純粋・応用数学（含むガロア理論）7
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
さすがに入門を拒否された落ちこぼれだけのことはありますねｗ
何重にも間違ったことをドヤ顔で書きこむその度胸だけは褒めてあげますｗ
しかし根拠の無い度胸なんて糞の役にも立ちませんよ？ｗ >>897
>でもね、「実数Rが、普通の大小関係で、全順序になる（Rの元は、線型に並べることが出来て、非可算無限長になる）こと」が理解できない
>数学科出身を名乗るものを発見して、喜んでいるところでございます
まず
「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
を証明してからドヤ顔して下さいね？
無理だと思いますけど、偽ですからｗ
尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ >>901
あなたはどうせ逃げるので答えを書いときますね
反例
全順序集合Rの0の次の実数rは存在しない。
反例であることの証明
存在すると仮定すると 0<r/2<r を満たす実数r/2が存在するため矛盾。 無限小数 0.999・・ を論ずる某スレと立場逆転している
無限長の列を認める立場（私）と
無限長の列を認めない立場（数学科出身を名乗るもの）と
なんか、立場が逆転しているようだねぇ〜ｗ（＾＾； >>903
だーかーらー
おまえ日本語分らんの？
誰も無限列を否定しとらんゆーとんの分らんの？ 馬鹿？ 阿呆？ >>903
逆
最後の項がある列は有限列であって、有限しか認めてないのがおまえ。
おまえは口では無限と言ってるが、無限とは何かが分かってない。
無限とは限りが無いこと。最後の項があったら限りがあるじゃねーかｗ 馬鹿としか言い様が無い 列に最後の項がある→限りが有る→有限列
列に最後の項が無い→限りが無い→無限列
おまえはここから分かってない。
おまえが言う無限列は有限列のこと。何故なら最後の項があるから。限りがあるから。限りが有ることを有限と言う。馬鹿。
だからおまえの主張の逆で、有限列しか認めてないのがおまえ。無限列を認めてるのがおまえ以外。
大学数学に入門を拒否された落ちこぼれは数学板に来んな。板が穢れる。 >>906
(引用開始)
列に最後の項がある→限りが有る→有限列
列に最後の項が無い→限りが無い→無限列
おまえはここから分かってない。
おまえが言う無限列は有限列のこと。何故なら最後の項があるから。限りがあるから。限りが有ることを有限と言う。馬鹿。
だからおまえの主張の逆で、有限列しか認めてないのがおまえ。無限列を認めてるのがおまえ以外。
(引用終り)
いやいや、おサル
お主、数学科修士卒と言う触れ込みだったよね
でもな、いくらFラン卒といえどもだ
こんなあたまで、よく数学科が卒業できたね（＾＾
「Rの0の次の実数rは存在しない」なんてのは
素朴な疑問で、高校から大学1年くらいなら
微笑ましいわな
だが、50過ぎのおっさんで
大学を出て、30年経って
まだこのレベルだとすれば
いったい今まで、何を学んで来たのだと？
そういう疑問しか残らないぞｗ（＾＾；
小一時間問い詰めたいところだｗ https:/twitter.com/gou_tanab?ref_src=twsrc%5Egoogle%7Ctwcamp%5Eserp%7Ctwgr%5Eauthor
ゴキブリレイシスト田辺ニホンザルヒトモドキを銃殺せよ
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>908
下記「無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち」 志賀 浩二
あったな、読んでないけど
おサルも、1920年ころのポーランドに生まれて、無限を研究したら良かったろうね（＾＾；
だが、1988年とか今の2021年の時代に、「Rの0の次の実数rは存在しない」とか
微笑ましい通り越して、50過ぎのおっさんなら、不勉強だろ！ってことよ（＾＾
（参考）
https://www.アマゾン/product-reviews/4535781613
無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち 1988
by 志賀 浩二 日本評論社
Customer reviews
まげ店長
5.0 out of 5 stars ポーランドにおける無限を巡る数学の発展について
Reviewed in Japan on November 2, 2013
ポーランド史、無限論（カントール）、ユダヤ人史に興味の有る方にはうってつけの本です。
私はたまたまワルシャワ蜂起と集合論と数学基礎論を勉強しているので、この条件には見事に当てはまるのです。
連続体仮説についての説明で、こんなに分かりやすい説明は初めて読みました。
決して簡単な内容ではありませんが、周辺の数学を少しづつ勉強すれば決して理解できないレベルではないと思います。
ポーランド数学！、歴史学と数学を一緒に学べるという他には無い貴重な機会です。是非、頑張りましょう。
冒頭に集合論の取り扱い、無限という概念の取り扱いが発見時の頃に比べると論理化・簡潔化・整然化
されてしまい、多くの人が非加算の無限に対して感動しなくなっている事に対する嘆きが語られます。
私自身もカントールの話に感動して集合論を勉強し始めた頃、あまりにも無味乾燥な表現で終始しており
しかも全体の流れの中で軽んじられている傾向に違和感を感じました。
そんな私でさえもルベーグ測度を一所懸命に勉強した時もどうしてこんな当たり前の事を勉強しなければ
いけないのか悩んだものです...（未だ完全に分かってはいませんが）
こうした本を読むことで無限に対する尊厳を思い出したいものです。
集合論以外はトポロジーや関数解析で、一部は証明などもありますが定理だけがふらっと載っているだけの
ものもあります。
殆どは今の私にはさっぱりですね... 何が書いてあるのかも分からないのですが、不思議とそれでも面白いのです。
(引用終り)
以上 >>908
おまえ真性のバカだろ
「0の次の実数が存在する」を真と考えてるのが偽と考えてるのか、自分の考えを述べることすらまともにできないのか？
その馬鹿頭でよく生きてられるな >>910
だからおまえはどっちなんだよｗ
真性バカはそれすらまともに述べれないｗ もう障害者レベルｗ 真か偽か自分の考えすらまともに述べれない障害者はどっか行けよ
数学がどうこうなんてレベルを遥かに逸脱した馬鹿 >>908
>素朴な疑問で
なんで疑問になるんだよｗ 馬鹿かおまえはｗ
「存在するか？」だったら疑問だが、「存在しない」と断言してるんだから疑問じゃねーだろｗ
もうこういうところからして馬鹿過ぎて話にならんよおまえ もう馬鹿は消えて 肯定分と疑問文の区別すらつかない馬鹿は数学板に必要無い 消えろ >>883
(引用開始)
この程度のことは、昔だれかがやっているだろうが、
「有理数Qの稠密性」を示す定理として、分かり易いと思う
区間(a,b)は、任意に取れるので、区間(a,b)内にさらに小さく区間(a',b')を取っても
逆に、区間(a,b)を含むように大きく区間(a'',b'')を取っても、同じことが証明できる
即ち、「有理数Qの稠密性」の”入れ子構造”を示す定理である（＾＾
(引用終り)
下記の
「この方面の先駆者であるスミスは、有理数の集合が任意に小さな区間に閉じ込められてしまうこと、に気付いており」
辺りがそうかも
100年くらい前の話だが（＾＾；
（参考）
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/
数学史シンポジウム報告集
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/
第25回数学史シンポジウム
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf
カントールによらない実数の非可算性の証明
その発案の経緯と現在への影響を巡って
鈴木真治 2015年1月30日投稿
P134
3. 様々な「実数の非可算性の証明」の背景
この方面の先駆者であるスミスは、有理数の集合が任意に小さな区間に閉じ込められてしまうこと、に気付いており、
(引用終り)
以上 安達も瀬田も結局最後は逃げるんだよなあ
つまんねー 哀れな素人氏のスレに戻りな
みんな、あきれていると思うよ
（>>906）
列に最後の項がある→限りが有る→有限列
(引用終り)
とか、不成立じゃね？
（>>901）
まず
「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
を証明してからドヤ顔して下さいね？
無理だと思いますけど、偽ですからｗ
尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ
(引用終り)
これもな
お主の言っていることは、意味不明だが
おそらくは、「こんなところで躓いているのかな？」というのは、何となく分かる（＾＾
しかし、あまりにも低レベルで、評しようがないｗ（＾＾； >>916 追加
これ結構面白い、お薦めです
小平邦彦先生のお言葉（＾＾
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf
