分からない問題はここに書いてね465

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 19:33:13.82

分からない問題はここに書いてね464
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1604500976/

(使用済です: 478)
　

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/22(金) 13:51:32.27

どうせまたいつもの答えない思いつき問題だよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/22(金) 15:24:17.54

∫[0,∞] exp(-x)arctan(x) dx
を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/22(金) 15:55:18.56

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=∫%5B0%2C∞%5Dexp%28-x%29arctan%28x%29+dx

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/22(金) 16:21:37.98

>>593
すいません
これの素数は3以上でした
2だと整数にならないですもんね

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/22(金) 16:25:56.54

>>597
2^46=(2^23)^2=(8388608)^2が大きい平方数なので
それに46足して√してもほぼ8388608になってしまう
だからちゃんとした計算機使わないとダメ

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 01:54:53.43

>>597
　√{ 2^{2m} + 2m } ≒ 2^m + m/(2^m),
　0 < m/(2^m) < 1

>>599

a>0 とし、
I(a) = ∫[0,∞] a･exp(-ax)･arctan(x) dx
とおく。部分積分で
I(a) = [ -exp(-ax)･arctan(x) ](x=0,∞)　+ ∫[0,∞] exp(-ax) /(1+xx) dx,
　　= ∫[0,∞] exp(-ax) /(1+xx) dx

I"(a) + I(a) = ∫[0,∞] exp(-ax) dx = [ -(1/a)exp(-ax) ](x=0,∞) = 1/a,

I(a) = ∫[0,∞] sinθ/(θ+a) dθ
　　= ∫[a,∞] sin(θ-a)/θ dθ
　　= Ci(a)sin(a) + {π/2 - Si(a)}cos(a),

I(1) = 0.6214496242358

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 11:15:56.17

高校数学スレより移動

495: 2021/01/21 21:04:22 ID:H9HTXwWu
黒板に1～ｎの自然数が一つずつ書かれている。
二人でかわりばんこに次のルールで黒板に書かれた自然数を消していくゲームをする：

・自分の番のとき、黒板に残っている数から一つ選び、
　その数及びその数の約数をすべて消す。
・自分の番で黒板の数をすべて消し去ったとき勝者となる。

このゲームはｎによらず先攻必勝であることはすぐ分かるのですが、
その必勝法は一般に分かりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 12:41:14.02

互いに素となる数が偶数個残るように消す？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 12:50:06.20

>>604
そりゃ先手が1選べば必勝でしょ

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 12:58:59.13

長くなりますけどいいですか
1から10(位置をXとする)に進むまでの試行回数、またn回目でのXにいる確率を計算したいです
それぞれ1から2,２から3までは100％進むのですが3からは、4へは90%2へ10%という風に戻ったりもします
10で打ち止めで、10に届くと進んだり戻ったりしません
このようにそれぞれのX-1からXへ進む確率が違うときはどのように計算すべきでしょうか
ランダムウォークと似たような感じかなとも思ったのですがそれぞれの確率が違うため分かりませんでした
Xが最大10なので何かしらのソフトで計算した方が早いでしょうか
そいうったソフトに詳しくないのでご教授いただけると幸いです

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 13:07:44.45

位置Xにいる確率をLXn,XからX+1へ進む確率をpXとすると以下の式が建てれました
L10n=p9*L9n-1+L10n-1
L9n=p8*L8n-1
L8n=p7*L7n-1+(1-p9)L9n-1
L8n=p6*L6n-1+(1-p8)L8n-1
...といった風に建てても計算は無理でした
どうすべきですか

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 13:21:59.62

>>608
その確率漸化式解くしかないやろな

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 13:33:09.13

>>606
n=2とか4とかどう？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 13:59:06.70

>>609
この式解けそうにはないです
まとめようとすると永遠に続きます
nの値を決めれば終わりが来て答えは出るのですが
いいソフトありませんか

>>610
え？と思ったら約数を倍数と見間違えてました

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 14:11:23.76

>>604
奇数回か偶数回の最短ルートがあって
先手で最短で勝ちなら最短ルート、そうでないなら最短ルートから一個残す(16が最大だけどわざと8で16残す)
後手が最適解以外選んで+1回してもまた先手でその補正無効にできるから
ってのが直観的だけど
数学的には分からんね

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 14:44:43.02

75%で当たるくじの当たりを二連続で引く確率は何%ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 14:48:40.59

