面白い問題おしえて～な 28問目
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
平均 A 日で天国に行けるとすると
A = 1/3・0 + 1/3・(A + 1) + 1/3・(A + 2)。
∴ A = 3。 〔問題2926〕
mを正の整数とする。
θを 0≦θ≦π/2 の範囲で動かすとき、次の関数の値域を求めよ。
f_m(θ) = √{1 -(sinθ)^m} + √{1 -(cosθ)^m}.
http://suseum.jp/gq/question/2926 〔問題2931〕
ΔABCにおいて、
辺ABを f:(1-f), g:(1-g) に内分する点をそれぞれ X，Y
辺BCを f:(1-f), g:(1-g) に内分する点をそれぞれ Z，W
辺CAを f:(1-f), g:(1-g) に内分する点をそれぞれ U，V
とする。（0<f≠g<1）
このとき ΔXZU と ΔYWV が相似であれば、ΔABCは正三角形であることを示せ。
http://suseum.jp/gq/question/2931 〔問題2937〕
⊿ABCで AB=7，AC=4，また辺BC上の1点Dについて AD=7/2 である。
BD、CD がともに正の整数であるものとして、BDの長さを求めよ。
http://suseum.jp/gq/question/2937 〔問題2938〕
3個のサイコロA，B，Cをこの順で1度づつ振る。
いちばん小さい出目が2のとき、いちばん大きい出目が4である確率はいくらか？
http://suseum.jp/gq/question/2938 >>41
エレガントな解だなぁ。
早速、シミュレーションしてみました。
> door <-function(){
+ stay=x=sample(0:2,1)
+ while(x!=0){
+ x=sample(0:2,1)
+ stay=append(stay,x)
+ }
+ sum(stay)
+ }
> re=replicate(1e3,mean(replicate(1e3,door())))
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
2.606 2.914 3.003 3.001 3.083 3.427 サイコロをふって１の目がでたら終了。 終了までにでた目の総和の期待値はいくらか？ >>47
自信がないけど
x=1/6*1+5/6*(x+4)を解いてx=21でいいんだよな？ >>45
3/15=1/5
x=[[a,b,c]|a<-[1..6],b<-[a..6],c<-[b..6],minimum[a,b,c]==2]
length x --15
length $ elemIndices 4 (map maximum x) -- 3 >>49
これは間違い、組み合わせじゃなくて順列にしなくちゃいけなかった。
x=[[a,b,c]|a<-[1..6],b<-[1..6],c<-[1..6],minimum[a,b,c]==2]
length x -- 61
length $ elemIndices 4 (map maximum x) --12
12/61 >>47
サイコロをふって１の目がでたら終了。
（１）終了までにでた目の総和の期待値はいくらか？
（２）総和が５０以上になる確率はいくらか？
（２）はどうやって解けばいいんだろ？
場合分けして１～４９まで場合分けして余事象でだすしかないのだろうか？ >>51
そうだと思うけど…
SageMath：
,var x
f = (x/6)/(1-(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)/6)
1-f.taylor(x,0,49).subs(x=1)
2887816213848518927/28430288029929701376
0.101575341438975 >>51-52
おおよそなら、1回1以外の目が出るごとに平均して総和が4大きくなるから、
総和が50以上になるのは12～13回1以外の目がでればいい。
(5/6)^12 = 0.112156654784615
(5/6)^13 = 0.0934638789871792
近似としてはまあまあか？ >>54
なるほど！ そうすればできるね。
,var n
R.<x> = CC['x']
g = (x/6)/(1-(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)/6)/(1-x) #x^nの係数は総和がn以下になる確率
pfd = g.partial_fraction_decomposition()
p = sum(c.numerator()/c.denominator().subs(x=0)*(-1/c.denominator().subs(x=0))^n for c in pfd[1]) #pは総和がn以下になる確率
sage: p
-0.924602908258674*e^(-0.0450727249412852*n)
- (0.0141317451913899 + 0.0178673357104935*I)*e^(-(0.329151925064039 - 1.18446726809051*I)*n)
- (0.0141317451913899 - 0.0178673357104935*I)*e^(-(0.329151925064039 + 1.18446726809051*I)*n)
