面白い問題おしえて〜な 28問目

レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
1132人目の素数さん2018/10/29(月) 00:19:23.87ID:59VF2v6C
過去ログ置き場 (1〜15問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ *
4 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ *
5 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ *
6 http://science.5ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ *
7 http://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/

903132人目の素数さん2018/12/28(金) 00:46:14.58ID:80Qhb7Y6
>>731
5等分の場合はこんな形が解になるそうです
https://imgur.com/xnH6eHf.jpg

正三角形5等分問題だと解が完全に非対称的な形になって面白い
https://imgur.com/rw7yGNl.jpg

904132人目の素数さん2018/12/28(金) 07:11:20.40ID:1iwNDVav
>>903
これはコンピュータでの解ですか?

905132人目の素数さん2018/12/28(金) 09:57:30.49ID:J3JKEwNA
計算機だとどう解くのかねえ

0.初期状態を決める
1.交点の角度の小さなものを少し拡げる
2.面積の小さな領域を少し広げる
3.誤差が許容範囲以内になるまで1〜2を繰り返す

こんなところかなあ

906132人目の素数さん2018/12/28(金) 13:35:26.96ID:1iwNDVav
直線でいいならプログラムもさほど困難じゃないような気がするんが。

907132人目の素数さん2018/12/29(土) 02:18:40.08ID:Pk3SjXcs
>>760
5角形のときカブトガニと呼ばれてたのを思い出したな。

908イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/12/29(土) 16:46:28.57ID:y2Z7Fa5C
>>898
五角形のカブトガニ、分岐は120°だけど、周との交わりがなんか偏ってるよね。

909132人目の素数さん2018/12/29(土) 17:24:01.08ID:btK/M0Gd
■速報■

無限に続くと思われていた円周率がついに終りを迎えた
千葉電波大学の研究グループがこれまでの円周率演算プログラムに
誤りがあったことを発見
同大のスーパーコンピュータ「ディープ・ホワイト」を使って
改めて計算しなおしたところ、10桁目で割り切れたという

10桁目の最後の数字は「0」だった

千葉電波大学の研究グループの発表によると、
円周率計算に際し、改めて既存の円周率計算プログラムを
点検してみたところ、円周の誤差を修正する数値に
誤りがあることに気が付いた
この数値を正常値に直して計算しなおしてみたところ、
円周率は10桁で割り切れたという

910132人目の素数さん2018/12/29(土) 19:48:21.17ID:xdg2MoVf
原点O中心、半径√13の円に内接する正三角形ABCがある。
点Pは最初得点mを持って点Aからスタートし、次のルール(あ)、(い)で点数操作が行われる:
(あ) 点を出発する際に得点は3倍される
(い) 点に到着した際に得点は到着点のy座標の値がそのまま加算される。例えばy座標が-1であれば, -1される

いま、A→B→C→Aの移動を行うとき
(i)1周した後の得点m'の取りうる範囲を、初期の得点mを用いて表し、
(ii)得点m=1でスタートして、得点に変化がない場合、点Bの座標として考えられるものをすべて挙げよ。

911132人目の素数さん2018/12/29(土) 21:15:58.90ID:TLF1TGk4
>>902
できた。
まず基本的な公式として n≧3 のとき
Σ s(σ) = 0、Σ s(σ)f(σ) = 0、Σ[f(σ) = 0] s(σ) = (-1)^(n-1)(n-1)
が成立する。容易ゆえ証明は略。
自然数 n,i に対し
X[n,i] = Σ[n∈Sn] s(σ)/(f(σ) + i)、
Y[n,i] = (-1)^(n-1) n! (i-1)!/(n+i)/(n+i-2)!
とおく。
X[n,i] = Y[n,i] を示せば十分である。
n≦3 においては容易。
Yが漸化式
Y[n+1,i] = -(n+i)Y[n,i] + (i-1)Y[n, i-1]+ Y[n,i+1]  (i≧2)、
Y[n+1,i] = -(n+i)Y[n,i] + (-1)^(n-1)(n-1)+ Y[n,i+1] (i=1)
を満たすことは容易。
σ∈S[n+1] に対し g(σ) をその固定点数とする。
まずn≧3、i≧2 において
X[n+1,i]
= Σ[σ∈S[n],k:1〜n+1] s((k n+1)σ)/(g((k n+1)σ)+i)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+i) - f(σ)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= Σ[σ∈S[n]]( -(n+i)s(σ)/(f(σ)+i) + (i-1)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= Σ[σ∈S[n]]( -(n+i)s(σ)/(f(σ)+i) + (i-1)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= -(n+i)X[n,i] + (i-1)X[n, i-1]+ X[n,i+1]
であり、n≧3、i=1において
X[n+1,1]
= Σ[σ∈S[n],k:1〜n+1] s((k n+1)σ)/(g((k n+1)σ)+1)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) - Σ[σ∈S[n], f(σ)≠0] f(σ)s(σ)/(f(σ))
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) + Σ[σ∈S[n], f(σ)=0] s(σ)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) + (-1)^(n-1)(n-1)
= -(n+i)X[n,i] + (-1)^(n-1)(n-1)+ X[n,i+1]
である。

