面白い問題おしえて～な 30問目
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前>>108
曲線とx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積は16/27
折れ線APQBとx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積は、これよりやや小さい。
今日で11月が終わる。 >>101
A (cosh(0), sinh(0))
P (cosh(p), sinh(p))
Q (cosh(q), sinh(q))
B (cosh(b), sinh(b)) b=log(3)=1.09861229
とおきます。
(>>102 のp,qとは別です。)
C上の点を (x,y) = (coshθ, sinhθ) とおくと
S(P,Q) = ∫(ydx-xdy) = {sinh(q-p) - (q-p)}/2,
だから
S(A,P) + S(P,Q) + S(Q,B)
= {sinh(p-0) + sinh(q-p) + sinh(b-q) - b}/2
≧ {3sinh(b/3) - b}/2 (← 下に凸)
= {3[3^(1/3) - (1/3)^(1/3)]/2 - log(3)}/2
= 0.012360077
最小となるのは (p,q) = (b/3, 2b/3) のとき。
P, Q の座標も求まる。
最大となるは (p,q)=(0,b) のときで、P=A, Q=B
S(A,B) = {sinh(b-0) - (b-0)}/2
= {(4/3) - log(3)}/2
= 0.117360522 >>111
正解です。
では面積出さない方法。
X=y∂/∂x + x∂/∂yとおけば
exp(tX)=[[cosh t,sinht][sinh t,cosht]]
でありP(t):=(cosh t,sinh t)=(exp tX)(1,0)である。
exp(tX)はP(u),P(v)をP(u+t),P(v+t)に移し、直線を保存するからS(P(u),P(v))=S(P(u+t),P(v+t))であり、Sの値はパラメータtの値の差のみによる事がわかる。(←key point)
さらにf(t)=S(P(0),P(t))とおくとき
f(t)=S(P(-t/2),P(t/2))=2∫[0,t/2](sinh τ)^2dτ
で(sinh τ)^2は短調増加であるからf(t)は凸関数である。
よってA=P(0), B=P(log3)であるから最小値を与えるP,Qは
(P,Q)=(P(log3/3),P(2log3/3))
=((a+1/3)/2,(a-1/a)2),((3/a+a/3)/2,(3/a-a/3)/2)
のとき。ただしa=3^(1/3)。
key pointが成立するのは他にも
単位円のとき
f(t)=t/2-(1/2)sin t
放物線のとき
f(t)=(1/6)t^3
となって同様の現象が起こります。 xy平面を考える。
生命体Zは、最初1匹だけが(1,1)にいる。
a,bを正の整数とする。座標(a,b)にいる生命体Zは、(a+1,b)と(a,b+1)に生命体Zが存在しない時に限り、以下に示す〈ルール〉に従って分裂することができる。ただし、分裂が可能であれば必ず分裂しなければいけないというわけではない。
〈ルール〉
(a,b)にいる生命体Zは消滅する。(a+1,b)と(a,b+1)に生命体Zが1匹ずつ生まれる。
第一象限の格子点を要素に持つ集合Sを考える。
命題Pを「ある格子点s∈Sに生命体Zが存在する」と定める。
以下の問に答えよ。
(1)S=｛(s,t)｜1≦s,t≦3 , s,t∈ℕ｝とする。命題Pの真偽を調べよ。
(2)命題Pを満たすSのうち、その要素数が最小であるものを1つ求めよ。 前>>110
APQBのx座標が等間隔になるとき、
√(p^2+1)=(5/3-1)/3+1
=11/9
p=√{(121-81)/81}
=2√10/9
√(q^2+1)=√(p^2+1)+2/9
=(-1+4√7)/9
q=4/9-p
=4/9-{(-2-2√7)/9}
=(6+2√7)/9
P((-1+4√7)/9,(-2+2√7)/9)
Q((-1+4√7)/9,(6+2√7)/9)
これは近いけど違うと。
どうやって計算しないで解くか。 >>113
問題の文章めちゃくちゃだけどエスパーして
(1)
「どんな分裂の仕方を選んでもS上に生命体を消す事は出来ない。」
は真
(∵) 第一象限の格子点のみ考える。
格子点(i,j)に(1/2)^(i+j)の得点をつけて生命体のいる場所の得点の総和は保存される。
Sに全て生命体がいる状態の得点の総和は49/64点。
S以外の点の格子点の得点の総和は15/64点。
∴S全てから生命体が消えるように分裂させることはできない。 >>113
の問題で
◯
◯
◯ ◯
の配置のとき>>115の得点で配置の得点が5/4点。
配置から逃げられる部分の得点の総和が5/4点だからこの配置は全消し不能とわかる。
三ヶ所の場合が分からん。
◯
◯ ◯
◯
◯ ◯
◯ ◯ ◯
以外の三ヶ所配置は全て全消し可能だけどこの３つが全消し可能か不可能か分からん。
誰かできる？ >>116
◯
◯ ◯
の配置2点で外部の配置も2点だからコレも不可能ですな。