>>611
手計算では解くのが大変なだけで解けないわけではない
まず確率漸化式を行列Aを用いて
p[n+1] = Ap[n]
の形にする
Aの固有方程式求めて重解なければラッキー
a1～a10が解だとしてTk = a1^k+a2^k+‥+a10^k
とし、pk = c1tTk+c2T(k+1)+‥とおけるのでp1～p10まで利用してc1～c10も止めれば良い
係数拡大しなくてもいいので楽
行列計算できるソフトなら楽勝
大概の代数計算できるソフトならmaximaでもmathematicaでもいける
まぁとはいえTkの値の計算に場合によっては複素数計算を要求される可能性もあるしなぁ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/23(土) 16:09:38.53

前>>586
>>613
(3/4)^2×100=900/16
=450/8
=225/4
=56.25(%)

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/23(土) 16:12:24.82

>>614
ありがとうございます
行列って手がありましたね
久しぶり過ぎて結構忘れてますがなんとか計算できそうです

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/24(日) 06:22:51.83

M(n×n;R)∋Ａ=:A^(n)≧0とし、Aの固有多項式を|λI-A|=0,B(λ):=λI-Aとする。
またB^(n) (λ):=B(λ)の成分B_ij^(n)=λδ_ij-a_ijの余因子を(B_ij^n ) ̃と置く。
B^(n) (λ),Aのm次首座小行列をそれぞれB^(m) (λ),A^(m)とする。
B^(n)=B(λ),A^(n)=Aである。このときＡは非負の固有値λ≧０を持ち、
更にx≧λ_PF (A)ならば(B_ij ) ̃(x)=(B_ij^n ) ̃(x)≧0である。
n=2の場合証明せよ
誰か教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/24(日) 09:04:57.27

L1 は n>0 では 0 なので省略できる。
L2 は反射板。
L10 は吸収板なので省略できる。

p[n] =
( L2(n) )
( L3(n) )
( L4(n) )
( L5(n) )
( L6(n) )
( L7(n) )
( L8(n) )
( L9(n) )
とすれば
A =
( 0, 0.1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 )
( 1, 0, 0.2, 0, 0, 0, 0, 0 )
( 0, 0.9, 0, 0.3, 0, 0, 0, 0 )
( 0, 0, 0.8, 0, 0.4, 0, 0, 0 )
( 0, 0, 0, 0.7, 0, 0.5, 0, 0 )
( 0, 0, 0, 0, 0.6, 0, 0.6, 0 )
( 0, 0, 0, 0, 0, 0.5, 0, 0.7 )
( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.4, 0 )

det(xI-A) = x^8 - 1.68x^6 + 0.8064x^4 - 0.110272x^2 + 0.002016,

λ= ± 0.146691283
　　± 0.437113043
　　± 0.717385963
　　± 0.97610001

L10(n) = 0.3L9(n-1) + L10(n-1),

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/24(日) 12:38:46.76

2^n+n!が平方数になる正整数nが存在するならば、すべて求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/24(日) 14:55:37.36

>>617
とりあえずA=[[a,b],[c,d]]のとき仮定が何で結論がなんなのかa,b,c,dで書いてもらえません？
suffixの嵐で何書いてあるかさっぱりわかんない

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/24(日) 17:55:04.99

n!はn乗数でないことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/24(日) 17:58:39.07

n/2<p<nである素数を取れるから明らか

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 04:03:46.18

>>618
p[n] = A^2 p[n-2]
は偶数位置と奇数位置とに分離できる。

( L2(n) )　　( 0.1　0.02　0　　 0　　) ( L2(n-2) )
( L4(n) ) ― ( 0.9　0.42　0.12　0　　) ( L4(n-2) )
( L6(n) ) ￣ ( 0　　0.56　0.58　0.3　) ( L6(n-2) )
( L8(n) )　　( 0　　0　　 0.3　 0.58 ) ( L8(n-2) )

( L3(n) )　　( 0.28　0.06　0　　0　　) ( L3(n-2) )
( L5(n) ) ― ( 0.72　0.52　0.2　0　　) ( L5(n-2) )
( L7(n) ) ￣ ( 0 　　0.42　0.6　0.42 ) ( L7(n-2) )
( L9(n) )　　( 0 　　0 　　0.2　0.28 ) ( L9(n-2) )

固有多項式は両方とも
　y^4 - 1.68y^3 + 0.8064y^2 - 0.110272y + 0.002016
これから >>618 の式が出る。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 04:44:40.85

