α=(xᵢ⊗yᵢ),β=(zᵢ⊗wᵢ)∈L⊗K ̄-0とし、fᵢ(x),gᵢ(x)を其々yᵢ,wᵢのK上の最小多項式とする
この時、h(x)をfᵢ(x),gᵢ(x)を全て掛け合わせたものとし、Mをh(x)のK上の最小分解体とすると、M/Kは有限次正規拡大で、α,β∈L⊗Mであるから、仮定よりαβ≠0となる
って感じですかね?
L⊗MがL⊗K ̄に埋め込めることに注意して
合ってます? 笠原の微分積分学ようやく微分まで来たけど最初から微分の説明がわからん。
数学書って曖昧な理解で前に進んでも良いかな?
他の本読もうとするとやっぱり最初っから読まないとわからなくなるから読み続けたいん抱けど。 具体的な議論がわからないのか著者の感覚を共有できないのか
わからないことを覚えておくのが誠実で読み進めばわかることもあったりするというのが定番回答 >>124
確か、多変数関数の微分にそのまま一般化できるような形で定義しているんですよね。
一変数の場合にはなぜそう定義するのかと思ってしまいますよね。
いきなり多変数の微分を定義すればいいと思います。 >>124
笠原晧司さんの微分積分学のどこがいいのかさっぱり分かりません。
杉浦光夫さんの本のほうがよいのではないでしょうか? >>127
あれは他変数のためなのか
評判が良さそうだから読んで見たけど分かりづらいとこ多い >>124
後で分かる事も有るから問題ない
むしろ最初から読む事に拘る方が有害
後ろを読んでから定義を知るために逆向きに読む方法もある >>130
とりあえずa×a=d、b=xa+yc+zdとおいて与式に打ち込めばでるね。 >>129
なるほどそういうやり方もあるんですね。
参考にさせていただきます。 x+logcosy=Cから
xcos(y/x)=C
に持ってく方法を教えてください
Cは積分定数です 区間 (a, b) で連続な関数 f(x) に対して
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
が存在するならば
(4.35) ∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
と定義する。ここで(4.35)は任意の正の実数 ε に対応して一つの正の実数 δ(ε)
が定まって、 b - δ(ε) < t < b, a < s < a + δ(ε) ならば
| ∫_{a}^{b} f(x) dx - ∫_{s}^{t} f(x) dx | < ε
となることを意味するが、点 c, a < c < b, を一つ定めれば
∫_{s}^{t} f(x) dx = ∫_{s}^{c} f(x) dx + ∫_{c}^{t} f(x) dx
であるから
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
=
lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx,
したがって(4.35)は
∫_{a}^{b} f(x) dx
=
lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx
とも書かれる。 lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
が存在するならば
lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx
および
lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx,
が存在することの証明はどうやるのでしょうか? >>147
とりあえずlim_[s→a,t→b](p(s)+q(b))の形してるから
lim_[s→a,t→b](p(s)+q(b))が収束
⇔lim_[s→a](p(s))が収束 かつ lim_[t→b](q(b))が収束
を頑張って示せばできる。 >>148
ありがとうございます。
lim_[s→a](p(s))が収束 かつ lim_[t→b](q(b))が収束
⇒
lim_[s→a,t→b](p(s)+q(b))が収束
は簡単に示せますが、逆が示せません。
反例があるのではないかと思います。 lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
が存在するならば
s, t ∈ (a, b) とし、
F(s, t) := ∫_{s}^{t} f(x) dx
とおく。
c ∈ (a, b) とする。
lim_{s → a+0} F(s, c)
および
lim_{t → b-0} F(c, t)
が存在するとする。
S1 := lim_{s → a+0} F(s, c)
S2 := lim_{t → b-0} F(c, t)
とおく。
ε を任意の正の実数とする。
S1 = lim_{s → a+0} F(s, c)
だから、以下のような正の実数 δ1 が存在する。
a < s < a + δ1 ⇒ | F(s, c) - S1 | < ε
S2 = lim_{t → b-0} F(c, t)
だから、以下のような正の実数 δ2 が存在する。
b - δ2 < t < b ⇒ | F(c, t) - S2 | < ε
δ := min(δ1, δ2) とおく。
a < s < a + δ ⇒ | F(s, c) - S1 | < ε/2
b - δ < t < b ⇒ | F(c, t) - S2 | < ε/2
が成り立つ。
| F(s, t) - (S1 + S2) | = | F(s, c) + F(c, t) - (S1 + S2) | ≦ | F(s, c) - S1 | + | F(c, t) - S2 | < ε
以上より、
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
=
lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx
が成り立つ。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b) 訂正します:
s, t ∈ (a, b) とし、
F(s, t) := ∫_{s}^{t} f(x) dx
とおく。
c ∈ (a, b) とする。
lim_{s → a+0} F(s, c)
および
lim_{t → b-0} F(c, t)
が存在するとする。
S1 := lim_{s → a+0} F(s, c)
S2 := lim_{t → b-0} F(c, t)
とおく。
ε を任意の正の実数とする。
S1 = lim_{s → a+0} F(s, c)
だから、以下のような正の実数 δ1 が存在する。
a < s < a + δ1 ⇒ | F(s, c) - S1 | < ε
S2 = lim_{t → b-0} F(c, t)
だから、以下のような正の実数 δ2 が存在する。
b - δ2 < t < b ⇒ | F(c, t) - S2 | < ε
δ := min(δ1, δ2) とおく。
a < s < a + δ ⇒ | F(s, c) - S1 | < ε/2
b - δ < t < b ⇒ | F(c, t) - S2 | < ε/2
が成り立つ。
| F(s, t) - (S1 + S2) | = | F(s, c) + F(c, t) - (S1 + S2) | ≦ | F(s, c) - S1 | + | F(c, t) - S2 | < ε
以上より、
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
=
lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx
が成り立つ。 ∫_{-π/2}^{π/2} tan(x) dx = 0
∫_{0^{π/2} tan(x) dx
も
∫_{-π/2}^{0} tan(x) dx
も存在しない。 あ、
∫_{-π/2}^{π/2} tan(x) dx = 0
は成り立ちませんね。 >>153
まずはそいつですねぇ。
lim_[s→a,t→b](p(s)+q(b))が収束
⇒
p(s), q(t)は有界。
p(s)が非有界、t_n→bとする。s_nを……と定めるとs_n→aなのにp(s_n) + q(t_n)→∞。 lim_[s→a,t→b](p(s)+q(t)) が存在するなら、その値を α とするとき、
∀ε>0, ∃δ>0, a<∀s<a+δ, b−δ<∀t<b s.t |p(s)+q(t)−α|<ε
が成り立つ。特に、b−δ<t<b を1つ取って固定すれば、a<s_1<a+δかつ a<s_2<a+δ のとき
|p(s_1)+q(t)−α|<ε, |p(s_2)+q(t)−α|<ε
であるから、|p(s_1)−p(s_2)|< 2ε となる。
よって、コーシー列の関数版により、lim[s→a] p(s) が存在する。
同様にして、lim[t→b] q(t) も存在する。 >>154-155
ありがとうございました。
s, t ∈ (a, b) とし、
F(s, t) := ∫_{s}^{t} f(x) dx
とおく。
逆に、
lim_{t → b-0, s → a+0} F(s, t)
が存在するとする。
S := lim_{t → b-0, s → a+0} F(s, t)
とおく。
ε を任意の正の実数とする。
S = lim_{t → b-0, s → a+0} F(s, t)
だから、定義により、以下のような正の実数 δ が存在する。
a < s < a + δ, b - δ < t < b ⇒ | F(s, t) - S | < ε/2
b - δ < t0 < b をみたす t0 を任意に固定する。
a < s1 < a + δ, a < s2 < a + δ
⇒
| F(s1, t0) - F(s2, t0) |
≦
| F(s1, t0) - S | + | F(s2, t0) - S |
<
ε/2 + ε/2
=
ε コーシーの条件より、
lim_{s → a+0} F(s, t0) が存在する。
同様にして、
lim_{t → b-0} F(s0, t) が存在する。
c を a < c < b をみたす任意の実数とする。
F(s, c) = F(s, t0) - F(c, t0)
だから、
lim_{s → a+0} F(s, c)
=
lim_{s → a+0} [F(s, t0) - F(c, t0)]
=
lim_{s → a+0} F(s, t0) - F(c, t0)
よって、
lim_{s → a+0} F(s, c) は存在する。
同様にして、
lim_{t → b-0} F(c, t) が存在する。
>>151
により、
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
=
lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx + lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx
が成り立つ。 >>156-157
あ、やっぱりこれじゃダメですね。 b - δ < t0 < b をみたす t0 を任意に固定する。
↑ここがダメです >>159
ε に応じて δ も変化するため、固定した t0 は取れません。 >>149
反例があるような気がします:
lim_[s→a,t→b](p(s)+q(b))が収束
⇒
lim_[s→a](p(s))が収束 かつ lim_[t→b](q(b))が収束 (自力では)示せないことと
本質的に示せない(=成り立たない)ことが
数学的直感に乏しい人には
判別できないもんなんだね。
自分じゃ示せないからって
反例があるんじゃないかって (プププ >>146
「
区間 (a, b) で連続な関数 f(x) に対して
lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
が存在するならば
(4.35) ∫_{a}^{b} f(x) dx = lim_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
と定義する。ここで(4.35)は任意の正の実数 ε に対応して一つの正の実数 δ(ε)
が定まって、 b - δ(ε) < t < b, a < s < a + δ(ε) ならば
| ∫_{a}^{b} f(x) dx - ∫_{s}^{t} f(x) dx | < ε
となることを意味する
」
↑なぜ、
b - δ1(ε) < t < b, a < s < a + δ2(ε)
ではなく
b - δ(ε) < t < b, a < s < a + δ(ε)
なんですかね? >>146
ちなみに、この本はフィールズ賞受賞者の書いた本です。 問題全く把握してないけど、δ1、δ2のうち小さい方を考えれば良いのでは? 問題は、
im_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
が存在するならば
lim_{s → a+0} ∫_{s}^{c} f(x) dx
および
lim_{t → b-0} ∫_{c}^{t} f(x) dx,
が存在することを証明せよ
です。
im_{t → b-0, s → a+0} ∫_{s}^{t} f(x) dx
の定義は、
>>163
に書いてあります。 lim_{x → a+0} f(x)
lim_{x → b-0} f(x)
の挙動が重要ですね。 ちょっと直接関係ない話ですが、
integrate (1/x^2)*sin(1/x) from 0 to 1
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(1%2Fx%5E2)*sin(1%2Fx)+from+0+to+1
↑この広義積分は収束しません。
↓この広義積分は収束します。
integrate (1/x^1.95)*sin(1/x) from 0 to 1
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(1%2Fx%5E1.95)*sin(1%2Fx)+from+0+to+1
境界となる x の指数はやはり 2 ですか? >>149
s→aかつt→bはsとtが独立にaとbに収束するという意味でs→aのあとt→bでもいいしt→bのあとs→aでもいい同時に動かす必要は無いよ >>166
Cauchyの理論にそって考えるなら
(仮定)
∀e>0 ∃A B ∀s s' ; t t' a<s,s'<A B<t,t'<b ⇒ |p(s) + q(t) - p(s') - q(t')| < e…(*)
これを利用して
∀e>0 ∃A ∀s s' ; a<s,s'<A ⇒ |p(s) - p(s')| < e…(**)
を示したい。
e>0が与えられた。見つけないといけないのは(**)のA。使えるのは(*)。 >>170
>(1/x^2)*sin(1/x)
積分は関数でなくて微分形式に対して考えるべき
(1/x^2)sin(1/x)dx=-sintdt
(1/x^1.95)sin(1/x)dx=-t^(-0.05)sintdt >>155で終わってるのに何をやってるんだこのバカは。反例なんてねーよゴミクズ。
>ε に応じて δ も変化するため、固定した t0 は取れません。
t0をεやδに依存させずに完全なる定数として取る必要はどこにも無い。
何のためのε−δだと思ってるんだ。
εに応じてδが取れて、そのδに対して t0 を1つ取ったときに(たとえば t0 = b−(δ/2) と置けばよい)、
この t0 は確かにεやδに依存しているが、しかし a<s_1<a+δかつ a<s_2<a+δ のとき
|p(s_1)−p(s_2)|≦|p(s_1)+q(t)−α|+|p(s_2)+q(t)−α|<2ε
が成り立つのだから、全体としては
∀ε>0, ∃δ>0, a<∀s_1,∀s_2<a+δ s.t |p(s_1)−p(s_2)|<2ε
が成り立つということ。よって、コーシー列の関数版により、lim[s→a] p(s) が存在する。
同様にして、lim[t→b] q(t) も存在する。ただのε−δに何を躓いてるんだよ。 >>163
>↑なぜ、
>b - δ1(ε) < t < b, a < s < a + δ2(ε)
>ではなく
>
>b - δ(ε) < t < b, a < s < a + δ(ε)
>なんですかね?
δ(ε)=min{ δ1(ε), δ2(ε) } と置けばいいだけ。
>>172
(*)が使えるなら、(*)で t=t' とすれば即座に(**)が出る
(t,t'に具体的な形が欲しければ t=t'=(B+b)/2 とでも置けばよい)。
やっている計算は>>155と全く同じ。 Ln z=log|z|+arg(z)なら
Ln z1+Ln z2
=log|z1z2|+arg(z1z2)
=Ln(z1z2)になりませんか?
なぜ2πniが含まれるんでしょうか
https://i.imgur.com/pEZL5gV.jpg >>176
Lnz1+Lnz2=ln|z1|+ln|z2|+Argz1+Argz2
だろ 多様体から部分集合をとってきて、その部分集合に多様体の構造が入らない場合ってありますか
元の多様体から得られる構造がそのまま入りそうなのですが この下線部の式変形でi・sin2θが消える理由を教えてください
https://i.imgur.com/GL5lN6F.jpg >>182
ありがとうございます。
|exp(x+iy)|=|exp(x)||cosy+isiny|に
|cosy+isiny|=1であってますか? ありがとうございます。
ローラン展開って式の形見る限りテーラー展開のnの範囲を0から-∞にして特異点周りに限定しただけですよね? これの(2)なのですが大学では解答の1つ目の展開しか習いませんでした。
実際2つ目の方も記すべきなんですか?
https://i.imgur.com/cQ72TLx.jpg どちらかだけでいいと思うけど、収束域が変わることには注意 解釈の原因は解釈者自身の固定観念。解釈の自由には責任が伴う
言葉風紀世相の乱れはそう感じる人の心の乱れの自己投影。人は鏡
憤怒は一時の狂気、無知無能の自己証明。中途半端な知識主ほど激昂
「真実は一つ」は錯誤。執着する者ほど矛盾を体験(争い煩悩)
他人に不自由(制約)を与えれば己も不自由(不快)を得る
問題解決力の乏しい者ほど自己防衛の為に礼儀作法マナーを要求
情報分析力の低い者ほどデマ宗教フェイク疑似科学に感化洗脳
自己肯定感の欠けた者ほど「己の知見こそ全で真」に自己陶酔
人生経験の少ない者ほど嫌いキモイ怖いウザイ想定外不思議を体験
キリスト教は世界最大のカルト。聖書は史上最も売れているト本
全ては必然。偶然 奇跡 理不尽 不条理は思考停止 視野狭窄の産物
人生存在現象に元々意味価値理由目的義務使命はない
宗教民族領土貧困は争いの「原因」ではなく「口実動機言訳」
虐め差別犯罪テロ紛争は根絶可能。必要なのは適切十分な高度教育
体罰は指導力問題解決力の乏しい教育素人の独善甘え怠慢責任転嫁
死刑は民度の低い排他的集団リンチ殺人。「死ねば償える」は偽善
核武装論は人間不信と劣等感に苛まれた臆病な外交素人の精神安定剤
投票率低下は社会成熟の徴候。奇人変人の当選は議員数過多の証左
感情自己責任論 〜学校では教えない合理主義哲学〜 m9`・ω・) >>190
言葉足らずでしたすみません、191さんのおっしゃった意味で書きました 一枚目の黒下線部の解き方はこれでいいんですか?
解いてて疑問だったのは、z=re^iθとしたときrは正でなければいけないんですか?
https://i.imgur.com/FXghV9P.jpg
https://i.imgur.com/OphGItd.jpg >>193
お好み次第。r>0にして0〜2πにしてもよし、r自由で0〜πにしてもよし。 これ何度見直してもe^aπになるとおもうのですがどうなんでしょうか
https://i.imgur.com/RY4RXvd.jpg >>197
n次元多様体Mの部分集合Sがk次元多様体構造を持つことの必要十分条件は,次のどちらかの条件を満たすこと.
(1)k=nかつSはMの開集合.
(2)0≦k<nかつSの任意の点pに対し,pを含むMの座標近傍(U;x_1,…,x_n)が存在してM⋂S={(x_1,…x_n)∈U|x_{k+1}=…=x_n=0}.
具体的には実数直線の半開区間[0,1)は0近傍でユークリッド空間の開集合に同相な開近傍を持たないので多様体構造を持たないという反例がある. >>200
等比級数を計算すれば
Σe^{(ia-1)(2n-1)πi}
=(e^{(ia-1)πi})/(1-e^{(ia-1)2πi})
=(-e^{-aπ})/(1-e^{-2πa})
となるので教科書が正しいと思われる. >>202
ありがとうございます。その計算でやってみます。自分はこうやったのですがどこの部分が計算ミスしてますか?
https://i.imgur.com/tW5ai5H.jpg >>202
Σの2行目の分母のexpの中身にマイナスが必要ではないですか? >>203
https://ja.wikipedia.org/wiki/境界付き多様体
私は↑にあるように境界付き多様体は多様体でないという立場です.
あなたのように境界付き多様体を多様体ととらえる人がいることを考慮していませんでした.
反例は>>201に挙げたものでなく,実数全体の部分集合として有理数全体を考えれば満足できるかと.
>>204
下から2行目まであってます.
e^{-2aπn+aπ}にn=1を入れるとe^{-aπ}なので分子に来るのはe^{aπ}ではなくe^{-aπ}です.
