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【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
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0363１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/06/18(火) 11:21:13.16ID:mcKYO9vg
解答解説お願い致します
0370１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/10(水) 02:12:15.35ID:miBhNnEC
さて、10日でござる。
今年は梅雨入りが遅くて、まだ明けませぬ。鬱陶しい････

>>360
水戸黄門　第２部 (BS-TBS版)
第一話　5/19　中津 (大分県)
第二話　5/26　朝倉 (福岡県)
第三話　6/02　日田 (大分県)
第四話　6/16　延岡 (宮崎県)
第五話　6/23　宮崎
第六話　6/30　鹿児島
第七話　7/07　長崎
第八話　7/14　佐賀
0374１３２人目の素数さん
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2019/07/12(金) 00:24:00.21ID:wFPQ8Nqi
2019年７月号

■出題１
乗算×に対して分配上位
　　x * (y×z) = (x*y) × (x*z)
である演算 * と、加算＋に対して分配下位
　　x ＋ (y o z) = (x＋y) o (x＋z)
である演算 o とを見つける問題。

x * y = a^{log_a(x)×log_a(y)}　　　　　(a>0, a≠1 なる定数)
単位元：a
とすると、定義域が x>0, y>0 になってしまう。

　x o y = max{x, y}
は加法よりも低レベルな演算で「準加算」と呼ぶらしいが、単位元がうまく出ない。
　x o y = min{x, y}　としても同じだろうけど。
日曜数学会 (2016)
0375１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/12(金) 21:08:59.61ID:BmzvzBnS
max でも定義域を x>=0, y>=0 にしたら単位元を 0 とすることはできる。
定義域を R∪{-∞} として単位元を -∞ とするってのは反則かなあ。
0376１３２人目の素数さん
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2019/07/13(土) 02:26:50.59ID:VYoufByK
2019年７月号

■出題２

（１）それ自身と異なるどのような順列にも変換できないような順列の例

3ずつ減らせば（増やせば）よい。
　( ････, 5, 2,　････, 4, 1,　････, 6, 3)

例)
n≦6　　なし
n=7　　(5, 2, 7, 4, 1, 6, 3)
n=8　　(8, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3)　など
n=9　　(8, 5, 2, 7, 4, 1, 9, 6, 3)　など
0379１３２人目の素数さん
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2019/07/17(水) 05:22:53.70ID:d6A0g1cK
>>345 >>346 >>347
5月号

■出題２ (3)

正12面体Uの頂点の位置は
　(0, ±g/√3, ±1/(g√3))
　(±1/(g√3), 0, ±g/√3)
　(±g/√3, ±1/(g√3), 0)
と
　(±1/√3, ±1/√3, ±1/√3)
正20面体Vの頂点の位置は
　(±1/√(g√5), ±√(g/√5), 0)
　(0, ±1/√(g√5), ±√(g/√5))
　(±√(g/√5), 0, ±1/√(g√5))
としました。ただし
　g = (1+√5)/2 = 1.618034　　　　黄金比
UとVの対称面を揃えているので消滅則が成り立つはず。

一方、８月号の解説では UとVの5回軸を揃えたようですが、
いずれにしても、多項式fが9次以下の場合はI(f)と一致しそうですね。(浦安市 K氏)
0381１３２人目の素数さん
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2019/07/17(水) 06:09:20.80ID:bqGXGpsH
カボチャ公式？
0382１３２人目の素数さん
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2019/07/19(金) 06:22:33.69ID:f4PYd0eY
>>379
5月号

■出題２ (3)

8月号掲載では、5回軸を揃えています。これをz軸とすれば
　(x, y, z) = (sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ)

正20面体Uの12頂点
　θ1 = 0,
　θ2 = arctan(2),　　φ = 2jπ/5,
　θ3 = π - θ,　　　φ = (2j+1)/5,
　θ4 = π,

正12面体Vの20頂点
　θ1 = arctan(3-√5),　　φ = (2j+1)/5,
　θ2 = arctan(3+√5),　　φ = (2j+1)/5,
　θ3 = π - θ2,　　　　φ = 2jπ/5,
　θ4 = π - θ1,　　　　φ = 2jπ/5,