>>618
　　　　λ = 0.976100012765
0.93^{1/3} = 0.9761000076685

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 05:52:59.74

9761^3 + 28^3 + (-3)^3 + (-2)^3 + 1^3 + 1^3 = 930000000000

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 10:03:15.78

低レベルですまん
微分方程式といてくれ
(1)y''-y'-2y=8e^(3x)

(2)-x+y+(x+y)y'=0

(3)y'-2y-2x-1=0

(4)xy'+2-2y=0

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 10:38:03.83

>>626

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27-y%27-2y%3D8e%5E%283x%29+&;lang=ja

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-x%2By%2B%28x%2By%29y%27%3D0&;lang=ja

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27-2y-2x-1%3D0&;lang=ja

https://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%27%2B2-2y%3D0&;lang=ja

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 11:25:14.50

>>627
ありがとう

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 11:30:54.06

(2) 以外は標準的解法があるな
(2) は -2x + (x+y)(1+y') = 0 → 2(x+y)(1+y') = 4x → ((x+y)^2)' = 4x → (x+y)^2 = 2x^2 + C

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 12:07:38.17

n=1291 m=150 として
Z/nZにおける、13÷mの値を求めよ

どう解けばいいのか皆目見当がつきません…

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 12:16:43.89

学期末が近づくとこういう質問も増えてくるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 12:40:13.93

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=1291x%2B150y%3D13%E3%82%92%E6%95%B4%E6%95%B0%E4%B8%8A%E3%81%A7%E8%A7%A3%E3%81%8F

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 13:04:10.06

>>630

13 ≡ 13 - 43n = -55500 = -370m　(mod n)

∴　13 ÷ m ≡ -370　(mod n)

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 14:02:44.72

>>633
ありがとうございます!
ようやっと理解できました

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 15:38:46.10

>>623
Aの固有値を
　λ = 0.976100012764832
　μ = 0.717385962922222
　ν = 0.437113043760754
　ρ = 0.146691282143355
とおく。

n：奇数のとき
L1(n) = 0,
L2(n) = 0.00340657251822λ^n + 0.0742057885μ^n + 0.662965ν^n + 4.456ρ^n,
L3(n) = 0,
L4(n) = 0.1452513526604λ^n + 1.538444086μ^n + 3.0187ν^n - 17.485ρ^n,
L5(n) = 0,
L6(n) = 0.6193318938687λ^n + 0.656809760μ^n - 10.7313ν^n + 24.644ρ^n,
L7(n) = 0,
L8(n) = 0.498427858042λ^n - 3.014853347μ^n + 8.2774ν^n - 13.236ρ^n
L9(n) = 0,
L10(n) = 残り。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 16:15:17.73

先生、この辺のところ教科書に説明書いてありませんでした。

√(4-x^2)=t
xが∫(0→1)ならば、tは∫(2→√3)
答えは符合が逆になりました。定義を教えてください。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 16:22:36.53

z=x^3-3xy+y^3+6x+6yの停留点求め方教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 16:29:28.56

>>623
Aの固有値を
　λ = 0.976100012764832
　μ = 0.717385962922222
　ν = 0.437113043760754
　ρ = 0.146691282143355
とおく。

n：偶数のとき
L1(n) = 0,　(n>0)
L2(n) = 0,
L3(n) = 0.0332515547852λ^n + 0.532341895μ^n + 2.897915ν^n + 6.5365ρ^n,
L4(n) = 0,
L5(n) = 0.372844826264λ^n + 2.08183495μ^n - 4.29537ν^n - 28.158ρ^n,
L6(n) = 0,
L7(n) = 0.687076982252λ^n - 1.97219660μ^n - 3.36819ν^n + 46.653ρ^n,
L8(n) = 0,
L9(n) = 0.204252782102λ^n - 1.681021655μ^n + 7.57465ν^n - 36.097ρ^n
L10(n) = 残り。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 16:57:59.13

3辺の長さがいずれも1を超えない三角形は半径1/√3の円に含めることを示せ

ヘロンとS＝abc/4R使ったがそこで詰んで他にアイディアが思い浮かばないので助けてください。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 17:07:37.25

>>637
　z = (x+y)(xx-xy+yy) - 3xy + 6(x+y)
　 = (x+y){(x+y)^2 + 3(x-y)^2}/4 - 3{(x+y)^2 - (x-y)^2}/4 + 6(x+y)
　 = 3{u(uu/3 + vv) - (uu-vv) + 8u}/4,

(∂z/∂u) = 3(uu + vv - 2u + 8)/4
　　= 3{(u-1)^2 + v^2 + 7}/4
　　> 0,

∴ u方向に単調増加。（停留点なし)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/25(月) 17:15:53.22

