【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】

1132人目の素数さん2018/09/17(月) 01:40:43.02ID:iDwWzM3i
締切りの過ぎた問題をみんなで議論しましょう。

過去スレ:
1. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/
2. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/

94132人目の素数さん2018/11/08(木) 10:11:35.27ID:85Uw/O+I
ICM各種賞の受賞者のIMO出場歴には関心あり。
Hilbert 第10問題の解決者もIMO金メダリストらしい。
量子素因数分解のショアもメダリストらしい。
計算機科学とIMO(数論、組み合わせmainテーマ)は相性いいみたい。
今回のショルツの数論幾何、p進理論みたいだし。

95132人目の素数さん2018/11/09(金) 12:04:27.56ID:pvdoV3Z4
11月号

■出題1

N=8n に限ることは容易に分かると思う。

例の図を見て最初に思いつくのは
 1〜2n では ↓,←
 2n+1〜6n では ↑,→
 6n+1〜8n では ↓,←
というものだろう。

曲線 x = y - √|y| 上に
 P_k (-k(k+1),-kk)   k=0〜4n
曲線 x = y + √|y| 上に
 Q_k(-k(k+1),-(k+1)^2)  k=0〜4n-1
を取り、
P_0 - Q_0 - P_1 - Q_1 - … - P_4n を結ぶ。

* これらの曲線は、1本の放物線(軸: y=x-1/4)の2本の枝である。

このままでは閉じないから、P_nで180゚ 折り曲げ、さらに P_3n でも180゚折り曲げよう。
このとき P_n および P_3n の接線を横切るから、N角形は自身と交叉しない。
また P_4n は P_0 と重なる、つまり閉じる。

このN角形の面積は 4(11n+2)n^2
3曲線に囲まれた部分の面積は (4/3)n^3
P_k たちが作る4n角形の面積は (4/3)n^3 + (2/3)n,
らしい。

96132人目の素数さん2018/11/09(金) 12:45:24.20ID:VQ778wZ3
>>95
>
> N=8n に限ることは容易に分かると思う。
>
限らんやろ?

水平 : 1 6 12 と 3 5 11
垂直 : 2 8 10 と 4 7 9

にわけて

→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9

でいけるやん。

97132人目の素数さん2018/11/09(金) 13:02:03.68ID:/YvwhmDF
>>96
辺の長さが順に1〜Nになるって問題文の最初に書いてある。

98132人目の素数さん2018/11/09(金) 13:06:36.41ID:/YvwhmDF
今回はみんな問1に興味があるようだね。俺は解けなかったよ。問2だけ応募した。

99132人目の素数さん2018/11/09(金) 15:44:36.63ID:u44VxTes
>>97
え?辺の長さ1〜12になってるけど?

100132人目の素数さん2018/11/09(金) 15:49:07.93ID:/YvwhmDF
>>99
順に、だよ。
→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9
は順になってない。

101132人目の素数さん2018/11/09(金) 15:53:28.75ID:u44VxTes
>>100
あ、ほんと。失礼しました。

102132人目の素数さん2018/11/09(金) 19:49:16.20ID:GKcYZvRK
実をいうと自分もこの順にというのを見落としていて、だいぶたってから気づいた。
問題文に不備はないけど、これを考慮せずに応募した解答者が何人かは居るような気がする。

103132人目の素数さん2018/11/09(金) 20:12:02.08ID:GZzg+9lA
問題としてはそっちの方が難しくね?

104132人目の素数さん2018/11/09(金) 22:34:17.43ID:8HhBr9kV
12月のエレガントな解答はどうかね。
年末楽しめるぞ。
IMOは格式高いみたいだな。
マチアゼビッチもメダリストなんか。

105132人目の素数さん2018/11/09(金) 22:34:36.85ID:VQ778wZ3
でもまぁ8n+4の場合が増えるだけで自由に並べていいなら十分性のチェックがやや楽になるからなぁ。
どっこいかも。

106132人目の素数さん2018/11/10(土) 01:46:12.25ID:0LaPCkg7
11月号

■出題2
 x = a cosθ + b sinθ,
 y = c cosθ + d sinθ,
 ad-bc ≠ 0,
はxy-平面上の楕円である、を証明する問題

パラメータθを消去するのですが、
 dx-by = (ad-bc)cosθ,
 ay-cx = (ad-bc)sinθ,
からすぐに
 (dx-by)/√(dd+bb) = u,
 (ay-cx)/√(aa+cc) = v,
と置くのは良くない…

θをずらしてから消すのがミソ?