カントールによらない実数の非可算性の証明
その発案の経緯と現在への影響を巡って
鈴木真治 2015年1月30日投稿
P4
(16) 小平邦彦氏は対角線論法があまり好きではなかった。では、どんな証明方法を推していたのか 第4節参照
p7
測度論的証明については、選択公理は使うし、証明の途中に区間縮小原理を使うので、非述語的定義も含まれていて、基本性からは良いところがないようにも見える。しかし、後で説明するように小平邦彦氏は、「R は非可算であるだけでなく、R の可算部分集合は R の極めて小さい部を占めるに過ぎないことがわかる。」と言ってこの証明を評価している。
P15
小平邦彦氏はこの対角線論法を評して、「簡単明瞭であるが、何かうまく言いくるめられた感じがしないでもない。そこで別証を考えて見る。(「数学の学び方」 [71]より)」とされ、測度論的証明を自著『解析入門』(72)に書き記されている。更に、「これで実数全体の集合 R が非可算であることの別証が得られたのである。別証は対角線論法による証明よりも面倒であるが、うまくいいくるめられたという感じはない。別証により R は非可算であるだけでなく、R の可算部分集合は Rの極めて小さい部を占めるに過ぎないことがわかる。(同上)」と、してこの別証明53の持つ意義を力説されている。
(引用終り) >>919 つづき
おぬし、鈴木真治 巨大数 辺りから勉強し直したらどうだ？（＾＾
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo26/26_suzukis.pdf
鈴木真治 巨大数小史 有限と無限の狭間の揺らぎ 2016年1月30日投稿
0 はじめに
巨大数は,無限と同様に,太古から多くの人々を魅了し続けて止まない人気のテーマの一つである.ところが,無限論が,現在においても真っ当な専門書2から啓蒙書3, 果ては哲学書4に至るまで幅広く新著が出版され続けているのに対し, 巨大数論を主題とした邦書を寡聞にして著者は1冊しか知らない5.後はせいぜい,数学者のエッセイ集の1トピック6として紹介されているか,比較的小さな記事7が,発表されているくらいではなかろうか.このような差が生まれた最大の理由は,無限が,数学の発展において不可欠な概念であり続けて来たと云う歴史的重みと、門外漢からの安易な接近を拒む深淵を内包しながら発展を維持しているのに対し8,巨大数の方は,一見,鬼面人を嚇すと云った意外性から歴史的に語り継がれているものがあるにしても,現代数学はそれを必要とせず,将来も必要とされることはないと考えられているからかもしれない. 本質論から比較するなら,無限が,多様性を保持しつつも,数学的に明確な定義が与えられるようになったのに対し, 巨大数に対しては,精確で有効な定義がないことが致命的な差であろう.このような対象を,大抵の数学者は,研究対象にはしたがらないからである9.
著者は,当初,このような問題意識に対し,どちらかと言えば否定的で,「問題のための問題を解こうとしている」ように捉えていた.しかし,「数と無限の多面的アプローチ」を主たる研究テーマにしている関係上,擬無限としての「巨大数」は,無視できない存在であった.そこで,断続的に巨大数の歴史を調べていたのだが,ここからビジービーバーと云うチューリングの停止問題とも関連のある非常に興味深い関数や第一不完全性定理の具体的な例ともなったグッドステイン数列の終結定理, 非原始帰納関数の典型例であるアッカーマン関数, 証明論や計算理論に現れる急増加階層(F.G.H)とも密接に関わっていることを知るに及んで見えていた風景が一変した.
つづく >>921
つづき
20 世紀以降の巨大数の歴史は,このような文脈のなかで,計算理論の発展 - 原始帰納関数から多重帰納関数の発見, 一般帰納関数への拡張,計算可能関数との同定,非計算可能関数の発見等 - を主軸に添えて,様々な表記方法の創出と具体的問題への応用を付記しつつ語られるべきものと考えるようになった
https://www.hmv.co.jp/artist_%E9%88%B4%E6%9C%A8%E7%9C%9F%E6%B2%BB-%E6%95%B0%E5%AD%A6_200000001148068/item_%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E7%A7%91%E5%AD%A6%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%83%BC_7300972
巨大数 岩波科学ライブラリー
鈴木真治(数学)
発行年月 ： 2016年09月
内容詳細
無量大数ってどのくらい大きい数？グーグルの社名の由来となったグーゴルより大きい？アルキメデスが数えたという宇宙を覆う砂の数、仏典に登場する最大数である不可説不可説転、宇宙の永劫回帰時間、数学の証明に使われた最大の数…などなど、伝説や科学に登場するさまざまな巨大数の文字通り壮大な歴史を描く。
目次 : 第１章 歴史に見る巨大数―宇宙の砂の数、極楽浄土までの道のり（アルキメデスの３つの巨大数/ 古代バビロニアやユダヤの巨大数/ 仏教やジャイナ教に現れた巨大数）/ 第２章 自然科学と巨大数―「天文学的」を超える「天文学的」な数（アボガドロ定数/ エディントン数とディラックの巨大数仮説/ 永劫回帰時間/ 猿の無限定理/ 指数表記の発明）/ 第３章 数学と巨大数―無限の一歩、手前（数学に現れた巨大数/ 巨大数を生み出す関数/ チャレンジコーナー/ 巨大数の数学的小品）
【著者紹介】
鈴木真治 : １９５８年生まれ。数学史家。金沢大学大学院理学研究科（数学専攻）修士課程修了。日本科学史学会会員。日本数学協会会員。日本アクチュアリー会準会員（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）（「BOOK」データベースより）
(引用終り)
以上 >>919
下記≦は、原文では別の記号だったが、文字化けしそうなので、原文と換えた（数学やるには不便な板です（＾＾； ）
下記花木章秀先生で、小学生を並べる話と同様に、無限集合を扱うのが、大学数学の集合論だよ
分かってないね（＾＾
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000000/
集合論 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000004/main/chapter4.html
集合論
花木章秀
目次
4 関係
4.1 関係
4.2 順序関係
4.3 数学的帰納法と超限帰納法
4.2 順序関係
通常の生活でも、順序という言葉はよく用いられる。例えば、小学生でも背の低い順に列に並んだりする。この順序について考えよう。順序を表す記号として、よく使われるものを用いると、いろいろな先入観が入りやすいので、ここでは ≦ という、あまり使われない記号を用いることにする。
定義4.2.1 (順序関係). 集合 A 上の関係 ≦ が順序関係、または単に順序であるとは、以下の条件を満たすこととする。
[反射律] 任意の x ∈ A に対して x ≦ x
[推移律] x ≦ y , y ≦ z ならば x ≦ z
[非対称律] x ≦ y , y ≦ x ならば x = y
このとき (A, ≦) を順序集合という。
定義4.2.4 (全順序). 順序集合 (A, ≦ ) の任意の二つの要素 x,y ∈ A に対して x ≦ y または y ≦ x が成り立つとき、この順序を全順序といい、この順序集合を全順序集合という。
例4.2.6. 前述の「小学生を背の低い順に並べる」ということを考えよう。ある小学校のクラスの生徒を、ある身体測定の際の身長の小さい順に並べるとする。より一般に、集合 X と写像 f : X → R が与えられ、 f による値によって、集合 X の順序を決めるということを考えよう。
順序集合 (A,≦ ) の元 x に対して x ≦ y ならば x = y が成り立つとき x を A の極大元という。同様に y ≦ x ならば x = y であるとき x を A の極小元という。任意の y ∈ A に対して y ≦ x のとき x を A の最大元という。任意の y ∈ A に対して x ≦ y のとき x を A の最小元という。最大元は極大元、最小元は極小元であるが、逆は成り立つとは限らない。最大元、最小元は存在するとは限らないが、存在すれば唯一つに定まる。
(引用終り)
以上 >>919
>列に最後の項がある→限りが有る→有限列
>とか、不成立じゃね？
反例のひとつもあげれないの？
「じゃね？」って何？俺に訊いてんの？馬鹿？
>（>>901）
>まず
>「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
>を証明してからドヤ顔して下さいね？
>無理だと思いますけど、偽ですからｗ
>尚、実数全体の集合Rが全順序集合であることは、連続性を満たす順序体との定義から自明ですよ？ｗ
>(引用終り)
>これもな
>お主の言っていることは、意味不明だが
え？？？
おまえの主張は
>「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