二ヶ所以外は全消し可能だから求める最小値は3だ。 >>117
〇
〇〇
が最小のSってこと？オセロで実験したけどこのSからは逃げられたぞ >>118え？マジで？
手自由教えて。
再計算しても初期の配置も外側の配置も2点になる。 x≧0、y≧0で考えるとして
S={(0,0),(1,0),(0,1)}のときSの得点の総和は
1+1/2+1/2=2点。
格子点全体の得点は4点だからSの外側の得点も2点。
釣り合うときはギリギリ無理だと思うんだけど。 たぶん
◯◯◯
も無理だと思う。
CBA
として一手目はA。
この先Bを分裂させるまではこのAの子孫ばかりを分裂させる事になるけど、それらの分裂は先にBを分裂させても可能なので二手目はBとして良い。
同様に三手目はCとして良い。
この時点で
XYZ
. PQR
の形でPQの地点を消せるか？だけどPを(0,0)としてYZPQRで5/2点。
消さないといけないPQが3/2点で計4点。
x≧0,y≧0全体が4点なので不可能。
同じ理由で
◯
◯◯
も不可能だと思う。 >>119
(1,1)(1,2)(2,2)(2,1)の順でやれば逃げられない？
〇
〇〇
って(1,1)(1,2)(2,1)の3つだよね？ どんな分裂の仕方を選んでもSからZを消すことができない、そういうSを探せって問題だよね (1,1)を1点、(1,2)(2,1)をそれぞれ0.5点…というふうにしてどんな分裂の仕方をしても総和は1点、という発想イイネ。
この点数の付け方だと、級数を取って格子点にある点数の総和は4点と分かる。したがって、Sが3点以上なら逃げられない。(1)はそれで証明出来る。
でも、この発想で行くと
〇〇
〇〇〇
〇〇〇
が限界じゃないか？この配置だと3点だから有限回の操作では追い出せない。 >>122
あれ？
(1,1),(1,2),(2,1)
の状態から(1,1)
は分裂できないのでは？ あ？
今問題読み返して誤解してるのやっとわかった
Sは初期配置じゃなくてそこから逃げないとダメな集合ね。 とりあえず問題読み直して(1)。
二手目終わって
◯◯
❇︎ ◯
として良い。❇︎が原点。
三手目で
◯◯◯
❇︎ ◯
であれば>>121より◯◯◯の全消しが不可能なので済。
三手目で
◯
◯ ◯
❇︎ ◯
として良い。
>>121に述べたのと同じ理由で四手目は
◯◯
◯◯
❇︎ ◯
として良い。
ここで>>117により全消し不能。 >>124
そうだ、そうだね。
3x3は得点論法だけで無理なのすぐわかるね。
次は
◯
◯◯
◯◯◯
かな？ ◯
◯◯
◯◯◯
も不可能と思われる。
検証求む。
>>127と同じく❇︎は原点とする。
>>127と同じく二手目で
◯◯
❇︎ ◯
として良い。
選択肢は二つで
(a)
、◯
◯ ◯
❇︎ ◯
又は
(b)
◯◯◯
❇︎ ◯
(a)のとき。
>>121と同じ理由で四手目は
◯◯
、◯◯
❇︎ ◯
この時点でx,y≧2の部分に限定する。
この限定領域内で消す必要があるのは(2,2)で1/16点。
この時点で限定領域内の生命体の総得点が2/16点。
しかし限定域外から必然的に1/32が二個、1/16点入ってくる。
以上の総計が1/4点。
一方で全限定領域の総得点は1/4点。
釣り合ってるので(a)は詰み。 (b)のとき
>>121と同じ理由で六手目までで
◯◯◯
、◯◯◯
❇︎ ◯
として良い。
同じくx,y≧2に限定して
限定域内の生命体消す必要があるのは(2,2)の1/16点。
この時点で限定域の生命体の総得点は2.5/16点。
後から入ってくる生命体が0.5/16点。
やはり総計1/4点でこの場合も詰。 とりあえず
◯
◯◯◯
と
◯◯
◯◯
は可能。
ノートで徒然なるままにやつてみた範囲内でおそらく
◯◯
◯◯◯
は不可能っぽい。
答えは5くさいけど、コレは計算機マターだな。 前>>114
>>101
P(p,√(p^2-1))
Q(q,√(q^2-1))とおくと、
S(A,P)=∫[x=1→p]√(x^2-1)dx-{√(p^2-1)/(p-1)}(x-1)dx
S(P,Q)=∫[x=p→q]√(x^2-1)-{√(q^2-1)-√(p^2-1)}/(q-p)+{√(q^2-1)-√(p^2-1)}/(q-p)dx
S(Q,B)=∫[x=q→5/3]√(x^2-1)dx-/{(5/3)-q}
放物線y=√(x^2-1)とx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積16/27から、折れ線APQBとx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積を引くと、
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=16/27-(5/3-p/2-1/2)√(p^2-1)-(5/3-p/2-q/2){√(q^2-1)-√(p^2-1)}-(5/3-q){(4/3-√(q^2-1)}(1/2)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2
面積出して微分したら決まると思ったけど、未知数がpとqの2つある。
条件が足りないんでしょうか？
直線ABの傾きは2
直線PQの傾きはもう少し大きくてそのぶん直線QBの傾きがうんと小さいと思うんですが。