107132人目の素数さん2018/11/10(土) 12:11:14.57ID:EuCYu9xA
>>106
2次曲線は楕円、放物線、双曲線に限るという事を認めてしまえば一瞬だけどそれを証明しなさいというやつなんだよね。
容易”、”自明”で済まされることも高校の教科書レベルで許されるまで下げないといけない。
その前提で楕円、双曲線の定義も “うまく座標をとればAx^2 + By^2 = 1の形になる。”として

x^2+y^2 = 1の像をAx^2+By^2+Cxy=1として
2(Ax^2+By^2+Cxy) = r^2((A-B)cos2θ+ Csin2θ+(A+B))=r^2(Dcos(2θ+α)+E)=2と変形される。
回転させればr^2(cos(2θ)+F)=Gとなる。
変形してr^(2cos^2θ+F-1)=Gだから2x^2 +(F-1)(x^2+y^2)=lであり楕円、直線、又は双曲線となる。
コンパクトなので楕円。

とかでどう?たしか大数はこんな感じの解説だった。

108132人目の素数さん2018/11/10(土) 12:48:56.13ID:TylIaUHL
18年11月号の講評:

■出題1:レベル4(常連正解率98%)

小谷先生の出題。辺の長さが順に1,2,...,NとなるN角形の存在を問う問題。

必要条件N=8nを示すのは容易。
問題は十分条件だが、問題文に描かれている8角形の構成をそのまま一般のnに拡張すればよい。
辺が交差しないことを確認する方法は数通りある。
2点の座標を用いて交差条件を不等式で表すという愚直な方法を採れば、
高校数学でさんざんやったXY平面の領域問題に帰着する。

常連にとっては必要性も十分性も解答方針がすぐにピンと来る易問。
十分条件をエレガントに示す楽しみはあるかもしれない。


■出題2:レベル3(大学1年生の正解率95%以上)

岩I先生の出題。
本問は教科書から書き写してきたような一次変換の問題。
どうして本誌名物コーナーにこの問題を出そうと思ったか、理解に苦しむ。

109132人目の素数さん2018/11/10(土) 13:27:12.74ID:3qbO+/fB
確かにIMOは格式高いの。
マチアゼピッチ、ドリンフェルト、ラフォルク、ペレルマン、リチャードテイラー
ショア、皆、メダリストじゃあ。
最も格式高い、理論計算機、数論はメダリスト多し。
今回のフィールズ、ネバリンナはどうかの?

110132人目の素数さん2018/11/10(土) 14:07:27.76ID:3qbO+/fB
12月のエレガントは週明け公表かの?

111132人目の素数さん2018/11/10(土) 14:07:37.01ID:3qbO+/fB
12月のエレガントは週明け公表かの?

112132人目の素数さん2018/11/10(土) 16:38:01.74ID:O3Li6cBe
束の間の静けさ。
今日は、お伊勢参りしちょります。
週明けから、12月号と格闘。
英気を養うべし。

113学術2018/11/10(土) 17:45:42.08ID:RS+jJjFq
数学と 文学と 天文学あわせて、人文科系に新しい天文数学という分野を立ててみたい。