- 0.0172163389039878*e^(-(0.361410021965218 - 3.14159265358979*I)*n)
- (0.0149586312272785 + 0.00913725707805078*I)*e^(-(0.363486436096737 - 2.18509474953750*I)*n)
- (0.0149586312272785 - 0.00913725707805078*I)*e^(-(0.363486436096737 + 2.18509474953750*I)*n)
+ 1.00000000000000
sage: 1-p.subs(n=49)
0.101575341438976 + 5.79026428787119e-24*I 能力的についていけない、コードと議論なんだけどRでのシミュレーション解（１０００回の頻度の１０００回平均値）と一致しております。
> dice = function(){
+ total=x=sample(6,1)
+ while(x!=1){
+ x=sample(6,1)
+ total=total+x
+ }
+ total
+ }
> re50=replicate(1e3,mean(replicate(1e3,dice()>=50)))
> summary(re50)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0740 0.0950 0.1010 0.1013 0.1070 0.1350 >>56
生成関数をTaylor展開で1を代入は場合分けしているのも同然だし、nが変わるごとn回微分するのはコストがかかる。
部分分数分解すればn乗ですむ、というのが>>54の指摘。
生成関数の部分分数分解は基本ともいえるのにでなかったのが恥ずかしい。 結局有理関数のテイラー展開の係数だからn項間関係の漸化式とけばいいんだね。
Prelude Data.List Data.Ratio> let ns n d = map head $ iterate(¥p -> (++[0] )$ tail $ zipWith (-) (p ++ (repeat 0)) $ map ((*) $ (head p)/(head d)) d) n
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ (!!49) $ ns [0,1%6] [6%1,-6%1,-1%1,0,0,0,0,1%1]
0.8984246585610248
Prelude Data.List Data.Ratio> 1 - it
0.10157534143897518 訂正
Prelude Data.List Data.Ratio> let ns n d = map ((/(head d)).head) $ iterate(¥p -> tail $ zipWith (-) (p ++ (repeat 0)) $ map ((*) $ (head p)/(head d)) d) n
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ (!!49) $ ns [0,1%1] [6%1,-6%1,-1%1,0,0,0,0,1%1]
0.8984246585610248
Prelude Data.List Data.Ratio> 1 - it
0.10157534143897518 答えが1/4じゃなくて10/49なのはトランプ問題
では、答えが4/25じゃなくて20/61なのは何問題？ >>59
>51,56です。
いつも簡潔なHaskellのコードをありがとうございます。
自分にはか初見and/or失念のコマンドを調べながら勉強してます。 >>57
すみません。
そもそもテイラー展開が出てくる理屈からしてわからないものです。 答え載せてるんだから、コレよりいい解答を見つけよが題意じゃね？
答えだけ書いてどうする？
しかも十分性成り立ってないし。 >>51
総和の分布ってパラメータ1/21の指数分布になるみたいだな。
グラフにするとそんな感じだけど証明はわからんのであしからず。 >>44
△ABC∽△DACになるようにしたら相似比2:1だからBC=8, CD=2 となってBD=6。
それしかないかを調べるにはどうするのがよいだろうか？ >>64
生成関数のべき級数展開をx^49の項まで求めているだけです。
ここでの生成関数はx^nの係数が総和がnになる確率です。 >>44
AB=7, AC=4, AD=7/2,
BC < AB + AC = 7 + 4 = 11,
BC = BH + CH
= √(AB^2-AH^2) + √(AC^2-AH^2)
≧ √(AB^2-AD^2) + √(AC^2-AD^2)
= (7√3 + √15)/2
= 7.99867
∴ 8 ≦ BC ≦ 10 >>61
>>45の答えは12/61だけど、20/61になるような改題は作れる？ 前>>65△ABCを描き、BC上にAD=7/2なるDをとると、
x=BDの条件は、
AB-AD＜BD＜AB+AC
7-7/2＜x＜7+4
よってBDは4、5、6、7、8、9、10のいずれか。
AからBCに垂線AHを引くと、
AC^2-CH^2=AB^2-BH^2
=AD^2-DH^2
4^2-(y+z)^2=7^2-(x+y)^2
=(7/2)^2-y^2
16-(y+z)^2=49-(x+y)^2
=49/4-y^2