ただし　j = 0,1,2,3,4 です。
0383１３２人目の素数さん
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2019/07/20(土) 11:00:35.84ID:bSAoQnjE
0045
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
0385１３２人目の素数さん
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2019/07/22(月) 20:02:21.40ID:vDQA99OD
>>341

t次以下の任意の多項式 f(x,y,z) について
　Σ[P∈X] w(P)･f(P) = Ｉ(f),
　Σ[P∈X] w(P) = 1,
が成り立つとき、
(X,w) を weighted spherical t-design と呼ぶらしい。

〔Fisher型 不等式〕
　|X| ≧ ([t/2]+1)･([(t+1)/2]+1)

　Delsarte-Goethals-Seidel (1978)　････ 等重率( w(P)=1/|X| )の場合。

(例)
　t=2　　≧ 4点 (正4面体)
　t=3　　≧ 6点 (立方体、正8面体)
　t=4　　≧ 9点
　t=5　　≧ 12点 (正12面体、正20面体、立方体＋正8面体)
　t=6　　≧ 16点
　t=7　　≧ 20点
　t=8　　≧ 25点
　t=9　　≧ 30点 (正12面体＋正20面体)

>>380
　△ｆ = 0　　(調和多項式)　⇒　　Ｉ(f) = 0.
0386１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/23(火) 02:30:17.74ID:EWg30VSr
>>379 も >>382 も サッカーボール/フラーレン の32面の中心ですね。

つまり U+V は サッカーボール (v=60, e=90, f=32) を反転したもの。

J.M.Goethals & J.J.Seidel, Nieuw Arch. Wisk., ２９, p.52 (1981)
　"The football"
0389１３２人目の素数さん
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2019/07/29(月) 18:45:49.79ID:6L7yKrQP
わしの勝ちぢゃな。最初からのニッコリがこれより長く連続することはなかろうて。
0392378
垢版 |
2019/08/09(金) 06:31:59.54ID:O+R8cMNd
8月号の出題１

n次の円分多項式をf(n：x)、簡単のためexp{2πi(n/m)}=ex(n；m)と書くことにする。

一般化して、以下の命題を考える。
「qを奇素数、mをm≡-1 (mod　q)をみたす2以上の整数、kを正の整数とする。
f(q：m^k)=pの値が素数となるとき、以下の合同式が言える。
m^(m^k +1)≡1 (mod p)がいえる。」…※

kがqのべき乗ではないと仮定する。
kは0以上の整数jと2以上でかつqと互いに素な整数sを用いてk=q^j・sと書ける。
q^(j+1)より小さく、かつqで割り切れない正の整数rを任意にとるとき、
f(q^(j+1)：{ex(r；q^(j+1) )}^s)=f(q^(j+1)：{ex(rs；q^(j+1) )})=0
したがって、f(q^(j+1)：x^s)はf(q^(j+1)：x)で割り切れることがいえる。

よって、f(q：m^k)=f(q^(j+1)：m^s)はf(q^(j+1)：m)で真に割り切れるから、
f(q：m^k)の値が合成数となることがいえるが、これは不合理。
よってkはqのべき乗であることがいえるので、k=q^jとかける。

x≡-1 (mod q^h) (ただし、hは正の整数)がいえるとき、x^(q-1)-x^(q-2)…+1≡q≡0 (mod q)
より、x^q +1=(x+1){x^(q-1)-x^(q-2)…+1}≡0 (mod q^(h+1) )がいえるので、
帰納的に、m^k +1≡m^(q^j) +1≡0 (mod q^(j+1) )がいえる。