ではないってこと？じゃ何？
>おそらくは、「こんなところで躓いているのかな？」というのは、何となく分かる（＾＾
>しかし、あまりにも低レベルで、評しようがないｗ（＾＾；
いみふｗ
主張が違うなら正せばいい話
証明ができないなら主張しなきゃいい話
いずれにしろおまえは逃げている 体の良い捨て台詞吐いてねｗ 逃げるくらいなら数学板に書きこまなきゃいい話
おまえそもそもなんで数学板に書きこむの？ 何も分かってない馬鹿なのに
馬鹿は数学板に来なくていいから なに勘違いしてんのおまえ？ >>921
>おぬし、鈴木真治 巨大数 辺りから勉強し直したらどうだ？（＾＾
大学一年4月に落ちこぼれた人に言われてもねえ
キミこそ有限と無限の違いから勉強し直した方が良いよ？
>列に最後の項がある→限りが有る→有限列
>とか、不成立じゃね？
限りが有ることを有限って言うんだよ？ 入門すらできずに落ちこぼれた人はそこから分かってないんだよなーｗ おやおや、雑談君はま~だ、
・全順序と整列順序の区別もわからず
・単なる点列と＞列の区別もわからず
「ωから始まり０に至る＞降下列が存在する！」
と言い切ってるのかい？
そもそも＞列は
「＞の左と右の項が定まってる」
のが絶対条件だから
ω＞･･･＞ｎ
なんてダメに決まってるじゃんｗ
整列順序は、上にいくときは必ず次の項が決まるけど
下にいくときは、そうじゃないから
極限順序数の場合、前の項はないから
で、極限順序数は、次の項をたどるだけでは到達不能だから つまり
０＜１＜２＜・・・
という数列は、「次の項をたどるだけでは」決して、ωに到達しないから！
（注：何をしても到達しない、と入ってない 極限をとればいい
しかし、極限をとる操作は、次の項をとる操作とは全く異なるから！） >>923
>数学やるには不便な板です（＾＾；
じゃ無理して来なくていいよ？
まるで数学分かってないキミの書き込みなんてゴミ以外の何者でもないし
いまさら全順序の定義をコピペしてどうしたの？気でも狂ったの？ｗ
おまえの主張は
「全順序集合の元をすべて並べた＜列が存在する」
なんだろ？だったら証明しないとｗ 妄想と証明は違うぞ？ｗ
まあ無理だけどな、偽だからｗ >>891
QやRは、通常の順序では、整列順序集合ではないよ
知らなかった？
だって｛q∈Q｜0＜q｝って最小元ないじゃんｗ はい、ロンパｗ
だって｛r∈Q｜0＜r｝って最小元ないじゃんｗ はい、ロンパｗ
ついでにいうと
｛z∈Z｜0＜ｚ｝は最小元をもつけど
｛z∈Z｜0＞ｚ｝は最小元ないからｗ
はい、ロンパｗ
要するにＮ以外、通常の順序では整列順序集合になりませ~ん
(Q+で、正の有理数を考えても整列順序集合になりません ざんね~ん） >という数列は、「次の項をたどるだけでは」決して、ωに到達しないから！
次の項をたどってωに達するならωは後続順序数になってしまうｗ
落ちこぼれクンは順序数の基本中の基本から分かってないｗ >>919
>あまりにも低レベルで、評しようがないｗ
それは雑談君自身のことかな？
QやRの全要素からなる点列は、＞列にならないよ
だってどの要素をとっても直前の要素がとれないじゃんｗ
「＞列」だっていうんなら、自分より小さい要素を具体的に指定できないとダメだよ
ωの場合でいうと ω＞ｎって具体的にｎを書かないとダメだよ
どんな自然数ｎをとってもＯＫだけど、その時点で
０までの降下列の長さって有限だよね
無限降下列がないってそういう意味だよ
全然わかってないね
それじゃ大学１年の４月の実数の定義で落ちこぼれるわけだ
最低レベル どん底だね
修羅界 畜生界 餓鬼界 ときたら その下の 地獄界だな
畜生以下、虫以下、ってもう単細胞生物かいｗ
これからアメーバ君って呼んじゃうよｗ >>908 補足
>「Rの0の次の実数rは存在しない」なんてのは
>素朴な疑問で、高校から大学1年くらいなら
>微笑ましいわな
「Rの0の次の実数rは存在しない」ねぇ〜（＾＾
昔、ポーランドの数学者たちも悩んだのかもね
実数を上手く扱うために、位相を導入して、位相空間を考えたと思う
開基を入れると、扱いやすいなと（＾＾；
（参考）
https://researchmap.jp/read0010844
大田 春外
オオタ ハルト (Haruto Ohta)
http://www12.plala.or.jp/echohta/top.html
by Haruto OHTA
位相空間に関するあらゆる質問にお答えします。
位相空間・質問箱
http://www12.plala.or.jp/echohta/top/QA/Q001.html
これまでの質問と回答
http://www12.plala.or.jp/echohta/top/QA/QA004.html
読者からの質問と回答 01031 〜 01040
Ｍ．Ａ．さんからの質問 #01039
可分空間とは何を分けるのですか？ 可分空間の目的は何ですか？
「可分」の概念について質問します．
可分 (separable) は何が「分けられる」のでしょうか．
また，可分という概念を取り入れた目的はなんでしょうか．
どの本をみても可分の定義や可算公理との関係は書いてあるのですが， 可分という概念を導入した必要性が感じられません．
ご教示いただきたく，宜しくお願いいたします．
つづく >>931
つづき
お答えします：
面白い質問をお送り頂きまして，ありがとうございました．
第 1 の質問について， 可分の定義は可算稠密集合が存在するということですので， 何が分けられる (separable) のか？という Ｍ．Ａ．さんの疑問はもっともだと思います． 可分という概念がはじめて定義されたのは，M. Frechet という数学者の 1906 年の論文
"Sur quelques points du calcul fonctionnel"
だと言われています． M. Frechet はこの論文で，距離空間の概念を初めて導入しました． 本論文ではまだ距離空間という用語は使われていませんが，可分 (separable) という用語は定義されています． この論文を見てみると，M. Frechet は実数直線の性質を距離空間に一般化する過程で，可分の概念に到達したように思います．
さて，なぜ「可分」と名付けたのか？という理由を知るためには， タイムマシーンに乗って M. Frechet 先生に尋ねに行く以外に方法はありませんが， 私の推理を述べてみます．
実数直線の稠密な部分集合 D は次の性質を満たします．
任意の異なる2つの実数 a ＜ b に対して，a ＜ x ＜ b をみたす D の元 x が存在する．
すなわち，異なる2つの実数は D の元によって分離されます． この事実を念頭において，可算な稠密集合が存在することを，可分と名付けたのではないでしょうか？ もちろん，実数直線と異なり一般の距離空間では順序 ＜ が定まっていないので上の性質は無意味ですが，実数直線の稠密集合をモデルとして可算稠密集合が存在する空間を可分 (separable) と名付けたのではないかと思います．
つづく >>932
つづき
第 2 の質問について， M. Frechet は，一般の距離空間において，実数直線の中の有理数の集合に相当する働きをする集合を必要として，可分性の概念を導入したのではないかと思います． 彼は，上記の論文の中で，今日の言葉で言えば「全有界かつ完備である距離空間はコンパクトである」という定理を証明しています．この定理は，「全有界」と「完備」という２つの距離空間の性質から「コンパクト」という位相空間の性質が導かれる興味深い結果ですが，全有界を位相的性質に翻訳すると「可分」になります．
詳しく言えば，次のことが成立します．
全有界な距離空間は可分である． 逆に，可分距離空間は，その位相構造を変えないような距離関数を与えて，全有界距離空間にできる． つまり，可分性は距離空間の全有界性を縁の下で支える位相的性質であると言えると思います．
たぶん，Ｍ．Ａ．さんもご存知のように，距離空間では可分であることと第２可算公理をみたすことは同値ですので，第 2 可算公理があれば可分は不要ではないかと思われるかも知れません． しかし，その後の研究で，可分性は第 2 可算公理よりもはるかに強固で自由度が高い位相的性質であることが明らかになりました．例えば，
(1) 非可算個の位相空間（ただし，２点以上を持つとする）の直積空間は第２可算公理 を満たさないが， 可分性は連続体濃度の個数の位相空間の直積空間まで保たれる (Hewitt-Marczewski-Pondiczery の定理）．
(2) 可分な位相空間上の実数値連続関数全体の集合の濃度は連続体濃度を超えない．
これ以外にも可分性が役立つ定理は多くあり，現在では，可分性は無くてはならない位相的性質として認められるようになりました．
上記の M. Frechet の論文は日本語訳が出版されています．
現代数学の系譜 13『フレシェ抽象空間論』斎藤正彦，森毅，杉浦光夫訳，共立出版 1987 年
(引用終り)
以上 >> 補足
(引用開始)
（>>906）
列に最後の項がある→限りが有る→有限列
とか、不成立じゃね？
(引用終り)
実数Rの部分集合を考える
最後の項を、通常の大小関係 ≦ の最大元とする
小数の列 0.999・・を考える
1. 0.9＝1/10^1
2．0.99＝1/10~2
・
・
n．0.99・・＝1/10~n
・
・
↓
