面白い問題おしえて〜な 28問目

1132人目の素数さん2018/10/29(月) 00:19:23.87ID:59VF2v6C
過去ログ置き場 (1〜15問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ *
4 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ *
5 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ *
6 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ *
7 http://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/

300132人目の素数さん2018/11/16(金) 16:04:40.32ID:U19cHKqd
>>297
サイコロをふって1回1の目がでた。
サイコロを降った回数は1から100回のどれかである。
1回ふって1回出た確率、2回ふって1回出た確率、3回ふって1回出た確率、...、100回ふって1回出た確率
全部足したらいくらになる?

301132人目の素数さん2018/11/16(金) 16:30:54.15ID:C4anFRr3
>>300
ああ、なるほど。勘違いしていました。

302132人目の素数さん2018/11/16(金) 16:37:21.65ID:U19cHKqd
問題の数値を変えてわずか3匹しか目印なしとすると

池の鯉を網で56匹すくいました。
すくった56匹に目印をつけ、池にもどしました。
次の日に鯉45匹をすくったところ、3匹に目印がついていました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。

56*45/3=840匹になるのだけど、
この数値ってどれほどアテにしていいんだろうね?

303132人目の素数さん2018/11/16(金) 17:04:41.28ID:C4anFRr3
数値を10倍、100倍にしたときのグラフを描かせてみた
青が10倍で範囲は690匹から7100匹、
赤が100倍で範囲は6900〜7100匹

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+choose(560,+360)*choose(x-560,+90)%2Fchoose(x,450),++choose(5600,+3600)*choose(x*10-5600,+900)%2Fchoose(x*10,4500),+from+x%3D690+to+710

https://i.imgur.com/wMoy71B.jpg

10倍程度だとあまり先鋭化しない
100倍でも思ったより先鋭化しない
化学で扱うような10^23あたりのサンプル数なら推定値の
±0.001%の範囲である確率が0.9999とかになるんだろうな

304132人目の素数さん2018/11/16(金) 17:10:17.60ID:iOODzE0M
そこが統計が数学科であんまり好まれないとこだろうねぇ。
確率の問題と深く関わってはいるけど厳密には確率の問題ではない。
母数の分布とは言うけどそんなもんわかりっこないから本来どうしようもないし。
けどわからんわからんいうてても何も始まらんので適当に××仮説とか立てて「こう考えるとするとこうなる」ぐらいの事しか言えない。
信頼区間にしてもwikiにも明示されてるけどあくまで"指標"でしかない。確率でもなんでもない。
確率だと思うには母数の分布になんかの仮定入れないと無理だけど、その仮定の入れ方ごとに答え変わるし、ましてや次はその仮定どれくらい信頼できるねんと言う話に戻ってしまう。

305132人目の素数さん2018/11/16(金) 17:20:57.75ID:U19cHKqd
>>303
全体の数より、再捕獲での陽性割合を変化させた方がグラフは大きく変化すると思う。
目印陽性がすくないと信頼区間が広くなって推定値が信頼できないが、目印陽性が多いと信頼区間が狭くなる。

306132人目の素数さん2018/11/16(金) 17:39:34.15ID:C4anFRr3
>>305
なるほど。

とはいえさっきはグラフの形だけ見て「あまり先鋭化しない」なんて書いたけど、
10倍では690〜710以外の範囲でも無視できない程の確率があるのに
100倍だと6900〜7100以外での確率はほぼゼロだから大分違うか

307132人目の素数さん2018/11/16(金) 17:55:11.25ID:vFBRPbWk
>>306
10打数で1安打と1000打数100安打での信頼区間の差では?

308132人目の素数さん2018/11/16(金) 17:59:04.35ID:3fj2avs/
そもそも信頼区間の定義とは違う意味で信頼区間という用語使ってるレス多いな。

309132人目の素数さん2018/11/16(金) 18:10:26.73ID:vFBRPbWk
信頼区間の計算式って沢山あるよな。
1000打数100安打の95%信頼区間
> binom::binom.confint(100,1000)
method x n mean lower upper
1 agresti-coull 100 1000 0.1000000 0.08284688 0.1202145
2 asymptotic 100 1000 0.1000000 0.08140615 0.1185939
3 bayes 100 1000 0.1003996 0.08206073 0.1191877
4 cloglog 100 1000 0.1000000 0.08239444 0.1195577
5 exact 100 1000 0.1000000 0.08210533 0.1202879
6 logit 100 1000 0.1000000 0.08288164 0.1201906
7 probit 100 1000 0.1000000 0.08264461 0.1198768
8 profile 100 1000 0.1000000 0.08243331 0.1196133
9 lrt 100 1000 0.1000000 0.08243172 0.1196130
10 prop.test 100 1000 0.1000000 0.08245237 0.1206909
11 wilson 100 1000 0.1000000 0.08290944 0.1201520

