純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）17
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>>456 補足＆追加
https://www.findai.com/kouza/4009opt.html
金融大学 オプション取引入門講座
第9回ブラック・ショールズ・モデル
１．ブラック・ショールズ・モデル
ブラック・ショールズ・モデル（Ｂ＆Ｓモデル）は、ヨーロピアンタイプ（満期日にのみ行使可能なオプション）のオプション価格を計算するモデルです。
計算に必要なデータ（株価、行使価格、期間、変動率、金利）は市場で入手できるうえ、計算にかかる時間が非常に短いという利点があるため、実務界で広く利用されています。
２．汎用ブラック・ショールズ・モデル
Ｂ＆Ｓモデルは、多くの学者によって他の原資産にも応用できるように研究されました。これらの各モデルを１つの計算式に集約したものを汎用ブラック・ショールズ・モデルと呼ぶことにします。
Ｂ＆Ｓモデルは、配当支払いのない株式オプションのプレミアムを計算するモデルです。これに修正を加えると、広く一般の通貨、先物、債券等のオプションの計算ができるモデルに変えることができます。
３．汎用ブラック・ショールズ式の計算
４．ブラック・ショールズ式の計算手順
汎用ブラックショールズ式の計算には、行使価格、期間、原資産価格、原資産利回り、短期金利（安全利子率）、ボラティリティ（予想変動率）の６つの情報が必要です。
このうち、行使価格、期間の２つは、取引当事者が自分で任意に設定する情報です。一方、原資産価格、原資産利回り、短期金利、ボラティリティの４つは、市場から入手する情報です
つづく つづき
５．ブラック・ショールズ式の意味
Ｂ＆Ｓ式の意味を完全に理解するには高度な数学的知識が必要ですが、直感的なイメージで捉えることはそれほど難しくありません。大きくわけて、２通りの解釈で捉えることができます。
（１）危険資産への投資総額−借入総額
（２）※オプション行使日にイン・ザ・マネーである場合
受取予定である原資産の現在価値−支払予定である行使価格の現在価値
（１）オプション価格を、危険資産と安全資産の組み合わせコストから計算するという考え方です。オプションのキャッシュフローを、借入れ（安全資産）を使って原資産（危険資産）を購入することにより模倣します。その際に必要なコストとして、プレミアムが計算されるという考え方です。式の第一項（e−q・ｔ×Ｓ×Ｎ（ｄ1））は、この危険資産への投資額を示し、第二項（ｅ−ｒ・ｔ×Ｋ×Ｎ（ｄ2））は、安全資産への投資額（借入総額）を示すというものです。
（２）Ｂ＆Ｓ式は、オプションの行使日に保有していると期待される本源的価値（Ｓ−Ｋ）を現在価値に直したものと考える方法です。オプション行使日にイン・ザ・マネーである場合に受け取れると期待される資産（Ｓ）の現在価値から、支払費用（Ｋ）の現在価値を差し引いたものと考えます。
つづく つづき
６．ブラック・ショールズ・モデルの導出
Ｂ＆Ｓモデルは、無裁定価格評価理論を使って偏微分方程式を作り、これを解いたモデルです。
まず、原資産価格の変動モデルとして、一般化したウィーナー過程を仮定します。次に、伊藤のレンマを使って、原資産の変動とオプションの変動を表わす関数を作ります。この関数を組み合わせて無裁定ポートフォリオを表わす方程式を作ります。その方程式を整理したものが、下記の偏微分方程式です。
この偏微分方程式を熱伝導方程式の解を使って解いたモデルがブラック・ショールズ・モデルです。このモデルを自力で導出するには、テーラー展開やフーリエ展開などの微積分の解法テクニックの知識が必要です。
◆伊藤のレンマ
伊藤のレンマとは、日本の数学者である伊藤清先生が確立した公式（伊藤の公式）です。
確率的に変動する変数があった場合に、その変数に依存する関数が従う過程がどうなるか、という確率微分方程式の法則性をみいだしたものです。オプションでは、原資産（株式）の関数の派生商品であるオプション関数が従う過程を表すのに利用しています
(引用終り)
以上 >>454-455
>現在1株1000円の株がある。
>この株を1年後の満期において1500円で買う権利を与える
>コールオプションを考える。簡単のため、1年後の株価は
>2000円か750円かのいずれかであり