三角関数は面白くないんで、なしでお願いします。 それでやるなら二変数関数の最小値求めるテクニックで出来るかもしれません。
例
x^2+2xy+2y^2+4yの最小値
ますyを定数として
f(x)=x^2+2xy+2y^2+4y
の最小値を求める。
f'(x)=2x+2y=0すなわちx=-yのとき最小値
f(-y)=y^2+4y
次にコレら最小値の中で最も小さいものを求める。
g(y)=y^2+4yとおけばコレは
g'(y)=2y+4=0のとき最小値g(-2)=-4
のように。
計算死ぬけど。 ちなみに最小値をとるのはAQとPでの接線が平行かつBPとQでの接線が平行のときです。
そこから方程式立てれば式二つできます。
解くのは難しいけど確かめ算には使えるかもしれない。 前>>132
>>134それ直感的にあってそう。式が2つも増えて答えすぐ出るんじゃないの？ 前>>135
>>101
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2――①
直線APの傾きは、
√(p^2-1)/p
点Qでの曲線の傾きは、
(1/2)2q/√(q^2-1)=q/√(q^2-1)
これらが等しいから、
√(p^2-1)/p=q/√(q^2-1)
√(p^2-1)(q^2-1)=pq
(p^2-1)(q^2-1)=p^2q^2
p^2+q^2=1――②
点Pでの曲線の傾きは、
(1/2)2p/√(p^2-1)=p/√(p^2-1)
直線QBの傾きは、
{4/3-√(q^2-1)}/(5/3-q)={4-3√(q^2-1)}/(5-3q)
これらが等しいから、
p/√(p^2-1)={4-3√(q^2-1)}/(5-3q)
p(5-3q)={4-3√(q^2-1)}√(p^2-1)
5p-3pq=4√(p^2-1)-3√(p^2-1)(q^2-1)
②の1行前の式を代入すると、
5p=4√(p^2-1)――おかしい。なんでpが虚数になるんだい？ 前>>136訂正。よくミスるねぇ。風邪引いてんのかな？ 節々のboneが痛い。
>>101
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2――①
直線AQの傾きは、
√(q^2-1)/(q-1)
点Pでの曲線の傾きは、
(1/2)2p/√(p^2-1)=p/√(p^2-1)
これらが等しいから、
√(q^2-1)/(q-1)=p/√(p^2-1)
√(q+1)/√(q-1)=p/√(p^2-1)
√(p^2-1)(q+1)=p√(q-1)((p^2-1)(q+1)=p^2(q-1)
p^2-q-1=-p^2
2p^2-1=q――②
点Qでの曲線の傾きは、
(1/2)2q/√(q^2-1)=q/√(q^2-1)
直線PBの傾きは、
{4/3-√(p^2-1)}/(5/3-p)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
これらが等しいから、
q/√(q^2-1)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
q(5-3p)={4-3√(p^2-1)}√(q^2-1)
5q-3pq=4√(q^2-1)-3√(p^2-1)(q^2-1)
②を代入すると、
5(2p^2-1)-3p(2p^2-1)=4√{(2p^2-1)^2-1}-3√(p^2-1){(2p^2-1)^2-1}
10p^2-5-6p^3+3p=4√(4p^4-4p^2)-3√(p^2-1)(4p^4-4p^2)
-6p^3+10p^2+3p-5-2p√(p^2-1)+3･2p(p^2-1)=0
10p^2-3p-5=2p√(p^2-1)
100p^4-60p^3-91p^2+30p+25=4p^2(p^2-1)
96p^4-60p^3-87p^2+30p+25=0 >>125
(1,1)に分裂を適用して(1,1)が消え(1,2)と(2,1)に生まれる
次に(1,2)に分裂を適用して(1,2)が消え(1,3)と(2,2)に生まれる
次に(2,2)に分裂を適用して(2,2)が消え(2,3)と(3,2)に生まれる
最後に(2,1)に分裂を適用して(2,1)が消え(3,1)と(2,2)に生まれる
これで(1,1)(1,2)(2,1)からは逃げ出せる 前>>137
>>101
96p^4-60p^3-87p^2+30p+25を微分して=0とすると、
384p^3-180p^2-174p+30=0
128p^3-60p^2-58p+10=0
64p^3-30p^2-29p+5=0
p≒1.2 前>>139
>>137からやりなおし。
>>101
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2――①
2p^2-1=q――②
②を①に代入すると、
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2√(2p^2-1)/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√{(2p^2-1)^2-1)}+[p√{(2p^2-1)^2-1}-(2p^2-1)√(p^2-1)]/2
=2√(2p^2-1)/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)+[2p^2√(p^2-1)-(2p^2-1)√(p^2-1)]/2