前>>615
>>639
3辺1の正三角形の外接円の半径は、
(√3/2)(2/3)=1/√3
∴示された。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 17:33:53.38

⊿の最小の角 ≦ 60°　だから
半径１，中心角60°の扇形に含まれるのでござるか。
その扇形が半径1/√3 の円に含まれることを言えばよいのでござるな。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/25(月) 19:54:37.45

前>>641
>>642
そんなことは考えてない。

You play with the cards you’re dealt..
Whatever that means

配られたカードで勝負するのさ。
それがどういう意味であれ。
by SNOOPY

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/25(月) 23:44:22.26

>>642
君の方が賢すぎる

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/26(火) 00:40:29.60

https://i.imgur.com/0YgFuLQ.jpg
基底が2つのときはなんとか解けたのですが3つになった途端に解けなくなりました。どなたかよろしくお願いします

**ID:1lEWVa2s** · 2021/01/26(火) 00:46:05.01

>>645
まず二つで平行四辺形をかいて
そのあとそのベクトルと残りのベクトルで平行四辺形をかいて終わり。

**ID:1lEWVa2s** · 2021/01/26(火) 00:47:44.81

>>646
答え。この板にかかれてる大体の文章が理解できてない自分。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/26(火) 01:40:26.80

>>642
　この扇形の3つの「頂点」は辺が１の正三角形をなし、外接円の半径は 1/√3 である。
　この外接円は、扇形 (を延長した円) により分割される。
　∴　扇形は外接円 (半径1/√3) に含まれる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/26(火) 04:31:17.39

>>638
n回目に 10 に到着する確率は 0.3L9(n-1)
　nが偶数のとき　0

nの期待値は
　<n> = 0.3Σ[k=4,∞] (2k+1) L9(2k)
　　= 0.3Σ[k=4,m-1] (2k+1) L9(2k) + 0.3Σ[k=m,∞] (2k+1) L9(2k)
　　= 0.3Σ[k=4,m-1] (2k+1) L9(2k)
　　+ 0.3・0.204252782102 Σ[k=m,∞] (2k+1)λ^{2k}
　　= 0.3Σ[k=4,m-1] (2k+1) L9(2k)
　　+ 0.3・0.204252782102 {2+(2m-1)(1-λ^2)}λ^{2m} /(1-λ^2)^2
　　= ･････
　　= 51.984126984127

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/26(火) 05:05:28.68

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/26(火) 12:43:38.06

>>411
半正定値対称行列の全体に、
A≥B ⇔ A-Bが半正定値対称行列
で関係を定義すればこれは半順序になりますが、
この半順序になにか解釈はありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/26(火) 13:29:34.25

>>639
　⊿が潰れると外接円の半径Rは大きくなってしまう。
　外接しなくても中にあればいい････のが本題のミソ？

〔類題〕
⊿の各辺の長さを a,b,c とするとき、外接円の半径Rは
　(1/3)√(aa+bb+cc) ≦ R
　　≦ (1/(6√3)){a(b+c)/(b+c-a) + b(c+a)/(c+a-b) + c(a+b)/(a+b-c)},

佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
　(左)　Leibnizの不等式　(定理2.4.5)　p.88-89
　(右)　演習問題 2.57(改)　p.94

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/26(火) 17:24:29.99

nを2以上の正整数とするとき、(n!)^3は平方数でないことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/26(火) 17:26:51.43

ある野球チームの1試合あたりの平均得点が2点だとします。この野球チームが試合で10得点する確率を求めてください。

この問題が解けません
よろしくお願いします…

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/26(火) 17:37:53.01

n>2のときn/2<p<nである素数をとってvp((n!)^3)=3

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/26(火) 17:59:43.71

>654
∃X E(X)=2, P(X=10)=p
⇔10p<2
⇔p<1/5

∵)→は明らか
p<1/5とする
任意の0≦q≦1に対してXをP(X)=p, P( X=3 | X≠10)=q、P( X=0 | X≠10)=1-qとなるよう取れる
ここでE(X)=10p+3(1-p)q
右辺f(q)はf(0)=10p<2, f(1)=3+7q>2だからf(q)=2となるqが選べる

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/26(火) 20:06:53.79

前>>650
>>654
1試合10点とったとして平均2点ならあと4試合0点じゃないとそうはならんで、つまりよくて5試合に1試合。
∴20%

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 00:58:12.45

円周率は4より小さいことの、微積分を使わず三角比だけで証明する方法を教えて下さい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 01:17:00.05

