面白い問題おしえて～な 28問目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
>>946
零行列 A＝O は冪零行列のひとつである．
これと A^p＝O を比較して p＝1．
>>948 が正解． >>951
化学式みたいにして多面体を表す方法があるんでしょうか >>950 >>951
修正乙
>>949
5 0.059698329545752329 = 1/{9√(2√3)}
正3角形プリズム、(正3角形の辺)/(高さ) = tan(π/3) = √3
7 0.071398254996602697 = (1/15)√{(5/6)cot(π/5)}
正5角形プリズム、(正5角形の辺)/(高さ) = tan(π/5)
9 0.076900
10 0.078734752898039745 4角形×2, ５角形×8 (Siフラーレン)
12 0.081688371824182551 = φ^{７/４} /(6(√3)･5^{5/8}) 正12面体
17 0.085206
cot(π/5) = φ^{3/2} / 5^{1/4} = 1.37638192
φ = (1+√5)/2 = 1.61803398875 ABを直径とする半径5[km]の円形の湖がある
この湖の水質は一様ではなく、
円の中心からr[km]離れた場所では時速r[km/h]までのスピードでしか泳げない
AからBまで泳ぐときの最短時間を求めよ 5π時間？
極座標系で、log(r) 対 θ のグラフを描いてみる… >>956
「もののふの矢橋の船は速けれど 急がば回れ瀬田の長橋」
宗長（室町時代） >>957
不正解
少なくとも円周上を泳げばπ時間で泳げる >>954
ゴールドバーグの記法によると、
「まず適当な回転対称軸を取って上下方向を決め、各面の中心が位置する高さが同じものの枚数を数えて列挙する」
というやり方らしい。
この方法では、最初の軸の取り方によって、違う表現になったりするので注意が必要。
例えば、正三角柱は、三角形の面を下にして置けば 1,3,1 であるし、四角形の面を下にして置けば下から 1,2,2 となる。
また、ゴールドバーグ記法だと、数字の表しているものが何角形か明記されないところが分かりにくいと思われるので、
３～７角形の面にt,q,p,x,hのアルファベットを付けて表してみる。特に正多角形の面は大文字で表す。
先の正三角柱の例は、T1,q3,T1 または、q1,T2,q2 のような表現となる。
ｆ V/S^{3/2}
4 0.051700269950116645 T1,T3 (正四面体)
5 0.059698329545752329 T1,q3,T1 (正三角柱)
6 0.068041381743977170 Q1,Q4,Q1 (立方体)
7 0.071398254996602697 P1,q5,P1 (正五角柱)
8 0.074344868093229974 q2,p2,p2,q2
9 0.076898933926867766 p3,q3,p3
10 0.078734752898039745 Q1,p4,p4,Q1
11 0.080055026399577983 x1,(q2+p4),p2,p2
12 0.081688371824182551 P1,P5,P5,P1 (正十二面体)
13 0.082432267303420834 q1,(p2+x2),p4,p2,p2
14 0.083349245941114841 X1,p6,p6,X1
16 0.084742718358283536 x1,p6,(p3+x3),p3
17 0.085264872589057683 x1,(p4+p2),(p2+x4),p2,p2
20 0.086626966830007951 x2,(p2+p4+x2),(x2+p4+p2),x2
32 0.089493100466131958 P1,x5,P5,x5,x5,P5,x5,P1 (切頂20面体)
33 0.089603827451613424 p1,x5,p5,x5,(x4+h1),p5,(x4+p2),x1
42 0.090574499972086386 P1,x5,x5,p5,x10,p5,x5,x5,P1 >>960
f=32の切頂20面体の六角形の面は正六角形ではないことに注意。
2種類の長さの辺を持つ内角120°の六角形で、辺の長さの比は sin24°:sin36°=(√(3+6/√5)-1)/2:1≒0.692:1