明らかにm^{q^(j+1)}≡1 (mod p)であることがいえるので、このことより
m^(m^k +1)≡1 (mod p)が示された。

よって、※の命題はいえた。
0393378
垢版 |
2019/08/09(金) 06:38:12.42ID:O+R8cMNd
あとは、>>392であげた※の命題の前提条件が成立することを確かめるだけなのだが
m=1のときは明らか、m＞1のとき、m≡1となると仮定すると、m^(2k) +m＾k +1≡3≡0 (mod 3)より
m^(2k) +m＾k +1の値が合成数となってしまうので、m≡-1 (mod 3)であることがいえる。
よって、>>392であげた※の命題の前提条件は成立する。
0394１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/09(金) 14:37:09.64ID:ZLWTEHzz
q>3 のときは
f(q：m^k) が素数という条件から m≡-1 (mod q) は出ないと思われ。

q=5, m=2, k=1
f(5：2) = 2^5 - 1 = 31,

q=7, m=2
f(7：2) = 2^7 - 1 = 127,
f(7：2^7) = 4432676798593,

* qが奇素数のとき f(q：x) = (x^q -1)/(x-1) = x^(q-1) + x^(q-2) + ････ + x + 1,
0395１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/09(金) 17:46:29.14ID:3e9+Hf+g
あの式を3次の円分多項式と見る発想が出てこないんだよなあ
お見事です
0398１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/20(火) 19:39:15.33ID:RMnkNk3x
今月の出題2だが、自力で解くにせよ、解答を失敬するにせよ
その「解答」に納得することはなさそうw
0400１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/24(土) 08:19:59.89ID:tClIWhSz
>>386

U+V の各頂点を通る法平面からなる32面体がサッカーボール/フラーレンですね。
32面が同一球面に外接するだけでなく、60頂点が同一球面に内接します。
稜の長さの比は　sin(24ﾟ) / sin(36ﾟ) = {√(3+6/√5) -1}/2 = 0.6919817　です。

　　sin(24ﾟ) = sin(60ﾟ-36ﾟ) = {(√3)/2}cos(36ﾟ) - (1/2)sin(36ﾟ) = 0.406737
　　sin(36ﾟ) = (1/4)√{2(5-√5)} = 0.587785
　　cos(36ﾟ) = (1/4)(1+√5) = 0.809017
0401１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/24(土) 23:30:26.42ID:GgnTyOYD
問1だけど、たとえば頂点のみを通った場合も無傷でないと見做すのか？平面の厚みはゼロでないから
0402１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/25(日) 02:53:29.70ID:o6vREx4x
「薄い銀紙で一つずつ包装されている････」　→　薄いとはいえ、有限の厚さをもつ。

「平面の厚さはゼロに限りなく近いとする。」

これから判断すると、銀紙の厚さ ＞ 平面の厚さ

頂点のみを通る平面で切った場合は、銀紙が擦り減るだけで、中のチーズは無傷と思われます。
0404１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/08/25(日) 11:04:01.35ID:o6vREx4x
>>400
　cos(36ﾟ) = (1+√5)/4 = g/2,　
　tan(36ﾟ) = √(5-2√5) = {5^(1/4)}/g^(3/2) = 0.726542528

稜の長さ
　5角形と6角形の境界は
　　(4/g)sin(36ﾟ) tanα = 2 tan(36ﾟ) tanα = 0.491522313
　6角形どうしの境界は
　　(4/g)sin(24ﾟ) tanα = {2/√(g√5)} (1-2tanα) = 0.34012445
　ここに α = (1/2)arctan(3-√5),
　tanα = (1/2){√(3g√5) - gg} = 0.33826121
　g = (1+√5)/2 = 1.618034

外接円の半径は
　R = √{1 + [(2/g)tanα]^2} = 1.0838907667
0406１３２人目の素数さん
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2019/09/04(水) 11:54:26.66ID:b58s+zSY
>>404

単位球に内接する正20面体をＶとする。
30本の稜の長さは
　L = (4/√5)sin(36ﾟ) = 1.05146222424
中心〜20の△面までの距離は
　h = √{(2+√5)/(3√5)} = 0.7946544723

さて、Ｖの12の頂点を深さdまで切り落とそう。(切頂20面体)
切り口は正５角形である。
中心〜頂点の距離は gd で、辺の長さは
　gd･2sin(36ﾟ) = 1.9021130326d　････5角形と6角形の境界
残った稜の長さは
　L{1 - (√5)gd}　　　････ 6角形どうしの境界
中心〜60頂点の距離 (外接円の半径) は
　R = √{(1-d)^2 + (gd)^2},