>>205
公比e^{(ia-1)2πi}なのでマイナスは不要です. >>201
次元が違う場合の証明はどうするんですか?例えばf:R→Mが連続単射でf^(-1)(開部分集合)の全体がRの位相を生成するという条件だけから>>201の(2)で述べられてる強い条件が証明できる気がしないんですけど。気のせいかな? >>206
初項ってことですね!ありがとうございました >>206
>あなたのように境界付き多様体を多様体ととらえる人がいることを考慮していませんでした.
普通境界持つものも多様体
そうでないとボルディズムの発想は出ない 境界持つものも多様体
というのは語弊あるかさすがに
境界持つものも排除しない
というべきかも 碌に勉強してないのに書き込んで申し訳ない
これ以上変なことを書かないために>>207に答えるのは控えておく
幸いこの板には多様体論に精通した人がいるようだからこのような学部レベルの証明はすぐ教えてもらえるだろう 境界付き多様体ってあんまり初学者向けの本に詳しく書いてないからわからんのだが、境界付き多様体上の関数とか微分形式とか接ベクトルってどうなんの?
例えば
関数が可微分⇔内部で可微分かつ境界で可微分
みたいな感じいいの?
接空間の次元だと、境界の接空間だと内部の接空間の次元より1小さいとかいう風になってると思えばいいんですかね? Σ_{n = 0}^∞} a_n が絶対収束するとする。
自然数の集合 N を以下のように分割する。
N = ∪_{i = 0}^{∞} A_i
A_i ≠ A_j (i ≠ j)
Σ_{i = 0}^{k} Σ_{n ∈ A_i} a_n = Σ_{n ∈ ∪_{i = 0}^{k} A_i} a_n
が成り立つことを示せ。
これがよく分かりません。お願いします。 Σ_{n = 0}^{∞} a_n が絶対収束するとする。
自然数の集合 N を以下のように分割する。
N = ∪_{i = 0}^{∞} A_i
A_i ∩ A_j = φ (i ≠ j)
Σ_{i = 0}^{k} Σ_{n ∈ A_i} a_n = Σ_{n ∈ ∪_{i = 0}^{k} A_i} a_n
が成り立つことを示せ。
これがよく分かりません。お願いします。 >>216
どこの問題か知らんけど酷い問題やな。
絶対収束するときは和は順番を自由に変えられる事を、使ったら自明になるけど問題文の
> Σ_{i = 0}^{k} Σ_{n ∈ A_i} a_n = Σ_{n ∈ ∪_{i = 0}^{k} A_i} a_n
は和が順序によらず決まることを利用しないと文章として成立してない。出題者にバーカっていっとけば? 文章として成立していない、とはどのようなことですか? >>217
絶対収束するときは和は順番を自由に変えられる事を、使って示してください。 >>218
文章として成立させようと思うと示すべき命題が自明になる。 >>220
この問題の前に、絶対収束するときは和は順番を自由に変えられる事は示されています。 運良く新しい定理を発見した場合、
ヘラクレスの定理とか吉沢明歩の定理とか
好きな名前を付けてもいいんですか?
(´・ω・`) >>223
良いけど他の人がそれで呼んでくれるとは限るまい | 4*arctan(1/5) - π/4 | < π/2
を証明してください。 Σa_n^2 が収束するとき Σa_n/n の収束性はどうなるか? >>216
Σ_{n ∈ A}の定義はどうなっとる? >>232
A という記号は登場しません。
A_i です。 正項級数 Σa_n が収束すれば lim n * a_n = 0 は成り立つか成り立たないか? >>233
> A という記号は登場しません。
> A_i です。
Σ{n∈A}の定義がないとAiでも定義ないけど?? θ~が微小のときのsin(θ~ +θe2)の加法定理だと思うんですが、なぜオーダーが入るんですか? >>234
成り立ってないとおかしい
自然数の逆数和は発散するのだから >>241
ああスマン、やっぱり反例作れた
平方数のときだけそのまま、あと0とかでもいいね
単調減少とかないと成り立たないね テイラー展開ではなくテイラーの公式ではないでしょうか? >>238
f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + O((x - a)^2)
という公式です。 テイラー展開の方が馴染みがあるだけ
展開の形からもわかるから
テイラーの定理をつかってもいい >>247
なるほど加法定理ではなくテーラー展開をしてるんですね。話が変わってしまうのですが、加法定理はその公式から導けるのですか? >>237
ありがとうございます。
a_1^2 + a_2^2 + … a_n^2 → S(n → ∞) とする。
|a_1|/1 + |a_2|/2 + … + |a_n|/n
≦
sqrt(a_1^2 + a_2^2 + … a_n^2) * sqrt(1 + 1/2^2 + … + 1/n^2)
→
sqrt(S) * sqrt(π^2/6)
{|a_1|/1 + |a_2|/2 + … + |a_n|/n} は収束する。
絶対収束する級数は収束するから、
{a_1/1 + a_2/2 + … + a_n/n} は収束する。 >>237
齋藤正彦著『齋藤正彦微分積分学』の解答は、以下です。
a_n^2 + 1/n^2 = (|a_n| - 1/n)^2 + 2*|a_n|/n ≧ 2*|a_n|/n 教科書の粗探ししてるのが松坂くん
定期的に発狂してるのが劣等感婆
¥って書いてるのが¥ 「わからないんですね」や「ある無矛盾な〜」は劣等感婆 >>258
補足
東大、どっちが、と言ってるのがヒマラヤ
こいつはホロン部>>257 微分方程式です
dy/dx-(ln x)y=x^x
解き方教えてください >>268
計算ミスしてました
無事たどり着けました
ありがとう アーベルの定理について質問です。
以下の議論はOKですよね?
ちょっとややこしいですね。
1 / (1 + x) = 1 - x + x^2 - x^3 ± … (-1 < x < 1)
x = t^2 (-1 < t < 1) を代入
1 / (1 + t^2) = 1 - t^2 + t^4 - t^6 ± … (-1 < t < 1)
これを項別積分すると、
arctan(x) = x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 ± … (-1 < x < 1)
±(1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 ± …) は交項級数だから収束する。
アーベルの定理から
lim_{x → ±1} (x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 ± …)
=
±(1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 ± …)
arctan(x) は (-1, 1) の外でも定義され、 x = ±1 で連続だから
arctan(±1)
=
lim_{x → ±1} arctan(x)
=
lim_{x → ±1} (x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 ± …)
=
±(1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 ± …) a_0 + a_1 * x_0 + a_2 * x_0^2 + …
は収束するが
a_1 + a_2 * x_0 + a_3 * x_0^2 + …
は発散するような例はありますか? 関数の微分値しかわからない二次元パラメータの制約なし局所最適化問題を解く必要があるんですが、いい感じのアルゴリズムってありますか? この↓解き方に関してですが、
https://imgur.com/a/sqgLUNV
高校数学では、ふつうこのような問題は場合分けして、f(x)の
グラフを書いて求めると思いますが、この解法はいきなり微分
してやってあります。
このようなことができる理由は
∫|g(t)|dt は微分して|g(t)|になる関数だから
f(x)=∫[x→x+1]|g(t)|dt → f'(x)=|g(x+1)|-|g(x)|
となるのは当然としてよいのか、本当はこれは証明が必要な
ことなのか考えあぐねています。
このようなことができる明確な理由、若しくは証明はありますか。 >>277
高校数学では微積分学の基本定理(連続関数の積分が微分可能で微分すると元に戻る)を認めてるから別にいい 積分:関数 ---> 原始関数
その逆が微分(えへん) その荻野の本に書いてないのかよ
側注にITEM云々と書いてあるようだが >>281
>その荻野の本に書いてないのかよ
書いてないです。 ふつうの本の解法は場合分けです。
いきなり微分しても成り立つのが当然なら、どの本もそうなってるはず
だけどそうしないのはやはり引っ掛かるものがあるからだと思います。 >>283
証明するのが難しいというよりは、高校数学では証明しようがないよ
だから認めて使ってるわけだけど
積分したものを微分したらもとに戻る、ってのは大学以上でちゃんと証明するわけだけど
その証明自体はふつう連続関数でやるか 、らその範囲で使って問題ない
教科書にも書いてあるはず
てかtの積分がt^2/2になったりするのもその事実に基づいてるはずだから、それを使えないということはないと思うが >>284
ふつうの本は、って言うけど何冊みたのやら
問題集のレベルにもよるし
あまり難しいことを考えさせない計算問題集みたいな色の強い物だと、あなたみたいに疑問に思う人のことを考えて、手間は掛かっても愚直にやる解法を採用したりする >>285
でも直観的ではあるが証明の概要のようなものは習うのではないでしょうか? みなさんありがとうございます。
特に285,291は参考になりました。
先ほど考えてみましたが、思いついた説明は
多分、双対性と呼ばれているものだと思います。
満員電車の中でちょっと考えただけですから、
また何かあるかもしれませんが。 f(x,y):R→Rを関数とします
「fをxで偏微分した偏導関数」をyで偏微分したものと
「fをyで偏微分した偏導関数」をxで偏微分したものとが異なるような関数fは存在しうるのでしょうか >>292
その思いついた双対性ってのの説明を書いてみ log(log(x/(x+1) + e)+e-1) >>295
>その思いついた双対性ってのの説明を書いてみ
自分がやった方法は、双対性の原初的なものなのか何
なのか分からないです。
いきなり微分した場合と場合分けでやった場合とでは
よくある見慣れた関数では符号が一致することを説明
しているだけですから。
ところで、絶対値付きの関数の積分は二次関数程度なら
1つの式で求めることができますが、一般的にf(x)が
連続関数なら|f(x)|の積分は1つの式で表すことが
できるのですか?
これはみなさんにお尋ねします。 双対性なんて言わん
そもそも積分が1つの式だろ
そうでなくとも場合分け関数を 1+x/|x| 使って1つの式にするのは常套手段 ありがとうございます。
やはりすごい方々が5chに引っ越しなさったんですね。 統計学を勉強しています。院レベルになると、測度論的統計学という言葉が出てきます。
この測度論、ルベク積分の話が分かるようになるには、大学初等で習う線形代数、微分積分から、
どういう手順で数学書を読み進めていけば、とりあえず理解できるようになるか教えて頂けませんか?
私は文系出身の社会人で、大学初等の線形代数、微分積分と、測度論を使わない数理統計学の本をなんとか読めるレベルです。
たとえば、
「線形代数、微分積分」→「微分方程式」→「常微分方程式」→・・・→「測度論・ルベク積分」
のように教えて頂けると、とても助かるのですが・・^ ^ >>306
微積が終わってるならルベーグ積分の教科書を読めばいい >>306
統計学がそもそも数学じゃ無いのに
測度使ってとか笑ける 測度論なんて微積分がわかってればクッションいらないでしょ 整級数 Σa_n*x^n を考える。
1 / lim |a_(n+1)/a_n| が存在すればそれが収束半径
っていう命題ですが、これ使いにくいですね。
Σ((-1)^n/(3*n+1))*x^(3*n+1) = 1 - 1/4 + 1/7 - 1/10 ± …
みたいな場合に直接は適用できないですよね。 Σ((-1)^n/(3*n+1))*x^(3*n+1) = 1 - (1/4)*x^4 + (1/7)*x^7 - (1/10)*x^10 ± … >>311
R=liminf |An|^(-1/n)でええやん >>314
手軽さと適用範囲の広さはトレードオフの関係。>>313の公式は常に成立するので多少使いにくいのはしゃあない。しかしこの程度の公式が使いこなせんようではダメ。 >>311
は正項級数のダランベールの判定法を使えばいいですよね。
>>311
の公式自体が正項級数のダランベールの判定法を使って証明されますが。 Mathematica とか Maple を使うと色々な定・不定積分の計算ができますが
どういうアルゴリズムを使っているのでしょうか?
そういうことが書かれた本はありますか? Modern Computer Algebra
by Joachim von zur Gathen et al.
Link: http://a.co/7bSttEH
↑こういう本を読めばいいわけですね。 元々は初等関数・楕円関数の範囲内で積分可能の判定して積分を求めるアルゴリズムの論文があったはず a_(n+1) = exp(-a_n)
b_(n+1) = cos(b_n)
の収束性を論ぜよ。 物理と数学をいろいろ対応付けて考えているのですが、物理で一般にいうベクトル場は数学だと接束やら余接束の断面ということになると思うんですけど流線やら磁束ってのは数学でいうとなんてものに当たるんでしょうか? >>324
まだ電気力線が整数だって頑張ってるの?。 真ん中の積分の式でインテグラルの外にf(ξ)を吐き出してる理由が分からない
https://i.imgur.com/N5uQ6M7.jpg >>325
空間の各点が流線みたいな関数に対応付けられてるのとかないの? >>326
数学的には全部の式がばかばかしいな
呪術みたいなものか >>321
b_(n+1) = cos(b_n)
f(x) := x - cos(x)
f(0) = 0 - cos(0) = -1 < 0
f(π/2) = π/2 - cos(π/2) = π/2 - 0 = π/2 > 0
中間値の定理より、
f(x_0) = 0 となるような x_0 ∈ (0, π/2) が存在する。
f'(x) = 1 + sin(x) ≧ 1 - 1 = 0
だから、 f(x) は広義単調増加関数である。
f(x) = 0 に異なる2つの解 x_1, x_2 (x_1 < x_2) が存在すると仮定する。
x ≦ 0 ⇒ f(x) ≦ f(0) = -1 < 0
π/2 ≦ x ⇒ 0 < π/2 = f(π/2) ≦ f(x)
だから、 0 < x_1 < x_2 < π/2 である。
平均値の定理より、
f(x_2) - f(x_1) = f'(x_3) * (x_2 - x_1) (x_1 < x_3 < x_2) となるような x_3 が存在する。
0 < x_1 < x_3 < x_2 < π/2 だから、
f'(x_3) = 1 + sin(x_3) > 1 > 0
x_2 - x_1 > 0
よって、
f(x_2) - f(x_1) > 0 となるがこれは矛盾である。
よって、
f(x) = 0 となるような x はちょうど一つ存在する。 >>321
f(x_0) = 0 とすると、↑より、 x_0 ∈ (0, π/2) である。
n ≧ 1 のとき、
b_n = cos(b_(n-1)) だから、
-1 ≦ b_n ≦ 1 である。
n ≧ 2 とする。
cos(b_(n-1)) - cos(x_0) = -sin(t) * (b_(n-1) - x_0) となるような b_(n-1) と x_0 の間の数
t が存在する。よって、
|b_n - x_0| = |cos(b_(n-1)) - cos(x_0)| = |sin(t)| * |b_(n-1) - x_0|
と書ける。
n - 1 ≧ 1 だから、
-1 ≦ b_(n-1) ≦ 1 である。
また、
0 < x_0 < π/2 である。
もしも、 π/2 ≦ t ならば、
b_(n-1) ≦ 1 < π/2 ≦ t
x_0 < π/2 ≦ t
となってしまい、 t が b_(n-1) と x_0 の間の数であることに反してしまう。
また、 t ≦ -1 ならば、
t ≦ -1 ≦ b_(n-1)
t ≦ -1 < 0 < x_0
となってしまい、やはり、 t が b_(n-1) と x_0 の間の数であることに反してしまう。
-1 < t < π/2 である。
ゆえに、
-1 < t < π/2
である。 訂正します:
>>321
b_(n+1) = cos(b_n)
f(x) := x - cos(x)
f(0) = 0 - cos(0) = -1 < 0
f(1) = 1 - cos(1) > 0
中間値の定理より、
f(x_0) = 0 となるような x_0 ∈ (0, 1) が存在する。
f'(x) = 1 + sin(x) ≧ 1 - 1 = 0
だから、 f(x) は広義単調増加関数である。
f(x) = 0 に異なる2つの解 x_1, x_2 (x_1 < x_2) が存在すると仮定する。
x ≦ 0 ⇒ f(x) ≦ f(0) = -1 < 0
1 ≦ x ⇒ 0 < f(1) ≦ f(x)
だから、 0 < x_1 < x_2 < 1 である。
平均値の定理より、
f(x_2) - f(x_1) = f'(x_3) * (x_2 - x_1) (x_1 < x_3 < x_2) となるような x_3 が存在する。
0 < x_1 < x_3 < x_2 < 1 だから、
f'(x_3) = 1 + sin(x_3) > 1 > 0
x_2 - x_1 > 0
よって、
f(x_2) - f(x_1) > 0 となるがこれは矛盾である。
よって、
f(x) = 0 となるような x はちょうど一つ存在する。 f(x_0) = 0 とすると、↑より、 x_0 ∈ (0, 1) である。
n ≧ 1 のとき、
b_n = cos(b_(n-1)) だから、
-1 ≦ b_n ≦ 1 である。
n ≧ 2 とする。
cos(b_(n-1)) - cos(x_0) = -sin(t) * (b_(n-1) - x_0) となるような b_(n-1) と x_0 の間の数
t が存在する。よって、
|b_n - x_0| = |cos(b_(n-1)) - cos(x_0)| = |sin(t)| * |b_(n-1) - x_0|
と書ける。
n - 1 ≧ 1 だから、
-1 ≦ b_(n-1) ≦ 1 である。
また、
0 < x_0 < 1 である。
よって、
-1 < t < 1
である。
したがって、
-sin(1) = sin(-1) < sin(t) < sin(1)
すなわち、
|sin(t)| < sin(1) < sin(π/2) = 1 である。
よって、
n ≧ 2 のとき、
|b_n - x_0| = |sin(t)| * |b_(n-1) - x_0| < |sin(1)| * |b_(n-1) - x_0|
以上より、
|b_n - x_0| < |sin(1)| * |b_(n-1) - x_0| < … < |sin(1)|^(n-1) * |b_1 - x_0|
が成り立つ。
|sin(1)|^(n-1) * |b_1 - x_0| → 0 (n → ∞)
だから、
b_n → x_0 (n → ∞)
である。 >>321
a_(n+1) = exp(-a_n)
f(x) := x - exp(-x)
f(0) = 0 - exp(-0) = -1 < 0
f(1) = 1 - exp(-1) > 0
中間値の定理より、
f(x_0) = 0 となるような x_0 ∈ (0, 1) が存在する。
f'(x) = 1 + exp(-x) > 1 > 0
だから、 f(x) は狭義単調増加関数である。
f(x) = 0 となるような x はちょうど一つ存在する。
f(x_0) = 0 とすると、↑より、 x_0 ∈ (0, 1) である。
n ≧ 1 のとき、
a_n = exp(-a_(n-1)) > 0 である。
n ≧ 2 とする。
exp(-a_(n-1)) - exp(-x_0) = -exp(-t) * (a_(n-1) - x_0) となるような a_(n-1) と x_0 の間の数
t が存在する。よって、
|a_n - x_0| = |exp(-a_(n-1)) - exp(-x_0)| = |-exp(-t)| * |a_(n-1) - x_0| = exp(-t) * |a_(n-1) - x_0|
と書ける。 (1)
x > 0 で定義された以下の関数 g を考える。
g(x) := x - exp(-exp(-x))
g'(x) = 1 - exp(-x) * exp(-exp(-x)) = 1 - exp(-(x + exp(-x)))
-(x + exp(-x)) < 0 だから exp(-(x + exp(-x))) < exp(0) = 1
∴ g'(x) > 0
したがって、 g(x) は x > 0 で狭義単調増加関数である。
g(x_0) = x_0 - exp(-exp(-x_0)) = x_0 - exp(-x_0) = x_0 - x_0 = 0
だから、
x < x_0 ⇒ g(x) < g(x_0) = 0
x_0 < x ⇒ 0 = g(x_0) < g(x)
である。
すなわち、
x < x_0 ⇒ x < exp(-exp(-x))
x_0 < x ⇒ exp(-exp(-x)) < x
である。
∴a_n < x_0 ⇒ a_n < exp(-exp(-a_n)) = exp(-a_(n+1)) = a_(n+2)
(2)
a_n > x_0 ⇒ a_(n+1) = exp(-a_n) < exp(-x_0) = x_0
a_n < x_0 ⇒ a_(n+1) = exp(-a_n) > exp(-x_0) = x_0
である。
∴a_n < x_0 ⇒ a_(n+1) > x_0 ⇒ a_(n+2) < x_0
∴a_n > x_0 ⇒ a_(n+1) < x_0 ⇒ a_(n+2) > x_0
a_1 < x_0 であるとき、
(1), (2)より、
0 < a_1 < a_3 < a_5 < … < x_0 < a_2 < a_4 < a_6 < …
が成り立つ。
x_0 < a_1 であるとき、
(1), (2) より
0 < a_2 < a_4 < a_6 < … < x_0 < a_1 < a_3 < a_5 < …
が成り立つ。 以上から、
a = min(a_1, a_2) とおくと、
n ≧ 1 のとき、
0 < a ≦ a_n
が成り立ち、
0 < a < x_0
も成り立つ。 >>335
の続きを考える。
n - 1 ≧ 1 だから、
0 < a < a_(n-1) である。
また、
0 < a < x_0 である。
よって、
0 < a < t
である。
したがって、
exp(-t) < exp(-a) < exp(0) = 1
である。
よって、
n ≧ 2 のとき、
|a_n - x_0| = exp(-a) * |a_(n-1) - x_0|
以上より、
|a_n - x_0| < exp(-a) * |a_(n-1) - x_0| < … < exp(-a)^(n-1) * |a_1 - x_0|
が成り立つ。
exp(-a) < 1 だから、
exp(-a)^(n-1) * |a_1 - x_0| → 0 (n → ∞)
が成り立つ。
∴a_n → x_0 (n → ∞)
である。 >>338
一部訂正します:
「
よって、
n ≧ 2 のとき、
|a_n - x_0| < exp(-a) * |a_(n-1) - x_0|
」
が正しいです。 >>328
前にも言ったが整数値の電荷磁荷ならモノポールにまつわるディラックの量子化条件でも調べろよ。
トポロジー絡みのネタは不変量が整数で出てくる。 >>328
解決しました。
1パラメータ変換群というものにあたるそうです b^3+acd-bcd-a^3の因数分解をお願いします
から(b-a)で括りたい df(t)/dt+2f(t)=3
みたいな、右辺がゼロじゃないやつの解放が知りたいときはなんて検索したらいい?