f=33は回転対称ではない。切頂20面体のひとつの六角形を五角形2つに分割したもので、新しくできた稜の両端に接する面の角も一つずつ増える。
f=42は、切稜12面体(P1,x5,x5,P5,x10,P5,x5,x5,P1)の上半分(,P5,x5,x5,P1)を10分の1周だけ回転させて組み合わせた形になる。 (f=32 の参考に)
フラーレン分子Ｃ_60
「Ｃ_60には90本のC-C結合があるが、そのうちＰを形成している60本は 1.458Å、2つのｈに共有される残り30本は 1.401Åの長さを持つことが知られている。」(比は 0.961)
藤田、吉田、大澤：炭素, No.162, p.100-109 (1994)
H. Hedberg et al.: Science, ２５４, p.410 (1992)
http://www.jstage.jst.go.jp/article/tanso1949/1994/162/1994_162_100/_pdf
「Ｃ_60は立方晶系(等軸晶系)で、分子内での二つのｈに共有されているC-C距離は 1.391Å、Ｐ内のC-C距離 1.455Åということからすると、････」(比は0.956)
日本大百科全書(ニッポニカ)
http://kotobank.jp/word/フラーレン-164308 ごめん>>956の問題だと結局円周が答えになってしまってつまらないので修正します
直径AB、半径5[km]の円形の湖がある
この湖の水質は一様ではなく、
円の中心からr[km]離れた場所では時速r[km/h]までのスピードでしか泳げない
ABを3:2に内分する点をPとしたとき、
AからPまで泳ぐときの最短時間を求めよ
まあでも>>957がほぼ答えなのですが >>960-961
P1,x5,x5,p5,x10,p5,x5,x5,P1と
P1,x5,x5,P5,x10,P5,x5,x5,P1
本質的に変わらんw
この書き方じゃ一意に決まらないんでは？ >>964
log(r) = log(5)(1 - θ/π)
のコースだから
(1/r)(dr/dθ) = - log(5)/π,
√{π^2 + log(5)^2} 時間 >>966
おー正解です
対数螺旋が最短であることの証明は出来ますか？ 前>>940
>>956円周を泳ぐと、
泳ぐ距離は10π/2
速さは5㎞/h
時間は、
(10π/2)÷5=π(時間)
ABを質量m(㎏)の人がまっすぐ泳ぐとき、
加速度-a(㎞/h)として、
エネルギー保存の法則より、
(1/2)m･5^2-m･a･5=0
a=2.5(㎞/h^2)
池の中心に達するまでの時間をt(h)とすると、
5t-(1/2)at^2=5
5t-1.25t^2=5
4t-t^2=4
t^2-4t+4=0
t=2
AB間は2t=4(時間)かかる。
AB間を池の端に中心とした半径5√2(㎞)の円弧を描くように泳ぐと、
加速度-b(㎞/h)として、
エネルギー保存の法則より、
(1/2)m･5^2-m･b･(2π/8)5√2=0
b=5√2(㎞/h^2)
中心に最接近するまでの時間をT(h)とすると、
5T-(1/2)bT^2=(2π/8)5√2
T-(1/2)(√2)T^2=(π/4)√2
T^2-T√2+π/2=0
判別式D=(√2)-4(π/2)
=2-2π＜0
∴円周を泳ぐときがπ時間でもっとも速いと考えられる >>968
ABをまっすぐ泳ぐ場合は等加速度運動ではないのでそうはなりません
中心部では速度0なのでAからBまでまっすぐ泳げないというのが正しいです
それとそれだけでは他のあらゆるルートより短いことの証明にはなってません >>969
ごめんなさい
>中心部では速度0なのでAからBまでまっすぐ泳げないというのが正しいです
これは語弊がありました
正しくは中心部までにかかる時間が1/(5-x)の0から5までの積分で発散するので中心まで有限時間では辿り着けない
でした >>965
やっぱり図示したほうがいいのかな
ゴールドバーグの示した切稜12面体がこちら
http://i.imgur.com/CGlcOxY.png
で、問題の42面体がこちら。真ん中の部分を互い違いにして作る
http://i.imgur.com/k0USDtP.png
確かに表現が同じになってしまう。うまい表現方法はないものか。 >>968
急がば回れ
>>969
極座標系で、log(r) 対 θ のグラフを描いてみる…
