面白い問題おしえて～な 28問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 00:19:23.87

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 00:23:17.37

(*)　3～6問目で「datが存在しません。」が出ます。

削除依頼は不要です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/29(月) 01:18:29.19

削除依頼を出しました

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/29(月) 16:37:23.99

過去ログ27の898つづき。
扇形OAB=3.14c㎡
AB^2=(2√2-2)^2+2^2
=8-8√2+4+4
=16-8√2
AB=√(16-8√2)
=2√(4-2√2)
△OAB=(1/2)･2√(4-2√2)･√{(2√2)^2-(4-2√2)}
=√(4-2√2)･√(4+2√2)
=√(16-8)
=2√2
三日月形AB=3.14-2√2
(=3.14-2.8284……
≒0.312)
ABを延長、半直線AB上にP(遠いほう)から垂線PCを下ろす。
ABの中点をNとすると、
ON=2△OAB/AB
=2･2√2/2√(4-2√2)
=√(4+2√2)
扇形PABの高さPC=ON+PH
=√(4+2√2)+PH
扇形PAB=(1/2)AB･PC-三日月形AB
=√(4-2√2)･{√(4+2√2)+PH}
=√8+PH√(4-2√2)
=√8+√(8-OH^2)(4-2√2)
=　c㎡
(考え中)
OP//BQ(外側のQ)
中心角∠AOB=45°
円周角∠APB=22.5°
NB=√(4-2√2)
△OPQ∽△BQP
√は消えるはず……

【末吉】 · 2018/10/30(火) 00:26:22.58

前>>4
図描いたら円Oは一辺4㎝の正方形にすっぽり入るから半径2㎝かもしれない。
OP=2㎝
OM=MA=1㎝
なんで√が要るのかすらももうわからない。
円Aの半径は1㎝のようだ。小学生向けか。
とりあえず前スレのはなんだったんだという感じで、仕切りなおし。

【だん吉】 · 2018/10/30(火) 00:55:37.66

前>>5円の中に一辺4㎝の正方形だった。あってる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 01:50:09.86

〔前スレ．898〕 (再掲)

これも中学の入試問題

図1のように一辺4cmの正方形にちょうど入る大きさの円Oがある。
図2のように円Oの周上に点Aがあり、OAの中点をMとする。
点Aを中心として点Mを通る円を描き、円Aとする。
円Oの周上に点B, Pが、円Aの周上に点Qがあり、次の条件を満たしている。
　・∠AOB = 45°
　・BQと円Aは接している。
　・OPとBQは平行
このとき、直線AP, BP, 円Oの短い方の弧ABで囲まれた面積として考えられるものをすべて答えなさい。
円周率は 3．14 とする。

図1 http://i.imgur.com/uYNULrq.jpg
図2 http://i.imgur.com/s7n55LS.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 02:20:42.83

>>7
> 図1のように一辺4cmの正方形にちょうど入る大きさの円Oがある。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/30(火) 03:00:18.86

前>>6
>>7-8我々は我々ながらよく気づいた。公立行って日本語勉強したほうがいいと思わせる問題だった。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/30(火) 12:45:59.96

前>>9
弧AB=円Oの円周/8
=2･3.14･2/8
=1.57㎝
扇形OAB=3.14･2^2/8
=1.57c㎡
AからOBに垂線を引いてできる、弧ABを斜辺とする直角三角形について、三平方の定理より、
AB^2=(√2)^2+(2-√2)^2
=8-4√2
AB=2√(2-√2)
=1.5307338
≒1.53㎝
△OAB=OB×(AからOBに引いた垂線)×(1/2)
=2×√2×(1/2)
=√2
≒1.41c㎡
三日月形AB≒1.57-1.41
=O.16c㎡
4つのPの弦ABからの距離を求め、
AB/2=√(2-√2)
≒0.7653669を掛け、
三日月形AB=O.16を足すと、
4つの扇形PABの値が出ると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 16:00:16.62

まだ合わないね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 16:57:56.36

Memo．

cos(22.5ﾟ) = (1/2)√(2+√2) = 0.923879532511
sin(22.5ﾟ) = (1/2)√(2-√2) = 0.382683432365

O = (0，0)
円O：　xx + yy = 8,
A = (-(√8)sin(22.5ﾟ)，-(√8)cos(22.5ﾟ) ) = (-√(4-√8)，-√(4+√8) )
B = ( (√8)sin(22.5ﾟ)，-(√8)cos(22.5ﾟ) ) = ( √(4-√8)，-√(4+√8) )