ここで中心〜32面までの距離が等しくなるようにすると
　d = 1 - h = 0.2053455277
　L{1 - (√5)gd} = gd･2sin(24ﾟ) = 0.27028141536
　R = 0.861318645231
0407１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/04(水) 18:22:38.63ID:b58s+zSY
>>406
Ｖの隣り合う2頂点 Ｐ1, Ｐ2 に対して
　OP = 1,
切頂20面体 (32面体) の頂点は
　↑Ｑ1 = {1-(√5)gd/2} ↑Ｐ1 + {(√5)gd/2} ↑Ｐ2,
　↑Ｑ2 = {(√5)gd/2} ↑Ｐ1 + {1-(√5)gd/2} ↑Ｐ2,
　R = OQ

半径hの球面に外接するとき (フラーレン)
　↑Ｑ1 = 0.62852645 ↑Ｐ1 + 0.37147355 ↑Ｐ2,
　↑Ｑ2 = 0.37147355 ↑Ｐ1 + 0.62852645 ↑Ｐ2,
　R/h = 1.0838907667
0411１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/09(月) 21:07:24.27ID:mibJjB0T
出題2は面白かった。いろんな意味で。
編集部から二度に渡ってヒントを出せと言われたらあんな書き方になるのかなと
0414１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/10(火) 02:35:50.70ID:yUERuKgH
2019年9月号

■出題１
・問題の平面がある軸 (z軸としよう) に平行のとき
　これをxy平面に投影すると直線になる。
　この直線は 箱の表面と2回、チーズ同士の境界(6面) と1回づつ、最大でも8回しか交差しない。
∴　生じる線分は7個以下、チーズ7個/段 以下 しか切れない。
　各段に9個以上が無傷で残る。(計 36個以上)

・平面が x軸、y軸、z軸のどれにも平行でないとき
　(立方対称から)　z = d -ax -by　(a,b,d>0)　としてもよい。

さて、64個のサイコロを 体対角線方向の組に分類する。
　(1,1,1) - (2,2,2) - (3,3,3) - (4,4,4)

　(1,1,2) - (2,2,3) - (3,3,4)
　(1,2,1) - (2,3,2) - (3,4,3)
　(1,1,2) - (2,2,3) - (3,3,4)

　(1,2,2) - (2,3,3) - (3,4,4)
　(2,1,2) - (3,2,3) - (4,3,4)
　(2,2,1) - (3,3,2) - (4,4,3)

　(1,1,3) - (2,2,4)　　(1,3,1) - (2,4,2)　　(3,1,1) - (4,2,2)
　(1,2,3) - (2,3,4)　　(1,3,2) - (2,4,3)　　(2,1,3) - (3,2,4)
　(2,3,1) - (3,4,2)　　(3,1,2) - (4,2,3)　　(3,2,1) - (4,3,2)
　(1,3,3) - (2,4,4)　　(3,1,3) - (4,2,4)　　(3,3,1) - (4,4,2)
これら19組46個の他に「単独チーズ」が18個ある。

これらを平面 z = d-ax-by (a,b,d>0) で切ったとき、
切れるチーズは各組に１個以下。 　　　(← これがミソ)
∴ 46個のうち27個以上が無傷で残る。

これで解けたらエレガントな解答になるんだが、
無傷で残るチーズはまだ他にもある…
0415１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/10(火) 02:43:28.18ID:yUERuKgH
そこで次に、箱隅にある6個の単独チーズに着目しよう。
(∵　この6個を1度に切るのは、どう考えても無理っぽい。)
反対向きの
　(1,4,1) と (4,1,4)　　(4,1,1) と (1,4,4) 　(1,1,4) と (4,4,1)
の3ペアに分ける。
平面 z = d-ax-by := f(x,y)　が上記の2ペア、たとえば
　(1,4,1) と (4,1,4)　　(4,1,1) と (1,4,4)
の4個を切ったとすると
　f(1,4) < 1,　f(3,0) > 3,　f(4,1) < 1,　f(0,3) > 3,
fは線形だから
　f(1,1) = {3f(3,0)+3f(0,3)-f(4,1)-f(1,4)} / 4 > 4,
　f(3,3) = {3f(4,1)+3f(1,4)-f(3,0)-f(0,3)} / 4 < 0,
⇒　他のペア　(1,1,4) と (4,4,1) は無傷で残る。