>2000円である確率はp、750円である確率は1-pとする。
>このとき、このオプションの「正しい値段」（売り手の収益が必ず0になる）
>はいくらでしょうか？ ただし金利は0とする。
>答えは100円なのだが、なぜそう言えるか？
間違っているとおもうよ
１）本来 確率pによって答えは異なるべきと思うけど
２）例えば p→0の極限では、750円が1年後の株価
３）逆に、p→1の極限では、2000円が1年後の株価
４）この両方とも”答えは100円”って、間違っているんじゃない？ >>451
>無限には後退しないんじゃないかな？
>なんで一回後退すると無限回後退できることになるのかな？
そもそも>>437
"超弦理論や素粒子物理では、その前の段階の場の量子論や解析力学でネーターの定理が必要になって、
そこでリー群を使い、リー群論では群論が必要になるから、超弦理論や素粒子物理では群論が必要になる
素粒子物理では素粒子のスピン運動を扱い、素粒子のスピン運動は対称的な素粒子の運動で、
それを記述するのに一般線型群やユニタリ―群などのリー群だけでなく
スピノール群やピン群というリー群の他にクリフォード代数も必要になる
超弦理論でも場の量子論が使われるがそこでは一般相対性理論も使われる
リー群やクリフォード代数だけなくリーマン幾何学も使われる"
こうだったろ？
・これ「一回後退」で終わってないぞ
・さらに「一回後退」って、回数で数えないで、どれだけの量を学習すべきかを定量化せよ
・例えば、”リー群論”とか言って、”リー群論”を全分野を勉強か？
使っているのは、ほんの一部分でしかないぞ。最低限の知識なら、本一冊もいらないぞ
・いや、”リー群論”を本一冊勉強することに反対しているわけじゃない
超弦理論や素粒子物理を勉強しながら、サイドリーダーとして”リー群論”一冊読むはいい
・”リー群論”終わるまで超弦理論や素粒子物理を勉強を止めるとか
そういう後退した勉強法の考えが、いまいちってことだ >>442
>金融数学の学者の間では、「株価は予測不能」は常識かつ重要な前提。
１）予測とは？ 下記だね
https://languages.oup.com/google-dictionary-ja/
Oxford Languagesの定義 · 詳細
よそく
【予測】
《名・ス他》
将来の出来事や有様を何らかの根拠に立って推し測ること。その内容。
「経済―」
２）「株価は予測不能」の国語的意味は
”株価予測を常に的中させることは、不可能！”程度の意味だな
つまり、予測という行為と、その的中とを分けるべしだ
３）株価予測の一つの手段が、
ブラック・ショールズ・モデル（確率微分方程式モデル）だ
従来の予測法より、優れた面があったということだね >>444
>リーマン・ショックの時の株価の大暴落は、
>株価を予測するクオンツがブラック・ショールズ方程式を基に
>コンピューターで株価を理論的に予測した結果起きたことだろう
>そのことからも、ブラック・ショールズ方程式で
>株価の予測が事前に出来る訳ではないことは分かる
その説明は、完全に間違っているよ。正しくは下記だ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%83%E3%82%AF
リーマン・ショックは、アメリカ合衆国で住宅市場の悪化によるサブプライム住宅ローン危機がきっかけ[1]となり投資銀行のリーマン・ブラザーズ・ホールディングスが2008年9月15日に経営破綻し、そこから連鎖的に世界金融危機が発生した事象である[2][注釈 1]。これは1929年に起きた世界恐慌以来の世界的な大不況である。
「リーマン・ブラザーズ」は1850年に創立された名門投資銀行であり、1990年代以降の住宅バブルの波に乗ってサブプライムローンの積極的証券化を推し進めた結果、アメリカ五大投資銀行グループの第4位にまで上り詰めた。しかし、サブプライム住宅ローン危機による損失拡大により、2008年9月15日に連邦倒産法第11章（チャプター11）を申請して経営破綻した[3]。この破綻劇は負債総額約6000億ドル（約64兆円）というアメリカ合衆国の歴史上最大の企業倒産であり[3]、世界連鎖的な信用収縮による金融危機を招くことに繋がった。