=2√(2p^2-1)/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)+√(p^2-1)/2
=(2/3)√(2p^2-1)-14/27+(4/3)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)――③
点Qでの曲線の傾きは、
(1/2)2q/√(q^2-1)=q/√(q^2-1)
直線PBの傾きは、
{4/3-√(p^2-1)}/(5/3-p)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
これらが等しいから、
q/√(q^2-1)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
q(5-3p)={4-3√(p^2-1)}√(q^2-1)
5q-3pq=4√(q^2-1)-3√(p^2-1)(q^2-1)
②を代入すると、
5(2p^2-1)-3p(2p^2-1)=4√{(2p^2-1)^2-1}-3√(p^2-1){(2p^2-1)^2-1}
10p^2-5-6p^3+3p=4√(4p^4-4p^2)-3√(p^2-1)(4p^4-4p^2)
-6p^3+10p^2+3p-5-4･2p√(p^2-1)+3･2p(p^2-1)=0
10p^2-3p-5=8p√(p^2-1)
100p^4-60p^3-91p^2+30p+25=64p^2(p^2-1)
36p^4-60p^3-27p^2+30p+25=0
左辺を微分すると、
144p^3-180p^2-54p+30=0
24p^3-30p-9p+5=0 >>111
S(A,P) = {y(P) - p}/2,
S(P,Q) = {x(P)y(Q) - x(Q)y(P) -q +p}/2,
S(Q,B) = {x(Q)(4/3) - (5/3)y(Q) -b +q}/2,
・x座標で3等分した場合
A (1, 0)
P (11/9, 2(√10)/9)
Q (13/9, 2(√22)/9)
B (5/3, 4/3)
S(A,P) = {2(√10)/9 -p}/2 = 0.023914034
S(P,Q) = {2(11√22 -13√10)/81 +p -q}/2 = 0.001404007
S(Q,B) = {2(26 -5√22)/27 +q -b}/2 = 0.000551446
S = {4(39-2√10-2√22)/81 - log(3)}/2
= 0.025869489 > 0.012360077 >>111
S(A,P) = {y(P) -p}/2,
S(P,Q) = {x(P)y(Q) -x(Q)y(P) -q +p}/2,
S(Q,B) = {x(Q)(4/3) -(5/3)y(Q) -b +q}/2,
・y座標で3等分した場合
A (1, 0)
P ((√97)/9, 4/9)
Q ((√145)/9, 8/9)
B (5/3, 4/3)
S(A,P) = (4/9 - p)/2 = 0.006733131
S(P,Q) = {4(2√97 -√145)/81 +p -q}/2 = 0.004236483
S(Q,B) = {4(√145 -10)/27 +q -b}/2 = 0.002215716
S = {4(2√97 +2√145 -21)/81 - log(3)}/2
= 0.01318533 > 0.012360077 >>113
(2)の答えは５だ。
〇〇
㊤〇〇
が全消し不可(上が虫ね。)
４か所以下ならすべて全消し可能。
証明ながい。
気力がわけば書きます。 >>113
まず以下の証明の図の読み方の説明。
生命体を虫と呼ぶ。
◯は虫のいる点。
ーは虫を駆除する必要のある点、
㊀はその駆除する必要がある点に虫が現時点でいる状態である。
この虫を分裂させて㊀を消去する手順の有無を議論する。
コレらを格子状にならべた図式でAにおいて、そのような手順があるとき、その手順の最小値を最小駆除手数と呼ぶ。
存在しないときは無限大とする。
そのような図式X,A,B,C,‥においてXの最小駆除手数がA,B,C,‥の最小駆除手数の最小値以上のときXはA,B,Cに還元されると呼び、X|A,B,C,‥と表す。
左辺の最小駆除手数が右辺のそれの最小値より真に大きいとき強還元と呼ぶ。 証明に現れる還元を全て列挙する。
コレらが還元になっている事は後で示す。
⑦以外は全て強還元である。
A～Gの図の定義も兼ねている。
①A|B (初手実行)
ーー ｜ ㊀ー
㊀ーー ｜ ー㊀ー
②B|C,D(初手実行)
｜ ◯
㊀ー ｜ ー㊀ ㊀㊀
㊀ー ｜ ー㊀ー、 ー㊀
③C|E(初手実行)
ー ｜ ー◯
㊀㊀ ｜ ㊀ー◯
④E|B(終端優先)
ー ◯ ｜ ㊀◯
㊀ー◯ ｜ ー㊀◯
⑤D|F,G(初手実行)
｜ ◯
㊀㊀ ｜ ㊀ー◯ ㊀㊀◯
㊀ ｜ ㊀、 ー◯
⑥F|B(終端優先)
◯ ｜ ◯ ◯
㊀ー◯ ｜ ー㊀◯
㊀ ｜ ㊀
⑦G|B(終端除去)
｜ ㊀◯
㊀㊀◯ ｜ ー㊀◯ >>144のリストが還元になっている事を示す。
・初手実行の還元は実際に初手として可能な全ての分裂を行った結果の図を右辺に列挙する事によって得られる。
右辺に並ぶ図の最小駆除手数は全て左辺の手数+１であるから還元図になる。
ー例ー
②B|C,D(初手実行)