いま　「この平面が箱隅の6個の単独チーズのうち 5個以上を切った」と仮定する。
　その5個は 上記の3ペアのうち2ペアを含む。
∴　他ペアの2個は無傷で残る。(矛盾)
∴　箱隅の6個の単独チーズのうちの2個以上が無傷で残る。

以上から、計29個以上が無傷で残ることが分かる。

あとは 29個だけが無傷となる(35個切れる)ような実例を挙げる。
0419１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/12(木) 00:35:54.30ID:Eos6rtl2
チーズと解答に書きたくない気持ちは分かる。cubeでいいじゃん。でも銀紙の設定は秀逸
0420１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/13(金) 05:33:53.87ID:wXRdciyr
>>418
無限に長い16個の正四角柱を斜めに切断した後で水平方向に5回切るって考えた。
こうすると切り口が4x4斜方格子になってそこに5本平行線を通す問題になる。
（切り口の多角形の数＝切られたチーズの数）
0422１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/16(月) 04:04:44.09ID:FF+PWEgn
>>374
　x o y = log_a(a^x + a^y)　　もあります。
　ただし　a>0, a≠1.

>>375
　鋭い御指摘です。この場合は定義域を拡大する必要がありますね。
　(10月号の解説を参照)

>>376
　(3[(n-2)/3]+2, …, 5, 2, 3[(n-1)/3]+1, …, 4, 1, 3[n/3], …, 6, 3)
のほかに
奇数と偶数を交互に並べる方法もあるようです。それぞれ2ずつ増やします。
・nが奇数のとき
　(5, 2, 7, 4, …, n, n-3, 1, n-1, 3)
・nが偶数のとき
　(5, 2, 7, 4, …, n-1, n-4, 1, n-2, 3, n)
0423１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/16(月) 19:07:36.73ID:y83x4sKL
7月号出題1は単位元-∞を認めるのが題意だったみたいですね。
でもこの場合の-∞における連続性ってどう議論したらいいんでしょう。
0424１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/16(月) 23:55:35.31ID:FF+PWEgn
>>411
　２番目のヒントは無い方がいい鴨
　X_α の各要素の桁数が不明では使いにくいとｵﾓﾀ
0425１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/17(火) 01:07:52.42ID:bUA1Q0Od
>>424
自分もXは使わなかった。しかしヒントにはなった
Xの存在が過去問題になったってホント？
ものの数行で存在を示せるキガス
0426１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/17(火) 01:30:54.40ID:eD/9WN7h
(例)
αのn番目までの値を逆向きに並べて2進数とみなせば
　　 X_α(n) = Σ[k=1,n] {α(k)-1}･2^(k-1),
n桁 (2進法) になる。
0427１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/18(水) 00:04:46.18ID:Pu45bTZg
2019年9月号　　　　遅くなったけど････