310132人目の素数さん2018/11/16(金) 19:58:26.87ID:U19cHKqd
>>305
自分でも興味があったので弄ってみた。

魚の総数を上限1万匹とし、その確率分布は一様分布を仮定。

再捕獲した45匹中何匹に目印がついているかで推測される95%信頼区間(Highest Density Interval)をグラフにしてみた。

http://i.imgur.com/NKcQ61u.png

Rのコードはここに置いた(通知を変えて実行できる)

http://tpcg.io/TBD7MO

311132人目の素数さん2018/11/16(金) 21:16:06.61ID:xmVvCZPI
>>271
 tr(AA) や tr(A^3) も使えばできますね。

Aの固有多項式は
 f(x) = det(A-xI) = det(A) - {(tr A)^2 - tr(AA)}/2・x + tr(A) xx - x^3,
ケーリー・ハミルトンにより
 f(A) = det(A)I - {(tr A)^2 - tr(AA)}/2・A + tr(A)AA - A^3 = O,
 det(A) = (1/3)tr[ {(tr A)^2 - tr(AA)}/2・A - tr(A)AA + A^3 ] = …

312132人目の素数さん2018/11/16(金) 22:24:21.87ID:3fj2avs/
tr(A^i)全部使っていいなら固有多項式の係数全部表せるのはまんまニュートンの漸化式やん。

313132人目の素数さん2018/11/16(金) 23:11:07.23ID:1P5sF5+y
>>305>>310
単に>>303風のグラフを描くなら対数で計算すればコップの中の水分子とかでも計算できますね
あとでやってみよう

314132人目の素数さん2018/11/17(土) 08:36:24.31ID:pOy6FHDl
>>311
A = {a_ij} が3次行列のとき
tr(A) = a11 + a22 + a33,
tr(AA) = (a11)^2 + (a22)^2 + (a33)^2 + 2 a12 a21 + 2 a23 a32 + 2 a31 a13,

∴Aの固有多項式は
det(A-xI) = det{[a11-x, a12, a13], [a21, a22-x, a23], [a31, a32, a33-x]}
= det(A) - (a11 a22 + a22 a33 + a33 a11 - a12 a21 - a23 a32 - a31 a13)x + (a11+a22+a33)xx -x^3
= det(A) - {(tr A)^2 -tr(AA)}/2 x + tr(A) xx - x^3,

>>312
n次多項式がn個の根λ1,λ2,・・・,λn をもつ(ガウス)が既知ならば
 tr(A^i) = (λ1)^i + (λ2)^i + … + (λn)^i,
これは {λ1,λ2,…,λn} のi次の対称多項式だから、1〜i次の基本対称式で表わせる。
逆に、i次の基本対称式は tr(A) 〜 tr(A^i) で表わせる。

315132人目の素数さん2018/11/17(土) 08:41:34.54ID:XBWc+pi8
池の鯉の総数と調査します。
五郎君が名前に因んで56匹を捕まえて目印をつけ、池にもどしました。
次の日に三郎君が自分の名前に因んで36匹の目印のついた鯉を捕まえることにしました。
鯉45匹めで予定の36匹が捕まりました。
池の鯉はおよそ何匹ですか。

316132人目の素数さん2018/11/17(土) 09:12:10.72ID:js5kwOKA
>>314
トレースって跡ともいうけど、ずっと「あと」って読んでいた。
線形代数の本の索引で、ア行になくサ行にあったので気づいたわ。

317132人目の素数さん2018/11/17(土) 10:08:03.31ID:pOy6FHDl

318132人目の素数さん2018/11/17(土) 12:09:53.28ID:pOy6FHDl
>>311
A = {a_ij} がn次行列のときも
tr(A) = a_11 + a_22 + ・・・ + a_nn,
tr(AA) = (a_11)^2 + … + (a_nn)^2 + 2 Σ[i<j] a_ij a_ji,
(trA)^2 - tr(AA) = 2Σ[i<j] (a_ii a_jj - a_ij a_ji),

∴ Aの固有多項式は
det(A-xI) = det{[a_11-x, a_12, …, a_1n], [a_21, a_22-x, …, a_2n], ……, [a_n1, a_n2, …, a_nn-x]}
= det(A) - …… + Σ[i<j] (a_ii a_jj - a_ij a_jj) (-x)^{n-2} + (a_11+…+a_nn)(-x)^{n-1} + (-x)^n
= det(A) - …… + {(tr A)^2 - tr(AA)}/2 (-x)^{n-2} + tr(A)(-x)^{n-1} + (-x)^n,