>>971
上半分と下半分の境界は正10角形？ 前>>968
>>969中心とおるコースだと、中心で永遠に泳ぎつづけることはわかりました。
結局π時間で正解ですか？ ＿＿＿＿＿｣前>>974
（ -~-)正解できて
zz∪∪うれしいです｡
￣￣￣￣￣￣￣￣￣] >>973
そうですね。
中心の５角形と、それに隣接する６角形×５、さらにそれらに隣接する１０枚の面をまとめて１８０度反転して図を作っています。 >>971
topologicalな構造のみを考えればいいんだから、単純に前の階層に隣接する面を右回りに列挙して表示すればいいだけじゃないかな？
一意な表現にしたければ各階層の起点はこれ、と決めてしまえばいい。
たとえば、真ん中の５から始めて、それを取り囲む面を次の階層としたとき、
各階層の１２時の方角にあるものを起点とすると、
上の図では、５角形、６角形、５角形、稜、６角形、稜、５角形が起点
下の図では、５角形、稜、６角形、稜、６角形、稜、５角形が起点となる
そうすると、稜を縦棒で表すとして、
上の図は 5,66666,5656565656,|6666666666,6565656565,|66666,5
下の図は 5,|66666,6565656565,|6666666666,6565656565,|66666,5
みたいにすればよくないかな？ 自然数から自然数への関数 y = f(x) を
y = x + a + (~b & (b-1))
で定義する。ただし、a および b は
x = a*(2*b-1) ; aは1,2,4,8,...のように2の冪で表せる数、bは自然数
で定まるものとする。
尚、 “~” は 否定 NOT 、 “&” は 論理積 AND を表す。
例
f(10)=f(2*5)=10+2+(~3 & 2)=12+(~[11] & [10])=12+([00] & [10])=12
f(11)=f(1*11)=11+1+(~6 & 5)=12+(~[110]&[101])=12+([001]&[101])=13
f(12)=f(4*3)=12+4+(~2&1)=16+(~[10]&[01])=16+([01]&[01]=17=f^2(10)
f(13)=13+1+(~7&6)=14=f^2(11)
f(14)=14+2+(~4&3)=19
問題１：f^10(10)を求めよ
問題２：f^m(n)=2019 となる (m,n)のうち、m+nを最小にする(m,n)を求めよ
問題３：f^m(n)=20190121 となる (m,n)のうち、m+nを最小にする(m,n)を求めよ ある私立医大の合格者の偏差値の平均値はm、標準偏差は10の正規分布であるとする。
合格者のうち成績上位70%は入学を辞退し下位30%の合格者が入学する。入学者の偏差値の平均値をmaとする。
m - maを算出せよ。 >>980
f(x) = 1/{σ√2π)} exp［-(x-m)^2/ 2σ^2],
下位30% ････ 偏差値(m-0.5244σ)以下
f(x)
ma = ∫[-∞, m-0.5244σ] x･f(x) dx } / ∫[-∞, m-0.5244σ] f(x) dx{
= m + ∫[-∞, m-0.5244σ] (x-m) f(x) dx / 0.3
= m + (σ/√2π)∫[-∞, -0.5244] t･exp(-tt/2) dt / 0.3
= m + (σ/√2π) [ -exp(-tt/2) ](t=-∞, -0.5244) / 0.3
= m + (σ/√2π) [ -0.8715 / 0.3 ]
= m - 1.159σ
= m - 11.59 >>979
問題1
48
問題2
(10,1991)
問題3
(13,20190087) >>981
正解。
偏差値平均の差はmの値には依存しない。
虚飾値＝合格者の偏差値 - 入学者の偏差値
と定義して、辞退率と虚飾値の関係をグラフにすると
http://i.imgur.com/7WQQPKu.png >>979
問題2は (m, n)＝(155, 255) かな
f(x) は x の2進数表記と 1 の数が同じものを
小さい順に並べたとき、x の次を表す
2019＝[1 11111 00011] は 1 が 8 個だから
255＝[111 11111] まで遡ることができる >>982
問題１：関数を順次作用させていくと、
10,12,17,18,20,24,33,34,36,40,48,65,66,...