xとyについて解くと、
196-4(x^2+2xy+y^2)=49-4y^2
196-4x^2-8xy=49
8xy=147-4x^2
y=147/32-2=83/32
yとzについて解くと、
BD=4のとき、y=DH、z=CH-yとすると、
DC=DH+HC=y+z=83/16+z
=83/16+CH-y
――中略―――――
BD=4、5、6はいずれもNG
――中略―――――
x=BD=7のとき、
49/4-y^2=7^2-(7-y)^2
=49-(49-14y+y^2)
49/4=14y
y=7/8
CH=√{16-(49･15/64)}
={√(1024-735)}/8
=(√289)/8
=17/8
y=DH=√{(7/2)^2-(7√15/8)^2}
=7/8
BH=√{7^2-(7√15/8)^2}
=49/8
BD=BH+DH=49/8+7/8=56/8=7
CD=CH-DH=17/8-7/8=10/8=5/4
BD=7はNG
x=BD=8、9、10は未調査。
この中にある可能性がある。 そもそも答え出すだけなら
(x^2+3.5^2-7^2)/7x=-(y^2+3.5^2-4)^2/7y
3.5<x<10.5, 0.5<y<7.5
の整数解出すだけだから問題としては大して難しいわけでもない。
エレガントなやつを求められてる。 前>>72
BDが整数のときCDも整数になったらそれが答えなんだが、BD=8、9、10でもならなんだ。
しらみ潰しに調べてしらみを潰しきった。
∴解なし
または計算間違い。
おそらく同じ図を使ったときAH辺り同じ数字を使った可能性がある。 >>75
AB=7,AC=4,AD=7/2,BD=x,CD=y
cos(∠ADB)+cos(∠ADC)=0→(x^2+49/4-49)/(7x)+(y^2+49/4-16)/(7y)=0
正整数解は(x,y)=(6,2) 前>>75見落とし、6を。
x=BD=6のとき、
AB^2-BH^2=AD^2-DH^2=AC^2-CH^2
7^2-(x+y)^2=(7/2)^2-y^2=4^2-z^2
49-x^2-2xy-y^2=49/4-y^2=16-z^2
xとyについて解くと、
49-x^2-2xy-y^2=49/4-y^2
(3/4)49-x^2-2xy=0
y=(3/8x)49-x/2
x=6を代入し、
y=49/16-3
=1/16
yとzについて解くと、
(7/2)^2-y^2=4^2-z^2
49/4-y^2=16-z^2
z^2=16-49/4+y^2
z^2=15/4+y^2
y=1/16を代入すると、
z^2=15/4+1/256
=(15･64+1)/256
=(960+1)/256
=961/256
z=31/16
CD=y+z=1/16+31/16=2
BDもCDも整数ゆえOK。 数列{a_n}は
a_1=1
a_(3n+1)=a_(2n+1)
a_(3n-1)=a_(2n-1)
a_(3n)=-a_n
を満たす。この時、 lim_(n→∞) (1/n)Σ_(k=1,n)a_k を求めよ >>70
BC が決まると、ピタゴラスの定理より BH，CH が出る。
2BH - BC = BH - CH = (BH^2 - CH^2)/(BH+CH) = (AB^2 - AC^2)/BC = 33/BC,
BH = (BC + 33/BC)/2,
CH = BC - BH = (BC - 33/BC)/2,
さらに
y = DH = √{BH^2 + AD^2 - AB^2} = √(BH^2 - 147/4),
x = BD = BH - DH = BH - √{BH^2 + AD^2 - AB^2} = BH - √(BH^2 - 147/4),
または
x = BD = BC - CH - √(CH^2 + AD^2 - AC^2) = BC - CH - √(CH^2 - 15/4),
これに BC = 8，9，10 を入れる。 サイコロを１０００回ふったとき１２３４５６の順に並ぶめがある確率は？
(1000-6+1)/6^6=995/46656= 0.0213263
であってる？ >>81
10万回のシミュレーションで
> diseq = function(x) grepl("123456",paste(sample(6,x,rep=T),collapse=''))
> re=mean(replicate(1e5,diseq(k)))
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.02179 0.02179 0.02179 0.02179 0.02179 0.02179
なので多分、あってると思う。 >>81
24961325273729411157493296049923162050180048167808600668865194878033743728420689
84376099408174097463441629168520294258369368829106815003461566130708953839682920
95221171948291726439658114424799498019097661179266489639765057526270978013345104
76524747032016146895691394753020822407944413722991044460400808243936692906887421
58562789397002085900222149015685484765540355084031630923512566224026716368839141