今日小テストだって忘れてて緊急なんです
よろしくお願いします 基本的には高校数学の分野ですが、高校数学の本には
書いてないのでここで質問させて頂きます。
分数式の極限は分母の最高次で割って調べるというのが原則ですが、
これは分母が収束するから見た目がよく判定しやすいという理由だけ
ですか?
分母の最高次で割ると収束発散が判定できて、分子の最高次で割ると
不定形となって判定できない例がありますか?ありましたらn→∞の
ときの、なるべく簡単な例を書いて頂けませんか。 多項式f,gに対してf/gの極限を考えるとき、ということなんだろう
最高次で割ればa/x^k→0と定数に分離できるだけのこと
何も分母に限って考えることではない 例えば下記のような質問はネットで見かけます。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11136309216
ここでの回答に下記のように書いてありますが、
この場合は分子の最高次で割っても判定できないことはありません。
-∞になるはずがないからです。
***********************************
この例で、分母・分子をx^2で割ると、
(x^2-1)/(x+1)=(1-1/x)/(1/x+1/x^2)
となります。ここで、x→∞を考えると、右辺の分子は1に収束します。また、分母は0に収束します。つまり「1/0」という形になるのです。
では、「1÷0だから、∞だ」と言えるでしょうか。そうではないですよね。分母が0になる極限は正のほうから0になる場合は+∞になります。しかし負のほうから0になる場合は、-∞になってしまうのです。
したがって、この式をひとめ見てすぐに収束する!といい切るわけにはいきません。
************************************
上記は関数になっているようですが、分母分子が数列の場合の例で、ご説明
頂いてもけっこうです。 Kを環として、Kの部分集合Sで生成される環K[S]って
どうしてKとSの元からなる無限和、無限積を含まないんですか? ああ、Kの部分集合Sじゃないや。
K⊂Aなる環Aの部分集合S、ということで。 よっぽどやりたきゃ位相を入れて完備化しなよ
形式的冪級数て知ってる?
無限積はどうするかなー... 不等式の証明で微分を繰り返して0を代入するのなんで?🤔
なんでそれでf(x)>g(x)が証明できるの?🤔 K代数の準同型φ:K(S)→Lって
LがKを含んでいたらφはKについては恒等写像なんですか?
そう決めているだけ? >>370
Lの部分集合です
KとLは体でも環でもいいです >>369
K代数の射と言ったらk上は恒等になる。定義。単なる代数の射ならk上恒等にならないものもありうる。 a/2-a/2+t=
がなぜat/2(2+t)になるのですか? 分かりにくかったので訂正します↓
a/2 - a/(2+t)=
がなぜat/[2(2+t)]になるのですか? 学部の数学科3年生は多様体とかガロア理論とかルベーグ積分を勉強してるらしいけど
4年生はどんな勉強してるの? ゼミとかそういうのはやめて、講義を増やしてほしいですよね。 >>376
3年次のカリキュラムを終えてすぐに論文読むのって厳しくない?
もっとずっとギャップがあるんじゃないの? 日本の大学の数学科の講義数が異常に少ないのは大問題ではないでしょうか? 面倒な実験、卒業論文などもないですし、これほど楽な学科もないのではないでしょうか? ∫ x / (exp(x) - 1) dx from x = 0 to x = ∞ を求めよ。 x = -log(t) とおく。
∫ x / (exp(x) - 1) dx from x = 0 to x = ∞
=
∫ -log(t) / (1/t - 1) (-1/t) dt from t = 1 to t =0
=
∫ log(t) / (t - 1) dt from t = 0 to t = 1
t = 1 + s とおく。
∫ log(t) / (t - 1) dt from t = 0 to t = 1
=
∫ log(1 + s) / s ds from s = -1 to s = 0
=
∫ [s - (1/2)*s^2 + (1/3)*s^3 - (1/4)*s^4 ± …] / s ds from s = -1 to s = 0
=
∫ 1 - (1/2)*s + (1/3)*s^2 - (1/4)*s^3 ± … ds from s = -1 to s = 0
=
[s - (1/2)^2*s^2 + (1/3)^2*s^3 - (1/4)^2*s^4 ± …] from s = -1 to s = 0
=
0 - [(-1) - (1/2)^2*(-1)^2 + (1/3)^2*(-1)^3 - (1/4)^2*(-1)^4 ± … ]
=
1 + 1/2^2 + 1/3^2 + … >>383
真面目にやるとこれほど適性の差を思い知らされる学問分野は有り得ない。の間違いだろ。
ちゃんと勉強できてれば数理経済学とかに文転も容易い。 数理経済学というのは何かの役に立つのでしょうか?
同じ役に立たないのなら数学のほうがいいですよね。 バブル崩壊後に日本みたいにゼロ除算無理矢理しようとするがごとく流動性トラップゼロ金利に陥る間抜けがものづくり連呼するのには役に立たないかもね。 >>375
基礎理論ではなく、所属する研究室の先生とかの専門分野の基礎的な話を学んだりするのでは
場合によっては論文も読むだろうけど >>383
当時は楽と思ったが後で損したと思ったね 主束π:P→Mのエーレスマン接続で水平分布の定め方が一意的でない理由がわからない
垂直部分空間はker π_*で一意に決まるのだからその直和成分も一意に決まるんじゃないんですか?? 選択公理は意識できる人はここで必要だなと意識できるものなんですか? >>392
んなわけないやん。R×Rの部分空間としてx=2yが仮に垂直成分として決まったとして、その補空間なんか一意には定まらないでしょ?x=0でもよし、2x=3yでもよし。内積とか入ってたら話は別ですが。 >>394
あーそうか
ありがとうございます
何かすごい勘違いしてた (x^2-y^2)dx+(y-x^3/3)dy=0
これの積分因子が求まらないのでお願いします。 >>396
dx側のやつをP、dy側のやつをPと置いて
Py=x^2-2y、Qx=-x^2
不一致より完全微分方程式ではない
(Py-Qx)/P=(2x^2-2y)/(x^2y-y^2)
ここから分子2でくくって分母yでくくれば2/yになって、これを積分したやつをYとしたら
積分因子はe^-Y f(x) は [a, +∞) で連続かつ負でないとする。このとき、
∫ f(x) dx from x = a to x = ∞ が収束しかつ、 f(x) が有界でないということをあり得るか? あ、分かりました。
区間 [k, k+1] の真ん中に、幅 1/k^3、高さ n の二等辺三角形をおいたような
グラフを考えればいい分けですね。 訂正します:
あ、分かりました。
区間 [k, k+1] の真ん中に、幅 1/k^3、高さ k の二等辺三角形をおいたような
グラフを考えればいい分けですね。 あ、別に三角形じゃなくて長方形でもいいですね。まあ、何でもいいですね。 >>406
解析概論のp141の練習問題(9)より引用:
∫ x/(1+x^6 sin^2 x) dx from x = 0 to x = ∞ は収束する.
ちなみにこの積分はWolfram Alpha/Mathematicaが
収束判定を間違える例としても知られる。 微分可能でもいっしょ
三角形の接地点をなめらかにつなぐだけ >>407
>>408
ありがとうございました。
>>407
『定本解析概論』p.152(9)ですね。 >>407
∫ x/(1+x^6 sin^2 x) dx from x = 0 to x = t
を Mathematica にプロットさせました。
https://imgur.com/q8Mwi48.jpg 多項式環をR[x]でなくP(R)と書く人初めて見た
とりあえず(x^2+1)^2展開すればわかると思うよ (x^2+1)^2=x^4+2x^2+1
x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1-√2x)(x^2+1+√2x)
なるほど >>417
WG-S50使ってるぞ
ニ万円しないし短い計算なら行けるぞ
電車の中とかでも便利 >>418
最低A5サイズでないときついと思います。
まあ、少し待てば超高解像度で細い線も綺麗にかけるようjな、いいのが
安価な価格で出るでしょうね。 >>419
おいおい行ける、って言われてんだろエアプ >>421
iPadは触ったことがないのですが、ペンと変わりないくらいの感じで書けますか? >>384 >>385 >>386
別解: コーシーの積分定理より
∫[C](π^2+z^2)/(exp(z)+1) dz = 0
ここでCは L+πi,πi,-πi,L-πi (L>0)を頂点とする長方形上の閉曲線
実軸に平行な積分
= ∫[0,L]{(π^2+(x-πi)^2)-(π^2+(x+πi)^2)}/(-exp(x)+1) dx
= 4πi∫[0,L] x/(exp(x)-1) dx
虚軸上の積分
= -i∫[0,π]{(π^2-y^2)/(exp(iy)+1) + (π^2-y^2)/(exp(-iy)+1)}dy
= -i∫[0,π](π^2-y^2)dy
= -2(π^3)i/3
虚軸に平行な積分
→0 (L→∞)
したって
∫[0,∞] x/(exp(x)-1) dx = (π^2)/6
参考: 同様の計算で
∫[C](π^2+z^2)^2 /(exp(z)+1) dz = 0
⇒ ∫[0,∞] (x^3)/(exp(x)-1) dx = (π^4)/15 『定本解析概論』p.152(9)ですが、
(n + 1) * π * ∫ 1 / [1 + (n*π)^6 * (sin(x))^2] dx from x = 0 to x = π
<
1 / n^2
という評価が書いてあります。
これはどうやって導くのでしょうか? >>427
それ、不等号が逆
>>425
sin x > 2x/π (0<x<π/2)
を用いて
(n+1)π∫[0,π] < 2(n+1)π∫[0,π/2]
< 2(n+1)π∫[0,π/2] 1/(1+(nπ)^6 (2x/π)^2) dx
< 2(n+1)π∫[0,∞] 1/(1+(nπ)^6 (2x/π)^2) dx
< (n+1)/(2n^3)
≦ 1/n^2 >>429
ありがとうございました。
高木貞治さんの『定本解析概論』ですが、結構クールな例が載っているんですね。
少しだけ見直しました。 L1、L2が体Kの拡大体のとき、
L1、L2の元をすべて含む体はKの拡大体なんですか?
どうやって示せばいいでしょうか? 拡大体L/L1(L2)じゃなくて単に集合としてL⊃L1∪L2であるような任意の体LがKの拡大体になるかってこと?
あり得ないが >>432
すみません
L1とL2を含むような最小の拡大体、という意味でした >>433
最小の拡大体→最小の体
です
たびたびすみません LをL1,L2の拡大体とする
定義からK⊂Lであり、Lにおける演算をKに制限したものは体Kの演算に一致する
すなわちLはKの拡大体である 体L1とL2がK上の基底をもっているばあい
L1とL2を含む最小の体はK上を基底をもっている
は真でしょうか? なんでわざわざ分かりにくい文章に書き直したのこの人 行列について質問です.
論文に
The singularity assumption about A is required, since otherwise Ax = 0 would
have only the trivial solution x = 0
という記述があったのですが,非正則な行列ならばAx=0を満たすxは0ベクトルだけではないと思うのですが,英語の解釈を間違っているのでしょうか. Aに関する非正則性が要求されます、なぜならばそうでなければAx=0は自明解x=0しかもたなくなるからです
数学やる人って、やっぱり英語できないんですね 下記データが有る場合において、統計学上、
103、104、105、106、107、108、109、110、
111、112、113、114、115、116、117、118
に該当する個別人数を推理することはできませんか?
logとかいうのを使わないで、数式を教えて頂けませんか?
エクセルで計算したいです。
あるいは、そんなこと(上記推理)はできないものでしょうか?