という整数列が得られます。
先頭の10を第一項とすると、そこから10項目の第11項は48。正解です。
この数列を見て、何かに気づかないかな？ というのが狙いでした。
問題２、３は残念ながら最小ではないので不正解です。
>>984
正解。関数の「意味」も、ご指摘の通りです。
任意の二つの自然数が、この関数で結びつくかどうかは、二進数に直して、1の数を数えれば判断できます。
結びつくことがわかった場合、その距離をどのように計るか？ それを考えるための問題が２と３です。
この関数をプログラム化するのは、ビット演算可能な言語なら簡単にできます。
実際に繰り返し関数を適用すれば、問題２は簡単に答えにたどり着くだろうけど、
問題３は困難だろうと思い採用した数字でした。しかし、実際にコード化し試したところ一瞬でした。
というわけで、問題３も、プログラム的解法が可能です。が、非プログラム的解法を期待します。 古典クイズ
沢山の宝石がある。宝石には穴が空いており、全ての宝石は一本の長い紐に通されて一直線に並んでいる。
また、宝石はn種類あり、各種類の宝石の個数は様々であるが全て偶数個であることは分かっている。
紐を何回か切断しいくつかの塊に分けることで、紐から宝石を外すことなく2人の人間で宝石を分けることを考える。
このとき、宝石の個数や並びに関わらず、n回切断することで常に均等に宝石を分けられることを示せ。 >>987
正解
20190121=[1001101000001001110101001]。二進数で25桁、1の数が11。これが、20190121の属性。
2^11-1=2047=[11111111111]を起点にすると、m+n を最小にできる。
[11111111111]を一番目とすると、24桁の最大数[11111111110000000000000]は、C[24,11]=2496144番目。
この数にもう一度関数を作用させると、25桁の最小数[1000000000000001111111111]になる。
この「何番目」という指標と、関数の作用回数は、１ずれていることに注意すると、
[11111111111]に、C[24,11]回、関数を作用させると、最上位の桁=2^24の位に1を立て、
残りの1をすべて下位の桁に押し込んだ[1000000000000001111111111]を得られることが判る。
同様に、1が10個並んだ状態[1111111111]に、C[21,10]回作用させると、22桁の最小数
[1000000000000111111111]になる。スタート地点が[1000000000000001111111111]だったら、
[1001000000000000111111111]となるが、上位3桁に影響はない。
つまり、[11111111111]=2047を[1001101000001001110101001]に到達させるためには、
C[24,11]+C[21,10]+C[20,9]+C[18,8]+C[12,7]+C[9,6]+C[8,5]+C[7,4]+C[5,3]+C[3,2]
=3061558回、関数を作用させればよい。
http://codepad.org/d6ezVAJb >>989
ほとんど同じ考え方で計算してました
さすがにC[24,11]+C[21,10]+……C[3,2]の計算はパソコンを使いましたが >>955
(f=10 の参考に)
シリコンフラーレン分子Ｓi_16
Q,p4,p4,Q
Qの1辺 2.34Å
pp境界（Qに接触) 2.25Å
pp境界 2.28Å
各8稜
V.Kumar, C.Majumder & Y.Kawazoe: Chem. Phys. Lett., Vol.363, Iss.3/4, p.319-322 (2002/Sep)
(東北大･金材研の川添教授)
シリコン単結晶 2.3513Å >>991
このスレの>>32に貼られてる10面体がそれでしょうか
長さについては多少違うようですが 〔V/S^(3/2）の最大値〕（等周定数？）
出題 26:420
計算実験 26:642 >>945 >>950-951 >>960-961 ほか
立体図 >>32 >>971 ほか
まとめ？ 26:444、447、647 >>955 ほか これ面白い
2の間隔の正方形を作り点をABCDとしたよ。
辺ABの上に点Pを取り、辺AP=BP=√2としたよ。
1)この時、Pを含めた5角形APBCDの周長さはいくつかな？
2)点Pを(1)の周長を変えないように点B点Dの延長線上となるように点Pを動かしたよ。
その結果四角形APCDとなったよ。
この時の点DP間の長さはいくつかな？
3)点Pが(2)の状態にある時、点P1とし、(1)の周長を崩さぬように点Pを動かしまた点BDの直線上に動かしその点をP2としたよ。
点P1→点P2動いた時間はいくつ？
なお、動かした時間は1につき1secとするよ。
4)動かした点Pの軌道をグラフに描く。
点P1が(0,0)を通るように上に凸で書いたよ。
次に(x,y)=(2,0)を中心とし(0,0)を通る半円を書き足したよ。
軌道と円で囲まれてる所の面積はいくつかな
？ >>945
「メディアルf面体」
5 - 12/f < k < 7 - 12/f なるk角形からなるｆ面体。
f≧12 のときは 5角形×12，6角形×（f-12)
ｆが12を割り切るときは全て（6-12/f）角形 （例：正ｆ面体） >>998
5角形×12，6角形×1 で作られる多面体は、どんな形になりますか？ このスレッドは１０００を超えました。
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