分からない問題はここに書いてね465

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 19:33:13.82

分からない問題はここに書いてね464
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1604500976/

(使用済です: 478)
　

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/14(日) 19:55:56.30

>>945
密度を　1/1+r, 1/1+sでなくて１/r,1/sで計算していたから、これは間違い。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/14(日) 20:02:00.38

>>942
極形式にして二重定積分しようと思ったけど、Wolframがタイムアウトしたので不定積分にしたら
こんな式を返してきたので力尽きた。

-(sqrt(2) sqrt(cos(t) + 1) tanh^(-1)(((r - 1) sqrt(cos^2(t/2)))/sqrt(r^2 - 2 r cos(t) + 1)) + tanh^(-1)((r cos(t) - cos(2 t))/sqrt(r^2 - 2 r cos(t) + 1)) - (2 cos(t) + 1) tanh^(-1)((r - cos(t))/sqrt(r^2 - 2 r cos(t) + 1)) + log(r - 2 cos(t)) - log(r + 1))/(2 cos(t) + 1)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/14(日) 20:29:53.00

>>951
μ^*の定義にもどれ

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/14(日) 20:57:17.14

>>953
Rの数値二重積分対応のパッケージpracmaのintegral2を使って計算

"
密度z = 1/((1+sqrt(x^2+y^2)) * 1/(1+sqrt((x-1)^2+y^2)))を
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
としてヤコビアンをかけて
A＝∫[0,2π]∫[0,2] r/(1 + r) * 1/(1 + sqrt((r*cos(t)-1)^2 + (r*sin(t))^2)) dr dt　
B＝∫[0,2π]∫[1,2] r/(1 + r) * 1/(1 + sqrt((r*cos(t)-1)^2 + (r*sin(t))^2)) dr dt
を求める
"
library(pracma)
f <- function(r,t) r/(1+r) * 1/(1 + sqrt((r*cos(t)-1)^2 + (r*sin(t))^2))
(A=integral2(f, 0,2,-pi,pi)$Q)
(B=integral2(f, 1,2,-pi,pi)$Q)
B/A*4000

> B/A*4000
[1] 2446.416

求める死者数は2400万人

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/14(日) 21:37:44.71

人口密度は
　ρ(r) = ρ_T /(1+r),
だから人口は
　0<s<1　　1.5574250821940826265ρ_T
　1<s<2　　2.5910918342908186965ρ_T
　2<s<3　　1.5150691074278663080ρ_T
よって
　0<s<3　　5.6635860239127676310ρ_T = 2π(2-log(3))ρ_T = 4億人

∴　ρ_T = 4億人/{2π(2-log(3))} = 4億人/5.663586 = 7062.663万人

　0<s<1　　11000万人
　1<s<2　　18300万人
　2<s<3　　10700万人

死者数密度は
　σ(s) = σ_M /(1+s)
だから死者数は
　0<s<1　　1.928013126572382216σ_M = 2π{1-log(2)}σ_M
　1<s<2　　2.220503789912519107σ_M
　2<s<3　　1.164436390533311486σ_M
よって
　0<s<3　　5.312953307018212809σ_M = 4000万人

∴　σ_M = 4000万人/5.31295 = 752.8774万人
これは人口密度 ρ_M = ρ_T /2 = 3531.3316万人の 21.32% にあたる。

　0<s<1　　1451.56万人
　1<s<2　　1671.76万人
　2<s<3　　 876.68万人

(1<s<2 の生存者数) = (人口) - (死者数)
　= 18300万人 - 1671.76万人
　= 16628.24万人

ところでこの国土は平面だろうな、4億人もいるけど。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/14(日) 21:57:22.61

プロおじめっちゃ張り切ってんな

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/14(日) 22:56:51.90

>>956
コテハンつけて？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 00:06:18.74

>>934
死者数の密度が s だけで決まり人口密度や r に依らないのは「ホンマかいな？」ですが、問題としては成立しますね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 01:41:47.87

求めるものは 1<s<2 の範囲の生存者数です。 (1<r<2 ではありません)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 06:14:26.24

>>944
解説ありがとうございました。

5人が元旦に生まれていたとするとこれは2.5組と数えるのではなくて、誕生日が同じ二人の組み合わせが10組可能と数えるということと理解しました。
それでシミュレーションすると

