面白い問題おしえて～な 30問目

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/04(月) 20:26:59.10

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/26(日) 11:30:27.76

３個までなら頭で想像できるでしょ？
-1/2≦x<1/2、-1/2≦y<1/2、-1/2≦z<1/2の表す立方体の中のx+y+z>1/2とx+y+z≦-1/2の部分の体積の和。
これが三角錐二つになるのがわからなければいわゆる"x=kで切った断面積を積分"でもできるけど、この程度の図形は頭で想像できないと理系ではやってけない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/26(日) 12:01:44.48

>>931
実数の数を増やしてグラフを書いてみた。

https://i.imgur.com/oacvEdh.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/26(日) 12:02:51.43

>>947
２～１００でシミュレーションしてグラフにしてみた

なんとなく収束する雰囲気はある。（振動するかもしれんけど）

https://i.imgur.com/3R591mV.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/26(日) 13:10:58.62

>>949 の補完
A≒B ⇔ (A/B→1 as n→∞) と定める。
∫_(X∈[0,1]^n) 1_(|m-ΣX|≦1) dX = I(n,m) とおく。
中心極限定理から Σ_[m=0,n] nCm ≒ Σ_[ |m-(n/2)|≦n^(2/3) ] nCm.
これと I(n,0)≦I(n,1)≦…≦I(n,[n/2]), I(n,m)=I(n,n-m) から
Σ_[m=0,n] nCm I(n,m) ≒ Σ_[ |m-(n/2)|≦n^(2/3) ] nCm I(n,m).

また、0<m<n/2 の時 2^(1-n)･(nC(m-1))≦I(n,m)≦2^(1-n)･nC(m+1) であるが、
|m-n/2|≦n^(2/3) という制約のもとでは nC(m-1)≒nCm≒nC(m+1) (implied constant はnのみに依存) であるから、結局
Σ_[ |m-n/2|≦n^(2/3) ] nCm I(n,m)
≒ Σ_[ |m-n/2|≦n^(2/3) ] nCm･2(nCm/(2^n))
≒ Σ_[m=0,n] nCm･2(nCm/(2^n)).

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/26(日) 15:23:57.59

>>954
一応この値に収束するハズの値に向かってる香りはするな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/26(日) 16:11:18.38

うわ…多分I(n,m)の評価の所で色々やらかしてる…けど結論はちゃんと導けるはず
正確にやるにはおそらく、各固定された正のαに対して Σ_[ |n-m/2|≦α√n ] の範囲で和をとった時、
(i)その値のn→∞の時の挙動を、中心極限定理を使って調べる
(ii)その範囲の和と元の範囲の和 Σ_[m=0,n] の比が、α→∞の時に1に収束する
ことを示せば良い

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/01/26(日) 16:22:29.04

前>>928
>>931
端数の平均は0.5
3つの実数の端数の平均を足すと、
0.5×3=1.5
端数の合計が0以上1未満なら四捨五入してもいっしょだけど1以上1.5未満なら四捨五入したとき異なる値になる。
(1.5-1)/1.5=0.5/1.5
=1/3
∴1/3は異なる

>>948あってるような気もするけど、違うような気もする。
>>931三角錐を描くと、
三角錐V=(1/3)Sh
=(1/3)(1/2)absinθ･h
=(1/6)abhsinθ
=(1/6)abc(h/c)sinθ
0≦h/c≦1,0≦sinθ≦1だから、
V≦(1/6)abc
三角錐は最大で3辺の積の、
1/6になる。
けど、だから3つの実数の和を四捨五入したものと3つ実数を四捨五入したものの和が異なる確率が1/3とすぐには言いにくい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/26(日) 16:36:40.29

>>948
その理屈だと確率は1/nになるけど、pnはｎの増加関数だから論証は間違いだろうな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/26(日) 16:38:27.86

>>958
実数が10個のときの確率はどうなる？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/01/26(日) 16:54:10.19

前>>958
>>960
端数の平均は0.5
10個の実数の端数の平均を足すと、
0.5×10=5
端数の合計が0以上1未満なら四捨五入してもいっしょだけど1以上5未満なら四捨五入したとき異なる値になる。
(5-1)/5=4/5
∴4/5は異なる