円A：　{x + √(4-√8)}^2 + {y + √(4+√8)}^2 = AM^2 = 2,

点Bをとおる円Aの接線は
　y = ±m{x -√(4-√8)} - √(4+√8)
　m = 1/√(7-4√2) = 0.862856209461
接点Qは
　x(Q) = -(1 -1/√2)^(3/2) = -0.1585126677811
　y(Q) = -3.68384840　と　-1.542403459

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/30(火) 21:45:13.29

前>>10Pが2つとして、
ABの中点をNとすると、
△PAB=NB･(ON±√2)
NB=√(2-√2)
ON^2=OB^2-NB^2
=2^2-(2-√2)
=2+√2
△PAB=√(2-√2)･{√(2+√2)±√2}
=√2±√(4-2√2)
=2.4966057
または0.3318213
三日月形AB=扇形OAB-△OAB
=1.57-√2
=0.1557865
∴扇形PAB=2.4966057+0.1557865
=2.6523922c㎡(2.65c㎡)
または扇形PAB=0.3318213+0.1557865
=0.4876078c㎡(0.488c㎡)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 23:06:38.55

まだ違う。
てかもう答え出てるんだから何故それで検算してみてから書き込まないの？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/30(火) 23:38:37.99

>>14検算はしました。といっても電卓だし。
答えが出てるとは思ってない。
せめて答えは√がなくなると思ったんだけど。
もちろんsinやcosも小学生にそこまで求めないと思うし。
面積だから単位はc㎡だと思うけど、求める図形が2つか4つか、いくつあるかもわからない。
前>>13

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/30(火) 23:45:12.35

>>15

> >>14検算はしました。といっても電卓だし。
> 答えが出てるとは思ってない。

出てる答えの何が間違ってると思うん？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 01:11:26.66

Memo．

cos(22.5ﾟ) = √{[1+cos(45ﾟ)]/2} = 0.9238795325
sin(22.5ﾟ) = √{[1-cos(45ﾟ)]/2} = 0.3826834324

O = (0，0)
円O：　x^2 + y^2 = (2r)^2,
A = (-2r･sin(22.5ﾟ)，-2r･cos(22.5ﾟ) ) = (x(A)，y(A))
B = ( 2r･sin(22.5ﾟ)，-2r･cos(22.5ﾟ) ) = (x(B)，y(B))

AB = x(B) - x(A) = 4r sin(22.5ﾟ) = 2√(2-√2) r = 1.53073373 r^2,
y(A) = y(B) = -√(2+√2) r,

円A：　{x - x(A)}^2 + {y - y(A)}^2 = AM^2 = r^2,

点Bから円Aに曳いた接線は
　y = ±m{x -x(B)} + y(B),
　m = 1/√(7-4√2) = 0.862856
接点Qは
　x(Q) = -(1/4)(2-√2)^(3/2) r = -0.1120854 r

OP//BQ より
　y(P) = ±{2m/√(1+mm)} r = ±(1/√2)√(2+√2) r = ±1.306563 r,
　y(P1) - y(B) = (1/2)(2+√2)√(2+√2) r,
　y(P2) - y(B) = (1/2)(2-√2)√(2+√2) r,

△ABP1 = (1/2)AB{y(P1)-y(B)} = (√2 +1)r^2,
△ABP2 = (1/2)AB{y(P2)-y(B)} = (√2 -1)r^2,

(三日月型AB) = (π/2 - √2)r^2 = 0.15658276 r^2,

∴　S = (π/2 ± 1)r^2,

**BLACKX** ◆SvoRwjQrNc · 2018/10/31(水) 03:27:59.82

https://imgur.com/a/pQmEjCF
点Pから点Qに団地の路地を毎秒１ずつ進む。
1)緑の団地脇を抜ける最短経路の長さはいくつか。
2)A君家からB君家まで最短で何秒かかるか。

点Pスレに貼っても無反応だったので

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 04:30:04.94

>>18
団地一棟の一辺は√5。
1)
P → Q ： 15
P → A → B → Q ： 2 + 5√5 + 4 = 6 + 5√5
P → A → C → Q ：問題外
P → A → D → Q ： 2 + 4√5 + 3 = 5 + 4√5
P → B → C → Q ：問題外
P → B → D → Q ：問題外
P → C → D → Q ： 4 + 4√5 + 3 = 7 + 4√5
より5+4√5。
2)題意がP → A → B → Qと進むという意味なら6 + 5√5。
ーーーー
ABとPQが逆？
1)も緑の団地脇のみを抜けてPからQへは移動できないし。
なんでもいいけど。