日本でも、日経平均株価が大暴落を起こし、同年9月12日（金曜日）の終値は12,214円だったが、10月28日には一時は6,000円台 (6,994.90円) まで下落し、1982年（昭和57年）10月以来、26年ぶりの安値を記録した。その結果、派遣切りや雇い止めが発生し、年末年始に年越し派遣村が開催された。なお、これをきっかけに公務員の人気が上昇し、安定志向が強くなった。また、これらで退職した求職者を対象にした緊急雇用創出事業が実施されることになった（後に求人時点で仕事がない全求職者を対象に拡大された。） モデルはモデルに過ぎない。ガウス過程を仮定した証券取引価格のモデルを使って
運用をしていたノーベル賞クラスの研究者が係わっていたファンドは破綻している。
ガウス分布では大きな変動の起こる確率がじゅうぶん小さい近似になるが、実際は
裾は厚かったのだろう。 >>463
>リーマン・ショックの時の株価の大暴落は、
>株価を予測するクオンツがブラック・ショールズ方程式を基に
>コンピューターで株価を理論的に予測した結果起きたことだろう
リーマン・ショックと、下記のLTCM破綻を混同しているな
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%94%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%9E%E3%83%8D%E3%82%B8%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
ロングタームキャピタルマネジメント（英語：Long-Term Capital Management、略称：LTCM）は、1994年から1999年まで存在したヘッジファンド
かつてコネチカット州に本部をおいていた。運用チームにマイロン・ショールズなどのノーベル経済学賞受賞者らを集め、高度な金融工学理論を駆使して、組成から数年は驚異的な成績を記録した。しかし取引債券のわずかな金利差から収益を得るために巨大なレバレッジをかけていたため[1]、アジア通貨危機の結果起きた市場の大変動を吸収しきれず破綻した
当初4年間の成功
LTCMは金融工学、すなわち統計学的な最適解であるシンプレックス法を資金運用に駆使した。その運用方針は、流動性の高い債券がリスクに応じた価格差で取引されていない事に着目し、実力と比較して割安と判断される債券を大量に購入し、反対に割高と判断される債券を空売りするもの（レラティブ・バリュー取引）であった。コンピュータを用いて多数の銘柄について自動的にリスク算出、判断を行って発注するシステムを構築した
経営危機
1997年に発生したアジア通貨危機と、その煽りを受けて1998年に発生したロシア財政危機が状況を一変させた。投資家が東南アジア諸国から証券投資を引き揚げつつあったところへロシアが8月17日に短期国債の債務不履行を宣言したので、新興国の債券・株式は危険であるという認識が急速に広がったのである[2]。
LTCMはロシア国債が債務不履行を起こす確率は100万年に3回（シックス・シグマ）だと計算していた[4]。LTCMのポジションは、新興国に対する投資家の動揺が数時間から数日の内に収束し、いずれ新興国の債券・株式の買い戻しが起こることを前提としていたが、事態は逆へと展開した。
結果としてLTCMの運用は破綻し、資産総額が下がり始めてから約8ヶ月の間で1994年の運用開始時点の額を下回り、1998年9月18日頃には誰の目にも崩壊寸前である事が明らかとなった。
救済融資 >>464
>モデルはモデルに過ぎない。ガウス過程を仮定した証券取引価格のモデルを使って
>運用をしていたノーベル賞クラスの研究者が係わっていたファンドは破綻している。
>ガウス分布では大きな変動の起こる確率がじゅうぶん小さい近似になるが、実際は
>裾は厚かったのだろう。
・ちゃんと、文献に当たって正確に書こうね
正確には、>>465のLTCM破綻の話だろ？
・次に、物理のブラウン運動と、株価の変動との大きな違いは、再現性だ
物理のブラウン運動には、再現性がある。
しかし、株価変動には、物理のブラウン運動ほどの再現性はない
（つまり、昨日の株価変動は、明日全く同じ条件を与えても、再現性は低いだろう。
そもそも、「明日全く同じ条件を与える」こと自身が、株価に対しては不可能なこと）
・しかしながら、株価変動に確率微分方程式という手段を持ち込み
従来以上の予測手段を編み出したことが評価されたのです
ちゃんと、文献に当たって正確に書こうね ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