ω｡lim n→∞ 1/10~n＝0.999・・・＝1
この”0.999・・・＝1”
を、お主は認めるんだろ？（某スレで主張していたよね（＾＾ ）
集合{0.9,0.99,・・,1/10~n,・・,1(＝0.999・・・）}
は、全順序（実は整列集合）で
0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・） (1)
なる列ができる
この列(1)を、有限列とする人は居ない
だが、最後の項”1”がある！！（＾＾；
以上 今日も、モピロン電波📶受信した。で
アメーバより🐴🦌な🌍地球人たちがコッチでも数学バトルしてて面白い。
がそれは、ともかく、
>>923のリンク先の、「論理の基本」
の例1.1.4. は、スゴク面白かった
で、例1.1.4. の要約
(notA ) ⇒ A は常に偽であるように思われるが、A が真なら「これは」真
とのことみたぃ。「これは」の部分が
キニナルが、ともかく、
この読書感想文は、モピロン
恒偽命題の条件文というか、
条件文で ¬Pは正しいと仮定して、
その結果、Pが正しいとなっても、
条件文の¬Pが正しいと信込じゃう
∵地球人🌍の、直感
∴地球人🌍は、アメーバより🐴🦌だ
ちなみに、背理法
条件文でPを正しいと仮定して、
その結果Pが誤りと証明されれば
条件文のPは誤りだと理解してるのに
by 👾の感想文
要約、直感ぢゃダメだからモピロン
霊感で考えよう >>934
訂正
>> 補足
↓
>>919 補足
細かいことですが（＾＾； >>934
>0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・） (1)
>なる列ができる
できません。
だってあなた1の直前の項が何か答えられないでしょ？ｗ 馬鹿ですか？ >>934
>0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・） (1)
>なる列ができる
>この列(1)を、有限列とする人は居ない
>だが、最後の項”1”がある！！（＾＾；
有限無限以前に(1)を列とする人は居ない。もし居たらそいつは入門すら許されなかった落ちこぼれ。 >>1
スレタイ間違ってますよ？
「現実世界で数学から入門を拒否された落ちこぼれが意気揚々と脳内数学を語るスレ」に訂正して下さい。 極限順序数は後続順序数ではない
たったこれだけのことがどーして分からないんですかねー？
そりゃ入門させてもらえませんわｗ >>935
どうも
レスありがとう
余談ですが、花木章秀先生のテキストにはお世話になっています（＾＾
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0065000001/main/chapter1.html
集合論
花木章秀
Chapter1
論理の基本
例1.1.4. (¬A ) =⇒ A は常に偽であるように思われるが、先に述べたようにA が真であればこれは真である。
注意. A が偽であれば、任意の命題B に対してA =⇒ B は真になるのだが、これが感覚的に受け入れがたいという学生も少なくはない。先の説明ではA =⇒ B を感覚的に理解したが、正確にはA = ⇒ B の定義が(¬A ) ∨ B であり、認めてもらうしかない。
同様の話が、下記 慶応 岡田光弘先生ですね
https://abelard.flet.keio.ac.jp/note/basic_logic_and_logical_computation.pdf
「計算論理学」講義ノート
慶應義塾大学文学部
岡田 光弘
P11
3.2. 命題論理の意味論
上の 7 による A → B の真理表は，次の ¬A ∨ B の真理表と結果が同じになることが分かる．
A B ¬A ¬A ∨ B
t t f t
t f f f
f t t t
f f t t
この意味で，→ は ¬ と ∨ を使って A → B を ¬A ∨ B の形で定義可能であることが分かる．
(引用終り)
以上 >>921
>列に最後の項がある→限りが有る→有限列
>とか、不成立じゃね？
キミ検索は得意なんでしょ？なんで検索しないの？都合が悪い検索は不得意なの？ｗ
wikipediaより引用
無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。
wikipediaより引用
有限(ゆうげん、finite)とは、無限ではないことである。
wikipediaより引用
たとえば「すべての自然数」を表す数列の項の数は「自然数の個数」に等しいが、自然数は無限に存在するため、その末項は存在しない。このように末項が定まらないような数列は、無限数列（むげんすうれつ、英: infinite sequence）と呼ばれ、末項を持つ数列は有限数列（ゆうげんすうれつ、英: finite sequence）と呼ばれる。 ω以下の順序数すべてをならべた 0<1<…<ω は末項が定まっているから無限列？
いいえ。ωの前者が定まらないから有限無限以前に列じゃありませんｗ ばーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーかｗ ちなみにω 未 満 の順序数すべてを並べた 0<1<… は無限列ですねー
こちらは任意の項が定まってますからｗ 問題二つ（＾＾
Q１）
いま、自然数の集合Nがある
N＝{0,1,2,・・・}
である。
右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
これは決められない
決められないと、
Nは、集合ではない？
Q２）
いま、N∪{N}を考える
N∪{N}＝{0,1,2,・・・,N}となる
ZFCでは、数は集合である。
右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
これは決めらる。Nである
では、Nのすぐ左の元は何か？
上記１）同様に決められない
N∪{N}は、集合ではない？
以上 >>937
>>0.9<0.99<・・<1/10~n<・・<1(＝0.999・・・） (1)
>>なる列ができる
>できません。
>だってあなた1の直前の項が何か答えられないでしょ？
然り
降下列であるためには、1>rとなる、ｒを具体的に明示する必要がある
雑談君は一度も明示せず誤魔化している ガースーと同じ 日本の恥ｗ
>>938
>>この列(1)を、有限列とする人は居ない
>有限無限以前に(1)を列とする人は居ない。
然り
降下列であるためには、1>rとなる、ｒを具体的に明示する必要がある
雑談君は一度も明示せず誤魔化している ガースーと同じ 日本の恥ｗ >>939
このスレッドの本当のタイトル
「変態数学（含まずガロア理論）」
ｗｗｗｗｗｗｗ >Q１）
>いま、自然数の集合Nがある
>N＝{0,1,2,・・・}
>である。
>右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
ないよ
>これは決められない
>決められないと、Nは、集合ではない？
いや、存在しなくても、Nは集合だよ
集合の定義、理解できないパクチー？
日本語読めない在阪朝鮮人
祖国に帰りなよ どうせ高射砲でバラバラにされるだろうけどｗ ＞Q２）
無意味ね
集合の定義 理解できるまで読んでね
で、同じように＞降下列の定義 理解できるまで読んでね
＞の両側に項がいるね そうでなければ意味がないから
その瞬間 キミ 負けたよ キミ 死んだよ
キミの祖国 北朝鮮は核ミサイルで滅亡したよ
ざまぁみろｗｗｗｗｗｗｗ 数列も一緒だよ
というか、ZFCでは、数列も集合だよ >>941 補足
>例1.1.4. (¬A ) =⇒ A は常に偽であるように思われるが、先に述べたようにA が真であればこれは真である。
ここ、(¬A ) =⇒ Aの対偶
A =⇒ (¬A )
を考える方が分かりやすいかも
下の式 A =⇒ (¬A ) で
条件Aが偽なら、式全体で真 >>951 訂正
(¬A ) =⇒ Aの対偶は
(¬A ) =⇒ ¬(¬A )
だった
¬(¬A )＝Aとすれば
(¬A ) =⇒ A
か
戻っている（＾＾
(¬A ) が偽なら、式は真
(¬A ) が真なら、Aは偽で式全体では偽
か >>870
>言っている意味が分からない
>「教育のプロポーション」の定義は？
日常言語を日常言語のみで論理的に遡って定義し続けることは不可能。
そんなことし出したらやがては「い」とは何かとかいうような下らない定義をすることになる。
まあ、少しは機転を利かせた方がいい。
>有理数の稠密性とか、実数の連続とか
>昔の高校では普通だった気がするよ
>（最近のゆとりは知らんけどね）
今でもやっていると思うが高校の実数では数直線を用いて考えていて、
無理数が直線上に占める位置が一意ではないから実数論をすることに至った訳で。 >>897
>意味分からんけど、レスしておく
ハイ、大学出ていないことをほぼ実証したな。
工学部の連中は大体ラプラス変換とかの計算をするから、或る程度の数学は使える。
工学部は解析の原理は分からないだろうけど解析そのものは或る程度使える。
>1．数学科出身が全て、数学を研究しているはずもない（ほんの一握りでしょ。学部や修士で、多少はやったとしても）
>2．一方、数学科出身以外が、全く数学を研究していないのか？