■出題2
題意の条件を満たす実関数f(x)の存在を示す問題。
１番目のヒントに従えば、
α∈B に対応する集合族 A_α ⊆ R が存在。 (← 条件1,2)
α → x ∈ (A_α⊆) R の対応は単射。 　（← 条件4)
∴ 値域 R~(⊆ R) からBへの逆写像 h: R~→B が存在。
全射g: B→R をもって来て
　f(x) = g(h(x))　　(x∈R~)
　　　= 0　　　　　(x∈R-R~)
とすればf(x)も全射で題意を満たす。　　(← 条件3)
それでは、１番目のヒントを示そう。
0428１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/18(水) 00:15:51.35ID:Pu45bTZg
条件3 から考えると、最初に
　A_α = { c(α)+r | r∈Q }
の形のものが浮かぶ。つまり
　x〜y　　⇔　　x-y∈Q
で定まる同値関係〜による同値類である。
ただし　c(α) = Σ[k=1,∞] (α_k -1)/2^k　とやると
α≠β であっても　α_k≠β_k なるkが有限個ならば
　c(α)〜c(β) で 条件4を満たさない。
α≠β なら　α'_k≠β'_k なるkが無限個になる必要がある。
そこで αの随伴数列 α'∈B を
　α1; α1, α2; α1, α2, α3; α1, α2, α3, α4; ････
と定義しよう。その上で
　c(α) = Σ[k=1,∞] (α'_k -1)/2^k,
とおくと a-b は ±Σ (1/2)^(三角数+m) のような和になり、
たぶん無理数だと思うけど････
いつも通りだが上手くいかない...orz
0429１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/18(水) 00:57:07.09ID:Pu45bTZg
しょうがねゑ。
　c(α) = Σ[k=1,∞] 10^(-k!)･(α'_k -1),　　････　欠項リウヴィル数
とおこう。
　c(α) - c(β)
も欠項リウヴィル数、したがって超越数。。。
0430１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/18(水) 02:00:31.63ID:XJhzfOw4
出題2ってヒント無視したらいくらでも作れそうだけど。

例えば十進展開した時あるNが存在して小数第N位は5、それ以降は4か6しか出ない数xをしごろ数とか呼ぶとし、
s(x)をそのしごろ数の出だし、出だし以降の桁を全部5に変えた数をその軸c(x)と呼ぶとする。
A(x)={y | c(y) = c(x)}の最小値をa(x),最大値をb(x)、
C(s)={c(x) |xはしごろ数,s(x)>s}とでも置く。
容易に任意のsに対してC(s)は稠密でc(x)がC(s)に属するとき、c(x)-a(x),b(x)- c(x)<10^(-s)だから、与えられた区間(a,b)に対してしごろ数xをA(x)⊂(a,b)を満たすようにとれる。
一方でA(x)は連続体無限である事と、相異なるc(x)とc(y)に対してA(x)とA(y)はdisjointだから各A(x)に制限したfの値域がR全体になるように割り当てられる。

とかじゃダメかな？
0431１３２人目の素数さん
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2019/09/18(水) 03:44:28.32ID:Pu45bTZg
なるほど。
Qを丸々同値類にするのは (いくら可算とは言え) ダメか。
もっと細分すべき哉。
0432１３２人目の素数さん
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2019/09/18(水) 15:38:01.02ID:Pu45bTZg
>>430
しごろ数x∈ R~ (⊆R) を
s(x)-1より上の桁： [10^(s(x)-1)･x]･(1/10)^(s(x)-1) と
s(x)+1より下の桁： {10^(s(x)-1)･x}･(1/10)^(s(x)-1) に分けるのでござるな。
(s(x)の桁は5)

上の桁が同じもの同士をまとめて A(x) とする。
下の桁を (1/10)^s(x)･Σ[k=1,∞] (2α_k -3)(1/10)^k
と表わしてα(x)∈B を定める。

全射g: B→R を持ってきて
　f(x) = g(α(x)))　　　　　(x∈R~)
　　　　= 0　　　　　　　　(x∈R-R~)
とおく。
0433１３２人目の素数さん
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2019/09/19(木) 14:05:36.76ID:/rMlpsDI
しごろ数xでは「4」「6」以外は有限個であり、「5」の最下位をs(x)とする。
s(x)より上の桁は可算無限個(〜N)あり、有理数の組(a,b)への全射がある。
s(x)より下の桁はBと同型(〜2^N)であり、Rへの全射gがある。

上も下も2種以上の数字が必要で、s(x)を決定するにはもう1種の数字(5)が必要。
0434１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/19(木) 14:11:17.74ID:/rMlpsDI
>>432　訂正