｜ ◯
㊀ー ｜ ー㊀ ㊀㊀
㊀ー ｜ ー㊀ー、 ー㊀
・終端優先の還元は左辺図内のある生物を分裂させてもその子が他の全ての生物の分裂を阻害しないとき、その分裂を優先する最小手順解があることから、その分裂を実行した図を右辺に書く事によって得られる。
やはり右辺の図の最小駆除手数は左辺の手数+１であるから還元図となる。
ー例ー
④E|B(終端優先)
◯ ｜ ㊀◯
㊀ー◯ ｜ ー㊀◯
・終端除去の還元は⑦のみである。
⑦左辺の虫を除去する最小手順において左の虫をA、それが分裂したときに現れる上の虫をB、右の虫をCとする。
Bは要駆除点でなく、Bは以降のたの分裂を邪魔しないため最小手順においては分裂しない。
Cは要駆除地点にいるのでいくらか後に分裂し、その上の虫をD、右の虫をEとするとBが分裂しないのと同じ理由でD、Eも分裂しない。
よって⑦左辺の最小駆除手順においてAとその子孫が分裂する回数は高々二回である。
よってその手順からAとその子孫を取り除けば図
ーー
ー㊀㊀
の駆除手順が得られ、その手順数は⑦左辺のものよりちょうど2小さい。
逆に⑦左辺の図において、上図の除去を行った後、AとCの分裂を行えば⑦右辺の図の駆除手順となるので⑦左辺の最小駆除手数は上図のそれ+2以下である。
以上により上図の最小駆除手数は⑦左辺のそれよりちょうど2小さい。
さらに上図に初手還元と終端優先を行えば
㊀◯
ー㊀◯
が得られ、その最小駆除手数は上図のそれよりちょうど2だけ大きい。
以上により⑦の左辺と右辺の最小駆除手数はちょうど等しいので⑦は弱還元である。
ー例ー
⑦G|H(終端除去)
｜ ㊀◯
㊀㊀◯ ｜ ー㊀◯ 証明を完成させる。
Aの図の最小駆除手数が有限とする。
①によってAはBに還元されるらBのそれも有限である。
還元を"合成"することにより②～⑦によってBはB自身に還元される。
すなわち
B|B
なる形の還元を得る。
当然左辺の最小駆除手数と右辺の最小駆除手数は等しい。
しかし先の"合成"において右辺のBへの還元は少なくとも⑦以外の還元を一回以上含むので強還元である。
よって左辺の最小駆除手数は右辺の最小駆除手順より真に大きい。
これは矛盾である。 後は全ての要駆除地点数が4か所以下の場合駆除可能を示せば>>113の(2)は終わり。
それはさほど難しくない。 前>>140つづき。
>>101
S=S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=(2/3)√(2p^2-1)-14/27+(4/3)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)――③
24p^3-30p^2-9p+5=0――④
③を微分すると、
S'=(2/3)(1/2)4p/√(2p^2-1)+(4/3)(1/2)2p/√(p^2-1)-2√(p^2-1)-2p(1/2)2p√(p^2-1)
=(4p/3)√(2p^2-1)+(4p/3-2-p)√(p^2-1)
=(4p/3)√(2p^2-1)+(p/3-2√(p^2-1)=0
4p√(2p^2-1)=(6-p)√(p^2-1)
16p^2(2p^2-1)=(p^2-12p+36)(p^2-1)
32p^4-16p^2=p^4-12p^3+36p^2-p^2+12p-36
31p^4+12p^3-51p^2-12p+36=0――⑤ >>146
訂正
>>145のリストは全部強還元だね
｜ ーー
㊀㊀◯ ｜ ー㊀㊀
が強還元だ。
左辺の最小駆除手数＝右辺の最小駆除手数+2でした。
なので
⑦左辺の最小駆除手数＝⑦右辺の最小駆除手数+４。 ω_Nを半径1のN次元空間球({x∈R^N | |x|=1})の体積(N次元ルベーグ測度)とする
(1) 急減少関数f:[0,∞)→Rに対して、
∫_R^N f(|x|) dx=Nω_N ∫_0^∞ r^(N-1) f(r) dr
となることを示せ
(2)ω_Nを求めよ >>153
すみません
修正します
球{x∈R^N | |x|≦1}です >>152
(1)
M=S^(N-1)とおき、Nの体積形式をηとする。
R×N→R^Nを(r,θ)=rθで定めればR^Nの体積形式はr^(N-1)ηdrである。
よって
∫[x∈R^N]f(|x|)dx
=∫[r>0,θ∈S^(N-1)] f(|rθ|)r^(N-1)ηdr
=∫[θ∈S^(N-1)]η∫[r>0] r^(N-1)f(r)dr
=vol(S^(N-1))∫[r>0] r^(N-1)f(r)dr
である。
一方で
ω_N
=∫[x≦1]1dx
=∫[0<r<1,θ∈S^(N-1)] r^(N-1)ηdr
=∫[θ∈S^(N-1)]η∫[0<r<1] r^(N-1)dr
=vol(S^(N-1))/N
により主張は成り立つ。
(2)
f(x)=exp(-x^2)とすれば
∫[x∈R^N]f(|x|)dx
＝(∫[t∈R]exp(-x^2)dt)^N
＝π^(N/2)、
∫[r>0]r^(N-1)exp(-r^2)dr
=∫[t>0]t^((N-1)/2)exp(-t)t^(-1/2)dt/2
=(1/2)∫[t>0]t^(N/2-1)exp(-t)dt
=Γ(N/2)/2
であるから(1)により
ω_N=2π^(N/2)/(NΓ(N/2))=π^(N/2)/Γ(N/2+1)。 >>155
正解です
(1)は測度論的にするのであれば