> 数学研究に一番近いのが、理論物理系の研究者かな？ 有名どころでは、ウィッテンとか大栗先生
>3．その他、非数学科出身で情報系で数学を教えている研究者や、東大京大などの化学やいろいろの理系研究者たち
> 彼らは、必要な部分については、数学科の学部か修士レベルの勉強は必要に応じしているでしょ
> （ちょうど、アインシュタインが、数学者グロスマンに教えてもらった事例などもあるしね。この場合は、当時の最先端の数学だった）
>4.だから、「数学科出身でございます」と、学部か修士レベルでハナタカしていたら
> 世間の理系の非数学科出身でも、その程度のレベルは結構いたりして、
> 「ちょうどいいところに来た。この問題で悩んでいたんだ、これ解いてみて」と、
> 大学研究者から言われて（民間の研究者でもあるかも）、解けないで赤っ恥になりかねないよね（＾＾
これ、数学科以外で数学を研究するとなると、研究者が占める割合の順位は解析や応用数学が一番多い。
その次が幾何。代数は一番低い。
経済学部でも高度になると解析は使っている。経済学部の解析は少し特殊になる。
だが、瀬田君は無限が分からないので、その解析が全く出来ません。 >>953
>>「教育のプロポーション」の定義は？
>日常言語を日常言語のみで論理的に遡って定義し続けることは不可能。
そんなことは求めていないが
「教育のプロポーション」をキーワード検索したが、まともにヒットしなかった
一般用語にさえなっていないのでは？
ならば、これを言い出した側が、少なくとも１回は説明すべきでは？
そうしないと、議論にならんよね
>今でもやっていると思うが高校の実数では数直線を用いて考えていて、
>無理数が直線上に占める位置が一意ではないから実数論をすることに至った訳で。
「無理数が直線上に占める位置が一意ではない」の意味が取れない
ほぼ一意でしょ？
で、実数論をすることに至った訳は
解析理論側の要請（超越関数など。それと測度論（積分）も）と
代数理論側の要請（代数的数が無理数になり、代数的数で実数が尽くされるのか？）
あたりが、19世紀の後半に課題になってきたってことでしょ？
ここらは下記、鈴木真治氏に詳しいよ
（>>916より）
第25回数学史シンポジウム
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf
カントールによらない実数の非可算性の証明
その発案の経緯と現在への影響を巡って
鈴木真治 2015年1月30日投稿 >>950
完全な🐎🦌ｗｗｗｗｗｗｗ
いいからとっとと北朝鮮に帰れｗｗｗｗｗｗｗ >>842
＞区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、
＞不等号＜を使って整列させることができる
在阪朝鮮人の🐎🦌である雑談野郎は、上記を
「区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、
かつ、不等号＜による整列順序集合である」
と致命的な🐎🦌誤読をしたｗｗｗｗｗｗｗ
●ね 今すぐガソリンかぶってライターつけて焼け●ね >>955
>「無理数が直線上に占める位置が一意ではない」の意味が取れない
> ほぼ一意でしょ？
数直線は平面幾何を使って考えている。平面幾何では点は無定義語になっている。
無定義語を使って実数を考えている以上、実数は無定義語になる。
>で、実数論をすることに至った訳は
>解析理論側の要請（超越関数など。それと測度論（積分）も）と
>代数理論側の要請（代数的数が無理数になり、代数的数で実数が尽くされるのか？）
>あたりが、19世紀の後半に課題になってきたってことでしょ？
>ここらは下記、鈴木真治氏に詳しいよ
実数論が生まれた訳は、フーリエ解析の影響が大きい。代数はその後。 >>945
>Q１）
>いま、自然数の集合Nがある
>N＝{0,1,2,・・・}
>である。
>右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
愚問
なぜなら {a,b,c,…} の a,b,c,… は順不同だから。
おまえはそんなとこから分かってないのか？中学からやり直し。
>Q２）
>いま、N∪{N}を考える
>N∪{N}＝{0,1,2,・・・,N}となる
>ZFCでは、数は集合である。
>右側のカッコ”}”のすぐ左の元は何か？
愚問
なぜなら {a,b,c,…} の a,b,c,… は順不同だから。
おまえはそんなとこから分かってないのか？中学からやり直し。 >>958
>数直線は平面幾何を使って考えている。平面幾何では点は無定義語になっている。
>無定義語を使って実数を考えている以上、実数は無定義語になる。
まさか
デカルトが座標系を考えたでしょ？
あの一次元版だよ、数直線
当然、原点0と距離が入るよね
距離が入れば、ある数ｒ∈Ｒの位置は、一意に決まる
>実数論が生まれた訳は、フーリエ解析の影響が大きい。代数はその後。
だから、鈴木真治＞＞955を読め（下記）
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo25/25_8suzukishinji.pdf
カントールによらない実数の非可算性の証明
その発案の経緯と現在への影響を巡って
鈴木真治 2015年1月30日投稿
Ｐ９
3. 様々な「実数の非可算性の証明」の背景
カントールによる最初の「実数の非可算性の証明」、いわゆる区間縮小原理による証明、の背景にフーリエ級数の収束問題と実数論に対する深い考察があったであろうと云う推測は通説化しているので、詳細はブルバキやカッツを参照されたい。ただ、意外かもしれないが、ガロア理論もまた有力な動機づけになっていたことは付言しておきたい。29 >>957
じゃ
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、
不等号＜を使って整列させることができる
↓
区間(a,b)内に存在する可算無限個の有理数は、全順序集合であり、
不等号＜を使って、一列（線型に）並べるることができる。可算無限でも非可算無限でも
と訂正しておくわｗｗ（＾＾； >>960
＞>数直線は平面幾何を使って考えている。平面幾何では点は無定義語になっている。
＞>無定義語を使って実数を考えている以上、実数は無定義語になる。
＞
＞まさか
＞ デカルトが座標系を考えたでしょ？
＞あの一次元版だよ、数直線
＞ 当然、原点0と距離が入るよね
＞距離が入れば、ある数ｒ∈Ｒの位置は、一意に決まる
高校の座標系は代数幾何のような代物ではありません。高校の平面座標も分からんとは。 >>950
>数列も一緒だよ
大間違い。数列の項は順不同でない。中学からやり直し。
>というか、ZFCでは、数列も集合だよ
屁理屈。
X列は関数φ:N→Xであり、関数は定義域の元と値域の元の順序対全体の集合。
順序対(x,y)を集合で表現すると{{x},{x,y}}。{x,y}のx,yは順不同だが、{x}と{x,y}は異なる集合だから(x,y)のx,yは順不同でない。
おまえが基本をまるで分かってないだけのこと。 >>961
学習しない奴だなあｗ
ある有理数の「次の」有理数なんて存在しないんだから、(a,b)∩Qのすべての元を並べた<列も存在しないんだよｗ
実際おまえ0の次の有理数を答えず逃げ続けてるじゃんｗ その醜態を鏡で見てみろｗ 落ちこぼれクンは大学の聴講生になるべき。自分がいかに馬鹿か自覚できると思うよ？
キミは自惚れ屋だからまず馬鹿であることを自覚するところから始める必要がある。
ネットはダメ。間違ってるのは相手という妄想から抜け出せないから。 >>962
下記、デカルトやライプニッツが、代数幾何を知っていたとでも？
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99
座標
幾何学において、座標（ざひょう）とは、点の位置を指定するために与えられる数の組 (coordinates)、あるいはその各数 (coordinate) のことであり、その組から点の位置を定める方法を与えるものが座標系（ざひょうけい、英: coordinate system）である。例えば、世界地図にある緯度と経度のようなもの。座標系と座標が与えられれば、点はただ一つに定まる。
起源
座標という概念を初めに考え出したのは哲学者であり数学者でもあるフランスのルネ・デカルトといわれている。ただし、彼の著書『幾何学』では問題に応じて基準となる直線を適宜設定しており、現在のような固定した座標軸を設定する表現は用いられていない。
「座標」の由来である"co-ordinate"の用語を初めに用いたのはドイツの哲学者、数学者のゴットフリート・ライプニッツであり、現在の直交座標系の表記もライプニッツのものに由来する。日本語で「座標」の語を初めに用いたのは藤沢利喜太郎であるが、当時の表記は「坐標」であり、のちに林鶴一らによって現在の「座標」に改められた[1]。
地理座標
詳細は「地理座標系」を参照
地理座標（または地図座標）は地球上の位置を表す座標をいう。 とは言っても大学一年4月で落ちこぼれたんだから
聴講生になってもすぐに落ちこぼれるのは目に見えてるかｗ
救い様の無い程の馬鹿は救い様が無いってことだねｗ >>945 補足
>N＝{0,1,2,・・・}
ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間