下の桁を (1/10)^s(x)･Σ[k=1,∞] (2α_k ＋２) (1/10)^k
と表わしてα(x)∈B を定める。
0435１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/20(金) 13:26:25.45ID:KyAOfC1j
2630
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
0436１３２人目の素数さん
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2019/09/21(土) 19:21:04.02ID:Nou2F8U6
>>374

n次正方行列 A,B に対して「準加算」A o B = C を
　C(j,k) = Max{min{A(j,1), B(1,k)}, min{A(j,2), B(2,k)}, ･････, min{A(j,n), B(n,k)}}
で定義します。
単位行列Eも、普通のように、主対角線上の元がすべて1で、他はすべて0 と定義します。
n次正方行列Aに対して
　A o B = E
となるn次正方行列Bが存在するための、Aに対する条件を求めて下さい。

数セミ増刊「数学の問題」第(3)集、日本評論社 (1988)　●8

1以上の元は各行、各列にちょうど１つずつある。その他の元は0以下である。
0437１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/09/29(日) 08:27:53.78ID:yMiUWc4N
>>407

正20面体Ｖを切頂してフラーレンを作ろう。
稜 P1-P2 を
　0.628526450656913 : 0.371473549343087
の比に内分した点を Q1 とすると
　R = OQ1 = 0.8613186452310
これを単位球面まで延長すると
　1.16101051049675↑Q1
　= 0.729725815337893↑P1 + 0.431284695158857↑P2,
0438１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/01(火) 11:56:00.78ID:9+EG76aR
出題2 (1) で N=0 も許すと、無条件で成立つことになるが…

(例)
　x(n,0) = (1/2)^n　のとき　x(n,t) = x(n,0)(3/4)^t
0439１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/03(木) 01:45:32.21ID:R/Jf3zn8
>>379 >>382
正20面体Vの12頂点 (Uの面心)
正12面体Uの20頂点 (Vの面心)
それらの30稜の中点からなる32面体G
について
　V(f),　U(f),　G(f)　　････　5次以下

　(5/14)V(f) + (9/14)U(f),
　(5/21)V(f) + (16/21)G(f)　　･････　9次以下

　(125/462)V(f) + (81/462)U(f) + (256/462)G(f)　･････　11次以下
0440１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/03(木) 11:44:59.68ID:R/Jf3zn8
>>439

Gの30頂点の座標は　5回軸の回りの極座標で表わせば
　θ = arctan(1/g), arctan(g), π/2, π-arctan(g), π-arctan(1/g),
　φ = mπ/10,　(m：整数)
0441１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/10(木) 08:31:45.08ID:OMt0mHKD
11月号問2はほとんど物理の問題じゃね？前回は組体操の問題を出した人だし。
0443１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/11(金) 16:07:06.01ID:Q+QVtJOo
>>407 >>437
　正20面体V (12頂点),
　Vを切頂したフラーレンF (60頂点),
　Vの30稜の中点からなるG (30頂点),
について
　V(f), F(f), G(f)　････　fが5次以下ならI(f)と一致

　(5/21)V(f) + (16/21)G(f),
　0.9379003725443 F(f) + 0.0620996274557 V(f),
　1.2688362607403 F(f) - 0.2688362607403 G(f),
　　　　　　　　　････ fが9次以下ならI(f)と一致

　2.76605664248605 G(f) + 0.70104277651910 U(f) - 2.46709941900515 F(f)　
　　　　　　　　　････ fが11次以下ならI(f)と一致
0444１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/12(土) 02:54:12.10ID:hFZo15fW
↑のU(f)は誤り。V(f)が正しい。

>>439 と >>443 を組合せて
1.3507153208422 {125 V(f) +81 U(f) +256 G(f)}/462
- 0.3507153208422 {2.76605664248605 G(f) +0.70104277651910 V(f) -2.46709941900515 F(f)}
　　　････ fが15次以下ならI(f)と一致
0447１３２人目の素数さん
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2019/10/12(土) 23:05:25.46ID:hFZo15fW
「指ハブ」に指を差し込むと、引っ張っても抜けない････その理由
0448１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/12(土) 23:48:25.29ID:0obxgbFd
構造を知ろうとネットで検索すると答えも一緒に見つけちゃうんだよな
「数学で説明」ってのが何を意図してるのかさっぱり
「物理で説明」くらいに思っておいていいんだろうか
0450１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/15(火) 18:21:48.81ID:eja156vF
>>407 >>437