H^(N-1)を(N-1)次元ハウスドルフ測度として
Coarea formula
∫_R^N f(x)|∇u(x)|dx=∫_R∫_{u=t} f(x) dH^(N-1)(x)dt
においてu(x)=|x|とすれば極座標の積分が導けます
(H^(N-1)({x∈R^(N-1) | |x|=t })=(d/dt){ω_N t^N} となることもCoarea formulaから導ける) >>101前>>150正解は出たらしいけど出題者が意図した解法を言い当てただけで、肝心の座標が出てないみたいだから、今年最後の小説投稿がすんだら、ちゃんと計算してみるよ。
￣￣]/＼______∩∩_
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１００万回のシミュレーション結果
> k=1e6
> re=replicate(k,sim())
> mean(re[1,])
[1] 0.124957
> mean(re[2,])
[1] 0.08093
> mean(re[3,])
[1] 0.04078
直感通り、１，２，３の順番になった。 >>92
p = 256/(6^6) = 0.0054869684499314
q = 128/(6^6) = 0.0027434842249657
より
P(re[2,]) = 15p -45p^2 +10p^3 = 0.0809513716761635
P(re[3,]) = 15q -45q^2 +10q^3 = 0.0408137681123003 1. の５連(B)は、複数回現れる場合は重複しうる。
5連Bを1回以上含む確率
s1 + s2 + s3 + s4 = 32 / 243 = 0.1316872428
5連Bを2回以上含む確率
s2 + 3s3 + 6s4 = 408/243^2 = 0.006909515825
5連Bを3回以上含む確率
s3 + 4s4 = 2368 / 243^3 = 0.000165408747842
5連Bを4回含む確率
s4 = 4912 / 243^4 = 0.000001408747842
よって 1．の起こる確率は
P(re[1,]) = s1 + s2 + s3 + s4 = 435643544 / 243^4 = 0.124941348 訂正
5連Bを1回以上含む確率
s1 + ２s2 + ３s3 + ４s4 = 32 / 243 = 0.1316872428 5連Bをちょうどk回含む確率を s_k とすると
s1 + 2s2 + 3s3 + 4s4 = 32 / 243 = 0.1316872428
s2 + 3s3 + 6s4 = 408 / 243^2 = 0.006909515825
s3 + 4s4 = 2368 / 243^3 = 0.000165408747842
s4 = 4912 / 243^4 = 0.000001408747842
よって 1．の起こる確率 (5連Bを1回以上含む確率) は
P(re[1,]) = s1 + s2 + s3 + s4
= (s1+2s2+3s3+4s4) - (s2+3s3+6s4) + (s3+4s4) - s4
= 435643544 / 243^4
= 0.124941348 >>111
>>159
A (1, 0)
P ((c +1/c)/2, (c -1/c)/2) = (1.067805422329 0.374444147978)
Q ((cc +1/cc)/2, (cc -1/cc)/2) = (1.280416839911 0.799666983141)
B (5/3, 4/3) = (1.666666666667 1.333333333333)
ここに c = 3^(1/3) = 1.442249570307 b = log(3) = 1 + log(3/e) ≒ 3/e,
A (1, 0)
P (cosh(1/e), sinh(1/e)) = (1.06843424428 0.3762336167)
Q (cosh(2/e), sinh(2/e)) = (1.2831034687 0.8039617599)
B (5/3, 4/3) = (1.6666666667 1.3333333333)
とおくと
S(A,P) = S(P,Q) = 0.0041770878
S(Q,B) = 0.0040074760
∴ S = 0.0123616516 > 0.012360077 3^7 = 2187 ≒ 2197 = 13^3
3 ≒ (13/9)^3,
b = log(3) ≒ 3log(13/9),
A (1, 0)
P (125/117, 44/117) = (1.068376068 0.376068376)
Q (17561/117^2, 11000/117^2) = (1.282854847 0.803564905)
B (5/3, 4/3) = (1.666666667 1.333333333)
とおくと
S(A,P) = S(P,Q) = 0.004171798
S(Q,B) = 0.004017778
∴ S = 0.012361374 > 0.012360077 二次元平面上の閉曲線Aに対して、
Aの直径をA上の2点間の距離の最大値としたとき、
(Aの長さ/Aの直径)を「A周率」と定義する.
Aが凸閉曲線であるとき、A周率の最大値を求めよ.