57709132547009630669030748477906517799741669954712570078185561021427430325179405
72821546368625756251314713494685242945606761774980997529512510098234243941523221
41377931716188773349134288985450150950313965433089387066776103030489204172673462
73213105601812900585824575190324664251243051466881215047349049321238316686313754
951248352723962319494352745433967465925847447405514305001/6^1000
≒0.017620460571654540349... >>81
「123456」を２つ以上含む場合を無視すれば合ってる。
「123456」の前後5回以内に「123456」はないから短時間の負相関があるが、それを無視すると
1 - {1 - 1/(6^6)}^(1000-6+1) = 0.021100729 p[n]=n回目までに１２３４５６の並びが無い確率
p[n]=「n-1回目までに１２３４５６の並びが無い確率」-「n-1回目までに１２３４５６の並びが無く、n回目で１２３４５６が現れる確率」
=p[n-1]-p[n-6]/(6^6)
p[0]=p[1]=p[2]=p[3]=p[4]=p[5]=1
求める確率は 1-p[1000]
あとは任せた g[n]はn回目までに123456の並びがある確率
f[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が12345で終わってる確率
e[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が1234で終わってる確率
…
b[n]はn回目までに123456が出現してないが直前が1で終わってる確率
a[n]はn回目の時点で上のどれにも当てはまらない確率
とすると、
a[0]=1, b[0]=c[0]=d[0]=e[0]=f[0]=g[0]=0,
a[n+1]=(5/6)a[n]+(2/3)(b[n]+c[n]+d[n]+e[n]+f[n]),
b[n+1]=(1/6)(a[n]+b[n]+c[n]+d[n]+e[n]+f[n]),
c[n+1]=(1/6)b[n],
d[n+1]=(1/6)c[n],
e[n+1]=(1/6)d[n],
f[n+1]=(1/6)e[n],
g[n+1]=g[n]+(1/6)f[n]
となるから、あとはがんばる（他力本願）
>>85 も同じになるんかねこれ >>83
変換行列間違えました。
29894670002765580717622018953762664878384906585883227072416001286367327613872462
36176982687935042063489589508768499096701653359496110507628202771697652461481898
15867083862983975849719649919755556602395081603445217810191450771872978378492822
20929434295896536747523490245609702844253652551469152963247478735449528154607738
94897010212340239653386134088594267247751133592603591616944486751154360658915673
06079634567518636788329151870647053752023096491715169208527344676777484044463919
37957902455021334206833507250332593780127396266576899688383930527654264882692836
52659851277089138926126233125349416055818289864095231536195189335702592341232170
57986389166894334399077869160455544669456052004648395254763440350805452857924718
777798944034868387931340048957755897293189482452979797088/6^1000
≒0.021102960211841870224... >>86 と同等の内容を、行列を使って計算させたのが、87の結果です。 >81と>87の差異はどういう違いでしょうか？
123456を1個含むか複数かの違いでしょうか？
複数許容なら数値の大きい方でいいのでしょうか？ どかーん！
(⌒⌒⌒)
｜｜
／￣￣￣￣￣＼
| ・ Ｕ |
| |ι |つ
Ｕ｜｜ ￣￣ ｜｜
￣ ￣
呼んだ？ >>90
81の計算は、当選確率1/6^6のクジを995回引いたときの当選回数の期待値に等しい。
84の計算は、当選確率1/6^6のクジを995回引いたとき、少なくとも一回当たりくじを引く確率に等しい。
「目的の出目が六回続けて出る」という事が達成される確率が1/6^6。