912132人目の素数さん2018/12/30(日) 08:58:19.51ID:kTwoovIR
>>911
想定していた解とは違いますが、正しそうです
問題より強い主張を漸化式を用いて示したわけですね
i≧2の場合の議論は避けられなさそうです
詳しく書いてくださりありがとうございます

ちなみに出典は某数学コンテスト(数オリではない)です

913132人目の素数さん2018/12/30(日) 09:23:56.79ID:k0jfpvut
>>902
俺もできたけど>>911の方が美しいかな…
一応概略を書いとく

>>911と同じく Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) を求める方針で、使う漸化式が異なる。
なので記号を借りて
 X[n,i]=Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) (*)
とおく。

S_n の元を、n-1, n の行き先によって分類する。
(i)n-1, n を固定するもの。
これだけで (*) の和を考えると、X[n-2, i+2] に一致することが分かる。
以下同様に、
(ii)n-1 と n を入れ替えるもの→-X[n-2, i]
(iii)n を固定し n-1 を固定しない→X[n-1,i+1]-X[n-2,i+2]
(iv)n を n-1 に移し、n-1 を n に移さない→-X[n-1,i]+X[n-2,i+1]
(v)n-1 を固定し n を固定しない→(iii)と同じ
(vi)n-1 を n に移し、n を n-1 に移さない→(iv)と同じ
(vii)n-1,n が共に n-2 以下に移る→0 (∵σとσ(n-1 n)で打ち消しあう)

これらの総和をとって
 X[n,i]=2(X[n-1,i+1]-X[n-1,i])-(X[n-2,i+2]-2X[n-2,i+1]-X[n-2,i])
を得る。あとは推測して帰納法。

914132人目の素数さん2018/12/30(日) 09:30:46.48ID:kTwoovIR
>>913
方針は同じようですね
個人的には>>911の変形の方がより自然なように感じます

915132人目の素数さん2018/12/30(日) 09:53:01.19ID:iqGvUL00
>>902
のような問題は解けと言われれば解けるけど、なんでこんな式が成立するのか、見つけられるのかがさっぱりわがんね。
なんか背景理論的なものがあるんだろうなぁとしかわがんね。

916132人目の素数さん2018/12/30(日) 10:16:38.72ID:lxuhMzG5
>>909
虚構新聞ですね。

π =
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000

917132人目の素数さん2018/12/30(日) 13:42:14.87ID:IqPQxOOy
>>910
むずいな

918イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/12/30(日) 15:00:24.87ID:olbjfmVh
>>908
>>910(i)
点Aを(0,√13)とした場合、
点Bを(-a,-b)、点Cを(a,-b)とおくと、
点数はm→3m→3m-b→9m-3b→9m-4b→27m-12b→27m-12b+√13
m'=27m-12b+√13
bを求める。
AC^2=(√13+b)^2+a^2
BC^2=4a^2
AC=BCより、
(√13+b)^2=3a^2――@
点C(a,-b)は半径√13の円周上にあるので、
a^2+b^2=13――A
@Aより、
13+2b√13+b^2=3(13-b^2)
4b^2+2b√13-26=0
2b^2+b√13-13=0
b=(√13)/2
∴m'=27m-5√13

919イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/12/30(日) 15:31:48.04ID:olbjfmVh
>>918
(ii)m=m'=1とすると、
1=27-12b+√13
12b=26+√13
b=(26+√13)/12
a^2={(b+√13)^2/3}^2
a=(b+√13)/3
={(26+√13)/12+√13}/3
=(26+13√13)/36
とりうる点Bは、
((26+13√13)/36,(26+√13)/12)
((26+13√13)/36,(-26-√13)/12)
((-26-13√13)/36,(26+√13)/12)
((-26-13√13)/36,(-26-√13)/12)

920132人目の素数さん2018/12/30(日) 17:58:01.55ID:G43Cr8DT
>>909
>10桁目の最後の数字は「0」だった

やっと気付いたww
芸が細かいwww

921イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/12/30(日) 22:12:09.42ID:olbjfmVh
>>919
>>920
π=3.1415926535……
0じゃないんじゃないの?
3じゃないの?

922132人目の素数さん2018/12/31(月) 01:58:34.89ID:Rxl1/ihS
>>910
(i)
27m-26≦m'≦27m+26

(ii)
(-√3/2,-7/2), (√3/2,-7/2)

923イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/12/31(月) 12:28:20.21ID:HqvNJuR/
>>921範囲か!
>>918修正。
(i)m'=m-12b+√13において0≦b≦
27m-11√13≦m'≦27m+13√13
ちがうか。
点A(√13cosθ,√13sinθ)
点B(√13cos{θ+(2π/3)},√13sin{θ+(2π/3)})
点C(√13cos{θ+(4π/3)},√13sin{θ+(4π/3)})
Aを出発するとき、
m→3m
Bに到着するとき、
3m→3m+√13sin{θ+(2π/3)}
Bを出発するとき、
3m+√13sin{θ+(2π/3)}→3[3m+√13sin{θ+(2π/3)}]
=9m+3√13sin{θ+(2π/3)}
Cに到着するとき、
9m+3√13sin{θ+(2π/3)}→9m+3√13sin{θ+(2π/3)}+√13sin{θ+(4π/3)}
=9m+3√13sin{θ+(2π/3)}+3√13sin{θ+(2π/3)}-√13sin{θ+(2π/3)}
=9m+2√13sin{θ+(2π/3)}
Cを出発するとき、
9m+2√13sin{θ+(2π/3)}→3[9m+2√13sin{θ+(2π/3)}]
=27m+6√13sin{θ+(2π/3)}
Aに到着するとき、
27m+6√13sin{θ+(2π/3)}→27m+6√13sin{θ+(2π/3)}+√13sinθ
∴m'=27m+6√13sin{θ+(2π/3)}+√13sinθ
(0≦θ≦π/2)
このとき0≦sinθ≦1
2π/3≦θ+(2π/3)≦5π/6
sin(5π/6)≦sin{θ+(2π/3)}≦sin(π/2)=1
m'のとりうる範囲は、
27m+6√13sin(5π/6)+√13sin(5π/6)≦m'≦27m+6√13sin(2π/3)
27m+6√13(√13)/2+√13(√13)/2≦m'≦27m+6√13(√13)(√3/2)
27m+39+13/2≦m'≦27m+39√3
27m+91/2≦m'≦27m+39√3

924132人目の素数さん2018/12/31(月) 17:40:15.16ID:jfNleUVx
数学板のコテを集めてランク付けしようぜwwwww
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1546228012/

925132人目の素数さん2019/01/01(火) 10:21:41.54ID:nRsyFy0N
甲乙二人がおのおの32ピストル(当時のお金の単位)の金を賭けて勝負したとする。
 そしてどちらかが先に3点を得たものを勝ちとし、勝った方がかけ金の総額64ピストルをもらえるとする。ところが甲が1点を得ただけで、勝負が中止になってしまった。
 このとき、二人のかけ金の総額64ピストルを甲と乙にどのように分配すればよいだろうか。
 ただし二人の力は互角で、勝つ確率はそれぞれ1/2ずつだとする。

926 【大吉】 2019/01/01(火) 10:59:12.75ID:lflPiwVu
>>925
甲32ピストル
乙32ピストル
∵勝負は中止になった。どちらも3点には満たない。どちらか勝ったほうが64ピストル総取りのルールだったはず。分配なら最初に言っとかないといかん。
>>923

927132人目の素数さん2019/01/01(火) 11:01:10.07ID:nRsyFy0N
>>926
32,32も分配じゃね?