また、その最大値を達成する曲線の中で、囲まれる面積を最小にするものを求めよ. ∞じゃないの？
直径1の円盤内にいくらでも長さの長い単純閉曲線いれられるのでは？ まずJordan凸閉領域Δに対しΔ(t)を
Δ(t)={p | d(p,Δ)≦t}
で定める。
この時vol(Δ(t))はtの多項式で
vol(Δ(t))=πt^2+l(∂Δ)t+vol(Δ)
である。(l(∂Δ)は∂Δの長さ)
実際折れ線の時明らかで一般のJordan凸領域の場合には折れ線近似で示される。
今Δが直径dの円盤Dに含まれる時
vol(Δ(t))≦vol(D(t))
が任意のt>0について成立するから特に
l(∂Δ)≦l(∂(D))=πd/2
である。
よって周率の最大値はπ/2である。 >>172
円の時、周率はもちろんπなので不正解です >>172
それに、曲線の直径がdだからといって、その曲線が直径dの円に入るとは限りません(正三角形とか) πとπ/2まちがえたのは単なる勘違いです。
そうか、直径がdだから直径dの円盤に入るとは限らないか。 前>>159
>>101【問題】
>>111>>165
x^2-y^2=1,x＞0
A(1,0)
P({3^(1/3)+1/3^(1/3)}/2,
{3^(1/3)-1/3^(1/3)}/2)
Q({3^(2/3)-1/3^(2/3)}/2,
{3^(2/3)-1/3^(2/3)}/2))
B(5/3,4/3)
5/3=(3+1/3)/2
4/3=(3-1/3)/2
AB間に面積的に等間隔にP,Qをとると、三乗根とその逆数の相加平均――という結果を受け入れるしかないなぁ。 前>>176
>>101正攻法で解く。
y=√(x^2-1)≧0,x≧1
=(x^2-1)^(1/2),x≧1
A(1,0)
P(p,√(p^2-1))
Q(q,√(q^2-1))
B(5/3,4/3)
S(A,P)=∫[x=1→p]{(x^2-1)^(1/2)-(p^2-1)^(1/2)(x-1)/(p-1)}dx
=[x=1→p]{(x^2-1)^(3/2)/(3/2)}/(2x)-(p^2-1)^(1/2)x^2/2(p-1)-x/(p-1)
=(p^2-1)√(p^2-1)/3p-(p^2-1)^(1/2)p^2/2(p-1)-p/(p-1)
-1/3+(p^2-1)^(1/2)1^2/2(p-1)+1/(p-1)
S(P,Q)=∫[x=p→q][(x^2-1)^(1/2)-{(q^2-1)^(1/2)-(p^2-1)^(1/2)}(x-p)/(q-p)-(p^2+1)^(1/2)]dx
S(Q,B)=∫[x=q→5/3][(x^2-1)^(1/2)-{(4/3)-(q^2-1)^(1/2)(x-5/3)}/(5/3-q)-4/3]dx
S(A,P)=S(P,Q)より、
――①
S(A,P)=S(Q,B)より、
――②
①②より、p= ,q=
∴P,Qの座標は、
P( , ),Q( , ) >>168がどう解けばいいのか分からん...
とりあえずx^p+y^p=1のハイパー楕円で数値計算してみたけどp=2が最小になりそうではあった 面白いかどうか人に依るけど、これの逆行列って手計算でいける？
https://i.imgur.com/TWuw4wX.jpg >>180
A(1,1) = 1
A(i,i) = 2 (2≦i≦n)
A(i,i+1) = -1,
A(j+1,j) = -1,
A(i,j) = 0, (|i-j|≧2)
B(i,j) = n+1 - Max{i,j} = min{n+1-i, n+1-j} >>168
とりあえず前半ができたかな？
適当に近似してC^∞で考える。
diam=2とする。
領域はa(-π/2)=a(π/2)=0である関数を用いて領域
-1+a(t)≦xcos(t)+ysin(t)≦1+a(t)
にあるとしてよい。
直線族xcos(t)+ysin(t)=1+a(t)の包絡線を計算すると
x=acos(t)-a'sin(t)、y=asin(t)+a'cos(t)
となりこの包絡線の長さは
∫(1+a+a'')dt
である。
同様に直線族xcos(t)+ysin(t)=-1+a(t)の包絡線の長さは
∫(1-a-a'')dt
となり、これら二曲線の長さの和は2πである。
よって元の曲線の長さも>>172により2π以下とわかる。
以上により周率の最大値はπである。□ >>180
・ブロック分割して直接計算（左下の漸化式）
・基本に戻って？掃き出し法
・>>181をチラ見した後（）なら、見当をつけて帰納法
自分で言うのもアレだが、どれもつまらない
Cartan行列もどきなので、何か上手い手があるのかもしれない >>182
例えばa(t)=cos(t)とすれば
包絡線は(x-1)^2+y^2=1になってしまい、直径2の凸図形が全て入るとは限らないと思うのですが >>184
すみません勘違いしました
つまり直径2の凸図形を任意に用意して、内部の点Oからx軸となす角度tの直線L(t)を引いて凸図形との二交点ABの距離は常に2以下なので|OA|≦1+a(t)、|OB|≦1-a(t)となるように関数a(t)が取れて、
さらに、その凸図形内の点(x,y)をL(t)に射影したときのOからの長さが常に1-a(t)、1+a(t)で抑えられるということですか？ >>185
そうです。
周の長さがa(t)の取り方によらず常に2πになるみたいです。 >>186
なるほど 素晴らしい解答ありがとうございます
ちなみに想定していた解法は以下の通りです
凸曲線C上の点pにおける接線lの平行線l’がC上の別の一点のみと交わるとき、lとl’の距離をW(t)とする.(Cの点pにおける幅)
曲線を{p(t)}_{t∈[0,2π]}として、p(t)における内向き法線ベクトルn(t)がn(t)=(cost,sint)となるようにパラメータ付ける. このとき、W(t)=-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)となる.