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/26(日) 17:35:19.21

>>961
百万回シミュレーションして頻度を出してみたら

> sim(10,1e6)
[1] 0.589245

という結果になった。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/26(日) 22:17:24.07

I = [-1/2,1/2)
V_n,1 = {(x_1,..,x_n)∈I^n | x_1+..+x_n >= 1/2}
V_n,2 = {(x_1,..,x_n)∈I^n | x_1+..+x_n < -1/2}
|V| = Vの体積
とすると
p_n = |V_n,1| + |V_n,2|
であってる？

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/26(日) 23:34:03.03

>>963
その視点は見逃してたわ…合ってるよ合ってる

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 05:13:28.53

>>939 >>947
区間I=[-1/2,1/2)で一様分布する独立なn個の実数を足してもIに含まれる確率をP[n]とすると
P[n]=(1/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx
である。

例：P[3]=2/3, P[4]=115/192, P[5]=11/20,...

証明：
f[1](x)=1; (-1/2≦0<1/2)
f[1](x)=0; (otherwise)
として
f[n+1](x)=f[n]〇f[1]=∫[-∞,∞]f[n](y)f[1](x-y)dy
と置くと
P[n]=∫[-1/2,1/2]f[n](x)dx=f[n+1](0) ----(1)

ここでfのフーリエ変換をFとすると、畳み込みが積になるので
F[1](t)=sin(t/2)/(t/2),
F[n](t)=(sin(t/2)/(t/2))^n
逆変換して
f[n](x)=(1/(2π))∫[-∞,∞](sin(t/2)/(t/2))^n e^(ixt)dt
これを(1)に代入して
P[n]=(1/(2π))∫[-∞,∞](sin(t/2)/(t/2))^(n+1)dt
=(1/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 05:15:02.54

>>965 の結果より
(√n)P[n]=(√n/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx
ここで(sinx/x)^(n+1)→(1-x^2/6)^(n+1)→e^(-(n+1)x^2/6) (n→∞)だから
(√n)P[n]→(√n/π)∫[-∞,∞]e^(-(n+1)x^2/6)dx
→(1/π)∫[-∞,∞]e^(-u^2/6)du
= √(6/π)
= 1.3819...

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 06:16:51.73

>>966
>954のシミュレーションは正しいみたいでほっとした。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 06:34:46.53

３～１０でのシミュレーション
> sapply(3:10,function(n) fpn(n,k=1e5))
[1] 0.66694 0.59719 0.55017 0.50919 0.47722 0.45076 0.42785 0.40860

積分値
> sapply(3:10,Pn)
[1] 0.6666603 0.5989594 0.5499998 0.5110238 0.4793651 0.4529209 0.4304178 0.4109626

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 06:56:49.40

>>965
シミュレーションでn=3 のときの　Pnの確率をヒストグラムにしてみたけど、これって正規分布じゃないのですね。

https://i.imgur.com/UvH9wLj.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 07:26:49.20

>>969
正確な分布関数はf[n](x)で区分n-1次多項式になる。
n=3のとき
f[3](x)=(2x+3)^2/8; (-3/2≦x<-1/2)
f[3](x)=-x^2+3/4; (-1/2≦x<1/2)
f[3](x)=(2x-3)^2/8; (1/2≦x<3/2)

n→∞の極限で正規分布に近づく。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 08:23:35.72

(sinx/x)^(n+1)が確率密度関数じゃないんだ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 08:28:18.93

>>971
それは確率密度関数をフーリエ変換した関数

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 08:59:18.09

>>965
おそらく正解。
私もそれで出したけど細かいチェックしてなかった。
要は特性関数からレヴィの反転定理で元に戻すとそうなりますね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 09:40:58.94

>>966
うぎゃ…2/√π じゃなかったのか…シミュレーションとも（やや）合ってなかったしもっと確かめればよかった
フーリエ変換とかもっと勉強しよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 12:32:33.46

>>970
( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 14:42:13.57

>>970
すいません、誘導過程が全くわかりません。
解説されても私には理解できない予感がします。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 14:49:08.92