> summary(z)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
33.00 59.00 64.00 64.21 69.00 111.00

となって合致しました。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 06:18:18.63

>>959
人口が０でも死亡者がでることになるから、ちょっと変。
生存確率が1/（1+s）に比例するという方が現実に近いかな？

上記の設定で更に 1<r<2で算出していました。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 06:21:52.59

>>962
×生存確率が1/（1+s）に比例するという方が現実に近いかな？

〇死亡確率が1/（1+s）に比例するという方が現実に近いかな？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 09:56:09.67

ベクトル三重積　Ax（BxC）= (A・C)B-(A・B)C　のベクトルの絶対値の幾何学的な意味はなんでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 11:33:53.19

D=B×CとおいてA×Dの絶対値の意味を考えればいいだけでは？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 12:50:22.11

三重積って別の意味だよなー

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 15:26:02.49

これ↓が成り立つ事の証明を教えてください
https://twitter.com/potetoichiro/status/1360811105442926592

具体的には c=cos(2π/7), s=sin(2π/7) と置いたときに
　4c² - c - 3 = -√7 s
を示せれば良いのですがどう変形したらよいのか分かりません
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 16:11:06.03

wolframalphaでも成り立つことしか分からんな
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=4cos%5E2%282π%2F7%29-cos%282π%2F7%29-3%2B7%5E%281%2F2%29sin%282π%2F7%29

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 16:24:25.99

両辺二乗して積和で整理

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/15(月) 18:13:10.92

c=cosθ, s=sinθ のとき

(4cc-c-3)^2 - 7ss = (4cc-c-3)^2 - 7(1-cc)
　= 2{(8c^4 -8cc+1) - (4c^3 -3c)}
　= 2{cos(4θ) - cos(3θ)}
　= -4 sin(θ/2) sin(7θ/2)

θ=2π/7　だから　sin(7θ/2) = sin π = 0,

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 04:19:59.42

>>967
【吃驚仰天！正七角形！？】
七、なんと、円と２本の放物線の交点を結んで正七角形を作ることができるそうです。

　xx + yy = 1,
　y = ±(x-1)(4x+3)/√7,

先ほど初めて知り私もやってみました。
そして、その美しさに感動しました。
松田康雄先生が発見し、2019年に算額が高見神社に奉納されたとのことです。
いつか実物を見に行きたいです！

ポテト一郎 (@potetoichiro)　　2021/02/14　13:40　Twitter for Android

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 05:23:26.33

数学セミナー, Vol.５６, No.7, p.36-37 (2017/July)
　NOTE 「正7角形の頂点を円と放物線の交点で表わす」松田康雄

http://www.wasan.jp/index.html#hukuoka
→　高見神社2

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 05:26:17.76

正9角形でも点(1,0) を除けば放物線でいける？
　y = ± (4xx+x-2)/√3

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 06:17:32.09

c = cos(2kπ/9), c≠1　のとき
0 = {T_9(c)-1}/(c-1) = {(2c+1)(8c^3-6c+1)}^2
　= {(4cc+c-2)^2 - 3(1-cc)}^2
　= {(4cc+c-2)^2 - 3ss}^2,

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 07:22:21.20

正5角形でも点(1,0) を除けば放物線1本でいける。
　x = 2yy - 3/2,

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 07:27:31.87

ガウス和

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 08:06:50.55

c = cos(2kπ/5), c≠1　のとき
0 = {T_5(c)-1}/(c-1) = (4cc+2c-1)^2 = (2c+3-4ss)^2,
∴　c = 2ss - 3/2,

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 08:19:12.45

算額に奉納って今でも受け付けてるのかよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 08:47:16.76

算額信仰ってのはあるな

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 13:32:57.48

>>978
TVで見たな

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 14:52:33.93

正四面体ABCDのAD上を点Pが動く。
△PBCの重心をGとするとき、Gの軌跡を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 16:22:36.56

それだと言葉でしか書けない

図示せよ
長さを求めよ
以下のベクトルを使って表せ

とか問題文に書かれてないか？
全文ここに貼ってみて

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 17:04:04.12

△ABCの重心と△DBCの重心を結んだ線分。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 17:39:01.79