「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」（下記）
あれれ？ 無限数列 z = (z1, z2, …) だとよｗ
おれら常識だけどな（量子力学やるから）、まあ おサルには分からんかな（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。
ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、三平方の定理や中線定理（の厳密な類似対応物）は、ヒルベルト空間においても成り立つ。
もう少し自明でない例
複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) で級数
Σ _n=1〜∞ |z_n|^2
が収束するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す数列空間を L2 で表す。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6
関数解析学（かんすうかいせきがく、英: functional analysis、仏: Analyse fonctionnelle、函数解析学とも書かれる。別名は位相解析学。）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している[1][2][3][4]。
無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い[1][2][3]。
応用
関数解析の中でも特にヒルベルト空間論は量子力学の数学的基礎である[5][6]。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri1001.pdf
特集／無限次元 河東泰之 東京大学大学院数理科学研究科 数理科学 NO. 559, JANUARY 2010
n 次元ベクトル空間の一番簡単な例は，数をn
個並べたベクトルたちを考えたものである．そう
思うと，n = 3 でもn = 1, 000, 000 でも理論的に
はたいした違いはない．
数学的な立場からみたとき，無限次元のベクト
ル空間が出てくる自然な状況は関数を考えるとき
である．
つづく >>968
つづき
普通関数を考えるときは，有限集合ではなく，実数全体や
区間のような無限集合を考えるので，その上の関
数たちは，無限個の数が並んだもの，すなわち無
限次元ベクトルにあたるというわけである．
このように
「関数＝無限次元ベクトル」という考え方が出てき
たのは比較的新しく，20 世紀前半のことである．
無限次元の研究が盛んになったもう一つの理由
は，物理学，特に量子力学の研究である．量子力
学が20 世紀前半に成立し，その数学的理解が当初
から大きな問題になった．そこで，物理的な「状
態」を数学的に考えるには，無限次元のヒルベル
ト空間を考える必要があることがわかったのであ
る．
それでは無限次元は有限次元の違いはどこから発生するのであろうか．
そこに出てくるさまざ
まな議論，性質を見ると大きな違いは主に次の二
つから発生していることがわかる．
一つ目は，無限集合はその真部分集合と同じサ
イズだ，ということである．これを無限の定義と
することもよくある重要な性質である．
このことに関連
して，どんどん番号をずらしていくと，いくらで
も「遠く」に持って行けるということもある．こ
れらの性質が，無限次元ベクトル空間の線形写像
の興味深い性質を導き，多くの重要で新しい側面
をもたらすのである．
もう一つの重要なポイントは，無限個の数は普
通は足せないということである．もちろん和が収
束する級数もいくらでもあるが，勝手な数列を取っ
たとき，その和というものは一般には定義できな
い．自然な理論を有限次元の時と同様に考えよう
とすると，何らかの意味で和がとれるようなもの
に話を限定する必要があり，通常の関数解析学で
はそうすることが多い．これは，話を特殊なもの
に限定しているようだが，この限定のためにかえっ
て，無限次元でのみ興味深い現象が起こったりす
るのである．
(引用終り)
以上 >>968
>あれれ？ 無限数列 z = (z1, z2, …) だとよｗ
最後の項が無い無限列を誰も否定してませんが何か？ まだ何が間違いと指摘されてるかも分かってないｗ 馬鹿もここまで来ると救い様が無いｗ さすがに入門すら許されず落ちこぼれた馬鹿は手ごわいなｗ
無限列の存在を誰も否定してないことも分かってないｗ
否定されてるのは最後の項がある無限列ということも分かってないｗ
頭の中豆腐なんじゃね？脳みそが入っているとは思えないｗ 落ちこぼれクンはいつも酷いが、今日は特に酷かったな
酷い、あまりに酷過ぎる >>968 補足
だから
ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間
「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」
で
z1=0.9,z2=0.99,・・、zn=9/10^n.・・
とすれば
0.9<0.99<・・<9/10^n<・・
なる可算無限列ができる
この列の任意の(∀)ｎ項目9/10^n<1 が成立
よって
0.9<0.99<・・<9/10^n<・・<1
なる算無限列ができるよｗ（＾＾
この話は、下記の順序数の理論と整合している
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。
(引用終り)
以上 >>974 補足
(引用開始)
ヒルベルト空間、無限次元ベクトル空間
「複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) 」
で
z1=0.9,z2=0.99,・・、zn=9/10^n.・・
とすれば
0.9<0.99<・・<9/10^n<・・
なる可算無限列ができる
この列の任意の(∀)ｎ項目9/10^n<1 が成立
よって
0.9<0.99<・・<9/10^n<・・<1
なる算無限列ができるよ
(引用終り)
自画自賛ですがｗ（＾＾；
この話は、結構分かり易いと思った
つまり
1．N＝{0，1，2，・・,n,・・}
なる、ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができて（それ普通ですがｗ）
2．ノイマン流 N=ω なる順序数を考えたとき
0.99・・＝lim ｎ→∞ 9/10^n ＝1 （n=ωのとき） だと（＾＾
3．即ち、ｎがNの内では、9/10^n＜1だが
Nの外 n=ω で、0.99・・＝1が成立しているってこと
ここの議論は、なかなかデリケートですね
分かりにくいよね（＾＾；
以上 >>979
>0.9<0.99<・・<9/10^n<・・<1
>なる算無限列ができるよｗ（＾＾
だからできませんってｗ まだ分からんの？ 阿呆だねえキミｗ
それが列ならば、<1の左が定まっている必要があるが、0.9, 0.99,… のどの項が左に来たとしても有限番目の項ですよ？つまりこの列は有限列ｗ
これでもまだ分からない？ｗ なら数学諦めなよｗ 無理だからｗ >>975 さらに追加
1．ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができること
2．集合Nの外に極限順序数ωを考えることができること（ノイマン流ではN＝ω）
3．この二つができないと、「0.99・・＝1」は理解できないことがある
ってことですね（＾＾； >>975
>自画自賛ですがｗ（＾＾；
>この話は、結構分かり易いと思った
ただの自惚れですねｗ
分かり易い大間違いですからｗ >>978
>1．ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができること
>2．集合Nの外に極限順序数ωを考えることができること（ノイマン流ではN＝ω）
>3．この二つができないと、「0.99・・＝1」は理解できないことがある
いいえ、まったく違います。
0.999…:=0.9, 0.99, …の極限=1
実数列の極限の定義に極限順序数は不要。実数全体の集合と自然数全体の集合があれば十分。
実際、εN論法による実数列の極限の定義に極限順序数は登場しません。
大学一年4月の課程を履修していれば分る内容ですがｗ >>975
>2．ノイマン流 N=ω なる順序数を考えたとき
> 0.99・・＝lim ｎ→∞ 9/10^n ＝1 （n=ωのとき） だと（＾＾
大間違いですね。
極限の定義を知らないんですか？大学一年4月に習うはずですけど。
極限の定義においてnは自然数ですよ？自然数ではないωを代入することはできません。定義を逸脱してます。
あなたは大学数学に入門を拒否されたのですから大学数学を語らないでもらえますか？ あなたのやってる行為は、0除算できないというルールを逸脱して∞:=1/0を構成できた！と言ってるようなものですよ？
それがどれほど愚かか分かりますか？ >>978 参考
下記なども参考にして貰えれば、よろしいかと（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
0.999...