半径1の円に外接する正六角形の面積=2√3 < 4 でいけますがな

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 01:29:14.05

外接する正方形の円周でいいじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 02:22:41.05

ホント
正方形の面積でもいけるw

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 05:59:12.39

>>654
得点の分布をどう仮定するかによる。
ポワルン分布を選べば
> dpois(10,lambda=2)
[1] 0.00003818985

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 06:10:16.14

>>659
その証明だと円の面積計算に円周率を使うのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 06:10:49.91

>>662
ポワソン分布のご入力

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 07:41:22.32

>>664
ジジイ今日もブラブラほっつき歩いてるのか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 08:28:12.57

おいウリュウ何でお前だけ固定非交代当直救急勤務なんだよ？ふざけてんじゃねぇぞ

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 09:02:26.16

>>660
まず正方形の外周のほうが内接円の円周より長いこと
を証明しないと。

>>659,661
円周率を円周と直径の比率だという定義だけから出発
すると、円の面積を出すために積分使うでしょ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 09:54:42.70

返信ありがとうございます。
ご指摘の通り、直径1の円周の長さを円周率と定義し、半径1の円の面積はその定義に基づいて導出されるものと位置づけています。
なので4>πを長さの比較で示したいのですが、正方形の周>円周を示すのが難しくて詰まっています。こちらも積分を使えば簡単なのですが。
直線図形同士の比較に持っていったり、三角関数の性質を使ったりで解決したりしないものでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 10:32:14.10

>>668
じゃあ無理やろ
曲線の長さ≦××
の形の命題で“非自明やけどまぁ当然か”まで許してもほとんどないやん
逆向きなら「2点間を結ぶ曲線の長さ≦2点間の距離」を認めて色々できるやろけど
「2点間を結ぶ２つの曲線がともに同じ向きの曲がりでともに変曲してない時、内回り経路の方が短い」とか許さないと無理やろ

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 10:34:50.36

>>669
θとtanθ比較すれば行けるで

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 11:01:25.88

>>669
微積使うなルールに反則

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 11:03:53.79

>>668
難しいね。円周率の下限なら２点間の最短距離が
直線になることを前提にすれば出てくるけど、、、

sinθ<θが証明できればいいんだけど、やはりこれも
積分（面積公式）が必要かな。

**歩く目** · 2021/01/27(水) 12:01:50.01

>>668
円周の周長や円の面積の定義は？
周長の定義には微分を使うし
面積の定義には積分を使うよ

したがって「微積分を使わずに」を厳密に考えるなら「できませんね」でおわり

・・・ただそれではあまりにも教育的配慮がないので
どこまで容認できるかを考える

その場合、使えるのは、アルキメデスも使った「挟みうちの式」
長さの場合だと「内接多角形の周長＜円の周長＜外接多角形の周長」
面積の場合だと「内接多角形の面積＜円の面積＜外接多角形の面積」

多角形の辺数を増やせば、
外接ー内接の差がいくらでも０に近づくなら
円の周長もしくは面積が存在する
・・・といえることにする

で、収束の議論はめんどくさいのですっとばすと
四角形の場合２√２＜π＜４といえる
だからπ＜４は計算の点だけでいえば難しくない

なお、πを計算するだけなら三角関数の半角公式使えばいいし
平方根だけでできるから、三角関数のテイラー級数の式なんかいらない
微積分なしでできることはいくらもある

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 12:04:25.58

サッカーの得点はポアソン分布で近似できるという。

問題
得点の分布がポアソン分布として
平均得点が2点のチームが平均得点が10点のチームに勝つ確率はいくらか？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/27(水) 12:33:44.50

前>>657
>>658
単位円の面積は1^2×π=π
単位円に外接する正方形の面積は2^2=4
∴π＜4

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 12:35:26.20

>>673
>　円の周長＜外接多角形の周長
だから、ここが問題なんでしょ。

円の周長が内接多角形の周長より長いのは自明だけど、
こっちはそうはいかない。

結局、円周長を内接正多角形の周長の極限値として定義
してるからでしょ。それは外接する正多角形の周長の極
限値と同じになるはず。でもって、外接する正多角形の
周長は単調減少なので、挟み込みが成立する。

ってことで、極限の概念が入ってるけど、いいのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 12:39:01.02