>>981
心行くまで遊んでどうぞ
Pはドラッグ出来る
https://www.geogebra.org/calculator/gbpumsva

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 17:42:48.25

〔補題〕
軸がy軸に平行な放物線上にある相異なる4点について、次は同値。
　「4点が同一円周上にある」
　「2点を結ぶ直線の傾きと、残りの2点を結ぶ直線の傾きの和が0」
(Jun Fujiki による)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/16(火) 21:03:20.98

(略証)
適当な平行移動により、放物線を　y=kx^2　としてよい。(k≠0)
軸はy軸である。相異なる4点を
　A(a, ka^2)　B(b, kb^2)　C(c, kc^2)　D(d, kd^2)
とする。割線の式は
　AB：　y = k{(a+b)x - ab},
　CD：　y = k{(c+d)x - cd},
で、その交点 X(p, q) は
　p = (ab-cd)/(a+b-c-d),
　q = {ab(c+d) - (a+b)cd}/(a+b-c-d),

∴　(p-a)(p-b) - (p-c)(p-d) = - (a+b-c-d)p + (ab-cd) = 0,　… (*)

ここで ABの傾き k(a+b) とCDの傾き k(c+d) の和が0ならば
　AX・BX = CX・DX
方ベキの定理の逆により、4点A,B,C,Dは同一円周上にある。(終)

(*) を「放物線垂足の方ベキの定理」と名づけようかな…

そろそろ次スレを…

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/17(水) 00:45:59.84

次スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613490127/

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/17(水) 18:39:27.84

今年の早稲田理工5です。
以下の点Mと点Gは一致しますか？

正四面体OABCに対し、三角形ABCの外心をMとし、Mを中心として点A,B,Cを通る球面をSとする。
またSと辺OA,OB,OCとの交点のうち、A,B,Cとは異なるものをそれぞれD,E,Fとする。さらに三角形OABとSとの共通部分として得られる弧DEを考え、その弧を含む円周の中心をGとする。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/17(水) 18:55:26.13

>>988
一致しないんじゃ？
> 三角形OABとSとの共通部分として得られる弧DE
これってSをOABを含む平面で切った時の切断面である円の一部ってことになるんじゃないの？
当然その中心はOABを含む平面上にある

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/17(水) 20:14:13.31

何故一致すると思ったのやら

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/17(水) 23:13:20.63

なるほど
平面と交差してる円錐をyz平面に沿って傾けていけばいいのか

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/18(木) 02:35:41.03

108人を適当に選ぶと、1年のうち誰の誕生日でもない日は何日ある？(誰かの誕生日な日は何日ある？)

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/18(木) 06:17:05.03

>>944 によれば････

1年は365日とする。
或る1日が、ちょうどk人の誕生日である確率は
　C[n,k] (1/365)^k (1-1/365)^{n-k},

ちょうどk人の誕生日の日数の期待値は
　F_k[n] = C[n,k] (1/365)^{k-1} (1-1/365)^{n-k},
すなわち
　E[n] = (1-1/365)^n = 271.40193347　　･･･････誰の誕生日でもない日
　F1[n] = n(1-1/365)^{n-1} = 80.52584839
　F2[n] = (n(n-1)/2)(1/365)(1-1/365)^{n-2} = 11.83552991
　F3[n] = (n(n-1)(n-2)/6)(1/365^2)(1-1/365)^{n-3} = 1.14887012
　F4[n] = (n(n-1)(n-2)(n-3)/24)(1/365^3)(1-1/365)^{n-4} = 0.08285121

誰かの誕生日である日数の期待値は
　Σ[k=1,n] F_k[n] = 365 - E[n] = 365 - 271.40193347 = 93.59806653

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/18(木) 07:00:02.13

ねじれの位置にある平行ではない２直線上の２点を通る最短直線は両直線に垂直で
一意に決まるので最短垂線と呼ぶことにする。
四面体の３本の最短垂線が１点に交わるのは正四面体のときだけですか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/18(木) 07:38:08.23

>>994
No
立方体の角を切り取ってできる四面体とか

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/18(木) 08:01:12.66

>>995
直方体ですか。あっこれ等面四面体ってやつか

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/18(木) 13:16:20.05

無作為じゃなくて適当に選んでいいなら
257～364日の望みのままだよね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/18(木) 14:38:53.66

>>996
これに限る事を示せ

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/18(木) 15:56:36.74

限らんよなあ

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/18(木) 16:11:28.51

>>1000だったら、ガウス積分がパッと分かるようになる！

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