928132人目の素数さん2019/01/01(火) 16:37:14.23ID:31JmtpX8
>>925
何をもって良い分配と見なすかによるでしょ

期待される勝率によって分けるなら
甲:44 乙:20
当初のルールを忘れて甲が勝利したと見なすなら
甲:64 乙:0
勝敗がついていない為に完全な引き分けと見なすなら
甲:32 乙:32

他にもいくらでもこじつけられそう

929132人目の素数さん2019/01/02(水) 00:21:57.02ID:GvDO1SFm
>>760 (下) すべて線分、分岐角120°
   L = 4.889287343655

>>903 (上) 線分3 + 円弧4、分岐角120゚、外円との交角90°
   L = 4.848096236

かな?

930132人目の素数さん2019/01/04(金) 15:45:31.82ID:BKdPZt1m
格子
Γ = { M*(-143+√-2) + N*(401) | M,Nは整数 }
で(原点以外の点で)最も原点に近い点を知るには、やみくもに探す以外に良い計算があるか?

どんな格子でも通用する方法ではなくて、実は格子として長方形型格子 {M+N√-2|M,Nは整数} と相似な格子という仕掛けがあります

931132人目の素数さん2019/01/06(日) 11:31:56.21ID:U1uFvPRA
>>889
これ結局どう示すの?

932132人目の素数さん2019/01/07(月) 06:06:02.69ID:q8wkjRc4
四角形の二つの辺の長さがそれぞれ800,1000である。
このうち、向かい合う二つの頂点から平行にそれぞれの対辺に対して二本の線を引く。このとき2つの直線の距離は300である。
このとき引いた直線は対辺をある長さx,yに分割するが、このx,yを求めよ。

933132人目の素数さん2019/01/07(月) 06:28:09.98ID:Ye80VrF7
>>931
出題者ではないが

時計を置く先手の最善手:
針のある時計を正N角形に配置
針のない時計は外側の任意の位置に置く
針は全て同時刻に合わせ、9時の向きに
正N角形の中心が来るようにする
(針が6時を指した時、正N角形の中の
三角形がすべて有効になる)

針を追加する後手の最善手:
時刻を先手の時計の6時間後に合わせる
文字盤の向きはすべて同じ方角とする
(針のなかった時計の中心を2つ以上含む
三角形が、任意の時刻ですべて無効となる)

三角形を描く先手の最善手:
自分の作った正N角形の外周と
対角線のうちN-3本を結び、N-2個の
三角形を作る
外側は適当に結ぶ
(「特異な三角形」は、6時のとき
最大N-2個)

証明は頭のいい人に任せた

934132人目の素数さん2019/01/07(月) 10:21:08.52ID:6/b/2cqD
文章めちゃくちゃやん

935132人目の素数さん2019/01/07(月) 10:21:54.97ID:6/b/2cqD
ごめん>>934>>932へのレス

936132人目の素数さん2019/01/07(月) 11:22:10.08ID:kZqBQG7w
>>932
最初の四角形の頂点をA,B,C,Dとして、問題を書き直してはどうか

937132人目の素数さん2019/01/07(月) 11:30:30.99ID:kns0hoDC
条件不足で定まらないと思うけどな
もしかして長方形なのか?

938132人目の素数さん2019/01/07(月) 11:31:52.45ID:UGEAw86a
面白い問題の予感がしない

939132人目の素数さん2019/01/07(月) 16:33:29.00ID:G1hK8Aqj
>>937
長方形です。
みなさんごめんなさい。面白くないのは承知しています。

940イナ ◆/7jUdUKiSM 2019/01/07(月) 18:08:37.02ID:ILeQbWMu
>>926
>>932
x+y=1000
三角形の相似比より、
1000:200√41=300:y
y=60√41
x=1000-60√41

941132人目の素数さん2019/01/07(月) 18:11:37.07ID:MyoHHzE6
test

942132人目の素数さん2019/01/07(月) 18:23:53.46ID:gN+ODkuK
木阿弥

943132人目の素数さん2019/01/08(火) 12:15:47.54ID:iVFH0oHY
左括弧"("と右括弧")"を2n個並べたとき,正しく括弧が組み合わさっている確率をP_nとする.
[例:(()),()() :正しい, )(((,)(():正しくない]

このとき,lim(n→∞)n√nP_nを求めよ.