なお、高校数学VCを除く程度の知識しかない文系です。
点数 左に該当する人数
175満点 0
167~ 1
159~ 10
151~ 56
143~ 161
135~ 261
127~ 314
119~ 259
111~ 178
103~ 100
95~ 38
87~ 14
79~ 9
71~ 6
63~ 1
55~ 1
47~ 0
39~ 1
31~ 3
23~ 10
15~ 8
7~ 1
0~ 9 この下線部の関係はただ単に1枚目のものに両辺からFourierインバースをかけただけなんですか? フーリエ変換とフーリエ逆変換の関係がイマイチよくわかりません。
https://i.imgur.com/JRagH3C.jpg
https://i.imgur.com/jX6pUVk.jpg >>445
逆変換の定義によるけど基本的にはそう。フーリエ変換したものをフーリエ逆変換すれば元に戻るという関係性が基本。 m ≦ n - 1 のとき
Σ (-1)^k * Binomial(n, k) * k^m from k = 0 to k = n
=
0
が成り立つことを示せ。 >>448
D = d/dxとおく。
f(x) = (1+ e^x)^nとおけば
与式=D^m f(iπ)。
ここで
D^m f(x) = Σ[k1+k2+…+kn=m]D^k1(1+e^x) D^k2(1+e^x)…D^kn(1+e^x)
でm<nによりkのいずれかは0。よってD^m f(iπ) = 0。 次の積分を求めよ
∫∫e^(x^3)dxdy
D={(x,y) : 0≦y≦1,√y≦x≦1}
お願いします X,Yをi.i.dな確率変数とし、MをXのmedianとする。
任意のε>0について
2P(|X-Y|≧ε) ≧ P(|X-M|≧ε)
を証明せよ。
助けてください… >>701
M=0としてよい。
|X|≧e→|X-Y|≧e or |X+Y| ≧e
∴P(|X|≧e) ≧ P(|X-Y|≧e) + P(|X+Y| ≧e) = 2P(|X-Y| ≧e)。 >>455
0としていいのはなんでなんでしょうか。 >>456
X,YをX-M, Y-Mに置き換えてもi idだから >>457
いや、後は自分でなんとかします。ありがとうございました。 (2)です。特異点が2つあるのですが、Z=0を囲むかで2通りの展開方法があるそうです。ローラン展開の定義にはC1はC2の外側にあり且つC1とC2の間の領域には特異点がないようにするとあふので、
@C2はZ=2のみを囲み且つC1はC2より大きく左側がZ=0〜2の間を取るような閉曲線
AC2はZ=0,2を囲み且つC1はC2より大きい閉曲線
という2通りという意味ですか?
https://i.imgur.com/fzENFfH.jpg
https://i.imgur.com/OkhOfM7.jpg
https://i.imgur.com/iSEaM6b.jpg 定積分 ∫[0, +∞] dx sin(x)^3/x^2 = 3*log(3)/4 (値はWolframAlpha より)
の求め方を教えてください。
∫[0, +∞] dx sin(x)^2/x^2
= (1/2)* lim{ε→+0} ∫[-∞, +∞] dx sin(x)^2/(x^2 + ε^2) = ... = π/2
こっちみたいに複素積分でバシっと行ける気がしませんが、どうなんですかね。 >>462
sin^3 x = (exp ix - exp (-ix))^3/(-8i) = (exp 3ix - 3exp ix + 3exp ix - exp (-3ix))/(-8i)
として3ixとixの方は積分路を0 → i∞、残りは0 → -i∞ とすればいける希ガス。 >>462 >>463
訂正。その前にx^2をx^sにしといて後で解析接続しないとダメかも。 >>462
[補題] ∫[0,∞](exp(iax)-exp(ibx))/x dx = log(b/a) (a,b>0 or a,b<0)
∵a,b>0として積分路を実軸から虚軸に移すと
∫[0,∞](exp(iax)-exp(ibx))/x dx
=∫[0,∞](exp(-ay)-exp(-by))/y dy
=∫[0,∞]∫[a,b] exp(-ty) dtdy
= ∫[a,b] 1/t dt
= log(b/a)
sin^3(x)/x^2 = (exp(3ix)-3exp(ix)+3exp(-ix)-exp(3ix))/(-8ix^2)
= -(3/8)∫[-1,1] (exp(3itx)-exp(itx))/x dt
補題より
∫[0,∞] sin^3(x)/x^2 dx = -(3/8)∫[-1,1] log(1/3) dt = (3/4)log(3) 開区間族と閉区間族の問題なんですけど、部分集合を求めた後、どういった思考フローで解答するのかわかりません
お願いします
https://i.imgur.com/wR9gLxu.jpg >>467
(-1,1){0}
(-1,1){0}
ですよね
開集合の和は開集合
閉集合の積は閉集合
一点集合は閉集合ですね ∫[a-i∞,a+i∞]x^s/s ds の値をa>0 の時と a<0 の時で求めた定理になんか名前がついてた希ガスなんですが誰の定理か知ってます?たしかPで始まる名前だったような… K⊂M⊂Lを体の有限次拡大で、NをKの代数閉包とする
L→NのK準同型は、MではないLの元についての写像は任意のL→NのM準同型と同じで
Mの元についての写像は任意のM→NのK準同型と同じであるようにとれる。
つまり
L→NのK準同型の個数=L→NのM準同型の個数 × M→NのK準同型の個数
である。
これってどうやって証明できますか? >>467
(a) (-1, 1) だと予想できるから、
-1<x<1 をみたす任意の x が含まれ、
x=±1 が含まれないことを示す。
(b) {0} だと予想できるから、
x=0 が含まれ、
x≠0 が含まれないことを示す。 論理積とか聞かないんですかね
ここの回答者って、レベル低いんですね >>470
すみません、どなたか470おしえてくれませんか >>470
体上の準同型写像を延長できる定理を使えばいいんでね? >>477
M→NのK準同型を、L→NのK準同型に延長するようなものが存在
することはわかるんですが
それがL→NのM準同型の個数通りの延長の仕方が
あるかどうかがわからないんです。
今も考えてるんですけど、有限次拡大なんで
基底の話にうまく結びつけることでとけないか
試行錯誤中です・・。 >>470
かっこいい方法は思いつかんけど、泥臭くていいなら
M. Lの元でK上分離的な元の全体をM0. L0として
(1) K → N の M への拡大の個数=[M0:K]
(2) L → N の M への拡大の個数=[L0:K]
(3) M0 → N の L への拡大の個数=[L0:M0]
が任意の準同型について言えることを確認すればできそう。 https://arxiv.org/pdf/0908.4287.pdf
のなかにΩ_±って記号がでてくるんですが、これ意味わかります?
wikipediaの情報からすれば
>記号 O とo は通常、関数の収束や発散の漸近的な上界を記述する為に用いられる。同様に漸近的な下界を記述する為にΩ, ωという類似記法が用いられ、上下両方を記述する為にΘ という記法を用いる。
とあるので “漸近的な下界” を表してるっぽいんですが、±はなんの意味でしょう?どなたかわかりますか? >>474
てゆーか
論理積のつもりで積集合使ってるとしたらアホだね >>481
数学において、集合族の共通部分(きょうつうぶぶん、英: intersection)とは、与えられた集合の集まり(族)全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。
共通集合(きょうつうしゅうごう)、交叉(こうさ、交差)、交わり(まじわり、meet)、積集合(せきしゅうごう)、積(せき)[1]、などとも呼ばれる。
わかりませんでした、ってはっきり言ったらどうなんですか? >>479
返信がおくれてすみません。
ようやくわかってきた気がします。
準同型の個数が共役の個数なので
共役のうち異なる元の数をかぞえあげれば・・・
という感じでしょうかね。
まだ全体像が見えてないですけど
これならいけるかもです
ありがとうございました! >>470 >>484
分離拡大あたりを勉強中かな?お疲れさん。
雪江代数学2の179ページ補題3.3.16を参照しなされ。
明快な答えがそこにある。
>>479
その議論で言えるのはK⊂M⊂Lが有限次分離拡大である場合だけでは? g(x) が x = a で n 回微分可能とする。
b := g(a) とする。
f(x) が x = b で n 回微分可能とする。
このとき、
f(g(x)) は x = a で n 回微分可能であることを示せ。 f(x) は x = a を含むある開区間で定義されているとする。
f(x) は x = a で微分可能とする。
このとき、
f(x) は x = a を含むある開区間で微分可能であるか? f(x) = |x| は x = 1/2 を含む開区間 (0, 1) で微分可能だと思います。 f(x) が x = a で2回微分可能というとき、
当然、
f(x) は x = a を含むある開区間で定義されている必要があります。
f'(x) も x = a を含むある開区間で定義されている必要があります。
よって、
f(x) は x = a を含むある開区間で微分可能でなくてはなりませんよね? >>492
fは(-1,1)で定義された関数で
f(0)=0
f(x)=1/n(n≦1/|x|<n+1)
を満たす
(f(h)-f(0))/h=1/nh
ただし、n≦1/h<n+1
1≦1/(nh)<1+1/n
0≦(f(h)-f(0))/h-1<1/n
ε=1/Nととると、h<εに対して
0≦(f(h)-f(0))/h-1<1/n<1/N=ε
よって、f'(0)=1
しかし、どのようなx=0を含む開区間をとっても、ある点x=1/nが存在して、この点においては不連続となるため微分不可 >>495
なんで2回微分可能という条件つけんの? ある同値関係R_1,R_2に対して以下の関係が同値関係かどうか示せという問題なのですが、
R_1 ∪ R_2に関して。反射律、対称律は導けますが、推移率に関してがわかりません
x(R_1 ∪ R_2)y ∧ y(R_1 ∪ R_2)z
⇔ (xR_1y ∨ xR_2y) ∧ (yR_1z ∨ yR_2z)
とは、つまるところxR_1yとyR_2zにおいても推移性があるのかどうか。この推移性があることで推移律は満たしていないかどうか。
教えてくださいお願いします >>500
≡(mod2)∪≡(mod3)
2,4,7で考えてみたら? やはり、推移律は成り立たなさそうです
ありがとうございました f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ なら、
f'(x) = 0 となる点 x が存在することを示せ。 f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ なら、
f'(x) = 0 となる点 x が存在することを示せ。
f(x) ≡ 0 の場合には↑の命題は成り立つ。
f(x) ≠ 0 となる x が存在すると仮定する。
f(b) ≠ 0 とする。
c < x ⇒ |f(x)| < |f(b)| となるような c が存在する。
b ≦ c である。
x < a ⇒ |f(x)| < |f(b)| となるような a が存在する。
a ≦ b である。
a ≦ b ≦ c である。
a = c のときには、 すべての x に対して |f(x)| ≦ |f(b)| であるから、
f(x) は x = b で最大値または最小値をとる。
ロルの定理の証明と同様の論法により、 f'(b) = 0 である。
よってこの場合には、↑の命題は成り立つ。
a < c の場合を考える。
f(x) は [a, c] で連続だから [a, c] で [a, c] 内での最大値 M および最小値 m をとる。
K := max{|M|, |m|} とおく。
|f(b)| ≦ K だから、 f(x) は [a, c] 内 の点 d で、 R 全体での最大値または最小値をとる。
ロルの定理の証明と同様の論法により、 f'(d) = 0 である。
以上より、↑の命題は成り立つことが分かった。 f=0なら自明
f≠0なら平均値or閉区間とって最大(または最小)値の存在 齋藤正彦さんの解答は以下です。
f(x) が恒等的に 0 ならあきらかだから、ある x0 で f(x0) > 0 とする。
極限の条件により、 a < x0 < b なる a, b で f(a) < (1/3)*f(x0), f(b) < (1/3)*f(x0)
となるものがある。中間値の定理により、 a と x0 のあいだの c で f(c) = (2/3)*f(x0)
となるものがあり、 x0 と b のあいだの d で f(d) = (2/3)*f(x0) となるものがある。
ロルの定理により、 c と d のあいだの e で f'(e) = 0 となるものがある。
>>504
の解答とどちらが良い解答でしょうか? >>504
の解答から、
f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞
⇒
f(x) は最大値または最小値をもつ
ということも分かりますね。 f(x)が 恒等的に0でない場合を考え、f(c) = α > 0 とする。(α < 0 の場合も同様)
仮に 0 not∈ f ' (R) とする。連続関数の連結性保存により f ' (R) > 0 または f ' (R) < 0 である。
f ' (R) > 0 の時、f(x) = f(c) + ∫ [c, x] dt f ' (t) > α (x > c) より lim[x→ +∞]f(x) ≠ 0 である。
f ' (R) < 0 の時、f(x) = f(c) + ∫ [c, x] dt f ' (t) > α (x < c) より lim[x→ -∞] f(x) ≠ 0 である。
前提条件と矛盾するので、0 ∈ f ' (R) である。 つまり ある β に関して f ' (β) = 0 となる。 f(x) = x^2 sin(1/x) if x ≠0, f(0) = 0とすればすべてのxで微分可能で
f’(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x)、f’(0) = 0。
f’(1/(2nπ)) = -1よりn→∞において1/(2nπ)→0であるがf’(1/(2nπ)→f’(0)=0にならない。 > f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ なら、
> f'(x) = 0 となる点 x が存在することを示せ。
f は単射であると仮定する。f は R 上で連続だから、f は狭義単調増加または狭義単調減少となることが
簡単に証明できる。どちらのケースでも、[ lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ ] という
仮定に矛盾することが証明できる。
よって、f は単射ではない。よって、ある a<b に対して f(a)=f(b) である。
このとき、閉区間 [a,b] 上でロルの定理を使えば、f '(x)=0 なる x の存在性が出る。 数値解析的な話題です。
「
R の区間 I 上で定義された関数 φ(x) に対して、次の2つの条件を満たす閉区間 J ⊂ I
と定数 0 < λ < 1 の存在を仮定する:
φ(x) ∈ J (x ∈ J).
| φ(x) - φ(x')| ≦ λ*|x - x'| (x, x' ∈ J).
このとき、 φ(x) は J において唯一の不動点を持つ。
」
「
不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか?
φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、
a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。
」
と書いてあるのですが、これはなぜでしょうか? >>515
んなもん成り立つはずない。
例えばJ=(-1,1)、λ* = 1/2として前程条件は
φ(x) = (x-2x^2)/10
とかで成立するけど初期値1/2とすれば1回目でいきなり不動点やん。 >>516
ちょっと言っている意味が分からないのですが、
>>515
の続きを含めて引用します:
「
不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか?
φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、
a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。
これを続けて、 x_0 = x_1 = … = x_N = a を得る。すなわち、初期値 x_0 を x_0 = a
と選んだ場合のみこのようなことが起こる。
」 さらに以下の記述があります:
「
関数 φ(x) には、唯一の不動点 a = φ(a) が存在するとし、 φ(x) は
a の近傍で C^1 級であるとする。関数 φ(x) は定数関数ではないとする。
このとき、次が成り立つ。
(i) …
(ii) |φ'(a)| > 1 ならば、いかなる初期値 x_0 に対しても、反復法 x_(k+1) = φ(x_k)
は a に収束し得ない。
」
x_0 = a とすれば、明らかに {x_n} は a に収束するように思います。
あと、「閉区間 J のコーシー列 {x_n} には極限 a が存在し、 a ∈ J を満たす。これを
J は完備であると言う。」という内容が書いてあります。
閉集合内の点列が収束すると仮定すると極限もその閉集合に属するという命題のこと
ですが、完備などと言いますか? 命題に関してはズタボロ
完備については間違ってはいない 収束しないの命題に関しては、不動点以外からスタート、という仮定が含まれてるのかもしれん >>513, >>514
> f は単射であると仮定する。f は R 上で連続だから、
> f は狭義単調増加または狭義単調減少となることが
> 簡単に証明できる。
f は単射かつ、ある a, b ∈ R に関して a < b ∧ f(a) < f(b) とする。
任意の c ≠ a, b に対して f は 3点 {a, b, c}上で狭義単調増加である事が示せる。
・a < b < c の場合: 単射より f(b) ≠ f(c)。 f(b) > f(c) とすると、
2区間 (a, b) , (b, c) において fの値 ( f(b) + max(f(a), f(c)) )/2 をとる点が存在する。 (中間値の定理)
よって f(a) < f(b) < f(c)
・ c < a < b の場合, a < c < b の場合 も同様
つまり f が相異なる3点の内2点上で狭義単調増加なら3点上でもそうである。
任意の 2点 x, y (x < y) をとる。
上の3点 {a, b, c} に関して、x と一致しない2点(α, γとする)、その2点の中で y と一致しない1点(αとする) が必ず存在する。
よって 3点上での狭義単調増加性を保ったまま点の入れ変え {a, b, c} → {α, x, γ} → {α, x, y} が可能で、 f(x) < f(y) を得る。
x < y ⇒ f(x) < f(y) つまり f はR上で狭義単調増加である。 >>521
齊藤宜一著『数値解析』(共立出版)
という本です。
>>522-523
>>518
は間違っていますか? 名前が間違っていました。訂正します:
>>521
齊藤宣一著『数値解析』(共立出版)
という本です。
>>522-523
>>518
は間違っていますか? 齊藤宣一著『数値解析』(共立出版)ですが、慣れないとちょっと読みにくいですね。
「
f(x) を区間 I で定義された C^1 級関数で方程式 f(x) = 0 には唯一の解 a ∈ I が
存在するとする。このとき、簡易ニュートン法(1.6)は、初期値 x_0 を a の近くからとり、
さらに f'(x_0) ≠ 0 である限り収束する。
」
簡易ニュートン法(1.6)とは、
x_(k+1) = x_k - f(x_k) / f'(x_0) (k = 0, 1, 2, …)
のことです。(分母が f'(x_0) で固定) >>529
の証明ですが、ちょっと変わっています。
「
証明
φ(x) = x - f(x)/f'(x_0) とおくと、 φ'(x_0) = 0 であるから、 |φ'(a)| = |φ'(a) - φ'(x_0)|
となる。 f'(x_0) ≠ 0 である限り、 φ'(x) は a の近傍で連続なので、 x_0 を a の十分近く
にとれば、 |φ'(a)| はいくらでも小さくなる。
」 >>530
の証明では、↓の(i)が使われています。
「
関数 φ(x) には、唯一の不動点 a = φ(a) が存在するとし、 φ(x) は
a の近傍で C^1 級であるとする。関数 φ(x) は定数関数ではないとする。
このとき、次が成り立つ。
(i) |φ'(a)| < 1 ならば、 a の十分近くに初期値 x_0 をとると、反復法 x_(k+1) = φ(x_k)
は a に収束する。
(ii) |φ'(a)| > 1 ならば、いかなる初期値 x_0 に対しても、反復法 x_(k+1) = φ(x_k)
は a に収束し得ない。
」 日本語の数値解析の入門書っていい本がないですよね。
齊藤さんの本はましだと期待したんですが、この本はどうなんでしょうか? >>530
x_0 を動かして φ(a) を評価するというのがちょっと変わっていると思いました。 >>515
>>516
あ、なるほど。
φ(1/2) = 0
φ(0) = 0
x_0 = 1/2
x_1 = 0
x_2 = 0
x_1 = φ(x_1)
x_1 = φ(x_0)
0 = x_1 ≠ x_0 = 1/2
ですね。 >>515-516
J = [-1, 1] とする。
|φ(x) - φ(x')|
=
|(x - 2*x^2) / 10 - (x' - 2*x'^2) / 10|
≦
(1/10) * |x - x'| + (1/5) * |x^2 - x'^2|
=
(1/10) * |x - x'| * (1 + 2 * |x + x'|)
≦
(1/10) * |x - x'| * (1 + 2 * 2)
=
(1/2) * |x - x'|
ですね。 >>527
うーん。いまその証明を見ていますが、どうも成り立つように思うのですが… >>515
↓は、わざわざ注意1.3として書いていることです。恥ずかしすぎますね。
「
不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか?
φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、
a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。
」 >>530
↓「|φ'(a)| はいくらでも小さくなる」と書いてありますが、 a は固定された点です。
表現がおかしいですよね。こういうところも分かりにくいと感じさせる一つの要因かも
知れません。
「
証明
φ(x) = x - f(x)/f'(x_0) とおくと、 φ'(x_0) = 0 であるから、 |φ'(a)| = |φ'(a) - φ'(x_0)|
となる。 f'(x_0) ≠ 0 である限り、 φ'(x) は a の近傍で連続なので、 x_0 を a の十分近く
にとれば、 |φ'(a)| はいくらでも小さくなる。
」 あ、今思ったんですが、
要は、 φ'(a) = 0 ということですよね。 まぁ今回のはそもそも分かりやすい分かりにくい以前に間違ってる。
しかし、反例提示されても理解するのにエライ時間くってるし、
今は今で成立してない命題証明しようと頑張ってるし、そもそも自分の数学力が足りてないんじゃないの? 離散数学のいい参考書ない??
講義受けてるけど教授が何言ってるのか(声が小さくて)きこえないしわからない >>545
わかんねえからわかりやすいの聞いてんだろアスペか?日本語学び直してきたら?
>>544
一番前ではないけど前から2,3番目に座ってるけど聞こえんのよね >>543
離散数学の本はタイトルは同じでも扱っている内容が大きく異なることが多いと思います。
その講義で扱われている内容はどんな内容なのでしょうか? >>547
離散集合 集合と対応 関数 同値関係 集合の分割 演算と代数 順序集合と束 様々な代数 ブール代数 ブール関数 周期関数とその表現 周期関数の級数展開 関数の変換とその応用
ぱっとシラバスからコピペしたらこんな感じでした 離散数学を数学とはみないのは日本に特有のことみたいですね。 >>550
なんかよく分かりませんが、
>周期関数とその表現 周期関数の級数展開 関数の変換とその応用
↑これって離散数学なんですか? フーリエ解析に分類されるよね普通
まあ応用数学一般として講義してるなら入れるかも 純粋数学寄りの離散数学だとほぼ組合せ論の話だしな
やや応用寄りでグラフ理論
離散フーリエとか差分スキームあたりは情報方面行った方がいいレベルの完全に応用 >>518
「
不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか?
φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、
a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。
これを続けて、 x_0 = x_1 = … = x_N = a を得る。すなわち、初期値 x_0 を x_0 = a
と選んだ場合のみこのようなことが起こる。
」
↑この誤った注意ですが、後ろのほうにも影響が及んでいます↓。
「
定理1.13(ニュートン法の収束の速さ)
定理1.6と同じ仮定の下で、ニュートン法(1.5)の反復列は、 x_0 ≠ a のとき、
lim [x_(k+1) - a] / [(x_k - a)^2] as k → ∞ = (1/2) * f’’(a) / f’(a)
を満たす。
」
齊藤さんは、 x_0 ≠ a のとき、 x_k ≠ a だと思っているわけなので、
x_k = a となる場合があることを全く心配していません。
ひどい本です。 ある関数y(x)、z(x)のロンスキー行列をD(y、z)とするとき、このD(y、z)が恒等的に0にならない場合にy(x)とz(x)が一次独立であることの証明を行え
また、次の組みの一次独立の判定を証明を含めて行え
(1)1、x、1+x
(2)1、cos2x、cos^2x
(3)1、sin2x、sin^2x
すいません、これをお願いします。
二つ目の問題の(1)はxに0を代入してa+c=0でa=-1、c=1でも成り立つので一次独立ではないといった感じで大丈夫ですか? >>560
(3)はsin2xとsin^2xのみでした >>560
その設問だとロンスキアンつかわなダメじゃね? 2問目は抜けていましたが、一次独立の定義(ある関数y(x)、z(x)と定数a、bごあるときに、ay(x)+bz(x)=0がa=b=0の場合のみ恒等的に成立するとき関数y(x)、z(x)は一次独立)を利用して証明です >>5630
勘違いしてたorz。
ロンスキアン使わなあかんのは一次独立であるを示すとき。
(1),(2)は一次従属だから好きなもん使って示せばいいと思う。 >>560
>二つ目の問題の(1)はxに0を代入してa+c=0でa=-1、c=1でも成り立つので一次独立ではないといった感じで大丈夫ですか?
像が1次従属だからといって元も1次従属にはならんがや y=x+定数の部分なんですが、なぜ定数になるのかがわかりません。任意関数ではないんですか?
https://i.imgur.com/dbDmjXj.jpg >>566
代入するとは多項式から実数への線形写像だよ >>571
ん?
f1(x),...,fn(x)が一次独立か従属か決定するために
a1f1(x)+...+anfn(x)=0
と置いた上で
xに何か値たとえば0を入れて
a1f1(0)+...+anfn(0)=0
が成立する非自明なa1,...,anがあったとしても
それで
a1f1(x)+...+anfn(x)=0
が成立するとは限らないってことだよ R^3 から R への関数を f(x, y, z) とします。 c を定数とします。
f(x, y, z) = c となるような R^3 の部分集合は一般に曲面になる
というのはどうしてですか? f にどんな条件が付くときに曲面に
なるのでしょうか?また曲面の定義自体が分かりません。 >>567
1と1+xだけで
a・1+c(1+x)=0
にx=0を代入して
a+c=0
になるからa=1,c=-1で成立するから1次従属? A を平面の点の空でない集合とし、 f(x, y) を A で定義された関数とする。
平面の点の集合 S に対し、最大値の定理の証明の中だけで使う記号
A ≦ S と A > S を定義する。 A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる
A の点 (s, t) で f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在するとき、 A ≦ S と
書く。 A の点 (x, y) で、 S に含まれる A の任意の点 (s, t) に対し
f(x, y) > f(s, t) となるものが存在するとき、 A > S と書く。記号 A ≦ S と
A > S の意味は関数 f(x, y) によって決まるものだが、記号からは省略した。
A が S の部分集合ならば A ≦ S である。 A は空集合ではないから、
A と S が交わらないならば A > S である。 A ≦ S ならば f(x, y) の最大値を
とる A の点で S に含まれるものがあるはずであり、 A > S ならば f(x, y) の
A での最大値をとる点は S には含まれない。
(1)と(2)のどちらが A ≦ S の定義でしょうか?
(1)
A ≦ S
⇔
∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t)
(2)
A ≦ S
⇔
∃(s, t) ∈ A ∩ S, ∀(x, y) ∈ A such that f(x, y) ≦ f(s, t) >>577
(1)だと解釈すると、
「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」
は成り立ちますが、
「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」
は成り立ちません。
(2)だと解釈すると
「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」
は成り立ちませんが、
「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」
は成り立ちます。 ほとんど自明のような気がするんですが、ちゃんと証明するとどうなるのかよくわからない問題です
K⊂M⊂Lを体の有限次拡大でNをKの代数閉包とするとき
1、任意のM→NのK準同型は、あるL→NのK準同型の制限として存在する
2、任意のL→NのK準同型は、あるM→NのK準同型の拡張として存在する
これってどうやって証明できますか? >>580
なんぼなんでも(2)は当たり前でしょ?g:L→NにたいしてそのMへの制限をfとすればgはfの拡張です。
(1)は[L:M]についての帰納法。[L:M]=1なら自明。[L:M]<nで成立として[L:M]=nとする。f:M→Nをとる。
h:M(a)→Nを以下のように定める。
a∈L\Mをとってp(x)∈M[x]をaの最小多項式とする。
fをpの各係数にヒットして得られる多項式をq(x)∈N[x]とする。
b∈Nをq(x)=0の解とすればu(a) ∈ M[a]に対しh(u(a))を
h(u(a)) := u(b)
で定めればhがfのM(a)への拡張になる。
これを帰納法の仮定でLまで拡張すればよい。 >>581
ありがとうございます。
確かに、2は本当に自明でした。
1はLをM(a1),M(a1,a2)と順々に生成元を増やしていくことで
証明可能ですね。 >>583
成立するけどそんなこと聞かれてないじゃん。 >>575
f がどんな関数でもいいとすると、多分収拾がつかなくなる。
とりあえず f は微分可能としておくと、
・f(x,y,z)=c となるような R^3 の部分集合が空でない。
・各点で、∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z の少なくとも一つが 0 でない。
が成り立てば、普通にイメージする「曲面」になると思う。(陰関数定理より)
曲面の定義についてはいろいろとややこしい話があって、俺もよく分かってない
>>578
それだと例えば1点集合も含まれてしまう 曲面とは第二可算公理を満たす二次元の多様体とする。
ウィキペディアに書いてありました 波の周波数のピークだけを求めたいときにフーリエ変換より軽いアルゴリズムってありますか? >>585
無限次元でも成立するということは
機能的にちょっとずつ示すということが本質にならないことを意味してる
それは楽なことではあるけれど本質をズバリ示す方法が別にあるはず >>587
その上の例のところに
>どんな形式的定義によってもこの多様さを包摂することはできないだろう。
と書いてある。
定義の所には
>以下では、曲面とは第二可算公理を満たす二次元の多様体とする。
のように「以下では」と断っているので、
これが唯一絶対の定義というわけではない。 >>592
よくわかってないのにどうしてわかるんですか? A を平面の点の空でない集合とし、 f(x, y) を A で定義された関数とする。
平面の点の集合 S に対し、最大値の定理の証明の中だけで使う記号
A ≦ S と A > S を定義する。 A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる
A の点 (s, t) で f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在するとき、 A ≦ S と
書く。 A の点 (x, y) で、 S に含まれる A の任意の点 (s, t) に対し
f(x, y) > f(s, t) となるものが存在するとき、 A > S と書く。記号 A ≦ S と
A > S の意味は関数 f(x, y) によって決まるものだが、記号からは省略した。
A が S の部分集合ならば A ≦ S である。 A は空集合ではないから、
A と S が交わらないならば A > S である。 A ≦ S ならば f(x, y) の最大値を
とる A の点で S に含まれるものがあるはずであり、 A > S ならば f(x, y) の
A での最大値をとる点は S には含まれない。
(1)と(2)のどちらが A ≦ S の定義でしょうか?
(1)
A ≦ S
⇔
∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t)
(2)
A ≦ S
⇔
∃(s, t) ∈ A ∩ S, ∀(x, y) ∈ A such that f(x, y) ≦ f(s, t)
(1)だと解釈すると、
「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」
は成り立ちますが、
「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」
は成り立ちません。
(2)だと解釈すると
「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」
は成り立ちませんが、
「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」
は成り立ちます。 >>591
ん?1と1+xが1次従属だと思ってるの? 「A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる A の点 (s, t) で
f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在する」の意味ですが、これ
を素直に解釈した(1)の意味らしいです。
「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」
は本当に成り立ちますか?
(1)
A ≦ S
⇔
∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t)
(2)
A ≦ S
⇔
∃(s, t) ∈ A ∩ S such that ∀(x, y) ∈ A, f(x, y) ≦ f(s, t) >>598
正誤表を見てみてもこの件については書いてありませんでした。 >>596
前後の文脈も仮定もいまいちわからんがsの仮定の文章だけから判断するなら(1)でしかありえない
最大値云々のところは文脈がわからんから間違ってるともなんとも ようするに抜き出し方が不十分なのでよくわからん
(2)はなさそうだろうということだけは言えるが >>598
A={ (x,0)|0<x<2 }
S={ (x,0)|0<x<1 }
f:A → R, f(x,y)=1/x
とすると、(1)は成り立つが、max f(A) は存在しない。
特に、f(x,y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものはない。
ただし、max f(A) が存在するケースでは、f(x,y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものが存在する。
文脈から推測するに、max f(A) が必ず存在するようなケースしか考えてないのでは? >>601-602
ありがとうございます。
抜き出し方が不十分ということはないと思います。
最大値の定理の証明の前の準備のような文章なので、もしかしたら、
max f(A) が存在するケースを勝手に考えているという可能性はあり
ます。 >>596
この本の妙なところですが、まず平面の開集合 U の点 a での連続性を定義していて、
その後に、一般の平面の点の集合 A の点 a での連続性が定義されていたりします。
妙に神経質なんです。
A - B という集合の演算についても B が A の部分集合のときにしか定義していません。
(意図が分かりません。) >>605
単なる記号の定義で、成り立ちますかもクソもない気がするのですが、何が問題なんですか? >>597
1とxと1+xは一次従属じゃないんですか? x"=-ω^2cosx , ω=√(g/l)を変形して
(x')^2-2ω^2cosx=2Eを表せ
Eは系のエネルギー
分かりません、教えてください 数学としてみるなら、Eがエネルギーなのかなんなのかよくわかんないだろうけども
単に示すだけなあr、x'' = ... の式に、x'をかけていわゆるエネルギー積分してしまえば下の式になる。
Eは単なる積分定数としての扱いになるけど。 >>614
よくみたら確かにならんわ
問題確認して物理板いけ>>612 >>618
1次従属の判定法が間違いだって言ってるんだがや >>621
すいません、どこが間違ってるのでしょうか… >>622
1と1+xでその判定法使えないって言ってるんだがや >>622
必要条件を一つ出しただけで解き終わったと思ってる間抜けはよくいるから安心して >>622
K:問題での係数体
多項式x,1+xの変数xはfixed
a,b,c∈Kが体K上一次独立⇔a+bx+c(1+x)=0⇔a+b=b+c=0⇔a=-b=c.
a=-b=c≠0、a+c=b+c=0のときもa+bx+c(1+x)=0.
∴a,b,cはK上一次従属 >>622
a=-b=c=0⇔a+b=b+c=b
だから、
>>626の「a=-b=c≠0、a+c=b+c=0」はb=0(a=b=c=0)でいいや 集合論に関する問題です。
R := 実数集合 (連続体濃度)
A := 有限長記号列で表現可能な全ての実数の集合 (可付番濃度)
α := 集合 R - A から選んだ1要素 (選択公理を仮定)
とします。
α を定義する記号列は有限長なので、α は A に含まれます。
しかし α は A - B の要素なので、 α は A に含まれません。(矛盾)
これは何が問題なのでしょうか?
Aがあれで定義できているのか怪しい気がするのですが、
公理的集合論の立場から具体的に指摘してもらえると助かります。 >a+bx+c(1+x)=0⇔a+b=b+c=0
? >>622
本当に失礼。>>626の
>a+bx+c(1+x)=0⇔a+b=b+c=0⇔a=-b=c
は
>a+bx+c(1+x)=0⇔a+c=b+c=0⇔a=b=-c
「a=-b=c≠0、a+c=b+c=0」は「a=b=-c≠0、a+c=b+c=0」 >>633
αの値の定義ですか?
選択関数( 選択公理下で存在が保証されている )を適当に固定して ”sel” とでもしておきます。
α := sel( R - A )
これで一意に定まると言えるはずですが、矛盾は解消されません。
後付けですが A の定義について補足します。
有限長記号列で表現可能な実数とは
現行のUnicode記号(有限種類)を有限個並べて数学的に意味をなし ”一意に定まる” 実数
という事にします。 なので A が可付番濃度なのは明らか。(Aが定義できているのなら...)
また π, e , lim, Σ, ∫ , sin, cos 等の特定記号列は通常の意味を持つものとします。
◯例. lim[ξ→e] ∫[0, ξ] sin(t^π) dt
×例. m9(^Д^) (数学的に意味をなさない)
×例. 方程式 x^2 - 2 = 0 の解 (一意に定まらない) >>634
>数学的に意味をなし ”一意に定まる”
ここがね >>633
>>635
>>636
↑これが数学板の実力です
専門板なのに異常にレベルが低い
せいぜい数学の少しできる高校生レベル
>>629
>A := 有限長記号列で表現可能な全ての実数の集合 (可付番濃度)
は集合ではありません
このような命題は、対象内の言語で表現不可能で、メタ視点から俯瞰していることに相当しているからです こういうパラドックスての本質てのは自己言及なわけです
自分のことは自分ではわからない、ということですね 集合とは何か定義し、集合ではないことを示せますか? 集合とは、特定の構成方法(ZFC)によって構成されるクラスであって、その方法ではAは構成できません >>637
>このような命題は、対象内の言語で表現不可能で、メタ視点から俯瞰していることに相当しているからです
そういうことだよ
よく知ってんじゃんw 素直にわかりませんでした、と認めたらどうですか?恥ずかしいですね >>635, >>637, >>640
ありがとうございます。
言わんとする事の雰囲気は分かるのですが、自分はちゃんと理解する域に達していないようです。
こういうのってどういう本読めばいいんでしょうかね。 定義はウィキペディアに載ってますね
それを見ると明らかですね >>622
K:問題での係数体、多項式x,1+xの変数xはfixed
多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、
{1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となり、a,b,c∈Kについて
a+bx+c(1+x)=0⇔a+c=b+c=0⇔a=b=-cなので、a=b=c=0となるが、
c≠0、a+c=b+c=0のときa,b≠0でa+bx+c(1+x)=0は成立して定義に反し矛盾
∴1,x,1+x∈K[x]はK上一次従属 (1)+(x)=1+xだから独立ですよ
他の和で表せちゃったんですから ヘッシアンが0の時に極値を取ることはどうやって証明するんですか? ヘッシアンが0であれば極値をもつかどうかは分からない
そして実際に極値をもつかどうか判別する方法は問題ごとに違う
なので、具体的な問題を提示してくれないと答えられない 今まで見たのはヘッシアン0で極値を取らないことを示す問題ばかりでした
関数によっては極値を取るものもあると思うのですが、それを証明する方法はあるのでしょうか >>647
>多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、
>{1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となり、
ここ詳しく説明してね >>657
例えばf(x,y)=x^2+y^4上で(x,y)=(0,0)のヘッシアンは0になる
点(0,0)の近傍(x,y)を任意にとればf(x,y)>0を満たすので(0,0)で極小値0をとる >>658
Fを環とする。環F上に定義された二項演算としての加法、乗法をそれぞれ+、・とする。1をFの単元とする。
Gを任意の可換群とする。可換群はその上に定義された加法の二項演算について可換と見なして考えることが多い。
そこで、+と区別するため、群G上に定義された二項演算を +' で表すことにする。0をGの単位元とする。
すると、Fの加法群Gへの、Gの加法 +' に関する左からの作用 F×G→G (a,f)→a+'f が定まる。
同様に、FのGへの、Gの加法 +' に関する右からの作用 G×F→G (f,a)→f+'a も定まる。
Fの加法群Gへの、Fの乗法・に関する左からの作用 F×G→G (a,f)→a・f=af も定まるから、加法群Gは環Fの左F-加群。
同様に、FのGへの、Fの乗法・に関する右からの作用 G×F→G (f,a)→f・a=fa も定まるから、GはFのF-右加群。
よって、加法群Gは環FのF-両側加群。Gは任意なので、G=F として、
Gに定義された加法の二項演算 +' とFに定義された加法の二項演算+とを同じ二項演算の加法と見なせば、環FはFのF-両側加群となる。
単位的環はその上に定義された加法と乗法の二項演算について環なので、単位的環Fの加法の二項演算を+、乗法の二項演算を・とすれば、
Fは加法の二項演算+、乗法の二項演算・について、F上のF-両側加群となる。
Fの乗法の二項演算・が可換のときは、単位的環Fは可換環となって、同様に可換環Fは、
Fに定められた加法の二項演算+、乗法の二項演算・について、FのF-両側加群となる。
多項式環の定義から、可換環の点を係数とする多項式全体の空間F[x]は可換環をなし、
多項式環F[x]のF-係数多項式の変数xは固定されている。
このとき、もしF-係数多項式1,x,1+xが可換環F上一次独立ならば、{1,x,1+x}はF-係数の多項式環F[x]の基底となる。
体Kはその上に定義された加法と乗法の各二項演算が、環Fに定義された加法と乗法の各二項演算+、・のときは、環Fと見なせるので、
上の議論でのF上をF=Kとすれば、多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、
1,x,1+x{∈K[x]で、1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となることがいえる。 >>658
>>664の一番下の「1,x,1+x{∈K[x]で、1,x,1+x}」は「1,x,1+x∈K[x]で、{1,x,1+x}」 1+x=1+x
これで終わることに長文垂れ流す人の心理を答えよ、という問題がわかりません また、1,x,1+xの線形結合によりx^2を構成せよ、という問題もわかりません Kを体とすると、{1,x,x^2}はK-係数の多項式環K[x]の基底だから、
1,x,1+xのKの点による線形結合では表せない >>664
長々と意味のない説明もどきをありがとうございます
0点ですね >>669
基底なんだからどんなものでも表せるはずですよね
はやく1とxと1+xでx^2を表してくださいね >>671
そもそも、そのような類の詳細は話はテキストに書いてある
テキストへ Let's go.