114学術2018/11/10(土) 17:46:10.00ID:RS+jJjFq
星占いのような迷信も取り込んでね。科学的に。

115132人目の素数さん2018/11/10(土) 18:59:47.30ID:XUkVeMLH
占いや心理学は学問ではない

116132人目の素数さん2018/11/10(土) 20:58:49.48ID:TylIaUHL
来月は京大ガロア祭の問題解説もあるようですね
楽しみです

117132人目の素数さん2018/11/10(土) 23:20:37.94ID:0LaPCkg7
>>106
原点O(0,0) から P(x,y) までの距離の2乗は
 x^2 + y^2 = (a cosθ + b sinθ)^2 + (c cosθ + d sinθ)^2
= (aa+bb+cc+dd)/2 + (aa+cc-bb-dd)/2 cos(2θ) + (ab+cd) sin(2θ)
= D'・cos(2θ+α) + E',

原点Oから最も近い点P_min と最も遠い点P_max は θ が 90°ずれている。
と同時に OPmin ⊥ OPmax も成り立つ。

番外問題 焦点はOPmax の方向にある。

118132人目の素数さん2018/11/10(土) 23:57:09.76ID:TylIaUHL
>>93
>エレガント問題のネット公開→good idea。投稿の有無に関係なく問題挑戦→正解が知りたくなる→数セミ購入→販売促進→末永く継続

正解者として名前が載った回の数セミは買って手元に置いておきたい、という読者心理を巧く掴んでいる気がしますね

119132人目の素数さん2018/11/11(日) 00:01:34.55ID:1Ei/zP4f
12月号はピーターフランクルと岩沢先生の解答号でもあります。楽しみですね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/971

120132人目の素数さん2018/11/11(日) 10:20:35.92ID:JwUfUe23
>>107
それがこの問題の模範解答でしょうね。

個人的には座標変換を記述するのに行列を使うか三角関数を使うかは非常にどうでもよく、従って>>108のような素っ気無いコメントになってしまいました。

たまに大学範囲の簡単な問題に対して「中高生でも分かるような解答」を要求する出題者が居ますが、ああいうのは苦手です。

三角関数を捏ねくり回すよりも、一次変換の基礎を書き下して本質を抉った方がよっぽど中高生のためになるんじゃないかと思ってしまいます。

121132人目の素数さん2018/11/11(日) 10:44:02.52ID:JwUfUe23
とはいえ10月は忙しかったので問題が簡単で助かりました。

12月号が届くまでの間、束の間の雑談。

10月号の時弘先生の問題>>34が中高生の範囲で解けるのかどうかは気になります。スツルムの定理を前提知識として要求しているとは思えませんから。

「中高生の範囲」というのも考え始めると良く分からなくなってきますがね。スツルムの定理を理解するのに必要な知識は高校範囲の微分だけですからね。
一次変換だって少し前は高校でやっていたわけで。行列の知識を使わないで解くのが出題者の狙いだったとして、そのココロは私にはよく分からんですね。

122132人目の素数さん2018/11/11(日) 11:10:08.25ID:82kqsbVR
皆さん、束の間の紅葉見物でしょうか?
福岡はまだですね。
北海道、東北は終了?

123132人目の素数さん2018/11/11(日) 11:37:17.52ID:JwUfUe23
>>122
関東の平地は来月頭にかけてピークですかね。
標高高めのところは今がピークか、終わりかけているところでしょう。
今年は時弘先生が10月号にずれてくれたので旅行の計画に余裕が生まれましたw

124132人目の素数さん2018/11/11(日) 11:46:55.95ID:JwUfUe23
雷山千如寺大悲王院の紅葉
いいですなあ

125132人目の素数さん2018/11/11(日) 12:42:22.93ID:82kqsbVR
時弘先生の重量級は旅行シーズンは外してほしいですね。
私は応募しませんでした。
数の幾何学絡みの哲学的問いかけも含んだ深遠な問題待ってます。

126132人目の素数さん2018/11/11(日) 22:10:27.22ID:rkLPSQph
>>125
まったくです。
岩沢先生も行楽シーズンは駄目です
問題が魅力的かつ難しいので。

時枝先生は問題出さないのかなー

とここを見ているかも知れない編集部の方に向けて呟いてみる

127132人目の素数さん2018/11/12(月) 12:55:00.29ID:XWeln17t
電子版、エレガント。まだ更新されとらんどす。
今月はupが遅れとります。