数学における循環十進小数 0.999… は、 "1" と同じ数。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/999_Perspective.svg/750px-999_Perspective.svg.png
無限に 9 の続く無限小数
超実数
「超実数」も参照
数 0.999… の標準的な定義は 0.9, 0.99, 0.999, … なる数列の極限であるが、それと異なる定義として例えばテレンス・タオが超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さい。より一般に、階数 H の無限大超自然数の位置に最後の 9 がくる超実数 uH = 0.999…;…999000…, はより厳密な不等式 uH < 1 を満足する。
このように解釈した "0.999…" は 1 に「無限に近い」。イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。Katz & Katz (2010b) に基づき、R. Ely (2010) もまた学徒のもつ「0.999… < 1 という考えを実数に対する誤った直観とする仮定に疑問を呈し、むしろそれを「超準的」直観と解釈した方が解析学の習得において価値があるのではないかとした。Jose Benardete は自身の著書 Infinity: An essay in metaphysics において、過度に制限された数体系に話を限定する限り、数学以前の自然な直観のいくらかは言い表すことができないのだと主張した。 無限小数 0.999・・ を論ずる某スレと立場逆転している
無限長の列を認める立場（私）と
無限長の列を認めない立場（数学科出身を名乗るもの）と
なんか、立場が逆転しているようだねぇ〜ｗ（＾＾； >>983
実数論で落ちこぼれたあなたが超実数を語りますかｗ >>984
錯乱してるんですか？
自分が何を指摘されてるかも分からないようですけど >>984
0.999･･･ は認めますよ
しかし、そこから＞降下列で０に到達する場合
いかほど長い＞降下列もつくれますがすべて有限長です
0.999･･･＞0.9･･･(n個)･･･9
🐎🦌な雑談君は、0から0.999･･･への収束列をひっくり返せば
そのまま＞降下列ができる、と思い込んでますが、間違ってます
なぜなら0.999･･･に一番違い0.9･･･(n個)･･･9なんてないからです
「＞降下列」の最初で、いかほど大きいｎをとっても
その時点で、無限個の0.9･･･(m個)･･･9 (m>n)をすっとばします
「＞降下列」が有限長、というのはそういうことです
極限順序数ωの場合、最初で１段降りることが不可能です
どうがんばったって、無限段降りるしかない
基本中の基本、初歩の初歩ですが、お🐎🦌の雑談君は
最初の一歩がどうしても踏み出せないようですねｗ >>978 補足
(引用開始)
1．ちょうど全ての自然数ｎを集めた集合Nを考えることができること
2．集合Nの外に極限順序数ωを考えることができること（ノイマン流ではN＝ω）
3．この二つができないと、「0.99・・＝1」は理解できないことがある
(引用終り)
ここは結構デリケートな話でね
つまり、下記のコーシー列による実数構成に同じ
1．有理数のコーシー列(yn)で√2を表すものを考える
2．lim n→∞ yn =√2 だ
3．yn n∈N は、全て有理数。極限 lim n→∞ で、
ynは有理数の外に出る。つまり、yω＝√2
4．これを、数学では、√2では、有理数内のコーシー列(yn)と同一視すると考えて
有理数内のコーシー列(yn)で、無理数√2を構成できたとする
ここは結構デリケートな話です（＾＾
理解できない人もいるだろうねｗ
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
5 実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
(xn) - (ym) が 0 に収束するという関係 〜 は同値関係になる。この同値関係 〜 で割った[5]商環 X/〜 は、同型の違いを除いて一意的に決まる。この X/〜 を R と書き、実数体とよぶ。
X の元 (xn) に対して、その極限を標準射影によって
lim _{n→ ∞} x_n:=[(x_n)_{n∈N }]∈ X/〜
と定める。もし、(xn) が通常の意味で有理数値の極限 r を持つならば、有理数列 (xn - r) は 0 に収束するので、ここで定義した極限は通常の意味の極限と両立している。
コーシー列同士の四則演算の極限は、演算を行う列のとり方によらずそれらの列の極限のみから定まるので、X/〜 における距離を自然に定めることができる。
つづく >>988
つづき
有理数列
(y_n)_{n∈N }
(yn) は R 内に極限値 z を持ち
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
射影 (集合論)
集合論における射影（しゃえい、英: projection）あるいは射影写像、特に標準射影は順序組に対してその一つの成分を対応させる写像である[1]。より一般に射影は、集合の添え字付けられた任意の族の直積（デカルト積）上で定義された、元の族から特定の添字をもつ成分を選び出す写像を言う。選択公理を仮定すれば、空でない集合からなる任意の族に関して、射影は必ず全射になる。4
2.2 成分への標準射影
添字集合が n 個の元からなる I = {1, …, n} であるとき、デカルト積 XI = X1 × ? × Xn は、i-番目の成分が xi ∈ Xi となっているような n-組の集合である。第 j-成分への標準射影 πj は写像
π_j： X_1ｘ・・・ｘX_n→ X_j; (x_1,・・・ ,x_n)⇒ x_j
として与えられ、この値は j-番目の成分のみからなる一元集合としての順序組である[3]。任意の順序組 T ∈ XI は T = (π1(T), …, πn(T)) と書くことができる。
(引用終り)
以上 雑談君はこのスレが終わったら
哀れな素人 安達弘志氏の立てた
以下のスレにのみ書き込んでね
0.99999…は１ではない その23
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617924909/ >>988
＞ここは結構デリケートな話でね
ま~だ、大学１年４月の実数の定義のつまづきを乗り越えられないんだねえ、チミは
＞yn n∈N は、全て有理数。
＞極限 lim n→∞ で、ynは有理数の外に出る。
＞ここは結構デリケートな話です
＞理解できない人もいるだろうね
それは、チミだろ？チミｗ
「yn n∈N は、全て有理数。
だったら、極限 lim n→∞ も 有理数の筈！」
とまったく非論理的な妄想思考を臆面もなく口にする
人間失格の🐎🦌は数学板に無用 シッシッｗｗｗ 雑談君語録
「結構デリケート」
→なんでそうなるのかわからん
「理解できない人もいる」
→オレが理解できん！
わかってるからぁｗ
安達スレにいけ
安達が君をボコボコにするってさｗｗｗ >>988
＞集合Nの外に極限順序数ωを考えることができる
基本的に ¬(ω∈ω)ですが何か？
Ｏが後続順序数の場合
ｏ∈Ｏの中で最大のものが存在する
Ｏが極限順序数の場合
ｏ∈Ｏの中で最大のものは存在しない
ちなみに
Ｏが順序数なら
Ｏ∈Ｏ’となるＯ’の中で最小のものが存在します 列の長さが、有限でなければならない？
バカすぎない？（＾＾
下記、照井一成 補題 3.3 「X 上のどんな無限列」及び定理 4.1 など
（(参考)）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/zengaku2018.pdf