>>672
少なくともKが標数0の体である限り、そんなこと出来ない >>673
>>664
>このとき、もしF-係数多項式1,x,1+xが可換環F上一次独立ならば、{1,x,1+x}はF-係数の多項式環F[x]の基底となる。
あなたが基底だって言ったんですよ >>674
可換環FのF-係数多項式やその多項式環F[x]の構成などの話まで
ここに書く気はしない。それで話は終わる。 >>675
あなたが1とxと1+xでx^2つくればいいだけの話ですね
てか、環論よくわかりませんが、F係数って、多項式を係数としたら1が基底になるみたいな話なんですか?
係数はKですよね >>673
もちろん1,x,1+xが係数環上で一次従属(=一次独立でない)ことは知っていますよ
(そんな当たり前なことを一々書いてある本は見たことないですが)
環K[x]の生成系ではなく基底だと言ったんですよね? >>676
可換環Fの元を係数に持つ1変数の多項式をF-係数の1変数多項式という。
有理関数体K'(y)の係数を持つK-係数の2変数xy多項式を考えて
多項式環が環K[y,x]だと>>647の
>c≠0、a+c=b+c=0のときa,b≠0でa+bx+c(1+x)=0は成立(a,b,c∈K(y))
がヒントになる。xに着目するのではなく、yに着目してyを不定元として考える。 >>678
1とxと1+xは一般には基底にならないということで良いですか? >>677
Kが体のとき、多項式環K[x]はK上の線型空間。 >>680
1とxと1+xはその線形空間の基底になってるんですか? >>679
大抵の場合はそうだが、体Kの有理関数体K(y)は超越拡大体なので、>>678のような考え方は出来る。 >>682
「そう」の指し示すことは「(一般には)基底にならない」ということでいいですか?
それでは、あなたの発言を見てみましょうか
>多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、
>{1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となり、 ところで、>>678の
>有理関数体K'(y)の係数を持つK-係数の2変数xy多項式を考えて
はどういう意味でしょうか?結局、係数環(体)はKですか?それともK(y)ですか??? >>686
いまは線形代数の話ではないのですか?
私はずっと線形代数の話のつもりでしたが……そもそも一次独立性と基底についての疑問でしたよね?
>>688
結局、係数はKなのかK(y)なのかどちらでしょうか? しかし何でこんなアホな紛糾しトルンか分からんな
1,x,1+xはどんな体上の多項式と考えても1次従属
ただ
適当な値(たとえばx=0)を代入するという線形写像の像が1次従属だと示しても無駄
像が1次従属でも元が1次従属とは限らないからな
でしまいだがや >>693
「f(E)={f(x)|x∈E}が一次従属⇒Eが一次従属」が成り立つとしたら、線形写像として零写像を考えれば全ての部分集合E⊂Vが一次従属になってしまうわな
具体例考えれば明らかにおかしいのに、なんでこんな疑問を持つのか謎すぎる >>689
>>677で
>もちろん1,x,1+xが係数環上で一次従属(=一次独立でない)ことは知っていますよ
>(そんな当たり前なことを一々書いてある本は見たことないですが)
と書いたようだが、そういった可換環FのF-係数多項式やその多項式環F[x]の構成などに関わる話は、
現代数学概説Tや岩波講座基礎数学の環と加群に書いてある。どっちも、ページ数は多い。
現代数学概説@の代数系の話ははじめ群、環と体などの話からはじまり、後半の方でやっと線型代数の話になる。
環と加群の方は群を除いた加群や環から体にかけての話についてはとても詳しいが、
線型代数だと線型空間やJordan標準形と単因子論などからなる同講座の線型代数シリーズの方が詳しい。
後者のシリーズは如何に併読するかが問題だが、そこら辺は読者によって異なると思う。
今だと、それらのような本に沿った線形代数はやってないだろうから、食い違いが起きたんだと思う。
>>687の係数はK(y)の元。 >>697
代数の一般論は、係数体が実数体Rや複素数体Cなどのような標数0の位相体になると、
必ずしもその一般論が適用出来るとは限らなくなることがある。 一般論としては、1,x,1+xは基底となるとは限らない、ですね
具体的な場合は成り立たないのかもしれません
で?て感じです >>696
「本に書いてある」というのは基底であることの証明ではなく多項式環の構成でしたか
それなら>>677の括弧は取り下げますね
で、その構成から1,x,1+xがどう(一次独立であるとした上で)K[x]の基底になるのか説明をお願いします
>>687はつまりK(y)[x,y]ということですか
()内と[]内のyは同じものですよね?それならK(y)[x,y]=K(y)[x]となり体K(y)係数の一変数多項式環になりますけど >>699
係数体KがRやCだと、Kは完備な位相体で1,x,1+xは関数でもあるので、本来は多項式環だったK[x]を位相線形空間として、
その位相線形空間K[x]上で考える必要性がある。複数あるK[x]のノルムの定義法の中から、
ノルムを選んで定めることなども問題になる。一般にはK[x]のノルムの選び方によって結果は変わる。
そこら辺は自分で。 >>701
>その位相線形空間K[x]上で考える必要性がある
?ないよ >>700
>1,x,1+xがどう(一次独立であるとした上で)K[x]の基底
K[x]の基底は { x^n | n∈N\{0} } だった
>()内と[]内のyは同じものですよね?それならK(y)[x,y]=K(y)[x]となり体K(y)係数の一変数多項式環になりますけど
記法間違えた。K[x,y]はK(y)[x]の間違い >>702
はじめ問題にはロンスキアンが出ていたから、係数体はRかCで、1,x,1+xは関数の筈
あとは問題の創作をするかどうか 単体集合から係数±1をうまくつけてd^2=0になる微分(つまり鎖複体)を作れたように
係数に1のnべき根をうまくつけるとd^n=0になるようなものが作れるって話聞きました
詳しくわかる人いたら教えてください マセマの微分積分という本に、下のように書いてありました。
z=f(x,y)とおく
∂z/∂x=fx(x,y)+fy(x,y)・dy/dx
この式は正しいのでしょうか?
左辺はz=f(x,y)をxで偏微分したもの
右辺の第1項もf(x,y)をxで偏微分したものですよね。
でしたら左辺と等しいのは右辺の第1項のみだと思うのですが・・・ >>706
左辺はf(x,y)をxで偏微分したもの
右辺第一項はfという関数の第一変数に関する導関数にx,yを代入したもの
似ているようで意味は異なる 俺が最初に使った教科書にも、その定理は偏微分で書いてあった気がするな
x, y以外の変数の可能性も考えてそう書いているのだと思ってた ふつうの人は、そこは dz/dx のつもりなんだろうなと割り切って読み進む。
いちいちそんなとこで立ち止まらない。
誤植や著者のちょっとした勘違いなんて、この先いくらでも出てくるからね。 いわゆるガロア拡大の推進定理についての質問なんですが
ガロア群Gal((M・N)/ N )をMに制限する写像π
π:Gal((M・N)/ N )→ Gal( M/(N∩M))
が全射になることの証明がわかりません。
Gal((M・N)/ (N∩M) )→ Gal( M/(N∩M))
が全射であることは言えそうですが
Gal((M・N)/ N )→ Gal((M・N)/ (N∩M) )
は全射ではなさそうなので詰んでいます。どなたがご教授願います・・。 >>714
なんか頭のおかしいことをいろいろ書いてましたすみません
そもそもガロア拡大かどうかわからないものについて
ガロア群を考えているような感じになってしまいましたね・・。
π:Gal((M・N)/ N )→ Gal( M/(N∩M))
これが全射かどうか知りたいだけです。他は虫してください・・。 >>706です。
答えてくださった方ありがとうございます。
誤植と考えることにします。 >>715
M/(M∩N)とかMN/Nとかになんの仮定もないと、そもそもMへの制限の写像がwell definedじゃないやん。
つまりMNの自己同型でNの元を固定するσをとって来たときσ(M)⊂Mが成立するとは限らない。
M/(M∩N)がガロア拡大とかなんとかそんな仮定が抜けてるのでわ? dF=∂f/∂x*dx +∂f/∂y*dy
これがわかればわかる https://imgur.com/ByTQxCK.jpg
https://imgur.com/cvoii5m.jpg
↑物理で出てくる面積素片 dS = r * dr * dφ の極座標表示のグラフを描きました。
なんか、物理の本の図では、全然、 dr、 dφ が微小じゃないんですよね。
だから本当に長方形を近似しているのだろうか?と思ってしまいますよね。
だから確かめてみました。 >>703
>K[x]の基底は { x^n | n∈N\{0} } だった
なぜわざわざx^0=1を除外してしまったのか >>721
それか。ここは代数が出来るなら、その位自分で訂正出来るだろうと思って、
面倒臭くて敢えて訂正しなかった。0∈Nとする流儀とNを正整数全体とする流儀とがあって、
単純に { x^n | n∈N } と書くと人によって、解釈に相違が生じかねない。
正確にはK[x]の基底は { x^n | n∈N }∪{1} になる。
後、元の問題では変数xの定義域がRかCかも不明だし、
三角関数の一時独立性も判定しなきゃいけないから、やはり単純に代数「だけ」の問題とはいえない。 >>721
「三角関数の一時独立性」は「三角関数の一次独立性」ね。 >>714
できたかも…
M∩N → Nは M→MNへ拡張される。
(∵) [M:M∩N]=1なら明らか。[M:M∩N]<kで成立するとして[M:M∩N]=kとする。
M∩Nを含む真の部分体M'とm∈MをM=M'[m]となるようにとる。
仮定から拡張 f:M'→M'N がとれる。
(M'N/M')の代数閉包をL、包含写像M'⊂LをgとしてgfはL→Lに拡張される。
gf^(-1)(m)とmはM'上の共役元であるからh∈Gal(M'N/M')をh(m) = (gf^(-1)(m)) となるように選べる。
このときk=gfhが求める拡張である。
実際kをM'に制限すれば拡張であり、
k(m)=gfh(m)=gf(gf^(-1)(m)) = m
であるからkをM'[m]に制限すればその像はM'N[m]に含まれる。 >>721
Nの流儀による解釈の相違を避けるため、一応書くと
正確にはK[x]の基底は { x^n | n∈N\{0} }∪{1} になる。 >>722
それなら{x^n|n∈N∪{0}}と書けばいいのでは
まあそこはどうでもいいか
位相が入ったらK[x]のK基底が変わるというのが間違い
もしかしてV*=Hom(V,K)の双対基底とかの話と混同してない? >>726
そもそも、元の問題は>>560だな。
一次独立性の判定は、(1)だけなら、普通に代数で出来る。 フーリエ変換の勉強を本で始めました
オシロスコープでとったデータを変換する元の式にしてそれをフーリエ変換する流れはわかったのですが
オシロスコープの自然の波を→変換する元の式にする そこをどうやるのかが全く書いていませんでした
この元の式への変換は一体どうやるのでしょうか?
説明や参考となる検索キーワードをいただければありがたいです 数学的にいろいろな式の波に当てはめてみてそれで近いものを探すとか想定してみたんですが
違うんですかね
これは電気・電子板の問題でしょうか、あちらで聞いてみます どうして環の剰余は部分環ではなくイデアルで取るんですか?
群の剰余は部分群で取ってると思うんですが。。。 環Rの加法部分群Aによる剰余群に
乗法を (x+A)(y+A) := (xy)+A で定義する
Aがイデアルならこれが well defind になり、R/Aは環となる 加法部分群による剰余類が環になる条件を考えると、自然にイデアルになったはず
歴史的には素因数分解の拡張あたりからだから、加法群なのは自然な発想なのかもしれん It is often useful to parametrize a curve with respect to arc length
because arc length arises naturally from the shape of the curve and
does not depend on a particular coordinate system.
↑特定の座標系に依存しないってどういうことですか? 弧の長さをパラメータにしなかった場合に、曲線の形状が座標系に
依存するようになる例を教えてください。 曲線のパラメータとして狐長パラメータをとると、しばしば便利です、なぜならば狐長とは自然に曲線の形から得られるものであり、狐長は特定の座標に依存しないからです
弧の長さをパラメータにしなかった場合に、曲線の形状が座標系に依存する、なんてどこにも書いてないですよ >>739
ありがとうございます。
弧の長さが特定の座標系に依存しないとはどういうことでしょうか? 日本語がわからないということですか?
何語ならわかりますか? 単位ベクトル i, j, k の大きさを2倍にしたら、曲線の長さは 1/2 になるのではないでしょうか? 100cmを1mに置き換えたら長さ1/100になるんじゃないですか?
と聞いているのと同じですね 弧の長さが特定の座標系に依存しない
から、何がうれしいんですか? >>744
パラメータとして弧長をとるのが一番自然だということです 座標系に依存しない
というのが分かりません。
依存する例と依存しない例をそれぞれ挙げてください。 >>747
なんとなくです
>>748
座標値は座標に依存します
100cmと1mなら、100と1は違う値ですね ちなみに、
>>737
は、 James Stewartの『Calculus第7版』からの引用です。 例えば、3次元空間内の曲線 r(t) を考えます。
t は時間で、 r(t) は時刻 t での質点の位置とします。
t よりも弧長 s のほうが自然なパラメータなのでしょうか?
また、時間は特定の座標系に依存するのでしょうか? It is often useful to parametrize a curve with respect to arc length
because arc length arises naturally from the shape of the curve and
does not depend on a particular coordinate system.
座標系に依存しないとはどういうことでしょうか?
例えば、3次元空間内の曲線 r(t) を考えます。
t は時間で、 r(t) は時刻 t での質点の位置とします。
t よりも弧長 s のほうが自然なパラメータなのでしょうか?