>>976
なんで？その上にあるたたみ込み計算するだけジャン
確率密度関数は要らないがよ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/01/27(月) 16:15:38.55

>>760最短10秒かもしれんな。プールサイドを5秒速足で歩いて、直角に曲がって向こう側から進行方向に対して60°の方向に飛びこめば、ちょうど10秒で対角線に達する。どこから飛びこんでも10秒を超える場所はない。なんだ5+10/√3て？　10秒超えてるじゃんねぇ。
~∩∩前>>961せ　∩∩
(-.-))めて有理 (`)　)
[￣]_)化しろよ。U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ(γ)
____/＼/,,(`.`))⌒ﾞ,|
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U⌒U､___／| |
□　| ∥~U~U~￣∥ | /
____| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_______∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 16:28:13.31

俺もフーリエ変換とかもっと勉強しよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 16:43:36.59

発展形。
Xiが平均0のiidで2次のモーメント(=分散)σ^2=E(X^2)を持つとする。
a>0を正の定数とし
pn=P(|ΣXi|>a)
とおくとき
lim √n(1-pn)=√(2/π)a/σ
を示せ。

自作問題。
またまた自信はない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 16:55:04.72

正解は正直者なしなので、それを論証したい方のみお考えください。
正解がないように問題を作成したつもり。

AからHの8人はそれぞれ正直者か嘘つきであり、誰が正直者か嘘つきかはお互いに知っている。
A,B,C,D,Eは嘘つきなら必ず嘘をつくが、F,G,Hは嘘つきでも正しいことを言う場合がある。
次の証言から誰を確実に正直者と断定できるか？

A「嘘つきの方が正直者より多い」
B「Hは嘘つきである」
C「Bは嘘つきである」
D「CもFも嘘つきである」
E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
F「8人の中に、少なくとも2人嘘つきがいる」
G「Eは嘘つきである」
H「AもFも正直者である」

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 17:01:18.60

>>980
iidって
independent identical distribution?

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 17:27:24.23

正解は解なしで解答不能じゃないの？
確かにないみたいだし。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 17:27:48.85

>>982
yes

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 17:31:46.22

>>980
あ、各分布は連続分布関数を持つはいるかもしれない。
いらないかもしれない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 17:54:36.90

>>983
つまり、
解答不能を論証する問題

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 18:16:48.38

>>986
プログラム組んでみたらないみたいですな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 18:24:11.92

(a,b,c,d,e,f,g,h)=((!!0),(!!1),(!!2),(!!3),(!!4),(!!5),(!!6),(!!7))

nOfLiers x = length $ filter (==False) x
nOfHonests x = length $ filter (==True) x
asay x = (nOfLiers x) > (nOfHonests x)
bsay x = not $ h x
csay x = not $ b x
dsay x = (not $ c x) && (not $ f x)
esay x = nOfLiers x>=1
fday x = nOfLiers x>=2
gsay x = not $ e x
hsay x = (a x) && (f x)

xs = (!!8) $ iterate (\x->[a:b| a<-[True,False],b<-x]) [[]]
isFitToTheySaid x = all (==True) $ map (\y-> y x) [asay, bsay,csay,dsay,esay,fday,gsay,hsay]
fits = [x|x<-xs,isFitToTheySaid x]

main = do
print $ length fits

----
0

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 18:30:51.17

あ、間違い。
15行目
isFitToTheySaid x = all (==True) $ zipWith (==) x $ map (\y-> y x) [asay, bsay,csay,dsay,esay,fday,gsay,hsay]
どのみち0。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 18:36:21.08

>>981
G と E だけ抜き出すと、

> E「8人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」
> G「Eは嘘つきである」

E が正直で G が嘘つきで嘘を言ってた場合、
この組の発言は他に影響を与えないし依存もしていないので
他の 6人の発言に矛盾があろうとなかろうと
E は正直というのは駄目？