944132人目の素数さん2019/01/08(火) 14:24:45.67ID:pdvvgs5G

945132人目の素数さん2019/01/13(日) 17:17:11.53ID:23+SNwHD
連休なのに過疎ってるのでネタを投下してみる

問:表面積が1であるf面体のうち、体積Vが最大であるものは何か?

これに対してメディアル多面体が解となるという予想があった。定義は以下。

26問目スレ 447
>「メディアルf面体」
>  [ 6-12/f ] 角形と [ 6-12/f ] +1 角形のみからなるf面体。
> f≧12 のときは 5角形×12,6角形×(f-12)

これについて調査したところ、以下の場合は反例がありそう。

f=11 V=0.080055026399577983 4角形×2,5角形×8,6角形×1
f=13 V=0.082432267303420834 4角形×1,5角形×10,6角形×2
f=33 V=0.089603827451613424 5角形×13,6角形×19,7角形×1

そこで、以下の問を提案する。

問「表面積が1であるf面体のうち、体積Vが最大である解」がメディアルf面体でないfはいくつあるか?

つまり、条件を満たす f は、上記 11,13,33 がすべてであるか?(そもそも上記の例は最大解と言えるか?)

946132人目の素数さん2019/01/15(火) 06:38:35.78ID:ke5su7tE
n次正方行列Aが冪零行列のとき、A^p=Oをみたす正整数pの最小値を求めよ。

947132人目の素数さん2019/01/15(火) 14:20:36.09ID:6aCHqdR4
2

948132人目の素数さん2019/01/16(水) 01:07:38.66ID:lOjtUToz
1

949132人目の素数さん2019/01/16(水) 01:11:03.88ID:lOjtUToz
>>945
連休終わったけど…

f   V/S^{3/2}
4  0.05170027 = 1/{6√(6√3)}     正4面体
6  0.06804138 = 1/(6√6)       立方体
8  0.074488  4角形×4, 5角形×4  メディアル8面体
10  0.078740  4角形×8, 4角形×2  (シリコンフラーレン)
12  0.08168837 = φ^{4/7} /{6(√3)・5^{5/8}) 正12面体 
14  0.083365  5角形×12, 6角形×2  ねじれ重角錐台(ゴールドバーグ)
16  0.084740  ?
20  0.086610  5角形×12, 6角形×8  メディアル20面体
32  0.089493  5角形×12, 6角形×20  切頂20面体(サッカーボール)
42  0.090565  5角形×12, 6角形×30  切稜12面体
∞  0.09403160 = 1/(6√π)       球

φ = (1+√5)/2 = 1.61803398875 (黄金比)

http://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/40/0/40_0_226/_pdf

950132人目の素数さん2019/01/16(水) 07:54:30.43ID:h759beZ/
>>949
こちらの計算した値は以下:
f   V/S^{3/2}
4    0.051700269950116645   正4面体
6    0.068041381743977170   立方体
8    0.074344868093229974
10   0.078734752898039745
12   0.081688371824182551   正12面体 
14   0.083349245941114841
16   0.084742718358283536
20   0.086626966830007951   切頂20面体(サッカーボール)
32   0.089493100466131958
42   0.090574499972086386 (切稜12面体=0.090566239172274965)

正多面体とサッカーボール以外では値が多少違っているような。
精度の問題でしょうかね。

951132人目の素数さん2019/01/16(水) 08:06:26.75ID:h759beZ/
>>950
>20   0.086626966830007951   切頂20面体(サッカーボール)
>32   0.089493100466131958
サッカーボールは32面体のほうです。
20   0.086626966830007951   メディアル20面体
32   0.089493100466131958   切頂20面体(サッカーボール)

なお、f=20はメディアル20面体には違いないですが、ゴールドバーグ論文のXX-1(1,3,3,(6),3,3,1)やXX-2(1,6,6,6,1)とは異なり
たぶん 2,2,(4),(2,2),(4),2,2 で表されているものに近いのではないかと思います。

952132人目の素数さん2019/01/16(水) 09:10:48.89ID:0Pwa3p0Q
>>947-948
んなわけねーじゃん

953132人目の素数さん2019/01/16(水) 09:49:45.32ID:495Sh82t
>>946
零行列 A=O は冪零行列のひとつである.
これと A^p=O を比較して p=1.

>>948 が正解.

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