普通のクジなら、外れを引くとクジ一個分を無駄にする。
しかし、この問題の場合は、いわば途中まで成功していた分のクジも無駄になることになる。
一回の失敗で、無駄になるクジの数が１枚の場合もあれば、複数の場合もある。
チャレンジできる回数が995回固定ということはない。
さらに、失敗したとしても、もし、１を引いていたら、新たなチャレンジの第一歩を
踏み出していたことになるが、それ以外の目で失敗したら、第０歩から
スタートすることになる。単純に「失敗」と言っても、内容が異なることもある。
本来はこのような機微に関わる問題で、厳密な値は、シンプルな式では表せない。
87や86は、6^1000通りある全てのパターンを想定している。 チャレンジできる回数が995回固定されないかも
ちょうど1000回使い切ることもありうる >>92
解説ありがとうございました。
＞失敗したとしても、もし、１を引いていたら、新たなチャレンジの第一歩を踏み出していたことになる
この理解が私には欠けていました。 P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
完全追尾型多項式が完成しました
宝の個数を２で固定します
P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48
Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48
■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意
P1st／Q1st
=｛8(n-1)｛(n-2)n-6｝/｛2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3｝｝+1 >>85
任されたんぢゃ、生姜ねぇ…
線形漸化式は
p[n] = p[n-1] - p[n-6] /(6^6),
特性多項式は
t^6 - t^5 + (1/6)^6
= (t-α) (t-β) {tt -2Re(γ_1) t + |γ_1|^2} {tt -2 Re(γ_2) t + |γ_2|^2},
特性根は
α = 0.9999785642321302281427595561300279367871
= 1 - (1/6)^6 - 5･(1/6)^12 - 40･(1/6)^18 - …
β = 0.11947305512892524659941083415872186721
γ_1 = |γ_1| e^(i θ_1)
|γ_1| = 0.117113316705063892011642575051190099053
θ_1 = 2.5253513177722176449
γ_2 = |γ_2| e^(ｉ θ_2)
|γ_2| = 0.11436934616195511830934529716995273057
θ_2 = 1.279751470687185368
p[n] = 1.00000000689325α^(n-5) + c_0 β^n + c_1 |γ_1|^n cos(n θ_1+ d_1) + c_2 |γ_2|^n cos(n θ_2 + d_2)
= 1.00000000689325α^(n-5) (n>>1)
∵ 0．114 < |β|，|γ_1|，|γ_2| < 0．120 なので
1 - p[1000] = 1 - 1.00000000689325α^995 = 0.021102960211842
1.00000000689325 = 1 + 15 (1/6)^12 + … >>84
いったん「123456」が完成すると次の5回はデッド・タイムになるわけか。
GM計数管（放射線測定器）の分解時間、不感時間みたいなものかな？ >>44
BD、CD が半整数でいいなら、もう一つ解があるらしい… haskell先生の答え
*Main> let ps = map (!!6) $ iterate (¥x->(tail x) ++ [x!!5 + 6%(6^6) - (sum $ take 6 x)/6^6]) $ [1%1,1%1,1%1,1%1,1%1,0,0,0,0,0,0]
*Main> fromRational $ ps !! 999
2.110296021184187e-2 >>98
あった
*Main> [(x,y)| x<-[4.0,4.5..10.0],y<-[1.0,1.5..7.0],y*(x^2+(3.5)^2-7^2)== -x*(y^2+(3.5)^2-4^2)]
[(4.5,4.5),(6.0,2.0)] >>86
g[n] の漸化式は
g[n] - g[n-1] = (1/6)f[n-1] = (1/6)^2 e[n-2] = (1/6)^3 d[n-3] = (1/6)^4 c[n-4] = (1/6)^5 b[n-5]
= (1/6)^6 (1-g[n-6])
となります。したがって p[n] = 1 - g[n] の漸化式は
p[n] = p[n-1] - (1/6)^6 p[n-6],
これは >>85 と同じです。
Memo．
a[n] = p[n] - (1/6)p[n-1] - (1/6)^2 p[n-2] - (1/6)^3 p[n-3] - (1/6)^4 p[n-4] - (1/6)^5 p[n-5],
b[n] = (1/6) p[n-1],
c[n] = (1/6)^2 p[n-2],
d[n] = (1/6)^3 p[n-3],