NASH村とスライム退治：整列擬順序入門
照井一成・京都大学数理解析研究所
P4
整列半順序には他にも有用な特徴づけがいくつもある。そのうち 2 つを以下で紹介する。
最初のものは (Nash-Williams 1963) による。
補題 3.3
半順序 X = hX, ≦i が整列半順序であることの必要十分条件は、X 上のどんな無限列
a0, a1, a2, . . . も広義単調増加な無限列
ai0 ≦ ai1 ≦ ai2 ≦ ・ ・ ・ (i0 < i1 < i2 < ・ ・ ・)
を部分列として含むことである。
P7
定理 4.1
以下を満たす整列順序 (O(ω1), ≦) が同型を除いてただ 1 つ存在する。
(i) 0 ∈ O(ω1) (ゼロ)
(ii) α ∈ O(ω1) =⇒ α + 1 ∈ O(ω1) (後続順序数)
(iii) α0 < α1 < α2 < ・ ・ ・ ∈ O(ω1) =⇒ supi∈N αi ∈ O(ω1) (可算極限順序数)
(iv) O(ω1) の要素はすべて (i), (ii), (iii) のいずれかにあてはまる。
O(ω1) の要素 α を可算順序数という。また集合 {β ∈ O(ω1) : β < α} を O(α) と書く。
たとえば O(ω1) の中には以下のような順序数が存在する。
ω := sup{0, 1, 2, . . . }
ω ・ 2 := sup{ω, ω + 1, ω + 2, . . . }
ω^2:= sup{ω, ω ・ 2, ω ・ 3, . . . }
ω^ω:= sup{ω, ω^2, ω^3, . . . }
ε0 := sup{ω, ωω, ωωω, . . . }
ちなみに ω1 は最小の非可算順序数を表す。どんな実数にも O(ω1) の要素を 1 対 1 に対応
させることはできるだろうか？ 「できる」というのが Cantor の連続体仮説であるが、そ
の成否は ZFC 集合論から独立である。
n を 2 以上の自然数とするとき、どんな自然数も n 進法により表すことができる。
n を大きくとればとるほど、大きな数を少ない桁数で表すことができる。つまり情報圧縮
が生じる。同様にして、(可算に限らず) どんな順序数も ω 進法により表すことができる。
(引用終り)
以上 スレ主は
自分の間違いが認められない病
かつ
数学的な主張が理解出来ない病
なんだろね。
引用したものと自分の言ってることが別ものだということが全く理解出来てない。 >>994
>列の長さが、有限でなければならない？
はい。最後の項があるならね。
>バカすぎない？（＾＾
バカすぎなのは最後の項が無い無限列ばかりコピペしてるキミだね。
いまだに何を指摘されてるかすら分かってないってバカすぎだよね。 指摘されて間違いに気づくのがふつーの馬鹿。これは救い様がある。
落ちこぼれクンは救い様の無い馬鹿。 >>994 追加
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/
Homepage of Kazushige TERUI
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/summer2013.pdf
直観主義論理への招待
数学基礎論サマースクール 2013 講義資料
照井一成（京都大学）
1 はじめに
直観主義論理 (intuitionistic logic) とは、オランダの数学者ブラウワー (1881-1966) が提
唱した直観主義数学に由来する論理であり、直観主義数学で認められる推論の様式を弟子
のハイティング (1898-1980) が形式化したものである。
数学基礎論上の立場としての直観主義は、廃れて久しい。
ではなぜ今になって直観主義論理を勉強するのか？一つには、直観主義数学に限らず、
様々な構成的数学の論理的基盤になっているという事実がある。直観主義は忘れ去られて
も、“構成” の重要性は変わらない。構成的な論証によりどこまで数学を展開できるのか
は、基礎論的な問題意識を抜きにしても興味のあるところであろう。
もう一つには、“広義の構成主義” とでも呼ぶべき研究運動の原点としての意義がある。
これは基礎論的研究に端を発しつつ、計算機科学寄りの論理学の中で発展してきたもので
ある。広義の構成主義者は、哲学思想や基礎論的な立場に縛られず、それどころかいわゆ
る “構成的証明” にすら縛られず、証明一般に潜む構成的要素を自由に探究する。ある者は
証明の分析を通してアルゴリズムを抽出し、有用な計算情報を獲得しようとする（プルー
フ・マイニング）。またある者は証明そのものが持つ美しい代数構造に魅せられる。広義
の構成主義者は「この論法は構成的ではない」などといって排除しない。むしろ逆転の発
想で「この論法を構成的に解釈するとどうなるか」と考える。一言でいって、証明のダイ
ナミズムを追求するのが計算機科学的な意味での “構成主義” である。その出発点にある
のが直観主義論理であり、それとともに考案されたさまざまな道具立てなのである（構造
的証明論、実現可能性解釈、関数解釈、カリー・ハワード同型対応、古典論理の直観主義
論理への翻訳等）。
本講義の目的は、このように非直観主義的な観点から直観主義論理を導入し、慣れ親し
んでもらうことにある。
(引用終り)
以上 >>994
追加
NASH村 2018
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/kenkyubu/zengaku/18/terui.html
RIMS
全学共通科目講義（１回生〜４回生対象）
現代の数学と数理解析
―― 基礎概念とその諸科学への広がり
授業のテーマと目的：
数学が発展してきた過程では、自然科学、 社会科学などの種々の学問分野で提起される問題を解決するために、 既存の数学の枠組みにとらわれない、 新しい数理科学的な方法や理論が導入されてきた。 また、逆に、そのような新しい流れが、 数学の核心的な理論へと発展した例も数知れず存在する。 このような数学と数理解析の展開の諸相について、第一線の研究者が、 自身の研究を踏まえた入門的・解説的な講義を行う。
数学・数理解析の研究の面白さ・深さを、 感性豊かな学生諸君に味わってもらうことを意図して講義し、 原則として予備知識は仮定しない。
第７回
日時： ２０１８年６月１日（金）
１６：３０−１８：００
場所： 数理解析研究所 ４２０号室
講師： 照井 一成 准教授
題目： NASH村の命名規則：整列擬順序の理論へ
要約：
人名をひらがなで表す。名前AがBに埋め込めるとは、Bからいくつか文字を取り除くと Aになることをいう。たとえば「ゆか」は「ゆうか」や「かゆかゆ」に埋め込めるが 「かゆゆ」には埋め込めない。さて、NASH村では次々と子供が生まれていくが、 新生児の命名にはひとつきまりがあり、過去に 生まれた子の名前が新生児の名前に埋め込めてはならないとする。この命名規則は いつまでも維持可能だろうか？それともいつかは新生児に名前をつけられない事態が 生じるだろうか？「生じる」というのがHigmanの定理(1952)である。 この定理はNash-WilliamsやKruskal等 多くの研究者によって一般化され、今でも研究は発展し続けている。 本講義ではこの問題を取り掛かりとして、整列擬順序理論の一端を紹介したい。
参考文献：
照井一成. コンピュータは数学者になれるのか？ 青土社, 2015年（第3章）.
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/zengaku/18/terui-zengaku2018.pdf レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