したがってLをCの長さ、vを単位接ベクトル、kを曲率とすれば、
∫_0^π W(t)dt
=∫_0^π {-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)}dt
=-∫_0^(2π) p(t)・n(t) dt
=-∫_0^L p(s)・n(s) k(s) ds (孤長パラメータに変換)
= -∫_0^L p(s)・v’(s) ds
= ∫_0^L p’(s)・v(s) ds
= ∫_0^L v(s)・v(s) ds
=L となる.
よって、max_{t∈[0,2π]} W(t)≦直径 に注意すれば、
周率=長さ/直径≦ ∫_0^π W(t)dt/ max_{t∈[0,2π]} W(t)
≦π* max_{t∈[0,2π]} W(t)/max_{t∈[0,2π]} W(t)=π. ◽︎
ちなみにこのことから、等号が成立する必要十分条件は凸曲線が定幅曲線、ということになります
したがって>>168後半の問題は「直径固定の定幅曲線で囲まれる面積が最小のものを求めよ」という問題になります 前>>177
>>111なんで急にlog3が出てきたの？
1/xを積分したの？
積分したら負けって言ったのに。気にlog。
log3/3=0.159040418……
2log3/3=0.318080836……
グラフを描いたらなんかわかる可能性はあるけど。なにかを知ってて意図的に出したとしか思えない。 前>>189
>>112は公約どおり積分してないみたいだけど、
expのとこが怪しい。
気にlog出したりはしてないけど、気に3^(1/3)を出してる。
数学は答えを言い当てる理科や社会とは違うはず。
論理的なつながりで答えを導かないと説得力がない。
正解とは言えない。 >>188
すみませんがこれは前半ほどサクッとは解けません
というより名前の付いた定理です(ググれば出ます)
ポントリャーギンの最大値原理を使って示します 前>>190
急に(きゅうに)を書きこむと、なぜか文字化けして、
× 気に(きに)になるけど、
○ 急に(きゅうに)です。
>>191点Bのx座標が5/3というのはわかります。
なにを解いてlog3が出てきたのかがわかりません。1/xを積分したのがlog|x|だというのは知ってます。 だから
cosh(t)=(e^t+e^(-t))/2=5/3
sinh(t)=(e^t-e^(-t))/2=4/3
を解く。 n個の実数 a_i (i=1,2,...n) から任意のx,y を選んでリストから消し、f(x,y)を付け加える操作を繰り返す
と最終的に一つの実数が残ります。最終的に残る値が選び方によらずに同一の値になるような
f(x,y)の必要十分条件を求めてください。 前>>193
>>194cosやsinやeが出てくるとわかりにくいので、3つの領域の面積を足すか、等しいとおくか、そっちの方針で積分の仕方を教えてもらえませんか？
S=∫[x=1→p](x^2-1)^(1/2)dx+∫[x=p→q](x^2-1)^(1/2)dx+∫[x=q→5/3](x^2-1)^(1/2)dx
-(1/2)(p-1)√(p^2-1)
-(1/2)(q-p){√(p^2-1)+√(q^2-1)}
-(1/2)(5/3-q){√(q^2-1)+4/3}
積分関数は微分したもの(2x)で割るんじゃなく、微分したもの(2x)を掛けるんでしたか？ 割るとすべての項が負になったので、これは違うなと。 >>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。 >>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。 >>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。 >>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。 スマソ。
あまりの重さに連投になってしまった。orz 前>>198え、あってんの!?
やったー!! やっぱ積分したら負けなんですね。積分しないで解けるってことですね。せやて積分したら3項とも負になったでね。連投いいですよ。べた褒めみたいでとてもいいです。
で、どうやってp,qを出すかですが、どうしたらいいんですか？ eとかcosとかsinとかなしで。置換してもいいけどcosとかはやめて。ていうか積分なしで。 >>204
だから>>198のS=の右辺をp,qの2変数関数とみなして増減を調べる。
第1項～第3項の和はp,qに無関係な定数。
未知数二つなので式二つ必要。
まずqを定数とみなしてpのみの関数とみなして微分して0が必要でそれで一個。
次にpを定数とみなしてqのみの関数とみなして微分して0が必要で二個目。
正しく解けは解ける。 前>>204
>>205
S'(p)=0より、――①
S'(q)=0より、――②
①②より、p= q=
積分したら負け、微分したら勝ち。
なるほど。面白い。 nを自然数とする。ある多項式F(x)について、xの次数がnの倍数である項の係数の和をf(n)とする。ただし定数項はxの次数が0である。
(0) F(x)=(1+x)^7 のとき f(2), f(3)の値を求めよ。また
(1) 素数pについて、
f(p)=(1/p)*{Σ[k=1→p] F(cos(2kπ/p)+isin(2kπ/p))}
で表されることを示し、
(2) f(n)=(1/n)*{Σ[k=1→n] F(cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n))}
で表されることを示せ。 >>207
各nについてf(n)を多項式環からの写像と見なせば線形写像であるから単項式について示せば十分。
以下ζ=e^(2πi/n)とする。
F(x)=x^tとする。
tがnの倍数でないとき
(1/n)ΣF(ζ^k)=(1/n)(1-ζ^n)/(1-ζ)=0=f(n)。
tがnの倍数のとき
(1/n)ΣF(ζ^k)=(1/n)n=1=f(n)。 >>208
すいません、高校数学の言葉に焼き直すとどうなりますか...？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