e[n] = (1/6)^4 p[n-4],
f[n] = (1/6)^5 p[n-5],
g[n] = 1 - p[n], Haskell 先生に聞いてみました。
Prelude Data.List Data.Ratio> let ps = map head $ iterate (¥x->(tail x) ++ [x!!5 - 1%(6^6) * x!!0]) [1%1,1%1,1%1,1%1,1%1,1%1-1%(6^6)]
Prelude Data.List Data.Ratio> fromRational $ 1%1 - (ps !! 999)
2.110296021184187e-2
確かにこっちの方がいいね。 >>102
こんな短いコードで算出できるとは驚きです。
計算原理がさっぱりわかりません。
個々のコマンドはなんとかわかります。
1-1/(6^6）は何の数値でしょうか？ >>102
ようやくコードの意味が理解できたのでRに移植。
実数計算なので誤差がでます。
f = function(N){
p=numeric()
p[1]=p[2]=p[3]=p[4]=p[5]=p[6]=1
for(n in 7:(N+1)){
p[n]=p[n-1]-p[n-6]/(6^6)
}
1-p[N+1]
}
> f(1000)
[1] 0.02110296 >>105
表示桁を増やしてみた。
> options(digits=22)
> f(1000)
[1] 0.0211029602118424364221 >>103-106
もうわかってるみたいだけど参考までに。
>>102はHaskellで漸化式解くときの定石みたいなやつです。
簡単な例ではFibonacci数列を計算するとき
Prelude> let f x = if x <= 2 then 1 else (f $ x-1) + (f $x-2)
Prelude> [f x|x<-[1..30]]
でも
Prelude> let g = map head $ iterate (¥x-> (tail x) ++ [sum x]) [1,1]
Prelude> take 30 g
でもできますが、やってみると速度が段違いです。
なので速度優先のときは後者使います。
しかし後者のほうが優れてるわけではないんですよ。
計算そのものより理論が正しいかどうかとかの議論をしたい時とか、理論の正しさを明らかにしたい時とかなら可読性を優先して前者のほうがよい時もあります。
実際Haskellはその記述に厳しい “一貫性” を課してるので “書きにくいけど読みやすい” のが売りですからねぇ？
計算の数値だけが目的ならHaskell使う意味ありません。
TPO考えて使い分けないとです。 コインを１０００回投げた。連続して表がでる確率が最も高いのは何回連続するときか？ 0<|2x^2-y^3|<100√|y|
を満たす整数の組(x,y)が無限に存在することを示せ まとめ（？）
ε = 1/(6^6) とおく。
・「123456]を２つ以上含む場合を無視 >>81
1 - p[n] ≒ (n-5)ε
・複数あり、相関を無視 >>84
1 - p[n] = 1 - (1-ε)^{n-5} = (n-5)ε - (1/2)(n-5)(n-6)ε^2 + (1/6)(n-5)(n-6)(n-7)ε^3 - …
・複数あり、相関あり >>96
α = 1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 - …
1 - p[n] = 1 - (1 + 15ε^2 + …)α^{n-5} = (n-5)ε - (1/2)(n-10)(n-11)ε^2 + …
Python？ Haskell？
プログラムの作れないオジサンは Excel で1000行 使ってますよ。。。 >>108
日本語の微妙なニュアンスは、それで合ってるの？
100回のコイントスで連続表の最大回数は
5回がもっとも起こりやすく確率は26% らしいけど >>108
1000回コインを振って、11連以上、10連以上、．．．、7連以上の表が出る確率はそれぞれ、
0.215431673
0.385449752
0.624240992
0.861144809
0.981783332
なので、最大連続数が、10連、9連、8連、7連となる確率は、それぞれ、
0.170018079
0.23879124
0.236903817
0.120638523
8連と9連がほぼ等しいが、9連となる確率が最も高い。
参考
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/462-465 >>112
１００回で５
１０００回で９
１００００回で１２
１０万回で１５
１０００万回で１８になった。 >>113
Rのスクリプトはここに置いた。
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1540905566/54
有理数表示したかったのでPythonに移植
ここで実行可能
# http://tpcg.io/rMOVCB
サイコロを１万回ふったときに５回以上 及び、丁度５回１の目が続く確率を算出。数字を変えて実行も可能。 a = 2^(1/6) は無理数だから、ディリクレの定理より
|p/q - a| < 1/q^2
（「ディオファントス近似」とかいうらしい。）
x = q^3，y = pp とおくと
0 < | 2xx - y^3 | = | 2q^6 - p^6 | < ?
