サイコロはどの目も出る確率が6分の1←根拠は？ [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2016/12/31(土) 14:19:50.49

なし！ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/12(月) 20:47:11.87

〔問題〕
同じ大きさのサイコロが64個ある。
各サイコロの形は1x1x1の立方体であり、64個が4x4x4の箱にピッタリ詰めて置かれている。
剣豪がやって来て、この箱を一刀両断した。
さて、無傷で残ったサイコロは最低で何個だろうか？
(剣の厚みはゼロに限りなく近いとする)

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/12(月) 20:53:16.75

(例)
箱の位置を　0≦x≦4, 0≦y≦4, 0≦z≦4　とする。
平面　0.6x + 0.9y + z = 5.15　で切った場合
　0<z<1　　9 / 16
　1<z<2　　6 / 16
　2<z<3　　6 / 16
　3<z<4　　8 / 16
-------------------
　計　　　29 / 64

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/12(月) 22:46:45.57

28個以下にできる？

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/13(火) 22:34:24.43

平面 ax + by + z = d　(a,b,d>0) で斬った場合

　(i,j)番目のサイコロ柱 i-1<x<i, j-1<y<j に注目する。
　z = d-ax-by は (x,y)=(i,j) で最小、(x,y)=(i-1,j-1) で最大となる。
　z_min(i,j) = d -ai -bj,
　z_max(i,j) = d -a(i-1) -b(j-1),
　無傷なサイコロは、平面の下に [z_min] 個、平面の上に [4-z_max] 個ある。
　ただし、負になったときは０に, 5以上になったときは４に修正する。
　これを i=1～4, j=1～4 について総和したものが答。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/18(日) 05:22:33.40

>>210

平面が z軸に平行のとき
　xy平面に投影すると直線になる。7個/段以下しか切れない。
　36個以上が無傷で残る。
　x軸またはy軸に平行のときも同様。

平面が x軸、y軸、z軸のどれにも平行でないとき
　ax+by+cz = d　(a,b,c,d>0)　とする。
　64個のサイコロを体対角線方向の組に分類する。
　(1,1,1) - (2,2,2) - (3,3,3) - (4,4,4)

　(1,1,2) - (2,2,3) - (3,3,4)
　(1,2,1) - (2,3,2) - (3,4,3)
　(1,1,2) - (2,2,3) - (3,3,4)

　(1,2,2) - (2,3,3) - (3,4,4)
　(2,1,2) - (3,2,3) - (4,3,4)
　(2,2,1) - (3,3,2) - (4,4,3)

　(1,1,3) - (2,2,4)　　(1,3,1) - (2,4,2)　　(3,1,1) - (4,2,2)
　(1,2,3) - (2,3,4)　　(1,3,2) - (2,4,3)　　(2,1,3) - (3,2,4)
　(2,3,1) - (3,4,2)　　(3,1,2) - (4,2,3)　　(3,2,1) - (4,3,2)
　(1,3,3) - (2,4,4)　　(3,1,3) - (4,2,4)　　(3,3,1) - (4,4,2)
各組のうち、切れるサイコロは１個以下。
∴ 46個のうち27個以上が無傷で残る。

6つの「頂点」は反プリズム形をなす。
　(1,1,4) と (4,4,1)　　(1,4,1) と (4,1,4)　　(4,1,1) と (1,4,4)
の3組に分ける。そのうちの2組を平面が切っても、2個は無傷で残る。

以上に述べたことから、サイコロ 29個以上が無傷で残る。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/19(月) 08:51:19.58

平面が6つの「頂点」を切る条件は
　z=0 の断面で　6 < x+y < 8,
　z=1､3 の断面で　3 < x+y < 5
　z=4 の断面で　0 < x+y < 2,
となります。
　z=1 で x+y=5-ε,　z=3 でx+y=3+ε としても
　z=0 で x+y=6-2ε,　z=4 で x+y=2+2ε　となり不可能。

一方 3x3x3 の場合は
平面が6つの「頂点」を切る条件は
　z=0 の断面で　4 < x+y < 6,
　z=1､2 の断面で　2 < x+y < 4,
　z=3 の断面で　0 < x+y < 2,
となり、これは可能。
　x + y + 2(1-e)z = 3(2-e),　　(0<e<2/3)

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/19(月) 14:30:55.17

>>213
　平面　z = d-ax-by := f(x,y)　に一般化する。

この平面が以下の4個を切るとする。
　(4,1,4) を切る　⇒　f(3,0) > 3,
　(1,4,4) を切る　⇒　f(0,3) > 3,
　(4,1,1) を切る　⇒　f(4,1) < 1,
　(1,4,1) を切る　⇒　f(1,4) < 1,
fは線形だから
　f(1,1) = {3f(3,0)+3f(0,3)-f(4,1)-f(1,4)}/4 > 4,
　f(3,3) = {3f(4,1)+3f(1,4)-f(3,0)-f(0,3)}/4 < 0,
⇒　(1,1,4) と (4,4,1) の2個は無傷で残る。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/19(月) 22:35:33.31

　今この平面が6個の「頂点」のうち 5個以上を切ると仮定しよう。
　その5個は >>212 の 3ペアのうち2ペアを含む。
　よって >>214 により他の1ペアは無傷で残るはず。(矛盾)

∴　「頂点」6個のうちの2個は無傷で残る。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/23(金) 03:32:07.09

>>212
平面がz軸に平行のとき
　直線は箱の表面と2回、サイコロ同士の境界(6面) と1回づつ、最大で8回交差する。
　∴ 生じる線分は7個以下、サイコロ7個/段以下しか切れない。
　9個/段以上が無傷で残る。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/06(金) 13:47:35.56

平面がz軸に平行のとき
　xy平面に投影して考える。
　直線は箱と2回、サイコロ同士の境界(6面) と1回づつ、最大で8回交差する。