正20面体Vの頂点P1,P2
∠P1-O-P2 = atan(2),
cos(∠P1-O-P2) = 1/√5,
OQ^2 = (3+√5)d - (1/3) = 0.7418698086225
R = OQ1 = 0.8613186452310

(2-(√5)gd)/2 = {√((25+11√5)/6) - g}/2
　　= 0.628526450656913
(√5)gd/2 = {g√5 - √((25+11√5)/6)}
　　= 0.371473549343087

(2-(√5)gd)/(2R) = √{[815 +73√5 -√(6(25345-11299√5))]/(4･449)}
　　= 0.72972581533788
(√5)gd/(2R) = √{[1625 -185√5 -√(30(12905+5701√5))]/(4･449)}
　　= 0.43128469515885

Q1・Q2 = 3(5-√5)(1-d)^3 - (5/3) - 4/√5
　　= 0.70534378687741

cos(∠Q1-O-Q2) = 0.95076491680804
0452１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/18(金) 12:33:03.41ID:J/lPU/wp
11月号出題1は正直面白かった。みんなこれぐらいならスラスラ解けるのか？
0453１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/21(月) 04:57:15.49ID:m5R6mUaJ
2019年10月号

■出題2
(1)　N=0 を許すと無意味な条件になる。　>>438
　N≠0 と改変すべきか？

(2)
　N≦n ならば x(n,t) = α　　(t≧0)
　x(N-1,t) = x(N-1,1)　　(t≧1)
　････
　x(N-k,t) = x(N-k,k)　　(t≧k)
　････
　同様にして x(n,t) は t=n までに確定する。
　しかし nは -∞ まで伸びている。
　すべてのnで一斉に確定するような有限な T はあるか？

(min[a,b] はa,bのうち大きくない方を表わし、a,bについて単調非減少である。)
0455１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/22(火) 15:46:45.35ID:o5l85dPN
>>453
いかなるＮに対しても(1)を仮定すれば題意が満たされること、を示す

出題は何もおかしくないと思われ
0456１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/22(火) 16:12:14.60ID:nYvyjN1O
いや出題はある整数Nに対してだよ。
もしこのままだとN=0に対してのみ成立してる条件下でも証明しないといけなくなる。
0457１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/22(火) 17:08:04.99ID:o5l85dPN
周期Nが何であれ、周期性があるなら題意を満たすことを示せ、ってことですよ

あなたのいうとおりN＝0は自明。他のすべてのNで示せればOK
0458１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/22(火) 17:09:31.08ID:o5l85dPN
ああごめん笑　N＝0はだめだね。勘違いしたよすまそ。でも誰もN＝0なんて考えもしないんじゃ。君以外。
0459１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/22(火) 17:17:53.49ID:o5l85dPN
単に正の条件を書き損ねただけかと
N＝0のケースは馬鹿らしくて考えもしなかったです

>(1) t=0 において，ある整数 N が存在し，任意の n に対して x^0_{n+N}=x^0_{n}が成り立つ．
0460１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/22(火) 17:28:45.60ID:nYvyjN1O
>>458
オレは>>453さんではないよ。
N=0のケースが考えから抜けたのは筆が滑ったんだろうし、目くじらたてるようなもんでもないがもちろん書くべきだし>>453さんの指摘はもっともだろ？
0462１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/10/25(金) 08:36:11.71ID:onRxBb1C
>>394
8月号の出題１

2以上の自然数mと自然数kに対して
　(m^k)^2 + (m^k) + 1
は素数であるとする。

m^k≡1 (mod 3) とすると、与式が3の倍数となるので不可。
∴　m≠1 (mod 3) かつ kは奇数 とする。
また、円分多項式の議論から k=3^e となる。
(ただし、これらは必要条件であって、十分ではない)
このとき
m≡-1 (mod 3)　ならば　m^(m^k +1) ≡ 1　(mod p)
m≡0　(mod 3)　ならば　m^(m^k) ≡ １　(mod p)
となるか

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468160365/155-157
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