また、時間は特定の座標系に依存するのでしょうか? >>753
それ数学の本ですよね
だから、まず曲線があってそれに対して議論をしてるんだと思いますよ
物理なら時間の方がいいでしょうね
また、自然かどうかなんて曖昧な議論ですから、いちいち気にすることないと思います
そういう記述は、普通はどうでもいい部分として読み飛ばすところだと思いますよ
へーそうかもね、くらいで終わりでいいんです >>754
ありがとうございます。
とりあえず、この件は忘れて先に進もうと思います。 ゲージ普遍大切だけどね。リーマン計量の話まで読み進めないとわかんないよ。とりあえずおいとけ。 今の段階で背伸びして難しい言葉使ってちゃだめだ。
わかったフリがクセになるよ。
とりあえずリーマン幾何の教科書読みこなせる段階まではそんなもなのかなぁと思ってればよろしい。 >>753
例えば世界が単位円で、あなたは単位円上に生きる質点 r=(cos(θ), sin(θ)) (-π/2 ≤ θ < π/2) であるとする。
世界は重力で歪んでいて、あなたの位置 r=r(t) は時刻 t に対して t=tan(θ) となる位置であるとすると、
あなたは点 (-1, 0) に永遠に到達することはできず、おそらく自分では数直線 (-∞, ∞) 上にいるように錯覚するだろう
なお、ラジアンで測った上記の θ は ((1, 0) を基点とした) 弧長パラメータになっている
∵ θ = ∫_[0,θ] ((cos(θ)')^2 + (sin(θ)')^2))^(1/2) dθ
= ∫_[0,θ] ((cos(arctan(t))')^2 + (sin(arctan(t))')^2))^(1/2) (d(arctan(t))/dt) dt
弧長 s が座標系に依存しないとは、どの二つの座標系 (x(t), y(t)), (x(τ), y(τ)) に対しても
ds = (dx(t)^2 +dy(t)^2)^(1/2) dt = (dx(τ)^2+dy(τ)^2)^(1/2) dτ
(微分形で書いたが 's=' の形にしたければ(定)積分すればいい)
が成り立つという意味で、どんな座標系からでも必ず同じものが計算できるという利点がある
数学的には、図形の「表し方」に依存せずに「図形自体に対して」一意に決まる値という意味で
弧長パラメータ「自然」あるいは「本質的」であると形容する >世界は重力で歪んでいて、
あなたは自分では常に一定の速さで動いていると認識しているが、世界は重力で歪んでいて、実際の
に修正 >>758
定義が確認できるのならファイバーバンドルの言葉に翻訳した方がふれんどりーだろ。
定義が確認できてるかどうかが問題だけど。 いうても「何がうれしいんだ」とcoordinate-freeな概念がどうでもいいものかのように感じてる間は何言っても仕方がないのではと 物理学と数学の双方の概念での平行線の議論で議論が平行線にならないようにいろいろ微修正していくもんなんだよ。 和田純夫著『力学のききどころ』を読んでいます。
↓の赤い線で囲った式は正しいのでしょうか?
https://imgur.com/orofdlg.jpg
仮定により、 f は非保存力なので、 x のみの関数としては表わされません。
ですので、置換積分を↑の式のようには実行できないのではないでしょうか? それは線積分の記号です
線積分の定義は
∫f(x,t)dx=∫f(x(t),t)dx/dt dtです
ウィキペディアに書いてありました >>776
通常は一意分解環の定義には整域も入れる希ガス。
でもこればっかりは趣味の問題もあるから一概にはいえないよ。
その文章書いた人の流儀に合わせるしかない。 ありがとうございます
では一意分解環に整域を仮定しない場合、一意分解環であるが整域でない例を教えてください 知らない。私は一意分解環の定義に整域入れる派なので入れない派のひとがどうするか知らない。
HartshornのAlgebraic GeometryのWeil DivisorとCartier Divisorの一対一対応のとこで一回見かけたっきり見たことない。 いや、訂正。あれは別の話だった。多分見たことないかもしれないなぁ。
すくなくとも英文でUFDと略すことが多いけどこのDは整域(Domain)のDだからなぁ。
あるとしたら日本語で一意分解整域ではなく一意分解環とかいてある場合。
すくなくとも永田先生の可換体論では一意分解整域といちいち整域つけてた希ガス。 日本民法の父、穂積陳重の『法窓夜話』を現代語に完全改訳
法律エッセイの古典的名著が短編×100話で気軽に読めます
リライト本です。「なか見検索」で立ち読み頂けます。
法窓夜話私家版 (原版初版1916.1.25)
https://www.amazon.co.jp/dp/B07BT473FB
(続)法窓夜話私家版 (原版初版1936.3.10)
https://www.amazon.co.jp/dp/B07BP9CP5V
b 整域でない環の既約元を定義する際に零因子を除外しないならZ/4Z。
除外する場合は思いつかない。 すまん
大学レベルかわからんが例えば「169はなんの二乗か?」と聞かれてそれを算出する公式はあるんですか?
4はなんの二乗か?16はなんの二乗か?なら暗算で分かるが数字が大きくなると分からないので >>786
すまん
方式の見方が分からんorz
そんなでかい数字でなくてせいぜい三桁程度の数字をなんの二乗か見つける簡単な方法はないだろうか? >>787
32^2 まで覚えりゃおしまい
たった32個だ >>787
表を作っておけばいい話だろ、少しは頭を使えよ >>785
大学レベルの算数とかあるんか?教育学部にはありそうかw 置換積分(t=√x)と複素積分(フレネル積分)で最後 π/2 になるのは理解できました。
途中の級数展開(Σ〜, Π〜)の導出方法を教えてください。 足し算のほうはarcsin xの超幾何関数表示、掛け算の方はウォリスの公式ですね。 >>794
ありがとうございます。単に最終的な値が同じなだけみたいですね。
それぞれの間に自然な式変形はなさげ。 >>796
そういうの全部忘れた
元から理数系じゃない上に学生さんじゃないので >>797
そもそもスレチ、暇だから相手しただけ、スレタイ読めるよな 今、微分方程式の初歩的な本の勉強してるとこなんだけど、シュワルツ微分なるものがあらわれました。
なにやら便利らしいんだけど、シュワルツ微分はいったいどこで活躍してくれるものなのか教えていただけませんか?
今読んでる本ではもう出てこないようですが、力学系に進んでいくとあらわれてくるものなのでしょうか。
ご存知の方おられましたらよろしくお願いします。 >>800
線形常微分方程式を変数変換で簡単にする時に現れるみたいだね
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/talk/120512.pdf すみません、Z/5Zはなんと読むのが一般的ですか?Zover5Zでしょうか?
また、正規部分群の右三角→などは、なんて読みますか? 新井仁之著『微分積分の世界』を読んでいます。
なぜ、↓のような定義なのでしょうか?
同値ですけど、例えば、 t = a で右から連続、右から微分可能であるとすればいいだけではないでしょうか?
何か↓の定義で利点はあるのでしょうか?
U を R^3 とする。
α : I = [a, b] → U
とする。
I ⊂ (c, d) なるある開区間 (c, d) と、 (c, d) から R^3 へのある C^k 級写像 β(t) で、
α(t) = β(t) for any t ∈ [a, b] を満たすものが存在するとき、 α を I から U への
C^k 級写像という。 訂正します:
新井仁之著『微分積分の世界』を読んでいます。
なぜ、↓のような定義なのでしょうか?
同値ですけど、例えば、 t = a で右から連続、右から微分可能であるとすればいいだけではないでしょうか?
何か↓の定義で利点はあるのでしょうか?
U ⊂ R^3 とする。
α : I = [a, b] → U
とする。
I ⊂ (c, d) なるある開区間 (c, d) と、 (c, d) から R^3 へのある C^k 級写像 β(t) で、
α(t) = β(t) for any t ∈ [a, b] を満たすものが存在するとき、 α を I から U への
C^k 級写像という。 >>803
the integers modulo 5, a normal subgroup of, とかでいいんじゃねーの?
というか、そんくらいの段になって未だに「記号」を読もうとするのは滑稽
関係性とか意味にしたがって訓読するほうがまとも >>802
ありがとうございます
読んでもとんとわかりませんが・・微分方程式を分類していく真っ最中に現れてくる
複素関数的な何かみたいですね。
(全然わかってません)
また必要な時に勉強することにします…
ありがとうございました >>805
定義域が区間の場合は簡単だけど、定義域もR^nの閉集合だったりするとより広い領域で定義された関数の一部、の方がシンプルでいい
より汎用性の高い定義に合わせてるのかと >>808
ありがとうございました。
定義域が R^nの 閉集合の場合に、右から連続のような定義はシンプルではないですか?
閉集合の場合、孤立点で微分可能とかってどうするんですかね? R^1では左右の二つしか近づき方が無いのに対しR^2の時点で既に無限に近づき方があるのにそんなのがシンプルと思える頭がうらやましいね y"-y'-2y=sinx
この特殊解の求め方お願いします
(cosx-3sinx)/10になります >>815
1) 正面から定数変化法で一気に一般解まで求める。
2) とりあえず、三角関数だし y0=asinx + bcosx くらいで試してみる。
他にも多分色々ある 複素数成分の正方行列Aについて,
「det(A) = 0ならばAの固有値は0のみ」
って言えますか? A={x∈R^2| 1≦‖x‖≦2}とB={x∈R^2| 0<‖x‖<1}って位相同型になりますか?証明も合わせてしていただけると助かります。 小寺平治著『明快演習 線形代数』の147頁にある問題4.2
A, Bがn次正方行列であるとき,次の行列の固有多項式は一致することを示せ.
(1) A, Aの転置
(2) A, B^(-1) A B
(3) AB, BA
この問題なんですけど,(1), (2)は巻末解答を見なくてもできたんですが,(3)が巻末解答でもちょっと分からないので教えてください.
Bが正則なら(2)よりOKなのはいいんですが,Bが正則でないときについて,
「十分大な任意のtに対して|tE - B| ≠ 0.」(以下略)
とあるんですが,この「 」内のことがなぜなのか分かりません. |tE-B|=0となるtなんてn個しかねーんだからその最大のやつよりtがでかけりゃ≠0よ >>828, >>829
あー
なぁんだ、それだけのことですね
分かりました ツォルンの補題について質問です。
ZFのみの場合、ツォルンの補題はどのようにして示せなくなるのかが気になっています。
前提条件→結論の部分が変わるのか、それとも前提条件の部分が変わるのか、という点です。
まず前提条件→結論の部分について、
ある与えられた順序集合XにXの極大元が存在するかどうかは選択公理のある無しで変わるのでしょうか?
私はこれは選択公理のあるなしで変わらないと考えています。
一方で、ある順序集合Xがツォルンの補題の前提条件の「Xの任意の全順序部分集合がXの中に上界を持つ」を満たすかどうかは
選択公理のあるなしで変わり(選択公理があるとより強い条件になる)、
選択公理のない場合はこの前提条件を満たす順序集合の範囲がより広くなるので、
ツォルンの補題が成り立つと言えなくなるのかなと考えています。
この考えは合っているでしょうか?
よろしくおねがいします。 >>833
>ZFのみの場合、ツォルンの補題はどのようにして示せなくなるのかが気になっています。
示せなくなるっていうか
示せないでしょ
ZF上CとZornは同値 >>819すらわからない低レベルなんですから引っ込んでてくださいねー >>833
ググってきましたが、ZFとCはそれぞれ独立で、CとZornの補題は同値です
すなわち、ZFとZornの補題は独立なので、
>ツォルンの補題が成り立つと言えなくなる
というわけではないようです
ZFとZornの補題が独立である、ということは、ZFのあるモデルM,Nが存在して、MではZornの補題が成り立つけど、NではZornの補題が成り立たないようにできる、ということを意味しています
つまり、ZFの上では単にZornの補題を証明できないだけで、Zornの補題が成立するかどうかとは別問題ということです
これ以上はもっと頭のいい人に聞いてくださあ ZornがACと(ZF上)同値なことは学部1年でも知ってることですけどねー
ググらないとわからないんですね(笑) >>835
ありがとうございます、示せないこと自体は理解しているつもりです
その上で気になっているのは、
ツォルンの補題は「前提条件を満たしているもの」は「ある性質を満たす」という形だと思うのですが、
選択公理がない場合に「前提条件を満たしているもの」が変わるのか、
それとも選択公理が無くても「前提条件を満たしているもの」は同じだけど、それが「ある性質を満たす」とは言えなくなるのか、という点です
>>838
ありがとうございます、ZFとCの否定を仮定した場合にZFCを仮定した場合と比べてどうなるのか、と言った方が適切かもしれないですね >>842
何を疑問に思ってるのか分かんないや
Zornの補題は「帰納的なら極大がある」
選択公理は「集合族には選択関数が存在する」
てことで
ZFだけなら「帰納的でも極大があると証明できない」
ZFに¬Cなら「帰納的でかつ極大がない集合があると証明できる」
だよ ZF と ZFC では、集合を作るために使える手段が異なる。
ZFC では、選択公理という手段があるために、よりたくさんの集合が作れるが、
ZF では選択公理がないので、集合を作る手段が制限されており、
ZFC では到達できた集合が ZF では到達できない、ということが起こりえる。
つまり、感覚的には、
・ ZF で作れる集合は ZFC でも作れる
(ZF で作れる集合は選択公理を使ってないので、同じことを ZFC でマネすれば、ZFC 版の同じ構造の集合が得られる)
・ ZFC で作れる集合は必ずしも ZF では作れない
(選択公理を使った集合は、ZF ではマネできない可能性がある)
ということになる(あくまでも感覚的には)。 このことを踏まえて >>833 に回答すると、次のようになる。
P1 [順序集合Xに極大元が存在するかどうかは ZF と ZFC とで変わるか?]
ZF で作られた順序集合 X を任意に取る。感覚的には、この集合と同じ構造の集合は ZFC でも作れるので、
対応する順序集合を X' とする。すると、X に極大元 x が存在するなら、
対応する x'∈X' は X' の極大元だし、逆に X' に極大元 x' が存在するなら、
対応する x∈X は X の極大元である。この意味において、P1 は ZF と ZFC とで変わらないと考えられる。
しかし、ZFC で作られた順序集合 X' を任意に取るとき、X' に対応する集合は ZF の中では
必ずしも存在しないので、この意味において、P1 は質問としてナンセンスとも言える。 >>844
>ZFC では、選択公理という手段があるために、よりたくさんの集合が作れるが、
たとえばどんな集合ですか? P2 [順序集合 X が「Xの任意の全順序部分集合がXの中に上界を持つ」かどうかは ZF と ZFC とで変わるか?]
ZF で作られた順序集合 X を任意に取る。感覚的には、この集合と同じ構造の集合は ZFC でも作れるので、
対応する順序集合を X' とする。すると、
Q'「 X' の任意の全順序部分集合が X' の中に上界を持つ」
ならば
Q「 X の任意の全順序部分集合が X の中に上界を持つ」
は言える。しかし、Q ⇒ Q' は必ずしも言えない可能性がある。
なぜなら、X' の全順序部分集合 U' を任意に取るとき、もし選択公理を経由して U' を作っていたら、
U' に対応する U は ZF の中では作れない可能性があるので、これでは「Q」に帰着できないからだ
(すなわち、Q を仮定しても、Q' を示すのに「Q」に帰着できないので、Q' が成り立つとは言えなくなり、
よって Q ⇒ Q' は必ずしも言えない可能性があるということ)。
この意味において、P2 は ZF と ZFC とで変わると考えられる。
しかし、ZFC で作られた順序集合 X' を任意に取るとき、X' に対応する集合は ZF の中では
必ずしも存在しないので、この意味において、P2 は質問としてナンセンスとも言える。 >>846
たとえば「 R のルベーグ非可測集合」が該当するはず。 >>848
そのクラスが集合であることは示せますか? あ、集合全体、ではなく集合そのものですか?
たとえばどんなのがあるのでしょうか? >>849
そのような捉え方ではない。
ZFC の中では「 R のルベーグ非可測集合」が作れるが、
ZF+決定性公理 の中では、R の全ての部分集合がルベーグ可測になる。
ということは、ZF の中では、「 R のルベーグ非可測集合」は
存在することもしないことも「証明できない」ことになる。言い換えると、
・ ZFC ならルベーグ非可測集合が "作れる" 。すなわち、存在性が証明できる。
・ ZF の中では、ルベーグ非可測集合が "作れない"。ここでの "作れない" とは、
「作れる」(=存在性が証明できる)を否定しているという意味であり、
存在しないことが証明できる、という意味ではない。
このことは、感覚的に言うと、ルベーグ非可測集合は選択公理を経由することで
初めて作れる集合なのであって、選択公理が使えない ZF では、
「いくら ZF の公理を組み合わせて集合を作っていっても、ルベーグ非可測集合に到達できない」
ということを感覚的には意味している。 >>842
ZFに¬Cで帰納的でかつ極大がないと証明される集合は、ZFCでは
帰納的なものに含まれなくなるのか、
帰納的でかつ極大があることになるのか
という点を疑問に思っていました
>>844 >>845 >>847
頂いた返答がまさに知りたかったことです、ありがとうございます
ZFに¬Cで「帰納的でかつ極大がない集合があると証明される」集合に対応するものがZFCではそもそも集合として必ずしも存在しないし、存在しても必ずしも帰納的とは言えない、ということですね
とても腑に落ちました >>850
「どんなもの」とは?
具体的に構成して、ってこと? f(x, y) = x*y / (x^2 + y^2) for (x, y) ≠ (0, 0)
f(0, 0) = 0
とする。
f は (0, 0) で偏微分可能である。
それ以外の方向微分は存在するか? 関数 f : R^2 → R で、(0, 0) でのすべての方向微分が 0 であるにもかかわらず、
(0, 0) で不連続であるような例を与えよ。 >>855
f(x,y)={1 for y=x^2(x≠0); 0 otherwise} >>854
f(x,y)=(sin2θ)/2
アルワケネッス >>854
存在しますね。
c > 0
-c * e_1
-c * e_2
を方向ベクトルとすれば、いいわけです。 >>860
e1 方向の方向微分である ∂f/∂x と
-e1 方向の方向微分は異なります。(符号が反対) >>863
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ p[n] をn番目(n = 1,2,3,...)の素数とするとき、交代級数Σ(-1)^(n-1)/p[n]が収束するのは分かるのですが、どのような数に収束するのかが分かりません。
そもそも、logやe,Πなどを用いて表せるのでしょうか?
wolframalphaで求めた所、数値的には0.269・・・となるようです。
具体的な値は分かりませんでした。どなたか教えて下さい。 >>865
すげー。収束するんですか?どうやって証明するんですか? ライプニッツの定理ってのがあるんですね。すばらしい。 |a[n] - a[n-1]| > |a[n+1] - a[n]| → 0 ∂f/∂x_i = Σ (a_{ki} + a_{ik}) * x_k from k = 1 to k = n
は明らかに連続関数である。よって、 f は C^1 級の関数である。
したがって、 f は微分可能である。
Df(a) * h
=
∂f(a)/∂x_1 * h_1 + … + ∂f(a)/∂x_n * h_n
=
Σ (a_{k1} + a_{1k}) * a_k from k = 1 to k = n
+
…
+
Σ (a_{kn} + a_{nk}) * a_k from k = 1 to k = n
=
<A^T * a, h> + <A * a, h>
=
<A * h, a> + <A * a, h> >>874
微積分
微積分
微積分
微積分
微積分 電気系の技術者ですが、集合と位相のはじめに出てくる話で、
開集合、閉集合、閉包などの用語が現れた歴史的経緯をご教示ください。
(どの本みてもありません。)
そもそもこれらは実数とか、測度論の理解に必要だから
やっとくという理解でいいでしょうか? 本当にくだらない質問ですみませんがお願いします。
主成分分析というのがありますが、
これは、例えば、「青さ」「明るさ」「透明度」などの成分を先に全部足して計算して、
その計算された成分から、第一主成分、第二主成分などをえらぶのでしょうか?
それとも、例えば「青さ」「明るさ」「透明度」などの成分が
ばらつきが、「青さ」>「明るさ」>「透明度」、 の場合
そのまま、第一主成分が「青さ」で第二主成分が「明るさ」になるのでしょうか?