無理だって
こんなん議論するだけ無駄

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 13:12:11.35

極限がダメなら超実数だな

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 13:21:17.89

一つの円に内接する正2^n角形(n≧2）の周の長さをa_nとすると、
数列a_nは単調増加（正方形に角を足してけば自明）。
同じ円に外接する正2^n角形の外周の長さをb_nとするとb_nは
単調減少（正方形から角を削っていけば自明）。

「どちらも有界単調数列なのでそれぞれ極限値AとBを持つ。
また、円周の長さはa_nの上界なので極限値Aに等しい。」

任意のnでa_n < b_n が成立していることから、A=Bでなけれ
ばならない。よって、円周長 =A =B < b_n =外接正2^n角形の周長

あとは、正方形の周長をつかえば π<4 が導ける。

「」内の単調収束定理を認めるかどうかだな。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 13:27:32.62

あかんやろ
どこにも
周の長さ≦××の形の不等式が出てないのに
外周の極限＝内周の極限
が言えてもそれで終わり
どこにも円周の話は出てこない

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 13:59:03.00

結局曲線の長さの存在を自明としているから話がまとまらないんだよな

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 15:11:13.38

>>680
円周の長さはa_nの上界と定義しておけばOK

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 15:44:14.12

>>682
だからそこで“曲線の長さは折れ線の長さの極限”を使ってる
しかもその定義高校の教科書の定義と一致してない
それを定義にするなら結局曲線の長さの単元に入る時両者の定義が一致することの証明をすることになる
こんな議論そもそも意味ない
高校の教科書の曲線の長さの定義を習うまでのほんの1、2年の間でしな意味ない、大学入ったらさらに上書きされてしまうような話になんの意味もない

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 16:03:22.94

>>683
何をムキになってんのか知らないが、高校数学の範囲でやれなんて
縛りがあったか？微積分使わないってだけじゃね？

単元、単元って、おまえは高校教員か？ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 16:22:58.16

上書きされるから意味がないなんて思ってる奴は
準備の大切さを知らん愚か者

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 16:50:06.46

あ、そ
ではお好きなように

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 16:55:27.80

凸閉曲線の周長は、その外部のすべての閉曲線の周長の下限、
で定義したらどう？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 17:58:03.56

外部の閉曲線の周長はどう定義するんだ？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 18:22:36.12

折れ線だったらいいんじゃね

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 18:54:50.71

>>687
曲線上の点を結んだ折れ線の長さの上限という定義で十分でしょ。
>円周の長さはa_nの上界と定義しておけばOK
ってのは、そういうこと。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 19:44:15.45

>>652

(左)　正弦定理より
　aa + bb + cc = 4RR{sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2}
　　= RR{6 -2cos(A)^2 -2cos(B)^2 -2cos(C)^2}
　　= RR{8 + 8cos(A)cos(B)cos(C)}
　　　　(∴鈍角・直角⊿の場合は明らか。以下、鋭角Δとする。)
　　≦ RR{8 + [2(cos(A)+cos(B)+cos(C))/3]^3}　　　(GM-AM)
　　≦ RR{8 + [2cos((A+B+C)/3)]^3}　　　　　(上に凸)
　　= RR(8+1)
　　= (3R)^2,

(右)　ヘロン等より
　r^2 = {2S/(a+b+c)}^2 = (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)/4(a+b+c),
　R ≧ 2r,
　d = a+b+c - (6√3)r ≧ 0,
より
　a(b+c)/(b+c-a) + b(c+a)/(b+c-a) + c(a+b)/(a+b-c)
　= (a+b+c)R/r
　= (a+b+c)(R/r - 2) + 2(a+b+c)
　≧ (6√3)(R-2r) + 2(a+b+c)
　= (6√3)R + 2d
よって
　(6√3)R ≦ a(b+c)/(b+c-a) + b(c+a)/(b+c-a) + c(a+b)/(a+b-c) - 2d,

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/27(水) 21:36:20.57

>>690
直線でなければ細分で必ず増えるから
全く問題ないな

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/28(木) 09:58:04.73

上限下限も微積だと思うが

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/28(木) 10:14:05.95

便所の落書きでしか通用しない俺様定義作ってなんか意味あんのか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/28(木) 10:57:27.83

>>694
便所で通用するならそれでいいんじゃね？
便所ですら役にたたない落書きしてるあんたよりははるかにマシｗ

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/28(木) 11:26:19.65

解析的なπの求め方ってのも軒並み微積使ってるよねえ？

連分数表記を途中で打ち切るとか駄目なんだろうなあ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/28(木) 12:39:26.14

微積と極限を同義と思ってんの？