**BLACKX** ◆SvoRwjQrNc · 2018/10/31(水) 05:56:19.70

>>19
あってる。ありがと。
そうね、PABQの時間だねごめん
ABが逆だと思ったのは外接を点CDでやったからだと思う
俺想定してたのがC1～C7点でやったから関係なかったねごめん
初めからC点つけとけば良かったな

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/31(水) 09:53:18.49

前>>15
>>13と>>17の三日月形ABの値が少し違うのは3.14とπの違いかな。
問題に3.14を使えとある。だからここは>>13のほうが正しい。実際より少し小さい値になる。

問題文によると、
>>7一辺4㎝の正方形にちょうど入るってことなんで、
OP=2
OM=MB=1
ただし、図を優先すると値は変わる。
Pが4つか2つか。2つずつ一致するとみて答えを求める。
4つのPの弦ABからの距離を求め、
AB/2=√(2-√2)を掛け、
三日月形ABの面積を足す方針。
もしもPが2つずつ一致するなら、
ABの中点をNとして、
△OAB=NB･(ON±√2)
扇形OAB=NB･(ON±√2)+三日月形AB
NB=√(2-√2)
ON=√(OB^2-NB^2)
=2^2-(2-√2)
=√(2+√2)
扇形OAB=√(2-√2)√(2+√2)±√(2-√2)√2
=√2±√(4-2√2)
√は外せないか。
Pは4つあるかもしれない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 10:08:52.50

出てる答えがπr^2/2 + r^2だから
>>15
>答えが出てるとは思ってない。
てか？
まぁじゃ好きにすればいいけど。
いつになったら正解にたどり着くん？
ホントに東大卒？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 10:12:40.56

>>22
>πr^2/2 + r^2
おっとコレ大きい方の答えね。小さい方の答えはπr^2/2 - r^2。
出てる答えは条件みたすPは４ヶ所、面積は２通り。
まぁ頑張って下さいませ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 12:26:50.70

ちがった。現在上がってる答えはπr^2/8 ± r^2/4だった。
r = 2 なら π/2 ± 1 = 2.57、0.57。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/10/31(水) 20:00:52.00

前>>21題意の文章のとおりだと、>>13であってると思うんだけど、図を優先すると円Oの半径が2√2となり、値は変わる。面積は2倍になる。
Pが2つとして、
ABの中点をNとすると、
△PAB=NB･(ON±2)
NB=√(4-2√2)
ON^2=OB^2-NB^2
=(2√2)^2-(4-2√2)
=4+2√2
△PAB=√(4-2√2)･{√(4+2√2)±2}
=√8±2√(4-2√2)
=2√2±2√(4-2√2)
=2.828427±2.1647844
=4.9932114
または0.6636426
三日月形AB=扇形OAB-△OAB
=3.14-2√2
=0.311572875
∴扇形PAB=4.9932114+0.311572875
=5.3047842c㎡(5.30c㎡)
または扇形PAB=0.6636426+0.311572875
=0.9752154c㎡(0.975c㎡)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/31(水) 21:48:18.01

一応オリジナルなんだけどもしかして有名問題だったりするのかしらと一抹の不安を感じながら投稿

実数から実数への連続関数fは有界であり、任意の実数xに対して
f(x+√2)=(f(x)+f(x+1))/2
を満たす。この時、fは定数関数であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 00:37:19.95

分かすれ447の888より未解決

fを実係数n次多項式、s_0,s_1,...,s_nを相異なる実数とすると
f(x+s_0),f(x+s_1),f(x+s_2),...,f(x+s_n)は一次独立であることを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 01:42:46.87

>>27
f(x) = Σc[j]x^j とおき Σ[i] a[i] f(x+s[i]) = 0 とする。
Σa[i] c[j] (x + s[i])^j = 0 である。
n-k次の係数は
Σa[i] c[n] C[n k] s[i]^k
+Σa[i] c[n-1] C[n-1 k-1] s[i]^(k-1)
+Σa[i] c[n-2] C[n-2 k-2] s[i]^(k-2)
……
+Σa[i] c[n-k] C[n-k 0] s[i]^(k-k)
でこれが0であるから帰納的に
Σa[i] s[i]^k = 0 (k=0,1,…,n)
である。
ここでVandelmonde(s[i]^k)の行列式は零でないからa[i] = 0である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 02:18:37.45

>>25
もし>>13があってたら
△PAB=√2±√(4-2√2)
三日月AB = π/2-√2
で答えが
π/2±√(4-2√2)
になるやん？
中学受験の答えがこんなんになるはずないでしょ？
半径が2√2でも答え２倍になるだけだからありえへんでしょ？
やり直し。