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 18:45:10.83

>>980
Yiを平均＝分散＝７のポアソン分布として　Xi=Yi-7　（平均を０にするため）、a=3、qn = P(|ΣXi|<a)　（1-pnをｑｎとした）として√(n)*qnをグラフにしてみた。

https://i.imgur.com/10KK5IR.jpg

√(2/π)a/σ= 0.9047161　だけど、収束する様子がない。

離散分布だと成立しないのかも？

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 18:54:26.63

>>980
各Xiを, {-1,1}のどちらかの値をそれぞれ確率1/2でとる確率変数と定めると, a=0.5 と定めた時に
nが奇数なら 1-p_n=0 になる一方, nが偶数なら 1-p_n=2^(-n)･nC(n/2)≒√(2/(πn)) になるから, 成り立たなさそう

連続分布関数に限定すればおそらく同じような問題は起きないぽいけど, これが本当に十分条件かは自信ない…

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 19:12:14.34

>>989
また訂正
fday x = (not $ f x) || (nOfLiers x>=2)
gsay x = (not $ g x) || (not $ e x)
hsay x = (not $ h x) || ((a x) && (f x))

fが言ったのは
私は嘘つきか嘘つきの数は2以上
ね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 19:14:07.87

>>991-992
分布関数が不連続の点ではレヴィの反転定理が成立しないので今持ってる証明だと成立しない可能性はありますね。
今持ってる証明が正しい保証もないけどw

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 19:16:43.45

>>988
>プログラム組んでみたらないみたいですな。

いつも華麗なコードをありがとうございます（使わないのでHaskellはほぼ忘れておりますが）

実際、正解がないようにプログラムで作ったので、他の言語でそれが確認されて光栄。
珍しく、魔法の呪文のようなHaskellのコードの長さがRと同程度なのには驚き。いつも数十行のRコードをHaskell数行で実行されちゃいますので。

TE=expand.grid(0:1,0:1,0:1,0:1,0:1,0:1,0:1,0:1)
colnames(TE)=LETTERS[1:8]
f <- function(x){
all(c(
x[1]==1 & sum(x==0)>sum(x==1) | x[1]!=1 & !(sum(x==0)>sum(x==1)),
x[2]==1 & x[8]==0 | x[2]!=1 & x[8]!=0,
x[3]==1 & x[2]==0 | x[3]!=1 & x[2]!=0 ,
x[4]==1 & (x[3]==0 & x[6]==0) |　 x[4]!=1 & !(x[3]==0 & x[6]==0),
x[5]==1 & sum(x==0)>=1　| x[5]!=1 & !(sum(x==0)>=1),
x[6]==1 & sum(x==0)>=2　| x[6]==0,
x[7]==1 & x[5]==0 | x[7]==0,
x[8]==1 & (x[1]==1 & x[6]==1) | x[8]==0
))
}
TE[apply(TE,1,f),]

1] A B C D E F G H
<0 rows> (or 0-length row.names)　＃ 0　行＝ありませんという表示

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 19:20:36.78

>>974
多分フーリエ変換よりもこういうの勉強した方が理解につながるかと
http://my.reset.jp/~gok/math/pdf/probability/16sssta07.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 19:28:57.79

あとこれは本当に興味本意だけど, 例えば
各Xiを集合{-1, 1-√2, √2}上の離散一様分布とした時に同じ主張が成り立つか, というのは興味がある
あくまで離散的だけど, 畳み込みする毎に中央あたりがどんどん"密"になっていく訳だから…

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 19:38:48.10

>>990
6人の発言に矛盾があったら、E＝正直、G＝嘘つきの前提が成立しなくなるよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 19:43:56.78

>>996
ありがてえ…わかりやすい

**１３２人目の素数さん** · 2020/01/27(月) 20:06:25.58

（　・∀・）＜そろそろ次スレ

**1001** · Over 1000

このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
life time: 83日 23時間 39分 26秒

**1002** · Over 1000

5ちゃんねるの運営はプレミアム会員の皆さまに支えられています。
運営にご協力お願いいたします。

───────────────────
《プレミアム会員の主な特典》
★ 5ちゃんねる専用ブラウザからの広告除去
★ 5ちゃんねるの過去ログを取得
★ 書き込み規制の緩和
───────────────────

会員登録には個人情報は一切必要ありません。
月300円から匿名でご購入いただけます。

▼ プレミアム会員登録はこちら ▼
https://premium.5ch.net/

▼ 浪人ログインはこちら ▼
https://login.5ch.net/login.php