う～む、近似が足りぬ… >>115
では、ニュートン・ラフソン法を使おう。
f(x) = (x^6 -2) / x^(5/2),
として
x ' = x - f(x) / f '(x) = x - 2x(x^6 -2)/(7x^6 +10) = x(5x^6 +14)/(7x^6 +10),
を繰り返す。このとき
x '- a = (x-a)^3 * (5x^4 +8ax^3 +9aaxx +8aaax +5a^4)/(7x^6 +10)
∴ | x '- a | < C |x-a|^3,
さて… >>113
１００万回で１８の間違い。
ちなみに１０００万回で２２回（確率は0.2474）だった。 >>117
https://www.tutorialspoint.com/execute_python3_online.php
だとタイムアウトしたので、オフラインで算出してみた。
Just 22
4456779119136417/18014398509481984
= 0.2474009396866937 ある道路では、30分以内に車が通る確率は99.9%である。
では、10分以内に車が通る確率は？ >>119
1-(1-0.999)^(1/3)
=0.9 >>115
それを満たすp q が無限にあったとしてもそれらが平方数、立方数になってくれてる保証なんかないでしょ？ >>105
分数表示したいのでPythonに移植した。
from fractions import Fraction
def dice126(N):
P=list()
for n in range(6):
P.append(1)
P.append(1-1/(6**6))
for n in range(7,N+1):
P.append(P[n-1]-P[n-6]/(6**6))
return(1-P[N])
def dice123456(N):
print(Fraction(dice126(N)))
print(" = " + str(dice126(N)))
dice123456(1000) >>116 （補足）
a = 2^(1/6) として
0 < (5x^4 +8ax^3 +9aaxx +8aaax +5a^4)/(7x^6 +10) ≦ C,
C = 2.706458005831039532180100595416
等号成立は x = 0.903918268122918428596803223653869 >>96 (補足)
p[0] = p[1] = p[2] = p[3] = p[4] = p[5] = 1
より
p[n] = 1.00000000689307114563713652919α^(n-5) + c_0 β^n + ……
= (1 + 15ε^2 + 220ε^3 + 320ε^4 +…)α^(n-5) + c_0 β^n + ……
c_0 = -0.02813048468
c_1 = 0.03983999218
d_1 = -0.51407117920
c_2 = -0.05049060128
d_2 = 1.43835771780 >>110 (補足)
ε = 1/(6^6) とする。
p[n] ≒ (1 +15ε^2 +220ε^3+ 3060ε^4 + …) α^(n-5)
= (1 +15ε^2 +220ε^3+ 3060ε^4 + …)(1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 -…)^(n-5)
= 1 -(n-5)ε +(1/2!)(n-10)(n-11)ε^2 -(1/3!)(n-15)(n-16)(n-17)ε^3 +(1/4!)(n-20)(n-21)(n-22)(n-23)ε^4 - … 今んとこ解かれてないのは >>26 >>36 >>42 >>43 >>79 >>109 かね
真ん中二つはリンク先に答えあるみたいだしあれだけども >>110 (補足)
ε = 1/(6^6) とする。
α = 1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 -46376ε^6 -548340ε^7 - …
p[n] = Σ[k=0,∞] Ｃ[n-1-5k，k] (-ε)^k, 某シリツ医大の裏口入学調査委員会が裏口入学は高々10%と報告したとする。
その結果の検証に100人を調査したら4人続けて裏口入学生であった、という。
この検証から裏口入学率が10%であるか否かを有意水準1%で検定せよ。 >>129
＞その結果の検証に100人を調査したら4人続けて裏口入学生であった、という。
これは100件の検証結果の中に
・1度だけ4連続裏口入学があった
・複数回4連続裏口入学があった
・1度だけ4以上連続裏口入学があった
・複数回4以上連続裏口入学があった
のどれを意味していますか？ >>130
情報がないとして全ての場合を含む、
１回以上、4以上の連続裏口入学があった場合を考える。
４連続が１回でもいいし、
４連続が２回の後に５連続が１回でもいいとする。
想定したのは
表のでる確率が0.1のコインを100回投げて表が4回以上連続する確率が1%未満かという問題。 >>131