319132人目の素数さん2018/11/17(土) 12:30:54.72ID:NWNFiSSF
昨日出した問題だけど
数2Bまでの知識で解ける

a,b,c,dは実数とする。
a+c=-4/3, b+4ac+d=-2, ad+bc=4, bd=1のとき、(a^2-b)(c^2-d)<0を示せ。ただし、計算機は使ってはならない。

320132人目の素数さん2018/11/17(土) 15:28:43.18ID:A1Nd7rYy
あれ?
a^2d=a(4-bc), bc^2=c(4-ad)より
a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4
になって
(a^2-b)(c^2-d)
=(ac)^2-(a^2d+bc^2)+bd
=(ac)^2-(-16/3-4)+1
になって負になりっこない希ガス。

321132人目の素数さん2018/11/17(土) 15:32:26.94ID:UVEx0ybP
>>319
f(x) = (x^2+2ax+b)(x^2+2cx+d) = x^4-(8/3)x^3-2x^2+8x+1
をxで微分したら 4(x-2)(x-1)(x+1) となるから、
x=-1 で極小 f(-1)<0, x=1 で極大 f(1)>0, x=2 で極小 f(2)>0 となってそれ以外の区間で単調であるから、
f は ちょうど2つの単根を持つ。
したがって、(x+a)^2 - (a^2-b) と (x+c)^2 - (c^2-d) はどちらも重根を持たず、どちらか一方のみが2つの実根を持つことから、題意が示される。

322132人目の素数さん2018/11/17(土) 15:33:46.63ID:A1Nd7rYy
てか、本当に実数解あんの?

323132人目の素数さん2018/11/17(土) 15:37:21.74ID:KDdXvc30
>>321
すげぇ……判別式の形露骨に出ないように姑息に2a,2cみたいな係数にしてたのによく見破ったな……

>>322
ある
ウルフラム先生が言ってるんだから間違いない多分

324132人目の素数さん2018/11/17(土) 15:47:33.05ID:js5kwOKA
>>321
すごいな。2つの判別式の積になってるって見抜けないと思いつかんなあ

>>320
また現れたか、デキッコナイス。なんなんだこいつは。
https://i.imgur.com/bLyuU1o.jpg

325132人目の素数さん2018/11/17(土) 15:53:55.95ID:A1Nd7rYy
あれ?>>320の間違いまじでわからん?
どこ間違ってるかわかる?

326132人目の素数さん2018/11/17(土) 15:56:05.11ID:KDdXvc30
>>325
これa,b,c,dの値固定されてるからacの値によらず(ac)^2-(-16/3-4)+1が常に負になる必要はないんじゃね(特定のa,b,c,dで負になるなら良い)

327132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:02:33.51ID:A1Nd7rYy
>>326
いや、変形に計算間違いがないならacが実数である限り何であっても正になってしまう。
いまパソコンが壊れててて計算しか出来ないから検算しようがない。
自分で再計算しても同じとこ間違うのが関の山だし。
まぁ問題に一言も実数とは断ってないから実数でないのかもしれないけど。

328132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:05:31.33ID:KDdXvc30
実数って1行目に断ってるぞ…
あと、一応Wolfram alphaのURL乗っけとくわ
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+a%2Bc%3D-4%2F3%2C+b%2B4ac%2Bd%3D-2%2C+ad%2Bbc%3D4%2C+bd%3D1

329132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:09:42.72ID:A1Nd7rYy
>>328
aについてしか解いてくれてないけど。
虚数解混じってるし。
全部実数になる解あるの?

330132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:11:44.94ID:KDdXvc30
>>329
More rootってあるだろ、これ以上はスレチになるからこことは違うところで調べてくれ

331132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:11:55.46ID:A1Nd7rYy
あ、いや、ごめんなさい。
実数解ひとつあれば全部実数になる解は自動的にあるな。
あれ?>>320どこ間違ってるんだろう。
パソコンないとこうも手詰まりになるもんだな。

332132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:15:18.14ID:knKRx/Qn
>>331
> a^2d=a(4-bc), bc^2=c(4-ad)より
> a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4
a^2d+bc^2=4(a+c)-ac(b+d)
計算見直すだけだろ

333132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:20:26.22ID:A1Nd7rYy
あ、わかった。
お騒がせしました。

334132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:22:25.07ID:UVEx0ybP
Wolfram 先生に
factorize x^4-(8/3)x^3-2x^2+8x+1
ってお願いして irreducible factorization 出してもらえば普通に a,b,c,d 構成できるんじゃないの