恐らく前者だと思うのですが、ある主成分分析の説明に、後者が書いてあったので、
確認したくなりました。
すみませんが宜しくお願いします。 >>877
>開集合、閉集合、閉包などの用語が現れた歴史的経緯をご教示ください。
カントールの「集積点」からまず 始めよう。 >>877
この本に歴史的経由含めて解説が載っていたと思う
無限への飛翔 集合論の誕生 (大人のための数学 3) 志賀 浩二 (著)
位相への30講 (数学30講シリーズ) >>878
全然違う
まず主成分を抽出してから成分の意味を考えて
意味の合いそうな性質を当てはめ名付ける >>881
ありがとうございます。
もう少し調べてみます。 >>877
教えてもらって礼ができない社会不適合者 Euler's Theorem on Homogeneous Functions
って何の役に立つんですか? 可換環論で、整域の元に対して同伴という関係が導入されていて、
整域以外の環に対して導入されてる例はググった範囲では見つからなかったのですが
整域に制限する理由はありますか?
整域でのものと同様の定義は整域でない可換環でもできるし、それを満たす例もZ6での2と4とかあると思うのですが、
整域以外では同伴関係を考えてもあまり有用でないのでしょうか? なんかUFDの文脈で出てきた気がするけど、ググったらUFD関係なかったわ
「整域Rの元a,bが同伴⇔a=cb,b=daとなるc,d∈Rが存在」だとさ
まあでも有用性の問題だけだと思うよ
PIDにしろUFDにしろ、整域じゃなくてもいいことでも対象を限定して定義してることはよくあるし ∫∫e^(x^2+y^2)dydx (x^2+y^2=1, x≧0,y≧0)を極座標変換しろって言われたけどガチで分からんわ x^2+y^2=1
は
x^2+y^2≦1
ではなくて? ∫∫e^(r^2) r dr dθ (0≦r≦1,0≦θ≦π) >>887
ありがとうございます
まだ整域自体の重要性も理解できてない段階ですが、同伴関係を考えるのは整域だと有用なんだと心に留めておこうと思います U ⊂ R^n
U : 開集合
g : U → R は a ∈ U で微分可能
g(a) ≠ 0
1/g は a で微分可能で
D(1/g)(a) = [-1/[g(a)]^2] * Dg(a)
が成り立つことを示せ。 U ⊂ R^n
U : 開集合
g : U → R は a ∈ U で微分可能
g(a) ≠ 0
1/g は a で微分可能で
D(1/g)(a) = [-1/[g(a)]^2] * Dg(a)
が成り立つことを示せ。
{x ∈ U | g(x) = 0} は g が連続写像だから U の閉集合
よって、 {x ∈ U | g(x) ≠ 0} は U の開集合
a ∈ {x ∈ U | g(x) ≠ 0} だから、 {x ∈ U | g(x) ≠ 0} ≠ φ
g の {x ∈ U | g(x) ≠ 0} への制限を f で表わす。
f : {x ∈ U | g(x) ≠ 0} → R - {0}
R - {0} ∋ x → 1/x ∈ R を h とする。
f は a で微分可能である。
h は f(a) = g(a) で微分可能である。
チェインルールにより、
D(1/g)(a) = Dh〇f(a) = Dh(f(a))〇Df(a) = [-1/[f(a)]^2] * Df(a) = [-1/[g(a)]^2] * Dg(a) アフィンリー代数の「アフィン 」という名前の由来はどこからきているんでしょうか。
アフィン 変換と何か関係があるんでしょうか。名前の由来がさっぱりわからない >>899
一般語としては「姻族」という意味の名詞形容詞同形
語源はラテン語のaffinisで、意味は「親類縁者(の)」
数学用語としては「疑似(の)」という訳があるな(「疑似幾何学」とかで引くと辞書とかにも出てる >899
アフィンリー代数ってリー代数とどう違うの? アフィンリー代数は特殊なリー代数
バカバカしいけど書いとく >>879
>>880
>>883
問いに対して何一つ答えられないんですね。
役立たずバーカ。 >>905
電気屋さんには必要ない知識ですから、気にする必要はないと思いますよ 大学レベル?院宣 院司 レベルを超えたところの分野の方が。 やってないと思いますよ
統計学ってのはあくまで偉い人が意思決定するための道具ですからね
日本ではそういう分野は育ちにくいでしょう >>911
>統計学ってのはあくまで偉い人が意思決定するための道具ですからね
それは「統計学をやる」とは言わない
例えるならスマホやパソコンを道具として使うだけの人が「工学をやってる」と言うようなもん 心理 のあとの統計ね。ヴァージンの最強馬含む学問なら、手は付けづ、
認知 /心理 化学 文学 などそよめてみたいな。 統計と言ったら、パソコンじゃできないから、いや動いているものが統計という
センスが正しいし、学にしても、新快速の学者がいるだろう。 公務員何て新テスト四科目の時代に、統計以外旨味あるかな? 素書きもいいけど、試験対策も女子の方が先鋭だろうね。 0 から 9 までの数字を使って4桁の暗証番号 abcd を作る。
abcd は以下の条件を満たさなければならない。
何通りの暗証番号を作れるか。
(1)
#{a, b, c, d} = 4 である。
(2)
a - b ≡ 1 (mod 10) でない。
b - c ≡ 1 (mod 10) でない。
c - d ≡ 1 (mod 10) でない。
d - a ≡ 1 (mod 10) でない。
b - a ≡ 1 (mod 10) でない。
c - b ≡ 1 (mod 10) でない。
d - c ≡ 1 (mod 10) でない。
a - d ≡ 1 (mod 10) でない。 杉浦光夫著『解析入門I』のp.60に以下の定義があります。
(M, +∞] = (M, +∞) ∪ {+∞}
U(+∞, M) := (M, +∞]
この定義を用いると、
lim_{x → a} f(x) = +∞
⇔
任意の M ∈ R に対して、 δ > 0 が存在して f(U(a, δ) ∩ D) ⊂ U(+∞, M) となる。
と書けます。
そこで、質問なのですが、なぜ、 U(+∞, M) := (M, +∞] を
U(+∞, M) := (M, +∞) と定義しなかったのでしょうか?
f は実数値関数なので、 +∞ になることはありません。
+∞ の M 近傍という感じを出すためでしょうか? Rに±∞を追加してコンパクト化してるんだろ。
追加したからには近傍も定義しないといかんから。
(a,∞]が近傍基。
近傍基は当然∞も入ってないといかん。 杉浦光夫著『解析入門I』を読んでいます。
pp.60-61 命題6.9(2)の証明が間違っていますね。
lim_{x → a} f(x) = +∞、 g(x) ≧ c > 0 ならば、 lim_{x → a} f(x) * g(x) = +∞
証明:
任意の M ∈ R に対し、 f(x) > M/c (∀x ∈ U(a, δ) ∩ D) となる δ > 0 がある。
このとき f(x) * g(x) > M (∀x ∈ U(a, δ) ∩ D) となる。
たとえば、
f(x) = 1/x - 1
g(x) = 2
c = 1
a = 0
D = {x > 0}
とします。
lim_{x → a} f(x) = +∞、 g(x) ≧ c > 0
は成り立ちます。
M として、 -1 をとります。
f(x) = 1/x - 1 > M/c = -1/1 となる δ は確かに存在します。(任意の正の実数でよい。)
たとえば、 δ = 100 とします。
ところが、
f(x) * g(x) = (1/x - 1) * 2 > -1 (∀x ∈ U(0, 100) ∩ D = (0, 100))
は成り立ちません。 三次元実空間内に含まれる球面を多様体と見ます
この球面の接束はどのようなものになりますか 2次元の点列があった時にその点列がどのくらい直線状に並んでいるかを評価したいのですがどうすればよいでしょうか?
最小2乗法で求めた直線との相関係数を使うのが1つの手だとは思うのですが、直線からはずれた点のバラツキ方を重視したいです。
同じ相関係数でも直線からはずれている点がある部分にまとまっているものは評価を低く、均等にバラついているなら高くしたいです。
どういった評価関数を使えばよいでしょうか? 杉浦光夫著『解析入門I』を読んでいます。
p.70の図7.2が間違っています。
↓GeoGebraで正確な図を描きました。
https://imgur.com/rSormC0.jpg >>927
考えましたが全然わかりませんでした
まず接束の認識が間違っているかもしれません
質問を重ねますがこの場合球面の点x∈S^2に対してその点の接平面をHxとしたら
接束は{Hx|x∈S^2}になるのでしょうか
これは定義にのっとり ∪({x}×Hx) (ただし和はx∈S^2でとる)と書かれるものと別物なのでしょうか >>930
強いていうなら
T(S^2) = {(P,Q) ∈ S^2 × R^3 | PQベクトル は P においてS^2と接する。}
かな? >>934
それだと直線状の一部分に集中してる場合と均等に分布してる区別できないですよね
均等に分布しているかを重視したいのです >>936
直積じゃないよ。MがR^kの部分空間としてみなせる場合にM×R^kの部分空間としてT(M)を表示しただけ。 偏微分方程式の理解に必要な数学的素養って何?微積の理解には因数分解の知識が重要、というのは知ってる。 最終的には偏微分方程式勉強して何がしたいんですか? >>941
最終的に何がしたい、というのはありません。ひょんな事から偏微分方程式に興味を持ったので、単に学びたいだけです。日々の空いた時間を使って。 嘘ですよね
因数分解がやっとの人がどうして偏微分方程式なんかに興味を持つんですか? >>943
どうして興味を持つか?そんなことをあなたに教える必要はないでしょう。単に、
偏微分方程式に関心がある→それに関する疑問点がある→故にここのスレッドへ質問をしに来た
というだけの話で。
「大学レベルの数学に関わる疑問点を尋ねる」
というこのスレッドの趣旨に背くことを私がしていますか?答えを知っていてそれを教えないというのなら、あなたはスレチという他ないのではないでしょうか。 これ結構重要だと思うんですけどねー
私はあなたに偏微分方程式理解する素質ないと思うんですよ
たとえば、量子力学理解したい、とかなら数式使わなくても満足することは可能だと思いますし >>945
論点をずらさないでください。単に、
大学レベルの数学に関して疑問な点があれば質問する→答えを知っていれば解答する
それだけのスレですよ?ここは。小学生レベルの論理すら理解の出来ないあなたこそ、数学を学ぶ素質がないのではないでしょうか。
バカの相手はとんでもなく疲れるので以後スルー。答えを知ってる方、教えていただけると嬉しいです。 微積分に因数分解が重要とかほざいてる時点で、回答する気なくなると思いますよ?知ってる人はw 同一人物だろ
680 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2018/07/11(水) 11:46:52.85 ID:xxbdcVnQ [1/2]
微分方程式の各種解法の議論って、どういう公理的立場からの基礎付けがされてるんですか?
dx,dyとかをただの数みたいに扱って勝手に微分したりしてるのがモヤモヤした気持ち悪さがあるんですが
その辺りを公理的、形式的な基礎付けをちゃんとしてる本教えて下さい 微積の理解に因数分解が重要……?
偏微分方程式の何をしたいのかによる
理論なら専門じゃないし詳しくは知らんけど、微積、(常)微分方程式、多様体(最低でも曲線と曲面)、関数解析あたりかな
計算なら微積、線形代数、(常)微分方程式くらい知ってれば何とかなるっしょ
そもそもそもそもそんなに広く扱えない(殆ど解けないor計算量が多い)から教科書読んで足りない知識を抽出してみればいい >>949
>そもそもそもそもそんなに広く扱えない(殆ど解けないor計算量が多い)
こういう分野ってどうなんですかね? だから応用目的がないと偏微分方程式なんて不毛なんですよね
変な方程式考えればいくらでも難しくできるんですから でも、世の中で行われている重要な数値計算の大半は偏微分方程式の数値計算だと
書いてある本がありました。 理論的には、不毛な分野なんですか?
そういえば、秋山仁さんの大学院時代の専攻が偏微分方程式だったそうですね。 解析的に解けないというだけで「解が存在しない」「方程式は意味がない」というわけではありません、以上
偏微分方程式の一般論で大事なもの忘れてたわ、代数解析
これやるなら代数幾何も必要 ほっておけ、そもそも「解く」という意味が分かっていないのだろ ぶっちゃけテキトーに言っただけなんですけど、本当はどんな感じなんですか?偏微分方程式の研究って 本屋へ行って偏微分方程式の本を適当に選んで勉強しろ そりゃ偏微分勉強したいって言ったらそれで何がしたいか訊かれますって
それこそ料理がうまくなりたいって言ったら何を作るか聞かれるのと同じくらい 微分積分とかならまだしも偏微分方程式限定ですからね
気になっちゃいますね 流れぶった切りますがまた接束の話です
R^3内の球面S^2の接束は、その各点ごとの接平面の次元と、その各点の属するchartの次元を考えるから4次元の空間になると
よくある多様体Mの接束の定義{x}×T_xというのはMがn次元なら
{x}を取っているchartのn次元とT_xの次元(これもn)の直積だから2n次元になるという事でいいのでしょうか
だから結局球面の接束は「2次元のchartの点ごとに平面を対応させるもの」を球面全部であつめたもの、で合っているでしょうか >>964
君がそれで満足するならそれでいいよ
次 他人に物を聞くときの作法も知らないし、受け答えもできない、こんな奴ばっかり あなたいつもそんなことばかり言ってますけど、私、あなたが回答してるところ見たことないですね あなたのことですか?
回答せずに文句ばかり言ってますね 多少執拗さがないと数学なんて勉強できんだろ
無内容な質問するバカやそれより内容がないようなレスするより遙かにマシ >>964
そうだけど
それ勉強してるなら
まずそう書かれてるってはずだし
なんで聞くのか分からん 書いてあることを写し書きすれば簡単に「うん!君は正しい!すごい!」って言ってもらえると思ってんだろ気持ちわりい
んで叩かれれば失せろゴミだとよ 否定されてすぐ攻撃しちゃうのは駄目だよなあ
それは執拗さとは違う >>973で1度自演擁護したけど我慢できずに連レスでキレちゃったあたり数学みたいな学問に耐えられる自制心の持ち主じゃないねこれ
夜通し歯ぎしりしてたのかな そんなことより>>928誰かお願いしますよ
直線状に見える評価関数誰か教えてくださいよ... >>980
寝言を吐く時間帯にしては早めだね。
どうせ馬鹿は起きてても寝てても寝言にしかならないから見分けがつかんな。 >>984
屍ねば無になれるから屍ねばいいのに・・・ 杉浦光夫著『解析入門I』を読んでいます。
「
f が区間 I で微分可能でも、導函数 f' は連続とは限らない。しかし次に示すように
導函数 f' に対しては常に(f' が連続でなくても)、中間値の定理が成立つのである。
従って例えば f' は第一種不連続点を持つことはない。つまり導函数のグラフにギャップ
が生ずることはないのである。
これは微分可能な函数のグラフに角がないということである。
」
と書いてあるのですが、本当ですか? f' は第一種不連続点を持つことはない
↑これは本当ですか? f' が x = a で第一種不連続点を持つとして、 x = a の近くで f' を考えれば
x = a の左側では、f' は f(a-) に十分近い値をとり、
x = a の右側では、f' は f(a+) に十分近い値をとりますね。
f' は中間値の定理を満たすので矛盾が起こるわけですね。 可換環について勉強しています。
R加群としてのR(つまりスカラーも加群もRの場合)って必ず正則加群になるんですか?そうならない様な例が存在しない事って証明出来ますか?
どうか教えてください。
Rの任意の元が積の単位元の和(1+1+…+1)で表せる場合は必ず正則加群になる事は証明出来ました。よろしくお願いします。 >>962
正則加群ってregular sequenceを持つの正則?
だったら1がregular sequence終わりじゃないの? >>993
間違ってたら申し訳ないですが、私へのレスですよね?
R(*,+)の正則加群とはスカラー乗法r×sをr*sとして定義した加群、と聞いています。それ以外の定義がありましても私の質問においてはその定義でお願いします。 >>995
それって正則加群の事ですか?
R(+,*)に対してRが正則加群であるというのはスカラー乗法r×sがそのままRの積の演算r*sと等しい事を言うのですよね。
R加群としてのRといっても、スカラー乗法の入れ方によっては正則加群ではなくなるかもしれないはずです。多分そういう入れ方はないと思うのですが。
正則加群にならない様なスカラー乗法の入れ方が存在しない事を証明しようとしたのですがどうしても分からず質問させて頂きました。 >>996
そんなもんいくらでもあるやん。
まずMが加法群f:R→End(M)を環準同型として rm = f(r)(m)で定めれば M のR加群構造ができる。
Rは加法群としてR+R(RとRの直和)と同型でf:R→End(R)をr→(x→rx)で定め(通常のR加群構造)、
g:R→End(R+R)をdiag(f,f)、h:End(R+R)→End(R)を加法群の同型R+R≡Rから引き起こされる同型、
k = hf とすれば f,k を用いて先に述べた方法でRに2つのR加群構造がはいってるけど、一方は一次元、もう一方は2次元。 >>997
RとR+Rが加群として同型かどうかはスカラー乗法の入れ方が分からないと何とも言えないと思うのですが、どの様に同型になっているのでしょうか?
また、hfは写像の合成でしょうか。それならhfではなくhgだと思います。 >>998
多分レス番的には最後だな。
明示的にかけるかどうかはわからん。多分無理。
しかし明示的に表示できないからというのと存在しないというのは別物。
選択公理絡みのやつは大半明示的に表示するのは無理。
RとR+Rが加法群として同型なのはどちらもQの連続体濃度個の直和だから。
でもそのBasisを明示的に構成するのは多分無理。
少なくとも
明示的に表示できる。
明示的には表示できなくても選択公理下では存在が認められる。
存在しない。
の3つがあることはわかってないと無理。
“存在するなら乗法の入れ方もわかるはず” とかいってるようではまだまだ。 >>997
すみません…加法群としてであって加群としてではありませんでしたね…。申し訳ないです。
もう少し考えてみます。 このスレッドは1000を超えました。
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