４回以上連続することが複数回あっても構わないとする。 >>128 (訂正)
p[n] = Σ(k=0, [n/5]) C[n-5k, k] (-ε)^k,
でした。 ...orz >>126 は ok >>109 >>116
(x, y) = (q^3, pp) とおくと、求めるものは
0 < | 2q^6 - p^6 | < 100･p,
を満たす整数 (p, q)
そこで 2^(1/6) = a の近似分数の列 p/q = t を次の漸化式で定める。
t ' = t - 2 t (t^6 - 2)/(7 t^6 + 10) = t (5 t^6 + 14)/(7 t^6 + 10),
(p,q) の漸化式は
p ' = p (5p^6 + 14q^6),
q ' = q (7p^6 + 10q^6),
(p,q) = (1,1) のときは成立するが
(p,q) = (19, 17) のときは 2xx -y^3 = 2･17^6 - 19^6 = 1229257 > 100*19
(p,q) = (10889952049, 9701846569) のときは 2xx -y^3 = 2q^6 - p^6 = 2.31865949E+54 > 100･p
(p,q) = (217953260587942275546675683149407795232019596416934847340158868299331811, 194174280472305108606358058802927185430436427469916728412097502845028473)
のときも絶望的でござる。 >>76
Macedonia の人の解答と同じらしいです。 >>134
てかその方針そのものが無理なんじゃないの？
もし
>0 < | 2q^6 - p^6 | < 100･p,
>を満たす整数 (p, q)
が無限にあったら
0 < 2q^6 - p^6 < 100p 又は -100p < 2q^6 - p^6 < 0
になるけど前者なら t = 100p/q^6、b=(p/q)^(-5/6)とおいて
p/q < 2^(1/6) < (p^6/q^6 + 100/q^6)^(1/6) = p/q + tb/6 - 5tb/72 (bt) + 55tb/1296 (bt)^2 + ……
だけど誤差項がO(q^(-5))なので
＞この系は、トゥエ・ジーゲル・ロスの定理が、代数的数の有理数での近似の下界は 2 を超えて 2 + ε への改善はできないという意味で、最良であることを示している。
に矛盾してしまう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B9%E8%BF%91%E4%BC%BC%E5%AE%9A%E7%90%86
後者でも同様。 >>110 >>126 >>128
ε = 1/(6^6) とする。
p[n] = (1 +15ε^2 +220ε^3 +3060ε^4 +42504ε^5 +593775ε^6 +8347680ε^7 + … )α^(n-5)
α は t^6 - t^5 +ε = 0 の根
α = 1 -ε -5ε^2 -40ε^3 -385ε^4 -4095ε^5 -46376ε^6 -548340ε^7 -6690585ε^8 - … >>96 >>110 >>126 >>128 >>137
t^6 - t^5 +ε = 0 の根は
α = 1 - Σ[k=1,∞] c(5, k) ε^k,
c(5, k) = (5/6)C(6k, k)/(6k-1) = C(6k-2, k)/(5k-1),
を一般化カタラン数とか云うらしい。
http://oeis.org/A130564 >>79
分からないけど、｛a_n｝の母関数の関数等式ができたので一応書いとく
f(x)=Σ[n≧1] a_nx^n
g(x)=Σ[n≧1] a_(2n-1)x^(2n-1)
h1(x)=Σ[n≧1] a_(3n-2)x^(3n-2)
h2(x)=Σ[n≧1] a_(3n-1)x^(3n-1)
h3(x)=Σ[n≧1] a_(3n)x^(3n)
とおく。これらは区間 (-1,1) 上で絶対収束する。
まず明らかに
h1(x)+h2(x)+h3(x)=f(x) …①
(f(x)-f(-x))/2=g(x) …②
さらに漸化式より
xh1(x^2)=g(x^3) …③
h2(x^2)=xg(x^3) …④
h3(x)=-f(x^3) …⑤
①に x^2 を代入して x 倍
xh1(x^2)+xh2(x^2)+xh3(x^2)=xf(x^2)
③④⑤より
g(x^3)+x^2g(x^3)-xf(x^6)=xf(x^2)
②より
(1+x^2)(f(x^3)-f(-x^3))/2-xf(x^6)=xf(x^2)
整理して
(1+x^2)(f(x^3)-f(-x^3))=2x(f(x^2)+f(x^6))
うーん… >>79はデタラメ詰将棋君の香りがする。
ホントに解けるのかどうかかなり疑問ww ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