あと >>320 だけど
a^2d+bc^2=4(a+c)-(ad+bc)=-16/3-4
は計算間違いで本当は
a^2d+bc^2=4(a+c)-(abc+acd)
になって特に何が言える訳でもないと思うよ

335132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:25:04.30ID:js5kwOKA
まだやってたのか、NG入れてあぼーんしてたから気づかなんだわ。
数学板の常連は意外と面倒見がいいんだな。

336132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:30:49.85ID:UVEx0ybP
解決してた すまん

未解決だけど投稿します
各項の係数の絶対値が1以下であるような整数係数多項式 f(x)≠0 であって、x^4+x^3+3x^2+x+1 で割り切れるようなものは存在するか。

337132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:31:38.43ID:A1Nd7rYy
>>334
ありがとう。
後で気づいた。
お騒がせしました。

338132人目の素数さん2018/11/17(土) 16:41:11.53ID:pHGjVcYj
m種類の文字をm^n個並べた円順列で、連続するn文字の並びがすべて異なるものは常に存在するか?
例:文字0,1の円順列[00011101]中の3文字の並びは 000,001,011,111,110,101,010,100 で、すべて異なる。

339132人目の素数さん2018/11/17(土) 18:50:57.91ID:A1Nd7rYy
じゃトレースがらみで

Aをn次正方行列とするとき、行列Bを

B[i j] =tr(A^(i+j))

で定められるn次正方行列とする。
この時

Aの固有値が全て異なることと det(B)≠0 である事は必要十分である事を示せ。

340132人目の素数さん2018/11/17(土) 18:56:20.25ID:A1Nd7rYy
>>339
訂正

B[i j] = tr(A^(i+j-2))

です。

341132人目の素数さん2018/11/17(土) 19:39:06.00ID:pHGjVcYj
>>339,340
tr(A^i)はAの固有値のi乗の総和なので、行列BはAの固有値のヴァンデルモンド行列とその転置との積。
したがってBの行列式は差積の2乗つまり判別式。

342132人目の素数さん2018/11/17(土) 19:53:18.73ID:A1Nd7rYy
>>341
素晴らしい!
正解です。簡単すぎてすまソ

343132人目の素数さん2018/11/17(土) 23:22:11.01ID:laGp565a

344132人目の素数さん2018/11/18(日) 01:04:20.36ID:ZJOO9Eig
>>338
m=3、n=2の場合で考える。
別のケースでもいけるけど記述がうるさくなるので。
0〜m^n-1の整数を頂点とし[x/m] ≡ y (mod m^n/m)の時xからyに→を描いて向き付きのグラフGを作る。
このグラフが全ての点をちょうど一回づつ通る向き付きのループを持つ事を示せば良い。
隣接行列をfromが横方向、toが縦方向に来るようにとる。
また、見やすいようにfromは最下位桁以外が一致するものを固めてならべ、toは最上位桁以外が固まるように並べる。
今の場合なら例えば以下のようになる。
. 00 01 02 10 11 12 20 21 22
00 1 1 1
10 1 1 1
20 1 1 1
01 1 1 1
11 1 1 1
21 1 1 1
02 1 1 1
12 1 1 1
22 1 1 1
このなかの1から1をm^n個選びその表す部分グラフが連結成分数が1の向き付きループになるものを見つければ良い。
各行、各列からちょうど一個づつ選べば向き付きループの有限和にはなる。
例えば対角線上の1を全て選べば良い。しかしそれだと連結成分が複数出てくるので繋げていく。
まず左上のm×mを必要なだけ挿げ替えてそのブロックにあるループが成分一個になるようにする。
上の例なら
. 00 01 02 10 11 12 20 21 22
00 ○
10 ○
20 ○
01 ○
11 *
21 △
02 ○
12 △
22 ※
となる。
この時点で00→20→02→10→01→00、11→11、12→21→12、22→22の4成分。
ここで右上のブロックを占有するループの中の→のtoは最下位桁以外を無視して0〜m^n/m-1までの全ての数がでるから各ブロックを少なくとも1回づつ通過する。
よって先の様な挿げ替えを再び行って成分数を1にできる。

345132人目の素数さん2018/11/18(日) 01:42:47.40ID:ZJOO9Eig
訂正
×まず左上のm×mを必要なだけ挿げ替えて
○ まず左上の(m^n/m)×(m^n/m)を必要なだけ挿げ替えて