128132人目の素数さん2018/11/12(月) 14:49:52.79ID:EHCP4EhY
エレ解は難しすぎるから、大学への数学の宿題にチャレンジするわ

129132人目の素数さん2018/11/12(月) 17:49:10.23ID:w4Fdouwh
今月の1は、pを既知として良いか否かで違うが、前者だと3秒で解けるから後者なんだろうな。それでも
解を見つけるだけなら簡単。ただ、最適解を、ということならどうだろう。
2は、ちょっと面白そう。

130132人目の素数さん2018/11/12(月) 18:44:25.77ID:2tyOcDc0
問題見つからない。リンクおながいします。

131132人目の素数さん2018/11/12(月) 18:48:34.20ID:TR6DezZk
>>130
いや、雑誌買ったw

132132人目の素数さん2018/11/12(月) 18:56:44.84ID:2tyOcDc0
残念。もうオンラインではやらないのかな?

133132人目の素数さん2018/11/13(火) 00:11:50.62ID:umZIwRjH
>>128
宿題ですか。なつかしいですね。
問題教えてくれれば解いてみたいですけど。

134132人目の素数さん2018/11/13(火) 13:33:05.68ID:Iloig4zl

135132人目の素数さん2018/11/13(火) 15:20:09.06ID:9YhCG0Hp
コインはさておき、ジャンケンで決めるなんてのはどうだろう

136132人目の素数さん2018/11/13(火) 15:45:44.26ID:FBLhmoMV
なんか期待値の最小値で評価するのすごい違和感あるな。
p がなんであっても大体この回数では決着がつく=期待値の最大値で評価したくなるけどな。

137132人目の素数さん2018/11/13(火) 16:53:58.95ID:/uXd0fJd
>問題 2 の答えは,いろいろと考えられるが,上記の期待値の最小値が小さいほど良いものとしよう.

この書き方はもしかして出題者側は持ってる答えの最小性の証明が出来てないのかな?
懸賞問題だから “最小性の証明はなくていい。投稿された答えの中で最小なのが勝ち” なのかな?
Aさんのルールより期待値の最小値が小さいやつはすぐ作れるけど、それが最小である自信は全くないや。

138132人目の素数さん2018/11/13(火) 17:58:02.59ID:gd93v0n7
出題2ってwww
あかん、ネタバレになるから言えんwww

139132人目の素数さん2018/11/13(火) 18:00:45.67ID:Iloig4zl
>>136
p=0またはその極限だと永久に決まらないから、なかなか難しいかと。

140132人目の素数さん2018/11/13(火) 19:07:29.49ID:/uXd0fJd
あ、ホントだ。最小値にせざるを得ないのか。
平均値ってするとpの分布与えないとダメだし。
やむを得ないのか。
まぁ十分ムズイし。

141132人目の素数さん2018/11/13(火) 21:29:36.39ID:eok3e5c2
問題文中にさらっと書いてあるけど、できるだけ公平になるようにするっていうのは暗黙の了解なのかな。
もっとも不公平でいいなら1回で終わるけど。

142132人目の素数さん2018/11/13(火) 22:10:18.01ID:/uXd0fJd
だろうね。
pがいかなる値であっても両者の勝つ確率は常に1/2
は暗黙の了解なんだろね。
受験で問題文にこの事明示してなかったら大問題だけど。
幾分エスパーしないといけない要素あるね。
最小性の証明が全くできる気がしない。orz

143132人目の素数さん2018/11/15(木) 18:00:48.42ID:l3Lnz9+G
出題1、意外に難しい。すぐ思い付いた方法、全然公平じゃなかったわ。

144132人目の素数さん2018/11/15(木) 18:19:50.06ID:+bxD8ezx
出題1→あっさり解けてしまった。もしかしたら、出題意図に反した解答かもしれないが。

出題2→問2、3に悪戦苦闘中。

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