**sage** · 2018/11/01(木) 04:00:36.26

>>27
nについての帰納法で。
n=1 のとき (略)

n-1 に対して成立したとする。
　n次の多項式f(x)に対し、因数定理より
　f(x+⊿) - f(x) = g(x)⊿,
　g(x) は高々n-1次の多項式で、係数はf(x)の場合と同様。
いま
　Σ[k=0，n] c_k f(x+s_k) = 0,
とする。x^n の係数を比べて
　Σ[k=0，n-1] c_k ＋ c_n = 0,
だから
　0 = Σ[k=0，n] c_k f(x+s_k)
　= Σ[k=0，n-1] c_k {f(x+s_k) - f(x+s_n)}
　= Σ[k=0，n-1] c_k (s_k-s_n)g(x+s_k)
帰納法の仮定により g(x+s_k) は1次独立。(k<n)
∴ c_k (s_k - s_n) = 0,　　(k<n)
題意により s_k - s_n ≠ 0, (k<n)
∴ c_k = 0　　　(k<n)
∴ c_n = -Σ[k=0,n-1] c_k = 0,
∴ f(x+s_k) も1次独立。(0≦k≦n)

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 04:11:28.52

>>30
>f(x+⊿) - f(x) = g(x)⊿,

これあかんやろ？
f(x+⊿) - f(x)は⊿でくくれるけど⊿^2以上の項があるからくくったg(x)にも⊿がのこるからg(x)は⊿に依存する。
つまり正確には
f(x+⊿) - f(x) = g(⊿,x)⊿
になる。
すると
>= Σ[k=0，n-1] c_k (s_k-s_n)g(x+s_k)
のところは
Σ[k=0，n-1] c_k (s_k-s_n)g(s_k-s_n,x+s_k)
になりg(s_k-s_n,x+s_k)は単純に同一のn-1次式をシフトしただけの組ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 06:01:46.13

以前に出題された「体積が最大になる表面積1の多面体」(面白いスレ26:420～)について
計算でそれらしい解を出していたのだけど、今回それらを視覚化してみたので投下しておきます。

内接球との接点から頂点までを結んだ線を追加していますが、稜を挟んで向かい合う三角形はそれぞれ対称であるはず。

8面体 http://imgur.com/wYhPa1z.gif
9面体 http://imgur.com/yIbytVb.gif
10面体 http://imgur.com/rESWAMh.gif
11面体 http://imgur.com/airhHDk.gif
12面体 http://imgur.com/Cb0Go9K.gif
13面体 http://imgur.com/G7QDmpg.gif
14面体 http://imgur.com/G6jsj9s.gif
15面体 http://imgur.com/EYjweqv.gif
16面体 http://imgur.com/imr1D2Q.gif

17～19面体略

20面体を作ってみたところ、12枚ある五角形が野球ボールの縫い目のように整列しているような形が出てきました。

20面体 http://imgur.com/006j3bX.gif

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 06:08:04.77

なお、>>32 の各図形について最大であるかどうかの証明はしていません。
何回か試行して他に良い解がなく、かつ対称性が高いものを採用しています。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 06:31:27.51

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イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/01(木) 12:26:31.61

>>29一瞬√2が消えるのにまた出てくるジレンマ。

前>>25
問題文の「正方形に入る」は、「正方形が入る」なのかな？

いずれにしろ半径が√2倍になったら面積は2倍。出題者の考えを聴こう。これ以上やってもおもんない問題になる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 12:52:25.04

①方程式 x⁴+y⁴=6z⁴+12w⁴ は, (x,y,z,w)=(0,0,0,0)以外の有理数解を持たないことを示せ.

②Xをk+m次正定値エルミート行列とせよ.
X=[[ A, C], [C^*, B] ]
とブロック行列表示せよ.
ここで, Aはk次行列, Bはm次行列, Cはk×m行列であり,
C^*はCの随伴行列である.
このとき,
det(X) ≦ det(A) det(B)
を示せ.

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/01(木) 18:40:47.40

>>36
①ても足もでない。
ヒントおながいします。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/02(金) 00:21:03.79

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イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/11/02(金) 15:20:39.27

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前>>35

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/03(土) 02:50:14.57

広場に3つの扉がある。
扉の見た目はいずれも同じ。

ひとつは「一瞬で天国に行ける」扉
ひとつは「1日の間ずっと広場から出られない」扉
ひとつは「2日の間ずっと広場から出られない」扉

扉は、開けた瞬間に効果があらわれる。

扉の効果があらわれると、すぐに扉は閉じられ位置がランダムにシャッフルされる。
そのため、前回の位置にある扉が今回も同じとは限らない。

さて、この広場を訪れた者は平均何日で天国にたどり着けるだろうか？