訂正ついでにも少し補足。
挿げ替えとはA→B、C→DをA→D、C→Bと→を選び直す事。
この作業を何回か繰り返せば同じブロックに属する→は全て同一成分に出来る。
今の例なら
A→B→‥→A、C→D→‥→Cという2成分が
A→D→‥→C→B→‥→Aとつながって1成分減る。

346132人目の素数さん2018/11/18(日) 02:05:20.86ID:ZJOO9Eig
あ、いらん訂正した。>>344であってます。
>>345は無かったことに。
同一ブロックに入るのはたとえばm=3, n=5ならたとえば
fromが02430,02431,02432,02433,02434,
toが. 00243,10243,20243,30243,40243
であるm×m個。
このfromがm個、toがm個のm×m通りは全て→で結ばれていて自由に挿げ替えられる。

347132人目の素数さん2018/11/18(日) 02:36:13.22ID:ZJOO9Eig
>>346
スレ汚しすまん。まだ間違ってる。
挿げ替えのアルゴリズムは>>344では不十分。
以外に訂正。

とりあえず、全ブロックの→を挿げ替えで同一成分にする。
これで十分。
もしこれで2成分以上あったとする。
しかし元のグラフは連結なので2成分X YとXの通過する点とYの通過する点を結ぶ→がみつかる。
実際異なる連結成分を結ぶパスで長さ最小のパスを取ればそれは→である。
たとえばm=5, n=5で
X: …→02432→30243→…
Y: …→02431→10243→…
の02432と10243の様な組みである。
そしてこの部分は同一ブロックに属する。
しかし同一ブロックの→は全て同一連結成分になる様に取っているのでそれらが異なる連結成分に属するのは矛盾。

348132人目の素数さん2018/11/18(日) 03:56:43.71ID:ENzLbcND
>>343

[1] (20点)
aを2以上の整数とし、有理数bを b = 1 + 1/a により定める。自然数nに対して、
 S_n = Σ[k=1,n] k^(1/a),
とおく。ただし、k^(1/a) とはa乗するとkになる正の実数のことである。
以下の設問に答えよ。
 (1) lim[n→∞] S_n / n^b = 1/b を示せ。
 (2) lim[n→∞] (S_n - (n^b)/b)= ∞ を示せ。

[4] (20点)
nを自然数とする。整数kに関する次の条件(C),(D)を考える。
 (C) 0≦k<n.
 (D) k/n ≦ 1/m < (k+1)/n を満たす自然数mが存在する。
条件(C),(D)を満たす整数kの個数を T_n とする。以下の設問に答えよ。
(1) T_50 を求めよ。
(2) 次の極限値を求めよ。
  lim[n→∞]log(T_n)/log(n)

http://suseum.jp/gq/question/2951

349132人目の素数さん2018/11/18(日) 16:54:39.76ID:ENzLbcND
>>321

x - 2/3 = X,
とおくと
f(x) = x^4 -(8/3)x^3 -2x^2 +8x +1
= X^4 -(14/3)X^2 +(80/27)X +(131/27)
= (X^2 +f)^2 -(14/3 +2f)(X-g)^2,
となり、2次因子に分解する。

2(14/3 +2f)g = (80/27),
ff -(14/3 +2f)gg = (131/27),
より
f^3 +(7/3)f^2 -(131/27)f -(9053/729) = 0,
g^3 -(2/5)g^2 +(7/3)g -(10/27) = 0,

f = (-7 +6(13+2√11)^{1/3} +6(13-2√11)^{1/3})/9 = 2.256314207884
g = (2 +3(4+25√11)^{1/3} -3(-4+25√11)^{1/3})/15 = 0.161393818172

350132人目の素数さん2018/11/19(月) 00:15:59.14ID:eL1RQpps
>>349 (続き)
 f(x) = (x^2+2ax+b) (x^2+2cx+d)
とする。

x^2 +2ax +b = X^2 +2√(7/6 +f/2)・(X-g) +f,
判別式 a^2 -b = (7/6 +f/2) -f +2g√(7/6 +f/2)
 = (7/6 -f/2) +20/[27√(7/6 +f/2)]
 = 0.5274900867207

x^2 +2cx +d = X^2 -2√(7/6 +f/2)・(X-g) +f,
判別式 c^2 -d = (7/6 +f/2) -f -2g√(7/6 +f/2)
 = (7/6 -f/2) -20/[27√(7/6 +f/2)]
 = -0.4504709612713

(a^2 -b)(c^2 -d) = (7/6 -f/2)^2 -(80/27)^2/(7/6 +f/2)
 = -(4/3)[10 - (13+2√11)^{2/3} - (13-2√11)^{2/3}]
 = -0.237618966426144
 < 0,

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